Calculo Diferencial e Integral I

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2018
CálCulo DiferenCial 
e integral i
Profa. Jaqueline Luiza Horbach
Prof. Leonardo Garcia dos Santos
Copyright © UNIASSELVI 2018
Elaboração:
Profª. Jaqueline Luiza Horbach
Prof. Leonardo Garcia dos Santos
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
H811c,
Horbach, Jaqueline Luiza
Cálculo diferencial e integral I. / Jaqueline Luiza Horbach; Leonardo 
Garcia dos Santos. – Indaial: UNIASSELVI, 2018.
 
208 p.; il.
 
 
ISBN 978-85-515-0216-7
1. Cálculo. – Brasil. I. Santos, Leonardo Garcia dos. II. Centro 
Universitário Leonardo Da Vinci.
CDD 517
III
apresentação
Prezado(a) acadêmico(a)! Bem-vindo(a) à disciplina de Cálculo 
Diferencial e Integral I. Este livro trata de um dos principais alicerces do curso 
de Matemática. Este campo do conhecimento é de grande relevância para o 
professor de matemática, pois ele apropria ao acadêmico o rigor necessário 
para sua futura prática docente. 
Temos a certeza de que você irá verificar o quanto esta disciplina é 
interessante e rica em conhecimento e estratégias de resolução de problemas 
práticos. Entenderemos que o mundo que conhecemos hoje teve sua base 
teórica revolucionada após os estudos ligados ao cálculo. Pode-se dizer que 
o cálculo mudou os paradigmas do conhecimento científico, determinando 
uma linguagem para diversas aplicações da matemática.
Este material está dividido em três unidades que abordam teoria 
e prática das ferramentas iniciais do cálculo. Na primeira unidade 
apresentaremos os conceitos introdutórios do Cálculo, que envolvem 
conceitos de limites e continuidade de funções de uma variável. Eles nos 
trarão a ideia de tendência, convergência, basicamente de modo teórico, e 
assim sendo, serão de suma importância para a sequência de seus estudos.
Na sequência, unidades 2 e 3, estudaremos derivadas, seus métodos de 
resolução, principais propriedades e, por fim, usaremos estas em aplicações. 
Este é um dos conceitos mais bonitos do Cálculo Diferencial e Integral, 
riquíssimo em aplicações. Por isto destinamos duas unidades deste material 
apenas para seu estudo e aprofundamento. Pode-se dizer que, daqui para 
a frente, em todas as disciplinas de Cálculo (e algumas outras) ao longo do 
curso, a derivada será um “ator”, um “protagonista” das discussões existentes.
 
Queremos aqui salientar que este material traz um curso introdutório 
do Cálculo Diferencial e Integral. Você deve se sentir curioso e instigado a 
pesquisar outros materiais para ampliar e completar seu aprendizado. 
Você, aluno da Educação a Distância, deve saber que existem fatores 
importantes para um bom desempenho: disciplina, organização e um 
horário de estudos predefinido para que obtenha sucesso. Em sua caminhada 
acadêmica, você é quem faz a diferença. Como todo texto matemático, por 
vezes denso, você necessitará de papel, lápis, borracha, calculadora, muita 
concentração e dedicação. Lembre-se de que o estudo é algo primoroso. 
Aproveitando esta motivação, vamos iniciar a leitura deste livro.
Estimamos que, ao término deste estudo, você consiga notar a 
evolução do seu entendimento matemático, pois a melhoria constante 
deve ser o objetivo de todo(a) acadêmico(a). Desta forma, esta disciplina 
pretende oportunizar a compreensão da construção dos conhecimentos aqui 
trabalhados e servir de subsídio para os conhecimentos subsequentes.
Bom estudo!
IV
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfi m, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há 
novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também 
contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
Bons estudos!
NOTA
Olá acadêmico! Para melhorar a qualidade dos 
materiais ofertados a você e dinamizar ainda mais 
os seus estudos, a Uniasselvi disponibiliza materiais 
que possuem o código QR Code, que é um código 
que permite que você acesse um conteúdo interativo 
relacionado ao tema que você está estudando. Para 
utilizar essa ferramenta, acesse as lojas de aplicativos 
e baixe um leitor de QR Code. Depois, é só aproveitar 
mais essa facilidade para aprimorar seus estudos!
UNI
V
VI
VII
UNIDADE 1 - LIMITES E CONTINUIDADE ................................................................................ 1
TÓPICO 1 - CONCEITO E PROPRIEDADES DE LIMITES ....................................................... 3
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 3
2 CONCEITO DE LIMITE .................................................................................................................. 3
2.1 NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITES ........................................................................................... 4
2.2 PONTO DE ACUMULAÇÃO ................................................................................................... 6
2.3 DEFINIÇÃO DE LIMITE DE UMA FUNÇÃO ........................................................................ 9
2.4 UNICIDADE DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO ..................................................................... 13
3 PROPRIEDADES DE LIMITES .................................................................................................... 14
3.1 PROPRIEDADES DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO ............................................................... 15
3.2 TEOREMA DO CONFRONTO E DA FUNÇÃO LIMITADA ............................................... 19
4 CÁLCULO DE LIMITES.................................................................................................................. 22
4.1 INDETERMINAÇÕES ................................................................................................................. 22
4.2 TÉCNICAS PARA CÁLCULO DE LIMITES INDETERMINADOS ..................................... 24
RESUMO DO TÓPICO 1.................................................................................................................... 29
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 31
TÓPICO 2 - ANÁLISE DE LIMITES DE FUNÇÕES .................................................................... 33
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 33
2 LIMITES LATERAIS ....................................................................................................................... 33
3 LIMITE NO INFINITO ....................................................................................................................38
4 LIMITES INFINITOS ...................................................................................................................... 43
5 LIMITES FUNDAMENTAIS .......................................................................................................... 49
5.1 PRIMEIRO LIMITE FUNDAMENTAL ..................................................................................... 49
5.2 SEGUNDO LIMITE FUNDAMENTAL .................................................................................... 54
5.3 TERCEIRO LIMITE FUNDAMENTAL .................................................................................... 56
RESUMO DO TÓPICO 2.................................................................................................................... 59
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 60
TÓPICO 3 - CONTINUIDADE DE FUNÇÕES.............................................................................. 63
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 63
2 CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO ........................................................................................ 63
3 PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES CONTÍNUAS ..................................................................... 67
4 TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO ............................................................................... 69
LEITURA COMPLEMENTAR ........................................................................................................... 71
RESUMO DO TÓPICO 3.................................................................................................................... 74
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 75
UNIDADE 2 - DERIVADAS .............................................................................................................. 77
TÓPICO 1 - CONCEITOS INICIAIS DE DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL ................ 79
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 79
2 RETA TANGENTE ............................................................................................................................ 79
2.1 TAXA DE VARIAÇÃO ............................................................................................................... 85
sumário
VIII
2.2 DEFINIÇÃO DE DERIVADA .................................................................................................... 87
RESUMO DO TÓPICO 1.................................................................................................................... 94
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 95
TÓPICO 2 - PROPRIEDADES DE DERIVAÇÃO ......................................................................... 97
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 97
2 REGRAS DE DERIVAÇÃO ............................................................................................................ 97
2.1 FUNÇÃO COMPOSTA E REGRA DA CADEIA ................................................................... 108
2.2 FUNÇÃO INVERSA E SUAS DERIVADAS ........................................................................... 112
2.3 DERIVADAS SUCESSIVAS ....................................................................................................... 117
RESUMO DO TÓPICO 2.................................................................................................................... 120
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 121
TÓPICO 3 - DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E IMPLÍCITAS .............. 123
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 123
2 DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ........................................................... 123
2.1 FUNÇÃO SENO .......................................................................................................................... 123
2.2 FUNÇÃO COSSENO ................................................................................................................... 126
2.3 FUNÇÃO TANGENTE .............................................................................................................. 128
2.4 FUNÇÃO SECANTE ................................................................................................................... 129
2.5 FUNÇÃO COSSECANTE .......................................................................................................... 131
2.6 FUNÇÃO COTANGENTE ........................................................................................................ 132
3 DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS ..................................... 134
3.1 FUNÇÃO ARCO-SENO ............................................................................................................. 135
3.2 FUNÇÃO ARCO-COSSENO ..................................................................................................... 136
3.3 FUNÇÃO ARCO-TANGENTE .................................................................................................. 137
4 DERIVADA DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS ................................................................................... 138
LEITURA COMPLEMENTAR ........................................................................................................... 142
RESUMO DO TÓPICO 3.................................................................................................................... 144
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 145
UNIDADE 3 - APLICAÇÕES DAS DERIVADAS ......................................................................... 147
TÓPICO 1 - ESTUDO DOS SINAIS DA DERIVADA ................................................................. 149
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 149
2 LANÇAMENTO VERTICAL (MOTIVAÇÃO) ........................................................................... 149
3 MODELAGEM MATEMÁTICA PARA O PROBLEMA ........................................................... 152
4 COMPORTAMENTO DE FUNÇÕES ........................................................................................... 154
4.1 FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES ....................................................................... 154
4.2 MÁXIMOS E MÍNIMOS ............................................................................................................. 155
4.3 TEOREMA DE ROLLE E TEOREMA DO VALOR MÉDIO .................................................. 160
4.4 CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE FUNÇÕES ......................................................... 162
4.5 OUTRO CRITÉRIO PARA A DEFINIÇÃO DE MÁXIMOS E MÍNIMOS ........................... 165
RESUMO DO TÓPICO 1.................................................................................................................... 170
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 172
TÓPICO 2 - GRÁFICOS DE FUNÇÕES .......................................................................................... 175
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................175
2 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS DE FUNÇÕES ........................................................................ 175
RESUMO DO TÓPICO 2.................................................................................................................... 184
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 185
IX
TÓPICO 3 - RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ATRAVÉS DAS DERIVADAS ........................ 187
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 187
2 PROBLEMAS QUE ENVOLVEM TAXAS DE VARIAÇÃO ..................................................... 187
3 PROBLEMAS QUE ENVOLVEM TAXAS RELACIONADAS
 E DERIVAÇÃO IMPLÍCITA ........................................................................................................... 188
3.1 TAXAS RELACIONADAS E REGRA DA CADEIA .............................................................. 189
3.2 DERIVAÇÃO IMPLÍCITA E TAXAS RELACIONADAS ....................................................... 190
4 PROBLEMAS DE MÁXIMO E MÍNIMOS (OTIMIZAÇÃO) .................................................. 193
RESUMO DO TÓPICO 3.................................................................................................................... 197
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 198
TÓPICO 4 - CÁLCULO DE LIMITES .............................................................................................. 201
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 201
2 DEFINIÇÃO DA REGRA DE L’HOSPITAL ............................................................................... 201
LEITURA COMPLEMENTAR ........................................................................................................... 204
RESUMO DO TÓPICO 4.................................................................................................................... 206
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 207
REFERÊNCIAS ..................................................................................................................................... 208
X
1
UNIDADE 1
LIMITES E 
CONTINUIDADE
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você será capaz de:
• apresentar o conceito de limite de funções de uma variável;
• calcular limites de funções reais;
• compreender a ideia de limites no infinito e infinitos;
• calcular limites notáveis fundamentais;
• compreender o conceito de função contínua intuitivo e formal;
• verificar a continuidade das funções.
Esta unidade está dividida em três tópicos. No final de cada um deles, você 
encontrará atividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado.
TÓPICO 1 – CONCEITO E PROPRIEDADES DE LIMITES
TÓPICO 2 – ANÁLISE DE LIMITES DE FUNÇÕES
TÓPICO 3 – CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
CONCEITO E PROPRIEDADES DE LIMITES
1 INTRODUÇÃO
O estudo de limite é muito antigo, mas sempre foi tratado como um 
conceito sem muito rigor e com ideias vagas. O primeiro registro de aproximação 
foi dado em meados de 450 a.C. com os paradoxos de Zeno (ou Zenão), um desses 
paradoxos é chamado de Paradoxo de Aquiles e da Tartaruga. 
Podemos ter uma ideia desse paradoxo ao considerar um corredor que 
vai fazer um percurso de 200 metros e que, antes de chegar ao final do percurso, 
precisaria passar pelo ponto que marca a metade do percurso, depois pela 
metade da metade do percurso e assim por diante, ou seja, ele precisará passar 
por uma infinidade de pontos antes de finalizar o percurso. Sem todo o avanço da 
matemática e a ideia de limite, era difícil para estudiosos da época entender como 
o corredor iria passar por infinitos pontos sem levar um tempo infinito.
Você, acadêmico, deve estar pensando: é obvio que o Paradoxo de Zeno 
é um absurdo e muitos pesquisadores da época tentaram mostrar que ele era 
falso. Dois deles foram Aristóteles (384-322 a.C.) e Arquimedes (287-212 a.C.), 
mas suas tentativas foram frustradas, pois sempre chegavam em séries infinitas e 
nada podiam concluir com a matemática da época.
Outros estudos, como encontrar a reta tangente a uma curva, área delimitada 
por uma curva, pontos de máximos e mínimos de curvas, os pesquisadores conseguiam 
encontrar resultados corretos, porém sem nenhum rigor, pois sempre lhes faltava o 
conceito de limite. Mesmo com toda a importância, a definição moderna de limite só 
foi introduzida nos séculos XVIII e XIX na Europa. Essa formalização foi dada pelos 
pesquisadores Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) e Isaac Newton (1642-1727) 
simultaneamente, o que causou um certo desconforto entre eles. 
Você, acadêmico, vai perceber neste livro que o conceito de limite é 
fundamental para o desenvolvimento de muitas teorias. O conceito de limite é 
usado para definir derivadas e integrais, dois dos assuntos fundamentais do cálculo.
2 CONCEITO DE LIMITE
Queremos nesse tópico apresentar o conceito de limite de uma função, 
ou seja, o comportamento de uma função quando seu argumento se aproxima, 
“tende”, de um valor determinado. 
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
4
A definição de limite pode ser feita de duas maneiras, uma delas é 
usando sequências, a outra é usando e (épsilon) e d (delta). As duas definições 
são equivalentes, porém, usando sequências, precisamos conhecer previamente 
vários conceitos que as envolvem, o que demandaria tempo (fica a cargo de sua 
curiosidade estudar e entender esta definição). A definição usando e (épsilon) e 
d (delta) é a definição de limite mais usada, por ser mais fácil de trabalhar com 
funções, e por isso a escolhemos para trabalhar neste livro.
2.1 NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITES
Acadêmico, antes de definirmos limites, vamos primeiro entender o 
que seria limite, ter uma noção intuitiva de limite, para isso considere a função
f (x) = x2 + 1. Já estudamos o comportamento dessa função no Ensino Médio, assim 
sabemos que o gráfico dessa função é uma parábola, de vértice (0,1) e concavidade 
para cima, como mostra o Gráfico 1. 
GRÁFICO 1 – FUNÇÃO f (x) = x2 + 1
FONTE: Os autores
TÓPICO 1 | CONCEITO E PROPRIEDADES DE LIMITES
5
FONTE: Os autores
FONTE: Os autores
Observe que quanto maiores os valores do argumento da função, ou seja, 
quanto maior o valor de x, maiores são os valores da função, como mostra a tabela:
QUADRO 1 – FUNÇÃO f EM PONTOS DO DOMÍNIO
QUADRO 2 – PONTOS DO DOMÍNIO
x 10 100 1.000 10.000 100.000 ...
f (x) 101 10.001 1.000.001 100.000.001 10.000.000.001 ...
Podemos afirmar que quando x cresce, se aproxima do infinito (tende ao 
infinito), o valor da função f (x) se aproxima do infinito.
Outra situação que podemos observar no gráfico é o fato de que quando o 
argumento x se aproxima de 0, o valor da função se aproxima de 1.
Observe ainda que podemos nos aproximar de 1 tanto quanto queremos, 
desde que valores para x sejam escolhidos cada vez mais próximos de 0. Essa 
noção de “se aproximar tanto quanto se queira” é a motivação para definir limite 
de uma função.
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
6
2.2 PONTO DE ACUMULAÇÃO 
Agora que entendemos a ideia de limite, precisamos formalizar esse 
conceito e, motivados pela seção anterior, vamos definir ponto de acumulação. 
Um ponto de acumulação, como o próprio nome já diz, é um ponto onde temos 
uma acumulação de pontos de um conjunto X, não importa a distância que 
estamos do ponto de acumulação, sempre vai existir um ponto em X que está 
mais próximo. 
GRÁFICO 2 – PONTO DE ACUMULAÇÃO IDEIA INTUITIVA
FONTE: Os autores
Definição 1: Considere um subconjunto X de . Dizemos que a é um ponto de 
acumulação do conjunto X, se todo intervaloaberto que contém a tem pelo menos 
um ponto de X diferente de a. O conjunto de todos os pontos de acumulação é 
representado por X'.
A Definição 1 é facilmente entendida, mas para mostrar que um ponto 
é ponto de acumulação, a definição não é prática. Por isso, iremos apresentar 
uma outra definição de ponto de acumulação, que é equivalente à Definição 1, 
mas nessa nova definição iremos usar e, definições dessa forma serão comuns 
no curso de Cálculo Diferencial e Integral, é importante que desde agora você 
entenda a definição e se sinta confortável com ela. 
 
Definição 2: Dizemos que um ponto a é um ponto de acumulação de um conjunto 
X, se para todo e > 0 existe x ∈ X tal que se x ≠ a, temos que x pertence ao intervalo 
(a - e, a + e). Na forma simbólica matemática, podemos reescrever a definição da 
seguinte forma:
a ∈ X' se, e somente se, e > 0 existe x ∈ X tal que x ≠ a e x ∈ (a - e, a + e).
 
O e que aparece na Definição 2 é fundamental, note que quanto menor 
for o e, menor vai ser o intervalo onde precisa existir o x diferente do ponto de 
acumulação a, ou seja, o intervalo pode ser tão pequeno quanto queremos e 
mesmo assim vai existir um x ∈ X, que também pertence ao intervalo.
Vamos entender melhor essa definição com um exemplo. 
Exemplo: Dado um intervalo X = (0,1), encontre X'.
Resolução: Vamos considerar o ponto a = 1
2
 e mostrar que é um ponto de 
acumulação. 
TÓPICO 1 | CONCEITO E PROPRIEDADES DE LIMITES
7
Considere e = 1, então temos o seguinte intervalo
, precisamos mostrar que existe x ∈ X nesse 
intervalo, tal que . Note que nesse caso podemos considerar qualquer x ∈ X 
desde que , por exemplo, .
Para qualquer e > 1, sempre podemos considerar 1
4
x = . Vamos agora 
analisar o que acontece quando e vai diminuindo.
Considere 1
2
= então ( )1 1 1 1, 0,1
2 2 2 2
 − + = 
 
, podemos considerar qualquer x ∈ X, 
por exemplo 1
4
x = . 
Considere 1
4
e = então 1 1 1 1 1 3, ,
2 4 2 4 4 4
   − + =   
   
 podemos considerar 3
8
x = .
Se consideramos 1
2n
e = , para n∈N temos 1 1 1 1 1 1, ,
2 2 2 2 2 2
n n
n n n n
− +   − + =   
   
, e 
podemos considerar 
( )2 1
nx
n
=
+
.
Não importa o valor de n, sempre conseguimos encontrar um x no 
intervalo (a - e, a + e), mesmo para n muito grande. Portanto, temos que a = 1
2
 é 
um ponto de acumulação. A mesma prova pode ser usada para qualquer ponto 
a ∈ X. No caso dos extremos, podemos usar também a mesma demonstração, 
neste caso você verá que metade do intervalo (a - e, a + e) estará fora de X e a outra 
metade contida em X é nessa metade que iremos considerar o x.
Usando o exemplo acima, acadêmico, podemos concluir que para qualquer 
intervalo da forma X = (a, b) ou X = [a, b) ou X = (a, b] ou X = [a, b] o conjunto dos 
pontos de acumulação é X' = [a, b], pois para qualquer ponto x ∈ X existe uma 
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
8
infi nidade de pontos no intervalo (x - e, x + e) para qualquer e > 0. A mesma 
situação acontece para os pontos extremos do intervalo a e b, os intervalos (a - e, a
+ e) e (b - e, b + e) têm uma infi nidade de pontos de X. 
Neste livro iremos trabalhar muitas vezes com conjuntos que são intervalos 
de números reais, como você pode observar no exemplo acima. Caso você não lembre 
de alguma propriedade ou tenha alguma dúvida, pode procurar no livro de Introdução ao 
cálculo. Iremos usar a seguinte notação
1) Intervalo aberto (a, b): São todos os pontos tal que a < x < b.
2) Intervalo fechado [a, b]: São todos os pontos tal que a ≤ x ≤ b.
3) Intervalos semiabertos ou semifechados: 
a. [a, b): São todos os pontos tal que a ≤ x < b
b. (a, b]: São todos os pontos tal que a < x ≤ b.
UNI
Exemplo: Encontre os pontos de acumulação do conjunto 1 , X n
n
 = ∈ 
 
N , se 
existirem.
GRÁFICO 3 – CONJUNTO 
1 , X n
n
 = ∈ 
 
N
FONTE: Os autores
Resolução: Diferente do exemplo anterior, esse conjunto não é um intervalo, 
precisamos fi car atentos a qual valor de x que vamos considerar. 
Considere o ponto a = 1
2
, note que o intervalo 
1 1 1 1 1 3, ,
2 4 2 4 4 4
   − + =   
   
 não 
contém nenhum ponto do conjunto X, somente o ponto a = 1
2
, frisamos aqui que 
1 1 3 ,
4 4 4
 ∉ 
 
, pois estamos considerando um intervalo aberto. Então para qualquer 
1
4
e = não existe x ∈ X, tal que 1
2
x ≠ e ainda 1 3,
2 4
x e e ∈ − + 
 
.
GRÁFICO 4 – CONJUNTO 
1 , X n
n
 = ∈ 
 
N
FONTE: Os autores
TÓPICO 1 | CONCEITO E PROPRIEDADES DE LIMITES
9
A observação feita acima serve para qualquer ponto do conjunto X. Note 
que, para qualquer n fi xado, o intervalo aberto 1 1,
n n
e e − + 
 
 contém apenas o ponto 
1
n
 do conjunto X para ( )
1 1 1
1 1n n n n
e < − =
+ +
.
GRÁFICO 5 – INTERVALO 
1 1,
n n
e e − + 
 
FONTE: Os autores
Portanto, nenhum ponto de X é ponto de acumulação de X. Mas, zero, 
mesmo não pertencendo ao conjunto X, é ponto de acumulação desse conjunto, 
pois qualquer intervalo centrado em 0, esse intervalo contém uma infi nidade de 
pontos de X. Então, X' = {0}.
Além de ponto de acumulação, podemos estudar pontos isolados e pontos 
aderentes de conjuntos. Aqui neste livro não iremos usar essas defi nições, mas são 
defi nições que podem ajudar muito a entender as propriedades dos conjuntos
ATENCAO
2.3 DEFINIÇÃO DE LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Na seção anterior, estudamos o ponto central da motivação para a defi nição 
de limite de uma função quando x tende a um ponto de acumulação. Para entender 
melhor a defi nição de limite, vamos apresentar algumas observações:
1 – Quando escrevemos |x - a| < d, signifi ca que a distância entre x e a é menor 
que d, ou ainda, que x pertence ao intervalo (a - d, a + d). 
2 – Quando escrevemos |f (x) - L| < e, signifi ca que a distância entre f (x) e L é 
menor que e, ou ainda, que f (x) pertence ao intervalo (L - e, L + e). 
3 – Dizer que x tende para a signifi ca que x se aproxima de a.
Com essas observações esperamos que você se sinta mais confortável ao 
estudar a defi nição de limite.
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
10
A defi nição a seguir foi dada Karl Weierstrass (1815 - 1897), mas as primeiras 
aparições de e e d já surgiam em trabalhos de Augustin-Louis Cauchy (1789 - 1857).
Defi nição 3: Considere uma função :f X ⊂ →R R e a um ponto de acumulação 
de X. Dizemos que o limite de uma função f quando x tende para a é L se para todo 
e > 0 existe um número real d > 0 tal que se x ∈ X e |x - a| < d então | f (x) - L| < e. 
E o limite de uma função f quando x tende de a é L é denotado da seguinte forma
Em palavras mais simples, se a distância entre x e a for sufi cientemente 
pequena e implicar que a distância entre f (x) e L for tão pequena quanto se queira, 
podemos concluir que 
( )lim
x a
f x L
→
=
( )lim
x a
f x L
→
=
Outra maneira de formalizar limite é usando intervalos, como na defi nição 
de ponto de acumulação que estudamos na seção anterior, ou seja, podemos 
reescrever a defi nição de ( )lim
x a
f x L
→
= da seguinte forma, para todo e > 0 existe 
um d > 0, tal que se x ∈ X com x ≠ a e x ∈ (a - d, a + d), então f (x) ∈ (L - e, L + e).
Simbolicamente, temos a defi nição de limite:
( ) ( )lim { 0, 0 / }
x a
f x L x X x a f x Le d d e
→
= ⇔ ∀ > ∃ > ∈ ∧ − ≤ ⇒ − ≤ .
GRÁFICO 6 – DEFINIÇÃO DE LIMITE
FONTE: Os autores
.
.
TÓPICO 1 | CONCEITO E PROPRIEDADES DE LIMITES
11
É importante lembrar que não é necessário que a esteja no domínio da função 
que estamos calculando o limite, mas é necessário que a seja um ponto de acumulação 
do domínio.
IMPORTANTE
Exemplo: Considere a função f (x) = 2, usando a definição de limite, mostre que 
Resolução: Essa é a primeira prova usando e e d, preste muita atenção a todos os 
detalhes. 
Primeiro passo é considerar e > 0. Agora precisamos encontrar d > 0 que 
se encaixe na definição, ou seja, tal que se x ∈ X e |x + 1| < d, então | f (x) - 2| < e. 
Observe que reescrevemos a definição usando as informações do enunciado do 
exemplo.Note que | f (x) - 2| = |2 - 2| = 0 < e. Então podemos escolher qualquer d > 0 
e ainda assim conseguimos provar o que se pede.
 
Todos os passos feitos até aqui servem para construirmos a nossa prova, 
e se você estiver fazendo alguma prova formal de matemática, deve apresentar 
somente o que está a seguir. 
Dado e > 0, considere d = 1
2
 tal que se x ∈ X e |x + 1| < d, temos
| f (x) - 2| = |2 - 2| = 0 < e.
Funções constantes são as funções mais simples e por isso sempre 
começamos com elas. Agora sabemos do exemplo anterior que, para toda função 
constante, o limite da função, quando x tende a um ponto a (de acumulação do 
domínio), é o próprio valor da função constante. 
Dado f →R R tal que f (x) = c temos que 
( )
1
lim 2
x
f x
→−
=
Vamos avançar no estudo de limites e considerar agora uma função afim. 
( )lim
x a
f x c
→
=
.
.
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
12
Exemplo: Considere a função f (x) = 2x - 3, usando a definição de limite, mostre que
( ) ( )
1
lim 1
x
f x f
→
=
Resolução: Lembre-se de reescrever a definição de limite para saber onde queremos 
chegar. Dado e > 0, precisamos encontrar d > 0, tal que se x ∈ X e |x + 1| < d então 
|f (x) - f (1)| = e. 
Vamos fazer algumas contas para determinar o d. Para x ∈ X com |x + 1| < d, 
temos
| f (x) - f (1)| = |2x - 3 + 1| = |2x - 2| = 2|x - 1| < 2d.
Agora chegou o momento de encontrar o valor de d, queremos chegar em 
|f (x) - f (1)| = e, mas encontramos |f (x) - f (1)| < 2d. Então se 2d ≤ e, conseguimos 
que |f (x) - f (1)| < 2d ≤ e, portanto, devemos escolher d ≤ 
2
e . Agora que decidimos 
quem será nosso d, vamos à demonstração. 
 
Dado e > 0 considere d = 
2
e , então se x ∈ X e |x + 1| < d, temos
| f (x) - f (1)| = |2x - 3 + 1| = |2x - 2| = 2|x - 1| < 2d = 2 . 
2
e = e.
 
Portanto, ( ) ( )
1
lim 1
x
f x f
→
= .
Uma observação a se fazer nesta demonstração é o fato de termos escolhido 
d = 
2
e , poderíamos ter escolhido d = 
4
e ou outro valor, desde que o valor de d e e 
satisfaça a desigualdade d ≤ 
2
e .
AUTOATIVIDADE
Usando o mesmo raciocínio apresentado no exemplo anterior, mostre 
que toda função afim f (x) = bx + c satisfaz lim
x a
bx c ba c
→
+ = + .
.
TÓPICO 1 | CONCEITO E PROPRIEDADES DE LIMITES
13
Exemplo: Considere a função f (x) = x2 + 3x - 4, usando a definição de limite, mostre que
( ) ( )
0
lim 0
x
f x f
→
= .
Resolução: Reescrevendo a definição com os dados do enunciado: Dado e > 0 
precisamos encontrar d > 0 tal que se x ∈ X e |x + 0| = |x| < d, então |f (x) - f (0)| < e. 
Agora fazendo as contas auxiliares, sabemos que para x ∈ X com |x| < d, 
temos |f (x) - f (0)| = |x2 + 3x - 4 + 4| = |x2 + 3x| = |x||x + 3|< |x|. 4 < 4 d, podemos 
impor que |x + 3| < 4, pois estamos considerando x próximo de 0. Vamos à 
demonstração. 
 
Dado e > 0 , considere d = 
4
e , então se x ∈ X e |x| < d, temos 
|f (x) - f (0)| < 4d = 4 . 
4
e = e.
 
Portanto, ( ) ( )
0
lim 0
x
f x f
→
= .
Na maioria das vezes o valor de d dependerá de e.
NOTA
Dos exemplos acima, você pode perceber que as funções polinomiais “são 
bem-comportadas” em relação ao limite. Nas seções mais à frente, iremos provar 
que se f (x) é uma função polinomial então ( ) ( )lim
x a
f x f a
→
= .
2.4 UNICIDADE DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO 
A primeira pergunta que você, acadêmico, pode fazer é: “Será que o limite 
de uma função é único?” A resposta a essa pergunta é sim, não importa quem 
esteja calculando ou como esteja calculando, se o processo estiver certo, o limite é 
único. Essa propriedade de unicidade é mostrada no teorema abaixo. 
Teorema 1: Dada uma função :f X ⊂ →R R e a ∈ X'. Se existe ( )lim
x a
f x
→
, então 
ele é único. 
Demonstração: Para mostrar que o limite de uma função é único, vamos usar o 
princípio da contradição, ou seja, vamos supor que o limite não é único e chegar 
a uma contradição. 
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
14
Suponha que o limite não seja único, ou seja, que a função tem dois limites 
diferentes, quando x tende a (ponto de acumulação) e sejam eles ( ) 1lim
x a
f x L
→
= e 
( ) 2lim
x a
f x L
→
= .
 
Vamos reescrever os limites usando a definição de limite. 
Dado e > 0. 
Se ( ) 1lim
x a
f x L
→
= existe um d1 > 0, tal que para todo x ∈ X com |x - a| < d1, 
temos |f (x) - L1|< 
2
e .
E se ( ) 2lim
x a
f x L
→
= , existe um d2 > 0, tal que para todo x ∈ X com |x - a| < d2, 
temos |f (x) - L2|< 
2
e .
A definição de limite nos permite impor |f (x) - L1|< 
2
e
, pois estamos considerando 
e > 0 qualquer.
NOTA
Pela definição de limite, existe d1 e d2, considere d = min {d1, d2}, então 
existe x ∈ X, tal que |x - a| < d. Note que a distância entre L1 e L2 é
|L1 - L2| = |L1 - f (x) + f (x) - L2|
≤ |L1 - f (x)| + |f (x) - L2|
= |f (x) - L1| + |f (x) - L2|
< 
2
e + 
2
e = e.
Como |L1 - L2| < e, para qualquer e > 0 significa que a distância entre L1 e L2 
é tão pequena quanto se queira, mas a distância entre L1 e L2 é fixa. Então a única 
possibilidade é que eles sejam iguais. 
Portanto, concluímos que L1 = L2.
3 PROPRIEDADES DE LIMITES 
Usar a definição de limite para calculá-los não é um processo simples, 
como vimos na seção anterior, precisamos primeiramente ter uma intuição de 
qual vai ser o limite da função, para depois provar que ele é mesmo o limite. 
TÓPICO 1 | CONCEITO E PROPRIEDADES DE LIMITES
15
Para facilitar o processo de calcular limites, nessa seção iremos apresentar uma 
série de propriedades que dispensam o uso da definição. Mas isso não quer 
dizer que a definição de limite não seja importante, como todo bom matemático, 
sempre queremos provar todas as propriedades, e as propriedades a seguir serão 
provadas usando a definição de limite.
3.1 PROPRIEDADES DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Já sabemos que, para calcular o limite de funções polinomial, basta aplicar 
o valor limite de x na função. Agora iremos estudar várias outras propriedades 
que irão nos ajudar no processo de calcular limites.
Demonstração: a) Vamos apresentar a demonstração da soma, a propriedade da 
subtração é análoga. 
Da hipótese de que ( ) 1lim
x a
f x L
→
= e ( ) 2lim
x a
f x L
→
= , dado e > 0 existe d1 > 0, 
tal que para |x - a| < d1 temos |f (x) - L1| < 
2
e e ainda existe d2 > 0, tal que para
|x - a| < d2 temos |g (x) - L2| < 
2
e .
Considere d = min {d1, d2}, assim para |x - a| < d, temos
|f (x) - L1| < 
2
e e |g (x) - L2| < 
2
e .
Note que
|(f (x) + g (x)) - (L1 - L2 )| = |(f (x) - L1 + g (x)- L2|
≤ |f (x) - L1| + |g (x) - L2|
< 
2
e + 
2
e = e.
Portanto, o item a) está provado.
b) Da hipótese de que ( ) 1lim
x a
f x L
→
= , dado e > 0, existe d > 0, tal que para |x 
- a| < d, temos |f (x) - L1| < 
c
e .
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
16
Aqui novamente usamos o artifício de limitar |f (x) - L1| < c
e
, pois isso irá 
nos ajudar no próximo passo e a definição de limite nos permite, já que estamos 
considerando e > 0 qualquer.
Então para |x - a| < d, temos 
|c . f (x) - c . L1| = |c . (f (x) - L1)|
≤ |c| . |f (x) - L1|
< |c| . c
e
 = e.
As demonstrações dos demais itens seguem de forma parecida com 
as apresentadas, por isso não serão descritas aqui. Sugerimos que você tente 
demonstrar: caso tenha dificuldade, essas propriedades são padrões e podem ser 
encontradas em qualquer livro de cálculo.
Como consequência imediata da Proposição 1 item c), temos a seguinte 
propriedade 
( )( ) ( )1lim
x a
f x L
→
=
3
2
lim3 5 3
x
x x
→
+ −
Exemplo: Calcule o limite abaixo
Resolução: Para calcular o limite, vamos usar a Proposição 1 
Mostramos na seção anterior que e , portanto
Como já mencionado anteriormente, se considerarmos um polinômio de 
grau n qualquer
TÓPICO 1 | CONCEITO E PROPRIEDADES DE LIMITES
17
Como já mencionado anteriormente, se considerarmos um polinômio 
de grau n qualquer ( ) 1
1 1 0
n n
n nf x a x a x a x a−
−= + + + + temos que o limite de f (x), 
quando x tende a a, é f (a).Podemos ver que essa afirmação segue diretamente das 
propriedades em a), b) e c).
Exemplo:Calcule os limites a seguir: 
a) 
2
4
16lim
6x
x
x→
−
+
Resolução: Para calcular esse limite, vamos usar os itens a), c) e d) da proposição 1.
Resolução: Para calcular esse limite, vamos usar os itens a), c) e e)
Proposição 2: Considere que ( )lim
x a
f x L
→
= então
a) ( )( ) ( )limsen sen .
x a
f x L
→
=
b) ( )( ) ( )lim cos cos .
x a
f x L
→
=
Demonstração: a) Como ( )lim
x a
f x L
→
= , dado e > 0, existe d > 0, tal que se |x - a| < d, 
então |f (x) - L| ≤ e. 
Note que 
pois 
( )cos 1
2
f x L+ 
≤ 
 
. Para valores de y pequenos, temos que sen(y) ≤ y, logo 
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )sen sen 2sen cos 2 sen
2 2 2
f x L f x L f x L
f x L
− + −     
− = ≤     
     
