Questões resolvidas
As integrais indefinidas de funções vetoriais são calculadas componente por componente.
Marque as únicas respostas corretas para as derivadas de 1ª ordem fxfx e fyfy da função: f(x,y)=xe3y
fx=π3yfx=π3y e fy=3πe3yfy=3πe3y
fx=eyfx=ey e fy=3xeyfy=3xey
fx= −e3yfx= -e3y e fy= −3xe3yfy= -3xe3y
fx=0fx=0 e fy=0fy=0
fx=e3yfx=e3y e fy=3xe3yfy=3xe3y
Seja a função vetorial r(t) = (t²)i + (t −2)j + (5t² - 10)k . O limite dessa função quando t → 2 é dado por:
〈2,3,11〉
〈4,8,7〉
〈4,0,10〉
〈6,8,12〉
〈2,4,12〉
Considerando a função f(x,y) = 3x³y⁵, simbolizaremos por fx e fy as derivadas parciais de f(x,y) em função de x e em função de y, respectivamente.
Assim fx(0;2) e fy(-2,0) são, respectivamente.
18 e -30
0 e 0
36 e 60
36 e -60
9 e 15
Dado f(t) = (e^3t sen t, 3t - 2), calcule f ' (t):
f ' (t) = (3 sen t + cos t) i + 3 j
f ' (t) = e^3t
f ' (t) = 3 sen t + cos t
f ' (t) = 3 j
f ' (t) = e^3t (3 sen t + cos t) i + 3 j
Seja F = F(x,y,z) a função identicamente nula. Então, ∂F/∂x - ∂F/∂y + ∂F/∂z é igual a
2
-1
-2
1
0
Determine a equação do plano tangente à esfera x²+y²+z²=50 no ponto P(3,4,5).
Qual é a equação do plano tangente?
6x+8y−5z=0
3x−4y+5z=18
6x+8y+10z=100
3x+4y−5z=0
3x+4y+5z=0
Qual é o valor da derivada direcional da função f(x,y) = x² + y² no ponto (1,1) e na direção do vetor U = (0,-1)?
-1
-5
-2
-3
-4
Sendo f(x,y)=5xy+10y, a derivada parcial de f em relação a x no ponto (1;2) é:
-5
10
5
-10
15
Encontre a integral ∬dxdy no interior da região R, definida pelos pontos (0,0), (1,0) e (0,1):
½ ua
1/5 ua
1/4 ua
1/3 ua
1 ua
Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela funções vetoriais: r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k e r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k. Podemos concluir que:
Qual é a conclusão sobre as aeronaves?
as aeronaves não colidem.
as aeronaves colidem no instante t=2
as aeronaves colidem no instante t=5
as aeronaves colidem no instante t=3
as trajetórias não se interceptam
Considere as afirmacoes. Assinale (V) caso seja verdadeira ou (F) caso seja falsa:
Analise as afirmações sobre a reta tangente e a curva r(t).
1) ( ) A reta tangente a uma curva r(t) em t = t0 é uma reta que passa pelo ponto P(x(t0),y(t0),z(t0)) paralela ao vetor v(t).
2) ( ) Portanto as equações paramétricas da reta tangente são: x = x(t0) + t.x'(t0), y = y(t0) + t.y'(t0), z = z(t0) + t.z'(t0).
3) ( ) O vetor tangente unitário de uma curva derivável r(t) é: T = v(t)/|v(t)|.
4) ( ) O comprimento L de uma curva lisa r(t) é dado por L = (dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)².
5) ( ) A reta normal unitária principal no plano é N = dT/dt/|dT/dt|.
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (V)
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (F)
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (V) 5) (V)
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (V)
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (F)
Descreva a curva paramétrica f(t) = (2t - 4, 3 + t²), no formato y=f(x).
y = x - 7x² + 5
y = x³ -5x² -3
y = 7 + 2x - 0,25x²
y = x² -7x - 1
y = 7 + 2x + 0,25x²
Explicação: Aplica-se a teoria de limites, observando-se que no último termo pode-se aplicar a Regra de L'Hôpital ou o limite fundamental para calcular limt→0(sen t/t)=1.
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o limite da função: limt→0r(t) se r(t)=(1+t³)i+te^(-t)j+sen(t)k.
2i+j
i+k
i+2j+3k
i+j+k
i−k
Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição r(t) = (3cos t) i + (3sen t)j + t²k. Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice.
Para o intervalo de tempo [0, 4Pi], encontre o módulo da velocidade da asa-delta no instante t = 0.
1
9
3
14
2
O vetor posição de um objeto, que se move no plano, é dado por r(t)=t³i+t²j. Calcule a aceleração em t=2s.
i+j
12i-2j
6i+j
i-2j
12i+2j
Encontre a equação polar (r), sabendo que: x^2 + y^2 = a^2
sqrt (a)
a
1/a
3a
2a
Calcule a área, entre α=0 e β=π2, em coordenadas polares do círculo de raio r=1 e marque a única resposta correta.
Qual é a área?
π3
π
π2
π4
1
Qual a taxa de variação máxima de f(x,y) = 3x^2 - 2xy em P (1,1).
Qual é a taxa de variação máxima?
9,31
4,47
3,47
2,56
2,28
A circunferência x2+y2=9 em coordenadas polares é dada por:
Qual é a representação em coordenadas polares?
r = 5
r = 6
r = 7
r = 4
r = 3
Calcule a integral definida: ∫10∫01 [t3i + 7j + (t + 1)k]dt.
Qual é o resultado da integral?
0,25i + 7j + 1,5k
-0,25i + 7j + 1,5k
0,25i - 7j + 1,5k
0,25i + 7j - 1,5k
-0,25i - 7j - 1,5k
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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2
1a
Questão
Acerto: 1,0 / 1,0
Marque as únicas respostas corretas para as derivadas de 1ª
ordem fxfx e fyfy da função: f(x,y)=xe3yf(x,y)=xe3y
fx= −e3yfx= -e3y e fy= −3xe3yfy= -3xe3y
fx=π3yfx=π3y e fy=3πe3yfy=3πe3y
fx=e3yfx=e3y e fy=3xe3yfy=3xe3y
fx=0fx=0 e fy=0fy=0
fx=eyfx=ey e fy=3xeyfy=3xey
Respondido em 24/03/2020 21:49:50
2a
Questão
Acerto: 1,0 / 1,0
Seja a função vetorial r(t) = (t²)i + (t −2)j + (5t² - 10)k . O limite dessa função
quando t → 2 é dado por:
〈4,0,10〉
〈6,8,12〉
〈4,8,7〉
〈2,4,12〉
〈2,3,11〉
Respondido em 24/03/2020 21:58:01
3a
Questão
Acerto: 1,0 / 1,0
Considerando a função f(x,y) = 3x3.y5, simbolizaremos por fx e fy as derivadas parciais
de fx,y) em função de x e em função de y, respectivamente. Assim fx(0;2) e fy(-2,0)
são, respectivamente.
36 e 60
18 e -30
36 e -60
0 e 0
9 e 15
Respondido em 24/03/2020 22:01:37
4a
Questão
Acerto: 1,0 / 1,0
Dado f(t) = (e^3t sen t, 3t - 2) , calcule f ' (t) :
f ' (t) = 3 sen t + cos t
f ' (t) = 3 j
f ' (t) = e^3t
f ' (t) = e^3t (3 sen t + cos t) i + 3 j
f ' (t) = (3 sen t + cos t) i + 3 j
Respondido em 24/03/2020 22:07:40
5a
Questão
Acerto: 1,0 / 1,0
Seja F = F(x,y,z) a função identicamente nula. Então, ∂F/∂x - ∂F/∂y + ∂F/∂z é igual a
-1
2
0
-2
1
Respondido em 24/03/2020 22:10:23
6a
Questão
Acerto: 0,0 / 1,0
Sendo o vetor v (t) = (2 + cos 6t , 2 + sen 6t) . O vetor velocidade é:
V(t) (-6 sen 6t, 6 cos 6t)
V(t) (6 sen 6t, -6 cos 6t)
V(t) (-36 cos 6t, - 36 sen 6t)
não existe
V(t) (-16 cos 6t, - 16 sen 6t)
Respondido em 24/03/2020 22:14:49
7a
Questão
Acerto: 0,0 / 1,0
Determine a equação do plano tangente
à esfera x²+y²+z²=50 x²+y²+z²=50 no
ponto P(3,4,5)P(3,4,5).
6x+8y−5z=06x+8y-5z=0
3x−4y+5z=183x-4y+5z=18
6x+8y+10z=1006x+8y+10z=100
3x+4y −5z=03x+4y -5z=0
3x+4y+5z=03x+4y+5z=0
Respondido em 24/03/2020 22:57:42
8a
Questão
Acerto: 1,0 / 1,0
Qual é o valor da derivada direcional da função f(x,y) = x2 + y2 no ponto (1,1) e na
direção do vetor U = (0,-1)
-1
-5
-2
-3
-4
Respondido em 24/03/2020 23:13:04
9a
Questão
Acerto: 1,0 / 1,0
Sendo f(x,y)=5xy+10y, a derivada parcial de f em relação a x no ponto (1;2) é
-5
10
5
-10
15
Respondido em 24/03/2020 23:04:47
10a Acerto: 1,0 / 1,0
Questão
Encontre a integral ∬dxdy no interior da região R, definida pelos pontos (0,0), (1,0) e
(0,1):
1/5 ua
½ ua
1 ua
1/4 ua
1/3 ua
EXERCICIOS
1.
Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela
funções vetoriais:
r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k
r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k
Podemos concluir que
a) as aeronaves não colidem.
b) as aeronaves colidem no instante t=2
c) as aeronaves colidem no instante t=5
d) as aeronaves colidem no instante t=3
e) as trajetórias não se interceptam
(e)
(c)
(a)
(d)
(b)
Explicação:
Igualar as equações das duas trajetórias e calcular o tempo nas quais elas
são idêbnticas.
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
javascript:duvidas('2946454','6741','1','3518977','1');
2.
