Exercícios Resolvidos de Combinatória e Probabilidade

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1 
 
 
COMBINATÓRIA 
 
1. Uma senha alfanumérica bancária é formada por três sílabas escolhidas entre: 
A-KI-TEM-MA-TE-MA-TI-CA 
Seguidas de seis dígitos diferentes de 0 a 9. 
O sistema do banco escolhe aleatoriamente duas sílabas diferentes entre essas oito para formar a 
senha alfabética e cada cliente escolhe quatro dígitos diferentes para formar a senha numérica. 
Esse conjunto forma a senha alfanumérica do cliente, sendo que, dois clientes não podem ter 
mesma senha. O total de senhas diferentes assim formadas é: 
(A) pouco menos que 282 mil; 
(B) pouco mais que 282 mil; 
(C) pouco menos que 252 mil; 
(D) pouco mais que 292 mil; 
SOLUÇÃO: 
1ª ETAPA: Escolha de duas sílabas diferentes. 
Como o banco deve escolher duas sílabas diferentes entre as oito disponíveis, pelo Princípio 
Multiplicativo (PM): 
 
 1ªsílaba 2ªsílaba P.M. 
Escolhas 8 7 8x7=56 
 
2ª ETAPA: Escolha de quatro dígitos diferentes. 
Como o cliente deve escolher quatro dígitos diferentes entre os dez disponíveis, pelo Princípio 
Multiplicativo (PM): 
 
 1ºdígito 2ºdígito 3ºdígito 4ºdígito P.M. 
Escolhas 10 9 8 7 10x9x8x7=5040 
 
Como deve ocorre a 1ª ETAPA e a 2ª Etapa, isto é, a senha é formada pela escolha das sílabas e 
a escolha dos dígitos pelo PM, a quantidade de senha distintas que podemos formar é: 
56 5040 282240senhasN =  = 
 
2 
 
Observação: 
Quando duas ou mais etapas ou casos estão interligados pelo conectivo “e” usamos o P.M. 
(Produto das etapas ou casos) e quando estão interligadas pelo conectivo “ou” usamos o Princípio 
Aditivo (Soma das etapas ou casos) 
 
2. João quer formar uma senha alfanumérica com duas vogais seguidas de quatro dígitos 
distintos para seu computador. A quantidade de senhas diferentes que ele pode escolher se usar 
apenas algarismos pares é: 
(A) 1800 senhas; (B) 2400 senhas; (C) 1920 senhas; (D) 3000 senhas. 
SOLUÇÃO: 
1ª ETAPA: Escolha de duas vogais (podem ser iguais). 
Como João deve escolher duas vogais que podem ser iguais entre as cinco (a-e-i-o-u) 
disponíveis, pelo Princípio Multiplicativo (PM): 
 
 1ªvogal 2ªvogal P.M. 
Escolhas 5 5 5x5=25 
 
1ª ETAPA: Escolha de quatro dígitos distintos. 
Como João deve escolher quatro dígitos diferentes entre os cinco disponíveis (0-2-4-6-8), pelo 
Princípio Multiplicativo (PM): 
 
 1ºdígito 2ºdígito 3ºdígito 4ºdígito P.M. 
Escolhas 5 4 3 2 5x4x3x2=120 
 
Como deve ocorre a 1ª ETAPA e a 2ª Etapa, isto é, a senha é formada pela escolha das vogais e 
a escolha dos dígitos, pelo PM, a quantidade de senha distintas que João pode formar é: 
25 120 3000senhasN =  = 
 
3. Um número de quatro algarismos é simétrico quando possui o algarismo das unidades de 
milhar igual ao algarismo das unidades e o algarismo das centenas igual ao algarismo das 
dezenas: (Atenção: não estamos considerando 0770 como um número de quatro algarismos). 
Então, é correto afirmar que: 
(A) existem 81 números simétricos de quatro algarismos: 
(B) existem 90 números simétricos de quatro algarismos: 
(C) existem 100 números simétricos de quatro algarismos: 
(D) existem 120 números simétricos de quatro algarismos: 
SOLUÇÃO: 
Escolha dos quatro algarismos. 
Unidades de Milhar (UM); 
Centenas (C); 
Dezenas (D). 
Unidades (U); 
UM U
C D
=
=
 
 UM C D U P.M. 
Escolhas 9 10 1 1 90 
 
 
 
