Metodologia_Ensino_Mat_Irene_Cazorla

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Pedagogia . Módulo 5 . Volume 3
METODOLOGIA DO ENSINO DA MATEMÁTICA
Irene Mauricio Cazorla (Org.)
Ilhéus . 2012
Universidade Estadual de Santa Cruz
Reitora
Profª. Adélia Maria Carvalho de Melo Pinheiro
Vice-reitor
Prof. Evandro Sena Freire
Pró-reitor de Graduação
Prof. Elias Lins Guimarães
Diretora do Departamento de Ciências da Educação
Profª. Emilia Peixoto Vieira
Ministério da Educação
Pedagogia | Módulo 5 | Volume 3 - Metodologia do Ensino da Matemática
1ª edição | Julho de 2012 | 476 exemplares
Copyright by EAD-UAB/UESC
Todos os direitos reservados à EAD-UAB/UESC
Obra desenvolvida para os cursos de Educação a Distância da Universidade Estadual de Santa Cruz - UESC (Ilhéus-BA)
Campus Soane Nazaré de Andrade - Rodovia Ilhéus- Itabuna, Km 16 - CEP 45662-900 - Ilhéus-Bahia. www.nead.uesc.br | uabuesc@uesc.br | (73) 3680.5458
Projeto Gráfico e Diagramação
Jamile Azevedo de Mattos Chagouri Ocké João Luiz Cardeal Craveiro
Saul Edgardo Mendez Sanchez Filho
Capa
Saul Edgardo Mendez Sanchez Filho
Impressão e acabamento
JM Gráfica e Editora
Ficha Catalográfica
593	Metodologia do ensino da matemática / Elaboração de conteúdo: Aida Carvalho Vita ... [et al.]. – Ilhéus, BA: Editus, 2012.
175 p. : il. (Pedagogia – módulo 5 – volume 3 – EAD)
ISBN: 978-85-7455-295-8
1. Matemática – Estudo e ensino. 2. Matemática – Metodologia. I. Vita, Aida Carvalho. II. Série.
CDD 510.7
EAD . UAB|UESC
Coordenação UAB – UESC
Profª. Drª. Maridalva de Souza Penteado
Coordenação Adjunta UAB – UESC
Profª. Dr.ª Marta Magda Dornelles
Coordenação do Curso de Pedagogia (EAD)
Profª. Drª. Maria Elizabete Souza Couto
Elaboração de Conteúdo
Profª. Drª. Aida Carvalho Vita Profª. Drª. Eurivalda Ribeiro dos Santos Santana Profª. Ma. Genigleide Santos da Hora
Profª. Drª. Irene Mauricio Cazorla Profª. Ma. Jurema Lindote Botelho Peixoto Prof. Dr. Marcos Rogério Neves
Instrucional Design Profª. Ma. Marileide dos Santos de Oliveira Profª. Ma. Cibele Cristina Barbosa Costa
Profª. Drª. Cláudia Celeste Lima Costa Menezes
Revisão
Prof. Me. Roberto Santos de Carvalho
Coordenação Fluxo Editorial
Me. Saul Edgardo Mendez Sanchez Filho
DISCIPLINA
METODOLOGIA DO ENSINO DA MATEMÁTICA
EMENTA
Fundamentos teórico-epistemológicos do ensino da Matemática. Estudo de conteúdos matemáticos direcionados para a aquisição de competências básicas necessárias à vivência no cotidiano: conteúdos, percursos metodológicos, uso das tecnologias e avaliação. O raciocínio lógico-matemático e situações problemas
- geometria, cálculo mental e operações fundamentais. A Matemática: estudos,
pesquisas e diferentes usos sociais e o significado matemático.
Carga horária: 75 horas, sendo 60 h para estudos e discussão teórico-práticos, e mais 15 h para elaboração e apresentação de oficinas. Em seguida, as refle- xões e aprendizagens das oficinas serão socializadas entre os colegas.
OBJETIVO
A partir do estudo sobre os conteúdos deste módulo, você poderá ser capaz de:
· explicar e utilizar conceitos e métodos matemáticos para propor e
resolver situações-problema junto com seus estudantes;
· planejar atividades de ensino favoráveis ao desenvolvimento de competências do raciocínio lógico-matemático;
· aperfeiçoar sua habilidade de registro escrito e domínio de estratégias
de cálculo mental para resolução de problemas envolvendo aritmética;
· aperfeiçoar sua habilidade de registro e uso de estratégias para modelagem e resolução de problemas geométricos;
· analisar e discutir de maneira crítica os diferentes usos sociais e
significados do conhecimento matemático;
· contribuir para a compreensão da Matemática como uma linguagem que ajuda a compreender o mundo em que o estudante está inserido;
· criar condições para que seus estudantes compreendam a importância
da Matemática na formação para a cidadania.
OS AUTORES
Profª. Drª. Aida Carvalho Vita
Doutora em Educação Matemática pela PUC-SP. Professora Adjunta da UESC. Pesquisa na área de Educação Matemática Inclusiva.
E-mail: aida2009vita@gmail.com
Profª. Drª. Eurivalda Ribeiro dos Santos Santana
Doutora em Educação Matemática pela PUC-SP. Professora Adjunta da UESC. Pesquisa na área de Educação Matemática. E-mail: eurivalda@hotmail.com
Profª. Ma. Genigleide Santos da Hora
Mestre em Educação pela UFBA. Professora Assistente da UESC. Pesquisa na área de Educação Inclusiva.
E-mail: gshora@terra.com.br
Profª. Drª. Irene Mauricio Cazorla
Doutora em Educação Matemática pela UNICAMP. Professora Titular da UESC. Pesquisa na área de Educação Estatística.
E-mail: icazorla@uol.com.br
Profª. Ma. Jurema Lindote Botelho Peixoto
Doutoranda em Difusão do Conhecimento pela Universidade Federal da Bahia (UFBA). Mestre em Matemática pela UFBA. Professora Assistente da UESC. Realiza pesquisa na área de Educação Inclusiva e Divulgação e Popularização da Ciência.
E-mail: jurema@uesc.br
Prof. Dr. Marcos Rogério Neves
Doutor em Educação Matemática pela UFSCar. Professor Adjunto da UESC. Pesquisa na área de Educação Matemática.
E-mail: marcos_neves2001@yahoo.com.br
APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
Visando dar uma visão panorâmica do ensino da Matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental, recorremos às recomendações dos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997).
Assim, estruturamos a disciplina em três blocos de conteúdos conceituais e procedimentais da Matemática, a saber: Números e Operações, Espaço e Forma (Geometria) e Tratamento da Informação (Estatística), apresentados em quatro unidades, com atividades que integram os conteúdos na solução de problemas situados no contexto escolar, nos quais os estudantes tenham uma participação ativa na construção de seus conhecimentos.
SUMÁRIO
 (
1ª
unidade
NÚMERO
E
 
OPERAÇÕES
)
OBJETIVOS
Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de:
· elaborar situações nas quais seus estudantes utilizem o pensamento aritmético, bem como utilizar esquemas para a resolução de situa- ções pertencentes aos campos conceituais das estruturas aditivas;
· explorar ideias sobre os campos conceituais das estruturas aditivas,
bem como os aspectos históricos sobre os números naturais e formas
de calcular para fins de planejamento de aulas;
· discutir sobre a importância pedagógica da análise dos erros dos estudantes ao resolverem situações-problema;
· explorar a análise de erros como estratégia pedagógica para au- xiliar o planejamento, ação e avaliação de aulas e atividades que promovam o desenvolvimento do pensamento aritmético.
 (
Unidade
1
)
1 INTRODUÇÃO: VIVEMOS EM UM MUNDO DE NÚMEROS
Muitas pessoas dizem não gostar de discutir quando o assunto é Matemática e isso acontece, entre tantos motivos, por lembrarem-se de certas aprendizagens escolares, em situações nas quais, via de regra, não conseguiram perceber as aplicações possíveis desses conhecimentos e sua utilidade para a vida, ligando tudo isso a uma percepção de complexidade dessa ciência.
Esta primeira percepção da complexidade da Matemática muitas vezes nos faz perder de vista o fato de que suas ideias e formas de pensamento mais elementares surgiram da reflexão sobre as atividades humanas comuns do dia a dia que envolvem contagem, medição e cálculo.
Enquanto ciência, a Matemática acumulou conhecimentos bastante sofisticados que são estudados por cientistas; mas, se observamos o dia a dia das pessoas a nossa volta, perceberemos que este está repleto de ideias e formas de raciocínio que compõem a base desta ciência. O pedreiro, a cozinheira, o vendedor, a costureira e outros profissionais necessitam interpretar e utilizar quantidades, valores e medidas, mesmo sem dominar os registros escritos associados aos números.
Nesse sentido, podemos observar que, quando crianças, nascemos em um meio onde já se elaboraram ideias sobre números e suas funções. As residências das pessoas costumam ser numeradas; calçados e vestimentas também; telefones e correspondênciasutilizam números; as coisas têm preço; os relógios e calendários controlam o tempo; em brincadeiras infantis são feitas contagens; enfim, antes mesmo de alcançarmos a idade escolar, vivemos em um mundo repleto de números e o mesmo ocorre com as ideias matemáticas sobre espaço e forma, que são a base da geometria.
A reflexão sobre estas experiências é fundamental para uma boa aproximação do estudante com os conteúdos da matemática escolar, de
 (
Metodologia
 
do
 
Ensino
 
da
 
Matemática
)
 (
Número
 
e
 
Operações
)
 (
 
 
 
16
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E
A
D
) (
Pedagogia
)
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UESC
) (
Módulo
 
5
 
I
Volume
 
3
)
maneira significativa. Assim, o professor dos anos (séries) iniciais pode favorecer tais aprendizagens, buscando a ampliação e consolidação desses saberes cotidianos relacionados à Matemática. O ato de lidar com a noção de quantidade exige do sujeito certas competências e habilidades, formas de raciocínio lógico, as quais são interconectadas com o desenvolvimento do conceito de número, das relações entre os números e suas operações.
2 A CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE NÚMERO
A aprendizagem do conceito de número natural começa a ocorrer desde os primeiros anos de vida, quando nossa mente começa a diferenciar os objetos no mundo. Uma das habilidades mais básicas que desenvolvemos nesta etapa é observar regularidades (padrões) em coleções de objetos, de modo a perceber e agrupar aqueles que têm a mesma cor ou mesmo formato.
Conforme a criança se desenvolve, outras habilidades vão se desenvolvendo como as capacidades de contagem, seriação, classificação, entre outras. Estas capacidades vão se aperfeiçoando e se articulando de modo a constituir as condições necessárias para que as habilidades de quantificação e operação numéricas se consolidem.
Assim, aquelas atividades de classificação e seriação que realizamos com as crianças desde a educação infantil são fundamentais para estimular as condições necessárias à construção do conceito de número nos anos iniciais do Ensino Fundamental.
Vejamos alguns exemplos de atividades baseadas em imagens do software livre Sistema Tutorial Inteligente (ITS), desenvolvido pela equipe do Prof. Lorenzo Moreno Ruiz, da Universidad de La Laguna, Espanha (PEIXOTO; CAZORLA; VITA, 2011).
a) Seriação: consiste em ordenar ou seriar uma coleção de objetos, segundo uma determinada relação. Por exemplo, na Figura 1, a criança deve analisar qual é a constituição da série e escolher qual será o próximo elemento:
 (
Unidade
1
)
Figura 1 – Exemplo de atividade de seriação com o software ITS.
b) Classificação: é uma operação lógica que organiza a realidade que nos cerca, é o momento no qual a criança separa objetos em classes. Nesse processo estão as relações de pertinência e de inclusão de classes. Na Figura 2 solicita-se que as crianças formem dois grupos, um composto por pássaros e outro por comida.
Figura 2 - Exemplo de atividade de classificação com o software ITS.
c) Quantificadores: expressam relação de quantidade de objetos, identificando onde há mais ou menos objetos, associam elementos e os representam com seus indicadores. Por exemplo, na Figura 3, solicitar à criança que assinale em qual dos dois conjuntos há menos borboletas.
Figura 3 - Exemplo de atividade com quantificadores com o software ITS.
Outra forma de quantificação faz referência à aplicação de quantificadores básicos de uma coleção de objetos (todos, nenhum, alguns, nada, pouco, [...]), como no exemplo da Figura 4.
Figura 4 - Exemplo de atividade de quantificação com o software ITS
 (
Unidade
1
)
d) Contagem: é importante que a criança adquira o senso numérico e a capacidade para distinguir pequenas quantidades, como no exemplo da Figura 5.
Figura 5 - Exemplo de atividade com contagem com o software ITS.
e) Correspondência termo a termo: é o processo no qual são relacionados os objetos com o que lhes é correspondente, como no exemplo da Figura 6.
Figura 6 - Exemplo de uma atividade de correspondência com o software ITS.
f) Reconhecimento: significa reconhecer as diversas representações associadas ao número. Na Figura 7, a criança deve reconhecer a escrita numérica e a escrita na língua materna, neste caso, em português.
Figura 7 - Exemplo de atividade de reconhecimento com o software ITS.
g) Ordinalidade: é a capacidade de definir um conjunto de valores no qual cada valor, exceto o primeiro, tem um único antecessor, e cada valor, exceto o último, tem um único sucessor, conforme Figura 8.
Figura 8 - Exemplo de atividade com ordenação com o software ITS.
 (
Unidade
1
)
h) Cardinalidade: é o reconhecimento do número de elementos que compõem o conjunto, isto é, a identificação da quantidade.
Figura 9 - Exemplo de atividade com cardinalidade com o software ITS.
Quando a criança, espontaneamente ou estimulada pelo professor, brinca de contar, de agrupar objetos pelas semelhanças, elaborando um sistema de classificação, de comparar tamanho, largura ou altura dos objetos, ela está construindo o conceito de número, bem como de suas representações.
Daí, o professor dos anos (séries) iniciais deve proporcionar situações diversificadas com materiais variados para trabalhar as relações matemáticas, fazendo com que os alunos progridam em seu conhecimento matemático.
Assim, a criança interage com o meio ambiente através da sua inteligência, da sua noção de quantidade e da sua representação dos sistemas de numeração. Inicialmente explora o local, manipulando objetos, materiais e brinquedos, depois passa a organizá-los e, finalmente, consegue trabalhar mentalmente com as ideias numéricas, elaborando seu conhecimento.
É por volta dos sete anos que a criança chega à ideia operatória do número, mas apoiando-se em duas capacidades lógicas do raciocínio: classificação e seriação. Essas capacidades colaboram para percepção dos agrupamentos de base dez que estruturam o Sistema de Numeração
Decimal e constituição do conceito de número natural.
A esse respeito, o número pode ser considerado a síntese coordenada e reversível das estruturas cognitivas que percebem e operam a classificação (com inclusão hierárquica) e a seriação, num sistema único (PIAGET, 1978).
Figura 10 – Ordem e inclusão de classe. Fonte: Elaborado pelos autores.
A partir desta síntese, a criança pode tanto focalizar mentalmente agrupamentos como a dezena e a centena, quanto decompor mentalmente esses agrupamentos para considerar uma a uma as unidades que os constituem.
A partir da abstração das quantidades, ocorre uma fusão dos dois sistemas de classes e de relações num único sistema - o chamado sistema dos números naturais - o qual elimina as limitações próprias dos procedentes. As investigações a respeito da construção do número pela criança mostram que a gênese do número engendra ao mesmo tempo os números cardinais e os números ordinais.
Portanto o número não é um dado primitivo correspondente a uma intuição inicial, mas constrói-se na interação com o mundo, com as
 (
Unidade
1
)
coisas, com as situações-problema, com a cultura, de modo operatório a partir de estruturas cognitivas mais simples que se aperfeiçoam, articulam e coordenam, num processo gradativo que se desenvolve ao longo de todos os anos iniciais. A Figura 11 organiza alguns elementos importantes neste processo.
Figura 11 – Mapa conceitual da formação do conceito de número. Fonte: Elaborado pelos autores com base nas ideias de Kamii (1995) e Zunino (1995).
Para a construção do conceito de número nos anos iniciais, com toda sua operacionalidade, são necessárias ainda aprendizagens de
dimensões qualitativas relacionadas ao processo de quantificação.
Quando a criança está diante de um conjunto de elementos de igual forma, tamanho e cor, como, por exemplo, uma coleção de tampinhas de garrafas plásticas, ela procede automaticamente para contagem, agrupamento, separação entre outros. Através desses movimentos, ela pode conferir a dualidade, cardinalidade e ordinalidade, correspondência um a um etc. Contudo, o que acontece quando precisamos quantificargrandezas contínuas, como, por exemplo: comprimento, área, volume, tempo? Neste caso, a criança recorre à comparação, mas a inclusão hierárquica, por exemplo, não fica mais evidente.
Portanto é importante explicitar as nuances da formação do conceito de número, quando estamos diante de conjuntos ou grandezas não enumeráveis. Estas tensões entre qualidade versus quantidade e entre o discreto (aquilo que podemos contar ou enumerar) e o contínuo (aquilo que medimos) podem ser encontradas no trabalho de Brolezzi (1997).
A Figura 12 ilustra a diferença entre o número discreto, aquilo que resulta do processo de contagem, e o número contínuo, aquilo que resulta das medidas. No caso das grandezas como comprimento, área, massa etc., é necessária a criação de unidades de referência, que permitem ao homem tratar essas quantidades da mesma forma.
 (
Figura
 
12
 
–
 
Tensões
 
entre
 
quantidade/qualidade,
 
contínuo/discreto.
 
Fonte:
 
Elaborado
 
pelos
 
autores.
)
 (
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1
)
Nesse sentido, os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN (BRASIL, 2000) enfatizam que, no ensino fundamental, o conhecimento de números é construído pelo aluno quando ele trabalha com situações em que o número aparece como instrumento na resolução de problemas e também como objeto de estudo em si mesmo, quando observam suas propriedades, relações e o modo como o conceito de número foi historicamente construído.
Assim, o aluno perceberá a existência de diversas representações de números em função dos diferentes problemas que a humanidade teve que enfrentar: números naturais, inteiros positivos e negativos, números racionais e irracionais. Também quando se deparar com situações– problema, envolvendo adição, subtração, multiplicação e divisão, ele irá ampliar seu conceito de número.
O trabalho com as operações deve se concentrar na compreensão dos diferentes significados de cada uma delas, nas relações existentes entre elas e no estudo reflexivo do cálculo, contemplando os diferentes tipos: exato e aproximado, mental e escrito.
Na próxima seção, apresentaremos uma visão histórica da invenção do número pelo homem e do surgimento dos sistemas de numeração, em especial do sistema de numeração decimal e as operações fundamentais.
3 A INVENÇÃO DOS NÚMEROS, SISTEMAS DE NUMERAÇÃO E OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
A necessidade de contar, possivelmente, começou com o desenvolvimento das atividades humanas. Quando o homem deixou de ser nômade para se fixar na terra, desenvolvendo a agricultura e o pastoreio, era necessário o conhecimento do tempo, das estações do ano e das fases da Lua e assim começaram a surgir as primeiras representações de quantidades, como os entalhes nas pedras, desenhos, formas de calendário etc.
No mundo atual, convivemos com muitos números. Para que nossa sociedade se desenvolva, precisamos lidar com números muito grandes, como o número de estrelas do universo (70.000.000.000.000.00
0.000.000, 70 sextilhões) e muito pequenos, como a massa de um próton (0,00000000000000000000000000167 gramas). Por isso precisamos de um sistema de numeração que seja adequado nos dias de hoje, como o sistema de numeração que usamos. Esse sistema de numeração é chamado indo-arábico ou Sistema de Numeração Decimal. Ele foi criado no século III a.C. e é utilizado até hoje.
Para falar sobre o sistema de numeração, temos dois focos: um deles é compreender sua formação, fazendo um breve histórico da contagem, passando pela importância dos ábacos e outro é descrever suas características e como trabalhar com os alunos suas operações e o cálculo mental.
3.1 O homem aprendeu a contar
Registros históricos revelam que o homem contava utilizando a correspondência um a um (biunívoca) recorrendo a diversos artefatos, como pedrinhas, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos de marcação.
Os livros didáticos sempre ilustram a correspondência um a um com a história de pastores contando o seu rebanho, associando uma pedrinha a cada ovelha a ser contada. A palavra que usamos hoje, cálculo, é deriva- da da palavra latina calculus, que significa pedrinha.
Fonte: http://matematica.no.sapo.pt/nconcreto.htm
Mas como surgiram os símbolos numéricos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, usados hoje? Segundo Duarte (2001), a origem da base decimal do atual sistema de numeração está na utilização dos dedos da mão (Figura 13), através do estabelecimento de uma relação de correspondência um a um entre cada dedo e cada elemento da coleção a ser contada (Figura 14).
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Unidade
1
)
Figura 13 – Os dedos das mãos como origem do Sistema de Numeração Decimal. Fonte: UAB/UESC
Figura 14 – Correspondência um a um ou biunívoca
Fonte: Ideia elaborada pelos autores baseado em Imenes (1988) / UAB-UESC.
Além dos dedos, o homem também utilizou as falanges e articulações para contar. Segundo Ifrah (2000), uma técnica comum praticada na China, Índia e Indochina era contar usando cada falange como uma unidade, começando numa das mãos pela falange inferior do dedo mindinho e terminando na falange superior do polegar (pode-se também começar pela falange superior do anular e terminar na falange do polegar). É possível contar de 1 a 28 com as duas mãos (Figura 15).
Na China, algumas mulheres calculavam o seu ciclo menstrual atando, sucessivamente, a cada dia um pequeno cordão nas vinte e oito falanges de suas mãos.
Figura 15 – Técnica de contagem utilizando as falanges das duas mãos.
Fonte: modelo Ifrah (2000) - UAB/UESC.
Uma prática também muito antiga (o mais antigo método para memorizar quantidades) e utilizada em diversas partes do mundo foi a do entalhe. Tratava-se de pegar pedaços de madeira ou ossos, e nesses eram feitos riscos para representar quantidades.
Figura 16 – Modelos de entalhe utilizados para registrar quantidades.Fonte: Ifrah (2000).
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Unidade
1
)
Outras práticas de contagem e registro utilizavam cordas.
A civilização Inca nasceu aproximadamente no início do século XII e surpreendeu a muitos por seu alto grau de conhecimento e prosperidade, pois embora não tivesse conhecimento da roda, nem da tração animal e nem mesmo da escrita como é conhecida hoje, desenvolveu um método muito prático e eficiente para contar: o cordão com nós, denominado quipu (palavra inca que significava nó). Este dispositivo consistia numa corda principal onde eram atados vários cordões de diferentes cores e mais finos do que a corda e, dessa forma, eram feitos nós nesses cordões de diferentes tipos e a intervalos regulares para representar os números. Os homens que cuidavam desses registros eram chamados de quipucamayocs, que quer dizer “guardiães de nós” (Figura 17).
Figura 17 – Quipus e quipucamayocs da civilização Inca.Fonte: Ifrah (2000).
Por exemplo, para representar o número 3.643, faziam-se três nós na parte superior do cordão, dava-se um intervalo e faziam-se seis nós, dava-se então outro intervalo e faziam-se quatro nós e, finalmente, três nós na parte inferior da corda. Era dessa forma que os incas registravam as quantidades.
Os quipus também serviam de representações de calendários, fatos religiosos, estatísticos e para a transmissão de mensagens. A cor de uma cordinha podia significar uma ideia abstrata, por exemplo, o branco expressava a pureza, a paz ou o dinheiro; o amarelo, o ouro, o sol ou a eternidade; o vermelho, o sangue, o fogo e a guerra. Mas a utilidade principal era a contagem e os incas usavam a base decimal nesse processo.
O uso de cordões com nós não foi exclusivo dos incas. Em diferentes regiões, outros povos utilizavam sistemas análogos desde a Antiguidade.
Figura 18 - Ábaco de bolso romano, ábaco chinês (suan-pan) e ábaco japonês (soroban).
Fontes:
1: http://andria-unisc-abaco.blogspot. com/2009_09_01_archive.html;
2: http://www.topolewski.de/pascal/ jufo2003/image/chinesischer-abakus.gif; 3: http://www.cs.nott.ac.uk/~ef/ ComputerXHistory/EarlyHistory/1956- Soroban1170.htm
3.2 
Aperfeiçoando a contagem e o cálculo
À medida que os cálculos foram se tornando cada vez mais complexos, ocupar a mão ou qualqueroutro recurso não era tarefa prática e possível, em algumas regiões. A saída para este problema, ao que tudo indica, foi a criação do ábaco (do grego abax, tabuleiro de areia).
Sua forma variou durante o tempo e com os povos. Os primeiros ábacos eram pequenas bandejas cheias de areia, nas quais se faziam os cálculos ou desenhos de figura. Antes e durante o Império Romano, usaram-se frequentemente estes tabuleiros. Com o tempo, as bandejas de areia foram substituídas por um painel de madeira, pedra ou metal contendo sulcos, nos quais deslizavam pequenas pedras que representavam números. As mais antigas tábuas de contar foram perdidas devido aos materiais perecíveis usados na sua construção. Assim, os antigos foram observando a necessidade de se criar tábuas portáteis e mais duráveis do que as mais antigas. A Figura 18 apresenta alguns exemplos de ábacos utilizados por romanos, chineses e japoneses. Mais detalhes podem
ser encontrados em Peixoto, Santana e Cazorla (2006) e em Nunes, Soledade e Reis (1998).
3.3 Do ábaco aos algoritmos
 (
Unidade
1
)O surgimento do ábaco constituiu uma etapa intermediária antes do sistema de numeração decimal utilizado hoje; pois, por muitos anos, o homem fez seus cálculos utilizando o ábaco e os símbolos numéricos serviam apenas como forma de registro e não eram utilizados para realização de cálculos.
Segundo Ifrah (2000), da queda do Império Romano ao final da Idade Média, a prática das operações aritméticas, mesmo as mais elementares, não estava ao alcance de qualquer um. Apenas uma casta muito privilegiada de especialistas, através de longos estudos, tinha o domínio do uso complicado dos velhos ábacos romanos. Uma multiplicação que hoje uma criança faz com facilidade podia exigir destes especialistas várias horas de um trabalho delicado. Um comerciante desta época que quisesse saber o montante de suas receitas e despesas era obrigado a recorrer aos serviços de um destes especialistas do cálculo.
Mas o sistema de numeração indo-arábico, criado pelos hindus e difundido pelos árabes, não visava apenas registrar quantidades como os sistemas dos romanos e dos gregos, mas também suprir as necessidades do cálculo. Além disso, uma característica fundamental deste sistema é a noção de valor posicional, que já estava presente no ábaco, pois apenas com dez algarismos podem-se representar infinitas quantidades. Eles criaram também um símbolo para representar a coluna vazia do ábaco, símbolo este que gerou o que hoje se conhece como zero.
Neste sistema, ao combinarmos a escrita dos algarismos, podemos escrever diferentes números com um
 (
você
 
sabia?
Em 1949, Joaquim Lima de
 
Moraes, deficiente visual,
 
adaptou o Soroban para
 
uso de cegos, após apren-
 
der a técnica ensinada
 
por imigrantes japoneses,
 
abrasileirando
 
o
 
termo
 
para
 
Sorobã. O soroban adap-
 
tado é composto por uma
 
moldura dividida por uma
 
linha horizontal e vinte e
 
um eixos verticais. É re-
 
vestido internamente por
 
uma borracha compresso-
 
ra, cuja função é deixar as
 
contas fixas; além disso,
 
foram
 
adicionados
 
pontos
 
e
 
traços com a função de se-
 
parar as ordens, classes e
 
facilitar
 
a
 
leitura
 
tátil.
)
Figura 19 – Soroban adaptado comercializado pela Bengala Branca Importação e Comér- cio Ltda.
Fonte: Peixoto, Santana e Ca- zorla (2006).
 (
você
 
sabia?
Al Khawarizmi, matemático
 
muçulmano do século IX,
 
foi
 
um
 
dos
 
responsáveis
 
pela divulgação do sistema
 
de
 
numeração
 
indo-arábico
 
na Europa. Seus trabalhos
 
de
 
aritmética,
 
álgebra
 
e
 
geometria influenciaram o
 
Ocidente e deles surgiram
 
termos como algoritmo e
 
algarismo.
 
Leonardo
 
de
 
Pisa,
 
matemático
 
italiano
 
conhecido
 
como
 
Fibonac-
 
ci, também exerceu forte
 
influência para a aceitação
 
destes novos métodos de
 
cálculo
 
quando
 
escreveu,
 
em 1202, um tratado cha-
 
mado 
Líber Abaci 
(Tratado
 
do ábaco), que contradito-
 
riamente
 
ao
 
título
 
ensinava
 
métodos
 
e
 
processos
 
de
 
cálculo através dos nume-
 
rais
 
indo-arábicos.
Fonte:
 
Ifrah
 
(2000).
)algarismo, dois algarismos, três algarismos, ou com quantos algarismos desejarmos. Exemplo: 3; 45; 367; 2.489; 256.387.
Este sistema proporcionou um grande avanço no desenvolvimento dos cálculos, pois facilitou operar sem o uso do ábaco. O sistema de numeração adotado hoje descende dele.
 (
leitura
 
 
recomendada
Maiores detalhes recomen-
 
damos
 
a
 
leitura
 
de
 
Ifrah
 
(2000)
 
e
 
Boyer
 
(1996).
)Mas deixar de lado o ábaco e operar com os algoritmos não foi algo fácil, nem aconteceu da noite para o dia. Foi um longo processo que encontrou forte resistência na Europa onde os símbolos arábicos eram conhecidos como “pagãos”. A contenda entre os abacistas (defensores ferrenhos dos números romanos e dos cálculos com fichas) e os “algoristas” (defensores do cálculo por algarismo de origem hindu) durou vários séculos. Apesar da vitória dos novos métodos de cálculo, o uso do ábaco ainda era ensinado no século XVIII, e as pessoas ainda conferiam os cálculos feitos por escrito na tábua de fichas (ábaco romano). Só após a Revolução Francesa (1.789), final do século XVIII, os algarismos indo-arábicos se estabeleceram, ficando evidente o triunfo do cálculo moderno na Europa ocidental.
3.4 Consolidação do Sistema de Numeração Decimal (SND)
O grande avanço dado com a criação do sistema decimal com algarismos arábicos foi a transposição de um contexto concreto, e necessariamente finito, representado pelo ábaco, para uma representação com símbolos escritos. Foi, sem dúvida, um passo importante que possibilitou representar e operar com quantidades quaisquer, mas que só foi possível depois de séculos de emprego difundido do ábaco pelos homens (CARDOSO, 1992).
Assim, podemos observar que o sistema de numeração que hoje utilizamos surgiu por meio de um
 (
Unidade
1
)
longo processo de constituição do homem na sua relação com o meio onde vive. E concluímos que o surgimento do ábaco constituiu uma etapa intermediária antes de surgir o SND utilizado hoje, pois, por muitos anos, o homem fez seus cálculos utilizando o ábaco e os símbolos numéricos serviam apenas como forma de registro, mas esses não eram utilizados para a realização de cálculos.
4 O SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL (SND)
Um sistema de numeração é um conjunto de símbolos e de regras utilizado para escrever números (CENTURION, 1994). Essas normas permitem operar quantidades de forma organizada, chegando a resultados consistentes. O SND usado atualmente tem características peculiares:
· é posicional, um mesmo algarismo, em diferentes posições, assume diferentes valores: 123 é diferente de 321;
· as trocas são feitas a cada agrupamento de dez (por isso dizemos que a base é dez), dez unidades formam uma dezena, dez dezenas formam uma centena e assim por diante;
· o símbolo zero representa a ausência de quantidade;
· é multiplicativo: para representar o valor de cada algarismo em 564, recorremos a uma multiplicação 5 x 100, 6 x 10 e 4 x 1;
· é aditivo: a quantidade representada por 564 é 500 + 60 + 4; usa dez símbolos para representar qualquer quantidade.
4.1 O valor posicional, ordens e classes
No SND, utilizamos os símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, denominados de algarismos, para representar as quantidades. Também agrupamos de 10 em 10 para fazer contagens. O princípio posicional permite representar diversas quantidades, utilizando apenas 10 símbolos.
Para compreender melhor o conceito de número e facilitar sua leitura, eles são separados em ordens e classes. A cada algarismo
corresponde uma ordem. Por exemplo, o número 1.223.456 possui 7 ordens e 3 classes.
1.223.456 (um milhão, duzentos e vinte e três mil, quatrocentos e cinquenta e seis unidades).
1 2 2 3 4 5 6
1ª ordem: 6 unidades 2ª ordem: 5 dezenas 3ª ordem: 4 centenas
4ª ordem: 3 unidades de milhar = 3000 unidades 5ª ordem: 2 dezenas de milhar = 20 000 unidades 6ª ordem: 2 centenas de milhar = 200 000 unidades
7ª ordem: 1 unidade de milhão = 1 000 000 unidades
O quadroa seguir apresenta a decomposição do número 1.223.456 e a organização das ordens e classes, até a 3ª classe.
	3ª classe: milhões
	2ª classe: milhares
	1ª classe: unidades simples
	9ª ordem:
	8ª ordem:
	
7ª ordem:
	6ª ordem:
	5ª ordem
	4ª ordem:
	3ª ordem:
	2ª ordem:
	1ª ordem:
	centena de milhão
	dezena de milhão
	
unidade de milhão
	centena de milhar
	dezena de milhar
	unidade de milhar
	
centena simples
	
dezena simples
	
unidade simples
	
	
	1
	2
	2
	3
	4
	5
	6
	
	
	1.000.000
	200.000
	20.000
	3.000
	400
	50
	6
4.2 Valor relativo e valor absoluto
A característica de valor posicional no nosso sistema de numeração está relacionada com o que chamamos de valor relativo ou valor absoluto dos algarismos em um número. No número 777, por exemplo, o algarismo 7 ocupa três posições distintas, portanto três valores relativos: 7, 70 e 700.
	
