FETERM- Laboratório

Prévia do material em texto

Fenômenos Térmicos 
Laboratório
Professor André Landulfo
Algumas quantidades podem ser representadas 
diretamente por um número. 
Por exemplo: o número de moléculas de gás num 
compartimento.
Unidades e Dimensões
Algumas quantidades podem ser representadas 
diretamente por um número. 
Por exemplo: o número de moléculas de gás num 
compartimento.
Tais grandezas são ditas adimensionais ou sem dimensão.
Unidades e Dimensões
Algumas quantidades podem ser representadas 
diretamente por um número. 
Por exemplo: o número de moléculas de gás num 
compartimento.
Tais grandezas são ditas adimensionais ou sem dimensão.
Geralmente, são grandezas relacionadas a uma contagem, 
ou são obtidas pela razão entre grandezas dimensionais.
Unidades e Dimensões
Algumas quantidades podem ser representadas 
diretamente por um número. 
Por exemplo: o número de moléculas de gás num 
compartimento.
Tais grandezas são ditas adimensionais ou sem dimensão.
Geralmente, são grandezas relacionadas a uma contagem, 
ou são obtidas pela razão entre grandezas dimensionais.
Não são em geral as quantidades em que estaremos 
interessados para estudar física!
Unidades e Dimensões
Unidades e Dimensões
A maioria das grandezas de interesse não é bem especificada por um 
número apenas! 
Por exemplo: não faz sentido dizer que um fio mede 5. 
Faz sentido dizer que um fio mede 5m, ou 5 jardas. Mas o que isso 
significa?
Unidades e Dimensões
Dizer que o fio vale 5m significa que este fio é cinco vezes mais longo 
do que um comprimento padronizado, que chamamos de “1 metro”.
1m 1m 1m 1m 1m
Unidades e Dimensões
Dizer que o fio vale 5m significa que este fio é cinco vezes mais longo 
do que um comprimento padronizado, que chamamos de “1 metro”.
 MEDIR um comprimento significa comparar uma propriedade (a dimensão linear, o tamanho) 
com a de outro objeto, considerado como um padrão (ou unidade). 
Quando isso acontece, dizemos que essa grandeza é dimensional. No caso, falamos de 
dimensão de comprimento. 
Mas qual é o tamanho de uma régua de 1m? 
ISSO É UMA CONVENÇÃO.
1m 1m 1m 1m 1m
Por que saber de tudo isso?
Unidades e Dimensões
Por que saber de tudo isso?
Uma grandeza física dimensional só está bem definida 
quando indicamos a unidade utilizada. Assim, se você 
resolveu um problema, e encontrou como resposta uma 
velocidade v = 10, sua resposta não faz sentido! 
Unidades e Dimensões
Por que saber de tudo isso?
Uma grandeza física dimensional só está bem definida 
quando indicamos a unidade utilizada. Assim, se você 
resolveu um problema, e encontrou como resposta uma 
velocidade v = 10, sua resposta não faz sentido! 
Só faz sentido comparar grandezas de mesma dimensão 
(mesmo que estejam expressas em unidades diferentes). Faz 
sentido se perguntar se uma jarda é maior do que um 
metro, mas não faz sentido se perguntar se um segundo é 
menor que um quilograma.
Unidades e Dimensões
Por que saber de tudo isso?
Uma grandeza física dimensional só está bem definida 
quando indicamos a unidade utilizada. Assim, se você 
resolveu um problema, e encontrou como resposta uma 
velocidade v = 10, sua resposta não faz sentido! 
Só faz sentido comparar grandezas de mesma dimensão 
(mesmo que estejam expressas em unidades diferentes). Faz 
sentido se perguntar se uma jarda é maior do que um 
metro, mas não faz sentido se perguntar se um segundo é 
menor que um quilograma.
Todos os termos numa dada equação devem 
necessariamente possuir a mesma dimensão.
Unidades e Dimensões
Análise Dimensional: todos os termos de uma fórmula devem ter a mesma dimensão. 
Por exemplo: encontre a fórmula do período do pêndulo, em termos do seu comprimento e da 
aceleração da gravidade g.
Unidades e Dimensões
Medir é um procedimento experimental em que o valor de uma grandeza física é determinado através de um algum experimento. 
