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Calculo Vectorial - Bento de Jesus Caraça

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~-
BENTO DE JESUS CARAÇA 
CÁLCULO VECTORIAL I 
3.A EDIÇÃO 
LISBOA 
1 9 6 o 
-. ~· ··~ 
Composto • Impresso na 
TIPOGRARIA MATEMÁTICA, LDA. 
R. Dl6rlo de Noticies, 134, 1."-Esq. 
TKLEl'ONE 2 94 49 - LI s 8 o A- 2 
• 
BENTO DE JESUS CARAÇA 
CÁLCULO VECTORIAL 
J.A EDIÇÃO 
LISBOA 
1 9 6 o 
OBRAS DE MATEMÁTICA 
DO MESMO AUTOR 
Lições de Algebra e Análise, Vol. 1- 1935, 1945 e 1956. 
Lições de Algebra e Análise, Vol. 11 - 1940, 1954 e 1957. 
Interpolação e Integração Numérica - 1933 {esgotado). 
Cálculo Vectorial - 1937, 1957 e 1960. 
Conceilos Fundamentais da Matemática, I Parte - Junho 1941, 
Agosto 1941, 1942, 1944 e 1946. 
Conceitos Fundamentais da Matemática, 11 Parte- 1942 e 1944. 
Conceifos Fundamentais da Malemática, I, 11 e III Partes - 1951, 
1952 e 1958. 
.. 
A primeira ediçtlo desta obra apa1·eceu em 1937 e constitui a 
primeira das publicações do Núcleo de .Matemática, Fisica e Quim?·ca, 
congregação de antigos bolseiros no estrangeiro do Instituto de Alta 
Cultu1·a. 
A 2.a ediçao deve a revis11o das suas provas aos Ex.mot S1·s. 
Drs. Alfredo da Gosta Mú·anda e Augusto de Macedo Sá da Gosta. 
A revisao das p1·ovas desta 3 .4 ed1'çao foi feita pelos Ex.'"0' Srs. 
Drs. Alfredo da Costa Mtranda, Jaime da G1·uz Campos Fert·eira 
e Joaquim José Paes Motaes. 
Para todos a expressao sincera do maior agradecimento. 
J. M. G. 
Lisboa, Junho de 1960 . 
• 
CITAÇÕES 
As referências a números de fórmulas, parágrafos e capítulos são dadas em 
tipos e corpos diferentes, de acordo com os segui ntes exemp:os: 
Pág. 118, linha 10: f2. 9) -+ parágrafo 9 do capitulo II. 
Pág. 82, linha 17: [1 . 7, 45)]-+ fórmula 45) do parágrafo 7 do capítulo I. 
Dentro de cada parágrafo, a referência a uma fórmula do mesmo parágrafo 
faz-se pela simples indicação do seu número. 
Exemplo: Pág. 1181 linha 20: (50)] - fórmula 50) do mesmo parágrafo. 
TÁBUA DE MATÉRIAS 
Capitulo 1.0 - .Álgeln-a Vectorio! 
I. Fundamento!! . 
II. Produtos e operadores. 
III. !\fomentos 
Bibliografia. 
Exercícios • 
Capítulo 2.0 - .Álgebra Teti80I'Üll 
I. Transformações lineares 
II. Álgebra tensorial • 
Bibliografia . 
Exercícios • 
Capítulo 3.0 - Análise Vectorial 
I. Infinitésimos. • 
II. Derivação ordinária • 
III. Aplicações geométricas 
IV. Derivação tensorial e derivação dirigida 
Bibliografia. 
Exercícios . 
Capítulo 4.0 - Teon·a do. Cantpos • 
I. Operadores diferenciais 
II. Fluxo e circulação . 
Resumo • 
Bibliografia. 
Exercícios . 
Indice de nomes . 
Indice alfabético de matérias • 
Pdg. 
1 
1 
59 
72 
77 
77 
79 
79 
114 
123 
123 
125 
125 
135 
167 
186 
189 
190 
193 
193 
21:> 
240 
242 
242 
245 
241 
Cap. I. 
, 
Algebra Vectorial. 
I. FUNDAMENTOS. 
1. 1. Histórica. 
O cálculo vectorial é de constituição relativamente recente e 
anda ligado, na sua origem, à procura duma possível represen-
tação g~ométrica dos números imaginários. Por isso, os vectores 
aparecem, considerados como linhas dirigidas, na obra de C. Wes-
sel, Essai sur la rep?'éllentation de la direction (1797) e de J. 
A rgand, E.1sai sur ume maniere de t·eprésenter les quantités 
imaginaires dans les constructions géométriques ( 1 ~06) . Com a pu bli-
caçào das obras de G. 13~llavitis sobre as eqoipolências (a partir 
de 1832) da Atudehnung.~leltt·e de H. Grassmann (a partir de 1844) 
e dos trabalhos de W. Hamilton sobre os Quaterniões (a partir de 
184.}), pode considerar-se fechado o primeiro ciclo, o ciclo pre-
paratório, da história do Cúlculo Vecto1·ial. 
Deve·se principalmente a J. W. Gibbs e O. Heaviside (ambos 
na segunda metade do século xu) a estruturação deste ramo das 
ciências matemáticas com a forma que hoje apresenta. 
Define-se ainda hoje, frequentemente, vector como um segmento 
de recta orientado, tomando-o, portanto, como uma entidade de 
carácter geométrico, como o era para os iniciadores do cálculo 
vectorial. Mas os modernos pontos de vista sobre este corpo de 
doutrina não se compadecem com tal critério fundamental- há que, 
a partir do conceito geométri..:o de segmento orientado, deduzir 
outro, de carácter analítico, que fará., propriamente, o objecto de 
estudo do ramo de Análise que designamo!! por Cálculo Vectorial. 
É essa orientação, seguida, por exemplo, por M. Lagally-
Vektor-Rechnttng, a adoptada nos parágrafos seguintes. 
CALCULO VECTORUL 1 
2 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL 
1. 2. Segmento orientado. Translacção. 
Definições. Consideremos uma recta R) e a partir dum ponto 
arbitrário O, fixemos sobre ela um sentido positivo e um sentido 
negativo (fig. 1). 
A coa venção da existência de sentidos opostos numa mesma 
recta é fundamental em tudo que 
vai seguir-se. Ela permite-nos, a 
partir de cada segmento ou porção 
da recta, definido por dois pontos 
A B 
Flg. 1 
A e B, distinguir dois segmentos dirigidos ou orientados - o seg-
mento de A para B, origem A e extremidade B, que representa-
remos por A B, e o segmento de B para A, origem lJ e extre· 
midade A, que representaremos por B A. 
Um segmento dirigido ou 01·ientado é, por consequência definido 
por dois pontos quaisquer do espaço, A e B, e pela adjunção do 
conceito de ordem a que se sujeitam esses dois pontos. 
Dois segmentos dirigidos que diferem um do outro apenas pela 
ordem dos pontos que os definem, dizem-se opostos: o segmento 
dirigido B A é o oposto do segmento dirigido A B. 
Chama-se módulo dum segmento orientado A B à distância, em 
valor absoluto, dos dois pontos A e B; representá-lo-amos por 
modA B. 
Atribuamos a modA B o sinal + ou o sinal - , conforme o 
sentido de A para B coincidir ou não com o sentido positivo da 
recta sobre a qual existe A B; ao número assim obtido dá-se o 
nome de medida algébrica de A B e representá-lo-em os por med A B; 
tem-se portanto med A B = +modA B conforme o sentido de A B 
for positivo ou negativo, em relação ao eixo sobre o qual se encontra: 
1) { + mod A B +- A B tem sentido positivo med A B = .J A B A B ·.1 • 
- mo•.b - tem senttuO negatwo. 
Qualquer que seja o sinal do sentido de AB, é sempre verdade que 
2) med A B = - med B A • 
Dá.se o nome de translacçlto a todo o movimento dum corpo no 
espaço tal que as posições inicial e final de cada um dos seus pontos 
definem segmentos orientados paralelos e com as mesmas medidas 
algébricas (igualdade de módulos e de sentidos). 
PARÁGRAFO 2 
Uma translacção fica conhecida portanto desde que se conheça 
o segmento orientado definido pelas posições inicial e final dum 
dos pontos do corpo cons iderado; as posições finais dos outros 
pontos são determinadas por segmen-
tos orientados paralelos e de medidas 
algébricas iguais ao primeiro. 
Este facto vem chamar a atenção 
para o papel importante que desem· 
penha a existência de segmentos orien-
tados nas condições indicadas, a que 
chamaremos segmentos equipolentes. 
Flg. 2 
Dois segmentos equipolentes A B e A' B' (fig. 2) são portanto 
tais que os quatro pontos A, B, A', B', definem um paralelo-
gramo, a não ser que A B e A' B' existam sobre a mesma recta; 
neste caso a equipolência é definida simplesmente pela concordância 
de sentidos e igualdade de módulos. 
Sempre que nos quisermos referir, indistintamente, ao segmento 
orientado A B e aos seus equipolentes, diremos que A B é definido 
ou dado a menos duma equipolência. 
Estas definições permitem-nos agora dizer que toda a translacçtlo 
no espaço é, independentemente do local em que se realiza, determi-
nada univocamente por um segmento orientado, dado a menos duma 
equipolência; representaremos a translacção, determinada pelo 
segmento A B, por tAs. 
Daqui resulta que se A B é equipol~nte a ..4.1 B', A B se pode 
fazer coincidir com A' B' por meio da translacção t..u (v . fig. 2). 
Consideraremos ainda comoiguais todas as translac«:ões que só 
diferem pelo local do espaço em que se efectuam, isto é, que são 
determinadas pelo mesmo segmento orientado, definido a menos 
duma equipolência: 
3) tA n = tA' B' +- A B equipolente a A' B' . 
Chama-se translact;tlo nula aquela em que a origem coincide 
com a extremidade e escreve-se 
4) 
Ao segmento orientado correspondente chama-se, ainda, seg-
mento nulo, e escreve-se 
6) 
. 
4 CAP. I. ALGEBRA VECTORIAL 
Propriedades. Do que está dito deduz-se que as propriedades 
da igualdade de translacções são a resultante imediata, o decalque 
das da equipolência e reclprocamE>nte. Ocupemo-nos destas. 
1. • (reflexiva). Todo o segmento orientado é equipolente a si 
mumo,· é uma consequência imediata da definição. 
2. a (simétrica). Se A B é equipolente a A' B', também A' B' 
é equipolente a A B ; com efeito, o paralelogramo definido por 
A, B, A', B' é o mesmo que o definido por A', B', A, 8. 
3.a (transitiva.). Se A B éequi'polente a A'B' e .A'B' eqwpo-
lente a A" B", é A B equipolente a A" B"; com efeito, da defini-
ção resulta que A'' B'' é paralelo a. A B (por ser paralelo a A' B' e 
este a A B) que os sentidos coincidem e que é 
modA'' B" =modA' B' =modA B. 
1. 3. Composição de translacções. 
A). Translacções com a mesma direcção. Definição. Sejam 
dadas duas translacções pm·alelas; como os segmentos orientados 
que as definem são definidos a menos duma. equipolência [1. 2], pode 
sempre supor-se que eles estão sobre a mesma recta e que, além 
disso, a origem dom coincide com a extremidade do outro. Sejam 
então A B e B C esses segmentos e tAn e tJJu as translacçõos 
correspondentes. 
Consideremos a translacçlio t.Ao cuja origem é a vrigem da 
primeim e cuja extremidade é a extremidarle da segunda. A opera-
ção pela qual às translacções tAs e t8 o se faz corresponder t.Ao 
chama-se composiçllo ou adição de trnnslacções ; à trao lacção 
t.Ao chama-se resultante ou soma das translacções t..~ 8 e t8 o e 
escreve-se 
6) 
ao segmento orientado AG chama-se, ainda, soma doa segmento~ 
orientados A B e B G e escreve-se 
7) 
PARÁGRAFOS 2 e 3 
As igualdades 6) a 7) não são, afinal, mais rlo que tradoções 
diferentes da mesma operação fuodame.ntal- a da composição de 
duas translacçõea ou dos segmentos orientados correspondente8. 
