CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2

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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 
 
1a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Marque as únicas respostas corretas para as derivadas de 1ª 
ordem fxfx e fyfy da função: f(x,y)=xe3yf(x,y)=xe3y 
 
 fx= −e3yfx= -e3y e fy= −3xe3yfy= -3xe3y 
 fx=π3yfx=π3y e fy=3πe3yfy=3πe3y 
 fx=e3yfx=e3y e fy=3xe3yfy=3xe3y 
 fx=0fx=0 e fy=0fy=0 
 fx=eyfx=ey e fy=3xeyfy=3xey 
Respondido em 24/03/2020 21:49:50 
 
 
2a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Seja a função vetorial r(t) = (t²)i + (t −2)j + (5t² - 10)k . O limite dessa função 
quando t → 2 é dado por: 
 
 〈4,0,10〉 
 
〈6,8,12〉 
 
〈4,8,7〉 
 
〈2,4,12〉 
 
〈2,3,11〉 
Respondido em 24/03/2020 21:58:01 
 
 
3a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Considerando a função f(x,y) = 3x3.y5, simbolizaremos por fx e fy as derivadas parciais 
de fx,y) em função de x e em função de y, respectivamente. Assim fx(0;2) e fy(-2,0) 
são, respectivamente. 
 
 
36 e 60 
 
18 e -30 
 
36 e -60 
 0 e 0 
 
9 e 15 
Respondido em 24/03/2020 22:01:37 
 
 
4a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Dado f(t) = (e^3t sen t, 3t - 2) , calcule f ' (t) : 
 
 
f ' (t) = 3 sen t + cos t 
 
f ' (t) = 3 j 
 
f ' (t) = e^3t 
 f ' (t) = e^3t (3 sen t + cos t) i + 3 j 
 
f ' (t) = (3 sen t + cos t) i + 3 j 
Respondido em 24/03/2020 22:07:40 
 
 
5a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Seja F = F(x,y,z) a função identicamente nula. Então, ∂F/∂x - ∂F/∂y + ∂F/∂z é igual a 
 
 
-1 
 
2 
 0 
 
-2 
 
1 
Respondido em 24/03/2020 22:10:23 
 
 
6a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Sendo o vetor v (t) = (2 + cos 6t , 2 + sen 6t) . O vetor velocidade é: 
 
 V(t) (-6 sen 6t, 6 cos 6t) 
 
V(t) (6 sen 6t, -6 cos 6t) 
 
V(t) (-36 cos 6t, - 36 sen 6t) 
 não existe 
 
V(t) (-16 cos 6t, - 16 sen 6t) 
Respondido em 24/03/2020 22:14:49 
 
 
7a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Determine a equação do plano tangente 
à esfera x²+y²+z²=50 x²+y²+z²=50 no 
ponto P(3,4,5)P(3,4,5). 
 
 6x+8y−5z=06x+8y-5z=0 
 3x−4y+5z=183x-4y+5z=18 
 
 6x+8y+10z=1006x+8y+10z=100 
 
 
 3x+4y −5z=03x+4y -5z=0 
 
 3x+4y+5z=03x+4y+5z=0 
Respondido em 24/03/2020 22:57:42 
 
 
8a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Qual é o valor da derivada direcional da função f(x,y) = x2 + y2 no ponto (1,1) e na 
direção do vetor U = (0,-1) 
 
 
-1 
 
-5 
 -2 
 
-3 
 
-4 
Respondido em 24/03/2020 23:13:04 
 
 
9a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Sendo f(x,y)=5xy+10y, a derivada parcial de f em relação a x no ponto (1;2) é 
 
 
-5 
 10 
 
5 
 
-10 
 
15 
Respondido em 24/03/2020 23:04:47 
 
 
10a Acerto: 1,0 / 1,0 
 Questão 
 
Encontre a integral ∬dxdy no interior da região R, definida pelos pontos (0,0), (1,0) e 
(0,1): 
 
 
1/5 ua 
 ½ ua 
 
1 ua 
 
1/4 ua 
 
1/3 ua 
EXERCICIOS 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela 
funções vetoriais: 
r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k 
r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k 
Podemos concluir que 
a) as aeronaves não colidem. 
 b) as aeronaves colidem no instante t=2 
c) as aeronaves colidem no instante t=5 
d) as aeronaves colidem no instante t=3 
e) as trajetórias não se interceptam 
 
 
(e) 
 
 
(c) 
 
 
(a) 
 
 
(d) 
 
 
(b) 
 
 
 
Explicação: 
Igualar as equações das duas trajetórias e calcular o tempo nas quais elas 
são idêbnticas. 
 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
javascript:duvidas('2946454','6741','1','3518977','1');
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Considere as afirmações. Assinale (V) caso seja verdadeira 
ou (F) caso seja falsa: 
1) ( ) A reta tangente a uma 
curva r(t)r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)kx(t)i+y(t)j+z(t)k em t = 
t0 é uma reta que passa pelo ponto P(x(t0),y(t0),z(t0)
 paralela ao vetor v(t)v(t) = x′(t0)i + y'(t0)j 
+ z'(t0)k. 
 2) ( ) Portanto as equações paramétricas da reta tangente 
são: 
xx =x(t0) + t.x'(t0)y==y(t0) + t.y'(t0)z== z(t0) + t.z'(t0) 
3) ( ) O vetor tangente unitário de uma curva 
derivável r(t)r(t) é: 
TT= v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|. 
4) ( ) O comprimento L de uma curva 
lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)kr(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k é dado 
por 
L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2 
5) ( ) A reta normal unitária principal no plano 
é N=dTdt∣∣dTdt∣∣N=dTdt|dTdt| 
 
 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (V) 
 
 
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (F) 
 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (V) 5) (V) 
 
 
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (V) 
 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (F) 
 
 
 
 
 
 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
javascript:duvidas('1137201','6741','2','3518977','2');
javascript:duvidas('1141640','6741','3','3518977','3');
3. 
 
 
Marque as únicas respostas corretas para as derivadas de 1ª 
ordem fxfx e fyfy da função: f(x,y)=xe3y 
 
 
 
fx=π3yfx=π3y e fy=3πe3yfy=3πe3y 
 
 
fx=e3yfx=e3y e fy=3xe3yfy=3xe3y 
 
 
fx= −e3yfx= -e3y e fy= −3xe3yfy= -3xe3y 
 
 
fx=0fx=0 e fy=0fy=0 
 
 
fx=eyfx=ey e fy=3xeyfy=3xey 
 
 
 
Explicação: 
Aplicação das regras de derivação parcial em função a duas variáveis. 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os 
limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com o 
teorema acima, indique a única resposta correta para o limite da 
função: limt→0[r(t)=(sen2t)i+eln(2t)j+(cost)k]limt→0[r(t)=(s
en2t)i+eln(2t)j+(cost)k] 
 
 
 
i+ji+j 
 
 
jj 
 
 
i+ki+k 
 
 
i+j+ki+j+k 
 
 
kk 
 
 
 
Explicação: 
Aplica-se a teoria de limites na expressão vetorial de r(t)r(t). Atenção 
especial deve ser dada à expressão eln(2t)=2teln(2t)=2t 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os 
limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com o 
teorema acima, indique a única resposta correta para o limite da 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
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javascript:duvidas('3003856','6741','5','3518977','5');
 
função: limt→0r(t)limt→0r(t) se r(t)=(1+t³)i+te−tj+senttkr(t)
=(1+t³)i+te−tj+senttk 
 
 
 
2i+j2i+j 
 
 
i+2j+3ki+2j+3k 
 
 
i−ki−k 
 
 
i+ki+k 
 
 
i+j+ki+j+k 
 
 
 
Explicação: 
Aplica-se a teoria de limites, observando-se que no último termo pode-se 
aplicar a Regra de L'Hôpital ou o limite fundamental para 
calcular limt→0sentt=1limt→0sentt=1 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Para y=5, calcule o comprimento da curva no intervalo de x pertencente a [2, 8]. 
 
 
 
6 
 
 
4 
 
 
2 
 
 
3 
 
 
5 
 
 
 
Explicação: 
Com y=5y=5 traçamos uma reta horizontal paralela ao eixo xx, portanto, no intervalo dado o 
comprimento L=8−2=6 u.c.L=8-2=6 u.c. 
Dica: u.c.u.c. significa unidades de comprimento. 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Calcule r'(t)=v(t)r′(t)=v(t) e indique a única resposta correta 
se r(t)=ti + (2 - t)j,em,emt = 1. 
 
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javascript:duvidas('1037653','6741','7','3518977','7');
 
 
r′(t)=v(t)=13i - 2j 
 
 
r′(t)=v(t)=15i - 3j 
 
 
r′(t)=v(t)=32i - j 
 
 
r′(t)=v(t)=12i - j 
 
 
r′(t)=v(t)=14i + j 
 
 
 
Explicação: 
Derivadas de funções a valores vetoriais com cálculo de v(t)v(t) em um 
dado valor. 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Encontrando Primitivas. 
Seja ∫(costi+3t2j)dt∫(costi+3t2j)dt, qual 
a únicaresposta correta? 
 
 
 
(cost)i - sentj + 3tk 
 
 
(sent)i + t³j 
 
 
(cost)i + 3tj 
 
 
-(sent)i -3tj 
 
 
(cost)i - 3tj 
 
 
 
Explicação: 
Trata-se de uma integração imediata de uma função vetorial. 
 
 
 
1. 
 
 
O vetor posição de um objeto, que se move no plano, 
é dado por r(t)=t³i+t²jr(t)=t³i+t²j. Calcule a 
aceleração em t=2st=2s. 
 
 
 
12i+2j12i+2j 
 
 
12i−2j12i-2j 
 
 
6i+j6i+j 
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javascript:duvidas('2946367','6741','8','3518977','8');
 
 
i−2ji-2j 
 
 
i+ji+j 
 
 
 
Explicação: 
Calcula-se a aceleração derivando-se duas vezes o vetor posição. 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t), indicando a única 
resposta correta. 
 
 
(sent,−cost,0)(sent,-cost,0) 
 
 
(sent,−cost,1)(sent,-cost,1) 
 
 
(−sent, cost,1)(-sent, cost,1) 
 
 
(sent,−cost,2t)(sent,-cost,2t) 
 
 
(sect,−cost,1)(sect,-cost,1) 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição 
r(t) = (3cos t) i + (3sen t)j + t2k. Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice. 
Para o intervalo de tempo [0, 4Pi], encontre o módulo da velocidade da asa-
delta no instante t = 0. 
 
 
3 
 
 
14 
 
 
9 
 
 
1 
 
 
2 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Encontre a equação polar (r), sabendo que: x^2 + y^2 = a^2 
 
 
 
sqrt (a) 
 
 
2a 
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a 
 
 
1/a 
 
 
3a 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Considerando a função f(x,y) = 3x3.y5, simbolizaremos por fx e fy as derivadas parciais de fx,y) em 
função de x e em função de y, respectivamente. Assim fx(0;2) e fy(-2,0) são, respectivamente. 
 
