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~- BENTO DE JESUS CARAÇA CÁLCULO VECTORIAL I 3.A EDIÇÃO LISBOA 1 9 6 o -. ~· ··~ Composto • Impresso na TIPOGRARIA MATEMÁTICA, LDA. R. Dl6rlo de Noticies, 134, 1."-Esq. TKLEl'ONE 2 94 49 - LI s 8 o A- 2 • BENTO DE JESUS CARAÇA CÁLCULO VECTORIAL J.A EDIÇÃO LISBOA 1 9 6 o OBRAS DE MATEMÁTICA DO MESMO AUTOR Lições de Algebra e Análise, Vol. 1- 1935, 1945 e 1956. Lições de Algebra e Análise, Vol. 11 - 1940, 1954 e 1957. Interpolação e Integração Numérica - 1933 {esgotado). Cálculo Vectorial - 1937, 1957 e 1960. Conceilos Fundamentais da Matemática, I Parte - Junho 1941, Agosto 1941, 1942, 1944 e 1946. Conceitos Fundamentais da Matemática, 11 Parte- 1942 e 1944. Conceifos Fundamentais da Malemática, I, 11 e III Partes - 1951, 1952 e 1958. .. A primeira ediçtlo desta obra apa1·eceu em 1937 e constitui a primeira das publicações do Núcleo de .Matemática, Fisica e Quim?·ca, congregação de antigos bolseiros no estrangeiro do Instituto de Alta Cultu1·a. A 2.a ediçao deve a revis11o das suas provas aos Ex.mot S1·s. Drs. Alfredo da Gosta Mú·anda e Augusto de Macedo Sá da Gosta. A revisao das p1·ovas desta 3 .4 ed1'çao foi feita pelos Ex.'"0' Srs. Drs. Alfredo da Costa Mtranda, Jaime da G1·uz Campos Fert·eira e Joaquim José Paes Motaes. Para todos a expressao sincera do maior agradecimento. J. M. G. Lisboa, Junho de 1960 . • CITAÇÕES As referências a números de fórmulas, parágrafos e capítulos são dadas em tipos e corpos diferentes, de acordo com os segui ntes exemp:os: Pág. 118, linha 10: f2. 9) -+ parágrafo 9 do capitulo II. Pág. 82, linha 17: [1 . 7, 45)]-+ fórmula 45) do parágrafo 7 do capítulo I. Dentro de cada parágrafo, a referência a uma fórmula do mesmo parágrafo faz-se pela simples indicação do seu número. Exemplo: Pág. 1181 linha 20: (50)] - fórmula 50) do mesmo parágrafo. TÁBUA DE MATÉRIAS Capitulo 1.0 - .Álgeln-a Vectorio! I. Fundamento!! . II. Produtos e operadores. III. !\fomentos Bibliografia. Exercícios • Capítulo 2.0 - .Álgebra Teti80I'Üll I. Transformações lineares II. Álgebra tensorial • Bibliografia . Exercícios • Capítulo 3.0 - Análise Vectorial I. Infinitésimos. • II. Derivação ordinária • III. Aplicações geométricas IV. Derivação tensorial e derivação dirigida Bibliografia. Exercícios . Capítulo 4.0 - Teon·a do. Cantpos • I. Operadores diferenciais II. Fluxo e circulação . Resumo • Bibliografia. Exercícios . Indice de nomes . Indice alfabético de matérias • Pdg. 1 1 59 72 77 77 79 79 114 123 123 125 125 135 167 186 189 190 193 193 21:> 240 242 242 245 241 Cap. I. , Algebra Vectorial. I. FUNDAMENTOS. 1. 1. Histórica. O cálculo vectorial é de constituição relativamente recente e anda ligado, na sua origem, à procura duma possível represen- tação g~ométrica dos números imaginários. Por isso, os vectores aparecem, considerados como linhas dirigidas, na obra de C. Wes- sel, Essai sur la rep?'éllentation de la direction (1797) e de J. A rgand, E.1sai sur ume maniere de t·eprésenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques ( 1 ~06) . Com a pu bli- caçào das obras de G. 13~llavitis sobre as eqoipolências (a partir de 1832) da Atudehnung.~leltt·e de H. Grassmann (a partir de 1844) e dos trabalhos de W. Hamilton sobre os Quaterniões (a partir de 184.}), pode considerar-se fechado o primeiro ciclo, o ciclo pre- paratório, da história do Cúlculo Vecto1·ial. Deve·se principalmente a J. W. Gibbs e O. Heaviside (ambos na segunda metade do século xu) a estruturação deste ramo das ciências matemáticas com a forma que hoje apresenta. Define-se ainda hoje, frequentemente, vector como um segmento de recta orientado, tomando-o, portanto, como uma entidade de carácter geométrico, como o era para os iniciadores do cálculo vectorial. Mas os modernos pontos de vista sobre este corpo de doutrina não se compadecem com tal critério fundamental- há que, a partir do conceito geométri..:o de segmento orientado, deduzir outro, de carácter analítico, que fará., propriamente, o objecto de estudo do ramo de Análise que designamo!! por Cálculo Vectorial. É essa orientação, seguida, por exemplo, por M. Lagally- Vektor-Rechnttng, a adoptada nos parágrafos seguintes. CALCULO VECTORUL 1 2 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL 1. 2. Segmento orientado. Translacção. Definições. Consideremos uma recta R) e a partir dum ponto arbitrário O, fixemos sobre ela um sentido positivo e um sentido negativo (fig. 1). A coa venção da existência de sentidos opostos numa mesma recta é fundamental em tudo que vai seguir-se. Ela permite-nos, a partir de cada segmento ou porção da recta, definido por dois pontos A B Flg. 1 A e B, distinguir dois segmentos dirigidos ou orientados - o seg- mento de A para B, origem A e extremidade B, que representa- remos por A B, e o segmento de B para A, origem lJ e extre· midade A, que representaremos por B A. Um segmento dirigido ou 01·ientado é, por consequência definido por dois pontos quaisquer do espaço, A e B, e pela adjunção do conceito de ordem a que se sujeitam esses dois pontos. Dois segmentos dirigidos que diferem um do outro apenas pela ordem dos pontos que os definem, dizem-se opostos: o segmento dirigido B A é o oposto do segmento dirigido A B. Chama-se módulo dum segmento orientado A B à distância, em valor absoluto, dos dois pontos A e B; representá-lo-amos por modA B. Atribuamos a modA B o sinal + ou o sinal - , conforme o sentido de A para B coincidir ou não com o sentido positivo da recta sobre a qual existe A B; ao número assim obtido dá-se o nome de medida algébrica de A B e representá-lo-em os por med A B; tem-se portanto med A B = +modA B conforme o sentido de A B for positivo ou negativo, em relação ao eixo sobre o qual se encontra: 1) { + mod A B +- A B tem sentido positivo med A B = .J A B A B ·.1 • - mo•.b - tem senttuO negatwo. Qualquer que seja o sinal do sentido de AB, é sempre verdade que 2) med A B = - med B A • Dá.se o nome de translacçlto a todo o movimento dum corpo no espaço tal que as posições inicial e final de cada um dos seus pontos definem segmentos orientados paralelos e com as mesmas medidas algébricas (igualdade de módulos e de sentidos). PARÁGRAFO 2 Uma translacção fica conhecida portanto desde que se conheça o segmento orientado definido pelas posições inicial e final dum dos pontos do corpo cons iderado; as posições finais dos outros pontos são determinadas por segmen- tos orientados paralelos e de medidas algébricas iguais ao primeiro. Este facto vem chamar a atenção para o papel importante que desem· penha a existência de segmentos orien- tados nas condições indicadas, a que chamaremos segmentos equipolentes. Flg. 2 Dois segmentos equipolentes A B e A' B' (fig. 2) são portanto tais que os quatro pontos A, B, A', B', definem um paralelo- gramo, a não ser que A B e A' B' existam sobre a mesma recta; neste caso a equipolência é definida simplesmente pela concordância de sentidos e igualdade de módulos. Sempre que nos quisermos referir, indistintamente, ao segmento orientado A B e aos seus equipolentes, diremos que A B é definido ou dado a menos duma equipolência. Estas definições permitem-nos agora dizer que toda a translacçtlo no espaço é, independentemente do local em que se realiza, determi- nada univocamente por um segmento orientado, dado a menos duma equipolência; representaremos a translacção, determinada pelo segmento A B, por tAs. Daqui resulta que se A B é equipol~nte a ..4.1 B', A B se pode fazer coincidir com A' B' por meio da translacção t..u (v . fig. 2). Consideraremos ainda comoiguais todas as translac«:ões que só diferem pelo local do espaço em que se efectuam, isto é, que são determinadas pelo mesmo segmento orientado, definido a menos duma equipolência: 3) tA n = tA' B' +- A B equipolente a A' B' . Chama-se translact;tlo nula aquela em que a origem coincide com a extremidade e escreve-se 4) Ao segmento orientado correspondente chama-se, ainda, seg- mento nulo, e escreve-se 6) . 4 CAP. I. ALGEBRA VECTORIAL Propriedades. Do que está dito deduz-se que as propriedades da igualdade de translacções são a resultante imediata, o decalque das da equipolência e reclprocamE>nte. Ocupemo-nos destas. 1. • (reflexiva). Todo o segmento orientado é equipolente a si mumo,· é uma consequência imediata da definição. 2. a (simétrica). Se A B é equipolente a A' B', também A' B' é equipolente a A B ; com efeito, o paralelogramo definido por A, B, A', B' é o mesmo que o definido por A', B', A, 8. 3.a (transitiva.). Se A B éequi'polente a A'B' e .A'B' eqwpo- lente a A" B", é A B equipolente a A" B"; com efeito, da defini- ção resulta que A'' B'' é paralelo a. A B (por ser paralelo a A' B' e este a A B) que os sentidos coincidem e que é modA'' B" =modA' B' =modA B. 1. 3. Composição de translacções. A). Translacções com a mesma direcção. Definição. Sejam dadas duas translacções pm·alelas; como os segmentos orientados que as definem são definidos a menos duma. equipolência [1. 2], pode sempre supor-se que eles estão sobre a mesma recta e que, além disso, a origem dom coincide com a extremidade do outro. Sejam então A B e B C esses segmentos e tAn e tJJu as translacçõos correspondentes. Consideremos a translacçlio t.Ao cuja origem é a vrigem da primeim e cuja extremidade é a extremidarle da segunda. A opera- ção pela qual às translacções tAs e t8 o se faz corresponder t.Ao chama-se composiçllo ou adição de trnnslacções ; à trao lacção t.Ao chama-se resultante ou soma das translacções t..