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Ensino Médio
ANGLO
1
ª- série1
Manual do Professor • Matemática
290462_CAPA_EM_CA_MP_REGULAR_Mat.indd 1 10/29/15 12:27 PM
Manual
do Professor
Matemática 
Antonio Carlos ROSSO Junior
GLENN Albert Jacques van Amson
Roberto Teixeira Cardoso (ROBBY)
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 Direção de conteúdo e inovação pedagógica: Mário Ghio Júnior
Direção: Tania Fontolan
Coordenação pedagógica: Fábio Aviles Gouveia
Supervisão da disciplina: Glenn Albert Jacques van Amson, 
Roberto Teixeira Cardoso
Conselho editorial: Bárbara M. de Souza Alves, Eliane Vilela, 
Fábio Aviles Gouveia, Helena Serebrinic, Lidiane Vivaldini Olo, 
Luís Ricardo Arruda de Andrade, Mário Ghio Júnior, 
Marisa Sodero Cardoso, Ricardo de Gan Braga, 
Ricardo Leite, Tania Fontolan
Direção editorial: Lidiane Vivaldini Olo
Gerência editorial: Bárbara M. de Souza Alves
Coordenação editorial: Adriana Gabriel Cerello
Edição: Fernando Manenti Santos (coord.), 
Tadeu Nestor Neto
Assistência editorial: Walter Catão Manoel
Revisão: Hélia de Jesus Gonsaga (ger.), Danielle Modesto, 
Edilson Moura, Letícia Pieroni, Marília Lima, Marina Saraiva, 
Tayra Alfonso, Vanessa Lucena
Coordenação de produção: Paula P. O. C. Kusznir (coord.), 
Daniela Carvalho
Supervisão de arte e produção: Ricardo de Gan Braga
Edição de arte: Antonio Cesar Decarli
Diagramação: Guilherme P. S. Filho, Lourenzo Acunzo, 
Marisa Inoue Fugyama
Iconografia: Silvio Kligin (supervisão), 
Claudia Cristina Balista, Ellen Colombo Finta, Fernanda Regina Sales 
Gomes, Marcella Doratioto, Sara Plaça, Tamires Reis Castillo
Licenças e autorizações: Edson Carnevale
Capa: Daniel Hisashi Aoki
Foto de capa: Keith Ladzinski/National Geographic Creative/Getty Images
Projeto gráfico de miolo: Talita Guedes da Silva
Editoração eletrônica: Casa de Tipos
Todos os direitos reservados por SOMOS Sistemas de Ensino S.A.
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CEP: 04755-070 – São Paulo – SP
(0xx11) 3273-6000
© SOMOS Sistemas de Ensino S.A.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Rosso Junior, Antonio Carlos 
 Ensino médio : matemática : caderno 1 : manual do professor 
/ Antonio Carlos Rosso Junior, Glenn Albert Jacques van Amson, 
Roberto Teixeira Cardoso (Robby). -- 1. ed. -- São Paulo : SOMOS 
Sistemas de Ensino, 2016.
 1. Matemática (Ensino médio) I. Amson, Gleen Albert Jacques von. 
II. Cardoso (Robby), Roberto Teixeira. III. Título.
15-09658 CDD-510.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino médio 510.7
2016
ISBN 978 85 7595 002 9 (PR)
Código da obra 826151116
1a edição
1a impressão
Impressão e acabamento
Uma publicação
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Apresentação
Caro professor,
Reescrever um material que tem alcançado, junto com o excelente trabalho dos conveniados, os melhores re-
sultados do Brasil no Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) não é tarefa fácil, mas foi um desafio enfrentado e 
vencido, como você poderá constatar. 
Nesse processo, buscamos produzir um material didático capaz de aliar a motivação dos alunos com a qualidade 
de ensino e com os elevados padrões acadêmicos – uma tríade que representa um trabalho de excelência nas escolas.
Muitas inovações e aperfeiçoamentos foram feitos tomando como referência a tríade: as conversas realizadas 
nos diversos encontros com os autores, as preciosas colocações feitas no Fale com o Autor e um olhar para o futuro.
O material do aluno é composto pelo Caderno do Aluno, o Livro-texto e o Caderno de Exercícios, no meio físico 
e também no caderno digital, além de contar com a Plataforma de Estudo Adaptativo, com os objetos digitais e 
muitas outras ferramentas no portal do sistema. Você, professor, tem acesso a tudo isso e ainda ao Dose para Leão, 
ao Fale com o Autor, à TVWeb, às Separatas, aos Comunicados e muito mais!
Agora, vamos falar de cada parte separadamente.
CADERNO DO ALUNO
No Caderno do Aluno, as disciplinas são agrupadas em função da área de conhecimento a que pertencem: 
Gramática e Texto, Literatura e Língua Inglesa na área de “Linguagens, Códigos e suas Tecnologias”; Matemática em 
sua própria área, “Matemática e suas Tecnologias”; Biologia, Física e Química na área de “Ciências da Natureza e suas 
Tecnologias” e, finalmente, História e Geografia na área de “Ciências Humanas e suas Tecnologias”. E toda a abertura 
de área contém as competências e habilidades.
Além dessa nova organização, cada disciplina conta com uma série de seções em comum.
Nesta aula – Os autores escreveram essa seção pensando na lousa do professor. Ela permite ao aluno prestar 
atenção durante a explicação e fazer registros complementares em função do conteúdo que é apresentado pelo 
professor. Isso evita aquela frase “ou eu copio ou presto atenção” e favorece o desenvolvimento da aula, já que o 
professor ganha tempo. Para cada aula, é apresentado o objeto de conhecimento da Matriz de Referência do Enem 
relacionado com o assunto estudado.
A Matriz de Referência do Enem apresenta os eixos cognitivos (comuns a todas as áreas do conhecimento), 
as matrizes de referência das áreas do conhecimento (divididas em competências e, estas, em habilidades) e 
os objetos de conhecimento associados às matrizes de referência.
Em classe – Exercícios para serem feitos em sala de aula, em nível crescente de dificuldade e apresentando, em 
sua maioria, o selo com as habilidades da Matriz de Referência do Enem. A presença desse selo permite a alunos 
e professores uma atenção diferenciada em relação ao significado da habilidade. Quanto mais diferenciada é essa 
atenção, melhor é a preparação do aluno para provas como as do Enem – quanto mais ele aprender, mais bem 
preparado vai estar e mais motivado para a aprendizagem vai ficar, melhorando, assim, a aula do professor.
Em casa – Essa seção traz as atividades que devem ser realizadas pelos alunos para complementar a aprendiza-
gem. De nada adiantam intermináveis horas de aula se o aluno não tiver a oportunidade do estudo individualizado 
para concretizar seu conhecimento. Esta seção está dividida em:
Tarefas Mínimas – É um conjunto de orientações de estudo para que o aluno domine os pré-requisitos que 
possibilitarão dar continuidade à sua aprendizagem na aula seguinte. É importante dizer que a quantidade de 
exercícios propostos corresponde a uma adequada carga de trabalho, sem sobrecarregar e exigir algo que sabemos 
ser impossível de ser efetivamente cumprido.
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Tarefas Complementares – É a continuidade dos estudos propostos nas Tarefas Mínimas e permite que o aluno 
se aprofunde naqueles conteúdos em que sentir necessidade, ou tiver a possibilidade, ou ainda se for orientado pelo 
professor. 
Rumo ao Enem – Ao final de cada setor, há esse conjunto de exercícios com questões de padrão semelhante ao 
do Enem, retiradas das provas oficiais ou elaboradas por nossos autores. Em alguns momentos são indicadas pelos 
autores como parte das tarefas, mas também têm uma presença motivadora para que os alunos possam treinar 
em questões adequadas ao que estão aprendendo naquele caderno. Essa seção serve de fonte de exercícios extras 
para sala de aula, dependendo da intenção do professor de cada disciplina.
Atividade interdisciplinar – Atividade envolvendo diversas áreas e que pode ser aplicada em certo número de 
aulas, a critério dos professores das disciplinas envolvidas. A principal intenção dessa seção é permitir ao aluno uma 
visão múltipla de determinados assuntos, motivando ainda mais o estudo e o aprofundamento dos conhecimentos 
do aluno.
LIVRO-TEXTO
O Livro-texto apresenta o texto didático para cada conteúdo trabalhado. Ele permite um embasamento maior 
do aluno, com muitos exemplos que servirão de modelo em exercícios, além de trazer uma linguagem envolvente, 
mesmo nas áreas consideradas mais difíceis.
CADERNO DE EXERCÍCIOS
No Cadernode Exercícios temos os exercícios solicitados nas Tarefas Mínimas (TM) e Complementares (TC) e 
também uma série de exercícios extras, não pedidos nem na TM nem na TC, prontos para o aluno que quer trabalhar 
mais, ou para o professor que deseja passar mais exercícios de determinado conteúdo. Assim, não será necessário 
recorrer à impressão de listas de exercícios, poupando tempo e recursos de todos os atores: professores e escolas.
Atenção para mais uma novidade: o Caderno de Exercícios dos alunos não vem com as respostas, como acontecia 
na edição anterior. Agora, as respostas das tarefas estão no final do Manual do Professor. Isso significa que você, ao 
trabalhar com as tarefas em sala de aula, perceberá com tranquilidade quais alunos fizeram ou não os exercícios e 
poderá dar os melhores encaminhamentos para que a aprendizagem seja ampliada e aperfeiçoada. 
E O MANUAL DO PROFESSOR?
Outro eixo que ajuda a qualificar uma escola como sendo de boa qualidade é o do desenvolvimento profissional, 
para o qual o Manual do Professor é instrumento que colabora muito.
No MP você encontrará os objetivos de cada aula (para ajudar a elaborar o planejamento escolar) e as sugestões 
de encaminhamento da aula. Encontramos também sugestões de objetos digitais, de exercícios extras e de textos 
de aprimoramento e de atualização, que podem, inclusive, ser utilizados no trabalho com os alunos.
A partir do entendimento dessa estrutura de nosso material, podemos apresentar a nossa fundamentação pe-
dagógica, que está baseada no momento que é o ponto central de nosso sistema de ensino: a aula! E também em 
nosso lema: “Aula dada, aula estudada”!
A espinha dorsal foi pensada 
com base no Círculo Virtuoso 
da Aprendizagem:
Aula bem 
estudada
Aula bem 
assistida
Aula bem 
proposta 
(Autor)
Aula bem 
preparada
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Aula bem proposta – O programa está distribuído criteriosamente pelas aulas de que dispomos para desenvolver 
cada curso. Procuramos dimensionar cada uma delas com tempo suficiente para a exposição teórica e a realização 
de exercícios pelos alunos em classe. 
Aula bem preparada – Os planos de aula são bem detalhados, fornecendo as informações necessárias para a 
preparação de seu trabalho. É importante que você observe bem o material do aluno, veja as questões propostas 
e considere a possibilidade de introduzir objetos digitais. Examine as Tarefas Mínimas e Complementares e resolva 
com antecedência todos os exercícios envolvidos.
Aula bem assistida – Sempre que o professor conseguir motivar a classe, mantendo um diálogo constante com 
os alunos, e eles sentirem que estão aprendendo, a aula terá sido eficiente. Não pactue com os dispersivos. Exija dos 
alunos concentração, participação nos diálogos e muita garra durante as atividades de aula.
Aula bem estudada – É o resultado da resolução diária de todas as Tarefas Mínimas e de pelo menos parte das 
Tarefas Complementares. Os alunos devem ser orientados a fazer a avaliação de seu desempenho após cada prova 
e procurar o Plantão de dúvidas para esclarecimentos sobre as atividades propostas para casa.
Estamos à disposição para tirar dúvidas, ouvir opiniões e sugestões em nossos Encontros Presenciais e no Fale 
com o Autor.
Um espetacular ano letivo para todos!
Fábio Aviles Gouveia 
Coordenador pedagógico
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Sumário
Matemática ............................................................................................................................................................. 7
Setor A ...................................................................................................................................................................... 7
Aula 1 - Conjuntos numéricos: Q e R ...................................................................................................................... 7
Aula 2 - Conjuntos numéricos: exercícios ............................................................................................................... 7
Aula 3 - Conjuntos numéricos: operações ............................................................................................................. 8
Aula 4 - Conjuntos numéricos: números naturais .................................................................................................. 9
Aulas 5 e 6 - Técnicas algébricas: produtos notáveis (1) ...................................................................................... 9
Aulas 7 e 8 - Técnicas algébricas: produtos notáveis (2) ...................................................................................... 9
Aulas 9 e 10 - Equações elementares .................................................................................................................. 11
Aula 11 - Equações elementares: exercícios ........................................................................................................ 11
Aula 12 - Inequações elementares ....................................................................................................................... 12
Aulas 13 a 15 - Porcentagem – conceito e aplicações – Exercícios (1) ............................................................ 12
Aulas 16 e 17 - Porcentagem – variações sucessivas .......................................................................................... 13
Aula 18 - Porcentagem – exercícios (2) ................................................................................................................ 14
Setor B .................................................................................................................................................................... 15
Aulas 1 e 2 - Razão e proporção ........................................................................................................................... 15
Aulas 3 e 4 - Variáveis proporcionais .................................................................................................................... 15
Aulas 5 e 6 - Potências e radicais (1) ................................................................................................................... 16
Aulas 7 e 8 - Potências e radicais (2) ................................................................................................................... 17
Aulas 9 e 10 - Ângulos ............................................................................................................................................ 18
Aulas 11 e 12 - Ângulos em um triângulo ............................................................................................................. 19
Atividades interdisciplinares .............................................................................................................................. 20
Respostas – Caderno de Exercícios 1 ................................................................................................................. 21
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Matemática
Setor A
Caderno 1
Nesse primeiro caderno, o objetivo central é a retomada de 
temas tratados no Ensino Fundamental. Essa opção foi feita por 
muitos alunos esquecerem alguns conteúdos desenvolvidos em 
séries anteriores e porque ainda estão, nesse momento, adaptando­
­se a uma nova realidade: a do Ensino Médio. Assim, este caderno 
inicial também serve a esse propósito, ou seja, uma transição para 
uma abordagem mais aprofundada dos conteúdos da Matemática. 
Esses conteúdos serão extremamente úteis para o desenvolvi­
mento de diversos conteúdos do Ensino Médio, tanto na Mate­
mática quanto na Física e Química. 
Na abordagem desses assuntos, enfatizaremos a transposição da 
linguagem escrita para a algébrica e a interpretação de texto, na for­
ma de problemas, além da representação e interpretação de figuras. 
É importante destacar para o aluno que atualmente é essencialtrabalhar essas competências na Matemática, não se limitando ao 
uso direto de fórmulas sem aplicações.
Para isso o Manual do Professor é uma ferramenta valiosa na 
preparação da aula, pois contém sugestões para abordagem da 
teoria e para o encaminhamento da aula, além das resoluções dos 
exercícios de aula com esclarecimentos sobre os critérios e objetivos 
que levaram às escolhas desses exercícios.
2a. A todo decimal exato e a toda dízima periódica corresponde 
uma fração a
b
, sendo a e b, b  0, números inteiros.
3a. 0,111… 5 1
9
 e, consequentemente, 0,999… 5 1.
O exercício 3 mostra como “dividir” um intervalo em n par­
tes iguais. O exercício 4 mostra que toda dízima não periódica 
corresponde a um número irracional e “insinua” que, entre dois 
números racionais distintos, existem infinitos números irracionais. 
Isso poderá ser provado mais adiante, sem exigir conceitos de 
Matemática superior.
Sugestão de exercícios extras 
1. Qual Ž o vigŽsimo algarismo da parte fracion‡ria da 
representação decimal de 2
7
?
Resolução:
2 7
20 0,285714285714...
60
40
50
10
30
20
60
A
∴ 2
7
 5 0,285714285714...
Os algarismos do per’odo repetem-se de 6 em 6. Divi-
dindo 20 por 6, obtemos resto 2. 
O segundo algarismo do per’odo Ž 8. Logo, o vigŽsimo 
algarismo Ž 8.
2. Qual dos nœmeros a seguir pode ser representado pela 
d’zima peri—dica 1,234999... ?
 ca) 1,235
b) 1,2345
c) 1,2349
d) 1,23410
e) 1,23499
aula 2
Conjuntos numéricos: exercícios
Objetivos
Existem números que ainda não abordamos, como os repre­
sentados por 3,1415926535… (p), 0,1001100011100001111…, etc. 
que são dízimas infinitas e não periódicas. Das aulas anteriores, 
podemos concluir que a esses números não correspondem frações 
da forma a
b
, com a e b, b  0, inteiros. Portanto, existem núme­
aula 1
Conjuntos numéricos: Q e R
Objetivos
Rever o conceito de número racional e o de número irracional 
(vistos no Ensino Fundamental). O aluno deverá saber que todo 
número racional pode ser representado por uma dízima exata ou 
periódica. Em particular, temos 0,111… 5 1
9
 e 0,999… 5 1.
Encaminhamento
Comece as aulas resolvendo os exercícios 1 a 3. Os alunos de­
verão confirmar, pelo menos, três fatos importantes:
1a. Toda fração a
b
, com a e b, b  0, inteiros, corresponde a um 
decimal exato ou a uma dízima periódica.
7
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ros que não são racionais; são os chamados números irracionais. 
Com essa conclusão, apresentar o conjunto R, dos números reais 
(racionais ou irracionais).
Encaminhamento
Destaque que:
•	 Os números reais servem para medir distâncias, áreas, volu­
mes, massas, intensidades de força, temperaturas, etc.
•	 Existem números reais que não são racionais, tais como 2 , 
23 , p, etc.
•	 É importante salientar que:
 I. Sendo r um número racional e a um número irracional, 
tem­se que r 1 a é irracional.
 II. Sendo r, r  0, um número racional e a um número irra­
cional, tem­se que r ? a é irracional.
Faça os exercícios, juntamente com os alunos.
Sugestão de exercícios extras 
1. Sendo r e s números racionais, com r < s, dê um exemplo 
de número racional x, tal que r , x , s.
Resposta: r s
2
1 (Existem outros infinitos exemplos!)
2. Sendo r e s números racionais, com r < s, dê um exemplo 
de número irracional x, tal que r , x , s.
Resposta: r 1 (s 2 r) 2
2
 (Existem outros infinitos exemplos!).
Note que 0 , 2
2
 , 1 e, portanto, 0 , (s 2 r) 2
2
 , s 2 r.
Assim, r 1 0 , r 1 (s 2 r) 2
2
 , r 1 s 2 r, ou seja, 
r , r 1 (s 2 r) 2
2
 , s.
aula 3
Conjuntos numéricos: operações
Objetivos
Apresentar os tipos de intervalos em R e suas respectivas de­
notações.
Encaminhamento
Apresente as notações e dê dois exemplos simples, mostrando 
como operar com intervalos.
Na resolução de problemas que envolvem a contagem de ele­
mentos de (sub)conjuntos, diga que:
1o Se o conjunto A possui n elementos, eles NÃO são, necessa­
riamente, “exclusivos” de A.
2o É aconselhável começar a contagem de elementos pela inter­
secção “máxima”, isto é, a intersecção de todos os conjuntos 
envolvidos. Se o número de elementos dessa intersecção não 
é conhecido, usa­se uma incógnita.
3o Use um número mínimo de conjuntos ao interpretar o 
enunciado.
É importante que os alunos façam os exercícios sem a pronta 
ajuda do professor.
Ao final da aula, dê as resoluções dos exercícios e esclareça as 
dúvidas.
O conteúdo digital “Diagrama de Venn” indicado para esta 
aula apresenta informações e atividades referentes a operações de 
conjuntos que ampliam o que é trabalhado no material impresso. 
O conteúdo digital pode ser trabalhado em sala de aula ou reco­
mendado para os alunos como parte da tarefa.
Sugestão de exercícios extras 
1. (UFJF-MG) Define-se o comprimento de cada um dos 
intervalos [a, b], ]a, b[, ]a, b] e [a, b[ como a diferença 
(b 2 a).
Dados intervalos M 5 [3, 10], N 5 ]6, 14[ e P 5 [5, 12[, o 
comprimento do intervalo resultante de (M  P)  (P 2 N) 
é igual a:
a) 1
b) 3
 cc) 5
d) 7
e) 9
2. Considerando o intervalo I 5 [0, 7[, podemos afirmar 
que:
a) o menor elemento de I é 1.
b) o maior elemento de I é 6.
c) o maior elemento de I é 6,9.
d) o maior elemento de I é a dízima 6,999...
 ce) para todo x, x  I, existe y, y  I, tal que y . x.
3. Um ano n é bissexto se, e somente se, n é divisível por 
4, mas não por 100, ou n é divisível por 400. Considere 
o conjunto N como universo e A, B e C sendo, nessa 
ordem, o conjunto dos números naturais divisíveis por 
4, o conjunto dos números naturais divisíveis por 100 
e o conjunto dos números naturais divisíveis por 400. 
Represente esses conjuntos em um diagrama de Venn 
e indique os subconjuntos que representam os números 
que correspondem, pelo critério acima, a anos bissextos.
Resposta:
A
C
B
(Obs.: É interessante que os alunos façam pesquisas 
sobre ano bissexto, na internet.)
8
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4. (Mack-SP) Se a, b e c são números naturais não nulos 
tais que c 5 5a e b 1 3c 5 60, os possíveis valores de c 
são em número de:
a) 2
 cb) 3
c) 4
d) 5
e) 6
5. (UEPB) Seja o conjunto A 5 {x  R | x . 0}. Defina em A 
uma operação ‘∗’ para todo x, y, elementos de A, dada 
por x ∗ y 5 
1
xy
x   y
; o valor de 4 ∗ (6 ∗ 3) será:
a) 2
b) 1
c) 3
4
d) 
16
3
 ce) 
4
3
6. (UEPB) Os conjuntos A e B são definidos como 
A 5 {x  N | 2 3 < x < 3} e B 5 {x  Z | x é divisor ímpar 
de 18}. O conjunto A 2 B será:
 ca) {0, 2}
b) {0, 2, 3}
c) {2}
d) vazio
e) {2, 3}
aula 4
Conjuntos numéricos: números naturais
Objetivos
Apresentar questões que envolvem a representação decimal dos 
números naturais; o valor da posição de um algarismo.
Encaminhamento
Mostre, como exemplo, que o número dois mil e dezessete 
(2017) corresponde à soma 2 ? 103 1 0 ? 102 1 1 ? 10 1 7. Resolva 
os exercícios, depois de ter dado um tempo para os alunos tentarem 
resolver sozinhos.
Sugestão de exercícios extras 
1. De Morgan foi um matemático que nasceu na Inglaterra e 
viveu no século 19. Alguém perguntou a De Morgan qual 
era sua idade e recebeu como resposta: “Comemorei 
meu aniversário n no ano n2 ”. Descubra em que ano De 
Morgan nasceu.
Resolução: 402 5 1 600, 412 5 1 681, 422 5 1 764, 432 5 1 849 
e 442 5 1 936.
1 849 2 43 5 1 806
Resposta: 1806
2. Em um certo ano n, n . 2016, haverá mais domingos 
do que sábados. Dado que não se trata de um ano 
bissexto, podemos concluir que o dia 10 de janeiro desse 
ano será:
a) um domingo.
b) uma segunda-feira.
 cc) uma terça-feira.
d) uma sexta-feira.
e) um sábado.
Resolução: O ano n terá 365 dias; 52 semanas comple-
tas (364 dias), mais um dia.
Podemos concluir que esse último dia será um domingo: 
31/12/2017.
Resumindo, começando com o dia 1o de janeiro de 2017, 
haverá 52 semanas da forma dom, seg, ter, qua, qui, 
sex, sáb, mais um domingo. O dia 10 de janeiro, como 
o dia 3 de janeiro, será uma terça-feira.
Resposta: C
aulas 5 e 6
Técnicas algébricas:produtos notáveis (1)
Objetivos
Apresentar os produtos notáveis e algumas técnicas elemen­
tares para fatorar.
Encaminhamento
Resolva os exercícios 1 e 2 junto com os alunos, fazendo as 
contas detalhadamente e mostrando os padrões, conforme o re­
sumo teórico da aula.
Resolva os exercícios 3 a 5, com base nos padrões apresentados.
Resolva os exercícios 6 e 7, mostrando que só decorar as fór­
mulas não basta.
aulas 7 e 8
Técnicas algébricas: 
produtos notáveis (2)
Objetivos
Reapresentar os produtos notáveis vistos nas aulas anteriores, 
resolver algumas questões de aplicação deles e apresentar produtos 
notáveis que envolvem cubos.
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Encaminhamento
Explore o resumo te—rico das aulas, linha por linha. Chegando 
aos cubos, siga a seguinte linha, junto com os alunos.
•	 (a 1 b)3 5 (a 1 b)(a 1 b)(a 1 b)
5 (a 1 b)(a2 1 2ab 1 b2)
5 a3 1 2a2b 1 ab2 1 a2b 1 2ab2 1 b3
5 a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3
•	 (a 1 b)3 5 a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3
(a 1 b)3 5 a3 1 3ab(a 1 b) 1 b3
(a 1 b)3 2 3ab(a 1 b) 5 a3 1 b3
(a 1 b)[(a 1 b)2 2 3ab] 5 a3 1 b3
(a 1 b)(a2 1 2ab 1 b2 2 3ab) 5 a3 1 b3
•	 (a 1 b)(a2 2 ab 1 b2) 5 a3 1 b3
Diga aos alunos que, para (a 2 b)3 e a3 2 b3, h‡ procedimentos 
an‡logos e siga a sequ•ncia de exerc’cios.
Sugestão de exercícios extras
1. (UFRS) A expressão que deve ser somada a 
a² 1 6a²b² 2 12a²b para que resulte o quadrado de 
(2a 2 3ab) é:
 ca) 3a2 1 3a2b2
b) a2 2 9a2b2 1 12a2b
c) 23a2 23a2b2
d) 3a2 1 3a2b2 1 24a2b
e) 3a2 1 3a2b2 2 24a2b
2. (IF-BA) O valor da expressão 
1 1
3
1 1
3
1 1
9
2 1 1