Considere as afirmações. Assinale (V) caso seja verdadeira
ou (F) caso seja falsa:
1) ( ) A reta tangente a uma
curva r(t)r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)kx(t)i+y(t)j+z(t)k em t =
t0 é uma reta que passa pelo ponto P(x(t0),y(t0),z(t0)
paralela ao vetor v(t)v(t) = x′(t0)i + y'(t0)j
+ z'(t0)k.
2) ( ) Portanto as equações paramétricas da reta tangente
são:
xx =x(t0) + t.x'(t0)y==y(t0) + t.y'(t0)z== z(t0) + t.z'(t0)
3) ( ) O vetor tangente unitário de uma curva
derivável r(t)r(t) é:
TT= v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|.
4) ( ) O comprimento L de uma curva
lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)kr(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k é dado
por
L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2
5) ( ) A reta normal unitária principal no plano
é N=dTdt∣∣dTdt∣∣N=dTdt|dTdt|
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (V)
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (F)
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (V) 5) (V)
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (V)
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (F)
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
javascript:duvidas('1137201','6741','2','3518977','2');
javascript:duvidas('1141640','6741','3','3518977','3');
3.
Marque as únicas respostas corretas para as derivadas de 1ª
ordem fxfx e fyfy da função: f(x,y)=xe3y
fx=π3yfx=π3y e fy=3πe3yfy=3πe3y
fx=e3yfx=e3y e fy=3xe3yfy=3xe3y
fx= −e3yfx= -e3y e fy= −3xe3yfy= -3xe3y
fx=0fx=0 e fy=0fy=0
fx=eyfx=ey e fy=3xeyfy=3xey
Explicação:
Aplicação das regras de derivação parcial em função a duas variáveis.
4.
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os
limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com o
teorema acima, indique a única resposta correta para o limite da
função: limt→0[r(t)=(sen2t)i+eln(2t)j+(cost)k]limt→0[r(t)=(s
en2t)i+eln(2t)j+(cost)k]
i+ji+j
jj
i+ki+k
i+j+ki+j+k
kk
Explicação:
Aplica-se a teoria de limites na expressão vetorial de r(t)r(t). Atenção
especial deve ser dada à expressão eln(2t)=2teln(2t)=2t
5.
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os
limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com o
teorema acima, indique a única resposta correta para o limite da
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
javascript:duvidas('3003427','6741','4','3518977','4');
javascript:duvidas('3003856','6741','5','3518977','5');
função: limt→0r(t)limt→0r(t) se r(t)=(1+t³)i+te−tj+senttkr(t)
=(1+t³)i+te−tj+senttk
2i+j2i+j
i+2j+3ki+2j+3k
i−ki−k
i+ki+k
i+j+ki+j+k
Explicação:
Aplica-se a teoria de limites, observando-se que no último termo pode-se
aplicar a Regra de L'Hôpital ou o limite fundamental para
calcular limt→0sentt=1limt→0sentt=1
6.
Para y=5, calcule o comprimento da curva no intervalo de x pertencente a [2, 8].
6
4
2
3
5
Explicação:
Com y=5y=5 traçamos uma reta horizontal paralela ao eixo xx, portanto, no intervalo dado o
comprimento L=8−2=6 u.c.L=8-2=6 u.c.
Dica: u.c.u.c. significa unidades de comprimento.
7.
Calcule r'(t)=v(t)r′(t)=v(t) e indique a única resposta correta
se r(t)=ti + (2 - t)j,em,emt = 1.
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
javascript:duvidas('1147283','6741','6','3518977','6');
javascript:duvidas('1037653','6741','7','3518977','7');
r′(t)=v(t)=13i - 2j
r′(t)=v(t)=15i - 3j
r′(t)=v(t)=32i - j
r′(t)=v(t)=12i - j
r′(t)=v(t)=14i + j
Explicação:
Derivadas de funções a valores vetoriais com cálculo de v(t)v(t) em um
dado valor.
8.
Encontrando Primitivas.
Seja ∫(costi+3t2j)dt∫(costi+3t2j)dt, qual
a únicaresposta correta?
(cost)i - sentj + 3tk
(sent)i + t³j
(cost)i + 3tj
-(sent)i -3tj
(cost)i - 3tj
Explicação:
Trata-se de uma integração imediata de uma função vetorial.
1.
O vetor posição de um objeto, que se move no plano,
é dado por r(t)=t³i+t²jr(t)=t³i+t²j. Calcule a
aceleração em t=2st=2s.
12i+2j12i+2j
12i−2j12i-2j
6i+j6i+j
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
javascript:duvidas('2946367','6741','8','3518977','8');
i−2ji-2j
i+ji+j
Explicação:
Calcula-se a aceleração derivando-se duas vezes o vetor posição.
2.
Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t), indicando a única
resposta correta.
(sent,−cost,0)(sent,-cost,0)
(sent,−cost,1)(sent,-cost,1)
(−sent, cost,1)(-sent, cost,1)
(sent,−cost,2t)(sent,-cost,2t)
(sect,−cost,1)(sect,-cost,1)
3.
Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição
r(t) = (3cos t) i + (3sen t)j + t2k. Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice.
Para o intervalo de tempo [0, 4Pi], encontre o módulo da velocidade da asa-
delta no instante t = 0.
3
14
9
1
2
4.
Encontre a equação polar (r), sabendo que: x^2 + y^2 = a^2
sqrt (a)
2a
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
a
1/a
3a
5.
Considerando a função f(x,y) = 3x3.y5, simbolizaremos por fx e fy as derivadas parciais de fx,y) em
função de x e em função de y, respectivamente. Assim fx(0;2) e fy(-2,0) são, respectivamente.
0 e 0
9 e 15
18 e -30
36 e 60
36 e -60
6.
Dado f(t) = (e^3t sen t, 3t - 2) , calcule f ' (t) :
f ' (t) = e^3t
f ' (t) = e^3t (3 sen t + cos t) i + 3 j
f ' (t) = 3 sen t + cos t
f ' (t) = (3 sen t + cos t) i + 3 j
f ' (t) = 3 j
7.
Considere as afirmações. Assinale (V) caso
seja verdadeira ou (F) caso seja falsa:
1) ( ) A reta tangente a uma
curva r(t)r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)kx(t)i+y(t)j+z(t)k e
m t =
t0 é uma reta que passa pelo ponto P(x(t0),y(t
0),z(t0) paralela ao vetor v(t)v(t) = x′(t0)i + y'(t0)j
+ z'(t0)k.
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
2) ( ) Portanto as equações paramétricas da reta
tangente são:
xx =x(t0) + t.x'(t0)y==y(t0) + t.y'(t0)z== z(t0) + t.z'(t0)
3) ( ) O vetor tangente unitário de uma curva
derivável r(t)r(t) é:
TT= v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|.
4) ( ) O comprimento L de uma curva
lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)kr(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k é
dado por
L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzd
t)2
5) ( ) A reta normal unitária principal no plano
é N=dTdt∣∣dTdt∣∣N=dTdt|dTdt|
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (F)
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (V) 5) (V)
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (V)
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (F)
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (V)
Explicação:
O cálculo do comprimento é dado pela expressão abaixo que confirma a
opção correta
L=∫|v(t)|dtL=∫|v(t)|dt
8.
Descreva a curva paramétrica f(t) = (2t - 4, 3 + t²), no formato y=f(x).
y = 7 + 2x - 0,25x²
y = x - 7x² + 5
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
y = x² -7x - 1
y = x³ -5x² -3
y = 7 + 2x + 0,25x²
Explicação:
Eliminamos o parâmetro t e resolvemos y como função de x. Começamos em x e
fazemos t = 0,25x + 2. Em seguida, substituímos t em y = 3 + t² e obtemos y = 7
+ 2x + 0,25x².
1.
Descreva a curva na forma paramétrica definida pela função
vetorial r(t) = 〈1+t, 2+5t, -1+6t〉.
x=1+t; y=2+5t; z=-1+6t
x=1 -t; y=2+5t; z=-1+6t
x=1+t; y=2+5t
x= t; y=2+5t; z=-1+6t
x=1+t; y=2+5t; z=-1
Explicação:
Reta que passa pelo ponto P = (1, 2, -1) e tem vetor diretor (1, 5, 6)
2.
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas
funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única
resposta correta para o limite da função:
limt→0limt→0 r(t)== ( 1 + t3)i + e-tj + (cost)k
- i + j - k
i + j + k
j - k
i + j - k
i - j - k
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3.
Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição
r(t) = (3cos t) i + (3sen t)j + t2k. Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice.
Para o intervalo de tempo [0, 4Pi], encontre o módulo da velocidade da asa-
delta no instante t = 0.
1
9
3
14
2
4.
O vetor posição de um objeto, que se move no plano, é dado
por r(t)=t³i+t²jr(t)=t³i+t²j. Calcule a aceleração em t=2st=2s.
12i−2j12i-2j
i−2ji-2j
i+ji+j
6i+j6i+j
12i+2j12i+2j
Explicação:
Calcula-se a aceleração derivando-se duas vezes o vetor posição.
5.
Encontre a equação polar (r), sabendo que: x^2 + y^2 = a^2
2a
1/a
3a
sqrt (a)
a
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6.
Dado f(t) = (e^3t sen t, 3t - 2) , calcule f ' (t) :
f ' (t) = 3 sen t + cos t
f ' (t) = e^3t (3 sen t + cos t) i + 3 j
f ' (t) = 3 j
f ' (t) = (3 sen t + cos t) i + 3 j
f ' (t) = e^3t
7.
Considerando a função f(x,y) = 3x3.y5, simbolizaremos por fx e fy as derivadas parciais de fx,y) em
função de x e em função de y, respectivamente. Assim fx(0;2) e fy(-2,0) são, respectivamente.
9 e 15
18 e -30
0 e 0
36 e -60
36 e 60
8.
Considere as afirmações. Assinale (V) caso
seja verdadeira ou (F) caso seja falsa:
1) ( ) A reta tangente a uma
curva r(t)r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)kx(t)i+y(t)j+z(t)k e
m t =
t0 é uma reta que passa pelo ponto P(x(t0),y(t
0),z(t0) paralela ao vetor v(t)v(t) = x′(t0)i + y'(t0)j
+ z'(t0)k.
2) ( ) Portanto as equações paramétricas da reta
tangente são:
xx =x(t0) + t.x'(t0)y==y(t0) + t.y'(t0)z== z(t0) + t.z'(t0)
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3) ( ) O vetor tangente unitário de uma curva
derivável r(t)r(t) é:
TT= v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|.
