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Divertimentos matemáticos
Brian Bolt
EDITORIAL LABOR, S.A.
Traducción de
Mariano Martínez Pérez
La edición, 2. a reimpresión: 1990
Título de la edición original:
The arnazing mathematical amusernent arcade
© Cambridge University Press, 1984
© de la edición en lengua castellana y de la traducción:
Editorial Labor, S. A. - Calabria, 235-239 - 08029 Barcelona, 1987
El autor y los editores agradecen a la Mansel1 Collection
el permiso para reproducir Melancolía de A. Durero
Depósito legal: B. 31345-1990
ISBN: 84-335-5111-6
Printed in Spain - Impreso en España
Impreso en: Ingoprint, S. A. - Maracaibo, 11 - 08030 Barcelona
INTRODUCCIÓN
Mucha gente de todas las edades disfruta tratando de
resolver rompecabezas de tipo matemático. Esta colección de
pasatiempos y otras actividades ha sido seleccionada de un
libro de complementos, escrito para profesores de
matemáticas, y que alcanzó un éxito notable. Se han reunido
aquí aquellas actividades creativas del libro anterior, que no
requerían conocimientos matemáticos especiales, y un gran
número de nuevas ideas. Muchos de estos pasatiempos tienen
una larga historia, otros son originales, y algunos han tenido
que esperar a la llegada de la calculadora de bolsillo para
poder ser atacados de una manera factible y realista.
Aparecerán cerillas, monedas, complicados cruces de
ríos, ingeniosas situaciones de maniobras de trenes,
problemas de ajedrez, cuadrados mágicos, estrellas y
circunferencias, billares, dardos y dianas, paradojas
geométricas ... , ¡todo esto y mucho más tiene cabida en esta
maravillosa galería! Quien nunca haya cortado en dos una
banda de Mobius, tiene aquí la oportunidad de alcanzar la
deliciosa sensación de la perplejidad.
La segunda parte del libro está.dedicada a dar, o sugerir,
la solución de los rompecabezas y a comentarlos, de manera
que el lector pueda comprobar si su solución es correcta o
descubrir una pista, cuando se encuentre atascado en alguna
dificultad. Pero le aconsejamos vivamente que persista en sus
intentos de encontrar una solución. ¡Produce una gran
satisfacción resolver un rompecabezas por sí mismo y, una
vez resuelto, desafiar a los amigos a que hagan otro tanto!
Brian Bolt
ÍNDICE
El primer número, en negrita, se refiere a la página donde se plantea el
pasatiempo; el segundo, a la página en la que se da la solución, comentarios,
etcétera. Un asterisco indica la conveniencia de utilizar calculadora.
Introducción
1 Triángulos hechos a base de cerillas 1, 73
2 El embrollo del cruce del río 1, 73
3 El maquinista perplejo 2, 73
4 Hazte tus propios dados 2, 73
5 Plegando mapas 3, 74
6 El lechero ingenioso 3, 74
7 Los peones sobre el tablero de ajedrez 4, 74
8 Evitando tres en raya 4, 75
9 Dos mitades hacen un todo 5, 75
10 Cubismo 5, 75
11 Cuadrados construidos con cerillas 5, 75
12 Curvas de persecución 6, 75
13 Los misiles extraviados 7
14 Modelos 8
15 Soldados en apuros 8, 76
16 El granjero y el redil 9,76
17 La danza de los caballos 9, 77
18 Los apartaderos de la vía férrea 10, 77
19 El cubo multicolor 10, 77
20 Los maridos celosos 11, 78
21 La extensión de cable más barata posible 11, 79
22 El juego del «Hex» 13
23 El cuadrado, la cruz y el círculo 14, 80
24 La banda de M6biús 14, 80
25 Una jardinera ahorrativa 16, 80
26 ¿Cuántos triángulos puedes encontrar? 16, 81
27 Dos lanchas motoras poco amistosas 16, 81
28 Los caballos guardianes 17, 81
29 Invirtiendo el orden de los trenes 17, 82
30 Cuatro piezas iguales 18, 82
31 Complétese el cuadrado 18, 83
32 Monedas que dan vueltas 18, 83
33 Una red que va creciendo 19, 83
34 Circuitos unicursales y grafos eulerianos 20, 83
35 Giros que parecen imposibles 21, 85
36 El cazador obstinado 21, 85
37 Cuatro puntos en un plano 21, 86
38 Dados de letras 22, 86
39 La defensa de la reina 22, 86
VI
40 Ver es creer 23, 88
41 La inspección de carreteras 23, 89
42 Las fichas del dominó y el tablero de ajedrez 23, 89
43 Caminando en zigzag 24
44 Un paseo a caballo 24, 89
45 Aserrando un cubo 27, 91
46 Un agujero imposible 27, 91
47 Dos gemelos idénticos 28, 91
48 El teorema de los cuatro colores 28, 91
49 Unas cerillas desconcertantes 28, 92
50 La cuadratura del triángulo equilátero 29, 92
51 La cuadratura de la tetera 29, 93
52 Un ama de casa perpleja 29, 93
53 Jugando a invertir el triángulo 30, 93
54 El billar americano 30, 94
55 Buscando cuadrados (para dos jugadores) 32, 94
56 La polilla hambrienta 33, 95
57 El desvío más barato 33, 95
58 Piezas que llenan todo un espacio 34, 95
59 Curvas formadas al cortarse circunferencias 34, 95
60 ¡El ultimátum de una amante! 36, 96
61 Sólo cuatro rectas 36, 96
62 ¿A qué velocidad eres capaz d.e pedalear? 37, 97
63 La pista de bobsleighs 37, 97
64 Cuestión de vocales 37, 98
65 Juegos con fichas para un solo jugador 38,98
66 Dos piezas iguales 40, 98
67 Cómo pintar un cubo 40, 99
68 Los problemas de la vía única 40, 100
69 Dos a la vez 41, 100
70 Cara y cruz 41, 100
71 La cuadratura de la cruz griega 41, 100
72 El reparto de gasolina 42, 100
73 Un reparto justo 42, 101
74 Magia con monedas 42, 101
75 La raüa obstinada 42; 101
76 Cómo ordenar una estantería 43, 101
77 Partiendo un círculo 43, 102
78 Números casi cuadrados'" 44, 103
79 Un jardinero aficionado a la matemátíca 44, 103
80 Triángulos mágícos 44, 103
81 Números curiosos * 45, 104
82 Unas restas chocantes * 46, 105
83 ¿Cuál es el mayor número que puedes obtener? * 46, 106
84 Los cuatro cuatros 47, 106
85 ¿Cuáles eran los datos? * 47, 107
86 Un filón muy productivo * 48, 107
87 Centenas, decenas y unidades 49, 108
VIl
88 Círculos mágicos 49, 108
89 El número de teléfono de la doctora Numerati * 50, 110
90 Completa un siglo 50, 110
91 Ruedas de números 51, 110
92 Un reto a las calculadoras * 51, 111
93 Divisiones que se repiten * 52, 111
94 Algunos números distinguidos * 53, 113
95 Estrellas mágicas 54, 113
96 La seguridad lo primero 54, 114
97 La estrategia secreta del tahúr 55, 114
98 El problema del transporte 55, 115
99 Nuevos y curiosos esquemas numéricos * 56, 115
100 Las temas pitagóricas * 56, 116
101 Multiplicaciones misteriosas * 57, 116
102 Un diamante mágico 57, 116
103 Fechas capicúas 58, 117
104 Tarjetas numéricas adivinatorias 58, 117
105 Cuadrados mágicos 3 x 3 60, 118
106 Cuadrados mágicos 4 x 4, y mayores 62, 118
107 Un cubo mágico * 64, 119
108 Un problema con balanzas sin pesas 64, 119
109 Nuevos retos a la calculadora * 64, 119
110 Un problema de peso 65, 120
111 Rectángulos semejantes 65, 121
112 Inventando un nuevo tipo de diana * 65, 121
113 El único hexágono mágico 66, 121
114 El juego de Nim 66, 122
115 Triangulando el cuadrado 67, 123
116 ¿Quién la liga? 67, 123
117 Averigua qué cartas hay sobre la mesa 67, 123
118 El problema de dividir una herencia 68, 124
119 ¡El fin del mundo! 68, 124
120 Un maratón patrocinado * 69, 125
121 Los efectos de la inflación * 69, 125
122 Entretenimientos de octogenario * 69, 125
In Las moneoa" hoca arriha 70, 126
124 Colas de milano 71, 126
125 Más rompecabezas con cerillas 71, 127
126 Pontoneros de maniobras 72, 127
VIII
1
2
PASATIEMPOS Y OMPECABEZAS
Triángulos hechos
a hase de cerillas
Coloca sobre la mesa
nueve cerillas formando
cuatro triángulos equiláteros.
A continuación trata de
construir cuatro triángulos
de la misma forma y tamaño
que los anteriores, utilizando
sólo seis cerillas.
El embrollo del cruce del río
Este rompecabezas es muy antiguo. Se cuenta que había
una vez un titiritero que recorría el país llevando consigo un
lobo, una cabra y una col. Nuestro hombre llega a la orilla de
un río y se encuentra con que la única manera de atravesarlo
es utilizando una barca en la que sólo cabe él y el lobo, o él y
la c~bra, o él y la col. Desgraciadamente no se atreve a dejar
aliaba solo con la cabra, ni tampoco a lacabra sola con la
col, porque en el primer caso el lobo se comería a la cabra, y
en el segundo, la cabra se comería la col. Después de pensar
un rato, llegó a la conclusión de que podría atravesar el río
con todas sus pertenencias, con ayuda de la barca, sin perder
ninguna de el1as en la operación. ¿Cómo 10 consiguió?
1
3
4
El maquinista perplejo
La figura nos muestra
o
una vía muerta circular, al
final de una línea de
ferrocarril.
V representa un vagón de
ganado vacuno, G un vagón
de ganado lanar, Luna
locomotora y PPun puente o
para peatones sobre la vía
férrea.
El problema, para el perplejo
maquinista, es hacer las
maniobras necesarias para intercambiar entre sí las
posiciones de los vagones de ganado vacuno y lanar, y, al
final, volver a colocar la locomotora en la vía principal.
Debes tener en cuenta, además, que la altura del puente
PP es tal que la locomotora puede pasar por debajo, pero no
los vagones, porque son demasiado altos. ¿Podrías ayudar al
atribulado maquinista?
Hazte tus propios dados
Cada una de estas tres figuras se puede recortar, doblar y
pegar para construir un dado. En cada una faltan tres
números. Numéralas de manera que se cumpla la condición
de que los números correspondientes a dos caras opuestas de
cada uno de los dados siempre sumen siete.
MANiOBRAS
pp
6 2
3
5
6
3
4
6
2
l. I
al b) el
2
5 Plegando mapas
Tenemos un mapa que es doble largo que ancho y,
naturalmente, podemos plegarlo de muchas maneras distintas
hasta que su tamaño quede reducido al de un cuadrado que
sea la octava parte del mapa desplegado. Numera los ocho
cuadrados tal como indica la figura, en un rectángulo de papel
de las dimensiones adecuadas, y cuenta de cuántas maneras
distintas puedes plegarlo. La mejor manera de ir llevando la
cuenta de las distintas posibilidades es de anotar el orden en
que se suceden los números del 1 al 8 en el mapa plegado.
Una buena prueba de tu habilidad puede ser la de plegar
el mapa de manera que los números queden en el orden 1, 2,
3,4, 5,6,7,8.
El lechero ingenioso
Un lechero dispone únicamente de dos jarras de 3 y S
litros de capacidad para medir la leche que vende a sus
clientes.
¿Cómo podrá medir un litro sin desperdiciar la leche?
6
3
7 Los peones sobre el tablero de ajedrez
Éste es el clásico problema de colocar 16
peones sobre un tablero de ajedrez, de
manera que no haya tres peones en línea
recta. No se trata de ninguna situación
complicada, pero lo cierto es que sobre un
tablero de 8 X 8 cuadros no resulta tan fácil
darse cuenta de cuándo tres peones están
alineados (o no).
La figura muestra tres filas de peones
alineados, a pesar de que, a primera vista, no
sea evidente; los ABC, ECD y FCG.