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
18
b) A demonstração do item b) é análoga ao item a), usando a propriedade
2sen(x)sen(y) = cos(x - y) - cos(x + y)
Exemplo: Calcule os limites
a) 
( )
1
1
limsen
1 3x
x
x
p
→
+ 
 − 
 b) ( )
1
lim cos 35 2
x
x
→−
+ −
( )( ) ( ) ( ) ( )sen sen 2
2
f x L
f x L f x L e
−
− ≤ = − ≤
e
Você já aprendeu várias propriedades e, dependendo da função ou 
situação, vai usar uma ou outra, vai aplicar a propriedade que for mais adequada. 
Somente com muita prática você vai conseguir lembrar de todas as proposições 
e aplicá-las da maneira mais eficaz. Para ajudá-lo, sugerimos que vá anotando as 
proposições e os teoremas em uma folha, e os consulte quando precisar.
Proposição 3: Considere que ( )lim
x a
f x L
→
= , então
a) ( )( ) ( )lim ln ln
x a
f x L
→
= , desde que L > 0.
b) ( )lim f x L
x a
e e
→
= .
AUTOATIVIDADE
A demonstração da Proposição 3 é deixada como autoatividade para 
você, essas proposições são padrão e podem ser encontradas na maioria dos 
livros de cálculo.
Resolução: Usando as Propriedades 1 e 2, temos 
.
TÓPICO 1 | CONCEITO E PROPRIEDADES DE LIMITES
19
b) ( )cos
1
lim x
x
e p
→−
Resolução: Usando as Propriedades 1 e 2, temos 
( ) ( )
( )( ) ( )
3 3
0 0
3
lim ln 12 4 2 ln lim1 2 4 2
ln 1 2 0 4 0 2 ln 2
x x
x x x x
→ →
− + = − +
= − ⋅ + =
3.2 TEOREMA DO CONFRONTO E DA FUNÇÃO LIMITADA
Em certas situações, usando as propriedades estudadas na seção anterior, 
você não conseguirá determinar o limite de uma função, isso pode ocorrer por 
vários motivos. Os teoremas a seguir nos ajudarão em algumas situações. O 
primeiro deles é o Teorema do Confronto, ou também conhecido Teorema do 
Sanduíche, ou Teorema da Espremedura.
( ) ( )
( )
1
lim coscos
1
cos 1
lim
1
x
xx
x
e e
e e
e
pp
p
→−
→−
− −
=
= = =
O Teorema do Confronto também é chamado de Teorema do Sanduíche, pois a 
ideia principal do teorema é encontrar duas funções que tenham o mesmo limite e que elas 
façam um “sanduíche” da função de que queremos calcular o limite, ou seja, encontramos 
duas funções (pão do sanduíche), uma que é menor e outra que é maior que a função de 
que queremos calcular o limite (recheio do sanduíche).
NOTA
Teorema 2: (Confronto) Considere as funções f, g e h definidas num intervalo 
aberto I contendo a, tal que
g (x) ≤ f (x) ≤ h (x)
para todo x ∈ I (exceto talvez em a). Se ( ) ( )lim lim
x a x a
g x L h x
→ →
= = , então 
( )lim
x a
f x L
→
=
.
Exemplo: Calcule os limites
a)
2
4
16lim
6x
x
x→
−
+
Resolução: Usando as Propriedades 1 e 2, temos 
lim
 x→0
In(12x3–4x+2)
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
20
Demonstração: Dado e > 0. 
Como ( )lim
x a
f x L
→
= , existe d1 > 0, tal que se |x - a| < d1, então |g (x) - L| < e, ou 
ainda, 
L - e < g (x) < L + e.
Como ( )lim
x a
f x L
→
= , existe d2 > 0, tal que se |x - a| < d1, então |h (x) - L| < e, ou 
ainda, 
L - e < h (x) < L + e.
Considere d = min{d1,d2}, então se |x - a| < d1, temos que
L - e < g (x) < L + e e L - e < h (x) < L + e.
E, portanto 
L - e < g (x) ≤ f (x) ≤ h (x) < L + e,
ou seja, f (x) - L ≤ e.
Usando aqui a analogia com o sanduíche acadêmico, a função f (x) é o 
recheio do nosso sanduíche, a função de que queremos calcular o limite, já as 
funções g (x) e h (x) são os dois pães que formam o sanduíche. Depois dessa 
delícia de sanduíche matemático, provavelmente você nunca mais vai esquecer 
do Teorema do Sanduíche.
Exemplo: Considere a função f (x) = x2 2 1sen
x
 
 
 
, calcule ( )
0
lim
x
f x
→
.
Resolução: A função 2 1sen
x
 
 
 
, próximo do zero fi ca variando de 0 até 1, como 
podemos ver no gráfi co.
GRÁFICO 6 – FUNÇÃO 
2 1sen
x
 
 
 
FONTE: Os autores
TÓPICO 1 | CONCEITO E PROPRIEDADES DE LIMITES
21
FONTE: Os autores
Usando a Proposição 1, não conseguimos calcular o limite da função 
f (x), pois não conseguimos determinar para onde vai a função devido ao 
comportamento da função. 
Mas observando a função e usando o fato de que 0 ≤ 2 1sen
x
 
 
 
≤ 1, temos 
que 
0 ≤ x2 2 1sen
x
 
 
 
≤ x2.
Ou seja, podemos considerar g (x) = 0 e h (x) = x2. Como 
( )
0 0
lim lim 0 0
x x
g x
→ →
= = e ( ) 2
0 0
lim lim 0
x x
h x x
→ →
= =
concluímos do Teorema do Confronto que 
No Gráfi co 7, podemos verifi car a situação do Teorema do Confronto.
( ) 2 2
0 0
1lim lim sen 0
x x
f x x
x→ →
 = = 
 
GRÁFICO 7 – TEOREMA DO CONFRONTO
Uma conclusão direta do Teorema do Confronto é a relação entre dois 
limites, se duas funções são uma menor igual a outra, podemos concluir que o 
limite também terá o mesmo comportamento.
Teorema 3: Sejam f e g duas funções, tais que f (x) ≤ g (x), para todo x num intervalo 
aberto l contendo a (exceto talvez em a). Se ( )lim
x a
f x L
→
= e ( )lim
x a
g x M
→
= , então L ≤ M.
Demonstração: Tente demonstrar o teorema usando a defi nição de limite e 
considerando uma função h (x) = f (x) - g (x).
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
22
O próximo teorema também é uma consequência direta do Teorema do 
Confronto. Para entendê-lo melhor, iremos relembrar a definição de uma função 
limitada, que você já estudou na disciplina de Introdução ao Cálculo. 
Dizemos que uma função f é limitada em todo o seu domínio, se sua 
imagem está contida num intervalo limitado, ou seja, h (x) = Im((f (x)) ∈ [a, b] com 
a, b ∈ � , logo, a ≤ f (x) ≤ b. Podemos também considerar M = max{|a|, |b|}, assim 
|f (x)| ≤ M.
Teorema 3: (Da função limitada) Sejam f e g duas funções. Se ( )lim 0
x a
f x
→
= e g é 
uma função limitada então
( ) ( )lim 0
x a
f x g x
→
⋅ = .
Demonstração: Como g é uma função limitada, existe M > 0, tal que - M ≤ g (x) ≤ M 
para todo x no domínio de g. Se multiplicamos a desigualdade por f (x), temos
- M . f (x) ≤ f (x) . g (x) ≤ M . f (x).
 
Como ( )lim 0
x a
f x
→
= , concluímos que
e
 Portanto, do Teorema do Confronto, concluímos que ( ) ( )lim 0
x a
f x g x
→
⋅ = .
4 CÁLCULO DE LIMITES
Este ponto de nosso estudo é bastante amplo, pois existe uma grande 
diversidade de funções, cada qual com suas características. Porém, aqui iremos 
focar nas funções que possuem pontos onde ocorrem situações “estranhas”; mais 
tarde, notaremos com o estudo da continuidade de funções o porquê destes casos. 
Estamos falando de limites de funções que recaem em indeterminações. Vamos 
compreender este conceito.
4.1 INDETERMINAÇÕES
Para compreender melhor o significado de “indeterminações”, 
consideraremos os seguintes limites 
( ) ( )lim lim 0 0
x a x a
M f x M f x M
→ →
− ⋅ = − = − ⋅ =
( ) ( )lim lim 0 0
x a x a
M f x M f x M
→ →
⋅ = = ⋅ =
3 2
20 7
5 49lim e lim
7x x
x x
x x→ →−
−
+
.
TÓPICO 1 | CONCEITO E PROPRIEDADES DE LIMITES
23
Usando a propriedade do limite do quociente, temos que 
3 3
2 20
5 5 0 0lim
0 0x
x
x→
⋅
= =
e
chegamos à expressão 0
0 , que não conseguimos calcular. 
E agora, o que fazer? Calma, pois existe uma maneira de calcularmos esse 
limite, desviando desse problema, se usarmos fatoração. 
Concluímos que a resolução destes limites é possível, como mostramos a 
seguir
( )22
7
7 4949 0lim
7 7 7 0x
x
x→−
− −−
= =
+ − +
e
3
20 0
5lim lim 5 5 0 0
x x
x x
x→ →
= = ⋅ =
Observeque os dois limites tinham chegado a uma expressão do tipo 0
0 , 
mas quando usamos a segunda técnica de resolução, os resultados dos limites foram 
diferentes, o primeiro limite é 0 e o segundo é -14. Assim, fica evidente que a expressão 
0
0 não pode ter um valor determinado, pois ela varia dependendo da função.
Usando a prova por absurdo, vamos compreender melhor a situação, 
suponha que 0
0 tenha um valor fixo, ou seja, 0
0 = k, para algum k ∈ , vamos 
tentar determinar o valor de k. Então, 
( )( )2
7 7
7
7 749lim lim
7 7
lim 7 7 7 14
x x
x
x xx
x x
x
→− →−
→−
+ −−
=
+ +
= − = − − = −
0 0 0
0
k k= ⇒ = ⋅
A segunda igualdade é verdadeira para todo k ∈ . Ou seja, o que estamos 
querendo dizer é que, por exemplo, 
0 5
0
= ou 
0 7
0
= − ou 
0 3
0 2
= e assim sendo, é 
por este motivo que esta expressão é dita uma indeterminação, não tem valor fixo.
Você deve estar pensando, “então é só fatorar”. Nos casos acima foi esse 
artifício algébrico que usamos, mas em outras situações iremos recorrer a outros 
artifícios algébricos.
.
.
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
24
Calculando limites de funções, podemos também chegar a outras expressões 
cujo significado, ou valor, não é determinado. Ao todo são sete os símbolos de 
indeterminação:
IMPORTANTE
Observe que cinco das indeterminações envolvem o infinito, essas indeterminações serão 
estudadas na Unidade 2.
0 00 , 0 , , 0 , 1 e 
0
∞∞
⋅∞ ∞ − ∞ ∞
∞
Sempre que no cálculo de um limite você chegar a um destes símbolos, 
deve-se buscar alguma alternativa para obter o valor do limite usando artifícios 
algébricos. A este trabalho dá-se o nome de levantamento de uma indeterminação. 
Veremos a seguir algumas situações que podem ocorrer. 
4.2 TÉCNICAS PARA CÁLCULO DE LIMITES 
INDETERMINADOS
Como comentamos anteriormente, iremos estudar as indeterminações do 
tipo 0
0 e 00. A indeterminação do tipo 00 não é tão comum, por isso iremos focar 
em técnicas para resolver a indeterminação 0
0 . Para isso, iremos utilizar exemplos 
para explorar alguns dos diversos casos de limites indeterminados que podem 
surgir. Vamos a eles.
Exemplo: Calcular 2 3
3lim 
9x
x
x→
−
−
.
Resolução: Vamos calcular o limite utilizando as propriedades conhecidas
Chegamos a uma indeterminação do tipo 0
0 , neste caso o artifício algébrico 
usado para “levantar” a indeterminação obtida é a FATORAÇÃO.
Para fatorar o denominador x2 - 9, utilizamos o produto notável da forma 
a2 - b2 = (a - b) . (a + b)
3
2 23
3
2
lim 33lim
9 lim 9
3 3 0
3 9 0
x
x
x
xx
x x
→
→
→
−−
=
− −
−
= =
−
TÓPICO 1 | CONCEITO E PROPRIEDADES DE LIMITES
25
Assim, você tem x2 - 9 = x2 - 32 = (x - 3) . (x + 3). Desta forma, temos que o 
limite será igual a:
Portanto, 
2 3
3 1lim 
9 6x
x
x→
−
=
−
.
Exemplo: Calcular 
16
4lim
16x
x
x→
−
−
.
Resolução: Calculando o limite usando as propriedades, temos
( ) ( )23 3
3
3 3lim lim
9 3 3
1 1 1lim
3 3 3 6
x x
x
x x
x x x
x
→ →
→
− −
=
− − ⋅ +
= = =
+ +
e novamente chegamos à indeterminação do tipo 0
0 .
Para levantar esta indeterminação, você deve usar o artifício algébrico do 
produto notável novamente, a2 - b2 = (a - b) . (a + b). Como na função aparece 
uma raiz quadrada, vamos multiplicar o numerador da função, 4x + , pelo seu 
conjugado, 4x + , para eliminar essa raiz quadrada. Para não alterar a função, 
você também multiplica o denominador por 4x + . Logo,
16
16
16
lim 44lim
16 lim 16
16 4 0
16 16 0
x
x
x
xx
x x
→
→
→
−−
=
− −
−
= =
−
e assim o limite fica 
( ) ( ) ( )2 24 4 4 16x x x x− ⋅ + = − = −
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
 16 16
 16
 16
4 44lim lim 
16 16 4
16
lim 
16 . 4
1 1 1 1lim 
4 4 84 16 4
x x
x
x
x xx
x x x
x
x x
x
→ →
→
→
− +−
=
− − +
−
=
− +
= = = =
++ +
.
.
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
26
Portanto, 
16
4 1lim 
16 8x
x
x→
−
=
−
.
O conjugado de um número com raiz é um artifício matemático usado para 
eliminar a raiz do numerador ou denominador de uma fração. No exemplo anterior, o 
numerador é igual a x - 4 e, da mesma forma que em números complexos, aqui o 
conjugado vai trocar o sinal de um dos termos, no exemplo consideramos o conjugado 
como sendo x + 4, pois 
NOTA
Mas também poderíamos considerar o conjugado de x - 4 como sendo - x - 4, trocando 
o sinal do termo com raiz, pois 
( ) ( ) ( )2
2x -4 × x+4 = x -4 =x-16
Eliminando a raiz, note que o limite do exemplo anterior continua o mesmo se usarmos 
esse conjugado
.
.
( ) ( ) ( )2 2x -4 × - x-4 =- x +(-4) =-x+16
( )( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
→ →
→
→
→
x 16 x 16
x 16
x 16
x 16
x -4 - x-4x-4lim = lim
x-16 x-16 - x-4
-x+16= lim
x-16 - x-4
- x-16
= lim
x-16 - x-4
-1= lim
- x-4
-1 -1 1= = =
-8 8- 16-4
Exemplo: Calcular 
3
 1
1lim 
1x
x
x→
−
−
.
Resolução: Da mesma forma que nos exemplos anteriores, se calcularmos este 
limite pelas propriedades chegaremos à indeterminação do tipo 0
0 .
TÓPICO 1 | CONCEITO E PROPRIEDADES DE LIMITES
27
Este limite é novamente uma situação em que se fatoram o numerador e 
o denominador.
3
3 1 1
1 1lim lim .
1 1x t
x t
x t→ →
− −
=
− −
Portanto, 
3
 1
1 1lim 
1 3x
x
x→
−
=
−
.
Exemplo: Calcular 
 0
2 2lim 
x
x
x→
+ −
.
Resolução: Novamente tentamos calcular o limite pelas propriedades de limites 
e chegamos à indeterminação 0
0 .
Usaremos o artifício algébrico da racionalização do numerador da função 
para “levantar” a indeterminação, como foi feito no exemplo anterior. Multiplica-
se o numerador da função, 2 2x + − , pelo seu conjugado, 2 2x + + . Para não 
alterar a função, você multiplica também o denominador por 2 2x + + . 
Já sabemos que a2 - b2 = (a - b) . (a + b). Assim:
( ) ( )
3
2 1 1
2 1
1 1lim lim 
1 1 1
1 1 1lim .
1 1 1 1 3
x t
t
x t
x t t t
t t
→ →
→
− −
=
− − ⋅ + +
= = =
+ + + +
Desta vez, para “levantar” a indeterminação, faremos a substituição da 
variável x por t3, faremos essa substituição para eliminar a raiz cúbica que aparece 
na função. Veja que essa substituição transforma a função 
3 1
1
x
x
−
−
 na seguinte 
3 3
3
1
1
t
t
−
−
 
que, simplificando, fica 3
1
1
t
t
−
−
 e essa nova função não tem nenhuma raiz cúbica, 
facilitando assim os cálculos. Observe que, quando x → 1, significa que t3 → 1, ou 
ainda que t → 1 . Assim: 
Conforme o que foi discutido acima, temos o limite:
( )( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 .x x x x x+ − + + = + − = + − =
( )
 0 0
 0
 0
2 2 2 2 2 2lim lim 
2 2
lim 
2 2
1lim 
2 2
1 1 1 2 2 2. .
2.2 42 2 2 2 2 2 2
x x
x
x
x x x
x x x
x
x x
x
→ →
→
→
+ − + − + +
= ⋅
+ +
=
⋅ + +
=
+ +
= = = = =
+
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
28
Portanto,
 0
2 2 2lim 
4x
x
x→
+ −
= .
 
Nesses exemplos aprendemos a resolver uma indeterminação do tipo 0
0 
usando três artifícios mais comuns:
 1 – Fatoração. 
 2 – Multiplicação pelo conjugado. 
 3 – Substituição de variável.
Observe que em alguns dos exemplos usamos mais de um artifício para 
calcular o limite.
( )
 0 0
 0
 0
2 2 2 2 2 2lim lim 
2 2
lim 
2 2
1lim 
2 2
1 1 1 2 2 2. .
2.2 42 2 2 2 2 2 2
x x
x
x
x x x
x x x
x
x x
x
→ →
→
→
+ − + − + +
= ⋅
+ +
=
⋅ + +
=
+ +
= = = = =
+
29
RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico, você aprendeu que:
• Ponto de acumulação é todo ponto a se para todo e > 0 existe x ∈ X tal que se 
x ≠ a temos que x pertence ao intervalo (a - e, a + e).
• Definição de limite é matematicamente expressa por 
( ) ( )lim { 0, 0 / }
x a
f x L x X x a f x Le d d e
→
= ⇔ ∀ > ∃ > ∈ ∧ − ≤ ⇒ − ≤
• O limite é único. 
• Podemos operar com o limite como apresentado na Proposição 1: Sejam 
( ) 1lim
x a
f x L
→
= , ( ) 2lim
x a
f x L
→
= e c ∈ então
 
 
• Podemos fazer composição de funções e calcular seus limites: Se ( )lim
x a
f x L
→
=
então
( )( ) ( )limsen sen .
x a
f x L
→
=
( )( ) ( )lim cos cos .
x a
f x L
→
=
( )lim f x L
x a
e e
→
=
( )( ) ( )lim ln ln
x a
f x L
→
= desde que L > 0.• Se g (x) ≤ f (x) ≤ h (x), ( ) ( )lim lim
x a x a
g x L h x
→ →
= = , então ( )lim
x a
f x L
→
= . (Teorema do 
Confronto)
• Do Teorema do Confronto temos duas consequências diretas, são elas: 
 o Se f (x) ≤ g (x), ( )lim
x a
f x L
→
= e ( )lim
x a
g x M
→
= então L ≤ M.
30
 o Se ( )lim 0
x a
f x
→
= e g é uma função limitada então ( ) ( )lim 0
x a
f x g x
→
⋅ = .
• Alguns limites chagam e indeterminação e estudamos técnicas de resolução 
para a indeterminação 
0 00 , 0 , , 0 , 1 e 
0
∞∞
⋅∞ ∞ − ∞ ∞
∞
31
Acadêmico(a), o processo de entendimento total do conteúdo 
finaliza aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos 
explorados neste tópico. Bom estudo!
1. Usamos o limite para descrever o comportamento de uma função à medida 
que o argumento da função tende a um determinado valor. O conceito de 
limite é usado para definir outros conceitos, como derivada e continuidade 
de funções. Analise as afirmações abaixo e classifique-as em verdadeiro (V) 
ou falso (F).
a) ( ) O limite de uma função da forma f (x) = ax + b, quando x tende para 0 é b.
b) ( ) Do Teorema do Confronto, podemos concluir que se ( )lim 0
x a
f x
→
= e 
( )lim
x a
g x
→
= ∞, então ( ) ( )lim 0
x a
f x g x
→
⋅ = .
c) ( ) Quando calculamos limites, podemos encontrar indeterminações, 
uma indeterminação representa um único valor real.
d) ( ) Se ( ) 1lim
x a
f x L
→
= e ( ) 2lim
x a
g x L
→
= então ( )
( )
1
2
lim
x a
f x L
g x L→
= , para qualquer L1 e L2.
2. Determine os pontos de acumulação dos conjuntos abaixo: 
a) A = (-∞, 3)
b) B = 2
11 ;n
n
 + ∈ 
 
N
c) C um conjunto finito
3. Mostre, usando a definição de limite, que 
2
2
3 2lim 0
5 1x
x x
x→
− +
=
−
.
4. Prove, usando a definição de limite, que se ( )lim
x a
f x L
→
= , então 
( )( )lim 0
x a
f x L
→
− = .
5. Calcule os limites a seguir: 
AUTOATIVIDADE
32
6. Usando o Teorema do Confronto e da Função Limitada, calcule os limites:
7. Calcule o valor dos limites indeterminados:
8. Para quais valores de c, o limite 
2
22
3 3lim
2x
x ax a
x x→
+ + +
+ −
 existe. E qual o valor 
do limite?
9. A definição de limite usando e e d foi introduzida pelo matemático Karl 
Weierstrass para formalizar o conceito, essa definição tornou as demonstrações 
de propriedades e teoremas do cálculo mais lógicas e concretas. Classifique 
as propriedades de limites abaixo em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) ( ) O limite da soma de funções é a soma dos limites dessas funções. 
b) ( ) O limite da diferença entre duas funções é igual a zero. 
c) ( ) O limite de uma função multiplicada por uma constante é igual à 
constante. 
d) ( ) O limite do produto de duas funções é o produto dos limites dessas 
funções.
e) ( ) O limite do quociente de duas funções é o quociente dos limites dessas 
funções.
2x – 3
x – 2
lim
x→-2
33
TÓPICO 2
ANÁLISE DE LIMITES DE FUNÇÕES
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
No Tópico 1 entendemos a noção intuitiva de limite e então definimos 
formalmente o conceito, também provamos várias propriedades de limites e as 
usamos para calcular o limite de várias funções. Agora, acadêmico, você deve 
estar se perguntando: “Para que serve tudo isso?” Já comentamos que vamos usar 
limites para definir os próximos conceitos de derivada e integral, mas isso agora 
parece vago e distante. 
Este tópico tem o objetivo de continuar o estudo sobre limites, queremos 
aqui apresentar algumas situações matemáticas em que o uso de limite ajuda 
a compreender. É importante que nós, como professores de matemática, 
tenhamos uma visão mais ampla dos assuntos que ensinamos aos nossos alunos, 
um exemplo é quando estamos ensinando a construir gráficos de funções e 
precisamos entender bem a função para saber identificar se ela apresenta algum 
comportamento diferente. 
Para identificar propriedades de funções, como assíntotas (vertical 
ou horizontal) e pontos de descontinuidade, iremos ampliar o estudo de 
limites definindo limites laterais, limites no infinito, limites infinitos e limites 
fundamentais. Se você não lembra ou nunca viu algumas dessas propriedades, 
fique tranquilo que iremos estudar cada uma delas detalhadamente, com um 
enfoque agora de cálculo.
2 LIMITES LATERAIS 
Antes de definirmos o que são limites laterais, vamos considerar a função 
de grau unitário ( )
0, se 0
1, se 0
x
f x
x
<
=  ≥
 cujo gráfico é dado pelo Gráfico 8.
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
34
GRÁFICO 8 – FUNÇÃO DE GRAU UNITÁRIO
FONTE: Os autores
FONTE: Os autores
Você pode perceber que quando x se aproxima de zero pelo lado esquerdo, 
a função f se aproxima de 0, ou seja, o limite seria 0, mas quando x aproxima de 
zero pelo lado direito, a função f se aproxima de 1 e neste caso o limite seria 1. O 
que é estranho, já que mostramos no tópico anterior que o limite é único. O que 
causa essa estranheza é que justamente no 0 a função muda, ou seja, ela tem um 
ponto de descontinuidade em 0. 
Usamos a notação x → a para representar a expressão “x tende para o 
valor a”. Quando dizemos que “x tende para o valor a pela direita”, usaremos 
a seguinte notação x → a+, esse + não significa valor positivo e sim que x está 
próximo de a mas a < x. Usando isso, vamos reescrever a definição de limite 
restringindo o intervalo de x para definir limite lateral à direita.
Definição 3: (Limite à Direita) Seja f uma função definida no intervalo (a, c). 
Dizemos que o limite à direita de f quando x tende a a é L, se dado e > 0, existe 
um d > 0, tal que se a < x < a + d, então |f (x) - L| < e.
 
Observe que |f (x) - L| < e é equivalente a < f (x) - L - e < f (x) < L + e.
GRÁFICO 9 – DEFINIÇÃO DE LIMITE À DIREITA
TÓPICO 2 | ANÁLISE DE LIMITES DE FUNÇÕES
35
FONTE: Os autores
Representamos o limite pela direita pela expressão ( )lim
x a
f x L
+→
= .
Observe que a diferença entre o limite e o limite lateral pela direita é o 
fato de que no limite x se aproxima de a por ambos os lados, já no limite lateral à 
direita, x se aproxima de a somente pela direita (a < x). Já na notação, o que difere 
os dois é o símbolo de + no expoente de a.
Exemplo: Considere a função ( )
2 , se 2
2 , se 2
x x
f x
x x
 ≤
= 
− >
. Mostre que ( )
2
lim 4f x
+→
= − 
usando a definição de limite à direita. 
Resolução: Note que, para x > 2, temos que f (x) = -2x, então
Assim, se 2 < x < 2 + d, temos que 0 < x - 2 + d, ou ainda, |x - 2| < d.
 
Dado e > 0. Considere d = 
2
e , tal que 2 < x < 2 + d, então 
( ) ( )4 2 4 2 2 2 2 .f x x x x+ = − + = − − = −
Portanto, mostramos que ( )
2
lim 4
x
f x
+→
= − .
De forma análoga ao limite lateral à direita, vamos definir limite lateral à 
esquerda. Quando dizemos que “x tende para o valor a pela esquerda”, usaremos 
a seguinte notação x → a-, x está próximo de a mas x < a.
Definição 4: (Limite à Esquerda) Seja f uma função definida no intervalo (b, a). 
Dizemos que o limite à esquerda de f quando x tende a a é L, se dado e > 0, existe 
d > 0, então |f (x) - L| < e para todo x, tal que a - d < x < a.
( ) 4 2 2 2 2 .
2
f x x ed e+ = − ≤ ⋅ = ⋅ =
GRÁFICO 10 – DEFINIÇÃO DE LIMITE À ESQUERDA
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
36
Representamos o limite pela direita pela expressão ( )lim
x a
f x L
+→
= .
Exemplo: Considere a função ( )
2 , se 2
2 , se 2
x x
f x
x x
 ≤
= 
− >
. Mostre que ( )
2
lim 4
x
f x
−→
= 
usando a definição de limite à direita. 
Resolução: Note que, para x ≤ 2, temos que f (x) = x2, então 
Assim, se 2 - d < x < 2, temos que - d < x - 2 < 0, ou ainda |x - 2| < d. Precisamos 
limitar |x + 2|, como estamos interessados em valores de x próximos de 2 pelo lado 
esquerdo, podemos supor que 1 < x < 2, logo 3 < x + 2 < 4 e portanto |x + 2|< 4.
 
Dado e > 0. Considere d = 
2
e tal que 2 - d < x < 2 então 
( ) ( )( )24 4 2 2 2 2 .f x x x x x x− = − = − + = − ⋅ +
Portanto, mostramos que ( )
2
lim 4
x
f x
−→
= .
No Tópico 1, estudamos várias propriedades de limites, todas essas 
propriedades podemser usadas nesta seção para calcular os limites laterais, 
como veremos nos exemplos a seguir. 
Exemplo: Considere a função ( )
2 9
3
xf x
x
−
=
+
. Calcule ( )
3
lim
x
f x
+→−
 e ( )
3
lim
x
f x
−→−
.
Resolução: Observe que se calcularmos o limite de x tendendo para -3, temos
( ) 4 2 2 4 4 .
4
f x x x ed e+ = − ⋅ + ≤ ⋅ ≤ ⋅ =
uma indeterminação do tipo 0
0 . 
Apresentaremos aqui mais um artifício para resolver uma indeterminação 
do tipo 0
0 . Pela definição de módulo, temos que 
( )
22
3
3
3
2
lim 99lim
3 lim 3
3 9 0
3 3 0
x
x
x
xx
x x
→−
→−
→−
−−
=
+ +
− −
= =
− +
e observe também que x2 + 9 = (x + 3) (x - 3). Então podemos reescrever a função 
da seguinte forma 
( )
3, se 3
3
3 , se 3
x x
x
x x
+ ≥ −
+ = − + < −
TÓPICO 2 | ANÁLISE DE LIMITES DE FUNÇÕES
37
ou ainda, 
( )
( )( )
( )( )
( )
3 3
, se 3
3
3 3
, se 3
3
x x
x
x
f x
x x
x
x
 + −
≥ − +=  + − < −
 − +
Vamos agora calcular os limites laterais 
( ) ( )
3, se 3
.
3 , se 3
x x
f x
x x
− ≥ −
= − − < −
e
No exemplo acima foram calculados os limites laterais pela esquerda e 
pela direita e estes são diferentes 
( )
3 3
lim lim 3 3 3 6
x x
f x x
+ +→− →−
= − = − − = −
( ) ( ) ( )
3 3
lim lim 3 3 3 6.
x x
f x x
− −→− →−
= − − = − − − =
Isso nem sempre acontece, quando os limites laterais são iguais, pode-se 
concluir que o limite existe e é igual ao limite lateral. A prova dessa propriedade 
é apresentada no teorema a seguir.
Teorema 5: Seja f uma função definida num intervalo (b, c) tal que b < a < c. Então 
( )lim
x a
f x L
→
= se e somente, se ( )lim
x a
f x L
+→
= e se ( )lim
x a
f x L
−→
= .
Demonstração: (→) Como ( )lim
x a
f x L
→
= , então os limites laterais são iguais a L.
(←) Como ( ) ( )lim lim
x a x a
f x L f x
+ −→ →
= = , vamos mostrar que ( )lim
x a
f x L
→
= . 
Dado e > 0. Existe d1 > 0, tal que se a < x < a + d1, então |f (x) - L| < e. Existe 
d2 > 0, tal que se a - d2 < x < a, então |f (x) - L| < e.
Seja d = min{d1, d2}, nesse caso se a - d < x < a + d e x ≠ a, temos que 
a - d2 ≤ a - d < x < a + d ≤ a - d1
e portanto |f (x) - L| < e. Da definição de limite, conclui-se que ( )lim
x a
f x L
→
= . 
Esse teorema nos garante que se o limite existe, os limites laterais também 
existem e são iguais, e sua recíproca garante que se existem os limites laterais e 
eles são iguais, o limite também existe. 
( ) ( )
3 3
lim 6 6 lim .
x x
f x f x
+ −→− →−
= − ≠ =
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
38
O conceito de limites laterais é importante para sabermos o que acontece 
nos pontos onde a função muda, como os limites laterais do exemplo anterior são 
diferentes, além de concluir que o 
2
3
9lim
3x
x
x→−
−
+
 não existe, sabemos que esse ponto é 
um ponto de descontinuidade. O estudo de funções contínuas será aprofundado 
no próximo tópico.
AUTOATIVIDADE
Acadêmico, usando algum software matemático, como GeoGebra ou Wolfram 
Alpha, verifique que a função ( )
2 9
3
xf x
x
−
=
+
 tem um ponto de descontinuidade 
em x = - 3.
Exemplo: Considere a função ( )
24 , se 2
2, se 2
x x
f x
x x
 − <
= 
− >
. Calcule ( )
2
lim
x
f x
+→
 e ( )
2
lim
x
f x
−→
. 
Usando limites laterais, o que se pode concluir sobre ( )
2
lim
x
f x
→
.
Resolução: Note que 
Como os limites laterais existem e são iguais, conclui-se que ( )
2
lim
x
f x
→
 = 0.
3 LIMITE NO INFINITO
A motivação para definirmos limite foi ponto de acumulação e sempre 
consideramos x tendendo para um valor a fixo e finito, mas o que acontece se 
consideramos x tendendo para ∞ ou -∞? Nesta seção você vai estudar limites quando 
x tende ao infinito, esse conceito é muito usado em problemas de crescimento 
populacional, claro que não temos um tempo infinito, mas é importante saber 
como a população de uma determinada espécie se comporta quando o tempo vai 
passando, quando o tempo fica muito grande, o que traduzido para a matemática 
significa o tempo tender para infinito. 
Considerar a função f : [1, ∞) → dada por ( ) 1f x
x
= com seu gráfico dado 
pelo Gráfico 11:
( )
( ) ( )
2 2
22
2 2
lim lim 2 2 2 0
e
lim lim 4 4 2 0
x x
x x
f x x
f x x
+ +
− −
→ →
→ →
= − = − =
= − = − =
e
TÓPICO 2 | ANÁLISE DE LIMITES DE FUNÇÕES
39
GRÁFICO 11 – FUNÇÃO ( ) 1f x =
x NO INTERVALO [1, ∞).
FONTE: Os autores
Você pode observar que quando x tende ao infinito, o gráfico da função 
se aproxima cada vez mais do eixo x, ou seja, se aproxima cada vez mais da reta 
y = 0, mas nunca toca. A definição a seguir formaliza essa noção intuitiva.
Definição 5: Seja f : [a, ∞) → uma função. Dizemos que o limite da função f 
quando x tende ao infinito é L, ( )lim
x
f x L
→∞
= , se para todo e > 0 existe M > 0 tal que 
se x > M então |f (x) - L| < e.
 
A definição nos afirma que quanto maior for o valor de x, mais próximo 
da reta y = L a função f está. Observamos aqui que a principal diferença entre a 
definição de limite e limite no infinito é que no limite considerávamos um intervalo 
para x pequeno através do d, já no limite no infinito não consideramos nenhum 
intervalo para x, mas sim consideramos o x grande através do M.
 
Exemplo: Considere a função anterior ( ) 1f x
x
= definida no intervalo [1, ∞). Mostre 
usando a definição de limite no infinito que 1lim 0
x x→∞
= .
Resolução: Dado e > 0, precisa-se encontrar um M > 0, tal que para x > M, tem-se 
Considere 1M
e
= , para x > 1M
e
= encontra-se 
( ) 10 0 .f x
x
e− = − <
( ) 1 10 0 .f x
x x
− = − = <
Se uma função f está definida no intervalo (-∞, b), também pode-se calcular 
o limite da função f (x) quando x tende a menos infinito.
Definição 6: Seja f : [-∞, b) → uma função. O limite da função f (x) quando x 
tende a menos infinito é L, ( )lim
x
f x L
→−∞
= , se para todo e < 0 existe M < 0 tal que se 
x < M então |f (x) - L| < e.
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
40
AUTOATIVIDADE
Mostre, usando definição de limite no infinito, que ( )lim
x
f x L
→−∞
= 0 se ( ) 1f x
x
= 
definida no intervalo (-∞, -1].
As definições acima nos garantem que quanto maior for o x, mais próxima 
a função f fica da reta y = L, mas nunca toca a reta y = L, ou seja, a reta y = L é dita 
ser uma assíntota horizontal.
Definição 7: Uma reta y = L é chamada de assíntota horizontal de uma função y = 
f (x) se, ou ( )lim
x
f x L
→−∞
= , ou ( )lim
x
f x L
→∞
= .
 