 
0 e 0 
 
 
9 e 15 
 
 
18 e -30 
 
 
36 e 60 
 
 
36 e -60 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Dado f(t) = (e^3t sen t, 3t - 2) , calcule f ' (t) : 
 
 
 
f ' (t) = e^3t 
 
 
f ' (t) = e^3t (3 sen t + cos t) i + 3 j 
 
 
f ' (t) = 3 sen t + cos t 
 
 
f ' (t) = (3 sen t + cos t) i + 3 j 
 
 
f ' (t) = 3 j 
 
 
 
 
 
7. 
 
Considere as afirmações. Assinale (V) caso 
seja verdadeira ou (F) caso seja falsa: 
1) ( ) A reta tangente a uma 
curva r(t)r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)kx(t)i+y(t)j+z(t)k e
m t = 
t0 é uma reta que passa pelo ponto P(x(t0),y(t
0),z(t0) paralela ao vetor v(t)v(t) = x′(t0)i + y'(t0)j 
+ z'(t0)k. 
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 2) ( ) Portanto as equações paramétricas da reta 
tangente são: 
xx =x(t0) + t.x'(t0)y==y(t0) + t.y'(t0)z== z(t0) + t.z'(t0) 
3) ( ) O vetor tangente unitário de uma curva 
derivável r(t)r(t) é: 
TT= v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|. 
4) ( ) O comprimento L de uma curva 
lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)kr(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k é 
dado por 
L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzd
t)2 
5) ( ) A reta normal unitária principal no plano 
é N=dTdt∣∣dTdt∣∣N=dTdt|dTdt| 
 
 
 
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (F) 
 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (V) 5) (V) 
 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (V) 
 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (F) 
 
 
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (V) 
 
 
 
Explicação: 
O cálculo do comprimento é dado pela expressão abaixo que confirma a 
opção correta 
L=∫|v(t)|dtL=∫|v(t)|dt 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Descreva a curva paramétrica f(t) = (2t - 4, 3 + t²), no formato y=f(x). 
 
 
 
y = 7 + 2x - 0,25x² 
 
 
y = x - 7x² + 5 
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y = x² -7x - 1 
 
 
y = x³ -5x² -3 
 
 
y = 7 + 2x + 0,25x² 
 
 
 
Explicação: 
Eliminamos o parâmetro t e resolvemos y como função de x. Começamos em x e 
fazemos t = 0,25x + 2. Em seguida, substituímos t em y = 3 + t² e obtemos y = 7 
+ 2x + 0,25x². 
 
 
 
1. 
 
 
Descreva a curva na forma paramétrica definida pela função 
vetorial r(t) = 〈1+t, 2+5t, -1+6t〉. 
 
 
x=1+t; y=2+5t; z=-1+6t 
 
 
x=1 -t; y=2+5t; z=-1+6t 
 
 
x=1+t; y=2+5t 
 
 
x= t; y=2+5t; z=-1+6t 
 
 
x=1+t; y=2+5t; z=-1 
 
 
 
Explicação: 
Reta que passa pelo ponto P = (1, 2, -1) e tem vetor diretor (1, 5, 6) 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas 
funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única 
resposta correta para o limite da função: 
limt→0limt→0 r(t)== ( 1 + t3)i + e-tj + (cost)k 
 
 
 
- i + j - k 
 
 
i + j + k 
 
 
j - k 
 
 
i + j - k 
 
 
i - j - k 
 
 
 
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3. 
 
 
Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição 
r(t) = (3cos t) i + (3sen t)j + t2k. Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice. 
Para o intervalo de tempo [0, 4Pi], encontre o módulo da velocidade da asa-
delta no instante t = 0. 
 
 
1 
 
 
9 
 
 
3 
 
 
14 
 
 
2 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
O vetor posição de um objeto, que se move no plano, é dado 
por r(t)=t³i+t²jr(t)=t³i+t²j. Calcule a aceleração em t=2st=2s. 
 
 
 
12i−2j12i-2j 
 
 
i−2ji-2j 
 
 
i+ji+j 
 
 
6i+j6i+j 
 
 
12i+2j12i+2j 
 
 
 
Explicação: 
Calcula-se a aceleração derivando-se duas vezes o vetor posição. 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Encontre a equação polar (r), sabendo que: x^2 + y^2 = a^2 
 
 
 
2a 
 
 
1/a 
 
 
3a 
 
 
sqrt (a) 
 
 
a 
 
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6. 
 
 
Dado f(t) = (e^3t sen t, 3t - 2) , calcule f ' (t) : 
 
 
 
f ' (t) = 3 sen t + cos t 
 
 
f ' (t) = e^3t (3 sen t + cos t) i + 3 j 
 
 
f ' (t) = 3 j 
 
 
f ' (t) = (3 sen t + cos t) i + 3 j 
 
 
f ' (t) = e^3t 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Considerando a função f(x,y) = 3x3.y5, simbolizaremos por fx e fy as derivadas parciais de fx,y) em 
função de x e em função de y, respectivamente. Assim fx(0;2) e fy(-2,0) são, respectivamente. 
 
 
9 e 15 
 
 
18 e -30 
 
 
0 e 0 
 
 
36 e -60 
 
 
36 e 60 
 
 
 
 
 
8. 
 
Considere as afirmações. Assinale (V) caso 
seja verdadeira ou (F) caso seja falsa: 
1) ( ) A reta tangente a uma 
curva r(t)r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)kx(t)i+y(t)j+z(t)k e
m t = 
t0 é uma reta que passa pelo ponto P(x(t0),y(t
0),z(t0) paralela ao vetor v(t)v(t) = x′(t0)i + y'(t0)j 
+ z'(t0)k. 
 2) ( ) Portanto as equações paramétricas da reta 
tangente são: 
xx =x(t0) + t.x'(t0)y==y(t0) + t.y'(t0)z== z(t0) + t.z'(t0) 
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3) ( ) O vetor tangente unitário de uma curva 
derivável r(t)r(t) é: 
TT= v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|. 
4) ( ) O comprimento L de uma curva 
lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)kr(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k é 
dado por 
L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzd
t)2 
5) ( ) A reta normal unitária principal no plano 
é N=dTdt∣∣dTdt∣∣N=dTdt|dTdt| 
 
 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (F) 
 
 
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (V) 
 
 
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F)5) (F) 
 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (V) 5) (V) 
 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (V) 
 
 
 
Explicação: 
O cálculo do comprimento é dado pela expressão abaixo que confirma a 
opção correta 
L=∫|v(t)|dtL=∫|v(t)|dt 
 
 
 
1. 
 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, 
t), indicando a única resposta correta. 
 
 
(sent,−cost,1)(sent,-cost,1) 
 
 
(sent,−cost,2t)(sent,-cost,2t) 
 
 
(sent,−cost,0)(sent,-cost,0) 
 
 
(sect,−cost,1)(sect,-cost,1) 
 
 
(−sent, cost,1)(-sent, cost,1) 
 
 
 
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2. 
 
 
Descreva a curva paramétrica f(t) = (2t - 4, 3 + t²), no formato y=f(x). 
 
 
 
y = x - 7x² + 5 
 
 
y = 7 + 2x - 0,25x² 
 
 
y = 7 + 2x + 0,25x² 
 
 
y = x³ -5x² -3 
 
 
y = x² -7x - 1 
 
 
 
Explicação: 
Eliminamos o parâmetro t e resolvemos y como função de x. Começamos em x e 
fazemos t = 0,25x + 2. Em seguida, substituímos t em y = 3 + t² e obtemos y = 7 + 
2x + 0,25x². 
 
 
 
 
 
3. 
 
Considere as afirmações. Assinale (V) caso 
seja verdadeira ou (F) caso seja falsa: 
1) ( ) A reta tangente a uma 
curva r(t)r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)kx(t)i+y(t)j+z(t)k e
m t = 
t0 é uma reta que passa pelo ponto P(x(t0),y(t
0),z(t0) paralela ao vetor v(t)v(t) = x′(t0)i + y'(t0)j 
+ z'(t0)k. 
 2) ( ) Portanto as equações paramétricas da reta 
tangente são: 
xx =x(t0) + t.x'(t0)y==y(t0) + t.y'(t0)z== z(t0) + t.z'(t0) 
3) ( ) O vetor tangente unitário de uma curva 
derivável r(t)r(t) é: 
TT= v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|. 
4) ( ) O comprimento L de uma curva 
lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)kr(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k é 
dado por 
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L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzd
t)2 
5) ( ) A reta normal unitária principal no plano 
é N=dTdt∣∣dTdt∣∣N=dTdt|dTdt| 
 
 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (V) 5) (V) 
 
 
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (V) 
 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (F) 
 
 
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (F) 
 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (V) 
 
 
 
Explicação: 
O cálculo do comprimento é dado pela expressão abaixo que confirma a 
opção correta 
L=∫|v(t)|dtL=∫|v(t)|dt 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição 
r(t) = (3cos t) i + (3sen t)j + t2k. Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice. 
Para o intervalo de tempo [0, 4Pi], encontre o módulo da velocidade da asa-
delta no instante t = 0. 
 
 
14 
 
 
9 
 
 
3 
 
 
2 
 
 
1 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
O vetor posição de um objeto, que se move no plano, é dado 
por r(t)=t³i+t²jr(t)=t³i+t²j. Calcule a aceleração em t=2st=2s. 
 
 
 
6i+j6i+j 
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i−2ji-2j 
 
 
i+ji+j 
 
 
12i−2j12i-2j 
 
 
12i+2j12i+2j 
 
 
 
Explicação: 
Calcula-se a aceleração derivando-se duas vezes o vetor posição. 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas 
funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única 
resposta correta para o limite da função: 
limt→0limt→0 r(t)== ( 1 + t3)i + e-tj + (cost)k 
 
 
 
- i + j - k 
 
 
i + j - k 
 
 
j - k 
 
 
i + j + k 
 
 
i - j - k 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Encontre a equação polar (r), sabendo que: x^2 + y^2 = a^2 
 
 
 
sqrt (a) 
 
 
a 
 
 
3a 
 
 
2a 
 
 
1/a 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Dado f(t) = (e^3t sen t, 3t - 2) , calcule f ' (t) : 
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f ' (t) = 3 sen t + cos t 
 
 
f ' (t) = e^3t 
 
 
f ' (t) = e^3t (3 sen t + cos t) i + 3 j 
 
 
f ' (t) = (3 sen t + cos t) i + 3 j 
 
 
f ' (t) = 3 j 
1. 
 
 
Transformando a coordenada polar (-4, π6π6) em coordenada cartesiana, obtemos: 
 
 
 
(−4,√ 3 )(−4,3) 
 
 
(−2√ 3 ,−2)(−23,−2) 
 
 
(−2√ 3 ,−√ 2 )(−23,−2) 
 
 
(2√ 3 ,2)(23,2) 
 
 
(√ 3 ,0)(3,0) 
 
 
 
Explicação: 
Como em coordenadas polares um ponto é designado 
como P(r,θ)P(r,θ) identificamos r=−4r=−4 e θ=π/6θ=π/6, logo: 
x=rcosθ=−4cos(π/6)=−2√ 3 ;y=rsenθ=−4(1/2)=−2x=rcosθ=−4cos(π/6)=−23;y=rsenθ=−4(1/2)=−
2 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Calcule a área, entre α=0α=0 e β=π2β=π2, em coordenadas polares do 
círculo de raio r=1r=1 e marque a única resposta correta. 
 