Como se vê, a operação é de efecti vaçiio simples : faz-se coinci-
du· a origem duma (a segunda) com a 
A-.a c extremidade da outra (a primeira) e 
toma-se n transla.cção deterrninad11 pela 
origem da primeira e extremidade da 
seguorla. Na figura jontn estão figu-
rados casos que podem apresentar-se 
qunnto aos sentidos dos segmentos 
orientados. 
A:....__~C:......-_ ___,.,.B 
A B 
Fig. 3 
As setas inferiores representam os 
sentidos dos segmen tos a compor; as superiores o do segmento soma. 
Em particular, tem-se imediatamente a partir da definição 
e de [1. 2, 4)] 
8) tAB +toA= (u = 0 
on 
9) 
que nos indica que a soma de dois segmentos orientados opostos é nula. 
A coo trução da soma mostra a inda que entre as medidas algé-
bricas se verificam, quaisquer que sejam os sentidos dos segmentos 
considerados, as relações 
10) med A O = med A B + med B C , 
e, em particular, 
11) med A B + med B A = O 
que coincide, aritmàticnmente, com [1. 2, 2)]. 
A composição de mais de duas transl11cções define-se como 
babitualmontose defi.oe a adição de mais de duas parcPias: compõem-se 
as duas primeiras, a translação obtida com põe-se com a terceira e 
assim 13ucessivamente. Resulta daqui que tAn + tBo + tan = t.tn e, 
em geral, 
12) i.tr A,+ t.dtA, + · · • + tA,_ 1 .A. = t.A, 40 , 
igualdade à qual corresponde, para os segmentos orientadoS' corres-
pondentes, 
6 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL 
13) 
relação válida, pelo que está dito, qualquer que seja a pow;ao 
relativa, sobre a recta, dos pontos A1 ,. • • An. Em particular tem-se, 
como consequência imediata de 13) e 9), 
14) A, Aa + As As + ·. · + An-1 A» + AnA, = O. 
Para as medidas algébricas verificam-se as relações gerais 
15) med A, Az + · · · + med An-1 An = med A, An 
16) med A, As + -. · + med A,._1 An + med An A1 =O. 
A justificação do nome adiçtlo dado, também, à operação que 
estamos estudando, está nos resultados do estudo, a que vamos 
proceder, das suas propriedades. 
Propriedades. 1. a - A operaçiio é umforme. Com efeito de 
tAs=(~· B' e ta a = ta' O' resnlta imediatamente, em virtude da defi-
nição, tA a+ tso = t~! B' + tn'O' e relação análoga para os segmentos 
orientados. 
2.1 - É tAs+ O= t~~.B. Com efeito: 
tAs+ O= tAn + tnn = tAn. 
3.3 -A operaçllo é comutatit·a. A igualdade: t,~~n+taD-= 
= toD + tAB, que exprime a comutatividade, é, como fàcilmeote se 
reconhece, uma consequf\ncia imediata da construção por meio da 
qual foi definida a operação. 
4. a - A operaçllo é associativa. Anàlogamente, da construção 
resulta que 
tAs+ (tn o + tcD) =(tAs+ tno) + toD. 
5. a- De tA B +te o= tA' 0' +te D ?·esulta tAs = tA' O' . Somemos, 
com efeito, a ambos os membros da igualdade, a translacção tDo; 
a igualdade mantém-se, pela propriedade 1. •, e vem t.tts + foD + t De= 
= tA' B' + laD + tDo donde, pela associatividade, t.t~n + (tcD + fDo)= 
= tA' D' + (toD + iDa) donde [8)] tAs + O = tA' a• +O, donde, final-
mente, pela propriedade 2.a, t.<J.B .= tA' B'· 
Em conclusO.o, a operaç;ão goza das mesmas propriedades qae 
PARÁGRAFO 3 7 
a adição ordinária, à parte aq!lelas que se prendem coro os conceitos 
de maior que e menor que, que aqui não foram intToduzidos ruas que 
não são essenciais no algoritmo soma (vide, por exemplo, as pro-
priedades da soma de números complexos, L1"ções (1), Vol. I, 8, 3). 
É fácil definir, agora, subtracção de duas trunslacções. Chama-se 
diferença das ,duas translacções tAu e tco e escreve-se tAB - tco , 
à soma tAs + toe : 
17) t.tto - taD = tAB + tro • 
Verifica-se imediatamente que a diferença é aquela translacção 
que somada com o subtractivo icD reprodoz o aditivo t..ttn; efecti-
vamente, (t.Ao + tDa) + toD = t.4.o + (tDa + taD) = t,w + O= t..Ao. 
Com esta propriedade fica estabelecida a analogia com a 
sabtracção ordinária; as doas operações podom fundir-11e numa só, 
a soma algébrica, regida por um conjunto de leis análogas às da 
soma algébric.a ordinária, cuja verificação omitimos por ser longa 
e fastidiosa. 
B). T ronslocções com direcções diferentes. Definição. Dadas 
duas transtucções não paralela q uaisq oer, define-
-se duma maneira inteiramente análoga à anterior, 
a operação d!a. composiçêlo : faz-se coincidir a 
origem da segunda com a extremidade da pri-
meira e considera-se como resultante ou soma das 
duas translacções dadas aquela translacção cuja 
origem é a da primeira e c•1ja extremidade ó a 
LJC 
A B 
Fig. 4 
da segunda (v. fig. 4, as setas indicam os sentidos dos segmentos 
orientados). 
Escreve·se ainda 
6) t..tll + taa = t.J.o a 7) AB +BC= AG, 
contiuuando, também, a chamar-se a A C soma dos dois segmentos 
orientados A B e B O. 
A adição, ou comvosic;ã.o, de mais de duas translacções define-
-se como habitualmente; na fig. 5 está construída a eoma de três 
translncções t1 = l.dB, t11 = tBo , ta = toD. 
(1) A desig11ação Liçõett refere-se a Lições de Álgebra e Análise do at~tor 
[2.• Oll 3.• edição]. 
8 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL 
Propriedades. 1. • - A operaçllo é unifo1'1ne. Resulta imediata-
mente da construção. 
2! - Ê tAs + O = tAs. Foi já estabelecida atl·ás. 
3. 8 - A operaçlio é comutativa. É o que resulta da figura 6, 
visto que AB é equipolente a D C e B C equ ipolente a AD. 
4. • - A operaçflo é a.~sor.ialiva. Com efeito, da figura f> resulta 
que é AD= t1 + t2 + ta e que, por outro lado, se tem AD = t1+ 
+ (t2 + ts) e AD = (t1 + t2) + ts. 
õ.•- De t1 + t3 = t2 + t5 resulta t1 = t2 • Dem onstração intei-
ramente análoga il. da propriedade 5. 8 anter iormente estabelecida. 
Em conclusi1o, a o-peração goza 
D das propriedades da adição or di-
~ nária, com o que se justifica o 
C emprego da designação soma. 
Quando as translacções tiverem 
todas a mesma direcção, a opera-
ção reduz -se à anteriormente estu-
Flg. IS dada, com todas as conclusões 
que lá foram deduzidas. 
Verificam.se aqui as igualdades 12), 13) e 14), mas as igualda-
des 10), 15) e 16), sobre as relações entre as medidas algébricas, 
são privativas do caso em que as translações têm todas a mesma 
direcção. 
Aquelas são, portanto, mais gerais que estas . 
Pode ainda definir-se sublracçllo de translacções com direcções 
diferentes e, para o fazer, adoptare-
mos a mesma definição: C 
A figura 7 mostra como se cons-
trui a diferença. 
A diferença das translacções t1=AB A 
(aditivo) e t2 = B C é a traoslacção 
t1 - ta = t.Ao' • 
Fig. 8 
Vê-se na figura que a soma de t1 - ts = tAo• = tA'B com t !il= tBc 
é- t...,. 0 = tA 8 = t1 o que moRtra que a diferença é ainda aquela 
translacção que somada com a translacção subtractivo reproduz o 
PARÁGRAFOS 3 e 4 9 
aditivo. Com isto fica estabelecida a identidade da operação agora 
definida com a subtracção ordinária. 
1. 4. Produto por um número real. 
Na definição e estudo da multiplicação duma translacção, ou 
um segmento orientado, por um número real, seguiremos as étapes 
seguintes: a) o número é inteiro e posi-
tivo; b) o número é fraccionário positivo da C' 
1 forma -; c) o número é racional posi-
n 
tivo qualquer; d) o número é real posi-
tivo qualquer; e) o número é real nega- A-r--......:--.y 
ti v o. 
A). Número inteiro e positivo n. 
Definição. D~finiremos a opera<;ào, cujo 
resultado se representa por n . tAs, pela 
igualdade. 
(n ) 
"""' 18) n ·tAs= l..ts +tAs+ .. · +tAs 
Fig, 7 
à qual corresponde, operando sobre os segmentos orientados, a defi-
nição de n · A B pela igualdade 
(n) 
19) n. A B = A B + A B + ... + AB. 
Se n =O ou t..t 8 =O , põe-se, por definição, 
20) O· t.&s = O, n · t.d.d =O. 
Propriedades. 1. a - O p1·oduto n · tA B é uma nova transl acçtfo 
com a mesma direcçllo e sentido que tAs e com módulo igual a 
n • mod tAB. Resulta imediatamente da definição e das propriedades 
da soma; a relação 
21) mod (n • t..4 8 ) = n · mod t..ts 
é consequência directa de [1 3, l ô )] • 
A operação de que estamos tratando consiste, portanto, na 
dilataçélo duma translacçiio na sua direcção e sentido. 
10 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL 
2. a- A operaçtlo é uniforme. É consequência imediata da uni-
formidade da soma. Notemos, em particular, que esta propriedade 
significaque: de n = n' resulta n-tAs=n'·t..u; de tAB=tA'B' 
resulta n ·tAs= n · t.&'B'. 
3. a- Do anulamento do produto resulta o anulamento de, pelo 
menos, um dos jacto1·es. Efectivamente, se nenhu m dos factores 
é nulo, a soma 18) é neceasàriamente diferente de zero. 
A 
4.a-se n=f=O, de n · tAn= 
= n · te o resulta tAs = te o ; 
se tAs=/=0, de n · tAs=o' • tAn 
resulta n=n'. É consequência 
imediata da uniformidade. 
Fig. 8 5. a - A operaçao é dist1·i. 
hutiva em relaçtlo à soma de 
nú-meros. Com efeito, das propriedades da soma tem-se 
(m + n) (m) (n) 
.....---""---.., ..-_..... ,....---·_...._ 
(m + n) · t.& 8 = l.&s+ · · · +t..u = (t .. u + ... + tAB) + (t.ts+ · .. + t.AB) 
donde 
22) (m + n) · t_. 8 = m . tAs+ n · t.~.s . 
6. a - A operação é distributiva em 1·elaçao à soma de t'·anslacções. 
A figura 8, em que se fez n = 3, mostra que a igualdade 
23) 
é uma consequência da definição, da construção da soma e das 
propriedlides da semelhança de triângulos. 
7. a - A operação é comutativa, e associativa no sentido da 
se,quinte i,gualdade 
24) m · (n ·i.& o)= n · (m · t.& 8) = (m · n) · t.&s. 
É de verificação imediata. 
PARÁGRAFO 4 11 
B) . Número fraccionário positivo da lorma 
n 
Definição. 
Dd l ~ ' f . ,. 1 h a a a trnns acçao t48 e o numero racc10nar10 - , c ama-se 
n 
produto do número pela translacção, e representa-se por _!_ . t.iln, 
n 
àquela translacçii.o (se existir) cujo produto por n é t.11n: 
25) 1 
- · Ctn = t:ry - n · t.,11 = t.fn • n 
A demoustração da existência de t.,11 , satisfazendo à igualdade 
de condição, é fácil: basta tomar para 4,11 aquela translação com 
a mesma direcção e sentido que t.ll. 8 e tal que n. mod fxy = mod t.11n• 
É claro que esta translação é única, em virtude da uniforn.idade 
da operação da multiplicação por um número inteiro e positivo. 
