Metodologia_Ensino_Mat_Irene_Cazorla

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Pedagogia . Módulo 5 . Volume 3
METODOLOGIA DO ENSINO DA MATEMÁTICA
Irene Mauricio Cazorla (Org.)
Ilhéus . 2012
Universidade Estadual de Santa Cruz
Reitora
Profª. Adélia Maria Carvalho de Melo Pinheiro
Vice-reitor
Prof. Evandro Sena Freire
Pró-reitor de Graduação
Prof. Elias Lins Guimarães
Diretora do Departamento de Ciências da Educação
Profª. Emilia Peixoto Vieira
Ministério da Educação
Pedagogia | Módulo 5 | Volume 3 - Metodologia do Ensino da Matemática
1ª edição | Julho de 2012 | 476 exemplares
Copyright by EAD-UAB/UESC
Todos os direitos reservados à EAD-UAB/UESC
Obra desenvolvida para os cursos de Educação a Distância da Universidade Estadual de Santa Cruz - UESC (Ilhéus-BA)
Campus Soane Nazaré de Andrade - Rodovia Ilhéus- Itabuna, Km 16 - CEP 45662-900 - Ilhéus-Bahia. www.nead.uesc.br | uabuesc@uesc.br | (73) 3680.5458
Projeto Gráfico e Diagramação
Jamile Azevedo de Mattos Chagouri Ocké João Luiz Cardeal Craveiro
Saul Edgardo Mendez Sanchez Filho
Capa
Saul Edgardo Mendez Sanchez Filho
Impressão e acabamento
JM Gráfica e Editora
Ficha Catalográfica
593	Metodologia do ensino da matemática / Elaboração de conteúdo: Aida Carvalho Vita ... [et al.]. – Ilhéus, BA: Editus, 2012.
175 p. : il. (Pedagogia – módulo 5 – volume 3 – EAD)
ISBN: 978-85-7455-295-8
1. Matemática – Estudo e ensino. 2. Matemática – Metodologia. I. Vita, Aida Carvalho. II. Série.
CDD 510.7
EAD . UAB|UESC
Coordenação UAB – UESC
Profª. Drª. Maridalva de Souza Penteado
Coordenação Adjunta UAB – UESC
Profª. Dr.ª Marta Magda Dornelles
Coordenação do Curso de Pedagogia (EAD)
Profª. Drª. Maria Elizabete Souza Couto
Elaboração de Conteúdo
Profª. Drª. Aida Carvalho Vita Profª. Drª. Eurivalda Ribeiro dos Santos Santana Profª. Ma. Genigleide Santos da Hora
Profª. Drª. Irene Mauricio Cazorla Profª. Ma. Jurema Lindote Botelho Peixoto Prof. Dr. Marcos Rogério Neves
Instrucional Design Profª. Ma. Marileide dos Santos de Oliveira Profª. Ma. Cibele Cristina Barbosa Costa
Profª. Drª. Cláudia Celeste Lima Costa Menezes
Revisão
Prof. Me. Roberto Santos de Carvalho
Coordenação Fluxo Editorial
Me. Saul Edgardo Mendez Sanchez Filho
DISCIPLINA
METODOLOGIA DO ENSINO DA MATEMÁTICA
EMENTA
Fundamentos teórico-epistemológicos do ensino da Matemática. Estudo de conteúdos matemáticos direcionados para a aquisição de competências básicas necessárias à vivência no cotidiano: conteúdos, percursos metodológicos, uso das tecnologias e avaliação. O raciocínio lógico-matemático e situações problemas
- geometria, cálculo mental e operações fundamentais. A Matemática: estudos,
pesquisas e diferentes usos sociais e o significado matemático.
Carga horária: 75 horas, sendo 60 h para estudos e discussão teórico-práticos, e mais 15 h para elaboração e apresentação de oficinas. Em seguida, as refle- xões e aprendizagens das oficinas serão socializadas entre os colegas.
OBJETIVO
A partir do estudo sobre os conteúdos deste módulo, você poderá ser capaz de:
· explicar e utilizar conceitos e métodos matemáticos para propor e
resolver situações-problema junto com seus estudantes;
· planejar atividades de ensino favoráveis ao desenvolvimento de competências do raciocínio lógico-matemático;
· aperfeiçoar sua habilidade de registro escrito e domínio de estratégias
de cálculo mental para resolução de problemas envolvendo aritmética;
· aperfeiçoar sua habilidade de registro e uso de estratégias para modelagem e resolução de problemas geométricos;
· analisar e discutir de maneira crítica os diferentes usos sociais e
significados do conhecimento matemático;
· contribuir para a compreensão da Matemática como uma linguagem que ajuda a compreender o mundo em que o estudante está inserido;
· criar condições para que seus estudantes compreendam a importância
da Matemática na formação para a cidadania.
OS AUTORES
Profª. Drª. Aida Carvalho Vita
Doutora em Educação Matemática pela PUC-SP. Professora Adjunta da UESC. Pesquisa na área de Educação Matemática Inclusiva.
E-mail: aida2009vita@gmail.com
Profª. Drª. Eurivalda Ribeiro dos Santos Santana
Doutora em Educação Matemática pela PUC-SP. Professora Adjunta da UESC. Pesquisa na área de Educação Matemática. E-mail: eurivalda@hotmail.com
Profª. Ma. Genigleide Santos da Hora
Mestre em Educação pela UFBA. Professora Assistente da UESC. Pesquisa na área de Educação Inclusiva.
E-mail: gshora@terra.com.br
Profª. Drª. Irene Mauricio Cazorla
Doutora em Educação Matemática pela UNICAMP. Professora Titular da UESC. Pesquisa na área de Educação Estatística.
E-mail: icazorla@uol.com.br
Profª. Ma. Jurema Lindote Botelho Peixoto
Doutoranda em Difusão do Conhecimento pela Universidade Federal da Bahia (UFBA). Mestre em Matemática pela UFBA. Professora Assistente da UESC. Realiza pesquisa na área de Educação Inclusiva e Divulgação e Popularização da Ciência.
E-mail: jurema@uesc.br
Prof. Dr. Marcos Rogério Neves
Doutor em Educação Matemática pela UFSCar. Professor Adjunto da UESC. Pesquisa na área de Educação Matemática.
E-mail: marcos_neves2001@yahoo.com.br
APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
Visando dar uma visão panorâmica do ensino da Matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental, recorremos às recomendações dos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997).
Assim, estruturamos a disciplina em três blocos de conteúdos conceituais e procedimentais da Matemática, a saber: Números e Operações, Espaço e Forma (Geometria) e Tratamento da Informação (Estatística), apresentados em quatro unidades, com atividades que integram os conteúdos na solução de problemas situados no contexto escolar, nos quais os estudantes tenham uma participação ativa na construção de seus conhecimentos.
SUMÁRIO
 (
1ª
unidade
NÚMERO
E
 
OPERAÇÕES
)
OBJETIVOS
Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de:
· elaborar situações nas quais seus estudantes utilizem o pensamento aritmético, bem como utilizar esquemas para a resolução de situa- ções pertencentes aos campos conceituais das estruturas aditivas;
· explorar ideias sobre os campos conceituais das estruturas aditivas,
bem como os aspectos históricos sobre os números naturais e formas
de calcular para fins de planejamento de aulas;
· discutir sobre a importância pedagógica da análise dos erros dos estudantes ao resolverem situações-problema;
· explorar a análise de erros como estratégia pedagógica para au- xiliar o planejamento, ação e avaliação de aulas e atividades que promovam o desenvolvimento do pensamento aritmético.
 (
Unidade
1
)
1 INTRODUÇÃO: VIVEMOS EM UM MUNDO DE NÚMEROS
Muitas pessoas dizem não gostar de discutir quando o assunto é Matemática e isso acontece, entre tantos motivos, por lembrarem-se de certas aprendizagens escolares, em situações nas quais, via de regra, não conseguiram perceber as aplicações possíveis desses conhecimentos e sua utilidade para a vida, ligando tudo isso a uma percepção de complexidade dessa ciência.
Esta primeira percepção da complexidade da Matemática muitas vezes nos faz perder de vista o fato de que suas ideias e formas de pensamento mais elementares surgiram da reflexão sobre as atividades humanas comuns do dia a dia que envolvem contagem, medição e cálculo.
Enquanto ciência, a Matemática acumulou conhecimentos bastante sofisticados que são estudados por cientistas; mas, se observamos o dia a dia das pessoas a nossa volta, perceberemos que este está repleto de ideias e formas de raciocínio que compõem a base desta ciência. O pedreiro, a cozinheira, o vendedor, a costureira e outros profissionais necessitam interpretar e utilizar quantidades, valores e medidas, mesmo sem dominar os registros escritos associados aos números.
Nesse sentido, podemos observar que, quando crianças, nascemos em um meio onde já se elaboraram ideias sobre números e suas funções. As residências das pessoas costumam ser numeradas; calçados e vestimentas também; telefones e correspondênciasutilizam números; as coisas têm preço; os relógios e calendários controlam o tempo; em brincadeiras infantis são feitas contagens; enfim, antes mesmo de alcançarmos a idade escolar, vivemos em um mundo repleto de números e o mesmo ocorre com as ideias matemáticas sobre espaço e forma, que são a base da geometria.
A reflexão sobre estas experiências é fundamental para uma boa aproximação do estudante com os conteúdos da matemática escolar, de
 (
Metodologia
 
do
 
Ensino
 
da
 
Matemática
)
 (
Número
 
e
 
Operações
)
 (
 
 
 
16
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E
A
D
) (
Pedagogia
)
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UESC
) (
Módulo
 