3 
 
4. Um grupo de 20 mulheres e 10 homens participa de um programa musical de TV. Todos 
sabem cantar e existem exatamente 12 mulheres e 4 homens que tocam algum instrumento 
musical. 
O total de casais que podemos formar para se apresentar de modo que pelo menos um deles 
toque algum instrumento é: 
(A) 152 casais; (B) 48 casais; (C) 72 casais; (D) 104 casais. 
SOLUÇÃO: 
Caso 1: 
Escolha da mulher que toca algum instrumento (MS) e do homem não (HN): 
 
 MS HN P.M. 
Escolhas 12 10-4=6 12x6=72 
Caso 2: 
Escolha da mulher que toca algum instrumento (MS) e do homem também (HS): 
 
 MS HS P.M. 
Escolhas 12 4 12x4=48 
Caso 3: 
Escolha da mulher que não toca algum instrumento (MN) e do homem que toca algum 
instrumento (HS): 
 
 MN HS P.M. 
Escolhas 20-12=8 4 8x4=32 
Como deve ocorrer o caso 1 ou caso 2 ou caso 3, pelo Princípio Aditivo: 72 48 32 152casaisT = + + = 
 
5. Uma empresa de publicidade dispõe de cinco modelos mulheres e quatro homens. 
Um cliente solicita a essa empresa um grupo de três modelos para um comercial com a condição 
de ter no grupo pelo menos um modelo mulher. 
A empresa para atender a essa solicitação pode escolher entre um total de: 
(A) 30 grupos; (B) 70 grupos; (C) 40 grupos; (D) 80 grupos. 
SOLUÇÃO: 
Caso 1: 
Escolha de uma modelo mulher (M) e dois homens (H): 
Não importa a ordem que os dois modelos homens ocupem no grupo, essa escolha é um 
problema de Combinação 
( )
,
!
4; 2
! !
n p
n
C n p
p n p
=  = =
−
 
 M HH P.M. 
Escolhas 5 
( )
4,2
4! 4!
6
2! 4 2 ! 2!2!
C = = =
−
 
5x6=30 
Caso 2: 
Escolha de duas modelos mulheres (M) e um homem (H): 
Não importa a ordem que os dois modelos mulheres ocupem no grupo, essa escolha é um 
problema de Combinação 
( )
,
!
5; 2
! !
n p
n
C n p
p n p
=  = =
−
 
 H MM P.M. 
Escolhas 4 
( )
5,2
5! 5!
10
2! 5 2 ! 2!3!
C = = =
−
 
4x10=40 
4 
 
Caso 3: 
Escolha de três modelos mulheres (M) e nenhum homem (H): 
Não importa a ordem que as três modelos mulheres ocupem no grupo, essa escolha é um 
problema de Combinação 
( )
,
!
5; 3
! !
n p
n
C n p
p n p
=  = =
−
 
 MMM 
Escolhas 
( )
5,3
5! 5!
10
3! 5 3 ! 2!3!
C = = =
−
 
Como deve ocorrer o caso 1 ou caso 2 ou caso 3, pelo Princípio Aditivo: 30 40 10 80gruposT = + + = 
 
6. A cantina da escola dispõe de dez tipos diferentes de frutas em quantidade suficiente para 
atender qualquer pedido de salada de frutas. 
Uma aluna quer pedir uma salada de frutas com seis tipos de frutas diferentes. 
O total de opções de salada de frutas para essa aluna escolher é: 
(A) 210 opções; (B) 180 opções; (C) 60 opções; (D) 200 opções. 
SOLUÇÃO: 
Como não importa a ordem em que serão colocadas as frutas na saladeira, este é um problema 
de Combinação de 10 para escolher 6. 
( )
( )
,
10,6
10,6
!
! !
10; 6
10! 10 9 8 7 6!
6! 10 6 ! 6!4!
10 9 8 7
10 3 7 210
4 3 2
n p
n
C
p n p
n p
C
C
=
−
= =
   
= =
−
  
= =   =
 
 
 
7. Um laboratório dispõe de 5 camundongos machos e n fêmeas. Se existem 360 maneiras 
de selecionar dois casais para uma experiência, o número n é: 
(A) 6; (B) 10; (C) 9; (D) 12. 
SOLUÇÃO: 
Devemos selecionar dois camundongos machos, não importando a ordem de seleção, e dois 
camundongos fêmeas, também não importando a ordem de seleção, para formar os dois casais. 
1ª ETAPA: Seleção de 2 machos entre os 5. 
( )
( )
,
5,2
!
! !
5; 2
5! 5! 5 4 3!
10
2! 5 2 ! 2!3! 2 3!
n p
n
C
p n p
n p
C
=
−
= =
 
= = = =
− 
 
2ª ETAPA: Seleção de duas fêmeas entre as n . 
( )
,
!
! !
2
n p
n
C
p n p
p
=
−
=
 
