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Ensino Médio
ANGLO
3
ª- série1
Manual do Professor • Matemática
294891_CAPA_EM_CA_MP_REGULAR_Mat.indd 1 3/9/17 8:50 AM
Manual
do Professor
Matemática 
Antonio Carlos ROSSO Junior
GLENN Albert Jacques van Amson
Roberto Teixeira Cardoso (ROBBY)
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Direção editorial: Renata Mascarenhas
Coordenação pedagógica: Fábio Aviles Gouveia
Supervisão da disciplina: Glenn Albert Jacques van Amson, 
Roberto Teixeira Cardoso
Gerência editorial: Bárbara M. de Souza Alves
Coordenação editorial: Adriana Gabriel Cerello
Edição: Tatiane Leite Nunes (coord.), 
Tadeu Nestor Neto
Assistência editorial: Walter Catão Manoel
Coordenação de produção: Fabiana Manna da Silva (coord.), 
Daniela Carvalho, Karina Andrade
Gerência de produção editorial: Ricardo de Gan Braga
Revisão: Hélia de Jesus Gonsaga (ger.), Kátia Scaff Marques (coord.), 
Rosângela Muricy (coord.), Danielle Modesto, 
Marília Lima, Marina Saraiva, 
Tayra Alfonso, Vanessa Lucena
Edição de arte: Antonio Cesar Decarli
Diagramação: Guilherme P. S. Filho, Lourenzo Acunzo, 
Marisa Inoue Fugyama
Iconografia: Silvio Kligin (superv.), Denise Duand Kremer (coord.) 
Claudia Bertolazzi, Claudia Cristina Balista, Ellen Colombo Finta, 
Fernanda Regina Sales Gomes, Jad Silva, Marcella Doratioto, Roberta 
Freire Lacerda Santos, Sara Plaça, Tamires Reis Castillo (pesquisa)
Tratamento de imagem: Cesar Wolf, Fernanda Crevin
Licenças e autorizações: Patrícia Eiras
Capa: Daniel Hisashi Aoki
Foto de capa: Keith Ladzinski/National Geographic Creative/Getty Images
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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Rosso Junior, Antonio Carlos 
 Ensino médio : matemática : caderno 3 : manual do professor 
/ Antonio Carlos Rosso Junior, Glenn Albert Jacques van Amson, 
Roberto Teixeira Cardoso (Robby). -- 1. ed. -- São Paulo : SOMOS 
Sistemas de Ensino, 2016.
 1. Matemática (Ensino médio) I. Amson, Glenn Albert Jacques van. 
II. Cardoso, Roberto Teixeira. III. Título.
15-11439 CDD-510.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino médio 510.7
2017
ISBN 978 85 4680 109 1 (PR)
Código da obra 826151317
1a edição
2a impressão
Impressão e acabamento
Uma publicação
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Sumário
Matemática ............................................................................................................................................................. 4
Setor A ...................................................................................................................................................................... 5
Aulas 37 e 38 – Funções: função quadrática – exercícios .................................................................................... 5
Aulas 39 e 40 – Funções: inequações do 2o grau ................................................................................................. 5
Aulas 41 e 42 – Funções: posição de um número real em relação às raízes de equação de grau 2 .............. 5
Aula 43 – Funções: conceito de módulo ................................................................................................................ 6
Aula 44 – Funções: equações modulares ............................................................................................................. 6
Aulas 45 e 46 – Funções: inequações modulares ................................................................................................. 7
Aulas 47 e 48 – Funções: gráficos de funções modulares .................................................................................... 7
Aulas 49 e 50 – Sequências: conceito de sequência ........................................................................................... 8
Aula 51 – Sequências: conceito de progressão aritmética .................................................................................. 8
Aulas 52 e 53 – Sequências: progressão aritmética – propriedades ................................................................... 9
Aula 54 – Sequências: conceito de progressão geométrica................................................................................ 9
Setor B .................................................................................................................................................................... 11
Aulas 25 e 26 – Triângulo retângulo (1) ................................................................................................................ 11
Aulas 27 e 28 – Triângulo retângulo (2) ................................................................................................................ 11
Aulas 29 e 30 – Trigonometria no triângulo retângulo ......................................................................................... 12
Aula 31 – Trigonometria da meia-volta ................................................................................................................. 13
Aulas 32 – Comprimento da circunferência ........................................................................................................ 13
Aulas 33 e 34 – Relações métricas num triângulo qualquer .............................................................................. 14
Aulas 35 e 36 – Polígonos regulares ...................................................................................................................... 15
Atividades Interdisciplinares .............................................................................................................................. 16
Respostas – Caderno de Exercícios 2 ................................................................................................................. 17
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Caderno 3
Neste Caderno 3 daremos continuidade aos eixos estruturadores de Álgebra, com números e funções, no setor A, e de Geometria 
e medidas, no setor B.
Para o setor A, nas aulas 37 a 42, finalizaremos o estudo das funções quadráticas que se iniciou no Caderno 2. Em seguida trataremos 
do módulo de um número real, das equações modulares, das inequações modulares, finalmente, das funções modulares. Note que esta 
opção de percurso é um pouco diferente do usual, pois muitos textos tratam primeiro de funções modulares para depois tratar de 
equações e inequações modulares, mas, com base em nossa prática profissional, percebemos que os alunos têm menos dificuldades 
quando estudam primeiro as equações e as inequações, usando apenas a definição de módulo, e depois estudam as funções modulares.
Em seguida finalizaremos o setor A com o início do estudo das sequências PA e PG (menos a soma dos termos de PG, que será 
abordada no Caderno 4). 
Para o setor B, iniciaremos com o tema “triângulo retângulo”. Em seguida teremos três aulas de trigonometria, sendo duas delas sobre 
trigonometria no triângulo retângulo e uma sobre trigonometria da meia-volta.
Encerraremos este caderno com uma aula sobre comprimento da circunferência, duas sobre relações métricas num triângulo qual-
quer e duas sobre polígonos regulares. 
Como o percurso é um pouco distinto do tradicional, julgamos importante que o professor tenha claro as motivações que nos 
levaram a essas escolhas. 
Sobre a trigonometria, entendemos que apesar de o PCN+ ter incluído ela no eixo estruturante de variação de grandezas, partes 
dela, como é o caso da trigonometria do triângulo retângulo, são mais ligadas tanto historicamente quanto na natureza das análises ao 
eixo de Geometria. Além disso, poderemos dar um tratamento mais completo ao estudo desse tipo de triângulo. 
Já a aula sobre a trigonometria da meia-voltaatenderá à necessidade de estudar o teorema dos senos e o teorema dos cossenos. Essa 
escolha nos permite encaixar este estudo na Geometria. Também auxiliaremos a disciplina de Física, pois o cálculo da intensidade de 
uma força resultante envolve o teorema dos cossenos.
Vale ainda destacar que nas duas últimas aulas retomaremos o estudo dos polígonos, tratando das relações métricas existentes nos 
polígonos regulares. Note que não esgotaremos esse tema, pois ainda serão estudadas no Caderno 4 áreas de superfícies delimitadas 
por polígonos.
Matem‡tica
4
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Setor A
aulas 37 e 38
Funções: função quadrática – exercícios
Objetivos
Mostrar aos alunos como interpretar o gráfico de uma fun-
ção quadrática para obter os sinais dos coeficientes da equação 
y 5 ax2 1 bx 1 c e do discriminante, e obter os valores desses 
coeficientes.
Encaminhamento
Comece a aula mostrando como é simples descobrir o sinal do 
coeficiente a apenas observando a concavidade da parábola. O sinal 
do coeficiente c é dado pela intersecção da parábola com o eixo y 
das ordenadas, ou seja, o ponto (0, c). O sinal do coeficiente b pode 
ser obtido a partir do sinal da abscissa x
V
 da parábola. Assim, por 
exemplo, se o vértice estiver no primeiro ou no quarto quadrante, 
temos 2b
2a
 . 0 e, portanto, b
2a
 , 0. Sabendo o sinal de a é sim-
ples obter o sinal de b. O sinal do discriminante D é obtido pelo 
número de pontos de intersecção da parábola com o eixo x das 
abscissas. Resolva o exercício 1 e, se achar conveniente, proponha 
outros exercícios do mesmo tipo.
Os alunos devem adquirir a capacidade de descobrir a equação 
de uma função quadrática a partir do seu gráfico. A meta é encontrar 
as constantes a, b e c na equação y 5 ax2 1 bx 1 c. Tratando-se 
de três incógnitas, devemos ter um sistema de três equações nessas 
incógnitas. Esse sistema pode ser montado a partir das coordena-
das de três pontos distintos da parábola, ou a partir das coorde- 
nadas do seu vértice e as de um outro ponto dela. Conhecendo o 
vértice V(x
V 
, y
V
) e um outro ponto A(x
A
, y
A
), é possível encontrar um 
terceiro ponto B(x
B
, y
B
) da parábola por simetria. Neste caso, teremos 
y
B
 5 y
A
 e x
B
 é obtido pelo fato de x
V 
ser a média aritmética de x
A
 e x
B
. 
Assim, por exemplo, se V(5, 7) é o vértice de uma parábola que passa 
por A(2, 10), então ela passa necessariamente pelo ponto B(x
B
, 10), 
em que x
B
 5 8, pois 5 é a média de 2 e 8. É claro que fica muito mais 
fácil com a figura. Se não houver figura, é bom fazê-la!
A parábola que passa pelos pontos A(2, 10) e B(8, 10) tem equa-
ção da forma y 5 a(x 2 2)(x 2 8) 1 10. O valor da constante 
a pode ser encontrado substituindo x e y dessa equação pelas 
coordenadas de qualquer outro ponto da parábola. É claro que a 
equação y
B
 5 a(x 2 x
A
)(x 2 x
B
) 1 y
A
 só é aplicável se y
B
 5 y
A
! Se 
não for o caso, temos, na pior das hipóteses, um sistema de três 
equações e três incógnitas, como nos exercícios 3 e 5 da aula.
No Caderno de Exercícios, há muitas questões que podem ser 
abordadas em aula; elas não são da Tarefa Mínima, nem da Tarefa 
Complementar.
aulas 39 e 40
Funções: inequações do 2o grau
Objetivos
Apresentar ao aluno como resolver uma inequação de grau 2 
pela parábola. Mostrar para o aluno que resolver uma inequação 
não é tão imediato quanto resolver uma equação. Com estas aulas, 
não deverá haver mais aluno cometendo alguns erros graves, como 
afirmar, por exemplo, que x2 . 4 ⇒ x . 62.
Mostrar aos alunos que todo número maior que 2 é, também, 
maior que 22. Além disso, a conclusão é falsa, pois, para x , 22, 
também, temos x2 . 4. O erro resulta da tentativa de resolver uma 
inequação como se fosse uma equação. Note que x2 5 4 ⇒ x 5 62.
Encaminhamento
Siga a sequência dos exercícios da aula. Em cada inequação, o 
roteiro é o mesmo: encontrar as raízes reais (se houver), esboçar a 
parábola e ler no gráfico para quais valores da variável (x) a desi-
gualdade dada é verificada. Nos casos em que não há raízes reais, o 
professor deverá se preocupar com os alunos que respondem que 
não existe x, por terem decorado, sem entender, casos da equação 
quadrática e nem pensarem em esboçar o gráfico.
aulas 41 e 42
Funções: posição de um número real 
em relação às raízes de equação de 
grau 2
Objetivos
Explicar técnicas algébricas e recursos gráficos para obter a 
posição de um número real dado em relação às raízes de uma 
equação quadrática, sem a necessidade de resolvê-la.
Encaminhamento
Explique o resumo da aula detalhadamente, sempre usando 
esboços de gráficos. Dê alguns minutos para os alunos resolverem 
5
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o primeiro exercício. Ao expor a resolução, simplesmente obtendo 
apenas o sinal de f(2), percebe-se como os alunos se surpreendem. 
Não se esqueça: explique a teoria sempre com gráficos.
Desse modo é fácil explicar o seguinte teorema: se f(x) 5 ax2 1 
1 bx 1 c (a Þ 0) e existe um número real r, tal que f(r) e a têm 
sinais opostos, então b2 2 4ac . 0 e o número r está entre as 
raízes. Para compreender isso, basta apresentar alguns esboços 
de gráficos.
Note que a condição f(r) e o coeficiente a ter o mesmo sinal pode 
ser verificada com D . 0, com D 5 0, e com D , 0.
aula 43
Funções: conceito de módulo
Objetivos
Apresentar o conceito de módulo de um número real x.
Encaminhamento
Comece a aula diretamente com o exercício 1, apenas completando 
a tabela. Usando os números da tabela como exemplos, é possível 
explicar muitas coisas para os alunos. Eles devem saber que 2x não 
significa número negativo, pois na realidade 2x 5 (21)x. Volte à ta-
bela mostrando que 2x pode ser negativo, positivo ou nulo. Explique 
que 1x 5 x, para todo número x; assim, 15 5 5. É correto escrever 
|5| 5 15. Temos 10 5 0 e 20 5 0; volte à tabela na coluna do 0 e 
verifique se há dúvida. Ao escrever 10 ou 20, não se está dizendo 
que 0 tem sinal.
Explique que 9 5 3, conforme a definição já vista anterior-
mente; para aqueles que insistem em escrever 9 5 63, pergunte 
a justificativa ao aluno, solicitando que ele reflita utilizando os 
conceitos aprendidos.
Finalmente, passe o conceito de módulo. Aproveite a ocasião 
para mostrar que, na igualdade |x| 5 2x, podemos ter x 5 0. Mostre 
também que, para todo x real, |x| 5 x2 . A afirmação x
2 5 x é 
verdadeira somente com x ù 0. Identifique o conceito de módulo 
com a noção de distância, como no exemplo introdutório no Livro- 
-texto. Complete a aula com os demais exercícios.
Sugestão de exercícios extras
1. Com 1 , x , 3, qual é o valor de (x  1)22 1 (x  3)22 ?
Resposta: 2
2. Sendo a e b números reais não nulos, obtenha os 
possíveis valores de: 
a) 
a
a
b) 
a
a
 1 
b
b
 1 
ab
ab
Resolução:
a) Se a . 0, então 
a
a
 5 a
a
 5 1. 
Se a , 0, então 
a
a
 5 a
a
2 5 21. 
Resposta: 1 e 21
b) Se a . 0 e b . 0, então 
a
a
 1 
b
b
 1 
ab
ab
 5 1 1 1 1 1 5 3. 
Se a . 0 e b , 0, então 
a
a
 1 
b
b
 1 
ab
ab
 5 1 1 (21) 1 (21) 5 21.
Se a , 0 e b , 0, então 
a
a
 1 
b
b
 1 
ab
ab
 5 (21) 1 (21) 1 1 5 21.
Resposta: 21 e 3
aula 44
Funções: equações modulares
Objetivos
Mostrar como resolver equações da forma |f(x)| 5 k, em que k 
é uma constante e f(x) é uma expressão na variável real x.
Encaminhamento
Explique que, sendo módulo de um número x a distância da 
origem ao ponto que representa x, podemos concluir que, em R, 
|a| 5 |b| se, e somente se, a e b são iguais, ou a e b são opostos.
Logo, |x| 5 |5| ⇔ x 5 5 ou x 5 25.
Por outro lado, como |5| é igual a 5, podemos afirmar que: 
|x| 5 5 ⇔ x 5 5 ou x 5 25.
Generalizando:
Com k . 0, temos |x| 5 k ⇔ x 5 k ou x 5 2k.
Sugestão de exercícios extras
Resolver em R:
1. ||x 2 1| 2 2| 5 3
Resposta: {24, 6}
2. ||x 2 1| 2 3| 5 2
Resposta: {24, 0, 2, 6}
3. ||x 2 2| 2 1| 5 3
Resposta: {22, 6}
4. ||x 2 2| 2 3| 5 1
Resposta: {22, 0, 4, 6}
5. ||x 2 3| 2 1| 5 2
Resposta: {0, 6}
6. ||x 23| 2 2| 5 1
Resposta: {0, 2, 4, 6}
6
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aulas 45 e 46
Funções: inequações modulares
Objetivos
Mostrar como resolver inequações das formas |f(x)| . k, 
|f(x)| ù k, |f(x)| , k e |f(x)| ø k, em que k é uma constante e f(x) 
é uma expressão na variável real x.
Encaminhamento
Explique, com exemplos, que considerando k . 0, temos:
•	 |x| . k significa que a distância da origem (0) ao afixo de x 
é maior que k, ou seja, x , 2k ou x . k.
•	 |x| , k significa que a distância da origem (0) ao afixo de x é 
menor que k, ou seja, x está entre 2k e k, ou ainda, 2k , x , k.
Sugestão de exercícios extras
Resolver em R:
1. ||x 2 1| 2 2| . 3
Resposta: {x [ R | x , 24 ou x . 6}
2. ||x 2 1| 2 3| . 2 
Resposta: {x [ R| x , 24 ou 0 , x , 2 ou x . 6}
3. ||x 2 2| 2 1| . 3 
Resposta: {x [ R | x , 22 ou x . 6}
4. ||x 2 2| 2 3| . 1 
Resposta: {x [ R | x , 22 ou 0 , x , 4 ou x . 6}
5. ||x 2 3| 2 1| . 2 
Resposta: {x [ R | x , 0 ou x . 6}
6. ||x 2 3| 2 2| . 1 
Resposta: {x [ R | x , 0 ou 2 , x , 4 ou x . 6}
7. ||x 2 1| 2 2| , 3 
Resposta: {x [ R | 24 , x , 6}
8. ||x 2 1| 2 3| , 2 
Resposta: {x [ R | 24 , x , 0 ou 2 , x , 6}
9. ||x 2 2| 2 1| , 3 
Resposta: {x [ R | 23 , x , 5}
10. ||x 2 2| 2 3| , 1
Resposta: {x [ R | 22 , x , 0 ou 4 , x , 6}
11. ||x 2 3| 2 1| , 2 
Resposta: {x [ R | 0 , x , 6}
12. ||x 2 3| 2 2| , 1 
Resposta: {x [ R | 0 , x , 2 ou 4 , x , 6}
aulas 47 e 48
Funções: gráficos de funções modulares
Objetivos
Mostrar como se pode obter o gráfico de y 5 |f(x)|, a partir do 
gráfico de f(x), mediante rebatimentos.
Encaminhamento
Explique o resumo teórico e faça o maior número de exercícios. 
Na resolução deles, é importante mostrar que o uso de uma tabela 
de pares (x, y) pode ser necessária, mas não é suficiente para expli-
car como os pontos devem ser unidos. Explique que a técnica de 
rebatimento nem sempre pode ser aplicada. Assim, por exemplo, 
para esboçar a curva y 5 |x| 1 x2, somos obrigados a fazer um 
estudo por casos (x ù 0 e, depois, x , 0).
Sugestão de exercícios extras
1. Esboce o gráfico de y 5 |x2 2 4|
Resolução:
Primeiro
x
depois
y 5 |x2 2 4|20 022
24
y
x222
4
y
2. Esboce o gráfico de y 5 ||x2 2 1| 2 1|
Resolução:
x1
y 5 x2 2 1
0
21
21
y
x1
y 5 |x2 2 1|
0
21
21
y
1
2
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EM_REG_04a10_MAT_A_MP3.indd 7 3/30/16 10:27 AM
x1
y 5 |x2 2 1| 21
0
21
21
y
x1
y 5 ||x2 2 1| 21|
0
212
y
22
1
aulas 49 e 50
Sequências: conceito de sequência
Objetivos
Apresentar o conceito e alguns exemplos de sequência (a
n
).
Encaminhamento
Compare conjuntos com grupos de pessoas e sequências com 
filas; isso pode ser conveniente para uma primeira aproximação. 
Com o tempo, não será difícil mostrar que uma sequência é uma 
função cujo domínio é N, ou, no nosso curso, N*. Para isso, basta 
resolver os exercícios da aula junto com os alunos e apresentar os 
conceitos envolvidos paralelamente.
Sugestão de exercícios extras
1. Numa certa sequência infinita, a soma de qualquer 
par de termos consecutivos é nula. Dado que a soma 
dos primeiros três termos é 12, obtenha o primeiro 
termo.
Resolução:
a
1
 1 a
2
 5 0 e a
1
 1 a
2
 1 a
3
 5 12 ⇒ a
3
 5 12
a
2
 1 a
3
 5 0 e a
3
 5 12 ⇒ a
2
 5 212
a
1
 1 a
2
 5 0 e a
2
 5 212 ⇒ a
1
 5 12
Resposta: 12
3
4
2. Numa certa sequência infinita, a soma de qualquer 
terno de termos consecutivos é igual a 20. Dado que o 
primeiro termo é 9 e que o sexto termo é 7, obtenha o 
segundo termo. 
Resposta: 4
3. Uma sequência de números reais a
1
, a
2
, a
3
, …, satisfaz 
à lei de formação:
•	 a
n 1 1
 5 6a
n
, se n é ímpar
•	 a
n 1 1
 5 1
3
a
n
, se n é par
Se a
1
 5 5, então o a
3
 é:
 ca) 10
b) 11 
c) 14
d) 17
e) 18
4. Se, numa sequência, a
1
 5 1 e a
n
 