Dada uma função f, uma e apenas uma das situações abaixo pode ocorrer:
i) A função f não tem assíntotas horizontais;
ii) A função f tem apenas uma assíntota horizontal;
iii) A função f tem duas assíntotas horizontais. 
Exemplo: Encontre a assíntota horizontal da função ( )
2
2
4
4
xf x
x
−
=
+
 se existir.
Resolução: Para encontrar as assíntotas horizontais é necessário calcular os 
limites no infinito. Usando as propriedades de limites, tem-se que 
E agora? O limite chegou a uma indeterminação?
Mesmo usando as propriedades já estudadas, nem sempre é tão fácil 
calcular alguns limites, o próximo teorema irá ajudar você nessa tarefa. 
Teorema 6: Para todo número natural positivo k temos
i) 1lim 0kx x→−∞
= ; ii) 1lim 0kx x→∞
= .
Demonstração: i) Dado e > 0, precisa-se encontrar M < 0, tal que se x < M, então 
1 0kx
e− < .
( )
22
2 2
lim 44 4lim lim .
4 lim 4 4
x
x x
x
xxf x
x x
→∞
→∞ →∞
→∞
−− ∞ − ∞
= = = =
+ + ∞ + ∞
TÓPICO 2 | ANÁLISE DE LIMITES DE FUNÇÕES
41
Dado e > 0, considere 
1 0
k
M
e
= − < , então 
1 0kx
e− < para todo x < M.
 
ii) A demonstração desse item é similar à demonstração do item i). Faça a 
demonstração desse item para você praticar. 
Exemplo: Encontre a assíntota horizontal da função ( )
2
2
4
4
xf x
x
−
=
+
 se existir.
Resolução: Dividindo o numerador e o denominador da função acima por x2, 
encontra-se 
1 1 10 
1 1 1 .
kk k
k
k k
x x x
x x x
e e e
e e e
− < ⇔ < ⇔ < ⇔
⇔ > ⇔ > ⇔ < −
Usando as propriedades de limites, temos 
2
2 2 2
22
22
4 414 .444 1
x
x x x
xx
xx
−−−
= =
++ +
Agora usando o Teorema 6, conclui-se 
( )
2 2
2
2
4lim1 4lim lim .44 lim1
x
x x
x
x xf x
x
x
→∞
→∞ →∞
→∞
−−
= =
+ +
Da mesma maneira, temos que 
( ) 1 0lim 1.
1 0x
f x
→∞
−
= =
+
( )
2
2
4lim 1 1 0lim 1.4 1 0lim 1
x
x
x
xf x
x
→−∞
→−∞
→−∞
− −
= = =
++
Portanto, a reta y = 1 é a única assíntota horizontal da função. Veja que isso 
realmente acontece no gráfico da função.
Como, precisa-se
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
42
GRÁFICO 12 – FUNÇÃO ( )
2
2
x -4f x =
x +4
FONTE: Os autores
Exemplo: Encontre a assíntota horizontal da função ( )
24 1 2 7
5 2
x xf x
x
+ + −
=
+
 se existir.
Resolução: Dividindo o numerador e o denominador da função acima por x que 
é a maior potência que aparece para x, encontra-se 
quando x > 0, pois 2x x= .
Usando as propriedades de limites e o Teorema 6, temos
2
2 2
1 74 1 2 7 4 24 1 2 7
5 2 25 2 5
x x
x x x xx
xx
x x
+ + − + + −+ + −
= =
++ +
Quando x < 0, 2x x= - 2x x= logo
( )
2
1 7lim 4 lim lim 2 lim
lim 2lim 5 lim
4 0 2 0 4 .
 5 0 5
x x x x
x
x x
x xf x
x
→∞ →∞ →∞ →∞
→∞
→∞ →∞
+ + −
=
+
+ + −
= =
+
2
2 2
1 74 1 2 7 4 24 1 2 7
5 2 25 2 5
x x
x x x xx
xx
x x
+ + − − + + −+ + −
= =
++ +
TÓPICO 2 | ANÁLISE DE LIMITES DE FUNÇÕES
43
FONTE: Os autores
e o limite, quando x tende a menos infi nito, é 
Portanto, a reta y = 4
5
 e y = 0 são as duas assíntotas horizontais da função. 
Veja que isso realmente acontece no gráfi co da função.
( )
2
1 7lim 4 lim lim 2 lim
lim 2lim 5 lim
4 0 2 0 2 2 0.
 5 0 5
x x x x
x
x x
x xf x
x
→−∞ →−∞ →∞ →∞
→−∞
→∞ →∞
− + + −
=
+
− + + − − +
= = =
+
GRÁFICO 13 – FUNÇÃO ( )
24x +1+2x-7f x =
5x+2
4 LIMITES INFINITOS
Considere agora a função ( ) 2
1f x
x
= , o gráfi co dessa função está 
apresentado no gráfi co a seguir.
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
44
GRÁFICO 14 – FUNÇÃO ( ) 2
1f x =
x
FONTE: Os autores
Você pode observar que à medida que x se aproxima de 0 pelo lado direito, 
a função f admite valores cada vez maiores, ou seja, tende ao infinito. O mesmo 
ocorre quando x se aproxima de 0 pelo lado esquerdo, a função f tende ao infinito.
Definição 8: Sejam X um subconjunto de , a ∈ e uma função f: X → . Então 
( )lim
x a
f x
→
= ∞
se dado um número real M > 0, existe d > 0, tal que se x ∈ X e 0 < |x - a| < d, então f (x) > M.
Note que considerando M > 0 (M grande) em vez de e > 0 (pequeno), 
conseguimos encontrar um d > 0, que determina o intervalo (pequeno) em que 
vamos considerar o valor de x para provar que f tende para infinito.
Exemplo: Mostre, usando limites infinitos, que 20
1lim 
x x→
= ∞ .
Resolução: Dado M > 0, precisamos encontrar d > 0, tal que se 0 < |x| < d, então 20
1lim 
x x→
= ∞ > M. 
Como
2
2
1 1 1 , M x x
x M M
> ⇔ > ⇔ <
considere d = 
1
M então f (x) = 20
1lim 
x x→
= ∞ > M para todo x, tal que 0 < |x| < d.
No caso de a função tender a menos infinito quando x tende a um número 
real a, temos a seguinte definição.
TÓPICO 2 | ANÁLISE DE LIMITES DE FUNÇÕES
45
FONTE: Os autores
Defi nição 9: Sejam X um subconjunto de , a ∈ e uma função f: X → . Então 
se dado um número real M < 0, existe d > 0, tal que se x ∈ X e 0 < |x - a| < d, então f (x) < M.
Diferente da Defi nição 8, aqui estamos considerando um M muito grande, 
mas com valor negativo, já que queremos mostrar que f (x) tende a menos infi nito.
( )lim
x a
f x
→
= −∞
AUTOATIVIDADE
Mostre, usando a defi nição acima, que ( )lim
x a
f x
→
= .
Em algumas situações você não irá conseguir calcular o limite, mas 
somente os limites laterais, por exemplo, a função ( ) 1f x
x
= , cujo gráfi co é 
apresentado a seguir. 
GRÁFICO 15 – FUNÇÃO ( ) 1f x =
x
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
46
Observando a figura, você pode notar que quando x tende a 0 pela direita, 
a função f tende a infinito positivo, mas quando 0 tende a 0 pela esquerda, a 
função f tende a infinito negativo. A reta x = 0 nunca é tocada pelo gráfico da 
função f, então temos uma assíntota vertical. 
Definição 10: Uma reta x = a é chamada de assíntota vertical de uma função f se 
pelo menos uma das condições abaixo é verdadeira:
O próximo teorema será uma ferramenta muito útil que vai ajudar você a 
calcular limites infinitos. Este teorema é similar ao Teorema 6.
Teorema 7: Para todo número natural positivo k, temos
i) 
0
1lim kx x+→
= ∞; ii) 
0
1lim kx x−→
= −∞.
Demonstração: i) Dado M > 0, precisa-se encontrar d > 0,tal que se 0 < |x| < d, 
então 
0
1lim kx x+→
= ∞ > M. Note que x é maior que 0, pois estamos com um limite lateral à 
direita, então 0 < x. Precisamos que 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
lim ou lim ou lim ou
lim ou lim ou lim
x a x a x a
x a x a x a
f x f x f x
f x f x f x
− +
− +
→ → →
→ → →
= ∞ = ∞ = ∞
= −∞ = −∞ = −∞
como x > 0 e M > 0, temos que 
1 1 k
k M x
x M
> ⇔ >
Observe que como M é grande o termo 
0
1lim kx x+→
= ∞ é pequeno, quanto maior o M 
menor será 
0
1lim kx x+→
= ∞.
Dado M > 0, considere d = 10
k
x
M
< < , então 
0
1lim kx x+→
= ∞ > M para todo 0 < x < d.
 
ii) A demonstração desse item é similar à demonstração do item i). Faça a 
demonstração desse item para você praticar. 
As propriedades de limites que você estudou anteriormente continuam 
valendo. Quando estamos trabalhando com limites infinitos, precisamos tomar 
cuidado com as indeterminações. Vamos acrescentar mais algumas propriedades 
que nos ajudarão no cálculo de limites.
10
k
x
M
< <
TÓPICO 2 | ANÁLISE DE LIMITES DE FUNÇÕES
47
Proposição 4: Seja f e g duas funções tais que ( )lim
x a
f x
→
= ∞ e ( ) lim
x a
g x
→
= ∞ então 
Demonstração: a) Dado M > 0, como:
( )lim
x a
f x
→
= ∞ existe d1 > 0, tal que se x ∈ X e 0 < |x - a| < d1, então f (x) > 2
M
e
( ) lim
x a
g x
→
= ∞ existe d2 > 0, tal que se x ∈ X e 0 < |x - a| < d2,então g (x) > 2
M .
( ) ( ) ( ) ( ) a) lim ; b) lim .
x a x a
f x g x f x g x
→ →
+ = ∞ ⋅ = ∞  
Considere d = min{d1, d2}, então para todo x ∈ X, tal que 0 < |x - a| < d2, 
temos 
( ) ( ) .
2 2
M Mf x g x M+ > + =
portanto ( ) ( ) ( ) ( ) a) lim ; b) lim .
x a x a
f x g x f x g x
→ →
+ = ∞ ⋅ = ∞   .
 
b) A demonstração do item b) é muito similar ao item a). 
Proposição 5: Sejam f e g duas funções tais que ( )lim
x a
f x
→
= ∞ e ( )lim
x a
g x L
→
= , 
com L ≠ 0, então 
Proposição 6: Sejam f e g duas funções tais que ( ) ( )lim 0
x a
f x
→
= + e ( )lim
x a
g x L
→
= , 
com L ≠ 0, então 
onde ( ) ( )lim 0
x a
f x
→
= + significa que a função f tende a 0 por valores positivos.
Proposição 7: Sejam f e g duas funções tais que ( ) ( )lim 0
x a
f x
→
= − e ( )lim
x a
g x L
→
= , 
com L ≠ 0, então 
onde ( ) ( )lim 0
x a
f x
→
= − significa que a função f tende a 0 por valores negativos.
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
48
A demonstração dessas Proposições 5, 6 e 7 segue a mesma ideia que a 
demonstração da Proposição 4, enfatizamos aqui que as demonstrações das 
proposições acima são facilmente encontradas em livros de cálculo.
Exemplo: Verifique se x = 1 é uma assíntota vertical da função ( ) 2
2
2
xf x
x x
=
+ −
.
Resolução: Antes de calcular os limites é preciso verificar o sinal da função x2 + x - 2. 
Sabemos que x2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2), logo, as raízes da função que está no denominador 
de f são 1 e -2, como podemos ver no gráfico a seguir.
GRÁFICO 16 – FUNÇÃO x2 + x - 2
FONTE: Os autores
Logo, próximo de x = 1 pelo lado direito, temos que x - 1 é positivo e x + 2 
também é positivo, ou seja, x2 + x - 2 tende a 0(+) quando x tende a 1+. Assim
Próximo de x = 1 pelo lado esquerdo, temos que x - 1 é negativo e x + 2 é 
positivo, ou seja, x2 + x - 2 tende a 0(-) quando x tende a 1-. Assim
( )
( )
21 1
1
2
1
2lim lim
3 2
lim 2 2
lim 3 2 0
x x
x
x
xf x
x x
x
x x
+ +
+
+
→ →
→
→
=
+ +
= = = ∞
+ + +
TÓPICO 2 | ANÁLISE DE LIMITES DE FUNÇÕES
49
Teremos situações onde precisaremoscalcular limites no infinito e esse 
será infinito. Nesse caso, basta seguir as proposições e teoremas apresentados nas 
seções de limites infinitos e limites no infinito.
5 LIMITES FUNDAMENTAIS
Diferentemente do que se acredita, as definições existentes hoje do 
Cálculo Diferencial e Integral não foram criadas em sua grande parte por 
matemáticos sem alguma motivação para tal. O tema que está sendo abordado 
neste material, conforme já citado, foi proveniente de necessidades teóricas 
para trabalhar com problemas práticos.
Por exemplo, ao estudar o movimento oscilatório, na física, em diversos 
momentos nos deparamos com a utilização das razões trigonométricas. Diante disto, 
devemos nos remeter a alguns séculos atrás e lembrar que os matemáticos e físicos 
da época não detinham máquinas para a determinação destas razões, bem como os 
cálculos executados com eles se tornavam extremamente grandes e complexos. Visto 
isto, era necessária uma alternativa de conseguir, por exemplo, substituir o seno de 
um ângulo, pelo valor do próprio ângulo, em oscilações muito pequenas. Daí surgiu 
o conceito de um dos limites fundamentais conhecidos, que é:
( )
( )
21 1
1
2
1
2lim lim
3 2
lim 2 2
lim 3 2 0
x x
x
x
xf x
x x
x
x x
− −
−
−
→ →
→
→
=
+ +
= = = −∞
+ + −
Nota-se que para um valor de ângulo muito pequeno (tendendo a zero), a 
razão do seno do ângulo pelo próprio ângulo é igual a 1. Logo podendo aferir-se 
que são iguais.
 
Iremos além deste limite conhecer outros dois, que são conhecidos como 
limites fundamentais do cálculo diferencial e integral.
5.1 PRIMEIRO LIMITE FUNDAMENTAL
Proposição 8: Primeiro limite fundamental do cálculo
( )
0
sen
lim 1
x
x
x→
=
( )
0
sen
lim 1
x
x
x→
=
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
50
Demonstração: Em nossos estudos, já lidamos com alguns casos de limites 
indeterminados. Como temos que ( )
0 0
limsen lim 0
x x
x x
→ →
= = , o limite do quociente 
destes dois casos é uma indeterminação. 
Para demonstrar o que queremos, iremos “levantar” esta indeterminação, 
mostrando que:
Aplicaremos para tal, o Teorema do Confronto. Porém, antes disto, analise 
os gráficos e relembre alguns conceitos de trigonometria no círculo trigonométrico.
( )0
lim 1
senx
x
x→
=
GRÁFICO 17 – SEGMENTOS SENO E TANGENTE NO CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
FONTE: Os autores
O gráfico à esquerda mostra-nos um arco OC positivo, e o à direita, um 
arco OD negativo. Iremos, obviamente, imaginar estes casos para um arco x, 
bastante pequeno (tendendo a zero, propositalmente).
 
Para o caso do arco positivo, o segmento OB representa a tangente do 
ângulo x. Já AC representa o seno do ângulo x. Portanto, é fácil notar que para x 
muito pequeno e x > 0, temos que:
sen (x) ≤ x ≤ tg (x)
Já do gráfico à direita, temos que:
sen (x) ≥ x ≥ tg (x)
Ou seja, em resumo, caso x seja um valor muito pequeno, podemos 
afirmar que:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
sen
 0
cos
sen
 0
cos
x
sen x x se x
x
x
sen x x se x
x

≤ ≤ >


 ≥ ≥ <
C
D
B
E
O
O
A
A
TÓPICO 2 | ANÁLISE DE LIMITES DE FUNÇÕES
51
Sempre lembrando, acadêmico, que estamos considerando x muito 
pequeno, porém, diferente de zero, então podemos multiplicar ambas as 
inequações por ( )
1
sen x .
Obtemos assim, para os dois casos, a mesma desigualdade. Notando que 
no caso x < 0, temos que sen(x) < 0, logo a inversão das desigualdades. Portanto, 
temos que 
Pronto! Agora, neste caso basta nomear g (x) = 1 e h (x) = ( ) ( )
11
sen cos
x
x x
≤ ≤ , pois como 
( ) ( )
0 0
lim lim 1
x x
g x h x
→ →
= = , pelo Teorema do Confronto, temos que:
( ) ( )
11
sen cos
x
x x
≤ ≤
E ainda, portanto:
Então,
( )0
lim 1
senx
x
x→
=
Exemplos: Aplicaremos, como já é de se imaginar, este resultado na resolução de 
limites que envolvem funções trigonométricas. Desta forma, atentamo-nos para 
os casos em que:
( )
( )
0 0
sen 1 1lim lim 1
1
sen
x x
x
xx
x
→ →
= = =
( )lim 0
x a
f x
→
=
( )
( )
sen 
lim 1
x a
f x
f x→
   =
( )
0
sen 5
a) lim
x
x
x→
Resolução: Para este caso, notamos que o limite do argumento da função 
seno é zero, para x tendendo a zero. Porém, note que o denominador difere-
.
.
.
.
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
52
se pela ausência da constante 5. Realizando um pequeno ajuste, o processo se 
encaminha:
( ) ( )
( )
0 0
0
sen 5 sen 55lim lim
5
sen 5
5 lim
5
5 1 5.
x x
x
x x
x x
x
x
→ →
→
= ⋅
= ⋅
= ⋅ =
( )
20
sen 1
b) lim
1x
x
x→
−
−
Resolução: O denominador da função da qual será calculado o limite é um 
produto notável, logo podemos escrever:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
20 0
0
0 0
sen 1 sen 1
lim lim
1 1 1
sen 1 1lim
1 1
sen 1 1lim lim
1 1
1 1 1.
x x
x
x x
x x
x x x
x
x x
x
x x
→ →
→
→ →
− −
=
− − ⋅ +
 −
= ⋅ − + 
 −  = ⋅   − +  
= ⋅ =
( )2
0
tg
c) lim
x
x
x→
Resolução: Realizando algumas adequações algébricas e trigonométricas, 
podemos escrever:
( ) ( )
( )
2 2
20 0
tg sen
lim lim .
cosx x
x x
x x x→ →
=
⋅
Multiplicando numerador e denominador por x (manobra bastante útil 
em vários casos), verificamos:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
22 2 20 0
2
2 20 0
sen sen
lim lim
cos cos
sen
lim lim
cos
1 0 0.
x x
x x
x x x x
xx x x
x x
x x
→ →
→ →
 ⋅
 = ⋅
⋅   
   
   = ⋅
      
= ⋅ =
TÓPICO 2 | ANÁLISE DE LIMITES DE FUNÇÕES
53
( )
0
1 cos
d) lim
x
x
x→
−
Resolução: Note que para este caso, não possuímos a função seno em pauta. Desta 
forma, para poder utilizar o limite trigonométrico fundamental, devemos fazer 
“surgir” de algum modo tal função. O artifício que utilizaremos será o conjugado 
do numerador:
Lembrando que: sen2(x) + cos2(x) = 1, temos:
( ) ( )
( )
( )
( )( )
2
0 0
1 cos 1 cos 1 cos
lim lim .
1 cos 1 cosx x
x x x
x x x x→ →
− + −
⋅ =
+ ⋅ +
( )
( )( )0
sen²
lim .
1 cosx
x
x x→ ⋅ +
Multiplicando numerador e denominador por x, vem:
( )
( )( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
0 0
0 0 0
sen² sen sen
lim lim
1 cos² 1 cos
sen sen
lim lim lim
1 cos
1 1 0 0.
x x
x x x
x x x x x
x x xx x
x x x
x x x
→ →
→ → →
 ⋅
= ⋅ ⋅ +⋅ +  
    
= ⋅ ⋅      +     
= ⋅ ⋅ =
AUTOATIVIDADE
Resolva os seguintes limites:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
0
2
0
0
0
2
a) lim
2
²b) lim
1
c) lim
1
3
d) lim
1 cos
1 sec
e) lim
²
x
x
x
x
x
sen x
x
x
sen x
sen x
x
tg x
x
x
x
→
→
→
→
→
−
−
+
−
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
54
5.2 SEGUNDO LIMITE FUNDAMENTAL
Proposição 9: Segundo limite fundamental
1lim 1
→∞
 + = 
 
Este limite também possui uma demonstração formal. Porém, para tal 
necessitaríamos comentar o conceito do número e, e a área sob a curva ( ) 1f x =
x
. Fica a 
cargo do leitor a complementação destes conceitos e a pesquisa da demonstração 
deste limite.
Um resultado importante desta proposição é o fato de que:
UNI
UNI
( )
1
x
x 0
lim 1+x =e
→
Exemplos: Usando o segundo limite fundamental, resolva os limites a seguir: 
Resolução: Este é um caso bastante simples. Basta realizar a seguinte troca de 
variáveis.
u = 4x
 Obviamente se x → ∞ temos que u → ∞, logo podemos reescrever:
41a) lim 1
4
x
x x→∞
 + 
 
41 1lim 1 lim 1
4
x u
x u
e
x u→∞ →∞
   + = + =   
   
1b) lim 1
2
x
x x→∞
 + 
 
TÓPICO 2 | ANÁLISE DE LIMITES DE FUNÇÕES
55
Resolução: Note agora que o expoente não é igual ao denominador presente 
dentro dos parênteses. Desta forma, manipularemos, multiplicando e dividindo 
o expoente por 2.
Realizando a troca de variáveis u = 2x, e sabendo que se x → ∞, temos que 
u → ∞, segue que:
1
2 21 1 lim 1 lim 1
2 2
x x
x xx x→∞ →∞
    + = +    
     
Resolução: Para este caso, o artifício matemático utilizado é escrever o termo de 
dentro do parênteses na forma 
( )
11
u x
+ . Logo teremos:
1 1
2 12 2
21 1 lim 1 lim 1
2
x u
x u
e
x u→∞ →∞
      + = + =      
         
25c) lim 1
x
x x→∞
 − 
 
Outro pontoa ser observado é a manipulação do expoente. Iremos escrever:
5 5 11 1 1
 
5
xx x
 
  − = + − = +   
   −
 
102
5
−
=
−
Obviamente, para fazer surgir o valor -5 no denominador. Assim sendo:
10
5
2
105 1 lim 1 lim 1
5
x
x
x x
exx
−
−
−
→∞ →∞
 
  
    − = + =       −   
 
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
56
AUTOATIVIDADE
Resolva os seguintes limites:
( )
2
6
1
3
0
1a) lim 1
1b) lim 1
3
c) lim 1 4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
→∞
→∞
→
 + 
 
 − 
 
+
5.3 TERCEIRO LIMITE FUNDAMENTAL
Proposição 10: Se a > 0 e a ≠ 1, então: 
Demonstração: Inicialmente iremos realizar a seguinte mudança de variáveis:
u = ax - 1
Desta forma, temos que ax = u + 1.
Aplicando o logaritmo natural do valor a em ambos os membros, segue que:
( )
0
1lim ln
x
x
a a
x→
−
=
Sabendo que se x → 0, temos que u = a0 - 1 = 0, segue que:
( ) ( ) ( )
( )
ln 1
ln ln 1
ln
u
x a u x
a
+
⋅ = + ⋅ =
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0 0
0
0
10
1
0 
1lim lim
ln 1
ln
uln lim
ln 1
1ln lim 1 ln 1
1ln lim
ln 1
1ln
ln lim 1
x
x u
u
u
u
u
u
u
a u
ux
a
a
u
a
u
u
a
u
a
u
→ →
→
→
→
→
−
=
+
= ⋅
+
= ⋅
⋅ +
= ⋅
+
= ⋅
 + 
 
TÓPICO 2 | ANÁLISE DE LIMITES DE FUNÇÕES
57
Usando o segundo limite fundamental (observação 2), temos que:
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0 0
0
0
10
1
0 
1lim lim
ln 1
ln
uln lim
ln 1
1ln lim 1 ln 1
1ln lim
ln 1
1ln
ln lim 1
x
x u
u
u
u
u
u
u
a u
ux
a
a
u
a
u
u
a
u
a
u
→ →
→
→
→
→
−
=
+
= ⋅
+
= ⋅
⋅ +
= ⋅
+
= ⋅
 + 
 
Exemplos: Usando o terceiro limite fundamental, resolva os limites abaixo: 
( )
( )
( ) ( ) ( )1
0 
1 1ln ln ln
lnln lim 1 u
u
a a a
eu
→
⋅ = ⋅ =
 + 
 
Resolução: Novamente estamos diante de um caso bastante simples. Basta 
realizar uma mudança de variáveis:
u = 3x
Como se x → 0, temos que u → 0, logo:
3
0
2 1a) lim
3
x
x x→
−
Resolução: Neste caso, notemos que devemos colocar o termo 35x em evidência.
( )
3
0 0
2 1 2 1 lim lim ln 2
3
x u
x ux u→ →
− −
= =
2 5
0
3 3 b) lim
x x
x x→
−
Multiplicando o numerador e denominador por -3 vem:
2 5 3
5
0 0
3 3 (3 1) lim lim3
x x x
x
x xx x
−
→ →
− −
= ⋅
( )
( ) ( )
3 3
5 5
0 0 0
(3 1) (3 1)lim3 3 3 lim3 lim
3 3
13 1 ln 3 3 ln 3 ln
27
x x
x x
x x xx x
− −
→ → →
− −
⋅ ⋅ − = − ⋅ ⋅
− −
 = − ⋅ ⋅ = − ⋅ =  
 
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
58
AUTOATIVIDADE
Resolva os seguintes limites:
( )
5 7
0
0
9
0
cos
2
4 4a) lim
2
5 1b) lim
2
14 1c) lim
2
1d) lim
2
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
e
x
p p
→
−
→
→
→
−
−
−
−
−
59
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
• O limite à direita de f quando x tende a a é L, se dado e > 0, existe um d > 0, tal 
que se 0 < x < a + d, então |f (x) - L| < e.
• O limite à esquerda de f quando x tende a a é L, se dado e > 0 existe um d > 0, 
tal que se a - d < x < a, então |f (x) - L| < e.
• ( )lim
x a
f x L
→
= se, e somente se ( ) ( )lim lim
x a x a
f x f x L
+ −→ →
= = .
• O limite da função f quando x tende ao infinito é L, ( )lim
x
f x L
→∞
= , se para todo 
e > 0, existe M > 0, tal que se x > M, então |f (x) - L| < e
• O limite da função f (x) quando x tende a menos infinito é L, ( )lim
x
f x L
→−∞
= , se 
para todo e > 0 existe M < 0, tal que se x < M, então |f (x) - L| < e.
• Uma reta y = L é chamada de assíntota horizontal de uma função y = f (x) se, ou 
( )lim
x
f x L
→−∞
= , ou ( )lim
x
f x L
→∞
= .
• Para todo número natural positivo k, temos 
0 0
1 1lim e limk kx xx x+ −→ →
= ∞ = −∞ .
• ( )lim
x a
f x
→
= ∞ , se dado um número real M > 0, existe d > 0, tal que se x ∈ X e 
0 < |x - a| < d, então f (x) = M.
• ( )lim
x a
f x
→
= −∞ , se dado um número real M < 0, existe d > 0, tal que se x ∈ X e 
0 < |x - a| < d, então f (x) < M.
• Uma reta x = a é chamada de assíntota vertical de uma função f se pelo 
menos uma das condições é verdadeira: ( )lim
x a
f x
→
= ∞ ou ( )lim
x a
f x
−→
= ∞ ou 
( )lim
x a
f x
+→
= ∞ ou ( )lim
x a
f x
→
= −∞ ou ( )lim
x a
f x
−→
= −∞ ou ( )lim
x a
f x
+→
= −∞ .
• Propriedades de limites infinitos. 
• Os limites fundamentais são:
( )
( )
0
0
l
a lim 1
1im
)
1
1li
) 
b) 
c m ln
x
x
x
x
x
sen x
x
e
x
a a
x
→
→∞
→
=
 + = 
 
−
=
60
Acadêmico(a), o processo de entendimento total do conteúdo 
finaliza aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos 
explorados neste tópico. Bom estudo!
AUTOATIVIDADE
4. A seguir está esboçado o gráfico de uma função y = f (x). Observando o 
gráfico, é possível estimar os seguintes limites:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 22 2
00 0
7 2, se 2
1. Seja ( ) . Calcular lim , lim e lim .
2 1, se 2
1, se 0
2. Seja 2, se 0 . Calcular lim , lim e lim .
x 5, se 0
3. Seja
xx x
xx x
x x
f x f x f x f x
x x x
x x
f x x f x f x f x
x
+ −
− +
→→ →
→→ →
− ≥
= 
− + <
 + <

= =
 + >
( ) ( ) ( ) ( )
3 22 2
1, se 2
 . Calcular lim , lim e lim .
x 1, se 2 xx x
x x
f x f x f x f x
x − + →→ →
+ <= 
+ ≥
a) b) c)
d) e) f)
5. Seja f (x) uma função definida para todo número real por
Determinar o valor da constante k para que exista ( )lim
x
f x
→−
.
( )
( )
 0
 1
lim
lim
x
x
f x
f x
−
+
→
→
( )
( )
 0
 2
lim
lim
x
x
f x
f x
+
−
→
→
( )
( )
 1
 2
lim
lim
x
x
f x
f x
−
+
→
→
( )
2 4 , se 2
4 , se 2
x x x
f x
k x
 − ≤ −
= 
− > −
61
6. Calcule os limites:
7. Uma população de bactérias está crescendo segundo a função ( )
5 0,1 
0,1 
10
1 99
t
t
ep t
e
=
+
, 
onde t é o tempo em dias e p(t) é o número de indivíduo no tempo t. Os pesquisadores 
estão preocupados com o crescimento dessa população e fizeram as seguintes 
análises. Qual das afirmações abaixo está correta? 
a) Quando t = 0 o número de indivíduos da população era igual a 199.
b) Quando o tempo vai aumentando, tendendo ao infinito, o número de 
indivíduos vai ao infinito. 
c) Quando o tempo vai aumentando, tendendo ao infinito, o número de 
indivíduos vai decrescendo e tende a zero. 
d) Quando o tempo vai aumentando, tendendo ao infinito, o número de 
indivíduos tende para 100.000. 
8. Um tanque contém 5.000 litros de água pura. É bombardeada para dentro 
do tanque, a uma taxa de 25L/min, uma solução que contém 30 gramas de sal 
por litro de água. A concentração de sal em gramas por litro após t minutos é 
dada pela função 
O que acontece com a concentração de sal quando t = ∞?
a) ( ) A concentração tende para infinito. 
b) ( ) A concentração tende para zero.
c) ( ) A concentração estabiliza em 30 g/L. 
d) ( ) Nada podemos afirmar.
( ) 30
200
tC t
t
=
+
62
63
TÓPICO 3
CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
O conceito de limite na compreensão futura dos conceitos do Cálculo 
Diferencial e Integral é de grande importância. A partir disto, assim como o conceito 
de limite de uma função, outro ponto a ser estudado é a ideia de continuidade de 
uma função que, além de ser uma das ideias principais do Cálculo, é um alicerce 
para matemática e outras ciências.
Podemos destacar que, de modo informal, consideramos uma função 
como sendo contínua quando conseguimos desenhar seu traço sem que a caneta 
(ou lápis) seja retirada do papel onde está sendo realizado. Isto quer dizer, para 
uma função ser considerada contínua no ponto x = a devemos ter a certeza de que 
ela é definida para este ponto. Veremos com mais detalhes estes conceitos nos 
pontos a seguir.
2 CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO
Observe os gráficos das seguintes funções f e g:
GRÁFICO 18 – FUNÇÕES f E g
FONTE: Os autores
y y
x xp
f (p) g (p)
g
f
64
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
É nítido perceber que estas funções se comportam de modos distintos no 
ponto p. Notamos que a função g possui um salto neste ponto, e f não.
 
Ao realizar o cálculo do limite da função f em torno do ponto p, notamos 
oseguinte:
Fato que não ocorre com a função g, pois:
( ) ( )lim
x p
f x f p
→
=
Visto isto, podemos definir continuidade de uma função.
Definição 11: Dizemos que uma função é dita contínua no ponto p se as três 
condições a seguir forem satisfeitas.
( ) ( )lim lim
x p x p
g x g x
− +→ →
≠
Caso qualquer uma destas três condições não seja satisfeita, dizemos que a 
função é descontínua em p.
ATENCAO
Exemplo: Verificar se a função ( ) 2 5 3 ,f x x x= − + é considerada contínua em x = 4.
Resolução: Realizando as três análises:
Como as três análises foram satisfeitas, podemos afirmar que a função f é 
contínua em x = 4.
4
4
(i) (4) 2 4 5 3 4 3 12
(ii) lim ( ) lim ( 2 5 3 ) 2 4 5 3 4 3 12
(iii) lim ( ) (4)
x p x
x
f
f x x x
f x f
→ →
→
= ⋅ − + ⋅ = +
= − + = ⋅ − + ⋅ = +
=
( ) ( )
i) ( )
ii) 
iii) lim ( ) ( ).
lim lim
x
x
x p
p
p
f
g x g x
f p
f x p
− +→ →
→
∃
=
≠=
TÓPICO 3 | CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
65
Exemplo: Verificar se a função 
| 2|( )
2
xf x −
= é contínua para o ponto x = 2.
Resolução: Para este exemplo, devemos lembrar que a função modular possui 
um comportamento peculiar. Sendo assim, analisaremos este caso como a seguir:
Realizando agora as três análises:
(i)
2 , se 2| 2| 2
22 , se 2
2
x xx
x x
− + <− =  − ≥

(ii) Se o limite existir, os limites laterais devem ser os mesmos:
e
e
(iii)
2 2 0(2) 0
2 2
f −
= = =
2
lim ( ) (2)
x
f x f
→
=
Portanto, resultando em 
2
lim ( ) (2)
x
f x f
→
= , confirmamos que a função é 
contínua em x = 2.
22 2
22 2
2 22 2
| 2| 2 2 2 0lim ( ) lim lim 0
2 2 2 2
e
| 2| 2 2 2 0lim ( ) lim lim 0
2 2 2 2
lim ( ) lim ( ) lim ( ) e lim ( ) 0.Logo, 
xx x
xx x
x xx x
x xf x
x xf x
f x f x f x f x
− −
+ +
− +
→→ →
→→ →
→ →→ →
− − + − +
= = = = =
− − −
= = = = =
= ⇒ ∃ =
22 2
22 2
2 22 2
| 2| 2 2 2 0lim ( ) lim lim 0
2 2 2 2
e
| 2| 2 2 2 0lim ( ) lim lim 0
2 2 2 2
lim ( ) lim ( ) lim ( ) e lim ( ) 0.Logo, 
xx x
xx x
x xx x
x xf x
x xf x
f x f x f x f x
− −
+ +
− +
→→ →
→→ →
→ →→ →
− − + − +
= = = = =
− − −
= = = = =
= ⇒ ∃ =
Exemplo: Dada a função 
2 1, 3
( ) 2, 3
3 , 3
x se x
f x se x
x se x
 − <
= =
 − >
 verificar se ela é contínua em x = 3.
Resolução: Realizando as análises para esta verificação:
(i) f (3) = 2.
(ii) Calculando os limites laterais:
2 2
33
33
lim ( ) lim ( 1) 3 1 9 1 8
e
lim ( ) lim (3 ) 3 3 0
xx
xx
f x x
f x x
−
+
→→
→→
= − = − = − =
= − = − =
66
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
Notamos que 
3 3
lim ( ) lim ( )
x x
f x f x
− +→ →
≠ ⇒ não existe 
3
lim ( )
x
f x
→
 e, logo f não é 
contínua em x = 3.
Como a segunda condição não foi comprovada, não é necessário realizar a 
terceira, pois basta uma delas não se encaixar para provarmos que a função apresenta 
descontinuidade.
UNI
Exemplo: Realize a verificação de continuidade para a função 
2
2 , 2
( )
3 , 2
x se x
f x
x x se x
≤
= 
− >
 
em x = 2.
Resolução: Análises:
(i) f (2) = 2 . 2 = 4.
(ii) Limites laterais em torno de x = 2:
Notamos assim que 
2 2
lim ( ) lim ( )
x x
f x f x
− +→ →
≠ ⇒ não existe 
2
lim ( )
x
f x
→
 e, logo f é 
descontínua em x = 2.
Para este último exemplo, a fim de exemplificar o caso de “descontinuidade”, 
mostraremos o gráfico da função utilizada. Note o “salto” que a função dá em x = 2.
22
2 2
22
lim ( ) lim (2 ) 2 2 4
e
lim ( ) lim ( 3 ) 2 3 2 4 6 2.
xx
xx
f x x
f x x x
−
+
→→
→→
= = ⋅ =
= − = − ⋅ = − = −
GRÁFICO 19 – FUNÇÃO 
2
2x, se x£2
f(x)=
x -3x, se x>2



FONTE: Os autores
y
x3
4
0
-2
2
e
TÓPICO 3 | CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
67
AUTOATIVIDADE
Justifique por que a função 
2 1( )
1
xf x
x
−
=
−
 não é contínua em x = 1.
3 PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES CONTÍNUAS
Para motivar o estudo das propriedades das funções contínuas, vamos a 
uma pergunta natural: Até aqui verificamos a continuidade em torno de apenas 
um ponto, porém, como poderemos realizar a continuidade de uma função como 
um todo, uma vez que ela é composta por infinitos pontos?
Existem alguns modos de realizar este processo. Um deles é ir ponto 
a ponto (obviamente não! Deveríamos viver eternamente para tal), o outro é 
determinar um ponto genérico x0 e verificar pela definição os três casos. O último 
modo talvez seja o mais simples, porém, requer o conhecimento de algumas 
propriedades das funções contínuas:
1 As funções polinomiais são contínuas para todo valor real;
2 As funções racionais são contínuas em todo o seu domínio f (x) = ( )
( )
P x
Q x
 para Q(x) ≠ 0.
3 As funções trigonométricas f (x) = sen(x) e f (x) = cos(x) são contínuas para todo x.
4 A função exponencial f (x) = ex é contínua para todo x.
5 Dadas f e g contínuas em torno de um certo ponto a, vale:
 a) f + g é contínua em a.
 b) f - g é contínua em a.
 c) f . g é contínua em a.
 d) f
g
 é contínua em a.
6 Sejam f e g, tais que ( )lim
x a
f x b
→
= e g contínua em a. Logo,
7 Se f é contínua em a e g contínua em f (a), temos que a função composta g (f (x)) 
é contínua em a.
8 Dada uma função y = f (x) contínua em um certo intervalo I. Se possuirmos 
uma função f : J → I, então f -1 é contínua em todos os pontos de J.
( ) ( )lim g lim
x a x a
g f x f x
→ →
 =    
68
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
Este resultado (8) comprova que a função g(x) = In(x) é contínua para todo 
x. Isto se deve ao fato de que já vimos em (4) que a função exponencial f(x)x= ex é 
contínua e g = f-1.
UNI
Exemplo: Verifique se a função f (x) = tg (x) é contínua.
Resolução: Podemos escrever,
Como tg (x) é o resultado do quociente de duas funções contínuas (3), 
pela propriedade (5d), ela é contínua para todos os pontos de seu domínio 
{x∈ / x ≠ 
2
e + k . p (k ∈ Z )}.
Exemplo: Faça o estudo da continuidade da função:
( ) ( )
( ) ( )sen
, com 
cos 2
x
tg x x k k
x
p p= ≠ + ⋅ ∈Z
Resolução: Como f é uma função racional, pela propriedade (2) ela é contínua em 
todo o seu domínio. Sendo assim, afirmamos que ela é contínua em - {-2, 2}.
Exemplo: Analise a função ( ) 4 5f x x= − . Verifique seus pontos de continuidade:
Resolução: Para realizar esta análise utilizando as propriedades vistas, temos 
que imaginar a função dada como sendo a composta de duas outras funções 
u(x) = x4 - 5 e ( )v x x= .
 