Número Valor relativo do 7
	Centena
	Dezena
	Unidade
	
	
	7
	7
	7
	
	
	700
	70
	7
	
	
	
	
	
	7
	7 unidades	7 unidades
7 dezenas	70 unidades
7 centenas	700 unidades
	
	
	7
	0
	
	
	7
	0
	0
	
	
	7
	7
	7
	
você sabia?
O quadro a seguir é conheci- do pelos professores das séries iniciais do Ensino Fundamen- tal como QVL (Quadro Valor de Lugar). Geralmente, utilizam as quatro primeiras ordens: unida- de, dezena, centena e unidade de milhar, o que possibilita ex- plorar os agrupamentos e trocas de uma ordem para outra.
Figura 20 – Quadro Valor de Lugar (QVL).
Fonte: http://3.bp.blogspot.com/_7HGlxI3gfRk/SMUj1sdtysI/ AAAAAAAAAdk/-e1VfhoX_Ic/s1600-h/1.JPG
 (
Unidade
1
)
4.3 Por que ensinar o sistema de numeração às crianças?
Para Nunes et al. (2005), a resposta está no fato de que sem um sistema de numeração é impossível trabalhar com quantidades. Os sistemas de numeração permitem registrar quantidades de maneira mais exata do que a percepção, bem como permite lembrar quantidades quando necessário. Os sistemas de numeração ampliam a capacidade de raciocinar sobre quantidades, logo são necessários para que os alunos venham desenvolver sua inteligência no âmbito da matemática, usando instrumentos que a sociedade lhes oferece.
Entretanto as autoras enfatizam que ensinar os sistemas de numeração tem apresentado vários obstáculos, principalmente na relação entre o desenvolvimento da criança e a complexidade da representação numérica usando um sistema de numeração, pois há uma ideia
Embora crianças menores sejam capazes de contar objetos usando a sequên- cia numérica, é a partir dos
6 anos que a maioria das crianças resolve problemas de contagem de dinheiro no mercadinho; porém, mesmo em crianças de 7 anos, podem-se observar dificuldades na compreen- são da composição aditiva (NUNES et al, 2005). Neste contexto, o papel do professor é promover a aprendizagem das ideias matemáticas	envolvidas no SND, propondo ativida- des diversas (com material concreto, fichas, gudes, com dinheiro em situações de compras etc.)
Exemplo: a contagem de dinheiro com notas de di- ferentes valores promove a compreensão da composi-
ção aditiva.
especialmente complexa, a da composição aditiva, que a criança precisa compreender.
 (
atenção
)As atividades de contagem mais comuns entre crianças consistem em contar objetos, estabelecendo uma correspondência um a um entre um objeto e um rótulo numérico que o designa. A compreensão do sistema numérico decimal requer mais do que a simples contagem de elementos; requer lidar simultaneamente com o valor absoluto e o valor relativo dos números. Essa habilidade está ausente na contagem de objetos (SPINILLO, 1994).
Ou seja, os números não são apenas uma sequência de palavras, como uma lista de compras, na qual um item não tem relação com o outro. Na sequência de números, cada item é igual ao anterior mais 1; 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1 etc. E cada número pode ser composto através da soma de dois números que o precedem: 7 = 6 + 1 ou 5 + 2 ou 4 + 3. Portanto a sequência numérica supõe uma organização, denominada composição aditiva.
Além disso, este sistema tem uma organização de natureza multiplicativa: 20 indica 2 dezenas ou 2 x 10; 30 =
3 x 10; 40 = 4 x 10. Essa organização multiplicativa significa que as unidades contadas podem ter valores diferentes: podem ser unidades simples, dezenas, centenas, unidades de milhar etc. Assim, para que uma criança compreenda o SND, ela precisa compreender a ideia de que existem unidades de valores diferentes no sistema e que as unidades podem ser somadas formando uma quantia única (NUNES
 		et al, 2005).
5 COMO OPERAMOS COM ALGORITMOS?
Algoritmo, segundo Pais (2006), é um dispositivo utilizado para a resolução de situações-problema com a intenção de simplificar o cálculo. Ou, simplesmente,
 (
Unidade
1
)
 (
Algoritmo
é
 
o
 
processo
 
de
 
cálculo,
 
ou
 
de resolução de um grupo
 
de
 
problemas
 
semelhan-
 
tes, em que se estipulam,
 
com generalidades e sem
 
restrições, regras formais
 
para obtenção do resulta-
 
do ou da solução de um
 
problema (Novo dicionário
 
Aurélio, 1ª edição, Editora
 
Nova
 
Fronteira).
)um algoritmo é uma norma executável, um conjunto de instruções, para obter uma solução para certo tipo de problema.
Por exemplo, quando queremos fazer um bolo, seguimos uma receita com uma série de etapas, tais como: primeiro bata bem o açúcar, a manteiga e os ovos, em seguida acrescente a farinha, o leite e o fermento e coloque no forno por 30 minutos. Esta sequência de etapas, que faz parte de uma instrução a ser seguida, é um algoritmo.
Na aritmética, você conhece os algoritmos (contas) usuais das quatro operações fundamentais.
5.1 Cálculo mental e algoritmos
Muitas vezes nos deparamos com pessoas que fazem conta de cabeça, sendo que algumas delas não foram sequer escolarizadas. Essas pessoas aprenderam na vida prática, como por exemplo, no comércio, nas transações bancárias etc., propriedades e estratégias matemáticas, devido às necessidades impostas pelas atividades que desempenham. Assim, devem realizar cálculos rapidamente e tomar decisões.
Estas experiências são importantes e devem ser levadas em consideração na sala de aula; pois, quando isto acontece, aproveita-se a oportunidade para fazer a interação entre o conhecimento matemático informal e o formal organizado, explicitar conhecimentos implícitos, desvelar propriedades e relações.
Alguns alunos fazem cálculos de cabeça porque foram estimulados de alguma forma para isso, outros têm mais dificuldade. Mas o professor deve prover os meios para que seu aluno utilize o cálculo mental, utilizando as propriedades das operações.
Algumas propriedades das operações que auxiliam no cálculo mental:
1) Comutativa:
Na adição, a ordem das parcelas não altera a soma 3 + 9 = 9 + 3 = 12
Na multiplicação, a ordem dos fatores não altera o produto: 3 x 4 = 4 x 3 = 12
Genericamente: se a e b representam números naturais, então: a + b = b + a	e	a x b = b x a
2) Associativa:
Na adição, associando de maneiras diferentes as parcelas a soma não se altera
(1 + 3) + 6 = 4 + 6 = 10
1 + (3 + 6) = 1 + 9 = 10,
logo (1 + 3) + 6 = 1 + (3 + 6)
Na multiplicação, associando de maneiras diferentes os fatores, o produto não se altera
(3 x 4) x 5 = 12 x 5 = 60
3 x (4 x 5) = 3 x 20 = 60
Genericamente: se a, b e c representam quaisquer números naturais, então
(a + b) + c = a + (b + c) (a x b) x c = a x (b x c)
3) Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e à subtração
3 x (4 + 3) = 3 x 4 + 3 x 3
3 x (4 – 3) = 3 x 4 – 3 x 3
Genericamente: se a, b e c são números naturais, vale: a x (b + c) = a x b + a x c
a x (b – c) = a x b – a x c
4) Distributiva da adição em relação à divisão
(70 + 5) : 5 = 70 : 5 + 5 : 5 = 24 + 1 = 25
Genericamente: se a, b e c são números naturais com c ≠ 0 vale:
(a+b) : c = a:c + b:c
 (
Unidade
1
)
5.2 Algumas estratégias de cálculo mental
Na soma, podemos:
	
Resolver uma soma: 34 + 25:
a) Primeiro decompomos o 34 = 30 + 4 e o 25 = 20 + 5;
b) Depois comutamos;
c) Em seguida associamos;
d) Por fim somamos, obtendo o resultado 59.
	34	+	25=
	
(30 + 4) + (20+ 5) =
(30 + 20) + (4 + 5) =
50 + 9 =
59
Na subtração, podemos:
	a) Resolver uma subtração fazendo uma adição. Por exemplo: 34 – 25
	25 para 30 = 5
30 para 34 = 4
5 + 4 = 9
	
b) Arredondar e fazer a compensação. Por exemplo: 62-38
	62 – 38 =
(62 – 40) + 2 =
2 + 2 = 24
	
c) Decompor o subtraendo (valor que será subtraído). Por exemplo: 23 – 18
	23 – 18=
(23–10) – 8=
13 – 8 = 5
	
d) Alterar o minuendo para evitar o “empresta um”. Por exemplo: 500 - 365
	500 – 365
(499 – 365) + 1 =
134 + 1 = 135
	
e) Agrupar as parcelas em unidades, dezenas e centenas. Por exemplo: 29 - 15
	29 – 15 =
(20 – 10) + (9 – 5) =
10	+	4	= 14
Na multiplicação, podemos:
	
a) Decompor um dos fatores e usar a propriedade distributiva. Por exemplo: 7 x 15
	
7 x 15 =
(7 x 10) + (7 x 5) =
70 + 35 = 105
	b) Utilizar a propriedade distributiva da multiplicação em relação a soma. Por exemplo: 32 x 5
	(30 + 2) x 5 =
30 x 5 + 2 x 5 =
150 + 10 = 160
Na divisão, podemos:
	
a) Fazer simplificações sucessivas. Por exemplo:
512 : 32
	512 : 32 =
: 2
256 : 16 =
: 2
128 : 8 =
: 2
64 : 4 =
: 2
32 : 2 =
16
	
b) Decompor e utilizar a propriedade distributiva. Por exemplo: 75 : 5
	75 : 5 = (70 + 5) : 5 =
70 : 5 + 5 : 5 =
24 + 1 = 25
As habilidades para fazer estimativas e cálculo mental dão autoconfiança aos alunos e os tornam mais autônomos, permitindo que avaliem as situações e tomem decisões quanto à importância do cálculo exato. Os PCN (BRASIL, 2000), em relação aos procedimentos sobre números e operações no primeiro ciclo, enfatizam a necessidade da
[...] utilização da decomposição das escritas numéricas para a realização do cálculo mental exato e aproxima- do. Cálculos de adição e subtração por meio de estra- tégias pessoais e algumas técnicas convencionais. Cál-
 (
Unidade
1
)
 (
leitura
 
 
recomendada
Recomendamos ler
 
os
 
livros
 
de
 
Carraher;
Carraher; Schliemann
 
(2003)
 
e
 
Kamii;
 
Declark
 
(1995), constantes nas
 
referências.
)culos de multiplicação e divisão por meio de estratégias pessoais. Utilização de es- timativas para avaliar a adequação de um resultado e uso de calculadora para desen- volvimento de estratégias de verificação e controle de cálculos (BRASIL, 2000, p. 72, grifo nosso).
E, no segundo ciclo, reforçam a ênfase no cálculo mental, acrescentando operações com racionais na forma decimal.
5.3 Algoritmos e operações: um olhar diferenciado
Nosso objetivo, nesta etapa, é o de mostrar maneiras diferentes de realizar as operações, sempre que possível, relacionando os algoritmos com o sistema de numeração decimal.
a) Adição
A técnica operatória ou algoritmo da adição sugere que se escrevam as parcelas uma abaixo da outra e que se adicione da direita para a esquerda. Vocês já pensaram por que se faz isto? Será que poderíamos começar da esquerda para a direita?
Algoritmo	Operações Realizadas
	
	2
	5
	3
	1
	=
	2000 + 500 + 30 + 1
	+
	4
	2
	6
	7
	=
	4000 + 200 + 60 + 7
	
	6
	7
	9
	8
	
	2000 + 500 + 30 + 1
A técnica do “vai um” (Adição com reserva)
Esta técnica é utilizada com o objetivo de facilitar a
 (
6
 
+
 
5 =
 
11 =
 
10 +
 
1,fica uma
 
unidade, vai
 
uma dezena
1
 
+
 
5
 
+
 
9
 
=
 
15
 
dezenas =
 
1 centena
 
e 5
 
dezenas, vai
 
uma centena
1
 
+
 
4 +
 
7 =
 
12
 
centenas =
 
1 milhar
 
e 2 centenas,
 
vai um milhar
1 +
 
3 +
 
1 =
 
5 milhares
)interpretação e resolução do algoritmo da adição pelos nossos alunos. Vamos exemplificar esta técnica utilizando a soma das parcelas 3.456 e 1.795.
	3
	4
	5
	6
	+
	7
	9
	5
	1
	
	
	
	5
	2
	5
	1
		
A compreensão desta técnica usual de fazer adição exige a compreensão do sistema de numeração decimal. Sem compreender o que significa os símbolos 3456 e 1795 é impossível entender o processo do “vai um”. Ele se apoia na ideia de agrupamento.
É comum na adição com reserva (ou transporte) dizermos “vai um”. Na verdade, o transporte é de uma dezena, uma centena etc. Para compreender melhor a técnica do “vai um”, vamos efetuar a adição de 1.345
 (
Algoritmo
Operações
 
realizadas
1000 +
 
300 + 40 +
 
5
1000 +
 
400 + 80 +
 
7
2000 +
 
700 +
 
120 +
 
12
Agrupamos
 
uma
 
dezena
e uma centena
10 +
 
2
100 +
 
20
2000 +
 
700 +
 
100
 
+
 
20 +
 
10
 
+
 
2
Aplicamos a proprie-
 
dade
 
associativa
 
da
adição.
800
30
2000
 
+
 
800
 
+
 
30
 
+
 
2
2832
Escrevemos
 
o
 
número
 
no
 
sistema
 
posicional
 
de
 
numeração, onde valem
 
os
 
princípios
 
aditivo
 
e
multiplicativo.
)+ 1.487 (CENTURION, 1994, p. 157).
	
	1
	1
	
	1
	3
	4
	5
	+ 1
	4
	8
	7
	8
	2
	3
	2
b) Subtração
Além de identificar os problemas que podem ser resolvidos com a subtração, é preciso também que a criança aprenda a subtrair. Vamos compreender o processo da subtração utilizando o ábaco. Começamos por um exemplo simples, subtraindo 142 de 563:
Representamos o número 563 no ábaco. A seguir, das três unidades subtraímos 2, das 6 dezenas subtraímos 4 e das 5 centenas subtraímos 1. É importante perceber a relação existente entre o que fazemos com o ábaco e o que fazemos com os símbolos do nosso sistema de numeração.
1	4	2
No algoritmo
5 6 3
-1 4 2
4 2 1
 (
Unidade
1
)
5	6	3	5	6	3
A compreensão desta técnica apóia-se na compreensão do nosso sistema numérico. Agora vamos subtrair 431 de 725:
	a) Representamos o 725 no ábaco:
	b) A seguir, das 5 unidades subtraímos 1:
	
	7
	2
	5
	
	
	
	
	
	7
	2
	5
	-
	4
	3
	1
	
	
	
	
	-
	4
	3
	1
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	4
	c)	Na casa das dezenas, onde temos 2 bolinhas, não podemos retirar 3 por isso desagrupamos uma centena, convertendo-a em dez dezenas:
	
	
	
	
	
6
7 12
- 4 3
	
5
	
	
	
	
	
	4
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	3 1
	
	
	
	
	- 4 3
	1
	
	
	
	
	
	
	
	9 4
	
	
	
	
	2 9
	4
 (
d)
 
Agora,
 
na
 
casa
 
das
 
dezenas,
 
temos
e)
 
Finalmente,
das
6
centenas
12
 
bolinhas
 
e
 
podemos
 
retirar
 
3;
retiramos
 
4
 
e
 
obtemos 294.
6
6
-
 
4
7
 
1
2
 
5
7
 
1
2
 
5
)6 O CAMPO CONCEITUAL ADITIVO
Geralmente, trabalhamos na escola com as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão sem fazer maiores relações com os problemas matemáticos que envolvem tais operações. O pesquisador francês Gérard Vergnaud estudou essas operações de modo a trabalhar os conceitos envolvidos nos problemas matemáticos e relacionados com tais operações.
Esse pesquisador desenvolveu a Teoria dos Campos Conceituais (TCC) que é uma “teoria cognitivista que [...] tem uma forte herança da teoria de Piaget e, também, alguns pontos da teoria de Vygotsky” (SANTANA, 2010, p. 24).
Para Vergnaud (1982, 1996), o Campo Conceitual das Estruturas Aditivas, ou de maneira mais simples, o Campo Aditivo é, ao mesmo tempo, o conjunto das situações cujo tratamento implica uma ou várias adições ou subtrações, e o conjunto dos conceitos e teoremas que permite analisar essas situações como tarefas matemáticas. O Campo Conceitual das Estruturas Multiplicativas ou o Campo Multiplicativo é definido no mesmo sentido do aditivo sendo que as operações são as de multiplicação e divisão.
 (
sugestão
 
de
 
atividade
Antes
 
de
 
estudar
 
sobre
 
a
 
classificação
 
das
 
situações-problema
 
de
 
aditivas,
 
elabore
 
seis
 
situa-
 
ções-problema
 
de
 
adição
 
e/ou
 
subtração.
 
Siga
 
o
 
estilo
 
dos
 
que
 
geralmente
 
você
 
trabalha
 
em
 
sua
 
sala
 
de
 
aula.
 
Essa
 
atividade
 
deverá
 
ser
 
postada.
A atividade tem por objetivo mapear as categorias que você utiliza na sua prática pedagógi-
 
ca. Ao final desta unidade, retome as situações-problema que você elaborou e verifique se
 
trabalha
 
com todas
 
as
 
categorias.
)
 (
Unidade
1
)
Muitas vezes trabalhamos com as operações de adição e de subtração como sendo operações inversas ou contrárias. Na verdade, elas fazem parte de um mesmo Campo Conceitual, o das Estruturas Aditivas, ou seja, essas operações apresentam relações, propriedades, dificuldades e contextos que as fazem pertencer a um mesmo universo de estudo.
Nós, enquanto pesquisadores, procuramos caracterizar esse Campo Conceitual, tecendo considerações a respeito dosdiferentes tipos de situações-problema que envolvem, especificamente, a adição e a subtração. Neste texto, adotamos os termos situação-problema e situação como sinônimos. Usamos as duas formas para nos referirmos aos problemas matemáticos em questão.
Como colocamos anteriormente, para a Teoria dos Campos Conceituais (TCC), o Campo Aditivo é compreendido como o conjunto das situações-problema cujo tratamento implica uma ou várias adições ou subtrações, bem como o conjunto dos conceitos e teoremas que permitem analisar essas situações como tarefas matemáticas. Além disso, as situações são classificadas em seis categorias. De acordo com Magina (2001), tal classificação foi feita baseada em relações matemáticas e nas relações psicológicas que a criança precisa fazer para compreender as situações. Colocamos a seguir seis categorias de situação-problema aditiva, que foram inicialmente definidas por Vergnaud (1982), e que foram redefinidas por Santana (2010). Tal classificação consiste nas seguintes categorias:
a) composição;
b) transformação;
c) comparação;
d) composição de várias transformações;
e) transformação de uma relação; e
f) composição de relações.
Para que você possa entender a que estamos nos referindo, na sequência apresentamos as definições e exemplos de cada uma das categorias.
a) Composição: são situações que apresentam partes e um todo. Exemplo 1: Lia tem duas caixas de bombons. Na primeira tem bombons de chocolate e na segunda tem bombons de morango. Veja, abaixo, um desenho das caixas de bombons de Lia.
Primeira caixa Bombons de chocolate
Segunda caixa Bombons de morango
Quantos bombons Lia tem ao todo?
Segundo a TCC, podemos trabalhar com diagramas que facilitam a compreensão da situação. Observe como fica o diagrama para o exemplo 1:
Composição
 (
6
+
)Parte
 (
?
)Todo
 (
4
)Parte
O diagrama indica as partes que se juntam para determinar o todo. Neste exemplo, as partes são os seis bombons de chocolate e quatro de morango, que vão compor ao todo dez bombons.
b) Transformação: nessa categoria são classificadas as situações que têm um estado inicial, uma transformação e um estado final.
Exemplo 2: Maria tinha R$ 12,00 e comprou uma boneca por R$ 4,00. Com quantos reais Maria ficou?
Para a categoria transformação, o diagrama tem o formato que aparece a seguir, colocado no contexto do exemplo 2:
Transformação
 (
-4
)
12
Estado inicial
 (
?
)Estado final
 (
Unidade
1
)
Observe que o diagrama evidencia um estado inicial que passa por uma transformação para chegar a outro estado que chamamos de final. Na categoria transformação, sempre ocorre uma mudança num determinado tempo. No exemplo 2, o estado inicial é R$ 12,00, e a transformação negativa é R$ 4,00, e o estado final (quantidade de reais que Maria ficou) será R$ 8,00.
c) Comparação: nessa categoria, são classificadas as situações nas quais é estabelecida uma relação entre duas quantidades, uma denominada de referente e a outra de referido.
Exemplo 3: Observe o desenho abaixo e responda: Quantos anos tem Carlos?
Veja a seguir como fica o diagrama da comparação colocado no contexto do exemplo 3:
Comparação
 (
6
)Referente
 (
+7
)Relação
 (
?
)Referido
Observe que o diagrama da comparação indica uma relação entre referente e referido. Na categoria comparação, sempre é feita uma relação entre duas quantidades. Neste exemplo, a idade de Taís é de 5 anos (referente), Carlos tem 7 anos a mais que Tais (relação), dessa forma, Carlos tem 12 anos (referido).
d) Composição de várias transformações: são situações nas quais são dadas transformações e se busca uma nova transformação a partir da composição das transformações dadas.
Exemplo 4: Marta saiu de casa, gastou R$ 7,00 para almoçar e depois gastou R$ 5,00 para jantar. Quanto Marta gastou ao todo?
Para a categoria composição de várias transformações, o diagrama fica no formato apresentado a seguir. Para fazer esse diagrama, usamos o exemplo 4:
Composição de várias transformações
 (
-7
+
-5
)Transformação
 (
?
)Transformação
Transformação
Neste exemplo têm-se duas transformações que vão se juntar para dar lugar a uma única transformação, sendo que a transformação é o gasto de R$ 7,00, a outra transformação é o gasto de R$ 5,00 e a transformação resultante ou única é de R$ 12,00.
e) Transformação de uma relação: são situações nas quais é dada uma relação, e se busca uma nova, que é gerada a partir da transformação da relação dada.
Exemplo 5: Saulo devia R$ 8,00 a Glebson, pagou R$ 5,00. Quanto ele deve agora?
Para a categoria transformação de uma relação, o diagrama fica no formato apresentado a seguir. Para fazer esse diagrama usamos o exemplo 5:
Transformação de uma relação
 (
+5
)
-8
Relação
?
Relação
 (
Unidade
1
)
Neste exemplo, é dada uma relação e uma transformação que ocorreu nessa relação gerando uma nova relação. A primeira relação estabelecida entre Saulo e Glebson é um débito de R$ 8,00, ocorrendo uma transformação com o pagamento de R$ 5,00, ficando a nova relação de débito no valor de R$ 3,00.
f) Composição de relações: duas ou mais relações se compõem para dar lugar a outra relação.
Exemplo 6: Observe a imagem a seguir e responda: Quantas figurinhas Ana deve ao todo?
Para a categoria composição de relações, o diagrama fica no formato apresentado a seguir, para fazer esse diagrama usamos o exemplo 6:
Composição de relações
 (
-4
)Relação
 (
?
) (
-3
)+
Relação
 (
-6
)+
Relação
Relação
Neste exemplo, são dadas três relações que se compõem para dar lugar a uma outra relação. A primeira relação é um débito de 4 figurinhas, a segunda relação é um débito de 3 figurinhas e a terceira, um débito de 6 figurinhas. Ao compor essas relações tem-se no total um débito de 12 figurinhas.
É possível observar que, nessas seis categorias, podem ser trabalhadas as operações de adição e/ou subtração, bem como conceitos
 (
Unidade
1
)
inerentes ao Campo Aditivo. O Quadro 1, a seguir, indica alguns deles em cada tipo de situação.
Quadro 1 - Alguns conceitos envolvidos nas categorias de situações-problema
	Categorias de situações
	Conceitos
	Composição
	Compor, juntar, parcela, total
	
Transformação
	Transformação de medida, transformação temporal
	Comparação
	Comparar, relação entre medidas
	Composição de várias transformações
	Composição de medidas, transformação total
	Transformação de uma relação
	Transformação de relação
	Composição de relações
	Composição de relações
Fonte: construção dos autores.
 (
Fique
 
por
 
dentro.
Análise
 
da
 
qualidade
 
das
 
aprendizagens
 
relacionadas
 
ao
 
campo
 
aditivo
No ano de 2009, realizamos, no estado da Bahia, um estudo diagnóstico com 5807
 
estudantes do 2º ao 5º ano do Ensino Fundamental. Pesquisamos sobre o Campo
 
Aditivo, com a finalidade de repensar as condições de ensino, de maneira que se
 
torne
 
mais
 
acessível
 
à
 
compreensão
 
da
 
criança.
 
Assim,
 
desenvolvemos
 
uma
 
pesquisa
 
que denominamos de PEA (Pesquisa das Estruturas Aditivas) e trabalhamos em oito
 
regiões distintas do Estado. Os resultados gerais revelam um quadro preocupante,
 
em relação ao domínio desse Campo Conceitual pelos estudantes. Vejam os gráficos
 
a seguir que indicam o desempenho geral dos estudantes de cada ano escolar em
 
cinco
 
categorias.
Observe, na Figura 21, que os estudantes de todos os anos escolares apresentam
 
melhores desempenhos nas situações de composição (C) e transformação de uma
 
relação
 
(TR),
 
seguida
 
pela
 
transformação
 
(T).
 
Uma
 
possível
 
explicação
 
para
 
esse
 
de-
 
sempenho
 
pode
 
ser
 
encontrado
 
em
 
Santos
 
(2006).
 
Essa
 
autora
 
realizou
 
uma
 
análise
 
de livros didáticos utilizados nos anos iniciais do Ensino Fundamental de escolas pú-
 
blicas de municípios do Sul da Bahia. Dentre seus principais resultados concluiu que
 
as situações-problema mais abordadas pelos livros didáticos são as de composição,
 
sendo
 
que
 
a
 
maior
 
parte
 
dos
 
livros
 
adotados
 
nem
 
chegam
 
a
 
abordar
 
as
 
situaçõesde transformação e de comparação. Acreditamos que o livro seja o maior apoio do
 
professor e dessa forma tem influência direta em seu trabalho, o que justificaria o
 
melhor desempenho dos estudantes na categoria composição. Contudo, outros es-
 
tudos podem ser realizados para se identificar os reais fatores que influenciam esse
 
desempenho
 
dos
 
estudantes.
)
Figura 21 – Desempenho geral dos estudantes baianos.
Legenda: C= composição; T= transformação; CP = comparação; TR = transformação de uma relação; CT
= composição de várias transformações.
Na Região Sul da Bahia, coletamos dados em nove municípios envolvendo 969 es- tudantes, sendo 212 do 2º ano; 233 do 3º ano; 263 do 4º ano e 261 do 5º ano. A Figura 22 mostra o desempenho geral por ano escolar. Observa-se que nenhum dos anos escolares alcançou a média 50% de acerto.
 (
Unidade
1
)
 (
Figura
 
22
 
-
 
Desempenho
 
geral
 
por
 
ano
 
escolar dos
 
estudantes
 
do
 
Sul
 
da
 
Bahia.
Esses
 
resultados
 
se
 
referem
 
às
 
respostas
 
dadas
 
pelos
 
estudantes
 
num
 
teste
 
compos-
 
to
 
por
 
18
 
situações-problemas
 
de
 
adição
 
e
 
de
 
subtração
 
que
 
envolvem
 
as
 
categorias
 
apresentadas
 
acima,
 
e
 
essas
 
situações
 
são
 
similares
 
às
 
que
 
colocamos
 
como
 
exemplo
 
para cada
 
uma
 
das
 
categorias.
Diante
 
desse
 
contexto
 
é
 
possível
 
afirmar
 
que
 
os
 
resultados
 
trazem
 
indícios
 
de
 
que
 
se faz necessário planejar ações que visem sanar possíveis dificuldades que estejam
 
ocorrendo
 
no
 
ensino
 
e
 
também
 
na
 
aprendizagem
 
do
 
Campo
 
Aditivo.
 
