Pensamento Algébrico

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Prefeitura Municipal de Curitiba 
Secretaria Municipal da Educação 
Superintendência de Gestão Educacional 
Departamento de Ensino Fundamental 
 
 
 
 
MATEMÁTICA 
 
Curso Integrando Saberes no 2.º ano: 
Possibilidades de Sistematização 
 
 
 
 
 
 
 
PENSAMENTO ALGÉBRICO 
 
 
 
Encontro presencial de 28 de outubro de 2019 
2 
 
 
PREFEITURA MUNICIPAL DE CURITIBA 
Rafael Greca de Macedo 
 
SECRETARIA MUNICIPAL DA EDUCAÇÃO 
Maria Sílvia Bacila 
 
SUPERINTENDÊNCIA EXECUTIVA 
Oséias Santos de Oliveira 
 
DEPARTAMENTO DE LOGÍSTICA 
Maria Cristina Brandalize 
 
DEPARTAMENTO DE PLANEJAMENTO, ESTRUTURA E INFORMAÇÕES 
Elizabeth DubasLaskoski 
 
SUPERINTENDÊNCIA DE GESTÃO EDUCACIONAL 
Andressa Woellner Duarte Pereira 
 
DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO INFANTIL 
Kelen Patrícia Collarino 
 
DEPARTAMENTO DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL 
João Batista dos Reis 
 
DEPARTAMENTO DE INCLUSÃO E ATENDIMENTO EDUCACIONAL 
ESPECIALIZADO 
Gislaine Coimbra Budel 
 
COORDENADORIA DE PROJETOS 
Andréa Barletta Brahim 
 
COORDENADORIA DE EQUIDADE, FAMÍLIA E REDE DE PROTEÇÃO 
Carla Andreza Ribeiro Trisotto 
 
DEPARTAMENTO DE ENSINO FUNDAMENTAL 
Simone Zampier da Silva 
 
GERÊNCIA DE CURRÍCULO 
Luciana Zaidan Pereira 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
Apresentação 
 
 
 
Os encontros de formação de professores(as)1 em Educação Matemática, 
que fazem parte do Curso Integrando Saberes, compõem o Programa Veredas 
Formativas da Rede Municipal de Ensino (RME) de Curitiba. 
 Nas Veredas é possível trilhar pelos caminhos do Integrando Saberes do 
1.º ao 5.º ano, sendo um de seus elementos o pensar e o fazer pedagógico em 
Matemática, especialmente por meio da Resolução de Problemas, que tem sido 
um desafio constante para os professores em sala de aula. 
Nesse sentido, o curso de formação, em momento presencial do 
Integrando Saberes de Matemática, procura desenvolver os conhecimentos 
matemáticos relacionados ao pensamento algébrico. 
De acordo com a Base Nacional Comum Curricular (MEC, 2017), o 
trabalho com o pensamento algébrico 
 
tem como finalidade o desenvolvimento de um tipo especial de 
pensamento – pensamento algébrico – que é essencial para 
utilizar modelos matemáticos na compreensão, representação e 
análise de relações quantitativas de grandezas e, também, de 
situações e estruturas matemáticas, fazendo uso de letras e 
outros símbolos. Para esse desenvolvimento, é necessário que 
os alunos identifiquem regularidades e padrões de sequências 
numéricas e não numéricas, estabeleçam leis matemáticas que 
expressem a relação de interdependência entre grandezas em 
diferentes contextos, bem como criar, interpretar e transitar entre 
as diversas representações gráficas e simbólicas, para resolver 
problemas por meio de equações e inequações, com 
compreensão dos procedimentos utilizados. (BRASIL/MEC, 
BNCC, p. 268). 
 
 
1 Na escrita deste documento, destacam-se inicialmente os atores do processo educativo em 
suas formas masculina e feminina. Deste ponto em diante, apresentamos apenas a marca do 
masculino, conforme normatização da Língua Portuguesa para facilitar a leitura do material, sem, 
contudo, desconsiderar a importante caracterização de gênero nos tempos atuais. 
 
4 
 
No respectivo material, destacamos algumas possibilidades de trabalho 
com o pensamento algébrico, desenvolvidas no encontro presencial de formação 
dos professores de 2.º ano, em sintonia com os critérios ensino-aprendizagem 
do Currículo da Rede Municipal de Ensino (RME) de Curitiba e com as 
habilidades da Base Nacional Comum Curricular (BNCC), visando ao contexto 
de sala de aula. 
 
 
 
 
 
 
• Acrescentar elementos ausentes em sequências (repetitivas ou 
recursivas) de números, objetos ou figuras de acordo com critérios 
preestabelecidos. 
• Identificar regularidades em sequências numéricas até 100, 
reconhecendo qual vem antes ou depois. 
• Resolver problemas envolvendo sequências e regularidades. 
 
 
 
 
Conteúdos 
 
 
 
• Resolução de problemas envolvendo ideias algébricas. 
• Leitura e compreensão de situações problemas. 
• Sequências numéricas. 
• Sequências repetitivas e recursivas. 
• Regularidades e critérios. 
 
 
 
 
Objetivos 
 
5 
 
 
 
 
 
 
CURRÍCULO BNCC 
MATRIZ DE 
REFERÊNCIA 
Critérios de ensino-
aprendizagem 
2.º ano 
Habilidades 
2.º ano 
Habilidades - novo 
SAEB - 2.º ano 
• Classifica e ordena objetos 
familiares ou representações 
por figuras por meio de 
atributos e regras (cor, forma, 
tamanho, entre outros). 
 
• Cria e identifica categorias 
de atributos, tais como: cor, 
formato ou tamanho em 
coleções de objetos. 
 