Cuando creas que ya has colocado
correctamente los 16 peones sobre el tablero
8 X 8 sin que haya tres alineados, pide a otra
persona que compruebe si tu solución es
correcta antes de mirar la que aparece en la
segunda parte del libro.
8 Evitando tres en raya
A este juego se puede jugar con peones o
con fichas del juego de las damas sobre un
tablero de ajedrez, o bien con otras fichas
sobre papel cuadriculado, etc.
Los jugadores van colocando, por turnos,
sus fichas sobre el tablero. Pierde el jugador
que coloque por primera vez una ficha
alineada con otras dos.
Observa que el juego nunca puede
sobrepasar los 17 movimientos, pues el
máximo número de fichas que se pueden
colocar sobre un tablero 8 X 8, sin que
aparezcan tres alineadas, es 16. La astucia en
este juego radica en seleccionar posiciones
que fuercen al adversario a completar una
línea de tres fichas.
En la figura hay sólo 12 fichas sobre el
tablero, pero están colocadas con tan mala
idea que el jugador, al que le toque poner la
siguiente, irremediablemente hará tres en
raya, y, por lo tanto, perderá. Comprueba,
uno por uno, todos los cuadros vacíos para
convencerte de que la situación es ésta. Una
regla puede ayudarte en la comprobación.
4
9 Dos mitades hacen un todo
Muestra cómo se puede cortar la figura rayada A en dos
e
partes, de manera que, al
volver a reunirlas, se pueda
formar cualquiera de las B
figuras B, e, D, E, F YG.
D
G
FE
10 Cubismo
A cuatro cubos de madera se les han cortado algunas
esquinas.
Sólo quedan dos cubos
que tengan exactamente la
misma forma.
¿Cuáles son?
B e o
11 Cuadrados construidos con cerillas
Retira tres cerillas de las
quince que forman esta
figura, de manera que sólo
queden tres cuadrados.
Intenta retirar sólo dos
cerillas, y que queden
también tres cuadrados.
(Esta vez no se exige que los
cuadrados sean del mismo
tamaño.)
5
12 Curvas de persecución
Seguramente has visto alguna vez a
un perro persiguiendo a un coche o a un
ciclista, pero ¿te has parado a pensar en
el camino que sigue? El perro no puede
prever lo que va a ir ocurriendo y, en
consecuencia, no corre hacia donde
estaría el coche cuando él lo pudiera
alcanzar, sino que suele correr hacia
donde está el coche en el mismo
instante en que lo ve.
La figura muestra la trayectoria que suele seguir un
perro, en A, desde el momento en que ve un coche en la
posición B. Supongamos que el coche sigue la línea recta Be
a una velocidad constante y, supongamos, también, que la
velocidad del coche es doble que la del perro.
El camino que recorre el perro lo podemos construir
fácilmente. Traza la recta B I e, que representa la trayectoria
del coche, y toma un punto Al que representa la posición
inicial del perro (cualquiera puede valer, pero supondremos
que no está sobre la recta B l e, ¿por qué?).
Une por una recta los puntos Al y 8 1; ésta es la dirección
en la que el perro empieza a correr. Pero está claro que
ningún perro puede cambiar fácilmente de dirección dando
un salto en el aire, así que se moverá en esta misma
dirección durante una corta distancia A¡A2, que en el dibujo
representamos por ~ cm. e
Pero mientras el perro corre de A I a A 2, el coche se
desplaza de BI a B2, recorriendo una distancia de 1 cm en la
figura.
Al llegar a A2> el perro cambia de dirección hacia el
coche, que ahora está en B2, y corre en esa dirección,
mientras el coche se desplaza de B2 a B3• Repitiendo este
proceso se puede ir construyendo la trayectoria que seguirá
el perro.
Empieza por hacer un dibujo más o menos como el de la
figura. Piensa luego qué ocurrirá si, por ejemplo, el coche
recorre una circunferencia en vez de una recta, o si cambian
las velocidades relativas del perro y del coche.
¡En realidad, hay infinitas posibilidades!
6
13 Los misiles extraviados al R
R
R
p ......------------"Q
P Q
p Q P,
El bonito dibujo que aparece en la figura resulta de otro
problema de búsqueda de curvas de persecución. Imagínate el
R
tres misiles teledirigidos P, Qy R, estacionados en tres bases
que ocupan los vértices de un triángulo equilátero de 100
km de lado. Se lanzan los tres misiles en el mismo instante,
de manera que el P se dirige a derribar al Q, el Q al R y el R
al P. A intervalos de tiempo regulares (y muy cortos) cada
uno de los tres misiles cambia de dirección para apuntar a la
nueva posición que ocupa su blanco. Las figuras a), b), e), d)
muestran cómo ir construyendo la trayectoria que va a
seguir cada uno de los tres misiles en su intento por cazar a p Q
su vecmo. P2
Comienza dibujando un triángulo equilátero de 10 cm R
de lado, y señala en él los puntos PI' Q¡ y RI, cada uno de dl
ellos a 1 cm de los P, Qy R, respectivamente; dibuja el
triángulo p¡ Q¡ R¡ Yseñala ahora en él los puntos P2, Q2 y R2
a 1 cm de los PI' QI y R¡; dibuja el triángulo P2Q2R2 y
continúa el proceso de la misma manera, tomando siempre
las distancias a lo largo de los lados del último triángulo que
has construido ¡hasta que los tres misiles exploten juntos en
el centro del triángulo!
¿Cuál sería el aspecto de las trayectorias, si hubiéramos
partido de cuatro misiles situadosen las esquinas de un
cuadrado? P P3
Q
7
14 Modelos
Toda la matemática se
refiere al estudio, análisis y
utilización de modelos, que
pueden ser numéricos o
geométricos. El artístico
dibujo que nos muestra la
figura es la mera conjunción
de cuatro dibujos análogos a
los del número anterior.
Partiendo de la misma idea
se pueden construir muchos
otros bellos e interesantes
diseños. Todo lo que se
necesita es un poco de
paciencia y hacer los dibujos
con mucho cuidado.
15 Soldados en apuros
Una patrulla de soldados, de maniobras por la jungla, se
encuentra de pronto con un gran río, profundo e infestado de
cocodrilos. En la otra orilla ven a dos muchachos nativos con
una canoa. La canoa sólo puede transportar a un soldado con
su fusil y su mochila, o a los dos muchachos. ¿Cómo
conseguirán los soldados atravesar el río sin «alimentar» a los
cocodrilos?
8
16 El granjero y el redil
La figura nos muestra
'G
cómo pensaba arreglárselas
un granjero para construir
seis rediles idénticos donde
guardar sus ovejas, utilizando
trece vallas todas iguales. Al
tratar de hacerlo descubre
que, desgraciadamente, una
de las vallas está rota y no ee::::::========:J ••t:::::==========:::::¡ ••t:::=======:::J
sIrve.
Coge doce cerillas, que
representarán las doce vallas
aprovechables, y trata de
mostrar cómo podría el
granjero construir con ellas
los seis rediles idénticos que
desea.
17 La danza de los caballos
Sobre un tablero de
ajedrez están colocados los
dos caballos blancos y los
dos negros, ocupando las
esquinas de un cuadrado de
dimensiones 3 X 3 tal como
indica la figura.
¿Cómo se podrían
intercambiar las posiciones
de los caballos blancos y
negros en el mínimo número
de movimientos?
9
18 Los apartaderos de la vía férrea
Una vía de tren BCtiene dos apartaderos BA y CA a una
vía muerta A muy corta. En cada apartadero está situado un
vagón, representados por VI y V2 , y en la vía principal B C hay
una locomotora. Debes ingeniártelas para intercambiar, con
ayuda de la locomotora, las posiciones de los vagones VI y V2,
de manera que al final de la.s maniobras la locomotora pueda
volver a la vía principal. Antes de intentarlo, ten en cuenta
que la vía muerta A, común a los dos apartaderos, es tan corta
,. ~::'.. '" . . ,
v,
• co~~I)SA DE. F'ERHOr.4,
t:f:s-~ A ~.f~
LOCOt'\01tIRA ~
Vz ,
que en ella sólo cabe un vagón como los VI y V2, pero no la
locomotora, de manera que si la locomotora entra en A por
CA, no puede salir por AB. Los vagones pueden engancharse
uno al otro o a cualquiera de los dos extremos de la
locomotora, pero ¡no se permite saltarse los parachoques
situados en A!
19 El cubo multicolor
Imagínate que tienes ocho cubos de madera de 1 cm de
arista; explica cómo se podrían pintar de manera que puedan
Rojoreunirse para formar otro cubo de 2 cm de arista, todo él de
ocolor rojo o todo él de color azul. . azul
Considera ahora el problema análogo para 27 cubos de
1 cm. ¿Podrías colorearlos de manera que puedan formar
otro cubo de 3 cm de arista todo rojo, o todo azulo todo
amarillo?
10
20 Los maridos celosos
Tres matrimonios se
encuentran en un hotel
completamente rodeados de
agua a causa de una
inundación, y disponen de
una barca para escapar, en la
que sólo caben tres personas.
Los maridos son tan celosos
que no están dispuestos a
permitir que sus esposas se
encuentren en la barca, o en
cualquiera de las dos orillas,
con otro hombre u hombres,
si no están presentes.
Trata de descubrir la
manera en que pueden
escapar las tres parejas,
cumpliendo la condición
anterior, y además la de que
la barca haga el mínimo
número posible de viajes. ¡No
se permite ni salir nadando ni
en helicóptero!
Una vez resuelto este
caso inténtalo de nuevo, pero
esta vez para el caso de cinco
matrimonios.
21 La extensión de cable más barata posible
Una habitación tiene 10 m de largo, 4 ro de ancho y otros
4 m de alto. En el punto A, en el medio de la pared del fondo
y a medio metro del suelo, hay un enchufe. Se necesita tender
un cable para conectar el enchufe A con una lámpara situada
en el punto medio B de la pared de enfrente, a medio metro 4 m
del techo.
Por evidentes razones de seguridad, el cable debe ir sujeto
a las paredes, suelo o techo, y nunca por el aire. Calcula la
longitud de cable mínima necesaria para resolver el
problema. ¡No! La respuesta no es 14 m.
11
Q)
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Q)
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o
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Q)
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1
12
x
22 El juego del «Hex»
El «hex» es un juego que inventó en 1942 un matemático danés
llamado Piet Hein. En la figura se muestra un típico tablero para jugar al
«hex», en este caso en forma de «diamante», o rombo, formado por un
«embaldosado» de hexágonos regulares. Para que vayas familiarizándote
con el juego, este tablero tiene sólo seis hexágonos por lado, pero los
buenos jugadores suelen usar un tablero bastante más grande, de once
hexágonos de lado.
Uno de los dos jugadores tiene fichas negras, y el otro fichas blancas
(cualquier clase de objetos pequeños y fáciles de distinguir también pueden
servir: botones, chinchetas de dos colores, etc.). Los jugadores colocan, por
turnos, sus fichas en cualquier hexágono del tablero que aún no esté
ocupado. El objeto del juego es completar una cadena continua de fichas
del mismo color que vaya de un borde del tablero al opuesto, no importa
por dónde, y ganará el primer jugador que lo consiga. Las fichas negras
juegan, por ejemplo, de A a A, y las blancas de B a B. Cada jugador, a la vez
que intenta completar su propia cadena, tratará de bloquear al
contrincante.
Los dibujos a) y b) muestran el final de dos partidas de «hex».
Observa que los cuatro hexágonos de las esquinas, rayados, pueden
considerarse como pertenecientes, indistintamente, a los dos jugadores.
Es un juego más complicado de lo que parece. ¡Desafía a tus amIgos
a jugar, diviértete y constrúyete un tablero más grande, «profesional»!
a)
b)
13
8
23 El cuadrado, la cruz y el círculo
En una plancha metálica hay tres agujeros recortados como los de la
figura.
¿Cómo podrías tallar un bloque que pudiese pasar a través de cada uno
de estos agujeros, pero, en cada caso, llenando completamente el hueco en
cuestión?
24 La banda de Mobius
Toma una tira de papel ABCD de unos 30 cm de largo y
de unos 2 cm de ancho, y pega sus extremos como muestra a).
No debes girar sobre sí misma la cinta de papel, es decir, A
debe coincidir con D, y B con C. Esta banda cerrada tiene dos
A o
A D
B
e
al
caras, la interior y la exterior; colorea, por ejemplo, la cara
interior.