~ 8 e t8 o e escreve-se 6) ao segmento orientado AG chama-se, ainda, soma doa segmento~ orientados A B e B G e escreve-se 7) PARÁGRAFOS 2 e 3 As igualdades 6) a 7) não são, afinal, mais rlo que tradoções diferentes da mesma operação fuodame.ntal- a da composição de duas translacçõea ou dos segmentos orientados correspondente8. Como se vê, a operação é de efecti vaçiio simples : faz-se coinci- du· a origem duma (a segunda) com a A-.a c extremidade da outra (a primeira) e toma-se n transla.cção deterrninad11 pela origem da primeira e extremidade da seguorla. Na figura jontn estão figu- rados casos que podem apresentar-se qunnto aos sentidos dos segmentos orientados. A:....__~C:......-_ ___,.,.B A B Fig. 3 As setas inferiores representam os sentidos dos segmen tos a compor; as superiores o do segmento soma. Em particular, tem-se imediatamente a partir da definição e de [1. 2, 4)] 8) tAB +toA= (u = 0 on 9) que nos indica que a soma de dois segmentos orientados opostos é nula. A coo trução da soma mostra a inda que entre as medidas algé- bricas se verificam, quaisquer que sejam os sentidos dos segmentos considerados, as relações 10) med A O = med A B + med B C , e, em particular, 11) med A B + med B A = O que coincide, aritmàticnmente, com [1. 2, 2)]. A composição de mais de duas transl11cções define-se como babitualmontose defi.oe a adição de mais de duas parcPias: compõem-se as duas primeiras, a translação obtida com põe-se com a terceira e assim 13ucessivamente. Resulta daqui que tAn + tBo + tan = t.tn e, em geral, 12) i.tr A,+ t.dtA, + · · • + tA,_ 1 .A. = t.A, 40 , igualdade à qual corresponde, para os segmentos orientadoS' corres- pondentes, 6 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL 13) relação válida, pelo que está dito, qualquer que seja a pow;ao relativa, sobre a recta, dos pontos A1 ,. • • An. Em particular tem-se, como consequência imediata de 13) e 9), 14) A, Aa + As As + ·. · + An-1 A» + AnA, = O. Para as medidas algébricas verificam-se as relações gerais 15) med A, Az + · · · + med An-1 An = med A, An 16) med A, As + -. · + med A,._1 An + med An A1 =O. A justificação do nome adiçtlo dado, também, à operação que estamos estudando, está nos resultados do estudo, a que vamos proceder, das suas propriedades. Propriedades. 1. a - A operaçiio é umforme. Com efeito de tAs=(~· B' e ta a = ta' O' resnlta imediatamente, em virtude da defi- nição, tA a+ tso = t~! B' + tn'O' e relação análoga para os segmentos orientados. 2.1 - É tAs+ O= t~~.B. Com efeito: tAs+ O= tAn + tnn = tAn. 3.3 -A operaçllo é comutatit·a. A igualdade: t,~~n+taD-= = toD + tAB, que exprime a comutatividade, é, como fàcilmeote se reconhece, uma consequf\ncia imediata da construção por meio da qual foi definida a operação. 4. a - A operaçllo é associativa. Anàlogamente, da construção resulta que tAs+ (tn o + tcD) =(tAs+ tno) + toD. 5. a- De tA B +te o= tA' 0' +te D ?·esulta tAs = tA' O' . Somemos, com efeito, a ambos os membros da igualdade, a translacção tDo; a igualdade mantém-se, pela propriedade 1. •, e vem t.tts + foD + t De= = tA' B' + laD + tDo donde, pela associatividade, t.t~n + (tcD + fDo)= = tA' D' + (toD + iDa) donde [8)] tAs + O = tA' a• +O, donde, final- mente, pela propriedade 2.a, t.<J.B .= tA' B'· Em conclusO.o, a operaç;ão goza das mesmas propriedades qae PARÁGRAFO 3 7 a adição ordinária, à parte aq!lelas que se prendem coro os conceitos de maior que e menor que, que aqui não foram intToduzidos ruas que não são essenciais no algoritmo soma (vide, por exemplo, as pro- priedades da soma de números complexos, L1"ções (1), Vol. I, 8, 3). É fácil definir, agora, subtracção de duas trunslacções. Chama-se diferença das ,duas translacções tAu e tco e escreve-se tAB - tco , à soma tAs + toe : 17) t.tto - taD = tAB + tro • Verifica-se imediatamente que a diferença é aquela translacção que somada com o subtractivo icD reprodoz o aditivo t..ttn; efecti- vamente, (t.Ao + tDa) + toD = t.4.o + (tDa + taD) = t,w + O= t..Ao. Com esta propriedade fica estabelecida a analogia com a sabtracção ordinária; as doas operações podom fundir-11e numa só, a soma algébrica, regida por um conjunto de leis análogas às da soma algébric.a ordinária, cuja verificação omitimos por ser longa e fastidiosa. B). T ronslocções com direcções diferentes. Definição. Dadas duas transtucções não paralela q uaisq oer, define- -se duma maneira inteiramente análoga à anterior, a operação d!a. composiçêlo : faz-se coincidir a origem da segunda com a extremidade da pri- meira e considera-se como resultante ou soma das duas translacções dadas aquela translacção cuja origem é a da primeira e c•1ja extremidade ó a LJC A B Fig. 4 da segunda (v. fig. 4, as setas indicam os sentidos dos segmentos orientados). Escreve·se ainda 6) t..tll + taa = t.J.o a 7) AB +BC= AG, contiuuando, também, a chamar-se a A C soma dos dois segmentos orientados A B e B O. A adição, ou comvosic;ã.o, de mais de duas translacções define- -se como habitualmente; na fig. 5 está construída a eoma de três translncções t1 = l.dB, t11 = tBo , ta = toD. (1) A desig11ação Liçõett refere-se a Lições de Álgebra e Análise do at~tor [2.• Oll 3.• edição]. 8 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL Propriedades. 1. • - A operaçllo é unifo1'1ne. Resulta imediata- mente da construção. 2! - Ê tAs + O = tAs. Foi já estabelecida atl·ás. 3. 8 - A operaçlio é comutativa. É o que resulta da figura 6, visto que AB é equipolente a D C e B C equ ipolente a AD. 4. • - A operaçflo é a.~sor.ialiva. Com efeito, da figura f> resulta que é AD= t1 + t2 + ta e que, por outro lado, se tem AD = t1+ + (t2 + ts) e AD = (t1 + t2) + ts. õ.•- De t1 + t3 = t2 + t5 resulta t1 = t2 • Dem onstração intei- ramente análoga il. da propriedade 5. 8 anter iormente estabelecida. Em conclusi1o, a o-peração goza D das propriedades da adição or di- ~ nária, com o que se justifica o C emprego da designação soma. Quando as translacções tiverem todas a mesma direcção, a opera- ção reduz -se à anteriormente estu- Flg. IS dada, com todas as conclusões que lá foram deduzidas. Verificam.se aqui as igualdades 12), 13) e 14), mas as igualda- des 10), 15) e 16), sobre as relações entre as medidas algébricas, são privativas do caso em que as translações têm todas a mesma direcção. Aquelas são, portanto, mais gerais que estas . Pode ainda definir-se sublracçllo de translacções com direcções diferentes e, para o fazer, adoptare- mos a mesma definição: C A figura 7 mostra como se cons- trui a diferença. A diferença das translacções t1=AB A (aditivo) e t2 = B C é a traoslacção t1 - ta = t.Ao' • Fig. 8 Vê-se na figura que a soma de t1 - ts = tAo• = tA'B com t !il= tBc é- t...,. 0 = tA 8 = t1 o que moRtra que a diferença é ainda aquela translacção que somada com a translacção subtractivo reproduz o PARÁGRAFOS 3 e 4 9 aditivo. Com isto fica estabelecida a identidade da operação agora definida com a subtracção ordinária. 1. 4. Produto por um número real. Na definição e estudo da multiplicação duma translacção, ou um segmento orientado, por um número real, seguiremos as étapes seguintes: a) o número é inteiro e posi- tivo; b) o número é fraccionário positivo da C' 1 forma -; c) o número é racional posi- n tivo qualquer; d) o número é real posi- tivo qualquer; e) o número é real nega- A-r--......:--.y ti v o. A). Número inteiro e positivo n. Definição. D~finiremos a opera<;ào, cujo resultado se representa por n . tAs, pela igualdade. (n ) """' 18) n ·tAs= l..ts +tAs+ .. · +tAs Fig, 7 à qual corresponde, operando sobre os segmentos orientados, a defi- nição de n · A B pela igualdade (n) 19) n. A B = A B + A B + ... + AB. Se n =O ou t..t 8 =O , põe-se, por definição, 20) O· t.&s = O, n · t.d.d =O. Propriedades. 1. a - O p1·oduto n · tA B é uma nova transl acçtfo com a mesma direcçllo e sentido que tAs e com módulo igual a n • mod tAB. Resulta imediatamente da definição e das propriedades da soma; a relação 21) mod (n • t..4 8 ) = n · mod t..ts é consequência directa de [1 3, l ô )] • A operação de que estamos tratando consiste, portanto, na dilataçélo duma translacçiio na sua direcção e sentido. 10 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL 2. a- A operaçtlo é uniforme. É consequência imediata da uni- formidade da soma. Notemos, em particular, que esta propriedade significaque: de n = n' resulta n-tAs=n'·t..u; de tAB=tA'B' resulta n ·tAs= n · t.&'B'. 3. a- Do anulamento do produto resulta o anulamento de, pelo menos, um dos jacto1·es. Efectivamente, se nenhu m dos factores é nulo, a soma 18) é neceasàriamente diferente de zero. A 4.a-se n=f=O, de n · tAn= = n · te o resulta tAs = te o ; se tAs=/=0, de n · tAs=o' • tAn resulta n=n'. É consequência imediata da uniformidade. Fig. 8 5. a - A operaçao é dist1·i. hutiva em relaçtlo à soma de nú-meros. Com efeito, das propriedades da soma tem-se (m + n) (m) (n) .....---""---.., ..-_..... ,....---·_...._ (m + n) · t.& 8 = l.&s+ · · · +t..u = (t .. u + ... + tAB) + (t.ts+ · .. + t.AB) donde 22) (m + n) · t_. 8 = m . tAs+ n · t.~.s . 6. a - A operação é distributiva em 1·elaçao à soma de t'·anslacções. A figura 8, em que se fez n = 3, mostra que a igualdade 23) é uma consequência da definição, da construção da soma e das propriedlides da semelhança de triângulos. 7. a - A operação é comutativa, e associativa no sentido da se,quinte i,gualdade 24) m · (n ·i.& o)= n · (m · t.& 8) = (m · n) · t.&s. É de verificação imediata. PARÁGRAFO 4 11 B) . Número fraccionário positivo da lorma n Definição. Dd l ~ ' f . ,. 