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Ensino Médio
ANGLO
1
ª- série1
Manual do Professor • Matemática
290462_CAPA_EM_CA_MP_REGULAR_Mat.indd 1 10/29/15 12:27 PM
Manual
do Professor
Matemática 
Antonio Carlos ROSSO Junior
GLENN Albert Jacques van Amson
Roberto Teixeira Cardoso (ROBBY)
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 Direção de conteúdo e inovação pedagógica: Mário Ghio Júnior
Direção: Tania Fontolan
Coordenação pedagógica: Fábio Aviles Gouveia
Supervisão da disciplina: Glenn Albert Jacques van Amson, 
Roberto Teixeira Cardoso
Conselho editorial: Bárbara M. de Souza Alves, Eliane Vilela, 
Fábio Aviles Gouveia, Helena Serebrinic, Lidiane Vivaldini Olo, 
Luís Ricardo Arruda de Andrade, Mário Ghio Júnior, 
Marisa Sodero Cardoso, Ricardo de Gan Braga, 
Ricardo Leite, Tania Fontolan
Direção editorial: Lidiane Vivaldini Olo
Gerência editorial: Bárbara M. de Souza Alves
Coordenação editorial: Adriana Gabriel Cerello
Edição: Fernando Manenti Santos (coord.), 
Tadeu Nestor Neto
Assistência editorial: Walter Catão Manoel
Revisão: Hélia de Jesus Gonsaga (ger.), Danielle Modesto, 
Edilson Moura, Letícia Pieroni, Marília Lima, Marina Saraiva, 
Tayra Alfonso, Vanessa Lucena
Coordenação de produção: Paula P. O. C. Kusznir (coord.), 
Daniela Carvalho
Supervisão de arte e produção: Ricardo de Gan Braga
Edição de arte: Antonio Cesar Decarli
Diagramação: Guilherme P. S. Filho, Lourenzo Acunzo, 
Marisa Inoue Fugyama
Iconografia: Silvio Kligin (supervisão), 
Claudia Cristina Balista, Ellen Colombo Finta, Fernanda Regina Sales 
Gomes, Marcella Doratioto, Sara Plaça, Tamires Reis Castillo
Licenças e autorizações: Edson Carnevale
Capa: Daniel Hisashi Aoki
Foto de capa: Keith Ladzinski/National Geographic Creative/Getty Images
Projeto gráfico de miolo: Talita Guedes da Silva
Editoração eletrônica: Casa de Tipos
Todos os direitos reservados por SOMOS Sistemas de Ensino S.A.
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CEP: 04755-070 – São Paulo – SP
(0xx11) 3273-6000
© SOMOS Sistemas de Ensino S.A.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Rosso Junior, Antonio Carlos 
 Ensino médio : matemática : caderno 1 : manual do professor 
/ Antonio Carlos Rosso Junior, Glenn Albert Jacques van Amson, 
Roberto Teixeira Cardoso (Robby). -- 1. ed. -- São Paulo : SOMOS 
Sistemas de Ensino, 2016.
 1. Matemática (Ensino médio) I. Amson, Gleen Albert Jacques von. 
II. Cardoso (Robby), Roberto Teixeira. III. Título.
15-09658 CDD-510.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino médio 510.7
2016
ISBN 978 85 7595 002 9 (PR)
Código da obra 826151116
1a edição
1a impressão
Impressão e acabamento
Uma publicação
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Apresentação
Caro professor,
Reescrever um material que tem alcançado, junto com o excelente trabalho dos conveniados, os melhores re-
sultados do Brasil no Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) não é tarefa fácil, mas foi um desafio enfrentado e 
vencido, como você poderá constatar. 
Nesse processo, buscamos produzir um material didático capaz de aliar a motivação dos alunos com a qualidade 
de ensino e com os elevados padrões acadêmicos – uma tríade que representa um trabalho de excelência nas escolas.
Muitas inovações e aperfeiçoamentos foram feitos tomando como referência a tríade: as conversas realizadas 
nos diversos encontros com os autores, as preciosas colocações feitas no Fale com o Autor e um olhar para o futuro.
O material do aluno é composto pelo Caderno do Aluno, o Livro-texto e o Caderno de Exercícios, no meio físico 
e também no caderno digital, além de contar com a Plataforma de Estudo Adaptativo, com os objetos digitais e 
muitas outras ferramentas no portal do sistema. Você, professor, tem acesso a tudo isso e ainda ao Dose para Leão, 
ao Fale com o Autor, à TVWeb, às Separatas, aos Comunicados e muito mais!
Agora, vamos falar de cada parte separadamente.
CADERNO DO ALUNO
No Caderno do Aluno, as disciplinas são agrupadas em função da área de conhecimento a que pertencem: 
Gramática e Texto, Literatura e Língua Inglesa na área de “Linguagens, Códigos e suas Tecnologias”; Matemática em 
sua própria área, “Matemática e suas Tecnologias”; Biologia, Física e Química na área de “Ciências da Natureza e suas 
Tecnologias” e, finalmente, História e Geografia na área de “Ciências Humanas e suas Tecnologias”. E toda a abertura 
de área contém as competências e habilidades.
Além dessa nova organização, cada disciplina conta com uma série de seções em comum.
Nesta aula – Os autores escreveram essa seção pensando na lousa do professor. Ela permite ao aluno prestar 
atenção durante a explicação e fazer registros complementares em função do conteúdo que é apresentado pelo 
professor. Isso evita aquela frase “ou eu copio ou presto atenção” e favorece o desenvolvimento da aula, já que o 
professor ganha tempo. Para cada aula, é apresentado o objeto de conhecimento da Matriz de Referência do Enem 
relacionado com o assunto estudado.
A Matriz de Referência do Enem apresenta os eixos cognitivos (comuns a todas as áreas do conhecimento), 
as matrizes de referência das áreas do conhecimento (divididas em competências e, estas, em habilidades) e 
os objetos de conhecimento associados às matrizes de referência.
Em classe – Exercícios para serem feitos em sala de aula, em nível crescente de dificuldade e apresentando, em 
sua maioria, o selo com as habilidades da Matriz de Referência do Enem. A presença desse selo permite a alunos 
e professores uma atenção diferenciada em relação ao significado da habilidade. Quanto mais diferenciada é essa 
atenção, melhor é a preparação do aluno para provas como as do Enem – quanto mais ele aprender, mais bem 
preparado vai estar e mais motivado para a aprendizagem vai ficar, melhorando, assim, a aula do professor.
Em casa – Essa seção traz as atividades que devem ser realizadas pelos alunos para complementar a aprendiza-
gem. De nada adiantam intermináveis horas de aula se o aluno não tiver a oportunidade do estudo individualizado 
para concretizar seu conhecimento. Esta seção está dividida em:
Tarefas Mínimas – É um conjunto de orientações de estudo para que o aluno domine os pré-requisitos que 
possibilitarão dar continuidade à sua aprendizagem na aula seguinte. É importante dizer que a quantidade de 
exercícios propostos corresponde a uma adequada carga de trabalho, sem sobrecarregar e exigir algo que sabemos 
ser impossível de ser efetivamente cumprido.
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Tarefas Complementares – É a continuidade dos estudos propostos nas Tarefas Mínimas e permite que o aluno 
se aprofunde naqueles conteúdos em que sentir necessidade, ou tiver a possibilidade, ou ainda se for orientado pelo 
professor. 
Rumo ao Enem – Ao final de cada setor, há esse conjunto de exercícios com questões de padrão semelhante ao 
do Enem, retiradas das provas oficiais ou elaboradas por nossos autores. Em alguns momentos são indicadas pelos 
autores como parte das tarefas, mas também têm uma presença motivadora para que os alunos possam treinar 
em questões adequadas ao que estão aprendendo naquele caderno. Essa seção serve de fonte de exercícios extras 
para sala de aula, dependendo da intenção do professor de cada disciplina.
Atividade interdisciplinar – Atividade envolvendo diversas áreas e que pode ser aplicada em certo número de 
aulas, a critério dos professores das disciplinas envolvidas. A principal intenção dessa seção é permitir ao aluno uma 
visão múltipla de determinados assuntos, motivando ainda mais o estudo e o aprofundamento dos conhecimentos 
do aluno.
LIVRO-TEXTO
O Livro-texto apresenta o texto didático para cada conteúdo trabalhado. Ele permite um embasamento maior 
do aluno, com muitos exemplos que servirão de modelo em exercícios, além de trazer uma linguagem envolvente, 
mesmo nas áreas consideradas mais difíceis.
CADERNO DE EXERCÍCIOS
No Cadernode Exercícios temos os exercícios solicitados nas Tarefas Mínimas (TM) e Complementares (TC) e 
também uma série de exercícios extras, não pedidos nem na TM nem na TC, prontos para o aluno que quer trabalhar 
mais, ou para o professor que deseja passar mais exercícios de determinado conteúdo. Assim, não será necessário 
recorrer à impressão de listas de exercícios, poupando tempo e recursos de todos os atores: professores e escolas.
Atenção para mais uma novidade: o Caderno de Exercícios dos alunos não vem com as respostas, como acontecia 
na edição anterior. Agora, as respostas das tarefas estão no final do Manual do Professor. Isso significa que você, ao 
trabalhar com as tarefas em sala de aula, perceberá com tranquilidade quais alunos fizeram ou não os exercícios e 
poderá dar os melhores encaminhamentos para que a aprendizagem seja ampliada e aperfeiçoada. 
E O MANUAL DO PROFESSOR?
Outro eixo que ajuda a qualificar uma escola como sendo de boa qualidade é o do desenvolvimento profissional, 
para o qual o Manual do Professor é instrumento que colabora muito.
No MP você encontrará os objetivos de cada aula (para ajudar a elaborar o planejamento escolar) e as sugestões 
de encaminhamento da aula. Encontramos também sugestões de objetos digitais, de exercícios extras e de textos 
de aprimoramento e de atualização, que podem, inclusive, ser utilizados no trabalho com os alunos.
A partir do entendimento dessa estrutura de nosso material, podemos apresentar a nossa fundamentação pe-
dagógica, que está baseada no momento que é o ponto central de nosso sistema de ensino: a aula! E também em 
nosso lema: “Aula dada, aula estudada”!
A espinha dorsal foi pensada 
com base no Círculo Virtuoso 
da Aprendizagem:
Aula bem 
estudada
Aula bem 
assistida
Aula bem 
proposta 
(Autor)
Aula bem 
preparada
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Aula bem proposta – O programa está distribuído criteriosamente pelas aulas de que dispomos para desenvolver 
cada curso. Procuramos dimensionar cada uma delas com tempo suficiente para a exposição teórica e a realização 
de exercícios pelos alunos em classe. 
Aula bem preparada – Os planos de aula são bem detalhados, fornecendo as informações necessárias para a 
preparação de seu trabalho. É importante que você observe bem o material do aluno, veja as questões propostas 
e considere a possibilidade de introduzir objetos digitais. Examine as Tarefas Mínimas e Complementares e resolva 
com antecedência todos os exercícios envolvidos.
Aula bem assistida – Sempre que o professor conseguir motivar a classe, mantendo um diálogo constante com 
os alunos, e eles sentirem que estão aprendendo, a aula terá sido eficiente. Não pactue com os dispersivos. Exija dos 
alunos concentração, participação nos diálogos e muita garra durante as atividades de aula.
Aula bem estudada – É o resultado da resolução diária de todas as Tarefas Mínimas e de pelo menos parte das 
Tarefas Complementares. Os alunos devem ser orientados a fazer a avaliação de seu desempenho após cada prova 
e procurar o Plantão de dúvidas para esclarecimentos sobre as atividades propostas para casa.
Estamos à disposição para tirar dúvidas, ouvir opiniões e sugestões em nossos Encontros Presenciais e no Fale 
com o Autor.
Um espetacular ano letivo para todos!