Baseados
 
nesses
 
e
 
em
 
outros
 
estudos,
 
bem
 
como
 
no
 
trabalho
 
que
 
estamos
 
desenvolvendo
 
com
 
profes-
 
sores
 
dos
 
anos
 
iniciais
 
da
 
Região
 
Sul
 
da
 
Bahia,
 
colocamos
 
a
 
seguir
 
algumas
 
sugestões
 
para
 
o trabalho com
 
essas operações.
Fonte:
 
Santana
 
(2010).
)
7 OS ERROS COMO PONTO DE PARTIDA PARA A APRENDIZAGEM
7.1 O papel do erro no processo de aprendizagem
Muitas vezes, abordamos o erro do estudante, numa certa atividade, como um fator de punição, ou seja, se o estudante erra, apontamos como aquele que não aprende, não tem atenção, tem dificuldades, não tem base. Contudo precisamos analisar os erros e usá-los como ferramenta de aprendizagem. Cury (2007) defende a ideia de que a análise de erros pode ser uma metodologia de ensino. Para a autora isso pode acontecer quando essa análise leva os estudantes a questionarem as suas próprias soluções
e, mais do que isso, conduzi-los a uma aprendizagem. Defendemos a mesma ideia da autora.
Santana (2010) aponta erros cometidos pelos estudantes dos anos iniciais ao resolver situações-problema aditivas. A autora coloca que dentre os possíveis erros cometidos por esses estudantes, podemos ter: alguns ligados ao cálculo numérico que são os relacionados às operações a serem realizadas; e os erros ligados ao cálculo relacional que são aqueles atrelados às relações de pensamento que os estudantes precisam fazer para a compreensão da situação-problema. Vejamos alguns exemplos.
7.2 Erro no cálculo numérico
A Figura 23 a seguir traz um exemplo de erro ao armar a operação.
 (
Problema
 
13.
 
Roger
 
tem
 
R$
 
9,00.
 
Everton
 
tem
 
R$
 
13,00.
 
Quem
 
tem
 
menos
 
reais?
 
Quantos
 
reais
 
a
 
menos?
Resolução
 
 
 
13
 
 
8
-
 
9
Resposta
Ele
 
tem
 
8
 
reais
)
Figura 23 - Exemplo de erro ao armar a operação. Fonte: acervo de pesquisa dos autores.
Observe que o estudante escolheu a operação correta, o que nos leva a pensar que ele compreende as relações que compõem a estrutura da situação apresentada. Contudo ele ainda não compreende as regras do sistema de numeração decimal e as do algoritmo da subtração. O professor, enquanto mediador, poderá conduzir o estudante a refletir sobre a maneira como ele registrou a operação e sobre as impossibilidades de retirar 13 de 9, ou seja, o valor maior (13) ser retirado do menor (9), além de a unidade ter sido colocada como dezena.
A Figura 24 a seguir apresenta a resolução feita por outro estudante para a mesma situação (mudança apenas nos nomes).
 (
Unidade
1
)
 (
Problema
 
13.
 
Leila
 
tem
 
R$
 
9,00.
 
Cláudio
 
tem
 
R$
 
13,00.
 
Quem
 
tem
 
menos
 
reais?
 
Quantos
 
reais
 
a
 
menos?
Resolução
13
Resposta
-
 
9
Leila
tem
menos
05
que
 
Claudio
 
5
 
reais
)Figura 24 - Exemplo de erro ao efetuar a operação.
Observe que o estudante parece compreender as relações que compõem o problema, mas ele erra ao efetuar a operação. O professor pode trabalhar o erro com esse estudante, levando-o a refletir sobre o resultado apresentado. Uma maneira de levar o estudante a uma reflexão é pedir a ele que adicione R$5,00 a R$9,00. Fazendo isso, o estudante poderá encontrar o valor que Cláudio possui. Contudo, se o estudante faz tal operação, pode perceber que a sua subtração está incorreta.
7.3 Erro no cálculo relacional
A Figura 25 traz um exemplo de erro no cálculo relacional. O estudante trocou a operação, isto é, ao invés de adicionar ele subtraiu.
 (
Problema
 
5.
 
Bruna
 
e
 
Igor
 
têm
 
balões.
 
Veja
 
o
 
desenho
 
abaixo.
Os
 
balões
 
de
 
Bruna.
Igor
 
tem
 
4
 
balões
 
a
 
mais
 
que
 
ela.
 
Quantos
 
balões
 
tem
 
Igor?
Resolução
-4
9
5
Resposta
Igor
 
tem
 
5
 
baloes
)
Figura 25 – Exemplo de erro no cálculo relacional.
Observe que o estudante não compreende que Igor tem mais
balões que Bruna. Num exemplo como esse, o professor pode conduzir o estudante à reflexão através da interpretação da situação-problema. Se o estudante compreende que Igor tem mais balões, ele poderá compreender que 5 balões são menos que 9, e assim poderá verificar que a operação correta é a adição.
Outro procedimento com o uso da operação inversa, que ocorre com frequência, é quando esse uso vem atrelado ao uso de palavras-dica que fazem parte do enunciado da situação. Os estudantes costumam fazer associações como: se tem “ganhar” é de mais; se tem “perder” é de menos.
A Figura 26 a seguir apresenta um exemplo do possível uso da palavra-dica. Observe que o estudante adicionou ao invés de subtrair. Acreditamos que o estudante possa ter escolhido a operação inversa influenciado pela presença da palavra “mais”. Essa nossa afirmativa é decorrente das entrevistas realizadas com os estudantes.
3º) Mário e Pedro têm carrinhos de brinquedo. Veja na ilustração os carrinhos de Mário.
Carrinhos de Mário
Mário tem 5 carrinhos a mais que Pedro. Quantos carrinhos tem Pedro?
Resolução	8
+5
13
Resposta
Pedro tem 13 carrinhos.
Figura 26 - Exemplo de erro no cálculo relacional com a operação inversa.
A Figura 27, a seguir, apresenta outro procedimento com erro no cálculo relacional. Observe que o estudante não registrou nenhuma
 (
Unidade
1
)
operação. Ele colocou o total de gudes de Artur como resposta. Esse tipo de procedimento inviabiliza uma análise mais profunda das relações que o estudante possa ter feito para colocar essa resposta. Diante desse tipo de procedimento, o professor precisa questionar o estudante para que ele possa expor a compreensão que teve da situação e só assim o professor poderá intervir de maneira a alcançar a aprendizagem do estudante.
 (
Problema 8.
 
Artur
 
e
 
Everton participaram
 
de
 
um
 
jogo de
 
gudes.
 
No
 
final
 
do jogo,
 
Artur
 
ficou
 
com as
gudes
 
que
 
estão
 
desenhadas
 
abaixo.
As
 
gudes
 
que
 
ficaram
 
com
 
Artur
Sabendo
 
que
 
Artur
 
tem
 
6
 
gudes
 
a
 
mais
 
que
 
Everton.
 
Com
 
quantas
 
gudes
 
ficou
 
Everton?
Resolução
Resposta
14
)
Figura 27 - Erro no cálculo relacional com repetição do enunciado.
Por fim, deixamos para o professor alguns pontos para a sua reflexão:
· precisamos analisar o ensino dos conceitos aditivos, pois eles ultrapassam o algoritmo da adição e da subtração e chegam a conceitos como compor, transformar, comparar, dentre outros;
· o ensino de resolução de situações-problema precisa ser iniciado com a interpretação das mesmas. O papeldo professor tangencia a mediação entre a situação colocada e a interpretação que o estudante deve fazer. Com a compreensão da situação fica mais fácil escolher a operação a ser realizada;
· o uso de situações desafiadoras e que sejam ligadas ao cotidiano do estudante o faz ter maior interesse em interpretar e resolver, isto é, o estudante se envolve e se concentra mais quando a situação desperta o seu interesse.
7.4 Sugestões para o trabalho com adição e subtração
· Ajude o estudante a entender a situação antes de buscar a operação a ser realizada. Evite responder ou incentivar a colocação de perguntas como: “é de mais ou de menos?”; “é para somar ou para diminuir?”. Ao fazer essa pergunta, o estudante busca apenas fazer uma “conta” sem entender o contexto da situação apresentada.
· Incentive o estudante a responder a situação e compreender se a resposta dada é coerente com o que foi solicitado na situação.
· Diversifique as situações apresentadas para os estudantes, usando situações que tenham, por exemplo: opções de escolha; contextos diferentes; figuras, e que as informações que essas figuras trazem precisem ser utilizadas dentro da resolução; e que as situações sejam próximas da realidade do estudante.
· Busque trabalhar com as seis categorias de situações-problema aditivas. Esse tipo de trabalho favorece o desenvolvimento das habilidades do estudante no que se refere às operações de adição e subtração.
Finalmente, disponibilizamos os nossos endereços eletrônicos para que o professor possa entrar em contato com nossa equipe, seja para esclarecer suas dúvidas, nos apresentar sugestões, discutirmos sobre pontos apresentados aqui, ou ainda para se integrar a equipe do PEA. Também, nos colocamos à disposição para discutirmos pontos sobre o ensino e a aprendizagem de outros conteúdos matemáticos.
 (
Unidade
1
)
 (
ATIVIDADES
)
1) O Brasil tem uma extensão territorial de 8.547.403 km2 (quilômetros quadrados).
a) Quantos algarismos tem esse número? 	
b) Quantas classes tem esse número? 	
c) Qual o algarismo da centena simples? 	
d) Qual o algarismo da unidade de milhar? 	
e) Qual o algarismo da centena de milhar? 	
f) Qual o valor posicional do algarismo da dezena de milhar?
g) Qual o valor absoluto do algarismo de dezena simples?
h) Escreva este número por extenso: 	
2) Pesquise os sistemas de numeração das civilizações egípcia, romana e mesopotâmica. Depois, descreva suas características, comparando suas semelhanças e diferenças.
3) Quais dos aspectos históricos abordados sobre os números naturais você levaria para a sala de aula dos anos iniciais do Ensino Fundamental? Que abordagem metodológica você utilizaria para trabalhá-los com os alunos?
4) Observe as figuras a seguir que corresponde a resposta dada por um estudante do 3º ano do Ensino Fundamental ao resolver uma situação aditiva que envolve conceitos de transformação.
 (
Problema
 
3.
 
Carine
 
tinha
 
sorvetes
 
em
 
seu
 
isopor.
 
Sua
 
prima
 
tomou
 
alguns
 
dos
 
sorvetes
 
de
 
Carine.
Veja
 
o
 
desenho.
Sorvetes
 
que
 
Carine
 
tinha.
Sorvetes
 
que
 
Carine
 
tem
 
agora.
Carine
 
quer
 
saber
 
quantos
 
sorvetes
 
dela
 
sua
 
prima
 
tomou.
Resolução
8
Resposta
+5
13
Carine
 
tinha
13
 
sorvetes
)
Figura 28 - Exemplo de erro no cálculo relacional com a operação inversa.
a) Como você trabalharia esse erro com seu aluno?
b) Você diria que o estudante respondeu corretamente a situação abaixo? Como você trabalharia com o estudante as diferenças entre o algoritmo e a resposta dada?
 (
Problema
 
10.
 
No
 
final
 
do
 
jogo
 
de
 
gude,
 
Paulo
 
ficou
 
com
 
14
 
gudes.
 
Sabendo
 
que
 
Paulo
 
tem
 
6
 
gudes
 
a
 
mais que Jonas. Com quantas
 
gudes ficou Jonas?
Resolução
+5
3
8
Resposta
8
 
gudes
 
Jonas
 
ficou.
)
Figura 29 - Exemplo de erro lógico.
5) Classifique as situações a seguir conforme a Teoria dos Campos Conceituais e resolva-as, utilizando os diagramas de Vergnaud.
a) Geovana recebeu, na 1ª quinzena de janeiro, 478 mensagens no Orkut e na 2ª quinzena, 699. Qual o total de mensagens recebidas por Geovana durante todo o mês de janeiro?
b) Josivan tinha 118 cadernos. Ganhou alguns e agora tem 205. Quantos cadernos ele ganhou?
 (
Unidade
1
)
c) 	Vivian tem R$ 67,00 e Cláudio tem R$ 12,00 a menos que ela. Quantos reais tem Cláudio?
d) 	Telma e Marilene arrecadaram uma quantia de dinheiro para comprar bandeirolas para enfeitarem suas ruas. Cada quilo de bandeirolas custa R$ 20,00. Veja os valores que elas já têm:
Telma: R$ 160,00	Marilene: R$ 80,00
i. Quem pode comprar mais bandeirolas?
ii. Quantos quilos de bandeirolas a mais ela pode comprar?
e) Ana e Bete têm dinheiro para comprar sorvete. Bete tem R$ 4,00 a menos que Ana. Sabendo-se que Bete tem R$ 8,00, quantos reais tem Ana?
f) Bianca guardou uma certa quantia do seu salário na caderneta de poupança. No mês seguinte, quando recebeu o salário de R$ 510,00, ela ficou com R$ 830,00. Quantos reais ela conseguiu guardar no mês anterior?
g) Silvana devia R$150,00 a Alda. Pagou R$ 70,00. Quanto Silvana ficou devendo a Alda?
h) Vivian saiu de casa com certa quantia, gastou R$ 6,00 em lanches, depois gastou R$ 3,00 em refrigerante. Quanto Vivian gastou ao todo?
 (
RESUMINDO
)
Nesta unidade, abordamos a construção do conceito de número pela criança, alguns aspectos históricos relacionados com o surgimento do nosso sistema de numeração decimal e suas operações. Entendendo a Aritmética como a parte da Matemática que lida com números e suas propriedades, encontramos nas situações-problema uma forma acessível para a construção dos fatos básicos das operações, para a constituição de um repertório a ser utilizado no cálculo como bem explicita os PCN (BRASIL, 2000, p.72).
Vimos também que as situações-problema aditivas podem ser classificadas segundo o seu grau de complexidade e os conceitos nelas
envolvidos. Seguindo a classificação dada por Vergnaud (1982), podemos ter situações de: composição, transformação, comparação, composição de várias transformações, transformação de uma relação e composição de relações.
Em geral trabalhamos com as situações-problema aditivas sem nos atentar que os conceitos e grau de complexidade nelas envolvidos vão além da resolução do algoritmo da adição ou da subtração. Faz-se necessário trabalhar os algoritmos, mas precisamos conduzir o aluno para a compreensão da situação e depois de compreender é que será definida qual operação será utilizada para a resolução. Além disso, o professor precisar auxiliar no desenvolvimento do senso crítico do aluno e, ao se tratar de resolução de situações-problema não é interessante apenas resolver, mas refletir sobre os resultados encontrados: o valor que estou colocando como resposta é coerente com o contexto e o que foi solicitado na situação? Questões como esta devem fazer parte das reflexões finais de resolução.
 (
REFERÊNCIAS
)
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BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática (1a a 4a série): Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental, 2. ed. Brasília, 2000.
BROLEZZI, A. C. A Tensão entre o Discreto e o Contínuo na História da Matemática e no Ensino de Matemática. Tese de Doutorado. São Paulo: FEUSP, 1997.
CARDOSO, V. C. Materiais didáticos para as quatro operações. São Paulo: CAEM-IME/USP, 1992.
CARRAHER, T.; CARRAHER, D.; SCHLIEMANN, A. Na Vida
Dez, na Escola Zero. 13. ed. São Paulo: Cortez, 2003.
 (
Unidade
1
)
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IMENES, L. M. A numeração indo-arábica. Coleção Vivendo a Matemática. São Paulo: Scipione, 1988.
KAMII, C.; DECLARK, G. Reinventando a aritmética: implicações da teoria de Piaget. São Paulo: Papirus,1995.
KAMII, C.; LIVINGSTON, S. J. Desvendando a aritmética: implicações da teoria de Piaget. Campinas, SP: Papirus, 1995.
MAGINA, S. et al. Repensando adição e subtração: contribuições da Teoria dos Campos Conceituais. São Paulo: PROEM, 2001.
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NUNES, A. F. V. B.; SOLEDADE C. B.; REIS, S. M. B. dos. Sorobã
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PAIS, L. C. Ensinar e aprender matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2006.
PEIXOTO, J. L. B.; SANTANA, E. R. dos S.; CAZORLA, I. M.
Soroban uma ferramenta para a compreensão das quatro operações. Itabuna: Via Litterarum, 2006.
PEIXOTO, J. L. B.; CAZORLA, I. M.; VITA, A. C. Inclusão na
Escola: um bate-papo com os professores. Ilhéus: Editus; Itabuna: Via Litterarum, 2011.
PIAGET, J. Introdução a la Epistemologia Genética. Volumen I: El Pensamiento Matemático. Buenos Aires: Paidos, 1978.
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ZUNINO, D. L. de. A Matemática na escola: aqui e agora. Porto Alegre: Artes Médicas, 1995.
 (
Unidade
1
)
Suas anotações
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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UESC	Módulo 5 I	Volume 3	65
 (
Número
 
e
 
Operações
)
 (
2ª
unidade
ESPAÇO
 
E
FORMA
)
OBJETIVOS
Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de:
· analisar e discutir situações nas quais seus estudantes utilizem o pensamento geométrico, explicando e resolvendo situações- problema;
· elaborar e reelaborar estratégias baseadas em aprendizagens sobre a forma e a posição dos objetos no espaço (e no plano), bem como suas transformações;
· explorar os conceitos de intuição e representação, para fins de
desenhar caminhos metodológicos;
· planejar, implementar e avaliar atividades e aulas que estimulem o desenvolvimento do pensamento geométrico.
 (
Unidade
2
)
1 INTRODUÇÃO: VIVEMOS EM UM MUNDO DE FORMAS
Examinando a maneira como o ser humano realiza suas tarefas no dia a dia encontramos vários desafios que exigem raciocínios sobre as formas dos objetos e coisas. Até mesmo tarefas simples como decidir o melhor trajeto a ser percorrido com o carro, dispor os móveis em um cômodo, dispor roupas ou objetos em uma gaveta, ou mesmo escolher um recipiente adequado para acomodar um determinado volume, podem exigir escolhas que definirão o melhor aproveitamento do espaço em questão. Da mesma maneira, as atividades profissionais do pedreiro, da confeiteira, da costureira e muitas profissões necessitam interpretação e transformação das formas dos objetos para produzir formas novas, como por exemplo: projetar e executar as ações necessárias sobre os materiais disponíveis e construir uma casa, um bolo de aniversário decorado, um vestido.
Cada campo da Matemática possui conhecimentos cujo estudo pode contribuir para desenvolvermos ainda mais modalidades específicas do nosso raciocínio que aprendemos com as tarefas do dia a dia. O raciocínio sobre o espaço, a forma e a posição das coisas é necessário para a maioria de nossas ações e na Matemática a organização desses conhecimentos corresponde ao campo das Geometrias.
Quando falamos em pensamento geométrico (ou raciocínio geométrico) nos referimos aos modos e estratégias de pensar que têm como características essenciais as competências/capacidades de analisar objetos no espaço (e no plano) de modo a:
· reconhecer e detalhar as características gerais (tipos) e específicas das formas (composição), bem como descrever os procedimentos/processos para construção/obtenção destas;
· realizar e reconhecer os resultados de transformações na forma e na posição de objetos, bem como descrever os
 (
Metodologia
 
do
 
Ensino
 
da
 
Matemática
)
 (
Espaço
 
e
 
forma
)
 (
 
 
 
70
) (
E
A
D
) (
Pedagogia
)
 (
69
 
 
 
) (
UESC
) (
Módulo
 
5
 
I
Volume
 
3
)
procedimentos/processos para efetuá-las e revertê-las;
· comparar as formas e posições dos objetos, a fim de estabelecer as relações necessárias para compreensão/explicação de fenômenos e resolução de problemas.
 (
atenção
Atividades envolvendo
 
cálculos e medidas nem
 
sempre estimulam o
 
desenvolvimento das
 
habilidades essenciais do
 
pensamento
 
geométrico!
)Outros aspectos do pensamento geométrico estão relacionados ao bloco de conteúdos ‘Grandezas e Medidas’, mas é necessário que o professor compreenda muito bem as características essenciais deste tipo de pensamento para não incorrer no erro comum de trabalhar apenas com números e medidas e deixar de lado as dimensões mais importantes do raciocínio sobre o espaço e a forma. Na prática, estas habilidades são estimuladas com mais vigor quando o professor constrói e analisa com seus estudantes situações- problema sobre a forma e a posição dos objetos, sem recorrer a medidas e cálculos numéricos.
A capacidade de transformar o espaço intencionalmente começa a ser desenvolvida desde o nascimento e se potencializa nas atividades culturais das quais as crianças participam. Nas brincadeiras infantis como amarelinha, pula-corda e jogos de roda, por exemplo, são estimuladas percepções fundamentais sobre o espaço como as noções de lateralidade, direção, sentido, distância, trajeto, contorno, superfície, volume etc.
A maneira como a cultura contribui para o desenvolvimento do raciocínio a partir das nossas experiências de exploração do mundo nos leva a perceber que a geometria da exploração do espaço é mais familiar para as crianças no início da escolaridade do que a geometria das formas geométricas planas. Desta maneira, mesmo não sendo formas idealmente planas, a fôrma usada para assar pizzas e a roda da bicicleta tornam-se modelos para a criança compreender o círculo, desenhado com o compasso, porque
 (
Unidade
2
)
são mais conhecidas, experimentadas.
Nos anos iniciais, todas estas experiências passam a ser exploradas intencionalmente pelo professor, com auxílio de várias formas de registro como desenhos, esquemas, mapas, maquetes com o objetivo de ampliar a capacidade das crianças identificarem as características dos objetos e do espaço que estão relacionadas a situações-problema do dia a dia e projetar as transformações na forma e na posição que forem necessárias para encontrar soluções.
Figura 30 - Crianças em brincadeira de roda.
Fonte: http://0.tqn.com/d/houston/1/0/g/H/-/-/friendship- circle-clip-art.jpg
 (
Nos Parâmetros Cur-
 
riculares Nacionais os
 
conteúdos essenciais
 
da
 
aprendizagem
da Geometria estão
 
organizados no bloco
 
“Espaço
 
e
 
forma”.
 
Vale
 
a
 
pena
 
conhecer!
Brasil
 
(1997,
 
1998,
2002).
)Assim, num primeiro momento, a cultura escolar pode interagir com as culturas dos estudantes e contribuir para prepará-los para suas atividades cotidianas. Num segundo momento, o professor pode apoiar-se nas formas do pensamento geométrico desenvolvidas para avançar nos estudos, rumo ao estudo da geometria mais sistemática e dedutiva – formação que se intensifica nos anos finais do Ensino Fundamental.
2 CONCEITOS BÁSICOS PARA CONSTRUÇÃO METODOLÓGICA
Muitos pesquisadores conhecidos, como Jean Piaget, criaram modelos para explicar como nosso raciocínio se
desenvolve a ponto de nos permitir perceber as características das formas que habitam o espaço e transformá-las de modo intencional. Estas teorias organizam conhecimentos muito úteis para o professor, uma vez que ajudam a compreender as características dos conhecimentos matemáticos e a planejar atividades que potencializem as aprendizagens mais significativas.
Neste curso, a título de introdução, estudaremos a forma, a partir do pressuposto de que a mente lida com o espaço utilizando dois conceitos centrais: representação e intuição. Estes conceitos constituem uma síntese de ideias presentes nos modelos piagetiano, vygotskyano e na Teoria dosRegistros de Representação Semiótica e serão aqui introduzidos para nos permitir uma primeira aproximação didática com os fenômenos ligados a aprendizagem da geometria.
O objetivo de discutirmos esses conceitos é nos preparar para uma ação mais imediata em nossas aulas, criando esquemas metodológicos que nos auxiliem a problematizar situações de exploração do espaço e da forma. A partir dos conceitos de intuição e representação também podemos situar melhor algumas questões relativas ao significado e ao sentido e às noções de concreto e abstrato em Matemática.
2.1 Representação e intuição
Definimos representação como a capacidade de produzir registros sobre coisas que percebemos através de nossos sentidos. Esses registros podem ser imagens formadas apenas nas nossas mentes ou serem concretizadas em registros feitos de várias formas, utilizando nossa língua materna (descrições orais ou escritas) ou formas gráficas tridimensionais (esculturas, maquetes, modelos geométricos) e planas (desenhos, esquemas, mapas etc.).
Utilizamos as representações para nos referirmos aos conceitos e ideias matemáticas, de modo a registrar as características que consideramos importante para poder manipular o objeto ou lidar com ele em nossa mente, raciocinar sobre ele, tirar conclusões. Por isso, é uma aprendizagem escolar importante saber selecionar a representação mais
 (
Unidade
2
)
adequada para explorar/investigar uma situação. Por exemplo, para saber quantas pirâmides podem ser construídas com uma folha de cartolina pode ser mais interessante utilizar sua planificação do que a figura sólida. Nossa intuição é uma mistura de percepção e entendimento, formada por um conjunto de conhecimentos que ajuda a dar significado
às nossas percepções de modo mais ou menos imediato e consciente.
Exemplos:
· Quando cai um objeto no chão, longe da nossa vista, ouvimos o barulho e, às vezes, identificamos imediatamente o que caiu. O que ouvimos evoca em nossa mente algum conhecimento que temos e que está ligado à audição.
· Quando tentamos adivinhar (sem olhar) qual objeto está escondido dentro de uma sacola, nossas mãos tocam o objeto e nossas mentes evocam imagens e conhecimentos ligados ao nosso tato.
Nos dois casos é fácil perceber que nossa intuição mobiliza rapidamente conhecimentos ligados às nossas experiências sensoriais e, quando não encontra conhecimentos que ajudam a compreender o que estamos percebendo, fica difícil até formar alguma imagem ou entender o que está acontecendo. Então, num segundo momento, conscientemente, nos esforçamos para procurar em nossas mentes algo que ajude na compreensão.
Quanto mais ricas (em variedade e detalhes) são as nossas experiências sensoriais e quanto mais as evocamos e utilizamos de modo consciente, mais se desenvolve nossa intuição. Intuição e representação são competências que devem ser estimuladas no trabalho com todos os conteúdos de Matemática em qualquer nível de ensino.
No início deste capítulo, falamos em “pensamento geométrico” e com estes novos conceitos que estamos abordando podemos falar em “intuição geométrica” e em “representação do espaço”. Agora também podemos destrinchar as competências gerais do pensamento geométrico em habilidades (mais específicas). Desta forma, o pensamento é caracterizado em vários níveis, pelas habilidades de intuir e representar
as formas e suas posições no espaço, bem como utilizá-las de modo consciente para:
· posicionar e localizar objetos;
· analisar movimentos de pessoas e objetos;
· orientar-se, utilizando como referência as posições dos objetos;
· planejar e realizar transformações na forma e na posição dos objetos;
· para dimensionar (mensurar) o espaço e objetos;
· perceber	e	utilizar	com	criatividade	as regularidades da forma e posição;
· criar modelos para interpretar fenômenos e resolver situações-problema;
· comunicar suas ideias geométricas, utilizando diversas linguagens.
 (
Significado:
1) Expressão ou palavra
 
conhecida que é equiva-
 
lente ou substitui o ter-
 
mo; 2) Sinônimo conheci-
 
do;
 
3)
 
Noção
 
ou
 
conceito.
)Da mesma forma em que falamos em “intuição e representação geométrica”, podemos falar em “intuição e representação numérica” ou “intuição e representação aritmética” como competências que caracterizam o raciocínio numérico/aritmético. Discutiremos melhor a extensão dos conceitos básicos de intuição e representação para outras áreas da Matemática nos encontros presenciais. Por ora, vamos nos concentrar em entender como os conhecimentos matemáticos adquirem significado e sentido para nós e porque temos dificuldades em aprender certas coisas.
2.2 Significado e sentido
Quando mostramos o significado de uma operação para a criança, fazemos como o dicionário faz com palavras.
 (
Unidade
2
)
Exemplo 1: dizemos: seu lado esquerdo é o lado onde está situado seu coração.
Exemplo 2: também dizemos que a corda dá a volta em torno da criança.
Figura 31 - Crianças em brincadeira de corda.
 (
saiba
 
mais
Quanto mais ricas (em va-
 
riedade e detalhes) são as
 
nossas
 
experiências
 
sen-
 
soriais e quanto mais as
 
evocamos e utilizamos de
 
modo consciente, mais se
 
desenvolve nossa intuição
 
e, a partir dela amplia-se
 
nossa capacidade de atri-
 
buir sentido ao que apren-
 
demos.
)Fonte: http://blogs.elpais.com/.a/6a00d8341bfb1653ef0162f e4b3314970d-800wi
Exemplo 3: Dizemos: Três vezes um é a mesma coisa que somar um mais um, mais um.
Representamos: 3 x 1 = 1 + 1 + 1
 (
Sentido
Valor pessoal que o indi-
 
víduo atribui a um conhe-
 
cimento. Se é pessoal, as
 
motivações e todas as vi-
 
vências
 
e
 
aprendizagens
 
influenciam esse processo
 
de
 
valoração.
)Para um conhecimento fazer sentido, além do indivíduo compreender seu significado é preciso que ele aceite que sua lógica é válida (não é absurda) e reconheça os contextos de validade e aplicação dos conhecimentos. Inicialmente, tudo que contraria a intuição não faz muito sentido. Isto é, tudo que nossa percepção capta, mas que não conseguimos compreender, dificilmente vai fazer sentido para nós. Para dar sentido as coisas, fazemos uso de nossas capacidades de intuir e representar.
2.3 (
Concreto
Diz-se de coisa ou de re-
 
presentação que se apre-
 
senta
 
de
 
modo comple-
 
to, tal como lhe é próprio
 
apresentar-se na sua rea-
 
lidade
 
existencial.
)Concreto e abstrato
Essa definição de concreto nos indica que a característica fundamental do que é concreto é apresentar- se tal como na realidade, ou seja, para ser concreto não é preciso ser palpável, mas sim evocar ou representar o objeto
sem perder sua totalidade. A imagem mental que fazemos de um lugar que conhecemos bem na infância e que traz à lembrança experiências positivas pode ser bastante concreta, mesmo que este lugar já nem exista mais. Podemos lembrar propriedades como cheiro, cor, temperatura, textura e até sabores.
 (
Abstrato
Que designa ideias, quali-
 