 
 
π3π3 
 
 
ππ 
 
 
π2π2 
 
 
π4π4 
 
 
1 
 
 
 
Explicação: 
Use a fórmula: A=∫βα12r²drA=∫αβ12r²dr 
 
 
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javascript:duvidas('3003874','6741','2','3518977','2');
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Sendo o vetor v (t) = (2 + cos 6t , 2 + sen 6t) . O vetor velocidade é: 
 
 
 
V(t) (-36 cos 6t, - 36 sen 6t) 
 
 
V(t) (6 sen 6t, -6 cos 6t) 
 
 
V(t) (-6 sen 6t, 6 cos 6t) 
 
 
V(t) (-16 cos 6t, - 16 sen 6t) 
 
 
não existe 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Qual a taxa de variação máxima de f(x,y) = 3x^2 - 2xy em P (1,1) 
 
 
 
9,31 
 
 
4,47 
 
 
3,47 
 
 
2,56 
 
 
2,28 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Seja F = F(x,y,z) a função identicamente nula. Então, ∂F/∂x - ∂F/∂y + ∂F/∂z é igual a 
 
 
 
0 
 
 
2 
 
 
1 
 
 
-1 
 
 
-2 
 
 
 
 
 
 
 
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javascript:duvidas('859721','6741','4','3518977','4');
javascript:duvidas('1104335','6741','5','3518977','5');
javascript:duvidas('1132255','6741','6','3518977','6');
6. 
 
 
A circunferência x2+y2=9x2+y2=9 em coordenadas polares é dada por: 
 
 
 
r = 5 
 
 
r = 6 
 
 
r = 7 
 
 
r = 4 
 
 
r = 3 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Calcule a integral definida: ∫10∫01 [t3t3i + 7j + (t + 
1)k]dt. 
 
 
 
0,25i + 7j + 1,5k 
 
 
-0,25i + 7j + 1,5k 
 
 
0,25i - 7j + 1,5k 
 
 
0,25i + 7j - 1,5k 
 
 
-0,25i - 7j - 1,5k 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Substitua a equação cartesiana x216+y225=1x216+y225=1 por uma 
equação polar equivalente. 
 
 
9((rcos(θ))2+16r2=4009((rcos(θ))2+16r2=400 
 
 
9((rcos(θ))2+r2=4009((rcos(θ))2+r2=400 
 
 
9((rcos(θ))2+16r2=09((rcos(θ))2+16r2=0 
 
 
9((rcos(θ))2 −16r2=4009((rcos(θ))2 -16r2=400 
 
 
16((rcos(θ))2+9r2=40016((rcos(θ))2+9r2=400 
 
 
 
Explicação: 
A solução está baseada nas equações equivalentes entre os dois sistemas 
de coordenadas. 
1. 
 
 
Encontre ∂y/∂x para y^(2 )- x^2-sen (x.y)=o usando derivação implícita. 
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javascript:duvidas('1140207','6741','7','3518977','7');
javascript:duvidas('2946471','6741','8','3518977','8');
 
 
 
(2x+y cos(xy))/(2y-x cos(xy)) 
 
 
(x+y cos(xy))/(y-x cos(xy)) 
 
 
(2x+y cos(xy))/(y-x cos(xy)) 
 
 
(x+y cos(xy))/(2y-x cos(xy)) 
 
 
(2+y cos(xy))/(2y-x cos(xy)) 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Transformando a coordenada polar (-4, π6π6) em coordenada cartesiana, obtemos: 
 
 
 
(−2√ 3 ,−√ 2 )(−23,−2) 
 
 
(−4,√ 3 )(−4,3) 
 
 
(√ 3 ,0)(3,0) 
 
 
(−2√ 3 ,−2)(−23,−2) 
 
 
(2√ 3 ,2)(23,2) 
 
 
 
Explicação: 
Como em coordenadaspolares um ponto é designado 
como P(r,θ)P(r,θ) identificamos r=−4r=−4 e θ=π/6θ=π/6, logo: 
x=rcosθ=−4cos(π/6)=−2√ 3 ;y=rsenθ=−4(1/2)=−2x=rcosθ=−4cos(π/6)=−23;y=rsenθ=−4(1/2)=−
2 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Substitua a equação cartesiana x216+y225=1x216+y225=1 por uma 
equação polar equivalente. 
 
 
9((rcos(θ))2+16r2=09((rcos(θ))2+16r2=0 
 
 
9((rcos(θ))2+r2=4009((rcos(θ))2+r2=400 
 
 
16((rcos(θ))2+9r2=40016((rcos(θ))2+9r2=400 
 
 
9((rcos(θ))2+16r2=4009((rcos(θ))2+16r2=400 
 
 
9((rcos(θ))2 −16r2=4009((rcos(θ))2 -16r2=400 
 
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javascript:duvidas('1147189','6741','2','3518977','2');
javascript:duvidas('2946471','6741','3','3518977','3');
 
 
Explicação: 
A solução está baseada nas equações equivalentes entre os dois sistemas 
de coordenadas. 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
A circunferência x2+y2=9x2+y2=9 em coordenadas polares é dada por: 
 
 
 
r = 5 
 
 
r = 4 
 
 
r = 7 
 
 
r = 3 
 
 
r = 6 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Sendo o vetor v (t) = (2 + cos 6t , 2 + sen 6t) . O vetor velocidade é: 
 
 
 
V(t) (-16 cos 6t, - 16 sen 6t) 
 
 
não existe 
 
 
V(t) (-6 sen 6t, 6 cos 6t) 
 
 
V(t) (6 sen 6t, -6 cos 6t) 
 
 
V(t) (-36 cos 6t, - 36 sen 6t) 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Seja F = F(x,y,z) a função identicamente nula. Então, ∂F/∂x - ∂F/∂y + ∂F/∂z é igual a 
 
 
 
-1 
 
 
2 
 
 
-2 
 
 
0 
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javascript:duvidas('1132255','6741','4','3518977','4');
javascript:duvidas('757395','6741','5','3518977','5');
javascript:duvidas('1104335','6741','6','3518977','6');
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Calcule a integral definida: ∫10∫01 [t3t3i + 7j + (t + 
1)k]dt. 
 
 
 
-0,25i - 7j - 1,5k 
 
 
0,25i + 7j - 1,5k 
 
 
0,25i - 7j + 1,5k 
 
 
-0,25i + 7j + 1,5k 
 
 
0,25i + 7j + 1,5k 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Qual a taxa de variação máxima de f(x,y) = 3x^2 - 2xy em P (1,1) 
 
 
 
2,56 
 
 
3,47 
 
 
4,47 
 
 
9,31 
 
 
2,28 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
Marque dentre as opções a que representa uma 
equação cartesiana para a equação 
polar r=42cosΘ−senΘr=42cosΘ-senΘ 
 
 
 
y = x + 6 
 
 
y = x + 1 
 
 
y = x 
 
 
y = 2x - 4 
 
 
y = x - 4 
 
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javascript:duvidas('1140207','6741','7','3518977','7');
javascript:duvidas('859721','6741','8','3518977','8');
javascript:duvidas('1141637','6741','1','3518977','1');
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Passando o ponto P(1,√3) de coordenadas cartesianas para coordenadas polares vamos obter: 
 
 
 
( 2, π/2) 
 
 
( 2, π/6) 
 
 
( 6, π/6) 
 
 
( 4, π/6) 
 
 
( 6, π/2) 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = ⟨1+t,2+5t,−1+6t⟩〈1+t,2+5t,-1+6t〉 
 
 
 
x=1 −tx=1 -t ; y=2+5ty=2+5t, z=−1+6tz=-1+6t 
 
 
x= tx= t ; y=2+5ty=2+5t, z=−1+6tz=-1+6t 
 
 
x=1+tx=1+t ; y=2+5ty=2+5t, z=−1+6tz=-1+6t 
 
 
x=1+tx=1+t ; y=2+5ty=2+5t, z=−1z=-1 
 
 
x=1+tx=1+t ; y=2+5ty=2+5t 
 
 
 
Explicação: 
Calculando as equações paramétricas. 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Encontre o vetor velocidade para o movimento circular r(t) = (cos 2t)i + (sen 2t)j 
 
 
 
v(t)=−2sen(t)i+2cos(t)jv(t)=-2sen(t)i+2cos(t)j 
 
 
v(t)=−2sen(2t)i+2cos(2t)jv(t)=-2sen(2t)i+2cos(2t)j 
 
 
v(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)jv(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)j 
 
 
v(t)=−2sen(2t)i−2cos(2t)jv(t)=-2sen(2t)i-2cos(2t)j 
 
 
v(t)=sen(2t)i+cos(2t)jv(t)=sen(2t)i+cos(2t)j 
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javascript:duvidas('1140198','6741','2','3518977','2');
javascript:duvidas('175096','6741','3','3518977','3');
javascript:duvidas('2976753','6741','4','3518977','4');
 
 
 
Explicação: 
v(t)=drdt=r′(t)v(t)=drdt=r′(t) 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
A trajetória de um corpo é definida pelo vetor 
posição →r=(t2,sen(t),−cos(2t))r→=(t2,sen(t),−cos(2t)). Determine a aceleração (m/s2) para t 
= ππ (segundos) 
 
 
(0,0,-1) 
 
 
(2,0,4) 
 
 
(2,0,-4) 
 
 
(2,-1,0) 
 
 
NDA 
 
 
 
Explicação: 
 →r=(t2,sen(t),−cos(2t))r→=(t2,sen(t),−cos(2t)) ˙→r=(2t,cos(t),2sen(2t))r→˙=(2t,cos(t),2sen(2t))
 ¨→r=(2,−sen(t),4cos(2t))r→¨=(2,−sen(t),4cos(2t)). 
Assim, para t=Pi, ¨→r=(2,0,4)r→¨=(2,0,4) 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Se r(t)== 2 cost i + sent j + 2t k, então: ∫r(t)dt∫r(t)dt é: 
 
 
 
sent i - t2 k + C 
 
 
πsenti - cost j + t2 k + C 
 
 
2senti + cost j - t2 k + C 
 
 
2sent i - cost j + t2 k + C 
 
 
-cost j + t2 k + C 
 
 
 
Explicação: 
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javascript:duvidas('1180588','6741','5','3518977','5');
javascript:duvidas('175014','6741','6','3518977','6');
As integrais indefinidas de funções vetoriais são calculadas componente por 
componente. 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Marque as únicas respostas corretas para as derivadas de 1ª 
ordem fxfx e fyfy da função: f(x,y)=xe3y 
 
 
 
fx=π3yfx=π3y e fy=3πe3yfy=3πe3y 
 
 
fx=eyfx=ey e fy=3xeyfy=3xey 
 
 
fx= −e3yfx= -e3y e fy= −3xe3yfy= -3xe3y 
 
 
fx=0fx=0 e fy=0fy=0 
 
 
fx=e3yfx=e3y e fy=3xe3yfy=3xe3y 
 
 
 
Explicação: 
Aplicação das regras de derivação parcial em função a duas variáveis. 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela 
funções vetoriais: 
r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k 
r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k 
Podemos concluir que 
a) as aeronaves não colidem. 
 b) as aeronaves colidem no instante t=2 
c) as aeronaves colidem no instante t=5 
d) as aeronaves colidem no instante t=3 
e) as trajetórias não se interceptam 
 
 
(e) 
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(c) 
 
 
(b) 
 
 
(d) 
 
 
(a) 
 
 
 
Explicação: 
Igualar as equações das duas trajetórias e calcular o tempo nas quais 
elas são idêbnticas. 
1. 
 