5
 
I
Volume
 
3
)
maneira significativa. Assim, o professor dos anos (séries) iniciais pode favorecer tais aprendizagens, buscando a ampliação e consolidação desses saberes cotidianos relacionados à Matemática. O ato de lidar com a noção de quantidade exige do sujeito certas competências e habilidades, formas de raciocínio lógico, as quais são interconectadas com o desenvolvimento do conceito de número, das relações entre os números e suas operações.
2 A CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE NÚMERO
A aprendizagem do conceito de número natural começa a ocorrer desde os primeiros anos de vida, quando nossa mente começa a diferenciar os objetos no mundo. Uma das habilidades mais básicas que desenvolvemos nesta etapa é observar regularidades (padrões) em coleções de objetos, de modo a perceber e agrupar aqueles que têm a mesma cor ou mesmo formato.
Conforme a criança se desenvolve, outras habilidades vão se desenvolvendo como as capacidades de contagem, seriação, classificação, entre outras. Estas capacidades vão se aperfeiçoando e se articulando de modo a constituir as condições necessárias para que as habilidades de quantificação e operação numéricas se consolidem.
Assim, aquelas atividades de classificação e seriação que realizamos com as crianças desde a educação infantil são fundamentais para estimular as condições necessárias à construção do conceito de número nos anos iniciais do Ensino Fundamental.
Vejamos alguns exemplos de atividades baseadas em imagens do software livre Sistema Tutorial Inteligente (ITS), desenvolvido pela equipe do Prof. Lorenzo Moreno Ruiz, da Universidad de La Laguna, Espanha (PEIXOTO; CAZORLA; VITA, 2011).
a) Seriação: consiste em ordenar ou seriar uma coleção de objetos, segundo uma determinada relação. Por exemplo, na Figura 1, a criança deve analisar qual é a constituição da série e escolher qual será o próximo elemento:
 (
Unidade
1
)
Figura 1 – Exemplo de atividade de seriação com o software ITS.
b) Classificação: é uma operação lógica que organiza a realidade que nos cerca, é o momento no qual a criança separa objetos em classes. Nesse processo estão as relações de pertinência e de inclusão de classes. Na Figura 2 solicita-se que as crianças formem dois grupos, um composto por pássaros e outro por comida.
Figura 2 - Exemplo de atividade de classificação com o software ITS.
c) Quantificadores: expressam relação de quantidade de objetos, identificando onde há mais ou menos objetos, associam elementos e os representam com seus indicadores. Por exemplo, na Figura 3, solicitar à criança que assinale em qual dos dois conjuntos há menos borboletas.
Figura 3 - Exemplo de atividade com quantificadores com o software ITS.
Outra forma de quantificação faz referência à aplicação de quantificadores básicos de uma coleção de objetos (todos, nenhum, alguns, nada, pouco, [...]), como no exemplo da Figura 4.
Figura 4 - Exemplo de atividade de quantificação com o software ITS
 (
Unidade
1
)
d) Contagem: é importante que a criança adquira o senso numérico e a capacidade para distinguir pequenas quantidades, como no exemplo da Figura 5.
Figura 5 - Exemplo de atividade com contagem com o software ITS.
e) Correspondência termo a termo: é o processo no qual são relacionados os objetos com o que lhes é correspondente, como no exemplo da Figura 6.
Figura 6 - Exemplo de uma atividade de correspondência com o software ITS.
f) Reconhecimento: significa reconhecer as diversas representações associadas ao número. Na Figura 7, a criança deve reconhecer a escrita numérica e a escrita na língua materna, neste caso, em português.
Figura 7 - Exemplo de atividade de reconhecimento com o software ITS.
g) Ordinalidade: é a capacidade de definir um conjunto de valores no qual cada valor, exceto o primeiro, tem um único antecessor, e cada valor, exceto o último, tem um único sucessor, conforme Figura 8.
Figura 8 - Exemplo de atividade com ordenação com o software ITS.
 (
Unidade
1
)
h) Cardinalidade: é o reconhecimento do número de elementos que compõem o conjunto, isto é, a identificação da quantidade.
Figura 9 - Exemplo de atividade com cardinalidade com o software ITS.
Quando a criança, espontaneamente ou estimulada pelo professor, brinca de contar, de agrupar objetos pelas semelhanças, elaborando um sistema de classificação, de comparar tamanho, largura ou altura dos objetos, ela está construindo o conceito de número, bem como de suas representações.
Daí, o professor dos anos (séries) iniciais deve proporcionar situações diversificadas com materiais variados para trabalhar as relações matemáticas, fazendo com que os alunos progridam em seu conhecimento matemático.
Assim, a criança interage com o meio ambiente através da sua inteligência, da sua noção de quantidade e da sua representação dos sistemas de numeração. Inicialmente explora o local, manipulando objetos, materiais e brinquedos, depois passa a organizá-los e, finalmente, consegue trabalhar mentalmente com as ideias numéricas, elaborando seu conhecimento.
É por volta dos sete anos que a criança chega à ideia operatória do número, mas apoiando-se em duas capacidades lógicas do raciocínio: classificação e seriação. Essas capacidades colaboram para percepção dos agrupamentos de base dez que estruturam o Sistema de Numeração
Decimal e constituição do conceito de número natural.
A esse respeito, o número pode ser considerado a síntese coordenada e reversível das estruturas cognitivas que percebem e operam a classificação (com inclusão hierárquica) e a seriação, num sistema único (PIAGET, 1978).
Figura 10 – Ordem e inclusão de classe. Fonte: Elaborado pelos autores.
A partir desta síntese, a criança pode tanto focalizar mentalmente agrupamentos como a dezena e a centena, quanto decompor mentalmente esses agrupamentos para considerar uma a uma as unidades que os constituem.
A partir da abstração das quantidades, ocorre uma fusão dos dois sistemas de classes e de relações num único sistema - o chamado sistema dos números naturais - o qual elimina as limitações próprias dos procedentes. As investigações a respeito da construção do número pela criança mostram que a gênese do número engendra ao mesmo tempo os números cardinais e os números ordinais.
Portanto o número não é um dado primitivo correspondente a uma intuição inicial, mas constrói-se na interação com o mundo, com as
 (
Unidade
1
)
coisas, com as situações-problema, com a cultura, de modo operatório a partir de estruturas cognitivas mais simples que se aperfeiçoam, articulam e coordenam, num processo gradativo que se desenvolve ao longo de todos os anos iniciais. A Figura 11 organiza alguns elementos importantes neste processo.
Figura 11 – Mapa conceitual da formação do conceito de número. Fonte: Elaborado pelos autores com base nas ideias de Kamii (1995) e Zunino (1995).
Para a construção do conceito de número nos anos iniciais, com toda sua operacionalidade, são necessárias ainda aprendizagens de
dimensões qualitativas relacionadas ao processo de quantificação.
Quando a criança está diante de um conjunto de elementos de igual forma, tamanho e cor, como, por exemplo, uma coleção de tampinhas de garrafas plásticas, ela procede automaticamente para contagem, agrupamento, separação entre outros. Através desses movimentos, ela pode conferir a dualidade, cardinalidade e ordinalidade, correspondência um a um etc. Contudo, o que acontece quando precisamos quantificargrandezas contínuas, como, por exemplo: comprimento, área, volume, tempo? Neste caso, a criança recorre à comparação, mas a inclusão hierárquica, por exemplo, não fica mais evidente.
Portanto é importante explicitar as nuances da formação do conceito de número, quando estamos diante de conjuntos ou grandezas não enumeráveis. Estas tensões entre qualidade versus quantidade e entre o discreto (aquilo que podemos contar ou enumerar) e o contínuo (aquilo que medimos) podem ser encontradas no trabalho de Brolezzi (1997).
A Figura 12 ilustra a diferença entre o número discreto, aquilo que resulta do processo de contagem, e o número contínuo, aquilo que resulta das medidas. No caso das grandezas como comprimento, área, massa etc., é necessária a criação de unidades de referência, que permitem ao homem tratar essas quantidades da mesma forma.
 (
Figura
 
12
 
–
 
Tensões
 
entre
 
quantidade/qualidade,
 
contínuo/discreto.
 
Fonte:
 