1
 
1
 5 
1
1
1 an
 , para todo 
n inteiro positivo, a
5
 é;
a) 3
5
b) 8
13
 cc) 5
8
d) 8
5
e) 5
3
aula 51
Sequências: conceito de progressão 
aritmética
Objetivos
Apresentar o conceito de progressão aritmética (PA) e alguns 
modos de representação.
Encaminhamento
Siga o resumo teórico, dando vários exemplos numéricos, re-
solva os exercícios e complete a aula com considerações suas e 
exercícios extras. É muito importante que o aluno compreenda as 
fórmulas a
n
 5 a
1
 1 (n 2 1)r e a
n
 5 a
p
 1 (n 2 p)r, de modo intuitivo. 
Veja alguns exemplos:
a
13
 5 a
1
 1 12r (estando no 1o andar, devemos subir 12 andares 
para chegar ao 13o)
a
13
 5 a
10
 1 3r (estando no 10o andar, devemos subir 3 andares 
para chegar ao 13o)
a
10
 5 a
13
 2 3r (estando no 13o andar, devemos descer 3 andares 
para chegar ao 10o)
Analogias com uma escada e seus degraus também ajudam os 
alunos a compreender a fórmula, e não apenas a decorá-la.
8
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Sugestão de exercícios extras
1. (UERGS-RS) A sequência (5, 11, 17, 23, …, x, …) representa 
uma progressão aritmética com infinitos termos.
Um possível valor para x é:
a) 601
b) 602
c) 603
d) 604
 ce) 605
2. O mais famoso dos cometas que orbita o nosso Sol é o 
cometa Halley, cujo período orbital (tempo que ele leva 
para fazer uma órbita completa) é de aproximadamente 
75,3 anos. Embora ele tenha sido registrado pela primeira 
vez em 240 a.C., sua “descoberta” foi feita por Edmond 
Halley, que previu o seu regresso em 1758. Sua última 
aparição foi em 1986. Admitindo que seu período orbital 
seja de 76 anos, qual será o primeiro ano, após o ano 3000, 
em que ele será avistado? 
Resposta: 3050
3. As progressões aritméticas seguintes (24, 21, 2, …) e 
(…, 27, 31, 35) têm, ambas, 31 termos. Somando os 
termos correspondentes destas progressões, obtém-se 
uma sequência cujo décimo sexto termo é:
a) 18
b) 21
 cc) 16
d) 22
e) 25
aulas 52 e 53
Sequências: progressão aritmética – 
propriedades 
Objetivos
Apresentar as propriedades do termo médio (se este existir) e de 
termos equidistantes dos extremos, em progressões finitas, e apresen-
tar também um modo de calcular a soma dos primeiros n termos 
de uma PA.
Encaminhamento
Explique os itens do resumo com vários exemplos curtos e simples. 
Quanto maior o número de exemplos, melhor será o retorno positivo 
por parte dos alunos. Mostre que a descoberta de Gauss funciona em 
qualquer progressão. A notação S
n
 para indicar a soma dos primeiros n 
termos de uma PA pode armar uma cilada: S
1
 5 a
1
. Porém, uma soma 
só existe quando houver, pelo menos, duas parcelas.
Sugestão de exercícios extras
1. Determine o menor valor de n para o qual a soma dos 
n primeiros termos da PA (215, 213, …) é maior que a
n
.
Resposta: 18
2. A soma dos elementos comuns às progressões 
aritméticas (3, 6, 9, …) e (4, 6, 8, …), com 30 termos 
cada uma, é:
 ca) 330
b) 358
c) 406
d) 472
e) 504
aula 54
Sequências: conceito de progressão 
geométrica
Objetivos
Apresentar o conceito de progressão geométrica (PG) e alguns 
modos de representação.
Encaminhamento
Siga o resumo teórico, dando vários exemplos numéricos, re-
solva os exercícios e complete a aula com várias considerações. 
Compare os cálculos envolvidos numa PG com cálculos corres-
pondentes na PA, como nos próximos exemplos:
Na PG: a
13
 5 a
12
 ? q e na PA: a
13
 5 a
12
 1 r 
Na PG: a
13
 5 a
1
 ? q12 e na PA: a
13
 5 a
1
 1 12r
Na PG: a
13
 5 a
10
 ? q3 e na PA: a
13
 5 a
10
 1 3r
Na PG: a
10
 5 
a
q
13
3
 e na PA: a
10
 5 a
13
 2 3r
Os resultados obtidos com cálculos de termos de uma PG po-
dem ser completamente inesperados; eles podem fugir da nossa 
intuição. Veja nos exemplos abaixo que as progressões geométricas 
com razão igual a 2 e aquelas com razão igual a 1
2
 são extremamente 
importantes, no cotidiano e na teoria!
Exemplo 1:
Parte da superfície de um lago era coberta por uma planta 
aquática; a cada semana, a área coberta dessa superfície dobrava 
e, em 52 semanas, a superfície toda estava coberta. Quantas se-
manas levou para essa planta cobrir a quarta parte da superfície 
do lago?Resposta: 50 semanas.
Em 51 semanas, a metade, e em 52 semanas, a superfície toda.
9
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Exemplo 2
Suponha que, a cada segundo, seja colocado um grão de milho 
num tabuleiro de xadrez (64 casas). Na primeira casa, 1 grão, na 
segunda casa, 2 grãos, na terceira casa, 4 grãos, na quarta casa, 
8 grãos e, assim em diante, na enésima casa, 2n 2 1 grãos. Quanto 
tempo levaria para colocar os grãos somente da última casa? 
Resposta: 263 segundos; isto é, mais que 270 bilhões de anos. 
Sugestão de exercícios extras
1. (Pases–UFV–MG) Se (a
1
, a
2
, …, a
20
) é uma progressão 
geométrica finita em que a
1
 5 22 e a
2
 5 1, é correto 
afirmar que ( )a20
1
9 é:
a) 4
 cb) 0,25
c) 20,25
d) 24
2. (Fuvest–SP) Sabe-se sobre a progressão geométrica a
1
, 
a
2
, a
3
, … que a
1
 . 0 e a
6
 5 29 3. Além disso, a progressão 
geométrica a
1
, a
5
, a
9
, … tem razão igual a 9. Nessas 
condições, o produto a
2
 ? a
7
 vale:
 ca) 227 3
b) 23 3
c) 2 3
d) 3 3
e) 27 3
3. (UFRGS–RS) Para pagar uma dívida de x reais no seu 
cartão de crédito, uma pessoa, após um mês, passará 
a fazer pagamentos mensais de 20% sobre o saldo 
devedor. Antes de cada pagamento, serão lançados 
juros de 10% sobre o saldo devedor. Efetuados 12 
pagamentos, a dívida, em reais, será:
a) zero
b) x
12
 cc) (0,88)12x
d) (0,92)12x
e) (1,1)12x
10
a
n
o
ta
ç
õ
e
s
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Setor B
aulas 25 e 26
Triângulo retângulo (1)
Objetivos
Trabalhar com os elementos de um triângulo retângulo e suas 
relações métricas. 
Encaminhamento
Inicie a aula apresentando um triângulo retângulo e retomando 
a nomenclatura específica dos lados (catetos e hipotenusa). Em 
seguida mostre aos alunos que, traçando a altura relativa à hipo-
tenusa, obtemos dois novos triângulos semelhantes ao triângulo 
original e, por consequência, semelhantes entre si.
Como teremos quatro aulas sobre esse assunto, sugerimos 
que obtenha as relações métricas a partir das semelhanças. Essas 
demonstrações reforçam ao aluno a importância do estudo dos 
triângulos semelhantes e dão maior consistência ao estudo. 
Contudo, é importante ao final que o aluno perceba alguns 
padrões existentes. Acreditamos ser muito importante que o aluno 
veja uma demonstração do teorema de Pitágoras. Escolhemos no 
Livro-texto uma demonstração que envolve as relações métricas.
Em seguida, peça aos alunos que façam os exercícios da aula, 
corrigindo-os.
Professor, caso seja possível, recomendamos a realização dos 
exercícios extras.
Sugestão de exercícios extras
1. (Fuvest–SP) Uma escada de 25 dm de comprimento se 
apoia em um muro de comprimento do qual seu pé dista 
7 dm. Se o pé da escada se afastar mais 8 dm do muro, 
qual será o deslocamento verificado pela extremidade 
superior?
Resposta: 4 dm
2. (UFT–TO) Observe esta figura:
A
HB C
Nessa figura, o triângulo BAC é retângulo em A; o seg-
mento AH corresponde à altura relativa à hipotenusa 
BC; BH mede 1 cm e HC mede 4 cm.
Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar 
que o cateto AC mede:
 ca) 2 5 cm
b) 3 5 cm
c) 4 5 cm
d) 5 cm
aulas 27 e 28
Triângulo retângulo (2)
Objetivos
Trabalhar com problemas envolvendo triângulos retângulos.
Encaminhamento
Devido à importância e à frequência desse tema em exames 
nacionais e em processos seletivos, nestas aulas faremos exercícios 
mais sofisticados envolvendo esse conteúdo.
Inicie a aula retomando as relações métricas e o teorema de 
Pitágoras e tire eventuais dúvidas das tarefas das aulas 25 e 26. Em 
seguida, solicite aos alunos que resolvam os exercícios.
Se houver tempo disponível, utilize alguns dos exercícios da 
seção a seguir. 
Sugestão de exercícios extras
1. (PUC–RJ) Considere o triângulo ABC retângulo em A, 
onde AB 5 21 e AC 5 20. BD é a bissetriz do ângulo AB̂C. 
Quanto mede AD ?
 ca) 
42
5
b) 
21
20
c) 20
21
d) 9
e) 8
11
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aulas 29 e 30
Trigonometria no triângulo retângulo
Objetivos
Retomar os conceitos de seno, cosseno e tangente de um 
ângulo agudo.
Encaminhamento
Essa é uma aula que o professor deve conduzir com cuidado, 
pois, apesar de esse tema fazer parte do programa do Ensino Fun-
damental, é fato que, muitas vezes, acaba por ser pouco trabalhado 
durante essa etapa escolar. Por isso, sugerimos que esse assunto seja 
tratado como novidade, mesmo que muitos alunos já o conheçam.
Inicie a aula explicando que na Geometria trabalhamos com 
relações entre os lados de um triângulo retângulo, bem como rela-
ções entre as medidas dos ângulos internos de um triângulo. Já na 
trigonometria do triângulo retângulo, apesar do objetivo similar, o 
principal é estabelecer relações entre as razões entre lados de um 
triângulo e as medidas de seus ângulos internos. 
Em seguida conceitue o seno, o cosseno e a tangente de um ângu-
lo agudo, mostrando um exemplo que não envolva ângulos notáveis. 
Depois disso, comente com os alunos que existem alguns ân-
gulos que são chamados notáveis (explicando o motivo pelo qual 
eles são chamados notáveis) para os quais tabelamos os valores 
dessas razões trigonométricas. 
Resolva um exemplo envolvendo esses ângulos e deixe os alunos 
trabalharem com os exercícios da aula.
Os exercícios 2, 3 e 4 apresentam situações que são o grande 
motivador do estudo da trigonometria, que é a medição de objetos 
inacessíveis.
Se houver tempo disponível, utilize alguns dos exercícios da 
seção a seguir.
Sugestão de exercícios extras
1. (UFPR) Num projeto hidráulico, um cano com diâmetro 
externo de 6 cm será encaixado no vão triangular 
de uma superfície, como ilustra a figura abaixo. Que 
porção x da altura do cano permanecerá acima da 
superfície?
6 cm
8 cm
60°
x
2. (UFU–MG) A figura a seguir representa a planta 
cartográfica de um loteamento de chácaras, cujas 
medidas indicadas estão em km (quilômetros). Um 
problema gráfico no momento da impressão da planta 
não informou a medida x 5 BC. 
30
40
20
x
C
D
A B
Sabendo que os ângulos em A e C são retos, é possível 
calcular o perímetro desse loteamento, sendo esse nú-
mero (em km) igual a:
 ca) 90 10 11+
b) 90 4 11+
c) 90 25 11+
d) 90 100 11+
3. (Insper–SP) A figura mostra parte de um campo de 
futebol, em que estão representados um dos gols e a 
marca do pênalti (ponto P).
P
T
Considere que a marca do pênalti equidista das duas 
traves do gol, que são perpendiculares ao plano do 
campo, além das medidas a seguir, que foram aproxi-
madas para facilitar as contas,
Distância da marca do pênalti até a linha do gol: 11 metros.
Largura do gol: 8 metros.
Altura do gol: 2,5 metros.
Um atacante chuta a bola da marca do pênalti e ela, 
seguindo uma trajetória reta, choca-se contra a jun-
ção da trave esquerda com o travessão (ponto T). 
Nessa situação, a bola terá percorrido, do momento 
do chute até o choque, uma distância, em metros, 
aproximada de:
 ca) 12
b) 14
c) 16
d) 18
e) 20
12
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a) 1
2
 cm
 cb) 1 cm
c) 3
2
 cm
d) 
p
2
 cm
e) 2 cm
2. (FGV–SP) Em um triângulo ABC, com ângulo reto em B, 
AC2 5 48, BP2 5 9, sendo que BP é a altura de ABC com 
relação ao vértice B. Nessas condições, a medida do 
ângulo AĈB é
a) 15° ou 75°.
b) 20° ou 70°.
c) 22,5° ou 67,5°.
 cd) 30° ou 60°.
e) 45°.
3. (PUC–SP) Abílio (A) e Gioconda (G) estão sobre uma 
superfície plana de uma mesma praia e, num dado 
instante, veem sob respectivos ângulos de 30° e 45° 
um pássaro (P) voando, conforme é representado na 
planificação abaixo.
240 m
A
30° 45°
G
P
Considerando desprezíveis as medidas das alturas de 
Abílio e Gioconda e sabendo que, naquele instante, a 
distância entre A e G era de 240 m, então a quantos me-
tros de altura o pássaro distava da superfície da praia?
a) 160 3   1( )
 cb) 2120 3    1( )
c) 1120 3   1( )
d) 2180 3 1( )e) 1180 3   1( )
aula 31
Trigonometria da meia-volta
Objetivos
Ampliar o conceito do seno e do cosseno para ângulos medindo 
até 180°. 
Encaminhamento
Inicie perguntando como poderíamos calcular os valores do 
seno e do cosseno de um ângulo obtuso. Explique que, com o 
modelo do triângulo retângulo, isso não é possível e, por isso, es-
colheu-se outro modelo que permita esse cálculo, o da meia-volta.
Defina a meia circunferência trigonométrica e mostre como 
marcar um arco trigonométrico. Depois disso, mostre aos alu-
nos que, a partir dessa convenção, a abscissa do ponto que 
representa o arco é o cosseno desse arco e a ordenada é o seno 
desse arco.
Finalmente, mostre como calcular o seno e o cosseno de um 
arco com mais de 90° usando a mudança de quadrante.
Essa aula irá permitir o estudo dos teoremas dos senos e dos 
cossenos nas próximas aulas.
Caso julgue pertinente, comente com os alunos que poste-
riormente estudaremos a circunferência trigonométrica e, com 
ela, poderemos calcular as razões trigonométricas para arcos 
com mais de 180°.
Não sugerimos exercícios extras nessa aula. Se houver dispo-
nibilidade, faça mais exemplos similares aos exercícios da aula.
aula 32
Comprimento da circunferência
Objetivos
Trabalhar com o comprimento de uma circunferência e de um 
arco de circunferência. 
Encaminhamento
Inicie a aula lembrando a diferença entre círculo e circunferên-
cia e mostrando como calcular o comprimento da circunferência 
pela regra de três. 
Caso julgue pertinente, você pode fazer uma experiência 
com os alunos utilizando um barbante e várias circunferências, 
mostrando empiricamente que existe uma relação entre seu 
diâmetro e seu comprimento (2p).
Após apresentar o cálculo do comprimento da circunferên-
cia, comente com os alunos que o comprimento de um arco 
é diretamente proporcional à medida do seu ângulo central 
correspondente, portanto podemos usar uma regra de três para 
determiná-lo.
Em seguida, peça aos alunos que façam os exercícios 1, 2 e 3 
da aula. Os exercícios 1 e 3 são situações práticas em que preci-
samos do comprimento de uma circunferência.
Após isso, faça com os alunos o exercício 4, pois como ele 
envolve noções de cinemática (velocidade média), muitos alunos 
não se sentem seguros de fazê-lo sozinhos.
Se houver tempo disponível, utilize alguns dos exercícios da 
seção a seguir.
13
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Sugestão de exercícios extras
1. (Uece) Uma pizza que tem a forma de um disco com 
32 cm de diâmetro é fatiada em oito pedaços iguais, 
da forma mostrada na figura abaixo. A medida do 
comprimento da linha que contorna cada fatia é
a) 2(8 1 p) cm
b) 4(4 1 p) cm
c) 4(2 1 p) cm
d) 8(2 1 p) cm
 ce) 4(8 1 p) cm
2. (UFG-GO) Deseja-se marcar nas trajetórias circulares 
concêntricas, representadas na figura abaixo, os 
pontos A e B, de modo que dois móveis partindo, 
respectivamente, dos pontos A e B, no sentido horário, 
mantendo-se na mesma trajetória, percorram distâncias 
iguais até a linha de origem. 
Considerando que o ponto A deverá ser marcado sobre 
a linha de origem a 8 m do centro e o ponto B a 10 m 
do centro, o valor do ângulo a, em graus, será igual a:
α
A
Linha de origem B
a) 30
b) 36
c) 45
d) 60
 ce) 72
aulas 33 e 34
Relações métricas num 
triângulo qualquer
Objetivos
Reapresentar o teorema dos cossenos e o teorema dos senos.
Encaminhamento
Inicie a aula apresentando uma situação em que é preciso cal-
cular o comprimento de um segmento envolvendo um triângulo 
não retângulo. Pode ser a medida da diagonal de um paralelogramo 
ou a situação inicial do Livro-texto.
Sugerimos que apresente primeiro o teorema dos cossenos e 
mostre um exemplo de um triângulo calculando a medida de um 
lado sem o teorema e com o teorema, para mostrar que, apesar de 
ser possível fazer o cálculo sem o auxílio do teorema, o teorema o 
torna mais simples.
Em seguida, caso julgue pertinente, faça a demonstração para 
um dos casos (essa demonstração está no Livro-texto).
Depois, peça aos alunos que façam os exercícios 1, itens a e b 
e o exercício 2 da aula.
Não deixe de comentar que o teorema de Pitágoras se torna 
um caso particular desse teorema.
Para o teorema dos senos, sugerimos a apresentação da relação 
e de um exemplo direto. Em seguida, peça aos alunos que façam 
os exercícios 1, itens c e d e o exercício 3 da aula.
Finalize pedindo no exercício 4 que eles decidam qual teorema 
utilizar e expliquem o motivo da decisão. Isso os ajudará a identificar 
qual teorema usar em cada caso.
Se houver tempo disponível, utilize alguns dos exercícios da 
seção a seguir. 
Sugestão de exercícios extras
1. (UFPR) Calcule o seno do maior ângulo de um triângulo 
cujos lados medem 4, 6 e 8 metros.
a) 1
4
b) 1
2
 cc) 
15
4
d) 10
4
e) 3
2
2. (Fuvest–SP) Em uma semicircunferência de centro C e 
raio R, inscreve-se um triângulo equilátero ABC. Seja D 
o ponto onde a bissetriz do ângulo AĈB intercepta a 
semicircunferência. O comprimento da corda AD é:
B
D
A
C
 ca) 2R 2 3
b) 2R 3 2
c) 2R 2 1
d) 2R 3 1
e) 2R 3 2
14
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3. (UFMS) Na figura, ABCD é um quadrado. Sendo M o ponto 
médio do lado BC e α o ângulo correspondente ao vértice 
M do triângulo AMD, calcule o valor de 30cos α.
MB C
A D
α
aulas 35 e 36
Polígonos regulares
Objetivos
Trabalhar com as relações métricas em polígonos regulares.
Encaminhamento
Inicie a aula retomando os conceitos de polígono e de polígono 
regular estudados na aula 14 do Caderno 2. Retome os elementos 
geométricos de um polígono regular e as propriedades dos ângu-
los interno, externo e central, bem como o cálculo do número de 
diagonais. Em seguida, conceitue apótema e mostre que o apóte-
ma é o raio da circunferência inscrita ao polígono. Aproveite para 
lembrar o que é circunferência circunscrita ao polígono e que essas 
circunferências são concêntricas.
Durante os exercícios, apresente as relações que existem entre os 
lados de um polígono regular e os raios das circunferências inscrita 
e circunscrita a ele, nos casos do triângulo equilátero, quadrado 
e hexágono regular. Comente que não é necessário decorá-las. 
Independentemente disso, a relação entre as medidas do lado do 
polígono regular e do raio da sua circunferência circunscrita está 
demonstrada no Livro-texto para esses casos.
Se houver tempo disponível, utilize alguns dos exercícios da 
seção a seguir. 
Sugestão de exercícios extras
1. O perímetro do quadrado inscrito num círculo é igual a 
8 2 cm. O semiperímetro do hexágono regular inscrito 
no mesmo círculo é igual a:
a) 2 cm
b) 3 2 cm
 cc) 6 cm
d) 6 2 cm
e) 4 2 cm
2. (Fatec–SP) Um hexágono regular, de lado 3 cm, está 
inscrito numa circunferência. Nessa circunferência, um 
arco de medida 100° tem comprimento:
a) p
3
5
 cm
b) p
5
6
 cm
c) p cm
 cd) p
5
3
 cm
e) p
10
3
 cm
3. (FGV–SP) Na figura, ABCDEF é um hexágono regular de 
lado 1 dm, e Q é o centro da circunferência inscrita a 
ele. O perímetro do polígono AQCEF, em dm, é igual a:
DA
Q
B C
F E
a) 14 2
 cb) 14 3
c) 6
d) 14 5
e) 12 2 2( )
a
n
o
ta
ç
õ
e
s
15
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Atividades Interdisciplinares
A Atividade Interdisciplinar proposta para o Caderno 3 associa 
a Biologia, a Física e a Química, tendo como tema a Paleontologia. 
A Biologia apresenta o eixo principal da atividade ao trabalhar com 
os fósseis brasileiros. 
A descrição das principais jazidas de fósseis no país e dos prin-
cipais espécimes encontrados permite a recordação dos conceitos 
de evolução, uma análise dos nichos ecológicos existentes e uma 
discussão sobre a diversidade de espécies encontradas. Ao mesmo 
tempo, pode ser feita uma associação com a Geografia em relação 
à localização das jazidas e à descrição física das regiões na era Me-
sozoica em comparação com hoje.
Estimule a pesquisa de materiaissobre os fósseis brasileiros, 
principalmente dinossauros e pterossauros. Os sites a seguir podem 
ser sugeridos para a pesquisa:
•	 <www.avph.com.br/brasil.htm>. 
•	 <www.colecionadoresdeossos.com/p/o-comercio-de-fosseis-
brasileiros-e.html>. 
•	 <http://geoparkararipe.org.br/paleontologia-da-bacia-do-
araripe/>. 
•	 <www.rc.unesp.br/museupaleonto/paleonto.htm>.
•	 <www.pucrs.br/mct/colecoes/paleontologia/>. 
•	 <www.igc.usp.br/museu/fos_pterossauro.htm>.
•	 <http://cienciahoje.uol.com.br/noticias/2014/10/novo-
gigante-voador-do-nordeste>. 
•	 <www.revistadehistoria.com.br/secao/em-dia/brasil-terra-
dos-pterossauros>. 
•	 <www.avph.com.br/estauricossauro.htm>.
•	 <http://revistapesquisa.fapesp.br/2010/10/27/os-dinos-do-
brasil/>. 
Acessos em: 8 mar. 2016.
O desenvolvimento do tema pela Biologia é completado pela 
resolução dos exercícios 1 a 3, que trabalham, principalmente, os con- 
ceitos evolutivos que podem ser associados ao estudo dos fósseis.
A apresentação dos pterossauros pela Biologia possibilita sua 
utilização pela Física, que trabalha com a capacidade de voo desses 
animais gigantescos nos exercícios 4 e 5. Por sua vez, a Química 
trabalhará com o processo de fossilização no exercício 6, podendo 
estabelecer a relação da ocorrência de fósseis em determinadas 
regiões associadas às suas características químicas.
a
n
o
ta
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õ
e
s
16
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Respostas – Caderno de Exercícios 2
capítulo 1
Sequências 2 Conceito
4. Padrões
1. D
2. B
3. E
4. E
5. D
6. E
7. A
8. C
9. D
10. B
11. D
12. D
13. D
capítulo 2
Progressão aritmética
1. B
2. E
3. B
4. E
5. C
6. A
7. C
8. C
9. D
10. C
11. C
12. D
13. E
14. A
15. C
16. B
17. A
18. B
19. D
20. C
21. C
22. B
23. D
24. B
25. D
capítulo 3
Progressão geométrica
1. B
2. D
3. C
4. A
5. C
6. B
7. E
8. E
9. E
10. B
11. B
12. C
13. A
14. B
15. A
16. A
17
R
e
sp
o
st
a
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Ð
 C
a
d
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rn
o
 d
e
 E
xe
rc
’c
io
s
EM_REG_17a24_MAT_MP3_Resp.indd 17 3/30/16 10:33 AM
17. C
18. A
19. A
20. B
21. a) 15
b) 10o dia
22. A
23. E
24. E
25. C
26. D
27. E
28. B
29. D
30. C
31. E
32. D
33. D
34. C
35. C
capítulo 1
Exponenciais
5. Expoentes
1. C
2. B
3. C
4. D
5. B
6. B
7. E
8. B
9. D
10. B
11. B
12. A
13. B
14. A
15. C
capítulo 2
Logaritmos
1. B
2. C
3. B
4. E
5. D
6. D
7. B
8. E
9. C
10. B
11. C
12. B
13. B
14. D
15. B
16. D
17. B
18. D
19. D
20. D
21. B
22. A
23. D
24. B
25. B
26. E
27. A
28. A
29. D
30. C
31. (11, 2)
32. E
18
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33. C
34. D
35. B
36. E
37. C
38. B
39. E
40. B
capítulo 3
Exponenciais e logaritmos
1. A
2. D
3. D
4. A
5. B
6. A
7. B
8. A
9. C
10. B
11. a) I(x) 5 I
0
 ? 42x
b) 1,38
12. B
13. A
14. D
15. a) 68%
b) 99 minutos 5 1 hora e 39 minutos 
16. 28
17. C
18. E
19. C
20. C
21. B
22. a) 6
b) 1 000 000
c) 6 horas
23. E
24. B
capítulo 11
Relações métricas no 
triângulo retângulo
6. Formas e medidas no 
plano (Parte 2)
1. D
2. B
3. B
4. A
5. A
6. C
7. D
8. D
9. A
10. A
11. B
12. D
13. E
14. C
15. C
16. C
17. A
18. B
19. E
20. B
21. A
22. B
23. E
24. D
25. C
19
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capítulo 12
Trigonometria no triângulo retângulo
1. D
2. B
3. C
4. C
5. A
6. B
7. D
8. B
9. C
10. D
11. C
12. B
13. A
14. B
15. A
16. E
17. A
capítulo 13
Trigonometria na meia-volta
1. D
2. B
3. B
4. A
5. E
6. C
capítulo 14
Comprimento de uma circunferência
1. D
2. C
3. C
4. D
5. E
6. A
7. B
8. B
9. B
10. A
capítulo 15
Relações métricas em 
um triângulo qualquer
1. A
2. B
3. E
4. B
5. E
6. D
7. B
8. C
9. D
10. E
11. E
12. A
13. B
14. C
15. C
16. D
17. A
18. B
19. a) 5 3m
b) 5 7m
capítulo 16
Polígonos regulares
1. D
2. C
3. A
4. D
5. D
6. D
7. B
8. A
9. D
20
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10. B
11. D
12. A
13. B
14. C
15. B
capítulo 17
Área de uma superfície poligonal
1. B
2. C
3. E
4. D
5. E
6. C
7. C
8. A
9. C
10. D
11. C
12. D
13. E
14. C
15. D
16. C
17. D
18. B
19. D
20. A
21. A
22. D
23. B
24. A
25. C
26. D
27. A
28. B
29. A
30. C
31. C
32. B
33. D
34. B
35. E
36. A
37. A
38. A
39. C
40. B
41. A
42. D
43. D
capítulo 18
Área de um círculo e de suas partes
1. B
2. D
3. B
4. C
5. E
6. A
7. C
8. B
9. C
10. C
11. C
12. E
13. C
14. D
15. A
16. B
17. E
18. E
19. C
20. D
capítulo 19
Área de figuras semelhantes
1. C
2. B
3. E
4. B
21
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5. D
6. E
7. E
8. D
9. E
10. D
11. A
12. B
13. C
14. A
7. Tratamento da 
informação
capítulo 1
Estatística – Noções básicas
1. C
2. B
3. E
4. C
5. C
6. E
7. D
8. E
9. E
10. A
11. C
12. D
13. B
14. E
15. A
16. A
capítulo 2
Medidas de tendência central
1. D
2. B
3. D
4. A
5. B
6. D
7. D
8. A
9. A
10. D
11. C
12. C
13. B
14. A
15. E
16. B
22
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prof.:
aula 37
aula 44
P.112
P.121
 AD TM TC 
 AD TM TC 
aula 38
aula 45
P.112
P.122
 AD TM TC 
 AD TM TC 
aula 39
aula 46
P.115
P.122
 AD TM TC 
 AD TM TC 
aula 40
aula 47
P.115
P.124
 AD TM TC 
 AD TM TC 
aula 41
P.118
 AD TM TC 
aula 48
P.124
 AD TM TC 
aula 49
P.126
 AD TM TC 
aula 50
P.126
 AD TM TC 
aula 51
P.128
 AD TM TC 
aula 52
P.130
 AD TM TC 
aula 53
P.130
 AD TM TC 
aula 54
P.132
 AD TM TC 
aula 42
P.118
 AD TM TC 
aula 43
P.120
 AD TM TC 
Índice-controle 
deestudo
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Antonio Carlos ROSSO Junior
GLENN Albert Jacques van Amson
Roberto Teixeira Cardoso (ROBBY)Matemática Setor A
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Funções: função quadrática – exercícios
aulas 37 e 38
Enem: conhecimentos algébricos
112
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1. O gráfico da função dada por f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, em que a, b e c são constantes reais, é representada na figura. 
Obtenha os sinais de a, b, c e b2 2 4ac.
f(x)
x0
A parábola de equação y 5 ax2 1 bx 1 c, em que a, b e c são coeficientes reais, com a ≠ 0:
•	 o discriminante de ax2 1 bx 1 c é dado por D 5 b2 2 4ac;
•	 em todos os casos, a parábola passa pelos pontos (0, c) e 
−