1 h a a a trnns acçao t48 e o numero racc10nar10 - , c ama-se n produto do número pela translacção, e representa-se por _!_ . t.iln, n àquela translacçii.o (se existir) cujo produto por n é t.11n: 25) 1 - · Ctn = t:ry - n · t.,11 = t.fn • n A demoustração da existência de t.,11 , satisfazendo à igualdade de condição, é fácil: basta tomar para 4,11 aquela translação com a mesma direcção e sentido que t.ll. 8 e tal que n. mod fxy = mod t.11n• É claro que esta translação é única, em virtude da uniforn.idade da operação da multiplicação por um número inteiro e positivo. Propriedades. Verifica-se fàcilmeu te, a partir da definição, que se mantêm as propr iedades atrás estabelecidas. C). Número racional positivo qualquer. Seja a translação tA.n e o número racional positi,•o .!'!:. Define·se produto de ~ n n m por (tn, que se representa por - · tAn, por meio da igualdade n 26) ~ · tAB- m · (! · (~ B) em virtude da qual a operação fica reduzida às estudadas nos dois casos anteriores. É óbvio que se mantêm as propriedades. D). Número real posilivo quelquer. Definição. Seja a trans- lacção t.u e o numero real positivo ), • definido pelo corte (L, M) no conjunto dos números racionais. Fixado um ponto arbitrário O como origem sobre uma recta, formemos os produtos r. tA. o e .a· t.J.n onde r é um número qualquer de L e s um número qual- qaOl' de M. Como é r< s, tem·se r· mod t.J.n < s. mod t.JJ.n; se chamarmos R e S as classes dos pontos extremidades respecti- vamente dos produtos r. A B e s. A B, com origem em O, é claro que os pontos de R estão à esquerda dos pontos de S. 12 CAP. I. ÁlGEBRA VECTORIAl Completemos as classes R e S do modo seguinte: constru i-se a classe R que tem: a) todos os pontos de R; b) todos os pon- tos da recta tais que todos os pontos de S lbe estão à direita; construi-se a classe S com os pontos que nrw formam R. As cla~ses R e S formam um corte na recta; seja P o ponto por ele definido ; por definitjlo, toma-se o seg111ento orientado O P como produto ). . A B e, correspvndentemente, a t1·anBlacção top como p1·oduto ). · tAn : 27) ). · t.~~a = lop Da definição resulta, claro, que a translacção to p existe sempre e é única. Propriedades. Da definição e das propriedades gerais dos números reais [Lições, Vol. I, 5] resulta que a propriedades roen· cionadas nos casos anteriores se mantêm; omitimos, por ser longa, a verificação respectiva. E). Número real neg., livo qualquer. Definição. Seja o seg- mento orientado A B e o número real e negativo ). . Façamos ,..._ = -)., p. >O. Por dPjinição, chama-IJe produto de ). por A B, que continua a rep1·esentm·-se por ). . A B, ao segmento o1·ientado oposto [1. 2] do segmento o1·ientado p. • A B • É claro que o oposto de p.·AB é p.-BA, visto que p. . A B + p.. B A = p. ·(A 8 + B A)= p.. O= O, logo, tem-se 28) Anàlogaroente se tem 28a) Propriedades. Da definição resulta imediatamente ue se man· têm todas as anteriores, excepto a primeira, que aqui toma o aspecto seguinte: o produto ). . tAn, ~<O, é uma nova translacçl'lo com a mesma direcção que hs, sen~ido oposto, e de módulo tal que 29) mod (). · tAs)= I !.I · mod tJJ.s, igllaldade esta que vale, afinal, em qualquer caso. PARÁGRAFOS 4 e 5 13 l, 5. Sistemas lineares. As considerações feitas nos dois parágrafos anteriores podem ser resumidas do modo seguinte: Partiu-se da entidade transliJcçllo t1 = tAs (ou do segmento orientado correspondente A B) e defini- ram-se duas operações- a composição ou adiçilo t1 + ta e o l'ro· duto ~. t1 da translacção por um número real. Provou-se que essas operações gozam das propriedades seguintes : 1) A soma de duns trauslacções é uma translacção : t1 + t3 =is. 2) Existe uma translacção especial, denominada transl~tcção nula, t.d.A =O, tal que t1 + t.dA = t1 • 3) A adição é comutativa : t1 + t2 = t3 + t1 • 4) Éassociati,·a : t, + (t2 + t8) = (t, + t2) + ts • 5) De t, + ts =ta+ ls resulta t1 = t3 ; de t, = t2 resulta lt + ts = ta + is . 6) O produto p • t1 é uma translacção : p • t1 = t:~ . 7) De p =a r esulta p · t1 = a . t1 ; de t1 = ta resulta p • t1 = p · t:~ . 8) Do anulamento do produto resulta o anulamento de, pelo menos, um dos factores : ~ . t, = o -- p = o ou t, = o. 9) Se p=/=0, de p . t1 = p · t2 resulta t, = t,; se t1 =f=O, de p·t1 =a·t1 resulta p=a. 10) A operação é distributiva em relação à soma de números reais: (p + a) · t1 = p · t1 + a · t, . 11) É distributiva em relação à soma de trauslacções: 12) É comutativa e associativa no sentido da igualdade Pois bem; sempre que, dada uma classe U de ontidades quaisquer u,: ' 14 CAP. I. ALGEBRA VECTORIAL a) se define uma operação de composiçao ou adiçdo, por meio da qual de u; e Uk se determina Ut (tam bém pertencente a U) a que se dá o nome de soma de ui com uk: b) se define uma operação f · u;, de multiplicação de eleme,ntos dessa classe vor núro(>ros dum corpo R; c) além disso, essas duas operações gozam das doze proprie- dades ·Cujo resumo acabamos de dar; diz-se IJ.Ue a classe U constitui mn sistema linear, no co1po R, em relaçll.o à ope1·ação da adiçtlo ou composiçdo. Em virtude destas definições, podemos então di?.er que a classe das translacçlJes no espaço constitui um sistema linear, no co1·po dos números reais, em relaçdo à operaçllo de composição . Dependência e independência linear. Dimensões do sistema. SE>jnm u1 , 1t2 , • • • u 11 , n elementos do sistema linear U e R o corpo de números no qual ele é definido. Diz-se combinaçl'lo linear desses n elementos de U, no corpo R, de coeficientes 1.1 , ).2 , · •• À0 {1Hí71le1'0S de R), ao elemento u de U definido por " 30) U = ~À;·U; . A combinação diz-se linea1· e homogénea quando tt =O , isto é, quando 31) Quando esta igualdade se verifica, sem que sejam todos nulos os coeficientes da combinação, diz-se ainda que os n elementos u1 são linearmente depend~ntes no corpo R . Quando , qualquer que seja o conjunto de n números de R, não todos llulos, não tem nunca lugar a relação 31) ou, por outras palavras , quando 31) só é poss[vel se os À; forem todos nulos, os n elementos u; dizem-se linearmente independentes no corpo R. PARÁGRAFO 5 15 Sempre que oito se fa?; menção do corpo de números ao qual pertencem os )., , entender-se·á que eles s/J,o números reais quais- quer; é o que suporemos daqui em diante. Um sistema linear diz-se a n dimensões quando: a) existem nele n elementos linearmente independentes; b) quaisq uer que sejam os n + 1 elementos u1 , ••• u,., u,~+,, eles são sempre linearmente dependentes. Em todo o sistema linear U a n dimensões, há sempre n ele- mentos linea1·mente independentes u1 , i = 1, 2, . · · n , tais que, dado um elemento qualquer u de U , exiRte um conjunto ú11ico de núme- ros reais p1 , • • • Pn não iodo., 1mlos, satíifazendo à relaçao n 32) tt = ~P• · u, · ,_, Com efeito, sejam u,, u2, ... u,., n elementos linearmente inde- pendentes, os quais existem sempre porque o sistema tem, por hipótese, n dimensões. a) De serem u, u1 , • •. Un linearmente1ldependentes, resulta que À1 · u1 + · · · + ).n • u,. + Àn1-1 • u =O co m À,.+t =I= O, porque se fosse ).,.+,=O os n elementos u, seriam linearmente dependentes con- tra a hipótese; resolvendo esta ig ualdade em ordem a u, tem-se À· 32), onde é P• = - -'- . Àn+J b) Ü conjunto dos ri 1 i = 1 1 2 1 • • • n, é único; se hOU\'Osse outro conjunto de n números reais, sejam a,, i= 1, 2, · ·. n, " tal que u = ~ ~~. u.1 , ter-se-ia ~ a,. u, = ~ p1 • u1 donde ~ (p, - a,) . u, = O; ora estes n co~ficientes têm que ser todos nulos, porque se o não fossem os u, não seriam linearmente inde- pendentes, logo p1 = a1 , i= 1 , 2, . . . n . Aos 11 olementos u1, linearmente independentes (e que, quanto ao resto, são escolhidos arbitràriamente) nos quais se exprimem, segundo 32), todos os outros elementos de U, dá-se o nome de base do sistema linear U; aos p; • u,, i= 1, 2, .•. n , dá-se o nome de componentes de tt e aos P• o de coeficientes de u na base Ut 1 Uz 1 • • • Un. 16 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL As definições dadas levantam a seguinte questão: a quantas dimensões é o sistema linem· das translacções 110 espaço? A resposta será dada num dos parágrafos seguintes [1. 7]. 1. 6. Definição de vector. O conceito de translacção é de carácter flsico; o de segmento orientado, ao qual reduzimos o seu estudo, é de carácter geomé- trico. Convém ainda, se possível, introduzir uma nova entidade, não de carácter físico ou geométrico, mas aritmético, entidade que possa ser sujeita aos métodos gerais da A oálise, cuja fecundidade em tantos domínios tem sido posta à prova. Isso é possível, e faz-se pela introd ução dum novo conceito - o vector lim·e - definido como segue: Dados dois pontos A e B e o se11 segmento orientado A B, -chama-se vector livre de .A B, e representa-se por A B, a uma função dos dois pontos A e B, e portanto de A B -A B =f(AB) satisfazendo às condições seguintes: 1. a - Essa função toma o me mo valor para todos os segu.entos ol'ientados equipolentes a A B e só para esses. A igualdade de \ectores livres, tradução aritmética do conceito geométrico de equipolência de segmentos orientados, é, portanto, reflexiva, simétrica e transitiva. 2. a- Põe-se f(AA) = 0 e por esta igualdade se define vecto1· nulo. 3. a - Sobre essa função é definida a operação de adiçtlo do seguinte modo: dados os dois segmentos orientados A B e CD e - -os vectores livres correspondeutes AB=f(AB), CD = j(CD), - - - -define-se soma A B + CD de A B com CD, pela igualdade 33) AB+ CD=f(AB+ CD). Desta definição resulta que a soma de vectores livres é um vec· tor livre e que a operaçi\.o goza de todas as propriedades estabele- cidas em [1. 