Sabemos assim que u é contínua, pois trata-se de uma função polinomial 
(propriedade 1), v também o é, pois é a inversa da função x2. Como a composta de 
duas funções é contínua (propriedade 7), temos que a função f é contínua para o 
seguinte domínio:
Sabemos que x4 – 5 ≥ 0 (por estar na raiz quadrada)
Logo, realizando o estudo do sinal da função, temos que f é contínua para 
todos os pontos de seu domínio:
( ) { }4 4| 5 5 .Dom f x x ou x= ∈ ≤ − ≥R 
( )
3
2
8
4
xf x
x
−
=
−
TÓPICO 3 | CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
69
4 TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO
Após definir a continuidade de uma função, daremos aqui uma introdução, 
baseada no conceito de limites e continuidade de um teorema muito importante 
do Cálculo (tão importante que você provavelmente o verá nas unidades mais à 
frente). Trata-se do Teorema do Valor Intermediário:
Teorema 8: (Teorema do Valor Intermediário – TVI) Se uma função f é contínua 
no intervalo [a, b], com f (a) ≠ f (b), então para todo k ∈ [a, b], existe pelo menos um 
c ∈ (a, b), tal que f (c) = k.
Demonstração: Para realizar esta demonstração, teremos que utilizar o Teorema 
de Bolzano (ou Teorema do Anulamento), porém, para a dedução deste, 
necessitaríamos o conhecimento de limites de sequências, tema não explorado 
até o momento. Desta forma, enunciaremos o Teorema de Bolzano e daremos 
uma justificativa geométrica para tal.
Teorema 9: (Bolzano ou Teorema do Anulamento): Se uma função f é contínua 
no intervalo [a, b], com f (a) e f (b) de sinais contrários, então existirá pelo menos 
um c ∈ (a, b), tal que f (c) = 0.
Justificativa geométrica: Perceba que neste caso, temos que f (a) > 0 (ou seja, 
positivo) e que f (b) < 0, ou seja (negativo). Se a função é contínua, note que 
geometricamente(e obrigatoriamente!) a função terá um ponto de corte no eixo 
das abscissas, logo existindo pelo menos um f (c) = 0.
GRÁFICO 20 – TEOREMA DE BOLZANO
FONTE: Os autores
y
x
f (a)
f (b)
a c
b
Dando sequência, utilizando este resultado (apenas justificado 
geometricamente), continuaremos com a demonstração do TVI. Vamos supor, 
sem perda de generalidade:
f (a) < k < f (b)
70
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
Construiremos agora a função g (x) = f (x) - k, com x ∈ [a, b]. Sabemos, por 
hipótese, que f é contínua, e assim sendo, g também o é.
 
Então, aliado a isto e utilizando nossa suposição, temos que:
g (a) = f (a) - k < 0 e g (b) = f (b) - k > 0.
 
Utilizando agora o Teorema de Bolzano, sabemos que existe pelo menos 
um c ∈ [a, b], tal que g (c) = 0. Logo f (c) - k = 0, concluindo que f (c) = k .
AUTOATIVIDADE
Pesquise a demonstração formal do Teorema de Bolzano.
Exemplo: Uma das principais aplicações do TVI é a determinação da existência 
de raízes de uma função contínua em um certo intervalo. Desta forma, demonstre 
que há uma raiz da função f (x) = 4x3 - 6x2 + 3x - 2 entre 1 e 2.
Resolução: Como trata-se de um caso de uma função polinomial, sabemos que 
ela é contínua para todo x ∈ . Calcularemos então:
f (1) = 4 . 13 - 6 . 12 + 3 . 1 - 2 = -1
e
f (2) = 4 . 23 - 6 . 22 + 3 . 2 - 2 = 12
 
Note que, desta forma, temos que f (1) < 0 < f (2). Isto quer dizer que “zero” 
é um valor entre f (1) e f (2), com f (1) ≠ f (2).
Utilizando o TVI, temos que existe um c ∈ (1, 2) tal que f (c) = 0, com c 
sendo a raiz de f.
TÓPICO 3 | CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
71
LEITURA COMPLEMENTAR
O Fator de Compressibilidade (Aplicação de Limites)
Se as medidas de pressão, volume molar e temperatura de um gás não 
confi rmam a relação pV = RT, dentro da precisão das medidas, dizemos que o gás 
se desvia da idealidade ou que exibe um comportamento não ideal. 
O desvio de comportamento em relação a um gás perfeito deve ser 
estimado a partir de seu fator de compressibilidade (Z), que se estabelece a partir 
da relação entre o volume molar observado V (pV), e o volume molar ideal V 
ideal (= RT/p) posta em função de p a uma temperatura constante: 
Para um gás ideal, Z=1, assim os desvios de Z em relação a 1 são uma medida 
de quanto um gás real se afasta do comportamento perfeito. Para os gases reais,
Z = Z(T, p)
é uma função tanto da pressão como da temperatura. 
O gráfi co a seguir mostra o fator de compressibilidade Z em função da 
pressão a 0°C de dois gases reais e um ideal. A partir do gráfi co verifi ca-se que 
na medida em que a pressão de um gás tende a zero, seu comportamento perante 
alterações em suas propriedades de estado aproxima-se da idealidade. 
ideal
V pVZ
V RT
= =
GRÁFICO 1 – Z CONTRA P, PARA O H2, N2 E PARA O GÁS IDEAL A 0°C
FONTE: Adaptação (CASTELLAN, 2010, p. 34)
72
UNIDADE 1 | LIMITES E CONTINUIDADE
Temos que Z é maior (comparado à compressibilidade de um gás ideal 
Z = 1) para o hidrogênio em todas as pressões. Para o nitrogênio, Z é menor em 
pressões baixas e maior em altas pressões. Observa-se também que, quando 
próximo a 1atmosfera (atm), tanto o nitrogênio quanto o hidrogênio se comportam 
de maneira ideal. 
O comportamento do gás tende ao ideal, sempre que Z tende a 1. Diante 
dessas observações é possível definir o gás ideal como sendo o limite para o qual 
tende o gás real, quando Z tende para 1. De forma simbólica, pode-se simbolizar 
esse limite de maneira análoga à expressão matemática do seguinte modo: 
A partir da definição de Z, pode-se escrever (síntese da lei geral dos gases): 
( )
1
 lim 
Z
Gás Ideal Gás Real
→
=
1
lim
Z
pV R
nT→
=
A Lei de Boyle discute um caso particular, em que n e T, sendo constantes, 
não influenciam diretamente o resultado do limite, podendo ser posto em 
evidência: 
Onde: P é a pressão; V é o volume; n é o número de mols, T é a temperatura e R, 
a constante dos gases perfeitos. 
Para a Lei de Charles, onde posteriormente mostrou que a constante C é 
uma função da temperatura, obter-se-ia: 
1 1
1lim lim
Z Z
pV pV R
nT nT→ →
= ⇒ =
Onde: V é o volume; T é a temperatura e C é a constante (função da temperatura). 
De maneira semelhante, a representação para a Lei de Avogadro poderia 
assumir a seguinte forma: 
1
lim
Z
V C
T→
=
Onde: V é o volume; n é o número de mols e A, o número de Avogadro. 
 
A figura a seguir apresenta a trajetória do oxigênio expressa graficamente, 
onde tem-se P versus PV ou PV = f (P) , em condições de T e n constantes (T = 
300K e n = 1 mol). Existem duas regiões do gráfico, vizinhanças de A0(P=0) e 
de Ai (P=i), para as quais o comportamento do oxigênio a 300K aproxima-se do 
comportamento do gás ideal e, portanto, da obediência à Lei de Boyle. 
1
lim
Z
V A
n→
=
TÓPICO 3 | CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
73
GRÁFICO 2 – PV = F (P) PARA HÉLIO E O OXIGÊNIO A T = 300K E N =1 MOL.
FONTE: (MESQUITA, 2014)
74
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, você aprendeu que:
• Para determinar a continuidade de uma função em um certo ponto, devemos 
realizar três análises:
• Caso a função não respeite qualquer uma das situações acima, a função é 
descontínua no ponto x = a.
• As propriedades de funções contínuas permitem que possamos determinar a 
continuidade de uma função como um todo.
• O Teorema do Valor Intermediário diz que se uma função f é contínua no 
intervalo [a, b], com f (a) ≠ f (b), então para todo k ∈ [a, b], existe pelo menos um 
c ∈ (a, b), tal que f (c) = k.
(i) ( )
(ii) lim ( ), isto é: lim ( ) lim ( )
(iii) lim ( ) ( )
x p x p x p
x p
f p
f x f x f x
f x f p
+ −→ → →
→
∃
∃ =
=
75
Acadêmico(a), o processo de entendimento total do conteúdo 
finaliza aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos 
explorados neste tópico. Bom estudo!
1) Verifique se cada função a seguir é 
contínua nos pontos indicados e esboce 
os gráficos:
AUTOATIVIDADE
2) Realize a análise das funções a seguir como um todo, utilizando-se das 
propriedades vistas neste tópico:
3) Verifique se a função ( ) 4 3 22 2 2f x x x x x= − − + possui pelo menos uma 
raiz no intervalo (1, 3).
4) Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a função
f (x) = x3 - 7x2 + 3x + 2 possui duas raízes reais distintas no intervalo (-1, 5).
5) O conceito de função contínua é muito importante no estudo de funções, as 
funções contínuas em geral são as funções que apresentam mais propriedades, 
muitos teoremas importantes da matemática são válidos somente para funções 
contínuas. Em relação a funções contínuas, considere a função 
( ) ( )
( )
( )
2
2
4
a) 
b) 
c) 
sec
2
f x x
xf x
x
f x x x
=
−
=
−
= −
( )
2 2 , se 0
0, se 0
x x xf x x
x
 + +
≠= 
 =
=
76
e avalie as afirmações abaixo. 
I. f está definida no ponto x = 0;
II. ( )
0
lim
x
f x
→
 existe;
III. ( ) ( )
0
lim 0
x
f x f
→
= .
É correto o que se afirma em
a) ( ) I, apenas. 
b) ( ) I e II, apenas.
c) ( ) I e III, apenas.
d) ( ) I, II e III.
6) Um estacionamento cobra R$ 15,00 na primeira hora e, a cada hora que 
passa, mais R$ 5,00. Sabendo que o estacionamento funciona por 10 horas 
e que nenhum carro pode ficar no estacionamento quando ele está fechado, 
determine os pontos de descontinuidade da função que relaciona o tempo 
estacionado com o valor pago.
7) Situações que podem ser modeladas por funções contínuas estão muito 
presentes no cotidiano das pessoas. Avalie as situações a seguir se elas podem 
ser modeladas por uma função contínua ou não, se a situação pode ser 
modelada por uma função contínua, use C; caso contrário, use D (descontínua).
a) ( ) A temperatura em um local específico como uma função do tempo. 
b) ( ) O custo de uma corrida de táxi como uma função da distância percorrida. 
c) ( ) A velocidade de um automóvel como uma função do tempo.
d) ( ) O valor pago como uma função da quantidade das unidades compradas.
77
UNIDADE 2
DERIVADAS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir desta unidade, você será capaz de:• apresentar o conceito de derivada de uma variável;
• interpretar a derivada em um ponto como a inclinação da reta tangente 
passando por esse ponto;
• usar a derivada como uma forma de calcular taxa de variação;
• derivar funções reais;
• comparar as funções deriváveis com funções contínuas.
Esta unidade está dividida em três tópicos. No final de cada um deles, você 
encontrará atividades que reforçarão seu aprendizado.
TÓPICO 1 – CONCEITOS INICIAIS DE DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL 
TÓPICO 2 – PROPRIEDADES DE DERIVAÇÃO
TÓPICO 3 – DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E IMPLÍCITAS
78
79
TÓPICO 1
CONCEITOS INICIAIS DE DERIVADA DE 
UMA FUNÇÃO REAL
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Todo acadêmico que inicia o estudo de Cálculo Diferencial e Integral sabe 
que são três os principais conceitos estudados nesta disciplina: iniciamos com o 
conceito de limite, depois estendemos para o conceito de derivada e, por último, 
integral. Na unidade anterior estudamos o limite de uma função e encontramos 
várias propriedades e teoremas, como uma continuação/aplicação do estudo 
de limite. Nesta unidade vamos definir a derivada de uma função. O estudo 
de limite é uma parte importante, mas é a partir da definição de derivada que 
mergulhamos verdadeiramente no Cálculo Diferencial e Integral. 
Como já comentamos, nesta unidade iremos estudar o conceito de derivada 
de uma função, mas antes de começar a derivar as funções, precisamos entender 
qual é a motivação/importância de estudar derivadas. O Cálculo Diferencial e 
Integral como conhecemos hoje foi formalizado no século XVII, mas estudos 
relacionados já tinham aparecido muitos séculos antes. Devemos dar crédito a 
essa formalização a dois grandes cientistas: Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried 
Wilhelm von Leibniz (1646-1716), que desenvolveram o cálculo diferencial e 
integral na mesma época e sem que um soubesse do outro, isso gerou um grande 
mal-estar entre os dois. O interessante aqui é que os dois cientistas tiveram 
motivações diferentes, Leibniz estava estudando como calcular a inclinação de 
uma reta tangente a uma curva quando desenvolveu o cálculo diferencial; já 
Newton, como físico, estava estudando a velocidade de fluidos. Estudaremos 
essas duas motivações nos próximos tópicos.
Lembre-se de que quando escrevemos uma função y = f (x), a variável x é a 
variável independente e y é a variável dependente ou a função. Quando falamos 
em derivada, sempre derivamos a função (variável dependente) em relação à 
variável independente. 
2 RETA TANGENTE
Começamos o estudo de derivada entendendo o problema da tangente, 
que foi a motivação de Leibniz. Lembre-se de que o conceito de tangenciar é 
tocar uma curva em apenas um ponto, então como encontramos (definimos) a 
reta tangente a uma curva? Nem sempre é fácil encontrar a reta tangente a uma 
UNIDADE 2 | DERIVADAS
80
curva passando por um ponto P, para defi ni-la precisamos saber o ponto em que 
a reta vai tocar a curva e o seu coefi ciente angular. Nosso desafi o é encontrar o 
coefi ciente angular da reta, já que o ponto P é dado. 
Para encontrar a inclinação da reta tangente a uma curva, vamos considerar 
uma função simples, considere a ( )
3
5
xf x = , como a função f é uma função do 
terceiro grau, seu gráfi co é dado a seguir. Considere também o ponto P(1, f (1)). 
GRÁFICO 20 – FUNÇÃO ( )
3xf x =
5
FONTE: Os autores
Agora, como encontramos a reta tangente à função f e que passa pelo 
ponto P? No gráfi co a seguir traçamos uma reta qualquer que passa pelo ponto P
e um outro ponto Q da função f, temos assim uma reta secante à função passando 
pelos pontos P e Q.
TÓPICO 1 | CONCEITOS INICIAIS DE DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL
81
FONTE: Os autores
GRÁFICO 21 – RETA SECANTE EM PONTOS P e Q DA FUNÇÃO ( )
3xf x =
5
Estamos considerando, para efeito de análise, os ponto P(1, f (1)) e Q(1.6, f (1.6)). 
Lembre-se de que na disciplina de Introdução ao Cálculo estudamos como encontrar a 
equação de uma reta, através da expressão
em que m é a inclinação da reta que passa pelos pontos P e Q. Desta forma, então, 
a equação da reta tangente é 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1,6 1 1,6 1
1,6 1
1,6 1
1
1
P pf x f x m x x
f f m
f f
m
f x f
m
x
− = −
− = −
−
=
−
−
=
−
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1,6 1 1,6 1
1,6 1
1,6 1
1
1
P pf x f x m x x
f f m
f f
m
f x f
m
x
− = −
− = −
−
=
−
−
=
−
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1,6 1 1,6 1
1,6 1
1,6 1
1
1
P pf x f x m x x
f f m
f f
m
f x f
m
x
− = −
− = −
−
=
−
−
=
−
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1,6 1 1,6 1
1,6 1
1,6 1
1
1
P pf x f x m x x
f f m
f f
m
f x f
m
x
− = −
− = −
−
=
−
−
=
−
isolando m, encontramos a seguinte igualdade 
Suponha agora que o ponto Q é um ponto qualquer do gráfico da função 
f, Q(x, f (x)), então a inclinação da reta que passa pelos pontos P e Q é dada por 
Como o ponto Q é qualquer, podemos deslizá-lo sobre a curva de tal forma 
que o ponto Q se aproxime de P. Fazendo isso, iremos cada vez mais aproximar a 
reta secante da reta tangente à curva e que passa pelo ponto P. 
UNIDADE 2 | DERIVADAS
82
GRÁFICO 22 – RETAS SECANTES E TANGENTE À FUNÇÃO ( )
3xf x =
5
FONTE: Os autores
Dizer que o ponto Q se aproxima do ponto P é a mesma coisa que dizer 
que o x tende a 1, assim, usando limites, temos que a inclinação da reta tangente 
à curva f, que passa pelo ponto P, é dada pela expressão 
Todas as observações feitas foram considerando o ponto P(1, f (1)), mas 
em nenhum momento usamos a propriedade desse ponto, portanto, se quisermos 
mudar esse ponto e encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer outro 
ponto da curva, também é possível. Considere o ponto P(x0, f (x0)), então a 
inclinação da reta tangente é dada por
( ) ( )
1
1
lim
1x
f x f
m
x→
−
=
−
( ) ( )
0
0
0
lim
x x
f x f x
m
x x→
−
=
−
Iremos usar as propriedades estudadas na Unidade 1, então reforçamos a 
importância de você ter feito todas as autoatividades e de não ter nenhuma dúvida sobre 
o conteúdo de limites.
DICAS
TÓPICO 1 | CONCEITOS INICIAIS DE DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL
83
Exemplo: Encontre a reta tangente à função ( )
3
5
xf x = que passa pelo ponto P(0, 0).
Resolução: Como o ponto P é dado, precisamos encontrar a inclinação da reta, 
que é dada por 
Portanto, a inclinação da reta tangente é m = 0, e assim a reta tangente é 
y - 0 = 0 (x - 0) ou seja y = 0
Exemplo: Encontre a reta tangente à função f (x) = |x| que passa pelo ponto P(0, 0).
Resolução: Vamos calcular a inclinação da reta tangente 
( ) ( )
0
3
0
0
0
3
3 2 2
0 0 0
0
5lim lim
0
1 05lim lim lim 0
5 5 5
x x x
x x x
x
f x f x
m
x x x
x
x x
x x
→ →
→ → →
−−
= =
− −
= = ⋅ = = =
No caso da função módulo, precisamos calcular os limites laterais, se 
x → 0-, temos que |x|= -x e 
( ) ( )
0
0
0 0
0
0
lim lim lim
0x x x x
x xf x f x
x x x x→ → →
−−
= =
− −
Se x → 0+, temos que |x|= x e 
Como os limites laterais são diferentes, não existe limite e, portanto, não 
existe uma reta tangente que passa pelo ponto P(0, 0). A seguir, apresentamos o 
gráfico da função. 
0 0 0
lim lim lim 1 1.
x x x
x x
x x− − −→ → →
−
= = − = −
0 0 0
lim lim lim 1 1.
x x x
x x
x x+ + +→ → →
= = =
UNIDADE 2 | DERIVADAS
84
GRÁFICO 23 – FUNÇÃO f(x) = |x|
FONTE: Os autores
Funções com esse comportamento (um bico) não têm uma reta tangente 
neste ponto.
AUTOATIVIDADE
Mostre que nos demais pontos do gráfico da função módulo existe uma reta 
tangente. 
Em algumas situações, calcular a inclinação da reta tangente, como foi 
definido acima, não é fácil, pensando nisso e seguindo a mesma análise que a 
anterior, podemos definir a inclinação da reta tangente que passa pelo ponto 
P(x0, f (x0)) da seguinte forma 
onde, o ponto Q considerado para a dedução é Q(x0 + h, f (x0 + h)). 
( ) ( )0 0
0
lim
h
f x h f x
m
h→
+ −
=
TÓPICO 1 | CONCEITOS INICIAIS DE DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL
85
FONTE: Os autores
GRÁFICO 24 – INCLINAÇÃODA RETA TANGENTE
Antes de definirmos a derivada de uma função, vamos estudar a 
motivação de Newton para desenvolver o Cálculo Diferencial e Integral, iremos 
perceber que ele chegou na mesma fórmula que Leibniz, então, acadêmico, se 
você está curioso para saber qual é a definição de derivada, continue a leitura 
das próximas seções.
2.1 TAXA DE VARIAÇÃO 
Como comentamos anteriormente, a motivação de Newton foi a 
velocidade, que é a taxa de variação do deslocamento em relação ao tempo. 
Podemos usar a mesma noção de taxa de variação em outras situações, como 
na administração, para calcular o custo marginal (taxa de variação do custo pela 
quantidade de unidades produzidas), na física, para calcular a potência (taxa de 
variação do trabalho pelo tempo), na química, para calcular a taxa de reação (taxa 
de variação da concentração de um reagente em relação ao tempo). 
Considere a função y = f (t), onde y é o deslocamento de um móvel (carro, 
bicicleta, ...) por um determinado tempo t. A velocidade média de um móvel é 
dada pela divisão entre o espaço percorrido e o tempo gasto no percurso, ou seja, 
a velocidade média do móvel no intervalo [t0, t0 + h] é dada pela expressão 
UNIDADE 2 | DERIVADAS
86
onde ∆y = f (t0 + h) - f (t0) é o espaço percorrido e ∆t = t0 + h - t0 = h é o tempo gasto 
para fazer o percurso, portanto, a velocidade média é
Se considerarmos o tempo cada vez menor, ou seja, h cada vez menor, 
temos a velocidade instantânea, usando limite, definimos 
à velocidade que o móvel está no exato instante t0. Se pensarmos em um carro, a 
velocidade instantânea é a velocidade que o velocímetro está marcando.
( ) ( )0 0
m
f t h f t
v
h
+ −
=
( ) ( ) ( )0 0
0 0
lim
h
f t h f t
v t
h→
+ −
=
Observe que a definição de velocidade instantânea é igual à definição de 
inclinação da reta tangente que estudamos no subtópico anterior, com essas duas 
definições já temos uma intuição do que será a derivada de uma função, chegaremos lá.
UNI
Exemplo: Um carro de Fórmula 1 se desloca na horizontal obedecendo à seguinte 
equação
y(t) = 3t2 - 5t + 2,
onde y(t) é o deslocamento em metros do carro no tempo t em segundos. Determine 
a velocidade média desse carro no intervalo de tempo de 0 a 10 segundos e a 
velocidade instantânea no tempo t igual a 4 segundos.
Resolução: Para calcular a velocidade média, vamos usar a fórmula 
com t0 = 0 e t0 + h= 10, logo h= 10, assim 
( ) ( )0 0
m
y t h y t
v
h
+ −
=
( ) ( ) ( ) ( )( )2 23 10 5 10 2 3 0 5 0 210 0
10 10
3 100 50 2 2 300 50 250 25 /
10 10 10
m
y y
v
m s
− ⋅ + − − ⋅ +−
= =
⋅ − + − −
= = = =
TÓPICO 1 | CONCEITOS INICIAIS DE DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL
87
Portanto, a velocidade média desse carro é de 25 m/s. 
Agora para calcular a velocidade instantânea, quando t0 = 4, precisamos 
calcular o seguinte limite 
Portanto, a velocidade instantânea, quando o tempo é 4 segundos, desse 
carro é 19 m/s. 
2.2 DEFINIÇÃO DE DERIVADA 
Agora que estudamos como determinar a inclinação da reta tangente e a 
velocidade instantânea usando limites, e percebemos que as duas definições são 
iguais, vamos usá-las para definir a derivada de uma função.
Definição 12: Sejam x0 ∈ I, com I um intervalo aberto e uma função f : I → � . 
Dizemos que a função f é derivável em x0 se o limite 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( )
0
2 2
0
2
0
2
0
2
0 0
4 4
4 lim
3 4 5 4 2 3 4 5 4 2
lim
3 16 8 20 5 2 3 16 20 2 
lim
3 16 24 3 20 5 3 16 20lim
19 3lim lim3 19 19 /
h
h
h
h
h h
y h y
v
h
h h
h
h h h
h
h h h
h
h h h m s
h
→
→
→
→
→ →
+ −
=
+ − + + − − ⋅ +
=
+ + − − + − ⋅ + −
=
⋅ + + − − − ⋅ +
=
+
= = + =
existe e é finito. Ainda mais a derivada da função f no ponto x0 é dada por 
( ) ( )
0
0
0
lim
x x
f x f x
x x→
−
−
Outra forma de definir a derivada da função f no ponto x0 é através do 
limite 
( ) ( ) ( )
0
0
0
0
lim
x x
f x f x
f x
x x→
′
−
=
−
( ) ( ) ( )0 0
0
lim
h
f x h f x
f x
h→
+ −
=′
UNIDADE 2 | DERIVADAS
88
A notação que iremos usar para representar a derivada da função f no 
ponto x0 é f'' (x0), mas uma outra notação muito usada é d
dx
 f'(x0). O interessante 
dessa segunda notação é que sabemos que estamos derivando a função f em 
reação a x. 
Outras notações, como Df (x0) ou fx(x0), também podem ser usadas
UNI
Agora que definimos a derivada de uma função num ponto dado, podemos 
concluir que o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma função f (x) 
no ponto P(x0, f (x0)) é dada pela derivada da função no ponto x0, m = f'(x0) e a 
reta tangente é dada pela equação
y - f (x0) = f'(x0) (x - x0).
Também podemos concluir que a velocidade instantânea de um móvel no 
tempo t0 é a derivada da função deslocamento em relação ao tempo f (t), ou seja, 
v(t0) = f'(t0).
Exemplo: Determine a inclinação da reta tangente ao gráfico da função ( ) 2
1f x
x
= 
no ponto P no qual x > 0.
Resolução: Agora que sabemos que o coeficiente angular da reta tangente é dado 
pela derivada, temos que 
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
0 
22
2 22 2
0 0
2 2 2 2
2 22 20 0
2 4 320
lim
1 1
lim lim
2 2lim lim
2 2 2lim .
h
h h
h h
h
f x h f x
m f x
h
x x h
xx h x x h
h h
x x xh h xh h
hx x h hx x h
x h x
x xx x h
→
→ →
→ →
→
+ −
= =
− +
−
+ +
= =
− − − − −
= =
+ +
− −
= = −
′
− =
+
TÓPICO 1 | CONCEITOS INICIAIS DE DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL
89
A inclinação da reta tangente depende do ponto x, se x = 1 a inclinação é 
m = -2 e a reta tangente é
y - f (1) = -2 (x - 1)
y - 1 = -2x + 2
y = -2x + 3.
Observe que calculamos a derivada da função f para qualquer x > 0 e com 
isso encontramos a função ( ) 3
2f x
x
′ = − , ou seja, encontramos uma função que 
determina a derivada. Com base nisso, vamos estender o conceito de derivada 
para a derivada de uma função em um intervalo.
Definição 13: Dizemos que f é diferenciável no intervalo I aberto, se f é derivável 
em todo ponto x ∈ I e a derivada de f é dada pelo limite 
Exemplo: Calcule a derivada da função f (x) = √x .
Resolução: Usando a definição de derivada temos que 
( ) ( ) ( )
0
lim .
h
f x h f x
f x
h→
+
′
−
=
( ) ( ) ( )
0
0
lim
 lim .
h
h
f x h f x
f x
h
x h x
h
→
→
+ −
=
+ −
=
′
multiplicando e dividindo pelo termo √x + h + √x, temos 
como h ≠ 0, temos que
( )
( )
( )
0
0
0
 lim
 lim
lim .
h
h
h
x h x x h xf x
h x h x
x h x
h x h x
h
h x h x
→
→
→
′ + − + +
= ⋅
+ +
+ −
=
+ +
=
+ +
( )
0
1 1lim .
2h
f x
x h x x→
′ = =
+ +
UNIDADE 2 | DERIVADAS
90
Na Definição 13, consideramos uma função definida num intervalo aberto 
I, mas podemos também definir a derivada de uma função num intervalo fechado, 
mas aí veremos o conceito de derivadas laterais, assim como quando estudamos 
limites laterais. 
 
Mesmo quando temos um intervalo aberto, o conceito de derivadas 
laterais também pode ser usado: é o caso de funções definidas por duas ou mais 
sentenças, assim, se as derivadas laterais em um ponto forem iguais, então a 
função é derivável nesse ponto. 
Exemplo: Calcule a derivada da função ( ) 2
2
2 , se 0
 2 , se 0 3
7 9, se 3
x x
f x x x x
x x x
<
= + ≤ ≤
 + − <
Resolução: Como a função é definida por três sentenças, vamos estudar cada um 
desses intervalos separadamente e depois estudar os pontos onde a função muda. 
 
No intervalo (-∞, 0), temos que f (x) = 2x, logo a derivada é 
No intervalo (0, 3), temos que f (x) = 2x2 + x, logo a derivada é 
( ) ( ) ( )
( )
0
0 0 0
lim
2 2 2lim lim lim 2 2
h
h h h
f x h f x
f x
h
x h x h
h h
→
→ → →
+ −
=
+ −
= =
′
= =
No intervalo (3, ∞) temos que f (x) = x2 + 7x - 9, logo a derivada é f'(x) = 2x + 7.
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
2 2
0
2 2 2
0
2
0
0
lim
2 2
lim
2 4 2 2lim
4 2lim
lim 4 2 1 4 1
h
h
h
h
h
f x h f x
f x
h
x h x h x x
h
x xh h x h x x
h
xh h h
h
x h x
→
→
→
→
→
+ −
=
+ + + −
′
−
=
+ + + + − −
=
+ +
=
= + + = +
AUTOATIVIDADE
Mostre que a derivada da função f (x) = x2 + 7x - 9 no intervalo (3, ∞) é f'(x)= 2x + 7.
TÓPICO 1 | CONCEITOS INICIAIS DE DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL
91
Para calcular a derivada de f no ponto x = 0 e x = 3, vamos usar as derivadas 
laterais. Note que 
como os limites laterais acima são diferentes, concluímos que não existe derivada 
da função f no ponto x = 0. 
Agora, vamos calcular a derivada no ponto x = 3
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
2
0
0 0
0
2 2
0
2
0 0
0 0
lim
2 0 2 0 0
lim
2lim lim 2 2
e
0 0
lim
2 0 0 2 0 0
lim
2lim lim 2 1 1
h
h
h h
h
h
h h
f h f
h
h
h
h
h
f h f
h
h h
h
h h h
h
−
−
− −
+
+
+ +
→
→
→ →
→
→
→ →
+ −
⋅ + − +
=
= = =
+ −
+ + + − −
=
+
= = + =
Portanto, o limite da função f no ponto x = 3 existe e é 
f'(3) = 13
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
2 2
0
2
0
2
0 0
0
2 2
0
2
0
2
0 0
3 3
lim
2 3 3 2 3 3
lim
18 12 3 18 3lim
13lim lim 13 13
e
3 3
lim
3 7 3 9 2 3 3
lim
9 6 21 7 9 18 3lim
13lim lim 13 13
h
h
h
h h
h
h
h
h h
f h f
h
h h
h
h h h
h
h h h
h
f h f
h
h h
h
h h h
h
h h h
h
−
−
− −
+
+
+
+ −
→
→
→
→ →
→
→
→
→ →
+ −
+ + + − ⋅ +
=
+ + + + − −
=
+
= = + =
+ −
+ + + − − ⋅ +
=
+ + + + − − −
+
= = + =
UNIDADE 2 | DERIVADAS
92
Assim, a derivada da função f existe para todo x ∈ - {0} e é dada por 
Podemos observar que essa função é contínua em todos os reais, inclusive 
quando x = 0 e x = 3, mas a função f é diferenciável em todos os reais, exceto 
quando x = 0.
( )
2, se 0
4 1, se 0 3
13, se 3
2 7, se 3
x
x x
f x
x
x x
<
 + < <=  =
 + >
′
AUTOATIVIDADE
Mostre que f é contínua em todos os reais.
Quando estamos estudando funções é sempre importante saber se 
uma função é contínua ou não, e agora acrescentamos mais uma propriedade: 
saber se uma função é diferenciável ou não. O exemplo anterior garante que 
se uma função é contínua, não podemos concluir que ela seja derivável, mas 
será que a recíproca pode ser verdadeira? A resposta é sim, é o que mostramos 
no teorema abaixo. 
Teorema 10: Se uma função f é diferenciável num ponto x0, então f é contínua em x0.
Demonstração: Para mostrar que f é contínua precisamos mostrar que vale a 
igualdade. 
Por hipótese, a função f é diferenciável, ou seja, f (x0) existe e 
( ) ( )
0
0lim
x x
f x f x
→
=
Agora, como x ≠ x0 , temos que 
( ) ( ) ( )
0
0
0
0
lim
x x
f x f x
f x
x x→
′
−
=
−
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0
0
f x f x
f x f x x x
x x
−
− = ⋅ −
−
TÓPICO 1 | CONCEITOS INICIAIS DE DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL
93
Calculando o limite de x → x0 , em ambos os lados da equação, encontramos 
da regra do produto do limite e, como f é diferenciável, temos que 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0
0
0 0
0
lim lim
x x x x
f x f x
f x f x x x
x x→ →
−
− = ⋅ −   −
usando a regra da soma, concluímos que 
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
0 0 0lim lim
x x x x
f x f x f x x x
→ →
− = −  ′
como queríamos provar.
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
0
0 0
0
lim 0
ou
lim
x x
x x
f x f x f x
f x f x
→
→
− = ⋅  
=  
′
94
RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico, você aprendeu que:
• A inclinação da reta tangente de uma curva é definida passando por um ponto 
dado usando limite ( ) ( )0 0
0
lim
h
f x h f x
m
h→
+ −
= .
• A velocidade média ( ) ( )0 0
m
f t h f t
v
h
+ −
= .
• A velocidade instantânea ( ) ( ) ( )0 0
0 0
lim
h
f t h f t
v t
h→
+ −
= .
• A definição de derivada de uma função num ponto x0 é ( ) ( ) ( )0 0
0 0
lim
h
f x h f x
f x
h→
+ −
=′ .
• Outra forma de definir a derivada da função f no ponto x0 é através do limite
( ) ( ) ( )
0
0
0
lim
x x
f x f x
f x
x x→
′
−
=
−
.
• Uma função f é diferenciável em todo ponto x ∈ I se ( ) ( ) ( )
0
lim
h
f x h f x
f x
h→
+ −
=′ .
• Uma função é contínua em um ponto se ela é diferenciável neste ponto. A 
recíproca não é verdadeira.
95
AUTOATIVIDADE
Acadêmico(a), o processo de entendimento total do conteúdo 
finaliza aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos 
explorados neste tópico. Bom estudo!
1. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f a seguir no 
ponto P dado, se existir.
2. Seja y = f (x) uma função, se a reta tangente a f passando pelo ponto (4, 3) 
também passa pelo ponto (0, 2), encontre o valor de f (4) e f'(4).
3. O deslocamento de uma partícula movendo-se ao longo de uma reta é dado 
pela equação y = t2 - 8t + 18, com t o tempo em segundos. 
a) Encontre a velocidade média no intervalo de tempo [3, 4].
b) Encontre a velocidade média no intervalo de tempo [4, 5].
c) Encontre a velocidade instantânea quando t = 3, 5.
d) Encontre a velocidade instantânea quando t = 4, 5.
4. Se uma bola foi atirada ao ar com uma velocidade de 40 m/s, sua altura em 
metros depois de t segundo é dado por y = 40t - 16t2. Encontre a velocidade 
quando t = 2 s.
5. Usando a definição, calcule as derivadas das funções abaixo: 
a) f (x) = 4x2 + 4
b) g (x) = 6
c) f (x) = 2x + x2
d) f (x) = √x2 + 2x
6. Considere a função 
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
2
2 2 e 2,0
, se 0
( ) e 0,0
, se 0
2 e 3,7
a) 
b) 
c) 
f x x P
x x
f x P
x x
f x x P
= −
≤
= 
>
= −
a) Calcule a derivada de f e determine o domínio de f'.
b) A função f é contínua em todos os pontos? 
( )
0, se 0
5 , se 0 4
1 , se 4
5
x
f x x x
x
x

 ≤

= − < <

 ≥
−
96
7. Mostre que a derivada de uma função par é uma função ímpar.
8. Mostre que a derivada de uma função ímpar é uma função par.
97
TÓPICO 2
PROPRIEDADES DE 
DERIVAÇÃO
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Sabemos da Unidade 1 que nem sempre é fácil calcularmos o limite de 
certas funções e, da mesma maneira que na Unidade 1, iremos aqui apresentar 
uma série de propriedades que nos ajudaram no cálculo da derivada. Neste tópico 
iremos estudar as regras de derivação mais padrões e que você usará no decorrer 
de toda a sua formação e posteriormente. 
2 REGRAS DE DERIVAÇÃO
O objetivo deste subtópico é derivar funções mais simples, como função 
constante, função potência, entre outras, e depois usá-las para derivar funções 
mais elaboradas.
Proposição 11: A função constante f (x) = c é derivável e sua derivada é f'(x) = 0.
Demonstração: Da definição de derivada, temos 
pois, h ≠ 0. 
 
