O Ensino de Álgebra - Teorico_II

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O Ensino de Álgebra
Pensamento Funcional
Responsável pelo Conteúdo:
Prof.ª Me. Suzete de Souza Borelli
Revisão Textual:
Prof.ª Me. Sandra Regina Fonseca Moreira
Nesta unidade, trabalharemos os seguintes tópicos:
• Introdução;
• Concretização do Pensamento Funcional.
Fonte: Getty Im
ages
Objetivo
• Discutir os elementos e características do pensamento funcional, os tipos de pensar que es-
tão presentes no pensamento funcional e os tipos de trabalhos que permitem a construção 
do pensamento funcional nos estudantes dos anos iniciais do Ensino Fundamental.
Caro Aluno(a)!
Normalmente, com a correria do dia a dia, não nos organizamos e deixamos para o úl-
timo momento o acesso ao estudo, o que implicará o não aprofundamento no material 
trabalhado ou, ainda, a perda dos prazos para o lançamento das atividades solicitadas.
Assim, organize seus estudos de maneira que entrem na sua rotina. Por exemplo, você 
poderá escolher um dia ao longo da semana ou um determinado horário todos ou alguns 
dias e determinar como o seu “momento do estudo”.
No material de cada Unidade, há videoaulas e leituras indicadas, assim como sugestões 
de materiais complementares, elementos didáticos que ampliarão sua interpretação e 
auxiliarão o pleno entendimento dos temas abordados.
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de 
discussão, pois estes ajudarão a verificar o quanto você absorveu do conteúdo, além de 
propiciar o contato com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de 
troca de ideias e aprendizagem.
Bons Estudos!
Pensamento Funcional
UNIDADE 
Pensamento Funcional
Contextualização
O pensamento funcional é uma forma de raciocínio do pensamento algébrico. Esse 
tipo de pensamento também envolve a generalização de observações que permitem 
aos estudantes analisar situações, construir padrões e fazer registros, com o uso cada 
vez maior de símbolos e letras que caracterizam a linguagem matemática, permitindo, 
assim, a estruturação de seu campo de conhecimento. 
Em situações de compra e venda em um supermercado é possível notar esse tipo de 
pensamento, por exemplo: um pacote de biscoito custa R$ 2,30, vou levar 3 pacotes, 
devo pagar três vezes mais, ou seja, R$6, 90.
Será que esse tipo de experiência por adultos e crianças, fora da escola, pode ajudar 
na aprendizagem do pensamento funcional? Reflita sobre isto.
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Introdução
Na unidade anterior, estudamos o pensamento algébrico e suas implicações para o 
ensino da Álgebra nos anos iniciais. Nesta unidade, trataremos exclusivamente do pen-
samento funcional.
O que vem a ser o pensamento funcional? Pense, faça algumas anotações e depois leia o 
trecho do texto que apresenta essa definição.
Segundo Blanton, 2008; Blanton & Kaput, 2011; Kaput, 2008; Warren & Cooper, 
2005, o pensamento funcional envolve a generalização de observações em que os es-
tudantes partem de casos particulares e organizam as regularidades que possibilitam 
construções de casos mais gerais, validando, assim, regras para todas as situações se-
melhantes vivenciadas. No pensamento funcional, buscam-se regularidades que estão 
envolvidas em determinados casos em que uma grandeza varia em função da outra, mas 
que permite expressar a variação através de uma função.
Nesse sentido, o pensamento funcional é bastante abrangente, pois envolve o traba-
lho com relações matemáticas, sequências, funções (Blanton & Kaput, 2011).
Blanton e Kaput (2011) apresentam três formas de pensamento funcional:
• O pensamento envolvendo regularidades recursivas;
• O pensamento de covariação;
• O pensamento da relação de correspondência.
Quando se observam regularidades recursivas, consegue-se perceber como os va-
lores variam em uma determinada sequência.
Os pensamentos envolvendo a covariação buscam compreender como duas grande-
zas se modificam simultaneamente, ou seja, que variação ocorre nelas ao mesmo tempo, 
procurando compreender essas mudanças.
A relação de correspondência busca compreender se há uma correlação entre as 
duas grandezas que estão sendo analisadas.
Para o trabalho com regularidades recursivas é importante envolver diferentes repre-
sentações, utilizar a linguagem matemática para registar as relações entre as expressões 
estudadas, organizar as informações coletadas, perceber e registrar a covariação das 
relações de quantidades.