dades, estados, ações, que
 
isolamos do que é concre-
 
to e utilizamos para operar
 
mentalmente
 
ou
 
através
 
de
 
registros
 
e
 
linguagens.
)Estamos mais acostumados a traduzir a palavra “concreto” como sendo sempre algo em sua forma material, palpável, o que, aliás, não está errado porque é um dos significados que a palavra possui e que está presente nos dicionários. Contudo, para o ensino de Matemática, esta definição é limitada porque não deixa clara a relação com o processo de abstrair, que em muitos dicionários é descrito como o processo de separar mentalmente para tomar em consideração uma propriedade que não pode ter existência fora do todo concreto ou intuitivo em que aparece (por exemplo, abstrair a cor ou a forma de um objeto).
A operação de abstrair implica lidar mentalmente com as propriedades do objeto sem a necessidade de que ele esteja presente. A imagem do lugar da infância que demos como exemplo pode ser examinada mentalmente e podemos realizar várias tarefas cognitivas sobre ela, sem a necessidade de ir até o lugar. Podemos nos concentrar, por exemplo, em tentar comparar as dimensõesdaquele lugar com as da nossa sala de aula ou podemos tentar focalizar a forma como nos movíamos naquele espaço. Essas operações constituem abstrações e estão muito ligadas às imagens que somos capazes de formar e ao grau de concretude que elas assumem para nós.
Estes conceitos nos ajudam a avançar em relação a um mito muito comum na educação hoje em dia: o mito de que no ensino de matemática sempre deve estar presente o “concreto” material. A partir dos conceitos de intuição e representação, podemos ampliar essa ideia do concreto de modo a abranger as representações do espaço que são
 (
Unidade
2
)
intuitivas para nossos alunos. E a partir delas estimular a identificação de propriedades do espaço e forma que permitem ao estudante construir ideias matemáticas e conceitos mais abstratos.
Assim, na contextualização das ideias exploradas em sala de aula, é fundamental o apelo às vivências dos alunos e ao uso de representações que sejam intuitivas para eles. Podemos utilizar vários materiais “concretos”, mas nosso objetivo é ampliar a capacidade de abstração do aluno para que ele lide com o concreto como referência, dentro da sua mente.
Lembrar de uma brincadeira como amarelinha e desenhá-la pode ser tão concreto para a criança quanto estar pulando sobre o desenho riscado no chão. Podemos perceber que algumas crianças em situações espontâneas de resolução de problemas aritméticos representam as operações da forma que é para elas mais intuitiva, porque faz mais sentido.
Figura 32 - Criança e os montinhos de gude.
A mesma criança que fez o desenho anterior, mais tarde representa a operação da seguinte forma:
Figura 33 - Criança e os montinhos de gude.
Ainda não é uma representação convencional, mas sem dúvida ela sabia o que estava fazendo ao escrever. Mais tarde, ele vai ser capaz de usar o sinal “+” de modo significativo.
Em vários momentos da aprendizagem da Matemática, os estudantes vão recorrer às representações que tornam o problema mais fácil de compreender. Observando as representações mais intuitivas para eles e o uso que fazem, podemos ter indícios da qualidade das aprendizagens e oferecer meios para que eles avancem e sejam capazes de construir e utilizar representações diversas com qualidade cada vez maior.
2.4 A importância da experimentação e da problematização
Com base nos conceitos que vimos, o professor pode perceber a importância de promovermos na escola a reflexão sobre o espaço vivido/ experimentado pelo estudante. Quando estimulamos a exploração consciente sobre o espaço e a experimentação de movimentos, disposição de objetos e transformações da forma, favorecemos a ligação entre experiência e os conhecimentos sistematizados, desenvolvendo melhor a intuição e o pensamento geométrico.
Para dar suporte às reflexões, o professor pode questionar as características do espaço e da forma. A esse processo de elaborar perguntas que motivem o estudante a explorar seus conhecimentos chamamos de problematização. Ela pode ser feita mesmo antes de o estudante experimentar o espaço, serve para atiçar sua intuição e verificar como ela antecipa a experiência. Também pode ser feita após a exploração do espaço, de modo a provocar a reflexão sobre aspectos tanto percebidos, quanto os pouco evidentes.
Ainda como suporte ao processo de aprendizagem, o professor pode recorrer às várias formas de representação possíveis em nossa língua materna (descrições orais ou escritas) ou formas gráficas tridimensionais (esculturas, maquetes, modelos geométricos) e planas (desenhos, esquemas, mapas etc.).
 (
Unidade
2
)
Para discutirmos um pouco mais, tomemos como exemplo duas situações:
· Situação 1: uma turma de 2º ano acaba de voltar da aula de Educação Física, na qual os estudantes fizeram atividades com corda (pulando, passando por baixo);
· Situação 2: uma turma do 4º ano é convidada
a sugerir locais adequados, dentro dos limites da escola, para dispor as atividades da Feira de Ciências das turmas do Ensino Fundamental I.
Na situação 1, após o retorno dos estudantes à sala de aula, o professor pode problematizar com a turma o lugar onde ocorreram as atividades, o espaço que foi ocupado, a disposição das crianças, o movimento delas no espaço em cada situação da brincadeira. Ele pode também solicitar aos estudantes que desenhem suas percepções para que depois sejam discutidas e a partir delas provocar as crianças a lembrarem/recriarem elementos ausentes nos desenhos ou redimensionarem elementos que elas posteriormente avaliem que poderiam estar de outra forma.
 (
saiba
 
mais
Nesse jogo de provocar a
 
antecipação da experiên-
 
cia e depois sua reavalia-
 
ção após o vivido, o pro-
 
fessor
 
estimula
 
as
 
duas
 
dimensões que compõem
 
a
 
intuição
 
(percepção
 
mais
 
entendimento).
)Na situação 2, o professor pode começar explorando as experiências que os estudantes já possuem sobre a escola, provocando-os a utilizar representações do espaço escolar e fazer análise com base no que já souber. Os estudantes podem utilizar inicialmente, por exemplo, um desenho do tipo planta baixa, sem precisão nas proporções, para permitir uma primeira discussão sobre o espaço. Nesse processo estarão evocando os conhecimentos que possuem e reorganizando-os. Num segundo momento, o professor pode permitir a visita organizada aos espaços que foram analisados para permitir ajustes na planta baixa (medidas), o registro de detalhes (como posição das janelas, portas, tomadas, torneiras) e também a percepção das informações
espaciais que não foram evidenciadas por este tipo de representação, como, por exemplo, luminosidade, ventilação e acústica dos ambientes. Observe que em ambas as situações é sempre possível revisitar o espaço e trabalhar melhor as representações a partir das necessidades problematizadas.
2.5 Síntese dos conceitos e da metodologia
As ideias de concreto e abstrato apresentadas têm uma relação muito íntima com os conceitos de representação e intuição, com a questão do significado e sentido e, consequentemente, com a maioria das aprendizagens em Matemática. Ao trabalhar, por exemplo, com os conhecimentos sobre espaço e forma na sala de aula, podemos desenhar estratégias que visem ao uso de representações para desenvolver a intuição de nossos alunos. Como sugestões, sistematizamos aqui alguns caminhos. Nos exemplos apresentados, tratamos como exemplo de experimentação a exploração do espaço da escola, estando nele ou recorrendo à memória.
Combinando os três momentos: exploração (Figura 34), problematização (Figura 35) e representação (Figura 36), o professor pode desenhar caminhos para estimular o pensamento geométrico do estudante.
 (
o problema
REPRESENTAÇÃO
DO
 
ESPAÇO
EXPLORAÇÃO
 
DO
 
ESPAÇO
PROBLEMATIZAÇÃO
 
SOBRE
 
O
 
ESPAÇO
)Re-significa
Direciona a percepção para uma determinada forma de exploração do espaço
Provoca o exercício da intuição, recuperando, significando e dando sentido às percepções já construídas
Permite o confronto entre o real e o que a percepção apreendeu, ampliando a intuição
Figura 34 – Partindo da problematização do espaço e da forma. Fonte: elaborado pelos autores.
Direciona a percepção para uma determinada forma de exploração do espaço
 (
EXPLORAÇÃO
 
DO
 
ESPAÇO
) (
PROBLEMATIZAÇÃO
 
SOBRE
 
O
 
ESPAÇO
) (
REPRESENTAÇÃO
 
DO
 
ESPAÇO
)
Permite o reconhecimento livre do espaço
através da percepção
Direciona a percepção para uma determinada forma de exploração do espaço
Provoca o exercício da intuição, recuperando, significando e dando sentido às percepções já construídas
Figura 35 – Partindo da exploração do espaço e da forma. Fonte: elaborado pelos autores.
Re-significa
 (
REPRESENTAÇÃO
 
DO
 
ESPAÇO
) (
PROBLEMATIZAÇÃO
 
SOBRE
 
O
 
ESPAÇO
) (
EXPLORAÇÃO
 
DO
 
ESPAÇO
)
Provoca o exercício da intuição, recuperando, significando e dando sentido às percepções já construídas
Direciona a percepção para uma determinada forma de exploração do espaço
Permite o confronto entre o real e o que a percepção apreendeu, ampliando a intuição
 (
Unidade2
)
Figura 36 – Partindo da representação do espaço e da forma. Fonte: elaborado pelos autores.
 (
ATIVIDADES
)
Vamos explorar algumas situações em sala de aula.
Exploração do espaço (localização, orientação, posição) a partir da representação
Atividade 1: um cliente descreve a casa dos seus sonhos para um arquiteto que a representa conforme a planta a seguir:
Figura 37 – Planta baixa da casa.
Essa planta representa a casa a ser construída. Problematize e proponha aos alunos que explorem:
a) a casa desenhada pelo arquiteto pode ser diferente da casa sonhada pelo cliente?
b) descreva a casa desenhada;
c) quantos quartos há na casa?
d) qual o maior e o menor cômodo da casa? Explique como encontrou sua resposta;
e) Quantas portas e janelas há na casa?
 (
Unidade
2
)
Com esse exemplo, podemos levar o aluno a uma experimentação pelo caminho da representação, partindo da planta, ou seja, representação da casa, passando pela problematização, chegando à exploração do espaço. A exploração do espaço permite que o aluno tenha, cada vez mais, compreensão sobre ele.
Atividade 2: podemos pedir ao aluno que descreva e desenhe a planta da sua sala de aula. Esse exemplo parte da percepção que o aluno tem da realidade conhecida. Acontece uma problematização em sua mente, buscando as formas geométricas planas conhecidas para construir o desenho, ou seja, a representação da sala.
Trabalho com formas ideais: montando e desmontando caixas
 (
para
 
lembrar!
Professor, o contexto his-
 
tórico pode ser uma im-
 
portante fonte de inspira-
 
ção, resgate informações
 
sobre os Sólidos Platôni-
 
cos.
)Atividade 1: observe a figura a seguir. Professor, peça a seus alunos que construam uma redação que trate das figuras geométricas utilizadas pelos amigos na brincadeira. Socialize os textos e as informações. Discuta sobre os sólidos geométricos (sólidos de revolução, pirâmides e prismas), detalhando suas características.
Figura 38 – Formas geométricas.
 (
Jogos
 
e
 
recreações
 
são
 
estratégias para o desen-
 
volvimento
 
de
 
ambientes
 
de aprendizagem que pro-
 
piciam a criatividade. Para
 
saber mais consulte Flem-
 
ming,
 
Luz
 
e
 
Coelho
 
(2012).
 
Não esqueça! Essas estra-
 
tégias sozinhas não garan-
 
tem a aprendizagem! Após
 
a brincadeira proponha ati-
 
vidades que aproveitem as
 
aprendizagens
 
e
 
estimule
 
as duas dimensões da in-
 
tuição,
 
a
 
percepção
 
e
 
o
 
en-
 
tendimento.
)Atividade 2: distribua a seus alunos a planificação de 2 sólidos geométricos. Peça-lhes que os dobrem, determinem quais são os sólidos, desenhando-os em folhas de ofício, utilizando os instrumentos do desenho geométrico e escrevam um pequeno texto, descrevendo sobre as características, a planificação e detalhes geométricos dos sólidos recebidos. Cole as folhas em um painel e exponha na sala de aula. Crie um momento de socialização e discussão dos resultados com todos.
Atividade 3: distribua a seus alunos do 1o ou 2o ano, organizados em grupo ou individualmente, vários sólidos diferentes ou repetidos. Deixe que manuseiem, montem cenários, animais ou coisas e criem histórias. Em folha de ofício, peça que escrevam a história e ilustrem, desenhando, o que montaram. Socialize as histórias, expondo em um varal ou em um painel e peça que contem sua história ou falem de sua criação. Em um segundo momento, com toda a turma, discuta sobre os sólidos geométricos presentes nas composições.
Atividade 4: em uma turma do 1o ao 4o ano, o professor propõe o Jogo “Descubra quem sou eu?” Sobre a mesa estão expostos diversos sólidos geométricos (conforme a figura). Uma caixa contendo fichas com os comandos para serem sorteados. O professor chama um aluno para sortear uma ficha, faz a leitura em voz alta da ficha sorteada e, com o auxílio de todos os coleguinhas, descobre qual sólido satisfaz as exigências contidas na ficha. (Procure utilizar o maior número de sólidos possíveis independentemente da série; no entanto, suas exigências quanto ao conhecimento dos estudantes devem ser adaptadas à cada série). Essa atividade também poderá ser feita com figuras planas.
 (
Unidade
2
)
 (
um
 
conselho
Caro professor, faça essa
 
brincadeira
 
anterior
 
ape-
 
nas
 
utilizando
 
o sorteio
 
das cartas sem a presença
 
dos sólidos. Não esqueça
 
que esta nova forma mo-
 
difica a atividade por exi-
 
gir dos alunos um maior
 
domínio mental das infor-
 
mações sobre os sólidos.
 
Utilize
 
essa
 
modalidade
 
quando eles já apresenta-
 
rem uma boa relação com
 
os sólidos.
)Figura 39 - Sólidos geométricos.
Fonte: http://1.bp.blogspot.com/-7IEyWlbS0Pw/TkxoZ9JU5HI/AAAAAAAABd8/ zOzOxRGkKjY/s1600/s%C3%B3lidos+geom%C3%A9tricos+3.jpg
Formas planas: investigando seus contornos
 (
Professor!
O Geoplano é um recurso
 
que pode auxiliar o traba-
 
lho de Geometria desen-
 
volvendo
 
atividades
 
com
 
figuras
 
e
 
formas
 
geomé-
 
tricas planas, investigando
 
suas características e pro-
 
priedades (vértices, ares-
 
tas,
 
lados),
 
ampliação
 
e
 
redução de figuras, sime-
 
tria,
 
área
 
e perímetro.
)Atividade 1: professor, com o auxílio de um Geoplano ou papel pontilhado represente os contornos das figuras geométricas conforme figura a seguir. Inicialmente, discuta com seus alunos sobre as formas e contornos apresentados. Investigue em quais dessas formas a simetria está presente. Trate sobre a relação da simetria e o equilíbrio nos corpos e nas coisas. Fale de pipas, aviões, pássaros, da estrutura humana e etc. Peça ao seu estudante que escolha uma das formas expostas no Geoplano e construa uma pipa, explicando sua construção.
Figura 40 - Geoplano.
Fonte: elaborado pelos autores.
Atividades envolvendo arte e a questão estética
 (
Professor!
 
Investigando
 
obras
 
artísticas
 
ou
 
suas
 
representações 
 
incenti-
 
ve seu aluno perceber a
 
presença
 
de
 
princípios
 
geométricos
 
em
 
suas
 
construções
 
ou
 
conhecer
 
ideias
 
matemáticas
 
que
 
estão por trás da pintura,
 
escultura, tapetes, mosai-
 
cos etc.
)Atividade 1: professor, apresente a seus alunos a gravura da borboleta. Discuta sobre a importância da simetria no equilíbrio, harmonia e no belo presente nas formas da natureza, como flores e animais. Peça aos estudantes que pesquisem uma outra forma que também contenha simetria, distribua folha de papel pontilhado e contas plásticas em cores variadas para que eles possam construir suas representações. Exponha em um painel as produções e crie um momento de socialização.
Figura 41 - Gravura de Borboleta. Fonte: elaborado pelos autores.
Atividade 2: professor, apresente aos alunos obras artísticas. Peça a eles que discutam em duplas sobre as formas geométricas planas presentes nelas. Que façam anotações e descrevam suas características. Discuta com eles sobre as formas geométricas encontradas. Por fim, proponha que, individualmente, desenvolvam uma composição com as formas geométricas discutidas. Exponha em um painel as obras artísticas dos alunos.
 (
Unidade
2
)
Figura 42 - Obras artísticas.
 (
RESUMINDO
)
Nesta unidade analisamos e discutimos situações-problema que envolvem a utilização do pensamento geométrico. Desenhamos caminhos metodológicos, visando estimular o desenvolvimento deste pensamento a partir dos conceitos de intuição e representação e combinando os três momentos de exploração do espaço vivido e experimentado pelo estudante: exploração, problematização e representação.
Partimos a nossa discussão examinando o mundo de formas em que vivemos e, assim, sugerimos ao professor que explore situações- problema envolvendo a forma e a posição dos objetos, trabalhando com números e medidas, bem como com as dimensões do raciocínio sobre o espaço e a forma.
 (
REFERÊNCIAS
)
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 (
Unidade
2
)
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Suas anotações
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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 (
3ª
unidade
TRATAMENTO
DA INFORMAÇÃO -
 
TABELAS
 
E
 
GRÁFICOS
)
OBJETIVOS
Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de:
· reconhecer a importância da Estatística no desenvolvimento do
pensamento científico do estudante;
· conhecer as fases da investigação científica e o papel da Estatística na observação e sistematização de fenômenos em estudo;
· construir procedimentos para coletar, organizar e comunicar dados;
· construir tabelas e gráficos de acordo com a natureza dos
dados.
 (
Unidade
3
)
1 INTRODUÇÃO: VIVEMOS EM UM MUNDO DE INFORMAÇÃO
A inserção do ensino de conceitos básicos de Estatística desde os anos iniciais da Educação Básica, por meio do bloco Tratamento da Informação, merece um destaque especial, uma vez que por sua própria natureza, a Estatística possibilita trabalhar a Matemática com as outras áreas do conhecimento (interdisciplinaridade) e com os Temas Transversais (BRASIL, 1997), como sintetiza o Quadro 2.
Quadro 2 – Conteúdos conceituais e procedimentais de Probabilidade e Estatística (Tratamen- to da Informação) para os primeiros anos do Ensino Fundamental
	
	1º ciclo (1ª e 2ª série) / (2º e 3º ano)
	2º ciclo (3ª e 4ª série) / (4º e 5º ano)
	Estatística
	
	Leitura e interpretação de dados
	
	Leitura e interpretação de informa- ções contidas em imagens.
	apresentados de maneira organi- zada (por meio de listas, tabelas,
diagramas e gráficos), construção
	
	
	dessas representações.
	
	Coleta e organização de informa-
	Coleta, organização e descrição de
	
	ções.
	dados.
	
	Exploração da função do número
	
	
	como código	na organização de
	
	
	informações (linhas de ônibus, te-
	
	
	lefones, placas de carros, registros
	
	
	de identidades, roupas, calçados).
	
	
	
Interpretação e elaboração de lis- tas, tabelas simples, de dupla en- trada e gráficos de barra para co- municar a informação obtida.
	Interpretação de dados apresenta- dos por meio de tabelas e gráficos, para identificação de caracterís- ticas previsíveis ou aleatórias de acontecimentos.
	
	Criação de registros pessoais para
	Produção de textos escritos, a par- tir da interpretação de gráficos e tabelas, construção de gráficos e tabelas com base em informações contidas em textos jornalísticos, científicos ou outros.
	
	comunicação das informações cole-
	
	
	tadas. Produção de textos escritos
	
	
	a partir da interpretação de gráfi-
	
	
	cos e tabelas.
	
	
	
	Obtenção e interpretação da média
	
	
	aritmética.
 (
Metodologia
 
do
 
Ensino
 
da
 
Matemática
)
 (
Tratamento
 
da
 
Informação
 
-
 
tabelas
 
e
 
gráficos
)
 (
 
 
 
100
) (
E
A
D
) (
Pedagogia
)
 (
101
 
 
 
) (
UESC
) (
Módulo
 
5
 
I
Volume
 
3
)
	Probabilidade
	
	· Exploração da ideia de probabi- lidade em situações-problema simples, identificando sucessos possíveis, sucessos seguros e as situações de “sorte”. Utiliza- ção de informações dadas para avaliar probabilidades. Identi- ficação das possíveis maneiras de combinar elementos de uma coleção e de contabilizá-las, usando estratégias pessoais.
O pensamento estatístico amplia as formas de pensar, valorizando o mundo das incertezas. Muitas vezes, o aluno, acostumado a um pensamento determinístico, tende a aceitar como certa a previsão de um resultado a partir da maior frequência de um evento. Por exemplo, ao perceber que todos os seus colegas têm medo do escuro, conclue como certeza que um novo colega terá também medo do escuro. O trabalho com o pensamento estatístico auxiliará o aluno a perceber que sua previsão não ocorrerá necessariamente.
Como a Estatística é parte do método científico, é natural que o trabalho com a mesma parta de problemas de outras áreas do conhecimento e das práticas sociais, viabilizando a interdisciplinaridade e a inserção de temas transversais. Ao se trabalhar com projetos em sala de aula, o professor pode partir do levantamento de temas vivenciados pelos alunos, como, por exemplo, a observação do número de dias ensolarados, o número de alunos que faltam as aulas durante um mês, o maior medo das crianças, a germinação das sementes, dentre outros.
Nesse sentido, sugerimos que quando realizarem projetos escolares, coletando dados, não se limitem a coletá-los, mas os realizem nos moldes da pesquisa científica.
2 AS FASES DA INVESTIGAÇÃO CIENTÍFICA
Na sala de aula, podemos ter duas situações em pequena escala: reprodução do conhecimento científico (experimento da refração da luz, a
 (
Unidade
3
)
germinação das sementes etc.) ou da tomada de decisões (investigar o medo das crianças com fins pedagógicos).
Em ambos os casos, o arcabouço metodológico é o mesmo. Conforme Cazorla e Santana (2010), as fases de uma investigação científica podem ser descritas como segue:
2.1 Problematização da pesquisa
Nesta fase, a escolha do tema é crucial para contextualizar o problema a ser investigado, possibilitar que este faça sentido para o aluno e propiciar o desenvolvimento de uma postura investigativa, incentivando os alunos à observação sistemática dos fenômenos que ocorrem ao seu redor, sejam sociais, culturais ou da natureza, formulando perguntas de pesquisa.
A escolha do tema deve possibilitar um trabalho interdisciplinar, envolvendo aspectos e conteúdos escolares de outras áreas de conhecimento e da Estatística, utilizando seus conceitos e procedimentos que ajudam no planejamento e execução da pesquisa.
Esse tema também deve possibilitar a participação ativa dos alunos, a postura ética, o respeito à opinião do outro, o uso racional dos recursos ambientais etc.
2.2 Planejamento da pesquisa
Escolhido o tema e as perguntas de pesquisa, colocamos em pauta a importância da definição da população a ser investigada, que pode ser por censo (quando se investiga todos os elementos da população, ou por amostragem (quando se investiga uma parte dela).
As perguntas de pesquisa, por sua vez, precisam da escolha adequada das variáveis (características da população) que permitirão sua operacionalização, sendo crucial uma definição clara e precisa dessas variáveis, bem como sua caracterização, o que determina o tipo de tratamento estatístico a ser utilizado.
Após essa etapa, podemos elaborar os instrumentos de coleta de dados, já pensando em responder as perguntas de pesquisa que norteiam o
levantamento de dados.
2.3 Execução da pesquisa
Uma vez definida a população a ser investigada e o instrumento para coleta dos dados, o próximo passo é coletar os dados. Nesta etapa, é preciso uniformizar os procedimentos a fim de quetodos os alunos façam a coleta da mesma forma.
Uma vez coletados os dados, iniciamos o seu tratamento. Nesta fase, aproveitamos para apresentar os diversos conceitos e procedimentos que nos ajudam a organizar os dados e extrair as informações mais relevantes. Isto implica discutir como escolher o procedimento mais adequado para analisar as variáveis envolvidas.
 (
Formulação
 
de
questões
 
de
 
pesquisa
Definição
 
da
 
popula-
ção
 
a
 
ser
 
investigada
Identificação
 
e
 
caracte-
rização
 
das
 
variáveis
Amostra
Censo
Elaboração
 
dos
instrumentos
Planejamento
 
amostral
Planejamento da
coleta
 
dos
 
dados
Planejamento do
tratamento
 
dos
 
dados
Coleta
 
dos
 
dados
Tratamento
 
dos
 
dados
Análise
 
e
 
interpreta-
ção
 
dos
 
resultados
Comunicação
dos
 
resultados
) (
Planejamento
 
da
 
pesquisa
) (
Problematização
 
da
 
pesquisa
)A interpretação e a comunicação de resultados não se restringem a repetir as informações já contidas nas próprias medidas, mas busca incentivar a retomada das perguntas de pesquisa que nortearam o levantamento de dados, fechando, assim, o ciclo da investigação científica, como descrevemos na Figura 43.
 (
Contextualização 
da
 
situação problema
)
 (
Execução
 
da
 
pesquisa
)Figura 43 - As fases da pesquisa científica. Fonte: Cazorla e Santana (2010, p. 15).
 (
Unidade
3
)
Cazorla e Utsumi (2010) defendem que os alunos devam ter uma participação ativa no processo de construção de seus conhecimentos, ajudandoescolhero tema, as perguntas de pesquisa eas variáveis envolvidas; coletando dados, que podem ser dos próprios alunos, de suas famílias, ou que eles “tomaram conta”; assumindo vários papéis: informando ou indagando dados, “medindo” ou “sendo medidos”; semeando e regando as sementes; tratando e analisando os dados, ora de forma individual, ora em grupos ou com a turma; interpretando e comunicando resultados, defendendo suas ideias perante a classe, desenvolvendo a capacidade de arguição, aprendendo a ouvir as críticas de seus colegas e, o que é mais importante, aprendendo a respeitar a opinião do outro, dentre outros papéis.
3 PROBLEMATIZAÇÃO DA PESQUISA
Todo o trabalho parte da identificação do problema e, então, são levantadas questões a serem respondidas para solução do mesmo, identificando os fatores envolvidos. Aqui vamos nos inspirar no trabalho de Cazorla et al (2011).
Devemos lembrar que as crianças, por meio de suas observações, buscam entender o mundo que as rodeia, levantando perguntas do tipo: por que o céu é azul? Quando vai ser amanhã? Rosa é cor de menina? Menino é mais forte que menina? As meninas sentem medos diferentes dos meninos? O Brasil vai ser campeão da Copa do Mundo de 2014?
Por meio de sua curiosidade, a criança é levada a questionar, investigar e descobrir coisas novas. A criança age de forma similar à investigação científica ao levantar questionamentos a partir de suas observações. Cabe a nós, professores da escola, aproveitar a curiosidade infantil como um primeiro elemento na condução de uma pesquisa estatística, a qual pode ajudar na compreensão de aspectos do mundo que a cerca. Aguçar a identificação das dúvidas tem, portanto, um papel fundamental no desenvolvimento do pensamento estatístico das crianças. Uma investigação estatística parte da observação dos fenômenos
e a identificação de um problema. Portanto este é o primeiro elemento a ser construído numa pesquisa. É a partir dele que identificamos as perguntas que queremos responder. Assim, o problema, também chamado de questão de pesquisa, é o motivo pelo qual resolvemos fazer uma investigação, é o ponto inicial e motivador.
 (
Fenômenos
Entendemos
 
por
 
fenô-
 
menos 
todos os aconteci-
 
mentos
 
observáveis,
 
algo
 
que pode ser visto. Estes
 
podem 
 
ser 
 
observados
 
em condições naturais ou
 
experimentais.
 
Os
 
expe-
 
rimentos são réplicas dos
 
fenômenos
 
naturais,
 
em
 
condições controladas pelo
 
experimentador.
)O problema, do ponto de vista formal, é um enunciado e, do ponto de vista semântico, uma dificuldade ainda não resolvida, uma pergunta ainda não respondida. Ser ou não respondida precisa ser considerada em relação ao contexto da investigação. O fato de uma questão já ter resposta científica não implica em sua inviabilidade de uso em sala de aula. Essas investigações são feitas para que o aluno observe ou reconstrua o conhecimento, ou parte dele, a partir de experimentos ou de observação dos fenômenos. Por exemplo, o fenômeno da refração da luz, o arco-
íris, é um fenômeno natural que pode ser observado na natureza, num dia de sol, após uma chuva ou reproduzido (de forma experimental), utilizando o prisma de Newton ou, ainda, direcionando um jato de água contra o Sol.
 (
Unidade
3
)
Um outro exemplo, bastante intuitivo, é a queda dos corpos, como conta a lenda da maçã que caiu na cabeça de Isaac Newton. Observar a queda das maçãs (cocos, jenipapo ou qualquer outra fruta da região) diretamente na natureza levaria muito tempo e poderia ser inviável. Contudo isso não é um problema, pois podemos reproduzir este fenômeno em condições experimentais, controlando os fatores que interferem na queda dos corpos, como, por exemplo, tamanho, formato, peso (massa) etc.
Estes são dois exemplos de fenômenos determinísticos, pois há uma garantia de certeza do arco- íris ter sempre sete cores numa mesma ordem, assim como podemos afirmar que todos os corpos ao serem soltos cairão. Esses fenômenos são denominados de determinísticos, pois conhecemos os resultados a priori.
 (
Chance
é a possibilidade de ocor-
 
rer um evento, probabi-
 
lidade é a medida dessa
 
possibilidade.
)Contudo existem fenômenos que não são determinísticos, pois não sabemos qual será o resultado de sua realização. Um exemplo é a germinação de uma semente, que pode ou não germinar e só saberemos após plantá-la. Outro exemplo é o clima de nossa cidade no dia seguinte, esse pode ser ensolarado, nublado ou chuvoso. Dependendo da região e da estação do ano, a chance de haver uma mudança de clima de um dia para o outro pode ser alta ou muito pequena. Por exemplo, no verão, no período do fenômeno “El niño”, a chance de chuva em São Paulo será altíssima; já no sertão nordestino, será pequeníssima. Aliás, este é um tema interessante para ser trabalhado na sala de aula, pois desenvolve a capacidade de prever o resultado de eventos aleatórios.
Esses fenômenos são denominados de aleatórios e alguns deles podem ser replicados via experimentação. No caso da germinação das sementes, ao invés de esperar as sementes caírem na natureza, podemos reproduzir o fenômeno em sala de aula. Neste caso, plantamos as sementes em vasos e, se quisermos ainda, podemos controlar fatores
 (
um
 
conselho
Professor, aproveite este
 
momento
 
para
 
realizar
 
pesquisas
 
com
 
as
 
crian-
 
ças
 
de
 
projetos
 
como
 
o
 
TAMAR que visa salvar as
 
tartarugas marinhas, cui-
 
dando
 
e
 
controlando
 
os
 
locais de reprodução, vi-
 
sando o aumento da taxa
 
de sobrevida das tartaru-
 
gas.
)que interferem no resultado, tais com: luz (com ou sem luz), a adubação (com ou sem adubo), a irrigação (controlando a quantidade de água por dia), dentre outras possibilidades.
Em geral, utilizamos os experimentos para conhecer melhor os fenômenos e, muitas vezes, para controlá-los, otimizando os seus resultados. Por exemplo, em condições naturais, a chance de uma semente germinar pode ser muito baixa, pois pode cair em um terreno infértil, os animais podem comê-la, pode não chover e morrer por falta de água etc. Já em uma situação experimental essa chance poderá ser bastante alta.
No caso do clima, será impossível recriá-lo de forma experimental. O máximo que podemos fazer é estudar seu comportamento ao longo do tempo, bem como utilizar aparelhos cada vez mais sofisticados para a compreensão deste fenômeno. No Quadro 3, apresentamos exemplos de fenômenos determinísticos e aleatórios e formas de investigações naturais e experimentais.
Quadro 3 - Os tipos de fenômenos e as formas de investigá-losTIPO
	
FENÔMENO/ QUESTÃO
	FORMA DE INVESTIGAÇÃO
	
	
	OBSERVAÇÃO NATURAL
	EXPERIMENTAÇÃO
	
Determi- nístico
	
Refração da luz: o arco-íris tem sempre as mesmas cores na mesma ordem?
	
Observar o arco-íris em diferentes dias, locais etc.
	Observar a formação do arco-íris utilizando diferentes instrumentos como o prisma de Newton e um jato
de água em um dia ensolarado.
	
Aleatório
	
Germinação de sementes: todas as sementes germinam?
	Observar se todas as sementes que caem de uma árvore germinam.
	