Observe que o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao 
eixo x, cuja inclinação é zero, logo é intuitivo esperar que sua derivada seja igual 
a zero, como provamos acima. 
A próxima função a ser estudada será uma função afim, vamos então 
considerar a função afim mais simples f (x) = x e calcular a sua derivada
( ) ( ) ( )
0
0 0
lim
lim lim 0 0
h
h h
f x h f x
f x
h
c c
h
→
→ →
′
+ −
=
−
= = =
( ) ( ) ( )
( )
0
0
0 0
lim
lim
lim lim1 1
h
h
h h
f x h f x
f x
h
x h x
h
h
h
→
→
→ →
+ −
=
+ −
=
=
′
= =
UNIDADE 2 | DERIVADAS
98
Seguindo essa lógica, vamos calcular a derivada da função do segundo 
grau f (x) = x2,
( ) ( ) ( )
( )
0
0
0 0
lim
lim
lim lim1 1
h
h
h h
f x h f x
f x
h
x h x
h
h
h
→
→
→ →
+ −
=
+ −
=
=
′
= =
observe que usamos produtos notáveis para desenvolver o termo (x + h)2, agora 
do fato que h ≠ 0, temos 
( ) ( )2 2
0
2 2 2
0
2
0
lim
2lim
2lim
h
h
h
x h x
f x
h
x xh h x
h
xh h
h
→
→
→
′
+ −
=
+ + −
=
+
=
Calculando a derivada da função f (x) = x3, temos 
( )
0
lim 2 2
h
f x x h x
→
= + =′
pois, (x + h)2 = x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 e como h ≠ 0 temos 
( ) ( )3 3
0
3 2 2 3 3
0
2 2 3
0
lim
3 3lim
3 3lim
h
h
h
x h x
f x
h
x x h xh h x
h
x h xh h
h
→
→
→
+ −
=
+ + + −
=
+ +
=
′
Você pode observar que quando derivamos as funções potências acima, 
encontramos a seguinte característica
 f (x) = x f'(x) = 1x0
 f (x) = x2 f'(x) = 2x1
 f (x) = x3 f'(x) = 3x2
então é natural esperar que a derivada de uma função potência f (x) = xn seja dada 
como na proposição abaixo. 
( ) 2 2 2
0
lim3 3 3
h
f x x xh h x
→
=′ + + =
TÓPICO 2 | PROPRIEDADES DE DERIVAÇÃO
99
Proposição 12: A função f (x) = xn é derivável e sua derivada é f'(x) = nxn-1,para 
todo n ∈ .
Demonstração: Para provar que a proposição é verdadeira, vamos calcular a 
derivada de f usando a definição de derivada 
Como fizemos no caso que n = 2 e n = 3, precisamos desenvolver o termo 
(x + h)n e para isso usamos o Binômio de Newton 
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
lim lim
n n
h h
f x h f x x h x
f x
h h→ →
′
+ − + −
= =
substituindo na derivada de f, e cancelando o termo xn, temos 
( ) ( )1 2 2 11
2
n n n n n nn n
x h x nx h x h nxh h− − −−
+ = + + + + +
( )
( )
( )
1 2 2 1
0
1 2 2 1
0
1
1
2lim
1
lim
2
n n n n
h
n n n n
h
n
n n
nx h x h nxh h
f x
h
n n
nx x h nxh h
nx
− − −
→
− − − −
→
−
−
+ + + +
=′
−
= + + + +
=


O Binômio de Newton é uma homenagem ao físico Isaac Newton, que estudava 
propriedades para (x + y)n. Para entender o Binômio de Newton, primeiro precisamos 
relembrar de análise combinatória, uma combinação de n elementos agrupados k a k é 
UNI
Logo, o Binômio de Newton é dado pela expressão 
( )
n n!=
k k! n-k !
 
 
 
( )
n
n n-k k
k=0
n
x+y = x y
k
 
 
 
∑
Apesar de a demonstração da prova acima ser feita somente para , 
essa proposição também é verdadeira para todo . A prova requer técnicas 
de derivações e proposições que ainda não estudamos, assim que possível a 
UNIDADE 2 | DERIVADAS
100
demonstração será apresentada para você, acadêmico, mas a proposição já pode 
ser usada para todo .
 
Uma outra função interessante e que já temos condições de estudar é a 
função exponencial, a sua derivada tem uma propriedade peculiar, que podemos 
verificar na proposição abaixo. 
Proposição 13: Considere a função f (x) = ax, para a ∈ . A função f é derivável e 
sua derivada é
f'(x) = axIn(a)
Demonstração: Para encontrar a derivada da função exponencial, vamos usar a 
definição de derivada, ou seja, calcular o seguinte limite 
usando propriedades de potenciação, temos que 
( ) ( ) ( )
0 0
lim lim
x h x
h h
f x h f x a af x
h h
+
→ →
′
+ − −
= =
Na Unidade 1 estudamos os limites fundamentais e sabemos que 
( )
0
1lim ln
h
h
a a
h→
−
= , assim
( ) ( )
0
1
lim
x h
h
a a
f x
h→
−
=′
Segue diretamente da Proposição 13 que a derivada da função f (x) = ex é ela 
mesma, já que
f'(x) = exIn(e) = ex
As três proposições que estudamos falavam de funções bem conhecidas 
e elementares, vamos agora derivar funções que são formadas a partir dessas 
funções, como uma soma, subtração, multiplicação ou divisão. 
Teorema 11: (Regra da Soma) Considere duas funções f e g que sejam deriváveis, 
então a função h (x) = f (x) + g (x) e sua derivada é h'(x) = f'(x) + g'(x).
Demonstração: Como f e g são deriváveis temos que 
( ) ( )
0
1lim ln
h
x x
h
af x a a a
h→
−
= =′
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0
lim lim
h h
f x h f x g x h g x
f x e g x
h h→ →
′
− +
′
+ −
= =
TÓPICO 2 | PROPRIEDADES DE DERIVAÇÃO
101
Vamos agora calcular a derivada da função h, logo
Portanto, o teorema está demonstrado. 
Algumas observações importantes desse teorema: 
1. O Teorema pode ser provado de forma análoga para a subtração, se f e g são 
deriváveis, então a função h (x) = f (x) - g (x) é derivável e h'(x) = f'(x) - g'(x). 
Tente fazer essa demonstração. 
2. O Teorema acima também é verdadeiro se temos uma soma ou subtração de mais 
de duas funções, se f1, f2, ..., fn são deriváveis, então g (x) = f1(x) + f2(x) + ... + fn(x) é 
derivável e g'(x) = f'1(x) + f'2(x) + ... + f'n(x).
Exemplo: Calcule a derivada da função f (x) = x5 - x + 3.
Resolução: Usando as Proposições 11 e 12 e o Teorema 11, temos que
f'(x) = 5x5-1 - 1 + 0 = 5x4 - 1
Teorema 12: Considere uma função f que seja derivável, então para qualquer 
constante c, a função g (x) = cf (x) e sua derivada é g'(x) = cf'(x).
Demonstração: Como f é derivável, temos que 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
0
0 0
lim
lim
lim lim
h
h
h h
h x h h x
h x
h
f x h g x h f x g x
h
f x h f x g x h g x
h h
f x g x
→
→
→ →
+ −
=
+ + + − −
=
+ −
′
= ′
+
=
+ ′
−
+
Vamos agora calcular a derivada da função g, logo
( ) ( ) ( )
0
lim
h
f x h f x
f x
h→
+ −
=′
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
0
0
0
lim
lim
lim
h
h
h
g x h g x
g x
h
cf x h cf x
h
c f x h f x
h
→
→
→
′
+ −
=
+ −
=
+ −
=
UNIDADE 2 | DERIVADAS
102
Das propriedades de limite, temos 
Portanto, o teorema está demonstrado. 
Exemplo: Calcule a derivada da função f (x) = 4x6 - 3x2 - 5.
Resolução: Usando as Proposições 11 e 12 e os Teoremas 11 e 12, temos que 
f'(x) = 4 . 6x6 - 1 - 3 . 2 x2 - 1 - 0 = 24x5 - 6x
Provados os Teoremas 11 e 12 e as Proposições 11 e 12, podemos concluir 
que as funções polinomiais são deriváveis, ou seja, para toda função da forma 
( ) ( ) ( ) ( )
0
lim '
h
f x h f x
g x c cf x
h→
+ −
= =′
temos que a sua derivada é dada por 
( ) 1 2
1 2 1 0
n n
n np x a x a x a x a x a−
−= + + + + +
Como já sabemos derivar a soma de funções, o natural agora é passar 
a derivar função formada da multiplicação e divisão de outras funções. Você, 
acadêmico, pode deixar-se levar e pensar que a derivada da multiplicação de 
duas funções seria (fg)' = f'g', e que a derivada de uma divisão de duas funções 
seria 
'
'
f f
g g
 
= 
′
 
, mas não se engane, isto é totalmente errado. 
Considere a função h (x) = xex, sabemos que a derivada da função f (x) = x 
é f'(x) = 1 e que a derivada de g (x) = ex é g'(x) = ex, assim poderíamos concluir que 
a derivada de h seria h'(x) = ex, mas já comentamos acima que essa afirmação é 
incorreta, então vamos tirar a prova real derivando a função h usando a definição
( ) ( )1 2
1 2 11 2n n
n np x a nx a n x a x a− −
−= ⋅ + ⋅′ − + + ⋅ +
usando as propriedades de limite e de potenciação, temos 
( ) ( )
( )
0
0
0
lim
lim
1
lim
x h x
h
x h x h x
h
x h x h
h
x h e xe
h x
h
xe e he e xe
h
xe e he e
h
+
→
→
→
′
+ −
=
+ −
=
− +
=
( ) ( )
( )
0 0
0 0
1
lim lim
1lim lim
1
x h x h
h h
h
x x h
h h
x x x
xe e he eh x
h h
exe e e
h
xe e x e
→ →
→ →
′
−
= +
−
= +
= + = +
TÓPICO 2 | PROPRIEDADES DE DERIVAÇÃO
103
( ) ( )
( )
0 0
0 0
1
lim lim
1lim lim
1
x h x h
h h
h
x x h
h h
x x x
xe e he eh x
h h
exe e e
h
xe e x e
→ →
→ →
′
−
= +
−
= +
= + = +
uma função muito diferente da encontrada anteriormente. 
Os dois próximos teoremas apresentam uma fórmula para calcularmos as 
derivadas de funções que são formadas pelo produto e divisão de outras funções, 
temos assim a Regra do Produto e a Regra do Quociente. Acadêmico, a Regra 
do Produto e do Quociente são as regras de derivação mais usadas e, como foi 
mencionado, regras não são o que é esperado, então, fique atento.
Teorema 13: (Regra do Produto) Considere duas funções f' e g deriváveis, então 
o produto delas é derivável e sua derivada é (fg)' = f'g + fg', ou usando outra 
notação temos 
Demonstração: Como f' e g são deriváveis, temos
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d d df x g x g x f x f x g x
dx dx dx
= +  
Vamos agora calcular a derivada do produto das funções f e g 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )'
0 0
lim lim
h h
f x h f x g x h g x
f x e g x
h h→ →
′
+ − + −
= =
Para finalizar a demonstração, vamos somar e diminuir o termo f (x)g (x + h) 
no numerador
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
lim
h
f x h g x h f x g xd f x g x
dx h→
+ + −
=  
como queríamos demonstrar. 
UNIDADE 2 | DERIVADAS
104
A ordem em que as funções aparecem não interfere na derivada, frisamos 
aqui que o importante é lembrar que a derivada do produto de duas funções é a 
soma de dois termos formados pela primeira função multiplicada pela derivada 
da segunda mais a derivada da primeira multiplicada pela segunda. 
Outra situação que pode ocorrer é termos a multiplicação de mais de 
duas funções, nesse caso aplicamos a regra do produto de forma recorrente, mas 
sempre vai ser a soma de n parcelas, onde n é o número de funções que estão 
sendo multiplicadas e cada parcela vai ter todas as funções multiplicadas, sendo 
que uma delasaparece na forma derivada. No caso de três funções, temos
(fgh)' = fgh' + fhg' + ghf'
Exemplo: Calcule a derivada da função h (x) = xex.
Resolução: Defina f (x) = x e g (x) = ex, como f'(x) = 1 e g'(x) = ex, concluímos que 
h (x) = xex + ex = (1 + x)ex
Exatamente o que tínhamos encontrado quando derivamos a função h 
usando a definição de derivada.
Exemplo: Calcule a derivada da função f (x) = (x4 + 2x) (ex + x).
Resolução: Observe que essa função envolve soma e produto de outras funções, 
precisamos tomar cuidado e seguir a ordem correta de derivação. Usando a Regra 
do Produto, temos
agora usando a Regra da Soma, encontramos
para finalizar o cálculo da derivada, vamos usar propriedades de potenciação e 
radiciação
( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 42 2x xd df x x x e x e x x x
dx dx
= + + + + +′
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
4 4
4 3
2 2
2 1 4 2
x x
x x
d d d df x x x e x e x x x
dx dx dx dx
x x e e x x
   = + + +′ + +   
   
= + + + + +
O próximo teorema determina uma fórmula para calcularmos a derivada 
de uma função formada pela divisão de outras duas, chamada de Regra do 
Quociente.
( ) 4 4 3 4
4 3 4
2 2 4 2 4 2
4 2 2 5 4
x x x x
x x x x
f x x e x xe x x e e x x
x e x e xe e x x
′ = + + + + + + +
= + + + + +
TÓPICO 2 | PROPRIEDADES DE DERIVAÇÃO
105
Teorema 14: (Regra do Quociente) Considere duas funções f e g deriváveis, então 
o quociente delas é derivável e sua derivada é 
'
2
f f g fg
g g
  −
=
′

′

 
, ou usando outra 
notação, temos 
Demonstração: Como f e g são deriváveis temos que 
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )2
d dg x f x f x g xf xd dx dx
dx g x g x
− 
= 
 
Vamos agora calcular a derivada o produto das funções f e g, logo
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )'
0 0
lim lim
h h
f x h f x g x h g x
f x e g x
h h→ →
′
+ − + −
= =
Para finalizar a demonstração, vamos somar e diminuir o termo f (x) + g(x) no 
numerador
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
0
0
lim
lim
lim
h
h
h
f x h f x
f x g x h g xd
dx g x h
f x h g x f x g x h
g x h g x
h
f x h g x f x g x h
g x h g x h
→
→
→
+
−
  +
= 
 
+ − +
+
=
+ − +
=
+
como queríamos demonstrar. 
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
lim
h
f x h g x f x g x f x g x f x g x h
f x g x h g xd
dx hg x →
+ + − − +
  +
= 
  
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )0 0
lim lim
h h
f x h g x f x g x f x g x h f x g x
g x h g x h g x h g x h→ →
+ − + −
= −
+ +
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0 0
lim lim
h h
g x f x h f x f x g x h g x
h hg x h g x g x h g x→ →
+ − + −
= ⋅ − ⋅
+ +
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0 0 0 0
lim lim lim lim
h h h h
g x f x h f x f x g x h g x
h hg x h g x g x h g x→ → → →
+ − + −
= ⋅ − ⋅
+ +
( )
( )
( ) ( )
( )
( )2 2
g x f xd df x g x
dx dxg x g x
= −
( ) ( ) ( ) ( )
( )2
.
d dg x f x f x g x
dx dx
g x
−
=
UNIDADE 2 | DERIVADAS
106
Diferente da Regra do Produto, aqui na Regra do Quociente a ordem das 
funções importa, além de aparecer o quadrado do denominador, no denominador 
da derivada, também temos um sinal de menos no numerador.
Exemplo: Calcule a derivada da função ( ) 24 2
xeh x
x
=
+
.
Resolução: Defina f (x) = ex e g (x) = 4x2+ 2, como f'(x) = ex e g'(x) = 8x, temos que
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
22
2
22
4 2 8
4 2
4 8 2
4 2
x x
x
d dg x f x f x g x
dx dxh x
g x
x e e x
x
x x e
x
′
−
=
+ −
=
+
− +
=
+
No início do tópico derivamos funções do tipo xn para , agora com a regra 
da cadeia, podemos estender esta propriedades para todo , pois
UNI
n n-1 n-1
-n -n-1
n 2n 2n
d d 1 x ×0-1×nx nxx = = =- =-nx
dx dx x x x
No exemplo anterior, usamos a Regra da Soma e do Quociente, na vida 
acadêmica e profissional você vai se deparar com muitas funções e provavelmente 
a maioria das funções que você vai derivar irá precisar de mais de uma regra de 
derivação para ser calculada.
Exemplo: Calcule a derivada da função ( ) ( )4 23 5
3 1
xx x x e
f x
x
+
=
−
.
Resolução: Agora temos uma função com soma, produto e divisão, vamos 
começar a derivar usando a Regra da Cadeia 
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
4 2 4 2
2
3 1 3 5 3 5 3 1
3 1
x xd dx x x x e x x x e x
dx dxf x
x
 − + − + − 
=
−
′
TÓPICO 2 | PROPRIEDADES DE DERIVAÇÃO
107
Somos então levados a calcular as derivadas abaixo 
a segunda derivada segue diretamente da Regra da Soma 
( ) ( )4 23 5 e 3 1xd dx x x e x
dx dx
 + − 
Já a primeira derivada requer mais atenção, já que temos duas multiplicações 
e uma soma, para derivar essa função, podemos usar a propriedade distributiva antes 
de derivar, ou usar diretamente a Regra do Produto 
( )3 1 3d x
dx
− =
Portanto, a derivada da função f é 
Todas as regras de derivação que estudamos neste tópico serão muito 
usadas no decorrer da disciplina e do curso, para calcular a derivada de uma função 
geralmente tem mais de um caminho para seguir, com prática você vai conseguir 
identificar qual o caminho mais curto e fácil. Por exemplo, mesmo que uma 
função apresente um quociente, você não necessariamente precisa usar a Regra 
do Quociente, uma situação que pode ocorrer é o numerador ser divisível pelo 
denominador, lembre-se de que está técnica era muito usada para calcular limites. 
Para conseguir memorizar as regras de derivação que já aprendemos, 
sugerimos que você anote num papel e tenha sempre perto para tirar qualquer 
dúvida. Até agora já aprendemos as seguintes regras de derivação, sendo c e a 
constantes reais, f e g funções:
UNIDADE 2 | DERIVADAS
108
QUADRO 1 – REGRAS DE DERIVAÇÃO
FONTE: Os autores
Tipo de Função Derivada
f (x) = c f'(x) = 0
f (x) = xn, n ∈ f'(x) = nxn-1
f (x) = ax f'(x) = axIn(a)
f (x) = ex f'(x) = ex
Devemos observar, também, propriedades operatórias importantes, que 
realizam as derivadas de operações entre funções, tais como:
2.1 FUNÇÃO COMPOSTA E REGRA DA CADEIA 
O objetivo neste subtópico é estudar mais uma regra de derivação, essa 
regra teve grande importância no desenvolvimento do cálculo diferencial e integral, 
funções que a princípio parecem simples, demandando muito trabalho para calcular 
suas derivadas, por exemplo, as funções f (x) = (x2 - 3)10 e g (x) = ex2 + 2x. Se quiséssemos 
derivar a função f usando as propriedades que estudamos no subtópico anterior, 
teríamos que expandir a potência, isso seria um trabalho demorado e cansativo, ou 
ainda usar a Regra do Produto nove vezes. Já a função g só poderia ser derivada se 
usássemos a definição de derivada, o que sabemos que muitas vezes é difícil. 
Observe que as funções f e g dadas acima podem ser escritas como 
composição de outras duas funções, então a regra de derivação que iremos estudar 
neste subtópico serve para derivar funções compostas. Essa regra de derivação é 
chamada de Regra da Cadeia e, antes de apresentar sua prova, vamos relembrar 
o que são funções compostas.
Dadas duas funções f e g, tal que Im(g) ⊂ Dom(f), então dizemos que a 
função composta f ° g é dada por
(f ° g)(x) = f (g (x))
(derivada do produto de funções)
(derivada do quociente de funções)
TÓPICO 2 | PROPRIEDADES DE DERIVAÇÃO
109
GRÁFICO 25 – FLECHAS PARA A FUNÇÃO COMPOSTA
FONTE: Os autores
O diagrama de flechas acima ilustra a composição de duas funções, 
primeiro temos um valor x no domínio de g, aplicando g encontramos o valor g 
(x), como g (x) está no domínio de f, podemos calcular f (g (x)).
Exemplo: Calcule f ° g e g ° f sabendo que f (x) = x e g (x) = 2x + 4.
Resolução: Observe que Dom(f) = {x ≥ 0}, Im(f) = {x ≥ 0}, Dom(g) = e Im(g) = . 
Como Im(g) ⊂ Dom(f), temos que
(f ° g)(x) = f (g (x)) = g ( x ) = 2 x +4
e o domínio de g ° f é o domínio de f, ou seja, Dom(g ° f ) = {x ≥ 0}.
Já para fazer a composição f ° g, precisamos tomar cuidado, pois Im(g) ⊄ Dom(f). 
Para conseguirmos calcular a função composta, restringimos o domínio de 
função g. Observe que quando 2x + 4 ≥ 0, podemoscalcular 2 4x + , portanto, se 
considerarmos Dom(g) = {x ≥ -2}, temos que Im(g) = {x ≥ 0} e assim Im(g) ⊂ Dom(f) 
e encontramos 
seu domínio é Dom(f ° g) = {x ≥ -2}.
Lembre-se de que o objetivo é encontrar uma maneira de calcular funções 
que são composição de outras funções, para isso considere o teorema a seguir, 
nele é provada a Regra da Cadeia.
Teorema 15: (Regra da Cadeia) Considere duas funções f e g deriváveis, tal que 
F é a função composta definida por f (x) = f (g (x)), então F é derivável e a sua 
derivada é dada pelo produto 
( )( ) ( )( ) ( )2 4 2 4f g x f g x f x x= = + = +
UNIDADE 2 | DERIVADAS
110
Demonstração: Usando a definição de derivada, temos que
( ) ( )( ) ( )'F x f g x g x⋅′=′
Defina y = g (x) e hy = g (x + h) - g (x), observe que quando h tende a zero 
temos que hy também tende a zero e ainda g (x + h) = g (x) + hy = y + hy. Substituindo 
na equação anterior, temos
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
0 0
lim lim
h h
f g x h f g xF x h F x
F x
h h→ →
′
+ −+ −
= =
Como hy → 0 quando h → 0, temos que 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0
lim limy y y
h h
y
f y h f y f y h f y h
F x
h h h→ →
′
+ − + −
= = ⋅
pois f é uma função derivável, e ainda temos que 
( ) ( )
( ) ( )( )
0
lim y
h
y
f y h f y
f y f g x
h→
′= = ′
+ −
pela hipótese de g ser derivável. Portanto concluímos que 
( ) ( ) ( )
0 0
lim limy
h h
h g x h g x
g x
h h→ →
= = ′
+ −
A Regra da Cadeia pode ser escrita da seguinte forma 
( ) ( )( ) ( )' 'F x f g x g x=′
com y = f (u) e u = g (x) funções diferenciáveis, essa notação era a notação que 
Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), filósofo e matemático alemão, utilizou 
para desenvolver a Regra da Cadeia. 
Exemplo: Usando a Regra da Cadeia, encontre a derivada da função f (x) = (x2 + 3)10.
Resolução: Podemos reescrever a função f como a composição das funções 
g (x) = x10 e h (x) = x2 + 3, temos que
dy dy du
dx du dx
=
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )102 23 3f x g h x g h x g x x= = = + = +
TÓPICO 2 | PROPRIEDADES DE DERIVAÇÃO
111
Para usar a Regra da Cadeia, precisamos encontrar a derivada das funções 
g e h, usando as propriedades estudadas anteriormente, temos
assim, a derivada de f é 
( ) ( )910 e 2g x x h x x′= =′
Com esse exemplo, podemos melhorar a Proposição 12. Seja g (x) uma 
função diferenciável, então a derivada da função f (x) = [g (x)]n, usando a Regra da 
Cadeia, é dada por
Exemplo: Encontre a derivada da função f (x) = ex2 + 2x.
Resolução: Temos que a função f é a composição de g (x) = ex e h (x) = x2 + 2x,
( ) ( ) ( )1n
f x n g x g x
−
= ⋅  ′′
As derivadas das funções g e h são g'(x) = ex e h'(x) = 2x + 2, assim a derivada 
de f é 
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 22 22 x xf x g h x g h x g x x e += = = + =
Outro exemplo interessante é quando precisamos combinar a Regra da 
Cadeia com a Regra do Produto ou Regra do Quociente. 
Exemplo: Encontre a derivada da função ( )
7
3 5
xe xf x
x x
 +
=  − 
.
Resolução: A função f é a composição das funções g (x) = x7 e ( ) 3 5
xe xh x
x x
+
=
−
, e suas 
derivadas são 
UNIDADE 2 | DERIVADAS
112
A Regra da Cadeia vai ser muito usada quando trabalharmos com funções 
trigonométricas. 
2.2 FUNÇÃO INVERSA E SUAS DERIVADAS 
O estudo da derivada da inversa de uma função requer atenção, já que 
nem toda função é inversível, lembre-se de que uma função é inversível se, e 
somente se, ela é bijetora, e que uma função tem apenas uma função inversa. 
Muitas funções podem não ser bijetoras, mas através de uma mudança no 
domínio ou contradomínio, podemos torná-las. Vamos relembrar parte do estudo 
de funções inversíveis e relacionar com a derivada.
Considere a função f (x) = x2, considere o Dom(f) = [0, ∞] e Im(g) = [0, ∞] e 
seu gráfico é o representado a seguir.
e
logo,
TÓPICO 2 | PROPRIEDADES DE DERIVAÇÃO
113
GRÁFICO 26 – FUNÇÃO f(x) = x2 COM Dom(f) = [0, ∞]
FONTE: Os autores
É fácil ver que a função f (x) = x2 é injetora e sobrejetora se restrita ao 
Dom(f) = [0, ∞], já que toda reta horizontal intercepta uma única vez o gráfico da 
função, logo f é bijetora e, portanto, inversível, e ainda, a função inversa de f é
Observe no Gráfico 27 que as funções f (tracejado) e g = f -1 (contínuo) são 
simétricas em relação à reta y = x.
( )1f y y− =
UNIDADE 2 | DERIVADAS
114
GRÁFICO 27 – FUNÇÕES f(x) = x2 E SUA INVERSA g (y) = ( )g y = y
FONTE: Os autores
O que podemos afirmar das derivadas dessas funções? Olhando o gráfico, 
podemos perceber que a inclinação da reta tangente da função f num ponto (x, y) 
e a inclinação da reta tangente da função inversa g = f -1 no ponto (y, x) têm uma 
relação, qual seria? 
Para tirar essa dúvida, vamos calcular as derivadas das funções f e g = f -1, logo
f'(x) = 2x
e a derivada da função g (y) = ( )1f y y− = , calculada no Tópico 1, é 
Note que a derivada de g pode ser reescrita da seguinte forma, já que, 
y = f (x) = x2,
( ) 1
2
g y
y
′ =
Com base nas observações acima, podemos então demonstrar o Teorema 
da Derivada da Função Inversa, esse teorema permite encontrar a derivada da 
função inversa de uma função que é inversível usando apenas a derivada da 
própria função.
( ) ( )2
1 1 1 1
2 '2 2
g y
x f xy x
= = = =′
TÓPICO 2 | PROPRIEDADES DE DERIVAÇÃO
115
Teorema 16: (Derivada da Função Inversa) Considere y = f (x) uma função 
derivável e seja x = g (y) a sua inversa, ou seja, (g ° f )(x) = x e (f ° g)(y) = y. Então 
g é derivável para todo y, tal que f'(x) ≠ 0 e sua derivada é
Demonstração: Como g é a inversa da função f, então (g ° f )(x) = x. Usando a 
Regra da Cadeia, temos 
( ) ( )
1g y
f x
′ =
′
Como y = f (x), temos que 
Observe que, no teorema, g'(y) significa a derivada de g em relação a y e 
f'(x) a derivada da função f em relação a x, isso porque g é a inversa de f e y = f 
(x). Podemos escrever a derivada da função f, dependendo da sua inversa g, da 
seguinte forma
Exemplo: Usando o Teorema da Derivada da Função Inversa, calcule a derivada 
da função inversa da função f (x) = 3x5 + 4.
Resolução: Para usar o teorema, primeiro precisamos calcular a derivada da 
função f, que é 
f'(x) = 15x4
Vamos encontrar a inversa da função f, 
( ) ( )
1f x
g y
′ =
′
.
UNIDADE 2 | DERIVADAS
116
Portanto, a inversa da função f é ( )1 5
4
3
yf y− −
= e sua derivada é 
A derivada da função inversa existe para todo y ∈ com y ≠ 4.
No subtópico anterior, mostramos a Proposição 12, que mostrava que 
f (x) = xn era derivável para todo n ∈ e sua derivada é f'(x) = nxn-1. Vamos 
estender essa proposição para todo n ∈ .
 
Considere a função f (x) = xn, para n ∈ e n ≠ -1. Como n ∈ podemos 
escrever n como uma fração, pn
q
= com p, q ∈ , assim 
Primeiro temos que perceber que a função f é uma função composta 
f (x) = g (h (x)), onde ( ) qg x x= e h (x) = xp, para usar a Regra da Cadeia, 
precisamos calcular as derivadas de g e h. A derivada de h é 
( ) 
p
q pqf x x x= =
Já a derivada de ( ) qg x x= , vamos usar a Regra da Função Inversa. Como 
g-1(y) = yq e ( )1 1qd g y qy
dy
− −  =  , logo a derivada de g é 
( ) 1ph x px −=′
Portanto, a derivada da função f é 
( )
( )
( )
1
1
1
1 1
1 1
1 1 1 
q
q
q
q qq
q
g x d qyg y
dy
x
qq x qx
−
−
−
−
− −
= =
 
′
 
= = =
( ) ( )( ) ( )
( )
( )
1
1
1
1
1 
q
p pq
p q
p
q
f x g h x h x
x px
q
p x
q
−
− −
−
− + −
′
=
′ ⋅
⋅
′=
=
TÓPICO 2 | PROPRIEDADES DE DERIVAÇÃO
117
Como pn
q
= , a potência 
e concluímos que a derivada de f é 
f'(x) = nxn-1
para todo n ∈ .
Um outro exemplo muito interessante é a derivada da função inversa de 
função exponencial. 
Exemplo: Calcule a derivada da função f (x) = loga(x), onde a > 0 e a ≠ 1. 
Resolução: Sabemos que a inversa da função f (x) = loga(x) é a função g (y) = ay. Das 
propriedades anteriores, sabemos que
g'(y) = ay In(a)
Usando o Teorema da Derivada da Função Inversa, concluímos 
( )1
1 1 1 1
p q p pp p p n
q q q
−
− + − = − + + − = − = −
O exemplo acima vale como uma propriedade, se f (x) = loga(x) com a> 0 
e a ≠ 1, então 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )alog
1 1
ln
1 1
ln ln
y
x
f x
g y a a
x aa a
′ = =
=
′
=
Podemos ainda destacar que se f (x) = In(x) então f'(x) = 1
x
, pois In(e) = 1.
Outras situações podem ocorrer onde será preciso combinar a Regra do 
Produto, a Regra do Quociente ou a Regra da Cadeia com a Derivada da Inversa 
de uma função, fique atento.
2.3 DERIVADAS SUCESSIVAS 
Na Unidade 3, iremos estudar propriedades de funções, para esse estudo 
iremos fazer uso do conceito de limite e derivada. Um dos métodos requer saber 
( ) ( )
1
ln 
f x
x a
=′
UNIDADE 2 | DERIVADAS
118
o valor da segunda derivada de uma função. Quando calculamos a derivada de 
uma função, encontramos uma nova função, se essa nova função for derivável, 
podemos derivá-la. 
Seja f uma função derivável, então a sua derivada é f', também chamada 
de primeira derivada da função f, ou derivada de primeira ordem da função f. 
Agora, se f' for derivável, então sua derivada é (f')' = f'', ou segunda derivada de f, 
ou derivada de segunda ordem de f. Podemos continuar o processo quantas vezes 
for necessário ou possível. 
Exemplo: Calcule todas as derivadas da função f (x) = x5 + 4x.
Resolução: A primeira derivada de f é 
f'(x) = x5 + 4x
A segunda derivada é 
A terceira derivada é 
A quarta derivada é 
A quinta derivada é 
A sexta derivada é 
Podemos concluir que todas as derivadas de f de ordem maior que 6 serão 
iguais a 0, logo
f (n) (x) = 0
para todo n ≥ 6.Observe que o grau da função f é 5, por isso as derivadas de ordem 
maior ou igual a 6 serão 0.
Note que a notação para derivadas de ordem 4 ou maior é diferente das de 
ordem menor. Para derivadas de ordem maior ou igual a 4, denotamos a derivada 
com um expoente entre parêntese. 
TÓPICO 2 | PROPRIEDADES DE DERIVAÇÃO
119
Exemplo: Calcule todas as derivadas da função f (x) = ex.
Resolução: A primeira derivada de f é f'(x) = ex. Podemos concluir que todas as 
derivadas da função f serão iguais a f,
f (n) (x) = ex
para todo n ≥ 1.
Exemplo: Calcule todas as derivadas da função f (x) = In(x).
Resolução: A primeira derivada de f é 
f'(x) = 1
x
A segunda derivada é 
A terceira derivada é 
A quarta derivada é 
Continuando com as derivadas, encontramos que a derivada de ordem 
n (n ≥ 1) da função f é 
( ) ( ) !n
n
nf x
x
=
120
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
• As propriedades introdutórias de derivadas são dadas pelas seguintes 
fórmulas:
• As propriedades operatórias das derivadas são
• A regra da cadeia para funções compostas é dada por:
• A regra da derivada da função inversa tem como forma 
( ) ( ) ( )( ) ( )' ' 'f g x f g x g x=
com g a função inversa da função f.
 