4) ( ) O comprimento L de uma curva
lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)kr(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k é
dado por
L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzd
t)2
5) ( ) A reta normal unitária principal no plano
é N=dTdt∣∣dTdt∣∣N=dTdt|dTdt|
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (F)
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (V)
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F)5) (F)
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (V) 5) (V)
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (V)
Explicação:
O cálculo do comprimento é dado pela expressão abaixo que confirma a
opção correta
L=∫|v(t)|dtL=∫|v(t)|dt
1.
Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent,
t), indicando a única resposta correta.
(sent,−cost,1)(sent,-cost,1)
(sent,−cost,2t)(sent,-cost,2t)
(sent,−cost,0)(sent,-cost,0)
(sect,−cost,1)(sect,-cost,1)
(−sent, cost,1)(-sent, cost,1)
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2.
Descreva a curva paramétrica f(t) = (2t - 4, 3 + t²), no formato y=f(x).
y = x - 7x² + 5
y = 7 + 2x - 0,25x²
y = 7 + 2x + 0,25x²
y = x³ -5x² -3
y = x² -7x - 1
Explicação:
Eliminamos o parâmetro t e resolvemos y como função de x. Começamos em x e
fazemos t = 0,25x + 2. Em seguida, substituímos t em y = 3 + t² e obtemos y = 7 +
2x + 0,25x².
3.
Considere as afirmações. Assinale (V) caso
seja verdadeira ou (F) caso seja falsa:
1) ( ) A reta tangente a uma
curva r(t)r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)kx(t)i+y(t)j+z(t)k e
m t =
t0 é uma reta que passa pelo ponto P(x(t0),y(t
0),z(t0) paralela ao vetor v(t)v(t) = x′(t0)i + y'(t0)j
+ z'(t0)k.
2) ( ) Portanto as equações paramétricas da reta
tangente são:
xx =x(t0) + t.x'(t0)y==y(t0) + t.y'(t0)z== z(t0) + t.z'(t0)
3) ( ) O vetor tangente unitário de uma curva
derivável r(t)r(t) é:
TT= v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|.
4) ( ) O comprimento L de uma curva
lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)kr(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k é
dado por
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L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzd
t)2
5) ( ) A reta normal unitária principal no plano
é N=dTdt∣∣dTdt∣∣N=dTdt|dTdt|
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (V) 5) (V)
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (V)
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (F)
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (F)
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (V)
Explicação:
O cálculo do comprimento é dado pela expressão abaixo que confirma a
opção correta
L=∫|v(t)|dtL=∫|v(t)|dt
4.
Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição
r(t) = (3cos t) i + (3sen t)j + t2k. Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice.
Para o intervalo de tempo [0, 4Pi], encontre o módulo da velocidade da asa-
delta no instante t = 0.
14
9
3
2
1
5.
O vetor posição de um objeto, que se move no plano, é dado
por r(t)=t³i+t²jr(t)=t³i+t²j. Calcule a aceleração em t=2st=2s.
6i+j6i+j
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i−2ji-2j
i+ji+j
12i−2j12i-2j
12i+2j12i+2j
Explicação:
Calcula-se a aceleração derivando-se duas vezes o vetor posição.
6.
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas
funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única
resposta correta para o limite da função:
limt→0limt→0 r(t)== ( 1 + t3)i + e-tj + (cost)k
- i + j - k
i + j - k
j - k
i + j + k
i - j - k
7.
Encontre a equação polar (r), sabendo que: x^2 + y^2 = a^2
sqrt (a)
a
3a
2a
1/a
8.
Dado f(t) = (e^3t sen t, 3t - 2) , calcule f ' (t) :
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f ' (t) = 3 sen t + cos t
f ' (t) = e^3t
f ' (t) = e^3t (3 sen t + cos t) i + 3 j
f ' (t) = (3 sen t + cos t) i + 3 j
f ' (t) = 3 j
1.
Transformando a coordenada polar (-4, π6π6) em coordenada cartesiana, obtemos:
(−4,√ 3 )(−4,3)
(−2√ 3 ,−2)(−23,−2)
(−2√ 3 ,−√ 2 )(−23,−2)
(2√ 3 ,2)(23,2)
(√ 3 ,0)(3,0)
Explicação:
Como em coordenadas polares um ponto é designado
como P(r,θ)P(r,θ) identificamos r=−4r=−4 e θ=π/6θ=π/6, logo:
x=rcosθ=−4cos(π/6)=−2√ 3 ;y=rsenθ=−4(1/2)=−2x=rcosθ=−4cos(π/6)=−23;y=rsenθ=−4(1/2)=−
2
2.
Calcule a área, entre α=0α=0 e β=π2β=π2, em coordenadas polares do
círculo de raio r=1r=1 e marque a única resposta correta.
π3π3
ππ
π2π2
π4π4
1
Explicação:
Use a fórmula: A=∫βα12r²drA=∫αβ12r²dr
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javascript:duvidas('3003874','6741','2','3518977','2');
3.
Sendo o vetor v (t) = (2 + cos 6t , 2 + sen 6t) . O vetor velocidade é:
V(t) (-36 cos 6t, - 36 sen 6t)
V(t) (6 sen 6t, -6 cos 6t)
V(t) (-6 sen 6t, 6 cos 6t)
V(t) (-16 cos 6t, - 16 sen 6t)
não existe
4.
Qual a taxa de variação máxima de f(x,y) = 3x^2 - 2xy em P (1,1)
9,31
4,47
3,47
2,56
2,28
5.
Seja F = F(x,y,z) a função identicamente nula. Então, ∂F/∂x - ∂F/∂y + ∂F/∂z é igual a
0
2
1
-1
-2
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javascript:duvidas('859721','6741','4','3518977','4');
javascript:duvidas('1104335','6741','5','3518977','5');
javascript:duvidas('1132255','6741','6','3518977','6');
6.
A circunferência x2+y2=9x2+y2=9 em coordenadas polares é dada por:
r = 5
r = 6
r = 7
r = 4
r = 3
7.
Calcule a integral definida: ∫10∫01 [t3t3i + 7j + (t +
1)k]dt.
0,25i + 7j + 1,5k
-0,25i + 7j + 1,5k
0,25i - 7j + 1,5k
0,25i + 7j - 1,5k
-0,25i - 7j - 1,5k
8.
Substitua a equação cartesiana x216+y225=1x216+y225=1 por uma
equação polar equivalente.
9((rcos(θ))2+16r2=4009((rcos(θ))2+16r2=400
9((rcos(θ))2+r2=4009((rcos(θ))2+r2=400
9((rcos(θ))2+16r2=09((rcos(θ))2+16r2=0
9((rcos(θ))2 −16r2=4009((rcos(θ))2 -16r2=400
16((rcos(θ))2+9r2=40016((rcos(θ))2+9r2=400
Explicação:
A solução está baseada nas equações equivalentes entre os dois sistemas
de coordenadas.
1.
Encontre ∂y/∂x para y^(2 )- x^2-sen (x.y)=o usando derivação implícita.
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javascript:duvidas('2946471','6741','8','3518977','8');
(2x+y cos(xy))/(2y-x cos(xy))
(x+y cos(xy))/(y-x cos(xy))
(2x+y cos(xy))/(y-x cos(xy))
(x+y cos(xy))/(2y-x cos(xy))
(2+y cos(xy))/(2y-x cos(xy))
2.
Transformando a coordenada polar (-4, π6π6) em coordenada cartesiana, obtemos:
(−2√ 3 ,−√ 2 )(−23,−2)
(−4,√ 3 )(−4,3)
(√ 3 ,0)(3,0)
(−2√ 3 ,−2)(−23,−2)
(2√ 3 ,2)(23,2)
Explicação:
Como em coordenadaspolares um ponto é designado
como P(r,θ)P(r,θ) identificamos r=−4r=−4 e θ=π/6θ=π/6, logo:
x=rcosθ=−4cos(π/6)=−2√ 3 ;y=rsenθ=−4(1/2)=−2x=rcosθ=−4cos(π/6)=−23;y=rsenθ=−4(1/2)=−
2
3.
Substitua a equação cartesiana x216+y225=1x216+y225=1 por uma
equação polar equivalente.
9((rcos(θ))2+16r2=09((rcos(θ))2+16r2=0
9((rcos(θ))2+r2=4009((rcos(θ))2+r2=400
16((rcos(θ))2+9r2=40016((rcos(θ))2+9r2=400
9((rcos(θ))2+16r2=4009((rcos(θ))2+16r2=400
9((rcos(θ))2 −16r2=4009((rcos(θ))2 -16r2=400
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javascript:duvidas('1147189','6741','2','3518977','2');
javascript:duvidas('2946471','6741','3','3518977','3');
Explicação:
A solução está baseada nas equações equivalentes entre os dois sistemas
de coordenadas.
4.
A circunferência x2+y2=9x2+y2=9 em coordenadas polares é dada por:
r = 5
r = 4
r = 7
r = 3
r = 6
5.
Sendo o vetor v (t) = (2 + cos 6t , 2 + sen 6t) . O vetor velocidade é:
V(t) (-16 cos 6t, - 16 sen 6t)
não existe
V(t) (-6 sen 6t, 6 cos 6t)
V(t) (6 sen 6t, -6 cos 6t)
V(t) (-36 cos 6t, - 36 sen 6t)
6.
Seja F = F(x,y,z) a função identicamente nula. Então, ∂F/∂x - ∂F/∂y + ∂F/∂z é igual a
-1
2
-2
0
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javascript:duvidas('757395','6741','5','3518977','5');
javascript:duvidas('1104335','6741','6','3518977','6');
1
7.
Calcule a integral definida: ∫10∫01 [t3t3i + 7j + (t +
1)k]dt.
-0,25i - 7j - 1,5k
0,25i + 7j - 1,5k
0,25i - 7j + 1,5k
-0,25i + 7j + 1,5k
0,25i + 7j + 1,5k
8.
Qual a taxa de variação máxima de f(x,y) = 3x^2 - 2xy em P (1,1)
2,56
3,47
4,47
9,31
2,28
1.