Propriedades. Verifica-se fàcilmeu te, a partir da definição, que 
se mantêm as propr iedades atrás estabelecidas. 
C). Número racional positivo qualquer. Seja a translação 
tA.n e o número racional positi,•o .!'!:. Define·se produto de ~ 
n n 
m por (tn, que se representa por - · tAn, por meio da igualdade 
n 
26) ~ · tAB- m · (! · (~ B) 
em virtude da qual a operação fica reduzida às estudadas nos dois 
casos anteriores. 
É óbvio que se mantêm as propriedades. 
D). Número real posilivo quelquer. Definição. Seja a trans-
lacção t.u e o numero real positivo ), • definido pelo corte (L, M) 
no conjunto dos números racionais. Fixado um ponto arbitrário O 
como origem sobre uma recta, formemos os produtos r. tA. o e 
.a· t.J.n onde r é um número qualquer de L e s um número qual-
qaOl' de M. Como é r< s, tem·se r· mod t.J.n < s. mod t.JJ.n; se 
chamarmos R e S as classes dos pontos extremidades respecti-
vamente dos produtos r. A B e s. A B, com origem em O, é 
claro que os pontos de R estão à esquerda dos pontos de S. 
12 CAP. I. ÁlGEBRA VECTORIAl 
Completemos as classes R e S do modo seguinte: constru i-se 
a classe R que tem: a) todos os pontos de R; b) todos os pon-
tos da recta tais que todos os pontos de S lbe estão à direita; 
construi-se a classe S com os pontos que nrw formam R. 
As cla~ses R e S formam um corte na recta; seja P o ponto 
por ele definido ; por definitjlo, toma-se o seg111ento orientado O P 
como produto ). . A B e, correspvndentemente, a t1·anBlacção top como 
p1·oduto ). · tAn : 
27) ). · t.~~a = lop 
Da definição resulta, claro, que a translacção to p existe sempre 
e é única. 
Propriedades. Da definição e das propriedades gerais dos 
números reais [Lições, Vol. I, 5] resulta que a propriedades roen· 
cionadas nos casos anteriores se mantêm; omitimos, por ser longa, 
a verificação respectiva. 
E). Número real neg., livo qualquer. Definição. Seja o seg-
mento orientado A B e o número real e negativo ). . Façamos 
,..._ = -)., p. >O. Por dPjinição, chama-IJe produto de ). por A B, 
que continua a rep1·esentm·-se por ). . A B, ao segmento o1·ientado 
oposto [1. 2] do segmento o1·ientado p. • A B • 
É claro que o oposto de p.·AB é p.-BA, visto que 
p. . A B + p.. B A = p. ·(A 8 + B A)= p.. O= O, logo, tem-se 
28) 
Anàlogaroente se tem 
28a) 
Propriedades. Da definição resulta imediatamente ue se man· 
têm todas as anteriores, excepto a primeira, que aqui toma o aspecto 
seguinte: o produto ). . tAn, ~<O, é uma nova translacçl'lo com a 
mesma direcção que hs, sen~ido oposto, e de módulo tal que 
29) mod (). · tAs)= I !.I · mod tJJ.s, 
igllaldade esta que vale, afinal, em qualquer caso. 
PARÁGRAFOS 4 e 5 13 
l, 5. Sistemas lineares. 
As considerações feitas nos dois parágrafos anteriores podem 
ser resumidas do modo seguinte: Partiu-se da entidade transliJcçllo 
t1 = tAs (ou do segmento orientado correspondente A B) e defini-
ram-se duas operações- a composição ou adiçilo t1 + ta e o l'ro· 
duto ~. t1 da translacção por um número real. Provou-se que essas 
operações gozam das propriedades seguintes : 
1) A soma de duns trauslacções é uma translacção : 
t1 + t3 =is. 
2) Existe uma translacção especial, denominada transl~tcção 
nula, t.d.A =O, tal que t1 + t.dA = t1 • 
3) A adição é comutativa : t1 + t2 = t3 + t1 • 
4) Éassociati,·a : t, + (t2 + t8) = (t, + t2) + ts • 
5) De t, + ts =ta+ ls resulta t1 = t3 ; 
de t, = t2 resulta lt + ts = ta + is . 
6) O produto p • t1 é uma translacção : p • t1 = t:~ . 
7) De p =a r esulta p · t1 = a . t1 ; 
de t1 = ta resulta p • t1 = p · t:~ . 
8) Do anulamento do produto resulta o anulamento de, pelo 
menos, um dos factores : 
~ . t, = o -- p = o ou t, = o. 
9) Se p=/=0, de p . t1 = p · t2 resulta t, = t,; 
se t1 =f=O, de p·t1 =a·t1 resulta p=a. 
10) A operação é distributiva em relação à soma de números 
reais: (p + a) · t1 = p · t1 + a · t, . 
11) É distributiva em relação à soma de trauslacções: 
12) É comutativa e associativa no sentido da igualdade 
Pois bem; sempre que, dada uma classe U de ontidades 
quaisquer u,: 
' 14 CAP. I. ALGEBRA VECTORIAL 
a) se define uma operação de composiçao ou adiçdo, por meio 
da qual de u; e Uk se determina Ut (tam bém pertencente a U) a 
que se dá o nome de soma de ui com uk: 
b) se define uma operação f · u;, de multiplicação de eleme,ntos 
dessa classe vor núro(>ros dum corpo R; 
c) além disso, essas duas operações gozam das doze proprie-
dades ·Cujo resumo acabamos de dar; diz-se IJ.Ue a classe U constitui 
mn sistema linear, no co1po R, em relaçll.o à ope1·ação da adiçtlo ou 
composiçdo. 
Em virtude destas definições, podemos então di?.er que a classe 
das translacçlJes no espaço constitui um sistema linear, no co1·po dos 
números reais, em relaçdo à operaçllo de composição . 
Dependência e independência linear. Dimensões do sistema. 
SE>jnm u1 , 1t2 , • • • u 11 , n elementos do sistema linear U e R o 
corpo de números no qual ele é definido. 
Diz-se combinaçl'lo linear desses n elementos de U, no corpo R, 
de coeficientes 1.1 , ).2 , · •• À0 {1Hí71le1'0S de R), ao elemento u de U 
definido por 
" 30) U = ~À;·U; . 
A combinação diz-se linea1· e homogénea quando tt =O , isto é, 
quando 
31) 
Quando esta igualdade se verifica, sem que sejam todos nulos 
os coeficientes da combinação, diz-se ainda que os n elementos u1 
são linearmente depend~ntes no corpo R . 
Quando , qualquer que seja o conjunto de n números de R, 
não todos llulos, não tem nunca lugar a relação 31) ou, por outras 
palavras , quando 31) só é poss[vel se os À; forem todos nulos, 
os n elementos u; dizem-se linearmente independentes no corpo R. 
PARÁGRAFO 5 15 
Sempre que oito se fa?; menção do corpo de números ao qual 
pertencem os )., , entender-se·á que eles s/J,o números reais quais-
quer; é o que suporemos daqui em diante. 
Um sistema linear diz-se a n dimensões quando: 
a) existem nele n elementos linearmente independentes; 
b) quaisq uer que sejam os n + 1 elementos u1 , ••• u,., u,~+,, 
eles são sempre linearmente dependentes. 
Em todo o sistema linear U a n dimensões, há sempre n ele-
mentos linea1·mente independentes u1 , i = 1, 2, . · · n , tais que, dado 
um elemento qualquer u de U , exiRte um conjunto ú11ico de núme-
ros reais p1 , • • • Pn não iodo., 1mlos, satíifazendo à relaçao 
n 
32) tt = ~P• · u, · 
,_, 
Com efeito, sejam u,, u2, ... u,., n elementos linearmente inde-
pendentes, os quais existem sempre porque o sistema tem, por 
hipótese, n dimensões. 
a) De serem u, u1 , • •. Un linearmente1ldependentes, resulta que 
À1 · u1 + · · · + ).n • u,. + Àn1-1 • u =O co m À,.+t =I= O, porque se fosse 
).,.+,=O os n elementos u, seriam linearmente dependentes con-
tra a hipótese; resolvendo esta ig ualdade em ordem a u, tem-se 
À· 
32), onde é P• = - -'- . 
Àn+J 
b) Ü conjunto dos ri 1 i = 1 1 2 1 • • • n, é único; se hOU\'Osse 
outro conjunto de n números reais, sejam a,, i= 1, 2, · ·. n, 
" 
tal que u = ~ ~~. u.1 , ter-se-ia ~ a,. u, = ~ p1 • u1 donde 
~ (p, - a,) . u, = O; ora estes n co~ficientes têm que ser todos 
nulos, porque se o não fossem os u, não seriam linearmente inde-
pendentes, logo p1 = a1 , i= 1 , 2, . . . n . 
Aos 11 olementos u1, linearmente independentes (e que, quanto 
ao resto, são escolhidos arbitràriamente) nos quais se exprimem, 
segundo 32), todos os outros elementos de U, dá-se o nome de 
base do sistema linear U; aos p; • u,, i= 1, 2, .•. n , dá-se o 
nome de componentes de tt e aos P• o de coeficientes de u na base 
Ut 1 Uz 1 • • • Un. 
16 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL 
As definições dadas levantam a seguinte questão: a quantas 
dimensões é o sistema linem· das translacções 110 espaço? A resposta 
será dada num dos parágrafos seguintes [1. 7]. 
1. 6. Definição de vector. 
O conceito de translacção é de carácter flsico; o de segmento 
orientado, ao qual reduzimos o seu estudo, é de carácter geomé-
trico. Convém ainda, se possível, introduzir uma nova entidade, não 
de carácter físico ou geométrico, mas aritmético, entidade que possa 
ser sujeita aos métodos gerais da A oálise, cuja fecundidade em 
tantos domínios tem sido posta à prova. 
Isso é possível, e faz-se pela introd ução dum novo conceito -
o vector lim·e - definido como segue: 
Dados dois pontos A e B e o se11 segmento orientado A B, 
-chama-se vector livre de .A B, e representa-se por A B, a uma 
função dos dois pontos A e B, e portanto de A B 
-A B =f(AB) 
satisfazendo às condições seguintes: 
1. a - Essa função toma o me mo valor para todos os segu.entos 
ol'ientados equipolentes a A B e só para esses. 
A igualdade de \ectores livres, tradução aritmética do conceito 
geométrico de equipolência de segmentos orientados, é, portanto, 
reflexiva, simétrica e transitiva. 
2. a- Põe-se f(AA) = 0 e por esta igualdade se define vecto1· nulo. 
3. a - Sobre essa função é definida a operação de adiçtlo do 
seguinte modo: dados os dois segmentos orientados A B e CD e 
- -os vectores livres correspondeutes AB=f(AB), CD = j(CD), 
- - - -define-se soma A B + CD de A B com CD, pela igualdade 
33) AB+ CD=f(AB+ CD). 
Desta definição resulta que a soma de vectores livres é um vec· 
tor livre e que a operaçi\.o goza de todas as propriedades estabele-
cidas em [1. 3] para a soma de translacções ou segmentos orientados. 
PARÁGRAFO 6 17 
4.a- Sobre a mesma função define-se a operação de multipli-
cação por nm número real, do modo seguinte: dado o número real 
~ __... 
p e o vector livre A B = j(A B), chama-se p1·oduto de p por A B, 
~ 
e representa-se por p. A B, ao vector livre definido pela igualdade 
~ 
34-) p • A B = f(p · A B). 
Daqui resulta que o produto dum vector livre por um número 
real é um vectvr livre e que a operação gosa de todas as proprie-
dades estabelecidas em [1.4] para o produto de translacções por um 
número real. 