• O método de derivadas sucessivas da função f é:
( ) ( )
1g y
f x
′ =
′
( ) ( ) ( )4 5, , , , , , , nf f f f f f′ ′′ ′′′  
121
AUTOATIVIDADE
Acadêmico(a), o processo de entendimento total do conteúdo 
finaliza aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos 
explorados neste tópico. Bom estudo!
1. Prove usando a definição de derivada que se f e g forem deriváveis, então a 
função h (x) = f (x) - g (x) também é derivável e h'(x) = f'(x) - g'(x).
2. Calcule a derivada das funções abaixo: 
3. Calcule a derivada das funções abaixo: 
4. Calcule a derivada da função inversa das funções abaixo: 
122
5. Calcule todas as derivadas das 
funções abaixo. 
6. Mostre que a função y = e2x+3 satisfaz a igualdade y'' - y' - 2y = 0.
123
TÓPICO 3
DERIVADAS DE FUNÇÕES 
TRIGONOMÉTRICAS E IMPLÍCITAS
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Dando sequência ao estudo das derivadas, temos como objetivo encontrar 
derivadas de funções mais interessantes. No Tópico 2 aprendemos a derivar as 
funções polinomiais, exponenciais e logarítmicas, e funções que são a soma, o 
produto, o quociente, a composta ou a inversa dessas funções. Neste tópico, 
queremos encontrar as derivadas das funções trigonométricas. Antes de começar, 
talvez você deva revisar o conceito de funções trigonométricas, também é muito 
importante que você já tenha estudado as regras de derivações estudadas no 
tópico anterior e feito as autoatividades para praticar. 
2 DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
Neste subtópico daremos enfoque em estudar as derivadas das funções 
trigonométricas seno, cosseno e tangente.
2.1 FUNÇÃO SENO 
Vamos começar o estudo das derivadas das funções trigonométricas com 
a função seno. Sabemos que a função seno tem como domínio todos os números 
reais e sua imagem é o intervalo de [-1, 1], e seu gráfico é apresentado a seguir.
GRÁFICO 28 – FUNÇÃO SENO
FONTE: Os autores
124
UNIDADE 2 | DERIVADAS
Teorema 17: Considere a função f (x) = sen(x), definida f : → [-1, 1]. Então f é 
derivável e sua derivada é 
Demonstração: Para encontrar a derivada da função seno, vamos usar a definição 
de limite
( ) ( )( ) ( )sen cosdf x x x
dx
= =′
Usando a relação trigonométrica do seno da soma temos que 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
0
lim
sen sen
lim
f x h f x
f x
h
x h x
h
→
→
+ −
=
+ −
=
′
substituindo na igualdade acima, temos 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )sen sen cos sen cosx h x h h x+ = +
Vamos calcular cada um dos limites separadamente
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
0
0 0
sen cos sen cos sen
lim
sen cos 1 sen cos
lim lim
h
h h
x h h x x
f x
h
x h h x
h h
→
→ →
+ −
=
−
= +
′
quando estudamos o limite fundamental do seno através de evidências numéricas, 
nós conjecturamos que ( )
0
sen
lim 1
h
h
h→
= .
 
O segundo limite temos 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0
sen cos sen
lim cos lim cos
h h
h x h
x x
h h→ →
= =
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
0
0
2
0
2
0
0
0 0
sen cos 1
lim
cos 1 cos 1
sen lim
cos 1
cos 1
sen lim
cos 1
sen
sen lim
cos 1
sen sen
sen lim
cos 1
sen sen
sen lim lim
cos 1
0sen 1 0
1 1
h
h
h
h
h
h h
x h
h
h h
x
h h
h
x
h h
h
x
h h
h h
x
h h
h h
x
h h
x
→
→
→
→
→
→ →
−
− +
= ⋅
+
−
=
+
=
+
= ⋅
+
= ⋅
+
= ⋅ ⋅ =
+
TÓPICO 3 | DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E IMPLÍCITAS
125
Portanto, a derivada da função f é 
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
0
0
2
0
2
0
0
0 0
sen cos 1
lim
cos 1 cos 1
sen lim
cos 1
cos 1
sen lim
cos 1
sen
sen lim
cos 1
sen sen
sen lim
cos 1
sen sen
sen lim lim
cos 1
0sen 1 0
1 1
h
h
h
h
h
h h
x h
h
h h
x
h h
h
x
h h
h
x
h h
h h
x
h h
h h
x
h h
x
→
→
→
→
→
→ →
−
− +
= ⋅
+
−
=
+
=
+
= ⋅
+
= ⋅
+
= ⋅ ⋅ =
+
como queríamos demonstrar. 
( ) ( ) ( )0 cos cosf x x x= + =′
Neste tópico iremos utilizar muitas propriedades trigonométricas, sugerimos 
que, caso você não lembre, volte e estude no livro de Introdução ao Cálculo.
DICAS
Exemplo: Calcule a derivada da função f (x) = sen(6x).
Resolução: Para calcular a derivada da função f, vamos usar a Regra da Cadeia. Note 
que a função f pode ser escrita como f (x) = g (h (x)), onde g (x) = sen(x) e h (x) = (6x), 
temos que as derivadas de g e h são g'(x) = cos(x) e h'(x) = 6. Concluímos então que 
Sempre que temos uma composição da forma f (x) = sen(u(x)), onde u é 
uma função derivável, temos que a derivada da função f será 
( ) ( ) ( )cos 6 6 6cos 6f x x x= ⋅ =′
Exemplo: Calcule a derivada da função f (x) = (sen(x2 - 3))4.
Resolução: Neste exemplo vamos usar duas vezes a Regra da Cadeia, note que 
f (x) = g (h (x)), onde g (x) = x4 e h (x) = sen(x2 - 3) e ainda que a derivada da 
função g é g'(x) = 4x3, mas a derivada da função h não é tão simples. 
( ) ( )( ) ( )cosf x u x u x⋅ ′=′
126
UNIDADE 2 | DERIVADAS
 Note que h (x) = u (v (x)), com u (x) = sen(x) e v (x) = x2 - 3 e as derivadas das 
funções u e v são u'(x) = cos (x) e v'(x) = 2x, logo 
Portanto, a derivada de f é 
( ) ( ) ( )2 2cos 3 2 2 cos 3h x x x x x′ = − ⋅ = −
2.2 FUNÇÃO COSSENO
A próxima função a ser estudada é a função cosseno. Lembre-se de que 
a função cosseno, assim como a função seno, tem como domíniotodos os reais e 
imagem o intervalo [-1, 1].
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )
32 2
32 2
4 sen 3 2 cos 3
8 cos 3 sen 3
f x x x x
x x x
′ = − ⋅ −
= − −
GRÁFICO 29 – FUNÇÃO COSSENO
FONTE: Os autores
Teorema 18: Considere a função f (x) = cos(x), definida f : → [-1, 1]. Então f é 
derivável e sua derivada é 
Demonstração: Antes de mostrar que a função cosseno é derivável, lembre-se de que
( ) ( )( ) ( )cos sendf x x x
dx
= = −′
( )cos sen
2
x xp = − 
 
TÓPICO 3 | DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E IMPLÍCITAS
127
isso segue direto da propriedade trigonométrica do seno da soma 
pois sen 1 e cos 0
2 2
p p   = =   
   
.
 
Usando a Regra da Cadeia, concluímos o teorema 
( ) ( ) ( )sen sen cos cos sen cos
2 2 2
x x x xp p p     − = − =     
     
Da maneira similar ao feito com a função seno, podemos concluir que 
sempre que temos uma composição da forma f (x) = cos(u(x)), onde u é uma função 
derivável, a derivada da função f será
( )
( )
( )
cos sen
2
cos 1
2
sen
d dx x
dx dx
x
x
p
p
  = −        
 = − ⋅ − 
 
= −
( ) ( )( ) ( )senf x u x u x− ⋅ ′=′
AUTOATIVIDADE
Mostre que a derivada de f (x) = cos(u(x)) é f (x) = - sen(u(x)) . u'(x) se u(x) é uma 
função derivável.
Exemplo: Encontre a derivada da função f (x) = cos(x2).
Resolução: Usando a Regra da Cadeia, concluímos que a derivada de f é 
Agora que sabemos derivar a função seno e cosseno, podemos derivar 
funções que são soma, produto, divisão ou composição delas. 
Exemplo: Encontre a derivada da função f (x) = cos(x) . sen(x).
Resolução: Como a função f é o produto de duas funções, vamos usar a Regra do 
Produto
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2cos sen 2 2 sendf x x x x x x
dx
′  = = − ⋅ = − 
128
UNIDADE 2 | DERIVADAS
Nos exemplos anteriores, usamos a Regra da Cadeia e a Regra do Produto 
sem identificar quais eram as duas funções que definiam a composição e o 
produto. Se você está seguro em usar as propriedades de derivação, pode fazer 
como nos exemplos anteriores, mas se ainda não as domina, sugerimos que faça 
o passo a passo. 
2.3 FUNÇÃO TANGENTE 
A função por definição é a divisão do seno pelo cosseno. Também temos 
que o domínio da função tangente é todos os números reais que são diferentes 
2
kp p+ , para todo k ∈ e sua imagem são todos os reais. Sua representação é dada 
pelo Gráfico 30. 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
2
sen cos cos sen
 sen sen cos cos
sen cos
2cos 1
d df x x x x x
dx dx
x x x x
x x
x
= +  ′    
= ⋅ − + ⋅
= − +
= −
GRÁFICO 30 – FUNÇÃO TANGENTE
FONTE: Os autores
Teorema 19: Seja : , 
2
f k kp p − + ∀ ∈ → 
 
R Z R definida por f (x) = tg (x). Então a 
função f é diferenciável e sua derivada é 
TÓPICO 3 | DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E IMPLÍCITAS
129
Demonstração: A derivada da função tangente segue da Regra do Quociente, já 
que ela é definida pelo quociente de duas funções, que já sabemos derivar. 
( ) ( ) ( )2secdf x tg x x
dx
= =  ′
Vamos resolver alguns exemplos. 
Exemplo: Encontre a derivada da função f (x) = tg (3x2 + 2).
Resolução: Observe que para derivar a função f, precisaremos usar a Regra da Cadeia. 
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
2 2
2
2
2
cos sen sen cos
cos
cos cos sen sen
cos
cos sen
cos
1 sec .
cos
d dx x x x
dx dxf x
x
x x x x
x
x x
x
x
x
′
⋅ − ⋅      
=
⋅ − ⋅ −
=
+
=
= =
2.4 FUNÇÃO SECANTE
Vamos relembrar a definição da função secante. Sabemos que 
( ) ( )
1sec
cos
x
x
= , portanto, o domínio da função secante será todos os reais, tal que 
cos(x) seja diferente de 0, ou seja,
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 23 2 sec 3 2 6 6 sec 3 2df x tg x x x x x
dx
′  = + = + ⋅ = + 
e sua imagem é o conjunto - (-1, 1). Seu gráfico é dado a seguir. 
; , 
2
Dom x x k kp p = ∈ ≠ + ∀ ∈ 
 
R Z
130
UNIDADE 2 | DERIVADAS
GRÁFICO 31 – FUNÇÃO SECANTE
FONTE: Os autores
Teorema 20: Seja ( ): , 1,1
2
f k kp p − + ∀ ∈ → − − 
 
R Z R definida por f (x) = sec(x). 
Então a função f é diferenciável e sua derivada é 
Perceba que 
Demonstração: Pela definição da função secante e da Regra do Quociente, temos 
( ) ( ) ( ) ( )sec secdf x x x tg x
dx
= =  ′
Como ( ) ( )cos send x x
dx
= −   , segue que 
( ) ( )
( )
( ) [ ] ( )
( )2
sec
1
cos
cos 1 1 cos
cos
df x x
dx
d
dx x
d dx x
dx dx
x
=   
 
=  
′
 
⋅ − ⋅   
=
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
( )
2
2
cos 0 1 sen
cos
sen
cos
x x
f x
x
x
x
⋅ − ⋅ −
=
=
′
TÓPICO 3 | DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E IMPLÍCITAS
131
FONTE: Os autores
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )2
sen sen 1 sec
cos cos cos
x x
tg x x
x x x
= ⋅ =
Portanto, concluímos que a derivada da função secante é 
Exemplo: Encontre a derivada da função f (x) = tg (x) sec(x).
Resolução: Usando a Regra do Produto, temos 
( ) ( ) ( ) ( )sec secdf x x x tg x
dx
= =  ′
Com o exemplo anterior podemos concluir que a derivada segunda da 
função tangente é 
( ) ( ) ( ) ( ) [ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
2
2 2
sec sec
sec sec sec
sec sec
d df x tg x x x tg
dx dx
tg x x tg x x x
x tg x x
= ⋅ + ⋅  
= ⋅ + ⋅
= +
′
2.5 FUNÇÃO COSSECANTE 
A função cossecante é igual a ( )
1
sen x seu domínio é o conjunto
{ }; x x k kp∈ ≠ ∀ ∈R Z e sua imagem é o conjunto - (-1, 1), como 
podemos ver no gráfico abaixo.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
2
2 2
2 sec secdf x tg x x tg x x
dx
= = +  ′′
GRÁFICO 32 – FUNÇÃO COSSECANTE
132
UNIDADE 2 | DERIVADAS
Teorema 21: Seja { } ( ): , 1,1f k kp− ∀ ∈ → − −R Z R definida por
f (x) = cossec(x). Então a função f é diferenciável e sua derivada é 
Demonstração: Pela definição da função cossecante e da Regra do Quociente, temos 
( ) ( ) ( ) ( )cossec cossecdf x x x cotg x
dx
= =  ′
Como ( ) ( )sen cosd x x
dx
=   , segue que 
( ) ( )
( )
( ) [ ] ( )
( )2
cossec
1
sen
sen 1 1 sen
sen
df x x
dx
d
dx x
d dx x
dx dx
x
=   
 
=  
 
′
⋅ − ⋅   
=
Perceba que 
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )2 2
sen 0 1 cos cos
sen sen
x x x
f x
x x
⋅ − ⋅
= =′
Portanto, concluímos que a derivada da função cossecante é 
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )2
cos cos 1 cossec
sen sen sen
x x
cotg x x
x x x
= ⋅ =
2.6 FUNÇÃO COTANGENTE 
A função cotangente é igual a 
( )
( )
cos
sen
x
x , seu domínio é o conjunto 
{ }; x x k kp∈ ≠ ∀ ∈R Z e sua imagem é o conjunto , como podemos ver no 
gráfico a seguir.
( ) ( )
( ) ( )
cossec
cossec
df x x
dx
x cotg x
=   
=
′
TÓPICO 3 | DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E IMPLÍCITAS
133
GRÁFICO 33 – FUNÇÃO COTANGENTE
FONTE: Os autores
Teorema 22: Seja { }: , f k kp− ∀ ∈ →R Z R definida por f (x) = cotg (x). Então a 
função f é diferenciável e sua derivada é 
Demonstração: Pela definição da função cotangente e da Regra do Quociente, temos 
( ) ( ) ( )2cotg cossecdf x x x
dx
= = −  ′
Sabemos que ( ) ( )sen cosd x x
dx
=   e ( ) ( )cos send x x
dx
= −   assim 
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )2
cotg
cos
sen
sen cos cos sen
sen
df x x
dx
xd
dx x
d dx x x x
dx dx
x
=   
 
=  

′

⋅ − ⋅      
=
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2 2
2
2
2
sen sen cos cos
sen
sen cos
sen
1
sen
x x x x
f x
x
x x
x
x
cossec x
⋅ − − ⋅
=
− −
=
′
−
=
= −
134
UNIDADE 2 | DERIVADAS
pois, sen2(x) + cos2(x) = 1. Portanto, concluímos que a derivada da função cotangente é 
Nos subtópicos anteriores aprendemos a derivar a seguintes funções:
( ) ( ) ( )cotg cossecdf x x x
dx
= = −  ′
QUADRO 2 – DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
FONTE: Os autores
Com essas funções aumentamos muito o número de funções que podemos 
derivar, já que podemos fazer diversos arranjos entre elas. Você deve estar 
pensando: como vou me lembrar de todas essas propriedades? Infelizmente não 
temos a fórmula mágica, só a prática e o tempo farão com que essas derivadas 
se tornem familiares, mas uma dica pode ajudar, noteque todas as funções que 
começam com a sílaba “co” têm o sinal de menos em sua derivada. 
3 DERIVADAS DAS FUNÇÕES 
TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Sabemos que as funções trigonométricas não são funções bijetoras, por 
isso não têm inversa. Uma maneira de contornar essa situação é fazendo restrições 
nos seus domínios, as funções trigonométricas são periódicas, então para torná-
las bijetoras, vamos restringir seu domínio a um período. Neste subtópico, como 
no anterior, iremos relembrar as funções trigonométricas inversas definindo o 
seu domínio e imagem para então encontrar a sua derivada. 
Para calcular a derivada das funções trigonométricas inversas, vamos usar 
o Teorema da Derivada da Função Inversa estudada no Tópico 2 desta unidade e 
as derivadas das funções trigonométricas.
TÓPICO 3 | DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E IMPLÍCITAS
135
FONTE: Os autores
3.1 FUNÇÃO ARCO-SENO 
 
A função seno f (x) = sen(x) está definida em todo o conjunto dos reais, e 
portanto não é bijetora, como pode ser visto no seu gráfico (Gráfico 34). Também 
podemos ver que o período da função seno é 2p, assim, se restringirmos o domínio 
da função seno para o intervalo ,
2 2
p p −  
, temos que 
é uma função bijetora, ou seja, tem inversa e sua inversa é dada por 
[ ]
( ) ( )
: , 1,1
2 2
f
y f x sen x
p p − → −  
= =
No gráfico a seguir são representadas a função seno f (pontilhado) restrita 
a um período e a função arco-seno g. O gráfico mostra com clareza que a inversa 
da função seno tem o mesmo comportamento do seno, também é fácil verificar 
que o domínio da função f se torna a imagem da função g.
[ ]
( ) ( ) ( )1
: 1,1 ,
2 2
g
g y arcsen y sen y
p p
−
 − → −  
= =
GRÁFICO 34 – FUNÇÃO SENO f E DA FUNÇÃO ARCO-SENO g
136
UNIDADE 2 | DERIVADAS
Proposição 14: A derivada da função [ ]: 1,1 ,
2 2
g p p − → −  
 dada por g (y) = arcsen(y) é 
( )
2
1
1
g y
x
=
−
′
Demonstração: Usando o Teorema da Derivada da Função Inversa, temos que 
com f (x) = sen(x) e sua derivada é f'(x) = cos(x), assim
( ) ( )
1g y
f x
′ =
′
Precisamos agora escrever ( )
1
cos x na variável y. Sabemos que
cos2(x) + sen2(x) = 1, logo 
cos2(x) = 1 - sen2(x),
como y = sen(x) temos que
cos2(x) = 1 - y2 
ou
cos(x) = 21 y± −
Pela restrição feita no domínio da função ,
2 2
x p p ∈ −  
 e nesse intervalo o 
valor de cos(x) é positivo, portanto 
( ) ( )
1
cos
g y
x
=′
3.2 FUNÇÃO ARCO-COSSENO 
 
Restringindo o domínio da função cosseno y = f (x) = sen(x) no intervalo 
[0, p], temos que a função cosseno é bijetora e sua inversa é dada por 
( )
2
1
1
g y
y
=
−
′
[ ] [ ]
( ) ( ) ( )1
: 1,1 0,g
g y arccos y cos y
p
−
− →
= =
TÓPICO 3 | DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E IMPLÍCITAS
137
Proposição 15: A derivada da função g: [-1, 1] → [0, p] dada por g (y) = arccos(y) é 
Demonstração: Usando o Teorema da Derivada da Função Inversa e o fato de que 
a derivada da função f (x) = cos(x) é f'(x) = sen(x), temos que 
( )
2
1
1
g y
x
= −
−
′
Como cos2(x) + sen2(x) = 1, ou ainda, sen2(x) = 1 - cos2(x), Ainda temos que 
y = cos(x), concluímos que 
( ) ( )
1
sen
g y
x
= −′
Pela restrição feita no domínio, a função cos(x) é positiva para x ∈ [0, p], 
portanto 
( )
( )
2 2
2
ou
sen 1
sen 1
x y
x y
= −
= ± −
3.3 FUNÇÃO ARCO-TANGENTE
Considerando o domínio da função tangente y = f (x) = tg (x) como sendo 
,
2 2
p p − 
 
 torna a função tangente bijetora, assim podemos considerar sua inversa 
( )
2
1
1
g y
y
= −
−
′
Proposição 16: A derivada da função : ,
2 2
g p p → − 
 
R dada por g (y) = arctg (y) é 
( ) ( ) ( )1
: ,
2 2
g
g y arctg y tg y
p p
−
 → − 
 
= =
R
Demonstração: Usando o Teorema da Derivada da Função Inversa e o fato de que 
a derivada da função f (x) = tg (x) é f'(x) = sec2(x), temos que 
( ) 2
1
1
g y
y
=
+
′
138
UNIDADE 2 | DERIVADAS
Lembre-se de que sec2(x) - tg2(x) = 1, ou ainda, sec2(x) = 1 + tg2(x) = 1 + y2, já 
que y = tg (x). Portanto, concluímos que 
( ) ( )2
1
sec
g y
x
=′
Novamente temos a tabela apresentando todas as funções e suas derivadas 
estudadas neste subtópico:
( ) 2
1
1
g y
y
=
+
′
QUADRO 3 – DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
FONTE: Os autores
Deixamos para a sua curiosidade encontrar as derivadas das outras 
funções inversas.
4 DERIVADA DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS
Considere a equação da reta 6x + 2y -10 = 0, podemos reescrever essa 
equação na seguinte forma
2y = 10 - 6x
y = 5 - 3x
TÓPICO 3 | DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E IMPLÍCITAS
139
Podemos definir a função f (x) = 5 - 3x, tal que y = f (x). Perceba que 
temos duas formas de escrever a mesma reta, na forma de função explícita ou 
na forma de função implícita. Nesse caso, a função na forma implícita pode ser 
transformada em uma função implícita, mas podem acontecer situações em que 
isso não é possível, por exemplo, a equação 
y3 + xy2 = x2y + 12 = 0
Suponha que precisamos encontrar o valor da derivada de y em relação a 
x, y'. O que fazer?
 
Vamos analisar a derivada da função f (x) = 5 - 3x, note que 
y' = f'(x) = - 3 
Agora vamos pensar na forma implícita, derivando a equação em ambos 
os lados temos 
usando a regra de derivação da soma, temos 
[ ] [ ]6 2 10 0d dx y
dx dx
+ − =
agora usando a regra do produto 
[ ] [ ] [ ]6 2 10 0d d dx y
dx dx dx
+ − =
como [ ] [ ]1 e d dx y y
dx dx
= ′= , concluímos que
6 + 2y' = 0
 
Encontramos assim uma nova equação envolvendo suas derivadas e 
perceba que se isolarmos y' na equação, encontramos exatamente a mesma 
relação que obtivemos quando derivamos a função na forma explícita. 
 
Considere a equação F (x, y) = 0, suponha que essa equação define uma 
função y = f (x) e que f seja derivável (para essa informação precisamos impor 
algumas condições, mas não iremos estudar neste livro, pois precisamos de 
técnicas e definição que ainda não estudamos), para encontrar a derivada 
da função f (x) basta derivarmos em ambos os lados da equação e depois se 
possível isolar y'.
 
Exemplo: Encontre a derivada da função definida implicitamente pela equação 
y3 + xy2 - x2y + 12 = 0
[ ] [ ]6 2 0 0d dx y
dx dx
+ − =
140
UNIDADE 2 | DERIVADAS
Resolução: Usando as propriedades de derivação, temos
Temos que encontrar a derivada das funções y2 e y3. Observe que essas 
funções são composição de outras duas funções, logo
[ ]
[ ]
3 2 2
3 2 2
3 2 2 2 2
3 2 2 2
12 0
12 0
 0 0
' 2 0
d y xy x y
dx
d d d dy xy x y
dx dx dx dx
d d d d dy x y y x x y y x
dx dx dx dx dx
d dy x y y x y xy
dx dx
 + − + = 
     + − + =     
        + + − + + =           
   + + − + =   
assim 
3 2 23 e 2d dy y y y yy
dx dx
   = =  ′ ′
Exemplo: Encontre a derivada da função definida implicitamente pela equação 
( )
2 2 2
2 2 2
2
2 2
3 ' 2 ' ' 2 0
3 2 2
2
3 2
y y x yy y x y xy
y y xy x y xy
y xyy
y xy x
+ + − + =
+ − =′
′
− +
− +
=
+ −
Resolução: Usando as propriedades de derivação, temos 
( ) ( )2 2sec 0tg xy y y− − =
Vamos derivar cada um dos termos separadamente. Começando com o 
termo mais simples, temos que 
( ) ( )
( ) [ ] ( )
2 2
2 2
sec 0
sec 0
d tg xy y y
dx
d d dtg xy y y
dx dx dx
 − − = 
  − − =    
Agora vamos derivar a função sec2(y2) em relação da x, para isso vamos 
usar a regra da cadeia
[ ]d y y
dx
= ′
TÓPICO 3 | DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E IMPLÍCITAS
141
E por último, usando novamente a Regra da Cadeia, temos que
Encontramos então a igualdade 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
sec 2sec sec
2sec sec
2sec 2
4 sec
d dy y y
dx dx
dy y tg y y
dx
y tg y yy
y y tg y y
   = ⋅   
 = ⋅ ⋅  
= ′
= ′
⋅
( ) ( ) [ ]
( ) ( )
2
2
sec
sec
d dtg xy xy xy
dx dx
xy xy y
= ⋅ 
⋅ ′

= +
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
sec 4 sec 0
 4 sec 1
 4 sec 1
xy xy y y y ytg y y
y x sec x y y tg y ysec xy
ysec xy
y
x sec x y y tg y
⋅ + − − =
− − = −
−
′
=
′ ′
′
′
− −
142
UNIDADE 2 | DERIVADAS
LEITURA COMPLEMENTAR
Cientistas em guerra: Newton, Leibniz e o cálculo infinitesimal
A briga mostrou Newton colossal, vingativo e complexo; o cientista, mas 
também o mago e o místico.
O cientista britânico Isaac Newton (1643-1727)
A disputa mais célebre da história da ciência foi protagonizada por Isaac 
Newton e Gottfried Leibniz há 300 anos. O objetivo da árdua briga, que marcou o 
procedimento para resolver – ou pelo menos tentar – conflitos posteriores desse 
tipo, era determinar a prioridade no descobrimento do cálculo infinitesimal. Foi 
nessa polêmica que Newton cunhou uma frase que ainda seria ouvida muitas 
vezes: “Os segundos inventores não têm direitos.”
O cálculo infinitesimal é uma ferramenta científica e tecnológica do 
mais alto nível, sem dúvida a mais poderosa e eficaz para o estudo da natureza 
já desenvolvida pelos matemáticos. Considera-se que Newton e Leibniz o 
descobriram porque: 
(1) sintetizaram dois conceitos que hoje denominamos derivada e integral, 
(2) desenvolveram as ferramentas que permitem manejá-los, 
(3) mostraram que são conceitos inversos – a isto se chama o teorema fundamental 
do cálculo,
(4) ensinaram como utilizá-los para resolver de forma unificada um enorme 
catálogo de problemas que até então eram estudados caso a caso. 
O cálculo infinitesimal transformou em meros exercícios ao alcance de 
um estudante de Bacharelado problemas cuja resolução requeria o gênio de um 
Arquimedes, um Galileu, um Fermat ou um Pascal.
O objeto da disputa entre Newton e Leibniz certamente valia a briga. A 
TÓPICO 3 | DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E IMPLÍCITAS
143
polêmica foi áspera, e, por vezes, muito suja. Refletiu a singularidade de seus 
protagonistas e expôs algumas das mais apaixonantes complexidades desses 
dois gênios da ciência e do pensamento. A briga mostrou um Newton colossal, 
vingativo e complexo; mostrou-nos o cientista, mas as entrelinhas revelam 
também o mago e, sobretudo, o místico. Nos escritos que Newton dedicou ao 
tema, encena-se uma espécie de adiantamento do julgamento final, onde cada qual 
presta contas e são seus feitos passados que o salvam ou condenam. Percebemos, 
quase em cada palavra que Newton escreveu sobre a controvérsia, a profunda 
religiosidade com que ele entendia cada fato da vida, incluindo o fato científico. 
Enquanto Newton “quando atacava, encolhia a cabeça e arremetia”, Leibniz era 
mais sibilino e incisivo, mas menos obsessivo, tanto que até se permitiu brincar 
sobre o assunto da polêmica.
A guerra científica terminou com a morte de Newton em 1727 e não 
chegou a esclarecer totalmente a questão da prioridade; entre outras coisas, 
porque alguns documentos fundamentais só caíram em domínio público séculos 
depois de acabada a briga. A verdade é que Newton e Leibniz descobriram o 
cálculo de forma independente. Newton entre 1666 e 1669, e já tinha escrito dois 
livros em 1671. Divulgou-os só a um grupo de colegas, mas não os publicou – 
tinha pavor de ver suas obras serem criticadas; o primeiro desses livros só foi 
publicado em 1704 e o segundo em 1736 – nove anos depois da morte de Newton! 
Leibniz descobriu o cálculo alguns anos depois de Newton, entre 1675 e 1676, 
nos dois últimos dos quase cinco anos que passou em Paris. Mas publicou seus 
descobrimentos antes, em 1684 e 1686. As versões do cálculo de Newton e Leibniz 
foram conceitualmente distintas, e seus conceitos fundamentais ligeiramente 
diferentes dos nossos.
O que torna o cálculo infinitesimal tão versátil é a grande variedade de 
processos matemáticos, físicos, tecnológicos, econômicos e de outras índoles muito 
diversas que são modelizados com derivadas e integrais. A derivada é, por exemplo, 
um conceito fundamental da física, pois dá conta de velocidades e acelerações 
instantâneas, e forças. Vemos outro exemplo da versatilidade do cálculo quando 
fazemos uma ressonância magnética ou uma tomografia. Esses procedimentos 
consistem em ondas que entram e saem de nosso corpo e, de certa forma, o que 
cada onda faz quando nos atravessa é uma integral, cujo valor é a diferença de 
intensidade entre a onda que entra e a que sai; o que a máquina faz é adivinhar o 
interior de nosso corpo levando em conta os valores de todas essas integrais.
A física moderna nasceu com Newton e, não por acaso, foi ele um dos 
inventores do cálculo infinitesimal. O cálculo infinitesimal foi o aliado que 
permitiu a Newton arrematar em sua obra máxima, os Principia, a revolução 
astronômica iniciada por Copérnico um século e meio antes. Leibniz e seus 
discípulos também utilizaram o cálculo para resolver diversos problemas 
mecânicos que até então pareciam intratáveis, mesmo para gênios da magnitude 
de Leonardo da Vinci ou Galileu.
FONTE: DURÁN, A. J. Cientistas em guerra: Newton, Leibniz e o cálculo infinitesimal. El País, 17 
ago. 2017. Disponível em: <https://brasil.elpais.com/brasil/2017/07/31/ciencia/1501499450_270522.
html>. Acesso em: 6 ago. 2018.
144
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, você aprendeu que:
• As regras de derivadas das seguintes funções e suas inversas são dadas por:
• Existem outras propriedades envolvendo a derivada de Funções 
Trigonométricas:
 o Se f (x) = sen(u(x)) então f'(x) = cos(u(x)) . u'(x);
 o Se f (x) = cos(u(x)) então f'(x) = - sen(u(x)) . u'(x);
• Há derivação implícita quando uma função é definida por uma equação. 
145
Acadêmico(a), o processo de entendimento total do conteúdo finaliza 
aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos explorados 
neste tópico. Bom estudo!
1. Calcule a derivadas das funções trigonométricas 
abaixo: 
AUTOATIVIDADE
2. Determine a derivada segunda e terceira das funções trigonométricas: 
3. Mostre que valem as proposições abaixo: 
a) A derivada da função g: → [0, p] - {
2
p } dada por g (y) = arcsec(y) é g'(y) = 2
1
 1y y −
.
b) A derivada da função g: → [0, p] - {
2
p } dada por g (y) = arccossec(y) é 
g'(y) = - 2
1
 1y y −
.
c) A derivada da função g: → (- 
2
p , 
2
p ) dada por g (y) = arccotg (y) é g'(y) = - 2
1
1 y+
.
4. Calcule as derivadas da função implícita dadas 
pelas equações a seguir: 
146
147
UNIDADE 3
APLICAÇÕES DAS 
DERIVADAS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir desta unidade, você será capaz de:
• compreender as principais aplicações das derivadas em processos teóricos 
e práticos;
• interpretar a derivada em um ponto como a inclinação da reta tangente 
passando por esse ponto;
• usar a derivada como uma forma de calcular taxa de variação;
• aplicar a derivada em problemas de otimização;
• calcular limites através do conceito de derivada.
Esta unidade está dividida em quatro tópicos. No final de cada um deles você 
encontrará atividades que reforçarão seu aprendizado.
TÓPICO 1 – ESTUDO DOS SINAIS DA DERIVADA 
TÓPICO 2 – GRÁFICO DE FUNÇÕES
TÓPICO 3 – RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ATRAVÉS DAS DERIVADAS
TÓPICO 4 – CÁLCULO DE LIMITES
148
149
TÓPICO 1
ESTUDO DOS SINAIS 
DA DERIVADA
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Do mesmo modo que a construção dos conceitos do Cálculo Diferencial 
e Integral foi realizada, iremos abordar estes resultados das aplicações das 
derivadas partindo de concepções físicas para a construção dos conhecimentos. 
É importante frisar também que os resultados que iremos discutir nesta unidade 
não ficarão restritos apenas a ideias da física, pois na realidade existem diversas 
aplicações inerentes às derivadas em muitas outras áreas do conhecimento.
Como o objetivo desta unidade é apresentar as aplicações das teorias 
vistas nas outras unidades, iremos deixar alguns resultados sem as devidas 
provas, pois algumas delas fogem do rigor que este material se propõe. Contudo, 
teremos a preocupação de considerar fatos que comprovem a veracidade do que 
iremos expor.
Lembre-se, prezado acadêmico, sempre que necessitar de apoio teórico 
para a compreensãodas aplicações que aqui serão apresentadas, retorne às 
unidades anteriores para a absorção correta do que for necessário.
2 LANÇAMENTO VERTICAL (MOTIVAÇÃO)
Em física, um corpo lançado verticalmente para cima com velocidade 
inicial v0 sujeito a aceleração da gravidade g tem uma equação do movimento 
descrita por:
onde h é a altura, dada em unidades métricas, e t é o tempo decorrido a partir do 
início do lançamento.
 
Após o lançamento, a velocidade do corpo vai diminuindo ao longo do 
tempo, devido à ação da aceleração gravitacional, que é conhecidamente contrária 
ao movimento. Desta forma, o “ganho” de altura vai se tornando cada vez menor 
a cada intervalo de tempo decorrido. 
 
0
1 ²
2
h v t gt= +
UNIDADE 3 | APLICAÇÕES DAS DERIVADAS
150
Decorrido certo tempo, o corpo atingirá um estado “momentâneo” de 
repouso (onde atinge a sua altura máxima) e iniciará a sua queda. A partir daí o 
processo se inverte e a redução de altura se dará cada vez maior a cada intervalo 
de tempo decorrido, pois a aceleração gravitacional é a favor da velocidade 
durante a queda de um corpo. 
Para avaliar melhor esta situação e na sequência podermos aplicar o nosso 
objeto de estudos (derivada), iremos dividir esta situação em três etapas:
• Subida.
• Altura máxima.
• Descida.
Na primeira etapa (subida), o objeto, no passar do tempo, vai ganhando 
altura. Ou seja, a altura está crescendo, matematicamente temos que dados t1 e t2, 
tempos distintos com t2 > t1, teremos que h (t1) < h (t2). E assim sendo, dizemos que 
a função altura h (t) é estritamente crescente para o período considerado (subida). 
Avaliando agora a terceira etapa (sim, pulamos a segunda por motivos 
didáticos), o tempo continua crescendo, porém, no entanto a altura diminui, ou 
seja, dados t3 e t4, tempos distintos com t4 > t3, teremos que h (t3) > h (t4). Agora, 
durante a descida, dizemos que h (t) é estritamente decrescente.
Retornando agora para a segunda etapa, encontramos aquela em que o 
corpo se encontra em repouso, lembrando que, diferentemente da primeira e da 
terceira etapa, que ocorrem durante um intervalo de tempo, esta é instantânea, 
isto é, ocorre apenas para um único tempo, digamos t0. Conhecido isto, podemos 
aferir que em valores à esquerda de t0, o corpo está subindo, e à direita de t0, o 
corpo está descendo, sendo que em t0 o corpo atinge sua maior altura (chamaremos 
mais tarde este valor de máximo global da função).
Recorrendo agora para a análise da velocidade do lançamento, que no início 
é v0, na primeira etapa (subida), ela diminui ao longo do tempo devido à gravidade. 
Como a estrutura do movimento satisfaz a orientação de h (t) (de baixo para cima), 
dizemos que a velocidade é positiva. Na sequência, a velocidade se torna nula, no 
instante t0, e na terceira etapa a velocidade aumenta em módulo, porém, como é 
contrária à orientação de h (t), dizemos que a velocidade é negativa. Resumindo: 
QUADRO 1 – RESUMO DO MOVIMENTO
FONTE: Os autores
FASE Altura h (t) Velocidade v(t)
SUBIDA h (t) crescente v(t) positiva
REPOUSO h (t) máximo v(t) = 0
DESCIDA h (t) decrescente v(t) negativa
Ao colocar os valores que descrevem o movimento vertical em um gráfico 
(altura x tempo) – Gráfico 1 e relembrando o significado geométrico da derivada, 
TÓPICO 1 | ESTUDO DOS SINAIS DA DERIVADA
151
GRÁFICO 1 – GRÁFICO (ALTURA X TEMPO) PARA A SITUAÇÃO DO LANÇAMENTO VERTICAL
GRÁFICO 2 – REPRESENTAÇÃO DAS RETAS TANGENTES (VELOCIDADE)
FONTE: Os autores
FONTE: Os autores
Verificamos assim, no Gráfico 2, que os instantes t1 e t4 , o primeiro à direita 
e o segundo à esquerda de t0 , indicam o comportamento da função velocidade
v = dh
dt
nas fases, em que ela é positiva, nula e negativa, respectivamente.
visto na unidade anterior, o Gráfico 2 apresenta a variação da velocidade do 
objeto. Como a velocidade já foi vista como a derivada da função posição h (t), 
sabemos que ela coincide numericamente ao coeficiente angular da reta tangente 
à curva do movimento (Gráfico 2). 
UNIDADE 3 | APLICAÇÕES DAS DERIVADAS
152
Com estes últimos fatos, encerraremos aqui a análise do movimento 
do lançamento vertical, e, na leitura que segue, você verá a importância desta 
associação física.
 