Marque dentre as opções a que representa uma
equação cartesiana para a equação
polar r=42cosΘ−senΘr=42cosΘ-senΘ
y = x + 6
y = x + 1
y = x
y = 2x - 4
y = x - 4
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javascript:duvidas('859721','6741','8','3518977','8');
javascript:duvidas('1141637','6741','1','3518977','1');
2.
Passando o ponto P(1,√3) de coordenadas cartesianas para coordenadas polares vamos obter:
( 2, π/2)
( 2, π/6)
( 6, π/6)
( 4, π/6)
( 6, π/2)
3.
Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = ⟨1+t,2+5t,−1+6t⟩〈1+t,2+5t,-1+6t〉
x=1 −tx=1 -t ; y=2+5ty=2+5t, z=−1+6tz=-1+6t
x= tx= t ; y=2+5ty=2+5t, z=−1+6tz=-1+6t
x=1+tx=1+t ; y=2+5ty=2+5t, z=−1+6tz=-1+6t
x=1+tx=1+t ; y=2+5ty=2+5t, z=−1z=-1
x=1+tx=1+t ; y=2+5ty=2+5t
Explicação:
Calculando as equações paramétricas.
4.
Encontre o vetor velocidade para o movimento circular r(t) = (cos 2t)i + (sen 2t)j
v(t)=−2sen(t)i+2cos(t)jv(t)=-2sen(t)i+2cos(t)j
v(t)=−2sen(2t)i+2cos(2t)jv(t)=-2sen(2t)i+2cos(2t)j
v(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)jv(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)j
v(t)=−2sen(2t)i−2cos(2t)jv(t)=-2sen(2t)i-2cos(2t)j
v(t)=sen(2t)i+cos(2t)jv(t)=sen(2t)i+cos(2t)j
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javascript:duvidas('175096','6741','3','3518977','3');
javascript:duvidas('2976753','6741','4','3518977','4');
Explicação:
v(t)=drdt=r′(t)v(t)=drdt=r′(t)
5.
A trajetória de um corpo é definida pelo vetor
posição →r=(t2,sen(t),−cos(2t))r→=(t2,sen(t),−cos(2t)). Determine a aceleração (m/s2) para t
= ππ (segundos)
(0,0,-1)
(2,0,4)
(2,0,-4)
(2,-1,0)
NDA
Explicação:
→r=(t2,sen(t),−cos(2t))r→=(t2,sen(t),−cos(2t)) ˙→r=(2t,cos(t),2sen(2t))r→˙=(2t,cos(t),2sen(2t))
¨→r=(2,−sen(t),4cos(2t))r→¨=(2,−sen(t),4cos(2t)).
Assim, para t=Pi, ¨→r=(2,0,4)r→¨=(2,0,4)
6.
Se r(t)== 2 cost i + sent j + 2t k, então: ∫r(t)dt∫r(t)dt é:
sent i - t2 k + C
πsenti - cost j + t2 k + C
2senti + cost j - t2 k + C
2sent i - cost j + t2 k + C
-cost j + t2 k + C
Explicação:
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javascript:duvidas('1180588','6741','5','3518977','5');
javascript:duvidas('175014','6741','6','3518977','6');
As integrais indefinidas de funções vetoriais são calculadas componente por
componente.
7.
Marque as únicas respostas corretas para as derivadas de 1ª
ordem fxfx e fyfy da função: f(x,y)=xe3y
fx=π3yfx=π3y e fy=3πe3yfy=3πe3y
fx=eyfx=ey e fy=3xeyfy=3xey
fx= −e3yfx= -e3y e fy= −3xe3yfy= -3xe3y
fx=0fx=0 e fy=0fy=0
fx=e3yfx=e3y e fy=3xe3yfy=3xe3y
Explicação:
Aplicação das regras de derivação parcial em função a duas variáveis.
8.
Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela
funções vetoriais:
r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k
r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k
Podemos concluir que
a) as aeronaves não colidem.
b) as aeronaves colidem no instante t=2
c) as aeronaves colidem no instante t=5
d) as aeronaves colidem no instante t=3
e) as trajetórias não se interceptam
(e)
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javascript:duvidas('1141640','6741','7','3518977','7');
javascript:duvidas('2946454','6741','8','3518977','8');
(c)
(b)
(d)
(a)
Explicação:
Igualar as equações das duas trajetórias e calcular o tempo nas quais
elas são idêbnticas.
1.
Calcule a área, entre α=0α=0 e β=π2β=π2, em coordenadas polares do
círculo de raio r=1r=1 e marque a única resposta correta.
ππ
π4π4
1
π2π2
π3π3
Explicação:
Use a fórmula: A=∫βα12r²drA=∫αβ12r²dr
2.
Transformando a coordenada polar (-4, π6π6) em coordenada cartesiana, obtemos:
(√ 3 ,0)(3,0)
(2√ 3 ,2)(23,2)
(−4,√ 3 )(−4,3)
(−2√ 3 ,−√ 2 )(−23,−2)
(−2√ 3 ,−2)(−23,−2)
Explicação:
Como em coordenadas polares um ponto é designado
como P(r,θ)P(r,θ) identificamos r=−4r=−4 e θ=π/6θ=π/6, logo:
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x=rcosθ=−4cos(π/6)=−2√ 3 ;y=rsenθ=−4(1/2)=−2x=rcosθ=−4cos(π/6)=−23;y=rsenθ=−4(1/2)=−
2
3.
Encontre ∂y/∂x para y^(2 )- x^2-sen (x.y)=o usando derivação implícita.
(2+y cos(xy))/(2y-x cos(xy))
(2x+y cos(xy))/(2y-x cos(xy))
(x+y cos(xy))/(y-x cos(xy))
(2x+y cos(xy))/(y-x cos(xy))
(x+y cos(xy))/(2y-x cos(xy))
4.
Substitua a equação cartesiana x216+y225=1x216+y225=1 por uma
equação polar equivalente.
9((rcos(θ))2+r2=4009((rcos(θ))2+r2=400
9((rcos(θ))2+16r2=4009((rcos(θ))2+16r2=400
9((rcos(θ))2 −16r2=4009((rcos(θ))2 -16r2=400
16((rcos(θ))2+9r2=40016((rcos(θ))2+9r2=400
9((rcos(θ))2+16r2=09((rcos(θ))2+16r2=0
Explicação:
A solução está baseada nas equações equivalentes entre os dois sistemas
de coordenadas.5.
A circunferência x2+y2=9x2+y2=9 em coordenadas polares é dada por:
r = 7
r = 3
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r = 5
r = 4
r = 6
6.
Sendo o vetor v (t) = (2 + cos 6t , 2 + sen 6t) . O vetor velocidade é:
V(t) (-36 cos 6t, - 36 sen 6t)
não existe
V(t) (6 sen 6t, -6 cos 6t)
V(t) (-6 sen 6t, 6 cos 6t)
V(t) (-16 cos 6t, - 16 sen 6t)
7.
Seja F = F(x,y,z) a função identicamente nula. Então, ∂F/∂x - ∂F/∂y + ∂F/∂z é igual a
-2
1
0
2
-1
8.
Calcule a integral definida: ∫10∫01 [t3t3i + 7j + (t +
1)k]dt.
0,25i + 7j - 1,5k
-0,25i - 7j - 1,5k
0,25i - 7j + 1,5k
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-0,25i + 7j + 1,5k
0,25i + 7j + 1,5k
1.
Supondo que r(t)r(t)é o vetor posição de uma partícula que se move a
longo de uma curva então,em qualquer instante t , pode-se afirmar:
I) O vetor velocidade da partícula, tangente à curva, é dado
por:v(t)=dr(t)dtv(t)=dr(t)dt
II) A aceleração é a derivada segunda da velocidade em relação ao
tempo.
III) O versor v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|dá a direção do movimento no instante t.
IV) A velocidade de uma partícula pode ser expressa como o produto do
módulo de sua velocidade pela sua direção.
Estão corretas apenas as afirmações:
I,II e IV
I,II e III
II,III e IV
I,III e IV
I,II,III e IV
Explicação:
De acordo com as definições de funções a valores vetoriais.
2.
Sabendo que r'(t) = v(t), determine v(t) e indique a única resposta correta
se r(t) = 12ti + (2 - t)j, em t = 1.
r'(t) = v(t) = 13i - 2j
r'(t) = v(t) = 14i + j
r'(t) = v(t) = 32i - j
r'(t) = v(t) = 12i - j
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r'(t) = v(t) = 15i - 3j
Explicação:
Como v(t) é a primeira derivada de r(t), basta, então, realizar a derivada
e substituir t=1.
3.
Determine a integral `int_0/1 int_0/2 int_0/((1-z))dydxdz
1
2
2-2z
0
1-z
4.
Calcule o limite da seguinte função vetorial:
limt→∞[(1+3t)t i+(lntt) j+(5t3+t2t3−1) k]limt→∞[(1+3t)t i+
(lntt) j+(5t3+t2t3-1) k]
e3 i+je3 i+j
`e^3 i +j +5k
3i+j+5k3i+j+5k
3i+5k3i+5k
e3 i + 5ke3 i + 5k
Explicação:
Uma solução é aplicar a Regra de L'Hôpital nas três parcelas, pois
as indeterminações que aparecem são da formas 1 elevado a infinito e infinito/infinito.
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5.
Supondo que r(t)r(t)é o vetor posição de uma partícula que se move a
longo de uma curva então,em qualquer instante t , pode-se afirmar:
I) O vetor velocidade da partícula, tangente à curva, é dado
por:v(t)=dr(t)dtv(t)=dr(t)dt
II) A aceleração é a derivada segunda da velocidade em relação ao
tempo.
III) O versor v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|dá a direção do movimento no instante t.
IV) A velocidade de uma partícula pode ser expressa como o produto do
módulo de sua velocidade pela sua direção.
Estão corretas apenas as afirmações:
I,II e IV
II,III e IV
I,II,III e IV
I,III e IV
I,II e III
Explicação:
Alternativa correta de acordo com as definições de funções vetoriais.
6.