Concretização do Pensamento Funcional
Sabemos que o pensamento funcional envolve a observação, a busca de regularidades para 
que se possam fazer generalização, mas, para que isso possa ser realizado, que tipo de 
trabalho é necessário priorizar e organizar? Você já parou para pensar sobre isso? Reflita, 
depois continue a leitura do texto.
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UNIDADE 
Pensamento Funcional
Para o desenvolvimento do pensamento funcional é preciso envolver situações que 
priorizem o trabalho com funções, com sequências repetitivas, sequências pictóricas e 
sequências numéricas.
Vamos estudar cada um desses tipos de sequência.
O trabalho com as funções
As funções mostram relações entre grandezas. Vale lembrar que, nas funções, as re-
lações acontecem sempre de forma biunívoca, ou seja, a cada valor de um determinado 
conjunto, corresponderá um, e somente um valor, do outro conjunto. A dependência 
acontece sempre no segundo conjunto, ou seja, no primeiro conjunto a variável é inde-
pendente, e no segundo conjunto o seu valor dependerá da regra de formação ao qual 
ela está vinculada. 
Para as crianças dos anos iniciais do ensino fundamental é possível apresentar situa-
ções como essas a partir da utilização de “máquinas de funções”, por exemplo, em que a 
variável independente é inserida na entrada da máquina e a depende será obtida a partir 
de operação ou das operações indicadas pela máquina. Veja um exemplo na Figura 1.
Figura 1
Fonte: Adaptado de Getty Images
Tabela 1
Entrada Operação Saída
1 3
2 Adicione 2 4
3 5
4 6
Esse tipo de atividade pode ajud ar os alunos a se aproximarem da compreensão do 
que venha a ser função, sem a necessidade de explicitar o nome “função”, mas fazer 
com que compreendam seus princípios.
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9
Blanton (2008) apresenta também um exemplo que permite observar os três tipos 
de pensamento funcional: o recursivo, o de covariação, e o de relação correspondente. 
Vejamos cada um deles para que vocês possam compreender que as atividades para 
os estudantes dos anos iniciais são plausíveis de serem aplicadas, e permitem que os 
estudantes possam, aos poucos, se apropriarem do pensamento funcional.
Como exemplo, propomos algumas atividades indicadas por Blanton que nos dão 
pistas para a construção de novas atividades:
Tabela 2 – Número de gatos x número de olhos
Número de gatos Número de olhos
1 2 2+
2 4 
3 6 +2
Fonte: Adaptada de BLANTON, 2008, p. 11
Esta atividade proposta por Blanton (2008) apresenta a perspectiva recursiva, pois 
permite mostrar, tanto quanto na máquina de operar, as regularidades que existem entre 
um gato e seu número de olhos, pela própria experiência que eles possuem, permitindo 
observar a variação de 2 em 2 na segunda coluna.
Blanton (2008) também fez outra análise, juntamente com os estudantes, a partir 
dessa mesma sequência, de maneira que eles pudessem visualizar a variação das gran-
dezas, tanto no primeiro lado, quanto no segundo, ou seja, a covariação.
A tabela 3 apresenta essa covariação das grandezas.
Tabela 3 – Covariação entre o número de gatos e números de olhos
Número de gatos Número de olhos
+1 1 2 2+
 2 4 
+1 3 6 +2
Fonte: Adaptada de BLANTON, 2008, p. 13
É possível observar que o número de gatos varia de um em um, enquanto que o 
número de olhos dos gatos, varia de dois em dois. Indicando a covariação de grandezas 
que ocorre em ambos os lados.
A terceira atividade indicada por Blanton (2008) está relacionada à relação de cor-
respondência. A ideia, na atividade proposta, é a de que os alunos possam identificar 
que para cadagato há dois olhos, possibilitando verificar que existe uma relação de 
dobro entre gato e número de olhos.
Tabela 4 – Relação de Correspondência entre número de gatos x número de olhos
Número de gatos Número de olhos
1 2
2 4
3 6
Fonte: Adaptada de BLANTON, 2008, p. 15
Dobro x2
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UNIDADE 
Pensamento Funcional
A ideia dessa atividade é a de que os alunos possam identificar que para cada gato 
haverá sempre dois olhos.