b
a
, c ;
•	 em todos os casos, o vértice da parábola é o ponto V(x
v 
, y
v
), com x
v
 5 
2b
2a
 e y
v
 5 
2D
4a
;
•	 a . 0 ⇔ a concavidade da parábola tem o sentido do eixo y. O vértice corresponde ao ponto de mínimo da função;
a . 0





2 2DV b
2a
,
4a
•	 a , 0 ⇔ a concavidade da parábola tem o sentido oposto do eixo y. O vértice corresponde ao ponto de máximo da função. 





2 2DV b
2a
,
4a
a , 0
em classe
nestas aulas
a , 0 (observando a concavidade)
x
V
 . 0
2b
2a
 . 0
b
2a
 , 0
b . 0 (pois a , 0)
c , 0 (intersecção com o eixo y)
b2 2 4ac . 0 (intersecção com o eixo x)
Resposta: a , 0, b . 0, c , 0 e b2 2 4ac . 0
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2. O gráfico da função f é a parábola que passa pelos pontos (2, 0), (8, 0) e (10, 28). Obtenha f(x).
f(x)
x0 2 8
(10, 28)
3. (Enem) Um professor,depois de corrigir as provas de sua turma, percebeu que várias questões estavam muito difíceis. 
Para compensar, decidiu utilizar uma função polinomial f, de grau menor que 3, para alterar as notas x da prova para 
notas y 5 f(x), da seguinte maneira:
•	 a nota zero permanece zero.
•	 a nota 10 permanece 10.
•	 a nota 5 passa a ser 6.
A expressão da função y 5 f(x) a ser utilizada pelo professor é:
 c a) y 5 
1
25
2 x2 1 7
5
x
b) y 5 −1
10
x2 1 2x
c) y 5 1
24
x2 1 7
12
x
d) y 5 4
5
x 1 2x
e) y 5 x
f(x) 5 a(x 2 2)(x 2 8)
f(10) 5 28 ⇒ a(10 2 2)(10 2 8) 5 28
2a 5 21 ⇒ a 5 
1
2
−
f(x) 5 
1
2
−
(x 2 2)(x 2 8)
∴ f(x) 5 
1
2
−
x2 1 5x 2 8
H21
ax2 1 bx 1 c 5 y
• (0, 0) ∈ f ∴ a ? 02 1 b ? 0 1 c 5 0 ∴ c 5 0
∴ ax2 1 bx 5 y
• (10, 10) ∈ f
a ? 102 1 b ? 10 5 10
100a 1 10b 5 10
∴ 50a 1 5b 5 5
• (5, 6) ∈ f 
a ? 52 1 b ? 5 5 6
∴ 25a 1 5b 5 6
De 50a 1 5b 5 5 e 25a 1 5b 5 6, temos 25a 5 21 e, portanto, 
a 5 
1
25
2
.
De 25a 1 5b 5 6 e 25a 5 21, temos 5b 5 7 e, portanto, b 5 
7
5
.
Portanto, y 5 
1
25
2
x2 1 
7
5
x.
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em casa
Consulte:
Caderno de Exercícios 1 – Unidade 2
Tarefa Mínima
Aula 37
•	Leia o resumo de aula.
•	Faça os exercícios 21 a 23, cap. 4.
Aula 38
•	Faça os exercícios 24 e 25, cap. 4.
Tarefa Complementar
Aulas 37 e 38
•	Faça os exercícios 26 a 32, cap. 4.
•	Faça os exercícios 1 a 3 da seção Rumo ao Enem.
114
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4. O gráfico da função quadrática f passa pelos pontos (2, 5), (8, 5) e (10, 21). Obtenha f(x).
y 5 f(x)
y 5 g(x) 2 5
(10, 21)
(8, 5)
2 8 x
(2, 5)
5. O gráfico da função f é a parábola que passa pelos pontos (0, 2), (1, 4) e (2, 8). Obtenha f(x).
ax2 1 bx 1 c 5 y
• (0, 2) ∈ f ∴ a ? 02 1 b ? 0 1 c 5 2 ∴ c 5 2
ax2 1 bx 1 2 5 y
• (1, 4) ∈ f ∴ a ? 12 1 b ? 1 1 2 5 4 ∴ a 1 b 5 2
• (2, 8) ∈ f ∴ a ? 22 1 b ? 2 1 2 5 8 ∴ 4a 1 2b 5 6 ∴ 2a 1 b 5 3
De a 1 b 5 2 e 2a 1 b 5 3, temos a 5 1 e b 5 1.
Logo, f(x) 5 x2 1 x 1 2.
g(x) 5 f(x) 2 5
g(x) 5 a(x 2 2)(x 2 8)
f(x) 5 a(x 2 2)(x 2 8) 1 5
f(10) 5 21 ⇒ a(10 2 2)(10 2 8) 1 5 5 21
a(8)(2) 5 16 ∴ a 5 1
f(x) 5 (x 2 2)(x 2 8) 1 5 ∴ f(x) 5 x2 2 10x 1 21
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f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, com a, b e c reais, a ≠ 0.
•	 D . 0 ⇔ a parábola intersecta o eixo x em dois pontos 
distintos (x
1
, 0) e (x
2
, 0), com x
1
 , x
2
, x
1, 2
 5 b
2a
2 6 D . 
Nesse caso, temos f(x) 5 a(x 2 x
1
)(x 2 x
2
).
x
x
1
x
2
a . 0
x
x
1
x
2
a , 0
a (in)equação conjunto solução
a ≠ 0 f(x) 5 0 {x
1
, x
2
}
a . 0 f(x) . 0 {x ∈ ℝ | x , x
1
 ou x . x
2
}
a . 0 f(x) , 0 {x ∈ ℝ | x
1
 , x , x
2
}
a , 0 f(x) . 0 {x ∈ ℝ | x
1
 , x , x
2
}
a , 0 f(x) , 0 {x ∈ ℝ | x , x
1
 ou x . x
2
}
•	 D 5 0 ⇔ a parábola é tangente ao eixo x no ponto V(x 
V 
, 0), 
com x 
V
 5 
−b
2a
. Nesse caso, temos f(x) 5 a(x 2 x 
V
)2.
 