( )
( )( )
( )
( )
,2
1 2 ! 1!
2! 2 ! 2! 2 ! 2
n
n n n n nn
C
n n
− − −
= = =
− −
 
5 
 
Como deve ocorrer a seleção de machos e de fêmeas, pelo P.M., o número de maneiras para 
formar os dois casais, 360, permite formar a equação em n : 
( )
( )
( )
1 360
10 360 1 72
2 5
1 72 9 8
9
n n
n n
n n
n
−
 =  − = =
− = = 
=
 
 
8. Dona Ana vai todos os dias levar e pegar seu filho na Escola. A figura abaixo representa as 
ruas que Dona Ana pode passar para chegar a Escola. 
 
Se Dona Ana anda somente na rua (linha) e apenas para direita ou para cima, nunca para 
esquerda ou para baixo. O número de caminhos diferentes que Dona Ana pode seguir da sua 
casa à Escola é: 
(A) 210; (B) 240; (C) 24; (D) 120. 
SOLUÇÃO: 
 
Vamos representar por D cada caminho que Dona Ana segue para direita e por C cada caminhoque Dona Ana segue para cima. 
Três formas de Dona Ana ir da sua casa a escola estão exemplificados em amarelo, azul e verde 
na figura acima. 
O caminho em amarelo é CCCCDDDDDD, o azul CDCCDDDDCD e o verde DDDDDDCCCC. 
Observamos que qualquer que seja o caminho escolhido por Dona Ana sempre será representado 
por 6 letras D (pra direita) e 4 letras C (pra cima) variando apenas na ordem destas 10 letras, 
6 
 
portanto podemos pensar no problema como sendo o de calcular o número de permutações de 10 
letras onde 6 letras D se repetem e 4 letras C também, ou seja, num problema de permutação 
com repetição da “palavra” DDDDDDCCCC, que é resolvido assim: 
1 2,
1 2
1 2
10
6,4
!
! !
10; 6; 4
10! 10 9 8 7 6!
10 3 7 210
6!4! 6! 4 3 2
n
r r
n
PR
r r
n r r
PR
=
= = =
   
= = =   =
  
 
 
9. A figura abaixo representa um mapa das estradas que interligam as comunidades A, B, C, 
D, E e F. 
 
 
Assinale a opção que indica quantos percursos diferentes existem para se chegar à comunidade 
D partindo-se de A, sem que se passe mais de uma vez numa mesma comunidade, em cada 
percurso. 
(A) 72 (B) 12 (C) 18 (D) 36 
SOLUÇÃO: 
Você pode partir de A e chegar a D em dois sentidos diferentes, no sentido dos ponteiros do 
relógio ou em sentido contrário. 
1º caso: no sentido dos ponteiros do relógio. 
 
Estradas AB BC CD P.M. 
Escolhas 2 3 2 2x3x2=12 
2º caso: no sentido contrário aos ponteiros do relógio. 
 
Estradas AF FE ED P.M. 
Escolhas 1 2 3 1x2x3=6 
Como pode ocorrer o 1º ou 2º caso o total de percursos possíveis para ir de A à D devemos usar 
o Princípio Aditivo, isto é: 12 6 18percursosT = + = 
10. Em uma tribo indígena o pajé conversava com seu deus por meio de um alfabeto musical. 
Tal alfabeto era formado por batidas feitas em cinco tambores de diferentes sons e tamanhos. Se 
cada letra era formada por três batidas, sendo cada uma em um tambor diferente, pode-se afirmar 
que esse alfabeto possuía: 
(A) 10 letras (B) 49 letras (C) 20 letras (D) 60 letras 
 
 
7 
 
SOLUÇÃO: 
Vamos numerar os cinco tambores assim: 1 2 3 4 5; ; ; ;T T T T T . 
Uma sequência 2 3 5; ;T T T de batidas corresponde a uma letra diferente daquela representada pela 
sequência 5 2 3; ;T T T de batidas, portanto a ordem das batidas é importante e, consequentemente, 
não se trata de um problema de combinação e deve ser resolvido pelo P.M. 
 
