APROVA BRASIL 9ANO

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ASSESSORIA 
PEDAGÓGICA
ACOMPANHAMENTO do 
projeto Aprova Brasil com 
a rede de ensino a partir 
de formações pedagógicas 
e PLANEJAMENTO de 
intervenções com base 
nos RELATÓRIOS gerados 
pela plataforma. 
PLATAFORMA 
DIGITAL
RELATÓRIOS gerados 
com base nas respostas dos 
simulados permitem acompanhar 
o desenvolvimento das habilidades 
e indicam oportunidades 
de melhoria, além de favorecer 
a reflexão sobre a 
aprendizagem.
MATERIAL IMPRESSO
Livros de Língua Portuguesa e de 
Matemática com blocos de LIÇÕES 
engajadoras que desenvolvem 
habilidades previstas no Saeb 
e SIMULADOS que preparam os 
alunos para as provas oficiais. 
O Projeto Aprova Brasil 
tem como objetivo auxiliar 
no desenvolvimento de 
habilidades exigidas nas 
provas oficiais do Saeb. 
Ensino Fundamental
Anos Finais
Matemática
9 ano
GUIA PARA O PROFESSOR
431001517
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9 ano
Ensino Fundamental
Anos Finais
Matemática
GUIA PARA O 
PROFESSOR
M LP PDF Formato papel capa papel miolo # Págs LOMBADA
EX
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AS laminação
220 x 275 cartão 250 g Off-set 75 g 192 10 mm BRILHO
CAPA_GUIA_APROVA BRASIL MATEMATICA 9.indd All Pages 10/1/19 4:48 PM
 
M LP PDF Formato220 x 275
Ensino Fundamental
Anos Finais
9 ano
Matemática
3a edição
Organizadora: Editora Moderna
Obra coletiva concebida, desenvolvida 
e produzida pela Editora Moderna.
Editora Executiva: 
Thaís Ginícolo Cabral
GUIA E RECURSOS DIDÁTICOS
PARA O PROFESSOR
AB6-M19-Frontis-LP.indd 8 10/1/19 4:41 PM(I_XXIV)_APROVA_9ANO_MAT_GUIA_GERAL.indd 1 14/10/19 14:20
© Editora Moderna, 2019
Obra coletiva concebida e desenvolvida pela Editora Moderna.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Todos os direitos reservados
3a edição
EDITORA MODERNA LTDA.
Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho
São Paulo – SP – Brasil – CEP 03303-904
Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2602-5510
Fax (0_ _11) 2790-1501
www.moderna.com.br
2019
Impresso no Brasil
1 3 5 7 9 10 8 6 4 2
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Aprova Brasil : 6º ao 9º ano : matemática : ensino 
fundamental : anos finais / organizadora Editora 
Moderna ; obra coletiva concebida, desenvolvida 
e produzida pela Editora Moderna ; editora 
responsável Thaís Ginícolo Cabral. -- São Paulo : 
Moderna, 2019. -- (Aprova Brasil)
1. Matemática (Ensino fundamental) 2. Matemática 
(Ensino fundamental) - Atividades e exercícios 
I. Cabral, Thaís Ginícolo. II. Série.
19-28475 CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
Iolanda Rodrigues Biode - Bibliotecária - CRB-8/10014
ISBN 978-85-16-12156-3 (LA)
ISBN 978-85-16-12157-0 (GR)
Concepção das edições anteriores: Maria Cecília da Silva 
Veridiano, Izaias Cordeiro Neri, Nielce Meneguelo Lobo da Costa, 
Maria Luiza Giordano de Figueiredo Gonzalez, Pamela Hellebrekers 
Seravalli 
Elaboração de avaliações: Rodrigo de Souza Bortolucci, Antonio 
Oliva, Christiane Bellorio Gennari Stevão, Tania Cristina Arantes 
Macedo de Azevedo (Coordenação de avaliações) 
Coordenação de projeto: Isabel Farah Schwartzman
Coordenação editorial: Thaís Ginícolo Cabral, Carla Rodrigues Riquena
Coordenação de bureau: Rubens M. Rodrigues
Pré-impressão: Alexandre Petreca, Denise Feitoza Maciel, Everton 
L. De Oliveira, Marcio H. Kamoto, Vitória Sousa
Coordenação de produção industrial: Wendell Monteiro
Desenvolvimento de conteúdo e produção editorial: Triolet Editorial
Diretoria executiva: Angélica Pizzutto Pozzani
Gerência editorial: Denise Pizzutto
Coordenação editorial: Carmen Lucia Ferrari
Elaboração de original: Ana Rebeca Miranda Castillo, Francis 
Roberta de Jesus.
Edição de texto: Polyanna Costa, Solange Martins
Assistente editorial: Maria Beatriz Avanso
Preparação e revisão: Alexander Siqueira, Lara Milani
Gerência de arte e produção: Daniela Fogaça Salvador
Edição de arte: Ana Onofri, Igor Aoki, Juliana Freitas, Suzana 
Massini, Wilson Santos
Ilustrações: Adilson Secco, Vicente Mendonça
Iconografia: Daniela Baraúna
Impressão e acabamento: 
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III
Sumário
 O Sistema de Avaliação da Educação Básica – Saeb ������������������������������������������� IV
 O Índice de Desenvolvimento da Educação Básica – Ideb ����������������������������������� V
 O Projeto Aprova Brasil �������������������������������������������������������������������������������������������VI
A proposta pedagógica �������������������������������������������������������������������������������������������� VI
A metodologia ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� VII
 A coleção Aprova Brasil Matemática ������������������������������������������������������������������ VIII
Lições ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� VIII
Simulados e monitoramento da aprendizagem ��������������������������������������������������������X
Quadro de sentimentos �������������������������������������������������������������������������������������������� XII
 Matriz de referência ������������������������������������������������������������������������������������������� XIV
Detalhamento dos descritores ������������������������������������������������������������������������������� XVI
 Referências bibliográficas ����������������������������������������������������������������������������������� XXI
 Orientações específicas ��������������������������������������������������������������������������������������� XXII
Estrutura do Guia e Recursos Didáticos ���������������������������������������������������������������� XXII
Descritores do 9o ano ������������������������������������������������������������������������������������������� XXIV
 Início do livro do aluno
Lição 1 – Frações e decimais �������������������������������������������������������������������������������������� 6
Lição 2 – Medidas e porcentagem ��������������������������������������������������������������������������� 12
Lição 3 – Resolução de problemas �������������������������������������������������������������������������� 20
Lição 4 – Radicais e problemas com números racionais ����������������������������������������� 28
Simulado 1 �������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 36 
Lição 5 – Expressões algébricas ������������������������������������������������������������������������������� 42 
Lição 6 – Figuras semelhantes ��������������������������������������������������������������������������������� 50
Lição 7 – Plano cartesiano: ponto médio, perímetro e área ���������������������������������� 58
Lição 8 – Proporções e grandezas ���������������������������������������������������������������������������� 68
Simulado 2 ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 74 
Lição 9 – Ângulos e triângulo retângulo ���������������������������������������������������������������� 80
Lição 10 – Equações polinomiais do 2o grau ����������������������������������������������������������� 88
Lição 11 – Equações e inequações ��������������������������������������������������������������������������� 94
Lição 12 – Tabelas e gráficos ��������������������������������������������������������������������������������� 100
Simulado 3 ������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 112
Lição 13 – Resolução de sistemas no plano cartesiano ����������������������������������������� 120
Lição 14 – Polígonos e circunferência ������������������������������������������������������������������� 130
Lição 15 – Área �������������������������������������������������������������������������������������������������������138
Lição 16 – Volume �������������������������������������������������������������������������������������������������� 146
Simulado 4 ������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 152 
Folhas de respostas ������������������������������������������������������������������������������������������������� 161
Quadros de Acompanhamento
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Para que crianças e adolescentes se tornem cidadãos aptos a participar plena-
mente do mundo contemporâneo, é necessário ir além do conteúdo específico 
dos componentes curriculares� É preciso que a escola propicie a eles a aquisição 
de habilidades e competências fundamentais para a vida em sociedade, tanto no 
mundo do trabalho quanto nas relações sociais e culturais�
Destacam-se, entre as competências necessárias para as situações da vida 
cotidiana, a competência leitora e a competência matemática considera-
das a partir de um conjunto de habilidades, que associam conteúdos curricula-
res e operações mentais�
Essas competências são avaliadas nos alunos brasileiros por meio do Saeb, 
em uma avaliação conhecida como Prova Brasil, aplicada a cada dois anos nas 
redes municipais, estaduais e federal� 
O Saeb tem o objetivo de avaliar a qualidade do ensino público oferecido 
pelo sistema educacional brasileiro por meio de testes padronizados e ques-
tionários socioeconômicos ao final dos 2o, 5o e 9o anos do Ensino Fundamen-
tal e da 3a série do Ensino Médio�
Muitos estados e municípios têm os próprios sistemas de avaliação educa-
cional independentes do sistema nacional� Esses sistemas costumam ser desen-
volvidos em cooperação técnica com o Governo Federal, são complementares 
e as metodologias são coerentes entre si� O conjunto de indicadores educa-
cionais permite aos gestores detectar as fragilidades do sistema e planejar as 
políticas educacionais�
O Sistema de Avaliação da Educação Básica – Saeb
IV
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O Ideb é o indicador utilizado para avaliar a qualidade da educação básica 
no Brasil� Esse índice leva em conta os dados de fluxo escolar e o desempenho 
em compreensão leitora e matemática, medidos pelo Saeb� Unir no mesmo 
indicador as taxas de aprovação e o desempenho revela a intenção de promo-
ver uma educação de qualidade para toda a população�
Aprendizado e =Fluxo Ideb
As metas do Ideb, definidas para cada escola, município e unidade da Fede-
ração, são parâmetros fundamentais para o monitoramento da melhoria da 
qualidade da educação pública� Quando todos trabalham de forma integrada 
visando aos mesmos objetivos, é possível superar os desafios e alcançar resul-
tados cada vez melhores�
Confira a evolução do Ideb de sua rede e escola por meio do site do Inep�
Disponível em: <http://ideb�inep�gov�br/>� Acesso em: 1o out� 2019�
O Índice de Desenvolvimento da Educação Básica – Ideb
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VI VII
O Projeto Aprova Brasil tem como objetivo auxiliar professores, gestores e 
 Secretarias de Educação no desenvolvimento de habilidades e competências exi-
gidas nas avaliações oficiais do Saeb (conhecidas como Prova Brasil) para os seg-
mentos de Educação Fundamental dos Anos Iniciais e Anos Finais� 
Para isso, o projeto traz propostas didáticas específicas para Língua Por-
tuguesa e para Matemática e uma metodologia de gestão pedagógica que 
 integra um conjunto completo de recursos voltados para alunos, professores, 
gestores escolares e gestores das Secretarias de Educação� 
A proposta pedagógica 
O Aprova Brasil é composto de 9 volumes de Língua Portuguesa e 9 volumes 
de Matemática para cada ano do Ensino Fundamental� Os livros possuem um 
conjunto de lições, que desenvolvem as habilidades, e um conjunto de simula-
dos, que familiarizam os alunos com os modelos das provas e trazem informa-
ções relevantes sobre sua aprendizagem� 
Os textos e as atividades dos livros do Projeto Aprova Brasil foram seleciona-
dos e elaborados a partir da Matriz de Referência de habilidades do Saeb, que 
é a base para a elaboração das questões da prova nacional� A sequência de 
lições e simulados foi organizada com base nos conteúdos definidos pela Base 
Nacional Comum Curricular para cada ano escolar, sendo que a sequência das 
lições segue uma ordem crescente de dificuldade, e as habilidades são traba-
lhadas diversas vezes ao longo do percurso escolar�
Em Língua Portuguesa, as lições trazem uma diversidade de gêneros textuais 
a partir dos quais se organizam atividades de compreensão que trabalham múl-
tiplas habilidades, levando à apreensão dos variados sentidos dos diferentes tex-
tos e, consequentemente, à consolidação da competência leitora� Em Matemá-
tica, o foco é o domínio de estratégias de cálculo que levem ao desenvolvimento 
da competência matemática� Isso é feito por meio de questões que guiam os 
alunos passo a passo, desde a compreensão da linguagem matemática e dos 
enunciados até a resolução das situações-problema�
O projeto oferece amplo suporte para os professores aplicarem sua proposta 
didática, por meio deste Guia e Recursos Didáticos, com sugestões detalhadas 
para cada lição e simulado, o que facilita o planejamento e orienta a condução 
das lições�
O Projeto Aprova Brasil
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VI VII
1) Bloco de lições
Atividades do 
material impresso 
elaboradas a partir 
da matriz do Saeb�
2) Simulado e plataforma 
Simulado impresso que avalia 
as habilidades trabalhadas nas 
lições� A partir do lançamento 
das respostas do simulado em 
uma plataforma digital, são 
gerados diversos relatórios que 
mostram tanto o desempenho 
individual do aluno quanto os 
resultados gerais da turma e 
da rede de ensino�
3) Estratégias de intervenção 
Depois da análise dos resultados 
na plataforma, é possível 
identificar as habilidades em 
que os alunos apresentaram 
melhor desempenho e mais 
dificuldades� Com base nessas 
informações, o professor pode 
planejar novas estratégias de 
intervenção, contando com o 
apoio da equipe pedagógica 
do Projeto Aprova Brasil�
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ULADOS E ANÁLISE DE RESU
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AVALIAÇÃO
A metodologia 
Os livros do Projeto Aprova Brasil são materiais complementares que podem 
ser utilizados em conjunto com o livro didático adotado� Sugere-se que, para 
os 1o e 2o anos, as lições sejam desenvolvidas em duas aulas de 50 minutos e, 
do 3o ao 9o ano, em uma aula de 50 minutos� 
Para todos os anos escolares, a metodologia é cíclica e consiste em três fases: 
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VIII IX
Lições
A coleção Aprova Brasil Matemática auxilia o professor no desenvolvimento 
da competência matemática dos alunos, para que alcancem os níveis espera-
dos de proficiência e, consequentemente, possam avançar com sucesso nas 
etapas posteriores de estudo� 
Os livros do 1o e 2o anos trabalham os conceitos fundamentais da Matemá-
tica por meio de jogos e da resolução de situações-problema, desenvolvendo 
o pensamento estratégico e as habilidades alinhadas às que são avaliadas nos 
exames de alfabetização� Os livros do 3o ao 9o ano têm uma proposta didática 
pautada na resolução de situações-problema e na compreensão de seus enun-
ciados, em consonância com a Matriz de Referência do Saeb� Portanto, não 
pretendem sistematizar os conteúdos de Matemática, como Números e opera-
ções, Espaço e forma, Grandezas e medidas e Tratamento da informação� Os 
livros devem ser utilizados nas aulas regulares como complemento do material 
didático adotado, contribuindo para o desenvolvimento das habilidades mate-
máticas, além de auxiliar o professorno planejamento das aulas, considerando 
as dificuldades observadas em cada turma�
A resolução de problemas
As lições de Matemática são destinadas exclusivamente ao desenvolvimento 
de habilidades, como identificar elementos matemáticos, interpretar situações-
-problema, estabelecer relações, validar processos, argumentar e comunicar 
em diferentes linguagens e raciocinar por meio de dedução, intuição, indução 
ou estimativa�
Para propiciar o desenvolvimento dessas habilidades e contribuir para a 
construção dos diferentes modos de raciocínio, a obra está organizada sob 
a perspectiva da resolução de problemas, partilhando da mesma convic-
ção que orienta os processos avaliativos do Saeb, ou seja, que a aquisição 
do conhecimento matemático se torna significativa e efetiva por meio do 
enfrentamento de situações desafiadoras, que exigem o desenvolvimento 
de estratégias de resolução�
A coleção Aprova Brasil Matemática
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VIII IX
A compreensão de enunciados
É comum que os alunos tenham dificuldade em resolver problemas e desen-
volver estratégias de resolução diante de situações novas ou que se apresentem 
de maneira pouco habitual� Um dos motivos para que isso aconteça é a falta de 
compreensão dos enunciados, aliada à aplicação de procedimentos desprovidos 
de significado�
A leitura do enunciado de cada questão seguida da execução das atividades 
propostas nas seções Compreenda e Responda constituem um meio para 
o desenvolvimento da capacidade de observação e para a compreensão das 
situações-problema�
Sempre oriente os alunos a:
• ler os enunciados calmamente;
• observar as imagens apresentadas;
• observar e analisar as informações contidas no enunciado da situação-
-problema;
• identificar o que é pedido em cada problema;
• verificar os procedimentos necessários para a resolução;
• perceber o que é importante, com base na análise da situação;
• compartilhar estratégias de resolução�
Para fazer sempre
• Dar aos alunos a oportunidade de executar as tarefas sozinhos para que 
explorem as situações-problema, as resolvam com os próprios recursos e 
possam mobilizar as habilidades que já desenvolveram�
• Deixar à disposição diferentes recursos didáticos e estimular os alunos a 
usá-los� Essa prática aumenta a compreensão dos conteúdos, na medida 
em que ganham significado�
• Permitir que todos participem livremente, antecipando as informações con-
tidas no enunciado e levantando hipóteses a respeito de sua resolução�
• Estimular a socialização das descobertas e das estratégias desenvolvidas 
individualmente�
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X
Simulados e monitoramento da aprendizagem
A cada conjunto de lições, há uma proposta de avaliação (simulado) para que os 
alunos se familiarizem com o tipo de exame a que serão submetidos ao final dos 
2o, 5o e 9o anos� Em todos os anos escolares, são propostos quatro simulados, que 
trazem questões relativas às principais habilidades trabalhadas no bloco de lições 
anterior e se tornam progressivamente mais complexas ao longo do percurso�
No momento da aplicação do simulado, são importantes o silêncio e a con-
centração� Os alunos devem ler as questões e respondê-las sem ajuda externa de 
professores ou colegas� 
No 1o e no 2o ano, após os alunos responderem às questões, o professor deve 
sistematizar os acertos no Quadro de Acompanhamento, disponível neste Guia� 
Do 3o ao 9o ano, os alunos devem preencher a Folha de respostas, que está no 
final do livro� Como opção, também há o Quadro de Acompanhamento para o 
professor preencher� O preenchimento da Folha de respostas pelos alunos é um 
aprendizado relevante para as provas oficiais e facilita a sistematização das respos-
tas para posterior análise pedagógica� É importante alertar para que manuseiem 
a folha com cuidado a fim de não danificá-la ou rasurá-la� 
Para cada questão, pinte apenas um quadrinho. 
Observe no exemplo a forma correta de preenchimento. 
A B C D
A B C D01
A B C D02
A B C D03
A B C D07
A B C D04
A B C D10
A B C D14
A B C D05
A B C D08
A B C D12
A B C D11
A B C D06
A B C D09
A B C D13
NOME: 
TURMA: DATA: 
FOLHA DE RESPOSTAS
 9º ano • Simulado 1 • Lições 1 a 4
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TOTAL DE ACERTOS
NOME DOS ALUNOS
1
QUESTÕES
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
TOTAL DE 
ACERTOS 
Aprova Brasil Matemática • Simulado 1 • Lições 1 a 5
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Lições 1 a 41
Simulado
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1 Um quadro retangular de 90 cm de altura por 1,5 m de comprimento 
deverá ser emoldurado. As medidas internas da moldura são exatamente 
iguais às do quadro, mas, na parte externa e de forma simétrica, a altura e 
o comprimento da moldura terão 20 cm a mais que as medidas do quadro.
 A altura e o comprimento externos da moldura medem, respectivamente,
( A ) 0,70 m e 1,30 m.
( B ) 0,92 m e 1,52 m.
( C ) 1,10 m e 1,70 m.
( D ) 1,10 m e 1,72 m.
2 A capacidade total de uma geladeira em um posto de saúde é de 
250 L. Dentro dessa geladeira, inicialmente vazia, foram colocadas 
20 embalagens de frascos de vacinas com 750 cm3 cada uma.
 A capacidade não ocupada no interior da geladeira é de
( A ) 15 L.
( B ) 33,3 L.
( C ) 100 L.
( D ) 235 L.
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37
3 Augusto convidou amigos para uma feijoada no sábado. Ele reservou 
R$ 100,00 para comprar os ingredientes para a feijoada e os refrigerantes. 
 As carnes custaram R$ 48,00, o feijão e os temperos custaram R$ 14,00 e 
a couve, a pimenta e o arroz, juntos, custaram R$ 10,00.
 Se cada refrigerante custa R$ 7,00, o número máximo de refrigerantes que 
ele poderá comprar é
( A ) 2.
( B ) 3.
( C ) 4.
( D ) 5.
4 Uma equipe de fotógrafos profissionais registrou um casamento utili-
zando 3 câmeras fotográficas com capacidade para 540 fotos em cada 
uma. Ao final do casamento, ainda restava na primeira câmera espaço 
para 36 fotos, na segunda, espaço para 40 fotos e, na terceira, espaço 
para 18 fotos.
 Quantas fotos foram tiradas por essa equipe durante o casamento?
( A ) 1.536
( B ) 1.526
( C ) 1.426
( D ) 446
5 Três amigos resolveram inventar uma regra para uma partida de basquete: 
cada arremesso convertido vale 3 pontos, e cada arremesso perdido acarreta 
perda de 2 pontos.
 Cada um dos amigos fez 10 arremessos. Carlos acertou 4 arremessos, Jonas 
acertou 3 e Felipe acertou 7.
 A diferença entre o total de pontos de Felipe e o total de pontos de Jonas 
é igual a
( A ) 220.
( B ) 4.
( C ) 10.
( D ) 20.
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XI
Os simulados são momentos valiosos para os alunos praticarem a realização 
de provas com questões no formato das provas nacionais� Além disso, eles pro-
porcionam aos professores um diagnóstico detalhado do desenvolvimento da 
aprendizagem do aluno ao longo do ano, auxiliando no planejamento de ativi-
dades adequadas ao nível de progresso da turma� Esse processo é essencial para 
conhecer melhor o nível de cada aluno e turma, evitar que as dificuldades se acu-
mulem ao longo do ano, contribuir para o desenvolvimento das competências e 
ter mais segurança no momento das avaliações externas�
A plataforma Aprova Brasil
Um grande aliado dos professores no processo de monitoramento e reflexão 
sobre a aprendizagem é a plataforma Aprova Brasil� A partir da inserção das 
respostas dos simulados na plataforma, é possível acompanhar o desempenho 
de alunos, turmas e escolas� Além da visão geral, relatórios pedagógicos iden-
tificam a porcentagem de acertos por habilidade, explicitandoos pontos mais 
fortes de cada turma e as oportunidades para melhorias�
PDF
Por HabilidadeTipo de grá�coFiltre os Resultados
Limpar Filtros
Língua Portuguesa
Matemática
Nível 1 – Menos que 25% Nível 2 – De 25% a 49,99% Nível 3 – De 50% a 74,99% Nível 4 – De 75% a 100%
10% 30% 20% 40%
10% 40% 30% 20%
Resultados
Geral
Anos - Cadernos
9° ANO – Caderno 2
Simulados
Simulado 1
Simulado 2
Simulado 3
Simulado 4
Componente curricular
Língua Portuguesa
Matemática
Nível 1 – Menos que 25% Nível 2 – De 25% a 49,99% Nível 3 – De 50% a 74,99% Nível 4 – De 75% a 100%
Passo a passo para o monitoramento da aprendizagem
Responder às questões 
dos simulados
Preencher a Folha de 
respostas
Registrar as respostas 
na plataforma
Monitorar a 
aprendizagem
Passo 1 Passo 2 Passo 3 Passo 4
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XII XIII
Quadro de sentimentos 
O Aprova Brasil oferece um Quadro de sentimentos para os professores do 
Ensino Fundamental – Anos Finais trabalharem com os alunos� Esse quadro, em 
formato de cartaz, ajuda os alunos a perceberem como estão se sentindo ao 
alocar seu estado emocional em quadrantes: eles podem estar com energia alta 
ou baixa e com uma sensação agradável ou desagradável� 
Além de promover o reconhecimento dos sentimentos e a autorreflexão dos 
alunos, esse quadro traz informações sobre a turma como um todo, apontando 
caminhos para conversas ou tipos de atividades mais efetivas para cada contexto�
Veja a seguir os quatro grupos que reúnem sentimentos derivados dos direcio-
namentos propostos, representados no Quadro de sentimentos�
COMO ESTOU ME SENTINDO HOJE?
DESAGRADÁVEL AGRADÁVEL
B
A
IX
A
 
 
 
A
LT
A
SENSAÇÃO
EN
ER
G
IA
ESTRESSE
RAIVA
ANSIEDADE
MOTIVAÇÃO
ANIMAÇÃO
ALEGRIA
TRISTEZA
INDIFERENÇA
TÉDIO
RELAXAMENTO
CALMA
SEGURANÇA
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XII XIII
Vermelho
Alta energia e sensação desagradável: esse estado emocional se relaciona a 
sentimentos como ansiedade, raiva e estresse� Ele pode favorecer a realização de 
atividades competitivas e de argumentação� Quando apresenta nuances nega-
tivas, podemos manejar a disposição emocional para equilibrar as energias da 
turma por meio de atividades de respiração, relaxamento e autoconhecimento�
Amarelo
Alta energia e sensação agradável: esse estado emocional se relaciona a sen-
timentos como motivação, animação e alegria� Ideal para atividades que envol-
vam criatividade e resolução de problemas� Quando apresenta nuances negativas, 
como falta de foco e de equilíbrio, recomendam-se atividades de respiração ou 
relaxamento�
Azul
Baixa energia e sensação desagradável: esse estado emocional se relaciona 
a sentimentos como tristeza, indiferença e tédio� Essa energia pode favorecer 
atividades que requeiram atenção a detalhes, reflexão e cooperação� Para evitar 
nuances negativas, como desmotivação e improdutividade, atividades de auto-
conhecimento ou que promovam o aumento da energia (atividades físicas ou 
jogos coletivos) podem ser realizadas�
Verde
Baixa energia e sensação agradável: esse estado emocional se relaciona a 
sentimentos como calma, segurança e relaxamento� Ideal para atividades que 
requerem concentração e colaboração� Quando apresenta nuances negativas, 
como desinteresse ou acomodação, atividades que proporcionam o aumento da 
energia (atividades físicas ou jogos coletivos) podem ser realizadas�
Como mapear os sentimentos com o Quadro?
O Quadro de sentimentos pode ser aproveitado em momentos específicos, 
como nos dias dos simulados�
Algumas estratégias podem ser utilizadas para mapear os sentimentos da 
turma, como solicitar aos alunos que pintem em um papel a cor do quadrante 
que mais representa seus sentimentos naquele dia� Em seguida, recolha os papéis 
de todos os alunos e organize-os para verificar quais são a cor e o sentimento 
predominantes� Com base nas características das cores, faça sugestões e enco-
raje a turma a entender os sentimentos e as reações diante deles�
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XIV XV
Realizar uma avaliação de sistema com amplitude nacional, que seja efetiva, 
exige a construção de uma matriz de referência que dê transparência e legitimi-
dade a esse processo, estabelecendo o que será avaliado� A seguir, reproduzimos 
a Matriz de Referência do Saeb para Matemática dos Anos Finais� 
Tema I – Espaço e Forma
9o ano Descritores
Identificar a localização/movimentação de objetos em mapas, croquis e outras 
representações gráficas� D1
Identificar propriedades comuns e diferenças entre figuras bidimensionais e 
tridimensionais, relacionando-as com as suas planificações� D2
Identificar propriedades de triângulos pela comparação de medidas de lados e 
ângulos� D3
Identificar relação entre quadriláteros por meio de suas propriedades� D4
Reconhecer a conservação ou modificação de medidas dos lados, do perímetro, da 
área em ampliação e/ou redução de figuras poligonais usando malhas quadriculadas� D5
Reconhecer ângulos como mudança de direção ou giros, identificando ângulos retos e 
não retos� D6
Reconhecer que as imagens de uma figura construída por uma transformação 
homotética são semelhantes, identificando propriedades e/ou medidas que se 
modificam ou não se alteram�
D7
Resolver problema utilizando propriedades dos polígonos (soma de seus ângulos 
internos, número de diagonais, cálculo da medida de cada ângulo interno nos 
polígonos regulares)�
D8
Interpretar informações apresentadas por meio de coordenadas cartesianas� D9
Utilizar relações métricas do triângulo retângulo para resolver problemas 
significativos� D10
Reconhecer círculo/circunferência, seus elementos e algumas de suas relações� D11
Tema II – Grandezas e Medidas
9o ano Descritores
Resolver problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas� D12
Resolver problema envolvendo o cálculo de área de figuras planas� D13
Resolver problema envolvendo noções de volume� D14
Resolver problema utilizando relações entre diferentes unidades de medida� D15
Matriz de referência
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XIV XV
Tema III – Números e Operações/Álgebra e Funções 
9o ano Descritores
Identificar a localização de números inteiros na reta numérica� D16
Identificar a localização de números racionais na reta numérica� D17
Efetuar cálculos com números inteiros, envolvendo as operações (adição, subtração, 
multiplicação, divisão, potenciação)� D18
Resolver problema com números naturais, envolvendo diferentes significados das 
operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação)� D19
Resolver problema com números inteiros envolvendo as operações (adição, subtração, 
multiplicação, divisão, potenciação)� D20
Reconhecer as diferentes representações de um número racional� D21
Identificar fração como representação que pode estar associada a diferentes significados� D22
Identificar frações equivalentes� D23
Reconhecer as representações decimais dos números racionais como uma extensão do 
sistema de numeração decimal, identificando a existência de “ordens” como décimos, 
centésimos e milésimos�
D24
Efetuar cálculos que envolvam operações com números racionais (adição, subtração, 
multiplicação, divisão, potenciação)� D25
Resolver problema com números racionais envolvendo as operações (adição, 
subtração, multiplicação, divisão, potenciação)� D26
Efetuar cálculos simples com valores aproximados de radicais� D27
Resolver problema que envolva porcentagem� D28
Resolver problema que envolva variação proporcional, direta ou inversa, entre grandezas� D29
Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica� D30
Resolver problema que envolva equação do 2o grau� D31
Identificar a expressão algébrica que expressa uma regularidade observada em 
sequências de números ou figuras (padrões)� D32
Identificar uma equação ouinequação do 1o grau que expressa um problema� D33
Identificar um sistema de equações do 1o grau que expressa um problema� D34
Identificar a relação entre as representações algébrica e geométrica de um sistema de 
equações do 1o grau� D35
Tema IV – Tratamento da Informação
9o ano Descritores
Resolver problema envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos� D36
Associar informações apresentadas em listas e/ou tabelas simples aos gráficos que as 
representam e vice-versa� D37
BRASIL� Ministério da Educação� PDE – Plano de Desenvolvimento da Educação – 
Prova Brasil� Brasília: MEC/SEB/Inep, 2008�
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XVI XVII
Detalhamento dos descritores 
Com base no PDE – Plano de Desenvolvimento da Educação, foi elaborado 
um resumo dos descritores do 9o ano e como eles são desenvolvidos nos livros 
do Ensino Fundamental – Anos Finais�
D1 – Identificar a localização/movimentação de objeto em mapas, cro-
quis e outras representações gráficas.
O descritor pretende avaliar a habilidade dos alunos de se localizar ou se mo-
vimentar a partir de um ponto referencial em mapas, croquis ou outras repre-
sentações gráficas, utilizando um comando ou uma combinação de comandos: 
esquerda, direita, giro, acima, abaixo, na frente, atrás etc�
D2 – Identificar propriedades comuns e diferenças entre figuras bidi-
mensionais e tridimensionais, relacionando-as com as suas plani-
ficações.
O descritor pretende avaliar o reconhecimento das propriedades comuns e as 
diferenças entre as planificações de sólidos geométricos quanto a arestas, faces 
e vértices� Os alunos devem ser capazes de planificar um sólido e de identificar o 
sólido que pode ser construído com uma determinada planificação�
D3 – Identificar propriedades de triângulos pela comparação de medi-
das de lados e ângulos.
O descritor pretende avaliar a habilidade dos alunos de reconhecer as pro-
priedades de triângulos e aplicá-las por meio da comparação� Pode-se, por 
exemplo, propor problemas contextualizados nos quais são conhecidos dois 
ângulos de um triângulo e é solicitada a medida do terceiro, ou problemas cuja 
resolução requeira o conhecimento das propriedades dos triângulos equiláte-
ros, isósceles ou retângulos�
D4 – Identificar relação entre quadriláteros por meio de suas propriedades.
O descritor pretende avaliar a habilidade dos alunos de reconhecer, pelas pro-
priedades comuns ou específicas, os quadriláteros: trapézio, paralelogramo, 
retângulo, losango e quadrado�
D5 – Reconhecer a conservação ou modificação de medidas dos lados, 
do perímetro, da área em ampliação e/ou redução de figuras poli-
gonais usando malhas quadriculadas.
O descritor pretende avaliar a habilidade dos alunos de reconhecer, com base 
na ampliação ou redução de uma figura, quais foram as alterações em seus 
lados, seu perímetro e sua área� Os itens elaborados para este descritor devem 
utilizar malhas quadriculadas�
D6 – Reconhecer ângulos como mudança de direção ou giros, identifi-
cando ângulos retos e não retos.
O descritor pretende avaliar a habilidade dos alunos de reconhecer ângulos obti-
dos pela mudança de direção em uma trajetória retilínea ou giro de um segmento� 
Os alunos devem também distinguir ângulos retos de ângulos não retos�
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XVI XVII
D7 – Reconhecer que as imagens de uma figura construída por uma 
transformação homotética são semelhantes, identificando pro-
priedades e/ou medidas que se modificam ou não se alteram.
O descritor pretende avaliar a habilidade dos alunos de verificar a semelhança 
de figuras planas, reconhecendo a manutenção ou a alteração nas medidas dos 
elementos das figuras (lados, ângulos, alturas etc�)�
D8 – Resolver problema utilizando propriedades dos polígonos (soma 
de seus ângulos internos, número de diagonais, cálculo da medida 
de cada ângulo interno nos polígonos regulares).
O descritor pretende avaliar a habilidade dos alunos de aplicar as diversas pro-
priedades dos polígonos convexos na resolução de problemas� As propriedades 
apresentadas não são exaustivas, mas ilustrativas�
D9 – Interpretar informações apresentadas por meio de coordenadas 
cartesianas.
O descritor pretende avaliar a habilidade dos alunos de localizar pontos em sistema 
cartesiano ou, com base nos pontos no sistema, identificar suas coordenadas�
D10 – Utilizar relações métricas do triângulo retângulo para resolver 
problemas significativos.
O descritor pretende avaliar a habilidade dos alunos de resolver problemas uti-
lizando as relações métricas dos triângulos retângulos, em especial o teorema 
de Pitágoras�
D11 – Reconhecer círculo/circunferência, seus elementos e algumas de 
suas relações.
O descritor pretende avaliar a habilidade dos alunos de identificar os elementos 
principais do círculo e da circunferência e aplicar suas propriedades�
D12 – Resolver problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras 
planas.
O descritor pretende avaliar a habilidade dos alunos de calcular o perímetro de 
uma figura plana cujo contorno é uma única linha poligonal fechada�
D13 – Resolver problema envolvendo o cálculo de área de figuras planas.
O descritor pretende avaliar a habilidade dos alunos de resolver problemas en-
volvendo o cálculo da área de figuras planas� Trata-se de uma habilidade muito 
solicitada no dia a dia: cálculo da área de um terreno, do piso de uma casa, da 
parede de um cômodo etc�
D14 – Resolver problema envolvendo noções de volume.
O descritor pretende avaliar a habilidade dos alunos de calcular o volume 
ou a capacidade de sólidos geométricos simples (paralelepípedos e cilindros, 
principalmente)�
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XVIII XIX
D15 – Resolver problema utilizando relações entre diferentes unidades 
de medida.
O descritor pretende avaliar a habilidade dos alunos de resolver problemas com 
transformações de unidades de comprimento (m, cm, mm e km), área (m2, km2 
e ha), volume e capacidade (m3, cm3, mm3, L e mL)�
D16 – Identificar a localização de números inteiros na reta numérica.
O descritor pretende avaliar a habilidade dos alunos de localizar números posi-
tivos, negativos e o zero na reta representativa dos números inteiros� Para isso, 
eles devem dominar a comparação entre inteiros, ou seja, colocá-los em ordem 
crescente ou decrescente�
D17 – Identificar a localização de números racionais na reta numérica.
O descritor pretende avaliar a habilidade dos alunos de localizar números ra-
cionais na reta representativa do conjunto B, reconhecendo que entre dois 
números racionais existem infinitos números racionais�
D18 – Efetuar cálculos com números inteiros, envolvendo as operações 
(adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação).
O descritor pretende avaliar a habilidade dos alunos de efetuar as cinco opera-
ções com números inteiros�
D19 – Resolver problema com números naturais, envolvendo diferentes 
significados das operações (adição, subtração, multiplicação, di-
visão, potenciação).
O descritor pretende avaliar a habilidade dos alunos de resolver problemas uti-
lizando as cinco operações com números naturais�
D20 – Resolver problema com números inteiros envolvendo as opera-
ções (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação).
O descritor pretende avaliar a habilidade dos alunos de resolver problemas uti-
lizando as cinco operações com números inteiros�
D21 – Reconhecer as diferentes representações de um número racional.
O descritor pretende avaliar a habilidade dos alunos de identificar números racio-
nais nas suas diversas representações: fracionária, decimal ou percentual�
D22 – Identificar fração como representação que pode estar associada a 
diferentes significados.
O descritor pretende avaliar a habilidade dos alunos de reconhecer frações em 
diversas representações, como partes de um inteiro, relação entre conjuntos, 
razão entre medidas etc�
D23 – Identificarfrações equivalentes.
O descritor pretende avaliar a habilidade dos alunos de observar que uma fra-
ção pode também ser representada por um conjunto infinito de outras frações 
equivalentes�
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XVIII XIX
D24 – Reconhecer as representações decimais dos números racionais como 
uma extensão do sistema de numeração decimal, identificando a exis-
tência de “ordens” como décimos, centésimos e milésimos.
O descritor pretende avaliar a habilidade dos alunos de decompor um número 
decimal reconhecendo suas ordens pelo princípio do sistema de numeração 
decimal�
D25 – Efetuar cálculos que envolvam operações com números racionais 
(adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação).
O descritor pretende avaliar a habilidade dos alunos de efetuar cálculos de ex-
pressões com diferentes representações dos números racionais e envolvendo as 
operações básicas do conjunto B�
D26 – Resolver problema com números racionais envolvendo as opera-
ções (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação).
O descritor pretende avaliar a habilidade dos alunos de resolver problemas uti-
lizando as cinco operações com números racionais�
D27 – Efetuar cálculos simples com valores aproximados de radicais.
O descritor pretende avaliar a habilidade dos alunos de resolver expressões com 
radicais não exatos, solucionando os radicais com aproximações, como no caso 
dos números irracionais�
D28 – Resolver problema que envolva porcentagem.
O descritor pretende avaliar a habilidade dos alunos de resolver problemas con-
textualizados (descontos ou reajustes em compras, taxas, porcentagem de uma 
amostra em uma população etc�) que envolvam porcentagens�
D29 – Resolver problema que envolva variação proporcional, direta ou 
inversa, entre grandezas.
O descritor pretende avaliar a habilidade dos alunos de resolver problemas com 
grandezas direta ou inversamente proporcionais� Em geral, são usadas regras 
de três simples na resolução dos problemas�
D30 – Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica.
O descritor pretende avaliar a habilidade dos alunos de substituir as variáveis 
da expressão algébrica por números inteiros e calcular seu valor numérico, en-
volvendo as várias operações� 
D31 – Resolver problema que envolva equação do 2o grau.
O descritor pretende avaliar a habilidade dos alunos de equacionar os dados 
de um problema, resolver a equação do 2o grau obtida e, quando for o caso, 
criticar as raízes obtidas, chegando ao resultado do problema�
D32 – Identificar a expressão algébrica que expressa uma regularidade 
observada em sequências de números ou figuras (padrões).
O descritor pretende avaliar a habilidade dos alunos de reconhecer a regularidade 
ocorrida em uma sequência e representá-la por meio de uma expressão algébrica�
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D33 – Identificar uma equação ou inequação do 1o grau que expressa 
um problema.
O descritor pretende avaliar a habilidade dos alunos de exprimir, com uma 
equação ou inequação do 1o grau, situações apresentadas em problemas con-
textualizados�
D34 – Identificar um sistema de equações do 1o grau que expressa um 
problema.
O descritor pretende avaliar a habilidade dos alunos de, dado um problema, identifi-
car e expressar equações do 1o grau, construindo um sistema de equações�
D35 – Identificar a relação entre as representações algébrica e geométri-
ca de um sistema de equações do 1o grau.
O descritor pretende avaliar a habilidade dos alunos de reconhecer um gráfico 
cartesiano que representa um sistema do 1o grau ou o sistema que corresponde 
ao gráfico dado�
D36 – Resolver problema envolvendo informações apresentadas em ta-
belas e/ou gráficos.
O descritor pretende avaliar a habilidade dos alunos de analisar tabelas ou gráficos, 
extrair informações neles contidas e, com base nelas, resolver problemas�
D37 – Associar informações apresentadas em listas e/ou tabelas simples 
aos gráficos que as representam e vice-versa.
O descritor pretende avaliar a habilidade dos alunos de relacionar informações 
contidas em gráficos a uma tabela ou, dado um gráfico, reconhecer a tabela de 
dados que corresponde a ele�
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BRASIL� Ministério da Educação� PDE – Plano de Desenvolvimento da 
Educação – Prova Brasil� Brasília: MEC/SEB/Inep, 2008�
BRASIL� Secretaria de Educação Fundamental� Parâmetros Curriculares 
Nacionais: introdução aos parâmetros curriculares nacionais� Brasília: MEC/
SEF, 1997�
CENTRO para a Inteligência Emocional da Universidade de Yale� Disponível em: 
<http://ei�yale�edu/>�
INSTITUTO Nacional de Pesquisas Pedagógicas� Disponível em: <http://provabrasil�
inep�gov�br>�
POLYA, George� A arte de resolver problemas� Trad� Heitor Lisboa Araújo� 
Rio de Janeiro: Interciência, 1994�
SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez (Org�)� Ler, escrever e resolver 
problemas: habilidades básicas para aprender Matemática� São Paulo: 
Artmed, 2001�
Referências bibliográficas
XXI
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XXII XXIII
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98
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7
Responda
a) Represente a razão entre o número de questões que o aluno acertou e o 
total de questões da prova, na forma de fração, usando os números 16 e 20.
20
16
b) Leia o texto a seguir.
Dada uma fração qualquer, podemos obter infinitas frações 
equivalentes a ela. No exemplo abaixo obtemos diversas frações 
equivalentes a 36
60 .
4 2
4 2
4 2
4 2
4 3
4 3
36
60
18
30
9
15
3
55 5 5
As frações 18
30 , 9
15 e 3
5 são frações equivalentes a 36
60 .
Quando simplificamos uma fração e obtemos numeradores e 
denominadores primos entre si, dizemos que a fração é irredutível, ou 
seja, ela não pode ser mais simplificada.
Por exemplo, 3
5 é uma fração irredutível.
• Agora, escreva na forma de fração irredutível a razão entre o número 
de questões que o aluno acertou e o total de questões da prova.
20
16
5
45
c) Para determinar a quantidade de questões que o aluno acertou nessa 
prova, podemos encontrar uma fração de denominador 100 que 
seja equivalente à fração irredutível determinada no item anterior. 
O numerador da fração com denominador 100 é a quantidade de 
questões que o aluno acertou. Determine essa fração.
5
4
100
805
d) Outro modo de determinar a quantidade de questões é calcular o valor 
de x 3 100, em que x representa a fração correspondente à razão entre 
o número de questões que o aluno acertou e o total de questões da 
prova. Calcule esse valor e complete a frase.
5
4
5
4 100 00 8053 5
O aluno acertou questões.80
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6
Frações e decimais1
Lição
Recorde
Frequentemente comparamos duas quantidades ou duas medidas por meio de uma 
divisão. Essa divisão, muitas vezes apresentada em forma de fração, é chamada razão.
Considere a seguinte situação:
Em uma sala de aula há 20 meninas e 15 meninos. Dizemos que a razão entre o número 
de meninas e o de meninos é de 15
20 ou 3
4 , ou seja, de 4 meninas para 3 meninos.
A razão entre dois números a e b, com b % 0, nessa ordem, é dada por b
a .
Em uma avaliação com 100 testes, a razão entre o 
número de questões que um aluno acertou e o número 
total de questões da prova foi de 16 para 20.
• Escreva na forma de fração irredutível a razão entre o 
número de questões que o aluno acertou e o total de 
questões da prova.
• Quantas questões esse aluno acertou?
Atividade 1
Compreenda
a) Quais são as tarefas propostas na atividade?
Escrever na forma de fração irredutível a razão entre o número de questões que o aluno 
acertou e ototal de questões da prova, além de determinar quantas questões ele acertou.
b) A avaliação é composta de quantos testes?
A avaliação é composta de 100 testes.
c) Qual é a relação entre o número de questões que o aluno acertou e o 
total de questões da prova?
A cada 20 questões da prova, o aluno acertou 16. 
K
IR
LL
E
Y
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A seção Responda exige que os alunos traba-
lhem o conceito de fração equivalente. Retome 
esse conceito com eles, oferecendo listas de fra-
ções para que determinem seus equivalentes, 
por redução ou pela multiplicação do numera-
dor e do denominador por um mesmo número. 
Com relação às frações equivalentes, é possível 
abordar seu significado por meio da relação 
parte-todo, retomando com os alunos a noção 
de que esse tipo de fração representa a mesma 
parte do todo, como é o caso de , ,6
2
9
3
18
6 , que 
são equivalentes a 
3
1, por exemplo.
O item c da seção Responda apresenta o cál-
culo da quantidade de questões que o aluno 
acertou por meio de frações equivalentes, e o 
item d apresenta esse cálculo por meio de uma 
multiplicação. Esses dois modos de resolução 
têm como objetivo conduzir os alunos à per-
cepção de que, em muitos casos, há mais de 
um modo de resolver uma situação-problema. 
Ao responderem aos itens c e d, chame a aten-
ção para as frações obtidas como porcentagem. 
Espera-se que os alunos notem outro significado 
das frações: a relação parte-todo referente ao 
número 100. Assim, considerando a um número 
real, escrevê-lo como a% é o mesmo que dizer 
a
100
. Exemplo: %6
100
6
5 , que corresponde a 
0,06.
Lembre aos alunos que é possível transformar 
uma fração em porcentagem e pergunte como 
fazer isso. Espera-se que apresentem algum 
procedimento com o qual estejam familiariza-
dos, como no exemplo: , %5
9
20
20
100
180 1 85 53 , 
ou, ainda, , %5
1 1 5 0 20 204 55 5 . Caso apre-
sentem dificuldades em estabelecer essas rela-
ções, apresente situações em que seja necessá-
rio transformar frações em porcentagens.
DIFICULDADES: O QUE FAZER?
Apresentam dificuldades com frações. 
Caso os alunos tenham dificuldade no trabalho com frações, proponha diferentes situações-
-problema que envolvam números na forma de fração. Veja algumas sugestões:
1. Em uma empresa há 900 funcionários. Desses, 350 são mulheres e 250 possuem ensino supe-
rior completo. Represente na forma de fração a razão entre:
a) o número de mulheres e o total de funcionários. 18
7
b) o número de funcionários que não possuem ensino superior completo e o total de 
funcionários. 18
11
2. Um atleta dedica 3 horas de seu dia a atividades cardiorrespiratórias e 1 hora para musculação. 
Que fração de um dia esse atleta dedica a essas atividades físicas? 24
4
6
15
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Estrutura do Guia e Recursos Didáticos
Conteúdos desenvolvidos
Relação dos conteúdos 
desenvolvidos nas lições�
Orientações didáticas
Comentários, 
sugestões e 
orientações 
específicas para o 
desenvolvimento das 
atividades�
Dificuldades: 
o que fazer?
Sugestões de atividades 
ou de encaminhamentos, 
caso sejam observadas 
dificuldades específicas 
em algum conteúdo 
desenvolvido 
nas atividades�
Orientações específicas
6
Lição 1
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7
Responda
a) Represente a razão entre o número de questões que o aluno acertou e o 
total de questões da prova, na forma de fração, usando os números 16 e 20.
20
16
b) Leia o texto a seguir.
Dada uma fração qualquer, podemos obter infinitas frações 
equivalentes a ela. No exemplo abaixo obtemos diversas frações 
equivalentes a 36
60 .
4 2
4 2
4 2
4 2
4 3
4 3
36
60
18
30
9
15
3
55 5 5
As frações 18
30 , 9
15 e 3
5 são frações equivalentes a 36
60 .
Quando simplificamos uma fração e obtemos numeradores e 
denominadores primos entre si, dizemos que a fração é irredutível, ou 
seja, ela não pode ser mais simplificada.
Por exemplo, 3
5 é uma fração irredutível.
• Agora, escreva na forma de fração irredutível a razão entre o número 
de questões que o aluno acertou e o total de questões da prova.
20
16
5
45
c) Para determinar a quantidade de questões que o aluno acertou nessa 
prova, podemos encontrar uma fração de denominador 100 que 
seja equivalente à fração irredutível determinada no item anterior. 
O numerador da fração com denominador 100 é a quantidade de 
questões que o aluno acertou. Determine essa fração.
5
4
100
805
d) Outro modo de determinar a quantidade de questões é calcular o valor 
de x 3 100, em que x representa a fração correspondente à razão entre 
o número de questões que o aluno acertou e o total de questões da 
prova. Calcule esse valor e complete a frase.
5
4
5
4 100 00 8053 5
O aluno acertou questões.80
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19
98
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6
Frações e decimais1
Lição
Recorde
Frequentemente comparamos duas quantidades ou duas medidas por meio de uma 
divisão. Essa divisão, muitas vezes apresentada em forma de fração, é chamada razão.
Considere a seguinte situação:
Em uma sala de aula há 20 meninas e 15 meninos. Dizemos que a razão entre o número 
de meninas e o de meninos é de 15
20 ou 3
4 , ou seja, de 4 meninas para 3 meninos.
A razão entre dois números a e b, com b % 0, nessa ordem, é dada por b
a .
Em uma avaliação com 100 testes, a razão entre o 
número de questões que um aluno acertou e o número 
total de questões da prova foi de 16 para 20.
• Escreva na forma de fração irredutível a razão entre o 
número de questões que o aluno acertou e o total de 
questões da prova.
• Quantas questões esse aluno acertou?
Atividade 1
Compreenda
a) Quais são as tarefas propostas na atividade?
Escrever na forma de fração irredutível a razão entre o número de questões que o aluno 
acertou e o total de questões da prova, além de determinar quantas questões ele acertou.
b) A avaliação é composta de quantos testes?
A avaliação é composta de 100 testes.
c) Qual é a relação entre o número de questões que o aluno acertou e o 
total de questões da prova?
A cada 20 questões da prova, o aluno acertou 16. 
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Conteúdos desenvolvidos
• Significados de frações.
• Frações equivalentes.
• Representação de números racionais.
• Expressões numéricas com números racionais.
Orientações didáticas
Atividade 1
A atividade explora os descritores D22 e D23, 
pertencentes ao Tema III – Números e Operações/
Álgebra e Funções. O primeiro descritor tem 
como objetivo avaliar a habilidade dos alunos 
de associar frações a diferentes situações, por 
exemplo, frações que representam partes de 
um inteiro, relações entre conjuntos, frações 
como operadores, como razões, etc. Já o segun-
do descritor tem como objetivo avaliar se os alu-
nos identificam frações equivalentes.
Aproveite a seção Recorde para explicar aos 
alunos que as frações irredutíveis são aquelas 
que não possuem um fator comum e, portan-
to, não podem ser simplificadas.
Relembre-os de que os números decimais fini-
tos, as dízimas periódicas e os números inteiros 
podem ser escritos na forma de fração. Caso 
julgue necessário, apresente situações em que 
tenham de escrever números na forma de fra-
ção e peça que compartilhem com os colegas as 
regularidades observadas.
Atividade Tema Descritores
1 III
D22 – Identificar fração como representação que pode 
estar associada a diferentes significados.
D23 – Identificar frações equivalentes.
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Reprodução reduzida 
da página do livro 
do aluno�
Quadro de descritores
Indicação dos descritores 
desenvolvidos nas atividades�
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XXII XXIII
Simulado 1
36
Simulado 1
Questão 1
D15 – Resolver problema utilizando relações 
entre diferentes unidades de medida.
(A) Incorreta. O aluno não lê corretamente o 
enunciado e subtrai os 20 cm das dimensões do 
quadro.
(B) Incorreta. O aluno não converte as unida-
des e calcula a altura como 0,20 m 1 90 cm e o 
comprimento como 0,20 m 1 150 cm.
(C) Correta. O aluno calcula corretamente a al-
tura do quadro emoldurado (0,20 m 1 90 cm 5 
5 1,10 m) e o seu comprimento (0,20 m 1 
1 150 cm 5 1,70 m).
(D) Incorreta. O aluno calcula corretamente a 
altura (20 cm 1 90 cm 5 110 cm 5 1,10 m), mas 
erra a conversão de unidades no comprimento, 
confundindo 20 cm com 0,22 m e respondendo 
1,72 m.
Questão 2
D15 – Resolver problema utilizando relações 
entre diferentes unidades de medida.
(A) Incorreta. O aluno calcula apenas a capaci-
dade total dos 20 frascos de vacina.
(B) Incorreta. O aluno divide 250 por 0,750 e ob-
tém 33,3, errando o posicionamento da vírgula.
(C) Incorreta. O aluno se equivoca ao calcu-
lar 750 3 20, obtendo 150.000 cm3. Em segui-
da, transforma o resultado em 150 L e subtrai 
250 2 150 5 100 L.
(D) Correta. O aluno efetua corretamente 
750 3 20 5 15.000 cm3. Em seguida, conver-
te a medida para 15 L e calcula 250 2 15 5 
5 235 L.
Lições 1 a 41
Simulado
36
1 Um quadro retangular de 90 cm de altura por 1,5 m de comprimento 
deverá ser emoldurado. As medidas internas da moldura são exatamente 
iguais às do quadro, mas, na parte externa e de forma simétrica, a altura e 
o comprimento da moldura terão 20 cm a mais que as medidas do quadro.
 A altura e o comprimento externos da moldura medem, respectivamente,
( A ) 0,70 m e 1,30 m.
( B ) 0,92 m e 1,52 m.
( C ) 1,10 m e 1,70 m.
( D ) 1,10 m e 1,72 m.
2 A capacidade total de uma geladeira em um posto de saúde é de 
250 L. Dentro dessa geladeira, inicialmente vazia, foram colocadas 
20 embalagens de frascos de vacinas com 750 cm3 cada uma.
 A capacidade não ocupada no interior da geladeira é de
( A ) 15 L.
( B ) 33,3 L.
( C ) 100 L.
( D ) 235 L.
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37
3 Augusto convidou amigos para uma feijoada no sábado. Ele reservou 
R$ 100,00 para comprar os ingredientes para a feijoada e os refrigerantes. 
 As carnes custaram R$ 48,00, o feijão e os temperos custaram R$ 14,00 e 
a couve, a pimenta e o arroz, juntos, custaram R$ 10,00.
 Se cada refrigerante custa R$ 7,00, o número máximo de refrigerantes que 
ele poderá comprar é
( A ) 2.
( B ) 3.
( C ) 4.
( D ) 5.
4 Uma equipe de fotógrafos profissionais registrou um casamento utili-
zando 3 câmeras fotográficas com capacidade para 540 fotos em cada 
uma. Ao final do casamento, ainda restava na primeira câmera espaço 
para 36 fotos, na segunda, espaço para 40 fotos e, na terceira, espaço 
para 18 fotos.
 Quantas fotos foram tiradas por essa equipe durante o casamento?
( A ) 1.536
( B ) 1.526
( C ) 1.426
( D ) 446
5 Três amigos resolveram inventar uma regra para uma partida de basquete: 
cada arremesso convertido vale 3 pontos, e cada arremesso perdido acarreta 
perda de 2 pontos.
 Cada um dos amigos fez 10 arremessos. Carlos acertou 4 arremessos, Jonas 
acertou 3 e Felipe acertou 7.
 A diferença entre o total de pontos de Felipe e o total de pontos de Jonas 
é igual a
( A ) 220.
( B ) 4.
( C ) 10.
( D ) 20.
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37
Questão 3
D19 – Resolver problema com números natu-
rais, envolvendo diferentes significados das 
operações (adição, subtração, multiplicação, 
divisão, potenciação).
(A) Incorreta. O aluno erra a adição 48 1 14 1 
1 10, obtendo 82, calcula 100 2 82 5 18 e, por 
fim, obtém 18 4 7 5 2,6.
(B) Incorreta. O aluno efetua a adição 48 1 
1 14 1 10 5 72 e se equivoca ao calcular 
100 2 72, obtendo 22. Por fim, faz a divisão 
22 4 7 5 3,1.
(C) Correta. O aluno efetua a adição 48 1 14 1 
1 10 5 72, a subtração 100 2 72 5 28 e divide 
22 4 7 5 4, indicando corretamente a alternativa.
(D) Incorreta. O aluno efetua a adição 48 1 
1 14 1 10 5 72 e depois erra ao subtrair 72 
de 100, obtendo 38. Por fim, faz a divisão 
38 4 7 5 5,4.
Questão 4
D19 – Resolver problema com números natu-
rais, envolvendo diferentes significados das 
operações (adição, subtração, multiplicação, 
divisão, potenciação).
(A) Incorreta. O aluno efetua 540 3 3 5 1.620, 
erra a adição 36 1 40 1 18, obtendo 104, e faz 
a subtração 1.620 2 104 5 1.536.
(B) Correta. O aluno efetua 540 3 3 5 1.620, 
faz a adição 36 1 40 1 18 5 94 e subtrai o 
resultado da capacidade total das câmeras 
(1.620 2 94 5 1.526).
(C) Incorreta. O aluno erra a multiplicação 
540 3 2, obtendo 1.520. Em seguida, calcula 36 1 
1 40 1 18 5 94 e faz a subtração 1.620 2 94 5 
5 1.426.
(D) Incorreta. O aluno efetua 540 2 94 5 446, 
ignorando que há 3 câmeras.
Questão 5
D20 – Resolver problema com números in-
teiros envolvendo as operações (adição, sub-
tração, multiplicação, divisão, potenciação).
(A) Incorreta. O aluno acertou o cálculo dos 
pontos de Felipe nos arremessos corretos 
(7 3 3 5 21) e nos arremessos errados (3 3 (22) 5 
5 26), totalizando 15, e dos pontos de Jonas 
nos arremessos corretos (3 3 3 5 9) e nos arre-
messos errados (7 3 (22) 5 214), totalizando 
25. No entanto, inverteu o cálculo, subtraindo 
dos pontos de Jonas os de Felipe: 25 215 5 
5 220. 
(B) Incorreta. O aluno, ao obter os pontos 
de Felipe, acertou o cálculo dos arremessos 
corretos (7 3 3 5 21) e dos pontos absolutos 
oriundos dos arremessos errados (3 3 2 5 6), 
mas esqueceu que deveria subtrair, e não adi-
cionar, os pontos perdidos, fazendo 21 1 6 5 
5 27. Em seguida, fez o mesmo procedimen-
to para obter os pontos de Jonas em relação 
aos arremessos corretos (3 3 3 5 9) e errados 
(7 3 2 5 14), totalizando, equivocadamente, 
9 1 14 5 23. Por fim, concluiu que 27 2 23 5 4.
(C) Incorreta. O aluno acertou o cálculo dos 
pontos de Felipe nos arremessos corretos 
(7 3 3 5 21) e nos arremessos errados (3 3 (22) 5 
5 26), obtendo 15. Efetuou então o cálculo 
dos pontos de Jonas nos arremessos corretos 
(3 3 3 5 9) e nos arremessos errados (7 3 (22) 5 
5 214), totalizando, com erro, 5. Por fim, con-
cluiu que 15 2 5 510.
(D) Correta. O aluno acertou o cálculo dos pon-
tos de Felipe nos arremessos corretos (7 3 3 5 
5 21) e nos arremessos errados (3 3 (22) 5 26), 
totalizando 15, e dos pontos de Jonas nos ar-
remessos corretos (3 3 3 5 9) e nos arremessos 
errados (7 3 (22) 5 214), obtendo 25. Por fim, 
calculou corretamente 15 2 (2 5) 5 20. 
Lições 1 a 41
Simulado
36
1 Um quadro retangular de 90 cm de altura por 1,5 m de comprimento 
deverá ser emoldurado. As medidas internas da moldura são exatamente 
iguais às do quadro, mas, na parte externa e de forma simétrica, a altura e 
o comprimento da moldura terão 20 cm a mais que as medidas do quadro.
 A altura e o comprimento externos da moldura medem, respectivamente,
( A ) 0,70 m e 1,30 m.
( B ) 0,92 m e 1,52 m.
( C ) 1,10 m e 1,70 m.
( D ) 1,10 m e 1,72 m.
2 A capacidade total de uma geladeira em um posto de saúde é de 
250 L. Dentro dessa geladeira, inicialmente vazia, foram colocadas 
20 embalagens de frascos de vacinas com 750 cm3 cada uma.
 A capacidade não ocupada no interior da geladeira é de
( A ) 15 L.
( B ) 33,3 L.
( C ) 100 L.
( D ) 235 L.
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3 Augusto convidou amigos para uma feijoada no sábado. Ele reservou 
R$ 100,00 para comprar os ingredientes para a feijoada e os refrigerantes. 
 As carnes custaram R$ 48,00, o feijão e os temperos custaram R$ 14,00 e 
a couve, a pimenta e o arroz, juntos, custaram R$ 10,00.
 Se cada refrigerante custa R$ 7,00,o número máximo de refrigerantes que 
ele poderá comprar é
( A ) 2.
( B ) 3.
( C ) 4.
( D ) 5.
4 Uma equipe de fotógrafos profissionais registrou um casamento utili-
zando 3 câmeras fotográficas com capacidade para 540 fotos em cada 
uma. Ao final do casamento, ainda restava na primeira câmera espaço 
para 36 fotos, na segunda, espaço para 40 fotos e, na terceira, espaço 
para 18 fotos.
 Quantas fotos foram tiradas por essa equipe durante o casamento?
( A ) 1.536
( B ) 1.526
( C ) 1.426
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5 Três amigos resolveram inventar uma regra para uma partida de basquete: 
cada arremesso convertido vale 3 pontos, e cada arremesso perdido acarreta 
perda de 2 pontos.
 Cada um dos amigos fez 10 arremessos. Carlos acertou 4 arremessos, Jonas 
acertou 3 e Felipe acertou 7.
 A diferença entre o total de pontos de Felipe e o total de pontos de Jonas 
é igual a
( A ) 220.
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Descrição da 
habilidade avaliada 
na questão�
Reprodução reduzida da 
página do livro do aluno�
Indicação da resposta correta 
e de possíveis erros dos 
alunos�
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1
M LA PDF Formato205 x 275
3a edição
Ensino Fundamental
Anos Finais
9 ano
Matemática
Organizadora: Editora Moderna
Obra coletiva concebida, desenvolvida 
e produzida pela Editora Moderna.
Editora Executiva: 
Thaís Ginícolo Cabral
AB6-M19-Frontis-LA.indd 8 10/1/19 4:42 PM(001_005)APROVA_9ANO_MAT_INICIAIS_LA.indd 1 23/10/19 12:03
(001_005)APROVA_9ANO_MAT_INICIAIS_GUIA.indd 1 23/10/19 12:04
2
Apresentação
© Editora Moderna, 2019
Obra coletiva concebida e desenvolvida pela Editora Moderna.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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3a edição
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Aprova Brasil : 6º ao 9º ano : matemática : ensino 
fundamental : anos finais / organizadora Editora 
Moderna ; obra coletiva concebida, desenvolvida 
e produzida pela Editora Moderna ; editora 
responsável Thaís Ginícolo Cabral. -- São Paulo : 
Moderna, 2019. -- (Aprova Brasil)
1. Matemática (Ensino fundamental) 2. Matemática 
(Ensino fundamental) - Atividades e exercícios 
I. Cabral, Thaís Ginícolo. II. Série.
19-28475 CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
Iolanda Rodrigues Biode - Bibliotecária - CRB-8/10014
ISBN 978-85-16-12156-3 (LA)
ISBN 978-85-16-12157-0 (GR)
Concepção das edições anteriores: Maria Cecília da Silva 
Veridiano, Izaias Cordeiro Neri, Nielce Meneguelo Lobo da Costa, 
Maria Luiza Giordano de Figueiredo Gonzalez, Pamela Hellebrekers 
Seravalli 
Elaboração de avaliações: Rodrigo de Souza Bortolucci, Antonio 
Oliva, Christiane Bellorio Gennari Stevão, Tania Cristina Arantes 
Macedo de Azevedo (Coordenação de avaliações) 
Coordenação de projeto: Isabel Farah Schwartzman
Coordenação editorial: Thaís Ginícolo Cabral, Carla Rodrigues Riquena
Coordenação de bureau: Rubens M. Rodrigues
Pré-impressão: Alexandre Petreca, Denise Feitoza Maciel, Everton 
L. De Oliveira, Marcio H. Kamoto, Vitória Sousa
Coordenação de produção industrial: Wendell Monteiro
Desenvolvimento de conteúdo e produção editorial: Triolet Editorial
Diretoria executiva: Angélica Pizzutto Pozzani
Gerência editorial: Denise Pizzutto
Coordenação editorial: Carmen Lucia Ferrari
Elaboração de originais: Ana Rebeca Miranda Castillo, Francis 
Roberta de Jesus
Edição de texto: Polyanna Costa, Solange Martins
Assistente editorial: Maria Beatriz Avanso
Preparação e revisão: Alexander Siqueira, Lara Milani
Gerência de arte e produção: Daniela Fogaça Salvador
Edição de arte: Ana Onofri, Igor Aoki, Juliana Freitas, Suzana 
Massini, Wilson Santos
Ilustrações: Adilson Secco, Vicente Mendonça
Iconografia: Daniela Baraúna
Impressão e acabamento: 
(001_005)APROVA_9ANO_MAT_INICIAIS_LA.indd 2 23/10/19 12:03
Apresentação
Este livro foi elaborado para ajudá-lo a entender e 
resolver diversas situações-problema.
Desenvolva as atividades propostas para aproveitar as 
diferentes informações e estratégias de resolução que 
estão distribuídas ao longo das lições.
Você encontrará muitos desafios para serem superados. 
Essas conquistas trarão satisfação pessoal, e isso 
influenciará de maneira positiva sua atuação no mundo.
Bom estudo!
Nome: 
 