 1
1
81
1 1
6561
1 1








 é:
 ca) 2



1
1
3
16
b) 2 

1
1
3
8
c) 1 

1
1
3
8
d) 1 

1
1
3
16
e) 1 

1
1
3
18
3. (Unifor-CE) A expressão 1 1
1 1
2
1
1
2x x 3
x 2x 1
x 2
x 1
2
2
, com x  21, 
é equivalente a:
 ca) 
2
1




x 1
x 1
2
b) 2
1
x 1
x 1
c) 1
d) 1 1
1( )
x 4x  5
x 1
2
2
e) 1
1
x 5
x 1
4. (PUC) Sendo ( )( )x 1 x 1 x ax  b3 21 5 1 1 1 para todo x 
real, os valores de a e b são, respectivamente:
a) 21 e 21
b) 0 e 0
c) 1 e 1
d) 1 e 21
 ce) 21 e 1
5. (UFV-MG) Simplificando-se a expressão 
x xy
x y
2
2 2
1 11
2
? 2







y x
, onde x e y são números positivos 
e distintos, obtém-se:
a) 1
x
b) 2y
c) xy
 cd) 
1
y
e) 2x
6. (Unifor-CE) A expressão 2 1 2( ) ( )x 1 x 1
2 3
 é equivalente a:
a) 1 2x x 2 3 2
b) 1 1x 2x 13 2
 cc) 2 1x 2x x
3 2
d) 2( )x 1
5
e) 1 2x x 2x3 2
7. (OBM) Elevei um número positivo ao quadrado, subtraí 
do resultado o mesmo número e o que restou dividi ainda 
pelo mesmo número. O resultado que achei foi igual:
a) ao próprio número.
b) ao dobro do número.
 cc) ao número menos 1.
d) à raiz quadrada do número.
e) ao número mais 1.
8. Se (a 2 1)(a 1 1)(a2 1 1)(a4 1 1)(a8 1 1)(a16 1 1)(a32 1 1) 5 
5 an 2 1, para todo valor real de a, então n é igual a
a) 16.
b) 32.
 cc) 64.
d) 128.
e) 256.
9. Dado que u 2 v 5 6 e u2 2 v2 5 18, obtenha o valor de 
u 1 v. Resposta: 3
10. Resolver em R:
a) 2x3 1 6x2 1 8x 1 24 5 0 
Resolução:
x2(2x 1 6) 1 4(2x 1 6) 5 0
(x2 1 4)(2x 1 6) 5 0
x2 1 4 5 0 ou 2x 1 6 5 0
x2 1 4 5 0 ⇔ x2 5 24 (não admite solução real)
2x 1 6 5 0 ⇔ x 5 23
Resposta: {23}
10
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b) 2x3 1 6x2 2 8x 2 24 5 0
Resolução:
x2(2x 1 6) 2 4(2x 1 6) 5 0
(x2 2 4)(2x 1 6) 5 0
x2 2 4 5 0 ou 2x 1 6 5 0
x2 2 4 5 0 ⇔ x2 5 4 ∴ x 5 62
2x 1 6 5 0 ⇔ x 5 23
Resposta: {2, 22, 23}
c) 2x3 2 6x2 2 8x 1 24 5 0
Resolução:
x2(2x 2 6) 2 4(2x 2 6) 5 0
(x2 2 4)(2x 2 6) 5 0
x2 2 4 5 0 ou 2x 2 6 5 0
x2 2 4 5 0 ⇔ x2 5 4 ∴ x 5 62
2x 2 6 5 0 ⇔ x 5 3
Resposta: {2, 22, 3}
aulas 9 e 10
Equações elementares
Objetivos
Estudar as equações da forma a ? x 5 b e resolver problemas 
elementares.
Encaminhamento
Apresente os conceitos de equa•‹o, solu•‹o (raiz), conjunto 
solu•‹o e equa•›es equivalentes. Resolva o primeiro exercício da 
aula, explicando, em cada item, como proceder, algebricamente, 
para obter uma equação da forma a ? x 5 b. Explique, durante as 
resoluções, os itens 3 e 4 do resumo teórico.
Faça com que o aluno saiba identificar expressões como “can­
celar” e “passar para o outro membro”, etc. com as regras expostas 
no resumo teórico. É claro que não há nada contra essas expressões; 
elas só não podem ficar sem significado matemático (uma ou mais 
das propriedades da teoria).
Sugestão de exercícios extras
1. Resolva em R:
a) 12x 1
2
 2 
2x 1
3
 5 
14x 5
6
 Resposta: R
b) x 2 2x 1
2
 2 
22 x
3
 5 
5x 1
6
1
 Resposta: 
2. (Unicamp-SP) Uma senhora comprou uma caixa de 
bombons para seus dois filhos. Um deles tirou para si 
metade dos bombons da caixa. Mais tarde, o outro menino 
também tirou para si metade dos bombons que encontrou 
na caixa. Restaram 10 bombons. Calcule quantos bombons 
havia inicialmente na caixa. Resposta: 40 bombons
3. Dois caminhões partiram em um mesmo instante de um 
mesmo ponto e viajaram ao longo de uma estrada; o 
primeiro, com uma velocidade constante de 40 km/h, e 
o segundo, com uma velocidade constante de 60 km/h. 
Horas depois, um carro ultrapassou o primeiro caminhão 
e, mantendo então uma velocidade constante de 
90 km/h, levou três horas para alcançar o segundo 
caminhão. Pergunta-se: quantos quilômetros havia 
rodado o primeiro caminhão até o instante em que ele 
foi ultrapassado pelo carro? Resposta: 180 km
4. (Unicamp-SP) Após ter corrido 2
7
 de um percurso e, em 
seguida, caminhado 5
11
 do mesmo percurso, um atleta 
verificou que ainda faltavam 600 metros para o final do 
percurso.
a) Qual o comprimento total do percurso?
Resposta: 2 310 metros
b) Quantos metros o atleta havia corrido?
Resposta: 660 metros
c) Quantos metros o atleta havia caminhado?
Resposta: 1 050 metros
5. (Unicamp-SP) Para transformar graus Fahrenheit em 
graus centígrados, usa-se a fórmula 
C 5 ( )5
9
F 322 , onde F é o número de graus Fahrenheit 
e C é o número de graus centígrados.
a) Transforme 35 graus centígrados em graus Fahrenheit.
Resposta: 95 °F
b) Qual a temperatura (em graus centígrados) em que 
o número de graus Fahrenheit é o dobro do número 
de graus centígrados?
Resposta: 160 °C
6. Em um triângulo isósceles, de perímetro 20 cm, há um lado 
que mede o dobro de um outro. Obtenha as medidas 
dos lados desse triângulo. (Obs.: Note que não existe um 
triângulo em que os lados medem 10 cm, 5 cm e 5cm.)
Resposta: 8 cm, 8 cm e 4 cm
aula 11
Equações elementares: exercícios
Objetivo
Exercitar (resolver equações da forma a ? x 5 b e problemas 
elementares).
Encaminhamento
Resolva o exercício da aula. Complete a aula com sugestões 
suas e exercícios extras.
11
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aula 12
Inequa•›es elementares
Objetivos
Estudar as inequações da forma ax . b, ax > b, ax , b, ou ax < b, 
em que a e b são constantes.
Encaminhamento
Explique os conceitos de inequação, solução (raiz), conjunto 
solução e inequações equivalentes. Mostre, mediante exemplos, 
as operações que podem ser usadas para obter inequações equi­
valentes. Insista muito no seguinte quadro!
De uma inequação dada, podemos obter outra inequação 
equivalente:
•	 multiplicando ambos os membros por um mesmo núme­
ro positivo, mantendo o sentido da desigualdade;
•	 dividindo ambos os membros por um mesmo número 
positivo, mantendo o sentido da desigualdade;
•	 multiplicando ambos os membros por um mesmo nú­
mero negativo e invertendo o sentido da desigualdade 
(de “,” para “.”, e de “.” para “,”);
•	 dividindo ambos os membros por um mesmo número 
negativo e invertendo o sentido da desigualdade (de “,” 
para “.”, e de “.” para “,”).
Na resolução do primeiro exercício, é bom mostrar como essas 
regras são aplicadas de modo conveniente.
Sugest‹o de exerc’cios extras
1. (Acafe-SC) Os valores de x para os quais a desigualdade 
3 3x
2
8 4x
7
2 .
2 é satisfeita somente para:a) x . 2
 cb) x , 2
c) x , 
5
13
d) x . 
5
13
2. (Mack-SP) Em N, o produto das soluções da inequação 
2x 2 3 < 3 é:
a) maior que 8
b) 6
c) 2
d) 1
 ce) 0
3. (FGV) O número de soluções inteiras da inequação 
23 , x 1 2 < 4 é:
a) 6
 cb) 7
c) 8
d) 9
e) 0
4. (UFRGS-RS) Se 21 , 2x 1 3 , 1, então 2 2 x está entre:
a) 1 e 3
b) 21 e 0
c) 0 e 1
d) 1 e 2
 ce) 3 e 4
5. (Vunesp) Duas pequenas fábricas de calçados, A e 
B, têm fabricado, respectivamente, 3 000 e 1 100 pares 
de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a fábrica A 
aumentar sucessivamente a produção em 70 pares por 
mês e a fábrica B aumentar sucessivamente a produção 
em 290 pares por mês, a produção da fábrica B superará 
a produção de A, a partir de:
a) março.
b) maio.
c) julho.
 cd) setembro.
e) novembro.
6. (Unicamp-SP) Três planos de telefonia celular são 
apresentados na tabela a seguir: 
Plano Custo fxo mensal Custo adicional por minuto
A R$ 35,00 R$ 0,50
B R$ 20,00 R$ 0,80
C 0 R$ 1,20
a) Qual é o plano mais vantajoso para alguém que 
utilize 25 minutos por mês?
Resposta: Plano C
b) A partir de quantos minutos de uso mensal, o plano 
A é mais vantajoso que os outros dois?
Resposta: A partir de 50 minutos
aulas 13 a 15
Porcentagem Ð conceito e aplica•›es Ð 
Exerc’cios (1)
Objetivos
Apresentar o conceito de porcentagem: p% 5 
p
100
.
Apresentar porcentagem como uma proporção (igualdade de 
razões).
Identificar a base do cálculo de porcentagem.
12
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Encaminhamento
Resolva os exercícios 1 e 2 da primeira aula de porcentagem 
para apresentar o conceito de porcentagem e sua característica de 
proporção. Explique os itens 1 e 2, do capítulo 7. Resolva os demais 
exercícios dessas aulas, sempre após ter dado um tempinho para 
os alunos tentarem resolver sozinhos.
Sugestão de exercícios extras
1. Uma loja de roupas oferece duas opções de desconto:
 I. A cada 4 camisetas compradas, leve a quinta de 
brinde.
 II. Desconto de 20% nas compras de 5 ou mais camisetas.
Ana pretende comprar 5 camisetas que custam C reais 
cada. Caso ela opte pela opção I, ela
a) irá economizar 0,1C reais a mais do que iria econo-
mizar caso escolhesse a opção II.
b) irá economizar 0,2C reais a mais do que iria econo-
mizar caso escolhesse a opção II.
c) irá economizar 0,1C reais a menos do que iria econo-
mizar caso escolhesse a opção II.
d) irá economizar 0,2C reais a menos do que iria eco-
nomizar caso escolhesse a opção II.
 ce) não irá economizar nada, pois as duas opções são 
iguais.
2. Jorge, dono de uma loja de carros, comprou um carro 
por R$ 27 000,00 e gastou 10% desse valor com impostos, 
além de R$ 300,00 com propaganda. Nessas condições, 
para que ele tenha um lucro de 20% sobre a venda, ele 
precisa revender esse carro por:
a) R$ 30 000,00
b) R$ 32 500,00
c) R$ 35 000,00
d) R$ 36 000,00
 ce) R$ 37 500,00
3. Em um certo cinema, foram vendidos 80% dos lugares 
disponíveis para certa sessão. Dos ingressos vendidos, 
60% foram para pessoas que têm o direito a pagar meia-
-entrada (ou seja, essas pessoas pagaram 50% do valor 
normal da entrada). Com relação ao maior valor que 
poderia ser arrecadado em uma sessão nesse cinema, 
o valor arrecadado foi
a) 50% menor.
 cb) 44% menor.
c) 38% menor.
d) 30% menor.
e) 20% menor.
4. Uma empresa oferece 25% de desconto na compra 
de certo par de calçados. Caso sejam comprados 
100 pares de calçado, esse desconto equivale a uma 
promoção do tipo
a) compre 10 e ganhe 3 de brinde.
b) compre 5 e ganhe 1 de brinde.
c) compre 5 e ganhe 2 de brinde.
d) compre 4 e ganhe 1 de brinde.
 ce) compre 3 e ganhe 1 de brinde.
5. O governo de certo país decidiu criar uma lei para 
evitar o desmatamento em certa região que possuía 
80% de sua área desmatada, totalizando 16 milhões de 
hectares. Após um ano, verificou-se que a área dessa 
região coberta com vegetação subiu para 25% do total, 
o que foi considerado excelente. A área desmatada 
dessa região, após um ano, diminuiu
 ca) 1 milhão de hectares.
b) 5 milhões de hectares.
c) 4 milhões de hectares.
d) 2 milhões de hectares.
e) 15 milhões de hectares.
6. (Fuvest-SP) Um apostador ganhou um prêmio de 
R$ 1 000 000,00 na loteria e decidiu investir parte do 
valor em caderneta de poupança, que rende 6% 
ao ano, e o restante em um fundo de investimentos, 
que rende 7,5% ao ano. Apesar do rendimento mais 
baixo, a caderneta de poupança oferece algumas 
vantagens e ele precisa decidir como irá dividir o 
seu dinheiro entre as duas aplicações. Para garantir, 
após um ano, um rendimento total de, pelo menos, 
R$ 72 000,00, a parte da quantia a ser aplicada na 
poupança deve ser de, no máximo,
 ca) R$ 200 000,00
b) R$ 175 000,00
c) R$ 150 000,00
d) R$ 125 000,00
e) R$ 100 000,00
aulas 16 e 17
Porcentagem – variações sucessivas
Objetivos
Apresentar casos de variações (aumentos ou reduções) de va­
riáveis positivas.
Estudar os casos de n variações sucessivas iguais. 
Encaminhamento
Explique os itens 3 e 4, do capítulo 7. Resolva os exercícios, 
sempre após ter separado um tempo para os alunos tentarem 
resolver sozinhos. Explique, no final, a diferença entre juros simples 
e juros compostos.
13
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Mostrar, nos exercícios, que as grandezas envolvidas não são 
diretamente proporcionais; 120% ao ano, 10% ao mês e 5% à quinze­
na não são taxas equivalentes! Também é válido discutir a situação 
em que há um aumento de x% seguido de uma redução de y%, de 
modo que o aumento seja desfeito.
Sugestão de exercícios extras
1. (Fuvest-SP) Quando se divide o Produto Interno Bruto 
(PIB) de um país pela sua população, obtém-se a renda 
per capita desse país. Suponha que a população de um 
país cresça a taxa constante de 2% ao ano. Para que sua 
renda per capita dobre em 20 anos, o PIB deve crescer 
anualmente à taxa constante de, aproximadamente,
Dado: 220  ø 1,035
a) 8,9%
b) 7,5%
c) 6,4%
 cd) 5,6%
e) 4,2%
2. André é o diretor de vendas de um site especializado 
em materiais esportivos. No planejamento de vendas 
foi proposta a seguinte meta para aumentar os 20 000 
acessos mensais que o site possui atualmente: a partir 
de maio de 2013, a cada mês, devemos aumentar 
o número de acessos em 5% com relação ao mês 
anterior. Caso ele consiga atingir essa meta, o número 
aproximado de acessos em maio de 2014 será:
Dado: 1,0512  1,80
a) 32 000
b) 34 000
 cc) 36 000
d) 38 000
e) 40 000
3. Uma emissora de televisão sabe que, a partir do momento 
que uma propaganda é exibida na sua programação, 
o número de telespectadores que conhecem o produto 
da propaganda cresce 10% ao dia. Nessas condições, 
o tempo t, em semanas, para que o número de pessoas 
que conhecem o produto dobre em relação ao do 
início da transmissão da propaganda, será dado pela 
equação:
a) 1,17t 5 2
b) 1,1t 5 2
c) 1,07
t
10 5 2
d) 1,0710t 5 2
 ce) 1,1
t
7
5 2
4. Uma grande loja, em sua liquidação anual, ofereceu 
as seguintes vantagens:
1a. 20% de desconto sobre o preço da etiqueta de qual-
quer produto.
2a. 10% de desconto sobre o valor que seria pago após 
a aplicação de (1) para compras cuja soma dos va-
lores marcados nas etiquetas ultrapassem R$ 120,00.
Pedro irá comprar um tênis cujo preço na etiqueta é 
R$ 110,00 e, para ter direito à condição (2), ele deseja 
escolher um outro produto, de modo que o que ele efe-
tivamente irá pagar não se altere. O valor aproximado 
na etiqueta, em reais, desse produto deve ser:
a) 16,58
 cb) 12,22
c) 9,78
d) 11,00
e) 19,50
5. A partir do instante em que um aparelho de ar 
condicionado é ligado, a temperatura em uma sala 
diminui 10% a cada minuto, durante os 2 primeiros 
minutos, e 5% nos dois minutos seguintes. Sabendo 
que, após 4 minutos de funcionamento desse aparelho, 
a temperatura da sala atingiu 22 °C, a temperatura 
aproximada na sala no instante em que o aparelho foi 
ligadoera:
Dado: 0,952  0,90
a) 25 °C
b) 27 °C
 cc) 30 °C
d) 33 °C
e) 37 °C
6. Devido à instalação de uma grande montadora de 
veículos, a população de certa cidade vem crescendo 
à taxa de 20% ao ano. Mantendo esse ritmo de 
crescimento, em três anos, o aumento da população 
dessa cidade será de, aproximadamente, 
a) 60%
b) 66%
 cc) 73%
d) 160%
e) 173%
aula 18
Porcentagem – exercícios (2)
Objetivo
Resolver problemas que envolvem o conceito de variações 
porcentuais.
Encaminhamento
Resolva os exercícios da aula. Complete a aula com sugestões 
suas e exercícios extras.
14
EM_REG_07a14_MAT_A_MP1.indd 14 10/29/15 12:57 PM
Setor B
aulas 1 e 2
Razão e proporção
Objetivos
Essas aulas t•m como principal objetivo relembrar os conceitos 
de raz‹o e propor•‹o, alŽm de trabalhar procedimentos de trans-
forma•‹o da linguagem escrita em linguagem algŽbrica. 
Encaminhamento
Como essa Ž a primeira aula do curso, Ž importante come•‡-la 
explicando que, no primeiro caderno, iremos trabalhar com a reto-
mada de alguns conceitos do Ensino Fundamental, especificamente 
os de raz‹o e propor•‹o. 
Inicie a aula apresentando situa•›es em que os conceitos de 
raz‹o e propor•‹o s‹o importantes, por exemplo, uma receita de 
bolo ou a rela•‹o entre uma maquete e uma constru•‹o. Caso seja 
possível, o uso de imagens ajuda ao aluno a perceber essa impor-
t‰ncia. ƒ muito importante que os alunos sejam incentivados a dar 
outros exemplos que envolvem raz›es e propor•›es.
Ap—s essa conversa inicial, apresente as defini•›es de raz‹o e 
propor•‹o e construa exemplos usando as situa•›es apresentadas 
pelos alunos. Em seguida, d• alguns minutos para que os alunos 
fa•am os exercícios de classe, corrigindo-os ao final.
No exercício 1, o mais importante Ž que o aluno se familiarize 
com o conceito de escala e consiga us‡-lo adequadamente.
O exercício 2 foi escolhido para que o aluno perceba que o 
conceito de raz‹o pode ser representado visualmente e n‹o apenas 
por representa•›es algŽbricas.
Os demais exercícios prop›em situa•›es em que o aluno deve 
resolver um problema envolvendo o conceito de propor•‹o.
Os exercícios 13 a 16 desse capítulo n‹o foram pedidos nas 
tarefas e s‹o quest›es com bom grau de dificuldade, quase todas 
do Enem. Caso necessite, podem ser utilizados como exercícios 
extras ou em provas e trabalhos.
Sugestão de exercícios extras:
1. (Vunesp) Uma universidade tem 1 professor para cada 
6 alunos e 3 funcionários para cada 10 professores. 
Determine o número de alunos por funcionário.
Resposta: 20
2. (Vunesp) O combustível usado em dois automóveis 
numa certa cidade é composto de 
4
5
 de gasolina e 
1
5
 de álcool. Se o preço do litro de álcool é 3
4
 do preço 
do litro de gasolina e este custa a reais, determinar o 
preço do litro do combustível em função de a. 
Resposta: 19
20
a
3. (Vunesp) Um prêmio da sena saiu para dois cartões, um 
da cidade A e outro da cidade B. Nesta última, o cartão 
era de 6 apostadores, tendo cada um contribuído com a 
mesma quantia para a aposta. A fração do prêmio total, 
que cada apostador da cidade B receberá, é:
a) 
1
6
b) 
1
8
c) 1
9
d) 
1
10
 ce) 
1
12
4. (Fuvest-SP) Os lados de um retângulo de área 12 m2 
estão na razão 1 : 3. Qual o perímetro do retângulo?
a) 8 m
b) 12 m
 cc) 16 m
d) 20 m
e) 24 m
aulas 3 e 4
Variáveis proporcionais
Objetivos
Essas aulas t•m como objetivo tratar de grandezas diretamente 
e inversamente proporcionais, tema que Ž fundamental na Física 
e na Química.
Encaminhamento
Inicie a aula apresentando uma situa•‹o simples do cotidia-
no, por exemplo, um carro deslocando-se em uma velocidade 
constante e avalie qual a dist‰ncia percorrida para tempos di-
ferentes. Construa uma tabela com a participa•‹o dos alunos. 
Em seguida, fa•a o mesmo, mas agora mantenha uma dist‰ncia 
fixa, registrando em outra tabela a velocidade necess‡ria para 
cobrir a dist‰ncia variando o tempo.
15
EM_REG_15a20_MAT_B_MP1.indd 15 10/29/15 12:58 PM
Esses dois exemplos permitem que se conceituem vari‡veis 
diretamente e inversamente proporcionais. Use os exemplos 
nas tabelas para mostrar para eles a raz‹o constante (no caso 
de vari‡veis diretamente proporcionais) e o produto constante 
(no caso de vari‡veis inversamente proporcionais). A partir da’, 
apresente a defini•‹o e d• alguns minutos para que eles fa•am 
os tr•s primeiros exerc’cios, antes de corrigi-los.
Os exerc’cios 1 e 2 consistem em problemas em que os alunos 
devem interpretar algebricamente uma situa•‹o e no exerc’cio 3 
eles devem trabalhar com uma figura. Esse tipo de situa•‹o, em 
que o aluno deve trabalhar com mœltiplas representa•›es em um 
problema, Ž muito importante no Enem.
Em seguida, apresente a propriedade fundamental das propor-
•›es e solicite aos alunos que fa•am o exerc’cio 4.
Os exerc’cios 13 e 14 desse cap’tulo n‹o foram pedidos nas ta-
refas e s‹o quest›es do Enem. Caso necessite, podem ser utilizados 
como exerc’cios extras ou em provas e trabalhos.
Sugestão de exercícios extras:
1. (Mack-SP) Dividindo 70 em partes proporcionais a 2, 3 
e 5, a soma entre a menor e a maior parte Ž:
a) 35
 cb) 49
c) 56
d) 42
e) 28
2. (Faap-SP) Duas grandezas L e M s‹o diretamente 
proporcionais e t•m suas medidas relacionadas 
conforme a tabela:
L 2r 4 y 8 t
M x 36 54 z 108
A soma dos valores x, y, z e t Ž:
a) 66
b) 36
c) 72
d) 54
 ce) 108
3. (PUCC-SP) Sejam x, y e z nœmeros reais inversamente 
proporcionais aos nœmeros 1
2
, 2 e 6, respectivamente. 
Se x 1 y 1 z 5 128, ent‹o:
a) x 5 8
b) y 5 12
c) y 5 20
d) z 5 92
 ce) x 5 96
aulas 5 e 6
Potências e radicais (1)
Objetivos
Nessas aulas ser‹o retomadas as principais propriedades dos 
expoentes inteiros e a nota•‹o cient’fica.
Encaminhamento
A ideia central nessa aula Ž a de que os alunos percebam que exis-
tem situa•›es em que Ž muito mais vantajosa a nota•‹o de pot•ncia.
Para isso, exemplos usando quantidade de molŽculas, gotas 
de ‡gua em uma piscina, estrelas no universo, informa•‹o arma-
zenada em um dispositivo de mem—ria podem ser rapidamente 
selecionados para a aula. Escolha um deles e represente o nœmero 
explicitamente e na forma de pot•ncia.
A seguir, relembre as principais propriedades, sempre acom-
panhadas por exemplos numŽricos, para que os alunos percebam 
como elas funcionam. Caso perceba interesse, escolha e demonstre 
uma das propriedades. Ap—s isso, pe•a que os alunos fa•am os 
exerc’cios 1 e 2. Esses exerc’cios t•m por objetivo trabalhar com as 
propriedades de potencia•‹o.
Em seguida, apresente a nota•‹o cient’fica, dando exemplos de 
como obt•-la a partir da representa•‹o decimal do nœmero. Destaque 
para os alunos as condi•›es para que um nœmero esteja em nota•‹o 
cient’fica (por exemplo: a representa•‹o na nota•‹o cient’fica do 
nœmero 25 ? 103 Ž 2,5 ? 104). Ap—s isso, pe•a que os alunos fa•am os 
demais exerc’cios. O exerc’cio 3 tambŽm tem por objetivo trabalhar 
com a transforma•‹o para nota•‹o cient’fica. J‡ os exerc’cios 4 e 5 s‹o 
problemas envolvendo os conceitos trabalhados na aula.
Os exerc’cios 11 e 12 desse cap’tulo n‹o foram pedidos nas 
tarefas e s‹o quest›es do Enem com bom grau de dificuldade. 
Caso necessite, podem ser utilizados como exerc’cios extras ou 
em provas e trabalhos.
O conteœdo digital ÒA lenda do jogo de xadrezÓ indicado para 
estas aulas apresenta informa•›es referentes a pot•ncias que 
ampliam o que Ž trabalhado no material impresso. O conteœdo 
digital pode ser trabalhado em sala de aula ou recomendado 
para os alunos como parte da tarefa.
Sugestão de exercícios extras:
1. (UFRGS-RS) Durante os jogos Pan-Americanos de Santo 
Domingo, os brasileiros perderam o ouro para os cubanos 
por 37 centŽsimos de segundo nas provas de remo.
Dentre as alternativas, o valor mais pr—ximo desse tem-
po, medido em horas, Ž:
 ca) 1,03 ? 1024
b) 1,3 ? 1024
c) 1,03 ? 1023
d) 1,3 ? 1023
e) 1,03 ? 1022
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2. (Uergs-RS) Se x 5 103 1 104 1 105 então:
a) x 5 11 100
 cb) x 5 11,1 ? 104
c) x 5 1,11 ? 104
d) x 5 1012
e) x 5 3 ? 104
3. (ESPM–SP) O algarismo das unidades de 719 2 418 é:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
 ce) 7
aulas 7 e 8
Potências e radicais (2)
Objetivos
Nessas aulas ser‹o retomadas a no•‹o de pot•ncias de expoente 
racional, as principais propriedades dos radicais e a racionaliza•‹o 
de denominadores.
Encaminhamento
Inicie a aula retomando o conceito de expoente inteiro e defina 
uma pot•ncia de expoente racional como um radical. ƒ importante 
apresentar ao menos tr•s ou quatro exemplos diferentes para se 
certificar de que os alunos entenderam a Òmec‰nicaÓ de como 
representar um radical na forma de uma pot•ncia e vice-versa.
Apresente as propriedades dos radicais, sempre acompanha-
dos por exemplos numŽricos e pe•a, em seguida, para que os 
alunos fa•am os exerc’cios 1 e 2.
Use o exerc’cio 3 para relembrar como racionalizar um denomi-
nador. ƒ muito importante que os alunos terminem a aula sabendo 
que, ao racionalizarmos um denominador, apenas mudamos sua 
representa•‹o da fra•‹o e n‹o seu valor. Com o aux’lio de uma 
calculadora, pe•a para que os alunos constatem isso de maneira 
aproximada. Pe•a para que os alunos fa•am o exerc’cio 4, que tem 
por objetivo aplicar tŽcnicas de racionaliza•‹o, e o exerc’cio 5.
Os exerc’cios 22 e 23 desse cap’tulo n‹o foram pedidos nas 
tarefas e s‹o quest›es do Enem, que podem ser utilizadas como 
exerc’cios extras ou em provas e trabalhos.
Sugestão de exercícios extras:
1. (Udesc) O desenvolvimento da expressão 27    3 1
2
1 1( ) 
toma a forma 1a 3 b com a e b inteiros; então o valor 
numérico de a 1 b é:
a) 49
b) 19
 cc) 57
d) 60
e) 8
2. (PUC–MG) A expressão 
2
2
1 ;
0,3    1
4
1
0,036 0,04
3
 é igual a:
a) 0,45
b) 0,65
c) 0,75
 cd) 0,85
3. (Unisinos-RS) Se a 5 17 , b 5 243 e c 5 p, é correto 
afirmar que:
a) a , b , c
b) a , c , b
c) b , a , c
 cd) b , c , a
e) c , b , a
a
n
o
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ç
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aulas 9 e 10
ângulos
Objetivos
Nessas aulas serão retomados o conceito de ângulo geométrico, sua classificação e propriedades de ângulos geométricos. Também 
serão trabalhadas propriedades envolvendo ângulos e retas paralelas e uma transversal.
Encaminhamento
Essas aulas são de revisão de conceitos já estudados no Ensino Fundamental. Assim, elas podem ser expositivas, pois se espera que 
os alunos lembrem-se dos conceitos iniciais. Inicie as aulas retomando a definição de ângulo, como medir um ângulo em graus e como 
classificá-lo como agudo, reto ou obtuso. A seguir, peça aos alunos que façam os exercícios 1 e 2.
A parte da aula que frequentemente os alunos esquecem, ou tem mais dificuldade, é a que envolve retas paralelas cortadas por uma 
transversal. Desse modo, faça com calma a construção e explique a nomenclatura dos ângulos envolvidos, explicitando o seu motivo e 
mostre as propriedades que podem ser obtidas. Nesse momento, ressalte para os alunos que uma das habilidades mais importantes que 
precisa ser desenvolvida nessa aula é a de traçar paralelas de modo conveniente a visualizar suas propriedades nos exercícios.
Após isso, peça aos alunos que façam os demais exercícios da aula. Ao corrigir os exercícios, sempre que a oportunidade se apresentar, 
mostre repetidamente a vantagem de se traçar uma paralela conveniente.
Os exercícios 12 e 13 desse capítulo não foram pedidos nas tarefas e são questões interessantes do Enem, podendo ser utilizadas 
como exercícios extras ou em provas e trabalhos.
Sugestão de exercícios extras:
1. A soma da medida de um ‰ngulo com a metade da medida de seu complemento Ž 70¡. Calcule esse ‰ngulo.
Resposta: 50¡
2. A medida de um ‰ngulo excede a medida de seu suplemento em 40¡. Determine esse ‰ngulo. 
Resposta: 110¡
3. Na figura abaixo, determine a medida x, em graus.
2x 1 20°
x 1 15°
x
x
Resposta: 29¡
4. Nas figuras abaixo as retas r e s s‹o paralelas. Determine a medida x, em graus.
x
95°
60° 40°
60°
x
r
r
s s
145°
Resposta: 145¡ e 55¡
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aulas 11 e 12
ângulos em um triângulo
Objetivos
Nessas aulas, serão retomados o conceito de triângulo, sua 
classificação quanto às medidas dos lados e quanto à medida dos 
ângulos. Também serão retomados o teorema angular de Tales, o 
teorema do ângulo externo.
Encaminhamento
Assim como as aulas 9 e 10, as aulas 11 e 12 retomam um tema 
muito trabalhado no Ensino Fundamental. Inicie a aula retomando 
a definição de triângulo e suas classificações quanto à medida dos 
lados e quanto à medida dos ângulos. 
Apresente o teorema angular de Tales e faça sua demonstração. 
Essa é uma excelente oportunidade de reforçar novamente a im-
portância de traçar paralelas e visualizar propriedades de ângulos 
em retas paralelas cortadas por uma transversal. Apresente tanto 
as propriedades envolvendo ângulos internos de um triângulo isós-
celes e de um triângulo equilátero quanto o teorema do ângulo 
externo e faça sua demonstração. 
A seguir, dê alguns minutos para que os alunos façam os exer-
cícios da aula.
Os exercícios 13 a 16 desse capítulo não foram pedidos nas tarefas 
e são questões com bom grau de dificuldade. Caso necessite, podem 
ser utilizadas como exercícios extras ou em provas e trabalhos.
Sugestão de exercícios extras:
1. Na figura abaixo, determine a soma S 5 a 1 b 1 g 1 d 1 « 
d
Ç
g
b
a
2. Na figura, ABCD é um quadrado e o triângulo CDE é equilátero. Calcule a medida x em graus.
x
A D
E
CB
3. Na figura abaixo, o triangulo ABC é retângulo em B e AD 5 CD. Determine a medida x, em graus.
40¡
x
C
BA D
Resposta: 180o
Resposta: 75o
Resposta: 10o
19
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20
Atividades interdisciplinares
Proposta pedagógica e objetivos gerais