A partir desses exemplos, é possível sugerir outras situações que possibilitam que, gra-
dualmente, os alunos possam fazer generalizações, relacionando sempre as duas variáveis 
(COOPER & WARREN, 2011), o que faz com que o estudante vá aos poucos, explicitando 
sua forma de pensamento e, para isto, utilize várias formas de registrar esse percurso, de 
maneira que possa avaliar aquela que é mais adequada para a situação apresentada.
O trabalho com as sequências recursivas
As sequências recursivas são aquelas em que se pode perceber uma unidade que se 
repete (Threlfall, 1999). Essa sequência, periodicamente, tem unidade que se reproduz.
A ideia é a de que os alunos, desde muito cedo, possam identificar a sequência que 
se repete, permitindo-lhes determinar um termo desconhecido e registrar a regularidade 
dessa repetição.
Threlfall (1999), no seu trabalho realizado com crianças entre 3 a 5 anos, diz que as 
sequências repetitivas constituem uma possibilidade bastante interessante para que os 
estudantes construam os conceitos envolvidos na álgebra. Para que isto aconteça, é impor-
tante que os estudantes analisem diversos tipos de sequência, que identifiquem a parte que 
se repete e qual seria o termo seguinte da sequência. Podemos indicar outros modelos que 
possam contribuir para este trabalho, solicitando que eles façam a seguinte identificação:
• O que se repete nesta sequência?
Amarelo Azul Vermelho Amarelo Azul Vermelho Amarelo
A ideia é a de que os alunos percebam que esta sequência foi construída por retân-
gulos amarelos, azuis e vermelhos, sempre nesta ordem. Isso contribui para que eles 
percebam uma unidade de repetição que, neste caso, é composta por três elementos.
• Qual seria o próximo termo dessa sequência?
Se a sequência parou no amarelo, para que possamos construir uma nova unidade 
de repetição, é necessário mais dois termos, um azul e outro vermelho, e nesta ordem. 
Portanto, o próximo termo será azul.
Vejamos um outro exemplo que pode ser feito com alunos do terceiro e quarto anos: 
na sequência CDCDCDCD, a unidade de repetição é CD. Contudo, os alunos podem 
levantar outras conjecturas, uma delas é a de que todos os termos pares da sequência 
serão D, e consequentemente, os termos ímpares serão C. O que contribui na produção 
de sínteses que levam à generalização das ideias contidas nas sequências estudadas por 
referência à unidade de repetição.
Outro exemplo que pode ser referência para professores a partir do terceiro ano seria 
explorar sequências do tipo CCA, solicitando aos alunos que indiquem quantos termos 
há nas três primeiras unidades de repetição.
Há inúmeras formas de os alunos conseguirem resolver a situação proposta:
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1. Alguns irão construir as três unidades de repetição, e depois contar: CCACCACCA , 
verificando que há 9 termos nestas três unidades de repetição;
2. Na segunda, eles podem pensar aditivamente, ou seja, na primeira unidade temos 3 
termos, na segunda 3 termos, e na terceira também 3 termos, 3+ 3 + 3 = 9 termos;
3. Outra possibilidade que pode ser explorada é registrar esse pensamento de for-
ma multiplicativa, ou seja, na primeira unidade temos 3 termos, como que-
ro saber quantos termos há em três unidades de repetição, podemos registrar 
3 x 3 = 9. As três unidades de repetição terão 9 termos.
Essa forma de trabalho visa favorecer a construção de relações funcionais em sequên-
cias repetitivas.
O trabalho com sequências pictóricas
As sequências pictóricas crescentes são constituídas por elementos, ou seja, os termos 
dependem da ordem e se relacionam como termo da posição anterior (Warren & Cooper, 
2008). O trabalho com as sequências pictóricas tem sido indicado como um facilitador 
para construção do pensamento funcional, pois promove a generalização e contribui para 
que os estudantes utilizem a linguagem simbólica para registrar as generalizações concebi-
das durante o processo. Kaput, desde de 1999, diz que as sequências pictóricas encorajam 
os estudantes a registrarem suas ideias e buscarem regularidades, utilizando algum tipo de 
simbologia, o que traz aproximações pertinentes com a álgebra mais formal.
Vejamos alguns exemplos de sequências pictóricas:
Exemplo 1:
Giovanna e Júlia encontraram em uma revista de passatempo uma ilustração para
ser pintada.
Giovanna comecou a pintar e pediu que Júlia continuasse, mas que �zesse observando
o padrão que ela estava utilizando. Veja o que Giovanna já realizou.