xx
V
a . 0
xx
V
a , 0
a (in)equação conjunto solução
a ≠ 0 f(x) 5 0 {x
v
 }
a . 0 f(x) . 0 {x ∈ ℝ | x ≠ x
v
}
a . 0 f(x) , 0 ∅
a , 0 f(x) . 0 ∅
a , 0 f(x) , 0 {x ∈ ℝ | x ≠ x
v
}
•	 D , 0 ⇔ a parábola não intersecta o eixo x. 
Nesse caso, para todo x real, f(x) tem o mesmo sinal que a 
constante a.
x
a . 0
x
a , 0
a (in)equação conjunto solução
a ≠ 0 f(x) 5 0 ∅
a . 0 f(x) . 0 ℝ
a . 0 f(x) , 0 ∅
a , 0 f(x) . 0 ∅
a , 0 f(x) , 0 ℝ
Funções: inequações do 2o grau
aulas 39 e 40
Enem: conhecimentos algébricos
nestas aulas
115
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1. Resolva, em ℝ, as inequações:
a) x2 2 5x 1 6 < 0
b) x(x 2 7) . 0
c) 2x2 1 5x 2 7 , 0
y 5 x2 2 5x 1 6
y 5 0 ⇔ x 5 2 ou x 5 3
x2 3
y ≤ 0 ⇔ 2 ≤ x ≤ 3
S 5 {x ∈ ℝ | 2 ≤ x ≤ 3}
y 5 x(x 2 7)
y 5 0 ⇔ x 5 0 ou x 5 7
x0 7
y . 0 ⇔ x , 0 ou x . 7
S 5 {x ∈ ℝ | x , 0 ou x . 7}
y 5 2x2 1 5x 2 7
D 5 25 2 28
∴ D , 0
x
y , 0, para todo x real
S 5 ℝ
2. Num certo lançamento de um projétil, sua altura h, 
em metros, era dada por h 5 2 1 25t 2 5t2, em que t, 
t , 24, correspondia ao tempo decorrido, em segundos. 
Determine o intervalo de tempo Dt, em segundos, em 
que essa altura foi igual ou superior a:
a) 22 metros
De h > 22, temos:
2 1 25t 2 5t2 > 22
220 1 25t 2 5t2 > 0
5t2 2 25t 1 20 < 0
t2 2 5t 1 4 < 0
1 < t < 4
∴ Dt 5 3
b) 37 metros
De h > 37, temos:
2 1 25t 2 5t2 > 37
235 1 25t 2 5t2 > 0
5t2 2 25t 1 35 < 0
t2 2 5t 1 7 < 0 (D , 0)
A altura h nunca chegou a 37 m.
H21
em classe
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3. Em cada caso, dê o domínio da função real de variável 
real dada por:
a) f(x) 5 
− +
1
x 10x 162
 
condição de existência: x2 2 10x 1 16 . 0
raízes reais: 2 e 8
x2 8
D 5 {x ∈ ℝ | x , 2 ou x . 8}
b) f(x) 5 
− +
1
x 10x 252
 
condição de existência: x2 2 10x 1 25 . 0
raízes reais: 5 e 5 (raiz dupla)
x5
D 5 {x ∈ ℝ | x ≠ 5}
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 – Unidade 2
Caderno de Exercícios 1 – Unidade 2
Tarefa Mínima
Aula 39
•	Leia o resumo da aula.
•	Faça os exercícios 36 a 38, cap. 4.
Aula 40
•	Faça os exercícios 39 a 43, cap. 4.
Tarefa Complementar
Aulas 39 e 40
•	Leia o item 3, cap. 4.
•	Faça os exercícios 44 a 49, cap. 4.
•	Faça os exercícios 6 e 7 da seção Rumo ao Enem
c) f(x) 5 
− +
1
x 10x 302
condição de existência: x2 2 10x 1 30 . 0
raízes reais: não há (D , 0)
x
Note que, para qualquer valor real de x, temos x2 2 10x 1 30 . 0.
D 5 ℝ
4. Para quais valores reais da constante c o domínio da 
função f(x) 5 
− +
1
x 10x c2
 é o conjunto ℝ de todos os 
números reais?
Devemos ter x2 2 10x 1 c . 0, para todo valor real de x (vide exer-
cício 3c).
x
De D , 0 e D 5 100 2 4c, temos:
100 2 4c , 0
24c , 2100
∴ c . 25
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Sejam:
•	 r um número real;
•	 a, b e c constantes reais, com a ≠ 0 e b2 2 4ac > 0;
•	 f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, com x ∈ ℝ;
•	 D 5 b2 – 4ac (discriminante);
•	 x
1
 e x
2
, com x
1
 < x
2
, as raízes de f(x) 5 0;
•	 x
V
 5 
+x x
2
1 2 5 
−b
2a
;
•	 se f(r) tem sinal contrário de a, então as raízes são reais e r 
está entre elas
em classe
1. Sendo x
1
 e x
2
, com x
1
 , x
2
, as raízes da equação 2x2 2 5x 1 2 5 0, podemos afirmar que:
a) 2 , x
1
b) x
1
 5 2
 c c) x1 , 2 , x2
d) x
2
 5 2
e) x
2
 , 2
2. Sendo x
1
 e x
2
, com x
1
 , x
2
, as raízes da equação 2x2 2 14x 1 23 5 0, podemos afirmar que:
 c a) 1 , x1
b) x
1
 5 1
c) x
1
 , 1 , x
2
d) x
2
 5 1
e) x
2
 , 1
3. Para quais valores reais da constante c a equação 2x2 2 5x 1 c 5 0 admite 2 raízes reais, tais que uma delas seja 
menor que 1 e a outra maior que 1?
H20
f(x) 5 2x2 2 5x 1 2 
f(2) 5 8 2 10 1 2
∴ f(2) , 0
∴ 2 está entre as raízes da equação x2 x2x
V
x
1
observação: x
V
 5 
−b
2a
5
5
4
. Como 
2 . x
v
, podemos afirmar que 2 está 
entre as raízes e mais próximo da 
maior.
f(x) 5 2x2 2 14x 1 23
f(1) 5 2 2 14 1 23
f(1) . 0 ∴ 1 está fora do intervalo das raízes da equação
x
V
 5 
−b
2a
 5 
7
2
. Como 1 , x
v
, podemos afirmar que 1 está 
próximo da menor raiz.
Logo, 1 está à esquerda de x
1
.
xx
2
x
V
x
1
1 
f(x) 5 2x2 2 5x 1 c 
f(1) 5 2 2 5 1 c ∴ f(1) 5 c 2 3
a ? f(r) , 0 ⇔ x
1
 , r , x
2
;
•	 se f(r) tem o sinal de a e o discriminante é positivo, então as 
raízes são reais e r é menor que elas ou r é maior que elas
a ? f(r) . 0 e D . 0 ⇔ r , x
1
 ou r . x
2
;
•	 se D . 0 e r , x
V 
, então r está mais próximo de x
1
 (do que 
de x
2
);
•	 se D . 0 e r . x
V 
, então r está mais próximo de x
2
 (do que 
de x
1
).
xx
2
x
1
1
1 está entre as raízes ⇔ f(1) , 0.
Logo, devemos ter c 2 3 , 0, ou seja, c , 3.
Funções: posição de um número real em 
relação às raízes de equação de grau 2
aulas
Enem: conhecimentos algébricos
41 e 42
nestas aulas
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4. Para quais valores reais da constante a a equaçãoax2 2 5x 1 2 5 0 admite raízes reais, tais que uma delas 
seja menor que 1 e a outra maior que 1?
Para ter 2 raízes, devemos ter a ≠ 0.
O número 1 está entre as raízes se, e somente se, f(1) tem o sinal 
contrário de a.
f(x) 5 ax2 2 5x 1 2 
f(1) 5 a 2 5 1 2 ∴ f(1) 5 a 2 3
xx
2
x
1
1
a . 0 e f(1) , 0 
xx
2
x
1
1
a , 0 e f(1) . 0 
1 está entre as raízes ⇔ a ? f(1) , 0
a(a 2 3) , 0 
Logo, devemos ter 0 , a , 3.
5. Para quais valores positivos da constante a a equação 
ax2 2 20x 1 21 5 0 admite duas raízes reais, ambas 
maiores que 1?
f(x) 5 ax2 2 20x 1 21 a . 0
f(1) 5 a 1 1 e x
V
 5 10
a
 D 5 400 2 4a ? 21 5 4(100 2 21a)
xx
2
x
V
x
1
1
a . 0 e f(1) . 0 
Temos 4 condições: a . 0, f(1) . 0, x
V
 . 1 e D > 0
Com a . 0, temos f(1) . 0, pois f(1) 5 a 1 1.
De a . 0 e x
V
 . 1, temos 10
a
 . 1 e, portanto, a , 10. (I)
De D > 0, temos 4(100 2 21a) > 0 e, portanto, a < 100
21
. (II)
De (I) e (II), temos a < 100
21
, logo, devemos ter 0 , a < 100
21
.
6. Para quais valores reais da constante b a equação 
x2 2 2bx 1 1 5 0 admite duas raízes reais, ambas me-
nores que 1?
f(x) 5 x2 2 2bx 1 1 
xx
2
x
V
x
1
1
Temos 3 condições: f(1) . 0, x
V
 , 1 e D > 0
f(1) 5 2 2 2b
f(1) . 0 ⇔ b , 1
x
V
 5 
( )− −2b
2
 5 b
x
V 
, 1 ⇔ b , 1
D 5 4b2 2 4 5 4(b2 2 1)
D > 0 ⇔ b < 21 ou b > 1
Dessas condições, resulta b < 21.
em casa
Consulte:
Caderno de Exercícios 1 – Unidade 2
Tarefa Mínima
Aula 41
•	Leia o resumo de aula.
•	Faça os exercícios 50 a 53, cap. 4.
Aula 42
•	Faça os exercícios 54 e 55, cap. 4.
Tarefa Complementar
Aulas 41 e 42
•	Faça os exercícios 56 a 60, cap. 4.
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1. Complete a tabela.
x 23 22 0 2 3
2x 3 2 0 22 23
|x| 3 2 0 2 3
x2 3 2 0 2 3
2. Considere as proposições a seguir, em que u e v são números reais.
P1: existe u, tal que |u| 5 2u
P2: |2u| 5 u
P3: se u > v, então |u 2 v| 5 u 2 v
P4: se u < v, então |u 2 v| 5 v 2 u 
O número de proposições verdadeiras é:
a) 0
b) 1
c) 2
 c d) 3
e) 4
H19
23 22 21 0
O P
1 2 3 4
|x| 5 x
|x| 5 x se, e somente se, x > 0
x
23 22 21 0 1 2 3 4
|x| 5 2x
|x| 5 2x se, e somente se, x < 0
x
OP
em classe
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 – Unidade 2
Caderno de Exercícios 1 – Unidade 2
Tarefa Mínima
•	Leia o resumo de aula.
•	Faça os exercícios 1 a 3, cap. 5.
Tarefa Complementar
•	Leia os itens 1 a 3, cap. 5.
•	Faça os exercícios 4 a 7, cap. 5.
Apenas as proposições P1, P3 e P4 são verdadeiras.
Funções: conceito de módulo
aula 43
Enem: conhecimentos algébricos
nesta aula
120
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1. Resolva em ℝ as equações:
a) |x| 5 2 016
S 5 {2 016, 22 016}
b) |x| 5 23
S 5 ∅
c) |x|2 5 |x| 1 12
Com |x| 5 t, temos:
t2 5 t 1 12
t2 2 t 2 12 5 0
t 5 4 ou t 5 23
|x| 5 4 ou |x| 5 23 (não convém) 
Então, |x| 5 4.
∴ S 5 {4, 24}
2. Resolva, em ℝ:
a) |x 2 3,95| 5 0,05
x 2 3,95 5 0,05 ou x 2 3,95 5 20,05
x 5 4 ou x 5 3,9
∴ S 5 {4; 3,9}
b) ||2x 2 3| 2 4| 5 5
|2x 2 3| 2 4 5 5 ou |2x 2 3| 2 4 5 25
|2x 2 3| 5 9 ou |2x 2 3| 5 21 (não convém)
|2x 2 3| 5 9
∴ S 5 {6, 23}
H19
•	 |x| 5 0 tem apenas uma solução, ou seja, o conjunto solução é {0}.
Sendo k um número positivo, temos:
•	 |x| 5 2k não tem solução; seu conjunto solução é ∅.
•	 |x| 5 k tem duas soluções, ou seja, seu conjunto solução é {2k, k}.
23 22 21 0 1 2 3 4
|x| 5 k
x 52k x 5 k
|x| 5 k
Com k . 0
em classe
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 – Unidade 2
Caderno de Exercícios 1 – Unidade 2
Tarefa Mínima
•	Leia o resumo de aula.
•	Faça os exercícios 8 a 12, cap. 5.
Tarefa Complementar
•	Leia os itens 4 e 5, cap. 5.
•	Faça os exercícios 13 a 17, cap. 5.
Funções: equações modulares
aula 44
Enem: conhecimentos algébricos
nesta aula
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em classe
•	 |x| < 2
23 22 21 0 1 2
2 2
3 4
|x| < 2
22 < x < 2
Com k . 0:
|x| < k ⇔ 2k < x < k
|x| , k ⇔ 2k , x , k
•	 |x| > 2
23 22 21 0 1 2
2 2
3 4
|x| > 2
x < 22
|x| > 2
x > 2
Com k . 0:
|x| > k ⇔ x < 2k ou x > k
|x| . k ⇔ x , 2k ou x . k
1. Resolva, em ℝ, as inequações:
a) |x| > 5
S 5 {x ∈ ℝ | x < 25 ou x > 5}
b) |x| < 9
S 5 {x ∈ ℝ | 29 < x < 9}
c) |2x 2 3| < 9
29 < 2x 2 3 < 9
26 < 2x < 12
∴ S 5 {x ∈ ℝ | 23 < x < 6}
d) |x| . 25
S 5 ℝ
e) |x| > 25
S 5 ℝ
f) |x 2 3| < 25
S 5 ∅
O textO a seguir refere-se às questões 2 e 3.
Theo, num momento de distração-reflexão, brincan-
do, encostou uma ficha da cantina a uma régua com 
escala em cm (subdivisões em mm) e encontrou dois 
problemas aparentemente sem importância.
2. (Modelo – Enem) Theo tinha notado que as extremi-
dades da base da ficha correspondiam aos números 
a e b na régua.
0 cm 1 2 3 4 5 6
Chocolate quente
0223
Cantina
A medida, em cm, da base da ficha em função de a 
e b é dada por:
a) a 2 b
b) b 2 a
c) |a 1 b|
 c d) |a 2 b|
e) a 1 |b 2 a|
H19
Com a . b, a medida é a 2 b. Com a , b, 
essa medida é b 2 a.
Usando o conceito de módulo, a medida 
é |a 2 b|.
Funções: inequações modulares
aulas
Enem: conhecimentos algébricos
nestas aulas
45 e 46
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3. (Modelo – Enem) Theo colocou uma das extremidades 
da base da ficha no 0 (zero) da régua. Assim, o número 
x encontrado na outra extremidade forneceria direta-
mente a medida da base.
0 cm 1 2 3 4 5 6
Chocolate quente
0223
Cantina
Então, ele descobriu que não era capaz de dar o valor 
exato de x, fato inerente a qualquer processo de medi-
da. Sua conclusão foi: |x 2 3,95| , 0,05. Essa conclusão 
é equivalente a:
 c a) 3,90 , x , 4,00
b) x , 4,00
c) x . 3,90
d) x 5 3,95
e) x . 3,95
H22
|x 2 3,95| , 0,05 
20,05 , x 2 3,95 , 0,05
3,95 2 0,05 , x , 3,95 1 0,05
∴ 3,90 , x , 4,00
4. Resolva em ℝ:
a) ||x 2 1| 2 3| < 5
25 < |x 2 1| 2 3 < 5
22 < |x 2 1| < 8
• |x 2 1| > 22 é verificada para qualquer valor de x.
• |x 2 1| < 8
28 < x 2 1 < 8
27 < x < 9
∴ S 5 {x ∈ ℝ |27 < x < 9}
b) ||x 2 1| 2 3| . 5
|x 2 1| 2 3 , 25 ou |x 2 1| 2 3 . 5
|x 2 1| , 22 ou |x 2 1| . 8
Não existe x, tal que |x 2 1| , 22.
|x 2 1| . 8
x 2 1 , 28 ou x 2 1 . 8
x , 27 ou x . 9
∴ S 5 {x ∈ ℝ | x , 27 ou x . 9}
Note que esse conjunto, como era de se esperar, é o 
complementar do conjunto solução do item anterior.
c) 2 , |x 2 5| , 4
24 , x 2 5 , 22 ou 2 , x 2 5 , 4
∴ S 5 {x ∈ ℝ | 1 , x , 3 ou 7 , x , 9}
d) ||x 2 5| 2 3| , 1
21 , |x 2 5| 2 3 , 1
2 , |x 2 5| , 4
24 , x 2 5 , 22 ou 2 , x 2 5 , 4
∴ S 5 {x ∈ ℝ | 1 , x , 3 ou 7 , x , 9}
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 – Unidade 2
Caderno de Exercícios 1 – Unidade 2
Tarefa Mínima
Aula 45
•	Leia o resumo de aula.
•	Faça os exercícios 21 a 25, cap. 5.
Aula 46
•	Faça os exercícios 36 e 37, cap. 5.
Tarefa Complementar
Aulas 45 e 46
•	Leia o item 6, cap. 5
•	Faça os exercícios 26 a 28, 33 a 35 e 38 a 42, cap. 5.
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em classe
1. Em cada caso, esboce o gráfico da função dada.
a) y 5 |x|
x10
1
y
21
b) y 5 |x| 1 1
x10
1
y
2
y 5 |x|1 1
y 5 |x|
21
H20
O gráfico de y 5 |x| pode ser 
obtido a partir da reta y 5 x, 
‘‘rebatendo a parte negativa’’ 
em torno do eixo x.
O gráfico de y 5 |x| 1 1 
pode ser obtido transla-
dando a curva y 5 |x| em 
1 unidade ‘‘para cima’’.
c) y 5 ( )−x 1
2
x10
1
y
y 5 |x 2 1|
y 5 x 2 1
21
O gráfico de y 5 |x 2 1| pode ser obtido a partir 
da reta y 5 x 2 1, ‘‘rebatendo a parte negativa’’ 
em torno do eixo x.
Logo, y 5 |x 2 1|.
(Lembre-se: para todo u real, u2 5 |u|.)
Funções: gráfcos de funções modulares
aulas
Enem: conhecimentos algébricos
nestas aulas
47 e 48
x
y
y 5 f(x)
x
y y
y 5 |f(x)|
x
Obter o gráfico de y 5 |f(x)|, a partir do gráfico de y 5 f(x):
1o passo: Mantemos a parte da curva em que f(x) > 0 (1o e 2o quadrantes), pois, nesse caso, |f(x)|é igual a f(x).
2o passo: Rebatemos a parte da curva em que f(x) , 0 (3o e 4o quadrantes) em torno do eixo x, pois, neste caso, |f(x)| é o oposto de 
f(x), ou seja, |f(x)| 5 2 f(x).
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2. Esboce o gráfico da função dada por y 5 ||x| 2 1|.
x10
1
y
y 5 |x|2 1
y 5 |x|
21
21
x10
1
y
y 5 |x|2 1
y 5 ||x|2 1|
21
21
O gráfico de y 5 |x| 2 1 pode ser obtido transladando a 
curva y 5 |x| em 1 unidade ‘‘para baixo’’.
‘‘Rebatendo a parte negativa’’ da curva y 5 |x| 2 1, obte-
mos o gráfico de y 5 ||x| 2 1|.
3. Esboce, no plano xOy, a curva de equação y 5 1 1 x 1 |x|.
x10
1
y
3
4. Esboce o gráfico da função dada por 
f(x) 5 2x 2 1 1 |x 2 1|, com x ∈ ℝ.
x10
1
y
2
4
• com x > 0, temos:
y 5 1 1 x 1 x
y 5 2x 1 1
• com x < 0, temos:
y 5 1 1 x 1 (2x)
y 5 1
• com x 2 1 > 0, ou seja, com x > 1, temos:
y 5 2x 2 1 1 x 2 1
∴ y 5 3x 2 2
• com x 2 1 < 0, ou seja, com x < 1, temos:
y 5 2x 2 1 2 x 1 1 
∴ y 5 x
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 – Unidade 2
Caderno de Exercícios 1 – Unidade 2
Tarefa Mínima
Aula 47
•	Leia o resumo de aula.
•	Faça os exercícios 43 e 44, cap. 5.
Aula 48
•	Faça os exercícios 48 a 50, cap. 5.
Tarefa Complementar
Aula 47
•	Leia o item 7, cap. 5.
•	Faça os exercícios 45 a 47, cap. 5.
Aula 48
•	Faça os exercícios 51 a 55, cap. 5.
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1. As sequências do tipo (a
1
, a
2
, a
3
, ..., a
n
, ...), em que, para todo natural n, n > 2,
a
n
 5 
+