Essa atividade procura integrar temas e conteœdos de algumas disciplinas a respeito de movimento dos corpos celestes e est‡ dividida 
em duas partes, a fim de facilitar seu desenvolvimento em encontros distintos.
Com essa inten•‹o, escolhemos analisar os movimentos da Lua e da Terra e suas correla•›es com outras ‡reas do conhecimento, 
em especial F’sica, Geografia, Hist—ria e Matem‡tica.
Nossa proposta Ž que essa atividade possa ser desenvolvida sob a forma que o professor (ou professores) julgar mais conveniente, 
tanto sob ponto de vista da praticidade como do pedag—gico. Acreditamos que seu formato se adeque preferencialmente a encontros 
em contraturno escolar, nos quais o professor possa expor alguns fundamentos te—ricos, propondo certas atividades a seus alunos. Assim 
sendo, estamos propondo uma forma de ampliar o repert—rio cient’fico/cultural dos alunos acerca de fen™menos da natureza e suas 
implica•›es, provocando resson‰ncia com conteœdos desenvolvidos em sala de aula.
Por outro lado, tambŽm Ž poss’vel desenvolver essa atividade com outras abordagens, como, por exemplo, um trabalho em grupo 
de alunos, sucedido de um semin‡rio. Se assim explorada, incentivar’amos a pr‡tica de trabalho em equipe aliada ˆ estimula•‹o de 
comunica•‹o verbal, escrita e corporal dos alunos.
A atividade est‡ estruturada de um suporte te—rico, seguida de atividades e uma pequena tarefa.
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Respostas – Caderno de Exercícios 1
Unidade 1
Conceitos fundamentais
capítulo 1
Conjuntos numŽricos
1. D
2. C
3. A
4. B
5. E
6. C
7. C
8. E
9. D
10. C
11. A
12. C
13. C
14. D
15. E
16. C
17. A
18. A
19. E
20. D
21. D
22. E
23. B
24. B
25. D
26. D
27. D
28. C
29. D
30. E
capítulo 2
TŽcnicas algŽbricas
1. C
2. E
3. D
4. A
5. A
6. C
7. B
8. E
9. D
10. D
11. D
12. A
13. B
14. A
15. D
16. C
17. E
18. B
19. C
20. B
21. E
22. D
23. A
24. B
25. D
26. A
27. C
28. C
29. A
30. C
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cap’tulo 3
Raz‹o e propor•‹o
1. B
2. D
3. A
4. A
5. A
6. B
7. D
8. D
9. D
10. C
11. C
12. E
13. E
14. B
15. B
16. D
cap’tulo 4
Vari‡veis proporcionais
1. D
2. C
3. B
4. D
5. B
6. B
7. B
8. D
9. B
10. B
11. E
12. D
13. C
14. B
cap’tulo 5
Pot•ncias e radicais
1. E
2. B
3. A
4. B
5. D
6. E
7. C
8. E
9. C
10. E
11. E
12. E
13. A
14. D
15. C
16. A
17. C
18. 12,34 Ž o maior
19. B
20. C
21. D
22. E
23. B
cap’tulo 6
Equa•›es e inequa•›es elementares
1. A
2. D
3. E
4. B
5. C
6. D
22
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7. E
8. D
9. B
10. D
11. A
12. D
13. B
14. E
15. E
16. D
17. B
18. E
19. C
20. B
21. A
22. E
23. B
24. D
25. E
26. A
27. C
28. C
29. D
30. E
31. B
32. D
33. A
capítulo 7
Porcentagem
1. D
2. A
3. E
4. D
5. C
6. C
7. B
8. C
9. B
10. C
11. E
12. A
13. D
14. C
15. D
16. D
17. A
18. B
19. D
20. C
21. A
22. E
23. A
24. A
25. D
26. A
27. B
28. E
29. E
30. D
31. C
32. B
33. D
34. D
35. A
36. B
37. E
38. D
39. A
40. C
41. C
42. B
43. B
44. B
45. E
46. C
47. A
48. B
49. D
50. E
capítulo 8
Equação de 2o grau
1. D
2. E
3. C
4. D
5. B
6. C
7. C
8. A
9. D
10. A
11. D
12. A
13. E
14. E
15. B
16. A
17. A
18. C
19. B
20. B
21. E
22. C
23. A
24. a) 6; b) R$ 1 800,00
25. 48
23
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Unidade 2
Rela•›es, depend•ncias, 
varia•›es e evolu•›es
capítulo 1
A nota•‹o f(x)
1. C
2. E
3. D
4. D
5. A
6. A
7. D
8. C
9. B
10. E
11. E
12. BEATRIZ
13. B
14. D
capítulo 2
Fun•›es Ð Conceitos básicos
1. D
2. C
3. E
4. E
5. E
6. A
7. E
8. B
9. A
10. E
11. C
12. A
13. C
14. E
15. D
16. C
17. A
18. E
19. B
20. B
21. C
22. E
23. C
24. E
25. A
26. a) ℝ
1
b) {y [ ℝ: y > 5}
c) ℝ
d) ℝ
e) ℝ 2 {1}
f) ℝ 2 {2}
g) ℝ { }232
capítulo 3
Fun•‹o afim e fun•‹o constante
1. A
2. A
3. E
4. E
5. E
6. D
7. C
8. E
9. C
10. C
11. B
12. B
13. A
14. D
15. E
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cap’tulo 4
Função quadrática
1. B
2. D
3. C
4. A
5. B
6. D
7. A
8. D
9. A
10. A
11. D
12. A
13. A
14. C
15. E
16. A
17. A
18. A
19. E
20. C
21. E
22. D
23. A
24. C
25. D
26. E
27. C
28. B
29. D
30. A
31. D
32. C
33. B
34. C
35. D
36. D
37. D
38. E
39. D
40. A
41. C
42. A
43. D
44. D
45. A
46. A
47. C
48. E
49. A
50. C
51. C
52. E
53. A
54. B
55. E
56. E
57. E
58. C
59. C
60. C
cap’tulo 5
Função modular
1. A
2. E
3. C
4. C
5. A
6. D
7. C
8. D
9. A
10. B
11. D
12. E
13. B
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14. D
15. D
16. C
17. E
18. D
19. A
20. C
21. D
22. D
23. E
24. E
25. A
26. A
27. E
28. E
29. B
30. A
31. A
32. E
33. B
34. B
35. D
36. A
37. C
38. E
39. E
40. B
41. C
42. C
43. C
44. D
45. E
46. C
47. D
48. B
49. D
50. D
51. A
52. E
53. D
54. C
55. E
Unidade 3
Formas e medidas no plano (Parte 1)
capítulo 1
ångulos
1. D
2. C
3. B
4. E
5. A
6. B
7. C
8. A
9. B
10. A
11. D
12. B
13. C
capítulo 2
ångulos em um tri‰ngulo
1. D
2. C
3. D
4. B
5. C
6. E
7. E
8. A
9. E
10. A
11. C
12. D
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13. C
14. B
15 C
16. C
cap’tulo 3
Congruência de triângulos
1. D
2. B
3. E
4. D
5. E
6. A
7. A
8. D
cap’tulo 4
Polígonos convexos
1. E
2. C
3. D
4. E
5. C
6. D
7. D
8. D
9. D
10. D
11. B
12. D
13. A
14. B
cap’tulo 5
Quadriláteros notáveis
1. A
2. C
3. C
4. D
5. B
6. A
7. C
8. C
9. D
10. A
11. E
12. E
cap’tulo 6
Circunferência – segmentos tangentes
1. C
2. D
3. B
4. E
5. B
6. C
7. D
8. D
cap’tulo 7
Ângulos em uma circunferência
1. D
2. D
3. C
4. C
27
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5. B
6. B
7. A
8. D
9. E
10. B
11. C
12. A
13. A
14. B
15. A
16. B
cap’tulo 8
Pontos notáveis em um triângulo
1. A
2. D
3. D
4. A
5. B
6. A
7. C
8. C
9. E
10. D
cap’tulo 9
Segmentos proporcionais
1. D
2. E
3. D
4. D
5. C
6. B
7. E
8. B
9. D
10. B
11. A
12. D
cap’tulo 10
Semelhança de triângulos
1. E
2. A
3. A
4. D
5. B
6. B
7. D
8. A
9. C
10. B
11. B
12. A
13. D
14. D
15. D
16. D
17. D
18. E
19. C
20. B
21. D
22. D
23. A
24. A
25. B
26. C
28
R
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 C
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29
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30
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prof.:
Antonio Carlos ROSSO Junior
GLENN Albert Jacques van Amson
Roberto Teixeira Cardoso (ROBBY)
Matemática
aula 1
P. 110
 AD TM TC 
aula 2
P. 112
 AD TM TC 
aula 9
P. 121
 AD TM TC 
aula 10
P. 121
 AD TM TC 
aula 3
P. 113
 AD TM TC 
aula 4
P. 115
 AD TM TC 
aula 11
P. 124
 AD TM TC 
aula 5
P. 117
 AD TM TC 
aula 6
P. 117
 AD TM TC 
aula 12
P. 125
 AD TM TC 
aula 7
P. 119
 AD TM TC 
aula 8
P. 119
 AD TM TC 
êndice-controle 
deestudo
aula 15
P. 129
 AD TM TC 
aula 16
P. 130
 AD TM TC 
aula 17
P. 130
 AD TM TC 
aula 18
P. 132
 AD TM TC 
aula 14
P. 127
 AD TM TC 
aula 13
P. 127
 AD TM TC 
A
L
F
 R
IB
E
IR
O
/P
U
L
S
A
R
 I
M
A
G
E
N
S
Setor A
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Conjuntos numéricos: ℚ e R
aula 1
Enem: conhecimentos numéricos
110
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ca
 e
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s 
Te
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lo
g
ia
s
nesta aula
1. ℚ denota o conjunto dos números racionais. Todo elemento 
desse conjunto, isto é, todo número racional, pode ser expresso na 
forma 
p
q
, em que p e q são números inteiros quaisquer, com q Þ 0. 
Exemplos: 
1
2
, 
1
3
, 
4
3
, 
13
10
2 , 
7
7
, 
0
7
 e 
7
7
2 .
2. Se r e s são números racionais, então r 1 s, r 2 s, r ? s também 
são números racionais. 
3. Se r e s são números racionais, com s Þ 0, então 
r
s
 é um 
número racional.
4. A representação decimal de um número racional ou é exata 
ou é uma dízima periódica.
5. Os números reais que não podem ser expressos na forma 
de fração de dois números inteiros são chamados de números 
irracionais; suas representações decimais não são exatas, nem 
são dízimas periódicas. O conjunto dos números irracionais 
é R 2 ℚ.
6. Se r é um número racional e a é um número irracional, então 
r 1 a e r 2 a são números irracionais.
7. Se r é um número racional não nulo e a é um número irra-
cional, então r ? a e 
a
r
 são números irracionais.
1. Dê a representação decimal de:
a) 
11
100
5 0,11
b) 1
9
 5 0,111...
2. Em cada caso, represente o número x na forma de uma 
fração de números inteiros.
a) x 5 2,016
x 5 
2 016
1000 
TambŽm Ž usada a nota•‹o 0,1
em classe
b) x 5 2,01666... (5 2,016 )
10x 5 20,1666...
 x 5 2,01666...
 9x 5 18,15
 [ x 5 
18,15
9 5 
1815
900
c) x 5 2,0161616... (5 2,016 )
100x 5 201,616161...
 x 5 2,016161...
 99x 5 199,6 
 [ x 5 
199,6
99 5 
1996
990
2
2
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111
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3. Na figura, temos uma régua apoiada em uma folha 
pautada para texto de um caderno escolar.
00000
11111
2222222
33
5555
6666
777
888
999
101010110
333
44
55
t
s
r
As linhas s e t intersectama régua nos pontos que corres-
pondem aos números 0 e 10. Do mesmo modo, a linha 
r intersecta a régua em um ponto que corresponde ao 
número x. Qual dos números a seguir se aproxima mais 
de x?
a) 2,71
b) 2,76
c) 2,81
 cd) 2,86
e) 2,91
Na régua, o segmento de reta de medida 10 é dividido em 7 partes 
iguais. A reta r intersecta a régua em um ponto que corresponde ao 
número 0 1 2 ? 
10
7
, ou seja, 
20
7
.
20
7
  2,8571428571425 . Dos números listados, o mais próximo é 2,86.
Resposta: D
4. Sabemos que, se a representação decimal de um nú-
mero racional não é exata, então ela é uma dízima 
periódica. No entanto, existem números reais que não 
correspondem a esses casos: são os números irracionais, 
números que não podem ser expressos na forma de 
fração de dois números inteiros. Os números p, 2 , 3, 
23 e 33 são alguns exemplos de números irracionais. 
Vejamos aproximações de seus valores, com 8 casas 
decimais.
p < 3,14159265
2 < 1,41421356
3 < 1,73205081
23 < 1,25992105
33 < 1,44224957
Existem infinitos números irracionais. Você mesmo 
pode "inventar" alguns, basta considerar uma dí-
zima (infinita) não periódica, como, por exemplo, 
0,1001100011100001111000001... , em que cada sequência 
de n algarismos iguais a ‘0’ é seguida de uma sequên-
cia de n algarismos iguais a ‘1’ e cada sequência de n 
algarismos iguais a ‘1’ é seguido de uma sequência de 
n 1 1 algarismos iguais a ‘0’.
a) Dê um exemplo de um número irracional positivo a, 
tal que 
2
3
 , a , 3
4
.
<
2
2
0,7 
b) Dê um exemplo de um número irracional a, tal que 
100 , a , 102.
100 1 2
H1
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 – Unidade 1
Caderno de Exercícios 1 – Unidade 1
Tarefa Mínima
•	Leia o resumo de aula.
•	Faça os exercícios 1 a 4, cap. 1.
Tarefa Complementar
•	Leia os itens 1 a 6, cap. 1.
•	Faça os exercícios 5 a 7, cap. 1.
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Conjuntos numŽricos: exerc’cios
aula 2
Enem: conhecimentos numŽricos
112
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Te
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1. D• um exemplo de dois nœmeros irracionais a e b, tais 
que a 1 b seja um nœmero racional n‹o nulo.
a 5 2p e b 5 1 1 p 
[ a 1 b 5 1
em classe
2. Na figura, OA 5 AB 5 BC 5 CD 5 1 e nOAB, nOBC e 
nOCD s‹o tri‰ngulos ret‰ngulos.
0 1111
x 
A
B
O
a
1
a
2
a
3
x
1
x
2
x
3
C
D
Os arcos de circunfer•ncia a
1
, a
2
 e a
3
 t•m, nessa ordem, 
raios iguais a OB, OC e OD. Nessa mesma ordem, esses 
arcos intersectam o eixo x em pontos correspondentes 
aos nœmeros reais x
1
, x
2
 e x
3
. Quantos desses nœmeros 
s‹o irracionais?
Pelo teorema de Pitágoras, temos:
no nOAB: OB2 5 OA2 1 AB2 [ OB2 5 2 e OB 5 2 ;
no nOBC: OC2 5 OB2 1 BC2 [ OC2 5 3 e OC 5 3 ;
no nOCD: OD2 5 OC2 1 CD2 [ OD2 5 4 e OD 5 4 5 2.
Como a
1
 é um arco de circunferência de raio OB, temos x
1
 5 2.
Como a
2
 é um arco de circunferência de raio OC, temos x
2
 5 3 .
Como a
3
 é um arco de circunferência de raio OD, temos x
3
 5 2.
Portanto, desses três números, exatamente dois são irracionais.
H3
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 Ð Unidade 1
Caderno de Exerc’cios 1 Ð Unidade 1
Tarefa M’nima
•	Fa•a os exerc’cios 19 a 21, cap. 1.
Tarefa Complementar
•	Leia o item 8, cap. 1.
•	Fa•a os exerc’cios 22 a 25, cap. 1.
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Conjuntos numŽricos: opera•›es
aula 3
Enem: conhecimentos numŽricos
Note que todos esses conjuntos t•m infinitos elementos.
•	 Opera•›es com conjuntos
A B
U
União
A B
U
Intersecção
A B
U
Diferença
A B {x | x A ou x B}5< [ [ A B {x | x A e x B}5> [ [ A B {x | x A e x B}2 5 [ î
113
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•	 Exemplos de intervalos de nœmeros reais.
[2, 3] {x [ R | 2 < x < 3} 3 x2
]2, 3[ {x [ R | 2 , x , 3} 3 x2
[2, 3[ {x [ R | 2 < x , 3} 3 x2
]2, 3] {x [ R | 2 , x < 3} 3 x2
[2, 1∞[ {x [ R | x > 2} x2
]2, 1∞[ {x [ R | x . 2} x2
]2∞, 2] {x [ R | x < 2} x2
]2∞, 2[ {x [ R | x , 2} x2
nesta aula
Acesse o portal e explore o conteœdo: 
Diagrama de Venn
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114
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s
1. Dados os intervalos A 5 [2, 5] e B 5 ]3, 9[, obtenha A < B, 
A • B, A 2 B e B 2 A.
A < B 5 {x | x [ A ou x [ B} A • B 5 {x | x [ A e x [ B}
A 2 B 5 {x | x [ A e x î B} B 2 A 5 {x | x [ B e x î A}
5
5
2
A
B
9
9
9
3
2
3
32
5
A ¿ B
A • B
A 2 B
B 2 A
2. Dados os conjuntos A 5 {2, 3, 4, 5} e B 5 {4, 5, 6, 7, 8}, 
obtenha A < B, A • B, A 2 B e B 2 A.
U
A B
2 3 4 5 6 7 8
A < B 5 {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, 
A • B 5 {4, 5},
A 2 B 5 {2, 3} e
B 2 A 5 {6, 7, 8}
em classe
3. Em uma turma de 30 pessoas, 20 conhecem o Abel e 15 
conhecem o Bruno. Quatro pessoas dessa turma n‹o 
conhecem o Abel, nem o Bruno. 
a) Quantas pessoas conhecem o Abel ou o Bruno?
b) Quantas pessoas conhecem o Abel e o Bruno?
c) Quantas pessoas conhecem o Abel, mas n‹o conhe-
cem o Bruno?
Podemos come•ar com o seguinte diagrama:
T
A B
x
4
Observação: Em muitos problemas desse tipo, come•ar a an‡-
lise pela intersec•‹o de todos os conjuntos considerados pode 
levar a uma resolu•‹o simples.
T
A B
x20 2 x 15 2 x
4
De 20 2 x 1 x 1 15 2 x 1 4 5 30, temos x 5 9.
T
A B
x20 2 x
5 11 5 9 5 6
15 2 x
4
a) No de pessoas que conhecem o Abel ou o Bruno:
11 1 9 1 6 5 26
b) No de pessoas que conhecem o Abel e o Bruno: 9
c) No de pessoas que conhecem o Abel, mas n‹o conhecem o 
Bruno: 11
H3
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 – Unidade 1
Caderno de Exercícios 1 – Unidade 1
Tarefa Mínima
•	Leia o resumo de aula.
•	Fa•a os exerc’cios 8 e 9, cap. 1.
Tarefa Complementar
•	Leia o item 7, cap. 1.
•	Fa•a os exerc’cios 10 a 13, cap. 1.
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Conjuntos numŽricos: nœmeros naturais
aula 4
Enem: conhecimentos numŽricos
115
M
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nesta aula
1. Conjunto dos números naturais: ℕ 5 {0, 1, 2, 3, n, n 1 1, ...}
2. Conjunto dos números inteiros: ℤ 5 {..., 21, 0, 1, 2, ..., h 2 1, h, h 1 1, ...}
3. Dados dois números inteiros m e d, d Þ 0, dizemos que m Ž um mœltiplo de d ou d Ž um divisor de m se, e somente se, existe 
um número inteiro k, tal que d ? k 5 m.
4. Um número inteiro é dito par se, e somente se, ele é um múltiplo de 2. 
O conjunto dos números pares é {..., 24, 22, 0, 2, 4, 6, ..., 2n, ...}.
5. Um número inteiro é dito ’mpar se, e somente se, ele é não é um múltiplo de 2.
O conjunto dos números ímpares é {..., 23, 21, 1, 3, 5, ..., 2n 2 1, 2n 1 1, ...}.
1. Quantos elementos tem o conjunto de nœmeros naturais consecutivos {997, 998, ..., n, n 1 1, ..., 6 102}?
{1, 2, 3, ..., n, n 1 1, ..., 996, 997, 998, ..., 6 102} tem exatamente 6 102 2 996 5 5 106 elementos.
Resposta: 5 106
2. Nosso sistema de numera•‹o tem duas caracter’sticas fundamentais: o valor da posi•‹o do algarismo e o uso do zero (0). 
Assim, temos, por exemplo:
2 036 5 2 ? 1 000 1 0 ? 100 1 3 ? 10 1 6 ? 1 (dois milhares, nenhuma centena, tr•s dezenas e seis unidades) é diferente de 
2 063, pois 2 063 5 2 ? 1 000 1 0 ? 100 1 6 ? 10 1 3 ? 1.
Os algarismos 3 e 6 est‹o em posi•›es diferentes em rela•‹o ao exemplo anterior. Note-se ainda que, com a inven-
•‹o do zero, é fácil perceber a distin•‹o entre 2 063 e 263, este é igual a 2 ? 100 1 6 ? 10 1 3 ? 1. Aqui, os nœmeros s‹o 
apresentados usando pot•ncias inteiras do nœmero dez, como somas de express›es numéricas da forma a ? 10n, em 
que a [ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e n é um inteiro: 2 063 5 2 ? 103 1 0 ? 102 1 6 ? 101 1 3 ? 100. ƒ por isso que dizemos que 
se trata do sistema decimal de numera•‹o, ou do sistema na base 10. O expoente n é um nœmero inteiro negativo, 
para representar os nœmeros entre 0 e 1. Exemplo: 0,69 5 6 ? 1021 1 9 ? 1022.
Seja x um nœmero inteiro compreendido entre 99 e 1 000 e seja y o nœmero obtido com a simples invers‹o da ordem 
dos algarismos de x. Exemplo: x 5 751 e y 5 157. Podemos afirmar que x 2 y é, necessariamente, um nœmero
a) par.
b) ’mpar.
c) mœltiplo de 5.
d) mœltiplode 22.
 ce) mœltiplo de 99.
100 < x < 999 [ x 5 (cdu) 5 100c 1 10d 1 u
y 5 (udc) 5 100u 1 10d 1 c
x 2 y 5 99c 2 99u
x 2 y 5 99(c 2 u)
Logo, x 2 y é um múltiplo de 99.
Resposta: E
H1
em classe
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116
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em casa
Consulte:
Caderno de Exercícios 1 Ð Unidade 1
Tarefa Mínima
•	Faça os exercícios 14 e 15, cap. 1.
Tarefa Complementar
•	Faça os exercícios 25 a 29, cap. 1.
3. Pedro, feliz da vida com seu carro novo, anda pela estrada ‘Via Dois ao Paraíso’ com uma velocidade constante v. Ele 
passou por um marco de quilometragem que mostrava um número de 2 algarismos (ab). Meia hora depois, passou por 
outro marco desses, que, por coincidência, mostrava o número formado pelos mesmos dois algarismos do marco anterior, 
porém, na ordem inversa (ba). Meia hora depois, o cúmulo da coincidência: ele passou por um marco de quilometragem 
que mostrava o número formado pelos mesmos algarismos que o primeiro marco, porém, com o algarismo 0 entre eles 
(a0b). Podemos concluir que a distância entre os marcos (ab) e (ba) é:
a) 40 km
b) 42 km
c) 44 km
 cd) 45 km
e) 46 km
(ab) 5 10a 1 b
(ba) 5 10b 1 a
(a0b) 5 100a 1 b 
Em dois intervalos de tempos iguais, Pedro percorreu duas dist‰ncias iguais:
(ba) 2 (ab) 5 (a0b) 2 (ba)
(10b 1 a) 2 (10a 1 b) 5 (100a 1 b) 2 (10b 1 a)
10b 1 a 2 10a 2 b 5 100a 1 b 2 10b 2 a
10b 2 b 2 b 1 10b 5 100a 2 a 2 a 1 10a
18b 5 108a
[ b 5 6a
Sendo a e b algarismos não nulos, temos a 5 1 e b 5 6.
Os marcos são 16, 61 e 106 e, portanto, a dist‰ncia entre dois desses marcos consecutivos é 45 km.
Resposta: D
H1
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Técnicas algébricas: produtos notáveis (1)
aulas
Enem: conhecimentos numéricos
5 e 6
117
M
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ti
c
a
nestas aulas
1. Para representar um cálculo, uma sequência de operações com 
números, é muito comum representar alguns números por letras. 
Resulta, desse modo, uma express‹o algŽbrica. Uma constante é 
uma letra, ou um símbolo, que representa um elemento específico 
de um conjunto dado. Uma vari‡vel é uma letra, ou um símbolo, 
que representa qualquer um dos elementos de um conjunto dado.
2. Duas expressões com as mesmas variáveis são ditas equivalen-
tes se, e somente se, elas apresentam os mesmos valores numéricos, 
independentemente dos valores dados às suas variáveis.
3. Sendo a e b números reais quaisquer, temos as seguintes equi-
valências:
Forma fatorada Forma desenvolvida
a(b 1 c) 5 ab 1 ac
(a 1 b)(a 2 b) 5 a2 2 b2
(a 1 b)2 5 (a 1 b)(a 1 b) 5 a2 1 2ab 1 b2
(a 2 b)2 5 (a 2 b)(a 2 b) 5 a2 2 2ab 1 b2
4. Na maioria das vezes, a forma desenvolvida é mais fácil de 
ser interpretada. Nas aulas 7 e 8, veremos algumas aplicações da 
forma fatorada.
1. Efetue as multiplica•›es:
a) x(x 1 5) 
5 x2 1 5x
b) (2x 2 3)(x 2 5)
5 2x ? x 2 2x ? 5 2 3x 1 15
5 2x2 2 13x 1 15
c) (x 1 2y)(x 2 2y)
5 x2 2 (2y)2
5 x2 2 4y2
d) (3x 1 5y)2
5 (3x)2 1 2(3x)(5y) 1 (5y)2
5 9x2 1 30xy 1 25y2
e) (x 2 1)2
5 x2 2 2(x)(1) 1 12
5 x2 2 2x 1 1
2. a) Desenvolva ( )1x 1x
2
;
( )x 1x
2
1 5 x2 1 2x
1
x
 1 ( )1x
2
5 x2 1 2 1 
1
x 2
em classe
b) Dado que x 1 1
x
 5 3, obtenha o valor numŽrico de 
x2 1 1
x2
.
Do item anterior, temos 
( )x 1x
2
1 5 x2 1 
1
x 2
 1 2.
Logo, 32 5 x2 1 
1
x 2
 1 2,
9 5 x2 1 
1
x 2
 1 2
x2 1 
1
x 2
 5 7
3. D• a forma fatorada de cada express‹o:
a) ax 1 ay 1 3x 1 3y
5 a(x 1 y) 1 3(x 1 y)
5 (a 1 3)(x 1 y)
b) ax 1 ay 2 3x 2 3y
5 a(x 1 y) 2 3(x 1 y)
5 (a 2 3)(x 1 y)
c) ax 2 ay 2 3x 1 3y
5 a(x 2 y) 2 3(x 2 y)
5 (a 2 3)(x 2 y)
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118
M
a
te
m
‡
ti
ca
 e
 s
u
a
s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
4. D• a forma fatorada de cada express‹o:
a) x2 2 b2
5 (x 1 b)(x 2 b)
b) x2 2 1
5 x2 2 12
5 (x 1 1)(x 2 1)
c) x3 2 9x
5 x(x2 2 9)
5 x(x2 2 32)
5 x(x 1 3)(x 2 3)
d) x4 2 b4
5 (x2)2 2 (b2)2
5 (x2 1 b2)(x2 2 b2)
5 (x2 1 b2)(x 1 b)(x 2 b)
Obs.: Em R, x2 1 b2 n‹o tem forma fatorada.
5. Sendo u e v nœmeros reais, tais que u 2 v 5 9,78 e 
u2 2 v2 5 97,8, obtenha o valor numŽrico de u 1 v.
(u 1 v)(u 2 v) 5 u2 2 v2
(u 1 v)(9,78) 5 97,8
Logo, u 1 v 5 10.
6. D• a forma fatorada de cada express‹o:
a) (a 2 b)2 2 c2
5 [(a 2 b) 1 c][(a 2 b) 2 c]
5 (a 2 b 1 c)(a 2 b 2 c)
b) a2 2 2ab 1 b2 2 c2
5 (a2 2 2ab 1 b2) 2 c2
5 (a 2 b)2 2 c2
5 [(a 2 b) 1 c][(a 2 b) 2 c]
5 (a 2 b 1 c)(a 2 b 2 c)
H2
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 – Unidade 1
Caderno de Exercícios 1 – Unidade 1
Tarefa Mínima
Aula 5 
•	Fa•a os exerc’cios 1 a 3, cap. 2.
Aula 6
•	Fa•a os exerc’cios 8 e 9, cap. 2.
Tarefa Complementar
Aula 5 
•	Leia os itens 1 a 2.2, cap. 2.
•	Fa•a os exerc’cios 4 a 7, cap. 2.
Aula 6
•	Leia o item 2.3, cap. 2.
•	Fa•a os exerc’cios 10 a 13, cap. 2.
c) a2 2 b2 2 c2 2 2bc
5 a2 2 (b2 1 2bc 1 c2)
5 a2 2 (b 1 c)2
5 [a 1 (b 1 c)][a 2 (b 1 c)]
5 (a 1 b 1 c)(a 2 b 2 c)
d) a2 2 b2 2 c2 1 2bc
5 a2 2 (b2 2 2bc 1 c2)
5 a2 2 (b 2 c)2
5 [a 1 (b 2 c)][a 2 (b 2 c)]
5 (a 1 b 2 c)(a 2 b 1 c)
7. Fatore:
a) x2 1 10x 1 25
5 x2 1 2 ? x ? 5 1 52
5 (x 1 5)2
b) x2 2 12x 1 36
5 x2 2 2 ? x ? 6 1 62
5 (x 2 6)2
c) x3 2 12x2 1 36x
5 x(x2 2 12x 1 36)
5 x(x 2 6)2
d) x4 1 2x2y2 1 y4
5 (x2)2 1 2 ? x2 ? y2 1 (y2)2
5 (x2 1 y2)2
e) x4 1 x2y2 1 y4
5 x4 1 2x2y2 1 y4 2 x2y2
5 (x2 1 y2)2 2 x2y2
5 (x2 1 y2 1 xy)(x2 1 y2 2 xy) ou (x2 1 xy 1 y2)(x2 2 xy 1 y2)
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TŽcnicas algŽbricas: produtos not‡veis (2)
aulas
Enem: conhecimentos numŽricos
7 e 8
119
M
a
te
m
‡
ti
c
a
1. Sendo a e b nœmeros reais quaisquer, temos as seguintes equival•ncias de express›es algŽbricas.
Forma fatorada Forma desenvolvida
a(b 1 c) 5 ab 1 ac
(a 1 b)(a 2 b) 5 a2 2 b2
(a 1 b)2 5 (a 1 b)(a 1 b) 5 a2 1 2ab 1 b2
(a 2 b)2 5 (a 2 b)(a 2 b) 5 a2 2 2ab 1 b2
Forma fatorada Forma desenvolvida
(a 1 b 1 c)2 5 a2 1 b2 1 c2 1 2ab 1 2ac 1 2bc
(a 1 b)3 5 a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3
(a 2 b)3 5 a3 2 3a2b 1 3ab2 2 b3
(a 1 b)(a2 2 ab 1 b2) 5 a3 1 b3
(a 2 b)(a2 1 ab 1 b2) 5 a3 2 b3
2. A forma fatorada tem, pelo menos, duas aplica•›es.
2.1 Podemos simplificar uma fra•‹o se o numerador e o denominador t•m um fator em comum: 
?
?
n f
d f
 5 
n
d
2.2 Podemos resolver equa•›es apresentadas na forma P 5 0, em que P Ž um produto de express›es, explorando o fato que um 
produto Ž igual a zero se, e somente se, um dos seus fatores Ž igual a zero.
1. Se a, b e c s‹o nœmeros, tais que a 1 b 1 c 5 7 e 
ab 1 ac 1 bc 5 16, ent‹o a2 1 b2 1 c2 Ž igual a:
a) 15
b) 16
 c c) 17
d) 25
e) 36
(a 1 b 1 c)2 5 a2 1 b2 1 c2 1 2ab 1 2ac 1 2bc
72 5 a2 1 b2 1 c2 1 2 ? 16
49 5 a2 1 b2 1 c2 1 32
a2 1 b2 1 c2 5 17 
Resposta: C
em classe
2. Simplifique: 17,583 4,417
17,583 4,417
2 2
2
2
5 
( ) ( )17,583 4,417 17,583 4,417
17,583 4,417
1 2
2
5 17,583 1 4,417
5 22,000
H2
nestas aulas
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120
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s 
Te
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o
lo
g
ia
s
3. a) Quantos pares u e v de números reais existem, tais 
que u ? v 5 1?
b) Existem números reais u e v não nulos, tais que 
u ? v 5 0?
c) Obtenha três valores reais distintos de x, tais que 
x3 2 9x2 1 2x 2 18 5 0.
a) Existem infinitos pares; basta considerar u, u Þ 0, e v 5 
1
u .
Exemplo: 5 e 0,2, pois 5 ? 0,2 5 1
b) Não, pois com u Þ 0 e v Þ 0, o produto u ? v é positivo ou negativo.
Portanto, um produto é igual a 0 se, e somente se, pelo menos um 
dos seus fatores for igual a 0.
c) x3 2 2x2 2 9x 1 18 5 0
x2(x 2 2) 2 9(x 2 2) 5 0
(x 2 2)(x2 2 9) 5 0
(x 2 2)(x 1 3)(x 2 3) 5 0
x 2 2 5 0 ou x 1 3 5 0 ou x 2 3 5 0
x 5 2 ou x 5 23 ou x 5 3
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 Ð Unidade 1
Caderno de Exerc’cios 1 Ð Unidade 1
Tarefa M’nima
Aula 7 
•	Faça os exercícios 14 a 16, cap. 2.
Aula 8
•	Faça os exercícios 22 e 23, cap. 2.
Tarefa Complementar
Aula 7 
•	Faça os exercícios 17 a 21, cap. 2.
Aula 8
•	Leia o item 2.4, cap. 2.
•	Faça os exercícios24 a 29, cap. 2.
4. Dado que u e v são números reais, cuja soma é 6 e cujo 
produto é 4, podemos afirmar que a soma dos seus 
cubos é igual a:
a) 81
b) 100
c) 121
d) 125
 ce) 144
u3 1 3u2v 1 3uv2 1 v3 5 (u 1 v)3
u3 1 3uv(u 1 v) 1 v3 5 (u 1 v)3
u3 1 3 ? 4 ? 6 1 v3 5 63
u3 1 72 1 v3 5 216
u3 1 v3 5 216 2 72
[ u3 1 v3 5 144
Resposta: E
H21
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Equações elementares
aulas
Enem: conhecimentos algŽbricos
9 e 10
121
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c
a
1. Dizemos que um número dado é solu•‹o (ou raiz) de uma 
equação na incógnita x se, e somente se, substituindo x pelo nú-
mero, é obtida uma sentença verdadeira.
2. O conjunto de todas as soluções de uma equação é chamado 
de conjunto solu•‹o (ou conjunto verdade) da equação.
3. Em um universo U, duas ou mais equações são equivalentes 
se, e somente se, elas têm o mesmo conjunto solução; portanto, se 
duas equações são equivalentes, então toda solução de uma delas 
também é solução da outra. De uma equação dada, na incógnita 
x, podemos obter outra equação equivalente:
•	 Somando a ambos os membros um mesmo número, ou 
uma mesma expressão da forma axn.
•	 Subtraindo de ambos os membros um mesmo número, 
ou uma mesma expressão da forma axn.
(Observa•‹o: Em axn, a é uma constante real e n é uma cons-
tante natural.)
•	 Multiplicando ambos os membros por um mesmo núme-
ro, diferente de zero.
•	 Dividindo ambos os membros por um mesmo número, 
diferente de zero.
4. Considerando, em R, a equação a ? x 5 b, em que a e b são 
constantes, temos:
•	 Com a Þ 0 e qualquer valor de b, o conjunto solução é { }ba .
•	 Com a 5 0 e b 5 0, o conjunto solução é R.
•	 Com a 5 0 e b Þ 0, o conjunto solução é [.
5. Resolução de problemas dados por textos.
1. Leia o texto atentamente, procurando identifcar o que foi pedido e o que é dado.
2. Represente uma das quantias desconhecidas por uma variável, por exemplo x, e, se houver outras quantias desconhecidas, 
tente expressá-las em função de x.
3. Sempre que possível, utilize fguras, esquemas ou tabelas, tentando retratar as informações extraídas do texto e indicando o 
que é pedido e o que é dado.
4. Procure relacionar o que é dado com o que é pedido por meio de fórmulas e conceitos, para obter uma ou mais equações.
5. Resolva as equações obtidas.
6. Verifque a coerência e a validade das soluções encontradas analisando o próprio texto do problema.
7. Responda a todas as perguntas que foram feitas.
1. Resolva em R as seguintes equa•›es:
a) 
x
2
 2 
x 1
3
2
 1 
1
4
 5 
7x 1
6
1
Multiplicando ambos os membros por 12 (um mœltiplo comum dos denominadores), temos:
12 ? 
x
2
 2 12 ? 
x 1
3
2
 1 12 ? 
1
4
 5 12 ? 
7x 1
6
1
6x 2 4(x 2 1) 1 3 5 2(7x 1 1)
6x 2 4x 1 4 1 3 5 14x 1 2
6x 2 4x 2 14x 5 2 2 4 2 3
212x 5 25
x 5 
5
12
2
2
 [ S 5 { }512
em classe
nestas aulas
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s
b) 3x
2
 2 
x 3
3
2
 5 1
Multiplicando ambos os membros por 6, temos:
6 ? 
3x
2
 2 6 ? 
x 3
3
2
 5 6 ? 1
3 ? 3x 2 2(x 2 3) 5 6
9x 2 2x 1 6 5 6
7x 5 0
x 5 
0
7
 