3] para a soma de translacções ou segmentos orientados. PARÁGRAFO 6 17 4.a- Sobre a mesma função define-se a operação de multipli- cação por nm número real, do modo seguinte: dado o número real ~ __... p e o vector livre A B = j(A B), chama-se p1·oduto de p por A B, ~ e representa-se por p. A B, ao vector livre definido pela igualdade ~ 34-) p • A B = f(p · A B). Daqui resulta que o produto dum vector livre por um número real é um vectvr livre e que a operação gosa de todas as proprie- dades estabelecidas em [1.4] para o produto de translacções por um número real. As vantagens da introdução desta nova entidade serão aprecia- das nos desenvolvimentos que \'ãO st>guir-se. Por agora, insisti- remos apenas em que o vector livre é de carácter wwlítico e não geométrico (I); o vector não é o segmento orientado, é uma função do segmento (e dos seus equipolentes) que o determina univ ocamente, como ele determina o segmento, a menos duma equipolência. Rigorosamente, deve dizer-se sempre-seja dado o vector livre ~ A B, função do segmento orientado A B; simplesmente, a esta maneira de dizer substitui-se habitualmente esta outra, mais abre· ~ viada -seja dado o vector livre A B- como se entre ele e o segmento houvesse ident1ficação e não, apenas, correspond~ncia. Na prática corrente trataremos o vector livre como se ele fosse o segmento- não há. mal em o fazer, desde que a consideração permanente daquilo que os une não faça e~quecer o que, no fundo, os separa - os dominios diferentes a que pt>rtencem. Dá-se, aqui, uma coisa parecida (não idêntica) ao que se passa com as funções : na linguagem, confunde-se correntemente a função com a sua expressão aoalitica, dizendo, por exemplo- seja dada a função y = x · sen x, qu'\ndo deveria dizer-se- 11eja dada a função cuja expressão analitíca é y=x. senx . Aqui passa-se coisa análoga,tomando uma imagem geométrica pela entidade abstracta; é assim (1) Contràriamente às definições dadas na maior parte dos trabalhos. Vid., oo entanto, M. Lagally - Vektor Rechnung (Leipzig, 1928) pág. 3 e 4; a mesma orientação é adoptada por R. Bricard- Le Catcul Vectoriel, Paris, 1929, pág. 10. O.Ú.COLO VEOTOUIAL 18 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL que, por exemplo, a figura 4 [1. 3] se considera como significando, de facto·, a adição de vectores, quando é apenas a imagem concreta. da operação abstracta adição de vectores livres. Do mesmo modo, a direcção, o sentido, a origem, a extremidade, o módulo, a medida algébrica. do segmento orientado A B, dizem- -se dú·ecçtlo, sentido, origem, extremidade, módulo, medida algébrica ----+- """* do vector livre AB=f(AB); o módulo do vector livre .AB repre- ~ senta-se por modA B. Fala-se, ainda, em equipolência de vecto1·es como significando a equipolência dos segmentos orientados respec· ti vos. No Cálculo Vectorial fala-se frequentem en te, não só em vec· tores, mas em grandezas vectoriais em oposição a grandezas esca· lareR. Estas, as eBcalares, são grandezas cujos estados podem ser ordenados biunivoca e contlnuamente, pelo menos do ponto de vista teórico, ao conjunto dos números reais; os seus estados são, por conse4uência, determináveis por números dum certo conjunto ou escala numérica; tais são, por exemplo, a temperatura, o tempo, o módulo dnm vector, etc. Pelo contrário, para o estudo das grandezas vectoriais não basta um conjunto numérico; intervém a direcçllo e o sentido dos segmentos orientados do espaço a cuja totalidade pode ser ordenado por correspondência biunivoca (a menos de equipolências) e continua, o conjunto dos vectores definidos como atrás fizemos. É grandeza vectorial, por exemplo, oma velocidade, uma aceleração, etc. -Notações. Além da notação já introduzida, A B, usaremos também para representar um vector, uma letra minúscula em nor· mando a, r , s , u; . • . e, ainda, a notação de Hamilton B- A onde A é o ponto origem e B o ponto extremidade. Da igualdade B- A= a tira-se a consequência aritmética 35) a qual se interpreta do modo seguinte: a soma do vector livre a = f(A B) com o ponto A, soa origem, é o ponto B, soa extremidade. Deftnições. Diz-se vector unitário todo o vector de módulo igual à unidade. PARÁGRAFO 6 19 Diz-se vector unitário dum eixo o vector unitário que tem a direcção e sentido desse eixo. Dois vectores livres dizem-se opostos lJUando os seus Fegmentos orientados o são - módulos iguais, direcções paralelas , sentidos opostos. Dois vectores livres dizem-s~ colineares quando as suas direc- ções são paralelas; três vectores livres dizem-se coplanares quando as suas direcções são paralelas a um plano. Chama-se tlngulo de dois vectores livres ao ângulo, compreen- ,dido entre O e n 1 formado pelas direcções dos dois vectores, tendo em atenção os seus sentidos. Vectores ligados a uma base e vectores fixos. É conve- niente introduzir, ao lado do conceito de vector livre, ainda o de vecto1· ligado a uma ba.~e. Esse conceito de vector difere do de vector livre apenas no âmbito da equipolência do segroendo orien- tado A 8 de que o vector é funçiio. Se essa equipolência joga em todo o espaço, tem-se o vector livre; se apenas joga sobre uma certa recta de posição fixa R), tem-se o que se chama o vector ligado à base R). Deste, pode ser dada uma definição análoga à. do vector livre (pág. 16) com a modificação seguinte: dados dois pontos A e B sobre a recta R) e o correspondente segmento orientado A B, chama-se vector ligado à base R), definido por A B, a uma fun<;ão dos dois pontos A e B e da recta R), satisfazendo às condições segniotes: 1. 8 , essa. função toma o mesmo valor para todos os segmentos orientados equipo- lentes a A B existentes sobre a recta R) e só para esses; o resto da definição segue nos mesmos moldes. Como se vê, o segmento orientndc A B pode apenas deslizar sobre a recta R)- a sua linha de acção on suporte; por isso a estes vectores se pode chamar vectores deslizantes. U1.0 último grau de perda de liberdade dum vector é consti- tuido pelos chamados vectores fixos ou localizados - aq neles para os qoais é fixa a origem e a extremidade. Co mo se vê, tJstas limitações não atingem, propriamente~ a essência da entidade vector. Q1Jando se disser simplesmente - vector- entender-se-á sem· pre que se trata dum vector {it;re. 20 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL 1. 7. Multiplicidade linear vectorial. Dimensões. Oa definição de vector e das considerações feitas no parágrafo 1, 5, resulta imediatamente que o conjunto dos vectores do espaço forma um ;~útema linear ou, como também se diz habi- tualmente, uma mttltiplicidade lineat· vectorial. A pergunta feita no final desse parágrafo transforma-se agora nesta - a quantas dimensões é es~a multiplicidade'? É a essa pergunta que vamos agora responder. Antes, porém, de o fazer, lembraremos que, em \·irtude do que foi dito nesse parágrafo sobre os sistemas lineares, se verificam as seguintes propriedades. 1. a - Se a multiplicidade vectorial linear é a n dimensões, e i 1 . i2 , ···i., é a sua base, entdo i 1 , ~, • • • Ín 8(10 Uneat·mente indepen- dentes e qualquer vector u da multiplicidade se expt·ime neles segundo .. 36) u = ~ )i. Íj j .. J que põe em evidência as componentes >1 • ii e os coeficientes l1 . Esta relação contém a chamada decomposiçdo de u segundo os vectores da base. 2. a - Dados dois vectores n a u = ~ 11 . i1 e v = ~ p.1 • i1 tem-se u = v sempre que e só quando Além disso: 3.a- 37) Àj = iJ.j ' J = 1 , 2 ' •.. 11 • n u ±v= ~ (11· +I' i). Íj. f-1 " 4.a -Dado u = ~).i. i1 e o número real p, tem-s~ i-1 n 38) p • u = ~ (p. j:i) • Íj. i•l PARÁGRAFO 7 21 Deixamos ao leitor o cuidado de verificar a filiação destas duas últimas propriedades nas propriedades formais do parágrafo 1. 5 (e suas correspondentes para os vectores livre~). Lembraremos apenas, para o caso da diferença em 37), que ela se reduz à soma com o vector oposto do subtractivo e que este é, afinal, igual a (-1)·V. Posto isto, vamos responder à pergunta feita no começo deste parágrafo, considerando, sucessivamente, três casos: colinear idade, coplanaridade, caso geral (no espaço ordinário). I- Colinearidade. 'I'EORE.IIA 1. 0 - Dados dois vectores colinea· res [1. 6] u e i, 71110 nulo, ea:iste um e só ttm número real l tal qtte 39) o= À -i e esse número é 40) À= 6 . modu rnod i onde 6 = + 1 se u e tidos contrârios. têm o mesmo sentido e e: = - 1 se têm sen- . mod u . · Efectuemos, com efeito, o produto ), . 1 = s . - - .• 1 [1 . 6, 34), modi com referência a 1. 4, D) e E)]. É ele um novo vectur com a direcção de i -e portanto de u - com o sentido de i ou o contrário con- forme 6 = + 1 ou 6 = -1 (portanto, sempre com o sentido de u) e de módulo igual a [1. 4, 29)] mod (). · i)= I l i · mod i= mod ~ . mod i = mod1 =modo. Isto é, Ài=u. O número ). é único porque de À· i = f..l. i resulta, por ser i =f= O,').=p. [1. 5, prop. 9)]. A igqaldade 39) pode pôr se sob a forma 39a) que mostra ll. 5, 31 )] que os vectores colinea,·es u e i são linearmente depende11..tes. A reciproca é igualmente verdadeira: TEOREMA 2. 0 - 8emp1·e que dois vectores a e b silo linea1·mente depe?