Uma medição começa com a especificação apropriada do mensurando (o que é medido, por exemplo o comprimento de um objeto) e do 
procedimento de medição (como vai ser medido, por exemplo, comparação com a escala de uma régua). O resultado é o que a gente 
chama de medida — é o número que vai aparecer no seu relatório final do experimento, por exemplo.
Teoria de Erros
Medir é um procedimento experimental em que o valor de uma grandeza física é determinado através de um algum experimento. 
Uma medição começa com a especificação apropriada do mensurando (o que é medido, por exemplo o comprimento de um objeto) e do 
procedimento de medição (como vai ser medido, por exemplo, comparação com a escala de uma régua). O resultado é o que a gente 
chama de medida — é o número que vai aparecer no seu relatório final do experimento, por exemplo.
Teoria de Erros
Mensurando = 
comprimento de um objeto
Medir é um procedimento experimental em que o valor de uma grandeza física é determinado através de um algum experimento. 
Uma medição começa com a especificação apropriada do mensurando (o que é medido, por exemplo o comprimento de um objeto) e do 
procedimento de medição (como vai ser medido, por exemplo, comparação com a escala de uma régua). O resultado é o que a gente 
chama de medida — é o número que vai aparecer no seu relatório final do experimento, por exemplo.
Teoria de Erros
Mensurando = 
comprimento de um objeto
Pr
oc
ed
im
en
to
 d
e 
m
ed
iç
ão
 =
 
Co
m
pa
ra
çã
o 
co
m
 u
m
a 
ré
gu
a
Medida = 9,75 ± 0,05 cm
Um ponto crucial que você precisa entender, é que qualquer processo de medição é imperfeito! 
Todo equipamento tem limitações (a régua, por exemplo, só tem marcações até mm), e todo experimento pode estar sujeito a 
interferências incontroláveis. Um bom equipamento e um bom experimentalista podem reduzir bastante essas limitações, mas jamais vão 
eliminá-las por completo. 
Reconhecer, e saber estimar essas imperfeições são parte essencial da ciência experimental: nenhuma medição é perfeita, mas nós 
podemos aprender a estimar o “quão próximo” estamos da perfeição, por assim dizer. 
Sendo assim, uma medida deve conter sempre as seguintes informações: 
 o valor da grandeza 
 a “incerteza” da medição 
 a unidade (caso pertinente)
Teoria de Erros
Erros / Incertezas 
Vamos primeiro tentar entender a diferença entre ERROS e INCERTEZAS. 
Se vamos medir uma certa quantidade — por exemplo, a massa de um certo objeto — vamos assumir sempre que existe um 
valor verdadeiro dessa grandeza. Esse objeto tem uma massa, que é uma característica bem definida. 
O número que vamos obter, no processo de medida, é o valor medido para essa grandeza. É o valor que aparece no nosso 
instrumento. 
O erro, então, é definido como a diferença entre o valor medido e o valor verdadeiro do mensurando. 
Note que em geral nunca conhecemos o valor exato do mensurando - consequentemente, o erro pode ser no máximo 
estimado, jamais conhecido com absoluta certeza!
Teoria de Erros
Incerteza 
Também pode acontecer de repetirmos um experimento, e encontrarmos um valores diferentes uns dos outros. 
Dizemos que isso representa uma incerteza do experimento. Note que neste caso, nem estamos levando em conta a 
comparação com o valor verdadeiro da grandeza considerada. 
INCERTEZA é Parâmetro associado à dispersão dos valores que são atribuídos ao mensurando, por um certo processo 
de medida. 
Geralmente, usamos a letra grega sigma para representar a incerteza. 
Na figura, mostramos o resultado de várias medições de uma certa quantidade (eixo vertical). Note que todas se 
concentram na faixa de 30 até 70. Podemos dizer que o resultado dessa medida seria um valor de 50 +/- 20. 
Essencialmente, a incerteza mede a reprodutibilidade dos resultados - ou seja, se um outro grupo quiser repetir a 
medida, usando os mesmos métodos, com que confiança sabemos que encontrarão um resultado compatível com o 
que obtivemos? 