Elaborado
 
pelos
 
autores.
)
 (
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1
)
Nesse sentido, os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN (BRASIL, 2000) enfatizam que, no ensino fundamental, o conhecimento de números é construído pelo aluno quando ele trabalha com situações em que o número aparece como instrumento na resolução de problemas e também como objeto de estudo em si mesmo, quando observam suas propriedades, relações e o modo como o conceito de número foi historicamente construído.
Assim, o aluno perceberá a existência de diversas representações de números em função dos diferentes problemas que a humanidade teve que enfrentar: números naturais, inteiros positivos e negativos, números racionais e irracionais. Também quando se deparar com situações– problema, envolvendo adição, subtração, multiplicação e divisão, ele irá ampliar seu conceito de número.
O trabalho com as operações deve se concentrar na compreensão dos diferentes significados de cada uma delas, nas relações existentes entre elas e no estudo reflexivo do cálculo, contemplando os diferentes tipos: exato e aproximado, mental e escrito.
Na próxima seção, apresentaremos uma visão histórica da invenção do número pelo homem e do surgimento dos sistemas de numeração, em especial do sistema de numeração decimal e as operações fundamentais.
3 A INVENÇÃO DOS NÚMEROS, SISTEMAS DE NUMERAÇÃO E OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
A necessidade de contar, possivelmente, começou com o desenvolvimento das atividades humanas. Quando o homem deixou de ser nômade para se fixar na terra, desenvolvendo a agricultura e o pastoreio, era necessário o conhecimento do tempo, das estações do ano e das fases da Lua e assim começaram a surgir as primeiras representações de quantidades, como os entalhes nas pedras, desenhos, formas de calendário etc.
No mundo atual, convivemos com muitos números. Para que nossa sociedade se desenvolva, precisamos lidar com números muito grandes, como o número de estrelas do universo (70.000.000.000.000.00
0.000.000, 70 sextilhões) e muito pequenos, como a massa de um próton (0,00000000000000000000000000167 gramas). Por isso precisamos de um sistema de numeração que seja adequado nos dias de hoje, como o sistema de numeração que usamos. Esse sistema de numeração é chamado indo-arábico ou Sistema de Numeração Decimal. Ele foi criado no século III a.C. e é utilizado até hoje.
Para falar sobre o sistema de numeração, temos dois focos: um deles é compreender sua formação, fazendo um breve histórico da contagem, passando pela importância dos ábacos e outro é descrever suas características e como trabalhar com os alunos suas operações e o cálculo mental.
3.1 O homem aprendeu a contar
Registros históricos revelam que o homem contava utilizando a correspondência um a um (biunívoca) recorrendo a diversos artefatos, como pedrinhas, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos de marcação.
Os livros didáticos sempre ilustram a correspondência um a um com a história de pastores contando o seu rebanho, associando uma pedrinha a cada ovelha a ser contada. A palavra que usamos hoje, cálculo, é deriva- da da palavra latina calculus, que significa pedrinha.
Fonte: http://matematica.no.sapo.pt/nconcreto.htm
Mas como surgiram os símbolos numéricos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, usados hoje? Segundo Duarte (2001), a origem da base decimal do atual sistema de numeração está na utilização dos dedos da mão (Figura 13), através do estabelecimento de uma relação de correspondência um a um entre cada dedo e cada elemento da coleção a ser contada (Figura 14).
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Unidade
1
)
Figura 13 – Os dedos das mãos como origem do Sistema de Numeração Decimal. Fonte: UAB/UESC
Figura 14 – Correspondência um a um ou biunívoca
Fonte: Ideia elaborada pelos autores baseado em Imenes (1988) / UAB-UESC.
Além dos dedos, o homem também utilizou as falanges e articulações para contar. Segundo Ifrah (2000), uma técnica comum praticada na China, Índia e Indochina era contar usando cada falange como uma unidade, começando numa das mãos pela falange inferior do dedo mindinho e terminando na falange superior do polegar (pode-se também começar pela falange superior do anular e terminar na falange do polegar). É possível contar de 1 a 28 com as duas mãos (Figura 15).
Na China, algumas mulheres calculavam o seu ciclo menstrual atando, sucessivamente, a cada dia um pequeno cordão nas vinte e oito falanges de suas mãos.
Figura 15 – Técnica de contagem utilizando as falanges das duas mãos.
Fonte: modelo Ifrah (2000) - UAB/UESC.
Uma prática também muito antiga (o mais antigo método para memorizar quantidades) e utilizada em diversas partes do mundo foi a do entalhe. Tratava-se de pegar pedaços de madeira ou ossos, e nesses eram feitos riscos para representar quantidades.
Figura 16 – Modelos de entalhe utilizados para registrar quantidades.Fonte: Ifrah (2000).
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Unidade
1
)
Outras práticas de contagem e registro utilizavam cordas.
A civilização Inca nasceu aproximadamente no início do século XII e surpreendeu a muitos por seu alto grau de conhecimento e prosperidade, pois embora não tivesse conhecimento da roda, nem da tração animal e nem mesmo da escrita como é conhecida hoje, desenvolveu um método muito prático e eficiente para contar: o cordão com nós, denominado quipu (palavra inca que significava nó). Este dispositivo consistia numa corda principal onde eram atados vários cordões de diferentes cores e mais finos do que a corda e, dessa forma, eram feitos nós nesses cordões de diferentes tipos e a intervalos regulares para representar os números. Os homens que cuidavam desses registros eram chamados de quipucamayocs, que quer dizer “guardiães de nós” (Figura 17).
Figura 17 – Quipus e quipucamayocs da civilização Inca.Fonte: Ifrah (2000).
Por exemplo, para representar o número 3.643, faziam-se três nós na parte superior do cordão, dava-se um intervalo e faziam-se seis nós, dava-se então outro intervalo e faziam-se quatro nós e, finalmente, três nós na parte inferior da corda. Era dessa forma que os incas registravam as quantidades.
Os quipus também serviam de representações de calendários, fatos religiosos, estatísticos e para a transmissão de mensagens. A cor de uma cordinha podia significar uma ideia abstrata, por exemplo, o branco expressava a pureza, a paz ou o dinheiro; o amarelo, o ouro, o sol ou a eternidade; o vermelho, o sangue, o fogo e a guerra. Mas a utilidade principal era a contagem e os incas usavam a base decimal nesse processo.
O uso de cordões com nós não foi exclusivo dos incas. Em diferentes regiões, outros povos utilizavam sistemas análogos desde a Antiguidade.
Figura 18 - Ábaco de bolso romano, ábaco chinês (suan-pan) e ábaco japonês (soroban).
Fontes:
1: http://andria-unisc-abaco.blogspot. com/2009_09_01_archive.html;
2: http://www.topolewski.de/pascal/ jufo2003/image/chinesischer-abakus.gif; 3: http://www.cs.nott.ac.uk/~ef/ ComputerXHistory/EarlyHistory/1956- Soroban1170.htm
3.2 
Aperfeiçoando a contagem e o cálculo
À medida que os cálculos foram se tornando cada vez mais complexos, ocupar a mão ou qualqueroutro recurso não era tarefa prática e possível, em algumas regiões. A saída para este problema, ao que tudo indica, foi a criação do ábaco (do grego abax, tabuleiro de areia).
Sua forma variou durante o tempo e com os povos. Os primeiros ábacos eram pequenas bandejas cheias de areia, nas quais se faziam os cálculos ou desenhos de figura. Antes e durante o Império Romano, usaram-se frequentemente estes tabuleiros. Com o tempo, as bandejas de areia foram substituídas por um painel de madeira, pedra ou metal contendo sulcos, nos quais deslizavam pequenas pedras que representavam números. As mais antigas tábuas de contar foram perdidas devido aos materiais perecíveis usados na sua construção. Assim, os antigos foram observando a necessidade de se criar tábuas portáteis e mais duráveis do que as mais antigas. A Figura 18 apresenta alguns exemplos de ábacos utilizados por romanos, chineses e japoneses. Mais detalhes podem
ser encontrados em Peixoto, Santana e Cazorla (2006) e em Nunes, Soledade e Reis (1998).
3.3 Do ábaco aos algoritmos
 (
Unidade
1
)O surgimento do ábaco constituiu uma etapa intermediária antes do sistema de numeração decimal utilizado hoje; pois, por muitos anos, o homem fez seus cálculos utilizando o ábaco e os símbolos numéricos serviam apenas como forma de registro e não eram utilizados para realização de cálculos.
Segundo Ifrah (2000), da queda do Império Romano ao final da Idade Média, a prática das operações aritméticas, mesmo as mais elementares, não estava ao alcance de qualquer um. Apenas uma casta muito privilegiada de especialistas, através de longos estudos, tinha o domínio do uso complicado dos velhos ábacos romanos. Uma multiplicação que hoje uma criança faz com facilidade podia exigir destes especialistas várias horas de um trabalho delicado. Um comerciante desta época que quisesse saber o montante de suas receitas e despesas era obrigado a recorrer aos serviços de um destes especialistas do cálculo.
Mas o sistema de numeração indo-arábico, criado pelos hindus e difundido pelos árabes, não visava apenas registrar quantidades como os sistemas dos romanos e dos gregos, mas também suprir as necessidades do cálculo. Além disso, uma característica fundamental deste sistema é a noção de valor posicional, que já estava presente no ábaco, pois apenas com dez algarismos podem-se representar infinitas quantidades. Eles criaram também um símbolo para representar a coluna vazia do ábaco, símbolo este que gerou o que hoje se conhece como zero.
Neste sistema, ao combinarmos a escrita dos algarismos, podemos escrever diferentes números com um
 (
você
 
sabia?
Em 1949, Joaquim Lima de
 
Moraes, deficiente visual,
 
adaptou o Soroban para
 
uso de cegos, após apren-
 
der a técnica ensinada
 
por imigrantes japoneses,
 
abrasileirando
 
o
 
termo
 
para
 
Sorobã. O soroban adap-
 
tado é composto por uma
 
moldura dividida por uma
 
linha horizontal e vinte e
 
um eixos verticais. É re-
 
vestido internamente por
 
uma borracha compresso-
 
ra, cuja função é deixar as
 
contas fixas; além disso,
 
foram
 
adicionados
 
pontos
 
e
 
traços com a função de se-
 
parar as ordens, classes e
 
facilitar
 
a
 
leitura
 
tátil.
)
Figura 19 – Soroban adaptado comercializado pela Bengala Branca Importação e Comér- cio Ltda.
Fonte: Peixoto, Santana e Ca- zorla (2006).
 (
você
 
sabia?
Al Khawarizmi, matemático
 
muçulmano do século IX,
 
foi
 
um
 
dos
 
responsáveis
 
pela divulgação do sistema
 
de
 
numeração
 
indo-arábico
 
na Europa. Seus trabalhos
 
de
 
aritmética,
 
álgebra
 
e
 
geometria influenciaram o
 
Ocidente e deles surgiram
 
termos como algoritmo e
 
algarismo.
 