~dentes eles sdo colínem·es. 22 CAP. I. ÂLGE.BRA VECTORIAl Excluindo o caso de nulidade de algum dos vectores, suponha· mos que entre eles ee verifica a relação ~ · a+ a. b =O com p e a diferentes de zero (se um fosse nulo e-lo-ia o outro também); desta igualdade tira-se a=-~. b qne mostra que a e b são para-p lelos (porque a multiplica~:ão por um nó. mero real não altera a dirt>cçlio ). Tudo quanto está dito poderesumir-se no enunciado seguinte: TEottEMA 3. o- O sistema de todos os vectores do espaço pa1·alelos a ttma direcçdo dada é um sistema vectorial linear a uma dz'menstlo. Se i for um vector unitário, tem-se de 40), 41 ) ). = e · mod u = med u ; se, além disso, i tiver o sentido de u, será À = modu, donde 4~) u =i. modu igualdade que reluciona um vector com o vector unitário do seu eixo e com o mesmo sentido. Escrevendo, abreviadamente, u em vez de mod u , tem-se 43) u = u ·i i = ~. u II.- Coplanoridade. TEOREMA 4. 0 - Dados dois vecto1·es m!o nulos e nllo paraleloll i e j e outro vecto1· u coplanar a eles, e:r!ist~ sempre um e um só par de números reais ). e p., neto ambo8 nulo1 (a nao ser que u = ÜJ, taú que 44) I / I _ _ _.L. __ A F ig . 9 p Suponhamos que os trêB vectores i, j , u têm a mesma origem O, o que é sempre possivel, por serem ve('torE"s livres. Tiremos (fig. O) pela extremi- dade P de u paralelas às direcçOes de i e j; determinam-se assim dois pontos A o B e tem-se PARÁGRAFO 7 23 ___.. ~ Mas [39)) O A=),· i, O B = p. · j, o que demonstra 44). - ~ Em face da construção, é evidente q o e O A e O B são úuicos e, portanto, únicos ). e p.. À mesma conclusão se chega por via anaHtica: dados ).' e ,..., tais que u = ),' · i + ,..., . j, tem-se ). . i + p. • j = ).' . i + 1-l' • j donde (À - Ã') • i + (p. - p.') . j = O e e ta igualdade exige que sejam I. - ).' =O, 1-'-- p.' =O pois, caso con- trário, pelo teor. 2. 0 1 i e j seriam paralelos, contra a hipótese. A igualdade 44) pode ser posta sob a forma 44a) a qual nos mostra [1. 5, 31)] que os trils vectorescoplanares i,j eu allo linearmente dependentes. E como o são, a fortiori, se dois deles forem paralelos [basta pOr o coeficiente do terceiro igual a zero e verifica-se então uma relação da forma 39 a)], tem·se: TEOR~MA 5.0 -Trila -vectores coplanares quai8quer sil.o linea1·- menle dependentes. A reciproca é igmalmente verdadeira: TEOREmA 6.0 - Sempre que trils vecto1·es a, b e c são linear. mente dependentes, eles sélo coplana1·es. Suponhamos, com efeito, que há entre a, b e c, não nulos, {se algum deles o fosse ficava implkcitamente estabelecida a copla- naridade) o ma. relação da forma /. • a+ p. · b +v. c= O. Se algum dos coeficiellltes é nulo, está-se no caso do teorema 2.0 e cai-se logo na coplanaridade; afustemos esse caso. Da relação tira-se a=~. b +a. c que mostra imediatamente que a é coplanar a b e c visto que as multiplicações por números reais conservam as direcções e a adição conserva o plano. O teorema 5.0 mostra que a multiplicidade dos vectores parale- los a um dado plano não pode ter mais de duas dimensões, mas como, por outro lado, é sempre posdvel escolher no plano dois v,ectores i e j não paralelos, e portanto linearmente independen- te:~, tew-se o TEOR~HA 7.0 - O sistema de todos os vectores do espaço pa1·alelos a 1Wt dado plano é um sistema linear vectorial a duas dimensões. 24 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL III. - Caso geral. Comecemos por notar que a mu ltiplicidade dos vectores do espuço tem um número de dimensões maior que 2. É o que imediatamente resulta do teorema 6. 0 ; ef~ctivumento, dados três vectm·es não nulos nna coplanares, a , b, c ele:~~ sflo, necessà?·ia- me?lte, linea1·mente independentes, pois, se o não fossem, seriam copl nnuree como lá se demonstrou. Vamos agora provar que númPro de dimensões da multipJi.. cidade não pode ser maior que 3. Dern oostraremos para isso o Uéttr'O • TEORE~IA 8.0 - -lfflt'tdo vectores quauquer do espaço sêto sempre linearmente dependentes. Ponhamos de parte os casos simples em que haja paralelismo de dois \'ectores ou c o planaridade de três q uaisq oer de entre ele -em qualquer de tes casos há dependência linear dos quatro, com aoulamente de coeficien tes convenientes -- para nos ocupar- mos do caso mais em geral: haver quatro vectores não nulos i, j, k, u, sem paralelismo nem coplanaridade entre quaisquer g!'llpos deles. Pois bem, vamos demonstr~r que e:eiste um e um só terno de números reais l , p. , v , tais que 4ó) Seja O a Cr---- o Fig. 10 45a) u=l·i +p. ·j +v· k. origem comum dos quatro vectores, o q ue é sempre possivel, e tiremos por P, extremidade de u , uwa paralela a k (fig. HJ); st-ja B o ponto em que ela encontra o plano definido por i e j. - - -Tem·se u = O B + BP; mas [39)] BP= v . k -e [44)] O B = l. i + 1-1. .j, logo verifica-se 4ó). A dewon tra~ã.o de que ). , f, v são únicos faz-se durua maneira inteiramente análoga oquola por que e procedeu oo teorema 4.0 • A relação 45), posta sob a forma À·i +f.l ·i +Y ·k -u=O, mostra que o quatro vectores são linearmente depend ntes, com o que fica demonstrado o teorema. Dele, e das considerações feitas imediatamente antes, resulta finalmente que PARÁGRAFOS 7 e 8 25 TEORE ,IoJA 9. 0 - A multiplicidade linear vectorial de todos os vectores do espaço ordinário é um si tema linear a tr~s dimensCJes. Decomposição. É claro que a relação 45) é absolutamente g~ral; vale qualquer que s('ja a posição relativa de u para com os vectores i, j e k -se houvet' particularidades nessa posição, elas traduzir-se-ão no anulamento de coeficientes. E sa relação traduz a decomposição dum vector qualq uer u segundo a base i, j e k; para esta podem tomar-se três vectores quaisquer desde que não sejam nem nulos nem coplanares. Representarem os, para obter maior simetria nas fórm olas, os vectores da base por i1 , is, is; a decomposiçào de u escreve-se então 8 46) u =~)i. Íj. j=l Se ii são vectores unitários dos seus eixos, o~ coeficientes 'A1 das componentes ).i. ii são as medidas algéb1·icas [ 41)] dessas componentes. Quando o vector u fôr qualquer dos vectores i1 da base, a fórmula geral 46) toma o aspecto 8 47) ii = ~ õik ·h-, k-1 onde os OJk -símbolos de f(,.onecker- são definidos por 48) OJ k -=- { O +- ~ -=!= k 1 +-J=k. 1. 8. Possibilidade duma teoria analítica das multiplici- dades vectoriais (I) As conclusões a que se chegou no parágrafo anterior mostram que, uma vez escolhida uma base no espaço ordinário, todo o vector do espaço fica unlvocamente determinado por três números reais li>j -= 1,2,3. (1) Para a colllpretu~ão tia matéria Uf:l$tf:l parágrafo, cuja leitura não é indispensável para seguir os desen volvim entos Bubsequentes, o leitor deve estar familiarizado com os elementos da teoria das l\Iatrizes e das f•'ormas Lineares. Ver, por ex., Lições, Vol. 1.0 , cap. 12 e 13. Para outros desenvolvim entos sobre este assunto, ver, por ex., J . 'Vedderburo, Leclures on Mat1·ices, New-York, 1934. 26 CAP I. Á GEBRA VECTORIAL Isto sugere a possibilidade de se estabelecer uma teoria geral, de carácter aaalitico, das multiplicidades vectoriais nos espaços n-dimeasionais. Vamos iad'car, brevemente, como essa teoria se pode desenvolver. I. - Define-se vector num espaço eoclideano n-dimensional como o conjunto de n números reais p1, p2, • • • Pn, por esta ordem; usa-se a notação u = (p1 , pz, · · · p,) . Diz-se nttlo o vector em que p1 = O , i = 1 , 2 , · · · n e escreve· se (0,0, ... O)= O. II. - Dados dois vectores u = (pt, p2, · · · Pn) e v = (at, a2 , · · ·O'n) diz-se que são iguais, e escreve-se u =v, quando existem ns rela- ções p1 = a1 , i= 1, 2, · · · n • Verifica-se que esta definição satisfaz às condições de ser refie· xiva, simétrica e transitiva. m. - Define-se soma dos dois vectores u e v, e escreve-se u + v , pela igualdade u + v = (p1 + a1 , pa + a a, · · · Pn + an). Prova-se que esta operação goza das propriedad~s da adição ordinária- 1. 5, prop. 1) a õ) (mudando a palavra translacçtto em vector). lV.- Define-se prodt,to de u pelo número real ~, e &screve- ·:!e ~ • u ou u· ~ , pela igualdade Demon tra-se que esta opera~ii.o goza das prorrie-dndes ho.bi- tuai - 1. 5, prop. 6) a 12). V. - Define· se· sistema linear ou multiplicidade linear como foi feito no parágrafo 1. 5. Da definicãu resulta, por virtude de III e IV, que a totalidade dos vectores do espaço o-dimensional é uma multi- plicidade Unear. VI.- De III e IV resulta ainda que todo o vector o da mui. tiplicidade se pode pôr, duma única maneira, sob a forma u = pt • (1, O,··· O) + pg ·(O, 1, ···O) + · · · + ~~~ ·(O, O, · · · 1) ou, • abreviadamente, n = L Pi. e;, onde os vectores ~ são definidos i=l pela igualdade eJ = ( ài1 , à;2 , · •• à;.) e os à i" são dados por 1. 7, 4B). Os vectores da multiplicidade aparecem, assim, como formas PARÁGRAFO 8 27 lineares nos ei. Estes, por sua vez, podem pôr·se também sob a for ma. anterior, visto que n e1 = ~ OJI, • ek • k - 1 VII. - Define-se combinaçlfo linear de vectores, do modo se- guinte: dados os vectores u, u1 , u.a, ···Um, diz-se que u é uma combinação linear dos restantes, quandv existem m números reais m À;, i= 1, 2, · · · m, tais que u = ~ À1 • Ut. Vlii. -- Define-se dependência e independência linear coroo habi- tualmente: os m vectores Ut, u2, ·. · u,4 dizem-se linearmente de- pendentes quando existirem m números reais À;, i= 1, 2, ·. · m, m não todos nulos, tais que ~À;. Ui= O. i=l Se esta relação só for possível quando todos os À; forem nulos, os m vectores dizem-se linearmente independentes. IX.- Da teoria das formas lineares resulta imediatamente que a co~dição necessária e suficiente pam que de entre os m vectorea Ut =pu . 6t + pr.a • e2 + ... + Ptn • e,. Um = Pmt . el + ~ .. a . es + ... + Pmn • e,. haja r e não mais de r linearmente independentes, é que a caracte- rística da matriz ((pj~r)) = pu ~IB "• ~III fjt Pia •" Pin I ~~; ~m3 "• p,.,.l sija igual a r . Os ro - r vectores cujos coeficientes não figuram no determinante principal são combinações lineares dos outros. 