• Acrescenta elementos 
ausentes em sequências 
numéricas de objetos ou de 
figuras, de acordo com 
critérios preestabelecidos. 
 
• Identifica regularidades 
em sequências numéricas 
(até 100), reconhecendo qual 
vem antes ou depois. 
(EF02MA09) Construir 
sequências de números 
naturais em ordem 
crescente ou decrescente 
a partir de um número 
qualquer, utilizando uma 
regularidade estabelecida. 
 
(EF02MA10) Descrever 
um padrão (ou 
regularidade) de 
sequências repetitivas e 
de sequências recursivas, 
por meio de palavras, 
símbolos ou desenhos. 
 
(EF02MA11) Descrever os 
elementos ausentes em 
sequências repetitivas e 
em sequências 
recursivas de números 
naturais, objetos ou 
figuras. 
2A1.1 - Identificar a 
classificação ou 
classificar objetos ou 
representações por 
figuras, por meio de 
atributos, tais como cor, 
forma e medida. 
 
2A1.2 - Inferir ou 
descrever atributos ou 
propriedades comuns 
que os elementos que 
constituem uma 
sequência de números 
naturais apresentam. 
 
2A1.3 - Inferir o padrão 
ou a regularidade de 
uma sequência 
de números naturais 
ordenados, de objetos 
ou de figuras. 
 
2A1.4 - Inferir os 
elementos ausentes em 
uma sequência de 
números naturais 
ordenados, de objetos 
ou de figuras. 
 
 
 
 
 
 
 
Quadro de critérios e habilidades 
 
6 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando a álgebra como um fio condutor curricular 
desde os primeiros anos de escolaridade, os professores 
poderão ajudar os alunos a construir uma base sólida 
baseada na compreensão e nas suas experiências como 
preparação para um trabalho algébrico mais aprofundado 
[...]. Por exemplo, a experiência sistemática com padrões 
poderá vir a desenvolver a compreensão com funções [...] 
e a experiência com os números e suas propriedades cria 
bases para o trabalho posterior com os símbolos e 
expressões algébricas. (NCTM, 2008, p. 39). 
 
 
Iniciando a conversa 
 
 
 
Disponível em: https://educador.brasilescola.uol.com.br/estrategias-ensino/tirinhas-na-aula- 
matematica.htm. Acesso 16 set./2019. 
 
 
Reflexão: 
• Como Cebolinha está calculando a distância? 
• Suponha que cada régua meça 30 cm, qual será a distância, em 
centímetros, até o poste? 
• Qual será o valor da distância em metros? 
• Há relação entre essa tirinha e o pensamento algébrico? Explique. 
 
Desenvolvimento 
https://educador.brasilescola.uol.com.br/estrategias-ensino/tirinhas-na-aula-matematica.htm
https://educador.brasilescola.uol.com.br/estrategias-ensino/tirinhas-na-aula-matematica.htm
7 
 
 
 
Pensamento algébrico: um novo conceito 
 
Mas o que se entende exatamente por pensamento algébrico? Nos 
últimos anos, muitos investigadores têm dedicado atenção a discutir este 
conceito, em especial no contexto do ensino da Matemática nos níveis 
elementares, correspondente aos 1.º e 2.º ciclos do Ensino Básico de Português. 
Dessa discussão, sobressai a associação de pensamento algébrico ao 
reconhecimento daquilo que é geral numa dada situação matemática e à 
expressão dessa generalização (VERSCHAFFEL; GREER; & DE CORTE, 
2007). 
Maria Blanton e James Kaput (2005), investigadores pioneiros nesse 
domínio, designado por alguns autores como Early Algebra, caracterizam o 
pensamento algébrico como o “processo pelo qual os alunos generalizam ideias 
matemáticasa partir de um conjunto de casos particulares, estabelecem essas 
generalizações através de discurso argumentativo, e expressam-nas de formas 
progressivamente mais formais e adequadas à sua idade”. 
Essa conceitualização é consistente com a perspectiva de outros autores, 
como é o caso de Carolyn Kieran, que sublinha a evolução trazida pelos 
defensores do pensamento algébrico. 
Álgebra não é apenas um conjunto de procedimentos envolvendo os 
símbolos em forma de letra, mas consiste também na atividade de generalização 
e proporciona uma variedade de ferramentas para representar a generalidade 
das relações matemáticas, padrões e regras (E.G. MASON, 2005). Assim, a 
Álgebra passou a ser encarada não apenas como uma técnica, mas também 
como uma forma de pensamento e raciocínio acerca de situações matemáticas 
(KIERAN, 2007a, p. 5). 
Desse modo, o foco do pensamento algébrico está na atividade de 
generalizar, importando também esclarecer: 
 
A generalização envolve a extensão deliberada do leque de 
raciocínio ou comunicação para além do caso ou casos 
considerados, identificando e expondo explicitamente o que é 
comum entre os casos, ou elevando o raciocínio ou comunicação a 
8 
 
um nível onde o foco já não são os casos ou situações em si 
mesmas, mas antes os padrões, procedimentos, estruturas, e as 
relações entre eles (que por sua vez se tornam novos objetos de 
nível superior para o raciocínio ou comunicação. (KAPUT, 1999, p. 
6). 
 
Essa ideia de pensamento algébrico contrasta, em muito, com a 
concepção geral prevalecente de Álgebra, derivada da experiência escolar de 
várias décadas. É fácil encontrar registros que caracterizam a Álgebra escolar 
de forma semelhante um pouco por toda a parte: simplificar expressões 
algébricas, resolver equações, aplicar as regras para manipular símbolos, com 
elevado nível de abstração (KAPUT, 1999; PONTE, 2006). 
Deste contraste, ressaltam dois aspectos distintos. Um primeiro é 
que no pensamento algébrico aceita-se que a notação algébrica 
convencional (envolvendo letras, sobretudo as últimas do alfabeto) 
não é o único veículo para exprimir ideias algébricas; a linguagem 
natural, e outros elementos como diagramas, tabelas, expressões 
numéricas, gráficos podem também ser usadas para expressar a 
generalização. (CARRAHER & SCHLIEMANN, 2007; KIERAN, 
2007b). 
 