Plantar sementes em diferentes vasos e verificar se todas elas germinam.
 (
Unidade
3
)
Outro aspecto ligado aos fenômenos é sua qualidade de observável. Os fenômenos provenientes das ciências exatas, naturais e biológicas, em geral, são de natureza observável e envolvem grandezas que podem ser medidas sem muitas controvérsias.
Por exemplo, a quantidade de sementes que germinam pode ser contada. A altura de uma criança, o espectro da luz, a intensidade de um terremoto podem ser medidos, mas precisam de instrumentos. Em geral, os instrumentos de medida e as unidade são padronizados e respeitam convenções internacionais.
Ao contrário, os fenômenos ligados às ciências humanas não são diretamente observáveis, são inferidos pela manifestação das pessoas envolvidas, como por exemplo, o medo que uma pessoa sente, a capacidade de memória, o conhecimento aprendido, o gosto pela Matemática, dentre outros. Alguns pesquisadores denominam essas situações de pseudo fenômenos, no entanto, para os autores deste material, essas situações serão também chamadas de fenômenos.
Nestes casos, enfrentamos dois problemas cruciais: como definir e como medir o fenômeno em estudo. Por exemplo: o que é “medo” e como medi-lo? Para os adultos pode ser uma coisa, já para as crianças, outra. Para saber do que as crianças têm mais medo é preciso decidir a partir do quê será inferido os medos delas. Não podemos criar situações experimentais, por exemplo, situações que levassem as mesmas a sentirem medos, pois seríamos antiéticos. Neste caso, podemos perguntar diretamente à criança do que ela tem mais medo ou mostrar um rol de situações e pedir que ela marque de qual tem mais medo; ou, ainda, perguntar ao pai do que seu filho(a) tem mais medo.
Já para investigar quem tem mais memória, as crianças ou os adultos, podemos criar uma situação experimental, a partir de uma investigação interessante e fácil de ser realizada pelas próprias crianças. Esse é o caso, por exemplo, de “medir” a memória das pessoas por meio do “Jogo da Memória”.
No momento, interessa-nos apenas levantar problemas possíveis de serem investigados na sala de aula. Esses problemas poderiam ser:
· Qual é a fruta favorita das crianças?
· Do que as crianças têm mais medo?
· Será que os adultos têm melhor memória do que as crianças?
· Todas as sementes germinam quando plantadas?
· Os meninos são sempre mais altos do que as meninas?
 (
Hipótese
é
 
uma
 
afirmativa
 
elaborada
 
e que será colocada à pro-
 
va, de maneira que poderá
 
ser rejeitada ou não. Nas
 
pesquisas exploratórias, as
 
hipóteses
 
podem tornar-
 
se perguntas de pesquisa.
 
Essas
 
questões,
 
pela
 
sua
 
especificidade, devem dar
 
testemunho
 
do
 
trabalho
 
conceitual
 
efetuado
 
pelo
 
pesquisador
 
e,
 
pela
 
sua
 
clareza, permitir uma res-
 
posta
 
interpretável.
)É natural que toda criança tenha uma resposta para cada um dos problemas que foram levantados. Umas acham que os meninos sempre são mais altos enquanto outros acham o contrário. Essas respostas das crianças podem ser aproveitadas pelos professores para estimular a explicitação de suas afirmações. Essas, acompanhadas de uma explicação, são denominadas de hipóteses.
As hipóteses, quando testadas, transformam-se nas conclusões da pesquisa. Nesse sentido, a geração de hipóteses com os alunos é uma etapa fundamental para a Educação Estatística. A criança pode afirmar que os meninos são mais altos que as meninas, por observar que os homens adultos são mais altos do que as mulheres adultas. Isso é uma hipótese, porque ela afirma e justifica a afirmação. Entretanto, a hipótese pode não ser verdadeira e é por isso que se realiza a pesquisa.
Observamos que existem pesquisas de cunho descritivo ou exploratório, as quais não partem de hipóteses. O mesmo exemplo dos medos das crianças pode ser um estudo exploratório se o objetivo for fazer um mapeamento dos principais medos dos alunos. Neste caso, não faz sentido levantar que certos medos são mais frequentes do que outros, pois é justamente isso que ele quer saber.
A hipótese, em geral, relaciona pelo menos duas variáveis. No exemplo da altura dos meninos, relacionamos gênero, altura e idade. A altura é chamada de variável dependente, pois é ela que sofre a interferência das variáveis gênero e idade, sendo que estas duas últimas são denominadas de variáveis independentes por serem os
 (
Unidade
3
)
fatores que modificam a variável dependente.
O diagrama a seguir apresenta uma síntese das variáveis envolvidas nessa hipótese:
 (
Gênero
Idade
) (
Altura
)
Variáveis independentes	Variável dependente
3.1 Questões didáticas da escolha do problema
A escolha do problema ou da questão a ser investigada pode ser uma proposição do professor, de um aluno ou de um grupo de alunos. O que importa é que todos estejam motivados em pesquisar sobre o mesmo. Um trabalho de pesquisa em sala de aula pode ser realizado em uma aula ou em várias, perpassando todo um bimestre letivo. Para que os alunos não desistam da pesquisa no meio do caminho é fundamental que o problema seja, de fato, interessante e desafiador para todos.
Quando falamos “desafiador”, estamos enfatizando que o professor precisa refletir se a pesquisa que será realizada permitirá a produção de um conhecimento novo para esses alunos, para o qual eles devem estar efetivamente interessados em saber.
Uma pesquisa científica requer a produção de um conhecimento novo; mas, na escola, também é realizada a replicação de uma pesquisa, a qual vai permitir que os alunos compreendam um determinado fenômeno e suas variações. Na construção do conhecimento é preciso que a criança, por meio de suas ações, construa, mesmo que apenas em parte, esse conhecimento. Só dessa maneira ela se apropria dele.
É importante ressaltar que, algumas vezes, confunde-se pesquisa com estudo. Entretanto, a diferença entre os dois está exatamente na produção de um conhecimento e não na apropriação por alguém de um conhecimento já produzido. Uma pessoa que não conheça a teoria de Piaget poderá estudá-la por meio de seus livros ou de autores que escrevem sobre ela para aprender sobre a teoria. Entretanto, para saber
 (
atenção
Questionar
 
sobre
 
a
 
ade-
 
quação de uma pesqui-
 
sa
 
à
 
faixa
 
etária
 
dos
 
nossos
 
alunos
 
é
 
um
 
fator
 
determinante para o inte-
 
resse e sucesso da mes-
 
ma.
)se um aspecto da teoria de Piaget é válido, essa pessoa terá que elaborar uma pesquisa para confirmar ou não o que Piaget está argumentando. Da mesma forma, um aluno pode não saber sobre o comportamento da germinação de uma semente e estudar nos livros sobre isso, ou planejar um experimento que lhe permita compreender esse fenômeno.
Ao escolhermos o problema, precisamos, também, considerar o tempo que temos para solucioná-lo. Se um professor, por exemplo, quiser implementar o experimento da germinação das sementes, bastará organizar a classe de tal forma que todos os alunos plantem as sementes e, após um dia ou dois, proceder à contagem daquelas que germinaram. Mas se esse professor quiser, também, acompanhar o crescimento das plantinhas, então isso levará mais tempo e envolverá outros procedimentos.
Dessa forma, desde o início, é preciso saber quanto tempo se tem para a realização da pesquisa, bem como a adequação das tarefas à idade e aos conhecimentos prévios das crianças sobre o tema a ser investigado.
4 DE ONDE SE OBTÊM OS DADOS?
Na seção anterior, refletimos sobre a definição do problema de uma pesquisa, o levantamento de hipóteses e as questões de pesquisa.Agora é preciso determinar a população que será investigada.
Ao se questionar do que as crianças têm mais medo, primeiro devemos definir o que entendemos por “crianças”. Podemos definir “crianças” pelo critério idade, por exemplo, “todas as pessoas de 6 a 11 anos” (ou qualquer outra faixa etária similar). Também podemos definir “crianças” como “todos os alunos matriculados do 1º ao 5º ano do Ensino Fundamental”.
Analisemos cada uma dessas definições. A primeira
 (
Unidade
3
)
leva em consideração um critério bastante claro, a idade, contudo, sua operacionalização será muito trabalhosa, pois implica investigar as crianças nos diversos ambientes em que elas se encontram (residências, escolas etc.). Já a segunda definição é muito mais simples de ser investigada, pois as crianças estão nas escolas. Todavia, devemos lembrar que esta definição se refere a um subconjunto da população de crianças; pois, a depender do local ou país, muitas crianças, em geral, as mais pobres, ainda se encontram fora da escola, portanto o estudo poderá estar refletindo apenas os medos das crianças que frequentam as escolas e não o medo das crianças. Além disso, esta definição inclui os alunos matriculados na Educação de Jovens e Adultos (EJA), cuja faixa etária envolve pessoas com 16 anos ou mais. Assim, precisaríamos explicitar melhor esta definição, por exemplo, “todos os alunos matriculados do 1º ao 5º ano do Ensino Fundamental Regular”.
 (
População
em Estatística, é o conjun-
 
to de elementos (unidades
 
populacionais), objetos da
 
pesquisa,
 
que
 
tem
 
pelo
 
menos uma característica
 
em
 
comum,
 
que
 
define,
 
claramente,
 
se
 
um
 
ele-
 
mento pertence ou não a
 
população.
Unidade populacional
:
 
é de onde obtemos os da-
 
dos.
 
Pode
 
ser
 
uma
 
pessoa,
 
animal ou coisa, pode ser
 
individual
 
ou
 
coletivo
 
(pes-
 
soa,
 
família, a
 
classe).
)Além disso, podemos pensar em todas as crianças do mundo, nas crianças brasileiras, nas crianças de nossa cidade, nas crianças de nossa escola ou, ainda, nas crianças de nossa sala de aula. Isto é, precisamos definir a abrangência em termos espaciais de nossa investigação. Também devemos ter em mente o tempo, pois as crianças de 2010 podem não ser as mesmas de 2011, por exemplo. Assim, é preciso definir também a abrangência temporal.
Cada um desses grupos se constitui em um tipo de população. Assim, temos diferentes populações para responder a uma mesma questão de pesquisa, o que muda é a abrangência espacial e temporal da investigação.
Além de definir a população, devemos definir também como vamos obter a informação, isto é, quem serão os sujeitos de pesquisa: podem ser as próprias crianças falando de seus medos ou o responsável pela criança falando dos medos dela. Tudo vai depender do objetivo da pesquisa. Se investigarmos os medos a partir do depoimento
 (
atenção
Assim,
 
a
 
definição
 
dos
 
sujeitos
 
da
 
pesquisa
 
é
 
fundamental
 
para
 
que
 
a
 
investigação atinja o ob-
 
jetivo
 
desejado.
)das próprias crianças então estaremos respondendo a questão “quais são os maiores medos das crianças?”. Se investigarmos esses medos a partir do depoimento do responsável pela criança, então estaremos respondendo a questão “quais são os maiores medos das crianças a partir da opinião de seus responsáveis?”. Obviamente, são duas pesquisas diferentes, pois os adultos sentem outros medos que as crianças ainda podem nem conhecer, portanto esses resultados poderão nos dar uma visão não fidedigna do medo das crianças.
Da mesma forma, no caso da pesquisa sobre a germinação de sementes, não é possível que cada aluno traga um tipo de semente; pois, nesse caso, a germinação também dependerá do tipo de semente utilizado. Assim, a semente precisa ser de uma variedade de planta e de preferência de uma mesma procedência, a fim de evitar que fatores alheios interfiram na germinação delas.
Uma outra questão que devemos chamar a atenção é que a Estatística é a ciência do significado e uso dos dados. Sua grande missão é a compreensão dos fenômenos a partir da análise dos dados, desvendando os padrões subjacentes deles. Portanto, precisa-se de uma quantidade de dados que possa representar o comportamento do fenômeno em estudo.
Por exemplo, não podemos inferir o comportamento da germinação das sementes a partir da observação de apenas uma ou duas sementes. É preciso ter uma quantidade maior. Entretanto, é preciso cuidado para que uma quantidade muito grande não deixe as crianças perdidas entre os dados. Em geral, sugere-se que, para conduzir uma pesquisa em sala de aula, cada aluno seja responsável por uma quantidade pequena e fixa de sementes e que os dados de todos os alunos formem o conjunto necessário à pesquisa estatística.
 (
Unidade
3
)
4.1 (
Censo
:
 
quando
 
investiga-
 
mos todos os elementos
 
da
 
população.
Amostra:
 
quando
 
investi-
 
gamos uma parte da po-
 
pulação.
Amostragem: 
métodos e
 
processos para coletar a
 
amostra.
)Censo ou amostra
Além da delimitação da população, é preciso definir se coletamos os dados com todos os sujeitos que compõem a população (censo) ou escolhemos uma parte representativa da população (amostra).
No caso da pesquisa sobre o medo das crianças, podemos escolher pesquisar o medo das crianças de nossa sala de aula. Neste caso, a realização do censo é viável, mas a abrangência dos resultados é limitada àquela turma, pois trata-se de um estudo de caso.
No entanto, podemos querer investigar o medo de todas as crianças da escola. Se a escola for de pequeno porte, ainda podemos pensar em realizar um censo; mas, se a escola for maior, o censo pode se tornar inviável ou muito trabalhoso. Neste caso, é mais viável utilizar uma amostra dos alunos da escola.
Contudo, definir a amostra não é tão simples, ela precisa levar em consideração as hipóteses. Se o gênero, por exemplo, for importante, não adianta ter uma amostra só de meninas. Da mesma forma, se a idade for importante, não adianta selecionar só crianças de seis anos ou só as de onze anos. Por essa razão, a seleção da amostra deverá levar em consideração as características essenciais da população.
Agora devemos responder as seguintes perguntas:
· (
leitura
 
 
recomendada
Sugerimos ler a disserta-
 
ção de mestrado de Sou-
 
za (2007), que organizou
 
uma
 
pesquisa
 
com
 
seus
 
17
 
alunos da Educação Infan-
 
til,
 
de
 
5
 
e
 
6
 
anos.
 
As
 
crian-
 
ças
 
entrevistaram
 
todos
 
os
 
colegas da escola e o pes-
 
quisador, além de relatar
 
todas as fases da pesqui-
 
sa, relata, também, as di-
 
ficuldades encontradas no
 
processo.
)Quantos alunos devemos entrevistar? Isto é, definir o tamanho da amostra.
· Como vamos selecionar a amostra?
· Como levar em consideração as duas variáveis: gênero e idade?
Por uma questão de viabilidade, decidimos que cada aluno deve entrevistar dois colegas. Como temos 30 alunos, então o tamanho da amostra será de 60.
Professor, observe que a ideia é apenas discutir as
diversas formas de selecionar a amostra, refletindo junto com as crianças o que pode acontecer com um ou outro procedimento; ou, pelo menos, fazer ver a elas que há diferentes formas de selecionar as amostras. Essa discussão é fundamental; pois, de um lado, não podemos deixar que os alunos acreditem que qualquer amostra serve para generalizar os resultados para toda a população e, de outro, é esse tipo de indagação que ajuda a desenvolver o pensamento estatístico.
4.2 A fonte de dados
A fonte dos dados é composta pelos sujeitos da pesquisa ou elementos da população que fornecem os dados, que pode ser uma pessoa, como no caso da pesquisa sobre o medo; a semente, no caso da pesquisa da germinação etc.
Observamos que, dependendo da pesquisa, a fonte de dados pode ser o próprio aluno, seus colegas, os professores, a semente, os livros da biblioteca, as pedras do pátio, a conta de água etc.
· Fonte primária. Quando coletamos os dados diretamente da fonte são denominados de dados primários. Por exemplo, na pesquisa sobre o medo, os dados obtidos a partir das respostasdos alunos ou de seus responsáveis são dados primários, o mesmo ocorre quando registramos os dados da observação da germinação das sementes.
· Fonte secundária. Quando os dados foram coletados por outras pessoas e nós trabalhamos em cima deles, são denominados de dados secundários. Por exemplo, se quisermos investigar o padrão do consumo de água ou energia elétrica das famílias de nossos alunos, a fonte de dados será a conta de água ou de energia.
Vejamos um exemplo. Suponhamos que queremos investigar qual é o desempenho de um estudante em Matemática. Podemos aplicar uma prova e dar uma nota. Essa prova é uma fonte primária. Mas também
 (
Unidade
3
)
podemos recorrer ao boletim, às atas finais da escola e fazer esse levantamento a partir desses dados. Assim, o aluno é a fonte primária, o boletim e a ata são fontes secundárias. Observe que o boletim ou a caderneta de notas da sala contém as notas de todos os alunos nos quatro bimestres em todas as disciplinas, estas fontes de dados são secundárias.
	Aluno Prova
Fonte primária
	Boletim do aluno (individual)
Nota do aluno
Fonte secundária
	Ata das notas (da classe) Nota do aluno
Fonte secundária
4.3 O que é coletar os dados?
Após a definição dos sujeitos e a definição da fonte de dados, é preciso decidir como os dados serão coletados, ou seja, buscar as informações que respondam à questão da pesquisa, que são denominadas de variáveis. Essa é uma oportunidade de solicitar que a turma levante ideias de como a coleta pode ser realizada.
No caso da pesquisa sobre o medo das crianças, como dissemos anteriormente, precisamos definir a partir do que será inferido que a criança tem mais medo. Partindo do pressuposto que vamos coletar os dados das próprias crianças, a pergunta agora é: como vamos coletar esses dados? Isto é, qual será o procedimento para coletar os dados:
Analisemos alguns procedimentos, elencando suas vantagens e desvantagens:
a) Realizar uma entrevista, os alunos da nossa turma fazem as perguntas e anotam os dados.
b) Aplicar um questionário de autopreenchimento, isto é, o próprio aluno registra sua opinião.
c) Solicitar à criança que faça um desenho, como fez, por exemplo, a professora Roberta Buehring (2006) com seus alunos de 2º ano. Esta pesquisadora optou por este procedimento, pois seus alunos ainda não estavam completamente alfabetizados
para registrar de forma escrita seus sentimentos.
d) Chamar aluno por aluno, solicitar que eles digam em voz alta qual é seu maior medo e vamos anotando no quadro. Este procedimento pode induzir as crianças a imitar os colegas, ou algumas, por constrangimento, não manifestarem sua opinião.
e) Fazer uma lista dos medos no quadro, perguntar aos alunos se existe algum outro tipo de medo para ser listado e depois solicitar a eles que levantem a mão à medida que vamos fazendo a leitura dos tipos de medos. Este tipo de procedimento também pode induzir as crianças a optarem por um tipo de medo que a maioria opta.
Esses questionários, desenhos, áudio, filmes ou outras formas de registro dos dados são denominados de instrumentos, que coletam os dados das variáveis que vamos estudar.
4.4 (
Variável
, em Estatística,
 
é
 
uma
 
característica
 
da
 
população
 
que
 
assume
 
diferentes valores ou ca-
 
tegorias.
)Variáveis, seus tipos e sua operacionalização
A todo momento, estamos falando de variáveis e esse é um conceito chave na Estatística. Por essa razão, vamos nos deter um pouco na sua definição, características e a forma como vamos coletá-las.
Vejamos alguns exemplos. Na pesquisa sobre o medo, a população é formada pelos alunos de nossa classe. Então, nossos sujeitos da pesquisa são os nossos alunos. Que características importantes dos sujeitos vamos coletar para poder responder nossa questão de pesquisa? Neste exemplo, a idade, o gênero e o medo.
Mas, se estivéssemos investigando o desenvolvimento físico dessas crianças, as variáveis seriam: idade, sexo, altura,
 (
Unidade
3
)
peso etc. Ou, se estivéssemos investigando o desempenho escolar, as variáveis seriam: notas nas disciplinas, disciplina favorita etc. Ainda podemos ter outras variáveis a depender do tema de investigação.
	
Sujeito (pessoa)
	Gênero: Feminino, Masculino.
Idade: 9, 10, 11, 12 (anos completos). Medo: barata, mula sem cabeça, ...
...
	
	Altura (em centímetros, de 120 a 160, por exemplo). Peso (em quilogramas, de 30 a 60, por exemplo).
Perímetro cefálico (em centímetros, de 30 a 45, por exemplo)...
...
	
	Nota em Matemática (escala de zero a dez). Nota em Português, Nota em Matemática, ... Disciplina favorita (Matemática, Português, ...).
...
	
	Número de irmãos (0, 1, 2,...).
Número de letras de seu nome (2, 3, ...).
...
Vejamos outros exemplos:
	
objeto (semente)
	Germina: sim ou não.
O tempo é uma variável que não é da semente, mas que interfere na ocorrência da germinação, pois algumas sementes demoram mais do que outras para germinar, assim esta variável deve ser coletada.
	
Coleção de objetos (várias sementes)
	
 
7 sementes germinaram das 10 plantadas.
Nº de sementes que germinaram (0, 1, 2, ...).
	
Coleção de objetos (família do aluno)
	Número de pessoas da família que moram com o aluno. Quantidade de metros cúbicos de água que consomem por mês.
Renda familiar (em reais R$). Classe social (Baixa, Média, Alta).
Religião predominante (Católica, Evangélica, ...).
...
a) Tipos de variáveis
As variáveis se classificam em qualitativas e quantitativas (Figura 32). Uma variável qualitativa é aquela cujos resultados se enquadram em categorias. Se as categorias assumem algum tipo de ordenação, elas são denominadas de ordinais, por exemplo, classe social (Baixa, Média e Alta), gosto pela Matemática (Pouco, Regular e Muito) e, assim por diante. Caso contrário, são denominadas de nominais, como, por exemplo, gênero, tipos de medo, entre outros.
Uma variável quantitativa (também denominada de numérica) é aquela cujos resultados assumem valores numéricos. Se essa for passível de contagem, é chamada de discreta, como, por exemplo, número de irmãos ou número de sementes que germinam. Se a variável é resultante de mensuração, tomando qualquer valor, então são chamadas de contínuas, como, por exemplo: peso (kg), altura dos alunos (cm), renda familiar (R$), entre outras.
 (
Variáveis
Qualitativa
 
(categorias)
Quantitativa
 
(números)
Nominal
 
(não
Ordinal (existe
 
existe
 
ordem
 
nas
ordem
 
nas
 
cate-
categorias)
gorias)
Contínua (resul-
 
Discreta (resulta- 
 
tado de mensu-
 
do
 
de
 
contagem)
ração)
)
	
Gênero (F, M) Germina (Sim, Não) Cor favorita (Azul, Verde, Amarelo,..) Tipo de medo (Barata, Mula sem cabeça,...)
	Classe social (Baixa, Média, Alta)
Gosto pela Matemática (Pouco, Regular, Muito) Intensidade do medo (Pouco, Mais ou menos, Muito)
	Nº de irmãos Nº de letras do nome
Nº de sementes que germinam Nº de alunos que faltaram à aula durante o mês de
abril
	
Tempo que gasta para completar o jogo da memória Altura
Peso (massa) Renda familiar
Figura 44. Classificação das variáveis estatísticas de acordo com sua natureza.
 (
Unidade
3
)
b) Operacionalização das variáveis
Além de aprendermos a reconhecer os tipos de variáveis, é importante saber que elas podem ser coletadas (operacionalizadas) de diferentes maneiras.
Como coletar uma variável qualitativa?
Quando as categorias das variáveis já estão definidas a priori, como por exemplo, gênero (masculino, feminino), classe social (Baixa, Média, Alta), a coleta de dados é simples.
Já, quando a variável não possui naturalmente as categorias predefinidas, sua coleta se torna mais complexa e é preciso trabalhar a “classificação” da variável, que pode ser a priori ou a posteriori. Vejamos um exemplo com a pesquisa sobre o medo.
a) Pergunta aberta. Neste caso, formulamos a pergunta de tal maneira que damos completa liberdade ao respondente para expressar seu sentimento:
“Do que você tem mais medo?” 	 Consequentemente, podemos ter qualquer tipo de resposta, inclusive respostas que não têm nada a ver com a pergunta,ou, o que é pior, vir em branco. Contudo, podemos ter respostas mais fidedignas, isto é, mais próximas do sentimento dos alunos.
Este tipo de coleta de dado vai implicar em criar categorias a posteriori, isto é, a partir das respostas dos alunos, criamos as categorias. Observamos que, quando estamos fazendo pesquisa científica, a categorização, em geral, é realizada a partir do arcabouço teórico que dá suporte à investigação.
b) Pergunta fechada. Neste caso, formulamos a pergunta e damos opções para o aluno responder, isto é, o respondente não tem tanta liberdade, mas podemos deixar a opção para ele ampliar o leque de opções. Entretanto, como somos nós os que criamos as categorias, podemos estar induzindo as respostas ou distorcendo completamente a natureza da pesquisa:
i) Exemplo de pergunta com uma única escolha (categorias mutuamente excludentes):
Marque com X a alternativa que você considera lhe dá mais
medo:
( ) animais (cachorros, jacarés, insetos,...) ( ) fantasmas, espíritos, alma penada, ...
( ) altura, escuro, não saber as respostas, falar em público,.. ( ) pessoas más, bandido, o homem do saco, ...
( ) outro, explique: 	
ii) Exemplo de pergunta com múltipla escolha (categorias complementares). Por exemplo, suponhamos que estamos fazendo uma pesquisa com os professores da escola para identificar os seus principais problemas:
Na sua opinião, quais são os maiores problemas que impedem sua escola de atingir as metas traçadas pelo governo em relação ao IDEB?
( ) baixos salários dos professores
( ) professores com formação inadequada para o ensino ( ) a omissão dos pais dos alunos no processo educativo ( ) a política educacional
( ) a infraestrutura da escola
( ) outro, explicite: 	 Neste caso, o respondente pode marcar com X todas aquelas alternativas que ele acredita serem os maiores problemas, que pode ser uma, duas, até todas. Com este tipo de opção, corremos o risco de não podermos discriminar quais são os maiores problemas.
Uma forma de evitar isso é solicitar ao respondente que, de todas as alternativas, escolha apenas três e que coloque 1º (ao maior problema), 2º (ao segundo maior) e 3º (ao terceiro maior).
Ainda, há uma terceira opção. Podemos solicitar ao respondente que coloque V (Verdadeiro) ou F (Falso) a cada uma das alternativas. Neste caso, teremos a indicação da gravidade do problema, resultante da frequência das alternativas.
 (
Unidade
3
)
Como coletar uma variável quantitativa?
Vejamos um exemplo de uma variável quantitativa contínua: idade
a) Data de nascimento	/	/ 	
b) Quantos anos você tem? 	
c) Idade	em anos completos
d) Faixa etária (marque com x) ( ) de 16 a 17 anos
( ) de 18 a 30 anos ( ) de 31 a 50 anos ( ) de 51 a 70 anos
( ) de 71 anos ou mais
Cada forma de coletar o dado nos fornecerá informações diferentes para a mesma variável. Analisemos os prós e contras de cada forma de coleta:
a) A data de nascimento nos permite calcular com exatidão a idade da pessoa, que poderá ser crucial se a pesquisa for sobre desnutrição infantil. Mas será uma informação inútil e complexa no caso de uma pesquisa eleitoral, por exemplo, pois neste caso só interessa a faixa etária.
b) Quando perguntamos “quantos anos você tem?”, estamos dando liberdade ao respondente para fornecer dados arredondados ou mais detalhados, assim poderemos ter respostas tais como: 9 anos, ou 9 anos e 6 meses, ou 9 anos e 8 meses. Neste caso, não sabemos se o aluno que respondeu 9 anos é porque ele tem exatamente nove anos ou se ele arredondou para anos completos.
c) Quando forçamos a idade para anos completos, estamos correndo o risco de ter numa mesma idade crianças com 8 anos, 8 anos e 1 mês, 8 anos e 2 meses e assim por diante. Mas, a depender do tipo de investigação, essa precisão é irrelevante e assim os dados são mais fáceis de serem tratados.
d) Em alguns estudos, não temos interesse na idade específica, apenas em faixas etárias. Por exemplo, nas pesquisas eleitorais,
podemos querer saber se os mais jovens pensam e votam de uma forma diferenciada dos mais velhos. Podemos pensar que as pessoas mais velhas tendem a ser mais conservadoras.
Observe, ainda, que a variável idade pode ser trabalhada não como os anos vividos por uma pessoa, mas pela percepção que esta tem em relação a algum empreendimento na sua vida. Por exemplo, podemos investigar como adultos analfabetos se sentem em relação a sua idade para aprender a ler e escrever, ou seja, serem alfabetizados.
Com relação a sua idade, como o senhor(a) se sente diante da possibilidade de aprender a ler e escrever:
( ) Muito jovem ( ) Jovem
( ) Velho
( ) Muito velho
Neste caso, podemos até coletar o dado real da idade e podemos estudar se a idade cronológica é determinante na percepção de idade para ser alfabetizado. Consequentemente, estamos trabalhando com uma variável conceitual, que não há como medi-la, a não ser pelo depoimento do respondente, diferente da idade cronológica que é uma variável empírica, pois podemos “observá-la”. Mais detalhes podem ser encontrados em Cazorla e Oliveira (2010).
4.5 Os instrumentos de coleta de dados
Como já mencionamos, há várias formas de coletar os dados. Podemos realizar entrevistas, criar questionários e fichas de observação. Podemos utilizar materiais concretos, fotografias, adesivos, desenhos etc. Podemos ainda utilizar instrumentos de medida como réguas e balanças.
Exemplo de um questionário
No caso da pesquisa sobre o medo das crianças, podemos elaborar
 (
Unidade
3
)
um questionário, que deve contemplar as variáveis em estudo, já discutidas anteriormente, que são a idade, o gênero e o tipo de medo (Figura 33).
	Ficha da pesquisa: “Do que você tem mais medo?”
	
Nome do aluno: 		 Gênero: ( ) Masculino	( ) Feminino
Idade:	anos completos
Do que é que você tem mais medo? 	
Figura 45 - Exemplo de uma ficha de coleta de dados com categorização a posteriori.
Caso a pesquisa seja feita na escola, isto é, incluindo os alunos do 1º ao 5º ano, será preciso incluir essa variável. Observamos que, como a pergunta é aberta, a criança tratará de exprimir seu sentimento com palavras que ela conhece e, certamente, vamos precisar criar categorias (a posteriori) a partir do registro delas.
Também poderíamos deixar as opções prontas (Figura 34), por exemplo:
	Ficha da pesquisa: “Do que você tem mais medo?”
	