Um objeto de massa mm que se move em uma trajetória circular com
velocidade angular constanteww tem vetor posição dado
por r(t)=(bcoswt,bsenwt)r(t)=(bcoswt,bsenwt). Indique a única
resposta correta que determina a aceleração a(t)a(t) em um tempo t
qualquer. Observação: bb> 0.
a(t)=(−bw²coswt,−bw²senwt)a(t)=(−bw²coswt,−bw²senwt)
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a(t)=(−bw²coswt,bw²senwt)a(t)=(−bw²coswt,bw²senwt)
a(t)=(bw³coswt,bw²senwt)a(t)=(bw³coswt,bw²senwt)
a(t)=(−bcoswt,−bw²coswt)a(t)=(−bcoswt,−bw²coswt)
a(t)=(−bcoswt,−bw²senwt)a(t)=(−bcoswt,−bw²senwt)
Explicação:
Deriva-se duas vezes o vetor posição encontra-se a aceleração.
7.
Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente da
função: f(x,y,z)=e−x+e−y+e−zf(x,y,z)=e-x+e-y+e-z no
ponto P0(−1,−1,−1)P0(-1,-1,-1)
`nablaf = <-e, -e, e>
`nablaf = <-1, -1, -1>
`nablaf = < e, e, - e >
`nablaf = <-e, - 1, -e>
`nablaf = <-e, -e, -e>
Explicação:
Cálculo de gradientes a partir das derivadas parciais e funções
exponenciais.
8.
O vetor posição de um objeto, que se move no plano, é dado por r(t) = (t³)i + (t²)j . Calcule a
aceleração em t =1 segundo.
i - 2j
i + j
6i + 2j
6i + j
6i - 2j
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Explicação:
A aceleração a(t)=d²r(t)dt²a(t)=d²r(t)dt². Assim, derivando duas vezes o vetor posição r(t)r(t),
calcula-se a aceleração solicitada.
1.
Supondo que r(t)r(t)é o vetor posição de uma partícula que se move a
longo de uma curva então,em qualquer instante t , pode-se afirmar:
I) O vetor velocidade da partícula, tangente à curva, é dado
por:v(t)=dr(t)dtv(t)=dr(t)dt
II) A aceleração é a derivada segunda da velocidade em relação ao
tempo.
III) O versor v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|dá a direção do movimento no instante t.
IV) A velocidade de uma partícula pode ser expressa como o produto do
módulo de sua velocidade pela sua direção.
Estão corretas apenas as afirmações:
I,II e IV
I,II e III
II,III e IV
I,III e IV
I,II,III e IV
Explicação:
De acordo com as definições de funções a valores vetoriais.
2.
Sabendo que r'(t) = v(t), determine v(t) e indique a única resposta correta
se r(t) = 12ti + (2 - t)j, em t = 1.
r'(t) = v(t) = 13i - 2j
r'(t) = v(t) = 14i + j
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javascript:duvidas('1177184','6741','2','3518977','2');
r'(t) = v(t) = 32i - j
r'(t) = v(t) = 12i - j
r'(t) = v(t) = 15i - 3j
Explicação:
Como v(t) é a primeira derivada de r(t), basta, então, realizar a derivada
e substituir t=1.
3.
Determine a integral `int_0/1 int_0/2 int_0/((1-z))dydxdz
1
2
2-2z
0
1-z
4.
Calcule o limite da seguinte função vetorial:
limt→∞[(1+3t)t i+(lntt) j+(5t3+t2t3−1) k]limt→∞[(1+3t)t i+
(lntt) j+(5t3+t2t3-1) k]
e3 i+je3 i+j
`e^3 i +j +5k
3i+j+5k3i+j+5k
3i+5k3i+5ke3 i + 5ke3 i + 5k
Explicação:
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Uma solução é aplicar a Regra de L'Hôpital nas três parcelas, pois
as indeterminações que aparecem são da formas 1 elevado a infinito e infinito/infinito.
5.
Supondo que r(t)r(t)é o vetor posição de uma partícula que se move a
longo de uma curva então,em qualquer instante t , pode-se afirmar:
I) O vetor velocidade da partícula, tangente à curva, é dado
por:v(t)=dr(t)dtv(t)=dr(t)dt
II) A aceleração é a derivada segunda da velocidade em relação ao
tempo.
III) O versor v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|dá a direção do movimento no instante t.
IV) A velocidade de uma partícula pode ser expressa como o produto do
módulo de sua velocidade pela sua direção.
Estão corretas apenas as afirmações:
I,II e IV
II,III e IV
I,II,III e IV
I,III e IV
I,II e III
Explicação:
Alternativa correta de acordo com as definições de funções vetoriais.
6.
Um objeto de massa mm que se move em uma trajetória circular com
velocidade angular constanteww tem vetor posição dado
por r(t)=(bcoswt,bsenwt)r(t)=(bcoswt,bsenwt). Indique a única
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resposta correta que determina a aceleração a(t)a(t) em um tempo t
qualquer. Observação: bb> 0.
a(t)=(−bw²coswt,−bw²senwt)a(t)=(−bw²coswt,−bw²senwt)
a(t)=(−bw²coswt,bw²senwt)a(t)=(−bw²coswt,bw²senwt)
a(t)=(bw³coswt,bw²senwt)a(t)=(bw³coswt,bw²senwt)
a(t)=(−bcoswt,−bw²coswt)a(t)=(−bcoswt,−bw²coswt)
a(t)=(−bcoswt,−bw²senwt)a(t)=(−bcoswt,−bw²senwt)
Explicação:
Deriva-se duas vezes o vetor posição encontra-se a aceleração.
7.
Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente da
função: f(x,y,z)=e−x+e−y+e−zf(x,y,z)=e-x+e-y+e-z no
ponto P0(−1,−1,−1)P0(-1,-1,-1)
`nablaf = <-e, -e, e>
`nablaf = <-1, -1, -1>
`nablaf = < e, e, - e >
`nablaf = <-e, - 1, -e>
`nablaf = <-e, -e, -e>
Explicação:
Cálculo de gradientes a partir das derivadas parciais e funções
exponenciais.
8.
O vetor posição de um objeto, que se move no plano, é dado por r(t) = (t³)i + (t²)j . Calcule a
aceleração em t =1 segundo.
i - 2j
i + j
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6i + 2j
6i + j
6i - 2j
Explicação:
A aceleração a(t)=d²r(t)dt²a(t)=d²r(t)dt². Assim, derivando duas vezes o vetor posição r(t)r(t),
calcula-se a aceleração solicitada.
1.
Determine a equação do plano tangente à esfera x²+y²+z²=50 no
ponto P(3,4,5)P(3,4,5).
3x−4y+5z=183x-4y+5z=18
6x+8y−5z=06x+8y-5z=0
3x+4y+5z=03x+4y+5z=0
3x+4y −5z=03x+4y -5z=0
6x+8y+10z=1006x+8y+10z=100
Explicação:
Plano tangente da curva z = f(x,y):
z - z0 = (x - x0).dz(x0,y0)/dx + (y - y0).dz(x0,y0)/dy
2.
ENCONTRE A ∂f/∂y se f (x, y) = y sen xy
xy cos xy + sen xy
y2 cos xy + x sen xy
x y2 cos xy + x sen xy
x2 y cos xy + x sen xy
xy2 cos xy + sen xy
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3.
O domínio da função f(x, y) = √(25 - x^2 - y^2 ) está:
Limitado pela circunferência do círculo de raio igual a 5, com centro em (0, 0).
no centro do círculo.
no interior do círculo com centro na origem e raio menor que 5.
no raio do círculo.
na reta y = x.
4.
Calcule a aceleração de uma partícula com vetor de posição igual
a: r(t)=(t²,et,tet)r(t)=(t²,et,tet). Indique a única resposta correta.
(t,t²,t³)(t,t²,t³)
(2,et,(2+t)et)(2,et,(2+t)et)
(2t,−et,(1−t)et)(2t,−et,(1−t)et)
(1,et,tet)(1,et,tet)
(1,t,et)(1,t,et)
Explicação:
Use a(t)=d²rdt²a(t)=d²rdt², ou seja a aceleração é igual à
segunda derivada do vetor posição
5.
Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t - t cos t)j +
3k
(-sen t)i + (cos t)j
(-sen t)i + (cos t)j + k
(-sen t)i - (cos t)j
(-sen t)i + (cos t)j - k
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(-sen t - cos t)i + (cos t)j
6.
Calcule a acelaração da curva r(t)=(cost,sent,t²)r(t)=(cost,sent,t²),
indicando a única resposta correta, em t=π2t=π2.
(2,−1,0)(2,−1,0)
(0,−1,2)(0,−1,2)
(π,π,−π)(π,π,−π)
(0,0,0)(0,0,0)
(1,1,0)(1,1,0)
Explicação:
A aceleração corresponde à segunda derivada do vetor posição
em t=π2t=π2
7.
Determine a equação do plano tangente à superfície
z=f(x,y)=3.x.y²-10x² no ponto P(1,2,2).
z=8x - 10y -30
z=8x−12y+18z=8x-12y+18
z=−8x+10y−10z=-8x+10y-10
z=−8x+12y −14z=-8x+12y -14
z=−8x+12y−18z=-8x+12y-18
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8.
Calcule a integral dupla:
∫42∫24 ∫21∫12 (x²x² + y²y²) dydx
70/15
70/11
70/3
70/9
70/13
1.
Com relação a função f(x,y) = 3xy^2+x^3-3x, podemos afirmar que:
O ponto (1,0) e ponto de Mínimo local.
O ponto (0,-1) e ponto de Máximo local.
O ponto (0,1) e ponto de Máximo.
O ponto (-1,0) e ponto de Sela.
O ponto (1,1) e ponto de Máximo.
2.
Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular de 12.100 metros quadrados. A prefeitura
exige que exista um espaço livre de 25 metros na frente, 20 metros atrás e 12 metros em cada lado.
Encontre as dimensões do lote que tenha a área mínima na qual possa ser construído este galpão.
n.r.a
a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (104,33) e
(195,62)
a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (97,33) e
(145,62)
a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (147,33) e
(105,62)
a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (17,33) e
(95,62)
3.