3 MODELAGEM MATEMÁTICA PARA O PROBLEMA
A partir do exemplo físico dado, iremos agora modelar a situação 
matematicamente. Seja a função
y = ax - bx2
na qual podemos notar que é uma associação fiel ao caso do lançamento vertical, 
onde a faz o papel da velocidade inicial e b faz o papel de 1
2
e = g.
Vamos analisar agora as seguintes questões:
1) Para quais valores de x, temos y crescente?
2) Para quais valores de x, temos y decrescente?
3) y atinge algum valor máximo? Caso afirmativo, para qual x isto ocorre?
Antes de respondermos a estas perguntas, mostraremos um quadro que 
associa o conceito físico do lançamento vertical ao matemático das derivadas:
QUADRO 2 – ASSOCIAÇÃO COM DERIVADA
FONTE: Os autores
FASE y dy
dx
1 y crescente dy
dx
 positiva
2 y máximo dy
dx
 = 0
3 y decrescente dy
dx
 negativa
Derivando a expressão dada, vem:
Resposta questão 1: Note que
2 2dyy ax bx y a bx
dx
= − ⇒ = = −′
0 2 0 2
2
dy aa bx a bx x
dx b
> ⇒ − > ⇒ > ⇒ >
TÓPICO 1 | ESTUDO DOS SINAIS DA DERIVADA
153
Portanto, y deve ser crescente à esquerda de x0 = 2
a
b .
Resposta questão 2: Note que
Portanto, y deve ser decrescente à direita de x0 = 2
a
b .
Resposta questão 3: Como consequência das respostas das questões 1 e 2, 
nota-se que no valor x0 temos o valor onde a função deixa de ser crescente e 
passa a ser decrescente. Neste valor ocorre o máximo da função y e justamente 
é o valor em que 
dy
dx
 = 0. Com estas respostas sendo verdadeiras, o gráfico da 
função y = ax - bx2 deve ser:
0 2 0 2
2
dy aa bx a bx x
dx b
< ⇒ − < ⇒ < ⇒ <
GRÁFICO 3 – GRÁFICO DA FUNÇÃO y = ax - bx2 
FONTE: Os autores
AUTOATIVIDADE
Deixamos a você, prezado acadêmico, criar uma relação com o conteúdo de 
funções quadráticas, visto em disciplinas anteriores e/ou no ensino médio. 
Lembre dos conceitos vistos no passado e com certeza você irá conseguir criar 
várias relações.
Exercício: Faça um estudo equivalente para as funções:
y = 12x - 3x2 e y = 4 - 18x - 3x2
UNIDADE 3 | APLICAÇÕES DAS DERIVADAS
154
O exposto neste modelo matemático para o lançamento vertical de 
um objeto pode ser generalizado para um grande número de outras funções. 
Obviamente as noções de máximos, mínimos, função crescente e decrescente, 
existem independentemente de qualquer modelo físico e serão tema de nossas 
próximas análises.
4 COMPORTAMENTO DE FUNÇÕES
Nos subtópicos anteriores apresentamos a ideia de crescimento, 
decrescimento de funções e pontos de máximo. Neste o objetivo é formalizar 
matematicamente esses conceitos e mostrar uma maneira prática para podermos 
provar essas propriedades para quaisquer funções. 
 
4.1 FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES
Começamos nossa formalização estudando os conceitos de função 
crescente e função decrescente. 
Definição 1: Uma função y = f (x) é dita crescente em um intervalo I se, para 
valores x1, x2 ∈I, com x1 < x2, tivermos f (x1) ≤ f (x2).
Definição 2: Uma função y = f (x) é dita decrescente em um intervalo I se, para 
valores x1, x2 ∈I, com x1 < x2, tivermos f (x1) ≥ f (x2).
GRÁFICO 4 – EXEMPLO DE FUNÇÃO CRESCENTE E DECRESCENTE
FONTE: Os autores
Y Y
X X
f crescente f decrescente
f (x1)
f (x1)f (x2)
f (x2)
x1 x1x2 x2
Pesquise qual a diferença na definição de funções estritamente crescentes ou 
decrescentes.
UNI
TÓPICO 1 | ESTUDO DOS SINAIS DA DERIVADA
155
GRÁFICO 5 – MÁXIMOS E MÍNIMOS
FONTE: Os autores
4.2 MÁXIMOS E MÍNIMOS
Após definirmos funções crescentes e decrescentes, é fácil perceber que 
em uma função qualquer que possua intervalos de crescimento e decrescimento 
há algum ponto em que ocorre a “troca” de comportamento da função. A isto 
damos o nome de máximos e/ou mínimos locais.
 
Definição 3: Uma função y = f (x) possui um máximo local em um ponto x0, se 
existir um intervaloaberto que contém x0, em que f (x) ≤ f (x0), para qualquer x 
nesse intervalo.
Definição 4: Uma função y = f (x) possui um mínimo local em um ponto x0, se 
existir um intervalo aberto que contém x0, em que f (x) ≥ f (x0), para qualquer x 
nesse intervalo.
A imagem f (x0) onde x0 é um máximo local da função é dito o valor máximo 
local da função (para o mínimo o resultado é análogo).
NOTA
a b
(a) (b)
x1 x2 x3 x4 x5
Observamos no Gráfico 5 (a e b) que podemos encontrar vários intervalos 
onde a função cresce ou decresce, bem como seus máximos e mínimos, tal como 
vimos nas definições anteriores. Analisando mais especificamente o Gráfico 5 (b), 
percebemos que é preciso acrescentar mais um conceito ainda não visto para uma 
completude do entendimento. Veja que no Gráfico 5 (b) existem três máximos 
locais (x1, x3, x5) e dois mínimos locais (x2, x4). Note que em x1 ocorre o maior valor 
UNIDADE 3 | APLICAÇÕES DAS DERIVADAS
156
dentre os máximos e em x4 ocorre o menor dos valores dentre os mínimos locais. A 
partir disto, para pontos com estas características, acrescentamos a característica 
de eles serem máximos e/ou mínimos absolutos. No caso do Gráfico 5 (a), o 
mínimo absoluto ocorre no valor x = a e o máximo absoluto no valor x = b. 
Bom, agora, você deve estar se perguntando se toda a função deve possuir 
um valor de máximo e/ou mínimo, pelo menos. A resposta é NÃO! Veja os 
seguintes casos:
GRÁFICO 6 – FUNÇÕES SEM MÁXIMOS E/OU MÍNIMOS DEFINIDOS
y y
y = tgx
y = ex
x2-x2 x
x
FONTE: Os autores
Desta forma, para podermos aferir que uma função possui máximo ou 
mínimo, ela deve respeitar o Teorema da Existência de Máximos e Mínimos 
apresentado a seguir e cuja demonstração foge do rigor que dedicamos a este 
material.
Teorema 1: Se y = f (x) é uma função contínua em um intervalo fechado [a, b], 
então ela possui máximo e/ou mínimo absoluto.
 
Após conhecer o Teorema da existência de máximos e mínimos, 
enunciaremos na sequência o teorema que indica o procedimento para a 
determinação de máximos e mínimos de uma função, pontos estes que 
chamaremos de Pontos Críticos da Função. 
Teorema 2: Dada a função y = f (x), derivável no intervalo aberto ]a, b[. Se tomarmos 
c ∈ ]a, b[ um número que é um máximo local de y = f (x), então temos que f'(c) = 0.
Demonstração: Inicialmente, devemos tomar um acréscimo Dx ≠ 0, tal que
c + Dx ∈ (a, b). Como a função tem em c seu máximo local (por hipótese), pela 
Definição 5, teremos um Dx específico para que tenhamos f (c) ≥ f (c + Dx), e assim 
sendo, temos f (c + Dx) - f (c) ≤ 0. A seguir, dois casos:
TÓPICO 1 | ESTUDO DOS SINAIS DA DERIVADA
157
FONTE: Os autores
Como o limite é único de (1) e (2), temos que f'(c) = 0.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0
0
1) 0, então 0 e portanto lim 0.
2) 0, então 0 e portanto lim 0.
x
x
f c x f c f c x f c
Se x
x x
f c x f c f c x f c
Se x
x x
D →
D →
+ D − + D −
D > ≤ ≤
D D
+ D − + D −
D < ≥ ≥
D D
GRÁFICO 7 – RACIOCÍNIO UTILIZADO NA DEMONSTRAÇÃO
a bcc + Dx c + Dx x
y
A demonstração para o caso de mínimo local é análoga e enunciaremos o 
teorema a seguir, deixando a prova a cargo do leitor.
Teorema 3: Dada a função y = f (x), derivável no intervalo aberto (a, b). Se tomarmos 
c ∈ (a, b) um número que é um mínimo local de y = f (x), então temos que f'(c) = 0.
Os Teoremas 2 e 3 indicam que, para determinar pontos de máximo e 
mínimo de uma função, devemos determinar o(s) ponto(s) que a derivada da 
função se anula, ele(s), como já citado, será (serão) ponto(s) crítico(s). Porém, o 
fato de determinarmos um valor em que f'(x) = 0 não garante que ele seja um 
máximo ou mínimo. Tome certo cuidado! Veja a função a seguir:
Exemplo: Dada a função f (x) = x3, determine seu ponto crítico.
Resolução: Derivando a função obtemos:
f'(x) = x2
Igualando a zero, para determinar os pontos críticos, temos:
UNIDADE 3 | APLICAÇÕES DAS DERIVADAS
158
Note pelo gráfico que, apesar de determinar pelo método que vimos que 
x = 0 é um ponto crítico, ele não é máximo nem mínimo.
( ) 20 3 0 0f x x x= ⇒ = ⇒ =′
GRÁFICO 8 – GRÁFICO DA FUNÇÃO y = x3
FONTE: Os autores
No caso da função y = x3, dizemos que x = 0 é um ponto de inflexão. Veremos 
este conceito mais tarde.
NOTA
TÓPICO 1 | ESTUDO DOS SINAIS DA DERIVADA
159
Exemplo: Determine os pontos críticos das funções a seguir:
(a) f (x) = x3 - 4x
(b) f (x) = sen(x) + cos(x), em [0,2p]
(c) f (x) = In(sen(x))
Resolução: a) Derivando a expressão, temos:
f'(x) = 3x2 - 4x
Igualando a zero, vem:
Portanto f tem dois pontos críticos 2 3 2 3 e 
3 3
x x= = − .
b) Derivando a expressão, temos:
f'(x) = cos(x) - sen(x)
Igualando a zero, vem:
2
2
3 4 0
3 4
4 2 3 
3 3
x
x
x x
− =
=
= ± ⇒ = ±
( ) ( )
( ) ( )
cos 0
cos
4
x sen x
x sen x
x p
− =
=
=
 Note que x =
( ) ( )
( ) ( )
cos 0
cos
4
x sen x
x sen x
x p
− =
=
= é o único arco que satisfaz cos(x) = sen(x) em [0,2p].
ATENCAO
c) Derivando a expressão, temos:
( ) ( ) ( ) ( )1 cosf x x cotg x
sen x
= ⋅ =′
UNIDADE 3 | APLICAÇÕES DAS DERIVADAS
160
Igualando a zero, vem:
Portanto f tem dois pontos críticos 
3 e 
2 2
x xp p
= = .
4.3 TEOREMA DE ROLLE E TEOREMA DO VALOR MÉDIO
Os resultados que determinamos até então são de grande utilidade, 
porém ainda não representam o comportamento real de uma função. 
Relembrando o exemplo que utilizamos como motivação desta unidade, a 
variação da velocidade nos faz compreender completamente o comportamento 
da equação do movimento e este é o objetivo a que queremos chegar. Para tal, 
introduziremos um dos teoremas mais importantes do cálculo diferencial e 
integral, o Teorema do Valor Médio, porém, precisamos de um resultado inicial 
para podermos prová-lo.
Teorema 4: (Teorema de Rolle) Dada a função y = f (x), derivável no intervalo 
aberto (a, b). Se f (a) = f (b) = 0, então existe c ∈ (a, b) onde f'(c) = 0.
Demonstração: Se admitirmos que f (x) é uma função constante, o resultado 
está pronto.
Caso ela não o for, implica que para algum x0 pertencente ao intervalo, 
teremos forçosamente f (x0) ≠ 0. Como f (x) é contínua no intervalo, ela possui 
máximo ou mínimo no intervalo. Se f (x0) > 0, teremos que o máximo de f também 
será maior que zero, e assim, pelo Teorema 2, concluímos que f'(c) = 0 De outro 
lado, o caso para ponto mínimo é análogo.
 
Este teorema indica, geometricamente que, guardadas as devidas 
condições, toda função possui algum ponto onde a reta tangente é horizontal. 
Podemos ver esse comportamento no Gráfico 9.
( ) 0
3 
2 2
cotg x
x ou xp p
=
= =
TÓPICO 1 | ESTUDO DOS SINAIS DA DERIVADA
161
GRÁFICO 9 – ILUSTRAÇÃO TEOREMA DE ROLLE
FONTE: Os autores
FONTE: Os autores
Agora, veremos que o Teorema do Valor Médio irá generalizar o Teorema 
de Rolle. 
Teorema 5: (Teorema do Valor Médio) Dada a função y = f (x), derivável e 
contínua no intervalo aberto (a, b), então existe c ∈ (a, b), onde
Demonstração: Seja y = f (x), e os pontos (a, f (a)), (b, f (b)) e (c, f (c)).
( ) ( ) ( )f b f a
f c
b a
−
=
−
′
GRÁFICO 10 – GRÁFICO DE f PARA PROVARMOS O TEOREMA
ca b x
y
(a, f (a))
(b, f (b))(c, f (c))
UNIDADE 3 | APLICAÇÕES DAS DERIVADAS
162
Iniciaremos escrevendo a equação da reta h que passa pelos pontos 
(a, f (a)) e (b, f (b)), 
Consideraremos agora a função diferença dada por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )f b f a
h x x a f a
b a
−
= ⋅ − −
−
o que implica em:
Analisando a função g (x), podemos escrever:
1) g é contínua, pois f e h são contínuas;
2) g é derivável;
3) g (a) = g (b) = 0
Fatos que comprovam que a função g (x) atesta todas as condições do 
Teorema de Rolle, implicando assim que g'(c) = 0.
Como
( ) ( ) ( ) [ ], ,g x f x h x x a b= − ∀ ∈
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f b f a
g x f x x a f a
b a
−
= − ⋅ − +
−
Com o Teorema do Valor Médio, podemos agora apresentar outros 
resultados importantes acerca de crescimento e decrescimento de funções.
4.4 CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE FUNÇÕES
No subtópico anterior definimos o que são funções crescente e decrescente, 
o Teorema6 nos mostra um método de como determinar esses intervalos de 
crescimento e decrescimento. 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
' '
Substituindo , temos:
' ' 0
Concluindo que:
'
f b f a
g x f x
b a
x c
f b f a
g c f c
b a
f b f a
f c
b a
−
= −
−
=
−
= − =
−
−
=
−
Substituindo x = c, temos:
Concluindo que:
TÓPICO 1 | ESTUDO DOS SINAIS DA DERIVADA
163
Teorema 6: Dada a função y = f (x), derivável e contínua no intervalo aberto (a, b). 
Afirma-se que:
a) Se f'(x) > 0, para qualquer x ∈ [a, b], então temos que f é estritamente crescente 
neste intervalo.
b) Se f'(x) < 0, para qualquer x ∈ [a, b], então temos que f é estritamente decrescente 
neste intervalo.
c) Se f'(x) = 0, para qualquer x ∈ [a, b], então temos que f é constante neste 
intervalo.
Demonstração: Iremos realizar a demonstração para o item (a) e as demais ficam 
a cargo do leitor, por serem extremamente parecidas.
a) Dados x1 e x2, dois pontos do intervalo [a, b], sendo que x1 < x2. Como por 
hipótese f é contínua em [x1, x2] e derivável em (x1, x2), aplicaremos o Teorema 
do Valor Médio para aferir que existe um valor c em [x1, x2], tal que:
Como x2 - x1 > 0 e por hipótese f'(c) > 0, temos que f (x2) - f (x1) > 0 , e 
portanto, f (x2) > f (x1). Ou seja f é estritamente crescente em [a, b].
Exemplo: Dadas a funções 
a) f (x) = x3 - 27x
b) f (x) = x4 - 8x2
 determine seus pontos críticos e intervalos de crescimento e decrescimento.
Resolução: a) Inicialmente, derivamos a função, logo
f'(x) = 3x2 - 27x
Igualando a zero para determinar os pontos críticos, temos:
( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1f x f x f c x x′− = ⋅ −
Ou seja, x = 3 e x = - 3, são pontos críticos da função.
Para verificação dos intervalos de crescimento e decrescimento, devemos 
escolher valores entre os pontos críticos e testarmos na derivada da função para 
a análise do sinal. 
2
2
3 27 0
27
3
3
x
x
x
− =
=
= ±
UNIDADE 3 | APLICAÇÕES DAS DERIVADAS
164
QUADRO 3 – ANÁLISE DO SINAL DA FUNÇÃO f'
FONTE: Os autores
FONTE: Os autores
Com estes resultados, utilizando um pouco de raciocínio é fácil aferir que:
• Intervalos de crescimento: (-∞, -3) e (3, + ∞).
• Intervalos de decrescimento: (-3, 3). 
Como podemos verificar no gráfico da função.
GRÁFICO 11 – GRÁFICO DA FUNÇÃO f(x) = 3x2 - 27x
y
x
200
-200
-6 6-4 4-2 2
100
-100
b) Inicialmente, vamos derivar a função f, logo
f'(x) = 4x3 - 16x
Igualando a zero para determinar os pontos críticos, temos:
4x3 - 16x = 0
4x(x2 - 4) = 0
Para a expressão acima ser igual a zero, devemos ter, x = 0, x = -2 e x = 2, 
que são pontos críticos da função.
Para verificação dos intervalos de crescimento e decrescimento, devemos 
escolher valores aleatórios entre os pontos críticos e testarmos na derivada da 
função para a análise do sinal. 
TÓPICO 1 | ESTUDO DOS SINAIS DA DERIVADA
165
FONTE: Os autores
FONTE: Os autores
QUADRO 4 – ANÁLISE DO SINAL DA FUNÇÃO f'
Com estes resultados, utilizando um pouco de raciocínio, é fácil aferir que:
• Intervalos de decrescimento: (-∞, -2) e (0, 2).
• Intervalos de decrescimento: (-2, 0) e (2, + ∞). 
Como podemos verificar no gráfico da função.
GRÁFICO 12 – GRÁFICO DA FUNÇÃO f(x) = x4 - 8x2
y
x
20
-3 -1 3-2 1 2
10
-10
4.5 OUTRO CRITÉRIO PARA A DEFINIÇÃO 
DE MÁXIMOS E MÍNIMOS
Neste subtópico, iremos abordar um método de análise alternativo para 
a determinação de máximos e mínimos de uma função. Este critério irá mais 
tarde recair na utilização da derivada segunda de uma função. Porém, para tal, 
devemos introduzir duas definições importantes.
Definição 5: Uma função y = f (x) possui concavidade para cima em um intervalo 
aberto (a, b), se para dados x1 e x2 no intervalo dado, o segmento de reta que liga 
(x1, f (x1)) e (x2, f (x2)), estiver posicionado acima do gráfico de y = f (x), no intervalo 
(x1, x2).
UNIDADE 3 | APLICAÇÕES DAS DERIVADAS
166
Definição 6: Uma função y = f (x) possui concavidade para baixo em um intervalo 
aberto (a, b), se para dados x1 e x2 no intervalo dado, o segmento de reta que liga
(x1, f (x1)) e (x2, f (x2)), estiver posicionado abaixo do gráfico de y = f (x) , no intervalo 
(x1, x2).
O gráfico a seguir nos auxilia a visualizar melhor a situação descrita nas 
definições acima. Podemos perceber que a função y = f (x) é côncava para cima, em 
(a, b) e côncava para baixo em (b, c).
GRÁFICO 13 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA CONCAVIDADE
FONTE: Os autores
Perceba que, em representação analítica, dizer que a função é côncava 
para cima (ou para baixo), no intervalo, implica que:
Para quaisquer, x1, x2 ∈ (a, b) e x ∈ (x1, x2).
A fim de generalizar e tornar mais simples a forma de “perceber” como 
podemos determinar a concavidade de uma função em um dado intervalo, 
enunciamos o próximo teorema.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1
1 1
2 1
f x f x
f x f x x x
x x
−
< + + −
−
TÓPICO 1 | ESTUDO DOS SINAIS DA DERIVADA
167
Teorema 7: Dada uma função y = f (x), no mínimo duas vezes derivável em (a, b):
a) Se f''(x) > 0 em (a, b), temos que y = f (x) é côncava para cima em (a, b).
b) Se f''(x) < 0 em (a, b), temos que y = f (x) é côncava para baixo em (a, b).
Demonstração: Demonstraremos a primeira parte (a) e iremos deixar a parte (b) 
a cargo do leitor exercitar. 
Sejam, x1, x2 ∈ (a, b), com x1 < x2, criaremos convenientemente a função:
Devemos mostrar que m(x) > 0, para todo x ∈ (x1, x2)
Como a função é derivável e contínua no intervalo considerado, pelo 
Teorema do Valor Médio, podemos afirmar que existe c ∈ (x1, x2), tal que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1
1 1
2 1
f x f x
m x f x x x f x
x x
−
= + + − −
−
e assim sendo, temos que m(x) = f (x1) + f'(c) (x - x1) - f (x), ou ainda que m'(x) = f'(c) - f'(x).
Sabendo que o valor c está entre x1 e x2, ou seja, x1 < c < x2, temos duas situações:
1) Considerando x ∈ [x1, x2], como por hipótese y = f (x) é duas vezes derivável no 
intervalo considerado, teremos que f'(x) é contínua em [x, c] e derivável em (x, c) 
e, portanto, novamente utilizando o Teorema do Valor Médio, teremos que:
( ) ( ) ( )2 1
2 1
f x f x
f c
x x
′
−
=
−
Como f''(c) > 0, teremos que f'(c) - f'(x) > 0 e pelo que já foi visto acima, 
segue que m'(x) > 0, sabemos que m(x) é estritamente crescente em (x1, c). Ainda 
mais m(x1) = 0 e assim sendo m(x) > 0 para todo x ∈ (x1, c).
2) Considerando x ∈ [c, x2], como por hipótese y = f (x) é duas vezes derivável no 
intervalo considerado, teremos que f'(x) é contínua em [c, x] e derivável em (c, x) 
e, portanto, novamente utilizando o Teorema do Valor Médio, teremos que:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
1
1
' '
logo
f c f x
f c
c x
f c f x f c c x
′
−
=
−
′′=′ −
′
−′
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
2
2
' '
logo
f x f c
f c
x c
f x f x f c x c
′
−
=
−
′′=′ −
′
−′
Como f''(c2) > 0, teremos que f'(c) - f'(x) < 0 e pelo que já foi visto acima, 
segue que m'(x) < 0, sabemos que m(x) é estritamente decrescente em (c, x2). Ainda 
mais m(x2) = 0 e assim sendo m(x) > 0 para todo x ∈ (c, x2).
logo
logo
UNIDADE 3 | APLICAÇÕES DAS DERIVADAS
168
Deste Teorema, podemos indicar que, caso tenhamos x
0
 um ponto crítico da 
função y = f(x) duas vezes derivável em (a, b) com f''(x) > 0, então podemos dizer que x0 é 
ponto mínimo da função. Nas mesmas considerações, mas com f''(x) < 0, dizemos que x0 
é ponto máximo da função. 
IMPORTANTE
Desta observação, temos que, na prática, para decidir se um ponto crítico 
é máximo ou mínimo, basta analisar o sinal da derivada segunda em x0, ou seja:
Se f''(x0) > 0, temos que x0 é ponto de mínimo.
Se f''(x0) > 0, temos que x0 é ponto de máximo.
Após este estudo, uma pergunta que deve estar sendo feita por você neste 
momento é o que ocorre quando f''(x) > 0? Para ficar mais simples a compreensão 
da resposta, iremos mostrar três exemplos, os gráficos das funções y = x3, y = x4 
e y = -x4. Estas funções foram escolhidas por apresentarem a derivada segunda 
nula no ponto x = 0.
GRÁFICO 14 – GRÁFICOS DAS FUNÇÕES y = x3, y = x4 E y = -x4
FONTE: Os autores
Note que no segundo gráficotemos um ponto de mínimo local, no último, 
temos um ponto de máximo, enquanto no primeiro gráfico, o ponto crítico não 
é nem máximo, nem mínimo. Neste último caso, dizemos que o ponto x = 0 é 
chamado de Ponto de Inflexão da função, descrito pela definição a seguir.
Das partes (1) e (2), podemos aferir que m(x) > 0 para todo o intervalo. Isto 
mostra que a função é côncava para cima em todo intervalo [a, b], caso f''(x) > 0.
TÓPICO 1 | ESTUDO DOS SINAIS DA DERIVADA
169
FONTE: Os autores
GRÁFICO 15 – GRÁFICO DA FUNÇÃO f(x) = 3x4 - 12x2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2 36 2 24 48 0 - 2
0 36 0 24 24 0 0
2 36 2 24 48 0 2
f x
f x
f x
− = − − = > =
= − = − < =
= − =
′′
′
> =
′
′′
�
�
�
 , logo é ponto de mínimo.
 , logo é ponto de máximo.
 , logo é ponto de mínimo.
Definição 7: Dada uma função y = f (x), contínua no ponto x0. Dizemos que o ponto 
x0 é ponto de inflexão de y = f (x), caso ocorra uma troca de concavidade em x0.
Exemplo: Determine os pontos críticos da função f (x) = 3x4 - 12x2. Na sequência, 
determine se eles são pontos de máximo ou mínimo.
Resolução: Inicialmente, iremos determinar os pontos críticos através da primeira 
derivada da função:
f'(x) = 12x3 - 24x
Igualando a zero, temos:
12x3 - 24x = 0
12(x2 - 2) = 0
Para que o produto seja igual a zero, deveremos ter forçosamente, x = 0 ou 
x = ±√2. Logo, estes são os pontos críticos.
Na sequência, para determinar se os pontos críticos, calculados acima, 
são máximos ou mínimos, devemos aplicar cada um deles na derivada segunda e 
fazer a análise do sinal do resultado.
Derivada segunda:
f''(x) = 36x2 - 24x
Aplicando os valores (pontos críticos):
170
Neste tópico, você aprendeu que:
• Uma função y = f (x) é dita crescente em um intervalo I se, para valores x1, x2∈ I, 
com x1 < x2, tivermos f (x1) ≤ f (x2).
• Uma função y = f (x) é dita decrescente em um intervalo I se, para valores 
x1, x2∈ I, com x1 < x2, tivermos f (x1) ≥ f (x2).
• Uma função y = f (x) possui um máximo local em um ponto x0, se existir um 
intervalo aberto que contém x0, em que f (x) ≤ f (x0), para qualquer x nesse 
intervalo.
• Uma função y = f (x) possui um mínimo local em um ponto x0, se existir um 
intervalo aberto que contém x0, em que f (x) ≥ f (x0), para qualquer x nesse 
intervalo.
• Se y = f (x) é uma função contínua em um intervalo fechado [a, b], então ela 
possui máximo e/ou mínimo absoluto.
• Dada a função y = f (x), derivável no intervalo aberto (a, b). Se tomarmos c ∈ (a, b) 
um número que é um máximo local de y = f (x), então temos que f'(c) = 0.
• Dada a função y = f (x), derivável no intervalo aberto (a, b). Se tomarmos c ∈ (a, b) 
um número que é um mínimo local de y = f (x), então temos que f'(c) = 0.
• No Teorema de Rolle, dada a função y = f (x), derivável no intervalo aberto (a, b), 
se f (a) = f (b) = 0, então existe c ∈ (a, b) onde f'(c) = 0.
RESUMO DO TÓPICO 1
• No Teorema do Valor Médio, dada a função y = f (x), derivável e contínua no 
intervalo aberto (a, b), então existe c ∈ (a, b) onde
• Dada a função y = f (x), derivável e contínua no intervalo aberto (a, b). Afirma-
se que:
 a) Se f'(x) > 0, para qualquer x ∈ [a, b], então temos que f é estritamente crescente 
neste intervalo.
 b) Se f'(x) < 0, para qualquer x ∈ [a, b], então temos que f é estritamente 
decrescente neste intervalo.
( ) ( ) ( )f b f a
f c
b a
−
=
−
′
171
 c) Se f'(x) = 0, para qualquer x ∈ [a, b], então temos que f é constante neste 
intervalo.
• Uma função y = f (x) possui concavidade para cima em um intervalo (a, b), se 
para dados x1 e x2 no intervalo dado, o segmento de reta que liga (x1, f (x1) e 
(x2, f (x2), estiver posicionado acima do gráfico de y = f (x), em (x1, x2).
• Uma função y = f (x) possui concavidade para baixo em um intervalo (a, b), se 
para dados x1 e x2 no intervalo dado, o segmento de reta que liga (x1, f (x1) e 
(x2, f (x2), estiver posicionado abaixo do gráfico de y = f (x), em (x1, x2).
• Dada uma função y = f (x), no mínimo duas vezes derivável em ]a, b[:
 a) Se f''(x) > 0 em (a, b), temos que y = f (x) é côncava para cima em (a, b).
 b) Se f''(x) < 0 em (a, b), temos que y = f (x) é côncava para baixo em (a, b).
• Para decidir que um ponto crítico é máximo ou mínimo, basta analisar o sinal 
da derivada segunda em x0. Ou seja:
 Se f''(x0) > 0, temos que x0 é ponto de mínimo;
 Se f''(x0) < 0, temos que x0 é ponto de máximo.
• Dada uma função y = f (x), contínua no ponto x0. Dizemos que o ponto x0 é 
ponto de inflexão de y = f (x), caso ocorra uma troca de concavidade em x0.
172
Acadêmico, o processo de entendimento total do conteúdo finaliza 
aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos explorados 
neste tópico. Bom estudo!
1. Dada a função população em função do tempo ( )
3
21 30 2P x x= + , em milhões 
de habitantes, em função do tempo x, que é calculado em anos.
a) Encontre a função Crescimento Populacional. Em seguida, explique por 
que a derivada da função População indica o crescimento dela.
b) Qual a quantidade de habitantes em quatro anos?
c) O quanto a população estará crescendo daqui a exatos quatro anos?
2. Para cada função a seguir, determine: 
a) Os pontos críticos.
b) Os intervalos de crescimento e decrescimento.
c) Os pontos de máximo e mínimo.
d) Os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
AUTOATIVIDADE
3. Verifique que a função satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle sobre o 
intervalo dado. Então encontre todos os números c que satisfazem a conclusão 
do Teorema de Rolle.
173
4. Verifique que a função satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio 
sobre o intervalo dado. Então encontre todos os números c que satisfazem a 
conclusão do Teorema do Valor Médio.
174
175
TÓPICO 2
GRÁFICOS DE FUNÇÕES
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Podemos agora verificar uma das aplicações mais importantes dos 
resultados vistos no Tópico 1 desta unidade, a construção de gráficos de funções. 
Isto se deve ao fato de que, para esboçar gráficos de funções, devemos conhecer 
suas principais propriedades geométricas, ou seja, os pontos de intersecção com 
os eixos coordenados, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e 
mínimos, trocas de concavidade, além de limites da função de modo pontual.
Para tal, utilizaremos uma sequência lógica que nos auxiliará a determinar 
esboços de funções que antes eram bastante complexas. Em resumo, esta sequência 
é dada por:
1) Verificação do domínio da função e análise das intersecções com os eixos 
coordenados.
2) Cálculo dos pontos críticos.
3) Intervalos de crescimento e decrescimento.
4) Determinação de máximos e mínimos.
5) Análise das concavidades e pontos de inflexão.
6) Cálculo de limites importantes.
Normalmente, no item (6) verificamos limites no infinito e limites em valores 
próximos a casos de descontinuidades da função (valores que são tirados do domínio por 
algum motivo particular).
NOTA
2 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS DE FUNÇÕES
Exemplo: Esboçar o gráfico da função:
( )
2
2
9
4
xf x
x
+
=
−
176
UNIDADE 3 | APLICAÇÕES DAS DERIVADAS
Resolução: Seguindo os passos dados na introdução do tópico, temos:
1) Verificação do domínio da função e análise das intersecções com os eixos 
coordenados:
a) Domínio: ( ) { }, tal que 2 e 2Dom f x x x= ∈ ≠ − ≠R
Isto se deve ao fato de que devemos excluir os valores do domínio que fazem com 
que a função anule o denominador.
b) Intersecção com o eixo y:
c) Intersecção com o eixo x:
O fato de não haver intersecção com o eixo x, se deve ao fato de que os 
valores encontrados são números complexos.
2) Pontos críticos:
Vimos no tópico anterior que para a determinação de pontos críticos 
devemos derivar a função e igualar a zero. Logo:
( )
2
2
0 9 90
0 4 4
x f x y+
= ⇒ = ⇒ = −
−
2
2
90 0
4
xy x
x
+
= ⇒ = ⇒ ∉
−
R
3) Intervalos de crescimento e decrescimento
Analisando o sinal da derivada primeira, determinamos que:
a) A função é estritamente crescente em (-∞, -2) e (-2, 0), pois temos que f'(x) > 0 
nestesintervalos.
b) A função é estritamente decrescente em (0, 2) e (2, ∞), pois temos que f'(x) < 0 
nestes intervalos.
4) Máximos e mínimos
Realizando a derivada segunda, e aplicando nela o valor x = 0 (ponto 
crítico), temos:
( )
( )
( )
( )
22
22
26´
4
e igualando a zero, temos;
26 0 0,
4
portanto 0 é o único ponto crítico é
90
4
xf x
x
x x
x
x
y f
= −
−
− = ⇒ =
−
=
= = −
e igualando a zero, temos;
portanto x = 0 é o único ponto crítico é
TÓPICO 2 | GRÁFICOS DE FUNÇÕES
177
Logo existe apenas um ponto de máximo em x = 0.
5) Concavidade e pontos de inflexão
Como sabemos, esta análise é realizada por meio da derivada segunda 
da função:
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
78 104´́
4 ³
Aplicando 0 :
78 0² 104 104´́ 0 0
640 4 ³
xf x
x
x
f
+
=
−
=
⋅ +
= = − <
−
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
78 104´́
4 ³
Aplicando 0 :
78 0² 104 104´́ 0 0
640 4 ³
xf x
x
x
f
+
=
−
=
⋅ +
= = − <
−
Como o numerador sempre será positivo, o que determinará o sinal da 
derivada segunda é o sinal do denominador, logo:
a) A função terá concavidade voltada para cima quando tivermos f''(x) > 0 , logo, 
quando tivermos x2 - 4 > 0. E assim sendo, ocorre nos intervalos ((-∞, -2) e (2, ∞).
b) A função terá concavidade voltada para baixo quando tivermos f''(x) < 0, logo, 
quando tivermos x2 - 4 < 0. E assim sendo, ocorre no intervalo (-2, 2).
c) Como temos f''(x) ≠ 0 em todo domínio (item 1), sabemos que a função não 
possui pontos de inflexão.
6) Limites
Neste item, devemos verificar alguns limites importantes. Como já citado, 
limites no infinito e limites nas “redondezas” dos pontos que não pertencem ao 
domínio, neste caso x = -2 e x = 2. Não será apresentado aqui o cálculo desses limites 
(caso você tenha dúvida, veja a Unidade 1), os resultados são apresentados a seguir:
( ) ( )
2
2
78 104´́
4 ³
xf x
x
+
=
−
Por fim, tendo revisitado a sequência de 1 a 6, temos que o esboço do 
gráfico considerando estes pontos é dado por:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
a) lim 1;
b) lim 1;
c) lim ;
d) lim ;
e) lim ;
) lim .
x
x
x
x
x
x
f x
f x
f x
f x
f x
f f x
−
+
−
+
→−∞
→∞
→−
→−
→
→
=
=
= ∞
= −∞
= −∞
= ∞
178
UNIDADE 3 | APLICAÇÕES DAS DERIVADAS
GRÁFICO 16 – GRÁFICO DA FUNÇÃO ( )
2
2
x +9f x =
x -4
FONTE: Os autores
Exemplo: Esboçar o gráfico da função:
Resolução: Seguindo os passos dados na introdução do tópico, temos:
1) Verificação do domínio da função e análise das intersecções com os eixos 
coordenados;
a) Domínio: Dom(f) = . 
Ou seja, não há restrições no domínio.
b) Intersecção com o eixo y:
( ) 2 4
xf x
x
=
+
c) Intersecção com o eixo x:
2) Pontos críticos:
Vimos no tópico anterior que para a determinação de pontos críticos 
devemos derivar a função e igualar a zero. Logo:
( ) 2
00 0
0 4
x f x y= ⇒ = ⇒ =
+
20 0 0
4
xy x
x
= ⇒ = ⇒ =
+
TÓPICO 2 | GRÁFICOS DE FUNÇÕES
179
Igualando a zero, temos:
Ou seja, os pontos no gráfico (-1, - 1
2
) e (1, 1
2
).
3) Intervalos de crescimento e decrescimento
Analisando o sinal da derivada primeira, determinamos que:
a) A função é estritamente crescente em (-1, 1) , pois temos que f'(x) > 0 neste 
intervalo.
b) A função é estritamente decrescente em (-∞, -1) e (1, ∞), pois temos que f'(x) < 0 
nestes intervalos.
4) Máximos e mínimos
Realizando a derivada segunda, e aplicando nela os pontos críticos, temos:
( ) ( )2
1 ²´
1 ²
xf x
x
−
=
+
( )2
1 ² 0 1 e 1
1 ²
x x x
x
−
= ⇒ = − =
+
Aplicando x = -1:
( ) ( )
( )
2
2
2 3
´́
1 ²
x x
f x
x
−
=
+
Logo existe um ponto de mínimo em x = -1.
Aplicando x = 1:
( )
( ) ( )( )
( )( )
2
2
2 1 1 3 4´́ 1 1 0
41 1 ²
f
⋅ − − −
− = = = >
− +
Logo existe um ponto de máximo em x = 1.
5) Concavidade e pontos de inflexão
Como sabemos, esta análise é realizada por meio da derivada segunda 
da função:
( ) ( )
( )
2
2
2 1 1 3 4´́ 1 1 0
41 1 ²
f
⋅ −
= = − = − <
+
( ) ( )
( )
2
2
2 3
´́
1 ²
x x
f x
x
−
=
+
180
UNIDADE 3 | APLICAÇÕES DAS DERIVADAS
a) A função terá concavidade voltada para cima quando tivermos f''(x) > 0. 
Ocorrendo nos intervalos (- 3, 0) e ( 3, ∞).
b) A função terá concavidade voltada para baixo quando tivermos f''(x) < 0. 
Ocorrendo nos intervalos (-∞, - 3) e (0, 3).
c) Os pontos de inflexão são x = 0, x = - 3 e x = 3, pois igualando a zero a derivada 
segunda, chegamos nestes valores após a resolução da equação encontrada. 
No gráfico, eles serão os pontos:
6) Limites
Neste item, devemos verificar alguns limites importantes. Como não há 
restrições para o domínio, iremos apenas avaliar os limites no infinito.
( )3 33, , 0,0 , 3,
4 4
   