Curiosamente, esta ideia parece encontrar um eco muito distante, 
na Álgebra retórica, praticada pelos babilônicos há cerca de 4000 
anos, e também nos trabalhos de matemáticos árabes, há cerca de 
1000 anos atrás. Em nenhum destes casos históricos é utilizado um 
sistema estruturado de símbolos, sendo a generalização dos 
processos algébricos envolvidos nos problemas, sustentada por 
descrições verbais. “É importante sublinhar que a história da 
Álgebra não é a história dos símbolos”. (SFARD & LINCHEVSKI, 
1994, p.197). 
 
 
O segundo aspecto que distingue o pensamento algébrico da visão 
tradicional da Álgebra tem a ver com a ênfase nos significados e compreensão. 
A Álgebra escolar tem estado associada à manipulação dos símbolos e à 
reprodução de regras operatórias, tantas vezes aplicadas mecanicamente e sem 
compreensão, parecendo os símbolos terem adquirido um estatuto de 
prioridade. Na realidade, o simbolismo algébrico concentra um poder 
insuperável, possibilitando uma agilidade ímpar na tradução e manipulação de 
informação e na compactação de ideias que só assim se tornam 
operacionalizáveis (Smith, 2003). Em virtude da imposição do uso dos símbolos 
9 
 
e sistemas simbólicos, a Álgebra passou a ser encarada como o estudo ou uso 
desses sistemas. No entanto, no cerne do pensamento algébrico estão os 
significados, está o uso dos símbolos como recurso para representar ideias 
gerais resultantes do raciocínio com compreensão. Trata-se de olhar através dos 
símbolos e não de olhar os símbolos (KAPUT; BLANTON; & MORENO, 2008). 
[...] 
Tarefa com potencial algébrico 
As tarefas têm uma importância significativa em qualquer aula de 
Matemática e, em particular, naquelas em que se pretende desenvolver o 
pensamento algébrico. São elas que constituem o ponto de partida para a 
atividade matemática que os alunos desenvolvem. 
Blanton e Kaput (2008) identificam a transformação das tarefas típicas da 
aula de Matemática como um dos passos que os professores terão de percorrer 
quando interessados em promover o pensamento algébrico nos seus alunos. 
Recomendam a “algebrização” dos problemas aritméticos — a sua conversão de 
problemas aritméticos de resposta única em oportunidades de construção de 
regularidades, conjecturas, generalizações e sua justificação e explicitação. 
Também Kieran (2007a) sublinha a importância das tarefas, em articulação com 
as questões que o professor propõe na sua exploração, destacando como 
característica essencial que conduzam a “sequências estruturadas de operações 
que foquem a atenção dos alunos em aspectos cruciais da forma e da sua 
generalização” (p. 22). Assim, particularmente bem adaptadas ao 
desenvolvimento do pensamento algébrico são as tarefas de natureza 
problemática e as investigações que convidam ao estabelecimento de 
propriedades gerais. 
 
Para ilustrar esses aspectos, apresenta-se em seguida a situação: 
 
E se adicionarmos duas linhas da tabuada? 
 
 
Baseado numa tarefa elaborada com a intenção de proporcionar aos 
alunos a descoberta da propriedade distributiva da multiplicação em relação à 
adição a partir de uma investigação sobre as linhas da tabuada, proposta a uma 
turma de 3.º ano, que tinha estudado as tabuadas até a do cinco. Embora essa 
10 
 
tarefa tenha sido inspirada pelas preocupações relacionadas com o 
desenvolvimento do sentido do número e das operações, segundo Brocardo, 
Serrazina, & Rocha (2008), ela tem, pela sua estrutura, um cunho fortemente 
algébrico. 
 
Atividade: 
E se adicionarmos duas linhas da tabuada? 
1 × 3 = 3 
2 × 3 = 6 
3 × 3 = 9 
4 × 3 = 12 
5 × 3 = 15 
6 × 3 = 18 
7 × 3 = 21 
8 × 3 = 24 
9 × 3 = 27 
10 × 3 = 30 
Já conhecemos muitas tabuadas. Talvez já as conhecemos de cor. Mas, 
quem sabe, não reparamos que há muitas coisas que podemos descobrir nelas. 
 
1. Vejamos um exemplo na tabuada do 3. 
a) Escolha a segunda linha: 2 × 3 = 6 
b) Escolha a quinta linha: 5 × 3 = 15 
c) Adicione os números relativos à ordem 
das linhas: 2 + 5 = 7 
d) Repare na sétima linha da tabuada: 
7 × 3 = 21. Tem alguma coisa a ver 
com a segunda e a quinta? Que relações 
você observa entre os números dessas três linhas da tabuada? 
 
2. Experimente um outro exemplo na tabuada do 3. 
a) Escolha uma linha dessa tabuada… 
b) Escolha outra linha dessa tabuada…. 
c) Adicione os números relativos à ordem das linhas. 
11 
 
d) Repare na linha com o número obtido na alínea anterior. Que relações 
observamos entre os números dessas três linhas da tabuada? 
 
3. Com certeza já validou sua conjectura… 
a) Qual é a sua conjectura acerca do que se passa nos dois exemplos 
anteriores? 
b) Teste-a com outros exemplos de linhas à sua escolha (pode repetir linhas, por 
exemplo, linha 4 e linha 4 para comparar com linha 8). 
c) A sua conjectura é sempre verdadeira? Por quê? Como justificá-la? 
 