Ano: Turma: 
Escola: 
 
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3
Apresentação
© Editora Moderna, 2019
Obra coletiva concebida e desenvolvida pela Editora Moderna.
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Todos os direitos reservados
3a edição
EDITORA MODERNA LTDA.
Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho
São Paulo – SP – Brasil – CEP 03303-904
Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2602-5510
Fax (0_ _11) 2790-1501
www.moderna.com.br
2019
Impresso no Brasil
1 3 5 7 9 10 8 6 4 2
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Aprova Brasil : 6º ao 9º ano : matemática : ensino 
fundamental : anos finais / organizadora Editora 
Moderna ; obra coletiva concebida, desenvolvida 
e produzida pela Editora Moderna ; editora 
responsável Thaís Ginícolo Cabral. -- São Paulo : 
Moderna, 2019. -- (Aprova Brasil)
1. Matemática (Ensino fundamental) 2. Matemática 
(Ensino fundamental) - Atividades e exercícios 
I. Cabral, Thaís Ginícolo. II. Série.
19-28475 CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
Iolanda Rodrigues Biode - Bibliotecária - CRB-8/10014
ISBN 978-85-16-12156-3 (LA)
ISBN 978-85-16-12157-0 (GR)
Concepção das edições anteriores: Maria Cecília da Silva 
Veridiano, Izaias Cordeiro Neri, Nielce Meneguelo Lobo da Costa, 
Maria Luiza Giordano de Figueiredo Gonzalez, Pamela Hellebrekers 
Seravalli 
Elaboração de avaliações: Rodrigo de Souza Bortolucci, Antonio 
Oliva, Christiane Bellorio Gennari Stevão, Tania Cristina Arantes 
Macedo de Azevedo (Coordenação de avaliações) 
Coordenação de projeto: Isabel Farah Schwartzman
Coordenação editorial: Thaís Ginícolo Cabral, Carla Rodrigues Riquena
Coordenação de bureau: Rubens M. Rodrigues
Pré-impressão: Alexandre Petreca, Denise Feitoza Maciel, Everton 
L. De Oliveira, Marcio H. Kamoto, Vitória Sousa
Coordenação de produção industrial: Wendell Monteiro
Desenvolvimento de conteúdo e produção editorial: Triolet Editorial
Diretoria executiva: AngélicaPizzutto Pozzani
Gerência editorial: Denise Pizzutto
Coordenação editorial: Carmen Lucia Ferrari
Elaboração de originais: Ana Rebeca Miranda Castillo, Francis 
Roberta de Jesus
Edição de texto: Polyanna Costa, Solange Martins
Assistente editorial: Maria Beatriz Avanso
Preparação e revisão: Alexander Siqueira, Lara Milani
Gerência de arte e produção: Daniela Fogaça Salvador
Edição de arte: Ana Onofri, Igor Aoki, Juliana Freitas, Suzana 
Massini, Wilson Santos
Ilustrações: Adilson Secco, Vicente Mendonça
Iconografia: Daniela Baraúna
Impressão e acabamento: 
(001_005)APROVA_9ANO_MAT_INICIAIS_LA.indd 2 23/10/19 12:03
Apresentação
Este livro foi elaborado para ajudá-lo a entender e 
resolver diversas situações-problema.
Desenvolva as atividades propostas para aproveitar as 
diferentes informações e estratégias de resolução que 
estão distribuídas ao longo das lições.
Você encontrará muitos desafios para serem superados. 
Essas conquistas trarão satisfação pessoal, e isso 
influenciará de maneira positiva sua atuação no mundo.
Bom estudo!
Nome: 
 
Ano: Turma: 
Escola: 
 