Dizemos que a incerteza está relacionada ao nível de confiança do nosso resultado, e a ferramenta básica para estudar 
a incerteza é a estatística.
Teoriade Erros
Teoria de Erros
ERROS e INCERTEZAS
mmedido = 80,7 Kg
Xxxxxxx
mmedido = 80,6 Kg
Xxxxxxx
mmedido = 80,9 Kg
Xxxxxxx
mmedido = 81,2 Kg
Xxxxxxx
Teoria de Erros
ERROS e INCERTEZAS
mmedido = 80,7 Kg
Xxxxxxx
mmedido = 80,6 Kg
Xxxxxxx
mmedido = 80,9 Kg
Xxxxxxx
mmedido = 81,2 Kg
Xxxxxxx
INCERTEZA associada à DISPERSÃO
Teoria de Erros
ERROS e INCERTEZAS
mmedido = 80,7 Kg
Xxxxxxx
mmedido = 80,6 Kg
Xxxxxxx
mmedido = 80,9 Kg
Xxxxxxx
mmedido = 81,2 Kg
Xxxxxxx
INCERTEZA associada à DISPERSÃO
REPRODUCIBILIDADE
Teoria de Erros
ERROS e INCERTEZAS
mmedido = 80,7 Kg
Xxxxxxx
mmedido = 80,6 Kg
Xxxxxxx
mmedido = 80,9 Kg
Xxxxxxx
mmedido = 81,2 Kg
Xxxxxxx
INCERTEZA associada à DISPERSÃO
REPRODUCIBILIDADE NÍVEL DE CONFIANÇA
Teoria de Erros
Essas figuras mostram bem a diferença entre erro e incerteza. Pense 
que o alvo é o valor real, exato, da grandeza medida, e os pontos 
pretos são nossas medidas. 
Incerteza está associada à precisão. 
Quanto menor a incerteza, mais preciso é o experimento — ele sempre 
fornece resultados compatíveis entre si. 
Quanto menor o erro, mais acurado ou exato é o experimento — ele dá 
um valor muito próximo do real. 
Idealmente, gostaríamos de sempre ter experimentos precisos e 
acurados, mas nem sempre vamos conseguir isso…
Já vimos que o resultado de uma medida experimental deve sempre conter as 
seguintes informações: 
 o valor da grandeza 
 a incerteza da medição 
 a unidade (caso pertinente)
Medidas e Incertezas
Vamos pensar agora em como poderíamos estimar a incerteza de uma das medidas 
mais simples que podemos fazer: medir o comprimento de um objeto usando uma 
régua. 
Esse exemplo, além de útil na prática do laboratório, vai nos levar à definição de 
algarismos significativos, que é o tópico principal que queremos discutir.
A leitura da régua está certamente entre 128,7cm e 
128,8cm. 
Queremos apresentar o resultado na forma:
Veja o seguinte exemplo:
L = 128,75 ± 0,05 cm
Qual a incerteza σx ? 
De onde vem a incerteza desse equipamento em particular (a régua?): da menor graduação! 
Tamanho da menor graduação: 0,1cm 
Incerteza: 0,1cm total, o que significa 0,05cm para mais e para menos. 
Vamos pegar como medida: média de 128,7cm e 128,8cm. 
A representação final da medida fica sendo: 
Daí vem a regra:
Valor medido: xmedida ± σx
Isso vale sempre que medimos por comparação direta com uma graduação impressa em algum equipamento. 
Réguas, medida de ângulos usando um transferidor, temperatura usando um termômetro de mercúrio, etc…
σx = metade da menor graduação do instrumento
Algarismos Significativos
Em casos mais complicados, tanto a medida quanto a incerteza podem resultar em números “quebrados”, aí temos que arredondar de uma 
forma consistente. 
Isso acontece quando calculamos, usando uma fórmula, alguma grandeza a partir de dados experimentais. 
Digamos que você faz um experimento para medir a aceleração da gravidade g. O resultado que sai da calculadora é esse, e você encontra 
essa estimativa de erro. 
Note que não faz sentido escrever: 
O erro está na segunda casa após a vírgula. A segunda casa da medida portanto já é incerta: as próximas casas não fazem nenhum sentido 
experimental! 