[ S 5 {0}
c) 3x 2 2(5 2 x) 5 5(x 2 2)
3x 2 10 1 2x 5 5x 2 10
3x 1 2x 2 5x 5 210 1 10
0x 5 0 
[ S 5 R
d) 3x 2 2(6 2 x) 5 5(x 2 2)
3x 2 12 1 2x 5 5x 2 10
3x 1 2x 2 5x 5 210 1 12
0x 5 2 
[ S 5 [
2. A balan•a est‡ em equil’brio, a pe•a de massa maior est‡ em um prato e as demais pe•as est‹o no outro; no total, 
h‡ nove pe•as, algumas com a mesma massa.
200 g
500 g
1000 g
x
2
g
x g
x g
50 g
100 g
100 g
Obtenha as massas das tr•s pe•as menores.
x 1 x 1 
x
2
 1 50 1 100 1 100 1 200 1 500 5 1 000
2x 1 
x
2
 1 950 5 1 000
2x 1 
x
2
 5 50
4x 1 x 5 100
5x 5 100 
[ x 5 20
Logo, as massas das três peças menores são 20 g, 20 g e 10 g.
H3
G
L
E
N
N
/A
r
q
u
iv
O
 P
E
S
S
O
A
L
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123
M
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ti
c
a
3. (UFMG) De um recipiente cheio de água, tiram-se 2
3
 de seu conteúdo. Recolocando-se 30 L de água, o conteúdo 
passa a ocupar a metade do volume inicial. A capacidade do recipiente é:
a) 45 L
b) 75 L
c) 120 L
d) 150 L
 c e) 180 L
Sendo x a capacidade em L do recipiente, temos:
x 2 
2
3
x 1 30 5 
x
2
6 ? x 2 6 ? 
2
3 x 1 6 ? 30 5 6 ? 
x
2
6x 2 4x 1 180 5 3x
2x 2 3x 5 2180
[ x 5 180
Resposta: E
4. Eu tenho o dobro da idade que você tinha quando eu tinha 21 anos de idade. Dado que hoje você tem 15 anos, 
descubra a minha idade.
Passado Presente
Eu 21 2x
você x 15
Como a diferença entre as nossas idades é constante, temos:
2x 2 15 5 21 2 x
3x 5 36
x 5 12
[ 2x 5 24
Minha idade é 24 anos.
H3
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 Ð Unidade 1
Caderno de Exerc’cios 1 Ð Unidade 1
Tarefa M’nima
Aula 9 
•	Faça os exercícios 1 a 4, cap. 6.
Aula 10
•	Faça os exercícios 5 a 8, cap. 6.
Tarefa Complementar
•	Leia os itens 1 a 4, cap. 6.
•	Faça os exercícios 9 a 15, cap. 6.
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Equa•›es elementares: exercícios
aula 11
Enem: conhecimentos algŽbricos
124
M
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ca
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 s
u
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s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
(Ufes Ð Modificada) Uma crian•a diverte-se observando um grupo de pombos entrando e saindo de suas casas. Ela 
percebe que, na tentativa de ficar um œnico pombo em cada casa, ficam 7 pombos sem casa e, na tentativa de 
ficarem exatamente dois pombos em cada casa, ficam 3 casas sem pombo. Quantos pombos havia nessa ocasião?
Número de casas: x
Número de pombos: y
Na tentativa de ficar um único pombo em cada casa, ficam 7 pombos sem casa ⇒ y 5 x 1 7
Na tentativa de ficarem exatamente dois pombos em cada casa, ficam 3 casas sem pombo ⇒ (x 2 3) ? 2 5 y
(x 2 3) ? 2 5 x 1 7
2x 2 6 5 x 1 7
x 5 13
Então:
y 5 x 1 7 [ y 5 20
Logo, havia 20 pombos.
H1
em classe
em casa
Consulte:
Caderno de Exercícios 1 – Unidade 1
Tarefa Mínima
•	Fa•a os exerc’cios 16 a 18, cap. 6.
Tarefa Complementar
•	Fa•a os exerc’cios 31 a 33, cap. 6.
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Inequa•›es elementares
aula 12
Enem: conhecimentos algŽbricos
125
M
a
te
m
á
ti
c
a
nesta aula
1. Dizemos que um nœmero dado Ž solu•‹o de uma inequa•‹o na inc—gnita x se, e somente se, substituindo x pelo nœmero, Ž obtida 
uma senten•a verdadeira. O conjunto de todas as solu•›es de uma inequa•‹o Ž chamado de conjunto solu•‹o (ou conjunto verdade) 
da inequa•‹o. Duas inequa•›es s‹o ditas equivalentes se, e somente se, elas t•m o mesmo conjunto solu•‹o.
2. De uma inequa•‹o dada, na inc—gnita x, podemos obter outra inequa•‹o equivalente:
•	 somando a ambos os membros um mesmo nœmero, ou uma mesma express‹o da forma axn;
•	 subtraindo de ambos os membros um mesmo nœmero, ou uma mesma express‹o da forma axn;
(Observa•‹o: Em axn, a Ž uma constante real e n Ž uma constante natural).
•	 multiplicando ambos os membros por um mesmo nœmero positivo, mantendo o sentido da desigualdade;
•	 dividindo ambos os membros por um mesmo nœmero positivo, mantendo o sentido da desigualdade;
•	 multiplicando ambos os membros por um mesmo nœmero negativo, invertendo o sentido da desigualdade (de Ò,Ó para Ò.Ó, 
e de Ò.Ó para Ò,Ó);
•	 Dividindo ambos os membros por um mesmo nœmero negativo, invertendo o sentido da desigualdade (de Ò,Ó para Ò.Ó, e de 
Ò.Ó para Ò,Ó).
1. Resolva em R as seguintes inequações:
a) x
2
 2 
x 1
3
2
 1 
1
4
 > 
7x 1
6
1
Multiplicando ambos os membros por 12 (um mœltiplo comum 
dos denominadores), temos:
12 ? 
x
2
 2 12 ? x 1
3
2 1 12 ? 1
4
 > 12 ? 7x 1
6
1
6x 2 4(x 2 1) 1 3 > 2(7x 1 1)
6x 2 4x 1 4 1 3 > 14x 1 2
6x 2 4x 2 14x > 2 2 4 2 3
212x > 25
x < 5
12
2
2
[ S 5 [ R{ }x | x 512<
b) 3x
2
 2 
x 4
3
2
 > 1
Multiplicando ambos os membros por 6, temos:
6 ? 3x
2
 2 6 ? x 4
3
2 > 6 ? 1
3 ? 3x 2 2(x 2 4) > 6
9x 2 2x 1 8 > 6
7x > 22
x > 2
7
2 
[ S 5 [ R{ }x | x 27> 2
em classe
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126
Ma
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m
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ca
 e
 s
u
a
s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
c) 3x 2 2(5 2 x) , 5(x 2 2)
3x 2 10 1 2x , 5x 2 10
3x 1 2x 2 5x , 210 1 10
0x , 0 
[ S 5 [
d) 3x 2 2(6 2 x) , 5(x 2 2)
3x 2 12 1 2x , 5x 2 10
3x 1 2x 2 5x , 210 1 12
0x , 2
[ S 5 R
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 Ð Unidade 1
Caderno de Exerc’cios 1 Ð Unidade 1
Tarefa M’nima
•	Leia o resumo de aula.
•	Faça os exercícios 21 a 24, cap. 6.
Tarefa Complementar
•	Leia os itens 5 a 7, cap. 6.
•	Faça os exercícios 25 a 30, cap. 6.
2. (Vunesp) Um professor trabalha em duas faculdades, 
A e B, sendo remunerado por aula. O valor da aula na 
faculdade B é 0,8 do valor da aula na faculdade A. Para 
o próximo ano, ele pretende dar um total de 30 aulas por 
semana e ter uma remuneração semanal em A maior 
que a remuneração semanal em B. Quantas aulas, no 
mínimo, deverá dar por semana na faculdade A?
Sendo v o valor da aula em A e o valor da aula em B Ž 0,8 ? v.
Sendo n o nœmero semanal de aulas a serem dadas em A, temos:
n ? v . (30 Ð n) ? 0,8 ? v
n . (30 Ð n) ? 0,8
Multiplicando ambos os membros por 5, temos:
5n . (30 Ð n) ? 4
5n . 120 Ð 4n
9n . 120
3n . 40
[ n . 13,333É
Sendo n um nœmero natural, podemos afirmar ent‹o que o professor 
dar‡, no m’nimo, 14 aulas.
H3
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Porcentagem: Conceito e Aplica•›es
aulas
Enem: conhecimentos numŽricos
13 e 14
127
M
a
te
m
‡
ti
c
a
nestas aulas
1. Porcentagem
Porcentagem (%) é uma fração de denominador igual a 100:
 p% 5 
p
100
Exemplo: 13% 5 
13
100
 5 0,13
2. Base de cálculo da porcentagem
Sendo x e y números reais, com y Þ 0, temos: 
x é igual a p% de y ⇔ x 5 
p
100
 ? y
Nessa relação, y é a base de cálculo da porcentagem.
3. Variação (aumento ou redução) porcentual
Seja V uma variável positiva, com valor inicial V
0
.
Se V tiver um aumento de p%, então seu valor final é dado por 
V
f
 5 V
0
 1 p% de V
0
Se V tiver uma redução de p%, então seu valor final é dado por 
V
f
 5 V
0
 2 p% de V
0
A variação absoluta (5 valor final 2 valor inicial) é Vf 2 V0
A variação porcentual é 
2V V
V
f 0
0
 ? 100%
(V
0
 é a base do cálculo da porcentagem)
1. No meio da madrugada, Joãozinho acordou com a 
festinha dos gatos dos vizinhos no seu quintal. Após uma 
rápida contagem, ele verificou que havia mais que doze 
gatos, menos que trinta, e exatamente 90% deles eram 
pardos. Aí, já mais tranquilo, ele conseguiu dormir de 
novo. Quantos gatos pardos havia no seu quintal?
Sendo p o nœmero de gatos pardos e g o nœmero total de gatos, 
temos 
p
g
 5 90
100
 5 9
10
 5 18
20
 5 27
30
 5 ...
Como o nœmero total de gatos estava entre 12 e 30, conclu’mos que 
a fra•‹o Ž 
18
20 e, portanto, havia 18 gatos pardos em um total de 20. 
(Ë noite, quase todos os gatos s‹o pardos!)
2. Simplifique (dê o resultado usando o símbolo %)
a) 20% 1 30%
20
100 1 
30
100 5 
50
100 5 50%
H4
em classe
b) 20% ? 30%
20
100 ? 
30
100 5 
2
10 ? 
3
10 5 
6
100 5 6%
Observa•‹o 1: 20% ? 30% pode ser interpretado como 20% de 30%
Observa•‹o 2: 20% de 30% de x Ž igual a 30% de 20% de x, 
pois a ordem dos fatores n‹o altera o produto.
c) (12%)2
12
100 ? 
12
100 5 
144
100 100? 5 1,44%
d) 64%
64
100 5 
8
10 5 
80
100 5 80%
e) 144%
144
100 5 
12
10 5 
120
100 5 120%
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128
M
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‡
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ca
 e
 s
u
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s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 – Unidade 1
Caderno de Exercícios 1 – Unidade 1
Tarefa Mínima
Aula 13
•	Leia o resumo de aula.
•	Faça os exercícios 1 a 4, cap. 7.
Aula 14
•	Faça os exercícios 5 a 8, cap. 7.
Tarefa Complementar
•	Leia os itens 1 e 2, cap. 7.
•	Faça os exercícios 9 a 16, cap. 7.
3. Em um recipiente contendo 2 litros de água, foram 
adicionados 3 litros de refresco composto de 30% de 
concentrado de fruta e 70% de água. Determine a por-
centagem de concentrado na mistura final.
Litros de água: 2 1 0,70 ? 3 5 4,1
Litros de concentrado: 0,30 ? 3 5 0,9
Litros de mistura: 4,1 1 0,9 5 5,0
Porcentagem de concentrado na mistura final: 
0,9
5,0 ? 100% 5 18%
4. Em um grupo de 40 pessoas, 30% delas são do sexo 
feminino. 
a) Quantas mulheres devem ser inseridas nesse grupo, de 
modo que a porcentagem delas aumente para 80%?
Antes: 12 mulheres (5 30% de 40) e 28 homens (5 40 2 12).
Depois: as mulheres correspondem a 80% do total.
28 homens correspondem a 20% do total.
Logo, o total de pessoas (100%) corresponde a 5 ? 28 5 140.
Como havia, inicialmente, 40 pessoas, o número de mulheres a se-
rem inseridas é 100.
b) Quantos homens devem ser retirados desse grupo, de 
modo que a porcentagem de mulheres passe para 
80%?
Antes: 12 mulheres e 28 homens.
Depois: 12 mulheres correspondem a 80% do total.
Se 12 pessoas correspondem a 80%, então, 3 pessoas corres-
pondem a 20% e 15 pessoas correspondem a 100%.
Deve haver, portanto, 12 mulheres e 3 homens.
Logo, devem ser retirados 25 homens (5 28 2 3). 
H3
5. Um comerciante adquiriu um artigo a um custo de 
R$ 100,00 e vende-o com um lucro de 60% do custo. 
Qual é a porcentagem do lucro em relação ao preço 
de venda?
Sejam C, L e v, nessa ordem, o custo, o lucro e o preço de venda, em r$.
L 5 0,60 ? 100 [ L 5 60
v 5 C 1 L [ v 5 100 1 60 5 160
[ v 5 160 (r$)
L
v 5 
60
160 5 0,375 5 37,5%
2o modo:
L
v 5 
0,60C
C 0,60C1
 5 
0,6C
1,6C
 5 
6
1,6
 5 0,375 5 37,5%
6. Em dezembro de 2008, com a crise mundial, uma em-
presa foi obrigada a demitir, em massa, 60% dos seus 
empregados. Como, alguns meses depois, as posições 
melhoraram muito, os diretores decidiram reabrir as va-
gas, para que a empresa voltasse a ter o número de 
empregados que tinha logo antes da crise. Para isso, 
na ocasião, o número de empregados deveria ser au-
mentado em:
a) 40%
b) 60%
c) 100%
d) 120%
 c e) 150%
Número de empregados antes da demissão em massa: N.
Número de empregados depois da demissão de 60% deles: 0,40N.
Para voltar a ter N empregados, a empresa deve promover um au-
mento de 0,60N em 0,40N:
0,60N
0,40N 5 1,5 5 150%
H5
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Porcentagem - Exercícios (1)
aula 15
Enem: conhecimentos numéricos
129
M
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á
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c
a
em casa
Consulte:
Caderno de Exercícios 1 Ð Unidade 1
Tarefa Mínima
•	Faça os exercícios 17 e 18, cap. 7.
Tarefa Complementar
•	Faça os exercícios 19, 20 e 50, cap. 7.
1. Em um certo município, foram vacinados, durante uma 
campanha, 80% das crianças da zona urbana e 60% 
das crianças da zona rural na faixa etária de 2 a 5 anos 
de idade. Tendo sido vacinadas 72% da população in-
fantil total dessa faixa etária, determine a relação entre 
o número de crianças da zona urbana e da zona rural 
desse município, nessa faixa de idade.
Sendo x o nœmero de crian•as da zona urbana e y o nœmero de crian-
•as da zona rural, temos:
0,8x 1 0,6y 5 0,72(x 1 y)
0,8x 1 0,6y 5 0,72x 1 0,72y
0,8x 2 0,72x 5 0,72y 2 0,6y
0,08x 5 0,12y
x
y
 5 
12
8
 