 
Calcule a área, entre α=0α=0 e β=π2β=π2, em coordenadas polares do 
círculo de raio r=1r=1 e marque a única resposta correta. 
 
 
 
ππ 
 
 
π4π4 
 
 
1 
 
 
π2π2 
 
 
π3π3 
 
 
 
Explicação: 
Use a fórmula: A=∫βα12r²drA=∫αβ12r²dr 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Transformando a coordenada polar (-4, π6π6) em coordenada cartesiana, obtemos: 
 
 
 
(√ 3 ,0)(3,0) 
 
 
(2√ 3 ,2)(23,2) 
 
 
(−4,√ 3 )(−4,3) 
 
 
(−2√ 3 ,−√ 2 )(−23,−2) 
 
 
(−2√ 3 ,−2)(−23,−2) 
 
 
 
Explicação: 
Como em coordenadas polares um ponto é designado 
como P(r,θ)P(r,θ) identificamos r=−4r=−4 e θ=π/6θ=π/6, logo: 
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x=rcosθ=−4cos(π/6)=−2√ 3 ;y=rsenθ=−4(1/2)=−2x=rcosθ=−4cos(π/6)=−23;y=rsenθ=−4(1/2)=−
2 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Encontre ∂y/∂x para y^(2 )- x^2-sen (x.y)=o usando derivação implícita. 
 
 
 
(2+y cos(xy))/(2y-x cos(xy)) 
 
 
(2x+y cos(xy))/(2y-x cos(xy)) 
 
 
(x+y cos(xy))/(y-x cos(xy)) 
 
 
(2x+y cos(xy))/(y-x cos(xy)) 
 
 
(x+y cos(xy))/(2y-x cos(xy)) 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Substitua a equação cartesiana x216+y225=1x216+y225=1 por uma 
equação polar equivalente. 
 
 
9((rcos(θ))2+r2=4009((rcos(θ))2+r2=400 
 
 
9((rcos(θ))2+16r2=4009((rcos(θ))2+16r2=400 
 
 
9((rcos(θ))2 −16r2=4009((rcos(θ))2 -16r2=400 
 
 
16((rcos(θ))2+9r2=40016((rcos(θ))2+9r2=400 
 
 
9((rcos(θ))2+16r2=09((rcos(θ))2+16r2=0 
 
 
 
Explicação: 
A solução está baseada nas equações equivalentes entre os dois sistemas 
de coordenadas.5. 
 
 
A circunferência x2+y2=9x2+y2=9 em coordenadas polares é dada por: 
 
 
 
r = 7 
 
 
r = 3 
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r = 5 
 
 
r = 4 
 
 
r = 6 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Sendo o vetor v (t) = (2 + cos 6t , 2 + sen 6t) . O vetor velocidade é: 
 
 
 
V(t) (-36 cos 6t, - 36 sen 6t) 
 
 
não existe 
 
 
V(t) (6 sen 6t, -6 cos 6t) 
 
 
V(t) (-6 sen 6t, 6 cos 6t) 
 
 
V(t) (-16 cos 6t, - 16 sen 6t) 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Seja F = F(x,y,z) a função identicamente nula. Então, ∂F/∂x - ∂F/∂y + ∂F/∂z é igual a 
 
 
 
-2 
 
 
1 
 
 
0 
 
 
2 
 
 
-1 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Calcule a integral definida: ∫10∫01 [t3t3i + 7j + (t + 
1)k]dt. 
 
 
 
0,25i + 7j - 1,5k 
 
 
-0,25i - 7j - 1,5k 
 
 
0,25i - 7j + 1,5k 
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-0,25i + 7j + 1,5k 
 
 
0,25i + 7j + 1,5k 
1. 
 
 
Supondo que r(t)r(t)é o vetor posição de uma partícula que se move a 
longo de uma curva então,em qualquer instante t , pode-se afirmar: 
 I) O vetor velocidade da partícula, tangente à curva, é dado 
por:v(t)=dr(t)dtv(t)=dr(t)dt 
 II) A aceleração é a derivada segunda da velocidade em relação ao 
tempo. 
 III) O versor v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|dá a direção do movimento no instante t. 
IV) A velocidade de uma partícula pode ser expressa como o produto do 
módulo de sua velocidade pela sua direção. 
Estão corretas apenas as afirmações: 
 
 
 
I,II e IV 
 
 
I,II e III 
 
 
II,III e IV 
 
 
I,III e IV 
 
 
I,II,III e IV 
 
 
 
Explicação: 
De acordo com as definições de funções a valores vetoriais. 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Sabendo que r'(t) = v(t), determine v(t) e indique a única resposta correta 
se r(t) = 12ti + (2 - t)j, em t = 1. 
 
 
r'(t) = v(t) = 13i - 2j 
 
 
r'(t) = v(t) = 14i + j 
 
 
r'(t) = v(t) = 32i - j 
 
 
r'(t) = v(t) = 12i - j 
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r'(t) = v(t) = 15i - 3j 
 
 
 
Explicação: 
Como v(t) é a primeira derivada de r(t), basta, então, realizar a derivada 
e substituir t=1. 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Determine a integral `int_0/1 int_0/2 int_0/((1-z))dydxdz 
 
 
 
1 
 
 
2 
 
 
2-2z 
 
 
0 
 
 
1-z 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Calcule o limite da seguinte função vetorial: 
 
limt→∞[(1+3t)t i+(lntt) j+(5t3+t2t3−1) k]limt→∞[(1+3t)t i+
(lntt) j+(5t3+t2t3-1) k] 
 
 
 e3 i+je3 i+j 
 
 
`e^3 i +j +5k 
 
 3i+j+5k3i+j+5k 
 
 3i+5k3i+5k 
 
 e3 i + 5ke3 i + 5k 
 
 
 
Explicação: 
Uma solução é aplicar a Regra de L'Hôpital nas três parcelas, pois 
as indeterminações que aparecem são da formas 1 elevado a infinito e infinito/infinito. 
 
 
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javascript:duvidas('53959','6741','4','3518977','4');
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Supondo que r(t)r(t)é o vetor posição de uma partícula que se move a 
longo de uma curva então,em qualquer instante t , pode-se afirmar: 
 I) O vetor velocidade da partícula, tangente à curva, é dado 
por:v(t)=dr(t)dtv(t)=dr(t)dt 
 II) A aceleração é a derivada segunda da velocidade em relação ao 
tempo. 
 III) O versor v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|dá a direção do movimento no instante t. 
IV) A velocidade de uma partícula pode ser expressa como o produto do 
módulo de sua velocidade pela sua direção. 
Estão corretas apenas as afirmações: 
 
 
 
I,II e IV 
 
 
II,III e IV 
 
 
I,II,III e IV 
 
 
I,III e IV 
 
 
I,II e III 
 
 
 
Explicação: 
Alternativa correta de acordo com as definições de funções vetoriais. 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Um objeto de massa mm que se move em uma trajetória circular com 
velocidade angular constanteww tem vetor posição dado 
por r(t)=(bcoswt,bsenwt)r(t)=(bcoswt,bsenwt). Indique a única 
resposta correta que determina a aceleração a(t)a(t) em um tempo t 
qualquer. Observação: bb> 0. 
 
 
 
a(t)=(−bw²coswt,−bw²senwt)a(t)=(−bw²coswt,−bw²senwt) 
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a(t)=(−bw²coswt,bw²senwt)a(t)=(−bw²coswt,bw²senwt) 
 
 
a(t)=(bw³coswt,bw²senwt)a(t)=(bw³coswt,bw²senwt) 
 
 
a(t)=(−bcoswt,−bw²coswt)a(t)=(−bcoswt,−bw²coswt) 
 
 
a(t)=(−bcoswt,−bw²senwt)a(t)=(−bcoswt,−bw²senwt) 
 
 
 
Explicação: 
Deriva-se duas vezes o vetor posição encontra-se a aceleração. 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente da 
função: f(x,y,z)=e−x+e−y+e−zf(x,y,z)=e-x+e-y+e-z no 
ponto P0(−1,−1,−1)P0(-1,-1,-1) 
 
 
 
`nablaf = <-e, -e, e> 
 
 
`nablaf = <-1, -1, -1> 
 
 
 `nablaf = < e, e, - e > 
 
 
`nablaf = <-e, - 1, -e> 
 
 
`nablaf = <-e, -e, -e> 
 
 
 
Explicação: 
Cálculo de gradientes a partir das derivadas parciais e funções 
exponenciais. 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
O vetor posição de um objeto, que se move no plano, é dado por r(t) = (t³)i + (t²)j . Calcule a 
aceleração em t =1 segundo. 
 
 
i - 2j 
 
 
i + j 
 
 
6i + 2j 
 
 
6i + j 
 
 
6i - 2j 
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javascript:duvidas('1177177','6741','8','3518977','8');
 
 
 
Explicação: 
A aceleração a(t)=d²r(t)dt²a(t)=d²r(t)dt². Assim, derivando duas vezes o vetor posição r(t)r(t), 
calcula-se a aceleração solicitada. 
1. 
 