Nesse caso, você deve arredondar o valor medido de g na segunda casa decimal. Os dois primeiros dígitos são conhecidos com certeza, o 
terceiro já tem um erro associado.
g = 9,82435 ± 0,03 m/s2
Por outro lado, δx será sempre uma estimativa da incerteza, também não fará sentido expressá-lo com muita 
precisão. 
Por exemplo: 
Não faz sentido dizer que conhecemos o erro com tanta precisão! Devemos arredondar o erro no primeiro 
dígito não nulo, no caso, a segunda casa após a vírgula.
g = 9,82 ± 0,034594 m /s2
O arredondamento tanto da incerteza quanto da medida deve ser consistente: 
O erro só tem um dígito não nulo, e tanto a medida quanto o erro estão arredondados na mesma casa.
g = 9,82 ± 0,03 m /s2
Algarismos Significativos
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 
São os algarismos de uma dada grandeza sobre os quais temos algum conhecimento. 
Nesse exemplo, o erro é dado com 1 alg.sig., enquanto que a medida de g possui 3 alg.sig. 
Note: é perfeitamente possível e esperado a medida e o erro terem número diferente de alg.sig. 
O que é importante é que estejam arredondados na mesma casa decimal. 
 excluindo eventuais zeros à esquerda, usados para acertos de unidades, e potências de dez. 
Atenção: zeros à direita contam como algarismos significativos! 
Quem vai determinar o número de algarismos significativos da grandeza medida será a sua incerteza estimada.
Algarismos Significativos
g = 9,82 ± 0,03 m /s2
Apresentação dos Resultados
17DT830 manual
Regras práticas para apresentação de resultados: 
• Durante os cálculos intermediários, tanto da grandeza de interesse quando da sua 
incerteza, utilize todos (ou pelo menos um número apreciável) dos algarismos que a 
calculadora apresenta. 
• Os arredondamentos serão sempre a última etapa. 
• Após calcular a incerteza, arredonde para apenas UM algarismo significativo. 
• Arredonde então o valor da grandeza, para que o último algarismo significativo do valor 
medido seja da mesma ordem de grandeza (mesma casa decimal) que a incerteza. 
• A notação científica pode ser usada para se evitar ambiguidades. Neste caso, deve-se 
usar a mesma potência de dez tanto para o valor da grandeza quanto para sua incerteza. 
Se o próximo digito for 6,7,8,9 - arredondar para cima. 
Se o próximo dígito for 0,1,2,3,4 - arredondar para baixo. 
Se o próximo digito for 5 — arredondar para cima se o último digito a considerar for ímpar, ou para baixo, 
se for par.
Medidas e Incertezas
,37488 ,375
,37438 ,374
,374500 ,374
,375500 ,376
Regra para arredondamentos:
Existe uma regra oficial de arredondamento dada pela ABNT NBR 5891. Vamos 
adotar uma versão simplificada dessa regra.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Arredondamento
Exemplos:
Medidas e Incertezas
NOTAÇÃO ERRADA
5,30 ± 0,0572
0,00002002 ± 0,0000005
(45 ± 2,6) x 10-3
NOTAÇÃO CORRETA
Exemplos:
Medidas e Incertezas
NOTAÇÃO ERRADA
5,30 ± 0,0572
0,00002002 ± 0,0000005
(45 ± 2,6) x 10-3
NOTAÇÃO CORRETA
5,30 ± 0,06
(200 ± 5) x 10-7
(45 ± 3) x 10-3
Avaliação Estatística de Erros
21DT830 manual
Quando efetuamos várias 
medidas de uma mesma 
grandeza, devemos fazer uma 
análise estatística. Uma 
vantagem é que erros 
aleatórios tendem a se 
cancelar quando fazemos 
médias de varias observações. 