Fábio Aviles Gouveia 
Coordenador pedagógico
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Sumário
Matemática ............................................................................................................................................................. 7
Setor A ...................................................................................................................................................................... 7
Aula 1 - Conjuntos numéricos: Q e R ...................................................................................................................... 7
Aula 2 - Conjuntos numéricos: exercícios ............................................................................................................... 7
Aula 3 - Conjuntos numéricos: operações ............................................................................................................. 8
Aula 4 - Conjuntos numéricos: números naturais .................................................................................................. 9
Aulas 5 e 6 - Técnicas algébricas: produtos notáveis (1) ...................................................................................... 9
Aulas 7 e 8 - Técnicas algébricas: produtos notáveis (2) ...................................................................................... 9
Aulas 9 e 10 - Equações elementares .................................................................................................................. 11
Aula 11 - Equações elementares: exercícios ........................................................................................................ 11
Aula 12 - Inequações elementares ....................................................................................................................... 12
Aulas 13 a 15 - Porcentagem – conceito e aplicações – Exercícios (1) ............................................................ 12
Aulas 16 e 17 - Porcentagem – variações sucessivas .......................................................................................... 13
Aula 18 - Porcentagem – exercícios (2) ................................................................................................................ 14
Setor B .................................................................................................................................................................... 15
Aulas 1 e 2 - Razão e proporção ........................................................................................................................... 15
Aulas 3 e 4 - Variáveis proporcionais .................................................................................................................... 15
Aulas 5 e 6 - Potências e radicais (1) ................................................................................................................... 16
Aulas 7 e 8 - Potências e radicais (2) ................................................................................................................... 17
Aulas 9 e 10 - Ângulos ............................................................................................................................................ 18
Aulas 11 e 12 - Ângulos em um triângulo ............................................................................................................. 19
Atividades interdisciplinares .............................................................................................................................. 20
Respostas – Caderno de Exercícios 1 ................................................................................................................. 21
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Matemática
Setor A
Caderno 1
Nesse primeiro caderno, o objetivo central é a retomada de 
temas tratados no Ensino Fundamental. Essa opção foi feita por 
muitos alunos esquecerem alguns conteúdos desenvolvidos em 
séries anteriores e porque ainda estão, nesse momento, adaptando­
­se a uma nova realidade: a do Ensino Médio. Assim, este caderno 
inicial também serve a esse propósito, ou seja, uma transição para 
uma abordagem mais aprofundada dos conteúdos da Matemática. 
Esses conteúdos serão extremamente úteis para o desenvolvi­
mento de diversos conteúdos do Ensino Médio, tanto na Mate­
mática quanto na Física e Química. 
Na abordagem desses assuntos, enfatizaremos a transposição da 
linguagem escrita para a algébrica e a interpretação de texto, na for­
ma de problemas, além da representação e interpretação de figuras. 
É importante destacar para o aluno que atualmente é essencialtrabalhar essas competências na Matemática, não se limitando ao 
uso direto de fórmulas sem aplicações.
Para isso o Manual do Professor é uma ferramenta valiosa na 
preparação da aula, pois contém sugestões para abordagem da 
teoria e para o encaminhamento da aula, além das resoluções dos 
exercícios de aula com esclarecimentos sobre os critérios e objetivos 
que levaram às escolhas desses exercícios.
2a. A todo decimal exato e a toda dízima periódica corresponde 
uma fração a
b
, sendo a e b, b  0, números inteiros.
3a. 0,111… 5 1
9
 e, consequentemente, 0,999… 5 1.
O exercício 3 mostra como “dividir” um intervalo em n par­
tes iguais. O exercício 4 mostra que toda dízima não periódica 
corresponde a um número irracional e “insinua” que, entre dois 
números racionais distintos, existem infinitos números irracionais. 
Isso poderá ser provado mais adiante, sem exigir conceitos de 
Matemática superior.
Sugestão de exercícios extras 
1. Qual Ž o vigŽsimo algarismo da parte fracion‡ria da 
representação decimal de 2
7
?
Resolução:
2 7
20 0,285714285714...
60
40
50
10
30
20
60
A
∴ 2
7
 5 0,285714285714...
Os algarismos do per’odo repetem-se de 6 em 6. Divi-
dindo 20 por 6, obtemos resto 2. 
O segundo algarismo do per’odo Ž 8. Logo, o vigŽsimo 
algarismo Ž 8.
2. Qual dos nœmeros a seguir pode ser representado pela 
d’zima peri—dica 1,234999... ?
 ca) 1,235
b) 1,2345
c) 1,2349
d) 1,23410
e) 1,23499
aula 2
Conjuntos numéricos: exercícios
Objetivos
Existem números que ainda não abordamos, como os repre­
sentados por 3,1415926535… (p), 0,1001100011100001111…, etc. 
que são dízimas infinitas e não periódicas. Das aulas anteriores, 
podemos concluir que a esses números não correspondem frações 
da forma a
b
, com a e b, b  0, inteiros. Portanto, existem núme­
aula 1
Conjuntos numéricos: Q e R
Objetivos
Rever o conceito de número racional e o de número irracional 
(vistos no Ensino Fundamental). O aluno deverá saber que todo 
número racional pode ser representado por uma dízima exata ou 
periódica. Em particular, temos 0,111… 5 1
9
 e 0,999… 5 1.
Encaminhamento
Comece as aulas resolvendo os exercícios 1 a 3. Os alunos de­
verão confirmar, pelo menos, três fatos importantes:
1a. Toda fração a
b
, com a e b, b  0, inteiros, corresponde a um 
decimal exato ou a uma dízima periódica.
7
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ros que não são racionais; são os chamados números irracionais. 
Com essa conclusão, apresentar o conjunto R, dos números reais 
(racionais ou irracionais).
Encaminhamento
Destaque que:
•	 Os números reais servem para medir distâncias, áreas, volu­
mes, massas, intensidades de força, temperaturas, etc.
•	 Existem números reais que não são racionais, tais como 2 , 
23 , p, etc.
•	 É importante salientar que:
 I. Sendo r um número racional e a um número irracional, 
tem­se que r 1 a é irracional.
 II. Sendo r, r  0, um número racional e a um número irra­
cional, tem­se que r ? a é irracional.
Faça os exercícios, juntamente com os alunos.
Sugestão de exercícios extras 
1. Sendo r e s números racionais, com r < s, dê um exemplo 
de número racional x, tal que r , x , s.
Resposta: r s
2
1 (Existem outros infinitos exemplos!)
2. Sendo r e s números racionais, com r < s, dê um exemplo 
de número irracional x, tal que r , x , s.
Resposta: r 1 (s 2 r) 2
2
 (Existem outros infinitos exemplos!).
Note que 0 , 2
2
 , 1 e, portanto, 0 , (s 2 r) 2
2
 , s 2 r.
Assim, r 1 0 , r 1 (s 2 r) 2
2
 , r 1 s 2 r, ou seja, 
r , r 1 (s 2 r) 2
2
 , s.
aula 3
Conjuntos numéricos: operações
Objetivos
Apresentar os tipos de intervalos em R e suas respectivas de­
notações.
Encaminhamento
Apresente as notações e dê dois exemplos simples, mostrando 
como operar com intervalos.
Na resolução de problemas que envolvem a contagem de ele­
mentos de (sub)conjuntos, diga que:
1o Se o conjunto A possui n elementos, eles NÃO são, necessa­
riamente, “exclusivos” de A.
2o É aconselhável começar a contagem de elementos pela inter­
secção “máxima”, isto é, a intersecção de todos os conjuntos 
envolvidos. Se o número de elementos dessa intersecção não 
é conhecido, usa­se uma incógnita.
3o Use um número mínimo de conjuntos ao interpretar o 
enunciado.
É importante que os alunos façam os exercícios sem a pronta 
ajuda do professor.
Ao final da aula, dê as resoluções dos exercícios e esclareça as 
dúvidas.
O conteúdo digital “Diagrama de Venn” indicado para esta 
aula apresenta informações e atividades referentes a operações de 
conjuntos que ampliam o que é trabalhado no material impresso. 
O conteúdo digital pode ser trabalhado em sala de aula ou reco­
mendado para os alunos como parte da tarefa.
Sugestão de exercícios extras 
1. (UFJF-MG) Define-se o comprimento de cada um dos 
intervalos [a, b], ]a, b[, ]a, b] e [a, b[ como a diferença 
(b 2 a).
Dados intervalos M 5 [3, 10], N 5 ]6, 14[ e P 5 [5, 12[, o 
comprimento do intervalo resultante de (M  P)  (P 2 N) 
é igual a:
a) 1
b) 3
 cc) 5
d) 7
e) 9
2. Considerando o intervalo I 5 [0, 7[, podemos afirmar 
que:
a) o menor elemento de I é 1.
b) o maior elemento de I é 6.
c) o maior elemento de I é 6,9.
d) o maior elemento de I é a dízima 6,999...
 ce) para todo x, x  I, existe y, y  I, tal que y . x.
3. Um ano n é bissexto se, e somente se, n é divisível por 
4, mas não por 100, ou n é divisível por 400. Considere 
o conjunto N como universo e A, B e C sendo, nessa 
ordem, o conjunto dos números naturais divisíveis por 
4, o conjunto dos números naturais divisíveis por 100 
e o conjunto dos números naturais divisíveis por 400. 
Represente esses conjuntos em um diagrama de Venn 
e indique os subconjuntos que representam os números 
que correspondem, pelo critério acima, a anos bissextos.
Resposta:
A
C
B
(Obs.: É interessante que os alunos façam pesquisas 
sobre ano bissexto, na internet.)
8
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4. (Mack-SP) Se a, b e c são números naturais não nulos 
tais que c 5 5a e b 1 3c 5 60, os possíveis valores de c 
são em número de:
a) 2
 cb) 3
c) 4
d) 5
e) 6
5. (UEPB) Seja o conjunto A 5 {x  R | x . 0}. Defina em A 
uma operação ‘∗’ para todo x, y, elementos de A, dada 
por x ∗ y 5 
1
xy
x   y
; o valor de 4 ∗ (6 ∗ 3) será:
a) 2
b) 1
c) 3
4
d) 
16
3
 ce) 
4
3
6. (UEPB) Os conjuntos A e B são definidos como 
A 5 {x  N | 2 3 < x < 3} e B 5 {x  Z | x é divisor ímpar 
de 18}. O conjunto A 2 B será:
 ca) {0, 2}
b) {0, 2, 3}
c) {2}
d) vazio
e) {2, 3}
aula 4
Conjuntos numéricos: números naturais
Objetivos
Apresentar questões que envolvem a representação decimal dos 
números naturais; o valor da posição de um algarismo.
Encaminhamento
Mostre, como exemplo, que o número dois mil e dezessete 
(2017) corresponde à soma 2 ? 103 1 0 ? 102 1 1 ? 10 1 7. Resolva 
os exercícios, depois de ter dado um tempo para os alunos tentarem 
resolver sozinhos.
Sugestão de exercícios extras 
1. De Morgan foi um matemático que nasceu na Inglaterra e 
viveu no século 19. Alguém perguntou a De Morgan qual 
era sua idade e recebeu como resposta: “Comemorei 
meu aniversário n no ano n2 ”. Descubra em que ano De 
Morgan nasceu.
Resolução: 402 5 1 600, 412 5 1 681, 422 5 1 764, 432 5 1 849 
e 442 5 1 936.
1 849 2 43 5 1 806
Resposta: 1806
2. Em um certo ano n, n . 2016, haverá mais domingos 
do que sábados. Dado que não se trata de um ano 
bissexto, podemos concluir que o dia 10 de janeiro desse 
ano será:
a) um domingo.
b) uma segunda-feira.
 cc) uma terça-feira.
d) uma sexta-feira.
e) um sábado.
Resolução: O ano n terá 365 dias; 52 semanas comple-
tas (364 dias), mais um dia.
Podemos concluir que esse último dia será um domingo: 
31/12/2017.