4. Será que a sua conjectura é geral? E se, em vez da tabuada do 3, 
experimentarmos agora com outra tabuada? Será que se passa o mesmo? 
Experimente e explique as suas conclusões. 
A professora começou por analisar, em conjunto com toda a turma, o 
primeiro caso para garantir que os alunos compreendessem as explorações 
realizadas. Representou no quadro uma tabuada do três e seguiu as indicações 
da primeira questão, tendo o cuidado de assinalar as linhas selecionadas, para 
que os alunos identificassem a linha completa e não apenas o respectivo número 
de ordem, como alguns pareciam tender a fazer. Após a identificação das linhas, 
a professora pediu aos estudantes que as relacionassem.Professora: “Adicionamos o 2 com o 5 e deu 7 (apontando para os 
números de ordem das linhas). Será que há mais alguma coisa?” 
Os estudantes observavam com atenção e alguns manifestaram-se. 
João: “Duas linhas juntas dá o resultado da outra!” 
Artur: “Ao contrário também dá... se for 21 - 15 é igual à de cima, dá 6.” A 
professora cumprimentou os estudantes pela descoberta e fez uma síntese. 
Professora: “Então, o que vocês estão dizendo é que quando temos a 
linha do dois e a linha do cinco, se adicionarmos os seus resultados, obtemos o 
mesmo resultado que está na linha do 2 + 5, ou seja, na linha do 7.” 
 
E escreveu no quadro, pedindo a colaboração dos estudantes: 
2 × 3 + 5 × 3 = 7 × 3 
 
12 
 
Confirmou depois, novamente, a veracidade dessa expressão com a 
turma, acrescentando: 
 2 × 3 + 5 × 3 = 7 × 3 
 6 + 15 = 21 
 
Seguiu-se, então, a fase do trabalho em grupo. Os estudantes 
organizaram-se em grupos de quatro ou cinco, e a professora distribuiu o 
material. A cada grupo deu uma tabuada do 3, impressa em tamanho grande, 
indicando que a cortassem por linhas para agilizar as suas experiências. Pediu 
aos estudantes que passassem à segunda questão, à investigação do que 
aconteceria com a adição de outras linhas da tabuada do três, recomendando 
que escolhessem números cuja soma não ultrapassasse o dez. 
Os estudantes trabalharam com empenho e foram registrando as 
respectivas experiências, concluindo com facilidade que a relação, verificada 
anteriormente, acontecia também para outros casos de linhas à sua escolha. 
À medida que os grupos iam terminando a exploração da tabuada do três, 
a professora entregava a cada um uma tabuada diferente, ficando dois grupos 
com a tabuada do 2, outros dois com a tabuada do 4 e ainda outros dois com a 
tabuada do 5. Incentivou-os a testar o que aconteceria nas tabuadas diferentes. 
 
 
 
13 
 
Professora: “Será que isto acontece só na tabuada do 3? Será que ela 
tem alguma coisa de especial que faz com que isso aconteça que não acontece 
nas outras?” 
Os estudantes iam fazendo comentários sobre suas hipóteses enquanto 
experimentavam, realizando registros que revelavam aspectos distintos. 
No caso da tabuada do três, os estudantes adotaram o modelo da tabuada 
da professora (em quadrinhos) para ilustrar os casos que experimentaram. Para 
além disso, escreveram também uma expressão numérica e uma frase com a 
conclusão. Note-se que a frase “A soma das 2 linhas é igual ao resultado da 3.ª 
linha” está formulada de forma genérica, revelando que os estudantes não viam 
a propriedade presa a um exemplo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesse outro caso, relativo 
à tabuada do quatro, 
o grupo incluiu 
também experiências 
com a subtração, 
revelando o seu gosto 
e vontade em perseguir 
 a ideia inicial de um 
dos seus estudantes, 
o Artur — situação 
 que não fora prevista 
pela professora. Note-se que não foi o único grupo em que isso aconteceu. 
14 
 
No terceiro caso, relativo à tabuada do cinco, o grupo foi além nas suas 
experiências, estendendo-as para o caso em que a soma dos números de ordem 
das linhas era superior a dez. Tendo escolhido as linhas 7 e 5, precisavam da 
linha 12, mas como ela não estava disponível na tabuada, construíram-na a partir 
da linha do 10 e do 2, “porque dez mais dois dá doze” — explicou oralmente uma 
aluna. 
 
Após a análise coletiva das produções dos estudantes, a professora 
propôs à turma que todos formulassem, em conjunto, uma frase que traduzisse 
a relação para os casos apresentados, o que não foi muito simples. Acabaram 
por adaptar: “Numa tabuada, se juntarmos duas linhas, observamos que vai dar 
numa terceira linha da tabuada e essa terceira linha é a que começa com o 
número que é a soma dos outros dois”. 
Essa frase ficou apenas no registo oral, pois a professora, estando já na 
hora de terminar a aula, optou por passar à tentativa da justificação da relação. 
Interrogou a turma acerca das razões que a explicavam, mas eles não 
adiantaram nada. A professora ilustrou então a partir de um exemplo, recorrendo 
ao significado de multiplicação como adição sucessiva de parcelas iguais. À 
medida que explicava, ia escrevendo no quadro: 
 
2 × 3 + 5 × 3 = 7 × 3 
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 7 × 3 
 