¿Cuántos bordes tiene esta banda?
¿Qué le ocurrirá a dicha banda si haces un corte, a lo
largo, como indica b)?
corte
bl
Las respuestas no tienen ningún misterio, pero lo que
viene a continuación seguro que te va a sorprender, si no lo
has visto antes.
14
e)
Coge otra tira de papel ABCD igual a la anterior. Gira
uno de los extremos, por ejemplo el CD, 1800 antes de
pegarlo al AB, y forma una banda en la que A coincida con C,
y B con D, como se ve en d).
A e
d)
Este nuevo modelo de banda se conoce con el nombre de
banda de Mübius, y tiene propiedades verdaderamente
fascinantes.
Por ejemplo, intenta colorear el «interiOr» de la banda y
descubrirás que ¡sólo tiene una cara! Los ingenieros suelen
utilizarlo en las correas de transmisión de las máquinas; al
hacer de la correa una banda de Mübius, el ingeniero se
asegura de que el desgaste por el uso sea igual por las dos
«caras». ¿Cuántos bordes tiene una banda de Mübius?
¡Otra sorpresa más! Corta la banda a lo largo, por el
medio, hasta volver al punto de partida. ¿Cuál ha sido el
resultado?
Construye ahora otra banda de Mübius y córtala de
nuevo a lo largo, pero esta vez haciendo el corte a un tercio
e)
de su anchura (véase e). Después de ir cortando a Jo largo de
dos vueltas, te encontrarás con que has vuelto al punto de
partida.¿Cuál ha sido esta vez el resultado? ¿Te lo imaginabas
antes de hacerlo? Experimenta con bandas que tengan más
giros sobre sí mismas, e intenta sacar algún tipo de conclusión
general.
15
25 Una jardinera ahorrativa
Una jardinera quería sacar el mayor partido posible de las
plantas que tenía, y un buen día descubrió, mientras plantaba
un macizo de rosas, que había colocado siete plantones de
rosas de manera que formaban seis líneas con tres rosales en
cada una de ellas. ¿Cómo lo consiguió?
Muy contenta con este resultado, la jardinera trató de
encontrar otras distribuciones interesantes, y descubrió la
manera de plantar diez rosales de modo que formaran cinco
líneas y que hubiera cuatro rosales en cada línea.
Adivina cómo lo logró e investiga por tu cuenta otras
ordenaciones «económicas».
26 ¿Cuántos triángulos puedes encontrar?
Esta figura contiene muchos triángulos, de los que
algunos se solapan entre sí.
Cópiala en un papel, y trata de inventarte una manera
sistemática de contar todos los triángulos, sin olvidar
ninguno.
27 Dos lanchas motoras poco amistosas
Dos lanchas motoras controladas por radio se hallan en los puntos A y
B de un gran lago, a 200 m de distancia una de otra. Las dos están
controladas por un mismo radiotransmisor y pueden moverse a la misma
velocidad. Sin embargo, la lancha que parte de B tiene estropeado el
mecanismo del timón y se mueve en una dirección que forma un ángulo de
90° con la dirección de la lancha que parte de A. ¿Cómo conseguirá el
controlador gobernar las dos lanchas para que lleguen a encontrarse?
16
28 Los caballos guardianes
Muestra cómo se podrían
colocar doce caballos sobre
un tablero de ajedrez, de
manera que cada cuadro esté
ocupado o amenazado por
un caballo.
29 Invirtiendo el orden de los trenes
La figura nos muestra el
plano de la red del metro de
una gran ciudad. Cada
círculo pequeño representa
una estación y cada número
un tren. En la estación
inferior no hay ningún tren.
Demuestra que se pueden hacer maniobras con los trenes,
moviendo un tren cada vez a la estación que esté vacía, en ese
momento, hasta colocarlos en orden inverso, es decir, pasar
ella la posición del 7, el 2 a la del 6, y así sucesivamente.
El primer movimiento habrá que hacerlo con uno de los
trenes 1,2,6 o 7.
La inversión del orden de los trenes puede hacerse en 15
movimientos.
17
30 Cuatro piezas
iguales
Muestra cómo puede
dividirse esta figura en cuatro
piezas idénticas.
31 Complétese el cuadrado
Dibuja cuidadosamente
sobre papel cuadriculado las
cinco piezas de la figura,
recórtalas y trata de formar
con ellas un cuadrado. Es
posible hacerlo, ¡no te
desesperes!
32 Monedas que dan vueltas
Dos monedas idénticas A
y B parten de la posición que
indica la figura. La moneda B
permanece en reposo,
mientras que la A rueda
alrededor de B, sin deslizar,
hasta que vuelve a su
posición inicial. ¿Cuántas
vueltas habrá dado la
moneda A?
18
33 Una red que va creciendo
Éste es un interesante juego para dos jugadores que a
veces recibe el nombre de «los retoños». Todo lo que se
necesita para jugar es una hoja de papel y un lápiz.
Señala sobre el papel tres puntos cualesquiera, a).
·C ·C
a) b)
Estos puntos se convertirán en nudos de una red, a
medida que avanza el juego. El primer jugador debe unir con
un arco dos de estos puntos y marcar otro punto en medio de
dicho arco, que será un nuevo nudo de la red, b). Puede
también dibujar un arco que empiece y termine en el mismo
nudo, pero debe añadir un nudo nuevo en medio, e).
El otro jugador añade, a su vez, un nuevo arco a la red y
un nuevo nudo en medio del arco. Puede utilizar como
extremo de su arco cualquier nudo, salvo que a él vayan a
parar ya tres arcos; en cuanto a un nudo lleguen tres arcos,
queda excluido de cualquier unión futura, y, para indicarlo, se
le rodea de un circulito.
Los dibujos de la figura d) muestran algunos de los
posibles «movimientos» del segundo jugador, si el primero ha
unido A con B.
--e---B
AA
C
CO nuevo nudo
e)
B
A
._..--_B
·C
C
O
d)
19
El objetivo del juego es dejar al adversario sin posibilidad
de movimiento. Gana el último jugador que consiga dibujar
un arco. Una última regla: los arcos no pueden cruzarse.
Vale la pena no olvidar esta última regla, ya que a veces
puede haber nudos que queden aislados de los otros y no
sean ya utilizables, a pesar de que de ellos no partan tres
ramas o arcos.
La figura e) muestra cómo puede quedar la red al final de
una partida, y en ella se ve que, si bien quedan dos nudos, X e
y, en los que no terminan tres ramas, no se pueden unir.
Juega a este juego con tus amigos e intenta resolver las
siguientes cuestiones:
1) Trata de explicar por qué este juego debe terminar
siempre después de un número limitado de
movimientos (¿cuántos?).
2) Haz la prueba de comenzar con cuatro o cinco puntos.
3) Investiga las consecuencias que tendría el admitir
nudos de cuatro en la red (es decir, nudos en los que
terminen cuatro arcos) en vez de nudos de tres.
34 Circuitos unicursales y grafos eulerianos
El dibujo a) representa un mapa de una red de carreteras.
Un ingeniero de caminos planea recorrer cada carretera una
sola vez partiendo de A y regresando otra vez a A. ¿Cómo lo
podrá hacer?
La red b) no puede dibujarse con un lápiz sin levantarlo
del papel y comenzar por otro punto, salvo que recorramos
algunos de los trazos dos veces.
Calcula el mínimo número de veces que es necesario
levantar el lápiz del papel para dibujar b).
8
e)
eA
b)
E
a)
o
20
38 Dados de letras
Un juego de palabras utiliza dados con una letra en cada
cara. En la figura se ven tres aspectos distintos de uno de
estos dados.
¿Qué letra es la que figura en la cara opuesta a la que
ocupa la m
39 La defensa de la reina
¿Cuál es el mínimo número de reinas que se necesita
colocar sobre un tablero de ajedrez n X n, de manera que
ocupen o controlen todos
los cuadros del tablero?
En la figura puede verse una solución para el tablero 4 X 4
(dos reinas), y otra para el tablero 5 X 5 (tres reinas).
Busca otras soluciones para estos tableros 4 x 4 y 5 x 5,
y después trata de hallar una solución para el tablero 6 X 6
con sólo tres reinas. ¿Cuántas reinas se necesitarán para n = 7
Yn=8?
En 1862 Jaenisch propuso una variante de este problema:
no sólo debían estar ocupados o controlados todos los
cuadros del tablero, sino que, además, ninguna reina debía
ocupar un cuadro que estuviera atacado por otra.
Otro problema parecido: halla el mínimo número de
reinas necesario para ocupar o controlar todos los cuadros
del tablero, con la restricción adicional de que cada reina esté
protegida por otra.
Problemas análogos se pueden proponer para otras
piezas del ajedrez.
22
43 Caminando en zigzag
A o e ePara este juego se G • 1~
necesita un cuadrado
de 7 X 7 o 9 X 9 puntos.
El juego comienza en el
centro S. El primer jugador
dibuja una flecha que va de S
a uno de los puntos situados
inmediatamente encima,
•
•
e
•
e
•
•
e
•
I
1
t-
I
-1
I
0---~
S
I
1__._.
I
I
t• •
1•
debajo, a su derecha o a su
izquierda. El segundo • • • • • • •
jugador prolonga esta flecha
un paso más en una de las • • • • • • •
cuatro direcciones,
formando un camino
continuo.
• • • • • G
El objeto del juego es B
construir un camino desde S
hasta la casa de cada jugador
(A para el primero y B para
el segundo), sin pasar dos
veces por el mismo punto.
Ganará la partida el primer
jugador que consiga alcanzar
su casa.
44 Un paseo a caballo
Uno de los problemas más antiguos de la matemática
recreativa es el que consiste en averiguar qué camino debe
seguir un caballo de ajedrez para recorrer una y sólo una vez
todos los cuadros del tablero. Durante los últimos 200 años
han sido muchos los matemáticos famosos que se han
ocupado de este problema,entre ellos De Moivre, Euler y
Vandermonde; pero siempre queda algo nuevo por descubrir.
Una solución para el tablero 8 X 8, debida a De Moivre,
aparece en a). En b) puede verse otra manera de
representarla. Cada una de ellas tiene sus ventajas y debes
decidir cuál es la que te parece mejor para tus investigaciones.
(En cualquier caso, lo que sí vas a necesitar es una buena
cantidad de papel cuadriculado, si de verdad quieres avanzar
en la resolución del problema, elijas el método que elijas). El
segundo método no aparece terminado en la figura, pero ya
se puede ver claramente la estrategia seguida por De Moivre,
que se reduce a moverse alrededor del tablero en una
24
a) b)
dirección determinada, manteniéndose siempre tan cerca
como se pueda del borde. Copia la figura b) en un papel
cuadriculado y termina de dibujar la solución de De Moivre
antes de empezar a buscar otra original.
En este tipo de problemas suele ayudar comenzar con un
tablero más pequeño.
En un tablero 3 X 3 se capta de inmediato que el
problema no tiene solución. Una de dos, o el caballo parte de
uno de los cuadros del borde del tablero, en cuyo caso puede
recorrer fácilmente todos los cuadros exteriores pero no el
Inicio tliJíi~
Final
e)
central, o bien parte de este cuadro central, en cuyo caso no
puede hacer ni un solo movimiento, y se frustra el paseo e).
¿Es posible en un tablero 4 X 4? La figura d) nos muestra
un camino equivocado que acaba en la casilla 4 ante la
imposibilidad de seguir haciendo movimientos. Si no
consigues recorrer los 16 cuadros, ¿cuál será el número
máximo que puedas visitar sin pasar dos veces por el mismo?
Investiga los recorridos sobre tableros 5 X 5, 6 X 6 Y
7 X 7.
d)
25
La figura e) muestra un recorrido del caballo en un
tablero 8 X 4. ¿Se puede encontrar un recorrido completo en
un tablero rectangular más pequeño?
el
Resulta interesante investigar la posibilidad de recorrer a
caballo tableros de formas más raras. El de la figura 1) se
puede, ja pesar de que el propio autor llegó a convencerse de
que no era posible, cuando lo estudió por primera vez!
f)Sin embargo, y volviendo al clásico tablero cuadrado, los
matemáticos que lo estudiaron intentaron hallar soluciones
que tuvieran propiedades especiales. Una era encontrar un
recorrido que termine justo a un movimiento de caballo del
cuadro en que comenzó. En la figura g) puede verse una
solución de este tipo (Euler). Se suele decir que tal solución
constituye un camino «con vuelta a casa». La solución g) tiene
otra propiedad extremadamente sorprendente: se ha
recorrido toda la mitad inferior del tablero antes de comenzar
con la mitad superior.
g) Solución de Euler de los semitableros h) Cuadrado mágico de Euler
«con vuelta a casa»
26
I
---L I
I ---i-_.... /
I I
---t--_.... I , r_....