Resumindo, começando com o dia 1o de janeiro de 2017, 
haverá 52 semanas da forma dom, seg, ter, qua, qui, 
sex, sáb, mais um domingo. O dia 10 de janeiro, como 
o dia 3 de janeiro, será uma terça-feira.
Resposta: C
aulas 5 e 6
Técnicas algébricas:produtos notáveis (1)
Objetivos
Apresentar os produtos notáveis e algumas técnicas elemen­
tares para fatorar.
Encaminhamento
Resolva os exercícios 1 e 2 junto com os alunos, fazendo as 
contas detalhadamente e mostrando os padrões, conforme o re­
sumo teórico da aula.
Resolva os exercícios 3 a 5, com base nos padrões apresentados.
Resolva os exercícios 6 e 7, mostrando que só decorar as fór­
mulas não basta.
aulas 7 e 8
Técnicas algébricas: 
produtos notáveis (2)
Objetivos
Reapresentar os produtos notáveis vistos nas aulas anteriores, 
resolver algumas questões de aplicação deles e apresentar produtos 
notáveis que envolvem cubos.
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Encaminhamento
Explore o resumo te—rico das aulas, linha por linha. Chegando 
aos cubos, siga a seguinte linha, junto com os alunos.
•	 (a 1 b)3 5 (a 1 b)(a 1 b)(a 1 b)
5 (a 1 b)(a2 1 2ab 1 b2)
5 a3 1 2a2b 1 ab2 1 a2b 1 2ab2 1 b3
5 a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3
•	 (a 1 b)3 5 a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3
(a 1 b)3 5 a3 1 3ab(a 1 b) 1 b3
(a 1 b)3 2 3ab(a 1 b) 5 a3 1 b3
(a 1 b)[(a 1 b)2 2 3ab] 5 a3 1 b3
(a 1 b)(a2 1 2ab 1 b2 2 3ab) 5 a3 1 b3
•	 (a 1 b)(a2 2 ab 1 b2) 5 a3 1 b3
Diga aos alunos que, para (a 2 b)3 e a3 2 b3, h‡ procedimentos 
an‡logos e siga a sequ•ncia de exerc’cios.
Sugestão de exercícios extras
1. (UFRS) A expressão que deve ser somada a 
a² 1 6a²b² 2 12a²b para que resulte o quadrado de 
(2a 2 3ab) é:
 ca) 3a2 1 3a2b2
b) a2 2 9a2b2 1 12a2b
c) 23a2 23a2b2
d) 3a2 1 3a2b2 1 24a2b
e) 3a2 1 3a2b2 2 24a2b
2. (IF-BA) O valor da expressão 
1 1
3
1 1
3
1 1
9
2 1 1











 1
1
81
1 1
6561
1 1








 é:
 ca) 2



1
1
3
16
b) 2 

1
1
3
8
c) 1 

1
1
3
8
d) 1 

1
1
3
16
e) 1 

1
1
3
18
3. (Unifor-CE) A expressão 1 1
1 1
2
1
1
2x x 3
x 2x 1
x 2
x 1
2
2
, com x  21, 
é equivalente a:
 ca) 
2
1




x 1
x 1
2
b) 2
1
x 1
x 1
c) 1
d) 1 1
1( )
x 4x  5
x 1
2
2
e) 1
1
x 5
x 1
4. (PUC) Sendo ( )( )x 1 x 1 x ax  b3 21 5 1 1 1 para todo x 
real, os valores de a e b são, respectivamente:
a) 21 e 21
b) 0 e 0
c) 1 e 1
d) 1 e 21
 ce) 21 e 1
5. (UFV-MG) Simplificando-se a expressão 
x xy
x y
2
2 2
1 11
2
? 2







y x
, onde x e y são números positivos 
e distintos, obtém-se:
a) 1
x
b) 2y
c) xy
 cd) 
1
y
e) 2x
6. (Unifor-CE) A expressão 2 1 2( ) ( )x 1 x 1
2 3
 é equivalente a:
a) 1 2x x 2 3 2
b) 1 1x 2x 13 2
 cc) 2 1x 2x x
3 2
d) 2( )x 1
5
e) 1 2x x 2x3 2
7. (OBM) Elevei um número positivo ao quadrado, subtraí 
do resultado o mesmo número e o que restou dividi ainda 
pelo mesmo número. O resultado que achei foi igual:
a) ao próprio número.
b) ao dobro do número.
 cc) ao número menos 1.
d) à raiz quadrada do número.
e) ao número mais 1.
8. Se (a 2 1)(a 1 1)(a2 1 1)(a4 1 1)(a8 1 1)(a16 1 1)(a32 1 1) 5 
5 an 2 1, para todo valor real de a, então n é igual a
a) 16.
b) 32.
 cc) 64.
d) 128.
e) 256.
9. Dado que u 2 v 5 6 e u2 2 v2 5 18, obtenha o valor de 
u 1 v. Resposta: 3
10. Resolver em R:
a) 2x3 1 6x2 1 8x 1 24 5 0 
Resolução:
x2(2x 1 6) 1 4(2x 1 6) 5 0
(x2 1 4)(2x 1 6) 5 0
x2 1 4 5 0 ou 2x 1 6 5 0
x2 1 4 5 0 ⇔ x2 5 24 (não admite solução real)
2x 1 6 5 0 ⇔ x 5 23
Resposta: {23}
10
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b) 2x3 1 6x2 2 8x 2 24 5 0
Resolução:
x2(2x 1 6) 2 4(2x 1 6) 5 0
(x2 2 4)(2x 1 6) 5 0
x2 2 4 5 0 ou 2x 1 6 5 0
x2 2 4 5 0 ⇔ x2 5 4 ∴ x 5 62
2x 1 6 5 0 ⇔ x 5 23
Resposta: {2, 22, 23}
c) 2x3 2 6x2 2 8x 1 24 5 0
Resolução:
x2(2x 2 6) 2 4(2x 2 6) 5 0
(x2 2 4)(2x 2 6) 5 0
x2 2 4 5 0 ou 2x 2 6 5 0
x2 2 4 5 0 ⇔ x2 5 4 ∴ x 5 62
2x 2 6 5 0 ⇔ x 5 3
Resposta: {2, 22, 3}
aulas 9 e 10
Equações elementares
Objetivos
Estudar as equações da forma a ? x 5 b e resolver problemas 
elementares.
Encaminhamento
Apresente os conceitos de equa•‹o, solu•‹o (raiz), conjunto 
solu•‹o e equa•›es equivalentes. Resolva o primeiro exercício da 
aula, explicando, em cada item, como proceder, algebricamente, 
para obter uma equação da forma a ? x 5 b. Explique, durante as 
resoluções, os itens 3 e 4 do resumo teórico.
Faça com que o aluno saiba identificar expressões como “can­
celar” e “passar para o outro membro”, etc. com as regras expostas 
no resumo teórico. É claro que não há nada contra essas expressões; 
elas só não podem ficar sem significado matemático (uma ou mais 
das propriedades da teoria).
Sugestão de exercícios extras
1. Resolva em R:
a) 12x 1
2
 2 
2x 1
3
 5 
14x 5
6
 Resposta: R
b) x 2 2x 1
2
 2 
22 x
3
 5 
5x 1
6
1
 Resposta: 
2. (Unicamp-SP) Uma senhora comprou uma caixa de 
bombons para seus dois filhos. Um deles tirou para si 
metade dos bombons da caixa. Mais tarde, o outro menino 
também tirou para si metade dos bombons que encontrou 
na caixa. Restaram 10 bombons. Calcule quantos bombons 
havia inicialmente na caixa. Resposta: 40 bombons
3. Dois caminhões partiram em um mesmo instante de um 
mesmo ponto e viajaram ao longo de uma estrada; o 
primeiro, com uma velocidade constante de 40 km/h, e 
o segundo, com uma velocidade constante de 60 km/h. 
Horas depois, um carro ultrapassou o primeiro caminhão 
e, mantendo então uma velocidade constante de 
90 km/h, levou três horas para alcançar o segundo 
caminhão. Pergunta-se: quantos quilômetros havia 
rodado o primeiro caminhão até o instante em que ele 
foi ultrapassado pelo carro? Resposta: 180 km
4. (Unicamp-SP) Após ter corrido 2
7
 de um percurso e, em 
seguida, caminhado 5
11
 do mesmo percurso, um atleta 
verificou que ainda faltavam 600 metros para o final do 
percurso.
a) Qual o comprimento total do percurso?
Resposta: 2 310 metros
b) Quantos metros o atleta havia corrido?
Resposta: 660 metros
c) Quantos metros o atleta havia caminhado?
Resposta: 1 050 metros
5. (Unicamp-SP) Para transformar graus Fahrenheit em 
graus centígrados, usa-se a fórmula 
C 5 ( )5
9
F 322 , onde F é o número de graus Fahrenheit 
e C é o número de graus centígrados.
a) Transforme 35 graus centígrados em graus Fahrenheit.
Resposta: 95 °F
b) Qual a temperatura (em graus centígrados) em que 
o número de graus Fahrenheit é o dobro do número 
de graus centígrados?
Resposta: 160 °C
6. Em um triângulo isósceles, de perímetro 20 cm, há um lado 
que mede o dobro de um outro. Obtenha as medidas 
dos lados desse triângulo. (Obs.: Note que não existe um 
triângulo em que os lados medem 10 cm, 5 cm e 5cm.)
Resposta: 8 cm, 8 cm e 4 cm
aula 11
Equações elementares: exercícios
Objetivo
Exercitar (resolver equações da forma a ? x 5 b e problemas 
elementares).
Encaminhamento
Resolva o exercício da aula. Complete a aula com sugestões 
suas e exercícios extras.
11
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aula 12
Inequa•›es elementares
Objetivos
Estudar as inequações da forma ax . b, ax > b, ax , b, ou ax < b, 
em que a e b são constantes.
Encaminhamento
Explique os conceitos de inequação, solução (raiz), conjunto 
solução e inequações equivalentes. Mostre, mediante exemplos, 
as operações que podem ser usadas para obter inequações equi­
valentes. Insista muito no seguinte quadro!
De uma inequação dada, podemos obter outra inequação 
equivalente:
•	 multiplicando ambos os membros por um mesmo núme­
ro positivo, mantendo o sentido da desigualdade;
•	 dividindo ambos os membros por um mesmo número 
positivo, mantendo o sentido da desigualdade;
•	 multiplicando ambos os membros por um mesmo nú­
mero negativo e invertendo o sentido da desigualdade 
(de “,” para “.”, e de “.” para “,”);
•	 dividindo ambos os membros por um mesmo número 
negativo e invertendo o sentido da desigualdade (de “,” 
para “.”, e de “.” para “,”).
Na resolução do primeiro exercício, é bom mostrar como essas 
regras são aplicadas de modo conveniente.
Sugest‹o de exerc’cios extras
1. (Acafe-SC) Os valores de x para os quais a desigualdade 
3 3x
2
8 4x
7
2 .
2 é satisfeita somente para:a) x . 2
 cb) x , 2
c) x , 
5
13
d) x . 
5
13
2. (Mack-SP) Em N, o produto das soluções da inequação 
2x 2 3 < 3 é:
a) maior que 8
b) 6
c) 2
d) 1
 ce) 0
3. (FGV) O número de soluções inteiras da inequação 
23 , x 1 2 < 4 é:
a) 6
 cb) 7
c) 8
d) 9
e) 0
4. (UFRGS-RS) Se 21 , 2x 1 3 , 1, então 2 2 x está entre:
a) 1 e 3
b) 21 e 0
c) 0 e 1
d) 1 e 2
 ce) 3 e 4
5. (Vunesp) Duas pequenas fábricas de calçados, A e 
B, têm fabricado, respectivamente, 3 000 e 1 100 pares 
de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a fábrica A 
aumentar sucessivamente a produção em 70 pares por 
mês e a fábrica B aumentar sucessivamente a produção 
em 290 pares por mês, a produção da fábrica B superará 
a produção de A, a partir de:
a) março.
b) maio.
c) julho.
 cd) setembro.
e) novembro.