Uma partícula tem vetor posição dado por r(t) = (cost, sent, t). O seu vetor velocidade v(t) é dado por:
(sent, -cost, t)
(sent, -cost, 1)
(sect, -cost, 1)
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(-sent, cost, 1)
(sent, -cost, 0)
Explicação:
Basta derivar o vetor posiçãor(t)r(t), pois, a velocidadev(t)=r´(t)v(t)=r´(t) ou v(t)=drdtv(t)=drdt.
4.
Considere as afirmações. Assinale (V) caso seja verdadeira
ou (F) caso seja falsa:
1) ( ) A reta tangente a uma
curva r(t)r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)kx(t)i+y(t)j+z(t)k em t =
t0 é uma reta que passa pelo ponto P(x(t0),y(t0),z(t0)
paralela ao vetor v(t)v(t) = x′(t0)i + y'(t0)j
+ z'(t0)k.
2) ( ) Portanto as equações paramétricas da reta tangente
são:
xx =x(t0) + t.x'(t0)y==y(t0) + t.y'(t0)z== z(t0) + t.z'(t0)
3) ( ) O vetor tangente unitário de uma curva
derivável r(t)r(t) é:
TT= v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|.
4) ( ) O comprimento L de uma curva
lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)kr(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k é dado
por
L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2
5) ( ) A reta normal unitária principal no plano
é N=dTdt∣∣dTdt∣∣N=dTdt|dTdt|
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (V)
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (F)
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (V)
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1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (F)
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (V) 5) (V)
Explicação:
O cálculo do comprimento é dado pela expressão abaixo que confirma a
opção correta
L=∫|v(t)|dtL=∫|v(t)|dt
5.
Qual é a resposta correta para a derivada da função vetorial r(t) = (t.cost)i + (t.sent)j
+ tk ?
(cost - t.sent)i + (sent + cost)j + k
(t.cost - sent)i + (sent - t.cost)j + k
(cost - t.sent)i + (sent + t.cost)j + k
t(cost - sent)i - t(sent + cost)j + k
(sent - t.cost)i + (sent.cost)j - k
Explicação:
Sendo r(t) = (t.cost)i + (t.sent)j + tk , deriva-se as componentes vetoriais
em i e j como a derivada de um produto: d(uv)/dt= u´v +uv´.
6.
Qual é o valor da derivada direcional da função f(x,y) = x2 + y2 no ponto (1,1) e na direção do vetor U =
(0,-1)
-5
-1
-4
-3
-2
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7.
Supondo que r(t)r(t)é o vetor posição de uma partícula que se move a
longo de uma curva então,em qualquer instante t , pode-se afirmar:
I) O vetor velocidade da partícula, tangente à curva, é dado
por:v(t)=dr(t)dtv(t)=dr(t)dt
II) A aceleração é a derivada segunda da velocidade em relação ao
tempo.
III) O versor v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|dá a direção do movimento no instante t.
IV) A velocidade de uma partícula pode ser expressa como o produto do
módulo de sua velocidade pela sua direção.
Estão corretas apenas as afirmações:
I,III e IV
I,II e III
I,II,III e IV
I,II e IV
II,III e IV
Explicação:
De acordo com as definições de funções a valores vetoriais.
8.
Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente da
função: f(x,y,z)=e−x+e−y+e−zf(x,y,z)=e-x+e-y+e-z no
ponto P0(−1,−1,−1)P0(-1,-1,-1)
∇f=<-1,-1,-1>
∇f=<-e,-e,-e>
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∇f=<-e,-e, e>
∇f=<e, e,-e>
∇f=<-e,-1,-e>
Explicação:
Cálculo de gradientes a partir das derivadas parciais e funções
exponenciais.
1.
Determine as derivadas de primeira ordem da função:
f(x,y,z) = x2y - 3xy2 + 2yz.
fx = xy - 3y , fy = x - 6xy + 2z, fz = 2y
fx = 2x - 3y2 , fy = x2 - 3xy + 2y, fz = 2y
fx = 2xy - 3y , fy = x2 - 3xy + 2z, fz = 2z
fx = 2xy - 3y2 , fy = x2 - 6xy + 2z, fz = 2y
fx = 2xy - y2 , fy = x2 - 6x + 2z, fz = y
2.
Se z=x2y+3xy4z=x2y+3xy4, onde x = sen(2t) e y = cos(t), o valor de dzdtdzdt, quando t = 0,
equivale a:
6
8
0
4
2
Explicação:
A questão tem duas soluções, sendo a primeira com o uso da Regra
da Cadeia. Entretanto a mais rápida se dá substituindo na expressão
original o x e o y pelas expressões dadas e derivando-se a nova
expressão. Assim:
z(t)=sen²(2t)cos(t)+3sen(2t)cos4(t)z(t)=sen²(2t)cos(t)+3se
n(2t)cos4(t)
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Agora, deriva-se a expressão acima e, ao final, substitua t = 0
3.
Qual é a derivada total dz/dt, sendo z = x2 -8xy - y3 , onde x(t) = t e y (t) = - t ?
18t-1
18t+1
-18t+1
18t
18t+2
Explicação:
dz/dt = dz/dx.dx/dt + dz/dy.dy/dt
4.
Qual é a derivada total dz/dt, sendo z = x2 -8xy - y3 , onde x(t) = t e y (t) = 3t ?
-46 - 81t2
-23t - 81t2
-46t - 81
-46t - 81t2
-46t - 27t2
Explicação:
dz/ dt = dz/dx.dx/dt + dz/dy.dy/dt
5.
Encontre a integral ∬dxdy no interior da região R, definida pelos pontos (0,0), (1,0) e (0,1):
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1 ua
½ ua
1/4 ua
1/3 ua
1/5 ua
6.
Qual das soluções a seguir apresenta a equação da reta tangente a curva
3x+2sen(3(y-1))=9 no ponto P(3,1)?
3x+2y-2=0
x+2y-5=0
3x+2y+2=0
x+y-9=0
NDA
Explicação:
A derivada direcional é nula na direção da reta tangente, paralela a curva
de nível a F(x,y) em P(x0,y0). Assim 3(x-x0)+6cos(2(y-1))(y-y0)=0. Para
P(3,1) temos 3(x-3)+6(y-1)=0 => x+2y-5=0.
7.
Qual é a derivada parcial da
funçãof(x,y)=(yex+x sen y)f(x,y)=(yex+x sen y)
fx=yex+sen y e fy=ex+cos x fx=yex+sen y e fy=ex+cos x
fx=yex+sen x e fy=ex+cos y fx=yex+sen x e fy=ex+cos y
fx=yex+sen y e fy=ex+cos y fx=yex+sen y e fy=ex+cos y
fx=ex+sen y e fy=ex+cos y fx=ex+sen y e fy=ex+cos y
fx=yex+sen y e fy=ey+cos y fx=yex+sen y e fy=ey+cos y
Explicação: Derivada Parcial de 1 ordem
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8.
Usando a técnica da integral dupla, encontre o volume do
sólido gerado pela expressão ∫∫ ∫∫(x2 + y2) dxdy para os
intervalos R=[-1,1] x[-2,1].
15(u.v.)
21(u.v.)
17(u.v.)
2(u.v.)
8(u.v.)
1.
Considere a regiao delimitada por y = (a2 - x2 )1/2 , o eixo x e as retas x = - a e x = a, sendo girada ao
redor do eixo x. Determine qual o sólido gerado e qual o volume referente a mesma.
O solido gerado é uma esfera de raio a e o volume gerado será (4/3) pi a3 .
O solido gerado é uma elipse e o volume gerado será pi a3 .
O solido gerado é uma esfera de raio 3 e o volume gerado será (4/3) pi.
O solido gerado é uma esfera de raio 5 e o volume gerado será (4/3)pi .
O solido gerado é uma elipse de raio a e o volume gerado será (4/3) pi a.
2.
Encontrar o volume do
tetraedro: ∫10∫01 ∫1x∫x1 ∫y−x0∫0y-xF(x, y, z)dzdydx.
Considerar F(x, y, z) = 1.
1/2
1/6
7/6
2/3
5/6
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3.
Determine o gradiente da função f(x)=sen(2x)y+yzf(x)=sen(2x)y+yz em P(0,1,2).
(2,2,2)
(2,2,1)
NDA
(0,0,0)
(-1,0,2)
Explicação:
O gradiente é →∇f(x,y,z)=(2cos(2x)y,sen(2x)+z,y)∇→f(x,y,z)=(2cos(2x)y,sen(2x)+z,y),
então →∇f(0,1,2)=(2,2,1)∇→f(0,1,2)=(2,2,1)
4.
18/5
33/19
41
22
27/2
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5.
Dada a
função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz)+cos(x+2z)f(x,y,
z)=sen(y+2z)+ln(xyz)+cos(x+2z) encontre 2∂f∂x+2
∂f∂y−∂f∂z2∂f∂x+2∂f∂y-∂f∂z
1xyz1xyz
cos(y+2z)+(1x)+(1y)+(1z)−sen(x+2z)cos(y+2z)+(1x)+(
1y)+(1z)-sen(x+2z)
2(xz+yz−xy)xyz2(xz+yz-xy)xyz
cos(y+2z)−sen(x+2z)cos(y+2z)-sen(x+2z)
(1x+1y+1z)(1x+1y+1z)
Explicação:
Use o conceito de derivação pafcial.
6.
Qual é a derivada total dz/dt, sendo z = 2x2 -4xy + 2y2 , onde x(t) = t e y (t) = t ?
6t
8t
2t
-8t
4t
Explicação:
dz/dy = dz/dx . dx/dt + dz/dy . dy/dt
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7.
12
14
18/35
15/17
27/2
8.
Sendo f(x,y)=5xy+10y, a derivada parcial de f em relação a x no ponto (1;2) é
15
5
-5
-10
10
Explicação: Resposta: b Derive f em relação a x, supondo y constante e calcule o valor para x=1 e
y=2. Derive f em relação a y, supondo x constante e calcule o valor para x=1 e y=2.
1.
Determine a derivadas de f(x,y,z) = ln(4) + xy2 -2(sin(2z))2-2(cos(2z))2 em P(2,1,1).
fx=1 fy=2 fz=-8
fx=5/4 fy=2 fz=-8
NDA
fx=1 fy=4 fz=0
fx=1 fy=4 fz=-8
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Explicação:
f(x,y,z) = ln(4) + xy2 + [-2sen²(2z)-2cos²(2z)] => f(x,y,z) = ln(4) + xy2 + -2 => fx=y2; fy=2xy; fz=0
para P(2,1,1) temos fx=1 fy=4 fz=0
2.