As vantagens da introdução desta nova entidade serão aprecia-
das nos desenvolvimentos que \'ãO st>guir-se. Por agora, insisti-
remos apenas em que o vector livre é de carácter wwlítico e não 
geométrico (I); o vector não é o segmento orientado, é uma função 
do segmento (e dos seus equipolentes) que o determina univ ocamente, 
como ele determina o segmento, a menos duma equipolência. 
Rigorosamente, deve dizer-se sempre-seja dado o vector livre 
~ 
A B, função do segmento orientado A B; simplesmente, a esta 
maneira de dizer substitui-se habitualmente esta outra, mais abre· 
~ 
viada -seja dado o vector livre A B- como se entre ele e o 
segmento houvesse ident1ficação e não, apenas, correspond~ncia. 
Na prática corrente trataremos o vector livre como se ele fosse 
o segmento- não há. mal em o fazer, desde que a consideração 
permanente daquilo que os une não faça e~quecer o que, no fundo, 
os separa - os dominios diferentes a que pt>rtencem. 
Dá-se, aqui, uma coisa parecida (não idêntica) ao que se passa 
com as funções : na linguagem, confunde-se correntemente a função 
com a sua expressão aoalitica, dizendo, por exemplo- seja dada a 
função y = x · sen x, qu'\ndo deveria dizer-se- 11eja dada a função 
cuja expressão analitíca é y=x. senx . Aqui passa-se coisa análoga,tomando uma imagem geométrica pela entidade abstracta; é assim 
(1) Contràriamente às definições dadas na maior parte dos trabalhos. Vid., 
oo entanto, M. Lagally - Vektor Rechnung (Leipzig, 1928) pág. 3 e 4; a mesma 
orientação é adoptada por R. Bricard- Le Catcul Vectoriel, Paris, 1929, pág. 10. 
O.Ú.COLO VEOTOUIAL 
18 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL 
que, por exemplo, a figura 4 [1. 3] se considera como significando, 
de facto·, a adição de vectores, quando é apenas a imagem concreta. 
da operação abstracta adição de vectores livres. 
Do mesmo modo, a direcção, o sentido, a origem, a extremidade, 
o módulo, a medida algébrica. do segmento orientado A B, dizem-
-se dú·ecçtlo, sentido, origem, extremidade, módulo, medida algébrica 
----+- """* do vector livre AB=f(AB); o módulo do vector livre .AB repre-
~ 
senta-se por modA B. Fala-se, ainda, em equipolência de vecto1·es 
como significando a equipolência dos segmentos orientados respec· 
ti vos. 
No Cálculo Vectorial fala-se frequentem en te, não só em vec· 
tores, mas em grandezas vectoriais em oposição a grandezas esca· 
lareR. 
Estas, as eBcalares, são grandezas cujos estados podem ser 
ordenados biunivoca e contlnuamente, pelo menos do ponto de 
vista teórico, ao conjunto dos números reais; os seus estados são, 
por conse4uência, determináveis por números dum certo conjunto 
ou escala numérica; tais são, por exemplo, a temperatura, o tempo, 
o módulo dnm vector, etc. Pelo contrário, para o estudo das 
grandezas vectoriais não basta um conjunto numérico; intervém a 
direcçllo e o sentido dos segmentos orientados do espaço a cuja 
totalidade pode ser ordenado por correspondência biunivoca (a menos 
de equipolências) e continua, o conjunto dos vectores definidos como 
atrás fizemos. É grandeza vectorial, por exemplo, oma velocidade, 
uma aceleração, etc. 
-Notações. Além da notação já introduzida, A B, usaremos 
também para representar um vector, uma letra minúscula em nor· 
mando a, r , s , u; . • . e, ainda, a notação de Hamilton B- A 
onde A é o ponto origem e B o ponto extremidade. 
Da igualdade B- A= a tira-se a consequência aritmética 
35) 
a qual se interpreta do modo seguinte: a soma do vector livre 
a = f(A B) com o ponto A, soa origem, é o ponto B, soa 
extremidade. 
Deftnições. Diz-se vector unitário todo o vector de módulo 
igual à unidade. 
PARÁGRAFO 6 19 
Diz-se vector unitário dum eixo o vector unitário que tem a 
direcção e sentido desse eixo. 
Dois vectores livres dizem-se opostos lJUando os seus Fegmentos 
orientados o são - módulos iguais, direcções paralelas , sentidos 
opostos. 
Dois vectores livres dizem-s~ colineares quando as suas direc-
ções são paralelas; três vectores livres dizem-se coplanares quando 
as suas direcções são paralelas a um plano. 
Chama-se tlngulo de dois vectores livres ao ângulo, compreen-
,dido entre O e n 1 formado pelas direcções dos dois vectores, 
tendo em atenção os seus sentidos. 
Vectores ligados a uma base e vectores fixos. É conve-
niente introduzir, ao lado do conceito de vector livre, ainda o de 
vecto1· ligado a uma ba.~e. Esse conceito de vector difere do de 
vector livre apenas no âmbito da equipolência do segroendo orien-
tado A 8 de que o vector é funçiio. Se essa equipolência joga 
em todo o espaço, tem-se o vector livre; se apenas joga sobre 
uma certa recta de posição fixa R), tem-se o que se chama o 
vector ligado à base R). Deste, pode ser dada uma definição 
análoga à. do vector livre (pág. 16) com a modificação seguinte: 
dados dois pontos A e B sobre a recta R) e o correspondente 
segmento orientado A B, chama-se vector ligado à base R), 
definido por A B, a uma fun<;ão dos dois pontos A e B e da 
recta R), satisfazendo às condições segniotes: 1. 8 , essa. função 
toma o mesmo valor para todos os segmentos orientados equipo-
lentes a A B existentes sobre a recta R) e só para esses; o resto 
da definição segue nos mesmos moldes. 
Como se vê, o segmento orientndc A B pode apenas deslizar 
sobre a recta R)- a sua linha de acção on suporte; por isso 
a estes vectores se pode chamar vectores deslizantes. 
U1.0 último grau de perda de liberdade dum vector é consti-
tuido pelos chamados vectores fixos ou localizados - aq neles para 
os qoais é fixa a origem e a extremidade. 
Co mo se vê, tJstas limitações não atingem, propriamente~ a 
essência da entidade vector. 
Q1Jando se disser simplesmente - vector- entender-se-á sem· 
pre que se trata dum vector {it;re. 
20 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL 
1. 7. Multiplicidade linear vectorial. 
Dimensões. Oa definição de vector e das considerações feitas 
no parágrafo 1, 5, resulta imediatamente que o conjunto dos vectores 
do espaço forma um ;~útema linear ou, como também se diz habi-
tualmente, uma mttltiplicidade lineat· vectorial. 
A pergunta feita no final desse parágrafo transforma-se agora 
nesta - a quantas dimensões é es~a multiplicidade'? 
É a essa pergunta que vamos agora responder. 
Antes, porém, de o fazer, lembraremos que, em \·irtude do que 
foi dito nesse parágrafo sobre os sistemas lineares, se verificam as 
seguintes propriedades. 
1. a - Se a multiplicidade vectorial linear é a n dimensões, e 
i 1 . i2 , ···i., é a sua base, entdo i 1 , ~, • • • Ín 8(10 Uneat·mente indepen-
dentes e qualquer vector u da multiplicidade se expt·ime neles segundo 
.. 
36) u = ~ )i. Íj 
j .. J 
que põe em evidência as componentes >1 • ii e os coeficientes l1 . 
Esta relação contém a chamada decomposiçdo de u segundo os 
vectores da base. 
2. a - Dados dois vectores 
n a 
u = ~ 11 . i1 e v = ~ p.1 • i1 
tem-se u = v sempre que e só quando 
Além disso: 
3.a- 37) 
Àj = iJ.j ' J = 1 , 2 ' •.. 11 • 
n 
u ±v= ~ (11· +I' i). Íj. 
f-1 
" 4.a -Dado u = ~).i. i1 e o número real p, tem-s~ 
i-1 
n 
38) p • u = ~ (p. j:i) • Íj. 
i•l 
PARÁGRAFO 7 21 
Deixamos ao leitor o cuidado de verificar a filiação destas duas 
últimas propriedades nas propriedades formais do parágrafo 1. 5 
(e suas correspondentes para os vectores livre~). Lembraremos 
apenas, para o caso da diferença em 37), que ela se reduz à soma 
com o vector oposto do subtractivo e que este é, afinal, igual a 
(-1)·V. 
Posto isto, vamos responder à pergunta feita no começo deste 
parágrafo, considerando, sucessivamente, três casos: colinear idade, 
coplanaridade, caso geral (no espaço ordinário). 
I- Colinearidade. 'I'EORE.IIA 1. 0 - Dados dois vectores colinea· 
res [1. 6] u e i, 71110 nulo, ea:iste um e só ttm número real l tal qtte 
39) o= À -i 
e esse número é 
40) À= 6 . modu 
rnod i 
onde 6 = + 1 se u e 
tidos contrârios. 
têm o mesmo sentido e e: = - 1 se têm sen-
. mod u . · Efectuemos, com efeito, o produto ), . 1 = s . - - .• 1 [1 . 6, 34), 
modi 
com referência a 1. 4, D) e E)]. É ele um novo vectur com a direcção 
de i -e portanto de u - com o sentido de i ou o contrário con-
forme 6 = + 1 ou 6 = -1 (portanto, sempre com o sentido de u) 
e de módulo igual a [1. 4, 29)] mod (). · i)= I l i · mod i= mod ~ . mod i = 
mod1 
=modo. Isto é, Ài=u. 
O número ). é único porque de À· i = f..l. i resulta, por ser 
i =f= O,').=p. [1. 5, prop. 9)]. 
A igqaldade 39) pode pôr se sob a forma 
39a) 
que mostra ll. 5, 31 )] que os vectores colinea,·es u e i são linearmente 
depende11..tes. 
A reciproca é igualmente verdadeira: 
TEOREMA 2. 0 - 8emp1·e que dois vectores a e b silo linea1·mente 
depe?~dentes eles sdo colínem·es. 
22 CAP. I. ÂLGE.BRA VECTORIAl 
Excluindo o caso de nulidade de algum dos vectores, suponha· 
mos que entre eles ee verifica a relação ~ · a+ a. b =O com p e 
a diferentes de zero (se um fosse nulo e-lo-ia o outro também); 
desta igualdade tira-se a=-~. b qne mostra que a e b são para-p 
lelos (porque a multiplica~:ão por um nó. mero real não altera a 
dirt>cçlio ). 
Tudo quanto está dito poderesumir-se no enunciado seguinte: 
TEottEMA 3. o- O sistema de todos os vectores do espaço pa1·alelos 
a ttma direcçdo dada é um sistema vectorial linear a uma dz'menstlo. 
Se i for um vector unitário, tem-se de 40), 
41 ) ). = e · mod u = med u ; 
se, além disso, i tiver o sentido de u, será À = modu, donde 
4~) u =i. modu 
igualdade que reluciona um vector com o vector unitário do seu 
eixo e com o mesmo sentido. Escrevendo, abreviadamente, u em 
vez de mod u , tem-se 
43) u = u ·i i = ~. 
u 
II.- Coplanoridade. TEOREMA 4. 0 - Dados dois vecto1·es m!o 
nulos e nllo paraleloll i e j e outro vecto1· u coplanar a eles, e:r!ist~ 
sempre um e um só par de números reais ). e p., neto ambo8 nulo1 
(a nao ser que u = ÜJ, taú que 
44) 
I 
/ 
I 
_ _ _.L. __ 
A 
F ig . 9 
p 
Suponhamos que os trêB vectores 
i, j , u têm a mesma origem O, o que 
é sempre possivel, por serem ve('torE"s 
livres. Tiremos (fig. O) pela extremi-
dade P de u paralelas às direcçOes 
de i e j; determinam-se assim dois 
pontos A o B e tem-se 
PARÁGRAFO 7 23 
___.. ~ 
Mas [39)) O A=),· i, O B = p. · j, o que demonstra 44). 