Avaliação Estatística de Erros
22DT830 manual
GRANDEZA FÍSICA X X x1 x2 … xn
Avaliação Estatística de Erros
22
! Valor médio: 
DT830 manual
GRANDEZA FÍSICA X X x1 x2 … xn
Avaliação Estatística de Erros
22
! Valor médio: 
X =
1
n
n
∑
j=1
xj
DT830 manual
GRANDEZA FÍSICA X X x1 x2 … xn
Avaliação Estatística de Erros
22
! Valor médio: 
X =
1
n
n
∑
j=1
xj
! Desvio padrão da média:
DT830 manual
GRANDEZA FÍSICA X X x1 x2 … xn
Avaliação Estatística de Erros
22
! Valor médio: 
X =
1
n
n
∑
j=1
xj
! Desvio padrão da média:
Δx ≡ σm =
1
n(n − 1)
n
∑
j=1
(xj − X )2
DT830 manual
GRANDEZA FÍSICA X X x1 x2 … xn
Avaliação Estatística de Erros
22
! Valor médio: 
X =
1
n
n
∑
j=1
xj
! Desvio padrão da média:
Δx ≡ σm =
1
n(n − 1)
n
∑
j=1
(xj − X )2
! Estimativa do valor da grandeza:
DT830 manual
GRANDEZA FÍSICA X X x1 x2 … xn
Avaliação Estatística de Erros
22
! Valor médio: 
X =
1
n
n
∑
j=1
xj
! Desvio padrão da média:
Δx ≡ σm =
1
n(n − 1)
n
∑
j=1
(xj − X )2
! Estimativa do valor da grandeza:
X = X + Δx
DT830 manual
GRANDEZA FÍSICA X X x1 x2 … xn
Avaliação Estatística de Erros
23DT830 manual
Propagação de Erro
24
Propagação de Erro
! Propagação de erro pelo método das derivadas:
24
Propagação de Erro
! Propagação de erro pelo método das derivadas:
24
Δw =
n
∑
j=1
∂w
∂xj
2
(Δxj)2
Propagação de Erro
! Propagação de erro pelo método das derivadas:
! Exemplo gravitação universal: 
24
Δw=
n
∑
j=1
∂w
∂xj
2
(Δxj)2
Propagação de Erro
! Propagação de erro pelo método das derivadas:
! Exemplo gravitação universal: 
𝐹 = 𝐺
𝑚1𝑚2
𝑑2
24
Δw =
n
∑
j=1
∂w
∂xj
2
(Δxj)2
Propagação de Erro
! Propagação de erro pelo método das derivadas:
! Exemplo gravitação universal: 
𝐹 = 𝐺
𝑚1𝑚2
𝑑2
Considere que nós medimos as massas e a distância e gostaríamos de estimar a força. 
24
Δw =
n
∑
j=1
∂w
∂xj
2
(Δxj)2
Propagação de Erro
! Propagação de erro pelo método das derivadas:
! Exemplo gravitação universal: 
𝐹 = 𝐺
𝑚1𝑚2
𝑑2
Considere que nós medimos as massas e a distância e gostaríamos de estimar a força. 
𝐹 = 𝐹 (𝑚1, 𝑚2, 𝑑)
24
Δw =
n
∑
j=1
∂w
∂xj
2
(Δxj)2
Propagação de Erro
! Propagação de erro pelo método das derivadas:
! Exemplo gravitação universal: 
𝐹 = 𝐺
𝑚1𝑚2
𝑑2
Considere que nós medimos as massas e a distância e gostaríamos de estimar a força. 
𝐹 = 𝐹 (𝑚1, 𝑚2, 𝑑)
Δ𝐹 =
𝜕𝐹
𝜕𝑚1
2
(Δ𝑚1)2 + 𝜕𝐹𝜕𝑚2
2
(Δ𝑚2)2 + 𝜕𝐹𝜕𝑑
2
Δ𝑑2
24
Δw =
n
∑
j=1
∂w
∂xj
2
(Δxj)2
Propagação de Erro
! Propagação de erro pelo método das derivadas:
! Exemplo gravitação universal: 
𝐹 = 𝐺
𝑚1𝑚2
𝑑2
Considere que nós medimos as massas e a distância e gostaríamos de estimar a força. 