Júlia perguntou: – O que é padrão?
Giovanna disse: – É o que está sendo repetido nessa �gura.
Júlia, então, respondeu: – A ordem das ­ores e as cores utilizadas.
E Giovanna concluiu: – Isso mesmo.
Ajude Júlia a completar a pintura, respeitando o padrão estabelecido por Giovanna.
Figura 2
Fonte: Orientações Didáticas do Currículo da Cidade 
do Ensino Fundamental: Matemática – Vol. 1, p. 159
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UNIDADE 
Pensamento Funcional
Exemplo 2:
Agora, responda às questões:
a. Explique como ela está construindo a sequência de �guras e complete a pintura.
b. Quando ela completar as 20 primeiras �guras, quantas �guras estarão pintadas de
 azul? Por quê? E de vermelho?
c. Que �gura deve ser desenhada na 16ª posição? Explique. E na 28ª posição? Justi�que
 sua resposta. 
Juliana começou a desenhar uma sequência de �guras, mas não pintou todas. Veja
o que ela já fez:
Figura 3
Fonte: Orientações Didáticas do Currículo da Cidade 
do Ensino Fundamental: Matemática – Vol. 1, p. 159
Como no trabalho com as sequências recursivas, os estudantes devem identificar e des-
crever as sequências apresentadas, buscar sua regularidade, escrever os termos seguintes e, 
por último, construir novas sequências, pois já incorporaram seus elementos constitutivos.
O trabalho com esse tipo de sequência deve assumir níveis diversos de formaliza-
ção durante a trajetória escolar, de maneira que os estudantes possam compreender 
as relações algébricas apresentadas e explorem diferentes representações (MacGregor 
& Stacey, 1993). Assim, as sequências pictóricas não só contribuem para que os estu-
dantes construam generalizações, como também permitem a introdução da noção de 
variável, à medida que esses verbalizam suas observações e registram, através de uma 
simbologia própria, as generalizações percebidas. Além disso, as representações pictóri-
cas fazem com que os estudantes foquem no raciocínio, o que contribui para que vejam 
o modo como se processou a variação das quantidades ou dos termos que compõem a 
sequência, permitindo olhar o que falta ou o que precisa ser completado.
Muitos pesquisadores têm se debruçado para entender como os estudantes fazem 
para organizar e compreender as generalizações realizadas, com o objetivo de verificar 
de que forma constroem seu pensamento algébrico.
A partir desses estudos realizados, constataram que as caraterísticas das situações 
apresentadas podem influenciar a compreensão dos alunos. 
Lannin, Barker e Townsend (2006) conseguiram mapear algumas dessas situações, 
entre elas destacamos:
• As relacionadas à própria situação apresentada: os valores atribuídos à variável in-
dependente, ou, mais precisamente, à ordem dos termos, o próprio conhecimen-
to matemático necessário para resolver a tarefa (ordem crescente ou decrescente 
dos valores, operações necessárias que permitem a generalização da situação, 
entre outras);
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• As relacionadas aos conhecimentos de estratégias que não foram apresentados, ou 
não foram incorporados, trazendo um obstáculo didático para o avanço das obser-
vações e, consequentemente, da generalização e registro em linguagemmatemática;
• Outros fatores que foram levantados por Lannin, Barker e Townsend (2006) são 
atribuídos às questões sociais, que trazem como principal indicador a interação 
entre os participantes, professor – aluno e aluno – aluno. 
Além desses pesquisadores, muitos outros têm dedicado seus estudos para compreen-
der como se dá a aprendizagem dos alunos, e levantam aspectos que são primordiais para 
o ensino, estando relacionadas com as tarefas e às estratégias de trabalho desenvolvidas.
Para saber mais sobre os tipos de tarefas que favoreçam a busca de padrões.
Disponível em: http://bit.ly/2LfpU0g
A busca por estratégias
Lannin (2005) apresenta duas categorias de estratégias: as explícitas e as não 
explícitas.
As explícitas podem ser divididas em três agrupamentos: as estratégias de adivinhar, 
as de contexto e as de objeto inteiro.
• As de objeto inteiro, quando é tomada uma unidade de formação da sequência e, 
a partir de seus múltiplos, são definidas as unidades maiores, múltiplos dessas que 
são referências de análise;
• A estratégia de adivinhar e buscar a regra a partir da experimentação de várias 
operações;
• A estratégia contextual que possibilita a construção de uma regra estabelecida pela 
observação da situação apresentada.
