Função do 2º grau conceitos iniciais

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 Matemática e suas 
Tecnologias - Matemática
Ensino Fundamental, 9º Ano
Função do 2º grau 
conceitos iniciais
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MATEMÁTICA, 9º ANO
Função 2º grau – conceitos iniciais
	Vamos analisar o movimento de uma bola após ser chutada por um goleiro, em um tiro de meta (velocidade inicial de 72 km/h).
Imagem: Autor Ingy The Wingy / disponibilizado por Laim / Creative Commons Attribution-Share Alike 2.0 Generic
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Função 2º grau – conceitos iniciais
	A altura da bola varia em função do tempo. 
 Veja a tabela a seguir.
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	 NOTE: A bola ganha altura até 2 segundos e depois perde altura, chegando ao chão novamente no instante de 4 segundos.
	A função que fornece a altura, neste caso, em função do tempo é dada por:
h = 20t – 5t2
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Função 2º grau – conceitos iniciais
Galileu foi, provavelmente, o primeiro a observar que um objeto em queda livre percorre distâncias proporcionais ao quadrado do tempo decorrido. 
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DEFINIÇÃO
Chama-se FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU ou FUNÇÃO QUADRÁTICA qualquer função de R em R dada por uma lei da forma:
com a, b e c números reais e
Domínio  
Contradomínio 
Nomenclaturas:
Conjunto Imagem
é o conjunto formado por todos as ordenadas y, que representam imagens das abscissas x, por meio da função.
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Identificação de coeficientes da função quadrática:
2x2 - 3x + 5 = 0
a = 2
b = -3 
c = 5 
-x2 + 4x - 3 = 0
a = -1
b = 4 
c = -3 
 4x + 8x2 - 4 = 0
a = 8
b = 4 
c = -4 
 3x - 6x2 = 0
a = -6
b = 3 
c = 0
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Zeros da função:
Zero da função, ou raízes da equação, são os valores de “x” que anulam a função, tornando-a uma equação f(x) = 0, através dos valores encontrados na fórmula de Bháskara:
O Discriminante (representado pela letra grega delta), mostrará a quantidade de raízes reais da função quadrática pela fórmula abaixo:
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CONCAVIDADE DA PARÁBOLA:
Concavidade 
 para cima
Concavidade 
 para baixo
y = ax2 + bx + c
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TERMO INDEPENDENTE
c
y
x
y = ax2 + bx + c
Exemplo :
4
y
x
y = x2 - 2x + 4
Ponto em que a reta toca no eixo y 
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O vértice é um ponto muito importante na parábola, pois por meio dele obtemos informações significativas.
A ordenada do vértice admite valor mínimo ou valor máximo. 
Se a > 0, concavidade voltada para cima, então a função admite valor MÍNIMO, . 
Se a < 0, concavidade voltada para baixo, então a função admite valor MÁXIMO, . 
0
y
x
Valor mínimo
.
0
y
x
Valor máximo
.
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Coordenadas do Vértice 
y = ax2 + bx + c
Em qualquer caso, as coordenadas do vértice são dadas por:
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Achar as raízes da função
O valor de c toca o eixo do y
Achar o vértice da função
		
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Para se estudar o sinal da função do 2º grau deve-se adotar o procedimento:
Determinam-se as raízes da função.
Marcam-se as raízes em uma reta (caso existam).
Analisa-se a concavidade da parábola.
Faz-se o estudo do sinal.
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+
+
-
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Analisar os sinais da função, é verificar nos intervalos do domínio onde a função tem imagem positiva, negativa ou nula, considerando também o valor de a e o valor de ∆.
X1
X2
+
+
.
.
+
+
X1=X2
+
+
.
+
X1
X2
+
-
.
.
-
-
-
-
.
-
-
X1=X2
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Estudar o sinal da função f(x)= x2 - 5x + 6.
x2 - 5x + 6 = 0 (determina-se a raiz da função);
marcam-se as raízes em uma reta e analisa-se a concavidade da parábola;
faz-se o estudo do sinal.
f(x) > 0, para x<2 ou x>3
f(x)=0, para x=2 ou x=3
f(x) < 0, para 2 < x < 3
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ESBOÇO DO GRÁFICO 
Para construir um gráfico de uma função quadrática devemos ter : 
- Concavidade 
- Ponto c
- Zeros
- Vértice
y
x
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	Vamos partir de dois exemplos para fazermos algumas generalizações:
Exemplo 1: y = f(x) = x² - 4x + 3 
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Exemplo 2: y = f(x) = -x² + 4
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EM RESUMO 
Para construir o gráfico de uma função do 2º grau, basta seguir os seguintes passos:
 Determinar as raízes da função( se existirem).
 Marcar os valores das raízes sobre o eixo x.
 Calcular o vértice da parábola e marcar no plano cartesiano. 
 Marcar no eixo y o valor do coeficiente c.
 Analisar a concavidade da parábola e traçar a curva passando pelos pontos marcados.
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Função 2º grau – conceitos iniciais
O Geogebra é um programa dinâmico para o estudo da Matemática, juntando Geometria, Álgebra e Cálculo. Nesse software, podemos desenhar pontos, vetores, segmentos, linhas e funções, e isso de forma dinâmica. No uso de funções, podemos mostrar no gráfico as coordenadas, os vértices, etc. Ele pode ser baixado gratuito no site: http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.
Área de trabalho do software
Imagem: Geogebra / software gratuito de código aberto.
Link:  http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogebra.html  /  http://www.geogebratube.org
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Função 2º grau – conceitos iniciais
Exemplos de gráficos com o Geogebra:
Imagens: Geogebra / software gratuito de código aberto.
Link:  http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogebra.html  /  http://www.geogebratube.org
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Exemplos de gráficos com o Geogebra:
Imagens: Geogebra / software gratuito de código aberto.
Link:  http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogebra.html  /  http://www.geogebratube.org
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Exemplos de gráficos com o Geogebra:
Imagens: Geogebra / software gratuito de código aberto.
Link:  http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogebra.html  /  http://www.geogebratube.org
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DANTE, Luiz Roberto. Matemática (Ensino médio). Vol. Único. São Paulo: Ática, 2008.
GIOVANNI e BONJORNO. Matemática Fundamental: uma nova abordagem. Volume único. Editora FTD, 2002
Manual “Ajuda GeoGebra - Manual Oficial da Versão 3.2”. Acesso em 29 nov. de 3010. Disponível em <http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf>
 Sites: 
http://hsa.zip.net/
http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2.php
Software Geogebra http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.
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Tabela de Imagens
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Concavidade para cima
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