 
Supondo que r(t)r(t)é o vetor posição de uma partícula que se move a 
longo de uma curva então,em qualquer instante t , pode-se afirmar: 
 I) O vetor velocidade da partícula, tangente à curva, é dado 
por:v(t)=dr(t)dtv(t)=dr(t)dt 
 II) A aceleração é a derivada segunda da velocidade em relação ao 
tempo. 
 III) O versor v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|dá a direção do movimento no instante t. 
IV) A velocidade de uma partícula pode ser expressa como o produto do 
módulo de sua velocidade pela sua direção. 
Estão corretas apenas as afirmações: 
 
 
 
I,II e IV 
 
 
I,II e III 
 
 
II,III e IV 
 
 
I,III e IV 
 
 
I,II,III e IV 
 
 
 
Explicação: 
De acordo com as definições de funções a valores vetoriais. 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Sabendo que r'(t) = v(t), determine v(t) e indique a única resposta correta 
se r(t) = 12ti + (2 - t)j, em t = 1. 
 
 
r'(t) = v(t) = 13i - 2j 
 
 
r'(t) = v(t) = 14i + j 
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javascript:duvidas('1177184','6741','2','3518977','2');
 
 
r'(t) = v(t) = 32i - j 
 
 
r'(t) = v(t) = 12i - j 
 
 
r'(t) = v(t) = 15i - 3j 
 
 
 
Explicação: 
Como v(t) é a primeira derivada de r(t), basta, então, realizar a derivada 
e substituir t=1. 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Determine a integral `int_0/1 int_0/2 int_0/((1-z))dydxdz 
 
 
 
1 
 
 
2 
 
 
2-2z 
 
 
0 
 
 
1-z 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Calcule o limite da seguinte função vetorial: 
 
limt→∞[(1+3t)t i+(lntt) j+(5t3+t2t3−1) k]limt→∞[(1+3t)t i+
(lntt) j+(5t3+t2t3-1) k] 
 
 
 e3 i+je3 i+j 
 
 
`e^3 i +j +5k 
 
 3i+j+5k3i+j+5k 
 
 3i+5k3i+5ke3 i + 5ke3 i + 5k 
 
 
 
Explicação: 
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javascript:duvidas('1124336','6741','3','3518977','3');
javascript:duvidas('53959','6741','4','3518977','4');
Uma solução é aplicar a Regra de L'Hôpital nas três parcelas, pois 
as indeterminações que aparecem são da formas 1 elevado a infinito e infinito/infinito. 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Supondo que r(t)r(t)é o vetor posição de uma partícula que se move a 
longo de uma curva então,em qualquer instante t , pode-se afirmar: 
 I) O vetor velocidade da partícula, tangente à curva, é dado 
por:v(t)=dr(t)dtv(t)=dr(t)dt 
 II) A aceleração é a derivada segunda da velocidade em relação ao 
tempo. 
 III) O versor v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|dá a direção do movimento no instante t. 
IV) A velocidade de uma partícula pode ser expressa como o produto do 
módulo de sua velocidade pela sua direção. 
Estão corretas apenas as afirmações: 
 
 
 
I,II e IV 
 
 
II,III e IV 
 
 
I,II,III e IV 
 
 
I,III e IV 
 
 
I,II e III 
 
 
 
Explicação: 
Alternativa correta de acordo com as definições de funções vetoriais. 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
Um objeto de massa mm que se move em uma trajetória circular com 
velocidade angular constanteww tem vetor posição dado 
por r(t)=(bcoswt,bsenwt)r(t)=(bcoswt,bsenwt). Indique a única 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
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javascript:duvidas('2946360','6741','5','3518977','5');
javascript:duvidas('3003912','6741','6','3518977','6');
 
resposta correta que determina a aceleração a(t)a(t) em um tempo t 
qualquer. Observação: bb> 0. 
 
 
 
a(t)=(−bw²coswt,−bw²senwt)a(t)=(−bw²coswt,−bw²senwt) 
 
 
a(t)=(−bw²coswt,bw²senwt)a(t)=(−bw²coswt,bw²senwt) 
 
 
a(t)=(bw³coswt,bw²senwt)a(t)=(bw³coswt,bw²senwt) 
 
 
a(t)=(−bcoswt,−bw²coswt)a(t)=(−bcoswt,−bw²coswt) 
 
 
a(t)=(−bcoswt,−bw²senwt)a(t)=(−bcoswt,−bw²senwt) 
 
 
 
Explicação: 
Deriva-se duas vezes o vetor posição encontra-se a aceleração. 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente da 
função: f(x,y,z)=e−x+e−y+e−zf(x,y,z)=e-x+e-y+e-z no 
ponto P0(−1,−1,−1)P0(-1,-1,-1) 
 
 
 
`nablaf = <-e, -e, e> 
 
 
`nablaf = <-1, -1, -1> 
 
 
 `nablaf = < e, e, - e > 
 
 
`nablaf = <-e, - 1, -e> 
 
 
`nablaf = <-e, -e, -e> 
 
 
 
Explicação: 
Cálculo de gradientes a partir das derivadas parciais e funções 
exponenciais. 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
O vetor posição de um objeto, que se move no plano, é dado por r(t) = (t³)i + (t²)j . Calcule a 
aceleração em t =1 segundo. 
 
 
i - 2j 
 
 
i + j 
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javascript:duvidas('1037744','6741','7','3518977','7');
javascript:duvidas('1177177','6741','8','3518977','8');
 
 
6i + 2j 
 
 
6i + j 
 
 
6i - 2j 
 
 
 
Explicação: 
A aceleração a(t)=d²r(t)dt²a(t)=d²r(t)dt². Assim, derivando duas vezes o vetor posição r(t)r(t), 
calcula-se a aceleração solicitada. 
1. 
 
 
Determine a equação do plano tangente à esfera x²+y²+z²=50 no 
ponto P(3,4,5)P(3,4,5). 
 
 
 3x−4y+5z=183x-4y+5z=18 
 
 6x+8y−5z=06x+8y-5z=0 
 
 3x+4y+5z=03x+4y+5z=0 
 
 3x+4y −5z=03x+4y -5z=0 
 
 
 6x+8y+10z=1006x+8y+10z=100 
 
 
 
 
Explicação: 
Plano tangente da curva z = f(x,y): 
z - z0 = (x - x0).dz(x0,y0)/dx + (y - y0).dz(x0,y0)/dy 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
ENCONTRE A ∂f/∂y se f (x, y) = y sen xy 
 
 
 
xy cos xy + sen xy 
 
 
y2 cos xy + x sen xy 
 
 
x y2 cos xy + x sen xy 
 
 
x2 y cos xy + x sen xy 
 
 
xy2 cos xy + sen xy 
 
 
 
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javascript:duvidas('1124028','6741','2','3518977','2');
 
 
 
 
3. 
 
 
O domínio da função f(x, y) = √(25 - x^2 - y^2 ) está: 
 
 
 
Limitado pela circunferência do círculo de raio igual a 5, com centro em (0, 0). 
 
 
no centro do círculo. 
 
 
no interior do círculo com centro na origem e raio menor que 5. 
 
 
no raio do círculo. 
 
 
na reta y = x. 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Calcule a aceleração de uma partícula com vetor de posição igual 
a: r(t)=(t²,et,tet)r(t)=(t²,et,tet). Indique a única resposta correta. 
 
 
 
(t,t²,t³)(t,t²,t³) 
 
 
(2,et,(2+t)et)(2,et,(2+t)et) 
 
 
(2t,−et,(1−t)et)(2t,−et,(1−t)et) 
 
 
(1,et,tet)(1,et,tet) 
 
 
(1,t,et)(1,t,et) 
 
 
 
Explicação: 
Use a(t)=d²rdt²a(t)=d²rdt², ou seja a aceleração é igual à 
segunda derivada do vetor posição 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t - t cos t)j + 
3k 
 
 
(-sen t)i + (cos t)j 
 
 
(-sen t)i + (cos t)j + k 
 
 
(-sen t)i - (cos t)j 
 
 
(-sen t)i + (cos t)j - k 
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javascript:duvidas('745504','6741','3','3518977','3');
javascript:duvidas('3003886','6741','4','3518977','4');
javascript:duvidas('58156','6741','5','3518977','5');
 
 
(-sen t - cos t)i + (cos t)j 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Calcule a acelaração da curva r(t)=(cost,sent,t²)r(t)=(cost,sent,t²), 
indicando a única resposta correta, em t=π2t=π2. 
 
 
 
(2,−1,0)(2,−1,0) 
 
 
(0,−1,2)(0,−1,2) 
 
 
(π,π,−π)(π,π,−π) 
 
 
(0,0,0)(0,0,0) 
 
 
(1,1,0)(1,1,0) 
 
 
 
Explicação: 
A aceleração corresponde à segunda derivada do vetor posição 
em t=π2t=π2 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Determine a equação do plano tangente à superfície 
 z=f(x,y)=3.x.y²-10x² no ponto P(1,2,2). 
 
 
 
z=8x - 10y -30 
 
 z=8x−12y+18z=8x-12y+18 
 
 z=−8x+10y−10z=-8x+10y-10 
 
 z=−8x+12y −14z=-8x+12y -14 
 
 z=−8x+12y−18z=-8x+12y-18 
 
 
 
 
 
 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
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8. 
 
 
Calcule a integral dupla: 
∫42∫24 ∫21∫12 (x²x² + y²y²) dydx 
 
 
70/15 
 
 
70/11 
 
 
70/3 
 
 
70/9 
 
 
70/13 
1. 
 
 
Com relação a função f(x,y) = 3xy^2+x^3-3x, podemos afirmar que: 
 
 
 
O ponto (1,0) e ponto de Mínimo local. 
 
 
O ponto (0,-1) e ponto de Máximo local. 
 
 
O ponto (0,1) e ponto de Máximo. 
 
 
O ponto (-1,0) e ponto de Sela. 
 
 
O ponto (1,1) e ponto de Máximo. 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular de 12.100 metros quadrados. A prefeitura 
exige que exista um espaço livre de 25 metros na frente, 20 metros atrás e 12 metros em cada lado. 
Encontre as dimensões do lote que tenha a área mínima na qual possa ser construído este galpão. 
 
 
n.r.a 
 
 
a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (104,33) e 
(195,62) 
 
 
a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (97,33) e 
(145,62) 
 
 
a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (147,33) e 
(105,62) 
 
 
a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (17,33) e 
(95,62) 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Uma partícula tem vetor posição dado por r(t) = (cost, sent, t). O seu vetor velocidade v(t) é dado por: 
 
 
 
(sent, -cost, t) 
 
 
(sent, -cost, 1) 
 
 
(sect, -cost, 1) 
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(-sent, cost, 1) 
 
 
(sent, -cost, 0) 
 
 
 
Explicação: 
Basta derivar o vetor posiçãor(t)r(t), pois, a velocidadev(t)=r´(t)v(t)=r´(t) ou v(t)=drdtv(t)=drdt. 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Considere as afirmações. Assinale (V) caso seja verdadeira 
ou (F) caso seja falsa: 
1) ( ) A reta tangente a uma 
curva r(t)r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)kx(t)i+y(t)j+z(t)k em t = 
t0 é uma reta que passa pelo ponto P(x(t0),y(t0),z(t0)
 paralela ao vetor v(t)v(t) = x′(t0)i + y'(t0)j 
+ z'(t0)k. 
 2) ( ) Portanto as equações paramétricas da reta tangente 
são: 
xx =x(t0) + t.x'(t0)y==y(t0) + t.y'(t0)z== z(t0) + t.z'(t0) 
3) ( ) O vetor tangente unitário de uma curva 
derivável r(t)r(t) é: 
TT= v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|. 
4) ( ) O comprimento L de uma curva 
lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)kr(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k é dado 
por 
L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2 
5) ( ) A reta normal unitária principal no plano 
é N=dTdt∣∣dTdt∣∣N=dTdt|dTdt| 
 
 
 
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (V) 
 
 
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (F) 
 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (V) 
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1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (F) 
 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (V) 5) (V) 
 
 
 
Explicação: 
O cálculo do comprimento é dado pela expressão abaixo que confirma a 
opção correta 
L=∫|v(t)|dtL=∫|v(t)|dt 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Qual é a resposta correta para a derivada da função vetorial r(t) = (t.cost)i + (t.sent)j 
+ tk ? 
 