[ 
x
y
 5 
3
2
H4
em classe
2. Em uma turma, 3 em cada 4 rapazes praticam algum 
esporte e 5% das moças não praticam esporte algum. 
Sabe-se ainda que, no total, a quantidade de rapazes 
e moças que praticam algum esporte representa 80% 
das pessoas dessa turma. Qual é a porcentagem de 
moças nessa turma?
Sendo x o nœmero de mo•as e T o nœmero total de pessoas, temos:
0,95x 1 0,75(T 2 x) 5 0,80T
0,95x 1 0,75T 2 0,75x 5 0,80T
0,20x 5 0,05T
4x 5 T 
[ x
T
 5 1
4
 5 25%
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Porcentagem - Variações sucessivas
aulas
Enem: conhecimentos numéricos
16 e 17
130
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ca
 e
 s
u
a
s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
nestas aulas
Seja V uma variável positiva de valor inicial V
0
 e seja p um nú-
mero positivo.
•	 Se V aumenta p%, então seu valor final é dado por 
V
f
 5 V
0
(1 1 p%)
•	 A cada aumento de p%, o valor de V é multiplicado por 
(1 1 p%); seu valor final, após n aumentos sucessivos, é dado por
V
n5 V
0
(1 1 p%)n
Considerando 0 , p , 100, são verdadeiras as seguintes afir-
mações.
•	 Se V diminui p%, então seu valor final é dado por 
V
f
 5 V
0
(1 2 p%)
•	 A cada redução de p%, o valor de V é multiplicado por 
(1 2 p%); seu valor final, após n reduções sucessivas, é dado por
V
n
 5 V
0
(1 2 p%) n
1. A base de um tri‰ngulo aumenta 10% e sua altura dimi-
nui 10%. Calcule a variação porcentual da sua área.
S
0
 5 
1
2
 ? b
0
 ? h
0
b
f
 5 b
0
 ? (1 1 0,10) 5 b
0
 ? 1,1
h
f
 5 h
0
 ? (1 2 0,10) 5 h
0
 ? 0,9
S
f
 5 
1
2
 ? b
f
 ? h
f
S
f
 5 
1
2
 ? b
0
 ? 1,1 ? h
0
 ? 0,9
S
f
 5 
1
2
 ? b
0
 ? h
0
 ? 1,1 ? 0,9
S
f
 5 S
0
 ? 0,99
[ S
f
 5 S
0
(1 2 0,01) 5 S
0
 2 0,01 ? S
0
 