𝐹 = 𝐹 (𝑚1, 𝑚2, 𝑑)
Δ𝐹 =
𝜕𝐹
𝜕𝑚1
2
(Δ𝑚1)2 + 𝜕𝐹𝜕𝑚2
2
(Δ𝑚2)2 + 𝜕𝐹𝜕𝑑
2
Δ𝑑2
ΔF = ( Gm2d2 )
2
(Δm1)2 + ( Gm1d2 )
2
(Δm2)2 + 4 ( Gm1m2d3 )
2
(Δd )2
24
Δw =
n
∑
j=1
∂w
∂xj
2
(Δxj)2
Propagação de Erro
! Propagação de erro pelo método das derivadas:
! Exemplo gravitação universal: 
𝐹 = 𝐺
𝑚1𝑚2
𝑑2
Considere que nós medimos as massas e a distância e gostaríamos de estimar a força. 
𝐹 = 𝐹 (𝑚1, 𝑚2, 𝑑)
Δ𝐹 =
𝜕𝐹
𝜕𝑚1
2
(Δ𝑚1)2 + 𝜕𝐹𝜕𝑚2
2
(Δ𝑚2)2 + 𝜕𝐹𝜕𝑑
2
Δ𝑑2
ΔF = ( Gm2d2 )
2
(Δm1)2 + ( Gm1d2 )
2
(Δm2)2 + 4 ( Gm1m2d3 )
2
(Δd )2
Assim
24
Δw =
n
∑
j=1
∂w
∂xj
2
(Δxj)2
Propagação de Erro
! Propagação de erro pelo método das derivadas:
! Exemplo gravitação universal: 
𝐹 = 𝐺
𝑚1𝑚2
𝑑2
Considere que nós medimos as massas e a distância e gostaríamos de estimar a força. 
𝐹 = 𝐹 (𝑚1, 𝑚2, 𝑑)
Δ𝐹 =
𝜕𝐹
𝜕𝑚1
2
(Δ𝑚1)2 + 𝜕𝐹𝜕𝑚2
2
(Δ𝑚2)2 + 𝜕𝐹𝜕𝑑
2
Δ𝑑2
ΔF = ( Gm2d2 )
2
(Δm1)2 + ( Gm1d2 )
2
(Δm2)2 + 4 ( Gm1m2d3 )
2
(Δd )2
Assim
ΔF = F ( Δm1m1 )
2
+ ( Δm2m2 )
2
+ 4 ( Δdd )
2
24
Δw =
n
∑
j=1
∂w
∂xj
2
(Δxj)2
Propagação de Erro
! Propagação de erro pelo método das derivadas:
! Exemplo gravitação universal: 
Considere que nós medimos as massas e a distância e gostaríamos de estimar a força. 
Assim
𝐹 = 𝐺
𝑚1𝑚2
𝑑2
𝐹 = 𝐹 (𝑚1, 𝑚2, 𝑑)
Δ𝐹 =
𝜕𝐹
𝜕𝑚1
2
(Δ𝑚1)2 + 𝜕𝐹𝜕𝑚2
2
(Δ𝑚2)2 + 𝜕𝐹𝜕𝑑
2
Δ𝑑2
ΔF = ( Gm2d2 )
2
(Δm1)2 + ( Gm1d2 )
2
(Δm2)2 + 4 ( Gm1m2d3 )
2
(Δd )2
ΔF = F ( Δm1m1 )
2
+ ( Δm2m2 )
2
+ 4 ( Δdd )
2
25
Δ𝑦 = ∑
𝑖
𝜕𝑦
𝜕𝑥𝑖
2
(Δ𝑥𝑖)2
Propagação de Erro
! Propagação de erro pelo método das derivadas:
! Exemplo gravitação universal: 
Considere que nós medimos as massas e a distância e gostaríamos de estimar a força. 