−
−
− −
a
2
, se a  é par
3a 1, se a é ímpar
n 1
n 1
n 1 n 1
, têm aparentemente uma propriedade em comum: “sendo a
1
 um número inteiro 
positivo qualquer, haverá sempre um termo a
n
 5 1”. Até a edição deste material, ninguém conseguiu provar que essa 
proposição é verdadeira!
Complete a tabela, começando com a
1
 5 17, até encontrar um termo igual a 1.
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
a
8
a
9
a
10
17 52 26 13 40 20 10 5 16 8
a
11
a
12
a
13
a
14
a
15
a
16
a
17
a
18
a
19
a
20
4 2 1
2. Considere a sequência (a
n
) com n ∈ ℕ*, em que a
1
 5 1, a
2
 5 1 e, para todo natural não nulo n, a
n 1 2
 5 a
n 1 1
 2 a
n
.
a) Complete a tabela:
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
a
8
a
9
a
10
1 1 0 21 21 0 1 1 0 21
b) Calcule a
50
.
Os valores repetem-se de 6 em 6. Na divisão de 50 por 6, o quociente é 8 e o resto 2. Portanto, até a
50
, temos 8 grupos de 6 (1, 1, 0, 21, 21, 0), 
para ter a
49
 5 1 e a
50
 5 1.
Assim, a
50
 5 1.
Uma sequência infinita (a
1
, a
2
, a
3
, ...,a
n
, ...) é definida por uma função f com domínio ℕ*, como a
n
 5 f(n).
Numa sequência (finita) de n termos (a
1
, a
2
, a
3
, ...,a
n
), com n > 3, o domínio da função f é o conjunto dos números inteiros de 1 a n.
Exemplo
Em (a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
, a
6
, a
7
), a
1
 e a
7
 são os extremos, a
2
 e a
6
 são termos equidistantes dos extremos. O termo médio é a
4
. Apenas as 
sequências com um número ímpar de termos têm termo médio.
em classe
Sequências: conceito de sequência
aulas
Enem: conhecimentos numéricos
nestas aulas
49 e 50
126
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3. Considere a sequência (a
n
) com n ∈ ℕ*, em que a soma 
dos primeiros n termos é dada por S
n
 5 n2 1 2n 1 n 1 2.
Calcule o valor de:
a) a
1
 1 a
2
 1 a
3
S
3
 5 32 1 23 1 3 1 2
Logo, a
1
 1 a
2
 1 a
3
 5 22.
b) a
3
S
2
 5 22 1 22 1 2 1 2 
Logo, a
1
 1 a
2
 5 12.
a
3
 5 (a
1
 1 a
2
 1 a
3
) 2 (a
1
 1 a
2
) 5 22 2 12
∴ a
3
 5 10
4. (Enem) Ronaldo é um garoto que adora brincar com 
números. Numa dessas brincadeiras, empilhou caixas 
numeradas de acordo com a sequência conforme mos-
trada no esquema a seguir.
1
1 2 1
1 2 3 2 1
1 2 3 4 3 2 1
...
Ele percebeu que a soma dos números em cada linha 
tinha uma propriedade e que, por meio dessa proprie-
dade, era possível prever a soma de qualquer linha 
posterior às já construídas. A partir dessa propriedade, 
qual será a soma da 9a linha da sequência de caixas 
empilhadas por Ronaldo?
a) 9 b) 45 c) 64 c d) 81 e) 285
5. a) Sendo n um número inteiro positivo, expresse 
1
n
 2 
+
1
n 1
 na forma de um único quociente.
b) Expresse ∑ ( )+=
1
n n 1n 1
9
 na forma de uma única fração.
H3
6. Considere a sequência (a
n
) com n ∈ ℕ*, em que a
1
 5 2 
e, para todo número inteiro positivo n, a
n 1 1
 5 +2 an . 
Considere, ainda, as seguintes proposições:
•	 a
1
 , 2
•	 a
2
 5 +2   2 e a
3
 5 + +2   2 2
•	 Se existir um termo a
h
, com a
h
 , 2, então a
h 1 1
 , 2
•	 a
n
 , 2, para todo n, n ∈ ℕ*
O número de proposições verdadeiras é:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 c e) 4
em casa
Consulte:
Livro-texto 2 – Unidade 4
Caderno de Exercícios 2 – Unidade 4
Tarefa Mínima
Aula 49
•	Leia o resumo de aula.
•	Faça os exercícios 1 a 3, cap. 1.
Aula 50
•	Refaça os exercícios 4 e 5 da aula.
Tarefa Complementar
Aula 49
•	Leia os itens 1 a 3, cap. 1.
•	Faça os exercícios 4 a 6, cap. 1.
Aula 50
•	Leia o item 4, cap. 1.
•	Faça os exercícios 7 a 11, cap. 1
•	Faça o exercício 11 da seção Rumo do Enem.
Pelas linhas apresentadas, a soma dos números da linha n é dada por n2.
Assim, a soma da 9a linha é 92 5 81.
2
1
5
1 2
1
5
1
1
n
1
n 1
n 1 n
n(n 1)
1
n(n 1)
1
n n 1
1
1 2
1
2 3
1
3 4
...
1
8 9
1
9 10
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
1
4
...
1
8
1
9
1
9
1
10
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
1
4
...
1
8
1
9
1
9
1
10
1
1
10
9
10
n 1
9
∑ ( )+




















=
5
5
?
1
?
1
?
1 1
?
1
?
5
5 2 1 2 1 2 1 1 2 1
1 2 5 2 1 2 1 2 1 1
1 2 1 2 5 2 5
• 2 , 2 ∴ a1 , 2 (A primeira proposição é verdadeira.)
• a
2
 5 2 a1+ e a1 5 2 ∴ a2 5 2 2+
a
3
 5 2 a2+ e a2 5 2 2+ ∴ a3 5 2 2 2+ +
(A segunda proposição é verdadeira.)
• Dado que a
h
 , 2, temos:
2 1 a
h
 , 2 1 2 ∴ 2 1 a
h
 , 4
2 ah+ , 4
a
h 1 1
 , 2 (A terceira proposição é verdadeira.)
• Sendo a primeira e a terceira proposições verdadeiras, podemos 
concluir que a quarta proposição é verdadeira.
Portanto, todas as proposições são verdadeiras.
127
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1. Na construção de uma escada, o primeiro piso (degrau) 
ficou, infelizmente, a 40 cm do chão. Daí em diante, o 
pedreiro construiu cada degrau 18 cm acima do degrau 
anterior. A que altura em relação ao chão ficou o sexto 
degrau?
Sendo a
n
 a altura em relação ao chão do enésimo degrau, temos:
a
6
 5 a
1
 1 5r
a
6
 5 40 1 5 ? 18
∴ a
6
 5 130 cm
2. (Enem) O número mensal de passagens de uma deter-
minada empresa aérea aumentou no ano passado nas 
seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33 000 
passagens; em fevereiro, 34 500; em março, 36 000. Esse 
padrão de crescimento se mantém para os meses sub-
sequentes.
Quantas passagens foram vendidas por essa empresa 
em julho do ano passado?
a) 38 000
b) 40 500
c) 41 000
 c d) 42 000
e) 48 000
H3
A sequência (33 000, 34 500, 36 000, ...) é uma P.A., 
com a
1
 5 33 000 e razão r 5 1 500.
Assim, em julho, o sétimo termo é dado por:
a
7
 5 a
1
 1 6 ? r
a
7
 5 33 000 1 6 ? 1 500 
∴ a
7
 5 42 000
Uma sequência (a
n
), finita ou não, é uma progressão aritmética (PA) se, e somente se, cada termo, a partir do segundo, é a soma do 
seu antecessor com uma constante r, chamada razão da PA. Assim,
a
2
 5 a
1
 1 r ∴ a
2
 2 a
1
 5 r
a
3
 5 a
2
 1 r ∴ a
3
 2 a
2
 5 r
a
n
 5 a
n 2 1
 1 r ∴ a
n
 2 a
n 2 1
 5 r (com n > 2)
•	 (a
1
, a
2
, a
3
) é uma PA ⇔ 2a
2
 5 a
1
 1 a
3
•	 a
1
 5 a
1
 1 0r; a
2
 5 a
1
 1 1r; a
3
 5 a
1
 1 2r e, generalizando, a
n
 5 a
1
 1 (n 2 1)r.
em classe
Sequências: conceito de progressão aritmética
aula 51
Enem: conhecimentos numéricos
nesta aula
128
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3. Interpolar n meios aritméticos entre dois números da-
dos a e b significa obter uma progressão aritmética de 
extremos a e b, com n 1 2 termos. Assim, interpolando 
9 meios aritméticos entre os números 18 e 33, obtemos 
uma PA. Nesse caso, qual é o segundo termo da PA?
A PA tem 11 termos (9 1 2).
a
11
 5 a
1
 1 10r
1o caso: a
1
 5 18 e a
11
 5 33 (PA crescente)
33 5 18 1 10r
33 2 18 5 10r
10r 5 15 ∴ r 5 1,5
a
2
 5 18 1 1,5
∴ a
2
 5 19,5
2o caso: a
1
 5 33 e a
11
 5 18 (PA decrescente)
Neste caso, temos r 5 21,5.
a
2
 5 33 1 (21,5)
∴ a
2
 5 31,5
resposta: 19,5 ou 31,5.
4. De uma progressão aritmética de três termos, sabe-se 
que a soma deles é 15 e o produto deles é 255. Dado 
que se trata de uma progressão decrescente, calcule 
o primeiro termo.
PA: (x 2 r, x, x 1 r)
(x 2 r) 1 x 1 (x 1 r) 5 15
3x 5 15
∴ x 5 5
PA: (5 2 r, 5, 5 1 r)
(5 2 r)(5)(5 1 r) 5 255
25 2 r2 5 211
r2 5 36
∴ r 5 66
Como a sequência é decrescente, a razão é 26.
em casa
Consulte:
Livro-texto 2 – Unidade 4
Caderno de Exercícios 2 – Unidade 4
Tarefa Mínima
•	Leia o resumo de aula.
•	Faça os exercícios 1 a 4, cap. 2.
Tarefa Complementar
•	Leia os itens 1 a 3, cap. 2.
•	Faça os exercícios 5 a 10, cap. 2.
•	Faça os exercícios 12 a 14 da seção Rumo ao Enem.
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1. Em uma progressão aritmética, sabe-se que o primeiro 
termo é 13 e o décimo nono termo é 51. Qual é o décimo 
termo?
a
10
 é o termo médio (há 9 termos antes dele e 9 termos depois)
a
10
 5 
a a
2
1 19+ 
∴ a
10
 5 13 51
2
+ 5 64
2
∴ a
10
 5 32
2. Em uma progressão aritmética de 20 termos, sabe-se que 
a soma do terceiro termo com o décimo oitavo é igual a 
32. Se o primeiro termo é 6, então o último termo é:
 c a) 26
b) 24
c) 22
d) 20
e) 18
Como a
3
 e a
18
 são equidistantes dos extremos, então: 
a
1
 1 a
20
 5 a
3
 1 a
18
6 1 a
20
 5 32
∴ a
20
 5 26
3. Considere a sequência (2, 4, 6, ..., 2n, ...) dos números 
inteiros pares positivos em ordem crescente.
a) Qual é a soma dos primeiros 20 termos?
a
20
 5 2 ? 20 5 40
S
20
 5 
( )+ ?2 40 20
2
∴ S
20
 5 420
b) Qual é a soma dos primeiros n termos?
a
n
 5 2n
S
n
 5 
2 2n n
2
( )+
∴ S
n
 5 n2 1 n
Numa PA (a
1
, a
2
, a
3
, ...,a
n
, ...) de razão r, temos as seguintes propriedades:
•	 Para quaisquer termos a
n
 e a
p
: a
n
 5 a
p
 1 (n 2 p)r.
•	 Se n é ímpar, o termo médio de (a
1
, a
2
, a
3
, ...,a
n
) é a
m
, em que m 5 
1 n
2
+
. Temos a
m
 5 
a a
2
1 n1 .
•	 A soma de qualquer par de termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.
•	 S
n
 5 
( )+a a n
2
1 n (soma dos primeiros n termos).
Sequências: progressão aritmética – propriedades
aulas
Enem: conhecimentos numéricos
nestas aulas
52 e 53
em classe
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4. a) Quantos são os múltiplos de 7 compreendidos entre 
100 e 1 000?
Na divisão de 100 por 7, o quociente é 14 e o resto é 2. Há, portanto, 
14 múltiplos de 7 menores que 100, sendo que 98 (100 2 2) é o 
maior deles. O primeiro múltiplo de 7 maior que 100 é 98 1 7, ou 
seja, 105.
Na divisão de 1 000 por 7, o quociente é 142 e o resto é 6. Há, 
portanto, 142 múltiplos de 7 menores que 1 000 e o maior deles é 
994 (1 000 2 6).
O número de múltiplos de 7 compreendidos entre 100 e 1 000 é 
igual a 142 2 14, ou seja, 128.
b) Calcule a soma dos múltiplos de 7 compreendidos 
entre 100 e 1 000.
(105, 112, 119, ..., 994) é uma PA de 128 termos, todos múltiplos 
de 7 entre 100 e 1 000.
A soma deles é dada por S 5 105 994 128
2
( )+ ? 5 70 336.
5. (Modelo – Enem) Na figura, são representadas 60 rosei-
ras plantadas numa linha reta com um poço d’água. 
A distância entre cada duas roseiras vizinhas é de 1 m.
Poço
6 m
1 m
1 m
1 m
1 m
R1 R2
R3
R60
O aposentado Rui das Rosas, de bem com a vida, enche 
um balde no poço, rega cuidadosamente as roseiras R1, 
R2 e R3 e volta ao poço. Aí, ele enche o balde e rega as 
próximas três roseiras R4, R5 e R6, para voltar ao poço. E, 
assim, ele prossegue, regando, cada vez, as próximas 
três roseiras. Após regar as roseiras R58, R59 e R60, ele 
volta ao poço para guardar o balde. Quantos metros 
ele anda nessa tarefa?
a) 730
b) 820
c) 1 400
 c d) 1 460
e) 1 480
H4
1a viagem (ida e volta): a
1
 5 2(6 1 2) 5 2 ? 8
2a viagem: a
2
 5 2(8 1 3) 5 2 ? 11
3a viagem: a
3
 5 2(11 1 3) 5 2 ? 14
20a viagem: a
20
 5 2(6 1 59) 5 2 ? 65
S
20
 5 
a a 20
2
1 20( )+ ? 5 1 460
em casa
Consulte:
Livro-texto 2 – Unidade 4
Caderno de Exercícios 2 – Unidade 4
Tarefa Mínima
Aula 52
•	Leia o resumo de aula.
•	Faça os exercícios 11 e 12, cap. 2.
Aula 53
•	Faça o exercício 13, cap. 2.
Tarefa Complementar
Aula 52
•	Leia os itens 4 e 5, cap. 2.
•	Faça os exercícios 14 e 15, cap. 2.
Aula 53
•	Faça os exercícios 16 a 20, cap. 2.
•	Faça os exercícios 16 e 17 da seção Rumo ao Enem.
131
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1. A ordem do primeiro termo maior que 30 na progressão geométrica …