Nome do aluno: 		 Gênero: ( ) Masculino	( ) Feminino
Idade:	anos completos
Do que é que você tem mais medo? Marque com X a opção que expresse seu sentimento:
( ) Bandido, ladrão, homem do saco
( ) Fantasmas, espíritos, mula sem cabeça, lobisomem
( ) Animais (jacaré, hipopótamo, leão, cachorro, barata, aranha etc.)
( ) Altura, escuro, ficar de castigo, reprovar de ano
( ) Outro, qual? 	
Figura 46 - Exemplo de uma ficha de coleta de dados com categorização a priori.
Na pesquisa que utiliza o jogo da memória com os alunos da classe e seus responsáveis (dados emparelhados, Figura 47), as variáveis envolvidas são: gênero, idade, autopercepção de capacidade de memória, bem como o tempo gasto no jogo.
	Ficha da pesquisa: “Quem tem mais memória?”
	Nome da criança: 	
	Nome do responsável: 	
	Idade:	anos completos
	Idade:	anos completos
	Gênero: ( ) Masculino ( ) Feminino
	Gênero: ( ) Masculino ( ) Feminino
	Você acha que a sua memória é: ( ) Muito Boa
( ) Boa
( ) Regular ( ) Fraca
( ) Muito Fraca
	Você acha que a sua memória é: ( ) Muito Boa
( ) Boa
( ) Regular ( ) Fraca
( ) Muito Fraca
	Tempo que gastou no jogo:
minutos:	 segundos: 	
	Tempo que gastou no jogo:
minutos:	 segundos: 	
	Conversão em segundos: 	
	Conversão em segundos: 	
Figura 47 - Exemplo de ficha para coletar dados emparelhados.
Chamamos de dados emparelhados, quando eles se referem a uma mesma unidade de dados. Assim, o dado se refere a uma criança e a seu pai (responsável), os dois formam uma única unidade. Se quisermos fazer os instrumentos separados, teríamos que adicionar o nome do pai (responsável) na ficha da criança, e o nome da criança,na ficha do pai (responsável).
Exemplo de fichas de observação
No caso da germinação de sementes, o dado será coletado pela observação direta na natureza ou no experimento, portanto precisaremos de uma ficha de observação. Notamos que a observação na natureza é muito mais complexa. Nesse tipo de observação, muitas variáveis podem interferir sem termos como controlá-las, como umidade do ar e da terra, fertilidade do solo, época de germinação etc. Já, em uma situação
 (
Unidade
3
)
experimental, podemos controlar vários desses fatores e escolher os que deixaremos variar.
Para registrar a germinação em uma situação experimental, em que esteja garantida a mesma quantidade de água, o mesmo tipo de terra, a mesma semente e a mesma exposição ao sol, entre outros, podemos elaborar uma ficha (Figura 48) na qual cada criança irá registrar a germinação das sementes sob sua responsabilidade do 1º ao 5º dia.
	Ficha da pesquisa: “A germinação das sementes”
	Nome do aluno:
	Dia
	Número de sementes que germinaram
	1 (24 h após plantadas)
	
	2 (48 h após plantadas)
	
	3 (72 h após plantadas)
	
	4 (96 h após plantadas)
	
	5 (120 h após plantadas)
	
Figura 48 - Exemplo de uma ficha de observação do fenômeno “a germinação das sementes”.
Observamos que, a depender da idade das crianças, podemos coletar o dado em um único dia, simplificando a coleta de dados. Contudo, o acompanhamento ao longo dos dias possibilitará à criança perceber que existe uma variação natural no tempo de germinação, pois nem todas as sementes germinam ao mesmo tempo. Essa constatação levará a criança a pensar em termos média, mediana ou moda, do tipo? Quantos dias demora a semente de alpiste para germinar? E a semente de girassol? As crianças perceberão que não dá para descrever todos os dados e que terão que buscar um valor ou categoria que represente o maior volume dos dados.
4.6 A necessidade de trabalhar com a classificação
Classificar objetos “padronizados” que apenas têm duas características é relativamente simples e, de alguma maneira, a escola já
 (
para
 
conhecer
Classificar
 
significa veri-
 
ficar em um conjunto de
 
elementos
 
os
 
que
 
têm
 
a
 
mesma
 
propriedade.
 
As
 
categorias
 
devem
 
apre-
 
sentar duas propriedades:
 
exaustividade
 
(representa
 
todos os fatos e ocorrên-
 
cias
 
possíveis)
 
e
 
exclu-
 
sividade
 
(coerência
 
para
 
que qualquer resultado só
 
possa ser representado de
 
uma
 
única
 
maneira),
 
ou
 
seja, as categorias devem
 
ser capazes de exaurir to-
 
das as possibilidades e, ao
 
mesmo tempo, ser mutua-
 
mente
 
excludentes.
)trabalha esse tipo de classificação. O problema aparece quando os objetos não são padronizados. Portanto, o trabalho com classificação precisa de uma atenção especial. Infelizmente, o que se tem observado é que o ensino tem se preocupado muito mais com que os alunos memorizem formas de classificar do que no desenvolvimento do pensamento lógico que o permite classificar.
É importante que tenhamos clarezaqueo trabalho com representações de dados implica também o conhecimento da simbologia específica desse tipo de representação.
Obviamente, a tarefa de classificação se torna mais complexa quando trabalhamos com variáveis conceituais, isto é, aquelas que estão relacionadas aos sentimentos ou ao comportamento das pessoas.
Como vimos no caso da variável “tipo de medo”, qualitativa nominal, podemos deixá-la em aberto e provavelmente teremos respostas muito variadas, ou podemos criar categorias a priori para assim coletar os dados. De qualquer forma, teremos a tarefa de classificação a partir das respostas dadas pelos alunos.
Suponhamos que deixamos a pergunta em aberto “De que você tem mais medo?” e que as respostas foram: barata, mula sem cabeça, bandido, altura, rato, escuro, lobisomem.
Percebe-se que as respostas apresentam diferentes tipos de medo. Podemos dizer que esses alunos têm medo de coisas reais (barata, rato, altura e escuro) e coisas imaginárias (mula sem cabeça e lobisomem). Podemos, também, dizer que esses alunos têm medo de bichos (barata e rato), de assombrações (mula sem cabeça e lobisomem) e de situações (escuro e altura). Assim, os mesmos elementos podem ser classificados de diferentes formas, que dependem do objetivo de quem classifica.
Além disso, é importante que determinemos como vamos registrar. Por exemplo, se classificarmos os medos em duas classes, podemos registrar, apenas, sim e não, ou
 (
Unidade
3
)
podemos registrar real e imaginário (Figura 49).
	Medo
	Ser real
	
	Medo
	Tipo
	Barata
	sim
	
	Barata
	real
	Mula sem cabeça
	não
	
	Mula sem cabeça
	imaginário
	Lobisomem
	não
	
	Lobisomem
	imaginário
	Rato
	sim
	
	Rato
	real
	Escuro
	sim
	
	Escuro
	real
	Altura
	sim
	
	Altura
	real
Figura 49 - Diversas formas de registrar uma classificação.
Não há, de fato, uma maneira melhor que a outra. Apenas é preciso evitar a mistura das duas numa mesma anotação, como seria caso se anotasse em uma mesma tabela para designar medo real, ora sim ora real.
5 O TRATAMENTO DOS DADOS
Lembramos que a Estatística tem como objetivo organizar e resumir os dados brutos em poucas medidas ou representações que mostrem de forma sintética o perfil dos dados, as tendências e as relações entre as variáveis.
Para realizar essas tarefas, podemos contar com representações em tabelas e gráficos e com as medidas estatísticas tais como: frequências (absoluta e relativa), as medidas de tendência central (média, mediana e moda), medidas de dispersão (amplitude, desvio padrão), entre outras.
5.1 A importância do reconhecimento da natureza da variável para seu tratamento
Segundo Cazorla e Utsumi (2010), é importante aprender a reconhecer quando uma variável é qualitativa e quando é quantitativa. Aparentemente isto é óbvio, mas não é.
Trabalhos mostram que muitas crianças confundem a variável com
sua frequência e acreditam que uma variável qualitativa é quantitativa porque há números envolvidos em sua contagem. Por exemplo, suponha que estamos trabalhando com a preferência dos alunos pelo “sabor de balas”, logo trata-se de uma variável qualitativa nominal (sabor). Assim, para saber o sabor preferido, contamos quantos alunos gostam daquele sabor, como mostra a Figura 50.
Observe que o “número de alunos que gostam desses sabores” é a frequência com que cada sabor é escolhido e não é a variável. Não existe “sabor médio”. Este equívoco não é raro e alguns alunos chegam até a calcular a média da frequência, somam: 8 + 10 + 2 + 0 + 5, que resulta 25 e dividem por 5, encontrando uma média de 5 alunos por sabor. Qual é o significado deste número? Este número é a média de alunos por sabor. Logo a variável não seria mais o sabor, e sim o “número de alunos por sabor”, muito diferente da variável “sabor preferido”.
Preferência dos aluno
	Sabor
	nº de alunos
	Menta
	8
	Morango
	10
	Maçã
	2
	Pêssego
	0
	Hortelã
	5
	Total
	25
Figura 50 - Exemplo de erro conceitual ao confundir a variável com sua frequência. Fonte: elaborado pelos autores.
 (
Unidade
3
)
Outro erro conceitual, encontrado inclusive em livros didáticos aprovados pelo Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), é colar as barras quando se trata de uma variável qualitativa, como mostra a Figura 51.
Figura 51 - Exemplo de um erro conceitual ao colar as barras em uma variável qualitativa.
Cazorla e Utsumi (2010) apresentam dois fluxogramas para o tratamento de variáveis qualitativas (Figura 52) e quantitativas (Figura 53), que reproduzimos a seguir.
 (
Variáveis
 
qualitativas
Nominais
Ordinais
Tabelas
Gráficos
Medidas
TDF
 
em
categorias
Gráfico
 
de
setores
Moda
Pictogramas
Gráfico
 
de
barras/colunas
)
Figura 52 - Tratamento univariado de variáveis qualitativas. Fonte: Cazorla e Utsumi (2010), p. 16.
 (
Contínu
as
) (
Discretas
) (
Assumem
 
poucos
 
valores
) (
Assumem
 
muitos
 
valores
)
 (
Variáveis
 
quantitativas
)
 (
Tabelas
) (
Gráficos
) (
Tabelas
) (
Gráficos
) (
TDF
 
em
 
valores
 
pontuais
) (
Gráfico
 
de
bastão
) (
TDF em
 
faixas
) (
Diagramade
 
pontos (dotplot)
) (
Diagrama
 
de
 
pontos (dotplot)
) (
Histograma
 
(correção
 
por
 
continuidade)
) (
Histograma
 
(correção
 
por
 
continuidade)
) (
Diagrama
 
de
caixa
 
(boxplot)
Diagrama
 
de
caixa
 
(boxplot)
) (
Medidas
 
de
 
tendência
 
central
) (
Medidas
 
de
 
dispersão
) (
Medidas
 
de
 
posição
) (
Outras
 
medidas
) (
Média,
 
mediana
 
e
 
moda
) (
Absoluta:
 
amplitude,
 
desvio
 
médio,
 
variância,
 
desvio
 
padrão.
Relativa:
 
coeficiente
 
de
 
variação
 
(CV)
) (
Percentis,
 
quartis
) (
Assimetria
 
e
 
curtose
)
Figura 53 – Tratamento univariado de variáveis quantitativas. Fonte: Cazorla e Utsumi (2010), p. 17.
 (
Unidade
3
)
5.2 (
saiba
 
mais
Tabela
: é qualquer orga-
 
nização matricial 
composta
 
por linhas, colunas, cujas
 
interseções
 
são
 
denomi-
 
nadas de células, onde se
 
encontram os dados, que
 
podem
 
ser
 
números,
 
ca-
 
tegorias,
 
palavras,
 
frases
 
etc.
)Tabela versus tabela estatística
Antes de iniciar o tratamento, torna-se necessário esclarecer o que é uma tabela desde o ponto de vista estatístico. Atualmente, utilizamos o termo “tabela” para nomear várias coisas, tais como, uma lista de compras, um rol de dados, um quadro, uma planilha, um banco de dados.
a) Lista, rol de dados, planilhas de dados, banco de dados
Suponha que estamos investigando a quantidade de produtos que as famílias de nossos alunos compram para um mês, a partir da lista de compras mensal. Essa lista de compras é uma tabela, porém ela não é uma tabela estatística, pois os dados são brutos, não receberam nenhum tratamento, como podemos observar na Figura 54.
	Lista de compras do mês da Família de Ana
	
	Lista de compras do mês da Família de Bruna
	Item
	Unidade
	Quant.
	
	Item
	Unidade
	Quant.
	
Açúcar
	Sacos de 1 kg
	
2
	
	
Açúcar
	Sacos de 1 kg
	
3
	
Arroz
	Sacos de 1 kg
	
3
	
	
Arroz
	Sacos de 1 kg
	
4
	
Óleo
	Garrafas de 1 litro
	
1
	
	
Óleo
	Garrafas de 1 litro
	
2
	Pasta de dente
	Unidade de 300 g
	
1
	
	Pasta de dente
	Unidade de 300 g
	
1
Figura 54 - Exemplos de listas de compras das famílias de dois alunos. Fonte: elaborado pelos autores.
Se sistematizássemos os dados dessas listas em uma “tabela”, fazendo apenas a listagem da quantidade dos itens consumidos pelas famílias dos alunos (Figura 55), essa tabela também não seria estatística, pois ela é composta apenas pelos dados brutos das famílias de nossos alunos.
 (
saiba
 
mais
Planilha de dados 
é uma
 
tabela
 
contendo
 
dados
 
bru-
 
tos ou originais, isto sem
 
nenhum
 
tratamento
 
dos
 
mesmos. Em geral, as li-
 
nhas são utilizadas para os
 
elementos de onde foram
 
extraídos os dados (unida-
 
des populacionais ou sujei-
 
tos da pesquisa) e as colu-
 
nas para as características
 
observadas
 
(variáveis).
)Alguns livros chamam este arranjo de tabela, rol de dados, planilha de dados, banco de dados. Neste módulo, optamos por chamar este tipo de tabela de planilha de dados, como veremos logo a seguir, pois apenas transcrevemos os dados brutos para uma lista conjunta, que não receberam nenhum tratamento estatístico.
	
Família de
	Açúcar (Sacos de 1 kg)
	Arroz (Sacos de 1 kg)
	Óleo (Garrafas de 1 litro)
	Pasta de dente (Unidade
de 300 g)
	Ana
	2
	3
	1
	1
	Bruna
	3
	4
	2
	1
	...
	
	
	
	
	Vitor
	1
	2
	1
	1
Figura 55 - Exemplo de uma planilha de dados. Fonte: elaborado pelos autores.
b) Tabelas estatísticas
 (
saiba
 
mais
Tabela
 
de
 
Distribuição
 
de
 
Frequência
 
(TDF)
 
é
 
um tipo de tabela estatís-
 
tica formada pelas catego-
 
rias (variável qualitativa),
 
valores
 
pontuais 
 
(variá-
 
vel discreta) ou intervalos
 
(variável
 
contínua)
 
e
 
sua
 
frequência absoluta ou re-
 
lativa.
Frequência
 
absoluta
,
 
chamada apenas de frequ-
 
ência,
 
é
 
o
 
número
 
de
 
vezes
 
que ocorre cada uma das
 
categorias, valores ou fai-
 
xas
 
da
 
variável.
Frequência relativa
 
é a
 
distribuição dos dados das
 
categorias (valores ou fai-
 
xas) em relação ao todo,
 
expresso
 
em
 
números
 
deci-
 
mais
 
ou em
 
porcentagem.
)Uma tabela é estatística quando ela apresenta os dados de forma resumida, isto é, após tratamento estatístico dos mesmos. Basicamente existem duas classes de tabelas estatísticas: as Tabelas de Distribuição de Frequência (TDF) e as tabelas resultantes do resumo de dados mais gerais.
i) Tabela de Distribuição de Frequência (TDF)
A Tabela de Distribuição de Frequência – TDF (Figura 56) é utilizada para verificar como se distribuem os dados nas categorias das variáveis qualitativas (a), nos valores pontuais da variável discreta, que toma poucos valores (b) ou nas faixas ou classes, para o caso de variáveis contínuas e discretas que tomam muitos valores (c).
 (
Unidade
3
)
	Distribuição de frequência por categorias (a)
	Distribuição de frequência por pontos (b)
	
	Distribuição de frequência por intervalos (c)
	Mascote em casa
	Nº de alunos
	Nº de
filhos
	Nº de famílias
	
	Altura (em cm)
	Nº de alunos
	Cachorro
	3
	0
	40
	
	125 – 129
	2
	Pássaro
	2
	1
	100
	
	130 – 134
	3
	Gato
	2
	2
	60
	
	135 – 139
	11
	Outro
	3
	3
	40
	
	140 – 144
	8
	Nenhum
	15
	4
	10
	
	145 - 149
	1
	Total
	25
	Total
	250
	
	Total
	24
	Fonte: dados hipotéticos
	Fonte: dados hipotéticos
	
	Fonte: dados hipotéticos
Figura 56 - Exemplo de tabelas de distribuição de frequência. Fonte: elaborado pelos autores.
ii) Outras tabelas estatísticas
Existem outras tabelas estatísticas (Figura 57), como, por exemplo, as séries temporais, cronológicas ou históricas (a), geográficas, espaciais ou territoriais (b) e séries específicas ou qualitativas (c). Observem que os números são resultantes da contagem ou da soma de quantidades, em valores absolutos ou em distribuição percentual.
	Série temporal (a)
	
	Série geográfica (b)
	
	Série específica (c)
	
Ano
	Nº de alunos
	
	
Região
	Água do Brasil (%)
	
	Cereal (em grão)
	Produção (em mil t)
	2005
	950
	
	Norte
	70,0
	
	Soja
	51,2
	2006
	1000
	
	Centro Oeste
	15,0
	
	Milho
	35,1
	2007
	1050
	
	Sudeste
	6,0
	
	Arroz
	13,2
	2008
	1100
	
	Sul
	6,0
	
	Trigo
	4,7
	2009
	1150
	
	Nordeste
	3,0
	
	Feijão
	3,0
	2010
	1200
	
	Total
	100,0
	
	Total
	107,2
	Fonte: dados fictícios
	
	Fonte: http://www.cpt.org.br
	
	Fonte: IBGE / t: toneladas
Figura 57. Exemplo de tabelas estatísticas.
Nesta unidade, vamos trabalhar com as TDF, pois elas nos ajudam a sistematizar os dados que coletamos com nossos alunos. Quando
 (
atenção
Apenas
 
a
 
título
 
de
 
ilus-
 
tração,
 
observamos
 
que,
 
quando
 
escrevemos
 
um
 
trabalho
 
científico,
 
deve-
 
mos
 
respeitar
 
as
 
normas
 
estipuladas
 
pela
 
Associa-
 
ção
 
Brasileira
 
de
 
Normas
 
Técnicas (ABNT) que nor-
 
matizam
 
a
 
apresentação
 
das tabelas. Por essas nor-
 
mas,
 
a
 
tabela
 
só
 
poderá
 
ter
 
linhas no cabeçalho e no
 
fechamento. Já os quadros
 
podem
 
utilizar
 
livremente
 
linhas.
Em
 
trabalhos
 
científicos
 
distinguimos
 
quadros
 
de
 
tabelas. Em geral as tabe-
 
las são utilizadas para co-
 
municar dados estatísticos
 
e
 
os
 
quadros
 
para
 
orga-
 
nizar
 
a
 
informação,
 
qua-
 
litativa
 
e/ou
 
quantitativa.
 
Lembrar que toda tabela é
 
um quadro, mas nem todo
 
quadro
 
é uma
 
tabela.
)usarmos a palavra tabela, estaremos fazendo como sinônimo de tabela estatística.
5.3 Do caos à organização de dados
Uma vez que coletamos os dados, precisamos sistematizá-los. Para isso, contamos com várias estratégias que devem ser avaliadas para verificar qual delas se adéqua à natureza dos dados e à faixa etária dos alunos. A seguir, vamos apresentar três formas de sistematização e que desenvolveremos, nas seções 5.5 (construção de tabelas) e 5.7 (construção de gráficos): a primeira, a partir da organização espacial e movimentação dos próprios alunos (dotplot humano); a segunda, a partir da contagem direta dos dados; a terceira, a contagem a partir da planilha construída com base nos instrumentos de coleta de dados.
a) A organização espacial e movimentação dos alunos
Este tipo de configuração só é possível para dados coletadosdo próprio aluno, na sala de aula, que, em geral, é menor do que 50 alunos. Isto se deve ao fato de que trabalharemos com a escala unitária. A ideia é focar a relação biunívoca entre o dado do aluno e sua representação.
b) A partir da contagem direta
Podemos sistematizar os dados em uma tabela, fazendo uma contagem direta. Suponhamos que estamos investigando o time de futebol favorito dos alunos de nossa classe. Neste caso, podemos solicitar às crianças para levantar a mão à medida que vamos enunciando o time favorito.
 (
Unidade
3
)
Por exemplo: “Levantem a mão todos os alunos cujo time favorito é o Palmeiras”, fazemos a contagem e anotamos em uma tabela, no quadro.
c) A partir da planilha de dados
As planilhas de dados, como vimos na seção 5.2, nos auxiliam na organização dos dados brutos, a partir das variáveis observadas em cada um dos sujeitos da pesquisa. Recomendamos seu uso quando coletamos duas ou mais variáveis e quando precisamos “cruzar” as variáveis, isto é, resumir uma variável em função de outra, como veremos a seguir.
5.4 Construindo a planilha de dados
Devemos utilizar planilhas de dados quando levantamos duas ou mais variáveis, pois o registro dos dados brutos nos garante a fidelidade dos dados, sua organização em tabelas e gráficos, bem como a revisão dos mesmos, caso haja alguma dúvida.
A planilha de dados deverá ser construída em um cartaz grande, pode ser em papel madeira ou cartolina. Sua construção deve estar de acordo com o instrumento de pesquisa. Vejamos com o exemplo da pesquisa sobre o maior medo das crianças.
Neste exemplo, nossa planilha terá 34 linhas. A primeira para o cabeçalho e uma linha para cada um dos 33 alunos. Essa planilha terá quatro colunas, a primeira para o nome do aluno, a segunda para o gênero, a terceira para a idade e a quarta para o tipo de medo. A Figura 58 mostra a passagem da ficha da pesquisa para a planilha e o Quadro 4 apresenta a planilha de dados totalmente preenchida.
Lembramos que, quando construímos a planilha de dados, utilizamos códigos que nos ajudam a simplificar o trabalho. Por exemplo, ao invés de escrever por extenso “Feminino”, escrevemos apenas a letra “F” maiúscula e, “M” maiúscula para “Masculino”.
 (
Ficha
 
da
 
pesquisa:
“Do
 
que
 
você
 
tem
 
mais
 
medo?”
Nome
 
do
 
aluno:
 
 
 Gênero:
 
(
 
)
 
Masculino
(
 
) Feminino
 
Idade:
anos completos
Do
 
que
 
é
 
que
 
você
 
tem
 
mais
 
medo? 
 
) (
Nome
G
I
Tipo de
 
medo
Ana
Artur
Bianca
Bruna
Beto
)Arcabouço da planilha de dados
	
 (
Ficha
 
da
 
pesquisa:
“Do
 
que
 
você
 
tem
 
mais
 
medo?”
Nome
 
do
 
aluno:
 
Ana
Gênero:
 
(
 
)
 
Masculino
(
X
) 
Feminino
 
Idade:
 
8
 
anos completos
Do
 
que
 
é
 
que
 
você
 
tem
 
mais
 
medo?
 
Ladrão
) (
Nome
G
I
Tipo de
 
medo
Ana
F
8
Ladrão
Artur
Bianca
Bruna
Beto
)Planilha de dados preenchida
Figura 58 - Exemplo de ficha de coleta de dados e arcabouço da planilha de dados em branco e preenchida. Fonte:
elaborado pelos autores.
A partir dessa planilha com os dados primários ou brutos, podemos iniciar o tratamento dos mesmos categorizando os tipos de medo em classes. Neste exemplo, utilizamos duas classes: real e imaginário. Podemos, ainda, criar subclasses. Para a classe real, podemos ter: “real-pessoa”, “real-bicho” e “real-situação” e para imaginários é possível ter: “imaginário-folclore” e “imaginário-personagem”. Assim, os tipos de medo: ladrão, bandido e marginal são dados primários e foram classificados como “real-pessoa”. Dessa forma, os tipos de medo são dados primários, ou seja, dados brutos, enquanto a classe “real-pessoa” é um dado secundário, deriva-se da junção de três tipos de medo.
Da mesma forma, a variável “número de letras do nome” é um dado secundário, pois as crianças apenas escreveram seus nomes (dado bruto) e, a partir do nome, contamos e registramos a quantidade de letras do nome na coluna correspondente. Ressaltamos que os dados são fictícios. Aproveitamos e colocamos os dado secundários na mesma planilha, como pode ser observado no Quadro 4.
 (
Unidade
3
)
Quadro 4 - Planilha de dados da pesquisa: “do que você tem mais medo?”
	
Dados primários (brutos)
	
Dados secundários
	
Nome
	
G
	
I
	
Tipo de medo
	
Classe de medo
	
Subclasse de medo
	Nº de letras do nome
	Ana
	F
	8
	Ladrão
	Real
	Real Pessoa
	3
	Artur
	M
	8
	Rato
	Real
	Real Bicho
	5
	Bianca
	F
	8
	Altura
	Real
	Real Situação
	6
	Bruna
	F
	9
	Leão
	Real
	Real Bicho
	5
	
Beto
	
M
	
9
	Mula sem cabeça
	
Imaginário
	
Imaginário Folclore
	
4
	Breno
	M
	8
	Bandido
	Real
	Real Pessoa
	5
	Carla
	F
	7
	Mula sem cabeça
	Imaginário
	Imaginário Folclore
	5
	Camila
	F
	8
	Bicho papão
	Imaginário
	Imaginário Folclore
	6
	Daniel
	M
	9
	Tiranossauro
	Imaginário
	Imaginário Personagem
	6
	Denise
	F
	9
	Lugar alto
	Real
	Real Situação
	6
	Deise
	F
	8
	Escuro
	Real
	Real Situação
	5
	Emilio
	M
	8
	Escuro
	Real
	Real Situação
	6
	Fabio
	M
	7
	Cobra
	Real
	Real Bicho
	5
	Felipe
	M
	9
	Marginal
	Real
	Real Pessoa
	6
	Gilda
	F
	8
	Rato
	Real
	Real Bicho
	5
	Gabriela
	F
	8
	Coringa
	Imaginário
	Imaginário Personagem
	8
	Irene
	F
	8
	Altura
	Real
	Real Situação
	5
	
José
	
M
	
9
	Homem mascarado
	
Real
	
Real Pessoa
	
4
	Juliana
	F
	9
	Palhaço
	Real
	Real Pessoa
	7
	Luiz
	M
	8
	Dinossauro
	Imaginário
	Imaginário Personagem
	4
	Luciana
	F
	7
	Bandido
	Real
	Real Pessoa
	7
	Mariana
	F
	8
	Bruxa
	Imaginário
	Imaginário Personagem
	7
	Marcelo
	M
	8
	Saci
	Imaginário
	Imaginário Folclore
	7
	Milton
	M
	8
	Bicho papão
	Imaginário
	Imaginário Folclore
	6
	Paulo
	M
	8
	Tubarão
	Real
	Real Bicho
	5
	Pâmela
	F
	9
	Fantasma
	Imaginário
	Imaginário Personagem
	6
	Pedro
	M
	7
	Feiticeira
	Imaginário
	Imaginário Personagem
	5
	Rui
	M
	7
	Barata
	Real
	Real Bicho
	3
	Renata
	F
	8
	Rato
	Real
	Real Bicho
	6
	Sandra
	F
	8
	Tiranossauro
	Imaginário
	Imaginário Personagem
	6
	Saulo
	M
	8
	Ladrão
	Real
	Real Pessoa
	5
	Vera
	F
	8
	Cachorro
	Real
	Real Bicho
	4
	Vanessa
	F
	9
	Fantasma
	Imaginário
	Imaginário Personagem
	7
Fonte: Dados fictícios de uma turma do 3º ano.
 (
atenção
Professor,
 
reforce
 
a
 
ob-
 
servação da natureza das
 
variáveis. A idade é uma
 
variável quantitativa, já o
 
gênero e os tipos de medo
 
são
 
variáveis
 
qualitativas
 
nominais;
 
bem
 
como,
 
o
 
que é um dado primário
 
(bruto) e o que é um dado
 
secundário.
) (
sugestão
Se sua escola tem labora-
 
tório de Informática, apro-
 
veite
 
esta
 
oportunidade
 
para utilizar uma planilha
 
eletrônica,
 
como
 
o
 
CALC
 
do Open Office, a planilha
 
compartilhada como a do
 
Google,
 
ou
 
do
 
AVALE.
)Observe que nem todo mundo pode concordar com que Tiranossauro ou Dinossauro sejam categorizados como “imaginário personagem”, talvez alguém queira sugerir a criação de uma nova categoria “imaginário bicho”. Já com a resposta “fantasma”, não sabemos se a criança se referiu ao personagem fantasma do filme ou ao fantasma de assombração, neste caso, seria mais adequado classificá-lo em “imaginário folclore”.
5.5 Construindo a Tabela de Distribuição de Frequências (TDF) simples
a) (
para
 
conhecer
O
 
Ambiente
 
Virtual
 
de
 
Apoio ao Letramento Es-
 
tatístico – AVALE (http://
 
www.iat.educacao.ba.gov.br/
 
avaleeb) pode ser utilizado,
 
de
 
forma
 
gratuita
 
e
 
on-
 
line, para tratar dados de
 
pesquisa.
)Construindo TDF a partir da contagem direta Como já mencionamos, esta estratégia é simples e	recomendamos	utilizá-la	quando	estamos interessados em analisar variáveis de forma isolada, sem cruzá-las com outras variáveis. Basta solicitar às crianças para levantar a mão à medida que vamos enunciando a categoria (time favorito, Figura 59) ou o número (número de irmãos, Figura 60). Por exemplo: “Levantem a mão todos os alunos que não têm irmãos”, fazemos a contagem e registramos no quadro negro ou no cartaz.
	Número de irmãos
	Nº de alunos
	0
	4
	1
	10
	2
	5
	3
	4
	4
	0
	5
	2
	Total
	25
 (
Time de futebol
 
favorito
Nº de
 
alunos
Palmeiras
6
Flamengo
10
Cruzeiro
5
Vasco
4
Total
25
Figura
 
59
 
-
 
A
 
TDF
 
a
 
partir
 
dacontagem
 
direta
 
de
 
uma
 
variável
 
qualitativa.
)Figura 60 - TDF construída a partir da contagem direta de uma variável discreta.
 (
Unidade
3
)
Contudo, nesse tipo de sistematização, podemos esquecer de contar um aluno ou algum aluno distraído pode levantar a mão duas vezes. Nesse caso, a quantidade de alunos da sala não será igual à soma das frequências representadas na tabela. Perderemos, assim, o controle da sistematização.
Para evitar essa confusão, podemos pegar a lista de chamada, chamar aluno por aluno e solicitar que cada um diga o seu time favorito ou número de irmãos e, a cada indicação, vamos fazendo um risco na tabela. Ao final, realizamos a contagem e estamos prontos para gerar a TDF, como mostramos na Figura 61.
	Time de futebol favorito
	Contagem
	
	Time de futebol favorito
	Nº de alunos
	Palmeiras
	||||| |
	
	Palmeiras
	6
	Flamengo
	||||| |||||
	
	Flamengo
	10
	Cruzeiro
	|||||
	
	Cruzeiro
	5
	Vasco
	||||
	
	Vasco
	4
	Total
	
	Total
	25
Figura 61 - Forma de registro utilizando a lista de chamada e gerando a TDF.
b) Construindo TDF a partir da planilha de dados
Para construir a TDF, a partir da planilha de dados, basta contar o número de vezes que se repete uma categoria (variável qualitativa) ou o valor da variável em estudo (discreta).
Na Figura 62, apresentamos as fases da construção da TDF para a variável qualitativa “gênero”. Este tipo de tabela contém a frequência absoluta com que aparece cada categoria e sua frequência relativa (expressa em porcentagem).
 (
Nome
Gênero
Ana
F
Artur
M
Bianca
F
Bruna
F
Beto
M
...
) (
Gênero
Contagem
Gênero
Nº
 
de
alunos
%
Feminino
|||||
 
|||||
|||||
 
|||
Feminino
18
54,5
Masculino
|||||
 
|||||
|||||
Masculino
15
45,5
Total
Total
33
100,0
)
Figura 62 - Fases da construção da TDF. Fonte: elaborado pelos autores.
	Meninas
	Alunos
	
	Meninas
	Alunos
	? 18
	100
33
	
	? 18
	100
33
 (
Como
 
se
 
obtem
 
a
 
porcentagem?
Note
 
que
 
18
 
do
 
total
 
de
 
33
 
alunos
 
são
 
meninas,
 
portanto,
 
teríamos
 
uma
 
fração
 
de
 
18/33
 
do total de alunos. Precisamos, transformar para uma fração de base 100. A pergunta
 
seria então: se o total fosse 100 crianças, quantas seriam meninas? Logo, estamos
 
diante
 
de
 
um
 
problema
 
multiplicativo
 
de
 
proporcionalidade
 
simples.
São várias as formas de calcular o valor desejado. Uma delas é calcular a fração 18/33
 
da quantidade 100. Portanto, basta calcular 18/33 x 100 = 54,5. Então teríamos que
 
54,5% dos alunos são meninas. Outra maneira é calcular a razão entre 33 e 100. Essa
 
razão deve ser a mesma entre 18 meninas e a quantidade de meninas procurada. Por-
 
tanto:
 
?/18
 
=
 
100/33,
 
nesse
 
caso
 
também
 
temos
 
que:
 
?
 