Leonardo
 
de
 
Pisa,
 
matemático
 
italiano
 
conhecido
 
como
 
Fibonac-
 
ci, também exerceu forte
 
influência para a aceitação
 
destes novos métodos de
 
cálculo
 
quando
 
escreveu,
 
em 1202, um tratado cha-
 
mado 
Líber Abaci 
(Tratado
 
do ábaco), que contradito-
 
riamente
 
ao
 
título
 
ensinava
 
métodos
 
e
 
processos
 
de
 
cálculo através dos nume-
 
rais
 
indo-arábicos.
Fonte:
 
Ifrah
 
(2000).
)algarismo, dois algarismos, três algarismos, ou com quantos algarismos desejarmos. Exemplo: 3; 45; 367; 2.489; 256.387.
Este sistema proporcionou um grande avanço no desenvolvimento dos cálculos, pois facilitou operar sem o uso do ábaco. O sistema de numeração adotado hoje descende dele.
 (
leitura
 
 
recomendada
Maiores detalhes recomen-
 
damos
 
a
 
leitura
 
de
 
Ifrah
 
(2000)
 
e
 
Boyer
 
(1996).
)Mas deixar de lado o ábaco e operar com os algoritmos não foi algo fácil, nem aconteceu da noite para o dia. Foi um longo processo que encontrou forte resistência na Europa onde os símbolos arábicos eram conhecidos como “pagãos”. A contenda entre os abacistas (defensores ferrenhos dos números romanos e dos cálculos com fichas) e os “algoristas” (defensores do cálculo por algarismo de origem hindu) durou vários séculos. Apesar da vitória dos novos métodos de cálculo, o uso do ábaco ainda era ensinado no século XVIII, e as pessoas ainda conferiam os cálculos feitos por escrito na tábua de fichas (ábaco romano). Só após a Revolução Francesa (1.789), final do século XVIII, os algarismos indo-arábicos se estabeleceram, ficando evidente o triunfo do cálculo moderno na Europa ocidental.
3.4 Consolidação do Sistema de Numeração Decimal (SND)
O grande avanço dado com a criação do sistema decimal com algarismos arábicos foi a transposição de um contexto concreto, e necessariamente finito, representado pelo ábaco, para uma representação com símbolos escritos. Foi, sem dúvida, um passo importante que possibilitou representar e operar com quantidades quaisquer, mas que só foi possível depois de séculos de emprego difundido do ábaco pelos homens (CARDOSO, 1992).
Assim, podemos observar que o sistema de numeração que hoje utilizamos surgiu por meio de um
 (
Unidade
1
)
longo processo de constituição do homem na sua relação com o meio onde vive. E concluímos que o surgimento do ábaco constituiu uma etapa intermediária antes de surgir o SND utilizado hoje, pois, por muitos anos, o homem fez seus cálculos utilizando o ábaco e os símbolos numéricos serviam apenas como forma de registro, mas esses não eram utilizados para a realização de cálculos.
4 O SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL (SND)
Um sistema de numeração é um conjunto de símbolos e de regras utilizado para escrever números (CENTURION, 1994). Essas normas permitem operar quantidades de forma organizada, chegando a resultados consistentes. O SND usado atualmente tem características peculiares:
· é posicional, um mesmo algarismo, em diferentes posições, assume diferentes valores: 123 é diferente de 321;
· as trocas são feitas a cada agrupamento de dez (por isso dizemos que a base é dez), dez unidades formam uma dezena, dez dezenas formam uma centena e assim por diante;
· o símbolo zero representa a ausência de quantidade;
· é multiplicativo: para representar o valor de cada algarismo em 564, recorremos a uma multiplicação 5 x 100, 6 x 10 e 4 x 1;
· é aditivo: a quantidade representada por 564 é 500 + 60 + 4; usa dez símbolos para representar qualquer quantidade.
4.1 O valor posicional, ordens e classes
No SND, utilizamos os símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, denominados de algarismos, para representar as quantidades. Também agrupamos de 10 em 10 para fazer contagens. O princípio posicional permite representar diversas quantidades, utilizando apenas 10 símbolos.
Para compreender melhor o conceito de número e facilitar sua leitura, eles são separados em ordens e classes. A cada algarismo
corresponde uma ordem. Por exemplo, o número 1.223.456 possui 7 ordens e 3 classes.
1.223.456 (um milhão, duzentos e vinte e três mil, quatrocentos e cinquenta e seis unidades).
1 2 2 3 4 5 6
1ª ordem: 6 unidades 2ª ordem: 5 dezenas 3ª ordem: 4 centenas
4ª ordem: 3 unidades de milhar = 3000 unidades 5ª ordem: 2 dezenas de milhar = 20 000 unidades 6ª ordem: 2 centenas de milhar = 200 000 unidades
7ª ordem: 1 unidade de milhão = 1 000 000 unidades
O quadroa seguir apresenta a decomposição do número 1.223.456 e a organização das ordens e classes, até a 3ª classe.
	3ª classe: milhões
	2ª classe: milhares
	1ª classe: unidades simples
	9ª ordem:
	8ª ordem:
	
7ª ordem:
	6ª ordem:
	5ª ordem
	4ª ordem:
	3ª ordem:
	2ª ordem:
	1ª ordem:
	centena de milhão
	dezena de milhão
	
unidade de milhão
	centena de milhar
	dezena de milhar
	unidade de milhar
	
centena simples
	
dezena simples
	
unidade simples
	
	
	1
	2
	2
	3
	4
	5
	6
	
	
	1.000.000
	200.000
	20.000
	3.000
	400
	50
	6
4.2 Valor relativo e valor absoluto
A característica de valor posicional no nosso sistema de numeração está relacionada com o que chamamos de valor relativo ou valor absoluto dos algarismos em um número. No número 777, por exemplo, o algarismo 7 ocupa três posições distintas, portanto três valores relativos: 7, 70 e 700.
	
Número Valor relativo do 7
	Centena
	Dezena
	Unidade
	
	
	7
	7
	7
	
	
	700
	70
	7
	
	
	
	
	
	7
	7 unidades	7 unidades
7 dezenas	70 unidades
7 centenas	700 unidades
	
	
	7
	0
	
	
	7
	0
	0
	
	
	7
	7
	7
	
você sabia?
O quadro a seguir é conheci- do pelos professores das séries iniciais do Ensino Fundamen- tal como QVL (Quadro Valor de Lugar). Geralmente, utilizam as quatro primeiras ordens: unida- de, dezena, centena e unidade de milhar, o que possibilita ex- plorar os agrupamentos e trocas de uma ordem para outra.
Figura 20 – Quadro Valor de Lugar (QVL).
Fonte: http://3.bp.blogspot.com/_7HGlxI3gfRk/SMUj1sdtysI/ AAAAAAAAAdk/-e1VfhoX_Ic/s1600-h/1.JPG
 (
Unidade
1
)
4.3 Por que ensinar o sistema de numeração às crianças?
Para Nunes et al. (2005), a resposta está no fato de que sem um sistema de numeração é impossível trabalhar com quantidades. Os sistemas de numeração permitem registrar quantidades de maneira mais exata do que a percepção, bem como permite lembrar quantidades quando necessário. Os sistemas de numeração ampliam a capacidade de raciocinar sobre quantidades, logo são necessários para que os alunos venham desenvolver sua inteligência no âmbito da matemática, usando instrumentos que a sociedade lhes oferece.
Entretanto as autoras enfatizam que ensinar os sistemas de numeração tem apresentado vários obstáculos, principalmente na relação entre o desenvolvimento da criança e a complexidade da representação numérica usando um sistema de numeração, pois há uma ideia
Embora crianças menores sejam capazes de contar objetos usando a sequên- cia numérica, é a partir dos
6 anos que a maioria das crianças resolve problemas de contagem de dinheiro no mercadinho; porém, mesmo em crianças de 7 anos, podem-se observar dificuldades na compreen- são da composição aditiva (NUNES et al, 2005). Neste contexto, o papel do professor é promover a aprendizagem das ideias matemáticas	envolvidas no SND, propondo ativida- des diversas (com material concreto, fichas, gudes, com dinheiro em situações de compras etc.)
Exemplo: a contagem de dinheiro com notas de di- ferentes valores promove a compreensão da composi-
ção aditiva.
especialmente complexa, a da composição aditiva, que a criança precisa compreender.
 (
atenção
)As atividades de contagem mais comuns entre crianças consistem em contar objetos, estabelecendo uma correspondência um a um entre um objeto e um rótulo numérico que o designa. A compreensão do sistema numérico decimal requer mais do que a simples contagem de elementos; requer lidar simultaneamente com o valor absoluto e o valor relativo dos números. Essa habilidade está ausente na contagem de objetos (SPINILLO, 1994).
Ou seja, os números não são apenas uma sequência de palavras, como uma lista de compras, na qual um item não tem relação com o outro. Na sequência de números, cada item é igual ao anterior mais 1; 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1 etc. E cada número pode ser composto através da soma de dois números que o precedem: 7 = 6 + 1 ou 5 + 2 ou 4 + 3. Portanto a sequência numérica supõe uma organização, denominada composição aditiva.
Além disso, este sistema tem uma organização de natureza multiplicativa: 20 indica 2 dezenas ou 2 x 10; 30 =
3 x 10; 40 = 4 x 10. Essa organização multiplicativa significa que as unidades contadas podem ter valores diferentes: podem ser unidades simples, dezenas, centenas, unidades de milhar etc. Assim, para que uma criança compreenda o SND, ela precisa compreender a ideia de que existem unidades de valores diferentes no sistema e que as unidades podem ser somadas formando uma quantia única (NUNES
 		et al, 2005).
5 COMO OPERAMOS COM ALGORITMOS?
Algoritmo, segundo Pais (2006), é um dispositivo utilizado para a resolução de situações-problema com a intenção de simplificar o cálculo. Ou, simplesmente,
 (
Unidade
1
)
 (
Algoritmo
é
 