- ~ Em face da construção, é evidente q o e O A e O B são úuicos 
e, portanto, únicos ). e p.. À mesma conclusão se chega por 
via anaHtica: dados ).' e ,..., tais que u = ),' · i + ,..., . j, tem-se 
). . i + p. • j = ).' . i + 1-l' • j donde (À - Ã') • i + (p. - p.') . j = O e e ta 
igualdade exige que sejam I. - ).' =O, 1-'-- p.' =O pois, caso con-
trário, pelo teor. 2. 0 1 i e j seriam paralelos, contra a hipótese. 
A igualdade 44) pode ser posta sob a forma 
44a) 
a qual nos mostra [1. 5, 31)] que os trils vectorescoplanares i,j eu 
allo linearmente dependentes. E como o são, a fortiori, se dois deles 
forem paralelos [basta pOr o coeficiente do terceiro igual a zero 
e verifica-se então uma relação da forma 39 a)], tem·se: 
TEOR~MA 5.0 -Trila -vectores coplanares quai8quer sil.o linea1·-
menle dependentes. 
A reciproca é igmalmente verdadeira: 
TEOREmA 6.0 - Sempre que trils vecto1·es a, b e c são linear. 
mente dependentes, eles sélo coplana1·es. 
Suponhamos, com efeito, que há entre a, b e c, não nulos, 
{se algum deles o fosse ficava implkcitamente estabelecida a copla-
naridade) o ma. relação da forma /. • a+ p. · b +v. c= O. Se algum 
dos coeficiellltes é nulo, está-se no caso do teorema 2.0 e cai-se 
logo na coplanaridade; afustemos esse caso. Da relação tira-se 
a=~. b +a. c que mostra imediatamente que a é coplanar a b 
e c visto que as multiplicações por números reais conservam as 
direcções e a adição conserva o plano. 
O teorema 5.0 mostra que a multiplicidade dos vectores parale-
los a um dado plano não pode ter mais de duas dimensões, mas 
como, por outro lado, é sempre posdvel escolher no plano dois 
v,ectores i e j não paralelos, e portanto linearmente independen-
te:~, tew-se o 
TEOR~HA 7.0 - O sistema de todos os vectores do espaço pa1·alelos 
a 1Wt dado plano é um sistema linear vectorial a duas dimensões. 
24 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL 
III. - Caso geral. Comecemos por notar que a mu ltiplicidade 
dos vectores do espuço tem um número de dimensões maior que 2. 
É o que imediatamente resulta do teorema 6. 0 ; ef~ctivumento, dados 
três vectm·es não nulos nna coplanares, a , b, c ele:~~ sflo, necessà?·ia-
me?lte, linea1·mente independentes, pois, se o não fossem, seriam 
copl nnuree como lá se demonstrou. 
Vamos agora provar que númPro de dimensões da multipJi.. 
cidade não pode ser maior que 3. Dern oostraremos para isso o 
Uéttr'O • TEORE~IA 8.0 - -lfflt'tdo vectores quauquer do espaço sêto sempre 
linearmente dependentes. 
Ponhamos de parte os casos simples em que haja paralelismo 
de dois \'ectores ou c o planaridade de três q uaisq oer de entre ele 
-em qualquer de tes casos há dependência linear dos quatro, 
com aoulamente de coeficien tes convenientes -- para nos ocupar-
mos do caso mais em geral: haver quatro vectores não nulos i, j, 
k, u, sem paralelismo nem coplanaridade entre quaisquer g!'llpos 
deles. Pois bem, vamos demonstr~r que e:eiste um e um só terno de 
números reais l , p. , v , tais que 
4ó) 
Seja O a 
Cr----
o 
Fig. 10 
45a) 
u=l·i +p. ·j +v· k. 
origem comum dos quatro vectores, o q ue é sempre 
possivel, e tiremos por P, extremidade de u , 
uwa paralela a k (fig. HJ); st-ja B o ponto em 
que ela encontra o plano definido por i e j. 
- - -Tem·se u = O B + BP; mas [39)] BP= v . k 
-e [44)] O B = l. i + 1-1. .j, logo verifica-se 4ó). 
A dewon tra~ã.o de que ). , f, v são únicos 
faz-se durua maneira inteiramente análoga oquola 
por que e procedeu oo teorema 4.0 • A relação 
45), posta sob a forma 
À·i +f.l ·i +Y ·k -u=O, 
mostra que o quatro vectores são linearmente depend ntes, com 
o que fica demonstrado o teorema. Dele, e das considerações 
feitas imediatamente antes, resulta finalmente que 
PARÁGRAFOS 7 e 8 25 
TEORE ,IoJA 9. 0 - A multiplicidade linear vectorial de todos os 
vectores do espaço ordinário é um si tema linear a tr~s dimensCJes. 
Decomposição. É claro que a relação 45) é absolutamente 
g~ral; vale qualquer que s('ja a posição relativa de u para com 
os vectores i, j e k -se houvet' particularidades nessa posição, 
elas traduzir-se-ão no anulamento de coeficientes. 
E sa relação traduz a decomposição dum vector qualq uer u 
segundo a base i, j e k; para esta podem tomar-se três vectores 
quaisquer desde que não sejam nem nulos nem coplanares. 
Representarem os, para obter maior simetria nas fórm olas, os 
vectores da base por i1 , is, is; a decomposiçào de u escreve-se 
então 
8 
46) u =~)i. Íj. 
j=l 
Se ii são vectores unitários dos seus eixos, o~ coeficientes 
'A1 das componentes ).i. ii são as medidas algéb1·icas [ 41)] dessas 
componentes. 
Quando o vector u fôr qualquer dos vectores i1 da base, a 
fórmula geral 46) toma o aspecto 
8 
47) ii = ~ õik ·h-, 
k-1 
onde os OJk -símbolos de f(,.onecker- são definidos por 
48) OJ k -=- { O +- ~ -=!= k 
1 +-J=k. 
1. 8. Possibilidade duma teoria analítica das multiplici-
dades vectoriais (I) 
As conclusões a que se chegou no parágrafo anterior mostram 
que, uma vez escolhida uma base no espaço ordinário, todo o vector 
do espaço fica unlvocamente determinado por três números reais 
li>j -= 1,2,3. 
(1) Para a colllpretu~ão tia matéria Uf:l$tf:l parágrafo, cuja leitura não é 
indispensável para seguir os desen volvim entos Bubsequentes, o leitor deve estar 
familiarizado com os elementos da teoria das l\Iatrizes e das f•'ormas Lineares. 
Ver, por ex., Lições, Vol. 1.0 , cap. 12 e 13. Para outros desenvolvim entos sobre 
este assunto, ver, por ex., J . 'Vedderburo, Leclures on Mat1·ices, New-York, 1934. 
26 CAP I. Á GEBRA VECTORIAL 
Isto sugere a possibilidade de se estabelecer uma teoria geral, 
de carácter aaalitico, das multiplicidades vectoriais nos espaços 
n-dimeasionais. Vamos iad'car, brevemente, como essa teoria se 
pode desenvolver. 
I. - Define-se vector num espaço eoclideano n-dimensional como 
o conjunto de n números reais p1, p2, • • • Pn, por esta ordem; 
usa-se a notação u = (p1 , pz, · · · p,) . 
Diz-se nttlo o vector em que p1 = O , i = 1 , 2 , · · · n e escreve· se 
(0,0, ... O)= O. 
II. - Dados dois vectores u = (pt, p2, · · · Pn) e v = (at, a2 , · · ·O'n) 
diz-se que são iguais, e escreve-se u =v, quando existem ns rela-
ções p1 = a1 , i= 1, 2, · · · n • 
Verifica-se que esta definição satisfaz às condições de ser refie· 
xiva, simétrica e transitiva. 
m. - Define-se soma dos dois vectores u e v, e escreve-se 
u + v , pela igualdade u + v = (p1 + a1 , pa + a a, · · · Pn + an). 
Prova-se que esta operação goza das propriedad~s da adição 
ordinária- 1. 5, prop. 1) a õ) (mudando a palavra translacçtto em 
vector). 
lV.- Define-se prodt,to de u pelo número real ~, e &screve-
·:!e ~ • u ou u· ~ , pela igualdade 
Demon tra-se que esta opera~ii.o goza das prorrie-dndes ho.bi-
tuai - 1. 5, prop. 6) a 12). 
V. - Define· se· sistema linear ou multiplicidade linear como foi 
feito no parágrafo 1. 5. Da definicãu resulta, por virtude de III e IV, 
que a totalidade dos vectores do espaço o-dimensional é uma multi-
plicidade Unear. 
VI.- De III e IV resulta ainda que todo o vector o da mui. 
tiplicidade se pode pôr, duma única maneira, sob a forma 
u = pt • (1, O,··· O) + pg ·(O, 1, ···O) + · · · + ~~~ ·(O, O, · · · 1) ou, 
• 
abreviadamente, n = L Pi. e;, onde os vectores ~ são definidos 
i=l 
pela igualdade eJ = ( ài1 , à;2 , · •• à;.) e os à i" são dados por 1. 7, 4B). 
Os vectores da multiplicidade aparecem, assim, como formas 
PARÁGRAFO 8 27 
lineares nos ei. Estes, por sua vez, podem pôr·se também sob a 
for ma. anterior, visto que 
n 
e1 = ~ OJI, • ek • 
k - 1 
VII. - Define-se combinaçlfo linear de vectores, do modo se-
guinte: dados os vectores u, u1 , u.a, ···Um, diz-se que u é uma 
combinação linear dos restantes, quandv existem m números reais 
m 
À;, i= 1, 2, · · · m, tais que u = ~ À1 • Ut. 
Vlii. -- Define-se dependência e independência linear coroo habi-
tualmente: os m vectores Ut, u2, ·. · u,4 dizem-se linearmente de-
pendentes quando existirem m números reais À;, i= 1, 2, ·. · m, 
m 
não todos nulos, tais que ~À;. Ui= O. 
i=l 
Se esta relação só for possível quando todos os À; forem nulos, 
os m vectores dizem-se linearmente independentes. 
IX.- Da teoria das formas lineares resulta imediatamente que 
a co~dição necessária e suficiente pam que de entre os m vectorea 
Ut =pu . 6t + pr.a • e2 + ... + Ptn • e,. 
Um = Pmt . el + ~ .. a . es + ... + Pmn • e,. 
haja r e não mais de r linearmente independentes, é que a caracte-
rística da matriz 
((pj~r)) = pu ~IB "• ~III 
fjt Pia •" Pin 
I ~~; ~m3 "• p,.,.l 
sija igual a r . 
Os ro - r vectores cujos coeficientes não figuram no determinante 
principal são combinações lineares dos outros. 
28 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL 
X.- Conclui-se daqui que os n vectores ej, j = i , 2, ... o, 
4(10 linearmente independentes, v isto que a sua matriz 
((ajk))= 1 o ... o 
o J ... o 
o u ... J 
é a mal.l"iz identidade e tem, portunto, característica n. 
Aos vectores ej dá-se o nome de vectores-unidade e ao seu con-
junto chama-se base da multiplicidade. 
De Vl resulta que todo o vector da multiplicidade se exprime, 
duma só maneira, nos vectore da base. 
XI. - 8do linearmente dependentes guai.~qtter o + il. vectores 
da multiplicidade. Efectivamente a caracter[stica da matri:G 
pu 
não pode ser muior que n. 
XIL - Define-se ordem ou número de dimensões da multiplicidade 
do mo do seguinte: diz-se que a multiplicidade é de ordem r, ou tem 
r dimensões, quando há nela r vecto?·es li-nem·mente independentes 
e r+ 1 qzw·isq~ter silo linearment~ depende1~if;~;. 
De X e Xr conclui-se imediatamente que a multiplicidade wtal 
dos t•ectores do espaço a-dimensional é de ordem n • 
Com isto, ficam estabelecidas as propriedades atê aqui estudadas 
para os vectore6 ordinários, e por via meramente analitica. O leitor 
notará a analogia desta teoria com a dos números complexos a n 
unidades [Uções Vol. 1.0 , 9. 12] o que vem confirmar a 11firmação 
atrás feita [1. 6 de que uw vector é uma entidade analitica e cão 
geométrica. 