I
Trata de construir un camino «con vuelta a casa» sobre un
tablero 6 X 6.
Hay una elegante demostración de que en cualquier tablero con un
número impar de cuadros es completamente imposible encontrar un
camino «con vuelta a casa». Trata de averiguar por qué. Sin embargo, son
posibles sobre una gran variedad de tableros. Inténtalo sobre el
de la figura i).
Otra solución sumamente ingeniosa, también de Euler,
con la que venció a muchos otros competidores, fue
encontrar un recorrido del caballo tal que los números que
van correspondiendo a los cuadros formen un cuadrado
mágico 8 X 8, es decir, que las sumas de los números de
cada fila y de cada columna (no de las diagonales) den
siempre el mismo resultado, en este caso 260. Lo
ofrecemos en h). Comprueba su carácter «mágico» e
investiga la simetría del camino seguido.
Hay un interesante juego de estrategia para dos
jugadores: partiendo de un cuadro cualquiera de un tablero
5 X 5, cada jugador, por tumos, hace un movimiento de
caballo a partir de la posición en que lo dejó el otro i)
jugador. Los movimientos no deben llevar nunca a un
cuadro ya recorrido, y ganará el jugador que haya podido
mover por última vez.
·45
Aserrando
un cubo
Nos han pedido aserrar
un cubo de madera de 3 cm
de arista para obtener 27
cubitos de 1 cm. ¿Será
posible hacerlo con menos
de seis cortes?
46
Un agujero imposible
Por difícil que parezca, es
posible hacer un agujero
atravesando un cubo sólido
de manera que pueda pasar,
de un extremo al otro, un
segundo cubo mayor que el
pnmero.
¿Cómo harías el agujero?
47
Divide cada una de las
figuras X e Yen dos partes
iguales.
Invéntate otros casos
análogos.
Dos gemelos idénticos
48 El teorema de los cuatro colores
¿Cuántos colores se necesitan para colorear un mapa, de
manera que dos países, que tengan frontera común,
aparezcan pintados de distinto color? Dos países que tengan
sólo un punto de frontera común sí pueden tener el mismo
color.
En el mapa de la figura se han utilizado cinco colores,
numerados y que parecen indispensables, pero uno se podría
arreglar con sólo cuatro. ¿De qué manera?
Desde que se hacen mapas, los cartógrafos han creído que
se podrían colorear con sólo cuatro colores. Los matemáticos
han estado intentando resolver teóricamente este problema
desde que en 1840 Mobius lo presentó en una de sus
lecciones. Sin embargo, el problema resistió todos los
esfuerzos de los matemáticos, hasta que en 1978 dos
americanos utilizaron un potente ordenador para analizar la
situación. Pero muchos tienen aún la secreta sospecha (¿o
esperanza?) de que alguien aparezca un buen día con un
mapa bajo el brazo que no se pueda colorear sólo con cuatro
colores ... ¿Podrías encontrar uno?
49
28
50 La cuadratura. del triángulo equilátero
B
Construye de cartulina o madera un triángulo equilátero
ABCy divídelo en cuatro partes tal como indica la figura,
siendo
AP=BP, CQ=BQ,AR=iAC, CS=i CA
y PMy SNperpendiculares a RQ. Una buena longitud para el
lado A C puede ser 8 o 10 cm.
Recorta las cuatro piezas y reordénalas para formar con
ellas un cuadrado.
A R s e
51 La cuadratura de la tetera
En esta figura, el rayado representa la sección transversal
de una tetera, que está limitada por arcos de cuatro
circunferencias iguales. Muestra cómo dos rectas podrían
dividir dicha sección en tres trozos, de modo que, con ellos,
se pueda formar un cuadrado.
52 Un ama de casa perpleja
La señora Paca solía coger el autobús en una parada de la
calle Mayor para ir al mercado. No se preocupaba por los
horarios, porque le servía igual un autobús de la línea P que
uno de la línea Q. Sabía que de cada uno pasaban seis
autobuses por hora y nunca había tenido que esperar mucho.
Sin embargo, le sorprendía que muy pocas veces cogía un
Q. Decidió, pues, llevar la cuenta del tipo de autobús en que
montaba y descubrió que viajaba en un autobús Q
aproximadamente sólo una vez de cada diez.
¡La señora Paca estaba completamente perpleja! ¿Podrías
ayudarla a entender lo que pasaba?
29
53 Jugando a invertir el triángulo
Se tiene un triángulo formado por diez monedas iguales a).
¿Cuál es el mínimo número de monedas que hay que
cambiar de sitio para que el triángulo quede en posición
invertida, como en b)?
a) b)
54 El billar americano
A B
e
a)
En el billar, cuando se golpea con el taco una bola P hacia
una banda lateral de la mesa, la bola rebota en ella lo mismo
que si la banda fuera un espejo. En a) puede verse el camino
que seguirá la bola P lanzada contra la banda AB.
Suponiendo que no se encuentra con ninguna otra bola en su
camino, la bola P se «reflejará» en la banda BC, y después en
la otra banda CD, y así sucesivamente, hasta que, por fin, se
detenga.
En el billar americano, la bola P ha de chocar con una
bola determinada, que el contrincante ha escondido
intencionadamente entre otras. Si se toca cualquier otra bola,
se pierden puntos. En este juego, la habilidad consiste en
saber cómo utilizar las bandas para, haciendo rebotar en ellas
la bola lanzada por el taco, conseguir quellegue a chocar
con la bola deseada.
30
A B
P
o
Imagen de Q
en Be
--- --- -----o
a'o a
eD
b)
La figura b) representa una situación en la que la bola
«blanco» Q está escondida entre otras tres bolas. En este
caso, se puede hacer rebotar la bola P en la banda Be. Para
elegir correctamente el punto de la banda BC al que debe
dirigirse la bola P, imagínate el punto Q, que sería la imagen
reflejada del Q si BCfuera un espejo, y golpea P en la
dirección PQ. Entonces P se «reflejará» en el punto E y se
dirigirá hacia Q..
Se puede fácilmente generalizar este mismo método para
salir de situaciones más difíciles (¡al menos en teoría!),
recurriendo a hacer rebotar la bola en dos o más bandas. La
figura e) nos muestra cómo puede llegar la bola P al blanco T,
después de rebotar, primero en la banda AB, y después en la
Be. ~o
~------ T"
~
A ~~B
p
o
T
D e
e)
Puesto que P, al rebotar en BC ha de dirigirse hacia T,
debe dirigirse a Be en la dirección de T', que es la imagen
especular de T en Be. Para ello tiene que dirigirse antes a la
banda AB en la dirección de T", que es la imagen especular de
T' respecto a AB.
31
Averigua en qué dirección habría que golpeClr la bola Pen
cada una de las tres situaciones d), e), 1) para que choque con
la bola T
o T
O •
O 00 O
T
• o
p
•
o
o O
O •
P00
• O •
O
T
P
d) e) f)
SS Buscando cuadrados (para dos jugadores)
Otra versión del juego
del «tres en raya», que puede
jugarse sobre una hoja de
papel cuadriculado. Dibuja
un cuadrado 6 X 6, o más
grande.
Los dos jugadores irán
poniendo en las cuadrículas,
círculos y cruces
alternativamente, y ganará la
partida el primer jugador que
consiga que cuatro de sus
señales ocupen los vértices
de un cuadrado. En la
partida representada, ha
ganado el jugador que ponía
círculos.
/0""
)( X
c(
.", [P
"'cr O X
X
¿De cuántas maneras se puede formar un cuadrado en un
tablero 6 X 6?
Una variante del juego consiste en seguir jugando hasta
que todo el tablero esté marcado, y después contar qué
jugador ha hecho más cuadrados.
Otra alternativa es jugar a no formar cuadrados. Pierde el
primer jugador que se vea forzado a construir un cuadrado.
32
56 La polilla ham.brienta
Una polilla hambrienta ataca una enciclopedia de cinco volúmenes,
La polilla empieza a comer y a abrirse camino a través de los libros,
desde la cubierta anterior del volumen I hasta la cubierta posterior del
volumen V. Si cada tomo tiene 3 cm de grueso, ¿qué distancia ha recorrido
la polilla en su alimenticio destrozo?
57 El desvío más barato
La construcción de carreteras resulta muy cara, y por este
motivo los ingenieros de caminos tratan de hacerlas lo más
cortas que sea posible. Una nueva autopista en construcción
va a pasar en línea recta cerca de los pueblos de Villafranca y
Villavieja, tal como indica la figura. Los ingenieros se
proponen hacer un desvío en un punto D de la autopista para
unirla a Villafranca y a Villavieja por dos carreteras rectas DF
y D V ¿Dónde deberá estar situado el desvío D para que sea
mínima la longitud total de las dos carreteras DFy D V?
Autopista
;;;;~~~3~~~~;;~::::::::1f::::::-41<rn en construcción
\~ \
\
\\
\ 1
\ 1 km \\ 2 km
\
\\
\\
\
F • \ \
Vi Ilafranca
\
-d;;;;:::::::::::::::::::::==
• V
Villavieja
33
58
Pieza.s que llenan todo un espacio
Un cubo de arista unidad puede acoplarse a otros siete
cubos idénticos para formar otro cubo mayor de dos
unidades de arista. ¿Cuántos cubos son necesarios para
construir un cubo de arista tres unidades?
Dada una colección de tetraedros regulares idénticos,
¿podrías construir con ellos un tetraedro más grande, de
arista doble que los primeros? En caso afirmativo ¿cuántos
necesitarías?
59
Curvas formadas al cortarse
circunferencias
Dibujando sistemas de circunferencias que se corten
pueden obtenerse muchas curvas y dibujos interesantes. La
figura nos muestra dos ejemplos.
En el primero se han dibujado dos conjuntos de
circunferencias con centros en A yen B. El dibujo original,
antes de reducirlo, se hizo tomando una distancia AB de
12 cm y aumentando el radio en 1 cm cada vez. Un conjunto
de circunferencias con el mismo centro, y que parecen las
ondas que se forman al arrojar una piedra en un estanque de
aguas tranquilas, se llaman circunferencias concéntricas.
Cuando se dibujan dos sistemas de circunferencias
concéntricas como éstos, entonces sus intersecciones
determinan una familia de elipses. En la figura aparecen
dibujadas cuatro de estas elipses: para el caso de la elipse
etiquetada con el número 20 es fácil ver que cualquiera de sus
puntos P cumple la condición de que AP+ BP= 20.
Esta propiedad se puede comprobar fácilmente. Toma,
por ejemplo, el punto Pque está en la octava circunferencia
de centro A y comprobarás que está a la vez en la número 12
de las de centro B.
Intenta dibujar las elipses correspondientes a los números
18 y 26.
34
35
Si tienes a mano una fotocopiadora, dibuja los dos
sistemas de circunferencias concéntricas y haz varias
fotocopias antes de empezar a dibujar las elipses. En la figura
inferior puede verse la manera de hacer resaltar las distintas
elipses pintando de negro una sí y otra no las regiones en que
quedó dividida la primera figura, como en un tablero de
ajedrez. El resultado nos ofrece, de propina, un bonito
diseño. ¿Puedes identificar otra familia de curvas en este
mismo dibujo?
La tercera figurá nos muestra otro
ejemplo; la curva que aparece envolviendo
a todas las circunferencias se llama una
cardioide.
Para reconstruir esta figura se toma
una «circunferencia base» cualquiera, y
sobre ella un punto A. Las restantes
circunferencias son todas las que tienen
como centro un punto cualquiera de la
circunferencia base y que pasan por A.
Dibuja una cantidad de circunferencias
suficiente para que la curva envolvente se
vea con claridad.
¿Qué ocurriría si hiciéramos lo mismo
pero a partir de un punto A que no
estuviera en la circunferencia base?
60 ¡El ultimátum de una amante!