A aula terminou com uma revelação: 
15 
 
Professora: “Usando esta descoberta, a partir daqui vocês é que vão 
descobrir as outras tabuadas que ainda não conhecem!” 
[...] 
A análise desse episódio permite sublinhar alguns aspectos importantes 
que se aprendem com a estrutura da tarefa e com a forma como a professora 
conduziu a sua exploração com vista a promover o pensamento algébrico: 
• Propõe generalizações com grau progressivamente maior de 
abrangência, a fim de que os alunos tenham oportunidade de caminhar de forma 
gradual. 
• Inicia com o trabalho sobre um caso particular para proporcionar aos 
estudantes a familiarização com o que está em questão. 
• Prossegue com outros casos particulares, agora da escolha dos 
estudantes, o que possibilita a obtenção de um grande número de exemplos 
distintos e não controlados pela professora, objetivando aumentar o grau de 
convicção dos estudantes sobre a veracidade da relação. 
• Propõe, em seguida, a mesma exploração, mas em outros contextos 
(outras tabuadas), de modo a ampliar a convicção dos estudantes sobre a 
mesma relação, aplicada a esses novos contextos. 
• Explicita, em cada uma das fases da exploração, o tipo de trabalho a ser 
realizado, como procurar mais exemplos, ver se funciona sempre, questionar se 
será geral ou não, concluir uma regra geral, justificar por que acontece, dando 
oportunidade de os alunos tornarem esse percurso consciente (gerar casos, 
experimentar, conjecturar, testar, explicar). 
Texto adaptado. Disponível em: 
https://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=2ahUKEwjWsN
bd8tfkAhW3IbkGHc9UBqsQFjAAegQIAhAC&url=https%3A%2F%2Fdspace.uevora.pt%2Frdpc
%2Fbitstream%2F10174%2F4301%2F1%2F_Quadrante_vol_XVI_2-2007-pp000_pdf081-
118.pdf&usg=AOvVaw0Ej3XpmMPvbH1_GttdQx1t Acesso em: 17 set. 2019. 
 
Critérios 
No Currículo da RME, temos o seguinte critério de ensino-aprendizagem: 
 
Acrescenta elementos ausentes em sequências numéricas de 
objetos ou de figuras, de acordo com critérios preestabelecidos. 
https://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=2ahUKEwjWsNbd8tfkAhW3IbkGHc9UBqsQFjAAegQIAhAC&url=https%3A%2F%2Fdspace.uevora.pt%2Frdpc%2Fbitstream%2F10174%2F4301%2F1%2F_Quadrante_vol_XVI_2-2007-pp000_pdf081-118.pdf&usg=AOvVaw0Ej3XpmMPvbH1_GttdQx1t
https://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=2ahUKEwjWsNbd8tfkAhW3IbkGHc9UBqsQFjAAegQIAhAC&url=https%3A%2F%2Fdspace.uevora.pt%2Frdpc%2Fbitstream%2F10174%2F4301%2F1%2F_Quadrante_vol_XVI_2-2007-pp000_pdf081-118.pdf&usg=AOvVaw0Ej3XpmMPvbH1_GttdQx1t
https://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=2ahUKEwjWsNbd8tfkAhW3IbkGHc9UBqsQFjAAegQIAhAC&url=https%3A%2F%2Fdspace.uevora.pt%2Frdpc%2Fbitstream%2F10174%2F4301%2F1%2F_Quadrante_vol_XVI_2-2007-pp000_pdf081-118.pdf&usg=AOvVaw0Ej3XpmMPvbH1_GttdQx1t
https://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=2ahUKEwjWsNbd8tfkAhW3IbkGHc9UBqsQFjAAegQIAhAC&url=https%3A%2F%2Fdspace.uevora.pt%2Frdpc%2Fbitstream%2F10174%2F4301%2F1%2F_Quadrante_vol_XVI_2-2007-pp000_pdf081-118.pdf&usg=AOvVaw0Ej3XpmMPvbH1_GttdQx1t
16 
 
O que é um critério? 
• Capacidade para distinguir o verdadeiro do falso, o bom do ruim. 
• Parâmetro usado para estabelecer uma comparação, escolha, julgamento 
ou avaliação: não cumpria os critérios da empresa. 
• Capacidade para opinar ou julgar acertadamente; discernimento. 
• Modo particular de avaliar pessoas, circunstâncias, coisas. [Filosofia] 
• Conceito imprescindível que, num sistema de pensamento, estabelece a 
diferença de julgamentos entre categorias (o bem e o mal); avaliação. 
Fonte:Disponível em: https://www.dicio.com.br/criterio/. Acesso em: 16 set. 2019. 
 
 
O sinal de igualdade 
 O uso do sinal de igualdade é um dos aspectos importantes que se 
modifica com o trabalho algébrico. Observa-se que muitos estudantes costumam 
chegar aos anos finais do Ensino Fundamental sem distinguir os diferentes 
status para o sinal de igualdade. Esse fato pode ser verificado conforme a 
resolução da seguinte situação problema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O resultado do problema está correto, e o significado do sinal de igualdade 
foi utilizado de acordo com o rigor matemático na resolução do problema 
proposto. 
No pensamento algébrico, os estudantes precisarão compreender o 
sentido de equivalência do sinal de igualdade, porém isso não ocorre de maneira 
imediata. Portanto, é necessário desenvolver de forma bastante significativa a 
habilidade de pensar por meio de experiências variadas que desenvolvem o 
João comprou quatro cadernos que custaram R$ 7,00 cada um e uma 
agenda que custou R$ 15,00. Sabendo que ele possui uma cédula de R$ 
50,00 para realizar o pagamento, qual será o seu troco? 
4 x 7 = 28 
28 + 15 = 43 
50 – 43 = 7 
O troco será de R$ 7,00 
https://www.dicio.com.br/criterio/
17 
 
pensamento e as primeiras noções da álgebra, para que assim ocorra a 
compreensão dos conceitos e procedimentos algébricos. 
 