6. (Unicamp-SP) Três planos de telefonia celular são 
apresentados na tabela a seguir: 
Plano Custo fxo mensal Custo adicional por minuto
A R$ 35,00 R$ 0,50
B R$ 20,00 R$ 0,80
C 0 R$ 1,20
a) Qual é o plano mais vantajoso para alguém que 
utilize 25 minutos por mês?
Resposta: Plano C
b) A partir de quantos minutos de uso mensal, o plano 
A é mais vantajoso que os outros dois?
Resposta: A partir de 50 minutos
aulas 13 a 15
Porcentagem Ð conceito e aplica•›es Ð 
Exerc’cios (1)
Objetivos
Apresentar o conceito de porcentagem: p% 5 
p
100
.
Apresentar porcentagem como uma proporção (igualdade de 
razões).
Identificar a base do cálculo de porcentagem.
12
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Encaminhamento
Resolva os exercícios 1 e 2 da primeira aula de porcentagem 
para apresentar o conceito de porcentagem e sua característica de 
proporção. Explique os itens 1 e 2, do capítulo 7. Resolva os demais 
exercícios dessas aulas, sempre após ter dado um tempinho para 
os alunos tentarem resolver sozinhos.
Sugestão de exercícios extras
1. Uma loja de roupas oferece duas opções de desconto:
 I. A cada 4 camisetas compradas, leve a quinta de 
brinde.
 II. Desconto de 20% nas compras de 5 ou mais camisetas.
Ana pretende comprar 5 camisetas que custam C reais 
cada. Caso ela opte pela opção I, ela
a) irá economizar 0,1C reais a mais do que iria econo-
mizar caso escolhesse a opção II.
b) irá economizar 0,2C reais a mais do que iria econo-
mizar caso escolhesse a opção II.
c) irá economizar 0,1C reais a menos do que iria econo-
mizar caso escolhesse a opção II.
d) irá economizar 0,2C reais a menos do que iria eco-
nomizar caso escolhesse a opção II.
 ce) não irá economizar nada, pois as duas opções são 
iguais.
2. Jorge, dono de uma loja de carros, comprou um carro 
por R$ 27 000,00 e gastou 10% desse valor com impostos, 
além de R$ 300,00 com propaganda. Nessas condições, 
para que ele tenha um lucro de 20% sobre a venda, ele 
precisa revender esse carro por:
a) R$ 30 000,00
b) R$ 32 500,00
c) R$ 35 000,00
d) R$ 36 000,00
 ce) R$ 37 500,00
3. Em um certo cinema, foram vendidos 80% dos lugares 
disponíveis para certa sessão. Dos ingressos vendidos, 
60% foram para pessoas que têm o direito a pagar meia-
-entrada (ou seja, essas pessoas pagaram 50% do valor 
normal da entrada). Com relação ao maior valor que 
poderia ser arrecadado em uma sessão nesse cinema, 
o valor arrecadado foi
a) 50% menor.
 cb) 44% menor.
c) 38% menor.
d) 30% menor.
e) 20% menor.
4. Uma empresa oferece 25% de desconto na compra 
de certo par de calçados. Caso sejam comprados 
100 pares de calçado, esse desconto equivale a uma 
promoção do tipo
a) compre 10 e ganhe 3 de brinde.
b) compre 5 e ganhe 1 de brinde.
c) compre 5 e ganhe 2 de brinde.
d) compre 4 e ganhe 1 de brinde.
 ce) compre 3 e ganhe 1 de brinde.
5. O governo de certo país decidiu criar uma lei para 
evitar o desmatamento em certa região que possuía 
80% de sua área desmatada, totalizando 16 milhões de 
hectares. Após um ano, verificou-se que a área dessa 
região coberta com vegetação subiu para 25% do total, 
o que foi considerado excelente. A área desmatada 
dessa região, após um ano, diminuiu
 ca) 1 milhão de hectares.
b) 5 milhões de hectares.
c) 4 milhões de hectares.
d) 2 milhões de hectares.
e) 15 milhões de hectares.
6. (Fuvest-SP) Um apostador ganhou um prêmio de 
R$ 1 000 000,00 na loteria e decidiu investir parte do 
valor em caderneta de poupança, que rende 6% 
ao ano, e o restante em um fundo de investimentos, 
que rende 7,5% ao ano. Apesar do rendimento mais 
baixo, a caderneta de poupança oferece algumas 
vantagens e ele precisa decidir como irá dividir o 
seu dinheiro entre as duas aplicações. Para garantir, 
após um ano, um rendimento total de, pelo menos, 
R$ 72 000,00, a parte da quantia a ser aplicada na 
poupança deve ser de, no máximo,
 ca) R$ 200 000,00
b) R$ 175 000,00
c) R$ 150 000,00
d) R$ 125 000,00
e) R$ 100 000,00
aulas 16 e 17
Porcentagem – variações sucessivas
Objetivos
Apresentar casos de variações (aumentos ou reduções) de va­
riáveis positivas.
Estudar os casos de n variações sucessivas iguais. 
Encaminhamento
Explique os itens 3 e 4, do capítulo 7. Resolva os exercícios, 
sempre após ter separado um tempo para os alunos tentarem 
resolver sozinhos. Explique, no final, a diferença entre juros simples 
e juros compostos.
13
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Mostrar, nos exercícios, que as grandezas envolvidas não são 
diretamente proporcionais; 120% ao ano, 10% ao mês e 5% à quinze­
na não são taxas equivalentes! Também é válido discutir a situação 
em que há um aumento de x% seguido de uma redução de y%, de 
modo que o aumento seja desfeito.
Sugestão de exercícios extras
1. (Fuvest-SP) Quando se divide o Produto Interno Bruto 
(PIB) de um país pela sua população, obtém-se a renda 
per capita desse país. Suponha que a população de um 
país cresça a taxa constante de 2% ao ano. Para que sua 
renda per capita dobre em 20 anos, o PIB deve crescer 
anualmente à taxa constante de, aproximadamente,
Dado: 220  ø 1,035
a) 8,9%
b) 7,5%
c) 6,4%
 cd) 5,6%
e) 4,2%
2. André é o diretor de vendas de um site especializado 
em materiais esportivos. No planejamento de vendas 
foi proposta a seguinte meta para aumentar os 20 000 
acessos mensais que o site possui atualmente: a partir 
de maio de 2013, a cada mês, devemos aumentar 
o número de acessos em 5% com relação ao mês 
anterior. Caso ele consiga atingir essa meta, o número 
aproximado de acessos em maio de 2014 será:
Dado: 1,0512  1,80
a) 32 000
b) 34 000
 cc) 36 000
d) 38 000
e) 40 000
3. Uma emissora de televisão sabe que, a partir do momento 
que uma propaganda é exibida na sua programação, 
o número de telespectadores que conhecem o produto 
da propaganda cresce 10% ao dia. Nessas condições, 
o tempo t, em semanas, para que o número de pessoas 
que conhecem o produto dobre em relação ao do 
início da transmissão da propaganda, será dado pela 
equação:
a) 1,17t 5 2
b) 1,1t 5 2
c) 1,07
t
10 5 2
d) 1,0710t 5 2
 ce) 1,1
t
7
5 2
4. Uma grande loja, em sua liquidação anual, ofereceu 
as seguintes vantagens:
1a. 20% de desconto sobre o preço da etiqueta de qual-
quer produto.
2a. 10% de desconto sobre o valor que seria pago após 
a aplicação de (1) para compras cuja soma dos va-
lores marcados nas etiquetas ultrapassem R$ 120,00.
Pedro irá comprar um tênis cujo preço na etiqueta é 
R$ 110,00 e, para ter direito à condição (2), ele deseja 
escolher um outro produto, de modo que o que ele efe-
tivamente irá pagar não se altere. O valor aproximado 
na etiqueta, em reais, desse produto deve ser:
a) 16,58
 cb) 12,22
c) 9,78
d) 11,00
e) 19,50
5. A partir do instante em que um aparelho de ar 
condicionado é ligado, a temperatura em uma sala 
diminui 10% a cada minuto, durante os 2 primeiros 
minutos, e 5% nos dois minutos seguintes. Sabendo 
que, após 4 minutos de funcionamento desse aparelho, 
a temperatura da sala atingiu 22 °C, a temperatura 
aproximada na sala no instante em que o aparelho foi 
ligadoera:
Dado: 0,952  0,90
a) 25 °C
b) 27 °C
 cc) 30 °C
d) 33 °C
e) 37 °C
6. Devido à instalação de uma grande montadora de 
veículos, a população de certa cidade vem crescendo 
à taxa de 20% ao ano. Mantendo esse ritmo de 
crescimento, em três anos, o aumento da população 
dessa cidade será de, aproximadamente, 
a) 60%
b) 66%
 cc) 73%
d) 160%
e) 173%
aula 18
Porcentagem – exercícios (2)
Objetivo
Resolver problemas que envolvem o conceito de variações 
porcentuais.
Encaminhamento
Resolva os exercícios da aula. Complete a aula com sugestões 
suas e exercícios extras.
14
EM_REG_07a14_MAT_A_MP1.indd 14 10/29/15 12:57 PM
Setor B
aulas 1 e 2
Razão e proporção
Objetivos
Essas aulas t•m como principal objetivo relembrar os conceitos 
de raz‹o e propor•‹o, alŽm de trabalhar procedimentos de trans-
forma•‹o da linguagem escrita em linguagem algŽbrica. 
Encaminhamento
Como essa Ž a primeira aula do curso, Ž importante come•‡-la 
explicando que, no primeiro caderno, iremos trabalhar com a reto-
mada de alguns conceitos do Ensino Fundamental, especificamente 
os de raz‹o e propor•‹o. 
Inicie a aula apresentando situa•›es em que os conceitos de 
raz‹o e propor•‹o s‹o importantes, por exemplo, uma receita de 
bolo ou a rela•‹o entre uma maquete e uma constru•‹o. Caso seja 
possível, o uso de imagens ajuda ao aluno a perceber essa impor-
t‰ncia. ƒ muito importante que os alunos sejam incentivados a dar 
outros exemplos que envolvem raz›es e propor•›es.
Ap—s essa conversa inicial, apresente as defini•›es de raz‹o e 
propor•‹o e construa exemplos usando as situa•›es apresentadas 
pelos alunos. Em seguida, d• alguns minutos para que os alunos 
fa•am os exercícios de classe, corrigindo-os ao final.
No exercício 1, o mais importante Ž que o aluno se familiarize 
com o conceito de escala e consiga us‡-lo adequadamente.
O exercício 2 foi escolhido para que o aluno perceba que o 
conceito de raz‹o pode ser representado visualmente e n‹o apenas 
por representa•›es algŽbricas.
Os demais exercícios prop›em situa•›es em que o aluno deve 
resolver um problema envolvendo o conceito de propor•‹o.
Os exercícios 13 a 16 desse capítulo n‹o foram pedidos nas 
tarefas e s‹o quest›es com bom grau de dificuldade, quase todas 
do Enem. Caso necessite, podem ser utilizados como exercícios 
extras ou em provas e trabalhos.
Sugestão de exercícios extras:
1. (Vunesp) Uma universidade tem 1 professor para cada 
6 alunos e 3 funcionários para cada 10 professores. 
Determine o número de alunos por funcionário.
Resposta: 20
2. (Vunesp) O combustível usado em dois automóveis 
numa certa cidade é composto de 
4
5
 de gasolina e 
1
5
 de álcool. Se o preço do litro de álcool é 3
4
 do preço 
do litro de gasolina e este custa a reais, determinar o 
preço do litro do combustível em função de a. 