3
3
, 1, 3 , é:
a) 6
b) 7
c) 8
 c d) 9
e) 10
a
2
 5 1 e a
3
 5 3 ⇒ a razão da PG é q 5 3 .
a
4
 5 3
a
5
 5 3 3
a
6
 5 9
a
7
 5 9 3
a
8
 5 27
a
9
 5 27 3 (. 30)
Uma sequência (a
n
), finita ou não, é uma progressão geométrica (PG) se, e somente se, cada termo a partir do segundo for o produto 
do seu antecessor por uma constante q, chamada razão da PG. Consideramos, aqui, os casos em que os termos são diferentes de 0:
a
2
 5 a
1
 ? q ∴ a
a
2
1
 5 q
a
3
 5 a
2
 ? q ∴ 
a
a
3
2
 5 q
a
n
 5 a
n 2 1
 ? q ∴ 
2
a
a
n
n 1
5 q (com n > 2)
• (a
1
, a
2
, a
3
) é uma PG ⇒ (a
2
)2 5 a
1
 ? a
3
• a
1
 5 a
1
 ? q0; a
2
 5 a
1
 ? q1; a
3
 5 a
1
 ? q2 e, generalizando, a
n
 5 a
1
 ? qn 2 1.
em classe
Sequências: conceito de progressão geométrica
aula 54
Enem: conhecimentos numéricos
nesta aula
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2. Se (x 2 4, x, x 1 12) é uma progressão geométrica, então a soma dos seus termos é igual a:
a) 23
b) 24
c) 25
 c d) 26
e) 28
3. (Modelo – Enem) Sob certas condições, uma certa população de bactérias (E. coli) dobra a cada 20 minutos. Dado 
que, após a primeira hora de observação, havia um pouco mais que 1 000 bactérias, podemos afirmar que o número 
de bactérias após 10 horas era próximo de:
a) 217
b) 227
 c c) 237
d) 249
e) 261
x2 5 (x 2 4)(x 1 12)
x2 5 x2 1 8x 2 48 
48 5 8x
∴ x 5 6
A PG é (2, 6, 18) e a soma dos seus termos é 26.
H3
A cada hora o número de bactérias é multiplicado por 8. Temos uma PG, com a
1
 5 1 000 e q 5 8.
a
10
 5 a
1
 ? q9
a
10
 5 1 000 ? 89
a
10
 5 1 000 ? (23)9
a
10
  210 ? 227
∴ a
10
 . 237
em casa
Consulte:
Livro-texto 2 – Unidade 4
Caderno de Exercícios 2 – Unidade 4
Tarefa Mínima
•	Leia o resumo de aula.
•	Faça os exercícios 1 a 3, cap. 3.
Tarefa Complementar
•	Leia os itens 1 a 3, cap. 3.
•	Faça os exercícios 4 a 8, cap. 3.
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textO para as questões 1 e 2
Um boato tem um público-alvo e alastra-se com deter-
minada rapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente 
proporcional ao número de pessoas desse público que 
conhecem o boato e diretamente proporcional tam-
bém ao número de pessoas que não o conhecem. Em 
outras palavras, sendo R a rapidez de propagação, P o 
público-alvo e x o número de pessoas que conhecem 
o boato, tem-se:
R(x) 5 kx(P 2 x), onde k é uma constante positiva carac-
terística do boato.
1. (Enem) O gráfico cartesiano que melhor representa a 
função R(x), para x real, é:
a) 
x
R
b) 
x
R
c) 
x
R
d) 
x
R
 c e) 
x
R
2. (Enem) Considerando o modelo anteriormente descrito, 
se o público-alvo é de 44 000 pessoas, então a máxima 
rapidezde propagação ocorrerá quando o boato for 
conhecido por um número de pessoas igual a:
a) 11 000
 c b) 22 000
c) 33 000
d) 38 000
e) 44 000
H20
H21
3. (Modelo – Enem) O gerente de um shopping center veri-
ficou que o número de clientes, em função do horário de 
funcionamento (10h00 às 22h00), é dado pela função 
N(t) 5 20,5t2 1 14t 1 404. O horário em que a quantidade 
de clientes nesse shopping center é maior que 500 é:
a) durante todo o horário de funcionamento do shop- 
ping.
b) antes das 12h00 ou após as 16h00.
 c c) entre as 12h00 e as 16h00.
d) apenas após as 18h00.
e) entre as 10h00 e as 18h00.
4. (Enem) Uma pequena fábrica vende seus bonés em pa-
cotes com quantidades de unidades variáveis. O lucro 
obtido é dado pela expressão L(x) 5 2x2 1 12x 2 20, onde 
x representa a quantidade de bonés contidos no pacote. 
A empresa pretende fazer um único tipo de empacota-
mento, obtendo um lucro máximo.
Para obter o lucro máximo nas vendas, os pacotes de-
vem conter uma quantidade de bonés igual a:
a) 4
 c b) 6
c) 9
d) 10
e) 14
5. (Enem) Uma empresa vendia, por mês, 200 unidades 
de certo produto ao preço de R$ 40,00 a unidade. A 
empresa passou a conceder desconto na venda desse 
produto e verificou-se que cada real de desconto con-
cedido por unidade do produto implicava a venda de 
10 unidades a mais por mês.
Para obter o faturamento máximo em um mês, o valor 
do desconto, por unidade do produto, deve ser igual a:
a) R$ 5,00
 c b) R$ 10,00
c) R$ 12,00
d) R$ 15,00
e) R$ 20,00
6. (Modelo – Enem) Uma fábrica de macarrão vende seus 
produtos em pacotes de 500 gramas. O controle de quali-
dade dessa empresa aceita um erro máximo de 2 gramas 
no seu pacote. Ou seja, pacotes com mais de 502 gramas 
ou com menos que 498 gramas são descartados. 
H17
H23
H18
H19
R
u
m
o
 a
o
 E
n
e
m
rumo ao
Enem
134134
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Dentre as opções a seguir, o modelo matemático que 
representa as massas M, em gramas, admissíveis é:
a) |M| > 498
b) |M 2 2| < 500
 c c) |M 2 500| < 2
d) |M| < 502
e) |M| < 2
7. (Modelo – Enem) Em um estudo verificou-se que o com-
primento c de certa espécie de inseto, em cm, é dado 
pela relação 
4c   26
3
72 < . Caso essa relação esteja 
correta, o menor exemplar dessa espécie mede:
 c a) 1,25 cm
b) 2,50 cm
c) 6,50 cm
d) 8,75 cm
e) 11,75 cm
8. (Enem) Fractal (do latim fractus, fração, quebrado) – 
objeto que pode ser dividido em partes que possuem 
semelhança com o objeto inicial. A Geometria fractal, 
criada no século XX, estuda as propriedades e o com-
portamento dos fractais – objetos geométricos formados 
por repetições de padrões similares.
O triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares 
da Geometria fractal, pode ser obtido por meio dos 
seguintes passos:
1) comece com um triângulo equilátero (figura 1);
2) construa um triângulo em que cada lado tenha a 
metade do tamanho do triângulo anterior e faça três 
cópias;
3) posicione essas cópias de modo que cada triângulo 
tenha um vértice comum com um dos vértices de cada 
um dos outros dois triângulos, conforme ilustra a figura 2;
4) repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada 
cópia dos triângulos obtidos no passo 3 (figura 3).
Figura 1 Figura 2 Figura 3
De acordo com o procedimento descrito, a figura 4 da 
sequência apresentada acima é:
a) b) 
H18
H7
 c c)
e) 
d) 
9. (Modelo – Enem) Os calendários possuem muitas 
curiosidades, entre elas a de que em setembro e 
dezembro de um mesmo ano os dias sempre coinci-
dem em relação aos dias da semana (a não ser para 
31 de dezembro). Ou seja, se determinado dia do mês 
de setembro cai num certo dia da semana, então o 
mesmo ocorrerá com o dia correspondente do mês de 
dezembro. Sabendo que 1o de setembro de certo ano 
cai numa segunda-feira, o dia 25 de dezembro desse 
mesmo ano cairá em
a) uma terça-feira.
b) uma segunda-feira.
c) uma quarta-feira.
 c d) uma quinta-feira.
e) um domingo.
10. (Enem) Uma maneira muito útil de se criar belas figuras 
decorativas utilizando a Matemática é pelo processo de 
autossemelhança, uma forma de se criar fractais. Infor-
malmente, dizemos que uma figura é autossemelhante se 
partes dessas figuras são semelhantes à figura vista como 
um todo. Um exemplo clássico é o Carpete de Sierpinski, 
criado por um processo recursivo, descrito a seguir:
Passo 1: Considere um quadrado dividido em nove qua-
drados idênticos (Figura 1). Inicia-se o processo remo-
vendo o quadrado central, restando 8 quadrados pretos 
(Figura 2).
Passo 2: Repete-se o processo com cada um dos qua-
drados restantes, ou seja, divide-se cada um deles em 
9 quadrados idênticos e removem-se apenas os qua-
drados centrais (Figura 3).
Passo 3: Repete-se o passo 2.
Figura 1 Figura 2 Figura 3
H4
H5
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Admita que esse processo seja executado 3 vezes, ou 
seja, divide-se cada um dos quadrados pretos da Figura 
3 em 9 quadrados idênticos e remove-se o quadrado 
central de cada um deles.
O número de quadrados pretos restantes nesse mo-
mento é:
a) 64
 c b) 512
c) 568
d) 576
e) 648
11. (Enem)
1 2 3 4
8 7 6 5
9 10 11 12
16 15 14 13
17 18 19 20
Observando-se cada linha da sequência de números no 
quadro acima, a sequência numérica adequada para 
ocupar a última linha do quadro, da esquerda para a 
direita, respeitando-se o padrão sugerido é:
a) 
28 22 21 20
b) 
21 22 23 24
 c c) 
24 23 22 21
d) 
32 31 30 29
e) 
18 19 20 21
12. (Modelo – Enem) Uma empresa fez uma projeção para 
seus lucros mensais em 2015. Levando em consideração 
o crescimento do mercado, ela concluiu que mês a mês 
esses lucros crescem na forma de uma progressão aritmé-
tica. Sabendo que em janeiro de 2015 o lucro projetado é 
de 30 mil reais e em abril de 2015 a projeção é de 42 mil 
reais, o lucro esperado para dezembro desse ano é de:
a) 54 mil reais
b) 58 mil reais
c) 78 mil reais
d) 70 mil reais
 c e) 74 mil reais
H2
H21
13. (Enem) Um ciclista participará de uma competição e 
treinará alguns dias da seguinte maneira: no primeiro 
dia, pedalará 60 km; no segundo dia, a mesma distân-
cia do primeiro mais r km; no terceiro dia, a mesma dis-
tância do segundo mais r km; e, assim, sucessivamente, 
sempre pedalando a mesma distância do dia anterior 
mais r km. No último dia, ele deverá percorrer 180 km, 
completando o treinamento com um total de 1 560 km. 
A distância r que o ciclista deverá pedalar a mais cada 
dia, em km, é:
a) 3
b) 7
 c c) 10
d) 13
e) 20
14. (Enem) Considere que o esquema represente uma trilha 
poligonal que Carlos deve percorrer, partindo do ponto 
A até chegar ao ponto M.
A
B C
DE
F G
H
I
J L
M
Sabendo que o segmento AB
— 
possui 11 m de comprimento 
e, a partir desse, o comprimento de cada segmento possui 
um metro a menos que o comprimento do segmento an-
terior, quantos metros Carlos terá caminhado ao percorrer 
toda a trilha?
a) 176
b) 121
c) 111
 c d) 66
e) 65
15. (Modelo – Enem) Matteo completou 6 anos no dia 11 de 
junho de 2013, que foi uma terça-feira. O dia da semana 
em que ele completará 10 anos será:
a) quinta-feira
b) sexta-feira
c) sábado
 c d) domingo
e) segunda-feira
H16
H8
H17
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16. (Enem) Nos últimos anos, a corrida de rua cresce no Brasil. Nunca se falou tanto no assunto como hoje, e a quantidade 
de adeptos aumenta progressivamente, afinal, correr traz inúmeros benefícios para a saúde física e mental, além de 
ser um esporte que não exige um alto investimento financeiro.
Disponível em: <http://www.webrun.com.br>. Acesso em: 28 abr. 2010.
Um corredor estipulou um plano de treinamento diário, correndo 3 quilômetros no primeiro dia e aumentando 500 
metros por dia, a partir do segundo. Contudo, seu médico cardiologista autorizou essa atividadeaté que o corredor 
atingisse, no máximo, 10 km de corrida em um mesmo dia de treino.
Se o atleta cumprir a recomendação médica e praticar o treinamento estipulado corretamente em dias consecutivos, 
pode-se afirmar que esse planejamento de treino só poderá ser executado em, exatamente:
a) 12 dias
b) 13 dias
c) 14 dias
 c d) 15 dias
e) 16 dias
17. (Modelo – Enem) Uma loja oferece a seus clientes a seguinte forma de pagamento na compra de um novo modelo 
de televisão em que é dada uma entrada e mais 24 parcelas mensais:
P ROMOÇÃO
Entrada: R$ 200,00
1a parcela: R$ 50,00
Demais parcelas: parcela anterior mais R$ 10,00
42
Ó
Caso um cliente aceite essa forma de pagamento, o total pago por ele, em reais, pela televisão será:
a) 3 860
b) 3 960
c) 4 060
 c d) 4 160
e) 4 260
H18
H16
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•
›
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prof.:
aula 25
aula 32
P.140
P.151
 AD TM TC 
 AD TM TC 
aula 26
aula 33
P.140
P.153
 AD TM TC 
 AD TM TC 
aula 27
aula 34
P.143
P.153
 AD TM TC 
 AD TM TC 
aula 28
aula 35
P.143
P.156
 AD TM TC 
 AD TM TC 
aula 29
P.146
 AD TM TC 
aula 36
P.156
 AD TM TC 
aula 30
P.146
 AD TM TC 
aula 31
P.149
 AD TM TC 
Índice-controle 
deestudo
Antonio Carlos ROSSO Junior
GLENN Albert Jacques van Amson
Roberto Teixeira Cardoso (ROBBY)Matemática Setor B
F
r
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h
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S
t
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k
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nestas aulas
Triângulo retângulo (1)
aulas
Enem: conhecimentos geométricos
25 e 26
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Te
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1. Triângulo retângulo – elementos
BC : hipotenusa (medida a)
AB : cateto (medida c)
AC : cateto (medida b)
AD : altura relativa à hipotenusa (medida h)
BD : projeção ortogonal de AB sobre BC (medida m)
CD : projeção ortogonal de AC sobre BC (medida n)
a
A
B C
c b
h
m n
D
2. Relações métricas
a
A
B C
c b
nm D D
A A
B C
c b
h h
 
Da semelhança entre os triângulos, temos:
b2 5 n ? a
c2 5 m ? a
h2 5 m ? n
a ? h 5 b ? c
Também obtemos o teorema de Pitágoras: a2 5 b2 1 c2
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1. Nos itens a seguir, determine o valor de x em cada figura.
a) 
x
8
10 6
b) 
24
6
x
c)
x 9
6
a ? h 5 b ? c
10 ? x 5 6 ? 8
[ 5x
48
10
 5 4,8
b2 5 n ? a
x2 5 6 ? 24
x2 5 144
[ x 5 12
h2 5 m ? n 
62 5 x ? 9
36 5 9 ? x 
[ x 5 4
2. Dois ciclistas partem simultaneamente, de um mesmo 
ponto, seguindo dois percursos retilíneos, porém, um 
no sentido norte e outro no sentido oeste. Calcule a 
distância entre os dois, 30 minutos após a partida, sa-
bendo que a velocidade do primeiro é de 30 km/h e a 
do segundo, 40 km/h.
30 minutos após a partida o primeiro ciclista terá percorrido 15 km e 
o segundo, 20 km. Assim, temos a figura abaixo.
20
15
d
A distância d é dada por:
d2 5 202 1 152
d2 5 400 1 225 
d2 5 625
[ d 5 25 
Resposta: 25 km.
3. Calcule a medida da altura de um triângulo equilátero 
cujo lado mede 8 cm.
4 4
8 h
Sendo h a altura do triângulo, temos:
82 5 h2 1 42 
h2 5 64 2 16
h2 5 48 
[ h 5 4 3 
Resposta: 4 3 cm.
Professor, aproveite e mostre o cálculo para um triângulo equilátero 
de lado ,.
H8
em classe
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c
a
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em casa
Consulte:
Livro-texto 2 – Unidade 6
Caderno de Exercícios 2 – Unidade 6
Tarefa Mínima
Aula 25
•	Leia o resumo de aula.
•	Faça os exercícios 1 a 3, cap. 11.
Aula 26
•	Faça os exercícios 6 a 8, cap. 11.
Tarefa Complementar
Aula 25
•	Leia o capítulo 11.
•	Faça os exercícios 4 e 5, cap. 11.
Aula 26
•	Faça os exercícios 9 e 10, cap. 11.
•	Faça os exercícios 1 e 2 da seção Rumo ao Enem.
4. (Enem) Diariamente, uma residência consome 20 160 Wh. Essa residência possui 100 células solares retangulares (disposi-
tivos capazes de converter a luz solar em energia elétrica) de dimensões 6 cm 3 8 cm. Cada uma das tais células produz, 
ao longo do dia, 24 Wh por centímetro de diagonal. O proprietário dessa residência quer produzir, por dia, exatamente 
a mesma quantidade de energia que sua casa consome. Qual deve ser a ação desse proprietário para que ele atinja 
o seu objetivo?
 c a) Retirar 16 células.
b) Retirar 40 células.
c) Acrescentar 5 células.
d) Acrescentar 20 células.
e) Acrescentar 40 células.
Sabendo que o consumo é C 5 20 160 Wh, tem-se C 5 n ? d ? P, onde:
n: número de células
d: diagonal da célula
P: produção por centímetro de diagonal
8 cm
d
6 cm
d2 5 62 1 82
d2 5 36 1 64
d2 5 100
[ d 5 10 cm
20 160 5 n ? 10 ? 24 [ n 5 84 células
Como a residência possui 100 células, devem-se retirar 100 2 84 5 16 células.
H9
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1. A diagonal de um retângulo mede 2 13 . Calcule a me-
dida de seus lados, sabendo que a diferença entre eles 
é 2. 
Do enunciado, temos a figura:
y
x
2 13
(1) y 2 x 5 2 ⇒ y 5 x 1 2
(2) x2 1 y2 5 (2 13 )2
Substituindo (1) em (2):
x2 1 (x 1 2)2 5 ( 2 13 )2 
x2 1 x2 1 4x 1 4 5 52
2x2 1 4x 2 48 5 0
x2 1 2x 2 24 5 0
[ x 5 4 ou x 5 26 (não convém)
Como y 5 x 1 2, temos que y 5 6.
Resposta: 4 e 6.
2. (Enem) Em exposições de artes plásticas, é usual que 
estátuas sejam expostas sobre plataformas giratórias. 
Uma medida de segurança é que a base da escultura 
esteja integralmente apoiada sobre a plataforma. Para 
que se providencie o equipamento adequado, no caso 
de uma base quadrada que será fixada sobre uma 
plataforma circular, o auxiliar técnico do evento deve 
estimar a medida R do raio adequado para a platafor-
ma em termos da medida L do lado da base da estátua. 
Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá apre-
sentar de modo que a exigência de segurança seja 
cumprida?
 c a) >R
L
2
b) >
p
R 2L
c) >
p
R L
d) >R L
2
e) >R L
2 2
H14
O menor valor de R corresponde à medida do raio 
de uma circunferência circunscrita a um quadrado de 
lado L. Dessa forma, temos a figura:
L L
A
C
R RO
BD
 
No triângulo ABD, temos:
(2R)2 5 L2 1 L2 ⇒ 4R2 5 2L2
R
L
2
R
L
2
2
2
∴5 5
Logo, R deve ser maior ou igual a 
L
2
, ou seja, 
R
L
2
> .
Triângulo retângulo (2)
aulas 27 e 28
Enem: conhecimentos geométricos
nestas aulas
Relações métricas no triângulo retângulo:
a
A
B C
c b
h
m n
D
 
b2 5 n ? a
c2 5 m ? a
h2 5 m ? n
a ? h 5 b ? c
a2 5 b2 1 c2
em classe
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144
3. (UFRN – Adaptada) Dois garotos estavam conversando 
ao lado de uma piscina, nas posições A e B, como ilustra 
a figura. O garoto que estava na posição A observou 
que o ângulo CÂB era de 90° e que as distâncias BD e 
AD eram de 1 m e 2 m, respectivamente. Sabendo que 
o garoto da posição B gostava de estudar geometria, o 
da posição A desafiou-o a dizer qual era a medida da 
largura CD da piscina. 
A
B D C
A resposta correta do garoto da posição B deveria ser:
 c a) 4 m
b) 5 m
c) 3 m
d) 2 m
e) 6 m
Como o triângulo ABC é retângulo em A, CD e BD são as proje-
ções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa, e AD é a altura 
relativa à hipotenusa.
Das relações métricas, temos h2 5 m ? n; logo:
AD2 5 BD ? CD
22 5 1 ? CD 
[ CD 5 4
H13
4. O logotipo de uma vinícola representa esquematica-
mente uma taça de vinho em que a parte superior é 
representada por um triângulo isósceles inscrito em uma 
circunferência, conforme a figura.
6 cm
9 cm
A medida do raio da circunferência é:
a) 4 cm
b) 3 2 cm
 c c) 5 cm
d) 2 3 cm
e) 5 2 cm
Sendo r o raio da circunferência de centro O, temos a figura abaixo.
9 
3
9 2 r
3
r
r
O
No triângulo destacado:
r2 5 (9 2 r)2 1 32 
r2 5 81 2 18r 1 r2 1 9
18r 5 90 
[ r 5 5
H12
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em casa
Consulte:
Caderno de Exercícios 2 – Unidade 6
Tarefa Mínima
Aula 27
•	Leia o resumo de aula.
•	Faça os exercícios 11 a 13, cap. 11.
Aula 28
•	Faça os exercícios 17 a 19, cap. 11.
Tarefa Complementar
Aula 27
•	Faça os exercícios 14 a 16, cap. 11.
Aula 28
•	Faça os exercícios 20 a 22, cap. 11.
•	Faça os exercícios 3 e 4 da seção Rumo ao Enem.
5. Na figura, as circunferências de centros C
1
, C
2
 e C
3
 são tangentes duas a duas e também à reta t. Os raios das circun-
ferências de centros C
1
 e C
2
 medem 4 cm. Calcule a medida do raio da circunferência menor.
C
3
t
C
2
C
1
Do enunciado, temos a figura a seguir, onde r é o raio pedido.
C
3r
4
4 1 r
4 2 r
C
2C1
No triângulo destacado, temos:
(4 1 r)2 5 (4 – r)2 1 42 [
16 1 8r 1 r2 5 16 – 8r 1 r2 1 16
16r 5 16
[ r 5 1
Resposta: 1 cm.
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c
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nestas aulas
Trigonometria no triângulo retângulo
aulas
Enem: conhecimentos geométricos
29 e 30
1. Seno, cosseno e tangente de um ângulo
c
a
B A
C
b
α
a 5 medida da hipotenusa
b 5 medida do cateto oposto ao ângulo de medida a
c 5 medida de cateto adjacente ao ângulo de medida a
Relações trigonométricas:
a 5 a 5sen 
cateto oposto
hipotenusa
 sen 
b
a
[
a 5 a 5cos 
cateto adjacente
hipotenusa
   cos 
c
a
[
[tg 
cateto oposto
cateto adjacente
   tg 
b
c
 a 5 a 5
Observe que tg a 5 
a
a
sen 
cos 
, cos a Þ 0.
2. Valores notáveis
Ângulo
30° 45° 60°
seno
1
2
2
2
3
2
cosseno
3
2
2
2
1
2
tangente
3
3
1 3
146
M
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1. Determine a medida x em cada triângulo.
a) 
x
60°3 6
b) 
45¡
x
2 3 
c) 
30°
x
3 2 
Resposta: 9
x
6 3
sen 60°
x
6 3
 
3
2
⇒5 5
5
?
5x
6 3 3
2
x 9[
° ⇒5 5
3 2
x
cos 45
3 2
x
2
2
? 5 ? 5x 2 6 2 x 6[
Resposta: 6
° ⇒5 5
x
2 3
tg 30
x
2 3
 