Batidas 1ª 2ª 3ª P.M. 
Escolhas do tambor 5 4 3 5x4x3=60 
 
11. Um grupo de dez turistas, dos quais apenas dois são motoristas, ao chegar a uma cidade, 
alugou dois carros de passeio de modelos diferentes. O número de modos distintos em que o 
grupo pode ser dividido, ficando cinco pessoas em cada carro, não podendo os dois motoristas 
ficarem no mesmo carro, é igual a: 
(A) 1120 (B) 140 (C) 280 (D) 560 
SOLUÇÃO: 
Uma vez ocupado um dos carros o outro tem uma única forma de ocupação com o restante do 
grupo. 
Vamos dividir o problema em etapas. 
Etapa 1: Escolha de um dos carros para ser ocupado primeiro. 
Como são dois carros temos 2 possibilidades de escolha. 
Etapa 2: Escolha de um dos motoristas para dirigir este carro. 
Como são dois motoristas temos 2 possibilidades de escolha. 
Etapa 3: Escolha dos 4 caronas que vão ocupar este carro. 
Como são 8 pessoas (retiramos os 2 motoristas) para escolher 4, onde a ordem de escolha não 
importa temos um problema de combinação. 
( )
( )
,
8,4
!
! !
8; 4
8! 8! 8 7 6 5 4! 8 7 6 5
4 7 5 140
4! 8 4 ! 4!4! 4!4! 4 3 2
n p
n
C
p n p
n p
C
=
−
= =
      
= = = = =   =
−  
 
Outra vez pelo P.M. já que devemos seguir as etapas 1, 2 e 3: 2 2 140 560N =   = 
 
12. Uma formiguinha matemática deseja ir do ponto B ao ponto A caminhando somente por 
cima da linha e apenas para direita ou para cima, nunca para esquerda ou para baixo. Um dos 
caminhos encontra-se destacado na figura a seguir: 
 
 
 
8 
 
A formiguinha então falou pra coleguinha: “eu posso ir de B até A de k formas diferentes”. O valor 
de n é: 
(A) 792 (D) 892 
(B) 790 (E) 900 
SOLUÇÃO: 
Este problema é semelhante ao problema 8. 
Observamos que qualquer que seja o caminho escolhido pela formiguinha ele sempre será 
representado por 7 letras D (pra direita) e 5 letras C (pra cima) variando apenas na ordem destas 
12 letras, portanto podemos pensar no problema como sendo o de calcular o número de 
permutações de 12 letras onde 7 letras D se repetem e 5 letras C também, ou seja, num problema 
de permutação com repetição da “palavra” DDDDDDDCCCCC, que é resolvido assim: 
1 2,
1 2
1 2
10
6,4
!
! !
12; 7; 5
12! 12 11 10 9 8 7!
11 9 8 792
7!5! 7!5 4 3 2
n
r r
n
k PR
r r
n r r
k PR
= =
= = =
    
= = = =   =
  
 
 
13. Uma senha, a ser digitada em um computador, é formada por três algarismos, A , B e R , 
dos quais R é o algarismo de controle. A senha é válida, se R é o resto da divisão do número 
2A B+ por 2 ; por exemplo, 090 é uma senha válida, pois: 
090
0; 9
2 0 2 9 18
18 : 2 9
0
senha
A B
A B
R
=
= =
+ = +  =
=
=
 
O total de senhas diferentes que podemos formar segundo essa regra é: 
(A) 50 (B) 90 (C) 80 (D) 100 
SOLUÇÃO: 
Numa divisão por 2 os únicos restos R possíveis são 0, quando o dividendo for par e 1 caso seja 
ímpar. 
1º caso, R=0: 
Neste caso é par o número A+2B, como 2B sempre é par não importando o valor de B (pode ser 
qualquer algarismo de 0 a 9), o A neste caso terá que ser par (0,2,4,6,8) para a soma ser também 
par. 
 
 A B P.M. 
Escolhas 5 10 5x10=50 
2º caso, R=1: 
Neste caso é ímpar o número A+2B, como 2B sempre é par não importando o valor de B (pode 
ser qualquer algarismo de 0 a 9), o A neste caso terá que ser ímpar (1,3,5,7,9) para a soma ser 
também ímpar. 
 
 A B P.M. 
Escolhas 5 10 5x10=50 
Como pode ocorrer R=0 ou R=1, pelo Princípio Aditivo existem 100 senhas possíveis de serem 
formadas segundo esta regra. 
 