 
Desafios algébricos 
Desafio 1 
Observe a figura a seguir: 
 
a) Na figura 1 tem um quadradinho, na figura 2 quantos quadradinhos a mais 
foram colocados em relação à figura 1? 
 
b) Na figura 3 quantos quadradinhos a mais foram colocados em relação à 
figura 2? 
 
c) Seguindo esse raciocínio, quantos quadradinhos serão necessários para 
desenhar a figura 6? 
Resposta no anexo 1 
Desafio 2 
Resposta no anexo 1 
Observe os números do quadro abaixo: 
 
18 12 24 16 26 8 30 
15 18 20 21 19 
Fonte: www.gabaritou.com.br. Acesso em: set. 2019. 
 
De acordo com o padrão da sequência dos números em cada linha, e 
na relação entre elas, qual é o número que ocupa a casa pintada? 
 
http://www.gabaritou.com.br/
18 
 
SEQUÊNCIAS 
 
Sequências de repetição: os elementos que se repetem formam o motivo da 
sequência, como na Figura 1, em que o motivo de repetição é: triângulo azul e 
triângulo vermelho. 
 
 
Figura 1 – Exemplo de sequência de repetição 
 
 
Sequências recursivas: cada novo elemento é o anterior ampliado, como na 
Figura 2. 
 
Figura 2 – Exemplo de sequência recursiva 
 
Nesse tipo de sequência, não há um motivo de repetição. Alguns autores 
a denominam “sequência de crescimento”. Nessa sequência, o número de 
quadrados aumenta de um em um. 
 
 
DESENVOLVENDO O PENSAMENTO ALGÉBRICO POR MEIO DO JOGO 
 
Jogo da Centena 
Adaptado do Caderno do Mathema, 1.º ao 5.º ano. 
 
Material: 
• Fichas numeradas de 1 a 100 e tabuleiro. 
(Anexo 2) 
 
 
19 
 
Objetivo: 
• Preencher o quadro numérico com todas as fichas numeradas de 1 a 100, 
colocando-as de modo que forme a sequência correta. 
 
 
Como jogar: 
• Embaralhar as fichas, retirar 5 e colocá-las no quadro numérico no local 
correspondente ao número que nela aparece. 
• Distribuir igualmente as fichas restantes entre os participantes. 
• Cada participante, na sua vez, poderá colocar no tabuleiro uma ficha que seja 
um número a mais ou a menos, ou dez números a mais ou a menos do que 
qualquer ficha que esteja colocada no tabuleiro. 
 
Por exemplo: se o 32 estiver no tabuleiro, então o participante poderá colocar 
uma das seguintes fichas: 33 (que é um a mais do que 32), 31 (que é um a 
menos do que 32), 42 (que é dez a mais do que 32) ou 22 (que é dez a menos 
do que 32). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Caso, na sua vez, o participante não tenha uma ficha que seja um número a 
mais, um a menos, dez a mais ou dez a menos do que um número que esteja 
no tabuleiro, ele passa a vez para o próximo participante. 
 
• O jogo finaliza quando o tabuleiro estiver completamente preenchido. 
 
 
 
 22 
31 32 33 
 42 
20 
 
 
 
 
1. Exploração do quadro numérico problematizando algumas situações, como: 
➢ Qual o maior número do quadro? E o menor? 
➢ Que relações existem entre os números que aparecem nas linhas? 
➢ Observe a linha do número 81. O que os números têm em comum? 
➢ Observe a coluna do número 6. Como aumentam os números? O que eles 
têm em comum? 
➢ Questionar sobre a regularidade dos números presentes em outras colunas 
e linhas do quadro numérico. 
 
2. Exploração do tabuleiro do jogo em branco: O que será aquele tabuleiro? Ele 
tem alguma semelhança com outro material exposto na sala? 
 
 
3. Exploração do tabuleiro do jogo com alguns números: 
➢ Quando subtraímos 1 a qualquer número do tabuleiro do jogo, o que 
acontece? O resultado é o antecessor desse número. 
➢ Quando somamos 1 a qualquer número do tabuleiro do jogo, o que 
acontece? O resultado é o sucessor desse número. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMATIZAÇÕES ANTES DO JOGO 
21 
 
 
 
 
1. Observe o tabuleiro do jogo da centena: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Talita estava jogando com Gabriela e conseguiu colocar a ficha de número 
26. Qual ficha poderá ser colocada próxima à dela? Registre no quadro. 
 
b) Daniel tem as fichas de número 7, 56 e 35. Quais fichas ele poderá utilizar 
na sua vez de jogar? Por quê? 
 
 
 5 6 
 16 17 
 27 
 36 37 
 47 
 
 
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 
81 82 83 85 86 87 88 89 90 
91 92 93 94 95 96 97 99 100 
PROBLEMATIZAÇÕES APÓS O JOGO 
22 
 
2. Agora veja o tabuleiro do jogo de Laura e Daniela: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Laura tem a ficha de número 21. Ela poderá utilizar a sua ficha? Explique. 
 
b) Daniela, na sua vez de jogar, disse: “Eu vou colocar o número que é um a 
mais que 77”. Qual número ela colocará? 
 
c) Larissa, logo depois disse: “Eu vou colocar o número que é um a menos que 
45”. Qual número ela colocará? 
 
 
 
 
 
 
1 2 3 4 5 6 10 
 12 13 14 15 16 17 18 19 
 23 24 25 26 27 28 29 30 
 32 33 34 35 36 37 38 39 40 
41 45 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 
61 62 63 64 67 68 69 70 
71 72 73 74 77 79 80 
81 82 83 84 87 88 89 90 
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 
23 
 
3. Desafio! 
 No quadro numérico a seguir, há cinco erros. Descubra e escreva os cinco 
números nos lugares corretos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Quando somamos 1 a qualquer número, o resultado é o sucessor desse 
número. Então, o número que é um a mais que 77 é o seu sucessor. Registre 
essa informação em linguagem matemática. 
 