Un bosquecillo habéis de plantar, mi
senor,
si queréis demostrar que soy vuestro amor.
Esta arboleda, aunque pequeña, ha de
estar compuesta
por veinticinco arbolitos en doce filas bien
dispuestas,
yen cada fila cinco árboles plantaréis
o mi lindo rostro nunca más veréis.
61 Sólo cuatro rectas
• • •
• • • Traza cuatro rectas, sin levantar el
• • •
lápiz del papel, de manera que pasen por
los nueve puntos del cuadrado de la figura.
36
62 ¿A qué velocidad eres capa.z de pedalear?
En la etapa contra reloj de una carrera ciclista, un
corredor quiere alcanzar una velocidad media de 40 km por
hora entre dos ciudades A y eque distan 10 km. A medio
camino entre A y Chay otra ciudad B que se encuentra en el
punto más alto del recorrido. Al llegar a B el ciclista calcula
que hasta ese momento su velocidad media ha sido sólo de
20 km por hora. ¿A qué velocidad debe pedalear en la bajada
de B a C, si quiere conseguir el objetivo de alcanzar una
velocidad media de 40 km por hora entre A y C?
B
63 L'a pista de bobsleighs
En una conocida estación de
esquí han decidido construir una s
nueva pista de bobsleighs. Esta pista __I(.......({((~
comenzará en la cumbre S de una
colina, al lado de los remontes, y
terminará 500 m más abajo, en el
pueblo V. SOOm
No se escatimarán gastos para
conseguir que el descenso sea Jo
más rápido posible. ¿Qué curva ha L-... ~:-=-::--=-- --.JV
de seguir el camino de 5 a V para JOOom
lograr este objetivo?
64 Cuestión de vocales
El tablero contiene las cinco
vocales repetidas cinco veces. Corta
el cuadrado 5 x 5 en cinco trozos
de manera que en cada uno
aparezcan las cinco vocales.
Una vez resuelto, intenta
construir otros rompecabezas
parecidos.
E A 1 O 1
U E U E O
O 1 A O A
1 U E A 1
A O U E U
37
65 Juegos con fichas para un solo jugador
Con un tablerode agujeros y varios juegos de clavijas de distintos
colores, puedes pasártelo bien durante horas, jugando a alguno de los
siguientes solitarios. (Puedes usar fichas o peones sobre un tablero de
ajedrez.)
El salto de la rana
Para jugar al primer solitario se necesitan siete agujeros (o cuadros) en
fila, tres fichas de un color (rojo), y otras tres de otro color (negro). Coloca
estas seis fichas como indica la figura, dejando un agujero vacío entre las
negras y las rojas. Los movimientos del juego consistirán en:
1) mover una ficha al agujero contiguo, si está vacío; o
2) saltar sobre otra ficha a un agujero vacío situado inmediatamente
tras ésta, de la misma manera que se «come» en el juego de damas.
Los dos tipos de movimientos aparecen ilustrados en la figura, y se
alternan desde el primer movimiento.
El objeto del juego es hallar el mínimo número de movimientos que
permita intercambiar las posiciones de las fichas negras y rojas.
Estudia también otras variantes con distinto número de fichas negras y
rojas, e intenta hallar una fórmula para el mínimo número de movimientos
necesarios para intercambiar, de los extremos del tablero, x fichas negras e
y rojas.
Todo cambia
El segundo juego se parece bastante al primero, pero se
juega en un tablero cuadrado. La figura muestra un tablero
S X S con la posición inicial de las fichas; hay 12 fichas
negras, 12 rojas, y un agujero vacío en el centro del tablero.
Los movimientos permitidos son los mismos que en el
«salto de la rana», salvo que ahora las fichas pueden moverse
en cualquier fila horizontal o vertical, pero nunca en diagonal.
Se trata, una vez más, de intercambiar las posiciones de
las fichas negras y las rojas en 48 movimientos.
38
•
• •
•
Otro solitario
El tercer juego tiene una
larga historia y se juega en
todo el mundo. Se suele
encontrar a la venta en las
más variadas formas.
E] tablero tiene 33
agujeros dispuestos en forma
de cruz griega como indica la
figura. Hay 32 fichas, esta
vez todas del mismo color,
fij
•
que al comienzo del juego
ocupan todos los agujeros •
menos el centra!.
En este caso el único movimiento permitido es saltar
sobre otra ficha a un agujero vacío al otro lado; al mismo
tiempo se «come», y se retira del tablero, la ficha sobre la •
que se ha saltado. Las fichas sólo pueden moverse en filas
horizontales y verticales, y el objetivo del juego es el de
terminar con una única ficha en el tablero.
Hay muchas soluciones posibles, pero se suelen
considerar las mejores aquellas en las que el juego termina • •
con la última ficha en el centro del tablero. ¡Intenta
conseguirlo!
o O O
O O O O@O
O~O O ~O ~~~
O O ~~®O O O O~~@O O O ~~~~~ O
O O O ~ O O O O~~~~~O O O O~O O O
O O
O~OO O ~~®~~~~ O O O ~ O O O
O O O O O O ~~~
O O O
O O O ~~~
Cruz latina Pirámide Lámpar~
Sobre este mismo tablero pueden plantearse otros
muchos problemas, en los que ya no se trata de terminar con
una única ficha en el centro del tablero, sino con varias fichas
que formen una figura convenida de antemano.
Como los tres ejemplos anteriores.
39
66 Dos piezas iguales
Las figuras Py Q se pueden dividir, cada una de ellas, en
dos piezas idénticas. Las dos se han dibujado siguiendo el
mismo principio, de modo que, si encuentras la solución para
una, la otra tampoco se te resistirá mucho.
p
Q
67 Cómo pintar un cubo
¿Cuál es el mínimo de colores que se necesitan para
pintar un cubo de manera que dos caras adyacentes tengan
siempre distinto color?
¿Cuántos cubos diferentes se pueden obtener usando
cuatro colores? (Recuerda que cada cara ha de ir pintada sólo
de un color y, naturalmente, caras adyacentes de colores
distintos).
68 Los problemas de la vía única
APARíAP~RO
LI'N!:A PRINCIPAl-
Dos trenes de viajeros, cada uno con cuatro vagones, se encuentran
enfrentados en sentidos opuestos en una línea que tiene vía única. La vía
principal tiene un apartadero a una vía muerta en la que desgraciadamente
sólo cabe una locomotora con dos vagones. Estudia cuál será la mejor
manera de hacer maniobras con los vagones para que los dos trenes
púedan cruzarse y continuar su viaje.
40
69 Dos a la vez
Coloca diez monedas iguales en fila. Un movimiento del
juego consiste en coger una moneda, saltar dos y ponerla
sobre la tercera. Muestra cómo se podrían agrupar las
monedas en cinco parejas igualmente espaciadas en sólo
cinco movimientos. ¡Atención, que no es tan fácil como
parece!
70 Cara y cruz
Coloca ocho monedas iguales en fila, alternativamente
cara H y cruz T, como en la figura. Un movimiento consistirá
en coger dos monedas seguidas de la fila y llevarlas a un
extremo o a cualquier lugar de la fila en que haya un hueco,
sin alterar nunca el orden en que estaban.
Es posible colocarlas alineadas, en cuatro movimientos,
en el orden TTTTHHHH sin dejar ningún hueco entre ellas.
71 La cuadratura de la cruz griega
Recorta una cruz griega como la de la figura. Divídela,
con dos cortes rectilíneos, en cuatro trozos, de manera que,
con las cuatro piezas resultantes, se pueda formar un
cuadrado.
41
72 El reparto de gasolina YefÓSllo centra!
Una gran ciudad tiene un sistema
de calles circulares y transversales,
como indica la figura. En cada
empalme de calles la Compañía de
Gasolinas tiene una gasolinera,
Demuestra que el conductor de
un camión cisterna puede salir del
depósito central, recorrer todas las
gasolineras y regresar al depósito sin
pasar dos veces por el mismo punto.
Dos granjeros amigos
compraron, entre los dos, un barril
de sidra de ocho cántaros, y querían
repartírselo a partes iguales, pero
sólo disponían de dos recipientes
para medirla, uno de 5 cántaros y
otro de 3. ¿Cómo lo consiguieron?
73 Un reparto justo :-r T j ¡ "T"f
s\1) R,A EX1l{A'.. "-." ,, '~
o
o
o
74
o o
Coloca ocho monedas iguales formando un cuadrado de
tres monedas de lado, como indica la figura. o
Mueve cuatro monedas para formar un cuadrado ¡con
cuatro monedas en cada lado!
o o
75 La rana obstinada
Buscando agua, una rana cayó en un pozo de 30 m de
hondo. En su intento de volver a salir, la obstinada rana no
hacía grandes progresos, ya que cada día conseguía subir tres
metros, pero por la noche resbalaba y bajaba dos metros.
¿Podrías decir cuántos días tardó la rana en salir del
pozo?
42
76 Cómo ordenar una estantería
Volver a ordenar los libros en los estantes de una biblioteca es un
trabajo pesado, y la bibliotecaria quería hacerlo con el mínimo esfuerzo
posible. Descubrió que la mejor manera de ordenarlos era intercambiar
dos libros entre sí. Es decir, sacar dos libros cualesquiera mal colocados de
la estantería y volver a colocarlos en orden inverso.
¿Cuántos intercambios tendrá que hacer para colocar los volúmenes de
la enciclopedia de la figura en el orden 1,2,3,4,5,6,7,8 Y9?
¿Cuál sería la mejor manera de reordenarla, si los volúmenes hubieran
estado en el orden 4, 5, 7, 6, 8, 1,9,2 Y3?
Propón una estrategia para reordenar, de la manera más rápida posible,
una enciclopedia desordenada, independientemente del orden en que
hayan quedado sus volúmenes.
77 Partiendo un círculo
Estas figuras muestran lo que ocurre cuando tomamos varios puntos
sobre una circunferencia y trazamos todas las cuerdas posibles que unan
dos puntos distintos. Si coges unas tijeras y recortas cada uno de los
c~rculos por las cuerdas dibujadas, obtendrás, respectivamente, 2, 4, 8 Y16
pIezas.
¿Cuántas piezas calculas que resultarán si repetimos el proceso con seis
puntos distintos de la circunferencia?
¡No te precipites en tus generalizaciones!
43
78 Números casi cuadrados
El número 24 tiene la propiedad de que es «casi» un cuadrado perfecto,
y de que su doble también es «casi» un cuadrado:
24 + 1 = 25 = 52
(24 X 2) + 1 = 49 = 72
¿Cuál es el siguiente número con esta misma propiedad?
79 Un jardinero aficionado a la matemática
Un jardinerodisponía de cierto número de losetas cuadradas, todas
iguales, con las que pudo formar dos embaldosados, también cuadrados,
y casi del mismo tamaño uno que otro. Como era tan aficionado
a los problemas matemáticos, se dio cuenta de que con el mismo número
de losetas podría haber hecho dos embaldosados cuadrados distintos de
los anteriores, y, esta vez, uno mucho más grande que el otro.
~
~ (~.
80 Triángulos mágicos
Los números 1,2,3,4,5 Y6 forman un triángulo en el que la suma de los
tres números que están sobre cada lado da siempre el mismo resultado, 10.
Comprueba que los mismos números se pueden colocar en el triángulo
en otro orden, de manera que las sumas sigan siendo iguales,
pero distintas de 10; hay otras tres posibilidades.
Los números que se pueden colocar formando un triángulo
de este tipo se llaman números mágicos.
Intenta formar triángulos mágicos con los dos conjuntos
de números siguientes:
1) 1 2 3 5 6 7
2) 1 2 3 4 6 7
Hay dos maneras diferentes de hacerlo en ambos casos.
44
81 Números curiosos
Hay muchos números que tienen una curiosa distribución
de sus cifras, y cuya formación vale la pena investigar. Aquí
van unos cuantos ejemplos, para empezar a pensar en ello.
1
Elige un dígito cualquiera, por ejemplo el 5. Multiplica 5
por 9 y con resultado, 45, haz la siguiente multiplicación:
12345679 X 45
¿No te sorprende el resultado?
Probemos con otro dígito, por ejemplo el 3; multiplica
3 por 9, que da 27, y a continuación haz la multiplicación
12345679 X 27
¿Podrías explicar por qué sale ese resultado?