o
 
processo
 
de
 
cálculo,
 
ou
 
de resolução de um grupo
 
de
 
problemas
 
semelhan-
 
tes, em que se estipulam,
 
com generalidades e sem
 
restrições, regras formais
 
para obtenção do resulta-
 
do ou da solução de um
 
problema (Novo dicionário
 
Aurélio, 1ª edição, Editora
 
Nova
 
Fronteira).
)um algoritmo é uma norma executável, um conjunto de instruções, para obter uma solução para certo tipo de problema.
Por exemplo, quando queremos fazer um bolo, seguimos uma receita com uma série de etapas, tais como: primeiro bata bem o açúcar, a manteiga e os ovos, em seguida acrescente a farinha, o leite e o fermento e coloque no forno por 30 minutos. Esta sequência de etapas, que faz parte de uma instrução a ser seguida, é um algoritmo.
Na aritmética, você conhece os algoritmos (contas) usuais das quatro operações fundamentais.
5.1 Cálculo mental e algoritmos
Muitas vezes nos deparamos com pessoas que fazem conta de cabeça, sendo que algumas delas não foram sequer escolarizadas. Essas pessoas aprenderam na vida prática, como por exemplo, no comércio, nas transações bancárias etc., propriedades e estratégias matemáticas, devido às necessidades impostas pelas atividades que desempenham. Assim, devem realizar cálculos rapidamente e tomar decisões.
Estas experiências são importantes e devem ser levadas em consideração na sala de aula; pois, quando isto acontece, aproveita-se a oportunidade para fazer a interação entre o conhecimento matemático informal e o formal organizado, explicitar conhecimentos implícitos, desvelar propriedades e relações.
Alguns alunos fazem cálculos de cabeça porque foram estimulados de alguma forma para isso, outros têm mais dificuldade. Mas o professor deve prover os meios para que seu aluno utilize o cálculo mental, utilizando as propriedades das operações.
Algumas propriedades das operações que auxiliam no cálculo mental:
1) Comutativa:
Na adição, a ordem das parcelas não altera a soma 3 + 9 = 9 + 3 = 12
Na multiplicação, a ordem dos fatores não altera o produto: 3 x 4 = 4 x 3 = 12
Genericamente: se a e b representam números naturais, então: a + b = b + a	e	a x b = b x a
2) Associativa:
Na adição, associando de maneiras diferentes as parcelas a soma não se altera
(1 + 3) + 6 = 4 + 6 = 10
1 + (3 + 6) = 1 + 9 = 10,
logo (1 + 3) + 6 = 1 + (3 + 6)
Na multiplicação, associando de maneiras diferentes os fatores, o produto não se altera
(3 x 4) x 5 = 12 x 5 = 60
3 x (4 x 5) = 3 x 20 = 60
Genericamente: se a, b e c representam quaisquer números naturais, então
(a + b) + c = a + (b + c) (a x b) x c = a x (b x c)
3) Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e à subtração
3 x (4 + 3) = 3 x 4 + 3 x 3
3 x (4 – 3) = 3 x 4 – 3 x 3
Genericamente: se a, b e c são números naturais, vale: a x (b + c) = a x b + a x c
a x (b – c) = a x b – a x c
4) Distributiva da adição em relação à divisão
(70 + 5) : 5 = 70 : 5 + 5 : 5 = 24 + 1 = 25
Genericamente: se a, b e c são números naturais com c ≠ 0 vale:
(a+b) : c = a:c + b:c
 (
Unidade
1
)
5.2 Algumas estratégias de cálculo mental
Na soma, podemos:
	
Resolver uma soma: 34 + 25:
a) Primeiro decompomos o 34 = 30 + 4 e o 25 = 20 + 5;
b) Depois comutamos;
c) Em seguida associamos;
d) Por fim somamos, obtendo o resultado 59.
	34	+	25=
	
(30 + 4) + (20+ 5) =
(30 + 20) + (4 + 5) =
50 + 9 =
59
Na subtração, podemos:
	a) Resolver uma subtração fazendo uma adição. Por exemplo: 34 – 25
	25 para 30 = 5
30 para 34 = 4
5 + 4 = 9
	
b) Arredondar e fazer a compensação. Por exemplo: 62-38
	62 – 38 =
(62 – 40) + 2 =
2 + 2 = 24
	
c) Decompor o subtraendo (valor que será subtraído). Por exemplo: 23 – 18
	23 – 18=
(23–10) – 8=
13 – 8 = 5
	
d) Alterar o minuendo para evitar o “empresta um”. Por exemplo: 500 - 365
	500 – 365
(499 – 365) + 1 =
134 + 1 = 135
	
e) Agrupar as parcelas em unidades, dezenas e centenas. Por exemplo: 29 - 15
	29 – 15 =
(20 – 10) + (9 – 5) =
10	+	4	= 14
Na multiplicação, podemos:
	
a) Decompor um dos fatores e usar a propriedade distributiva. Por exemplo: 7 x 15
	
7 x 15 =
(7 x 10) + (7 x 5) =
70 + 35 = 105
	b) Utilizar a propriedade distributiva da multiplicação em relação a soma. Por exemplo: 32 x 5
	(30 + 2) x 5 =
30 x 5 + 2 x 5 =
150 + 10 = 160
Na divisão, podemos:
	
a) Fazer simplificações sucessivas. Por exemplo:
512 : 32
	512 : 32 =
: 2
256 : 16 =
: 2
128 : 8 =
: 2
64 : 4 =
: 2
32 : 2 =
16
	
b) Decompor e utilizar a propriedade distributiva. Por exemplo: 75 : 5
	75 : 5 = (70 + 5) : 5 =
70 : 5 + 5 : 5 =
24 + 1 = 25
As habilidades para fazer estimativas e cálculo mental dão autoconfiança aos alunos e os tornam mais autônomos, permitindo que avaliem as situações e tomem decisões quanto à importância do cálculo exato. Os PCN (BRASIL, 2000), em relação aos procedimentos sobre números e operações no primeiro ciclo, enfatizam a necessidade da
[...] utilização da decomposição das escritas numéricas para a realização do cálculo mental exato e aproxima- do. Cálculos de adição e subtração por meio de estra- tégias pessoais e algumas técnicas convencionais. Cál-
 (
Unidade
1
)
 (
leitura
 
 
recomendada
Recomendamos ler
 
os
 
livros
 
de
 
Carraher;
Carraher; Schliemann
 
(2003)
 
e
 
Kamii;
 
Declark
 
(1995), constantes nas
 
referências.
)culos de multiplicação e divisão por meio de estratégias pessoais. Utilização de es- timativas para avaliar a adequação de um resultado e uso de calculadora para desen- volvimento de estratégias de verificação e controle de cálculos (BRASIL, 2000, p. 72, grifo nosso).
E, no segundo ciclo, reforçam a ênfase no cálculo mental, acrescentando operações com racionais na forma decimal.
5.3 Algoritmos e operações: um olhar diferenciado
Nosso objetivo, nesta etapa, é o de mostrar maneiras diferentes de realizar as operações, sempre que possível, relacionando os algoritmos com o sistema de numeração decimal.
a) Adição
A técnica operatória ou algoritmo da adição sugere que se escrevam as parcelas uma abaixo da outra e que se adicione da direita para a esquerda. Vocês já pensaram por que se faz isto? Será que poderíamos começar da esquerda para a direita?
Algoritmo	Operações Realizadas
	
	2
	5
	3
	1
	=
	2000 + 500 + 30 + 1
	+
	4
	2
	6
	7
	=
	4000 + 200 + 60 + 7
	
	6
	7
	9
	8
	
	2000 + 500 + 30 + 1
A técnica do “vai um” (Adição com reserva)
Esta técnica é utilizada com o objetivo de facilitar a
 (
6
 
+
 
5 =
 
11 =
 
10 +
 
1,fica uma
 
unidade, vai
 
uma dezena
1
 
+
 
5
 
+
 
9
 
=
 
15
 
dezenas =
 
1 centena
 
e 5
 
dezenas, vai
 
uma centena
1
 
+
 
4 +
 
7 =
 
12
 
centenas =
 
1 milhar
 
e 2 centenas,
 
vai um milhar
1 +
 
3 +
 
1 =
 
5 milhares
)interpretação e resolução do algoritmo da adição pelos nossos alunos. Vamos exemplificar esta técnica utilizando a soma das parcelas 3.456 e 1.795.
	3
	4
	5
	6
	+
	7
	9
	5
	1
	
	
	
	5
	2
	5
	1
		
A compreensão desta técnica usual de fazer adição exige a compreensão do sistema de numeração decimal. Sem compreender o que significa os símbolos 3456 e 1795 é impossível entender o processo do “vai um”. Ele se apoia na ideia de agrupamento.
É comum na adição com reserva (ou transporte) dizermos “vai um”. Na verdade, o transporte é de uma dezena, uma centena etc. Para compreender melhor a técnica do “vai um”, vamos efetuar a adição de 1.345
 (
Algoritmo
Operações
 
realizadas
1000 +
 
300 + 40 +
 
5
1000 +
 
400 + 80 +
 
7
2000 +
 
700 +
 
120 +
 
12
Agrupamos
 
uma
 
dezena
e uma centena
10 +
 
2
100 +
 
20
2000 +
 
700 +
 
100
 
+
 
20 +
 
10
 
+
 
2
Aplicamos a proprie-
 
dade
 
associativa
 
da
adição.
800
30
2000
 
+
 
800
 
+
 
30
 
+
 
2
2832
Escrevemos
 
o
 
número
 
no
 
sistema
 
posicional
 
de
 
numeração, onde valem
 
os
 
princípios
 
aditivo
 
e
multiplicativo.
)+ 1.487 (CENTURION, 1994, p. 157).
	
	1
	1
	
	1
	3
	4
	5
	+ 1
	4
	8
	7
	8
	2
	3
	2
b) Subtração
Além de identificar os problemas que podem ser resolvidos com a subtração, é preciso também que a criança aprenda a subtrair. Vamos compreender o processo da subtração utilizando o ábaco. Começamos por um exemplo simples, subtraindo 142 de 563:
Representamos o número 563 no ábaco. A seguir, das três unidades subtraímos 2, das 6 dezenas subtraímos 4 e das 5 centenas subtraímos 1. É importante perceber a relação existente entre o que fazemos com o ábaco e o que fazemos com os símbolos do nosso sistema de numeração.
1	4	2
No algoritmo
5 6 3
-1 4 2
4 2 1
 (
Unidade
1
)
5	6	3	5	6	3
A compreensão desta técnica apóia-se na compreensão do nosso sistema numérico. Agora vamos subtrair 431 de 725:
	a) Representamos o 725 no ábaco:
	b) A seguir, das 5 unidades subtraímos 1:
	
	7
	2
	5
	
	
	
	
	
	7
	2
	5
	-
	4
	3
	1
	
	
	
	
	-
	4
	3
	1
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	4
	c)	Na casa das dezenas, onde temos 2 bolinhas, não podemos retirar 3 por isso desagrupamos uma centena, convertendo-a em dez dezenas:
	
	
	
	
	
6
7 12
- 4 3
	
5
	
	
	
	
	
	4
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	3 1
	
	
	
	
	- 4 3
	1
	
	
	
	
	
	
	
	9 4
	
	
	
	
	2 9
	4
 (
d)
 
Agora,
 
na
 
casa
 
das
 
dezenas,
 
temos
e)
 