Assim
𝐹 = 𝐺
𝑚1𝑚2
𝑑2
𝐹 = 𝐹 (𝑚1, 𝑚2, 𝑑)
Δ𝐹 =
𝜕𝐹
𝜕𝑚1
2
(Δ𝑚1)2 + 𝜕𝐹𝜕𝑚2
2
(Δ𝑚2)2 + 𝜕𝐹𝜕𝑑
2
Δ𝑑2
ΔF = ( Gm2d2 )
2
(Δm1)2 + ( Gm1d2 )
2
(Δm2)2 + 4 ( Gm1m2d3 )
2
(Δd )2
ΔF = F ( Δm1m1 )
2
+ ( Δm2m2 )
2
+ 4 ( Δdd )
2
25
Δ𝑦 = ∑
𝑖
𝜕𝑦
𝜕𝑥𝑖
2
(Δ𝑥𝑖)2
Medida da distância:
Errado:
Certo: 
𝑑 = 10.0 ± 0.1 𝑚
ΔF ∝
1
(Δd)2
= 100
ΔF ∝ Δ𝑑 = 0.1
! Considere a equação da Energia cinética 
! Linearização tipo 1: e 
! Linearização tipo 2: aplicando logarítimo dois dois lados da 
equação
 
𝐾(𝑣) =
𝑚𝑣2
2
𝑦 = 𝐾 𝑥 = 𝑣2
𝐴 =
𝑚
2
     𝑒    𝐵 = 0
ln(𝐾 ) = 2ln(𝑣) + ln( 𝑚2 )
𝑦 = ln(𝐾 ),      𝑥 = ln(𝑣),   𝐴 = 2     𝑒    𝐵 = ln( 𝑚2 ) 26
𝒚 = 𝑨 𝒙 + 𝑩
𝒚 = 𝑨 𝒙 + 𝑩
Linearização
Linearização
27
Linearização
! Lei da gravitação Universal:
27
Linearização
! Lei da gravitação Universal:
𝐹 = 𝐺
𝑚1𝑚2
𝑑2
27
Linearização
! Lei da gravitação Universal:
𝐹 = 𝐺
𝑚1𝑚2
𝑑2
! Considerando que queremos fazer um gráfico F(d), usando 
a linearização do logaritimo encontre a reta 
 e diga quem é:𝑦 = 𝐴 𝑥 + 𝐵
27
Linearização
! Lei da gravitação Universal:
𝐹 = 𝐺
𝑚1𝑚2
𝑑2
! Considerando que queremos fazer um gráfico F(d), usando 
a linearização do logaritimo encontre a reta 
 e diga quem é:𝑦 = 𝐴 𝑥 + 𝐵
! 𝑦 =  ?
27
Linearização
! Lei da gravitação Universal:
𝐹 = 𝐺
𝑚1𝑚2
𝑑2
! Considerando que queremos fazer um gráfico F(d), usando 
a linearização do logaritimo encontre a reta 
 e diga quem é:𝑦 = 𝐴 𝑥 + 𝐵
! 𝑦 =  ?
! 𝑥 =  ? 
27
Linearização
! Lei da gravitação Universal:
𝐹 = 𝐺
𝑚1𝑚2
𝑑2
! Considerando que queremos fazer um gráfico F(d), usando 
a linearização do logaritimo encontre a reta 
 e diga quem é:𝑦 = 𝐴 𝑥 + 𝐵
! 𝑦 =  ?
! 𝑥 =  ? 
! 𝐴 =  ?
27
Linearização
! Lei da gravitação Universal:
𝐹 = 𝐺
𝑚1𝑚2
𝑑2
! Considerando que queremos fazer um gráfico F(d), usando 
a linearização do logaritimo encontre a reta 
 e diga quem é:𝑦 = 𝐴 𝑥 + 𝐵
! 𝑦 =  ?
! 𝑥 =  ? 
! 𝐴 =  ?
! 𝐵 =  ?
