Porcentagem: cálculo e estratégias

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Porcentagem
Porcentagem
➢ Proporção de uma quantidade ou grandeza em relação a uma outra 
avaliada sobre a centena;
➢ Está associada à divisão de um determinado número;
➢ É representado pelo símbolo “%”.
Representações
A porcentagem pode ser representada pelas seguintes formas:
a) Percentual 
b) Fracionária 
c) Decimal
37%
37
100
0,37
Cálculo da Porcentagem
O símbolo % significa “dividido por cem”, ou seja, é uma razão.
Observe: 10% significa 10 dividido por 100 ou, simplesmente, 10 por cento.
Exemplo: Calcule 15% de 280.
Solução: Pelo método de resolução de porcentagem, temos
15% 𝑑𝑒 280 =
15
100
∙ 280 = 42
Podemos também calcular pela forma decimal. Vejamos como ficaria o mesmo exemplo
15% 𝑑𝑒 280 = 0,15 ∙ 280 = 42
Estratégias para o Cálculo de Porcentagem
Existem determinados valores percentuais que nos permitem fazer o cálculo 
sem precisar utilizar o cálculo de porcentagem, ou seja, basta fazer a divisão 
do número por um determinado valor. 
Vejamos eles:
Para encontrar 1% de um número, divide o número por 100;
Para encontrar 5% de um número, divide o número por 20;
Para encontrar 10% de um número, divide o número por 10;
Para encontrar 20% de um número, divide o número por 5;
Para encontrar 25% de um número, divide o número por 4;
Para encontrar 50% de um número, divide o número por 2.
Exemplo
No exemplo anterior, podemos ver que 15% de 280 resulta em 42. Esse cálculo 
poderia ser feito da seguinte forma:
15% = 10% + 5%
Assim, podemos calcular separadamente. Temos que
10% 𝑑𝑒 280 =
280
10
= 28
5% 𝑑𝑒 280 =
280
20
= 14
28 + 14 = 42
Observação: Nem precisaríamos fazer 5% de 280, visto que ele obrigatoriamente seria a metade do 
valor resultante de 10% de 280.
Determinando a porcentagem
Determinar a porcentagem está diretamente ligado aos números decimais e taxas percentuais.
Vejamos, com um exemplo, como calcular a porcentagem que uma parte representa de um todo.
Exemplo: Num jogo de basquete, um atleta fez oito arremessos, acertando seis deles. Qual foi a 
porcentagem de acertos desse atleta?
Solução: Porcentagem é uma fração que se apresenta na forma de fração
centesimal. Assim sendo, o primeiro passo é determinar a fração de acertos do atleta
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑡𝑜𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑟𝑒𝑚𝑒𝑠𝑠𝑜𝑠
=
6
8
= 0,75
Podemos escrever isso na forma fracionária
0,75 =
75
100
= 75%
Determinando a Porcentagem
Generalizando, a porcentagem que uma parte representa do todo é dada por:
Parte
Todo
∙ 100
Exercício
Calcule os valores a seguir, usando estratégias que facilitem o cálculo:
a) 10% de 540.
b) 20% de 540.
c) 30% de 540.
d) 15% de 540.
e) 5% de 540.
f) 75% de 540.
Exercício
Em uma estante, 20% dos livros são de Geografia, 30% são de Biologia e o 
restante é de Matemática. Sabendo-se que, ao todo, há 180 livros na 
estante, quantos são os livros de cada matéria?
Exercício
João, Maria e José treinavam diariamente chutes a gol em um parque. Certo 
dia, João fez 7 gols em doze chutes; Maria fez 10 gols em dezesseis chutes e 
José fez 5 gols em nove chutes. Qual pessoa dos três obteve um melhor 
aproveitamento?
Fator de Aumento e Fator de Redução
Em várias situações do cotidiano, é necessário calcular valores acrescidos de 
algum percentual ou que tenham algum percentual de desconto. Nessas 
situações, pode-se trabalhar com as taxas percentuais na forma decimal e 
utilizar os fatores de aumento ou de redução.
Tome Nota: O termo fatores está associado à operação de multiplicação.
Exemplo
Considere que o preço inicial de uma mercadoria corresponde a 100%, 
analise as situações e responda o que se pede.
a) Se o preço da mercadoria for aumentado em 20%, qual será o percentual 
a pagar?
Solução:
100% + 20% = 120%
b) Se o preço da mercadoria for aumentado em 30%, qual será o percentual 
a pagar?
Solução:
100% + 30% = 130%
Exemplo
a) Se a mercadoria sofrer um desconto de 40%, qual o percentual será a 
pagar?