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4
SumárioConheça o seu livro
Para cada questão, pinte apenas um quadrinho. 
Observe no exemplo a forma correta de preenchimento. 
A B C D
A B C D01
A B C D02
A B C D03
A B C D07
A B C D04
A B C D10
A B C D14
A B C D05
A B C D08
A B C D12
A B C D11
A B C D06
A B C D09
A B C D13
NOME: 
TURMA: DATA: 
FOLHA DE RESPOSTAS
 9º ano • Simulado 1 • Lições 1 a 4
MATEMÁTICA
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Depois de responder a 
todas as questões, preencha 
a Folha de respostas que 
está no final do livro. Pinte 
a alternativa que escolheu 
para cada questão.
As lições
Neste livro 
há dezesseis 
lições.
Você começa 
lendo uma 
situação-problema...
... depois, faz 
as atividades 
de compreensão 
e de resolução, 
de acordo com 
as orientações 
do professor.
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Frações e decimais1
Lição
Recorde
Frequentemente comparamos duas quantidades ou duas medidas por meio de uma 
divisão. Essa divisão, muitas vezes apresentada em forma de fração, é chamada razão.
Considere a seguinte situação:
Em uma sala de aula há 20 meninas e 15 meninos. Dizemos que a razão entre o número 
de meninas e o de meninos é de 15
20 ou 3
4 , ou seja, de 4 meninas para 3 meninos.
A razão entre dois números a e b, com b % 0, nessa ordem, é dada por b
a .
Em uma avaliação com 100 testes, a razão entre o 
número de questões que um aluno acertou e o número 
total de questões da prova foi de 16 para 20.
• Escreva na forma de fração irredutível a razão entre o 
número de questões que o aluno acertou e o total de 
questões da prova.
• Quantas questões esse aluno acertou?
Atividade 1
Compreenda
a) Quais são as tarefas propostas na atividade?
b) A avaliação é composta de quantos testes?
c) Qual é a relação entre o número de questões que o aluno acertou e o 
total de questões da prova?
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Responda
a) Represente a razão entre o número de questões que o aluno acertou e o 
total de questões da prova, na forma de fração, usando os números 16 e 20.
b) Leia o texto a seguir.
Dada uma fração qualquer, podemos obter infinitas frações 
equivalentes a ela. No exemplo abaixo obtemos diversas frações 
equivalentes a 36
60 .
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4 2
4 2
4 2
4 3
4 3
36
60
18
30
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15
3
55 5 5
As frações 18
30 , 9
15 e 3
5 são frações equivalentes a 36
60 .
Quando simplificamos uma fração e obtemos numeradores e 
denominadores primos entre si, dizemos que a fração é irredutível, ou 
seja, ela não pode ser mais simplificada.
Por exemplo, 3
5 é uma fração irredutível.
• Agora, escreva na forma de fração irredutível a razão entre o número 
de questões que o aluno acertou e o total de questões da prova.
c) Para determinar a quantidade de questões que o aluno acertou nessa 
prova, podemos encontrar uma fração de denominador 100 que 
seja equivalente à fração irredutível determinada no item anterior. 
O numerador da fração com denominador 100 é a quantidade de 
questões que o aluno acertou. Determine essa fração.
d) Outro modo de determinar a quantidade de questões é calcular o valor 
de x 3 100, em que x representa a fração correspondente à razão entre 
o número de questões que o aluno acertou e o total de questões da 
prova. Calcule esse valor e complete a frase.
O aluno acertou questões.
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Lições 1 a 41
Simulado
36
1 Um quadro retangular de 90 cm de altura por 1,5 m de comprimento 
deverá ser emoldurado. As medidas internas da moldura são exatamente 
iguais às do quadro, mas, na parte externa e de forma simétrica, a altura e 
o comprimento da moldura terão 20 cm a mais que as medidas do quadro.
 A altura e o comprimento externos da moldura medem, respectivamente,
( A ) 0,70 m e 1,30 m.
( B ) 0,92 m e 1,52 m.
( C ) 1,10 m e 1,70 m.
( D ) 1,10 m e 1,72 m.
2 A capacidade total de uma geladeira em um posto de saúde é de 
250 L. Dentro dessa geladeira, inicialmente vazia, foram colocadas 
20 embalagens de frascos de vacinas com 750 cm3 cada uma.
 A capacidade não ocupada no interior da geladeira é de
( A ) 15 L.
( B ) 33,3 L.
( C ) 100 L.
( D ) 235 L.
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Os simulados
A cada quatro lições, 
você faz uma avaliação. 
Assim, fica sabendo 
se ainda tem alguma 
dificuldade. Para cada 
questão, você deve 
escolher uma única 
alternativa: A, B, C e D.
37
3 Augusto convidou amigos para uma feijoada no sábado. Ele reservou 
R$ 100,00 para comprar os ingredientes para a feijoada e os refrigerantes. 
 As carnes custaram R$ 48,00, o feijão e os temperos custaram R$ 14,00 e 
a couve, a pimenta e o arroz, juntos, custaram R$ 10,00.
 Se cada refrigerante custa R$ 7,00, o número máximo de refrigerantes que 
ele poderá comprar é
( A ) 2.
( B ) 3.
( C ) 4.
( D ) 5.
4 Uma equipe de fotógrafos profissionais registrou um casamento utili-
zando 3 câmeras fotográficas com capacidade para 540 fotos em cada 
uma. Ao final do casamento, ainda restava na primeira câmera espaço 
para 36 fotos, na segunda, espaço para 40 fotos e, na terceira, espaço 
para 18 fotos.
 Quantas fotos foram tiradas por essa equipe durante o casamento?
( A ) 1.536
( B ) 1.526
( C ) 1.426
( D ) 446
5 Três amigos resolveram inventar uma regra para uma partida de basquete: 
cada arremesso convertido vale 3 pontos, e cada arremesso perdido acarreta 
perda de 2 pontos.
 Cada um dos amigos fez 10 arremessos. Carlos acertou 4 arremessos, Jonas 
acertou 3 e Felipe acertou 7.
 A diferença entre o total de pontos de Felipe e o total de pontos de Jonas 
é igual a
( A ) 220.
( B ) 4.
( C ) 10.
( D ) 20.
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Sumário
Lição 1 ....................... 6
 Frações e decimais 
Lição 2 ...................... 12
 Medidas e porcentagem 
Lição 3 ...................... 20
 Resolução de problemas 
Lição 4 ...................... 28
 Radicais e problemas com 
 números racionais 
 Simulado 1 .................. 36
 Lições 1 a 4
Lição 5 ...................... 42
 Expressões algébricas 
Lição6 ...................... 50
 Figuras semelhantes 
Lição 7 ...................... 58
 Plano cartesiano: ponto 
 médio, perímetro e área 
Lição 8 ...................... 68
 Proporções e grandezas
 Simulado 2 .................. 74
 Lições 5 a 8
Lição 9 ...................... 80
 Ângulos e triângulo 
 retângulo 
Lição 10 ...................... 88
 Equações polinomiais 
 do 2o grau 
Lição 11 ...................... 94
 Equações e inequações 
Lição 12 ........................... 100
 Tabelas e gráficos 
 Simulado 3 ................. 112
 Lições 9 a 12
Lição 13 ...................... 120
 Resolução de sistemas 
 no plano cartesiano 
Lição 14 ......................... 130
 Polígonos e circunferência
Lição 15 ......................... 138
 Área 
Lição 16 .........................146
 Volume 
 Simulado 4 ................. 152
 Lições 13 a 16
 Folha de respostas ... 161
 Simulado 1
 Simulado 2
 Simulado 3
 Simulado 4
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5
SumárioConheça o seu livro
Para cada questão, pinte apenas um quadrinho. 
Observe no exemplo a forma correta de preenchimento. 
A B C D
A B C D01
A B C D02
A B C D03
A B C D07
A B C D04
A B C D10
A B C D14
A B C D05
A B C D08
A B C D12
A B C D11
A B C D06
A B C D09
A B C D13
NOME: 
TURMA: DATA: 
FOLHA DE RESPOSTAS
 9º ano • Simulado 1 • Lições 1 a 4
MATEMÁTICA
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Depois de responder a 
todas as questões, preencha 
a Folha de respostas que 
está no final do livro. Pinte 
a alternativa que escolheu 
para cada questão.
As lições
Neste livro 
há dezesseis 
lições.
Você começa 
lendo uma 
situação-problema...
... depois, faz 
as atividades 
de compreensão 
e de resolução, 
de acordo com 
as orientações 
do professor.
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Frações e decimais1
Lição
Recorde
Frequentemente comparamos duas quantidades ou duas medidas por meio de uma 
divisão. Essa divisão, muitas vezes apresentada em forma de fração, é chamada razão.
Considere a seguinte situação:
Em uma sala de aula há 20 meninas e 15 meninos. Dizemos que a razão entre o número 
de meninas e o de meninos é de 15
20 ou 3
4 , ou seja, de 4 meninas para 3 meninos.
A razão entre dois números a e b, com b % 0, nessa ordem, é dada por b
a .
Em uma avaliação com 100 testes, a razão entre o 
número de questões que um aluno acertou e o número 
total de questões da prova foi de 16 para 20.
• Escreva na forma de fração irredutível a razão entre o 
número de questões que o aluno acertou e o total de 
questões da prova.
• Quantas questões esse aluno acertou?
Atividade 1
Compreenda
a) Quais são as tarefas propostas na atividade?
b) A avaliação é composta de quantos testes?
c) Qual é a relação entre o número de questões que o aluno acertou e o 
total de questões da prova?
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7
Responda
a) Represente a razão entre o número de questões que o aluno acertou e o 
total de questões da prova, na forma de fração, usando os números 16 e 20.
b) Leia o texto a seguir.
Dada uma fração qualquer, podemos obter infinitas frações 
equivalentes a ela. No exemplo abaixo obtemos diversas frações 
equivalentes a 36
60 .
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18
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As frações 18
30 , 9
15 e 3
5 são frações equivalentes a 36
60 .
Quando simplificamos uma fração e obtemos numeradores e 
denominadores primos entre si, dizemos que a fração é irredutível, ou 
seja, ela não pode ser mais simplificada.
Por exemplo, 3
5 é uma fração irredutível.
• Agora, escreva na forma de fração irredutível a razão entre o número 
de questões que o aluno acertou e o total de questões da prova.
c) Para determinar a quantidade de questões que o aluno acertou nessa 
prova, podemos encontrar uma fração de denominador 100 que 
seja equivalente à fração irredutível determinada no item anterior. 
O numerador da fração com denominador 100 é a quantidade de 
questões que o aluno acertou. Determine essa fração.
d) Outro modo de determinar a quantidade de questões é calcular o valor 
de x 3 100, em que x representa a fração correspondente à razão entre 
o número de questões que o aluno acertou e o total de questões da 
prova. Calcule esse valor e complete a frase.
O aluno acertou questões.
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Lições 1 a 41
Simulado
36
1 Um quadro retangular de 90 cm de altura por 1,5 m de comprimento 
deverá ser emoldurado. As medidas internas da moldura são exatamente 
iguais às do quadro, mas, na parte externa e de forma simétrica, a altura e 
o comprimento da moldura terão 20 cm a mais que as medidas do quadro.
 A altura e o comprimento externos da moldura medem, respectivamente,
( A ) 0,70 m e 1,30 m.
( B ) 0,92 m e 1,52 m.
( C ) 1,10 m e 1,70 m.
( D ) 1,10 m e 1,72 m.
2 A capacidade total de uma geladeira em um posto de saúde é de 
250 L. Dentro dessa geladeira, inicialmente vazia, foram colocadas 
20 embalagens de frascos de vacinas com 750 cm3 cada uma.
 A capacidade não ocupada no interior da geladeira é de
( A ) 15 L.
( B ) 33,3 L.
( C ) 100 L.
( D ) 235 L.
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Os simulados
A cada quatro lições, 
você faz uma avaliação. 
Assim, fica sabendo 
se ainda tem alguma 
dificuldade. Para cada 
questão, você deve 
escolher uma única 
alternativa: A, B, C e D.
37
3 Augusto convidou amigos para uma feijoada no sábado. Ele reservou 
R$ 100,00 para comprar os ingredientes para a feijoada e os refrigerantes. 
 As carnes custaram R$ 48,00, o feijão e os temperos custaram R$ 14,00 e 
a couve, a pimenta e o arroz, juntos, custaram R$ 10,00.
 Se cada refrigerante custa R$ 7,00, o número máximo de refrigerantes que 
ele poderá comprar é
( A ) 2.
( B ) 3.
( C ) 4.
( D ) 5.
4 Uma equipe de fotógrafos profissionais registrou um casamento utili-
zando 3 câmeras fotográficas com capacidade para 540 fotos em cada 
uma. Ao final do casamento, ainda restava na primeira câmera espaço 
para 36 fotos, na segunda, espaço para 40 fotos e, na terceira, espaço 
para 18 fotos.
 Quantas fotos foram tiradas por essa equipe durante o casamento?
( A ) 1.536
( B ) 1.526
( C ) 1.426
( D ) 446
5 Três amigos resolveram inventar uma regra para uma partida de basquete: 
cada arremesso convertido vale 3 pontos, e cada arremesso perdido acarreta 
perda de 2 pontos.
 Cada um dos amigos fez 10 arremessos. Carlos acertou 4 arremessos, Jonas 
acertou 3 e Felipe acertou 7.
 A diferença entre o total de pontos de Felipe e o total de pontos de Jonas 
é igual a
( A ) 220.
( B ) 4.
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( D ) 20.
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Sumário
Lição 1 ....................... 6
 Frações e decimais 
Lição 2 ...................... 12
 Medidas e porcentagem 
Lição 3 ...................... 20
 Resolução de problemas 
Lição 4 ...................... 28
 Radicais e problemas com 
 números racionais 
 Simulado 1 .................. 36
 Lições 1 a 4
Lição 5 ...................... 42
 Expressões algébricas 
Lição 6 ...................... 50
 Figuras semelhantes 
Lição 7 ...................... 58
 Plano cartesiano: ponto 
 médio, perímetro e área 
Lição 8 ......................68
 Proporções e grandezas
 Simulado 2 .................. 74
 Lições 5 a 8
Lição 9 ...................... 80
 Ângulos e triângulo 
 retângulo 
Lição 10 ...................... 88
 Equações polinomiais 
 do 2o grau 
Lição 11 ...................... 94
 Equações e inequações 
Lição 12 ........................... 100
 Tabelas e gráficos 
 Simulado 3 ................. 112
 Lições 9 a 12
Lição 13 ...................... 120
 Resolução de sistemas 
 no plano cartesiano 
Lição 14 ......................... 130
 Polígonos e circunferência
Lição 15 ......................... 138
 Área 
Lição 16 .........................146
 Volume 
 Simulado 4 ................. 152
 Lições 13 a 16
 Folha de respostas ... 161
 Simulado 1
 Simulado 2
 Simulado 3
 Simulado 4
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Lição 1
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7
Responda
a) Represente a razão entre o número de questões que o aluno acertou e o 
total de questões da prova, na forma de fração, usando os números 16 e 20.
20
16
b) Leia o texto a seguir.
Dada uma fração qualquer, podemos obter infinitas frações 
equivalentes a ela. No exemplo abaixo obtemos diversas frações 
equivalentes a 36
60 .
4 2
4 2
4 2
4 2
4 3
4 3
36
60
18
30
9
15
3
55 5 5
As frações 18
30 , 9
15 e 3
5 são frações equivalentes a 36
60 .
Quando simplificamos uma fração e obtemos numeradores e 
denominadores primos entre si, dizemos que a fração é irredutível, ou 
seja, ela não pode ser mais simplificada.
Por exemplo, 3
5 é uma fração irredutível.
• Agora, escreva na forma de fração irredutível a razão entre o número 
de questões que o aluno acertou e o total de questões da prova.
20
16
5
45
c) Para determinar a quantidade de questões que o aluno acertou nessa 
prova, podemos encontrar uma fração de denominador 100 que 
seja equivalente à fração irredutível determinada no item anterior. 
O numerador da fração com denominador 100 é a quantidade de 
questões que o aluno acertou. Determine essa fração.
5
4
100
805
d) Outro modo de determinar a quantidade de questões é calcular o valor 
de x 3 100, em que x representa a fração correspondente à razão entre 
o número de questões que o aluno acertou e o total de questões da 
prova. Calcule esse valor e complete a frase.
5
4
5
4 100 00 8053 5
O aluno acertou questões.80
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Frações e decimais1
Lição
Recorde
Frequentemente comparamos duas quantidades ou duas medidas por meio de uma 
divisão. Essa divisão, muitas vezes apresentada em forma de fração, é chamada razão.
Considere a seguinte situação:
Em uma sala de aula há 20 meninas e 15 meninos. Dizemos que a razão entre o número 
de meninas e o de meninos é de 15
20 ou 3
4 , ou seja, de 4 meninas para 3 meninos.
A razão entre dois números a e b, com b % 0, nessa ordem, é dada por b
a .
Em uma avaliação com 100 testes, a razão entre o 
número de questões que um aluno acertou e o número 
total de questões da prova foi de 16 para 20.
• Escreva na forma de fração irredutível a razão entre o 
número de questões que o aluno acertou e o total de 
questões da prova.
• Quantas questões esse aluno acertou?
Atividade 1
Compreenda
a) Quais são as tarefas propostas na atividade?
Escrever na forma de fração irredutível a razão entre o número de questões que o aluno 
acertou e o total de questões da prova, além de determinar quantas questões ele acertou.
b) A avaliação é composta de quantos testes?
A avaliação é composta de 100 testes.
c) Qual é a relação entre o número de questões que o aluno acertou e o 
total de questões da prova?
A cada 20 questões da prova, o aluno acertou 16. 
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Conteúdos desenvolvidos
• Significados de frações.
• Frações equivalentes.
• Representação de números racionais.
• Expressões numéricas com números racionais.
Orientações didáticas
Atividade 1
A atividade explora os descritores D22 e D23, 
pertencentes ao Tema III – Números e Operações/
Álgebra e Funções. O primeiro descritor tem 
como objetivo avaliar a habilidade dos alunos 
de associar frações a diferentes situações, por 
exemplo, frações que representam partes de 
um inteiro, relações entre conjuntos, frações 
como operadores, como razões, etc. Já o segun-
do descritor tem como objetivo avaliar se os alu-
nos identificam frações equivalentes.
Aproveite a seção Recorde para explicar aos 
alunos que as frações irredutíveis são aquelas 
que não possuem um fator comum e, portan-
to, não podem ser simplificadas.
Relembre-os de que os números decimais fini-
tos, as dízimas periódicas e os números inteiros 
podem ser escritos na forma de fração. Caso 
julgue necessário, apresente situações em que 
tenham de escrever números na forma de fra-
ção e peça que compartilhem com os colegas as 
regularidades observadas.
Atividade Tema Descritores
1 III
D22 – Identificar fração como representação que pode 
estar associada a diferentes significados.
D23 – Identificar frações equivalentes.
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Responda
a) Represente a razão entre o número de questões que o aluno acertou e o 
total de questões da prova, na forma de fração, usando os números 16 e 20.
20
16
b) Leia o texto a seguir.
Dada uma fração qualquer, podemos obter infinitas frações 
equivalentes a ela. No exemplo abaixo obtemos diversas frações 
equivalentes a 36
60 .
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4 2
4 2
4 2
4 3
4 3
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As frações 18
30 , 9
15 e 3
5 são frações equivalentes a 36
60 .
Quando simplificamos uma fração e obtemos numeradores e 
denominadores primos entre si, dizemos que a fração é irredutível, ou 
seja, ela não pode ser mais simplificada.
Por exemplo, 3
5 é uma fração irredutível.
• Agora, escreva na forma de fração irredutível a razão entre o número 
de questões que o aluno acertou e o total de questões da prova.
20
16
5
45
c) Para determinar a quantidade de questões que o aluno acertou nessa 
prova, podemos encontrar uma fração de denominador 100 que 
seja equivalente à fração irredutível determinada no item anterior. 
O numerador da fração com denominador 100 é a quantidade de 
questões que o aluno acertou. Determine essa fração.
5
4
100
805
d) Outro modo de determinar a quantidade de questões é calcular o valor 
de x 3 100, em que x representa a fração correspondente à razão entre 
o número de questões que o aluno acertou e o total de questões da 
prova. Calcule esse valor e complete a frase.
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Frações e decimais1
Lição
Recorde
Frequentemente comparamos duas quantidades ou duas medidas por meio de uma 
divisão. Essa divisão, muitas vezes apresentada em forma de fração, é chamada razão.
Considere a seguinte situação:
Em uma sala de aula há 20 meninas e 15 meninos. Dizemos que a razão entre o número 
de meninas e o de meninos é de 15
20 ou 3
4 , ou seja, de 4 meninas para 3 meninos.
A razão entre dois números a e b, com b % 0, nessa ordem, é dada por b
a .
Em uma avaliação com 100 testes, a razão entre o 
número de questões que um aluno acertou e o número 
total de questões da prova foi de 16 para 20.
• Escreva na forma defração irredutível a razão entre o 
número de questões que o aluno acertou e o total de 
questões da prova.
• Quantas questões esse aluno acertou?
Atividade 1
Compreenda
a) Quais são as tarefas propostas na atividade?
Escrever na forma de fração irredutível a razão entre o número de questões que o aluno 
acertou e o total de questões da prova, além de determinar quantas questões ele acertou.
b) A avaliação é composta de quantos testes?
A avaliação é composta de 100 testes.
c) Qual é a relação entre o número de questões que o aluno acertou e o 
total de questões da prova?
A cada 20 questões da prova, o aluno acertou 16. 
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A seção Responda exige que os alunos traba-
lhem o conceito de fração equivalente. Retome 
esse conceito com eles, oferecendo listas de fra-
ções para que determinem seus equivalentes, 
por redução ou pela multiplicação do numera-
dor e do denominador por um mesmo número. 
Com relação às frações equivalentes, é possível 
abordar seu significado por meio da relação 
parte-todo, retomando com os alunos a noção 
de que esse tipo de fração representa a mesma 
parte do todo, como é o caso de , ,6
2
9
3
18
6 , que 
são equivalentes a 
3
1, por exemplo.
O item c da seção Responda apresenta o cál-
culo da quantidade de questões que o aluno 
acertou por meio de frações equivalentes, e o 
item d apresenta esse cálculo por meio de uma 
multiplicação. Esses dois modos de resolução 
têm como objetivo conduzir os alunos à per-
cepção de que, em muitos casos, há mais de 
um modo de resolver uma situação-problema. 
Ao responderem aos itens c e d, chame a aten-
ção para as frações obtidas como porcentagem. 
Espera-se que os alunos notem outro significado 
das frações: a relação parte-todo referente ao 
número 100. Assim, considerando a um número 
real, escrevê-lo como a% é o mesmo que dizer 
a
100
. Exemplo: %6
100
6
5 , que corresponde a 
0,06.
Lembre aos alunos que é possível transformar 
uma fração em porcentagem e pergunte como 
fazer isso. Espera-se que apresentem algum 
procedimento com o qual estejam familiariza-
dos, como no exemplo: , %5
9
20
20
100
180 1 85 53 , 
ou, ainda, , %5
1 1 5 0 20 204 55 5 . Caso apre-
sentem dificuldades em estabelecer essas rela-
ções, apresente situações em que seja necessá-
rio transformar frações em porcentagens.
DIFICULDADES: O QUE FAZER?
Apresentam dificuldades com frações. 
Caso os alunos tenham dificuldade no trabalho com frações, proponha diferentes situações-
-problema que envolvam números na forma de fração. Veja algumas sugestões:
1. Em uma empresa há 900 funcionários. Desses, 350 são mulheres e 250 possuem ensino supe-
rior completo. Represente na forma de fração a razão entre:
a) o número de mulheres e o total de funcionários. 18
7
b) o número de funcionários que não possuem ensino superior completo e o total de 
funcionários. 18
11
2. Um atleta dedica 3 horas de seu dia a atividades cardiorrespiratórias e 1 hora para musculação. 
Que fração de um dia esse atleta dedica a essas atividades físicas? 24
4
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Compreenda
a) Qual é a tarefa proposta na atividade?
Indicar os pacotes que têm a mesma massa e organizá-los em ordem crescente, de acordo 
com a quantidade de massa.
b) Quais números na forma mista e na forma de frações aparecem nos 
pacotes?
, ,2
1
2
3
4
1 e 1
4
3 .
c) Quais números decimais aparecem nos pacotes?
0,25; 1,75; 0,5; e 1,5.
Responda
a) Leia o texto a seguir.
Um dos significados de um número racional representado na for-
ma de fração é a operação de divisão; por exemplo, 4
5 representa a 
operação de divisão 5 4 4 5 1,25.
Com base nesse significado, calcule os valores representados pelas 
frações dos pacotes e preencha a frase.
Pacote 1: 
Pacote 3: 
Pacote 5: 
Pacote 7: 
No pacote 1 há kg, no pacote 3 há kg, no pacote 5 
há kg e no pacote 7 há kg.
b) Que pacotes possuem a mesma massa?
Pacotes 1 e 6; pacotes 2 e 5; pacotes 3 e 8; e pacotes 4 e 7. 
c) Organize a sequência dos pacotes da menor para a maior massa.
Pacotes 2 e 5; pacotes 1 e 6; pacotes 3 e 8; e pacotes 4 e 7.
1 4 4 5 0,5
3 4 2 5 1,5
1 4 4 5 0,25
1 1 (3 4 4) 5 1 1 0,75 5 1,75
0,5 1,5
0,25 1,75
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Frações e decimaisLição 1
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Recorde
Todo número inteiro é um número racional, que pode ser escrito de diversas maneiras 
na forma fracionária. Vejamos alguns exemplos de números inteiros escritos na forma 
fracionária:
• 5 1
5
3
15
10
505 5 5
• 120
20
5
1002 5 52 2
• 10
0
2
0
3
05 5 5
Há ainda representações de números mistos que contêm uma parte inteira e outra 
fracionária. Vejamos um exemplo:
5
5
5
5
55
17
5
5 25 1 11 , ou seja, 3 inteiros e 5
2 ou 3 5
2 .
Observe os 8 pacotes abaixo e indique quais têm a mesma massa. Em seguida, 
organize-os em ordem crescente, de acordo com a quantidade de massa.
Atividade 2
Pacote 1 Pacote 2 Pacote 3 Pacote 4
— kg1
2
Pacote 1
0,25 kg
Pacote 2
— kg3
2
Pacote 3
1,75 kg
Pacote 4
— kg1
4
Pacote 5
0,5 kg
Pacote 6
1— kg3
4
Pacote 7
1,5 kg
Pacote 8
— kg1
2
Pacote 1
0,25 kg
Pacote 2
— kg3
2
Pacote 3
1,75 kg
Pacote 4
— kg1
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Pacote 5
0,5 kg
Pacote 6
1— kg3
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Pacote 7
1,5 kg
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— kg1
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Pacote 1
0,25 kg
Pacote 2
— kg3
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Pacote 3
1,75 kg
Pacote 4
— kg1
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Pacote 5
0,5 kg
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Pacote 1
0,25 kg
Pacote 2
— kg3
2
Pacote 3
1,75 kg
Pacote 4
— kg1
4
Pacote 5
0,5 kg
Pacote 6
1— kg3
4
Pacote 7
1,5 kg
Pacote 8Pacote 5 Pacote 6 Pacote 7 Pacote 8
— kg1
2
Pacote 1
0,25 kg
Pacote 2
— kg3
2
Pacote 3
1,75 kg
Pacote 4
— kg1
4
Pacote 5
0,5 kg
Pacote 6
1— kg3
4
Pacote 7
1,5 kg
Pacote 8
— kg1
2
Pacote 1
0,25 kg
Pacote 2
— kg3
2
Pacote 3
1,75 kg
Pacote 4
— kg1
4
Pacote 5
0,5 kg
Pacote 6
1— kg3
4
Pacote 7
1,5 kg
Pacote 8
— kg1
2
Pacote 1
0,25 kg
Pacote 2
— kg3
2
Pacote 3
1,75 kg
Pacote 4
— kg1
4
Pacote 5
0,5 kg
Pacote 6
1— kg3
4
Pacote 7
1,5 kg
Pacote 8
— kg1
2
Pacote 1
0,25 kg
Pacote 2
— kg3
2
Pacote 3
1,75 kg
Pacote 4
— kg1
4
Pacote 5
0,5 kg
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Orientações didáticas
Atividade 2
A atividade explora o descritor D21, cujo ob-
jetivo é avaliar a habilidade dos alunos de 
resolver problemas que envolvam diferentes 
representações dos números racionais.
Compreender situações que envolvam diferentes 
representações de números racionais é uma difi-
culdade recorrente entre os alunos, portanto é 
fundamental trabalhar esses números. Proponha 
algumas atividades para resolução em duplas, de 
modo a propiciar a troca de experiências.
Explique que o primeiro caso apresentado na 
seção Recorde também é chamado de “frações 
aparentes”, ou seja, frações cujos numerado-
res são divisíveis pelos denominadores, resul-
tando em números inteiros, tais como 5
10 25 . 
Aproveite e pergunte aos alunos se eles recor-
dam o que são números mistos. Caso tenham 
dificuldade para explicar, relembre-os de que 
são números que apresentam uma parte intei-
ra e uma parte fracionária.
Atividade Tema Descritor
2 III D21 – Reconhecer as diferentes representações de um número racional.
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Compreenda
a) Qual é a tarefa proposta na atividade?
Indicar os pacotes quetêm a mesma massa e organizá-los em ordem crescente, de acordo 
com a quantidade de massa.
b) Quais números na forma mista e na forma de frações aparecem nos 
pacotes?
, ,2
1
2
3
4
1 e 1
4
3 .
c) Quais números decimais aparecem nos pacotes?
0,25; 1,75; 0,5; e 1,5.
Responda
a) Leia o texto a seguir.
Um dos significados de um número racional representado na for-
ma de fração é a operação de divisão; por exemplo, 4
5 representa a 
operação de divisão 5 4 4 5 1,25.
Com base nesse significado, calcule os valores representados pelas 
frações dos pacotes e preencha a frase.
Pacote 1: 
Pacote 3: 
Pacote 5: 
Pacote 7: 
No pacote 1 há kg, no pacote 3 há kg, no pacote 5 
há kg e no pacote 7 há kg.
b) Que pacotes possuem a mesma massa?
Pacotes 1 e 6; pacotes 2 e 5; pacotes 3 e 8; e pacotes 4 e 7. 
c) Organize a sequência dos pacotes da menor para a maior massa.
Pacotes 2 e 5; pacotes 1 e 6; pacotes 3 e 8; e pacotes 4 e 7.
1 4 4 5 0,5
3 4 2 5 1,5
1 4 4 5 0,25
1 1 (3 4 4) 5 1 1 0,75 5 1,75
0,5 1,5
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Frações e decimaisLição 1
8
Recorde
Todo número inteiro é um número racional, que pode ser escrito de diversas maneiras 
na forma fracionária. Vejamos alguns exemplos de números inteiros escritos na forma 
fracionária:
• 5 1
5
3
15
10
505 5 5
• 120
20
5
1002 5 52 2
• 10
0
2
0
3
05 5 5
Há ainda representações de números mistos que contêm uma parte inteira e outra 
fracionária. Vejamos um exemplo:
5
5
5
5
55
17
5
5 25 1 11 , ou seja, 3 inteiros e 5
2 ou 3 5
2 .
Observe os 8 pacotes abaixo e indique quais têm a mesma massa. Em seguida, 
organize-os em ordem crescente, de acordo com a quantidade de massa.
Atividade 2
Pacote 1 Pacote 2 Pacote 3 Pacote 4
— kg1
2
Pacote 1
0,25 kg
Pacote 2
— kg3
2
Pacote 3
1,75 kg
Pacote 4
— kg1
4
Pacote 5
0,5 kg
Pacote 6
1— kg3
4
Pacote 7
1,5 kg
Pacote 8
— kg1
2
Pacote 1
0,25 kg
Pacote 2
— kg3
2
Pacote 3
1,75 kg
Pacote 4
— kg1
4
Pacote 5
0,5 kg
Pacote 6
1— kg3
4
Pacote 7
1,5 kg
Pacote 8
— kg1
2
Pacote 1
0,25 kg
Pacote 2
— kg3
2
Pacote 3
1,75 kg
Pacote 4
— kg1
4
Pacote 5
0,5 kg
Pacote 6
1— kg3
4
Pacote 7
1,5 kg
Pacote 8
— kg1
2
Pacote 1
0,25 kg
Pacote 2
— kg3
2
Pacote 3
1,75 kg
Pacote 4
— kg1
4
Pacote 5
0,5 kg
Pacote 6
1— kg3
4
Pacote 7
1,5 kg
Pacote 8Pacote 5 Pacote 6 Pacote 7 Pacote 8
— kg1
2
Pacote 1
0,25 kg
Pacote 2
— kg3
2
Pacote 3
1,75 kg
Pacote 4
— kg1
4
Pacote 5
0,5 kg
Pacote 6
1— kg3
4
Pacote 7
1,5 kg
Pacote 8
— kg1
2
Pacote 1
0,25 kg
Pacote 2
— kg3
2
Pacote 3
1,75 kg
Pacote 4
— kg1
4
Pacote 5
0,5 kg
Pacote 6
1— kg3
4
Pacote 7
1,5 kg
Pacote 8
— kg1
2
Pacote 1
0,25 kg
Pacote 2
— kg3
2
Pacote 3
1,75 kg
Pacote 4
— kg1
4
Pacote 5
0,5 kg
Pacote 6
1— kg3
4
Pacote 7
1,5 kg
Pacote 8
— kg1
2
Pacote 1
0,25 kg
Pacote 2
— kg3
2
Pacote 3
1,75 kg
Pacote 4
— kg1
4
Pacote 5
0,5 kg
Pacote 6
1— kg3
4
Pacote 7
1,5 kg
Pacote 8
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Retome o conceito de frações próprias e impró-
prias, relembrando aos alunos que as frações im-
próprias podem ser transformadas em números 
mistos. Por exemplo: 5
11 2 5
1
5 e, verificando, 
2 5
1
5
2 5
5
1
5
10 1
5
113
1 5
1
5& . Apresente ou-
tras situações em que os alunos possam realizar 
transformações e verificações como no exemplo.
Caso eles apresentem dificuldade para com-
preender os números mistos, ofereça uma lista 
de números mistos e papel quadriculado para 
que representem a relação parte-todo desses 
números, colorindo a representação fracionária 
para verificá-la. Veja um exemplo:
6
6
5
" 
DIFICULDADES: O QUE FAZER?
Não compreendem a comparação de números racionais nas formas decimal 
e fracionária.
Caso os alunos apresentem dificuldades, proponha que ordenem números racionais nas formas 
decimal e fracionária. Um ponto de partida é aproveitar a seção Compreenda e o item c da seção 
Responda para solicitar que registrem as quantidades de massa presentes nos pacotes em uma 
reta numérica. Em seguida, ofereça outros exemplos que envolvam números racionais com esse 
mesmo objetivo, a fim de ampliar a atividade e retomar esse tópico de estudo.
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Lição 1
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Compreenda
a) O que Henrique quer comprar no supermercado e quanto dinheiro 
possui para pagar a compra?
Henrique quer comprar pão, carne e queijo e possui R$ 50,00.
b) O que é perguntado na atividade?
Se o dinheiro que Henrique possui é suficiente para pagar a compra caso ele escolha
levar a bandeja com 1,2 kg de carne, se ele deve escolher outra bandeja e qual deverá 
ser a massa de carne nessa bandeja.
Responda
a) Quanto Henrique pagará pelo queijo fatiado?
Espera-se que os alunos convertam 250 g para 0,25 kg e multipliquem o valor do 
quilograma do queijo por 0,25: 49,4 3 0,25 5 12,35.
Henrique pagará reais pelo queijo fatiado.
b) Com base na resposta ao item anterior, calcule quanto custará a compra 
do pão e do queijo e quanto dinheiro sobrou para pagar a carne. Depois, 
responda à primeira pergunta da atividade.
Valor da compra do pão e do queijo: 6,65 1 12,35 5 19,00. Sobra: 50,00 2 19,00 5 31,00. 
O dinheiro que Henrique possui não é suficiente para pagar a compra, caso ele pegue a 
bandeja de carne de 1,2 kg.
c) Qual é o preço do quilograma de carne?
Espera-se que os alunos dividam o preço da bandeja pela massa de carne que ela 
contém para obter o preço do quilograma: 46,5 4 1,2 5 38,75.
O preço do quilograma da carne é reais.
d) Sabendo que 1 kg corresponde a 1.000 g, complete a tabela e responda à 
segunda pergunta da atividade.
Gramas 1.000 100 200 400 800
Preço 38,75 3,875 7,75 15,5 31
Henrique poderá comprar 800 g, ou 0,8 kg, de carne.
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38,75
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Frações e decimaisLição 1
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Recorde
Operações com números racionais na forma decimal
Adição e subtração
Para adicionar ou subtrair números decimais, podemos:
1o) igualar a quantidade de casas decimais dos números, acrescentando zeros, se 
necessário;
2o) alinhar vírgula debaixo de vírgula;
3o) efetuar a operação indicada;
4o) colocar a vírgula do resultado alinhada com as vírgulas das parcelas.
Se necessário, podemos realizar os desagrupamentos da mesma forma como é feito 
com os números inteiros. Por exemplo, para realizar a subtração 53,6 2 15,25, temos:
5 3 , 6 0
21 5 , 2 5
5 4 1 3 , 6 5 1 0
2 1 5 , 2 5
 3 8 , 3 5
igualar a quantidade de casas
alinhar vírgula 
debaixo de vírgula
efetuar o 
desagrupamento
Multiplicação
Para multiplicar números decimais, o produto terá a quantidade de algarismos depois 
da vírgula igual à soma da quantidade de algarismos depois da vírgula das parcelas. Não 
se multiplica o zero quando somente ele está na parte inteira.
Divisão
Na divisão de números decimais, igualamos as casas decimais, retiramos a vírgula e 
procedemos à divisão como é feita com os números inteiros. 
Henrique foi ao supermercado e comprou um pacote de pão de forma que custa 
R$ 6,70 e 250 g de queijo fatiado ao preço de R$ 49,40 o quilograma. Ele também 
verificou que uma bandeja com 1,2 kg de carne custava R$ 46,50. Como tinha 
apenas R$ 50,00 para pagar a compra, ficou em dúvida se comprava essa bandeja 
de carne ou se escolhia outra bandeja, mais leve. 
• Se Henrique comprar a bandeja de 1,2 kg, o dinheiro que elepossui será 
suficiente para pagar a compra?
• Ele deve escolher outra bandeja de carne? Em caso afirmativo, qual deve ser a 
massa máxima de carne na bandeja?
Atividade 3
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Orientações didáticas
Atividade 3 
A atividade explora o descritor D21, assim 
como a atividade 2 desta lição. Os alunos de-
vem resolver uma situação-problema envol-
vendo operações com números decimais.
Ofereça listas para que retomem os procedi-
mentos apresentados na seção Recorde. Caso 
haja alunos que usem procedimentos diferen-
tes e obtenham resultados iguais, solicite que 
os expliquem para os colegas.
Atividade Tema Descritor
3 III D21 – Reconhecer as diferentes representações de um número racional.
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Compreenda
a) O que Henrique quer comprar no supermercado e quanto dinheiro 
possui para pagar a compra?
Henrique quer comprar pão, carne e queijo e possui R$ 50,00.
b) O que é perguntado na atividade?
Se o dinheiro que Henrique possui é suficiente para pagar a compra caso ele escolha
levar a bandeja com 1,2 kg de carne, se ele deve escolher outra bandeja e qual deverá 
ser a massa de carne nessa bandeja.
Responda
a) Quanto Henrique pagará pelo queijo fatiado?
Espera-se que os alunos convertam 250 g para 0,25 kg e multipliquem o valor do 
quilograma do queijo por 0,25: 49,4 3 0,25 5 12,35.
Henrique pagará reais pelo queijo fatiado.
b) Com base na resposta ao item anterior, calcule quanto custará a compra 
do pão e do queijo e quanto dinheiro sobrou para pagar a carne. Depois, 
responda à primeira pergunta da atividade.
Valor da compra do pão e do queijo: 6,65 1 12,35 5 19,00. Sobra: 50,00 2 19,00 5 31,00. 
O dinheiro que Henrique possui não é suficiente para pagar a compra, caso ele pegue a 
bandeja de carne de 1,2 kg.
c) Qual é o preço do quilograma de carne?
Espera-se que os alunos dividam o preço da bandeja pela massa de carne que ela 
contém para obter o preço do quilograma: 46,5 4 1,2 5 38,75.
O preço do quilograma da carne é reais.
d) Sabendo que 1 kg corresponde a 1.000 g, complete a tabela e responda à 
segunda pergunta da atividade.
Gramas 1.000 100 200 400 800
Preço 38,75 3,875 7,75 15,5 31
Henrique poderá comprar 800 g, ou 0,8 kg, de carne.
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Frações e decimaisLição 1
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Recorde
Operações com números racionais na forma decimal
Adição e subtração
Para adicionar ou subtrair números decimais, podemos:
1o) igualar a quantidade de casas decimais dos números, acrescentando zeros, se 
necessário;
2o) alinhar vírgula debaixo de vírgula;
3o) efetuar a operação indicada;
4o) colocar a vírgula do resultado alinhada com as vírgulas das parcelas.
Se necessário, podemos realizar os desagrupamentos da mesma forma como é feito 
com os números inteiros. Por exemplo, para realizar a subtração 53,6 2 15,25, temos:
5 3 , 6 0
21 5 , 2 5
5 4 1 3 , 6 5 1 0
2 1 5 , 2 5
 3 8 , 3 5
igualar a quantidade de casas
alinhar vírgula 
debaixo de vírgula
efetuar o 
desagrupamento
Multiplicação
Para multiplicar números decimais, o produto terá a quantidade de algarismos depois 
da vírgula igual à soma da quantidade de algarismos depois da vírgula das parcelas. Não 
se multiplica o zero quando somente ele está na parte inteira.
Divisão
Na divisão de números decimais, igualamos as casas decimais, retiramos a vírgula e 
procedemos à divisão como é feita com os números inteiros. 
Henrique foi ao supermercado e comprou um pacote de pão de forma que custa 
R$ 6,70 e 250 g de queijo fatiado ao preço de R$ 49,40 o quilograma. Ele também 
verificou que uma bandeja com 1,2 kg de carne custava R$ 46,50. Como tinha 
apenas R$ 50,00 para pagar a compra, ficou em dúvida se comprava essa bandeja 
de carne ou se escolhia outra bandeja, mais leve. 
• Se Henrique comprar a bandeja de 1,2 kg, o dinheiro que ele possui será 
suficiente para pagar a compra?
• Ele deve escolher outra bandeja de carne? Em caso afirmativo, qual deve ser a 
massa máxima de carne na bandeja?
Atividade 3
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DIFICULDADES: O QUE FAZER?
Não conseguem efetuar cálculos com números racionais.
Se os alunos tiverem dificuldade para realizar cálculos envolvendo representações de nú-
meros racionais, proponha que, em grupos, realizem uma pesquisa sobre como é calculada 
a densidade demográfica de diferentes regiões brasileiras e como os números racionais 
aparecem nesse contexto. Espera-se que identifiquem o uso de números que representam 
razões entre duas quantidades. No caso, a densidade demográfica é obtida pela razão 
entre a quantidade absoluta de habitantes e a área total do local em questão: D A
P5 . 
Sugira que busquem listas com a população e a área de diferentes regiões ou de diferentes 
países e realizem esses cálculos, apresentando-os para a turma em seguida. Esses dados po-
dem ser obtidos em sites como: <www.populationpyramid.net/pt/densidades-populacionais/ 
brasil/2017> e <https://agenciadenoticias.ibge.gov.br/agencia-sala-de-imprensa/2013-agencia- 
de-noticias/releases/14498-asi-ibge-lanca-mapa-de-densidade-demografica-de-2010> 
(acessos em: 17 jul. 2019).
É importante que os alunos reflitam sobre os 
resultados obtidos em cada item da seção Res-
ponda, com o objetivo de que avaliem suas so-
luções e o modo como processam cada opera-
ção os alunos, principalmente a multiplicação.
Para apoiar os alunos nos procedimentos de 
cálculos referentes às operações com números 
racionais na forma decimal, sugira que façam 
anotações para compor um resumo ou esque-
mas dos procedimentos de cálculos estudados. 
Aproveite o item a da seção Responda para so-
licitar aos alunos que realizem a conversão, de 
grama para quilograma, de algumas outras me-
didas de massa. Caso apresentem dificuldades, 
trabalhe com outras unidades de medida para 
que realizem transformações e revisem esse tó-
pico. Lembre-os de que cada unidade de massa 
é 10 vezes menor que a unidade imediatamen-
te superior. A atividade aqui sugerida pode ser 
conferida pelos alunos por meio de um conver-
sor de medidas on-line, disponível em: <www.
convertworld.com/pt> (acesso em: 17 jul. 2019).
Retome o significado de fração como operador 
multiplicativo. Utilize como exemplo a seguin-
te situação: 
• Carlos fez 600 mL de suco de laranja e be-
beu 4
1 desse total. Quanto suco restou? 
mL mL600 4
1 150 600 150 4503 5 ] 2 5
Nesse caso, a fração é utilizada como multipli-
cador da quantidade indicada com o objetivo 
de obter outra quantidade.
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12
Lição 2
Conteúdos desenvolvidos
• Resolução de situações-problema envolven-
do relações entre diferentes unidades de 
medida.
• Resolução de situações-problema que envol-
vam porcentagem.
Orientações didáticas
Atividade 1
A atividade aborda o descritor D15. Por esse 
motivo, ao trabalhá-la, é possível avaliar a ha-
bilidade dos alunos de resolver problemas que 
envolvam diferentes unidades de medida.
Solicite que leiam individualmente a situação-
-problema apresentada. Caso julgue interes-
sante, reproduza a planificação da caixa numa 
cartolina, para que os alunos possam visualizar 
o que foi proposto, sobretudo as medidas retira-
das de cada ponta.
A atividade tem como objetivo que os alunos 
identifiquem relações entre grandezas e uni-
dades de medida e que utilizem essas noções 
em uma situação do cotidiano.
Aproveite as questões apresentadas na seção 
Compreenda para avaliar como eles entendem 
e interpretam a situaçãoproposta. Caso haja 
dificuldades, realize a leitura conjunta com os 
alunos, relacionando as questões à construção 
da caixa, sugerida anteriormente.
Aproveite o item b da seção Compreenda 
para perguntar aos alunos quais são as dife-
renças entre as grandezas apresentadas. Espe-
ra-se que diferenciem as medidas, indicando 
área como medida de superfície, o que envol-
ve duas dimensões, tais como comprimento 
e largura; e o volume como medida do espa-
ço ocupado por um corpo, envolvendo três 
dimensões: comprimento, largura e altura. 
Aproveite essa situação para retomar a distin-
ção entre área e perímetro.
Atividade Tema Descritor
1 II D15 – Resolver problema utilizando relações entre diferentes unidades de medida.
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Medidas e porcentagem2
Lição
Atividade 1
Compreenda
a) Quais são as perguntas da atividade?
Qual é a medida da área da superfície externa da caixa e qual é seu volume e capacidade.
b) Quais unidades de medida podem ser utilizadas para indicar a área, o 
volume e a capacidade da caixa?
Espera-se que os alunos observem que, para a medida da área da superfície externa, o mais 
adequado é o centímetro quadrado; para seu volume, o centímetro cúbico; e, para sua 
capacidade, o mililitro. 
Tiago pegou uma folha de papel-cartão que mede 1 m de comprimento por 
40 cm de largura para confeccionar uma caixa sem tampa. Para isso, ele cortou 
um quadrado de 10 cm de lado em cada canto da folha, de modo que, ao unir 
os cantos, a caixa estaria montada. Veja os procedimentos que Tiago realizou.
1 m
40 cm
• Qual é a medida da área da superfície externa dessa caixa?
• Qual é o volume da caixa em cm3?
• Qual é a capacidade dessa caixa?
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13
Responda
a) Faça as conversões necessárias de metro para centímetro, calcule a 
medida da área da folha de papel-cartão em centímetros quadrados e 
complete a frase.
Espera-se que os alunos façam a conversão de 1 m para 100 cm e, como a folha de 
papel-cartão tem formato retangular, calculem a medida de sua área multiplicando: 
40 3 100 5 4.000.
A medida da área da folha de papel-cartão é cm2.
b) Calcule a medida da área dos quadrados que deverão ser cortados em 
cada canto da folha de papel-cartão e complete a frase.
Espera-se que os alunos observem que é preciso somar a medida das áreas dos 
4 quadrados, ou seja, multiplicar por 4 a medida da área de um quadrado. Área do 
quadrado: 10 3 10 5 100; área retirada: 4 3 100 5 400.
A medida da área de cada quadrado é cm2, então a medida 
da área retirada da folha de papel-cartão é igual a cm2.
c) Com base nas respostas aos itens a e b, responda ao primeiro item 
da atividade.
Espera-se que os alunos subtraiam da medida da área da folha de papel-cartão a 
medida total da área retirada dos cantos: 4.000 2 400 5 3.600.
A medida da área da superfície externa da caixa é igual a cm2.
d) Determine as dimensões da caixa já pronta, conforme a figura abaixo. 
Para responder aos dois itens restantes da atividade, calcule o volume 
da caixa e, sabendo que 1 mL 5 1 cm3, a sua capacidade.
Comprimento: 100 2 20 5 80: largura: 40 2 20 5 20.
Altura: Comprimento: Largura: 
O volume da caixa é cm3 e sua capacidade é mL.
4.000
100
400
3.600
comprimento
altura
largura
10 cm 80 cm 20 cm
16.000 16.000
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13
Antes de solucionarem os itens da seção Res-
ponda, solicite aos alunos que expliquem a si-
tuação proposta. Verifique se percebem que as 
medidas do papel-cartão apresentam unidades 
diferentes. Caso tenham dificuldade, chame a 
atenção para a diferença de unidades e per-
gunte o que deve ser feito em situações como 
essa. Espera-se que compreendam que a con-
versão de unidades de medida é fundamental 
para que a situação proposta seja solucionada, 
tendo em vista que permite transformar a re-
presentação de grandezas, tornando-as com-
patíveis entre si.
Retome com os alunos as relações entre metro 
e centímetro. Lembre-os de que a unidade de 
medida de comprimento padrão, segundo o SI 
(Sistema Internacional de Unidades), é o metro 
e que o centímetro é um submúltiplo dele. As-
sim, para transformar metros em centímetros, 
é necessário realizar o seguinte cálculo: 1 m 5 
5 1 3 100 5 100 cm e, para transformar cen-
tímetros em metros: 1 cm 5 1 4 100 5 0,01 m.
Metro 
(m)
Decímetro 
(dm)
Centímetro 
(cm)
1 m 0,1 m 0,01 m
Utilize a construção sugerida para que os alu-
nos visualizem o que foi solicitado no item d 
da seção Responda. Eles devem compreender a 
necessidade de determinar as dimensões da cai-
xa após montada, o que significa considerar os 
cortes dos quadrados de 10 cm de lado. Assim, 
devem notar que do comprimento e da largu-
ra da caixa serão retirados 10 cm de cada lado, 
totalizando 20 cm, e a altura terá a medida do 
lado do quadrado retirado, ou seja, 10 cm.
DIFICULDADES: O QUE FAZER?
Não compreendem a conversão de unidades de medida.
Caso os alunos apresentem dificuldade para compreender a conversão de diferentes unidades 
de medida, retome situações-problema em que seja necessário estabelecer correspondências 
entre diferentes unidades de medida. Veja algumas sugestões:
• Quantos centímetros têm 10 metros? 100 cm 
• 45 centímetros equivalem a quantos metros? 0,45 m 
• Quantos metros tem 1 decímetro? 0,1 m 
• 10 metros equivalem a quantos decâmetros? 1 dam
• 1 hectômetro equivale a quantos metros? 100 m
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Medidas e porcentagem2
Lição
Atividade 1
Compreenda
a) Quais são as perguntas da atividade?
Qual é a medida da área da superfície externa da caixa e qual é seu volume e capacidade.
b) Quais unidades de medida podem ser utilizadas para indicar a área, o 
volume e a capacidade da caixa?
Espera-se que os alunos observem que, para a medida da área da superfície externa, o mais 
adequado é o centímetro quadrado; para seu volume, o centímetro cúbico; e, para sua 
capacidade, o mililitro. 
Tiago pegou uma folha de papel-cartão que mede 1 m de comprimento por 
40 cm de largura para confeccionar uma caixa sem tampa. Para isso, ele cortou 
um quadrado de 10 cm de lado em cada canto da folha, de modo que, ao unir 
os cantos, a caixa estaria montada. Veja os procedimentos que Tiago realizou.
1 m
40 cm
• Qual é a medida da área da superfície externa dessa caixa?
• Qual é o volume da caixa em cm3?
• Qual é a capacidade dessa caixa?
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Responda
a) Faça as conversões necessárias de metro para centímetro, calcule a 
medida da área da folha de papel-cartão em centímetros quadrados e 
complete a frase.
Espera-se que os alunos façam a conversão de 1 m para 100 cm e, como a folha de 
papel-cartão tem formato retangular, calculem a medida de sua área multiplicando: 
40 3 100 5 4.000.
A medida da área da folha de papel-cartão é cm2.
b) Calcule a medida da área dos quadrados que deverão ser cortados em 
cada canto da folha de papel-cartão e complete a frase.
Espera-se que os alunos observem que é preciso somar a medida das áreas dos 
4 quadrados, ou seja, multiplicar por 4 a medida da área de um quadrado. Área do 
quadrado: 10 3 10 5 100; área retirada: 4 3 100 5 400.
A medida da área de cada quadrado é cm2, então a medida 
da área retirada da folha de papel-cartão é igual a cm2.
c) Com base nas respostas aos itens ae b, responda ao primeiro item 
da atividade.
Espera-se que os alunos subtraiam da medida da área da folha de papel-cartão a 
medida total da área retirada dos cantos: 4.000 2 400 5 3.600.
A medida da área da superfície externa da caixa é igual a cm2.
d) Determine as dimensões da caixa já pronta, conforme a figura abaixo. 
Para responder aos dois itens restantes da atividade, calcule o volume 
da caixa e, sabendo que 1 mL 5 1 cm3, a sua capacidade.
Comprimento: 100 2 20 5 80: largura: 40 2 20 5 20.
Altura: Comprimento: Largura: 
O volume da caixa é cm3 e sua capacidade é mL.
4.000
100
400
3.600
comprimento
altura
largura
10 cm 80 cm 20 cm
16.000 16.000
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Lição 2
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Medidas e porcentagemLição 2
14
Em um festival de música foram consumidos 1 milhão e meio de cubos de gelo. 
Os cubos de gelo eram iguais e tinham 2 cm de aresta. 
• Quantos metros cúbicos de gelo foram consumidos?
• O volume de gelo consumido, dado em metros cúbicos, equivale a quantos litros 
de água?
Atividade 2
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Orientações didáticas
Atividade 2
Essa atividade, tal como a atividade 1, aborda 
o descritor D15. Ela possibilita avaliar as habi-
lidades dos alunos de resolver problemas que 
envolvam diferentes unidades de medida.
O objetivo é que os alunos estabeleçam rela-
ções entre medidas de volume e de capacida-
de, com base em uma situação em que devam 
determinar, em metros cúbicos, a quantidade 
de cubos de gelo consumidos, considerando a 
medida da aresta de cada cubo. Em seguida, 
devem expressar a correspondência do consu-
mo de metros cúbicos em litros.
Chame a atenção dos alunos para as grandezas 
e para as unidades de medida que aparecem 
na situação proposta. Oriente-os a anotar essas 
informações, reiterando a necessidade de esta-
belecer correspondências entre elas. 
Retome com os alunos a noção de que, quan-
do um objeto ou substância é medido, pode-se 
utilizar diferentes unidades de medidas, o que 
é o caso dos cubos de gelo, que estão relacio-
nados à capacidade de um recipiente que pos-
sa conter a substância e ao volume ocupado 
pela substância em questão. Explique que, con-
forme o SI, a unidade de medida padrão para 
volume é o metro cúbico (m3) e que o quilôme-
tro cúbico (km3), o hectômetro cúbico (hm3) e 
o decâmetro cúbico (dam3) são múltiplos dele. 
Atividade Tema Descritor
2 II D15 – Resolver problema utilizando relações entre diferentes unidades de medida.
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Compreenda
a) O que é perguntado na atividade?
Quantos metros cúbicos de gelo foram consumidos no festival e quanto isso representa 
b) Quais são as informações fornecidas no problema?
As informações fornecidas no problema são a quantidade de cubos de gelo consumidos 
e a medida da aresta de um cubo de gelo. 
c) Como é calculado o volume de um cubo?
O volume do cubo é calculado elevando-se a medida da aresta ao cubo ou à 3a potência. 
d) Qual é a relação entre um volume dado em decímetros cúbicos e a 
capacidade dada em litros?
O volume de 1 dm3 corresponde à capacidade de 1 L.
Responda
a) Qual é o volume de 1 cubo de gelo?
23 5 8. O volume de um cubo de gelo é igual a 8 cm3.
b) Qual é o volume de 1 milhão e meio de cubos de gelo?
1.500.000 3 8 5 12.000.000
O volume de 1 milhão e meio de cubos de gelo é igual a 
 cm3.
c) Com base nas equivalências abaixo, responda ao primeiro item 
da atividade.
1 dm 5 10 cm P 1 dm3 5 1.000 cm3
10 dm 5 100 cm 5 1 m P 10 dm3 5 1.000.000 cm3 5 1 m3
Foram consumidos cm3 de gelo, ou m3.
d) Leia e responda ao segundo item da atividade.
Se enchermos uma caixa cúbica de arestas medindo 1 m, ou seja, com 
volume de 1 m3, verificamos que nessa caixa cabem 1.000 L de água.
Portanto, m3 de gelo equivalem a L 
de água.
em litros. 
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Medidas e porcentagemLição 2
14
Em um festival de música foram consumidos 1 milhão e meio de cubos de gelo. 
Os cubos de gelo eram iguais e tinham 2 cm de aresta. 
• Quantos metros cúbicos de gelo foram consumidos?
• O volume de gelo consumido, dado em metros cúbicos, equivale a quantos litros 
de água?
Atividade 2
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Relembre aos alunos que o decímetro cúbico 
(dm3), o centímetro cúbico (cm3) e o milíme-
tro cúbico (mm3) são submúltiplos do metro 
cúbico (m³).
É importante que eles tenham em mente que o 
volume pode ser calculado por meio da seguinte 
relação: volume 5 comprimento 3 altura 3 largu-
ra e que, no caso do cubo, como essas medidas 
são iguais, pode ser calculado por Vcubo 5 a
3, em 
que a corresponde à medida da aresta.
Retome com os alunos o fato de que, em relação 
à capacidade, o litro é a unidade fundamental, 
sendo o quilolitro (kL), o hectolitro (hL) e o de-
calitro (daL) seus múltiplos, e o decilitro (dL), o 
centilitro (cL) e o mililitro (mL) seus submúltiplos.
Após os alunos solucionarem os itens propostos 
na seção Responda, especificamente os itens a 
e b, explique que é possível saber o volume to-
tal ocupado pelos cubos de gelo, medida usa-
da para determinar o volume interno de um 
recipiente que contenha a quantidade de gelo 
líquido. Assim: 23 3 (1,5 3 106) 5 12 3 106 cm3. 
No item c da seção Responda é importante 
que os alunos compreendam que devem es-
tabelecer relações entre unidades de capaci-
dade e de volume. Dessa forma, devem levar 
o enunciado do item em consideração e esta-
belecer que 1 dm3 é equivalente a 1 L. Caso 
tenham dificuldades, apresente outras situa-
ções-problema cujo objetivo seja realizar con-
versões entre diferentes unidades de medida.
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Compreenda
a) O que é perguntado na atividade?
Quantos metros cúbicos de gelo foram consumidos no festival e quanto isso representa 
b) Quais são as informações fornecidas no problema?
As informações fornecidas no problema são a quantidade de cubos de gelo consumidos 
e a medida da aresta de um cubo de gelo. 
c) Como é calculado o volume de um cubo?
O volume do cubo é calculado elevando-se a medida da aresta ao cubo ou à 3a potência. 
d) Qual é a relação entre um volume dado em decímetros cúbicos e a 
capacidade dada em litros?
O volume de 1 dm3 corresponde à capacidade de 1 L.
Responda
a) Qual é o volume de 1 cubo de gelo?
23 5 8. O volume de um cubo de gelo é igual a 8 cm3.
b) Qual é o volume de 1 milhão e meio de cubos de gelo?
1.500.000 3 8 5 12.000.000
O volume de 1 milhão e meio de cubos de gelo é igual a 
 cm3.
c) Com base nas equivalências abaixo, responda ao primeiro item 
da atividade.
1 dm 5 10 cm P 1 dm3 5 1.000 cm3
10 dm 5 100 cm 5 1 m P 10 dm3 5 1.000.000 cm3 5 1 m3
Foram consumidos cm3 de gelo, ou m3.
d) Leia e responda ao segundo item da atividade.
Se enchermos uma caixa cúbica de arestas medindo 1 m, ou seja, com 
volume de 1 m3, verificamos que nessa caixa cabem 1.000 L de água.
Portanto, m3 de gelo equivalem a L 
de água.
em litros. 
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Medidas e porcentagemLição 2
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Recorde
42% é uma porcentagem. Significa “42 em cada 100”.
Também podemos representar essa porcentagem por uma fração de denominador 
100: 100
42 .
Assim, a notação 42% equivale a 100
42 .
Uma loja oferece um desconto de 15% para pagamento à vista em compras 
acima de R$ 250,00. Uma cliente comprou à vista os itens representados a seguir.
• Quanto essa cliente pagou pelas compras ao optar pelo pagamento à vista?
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Atividade 3
Compreenda
a) Qual é o objetivo da atividade?
O objetivo da atividade é determinar o valor pago pela cliente ao optar pelo pagamento à vista.
b) Quais são as informações apresentadas na atividade?
Os itens comprados e seus respectivos preços, a porcentagem de desconto e o valor 
mínimo de compra para obter o desconto.
c) Qual é a porcentagem de desconto dada pela loja? Quais são as 
condições para obter esse desconto?
A porcentagem de desconto dada pela loja é de 15%. Para obtê-lo, o cliente deve fazer o 
pagamento à vista, e o valor mínimo de compra deve ser superior a R$ 250,00.
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Orientações didáticas
Atividade 3
A atividade aborda o descritor D28, pertencen-
te ao Tema III – Números e Operações/Álgebra e 
Funções. Esse descritor tem como objetivo ava-
liar a habilidade dos alunos de resolver situações-
-problema que envolvam porcentagem.
Os alunos devem calcular o desconto recebido 
numa situação de compra. 
O cálculo de porcentagens e a compreensão de 
seus significados são importantes pelo fato de 
envolverem diversos contextos cotidianos. Os 
alunos devem ser capazes de elaborar e resol-
ver problemas com esse tema, incluindo a ideia 
de aplicação de percentuais sucessivos, a deter-
minação das taxas percentuais e a mobilização 
desses conhecimentos para ampliar conceitos 
relacionados à educação financeira.
Relembre-os de que o termo “porcentagem” in-
dica proporções ou taxas calculadas em relação 
ao número 100. Uma porcentagem pode ser in-
dicada pela fração x100
, correspondente a x%.
Relembre-os também de que a porcentagem 
apresenta aplicabilidade para a comparação 
entre grandezas. Com base nessa considera-
ção, solicite que apresentem situações que 
envolvam porcentagens. Os alunos podem 
realizar uma pesquisa em jornais, revistas ou 
na internet e apresentar os resultados para a 
turma. Aproveite para discutir e analisar o sig-
nificado de cada registro apresentado. 
O estudo acima referido também pode ser rea-
lizado apresentando-se aos alunos índices e 
taxas. Os resultados podem ser entregues im-
pressos ou projetados na sala. O site do Depar-
tamento Intersindical de Estatísticas e Estudos 
Socioeconômicos (Dieese) apresenta diversas 
publicações que veiculam esse tipo de dado, 
que tem relevância social e influencia a vida 
cotidiana dos alunos.
Atividade Tema Descritor
3 III D28 – Resolver problema que envolva porcentagem.
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Responda
a) Qual é o valor total da compra realizada pela cliente?
185 1 75 1 89 5 349
O valor total da compra é de reais.
b) A cliente teve direito ao desconto? Justifique.
Sim, pois o valor total da compra foi R$ 349,00 (maior que R$ 250,00), e ela realizou 
o pagamento à vista.
c) Leia.
Para calcular a porcentagem de determinado valor, podemos usar 
a regra de três simples. Veja como calcular 5% de 2.500:
Valor Porcentagem
2.500 100%
x 5%
Assim:
. . .x x x
2 500
5
100 2 500 5 100 100
12 500 1255 3 5 3 5 5& &
Logo, 5% de 2.500 é igual a 125.
• Agora, determine quanto é 15% do valor total da compra feita 
pela cliente.
. ,x x x x
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100 349 15 100 5 235 100 100
5 235 52 355 3 5 3 3 5 5 5& & &
d) Com as respostas obtidas nos itens anteriores, responda à questão da 
atividade e justifique seus cálculos.
O valor total da compra, R$ 349,00, ultrapassa R$ 250,00, por isso a cliente teve direito 
ao desconto de 15%, que foi de R$ 52,35. Então, deve-se subtrair do total da compra o 
valor referente ao desconto: 349 2 52,35 5 296,65.
O valor pago pela cliente foi de reais.
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Medidas e porcentagemLição 2
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Recorde
42% é uma porcentagem. Significa “42 em cada 100”.
Também podemos representar essa porcentagem por uma fração de denominador 
100: 100
42 .
Assim, a notação 42% equivale a 100
42 .
Uma loja oferece um desconto de 15% para pagamento à vista em compras 
acima de R$ 250,00. Uma cliente comprou à vista os itens representados a seguir.
• Quanto essa cliente pagou pelas compras ao optar pelo pagamento à vista?
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Atividade 3
Compreenda
a) Qual é o objetivo da atividade?
O objetivo da atividade é determinar o valor pago pela cliente ao optar pelo pagamento à vista.
b) Quais são as informações apresentadas na atividade?
Os itens comprados e seus respectivos preços, a porcentagem de desconto e o valor 
mínimo de compra para obter o desconto.
c) Qual é a porcentagem de desconto dada pela loja? Quais são as 
condições para obter esse desconto?
A porcentagem de desconto dada pela loja é de 15%. Para obtê-lo, o cliente deve fazer o 
pagamento à vista, e o valor mínimo de compra deve ser superior a R$ 250,00.
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Aproveite para explicar aos alunos que existem 
diversas outras aplicabilidades para porcenta-
gem, como cálculo de comissões, lucro, prejuí-
zo, índices de aumento e queda (de preços, por 
exemplo), juros etc. 
Com relação ao item c da seção Responda, é 
importante sinalizar aos alunos o emprego da 
regra de três. Ela pode ser usada para descobrir 
uma medida de duas grandezas proporcionais, 
quando são conhecidas outras três de suas 
medidas. No caso da situação proposta, são 
conhecidos o valor total da compra, que cor-
responde a 100%, e a porcentagem de descon-
to. Os alunos devem determinar o valor corres-
pondente a 15%. Assim, o cálculo do desconto 
é 5 100
349 153
 5 R$ 52,35. Caso tenham dificul-
dade, ofereça outras situações como essa para 
que encontrem valores correspondentes a dife-
rentes descontos. 
Explique que no item c da seção Responda é 
apresentado como calcular a porcentagem de 
determinada quantidade usando a regra de 
três simples. Porém, os alunos podem fazer 
os cálculos solicitados usando estratégias pró-
prias. Avalie os casos em que forem utilizadas 
estratégias diferentes e solicite que as com-
partilhem com os colegas.
Chame a atenção para o fato de que, nos casos 
de desconto, o valor a ser pago será sempre 
menor que o valor total da compra.
DIFICULDADES: O QUE FAZER?
Não conseguem determinar porcentagens e valores correspondentes.
Caso os alunos apresentem dificuldade para determinar porcentagens e valores correspon-
dentes, proponha a resolução de outras situações-problema, como as propostas a seguir, para 
que pratiquem o cálculo de porcentagem, presente em diversas situações do nosso cotidiano.
1. Em uma escola de música há 500 alunos matriculados. Para apresentação de um recital co-
memorativo, será necessária a participação de 35% dos alunos. Quantos alunos farão parte 
do recital? Quantos não farão parte dele? 175 alunos; 325 alunos.
2. Em um jogo de basquete, Juliana fez 25% dos 112 pontos marcados por sua equipe. 
Quantos pontos Juliana marcou? 28 pontos.
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Responda
a) Qual é o valor total da compra realizadapela cliente?
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O valor total da compra é de reais.
b) A cliente teve direito ao desconto? Justifique.
Sim, pois o valor total da compra foi R$ 349,00 (maior que R$ 250,00), e ela realizou 
o pagamento à vista.
c) Leia.
Para calcular a porcentagem de determinado valor, podemos usar 
a regra de três simples. Veja como calcular 5% de 2.500:
Valor Porcentagem
2.500 100%
x 5%
Assim:
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Logo, 5% de 2.500 é igual a 125.
• Agora, determine quanto é 15% do valor total da compra feita 
pela cliente.
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d) Com as respostas obtidas nos itens anteriores, responda à questão da 
atividade e justifique seus cálculos.
O valor total da compra, R$ 349,00, ultrapassa R$ 250,00, por isso a cliente teve direito 
ao desconto de 15%, que foi de R$ 52,35. Então, deve-se subtrair do total da compra o 
valor referente ao desconto: 349 2 52,35 5 296,65.
O valor pago pela cliente foi de reais.
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Medidas e porcentagemLição 2
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Leia, a seguir, o trecho de uma notícia.
Conta de luz terá aumento de 11,5% na Light e de 9,7% na Enel Rio; falta de chuvas e 
“gatos” pesaram no reajuste
A Agência Nacional de Energia Elétrica (Aneel) aprovou nesta terça-feira dois aumentos nas 
contas de luz dos consumidores do Rio de Janeiro. Os clientes da Light irão arcar com um alta de 
11,52% nas tarifas residenciais. As contas de luz dos consumidores residenciais da Enel Rio (antiga 
Ampla) terão um aumento médio de 9,72%. As altas começam a valer a partir da próxima sexta- 
-feira para ambas as empresas.
Para os consumidores industriais da Light, o reajuste médio será de 10,2%. Esse grupo de 
consumidores da Enel Rio terá uma alta de 9,65% nas suas tarifas.
Disponível em: <https://extra.globo.com/noticias/economia/conta-de-luz-tera-aumento-de-115-na-light-
de-97-na-enel-rio-falta-de-chuvas-gatos-pesaram-no-reajuste-23515826.html>. Acesso em: 2 jul. 2019.
• O gasto médio com energia elétrica em determinada residência, cliente da 
Light, era de R$ 95,00. Determine o gasto médio após o reajuste anual na tarifa 
informado na notícia.
• Uma indústria cliente da Enel tinha o gasto médio de R$ 1.500,00 antes do 
aumento. Quanto passará a gastar, em reais, após o aumento da tarifa? 
Atividade 4
Compreenda
a) Qual é a tarefa proposta na atividade?
Determinar qual será o gasto médio com energia elétrica em uma residência e em 
uma indústria após o aumento na tarifa.
b) De acordo com a notícia, quais serão os percentuais de aumento na 
tarifa de energia elétrica para os consumidores residenciais?
Para clientes da Light será 11,52% e, para clientes da Enel, 9,72%.
c) Para os consumidores industriais, quais serão os percentuais de 
aumento na tarifa de energia elétrica?
Para clientes da Light será de 10,2% e, para clientes da Enel, 9,65%.
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Orientações didáticas
Atividade 4
A atividade aborda o descritor D28, pertencen-
te ao Tema III – Números e Operações/Álgebra e 
Funções. Esse descritor tem como objetivo avaliar 
as habilidades dos alunos de resolver situações-
-problema que envolvam porcentagem.
Os alunos devem calcular, com base nos dados 
de uma notícia, o acréscimo que ocorrerá no 
gasto médio com eletricidade em uma residên-
cia e em uma indústria.
Para iniciar a atividade 4, realize a leitura de 
outras notícias semelhantes, que envolvam 
questões como o preço do gás de cozinha, as 
taxas referentes ao tratamento de água e es-
goto ou índices de qualidade de vida, e discuta 
com os alunos a relevância de compreenderem 
esse tipo de informação. 
É importante que eles tenham tempo para ler 
atentamente a notícia e as perguntas da ativi-
dade, bem como da seção Compreenda, com o 
objetivo de identificar na notícia as taxas que 
serão usadas para resolver a situação-proble-
ma. Caso apresentem dificuldades, leia com 
eles a notícia, indicando a localização e o signi-
ficado de cada um dos dados.
Atividade Tema Descritor
4 III D28 – Resolver problema que envolva porcentagem.
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Responda
a) Antes do aumento, qual era o gasto médio mensal da residência 
mencionada na atividade?
O gasto médio dessa residência era de R$ 95,00.
b) De quantos reais será o acréscimo no gasto médio da residência?
, , . ,
. ,
,x x x
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11 52
100 95 11 52 100 1 094 4 100 100
1 094 4
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O acréscimo será de reais.
c) Determine qual será o gasto médio esperado com energia elétrica 
nessa residência.
95 1 10,94 5 105,94
O gasto médio esperado para essa residência será de 
 reais.
d) De acordo com a notícia, qual será o percentual de aumento na tarifa 
para os consumidores industriais?
O percentual de aumento para os consumidores industriais será de 9,65%.
e) Antes do aumento, qual era o gasto médio mensal da indústria 
mencionada na atividade?
O gasto médio dessa indústria era de R$ 1.500,00.
f) De quantos reais será o acréscimo no gasto médio da indústria?
.
, . , .
. ,x x x x
100 100 1 100 100
1 500
9 65 1 500 9 65 4 475
14 475 144 755 3 5 3 5 55& & &
O acréscimo nessa indústria será de reais.
g) Determine qual passará a ser o gasto médio com energia elétrica 
nessa indústria.
1.500 1 144,75 5 1.644,75
O gasto médio nessa indústria passará a ser de reais.
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Medidas e porcentagemLição 2
18
Leia, a seguir, o trecho de uma notícia.
Conta de luz terá aumento de 11,5% na Light e de 9,7% na Enel Rio; falta de chuvas e 
“gatos” pesaram no reajuste
A Agência Nacional de Energia Elétrica (Aneel) aprovou nesta terça-feira dois aumentos nas 
contas de luz dos consumidores do Rio de Janeiro. Os clientes da Light irão arcar com um alta de 
11,52% nas tarifas residenciais. As contas de luz dos consumidores residenciais da Enel Rio (antiga 
Ampla) terão um aumento médio de 9,72%. As altas começam a valer a partir da próxima sexta- 
-feira para ambas as empresas.
Para os consumidores industriais da Light, o reajuste médio será de 10,2%. Esse grupo de 
consumidores da Enel Rio terá uma alta de 9,65% nas suas tarifas.
Disponível em: <https://extra.globo.com/noticias/economia/conta-de-luz-tera-aumento-de-115-na-light-
de-97-na-enel-rio-falta-de-chuvas-gatos-pesaram-no-reajuste-23515826.html>. Acesso em: 2 jul. 2019.
• O gasto médio com energia elétrica em determinada residência, cliente da 
Light, era de R$ 95,00. Determine o gasto médio após o reajuste anual na tarifa 
informado na notícia.
• Uma indústria cliente da Enel tinha o gasto médio de R$ 1.500,00 antes do 
aumento. Quanto passará a gastar, em reais, após o aumento da tarifa? 
Atividade 4
Compreenda
a) Qual é a tarefa proposta na atividade?
Determinar qual será o gasto médio com energia elétrica em uma residência e em 
uma indústria após o aumento na tarifa.
b) De acordo com a notícia, quais serão os percentuais de aumento na 
tarifa de energia elétrica para os consumidores residenciais?
Para clientes da Light será 11,52% e, para clientes da Enel, 9,72%.
c) Para os consumidores industriais, quais serão os percentuais de 
aumento na tarifa de energia elétrica?
Para clientes da Light será de 10,2% e, para clientes da Enel, 9,65%.
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Caso considere adequado, amplie a atividade 
propondo aos alunos que calculem quanto 
os consumidores residenciais pagariam a me-
nos se o aumento do custo da energia elétrica 
fosse o mesmo cobrado para os consumidores 
industriais, conforme apresentado na notícia.
Com relação aos itens b e f da seção Responda, 
é importante que os alunos retomem o uso da 
regra de três para determinar os aumentos no 
preço da energia, tanto nas residências quanto 
nas indústrias. Explique que a regra de três aju-
da a determinar um valor quando outros três 
são conhecidos, havendo entre as grandezas 
indicadas uma proporção, que pode ser direta 
ou inversa. 
Compare junto aos alunos a situação apresen-
tada na atividade 3 com a situação apresenta-
da na atividade 4. Espera-se que eles indiquem 
que a atividade 3 aborda uma taxa percentual 
referente a um desconto, ou seja, uma redução 
do valor a ser pago em uma compra. Já a ati-
vidade 4 envolve um percentual de acréscimo, 
que implica um aumento no valor das contas de 
energia elétrica. O cálculo da redução é indica-
do por: % 100
v p v v
p
v2 3 5 2 3 ; já o cálculo do 
aumento é dado por: %
100
v p v v
p
v1 3 5 1 3 , 
em que v corresponde ao valor a ser pago, e p, 
ao percentual cobrado.
DIFICULDADES: O QUE FAZER?
Não conseguem calcular porcentagem.
Caso os alunos apresentem dificuldade em calcular porcentagens usando a regra de três sim-
ples, relembre-os de que, nesse caso, as grandezas são diretamente proporcionais, ou seja, 
ao dobrar o valor de uma grandeza, o valor da outra também é dobrado; ao triplicar o valor 
de uma grandeza, o valor da outra também é triplicado; e assim sucessivamente. Ou seja, a 
razão entre os valores da primeira grandeza é igual à razão entre os valores correspondentes 
da segunda grandeza. 
As grandezas são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores de uma gran-
deza é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da outra. 
Apresente diferentes situações que envolvam grandezas diretamente proporcionais e situa-
ções que envolvam grandezas inversamente proporcionais, para que os alunos identifiquem a 
diferença em cada caso, e proponha que, em grupos, resolvam essas situações e apresentem 
a resolução para a turma.
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Responda
a) Antes do aumento, qual era o gasto médio mensal da residência 
mencionada na atividade?
O gasto médio dessa residência era de R$ 95,00.
b) De quantos reais será o acréscimo no gasto médio da residência?
, , . ,
. ,
,x x x
95
11 52
100 95 11 52 100 1 094 4 100 100
1 094 4
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O acréscimo será de reais.
c) Determine qual será o gasto médio esperado com energia elétrica 
nessa residência.
95 1 10,94 5 105,94
O gasto médio esperado para essa residência será de 
 reais.
d) De acordo com a notícia, qual será o percentual de aumento na tarifa 
para os consumidores industriais?
O percentual de aumento para os consumidores industriais será de 9,65%.
e) Antes do aumento, qual era o gasto médio mensal da indústria 
mencionada na atividade?
O gasto médio dessa indústria era de R$ 1.500,00.
f) De quantos reais será o acréscimo no gasto médio da indústria?
.
, . , .
. ,x x x x
100 100 1 100 100
1 500
9 65 1 500 9 65 4 475
14 475 144 755 3 5 3 5 55& & &
O acréscimo nessa indústria será de reais.
g) Determine qual passará a ser o gasto médio com energia elétrica 
nessa indústria.
1.500 1 144,75 5 1.644,75
O gasto médio nessa indústria passará a ser de reais.
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Lição 3
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Resolução de problemas3
Lição
Uma loja de material de construção possui um caminhão com a capacidade de 
transportar 200 sacos de areia ou 1.600 tijolos. 
• Se nesse caminhão forem colocados apenas 160 sacos de areia, restará espaço 
para no máximo quantos tijolos?
Atividade 1
Compreenda
a) O que é perguntado na atividade?
Quantos tijolos caberão no caminhão se nele também forem colocados apenas 160 sacos 
de areia.
b) Quais informações são dadas no problema?
A quantidade de tijolos ou sacos de areia que cabem no caminhão.
c) O caminhão pode transportar sacos de areia e tijolos juntos?
Espera-se que os alunos observem que podem ser transportados os dois tipos de material,
desde que se diminua a quantidade de ambos.
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d) Quantos sacos de areia já foram colocados no caminhão?
Foram colocados 160 sacos de areia.
Responda
a) Quantos tijolos correspondem a um saco de areia?
Espera-se que os alunos façam a proporção: se 1.600 tijolos equivalem a 200 sacos de 
areia, x tijolos equivalem a 1 saco de areia, então:
. .x x x200
1 600
1 1 600 200 85 5 4 5& &
Portanto, tijolos equivalem a 1 saco de areia.
b) Quantos sacos de areia ainda podem ser colocados no caminhão?
Se a capacidade do caminhão é de 200 sacos de areia e já foram colocados 160, ainda 
podem ser colocados 40 sacos.
200 2 160 5 40 
c) Agora responda à pergunta do problema.
Espera-se que os alunos percebam que, se 1 saco de areia corresponde a 8 tijolos e que
no caminhão ainda podem ser colocados 40 sacos de areia, esses 40 sacos equivalem a 
320 tijolos.
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Conteúdo desenvolvido
• Resolução de problemas com números na-
turais, inteiros e racionais envolvendo dife-
rentes operações.
Orientações didáticas
Atividade 1
A atividade aborda o descritor D19, que perten-
ce ao Tema III – Números e Operações/Álgebra e 
Funções. Esse descritor tem como objetivo ava-
liar as habilidades dos alunos de resolver diversas 
situações-problema envolvendo diferentes ope-
rações (adição, subtração, multiplicação, divisão 
e potenciação) com números naturais.
Antes de iniciar o trabalho com a situação pro-
posta, retome com os alunos o que são números 
naturais. Lembre-os de que se trata de um con-
junto numérico infinito, composto dos números 
inteiros positivos e do zero.
Aproveite a situação inicial de retomada da no-
ção de número natural para avaliar se os alunos 
apresentam habilidades de leitura, ordenação 
e quantificação desses números consolidadas. 
Caso apresentem dificuldades, retome com eles 
as principais características do sistema decimal 
de numeração. Apresente atividades como di-
tados numéricos que envolvam classes e ordens 
crescentes, identificação numérica, compreen-
são das características posicionais, da distinção 
entre classe e ordem, da base 10, da caracterís-
tica multiplicativa, do sistema aditivo, entre ou-
tras que julgar conveniente.
Incentive o raciocínio interpretativo dos alunos 
solicitando que leiam o enunciado da situação-
-problema proposta e, em seguida, que a discu-
tam em duplas.
Dê tempo para que respondam à seção Com-
preenda e possam desenvolver raciocínio próprio 
mediante os questionamentos apresentados. De-
pois, oriente-os a fazer anotações, esquemas e 
registros das estratégias que pretendem utilizar.
Retome a noção de proporcionalidade relaciona-
da à igualdade entre razões, que pode ser repre-
sentada por frações. Desse modo, a quantidade 
de tijolos deve ser proporcional à quantidade de 
sacos de areia. Atividade Tema Descritor
1 III
D19 – Resolver problema com números naturais 
envolvendo diferentes significados das operações (adição, 
subtração, multiplicação, divisão e potenciação).
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Resolução de problemas3
Lição
Uma loja de material de construção possui um caminhão com a capacidade de 
transportar 200 sacos de areia ou 1.600 tijolos. 
• Se nesse caminhão forem colocados apenas 160 sacos de areia, restará espaço 
para no máximo quantos tijolos?
Atividade 1
Compreenda
a) O que é perguntado na atividade?
Quantos tijolos caberão no caminhão se nele também forem colocados apenas 160 sacos 
de areia.
b) Quais informações são dadas no problema?
A quantidade de tijolos ou sacos de areia que cabem no caminhão.
c) O caminhão pode transportar sacos de areia e tijolos juntos?
Espera-se que os alunos observem que podem ser transportados os dois tipos de material,
desde que se diminua a quantidade de ambos.
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d) Quantos sacos de areia já foram colocados no caminhão?
Foram colocados 160 sacos de areia.
Responda
a) Quantos tijolos correspondem a um saco de areia?
Espera-se que os alunos façam a proporção: se 1.600 tijolos equivalem a 200 sacos de 
areia, x tijolos equivalem a 1 saco de areia, então:
. .x x x200
1 600
1 1 600 200 85 5 4 5& &
Portanto, tijolos equivalem a 1 saco de areia.
b) Quantos sacos de areia ainda podem ser colocados no caminhão?
Se a capacidade do caminhão é de 200 sacos de areia e já foram colocados 160, ainda 
podem ser colocados 40 sacos.
200 2 160 5 40 
c) Agora responda à pergunta do problema.
Espera-se que os alunos percebam que, se 1 saco de areia corresponde a 8 tijolos e que
no caminhão ainda podem ser colocados 40 sacos de areia, esses 40 sacos equivalem a 
320 tijolos.
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Aproveite o item c da seção Compreenda para 
propor uma discussão com os alunos. Avalie se 
compreendem que a relação entre a quantidade 
de materiais é inversamente proporcional. Para 
tanto, devem identificar a natureza da variação 
das duas grandezas (sacos de areia e tijolos).
Para responderem ao item a da seção Responda, 
devem expressar a relação entre as grandezas 
usando uma sentença algébrica ou outras estra-
tégias com as quais estiverem mais familiarizados. 
Explique que podem usar a seguinte relação: 
b
a
d
c
5 , em que a e c se referem à grandeza 
tijolos, e b e d, à grandeza sacos de areia. No 
caso, 8 é a constante de proporcionalidade en-
tre as grandezas.
Para responderem ao item c da seção Respon-
da, oriente os alunos a utilizar as informações 
obtidas nos itens a e b, de modo que coloquem 
em prática relações já estabelecidas, incluindo 
a constante de proporcionalidade.
DIFICULDADES: O QUE FAZER?
Não distinguem a variação entre grandezas.
Caso os alunos apresentem dificuldades para distinguir a variação entre as grandezas, explique que a relação entre duas grandezas é diretamen-
te proporcional quando variam na mesma proporção. Quando a variação entre duas grandezas resulta em aumento ou diminuição de modo 
inverso e na mesma proporção, essas grandezas são inversamente proporcionais. Proponha atividades nas quais os alunos possam identificar 
essa distinção, como nos exemplos abaixo:
1. Uma fábrica possui 150 funcionários, que montam 350 computadores por dia. Caso a empresa triplique a quantidade de funcionários, o que 
ocorrerá com a produção? 
Triplicará, indicando a variação diretamente proporcional. Assim: x350
150 150
5 e x 5 1.050 computadores.
2. Uma transportadora indicou a um motorista que dirigisse a 60 km/h para chegar ao local de uma entrega em 4 horas. Se a velocidade for 
dobrada, o que ocorrerá com o tempo de viagem? 
Cairá pela metade, indicando variação inversamente proporcional. Assim: x120
60
45 e x 5 2 horas.
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Lição 3
Orientações didáticas
Atividade 2
A atividade aborda o descritor D20, o qual 
pertence ao Tema III – Números e Operações/
Álgebra e Funções. Esse descritor avalia as ha-
bilidades dos alunos de resolver situações-pro-
blema com números inteiros e que envolvam 
diferentes operações. 
Aproveite a temática dos números inteiros e 
faça com os alunos a distinção entre o conjunto 
dos números naturais. Pergunte: “O que carac-
teriza o conjunto dos números inteiros?”; “O 
que distingue o conjunto dos números inteiros 
do conjunto dos números naturais?”. Espera-se 
que eles relembrem essas noções, já estudadas, 
e que se trata de um conjunto numérico infini-
to composto dos números naturais, seus opos-
tos aditivos, ou simétricos, e também o zero. 
Retome as possíveis relações de ordem entre os 
números inteiros, mostrando no quadro de giz 
os números inteiros não negativos, números in-
teiros não positivos, números inteiros positivos 
e números inteiros negativos.
Aproveite a situação inicial de retomada de 
noções referentes ao conjunto dos números in-
teiros para avaliar se os alunos apresentam ha-
bilidades como as de comparação e ordenação 
desses números em diferentes contextos, in-
cluindo as operações e a associação a pontos da 
reta numérica. Caso apresentem dificuldades, 
ofereça situações em que tenham de ordenar 
números inteiros na reta numérica, incluindo 
diferentes ordens e classes. Outra estratégia é 
solicitar que resolvam e elaborem problemas 
que envolvam operações com números intei-
ros. O item a da seção Responda pode ser um 
bom ponto de partida.
Atividade Tema Descritor
2 III
D20 – Resolver problema com números inteiros envolvendo 
as operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, 
potenciação).
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Resolução de problemasLição 3
22
Em um jogo de computador com 5 rodadas, 3 jogadores fizeram as seguintes 
pontuações:
Henrique Beto Lúcia
Ganhou 15 pontos Perdeu 15 pontos Perdeu 6 pontos
Perdeu 12 pontos Perdeu 5 pontos Ganhou 13 pontos
Perdeu 2 pontos Perdeu 2 pontos Ganhou 11 pontos
Ganhou 9 pontos Ganhou 16 pontos Perdeu 10 pontos
Ganhou 10 pontos Ganhou 18 pontos Ganhou 12 pontos
Vence o jogo quem tiver a maior pontuação e, em caso de empate, vence aquele 
que tiver obtido, ao todo, o maior número de pontos ganhos. 
• Quem venceu o jogo?
• Qual jogador teve menos pontos?
Atividade 2
Compreenda
a) O que é perguntado na atividade?
Quem venceu o jogo e qual jogador teve menos pontos. 
b) Quantos jogadores participaram do jogo?
Participaram do jogo três jogadores.
c) Quantas rodadas teve o jogo?
O jogo teve cinco rodadas.
d) Qual foi a pontuação máxima obtida por um jogador em uma 
única rodada?
A pontuação máxima em uma rodada foi 18 pontos.
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Responda
a) Para cada jogador, represente os pontos ganhos como um número 
positivo e os pontos perdidos como um número negativo.
Henrique Beto Lúcia
115 215 26
212 25 113
22 22 111
19 116 210
110 118 112
b) Escreva a expressão numérica que representa o total dos pontos de 
cada jogador e determine esse valor.
Henrique: 115 1 (212) 1 (22) 1 9 1 10 5 20
Beto: 215 1 (25) 1 (22) 1 16 1 18 5 12
Lúcia: 26 1 13 1 11 1 (210) 1 12 5 20
Henrique fez pontos, Beto fez pontos e Lúcia fez 
 pontos.
c) Quem teve mais pontos ganhos?
Henrique ganhou 115 1 9 1 10 5 34 pontos
Beto ganhou 116 1 18 5 34 pontos
Lúcia ganhou 113 1 11 1 12 5 36 pontos
 teve mais pontos ganhos.
d) Com base nas respostas aos itens b e c, responda à questão 
da atividade.
Espera-se que os alunos observem que,como houve empate entre Henrique e Lúcia, 
devem seguir o critério de desempate indicado na atividade.
Quem venceu o jogo foi Lúcia e quem teve menos pontos foi Beto.
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O objetivo da atividade é que os alunos leiam 
as informações organizadas em uma tabela 
simples e as relacionem às operações de adição 
e de subtração, comparando a quantidade de 
pontos obtidos por três jogadores distintos.
Solicite que leiam, organizados em duplas, o 
enunciado da atividade e planejem como exe-
cutarão a solução da situação-problema. En-
quanto fazem o planejamento, pergunte sobre 
as estratégias que utilizarão, com objetivo de 
aprofundar a reflexão sobre suas estratégias. 
Caso julgue conveniente, a atividade pode ser 
conferida com a transcrição dos dados da tabe-
la em uma planilha eletrônica. Nela, os alunos 
podem inserir os dados e criar comandos para 
que as operações de adição e subtração sejam 
realizadas automaticamente e, assim, conferir 
se os cálculos realizados estão corretos. 
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Resolução de problemasLição 3
22
Em um jogo de computador com 5 rodadas, 3 jogadores fizeram as seguintes 
pontuações:
Henrique Beto Lúcia
Ganhou 15 pontos Perdeu 15 pontos Perdeu 6 pontos
Perdeu 12 pontos Perdeu 5 pontos Ganhou 13 pontos
Perdeu 2 pontos Perdeu 2 pontos Ganhou 11 pontos
Ganhou 9 pontos Ganhou 16 pontos Perdeu 10 pontos
Ganhou 10 pontos Ganhou 18 pontos Ganhou 12 pontos
Vence o jogo quem tiver a maior pontuação e, em caso de empate, vence aquele 
que tiver obtido, ao todo, o maior número de pontos ganhos. 
• Quem venceu o jogo?
• Qual jogador teve menos pontos?
Atividade 2
Compreenda
a) O que é perguntado na atividade?
Quem venceu o jogo e qual jogador teve menos pontos. 
b) Quantos jogadores participaram do jogo?
Participaram do jogo três jogadores.
c) Quantas rodadas teve o jogo?
O jogo teve cinco rodadas.
d) Qual foi a pontuação máxima obtida por um jogador em uma 
única rodada?
A pontuação máxima em uma rodada foi 18 pontos.
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Responda
a) Para cada jogador, represente os pontos ganhos como um número 
positivo e os pontos perdidos como um número negativo.
Henrique Beto Lúcia
115 215 26
212 25 113
22 22 111
19 116 210
110 118 112
b) Escreva a expressão numérica que representa o total dos pontos de 
cada jogador e determine esse valor.
Henrique: 115 1 (212) 1 (22) 1 9 1 10 5 20
Beto: 215 1 (25) 1 (22) 1 16 1 18 5 12
Lúcia: 26 1 13 1 11 1 (210) 1 12 5 20
Henrique fez pontos, Beto fez pontos e Lúcia fez 
 pontos.
c) Quem teve mais pontos ganhos?
Henrique ganhou 115 1 9 1 10 5 34 pontos
Beto ganhou 116 1 18 5 34 pontos
Lúcia ganhou 113 1 11 1 12 5 36 pontos
 teve mais pontos ganhos.
d) Com base nas respostas aos itens b e c, responda à questão 
da atividade.
Espera-se que os alunos observem que, como houve empate entre Henrique e Lúcia, 
devem seguir o critério de desempate indicado na atividade.
Quem venceu o jogo foi Lúcia e quem teve menos pontos foi Beto.
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24
Lição 3
Orientações didáticas
Atividade 3
A atividade aborda o descritor D26, que per-
tence ao Tema III – Números e Operações/Álge-
bra e Funções. Esse descritor tem por objetivo 
avaliar se o aluno é capaz de resolver situa-
ções-problema com números racionais, envol-
vendo diferentes significados das operações. 
Essa atividade permite que as habilidades rela-
cionadas à resolução de problemas com opera-
ções de adição e subtração envolvendo núme-
ros racionais sejam avaliadas.
O objetivo é que, com base numa lista de infor-
mações interdependentes sobre a massa de qua-
tro pessoas, os alunos encontrem a massa exata 
de cada uma delas, comparando-as, para indicar 
qual é a menor.
Amplie a atividade retomando com os alunos o 
conjunto dos números racionais. Espera-se que 
eles compreendam que esse conjunto inclui os 
números que podem ser escritos na forma de 
fração e ter representação decimal periódica 
ou finita. Caso julgue relevante, desenhe o dia-
grama de Venn no quadro de giz para mostrar 
que o conjunto dos números racionais contém 
o dos números inteiros, o qual, por sua vez, 
contém o dos números naturais. 
Atividade Tema Descritor
3 III
D26 – Resolver problema com números racionais 
envolvendo as operações (adição, subtração, multiplicação, 
divisão, potenciação).
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Resolução de problemasLição 3
24
Leia as informações sobre a massa de Lucas, Letícia, Rodrigo e Cláudia.
Lucas Letícia Rodrigo Cláudia
Lucas tem 81,92 kg; Cláudia tem 3,51 kg a mais que Rodrigo; Lucas e Letícia 
têm juntos 137,43 kg; Rodrigo tem de emagrecer 5,23 kg para ter a mesma massa 
que Letícia.
• Quem tem a menor massa?
Atividade 3
Compreenda
a) O que é perguntado na atividade?
Qual é o nome da pessoa que possui menor massa.
b) Qual é a massa conhecida?
A massa conhecida é a de Lucas.
c) Quais informações foram dadas a respeito da massa de Cláudia?
Que ela tem 3,51 kg a mais que Rodrigo.
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d) Quais informações foram dadas a respeito da massa de Letícia?
Que a massa dela somada à de Lucas resulta em 137,43 kg.
e) Quais informações foram dadas a respeito da massa de Rodrigo?
Que ele tem de emagrecer 5,23 kg para ter a mesma massa de Letícia.
Responda
a) Sabendo que a massa de Lucas é de 81,92 kg e que ele e Letícia somam 
137,43 kg, calcule a massa de Letícia.
137,43 2 81,92 5 55,51
A massa de Letícia é de kg.
b) Se Rodrigo tem de emagrecer 5,23 kg para ter a mesma massa que 
Letícia, qual é a massa dele?
A massa de Rodrigo é igual à de Letícia mais 5,23 kg:
55,51 1 5,23 5 60,74.
A massa de Rodrigo é de kg.
c) Se Cláudia tem 3,51 kg a mais que Rodrigo, qual é a massa dela?
A massa de Cláudia é igual à de Rodrigo mais 3,51 kg: 60,74 1 3,51 5 64,25 kg.
A massa de Cláudia é de kg.
d) Responda à pergunta da atividade.
Letícia tem a menor massa.
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25
Solicite aos alunos que leiam a situação-pro-
blema e a resolvam individualmente. Enquan-
to isso, observe seus registros e as soluções que 
eles propõem e escolha alguns deles para ir ao 
quadro de giz explicar como resolveram o pro-
blema. A cada explicação, pergunte à turma 
se compreenderam, abrindo um debate. Caso 
haja discordâncias em relação aos resultados, 
incentive-os a buscar um consenso, valorizan-
do as estratégias diferentes, desde que coeren-
tes. Para finalizar, formalize o conteúdo, que 
é o objetivo central desta lição e do descritor 
D26, avaliando se a aprendizagem desses tópi-
cos está consolidada.
Para responderem aos itens da seção Respon-
da, oriente os alunos a recorrer às informações 
apresentadas no enunciado. Caso julgue per-
tinente, peça que elaborem esquemas no ca-
derno, a fim de estabelecer relações entre as 
massas de Lucas, Cláudia, Rodrigo e Letícia. 
Eles devem notar que a massa de Cláudia é 
dada em função da massa de Rodrigo: C 5 R 1 
1 3,51; que as massas de Lucas e Letíciaes-
tão relacionadas (Lu 1 Le 5 137,43, logo Le 5 
5 137,43 2 81,92); e, por fim, que a mas sa de 
Rodrigo é dada em função da massa de Letícia 
R 5 Le 1 5,23, ou seja, R 5 (137,43 2 81,92) 1 
1 5,23. Mostre que, substituindo as incógnitas, 
outras relações são possíveis, tais como: R 5 
5 C 2 3,51, portanto, (137,43 2 81,92) 1 5,23 5 
5 C2 3,51, o que nos permite concluir que a 
massa de Cláudia é igual a 64,25 kg.
Explique aos alunos que, com base nas relações 
estabelecidas anteriormente, é possível encon-
trar as massas e compará-las. Assim, eles de-
vem perceber que as resoluções de um grupo 
de problemas como o da atividade possuem a 
mesma estrutura e podem valer-se de procedi-
mentos semelhantes.
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Resolução de problemasLição 3
24
Leia as informações sobre a massa de Lucas, Letícia, Rodrigo e Cláudia.
Lucas Letícia Rodrigo Cláudia
Lucas tem 81,92 kg; Cláudia tem 3,51 kg a mais que Rodrigo; Lucas e Letícia 
têm juntos 137,43 kg; Rodrigo tem de emagrecer 5,23 kg para ter a mesma massa 
que Letícia.
• Quem tem a menor massa?
Atividade 3
Compreenda
a) O que é perguntado na atividade?
Qual é o nome da pessoa que possui menor massa.
b) Qual é a massa conhecida?
A massa conhecida é a de Lucas.
c) Quais informações foram dadas a respeito da massa de Cláudia?
Que ela tem 3,51 kg a mais que Rodrigo.
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d) Quais informações foram dadas a respeito da massa de Letícia?
Que a massa dela somada à de Lucas resulta em 137,43 kg.
e) Quais informações foram dadas a respeito da massa de Rodrigo?
Que ele tem de emagrecer 5,23 kg para ter a mesma massa de Letícia.
Responda
a) Sabendo que a massa de Lucas é de 81,92 kg e que ele e Letícia somam 
137,43 kg, calcule a massa de Letícia.
137,43 2 81,92 5 55,51
A massa de Letícia é de kg.
b) Se Rodrigo tem de emagrecer 5,23 kg para ter a mesma massa que 
Letícia, qual é a massa dele?
A massa de Rodrigo é igual à de Letícia mais 5,23 kg:
55,51 1 5,23 5 60,74.
A massa de Rodrigo é de kg.
c) Se Cláudia tem 3,51 kg a mais que Rodrigo, qual é a massa dela?
A massa de Cláudia é igual à de Rodrigo mais 3,51 kg: 60,74 1 3,51 5 64,25 kg.
A massa de Cláudia é de kg.
d) Responda à pergunta da atividade.
Letícia tem a menor massa.
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26
Lição 3
Orientações didáticas
Atividade 4
A presente atividade aborda o descritor D26, 
que tem como objetivo avaliar as habilidades 
dos alunos de resolver problemas com números 
racionais envolvendo as operações de adição, 
subtração, multiplicação, divisão e potenciação. 
Essa atividade possibilita retomar os conceitos 
envolvidos nas habilidades avaliadas pelo des-
critor D26, bem como ampliá-las.
Inicie a atividade conversando com os alunos 
sobre diferentes contextos em que tenham 
contato com números racionais nas formas 
fracionária e decimal. Espera-se que percebam 
que esse conjunto numérico faz parte de diver-
sas práticas socioculturais, portanto é impor-
tante que compreendam suas características e 
saibam identificá-los.
Aproveite a introdução da situação-problema 
e proponha atividades coletivas orais com o 
objetivo de avaliar se os alunos apresentam as 
habilidades de comparação e de ordenação de 
números racionais e se os associam a pontos da 
reta numérica. Registre as intervenções deles 
no quadro de giz. 
Caso julgue necessário, proponha atividades 
que retomem esses tópicos, abordando com-
parações e ordenações de frações associadas 
às ideias de partes de inteiros, de resultado de 
uma divisão, de razão e de operador. 
Atividade Tema Descritor
4 III
D26 – Resolver problema com números racionais 
envolvendo as operações (adição, subtração, multiplicação, 
divisão, potenciação).
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Resolução de problemasLição 3
26
José tem um terreno retangular que foi dividido inicialmente em 4 partes iguais, 
e esse processo foi repetido mais 2 vezes. Ele resolveu cultivar verduras e legumes 
somente na parte colorida do terreno, destacada na figura abaixo. 
• Que fração do terreno corresponde à parte cultivada?
Atividade 4
Compreenda
a) Qual é o objetivo da atividade?
O objetivo é que se descubra a fração do terreno que equivale à parte cultivada.
b) Qual é o formato do terreno de José?
O formato do terreno é retangular.
c) Quantas vezes o processo de divisão feito por José foi realizado?
O processo foi realizado três vezes.
d) Quantas partes do terreno foram cultivadas?
Foram cultivadas duas partes.
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27
Responda
a) Que fração corresponde a cada parte da primeira divisão do terreno?
4
1
b) Leia.
Para efetuar divisões de frações, multiplicamos a fração 
que representa o dividendo pela fração inversa do divisor.
Exemplo:
3
2
5
4
3
2
4
5
3 4
2 5
12
104 3 5 3
3 5&
• Que fração corresponde a cada parte da segunda divisão do terreno? 
Espera-se que os alunos efetuem a operação 4
1 4 4
1
4
1
4 4
1 1
16
14 3 5 3
3 5& .
• Que fração corresponde a cada parte da última divisão?
Espera-se que os alunos efetuem a operação 
16
1 4 16
1
4
1
16 4
1 1
64
14 3 5 3
3 5& .
c) Com base na resposta aos itens anteriores, responda à questão da 
atividade.
Espera-se que os alunos efetuem ou2 64
1
1 64
2 1
64
2
32
1
64
1
64
1
64
2
32
13 5 3
3 5 5 1 5 5 
.
A fração correspondente à parte cultivada é .32
1
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27
DIFICULDADES: O QUE FAZER?
Não efetuam operações de divisão com frações.
Caso os alunos apresentem dificuldades para efetuar divisões entre frações, ofereça atividades 
que envolvam essa operação. Caso considere interessante, acesse o plano de aula intitulado 
“Divisão de frações”, de Carlos Alberto Jesus de Oliveira. A aula está disponível no site do 
MEC: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=1387> (acesso em: 22 
jul. 2019). Nessa aula, pressupõe-se como conhecimento prévio a multiplicação de frações. 
Aproveite o item b da seção Responda para 
avaliar se os alunos compreendem e utilizam a 
multiplicação e a divisão de números racionais, 
a relação entre elas e suas propriedades opera-
tórias. Caso apresentem dificuldades, relembre-
-os de que a multiplicação entre frações envolve 
a multiplicação do numerador pelo numerador 
e do denominador pelo denominador. Já a divi-
são é efetuada pela repetição da primeira fra-
ção e a multiplicação pelo inverso da segunda 
fração dada. 
Ainda com relação ao item b da seção Res-
ponda, aborde com os alunos o cálculo de 
frações de frações. Explique que a segunda 
pergunta do item b requer que seja indicada 
uma fração da fração tomada na divisão do 
terreno, ou seja, a fração de uma quantida-
de já fracionada. Dessa forma, se a área ini-
cial do terreno fosse de 400 m², por exemplo, 
as divisões sucessivas seriam indicadas por: 
4
, m400 4
1
4
1
4
1 400 1 6 253 3 3 5 3 5
3
2.
No item c da seção Responda, retome noções 
relacionadas a frações equivalentes, indicando 
que 
64
2
32
1
5 , ou seja, que ambas as frações re-
presentam quantidades iguais.
Caso julgue interessante, solicite aos alunos 
que elaborem problemas que envolvam as ope-rações com números racionais, que os troquem 
entre si e compartilhem com a turma suas estra-
tégias de solução. Aproveite e chame a atenção 
para o fato de que um mesmo problema pode 
ser resolvido por meio de diferentes estratégias 
e algoritmos. Oriente-os a explicar os proce-
dimentos utilizados e avalie se reconhecem a 
necessidade de verificar a plausibilidade dos 
resultados obtidos.
Retome a atividade 1 e verifique se percebem 
a associação entre razão e fração, como na fra-
ção 3
1, para expressar a razão de uma parte de 
uma grandeza para três partes dela mesma ou, 
ainda, três partes de outra grandeza qualquer.
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Resolução de problemasLição 3
26
José tem um terreno retangular que foi dividido inicialmente em 4 partes iguais, 
e esse processo foi repetido mais 2 vezes. Ele resolveu cultivar verduras e legumes 
somente na parte colorida do terreno, destacada na figura abaixo. 
• Que fração do terreno corresponde à parte cultivada?
Atividade 4
Compreenda
a) Qual é o objetivo da atividade?
O objetivo é que se descubra a fração do terreno que equivale à parte cultivada.
b) Qual é o formato do terreno de José?
O formato do terreno é retangular.
c) Quantas vezes o processo de divisão feito por José foi realizado?
O processo foi realizado três vezes.
d) Quantas partes do terreno foram cultivadas?
Foram cultivadas duas partes.
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Responda
a) Que fração corresponde a cada parte da primeira divisão do terreno?
4
1
b) Leia.
Para efetuar divisões de frações, multiplicamos a fração 
que representa o dividendo pela fração inversa do divisor.
Exemplo:
3
2
5
4
3
2
4
5
3 4
2 5
12
104 3 5 3
3 5&
• Que fração corresponde a cada parte da segunda divisão do terreno? 
Espera-se que os alunos efetuem a operação 4
1 4 4
1
4
1
4 4
1 1
16
14 3 5 3
3 5& .
• Que fração corresponde a cada parte da última divisão?
Espera-se que os alunos efetuem a operação 
16
1 4 16
1
4
1
16 4
1 1
64
14 3 5 3
3 5& .
c) Com base na resposta aos itens anteriores, responda à questão da 
atividade.
Espera-se que os alunos efetuem ou2 64
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1 64
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13 5 3
3 5 5 1 5 5 
.
A fração correspondente à parte cultivada é .32
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Lição 4
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Responda
a) Determine o valor de x. 
x729 6255 12 2 2` `j j
729 5 625 1 x2 ] x2 5 104 ] x 5 104 
b) O que devemos fazer para determinar a soma das medidas dos lados desse triângulo?
 Calcular o valor de x e adicioná-lo a 729 e 625.
 X Determinar o valor de x, a raiz quadrada de 729 e de 625 e, depois, adicionar os 
valores obtidos.
 Determinar a raiz quadrada do valor de x, de 729 e de 625 e, depois, subtrair os 
valores obtidos.
c) Quando a raiz quadrada de um número não é exata, podemos calcular sua raiz 
quadrada aproximada.
Vamos calcular o valor aproximado da raiz quadrada de 28.
Sabemos que 28 está entre 52 5 25 e 62 5 36, ou seja, a raiz quadrada de 28 está entre 5 
e 6. Vamos então calcular o quadrado de alguns números entre 5 e 6.
(5,1)2 5 26,01 (5,2)2 5 27,04 (5,3)2 5 28,09 (5,4)2 5 29,16
Observe que (5,3)2 está mais próximo de 28, então dizemos que a raiz quadrada de 28 é 
aproximadamente 5,3 ou 28 & 5,3. Calcule 104 .
 104 não é exata. Ela está entre 102 5 100 e 112 5 121. Calculando o quadrado de alguns 
números entre 10 e 11 temos:
(10,1)2 5 102,01 (10,2)2 5 104,04 (10,3)2 5 106,09
104 & 10,2
d) Complete:
• 729 5 27 , pois 27
2
 = 27 · 27 = 729 
• 625 5 25 , pois 25
2
 = 25 · 25 = 625 
e) Com os valores obtidos nos itens anteriores, calcule o perímetro do triângulo e complete.
27 1 25 1 10,2 & 62,2
A soma das medidas dos lados do triângulo é aproximadamente 62,2 cm .
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Radicais e problemas com números racionais4
Lição
Compreenda
a) Qual é a tarefa proposta na atividade?
Determinar o perímetro do triângulo.
b) Quais são as medidas fornecidas dos lados do triângulo?
As medidas dos lados do triângulo são e729 625cm cm. 
c) Os números fornecidos que expressam as medidas dos lados do triângulo estão 
representados de que forma?
Os números estão representados na forma de raiz quadrada dos números 729 e 625.
d) Que teorema conhecido fornece uma relação entre os lados do triângulo retângulo? O 
que ele diz?
Teorema de Pitágoras. O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Atividade 1
Considere o triângulo retângulo a seguir.
B
C
729 cm
A
x
625 cm
• Qual é a soma das medidas dos lados desse triângulo?
A raiz quadrada de um número natural a é o número não negativo b tal que b2 5 a. 
Indica-se: a b5
Exemplos:
• 36 65 , pois 62 5 36 • 81 95 , pois 92 5 81
Os números naturais que têm raiz quadrada exata são quadrados de outros números 
naturais e, por isso, chamam-se quadrados perfeitos. Veja alguns exemplos:
Quadrado perfeito 1 4 9 16 25
Raiz quadrada 1 2 3 4 5
Recorde
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Conteúdos desenvolvidos
• Raízes quadradas exatas e não exatas de nú-
meros naturais.
• Operações com números decimais.
• Operações com frações.
Orientações didáticas
Atividade 1
A atividade explora o descritor D27, que perten-
ce ao Tema III – Números e Operações/Álgebra e 
Funções. Esse descritor tem o objetivo de avaliar 
a habilidade dos alunos de resolver expressões 
com radicais não exatos. Assim, nessa atividade, 
é possível resolver os radicais com aproximações, 
como no caso dos números irracionais. 
Ao abordar a temática desta lição, é importan-
te que os alunos compreendam o significado 
de raiz quadrada e a extração dessas raízes de 
quadrados perfeitos para, posteriormente, es-
timar os valores de radicais mais simples, como 
6 , 10 , 15 etc.
Para iniciar a atividade, apresente a seguinte 
expressão numérica: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 
81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 
361, 400. Pergunte qual é o padrão de formação 
dessa sequência. Espera-se que os alunos notem 
que cada número da sequência é gerado pelo 
quadrado de um número natural. Os números 
naturais que, elevados à segunda potência, ge-
ram um número natural são quadrados perfei-
tos. Assim: 
12 5 1, 22 5 4, 32 5 9, 42 5 16, 52 5 25,...,132 5 
5 169,..., 162 5 256,172 5 289,..., 202 5 400.
Pergunte aos alunos como expressar essa regu-
laridade para todo quadrado perfeito. Espera-
-se que cheguem à conclusão de que a2 5 a 3 a 5 
5 b ] a2 5 b, sendo que a2 9 v, que o produto 
de a por a são números positivos idênticos e 
que b indica o quadrado perfeito.
Os números que são quadrados perfeitos apre-
sentam raízes quadradas exatas. Desse modo, 
b a a a5 3 5 .
Explique que um número quadrado perfei-
to pode ser relacionado à área do quadrado. 
Assim, o número do quadrado perfeito corres-
ponde à área do quadrado:
2 cm
2 cm
 cm
A
A
A
2
4
5 c
5
5
2
2
2
Peça aos alunos que desenhem quadrados com 
outras medidas e calculem a área deles. Espera-se 
que cheguem à conclusão de que os números que 
são quadrados perfeitos formam geometricamente 
a figura de um quadrado e indicam o valor da 
medida da área desse quadrado. Exemplo:
• Determine a medida do lado do quadrado 
cuja área é:
a) 64 cm2; 
b) 196 cm2; 
c) 324 m2; 
d) 676 m2; 
8 cm
14 cm
18 m
26 m
Atividade TemaDescritor
1 III D27 – Efetuar cálculos simples com valores aproximados de radicais.
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Responda
a) Determine o valor de x. 
x729 6255 12 2 2` `j j
729 5 625 1 x2 ] x2 5 104 ] x 5 104 
b) O que devemos fazer para determinar a soma das medidas dos lados desse triângulo?
 Calcular o valor de x e adicioná-lo a 729 e 625.
 X Determinar o valor de x, a raiz quadrada de 729 e de 625 e, depois, adicionar os 
valores obtidos.
 Determinar a raiz quadrada do valor de x, de 729 e de 625 e, depois, subtrair os 
valores obtidos.
c) Quando a raiz quadrada de um número não é exata, podemos calcular sua raiz 
quadrada aproximada.
Vamos calcular o valor aproximado da raiz quadrada de 28.
Sabemos que 28 está entre 52 5 25 e 62 5 36, ou seja, a raiz quadrada de 28 está entre 5 
e 6. Vamos então calcular o quadrado de alguns números entre 5 e 6.
(5,1)2 5 26,01 (5,2)2 5 27,04 (5,3)2 5 28,09 (5,4)2 5 29,16
Observe que (5,3)2 está mais próximo de 28, então dizemos que a raiz quadrada de 28 é 
aproximadamente 5,3 ou 28 & 5,3. Calcule 104 .
 104 não é exata. Ela está entre 102 5 100 e 112 5 121. Calculando o quadrado de alguns 
números entre 10 e 11 temos:
(10,1)2 5 102,01 (10,2)2 5 104,04 (10,3)2 5 106,09
104 & 10,2
d) Complete:
• 729 5 27 , pois 27
2
 = 27 · 27 = 729 
• 625 5 25 , pois 25
2
 = 25 · 25 = 625 
e) Com os valores obtidos nos itens anteriores, calcule o perímetro do triângulo e complete.
27 1 25 1 10,2 & 62,2
A soma das medidas dos lados do triângulo é aproximadamente 62,2 cm .
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Radicais e problemas com números racionais4
Lição
Compreenda
a) Qual é a tarefa proposta na atividade?
Determinar o perímetro do triângulo.
b) Quais são as medidas fornecidas dos lados do triângulo?
As medidas dos lados do triângulo são e729 625cm cm. 
c) Os números fornecidos que expressam as medidas dos lados do triângulo estão 
representados de que forma?
Os números estão representados na forma de raiz quadrada dos números 729 e 625.
d) Que teorema conhecido fornece uma relação entre os lados do triângulo retângulo? O 
que ele diz?
Teorema de Pitágoras. O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Atividade 1
Considere o triângulo retângulo a seguir.
B
C
729 cm
A
x
625 cm
• Qual é a soma das medidas dos lados desse triângulo?
A raiz quadrada de um número natural a é o número não negativo b tal que b2 5 a. 
Indica-se: a b5
Exemplos:
• 36 65 , pois 62 5 36 • 81 95 , pois 92 5 81
Os números naturais que têm raiz quadrada exata são quadrados de outros números 
naturais e, por isso, chamam-se quadrados perfeitos. Veja alguns exemplos:
Quadrado perfeito 1 4 9 16 25
Raiz quadrada 1 2 3 4 5
Recorde
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No item a da seção Responda os alunos de-
vem aplicar o teorema de Pitágoras para en-
contrar o valor de x. 
No item c, há uma breve descrição de como 
encontrar a raiz quadrada aproximada de 
um valor. Caso os alunos apresentem dificul-
dade em verificar entre quais números está o 
resultado de uma raiz quadrada não exata, 
utilize a calculadora e peça que elevem ao 
quadrado diversos números. Utilize números 
decimais com duas ou mais casas depois da 
vírgula.
Ajude os alunos a relacionar os quadrados per-
feitos com potências, lembrando que a opera-
ção de potenciação diz respeito à multiplicação 
com fatores iguais, caso dos números quadra-
dos perfeitos. Para tanto, sugira que calculem 
algumas potências:
a) 22 5 4
b) 19,12 5 364,81
c) 3,342 5 11.1556
DIFICULDADES: O QUE FAZER?
Não entendem quadrados perfeitos.
Se os alunos apresentarem dificuldades, proponha a elaboração de um jogo da memória com 
números na forma n, n2 e n , como 6, 36, 36 . Podem ser escolhidos 10 números que sejam 
quadrados perfeitos (n2) e confeccionadas 30 cartas. Para jogar, os alunos devem organizar-se 
em duplas e, com as cartas espalhadas por uma mesa e com as faces viradas para baixo, encon-
trar os trios correspondentes. Vence o jogo o aluno que formar mais trios e, consequentemen-
te, tiver o maior número de cartas.
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Lição 4
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c) Com base nessas informações, você concorda com o modo como Pedro pensou, ao 
afirmar que a raiz quadrada de 950 está entre 30 e 40?
Espera-se que os alunos concordem com o modo como Pedro determinou a raiz
quadrada de 950, pois esse número está entre os quadrados de 30 e 40.
d) Considere outro número entre 30 e 40, por exemplo, 35. Verifique se 30 , 9 05 , 35 ou 
se 35 , 950 , 40.
30 , 509 , 35, pois 302 5 900 e 352 5 1.225.
e) Escolha outros números naturais cuja raiz quadrada seja exata. Determine entre quais 
números naturais consecutivos está a raiz quadrada de 950.
30 , 950 , 31, pois 302 5 900 e 312 5 961. A raiz quadrada de 950 está entre os 
números naturais 30 e 31.
f) Escolha alguns algarismos para a primeira casa decimal da raiz quadrada de 950. Calcule o 
quadrado desses números e compare com o número 950. Entre quais números com uma 
casa decimal está a raiz quadrada de 950?
(30,5)2 5 930,25, que é menor que 950; então 950 não está entre 30 e 30,5.
(30,7)2 5 942,49, que é menor que 950; então 950 não está entre 30,5 e 30,7.
(30,8)2 5 948,64, que é menor que 950; então 950 não está entre 30,7 e 30,8.
(30,9)2 5 954,81, que é maior que 950; então 950 está entre 30,8 e 30,9.
g) Entre quais números com uma casa decimal está a raiz quadrada de 950?
A raiz quadrada de 950 está entre os números 30,8 e 30,9.
h) Escolha alguns algarismos para a segunda casa decimal da raiz quadrada de 950. Calcule o 
quadrado desses números e compare com o número 950. Entre quais números com duas 
casas decimais está a raiz quadrada de 950?
(30,81)2 5 949,2561, que é menor que 950; então 950 pode estar entre 30,81 e 30,82.
(30,82)2 5 949,8724, que é menor que 950; então 950 pode estar entre e 30,82 e 30,83.
(30,83)2 5 950,4889, que é maior que 950; então 950 está entre 30,82 e 30,83.
i) Entre quais números com duas casas decimais está a raiz quadrada de 950? Essa raiz 
quadrada está mais próxima de qual desses números?
A raiz quadrada de 950 está entre os números 30,82 e 30,83 e está mais próxima de 30,82, 
pois 950 2 949,8724 5 0,1276 e 950,4889 2 950 5 0,4889.
Resposta possível:
Resposta possível
Respostas possíveis:
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Radicais e problemas com números racionaisLição 4
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Sei que 102 é igual a 100, 
202 é igual a 400, 302 é igual 
a 900 e 402 é igual a 1.600. 
Então, a raiz quadrada de 
950 deve ser um número 
entre 30 e 40.
Atividade 2
O professor de 
Pedro pediu a ele que 
determinasse a raiz 
quadrada aproximada 
de 950, com 2 casas 
decimais. Veja como ele pensou.
• Você concorda com o pensamento de 
Pedro? Explique sua resposta.
• Determine a raiz quadrada aproximada 
de 950, com 2 casas decimais.
D
A
N
IL
LO
 S
O
U
ZA
Compreenda
a) O que deve ser feito na atividade?
O aluno deve responder se concorda com o pensamento de Pedro, explicar sua resposta 
e determinar a raiz quadrada aproximada de 950, com 2 casas decimais.
b) Pedro calculou o quadrado de quais números?
Pedro calculou o valor do quadrado de 10, 20, 30 e 40.
c) Ele acha que a raiz quadrada de 950 está entre quais números?
Entre 30e 40.
Responda
a) Qual é a raiz quadrada dos números 100, 400, 900 e 1.600? Complete.
 100 5 10 400 5 20 900 5 30 .1 600 5 40
b) Escreva em ordem crescente os números 100, 400, 900 e 1.600 e, em seguida, ordene os 
valores correspondentes à raiz quadrada desses números.
100 , 400 , 900 , 1.600 
10 , 20 , 30 , 40 
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Orientações didáticas
Atividade 2
Assim como a atividade 1, esta atividade abor-
da o descritor D27 e seu objetivo é que os 
alunos determinem uma aproximação para a 
raiz quadrada não exata de um número natu-
ral, com base no cálculo de raízes quadradas 
exatas de um número, o que permite avaliar se 
conseguem efetuar cálculos com valores apro-
ximados de radicais.
Os alunos devem determinar a raiz quadrada 
aproximada de 950 com 2 casas decimais. Na 
seção Compreenda, devem avaliar se o modo 
de Pedro raciocinar é coerente e prosseguir na 
resolução do problema, levando em considera-
ção os argumentos de Pedro. 
Os itens a e b da seção Responda têm o objeti-
vo de fazer com que os alunos percebam que, 
se x , y , z, então x , y , z , e, com 
isso, consigam determinar que a raiz quadra-
da de 950 está entre 30 e 40.
Ao resolverem o item c da seção Responda, 
solicite que escrevam suas justificativas e com-
partilhem suas respostas com os colegas. Caso 
alguém tenha discordado da argumentação de 
Pedro, ouça o motivo e explique que o pensa-
mento de Pedro está correto, por ter feito apro-
ximações dentro de um intervalo numérico. Se 
necessário, ofereça outros números para que os 
alunos determinem os intervalos aproximados 
de suas raízes. Exemplo: 180 é um número en-
tre 13 e 14, pois 132 5 169 e 142 5 196. Assim, 
169 , 180 , 196, portanto, 13 , y , 14. 
Incentive os alunos a aplicar esse raciocínio para 
solucionar os itens d e e da seção Responda. 
Atividade Tema Descritor
2 III D27 – Efetuar cálculos simples com valores aproximados de radicais.
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c) Com base nessas informações, você concorda com o modo como Pedro pensou, ao 
afirmar que a raiz quadrada de 950 está entre 30 e 40?
Espera-se que os alunos concordem com o modo como Pedro determinou a raiz
quadrada de 950, pois esse número está entre os quadrados de 30 e 40.
d) Considere outro número entre 30 e 40, por exemplo, 35. Verifique se 30 , 9 05 , 35 ou 
se 35 , 950 , 40.
30 , 509 , 35, pois 302 5 900 e 352 5 1.225.
e) Escolha outros números naturais cuja raiz quadrada seja exata. Determine entre quais 
números naturais consecutivos está a raiz quadrada de 950.
30 , 950 , 31, pois 302 5 900 e 312 5 961. A raiz quadrada de 950 está entre os 
números naturais 30 e 31.
f) Escolha alguns algarismos para a primeira casa decimal da raiz quadrada de 950. Calcule o 
quadrado desses números e compare com o número 950. Entre quais números com uma 
casa decimal está a raiz quadrada de 950?
(30,5)2 5 930,25, que é menor que 950; então 950 não está entre 30 e 30,5.
(30,7)2 5 942,49, que é menor que 950; então 950 não está entre 30,5 e 30,7.
(30,8)2 5 948,64, que é menor que 950; então 950 não está entre 30,7 e 30,8.
(30,9)2 5 954,81, que é maior que 950; então 950 está entre 30,8 e 30,9.
g) Entre quais números com uma casa decimal está a raiz quadrada de 950?
A raiz quadrada de 950 está entre os números 30,8 e 30,9.
h) Escolha alguns algarismos para a segunda casa decimal da raiz quadrada de 950. Calcule o 
quadrado desses números e compare com o número 950. Entre quais números com duas 
casas decimais está a raiz quadrada de 950?
(30,81)2 5 949,2561, que é menor que 950; então 950 pode estar entre 30,81 e 30,82.
(30,82)2 5 949,8724, que é menor que 950; então 950 pode estar entre e 30,82 e 30,83.
(30,83)2 5 950,4889, que é maior que 950; então 950 está entre 30,82 e 30,83.
i) Entre quais números com duas casas decimais está a raiz quadrada de 950? Essa raiz 
quadrada está mais próxima de qual desses números?
A raiz quadrada de 950 está entre os números 30,82 e 30,83 e está mais próxima de 30,82, 
pois 950 2 949,8724 5 0,1276 e 950,4889 2 950 5 0,4889.
Resposta possível:
Resposta possível
Respostas possíveis:
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Radicais e problemas com números racionaisLição 4
30
Sei que 102 é igual a 100, 
202 é igual a 400, 302 é igual 
a 900 e 402 é igual a 1.600. 
Então, a raiz quadrada de 
950 deve ser um número 
entre 30 e 40.
Atividade 2
O professor de 
Pedro pediu a ele que 
determinasse a raiz 
quadrada aproximada 
de 950, com 2 casas 
decimais. Veja como ele pensou.
• Você concorda com o pensamento de 
Pedro? Explique sua resposta.
• Determine a raiz quadrada aproximada 
de 950, com 2 casas decimais.
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Compreenda
a) O que deve ser feito na atividade?
O aluno deve responder se concorda com o pensamento de Pedro, explicar sua resposta 
e determinar a raiz quadrada aproximada de 950, com 2 casas decimais.
b) Pedro calculou o quadrado de quais números?
Pedro calculou o valor do quadrado de 10, 20, 30 e 40.
c) Ele acha que a raiz quadrada de 950 está entre quais números?
Entre 30 e 40.
Responda
a) Qual é a raiz quadrada dos números 100, 400, 900 e 1.600? Complete.
 100 5 10 400 5 20 900 5 30 .1 600 5 40
b) Escreva em ordem crescente os números 100, 400, 900 e 1.600 e, em seguida, ordene os 
valores correspondentes à raiz quadrada desses números.
100 , 400 , 900 , 1.600 
10 , 20 , 30 , 40 
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No item f, explore com os alunos os algarismos 
que eles escolheram a cada etapa. Após rea-
lizarem os cálculos necessários, peça que ob-
servem os valores obtidos e verifiquem quais 
não precisariam calcular ou, então, se existe 
um número intermediário que poderiam ter 
escolhido e que diminuiria os cálculos feitos. 
Eles podem dizer que, se escolhessem 30,8, por 
exemplo, já eliminariam os cálculos com os nú-
meros maiores. De maneira geral, se escolhe-
rem sempre o número que está exatamente no 
meio dos dois inteiros (no caso, o número 30,5, 
que é ponto médio de 30 e 31), chegarão mais 
rapidamente e com menos cálculos ao número 
decimal procurado.
Os itens f e h têm o objetivo de conduzir os 
alunos no raciocínio e na argumentação neces-
sários para determinar a raiz quadrada aproxi-
mada de 950, com 2 casas decimais. Note que 
o item f pede que escolham alguns algarismos 
para a primeira casa decimal da raiz quadrada, 
calculem o quadrado desses números e compa-
rem com o número 950. Já o item h pede que 
repitam o procedimento, contudo relacionado 
dessa vez à segunda casa decimal, o que sig-
nifica que devem escolher alguns algarismos 
para a segunda casa decimal da raiz quadrada 
de 950, calcular o quadrado desses números e 
comparar com o número 950, determinando 
entre quais números com duas casas decimais 
está a raiz quadrada de 950. Solicite que en-
contrem raízes quadradas não exatas de ou-
tros números usando o mesmo procedimento. 
Explique que existem outros modos de aproxi-
mar a raiz quadrada não exata de um determi-
nado número. Um deles é utilizar a fatoração. 
No caso de 950, a fatoração resulta em 5 38; 
assim, 950 5 5 38. Outro modo é usar o se-
guinte recurso: considerando que n
n
2
*
B
1B
, 
sendo n o valor cuja raiz aproximada se deseja 
obter e B o quadrado da raiz quadrada exa-
ta mais próxima de n, 950 * 
2 900
950 900
3
1 * 
* .
60
1 850 * 30,83. Esse recurso permite verificar 
os procedimentos de aproximação usados nos 
itens f e h da seção Responda, concluindo-se 
que a raiz quadrada de 950 está entre 30,82 
e 30,83.DIFICULDADES: O QUE FAZER?
Não conseguemcalcular raiz quadrada.
Caso os alunos tenham dificuldades, apresente o cálculo de raiz quadrada envolvendo dife-
rentes números naturais e decimais e oriente-os a usar a calculadora. Quando julgar neces-
sário, mostre os cálculos usando fatoração. Seguem algumas sugestões:
a) ,6 25 
b) ,70 56 
c) ,32 49 
d) ,85 5625 
e) ,12 96 
5 2,5
5 3,6
5 8,4
5 5,7
5 9,25
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Lição 4
Orientações didáticas
Atividade 3
A atividade explora o descritor D26, que per-
tence ao Tema III – Números e Operações/Ál-
gebra e Funções. Esse descritor tem o objetivo 
de avaliar a habilidade dos alunos de resolver 
situações-problema utilizando as cinco opera-
ções com números racionais.
Os alunos devem ler e interpretar uma lista 
de compras para coletar os dados que serão 
usados na resolução da situação-problema. O 
objetivo é que realizem cálculos envolvendo 
números racionais na forma decimal e, numa 
situação de compra, nomeiem cada uma das 
operações necessárias para saber qual é o valor 
disponível para pagar a compra, o valor total 
da compra e se haverá troco, ou, ainda, se fal-
tará dinheiro.
Para complementar a atividade, proponha ou-
tras questões, como:
a) Quantos itens Lúcia compraria inicialmen-
te? 9 itens.
b) Quantos itens Lúcia pretende comprar? 17 
itens.
c) Qual é a massa total da compra que Lúcia co-
locou em seu carrinho? 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,5 1 0,5 1 0,5 1 
1 1 1 0,5 1 0,5 1 1 5 18,5 kg
Atividade Tema Descritor
3 III
D26 – Resolver problema com números racionais 
envolvendo as operações (adição, subtração, multiplicação, 
divisão, potenciação).
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d) Nessa lista, qual é o item mais caro? E o mais barato? Qual é o valor deles?
O item mais caro é o arroz, custando R$ 10,99 o pacote de 5 kg, e o mais barato é o sal, 
com o preço de R$ 1,69 o pacote de 1 kg.
Responda
a) Como saber se o dinheiro de Lúcia é suficiente para levar os itens que ela colocou no 
carrinho? Quais operações podem ser realizadas para responder à pergunta do problema?
É necessário determinar quanto ela tem de dinheiro, somando os valores das cédulas 
e das moedas, e, em seguida, saber o valor total a ser pago, somando os valores dos itens. 
Por fim, deve-se subtrair do valor em dinheiro o valor da compra. 
b) Quanto dinheiro Lúcia tem para pagar a compra? Que operação você fez para descobrir 
esse valor?
20 1 10 1 10 1 10 1 10 1 5 1 5 1 0,25 1 0,25 1 0,25 1 0,25 1 0,25 1 0,25 5 71,50
Lúcia tem R$ 71,50. Para descobrir esse valor, foi realizada a operação de adição dos 
valores correspondentes às cédulas e às moedas.
c) Qual é o valor dos itens que Lúcia pretende levar em triplo? Que operação pode ser 
realizada para descobrir o valor a ser pago por esses produtos?
6 pacotes de feijão: R$ 26,94 (6 ∙ 4,49 5 26,94 ou 4,49 1 4,49 1 4,49 1 4,49 1 4,49 1 4,49 5
5 26,94);
3 pacotes de açúcar: R$ 7,77 (3 ∙ 2,59 5 7,77 ou 2,59 1 2,59 1 2,59 5 7,77);
3 pacotes de café: R$ 20,07 (3 ∙ 6,69 5 13,38 ou 6,69 1 6,69 1 6,69 5 20,07).
Para descobrir o valor a ser pago, os alunos podem realizar as operações de multiplicação 
ou de adição.
d) Qual é o valor total da compra de Lúcia?
10,99 1 26,941 7,771 20,07 1 3,49 1 3,48 1 2,09 1 1,69 5 76,52
O valor total da compra de Lúcia é de reais.
e) O dinheiro que ela tem é suficiente para pagar a compra? Se for, quanto sobrará?
Não, pois 76,52 . 71,50. 76,52 2 71,50 5 25,02
Faltarão R$ 5,02 para Lúcia poder pagar a compra.
76,52
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Radicais e problemas com números racionaisLição 4
32
Atividade 3
Lúcia foi ao supermercado com a lista de compras abaixo. Como queria saber o 
valor total da compra antes de passar no caixa, foi anotando o valor de cada item.
Depois de registrar os valores, Lúcia viu que o açúcar, o feijão e o café 
estavam em oferta e resolveu colocar em seu carrinho de compras o triplo do 
que havia planejado em relação a esses itens.
Ela tem na carteira uma cédula de R$ 20,00, quatro cédulas de R$ 10,00, duas 
cédulas de R$ 5,00 e seis moedas de R$ 0,25.
• O dinheiro que Lúcia tem é suficiente para essa compra?
• Sobrará ou faltará dinheiro? Quanto?
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Compreenda
a) O que é perguntado na atividade?
Se o dinheiro de Lúcia é suficiente para efetuar a compra e se sobrará ou faltará dinheiro.
b) Quais são as informações contidas na lista de Lúcia?
As informações da lista de Lúcia são os produtos que ela pretende comprar, a quantidade 
de cada produto e o preço.
c) Quais são os itens que Lúcia resolveu levar a mais? Quanto de cada produto?
Lúcia resolveu levar a mais 3 pacotes de açúcar, 6 pacotes de feijão e 3 pacotes de café.
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33
O item b da seção Responda tem como objeti-
vo que os alunos analisem a situação de com-
pra em relação ao valor que pode ser gasto e 
o valor da compra. Solicite que escrevam suas 
respostas e que diferentes soluções sejam com-
partilhadas. Uma possibilidade é: ao subtrair do 
valor em dinheiro o valor da compra, verificar 
se o valor obtido é negativo; nesse caso, o di-
nheiro é insuficiente; se o valor for positivo ou 
igual a zero, o dinheiro de Lúcia é suficiente.
Aproveite o item e da seção Responda para 
pedir aos alunos que ofereçam sugestões so-
bre o que Lúcia poderia fazer caso falte di-
nheiro para pagar a compra. Espera-se que 
analisem a situação. Uma resposta possível 
seria que ela retirasse alguns itens da compra, 
como 2 pacotes de feijão, reduzindo sua com-
pra em R$ 8,98. Assim, 76,52 2 8,98 5 67,54 e 
71,5 2 67,54 5 3,96. Com essa sugestão, o 
dinheiro que Lúcia tem seria suficiente e ela 
ainda receberia R$ 3,96 de troco.
Para ampliar a situação de aprendizagem, 
peça aos alunos que tragam folhetos com ofer-
tas de diferentes supermercados. Solicite que 
analisem, em grupos, se há produtos que este-
jam em oferta em mais de um supermercado. 
Caso haja, peça que verifiquem a melhor for-
ma de realizar as compras, visando economizar 
o máximo possível. Espera-se que compreen-
dam que, por vezes, em contextos cotidianos, 
pode compensar fazer compras em mais de um 
estabelecimento.
Ofereça um valor diferente para cada grupo 
realizar suas compras, em quantidades de cé-
dulas e moedas. Em seguida, solicite que criem 
uma lista de compras com base nos folhetos 
de supermercado. Oriente-os a indicar a quan-
tidade de cada item e a massa também. Em 
seguida, faça perguntas como: “Quantos itens 
serão comprados? Qual é a massa total da com-
pra? Qual é o valor disponível? Haverá troco 
ou faltará dinheiro para realizar o pagamen-
to? Quanto?”. Essa situação possibilita que os 
alunos tenham uma experiência de simulação 
de compra, sendo os responsáveis pelas análi-
ses utilizando cálculos com números decimais.
DIFICULDADES: O QUE FAZER?
Não conseguem efetuar cálculos com troco.
Caso os alunos apresentem dificuldades, sugira atividades por meio das quais possam si-
mular situações de compras. Solicite que tragam para a sala de aula diversos folhetos de 
supermercados. Em seguida, reunidos em grupos, peça que recortem os produtos dos folhe-
tos com seus respectivos preços, colocando os recortes dentro de um saco e misturando-os. 
A cada rodada, ofereça fichas com valores máximos de compras para cada grupo, decida a 
quantidade de itens que a compra de cada grupo poderá ter e solicite que os alunos sor-
teiem essa quantidade. Por fim, eles devem calcular o valor da compra, comparar com o 
valor que eles têm e determinar se haverá troco e de quanto. Eles podem alterar as regras 
da atividade, criandooutras situações para que cada grupo resolva, sempre analisando as 
soluções apresentadas.
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d) Nessa lista, qual é o item mais caro? E o mais barato? Qual é o valor deles?
O item mais caro é o arroz, custando R$ 10,99 o pacote de 5 kg, e o mais barato é o sal, 
com o preço de R$ 1,69 o pacote de 1 kg.
Responda
a) Como saber se o dinheiro de Lúcia é suficiente para levar os itens que ela colocou no 
carrinho? Quais operações podem ser realizadas para responder à pergunta do problema?
É necessário determinar quanto ela tem de dinheiro, somando os valores das cédulas 
e das moedas, e, em seguida, saber o valor total a ser pago, somando os valores dos itens. 
Por fim, deve-se subtrair do valor em dinheiro o valor da compra. 
b) Quanto dinheiro Lúcia tem para pagar a compra? Que operação você fez para descobrir 
esse valor?
20 1 10 1 10 1 10 1 10 1 5 1 5 1 0,25 1 0,25 1 0,25 1 0,25 1 0,25 1 0,25 5 71,50
Lúcia tem R$ 71,50. Para descobrir esse valor, foi realizada a operação de adição dos 
valores correspondentes às cédulas e às moedas.
c) Qual é o valor dos itens que Lúcia pretende levar em triplo? Que operação pode ser 
realizada para descobrir o valor a ser pago por esses produtos?
6 pacotes de feijão: R$ 26,94 (6 ∙ 4,49 5 26,94 ou 4,49 1 4,49 1 4,49 1 4,49 1 4,49 1 4,49 5
5 26,94);
3 pacotes de açúcar: R$ 7,77 (3 ∙ 2,59 5 7,77 ou 2,59 1 2,59 1 2,59 5 7,77);
3 pacotes de café: R$ 20,07 (3 ∙ 6,69 5 13,38 ou 6,69 1 6,69 1 6,69 5 20,07).
Para descobrir o valor a ser pago, os alunos podem realizar as operações de multiplicação 
ou de adição.
d) Qual é o valor total da compra de Lúcia?
10,99 1 26,941 7,771 20,07 1 3,49 1 3,48 1 2,09 1 1,69 5 76,52
O valor total da compra de Lúcia é de reais.
e) O dinheiro que ela tem é suficiente para pagar a compra? Se for, quanto sobrará?
Não, pois 76,52 . 71,50. 76,52 2 71,50 5 25,02
Faltarão R$ 5,02 para Lúcia poder pagar a compra.
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Radicais e problemas com números racionaisLição 4
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Atividade 3
Lúcia foi ao supermercado com a lista de compras abaixo. Como queria saber o 
valor total da compra antes de passar no caixa, foi anotando o valor de cada item.
Depois de registrar os valores, Lúcia viu que o açúcar, o feijão e o café 
estavam em oferta e resolveu colocar em seu carrinho de compras o triplo do 
que havia planejado em relação a esses itens.
Ela tem na carteira uma cédula de R$ 20,00, quatro cédulas de R$ 10,00, duas 
cédulas de R$ 5,00 e seis moedas de R$ 0,25.
• O dinheiro que Lúcia tem é suficiente para essa compra?
• Sobrará ou faltará dinheiro? Quanto?
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Compreenda
a) O que é perguntado na atividade?
Se o dinheiro de Lúcia é suficiente para efetuar a compra e se sobrará ou faltará dinheiro.
b) Quais são as informações contidas na lista de Lúcia?
As informações da lista de Lúcia são os produtos que ela pretende comprar, a quantidade 
de cada produto e o preço.
c) Quais são os itens que Lúcia resolveu levar a mais? Quanto de cada produto?
Lúcia resolveu levar a mais 3 pacotes de açúcar, 6 pacotes de feijão e 3 pacotes de café.
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Lição 4
Orientações didáticas
Atividade 4 
A atividade explora o descritor D26, que per-
mite avaliar a habilidade dos alunos de resol-
ver problemas com números racionais envol-
vendo operações.
Os alunos devem resolver uma situação-pro-
blema usando operações com números racio-
nais na forma de fração. Para tanto, devem 
retomar os conhecimentos relacionados a 
adição, subtração e multiplicação de frações, 
distinguindo os momentos em que é necessá-
rio determinar frações equivalentes e que pos-
suam o mesmo denominador para resolver as 
operações.
Para resolver a atividade, é essencial que os 
alunos percebam que 1.200 corresponde à 
quantidade total de alunos da escola e que os 
alunos do 9o ano correspondem a uma parcela 
dessa quantidade, no caso, a 5
1 de 1.200.
Atividade Tema Descritor
4 III
D26 – Resolver problema com números racionais 
envolvendo as operações (adição, subtração, multiplicação, 
divisão, potenciação).
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Responda
a) Que operação deve ser realizada para determinar a quantidade de alunos do 9o ano? 
Registre os cálculos necessários.
Basta calcular 5
1 de 1.200.
5
1 3 1.200 5 240
Nessa escola, alunos estudam no 9o ano.
b) Para determinar a quantidade de alunos do 9o ano que participam das aulas de esporte, 
podemos realizar qual operação?
 4
1 3 1.200
 4
1 4 1.200
X 4
1 3 240
 14 4 240
• Efetue a operação escolhida e complete a frase.
4
1
 3 240 5 60
Dos alunos do 9o ano, participam das aulas de esporte.
c) Para responder à terceira pergunta da atividade, devemos determinar a quantidade de 
alunos do 9o ano que participam das aulas de música.
Determine essa quantidade.
3
1 3 240 5 80
Participam da aula de música 80 alunos.
d) A quantidade de alunos determinada no item anterior corresponde a que fração do 
total de alunos da escola? Faça os cálculos e complete a frase para responder à terceira 
pergunta.
.1 200
80
15
15
Os alunos do 9o ano que participam das aulas de música correspondem a do 
total de alunos da escola. 
240
60
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Radicais e problemas com números racionaisLição 4
34
Atividade 4
Uma escola tem 1.200 alunos e 5
1 deles está matriculado no 9o ano. A diretora 
fez um levantamento para saber de qual atividade extracurricular os alunos do 
9o ano estão participando e verificou que 
3
1 participa das aulas de música, 4
1 
das aulas de dança, 4
1 das aulas de esportes, e 
6
1 das aulas de pintura.
• Quantos alunos dessa escola estão matriculados no 9o ano?
• Quantos alunos do 9o ano escolheram as aulas de esportes?
• Que fração do total de alunos da escola corresponde aos alunos que estudam no 
9o ano e participam das aulas de dança?
Compreenda
a) O que se deseja saber em relação aos alunos do 9o ano dessa escola?
Quantos alunos estão no 9o ano, quantos alunos do 9o ano participam das aulas 
de esporte e que fração do total de alunos do 9o ano participa das aulas de dança.
b) Qual é a quantidade de alunos dessa escola?
1.200 alunos.
c) Quais frações foram apresentadas no enunciado?
5
1, 13 , 4
1 e 6
1.
d) A que se refere cada uma das frações apresentadas?
A fração 5
1 se refere aos alunos matriculados no 9o ano; 3
1 se refere aos alunos do 
9o ano participantes das aulas de música; 4
1 se refere aos alunos do 9o ano participantes das 
aulas de dança; 4
1 se refere aos alunos do 9o ano participantes das aulas de esportes; 
e 6
1 se refere aos alunos do 9o ano participantes das aulas de pintura.
 