28 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL X.- Conclui-se daqui que os n vectores ej, j = i , 2, ... o, 4(10 linearmente independentes, v isto que a sua matriz ((ajk))= 1 o ... o o J ... o o u ... J é a mal.l"iz identidade e tem, portunto, característica n. Aos vectores ej dá-se o nome de vectores-unidade e ao seu con- junto chama-se base da multiplicidade. De Vl resulta que todo o vector da multiplicidade se exprime, duma só maneira, nos vectore da base. XI. - 8do linearmente dependentes guai.~qtter o + il. vectores da multiplicidade. Efectivamente a caracter[stica da matri:G pu não pode ser muior que n. XIL - Define-se ordem ou número de dimensões da multiplicidade do mo do seguinte: diz-se que a multiplicidade é de ordem r, ou tem r dimensões, quando há nela r vecto?·es li-nem·mente independentes e r+ 1 qzw·isq~ter silo linearment~ depende1~if;~;. De X e Xr conclui-se imediatamente que a multiplicidade wtal dos t•ectores do espaço a-dimensional é de ordem n • Com isto, ficam estabelecidas as propriedades atê aqui estudadas para os vectore6 ordinários, e por via meramente analitica. O leitor notará a analogia desta teoria com a dos números complexos a n unidades [Uções Vol. 1.0 , 9. 12] o que vem confirmar a 11firmação atrás feita [1. 6 de que uw vector é uma entidade analitica e cão geométrica. 1. 9. Coordenadas cartesianas. É sabido, dos elementos da Geometria Annlitica1 como a. posi- ção dum ponto Do espaço pode ser fixada com a ajuda do método das coordenadas cartesianas. PARÁGRAFOS 8 e 9 29 Toma-se, como sistema de referência, o conjunto de três eixos não c(lplanares O x, O y, O z, que, por sim plícidade, se supõem tri-ortogonais; o seu ponto de encontro O denomina-se o1·igem das coordenadas e os eixos chamam-se eixos co01·denados. O sistema diz·se de disposiçao positiva ou de:r:t1·orsum se o con- siderarmos orientado do modo seguinte (fig. 11): um observador colocado ao longo de O z com os pés em O e a cabeça para o sentido positivo de O z e virado para o interior do triedro, deixa o semi-ei:xo positivo O x à direita e o semi-eixo positivo O y à esquerda. No plano O x y toma·se como sentido positivo das 1·otaçrJes aquele pelo qual a rotação de menor amplitude (;) que leva o semi-eixo positivo O :r: à coinci- dência com o semi-eixo positivo O y se X z y Fig, 11 faz no sentido directo (contrário ao sentido do movimento dos pon- teiros dum relógio)- é o sentido indicado pela seta curva na fig. 11. Dos seis sistemas determinados pelas seis permutações das letras :r:, y, z, três deles -os que correspondem a permutações part>s- são orientados como o da fig. 11, cada um deles é um sistema z .Y X Fig 12 dextrorsum; os outros três- os qnA correspondem a permntuções ímpares - são orientados de modo que o observador , nas condições acima indicudas, Yê à esquerda Ox e à. direita Oy- cada um deles diz·se de dispostçtlo negatiya ou sim'strorsum. Na fig. 12, os três sistemas superiores ~>ão de disposição posith·a 30 CAP. I ÁLGEBRA VECTORIAL e os três inferiores de disposição negativa. Como se vê, dentro de cada um dos dois grupos, os sistemas derivam uns dos outros por permutações circulares das letras, e cada um dos negativos deriva de um positivo pela troca de dois eixos. Pode, é claro, fazer-se coincidir um negativo com o correspondente positivo desde que se lhe troque o sentido de um eixo(l). Posto isto, a posição de qualquer ponto M do espaço é fixada univocamente por três números reais- as suas três coordenadaB, O A =:c, U 1:J = y, O C= z obtidos pela construção da fig. 13 e q111e é, exactamente, a mesma do parágrafo 1. 7, III, para a decom- posição do vector OM = u. Tem-se portanto, sendo i, j , k os vectores unitários dos eixos, como estão indicados na figura, e visto que os ). , p., 11 de 1. 7, 4:'>) são, respectivamente, iguais a ~ - -med O A = :c , med O B = y , med O C = z , 49) M(:c, y, z)- O= u = :c· i + y · j + z • k que mostra que os coeficientes da decomposiçao de u segundo os eixos são precisamente as coordenadaB da sua e:ctren.idade; por isso se dá, também, a ::c,y,z, o nome de coordenadas do vec- z tor. C Como se vê, 49) é oro caso particular de 1. 7, 45) e, por- tanto, de 1. 7, 36) e dai resnha que são aplicáveis à soma de ~ vectores e ao produto deles por um número real as regras ordinárias da Álgebra, por virtude de 1. 7, 37) e 38); e que Flg. 15 a igualdad e de dois vectores exige a igualdade das suas coordenadas homónimas e reclpro ca mente. Se o vector não tiver a origem em O mas sim num ponto M1 (x1 , y1 , z1), tem-se, sendo M2 (:cs, !}2, zs) a sua ex tremida de, - - -- -- - -OMs= OM1 + M, Ma donde M1 Mil= O Ms - OAJ1 =(x2 · i+Ys · j + (') Tudo o que et~tá dito a respeito da orien tação dos sistema tri-ortogo- nais se mantém, ipsis ve1·bis, se eles o não são. PARÁGRAFO 9 31 + za · k)- (xt ·i+ Yt • j + Zt • k), e a observação que acaba de ser feita permite escrever -50) Mt Ma = (xs - Xt) · i + (ya- Yt) · j + (zs -zt) · k. Se representarmos, para obter maior simetria nas fórmulas, os vectores unitários dos eixos por it, is, is (it =i, is= j, is= k), e os próprios eixos por Ox1, Oxs, Oxs, a decomposição 49) toma o aspecto 8 ól ) 111 (x, , W2 , x8) - O = L :tk • ik • k - 1 Como as coordenadas do ponto M são, afinal, as medidas alg~bricas das projecções de O M sobre os eixos coordenados, se --+- u = O M é um vector unitá1·io, essas coordenadas são os cosenos --+- dos ân gulos que o vector O M faz com cada um dos eixos, ou, como se diz habitualmente, os seus cosenos dú·ectores. --+ Se forem a.1 , a.z, <Xs os ângulos de O M respectivamente com O Xt , O x!l, O :cs, ter-se-á :c. = cos a.k , logo --+- 8 --+- 5:?)O Jlf = ~ c os u.~; · ik +- mod O .M = 1 . k- 1 Sempre que, daqui em diante, se não fizer a indicação dos valo- res qne deve tomar o indice do somatório, entender-so-á que et~ses valores são 1, 2, 3, de modo que, por exemplo, 52) se escreverá simplesmente --+ O M = ~ c os a.k • h . J: Tudo quanto ficoa dito neste parágrafo, à excepçtto do que se refere aos cosenos directores, se mantém se os eixos não são tri- ·ortogonais, bastando apenas modificar convenientemente a defini- ção de coordenadas dum ponto. A construção feita no parágrafo 1. 7, III para deeuwposiç!l.o do vector u indica como essa definição nova é dada- as coordenadas cartesianas, não rectangulares, do --+ ponto .M são os números ~ , fL, v, da decomposição de O llf = u. É claro que em virtude desta definição as coordenadas deixam de 32 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL ser as medidas algébricas das prejecções de u sobre os eixos e por isllo as coordenadas do vector unitário não são iguais aos cosenos directores. 1. 10. Aplicações. O cálculo vectorial é susc~ptlvel de oumeros!:IS e importantes aplicações à Geometria e à F!sica. Nos capltulos seguintes serão tratadas algumas; runs podem desde já resolver -se algumas questões interessantes. 1. a - Oondiçr1o de pal·alelismo de dois vectores e::pre~sa nas suas coordenadas. SE'jnm os dois \'ectores u e v; (omo se sabe [1. 7 39) , a condição de paralelismo deles é v = A . u; vamos exprimir esta. condição nas co01·denadas dos dois vectores . Sejam o tres eixos coordonados Ox1, Oxz, OzB de vectores unitários i,, i2 , ÍJJ e u = ~ lk · Ík, v ·-= ~ m, • ik as decomposições k dos dois vectores. De v = ), . u resulta ~ m~;-. i~r = ) .. ~ lk ·h= k k = ~(). .lk) · Ít doode k ó3) "-=1,2,3 isto é, ó3a) 1111 1n2 m8 -=-=- ls que nos diz que a condiçtlo neceBsária e suficiente de pa,·alelismo de dois vectores, dados em decomposi9il.o ca1·iesiana, ~ a propo1·ciorwli- dade da suas coordenadas. O coeficiente de proporcionalidade À 6 [1. 7, 40)) ól) modv À =fõ· ---. mudu Z. a - Condiçilo de coplanm·idade de tr~s vectores e:lJpressa nas -~~~cw coordcuad<.J.s. Sejam os trôs vectore:. u = ~ lk · i~ . v = ~ mk · ik , ~ ~ PARÁGRAFOS 9 e 10 33 A condição de coplanaridads deles é [1. 7, 44)) no caso geral (não annlam€\nto nem paralelismo), w =). · u + p.. v com À e p. reais e únicos. É, por conseq uôncia, ~ ?lk • h=À ·~I k • i~: + p. • ~ mk • i~:= k k = ~ (). -l~: + p. • m~<) ·h donde k 55) k=1,2,3. 3. a - Equação da 1·ecla qtte passa por um ponto dado e é paralela a um vector dado. Seja M um ponto do espaço e u um vector livre; a recta definida por .11 e u é con he- cida desde que seja conhecido o ponto geral ou ponto corrente dela; a sua equação con- sistirá, portanto, no estabelecimento da con- dição necessária e suficiente a que deve satisfazer o ponto geral P para que esteja sobre a recta. Ora a recta R) é um lugar Fig. 14 geomét1·ico- o de todos aqueles pontos tais que a direcção definida por qualquer deles e por M seja a direcção -de u. A condição necessária e suficiente é portanto que MP e u sejam colineares, isto é, que haja um número real ). não nulo, único [1. 7, 39)] tal que -56) .MP=) . . u. É esta a equaçao vecto1·ial da recta; como se vê, ela contóm -~ morl MP . o parametro ). =e. [54)] que, vanando de - oo a + oo, modu permite ao ponto P descrever a recta, ilimitada nos dois sentidos. É fácil deduzir o aspecto cartesiano desta e4uaÇ"ão. Sejam (o:k) e (xk), k = 1, 2, 3, res pectivamente, as coordenadas cartesianas dos pontos 111 e P e seja u = ~ lk . ik. De 1. 