As estratégias explícitas possibilitam, a partir de um cálculo direto da variável in-
dependente, encontrar o valor da variável dependente, como foi o caso do exemplo 
apresentado “CCA”, cujo problema era descobrir o número de termos que havia nas 
três primeiras unidades. Nesse caso, algumas das estratégias apresentadas possibilitam 
observar as estratégias explícitas:
• Estratégia de adivinhar: 3 + 3 + 3 = 9;
• Estratégia contextual: Se na primeira unidade de repetição temos 3 elementos, 
nas primeiras três unidades teremos 9, ou 3 x 3 = 9.
São estratégias não explícitas aquelas que envolvem a contagem, ou o desenho da 
sequência e sua respectiva contagem, como no caso da primeira representação feita: 
CCA CCA CCA, ou seja, a construção das três unidades de repetição e, em seguida, a 
contagem do número de elementos resultantes.
Radford (2001, 2003), em seus estudos, percebeu que a exploração de sequências 
pictóricas pode apresentar soluções para os problemas apresentados, gerando apenas a 
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UNIDADE 
Pensamento Funcional
formação de uma generalização por tentativa e erro. Neste caso, ele diz que as sequên-
cias pictóricas não fazem avançar o pensamento algébrico.
Para Rivera e Becker (2011) e Lannin (2005), é fundamental no processo de gene-
ralização a justificativa do procedimento utilizado, e, nesse aspecto, a discussão em sala 
de aula ganha destaque, pois será a partir do momento em que os estudantes comparti-
lham suas etapas de desenvolvimento da atividade e as suas justificativas que as genera-
lizações vão ganhando consistência. 
Rivera e Becker (2011) indicam duas maneiras de desenvolver uma generalização em 
uma sequência pictórica: a generalização construtiva e a generalização desconstrutiva.
Exemplo de generalização construtiva, indicado na Figura 5:
Figura 4 – Sequência de quadrado de Riviera e Becker
Fonte: Adaptado de Riviera e Becker, (2008), p. 66
Os termos podem ser percebidos pelos alunos da seguinte forma, como mostrado na 
Figura 5, também proveniente da pesquisa de Riviera e Becker, (2008):
4
4
4 + 3
4 + (1)3
4+3+3 que poderia ser interpretado como sendo:
4 + 2 (3)
Figura 5 – Interpretação de um grupo de alunos do 5º ano
Fonte: Adaptado de Riviera e Becker, (2008), p. 66
Outra representação que apareceu na pesquisa de Riviera e Becker, (2008) está iden-
tificada na Figura 6, que mostra um outro tipo de raciocínio.
4
1(4) – 0
2 (4) – 1
2 (4) – 1
3 (4) – 2
Em seguida os estudantes reveem a escrita trazendo todos para a mesma forma de registro.
3(4) – 2
Figura 6 – Interpretação de um grupo de alunos do 5º ano
Fonte: Adaptado de Pesquisa de Riviera e Becker, (2008), p. 68
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As representações podem ser variadas, demostrando que as formas de raciocínio dos 
estudantes também serão variadas, mas permitem a busca de uma solução para o pro-
blema apresentado.
Ambos os grupos construíram um caminho para encontrar a solução, conseguiram 
generalizar um padrão para a sequência apresentada, mas utilizaram um percurso 
bem diferente.
Isto não significa que os estudantes dos primeiros anos não conseguiram realizar 
a tarefa, mas, provavelmente, a forma de registro deles seria diferente, já que eles ex-
plicariam oralmente suas percepções. Em um segundo ano, provavelmente o registro 
expresso por palavras. Em um terceiro ano, poderiam arriscar um registro matemático, 
através da operação de adição e talvez utilizassem a subtração também. Em um quarto 
ano, o registro poderia ser feito através da multiplicação e da subtração, até que os estu-
dantes conseguissem expressar em linguagem matemática, chegando a uma expressão 
algébrica nos anos mais avançados do Ensino Fundamental. 
O que é importante é perceber a potencialidade das sequências pictóricas, pois elas 
permitem que os estudantes expressem suas observações de diferentes formas, trazendo 
suas percepções para a linguagem matemática, permitindo o registro de diversas ex-
pressões algébricas para uma mesma sequência pictórica.