Resposta: 19
20
a
3. (Vunesp) Um prêmio da sena saiu para dois cartões, um 
da cidade A e outro da cidade B. Nesta última, o cartão 
era de 6 apostadores, tendo cada um contribuído com a 
mesma quantia para a aposta. A fração do prêmio total, 
que cada apostador da cidade B receberá, é:
a) 
1
6
b) 
1
8
c) 1
9
d) 
1
10
 ce) 
1
12
4. (Fuvest-SP) Os lados de um retângulo de área 12 m2 
estão na razão 1 : 3. Qual o perímetro do retângulo?
a) 8 m
b) 12 m
 cc) 16 m
d) 20 m
e) 24 m
aulas 3 e 4
Variáveis proporcionais
Objetivos
Essas aulas t•m como objetivo tratar de grandezas diretamente 
e inversamente proporcionais, tema que Ž fundamental na Física 
e na Química.
Encaminhamento
Inicie a aula apresentando uma situa•‹o simples do cotidia-
no, por exemplo, um carro deslocando-se em uma velocidade 
constante e avalie qual a dist‰ncia percorrida para tempos di-
ferentes. Construa uma tabela com a participa•‹o dos alunos. 
Em seguida, fa•a o mesmo, mas agora mantenha uma dist‰ncia 
fixa, registrando em outra tabela a velocidade necess‡ria para 
cobrir a dist‰ncia variando o tempo.
15
EM_REG_15a20_MAT_B_MP1.indd 15 10/29/15 12:58 PM
Esses dois exemplos permitem que se conceituem vari‡veis 
diretamente e inversamente proporcionais. Use os exemplos 
nas tabelas para mostrar para eles a raz‹o constante (no caso 
de vari‡veis diretamente proporcionais) e o produto constante 
(no caso de vari‡veis inversamente proporcionais). A partir da’, 
apresente a defini•‹o e d• alguns minutos para que eles fa•am 
os tr•s primeiros exerc’cios, antes de corrigi-los.
Os exerc’cios 1 e 2 consistem em problemas em que os alunos 
devem interpretar algebricamente uma situa•‹o e no exerc’cio 3 
eles devem trabalhar com uma figura. Esse tipo de situa•‹o, em 
que o aluno deve trabalhar com mœltiplas representa•›es em um 
problema, Ž muito importante no Enem.
Em seguida, apresente a propriedade fundamental das propor-
•›es e solicite aos alunos que fa•am o exerc’cio 4.
Os exerc’cios 13 e 14 desse cap’tulo n‹o foram pedidos nas ta-
refas e s‹o quest›es do Enem. Caso necessite, podem ser utilizados 
como exerc’cios extras ou em provas e trabalhos.
Sugestão de exercícios extras:
1. (Mack-SP) Dividindo 70 em partes proporcionais a 2, 3 
e 5, a soma entre a menor e a maior parte Ž:
a) 35
 cb) 49
c) 56
d) 42
e) 28
2. (Faap-SP) Duas grandezas L e M s‹o diretamente 
proporcionais e t•m suas medidas relacionadas 
conforme a tabela:
L 2r 4 y 8 t
M x 36 54 z 108
A soma dos valores x, y, z e t Ž:
a) 66
b) 36
c) 72
d) 54
 ce) 108
3. (PUCC-SP) Sejam x, y e z nœmeros reais inversamente 
proporcionais aos nœmeros 1
2
, 2 e 6, respectivamente. 
Se x 1 y 1 z 5 128, ent‹o:
a) x 5 8
b) y 5 12
c) y 5 20
d) z 5 92
 ce) x 5 96
aulas 5 e 6
Potências e radicais (1)
Objetivos
Nessas aulas ser‹o retomadas as principais propriedades dos 
expoentes inteiros e a nota•‹o cient’fica.
Encaminhamento
A ideia central nessa aula Ž a de que os alunos percebam que exis-
tem situa•›es em que Ž muito mais vantajosa a nota•‹o de pot•ncia.
Para isso, exemplos usando quantidade de molŽculas, gotas 
de ‡gua em uma piscina, estrelas no universo, informa•‹o arma-
zenada em um dispositivo de mem—ria podem ser rapidamente 
selecionados para a aula. Escolha um deles e represente o nœmero 
explicitamente e na forma de pot•ncia.
A seguir, relembre as principais propriedades, sempre acom-
panhadas por exemplos numŽricos, para que os alunos percebam 
como elas funcionam. Caso perceba interesse, escolha e demonstre 
uma das propriedades. Ap—s isso, pe•a que os alunos fa•am os 
exerc’cios 1 e 2. Esses exerc’cios t•m por objetivo trabalhar com as 
propriedades de potencia•‹o.
Em seguida, apresente a nota•‹o cient’fica, dando exemplos de 
como obt•-la a partir da representa•‹o decimal do nœmero. Destaque 
para os alunos as condi•›es para que um nœmero esteja em nota•‹o 
cient’fica (por exemplo: a representa•‹o na nota•‹o cient’fica do 
nœmero 25 ? 103 Ž 2,5 ? 104). Ap—s isso, pe•a que os alunos fa•am os 
demais exerc’cios. O exerc’cio 3 tambŽm tem por objetivo trabalhar 
com a transforma•‹o para nota•‹o cient’fica. J‡ os exerc’cios 4 e 5 s‹o 
problemas envolvendo os conceitos trabalhados na aula.
Os exerc’cios 11 e 12 desse cap’tulo n‹o foram pedidos nas 
tarefas e s‹o quest›es do Enem com bom grau de dificuldade. 
Caso necessite, podem ser utilizados como exerc’cios extras ou 
em provas e trabalhos.
O conteœdo digital ÒA lenda do jogo de xadrezÓ indicado para 
estas aulas apresenta informa•›es referentes a pot•ncias que 
ampliam o que Ž trabalhado no material impresso. O conteœdo 
digital pode ser trabalhado em sala de aula ou recomendado 
para os alunos como parte da tarefa.
Sugestão de exercícios extras:
1. (UFRGS-RS) Durante os jogos Pan-Americanos de Santo 
Domingo, os brasileiros perderam o ouro para os cubanos 
por 37 centŽsimos de segundo nas provas de remo.
Dentre as alternativas, o valor mais pr—ximo desse tem-
po, medido em horas, Ž:
 ca) 1,03 ? 1024
b) 1,3 ? 1024
c) 1,03 ? 1023
d) 1,3 ? 1023
e) 1,03 ? 1022
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2. (Uergs-RS) Se x 5 103 1 104 1 105 então:
a) x 5 11 100
 cb) x 5 11,1 ? 104
c) x 5 1,11 ? 104
d) x 5 1012
e) x 5 3 ? 104
3. (ESPM–SP) O algarismo das unidades de 719 2 418 é:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
 ce) 7
aulas 7 e 8
Potências e radicais (2)
Objetivos
Nessas aulas ser‹o retomadas a no•‹o de pot•ncias de expoente 
racional, as principais propriedades dos radicais e a racionaliza•‹o 
de denominadores.
Encaminhamento
Inicie a aula retomando o conceito de expoente inteiro e defina 
uma pot•ncia de expoente racional como um radical. ƒ importante 
apresentar ao menos tr•s ou quatro exemplos diferentes para se 
certificar de que os alunos entenderam a Òmec‰nicaÓ de como 
representar um radical na forma de uma pot•ncia e vice-versa.
Apresente as propriedades dos radicais, sempre acompanha-
dos por exemplos numŽricos e pe•a, em seguida, para que os 
alunos fa•am os exerc’cios 1 e 2.
Use o exerc’cio 3 para relembrar como racionalizar um denomi-
nador. ƒ muito importante que os alunos terminem a aula sabendo 
que, ao racionalizarmos um denominador, apenas mudamos sua 
representa•‹o da fra•‹o e n‹o seu valor. Com o aux’lio de uma 
calculadora, pe•a para que os alunos constatem isso de maneira 
aproximada. Pe•a para que os alunos fa•am o exerc’cio 4, que tem 
por objetivo aplicar tŽcnicas de racionaliza•‹o, e o exerc’cio 5.
Os exerc’cios 22 e 23 desse cap’tulo n‹o foram pedidos nas 
tarefas e s‹o quest›es do Enem, que podem ser utilizadas como 
exerc’cios extras ou em provas e trabalhos.
Sugestão de exercícios extras:
1. (Udesc) O desenvolvimento da expressão 27    3 1
2
1 1( ) 
toma a forma 1a 3 b com a e b inteiros; então o valor 
numérico de a 1 b é:
a) 49
b) 19
 cc) 57
d) 60
e) 8
2. (PUC–MG) A expressão 
2
2
1 ;
0,3    1
4
1
0,036 0,04
3
 é igual a:
a) 0,45
b) 0,65
c) 0,75
 cd) 0,85
3. (Unisinos-RS) Se a 5 17 , b 5 243 e c 5 p, é correto 
afirmar que:
a) a , b , c
b) a , c , b
c) b , a , c
 cd) b , c , a
e) c , b , a
a
n
o
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ç
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aulas 9 e 10
ângulos
Objetivos
Nessas aulas serão retomados o conceito de ângulo geométrico, sua classificação e propriedades de ângulos geométricos. Também 
serão trabalhadas propriedades envolvendo ângulos e retas paralelas e uma transversal.
Encaminhamento
Essas aulas são de revisão de conceitos já estudados no Ensino Fundamental. Assim, elas podem ser expositivas, pois se espera que 
os alunos lembrem-se dos conceitos iniciais. Inicie as aulas retomando a definição de ângulo, como medir um ângulo em graus e como 
classificá-lo como agudo, reto ou obtuso. A seguir, peça aos alunos que façam os exercícios 1 e 2.
A parte da aula que frequentemente os alunos esquecem, ou tem mais dificuldade, é a que envolve retas paralelas cortadas por uma 
transversal. Desse modo, faça com calma a construção e explique a nomenclatura dos ângulos envolvidos, explicitando o seu motivo e 
mostre as propriedades que podem ser obtidas. Nesse momento, ressalte para os alunos que uma das habilidades mais importantes que 
precisa ser desenvolvida nessa aula é a de traçar paralelas de modo conveniente a visualizar suas propriedades nos exercícios.
Após isso, peça aos alunos que façam os demais exercícios da aula. Ao corrigir os exercícios, sempre que a oportunidade se apresentar, 
mostre repetidamente a vantagem de se traçar uma paralela conveniente.
Os exercícios 12 e 13 desse capítulo não foram pedidos nas tarefas e são questões interessantes do Enem, podendo ser utilizadas 
como exercícios extras ou em provas e trabalhos.
Sugestão de exercícios extras:
1. A soma da medida de um ‰ngulo com a metade da medida de seu complemento Ž 70¡. Calcule esse ‰ngulo.
Resposta: 50¡
2. A medida de um ‰ngulo excede a medida de seu suplemento em 40¡. Determine esse ‰ngulo. 
Resposta: 110¡
3. Na figura abaixo, determine a medida x, em graus.
2x 1 20°
x 1 15°
x
x
Resposta: 29¡
4. Nas figuras abaixo as retas r e s s‹o paralelas. Determine a medida x, em graus.
x
95°
60° 40°
60°
x
r
r
s s
145°
Resposta: 145¡ e 55¡
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aulas 11 e 12
ângulos em um triângulo
Objetivos
Nessas aulas, serão retomados o conceito de triângulo, sua 
classificação quanto às medidas dos lados e quanto à medida dos 
ângulos. Também serão retomados o teorema angular de Tales, o 
teorema do ângulo externo.
Encaminhamento
Assim como as aulas 9 e 10, as aulas 11 e 12 retomam um tema 
muito trabalhado no Ensino Fundamental. Inicie a aula retomando 
a definição de triângulo e suas classificações quanto à medida dos 
lados e quanto à medida dos ângulos. 
Apresente o teorema angular de Tales e faça sua demonstração. 
Essa é uma excelente oportunidade de reforçar novamente a im-
portância de traçar paralelas e visualizar propriedades de ângulos 
em retas paralelas cortadas por uma transversal. Apresente tanto 
as propriedades envolvendo ângulos internos de um triângulo isós-
celes e de um triângulo equilátero quanto o teorema do ângulo 
externo e faça sua demonstração. 