Finalmente,
das
6
centenas
12
 
bolinhas
 
e
 
podemos
 
retirar
 
3;
retiramos
 
4
 
e
 
obtemos 294.
6
6
-
 
4
7
 
1
2
 
5
7
 
1
2
 
5
)6 O CAMPO CONCEITUAL ADITIVO
Geralmente, trabalhamos na escola com as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão sem fazer maiores relações com os problemas matemáticos que envolvem tais operações. O pesquisador francês Gérard Vergnaud estudou essas operações de modo a trabalhar os conceitos envolvidos nos problemas matemáticos e relacionados com tais operações.
Esse pesquisador desenvolveu a Teoria dos Campos Conceituais (TCC) que é uma “teoria cognitivista que [...] tem uma forte herança da teoria de Piaget e, também, alguns pontos da teoria de Vygotsky” (SANTANA, 2010, p. 24).
Para Vergnaud (1982, 1996), o Campo Conceitual das Estruturas Aditivas, ou de maneira mais simples, o Campo Aditivo é, ao mesmo tempo, o conjunto das situações cujo tratamento implica uma ou várias adições ou subtrações, e o conjunto dos conceitos e teoremas que permite analisar essas situações como tarefas matemáticas. O Campo Conceitual das Estruturas Multiplicativas ou o Campo Multiplicativo é definido no mesmo sentido do aditivo sendo que as operações são as de multiplicação e divisão.
 (
sugestão
 
de
 
atividade
Antes
 
de
 
estudar
 
sobre
 
a
 
classificação
 
das
 
situações-problema
 
de
 
aditivas,
 
elabore
 
seis
 
situa-
 
ções-problema
 
de
 
adição
 
e/ou
 
subtração.
 
Siga
 
o
 
estilo
 
dos
 
que
 
geralmente
 
você
 
trabalha
 
em
 
sua
 
sala
 
de
 
aula.
 
Essa
 
atividade
 
deverá
 
ser
 
postada.
A atividade tem por objetivo mapear as categorias que você utiliza na sua prática pedagógi-
 
ca. Ao final desta unidade, retome as situações-problema que você elaborou e verifique se
 
trabalha
 
com todas
 
as
 
categorias.
)
 (
Unidade
1
)
Muitas vezes trabalhamos com as operações de adição e de subtração como sendo operações inversas ou contrárias. Na verdade, elas fazem parte de um mesmo Campo Conceitual, o das Estruturas Aditivas, ou seja, essas operações apresentam relações, propriedades, dificuldades e contextos que as fazem pertencer a um mesmo universo de estudo.
Nós, enquanto pesquisadores, procuramos caracterizar esse Campo Conceitual, tecendo considerações a respeito dosdiferentes tipos de situações-problema que envolvem, especificamente, a adição e a subtração. Neste texto, adotamos os termos situação-problema e situação como sinônimos. Usamos as duas formas para nos referirmos aos problemas matemáticos em questão.
Como colocamos anteriormente, para a Teoria dos Campos Conceituais (TCC), o Campo Aditivo é compreendido como o conjunto das situações-problema cujo tratamento implica uma ou várias adições ou subtrações, bem como o conjunto dos conceitos e teoremas que permitem analisar essas situações como tarefas matemáticas. Além disso, as situações são classificadas em seis categorias. De acordo com Magina (2001), tal classificação foi feita baseada em relações matemáticas e nas relações psicológicas que a criança precisa fazer para compreender as situações. Colocamos a seguir seis categorias de situação-problema aditiva, que foram inicialmente definidas por Vergnaud (1982), e que foram redefinidas por Santana (2010). Tal classificação consiste nas seguintes categorias:
a) composição;
b) transformação;
c) comparação;
d) composição de várias transformações;
e) transformação de uma relação; e
f) composição de relações.
Para que você possa entender a que estamos nos referindo, na sequência apresentamos as definições e exemplos de cada uma das categorias.
a) Composição: são situações que apresentam partes e um todo. Exemplo 1: Lia tem duas caixas de bombons. Na primeira tem bombons de chocolate e na segunda tem bombons de morango. Veja, abaixo, um desenho das caixas de bombons de Lia.
Primeira caixa Bombons de chocolate
Segunda caixa Bombons de morango
Quantos bombons Lia tem ao todo?
Segundo a TCC, podemos trabalhar com diagramas que facilitam a compreensão da situação. Observe como fica o diagrama para o exemplo 1:
Composição
 (
6
+
)Parte
 (
?
)Todo
 (
4
)Parte
O diagrama indica as partes que se juntam para determinar o todo. Neste exemplo, as partes são os seis bombons de chocolate e quatro de morango, que vão compor ao todo dez bombons.
b) Transformação: nessa categoria são classificadas as situações que têm um estado inicial, uma transformação e um estado final.
Exemplo 2: Maria tinha R$ 12,00 e comprou uma boneca por R$ 4,00. Com quantos reais Maria ficou?
Para a categoria transformação, o diagrama tem o formato que aparece a seguir, colocado no contexto do exemplo 2:
Transformação
 (
-4
)
12
Estado inicial
 (
?
)Estado final
 (
Unidade
1
)
Observe que o diagrama evidencia um estado inicial que passa por uma transformação para chegar a outro estado que chamamos de final. Na categoria transformação, sempre ocorre uma mudança num determinado tempo. No exemplo 2, o estado inicial é R$ 12,00, e a transformação negativa é R$ 4,00, e o estado final (quantidade de reais que Maria ficou) será R$ 8,00.
c) Comparação: nessa categoria, são classificadas as situações nas quais é estabelecida uma relação entre duas quantidades, uma denominada de referente e a outra de referido.
Exemplo 3: Observe o desenho abaixo e responda: Quantos anos tem Carlos?
Veja a seguir como fica o diagrama da comparação colocado no contexto do exemplo 3:
Comparação
 (
6
)Referente
 (
+7
)Relação
 (
?
)Referido
Observe que o diagrama da comparação indica uma relação entre referente e referido. Na categoria comparação, sempre é feita uma relação entre duas quantidades. Neste exemplo, a idade de Taís é de 5 anos (referente), Carlos tem 7 anos a mais que Tais (relação), dessa forma, Carlos tem 12 anos (referido).
d) Composição de várias transformações: são situações nas quais são dadas transformações e se busca uma nova transformação a partir da composição das transformações dadas.
Exemplo 4: Marta saiu de casa, gastou R$ 7,00 para almoçar e depois gastou R$ 5,00 para jantar. Quanto Marta gastou ao todo?
Para a categoria composição de várias transformações, o diagrama fica no formato apresentado a seguir. Para fazer esse diagrama, usamos o exemplo 4:
Composição de várias transformações
 (
-7
+
-5
)Transformação
 (
?
)Transformação
Transformação
Neste exemplo têm-se duas transformações que vão se juntar para dar lugar a uma única transformação, sendo que a transformação é o gasto de R$ 7,00, a outra transformação é o gasto de R$ 5,00 e a transformação resultante ou única é de R$ 12,00.
e) Transformação de uma relação: são situações nas quais é dada uma relação, e se busca uma nova, que é gerada a partir da transformação da relação dada.
Exemplo 5: Saulo devia R$ 8,00 a Glebson, pagou R$ 5,00. Quanto ele deve agora?
Para a categoria transformação de uma relação, o diagrama fica no formato apresentado a seguir. Para fazer esse diagrama usamos o exemplo 5:
Transformação de uma relação
 (
+5
)
-8
Relação
?
Relação
 (
Unidade
1
)
Neste exemplo, é dada uma relação e uma transformação que ocorreu nessa relação gerando uma nova relação. A primeira relação estabelecida entre Saulo e Glebson é um débito de R$ 8,00, ocorrendo uma transformação com o pagamento de R$ 5,00, ficando a nova relação de débito no valor de R$ 3,00.
f) Composição de relações: duas ou mais relações se compõem para dar lugar a outra relação.
Exemplo 6: Observe a imagem a seguir e responda: Quantas figurinhas Ana deve ao todo?
Para a categoria composição de relações, o diagrama fica no formato apresentado a seguir, para fazer esse diagrama usamos o exemplo 6:
Composição de relações
 (
-4
)Relação
 (
?
) (
-3
)+
Relação
 (
-6
)+
Relação
Relação
Neste exemplo, são dadas três relações que se compõem para dar lugar a uma outra relação. A primeira relação é um débito de 4 figurinhas, a segunda relação é um débito de 3 figurinhas e a terceira, um débito de 6 figurinhas. Ao compor essas relações tem-se no total um débito de 12 figurinhas.
É possível observar que, nessas seis categorias, podem ser trabalhadas as operações de adição e/ou subtração, bem como conceitos
 (
Unidade
1
)
inerentes ao Campo Aditivo. O Quadro 1, a seguir, indica alguns deles em cada tipo de situação.
Quadro 1 - Alguns conceitos envolvidos nas categorias de situações-problema
	Categorias de situações
	Conceitos
	Composição
	Compor, juntar, parcela, total
	
Transformação
	Transformação de medida, transformação temporal
	Comparação
	Comparar, relação entre medidas
	Composição de várias transformações
	Composição de medidas, transformação total
	Transformação de uma relação
	Transformação de relação
	Composição de relações
	Composição de relações
Fonte: construção dos autores.
 (
Fique
 
por
 
dentro.
Análise
 
da
 
qualidade
 
das
 
aprendizagens
 
relacionadas
 
ao
 
campo
 
aditivo
No ano de 2009, realizamos, no estado da Bahia, um estudo diagnóstico com 5807
 
estudantes do 2º ao 5º ano do Ensino Fundamental. Pesquisamos sobre o Campo
 
Aditivo, com a finalidade de repensar as condições de ensino, de maneira que se
 
torne
 
mais
 
acessível
 
à
 
compreensão
 
da
 
criança.
 
Assim,
 
desenvolvemos
 
uma
 
pesquisa
 
que denominamos de PEA (Pesquisa das Estruturas Aditivas) e trabalhamos em oito
 
regiões distintas do Estado. Os resultados gerais revelam um quadro preocupante,
 
em relação ao domínio desse Campo Conceitual pelos estudantes. Vejam os gráficos
 
a seguir que indicam o desempenho geral dos estudantes de cada ano escolar em
 
cinco
 
categorias.
Observe, na Figura 21, que os estudantes de todos os anos escolares apresentam
 
melhores desempenhos nas situações de composição (C) e transformação de uma
 
relação
 
(TR),
 
seguida
 
pela
 
transformação
 
(T).
 