Usando a técnica da integral dupla, encontre o volume do
sólido gerado pela expressão ∫∫ ∫∫(x2 + y2) dxdy para os
intervalos R=[-1,1] x[-2,1].
15(u.v.)
2(u.v.)
8(u.v.)
17(u.v.)
21(u.v.)
3.
Qual é a derivada total dz/dt, sendo z = 2x2 -4xy - 2y2 , onde x(t) = -t e y (t) = -t
-8t
8t
-4t
2t
4t
Explicação:
dz/dt = dz/dx.dx/dt + dz/dy.dy/dt
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4.
Considere as seguintes afirmações:
1)O cálculo de uma integral tripla em coordenadas cartesianas pode ser efetuado de seis maneiras
diferentes.
2)O cálculo de uma integral dupla em coordenadas cartesianas pode ser efetuado de quatro maneiras
diferentes.
3)O cálculo de integrais duplas ( ou triplas) se reduz ao cálculo sucessivo se duas ( ou três ) integrais
simples, de diferentes maneiras, segundo o sistema de coordenadas considerado.
4)A ordem de integração de integrais duplas ou triplas é arbitrário.
5)O cálculo de integrais duplas ( ou triplas) se reduz ao cálculo sucessivo de duas ( ou três ) integrais
simples, sempre da mesma forma.
As seguintes afirmações são verdadeiras:
1,3,5
2,4,5
2,3,4
1,3,4
1,2,3
5.
Encontre o volume do sólido sob o gráfico da função f (x, y) = 5 e acima do domínio dado pelas
inequações
y ≤ X ≤ 3y e 0 ≤ y ≤ 5
115
125
110
120
105
6.
Qual é a derivada total dz/dt, sendo z = x2 -4xy - y2 , onde x(t) = -t e y (t) = -t ?
-8t+1
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-8t
8t
4t
-4t
Explicação:
dz/dt = dz/dx.dx/dt + dz/dy.dy/dt
7.
Usando diferencial, obter o aumento aproximado do volume de um cilindro circular reto, quando o raio
da base varia de 3 cm para 3,1 cm e a altura varia de 21 cm até 21,5 cm.
11,12 pi cm^3
10 pi cm^3
2,1 pi cm^3
2 pi cm^3
17,1 pi cm^3
Explicação:
v = π.r2hπ.r2h
dv = (dv/dr).dr + (dv/dh).dh
8.
Qual é a derivada total dz/dt, sendo z = x2 -8xy - y3 , onde x(t) = -t e y (t) = t ?
18t+1
18t -3t²
-18t-1
-18t+1
18t
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Explicação:
dz/dt = dz/dx.dx/dt + dz/dy.dy/dt
1.
Seja a função vetorial r(t) = (t²)i + (t −2)j + (5t² - 10)k . O limite dessa função quando t → 2 é dado
por:
〈2,4,12〉
〈2,3,11〉
〈4,8,7〉
〈6,8,12〉
〈4,0,10〉
2.
O limite da função vetorial r = (t²)i + (t-1)j + (e^t)k quando t = 0 é:
(0, 2, -1)
(2, 1, -1)
(0, -1, 1)
(-1, 0, 1)
(1, 1, -1)
3.
Encontre a curvatura para a curva r(t) = ti + (ln cos t)j para −π2<t<π2-π2<t<π2
cos t
tg t - sen t
sen t + cos t
sen t
tg t
Explicação:
Curvatura (k) = (y''x'-y'x'') / (x'²+y'²)3/2
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4.
Para y=5, calcule o comprimento da curva no intervalo de x pertencente a [2, 8].
6
3
2
4
5
Explicação:
Com y=5y=5 traçamos uma reta horizontal paralela ao eixo xx, portanto, no intervalo dado o
comprimento L=8−2=6 u.c.L=8-2=6 u.c.
Dica: u.c.u.c. significa unidades de comprimento.
5.
Encontre o vetor velocidade para o movimento circular r(t) = (cos 2t)i + (sen
2t)j
v(t)=−2sen(2t)i−2cos(2t)jv(t)=-2sen(2t)i-2cos(2t)j
v(t)=−2sen(2t)i+2cos(2t)jv(t)=-2sen(2t)i+2cos(2t)j
v(t)=−2sen(t)i+2cos(t)jv(t)=-2sen(t)i+2cos(t)j
v(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)jv(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)j
v(t)=sen(2t)i+cos(2t)jv(t)=sen(2t)i+cos(2t)j
Explicação:
v(t)=drdt=r′(t)v(t)=drdt=r′(t)
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6.
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os
limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com o
teorema acima, indique a única resposta correta para o limite da
função: limt→0r(t)limt→0r(t) se r(t)=(1+t³)i+te−tj+senttkr(t)
=(1+t³)i+te−tj+senttk
2i+j2i+j
i+ki+k
i+2j+3ki+2j+3k
i+j+ki+j+k
i−ki−k
Explicação:
Aplica-se a teoria de limites, observando-se que no último termo pode-se
aplicar a Regra de L'Hôpital ou o limite fundamental para
calcular limt→0sentt=1limt→0sentt=1
7.
Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde sua
posiçào é dada pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk
2i
2i + 2j
2j
i/2 + j/2
2i + j
8.
Se r(t)== 2 cost i + sent j + 2t k, então: ∫r(t)dt∫r(t)dt é:
sent i - t2 k + C
πsenti - cost j + t2 k + C
2sent i - cost j + t2 k + C
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2senti + cost j - t2 k + C
-cost j + t2 k + C
Explicação:
As integrais indefinidas de funções vetoriais são calculadas componente por
componente.
1.
Marque dentre as opções a que representa uma
equação cartesiana para a equação
polar r=42cosΘ−senΘr=42cosΘ-senΘ
y = 2x - 4
y = x + 1
y = x - 4
y = x
y = x + 6
2.
A trajetória de um corpo é definida pelo vetor
posição →r=(t2,sen(t),−cos(2t))r→=(t2,sen(t),−cos(2t)). Determine a aceleração (m/s2) para t
= ππ (segundos)
(2,-1,0)
(2,0,4)
NDA
(2,0,-4)
(0,0,-1)
Explicação:
→r=(t2,sen(t),−cos(2t))r→=(t2,sen(t),−cos(2t)) ˙→r=(2t,cos(t),2sen(2t))r→˙=(2t,cos(t),2sen(2t))
¨→r=(2,−sen(t),4cos(2t))r→¨=(2,−sen(t),4cos(2t)).
Assim, para t=Pi, ¨→r=(2,0,4)r→¨=(2,0,4)
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3.
Passando o ponto P(1,√3) de coordenadas cartesianas para coordenadas polares vamos obter:
( 4, π/6)
( 6, π/6)
( 2, π/2)
( 6, π/2)
( 2, π/6)
4.
Marque as únicas respostas corretas para as derivadas de 1ª
ordem fxfx e fyfy da função: f(x,y)=xe3y
fx= −e3yfx= -e3y e fy= −3xe3yfy= -3xe3y
fx=eyfx=ey e fy=3xeyfy=3xey
fx=0fx=0 e fy=0fy=0
fx=π3yfx=π3y e fy=3πe3yfy=3πe3y
fx=e3yfx=e3y e fy=3xe3yfy=3xe3y
Explicação:
Aplicação das regras de derivação parcial em função a duas variáveis.
5.
Encontre o vetor velocidade para o movimento circular r(t) = (cos 2t)i + (sen 2t)j
v(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)jv(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)j
v(t)=−2sen(2t)i+2cos(2t)jv(t)=-2sen(2t)i+2cos(2t)j
v(t)=−2sen(2t)i−2cos(2t)jv(t)=-2sen(2t)i-2cos(2t)j
v(t)=−2sen(t)i+2cos(t)jv(t)=-2sen(t)i+2cos(t)j
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v(t)=sen(2t)i+cos(2t)jv(t)=sen(2t)i+cos(2t)j
Explicação:
v(t)=drdt=r′(t)v(t)=drdt=r′(t)
6.
Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela
funções vetoriais:
r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k
r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k
Podemos concluir que
a) as aeronaves não colidem.
b) as aeronaves colidem no instante t=2
c) as aeronaves colidem no instante t=5
d) as aeronaves colidem no instante t=3
e) as trajetórias não se interceptam
(a)
(b)
(e)
(c)
(d)
Explicação:
Igualar as equações das duas trajetórias e calcular o tempo nas quais elas
são idêbnticas.
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
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7.
Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = ⟨1+t,2+5t,−1+6t⟩〈1+t,2+5t,-1+6t〉
x=1+tx=1+t ; y=2+5ty=2+5t
x=1+tx=1+t ; y=2+5ty=2+5t, z=−1z=-1
x=1+tx=1+t ; y=2+5ty=2+5t, z=−1+6tz=-1+6t
x= tx= t ; y=2+5ty=2+5t, z=−1+6tz=-1+6t
x=1 −tx=1 -t ; y=2+5ty=2+5t, z=−1+6tz=-1+6t
Explicação:
Calculando as equações paramétricas.
8.
Considere as afirmações. Assinale (V) caso seja verdadeira
ou (F) caso seja falsa:
1) ( ) A reta tangente a uma
curva r(t)r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)kx(t)i+y(t)j+z(t)k em t =
t0 é uma reta que passa pelo ponto P(x(t0),y(t0),z(t0)
paralela ao vetor v(t)v(t) = x′(t0)i + y'(t0)j
+ z'(t0)k.
2) ( ) Portanto as equações paramétricas da reta tangente
são:
xx =x(t0) + t.x'(t0)y==y(t0) + t.y'(t0)z== z(t0) + t.z'(t0)
3) ( ) O vetor tangente unitário de uma curva
derivável r(t)r(t) é:
TT= v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|.