A seguir, dê alguns minutos para que os alunos façam os exer-
cícios da aula.
Os exercícios 13 a 16 desse capítulo não foram pedidos nas tarefas 
e são questões com bom grau de dificuldade. Caso necessite, podem 
ser utilizadas como exercícios extras ou em provas e trabalhos.
Sugestão de exercícios extras:
1. Na figura abaixo, determine a soma S 5 a 1 b 1 g 1 d 1 « 
d
Ç
g
b
a
2. Na figura, ABCD é um quadrado e o triângulo CDE é equilátero. Calcule a medida x em graus.
x
A D
E
CB
3. Na figura abaixo, o triangulo ABC é retângulo em B e AD 5 CD. Determine a medida x, em graus.
40¡
x
C
BA D
Resposta: 180o
Resposta: 75o
Resposta: 10o
19
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20
Atividades interdisciplinares
Proposta pedagógica e objetivos gerais
Essa atividade procura integrar temas e conteœdos de algumas disciplinas a respeito de movimento dos corpos celestes e est‡ dividida 
em duas partes, a fim de facilitar seu desenvolvimento em encontros distintos.
Com essa inten•‹o, escolhemos analisar os movimentos da Lua e da Terra e suas correla•›es com outras ‡reas do conhecimento, 
em especial F’sica, Geografia, Hist—ria e Matem‡tica.
Nossa proposta Ž que essa atividade possa ser desenvolvida sob a forma que o professor (ou professores) julgar mais conveniente, 
tanto sob ponto de vista da praticidade como do pedag—gico. Acreditamos que seu formato se adeque preferencialmente a encontros 
em contraturno escolar, nos quais o professor possa expor alguns fundamentos te—ricos, propondo certas atividades a seus alunos. Assim 
sendo, estamos propondo uma forma de ampliar o repert—rio cient’fico/cultural dos alunos acerca de fen™menos da natureza e suas 
implica•›es, provocando resson‰ncia com conteœdos desenvolvidos em sala de aula.
Por outro lado, tambŽm Ž poss’vel desenvolver essa atividade com outras abordagens, como, por exemplo, um trabalho em grupo 
de alunos, sucedido de um semin‡rio. Se assim explorada, incentivar’amos a pr‡tica de trabalho em equipe aliada ˆ estimula•‹o de 
comunica•‹o verbal, escrita e corporal dos alunos.
A atividade est‡ estruturada de um suporte te—rico, seguida de atividades e uma pequena tarefa.
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Respostas – Caderno de Exercícios 1
Unidade 1
Conceitos fundamentais
capítulo 1
Conjuntos numŽricos
1. D
2. C
3. A
4. B
5. E
6. C
7. C
8. E
9. D
10. C
11. A
12. C
13. C
14. D
15. E
16. C
17. A
18. A
19. E
20. D
21. D
22. E
23. B
24. B
25. D
26. D
27. D
28. C
29. D
30. E
capítulo 2
TŽcnicas algŽbricas
1. C
2. E
3. D
4. A
5. A
6. C
7. B
8. E
9. D
10. D
11. D
12. A
13. B
14. A
15. D
16. C
17. E
18. B
19. C
20. B
21. E
22. D
23. A
24. B
25. D
26. A
27. C
28. C
29. A
30. C
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cap’tulo 3
Raz‹o e propor•‹o
1. B
2. D
3. A
4. A
5. A
6. B
7. D
8. D
9. D
10. C
11. C
12. E
13. E
14. B
15. B
16. D
cap’tulo 4
Vari‡veis proporcionais
1. D
2. C
3. B
4. D
5. B
6. B
7. B
8. D
9. B
10. B
11. E
12. D
13. C
14. B
cap’tulo 5
Pot•ncias e radicais
1. E
2. B
3. A
4. B
5. D
6. E
7. C
8. E
9. C
10. E
11. E
12. E
13. A
14. D
15. C
16. A
17. C
18. 12,34 Ž o maior
19. B
20. C
21. D
22. E
23. B
cap’tulo 6
Equa•›es e inequa•›es elementares
1. A
2. D
3. E
4. B
5. C
6. D
22
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7. E
8. D
9. B
10. D
11. A
12. D
13. B
14. E
15. E
16. D
17. B
18. E
19. C
20. B
21. A
22. E
23. B
24. D
25. E
26. A
27. C
28. C
29. D
30. E
31. B
32. D
33. A
capítulo 7
Porcentagem
1. D
2. A
3. E
4. D
5. C
6. C
7. B
8. C
9. B
10. C
11. E
12. A
13. D
14. C
15. D
16. D
17. A
18. B
19. D
20. C
21. A
22. E
23. A
24. A
25. D
26. A
27. B
28. E
29. E
30. D
31. C
32. B
33. D
34. D
35. A
36. B
37. E
38. D
39. A
40. C
41. C
42. B
43. B
44. B
45. E
46. C
47. A
48. B
49. D
50. E
capítulo 8
Equação de 2o grau
1. D
2. E
3. C
4. D
5. B
6. C
7. C
8. A
9. D
10. A
11. D
12. A
13. E
14. E
15. B
16. A
17. A
18. C
19. B
20. B
21. E
22. C
23. A
24. a) 6; b) R$ 1 800,00
25. 48
23
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Unidade 2
Rela•›es, depend•ncias, 
varia•›es e evolu•›es
capítulo 1
A nota•‹o f(x)
1. C
2. E
3. D
4. D
5. A
6. A
7. D
8. C
9. B
10. E
11. E
12. BEATRIZ
13. B
14. D
capítulo 2
Fun•›es Ð Conceitos básicos
1. D
2. C
3. E
4. E
5. E
6. A
7. E
8. B
9. A
10. E
11. C
12. A
13. C
14. E
15. D
16. C
17. A
18. E
19. B
20. B
21. C
22. E
23. C
24. E
25. A
26. a) ℝ
1
b) {y [ ℝ: y > 5}
c) ℝ
d) ℝ
e) ℝ 2 {1}
f) ℝ 2 {2}
g) ℝ { }232
capítulo 3
Fun•‹o afim e fun•‹o constante
1. A
2. A
3. E
4. E
5. E
6. D
7. C
8. E
9. C
10. C
11. B
12. B
13. A
14. D
15. E
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cap’tulo 4
Função quadrática
1. B
2. D
3. C
4. A
5. B
6. D
7. A
8. D
9. A
10. A
11. D
12. A
13. A
14. C
15. E
16. A
17. A
18. A
19. E
20. C
21. E
22. D
23. A
24. C
25. D
26. E
27. C
28. B
29. D
30. A
31. D
32. C
33. B
34. C
35. D
36. D
37. D
38. E
39. D
40. A
41. C
42. A
43. D
44. D
45. A
46. A
47. C
48. E
49. A
50. C
51. C
52. E
53. A
54. B
55. E
56. E
57. E
58. C
59. C
60. C
cap’tulo 5
Função modular
1. A
2. E
3. C
4. C
5. A
6. D
7. C
8. D
9. A
10. B
11. D
12. E
13. B
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14. D
15. D
16. C
17. E
18. D
19. A
20. C
21. D
22. D
23. E
24. E
25. A
26. A
27. E
28. E
29. B
30. A
31. A
32. E
33. B
34. B
35. D
36. A
37. C
38. E
39. E
40. B
41. C
42. C
43. C
44. D
45. E
46. C
47. D
48. B
49. D
50. D
51. A
52. E
53. D
54. C
55. E
Unidade 3
Formas e medidas no plano (Parte 1)
capítulo 1
ångulos
1. D
2. C
3. B
4. E
5. A
6. B
7. C
8. A
9. B
10. A
11. D
12. B
13. C
capítulo 2
ångulos em um tri‰ngulo
1. D
2. C
3. D
4. B
5. C
6. E
7. E
8. A
9. E
10. A
11. C
12. D
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13. C
14. B
15 C
16. C
cap’tulo 3
Congruência de triângulos
1. D
2. B
3. E
4. D
5. E
6. A
7. A
8. D
cap’tulo 4
Polígonos convexos
1. E
2. C
3. D
4. E
5. C
6. D
7. D
8. D
9. D
10. D
11. B
12. D
13. A
14. B
cap’tulo 5
Quadriláteros notáveis
1. A
2. C
3. C
4. D
5. B
6. A
7. C
8. C
9. D
10. A
11. E
12. E
cap’tulo 6
Circunferência – segmentos tangentes
1. C
2. D
3. B
4. E
5. B
6. C
7. D
8. D
cap’tulo 7
Ângulos em uma circunferência
1. D
2. D
3. C
4. C
27
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5. B
6. B
7. A
8. D
9. E
10. B
11. C
12. A
13. A
14. B
15. A
16. B
cap’tulo 8
Pontos notáveis em um triângulo
1. A
2. D
3. D
4. A
5. B
6. A
7. C
8. C
9. E
10. D
cap’tulo 9
Segmentos proporcionais
1. D
2. E
3. D
4. D
5. C
6. B
7. E
8. B
9. D
10. B
11. A
12. D
cap’tulo 10
Semelhança de triângulos
1. E
2. A
3. A
4. D
5. B
6. B
7. D
8. A
9. C
10. B
11. B
12. A
13. D
14. D
15. D
16. D
17. D
18. E
19. C
20. B
21. D
22. D
23. A
24. A
25. B
26. C
28
R
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 C
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29
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30
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prof.:
Antonio Carlos ROSSO Junior
GLENN Albert Jacques van Amson
Roberto Teixeira Cardoso (ROBBY)
Matemática
aula 1
P. 110
 AD TM TC 
aula 2
P. 112
 AD TM TC 
aula 9
P. 121
 AD TM TC 
aula 10
P. 121
 AD TM TC 
aula 3
P. 113
 AD TM TC 
aula 4
P. 115
 AD TM TC 
aula 11
P. 124
 AD TM TC 
aula 5
P. 117
 AD TM TC 
aula 6
P. 117
 AD TM TC 
aula 12
P. 125
 AD TM TC 
aula 7
P. 119
 AD TM TC 
aula 8
P. 119
 AD TM TC 
êndice-controle 
deestudo
aula 15
P. 129
 AD TM TC 
aula 16
P. 130
 AD TM TC 
aula 17
P. 130
 AD TM TC 
aula 18
P. 132
 AD TM TC 
aula 14
P. 127
 AD TM TC 
aula 13
P. 127
 AD TM TC 
A
L
F
 R
IB
E
IR
O
/P
U
L
S
A
R
 I
M
A
G
E
N
S
Setor A
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Conjuntos numéricos: ℚ e R
aula 1
Enem: conhecimentos numéricos
110
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ca
 e
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s 
Te
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lo
g
ia
s
nesta aula
1. ℚ denota o conjunto dos números racionais. Todo elemento 
desse conjunto, isto é, todo número racional, pode ser expresso na 
forma 
p
q
, em que p e q são números inteiros quaisquer, com q Þ 0. 
Exemplos: 
1
2
, 
1
3
, 
4
3
, 
13
10
2 , 
7
7
, 
0
7
 e 
7
7
2 .
2. Se r e s são números racionais, então r 1 s, r 2 s, r ? s também 
são números racionais. 
3. Se r e s são números racionais, com s Þ 0, então 
r
s
 é um 
número racional.
4. A representação decimal de um número racional ou é exata 
ou é uma dízima periódica.
5. Os números reais que não podem ser expressos na forma 
de fração de dois números inteiros são chamados de números 
irracionais; suas representações decimais não são exatas, nem 
são dízimas periódicas. O conjunto dos números irracionais 
é R 2 ℚ.
6. Se r é um número racional e a é um número irracional, então 
r 1 a e r 2 a são números irracionais.
7. Se r é um número racional não nulo e a é um número irra-
cional, então r ? a e 
a
r
 são números irracionais.
1. Dê a representação decimal de:
a) 
11
100
5 0,11
b) 1
9
 5 0,111...