2
Otro caso parecido. Elige un dígito, por ejemplo el 2;
multiplica 2 por 7, Ycon el resultado, 14, efectúa el
producto
15873 X 14
Investiga lo que pasa con otros dígitos, y da una
explicación de los resultados obtenidos.
3 Haz las operaciones siguientes y explica el modelo:
143 X 2 X 7 =
143 X 3 X 7 =
143 X 4 X 7 =
143 X 5 X 7 =
143 X 6 X 7 =
143 X 7 X 7 =
143 X 8 X 7 =
143 X 9 X 7 =
4
¿Podrías explicar la forma de los números que se
obtienen haciendo estas operaciones?
1) (O X 9) + 1 = 2) 6X7
(1 x 9) + 2 = 66 x 67
(12X9)+3= 666 X 667
(123 X 9) + 4 = 6666 X 6667
(1234 X 9) + 5 = 66666 X 66667
45
82
Unas restas chocantes
Elige cuatro dígitos cualesquiera, por ejemplo, 3,6, 2 Y8,
Yescribe con ellos el número de cuatro cifras más grande y el
más pequeño posibles, en nuestro caso 8632 y 2368.
Resta ahora el menor del mayor y, con los cuatro dígitos
del resultado repite el proceso anterior, una y otra vez:
8632 6642 7641
- 2368 - 2466 - 1467
6264 4176 6174
En el ejemplo, los dígitos 1, 4, 6 y 7 aparecen en el
resultado en la segunda etapa, y, a partir de la tercera, no
aparece ningún otro número nuevo.
Investiga lo que ocurre partiendo de distintos conjuntos
de cuatro dígitos, y continúa el proceso haciendo las restas
indicadas hasta que ya no salga ningún número nuevo. ¿Qué
se puede observar?
¿Cuál es la cadena de restas más larga que puedes
encontrar hasta que no aparece ningún número nuevo?
83
¿Cuál es el mayor número
que puedes obtener?
Toma seis dígitos cualesquiera, como 5,3,9, 7, 4 Y2, Y
forma con ellos dos números de tres dígitos sin usar dos veces
el mismo dígito, por ejemplo, 324 y 579.
Ahora suma y multiplica estos dos números:
324 + 579 = 903
324 X 579 = 187 596
El objetivo es obtener una suma y un producto tan
grandes como sea posible.
¿Puedes inventarte una estrategia que te dé siempre los
resultados máximos a la primera? Si es así, puedes desafiar a
alguno de tus amigos a ver quién es el primero en obtener el
número máximo posible a partir del conjunto de seis dígitos
dado.
Este problema admite diversas variantes, como puede ser
la de formar tres números de dos dígitos y tratar de que su
suma y su producto sean lo más grandes posible, o bien partir
de siete dígitos y formar dos números, uno de tres dígitos y el
otro de cuatro.
46
84 Los cuatro cuatros
Éste es un problema muy conocido, que ha sido el culpable de muchas
horas de entretenimiento y de frustración para mucha gente. Se trata de
expresar tantos números como sea posible entre 1 y 100, utilizando sólo
cuatro cuatros y cualquier símbolo de operación matemática conocido.
Por ejemplo:
44 4
15= --- + 4 o bien = 4 X 4 --
4 4
16=(4X4)+4-4 o bien = (4 x f4 + (4 x f4)
Algunos números se pueden expresar de varias maneras, como se ve en
los dos ejemplos anteriores, pero otros puede resultar difícil expresarlos.
Además de las cuatro operaciones aritméticas básicas +, -, x,: y ¡
puede que te sean útiles estas observaciones:
4 !, o «cuatro factoriab), es 4 X 3 X 2 X 1 = 24
admitiremos también 0,4 = 4 : 10,
4 por tanto, = 10
0,4
n
0,4 significa 0,4444444 ... , que es igual a 4 : 9, de manera que
se puede escribir
4
--n- 9
0,4
Con esta ayuda deberías ser capaz de encontrar, al menos, una manera
de expresar la mayoría de los números del 1 al 100, si no todos.
Puede ser divertido jugar a este juego con un compañero, y desafiar a
otro par de amigos a ver cuál de los dos equipos puede encontrar más
soluciones en un intervalo de tiempo prefijado.
85 ¿Cuáles eran los datos?
El resultado de dividir dos números de dos cifras en una calculadora ha
sido:
¿Cuáles eran esos dos números?
,-, I , , , ,-, ,,-, ,- ,-,
'_'. - ., CJ e '::'"
47
86 Un filón muy productivo
Una compañía minera, que trabaja en los desiertos
australianos, ha hecho una serie de perforaciones para
comprobar la riqueza de un gran yacimiento de mineral. Los
resultados de esta prospección se han representado en un
mapa rectangular dividido en cuadros iguales, indicando en
cada uno de ellos el valor de los depósitos de mineral que
contiene esa zona en millones de pesetas, como indica la
figura.
Debido a la estructura del terreno y al método de
explotación al aire libre, la empresa debe comenzar por el
cuadrado señalado Inicio, e ir avanzando de parcela en
parcela, hacia arriba, abajo, a la derecha o a la izquierda, pero
nunca en diagonal. Una misma parcela no puede ser
perforada dos veces.
Halla el recorrido más rentable en los 13 primeros
cuadrados que exploten.
32 80 19 98 1 90 14 85
66 22 73 52 72 57 83 31
30 84 41 73 16 74 45 92
77 6 70 24 Inicio 28 67 11
32 99 44 81 27 75 42 98
68 21 72 56 59 42 75 17
34 87 19 92 5 99 27 88
Por ejemplo, un camino posible sería:
2470677306622 73 1998 1 90 14
que daría un beneficio global de 590 millones.
¡Lo puedes mejorar mucho, sin gran esfuerzo!
48
87 Centenas, decenas y unidades
Torna un número cualquiera de tres cifras, por ejemplo,
235. Escribe el que resulta de invertir el orden de sus cifras,
532; resta el menor del mayor:
532
-235
297
Al número obtenido súmale el que resulta de invertir el
orden de sus cifras:
297
+ 792
1089
Cuando lo hayas repetido varias veces con distintos
números, podrás predecir, sin dificultad, el resultado y
sorprender a tus amigos.
88 Círculos mágicos
Coloca los números 1,2,3,4,5 Y6
en los cuadraditos, de manera que los
números situados sobre cada una de las
tres circunferencias sumen lo mismo.
Cuando se da esta situación se dice que
tenemos un conjunto de círculos
mágicos.
¿Podrías dar una regla sencilla para
encontrar otros seis números que,
colocados en los cuadrados, hicieran
mágicos a los círculos?
Si es así, podrás resolver el siguiente
problema, ya que se basa en la misma
idea. Coloca cada uno de los números 1,
2,3, ..... , 10,11 Y12 en una de las
intersecciones de las cuatro
circunferencias de la figura, de manera
que resulten círculos mágicos.
¿Es evidente que el número mágico
para cada círculo ha de ser el 39?
49
89 El número de teléfono de la doctora Numerati
La doctora Numerati era una de esas personas que
siempre andan buscando relaciones entre números. Por
ejemplo, un buen día se dio cuenta de que los números de su
casa y de las de dos de sus amigas eran tres números primos
consecutivostales que multiplicados los tres daban su
número de teléfono. _.
La doctora Numerati vivía entre sus dos amigas y tenía un
número de teléfono de cinco cifras que empezaba por 6.
Averigua el número de la casa de la doctora Numerati, así
como su número de teléfono.
90 Completa un siglo
Coloca entre las nueve cifras siguientes signos de las
cuatro operaciones aritméticas en los lugares adecuados (no
necesariamente en todos), para que esta expresión sea una
igualdad:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100
Hay más de una solución, así que a ver cuántas puedes
encontrar.
50
91 Ruedas de números
Los tres números sobre cada lado y sobre cada radio de la
rueda de la figura dan como suma el mismo número. ¿Cuál es
.. este número? Completa los números que faltan.
Coloca los números del 1 al 19 en otra rueda análoga de
manera que la suma sobre cada una de las doce líneas sea 22.
92 Un reto a las calculadoras
1) 56 406 es el producto de dos números consecutivos
¿cuáles?
2) 357 627 ~s el producto de tres números impares
consecutivos. Halla dichos números.
3) 1 405 es la suma de dos cuadrados perfectos
consecutivos. ¿Cuáles son estos cuadrados?
4)
Un cubo tiene un volumen de 200 cm3. Calcula la
longitud de su arista con toda la exactitud que permita tu
calculadora de bolsillo.
51
93 Divisiones que se repiten
1) Utiliza tu calculadora para expresar en forma decimal
1 2 3 4 5 6
777 7 7 7
¿Qué ocurre con los seis primeros dígitos a partir de la coma7
Escribe, sin utilizar la calculadora, las expresiones decimales de 8/7,
9/7 Y16/7 con seis decimales.
Si dispones de una calculadora más potente, ¿cuáles serían los 12
primeros decimales de 1/77 ¿Podrías escribir directamente el
esquema repetitivo que resulta en las divisiones por 77
Para toda división se verifica que, o bien la división se termina o
bien genera una serie recurrente, lo que en matemáticas se llama un
número decimal periódico; por ejemplo:
3
0,1875
16
3
0,428 571 428 571 428 571...
7
Al dividir un número cualquiera por otro que se pueda expresar
como una potencia de 2 por una potencia de 5, como 16,20,64,125,
320, etc., la división siempre se termina. ¿Por qué? En cambio, si
dividimos por cualquier otro número, la operación nos conduce
siempre a un número decimal periódico. Al dividir por 7 nos
encontraremos con un período de seis dígitos y, en general, al dividir
por n el período que se repite estará formado por n-l dígitos o menos.
¿Cómo lo explicarías?
2) Para investigar el esquema que siguen los dígitos al dividir por 17, se
utilizó una calculadora, pero su capacidad no era suficiente como para
mostrar el período completo. Los primeros resultados fueron:
1
0,058 823 5
17
2 4
0,117647 1 D,235 294 1
17 17
3 5
0,1764705 0,294 117 6
.17 17
6
52
Sabiendo que en este caso el período consta de 16 cifras, escribe el
que corresponde a cada una de las divisiones anteriores, expresando
5/17 con 20 decimales exactos. Intenta averiguar cuál sería el
resultado de hacer las divisiones 6/17, 7/17, etc., antes de
comprobarlo con la calculadora.
3) Trata de averiguar el período al dividir por 19, utilizando lo menos
posible la calculadora.
4) Por último, trata de hallarlos períodos correspondientes a divisiones
por otros números; por ejemplo, los casos del 11 y del 13 son
especialmente interesantes.
94 Algunos números distinguidos
Números capicúas
Se leen igual de derecha a izquierda que de izquierda a derecha, como
el 25452.
Si descontamos los números de una sola cifra, ¿cuál es el menor
número primo capicúa, y cuál el mínimo cuadrado perfecto capicúa?
¿Cuántos cuadrados perfectos capicúas hay menores que 1 OOO?
Hay cinco primos capicúas entre 100 y 200. ¿Cuáles son? ¿Por qué no
hay ningún primo capicúa entre 400 y 700? Demuestra que todos los
números capicúas entre 1 000 Y2 000 tienen un factor común.
Pares de números amigos
Algunas parejas de números tienen la interesante
propiedad de que la suma de los divisores de cada uno de
ellos (excluido él mismo) da como resultado el otro. Esta
relación recíproca tan curiosa ha llamado la atención de
muchos matemáticos, que les dieron el nombre de números
amigos. La pareja de números más pequeños con esta
propiedad es la formada por 220 y 284. En efecto:
220: 1+2+4+ 5+ 10+ 11 +20+22+44+ 55+ 110=284
284: 1+2+4+71+142=220
Euler hizo un estudio de estas parejas y público en 1750 una lista
de 60. Resulta bastante sorprendente que se le escapara la segunda en el
orden creciente, 1 184 Y 1 210, que no se conoció hasta el año 1866, en
que la descubrió un muchacho italiano de 16 años llamado Paganini.
Calcula los divisores de estos dos números y comprueba que cumplen
las condiciones para ser amigos.
He aquí otras parejas que puedes investigar:
2620 6232 17296
2924 6368 18416
53
95 Estrellas mágicas
Coloca números en los círculos de las estrellas a) y b), de
manera que cada línea recta en las dos estrellas sume lo
mismo.
a) b)
Las estrellas e) y d) también son mágicas y, además,
tienen el mismo número mágico. Los números que faltan en
las dos estrellas son los mismos: 1,3,4,5 Y7.