Solução:
100%− 40% = 60%
b) Se a mercadoria sofrer um desconto de 15%, qual o percentual será a 
pagar?
Solução:
100%− 15% = 85%
Fator de Aumento
Se um valor inicial sofrer um aumento percentual correspondente a 
uma taxa i, seu valor final será igual ao valor inicial multiplicado pelo 
fator (1 + i), denominado fator de aumento. Ou seja:
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 ∙ 1 + 𝑖 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙
Exemplo
Devido a pandemia do COVID-19, o preço do álcool gel sofreu um 
aumento de 12,5%. Se a garrafa de álcool gel era vendida a R$ 13,00, 
qual o valor que passará a custar depois do aumento?
Solução: Pelo fator de aumento, temos
13 ∙ 1 + 0,125 = 13 ∙ 1,125 = 14,62
Portanto, o preço do álcool gel passará a custar R$ 14,62.
12,5
100
= 0,125
Fator de Redução
Se um valor percentual sofrer um desconto percentual correspondente 
a uma taxa i, seu valor final será igual ao valor inicial multiplicado pelo 
fator (1 – i), denominado fator de redução. Ou seja:
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 ∙ 1 − 𝑖 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙
Exemplo
Devido a crise financeira, as vendas de mochila caíram drasticamente. Para 
tentar enfrentar essa crise, as lojas oferecem diversos tipos de promoções 
para atrair o cliente. Em uma dessas lojas, uma mochila que custa R$ 128,00, 
está em promoção, tendo 30% de desconto à vista. Assim, a pessoa que 
comprar essa bolsa a vista pagará quanto por ela?
Solução: Pelo fator de desconto, temos que
128 ∙ 1 − 0,30 = 128 ∙ 0,70 = 89,6
Aumentos e Descontos Sucessivos
➢ Em diversos casos, é possível haver aumentos e descontos 
sucessivos.
➢ O sistema de capitais é um bom exemplo, que está ligado a bolsa de 
valores, que este está ligado em variações de aumento e desconto.
Aumentos Sucessivos
Podemos representar aumentos sucessivos pela seguinte fórmula:
𝑉𝐹 = 𝑉𝐼 ∙ 1 + 𝑖1 ∙ 1 + 𝑖2 ∙ ⋯ ∙ 1 + 𝑖𝑛
Onde,
𝑉𝐹 é o valor final;
𝑉𝐼 é o valor inicial;
𝑖1, 𝑖2, … , 𝑖𝑛 são as possíveis taxas de aumento.
Observação: Um exemplo de aumento sucessivo é a inflação nos preços dos 
produtos.
Exemplo
Um acionista investiu na bolsa de valores da China, onde aconteceu três aumentos sucessivos 
de 5%, 6% e 3%. Sabendo que antes dos acréscimos, o preço original de uma ação era de R$ 
30,00, qual o preço atual após os acréscimos sucessivos?
Solução: Pela fórmula de aumentos sucessivos, temos
𝑉𝐹 = 𝑉𝐼 ∙ 1 + 𝑖1 ∙ 1 + 𝑖2 ∙ 1 + 𝑖3
𝑉𝐹 = 30 ∙ 1 + 0,05 ∙ 1 + 0,06 ∙ 1 + 0,03
𝑉𝐹 = 30 ∙ 1,05 ∙ 1,06 ∙ 1,03
𝑉𝐹 = 34,39
Portanto, as ações passaram de R$ 30,00 para R$ 34,39.
Descontos Sucessivos
Podemos representar aumentos sucessivos pela seguinte fórmula:
𝑉𝐹 = 𝑉𝐼 ∙ 1 − 𝑖1 ∙ 1 − 𝑖2 ∙ ⋯ ∙ 1 − 𝑖𝑛
Onde,
𝑉𝐹 é o valor final;
𝑉𝐼 é o valor inicial;
𝑖1, 𝑖2, … , 𝑖𝑛 são as possíveis taxas de descontos.
Exemplo
João é vendedor de uma loja de sapatos. Para seu cliente José, ele ofereceu dois 
descontos sucessivos de 20% e 30% num mesmo par. Sabendo que o preço original do 
sapato era de R$ 1.500,00, qual o valor que José pagou depois dos descontos?
Solução: Pela fórmula de descontos sucessivos, temos
𝑉𝐹 = 𝑉𝐼 ∙ 1 − 𝑖1 ∙ 1 − 𝑖2
𝑉𝐹 = 1500 ∙ 1 − 0,20 ∙ 1 − 0,30
𝑉𝐹 = 1500 ∙ 0,8 ∙ 0,7
𝑉𝐹 = 840
Portanto, José pagará R$ 840,00 pelo par de sapatos.