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https://escolakids.uol.com.br/fracoes-equivalentes.htm
35
As questões propostas na seção Responda têm 
o objetivo de fazer com que os alunos perce-
bam quais operações podem ser realizadas 
para responder a cada uma das perguntas da 
atividade.
Com relação ao item a da seção Responda, 
caso os alunos apresentem dificuldades, reto-
me com eles como calcular a fração de uma 
quantidade e ofereça outras situações que en-
volvam esse tipo de cálculo. O objetivo desse 
item é que os alunos resolvamuma situação 
determinando a fração de um número natu-
ral, com base na relação entre a parte que se 
deseja considerar e o total. Exemplo: “Em um 
congresso, 3
1 dos 150 participantes era de ou-
tras cidades. Quantas pessoas eram da cidade 
onde foi realizado o evento?”.
3
1 de 150 5 50 e 150 2 50 5 100. 
Com relação aos itens c e d da seção Responda, 
faça perguntas semelhantes, mas referentes à 
quantidade de alunos que participam das aulas 
de pintura. Peça que determinem a quantida-
de de participantes dessas aulas.
6
1 3 240 5 40 alunos.
Pergunte: “A quantidade de alunos que par-
ticipam das atividades de pintura corresponde 
a que fração do total de alunos da escola?“.
.1 200
40 5 
30
1 do total de alunos na escola.
DIFICULDADES: O QUE FAZER?
Não conseguem resolver problemas com frações.
Proponha aos alunos que resolvam diferentes situações-problema envolvendo números na 
forma de fração. Veja algumas sugestões:
1. Em um zoológico há 680 animais, dos quais 120 são aves e, do restante, 5
2 são mamíferos, 
7
3 são répteis e todos os outros são anfíbios.
 a) Quantos animais desse zoológico são mamíferos? 224 animais.
 b) Que fração, do total de animais, corresponde às aves? 17
3
2. Larissa comprou um quebra-cabeça com 600 peças. Em um dia montou 8
5 das peças e, no 
outro dia, montou 10
3 . Quanto falta para que ela complete o quebra-cabeça? 45 peças.
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Responda
a) Que operação deve ser realizada para determinar a quantidade de alunos do 9o ano? 
Registre os cálculos necessários.
Basta calcular 5
1 de 1.200.
5
1 3 1.200 5 240
Nessa escola, alunos estudam no 9o ano.
b) Para determinar a quantidade de alunos do 9o ano que participam das aulas de esporte, 
podemos realizar qual operação?
 4
1 3 1.200
 4
1 4 1.200
X 4
1 3 240
 14 4 240
• Efetue a operação escolhida e complete a frase.
4
1
 3 240 5 60
Dos alunos do 9o ano, participam das aulas de esporte.
c) Para responder à terceira pergunta da atividade, devemos determinar a quantidade de 
alunos do 9o ano que participam das aulas de música.
Determine essa quantidade.
3
1 3 240 5 80
Participam da aula de música 80 alunos.
d) A quantidade de alunos determinada no item anterior corresponde a que fração do 
total de alunos da escola? Faça os cálculos e complete a frase para responder à terceira 
pergunta.
.1 200
80
15
15
Os alunos do 9o ano que participam das aulas de música correspondem a do 
total de alunos da escola. 
240
60
15
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Radicais e problemas com números racionaisLição 4
34
Atividade 4
Uma escola tem 1.200 alunos e 5
1 deles está matriculado no 9o ano. A diretora 
fez um levantamento para saber de qual atividade extracurricular os alunos do 
9o ano estão participando e verificou que 
3
1 participa das aulas de música, 4
1 
das aulas de dança, 4
1 das aulas de esportes, e 
6
1 das aulas de pintura.
• Quantos alunos dessa escola estão matriculados no 9o ano?
• Quantos alunos do 9o ano escolheram as aulas de esportes?
• Que fração do total de alunos da escola corresponde aos alunos que estudam no 
9o ano e participam das aulas de dança?
Compreenda
a) O que se deseja saber em relação aos alunos do 9o ano dessa escola?
Quantos alunos estão no 9o ano, quantos alunos do 9o ano participam das aulas 
de esporte e que fração do total de alunos do 9o ano participa das aulas de dança.
b) Qual é a quantidade de alunos dessa escola?
1.200 alunos.
c) Quais frações foram apresentadas no enunciado?
5
1, 13 , 4
1 e 6
1.
d) A que se refere cada uma das frações apresentadas?
A fração 5
1 se refere aos alunos matriculados no 9o ano; 3
1 se refere aos alunos do 
9o ano participantes das aulas de música; 4
1 se refere aos alunos do 9o ano participantes das 
aulas de dança; 4
1 se refere aos alunos do 9o ano participantes das aulas de esportes; 
e 6
1 se refere aos alunos do 9o ano participantes das aulas de pintura.
 