Uma
 
possível
 
explicação
 
para
 
esse
 
de-
 
sempenho
 
pode
 
ser
 
encontrado
 
em
 
Santos
 
(2006).
 
Essa
 
autora
 
realizou
 
uma
 
análise
 
de livros didáticos utilizados nos anos iniciais do Ensino Fundamental de escolas pú-
 
blicas de municípios do Sul da Bahia. Dentre seus principais resultados concluiu que
 
as situações-problema mais abordadas pelos livros didáticos são as de composição,
 
sendo
 
que
 
a
 
maior
 
parte
 
dos
 
livros
 
adotados
 
nem
 
chegam
 
a
 
abordar
 
as
 
situaçõesde transformação e de comparação. Acreditamos que o livro seja o maior apoio do
 
professor e dessa forma tem influência direta em seu trabalho, o que justificaria o
 
melhor desempenho dos estudantes na categoria composição. Contudo, outros es-
 
tudos podem ser realizados para se identificar os reais fatores que influenciam esse
 
desempenho
 
dos
 
estudantes.
)
Figura 21 – Desempenho geral dos estudantes baianos.
Legenda: C= composição; T= transformação; CP = comparação; TR = transformação de uma relação; CT
= composição de várias transformações.
Na Região Sul da Bahia, coletamos dados em nove municípios envolvendo 969 es- tudantes, sendo 212 do 2º ano; 233 do 3º ano; 263 do 4º ano e 261 do 5º ano. A Figura 22 mostra o desempenho geral por ano escolar. Observa-se que nenhum dos anos escolares alcançou a média 50% de acerto.
 (
Unidade
1
)
 (
Figura
 
22
 
-
 
Desempenho
 
geral
 
por
 
ano
 
escolar dos
 
estudantes
 
do
 
Sul
 
da
 
Bahia.
Esses
 
resultados
 
se
 
referem
 
às
 
respostas
 
dadas
 
pelos
 
estudantes
 
num
 
teste
 
compos-
 
to
 
por
 
18
 
situações-problemas
 
de
 
adição
 
e
 
de
 
subtração
 
que
 
envolvem
 
as
 
categorias
 
apresentadas
 
acima,
 
e
 
essas
 
situações
 
são
 
similares
 
às
 
que
 
colocamos
 
como
 
exemplo
 
para cada
 
uma
 
das
 
categorias.
Diante
 
desse
 
contexto
 
é
 
possível
 
afirmar
 
que
 
os
 
resultados
 
trazem
 
indícios
 
de
 
que
 
se faz necessário planejar ações que visem sanar possíveis dificuldades que estejam
 
ocorrendo
 
no
 
ensino
 
e
 
também
 
na
 
aprendizagem
 
do
 
Campo
 
Aditivo.
 
Baseados
 
nesses
 
e
 
em
 
outros
 
estudos,
 
bem
 
como
 
no
 
trabalho
 
que
 
estamos
 
desenvolvendo
 
com
 
profes-
 
sores
 
dos
 
anos
 
iniciais
 
da
 
Região
 
Sul
 
da
 
Bahia,
 
colocamos
 
a
 
seguir
 
algumas
 
sugestões
 
para
 
o trabalho com
 
essas operações.
Fonte:
 
Santana
 
(2010).
)
7 OS ERROS COMO PONTO DE PARTIDA PARA A APRENDIZAGEM
7.1 O papel do erro no processo de aprendizagem
Muitas vezes, abordamos o erro do estudante, numa certa atividade, como um fator de punição, ou seja, se o estudante erra, apontamos como aquele que não aprende, não tem atenção, tem dificuldades, não tem base. Contudo precisamos analisar os erros e usá-los como ferramenta de aprendizagem. Cury (2007) defende a ideia de que a análise de erros pode ser uma metodologia de ensino. Para a autora isso pode acontecer quando essa análise leva os estudantes a questionarem as suas próprias soluções
e, mais do que isso, conduzi-los a uma aprendizagem. Defendemos a mesma ideia da autora.
Santana (2010) aponta erros cometidos pelos estudantes dos anos iniciais ao resolver situações-problema aditivas. A autora coloca que dentre os possíveis erros cometidos por esses estudantes, podemos ter: alguns ligados ao cálculo numérico que são os relacionados às operações a serem realizadas; e os erros ligados ao cálculo relacional que são aqueles atrelados às relações de pensamento que os estudantes precisam fazer para a compreensão da situação-problema. Vejamos alguns exemplos.
7.2 Erro no cálculo numérico
A Figura 23 a seguir traz um exemplo de erro ao armar a operação.
 (
Problema
 
13.
 
Roger
 
tem
 
R$
 
9,00.
 
Everton
 
tem
 
R$
 
13,00.
 
Quem
 
tem
 
menos
 
reais?
 
Quantos
 
reais
 
a
 
menos?
Resolução
 
 
 
13
 
 
8
-
 
9
Resposta
Ele
 
tem
 
8
 
reais
)
Figura 23 - Exemplo de erro ao armar a operação. Fonte: acervo de pesquisa dos autores.
Observe que o estudante escolheu a operação correta, o que nos leva a pensar que ele compreende as relações que compõem a estrutura da situação apresentada. Contudo ele ainda não compreende as regras do sistema de numeração decimal e as do algoritmo da subtração. O professor, enquanto mediador, poderá conduzir o estudante a refletir sobre a maneira como ele registrou a operação e sobre as impossibilidades de retirar 13 de 9, ou seja, o valor maior (13) ser retirado do menor (9), além de a unidade ter sido colocada como dezena.
A Figura 24 a seguir apresenta a resolução feita por outro estudante para a mesma situação (mudança apenas nos nomes).
 (
Unidade
1
)
 (
Problema
 
13.
 
Leila
 
tem
 
R$
 
9,00.
 
Cláudio
 
tem
 
R$
 
13,00.
 
Quem
 
tem
 
menos
 
reais?
 
Quantos
 
reais
 
a
 
menos?
Resolução
13
Resposta
-
 
9
Leila
tem
menos
05
que
 
Claudio
 
5
 
reais
)Figura 24 - Exemplo de erro ao efetuar a operação.
Observe que o estudante parece compreender as relações que compõem o problema, mas ele erra ao efetuar a operação. O professor pode trabalhar o erro com esse estudante, levando-o a refletir sobre o resultado apresentado. Uma maneira de levar o estudante a uma reflexão é pedir a ele que adicione R$5,00 a R$9,00. Fazendo isso, o estudante poderá encontrar o valor que Cláudio possui. Contudo, se o estudante faz tal operação, pode perceber que a sua subtração está incorreta.
7.3 Erro no cálculo relacional
A Figura 25 traz um exemplo de erro no cálculo relacional. O estudante trocou a operação, isto é, ao invés de adicionar ele subtraiu.
 (
Problema
 
5.
 
Bruna
 
e
 
Igor
 
têm
 
balões.
 
Veja
 
o
 
desenho
 
abaixo.
Os
 
balões
 
de
 
Bruna.
Igor
 
tem
 
4
 
balões
 
a
 
mais
 
que
 
ela.
 
Quantos
 
balões
 
tem
 
Igor?
Resolução
-4
9
5
Resposta
Igor
 
tem
 
5
 
baloes
)
Figura 25 – Exemplo de erro no cálculo relacional.
Observe que o estudante não compreende que Igor tem mais
balões que Bruna. Num exemplo como esse, o professor pode conduzir o estudante à reflexão através da interpretação da situação-problema. Se o estudante compreende que Igor tem mais balões, ele poderá compreender que 5 balões são menos que 9, e assim poderá verificar que a operação correta é a adição.
Outro procedimento com o uso da operação inversa, que ocorre com frequência, é quando esse uso vem atrelado ao uso de palavras-dica que fazem parte do enunciado da situação. Os estudantes costumam fazer associações como: se tem “ganhar” é de mais; se tem “perder” é de menos.
A Figura 26 a seguir apresenta um exemplo do possível uso da palavra-dica. Observe que o estudante adicionou ao invés de subtrair. Acreditamos que o estudante possa ter escolhido a operação inversa influenciado pela presença da palavra “mais”. Essa nossa afirmativa é decorrente das entrevistas realizadas com os estudantes.
3º) Mário e Pedro têm carrinhos de brinquedo. Veja na ilustração os carrinhos de Mário.
Carrinhos de Mário
Mário tem 5 carrinhos a mais que Pedro. Quantos carrinhos tem Pedro?
Resolução	8
+5
13
Resposta
Pedro tem 13 carrinhos.
Figura 26 - Exemplo de erro no cálculo relacional com a operação inversa.
A Figura 27, a seguir, apresenta outro procedimento com erro no cálculo relacional. Observe que o estudante não registrou nenhuma
 (
Unidade
1
)
operação. Ele colocou o total de gudes de Artur como resposta. Esse tipo de procedimento inviabiliza uma análise mais profunda das relações que o estudante possa ter feito para colocar essa resposta. Diante desse tipo de procedimento, o professor precisa questionar o estudante para que ele possa expor a compreensão que teve da situação e só assim o professor poderá intervir de maneira a alcançar a aprendizagem do estudante.
 (
Problema 8.
 
Artur
 
e
 
Everton participaram
 
de
 
um
 
jogo de
 
gudes.
 
No
 
final
 
do jogo,
 
Artur
 
ficou
 
com as
gudes
 
que
 
estão
 
desenhadas
 
abaixo.
As
 
gudes
 
que
 
ficaram
 
com
 
Artur
Sabendo
 
que
 
Artur
 
tem
 
6
 
gudes
 
a
 
mais
 
que
 
Everton.
 