Esses registros compartilhados permitem que os estudantes possam ir gradualmente 
se apropriando da linguagem matemática mais formal, formalizando-a em linguagem 
algébrica, possibilitando identificar expressões equivalentes (ENGLISH & WARREN, 
1999; SUTHERLAND, 2004; WARREN, 2005).
Tabach e Friedland (2008) perceberam em suas pesquisas que as sequências pictó-
ricas podem ser um facilitador para que os alunos compreendam a equivalência entre 
expressões algébricas e identifiquem que expressões algébricas diferentes podem indicar 
uma mesma generalização.
O trabalho com sequências numéricas
Como vimos, o trabalho com as sequências pictóricas é fundamental para que os 
estudantes estabeleçam relações de ordem dentro da sequência e observem a sua consti-
tuição, o que de alguma forma ajuda a estabelecer um padrão que organiza ou rege esta 
sequência. Vimos também que isto contribui para o desenvolvimento do pensamento 
algébrico, principalmente nos anos iniciais do Ensino Fundamental, permitindo que os 
alunos possam fundamentar o pensamento funcional, uma das vertentes do pensamen-
to algébrico. Esse trabalho permite que, progressivamente, os alunos expressem em 
linguagem mais formal as suas generalizações algébricas.
Além desse trabalho com as sequências pictóricas, é importante também que os alunos 
consigam estabelecer essa mesma capacidade em observar, analisar e registrar as sequên-
cias numéricas. Sem o auxílio das sequências pictóricas, ficaria mais difícil identificar os 
termos da sequência, as relações existentes entre eles, e a ordem que rege as mesmas.
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UNIDADE 
Pensamento Funcional
Exemplo de sequências numéricas:
Exemplo 3:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ....
No exemplo 3, temos uma sequência numérica dos números pares.
Exemplo 4:
3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, ....
No exemplo 4, a sequência apresentada inicia-se no 3 e é acrescida em cada termo 
sempre de 4.
Exemplo 5:
a) 15 21
82
27 33
78 74b)
Giovanna escreveu números em cartões e formou sequências. Escreva os números que você
considera que devem ser escritos em cada um dos cartões pintados de amarelo e justi�que
sua resposta.
Figura 7
Fonte: Adaptado de Orientações Didáticas do Currículo da
Cidade do Ensino Fundamental: Matemática – Vol. 1, p. 160
Como podemos observar no item “a”, a sequência foi organizada por seis números, 
sendo o primeiro número 15 e, a partir dele, cada novo elemento será adicionado de 
6 ao número anterior. A partir desse conhecimento, é possível identificar os números 
faltantes, ou seja, 39 e 45, nesta respectiva ordem.
No item “b”, também a sequência é composta por seis números, mas apenas três são 
conhecidos. Mesmo assim, a partir deles, é possível identificar o padrão da sequência. 
Sequência construídaem ordem decrescente, cuja diferença entre o segundo número e 
o terceiro é de 4. A partir daí, é possível descobrir o primeiro número adicionando 4 até 
82, encontrando 86, e os dois últimos números serão obtidos pela subtração de 4 até 74, 
resultando 70 e, sucessivamente, subtraindo 4 deste número encontrado, resultando 66. 
No desenvolvimento do trabalho com as sequências numéricas, é importante que os 
alunos identifiquem o pensamento recursivo que nela está presente, ou seja, é necessá-
rio observar os números e verificar qual a relação que há entre eles para se descobrir os 
elementos que estão ausentes, ou mesmo construir uma regra para a sua organização.
O pensamento recursivo contribui para o desenvolvimento do raciocínio indutivo e, 
por esse motivo, é importante que sejam apresentadas situações em que os estudantes 
possam fazer o uso desse tipo de pensamento.
16
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No entanto, nem sempre é possível evidenciar tal pensamento de forma explícita, 
pois, muitas vezes os professores precisam intervir para que os estudantes possam en-
contrar um termo qualquer na sequência.
 Bezuszka e Kenney (2008) indicam que se trabalhe também com as relações re-
cursivas nas sequências numéricas, visto que elas são promissoras para que os alunos 
pensem a relação de ordem que cada elemento ocupa dentro da sequência e busquem 
um padrão para a sua organização.
Blanton (2008) também faz esta indicação, dizendo que o pensamento recurso ajuda 
no desenvolvimento do raciocínio indutivo, sendo este decisivo para a construção de 
generalização e da linguagem algébrica. 