=
 
18
 
x
 
100 ÷
 
33
 
=
 
54,5.
Professor,
 
é
 
importante
 
salientar
 
que
 
você
 
precisa
 
estar
 
atento
 
para
 
verificar
 
se
 
seus
alunos
 
já
 
são
 
capazes
 
de
 
trabalhar
 
com
 
porcentagem.
)Buscando compreender uma TDF, você, professor, pode perguntar para a classe: o que significa o número 18 na coluna “número de alunos”? Tal pergunta permite que o aluno estabeleça a relação entre a coluna do número de alunos (frequência absoluta) com a categoria da variável “gênero”. Assim, o número 18 significa que 18 alunos são do gênero feminino. Podemos dizer, ainda, que 54,5% dos alunos são do gênero feminino. Na Tabela 2, apresentamos a distribuição do medo por subclasses e na Tabela 2 por classes de medo.
Tabela 1
Distribuição das subclasses medo dos alunos
Tabela 2
Distribuição das classes de medo dos alunos
 (
Subclasse
 
de medo
Nº de
 
alunos
%
Imaginário folclore
5
15,2
Imaginário
 
personagem
8
24,2
Real
 
bicho
8
24,2
Real
 
pessoa
7
21,2
Real
 
situação
5
15,2
Total
33
100,0
)	 (
Classe de
 
medo
Nº de
 
alunos
%
Imaginário
13
39,4
Real
20
60,6
Total
33
100,0
)
Neste módulo, optamos por apresentar as tabelas no formato final, de uma tabela estatística, seguindo as recomendações da ABNT. Nos outros casos, as colocamos como figuras ou quadros.
 (
Unidade
3
)
Acreditamos que para trabalhar neste nível escolar não podemos ser rigorosos com a construção das tabelas, até porque as grades (linhas internas) nas tabelas ajudam na leitura e no acompanhamento da leitura de dados, tanto por linha, quanto por coluna.
5.6 Construindo tabelas de dupla entrada
Apresentamos a seguir as fases da construção de uma tabela de dupla entrada, a qual relaciona a variável gênero com a variável classe de medo (Figura 63) e, na Tabela 3, apresentamos a variável classe de medo por gênero.
 (
Nome
G
I
Tipo de
 
medo
Classe de
 
medo
Ana
F
8
Ladrão
Real
Artur
M
8
Rato
Real
Bianca
F
8
Altura
Real
Bruna
F
9
Leão
Real
Beto
M
9
Mula sem
 
cabeça
Imaginário
Breno
M
8
Bandido
Real
) (
Contagem
 
para
 
uma
 
tabela
 
dupla
Medo
Feminino
Masculino
Imaginário
|||||
 
||
|||||
 
|
Real
||||
 
|||||
 
|
|||||
 
||||
Total
|||||
 
|||||
|||||
 
|||
|||||
 
|||||
|||||
)
Figura 63 - Fases da construção de uma tabela de dupla entrada.
Tabela 3 - Distribuição das classes de medos segundo o gênero
	Classe de
medos
	Feminino
	Masculino
	Total
	
	Nº
	%
	Nº
	%
	Nº
	%
	Imaginário
	7
	38,9
	6
	40,0
	13
	39,4
	Real
	11
	61,1
	9
	60,0
	20
	60,6
	Total
	18
	100,0
	15
	100,0
	33
	100,0
Observe que aqui estamos interessados em saber se as meninas têm medos diferentes dos meninos e, para isso, só podemos realizar uma comparação a partir do percentual, uma vez que temos mais meninas do que meninos. A Tabela 3 mostra que a maioria dos meninos e das meninas
tem mais medo de coisas reais, do que imaginárias. A tabela também mostra que a diferença entre as classes de medos de meninas e meninos é tão pequena (1,1%), que nos permite dizer que não há diferença. Isto ficará mais evidente com o gráfico de barras duplas.
Como vimos até agora, uma análise realizada através da tabela exige uma habilidade de leitura deste tipo de representação a qual nem sempre é tão simples e intuitiva para a criança. Assim, é preciso um trabalho sistematizado em sala de aula.
Além das tabelas, a Estatística disponibiliza diferentes formas gráficas para representar as mesmas informações a qual é visualmente mais fácil de ser compreendida.
5.7 Construindo gráficos
Os gráficos são representações poderosas, pois em um golpe de vista podem propiciar a compreensão dos padrões subjacente aos dados. Recomendamos que os alunos sejam solicitados a construir gráficos com lápis e papel quadriculado ou milimetrado para que os mesmos possam se apropriar melhor dos conceitos e representações envolvidos.
Se a escola tiver laboratório de informática, recomendamos utilizar planilhas eletrônicas e o AVALE para construir as tabelas e os gráficos. Estes recursos tecnológicos ajudam a aula ser mais lúdica e potencializa a aprendizagem dos alunos.
a) Construindo o pictograma
Quando trabalhamos com variáveis qualitativas, podemos utilizar o próprio corpo da criança para fazer a primeira representação dos dados, depois podemos utilizar material concreto que represente o dado da criança e, finalmente, chegamos aos pictogramas, onde utilizamos ícones para representar os dados e, de forma mais geral, podemos utilizar o gráfico de barras ou de setores, onde os dados se misturam desaparecendo a relação biunívoca entre o dado e sua representação. Vejamos isso com exemplos.
Para representar a variável “Time de futebol favorito”, solicitamos
 (
Unidade
3
)
aos alunos que formem filas de acordo com o time de sua preferência, como podemos observar no esquema da Figura 64.
	Time de futebol favorito
	
Formação de filas de crianças
	
Nº de alunos
	
Palmeiras
	
 
	
6
	
Flamengo
	
 
	
10
	
Cruzeiro
	
 
	
5
	
Vasco
	
 
	
4
	Total
	
	25
Figura 64. Representação com o corpo do time de futebol favorito. Fonte: elaborado pelos autores.
Também podemos utilizar materiais concretos para representar o dado da criança. Por exemplo, podemos solicitar que cada criança pegue uma caixa de fósforo, escreva seu nome nela e a coloque na pilha de seu time. Este recurso foiutilizado por Buehring (2006) para representar a distribuição por gênero dos seus alunos, Figuras 65 e 66.
Figura 65 - Os alunos organizaram e contaram as caixinhas. Figura 66 - As caixinhas foram coladas desta maneira.
 (
Pictograma
é uma representação grá-
 
fica em que utiliza ícones
 
para representar os da-
 
dos.
)
Figura 67 - Pictograma construído com material emborrachado para o time favorito no quadro. Fonte: Figura 12 de Cazorla e Santana (2010), p. 30.
Também podemos utilizar ícones, escudos ou camisetas dos times, confeccionados com cartolina, emborrachados ou com adesivos, de tamanhos padronizados. Na Figura 67, apresentamos um pictograma, construído no quadro, utilizando camisetas dos times, confeccionadas com emborrachado, medindo 5 cm x 5 cm.
Neste caso, cada aluno pega a camiseta de seu time, colando-a no quadro ou na cartolina. Nesse movimento, o aluno percebe que aquela camiseta representa sua opinião e isso é possível porque a construção é coletiva.
Quando os alunos constroem os pictogramas no papel, em geral, se perde o movimento que faz com que o aluno perceba a relação biunívoca entre o dado e sua representação.
Observe que essa correspondência biunívoca entre aluno e a caixa de fósforo, ou com o material emborrachado ou com o desenho no papel é permitida pelo movimento do aluno “vivenciar” a representação.
Como veremos mais adiante, quando tratamos os dados diretamente da planilha esse movimento se perde e é mais difícil a criança perceber como os dados gerados por ela geram as tabelas e os gráficos.
b) Construindo o dotplot
O diagrama de pontos ou “dotplot” é um gráfico estatístico, resultado de utilizarmos um ponto na escala numérica para representar um dado. Portanto, é adequado apenas para variáveis quantitativas.
Aparentemente, este gráfico é complexo, mas não se iniciarmos seu ensino utilizando a distribuição espacial da variável, utilizando o corpo do próprio aluno, que Silva, Magina e Silva (2010) denominam de “dotplot humano”.
Recomendamos o uso do “dotplot humano” para variáveis discretas que tomam poucos valores (número do calçado, número de irmãos etc.) ou contínuas, como por
 (
Unidade
3
)
exemplo a altura, pois são variáveis visíveis e fáceis de trabalhar. Outras variáveis podem atrapalhar ao invés de ajudar. Também, deve-se observar a quantidade de dados (essa não pode ser muito grande, no máximo 50), adequada para trabalhar com os alunos da sala.
Na Figura 68, mostramos uma fotografia com a configuração do dotplot humano para a altura (esquerda) e do número de calçado de alunos (direita) de duas escolas públicas da Bahia. Para isso, basta solicitar aos alunos que formem fila segundo a altura ou segundo o número do calçado. Observe que as meninas estão à esquerda, nos números menores e os meninos, à direita, nos números maiores. Na Figura 69, mostramos o dotplot no papel e na parte inferior o gráfico de barras, construídos com uma planilha eletrônica. Professor, observe como no gráfico de barras se perdeu a relação biunívoca entre o dado e sua representação.
Figura 68 – Dotplot humano da altura (esquerda) e do número do calçado (direita). Fonte: Figura 2 e Figura 3 de Cazorla e Kataoka (2011), p. 43.
Figura 69 - Dotplot no papel e gráfico de barras do número do calçado. Fonte: elaborado pelos autores.
c) Construindo o gráfico de barras / colunas
O gráfico de barras é apropriado para representar as variáveis qualitativas. Assim para cada categoria é levantada uma barra vertical (coluna) ou barra horizontal. No gráfico de barras construído no papel quadriculado, cada quadradinho equivale a um sujeito ou ícone do pictograma.
Essa relação um quadrado para cada dado (aluno) precisa ser bem compreendida pelos alunos. Veja na Figura 70 o que um menino de 9 anos, que cursava o 4º ano, fez para representar 28 pastores alemães e 22 dálmatas.
Observamos que o menino estabe- leceu a relação um quadrado para cada unidade, mas achou que se os quadrados estivessem pintados, estava construindo um gráfico de barras, independente de se consti- tuírem como uma coluna.
Figura 70 - Tentativa de representação em
gráfico de barras. Fonte: Guimarães (2002).
No gráfico de barras, a altura da barra indica o número de alunos. Neste caso, para saber a frequência devemos contar quantos quadradinhos tem cada barra, o que é fácil se tivermos uma malha por trás do gráfico (a), ou se tivermos o número (rótulo) em cima da barra (b). A rigor, o gráfico de barras é formado por barras contínuas (Figura 71).
a) Na malha quadriculada: Time de futebol
	10
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	9
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	8
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	7
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	6
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	5
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	4
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	3
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	1
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Palmeiras Flamengo Cruzeiro Vasco
b) Numa planilha eletrônica: Time de futebol
	10
	10
	
	
	
	9
	
	
	
	
	
	8
	
	
	
	
	
	
	
	7
	
	6
	
	
	
	
	
	
	6
	
	
	
	
	
	5
	
	
	
	5
	
	
	
	
	
	
	
	4
	
	4
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	3
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	1
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Palmeiras Flamengo Cruzeiro Vasco
Figura 71 - Exemplo de construção de gráfico de barras com escala unitária. Fonte: elaborado pelos autores.
 (
Unidade
3
)
Na construção do gráfico no papel e lápis, lembramos ao professor a necessidade das barras terem a mesma largura, o mesmo vale para o espaçamento entre as barras. Por outro lado, as barras não podem ser coladas umas às outras. Neste caso, o gráfico deixaria de ser gráfico de barras e passaria a ser um histograma, próprio de variáveis contínuas ou discretas que tomam muitos valores.
Assim como na tabela, aqui também é possível trabalhar com a porcentagem. Nesse caso, estaríamos saindo da escala unitária para uma escala proporcional, que precisará ser calibrada; sendo que, para isso, o aluno precisaria conhecer proporcionalidade (por exemplo, um quadradinho poderia representar 5 unidades, 10 unidades, ou qualquer outro número).
Todavia, precisamos ter muita atenção com esse ponto. Muitas vezes os gráficos que nos são mostrados apresentam distorções. Cavalcanti, Natrielli e Guimarães (2010) descobriram que 39% dos gráficos na mídia impressa, por elas analisados, apresentavam erros de proporcionalidade na escala. Assim, é fundamental que os alunos compreendam uma escala para serem leitores críticos das informações, como é o desejado.
Observe que esse trabalho não é trivial, pois exige o domínio de proporcionalidade. Neste caso, avalie a possibilidade de seus alunos compreenderem essa discussão. Por outro lado, o trabalho com a proporcionalidade é fundamental desde os primeiros anos. A literatura infantil apresenta algumas histórias que podem ser utilizadas para deflagrar a discussão como a história dos ursos e a menina de cachinhos de ouro.
Neste ponto, é importante mostrar a relação entre os valores da variável e sua frequência. Via de regra, os valores da variável vão no eixo horizontal (abscissa) e sua frequência (número de alunos) no eixo vertical (ordenada). Porém podemos apresentar os dados em um gráfico de barras horizontal. Para isso basta trocar os eixos (Figura 72).
Figura 72 - Exemplo de gráfico de barras horizontal com escala proporcional
A rigor o gráfico de barras de uma variável deve utilizar apenas uma cor, não deveríamos utilizar duas cores ou mais. Contudo, se representarmos esses dados em um gráfico circular, cada setor teria cores diferentes para distingui-las. Portanto, poderíamos seguir este raciocínio e colorir as barras. Porém, devemos ter cuidado, pois o gráfico circular,
como veremos, mais adiante, é recomendado para representar situações parte-todo, o que dá sentido colorir cada setor ou cada barra.
Isso não será mais válido quando construímos um gráfico de barras para uma série temporal, por exemplo, o IDEB dos estados do Nordeste; ou quando comparamos duas variáveis, como veremos a seguir.
a) Construindo o gráfico de barras duplas
A Tabela 3 mostra que a maioria dos meninos e das meninas tem mais medo de coisasreais, do que imaginárias. A tabela também mostra que a diferença entre os medos de meninas e meninos é pequena (menos de 2%), o que nos permite afirmar que não há diferença. Observe como isto fica mais evidente com o gráfico de barras duplas, como podemos ver na Figura 73.
 (
atenção
Professor,
 
observe
 
que
 
quando
 
os
 
tamanhos
 
dos grupos forem mui-
 
to diferentes, o valor
 
absoluto pode nos in-
 
duzir ao erro. Por essa
 
razão,
 
nesses
 
casos,
 
aconselhamos
 
traba-
 
lhar
 
com
 
a
 
estrutura
 
percentual que elimina
 
esse problema.
)
Figura 73 - Exemplo de gráfico de barras duplas. Fonte: elaborado pelos autores.
 (
Unidade
3
)
b) Construindo o gráfico de setores
Esse tipo de gráfico é utilizado para representar variáveis qualitativas, quando estamos interessados em observar a relação parte- todo, em especial, as variáveis nominais; pois no caso das variáveis ordinais, pode ser que exista algum padrão relacionado a ordem das classes e, nesses casos, é melhor o gráficos de barras.
A interpretação desse tipo de gráfico pode ser trabalhada com crianças pequenas, entretanto sua construção não é muito simples. Para construirmos um gráfico de setor é preciso compreender a relação parte- todo expressa nas frações, a divisão dos ângulos de uma circunferência e a proporcionalidade entre frequência e ângulo das partes (categorias) em relação ao todo.
Por outro lado, temos outras opções para abordarmos essa representação. A primeira opção é iniciar um trabalho com frequência ou percentuais mais facilmente desenhados como ½ e ¼ (Figura 74). Assim, metade equivale a 50% do círculo, um quarto a 25% e assim por diante.
 (
Categoria
Nº de
 
alunos
Frações
%
Não
5
1/8
12,5
Pouco
5
1/8
12,5
Regular
10
1/4
25,0
Muito
20
1/2
50,0
Total
40
1
100,0
) (
não
 
12,5%
muito
 
50,0%
não
 
12,5%
regular
 
25,5%
)
Figura 74 - Exemplo de equivalência entre frações, porcentagem e setores do círculo. Fonte: elaborado pelos autores.
A segunda opção é disponibilizar uma malha circular, como mostra a Figura 75, onde cada setor (fatia) corresponde a 5%. Outra opção é construirmos o gráfico em uma planilha eletrônica como o do Excel da Microsoft ou do CALC do Open Office, que é gratuito. Essas planilhas realizam todos os cálculos e calibram as escalas automaticamente, como mostra a Figura 76.
	 (
Vasco
12,5%
Flamengo
40,0%
Cruzeiro
12,5%
Palmeiras
25,5%
)
Figura 75 - Malha circular	Figura 76 - Gráfico construído no Excel.
c) Construindo o gráfico de linhas
O gráfico de linhas normalmente é utilizado quando queremos mostrar uma tendência nos nossos dados. Se quisermos, por exemplo, o ritmo de crescimento das crianças, podemos pedir que tragam seu “Cartão de Vacina”. Nesse cartão, além do controle das vacinas, existem dois gráficos de linhas. Um para acompanhar o peso (massa) e o outro a altura.
Os livros didáticos, os jornais e revistas têm muitos exemplos. Peça às crianças para trazerem recortes de jornais e revistas com diversos tipos de gráficos e aproveite para mostrar a elas a variedade de gráficos que permeia os noticiários.
 (
Unidade
3
)
 (
ATIVIDADES
)
Só se aprende Estatística fazendo Estatística. Por essa razão sugerimos que a cada aula se aplique o conhecimento aprendido com o banco de dados da pesquisa da altura das crianças.
Nesse caso, havia sido questionado se os meninos são mais altos do que as meninas, e levantou-se a hipótese que sim, pois em geral os homens são mais altos que as mulheres. Como nessa faixa etária a altura das crianças depende fortemente da idade e do gênero, estas serão as variáveis a ser coletadas, conforme Ficha da Figura 77.
	
Ficha de pesquisa: “Os meninos são mais altos do que as meninas?”
	
	
Ficha de pesquisa: “Os meninos são mais altos do que as meninas?”
	Nome do aluno: 	 Turma: Ano: 	 Gênero: ( ) M ( ) F
Idade:	 Altura: 	 
	
	Nome do aluno: Alberto Turma: A	Ano: 1º Gênero: ( X ) M		( ) F Idade: 5 anos e 7 meses
Altura: 1,10 m
Figura 77 - Exemplo de ficha de coleta de dados em branco e preenchida.
Observar que os dados foram coletados em anos e meses e se quisermos trabalhar essa variável, vamos ter que transformar esses dados, ou para anos completos, ou transformar para a base 10. Lembrar que a idade está em base 12, logo 8 anos e 6 meses, é igual a 8,5 no sistema decimal. Assim, aproveite este tema para trabalhar a equivalência dos meses do ano com o sistema de numeração decimal. Chamar a atenção dos alunos que 3 meses equivale a um quarto do ano (¼), 6 meses a metade do ano (½) etc.
Quadro 5 - Planilha de dados da pesquisa sobre a altura dos alunos
	Dados originais
	Idade em anos completos
	Nome
	Turma
	Gênero
	Idade
	Altura (m)
	
	Alberto
	1º ano A
	M
	5 anos e 7 meses
	1,10
	5
	João
	1º ano A
	M
	6 anos
	1,00
	6
	Tereza
	1º ano A
	F
	5 anos e 10 meses
	1,15
	5
	Pedro
	1º ano B
	M
	6 anos e 1 mês
	1,04
	6
	Ana
	1º ano B
	F
	5 anos e 2 meses
	1,20
	5
	Telma
	1º ano B
	F
	6 anos e 5 meses
	1,08
	6
	Valter
	2º ano A
	M
	6 anos
	1,01
	6
	Marcos
	2º ano A
	M
	7 anos e 3 meses
	1,10
	7
	Telma
	2º ano A
	F
	8 anos
	1,20
	8
	Geisa
	2º ano B
	F
	6 anos e 11 meses
	1,08
	6
	Gertrudes
	2º ano B
	F
	7 anos e 5 meses
	1,35
	7
	Maurício
	2º ano B
	M
	8 anos e 6 meses
	1,30
	8
	Manoel
	3º ano A
	M
	8 anos
	1,10
	8
	José
	3º ano A
	M
	8 anos e 10 meses
	1,20
	8
	Maria
	3º ano A
	F
	8 anos e 5 meses
	1,30
	8
	Marta
	3º ano B
	F
	7 anos e 5 meses
	1,10
	7
	Maria de Fátima
	3º ano B
	F
	7 anos e 10 meses
	1,20
	7
	Miguel
	3º ano B
	M
	8 anos e 2 meses
	1,13
	8
	Aída
	4º ano A
	F
	8 anos e 11 meses
	1,36
	8
	Michelle
	4º ano A
	F
	9 anos e 10 meses
	1,40
	9
	Severina
	4º ano A
	F
	10 anos
	1,45
	10
	Severo
	4º ano B
	M
	10 anos e 2 meses
	1,35
	10
	Michael
	4º ano B
	M
	9 anos e 2 meses
	1,35
	9
	Arquimedes
	4º ano B
	M
	9 anos e 4 meses
	1,43
	9
	João
	5º ano A
	M
	10 anos
	1,15
	10
	Josué
	5º ano A
	M
	10 anos e 3 meses
	1,34
	10
	Maria
	5º ano A
	F
	10 anos e 7 meses
	1,46
	10
	Miriam
	5º ano B
	F
	11 anos
	1,35
	11
	Tereza
	5º ano B
	F
	10 anos e 9 meses
	1,48
	10
	Norberto
	5º ano B
	M
	11 anos e 3 meses
	1,52
	11
	Soma
	
	
	
	37,28
	
Fonte: dados fictícios.
Tomando com referência a planilha de dados:
a) Construa a TDF para as variáveis gênero e idade (anos completos).
b) Construa a tabela de dupla entrada do ano escolar (linha) e idade em anos completos (coluna).
c) Construa a tabela de dupla entrada do gênero (linha) e idade em anos completos (coluna).
d) Construa um gráfico de barras para a altura por idade.
e) Construa um gráfico de barras duplas para a altura por idade e gênero.
f) Interprete os resultados. Há evidências de que os meninos são mais altos do que as meninas?
 (
Unidade
3
)
 (
RESUMINDO
)
Caro professor, como você deve ter percebido, a Estatística permeia o nosso mundo, logo precisamos aprender seus conceitos básicos, pois eles são extremamente úteis no nosso cotidiano. Não apenas para ler e compreender as notícias veiculadas pelos meios de comunicação e tomar decisões conscientes; mas para analisar nossas hipóteses, conjeturar a partir das evidências de dados.
Para isso é preciso escolher um tema de pesquisa de interesse dos alunos, algo que seja fácil de levantar os dados e trabalhar ao longo das aulas. Lembre-se da importância de se ter questões de investigação e que as mesmas deverão ser respondidas ao final do tratamento dos dados.
Uma vez escolhido o tema, discuta com seus estudantes as variáveis a serem levantadas, como elas se relacionam e como elas respondem as perguntas da investigação. Não levante dados desnecessários, a menos que queira aproveitar a oportunidade, mas deixe isso muito claro.
A seguir construa o instrumento de coleta de dados, discutindo a natureza das variáveis, sua operacionalização e tratamento. Esta fase de planejamento é crucial para o entendimento global da pesquisa. Colete os dados.
Antes de iniciar o tratamento dos dados, analise qual é a melhor maneira de apresentar os dados: tabelas, gráficos ou medidas resumidas (que serão apresentadas na próximaunidade). Como um exercício de aprimoramento e fixação, podemos calcular e construir tudo, mas para fazer o relatório escolhemos as estatísticas que melhor respondem as perguntas de pesquisa.
Na próxima unidade, vamos apresentar as estatísticas (medidas resumo) que completam a análise de dados nesta etapa escolar; um exemplo de como podemos apresentar os resultados em um relatório e as referências, pois estas duas unidades tratam de Estatística.
Suas anotações
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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 (
4ª
unidade
TRATAMENTO
DA INFORMAÇÃO -
 
MEDIDAS
 
ESTATÍSTICAS
)
OBJETIVOSAo final desta unidade, você deverá ser capaz de:
· calcular as medidas de tendência central: média, mediana e moda;
· interpretar o fenômeno em estudo a partir da leitura de
tabelas, gráficos e medidas de tendência central.
 (
Unidade
4
)
1 VIVEMOS NUM MUNDO PERMEADO DE ESTATÍSTICAS
Quem não conhece a média aritmética, ou simplesmente média? A maioria das pessoas lida com este conceito de forma bastante familiar e intuitiva, mesmo aquelas que nunca tiveram acesso à escola. As pessoas estão acostumadas a estimar o tempo médio que demoram para chegar ao trabalho, que ficam na fila de banco, dentre outras estimativas.
Esse processo faz parte do cotidiano e está tão arraigado que, às vezes, as pessoas nem percebem o grau apurado de suas estimativas. Para chegar a essas estimativas, ninguém anotou sistematicamente o tempo gasto em cada viagem, somou e dividiu pelo número de viagens; aliás, muitas dessas pessoas nem conhecem o algoritmo da média, mas continuam a utilizar seu conhecimento intuitivo no planejamento de suas atividades rotineiras.
Na escola, a média faz parte da vida escolar dos alunos. A maioria vive calculando-a para analisar as chances de passar direto, de ir para recuperação ou de reprovar de ano. Os aflitos ficam contando quantos pontos faltam para aprovar, ou seja, sabem que a média é a relação entre o todo (soma de pontos nas provas/unidades) e o número de provas/unidades constantes da avaliação.
Além desse conhecimento intuitivo, a média também faz parte do cotidiano dos cidadãos, pois, cada vez mais, a mídia a utiliza junto com outras informações estatísticas. É comum ler nos jornais ou ouvir nas reportagens frases do tipo: “a renda per capita do Nordeste é inferior à do Sudeste”, “a expectativa de vida da mulher é maior que a do homem”, ou informações referentes à chuva média mensal, à escolaridade média, ao número médio de filhos por casal etc.
Assim, constatamos que a média é amplamente conhecida, mesmo que de forma intuitiva, e que esse bom conhecimento pode levar a ideia de que essa medida é a única ou é a melhor.
Nesta unidade apresentaremos outras medidas, igualmente importantes, principalmente, quando a natureza da variável traz consigo diferenças entre grupos, como, por exemplo, a distribuição de renda no nosso país. Intuitivamente sabemos que a maioria da população tem uma
 (
Metodologia
 
do
 
Ensino
 
da
 
Matemática
)
 (
Tratamento
 
da
 
Informação
 
-
 
medidas
 
estatísticas
)
 (
 
 
 
152
) (
E
A
D
) (
Pedagogia
)
 (
151
 
 
 
) (
UESC
) (
Módulo
 
5
 
I
Volume
 
3
)
renda em torno de um a cinco salários mínimos e que poucas pessoas têm renda muito alta. Neste caso a renda média sofrerá o impacto das rendas altas e concluiremos que a renda per capita (por pessoa) é muito boa, quando na realidade não é.
Assim, precisamos conhecer outras medidas, como a Mediana e a Moda que podem representar de forma mais fidedigna o conjunto de dados.
2 CALCULANDO AS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Assim como organizamos as variáveis em tabelas e gráficos, também podemos sintetizar os dados em um único valor.
As medidas resumo, medidas estatísticas ou, simplesmente, estatísticas, são medidas que resumem uma massa de dados em um único dado. As tabelas e os gráficos resumem os dados; porém, às vezes, é preciso ter um ou apenas dois dados que representem uma massa de dados, que nos permita comparar grupos.
Por exemplo, a renda per capita é um único número que resume como um país é desenvolvido ou não. Esse valor é calculado a partir da riqueza gerada por todas as pessoas daquele país e dividido de forma “igualitária” entre essas pessoas. Esse único número nos permite comparar quão rico ou pobre é um país.
É claro que esse único número é incompleto e pode não representar o grau de desenvolvimento desse país, mas o poder de resumir é necessário, pois é a forma como podemos compreender os fenômenos.
Neste nível escolar, trabalhamos as medidas de tendência central, sendo as mais conhecidas a moda, a média, a mediana. Essas medidas são chamadas assim, pois indicam em que lugar a massa de dados tende a se concentrar.
2.1 Calculando (encontrando) a moda
A moda é a medida mais intuitiva de todas as medidas de tendência central, pois se refere à categoria da variável qualitativa ou ao valor da variável
 (
Unidade
4
)
quantitativa que se repete com maior frequência.
No caso do exemplo do medo, a moda é a classe de medo real, pois 20 alunos têm medo de coisas reais. Já, se quisermos saber qual é a idade mais frequente, basta organizarmos os dados em uma TDF e depois examinar a idade que se repete mais vezes. Neste caso a idade mais frequente foi 8 anos. A moda também é o ponto máximo de um gráfico de barras, de uma variável qualitativa ou discreta que toma poucos valores, resultantes de uma TDF, como por exemplo, a mascote que as crianças têm em casa ou o número
de filhos por família (Figura 78).
Figura 78 - Extraindo a moda de um gráfico de barras. Fonte: elaborado pelos autores.
Assim, lendo o gráfico, podemos concluir em relação às mascotes que o que está na moda é não ter nenhuma mascote. Já, em relação ao número de filhos, o que está na moda para essas famílias é ter um único filho.
Aqui devemos alertar os alunos que não podemos generalizar de que o ponto máximo de um gráfico representa a moda. Por exemplo, nos gráficos de barras que representam uma série temporal (que estão em função do tempo), o ponto máximo do gráfico raramente poderá ser a moda. Na Figura 79, apresentamos a evolução do consumo anual de açúcar per capita (por pessoa), no Brasil. O ponto máximo é atingido em 1990, mas 1990 não é a moda, nem é a variável em estudo. Alias, podemos observar que a moda neste exemplo não existe, pois nenhum valor de consumo per capita se repete ao longo do tempo.
Figura 79 - Consumo anual per capita de açúcar no Brasil. * valor interpolado.
Fonte: Elaborado pelos autores a partir dos dados da Embrapa (http://www.agencia.cnptia.embrapa.br/gestor/cana-de- acucar/arvore/CONTAG01_109_22122006154841.html)
2.2 Calculando a média aritmética
Como já mencionamos, aparentemente, as pessoas têm um bom conhecimento desse conceito. Contudo, o que observamos é que esse conhecimento refere-se, em geral, ao domínio do algoritmo: “soma dos valores da variável dividida pelo número de dados envolvidos na soma”:
 (
Média =
Soma
 
dos
 
valores
 
da
 
variável
=
 
Soma
 
Número
 
de
 
elementos
 
que
 
compõem
 
a
 
soma
n
Onde
 
“n”
 