1. 9. Coordenadas cartesianas. 
É sabido, dos elementos da Geometria Annlitica1 como a. posi-
ção dum ponto Do espaço pode ser fixada com a ajuda do método 
das coordenadas cartesianas. 
PARÁGRAFOS 8 e 9 29 
Toma-se, como sistema de referência, o conjunto de três eixos 
não c(lplanares O x, O y, O z, que, por sim plícidade, se supõem 
tri-ortogonais; o seu ponto de encontro O denomina-se o1·igem das 
coordenadas e os eixos chamam-se eixos co01·denados. 
O sistema diz·se de disposiçao positiva ou de:r:t1·orsum se o con-
siderarmos orientado do modo seguinte (fig. 11): um observador 
colocado ao longo de O z com os pés em 
O e a cabeça para o sentido positivo de 
O z e virado para o interior do triedro, 
deixa o semi-ei:xo positivo O x à direita 
e o semi-eixo positivo O y à esquerda. 
No plano O x y toma·se como sentido 
positivo das 1·otaçrJes aquele pelo qual a 
rotação de menor amplitude (;) que 
leva o semi-eixo positivo O :r: à coinci-
dência com o semi-eixo positivo O y se 
X 
z 
y 
Fig, 11 
faz no sentido directo (contrário ao sentido do movimento dos pon-
teiros dum relógio)- é o sentido indicado pela seta curva na fig. 11. 
Dos seis sistemas determinados pelas seis permutações das letras 
:r:, y, z, três deles -os que correspondem a permutações part>s-
são orientados como o da fig. 11, cada um deles é um sistema 
z .Y X 
Fig 12 
dextrorsum; os outros três- os qnA correspondem a permntuções 
ímpares - são orientados de modo que o observador , nas condições 
acima indicudas, Yê à esquerda Ox e à. direita Oy- cada um deles 
diz·se de dispostçtlo negatiya ou sim'strorsum. 
Na fig. 12, os três sistemas superiores ~>ão de disposição posith·a 
30 CAP. I ÁLGEBRA VECTORIAL 
e os três inferiores de disposição negativa. Como se vê, dentro de 
cada um dos dois grupos, os sistemas derivam uns dos outros por 
permutações circulares das letras, e cada um dos negativos deriva 
de um positivo pela troca de dois eixos. Pode, é claro, fazer-se 
coincidir um negativo com o correspondente positivo desde que se 
lhe troque o sentido de um eixo(l). 
Posto isto, a posição de qualquer ponto M do espaço é fixada 
univocamente por três números reais- as suas três coordenadaB, 
O A =:c, U 1:J = y, O C= z obtidos pela construção da fig. 13 
e q111e é, exactamente, a mesma do parágrafo 1. 7, III, para a decom-
posição do vector OM = u. Tem-se portanto, sendo i, j , k os 
vectores unitários dos eixos, como estão indicados na figura, e 
visto que os ). , p., 11 de 1. 7, 4:'>) são, respectivamente, iguais a 
~ - -med O A = :c , med O B = y , med O C = z , 
49) M(:c, y, z)- O= u = :c· i + y · j + z • k 
que mostra que os coeficientes da decomposiçao de u segundo os 
eixos são precisamente as coordenadaB da sua e:ctren.idade; por 
isso se dá, também, a ::c,y,z, 
o nome de coordenadas do vec- z 
tor. C 
Como se vê, 49) é oro caso 
particular de 1. 7, 45) e, por-
tanto, de 1. 7, 36) e dai resnha 
que são aplicáveis à soma de ~ 
vectores e ao produto deles 
por um número real as regras 
ordinárias da Álgebra, por 
virtude de 1. 7, 37) e 38); e que Flg. 15 
a igualdad e de dois vectores 
exige a igualdade das suas coordenadas homónimas e reclpro ca mente. 
Se o vector não tiver a origem em O mas sim num ponto 
M1 (x1 , y1 , z1), tem-se, sendo M2 (:cs, !}2, zs) a sua ex tremida de, 
- - -- -- - -OMs= OM1 + M, Ma donde M1 Mil= O Ms - OAJ1 =(x2 · i+Ys · j + 
(') Tudo o que et~tá dito a respeito da orien tação dos sistema tri-ortogo-
nais se mantém, ipsis ve1·bis, se eles o não são. 
PARÁGRAFO 9 31 
+ za · k)- (xt ·i+ Yt • j + Zt • k), e a observação que acaba de ser 
feita permite escrever 
-50) Mt Ma = (xs - Xt) · i + (ya- Yt) · j + (zs -zt) · k. 
Se representarmos, para obter maior simetria nas fórmulas, 
os vectores unitários dos eixos por it, is, is (it =i, is= j, is= k), 
e os próprios eixos por Ox1, Oxs, Oxs, a decomposição 49) 
toma o aspecto 
8 
ól ) 111 (x, , W2 , x8) - O = L :tk • ik • 
k - 1 
Como as coordenadas do ponto M são, afinal, as medidas 
alg~bricas das projecções de O M sobre os eixos coordenados, se 
--+-
u = O M é um vector unitá1·io, essas coordenadas são os cosenos 
--+-
dos ân gulos que o vector O M faz com cada um dos eixos, ou, 
como se diz habitualmente, os seus cosenos dú·ectores. 
--+ 
Se forem a.1 , a.z, <Xs os ângulos de O M respectivamente com 
O Xt , O x!l, O :cs, ter-se-á :c. = cos a.k , logo 
--+- 8 --+-
5:?)O Jlf = ~ c os u.~; · ik +- mod O .M = 1 . 
k- 1 
Sempre que, daqui em diante, se não fizer a indicação dos valo-
res qne deve tomar o indice do somatório, entender-so-á que et~ses 
valores são 1, 2, 3, de modo que, por exemplo, 52) se escreverá 
simplesmente 
--+ 
O M = ~ c os a.k • h . 
J: 
Tudo quanto ficoa dito neste parágrafo, à excepçtto do que se 
refere aos cosenos directores, se mantém se os eixos não são tri-
·ortogonais, bastando apenas modificar convenientemente a defini-
ção de coordenadas dum ponto. A construção feita no parágrafo 
1. 7, III para deeuwposiç!l.o do vector u indica como essa definição 
nova é dada- as coordenadas cartesianas, não rectangulares, do 
--+ 
ponto .M são os números ~ , fL, v, da decomposição de O llf = u. 
É claro que em virtude desta definição as coordenadas deixam de 
32 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL 
ser as medidas algébricas das prejecções de u sobre os eixos e por 
isllo as coordenadas do vector unitário não são iguais aos cosenos 
directores. 
1. 10. Aplicações. 
O cálculo vectorial é susc~ptlvel de oumeros!:IS e importantes 
aplicações à Geometria e à F!sica. Nos capltulos seguintes serão 
tratadas algumas; runs podem desde já resolver -se algumas questões 
interessantes. 
1. a - Oondiçr1o de pal·alelismo de dois vectores e::pre~sa nas suas 
coordenadas. SE'jnm os dois \'ectores u e v; (omo se sabe [1. 7 39) , 
a condição de paralelismo deles é v = A . u; vamos exprimir esta. 
condição nas co01·denadas dos dois vectores . 
Sejam o tres eixos coordonados Ox1, Oxz, OzB de vectores 
unitários i,, i2 , ÍJJ e u = ~ lk · Ík, v ·-= ~ m, • ik as decomposições 
k 
dos dois vectores. De v = ), . u resulta ~ m~;-. i~r = ) .. ~ lk ·h= 
k k 
= ~(). .lk) · Ít doode 
k 
ó3) "-=1,2,3 
isto é, 
ó3a) 1111 1n2 m8 -=-=-
ls 
que nos diz que a condiçtlo neceBsária e suficiente de pa,·alelismo de 
dois vectores, dados em decomposi9il.o ca1·iesiana, ~ a propo1·ciorwli-
dade da suas coordenadas. O coeficiente de proporcionalidade À 
6 [1. 7, 40)) 
ól) modv À =fõ· ---. 
mudu 
Z. a - Condiçilo de coplanm·idade de tr~s vectores e:lJpressa nas 
-~~~cw coordcuad<.J.s. Sejam os trôs vectore:. 
u = ~ lk · i~ . v = ~ mk · ik , 
~ ~ 
PARÁGRAFOS 9 e 10 33 
A condição de coplanaridads deles é [1. 7, 44)) no caso geral (não 
annlam€\nto nem paralelismo), w =). · u + p.. v com À e p. reais 
e únicos. É, por conseq uôncia, ~ ?lk • h=À ·~I k • i~: + p. • ~ mk • i~:= 
k k 
= ~ (). -l~: + p. • m~<) ·h donde 
k 
55) k=1,2,3. 
3. a - Equação da 1·ecla qtte passa por um ponto dado e é paralela 
a um vector dado. Seja M um ponto do espaço e u um vector 
livre; a recta definida por .11 e u é con he-
cida desde que seja conhecido o ponto geral 
ou ponto corrente dela; a sua equação con-
sistirá, portanto, no estabelecimento da con-
dição necessária e suficiente a que deve 
satisfazer o ponto geral P para que esteja 
sobre a recta. Ora a recta R) é um lugar Fig. 14 
geomét1·ico- o de todos aqueles pontos tais 
que a direcção definida por qualquer deles e por M seja a direcção 
-de u. A condição necessária e suficiente é portanto que MP e u 
sejam colineares, isto é, que haja um número real ). não nulo, 
único [1. 7, 39)] tal que 
-56) .MP=) . . u. 
É esta a equaçao vecto1·ial da recta; como se vê, ela contóm 
-~ morl MP . 
o parametro ). =e. [54)] que, vanando de - oo a + oo, 
modu 
permite ao ponto P descrever a recta, ilimitada nos dois sentidos. 
É fácil deduzir o aspecto cartesiano desta e4uaÇ"ão. Sejam (o:k) 
e (xk), k = 1, 2, 3, res pectivamente, as coordenadas cartesianas 
dos pontos 111 e P e seja u = ~ lk . ik. De 1. 9, 50) resulta 
k 
-MP= ~(xk - o:~:)· i~:, logo, deve ser (53)] 
k 
ó7) k =1,2,3 
ou seja, substit uindo x 1 , x9 , x8 pelos sim bolos habituais x, y, z, 
CÁLCULO V t:CTORIAL 3 
CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL 
57 a) I re = a1 + ), . l 1 JJ = as+). -ls z =as+). ·Is. 
São as chamadas equa~lJes paramétricas da recta R) . 
:Ck - O:k A 57) pode dar· se a forma = ). , k = 1, 2, 3, isto é, 
lk 
58) re - a1 y - as z - as ---=---= - -
que são as chamadas equaç<Jes normais da mesma recta; os três 
números z,, l2, l8 , definidos a menos duma constante multiplicativa 
(porque as coordenadas de qualquer outro vector paralelo a u 
determinam igualmente a direcção da recta) denominam-se parâ-
mett·os directo1·es da recta. 
Se o vector u for unitário, tem-se, representando por 01 ,93 , Os 
08 ângulos que ele forma com OS eixos, lk=COS 91: [1. 9, 5~)) e, por 
consequência, as equações paramétricas da recta são 
59) k= 1,2 , 3 onde 
__.. 
60) À=s.modMP 
e as equações normais são 
61) X - a1 y - a!l z - as 
---=---=---
C08 91 cos e2 cos Os 
Aos cos ek dá-se o nome de cosenos directores da recta. 