2. Em cada caso, represente o número x na forma de uma 
fração de números inteiros.
a) x 5 2,016
x 5 
2 016
1000 
TambŽm Ž usada a nota•‹o 0,1
em classe
b) x 5 2,01666... (5 2,016 )
10x 5 20,1666...
 x 5 2,01666...
 9x 5 18,15
 [ x 5 
18,15
9 5 
1815
900
c) x 5 2,0161616... (5 2,016 )
100x 5 201,616161...
 x 5 2,016161...
 99x 5 199,6 
 [ x 5 
199,6
99 5 
1996
990
2
2
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111
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3. Na figura, temos uma régua apoiada em uma folha 
pautada para texto de um caderno escolar.
00000
11111
2222222
33
5555
6666
777
888
999
101010110
333
44
55
t
s
r
As linhas s e t intersectama régua nos pontos que corres-
pondem aos números 0 e 10. Do mesmo modo, a linha 
r intersecta a régua em um ponto que corresponde ao 
número x. Qual dos números a seguir se aproxima mais 
de x?
a) 2,71
b) 2,76
c) 2,81
 cd) 2,86
e) 2,91
Na régua, o segmento de reta de medida 10 é dividido em 7 partes 
iguais. A reta r intersecta a régua em um ponto que corresponde ao 
número 0 1 2 ? 
10
7
, ou seja, 
20
7
.
20
7
  2,8571428571425 . Dos números listados, o mais próximo é 2,86.
Resposta: D
4. Sabemos que, se a representação decimal de um nú-
mero racional não é exata, então ela é uma dízima 
periódica. No entanto, existem números reais que não 
correspondem a esses casos: são os números irracionais, 
números que não podem ser expressos na forma de 
fração de dois números inteiros. Os números p, 2 , 3, 
23 e 33 são alguns exemplos de números irracionais. 
Vejamos aproximações de seus valores, com 8 casas 
decimais.
p < 3,14159265
2 < 1,41421356
3 < 1,73205081
23 < 1,25992105
33 < 1,44224957
Existem infinitos números irracionais. Você mesmo 
pode "inventar" alguns, basta considerar uma dí-
zima (infinita) não periódica, como, por exemplo, 
0,1001100011100001111000001... , em que cada sequência 
de n algarismos iguais a ‘0’ é seguida de uma sequên-
cia de n algarismos iguais a ‘1’ e cada sequência de n 
algarismos iguais a ‘1’ é seguido de uma sequência de 
n 1 1 algarismos iguais a ‘0’.
a) Dê um exemplo de um número irracional positivo a, 
tal que 
2
3
 , a , 3
4
.
<
2
2
0,7 
b) Dê um exemplo de um número irracional a, tal que 
100 , a , 102.
100 1 2
H1
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 – Unidade 1
Caderno de Exercícios 1 – Unidade 1
Tarefa Mínima
•	Leia o resumo de aula.
•	Faça os exercícios 1 a 4, cap. 1.
Tarefa Complementar
•	Leia os itens 1 a 6, cap. 1.
•	Faça os exercícios 5 a 7, cap. 1.
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Conjuntos numŽricos: exerc’cios
aula 2
Enem: conhecimentos numŽricos
112
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Te
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1. D• um exemplo de dois nœmeros irracionais a e b, tais 
que a 1 b seja um nœmero racional n‹o nulo.
a 5 2p e b 5 1 1 p 
[ a 1 b 5 1
em classe
2. Na figura, OA 5 AB 5 BC 5 CD 5 1 e nOAB, nOBC e 
nOCD s‹o tri‰ngulos ret‰ngulos.
0 1111
x 
A
B
O
a
1
a
2
a
3
x
1
x
2
x
3
C
D
Os arcos de circunfer•ncia a
1
, a
2
 e a
3
 t•m, nessa ordem, 
raios iguais a OB, OC e OD. Nessa mesma ordem, esses 
arcos intersectam o eixo x em pontos correspondentes 
aos nœmeros reais x
1
, x
2
 e x
3
. Quantos desses nœmeros 
s‹o irracionais?
Pelo teorema de Pitágoras, temos:
no nOAB: OB2 5 OA2 1 AB2 [ OB2 5 2 e OB 5 2 ;
no nOBC: OC2 5 OB2 1 BC2 [ OC2 5 3 e OC 5 3 ;
no nOCD: OD2 5 OC2 1 CD2 [ OD2 5 4 e OD 5 4 5 2.
Como a
1
 é um arco de circunferência de raio OB, temos x
1
 5 2.
Como a
2
 é um arco de circunferência de raio OC, temos x
2
 5 3 .
Como a
3
 é um arco de circunferência de raio OD, temos x
3
 5 2.
Portanto, desses três números, exatamente dois são irracionais.
H3
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 Ð Unidade 1
Caderno de Exerc’cios 1 Ð Unidade 1
Tarefa M’nima
•	Fa•a os exerc’cios 19 a 21, cap. 1.
Tarefa Complementar
•	Leia o item 8, cap. 1.
•	Fa•a os exerc’cios 22 a 25, cap. 1.
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Conjuntos numŽricos: opera•›es
aula 3
Enem: conhecimentos numŽricos
Note que todos esses conjuntos t•m infinitos elementos.
•	 Opera•›es com conjuntos
A B
U
União
A B
U
Intersecção
A B
U
Diferença
A B {x | x A ou x B}5< [ [ A B {x | x A e x B}5> [ [ A B {x | x A e x B}2 5 [ î
113
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•	 Exemplos de intervalos de nœmeros reais.
[2, 3] {x [ R | 2 < x < 3} 3 x2
]2, 3[ {x [ R | 2 , x , 3} 3 x2
[2, 3[ {x [ R | 2 < x , 3} 3 x2
]2, 3] {x [ R | 2 , x < 3} 3 x2
[2, 1∞[ {x [ R | x > 2} x2
]2, 1∞[ {x [ R | x . 2} x2
]2∞, 2] {x [ R | x < 2} x2
]2∞, 2[ {x [ R | x , 2} x2
nesta aula
Acesse o portal e explore o conteœdo: 
Diagrama de Venn
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114
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s
1. Dados os intervalos A 5 [2, 5] e B 5 ]3, 9[, obtenha A < B, 
A • B, A 2 B e B 2 A.
A < B 5 {x | x [ A ou x [ B} A • B 5 {x | x [ A e x [ B}
A 2 B 5 {x | x [ A e x î B} B 2 A 5 {x | x [ B e x î A}
5
5
2
A
B
9
9
9
3
2
3
32
5
A ¿ B
A • B
A 2 B
B 2 A
2. Dados os conjuntos A 5 {2, 3, 4, 5} e B 5 {4, 5, 6, 7, 8}, 
obtenha A < B, A • B, A 2 B e B 2 A.
U
A B
2 3 4 5 6 7 8
A < B 5 {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, 
A • B 5 {4, 5},
A 2 B 5 {2, 3} e
B 2 A 5 {6, 7, 8}
em classe
3. Em uma turma de 30 pessoas, 20 conhecem o Abel e 15 
conhecem o Bruno. Quatro pessoas dessa turma n‹o 
conhecem o Abel, nem o Bruno. 
a) Quantas pessoas conhecem o Abel ou o Bruno?
b) Quantas pessoas conhecem o Abel e o Bruno?
c) Quantas pessoas conhecem o Abel, mas n‹o conhe-
cem o Bruno?
Podemos come•ar com o seguinte diagrama:
T
A B
x
4
Observação: Em muitos problemas desse tipo, come•ar a an‡-
lise pela intersec•‹o de todos os conjuntos considerados pode 
levar a uma resolu•‹o simples.
T
A B
x20 2 x 15 2 x
4
De 20 2 x 1 x 1 15 2 x 1 4 5 30, temos x 5 9.
T
A B
x20 2 x
5 11 5 9 5 6
15 2 x
4
a) No de pessoas que conhecem o Abel ou o Bruno:
11 1 9 1 6 5 26
b) No de pessoas que conhecem o Abel e o Bruno: 9
c) No de pessoas que conhecem o Abel, mas n‹o conhecem o 
Bruno: 11
H3
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 – Unidade 1
Caderno de Exercícios 1 – Unidade 1
Tarefa Mínima
•	Leia o resumo de aula.
•	Fa•a os exerc’cios 8 e 9, cap. 1.
Tarefa Complementar
•	Leia o item 7, cap. 1.
•	Fa•a os exerc’cios 10 a 13, cap. 1.
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Conjuntos numŽricos: nœmeros naturais
aula 4
Enem: conhecimentos numŽricos
115
M
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nesta aula
1. Conjunto dos números naturais: ℕ 5 {0, 1, 2, 3, n, n 1 1, ...}
2. Conjunto dos números inteiros: ℤ 5 {..., 21, 0, 1, 2, ..., h 2 1, h, h 1 1, ...}
3. Dados dois números inteiros m e d, d Þ 0, dizemos que m Ž um mœltiplo de d ou d Ž um divisor de m se, e somente se, existe 
um número inteiro k, tal que d ? k 5 m.
4. Um número inteiro é dito par se, e somente se, ele é um múltiplo de 2. 
O conjunto dos números pares é {..., 24, 22, 0, 2, 4, 6, ..., 2n, ...}.
5. Um número inteiro é dito ’mpar se, e somente se, ele é não é um múltiplo de 2.
O conjunto dos números ímpares é {..., 23, 21, 1, 3, 5, ..., 2n 2 1, 2n 1 1, ...}.
1. Quantos elementos tem o conjunto de nœmeros naturais consecutivos {997, 998, ..., n, n 1 1, ..., 6 102}?
{1, 2, 3, ..., n, n 1 1, ..., 996, 997, 998, ..., 6 102} tem exatamente 6 102 2 996 5 5 106 elementos.
Resposta: 5 106
2. Nosso sistema de numera•‹o tem duas caracter’sticas fundamentais: o valor da posi•‹o do algarismo e o uso do zero (0). 
Assim, temos, por exemplo:
2 036 5 2 ? 1 000 1 0 ? 100 1 3 ? 10 1 6 ? 1 (dois milhares, nenhuma centena, tr•s dezenas e seis unidades) é diferente de 
2 063, pois 2 063 5 2 ? 1 000 1 0 ? 100 1 6 ? 10 1 3 ? 1.
Os algarismos 3 e 6 est‹o em posi•›es diferentes em rela•‹o ao exemplo anterior. Note-se ainda que, com a inven-
•‹o do zero, é fácil perceber a distin•‹o entre 2 063 e 263, este é igual a 2 ? 100 1 6 ? 10 1 3 ? 1. Aqui, os nœmeros s‹o 
apresentados usando pot•ncias inteiras do nœmero dez, como somas de express›es numéricas da forma a ? 10n, em 
que a [ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e n é um inteiro: 2 063 5 2 ? 103 1 0 ? 102 1 6 ? 101 1 3 ? 100. ƒ por isso que dizemos que 
se trata do sistema decimal de numera•‹o, ou do sistema na base 10. O expoente n é um nœmero inteiro negativo, 
para representar os nœmeros entre 0 e 1. Exemplo: 0,69 5 6 ? 1021 1 9 ? 1022.
Seja x um nœmero inteiro compreendido entre 99 e 1 000 e seja y o nœmero obtido com a simples invers‹o da ordem 
dos algarismos de x. Exemplo: x 5 751 e y 5 157. Podemos afirmar que x 2 y é, necessariamente, um nœmero
a) par.
b) ’mpar.
c) mœltiplo de 5.
d) mœltiplode 22.
 ce) mœltiplo de 99.
100 < x < 999 [ x 5 (cdu) 5 100c 1 10d 1 u
y 5 (udc) 5 100u 1 10d 1 c
x 2 y 5 99c 2 99u
x 2 y 5 99(c 2 u)
Logo, x 2 y é um múltiplo de 99.
Resposta: E
H1
em classe
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116
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em casa
Consulte:
Caderno de Exercícios 1 Ð Unidade 1
Tarefa Mínima
•	Faça os exercícios 14 e 15, cap. 1.