9, 50) resulta k -MP= ~(xk - o:~:)· i~:, logo, deve ser (53)] k ó7) k =1,2,3 ou seja, substit uindo x 1 , x9 , x8 pelos sim bolos habituais x, y, z, CÁLCULO V t:CTORIAL 3 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL 57 a) I re = a1 + ), . l 1 JJ = as+). -ls z =as+). ·Is. São as chamadas equa~lJes paramétricas da recta R) . :Ck - O:k A 57) pode dar· se a forma = ). , k = 1, 2, 3, isto é, lk 58) re - a1 y - as z - as ---=---= - - que são as chamadas equaç<Jes normais da mesma recta; os três números z,, l2, l8 , definidos a menos duma constante multiplicativa (porque as coordenadas de qualquer outro vector paralelo a u determinam igualmente a direcção da recta) denominam-se parâ- mett·os directo1·es da recta. Se o vector u for unitário, tem-se, representando por 01 ,93 , Os 08 ângulos que ele forma com OS eixos, lk=COS 91: [1. 9, 5~)) e, por consequência, as equações paramétricas da recta são 59) k= 1,2 , 3 onde __.. 60) À=s.modMP e as equações normais são 61) X - a1 y - a!l z - as ---=---=--- C08 91 cos e2 cos Os Aos cos ek dá-se o nome de cosenos directores da recta. 4. • - Equaçâo do plano que passa por um ponto dado e é para- lelo a dois vectores dados. A dedução faz-se -<...,/ por um raciocinio inteiramente análogo ao J. 1'/ anterior. ~·.!---... .:.P Seja 111 o ponto, u e v os vectores -..........., não paralelos dados. A condição necessúria e suficiente para que o ponto vnriável P __.. Fig. 15 esteja sobre o plano é que os vectores 1l1 [>, u e v sejam coplanares, isto é, que seja [t . 7, 44)) 62) PARÁGRAFO 10 35 com /. e tJ- reais e úoicos; é esta, por cooseq uê11cia, a equação vectorial pedida. Como se vê, figuram nela dois parâmetros À e p. que pela sua \'ar iação de - oo a + oo permitem ao ponto P des- crever o plano inteiro. O aspecto cartesiano de 62) é tumbém de dedução simples. Sejam (cc~) e (.xk), k = 1, 2, 3, respectivamente, as coordenadas cartesianas de M e P e sejam u = ~ lk • ik, k v= ~ mk · ik as decomposições de u e v; como [1. 9, 50)] k -+ MP= ~ (.xk - cck) • h, tem-se, em virtude de ó5 ), k 63) k=1,2,3. Estas eq nações 4 ue se escrevem, substituindo agora x 1 , xa, Xs pelos slmbolos habituais das variá\·eie, x,y,z, 63 a) [ x- r7.t = À • lt + p. · m1 y - aa = À • l2 + fJ. · ma z - ao = À • ls + fJ. • ms são as chamadas eqtwçõe.~ pm·amétrica.~ do plano. É de notar, da comparação de 63 a) com 6~), como de 57 a) com 56), o maior poder de condensação e simplicidade na e8crita das fórmulas que o cálculo vectorial apresenta, sobre o método carte-siano. De 63) deduz-se a equaçao cartesiana do plano, para o que basta eliminar À e p. 1 isto é, estabelecer as condições necessárias e sufi- cientes para que o si tema 63), considerado em relação a À e p. como incógnittts, seja compath·el. Como u e v 1 por hipótese, não são paralelos ( e o fos em, o plano seria indeterminado) o deter· minunte principal é de 2. a ordem e há uma só equação de condi· ção -anulamento do caracterlstico - X- O'.J l, ?nj =0 64) y- (X2 la 1112 z - rxs ls rns que, desenvolvendo o determinante em relação aos elementos da primeira coluna, toma o aspecto 04 a) a1 • (x- a1) + a2 · (y -- a~) + as · (z- as) = O. 36 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL Adiante [1. 12, III] será vista a significação geométrica dos coeficientes al, as, as deste equação. õ.a- Equaça.o do plano que passa por tr~a pontos não alinhados. O problema reduz-se imediatamente ao anterior. SeJam A, B, C os três pontos dadoH, de coordenadas respectivamente (oo:k) , (~,),(/'~e) , ll = 1, 2,3. Fazendo B- A = u, C- A = v o pro· blerua reduz-se ao anterior A(«x T f:" m- se u = ~ (r;~ - a~;) · 1k , ,, v = ~ (/k - ak). ik e as equações 63) k tomam o l:lspectü Flr;. 16 65) Xk - a, = ). · (~k - oo:k) + (1· - ('lk - a:k), A equação 64) escreYe·se agora ()6) X1 - a, · ~~ - Ct:J YI - at.r =O x 2 - cr, ~1 - a9 Ys - "-: :r" - ":J ~Q - as {8 - "'8 ou, o que é o mesmo, 66a) "'l ~~ "/1 =0. "'z ~2 "/2 crs ~B 18 1 1 1 Façamos agora uma aplicação à Fisica. k=1,2,8, 6.• - Ba1·icentro dum sistema de pontos 111ateriais de massa totalndo n1tla. Sejam os pontos do espnc;;os P1, P!J, . •• P., aoa quais ~>6 atribu6m, ou fa.,;em corresponder, as massas re~pectiYamente .. m1, m2, · • · mn; supondo que ~ m1 =f= O, e dado nm ponto arbitrá· ~ rio O do espaço, constrnamos o ,·ector fi:to O G definido pela -igualdade, onde O P, siio também ,·actores fixos, 67) PARAGRAFO 10 37 É claro que, uma ve:t escol h ido O, esta igualdade determina -+ unlvocamente O G (e portanto G)- o vector O G vem expresso -+ -+ --+ em combinação linear dos vectores O Pt, O P2 , • •• O Pn, com fi . ?nt m,. coe ctentes --, .. · -- . Lmi Lmi Vamos demonstrar que o ponto G nllo depende do ponto O. Seja, coro . efeito, outro ponto O' do espaço e seja G' o novo ponto definido a partir de 67), isto é, seja -~ -+ L 11l;. O'P; = O'G' . L 11l;. -+ ->- --+ Como se tem, quaisquer que sejam os pontos, 00' + O'P; = OP;, ~ -+ vem, snbstituindo na igualdade nnterior, L m, ·(O P;- O O') = -+ = O'G'. L m,, donde, desenvolvendo o somató rio do primeiro --+ - _,... membro, L m; ·O P; ·- O O'· L m; = O'G'. L m,, donde, por 67), -+ -+ -(O G - O O')· L m; = O'G' ·L m;, donde, ainda, por ser L m,=f=O, -+ -> -~ O'G' = O G- O 0'. Mas, por outro lado, é sempre verdade que --+ --+ --+ --+ --+ - --+ -+ OO'+O'G=OG, donde O'G=O G-00', logo é O'G'=O'G o que prova que o ponto G' coincide com G . Ao ponto G, definido e determinado por 67), <'hama-se bari· cent1·o ou centro de gravidade do sistema de pontos dados. Se se tomar para ponto O o próprio baricentro G, a igual- dade 67) toma a forma 68) n --+ L 1n; ·GP;=0 i=l da qual se tiram algumas conclusões intereesantes. Vejamos duas. a) O sistema é constítuido po~· doiiJ pontos. 68) reduz-se a --+ --+ --+ --+ mt·GPt +ma·G Pa= O, donde (se ma=f=O)GP2 = ) . . GPt que -mostra [1. 7, 39)] que os dois ve-ctores ( G Pt e G P2 siio paralelos e, como têm a mesma origem G, estão sobre a mesma recta, logo o baricent1·o do sistema está sob1·e a 1·ecta definida por P1 e P2 • 38 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL --+ -e as massas forem ambaa igu ais à unidade, é GP~=- G P1, isto é, o baricentro está no meio do segmento 1'1 P2 • b) O sistema é co11stiluúlo por t1·ê:J ].Jontos nlio alilll/,Qdo/3. Tem-se, - - ~). de 68), m1 • G P 1 + 111] · G Pll ma· G Ps -O donde (5e ms =!=O) - ---+ -GPa=I..GPr+iJ· GP!il qoemostra[1.7, 4J)]que O estánoplano definido por P 1 , P:, P$. - -- --Se as ma8sas Bão iguais à unidade, tem -se GPs=-(GPt+ GP2) e daq ui conclui-se que G está sob1·e a mediana do tritlngulo de v~r ticeB P1 , Ps, P8 a doi, ter901J a contar do vércice. --Efe.ctivnmonte (fig. 17), tirando por P 1 o vector fi:xo P1 P = -+ -);o __.. ___... = GP;?, vê-se que GP1 + GP2 =G P e, com o P1 , P. Ps, G, dPfinem um pa- ralelogramo, U P corta }J, P 9 ao meio - --em H e GP=2· Gil. Por outro lado. como - - - -Flg. 17 GPIJ=- (GP1 + GP2) tem· e GPs= -=- 2 · GH, quer dizer, os pontos G,H, P8 estão alinhados e G está a dois tercos entre P8 e H . O mesmo r acioclnio se faz para as outras medi11nas, de modo que fica estabelecido que o baricentro está sobre cada uma das media oas a dois tercos a contar do vértice corres pondente o que, por consequência, estas, as medianat! . se cortam uum ponto - o bariceatro do tr iângulo . 11. PRODUTOS E OPERADORES. 1. 11. Produto vectorial ou externo. Defrnição. Dados dois vectores livres u e v, não nulos e não paralelos, ch!t.ma-se p1·oduto ,;ectorial ou produto e:ete1·no deles , e representa-se por UI\ v, que se lê: u e:eterno v, ao vector livre w que ~atisfaz às seguintes condições: a) a direcfi ll.O de w é perpeudicolar ao plano definido pelas direcções de u e v ; b) o sentido de w é tal que os três vectores u, v, w, por esta ordem, formem um triedro dext1·orsum, isto é, de disposição análoga à do triedro definido pelos \'actores i, j , k. c) o módulo de w é definido pela igualdade ü9) modw = mod (ul\ v) = modu. modv • sen e sendo e o tlngulo [1. 6] dos vectores Como se vê, o módulo 6 definido como igual ao valor absoluto da área do paralelo- gramo determinado pelos dois vectores u e v . Se algum. dos dois vectores u e v é nulo, ou se eles são par!t.lelos, põe-se por definição, 70) u(\v=O. u e v, O = ang (u, v). Fig. 18 Propriedades. O produto vectorial goza de algumas proprie- dades que o assemelham ao produto ordinário mas possui outras que dele o diferenciam nitidamente. Comecemos pelas primeiras. 1. I- Sendo r um 1~Úmero J•eal qualquer, tem-se 71) p . (u 1\ v)= (p . u) 1\ v = u 1\ (p . v). 4.0 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL Efectivamente: a) a mnltiplicaçào por p não altera as direc~ões; b) se é p>O, os sentidos mau têm- se; se é p<O, a alteração de sentido produzida em u, ou em v, coincide com a produzida em UI\ v; c) émod[p · (u/\v))= IP!-modu -modv-sen e = (I PI · morl u) · mod v · sena = 7110d u · (i p I · mod v) · sen e . 2. a_ O produto vectoria~ é disb·ibutivo em relação à soma, isto é, 72) uA(v + w) = ut\ v + ut\ w. Comecemos por demon8tra r q o e, dado.s os vectores u e v, .~e chamarmos r ao vector projecçao do vector v sobre um pla11o perpendicular a u, se tem UI\ V= Ut\r, Com efeito (fig. 19): n) direcçao . Como r está no plano definido por u e v, as direcções de ut\ v e u/\r c oin- cidem e estão sobre o plano P) perpen- dicular a u. b) sentido. Os triedros u, v, u !