é
 
o
 
número
 
de
 
elementos
)
Podemos observar que a média é a razão entre duas variáveis. No numerador, temos a soma dos valores da variável em estudo e, no denominador, o número de elementos que compõem essa soma.
Também podemos pensar a média desta forma: a reunião de todos os valores em um único valor (somatório) e depois a distribuição em partes iguais, dentre os elementos que compõem esse todo. Portanto, a compreensão da média implica na compreensão da divisão, dos números decimais e das propriedades da média.
Vejamos alguns exemplos. Suponha que as notas em Matemática
 (
Unidade
4
)
de Ana foram: 8 no primeiro bimestre; 6 no segundo; 7 no terceiro e 7 no quarto. Para calcular a nota média, primeiro temos que saber qual foi o total de pontos obtidos nos quatro semestres, para isso basta somar as quatro notas, o que resulta em 28 pontos (8 + 6 + 7 + 7) e, depois dividir por quatro, resultando em 7 (28/4 = 7):
 (
Nota
 
média
 
= 
 
Soma
 
de
 
pontos
 
= 
 
8 +
 
6
 
+
 
7 +
 
7
 
=
 
28
 
=
 
7
 
pontos
 
por
 
bimestre
Nº
 
de
 
bimestres
4
4
)
Assim, a nota média de Ana ao longo do ano escolar foi de 7 pontos por bimestre. Mas o que teria acontecido se, ao invés de 8, tivesse obtido 6 no primeiro bimestre. Nesse caso, o total de pontos seria de 26 (6 + 6 + 7
+ 7), que dividido por 4 resulta 6,5 (26/4 = 6,5) ou seis e meio.
 (
Nota
 
média
 
=
 
Soma de
 
pontos
 
=
 
6 +
 
6
 
+
 
7
 
+
 
7
 
=
 
26
 
=
 
6,5
 
pontos
 
por
 
bimestre
Nº
 
de
 
bimestres
4
4
)
Neste caso, as crianças precisam conhecer os números decimais. Voltaremosa este ponto logo mais. Se, ao invés de nota, esses números se referissem à idade de 4 crianças; então, no numerador, teríamos a soma das idades das quatro crianças e, no denominador, o número de crianças:
 (
Idade
 
média = 
 
Soma das
 
idades
 
=
 
6
 
+
 
6
 
+
 
7
 
+
 
7
 
=
 
26
 
=
 
6,5
 
anos
 
por
 
criança
Nº
 
de
 
crianças
4
4
)
Logo, a média das idades das quatro crianças seria seis anos e meio. Nestes dois exemplos, não há problema do resultado ser um número decimal, pois esses valores existem por se tratar de variáveis contínuas (podem tomar qualquer valor).
Vejamos um exemplo envolvendo dinheiro. Suponhamos que temos quatro alunos, com a seguinte distribuição de dinheiro no bolso: Ana tem 10 reais, Maria tem 7, João tem 3 e Pedro tem 4 reais. Solicitamos aos
quatro alunos que coloquem o dinheiro em cima da mesa e juntamos tudo, a soma dará 24 reais (10 + 7 + 3 + 4). A seguir distribuímos esse montante em quatro partes iguais (24/4 = 6) resultando seis reais. Esse valor representa o valor médio de dinheiro por aluno.
Agora vamos devolver o dinheiro aos alunos, mas ao invés de devolver o valor original, vamos devolver o valor da média. Nesse caso, Ana perderá 4 reais e Maria 1 real, juntos perderão 5 reais. Em compensação, João ganhará 3 reais e Pedro 2 reais, juntos ganharão 5 reais. Observe que o ganho recompensa a perda, zerando a diferença. Esta é uma propriedade da média. A Figura 80 ilustra a distribuição:
	
Aluno
	Dinheiro que tem no bolso (R$)
	Devolução pela média
	
Diferença
	
Diferença
	Ana
	10
	6
	Perde 4 reais
	- 4
	Maria
	7
	6
	Perde 1 real
	-1
	João
	3
	6
	Ganha 3 reais
	+3
	Pedro
	4
	6
	Ganha 2 reais
	+2
	Total
	24
	24
	Zero
	0
Figura 80. Exemplo de perdas e ganhos devido à devolução do dinheiro pela média.
Observamos que, neste nível de ensino, ainda não se trabalha com os números negativos, mas as crianças compreendem o conceito como “estar devendo”. Logo, sua inserção no 5º ano já é possível.
Agora analisemos o que acontece quando trabalhamos com variáveis discretas, resultante de contagens, isto é, seus valores tomam números inteiros.
Suponha que temos quatro alunos: Alex, Ana, João e Tais. Alex tem três (3) irmãos, Ana nenhum (0), João um (1) e Tais dois irmãos (2). Para encontrar o número médio de irmãos por aluno somamos o número de irmãos dos quatro alunos, o que resulta seis (3 + 0 + 1 + 2 = 6). A seguir, dividimos por quatro, que é o número de alunos, resultando 1,5 (6/4 = 1,5), ver Figura 81. Assim, em média, esses quatro alunos têm 1,5 irmãos. Logo a média é a razão entre o número de irmãos e o número de alunos.
 (
Unidade
4
)
Figura 81 - A média como a razão entre duas variáveis.
 (
Média
 
=
 
Total
 
de
 
irmãos
 
=
 
6
 
irmãos
 
=
 
1,5
 
irmãos
 
por
 
aluno
 
Nº
 
de
 
alunos
4
 
alunos
)
Muitas crianças não conseguem compreender que a média pode ter como resultado um valor não inteiro, em um caso como este que se refere a pessoas. Muitos tendem a arredondar o número, ou para um (1), ou para dois (2). Vejamos o que acontece em cada um desses casos. Se cada aluno tem em média um irmão, então os quatro alunos terão 4 irmãos, dois a menos que o verdadeiro número. Se arredondarmos para dois, então os quatro alunos terão oito irmãos, dois a mais do que o verdadeiro número.
 (
Média
 
*
 
Nº
 
de
 
elementos
 
=
 
soma
 
dos
 
valores
)Por essa razão é importante que as crianças compreendam a relação inversa que estabelece entre o todo (soma dos valores), a média e o número de elementos que compõem a média. Isto é, se conhecemos a média e o número de elementos que a compõem, podemos conhecer a soma de todos os valores da variável:
Assim, não é possível arredondar os dados de forma indiscriminada, pois em alguns casos comprometemos os mesmos.
Neste nível escolar, as crianças já estão familiarizadas com a
divisão exata e elas têm várias estratégias de distribuição, como mostra o trabalho de Selva e Borba (2005). O problema aparece quando a divisão é inexata ou quando o resultado não tem um referente na vida real.
Para melhor compreender a média, analisemos algumas situações. Suponhamos que nossos quatro alunos: Alex, Ana, João e Tais têm ao todo quatro balas. Mantendo fixo o todo (número de balas) e o número de elementos (número de crianças), analisemos algumas situações:
a) Cada criança tem uma bala, logo, em média, uma criança tem uma bala:
	Alex
	Ana
	João
	Tais
	Soma
	Média
	
	
	
	
	4 balas
	
1 bala por criança
	
	
	
	
	4	crianças
	
b) Alex e João têm duas balas cada um e as meninas não têm balas. Neste caso, a média continua a ser uma bala por criança:
	Alex
	Ana
	João
	Tais
	Soma
	Média
	
	
	
	
	
4 balas
	
1 bala por criança
	
	
	
	
	4	crianças
	
c) Alex tem quatro balas e as outras três crianças não têm balas. Neste caso, a média continua a ser uma bala por criança:
	Alex
	Ana
	João
	Tais
	Soma
	Média
	
	
	
	
	
4 balas
	
1 bala por criança
	
	
	
	
	4 crianças
	
 (
Unidade
4
)
Discuta com os alunos esta situação. Pergunte a eles o que achariam, se essa situação fosse verdadeira, se tomássemos todas as balas das quatro crianças e as redistribuíssemos entre elas pela média.
No primeiro caso, todas as crianças concordarão que está tudo bem, pois cada uma tinha uma bala e receberá uma bala. No segundo caso, algumas crianças acharão a distribuição pela média mais justa, pois as meninas que não tinham balas ganharão uma, sendo que todos terão balas de forma igualitária. Mas outras crianças poderão achar essa distribuição injusta, pois os meninos que tinham duas balas vão perder uma. Essa situação ficará mais tensa no terceiro caso, pois apenas o Alex tem 4 balas e as outras crianças não têm balas, logo Alex seria fortemente prejudicado.
	
	
	
	
	
	
	
	
	Perde 3
- 3
	Ganha 1
+1
	Ganha 1
+1
	Ganha 1
+1
Observe que a composição do todo é a mesma, o que varia é a distribuição dos dados entre os elementos que o compõem. Esta é uma característica importante da média. Quanto mais homogênea for a distribuição dos dados (caso a), a média representará melhor esse conjunto de dados, porém quanto mais dispersa for a distribuição, a média não será uma medida adequada para representar os dados (caso c).
Outra característica da média é que os desvios (diferença entre o valor da variável e a média) se anulam. Alex perdeu 3 balas, mas Ana, João e Tais ganharam uma bala cada, isto é, a perda de um foi compensada pelo ganho dos outros.
Analisemos outra situação, mantendo fixa a soma de quatro (4) mascotes, variando agora o número de elementos (crianças):
a) Quatro crianças, cada uma tem uma mascote, logo o número médio de mascotes por criança é um.
	Alex
	Ana
	João
	Tais
	Soma
	Média
	
	
	
	
	4 mascotes
	
1 mascote por criança
	
	
	
	
	4 crianças
	
b) Alex tem três mascotes e Ana tem uma. Neste caso, a média é duas mascotes por criança:
	Alex
	Ana
	Soma
	Média
	
		
	
	4 mascotes
	
2 mascotes por criança
	
	
	2 crianças
	
c) Alex tem três mascotes, Ana tem uma e João não tem mascote. Neste caso, o número médio de mascotes por criança é 1,33 mascotes por criança:
	Alex
	Ana
	João
	Soma
	Média
	
		
	
	
	
4 mascotes
	
1,33
mascotes por criança
	
	
	
	3 crianças
	
Veja que terrível seria pensar em distribuir as quatro mascotes pelas 3 crianças. Isso implicaria em cortar uma mascote em três pedaços iguais. Isto é um dos obstáculos que enfrentamos quando vamos ensinar a média para crianças que ainda não compreendem que a média é um número que representa um conjunto de dados.
Essa dificuldade foi investigada por Watson (1996), numa pesquisa que envolveu estudantes da 3ª a 8ª séries do ensino fundamental e 1ª série do ensino médio. A pesquisadora solicitou a interpretação da seguinte afirmação: “Em média, os casais jovens têm 2,3 filhos”. Respostas típicas
 (
Unidade
4
)
incluíam as seguintes: “existem duas crianças mais velhas e uma mais jovem”, “vírgula três significa que, mais tarde, a criança menor contará como três”, “a mãe tem doisfilhos e está grávida do terceiro”, dentre outras do gênero.
Para a autora, esses estudantes estavam sofrendo conflito cognitivo, pois para eles (0,3) estaria indicando que o filho ainda não nasceu ou que é pequeno para ser contado como um número inteiro. Outro tipo de resposta também apareceu: “a maioria das famílias tem dois filhos (conceito de moda), “poucas famílias têm três filhos”, “mais famílias têm dois filhos do que três”, “a maioria têm dois filhos, mas algumas têm três ou cinco”, “somar todas as crianças e dividir pelo número de famílias, porém o resultado não dá um número inteiro”. Essas expressões denotam uma aproximação do conceito de média, mas, segundo a autora, esse tipo de resposta não foi da maioria. Finalmente, poucos estudantes se referiram ao resultado como um resultado estatístico: “2,3 é apenas uma estatística, uma forma resumida dos dados”.
Outra dificuldade encontrada é que muitos alunos acreditam que pelo fato de um elemento não apresentar a característica, esse não deve fazer parte da média. Voltemos ao exemplo do número de irmãos. Nessa lógica, Ana, por não ter irmãos, não deve fazer parte do cálculo da média e, assim, somam os valores e dividem por três ao invés de dividir por quatro, resultando uma média de dois (6/3 = 2).
Uma forma de evitar esse conflito é colocar os dados em uma lista, como a que segue. Assim, os alunos podem ver que existem 4 alunos e que esses quatro alunos têm ao todo 6 irmãos. Portanto, a média será o resultado de dividir 6 (irmãos) por 4 (alunos), que resulta 1,5 irmãos por aluno.
	Aluno
	Nº de irmãos
	Alex
	3
	Ana
	0
	João
	1
	Tais
	2
	Total
	6
A pesquisadora Watson (1996) também relata que após observar
o número de pessoas em carros de passeio que passaram por uma ponte, num período determinado, solicitou às crianças que calculassem a média e que representassem com desenhos (a média foi 1,5 pessoas por carro). A pesquisadora observou que crianças pequenas desenharam a ponte com carros e em cima dos carros um boneco e metade de outro (Figura 82), apenas as crianças maiores conseguiram desenhar de forma adequada (Figura 83).
Figura 82 - Exemplo fictício de representação inadequada baseado na pesquisa de Watson (1996).
Figura 83 - Exemplo fictício de representação adequada baseado na pesquisa de Watson (1996).
No Brasil, encontramos os trabalhos das pesquisadoras Selva e Borba (2005) que apresentam resultados relevantes relativos à compreensão da divisão inexata. Elas observaram como crianças comparam os resultados de um mesmo problema de divisão com resto resolvido por meio de diferentes representações (papel e lápis, calculadora versus papel e material manipulativo). Essa análise nos permite compreender melhor as razões pelas quais as crianças apresentam dificuldades no cálculo da média.
 (
Unidade
4
)
2.3 Calculando (encontrando) a Mediana
Para apresentar a mediana, vamos nos reportar ao trabalho de Cazorla e Oliveira (2010, p. 131-134). Esses autores apresentam e discutem este conceito de forma mais detalhada. Aqui vamos nos concentrar apenas na ideia intuitiva de mediana.
A mediana divide em duas partes iguais um conjunto ordenado de dados. Para encontrar seu valor, primeiro devemos ordenar os dados, a seguir localizamos o lugar que ela ocupa, para assim encontrar seu valor.
Um exemplo fácil e prático é encontrar a altura mediana dos alunos de nossa sala, mas antes vamos fazer um exercício com um número pequeno de dados. Para isso solicite aos alunos que anotem em um papel de tamanho padronizado sua altura. Em seguida, solicite que cinco alunos da classe se coloquem em pé na frente da sala, mostrando numa folha de papel sua estatura (Figura 84):
	Luiz (152)
	Ana (148)
	João (155)
	Bia (145)
	Caio (150)
Figura 84 - Exemplo utilizado para calcular a mediana da estatura de cinco alunos. Fonte: Figura 114 de Cazorla e Oliveira (2010), p. 132.
Para encontrar a mediana, o primeiro passo é ordenar os dados. Para isso, solicite aos cinco alunos que se posicionem em ordem crescente de estatura (Figura 85): do mais baixo ao mais alto (pode ser de forma decrescente também).
	
	
	
	
	
	Bia (145)
	Ana (148)
	Caio (150)
	Luiz (152)
	João (155)
	1º lugar
	2º lugar
	3º lugar
	4º lugar
	5º lugar
	Abaixo da mediana: dois dados
	Mediana
	Acima da mediana: dois dados
Figura 85 - Exemplo do cálculo da mediana da estatura de cinco alunos. Fonte: Figura 115 de Cazorla e Oliveira (2010), p. 132.
Como existem cinco dados (n é ímpar), a posição que a mediana ocupa será o terceiro lugar (3º), pois abaixo do terceiro lugar temos dois dados e acima também temos dois dados; consequentemente, a estatura mediana será a estatura de Caio, que é 150 cm.
Logo, o valor da mediana será a estatura do aluno que ocupa o 3º
lugar:
 (
Mediana
 
=
 
150
)
A interpretação da mediana é bastante intuitiva: no mínimo 50% dos alunos têm estatura menores ou igual a 150 cm; e os outros 50% assumem valores maiores ou igual a 150 cm.
Se o número de aluno for par, então precisaremos calcular a média dos valores que ocupam as posições centrais. Suponhamos que Francisco, que mede 180 cm, se unisse ao grupo. Agora, o número de alunos seria seis, um número par. Logo, a mediana deveria estar entre o terceiro e o quarto lugar, pois teríamos três dados abaixo e três acima desse valor.
	Bia
	Ana
	Caio
	Luiz
	João
	Francisco
	145 cm
	148 cm
	150 cm
	152 cm
	155 cm
	180 cm
	1º lugar
	2º lugar
	3º lugar
	4º lugar
	5º lugar
	6º lugar
	Abaixo da mediana: três alturas
	Acima da mediana: três alturas
Logo, o valor da mediana seria o ponto médio desses valores centrais:
 (
Mediana
 
=
 
150
 
+
 
152
 
=
 
151
 
cm
2
)
A tarefa de ordenar é bastante trabalhada nos anos iniciais, então podemos aproveitar para ensinar o conceito de mediana, quando estivermos trabalhando a ordenação. Assim, só precisaremos aprender a encontrar a posição da mediana:
a. Se o número de dados for ímpar, adicionar um e dividir por dois. Por exemplo 33. Nesse caso 33+ 1 = 34, que dividido por 2 resulta 17. Logo a mediana de um conjunto que tiver 33 elementos será o décimo sétimo lugar.
 (
Unidade
4
)
b. Se o número de dados for par, dividir por dois e calcular a média desse valor e de seu sucessor (dados ordenados). Por exemplo, se o número de dados for 34, então 34/2 = 17, assim a mediana será a média dos valores que ocupam o 17º e 18º lugares.
 (
+
 
3
+2
+2
+3
)Neste ponto, quando os alunos já aprendem a trabalhar com a reta numérica é importante utilizá-la, pois a ordenação nos tráz problemas conceituais, uma vez que todos os alunos estão um ao lado do outro, dando a falsa ideia de que a diferença entre dois alunos é a mesma, o que não é verdade. Vejamos no nosso exemplo, colocando os dados na reta numérica:
	145	146
	147
	148
	149
	150
	151
	152
	153
	154
	155
	Bia
	
	Ana
	
	Caio
	
	Luiz
	
	
	João
Média = 150
Mediana = 150
Como podemos ver, a distância entre os alunos não é a mesma e isso piora quando colocamos a altura de Francisco no conjunto. Aproveitamos esta representação para sinalizar onde se localiza a média e a mediana. Ambas tomam o valor de 150:
 (
Média
 
=
 
145
 
+
 
148
 
+
 
150 +
 
152
 
+
 
155
 
= 
 750
 
=
 
150
5
5
)
A diferença da mediana em relação à média é que a mediana não é afetada pelos valores fora do padrão (outliers ou discrepantes). No exemplo com os cinco alunos, a mediana e a média coincidem; logo, qualquer uma delas representa bem o conjunto de dados, pois as estaturas não são muito diferentes.
Todavia, quando Francisco, com 30 cm acima da média, junta-se ao grupo, eleva o valor da média em cinco centímetros, pois aos 750 cm dos cinco alunos, devemos adicionar 180 cm da altura de Francisco, totalizando
930 cm, que dividido por seis resulta 155 cm. Isto é, cinco cm a mais, enquanto que o impacto na mediana foi de apenas um centímetro.
Bia	Ana Caio Luiz	João	Francisco
140	145	150	155	160	165	170	175	180
Mediana = 151 Média = 155
Neste exemplo, vemos como um valor “fora do padrão” eleva a média e já a mediananão sofre tanto. Assim, a pergunta é qual das duas medidas devemos usar? É o que discutiremos logo mais.
Agora, calculemos a mediana das idades dos 33 alunos. Neste caso, a mediana ocupará a 17ª posição (33+1)/2, que será 8 anos, como podemos ver no esquema a seguir:
	1º
	2º
	3º
	4º
	5º
	6º
	7º
	8º
	9º
	10º
	11º
	12º
	13º
	14º
	15º
	16º
	17º
	18º
	19º
	20º
	21º
	22º
	23º
	24º
	25º
	26º
	27º
	28º
	29º
	30º
	31º
	32º
	33º
	7
	7
	7
	7
	7
	8
	8
	8
	8
	8
	8
	8
	8
	8
	8
	8
	8
	8
	8
	8
	8
	8
	8
	8
	9
	9
	9
	9
	9
	9
	9
	9
	9
	16 dados abaixo
	
	16 dados acima
A mediana também pode ser encontrada a partir dos dados agrupados numa TDF. Para isso, basta utilizar a frequência absoluta acumulada, para isso basta perguntar quantos alunos temos até aquela idade e somar as frequências das idades anteriores, incluindo o valor da frequência da idade em questão. Para encontrar a mediana basta examinar esses dados e encontrar o número que contenha pela primeira vez 17. Assim, constatamos que o número 24 contém o número 17 pela primeira vez, logo a idade mediana será 8 anos.
Calculando a frequência absoluta acumulada:
· Quantos alunos temos com idades até 7 anos? 5 alunos.
· Quantos alunos temos com idades até 8 anos? 5 + 19 = 24 alunos.
· Quantos alunos temos com idades até 9 anos? 5 + 19 + 9
= 33 alunos.
Sendo que o último valor deve coincidir com o número total de alunos.
Variável	Frequência	Frequência
	Idade
	Nº de
	Nº de
	7
	5
	
	5
	
	
	
	
	
	8
	19
	
	
	24
	
	
	
	
	
	9
	9
	
	
	33
	
	
	
	
	
	Total
	33
 (
Unidade
4
)
3 INTEGRANDO A LEITURA DE TABELAS, GRÁFICOS E MEDIDAS ESTATÍSTICAS
A compreensão das propriedades das medidas de tendência central (média, mediana, moda), assim como a configuração em tabelas e gráficos, permite ao aluno aprimorar seu conhecimento sobre a natureza dos dados. Vejamos, a média foi 8,1, a mediana e a moda igual a 8. Aparentemente estamos diante de um conjunto de dados bastante homogêneo (Figura 86). Porém temos um número significativo de crianças com 9 anos (27,2%), que possuem uma defasagem de um ano. Lembramos que se trata de uma turma
do 3º ano, cuja idade recomendada é de 8 anos.
 (
Idade
Nº
 
de
%
7
5
15,2
8
19
57,6
9
9
27,3
Total
33
100,0
)
Figura 86 - Distribuição das idades dos alunos da pesquisa sobre o medo.
 (
um
 
conselho
Muitas vezes, podemos intuir o valor da média analisando visualmente os dados. Por
 
exemplo,
 
suponha
 
que
 
desejamos,
 
sem
 
fazer
 
cálculos,
 
apenas
 
analisar
 
a
 
tabela
 
ou
 
o
 
grá-
 
fico,
 
conhecer o valor da
 
média
 
de
 
idade
 
dos
 
alunos.
O
 
nosso
 
primeiro
 
palpite,
 
neste
 
exemplo,
 
deveria
 
ser
 
a
 
moda,
 
8
 
anos,
 
pois
 
a
 
maioria
 
dos
 
alunos tem essa idade. Agora, analisemos a idade 7 anos, que tem cinco alunos e, na
 
idade de 9 anos, temos 9 alunos, isto é, 4 alunos a mais, assim a média será um pouco
 
maior
 
do
 
que
 
8
 
anos.
 
Porém,
 
não
 
poderá
 
ser
 
maior
 
do
 
que
 
8,5,
 
pois
 
para
 
isso
 
precisaría-
 
mos
 
de
 
mais alunos
 
com
 
9 anos.
 
Logo a
 
média
 
estará
 
mais
 
próxima
 
a
 
8.
Assim,
 
aconselhamos
 
a
 
fazer
 
isso
 
de
 
forma
 
rotineira.
 
Esse
 
exercício
 
aguça
 
a
 
intuição
 
e
 
dá
 
sentido as
 
medidas
 
encontradas.
)
4 INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS
Uma pesquisa não termina com a organização e tratamento dos dados, ao final precisamos voltar às questões que deram origem à pesquisa e buscar responder essas questões, e ainda, no caso de haver sido geradas hipóteses, verificar a validade ou não delas.
Até aqui, aprendemos a traduzir em números nossas questões de pesquisa. Escolhemos um tema para investigar, formulamos questões de investigação, aprendemos a construir instrumentos para coletar os dados, coletamos e tratamos os dados.
Agora já temos em mãos tabelas, gráficos e estatísticas resumos. Chegou a hora de responder as questões de pesquisa e socialização dos resultados, isto é, a construção da argumentação sobre os resultados, o que implica na escolha da representação que melhor comunica os argumentos, bem como a elaboração de um relatório.
A pesquisa sobre o medo das crianças
Na pesquisa sobre o maior medo das crianças, queríamos saber quais eram os maiores medos das crianças de nossa sala e conjecturamos que a idade e o gênero são dois fatores importantes. Então, agora retomemos os dados e, a partir da leitura conjunta, vamos tentar responder as perguntas.
 (
Unidade
4
)
Exemplo de relatório final de pesquisa
Foi realizada uma pesquisa com 33 alunos do 3º ano A, do Colégio ABC, da cidade de Recife, dos quais 18 eram meninas (54,5%) e 15 eram meninos (45,5%), conforme Tabela 1. Suas idades variaram de 7 a 9 anos (Figura 86), sendo que a maioria tinha 8 anos e a idade média foi de 8,12 anos.
Embora a idade média estivesse próxima da idade recomendada para este ano escolar, 27,3% dos alunos tinha 9 anos, isto é, estavam defasados em um ano relativamente ao esperado.
A leitura geral da planilha de dados (Quadro 4) indica que o medo mais frequente foi rato (3 alunos) e altura (3 alunos, considerando “lugar alto” como altura), os outros medos só se repetiram duas vezes ou apenas uma única vez.
Quando agrupamos os medos por classe de medo, observamos que 60,6% dos alunos têm medo de coisas reais e 39,4% de coisas imaginárias (Tabela 2) e que isso não difere por gênero, pois a diferença entre gêneros é de apenas 1,1% (Tabela 3).
Em relação à idade, também não parece haver interferência dessa variável em relação à classe de medo, como podemos observar na Tabela 4.
Tabela 4 - Distribuição dos tipos de medo em relação à idade dos alunos
	Classe de
medo
	7 anos
	8 anos
	9 anos
	Total
	
	Nº
	%
	Nº
	%
	Nº
	%
	Nº
	%
	Imaginário
	2
	40,0
	7
	36,8
	4
	44,4
	13
	39,4
	Real
	3
	60,0
	12
	63,2
	5
	55,6
	20
	60,6
	Total
	5
	100,0
	19
	100,0
	9
	100,0
	33
	100,0
Contudo, quando analisamos dentro das subclasses de medo, percebemos sutis diferenças. Por exemplo, as meninas tendem a ter mais medo de personagens imaginários e os meninos de bichos e pessoas reais.
Quanto à idade, parece que quanto mais velho, vai diminuindo o medo de bichos, mas aumenta o medo em relação aos personagens imaginários e pessoas, como pode ser visto na Tabela 5. Essas diferenças são mais visíveis na Figura 87.
 (
Tabela
 
5
 
-
 
Distribuição
 
dos
 
tipos
 
de
 
medo
 
por
 
subclasse
 
em
 
relação
 
ao
 
gênero
 
e
 
idade
 
(em
porcentagem)
Figura
 
87
 
-
 
Distribuição
 
do
 
medo
 
por
 
subclasses
 
segundo
 
gênero
 
e
 
idade.
)
	Subclasses de medo
	Gênero
	Idade (em anos)
	Total
	
	Feminino
	Masculino
	7
	8
	9
	
	Imaginário Folclore
	11,1
	20,0
	20,0
	15,8
	11,1
	15,2
	Imaginário
Personagem
	27,8
	20,0
	20,0
	21,1
	33,3
	24,2
	Real Bicho
	22,2
	26,7
	40,0
	26,3
	11,1
	24,2
	Real Pessoa
	16,7
	26,7
	20,0
	15,8
	33,3
	21,2
	Real Situação
	22,2
	6,7
	0,0
	21,1
	11,1
	15,2
	Total
	100,0
	100,0
	100,0
	100,0
	100,0
	100,0
 (
Unidade
4
)
 (
ATIVIDADES
)
Dando continuidade à análise de dados da pesquisa da altura das crianças, iniciada na unidade III, e tomando com referência a planilha de dados:
a) Calcule a média, mediana e moda das variáveis idade e altura de todos os alunos.
b) Calcule a média da altura por ano escolar.
c) Calcule a média da altura por idade.
d) Calcule a média da altura por gênero.
e) Calcule a média da altura por gênero e idade.
f) Construa uma tabela de dupla entrada contendo a média por gênero (linha) e idade (coluna).
g) Interprete os resultados. Há evidências de que os meninos são mais altos do que as meninas?
 (
RESUMINDO
)
Professor, novamente, enfatizamos a importância de que antes de iniciar o tratamento dos dados, analise qual é a melhor maneira de apresentá-los: tabelas, gráficos ou medidas resumidas.
Vimos a importância das medidas de tendência central e os cuidados que devemos ter para que nossos estudantes possam compreender suas características e adequação aos dados trabalhados e, assim, escolher os gráficos, as tabelas e as estatísticas que melhor respondem as perguntas de pesquisa.Esperamos tê-los ajudado e os encorajamos a que nos enviem suas impressões e sugestões sobre este material, pois queremos aprimorá- lo para, assim, chegarmos cada vez mais e melhor junto aos nossos professores.
 (
REFERÊNCIAS
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M. e Santana, E. R. dos S. (Org.). Do Tratamento da Informação ao Letramento Estatístico. Itabuna-BA: Via Litterarum, 2010, p. 113-144.
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CAZORLA, I. M.; MAGINA, S.; GITIRANA, V.; GUIMARÃES, G. L.
Estatística nos anos iniciais do ensino fundamental. Itabuna-BA: Via Litterarum, 2012 (no prelo).
GUIMARÃES, G. L. Interpretando e construindo gráficos de barras. Tese de doutorado na Pós Graduação em Psicologia Cognitiva da UFPE. Recife, 2002. Disponível em: <http://biblioteca.universia.net/html_ bura/ficha/params/title/interpretando-construindo-graficos-barras/ id/30903130.html>. Acesso em: 11 fev. 2012.
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 (
Unidade
4
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SILVA, C. B.; MAGINA, S. M. P.; SILVA, E. D. Homem Vitruviano.
In Cazorla, I. M. e Santana, E. R. dos S. (Org.). Do Tratamento da Informação ao Letramento Estatístico. Itabuna-BA: Via Litterarum, 2010, p. 80-93.
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52(2): 40-43, 1996.
 (
SUJESTÕES
 
DE
 
LEITURA
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GUIMARÃES, G. Refletindo sobre a Educação Estatística na sala de aula. In GUIMARÃES, G. e BORBA, R. (Org.). Reflexões sobre o ensino de Matemática nos anos iniciais de escolarização. Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM), 2009.
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GUIMARÃES, G.; FERREIRA, V. G. G. Classificações: o que sabem os alunos de 3ª série do ensino fundamental? XVI Encontro de Pesquisa Educacional Norte-Nordeste - EPENN. Anais do ... Aracaju, 2003.
GUIMARÃES, G.; GITIRANA, V.; CAVALCANTI, M.; MARQUES,
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 (
Unidade
4
)
Suas anotações
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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