3
3
x
2 3 3
3
x 25
?
5[
Resposta: 2
3. Ângulos complementares
c
a
B A
C
b
α
β
sen b 5
c
a
 ∴ sen b 5 cos a
cos b 5 
b
a
  ∴ cos b 5 sen a
b 5 b 5
a
tg 
c
b
   tg 
1
tg 
[ , tg a Þ 0
em classe
2. Um controlador de tráfego aéreo está numa torre de 
comando, a 30 metros de altura em relação ao solo, 
e observa a aproximação de um avião sob um ângulo 
de 30° com a horizontal. Calcule a distância do contro-
lador ao avião, sabendo que a altitude do avião nesse 
momento era de 880 m.
30¡
Sendo d a distância pedida, temos:
1) Altura h do avião em relação à horizontal pela posição do observa-
dor: h 5 880 2 30 ⇒ h 5 850
2) 
h
d
sen 30°
850
d
1
2
⇒5 5 d 17005[
Resposta: 1 700 metros. 
H12
147
M
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c
a
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3. (Fuvest-SP) Para se calcular a altura de uma torre, utili-
zou-se o seguinte procedimento ilustrado na figura: um 
aparelho (de altura desprezível) foi colocado no solo, a 
uma certa distância da torre, e emitiu um raio em dire-
ção ao ponto mais alto da torre. O ângulo determinado 
entre o raio e o solo foi de 60°. A seguir, o aparelho foi 
deslocado 4 metros em direção à torre e foi obtido o 
ângulo b, com tg b 5 3 3 .
É correto afirmar que a altura da torre, em metros, é:
a) 4 3
b) 5 3
 c c) 6 3
d) 7 3
e) 8 3
Do enunciado, temos a figura:
β60°
x
h
4
1) 
h
x
tg 
h
x
3 3 x
h
3 3
x
h 3
9
⇒ ⇒ ⇒5 b 5 5 5 
2) 
h
x 4
tg 60°
h
x 4
3 h 3 x 4( )⇒ ⇒
1
5
1
5 5 1
Substituindo (1) em (2), temos: 




h 3
h 3
9
45 1
h
h
3
4 35 1 
2 5h  h
3
4 3
5 5
2h
3
4 3 h 6 3[
H13
α β
fora de escala
4. (Enem) Em um sistema de dutos, três canos iguais, de 
raio externo 30 cm, são soldados entre si e colocados 
dentro de um cano de raio maior, de medida R. Para 
posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver 
uma distância de 10 cm entre os canos soldados e o 
cano de raio maior. Essa distância é garantida por um 
espaçador de metal, conforme a figura:
10 cm
30 cm
R
Utilize 1,7 como aproximação para 3 . O valor de R, em 
centímetros, é igual a:
a) 64,0
b) 65,5
 c c) 74,0
d) 81,0
e) 91,0
No triângulo OAP, tem-se: 
cos 30°  
AP
OA
5 [
3
2
30
OA
  OA 20 35 5[ 
Assim, a medida R, em centímetros, é dada por:
R 5 OA 1 AD 1 DE 5 20 3 1 30 1 10
R 5 20 ? 1,7 1 30 1 10 [ R 5 74
H8
Do enunciado, tem-se a figura, cotada em cm:
10
DE
30
30 30
30
30
30
30¡
60¡
A B
C
30P
O
em casa
Consulte:
Livro-texto 2 – Unidade 6
Caderno de Exercícios 2 – Unidade 6
Tarefa Mínima
Aula 29
•	Leia o resumo de aula.
•	Faça os exercícios 1 a 4, cap. 12.
Aula 30
•	Faça os exercícios 8 a 11, cap. 12.
Tarefa Complementar
Aula 29
•	Leia o capítulo 12.
•	Faça os exercícios 5 a 7, cap. 12.
Aula 30
•	Faça os exercícios 12 a 14, cap. 12.
•	Faça os exercícios 5 a 7 da seção Rumo ao Enem.
148
M
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Te
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nesta aula
1. Semicircunferência trigonométrica
α
α
P (cos α, sen α)
sen α
cos α
1
y
xAO
2. Ângulos suplementares
180° 2 α180° 2 α
P’P
sen α
cos α
α
α
sen (180° 2 α)
cos (180° 2 α)
y
xAO
Dados um ângulo a e seu suplementar, 180° – a, temos:
( )sen  sen  180°   a 5 2 a
( )cos  cos  180°   a 5 2 2 a
Assim, por exemplo: 
•	 ( )5 2 5 5sen 150° sen 180° 150° sen 30° sen 150° 1
2
[
•	 ( )5 2 2 5 2 5 2cos 150° cos 180° 150° cos 30° cos 150° 3
2
[
Observação: ( )
( )
( )
tg  180°   
sen  180°   
cos  180°   
sen 
cos 
tg 2 a 5
2 a
2 a
5
a
2 a
5 2 a
Trigonometria da meia volta
aula 31
Enem: conhecimentos geométricos
149
M
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ti
c
a
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1. Calcule a medida a do arco AP em cada semicircun-
ferência.
a) 
y
xA
70°P
O
α
α
a 5 180° 2 70°
a 5 110°
Resposta: 110°
b) 
y
xA
P155°
O
α
α
a 5 180° 2 155°
a 5 25°
Resposta: 25°
H7
2. Calcule sen a, cos a e tg a em cada item.
a) 
y
xA
P
120°
O
α
α
a 5 120° ⇒ 180° 2 a 5 60°
sen 120° 5 sen 60° ⇒ sen 120° 5 
3
2
 
cos 120° 5 2cos 60° ⇒ cos 120° 5 2
1
2
 
tg 120° 5 2tg 60° ⇒ tg 120° 5 2 3 
b) 
y
xA
P
135°
O
α
α
a 5 135° ⇒ 180° 2 a 5 45°
sen 135° 5 sen 45° ⇒ sen 135° 5 
2
2
 
cos 135° 5 2cos 45° ⇒ cos 135° 5 2
2
2
tg 135° 5 2tg 45° ⇒ tg 135° 5 21
em classe
em casa
Consulte:
Livro-texto 2 – Unidade 6
Caderno de Exercícios 2 – Unidade 6
Tarefa Mínima
•	Leia o resumo de aula.
•	Faça os exercícios 1 a 3, cap. 13.
Tarefa Complementar
•	Leia o capítulo 13.
•	Faça os exercícios 4 e 5, cap. 13.
•	Faça o exercício 8 da seção Rumo ao Enem.
150
M
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1. (Enem) O atletismo é um dos esportes que mais se iden-
tificam com o espírito olímpico. A figura ilustra uma pista 
de atletismo. A pista é composta por oito raias e tem 
largura de 9,76 m. As raias são numeradas do centro 
da pista para a extremidade e são construídas de seg-
mentos de retas paralelas e arcos de circunferência. Os 
dois semicírculos da pista são iguais.
84,39 m
3
6
,5
 m
3
6
,
 5
 m
BIEMBENGUT, M. S. Modelação Matemática como método de 
ensino-aprendizagem de Matemática em cursos de 1o e 2o graus. 
Dissertação de Mestrado. IGCE/Unesp, Rio Claro, 1990. Adaptado.
Se os atletas partissem do mesmo ponto, dando uma 
volta completa, em qual das raias o corredor estaria 
sendo beneficiado?
 c a) 1
b) 4
c) 5
d) 7
e) 8
H9
Os arcos de circunferência que delimitam a raia 1 são os 
de menor comprimento. 
Assim, o corredor da raia 1 estaria sendo beneficiado.
2. O comprimento de uma circunferência é 60p cm. Se 
ele aumentar para 72p cm, o raio dessa circunferência 
aumentará em quantos centímetros?
a) 4
b) 5
 c c) 6
d) 8
e) 12
Sendo o comprimento inicial 60p, temos 2 ? p ? r
i
 5 60 ? p [ r
i 
5 30
Sendo o comprimento final 72p, temos 2 ? p ? r
f
 5 72 ? p [ r
f
 5 36 
r
f
 2 r
i
 5 36 2 30 5 6
O raio da circunferência aumentará em 6 cm.nesta aula
1. Comprimento de uma circunferência
O
R
C
O comprimento C de uma circunferência de raio R é dado por: 
C 5 2pR
2. Comprimento de um arco de circunferência
O
R
<
R
a
O comprimento , de um arco de circunferência de medida a 
pode ser calculado por:
360° 2pR
 a ,
2 R
360°
, 5
p a
∴
em classe
Comprimento de uma circunferência
aula 32
Enem: conhecimentos geométricos
151
M
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c
a
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152
3. As correias transportadoras são muito utilizadas na cons-
trução e na indústria.
Elas são constituídas (feitas) de borracha e acionadas 
por cilindros metálicos, como mostra a figura abaixo.
Motor
Esteira
Cilindro
Se o cilindro de uma correia transportadora possui um 
raio de 10 cm e realiza 15 rpm (rotações por minuto), 
qual a distância percorrida por um objeto sobre ela, em 
um minuto? (Considere p 5 3,14.)
a) 4,71 metros
 c b) 9,42 metros
c) 14,13 metros
d) 94,2 metros
e) 47,1 metros
H14
ID
1
9
7
4
/S
H
U
T
T
E
R
S
T
O
C
K
Em uma volta do cilindro, a correia percorre:
C 5 2 ? p ? r 5 2 ? 3,14 ? 10 [ C 5 62,8 cm
Em um minuto são realizadas 15 voltas, logo, a distância L percorrida 
por um objeto é:
L 5 15 ? 62,8 
[ L 5 942 cm 5 9,42 metros
4. (Enem) As cidades de Quito e Cingapura encontram-se 
próximas à linha do equador e em pontos diametral-
mente opostos no globo terrestre. Considerando o raio 
da Terra igual a 6 370 km, pode-se afirmar que um avião 
saindo de Quito, voando em média 800 km/h, descon-
tando as paradas de escala, chega a Cingapura em 
aproximadamente
a) 16 horas.
b) 20 horas.
 c c) 25 horas.
d) 32 horas.
e) 36 horas.
A distância DS a ser percorrida pelo avião é igual à semicircunferência 
terrestre.
DS 5 p ? r ≃ 3,14 ? 6 370 [ DS ≃ 20 000 km
A velocidade V
m
 do avião é dada por 5 D
D
V S
tm
, logo:
800 5 
D
20000
t
Dt 5 
20000
800
 
[ Dt 5 25 horas
H13
em casa
Consulte:
Livro-texto 2 – Unidade 6
Caderno de Exercícios 2 – Unidade 6
Tarefa Mínima
•	Leia o resumo de aula.
•	Faça os exercícios 1 a 4, cap. 14.
Tarefa Complementar
•	Leia o capítulo 14.
•	Faça os exercícios 5 a 7, cap. 14.
•	Faça os exercícios 9 e 10 da seção Rumo ao Enem.
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Relações métricas num triângulo qualquer
aulas 33 e 34
Enem: conhecimentos geométricos
nestas aulas
1. Teorema dos cossenos
A B
a
C
b
c
α
Em qualquer triângulo, as medidas de seus três lados e de um 
de seus ângulos são tais que:
5 1 2 ? ? ? aa b c 2 b c cos2 2 2
em classe
1. Determine o valor de x nos itens a seguir.
a) 
3 2 
30° 
5
x
x2 5 52 1 (2 3 )2 – 2 ? 5 ? 2 3 ? cos 30°
x2 5 25 1 12 – 2 ? 5 ? 2 3 ? 
3
2
x2 5 25 1 12 – 30
x2 5 7
[ x 5 7 
Resposta: 7
2. Teorema dos senos
A
c
B
a
R
C
b
γ
βα
Em qualquer triângulo, a razão entre a medida de um lado e 
o seno do ângulo oposto a ele é constante e igual ao diâmetro da 
circunferência circunscrita ao triângulo, isto é:
a
5
b
5
g
5 ?
a
sen 
b
sen 
c
sen 
2 R
153
M
a
te
m
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c
a
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b) 
5
7
60°
x
72 5 52 1 x2 2 2 ? 5 ? x ? cos 60°
49 5 25 1 x2 2 2 ? 5 ? x ? 
1
2
x2 2 5x 2 24 5 0
[ x 5 8 ou x 5 23 (não convém) 
Resposta: 8
c) 
R 5
x
O
60°
3 6
x
sen 60°
2 6 35 ?
x 2 6 3
3
2
5 ? ?
[ x 5 18
Resposta: 18
2. (Vunesp) Paulo e Marta estão brincando de jogar dar-
dos. O alvo é um disco circular de centro O. Paulo joga 
um dardo que atinge o alvo num ponto que vamos 
denotar por P; em seguida, Marta joga outro dardo, 
que atinge um ponto denotado por M, conforme a fi-
gura. Sabendo-se que a distância do ponto P ao centro 
O do alvo é PO 5 10 cm, que a distância de P a M é 
PM 5 14 cm e que o ângulo PÔM mede 120°, a distância, 
em centímetros, do ponto M ao centro O é
a) 12
b) 9
c) 8
 c d) 6
e) 5
14 cm
10 cm
P
M Ox
Sendo x a distância pedida, temos:
142 5 x2 1 102 – 2 ? x ? 10 ? cos 120°
196 5 x2 1 100 – 2 ? x ? 10 ? ( )122
x2 1 10x 2 96 5 0
[ x 5 6 ou x 5 –16 (não convém)
Resposta: 6
H9
14 cm
10 cm
P
M O
(Figura fora de escala.)
154
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em casa
Consulte:
Livro-texto 2 – Unidade 6
Caderno de Exercícios 2 – Unidade 6
Tarefa Mínima
Aula 33
•	Leia o resumo de aula.
•	Faça os exercícios 1 a 3, cap. 15.
Aula 34
•	Faça os exercícios 7 a 10, cap. 15.
Tarefa Complementar
Aula 33
•	Leia o capítulo 15.
•	Faça os exercícios 4 a 6, cap. 15.
Aula 34
•	Faça os exercícios 10 a 14, cap. 15.
3. (Ufop-MG – Adaptada) Um topógrafo encontra-se ao pé 
de uma torre A na margem de um rio largo e deseja en-
contrar a distância dessa torre a uma torre B na margem 
oposta, sem atravessar o rio. Para isso, ele escolhe uma 
árvore C na margem em que se encontra e, com sua 
trena, mede a distância de A a C, obtendo 100 m. Com 
seu teodolito, mede os ângulos BÂC 5 105° e AĈB 5 
5 45° (veja figura). Tendo em vista esses dados, calcule 
a distância aproximada entre as torres.
(Considere 2 5 1,41.)
C
A
B
100m 45°
105°
O ângulo AB̂C mede 30°. Sendo x a distância pedida, temos:
¡ ¡
x
sen 45
100
sen 30
5 
x ? sen 30° 5 100 ? sen 45°
x
1
2
100
2
2
? 5 ? 
x 5 100 ? 2 
x 5 100 ? 1,41 
[ x 5 141
Resposta: 141 metros.
H8
4. (Unicamp-SP) A água utilizada na casa de um sítio é cap-
tada e bombeada do rio para uma caixa-d’água a 50 m 
de distância. A casa está a 80 m de distância da caixa–
-d'água e o ângulo formado pelas direções caixa-d'água–
bomba e caixa-d'água–casa é de 60°. Se se pretende 
bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, 
quantos metros de encanamento são necessários?
BOMBA
x
80 m
50 m
60¡
A situação pode ser representada pelo esquema:
x2 5 502 1 802 – 2 ? 50 ? 80 ? cos 60°
x2 5 2 500 1 6 400 2 2 ? 50 ? 80 ? 
1
2
x2 5 4 900
[ x 5 70
Resposta: 70 metros.
H8
155
M
a
te
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ti
c
a
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Principais elementos de um polígono regular:
O M
V
3
V
2
V
1
V
n
α
r
R
R
,
Na figura, temos um polígono regular V
1
V
2
...V
n
 de n lados;
O: centro do polígono e também das circunferências inscrita e circunscrita a ele;
R: medida do raio da circunferência circunscrita;
r: medida do raio da circunferência inscrita ou apótema do polígono;
,: medida do lado do polígono;
a: medida do ângulo central do polígono, a 5
360°
n
.
Polígonos regulares
aulas 35 e 36
Enem: conhecimentos geométricos
nestas aulas
em classe
1. Calcule a medida do ângulo central a dos seguintes 
polígonos regulares:
a) 
α
360°
6
60°a 5 5
Resposta: 60°
b) 
α
°
°
360
8
45a 5 5
Resposta: 45°
156
M
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Te
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c) 
α
360°
5
72°a 5 5
Resposta: 72°
d) 
α
360°
3
120°a 5 5
Resposta: 120°
2. Calcule o lado e o apótema de um quadrado inscrito 
em uma circunferência de raio 8.
,
8
a
M
O
A B
8
No triângulo retângulo AOB, temos:
,2 5 82 1 82 ⇒ ,2 5 128 ⇒ , 5 8 2
OM 5 AM (∆AOM é isósceles), OM é o apótema.
a 5 
,
2
 ∴ a 5 4 2
3. O lado de um triângulo equilátero mede 12. Calcule a 
medida dos raios da circunferência inscrita (apótema) 
e da circunferência circunscrita a esse triângulo.
Na figura, considere o triângulo retângulo AOM:
A M
30°
6
R
r
O
C
B
∴
5
5
5
r
6
tg 30°
r
6
3
3
r 2 3
•
 
5
5
6
R
cos 30°
6
R
 
3
2
•
∴ R 5 4 3
Professor, mostre que seria possível resolver por Pitágoras, e relem-
bre, também, pelo baricentro, pois R 5 2r.
157
M
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te
m
‡
ti
c
a
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4. (Ufscar-SP – Adaptada) O projeto de uma ferramenta prevê que ela se encaixe perfeitamente em um parafuso de 
cabeça hexagonal regular, como indica a figura.
Cabeça da ferramenta
y y
x
x
Parafuso
Braço da ferramenta
Calcule as medidas de x e y, admitindoa medida do lado do hexágono que forma a cabeça do parafuso igual a 2 cm.
L L
B
L
M
x
y
A
C
O L
2
L
2
Sendo L a medida do lado do hexágono regular, temos a figura acima:
Como AOB e COB são triângulos equiláteros de lado L 5 2 cm, temos:
1) x 5 L 1 
L
2
 ⇒ x 5 2 1 1 ⇒ x 5 3 cm
2) No triângulo retângulo AOM, temos 