[ S
f
 5 S
0
 2 1% de S
0
.
Logo, a ‡rea diminui 1%.
2. Se o preço de um produto aumentou 20% anteontem e 
30% hoje, então, de anteontem para hoje, esse preço 
aumentou
a) 50%
b) 54%
c) 55%
 c d) 56%
e) 58%
Sendo p
0
, p
1
 e p
2
, nessa ordem, o pre•o antes desses aumentos, o 
pre•o com o primeiro aumento e o pre•o com os dois aumentos, 
temos:
p
1
 5 p
0
(1 1 0,20) 5 p
0
 ? 1,2
p
2
 5 p
1
(1 1 0,30)
Logo, p
2
 5 p
0
 ? 1,2 ? 1,3, ou seja, p
2
 5 p
0
 ? 1,56.
O pre•o aumentou 56%.
em classe
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131
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c
a
3. Qual é o montante, após dois anos, em uma aplicação 
que rende 20% ao semestre (juros compostos), dado que 
o capital inicial é R$ 10 000,00?
C
0
 5 10 000 (capital inicial em r$)
prazo: 4 semestres
C
4
 5 C
0
 ? (1 1 0,20)4 [ C
4
 5 C
0
 ? (1,2)4
Como (1,2)2 5 1,44 e (1,2)4 5 (1,44)2 5 2,0736, temos:
C
4
 5 10 000 ? 2,0736
C
4
 5 20 736
O montante é r$ 20 736,00.
Observação: No caso de juros simples, o montante seria dado por 
10 000 1 4 ? 20% de 10 000 reais. 
Portanto, o montante seria r$ 18 000,00.
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 Ð Unidade 1
Caderno de Exerc’cios 1 Ð Unidade 1
Tarefa M’nima
Aula 16
•	Faça os exercícios 21 a 23, cap. 7.
Aula 17
•	Faça os exercícios 24 a 26, cap. 7.
Tarefa Complementar
Aula 16
•	Leia os itens 3, 4 e 5, cap. 7.
•	Faça os exercícios 27 a 32, cap. 7.
Aula 17
•	Faça os exercícios 45 a 47, cap. 7.
4. Um certo modelo de automóvel, quando novo, desva-
lorizará 20% no primeiro ano e, depois, 10% a cada ano. 
Se este carro, 0 Km, custa R$ 100 000,00, qual será seu 
preço após 4 anos?
P
4
 5 100 000 ? (1 2 0,20)1 ? (1 2 0,10)3
P
4
 5 100 000 ? (0,8)1 ? (0,9)3
Como (0,9)3 5 0,9 ? 0,9 ? 0,9 5 0,81 ? 0,9 5 0,729, então:
0,8 ? 0,729 5 0,5832
P
4
 5 100 000 ? 0,5832 
[ P
4
 5 58 320
O preço será r$ 58 320,00.
Observação: O carro terá desvalorizado r$ 41 680,00, o que repre-
senta 41,68% do seu valor inicial.
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Porcentagem - Exercícios (2)
aula 18
Enem: conhecimentos numéricos
132
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s 
Te
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g
ia
s
1. (UFMS) O motorista do caminh‹o do corpo de bombeiros, para se deslocar da sua unidade atŽ o local do inc•ndio, 
decidiu por um caminho 14% mais longo, porŽm, de menos movimento, tendo assim sua velocidade mŽdia aumen-
tada em 20%. Em quantos por cento o tempo de translado foi diminu’do?
a) 9%
b) 8%
c) 7%
d) 6%
 c e) 5%
Dt
1
 5 
d
v
 e Dt
2
 5 
d 1,14
v 1,2
?
?
Dt
2
 5 
d
v
 ? 
1,14
1,2
Dt
2
 5 Dt
1
 ? 0,95
Dt
2
 5 95% de Dt
1
 [ o tempo de translado foi diminuído em 5%.
Resposta: E
2. Um corretor de im—veis oferece a um cliente um terreno por R$ 132 000,00 ˆ vista. O neg—cio tambŽm pode ser realiza-
do pagando duas parcelas iguais de x reais, sendo que a primeira deverá ser paga no ato da compra e a segunda, 
exatamente um ano depois. Determine o valor de x, dado que há juros de 20% ao ano sobre qualquer saldo devedor.
Ao pagar, no ato da compra, x reais, sobra um saldo devedor de 132 000 2 x reais.
Em 1 ano, esse saldo devedor aumenta para (132 000 2 x) ? 1,2.
De x 5 (132 000 2 x) ? 1,2 , temos
x 5 158 400 2 1,2x
2,2x 5 158 400
x 5 
158 400
2,2
 [ x 5 72 000
(Observação: Pago r$ 72 000,00 no ato da compra, resta um saldo devedor de r$ 60 000,00, que, aumentado em 20%, passa para r$ 72 000,00.)
H5
H4
em classe
em casa
Consulte:
Caderno de Exerc’cios 1 Ð Unidade 1
Tarefa M’nima
•	Fa•a os exerc’cios 33 a 35, cap. 7.
Tarefa Complementar
•	Fa•a os exerc’cios 36 a 40, 48 e 49, cap. 7.
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rumo ao
Enem
133
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 E
n
e
m
1. (Enem)
Em um jogo educativo, o tabuleiro Ž uma representa•‹o 
da reta numŽrica e o jogador deve posicionar as fichas 
contendo nœmeros reais corretamente no tabuleiro, 
cujas linhas pontilhadas equivalem a 1 (uma) unidade 
de medida. Cada acerto vale 10 pontos.
Na sua vez de jogar, Clara recebe as seguintes fichas:
2
3
3
2
1
2
X Y Z T
22,5
Para que Clara atinja 40 pontos nessa rodada, a figura 
que representa seu jogo, ap—s a coloca•‹o das fichas 
no tabuleiro, Ž:
a) 
Y Z
0
XT
b) 
Y
0
TX Z
c) 
Y
0
T X Z
 cd) 
Y
0
T XZ
e) 
Y
0
T XZ
2. (Enem)
A noz Ž uma especiaria muito apreciada nas festas de 
fim de ano. Uma pesquisa de pre•os feita em tr•s super-
mercados obteve os seguintes valores: no supermercado 
A Ž poss’vel comprar nozes a granel no valor de R$ 24,00 
o quilograma; o supermercado B vende embalagens 
de nozes hermeticamente fechadas com 250 gramas a 
R$ 3,00; j‡ o supermercado C vende nozes a granel a 
R$ 1,50 cada 100 gramas.
A sequ•ncia dos supermercados, de acordo com a 
ordem crescente do valor da noz, Ž
a) A, B, C.
b) B, A, C.
 c c) B, C, A.
d) C, A, B.
e) C, B, A.
H1
H2
3. (Enem)
Uma ag•ncia de viagens de S‹o Paulo (SP) est‡ organi-
zando um pacote tur’stico com destino ̂ cidade de Foz do 
Igua•u (PR) e fretou um avi‹o com 120 lugares. Do total de 
lugares, reservou 
2
5
 das vagas para as pessoas que resi-
dem na capital do estado de S‹o Paulo, 
3
8
 para as que 
moram no interior desse estado e o restante para as que re-
sidem fora dele. Quantas vagas est‹o reservadas no avi‹o 
para as pessoas que moram fora do estado de S‹o Paulo?
 c a) 27
b) 40
c) 45
d) 74
e) 81
4. (Enem)
Um dos est‡dios mais bonitos da Copa do Mundo na 
çfrica do Sul Ž o Green Point, situado na Cidade do Cabo, 
com capacidade para 68 000 pessoas.
Centauro. Ano 2, edi•‹o 8, mar./abr, 2010.
Em certa partida, o est‡dio estava com 95% de sua ca-
pacidade, sendo que 487 pessoas n‹o pagaram o in-
gresso que custava 150 d—lares cada. A express‹o que 
representa o valor arrecadado nesse jogo, em d—lares, Ž:
a) 0,95 ? 68 000 ? 150 2 487
b) 0,95 ? (68 000 2 487) ? 150
 c c) (0,95 ? 68 000 2 487) ? 150
d) 95 ? (68 000 2 487) ? 150
e) (95 ? 68 000 2 487) ? 150
5. (Enem)
Especialistas do Instituto Internacional de çguas de 
Estocolmo estimam que cada pessoa necessita de, no mí-
nimo, 1 000 m3 de ‡gua por ano, para consumo, higiene e 
cultivo de alimentos. Sabe-se, tambŽm, que o Rio Ama-
zonas despeja 200 000 m3 de ‡gua no mar por segundo.
Scientific American Brasil, setembro de 2008, p. 62.
Revista Veja, julho de 2008, p. 104.
Por quanto tempo seria necess‡rio coletar as ‡guas 
que o Rio Amazonas despeja no mar para manter a 
popula•‹o da cidade de S‹o Paulo, estimada em 20 
milh›es de pessoas, por um ano?
a) 16 minutos e 40 segundos.
b) 2 horas, 46 minutos e 40 segundos.
 c c) 1 dia, 3 horas, 46 minutos e 40 segundos.
d) 11 dias, 13 horas, 46 minutos e 40 segundos.
e) 3 meses, 25 dias, 17 horas, 46 minutos e 40 segundos.
H3
H4
H4
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R
u
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o
 a
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 E
n
e
m
6. (Enem)
MaomŽ comandou a unificaç‹o pol’tica e religiosa da 
Ar‡bia. Sua sa’da de Meca para Medina Ž chamada de 
HŽgira, que, ocorrida no ano de 622 d.C., marcou o in’cio 
da cronologia muçulmana.
AQUINO, R. Fazendo a História: da prŽ-hist—ria ao mundo feudal. 
Rio de Janeiro: Ao Livro TŽcnico, 1985. (Adaptado).
Para se converter a data do calendário muçulmano 
para o calendário gregoriano, énecessário considerar, 
inicialmente, que, entre o ano lunar muçulmano e o 
ano gregoriano, existe uma diferença de 97 dias em 
cada século. Dessa forma, o ano de 1400, no calendário 
muçulmano, corresponde, no calendário gregoriano, 
aproximadamente, ao ano de:
a) 635 d.C.
b) 637 d.C.
c) 755 d.C.
d) 1961 d.C.
 c e) 1980 d.C.
7. (Enem)
Nosso calendário atual é embasado no antigo calen-
dário romano, que, por sua vez, tinha como base as 
fases da lua. Os meses de janeiro, março, maio, julho, 
agosto, outubro e dezembro possuem 31 dias, e os de-
mais, com exceção de fevereiro, possuem 30 dias. O dia 
31 de março de certo ano ocorreu em uma terça-feira. 
Nesse mesmo ano, qual dia da semana será o dia 12 
de outubro?
a) Domingo.
 c b) Segunda-feira.
c) Terça-feira.
d) Quinta-feira.
e) Sexta-feira.
8. (Enem)
Desde 2005, o Banco Central n‹o fabrica mais a nota de 
R$ 1,00 e, desde ent‹o, s— produz dinheiro nesse valor em 
moedas. Apesar de ser mais caro produzir uma moeda, 
a durabilidade do metal Ž 30 vezes maior que a do papel. 
Fabricar uma moeda de R$ 1,00 custa R$ 0,26, enquanto 
uma nota custa R$ 0,17, entretanto, a cŽdula dura de oito 
a onze meses. 
Dispon’vel em: <http://noticias.r7.com>. Acesso em: 26 abr. 2010.
Com R$ 1 000,00 destinados a fabricar moedas, o Banco 
Central conseguiria fabricar, aproximadamente, quan-
tas cédulas a mais?
a) 1 667
 c b) 2 036
c) 3 846
d) 4 300
e) 5 882
9. (Enem)
Por falta de tratamentos simples, mais de 1 bilh‹o 
de pessoas pobres no mundo acordam doentes todos os 
dias. Entre essas doenças est‡ a ancilostomose, que aflige 
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H3
H4
600 milhões de pessoas e causa anemia severa e desnutriç‹o 
proteica. Para fornecer tratamento a essas pessoas, estima-se 
um gasto anual de cinquenta centavos de d—lar por paciente.
HORTEZ , P. J. Um plano para derrotar 
doenças tropicais negligenciadas.
Scientific American Brasil. Ano 8, n¡ 33. (Adaptado).
Uma organização está disposta a lançar uma campa-
nha internacional a fim de obter recursos suficientes 
para cobrir o tratamento das pessoas com ancilostomo-
se por um ano. Segundo seu planejamento, estima-se 
um valor médio de US$ 3,00 por doador. 
De acordo com o planejamento dessa organização, 
para arrecadar o total de recursos necessários para 
cobrir o tratamento das pessoas com ancilostomose, 
por um ano, o número mínimo de contribuintes neces-
sários é de:
a) 200 milhões.
b) 120 milhões.
c) 36 milhões.
d) 40 milhões.
 c e) 100 milhões.
10. (Enem)
Lucas precisa estacionar o carro pelo período de 40 
minutos, e sua irmã Clara também precisa estacionar 
o carro pelo período de 6 horas. O estacionamento 
Verde cobra R$ 5,00 por hora de permanência. O es-
tacionamento Amarelo cobra R$ 6,00 por 4 horas de 
permanência e mais R$ 2,50 por hora ou fração de hora 
ultrapassada. O estacionamento Preto cobra R$ 7,00 
por 3 horas de permanência e mais R$ 1,00 por hora ou 
fração de hora ultrapassada. Os estacionamentos mais 
econômicos para Lucas e Clara, respectivamente, são:
 ca) Verde e Preto.
b) Verde e Amarelo.
c) Amarelo e Amarelo.
d) Preto e Preto.
e) Verde e Verde.
11. (Enem)
No dia 12 de janeiro de 2010, o governo da Venezuela 
adotou um plano de racionamento de energia que previa 
cortes no fornecimento em todo o pa’s.
O ministro da Energia afirmou que uma das formas 
mais eficazes de se economizar energia nos domic’lios 
seria o uso de l‰mpadas que consomem 20% menos da 
energia consumida por l‰mpadas normais.
Dispon’vel em: <www.bbc.co.uk>. 
Acesso em: 23 abr. 2010. (Adaptado).
Em uma residência, o consumo mensal de energia pro-
veniente do uso de lâmpadas comuns é de 63 kWh. Se 
todas as lâmpadas dessa residência forem trocadas 
pelas lâmpadas econômicas, esse consumo passará 
a ser de, aproximadamente:
a) 9 kWh.
b) 11 kWh.
c) 22 kWh.
d) 35 kWh.
 c e) 50 kWh.
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12. (Enem) 
Algumas pesquisas est‹o sendo desenvolvidas para se obter arroz e feij‹o com maiores teores de ferro e zinco e 
tolerantes ˆ seca. Em mŽdia, para cada 100 g de arroz cozido, o teor de ferro Ž de 1,5 mg e o de zinco Ž de 2,0 mg. Para 
100 g de feij‹o, Ž de 7 mg o teor de ferro e de 3 mg o de zinco. Sabe-se que as necessidades di‡rias dos dois micronu-
trientes para uma pessoa adulta Ž de, aproximadamente, 12,25 mg de ferro e 10 mg de zinco.
Dispon’vel em: <www.embrapa.br>. Acesso em: 29 abr. 2010. (Adaptado).
Considere que uma pessoa adulta deseja satisfazer suas necessidades di‡rias de ferro e zinco ingerindo apenas arroz 
e feij‹o. Suponha que seu organismo absorva completamente todos os micronutrientes oriundos desses alimentos. Na 
situa•‹o descrita, que quantidade a pessoa deveria comer diariamente de arroz e feij‹o, respectivamente?
a) 58 g e 456 g
b) 200 g e 200 g
 c c) 350 g e 100 g
d) 375 g e 500 g
e) 400 g e 89 g
13. (Enem) 
O IGP-M Ž um ’ndice da Funda•‹o Getœlio Vargas, obtido por meio da varia•‹o dos pre•os de alguns setores da 
economia, do dia vinte e um do m•s anterior ao dia vinte do m•s de refer•ncia. Ele Ž calculado a partir do êndice de 
Pre•os por Atacado (IPA-M), que tem peso de 60% do ’ndice, do êndice de Pre•os ao Consumidor (IPC-M), que tem 
peso de 30%, e do êndice Nacional de Custo de Constru•‹o (INCC), representando 10%. Atualmente, o IGP-M Ž o 
’ndice para a corre•‹o de contratos de aluguel e o indexador de algumas tarifas, como energia elŽtrica.
IPA-M
M•s/ano
êndice do m•s 
(em %)
Mar/2010 1,07
Fev/2010 1,42
Jan/2010 0,51 
INCC
M•s/ano
êndice do m•s 
(em %)
Mar/2010 0,45
Fev/2010 0,35
Jan/2010 0,52
IPC-M
M•s/ano
êndice do m•s 
(em %)
Mar/2010 0,83
Fev/2010 0,88
Jan/2010 1,00
A partir das informa•›es, Ž poss’vel determinar o maior IGP-M mensal desse primeiro trimestre, cujo valor Ž igual a
a) 7,03%.
b) 3,00%.
c) 2,65%.
 c d) 1,15%.
e) 0,66%.
14. (Enem)
Uma bi—loga conduziu uma sŽrie de experimentos demonstrando que a cana-de-a•œcar mantida em um ambiente com 
o dobro da concentra•‹o atual de CO
2
 realiza 30% mais de fotoss’ntese e produz 30% mais de a•œcar do que a que cresce 
sob a concentra•‹o normal de CO
2
. Das c‰maras que mantinham esse ar rico em g‡s carb™nico, sa’ram plantas tambŽm 
mais altas e mais encorpadas, com 40% mais de biomassa.
Dispon’vel em: <http://revistapesquisa.fapesp.br>. Acesso em: 26 set. 2008.
Os resultados indicam que se pode obter a mesma produtividade de cana em uma menor ‡rea cultivada. Nas con-
di•›es apresentadas, de utilizar o dobro da concentra•‹o de CO2 no cultivo para dobrar a produ•‹o da biomassa 
da cana-de-a•œcar, a porcentagem da ‡rea cultivada hoje deveria ser, aproximadamente
a) 80%.
b) 100%.
 c c) 140%.
d) 160%.
e) 200%.
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15. (Enem)
Em mar•o de 2010, o Conselho Nacional de Desenvol-
vimento Cient’fico e Tecnol—gico (CNPq) reajustou os va-
lores de bolsas de estudo concedidas a alunos de inicia•‹o 
cient’fica, que passaram a receber R$ 360,00 mensais, um 
aumento de 20% com rela•‹o ao que era pago atŽ ent‹o. 
O —rg‹o concedia 29 mil bolsas de inicia•‹o cient’fica atŽ 
2009, e esse nœmero aumentou em 48% em 2010.
O Globo. 11 mar. 2010.
Caso o CNPq decidisse não aumentar o valor dos paga-
mentos dos bolsistas, utilizando o montante destinado a 
tal aumento para incrementar ainda mais o número de 
bolsas de iniciação científica no país, quantas bolsas 
a mais que em 2009, aproximadamente, poderiam ser 
oferecidas em 2010?
a) 5,8 mil.
b) 13,9 mil.
 c c) 22,5 mil.
d) 51,5 mil.
e) 94,4 mil.
16. (Enem) 
Um aventureiro chama a aten•‹o para o impacto do 
pl‡stico no meio ambiente, atravessando a maior concen-
tra•‹o de lixo do mundo em um veleiro feito totalmente de 
recipientes recicl‡veis. O barco flutua gra•as a 12 mil gar-
rafas pl‡sticas. No Brasil, a produ•‹o mensal de garrafas 
pl‡sticasŽ de 9 bilh›es de unidades, sendo que 47% dessas 
garrafas s‹o reaproveitadas e o restante vai para o lixo.
ƒpoca. S‹o Paulo: Globo, n. 619, 29 mar. 2010 (adaptado).
Quantos barcos como esse é possível construir com as 
garrafas que vão para o lixo no Brasil?
a) 352 500
 c b) 397 500
c) 750 000
d) 35 250 000
e) 39 750 000
17. (Enem)
A renda de uma família é de R$ 1 750,00. O dinheiro é 
utilizado da seguinte maneira:
Alimentação: R$ 600,00
Saúde: R$ 300,00
Transporte: R$ 150,00
Educação: R$ 350,00
Lazer: R$ 200,00
Gastos eventuais: R$ 100,00
Poupança: R$ 50,00
No mês de julho, o gasto com alimentação diminuiu 4%, 
o gasto com transporte aumentou 10% e o gasto com 
educação aumentou 10%. Para continuar utilizando os 
R$ 1 750,00, o que a família deverá decidir com relação 
ao valor destinado à poupança, mantendo as demais 
despesas inalteradas?
H5
H3
H16
a) Aumentá-lo em 4%.
b) Aumentá-lo em 8%.
c) Aumentá-lo em 16%.
d) Diminuí-lo em 26%.
 c e) Diminuí-lo em 52%.
18. (Enem)
O Brasil Ž um dos maiores produtores de leite do mun-
do. Em 2010, para a produ•‹o de 30,7 bilh›es de litros de 
leite, foram ordenhadas 22,9 milh›es de vacas leiteiras em 
todo o pa’s, sendo que essa quantidade de vacas ordenha-
das representa 10,9% do rebanho brasileiro de bovinos.
Dispon’vel em: <www.ibge.gov.br>. Acesso em: 15 nov. 2011. (Adaptado).
Nessas condições, o número que mais se aproxima da 
quantidade de bovinos no Brasil em 2010, em milhões 
de unidades, é:
a) 25,40
b) 33,80
c) 187,19
 c d) 210,09
e) 281,65
19. (Enem)
Uma concessionária de automóveis revende atualmente 
três marcas de veículos, A, B e C, que são responsáveis 
por 50%, 30% e 20%, respectivamente, de sua arrecada-
ção. Atualmente, o faturamento médio mensal dessa 
empresa é de R$ 150 000,00. A direção dessa empre-
sa estima que, após uma campanha publicitária a ser 
realizada, ocorrerá uma elevação de 20%, 30% e 10% na 
arrecadação com as marcas A, B e C, respectivamente.
Se os resultados estimados na arrecadação forem al-
cançados, o faturamento médio mensal da empresa: 
passará a ser de:
a) R$ 180 000,00
 c b) R$ 181 500,00
c) R$ 187 500,00
d) R$ 240 000,00
e) R$ 257 400,00
20. (Enem)
A taxa de infla•‹o Ž um ’ndice que aponta, em per-
centuais, a evolu•‹o mŽdia dos pre•os de mercadorias 
e servi•os. Entretanto, cada fam’lia percebe a varia•‹o 
dos pre•os de modo particular, pois o peso de cada item 
no seu or•amento Ž diferente. Assim, se o pre•o dos me-
dicamentos sobe muito, o impacto da infla•‹o para as 
fam’lias que t•m mais idosos tende a ser maior. Se o pre•o 
dos alimentos cai, o impacto da infla•‹o para as fam’lias 
mais pobres tende a ser menor, j‡ que boa parte de seu 
or•amento Ž gasto em alimenta•‹o.
Dispon’vel em: <www.dieese.org.br>. (Adaptado).
Considere que os salários de determinado grupo de 
pessoas crescem 10,0% ao ano, mas a inflação, para 
esse grupo, cresce 6,0% ao ano. O aumento percentual 
do poder de compra, em dois anos, das pessoas que 
pertencem ao referido grupo, mais aproximado, será de:
a) 4,0%
 c b) 7,7%
c) 8,0%
d) 8,6%
e) 14,0%
H4
H16
H16
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prof.:
Matem‡tica
Índice-controle 
deestudo
Setor B Antonio Carlos ROSSO Junior
GLENN Albert Jacques van Amson
Roberto Teixeira Cardoso (ROBBY)
JU
A
N
 V
IL
LA
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P
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O
 B
R
A
S
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A
G
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N
S
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aula 2
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aula 3
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aula 4
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aulas
Enem: Conhecimentos numéricos
Razão e Proporção
1e 2
138
M
a
te
m
á
ti
ca
 e
 s
u
a
s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
1. Razão
A raz‹o entre dois números a e b não nulos é o quociente entre eles, isto é: 
a
b
 ou a : b.
Exemplos: 
3
7
, 
11
5
, 4 : 9
2. Proporção
Chama-se propor•‹o a igualdade entre duas razões, 
a
b
c
d
5 .
A proporção também pode ser escrita na forma a : b :: c : d e é lida como a está para b, assim como c está para d.
3. Propriedade fundamental
a
b
c
d
a d b c⇒5 ? 5 ?
nestas aulas
em classe
1. O modelo de um carro foi construído na escala 1 : 24, 
isto é, medidas correspondentes do modelo e do car-
ro formam uma propor•‹o. Calcule o di‰metro de um 
pneu do modelo, sabendo que o di‰metro do pneu do 
carro é 600 mm.
Sendo x a medida, em mm, do di‰metro da roda do modelo, temos:
∴
x
600
1
24
x 255 5
ou seja, 25 mm.
2. (Enem) Em um certo teatro, as poltronas s‹o divididas 
em setores. A figura apresenta a vista do setor 3 desse 
teatro, no qual as cadeiras escuras est‹o reservadas e 
as claras n‹o foram vendidas.
S
E
T
O
R 
3
A raz‹o que representa a quantidade de cadeiras reser-
vadas do setor 3 em rela•‹o ao total de cadeiras desse 
mesmo setor é:
 ca) 
17
70
b) 
53
70
c) 53
17
d) 70
17
O nœmero total de cadeiras Ž igual a 7 ? 10 5 70. 
O nœmero de cadeiras reservadas Ž igual a 17. 
A raz‹o pedida Ž 17
10
.
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M
a
te
m
á
ti
c
a
3. Em uma escola com 520 alunos, 60 não praticam ativi-
dades físicas regularmente. Dentre os alunos que prati-
cam atividades físicas regularmente, 92 gostam de jogar 
basquete. A razão entre o número de alunos que não 
gostam de jogar basquete e o de alunos que praticam 
atividades físicas regularmente é:
a) 1  4
 cb) 4  5
c) 5  4
d) 4  1
e) 3  4
4. Atualmente, sabemos que é cada vez mais importante 
preservarmos os recursos naturais do nosso planeta, 
entre eles a água. A Companhia de Saneamento Básico 
do Estado de São Paulo fez o quadro a seguir para apre-
sentar de maneira simples o que uma pessoa consome 
de água, em média, durante um dia.
Banho
(8 min)
24 litros
Descarga acoplada
(3 vezes ao dia)
18 litros
Fazendo economia: Simula•‹o de consumo moderado
de água para uma pessoa em um apartamento
Lavar as m‹os
(4 vezes ao dia)
3,2 litros
Escovar os dentes
(3 vezes ao dia)
2,4 litros
çgua pot‡vel
para beber
2 litros
Marcelo, analisando o quadro, concordou que todas as 
informações estavam corretas, menos a quantidade de 
vezes que devemos lavar as mãos diariamente. Fazendo 
as contas, ele chegou à conclusão de que gastava 
53,6 litros de água diariamente. O número de vezes que 
ele costuma lavar as mãos em um dia é
a) 4.
b) 5.
c) 7.
 cd) 9.
e) 10.
H16
Do enunciado, temos:
Número de alunos que praticam atividades físicas: 
520 2 60 5 460
Alunos que não gostam de jogar basquete: 
460 2 92 5 368
Assim, a razão pedida é 
368
460
4
5
5 , ou seja, 4 : 5.
H17
O total de água gasto diariamente, de acordo com a Com-
panhia de Saneamento Básico do Estado de São Paulo, 
em litros, é: 24 1 18 1 3,2 1 2,4 1 2 5 49,6.
Assim, Marcelo gasta 4 litros (53,6 2 49,6) a mais diaria-
mente lavando as mãos.
Como uma lavagem de mãos consome 0,8 litro ( )3,24 , o 
gasto extra corresponde a 5 lavagens 


4
0,8
.
Logo, ele costuma lavar as mãos 4 1 5 5 9 vezes por dia.
5. (Enem) Um dos grandes problemas enfrentados nas 
rodovias brasileiras é o excesso de carga transportada 
pelos caminhões. Dimensionado para o tráfego dentro 
dos limites legais de carga, o piso das estradas se dete-
riora com o peso excessivo dos caminhões. Além disso, o 
excesso de carga interfere na capacidade de frenagem 
e no funcionamento da suspensão do veículo, causas 
frequentes de acidentes.
Ciente dessa responsabilidade e com base na expe-
riência adquirida com pesagens, um caminhoneiro 
sabe que seu caminhão pode carregar, no máximo, 
1 500 telhas ou 1 200 tijolos.
Considerando esse caminhão carregado com 900 te-
lhas, quantos tijolos, no máximo, podem ser acrescenta-
dos à carga de modo a não ultrapassar a carga máximado caminhão?
a) 300 tijolos
b) 360 tijolos
c) 400 tijolos
 cd) 480 tijolos
e) 600 tijolos
Tem-se: 1500 2 900 5 600 telhas
O número de tijolos equivalentes às 600 telhas é dado pela regra 
de três:
tijolos telhas
1200 1500
x 600 
[ x 5 480
H3
em casa
Consulte: 
Livro-texto 1 Ð Unidade 1
Caderno de Exerc’cios 1 Ð Unidade 1
Tarefa M’nima
Aula 1
•	Faça os exercícios 1, 3 e 4, cap. 3.
Aula 2
•	Faça os exercícios 2, 5 e 6, cap. 3.
Tarefa Complementar
Aula 1
•	Leia os itens 1 a 3, cap. 3.
•	Faça os exercícios 7 a 9, cap. 3.
Aula 2
•	Faça os exercícios 10 a 12, cap. 3.
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aulas
Enem: Conhecimentos numéricos
3 e 4
Variáveis Proporcionais
140
M
a
te
m
‡
ti
ca
 e
 s
u
a
s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
1. Vari‡veis diretamente proporcionais
Duas variáveis x e y são diretamente proporcionais caso exista uma constante k, tal que 
x
y
k5 , ou seja: 
x
y
x
y
x
y
k1
1
2
2
3
3
É5 5 5 5
2. Vari‡veis inversamente proporcionais
Duas variáveis x e y são inversamente proporcionais caso exista uma constante k, tal que x ? y 5 k, ou seja: x
1
 ? y
1
 5 x
2
 ? y
2
 5 x
3
 ? y
3
 5 É 5 k 
Obs.: No estudo de variáveis proporcionais chamamos k de constante de proporcionalidade.
nestas aulas
em classe
1. Um supermercado atende, em mŽdia, 750 clientes dia-
riamente. Nessas condi•›es, seu estoque de produtos 
dura 25 dias. Se esse supermercado passar a atender 
500 clientes a mais diariamente, esse mesmo estoque 
seria suficiente para:
a) 10 dias.
b) 12 dias.
 cc) 15 dias.
d) 18 dias.
e) 20 dias.
Sendo:
x: número diário de clientes
y: tempo de duração do estoque
Nessas condições, x e y são variáveis inversamente proporcionais.
Assim, temos:
número de clientes duração do estoque
750 25
1250 x
750 ? 25 5 1 250 ? x
[ x 5 15
Ou seja, os estoques seriam suficientes para 15 dias.
H16
2. (Unicamp-SP) A raz‹o entre a idade de Pedro e a de seu 
pai Ž igual a 2
9
. Se a soma das duas idades Ž igual a 55 
anos, ent‹o Pedro tem
a) 12 anos.
b) 13 anos.
 cc) 10 anos.
d) 15 anos.
Como a razão entre as idades é de 2
9
, e sendo k um número natural, 
temos:
Idade de Pedro: 2k
Idade do pai de Pedro: 9k
Assim,
2k 1 9k 5 55
[ k 5 
55
11
55
Logo, Pedro tem 2 ? 5 5 10 anos.
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141
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em casa
Consulte:
Livro-texto 1 Ð Unidade 1
Caderno de Exerc’cios 1 Ð Unidade 1
Tarefa M’nima
Aula 3
•	Fa•a os exerc’cios 1 a 4, cap. 4.
Aula 4
•	Fa•a os exerc’cios 7 a 9, cap. 4.
Tarefa Complementar
Aula 3
•	Leia o cap’tulo 4.
•	Fa•a os exerc’cios 5 e 6, cap. 4.
Aula 4
•	Fa•a os exerc’cios 10 a 12, cap. 4.
3. (Enem) A figura a seguir mostra as medidas reais de uma aeronave que ser‡ fabricada para a utiliza•‹o por companhias 
de transporte aŽreo. Um engenheiro precisa fazer o desenho desse avi‹o em escala de 1 : 150.
28,5 metros
36 metros
Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de papel, deixando uma margem de 1 cm em rela•‹o ̂ s bordas 
da folha, quais as dimens›es m’nimas, em cent’metros, que essa folha dever‡ ter?
a) 2,9 cm 3 3,4 cm
b) 3,9 cm 3 4,4 cm
c) 20 cm 3 25 cm
 cd) 21 cm 3 26 cm
e) 192 cm 3 242 cm
4. Em uma corrida, os tr•s primeiros colocados ir‹o dividir um pr•mio de R$ 1 100,00 de acordo com a posi•‹o de chega-
da. Todos os competidores concordaram que o valor que cada um deles deve receber Ž inversamente proporcional 
ˆ sua coloca•‹o. Nessas condi•›es, calcule o valor que o terceiro colocado dever‡ receber.
Sejam:
x: valor, em reais, que o primeiro colocado deve receber
y: valor, em reais, que o segundo colocado deve receber
z: valor, em reais, que o terceiro colocado deve receber
Nas condições do enunciado, temos:
5 5 5 5∴
x
1
y
1
2
z
1
3
x 2y 3z 
Do teorema das proporções, temos:
5
1 1
1 1
5 5
z
1
3
x y z
1
1
2
1
3
1100
11
6
600
z
1
3
6005
[ z 5 200
O terceiro colocado deve receber R$ 200,00.
H8
Sejam:
c: medida do comprimento do desenho do avião, em cm;
: medida da largura do desenho do avião, em cm.
Assim, sabendo que 1 m 5 100 cm, do enunciado, temos:
∴
c
3600 2850
1
150
c 24 e 195 5 5 5


Portanto, nessas condições, e avaliando a necessidade da margem, temos, ao lado, a 
figura, cotada em cm, que representa a folha retangular em que será desenhando o avião:
Logo, as dimensões mínimas pedidas são 21 cm × 26 cm.
26
24
2119
1 1
1
1
EM_REG_137a154_MAT_SETOR_B_CA1.indd 141 10/29/15 10:03 AM
aulas
Enem: Conhecimentos numŽricos
5 e 6
Pot•ncias e Radicais (1)
Acesse o portal e explore o conteœdo: 
A lenda do Jogo de Xadrez
142
M
a
te
m
‡
ti
ca
 e
 s
u
a
s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
1. Pot•ncia de expoente inteiro
Sendo n um número natural maior que 1, tem-se:
674 84
⋅ … ⋅b b    bn
n  fatores
5
2. Propriedades
Sendo b um número não nulo e m e n números inteiros, tem-se:
•	 bm ? bn 5 bm 1 n
•	 5
2b
b
b
m
n
m  n
•	 5
2b
1
b
n
n
•	 b0 5 1
•	 (bm)n 5 bm ? n 5 (bn)m
3. Nota•‹o cient’fica
Um número real positivo N está representado na notação cien-
tífica, se estiver expresso como:
N 5 a ? 10k, com 1 < a , 10 e k  Z.
nestas aulas
em classe
1. Utilizando as propriedades de potências, calcule:
a) 25 ? 223 ? 27
b) 
5 5
5
4 3
5
?
c) 
( )3 3
3
4 2 3
2
?
2
2
a) 25 ? 223 ? 27 5 25 2 3 1 7 5 29 5 512
b) 5 5
5
4 3
5
? 5 54 1 3 2 5 5 52 5 25
c) 
2
2
( )3 3
3
4 2
3
2
?
 5 34 1 2 ? (23) 2 (22) 5 30 5 1
2. Obtenha o valor da expressão 
128   1
4
 512
1
16
 256 8
? ?
? ?
.
2
2
2
128  
1
4
 512
1
16
   256  8
2    2    2
2    2   2
2
2
2 2 128
7 2 9
4 8 3
14
7
14    7 7
? ?
? ?
5
? ?
? ?
5 5 5 5
3. Expresse os números abaixo em notação científica.
a) 3 200
b) 0,00012
c) 602 000 000 000 000 000 000 000 (Constante de Avogadro)
d) 0,000000000067 (Constante de gravitação universal – SI)
e) 0,00000000000000000016 (Carga elementar do próton – SI)
a) 3 200 5 3,2 ? 1 000 5 3,2 ? 103
b) 0,00012 5 
1,2
10000
1,2
10
 
4
5 5 1,2 ? 1024
c) 602 000 000 000 000 000 000 000 5 6,02 ? 100 000 000 000 000 000 000 000 5 
5 6,02 ? 1023
d) 0,000000000067 5 5
6,7
100000000000
6,7
1011
 5 6,7 ? 10211
e) 0,00000000000000000016 5 5
1,6
10 000000000000000000
 