Com
 
quantas
 
gudes
 
ficou
 
Everton?
Resolução
Resposta
14
)
Figura 27 - Erro no cálculo relacional com repetição do enunciado.
Por fim, deixamos para o professor alguns pontos para a sua reflexão:
· precisamos analisar o ensino dos conceitos aditivos, pois eles ultrapassam o algoritmo da adição e da subtração e chegam a conceitos como compor, transformar, comparar, dentre outros;
· o ensino de resolução de situações-problema precisa ser iniciado com a interpretação das mesmas. O papeldo professor tangencia a mediação entre a situação colocada e a interpretação que o estudante deve fazer. Com a compreensão da situação fica mais fácil escolher a operação a ser realizada;
· o uso de situações desafiadoras e que sejam ligadas ao cotidiano do estudante o faz ter maior interesse em interpretar e resolver, isto é, o estudante se envolve e se concentra mais quando a situação desperta o seu interesse.
7.4 Sugestões para o trabalho com adição e subtração
· Ajude o estudante a entender a situação antes de buscar a operação a ser realizada. Evite responder ou incentivar a colocação de perguntas como: “é de mais ou de menos?”; “é para somar ou para diminuir?”. Ao fazer essa pergunta, o estudante busca apenas fazer uma “conta” sem entender o contexto da situação apresentada.
· Incentive o estudante a responder a situação e compreender se a resposta dada é coerente com o que foi solicitado na situação.
· Diversifique as situações apresentadas para os estudantes, usando situações que tenham, por exemplo: opções de escolha; contextos diferentes; figuras, e que as informações que essas figuras trazem precisem ser utilizadas dentro da resolução; e que as situações sejam próximas da realidade do estudante.
· Busque trabalhar com as seis categorias de situações-problema aditivas. Esse tipo de trabalho favorece o desenvolvimento das habilidades do estudante no que se refere às operações de adição e subtração.
Finalmente, disponibilizamos os nossos endereços eletrônicos para que o professor possa entrar em contato com nossa equipe, seja para esclarecer suas dúvidas, nos apresentar sugestões, discutirmos sobre pontos apresentados aqui, ou ainda para se integrar a equipe do PEA. Também, nos colocamos à disposição para discutirmos pontos sobre o ensino e a aprendizagem de outros conteúdos matemáticos.
 (
Unidade
1
)
 (
ATIVIDADES
)
1) O Brasil tem uma extensão territorial de 8.547.403 km2 (quilômetros quadrados).
a) Quantos algarismos tem esse número? 	
b) Quantas classes tem esse número? 	
c) Qual o algarismo da centena simples? 	
d) Qual o algarismo da unidade de milhar? 	
e) Qual o algarismo da centena de milhar? 	
f) Qual o valor posicional do algarismo da dezena de milhar?
g) Qual o valor absoluto do algarismo de dezena simples?
h) Escreva este número por extenso: 	
2) Pesquise os sistemas de numeração das civilizações egípcia, romana e mesopotâmica. Depois, descreva suas características, comparando suas semelhanças e diferenças.
3) Quais dos aspectos históricos abordados sobre os números naturais você levaria para a sala de aula dos anos iniciais do Ensino Fundamental? Que abordagem metodológica você utilizaria para trabalhá-los com os alunos?
4) Observe as figuras a seguir que corresponde a resposta dada por um estudante do 3º ano do Ensino Fundamental ao resolver uma situação aditiva que envolve conceitos de transformação.
 (
Problema
 
3.
 
Carine
 
tinha
 
sorvetes
 
em
 
seu
 
isopor.
 
Sua
 
prima
 
tomou
 
alguns
 
dos
 
sorvetes
 
de
 
Carine.
Veja
 
o
 
desenho.
Sorvetes
 
que
 
Carine
 
tinha.
Sorvetes
 
que
 
Carine
 
tem
 
agora.
Carine
 
quer
 
saber
 
quantos
 
sorvetes
 
dela
 
sua
 
prima
 
tomou.
Resolução
8
Resposta
+5
13
Carine
 
tinha
13
 
sorvetes
)
Figura 28 - Exemplo de erro no cálculo relacional com a operação inversa.
a) Como você trabalharia esse erro com seu aluno?
b) Você diria que o estudante respondeu corretamente a situação abaixo? Como você trabalharia com o estudante as diferenças entre o algoritmo e a resposta dada?
 (
Problema
 
10.
 
No
 
final
 
do
 
jogo
 
de
 
gude,
 
Paulo
 
ficou
 
com
 
14
 
gudes.
 
Sabendo
 
que
 
Paulo
 
tem
 
6
 
gudes
 
a
 
mais que Jonas. Com quantas
 
gudes ficou Jonas?
Resolução
+5
3
8
Resposta
8
 
gudes
 
Jonas
 
ficou.
)
Figura 29 - Exemplo de erro lógico.
5) Classifique as situações a seguir conforme a Teoria dos Campos Conceituais e resolva-as, utilizando os diagramas de Vergnaud.
a) Geovana recebeu, na 1ª quinzena de janeiro, 478 mensagens no Orkut e na 2ª quinzena, 699. Qual o total de mensagens recebidas por Geovana durante todo o mês de janeiro?
b) Josivan tinha 118 cadernos. Ganhou alguns e agora tem 205. Quantos cadernos ele ganhou?
 (
Unidade
1
)
c) 	Vivian tem R$ 67,00 e Cláudio tem R$ 12,00 a menos que ela. Quantos reais tem Cláudio?
d) 	Telma e Marilene arrecadaram uma quantia de dinheiro para comprar bandeirolas para enfeitarem suas ruas. Cada quilo de bandeirolas custa R$ 20,00. Veja os valores que elas já têm:
Telma: R$ 160,00	Marilene: R$ 80,00
i. Quem pode comprar mais bandeirolas?
ii. Quantos quilos de bandeirolas a mais ela pode comprar?
e) Ana e Bete têm dinheiro para comprar sorvete. Bete tem R$ 4,00 a menos que Ana. Sabendo-se que Bete tem R$ 8,00, quantos reais tem Ana?
f) Bianca guardou uma certa quantia do seu salário na caderneta de poupança. No mês seguinte, quando recebeu o salário de R$ 510,00, ela ficou com R$ 830,00. Quantos reais ela conseguiu guardar no mês anterior?
g) Silvana devia R$150,00 a Alda. Pagou R$ 70,00. Quanto Silvana ficou devendo a Alda?
h) Vivian saiu de casa com certa quantia, gastou R$ 6,00 em lanches, depois gastou R$ 3,00 em refrigerante. Quanto Vivian gastou ao todo?
 (
RESUMINDO
)
Nesta unidade, abordamos a construção do conceito de número pela criança, alguns aspectos históricos relacionados com o surgimento do nosso sistema de numeração decimal e suas operações. Entendendo a Aritmética como a parte da Matemática que lida com números e suas propriedades, encontramos nas situações-problema uma forma acessível para a construção dos fatos básicos das operações, para a constituição de um repertório a ser utilizado no cálculo como bem explicita os PCN (BRASIL, 2000, p.72).
Vimos também que as situações-problema aditivas podem ser classificadas segundo o seu grau de complexidade e os conceitos nelas
envolvidos. Seguindo a classificação dada por Vergnaud (1982), podemos ter situações de: composição, transformação, comparação, composição de várias transformações, transformação de uma relação e composição de relações.
Em geral trabalhamos com as situações-problema aditivas sem nos atentar que os conceitos e grau de complexidade nelas envolvidos vão além da resolução do algoritmo da adição ou da subtração. Faz-se necessário trabalhar os algoritmos, mas precisamos conduzir o aluno para a compreensão da situação e depois de compreender é que será definida qual operação será utilizada para a resolução. Além disso, o professor precisar auxiliar no desenvolvimento do senso crítico do aluno e, ao se tratar de resolução de situações-problema não é interessante apenas resolver, mas refletir sobre os resultados encontrados: o valor que estou colocando como resposta é coerente com o contexto e o que foi solicitado na situação? Questões como esta devem fazer parte das reflexões finais de resolução.
 (
REFERÊNCIAS
)
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BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática (1a a 4a série): Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental, 2. ed. Brasília, 2000.
BROLEZZI, A. C. A Tensão entre o Discreto e o Contínuo na História da Matemática e no Ensino de Matemática. Tese de Doutorado. São Paulo: FEUSP, 1997.
CARDOSO, V. C. Materiais didáticos para as quatro operações. São Paulo: CAEM-IME/USP, 1992.
CARRAHER, T.; CARRAHER, D.; SCHLIEMANN, A. Na Vida
Dez, na Escola Zero. 13. ed. São Paulo: Cortez, 2003.
 (
Unidade
1
)
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IMENES, L. M. A numeração indo-arábica. Coleção Vivendo a Matemática. São Paulo: Scipione, 1988.
KAMII, C.; DECLARK, G. Reinventando a aritmética: implicações da teoria de Piaget. São Paulo: Papirus,1995.
KAMII, C.; LIVINGSTON, S. J. Desvendando a aritmética: implicações da teoria de Piaget. Campinas, SP: Papirus, 1995.
MAGINA, S. et al. Repensando adição e subtração: contribuições da Teoria dos Campos Conceituais. São Paulo: PROEM, 2001.
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NUNES, A. F. V. B.; SOLEDADE C. B.; REIS, S. M. B. dos. Sorobã
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PAIS, L. C. Ensinar e aprender matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2006.
PEIXOTO, J. L. B.; SANTANA, E. R. dos S.; CAZORLA, I. M.
Soroban uma ferramenta para a compreensão das quatro operações. Itabuna: Via Litterarum, 2006.
PEIXOTO, J. L. B.; CAZORLA, I. M.; VITA, A. C. Inclusão na
Escola: um bate-papo com os professores. Ilhéus: Editus; Itabuna: Via Litterarum, 2011.
PIAGET, J. Introdução a la Epistemologia Genética. Volumen I: El Pensamiento Matemático. Buenos Aires: Paidos, 1978.
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ZUNINO, D. L. de. A Matemática na escola: aqui e agora. Porto Alegre: Artes Médicas, 1995.
 (
Unidade
1
)
Suas anotações
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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