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Simulado 1
36
Simulado 1
Questão 1
D15 – Resolver problema utilizando relações 
entre diferentes unidades de medida.
(A) Incorreta. O aluno não lê corretamente o 
enunciado e subtrai os 20 cm das dimensões do 
quadro.
(B) Incorreta. O aluno não converte as unida-
des e calcula a altura como 0,20 m 1 90 cm e o 
comprimento como 0,20 m 1 150 cm.
(C) Correta. O aluno calcula corretamente a al-
tura do quadro emoldurado (0,20 m 1 90 cm 5 
5 1,10 m) e o seu comprimento (0,20 m 1 
1 150 cm 5 1,70 m).
(D) Incorreta. O aluno calcula corretamente a 
altura (20 cm 1 90 cm 5 110 cm 5 1,10 m), mas 
erra a conversão de unidades no comprimento, 
confundindo 20 cm com 0,22 m e respondendo 
1,72 m.
Questão 2
D15 – Resolver problema utilizando relações 
entre diferentes unidades de medida.
(A) Incorreta. O aluno calcula apenas a capaci-
dade total dos 20 frascos de vacina.
(B) Incorreta. O aluno divide 250 por 0,750 e ob-
tém 33,3, errando o posicionamento da vírgula.
(C) Incorreta. O aluno se equivoca ao calcu-
lar 750 3 20, obtendo 150.000 cm3. Em segui-
da, transforma o resultado em 150 L e subtrai 
250 2 150 5 100 L.
(D) Correta. O aluno efetua corretamente 
750 3 20 5 15.000 cm3. Em seguida, conver-
te a medida para 15 L e calcula 250 2 15 5 
5 235 L.
Lições 1 a 41
Simulado
36
1 Um quadro retangular de 90 cm de altura por 1,5 m de comprimento 
deverá ser emoldurado. As medidas internas da moldura são exatamente 
iguais às do quadro, mas, na parte externa e de forma simétrica, a altura e 
o comprimento da moldura terão 20 cm a mais que as medidas do quadro.
 A altura e o comprimento externos da moldura medem, respectivamente,
( A ) 0,70 m e 1,30 m.
( B ) 0,92 m e 1,52 m.
( C ) 1,10 m e 1,70 m.
( D ) 1,10 m e 1,72 m.
2 A capacidade total de uma geladeira em um posto de saúde é de 
250 L. Dentro dessa geladeira, inicialmente vazia, foram colocadas 
20 embalagens de frascos de vacinas com 750 cm3 cada uma.
 A capacidade não ocupada no interior da geladeira é de
( A ) 15 L.
( B ) 33,3 L.
( C ) 100 L.
( D ) 235 L.
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3 Augusto convidou amigos para uma feijoada no sábado. Ele reservou 
R$ 100,00 para comprar os ingredientes para a feijoada e os refrigerantes. 
 As carnes custaram R$ 48,00, o feijão e os temperos custaram R$ 14,00 e 
a couve, a pimenta e o arroz, juntos, custaram R$ 10,00.
 Se cada refrigerante custa R$ 7,00, o número máximo de refrigerantes que 
ele poderá comprar é
( A ) 2.
( B ) 3.
( C ) 4.
( D ) 5.
4 Uma equipe de fotógrafos profissionais registrou um casamento utili-
zando 3 câmeras fotográficas com capacidade para 540 fotos em cada 
uma. Ao final do casamento, ainda restava na primeira câmera espaço 
para 36 fotos, na segunda, espaço para 40 fotos e, na terceira, espaço 
para 18 fotos.
 Quantas fotos foram tiradas por essa equipe durante o casamento?
( A ) 1.536
( B ) 1.526
( C ) 1.426
( D ) 446
5 Três amigos resolveram inventar uma regra para uma partida de basquete: 
cada arremesso convertido vale 3 pontos, e cada arremesso perdido acarreta 
perda de 2 pontos.
 Cada um dos amigos fez 10 arremessos. Carlos acertou 4 arremessos, Jonas 
acertou 3 e Felipe acertou 7.
 A diferença entre o total de pontos de Felipe e o total de pontos de Jonas 
é igual a
( A ) 220.
( B ) 4.
( C ) 10.
( D ) 20.
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37
Questão 3
D19 – Resolver problema comnúmeros natu-
rais, envolvendo diferentes significados das 
operações (adição, subtração, multiplicação, 
divisão, potenciação).
(A) Incorreta. O aluno erra a adição 48 1 14 1 
1 10, obtendo 82, calcula 100 2 82 5 18 e, por 
fim, obtém 18 4 7 5 2,6.
(B) Incorreta. O aluno efetua a adição 48 1 
1 14 1 10 5 72 e se equivoca ao calcular 
100 2 72, obtendo 22. Por fim, faz a divisão 
22 4 7 5 3,1.
(C) Correta. O aluno efetua a adição 48 1 14 1 
1 10 5 72, a subtração 100 2 72 5 28 e divide 
22 4 7 5 4, indicando corretamente a alternativa.
(D) Incorreta. O aluno efetua a adição 48 1 
1 14 1 10 5 72 e depois erra ao subtrair 72 
de 100, obtendo 38. Por fim, faz a divisão 
38 4 7 5 5,4.
Questão 4
D19 – Resolver problema com números natu-
rais, envolvendo diferentes significados das 
operações (adição, subtração, multiplicação, 
divisão, potenciação).
(A) Incorreta. O aluno efetua 540 3 3 5 1.620, 
erra a adição 36 1 40 1 18, obtendo 104, e faz 
a subtração 1.620 2 104 5 1.536.
(B) Correta. O aluno efetua 540 3 3 5 1.620, 
faz a adição 36 1 40 1 18 5 94 e subtrai o 
resultado da capacidade total das câmeras 
(1.620 2 94 5 1.526).
(C) Incorreta. O aluno erra a multiplicação 
540 3 2, obtendo 1.520. Em seguida, calcula 36 1 
1 40 1 18 5 94 e faz a subtração 1.620 2 94 5 
5 1.426.
(D) Incorreta. O aluno efetua 540 2 94 5 446, 
ignorando que há 3 câmeras.
Questão 5
D20 – Resolver problema com números in-
teiros envolvendo as operações (adição, sub-
tração, multiplicação, divisão, potenciação).
(A) Incorreta. O aluno acertou o cálculo dos 
pontos de Felipe nos arremessos corretos 
(7 3 3 5 21) e nos arremessos errados (3 3 (22) 5 
5 26), totalizando 15, e dos pontos de Jonas 
nos arremessos corretos (3 3 3 5 9) e nos arre-
messos errados (7 3 (22) 5 214), totalizando 
25. No entanto, inverteu o cálculo, subtraindo 
dos pontos de Jonas os de Felipe: 25 215 5 
5 220. 
(B) Incorreta. O aluno, ao obter os pontos 
de Felipe, acertou o cálculo dos arremessos 
corretos (7 3 3 5 21) e dos pontos absolutos 
oriundos dos arremessos errados (3 3 2 5 6), 
mas esqueceu que deveria subtrair, e não adi-
cionar, os pontos perdidos, fazendo 21 1 6 5 
5 27. Em seguida, fez o mesmo procedimen-
to para obter os pontos de Jonas em relação 
aos arremessos corretos (3 3 3 5 9) e errados 
(7 3 2 5 14), totalizando, equivocadamente, 
9 1 14 5 23. Por fim, concluiu que 27 2 23 5 4.
(C) Incorreta. O aluno acertou o cálculo dos 
pontos de Felipe nos arremessos corretos 
(7 3 3 5 21) e nos arremessos errados (3 3 (22) 5 
5 26), obtendo 15. Efetuou então o cálculo 
dos pontos de Jonas nos arremessos corretos 
(3 3 3 5 9) e nos arremessos errados (7 3 (22) 5 
5 214), totalizando, com erro, 5. Por fim, con-
cluiu que 15 2 5 510.
(D) Correta. O aluno acertou o cálculo dos pon-
tos de Felipe nos arremessos corretos (7 3 3 5 
5 21) e nos arremessos errados (3 3 (22) 5 26), 
totalizando 15, e dos pontos de Jonas nos ar-
remessos corretos (3 3 3 5 9) e nos arremessos 
errados (7 3 (22) 5 214), obtendo 25. Por fim, 
calculou corretamente 15 2 (2 5) 5 20. 
Lições 1 a 41
Simulado
36
1 Um quadro retangular de 90 cm de altura por 1,5 m de comprimento 
deverá ser emoldurado. As medidas internas da moldura são exatamente 
iguais às do quadro, mas, na parte externa e de forma simétrica, a altura e 
o comprimento da moldura terão 20 cm a mais que as medidas do quadro.
 A altura e o comprimento externos da moldura medem, respectivamente,
( A ) 0,70 m e 1,30 m.
( B ) 0,92 m e 1,52 m.
( C ) 1,10 m e 1,70 m.
( D ) 1,10 m e 1,72 m.
2 A capacidade total de uma geladeira em um posto de saúde é de 
250 L. Dentro dessa geladeira, inicialmente vazia, foram colocadas 
20 embalagens de frascos de vacinas com 750 cm3 cada uma.
 A capacidade não ocupada no interior da geladeira é de
( A ) 15 L.
( B ) 33,3 L.
( C ) 100 L.
( D ) 235 L.
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3 Augusto convidou amigos para uma feijoada no sábado. Ele reservou 
R$ 100,00 para comprar os ingredientes para a feijoada e os refrigerantes. 
 As carnes custaram R$ 48,00, o feijão e os temperos custaram R$ 14,00 e 
a couve, a pimenta e o arroz, juntos, custaram R$ 10,00.
 Se cada refrigerante custa R$ 7,00, o número máximo de refrigerantes que 
ele poderá comprar é
( A ) 2.
( B ) 3.
( C ) 4.
( D ) 5.
4 Uma equipe de fotógrafos profissionais registrou um casamento utili-
zando 3 câmeras fotográficas com capacidade para 540 fotos em cada 
uma. Ao final do casamento, ainda restava na primeira câmera espaço 
para 36 fotos, na segunda, espaço para 40 fotos e, na terceira, espaço 
para 18 fotos.
 Quantas fotos foram tiradas por essa equipe durante o casamento?
( A ) 1.536
( B ) 1.526
( C ) 1.426
( D ) 446
5 Três amigos resolveram inventar uma regra para uma partida de basquete: 
cada arremesso convertido vale 3 pontos, e cada arremesso perdido acarreta 
perda de 2 pontos.
 Cada um dos amigos fez 10 arremessos. Carlos acertou 4 arremessos, Jonas 
acertou 3 e Felipe acertou 7.
 A diferença entre o total de pontos de Felipe e o total de pontos de Jonas 
é igual a
( A ) 220.
( B ) 4.
( C ) 10.
( D ) 20.
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38
Simulado 1
Questão 6
D20 – Resolver problema com números intei-
ros envolvendo as operações (adição, subtra-
ção, multiplicação, divisão, potenciação).
(A) Incorreta. O aluno errou o raciocínio de-
dutivo para resolver a questão, uma vez que 
fez apenas o cálculo da pontuação oriunda das 
questões certas. Ele calculou os pontos ganhos 
por Emídio (8 3 2 5 16) e os pontos ganhos por 
Eugênio (6 3 2 5 12), então fez a subtração 
16 2 12 5 4.
(B) Incorreta. O aluno calculou corretamente 
a pontuação de Emídio, fazendo 8 3 2 5 16 e 
2 3 (22) 5 24, totalizando 12 pontos. Em segui-
da, calculou equivocadamente os pontos de Eu-
gênio, fazendo 6 3 2 5 1 e 4 3 (22), e obtendo 26, 
num total de 6 pontos. Por fim, fez 12 2 6 5 6.
(C) Correta. O aluno calculou corretamente 
a pontuação de Emídio, fazendo 8 3 2 5 16 e 
2 3 (22) 5 24, totalizando 12 pontos. Em se-
guida, fez o cálculo dos pontos de Eugênio, 
6 3 2 5 12 e 4 3 (22) 5 28, num total de 4 pon-
tos. Por fim, fez 12 2 4 5 8.
(D) Incorreta. O aluno calculou corretamente 
a pontuação de Emídio, fazendo 8 3 2 5 16 e 
2 3 (22) 5 24, totalizando 12 pontos. Em segui-
da, fez o cálculo dos pontos de Eugênio, 6 3 2 5 
5 12 e 4 3 (22) 5 28, totalizando 4 pontos. Por 
fim, efetuou equivocadamente 12 1 4 5 16.
Questão 7
D21 – Reconhecer as diferentes representa-
ções de um número racional.
(A) Incorreta. O aluno confunde 4
3 com 4
1 e 
responde 25%.
(B) Correta. 4
3 5 0,75 5 100
75 ou 75%.
(C) Incorreta. O aluno divide 4 por 3, obtendo 
1,333...
(D) Incorreta. O aluno usa o numerador e o deno-
minador da fração para criar, equivocadamente, o 
número decimal 3,4.
38
Lições 1 a 4Simulado 1
6 Em um jogo de perguntas e respostas, Emídio e Eugênio estipularam que 
cada resposta certa vale 2 pontos e cada resposta errada vale –2 pontos. 
Ao final de 10 perguntas para cada um, Emídio havia acertado 8 respos-
tas, e Eugênio, 6.
 Quantos pontos Emídio fez a mais que Eugênio?
( A ) 4
( B ) 6
( C ) 8
( D ) 16
7 A identidade matemática apresentada no quadro abaixo representa a re-
solução de uma expressão matemática, realizada por um aluno em uma 
avaliação, que teve como resultado a razão de 3 para 4.
( )
( )
13 3
5
16
12
4
37
1
1
5 5
 Outra forma correta de representar o número racional 4
3 é
( A ) 25%.
( B ) 0,75.
( C ) 1,333...
( D ) 3,4.
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8 Um morador teve uma perda de 30% da água da caixa de sua residência, 
devido a um vazamento.
 Outra forma de representação equivalente da porcentagem de 30% é 
( A) 3
1 .
( B ) 0,3.
( C ) 0,3333...
( D ) 3,10.
9 Cleide está com 84 kg e deseja emagrecer para ficar com 76 kg. 
 A razão entre a massa que ela precisa perder e sua massa atual é igual a
( A ) 21
2 .
( B ) 19
2 .
( C ) 21
3 .
( D ) 21
19 .
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39
Questão 8
D21 – Reconhecer as diferentes representa-
ções de um número racional. 
(A) Incorreta. O aluno confunde 3
1 com 310 .
(B) Correta. O aluno efetua corretamen-
te a equivalência: 30% equivale à fração 
,10
3
0
0
10
3 0 35 5 .
(C) Incorreta. O aluno confunde 3
1 com 310 e 
aceita a representação na forma de dízima sim-
ples: 3
1 5 0,333...
(D) Incorreta. O aluno transforma, equivocada-
mente, 310 em 3,10.
Questão 9
D22 – Identificar fração como representa-
ção que pode estar associada a diferentes 
significados.
(A) Correta. O aluno efetua corretamente 
84 2 76 5 8 e, em seguida, 84
8
21
25 .
(B) Incorreta. O aluno efetua 84 2 76 5 8 e, em 
seguida, faz 76
8 5 19
2 .
(C) Incorreta. O aluno erra a subtração 84 2 76, 
obtendo 12, e, em seguida, 84
12
21
35 .
(D) Incorreta. O aluno faz a divisão entre os da-
dos apresentados: 84
76 5 21
19 .
38
Lições 1 a 4Simulado 1
6 Em um jogo de perguntas e respostas, Emídio e Eugênio estipularam que 
cada resposta certa vale 2 pontos e cada resposta errada vale –2 pontos. 
Ao final de 10 perguntas para cada um, Emídio havia acertado 8 respos-
tas, e Eugênio, 6.
 Quantos pontos Emídio fez a mais que Eugênio?
( A ) 4
( B ) 6
( C ) 8
( D ) 16
7 A identidade matemática apresentada no quadro abaixo representa a re-
solução de uma expressão matemática, realizada por um aluno em uma 
avaliação, que teve como resultado a razão de 3 para 4.
( )
( )
13 3
5
16
12
4
37
1
1
5 5
 Outra forma correta de representar o número racional 4
3 é
( A ) 25%.
( B ) 0,75.
( C ) 1,333...
( D ) 3,4.
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8 Um morador teve uma perda de 30% da água da caixa de sua residência, 
devido a um vazamento.
 Outra forma de representação equivalente da porcentagem de 30% é 
( A ) 3
1 .
( B ) 0,3.
( C ) 0,3333...
( D ) 3,10.
9 Cleide está com 84 kg e deseja emagrecer para ficar com 76 kg. 
 A razão entre a massa que ela precisa perder e sua massa atual é igual a
( A ) 21
2 .
( B ) 19
2 .
( C ) 21
3 .
( D ) 21
19 .
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40
Simulado 1
Questão 10
D22 – Identificar fração como representação 
que pode estar associada a diferentes signifi-
cados.
(A) Incorreta. O aluno faz a razão entre os dias 
e o número total de páginas: 175
25 5 7
1.
(B) Correta. O aluno efetua 10 3 5 5 50. Por fim, 
obtém 5175
50
7
2 . 
(C) Incorreta. O aluno calcula o número de pá-
ginas lidas em 25 dias (5 3 25 5 125), erra ao 
subtrair o resultado de 175, obtendo 75, e, por 
fim, 175
75 5 7
3 .
(D) Incorreta. O aluno faz a razão entre o que 
foi lido em 25 dias e o total: 175
125 5 7
5 .
Questão 11
D23 – Identificar frações equivalentes.
(A) Incorreta. O aluno calcula erroneamente 
1 45
30
45
52 5 e indica 9
1.
(B) Correta. O aluno efetua o cálculo 45
30
3
25 
e, em seguida, faz 1 3
2
3
12 5 .
(C) Incorreta. O aluno calcula a razão entre a 
diferença do que foi abastecido com o que ain-
da pode ser abastecido: 30
45 30
30
15
2
12 5 5 .
(D) Incorreta. O aluno calcula apenas a fração 
do que foi abastecido: 45
30
3
25 . 
40
Lições 1 a 4Simulado 1
10 Os alunos do 3o ano precisavam ler um livro de 175 páginas em 25 dias. 
Eduardo leu 5 páginas por dia. No 26o dia, leu todas as páginas restantes 
para concluir a leitura.
 A fração que representa o número de páginas que Eduardo leu nos 10 
primeiros dias em relação ao total de páginas lidas é igual a 
( A ) 7
1 .
( B ) 7
2 .
( C ) 7
3 .
( D ) 57 .
11 A capacidade total do tanque de combustível de um carro é de 45 L. O 
tanque estava inicialmente vazio e foi abastecido com 30 L de combustível. 
 A fração que representa a quantidade de litros que ainda podem ser colo-
cados nesse tanque, em relação à capacidade total, é
( A ) 19 .
( B ) 3
1 .
( C ) 2
1 .
( D ) 3
2 .
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12 Janaína está se divertindo com um videogame. No jogo, ela perdeu 2 vidas 
e ainda lhe restam 10 vidas.
 A fração equivalente, na forma irredutível, que representa a razão entre o 
número de vidas perdidas e o total de vidas é
( A ) 1
5 .
( B ) 3
1 .
( C ) 5
1 .
( D ) 6
1 .
13 Letícia recebeu uma encomenda de 3 kg de queijo fresco. Com 4
3 de 1 L 
de leite, ela consegue fazer 0,20 kg de queijo. 
 O total de litros de leite de que ela precisa para preparar essa encomenda é
( A ) 10 4
3 L.
( B ) 11 14 L.
( C ) 11 12 L.
( D ) 11 4
3 L.
14 Em uma pista de atletismo, foi disputada uma corrida de 3 km.
 No instante em que o 1o colocado cruza a linha de chegada, o 2o coloca-
do ainda precisa percorrer 6
1 do total da prova, e para o 3o colocado falta 
percorrer 15 do total da prova.
 Quando o 1o colocado terminou a prova, a distância, em metros, entre o 
2o e o 3o colocado era de
( A ) 10 m.
( B ) 50 m.
( C ) 100 m.
( D ) 160 m.
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41
Questão 12
D23 – Identificar frações equivalentes.
(A) Incorreta. O aluno erra na interpretação: 
2
10 55 .
(B) Incorreta. O aluno simplifica de maneira 
equivocada a fração equivalente a 12
2 .
(C) Incorreta. O aluno erra na interpretação e cal-
cula 10
2
5
15 .
(D) Correta. O aluno faz a simplificação correta.
10 1 2 5 12 e 12
2
6
15 .
Questão 13
D26 – Resolver problema com números racio-
nais envolvendo as operações (adição, subtra-
ção, multiplicação, divisão, potenciação).
(A) Incorreta. O aluno erra a divisão final, ob-
tendo 10.750 mL 5 10 4
3 L.
(B) Correta. O aluno converte 4
3 de litro em 
750 mL. Em seguida, faz a proporção corre-
tamente: 0,2 kg para 750 mL e 3,0 kg para x, 
encontrando x 5 11,250 L, o que equivale a 
11 4
1 L.
(C) Incorreta. O aluno erra a divisão final, ob-
tendo 11.500 mL 5 11 2
1 L.
(D) Incorreta. O aluno erra a divisão final, ob-
tendo 11.750 mL 5 11 4
3 L.
Questão 14
D26 – Resolver problema com números racio-
nais envolvendo as operações (adição, subtra-
ção, multiplicação, divisão, potenciação).
(A) Incorreta. O aluno calcula 6
1 de 3.000 m 
equivocadamente, obtendo 50 m, e, novamente 
com erro, calcula 5
1 de 3.000 m, obtendo 60 m. 
Depois, efetua 60 2 50 5 10 m.
(B) Incorreta. O aluno calcula 6
1 de 3.000 m 
equivocadamente, obtendo 550 m, e calcula 
corretamente 5
1 de 3.000 m, obtendo 600 m. 
Por fim, chega a 600 2 550 5 50 m.
(C) Correta. O aluno calcula 6
1 de 3.000 m, obten-
do 500 m, e 5
1 de 3.000 m, obtendo 600 m. Em 
seguida, faz 600 2 500 5 100 m.
(D) Incorreta. O aluno calcula 6
1 de 3.000, obten-
do 500 m, e erra ao calcular 5
1 de 3.000, obtendo 
660 m. Assim, chega a 660 2 500 5 160 m.
40
Lições 1 a 4Simulado 1
10 Os alunos do 3o ano precisavam ler um livro de 175 páginas em 25 dias. 
Eduardo leu 5 páginas por dia. No 26o dia, leu todas as páginas restantes 
para concluir a leitura.
 A fração que representa o número de páginas que Eduardo leu nos 10 
primeiros dias em relação ao total de páginas lidas é igual a 
( A ) 7
1 .
( B ) 7
2 .
( C ) 7
3 .
( D ) 57 .
11 A capacidade total do tanque de combustível de um carro é de 45 L. O 
tanque estava inicialmente vazio e foi abastecido com 30 L de combustível. 
 A fração que representa a quantidade de litros que ainda podem ser colo-
cados nesse tanque, em relaçãoà capacidade total, é
( A ) 19 .
( B ) 3
1 .
( C ) 2
1 .
( D ) 3
2 .
V
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41
12 Janaína está se divertindo com um videogame. No jogo, ela perdeu 2 vidas 
e ainda lhe restam 10 vidas.
 A fração equivalente, na forma irredutível, que representa a razão entre o 
número de vidas perdidas e o total de vidas é
( A ) 1
5 .
( B ) 3
1 .
( C ) 5
1 .
( D ) 6
1 .
13 Letícia recebeu uma encomenda de 3 kg de queijo fresco. Com 4
3 de 1 L 
de leite, ela consegue fazer 0,20 kg de queijo. 
 O total de litros de leite de que ela precisa para preparar essa encomenda é
( A ) 10 4
3 L.
( B ) 11 14 L.
( C ) 11 12 L.
( D ) 11 4
3 L.
14 Em uma pista de atletismo, foi disputada uma corrida de 3 km.
 No instante em que o 1o colocado cruza a linha de chegada, o 2o coloca-
do ainda precisa percorrer 6
1 do total da prova, e para o 3o colocado falta 
percorrer 15 do total da prova.
 Quando o 1o colocado terminou a prova, a distância, em metros, entre o 
2o e o 3o colocado era de
( A ) 10 m.
( B ) 50 m.
( C ) 100 m.
( D ) 160 m.
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42
Lição 5
Conteúdos desenvolvidos
• Representação de uma situação-problema 
por meio de uma expressão algébrica.
• Cálculo do valor numérico de uma expres-
são algébrica.
• Generalizações sobre regularidades em 
uma sequência de figuras por meio de uma 
expressão algébrica.
Orientações didáticas
Atividade 1 
A atividade explora o descritor D30, que perten-
ce ao Tema III – Números e Operações/Álgebra e 
Funções. Pelo fato de esse descritor avaliar a ha-
bilidade dos alunos de calcular o valor numérico 
de expressões algébricas envolvendo diversas 
operações, pergunte ao aluno, por que, nesse 
caso, não podemos substituir n por 0, 1, 2 ou 3. 
Espera-se que ele perceba que n é o número de 
lados, e o menor polígono é o de 3 lados, porém 
não substituímos n por 3, pois o triângulo não 
tem diagonais.
Retome com os alunos o conceito de polígono. 
Aproveite para pedir que expliquem com suas 
próprias palavras. Caso tenham dificuldade, 
relembre-os de que os polígonos são figuras 
geométricas formadas por segmentos de reta 
que delimitam uma região fechada. Retome os 
elementos dos polígonos, como lados, ângulos 
internos, ângulos externos e diagonais.
Atividade Tema Descritor
1 III D30 – Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica.
Lucas vai usar a seguinte expressão algébrica para determinar o número de 
diagonais de um polígono convexo:
d n n2
35 2
2
Nessa expressão, n é o número de lados do polígono, e d, o número de 
diagonais.
Observe a tabela que Lucas fez para registrar as informações sobre os 
polígonos:
Número de diagonais de um polígono convexo
Polígono Número de lados (n) Número de diagonais
Quadrilátero 4 2
Hexágono 6 9
Octógono 8 20
Eneágono 9 27
Decágono 10 35
Pentadecágono 15 90
Icoságono 20 170
• Use a expressão apresentada para determinar o número de diagonais de cada 
polígono e completar a tabela.
Atividade 1
Compreenda
a) Qual é a tarefa proposta na atividade?
A tarefa proposta é usar a expressão apresentada para obter o número de diagonais dos 
polígonos indicados na tabela e completá-la.
b) Qual é a expressão algébrica que Lucas vai utilizar para determinar o 
número de diagonais de um polígono convexo?
A expressão algébrica é d n n2
35 2
2
.
c) O que representa a variável n que aparece na expressão? E a variável d?
A variável n representa o número de lados do polígono, e a variável d, o número 
de diagonais.
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19
 d
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19
98
.
42
Expressões algébricas5
Lição
(042_049)_APROVA_9ANO_MAT_L05_LA.indd 42 23/10/19 14:37
d) Para quais polígonos Lucas deve determinar o número de diagonais? 
Qual é o número de lados de cada um desses polígonos?
Os polígonos são: quadrilátero, 4 lados; hexágono, 6 lados; octógono, 8 lados; eneágono, 
9 lados; decágono, 10 lados; pentadecágono, 15 lados; e icoságono, 20 lados.
Responda
a) Qual estratégia Lucas usou para obter o número de diagonais do quadrado?
Substituiu n por 4 na expressão e efetuou os cálculos indicados, obtendo o número de 
diagonais do polígono com 4 lados.
b) Quais valores de n devemos usar para obter o número de diagonais dos 
polígonos indicados na tabela?
n 5 4, n 5 6, n 5 8, n 5 9, n 5 10, n 5 15 e n 5 20.
c) Qual operação é necessário efetuar para determinar o valor de n2?
 2n
 n 1 2 3 n2
X n 3 n
 n 1 2
d) Determine o valor numérico da expressão n n32
22 para cada valor de n que você 
indicou no item b.
n 6 2
6 3 6
2
36 18 95 ] 2 3 5 2 5
2
n 8 2
8 3 8
2
64 24 205 ] 2 3 5 2 5
2
n 9 2
9 3 9
2
81 27 275 ] 2 3 5 2 5
2
n 10 2
10 3 10
2
100 30 355 ] 2 3 5 2 5
2
n 15 2
15 3 15
2
225 45 905 ] 2 3 5 2 5
2
n 20 2
20 3 20 400 60
2 1705 ]
2 3 5 2 5
2
e) Complete a tabela proposta na atividade. 
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43
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43
Explique aos alunos que as diagonais de um po-
lígono são constituídas pelo segmento de reta 
que une dois vértices não consecutivos de um 
polígono. Esclareça que é possível calcular o 
número de diagonais de um polígono qual-
quer e que esse número está relacionado ao 
número de lados que o polígono tem. 
Solicite aos alunos que desenhem um hexágo-
no regular em papel quadriculado. Em segui-
da, peça que tracem as diagonais e observem 
que o segmento de reta que passa por um 
vértice num sentido também passa no sentido 
oposto. Dessa forma, quando se conta o núme-
ro de diagonais de um polígono, é necessário 
dividir o valor obtido por 2.
Explique que, na fórmula d n n2
35 2
2
 ] 
] d
n n
2
3
5
3 2` j
, n diz respeito ao número de 
lados e n 2 3 indica a quantidade de diago-
nais que partem de um mesmo vértice. Mostre 
essa relação em diferentes polígonos, usando 
desenhos. Exemplo:
A
E
D
C
k
B
indica (n 2 3) , pois (5 2 3) 5 2 diagonais de 
cada vértice e, por fim:
A
E
D
C
p
n
m
k
B
Do mesmo modo, a quantidade de diagonais 
de um polígono com 12 lados é indicada por: 
d
12 12 3
25
3 2` j
 5 54; então, o dodecágono 
possui 54 diagonais. 
Prossiga pedindo aos alunos que calculem o 
número de diagonais de diferentes polígonos. 
Em seguida, solicite que verifiquem o número 
de diagonais do triângulo. Espera-se que con-
cluam, usando desenhos, que o triângulo é um 
polígono que não possui diagonais.
Avalie se compreenderam a relação entre o nú-
mero de lados e o nome dos polígonos e que a 
expressão algébrica apresentada na atividade 
relaciona álgebra e geometria, pois permite 
determinar o número de diagonais de um polí-
gono convexo qualquer. 
DIFICULDADES: O QUE FAZER?
Não conseguem calcular o valor numérico de uma expressão algébrica.
Proponha o cálculo do valor numérico de expressões algébricas para diferentes valores de x. 
Veja algumas sugestões:
• Determine o valor numérico das expressões a seguir.
 a) 2x2 2 10x 1 7, para x 5 2 e x 5 22
Para x 5 2 ] 8 2 20 1 7 5 25
Para x 5 22 ] 8 1 20 1 7 5 35
 b) 3x3 2 5x 1 4, para x 5 6 e x 5 26
Para x 5 6 ] 3 3 63 25 3 6 1 4 5 648 2 26 5 
5 622
Para x 5 26 ] 3 3 (263) 25 3 (26) 1 4 5 
5 2648 1 34 5 2614
 c) x
x x
5
3 5 751 12 , para x 5 5 e x 5 25
Para x 5 5 ] 25
75 25 75 12 1 1 5
Para x 5 25 ] 25
75 25 75 52
1 2 1 52 
 d) 2(x 11)2 2 x3 110x, para x 5 3 e x 5 23
Para x 5 3 ] 216 2 27 1 30 5 213 
Para x 5 23 ] 24 1 27 2 30 5 7
l
l
Lucas vai usar a seguinte expressão algébrica para determinar o número de 
diagonais de um polígono convexo:
d n n2
35 2
2
Nessa expressão, n é o número de lados do polígono,e d, o número de 
diagonais.
Observe a tabela que Lucas fez para registrar as informações sobre os 
polígonos:
Número de diagonais de um polígono convexo
Polígono Número de lados (n) Número de diagonais
Quadrilátero 4 2
Hexágono 6 9
Octógono 8 20
Eneágono 9 27
Decágono 10 35
Pentadecágono 15 90
Icoságono 20 170
• Use a expressão apresentada para determinar o número de diagonais de cada 
polígono e completar a tabela.
Atividade 1
Compreenda
a) Qual é a tarefa proposta na atividade?
A tarefa proposta é usar a expressão apresentada para obter o número de diagonais dos 
polígonos indicados na tabela e completá-la.
b) Qual é a expressão algébrica que Lucas vai utilizar para determinar o 
número de diagonais de um polígono convexo?
A expressão algébrica é d n n2
35 2
2
.
c) O que representa a variável n que aparece na expressão? E a variável d?
A variável n representa o número de lados do polígono, e a variável d, o número 
de diagonais.
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Expressões algébricas5
Lição
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d) Para quais polígonos Lucas deve determinar o número de diagonais? 
Qual é o número de lados de cada um desses polígonos?
Os polígonos são: quadrilátero, 4 lados; hexágono, 6 lados; octógono, 8 lados; eneágono, 
9 lados; decágono, 10 lados; pentadecágono, 15 lados; e icoságono, 20 lados.
Responda
a) Qual estratégia Lucas usou para obter o número de diagonais do quadrado?
Substituiu n por 4 na expressão e efetuou os cálculos indicados, obtendo o número de 
diagonais do polígono com 4 lados.
b) Quais valores de n devemos usar para obter o número de diagonais dos 
polígonos indicados na tabela?
n 5 4, n 5 6, n 5 8, n 5 9, n 5 10, n 5 15 e n 5 20.
c) Qual operação é necessário efetuar para determinar o valor de n2?
 2n
 n 1 2 3 n2
X n 3 n
 n 1 2
d) Determine o valor numérico da expressão n n32
22 para cada valor de n que você 
indicou no item b.
n 6 2
6 3 6
2
36 18 95 ] 2 3 5 2 5
2
n 8 2
8 3 8
2
64 24 205 ] 2 3 5 2 5
2
n 9 2
9 3 9
2
81 27 275 ] 2 3 5 2 5
2
n 10 2
10 3 10
2
100 30 355 ] 2 3 5 2 5
2
n 15 2
15 3 15
2
225 45 905 ] 2 3 5 2 5
2
n 20 2
20 3 20 400 60
2 1705 ]
2 3 5 2 5
2
e) Complete a tabela proposta na atividade. 
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Lição 5
Orientações didáticas
Atividade 2 
A atividade explora o descritor D30, cujo objeti-
vo é avaliar a habilidade dos alunos de calcular 
o valor numérico de expressões algébricas en-
volvendo as diversas operações, substituindo as 
variáveis por números inteiros.
A atividade exige que os alunos verifiquem, 
em um conjunto de triângulos, quais são re-
tângulos, sem medir os ângulos internos. Para 
tanto, devem considerar que um triângulo 
será classificado como retângulo caso o resul-
tado obtido com a expressão seja igual à me-
dida do lado maior.
Explique que a expressão apresentada diz 
respeito ao teorema de Pitágoras. Esse teo-
rema pode ser verificado com os alunos por 
meio do software Geogebra, em que é possí-
vel observar de forma dinâmica que a soma 
dos quadrados dos catetos é igual ao quadra-
do da hipotenusa. Isso indica que a soma das 
áreas dos quadrados construídos com base 
nas medidas dos catetos (isto é, que têm as 
medidas dos catetos como lados) equivale à 
área do quadrado cujo lado tem a medida da 
hipotenusa do triângulo retângulo. Assim, 
a2 5 b2 1 c2 ] a 5 b c12 2 .
Atividade Tema Descritor
2 III D30 – Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica.
Compreenda
a) O que é proposto na atividade?
Identificar quais triângulos são triângulos retângulos.
b) Qual é a expressão algébrica que permite verificar se um triângulo é um 
triângulo retângulo por meio das medidas de seus lados?
A expressão algébrica que permite verificar se um triângulo é um triângulo retângulo é 
a b c5 12 2 .
c) O que representam as variáveis a, b e c que aparecem na expressão algébrica?
A variável a representa o lado maior do triângulo. As variáveis b e c 
representam as medidas dos lados menores do mesmo triângulo.
d) Quais são as medidas dos lados dos triângulos ilustrados nesta atividade?
Triângulo laranja: 12 cm, 15 cm e 20 cm; triângulo verde: 5 cm, 12 cm e 13 cm; triângulo 
roxo: 9 cm, 12 cm e 14 cm; triângulo azul: 8 cm, 15 cm e 17 cm.
Atividade 2
Considere os triângulos a seguir.
12 cm 12 cm
14 cm
12 cm9 cm13 cm
15 cm
5 cm
17 cm
15 cm
8 cm
20 cm
É possível verificar se um triângulo é retângulo sem medir seus ângulos 
internos. Para fazer essa verificação, podemos usar a expressão algébrica a 
seguir, em que a é a medida do lado maior do triângulo e b e c são as medidas 
dos lados menores.
a b c5 2 21
Se o resultado obtido for igual à medida do lado maior, o triângulo 
correspondente é um triângulo retângulo.
• Considerando as informações e as medidas dos triângulos acima, identifique 
quais deles são triângulos retângulos.
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Expressões algébricasLição 5
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Responda
a) Qual das opções a seguir descreve a expressão algébrica b c12 2 ?
 A raiz quadrada da soma de um número.
 A raiz quadrada do quadrado da soma de dois números.
X A raiz quadrada da soma do quadrado de dois números.
 A raiz quadrada de um número adicionada à raiz quadrada de outro número.
b) Quais são as medidas dos menores lados do triângulo roxo?
As medidas dos menores lados do triângulo roxo são 9 cm e 12 cm.
c) Considere o triângulo roxo e a expressão algébrica a b c5 12 2 . Se 
adotarmos c 5 9 cm, qual será o valor de b? E qual será o valor de a?
Com base na representação do triângulo roxo, o valor de b será igual a 12 cm, e o de a 
será igual a 14 cm.
d) Com base nas medidas dos menores lados do triângulo roxo, calcule o 
valor numérico de a na expressão a b c5 12 2 .
a 12 9 144 81 225 155 1 5 1 5 52 2 
O valor de a na expressão apresentada é 15 cm.
e) O triângulo roxo é um triângulo retângulo? Por quê?
Não. Seria um triângulo retângulo se o maior lado medisse 15 cm.
f) Use a expressão a b c5 12 2 para verificar quais dos triângulos são 
triângulos retângulos.
Triângulo laranja (b 5 12; c 5 15): 12 15 144 225 369 3 411 5 1 5 52 2 (não é um 
triângulo retângulo).
Triângulo verde (b 5 5; c 5 12): 5 12 25 144 169 131 5 1 5 52 2 (é um triângulo retângulo).
Triângulo azul (b 5 8; c 5 15): 8 15 64 225 289 171 5 1 5 52 2 (é um triângulo retângulo).
g) Complete as lacunas a seguir.
Dos polígonos representados, o triângulo cujos lados medem , e 
e o triângulo cujos lados medem , e são triângulos retângulos.
5 cm 12 cm 13 cm
8 cm 15 cm 17 cm
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Aproveite a atividade e a visualização geomé-
trica da expressão algébrica para propor aos 
alunos que construam triângulos atribuindo 
valores para a, b e c, sendo a a medida do lado 
maior e b e c as medidas dos lados menores, com 
b . c, por exemplo, e verifiquem se as medi-
das dos lados atendem à condição presente 
na expressão algébrica a2 5 b2 1 c2. Peça que 
testem diferentes valores. Em seguida, soli-
cite que apresentem casos que satisfaçam a 
condição da expressão. Assim: 52 5 42 1 32 ] 
] 52 5 25. Com isso, eles devem perceber que, 
antes de efetuar a radiciação, precisam determi-
nar os quadradosdos lados a e b, efetuar a adi-
ção dos valores e, somente após esses cálculos, 
determinar a raiz quadrada do número obtido.
Nos itens b e c da seção Responda os alunos de-
vem diferenciar os lados do triângulo roxo. No 
item d, é preciso determinar o valor de a para 
verificar se o triângulo apresentado é retângu-
lo. Para atender a essa condição, a relação de 
igualdade deve ser verdadeira, se a 5 15. Ex-
plique aos alunos que, como o valor de a é di-
ferente de 15 cm, a condição não foi atendida, 
portanto o triângulo não é retângulo. Caso os 
alunos apresentem dificuldade para compreen-
der essa forma de análise, após verificarem os 
demais triângulos propostos na atividade, dê a 
medida dos lados de outros triângulos para que 
determinem se são triângulos retângulos.
Aproveite o item g da seção Responda para 
conduzir os alunos à observação de que as 
medidas dos lados dos triângulos que foram 
classificados como retângulos – (5, 12, 13) e 
(8, 15, 17) – também são números primos en-
tre si, como no caso do triângulo cujas medidas 
dos lados são 3, 4 e 5.
DIFICULDADES: O QUE FAZER?
Não sabem resolver expressões algébricas e efetuar operações de radiciação.
Proponha diferentes atividades para serem realizadas no quadro de giz, de modo que as di-
ferentes estratégias sejam socializadas. Uma sugestão é que analisem se os triângulos dados 
são retângulos, usando medidas com números primos entre si, tais como (7, 24, 25), (9, 40, 41), 
(11, 60, 61), (12, 35, 37) e (13, 84, 85), entre outros, sem fazer uso das medidas dos ângulos, 
retomando a expressão estudada na atividade.
Compreenda
a) O que é proposto na atividade?
Identificar quais triângulos são triângulos retângulos.
b) Qual é a expressão algébrica que permite verificar se um triângulo é um 
triângulo retângulo por meio das medidas de seus lados?
A expressão algébrica que permite verificar se um triângulo é um triângulo retângulo é 
a b c5 12 2 .
c) O que representam as variáveis a, b e c que aparecem na expressão algébrica?
A variável a representa o lado maior do triângulo. As variáveis b e c 
representam as medidas dos lados menores do mesmo triângulo.
d) Quais são as medidas dos lados dos triângulos ilustrados nesta atividade?
Triângulo laranja: 12 cm, 15 cm e 20 cm; triângulo verde: 5 cm, 12 cm e 13 cm; triângulo 
roxo: 9 cm, 12 cm e 14 cm; triângulo azul: 8 cm, 15 cm e 17 cm.
Atividade 2
Considere os triângulos a seguir.
12 cm 12 cm
14 cm
12 cm9 cm13 cm
15 cm
5 cm
17 cm
15 cm
8 cm
20 cm
É possível verificar se um triângulo é retângulo sem medir seus ângulos 
internos. Para fazer essa verificação, podemos usar a expressão algébrica a 
seguir, em que a é a medida do lado maior do triângulo e b e c são as medidas 
dos lados menores.
a b c5 2 21
Se o resultado obtido for igual à medida do lado maior, o triângulo 
correspondente é um triângulo retângulo.
• Considerando as informações e as medidas dos triângulos acima, identifique 
quais deles são triângulos retângulos.
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Responda
a) Qual das opções a seguir descreve a expressão algébrica b c12 2 ?
 A raiz quadrada da soma de um número.
 A raiz quadrada do quadrado da soma de dois números.
X A raiz quadrada da soma do quadrado de dois números.
 A raiz quadrada de um número adicionada à raiz quadrada de outro número.
b) Quais são as medidas dos menores lados do triângulo roxo?
As medidas dos menores lados do triângulo roxo são 9 cm e 12 cm.
c) Considere o triângulo roxo e a expressão algébrica a b c5 12 2 . Se 
adotarmos c 5 9 cm, qual será o valor de b? E qual será o valor de a?
Com base na representação do triângulo roxo, o valor de b será igual a 12 cm, e o de a 
será igual a 14 cm.
d) Com base nas medidas dos menores lados do triângulo roxo, calcule o 
valor numérico de a na expressão a b c5 12 2 .
a 12 9 144 81 225 155 1 5 1 5 52 2 
O valor de a na expressão apresentada é 15 cm.
e) O triângulo roxo é um triângulo retângulo? Por quê?
Não. Seria um triângulo retângulo se o maior lado medisse 15 cm.
f) Use a expressão a b c5 12 2 para verificar quais dos triângulos são 
triângulos retângulos.
Triângulo laranja (b 5 12; c 5 15): 12 15 144 225 369 3 411 5 1 5 52 2 (não é um 
triângulo retângulo).
Triângulo verde (b 5 5; c 5 12): 5 12 25 144 169 131 5 1 5 52 2 (é um triângulo retângulo).
Triângulo azul (b 5 8; c 5 15): 8 15 64 225 289 171 5 1 5 52 2 (é um triângulo retângulo).
g) Complete as lacunas a seguir.
Dos polígonos representados, o triângulo cujos lados medem , e 
e o triângulo cujos lados medem , e são triângulos retângulos.
5 cm 12 cm 13 cm
8 cm 15 cm 17 cm
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Lição 5
Orientações didáticas
Atividade 3
A atividade explora o descritor D32, que per-
tence ao Tema III – Números e Operações/Ál-
gebra e Funções e tem como objetivo avaliar 
a habilidade dos alunos de reconhecer a regu-
laridade de uma sequência e representá-la por 
meio de uma expressão algébrica. 
As habilidades necessárias para expressar regu-
laridades podem ser desenvolvidas inicialmen-
te de forma simples, reproduzindo a sequência 
dada no enunciado da atividade com objetos, 
como bolinhas de diferentes materiais. Assim 
os alunos podem visualizar e compreender me-
lhor o padrão de formação da sequência. Inicie 
com 1 bolinha, depois acrescente 2, formando 
os vértices de triângulos equiláteros (3 pontos 
não colineares, com a mesma distância entre 
si). Depois, acrescente 3 bolinhas abaixo do 
triângulo anterior, formando um novo triân-
gulo. A cada acréscimo, será formado um novo 
triângulo.
Explique que a cada acréscimo a quantidade 
total de bolinhas que compõem cada triângu-
lo forma números triangulares. Conforme as 
bolinhas são acrescentadas, espera-se que eles 
notem que a quantidade total de bolinhas a 
cada etapa corresponde à adição de 1 bolinha 
em relação à quantidade anteriormente consi-
derada. As somas podem ser registradas como:
Etapa 1 5 1 bolinha
Etapa 2 5 1 1 2 5 3 bolinhas
Etapa 3 5 1 1 2 1 3 5 6 bolinhas
Etapa 4 5 1 1 2 1 3 1 4 5 10 bolinhas
Etapa 5 5 1 1 2 1 3 1 4 1 5 5 15 bolinhas
Etapa 6 5 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 5 21 bolinhas
Desse modo, o enésimo número triangular pode 
ser compreendido como o número de pontos 
de uma figura triangular com lado formado 
por n pontos, o que equivale à soma dos pri-
meiros n números naturais.
O item b da seção Compreenda requer que os 
alunos identifiquem os termos da sequência. 
Já os itens c, d, e e, ao solicitarem as diferen-
ças entre os números dos termos, possibilitam 
identificar que se trata de uma progressão, 
cuja diferença é igual a 1. Desse modo os alu-
nos podem observar os resultados obtidos para 
as diferenças entre os termos 3 e 2 e o valor de 
n para o termo 3 e assim proceder para os de-
mais termos, escrevendo a expressão algébrica 
que relaciona cada número triangular à sua 
posição (n) na sequência.
Atividade Tema Descritor
3 III
D32 – Identificar a expressão algébrica que expressa uma 
regularidade observada em sequências de números ou 
figuras (padrões).
Atividade 3
Considere parte da sequência dos números triangulares representada a seguir.
 1 3 6 10 15 
 Termo 1 Termo 2 Termo 3 Termo 4 Termo 5 
 n 5 1 n 5 2 n 5 3 n 5 4 n 5 5 
• Qual é o centésimo termo da sequência dos números triangulares?
Compreenda
a) O que é perguntado na atividade?
Pergunta-se qual é o centésimo termo da sequência dos números triangulares.
b) Quais termos foram representados na imagem? Qual número 
corresponde a cada termo?
Termo 1: número 1; termo 2: número3; termo 3: número 6; termo 4: número 10; termo 5: 
número 15.
c) Qual é a diferença entre os valores dos termos 2 e 1? É a mesma entre 
os termos 3 e 2?
A diferença entre os termos 2 e 1 é 3 2 1 5 2. Não é a mesma que a diferença entre os 
termos 3 e 2, pois 6 2 3 5 3.
d) Determine a diferença entre os valores dos termos 4 e 3 e entre os valores 
dos termos 5 e 4.
Entre os termos 4 e 3: 10 2 6 5 4. Entre os termos 5 e 4: 15 2 10 5 5.
e) Compare os resultados obtidos nos itens c e d com os valores de n de cada termo. O 
que você percebeu?
Espera-se que os alunos percebam que o resultado obtido para a diferença entre os valores 
dos termos 3 e 2 é igual ao valor de n para o termo 3, assim como os resultados obtidos para 
a diferença entre os números dos termos 4 e 3 e entre os números dos termos 5 e 4 são 
iguais aos valores de n para os termos 4 e 5, respectivamente. 
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Responda
a) Qual é o termo 6 da sequência dos números triangulares? E o termo 7? 
Explique como você obteve esses termos.
O termo 6 é 21; o termo 7 é 28. Espera-se que os alunos respondam que adicionaram 6 
ao número do termo 5 para obter o termo 6 e adicionaram 7 ao número do termo 6 para 
obter o termo 7.
b) Roberto pensou em uma nova sequência com base nos números triangulares. Observe 
o quadro e complete-o.
n Sequência dos números triangulares Sequência de Roberto
1 1 2 5 1 3 2
2 3 6 5 2 3 3
3 6 12 5 3 3 4
4 10 20 5 4 3 5
5 15 30 5 5 3 6
6 21 42 5 6 3 7
7 28 56 5 7 3 8
8 36 72 5 8 3 9
9 45 90 5 9 3 10
• Qual expressão algébrica podemos escrever para representar os 
termos da sequência feita por Roberto?
 n n2 13 1` j n 112 3n n2 11` j X n n 13 1` j
c) Qual operação pode ser efetuada na expressão obtida no item anterior para determinar 
cada termo da sequência dos números triangulares?
Dividir n 3 (n 1 1) por 2, pois quando n 5 5, por exemplo, a sequência de números 
triangulares é igual a 15 e 5 ∙ 6 5 30, que dividido por 2 é igual a 15.
d) Escreva a expressão algébrica que relaciona cada número triangular ao valor de n.
A expressão algébrica que relaciona cada número triangular ao valor de n é: 
n n
2
13 1` j
.
e) Use a expressão obtida no item anterior para determinar o centésimo termo da 
sequência dos números triangulares.
O centésimo termo da sequência será: .2
100 1
2
100 101 5 050
1003 1
5 3 5
` j
.
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4747
Auxilie os alunos a notar que, se somarem dois 
números triangulares consecutivos, obterão 
quadrados perfeitos. Para tanto, mostre no qua-
dro de giz que a soma dos números triangulares 
3 e 6 resulta em 9 bolinhas, dispostas em um 
quadrado de lado 3. Essa verificação apoiará a 
compreensão dos alunos no estabelecimento 
de relações geométricas, além de possibilitar a 
visualização da progressão ou sequência dos pa-
drões apresentados, quando são acrescentadas 
2, 3, 4, 5, 6 bolinhas, e assim sucessivamente.
Para determinar a quantidade de bolinhas pre-
sentes em uma etapa é necessário proceder 
a soma dos termos, o que expressa que estão 
sendo somados os termos iniciais de uma se-
quência com n termos, resultando em um nú-
mero triangular.
As relações trabalhadas na atividade podem ser 
explicadas progressivamente, até a generaliza-
ção de como obter um termo da sequência for-
mada por números triângulares: Sn 5 
n n 1
2
1` j
. 
O desenvolvimento desse tipo de raciocínio requer 
a resolução de grande número de exemplos, 
portanto é necessário que sejam propostas 
diversas atividades para que os alunos com-
preendam as relações estabelecidas e os pro-
cessos de generalização.
DIFICULDADES: O QUE FAZER?
Não identificam regularidades.
Proponha a identificação de regularidades em diferentes sequências numéricas, como neste exemplo:
1. Na sequência numérica abaixo, determine os 3 próximos termos. De-
pois, associe cada um dos 7 números a uma potência.
262.144, 32.768, 4.096, 512,... 64, 8, 1.
262.144 32.768 4.096 512 64 8 1
86 85 84 83 82 81 80
2. Escreva os dois próximos termos das sequências abaixo, observando 
as regularidades.
 a) , , , ... e3
2
6
2
12
2
24
2
48
2 .
 b) , , . , ... . .e7
5
84
5
1 008
5
12 096
5
145 152
5 .
 c) , , , ... . .e7
3
49
3
343
3
2 401
3
16 807
3 .
 d) , , . , ... . e .11
7
121
7
1 331
7
14 641
7
161 051
7 .
Atividade 3
Considere parte da sequência dos números triangulares representada a seguir.
 1 3 6 10 15 
 Termo 1 Termo 2 Termo 3 Termo 4 Termo 5 
 n 5 1 n 5 2 n 5 3 n 5 4 n 5 5 
• Qual é o centésimo termo da sequência dos números triangulares?
Compreenda
a) O que é perguntado na atividade?
Pergunta-se qual é o centésimo termo da sequência dos números triangulares.
b) Quais termos foram representados na imagem? Qual número 
corresponde a cada termo?
Termo 1: número 1; termo 2: número 3; termo 3: número 6; termo 4: número 10; termo 5: 
número 15.
c) Qual é a diferença entre os valores dos termos 2 e 1? É a mesma entre 
os termos 3 e 2?
A diferença entre os termos 2 e 1 é 3 2 1 5 2. Não é a mesma que a diferença entre os 
termos 3 e 2, pois 6 2 3 5 3.
d) Determine a diferença entre os valores dos termos 4 e 3 e entre os valores 
dos termos 5 e 4.
Entre os termos 4 e 3: 10 2 6 5 4. Entre os termos 5 e 4: 15 2 10 5 5.
e) Compare os resultados obtidos nos itens c e d com os valores de n de cada termo. O 
que você percebeu?
Espera-se que os alunos percebam que o resultado obtido para a diferença entre os valores 
dos termos 3 e 2 é igual ao valor de n para o termo 3, assim como os resultados obtidos para 
a diferença entre os números dos termos 4 e 3 e entre os números dos termos 5 e 4 são 
iguais aos valores de n para os termos 4 e 5, respectivamente. 
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Responda
a) Qual é o termo 6 da sequência dos números triangulares? E o termo 7? 
Explique como você obteve esses termos.
O termo 6 é 21; o termo 7 é 28. Espera-se que os alunos respondam que adicionaram 6 
ao número do termo 5 para obter o termo 6 e adicionaram 7 ao número do termo 6 para 
obter o termo 7.
b) Roberto pensou em uma nova sequência com base nos números triangulares. Observe 
o quadro e complete-o.
n Sequência dos números triangulares Sequência de Roberto
1 1 2 5 1 3 2
2 3 6 5 2 3 3
3 6 12 5 3 3 4
4 10 20 5 4 3 5
5 15 30 5 5 3 6
6 21 42 5 6 3 7
7 28 56 5 7 3 8
8 36 72 5 8 3 9
9 45 90 5 9 3 10
• Qual expressão algébrica podemos escrever para representar os 
termos da sequência feita por Roberto?
 n n2 13 1` j n 112 3n n2 11` j X n n 13 1` j
c) Qual operação pode ser efetuada na expressão obtida no item anterior para determinar 
cada termo da sequência dos números triangulares?
Dividir n 3 (n 1 1) por 2, pois quando n 5 5, por exemplo, a sequência de números 
triangulares é igual a 15 e 5 ∙ 6 5 30, que dividido por 2 é igual a 15.
d) Escreva a expressão algébrica que relaciona cada número triangular ao valor de n.
A expressão algébrica que relaciona cada número triangular ao valor de n é: 
n n
2
13 1` j
.
e) Use a expressão obtida no item anterior para determinar o centésimo termo da 
sequência dos números triangulares.
O centésimo termo da sequência será: .2
100 1
2
100 101 5 050
1003 1
5 3 5
` j
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48
Lição 5
Atividade 4
Observe a sequência de figuras a seguir.
 Figura 1. Figura 2. Figura 3. Figura 4. 
 n 5 1 n 5 2 n 5 3 n 5 4 
Considerando a regra usada na formação das figuras dessa sequência, 
responda:
• Qual é a expressão algébrica que relaciona o número de cada figura à 
quantidade de quadradinhos azuis usados para formá-la?
• Quantos quadradinhos azuis serão necessários para formar a décima figura 
dessa sequência?
Compreenda
a) O que é perguntado na atividade?
Qual é a expressão algébrica que relaciona o número de cada figura à quantidade de
quadradinhos azuis e quantos quadradinhos azuis são necessários para formar a décima 
figura da sequência.
b) As figuras dessa sequência têm a forma do contorno de qual polígono?
As figuras dessa sequência têm a forma do contorno do quadrado.
c) Quantos quadradinhos azuis formam cada uma das figuras da sequência?
Figura 1: Figura 2: Figura 3: Figura 4: 
Responda
a) Imagine que o interior das figuras que compõem essa sequência estivesse preenchido 
com quadradinhos idênticos aos que formam o contorno.
• No total, quantos quadradinhos teria cada figura da sequência acima?
Figura 1: Figura 2: Figura 3: Figura 4: 
8 12 16 20
9 16 25 36
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Orientações didáticas
Atividade 4
Assim como a anterior, esta atividade explora 
o descritor D32. Portanto, permite avaliar se os 
alunos reconhecem regularidades presentes em 
sequências e as representam por meio de ex-
pressões algébricas. 
A atividade requer que os alunos analisem uma 
sequência de figuras para identificar a regula-
ridade presente. Eles devem, por meio da ob-
servação da sequência de figuras, determinar 
qual expressão algébrica relaciona o número 
de cada figura à quantidade de quadradinhos 
azuis usados para formá-la e quantos quadra-
dinhos azuis serão necessários para formar o 
décimo termo da mesma sequência.
Caso considere adequado, solicite que resol-
vam a atividade em duplas, de modo que as 
observações sobre a formação das figuras e a 
identificação da regularidade presente na se-
quência possam ser socializadas.
Ao solucionarem o item a da seção Respon-
da, peça que desenhem no caderno ou em 
papel quadriculado o preenchimento do con-
torno das figuras do enunciado. Relacione os 
preenchimentos à área de cada quadrado da 
sequência. Espera-se que obtenham figuras se-
melhantes a estas:
3
21
4
Atividade Tema Descritor
4 III
D32 – Identificar a expressão algébrica que expressa uma 
regularidade observada em sequências de números ou 
figuras (padrões).
• Qual das expressões a seguir relaciona o número n de cada figura da 
sequência que você imaginou à quantidade de quadradinhos usados 
para formá-la?
 n2
X (n 1 2)2
 2(n 1 2)
 n2 1 2
b) Considere agora a sequência inicial de figuras. Quantos quadradinhos 
seriam necessários para preencher o interior de cada figura? 
Figura 1: 1 quadradinho; figura 2: 4 quadradinhos; figura 3: 9 quadradinhos; figura 4: 
16 quadradinhos.
c) Sendo n a posição que ocupa cada figura da sequência da atividade, 
escreva uma expressão que relacione n com a quantidade de 
quadradinhos obtidos no item anterior.
Sendo n a posição do quadradinho, n2 será a quantidade de quadradinhos necessários
 para preencher o interior da figura.
d) Considere as expressões obtidas nos itens a e c da seção Responda. 
A quantidade de quadradinhos azuis de cada figura da sequência da 
atividade pode ser dada por meio de uma subtração entre essas duas 
expressões. Identifique-a.
 n2 2 n2
 X (n 1 2)2 2 n2
 2(n 1 2) 2 2n
 n2 1 2 2 2n
e) Complete os espaços para responder à primeira pergunta da atividade.
 5 n2 1 4n 1 4 5 5 
• A expressão algébrica que relaciona o número da figura à quantidade 
de quadradinhos azuis necessários para formá-la é .
f) Determine a quantidade de quadradinhos azuis necessários para 
formar a décima figura dessa sequência . Em seguida, complete 
quantos quadradinhos azuis são necessários para formar a décima 
figura da sequência.
4 3 (10 1 1) 5 4 3 11 5 44
Para formar a décima figura da sequência, serão necessários 
quadradinhos azuis.
(n 1 2)2 2 n2 2n2 4n 1 4 4(n 1 1)
4(n 1 1)
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4949
Atividade 4
Observe a sequência de figuras a seguir.
 Figura 1. Figura 2. Figura 3. Figura 4. 
 n 5 1 n 5 2 n 5 3 n 5 4 
Considerando a regra usada na formação das figuras dessa sequência, 
responda:
• Qual é a expressão algébrica que relaciona o número de cada figura à 
quantidade de quadradinhos azuis usados para formá-la?
• Quantos quadradinhos azuis serão necessários para formar a décima figura 
dessa sequência?
Compreenda
a) O que é perguntado na atividade?
Qual é a expressão algébrica que relaciona o número de cada figura à quantidade de
quadradinhos azuis e quantos quadradinhos azuis são necessários para formar a décima 
figura da sequência.
b) As figuras dessa sequência têm a forma do contorno de qual polígono?
As figuras dessa sequência têm a forma do contorno do quadrado.
c) Quantos quadradinhos azuis formam cada uma das figuras da sequência?
Figura 1: Figura 2: Figura 3: Figura 4: 
Responda
a) Imagine que o interior das figuras que compõem essa sequência estivesse preenchido 
com quadradinhos idênticos aos que formam o contorno.
• No total, quantos quadradinhos teria cada figura da sequência acima?
Figura 1: Figura 2: Figura 3: Figura 4: 
8 12 16 20
9 16 25 36
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Aproveite a situação da seção Responda e 
pergunte: “Se o padrão observado for man-
tido na sequência dada pelo preenchimen-
to do contorno dos quadrados, é possível 
concluir que uma figura que contém 625 
quadradinhos preenchidos terá quantos qua-
dradinhos em cada lado do contorno?” 25 
quadradinhos. 
Solicite que os alunos desenhem os próximos 
termos da sequência para que verifiquem as 
próprias observações.
Após o desenho dos preenchimentos, peça que 
analisem os quadradinhos não preenchidos 
acima e na lateral direita de cada figura e que 
descrevam a regularidade observada. Assim, a 
quantidade de quadradinhos brancos equivale 
a 2n 1 1.
O item a da seção Responda requer que os alu-
nos relacionem o número de cada figura da 
sequência desenhada à quantidade n de qua-
dradinhos usados para formá-la. Esse número 
será dado pela obtenção da área do quadrado, 
ou seja, (n 1 2)2. Já o item c busca relacionar a 
expressão obtida no item anterior à área com-
posta pelos quadradinhos internos, subtraída 
da área total de cada figura. 
No item e, ao completarem a sentença, os alu-
nos podem estabelecer relação entre a quanti-
dade de quadradinhos necessários para formar 
a sequência do enunciado da atividade e a ex-
pressão algébrica que relaciona o número da 
figura correspondente. 
Comente que, para responderem ao item f, po-
dem usar as expressões obtidas nos itens d ou 
e, uma vez que elas são equivalentes.
DIFICULDADES: O QUE FAZER?
Não sabem a regra que determina uma sequência numérica.
Apresente algumas sequências numéricas e sequências de figuras para que possam escrever a expressão algébrica que representa suas leis de 
formação. Veja alguns exemplos.
1. Escreva a expressão que indica o enésimo termo de cada sequência.a) 3, 6, 9, 12, 15,... 3n
 b) 0, 10, 20, 30, 40,... 10n
 c) 1, 11, 101, 1.001, 10.001,... 10n 1 1
 d) 1, 3, 5, 7, 9,... 2n 2 1
 e) 0, 8, 64, 512, 4.096, 32.768,... 8n
2. Escreva as expressões que indicam os padrões presentes em cada uma 
das sequências a seguir.
 a) 
A quantidade de quadradinhos da figura n é igual a n2 1 1.
 b) 
A quantidade de quadradinhos da figura n é igual a n2 2 1.
 c) 
A quantidade de quadradinhos da figura n é igual a n2 2 n.
• Qual das expressões a seguir relaciona o número n de cada figura da 
sequência que você imaginou à quantidade de quadradinhos usados 
para formá-la?
 n2
X (n 1 2)2
 2(n 1 2)
 n2 1 2
b) Considere agora a sequência inicial de figuras. Quantos quadradinhos 
seriam necessários para preencher o interior de cada figura? 
Figura 1: 1 quadradinho; figura 2: 4 quadradinhos; figura 3: 9 quadradinhos; figura 4: 
16 quadradinhos.
c) Sendo n a posição que ocupa cada figura da sequência da atividade, 
escreva uma expressão que relacione n com a quantidade de 
quadradinhos obtidos no item anterior.
Sendo n a posição do quadradinho, n2 será a quantidade de quadradinhos necessários
 para preencher o interior da figura.
d) Considere as expressões obtidas nos itens a e c da seção Responda. 
A quantidade de quadradinhos azuis de cada figura da sequência da 
atividade pode ser dada por meio de uma subtração entre essas duas 
expressões. Identifique-a.
 n2 2 n2
 X (n 1 2)2 2 n2
 2(n 1 2) 2 2n
 n2 1 2 2 2n
e) Complete os espaços para responder à primeira pergunta da atividade.
 5 n2 1 4n 1 4 5 5 
• A expressão algébrica que relaciona o número da figura à quantidade 
de quadradinhos azuis necessários para formá-la é .
f) Determine a quantidade de quadradinhos azuis necessários para 
formar a décima figura dessa sequência . Em seguida, complete 
quantos quadradinhos azuis são necessários para formar a décima 
figura da sequência.
4 3 (10 1 1) 5 4 3 11 5 44
Para formar a décima figura da sequência, serão necessários 
quadradinhos azuis.
(n 1 2)2 2 n2 2n2 4n 1 4 4(n 1 1)
4(n 1 1)
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Lição 6
Conteúdos desenvolvidos
• Figuras semelhantes.
• Razão de semelhança.
• Proporção.
• Semelhança de triângulos.
Orientações didáticas
Atividade 1 
A atividade explora o descritor D7, que per-
tence ao Tema I – Espaço e Forma, e tem o 
objetivo de avaliar a habilidade dos alunos 
de verificar a semelhança de figuras planas, 
reconhecendo a manutenção ou a alteração 
nas medidas dos elementos das figuras (lados, 
ângulos, alturas etc.). 
O objetivo da atividade é que os alunos de-
terminem medidas desconhecidas de um po-
lígono, estabelecendo relações entre uma 
figura original e uma figura ampliada. É ne-
cessário que considerem que as figuras pla-
nas apresentadas pelo enunciado da ativida-
de são semelhantes.
Explique que duas figuras com as mesmas 
medidas angulares correspondentes, a mes-
ma quantidade de lados e proporção entre 
as medidas dos lados correspondentes são 
semelhantes. Explique também que a homo-
tetia, transformação geométrica que amplia 
e reduz a figura, possibilita reconhecer e 
aplicar ampliações e reduções de polígonos. 
Dessa forma, o tamanho das figuras sofre al-
terações.
Ao determinarem as medidas de x, y e z dos po-
lígonos, os alunos podem considerar que exis-
tem proporções entre as medidas dos lados de 
figuras planas semelhantes. Caso apresentem 
dificuldade para desenvolver essa noção, dese-
nhe alguns polígonos no quadro de giz, ressal-
tando essas correspondências. 
O item b da seção Compreenda requer que os 
alunos identifiquem as medidas dos lados dos 
quadriláteros.
Atividade Tema Descritor
1 I
D7 – Reconhecer que as imagens de uma figura construída 
por uma transformação homotética são semelhantes, 
identificando propriedades e/ou medidas que se modificam 
ou não se alteram.
d) Quais são as medidas de cada par de lados correspondentes 
desses polígonos?
As medidas dos lados correspondentes são z e 6,5; 20 e y; x e 7; 12 e 6.
Responda 
a) Leia.
Muitas vezes, comparamos duas quantidades ou duas medidas por meio de uma 
divisão. Essa divisão, muitas vezes apresentada em forma de fração, é chamada de 
razão. A razão entre dois números a e b, com b q 0, nessa ordem, é b
a . 
Sentenças que representam uma igualdade entre razões são chamadas de 
proporção. Quatro números não nulos, a, b, c e d, formam, nessa ordem, uma 
proporção quando b
a 5 d
c . Lemos: “a está para b assim como c está para d”.
• Podemos escrever na forma de razão as medidas de cada par de lados 
correspondentes desses polígonos. Considerando os de medidas 
iguais a 12 e 6, temos 6
12 5 1
2 . Assim, dizemos que 2 é a razão de 
semelhança desses polígonos. Escreva as outras medidas na forma de 
uma razão.
b) Agora, por meio de proporções entre as razões, com as medidas 
indicadas por x, y e z e a razão de semelhança 2, determine os 
valores desconhecidos.
 20y , 7
x e ,6 5
z .
2 5 20y ] 2 3 y 5 20 ] y 5 2
20 ] y 5 10
2 5 7
x ] 2 3 7 5 x ] x 5 14
2 5 ,6 5
z ] 2 3 6,5 5 z ] z 5 13
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Compreenda
a) O que é proposto na atividade?
Determinar os valores de x, y e z.
b) Quais são as medidas dos lados desses quadriláteros?
As medidas dos lados dos quadriláteros são: quadrilátero azul: z, 20, x, 12; e quadrilátero 
roxo: 6,5, y, 7 e 6.
c) Qual é a relação entre as medidas dos lados e entre as medidas dos ângulos desses 
quadriláteros?
Como esses quadriláteros são semelhantes, as medidas dos lados são proporcionais, e as 
medidas dos ângulos são congruentes.
Recorde
Figuras semelhantes são aquelas que têm os lados correspondentes proporcionais e 
os ângulos correspondentes congruentes.
Os quadriláteros ABCD e A’B’C’D’ a seguir são semelhantes.
D
45º 45º
135º 135º
C
BA
D’
45º 45º
135º 135º
C’
B’A’
Indicamos por: ABCD ~ A’B’C’D’.
Considere os polígonos a seguir.
12
6,5
6
7
20
z
x
y
• Sabendo que esses polígonos são semelhantes, determine os valores de x, y e z.
Atividade 1
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Figuras semelhantes6
Lição
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(050_057)_APROVA_9ANO_MAT_L06_GUIA.indd 50 11/10/19 13:14
51
No item c da seção Compreenda, os alunos de-
vem estabelecer a relação entre as medidas dos 
lados e dos ângulos dos quadriláteros, conside-
rando que são semelhantes entre si, portanto 
são proporcionais as medidas dos lados e as 
medidas dos ângulos devem ser iguais. Essas 
relações são importantes para que os alunos 
determinem as medidas desconhecidas.
Solicite que leiam a explicação apresentada no 
item a da seção Responda. Pergunte se têm 
dúvidas. Em caso afirmativo, desenhe polígo-
nos no quadro de giz para atribuir medidas aos 
lados e usar a explicação apresentada no item 
a, para que os alunos compreendam essa classe 
de situações-problema. Caso mencionem ou-
tras estratégias para estabelecer relações entre 
as medidas dos lados de um polígono, solicite 
que as compartilhem com o restante da turma. 
É importante que compreendam que a razão 
expressa a comparação entre duas grandezas 
e, ao dividirem as medidas dessas grandezas 
entre si, estão comparando-as, sendo a primei-
ra o parâmetro para a comparação efetuada. 
O resultado dessa divisão representa a porcen-
tagem de ampliação ou de redução da figura 
parâmetro. O quociente obtido indica a razão 
entre as grandezas em questão.
Sempre que possível, amplieas atividades per-
guntando sobre a razão entre os perímetros e 
entre as áreas das figuras. Exemplo: perímetro 
de um polígono menor 5 20 e perímetro de 
um polígono maior 5 30; portanto, k 5 3
2 , sen-
do k 5 b
a , com a e b % 0, em que a indica o 
antecedente e b, a consequência da razão; e a 
razão indica o valor de a quando comparado 
à medida b.
O item a permite que os alunos relembrem os 
conceitos de razão e de proporção, que serão 
usados para determinar as medidas desconhe-
cidas. Antes de determinarem essas medidas, 
é essencial que identifiquem os lados corres-
pondentes na figura; para isso, devem levar 
em consideração as medidas dos lados e dos 
ângulos de cada figura.
DIFICULDADES: O QUE FAZER?
Apresentam dificuldades em redução e ampliação de polígonos.
Ofereça desenhos de polígonos diversos para que desenvolvam técnicas de redução e de am-
pliação. Aproveite para oferecer as razões de semelhança entre as figuras, solicitando que 
atendam a elas de acordo com as transformações indicadas, e vice-versa. Troque os desenhos 
obtidos entre os próprios alunos, para que verifiquem as produções uns dos outros, seguindo 
os critérios de verificação do ponto de intersecção dos segmentos de reta formados pelos 
pontos do polígono e seus correspondentes, os comprimentos dos lados, a congruência dos 
ângulos e a manutenção do formato das figuras.
d) Quais são as medidas de cada par de lados correspondentes 
desses polígonos?
As medidas dos lados correspondentes são z e 6,5; 20 e y; x e 7; 12 e 6.
Responda 
a) Leia.
Muitas vezes, comparamos duas quantidades ou duas medidas por meio de uma 
divisão. Essa divisão, muitas vezes apresentada em forma de fração, é chamada de 
razão. A razão entre dois números a e b, com b q 0, nessa ordem, é b
a . 
Sentenças que representam uma igualdade entre razões são chamadas de 
proporção. Quatro números não nulos, a, b, c e d, formam, nessa ordem, uma 
proporção quando b
a 5 d
c . Lemos: “a está para b assim como c está para d”.
• Podemos escrever na forma de razão as medidas de cada par de lados 
correspondentes desses polígonos. Considerando os de medidas 
iguais a 12 e 6, temos 6
12 5 1
2 . Assim, dizemos que 2 é a razão de 
semelhança desses polígonos. Escreva as outras medidas na forma de 
uma razão.
b) Agora, por meio de proporções entre as razões, com as medidas 
indicadas por x, y e z e a razão de semelhança 2, determine os 
valores desconhecidos.
 20y , 7
x e ,6 5
z .
2 5 20y ] 2 3 y 5 20 ] y 5 2
20 ] y 5 10
2 5 7
x ] 2 3 7 5 x ] x 5 14
2 5 ,6 5
z ] 2 3 6,5 5 z ] z 5 13
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Compreenda
a) O que é proposto na atividade?
Determinar os valores de x, y e z.
b) Quais são as medidas dos lados desses quadriláteros?
As medidas dos lados dos quadriláteros são: quadrilátero azul: z, 20, x, 12; e quadrilátero 
roxo: 6,5, y, 7 e 6.
c) Qual é a relação entre as medidas dos lados e entre as medidas dos ângulos desses 
quadriláteros?
Como esses quadriláteros são semelhantes, as medidas dos lados são proporcionais, e as 
medidas dos ângulos são congruentes.
Recorde
Figuras semelhantes são aquelas que têm os lados correspondentes proporcionais e 
os ângulos correspondentes congruentes.
Os quadriláteros ABCD e A’B’C’D’ a seguir são semelhantes.
D
45º 45º
135º 135º
C
BA
D’
45º 45º
135º 135º
C’
B’A’
Indicamos por: ABCD ~ A’B’C’D’.
Considere os polígonos a seguir.
12
6,5
6
7
20
z
x
y
• Sabendo que esses polígonos são semelhantes, determine os valores de x, y e z.
Atividade 1
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Figuras semelhantes6
Lição
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(050_057)_APROVA_9ANO_MAT_L06_GUIA.indd 51 11/10/19 13:14
52
Lição 6
Orientações didáticas
Atividade 2
Tendo em vista que esta atividade é uma am-
pliação da atividade anterior, procure esta-
belecer relações entre elas. Com o software 
Geogebra (disponível em: <www.geogebra.
org>; acesso em: 4 ago. 2019), é possível rea-
lizar construções dinâmicas. Pode-se solicitar 
aos alunos que construam um polígono a par-
tir do posicionamento de um ponto no plano 
cartesiano (A). Em seguida, devem proceder à 
construção de um polígono a certa distância 
do ponto inicial (polígono BCDE) e, por meio 
da ferramenta Homotetia do software, selecio-
nando a imagem inicial, produzir a homotética 
desta, conforme a razão de ampliação ou de 
redução escolhida. Por fim, eles devem traçar 
as retas de intersecção que passam pela homo-
tética, pela figura original e pelo ponto inicial. 
Outro modo de observar o ponto de intersec-
ção entre figuras planas semelhantes é ofere-
cer aos alunos papel sem pauta, com figuras já 
desenhadas. Eles devem construir figuras am-
pliadas e/ou reduzidas e, por fim, encontrar o 
ponto de intersecção dos segmentos traçados a 
partir do ponto e seu correspondente na figu-
ra homotética ou transformada. Discuta com a 
turma as diferenças observadas em relação aos 
diversos pontos e os casos em que esse ponto 
de intersecção aparece dentro de uma das fi-
guras, ou até mesmo como pertencente a uma 
delas, chamando a atenção para a razão de se-
melhança em cada um dos casos. 
Explique aos alunos que, quando os segmentos 
de reta não se interceptam no mesmo ponto, 
indicam distorção da imagem original e, por-
tanto, são apoio para verificar se as imagens 
não são semelhantes entre si.
Caso seja conveniente, aborde a temática da 
ampliação e redução de figuras solicitando aos 
alunos que recortem fotografias. Em segui-
da, peça que meçam as fotografias coletadas, 
anotando esses dados. Apresente questões aos 
alunos, como: “Quais seriam as medidas da 
fotografia se a largura fosse dobrada? O que 
aconteceria com a altura da foto? Qual seria a 
área da figura ampliada? Qual seria o períme-
tro da figura ampliada? E as medidas da área e 
do perímetro da imagem original? Quais são as 
relações entre as medidas dos comprimentos? 
E das larguras? E das áreas?”. 
Atividade Tema Descritor
2 I
D7 – Reconhecer que as imagens de uma figura construída 
por uma transformação homotética são semelhantes, 
identificando propriedades e/ou medidas que se modificam 
ou não se alteram.
Responda
a) Qual é o ângulo do polígono MNOPQ, correspondente ao ângulo AW 
do polígono ABCDE?
O ângulo correspondente é o PW.
b) Quais são as medidas dos lados adjacentes ao ângulo AW? Esses lados 
possuem mesma medida?
As medidas dos lados adjacentes ao ângulo AW são 9,6 cm e 10,8 cm; portanto, eles não 
têm a mesma medida.
c) Qual é a relação entre os lados adjacentes ao ângulo determinado no 
item a e os lados adjacentes ao ângulo AW? Justifique.
A relação entre os lados adjacentes é que eles são proporcionais, pois são adjacentes a 
ângulos congruentes.
d) Determine as razões relativas aos lados correspondentes nos dois 
pentágonos. Use incógnitas como x, y, z, w e v para indicar as medidas 
desconhecidas dos lados MN , NO , OP , PQ e QM , respectivamente.
As razões são: ,8 25
x
, ,10 2
y
, ,7 2
z
, ,6 4
w
 e ,3 8
v
.
e) Agora, determine as medidas desconhecidas.
f) Qual é o perímetro do pentágono MNOPQ?
5,5 1 6,8 1 7,2 1 6,4 1 3,8 5 29,7 (29,7 cm)
g) Determine o perímetro do pentágono ABCDE. Usando a razão de 
semelhança entre os polígonos, determine o perímetro p do pentágono 
MNOPQ. O resultado obtido foi o mesmo do item f?
O resultado obtido foi o mesmo do item f. Com isso, espera-se que os alunos percebam 
que a razão de semelhança também é válida para o perímetro.
9,6 1 10,8 1 10,2 1 8,25 1 5,7 5 44,55
,8 25
x 5 2
3 ] 3x 5 16,5 ] x 5 5,5 (5,5 cm)
,10 2
y 5 2
3 ] 3y 5 20,4 ] y 5 6,8 (6,8 cm)
,10 8
z 5 2
3 ] 3z 5 21,6 ] z 5 7,2 (7,2 cm)
,9 6
w 5 2
3 ] 3w 5 19,2] w 5 6,4 (6,4 cm)
,5 7
v 5 2
3 ] 3v 5 11,4 ] v 5 3,8 (3,8 cm)
,44 55
p 5 2
3 ] 3p 5 89,1 ] p 5 29,7 (29,7 cm)
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Compreenda
a) O que é proposto na atividade?
É proposto que se determine o perímetro do pentágono MNOPQ e que se explique o que 
ocorre com a razão entre os perímetros dos dois polígonos
b) Quais são as medidas dos lados do pentágono ABCDE?
As medidas dos lados do pentágono ABCDE são 10,8 cm, 10,2 cm, 8,25 cm, 5,7 cm e 9,6 cm.
c) Quais são as medidas dos ângulos internos do pentágono ABCDE? E as 
do pentágono MNOPQ?
As medidas internas dos ângulos do pentágono ABCDE são congruentes às respectivas 
medidas dos ângulos do pentágono MNOPQ, que são: 122°, 70°, 125°, 126° e 97°.
d) Os ângulos correspondentes desses polígonos são congruentes?
Sim, os ângulos correspondentes são congruentes.
e) Qual é a razão de semelhança entre esses pentágonos?
A razão de semelhança entre os dois pentágonos é 
2
3 .
f) Como podemos determinar o perímetro de um polígono?
Podemos determinar o perímetro de um polígono calculando a soma das medidas de seus 
lados.
Observe os pentágonos ABCDE e MNOPQ, que são semelhantes.
70º
122º 10,8 cm9,6 cm
5,7 cm
8,25 cm
10,2 cm125º 125º
122º
126º
97º
70º
126º
97ºE
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Atividade 2
• Sabendo que a razão de semelhança 
entre esses polígonos é de 2
3 , 
determine o perímetro do pentágono 
MNOPQ e explique o que ocorre com 
a razão entre os perímetros dos dois 
polígonos.
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Figuras semelhantesLição 6
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(050_057)_APROVA_9ANO_MAT_L06_GUIA.indd 52 11/10/19 13:14
53
Na presente atividade, os alunos devem determi-
nar o perímetro de uma figura semelhante a outra, 
com base na razão de semelhança entre elas. Para 
tanto, retome com a turma o conceito de razão. 
Explique que esse conceito apresenta aplicações 
em diferentes práticas socioculturais, entre elas 
o cálculo de densidade de diferentes materiais 
(densidade 5 
volume
massa ), o cálculo da escala 
(escala 5 
real
redução
), usado na produção de ma-
pas, plantas, croquis etc., cálculo de velocidade 
média (Vmédia 5 tempo
distância). É importante ressaltar 
que essas aplicações possuem unidades de medida 
específicas, dadas pela razão entre as unidades uti-
lizadas para medir as grandezas em comparação. 
Exemplo: 
• Qual é a densidade da massa de 1.685 g de de-
tergente que está ocupando o volume de um va-
silhame de 2 L? Relembrando que 2 L 5 2 dm3 5 
5 2.000 cm3, então, densidade 5 .
.
2 000
1 685 5 
5 0,8425 g/cm3. Assim, a unidade usada para 
medir a densidade é g/cm³.
Lembre os alunos de que uma proporção é es-
tabelecida pela igualdade entre duas razões. 
Assim: '
'
b
a
b
a k5 5 , sendo a, b, a’ e b’ % 0 e k a 
constante de proporção entre as grandezas. 
A relação 'a b3 indica os meios da propor-
ção, e a relação 'a b3 indica os extremos da 
proporção. A igualdade entre os meios e os 
extremos de uma proporção indica sua pro-
priedade fundamental, em que ' 'a b a b3 5 3 . 
Assim, b
a
b'
a' a b' a' b'5 3 5 3& .
Os itens c e d da seção Compreenda possibi-
litam que os alunos distingam congruência e 
semelhança de polígonos. 
Note que os itens a e e da seção Responda têm 
o objetivo de encaminhar a solução da questão 
que oferece a razão de semelhança entre os 
polígonos dados para que seja obtido o perí-
metro do menor deles. 
Ao responderem ao item f, espera-se que os 
alunos expressem autonomia para determinar 
todas as medidas dos lados da figura reduzida 
e, posteriormente, o perímetro pedido. 
No item g, eles devem determinar o perímetro 
da figura original e, usando a razão de seme-
lhança dada pelo enunciado, o perímetro da 
figura reduzida. Por fim, devem comparar o 
valor obtido no item g com o valor obtido no 
item f. 
Retome com a turma que a razão de seme-
lhança para as medidas dos lados será sempre 
válida para os perímetros das figuras, mas isso 
não ocorre para as áreas das figuras. Essa dis-
cussão foi apresentada ao longo da atividade 
1 e será retomada como apoio na atividade 4.
DIFICULDADES: O QUE FAZER?
Não reconhecem transformações homotéticas.
Caso os alunos apresentem dificuldade para reconhecer transformações homotéticas em figu-
ras planas, proponha atividades que envolvam ampliações ou reduções dessas figuras, com o 
objetivo de medir os elementos das figuras obtidas e compará-los com os elementos corres-
pondentes da figura de origem. Numa segunda etapa, como sequência dos objetivos propos-
tos, os alunos devem verificar a congruência dos ângulos e a proporcionalidade dos lados. 
Solicite que ampliem e reduzam diferentes figuras, observando os aspectos necessários para 
fazer as alterações propostas, conduzindo-os às conclusões sobre a manutenção das medidas 
dos ângulos e as razões de semelhança entre as figuras.
Alie à sequência de atividades um momento em que os alunos possam ter contato com o vídeo 
“Semelhança de polígonos: definição e razão de semelhança” (disponível em: <www.youtube.
com/watch?v=oMRY2qVq2K0>; acesso em: 4 ago. 2019). 
Responda
a) Qual é o ângulo do polígono MNOPQ, correspondente ao ângulo AW 
do polígono ABCDE?
O ângulo correspondente é o PW.
b) Quais são as medidas dos lados adjacentes ao ângulo AW? Esses lados 
possuem mesma medida?
As medidas dos lados adjacentes ao ângulo AW são 9,6 cm e 10,8 cm; portanto, eles não 
têm a mesma medida.
c) Qual é a relação entre os lados adjacentes ao ângulo determinado no 
item a e os lados adjacentes ao ângulo AW? Justifique.
A relação entre os lados adjacentes é que eles são proporcionais, pois são adjacentes a 
ângulos congruentes.
d) Determine as razões relativas aos lados correspondentes nos dois 
pentágonos. Use incógnitas como x, y, z, w e v para indicar as medidas 
desconhecidas dos lados MN , NO , OP , PQ e QM , respectivamente.
As razões são: ,8 25
x
, ,10 2
y
, ,7 2
z
, ,6 4
w
 e ,3 8
v
.
e) Agora, determine as medidas desconhecidas.
f) Qual é o perímetro do pentágono MNOPQ?
5,5 1 6,8 1 7,2 1 6,4 1 3,8 5 29,7 (29,7 cm)
g) Determine o perímetro do pentágono ABCDE. Usando a razão de 
semelhança entre os polígonos, determine o perímetro p do pentágono 
MNOPQ. O resultado obtido foi o mesmo do item f?
O resultado obtido foi o mesmo do item f. Com isso, espera-se que os alunos percebam 
que a razão de semelhança também é válida para o perímetro.
9,6 1 10,8 1 10,2 1 8,25 1 5,7 5 44,55
,8 25
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3 ] 3x 5 16,5 ] x 5 5,5 (5,5 cm)
,10 2
y 5 2
3 ] 3y 5 20,4 ] y 5 6,8 (6,8 cm)
,10 8
z 5 2
3 ] 3z 5 21,6 ] z 5 7,2 (7,2 cm)
,9 6
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3 ] 3w 5 19,2 ] w 5 6,4 (6,4 cm)
,5 7
v 5 2
3 ] 3v 5 11,4 ] v 5 3,8 (3,8 cm)
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3 ] 3p 5 89,1 ] p 5 29,7 (29,7 cm)
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Compreenda
a) O que é proposto na atividade?
É proposto que se determine o perímetro do pentágono MNOPQ e que se explique o que 
ocorre com a razão entre os perímetros dos dois polígonos
b) Quais são as medidas dos lados do pentágono ABCDE?
As medidas dos lados do pentágono ABCDE são 10,8 cm, 10,2 cm, 8,25 cm, 5,7 cm e 9,6 cm.
c) Quais são as medidas dos ângulos internos do pentágono ABCDE? E as 
do pentágono MNOPQ?
As medidas internas dos ângulos do pentágono ABCDE são congruentes às respectivas 
medidas dos ângulos do pentágono MNOPQ, que são: 122°, 70°, 125°, 126° e 97°.
d) Os ângulos correspondentes desses polígonos são congruentes?
Sim, os ângulos correspondentes são congruentes.
e) Qual é a razãode semelhança entre esses pentágonos?
A razão de semelhança entre os dois pentágonos é 
2
3 .
f) Como podemos determinar o perímetro de um polígono?
Podemos determinar o perímetro de um polígono calculando a soma das medidas de seus 
lados.
Observe os pentágonos ABCDE e MNOPQ, que são semelhantes.
70º
122º 10,8 cm9,6 cm
5,7 cm
8,25 cm
10,2 cm125º 125º
122º
126º
97º
70º
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97ºE
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Atividade 2
• Sabendo que a razão de semelhança 
entre esses polígonos é de 2
3 , 
determine o perímetro do pentágono 
MNOPQ e explique o que ocorre com 
a razão entre os perímetros dos dois 
polígonos.
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Figuras semelhantesLição 6
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54
Lição 6
Orientações didáticas
Atividade 3 
Esta atividade, tal como as demais que com-
põem esta lição, aborda o descritor D7, cujo 
objetivo é verificar se os alunos reconhecem 
as imagens semelhantes formadas por constru-
ções homotéticas e identificam propriedades 
e/ou medidas que se modificam ou não com 
essas transformações. Isso exige deles habili-
dades relacionadas à aplicação das noções de 
congruência e de semelhança para resolver e 
elaborar problemas que envolvem triângulos 
em variados contextos. 
Assim, é possível avaliar se eles são capazes de 
identificar os pares de triângulos semelhantes 
apresentados, o que pode ser reforçado pela 
explicação da seção Recorde, por meio da 
qual os alunos podem relembrar os diferentes 
casos de semelhança de triângulos. Essas rela-
ções podem ser acessadas de modo resumido 
no site <https://portaldosaber.obmep.org.br/
uploads/msg/c8gxf9ka128k8.pdf> (acesso em: 
4 ago. 2019), cujo documento “Semelhanças 
entre figuras e polígonos” pode ser baixado 
como suporte para os estudos, bem como 
para uso em sala de aula.
Atividade Tema Descritor
3 I
D7 – Reconhecer que as imagens de uma figura construída 
por uma transformação homotética são semelhantes, 
identificando propriedades e/ou medidas que se modificam 
ou não se alteram.
b) Quais são as medidas dadas em cada triângulo?
Responda
a) Em quais triângulos são dadas as medidas dos três lados? 
Qual caso de semelhança é possível utilizar para verificar se 
eles são semelhantes? Verifique.
São dadas as medidas dos triângulos 2 e 5. O caso LLL mostra que sim, são semelhantes, 
pois ,
,
,
,
,
,
5 5
5 5
5 5
5 5
4 5
4 5
15 55 .
b) Em quais triângulos são dadas as medidas de 2 lados e de 1 ângulo 
interno? Esse ângulo interno é o ângulo formado por esses lados? Se sim, 
qual caso de semelhança é possível utilizar? Verifique se são semelhantes.
c) Em quais triângulos são dadas as medidas de 2 ângulos internos 
e de 1 lado? Nesses triângulos é possível utilizar o caso LAL de 
semelhança? Justifique.
d) É possível determinar a medida do outro ângulo interno nos triângulos 
identificados no item c? Se sim, calcule essas medidas.
e) Considerando os triângulos dos itens c e d, qual caso de semelhança é 
possível utilizar? Verifique se os triângulos são semelhantes.
Triângulo 1: medida de 2 ângulos internos e de 1 lado; triângulo 2: medida de 3 lados; tri-
ângulo 3: medida de 2 ângulos internos e de 1 lado; triângulo 4: medida de 2 lados e do 
ângulo interno entre eles; triângulo 5: medida de 3 lados; triângulo 6: medida de 2 lados e 
do ângulo interno entre eles.
São dadas as medidas de 2 lados e de 1 ângulo dos triângulos 4 e 6. Sim, é o ângulo 
interno formado por esses lados. O caso LAL mostra que sim, são semelhantes, pois 
,
4
10
3
7 5
2
55 5 , ou 2,5, e o ângulo entre esses lados mede 90°.
São dadas as medidas de 2 ângulos internos e de 1 lado dos triângulos 1 e 3. Não é um 
caso de semelhança, pois é necessário saber as medidas de 2 lados e do ângulo interno 
entre eles.
É possível determinar a medida do outro ângulo pela soma das medidas dos ângulos 
internos de um triângulo; temos que o outro ângulo interno do triângulo 1 mede 55° e o 
do triângulo 3 mede 80°.
Pelo caso AA, os triângulos são semelhantes, pois seus ângulos internos têm medidas 
iguais.
R
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id
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Recorde
Para saber se dois triângulos são semelhantes, basta verificar se um dos casos de 
semelhança, listados a seguir, é satisfeito.
A
A
B
B
C
A’
B’ C’
C
c
b
A
BC
c
b
a
A’
B’C’
c’
b’
a’
A’
B’C’
c’
b’
Atividade 3
Observe alguns triângulos.
Triângulo 1
5 cm 4,5 cm
4,5 cm
3 cm
5,5 cm 5,5 cm
5,5 cm
5,5 cm
7,5 cm
10 cm
6 cm
4 cm
Triângulo 2 Triângulo 3
Triângulo 4 Triângulo 5 Triângulo 6
80º
45º
55º
45º
• Caso AA (ângulo-ângulo): se 2 pares de ângulos 
internos correspondentes são congruentes, os 
triângulos são semelhantes.
• Caso LAL (lado-ângulo-lado): se as medidas de 2 
pares de lados correspondentes são proporcionais 
e os ângulos internos entre esses lados são 
congruentes, os triângulos são semelhantes.
• Caso LLL (lado-lado-lado): se as medidas de seus 3 
pares de lados correspondentes são proporcionais, 
os triângulos são semelhantes.
• Identifique os pares de triângulos semelhantes.
Compreenda
a) Qual é a tarefa proposta na atividade?
A tarefa proposta é identificar os pares de triângulos semelhantes.
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55
Aproveite para solicitar aos alunos que anali-
sem a razão de semelhança entre as medidas 
dos lados, entre os perímetros de cada triângu-
lo e entre as áreas dos triângulos apresentados 
no enunciado da atividade.
Explique que os casos de semelhança entre 
triângulos seguem a regra de que dois polígo-
nos são semelhantes quando existe proporcio-
nalidade entre seus lados e congruência entre 
seus ângulos correspondentes.
Ressalte que a semelhança pode ser dada pela 
existência de uma razão de proporcionalidade, 
o que indica o quociente entre a medida de um 
lado do primeiro triângulo e a medida do lado 
correspondente do segundo triângulo. A partir 
dessa divisão, espera-se que as demais divisões 
entre medidas de lados do par de triângulos 
obtenham o mesmo resultado da primeira, o 
que indica a razão de proporção, que é sempre 
a mesma.
Explique também que dois triângulos são seme-
lhantes caso 3 ângulos correspondentes sejam 
congruentes e 3 lados correspondentes possuam 
a mesma razão de proporcionalidade. 
Ao final das três últimas explicações, mostre 
que elas podem ser resumidas nos três casos 
de semelhança entre triângulos, o que pode 
facilitar a compreensão das comparações para 
determinar se são semelhantes.
Aproveite para ampliar a temática usando a 
decomposição de figuras planas, tais como 
quadriláteros, para demonstrar as proprieda-
des dessas figuras por meio da semelhança en-
tre triângulos. Essas demonstrações podem ser 
realizadas no quadro de giz.
O item b da seção Compreenda requer que os 
alunos identifiquem as medidas apresentadas 
em cada lado de cada triângulo. Por meio des-
sa solicitação é possível que eles analisem os 
casos que envolvam lados e ângulos e as pos-
sibilidades de relações de semelhança entre 
pares deles. 
No item a da seção Responda espera-se que os 
alunos percebam que, além de semelhantes, es-
ses triângulos são congruentes, uma vez que a 
razão de semelhança entre eles é igual a 1. 
Aproveite para solicitar aos alunos que identi-
fiquem se cada caso de semelhança estudado 
pode ser aplicado ao conjunto de triângulos no 
enunciado da atividade, justificando cada refu-
taçãoe cada afirmação.
DIFICULDADES: O QUE FAZER?
Não reconhecem a semelhança de triângulos.
Proponha a resolução das atividades presentes na animação "Medindo objetos através de 
semelhança de triângulos" (disponível em: <http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/
medindo_objetos/index2.html>; acesso em: 4 ago. 2019). Essas atividades podem auxiliá-los a 
compreender os casos de semelhança, sendo um recurso interessante para a consolidação da 
aprendizagem por oferecer atividades similares aos problemas resolvidos por Tales de Mileto, 
que determinou a altura da pirâmide medindo o comprimento de sua sombra, com base nas 
relações de semelhança entre triângulos.
b) Quais são as medidas dadas em cada triângulo?
Responda
a) Em quais triângulos são dadas as medidas dos três lados? 
Qual caso de semelhança é possível utilizar para verificar se 
eles são semelhantes? Verifique.
São dadas as medidas dos triângulos 2 e 5. O caso LLL mostra que sim, são semelhantes, 
pois ,
,
,
,
,
,
5 5
5 5
5 5
5 5
4 5
4 5
15 55 .
b) Em quais triângulos são dadas as medidas de 2 lados e de 1 ângulo 
interno? Esse ângulo interno é o ângulo formado por esses lados? Se sim, 
qual caso de semelhança é possível utilizar? Verifique se são semelhantes.
c) Em quais triângulos são dadas as medidas de 2 ângulos internos 
e de 1 lado? Nesses triângulos é possível utilizar o caso LAL de 
semelhança? Justifique.
d) É possível determinar a medida do outro ângulo interno nos triângulos 
identificados no item c? Se sim, calcule essas medidas.
e) Considerando os triângulos dos itens c e d, qual caso de semelhança é 
possível utilizar? Verifique se os triângulos são semelhantes.
Triângulo 1: medida de 2 ângulos internos e de 1 lado; triângulo 2: medida de 3 lados; tri-
ângulo 3: medida de 2 ângulos internos e de 1 lado; triângulo 4: medida de 2 lados e do 
ângulo interno entre eles; triângulo 5: medida de 3 lados; triângulo 6: medida de 2 lados e 
do ângulo interno entre eles.
São dadas as medidas de 2 lados e de 1 ângulo dos triângulos 4 e 6. Sim, é o ângulo 
interno formado por esses lados. O caso LAL mostra que sim, são semelhantes, pois 
,
4
10
3
7 5
2
55 5 , ou 2,5, e o ângulo entre esses lados mede 90°.
São dadas as medidas de 2 ângulos internos e de 1 lado dos triângulos 1 e 3. Não é um 
caso de semelhança, pois é necessário saber as medidas de 2 lados e do ângulo interno 
entre eles.
É possível determinar a medida do outro ângulo pela soma das medidas dos ângulos 
internos de um triângulo; temos que o outro ângulo interno do triângulo 1 mede 55° e o 
do triângulo 3 mede 80°.
Pelo caso AA, os triângulos são semelhantes, pois seus ângulos internos têm medidas 
iguais.
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Recorde
Para saber se dois triângulos são semelhantes, basta verificar se um dos casos de 
semelhança, listados a seguir, é satisfeito.
A
A
B
B
C
A’
B’ C’
C
c
b
A
BC
c
b
a
A’
B’C’
c’
b’
a’
A’
B’C’
c’
b’
Atividade 3
Observe alguns triângulos.
Triângulo 1
5 cm 4,5 cm
4,5 cm
3 cm
5,5 cm 5,5 cm
5,5 cm
5,5 cm
7,5 cm
10 cm
6 cm
4 cm
Triângulo 2 Triângulo 3
Triângulo 4 Triângulo 5 Triângulo 6
80º
45º
55º
45º
• Caso AA (ângulo-ângulo): se 2 pares de ângulos 
internos correspondentes são congruentes, os 
triângulos são semelhantes.
• Caso LAL (lado-ângulo-lado): se as medidas de 2 
pares de lados correspondentes são proporcionais 
e os ângulos internos entre esses lados são 
congruentes, os triângulos são semelhantes.
• Caso LLL (lado-lado-lado): se as medidas de seus 3 
pares de lados correspondentes são proporcionais, 
os triângulos são semelhantes.
• Identifique os pares de triângulos semelhantes.
Compreenda
a) Qual é a tarefa proposta na atividade?
A tarefa proposta é identificar os pares de triângulos semelhantes.
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(050_057)_APROVA_9ANO_MAT_L06_GUIA.indd 55 11/10/19 13:14
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/distancia-entre-dois-pontos.htm
56
Lição 6
Orientações didáticas
Atividade 4
Esta atividade também explora o descritor D7, 
que pertence ao Tema I – Espaço e Forma. Ela 
permitirá avaliar se os alunos reconhecem que 
as imagens de uma figura geométrica plana, 
construída por uma transformação homotéti-
ca, são semelhantes. Isso ocorre por meio da 
identificação de propriedades e/ou de medidas 
que se modificam ou não.
O objetivo da atividade é calcular o perímetro 
de duas figuras semelhantes, utilizando as me-
didas dos lados correspondentes. Ela poderá ser 
ampliada ao solicitar que determinem a razão 
de semelhança entre duas figuras planas que, 
inclusive, têm como serem decompostas em 
triângulos. Dessa forma, é possível definir a ra-
zão entre os perímetros dos triângulos obtidos.
É importante que os alunos compreendam que 
o enunciado indica os formatos dos terrenos, 
que correspondem a figuras planas semelhan-
tes. Por esse motivo, é possível afirmar que as 
medidas de seus lados são proporcionais. Esta 
noção será necessária para responderem ao 
item d da seção Compreenda. Aproveite este 
item para avaliar se os alunos compreendem 
que as razões entre as medidas dos compri-
mentos dos lados do terreno podem ser rela-
cionadas por meio de duas razões que possuem 
o mesmo resultado.
Para resolverem a questão proposta, retome, 
caso seja necessário, o conceito de perímetro. 
Espera-se que os alunos relacionem que as 
medidas dos comprimentos correspondem aos 
contornos dos terrenos, e que será necessário 
determinar a quantidade de cerca, em metros, 
para cada um dos terrenos. Isso será solicitado 
no item e da seção Compreenda.
Atividade Tema Descritor
4 I
D7 – Reconhecer que as imagens de uma figura construída 
por uma transformação homotética são semelhantes, 
identificando propriedades e/ou medidas que se modificam 
ou não se alteram.
Responda
a) Quais medidas dos terrenos 1 e 2 podem ser utilizadas para determinar 
a razão de semelhança entre os polígonos formados pelos terrenos? 
Para determinar a razão de semelhança entre o formato dos terrenos, podemos usar 
terreno 1: 2,5 m e terreno 2: 1,5 m.
b) Determine a razão de semelhança dos polígonos.
 ,
,
1 5
2 5
3
55
c) Sabendo a razão de semelhança calculada no item anterior, calcule as 
medidas desconhecidas dos lados do terreno 1.
As medidas do terreno 1 são: X 5 m, Y 5 m e Z 5 m.
d) Agora calcule as medidas desconhecidas dos lados do terreno 2.
As medidas do terreno 2 são: a 5 m, b 5 m e c 5 m.
e) Quantos metros de cerca deverão ser comprados para o terreno 1?
3,5 1 5 1 4,5 1 4 1 3,5 1 2,5 1 4,5 5 27,5
Para o terreno 1, deverão ser comprados m de cerca.
f) Quantos metros de cerca deverão ser comprados para o terreno 2?
2,1 1 3 1 2,7 1 2,4 1 2,1 1 1,5 1 2,7 5 16,5
Para o terreno 2, deverão ser comprados m de cerca.
3,5 4,5 4
3 2,7 2,1
27,5
16,5
, ,
,
,X X X2 1 3
5 3 5 2 1 3
10 5
3 5X 5 3 5 55 3 & &&
, ,
,
,Y Y YY2 3
5 3 5 2 3
1 5
57 7
3
45 3 5 3 5 5& & &
, ,
Z Z Z Z2 4 3
5 3 5 2 4 3
12 45 3 5 3 5 5& & &
a a a a
5
3
5 5 3 5 5
15 3 ou5 3 5 3 5 5& & & a a
5
3
5 35 5&
,
,
,
,b b b b
5
3
5 5 3 5 5
14
4
3 5
2 75 3 5 3 5 5& & &
,
,
,
,c c c c
3 5
3
5 5 3 5 5
1
3
0 5
2 15 3 5 3 5 5& & &
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Compreenda
a) Qual é a tarefa proposta na atividade?
A tarefa proposta é calcular quantos metros de cerca o proprietário deve comprar para cercar 
cada terreno.
b) Quais são as medidas fornecidas do terreno 1?As medidas fornecidas do terreno 1 são 5 m, 3,5 m, 2,5 m e 4,5 m.
c) Quais são as medidas fornecidas do terreno 2?
As medidas fornecidas do terreno 2 são 2,7 m, 2,4 m, 1,5 m e 2,1 m.
d) Se os terrenos formam polígonos semelhantes, o que pode ser afirmado 
em relação aos lados correspondentes de ambos?
Os lados correspondentes dos dois terrenos são proporcionais.
e) Para saber a metragem da cerca, o que deve ser calculado para cada 
terreno? Na Matemática, como é denominado esse cálculo?
Para calcular a metragem da cerca é preciso determinar a soma das medidas dos lados de 
cada terreno, o que na Matemática é denominado perímetro.
O proprietário de dois terrenos precisa comprar uma cerca de madeira 
vendida em metros, mas ele possui apenas a medida de alguns lados desses 
terrenos, conforme a figura abaixo. Sabendo que os terrenos são polígonos 
semelhantes, calcule quantos metros de cerca proprietário deve comprar para 
cada um deles.
X
5 m
Z
Y
a
b
c
2,5 m
4,5 m
3,5 m
2,1 m 2,7 m
2,4 m1,5 m
TERRENO 1 TERRENO 2
Atividade 4
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Figuras semelhantesLição 6
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(050_057)_APROVA_9ANO_MAT_L06_GUIA.indd 56 11/10/19 13:14
57
No item a da seção Responda é importante que 
os alunos identifiquem os lados corresponden-
tes para poderem determinar a razão de seme-
lhança. Dentre todas as medidas dos terrenos, 
nesse momento, as únicas medidas possíveis 
para calcular a razão de semelhança são 2,5 m 
e 1,5 m. A partir disso, eles poderão estabelecer 
uma igualdade que indica que caso ocorram va-
riações em uma das grandezas, na outra gran-
deza relacionada também terá variações.
Para responderem ao item b da seção Respon-
da, é necessário que determinem a razão de 
semelhança entre os polígonos por meio da 
razão entre quaisquer dois comprimentos cor-
respondentes. Ao obterem o valor da razão, 
pergunte-lhes o que esse valor significa. Espe-
ra-se que compreendam que quaisquer razões 
entre as medidas do terreno maior e o terreno 
menor deverá resultar em 3
5 , ou, ainda, apro-
ximadamente 1,67. 
Nos itens e e f da seção Responda, após os cál-
culos das medidas de comprimento de cada um 
dos lados dos terrenos, solicite que retomem a 
noção de perímetro requerida no item e da se-
ção Compreenda. Aproveite os valores obtidos 
nesses itens para solicitar o cálculo da razão de 
semelhança entre as figuras formadas pelos 
terrenos a partir das medidas dos perímetros. 
Assim, poderão perceber que essa razão é uma 
constante entre as medidas dos terrenos, pois 
27,5 4 16,5 & 1,67. 
Explique que a razão de semelhança entre fi-
guras planas pode ser dada pela razão entre 
medidas lineares de uma figura plana, tais 
como o perímetro. Pergunte: “Qual a razão 
de semelhança entre as figuras planas a seguir 
com base em seus perímetros?”
A
E
D
C
H
I
J
B
F
G
k
FG GH HI IJ JF
AB BC CD DE AE
=
+ + + +
+ + + + . Após rea-
lizar essas explicações usando desenhos no 
quadro de giz, ofereça exemplos numéricos 
aos alunos para as medidas dos lados e, tam-
bém, diferentes figuras planas, com o objetivo 
de que determinem a constante de semelhan-
ça por meio do perímetro e comparem os valo-
res obtidos, verificando se são constantes.
Aproveite a oportunidade para mostrar aos 
alunos que os conhecimentos relativos à se-
melhança entre figuras têm diversas aplicações 
em diferentes contextos de práticas sociocultu-
rais, tais como medições de distâncias, elabora-
ção de mapas e plantas, programação de guias 
de posicionamento geográfico, elaboração de 
maquetes, ampliação de fotos e imagens em 
geral, entre outras. 
DIFICULDADES: O QUE FAZER?
Não identificam semelhanças entre figuras planas.
Para os alunos que tiverem dificuldades em identificar relações de semelhanças entre figuras 
planas, ofereça exemplos diferentes figuras desse tipo. Primeiramente, solicite que, fazendo 
uso de um instrumento de medida, determinem as medidas de cada um dos lados das figuras 
e registrem os resultados no caderno. Atribua uma razão de semelhança a cada uma das figu-
ras. Em seguida, peça a eles que construam, em malha quadriculada, uma figura semelhante a 
cada uma das figuras originais dadas. Por fim, solicite que verifiquem a razão de semelhança 
entre as figuras, que deverá ser constante. 
 Essa atividade permitirá aos alunos compreenderem que para obter uma figura semelhante 
por ampliação ou redução, eles devem multiplicar cada um dos segmentos da figura original 
por uma constante, e essa constante precisará aparecer quando relacionarem as medidas li-
neares correspondentes de figuras semelhantes.
Responda
a) Quais medidas dos terrenos 1 e 2 podem ser utilizadas para determinar 
a razão de semelhança entre os polígonos formados pelos terrenos? 
Para determinar a razão de semelhança entre o formato dos terrenos, podemos usar 
terreno 1: 2,5 m e terreno 2: 1,5 m.
b) Determine a razão de semelhança dos polígonos.
 ,
,
1 5
2 5
3
55
c) Sabendo a razão de semelhança calculada no item anterior, calcule as 
medidas desconhecidas dos lados do terreno 1.
As medidas do terreno 1 são: X 5 m, Y 5 m e Z 5 m.
d) Agora calcule as medidas desconhecidas dos lados do terreno 2.
As medidas do terreno 2 são: a 5 m, b 5 m e c 5 m.
e) Quantos metros de cerca deverão ser comprados para o terreno 1?
3,5 1 5 1 4,5 1 4 1 3,5 1 2,5 1 4,5 5 27,5
Para o terreno 1, deverão ser comprados m de cerca.
f) Quantos metros de cerca deverão ser comprados para o terreno 2?
2,1 1 3 1 2,7 1 2,4 1 2,1 1 1,5 1 2,7 5 16,5
Para o terreno 2, deverão ser comprados m de cerca.
3,5 4,5 4
3 2,7 2,1
27,5
16,5
, ,
,
,X X X2 1 3
5 3 5 2 1 3
10 5
3 5X 5 3 5 55 3 & &&
, ,
,
,Y Y YY2 3
5 3 5 2 3
1 5
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, ,
Z Z Z Z2 4 3
5 3 5 2 4 3
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5
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5
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,
,
,
,b b b b
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,
,
,
,c c c c
3 5
3
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Compreenda
a) Qual é a tarefa proposta na atividade?
A tarefa proposta é calcular quantos metros de cerca o proprietário deve comprar para cercar 
cada terreno.
b) Quais são as medidas fornecidas do terreno 1?
As medidas fornecidas do terreno 1 são 5 m, 3,5 m, 2,5 m e 4,5 m.
c) Quais são as medidas fornecidas do terreno 2?
As medidas fornecidas do terreno 2 são 2,7 m, 2,4 m, 1,5 m e 2,1 m.
d) Se os terrenos formam polígonos semelhantes, o que pode ser afirmado 
em relação aos lados correspondentes de ambos?
Os lados correspondentes dos dois terrenos são proporcionais.
e) Para saber a metragem da cerca, o que deve ser calculado para cada 
terreno? Na Matemática, como é denominado esse cálculo?
Para calcular a metragem da cerca é preciso determinar a soma das medidas dos lados de 
cada terreno, o que na Matemática é denominado perímetro.
O proprietário de dois terrenos precisa comprar uma cerca de madeira 
vendida em metros, mas ele possui apenas a medida de alguns lados desses 
terrenos, conforme a figura abaixo. Sabendo que os terrenos são polígonos 
semelhantes, calcule quantos metros de cerca proprietário deve comprar para 
cada um deles.
X
5 m
Z
Y
a
b
c
2,5 m
4,5 m
3,5 m
2,1 m 2,7 m
2,4 m1,5 m
TERRENO 1 TERRENO 2
Atividade 4
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Figuras semelhantesLição 6
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(050_057)_APROVA_9ANO_MAT_L06_GUIA.indd 57 11/10/19 13:14
58
Lição 7
Conteúdos desenvolvidos
• Plano cartesiano.
• Perímetro.
• Área.• Ponto médio.
• Semelhança entre figuras planas.
Orientações didáticas
Atividade 1 
A atividade aborda o descritor D9, pertencente 
ao Tema I – Espaço e Forma. Esse descritor tem 
como objetivo avaliar a habilidade dos alunos 
de interpretar  informações apresentadas por 
meio de coordenadas cartesianas, possibili-
tando também revisar e verificar a habilidade 
interpretativa deles em relação às informações 
presentes em diferentes situações-problema.
Explique que é possível associar a temática do 
plano cartesiano com as temáticas de latitu-
de e longitude, como descrições de localização 
geográfica ou coordenadas geográficas de de-
terminado lugar na Terra. As coordenadas geo-
gráficas são utilizadas em mapas e no sistema 
de posicionamento global (GPS), por exemplo. 
Aproveite a temática da atividade para reto-
mar com os alunos que as coordenadas car-
tesianas são indicadas por um par ordenado, 
como ponto  C  (8, 3), sendo 8 e 3 as coorde-
nadas que indicam sua localização. A abscissa 
é indicada pelo primeiro número do par, e a 
ordenada, pelo segundo.
Use a seção Recorde para retomar com os alu-
nos como deve ser feita a representação de 
um ponto no plano cartesiano e a constituição 
do plano cartesiano por eixos e quadrantes. 
Caso apresentem dificuldade para identificar 
os elementos do plano cartesiano, disponibili-
ze papel quadriculado para que tracem os ei-
xos x e y e localizem cada um dos quadrantes.
Atividade Tema Descritor
1 I D9 – Interpretar informações apresentadas por meio de coordenadas cartesianas.
Compreenda
a) Qual é a tarefa proposta na atividade?
Verificar se Sandro representou os pontos no plano cartesiano corretamente e responder
às demais questões propostas na tarefa de casa pelo professor.
b) A quantidade de pontos representados no plano cartesiano é a mesma 
que a ditada por Pedro? Quantos pontos foram representados?
A quantidade de pontos representados no plano é a mesma que foi ditada. Foram repre-
sentados 6 pontos.
c) De acordo com a anotação, quais pontos deveriam ser representados e 
quais são suas coordenadas?
A (21, 3), B (23, 22), C (0, 22), D (24, 0), E (2, 3) e F (1, 21).
d) Além da representação dos pontos no plano cartesiano, quais outras 
atividades devem ser feitas na tarefa de casa?
Identificar os quadrantes em que cada ponto está localizado e indicar um ponto com
abscissa zero e ordenada positiva e um ponto com abscissa positiva e ordenada zero.
e) Indique o sinal das coordenadas em cada quadrante do plano cartesiano.
1o quadrante: abscissa e ordenada positivas.
2o quadrante: abscissa negativa e ordenada positiva.
3o quadrante: abscissa e ordenada negativas.
4o quadrante: abscissa positiva e ordenada negativa.
Responda
a) Leia a informação a seguir.
A localização de um ponto no plano pode ser feita por meio do cruzamento 
entre uma linha vertical, que intersecta o eixo x na abscissa do ponto, e uma linha 
horizontal, que intersecta o eixo y na ordenada.
• Verifique se Sandro representou os pontos corretamente e responda às demais 
questões da tarefa de casa.
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Sandro faltou na aula sobre representação de pontos no plano cartesiano e 
pediu ao seu colega Pedro que lhe passasse o que o professor havia solicitado 
como tarefa para casa. Pedro repassou a seguinte tarefa:
• Represente no plano cartesiano os pontos: A ( 21, 3), B ( 23, 22), C (0, 22), D (24, 0), 
E (2, 3) e F (1, 21).
• Identifique os quadrantes nos quais cada ponto está localizado.
• Indique um ponto com abscissa zero e ordenada positiva e um ponto com 
abscissa positiva e ordenada zero.
Sandro começou a tarefa marcando os pontos no plano cartesiano, mas não 
soube responder a tudo o que o professor pediu. Observe os pontos que ele marcou:
4
3
2
1
–1
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–3
–4
0
y
x1–1–2–3–4–5 2 3
A
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4 5
A (–1, 3)
B (–3, –2)
C (0, –2)
D (–4, 0)
E (2, 3)
F (1, –1)
E
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A (–1, 3)
B (–3, –2)
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D (–4, 0)
E (2, 3)
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Atividade 1
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Plano cartesiano: 
ponto médio, perímetro e área7
Lição
Um ponto do plano pode ser representado por um par ordenado de números indicados 
na forma (x, y).
Nesse caso, representamos o ponto em um plano cartesiano, formado por dois 
eixos perpendiculares que se intersectam na origem do sistema, ou seja, no ponto de 
coordenadas (0, 0), e dividem o plano em 4 quadrantes, denominados, no sentido anti-
horário, 1o, 2o, 3o e 4o quadrantes.
O eixo horizontal é o eixo x (das abscissas), e o eixo vertical é o eixo y (das ordenadas).
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1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
60
A ordenada do
ponto A é 3.
A abscissa do
ponto A é 4.
A (4,3)
2o Quadrante 1o Quadrante
3o Quadrante 4o Quadrante
Sentido anti-horário
y
y
x
x
 