\v e u Flg. 19 u, r, U/\r têm, evidentementE', a mesma disposi~ão. c) módulo. É mod (u ;\r) = mod u . mod r = = mod u . (mod v . sen e) = mod (n A v). Como se vê, a efectivação de u/\r, multiplicação vectorial (à esquerda) de r por u, consistiu numa rotação, fe ita a r no sen- tid<> positivo e de amplitude ~, efectuada no plano P) perpen- 2 dicular a u, e na mul tip licação do seu módulo (de r) por modu. Posto i to, passemos à dem onstração da igualdade 72). Seja ainda P) o plano perpendicular a u e projectemos orto- gonalmente sobre ele (fig. 20) os vectores v, w, v + w; obtêm-se -sobre P) os vectores r, s e OH= r+ s. Pelo que acima se viu, é u t\ v = u 1\ r , u 1\ w = u 1\ s, ut\ (V+W) = u/\(r-rs) logo, a igualdade a demon strar, 7:2), reduz- ·se a u/\(r + s) = uA.r + uAs. PARÁGRAFO 11 4J Ora esta é manifestamente verdadeira visto que, como para r, s e r+s a multiplicação vectorial por u (à esquerdn) consiste Flg. 20 na rotação sobre P) de r. no sentido positi\•O e na multiplicação 2 -do módulo por n.od u, a igualdade O II= r + s não é destrulda por virtude dessas modificações e se tem -uj\0 H= u/\r + u/\s. Demonstrava-se anàlogamente que (u +V)/\ VI = U/\W + V/\W. Esta igualdade e 72) generalizam-se sem dificuldude e tem-se 73) que, utendendo a 71), se pode escrever sob a forma mais geral em que i e k tomam, independentemente um do outro, todos os valores inteiros cada um do seu conjunto, em geral distintos um do outro. Esta ignaldade mostra que o sinal de produto externo e de com- Mnaçllo linea1· stlo permutát:eis. Passemos agora às propriedades pelas quais o produto vecto- rial difere do produto ordinário . 42 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL 3.3 - O prodt~to ?;ectorial nilo é eomutatt'vo. Verifica-se a relação 7ó) Efectivamente, as direcções e os módulos de u 1\ v e v 1\ u coincidem, como é óbvio, ruas os sentidos são opostos visto que a troca dos dois eixos u e v origina urna mudança na disposição do triedro [1. 9, fig. 12]; para que ele continue a ser dextr01·sum bá portanto que mudar o Stlntido do terceiro eixo, logo verifica-se 75). 4. a- O p1·oduto vecto1·ial n{lo é associativo, isto é, 76) u/\ (v 1\ w) =I= (ui\ v) 1\ w. Basta verificar, por exemplo, que as direcções dos dois vectores são diferentes. Ora r= uf\(v 1\ w) é perpendicular a v 1\ w (e a u) e comov 1\ w é perpendicular ao plano definido por v e w, r é para- lelo a esse plauo. U m racioclnio análogo mostra que S=(u/\ v)/\ w é paralelo ao plano definido por u e v, logo as direcções de r e s, em geral, são diferentes. 6.3 -É ve1·dade que uf\0=0/\u =O, mas de uf\ v =O não resulta necessàriamente u =O ou v= O; pode ser u =/=O , v =1= O e u paralelo a v, como resultu da definição 70). 6. •- Sejam u, v , w vectores não nulos; é verdade que de u = v resulta u 1\ w = v 1\ w e w 1\ u = w 1\ v , mas ndo é verdade qtte de UI\ w =v/\ w resulte necessàriamente u = v. Basta verificar que os módulos de u e v podem ser diferentes. Ora. de UI\ W=V 1\ w resulta, fazendo a ng (u, w) = O e ang (v, w)=O' moa' u . mod w · sena = mod v . mod w . senO' donde mod u . sen a = = modv ·senO' e esta igualdade pode coaxistir com modu=f=modv. Pode, no entanto, afirmar-se que, se a igualdade UI\ w =v 1\ w se 'l:erifica qualquer que srja o vector w, dela resulta necessària- menle u = v . Com efeito, nessa hipótese, u e v são paralelos, porque da igualdade u 1\ w = v 1\ w resulta o paralelismo dos dois planos definidos por u e w e por v e w e osses dois planos só são paralelos par a w qualquer , se u e v forem paralelos . Do paralelismo de u e v resulta sena= senO', donde modu = = modv; por outro lado, u e v têm, necessàriamente, o mesmo sentido (se o não tivessem, seria u /\ w = - v 1\ w) logo é u = v. PARÁGRAFO 11 43 'i. • - Ndo é poRsível definir uma operaçl'l.o inversa da sua multi- plicaçllo vectorial, pelo menos com o significado habitual, visto que há uma infinidade de vectores cujo produto vectorial por v é igual a u. Adiante [1. 20, b)] trataremos da operação designada pelo nome de divisllo vectorial. Expressão cartesiana do produto veclorial. Comecemos por determinar os produtos vectoriais dos vectores unitários dos eixos. Da definição resulta imediatamente (fig. 21) que i/\i= O, i ;\j=k, j;\j =O, j ;\ k=i , k/\k=O; k/\i = j; estas três últimas igualdades fixam-se muito fàcil· mente notando que a or dem dos vectores unitá- rios nelas é a das três permutações circulares das letras i, j , k . Fig. 21 E como, pela troca dos factores, os produtos mudam de sinal, tem-se 77) llfli - i ll i -kfl k=O i;\j =- j;\i = k j ;\k=-k/\ j = i k/\i=-i 1\k=j . Pondo i1 , is , iq em \·ez da i , j, k, 77) toma o aspecto 77 a) 1 it 1\ i1 = Í2 1\ ia = i, 1\ is = O i1 1\ i2 = - ij 1\ i1 = is is 1\ is = - is 1\ i.:~ = i1 io 1\ i1 =- - i1 1\ is = i2 igualdades que podem condensar -se nas relações 78) ij 1\ ij = o' ij 1\ ij+J = - Íj+t 1\ij = ii-t-2 j=1,2,3 com a co nvençilo de que, sempre que algum dos índices supera 3 se lhe rleve subtmir o número 3. Posto isto, sejam dois vectores u = a,· i+ a2j +as· k , v = b, ·i+ b2 • j + bs · k. 44 CAP. 1. ALGEBRA VECTORIAL Com a aplicação dus propriedades 11), 74) e 77), obtém-se 79) U/\ v= (a.2 · bs- as· b2) ·i+ +(as· b, - a1 · bs) · j +(a,· b2 - a2 • bt) · k igualdade a que se pode dar a forma simbólica 8()) U/\ V = i j k Se representarmos os Yectores unitários por i,, i2, is, 79) toma o aspecto U/\ v= (~ai -i;);\ (~bk ·h) = (a2 · bs- Os· be) ·i,+ (as· b,- a, • bn) -ie + + (a 1 • ba - a2 · b,) ·is que pode escrever-se 81) U/\V=~(aj+J'bj+e-Oj+2 'b}+J)•ij i com as mesmas convenções feitas a propósito de 78) quanto aos valores dos indicas. 1. 12. Aplicações do produto vectorial. Nos parágrafos seguintes serão vistas largas aplicações do pro- duto vectorial. Por agora '' iiO ser tratadas, a titulo de exemplos, apenas algumas rrplícações geométricas. I. - Poroleli~mo de vectores. É conhecida já. a condição para que dois vectores uão nulos sejam paralelos, condição exp1·essa na.~ coordenadas cartesianas desses vectores [1. 10, 53)]. Mas é pos- sivel exprimir essa condição independentemente do sistema de refer~ncia constituído pelos eixos cartesianos. Bast~, com efeito, escrever 82) U/\ V = 0; se nenhum dos dois vectores u e v é nulo, esta condição exprime necessàriamente o paraleUsmo de u com v. Se introduzirmos nesta condição as decomposições cartesianas PARÁGRAFOS 11 e 12 45 dos dois vectores u = ~ ak · h, v = ~ hk · ik, tem-se [1. 11, 79)] k k (a:~ bs- as b2) ·i,+ (asb1- o1 ba) . i2 + (u1 bz- o2b1) ·is= O donde aabs-asb:~=O, asb1 -a1 b8 =0, a1 b2-a2b1=0 donde, . d ar a2 os . 'd 1 10 53 ) am a, - = - =- que comct e com . , a. b1 b2 bs II.- Ângu lo de dois vectores. Sejam u e v dois vectores e e o seu ângulo. De 1. 11, 69) mod (u 1\ v)= mod u · morl v . senO, resultu sen 0 = mod (u 1\ v) 83) mod u . mod v III.- Coeficientes da equação do pleno. Viu·se (1. 10, 4.•] que a equação do plano passando pelo ponto J.Vl (()!.k) e paralelo aos Yectores (não paralelos) u = ~ lk • ik, v = ~ mk • ik é da forma k k G4) Xt - 0'.1 lt 111t =0 x2 -- (it2 l2 111:~ xa - cca la ma ou seja 64 a) a1 · (xt- (itt) + a2 • (x2- (it:~) + as · (xs- (;te)= O. É fácil ver agora a significação geométrica dos coeficientes a1, a2, a8• Efectivamente, como (1. 11, 80)] u 1\ v = i, i:~ is 11 l:~ la verifica-se imediatamente que a1, a2, os são, precisamente, as coor- denadas ao vector ui\ v o como este, por definição, é perpendicular no plano definido por u o v, tem·se que os coeficientes das t·ariá· vei$ na equaçao do plano stlo as coordenadas do vecto1· normal a esse plano. 46 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL IV - Área dum triângulo. Sejam três pontos do espaço, Mo, M1 , M2 , não alinhados, e A o \'alor absoluto da área do triângulo --+ definido por eles (fig. 22); escrevamos Mo M1 = u ; Mo M3 = v. I I 11.Lj__.__.L__o.J!1, Como A é metade da área do para- lelogramo MoM1MM2 e para esta, em valor absoluto, se tem como valor mod u · h e h= mod v . . Yen 13, tem-se A= .!_mod u · modv ·senO, isto é 2 I'Jg. 22 84) 1 A= -mod(u 1\ v). 2 Se os três pontos Mo, M1 , M3 estão no plano Oxy, A expri- me-se muito simplesmente nas soas coordenadas. Seja Mo (o: L, as), M1 (~t, ~2), Ms (y1 , 12); tem-se --u =Mo M1 = (~t- at)it + ((jz- ag) i2, --v = Mo llf2 = (71 - a1) i1 + (y2- as) is donde u 1\ v = it is is tl- o:, ~j - <Xg o fl - O!J "/2 - 0:2 o =[(~L - o:,)· ("'s- o:2)- (~s- <X2) • (Yt - o:,)]· io · É, por consequência, isto é, como imediatamente se reconhece, 8ó) 1 A=-lól 2 com 1 1 1 V.- Área orientada. Vectores oxiois polares. Se, na fig. 22, tro- carmos os vectores u e v, o valor absoluto do seu produto externo, e portanto da área A, fica o mesmo mas o sentido do vector u/\ v muda, como se sabe, consen·ando a direcção. Suponhamos que o contôrno do triângulo JJ-10 M1 M2 é descrito por um ponto no sentido indicado na figura 22 - de u para v: PARÁG RAFO 12 47 Mo M1 M2- isto é, no sentido directo: a esse sentido do percurso vem ligado o sentido positivo de u;\ v, sentido tal que o triedro u , v, u;\v tem a disposição do triedro fundamental Ox1:r:2 :r8 • Este sentido de percurso é tal que a área é deixada à esquerda durante o movimento do percurso. Suponhamos agora o perímetro do triângulo descrito no sentido retrógrado: M0 M2M1 - a área é deixada então à direita durante o percurso e a este sentido de movimento vem ligado o sentido contrário ao que u ;\ v tinha há pouco, sentido que tor na agora o triedro u, v , u ;\ v de disposição contrária à do triedro funda- mental de referência. Estas considerações justificam ns definições seguintes : a) Area o1·ientada. A toda a área liga-se o sinal + ou o sinal - conforme o sentido do percurso em que é consid~rndo descrito o seu perímetro : sinal + se esse sen tido é o directo , sinal - se é o ret1·ó.qrado . Na fig. 22 o trillngulo MoM1M2 tem área +A, o triângulo lvfo M2 M1 tem área - A. A ár aa do parulelogramo definido por
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