4. • - Equaçâo do plano que passa por um ponto dado e é para-
lelo a dois vectores dados. A dedução faz-se 
-<...,/ por um raciocinio inteiramente análogo ao J. 1'/ anterior. ~·.!---... .:.P Seja 111 o ponto, u e v os vectores 
-..........., não paralelos dados. A condição necessúria 
e suficiente para que o ponto vnriável P 
__.. Fig. 15 
esteja sobre o plano é que os vectores 1l1 [>, 
u e v sejam coplanares, isto é, que seja [t . 7, 44)) 
62) 
PARÁGRAFO 10 35 
com /. e tJ- reais e úoicos; é esta, por cooseq uê11cia, a equação 
vectorial pedida. Como se vê, figuram nela dois parâmetros À e p. 
que pela sua \'ar iação de - oo a + oo permitem ao ponto P des-
crever o plano inteiro. O aspecto cartesiano de 62) é tumbém de 
dedução simples. Sejam (cc~) e (.xk), k = 1, 2, 3, respectivamente, 
as coordenadas cartesianas de M e P e sejam u = ~ lk • ik, 
k 
v= ~ mk · ik as decomposições de u e v; como [1. 9, 50)] 
k 
-+ 
MP= ~ (.xk - cck) • h, tem-se, em virtude de ó5 ), 
k 
63) k=1,2,3. 
Estas eq nações 4 ue se escrevem, substituindo agora x 1 , xa, Xs 
pelos slmbolos habituais das variá\·eie, x,y,z, 
63 a) [ 
x- r7.t = À • lt + p. · m1 
y - aa = À • l2 + fJ. · ma 
z - ao = À • ls + fJ. • ms 
são as chamadas eqtwçõe.~ pm·amétrica.~ do plano. 
É de notar, da comparação de 63 a) com 6~), como de 57 a) 
com 56), o maior poder de condensação e simplicidade na e8crita 
das fórmulas que o cálculo vectorial apresenta, sobre o método 
carte-siano. 
De 63) deduz-se a equaçao cartesiana do plano, para o que basta 
eliminar À e p. 1 isto é, estabelecer as condições necessárias e sufi-
cientes para que o si tema 63), considerado em relação a À e p. 
como incógnittts, seja compath·el. Como u e v 1 por hipótese, não 
são paralelos ( e o fos em, o plano seria indeterminado) o deter· 
minunte principal é de 2. a ordem e há uma só equação de condi· 
ção -anulamento do caracterlstico -
X- O'.J l, ?nj =0 
64) y- (X2 la 1112 
z - rxs ls rns 
que, desenvolvendo o determinante em relação aos elementos da 
primeira coluna, toma o aspecto 
04 a) a1 • (x- a1) + a2 · (y -- a~) + as · (z- as) = O. 
36 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL 
Adiante [1. 12, III] será vista a significação geométrica dos 
coeficientes al, as, as deste equação. 
õ.a- Equaça.o do plano que passa por tr~a pontos não alinhados. 
O problema reduz-se imediatamente ao anterior. SeJam A, B, C 
os três pontos dadoH, de coordenadas 
respectivamente (oo:k) , (~,),(/'~e) , ll = 1, 2,3. 
Fazendo B- A = u, C- A = v o pro· 
blerua reduz-se ao anterior 
A(«x T f:" m- se u = ~ (r;~ - a~;) · 1k , 
,, 
v = ~ (/k - ak). ik e as equações 63) 
k 
tomam o l:lspectü 
Flr;. 16 
65) Xk - a, = ). · (~k - oo:k) + (1· - ('lk - a:k), 
A equação 64) escreYe·se agora 
()6) X1 - a, · ~~ - Ct:J YI - at.r =O 
x 2 - cr, ~1 - a9 Ys - "-: 
:r" - ":J ~Q - as {8 - "'8 
ou, o que é o mesmo, 
66a) "'l ~~ "/1 =0. 
"'z ~2 "/2 
crs ~B 18 
1 1 1 
Façamos agora uma aplicação à Fisica. 
k=1,2,8, 
6.• - Ba1·icentro dum sistema de pontos 111ateriais de massa totalndo n1tla. Sejam os pontos do espnc;;os P1, P!J, . •• P., aoa quais ~>6 
atribu6m, ou fa.,;em corresponder, as massas re~pectiYamente 
.. 
m1, m2, · • · mn; supondo que ~ m1 =f= O, e dado nm ponto arbitrá· 
~ 
rio O do espaço, constrnamos o ,·ector fi:to O G definido pela 
-igualdade, onde O P, siio também ,·actores fixos, 
67) 
PARAGRAFO 10 37 
É claro que, uma ve:t escol h ido O, esta igualdade determina 
-+ 
unlvocamente O G (e portanto G)- o vector O G vem expresso 
-+ -+ --+ 
em combinação linear dos vectores O Pt, O P2 , • •• O Pn, com 
fi . ?nt m,. coe ctentes --, .. · -- . 
Lmi Lmi 
Vamos demonstrar que o ponto G nllo depende do ponto O. 
Seja, coro . efeito, outro ponto O' do espaço e seja G' o novo 
ponto definido a partir de 67), isto é, seja 
-~ -+ 
L 11l;. O'P; = O'G' . L 11l;. 
-+ ->- --+ 
Como se tem, quaisquer que sejam os pontos, 00' + O'P; = OP;, 
~ -+ 
vem, snbstituindo na igualdade nnterior, L m, ·(O P;- O O') = 
-+ 
= O'G'. L m,, donde, desenvolvendo o somató rio do primeiro 
--+ - _,... 
membro, L m; ·O P; ·- O O'· L m; = O'G'. L m,, donde, por 67), 
-+ -+ -(O G - O O')· L m; = O'G' ·L m;, donde, ainda, por ser L m,=f=O, 
-+ -> -~ 
O'G' = O G- O 0'. Mas, por outro lado, é sempre verdade que 
--+ --+ --+ --+ --+ - --+ -+ OO'+O'G=OG, donde O'G=O G-00', logo é O'G'=O'G 
o que prova que o ponto G' coincide com G . 
Ao ponto G, definido e determinado por 67), <'hama-se bari· 
cent1·o ou centro de gravidade do sistema de pontos dados. 
Se se tomar para ponto O o próprio baricentro G, a igual-
dade 67) toma a forma 
68) 
n --+ 
L 1n; ·GP;=0 
i=l 
da qual se tiram algumas conclusões intereesantes. Vejamos duas. 
a) O sistema é constítuido po~· doiiJ pontos. 68) reduz-se a 
--+ --+ --+ --+ 
mt·GPt +ma·G Pa= O, donde (se ma=f=O)GP2 = ) . . GPt que 
-mostra [1. 7, 39)] que os dois ve-ctores ( G Pt e G P2 siio paralelos e, 
como têm a mesma origem G, estão sobre a mesma recta, logo 
o baricent1·o do sistema está sob1·e a 1·ecta definida por P1 e P2 • 
38 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL 
--+ -e as massas forem ambaa igu ais à unidade, é GP~=- G P1, 
isto é, o baricentro está no meio do segmento 1'1 P2 • 
b) O sistema é co11stiluúlo por t1·ê:J ].Jontos nlio alilll/,Qdo/3. Tem-se, 
- - ~). de 68), m1 • G P 1 + 111] · G Pll ma· G Ps -O donde (5e ms =!=O) 
- ---+ -GPa=I..GPr+iJ· GP!il qoemostra[1.7, 4J)]que O estánoplano 
definido por P 1 , P:, P$. 
- -- --Se as ma8sas Bão iguais à unidade, tem -se GPs=-(GPt+ GP2) 
e daq ui conclui-se que G está sob1·e a mediana do tritlngulo de v~r­
ticeB P1 , Ps, P8 a doi, ter901J a contar do vércice. 
--Efe.ctivnmonte (fig. 17), tirando por P 1 o vector fi:xo P1 P = 
-+ -);o __.. ___... 
= GP;?, vê-se que GP1 + GP2 =G P 
e, com o P1 , P. Ps, G, dPfinem um pa-
ralelogramo, U P corta }J, P 9 ao meio 
- --em H e GP=2· Gil. Por outro lado. como 
- - - -Flg. 17 GPIJ=- (GP1 + GP2) tem· e GPs= 
-=- 2 · GH, quer dizer, os pontos 
G,H, P8 estão alinhados e G está a dois tercos entre P8 e H . 
O mesmo r acioclnio se faz para as outras medi11nas, de modo 
que fica estabelecido que o baricentro está sobre cada uma das 
media oas a dois tercos a contar do vértice corres pondente o que, 
por consequência, estas, as medianat! . se cortam uum ponto -
o bariceatro do tr iângulo . 
11. PRODUTOS E OPERADORES. 
1. 11. Produto vectorial ou externo. 
Defrnição. Dados dois vectores livres u e v, não nulos e não 
paralelos, ch!t.ma-se p1·oduto ,;ectorial ou produto e:ete1·no deles , e 
representa-se por UI\ v, que se lê: u e:eterno v, ao vector livre 
w que ~atisfaz às seguintes condições: 
a) a direcfi ll.O de w é perpeudicolar ao plano definido pelas 
direcções de u e v ; 
b) o sentido de w é tal que os três vectores u, v, w, por 
esta ordem, formem um triedro dext1·orsum, isto é, de disposição 
análoga à do triedro definido pelos \'actores i, j , k. 
c) o módulo de w é definido pela igualdade 
ü9) modw = mod (ul\ v) = modu. modv • sen e 
sendo e o tlngulo [1. 6] dos vectores 
Como se vê, o módulo 6 
definido como igual ao valor 
absoluto da área do paralelo-
gramo determinado pelos dois 
vectores u e v . 
Se algum. dos dois vectores 
u e v é nulo, ou se eles são 
par!t.lelos, põe-se por definição, 
70) u(\v=O. 
u e v, O = ang (u, v). 
Fig. 18 
Propriedades. O produto vectorial goza de algumas proprie-
dades que o assemelham ao produto ordinário mas possui outras 
que dele o diferenciam nitidamente. Comecemos pelas primeiras. 
1. I- Sendo r um 1~Úmero J•eal qualquer, tem-se 
71) p . (u 1\ v)= (p . u) 1\ v = u 1\ (p . v). 
4.0 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL 
Efectivamente: 
a) a mnltiplicaçào por p não altera as direc~ões; 
b) se é p>O, os sentidos mau têm- se; se é p<O, a alteração 
de sentido produzida em u, ou em v, coincide com a produzida 
em UI\ v; 
c) émod[p · (u/\v))= IP!-modu -modv-sen e 
= (I PI · morl u) · mod v · sena 
= 7110d u · (i p I · mod v) · sen e . 
2. a_ O produto vectoria~ é disb·ibutivo em relação à soma, isto é, 
72) uA(v + w) = ut\ v + ut\ w. 
Comecemos por demon8tra r q o e, dado.s os vectores u e v, .~e 
chamarmos r ao vector projecçao do vector 
v sobre um pla11o perpendicular a u, se tem 
UI\ V= Ut\r, 
Com efeito (fig. 19): n) direcçao . 
Como r está no plano definido por u e 
v, as direcções de ut\ v e u/\r c oin-
cidem e estão sobre o plano P) perpen-
dicular a u. 
b) sentido. Os triedros u, v, u !\v e 
u 
Flg. 19 
u, r, U/\r têm, evidentementE', a mesma disposi~ão. 
c) módulo. É mod (u ;\r) = mod u . mod r = 
= mod u . (mod v . sen e) 
= mod (n A v). 
Como se vê, a efectivação de u/\r, multiplicação vectorial 
(à esquerda) de r por u, consistiu numa rotação, fe ita a r no sen-
tid<> positivo e de amplitude ~, efectuada no plano P) perpen-
2 
dicular a u, e na mul tip licação do seu módulo (de r) por modu. 
Posto i to, passemos à dem onstração da igualdade 72). 
Seja ainda P) o plano perpendicular a u e projectemos orto-
gonalmente sobre ele (fig. 20) os vectores v, w, v + w; obtêm-se 
-sobre P) os vectores r, s e OH= r+ s. 
Pelo que acima se viu, é u t\ v = u 1\ r , u 1\ w = u 1\ s, 
ut\ (V+W) = u/\(r-rs) logo, a igualdade a demon strar, 7:2), reduz-
·se a u/\(r + s) = uA.r + uAs. 