 
5. Quando subtraímos 1 de qualquer número, o resultado é o antecessor desse 
número. Então, o número que é um a menos que 16 é o seu antecessor. Registre 
essa informação em linguagem matemática. 
 
 
6. Seguindo as regras do jogo, escreva todas as possibilidades para se obter os 
seguintes números: 
 2 3 4 5 6 
 23 
 25 26 27 
 34 35 36 37 38 39 
 45 46 74 
 56 57 
 66 68 69 79 
 75 67 
 85 
 59 96 
24 
 
21 → 
 
39 → 
 
87 → 
 
98 → 
 
 
 
 
Para o número 98, a quarta possibilidade não está presente no quadro 
numérico, mas é possível explorar a reflexão dos estudantes perguntando se 
existe ou não uma resposta e qual resposta eles acham que poderia ser. Pode-
se também, criar com eles, mais uma linha no tabuleiro para explorar sua 
continuidade e confirmar as hipóteses dos estudantes. 
 
 
7. Descubra quanto vale cada figura de modo a tornar a sentença verdadeira. 
a) 20 – 2 = c) 65 – = 61 
 
 
b) + 31 = 41 d) 30 + 70 = 70 + 
 
 
 
 
 
Respostas 
 → 10 → 18 → 4 → 30 
 
 
 
Respostas: 
 
 
 
 
 
http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwiD_Kvy-MnkAhUwGbkGHT0mDXcQjRx6BAgBEAQ&url=/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&ved=&url=https://pixabay.com/pt/vectors/flor-rosa-natureza-%C3%ADcone-desenho-1969921/&psig=AOvVaw21PBeaQ57ryLEzUtfRcJzI&ust=1568331659347854&psig=AOvVaw21PBeaQ57ryLEzUtfRcJzI&ust=1568331659347854https://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&ved=2ahUKEwiXnrzY-snkAhUmF7kGHXVlDK0QjRx6BAgBEAQ&url=https://www.desenhoswiki.com/galerias/desenhos-infantis-de-flores&psig=AOvVaw1cKYU6hOeGZYrf_RWI2ppB&ust=1568332062473791
https://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&ved=2ahUKEwiMxOe5-snkAhVYJrkGHZ4RCLUQjRx6BAgBEAQ&url=https://pixabay.com/pt/vectors/flor-purple-desenho-p%C3%A9talas-304810/&psig=AOvVaw1cKYU6hOeGZYrf_RWI2ppB&ust=1568332062473791
http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=&url=http://galeria.colorir.com/natureza/flores/flor-de-rosa-pintado-por--1461533.html&psig=AOvVaw1cKYU6hOeGZYrf_RWI2ppB&ust=1568332062473791
https://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&ved=2ahUKEwiMxOe5-snkAhVYJrkGHZ4RCLUQjRx6BAgBEAQ&url=https://pixabay.com/pt/vectors/flor-purple-desenho-p%C3%A9talas-304810/&psig=AOvVaw1cKYU6hOeGZYrf_RWI2ppB&ust=1568332062473791
http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwiD_Kvy-MnkAhUwGbkGHT0mDXcQjRx6BAgBEAQ&url=/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&ved=&url=https://pixabay.com/pt/vectors/flor-rosa-natureza-%C3%ADcone-desenho-1969921/&psig=AOvVaw21PBeaQ57ryLEzUtfRcJzI&ust=1568331659347854&psig=AOvVaw21PBeaQ57ryLEzUtfRcJzI&ust=1568331659347854
https://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&ved=2ahUKEwiXnrzY-snkAhUmF7kGHXVlDK0QjRx6BAgBEAQ&url=https://www.desenhoswiki.com/galerias/desenhos-infantis-de-flores&psig=AOvVaw1cKYU6hOeGZYrf_RWI2ppB&ust=1568332062473791
http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=&url=http://galeria.colorir.com/natureza/flores/flor-de-rosa-pintado-por--1461533.html&psig=AOvVaw1cKYU6hOeGZYrf_RWI2ppB&ust=1568332062473791
25 
 
 
 
 
 
 
1. No link: https://periodicos.utfpr.edu.br › rbect › article › download (acesso em: 
set. 2019), você encontra um texto que aprofunda algumas questões sobre o 
pensamento algébrico. Vale a pensa conferir! 
 
2. Um olhar algébrico sobre o Templo Maia Kukulcán 
 
A cultura Maia2 era bastante avançada em diversas áreas do 
conhecimento, inclusive na matemática, acústica e astronomia. Uma das 
maravilhas resultantes desses conhecimentos é o Templo Maia de Kukulcán, 
uma pirâmide localizada no México. 
 
Fonte: Disponível em www.jornalciencia.com Acesso em: set. 2019. 
 
Os maias projetaram esse templo em forma de pirâmide pensando muito 
além de sua beleza. A pirâmide traz relações matemáticas e astronômicas 
incríveis, criadas a partir de necessidades culturais e religiosas do povo maia. A 
construção da pirâmide demandou conhecimento de álgebra e de geometria. 
Pela observação da imagem é possível perceber, por exemplo, a relação 
crescente do topo para a base. Além disso, a pirâmide também apresenta muitas 
 
2
A civilização maia desenvolveu-se na América Central e América do Norte; seus principais centros estavam localizados 
na Guatemala e no México; mas vestígios dessa civilização também foram encontrados em El Salvador, Belize, Honduras 
etc. É uma civilização pré-colombiana e viveu seu auge durante o período entre 250 d.C. e 900 d.C. 
 