 
(cost - t.sent)i + (sent + cost)j + k 
 
 
(t.cost - sent)i + (sent - t.cost)j + k 
 
 
(cost - t.sent)i + (sent + t.cost)j + k 
 
 
t(cost - sent)i - t(sent + cost)j + k 
 
 
(sent - t.cost)i + (sent.cost)j - k 
 
 
 
Explicação: 
Sendo r(t) = (t.cost)i + (t.sent)j + tk , deriva-se as componentes vetoriais 
em i e j como a derivada de um produto: d(uv)/dt= u´v +uv´. 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Qual é o valor da derivada direcional da função f(x,y) = x2 + y2 no ponto (1,1) e na direção do vetor U = 
(0,-1) 
 
 
-5 
 
 
-1 
 
 
-4 
 
 
-3 
 
 
-2 
 
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7. 
 
 
Supondo que r(t)r(t)é o vetor posição de uma partícula que se move a 
longo de uma curva então,em qualquer instante t , pode-se afirmar: 
 I) O vetor velocidade da partícula, tangente à curva, é dado 
por:v(t)=dr(t)dtv(t)=dr(t)dt 
 II) A aceleração é a derivada segunda da velocidade em relação ao 
tempo. 
 III) O versor v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|dá a direção do movimento no instante t. 
IV) A velocidade de uma partícula pode ser expressa como o produto do 
módulo de sua velocidade pela sua direção. 
Estão corretas apenas as afirmações: 
 
 
 
I,III e IV 
 
 
I,II e III 
 
 
I,II,III e IV 
 
 
I,II e IV 
 
 
II,III e IV 
 
 
 
Explicação: 
De acordo com as definições de funções a valores vetoriais. 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente da 
função: f(x,y,z)=e−x+e−y+e−zf(x,y,z)=e-x+e-y+e-z no 
ponto P0(−1,−1,−1)P0(-1,-1,-1) 
 
 
 
∇f=<-1,-1,-1> 
 
 
∇f=<-e,-e,-e> 
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∇f=<-e,-e, e> 
 
 
 ∇f=<e, e,-e> 
 
 
∇f=<-e,-1,-e> 
 
 
 
Explicação: 
Cálculo de gradientes a partir das derivadas parciais e funções 
exponenciais. 
1. 
 
 
Determine as derivadas de primeira ordem da função: 
 f(x,y,z) = x2y - 3xy2 + 2yz. 
 
 
fx = xy - 3y , fy = x - 6xy + 2z, fz = 2y 
 
 
fx = 2x - 3y2 , fy = x2 - 3xy + 2y, fz = 2y 
 
 
fx = 2xy - 3y , fy = x2 - 3xy + 2z, fz = 2z 
 
 
fx = 2xy - 3y2 , fy = x2 - 6xy + 2z, fz = 2y 
 
 
fx = 2xy - y2 , fy = x2 - 6x + 2z, fz = y 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Se z=x2y+3xy4z=x2y+3xy4, onde x = sen(2t) e y = cos(t), o valor de dzdtdzdt, quando t = 0, 
equivale a: 
 
 
6 
 
 
8 
 
 
0 
 
 
4 
 
 
2 
 
 
 
Explicação: 
A questão tem duas soluções, sendo a primeira com o uso da Regra 
da Cadeia. Entretanto a mais rápida se dá substituindo na expressão 
original o x e o y pelas expressões dadas e derivando-se a nova 
expressão. Assim: 
z(t)=sen²(2t)cos(t)+3sen(2t)cos4(t)z(t)=sen²(2t)cos(t)+3se
n(2t)cos4(t) 
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Agora, deriva-se a expressão acima e, ao final, substitua t = 0 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Qual é a derivada total dz/dt, sendo z = x2 -8xy - y3 , onde x(t) = t e y (t) = - t ? 
 
 
 
18t-1 
 
 
18t+1 
 
 
-18t+1 
 
 
18t 
 
 
18t+2 
 
 
 
Explicação: 
dz/dt = dz/dx.dx/dt + dz/dy.dy/dt 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Qual é a derivada total dz/dt, sendo z = x2 -8xy - y3 , onde x(t) = t e y (t) = 3t ? 
 
 
 
-46 - 81t2 
 
 
-23t - 81t2 
 
 
-46t - 81 
 
 
-46t - 81t2 
 
 
-46t - 27t2 
 
 
 
Explicação: 
dz/ dt = dz/dx.dx/dt + dz/dy.dy/dt 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Encontre a integral ∬dxdy no interior da região R, definida pelos pontos (0,0), (1,0) e (0,1): 
 
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1 ua 
 
 
½ ua 
 
 
1/4 ua 
 
 
1/3 ua 
 
 
1/5 ua 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Qual das soluções a seguir apresenta a equação da reta tangente a curva 
3x+2sen(3(y-1))=9 no ponto P(3,1)? 
 
 
3x+2y-2=0 
 
 
x+2y-5=0 
 
 
3x+2y+2=0 
 
 
x+y-9=0 
 
 
NDA 
 
 
 
Explicação: 
A derivada direcional é nula na direção da reta tangente, paralela a curva 
de nível a F(x,y) em P(x0,y0). Assim 3(x-x0)+6cos(2(y-1))(y-y0)=0. Para 
P(3,1) temos 3(x-3)+6(y-1)=0 => x+2y-5=0. 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Qual é a derivada parcial da 
funçãof(x,y)=(yex+x sen y)f(x,y)=(yex+x sen y) 
 
 
 
 fx=yex+sen y e fy=ex+cos x fx=yex+sen y e fy=ex+cos x 
 
 
 fx=yex+sen x e fy=ex+cos y fx=yex+sen x e fy=ex+cos y 
 
 
 fx=yex+sen y e fy=ex+cos y fx=yex+sen y e fy=ex+cos y 
 
 
 fx=ex+sen y e fy=ex+cos y fx=ex+sen y e fy=ex+cos y 
 
 
 fx=yex+sen y e fy=ey+cos y fx=yex+sen y e fy=ey+cos y 
 
 
 
Explicação: Derivada Parcial de 1 ordem 
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8. 
 
 
Usando a técnica da integral dupla, encontre o volume do 
sólido gerado pela expressão ∫∫ ∫∫(x2 + y2) dxdy para os 
intervalos R=[-1,1] x[-2,1]. 
 
 
 
15(u.v.) 
 
 
21(u.v.) 
 
 
17(u.v.) 
 
 
2(u.v.) 
 
 
8(u.v.) 
1. 
 
 
Considere a regiao delimitada por y = (a2 - x2 )1/2 , o eixo x e as retas x = - a e x = a, sendo girada ao 
redor do eixo x. Determine qual o sólido gerado e qual o volume referente a mesma. 
 
 
O solido gerado é uma esfera de raio a e o volume gerado será (4/3) pi a3 . 
 
 
O solido gerado é uma elipse e o volume gerado será pi a3 . 
 
 
O solido gerado é uma esfera de raio 3 e o volume gerado será (4/3) pi. 
 
 
O solido gerado é uma esfera de raio 5 e o volume gerado será (4/3)pi . 
 
 
O solido gerado é uma elipse de raio a e o volume gerado será (4/3) pi a. 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Encontrar o volume do 
tetraedro: ∫10∫01 ∫1x∫x1 ∫y−x0∫0y-xF(x, y, z)dzdydx. 
Considerar F(x, y, z) = 1. 
 
 
 
1/2 
 
 
1/6 
 
 
7/6 
 
 
2/3 
 
 
5/6 
 
 
 
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javascript:duvidas('1123952','6741','2','3518977','2');
 
 
 
 
3. 
 
 
Determine o gradiente da função f(x)=sen(2x)y+yzf(x)=sen(2x)y+yz em P(0,1,2). 
 
 
 
(2,2,2) 
 
 
(2,2,1) 
 
 
NDA 
 
 
(0,0,0) 
 
 
(-1,0,2) 
 
 
 
Explicação: 
O gradiente é →∇f(x,y,z)=(2cos(2x)y,sen(2x)+z,y)∇→f(x,y,z)=(2cos(2x)y,sen(2x)+z,y), 
então →∇f(0,1,2)=(2,2,1)∇→f(0,1,2)=(2,2,1) 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
 
 
 
18/5 
 
 
33/19 
 
 
41 
 
 
22 
 
 
27/2 
 
 
 
 
 
 
 
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5. 
 
 
Dada a 
função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz)+cos(x+2z)f(x,y,
z)=sen(y+2z)+ln(xyz)+cos(x+2z) encontre 2∂f∂x+2
∂f∂y−∂f∂z2∂f∂x+2∂f∂y-∂f∂z 
 
 
 1xyz1xyz 
 
 
cos(y+2z)+(1x)+(1y)+(1z)−sen(x+2z)cos(y+2z)+(1x)+(
1y)+(1z)-sen(x+2z) 
 
 2(xz+yz−xy)xyz2(xz+yz-xy)xyz 
 
 cos(y+2z)−sen(x+2z)cos(y+2z)-sen(x+2z) 
 
 (1x+1y+1z)(1x+1y+1z) 
 
 
 
Explicação: 
Use o conceito de derivação pafcial. 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Qual é a derivada total dz/dt, sendo z = 2x2 -4xy + 2y2 , onde x(t) = t e y (t) = t ? 
 
 
 
6t 
 
 
8t 
 
 
2t 
 
 
-8t 
 
 
4t 
 
 
 
Explicação: 
dz/dy = dz/dx . dx/dt + dz/dy . dy/dt 
 
 
 
 
 
 
 
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7. 
 
 
 
 
 
12 
 
 
14 
 
 
18/35 
 
 
15/17 
 
 
27/2 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Sendo f(x,y)=5xy+10y, a derivada parcial de f em relação a x no ponto (1;2) é 
 
 
 
15 
 
 
5 
 
 
-5 
 
 
-10 
 
 
10 
 
 
 
Explicação: Resposta: b Derive f em relação a x, supondo y constante e calcule o valor para x=1 e 
y=2. Derive f em relação a y, supondo x constante e calcule o valor para x=1 e y=2. 
1. 
 
 
Determine a derivadas de f(x,y,z) = ln(4) + xy2 -2(sin(2z))2-2(cos(2z))2 em P(2,1,1). 
 
 
 
fx=1 fy=2 fz=-8 
 
 
fx=5/4 fy=2 fz=-8 
 
 
NDA 
 
 
fx=1 fy=4 fz=0 
 
 
fx=1 fy=4 fz=-8 
 
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Explicação: 
f(x,y,z) = ln(4) + xy2 + [-2sen²(2z)-2cos²(2z)] => f(x,y,z) = ln(4) + xy2 + -2 => fx=y2; fy=2xy; fz=0 
para P(2,1,1) temos fx=1 fy=4 fz=0 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Usando a técnica da integral dupla, encontre o volume do 
sólido gerado pela expressão ∫∫ ∫∫(x2 + y2) dxdy para os 
intervalos R=[-1,1] x[-2,1]. 
 