¿Qué más ayuda quieres?
e) d)
CROSS
+ROADS
96 La seguridad lo primero
SEND
+MOREEl mensaje a) es una suma en cla'(e, cada letra representa
un dígito distinto; por ejemplo, la S representa al 3. ¿Qué DANGER MONEY
dígitos representan las demás letras?
a) b)
b) es otro problema clásico del mismo tipo.
S4
97 La. estrategia secreta del tahúr
Un tahúr se fabricó tres dados de diferentes colores. El
rojo tenía en sus caras, repetidos, los números 2, 4 Y9. El azul
los números 3, 5 Y7 duplicados, y el amarillo los números 1,
6 Y8.
La suma total es la misma en los tres, pero, aun asÍ, el
tahúr cree que si su contrincante es el primero en elegir y
lanzar uno de los dados, él puede elegir otro que le dará
mayores probabilidades de superar su puntuación. ¡Explica
por qué!
98 El problema del transporte
Tres compañías de autobuses A, By Catienden el
transporte de los escolares de cuatro colegios P, Q, R YS,
desde el colegio a casa.
Para transportar a todos los niños, el número de
autobuses que se necesita en cada colegio es A
P:8 Q:5 R:7 s: 5
B
y cada una de las tres compañías de autobuses dispone en
sus cocheras del siguiente número de autobuses:
A:9 B:6 C: 10
La primera tabla muestra una de las muchas maneras en
que se podrían distribuir los autobuses disponibles por
colegios.
La tabla siguiente nos muestra las distancias en
kilómetros de las estaciones de autobuses a los colegios; por
ejemplo, la distancia de la cochera C al colegio Q es de 6 km.
Como es lógico, las autoridades educativas quieren que el
coste global del transporte sea lo menor posible, de manera
que su intención es la de hacer la distribución de autobuses
por los colegios de forma que el total de kilómetros
recorridos desde las cocheras sea el mínimo posible.
Así, por ejemplo, la distribución de la primera tabla nos
daría un total de kilómetros recorridos de
(3X3)+(1 X2)+(5X5)+(2X3)+(4X4)+(5X5)+ (4X6)+(1 X8)
= 9 + 2 + 25 + 6 + 16 + 25 + 24 + 8
= 115 km.
Haciendo una mejor distribución, puede reducirse este
número sustancialmente. De hecho, puede reducirse a 67 km.
¿Cómo habría que hacer la distribución?
p Q R s
3 1 5
2 4
5 4 1
8 5 7 5
Autobuses necesarios
p Q R
A
B
e
3 2 5 1
2 1 3 4
5 6 4 8
(/l
Q,l
::c
9 e
o
c.
(/l
6 "O
en
Q,l
en
~
10 .c o....
::l
<!
s
55
8 r 8
99 Nuevos y curiosos esquemas numerlCOS
1) 32- 22= 9 - 4 = 5 = 3 + 2
42- 32= 16 - 9 = 7 = 4 + 3
52 - 42= 25 - 16 = 9 = 5 + 4
~
Explica el modelo y demuestra que siempre se cumple.
2) 32= 9 2X4= 8
42=16 3X5=15
52 = 25 4 X 6 = 24
Generaliza el esquema.
3) Investiga las potencias sucesivas de un número natural,
como 3, 32, 33, 34, 35,... Ytrata de descubrir de acuerdo
con qué ley va apareciendo el último dígito.
4) Completala tabla siguiente y prolóngala dos líneas más:
1=
3+5=
7+9+11=
13+15+17+19=
¿Podrías descubrir el esquema que sigue estas sumas?
5) Completa la tabla siguiente y trata de sacar una ley general
de lo que observes:
1 = 13=
1+2= P+23 =
1+2+3= 13+23 +33 =
1+2+3+4= 13+23 +3 3 +43 =
100 Las ternas pitagóricas
El teorema de Pitágoras, que relaciona las longitudes de
los lados de un triángulo rectángulo, es bien conocido.
También se sabe que si los lados de un triángulo están en la
razón 3, 4, 5 Yel triángulo es necesariamente rectángulo, pues
a32+ 42= 52.
Se llaman ternas pitagóricas a las ternas de números
2 + b2 2naturales que, como 3, 4 Y5, satisfacen la relación a = e •
Utiliza tu calculadora para formar una tabla de los
cuadrados de los números del 1 al 50 y encontrar todas las
ternas pitagóricas.
¿Podrías encontrar dos triángulos rectángulos distintos
cuyos lados sean números enteros y que tengan áreas iguales?
56
Un problema análogo en tres dimensiones es el de hallar
las longitudes de las aristas de un paralelepípedo, siendo las
aristas y la diagonal todos ellos nlÍmeros enteros. Los cuatro
números tienen que cumplir
2a 2 + b 2 + e = d 2
Una solución es
¿Podrías encontrar otras?
101 Multiplicaciones misteriosas
Jugando un buen día con su calculadora, multiplicó Rosa
Mari los números 159 y 48, lo que le dio como resultado
7632. Observó que en la igualdad 159 X 48 = 7 632
aparecían la cifras 1,2,3,4,5,6, 7, 8 Y9 una y sólo una vez,
en el primer miembro o en el segundo. Rosa Mari apenas
podía creérselo y pensó que debía ser un resultado único. ¡Sin
embargo, se equivocaba! Hay otras parejas de números que,
al multiplicarlos, aparecen en el resultado todos los dígitos
una y sólo una vez. ¿Puedes encontrar algunas?
Otra multiplicación sorprendente es
16583742 x 9 = 149 253 678
en la que todos los dígitos aparecen una y sólo una vez a cada
lado del signo igual. ¿Podrías encontrar otros productos con
esta propiedad?
102 Un diamante mágico
15 9
Averigua qué números
debes colocar en los círculos
en blanco, para que la suma
de los números sobre una
12 6 misma recta del «diamante»
sea la misma.
57
103 Fechas capicúas
El28 de septiembre de 1982, un locutor de
radio hizo observar a sus oyentes que las cifras
de la fecha tenían una distribución curiosa, si se
escribían en la forma abreviada usual: 28-9-82,
es decir, era una fecha capicúa. Este hecho hizo
pensar a Susan Nasus, la empollona de la clase,
en cómo estarían distribuidas estas fechas
capicúas. No tardó en llegar a la conclusión de
que algunos años tienen más que otros, y se
puso a buscar las dos fechas capicúas más
próximas una de otra de este siglo. ¿Tú cómo lo
harías?
104 Tarjetas numéricas adivinatorias
Imagínate que dispones, para pesar, de una
y sólo una pesa de cada uno de los tamaños
1 kg 2 kg 4 kg 8 kg 16 kg
Con ellas se puede pesar cualquier número
exacto de kilogramos desde 1 a 31 kg. Copia y
completa la siguiente tabla hasta la fila 31,
indicando en cada paso las pesas necesarias de
las que figuran en la cabecera de la tabla.
16 8 4 2
1 ./
2 ,/
3 ,/ ,/
4 ,/
5 ,/ ./
6 ,/ ,/
7 ,/ ./ ./
8 ./
9 ,/ ./
10 ,/ ./
11 ,/ ,/ ,/
12 ,/ ./
13 ./ ./ ,/
14 ../ ,/ ,/
15 ./ ,/ ,/ ./
16 ,/
17 ./ ,/
58
1 3 5 7
q 11 J3 15
11 lq 21 23
15 17 2q 31
A continuación recorta cinco tarjetas cuadradas
idénticas, digamos de 10 por 10 cm, y apunta en la primera
los pesos de la tabla para los que se necesita la pesa de 1 kg;
el resultado, si lo has hecho con cuidado, debe ser como el
de la figura.
En la segunda tarjeta escribe los números
correspondientes a los pesos para cuya pesada fue necesario
utilizar la pesa de 2 kg (es decir 2,3,6, 7,10, 11, etc.). En la
tercera tarjeta escribe todos los números correspondientes a
pesos para los que se necesitó la pesa de 45 kg, y así en las
siguentes.
Así pues, tienes cinco tarjetas con dieciséis números en
cada una. Comprueba si las has hecho bien, consultando la
segunda parte del libro.
El juego consiste en pedir a un amigo que piense un
número del 1 al 31, y, a continuación, mostrarle por orden las
cinco tarjetas anteriores. Al ver cada tarjeta debe decir «sí» o
«no» según figure o no en ella el número pensado. «¿Cómo?»,
te preguntarás sorprendido.
Supón que tu amigo ha pensado el número 21; entonces
aparecerá en tres tarjetas, la correspondiente a la pesa de
1 kg, la de 4 kg y la ,de 16 kg. Todo lo que tienes que hacer es
sumar 1 + 4 + 16, los números correspondientes a las
tarjetas a las que tu amigo ha respondido «sí», para hallar el
número pensado, 21. Es conveniente, para no hacerse un lío,
apuntar por detrás de cada tarjeta el número correspondiente
1,2,4,80 16, de manera que tú puedas verlo, pero lo más
pequeño posible para que tus amigos no se den cuenta.
Después puedes ir enseñando las tarjetas en cualquier
orden, y sin ver siquiera la cara de la tarjeta que enseñas a tu
amigo, cosa que le sorprenderá aún más.
Practica antes con alguien de tu familia, para coger soltura
y dominar bien la técnica.
Puedes repetir todo lo que hemos hecho, pero partiendo
de una pesa adicional de 32 kg Yprolongando la lista hasta el
número 63. En este caso te saldrán seis tarjetas de 32
números cada una, pero todo lo demás es igual. 59
105 Cuadrados mágicos 3 X 3
Un cuadrado mágico consiste en un cuadro de números tal que
todas las filas, columnas y diagonales den la misma suma. Así, el
cuadrado a) es mágico, porque todas sus líneas suman 24, su
número mágico.
Completa los cuadrados mágicos b) Y e), empezando por
calcular su número mágico a partir de alguna de sus líneas que esté
completa. a)
6
7 5 3
10
7
4 5
b) e)
Intenta ahora lo mismo con los cuadrados d) y e), en los que
conoces más números, pero también hay que pensar algo más.
14 3
13
8 15
11 1
9 7
15 5
d) el
11 3 10
7 8 9
6 13 5
La construcción de cuadrados mágicos es un pasatiempo
antiquísirno que se remonta a la antigua China. Así, por ejemplo, se
atribuye el cuadrado mágico básico f) al emperador chino Yu, que
reinó hacia el 2200 a. de C. La fascinación que ejercen estos
cuadrados no ha disminuido con el paso del tiempo, como vienen a
demostrar las publicaciones recientes sobre el tema.
Todos los cuadrados mágicos 3 X 3 obedecen esencialmente
al mismo esquema, el de la distribución de los nueve dígitos 1, 2,
3'00" 9 en el cuadrado básico f). f)
A partir de éste se pueden formar otros cuadrados mágicos
aumentando todos los números en un número dado, por ejemplo el
6. Otra alternativa es sustituir los números 1 a 9 por los nueve
primeros impares 1,3,5,..., 17.
Hay otra manera muy interesante de generar un conjunto de
nueve números que puedan formar un cuadrado mágico 3 X 3 y que
no es tan secilla.
8 1 6
3 5 7
4 9 2
60
Escoge un número cualquiera, por ejemplo el 3, y otros dos
números distintos, por ejemplo el 2 y el 5, que se le irán sumando
repetidamente a13 (el 5 por filas y el 2 por columnas) tal como se
indica.
+5 +5
~~
+2t3 8 13
+2~5 10 15
7 12 17
Ordénalos de menor a mayor, por filas,
3,8,13,5,10,15,7,12,17
los colocas, por este orden, en lugar de 1, 2, 3, ..., 9 del cuadrado
básico, y obtendrás el cuadrado mágico g), cuyo número mágico es
30.
Ahora ya puedes construir otros cuadrados mágicos.