 
Ampliando 
file:///C:/Users/Justina/AppData/Local/Temp/No%20link:%20https:/periodicos.utfpr.edu.br%20›%20rbect%20›%20article%20›%20download
file:///C:/Users/Justina/AppData/Local/Temp/No%20link:%20https:/periodicos.utfpr.edu.br%20›%20rbect%20›%20article%20›%20download
file:///C:/Users/Justina/AppData/Local/Temp/No%20link:%20https:/periodicos.utfpr.edu.br%20›%20rbect%20›%20article%20›%20download
http://www.jornalciencia.com/
26 
 
relações com o calendário. Por exemplo, cada lado da pirâmide representando 
as 4 estações do ano, contém uma escadaria com 91 degraus que levam a um 
templo que fica no alto da pirâmide. Multiplicando 91 degraus vezes 4 lados da 
pirâmide, temos 364, somando mais 1 (o templo) temos os 365 dias do ano. 
Para melhor compreensão das relações algébricas da pirâmide pelos 
estudantes, pode-se realizar a construção de pirâmides com blocos de encaixar 
(tipo Lego). 
 
 
Fonte: Disponível em: https://br.depositphotos.com. Acesso em: set. 2019. 
 
 Após as construções, explorar com os estudantes a observação da 
pirâmide e realizar problematizações que os levem à compreensão da sequência 
algébrica, por exemplo: 
˗ A quantidade de pinos em cada degrau da pirâmide é a mesma? 
˗ Qual foi a alteração na quantidade de pinos de cada degrau? É possível 
observar alguma regularidade nessas mudanças? 
 
 Também é possível registrar, com os estudantes, a quantidade de degraus 
de cima para baixo (crescente → 2, 4, 6, 8,10) e de baixo para cima (decrescente 
→ 10, 8, 6, 4, 2), levando-os a observar a regularidade presente nas sequências 
formadas. 
˗ Se a pirâmide de blocos de montar tivesse dois degraus a mais, quantos 
pinos teria o primeiro degrau? 
Os estudantes poderão construir os dois degraus a mais para confirmar 
suas respostas. 
 
 
https://br.depositphotos.com/
27 
 
 
 
Referências 
 
 
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Básica. Base 
Nacional Comum Curricular (BNCC). Brasília, DF: SEB, 2017. Disponível em: 
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofin
al_site.pdf. Acesso em: 6 maio 2019. 
 
______. ______.______.Resolução de problemas no ciclo da alfabetização. 
TV Escola, Salto para o Futuro. Brasília, 2014. 
 
BERTONI, Nilza Eigenheer. Educação e linguagem matemática II: 
numerização. Brasília: Universidade de Brasília, 2007. 
 
CURITIBA. Prefeitura Municipal. Secretaria Municipal da Educação. Currículo 
do Ensino Fundamental, Volume III – Matemática. Curitiba, 2016. 
 
LERNER, Délia. Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto 
Alegre: Artmed, 1996. 
 
SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I.; CÂNDIDO, P. Cadernos do Mathema: Jogos de 
Matemática de 1.º a 5.º ano. Porto Alegre: Penso Editora, 2007. 
 
VAN DE WALLE, J. Matemática no Ensino Fundamental: formação de 
professores e aplicação em sala de aula. Porto Alegre: Artmed, 2009. 
 
TURMA DA MÔNICA. Disponível em: http://turmadamonica.uol.com.br/ 
personagem/cascao/. Acesso em: jun. 2019. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf.%20Acesso%20em:%206%20maio%202019
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf.%20Acesso%20em:%206%20maio%202019
http://turmadamonica.uol.com.br/%20personagem/cascao/
http://turmadamonica.uol.com.br/%20personagem/cascao/
28 
 
 
ANEXOS 
 
 
 
Anexo 1 
 
 
Desafio 1 
 
Respostas 
a) 2 quadradinhos 
b) 3 quadradinhos 
c) A figura 6 possui 21 quadradinhos 
 Figura 6 
 
 
 
 
Desafio 2 
 
Respostas 
18 12 24 16 26 8 30 
15 18 20 21 17 19 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
 
Anexo 2 
 
JOGO DA CENTENA 
 
 
 
 
 
 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 
30 
 
 
TABULEIRO JOGO DA CENTENA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
FICHA TÉCNICA 
 
Simone Zampier da Silva 
DIRETORA DO DEPARTAMENTO DE ENSINO FUNDAMENTAL 
 
Luciana Zaidan Pereira 
GERENTE DE CURRÍCULO 
 
Franciele Sant Ana Loboda 
Pamela Zibe Manosso 
Viviane da Cruz Leal Nunes Vitorino 
EQUIPE PEDAGÓGICA DA GERÊNCIA DE CURRÍCULO 
 
ELABORAÇÃO 
ÁREA DE MATEMÁTICA 
 
Adriane Jaqueline de Oliveira (NRESF) 
Ana Paula Ribeiro (SME) 
Ana Paula Lourenço Fernandes (NREBN) 
Carla Marcela Spannenberg Machado dos Passos (NRECJ) 
Céres de Oliveira Jendreieck (NREBQ) 
Ed Carlos da Silva Rocha (NREBV) 
Fabiana Farias Xavier Weisheimer(NRECIC) 
Helena Aparecida Ferreira (NRETQ) 
Janaína Aparecida Rabelo de Almeida (NRETQ) 
Juliana da Cruz de Melo (SME) 
Justina Inês Carbonera Motter Maccarini (SME) 
Kátia Giselle Alberto Bastos (NREPN) 
Nilma Clotilde Alberti (NREBV) 
Rosania Kasdorf Rogalsky (NREBQ) 
Salete Pereira de Andrade (NREBN) 
Sirlene de Jesus dos Santos da Silva (NRECIC) 
Thaise Gabriele Maioli Salata (NREMZ)