 
 
15(u.v.) 
 
 
2(u.v.) 
 
 
8(u.v.) 
 
 
17(u.v.) 
 
 
21(u.v.) 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Qual é a derivada total dz/dt, sendo z = 2x2 -4xy - 2y2 , onde x(t) = -t e y (t) = -t 
 
 
 
-8t 
 
 
8t 
 
 
-4t 
 
 
2t 
 
 
4t 
 
 
 
Explicação: 
dz/dt = dz/dx.dx/dt + dz/dy.dy/dt 
 
 
 
 
 
 
 
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4. 
 
 
Considere as seguintes afirmações: 
1)O cálculo de uma integral tripla em coordenadas cartesianas pode ser efetuado de seis maneiras 
diferentes. 
2)O cálculo de uma integral dupla em coordenadas cartesianas pode ser efetuado de quatro maneiras 
diferentes. 
 3)O cálculo de integrais duplas ( ou triplas) se reduz ao cálculo sucessivo se duas ( ou três ) integrais 
simples, de diferentes maneiras, segundo o sistema de coordenadas considerado. 
 4)A ordem de integração de integrais duplas ou triplas é arbitrário. 
 5)O cálculo de integrais duplas ( ou triplas) se reduz ao cálculo sucessivo de duas ( ou três ) integrais 
simples, sempre da mesma forma. 
 As seguintes afirmações são verdadeiras: 
 
 
 
1,3,5 
 
 
2,4,5 
 
 
2,3,4 
 
 
1,3,4 
 
 
1,2,3 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Encontre o volume do sólido sob o gráfico da função f (x, y) = 5 e acima do domínio dado pelas 
inequações 
y ≤ X ≤ 3y e 0 ≤ y ≤ 5 
 
 
115 
 
 
125 
 
 
110 
 
 
120 
 
 
105 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Qual é a derivada total dz/dt, sendo z = x2 -4xy - y2 , onde x(t) = -t e y (t) = -t ? 
 
 
 
-8t+1 
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-8t 
 
 
8t 
 
 
4t 
 
 
-4t 
 
 
 
Explicação: 
dz/dt = dz/dx.dx/dt + dz/dy.dy/dt 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Usando diferencial, obter o aumento aproximado do volume de um cilindro circular reto, quando o raio 
da base varia de 3 cm para 3,1 cm e a altura varia de 21 cm até 21,5 cm. 
 
 
11,12 pi cm^3 
 
 
10 pi cm^3 
 
 
2,1 pi cm^3 
 
 
2 pi cm^3 
 
 
17,1 pi cm^3 
 
 
 
Explicação: 
v = π.r2hπ.r2h 
dv = (dv/dr).dr + (dv/dh).dh 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Qual é a derivada total dz/dt, sendo z = x2 -8xy - y3 , onde x(t) = -t e y (t) = t ? 
 
 
 
18t+1 
 
 
18t -3t² 
 
 
-18t-1 
 
 
-18t+1 
 
 
18t 
 
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Explicação: 
dz/dt = dz/dx.dx/dt + dz/dy.dy/dt 
1. 
 
 
Seja a função vetorial r(t) = (t²)i + (t −2)j + (5t² - 10)k . O limite dessa função quando t → 2 é dado 
por: 
 
 
〈2,4,12〉 
 
 
〈2,3,11〉 
 
 
〈4,8,7〉 
 
 
〈6,8,12〉 
 
 
〈4,0,10〉 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
O limite da função vetorial r = (t²)i + (t-1)j + (e^t)k quando t = 0 é: 
 
 
 
(0, 2, -1) 
 
 
(2, 1, -1) 
 
 
(0, -1, 1) 
 
 
(-1, 0, 1) 
 
 
(1, 1, -1) 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Encontre a curvatura para a curva r(t) = ti + (ln cos t)j para −π2<t<π2-π2<t<π2 
 
 
 
cos t 
 
 
tg t - sen t 
 
 
sen t + cos t 
 
 
sen t 
 
 
tg t 
 
 
 
Explicação: 
Curvatura (k) = (y''x'-y'x'') / (x'²+y'²)3/2 
 
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4. 
 
 
Para y=5, calcule o comprimento da curva no intervalo de x pertencente a [2, 8]. 
 
 
 
6 
 
 
3 
 
 
2 
 
 
4 
 
 
5 
 
 
 
Explicação: 
Com y=5y=5 traçamos uma reta horizontal paralela ao eixo xx, portanto, no intervalo dado o 
comprimento L=8−2=6 u.c.L=8-2=6 u.c. 
Dica: u.c.u.c. significa unidades de comprimento. 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Encontre o vetor velocidade para o movimento circular r(t) = (cos 2t)i + (sen 
2t)j 
 
 
v(t)=−2sen(2t)i−2cos(2t)jv(t)=-2sen(2t)i-2cos(2t)j 
 
 
v(t)=−2sen(2t)i+2cos(2t)jv(t)=-2sen(2t)i+2cos(2t)j 
 
 
v(t)=−2sen(t)i+2cos(t)jv(t)=-2sen(t)i+2cos(t)j 
 
 
v(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)jv(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)j 
 
 
v(t)=sen(2t)i+cos(2t)jv(t)=sen(2t)i+cos(2t)j 
 
 
 
Explicação: 
v(t)=drdt=r′(t)v(t)=drdt=r′(t) 
 
 
 
 
 
 
 
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6. 
 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os 
limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com o 
teorema acima, indique a única resposta correta para o limite da 
função: limt→0r(t)limt→0r(t) se r(t)=(1+t³)i+te−tj+senttkr(t)
=(1+t³)i+te−tj+senttk 
 
 
 
2i+j2i+j 
 
 
i+ki+k 
 
 
i+2j+3ki+2j+3k 
 
 
i+j+ki+j+k 
 
 
i−ki−k 
 
 
 
Explicação: 
Aplica-se a teoria de limites, observando-se que no último termo pode-se 
aplicar a Regra de L'Hôpital ou o limite fundamental para 
calcular limt→0sentt=1limt→0sentt=1 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde sua 
posiçào é dada pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk 
 
 
2i 
 
 
2i + 2j 
 
 
2j 
 
 
i/2 + j/2 
 
 
2i + j 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Se r(t)== 2 cost i + sent j + 2t k, então: ∫r(t)dt∫r(t)dt é: 
 
 
 
sent i - t2 k + C 
 
 
πsenti - cost j + t2 k + C 
 
 
2sent i - cost j + t2 k + C 
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2senti + cost j - t2 k + C 
 
 
-cost j + t2 k + C 
 
 
 
Explicação: 
As integrais indefinidas de funções vetoriais são calculadas componente por 
componente. 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
Marque dentre as opções a que representa uma 
equação cartesiana para a equação 
polar r=42cosΘ−senΘr=42cosΘ-senΘ 
 
 
 
y = 2x - 4 
 
 
y = x + 1 
 
 
y = x - 4 
 
 
y = x 
 
 
y = x + 6 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
A trajetória de um corpo é definida pelo vetor 
posição →r=(t2,sen(t),−cos(2t))r→=(t2,sen(t),−cos(2t)). Determine a aceleração (m/s2) para t 
= ππ (segundos) 
 
 
(2,-1,0) 
 
 
(2,0,4) 
 
 
NDA 
 
 
(2,0,-4) 
 
 
(0,0,-1) 
 
 
 
Explicação: 
 →r=(t2,sen(t),−cos(2t))r→=(t2,sen(t),−cos(2t)) ˙→r=(2t,cos(t),2sen(2t))r→˙=(2t,cos(t),2sen(2t))
 ¨→r=(2,−sen(t),4cos(2t))r→¨=(2,−sen(t),4cos(2t)). 
Assim, para t=Pi, ¨→r=(2,0,4)r→¨=(2,0,4) 
 
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3. 
 
 
Passando o ponto P(1,√3) de coordenadas cartesianas para coordenadas polares vamos obter: 
 
 
 
( 4, π/6) 
 
 
( 6, π/6) 
 
 
( 2, π/2) 
 
 
( 6, π/2) 
 
 
( 2, π/6) 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Marque as únicas respostas corretas para as derivadas de 1ª 
ordem fxfx e fyfy da função: f(x,y)=xe3y 
 
 
 
fx= −e3yfx= -e3y e fy= −3xe3yfy= -3xe3y 
 
 
fx=eyfx=ey e fy=3xeyfy=3xey 
 
 
fx=0fx=0 e fy=0fy=0 
 
 
fx=π3yfx=π3y e fy=3πe3yfy=3πe3y 
 
 
fx=e3yfx=e3y e fy=3xe3yfy=3xe3y 
 
 
 
Explicação: 
Aplicação das regras de derivação parcial em função a duas variáveis. 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Encontre o vetor velocidade para o movimento circular r(t) = (cos 2t)i + (sen 2t)j 
 
 
 
v(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)jv(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)j 
 
 
v(t)=−2sen(2t)i+2cos(2t)jv(t)=-2sen(2t)i+2cos(2t)j 
 
 
v(t)=−2sen(2t)i−2cos(2t)jv(t)=-2sen(2t)i-2cos(2t)j 
 
 
v(t)=−2sen(t)i+2cos(t)jv(t)=-2sen(t)i+2cos(t)j 
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v(t)=sen(2t)i+cos(2t)jv(t)=sen(2t)i+cos(2t)j 
 
 
 
Explicação: 
v(t)=drdt=r′(t)v(t)=drdt=r′(t) 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela 
funções vetoriais: 
r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k 
r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k 
Podemos concluir que 
a) as aeronaves não colidem. 
 b) as aeronaves colidem no instante t=2 
c) as aeronaves colidem no instante t=5 
d) as aeronaves colidem no instante t=3 
e) as trajetórias não se interceptam 
 
 
(a) 
 
 
(b) 
 
 
(e) 
 
 
(c) 
 
 
(d) 
 
 
 
Explicação: 
Igualar as equações das duas trajetórias e calcular o tempo nas quais elas 
são idêbnticas. 
 
 
 
 
 
 
 
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7. 
 