PARÁGRAFO 11 4J 
Ora esta é manifestamente verdadeira visto que, como para 
r, s e r+s a multiplicação vectorial por u (à esquerdn) consiste 
Flg. 20 
na rotação sobre P) de r. no sentido positi\•O e na multiplicação 
2 -do módulo por n.od u, a igualdade O II= r + s não é destrulda 
por virtude dessas modificações e se tem 
-uj\0 H= u/\r + u/\s. 
Demonstrava-se anàlogamente que 
(u +V)/\ VI = U/\W + V/\W. 
Esta igualdade e 72) generalizam-se sem dificuldude e tem-se 
73) 
que, utendendo a 71), se pode escrever sob a forma mais geral 
em que i e k tomam, independentemente um do outro, todos os 
valores inteiros cada um do seu conjunto, em geral distintos um 
do outro. 
Esta ignaldade mostra que o sinal de produto externo e de com-
Mnaçllo linea1· stlo permutát:eis. 
Passemos agora às propriedades pelas quais o produto vecto-
rial difere do produto ordinário . 
42 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL 
3.3 - O prodt~to ?;ectorial nilo é eomutatt'vo. Verifica-se a relação 
7ó) 
Efectivamente, as direcções e os módulos de u 1\ v e v 1\ u 
coincidem, como é óbvio, ruas os sentidos são opostos visto que a 
troca dos dois eixos u e v origina urna mudança na disposição 
do triedro [1. 9, fig. 12]; para que ele continue a ser dextr01·sum bá 
portanto que mudar o Stlntido do terceiro eixo, logo verifica-se 75). 
4. a- O p1·oduto vecto1·ial n{lo é associativo, isto é, 
76) u/\ (v 1\ w) =I= (ui\ v) 1\ w. 
Basta verificar, por exemplo, que as direcções dos dois vectores 
são diferentes. Ora r= uf\(v 1\ w) é perpendicular a v 1\ w (e a u) 
e comov 1\ w é perpendicular ao plano definido por v e w, r é para-
lelo a esse plauo. U m racioclnio análogo mostra que S=(u/\ v)/\ w 
é paralelo ao plano definido por u e v, logo as direcções de r e s, 
em geral, são diferentes. 
6.3 -É ve1·dade que uf\0=0/\u =O, mas de uf\ v =O não 
resulta necessàriamente u =O ou v= O; pode ser u =/=O , v =1= O 
e u paralelo a v, como resultu da definição 70). 
6. •- Sejam u, v , w vectores não nulos; é verdade que de 
u = v resulta u 1\ w = v 1\ w e w 1\ u = w 1\ v , mas ndo é verdade 
qtte de UI\ w =v/\ w resulte necessàriamente u = v. 
Basta verificar que os módulos de u e v podem ser diferentes. 
Ora. de UI\ W=V 1\ w resulta, fazendo a ng (u, w) = O e ang (v, w)=O' 
moa' u . mod w · sena = mod v . mod w . senO' donde mod u . sen a = 
= modv ·senO' e esta igualdade pode coaxistir com modu=f=modv. 
Pode, no entanto, afirmar-se que, se a igualdade UI\ w =v 1\ w 
se 'l:erifica qualquer que srja o vector w, dela resulta necessària-
menle u = v . 
Com efeito, nessa hipótese, u e v são paralelos, porque da 
igualdade u 1\ w = v 1\ w resulta o paralelismo dos dois planos 
definidos por u e w e por v e w e osses dois planos só são 
paralelos par a w qualquer , se u e v forem paralelos . 
Do paralelismo de u e v resulta sena= senO', donde modu = 
= modv; por outro lado, u e v têm, necessàriamente, o mesmo 
sentido (se o não tivessem, seria u /\ w = - v 1\ w) logo é u = v. 
PARÁGRAFO 11 43 
'i. • - Ndo é poRsível definir uma operaçl'l.o inversa da sua multi-
plicaçllo vectorial, pelo menos com o significado habitual, visto que 
há uma infinidade de vectores cujo produto vectorial por v é igual 
a u. Adiante [1. 20, b)] trataremos da operação designada pelo 
nome de divisllo vectorial. 
Expressão cartesiana do produto veclorial. Comecemos por 
determinar os produtos vectoriais dos vectores unitários dos eixos. 
Da definição resulta imediatamente (fig. 21) que 
i/\i= O, 
i ;\j=k, 
j;\j =O, 
j ;\ k=i , 
k/\k=O; 
k/\i = j; 
estas três últimas igualdades fixam-se muito fàcil· 
mente notando que a or dem dos vectores unitá-
rios nelas é a das três permutações circulares das 
letras i, j , k . 
Fig. 21 
E como, pela troca dos factores, os produtos mudam de sinal, 
tem-se 
77) llfli - i ll i -kfl k=O i;\j =- j;\i = k j ;\k=-k/\ j = i k/\i=-i 1\k=j . 
Pondo i1 , is , iq em \·ez da i , j, k, 77) toma o aspecto 
77 a) 
1 
it 1\ i1 = Í2 1\ ia = i, 1\ is = O 
i1 1\ i2 = - ij 1\ i1 = is 
is 1\ is = - is 1\ i.:~ = i1 
io 1\ i1 =- - i1 1\ is = i2 
igualdades que podem condensar -se nas relações 
78) ij 1\ ij = o' ij 1\ ij+J = - Íj+t 1\ij = ii-t-2 
j=1,2,3 
com a co nvençilo de que, sempre que algum dos índices supera 3 se 
lhe rleve subtmir o número 3. 
Posto isto, sejam dois vectores 
u = a,· i+ a2j +as· k , v = b, ·i+ b2 • j + bs · k. 
44 CAP. 1. ALGEBRA VECTORIAL 
Com a aplicação dus propriedades 11), 74) e 77), obtém-se 
79) U/\ v= (a.2 · bs- as· b2) ·i+ 
+(as· b, - a1 · bs) · j +(a,· b2 - a2 • bt) · k 
igualdade a que se pode dar a forma simbólica 
8()) U/\ V = i j k 
Se representarmos os Yectores unitários por i,, i2, is, 79) toma 
o aspecto 
U/\ v= (~ai -i;);\ (~bk ·h) 
= (a2 · bs- Os· be) ·i,+ (as· b,- a, • bn) -ie + 
+ (a 1 • ba - a2 · b,) ·is 
que pode escrever-se 
81) U/\V=~(aj+J'bj+e-Oj+2 'b}+J)•ij 
i 
com as mesmas convenções feitas a propósito de 78) quanto aos 
valores dos indicas. 
1. 12. Aplicações do produto vectorial. 
Nos parágrafos seguintes serão vistas largas aplicações do pro-
duto vectorial. Por agora '' iiO ser tratadas, a titulo de exemplos, 
apenas algumas rrplícações geométricas. 
I. - Poroleli~mo de vectores. É conhecida já. a condição para 
que dois vectores uão nulos sejam paralelos, condição exp1·essa 
na.~ coordenadas cartesianas desses vectores [1. 10, 53)]. Mas é pos-
sivel exprimir essa condição independentemente do sistema de 
refer~ncia constituído pelos eixos cartesianos. Bast~, com efeito, 
escrever 
82) U/\ V = 0; 
se nenhum dos dois vectores u e v é nulo, esta condição exprime 
necessàriamente o paraleUsmo de u com v. 
Se introduzirmos nesta condição as decomposições cartesianas 
PARÁGRAFOS 11 e 12 45 
dos dois vectores u = ~ ak · h, v = ~ hk · ik, tem-se [1. 11, 79)] 
k k 
(a:~ bs- as b2) ·i,+ (asb1- o1 ba) . i2 + (u1 bz- o2b1) ·is= O donde 
aabs-asb:~=O, asb1 -a1 b8 =0, a1 b2-a2b1=0 donde, 
. d ar a2 os . 'd 1 10 53 ) am a, - = - =- que comct e com . , a. 
b1 b2 bs 
II.- Ângu lo de dois vectores. Sejam u e v dois vectores 
e e o seu ângulo. 
De 1. 11, 69) mod (u 1\ v)= mod u · morl v . senO, resultu 
sen 0 = mod (u 1\ v) 83) 
mod u . mod v 
III.- Coeficientes da equação do pleno. Viu·se (1. 10, 4.•] que 
a equação do plano passando pelo ponto J.Vl (()!.k) e paralelo aos 
Yectores (não paralelos) u = ~ lk • ik, v = ~ mk • ik é da forma 
k k 
G4) Xt - 0'.1 lt 111t =0 
x2 -- (it2 l2 111:~ 
xa - cca la ma 
ou seja 
64 a) a1 · (xt- (itt) + a2 • (x2- (it:~) + as · (xs- (;te)= O. 
É fácil ver agora a significação geométrica dos coeficientes 
a1, a2, a8• Efectivamente, como (1. 11, 80)] 
u 1\ v = i, i:~ is 
11 l:~ la 
verifica-se imediatamente que a1, a2, os são, precisamente, as coor-
denadas ao vector ui\ v o como este, por definição, é perpendicular 
no plano definido por u o v, tem·se que os coeficientes das t·ariá· 
vei$ na equaçao do plano 
stlo as coordenadas do vecto1· normal a esse plano. 
46 CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL 
IV - Área dum triângulo. Sejam três pontos do espaço, Mo, 
M1 , M2 , não alinhados, e A o \'alor absoluto da área do triângulo 
--+ 
definido por eles (fig. 22); escrevamos Mo M1 = u ; Mo M3 = v. 
I 
I 
11.Lj__.__.L__o.J!1, 
Como A é metade da área do para-
lelogramo MoM1MM2 e para esta, em 
valor absoluto, se tem como valor 
mod u · h e h= mod v . . Yen 13, tem-se 
A= .!_mod u · modv ·senO, isto é 
2 
I'Jg. 22 84) 1 A= -mod(u 1\ v). 
2 
Se os três pontos Mo, M1 , M3 estão no plano Oxy, A expri-
me-se muito simplesmente nas soas coordenadas. 
Seja Mo (o: L, as), M1 (~t, ~2), Ms (y1 , 12); tem-se 
--u =Mo M1 = (~t- at)it + ((jz- ag) i2, 
--v = Mo llf2 = (71 - a1) i1 + (y2- as) is 
donde u 1\ v = it is is 
tl- o:, ~j - <Xg o 
fl - O!J "/2 - 0:2 o 
=[(~L - o:,)· ("'s- o:2)- (~s- <X2) • (Yt - o:,)]· io · 
É, por consequência, 
isto é, como imediatamente se reconhece, 
8ó) 1 A=-lól 2 com 1 1 
1 
V.- Área orientada. Vectores oxiois polares. Se, na fig. 22, tro-
carmos os vectores u e v, o valor absoluto do seu produto externo, 
e portanto da área A, fica o mesmo mas o sentido do vector u/\ v 
muda, como se sabe, consen·ando a direcção. 
Suponhamos que o contôrno do triângulo JJ-10 M1 M2 é descrito 
por um ponto no sentido indicado na figura 22 - de u para v: 
PARÁG RAFO 12 47 
Mo M1 M2- isto é, no sentido directo: a esse sentido do percurso 
vem ligado o sentido positivo de u;\ v, sentido tal que o triedro 
u , v, u;\v tem a disposição do triedro fundamental Ox1:r:2 :r8 • 
Este sentido de percurso é tal que a área é deixada à esquerda 
durante o movimento do percurso. 
Suponhamos agora o perímetro do triângulo descrito no sentido 
retrógrado: M0 M2M1 - a área é deixada então à direita durante 
o percurso e a este sentido de movimento vem ligado o sentido 
contrário ao que u ;\ v tinha há pouco, sentido que tor na agora o 
triedro u, v , u ;\ v de disposição contrária à do triedro funda-
mental de referência. 
Estas considerações justificam ns definições seguintes : 
a) Area o1·ientada. A toda a área liga-se o sinal + ou o sinal -
conforme o sentido do percurso em que é consid~rndo descrito o seu 
perímetro : sinal + se esse sen tido é o directo , sinal - se é o ret1·ó.qrado . 
Na fig. 22 o trillngulo MoM1M2 tem área +A, o triângulo 
lvfo M2 M1 tem área - A. 
A ár aa do parulelogramo definido por

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