27
Linearização
28
Linearização
! Lei da gravitação Universal:
28
Linearização
! Lei da gravitação Universal:
𝐹 = 𝐺
𝑚1𝑚2
𝑑2
28
Linearização
! Lei da gravitação Universal:
𝐹 = 𝐺
𝑚1𝑚2
𝑑2
ln F = ln(Gm1m2) − ln(d2) = ln(Gm1m2) − 2 ln(d )
28
Linearização
! Lei da gravitação Universal:
𝐹 = 𝐺
𝑚1𝑚2
𝑑2
ln F = ln(Gm1m2) − ln(d2) = ln(Gm1m2) − 2 ln(d )
! Considerando que queremos fazer um gráfico F(d), usando 
 a linearização do logaritimo, identificamos x, y, A e B de 
 com:𝑦 = 𝐴 𝑥 + 𝐵
28
Linearização
! Lei da gravitação Universal:
𝐹 = 𝐺
𝑚1𝑚2
𝑑2
ln F = ln(Gm1m2) − ln(d2) = ln(Gm1m2) − 2 ln(d )
! Considerando que queremos fazer um gráfico F(d), usando 
 a linearização do logaritimo, identificamos x, y, A e B de 
 com:𝑦 = 𝐴 𝑥 + 𝐵
! 𝑦 = ln(𝐹 )
28
Linearização
! Lei da gravitação Universal:
𝐹 = 𝐺
𝑚1𝑚2
𝑑2
ln F = ln(Gm1m2) − ln(d2) = ln(Gm1m2) − 2 ln(d )
! Considerando que queremos fazer um gráfico F(d), usando 
 a linearização do logaritimo, identificamos x, y, A e B de 
 com:𝑦 = 𝐴 𝑥 + 𝐵
! 𝑦 = ln(𝐹 )
! 𝑥 = ln(𝑑)
28
Linearização
! Lei da gravitação Universal:
𝐹 = 𝐺
𝑚1𝑚2
𝑑2
ln F = ln(Gm1m2) − ln(d2) = ln(Gm1m2) − 2 ln(d )
! Considerando que queremos fazer um gráfico F(d), usando 
 a linearização do logaritimo, identificamos x, y, A e B de 
 com:𝑦 = 𝐴 𝑥 + 𝐵
! 𝑦 = ln(𝐹 )
! 𝑥 = ln(𝑑)
! 𝐴 = − 2
28
Linearização
! Lei da gravitação Universal:
𝐹 = 𝐺
𝑚1𝑚2
𝑑2
ln F = ln(Gm1m2) − ln(d2) = ln(Gm1m2) − 2 ln(d )
! Considerando que queremos fazer um gráfico F(d), usando 
 a linearização do logaritimo, identificamos x, y, A e B de 
 com:𝑦 = 𝐴 𝑥 + 𝐵
! 𝑦 = ln(𝐹 )
! 𝑥 = ln(𝑑)
! 𝐴 = − 2
! 𝐵 = ln𝐺𝑚1𝑚2
28
Regressão Linear
299/21/2020
wikipedia
wikipedia
Δxx y Δy
x1
x2
xn
···
Δx1
Δx2
Δxn
···
Δy1
Δy2
Δyn
···
y1
y2
yn
···
Regressão Linear
! Após a linearização podemos utilizar ferramentas para fazer a 
 regressão linear, nome pomposo para: entre a melhor reta que 
passa por esses pontos.
299/21/2020
wikipedia
wikipedia
Δxx y Δy
x1
x2
xn
···
Δx1
Δx2
Δxn
···
Δy1
Δy2
Δyn
···
y1
y2
yn
···
Regressão Linear
! Após a linearização podemos utilizar ferramentas para fazer a 
 regressão linear, nome pomposo para: entre a melhor reta que 
passa por esses pontos.
! Reta: Encontre os valores de A e B que minimiza a 
função:
y = ax + b
299/21/2020
wikipedia
wikipedia
Δxx y Δy
x1
x2
xn
···
Δx1
Δx2
Δxn
···
Δy1
Δy2
Δyn
···
y1
y2
yn
···
Regressão Linear
! Após a linearização podemos utilizar ferramentas para fazer a 
 regressão linear, nome pomposo para: entre a melhor reta que 
passa por esses pontos.
! Reta: Encontre os valores de A e B que minimiza a 
função:
y = ax + b
χ2(a, b) =
n
∑
i=1 [
yi − (axi + b)
Δyi ]
2
299/21/2020
wikipedia
wikipedia
Δxx y Δy
x1
x2
xn
···
Δx1Δx2
Δxn
···
Δy1
Δy2
Δyn
···
y1
y2
yn
···
Regressão Linear
309/21/2020
wikipedia
wikipedia
Δxx y Δy
x1
x2
xn
···
Δx1
Δx2
Δxn
···
Δy1
Δy2
Δyn
···
y1
y2
yn
···
Regressão Linear
319/21/2020
wikipedia
wikipedia
Δxx y Δy
x1
x2
xn
···
Δx1
Δx2
Δxn
···
Δy1
Δy2
Δyn
···
y1
y2
yn
···
Regressão Linear
9/21/2020 32