1,6
1019
 5 
5 1,6 ? 10219
EM_REG_137a154_MAT_SETOR_B_CA1.indd 142 10/29/15 10:03 AM
143
M
a
te
m
‡
ti
c
a
4. Um comerciante desejava saber quantos gr‹os de feij‹o 
existem em um saco com dois quilos. Para isso, usando 
uma balan•a de precis‹o, determinou que a massa de 
um gr‹o de feij‹o Ž 2,5 ? 1022 gramas. A quantidade de 
gr‹os que ele obteve foi:
a) 5 ? 105
b) 5 ? 106
 cc) 1,25 ? 105
d) 1,25 ? 106
e) 106
Do enunciado, temos:
?
2
número de grãos massa de um grão
1 2,5 10
x 2000
2
x ? 2,5 ? 1022 5 2 000
x 5 
?
2
2000
2,5  10 2
 5 1,25 ? 105
Então, ele obteve 125 000 grãos.
H11
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 Ð Unidade 1
Caderno de Exerc’cios 1 Ð Unidade 1
Tarefa M’nima
Aula 5
•	Fa•a os exerc’cios 1 a 3, cap. 5.
Aula 6
•	Fa•a os exerc’cios 6 a 8, cap. 5.
Tarefa Complementar
Aula 5
•	Leia os itens de 1 a 3, cap. 5.
•	Fa•a os exerc’cios 4 e 5, cap. 5.
Aula 6
•	Fa•a os exerc’cios 9 e 10, cap. 5.
5. (UFABC-SP)
Volume de ‡gua despejado no mar
200 000 metros cœbicos por segundo
O suficiente para encher a ba’a de Guanabara em quatro horas
(Inpe, História Natural dos rios Amazônicos e 
Enciclopédia Britânica)
Veja, 9 jul. 2008.
De acordo com os dados do quadro, que mostra o vo-
lume de ‡gua que Ž despejado no mar pelo rio Ama-
zonas, conclui-se que o volume de ‡gua da ba’a de 
Guanabara, em metros cœbicos, pode ser expresso por:
a) 7,2 ? 108
b) 7,2 ? 107
 cc) 2,88 ? 109
d) 2,88 ? 108
e) 2,88 ? 107
A partir das informações do enunciado, o volume de água, em metros 
cúbicos, é dado por:
200 000 ? 60 ? 60 ? 4 5 2 ? 105 ? 6 ? 10 ? 6 ? 10 ? 4 5 288 ? 107 5
5 2,88 ? 102 ? 1075 2,88 ? 109 
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aulas
Enem:Conhecimentos numéricos
7 e 8
Potências e Radicais (2)
nesta aula
144
M
a
te
m
á
ti
ca
 e
 s
u
a
s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
1. Radical aritmético
Sendo r > 0, b > 0 e n um número natural positivo temos:
r b    b rn n5 5⇔
Nesse caso, dizemos que r é a raiz enésima de b.
2. Propriedades dos radicais aritméticos
Sendo m, n e p números naturais não nulos, temos:
•	 a b a bn n n? 5 ? , com a > 0 e b > 0.
•	 5
a
b
a
b
n
n
n , com a > 0 e b . 0.
•	 5
?a amn n   m , com a > 0.
•	 a a
m
n mn5 , com a . 0.
em classe
1. Obtenha o valor de cada uma das raízes a seguir.
a) 49 
b) 1253 
c) 164
d) 9
4
 
2. Simplificando a expressão 5 8 2 18 –  50+ obtém-se:
a) 2 2.
b) 8.
c) 5 2.
 cd) 11 2.
e) 8 2.
1 2 5
5 1 ? 2 ? 5
5 1 2 5
5
5 8 2 18 50
 5 2 2 2 3 2 5
10 2 6 2 5 2
11 2
3 2 2
3. Resolva o que se pede:
a) Calcule o valor de 2 ? 1( ) ( )3 1 3 1 .
( ) ( ) ( )2 ? 1 5 2 5 2 53 1 3 1 3 1 3 1 2
2
2
49 7 725 5
125 5 53 335 5
16 2 24 445 5
5 5( )94 32 32
2
b) Represente o número 
2
1
3 1
 na forma 1a 3 b, sendo 
a e b números racionais.
Multiplicando o numerador e o denominador da fração por 3 11( ), temos:
1
3 1
3 1
3 1
3 1
3 1 3 12
?
1
1
5
1
2 ? 1
5
( ) ( ) ( )
1
2
5
13 1
3 1
3 1
22 2
Assim, uma representação do número 
2
1
3   1
 na forma a 3 b1 , 
sendo a e b números racionais, é 1
1
2
3
1
2
.
4. Racionalize cada uma das frações a seguir.
a) 1
3
b) 1
53
1
3
3
3
3
3
? 5
1
5
5
5
5
5 5
5
5
 
25
53
23
23
23
1 23
23
33
3
? 5
?
5 5
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145
M
a
te
m
‡
ti
c
a
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 Ð Unidade 1
Caderno de Exerc’cios 1 Ð Unidade 1
Tarefa M’nima
Aula 7
•	Faça os exercícios 13 e 14, cap. 5.
Aula 8
•	Faça os exercícios 17 e 18, cap. 5.
Tarefa Complementar
Aula 7
•	Leia os itens 4 a 6, cap. 5.
•	Faça os exercícios 15 e 16, cap. 5.
Aula 8
•	Faça os exercícios 19 a 21, cap. 5.
c) 
1
1
2  1
( ) ( ) ( )1
5
1
?
2
2
5
2
1 ? 2
5
2
2
5 2
1
2 1
1
2    1
2 1
2 1
2 1
2 1 2 1
2 1
2 1
2 1
2
2
d) 
2
2
5 1
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
5
2
?
1
1
5
1
2 ? 1
5
1
2
5
1
5
12
5 1
2
5 1
5 1
5 1
2 5 1
5 1 5 1
2 5 1
5 1
2 5 1
4
5 1
22 2
5. A Grécia antiga foi o berço de muitas das grandes ideias matemáticas que usamos até hoje. Uma delas é a razão 
áurea que pode ser definida do seguinte modo:
"A parte está para o todo, assim como seu complemento está para si mesmo."
A partir dessa frase, tomando-se o todo como a unidade, ou seja, 1, e denotando por x a parte, é possível 
escrever a proporção 5 2x
1
1 x
x
.
a) Mostre que o número 
25 1
2
 satisfaz a proporção, ou seja, que esse número é uma razão áurea.
2
5
2
2
2
5
2 1
2
5
2
2
5
2
2
5
2
2
?
1
1
5
1 2 2
2
5
2
5
( )
1 x
x
1
5 1
2
5 1
2
2 5 1
2
5 1
2
3 5
2
5 1
2
3 5
5 1
3 5
5 1
5 1
5 1
3 5 3 5 5
5  1
5 1
2
x
12 2
b) Muitos matemáticos chamam de razão áurea o inverso de 
25 1
2
. Obtenha esse outro número.
( )
( )( )
( )
( )
( )
2
5
2
5
2
?
1
1
5
1
2 1
5
1
2
5
1
5
11 
5 1
2
2
5 1
2
5 1
5 1
5 1
2 5 1
5 1 5 1
2 5 1
5 1
 
2 5 1
4
5 1
22 2
H1
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Ângulos
aulas
Enem: Conhecimentos geométricos
9 e 10
146
M
a
te
m
‡
ti
ca
 e
 s
u
a
s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
nestas aulas
D
V
A
C B
β α
Os ‰ngulos AVB e CVD são opostos pelo vŽrtice.
Propriedade: eles são congruentes, isto Ž, possuem medidas 
iguais, ou seja, a 5 b.
•	 Bissetriz de um ‰ngulo Ž uma semirreta com origem no vŽr-
tice desse ‰ngulo e que divide o ‰ngulo em dois ‰ngulos 
congruentes. Na figura abaixo, a semirreta VS Ž a bissetriz 
do ‰ngulo AVB .
V
A
B
S
α
α
3. Retas paralelas cortadas por uma transversal
Considere r e s duas retas distintas cortadas pela transversal t.
r
α
s
t
β
r // s ⇔ a 5 b
1. Ângulo
ƒ a região convexa do plano, delimitada por duas semirretas de 
mesma origem e não opostas.
ss
A
B
V α
Elementos:
•	 Lados: as semirretas VA e VB
•	 VŽrtice: o ponto V
Nomenclatura: ‰ngulo AVB ou BVA ou V
Medida: m (AVB) 5 a, com 0¡ , a , 180¡
Observa•‹o:
Se as semirretas VA e VB forem coincidentes, o ‰ngulo AVB 
Ž nulo e sua medida Ž 0¡.
Se as semirreta VA e VB forem opostas, o ‰ngulo AVB Ž raso 
e sua medida Ž 180¡.
2. Definições
•	 Dois ‰ngulos de medidas a e b são chamados de com-
plementares quando a soma de suas medidas Ž 90¡, isto 
Ž, a 1 b 5 90¡.
Exemplo: 20¡ e 70¡.
•	 Dois ‰ngulos de medidas a e b são chamados de suple-
mentares quando a soma de suas medidas Ž 180¡, isto Ž, 
a 1 b 5 180¡. 
Exemplo: 130¡ e 50¡.
•	 Dois ‰ngulos são chamados de ‰ngulos opostos pelo vŽrtice 
quando os lados de um são semirretas opostas aos lados 
do outro.
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147
M
a
te
m
á
ti
c
a
1. Calcule:
a) O complemento de um ‰ngulo que mede 26¡.
90¡ 2 26¡ 5 64¡
b) O suplemento de um ‰ngulo que mede 42¡.
180¡ 2 42¡ 5 138¡
c) O complemento da ter•a parte de um ‰ngulo que 
mede 42¡.
90¡ 2 
¡42
3
 5 76¡
d) O suplemento do triplo de um ‰ngulo que mede a 
graus.
180¡ 2 3a
2. Calcule a medida x, em graus, nas figuras a seguir.
a) 
2x 1 45¡
x 1 15¡
Como os dois ‰ngulos consecutivos formam um ‰ngulo reto, 
temos:
2x 1 45¡ 1 x 1 15¡ 5 90¡
3x 1 60¡ 5 90¡ 
3x 5 30¡ 
x 5 10¡
b) 
2x 1 15° 3x 2 25°
Como os dois ‰ngulos são adjacentes, temos:
2x 1 15¡ 1 3x 2 25¡ 5 180¡ 
5x 2 10¡ 5 180¡
5x 5 190¡ 
x 5 38¡
c) 
55¡3x 1 25¡
Como os dois ‰ngulos são opostos pelo vŽrtice, temos:
3x 1 25¡ 5 55¡ 
3x 5 30¡
x 5 10¡
d) ( VS Ž bissetriz)
3x 2 5¡
35¡ 2 x
V A
S
B
Como a semirreta VS Ž bissetriz, temos:
35¡ 2 x 5 3x 2 5¡
35¡ 1 5¡ 5 x 1 3x
4x 5 40¡
x 5 10¡
3. Nas figuras a seguir, as retas r e s s‹o paralelas. Calcule 
a medida x em graus.
a) 
2x 2 20¡
x 1 15¡
r
s
Os ‰ngulos destacados na figura são alternos internos. 
Assim,
2x 2 20¡ 5 x 1 15¡
2x 2 x 5 15¡ 1 20¡
x 5 35¡
em classe
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148
M
a
te
m
‡
ti
ca
 e
 s
u
a
s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
b) 
x 2 20¡
2x 2 10¡
r
s
Na figura a seguir, os ‰ngulos de medidas (x 2 20¡) e y (em graus) 
s‹o correspondentes, ou seja, y 5 x 2 20¡.
AlŽm disso, os ‰ngulos de medida y e (2x 2 10¡) s‹o adjacentes.
x 2 20¡
2x 2 10¡
r
s
y
Assim,
y 1 2x 2 10¡ 5 180¡ 
x 2 20¡ 1 2x 2 10¡ 5 180¡
3x 2 30¡ 5 180¡
3x 5 210¡ 
x 5 70¡
c) 
x
30°
25°
r
s
Na figura a seguir, tra•amos a reta t, paralela a r e s pelo ponto P:
P
30¡
30¡
25¡
25¡
r
t
s
Assim, x 5 25¡ 1 30¡ 5 55¡.
4. No mapa da figura abaixo, a rua Tupi é paralela à rua 
Jaci e ambas cortam a av. Sodré. Determine o ângulo 
agudo que a rua Tupi forma com a av. Sodré, com base 
nas informações do mapa.
Av. SodrŽ
A
v. Sod
rŽ
Ru
a 
Tu
pi
Ru
a
 J
a
ci
85¡
130¡
Seja x o ‰ngulo agudo que a rua Tupi forma com a av. SodrŽ, vamos 
tra•ar por P a paralela ˆ reta t que representa a rua Tupi.
85¡
xAv. SodrŽ
Ru
a 
Ja
ci
Ru
a 
Tu
pi
x
P
t
85¡
Da figura acima e das informa•›es do enunciado vem:
x 1 85¡ 5 130¡ 
x 5 45¡ 
Assim, o ‰ngulo agudo formado pelas ruas Ž de 45¡.
H7
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 Ð Unidade 3
Caderno de Exerc’cios 1 Ð Unidade 3
Tarefa M’nima
Aula 9
•	Faça os exercícios 1 a 3, cap. 1. 
Aula 10
•	Faça os exercícios 6 a 8, cap. 1.
Tarefa Complementar
Aula 9
•	Leia o capítulo 1.
•	Faça os exercícios 4 e 5, cap. 1.
Aula 10
•	Faça os exercícios 9 a 11, cap. 1.
EM_REG_137a154_MAT_SETOR_B_CA1.indd 148 10/29/15 10:03 AM
aulas
Enem: Conhecimentos geomŽtricos
11 e 12
ångulos em um tri‰ngulo
nestas aulas
149
M
a
te
m
á
ti
c
a
1. Teorema angular de Tales
Em um tri‰ngulo, a soma das medidas de seus ‰ngulos internos 
Ž igual a 180¡.
A
B C
γβ
α
2. Teorema do ‰ngulo externo
A medida de um ‰ngulo externo de um tri‰ngulo Ž igual ̂ soma 
das medidas dos ‰ngulos internos n‹o adjacentes a ele.
A
B C
e
β
α
a 1b 1 g 5 180¡
e 5 a 1 b
3. Consequências importantes
Em um tri‰ngulo equil‡tero, cada ‰ngulo mede 60¡.
A
B C
60¡
60¡
60¡
Dois dos ‰ngulos de um tri‰ngulo ret‰ngulo s‹o complementares.
A
B
C
α
β
Em um tri‰ngulo is—sceles, os ‰ngulos da base s‹o congruentes.
A
B C
α α
a 1 b 5 90¡
EM_REG_137a154_MAT_SETOR_B_CA1.indd 149 10/29/15 10:03 AM
em classe
150
M
a
te
m
á
ti
ca
 e
 s
u
a
s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
1. Calcule o valor de x nos tri‰ngulos a seguir.
a) 
x 1 25°65°
x
Do teorema angular de Tales vem:
x 1 65¡ 1 x 2 25¡ 5 180¡ 
2x 1 40¡ 5 180¡ 
2x 5 140¡ 
x 5 70¡
b) 
2x 2 15¡
65¡
x
Do teorema do ‰ngulo externo vem:
x 1 65¡ 5 2x 2 15¡
x 2 2x 5 Ð15¡ 2 65¡ 
2x 5 280¡ 
x 5 80¡
c) 
85°
20°
x
Na figura a seguir, aplicando o teorema do ‰ngulo externo, vem:
85¡
20¡
20¡
95¡
x
x 5 95¡ 1 20¡ 
x 5 115¡
2. Na figura abaixo, o tri‰ngulo ABC Ž is—sceles de base 
BC. Calcule o valor de x.
45¡
75¡
x
A
D
CB
Do tri‰ngulo ABC, is—sceles de base BC, temos:
75¡ 1 75¡ 1 m(å) 5 180¡
m(å) 5 30¡
Do tri‰ngulo ABD e do teorema do ‰ngulo externo vem:
x 1 30¡ 5 45¡
x 5 15¡ 
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3. O enxaimel é uma técnica de construção que consiste em paredes montadas com hastes de madeira encaixadas en-
tre si em posições horizontais, verticais ou inclinadas, cujos espaços são preenchidos geralmente por pedras ou tijolos. 
Enxaimel quer dizer enchimento. Além de fortes, as casas eram baratas e de construção simples.
O Vale do Itajaí e o norte do estado de Santa Catarina têm uma das maiores concentrações deste modo construtivo 
na América. Os municípios de Indaial, Blumenau, Joinville, São Bento do Sul, Timbó, Taió e Pomerode têm número 
significativo de enxaiméis.
H9
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 Ð Unidade 3
Caderno de Exerc’cios 1 Ð Unidade 3
Tarefa M’nima
Aula 11
•	Faça os exercícios 1 a 3, cap. 2.
Aula 12
•	Faça os exercícios 7 a 9, cap. 2.
Tarefa Complementar
Aula 11
•	Leia o capítulo 2.
•	Faça os exercícios 4 a 6, cap. 2.
Aula 12
•	Faça os exercícios 10 a 12, cap. 2.
Na foto, vemos o Castelinho do Turismo, Blumenau-SC. No desenho abaixo, destacamos um detalhe do Castelinho 
do Turismo, um triângulo.
Dado que o triângulo ABC é retângulo em A, que DA > DC > DB e que ABC 5 20°, determine a medida do ângulo ADC .
Como o triângulo ABD é isósceles, m( BAD ) 5 20°.
Aplicando o teorema do ângulo externo no triângulo ABD, vem
m( ADC) 5 20° 1 20° 5 40°
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rumo ao
Enem
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1. (Enem) Há, em virtude da demanda crescente de economia de água, equipamentos e utensílios como, por exemplo, 
as bacias sanitárias ecológicas, que utilizam 6 litros de água por descarga em vez dos 15 litros utilizados por bacias 
sanitárias não ecológicas, conforme dados da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). Qual será a eco-
nomia diária de água obtida por meio da substituição de uma bacia sanitária não ecológica, que gasta cerca de 
60 litros por dia com a descarga, por uma bacia sanitária ecológica?
a) 24 litros.
 cb) 36 litros.
c) 40 litros.
d) 42 litros.
e) 50 litros.
2. (Enem) Uma torneira não foi fechada corretamente e ficou pingando, da meia-noite às seis horas da manhã, com a 
frequência de uma gota a cada três segundos. Sabe-se que cada gota de água tem volume de 0,2 mL.
Qual foi o valor mais aproximado do total de água desperdiçada nesse período, em litros?
a) 0,2
b) 1,2
 cc) 1,4
d) 12,9
e) 64,8
3. (Enem) Em 2010, um caos aŽreo afetou o continente europeu, devido ˆ quantidade de fuma•a expelida por um vulc‹o na 
Isl‰ndia, o que levou ao cancelamento de inœmeros voos. Cinco dias ap—s o in’cio desse caos, todo o espa•o aŽreo europeu 
acima de 6 000 metros estava liberado, com exce•‹o do espa•o aŽreo da Finl‰ndia. L‡, apenas voos internacionais acima 
de 31 mil pŽs estavam liberados.
Dispon’vel em: <www1.folha.uol.com.br>. 
Acesso em: 21 abr. 2010. Adaptado.
Considere que 1 metro equivale a aproximadamente 3,3 pés.
Qual a diferença, em pés, entre as altitudes liberadas na Finlândia e no restante do continente europeu cinco dias 
após o início do caos?
a) 3 390 pés.
b) 9 390 pés.
 cc) 11 200 pés.
d) 19 800 pés.
e) 50 800 pés.
4. (Enem) A resist•ncia elŽtrica e as dimens›es do condutor
A rela•‹o da resist•ncia elŽtrica com as dimens›es do condutor foi estudada por um grupo de cientistas por meio de 
v‡rios experimentos de eletricidade. Eles verificaram que existe proporcionalidade entre: 
Resist•ncia (R) e comprimento (), dada a mesma sec•‹o transversal (A);
Resist•ncia (R) e ‡rea da sec•‹o transversal (A), dado o mesmo comprimento (); e 
Comprimento () e ‡rea da sec•‹o transversal (A), dada a mesma resist•ncia (R).
Considerando os resistores como fios, pode-se exemplificar o estudo das grandezas que influem na resist•ncia elŽ-
trica utilizando as figuras seguintes.
Fio condutor
Fios de mesmo material
resistência RA
,
resistência RA
,
Fios de mesmo material
resistência RA
,
Fios de mesmo material
resistência RA
,
resistência 2RA
2,
resistência R2A
2,
2A
,
R
2
resistência 
Dispon’vel em: <www.efeitojoule.com>. Acesso em: abr. 2010. Adaptado.
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As figuras mostram que as proporcionalidades existentes entre resistência (R) e comprimento (), resistência (R) e área 
da secção transversal (A), e entre comprimento () e área da secção transversal (A) são, respectivamente,
a) direta, direta e direta.
b) direta, direta e inversa.
 cc) direta, inversa e direta.
d) inversa, direta e direta.
e) inversa, direta e inversa.
5. (Enem) A diversidade de formas geométricas espaciais criadas pelo homem, ao mesmo tempo em que traz benefícios, 
causa dificuldades em algumas situações. Suponha, por exemplo, que um cozinheiro precise utilizar exatamente 100 mL 
de azeite de uma lata que contenha 1 200 mL e queira guardar o restante do azeite em duas garrafas, com capaci-
dade para 500 mL e 800 mL cada, deixando cheia a garrafa maior. Considere que ele não disponha de instrumento 
de medida e decida resolver o problema utilizando apenas a lata e as duas garrafas. As etapas do procedimento 
utilizado por ele estão ilustradas nas figuras a seguir, tendo sido omitida a 5a etapa.
1a etapa
AZEITE
1200 mL
2a etapa
AZEITE
400 mL
3a etapa
AZEITE
400 mL 300 mL
4a etapa
AZEITE
900 mL
5a etapa
AZEITE
6a etapa
AZEITE
100 mL 300 mL300 mL
?
?
?
Qual das situações ilustradas a seguir corresponde à 5a etapa do procedimento?
a) 
AZEITE
100 mL
700 mL
400 mL
b) 
AZEITE
200 mL 200 mL
c) 
AZEITE
400 mL
 cd) 
AZEITE
900 mL 300 mL
e) 
AZEITE
900 mL 100 mL
200 mL
Para responder ˆs duas quest›es a seguir, considere o texto.
Se compararmos a idade do planeta Terra, avaliada em quatro e meio bilhões de anos (4,5 × 109 anos), com a de 
uma pessoa de 45 anos, então, quando começaram a florescer os primeiros vegetais, a Terra já teria 42 anos. Ela só 
conviveu com o homem moderno nas últimas quatro horas e, há cerca de uma hora, viu-o começar a plantar e a 
colher. Há menos de um minuto percebeu o ruído de máquinas e de indústrias e, como denuncia uma ONG de defesa 
do meio ambiente, foram nesses últimos sessenta segundos que se produziu todo o lixo do planeta!
6. (Enem) O texto permite concluir que a agricultura começou a ser praticada há cerca de:
a) 365 anos.
b) 460 anos.
c) 900 anos.
 cd) 10 000 anos.
e) 460 000 anos.
7. (Enem) Na teoria do Big Bang, o Universo surgiu há cerca de 15 bilhões de anos, a partir da explosão de uma densíssima 
gota. De acordo com a escala proposta no texto, essa teoria situaria o início do Universo há cerca de:
a) 100 anos.
 cb) 150 anos.
c) 1 000 anos.
d) 1 500 anos.
e)2 000 anos.
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8. (Enem) A Ag•ncia Espacial Norte Americana (NASA) 
informou que o asteroide YU 55 cruzou o espa•o entre a 
Terra e a Lua no m•s de novembro de 2011. A ilustra•‹o 
a seguir sugere que o asteroide percorreu sua trajet—ria 
no mesmo plano que contŽm a —rbita descrita pela Lua 
em torno da Terra. Na figura, est‡ indicada a proximida-
de do asteroide em rela•‹o ˆ Terra, ou seja, a menor 
dist‰ncia que ele passou da superf’cie terrestre.
Asteroide YU 55
Tamanho: 400 m
de diâmetro,
equivalente ao 
tamanho de um
porta-aviões
Lua
Asteroide YU 55
Passagem:
8 de novembro
às 21h28min
(horário de Brasília)
O asteroide se aproximará
o su�ciente para que cientistas
possam observar detalhes
de sua superfície
Terra
Proximidade
da Terra
325 mil km
Com base nessas informa•›es, a menor dist‰ncia que o 
asteroide YU 55 passou da superf’cie da Terra Ž igual a
a) 3,25 ? 102 km.
b) 3,25 ? 103 km.
c) 3,25 ? 104 km.
 cd) 3,25 ? 105 km.
e) 3,25 ? 106 km.
9. Ao estudar o fen™meno f’sico da gravita•‹o Johannes 
Kepler (1571-1630) enunciou a seguinte lei:
"Os quadrados dos per’odos de transla•‹o dos planetas 
s‹o proporcionais aos cubos dos semieixos maiores de 
suas —rbitas."
Sendo T o per’odo de transla•‹o de certo planeta, D o 
semieixo maior de sua —rbita e k a constante de proporcio-
nalidade nesta ordem entre essas grandezas, a rela•‹o 
que nos fornece o per’odo de transla•‹o desse planeta 
em fun•‹o da medida do semieixo maior Ž:
a) T 5 k ? D
b) T k D
2
3
5 ?
c) T k D
1
3
2
3
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 cd) T k D
1
2
3
2
5 ?
e) T k D
1
2
5 ?
H17
Dispon’vel em: <http://noticias.terra.com.br>. Adaptado.
H19
10. (Enem)
Em 20 de fevereiro de 2011, ocorreu a grande erup•‹o 
do vulc‹o Bulusan nas Filipinas. A sua localiza•‹o geo-
gr‡fica no globo terrestre Ž dada pelo GPS (sigla em ingl•s 
para Sistema de Posicionamento Global) com longitude 
124¡3'0'' a leste do meridiano de Greenwich.
Dado: 1¡ equivale a 60' e 1' equivale a 60''.
PAVARIN, G. Galileu, fev. 2012. Adaptado.
A representa•‹o angular da localiza•‹o do vulc‹o com 
rela•‹o ˆ sua longitude na forma decimal Ž:
a) 124,02¡.
 cb) 124,05¡.
c) 124,20¡.
d) 124,30¡.
e) 124,50¡.
11. Ao consultar o mapa de sua cidade, Jœlia percebeu que 
as avenidas Abelha e Bela, paralelas, possu’am uma 
liga•‹o pela rua Torta. Essa rua formava um "cotovelo", 
como mostra a figura a seguir.
130¡
25¡
ÒcotoveloÓ
Av. Abelha
Av. Bela
A medida do ‰ngulo formado pelo "cotovelo" Ž:
 ca) 75¡.
b) 50¡.
c) 25¡.
d) 90¡.
e) 45¡.
12. Ao navegar em um rio, Marcos verificou que a partir de 
um ponto A o ‰ngulo que uma ‡rvore localizada em 
um ponto P fazia com sua trajet—ria media 20¡. Ap—s 
deslocar-se 100 m para um ponto B (conforme a figura), 
o ‰ngulo com o qual ele via essa mesma ‡rvore dobrou.
A B
P
Trajet—ria
Nessas condi•›es, a dist‰ncia do ponto em que ele se 
encontra (ponto B) e a ‡rvore Ž:
a) 20 m
b) 25 m
c) 50 m
d) 75 m
 ce) 100 m
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Interdisciplinares
Atividades
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Olhando o cŽu
A observação e a descrição do movimento de planetas e estrelas têm sido realizadas por grupos humanos 
desde muito cedo ao longo da História. No final da Pré-História, quando a caça-coleta começou a ser subs-
tituída pela agricultura-pastoreio, o ser humano ganhou tempo livre, de contemplação: sem a necessidade 
permanente de obter caça e tendo sua sobrevivência garantida pela colheita – feita uma vez por ano –, o 
ser humano começou a desviar seu olhar da terra para contemplar cada vez mais os céus. 
O desenvolvimento de calendários, baseados na observação do movimento dos astros no céu, foi uma 
conquista precoce das primeiras civilizações, desde o Egito e a Mesopotâmia até os incas e astecas na 
América. Há registro de perturbações nesse movimento em uma tábua de barro encontrada em escavações 
arqueológicas na Síria, escrita em língua ugarítica, que descreve um eclipse solar ocorrido precisamente no 
dia 5 de março de 1223 a.C., já feita a adaptação ao calendário atual.
Mais tarde, em sua descrição do universo, o filósofo grego Aristóteles (século IV a.C.) distinguiu duas 
regiões: sublunar e supralunar. Na região sublunar, onde vivem os homens, encontravam-se terra, água, ar 
e fogo, elementos mutáveis, submetidos a movimentos retilíneos e descontínuos. Já a região supralunar era 
preenchida de “éter” (uma hipotética substância que ocuparia esses espaços) e caracterizada pelos movi-
mentos circulares e permanentes.
De acordo com Aristóteles, a Lua era a fronteira entre esses dois universos: flutuava no éter, seguia um 
movimento circular ao longo da abóbada celeste, mas passava por algumas mudanças, como os eclipses. A 
travessia da Lua diante do Sol caracterizava uma exleipsis, palavra grega derivada do verbo ekleípō (= deixar 
para trás).
O astrônomo egípcio Ptolomeu (século II) partiu da descrição de Aristóteles e, utilizando antigos regis-
tros astronômicos babilônicos, elaborou uma precisa representação do Universo em sua obra, o Almagesto 
(= grande tratado). Com isso, ele fundou o geocentrismo, concepção segundo a qual a Terra (morada 
dos humanos, mais importante criação divina) era o centro do Universo. A visão de mundo aristotélica-
-ptolomaica adequava-se ao Cristianismo, uma vez que colocava a Terra no centro do Universo e a descrevia 
como um local de imperfeição (em oposição ao céu perfeito, eterno e imutável, morada de Deus).
Somente durante o Renascimento (séculos XIV a XVI) a visão aristotélica-ptolomaica foi ultrapassada, 
graças ao surgimento de novas concepções aprimoradas por observações astronômicas cada vez mais pre-
cisas. A invenção do telescópio para observação (1609-1610) e as teses de Nicolau Copérnico (1473-1543) e 
Galileu Galilei (1564-1642) foram fundamentais para a afirmação do heliocentrismo, visão segundo a qual a 
Terra não estava no centro do Universo, mas girava em torno do Sol.
O movimento pendular aparente do Sol
Devido à inclinação do eixo de rotação em relação ao plano de órbita da Terra, a trajetória do Sol vista 
por um observador fixo na Terra sofre deslocamentos ao longo do ano. 
Em relação a um ponto fixo na Terra, quando se observa diariamente o ponto junto ao horizonte em 
que o Sol “nasce” pela manhã ou “se põe” à tarde, constata-se que, ao longo do ano, esse ponto vai se 
deslocando. Para um observador fixo, o ponto da nascente ou do poente no horizonte parece afastar-se 
Os movimentos 
da Lua e da Terra
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da posição inicial, atingindo uma posição de máximo afastamento. Com o passar dos dias, esse ponto inicia seu movimento de 
retorno, passa pela posição inicial e reinicia seu afastamento, agora para o lado oposto, atingindo, em certa data, outra posição de 
máximo afastamento. 
Resumindo, durante o dia, o arco descrito pelo movimento aparente do Sol em relação à Terra inicia no lado em que está o 
ponto cardeal leste e vai até o lado em que está o ponto cardeal oeste. Entretanto, ao longo de um ano, esse arco pendula de norte 
a sul e de sul a norte. Isso explica o maior ou menor período de incidência dos raios solares nas regiões de nosso planeta.
Visualize esse movimento no seguinte endereço: <http://astro.unl.edu/classaction/animations/coordsmotion/transitmovie.swf>. 
Acesso em: 12 mar. 2015.
O movimento pendular explica por que os lugares 
onde o Sol “nasce” e “se põe” não servem como referência 
segura para a localização dos pontos cardeais leste (L) e 
oeste (O). Apenas nas datas referentes aos equinócios da 
primavera ou de outono, quando o Solse encontra “a 
pino” sobre o Equador, o “nascer” e o “pôr” do Sol ocor-
rem nessa região, respectivamente, nos pontos cardeais 
leste e oeste. 
Assim sendo, o máximo que se pode afirmar, para efei-
to de orientação, é que o ponto em que o Sol “surge” no 
horizonte pela manhã situa-se do lado em que se encontra 
o ponto cardeal leste e que o ponto em que o Sol “desapa-
rece” no horizonte à tarde situa-se do lado em que se en-
contra o ponto cardeal oeste.
Os movimentos da Terra
O astrônomo alemão Johannes Kepler (1571-1630), a 
partir de cuidadosas observações feitas, principalmente 
pelo astrônomo dinamarquês Tycho Brahe (1546-1601), 
deduziu que os planetas descrevem órbitas elípticas em 
torno do Sol, nas quais esse astro ocupa um dos focos da 
elipse. No caso de nosso planeta, para algumas análises, 
é possível aproximar sua trajetória em torno do Sol por 
uma circunferência. 
O plano de órbita da Terra em torno do Sol recebe 
a denominação de ecl’ptica. Além dele, a Terra descreve 
um movimento de rotação em torno de um eixo que 
passa pelo centro de nosso planeta, cujas extremidades 
constituem os polos geográficos norte (N) e sul (S). O 
plano perpendicular a esse eixo, que contém o centro 
da Terra, é denominado plano equatorial. A intersecção 
desse plano com a superfície terrestre constitui a linha 
do Equador.
Devido ao fato de o eixo de rotação da Terra não ser 
perpendicular à eclíptica, esses dois planos descritos não 
são coincidentes. O ângulo entre o plano equatorial e a 
eclíptica é, aproximadamente, 23°.
O
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SN
O arco descrito pelo Sol em torno da Terra se 
desloca no horizonte ao longo do ano.
D
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Ecl’ptica
Sol
Plano
equatorial
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FotoS: Igor koValchuk/ShutterStock/glow ImageS; anton 
BalaZh/ShutterStock/glow ImageS
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Recomendamos uma visita aos seguintes sites:
• <http://astro.unl.edu/classaction/animations/lunarcycles/lunar_applet033.html> (animação em ingl•s). Acesso em:
3 out. 2015
• <www.mailxmail.com/curso-iniciacion-astronomia/luna-orbita-lunar> (descrição detalhada da —rbita lunar Ð em
espanhol). Acesso em: 3 out. 2015
• <www.zenite.nu/>. Acesso em: 3 out. 2015
Para saber mais
No decorrer de 28 dias (aproximadamente), a Lua se apresenta em diferentes visualizações para um observador na Terra.
As apar•ncias da Lua 
Sabemos que, apesar de mostrar sempre a mesma face para um observador na Terra, a Lua adquire diferentes 
aparências em nosso céu noturno ao longo de quase um mês. A montagem de fotogra� as indica algumas delas. 
Para diferenciá-las, foram atribuídos nomes diferentes para cada uma das aparências.
 trIStan3D/ShutterStock/glow ImageS
As fases da Lua 
Para um observador terrestre, analogamente ao movimento aparente do Sol, a Lua sempre se desloca para oeste. Devido ̂ combinação entre
os movimentos da Lua em torno da Terra e desta em torno do Sol, acrescido ao fato de os per’odos de rotação (da Terra em torno de seu eixo e
da Lua em torno da Terra) serem diferentes, para um observador na Terra, a Lua passa a ser vis’vel no céu com 50 minutos de atraso a cada dia.
Como a posição entre Terra, Sol e Lua varia ao longo do per’odo sin—dico, a parcela da face da Lua iluminada pelo Sol que podemos 
visualizar varia gradativamente. ƒ usual dividir o per’odo de rotação da Lua em torno da Terra (< 29,5 dias, chamado m•s lunar) em quatro 
intervalos de tempo iguais de, aproximadamente, 1 semana. Apesar de, a cada dia, a Lua apresentar apar•ncia diferente, por simplicidade, 
essas apar•ncias são divididas em quatro grupos, denominados fases. São elas: cheia, minguante, nova e crescente.
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As fases da Lua s‹o iguais para qualquer observador no planeta. Por exemplo, se na cidade de Ara•atuba-SP um observador presencia 
a fase de Lua cheia, ˆ noite, um observador no Jap‹o tambŽm observar‡ a mesma fase.
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Cheia: ocorre quando um observador 
na Terra visualiza integralmente a face 
iluminada da Lua. No auge dessa fase, 
a Lua nasce a leste, aproximadamente 
ˆs 18h, e se p›e a oeste, aproximada-
mente ˆs 6h do dia seguinte.
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Minguante: no auge dessa fase, a 
Lua, vista por um observador no 
hemisfŽrio Sul da Terra, Ž um semi-
c’rculo com a face iluminada voltada 
para o leste. Nesse per’odo, a Lua 
nasce ̂ meia-noite e se p›e ao meio-
-dia, aproximadamente.
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Nova: durante essa fase, o hemisfŽrio 
da Lua voltado para a Terra n‹o refle-
te a luz do Sol. ƒ dito que a Lua est‡ 
em conjun•‹o com o Sol. A Lua Nova 
nasce por volta das 6h e se p›e ˆs 
18h. Ou seja, ela n‹o aparece no cŽu 
noturno de um observador.
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Crescente: no auge dessa fase, que 
ocorre cerca de uma semana depois 
da fase nova, a Lua nasce aproxi-
madamente ao meio-dia e se p›e ˆ 
meia-noite. Para um observador no 
hemisfŽrio Sul, a apar•ncia da Lua Ž 
de um semic’rculo, cuja face ilumi-
nada est‡ voltada para o oeste. J‡ 
no hemisfŽrio Norte, ao contr‡rio, o 
semic’rculo iluminado est‡ voltado 
para leste.
O L
O lado oculto da Lua
No passado, um fato que sempre intrigou os Òinvestigadores celestesÓ foi o de a Lua mostrar sempre a mesma face para um ob-
servador na Terra. Muitas lendas foram criadas a respeito da por•‹o oculta da Lua. O que deveria haver naquele hemisfŽrio lunar n‹o 
visto? Essa pergunta s— foi respondida durante a hist—ria recente da humanidade. Mais precisamente, em 1959, quando seu hemisfŽ-
rio oculto foi fotografado pela primeira vez por meio de uma c‰mera instalada na nave soviŽtica Luna 3. Esse hemisfŽrio lunar foi 
observado diretamente pela humanidade somente quando a nave norte-americana Apollo 8 orbitou em torno da Lua.
Mas por qual raz‹o a Lua 
sempre mostra o mesmo he-
misfŽrio para a Terra? Isso se 
deve ao fato de o tempo que a 
Terra demora a completar uma 
rota•‹o sobre si pr—pria Ð per’o-
do de rota•‹o Ð coincidir com o 
tempo que a Lua leva para dar 
uma volta em torno da Terra Ð 
per’odo de transla•‹o.
 A foto ˆ esquerda mostra o lado da Lua sempre voltado para a Terra. A foto ˆ 
direita mostra a face da Lua n‹o voltada para a Terra.
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Os eclipses 
Eclipsar significa ocultar, desaparecer. Portanto, quando se diz que ocorrer‡ um eclipse lunar, podemos entender que, durante certo 
intervalo de tempo, a Lua, que se encontrava vis’vel no cŽu, passa a ficar oculta. Da mesma maneira, em um eclipse solar, o Sol, antes 
vis’vel, torna-se oculto durante certo intervalo de tempo. 
O eclipse lunar
O eclipse lunar ocorre quando a Lua, em seu movimento de rota•‹o em torno da Terra, atravessa o cone de sombra da Terra. Note 
o esquema.
A
B
Sol
penumbra
Sombra
penumbraTerra
Lua
Note que um eclipse lunar s— pode ocorrer quando a Lua est‡ na fase cheia.
O eclipse solar 
O eclipse solar ocorre quando o Sol torna-se oculto devido ao alinhamento entre o Sol, a Lua e a Terra. Observe o esquema.
A
B
Sol S
P
P
Terra
Lua
P = Penumbra
S = Sombra
O eclipse solar s— pode ocorrer em fase nova (eclipse solar). 
AlŽm disso, para que ocorram eclipses, Ž necess‡rio que o Sol esteja sobre a linha dos nodos, que Ž a linha de intersec•‹o da ecl’ptica 
com o plano da —rbita da Lua em torno da Terra.
5,2°
Luz do Sol
Situação de não eclipse
Eclipse
Situação de eclipseEM_REG_413a424_AtivCompl_CA1.indd 418 10/29/15 9:54 AM
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Atividade
O movimento pendular do Sol em rela•‹o ˆ Terra nos ajuda a compreender por que nem sempre o Sol est‡ Òa pinoÓ 
ao meio-dia. Nos equin—cios, o Sol encontra-se a pino sobre a linha do Equador.
No solst’cio, encontra-se a pino sobre um dos tr—picos.
A partir da leitura das informa•›es anteriores, resolva as quest›es 1 e 2 a seguir.
Isso significa que, de acordo com a localiza•‹o de uma 
cidade, seus habitantes poder‹o ver o Sol ÒpassarÓ no 
z•nite ao meio-dia apenas uma vez por ano, no solst’cio 
de ver‹o austral (para cidades localizadas sobre o Tr—-
pico de Capric—rnio); duas vezes por ano (para cidades 
situadas entre os tr—picos), uma quando o Sol estiver Òse 
deslocandoÓ para o sul e outra quando ele estiver Òse 
deslocandoÓ para o norte; ou nunca poder‹o ver (nas 
zonas clim‡ticas temperadas e glaciais).
Os equin—cios ocorrem quase sempre no dia 20 mar•o 
(chamado equin—cio de outono para o hemisfŽrio Sul 
ou equin—cio da primavera para o hemisfŽrio Norte) e 
no dia 23 de setembro (chamado de equin—cio de ou-
tono no hemisfŽrio Norte e equin—cio de primavera no 
hemisfŽrio Sul). Nessas datas, as dura•›es do dia e da 
noite, nos dois hemisfŽrios, s‹o as mesmas. 
Leste
Oeste
Z•nite
Norte
Observador
Sul
N
C’rculo Polar çrtico
Tr—pico de C‰ncer
Tr—pico de Capric—rnio
Equador
C’rculo Polar Ant‡rtico
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Raios solares
Raios solares
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Disponível em: <www.apolo11.com/imagens/etc/
solsticios.jpg>. acesso em: 12 mar. 2015.
N
S
Equador
C’rculo Polar çrtico
Tr—pico de C‰ncer
Tr—pico de Capric—rnio
Equador
Solstício de dezembro:
ver‹o no hemisfŽrio Sul
Solstício de junho:
inverno no hemisfŽrio Sul
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1 Com base na figura a seguir, identifique, entre as posi•›es da Terra em rela•‹o ao Sol (pontos A, B, C e D), aquelas 
que se referem aos equin—cios de mar•o e de setembro.
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Ecl’ptica
Plano
equatorial
E
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B
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C
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FotoS: Igor koValchuk/ShutterStock/glow ImageS; anton 
BalaZh/ShutterStock/glow ImageS
Sol
em B, é inverno no hemisfério Sul, estação que ocorre em meados de junho. como o movimento da terra em torno do Sol é no sentido anti-horário
(para quem olha a terra pelo polo norte), a posição c deve corresponder ao equinócio de setembro (equinócio da primavera no hemisfério Sul ou
equinócio de outono no hemisfério norte). logo, a posição a deve corresponder ao equinócio de março (equinócio do outono no hemisfério Sul
ou equinócio de primavera no hemisfério norte).
2 (Enem Ð Adaptada) ÒCasa que n‹o entra sol, entra mŽdico.Ó
 I. Esse antigo ditado refor•a a import‰ncia de, ao construirmos casas, darmos orienta•›es adequadas aos dormit—-
rios, de forma a garantir o m‡ximo de conforto tŽrmico e salubridade.
Assim, confrontando casas constru’das em Lisboa (ao norte do Tr—pico de C‰ncer) e em Curitiba (ao sul do Tr—pico 
de Capric—rnio), para garantir a necess‡ria luz do sol, as janelas dos quartos devem estar voltadas, respectiva-
mente, para os pontos cardeais: 
a) norte / sul. 
 cb) sul / norte.
c) leste / oeste. 
d) oeste / leste. 
e) oeste / oeste.
 II. Justifique a alternativa escolhida na quest‹o anterior. 
os trópicos correspondem ao paralelo em que se verifica a declinação máxima do Sol em sua trajetória aparente ao longo do ano. nos pontos de
declinação máxima, a incidência solar é vertical. Isso acontece nos dias de ocorrência do solstício. nos demais dias, a luz solar incidirá de forma oblíqua
nos demais pontos da superfície terrestre. assim, qualquer local situado ao norte do trópico de câncer, como a cidade de lisboa, será iluminado
pelo Sol na sua face sul, e qualquer local situado ao sul do trópico de capricórnio, como a cidade de curitiba, será iluminado pelo Sol na sua face norte.
 