− −      
   
Por fim, tendo revisitado os tópicos de 1 a 6, temos que o esboço do gráfico 
considerando estes pontos é dado por:
( )
( )
a) lim 0;
b) lim 0.
x
x
f x
f x
→−∞
→∞
=
=
GRAFICO 17 – GRÁFICO DA FUNÇÃO ( )f x =
x +4
FONTE: Os autores
x1
-1-sqrt(3)
sqrt(3)
y
TÓPICO 2 | GRÁFICOS DE FUNÇÕES
181
A linguagem “sqrt” refere-se em linguagem de programação matemática à raiz 
quadrada.
NOTA
Exemplo: Esboçar o gráfico da função:
Resolução: Seguindo os passos dados na introdução do tópico, temos:
1) Verificação do domínio da função e análise das intersecções com os eixos 
coordenados;
a) Domínio: ( ) { }, tal que 1 1Dom f x x e x= ∈ ≠ − ≠R . 
b) Intersecção com o eixo y:
( ) ( )( )
2 4
1 1
xf x
x x
−
=
− +
 Intersecção com o eixo x:
2) Pontos críticos:
Vimos no tópico anterior que para a determinação de pontos críticos 
devemos derivar a função e igualar a zero. Logo:
( ) ( )( )
20 40 4
0 1 0 1
x f x y−
= ⇒ = ⇒ =
− +
( )( )
2 40 0 2
1 1
xy x
x x
−
= ⇒ = ⇒ = ±
− +
Igualando a zero, temos:
Logo o único ponto crítico é dado por (0, 4).
3) Intervalos de crescimento e decrescimento
Analisando o sinal da derivada primeira, determinamos que:
a) A função é estritamente crescente quando x > 0 (onde está definida), pois f'(x) > 0 
nestes valores.
( )
( ) ( )2 2´ 6
1 1
xf x
x x
= ⋅
+ −
( ) ( )2 26 0 0
1 1
x x
x x
⋅ = ⇒ =
+ −
182
UNIDADE 3 | APLICAÇÕES DAS DERIVADAS
b) A função é estritamente decrescente quando x < 0 (onde está definida), pois 
f'(x) < 0 nestes valores.
4) Máximos e mínimos
Realizando a derivada segunda, e aplicando nela os pontos críticos, temos:
Aplicando x = 0 (ponto crítico):
( )
( ) ( )
2
3 3
3 1´́ 6
1 1
xf x
x x
+
= − ⋅
+ −
Logo existe um ponto de mínimo em x = 0.
5) Concavidade e pontos de inflexão
Como sabemos, esta análise é realizada por meio da derivada segunda da 
função:
( )
( ) ( )
( )
2
3 3
3 0 1´́ 0 6 6 1 6 0
0 1 0 1
f ⋅ +
= − ⋅ = − ⋅ − = >
+ −
a) A função terá concavidade voltada para cima quando tivermos f''(x) > 0. 
Ocorrendo no intervalo (-1, 1).
b) A função terá concavidade voltada para baixo quando tivermos f''(x) < 0. 
Ocorrendo nos intervalos não pertencentes a (-1, 1).
c) Não há pontos de inflexão.
6) Limites
Neste item, devemos verificar alguns limites importantes. 
( )
( ) ( )
2
3 3
3 1´́ 6
1 1
xf x
x x
+
= − ⋅
+ −
Por fim, tendo revisitado os tópicos de 1 a 6, temos que o esboço do gráfico 
considerando estes pontos é dado por:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
1
1
a) lim 1;
b) lim 1;
c) lim ;
d) lim ;
e) lim ;
f) lim .
x
x
x
x
x
x
f x
f x
f x
f x
f x
f x
−
+
−
+
→−∞
→∞
→−
→−
→
→
=
=
= −∞
= ∞
= ∞
= −∞
TÓPICO 2 | GRÁFICOS DE FUNÇÕES
183
GRÁFICO 18 – GRÁFICO DA FUNÇÃO ( ) ( )( )
2x -4f x =
x-1 x+1
x
-4
-2
0
2
-5 5 10-10
4
6
8
FONTE: Os autores
184
Neste tópico, você aprendeu que:
• Para realizar o esboço gráfico, é necessário perpassar pelos seguintes passos:
 o Verificação do domínio da função e análise das intersecções com os eixos 
coordenados.
 o Cálculo dos pontos críticos.
 o Intervalos de crescimento e decrescimento.
 o Determinação de máximos e mínimos.
 o Análise das concavidades e pontos de inflexão.
 o Cálculo de limites importantes.
RESUMO DO TÓPICO 2
185
AUTOATIVIDADE
Acadêmico, o processo de entendimento total do conteúdo finalizaaqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos explorados 
neste tópico. Bom estudo!
1. Realize o esboço gráfico das seguintes funções seguindo o método visto 
neste tópico:
186
187
TÓPICO 3
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS 
ATRAVÉS DAS DERIVADAS
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Dando sequência às ideias de onde podem ser aplicadas as derivadas, 
iremos trabalhar, neste momento, em três frentes:
• Taxas de Variação: Aplicaremos aqui soluções básicas, através do conceito 
usual da derivada, que lida com a taxa de variação de uma grandeza, por 
exemplo, a velocidade de um móvel, crescimento populacional etc.
• Taxas Relacionadas e Derivação implícita: Neste caso, aplicaremos o conceito 
de derivação implícita para casos de mais de uma grandeza sofrendo variação. 
Poderemos aferir o quanto uma delas varia em relação a outra.
• Problemas de otimização: Para estes casos iremos adequar os conceitos de 
máximos e mínimos vistos, a fim de solucionar problemas práticos através do 
comportamento da função modelada para o problema dado.
2 PROBLEMAS QUE ENVOLVEM TAXAS DE VARIAÇÃO
Como já mencionamos, existem vários problemas em que precisamos 
calcular taxas de variação de grandezas. Nesta seção iremos estudar alguns deles. 
Exemplo: Um objeto se move de acordo com a função
s(t) = t2 + 2t - 3
com s (em metros) e t (em segundo). Calcule a velocidade no instante t0 = 2s.
Resolução: Como já sabemos, a velocidade é a taxa de variação da posição do 
móvel em relação ao tempo de percurso. Desta forma, temos que, para determinar 
a velocidade, basta derivar a função posição. Logo:
v = s'(t) = 2t + 2
Onde, para determinar a velocidade em t0 = 2s, basta substituir o valor, 
em t:
UNIDADE 3 | APLICAÇÕES DAS DERIVADAS
188
v = s'(2) = 2 . 2 + 2
v = 6m/s
Exemplo: O custo de fabricação de um certo produto é dado pelo modelo 
C(x) = 3x² + 5x + 192.
Onde C é o custo e x a quantidade de peças produzidas. Determine qual a variação 
do custo quando se produzem 50 peças deste produto.
Resolução: A taxa de variação é dada pela derivada da função custo em relação 
à quantidade de peças: 
C'(x) = 6x + 5.
Agora, para determinar a variação do custo quando se produzem 50 peças, basta 
calcular 
C'(50) = 6 . 50 + 5 = 305.
Exemplo: Seja P(x) = 130 + 2x3/2 é a função que dá, em milhões de habitantes, a 
população de um país em função do tempo x, em anos, a partir de hoje.
a) Determine a função Crescimento Populacional. 
b) Quantos Habitantes terá esse país daqui a quatro anos?
c) Quanto a população estará crescendo por ano daqui a exatamente quatro anos?
Resolução: a) Para determinar a função crescimento populacional basta derivar P por x,
P'(x) = 3x1/2. 
b) Basta calcularmos 
P'(4) = 130 + 2 . (4)3/2 = 130 + 16 = 146.
c) Agora queremos saber a variação do crescimento, então calculamos 
P'(4) = 3 . (4)1/4 = 3 . 2 = 6.
3 PROBLEMAS QUE ENVOLVEM TAXAS 
RELACIONADAS E DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
Neste subtópico iremos abordar o conceito de taxas relacionadas e 
derivação implícita através de exemplos. 
TÓPICO 3 | RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ATRAVÉS DAS DERIVADAS
189
3.1 TAXAS RELACIONADAS E REGRA DA CADEIA 
Exemplo: Ao realizar-se um estudo em uma comunidade, concluiu-se que a taxa 
diária de emissão de monóxido de carbono no ambiente é modelada pela função:
onde C(p) é a quantidade de monóxido de carbono partes por milhão, para uma 
população de p milhares de habitantes. Há uma estimativa, também, de que a 
população desta comunidade daqui a t anos será dada por:
p(t) = 3,1 + 0,1t2
milhares. Determine qual será a taxa de monóxido de carbono daqui a um período 
de três anos.
Resolução: Como a taxa de monóxido de carbono depende da quantidade 
populacional e a população depende do tempo, este caso trata-se de um caso de 
taxas relacionadas. 
 Objetivamos calcular dC
dt , quando t = 3. Desta forma, iremos escrever as 
derivadas para, na sequência, podermos calcular através da regra da cadeia o 
resultado esperado, temos
( ) 20,5 17C p p= +
e
dC
dt = 0,2t
Trabalhando com t = 3, temos
p(3) = 3,1 + 0,1 . 32 = 4
Substituindo nas derivadas, p(3) = 4 e t = 3, encontramos
( )
1
2 21 0,5 17
2
dC p p
dp
−
= ⋅ +
e
dC
dt = 0,2 . 3 = 0,6
Por fim, através da regra da cadeia, teremos:
( )
1
2 21 4 0,5 4 17 0,4
2
dC
dp
−
= ⋅ ⋅ ⋅ + =
0,4 0,6 0,24 partes por milhãodC dC dp
dt dp dt
= ⋅ = ⋅ =
UNIDADE 3 | APLICAÇÕES DAS DERIVADAS
190
AUTOATIVIDADE
Prezado acadêmico, realize o mesmo processo com:
para t = 2 anos.
( ) ( ) ( )
2 60,5 58 e 20
1
C p p p p t
t
= ⋅ + + = −
+
3.2 DERIVAÇÃO IMPLÍCITA E TAXAS RELACIONADAS
Vimos acima um exemplo de como considerar o cálculo da regra da cadeia 
para a resolução de problemas de taxas relacionadas. No caso, a primeira variável 
era dada em função da segunda, e a segunda era escrita em função da terceira. 
Iremos agora, nesta seção, trabalhar com casos um pouco distintos, onde teremos 
apenas algumas informações sobre a variável, sem ter fórmulas explícitas para a 
demonstração do caso.
Exemplo: Verificou-se que a quantidade de peças a serem produzidas por uma 
linha será de:
Q(p) = p2 + 3p + 1200
milhares de peças p produzidas no período. A quantidade atual de peças no 
estoque é de 30.000 e está crescendo numa taxa de 2000 peças por período (ano). 
Determine qual a taxa de crescimento do estoque por período (ano). 
Resolução: Note que neste caso não temos nenhum modelo pronto que envolve a 
variável t, quantidade de períodos (ano) para a determinação do solicitado. Logo, 
de modo implícito faremos ela aparecer.
A taxa de variação da quantidade produzida em relação ao tempo será 
dada por 
dp
dt e a taxa da quantidade de peças produzidas será dada por dQ
dt . No 
problema, tivemos a informação de que a taxa de variação da produção de peças 
no período (sem este dado, seria impossível realizar a questão) é dp
dt = 2 e temos 
como meta determinar dQ
dt quando p = 30.
Iremos realizar este processo derivando a expressão dada implicitamente, 
em ambos os membros da equação, e lembrando que a quantidade de peças p, 
depende do tempo, logo iremos chamá-la de p(t). Reescrevendo a expressão, 
chegamos em:
Q(t) = [p(t)]2 + 3 . p(t) + 1200
TÓPICO 3 | RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ATRAVÉS DAS DERIVADAS
191
Derivando implicitamente, teremos:
dQ
dt = 2 . p(t) . dp
dt + 3 . dp
dt
Agora, simplesmente, substituindo os valores dp
dt = 2 e p(t) = 30, finalizamos:
dQ
dt = 2 . 30 . 2 + 3 . 2 = 126 unidades
Exemplo: Imagine um menino com 1 metro de altura caminhando e se afastando 
de um poste de luz com 6 metros de altura, imprimindo uma velocidade de 0,7 m/s. 
Sabemos que fisicamente o tamanho da sombra do menino tende a aumentar. Então, 
iremos determinar qual a taxa de crescimento da sombra do menino.
Resolução: Iremos dizer que x é o comprimento da sombra do menino (em 
metros) e y a distância entre menino e o poste. Admitiremos também que o tempo 
t na questão será dado em segundos. 
GRÁFICO 19 – ILUSTRAÇÃO EXEMPLO
FONTE: Os autores
Sabemos, após nomear as distâncias a serem consideradas no problema, 
que dy
dt = 0,7 e objetivamos calcular dx
dt .
Utilizando o conceito de semelhança de triângulos, conhecido desde os 
tempos de escola, iremos obter a proporção, ao analisar os triângulos ABC e DEC:
6 1
1
5
x y x
x y
+
=
=
UNIDADE 3 | APLICAÇÕES DAS DERIVADAS
192
Procedendo agora com a derivação implícita, derivamos ambos os 
membros da expressão encontrada, chegando a:
Bastando substituir o valor dx
dt = 0,7, para obtermos
1
5
dx dy
dt dt
= ⋅
Exemplo: Dado um tanque de água, cujo formato é de um cone invertido, com 
20m de altura e raio da base igual a 5m, conforme a figura a seguir:
1 0,7 0,14 /
5
dx m s
dt
= ⋅ =
FIGURA 1 – ILUSTRAÇÃO DO CONE INVERTIDO DO EXEMPLO
FONTE: Os autores
Sabendo que o tanque tem vazamento constante de 2 m³ por minuto, 
determine com que taxa a velocidade de escoamento estará fluindo, no momento 
em que o nível de água do tanque será de 8 metros.
Resolução: De acordo com os dados do exemplo,podemos aferir que:
dV
dt = -2
pois desejamos estudar a variação do volume, e o sinal negativo traduz o fato de 
que este volume está diminuindo devido ao escoamento da água.
O objetivo desta questão é calcular dh
dt , no momento em que h = 8.
TÓPICO 3 | RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ATRAVÉS DAS DERIVADAS
193
Lembre-se de que o volume de um cone é dado por
ATENCAO
21
3
V= r hp⋅ ⋅ ⋅
Utilizando semelhança entre triângulos, encontramos 
Realizando a substituição da relação encontrada na fórmula do volume, 
chegaremos em:
Através de derivação implícita, temos que:
5
20 4
r hr
h
= ⇒ =
31
48
V hp= ⋅ ⋅
21
16
dV dhh
dt dt
p= ⋅ ⋅
212 8
16
dh
dt
p− = ⋅ ⋅ ⋅
Logo
Ou ainda
1
2
dh
dt p
= −
O que implica que o nível da água diminui (sinal negativo) 1
2p
 metro por 
minuto.
4 PROBLEMAS DE MÁXIMO E MÍNIMOS (OTIMIZAÇÃO)
Em diversos problemas, objetivamos determinar quando a taxa de 
variação de alguma grandeza é a maior ou a menor possível. Por exemplo, um 
fabricante deseja saber em que hora do dia a produtividade de seus funcionários 
é máxima, ou qual a quantidade de peças a serem produzidas para obter o custo 
mínimo de produção. 
UNIDADE 3 | APLICAÇÕES DAS DERIVADAS
194
Para estes casos, iremos utilizar a derivada primeira e segunda, buscando 
a determinação de máximos e mínimos locais para a função que modela o caso. 
Exemplo: Realizando-se um estudo da eficiência máxima de um funcionário da 
empresa H, que chega ao trabalho às 8h da manhã, constatou-se que ela é dada 
pela função:
Q(t) = t3 + 3t2+ 12t
onde Q é a quantidade de produção após t horas.
Resolução: Através do conceito básico de derivada, podemos afirmar que a taxa 
de variação da quantidade produzida é dada por:
Q'(t) = -3t2 + 18t + 12
onde, determinando os pontos críticos (igualando a derivada a zero), teremos:
-3t2 + 18t + 12 = 0
Resolvendo a equação quadrática, chegaremos em:
Realizando o teste da derivada segunda:
1
2
3 13 (descartaremos, por ser tempo negativo)
3 13
t
t
= −
= +
E assim 3 13t = + é o ponto de eficiência máxima.
Exemplo: Usando uma folha quadrada de cartolina, de lado 12 cm, deseja-se 
construir uma caixa sem tampa, cortando em seus cantos quadrados iguais e 
dobrando convenientemente a parte restante. Determinar o lado dos quadrados 
que devem ser cortados de modo que o volume da caixa seja o maior possível. 
Resolução: Este é um caso onde não temos o modelo matemático pronto para 
conseguir já de início realizar as derivações necessárias. Desta forma, iremos 
analisar a figura a seguir para a determinação do modelo.
( )
( ) ( )
´́ 6 18
´́ 3 13 6 3 13 18 21,63 0.
Q t t
Q
= − +
+ = − ⋅ + + = − <
TÓPICO 3 | RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ATRAVÉS DAS DERIVADAS
195
FIGURA 2 – ILUSTRAÇÃO PARA O CASO DO EXEMPLO
FONTE: Os autores
Realizando os recortes, conseguimos perceber que é possível calcular o 
volume do paralelepípedo (sem tampa):
Como desejamos ter o volume máximo, vamos derivar a função volume e 
procurar seus pontos críticos:
( ) ( )2
3 2
12 2
4 48 144
V x x x
V x x x
= − ⋅
= − +
Igualando a zero, para determinar os seus pontos críticos, chegamos em:
( ) 2´ 12 96 144V x x x= − +
Porém, com certeza, um destes valores nos dará o volume máximo e o 
outro nos trará o volume mínimo. Desta forma, realizaremos o teste da derivada 
segunda para a determinação necessária:
2
1
2
12 96 144 0
2
e
6
x x
x
x
− + =
=
=
Logo, o volume máximo é obtido com o corte x = 2cm.
Exemplo: Uma lata cilíndrica sem tampa superior tem volume 5 cm³. Determine 
as dimensões da lata, de modo que a quantidade de material para sua fabricação 
seja mínima.
( )
( )
( )
´́ 24 96
E ainda,
´́ 2 24 2 96 48 0 (máximo)
e
´́ 6 24 6 96 96 0 (mínimo)
V x x
V
V
= −
= ⋅ − = − <
= ⋅ − = >
e
E ainda,
e
UNIDADE 3 | APLICAÇÕES DAS DERIVADAS
196
Resolução: Este é mais um caso onde o modelo matemático deve ser construído. 
Sabemos que o volume de um cilindro é 
Sabemos também, V = 5cm3, logo:
21
3
V r hp= ⋅ ⋅
Como temos que determinar a quantidade mínima de material, devemos 
atentar neste momento para a fórmula da área lateral do cilindro somada com a área 
de apenas uma circunferência, pois de acordo com o enunciado, a lata é sem tampa:
2
2
15
3
15
r h
h
r
p
p
= ⋅ ⋅
=
Substituindo o valor de h determinado anteriormente, temos que:
22A r h rp p= ⋅ ⋅ +
Derivando a função área, obtemos:
( )
( )
( )
2
2
2
1 2
152
30
30
A r r r
r
A r r
r
A r r r
p p
p
p
p−
= ⋅ ⋅ +
= +
= +
Igualando a zero para determinar os pontos críticos:
( ) 2´ 30 2A r r rp−= − +
Mesmo sendo o único ponto crítico, justificaremos como sendo o ponto 
mínimo, através da derivada segunda:
2
2
3
30 2 0
30 2
30
2
1,68
r r
r
r
r
r
p
p
p
−− + =
− = −
=
=
( )
( )
3
3
´́ 60 2
60´́ 1,68 2 18,93 0 (mínimo)
1,68
A r r
A
p
p
−= +
= + ≈ >
197
Neste tópico, você aprendeu que:
• O conceito de derivada permite a resolução de problemas que lidam com taxas 
de variação.
• As taxas relacionadas são problemas bastante presentes em aplicações práticas 
das derivadas.
• Podemos determinar taxas de variação em problemas com poucas informações, 
através da derivação implícita.
• Em problemas de otimização, utilizamos os conceitos de máximos e mínimos 
vistos nas teorias do Tópico 1 desta unidade, para a resolução de problemas 
modelados ou não.
RESUMO DO TÓPICO 3
198
AUTOATIVIDADE
Acadêmico, o processo de entendimento total do conteúdo finaliza 
aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos explorados 
neste tópico. Bom estudo!
1. Uma cidade foi atingida por uma epidemia. Biólogos calculam que a 
quantidade de pessoas atingidas ao longo do tempo é dada pela expressão:
a) Qual a taxa de expansão da epidemia após 4 dias?
b) Qual a taxa de expansão da epidemia após 8 dias?
c) Quantas pessoas serão atingidas no 5º dia?
2. Um importador de café estima que sua demanda será dada por:
( ) ³64
3
tf t t= −
libras de café, quando o preço for p dólares por libra. Calcula-se também que 
daqui a t semanas o preço do café será
p (t) = 0,02t2 + 0,1t + 6
dólares por libra. Qual será a taxa de variação da demanda de café daqui a 10 
semanas?
3. Uma pedra é jogada em um laguinho de águas calmas, gerando ondas em 
forma de círculos concêntricos. O raio r da onda exterior aumenta a uma taxa 
constante de 0,3 metro por segundo. A que taxa a área da água perturbada 
está aumentando quando o raio exterior é de 1 metro?
4. Cascalho está sendo empilhado em uma pilha cônica a uma taxa de 3 metros 
cúbicos por minuto. Encontre a taxa de variação da altura da pilha quando a 
altura é 3 metros. (Suponha que o tamanho do cascalho é tal que o raio do 
cone é igual à sua altura.)
5. Por várias semanas, o Serviço de Trânsito vem pesquisando a velocidade 
do tráfego numa autoestrada. Verificou-se que num dia normal de semana, à 
tarde, entre 1 e 6 horas, a velocidade do tráfego é de aproximadamente
v(t) = 2t3 - 21t2 + 60t + 40
quilômetros por hora, onde t é o número de horas transcorridas após o meio-
dia. A que horas, dentro do intervalo de tempo mencionado, o tráfego se move 
mais rapidamente e a que horas se move mais lentamente?
( ) 4374
²
D p
p
=
199
6. Um campo retangular vai ser cercado ao longo da margem de um rio e não 
precisa de cerca ao longo do rio. Se o material da cerca custa R$ 40,00 por 
metro para o lado paralelo ao rio e R$ 25,00 por metro para os outros dois 
lados, encontre as dimensões do campo de maior área que pode ser cercado 
com um custo fixo de R$ 10.000,00.
7. Um fabricante precisa produzir caixas de papelão, com tampa, 
tendo na base um retângulo com comprimento igual ao triplo da 
largura. Calcule as dimensões que permitem a máxima economia 
de papelão para produzir caixas de volume de 36 m³.
8. Uma lata cilíndrica com tampa superior tem volume 10 cm³. 
Determine as dimensões da lata, de modo que a quantidade de 
material para sua fabricação seja mínima.
200
201
TÓPICO 4
CÁLCULO DE LIMITES
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃONeste tópico, retomaremos os casos de indeterminação de limites, vistos 
na Unidade 1. Agora com a ferramenta da derivada, temos uma estratégia 
alternativa para tais limites. Isto ajudará bastante, pois existiam alguns limites 
outrora insolúveis pelo fato de não haver regras bem definidas para “levantar” 
indeterminações. 
Nos casos que iremos definir, iremos aplicar a Regra de L’Hospital, que 
foi desenvolvida por Bernoulli, porém, anos mais tarde, publicada e exposta por 
L’Hospital. O que Bernoulli percebeu foi que em torno de uma vizinhança de um 
dado ponto, a razão entre funções é aproximadamente igual à razão entre as suas 
derivadas. É claro que respeitadas algumas hipóteses importantes. Isto iremos ver 
neste tópico.
2 DEFINIÇÃO DA REGRA DE L’HOSPITAL
Definição 8: Dadas f (x) e g (x) duas funções contínuas e deriváveis, ou seja, bem 
comportadas, no intervalo I, sendo que para todo x, teremos g'(x) ≠ 0. Se:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
lim lim 0
ou
lim lim
Se existe
'
lim
'
sendo finito ou infinito, então:
lim lim
'
x a x a
x a x a
x a
x a x a
f x g x
f x f x
f x
g x
f x f x
g x g x
→ →
→ →
→
→ →
=
′
=
= = ∞
=
ou
Se existe
sendo finito ou infinito, então:
UNIDADE 3 | APLICAÇÕES DAS DERIVADAS
202
Este caso também contempla os casos onde a é substituído por a+, a-, -∞, ∞.
NOTA
Esta definição diz que, para calcular um limite de uma razão entre funções, 
basta derivar o numerador e o denominador, a quantidade de vezes necessária 
para que a indeterminação seja eliminada.
Exemplo: Calcular o limite
Resolução: Substituindo o valor x = 0 no limite dado, chegamos a uma 
indeterminação da forma:
4
0
1lim
2
x
x
e
x→
−
4.0 1 0
2.0 0
−
=
Note agora que as hipóteses para que possamos utilizar a Regra de 
L’Hospital são respeitadas, pois f (x) = e4x - 1 e g (x) = 2x são contínuas e deriváveis, 
logo, iremos derivar o numerador e o denominador do limite para eliminar esta 
indeterminação
4 4
0 0
1 4lim lim
2 2
x x
x x
e e
x→ →
−
=
4 4 0
0
4 4 4 1lim 2
2 2 2
x
x
e e ⋅
→
⋅ ⋅
= = =
2
21
5 4lim
2 3x
x x
x x→−
+ +
− −
Agora, podemos substituir o valor x = 0 e chegaremos em um resultado 
para o limite:
Exemplo: Calcular o limite
Resolução: Este exercício é possível de ser realizado pelas antigas técnicas de 
cálculo de limites. A fatoração!
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2
21 1
1
1 45 4lim lim
2 3 1 2 3
4 3lim
2 3 5
x x
x
x xx x
x x x x
x
x
→− →−
→−
+ ⋅ ++ +
=
− − + ⋅ −
+
= = −
−
TÓPICO 4 | CÁLCULO DE LIMITES
203
Contudo, perceba que com a Regra de L’Hospital que agora aprendemos, 
o processo se torna muito mais rápido e prático:
Exemplo: Calcular o limite
Resolução: O cálculo direto do limite chega na indeterminação 
∞
∞ .
Novamente, as hipóteses para a Regra de L’Hospital são satisfeitas, então 
aplicando a regra:
2
21 1
5 4 2 5 3lim lim
2 3 4 1 5x x
x x x
x x x→− →−
+ + +
= = −
− − −
3
2 ²lim xx
x
e→+∞
Porém, observe que novamente recaímos na mesma indeterminação. 
Então à exaustão, podemos aplicar a regra tantas vezes quantas forem necessárias 
e possíveis para atingir a solução:
Que finalmente gera (eliminando a indeterminação): 
3 3
2 ² 4lim lim
3x xx x
x x
e e→+∞ →+∞
⋅
=
⋅
3 3
3
2 ² 4lim lim
3
4lim
9
x xx x
xx
x x
e e
e
→+∞ →+∞
→+∞
⋅
=
⋅
=
⋅
3
4lim 0
9 xx e→+∞
=
⋅
UNIDADE 3 | APLICAÇÕES DAS DERIVADAS
204
LEITURA COMPLEMENTAR
COMO MEDIR A VELOCIDADE DE UMA REAÇÃO QUÍMICA?
As transformações pelas quais passa a matéria são de extrema importância 
para a Química, assim também como a velocidade com que elas se processam. A 
sociedade depende de produtos que devem apresentar uma durabilidade grande 
e que sejam produzidos num curto intervalo de tempo. Essa dependência vai 
desde a produção de alimentos, passando pela indústria de cosméticos, até a 
fabricação de remédios.
A matéria pode sofrer dois tipos distintos de transformações, denominados 
de: fenômenos físicos e fenômenos químicos. No primeiro caso ocorre apenas uma 
mudança de estado físico da matéria, sem alteração na natureza das substâncias. Já 
no segundo caso, que também pode ser denominado de reação química, ocorrem 
alterações na natureza da matéria e, consequentemente, de suas propriedades.
Em Química, quando se deseja calcular a velocidade média com que 
as reações ocorrem, estamos calculando uma taxa de variação, que relaciona a 
concentração dos reagentes e/ou produtos por unidade de tempo. Assim, a sua 
expressão é dada por:
[ ] 
m
Reagentes ou produtos
V
t
D
=
D
Onde a letra grega Δ representa a variação da concentração.
Mas os químicos estão mais interessados em obter a velocidade instantânea, 
a partir da velocidade média quando o intervalo de tempo Δt tende a zero. Isto é 
o mesmo que determinar a derivada da concentração em função do tempo, que 
é dada por:
( )
0
lim ti t
CV C
tD →
=
D
′D
=
Numa reação geral expressa pela equação química aA + bB → cC + dD, onde 
a, b, c e d são seus coeficientes estequiométricos, estes são levados em conta quando 
se quer determinar sua velocidade, pois representam as relações estequiométricas 
entre os produtos e os reagentes. Deste modo, podemos determinar a velocidade 
média da reação através de qualquer uma das equações abaixo.
[ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 1
m
A B C D
V
a t b t c t d t
D D D D
= − = − = =
D D D D 
TÓPICO 4 | CÁLCULO DE LIMITES
205
Uma vez que a concentração dos produtos aumenta à medida que a 
reação se processa, então a derivada primeira é positiva e por isso o sinal nas 
concentrações de C e D é positivo. Já em relação à concentração dos reagentes, 
esta decresce com o passar do tempo, logo, para torná-la positiva colocamos o 
sinal negativo antes, como pode ser visto na expressão acima.
Como parte de um exemplo1, vejamos a seguinte situação: Suponha a 
equação de uma reação genérica: A + 3B → 2C, considerando que, inicialmente, 
a concentração de A é 3 mol, B é 6 mol e após 1 minuto de reação há 2 mols de A. 
Responda às seguintes questões:
a) quais as quantidades iniciais de A, B e C?
As concentrações iniciais são: A = 3 mol, B = 6 mol e C = 0 (inicialmente não 
tem produto formado).
b) determine a velocidade média desta reação no intervalo de tempo de 1 minuto.
A velocidade média pode ser determinada em função de qualquer um dos 
reagentes ou do produto, através da equação abaixo.
[ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 1
m
A B C D
V
a t b t c t d t
D D D D
= − = − = =
D D D D
Reagente A:
1 1 1 / .
1 1mV mol L s−
= − =
Reagente B:
1 3 1 / .
3 1mV mol L s−
= − =
Reagente C:
1 2 1 / .
2 1mV mol L s= =
Observe que a velocidade da reação é a mesma para qualquer um dos 
reagentes, como também para o produto da reação.
FONTE: MORAIS, Auricélio Carneiro. Cálculo no Ensino Médio: aplicações na matemática e nas 
ciências naturais (Dissertação de Mestrado). UFRN: 2016.
206
Neste tópico, você aprendeu que:
• Dadas f (x) e g (x) duas funções contínuas e deriváveis, ou seja, bem comportadas, no 
intervalo I, sendo que para todo x, teremos g'(x) ≠ 0. Se:
RESUMO DO TÓPICO 4
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
lim lim 0
ou
lim lim
Se existe
'
lim
'
sendo finito ou infinito, então:
lim lim
'
x a x a
x a x a
x a
x a x a
f x g x
f x f x
f x
g x
f x f x
g x g x
→ →
→ →
→
→ →
=
′
=
= = ∞
=
ou
Se existe
sendo finito ou infinito, então:
207
AUTOATIVIDADE
Acadêmico, o processo de entendimento total do conteúdo finaliza 
aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos explorados 
neste tópico. Bom estudo!
1 Utilize a regra de L’Hospital para calcular os limites:
208
REFERÊNCIAS
ANDRADE, Aécio A.; SILVA, Wendys M. da. Aplicações de limites de funções 
na físico-química. 5ª Jornada de Iniciação Científica e Extensão. IFT, 2014.
BRITO, A. C. F.; PONTES, D. L. Cinética e propriedade das superfícies. Aula 1. 
136p, Natal, RN: EDUFRN, 2009.
CASTELLAN, Guilbert William. Fundamentos de físico-química. Editora LTC 
(Livros Técnicos e Científicos).Rio de Janeiro–RJ, 2010.
MESQUITA FILHO, A. Introdução à físico-química das soluções. Disponível 
em: <http://ecientificocultural.com/ECC3/solu03.htm>. Acesso em: 3 jul. 2014. 
STEWART, James. Cálculo: volume 1. 5. ed. São Paulo: Thomson, 2008.