4) ( ) O comprimento L de uma curva
lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)kr(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k é dado
por
L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
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5) ( ) A reta normal unitária principal no plano
é N=dTdt∣∣dTdt∣∣N=dTdt|dTdt|
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (V)
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (F)
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (F)
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (V)
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (V) 5) (V)
1a
Questão
Acerto: 1,0 / 1,0
Encontre a curvatura para a curva r(t) = ti + (ln cos t)j para −π2<t<π2-π2<t<π2
tg t - sen t
tg t
sen t
cos t
sen t + cos t
Respondido em 07/05/2020 23:53:03
2a
Questão
Acerto: 0,0 / 1,0
Se r(t)== 2 cost i + sent j + 2t k, então: ∫r(t)dt∫r(t)dt é:
2sent i - cost j + t2 k + C
πsenti - cost j + t2 k + C
2senti + cost j - t2 k + C
sent i - t2 k + C
-cost j + t2 k + C
Respondido em 07/05/2020 23:54:25
3a
Questão
Acerto: 1,0 / 1,0
Considere as afirmações. Assinale (V) caso seja verdadeira ou (F)
caso seja falsa:
1) ( ) A reta tangente a uma
curva r(t)r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)kx(t)i+y(t)j+z(t)k em t =
t0 é uma reta que passa pelo ponto P(x(t0),y(t0),z(t0) paralela
ao vetor v(t)v(t) = x′(t0)i + y'(t0)j + z'(t0)k.
2) ( ) Portanto as equações paramétricas da reta tangente são:
xx =x(t0) + t.x'(t0)y==y(t0) + t.y'(t0)z== z(t0) + t.z'(t0)
3) ( ) O vetor tangente unitário de uma curva derivável r(t)r(t) é:
TT= v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|.
4) ( ) O comprimento L de uma curva
lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)kr(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k é dado por
L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2
5) ( ) A reta normalunitária principal no plano
é N=dTdt∣∣dTdt∣∣N=dTdt|dTdt|
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5)
(F)
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (V) 5) (V)
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5)
(V)
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (F)
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (V)
Respondido em 06/05/2020 21:45:58
4a
Questão
Acerto: 0,0 / 1,0
Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única
resposta correta.
(1−cost,sent,0)(1-cost,sent,0)
(1 +cost,sent,0)(1 +cost,sent,0)
(1−cost,0,0)(1-cost,0,0)
(1−cost,sent,1)(1-cost,sent,1)
(1−sent,sent,0)(1-sent,sent,0)
Respondido em 08/05/2020 00:11:54
5a
Questão
Acerto: 1,0 / 1,0
Sendo o vetor v (t) = (2 + cos 6t , 2 + sen 6t) . O vetor velocidade é:
V(t) (6 sen 6t, -6 cos 6t)
não existe
V(t) (-36 cos 6t, - 36 sen 6t)
V(t) (-6 sen 6t, 6 cos 6t)
V(t) (-16 cos 6t, - 16 sen 6t)
Respondido em 07/05/2020 23:58:14
6a
Questão
Acerto: 1,0 / 1,0
Transformando a coordenada polar (-4, π6π6) em coordenada cartesiana, obtemos:
(−2√ 3 ,−2)(−23,−2)
(2√ 3 ,2)(23,2)
(−4,√ 3 )(−4,3)
(−2√ 3 ,−√ 2 )(−23,−2)
(√ 3 ,0)(3,0)
Respondido em 07/05/2020 23:59:58
7a
Questão
Acerto: 0,0 / 1,0
Um objeto de massa mm que se move em uma trajetória circular com
velocidade angular constante ww tem vetor posição dado
por r(t)=(acoswt,asenwt)r(t)=(acoswt,asenwt). Indique a única
resposta correta que determina a velocidade em um tempo tt qualquer.
Observação: aa > 0.
(−a²wsenwt,−a²wcoswt)(−a²wsenwt,−a²wcoswt)
(−awsent,awcoswt)(−awsent,awcoswt)
(−aw²sent,aw²coswt)(−aw²sent,aw²coswt)
(asenwt,acoswt)(asenwt,acoswt)
(awsenwt,awcoswt)(awsenwt,awcoswt)
Respondido em 08/05/2020 00:02:05
8a
Questão
Acerto: 1,0 / 1,0
Considere as afirmações. Assinale (V) caso seja verdadeira ou (F)
caso seja falsa:
1) ( ) A reta tangente a uma
curva r(t)r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)kx(t)i+y(t)j+z(t)k em t =
t0 é uma reta que passa pelo ponto P(x(t0),y(t0),z(t0) paralela
ao vetor v(t)v(t) = x′(t0)i + y'(t0)j + z'(t0)k.
2) ( ) Portanto as equações paramétricas da reta tangente são:
xx =x(t0) + t.x'(t0)y==y(t0) + t.y'(t0)z== z(t0) + t.z'(t0)
3) ( ) O vetor tangente unitário de uma curva derivável r(t)r(t) é:
TT= v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|.
4) ( ) O comprimento L de uma curva
lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)kr(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k é dado por
L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2
5) ( ) A reta normal unitária principal no plano
é N=dTdt∣∣dTdt∣∣N=dTdt|dTdt|
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5)
(F)
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (F)
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (V) 5) (V)
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5)
(V)
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (V)
Respondido em 08/05/2020 00:02:50
9a
Questão
Acerto: 1,0 / 1,0
Encontre a integral ∬dxdy no interior da região R, definida pelos pontos (0,0), (1,0) e
(0,1):
1/5 ua
1/3 ua
1/4 ua
1 ua
½ ua
Respondido em 08/05/2020 00:03:52
10a
Questão
Acerto: 1,0 / 1,0
A concentração de certo fármaco no sangue, t horas após sua administração, é dada
pela fórmula: y(t) = (10 t)/〖(t+1)〗^2 , t ≥0 Em qual intervalo essa função é
crescente?
T > 10
1/2<="" 10<="" td="">
0 ≤t < 1
T > 1
T ≥0
1a
Questão
Acerto: 1,0 / 1,0
Seja a função vetorial r(t) = (t²)i + (t −2)j + (5t² - 10)k . O limite dessa função
quando t → 2 é dado por:
〈2,3,11〉
〈4,0,10〉
〈6,8,12〉
〈2,4,12〉
〈4,8,7〉
Respondido em 08/05/2020 00:17:04
2a
Questão
Acerto: 0,0 / 1,0
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas
funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única
resposta correta para o limite da
função: limt→0r(t)limt→0r(t) se r(t)=(1+t³)i+te−tj+senttkr(t)=(1+t³)i+te
−tj+senttk
i+2j+3ki+2j+3k
i+j+ki+j+k
i+ki+k
2i+j2i+j
i−ki−k
Respondido em 08/05/2020 00:42:35
3a
Questão
Acerto: 1,0 / 1,0
Dado f(t) = (e^3t sen t, 3t - 2) , calcule f ' (t) :
f ' (t) = 3 j
f ' (t) = e^3t (3 sen t + cos t) i + 3 j
f ' (t) = (3 sen t + cos t) i + 3 j
f ' (t) = e^3t
f ' (t) = 3 sen t + cos t
Respondido em 08/05/2020 00:20:26
4a
Questão
Acerto: 1,0 / 1,0
Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor
posição r(t) = (3cos t) i + (3sen t)j + t2k. Esta trajetória faz lembrar a de
uma hélice. Para o intervalo de tempo [0, 4Pi], encontre o módulo da
velocidade da asa-delta no instante t = 0.
2
9
1
3
14
Respondido em 08/05/2020 00:21:20
5a
Questão
Acerto: 1,0 / 1,0
Sendo o vetor v (t) = (2 + cos 6t , 2 + sen 6t) . O vetor velocidade é:
V(t) (6 sen 6t, -6 cos 6t)
V(t) (-6 sen 6t, 6 cos 6t)
V(t) (-16 cos 6t, - 16 sen 6t)
não existe
V(t) (-36 cos 6t, - 36 sen 6t)
Respondido em 08/05/2020 00:22:21
6a
Questão
Acerto: 1,0 / 1,0
Encontre ∂y/∂x para y^(2 )- x^2-sen (x.y)=o usando derivação implícita.
(x+y cos(xy))/(y-x cos(xy))
(x+y cos(xy))/(2y-x cos(xy))
(2x+y cos(xy))/(y-x cos(xy))
(2x+y cos(xy))/(2y-x cos(xy))
(2+y cos(xy))/(2y-x cos(xy))
Respondido em 08/05/2020 00:25:08
7a
Questão
Acerto: 1,0 / 1,0
Determine a equação do plano tangente à superfície
z=f(x,y)=3.x.y²-10x² no ponto P(1,2,2).
z=−8x+12y −14z=-8x+12y -14
z=8xz=8x - 10y -30
z=8x−12y+18z=8x-12y+18
z=−8x+12y−18z=-8x+12y-18
z=−8x+10y−10z=-8x+10y-10
Respondido em 08/05/2020 00:25:52
8a
Questão
Acerto: 1,0 / 1,0
Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t - t cos
t)j + 3k
(-sen t)i - (cos t)j
(-sen t)i + (cos t)j
(-sen t)i + (cos t)j - k
(-sen t)i + (cos t)j + k
(-sen t - cos t)i + (cos t)j
Respondido em 08/05/2020 00:27:47
9a
Questão
Acerto: 1,0 / 1,0
Utilizando a derivada parcial de segunda ordem, qual é o
resultado fxx da função : f(x,y)=(x3+y3−3xy)f(x,y)=(x3+y3−3xy) ?
6x
15x
10x
8x
12x
Respondido em 08/05/2020 00:45:07
10a
Questão
Acerto: 1,0 / 1,0
Marque apenas a alternativa correta:
Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e
obtivemos 10 cm e 25 cm, respectivamente, com possível erro nessas medidas
de, no máximo, 0,1 cm. Utilizando o diferencial total para estimar o erro máximo
contido no cálculo, podemos afirmar que volume do cone é de aproximadamente
20π cm^3.
Se as dimensões de uma caixa retangular medem 75 cm, 60 cm e 40 cm e que a
cada medida a precisão e de 0,2 cm, então podemos afirmar que a diferença
entre o volume do sólido e o volume estimado pelo diferencial é maior que 5%.
Sobre a função z=3x^3 y^2+y^3 x^2, podemos afirmar que
∂z/∂x∂y=6xy+6xy^2.
Considerando a função z=3x^2+xy+y^3, podemos afirmar que ∂z/∂x=3xy+y.
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