 
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3 (Enem – Adaptada) Leia o texto a seguir.
O jardim de caminhos que se bifurcam [...] Uma lâmpada aclarava a plataforma, mas os rostos dos meninos ficavam 
na sombra. Um me perguntou: O senhor vai à casa do Dr. Stephen Albert? Sem aguardar resposta, outro disse: A casa 
fica longe daqui, mas o senhor não se perderá se tomar esse caminho à esquerda e se em cada encruzilhada do caminho 
dobrar à esquerda.
BOrgeS, J. Ficções. rio de Janeiro: globo, 1997. p. 96. Adaptado.
Quanto à cena descrita, considere que:
 I. a cena ocorre na data de um dos equinócios; 
 II. o Sol nasce à direita dos meninos;
 III. o senhor seguiu o conselho dos meninos, tendo encontrado duas encruzilhadas até a casa.
Conclui-se que o senhor caminhou, respectivamente, nos sentidos: 
 ca) oeste, sul e leste.
b) leste, sul e oeste.
c) oeste, norte e leste.
d) leste, norte e oeste.
e) leste, norte e sul.
4 (Enem – Adaptada) O texto foi extraído da peça Troilo e Créssida, de William Shakespeare, escrita provavelmente 
em 1601.
“Os próprios céus, os planetas, e este centro reconhecem graus, prioridade, classe, constância, marcha, distância, 
estação, forma, eis porque o glorioso astro Sol está em nobre eminência entronizado e centralizado no meio dos outros, 
e o seu olhar benfazejo corrige os maus aspectos dos planetas malfazejos, e, qual rei que comanda, ordena sem entraves 
aos bons e aos maus.”
(personagem Ulysses, Ato I, cena 3).
SHAKeSPeAre, W. Troilo e Créssida. Porto: Lello & Irmão, 1948.
a) Explique a diferença entre os modelos geocêntrico e heliocêntrico aplicados ao nosso sistema solar.
no sistema geocêntrico, defendido por ptolomeu, no século II, em sua obra Almagesto (tradução: o grande tratado), a terra era o centro
do universo, com os demais corpos celestes, planetas e estrelas orbitando ao seu redor. no sistema heliocêntrico, sistematizado por
copérnico, cuja abordagem teórica foi publicada no ano de sua morte, 1543, no livro De revolutionibus orbium coelestium (“Da revolução
de esferas celestes”), a terra, os planetas e seus satélites orbitam em torno o Sol.
b) O texto adota o modelo geocêntrico ou heliocêntrico? Justifique sua resposta.
modelo heliocêntrico. Isso se justifica na passagem: “[...] eis porque o glorioso astro Sol está em nobre eminência entronizado e centralizado no meio
dos outros [...]”. obs.: É provável que Troilo e Créssida tenha sido escrita no fim de 1601. anos mais tarde, galileu foi julgado pelo tribunal do Santo 
 ofício por defender o heliocentrismo e obrigado a rejeitar essa teoria. Somente em 1983 a Igreja católica admitiu formalmente o erro nesse julgamento.
o nascer do Sol no equinócio ocorre no ponto leste. como o Sol nasce à 
direita dos meninos, quando eles orientam o visitante a tomar o caminho 
à esquerda, eles orientam esse visitante (como pode ser observado na 
rosa dos ventos ao lado) a seguir na direção oeste; ao tomar o caminho 
à esquerda nas duas encruzilhadas, ele se movimentará na primeira en-
cruzilhada para o sul e na segunda encruzilhada para o leste. 
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5 (Enem – Adaptada) A figura abaixo mostra um eclipse solar em cinco diferentes pontos do planeta, no instante em 
que foi fotografado.
Terra
Sol
I
II
III
IV
V
Três dessas imagens estão reproduzidas abaixo.
A B C
a) Qual é o significado de haver na figura duas regiões distintas: uma cinza e outra preta?
a região cinza é a região de penumbra. um observador nessaregião presenciará o eclipse parcial do Sol. a região preta é a região de sombra.
um observador nessa região presenciará o eclipse total do Sol.
b) Associe corretamente as imagens a, b e c, com as regiões numeradas de I a V.
Imagem a ⇒ região III
Imagem b ⇒ região V
Imagem c ⇒ região II
6 (Enem – Adaptada) Um grupo de pescadores pretende passar um fim de semana do mês de setembro, embarcado, 
pescando em um rio. Uma das exigências do grupo é que, no fim de semana a ser escolhido, as noites estejam ilu-
minadas pela Lua o maior tempo possível.
A figura representa as fases da Lua no período proposto.
2 de outubro 17 de setembro
24 de setembro
10 de setembro
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OUTUBRO 2012
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14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31
a) Considerando-se as características de cada uma das fases da Lua e o comportamento desta no período delimi-
tado, entre as datas mencionadas na figura, encontre o fim de semana que melhor atenderia às exigências dos 
pescadores.
entre uma fase e outra, há um período de 7 dias. Se 10 de setembro é lua minguante, então 3 de setembro é lua cheia.
consultando o calendário, um fim de semana possível é 1 e 2 de setembro. por outro lado, a lua está em fase cheia em 2 de outubro,
terça-feira. logo, no fim de semana anterior (29 e 30 de setembro) também a lua estará próxima à fase cheia. portanto,
esse também é um fim de semana possível. entre as duas datas, a mais apropriada (mais próxima da fase cheia) é a do fim de semana de
1 e 2 de setembro.
b) Durante o feriado do dia 12 de outubro, a Lua estará transitando entre quais fases? Justifique sua resposta.
2 de outubro é lua cheia; mais 7 dias, 9 de outubro, será lua minguante; mais 7 dias, 16 de outubro, será lua nova. logo, no feriado do dia 12,
a lua estará transitando entre as fases minguante e nova.
7 A figura a seguir mostra os horários em que a Lua nasce e se põe, nas quatro principais fases.
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Lua cheia Lua cheia
Lua minguante
Lua nova
Lua crescente
Por exemplo, note que, durante a fase cheia, a Lua nasce por volta das 18 horas e se põe por volta das 6 horas.
Certo dia, no Brasil, no ponto mais alto de sua trajetória, a Lua foi vista conforme mostra a foto.
Oeste Leste
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a) Qual é a fase da Lua? Justifique sua resposta.
Dica:
ÒCorcunda para o poente... quarto crescente...
Corcunda para o levante... quarto minguante....Ó
traduzindo: Face iluminada voltada para oeste, a lua estará na fase crescente. Face iluminada voltada para leste, a lua estará na fase minguante.
na foto, a face iluminada está voltada para oeste (poente). logo, a fase é crescente.
b) Qual foi o horário aproximado em que ocorreu essa visualização?
como ela foi observada no ponto mais alto de sua trajetória, ela está a meio caminho entre 12h (horário em que a lua nasce nessa fase) e
24h (horário em que a lua se põe nessa fase). portanto, o horário da fotografia deve ser ao redor de 18h.
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ANGLO
A coleção de Ensino MŽdio do Sistema Anglo de Ensino foi planejada para os 
alunos do sŽculo XXI, empreendedores e ávidos por inovaç›es e conhecimento.
O que se prop›e neste segmento Ž aliar a motivação dos alunos com a 
qualidade de ensino e os elevados padr›es acad•micos Ð uma tríade que 
representa um trabalho de excel•ncia nas escolas.
Com o conhecimento adquirido na escola, o aluno se sentirá pronto para a 
vida em sociedade e, como cidadão, poderá interferir na realidade em que vive. 
Nosso objetivo Ž transformar o lema: Òaula dada, aula estudadaÓ em prática, 
provocando o exercício da autonomia e o aperfeiçoamento constantes.
O material Ž composto de Caderno do Aluno, Livro-texto e Caderno de 
Exercícios, alŽm de diversos recursos digitais e ferramentas disponíveis no portal 
do Sistema.
Venha conosco nessa jornada!
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