Recorde
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59
Aproveite a atividade para propor aos alunos 
o mesmo processo apresentado pelo enuncia-
do, solicitando que retomem o plano carte-
siano por eles traçado para identificação dos 
elementos constitutivos e, ao receberem coor-
denadas de diferentes pontos, localizem cada 
um deles. 
Ofereça também pontos localizados no plano 
cartesiano para que os alunos descrevam as 
coordenadas de cada um deles, principalmente 
pontos localizados nos eixos x e y. Forneça di-
ferentes pontos com abscissa zero e outros com 
ordenada zero e peça que identifiquem o que 
isso significa (eles devem observar que esses 
pontos estarão sobre os eixos). Caso apresen-
tem dificuldade, proponha outras atividades 
desse tipo para que consolidem a compreen-
são do funcionamento do sistema cartesiano 
de coordenadas.
Permita que leiam o enunciado individualmen-
te. Em seguida, solicite que respondam aos 
itens da seção Compreenda, para verificar a 
compreensão deles sobre as questões solicita-
das na tarefa de casa, a quantidade de pontos 
representados no plano cartesiano e as coorde-
nadas específicas de cada ponto, indicadas por 
(x, y). Os alunos devem identificar a designação 
incorreta de um dos pontos, corrigindo-a.
O item a da seção Responda solicita que os alu-
nos, a partir de coordenadas dadas, verifiquem 
pontos localizados no plano. Explique que o 
sistema de coordenadas no plano cartesiano 
permite a especificação de localização de pon-
tos, sendo a abscissa referente à coordenada 
horizontal e a ordenada, por sua vez, referente 
à coordenada vertical. Para efetivar a localiza-
ção, deverão identificar em que pontos as li-
nhas vertical e horizontal intersectam os eixo x 
e y. Apresente exemplos no quadro de giz, caso 
tenham dificuldades para localizar um ponto a 
partir das coordenadas dadas, ou, ainda, para 
determinar as coordenadas de um ponto. Re-
solva os exemplos juntamente aos alunos, com 
o objetivo de verificar as habilidades de inter-
pretação das coordenadas cartesianas.
DIFICULDADES: O QUE FAZER?
Não conseguem localizar pontos no plano cartesiano.
Apresente aos alunos o jogo Batalha Naval, em que devem deslocar-se no tabuleiro usando 
coordenadas, bem como usá-las para orientar o deslocamento dos colegas. Para aplicar o jogo 
de modo relacionado ao sistema cartesiano de coordenadas, é necessário adaptar o tabuleiro, 
apresentando apenas números e dois eixos para localizar os objetos no plano, além de colocar 
a localização dos objetos nas intersecções dos pontos. Permita que eles joguem sem que a 
ordem das coordenadas seja estabelecida. Espera-se que haja conflitos relacionados a cada 
aluno fazer a localização de um modo. Em seguida, estabeleça a ordem (x, y), indicando que 
o eixo horizontal deveser mencionado antes do vertical, para garantir a localização padro-
nizada. 
Compreenda
a) Qual é a tarefa proposta na atividade?
Verificar se Sandro representou os pontos no plano cartesiano corretamente e responder
às demais questões propostas na tarefa de casa pelo professor.
b) A quantidade de pontos representados no plano cartesiano é a mesma 
que a ditada por Pedro? Quantos pontos foram representados?
A quantidade de pontos representados no plano é a mesma que foi ditada. Foram repre-
sentados 6 pontos.
c) De acordo com a anotação, quais pontos deveriam ser representados e 
quais são suas coordenadas?
A (21, 3), B (23, 22), C (0, 22), D (24, 0), E (2, 3) e F (1, 21).
d) Além da representação dos pontos no plano cartesiano, quais outras 
atividades devem ser feitas na tarefa de casa?
Identificar os quadrantes em que cada ponto está localizado e indicar um ponto com
abscissa zero e ordenada positiva e um ponto com abscissa positiva e ordenada zero.
e) Indique o sinal das coordenadas em cada quadrante do plano cartesiano.
1o quadrante: abscissa e ordenada positivas.
2o quadrante: abscissa negativa e ordenada positiva.
3o quadrante: abscissa e ordenada negativas.
4o quadrante: abscissa positiva e ordenada negativa.
Responda
a) Leia a informação a seguir.
A localização de um ponto no plano pode ser feita por meio do cruzamento 
entre uma linha vertical, que intersecta o eixo x na abscissa do ponto, e uma linha 
horizontal, que intersecta o eixo y na ordenada.
• Verifique se Sandro representou os pontos corretamente e responda às demais 
questões da tarefa de casa.
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Sandro faltou na aula sobre representação de pontos no plano cartesiano e 
pediu ao seu colega Pedro que lhe passasse o que o professor havia solicitado 
como tarefa para casa. Pedro repassou a seguinte tarefa:
• Represente no plano cartesiano os pontos: A ( 21, 3), B ( 23, 22), C (0, 22), D (24, 0), 
E (2, 3) e F (1, 21).
• Identifique os quadrantes nos quais cada ponto está localizado.
• Indique um ponto com abscissa zero e ordenada positiva e um ponto com 
abscissa positiva e ordenada zero.
Sandro começou a tarefa marcando os pontos no plano cartesiano, mas não 
soube responder a tudo o que o professor pediu. Observe os pontos que ele marcou:
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A (–1, 3)
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Atividade 1
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Plano cartesiano: 
ponto médio, perímetro e área7
Lição
Um ponto do plano pode ser representado por um par ordenado de números indicados 
na forma (x, y).
Nesse caso, representamos o ponto em um plano cartesiano, formado por dois 
eixos perpendiculares que se intersectam na origem do sistema, ou seja, no ponto de 
coordenadas (0, 0), e dividem o plano em 4 quadrantes, denominados, no sentido anti-
horário, 1o, 2o, 3o e 4o quadrantes.
O eixo horizontal é o eixo x (das abscissas), e o eixo vertical é o eixo y (das ordenadas).
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A ordenada do
ponto A é 3.
A abscissa do
ponto A é 4.
A (4,3)
2o Quadrante 1o Quadrante
3o Quadrante 4o Quadrante
Sentido anti-horário
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Recorde
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Lição 7
No item b da seção Responda, os alunos pre-
cisam compreender propriedades e elementos 
do plano cartesiano. Esse item requer que eles 
identifiquem os quadrantes do plano cartesia-
no, o que permite a localização de um ponto 
de modo mais prático e previsível. O plano 
cartesiano é dividido em quatro quadrantes, 
enumerados no sentido anti-horário. Chame a 
atenção para as percepções necessárias a par-
tir da observação da relação entre os eixos e 
os quadrantes, obtendo que o 1o quadrante 
diz respeito à região do plano em que x e y 
apresentam valores positivos. O 2o quadrante 
é relativo à região em que os valores de x são 
negativos e os do eixo y são positivos. Já no 3o 
quadrante x e y apresentam valores negativos. 
E, por fim, o 4o quadrante é a região do plano 
em que x apresenta valores positivos e y nega-
tivos. Neste item os alunos deverão identificar 
a que quadrante pertencem os pontos A, B, E e 
F e, no item seguinte, identificar quais pontos 
não estão localizados na região de um dos qua-
drantes do plano.
O item d da seção Responda pede que os alu-
nos indiquem um ponto em que a abscissa seja 
igual a zero e a ordenada tenha valor positivo 
e um outro ponto em que a abscissa seja po-
sitiva e a ordenada seja igual a zero. Chame 
a atenção para a necessidade de relembrarem 
que para localizar um ponto no plano carte-
siano, precisam utilizar dois números, escritos 
em uma determinada ordem, determinando as 
coordenadas de um ponto. Assim, o primeiro 
número do par ordenado é a abscissa, enquan-
to o segundo é a ordenada. Desse modo, o pri-
meiro ponto será dado por A(0, y) e B(x, 0), o 
que indicará que o ponto A estará localizado 
sobre o eixo y e o ponto B sobre o eixo x.
Observe o retângulo ABCD representado no plano cartesiano. 
B
A D
C
�3
�3
3
3
x
y
4
4
5�2
�2
2
2
�1
�1
1
1
0
• Se o vértice D for mantido na mesma posição e as medidas dos lados forem 
duplicadas na mesma direção em que os lados se encontram, mas à esquerda 
do ponto A e acima do ponto C, qual será a nova área do retângulo?
• Represente no plano cartesiano o novo retângulo e indique as coordenadas de 
seus vértices.
Atividade 2
Compreenda
a) O que é solicitado na atividade?
É solicitado que se determinem as coordenadas dos vértices do novo retângulo, a medida 
de sua área e que se represente a figura resultante em um plano cartesiano.
b) Quais são as coordenadas dos vértices do retângulo dado na figura?
As coordenadas dos vértices do retângulo são A (22, 21), B (22, 2), C (2, 2) e D (2, 21).
c) Quais são as dimensões do retângulo dado na figura, em unidades de 
medida de comprimento (uc)?
As dimensões do retângulo são: lado menor 5 3 uc e lado maior 5 4 uc.
d) Qual é o sinal das abscissas do 2o quadrante?
O sinal das abscissas do 2o quadrante é negativo.
e) Qual é o sinal das ordenadas do 2o quadrante?
O sinal das ordenadas do 2o quadrante é positivo.
f) Como é calculada a área de um retângulo?
A área de um retângulo é calculada multiplicando-se a medida do lado maior pela medida do
lado menor.
Responda
a) Qual é o valor do dobro da medida do menor lado do retângulo em 
unidades de medida de comprimento?
O valor do dobro da medida do menor lado do retângulo é 6 unidades de medida de 
comprimento.
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• Verifique as coordenadas dos pontos da tarefa de casa e verifique se Sandro os 
localizou corretamente no plano cartesiano. Justifique.
Ponto A: (21, 3); está correto, pois a linha vertical intersecta o eixo x em 21, e a linha 
horizontal, o eixo y em 3.
Ponto B: (23, 22); está correto, pois a linha vertical intersecta o eixo x em 23, e a linha 
horizontal, o eixo y em 22.
Ponto C: (0, 22); está correto, pois a linha vertical intersecta o eixo x em 0 (é o próprio 
eixo), e a linha horizontal, o eixo y em 22.
Ponto D: (24, 0); está correto, pois a linha vertical intersecta o eixo x em 24, e a linha horizontal,
o eixo y em 0 (é o próprio eixo).
Ponto E: (2, 3); não está correto, pois a linha verticalintersecta o eixo x em 3, em vez de 2, 
e a linha horizontal, o eixo y em 2, em vez de 3.
Ponto F: (1, 21); está correto, pois a linha vertical intersecta o eixo x em 1, e a linha 
horizontal, o eixo y em 21.
O ponto não foi representado corretamente no plano cartesiano.
b) Identifique os pontos que pertencem a cada um dos quadrantes para 
resolver o segundo item da tarefa de casa.
1o quadrante: ponto E.
2o quadrante: ponto A.
3o quadrante: ponto B.
4o quadrante: ponto F.
c) Quais pontos não estão localizados em nenhum dos quadrantes?
Os pontos C (0, 22) e D (24, 0).
d) Responda ao último item da tarefa de casa.
Resposta pessoal. Exemplo de resposta: G (0,2) e H (3,0).
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Plano cartesiano: ponto médio, perímetro e áreaLição 7
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61
Atividade Tema Descritores
2 I
D5 – Reconhecer a conservação ou modificação de 
medidas dos lados, do perímetro, da área em ampliação 
e/ou redução de figuras poligonais usando malhas 
quadriculadas.
D9 – Interpretar informações apresentadas por meio de 
coordenadas cartesianas.
Orientações didáticas
Atividade 2 
A atividade explora os descritores D5 e D9, per-
tencentes ao Tema I – Espaço e Forma. O primei-
ro tem como objetivo avaliar a habilidade dos 
alunos de reconhecer a conservação ou modifica-
ção de medidas dos lados, do perímetro e da área 
em ampliação e/ou redução de figuras poligonais 
usando malhas quadriculadas. O segundo busca 
avaliar a capacidade dos alunos de interpretar in-
formações oferecidas por meio de coordenadas 
cartesianas. 
A atividade permite avaliar se as habilidades 
que são alvo de verificação dos descritores 
acima citados estão consolidadas. Caso não 
estejam, pode-se ampliar a atividade propos-
ta com atividades semelhantes, com o objetivo 
de retomar noções já estudadas, referentes ao 
sistema cartesiano de coordenadas.
É importante que os alunos estejam atentos às 
modificações feitas em figuras poligonais pla-
nas, sejam produções, ampliações ou reduções 
usando malhas quadriculadas e o plano carte-
siano, identificando as relações entre as figu-
ras, se são semelhantes ou não entre si. 
Para iniciar a atividade, distribua papel quadri-
culado aos alunos e solicite que tracem o pla-
no cartesiano, identificando os quadrantes e 
os eixos. Em seguida, ofereça coordenadas de 
pontos para eles traçarem figuras poligonais e 
identificarem as características, os elementos e 
as propriedades de cada uma delas, tais como 
os quadriláteros. Aproveite para relacionar a 
revisão dos elementos que compõem quadrilá-
teros ao item b da seção Compreenda, em que 
é solicitado que os alunos identifiquem as coor-
denadas dos vértices de um retângulo.
Ao determinarem as medidas dos lados do re-
tângulo, é importante que os alunos relacio-
nem as medidas de comprimento, no caso da 
atividade proposta, com módulos dos números 
reais. Para tanto, é preciso considerar a distân-
cia dos números que indicam as coordenadas 
do número 1 até o número zero, por exemplo. 
O uso do módulo de número real surge da ne-
cessidade de medir a distância de um núme-
ro negativo até o zero, o que ocorre no caso 
da atividade e pode ser sinalizado aos alunos. 
Caso eles apresentem dificuldades em estabe-
lecer as medidas dos lados do retângulo, repro-
duza o desenho no quadro de giz e indique a 
necessidade citada explicando que, pelo fato 
de não existir medida de comprimento nega-
tiva, foi criado o módulo de número real, que 
torna o valor positivo ou nulo. Dessa forma, o 
módulo de um número real será seu simétrico 
sempre que esse número for negativo.  
Observe o retângulo ABCD representado no plano cartesiano. 
B
A D
C
�3
�3
3
3
x
y
4
4
5�2
�2
2
2
�1
�1
1
1
0
• Se o vértice D for mantido na mesma posição e as medidas dos lados forem 
duplicadas na mesma direção em que os lados se encontram, mas à esquerda 
do ponto A e acima do ponto C, qual será a nova área do retângulo?
• Represente no plano cartesiano o novo retângulo e indique as coordenadas de 
seus vértices.
Atividade 2
Compreenda
a) O que é solicitado na atividade?
É solicitado que se determinem as coordenadas dos vértices do novo retângulo, a medida 
de sua área e que se represente a figura resultante em um plano cartesiano.
b) Quais são as coordenadas dos vértices do retângulo dado na figura?
As coordenadas dos vértices do retângulo são A (22, 21), B (22, 2), C (2, 2) e D (2, 21).
c) Quais são as dimensões do retângulo dado na figura, em unidades de 
medida de comprimento (uc)?
As dimensões do retângulo são: lado menor 5 3 uc e lado maior 5 4 uc.
d) Qual é o sinal das abscissas do 2o quadrante?
O sinal das abscissas do 2o quadrante é negativo.
e) Qual é o sinal das ordenadas do 2o quadrante?
O sinal das ordenadas do 2o quadrante é positivo.
f) Como é calculada a área de um retângulo?
A área de um retângulo é calculada multiplicando-se a medida do lado maior pela medida do
lado menor.
Responda
a) Qual é o valor do dobro da medida do menor lado do retângulo em 
unidades de medida de comprimento?
O valor do dobro da medida do menor lado do retângulo é 6 unidades de medida de 
comprimento.
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• Verifique as coordenadas dos pontos da tarefa de casa e verifique se Sandro os 
localizou corretamente no plano cartesiano. Justifique.
Ponto A: (21, 3); está correto, pois a linha vertical intersecta o eixo x em 21, e a linha 
horizontal, o eixo y em 3.
Ponto B: (23, 22); está correto, pois a linha vertical intersecta o eixo x em 23, e a linha 
horizontal, o eixo y em 22.
Ponto C: (0, 22); está correto, pois a linha vertical intersecta o eixo x em 0 (é o próprio 
eixo), e a linha horizontal, o eixo y em 22.
Ponto D: (24, 0); está correto, pois a linha vertical intersecta o eixo x em 24, e a linha horizontal,
o eixo y em 0 (é o próprio eixo).
Ponto E: (2, 3); não está correto, pois a linha vertical intersecta o eixo x em 3, em vez de 2, 
e a linha horizontal, o eixo y em 2, em vez de 3.
Ponto F: (1, 21); está correto, pois a linha vertical intersecta o eixo x em 1, e a linha 
horizontal, o eixo y em 21.
O ponto não foi representado corretamente no plano cartesiano.
b) Identifique os pontos que pertencem a cada um dos quadrantes para 
resolver o segundo item da tarefa de casa.
1o quadrante: ponto E.
2o quadrante: ponto A.
3o quadrante: ponto B.
4o quadrante: ponto F.
c) Quais pontos não estão localizados em nenhum dos quadrantes?
Os pontos C (0, 22) e D (24, 0).
d) Responda ao último item da tarefa de casa.
Resposta pessoal. Exemplo de resposta: G (0,2) e H (3,0).
E
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62
Lição 7
É importante acompanhar de perto as soluções 
dos itens b e c da seção Responda, em que os 
alunos devem determinar as medidas de compri-
mento dos lados do retângulo em questão consi-
derando as medidas em diferentes sentidos. 
Acompanhe também as respostas relacionadas 
aos sentidos dos prolongamentos que devem 
ser feitos para a ampliação da figura, para ve-
rificar se os alunos identificam os quadrantes e 
as coordenadas que podem ser representadas 
em cada um deles.
O item f da seção Responda requer que reto-
mem como é calculada a área de um retângulo. 
A área do retângulo é indicada por: A 5 b 3 h.
Lembre os alunos de que os quadriláterossão 
polígonos de quatro lados. Suas características 
e propriedades específicas dizem respeito aos 
seus lados, ângulos internos, ângulos externos 
e diagonais. Retome com eles os casos de ou-
tros quadriláteros, tais como outros tipos de 
paralelogramo e também trapézios.
DIFICULDADES: O QUE FAZER?
Não localizam pontos no plano cartesiano.
Indique para os alunos representarem no papel quadriculado pares ordenados diversos, in-
cluindo pontos sobre os eixos, valores iguais, sinais diferentes e com números invertidos. 
Em seguida, use o software Geogebra (disponível em: <www.geogebra.org/m/KGWhcA-
qc>; acesso em: 13 ago. 2019), peça que reproduzam as mesmas localizações no software 
e comparem com as do papel. Solicite que desenhem no software, considerando as coor-
denadas oferecidas anteriormente, diferentes polígonos. Em seguida, solicite que repro-
duzam no papel as figuras desenhadas no software e que calculem as áreas das figuras 
por escrito. Essa atividade permite que comparem a lógica usada por eles e a apresen-
tada pelo software, além de retomar os conteúdos abordados ao longo da atividade 3. 
Outra atividade relevante para esse processo de aprendizagem é a Batalha Naval on-line do 
Geogebra, disponível em: <www.geogebra.org/m/TkqCFVfv>. Acesso em: 4 ago. 2019.
b) Qual é o valor do dobro da medida do maior lado do retângulo em 
unidades de medida de comprimento?
O valor do dobro da medida do maior lado do retângulo é 8 unidades de medida
de comprimento.
c) Com base na resposta aos itens a e b, responda à primeira pergunta 
da atividade.
6 3 8 5 48
A medida da área do novo retângulo será unidades de medida 
de área.
d) Em relação ao sinal dos valores do eixo x, em que sentido deve ser 
prolongado o lado maior do retângulo ABCD?
O maior lado do retângulo será prolongado no sentido dos números negativos.
e) Em relação ao sinal dos valores do eixo y, em que sentido deve ser 
prolongado o lado menor do retângulo ABCD?
O menor lado do retângulo será prolongado no sentido dos números positivos.
 