 
Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = ⟨1+t,2+5t,−1+6t⟩〈1+t,2+5t,-1+6t〉 
 
 
 
x=1+tx=1+t ; y=2+5ty=2+5t 
 
 
x=1+tx=1+t ; y=2+5ty=2+5t, z=−1z=-1 
 
 
x=1+tx=1+t ; y=2+5ty=2+5t, z=−1+6tz=-1+6t 
 
 
x= tx= t ; y=2+5ty=2+5t, z=−1+6tz=-1+6t 
 
 
x=1 −tx=1 -t ; y=2+5ty=2+5t, z=−1+6tz=-1+6t 
 
 
 
Explicação: 
Calculando as equações paramétricas. 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
Considere as afirmações. Assinale (V) caso seja verdadeira 
ou (F) caso seja falsa: 
1) ( ) A reta tangente a uma 
curva r(t)r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)kx(t)i+y(t)j+z(t)k em t = 
t0 é uma reta que passa pelo ponto P(x(t0),y(t0),z(t0)
 paralela ao vetor v(t)v(t) = x′(t0)i + y'(t0)j 
+ z'(t0)k. 
 2) ( ) Portanto as equações paramétricas da reta tangente 
são: 
xx =x(t0) + t.x'(t0)y==y(t0) + t.y'(t0)z== z(t0) + t.z'(t0) 
3) ( ) O vetor tangente unitário de uma curva 
derivável r(t)r(t) é: 
TT= v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|. 
4) ( ) O comprimento L de uma curva 
lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)kr(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k é dado 
por 
L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2 
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5) ( ) A reta normal unitária principal no plano 
é N=dTdt∣∣dTdt∣∣N=dTdt|dTdt| 
 
 
 
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (V) 
 
 
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (F) 
 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (F) 
 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (V) 
 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (V) 5) (V) 
1a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Encontre a curvatura para a curva r(t) = ti + (ln cos t)j para −π2<t<π2-π2<t<π2 
 
 
tg t - sen t 
 
tg t 
 
sen t 
 cos t 
 
sen t + cos t 
Respondido em 07/05/2020 23:53:03 
 
 
2a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Se r(t)== 2 cost i + sent j + 2t k, então: ∫r(t)dt∫r(t)dt é: 
 
 2sent i - cost j + t2 k + C 
 πsenti - cost j + t2 k + C 
 2senti + cost j - t2 k + C 
 sent i - t2 k + C 
 -cost j + t2 k + C 
Respondido em 07/05/2020 23:54:25 
 
 
3a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Considere as afirmações. Assinale (V) caso seja verdadeira ou (F) 
caso seja falsa: 
1) ( ) A reta tangente a uma 
curva r(t)r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)kx(t)i+y(t)j+z(t)k em t = 
t0 é uma reta que passa pelo ponto P(x(t0),y(t0),z(t0) paralela 
ao vetor v(t)v(t) = x′(t0)i + y'(t0)j + z'(t0)k. 
 2) ( ) Portanto as equações paramétricas da reta tangente são: 
xx =x(t0) + t.x'(t0)y==y(t0) + t.y'(t0)z== z(t0) + t.z'(t0) 
3) ( ) O vetor tangente unitário de uma curva derivável r(t)r(t) é: 
TT= v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|. 
4) ( ) O comprimento L de uma curva 
lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)kr(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k é dado por 
L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2 
5) ( ) A reta normalunitária principal no plano 
é N=dTdt∣∣dTdt∣∣N=dTdt|dTdt| 
 
 
 
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) 
(F) 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (V) 5) (V) 
 1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) 
(V) 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (F) 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (V) 
Respondido em 06/05/2020 21:45:58 
 
 
4a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única 
resposta correta. 
 
 (1−cost,sent,0)(1-cost,sent,0) 
 (1 +cost,sent,0)(1 +cost,sent,0) 
 (1−cost,0,0)(1-cost,0,0) 
 (1−cost,sent,1)(1-cost,sent,1) 
 (1−sent,sent,0)(1-sent,sent,0) 
Respondido em 08/05/2020 00:11:54 
 
 
5a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Sendo o vetor v (t) = (2 + cos 6t , 2 + sen 6t) . O vetor velocidade é: 
 
 
V(t) (6 sen 6t, -6 cos 6t) 
 
não existe 
 
V(t) (-36 cos 6t, - 36 sen 6t) 
 V(t) (-6 sen 6t, 6 cos 6t) 
 
V(t) (-16 cos 6t, - 16 sen 6t) 
Respondido em 07/05/2020 23:58:14 
 
 
6a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Transformando a coordenada polar (-4, π6π6) em coordenada cartesiana, obtemos: 
 
 (−2√ 3 ,−2)(−23,−2) 
 (2√ 3 ,2)(23,2) 
 (−4,√ 3 )(−4,3) 
 (−2√ 3 ,−√ 2 )(−23,−2) 
 (√ 3 ,0)(3,0) 
Respondido em 07/05/2020 23:59:58 
 
 
7a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Um objeto de massa mm que se move em uma trajetória circular com 
velocidade angular constante ww tem vetor posição dado 
por r(t)=(acoswt,asenwt)r(t)=(acoswt,asenwt). Indique a única 
resposta correta que determina a velocidade em um tempo tt qualquer. 
Observação: aa > 0. 
 
 (−a²wsenwt,−a²wcoswt)(−a²wsenwt,−a²wcoswt) 
 (−awsent,awcoswt)(−awsent,awcoswt) 
 (−aw²sent,aw²coswt)(−aw²sent,aw²coswt) 
 (asenwt,acoswt)(asenwt,acoswt) 
 (awsenwt,awcoswt)(awsenwt,awcoswt) 
Respondido em 08/05/2020 00:02:05 
 
 
8a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Considere as afirmações. Assinale (V) caso seja verdadeira ou (F) 
caso seja falsa: 
1) ( ) A reta tangente a uma 
curva r(t)r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)kx(t)i+y(t)j+z(t)k em t = 
t0 é uma reta que passa pelo ponto P(x(t0),y(t0),z(t0) paralela 
ao vetor v(t)v(t) = x′(t0)i + y'(t0)j + z'(t0)k. 
 2) ( ) Portanto as equações paramétricas da reta tangente são: 
xx =x(t0) + t.x'(t0)y==y(t0) + t.y'(t0)z== z(t0) + t.z'(t0) 
3) ( ) O vetor tangente unitário de uma curva derivável r(t)r(t) é: 
TT= v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|. 
4) ( ) O comprimento L de uma curva 
lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)kr(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k é dado por 
L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2 
5) ( ) A reta normal unitária principal no plano 
é N=dTdt∣∣dTdt∣∣N=dTdt|dTdt| 
 
 
 
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) 
(F) 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (F) 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (V) 5) (V) 
 1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) 
(V) 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (V) 
Respondido em 08/05/2020 00:02:50 
 
 
9a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Encontre a integral ∬dxdy no interior da região R, definida pelos pontos (0,0), (1,0) e 
(0,1): 
 
 
1/5 ua 
 
1/3 ua 
 
1/4 ua 
 
1 ua 
 ½ ua 
Respondido em 08/05/2020 00:03:52 
 
 
10a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
A concentração de certo fármaco no sangue, t horas após sua administração, é dada 
pela fórmula: y(t) = (10 t)/〖(t+1)〗^2 , t ≥0 Em qual intervalo essa função é 
crescente? 
 
 
T > 10 
 
1/2<="" 10<="" td=""> 
 0 ≤t < 1 
 
T > 1 
 
T ≥0 
1a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Seja a função vetorial r(t) = (t²)i + (t −2)j + (5t² - 10)k . O limite dessa função 
quando t → 2 é dado por: 
 
 
〈2,3,11〉 
 〈4,0,10〉 
 
〈6,8,12〉 
 
〈2,4,12〉 
 
〈4,8,7〉 
Respondido em 08/05/2020 00:17:04 
 
 
2a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas 
funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única 
resposta correta para o limite da 
função: limt→0r(t)limt→0r(t) se r(t)=(1+t³)i+te−tj+senttkr(t)=(1+t³)i+te
−tj+senttk 
 
 i+2j+3ki+2j+3k 
 i+j+ki+j+k 
 i+ki+k 
 2i+j2i+j 
 i−ki−k 
Respondido em 08/05/2020 00:42:35 
 
 
3a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Dado f(t) = (e^3t sen t, 3t - 2) , calcule f ' (t) : 
 
 
f ' (t) = 3 j 
 f ' (t) = e^3t (3 sen t + cos t) i + 3 j 
 
f ' (t) = (3 sen t + cos t) i + 3 j 
 
f ' (t) = e^3t 
 
f ' (t) = 3 sen t + cos t 
Respondido em 08/05/2020 00:20:26 
 
 
4a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor 
posição r(t) = (3cos t) i + (3sen t)j + t2k. Esta trajetória faz lembrar a de 
uma hélice. Para o intervalo de tempo [0, 4Pi], encontre o módulo da 
velocidade da asa-delta no instante t = 0. 
 
 
2 
 
9 
 
1 
 3 
 
14 
Respondido em 08/05/2020 00:21:20 
 
 
5a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Sendo o vetor v (t) = (2 + cos 6t , 2 + sen 6t) . O vetor velocidade é: 
 
 
V(t) (6 sen 6t, -6 cos 6t) 
 V(t) (-6 sen 6t, 6 cos 6t) 
 
V(t) (-16 cos 6t, - 16 sen 6t) 
 
não existe 
 
V(t) (-36 cos 6t, - 36 sen 6t) 
Respondido em 08/05/2020 00:22:21 
 
 
6a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Encontre ∂y/∂x para y^(2 )- x^2-sen (x.y)=o usando derivação implícita. 
 
 
(x+y cos(xy))/(y-x cos(xy)) 
 
(x+y cos(xy))/(2y-x cos(xy)) 
 
(2x+y cos(xy))/(y-x cos(xy)) 
 (2x+y cos(xy))/(2y-x cos(xy)) 
 
(2+y cos(xy))/(2y-x cos(xy)) 
Respondido em 08/05/2020 00:25:08 
 
 
7a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Determine a equação do plano tangente à superfície 
 z=f(x,y)=3.x.y²-10x² no ponto P(1,2,2). 
 
 z=−8x+12y −14z=-8x+12y -14 
 z=8xz=8x - 10y -30 
 z=8x−12y+18z=8x-12y+18 
 z=−8x+12y−18z=-8x+12y-18 
 
 z=−8x+10y−10z=-8x+10y-10 
Respondido em 08/05/2020 00:25:52 
 
 
8a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t - t cos 
t)j + 3k 
 
 
(-sen t)i - (cos t)j 
 (-sen t)i + (cos t)j 
 
(-sen t)i + (cos t)j - k 
 
(-sen t)i + (cos t)j + k 
 
(-sen t - cos t)i + (cos t)j 
Respondido em 08/05/2020 00:27:47 
 
 
9a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Utilizando a derivada parcial de segunda ordem, qual é o 
resultado fxx da função : f(x,y)=(x3+y3−3xy)f(x,y)=(x3+y3−3xy) ? 
 
 6x 
 
15x 
 
10x 
 
8x 
 
12x 
Respondido em 08/05/2020 00:45:07 
 
 
10a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Marque apenas a alternativa correta: 
 
 Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e 
obtivemos 10 cm e 25 cm, respectivamente, com possível erro nessas medidas 
de, no máximo, 0,1 cm. Utilizando o diferencial total para estimar o erro máximo 
contido no cálculo, podemos afirmar que volume do cone é de aproximadamente 
20π cm^3. 
 
Se as dimensões de uma caixa retangular medem 75 cm, 60 cm e 40 cm e que a 
cada medida a precisão e de 0,2 cm, então podemos afirmar que a diferença 
entre o volume do sólido e o volume estimado pelo diferencial é maior que 5%. 
 
Sobre a função z=3x^3 y^2+y^3 x^2, podemos afirmar que 
∂z/∂x∂y=6xy+6xy^2. 
 
Considerando a função z=3x^2+xy+y^3, podemos afirmar que ∂z/∂x=3xy+y. 
 
Todas as opções são verdadeiras.