L
L
2
AM2
2
2
5 1
22 5 12 1 AM2 ⇒ AM2 5 3 ⇒ AM 5 3
y 5 2 ? AM 
∴ y 5 2 3 cm
H12
em casa
Consulte:
Livro-texto 2 – Unidade 6
Caderno de Exercícios 2 – Unidade 6
Tarefa Mínima
Aula 35
•	Leia o resumo de aula.
•	Faça os exercícios 1 a 3, cap. 16.
Aula 36
•	Faça os exercícios 7 a 9, cap. 16.
Tarefa Complementar
Aula 35
•	Leia os itens 1 a 4, cap. 16.
•	Faça os exercícios 4 a 6, cap. 16.
Aula 36
•	Faça os exercícios 10 a 12, cap. 16.
•	Faça o exercício 12 da seção Rumo ao Enem.
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1. (Enem)
corrimão
24 cm
24 cm
24 cm
24 cm
24 cm
30 cm
30 cm
9
0
 c
m
9
0
 c
m
Na figura acima, que representa o projeto de uma es-
cada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento 
do corrimão é igual a:
a) 1,8 m
b) 1,9 m
c) 2,0 m
 c d) 2,1 m
e) 2,2 m
2. (Enem) Quatro estações distribuidoras de energia, A, B, C 
e D, estão dispostas como vértices de um quadrado de 
40 km de lado. Deseja-se construir uma estação central 
que seja ao mesmo tempo equidistante das estações A 
e B e da estrada (reta) que liga C e D. A nova estação 
deve ser localizada
a) no centro do quadrado.
b) na perpendicular à estrada que liga C e D passando 
por seu ponto médio, a 15 km dessa estrada.
 c c) na perpendicular à estrada que liga C e D passando 
por seu ponto médio, a 25 km dessa estrada.
d) no vértice de um triângulo equilátero de base AB, 
oposto a essa base.
e) no ponto médio da estrada que liga as estações 
A e B.
3. (Modelo – Enem) Deseja-se construir um duto de ven-
tilação ligando os pontos A e B, conforme a figura a 
seguir. Por motivos técnicos, ele deve ser composto por 
H12
H9
H22
dois trechos retilíneos, representados por AC e CB . O 
comprimento desse duto, em metros, em função de x é:
A
D C B
Adote AD 5 10 m, BD 5 20 m e CD 5 x m.
a) 1 110 400   x2
 c b) 2 1 120  x 100   x
2
c) 1 1x 100   x2
d) 1100   x2
e) 1 120 100   x2
4. (Enem) Uma fábrica de tubos acondiciona tubos cilíndri-
cos menores dentro de outros tubos cilíndricos. A figura 
mostra uma situação em que quatro tubos cilíndricos 
estão acondicionados perfeitamente em um tubo com 
raio maior.
Suponha que você seja o operador da máquina que 
produzirá os tubos maiores em que serão colocados, 
sem ajustes ou folgas, quatro tubos cilíndricos internos.
Se o raio da base de cada um dos cilindros menores 
for igual a 6 cm, a máquina por você operada deverá 
ser ajustada para produzir tubos maiores, com raio da 
base igual a:
a) 12 cm
b) 12 2 cm
c) 24 2 cm
 c d) ( )16 1 2 cm
e) ( )112 1 2 cm
H9
rumo ao
Enem
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5. (Modelo – Enem) André tem 1,80 m de altura e vê o topo 
de uma árvore sob um ângulo de 30°. Sabendo que a 
distância entre ele e a árvore é de 6 metros, qual é a 
altura aproximada da árvore? (Use 53  1,73.)
 c a) 5,26 m
b) 3,46 m
c) 3,48 m
d) 4,05 m
e) 6,96 m
6. (Modelo – Enem) O proprietário do terreno cujo formato 
é o quadrilátero a seguir deseja cercá-lo com uma tela 
cujo metro linear custa R$ 20,00. O valor aproximado 
que ele gastará para fazer isso é:
(Use 52  1,41 e 53  1,73.)
105¡
10 m
3 m10
 c a) R$ 1 110,00
b) R$ 910,00
c) R$ 826,00
d) R$ 764,00
e) R$ 658,00
7. (Modelo – Enem) Um árbitro de futebol deve correr, 
segundo a recomendação da FIFA, entre os extremos 
opostos das grandes áreas, conforme figura a seguir. 
Tomando um campo com o limite de comprimento 
oficial aceito (110 m), um árbitro desloca-se duran-
te um jogo de acordo com a recomendação e faz 
esse percurso (ida e volta) 20 vezes durante um jogo. 
Qual será a distância aproximada percorrida? (Use: 
cos 19° 5 0,95.)
11 m
a) pouco mais que 3 km.
 c b) pouco menos que 4 km.
H11
H13
H14
19o
fora de escala
c) pouco mais que 4 km.
d) pouco menos que 5 km.
e) pouco mais que 5 km.
8. (Modelo – Enem) Uma partícula se desloca 90° no sen-
tido anti-horário sobre a semicircunferência trigonomé-
trica partindo do ponto A que corresponde ao arco de 
20°. As coordenadas do ponto final são:
a) (cos 20°, sen 20°)
 c b) (2 cos 70°, sen 70°)
c) (sen 70°, cos 70°)
d) (cos 70°, 2 sen 20°)
e) (sen 110°, cos 110°)
 9. (Enem – Adaptada) Camile gosta de caminhar em uma 
calçada em torno de uma praça circular que possui 
500 metros de extensão (comprimento da circunferên-
cia), localizada perto de sua casa. A praça, bem como 
alguns locais ao seu redor e o ponto de onde inicia a 
caminhada, estão representados na figura:
SorveteriaAcademia
Padaria
Centro
cultural
Ponto de
partida
Drogaria
Lan
house
Em uma tarde, Camile caminhou 4 125 metros, no sen-
tido anti-horário, e parou. 
Qual dos locais indicados na figura é o mais próximo 
de sua parada?
a) Centro cultural.
b) Drogaria.
c) Lan house.
d) Ponto de partida.
 c e) Padaria.
10. (Modelo – Enem) Em uma certa bicicleta especial, quan-
do se dá uma pedalada, o pneu dá uma rotação com-
pleta. Sendo 80 cm o diâmetro do pneu dessa bicicleta 
e adotando p 5 3, a distância percorrida, em metros, 
após 100 pedaladas é:
a) 120
b) 180
 c c) 240
d) 300
e) 480
H8
H6
H8
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11. (Enem) Vítor deseja revestir uma sala retangular de di-
mensões 3 m 3 4 m, usando um tipo de peça de cerâmi-
ca. Em uma pesquisa inicial, ele selecionou cinco tipos de 
peças disponíveis, nos seguintes formatos e dimensões:
•	 Tipo I: quadrados, com 0,5 m de lado.
•	 Tipo II: triângulos equiláteros, com 0,5 m de lado.
•	 Tipo III: retângulos com dimensões de 0,5 m e 0,6 m.
•	 Tipo IV: triângulos retângulos isósceles, cujos catetos 
medem 0,5 m.
•	 Tipo V: quadrados, com 0,6 m de lado.
Analisando a pesquisa, o mestre de obras recomen-
dou que Vítor escolhesse um tipo de piso que pos-
sibilitasse a utilização do menor número de peças 
e que não acarretasse sobreposições ou cortes nas 
cerâmicas.
Qual o tipo de piso o mestre de obras recomendou que 
fosse comprado?
a) Tipo I.
b) Tipo II.
 c c) Tipo III.
d) Tipo IV.
e) Tipo V.
H14
12. (Modelo – Enem) Na representação artística a seguir, o 
polígono estrelado maior (escuro) é obtido a partir de 
um octógono regular. O ângulo a mede, em graus:
a) 30°
b) 40°
 c c) 45°
d) 60°
e) 75°
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Interdisciplinares
Atividades
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Paleontologia significa estudo da vida antiga (Palaios – antigo 1 ontos 2 ser 1 logos – estudo). Ela 
investiga o desenvolvimento da vida na Terra ao longo do tempo geológico pela análise de fósseis, restos 
ou vestígios de animais, vegetais e microrganismos.
Os grandes astros do estudo dos fósseis são os dinossauros e seus parentes, que viveram na era Mesozoica 
(225 a 65 milhões de anos atrás). No Brasil, existem várias regiões ricas em fósseis dessa era, incluindo a formação 
Santa Maria, na região Sul (lá foi encontrado o Staurikosaurus, o fóssil de dinossauro mais antigo), a formação 
Santana, na região Nordeste, rica em ictiólitos (fósseis de peixes) e em pterossauros (Anhanguera e Tropeognathus) 
e a formação Bauru, na região Sudeste, com fósseis de grandes dinossauros herbívoros, os Titanossauros.
a) 
b) 
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Paleontologia
Ictiólito
Anhanguera
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c) 
d) 
Para investigar as características físicas, o modo de vida e a idade dos fósseis, os paleontólogos recebem 
suporte de diversas áreas do conhecimento, como a Biologia, a Química e a Física. 
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Tropeognathus
Titanossauro
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Atividades
1. Os pterossauros surgiam há 220 milhões de anos e foram 
os primeiros vertebrados voadores, apresentando uma 
grande diversidade de espécies. Encontrados em re giões 
litorâneas, deviam se alimentar principalmente de peixes 
e moluscos. Seu aspecto externo assemelha-se aos mor-
cegos, mas sua estrutura óssea é mais semelhante à das 
aves. O Anhanguera foi um dos maiores pterossauros, 
com uma envergadura média de 8 metros, podendo 
chegar a 13 metros. Por ter ossos ocos, eram animais leves 
para seu tamanho, com peso médio de 50 quilogramas. 
Seus fósseis foram encontrados no Brasil e na Inglaterra, 
sugerindo que eles podiam migrar a longas distâncias.
A existência de animais como o Anhanguera é consi-
derada uma evidência do processo evolutivo, porque
a) prova que os morcegos surgiram dos pterossauros, 
em uma evolução divergente a partir das aves.
b) mostra como o uso e desuso pode aumentar ou di-
minuir o tamanho dos animais e que essas caracte-
rísticas são transmitidas aos descendentes.
 c c) demonstra o processo da convergência adaptativa 
na transformação dos membros anteriores em asas.
d) indica que os pterossauros sofriam mutações direcio-
nadas para a adaptação ao mecanismo de voar.
e) revela que a capacidade de voar foi uma caracterís-
tica adaptativa, desenvolvida exclusivamente pelos 
animais vertebrados.
2. A bacia sedimentar do Araripe, no Ceará, pertence 
à formação Santana e apresenta as maiores jazidas 
fossilíferas do mundo, originárias do período Cretáceo 
(145 a 65 milhões de anos atrás). Os fósseis incluem 
vegetais (principalmente partes de Gimnospermas e An-
giospermas), invertebrados (principalmente conchas de 
moluscos e artrópodes) e vertebrados (peixes, anfíbios, 
crocodilos, pterossauros e dinossauros). A quantidade 
de peixes fossilizados em formações calcárias (ictióli-
tos) é imensa e os espécimes estão bem preservados. 
O estudo dos ictiólitos permite
a) analisar o comportamento dos organismos aquáticos 
do período Cretáceo naquela região.
b) demonstrar que seres vivos podem se desenvolver no 
interior de estruturas mineralizadas.
c) mostrar como a seleção natural provoca mudanças 
nas espécies, direcionando-as para a maior perfei-
ção evolutiva.
 c d) estabelecer relações evolutivas com as espécies 
atuais de peixes, determinando as espécies fósseis 
ancestrais das espécies modernas.
e) provar que as variações encontradas nas espécies 
surgem obrigatoriamente para possibilitar uma maior 
adaptação ao ambiente.
3. Os Titanossauros, que viveram no fim do Cretáceo, foram 
os maiores dinossauros encontrados no Brasil. Esses her-
bívoros mediam aproximadamente 12 metros e pesavam 
9 toneladas e seus fósseis foram encontrados em várias 
regiões do país. Uma característica desses animais era o 
pescoço longo, com mais de 4 metros de comprimento.
A explicação darwinista para o comprimento do pesco-
ço do Titanossauro se dá pelo(por):
a) aumento progressivo provocado pelo esforço de con-
seguir alimento nas árvores.
b) mutações dirigidas para o aumento progressivo do 
comprimento.
c) mudanças na estrutura dos ossos do pescoço esti-
muladas pelo ambiente.
d) uso intenso do pescoço na procura de alimento em 
árvores.
 c e) seleção de indivíduos que casualmente tinham pes-
coços maiores.
4. Fósseis de pterossauros, os primeiros e maiores verte-
brados conhecidos com capacidade de voar, foram 
encontrados no Brasil e na Inglaterra, sugerindo que 
eles podiam migrar a longas distâncias. Mas como isso 
é possível? Um artigo publicado na revista Biological 
Letters indica que os pterossauros se adaptaram muito 
bem às brisas tropicais. Saltar de lugares altos e apro-
veitar as correntes de ar parecem ter sido estratégias 
desenvolvidas por esse animal que tinha dificuldade 
de locomoção terrestre (portanto, em decolar a partir 
do solo) e pouca resistência orgânica ao movimento 
contínuo de bater asas.
Em curta distância, podemos supor que a distância 
entre Natal (RN) e Falmouth (cidade litorânea no sul da 
Inglaterra) seja de aproximadamente 6 900 km. Sem o 
auxílio de ventos, um pterossauro que desenvolvesse 
uma velocidade média de 30 km/h para percorrer essa 
distância levaria, sem parar, aproximadamente:
a) 2 dias e meio.
b) 1 semana.
 c c) 9 dias e meio.
d) 12 dias.
e) 2 semanas.
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∴ Dt 5 230 horas > 9,5 dias (9 dias e meio).
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TexTo para a quesTão 5
Predadores voadores com envergaduras de 12 metros 
lutaram para voar
Pense em um pterodátilo e você pode imaginar um feroz 
predador voador pairando alto sobre vulcões e palmas pré
-históricas. Mas a realidade para algumas criaturas maiores 
pode ter sido menos bem sucedida.
Engenheiros revelaram que o tamanho dos pteros-
sauros foi limitado pela sua aptidão de decolar, porque 
se eles se tornassem grandes e pesados demais, eles po-
deriam não ter força para levantar voo e poderiam pro-
vavelmente ser devorados por outros predadores. A des-
coberta de grande número de espécies fósseis indica que 
os pterossauros foram inicialmente muito bem sucedidos, 
mas criaturas com uma envergadura de mais de 39 pés 
(12 metros) podem ter tido problemas para decolar, de acordo 
com os pesquisadores. Os répteis voadores viveram do final 
do Triássico ao início do Cretáceo, período entre 228 milhões 
e 66 milhões de anos atrás. Com envergaduras em torno de 32 
pés (10 metros), a maior espécie pode ter pesado tanto quanto 
um quarto de tonelada. Eles foram os primeiros vertebrados a 
desenvolver o voo propulsado. Uma equipe multinacional de 
especialistas usou imagens 3D de fósseis para criar um modelo 
em computador de um pterossauro com envergadura de 19 pés 
(6 metros). Este modelo teve então sua escala ampliada para 
criar modelos maiores com envergaduras de 29 pés (9 me-
tros) e 39 pés (12 metros). Eles estimaram a resistência da 
asa, flexibilidade, velocidade de voo e potência exigida para 
o voo em pterossauros massivos para ver se as imagens dos 
livros-texto de enormes bestas ascendendo através dos céus 
eram cientificamente possíveis.
Os resultados mostraram que mesmo o maior pteros-
sauro teria sido capaz de sustentar o voo usando correntes 
de ar para planar. Ele teria sido capaz também de dimi-
nuir a velocidade o suficiente para fazer pousos seguros 
porque suas asas eram formadas por uma membrana 
flexível. Decolar, por outro lado, provou ser um desafio 
inteiramente maior nos experimentos em computador. 
Diferentemente dos pássaros modernos, a anatomia dos 
pterodátilos sugere que eles usavam seus braços e pernas 
para impulsioná-los acima do solo durante a decolagem, 
em uma manobra conhecida como “lançamento a qua-
tro pés”. Entretanto, os resultados sugerem que espéci-
mes maiores que o usual, pesando próximo de um quar-
to de tonelada, teriam que ter lutado para deixar o solo. 
Uma vez que as envergaduras se aproximaram de 39 pés 
(12 metros), a força de impulso requerida para tirar o mo-
delo dosolo foi muito grande. O engenheiro mecânico Colin 
Palmer da Universidade de Bristol disse: “Levantar voo 
acabou por limitar o tamanho do pterossauro. Mesmo com 
a sua técnica ímpar de lançamento a quatro pernas, as leis 
de ferro da física eventualmente baniram esses gigantes de 
todos os tempos dos céus do Cretáceo”.
A equipe apresentou seus resultados no iminente en-
contro da Sociedade de Paleontologia de Vertebrados, em 
Berlim. Mr. Palmer, que trabalhou com barcos a vela e moi-
nhos de vento, disse: “Tem sido fascinante aplicar uma abor-
dagem de engenharia para entender sistemas biológicos”.
... E os abutres têm o mesmo problema
Abutres têm pernas e pés fracos ao lado de corpos 
volumosos. Enquanto isto não é desvantagem no ar, torna 
difícil para estes pássaros decolar do solo. Para contornar 
este problema, os pesados pássaros correm encosta abaixo 
para ganhar a velocidade necessária à decolagem, ou pulam 
de penhascos e altas saliências nas montanhas para decolar. 
Uma vez no ar, suas grandes asas lhes permitem planar e 
pairar para localizar presas. Abutres pairam lentamente 
e estavelmente. Sua velocidade média de voo é de 30 mph 
(48 quilômetros por hora) e pode chegar a 40 mph (64 
quilômetros por hora). Quando localizam uma carcaça, 
os grandes pássaros algumas vezes comem demais, o que 
aumenta mais ainda seu peso, significando que eles não 
podem decolar. O condor da Califórnia, por exemplo, pode 
sobreviver até duas semanas sem uma refeição. Então, 
quando ele se banqueteia, come até ficar cheio, guardando 
até três libras (1,36 kg) de comida em uma parte de seu 
esôfago, sem mencionar o seu estômago. Se exagera 
na refeição, o pássaro regurgita para aligeirar a carga e 
conseguir voar de novo.
GRIFFITHS, Sarah. Daily Mail. 6 nov. 2014. Disponível em: 
<http://conhecimentohoje.com.br/Recentes716_frames.htm>. 
Acesso em: 25 nov. 2015.
5. Um abutre de 6 kg está em repouso sobre um plano ho-
rizontal. Suponha que ele comece a alçar voo apenas 
quando atinge uma velocidade de 18 km/h. Conside-
rando que essa ave tenha disponível um percurso de 
apenas 15 m para acelerar, o valor da resultante média 
das forças que devem atuar sobre ele durante esse per-
curso é, aproximadamente, igual:
a) à metade do seu peso.
b) ao seu peso.
c) a uma vez e meia o seu peso.
 c d) a duas vezes o seu peso.
e) a três vezes o seu peso.
v 5 18 km/h 5 5 m/s
O peso desse abutre é: P 5 m ? g 5 6 ? 10 5 60 N
Aplicando equação de Torricelli à situação:
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5
Aplicando o princípio fundamental da dinâmica para movimentos re-
tilíneos:
r 5 m ? a
r 5 6 ? 
25
30
 5 125 N, que corresponde, aproximadamente, a duas 
vezes o peso do abutre.
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6. 
A fossilização resulta da ação combinada de proces-
sos físicos, químicos e biológicos. Para que ela ocorra, 
ou seja, para que a natural decomposição e desapare-
cimento do ser que morreu seja interrompida e haja 
preservação, são necessárias algumas condições, como 
rápido soterramento e ausência de ação bacteriana, que 
é a responsável pela decomposição dos tecidos. Também 
influenciam na formação dos fósseis o modo de vida do 
animal e a composição química de seu esqueleto. 
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S Entre os restos animais passíveis de preservação 
incluem-se as estruturas formadas de sílica (óxido de 
silício), como as espículas das esponjas; a calcita (car-
bonato de cálcio), como as conchas de muitos moluscos 
e os corais; a quitina, substância que forma o esqueleto 
dos insetos; e a celulose, encontrada na madeira.
CARVALHO, I. S. (ed.). Paleontologia. 
Rio de Janeiro: Interciência, 2000. vol. 1.
MENDES, J. C. Conheça o solo brasileiro. 
São Paulo: Polígono, 1968. p. 146-147.
As substâncias indicadas, em negrito, apresentam qual 
elemento químico em comum?
a) Silício
b) Carbono
 c c) Oxigênio 
d) Nitrogênio
e) Hidrogênio 
SiO
2
 – óxido de silício
CaCO
3
 – carbonato de cálcio
(C
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 – celulose
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ANGLO
A coleção de Ensino Médio do Sistema Anglo de Ensino foi planejada para os 
alunos do século XXI, empreendedores e ávidos por inovações e conhecimento.
O que se propõe neste segmento é aliar a motivação dos alunos com a 
qualidade de ensino e os elevados padrões acadêmicos – uma tríade que 
representa um trabalho de excelência nas escolas.
Com o conhecimento adquirido na escola, o aluno se sentirá pronto para a 
vida em sociedade e, como cidadão, poderá interferir na realidade em que vive. 
Nosso objetivo é transformar o lema: “aula dada, aula estudada” em prática, 
provocando o exercício da autonomia e o aperfeiçoamento constantes.
O material é composto de Caderno do Aluno, Livro-texto e Caderno de 
Exercícios, além de diversos recursos digitais e ferramentas disponíveis no portal 
do Sistema.
Venha conosco nessa jornada!
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