f) Com base nas respostas aos itens d e e, responda à segunda questão 
da atividade.
(�6, 5) (�2, 5)
(�6,�1)
B
A D
C
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2
3
4
5
6
7
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�1 1 2�2 3�5�6 �4 �3 x
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Compreenda
a) O que é perguntado na atividade?
Qual é a relação entre a medida do perímetro do quadrado FGHI e a medida do perímetro
do quadrado ABCD.
b) Quais características definem um quadrado?
Espera-se que os alunos respondam que as características que definem um quadrado são 
lados de mesma medida e ângulos internos de 90° (ou retos).
c) Quais são os vértices fornecidos na atividade?
Os vértices são A (1,5, 0) e B (0, 1,5).
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Observe os dois quadrados representados no plano cartesiano abaixo.
G
I
D
B
H
FA
C
0�1
�1
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6 7
x
y
• Sabendo que as coordenadas dos pontos A e B são (1,5, 0) e (0, 1,5), 
respectivamente, qual é a relação entre a medida do perímetro do quadrado 
FGHI e a medida do perímetro do quadrado ABCD?
Atividade 3
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Orientações didáticas
Atividade 3 
A atividade aborda os descritores D7 e D9, perten-
centes ao Tema I – Espaço e Forma. O primeiro diz 
respeito ao reconhecimento de que as imagens 
de uma figura construída por uma transforma-
ção homotética são semelhantes, identificando 
propriedades e/ou medidas que se modificam. O 
segundo trata da interpretação de informações 
apresentadas no plano cartesiano.
O objetivo é que os alunos analisem transforma-
ções ocorridas em figuras planas desenhadas a 
partir da localização de pontos no sistema carte-
siano de coordenadas. 
Retome com eles que os quadrados comparti-
lham características dos losangos, por possuírem 
todos os lados congruentes e pelo cruzamento 
das diagonais ser perpendicular; dos retângulos, 
por possuírem todos os ângulos retos e pelas dia-
gonais serem congruentes; e dos paralelogramos, 
por possuírem ângulos opostos congruentes, ân-
gulos adjacentes suplementares e cruzamento 
das diagonais em seus pontos médios. Aproveite 
o item b da seção Compreenda para fazer essa 
retomada de conteúdos.
Aproveite a retomada da localização de pon-
tos sobre a reta e a distinção entre esse tipo 
e aquele feito no plano cartesiano para re-
gistrar as seguintes observações em relação 
aos quadrantes: 1o quadrante 5 x . 0 e y 5 0; 
2o quadrante 5 x , 0 e y . 0; 3o quadrante 5 
5 x , 0 e y , 0; 4º quadrante 5 x . 0 e y , 0. 
Assim: 
1o 
quadrante
2o 
quadrante
3o 
quadrante
4o 
quadrante
(1, 1) (2, 1) (2, 2) (1, 2)
Caso os alunos apresentem dificuldade para 
identificar os quadrantes e os sinais, ofereça 
coordenadas de diferentes pontos e solicite que 
indiquem os quadrantes em que cada ponto 
está localizado. Essa atividade ajuda na familia-
rização com a localização de pontos no plano 
cartesiano.
Atividade Tema Descritores
3 I
D7 – Reconhecer que as imagens de uma figura construída 
por uma transformação homotética são semelhantes, 
identificando propriedades e/ou medidas que se 
modificam ou não se alteram.
D9 – Interpretar informações apresentadas por meio de 
coordenadas cartesianas.
b) Qual é o valor do dobro da medida do maior lado do retângulo em 
unidades de medida de comprimento?
O valor do dobro da medida do maior lado do retângulo é 8 unidades de medida
de comprimento.
c) Com base na resposta aos itens a e b, responda à primeira pergunta 
da atividade.
6 3 8 5 48
A medida da área do novo retângulo será unidades de medida 
de área.
d) Em relação ao sinal dos valores do eixo x, em que sentido deve ser 
prolongado o lado maior do retângulo ABCD?
O maior lado do retângulo será prolongado no sentido dos números negativos.
e) Em relação ao sinal dos valores do eixo y, em que sentido deve ser 
prolongado o lado menor do retângulo ABCD?
O menor lado do retângulo será prolongado no sentido dos números positivos.
 