Tarefa Complementar
•	Faça os exercícios 25 a 29, cap. 1.
3. Pedro, feliz da vida com seu carro novo, anda pela estrada ‘Via Dois ao Paraíso’ com uma velocidade constante v. Ele 
passou por um marco de quilometragem que mostrava um número de 2 algarismos (ab). Meia hora depois, passou por 
outro marco desses, que, por coincidência, mostrava o número formado pelos mesmos dois algarismos do marco anterior, 
porém, na ordem inversa (ba). Meia hora depois, o cúmulo da coincidência: ele passou por um marco de quilometragem 
que mostrava o número formado pelos mesmos algarismos que o primeiro marco, porém, com o algarismo 0 entre eles 
(a0b). Podemos concluir que a distância entre os marcos (ab) e (ba) é:
a) 40 km
b) 42 km
c) 44 km
 cd) 45 km
e) 46 km
(ab) 5 10a 1 b
(ba) 5 10b 1 a
(a0b) 5 100a 1 b 
Em dois intervalos de tempos iguais, Pedro percorreu duas dist‰ncias iguais:
(ba) 2 (ab) 5 (a0b) 2 (ba)
(10b 1 a) 2 (10a 1 b) 5 (100a 1 b) 2 (10b 1 a)
10b 1 a 2 10a 2 b 5 100a 1 b 2 10b 2 a
10b 2 b 2 b 1 10b 5 100a 2 a 2 a 1 10a
18b 5 108a
[ b 5 6a
Sendo a e b algarismos não nulos, temos a 5 1 e b 5 6.
Os marcos são 16, 61 e 106 e, portanto, a dist‰ncia entre dois desses marcos consecutivos é 45 km.
Resposta: D
H1
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Técnicas algébricas: produtos notáveis (1)
aulas
Enem: conhecimentos numéricos
5 e 6
117
M
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ti
c
a
nestas aulas
1. Para representar um cálculo, uma sequência de operações com 
números, é muito comum representar alguns números por letras. 
Resulta, desse modo, uma express‹o algŽbrica. Uma constante é 
uma letra, ou um símbolo, que representa um elemento específico 
de um conjunto dado. Uma vari‡vel é uma letra, ou um símbolo, 
que representa qualquer um dos elementos de um conjunto dado.
2. Duas expressões com as mesmas variáveis são ditas equivalen-
tes se, e somente se, elas apresentam os mesmos valores numéricos, 
independentemente dos valores dados às suas variáveis.
3. Sendo a e b números reais quaisquer, temos as seguintes equi-
valências:
Forma fatorada Forma desenvolvida
a(b 1 c) 5 ab 1 ac
(a 1 b)(a 2 b) 5 a2 2 b2
(a 1 b)2 5 (a 1 b)(a 1 b) 5 a2 1 2ab 1 b2
(a 2 b)2 5 (a 2 b)(a 2 b) 5 a2 2 2ab 1 b2
4. Na maioria das vezes, a forma desenvolvida é mais fácil de 
ser interpretada. Nas aulas 7 e 8, veremos algumas aplicações da 
forma fatorada.
1. Efetue as multiplica•›es:
a) x(x 1 5) 
5 x2 1 5x
b) (2x 2 3)(x 2 5)
5 2x ? x 2 2x ? 5 2 3x 1 15
5 2x2 2 13x 1 15
c) (x 1 2y)(x 2 2y)
5 x2 2 (2y)2
5 x2 2 4y2
d) (3x 1 5y)2
5 (3x)2 1 2(3x)(5y) 1 (5y)2
5 9x2 1 30xy 1 25y2
e) (x 2 1)2
5 x2 2 2(x)(1) 1 12
5 x2 2 2x 1 1
2. a) Desenvolva ( )1x 1x
2
;
( )x 1x
2
1 5 x2 1 2x
1
x
 1 ( )1x
2
5 x2 1 2 1 
1
x 2
em classe
b) Dado que x 1 1
x
 5 3, obtenha o valor numŽrico de 
x2 1 1
x2
.
Do item anterior, temos 
( )x 1x
2
1 5 x2 1 
1
x 2
 1 2.
Logo, 32 5 x2 1 
1
x 2
 1 2,
9 5 x2 1 
1
x 2
 1 2
x2 1 
1
x 2
 5 7
3. D• a forma fatorada de cada express‹o:
a) ax 1 ay 1 3x 1 3y
5 a(x 1 y) 1 3(x 1 y)
5 (a 1 3)(x 1 y)
b) ax 1 ay 2 3x 2 3y
5 a(x 1 y) 2 3(x 1 y)
5 (a 2 3)(x 1 y)
c) ax 2 ay 2 3x 1 3y
5 a(x 2 y) 2 3(x 2 y)
5 (a 2 3)(x 2 y)
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M
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m
‡
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ca
 e
 s
u
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Te
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4. D• a forma fatorada de cada express‹o:
a) x2 2 b2
5 (x 1 b)(x 2 b)
b) x2 2 1
5 x2 2 12
5 (x 1 1)(x 2 1)
c) x3 2 9x
5 x(x2 2 9)
5 x(x2 2 32)
5 x(x 1 3)(x 2 3)
d) x4 2 b4
5 (x2)2 2 (b2)2
5 (x2 1 b2)(x2 2 b2)
5 (x2 1 b2)(x 1 b)(x 2 b)
Obs.: Em R, x2 1 b2 n‹o tem forma fatorada.
5. Sendo u e v nœmeros reais, tais que u 2 v 5 9,78 e 
u2 2 v2 5 97,8, obtenha o valor numŽrico de u 1 v.
(u 1 v)(u 2 v) 5 u2 2 v2
(u 1 v)(9,78) 5 97,8
Logo, u 1 v 5 10.
6. D• a forma fatorada de cada express‹o:
a) (a 2 b)2 2 c2
5 [(a 2 b) 1 c][(a 2 b) 2 c]
5 (a 2 b 1 c)(a 2 b 2 c)
b) a2 2 2ab 1 b2 2 c2
5 (a2 2 2ab 1 b2) 2 c2
5 (a 2 b)2 2 c2
5 [(a 2 b) 1 c][(a 2 b) 2 c]
5 (a 2 b 1 c)(a 2 b 2 c)
H2
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 – Unidade 1
Caderno de Exercícios 1 – Unidade 1
Tarefa Mínima
Aula 5 
•	Fa•a os exerc’cios 1 a 3, cap. 2.
Aula 6
•	Fa•a os exerc’cios 8 e 9, cap. 2.
Tarefa Complementar
Aula 5 
•	Leia os itens 1 a 2.2, cap. 2.
•	Fa•a os exerc’cios 4 a 7, cap. 2.
Aula 6
•	Leia o item 2.3, cap. 2.
•	Fa•a os exerc’cios 10 a 13, cap. 2.
c) a2 2 b2 2 c2 2 2bc
5 a2 2 (b2 1 2bc 1 c2)
5 a2 2 (b 1 c)2
5 [a 1 (b 1 c)][a 2 (b 1 c)]
5 (a 1 b 1 c)(a 2 b 2 c)
d) a2 2 b2 2 c2 1 2bc
5 a2 2 (b2 2 2bc 1 c2)
5 a2 2 (b 2 c)2
5 [a 1 (b 2 c)][a 2 (b 2 c)]
5 (a 1 b 2 c)(a 2 b 1 c)
7. Fatore:
a) x2 1 10x 1 25
5 x2 1 2 ? x ? 5 1 52
5 (x 1 5)2
b) x2 2 12x 1 36
5 x2 2 2 ? x ? 6 1 62
5 (x 2 6)2
c) x3 2 12x2 1 36x
5 x(x2 2 12x 1 36)
5 x(x 2 6)2
d) x4 1 2x2y2 1 y4
5 (x2)2 1 2 ? x2 ? y2 1 (y2)2
5 (x2 1 y2)2
e) x4 1 x2y2 1 y4
5 x4 1 2x2y2 1 y4 2 x2y2
5 (x2 1 y2)2 2 x2y2
5 (x2 1 y2 1 xy)(x2 1 y2 2 xy) ou (x2 1 xy 1 y2)(x2 2 xy 1 y2)
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TŽcnicas algŽbricas: produtos not‡veis (2)
aulas
Enem: conhecimentos numŽricos
7 e 8
119
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c
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1. Sendo a e b nœmeros reais quaisquer, temos as seguintes equival•ncias de express›es algŽbricas.
Forma fatorada Forma desenvolvida
a(b 1 c) 5 ab 1 ac
(a 1 b)(a 2 b) 5 a2 2 b2
(a 1 b)2 5 (a 1 b)(a 1 b) 5 a2 1 2ab 1 b2
(a 2 b)2 5 (a 2 b)(a 2 b) 5 a2 2 2ab 1 b2
Forma fatorada Forma desenvolvida
(a 1 b 1 c)2 5 a2 1 b2 1 c2 1 2ab 1 2ac 1 2bc
(a 1 b)3 5 a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3
(a 2 b)3 5 a3 2 3a2b 1 3ab2 2 b3
(a 1 b)(a2 2 ab 1 b2) 5 a3 1 b3
(a 2 b)(a2 1 ab 1 b2) 5 a3 2 b3
2. A forma fatorada tem, pelo menos, duas aplica•›es.
2.1 Podemos simplificar uma fra•‹o se o numerador e o denominador t•m um fator em comum: 
?
?
n f
d f
 5 
n
d
2.2 Podemos resolver equa•›es apresentadas na forma P 5 0, em que P Ž um produto de express›es, explorando o fato que um 
produto Ž igual a zero se, e somente se, um dos seus fatores Ž igual a zero.
1. Se a, b e c s‹o nœmeros, tais que a 1 b 1 c 5 7 e 
ab 1 ac 1 bc 5 16, ent‹o a2 1 b2 1 c2 Ž igual a:
a) 15
b) 16
 c c) 17
d) 25
e) 36
(a 1 b 1 c)2 5 a2 1 b2 1 c2 1 2ab 1 2ac 1 2bc
72 5 a2 1 b2 1 c2 1 2 ? 16
49 5 a2 1 b2 1 c2 1 32
a2 1 b2 1 c2 5 17 
Resposta: C
em classe
2. Simplifique: 17,583 4,417
17,583 4,417
2 2
2
2
5 
( ) ( )17,583 4,417 17,583 4,417
17,583 4,417
1 2
2
5 17,583 1 4,417
5 22,000
H2
nestas aulas
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3. a) Quantos pares u e v de números reais existem, tais 
que u ? v 5 1?
b) Existem números reais u e v não nulos, tais que 
u ? v 5 0?
c) Obtenha três valores reais distintos de x, tais que 
x3 2 9x2 1 2x 2 18 5 0.
a) Existem infinitos pares; basta considerar u, u Þ 0, e v 5 
1
u .
Exemplo: 5 e 0,2, pois 5 ? 0,2 5 1
b) Não, pois com u Þ 0 e v Þ 0, o produto u ? v é positivo ou negativo.
Portanto, um produto é igual a 0 se, e somente se, pelo menos um 
dos seus fatores for igual a 0.
c) x3 2 2x2 2 9x 1 18 5 0
x2(x 2 2) 2 9(x 2 2) 5 0
(x 2 2)(x2 2 9) 5 0
(x 2 2)(x 1 3)(x 2 3) 5 0
x 2 2 5 0 ou x 1 3 5 0 ou x 2 3 5 0
x 5 2 ou x 5 23 ou x 5 3
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 Ð Unidade 1
Caderno de Exerc’cios 1 Ð Unidade 1
Tarefa M’nima
Aula 7 
•	Faça os exercícios 14 a 16, cap. 2.
Aula 8
•	Faça os exercícios 22 e 23, cap. 2.
Tarefa Complementar
Aula 7 
•	Faça os exercícios 17 a 21, cap. 2.
Aula 8
•	Leia o item 2.4, cap. 2.
•	Faça os exercícios