Questão resolvida - Mostre que a função f(x)xsen(1_x), se x diferente de 0 e 0, se x0 é contínua em x0 - continuidade de função - Cálculo I

Prévia do material em texto

Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Mostre que a função é contínua em .f x =( ) xsen , se x ≠ 0
1
x
 0, se x = 0
x = 0
 
Resolução:
Para a função ser contínua em um ponto com é preciso satisfazer 3 condições;x = a
 
 1 f a tem que existir) ( )
 
 2 f x tem que existir) lim
x→a
( )
 
 3 e devemos ter f x = f a) lim
x→a
( ) ( )
Veja que existe, ; vamos, agora, verificar o limite de quando tende a 0;f 0( ) f 0 = 0( ) f x( ) x
 
xsen = 0 ⋅ sen indeterminaçãolim
x→2
1
x
1
0
→
 
 é uma indeterminação, assim, é preciso estudar a função de equação , como visto 
1
0
1
x
abaixo:
 
 
Perceba que o limite da função é . A função seno é um tipo de função chamada 
1
x
±∞
limitada, já que varia sempre entre -1 e 1 mesmo a função tendendo para , com isso, ±∞
podemos escrever as desiguadades:
-1 ⩽ sen ⩽ 1
1
x
Multiplicando a expressão por x, fica :
-1 ⋅ x ⩽ x ⋅ sen ⩽ 1 ⋅ x
1
x
- x ⩽ x sen ⩽ x2
1
x
Agora, aplicamos o limite aos termos :
 
- x ⩽ x sen ⩽ xlim
x 0→
( ) lim
x 0→
2 2 1
x
lim
x 0→
 Os limites - x e x são iguais a zero;lim
x 0→
lim
x 0→
 
0 ⩽ xsen ⩽ 0lim
x 0→
1
x
 
 
Finalmente, podemos concluir que o limite pela esquerda e pela direita tende xsenlim
x 0→
1
x
a zero e, assim:
 xsen = 0lim
x 0→
1
x
Como;
 
 xsen = f 0 = 0 a função é contínua!lim
x 0→
1
x
( ) →
 
 
(Resposta )