f) Com base nas respostas aos itens d e e, responda à segunda questão 
da atividade.
(�6, 5) (�2, 5)
(�6,�1)
B
A D
C
1
2
3
4
5
6
7
0
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�1 1 2�2 3�5�6 �4 �3 x
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48
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Compreenda
a) O que é perguntado na atividade?
Qual é a relação entre a medida do perímetro do quadrado FGHI e a medida do perímetro
do quadrado ABCD.
b) Quais características definem um quadrado?
Espera-se que os alunos respondam que as características que definem um quadrado são 
lados de mesma medida e ângulos internos de 90° (ou retos).
c) Quais são os vértices fornecidos na atividade?
Os vértices são A (1,5, 0) e B (0, 1,5).
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Observe os dois quadrados representados no plano cartesiano abaixo.
G
I
D
B
H
FA
C
0�1
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1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6 7
x
y
• Sabendo que as coordenadas dos pontos A e B são (1,5, 0) e (0, 1,5), 
respectivamente, qual é a relação entre a medida do perímetro do quadrado 
FGHI e a medida do perímetro do quadrado ABCD?
Atividade 3
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Lição 7
Com o item b da seção Responda, os alunos 
podem retomar aspectos de semelhançaentre 
figuras planas, considerando a congruência an-
gular e a proporcionalidade dos lados corres-
pondentes. Os triângulos que têm os segmentos 
AB e FG como hipotenusas, respectivamente, 
são semelhantes pelo caso lado-ângulo-lado 
(LAL), pois ambos possuem dois lados propor-
cionais 
OF
OA
OC
OB 0,55 5d n e os ângulos entre 
eles são congruentes (medem 90º). Aproveite 
a oportunidade para retomar também noções 
referentes à constante de proporcionalidade.
A atividade de identificação dos quadrantes em 
que pontos estão localizados pode apoiar os 
alunos ao responderem ao item c da seção Res-
ponda, tendo em vista que deverão identificar 
vértices de dois quadrados, levando em conside-
ração que o triângulo retângulo formado pelos 
vértices A, B e a origem do plano cartesiano é 
semelhante ao formado pelos vértices A, F e C. 
Portanto, essa atividade também permite reto-
mar aspectos de semelhanças entre triângulos.
Os alunos devem perceber que transformações 
por homotetia produzem figuras semelhantes 
entre si, permitindo ampliá-las e reduzi-las.
d) É possível identificar na figura os outros vértices do quadrado menor? 
E do quadrado maior?
Espera-se que os alunos observem que, por se tratar de quadrados representados no plano 
cartesiano e pelas características identificadas no item b, é possível determinar as 
coordenadas de todos os vértices dos dois quadrados. 
Responda
a) Identifique os vértices dos dois quadrados da figura.
Os vértices do quadrado menor são A (1,5, 0), B (0, 1,5), C (3, 1,5) e D (1,5, 3), e os do
quadrado maior, F (3, 0), G (0, 3), H (6,3) e I (3, 6).
b) Leia a definição de polígonos semelhantes.
Dois polígonos são semelhantes se, na correspondência entre 
os vértices, os ângulos correspondentes são congruentes e os 
lados correspondentes são proporcionais.
• Com base na definição, o que se pode afirmar dos dois quadrados da figura?
Espera-se que os alunos observem que, pela definição, todos os quadrados são 
semelhantes entre si, já que todos os seus ângulos internos medem 90º, então sempre 
serão congruentes, e todos os seus lados têm a mesma medida, assim sempre serão 
proporcionais entre si.
c) Para determinar o lado maior de um triângulo retângulo (hipotenusa), 
utiliza-se o teorema de Pitágoras, que diz:
a
b
c
Cateto
Cateto
Hipotenusa
a² � b² � c²
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• Observe que o lado AB do quadrado ABCD forma um triângulo retângulo com 
a origem do sistema cartesiano (ponto O), e o mesmo ocorre com o lado FG do 
quadrado FGHI. Determine a medida do lado dos quadrados ABCD e FGHI.
Quadrado ABCD: espera-se que os alunos observem que o lado AB é a hipotenusa do
triângulo retângulo AOB, sendo o valor dos catetos AO igual a 1,5 e OB igual a 1,5. Então,
a medida AB será determinada por:
AB2 5 AO2 1 OB2
AB2 5 1,52 1 1,52
AB2 5 2,25 1 2,25
AB 5 ,2 2 253
AB 5 1,5 2
Quadrado FGHI: aqui também se espera que os alunos observem que o lado FG 
é a hipotenusa do triângulo retângulo FOG, sendo o valor dos catetos FO igual a 3 e OG
igual a 3. Então, a medida FGB será determinada por:
FG2 5 FO2 1 OG2
FG2 5 32 1 32
FG2 5 9 1 9
FG 5 2 93
FG 5 3 2
d) Calcule o valor dos perímetros dos quadrados ABCD e FGHI e indique a 
razão entre os perímetros e o que ela significa para responder à questão 
da atividade.
Quadrado ABCD: Se o lado do quadrado ABCD é ,AB 1 5 25 , então seu
perímetro é ,4 1 5 2 12 23 5 . Quadrado FGHI: Se o lado do quadrado FGHI é FG 235 , 
então seu perímetro é 4 2 12 23 5 . Razão entre os perímetros: 12
6 2
2
25 . O quadrado 
FGHI é uma ampliação duas vezes maior do quadrado ABCD, portanto o perímetro do 
quadrado maior é o dobro do quadrado menor.
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DIFICULDADES: O QUE FAZER?
Não localizam pontos ou figuras no plano cartesiano.
Apresente os vídeos seguintes, produzidos pelo Instituto de Matemática e Estatística da Uni-
versidade Estadual de Campinas (IME/Unicamp), como apoio para aulas que abordem os tó-
picos citados. O primeiro vídeo, intitulado “Um ponto de vista”, apresenta um editor que 
tem uma conversa virtual com o pintor Georges Seurat, enquanto pesquisava sobre a famosa 
técnica de pintura conhecida como pontilhismo, e são feitas relações entre arte e as produções 
do filósofo René Descartes (disponível em: <https://m3.ime.unicamp.br/recursos/1157>; aces-
so em: 4 ago. 2019). Já o segundo vídeo, cujo título é “Tesouro cartesiano”, narra a história 
de um jovem que deve resolver um desafio matemático, o qual é solucionado com base nos 
conhecimentos sobre o sistema cartesiano de coordenadas (disponível em: <https://m3.ime.
unicamp.br/recursos/1183>; acesso em: 4 ago. 2019).
O item c da seção Responda requer que os 
alunos retomem o teorema de Pitágoras. Caso 
julgue conveniente, exponha uma das demons-
trações possíveis do referido teorema, regis-
trando-a no quadro de giz. É importante que 
eles relembrem a relação matemática entre os 
catetos e a hipotenusa de um triângulo retân-
gulo, expressando que, em qualquer triângu-
lo retângulo, o quadrado do comprimento da 
hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos 
comprimentos dos catetos. 
Aproveite para retomar com os alunos que o pe-
rímetro do quadrado é dado por Pquadrado 5 4 3 c, 
que a área do quadrado é dada por Aquadrado 5 c
2 e 
que a medida da diagonal do quadrado pode ser 
obtida, aplicando-se o teorema de Pitágoras, por 
dquadrado 5 2c .
d) É possível identificar na figura os outros vértices do quadrado menor? 
E do quadrado maior?
Espera-se que os alunos observem que, por se tratar de quadrados representados no plano 
cartesiano e pelas características identificadas no item b, é possível determinar as 
coordenadas de todos os vértices dos dois quadrados. 
Responda
a) Identifique os vértices dos dois quadrados da figura.
Os vértices do quadrado menor são A (1,5, 0), B (0, 1,5), C (3, 1,5) e D (1,5, 3), e os do
quadrado maior, F (3, 0), G (0, 3), H (6,3) e I (3, 6).
b) Leia a definição de polígonos semelhantes.
Dois polígonos são semelhantes se, na correspondência entre 
os vértices, os ângulos correspondentes são congruentes e os 
lados correspondentes são proporcionais.
• Com base na definição, o que se pode afirmar dos dois quadrados da figura?
Espera-se que os alunos observem que, pela definição, todos os quadrados são 
semelhantes entre si, já que todos os seus ângulos internos medem 90º, então sempre 
serão congruentes, e todos os seus lados têm a mesma medida, assim sempre serão 
proporcionais entre si.
c) Para determinar o lado maior de um triângulo retângulo (hipotenusa), 
utiliza-se o teorema de Pitágoras, que diz:
a
b
c
Cateto
Cateto
Hipotenusa
a² � b² � c²
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• Observe que o lado AB do quadrado ABCD forma um triângulo retângulo com 
a origem do sistema cartesiano (ponto O), e o mesmo ocorre com o lado FG do 
quadrado FGHI. Determine a medida do lado dos quadrados ABCD e FGHI.
Quadrado ABCD: espera-se que os alunos observem que o lado AB é a hipotenusa do
triângulo retângulo AOB, sendo o valor dos catetos AO igual a 1,5 e OB igual a 1,5. Então,
a medida AB será determinada por:
AB2 5 AO2 1 OB2
AB2 5 1,52 1 1,52
AB2 5 2,25 1 2,25
AB 5 ,2 2 253
AB 5 1,5 2
Quadrado FGHI: aqui também se espera que os alunos observemque o lado FG 
é a hipotenusa do triângulo retângulo FOG, sendo o valor dos catetos FO igual a 3 e OG
igual a 3. Então, a medida FGB será determinada por:
FG2 5 FO2 1 OG2
FG2 5 32 1 32
FG2 5 9 1 9
FG 5 2 93
FG 5 3 2
d) Calcule o valor dos perímetros dos quadrados ABCD e FGHI e indique a 
razão entre os perímetros e o que ela significa para responder à questão 
da atividade.
Quadrado ABCD: Se o lado do quadrado ABCD é ,AB 1 5 25 , então seu
perímetro é ,4 1 5 2 12 23 5 . Quadrado FGHI: Se o lado do quadrado FGHI é FG 235 , 
então seu perímetro é 4 2 12 23 5 . Razão entre os perímetros: 12
6 2
2
25 . O quadrado 
FGHI é uma ampliação duas vezes maior do quadrado ABCD, portanto o perímetro do 
quadrado maior é o dobro do quadrado menor.
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Lição 7
Orientações didáticas
Atividade 4 
O objetivo da atividade é que os alunos dese-
nhem uma figura poligonal descrita, com base 
na noção de ponto médio. Caso julgue neces-
sário, solicite que produzam outros desenhos 
de figuras poligonais por meio de coordenadas 
e de pontos médios de segmentos de reta ou 
de lados de outros polígonos, o que possibili-
tará que se familiarizem com o tipo de registro 
solicitado na atividade. 
Se necessário, retome a noção de ponto médio 
de um segmento de reta. Pergunte aos alunos 
o que entendem por ponto médio de um seg-
mento e ouça as explicações dadas por eles. Va-
lide as colocações em torno da ideia de que o 
ponto médio diz respeito ao ponto que separa 
um segmento de reta em duas partes com me-
didas iguais. Essa noção pode ser discutida com 
os alunos apresentando o raciocínio a seguir. 
Consideremos o segmento de reta AB e o pon-
to médio do segmento P, indicado pelas coor-
denadas (xP, yP), conforme a figura:
A
B
xA
yA
yP
yB
xP = xQ xB � xP
Q R
P
y
x
O segmento de reta AB possui um ponto 
médio (M) com as coordenadas (xM, yM). 
Os triângulos APQ e ABR são semelhantes. Assim: 
AB
AP
AR
AQ
5 e, se AB 5 2AP, xP 5 
x x
2
( )1A B e 
yP 5 
( )y y
2
1A B , o que indica a localização do 
ponto médio, cujas coordenadas são calculadas 
pela média aritmética entre as abscissas e as or-
denadas dos pontos A e B. Caso julgue relevan-
te, realize essas demonstrações no quadro de 
giz, retomando a noção de média aritmética.
A noção de ponto médio é apresentada no 
enunciado da atividade e também como per-
gunta no item c da seção Compreenda.
Atividade Tema Descritor
4 I D9 – Interpretar informações apresentadas por meio de coordenadas cartesianas.
b) Determine as coordenadas do ponto médio X do segmento AB.
X (23, 2).
c) Qual é a medida do lado do quadrado XYZW?
Espera-se que os alunos percebam que, se a área é igual a 9, então a medida do lado é 
9 35 , ou 3 unidades de medida de comprimento.
d) Com o valor do lado do quadrado XYZW, localize no plano cartesiano o 
vértice Y e trace o lado XY. 
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1
1
2
3
4
y
x
�2�3�4�5
A
B
X
Y
e) Por fim, em um plano cartesiano, represente a figura resultante e 
determine as coordenadas dos vértices do quadrado XYZW. 
A
B
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4
y
x
�2�3�4�5
W
ZY
X
Resposta esperada: X (23, 2), Y (23, 21), Z (0, 21) e W (0, 2).
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Compreenda
a) O que é solicitado na atividade?
É solicitado que se represente, em um plano cartesiano, a figura resultante e se determinem
as coordenadas dos vértices do quadrado XYZW.
b) Que informações são dadas na atividade?
São dadas as coordenadas do segmento AB, a localização dos vértices X e Y do quadrado
XYZW e a medida de sua área.
c) Qual é a definição de ponto médio de um segmento?
Resposta possível: É o ponto que divide o segmento em duas partes de mesma medida.
d) Qual é o sinal das abscissas e ordenadas do 3o quadrante?
O sinal das abscissas e ordenadas do 3o quadrante é negativo.
 
Responda
a) Em um plano cartesiano, trace o segmento AB conforme as 
coordenadas fornecidas na atividade.
A
B
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�1 0
1
1
2
3
4
y
x
�2�3�4�5
Dado um segmento AB num plano cartesiano em que A (21, 4) e B (25, 0), 
foi traçado um quadrado XYZW em que X é o ponto médio do segmento, Y 
está localizado no 3o quadrante, W pertence ao eixo y e sua área é igual a 9 
unidades de medida de área.
• Em um plano cartesiano, represente a figura resultante e determine as 
coordenadas dos vértices do quadrado XYZW.
Atividade 4
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Plano cartesiano: ponto médio, perímetro e áreaLição 7
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DIFICULDADES: O QUE FAZER?
Não conseguem compreender o ponto médio de um segmento de reta.
Proponha outras atividades em que se determine o ponto médio com base na localização de 
diferentes pontos no plano cartesiano. Proponha também desenhos de segmentos e de polí-
gonos com base na determinação do ponto médio de um segmento dado, tal como solicitado 
no item d da seção Responda.
Se necessário, apresente material teórico sobre plano cartesiano para que os alunos retomem os 
principais conteúdos abordados na atividade. O material disponibilizado pela Obmep (Olimpíada 
Brasileira de Matemática das Escolas Públicas) pode servir de apoio ao longo do desenvolvimento 
das temáticas abordadas nesta lição. Disponível em: <https://portaldosaber.obmep.org.br/uploads/
material_teorico/u49fw5fm9u0.pdf>. Acesso em: 4 ago. 2019.
b) Determine as coordenadas do ponto médio X do segmento AB.
X (23, 2).
c) Qual é a medida do lado do quadrado XYZW?
Espera-se que os alunos percebam que, se a área é igual a 9, então a medida do lado é 
9 35 , ou 3 unidades de medida de comprimento.
d) Com o valor do lado do quadrado XYZW, localize no plano cartesiano o 
vértice Y e trace o lado XY. 
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y
x
�2�3�4�5
A
B
X
Y
e) Por fim, em um plano cartesiano, represente a figura resultante e 
determine as coordenadas dos vértices do quadrado XYZW. 
A
B
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3
4
y
x
�2�3�4�5
W
ZY
X
Resposta esperada: X (23, 2), Y (23, 21), Z (0, 21) e W (0, 2).
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Compreenda
a) O que é solicitado na atividade?
É solicitado que se represente, em um plano cartesiano, a figura resultante e se determinem
as coordenadas dos vértices do quadrado XYZW.
b) Que informações são dadas na atividade?
São dadas as coordenadas do segmento AB, a localização dos vértices X e Y do quadrado
XYZW e a medida de sua área.
c) Qual é a definição de ponto médio de um segmento?
Resposta possível: É o ponto que divide o segmento em duas partes de mesma medida.
d) Qual é o sinal das abscissas e ordenadas do 3o quadrante?
O sinal das abscissas e ordenadas do 3o quadrante é negativo.
 
Responda
a) Em um plano cartesiano, trace o segmento AB conforme as 
coordenadas fornecidas na atividade.
A
B
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2
3
4
y
x
�2�3�4�5
Dado um segmento AB num plano cartesiano em que A (21, 4) e B (25, 0), 
foi traçado um quadrado XYZW em que X é o ponto médio do segmento, Y 
está localizado no 3o quadrante, W pertence ao eixo y e sua área é igual a 9 
unidades de medida de área.
• Em um plano cartesiano, represente a figura resultante e determine as 
coordenadasdos vértices do quadrado XYZW.
Atividade 4
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Plano cartesiano: ponto médio, perímetro e áreaLição 7
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Lição 8
Conteúdos desenvolvidos
• Grandezas diretamente proporcionais.
• Grandezas inversamente proporcionais.
Orientações didáticas
Atividade 1 
O descritor explorado nessa atividade é o D29, 
que pertence ao Tema III – Números e Operações/
Álgebra e Funções e tem como objetivo avaliar a 
habilidade dos alunos de resolver situações-pro-
blema que envolvam variações proporcionais 
entre grandezas. No caso desta atividade, é abor-
dada a variação proporcional direta.
Solicite aos alunos que ofereçam outros 
exemplos de grandezas proporcionais cuja 
variação seja direta, como a relação entre a 
quantidade produzida e a quantidade de fun-
cionários trabalhando, velocidade e distância 
percorrida, quantidade de matéria-prima e de 
mercadorias produzidas, distância percorrida 
e quantidade de combustível, entre outros.
Peça que registrem por escrito os exemplos 
dados por eles e, em seguida, elaborem situa-
ções-problema para serem trocadas em deter-
minados momentos ao longo do trabalho com 
a temática da presente lição. Exemplo de situa-
ção-problema:
• Um automóvel percorreu 450 km consumindo 
30 L de gasolina. Como o automóvel é alugado, 
o locatário deseja abastecer exatamente o ne-
cessário para chegar até a locadora. Se faltam 
135 km para chegar à locadora do automóvel, 
com quantos litros ele deve abastecer? Para re-
solver essa situação, uma possibilidade é calcu-
lar quantos quilômetros o automóvel percorre 
consumindo 1 L de gasolina: 450 4 30 5 15 km. 
Assim, o automóvel percorre 15 km por litro 
de gasolina. Para encontrar a quantidade de 
combustível necessária para percorrer 135 km, 
deve-se dividir a distância pela quantidade 
consumida por km: 135 4 15 5 9 L de gasolina.
Permita que os alunos explorem e tenham con-
tato com diferentes estratégias de resolução, 
incentivando-os a realizar cálculo mental e es-
timativas e a verificar os resultados obtidos, o 
que pode compor situações de aprendizagem 
para eventuais dificuldades que possam surgir 
ao longo do presente estudo.
O objetivo da atividade é que os alunos iden-
tifiquem que as grandezas envolvidas são 
diretamente proporcionais para determinar 
quanto tempo será necessário para ler um livro 
de 300 páginas, com base numa relação dada, a 
saber, de 15 dias para a leitura de 180 páginas.
Explique que é possível estabelecer relações 
entre as medidas de duas grandezas distintas, 
o que pode ser realizado por meio da escrita 
de razões. E, quando é estabelecida uma rela-
ção de igualdade entre as razões, ou seja, duas 
dessas razões são iguais, as grandezas são pro-
porcionais e, no caso de exemplos como o da 
atividade 1, essas grandezas são diretamente 
proporcionais, conforme comportamento que 
pode ser observado em uma delas em relação a 
uma variação na medida da outra.
Atividade Tema Descritor
1 III D29 – Resolver problema que envolva variação proporcional, direta ou inversa, entre grandezas.
Responda
a) A razão entre dois números a e b, com b % 0, nessa ordem, é b
a . Qual é a 
razão entre o número de dias e o número de páginas de um livro de 180 
páginas? Interprete o resultado em termos de números de dias necessários 
para a leitura de uma quantidade de páginas.
São lidas 180 páginas em 15 dias: 
180
15 5 
12
1 , ou seja, são lidas 12 páginas por dia.
b) Considere x o número de dias a mais necessários para ler o livro de 300 
páginas. Qual será o número de dias necessários para ler esse livro?
A quantidade de dias para ler um livro de 300 páginas pode ser representado por 15 1 x.
c) Escreva a razão entre o número de dias e o número de páginas do livro 
mencionado no item b.
A razão entre o número de dias para ler um livro de 300 páginas é x
300
15 1 .
d) Quando duas razões são iguais, dizemos que elas são uma proporção. 
Como Rafael manterá o mesmo ritmo de leitura, a razão entre o número 
de dias e o número de páginas se manterá, ou seja, deve ser sempre a 
mesma. Portanto, a razão obtida no item a deve ser igual à razão obtida 
no item c. Com isso, temos uma proporção. Escreva-a.
A proporção pode ser representada por x180
15
300
155 1 .
e) Leia a informação a seguir.
Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.
Exemplo:
• Para determinar o valor de x na proporção x12 3
45 , podemos fazer:
x 3 3 5 12 3 4
3x 5 48
x 5 48 : 3 5 16
• Determine o valor de x que satisfaz a igualdade obtida no item d.
x
180
15
300
155 1 , ou seja, x12
1
300
155 1
12(15 1 x) 5 300
180 1 12x 5 300
12x 5 300 2 180
x 5 120 : 12 5 10
f) Quantos dias Rafael levará para ler o livro de 300 páginas?
15 1 10 5 25
Rafael levará dias para ler o livro de 300 páginas.25
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Ao analisarmos duas grandezas que se relacionam, dizemos que são grandezas 
diretamente proporcionais se variarem sempre na mesma razão. Ou seja, ao dobrarmos 
o valor de uma delas, o valor correspondente da outra também dobra; ou, ao reduzirmos 
pela metade o valor de uma dessas grandezas, o valor correspondente da outra também 
se reduz pela metade.
Observe no quadro a quantidade de cópias que uma máquina fotocopiadora consegue 
produzir de acordo com o tempo de operação.
Tempo (em minutos) 0,5 1 2 10
Número de cópias 8 16 32 160
Dizemos que o número de cópias é diretamente proporcional ao tempo de operação 
da máquina.
Recorde
Rafael pegou na biblioteca um livro de 180 páginas e levou 15 dias para lê-lo, 
mantendo o mesmo ritmo diário de leitura. Agora ele quer pegar um livro de 
300 páginas.
Se ele mantiver o mesmo ritmo de leitura, quantos dias levará para ler esse 
livro?
Atividade 1
Compreenda
a) O que é proposto na atividade?
A proposta é saber quantos dias Rafael levará para ler um livro de 300 páginas, 
mantendo o mesmo ritmo em que leu o livro de 180 páginas.
b) Quantos dias Rafael levou para ler o livro com 180 páginas?
Rafael levou 15 dias para ler o livro de 180 páginas.
c) O número de dias necessários para ler o livro de 300 páginas será 
menor ou maior do que o número de dias que ele levou para ler o livro 
de 180 páginas? Por quê?
Maior, pois 300 é maior do que 180 e Rafael manterá o mesmo ritmo de leitura.
 
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Proporções e grandezas8
Lição
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Ao resolverem a seção Responda, avalie se os 
alunos apresentam alguma dificuldade para 
montar a regra de três. Explique que essa é uma 
das formas possíveis de solução da questão e 
que pode ser utilizada por tornar os cálculos 
mais práticos, utilizando a ideia de razão, como 
apresentada nos itens a e c. 
Explique que na regra de três é necessário mon-
tar a proporção entre as grandezas envolvidas, 
seguindo-se alguns passos para determinar um 
valor por meio de outros três já conhecidos. 
Com base no exemplo da tabela apresentada 
na seção Recorde, os alunos podem realizar os 
seguintes passos:
1. Agrupar nas colunas de uma tabela as gran-
dezas de mesmo tipo e, nas linhas, as grandezas 
diferentes:
Distância Quantidade de combustível
450 30 L
135 x L
É necessário que observem que, quanto menor 
a distância a ser percorrida por um automóvel, 
menor a quantidade de combustível consumida. 
2. Verificar o tipo de variação entre as grande-
zas envolvidas (no caso diretamente proporcio-nais). Desse modo, se for diminuída a distância, 
o consumo de combustível diminuirá na mesma 
proporção, e pode-se afirmar que as grandezas 
são diretamente proporcionais.
3. Montar a proporção e solucionar a equação 
obtida:
x135
450 30
5 e 
b
a
d
c
5 ] a 3 d 5 b 3 c
x 5 
450
135 303 5 9 L
É muito importante enfatizar o reconhecimento 
de grandezas direta ou inversamente proporcio-
nais (passo 2). Diversos exemplos do cotidiano 
dos alunos devem ser explorados para verificar 
se as duas grandezas são direta ou inversamente 
proporcionais. Para tanto, aproveite os exemplos 
dados e as situações-problema criadas por eles.
O item d da seção Responda conduz os alunos 
a estabelecer as relações de proporção entre 
as grandezas, tornando a razão obtida no item 
a igual à razão obtida no item c. Obtém-se, 
dessa forma, uma proporção, designada por 
x
180
15
300
15
5
1 .
O item e da seção Responda apresenta a proprie-
dade fundamental das proporções, expressando 
as relações entre os meios e os extremos da pro-
porção obtida como estratégia para resolver a 
situação proposta. Aproveite esse item para afir-
mar que, em toda proporção, o produto dos ex-
tremos é igual ao produto dos meios, obtendo-se 
que, de modo geral, 
b
a
d
c
5 ] a 3 d 5 b 3 c. Esse 
item apresenta o modo de determinar o valor 
desconhecido em uma proporção. 
DIFICULDADES: O QUE FAZER?
Não conseguem resolver problemas envolvendo grandezas diretamente 
proporcionais.
Proponha diferentes situações-problema envolvendo grandezas diretamente proporcionais. 
Seguem algumas sugestões:
1. Num dia de sol, em determinado momento, Joana e Pedro estavam em uma região plana e 
mediram suas sombras: o comprimento da sombra de Pedro era de 60 cm, e o de Joana, 55 cm. 
Sabendo que Pedro tem 1,80 m, qual é a altura de Joana? 1,65 m.
2. Um restaurante fornece refeições diárias para 130 pessoas. Um levantamento de dados 
mostrou que a venda das refeições para essas pessoas durante 10 dias gera um custo de 
R$ 25.000,00 para o restaurante. Qual seria o custo aproximado para o restaurante no mesmo 
período se o número de clientes passasse a ser 75 pessoas? R$ 14.433,08.
3. Uma confecção usa 1.652 m de tecido para produzir 236 calças. A confecção recebeu uma 
encomenda de 789 calças. Qual é a quantidade de tecido necessária para atender à encomen-
da? 5.223 m.
Responda
a) A razão entre dois números a e b, com b % 0, nessa ordem, é b
a . Qual é a 
razão entre o número de dias e o número de páginas de um livro de 180 
páginas? Interprete o resultado em termos de números de dias necessários 
para a leitura de uma quantidade de páginas.
São lidas 180 páginas em 15 dias: 
180
15 5 
12
1 , ou seja, são lidas 12 páginas por dia.
b) Considere x o número de dias a mais necessários para ler o livro de 300 
páginas. Qual será o número de dias necessários para ler esse livro?
A quantidade de dias para ler um livro de 300 páginas pode ser representado por 15 1 x.
c) Escreva a razão entre o número de dias e o número de páginas do livro 
mencionado no item b.
A razão entre o número de dias para ler um livro de 300 páginas é x
300
15 1 .
d) Quando duas razões são iguais, dizemos que elas são uma proporção. 
Como Rafael manterá o mesmo ritmo de leitura, a razão entre o número 
de dias e o número de páginas se manterá, ou seja, deve ser sempre a 
mesma. Portanto, a razão obtida no item a deve ser igual à razão obtida 
no item c. Com isso, temos uma proporção. Escreva-a.
A proporção pode ser representada por x180
15
300
155 1 .
e) Leia a informação a seguir.
Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.
Exemplo:
• Para determinar o valor de x na proporção x12 3
45 , podemos fazer:
x 3 3 5 12 3 4
3x 5 48
x 5 48 : 3 5 16
• Determine o valor de x que satisfaz a igualdade obtida no item d.
x
180
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155 1 , ou seja, x12
1
300
155 1
12(15 1 x) 5 300
180 1 12x 5 300
12x 5 300 2 180
x 5 120 : 12 5 10
f) Quantos dias Rafael levará para ler o livro de 300 páginas?
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Rafael levará dias para ler o livro de 300 páginas.25
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Ao analisarmos duas grandezas que se relacionam, dizemos que são grandezas 
diretamente proporcionais se variarem sempre na mesma razão. Ou seja, ao dobrarmos 
o valor de uma delas, o valor correspondente da outra também dobra; ou, ao reduzirmos 
pela metade o valor de uma dessas grandezas, o valor correspondente da outra também 
se reduz pela metade.
Observe no quadro a quantidade de cópias que uma máquina fotocopiadora consegue 
produzir de acordo com o tempo de operação.
Tempo (em minutos) 0,5 1 2 10
Número de cópias 8 16 32 160
Dizemos que o número de cópias é diretamente proporcional ao tempo de operação 
da máquina.
Recorde
Rafael pegou na biblioteca um livro de 180 páginas e levou 15 dias para lê-lo, 
mantendo o mesmo ritmo diário de leitura. Agora ele quer pegar um livro de 
300 páginas.
Se ele mantiver o mesmo ritmo de leitura, quantos dias levará para ler esse 
livro?
Atividade 1
Compreenda
a) O que é proposto na atividade?
A proposta é saber quantos dias Rafael levará para ler um livro de 300 páginas, 
mantendo o mesmo ritmo em que leu o livro de 180 páginas.
b) Quantos dias Rafael levou para ler o livro com 180 páginas?
Rafael levou 15 dias para ler o livro de 180 páginas.
c) O número de dias necessários para ler o livro de 300 páginas será 
menor ou maior do que o número de dias que ele levou para ler o livro 
de 180 páginas? Por quê?
Maior, pois 300 é maior do que 180 e Rafael manterá o mesmo ritmo de leitura.
 
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68
Proporções e grandezas8
Lição
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Lição 8
Orientações didáticas
Atividade 2
A atividade aborda o descritor D29, possibi-
litando avaliar as habilidades no que diz res-
peito à resolução de problemas que envolvam 
variação proporcional direta entre grandezas.
Ressalte que, diante de uma situação-proble-
ma, é fundamental analisar o tipo de variação 
apresentado na relação entre grandezas pro-
porcionais. Isso quer dizer que uma grandeza 
varia conforme a outra. Por exemplo: se 1 L de 
leite tem um custo, esse custo dobra se a quan-
tidade for duplicada, triplica se a quantidade 
for triplicada, e assim por diante, o que pode 
ser visualizado na tabela a seguir.
Quantidade de leite 
(em litros) Custo (em reais)
1 2,19
2 4,38
3 6,57
4 8,76
5 10,95
Desse modo, é possível observar que a varia-
ção aplicada à quantidade de leite (em litros) 
também é aplicada ao custo (quantidade a ser 
paga em reais). Quando a primeira dobra, tri-
plica, quadruplica, e assim por diante, a segun-
da grandeza sofre a mesma variação. Assim, a 
proporcionalidade entre elas é direta.
O objetivo da atividade é que os alunos deter-
minem o valor proporcional do lucro que cada 
sócio receberá, de acordo com o capital inves-
tido para a abertura da loja. 
Para resolver essa situação-problema, os alu-
nos devem determinar a constante de propor-
cionalidade k e, por meio dela, responder ao 
que foi pedido. Retomando como exemplo a 
situação dada anteriormente, indicamos as ra-
zões entre as grandezas apresentadas. Assim, 
, , , , ,
1
2 19
2
4 38
3
6 57
4
8 76
5
10 95
5 5 5 5 5 ... 5 
5 2,19. O valor de 2,19 indica a constante de 
proporcionalidade na relação entre preço e 
quantidade. Assim, o custo (C) e a quantida-
de (Q) estão relacionados da seguinte for-
ma: Q
C k5 , em que k indica a constante de 
proporcionalidade. Portanto, Q
C 5 k p C 5 
5 k 3 Q, ou seja: C 5 2,19 3 Q. O custo de 400 L 
de leite, por exemplo, para uma grande pro-
dução alimentícia,