Aumentos e Descontos Sucessivos “Juntos”
Pode existir a situação em que um determinado valor sofre variação de aumento e variação de desconto 
em certos períodos.
Exemplo: Um artigo que custava R$ 200,00 teve uma autorização de aumento de 65%. Logo em seguida, a 
indústria que fabricava o artigo resolveu dar um desconto de 40% em cima do preço que foi atualizado. 
Quanto custará o referido artigo?
Solução: Como houve um aumento e um desconto, temos que
𝑉𝐹 = 𝑉𝐼 ∙ 1 + 𝑖1 ∙ 1 − 𝑖2
𝑉𝐹 = 200 ∙ 1 + 0,65 ∙ 1 − 0,40
𝑉𝐹 = 200 ∙ 1,65 ∙ 0,60
𝑉𝐹 = 198
Portanto, o artigo irá custar R$ 198,00
Cálculo de taxas percentuais
➢ Em alguns casos, é necessário calcular a porcentagem que uma 
quantidade representa de outra;
➢ Essas taxas são conhecidas como taxa de aumento percentual e taxa 
dedesconto percentual.
Taxa de aumento de redução percentual
Para calcular a taxa percentual de aumento ou de redução de um 
determinado valor, divide-se o valor final 𝑉𝐹 e calcula-se a diferença.
Taxa Percentual
(Aumento)
𝑉𝐹
𝑉𝐼
− 1
Taxa Percentual
(Desconto)
1 −
𝑉𝐹
𝑉𝐼
Exemplo
Na semana passada, Laura viu um tênis que custava R$ 160,00. Quando voltou à loja para 
compra-lo, ela teve uma surpresa desagradável, pois o preço tinha sido aumentado para 
R$ 200,00. Como Laura pode calcular qual foi o percentual de aumento?
Solução: Pela fórmula de taxa de aumento percentual, temos
𝑉𝐹
𝑉𝐼
− 1
200
160
− 1
1,25 − 1 = 0,25
Portanto, o aumento foi de 25%
Exemplo
Lucas ia gastar R$ 300,00 para colocar pneus novos em seu carro. Após negociar com o 
vendedor, ele conseguiu um desconto e pagou R$ 240,00. Qual foi o percentual 
correspondente ao desconto?
Solução: Pela fórmula de taxa de desconto percentual, temos
1 −
𝑉𝐹
𝑉𝐼
1 −
240
300
1 − 0,8 = 0,2
Portanto, Lucas teve 20% de desconto.
Exercício
Calcule:
a) 20% de 250 b) 3% de 90
c) 64% d) (20%)²
Exercício
Quanto é 30% de 45%?
Exercício
(Enem) No contexto da matemática recreativa, 
utilizando diversos materiais didáticos para motivar 
seus alunos, uma professora organizou um jogo com 
um tipo de baralho modificado. 
No início do jogo, vira-se uma carta do baralho na 
mesa e cada jogador recebe em mãos nove cartas. 
Deseja-se formar pares de cartas, sendo a primeira 
carta a da mesa e a segunda, uma carta na mão do 
jogador que tenha um valor equivalente àquele 
descrito na carta da mesa. 
O objetivo do jogo é verificar qual jogador consegue 
o maior número de pares. Iniciado o jogo, a carta 
virada na mesa e as cartas da mão de um jogador 
são como no esquema:
Segunda as regras do jogo, quantas cartas da mão 
desse jogador podem formar um par com a carta da 
mesa?
a) 9
b) 7
c) 5
d) 4
e) 3
Exercício
(Enem) Uma ponte precisa ser dimensionada de forma que possa ter três pontos de 
sustentação. Sabe-se que a carga máxima suportada pela ponte será de 12 t. O ponto de 
sustentação central receberá 60% da carga da ponte, e o restante da carga será distribuído 
igualmente entre os outros dois pontos de sustentação. 
Use a porcentagem para determinar quanto cada ponto de sustentação receberá de peso 
desta ponte, em kg.
Exercício
Beto teve um aumento em sua mesada, que passou de R$ 170,00 para R$ 
200,00. O aumento percentual foi de, aproximadamente:
Exercício
Sobre o preço de uma mercadoria, foram aplicados dois aumentos de 20% 
seguidos de um desconto de 40%. Após essas variações, o preço voltou ao 
valor inicial, aumentou ou diminuiu?