9 
 
PROBABILIDADE 
 
14. Estudos revelaram que uma determinada espécie de arbusto nativa da serra do Mar 
apresenta floração de cor branca com probabilidade 0,6 e de cor amarela com probabilidade de 
0,2. No restante dos casos o arbusto não apresenta floração. Observando-se 2 desses arbustos, 
qual a probabilidade de que pelo menos um apresente floração amarela? 
(A) 50% (B) 42% (C) 40% (D) 36% 
SOLUÇÃO: 
Vamos denominar os arbustos de 1A e 2A , para atender a determinação de que pelo menos um 
apresente floração amarela, não podemos ter os seguintes casos: 
Caso 1: 1A com floração branca (B) e 2A também. 
0,6 0,6 0,36BBP =  = 
Caso 2: 1A sem floração (S) e 2A também. 
Note que este caso tem uma probabilidade de 1 0,6 0,2 0,2− − = . 
0,2 0,2 0,04SSP =  = 
Caso 3: 1A sem floração (S) e 2A branca (B). 
0,2 0,6 0,12SBP =  = 
Caso 4: 1A com floração branca (B) e 2A sem floração (S). 
0,6 0,2 0,12BSP =  = 
Logo a probabilidade de que pelo menos um apresente floração amarela é: 
1 (0,36 0,04 0,12 0,12) 1 0,64 0,36
36%
P
P
= − + + + = − =
=
 
 
15. Uma pessoa esqueceu a senha de seu computador que é composta por seis algarismos 
distintos. Lembrou-se de quais eram os três primeiros algarismos e os três últimos, mas não da 
ordem em que eles apareciam. Fez, então, uma lista com n senhas possíveis para testar até 
acertar. A probabilidade dela acertar a senha ao digitar o primeiro número da lista é: 
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) 
24 12 30 36
( )A B C D 
SOLUÇÃO: 
Vamos representar os três primeiros algarismos por ABC e os três últimos por XYZ. Como ela não 
se lembra da sequência correta de cada um dos grupos de três algarismos, a quantidade de 
possibilidades de sequências é a permutação de cada um dos grupos de três algarismos. O 
númerode senhas possíveis é o produto destas permutações, ou seja: 
3 3 3!3! 6 6 36senhasN P P=  = =  = 
A probabilidade dela acertar a senha ao digitar o primeiro número da lista é: 
1
36
P = 
 
16. Os times A, B e C participam de um torneio. Suponha que as probabilidades de A ganhar e 
perder de B são respectivamente 60% e 20%, e as probabilidades de A ganhar e perder de C são 
respectivamente 10% e 60%. Jogando com B e em seguida com C, qual a probabilidade de A 
empatar os dois jogos? 
(A) 4% (B) 5% (C) 6% (D) 8% 
SOLUÇÃO: 
Como as probabilidades de A ganhar e perder de B são respectivamente 60% e 20% a 
probabilidade de A empatar com B é ( )100% 60% 20% 20% 0,20A BE  = − + = = . 
10 
 
Como as probabilidades de A ganhar e perder de C são respectivamente 10% e 60% a 
probabilidade de A empatar com C é ( )100% 10% 60% 30% 0,30A CE  = − + = = . 
Logo a probabilidade de A empatar com B e com C é: 0,2 0,3 0,06 6%P =  = = 
 
17. Em uma bandeja há dez pastéis dos quais três são de carne, três de queijo e quatro de 
camarão. Se Fabiana retirar, aleatoriamente e sem reposição, dois pastéis desta bandeja, a 
probabilidade de os dois pastéis retirados serem de camarão é: 
11 2 11 2
( ) ( ) ( ) 
15 13 13 15
( )A B C D 
SOLUÇÃO: 
A probabilidade de Fabiana retirar o primeiro pastel de camarão, já que tem 4 pastéis de camarão 
entre os 10 é: 
1
4 2
10 5
P = = 
A probabilidade de Fabiana retirar o segundo pastel também de camarão, já que tem agora 3 
pastéis de camarão entre os 9 é: 
2
3 1
9 3
P = = 
A probabilidade de Fabiana retirar o primeiro pastel de camarão e o segundo também é: 
1 2
2 1 2
5 3 15
P P P=  =  = 
 
18. Um conhecido jogo, presente em muitas festas populares, é a roleta da sorte, na qual gira-
se o ponteiro e anota-se o número que este aponta ao parar (ver figura). Após duas rodadas, a 
probabilidade de que a soma dos dois números obtidos seja igual a 5 é, aproximadamente: 
 
Obs: Considere que a área de todos os setores circulares em que os números estão inseridos é a 
mesma. 
(A) 11% (B) 19% (C) 22% (D) 25% 
SOLUÇÃO: 
Para que a soma dos dois números seja 5 devemos ter 2 na primeira rodada e 3 na segunda ou o 
inverso. 
1º caso: 
2 na primeira e 3 na segunda, 
3 3 1
9 9 9
 = 
2º caso: 
3 na primeira e 2 na segunda, 
3 3 1
9 9 9
 = 
Pelo princípio aditivo: 
1 1 2
0,22 22%
9 9 9
P = + =  =