Bazuska e Kenney (2008) trazem também um outro aspecto que pode ser conside-
rado, eles argumentam que o pensamento recursivo pode ajudar na formulação de con-
jecturas, permitindo uma argumentação mais sólida na organização das regularidades 
observadas em uma sequência. Ainda indicam que: 
[...] refinando o pensamento recursivo e tendo um olhar mais atento 
às regularidades e práticas que eles juntos proporcionam aos alunos 
uma base para a compreensão e aplicação de princípios de indução 
matemática importantes na Matemática. (BEZUSZKA & KENNEY, 
2008, p. 82) 
 
O pensamento funcional está associado à variação de grandezas, trazendo uma aproxima-
ção ao conceito de função.
Vimos que para o desenvolvimento desse trabalho é importante apresentarmos situações de 
cunho investigativo que permitam aos estudantes utilizarem diferentes formas de pensar.
A construção do pensamento funcional deve ser organizada a partir de quatro tipos de situ-
ações: as relacionadas às funções, as relacionadas às sequências repetitivas, as relacionadas 
às sequências pictóricas e, por último, as relacionadas às sequências numéricas.
Todas elas contribuem para aguçar a observação, produzir registros que reflitam uma ma-
neira de pensar que contribui para a generalização progressiva, permitindo o registro desse 
pensamento em linguagem mais formal, ou seja, em linguagem matemática.
Discutimos também a importância da valorização das representações dos alunos e da so-
cialização dos registros para a construção de uma linguagem algébrica com compreensão.
Vimos também o destaque dado às sequências pictóricas, principalmente nos anos iniciais. 
Observamos ainda que uma mesma sequência pictórica ou numérica pode ser aplicada em 
diferentes anos de escolaridade; o que vai mudar é a sua forma de representação, que pode 
ser explicitada de forma oral em um primeiro ano, e utilizar uma linguagem mais formal 
para registrar em linguagem matemática a mesma descoberta. 
Por último, os conceitos apresentados são relativamente novos, difundidos para o primeiro 
ciclo a partir da Base Nacional Curricular (BNCC), e, portanto, exigem maior estudo por par-
te do professor, para que possa se apropriar deles, conforme foram descritos nesta unidade.
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UNIDADE 
Pensamento Funcional
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Leitura
Pensamento algébrico funcional na alfabetização: o uso da previsão de resultados em 
problemas aditivos
BECK, V. C.; SILVA, J. A. Pensamento algébrico funcional na alfabetização: o uso 
da previsão de resultados em problemas aditivos.
http://bit.ly/2LhkqSZ
Sequências recursivas com números naturais
FIGUEIREDO, A. F. Sequências recursivas com números naturais. Nova Escola – 
Plano de Aula – Matemática – 1º ano – Álgebra.
http://bit.ly/2MFVnvR
Plano de aula – Padrões em sequências de figuras
LIMA, G. F. Padrões em sequências de figuras. Plano de Aula – Matemática – 2º ano.
http://bit.ly/2MH7TLr
Um estudo das potencialidades pedagógicas das investigações matemáticas no desenvolvi-
mento do pensamento algébrico
FIORENTINI, D; FERNANDES, L. P.; CRISTOVÃO, E. M. Um estudo das potenciali-
dades pedagógicas das investigações matemáticas no desenvolvimento do pensa-
mento algébrico. Lisboa: Seminário Luso-Brasileiro de Investigações Matemáticas no 
Currículo e na formação de professores, 2005.
http://bit.ly/2MHcBZR
18
19
Referências
BEZUSZKA, S.; KENNEY, M. The three r’: Recursive Thinking, Recursion, and 
recursive formulas. In. C. GREENES, C.; RUBENSTEIN, R. (Eds.), Algebra and 
 algebraic thinking in school mathematics (p. 81-97). Reston, VA: NCTM, 2008.
BLANTON, M. Algebra and the elementary classroom. Portsmouth, NA: 
Heinemann, 2008.
BLANTON, M.; KAPUT, J. Building district capacity for teacher’s development in 
 algebraic reasoning. In J. Kaput, D. Carraher, & M. Blanton (Eds.), Algebra in the 
Early Grades (p. 5-17). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum, 2008.
BLANTON, M.; KAPUT, J. Functional thinking as a route into algebra in the 
elementary grades. In J. Cai & E. Knuth (Eds.), Early algebraization (p. 5-23). Berlin: 
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