¿Crees que este método valdría para números decimales o
negativos? ¿Podrías demostrar que el método es válido en general? g)
12 3 15
13 10 7
5 17 8
61
106 Cuadrados mágicos 4 X 4, Y mayores
La primera prueba de que en Europa se estudiaban los cuadrados
mágicos es de comienzos del siglo xv. Agrippa construyó cuadrados
mágicos de todos los tamaños del 3 X 3 al 9 X 9, asociándolos a los
planetas de nuestro sistema solar. Las gentes de todas las épocas han
cultivado siempre un cierto misticismo numérico (muchos creen que el 13
trae mala suerte), y los cuadradosmágicos han tenido también su particular
aureola. El famoso pintor Durero hizo un grabado en madera titulado
Melancolía, en el que la fecha de su ejecución, 1S14, aparece formando
parte de un cuadrado mágico 4 X 4 incluido en el grabado.
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4
1
15 14
1
1
En este cuadrado mágico las filas, columnas y diagonales principales
suman todas ellas 34. Hay, en este cuadrado mágico, otros muchos
conjuntos de cuatro números, colocados simétricamente, que suman 34
16,13,4,1 y 3,8,14,9
¿Puedes encontrar otros?
Con los números 1, 2,3,4,... , 16 se pueden formar 880 cuadrados
mágicos 4 X 4 distintos. Frénicle los publicó todos en 1693. No todos
tienen simetría del cuadrado de Durero; algunos, llamados simples,
cumplen únicamente la condición de ser mágicos, mientras que otros,
llamados nasik, se suelen considerar como los más perfectos, porque gozan
de más propiedades de simetría incluso que el de Durero. He aquí un
ejemplo de cada uno.
62
7 6 11 10
14 9 8 3
12 15 2 5
1 4 13 16
1 14 7 12
15 4 9 6
10 5 16 3
8 11 2 13
Simple Nasik
Trata de encontrar tantos conjuntos de cuatro números simétricamente
situados como puedas, que sumen 34. Constrúyete 16 fichas cuadradas, y
numeradas del 1 al 16, para ver cuántos cuadrados mágicos 4 X 4
diferentes puedes formar.
No hay ningún método sencillo para construir cuadrados
mágicos de dimensión par, pero para los de dimensión impar
vale la pena recordar el método siguiente, debido a Bachet de
Méziriac. Nuestro ejemplo es para un cu
5 X 5, pero se puede aplicar a cualquier
Impar.
3 16 9 22 15
20 8 21 14
>
,}
7 25 13
•• »
1 19
1
624 12 5 18
11 4 17 10 23
.
12
<1
[/6i
Primero amplía el cuadrado 5 X 5 P ara formar el
nuevo cuadrado «en diamante». Numera después las
«diagonales» paralelas a la que va del ex
extremo superior en la forma que indica la figura (
del 1 al 5). Imagina ahora que los tres números que quedan
fuera del cuadrado inicial por cada lado, los introduces, sin
alterar su orden, por el lado opuesto (como con cuadrados
punteados en la figura para uno de los cuatro pasos). El resultado
es un cuadrado mágico 5 X 5.
Un cuadrado mágico que merece ser mencionado es el cuadrado 8 X 8
de Euler, que es a la vez solución del «paseo a caballo» (véase n.O 44).
Evidentemente esta solución le era desconocida a H. E. Dudeney, el
famoso inventor de rompecabezas de la época victoriana, quien,
escribiendo acerca de la posibilidad de que existiera un tal cuadrado
mágico decía: «¿Se podrá encontrar una solución perfecta? Yo estoy
convencido de que no, pero se trata de una simple opinión». 63
.---
adrado mágico 5
otra dimensión
4 10
153 9
14 208
7 1913
2412 18
11 17 23
16 22
tremo izquierdo al 21
~numeradas
25
107 Un cubo mágico
Nos dan 27 cubitos
numerados del 1 al 27, cada uno
con su número escrito en todas sus
caras. Hay diversas maneras de
formar con ellos un cubo más
grande de tamaño 3 X 3 X 3, de
forma que los números de cada fila
de cubos pequeños, paralela a una
arista del cubo grande, sumen
siempre 42. Las diagonales del
cubo también suman 42, pero no
las diagonales de las caras. La
figura muestra la colocación de la
capa superior en una de las
soluciones. ¿Podrías completarla
indicando los números
correspondientes a las otras dos
caras?
108 Un problema con balanzas sin pesas
Una bolsa contiene 27 bolas de billar que parecen idénticas. Sin
embargo, nos han asegurado que hay una defectuosa que pesa más que las
otras. Disponemos de una balanza, pero no de un juego de pesas, de
manera que lo único que podemos hacer es comparar pesos. Demuestra
que se puede localizar la bola defectuosa con sólo tres pesadas.
109 Nuevos retos a la calculadora
1) ¿Cuál es el resto de dividir 89328 por 729?
2) Trata de descubrir una manera de utilizar la función r- que sirva
para calcular aproximadamente ?)200.
3) ¿Cuál es el más pequeño número x que da resultado cero al hacer la
división f con tu calculadora de bolsillo?
64
1
'1·1·0· U bl dn pro ema e peso
Un tendero dispone de una balanza y cuatro pesas
Clistintas, y estas pesas son tales que le permiten pesar
!correctamente cualquier número exacto de kilogramos desde
l a 40.
¿Qué pesa cada una, y cómo se las puede arreglar para
¡pesar todos esos pesos diferentes?
1111 Rectángulos semejantes
Tenemos una hoja de papel de forma rectangular tal que
,si la doblamos por la mitad se forman dos rectángulos iguales
iy semejantes al primero. ¿Qué se puede decir de las
ilongitudes de los lados de la hoja?
112 Inventando un nuevo tipo de diana
Si observamos cómo
están distribuidos los
números alrededor de una
diana de dardos, no parece
haber en ella lógica ni
matemática alguna. Una
manera de corregir este
aparente desorden sería
volver a distribuir los
números de manera que la
suma de los saltos de cada
número al siguiente fuera la
máxima posible, al recorrer
toda la diana ¡Investiga cuál
sería el resultado!
65
113 El único hexágono mágico
Distribuye los números
1,2, 3,... , 19 por los
hexágonos de la figura
(conservando en su lugar los
que ya están colocados), de
manera que cada fila vertical
y cada diagonal den siempre
la misma suma.
114 El juego de Nim
El juego de Nim es un juego para dos personas, y es de
una gran sencillez. Para jugar se necesita únicamente cierta
cantidad de fichas, todas iguales (pueden servir cerillas o
palillos) y el juego comienza con las fichas distribuidas en un
cierto número de montones. En la figura hay tres montones
de 7,9 Y6 fichas.
Cada jugador puede retirar tantas fichas como desee,
pero de un solo montón (puede llevarse un montón entero si
quiere, pero ha de llevarse al menos una ficha). Ganará el
jugador que se lleve la última ficha.
Este juego tiene mucha más miga de la que parece a
primera vista. Trata de inventarte una estrategia para ganar.
o O OO OO OOO OO O OO OO O O
O O OO
7 9 6
66
115 Triangulando el cuadrado
El cuadrado de la figura aparece dividido en cuatro
triángulos, de los que todos menos uno tienen sus tres ángulos
agudos.
¿Será posible dividir un cuadrado en triángulos de
manera que todos ellos tengan sus tres ángulos agudos?
Puedes utilizar tantos triángulos como consideres necesarios.
116 ¿Quién la liga?
En un juego infantil se echa a suertes quién la liga,
poniéndose todos en corro y contando a la vez que se va
recitando una cantinela que consta de trece palabras, y
salvándose aquel al que le toca el número trece.
Sabiendo que en el corro la cuenta se hizo en el sentido
de las agujas del reloj, que había ocho niños a, b, e, ... , h, y
que, después de eliminar siete veces seguidas a los que les
tocó el lugar trece, la ligó al fin el niño e, ¿por cuál de ellos se
empezó a contar?
117 Averigua qué cartas hay sobre la mesa
Sobre una mesa hay colocadas en círculo cierto número
de cartas de una baraja, todas del mismo palo y ordenadas de
tal manera que la suma de los puntos de tres cualesquiera
seguidas, difiere en uno como máximo de la suma análoga
para cualquier otra terna de cartas consecutivas. La carta más
alta y la más baja son ellO Yel 2 de oros. El 6 de oros
también está incluida en el CÍrculo.
¿Qué cartas están sobre la mesa y en qué orden?
67
118 El problema de dividir una herencia
2,5 km
Carlos
2km
Eduardo
Carmen
1 km
Luisa
2,5 km
Un ganadero dejó en herencia, a su muerte, todas sus
tierras a sus cuatro hijos Carlos, Luisa, Eduardo y Carmen.
Para evitar posibles disputas hizo en el mismo testamento un
plano de sus tierras, que tenían la forma de un cuadrilátero y
dejó mandado que se dividieran en cuatro partes de forma
triangular y de igual área, pero exactamente como indicaba la
figura.
La reacción inicial de los hijos fue muy favorable, pero
cuando intentaron llevar a cabo la última voluntad de su
padre se dieron cuenta de que se les planteaba un serio
problema.¿Cuál?
119 ¡El fin del mundo!
Cierto grupo de fanáticos religiosos decidió, después de
estudiar a fondo sus libros sagrados y de muchas horas de uso
de un moderno y potente ordenador, que el fin del mundo
ocurriría cuando el primer día de un próximo siglo cayera en
domingo.
¿Cuánto tiempo nos garantizarían?
68
120 Un maratón patrocinado
En un maratón de 40 km en el que los corredores estaban patrocinados
por distintas marcas comerciales, a uno de ellos se le ocurrió la brillante
idea de pedir a sus patrocinadores, en lugar de una cantidad de dinero fija,
que modificasen el sistema con objeto de mejorar un poco sus ganancias.
Consiguió convencerlos de que cada kilómetro va siendo cada vez más
duro de superar, y que se daría por satisfecho si le pagaban una peseta por
el primer km, dos por el segundo, cuatro por el tercero, y así sucesivamente
doblando la cantidad por cada nuevo kilómetro recorrido.
A los organizadores les pareció razonable la petición del corredor y la
aceptaron, pero al finalizar el maratón y presentarse a cobrar el atleta, los
patrocinadores se llevaron la gran sorpresa. ¿Por qué')
121 Los efectos de la inflación
Una casa que se vendió, recién construida, en 1961 por 700 000
pesetas, se volvió a vender en 1981 por 6 800 000 pesetas. La casa estaba
en perfecto estado, pero no había sufrido transformación ni mejora alguna
en esos 20 años. ¿Qué tasa de inflación anual revelan estos datos,
suponiendo que dicha tasa anual haya permanecido constante?
En 1965 la gasolina costaba 16,50 pesetas el litro, mientras que en el
verano de 1982 su precio alcanzó las 92 pesetas por litro. Esta subida
¿representa una media anual de inflación mayor o menor que la subida de
precio de la vivienda mencionada?
Suponiendo que, por desgracia, sigan las mismas tasas de inflación
hasta finales de siglo, ¿cuál será el precio de la casa y del litro de gasolina
en el año 2000?
122 Entretenimientos de octogenario
un profesor de matemáticas ya jubilado y octogenario, jugando con la
calculadora de bolsillo de su biznieta, descubrió que la diferencia entre los
cubos de las dos cifras de su edad era igual al cuadrado de la edad de su
biznieta.
¿Podrías decirnos cuáles eran las edades de ambos?
69
123 Las monedas boca arriba
Vamos a proponer tres rompecabezas muy parecidos, a base de
monedas, pero, ¡ojo!, que no todos son iguales. De hecho, dos son posibles
y uno no. ¿Cuál?
8
88
1) Coloca tres monedas sobre la mesa con sus caras H hacia arriba. Un
movimiento consiste en darle la vuelta a dos monedas a la vez.
¿Cuántos movimientos serán necesarios para poner todas las monedas
con su cruz T hacia arriba?
8888
2) Coloca sobre la mesa cuatro monedas, todas ellas con sus caras H hacia
arriba. Un movimiento consistirá en darle la vuelta a tres monedas
cualesquiera a la vez. ¿Cuántos movimientos necesitarías para poner
todas las monedas con su cruz T hacia arriba?
888
888
888
3) Coloca nueve monedas formando un cuadrado, todas con su cruz T
hacia arriba, excepto la del centro. Un movimiento consistirá en darle la
vuelta a las tres monedas de una fila cualquiera, o bien de cualquier
columna o de las dos diagonales. ¿Cuántos movimientos se necesitarán
para llegar a poner todas las monedas con su cruz hacia arriba?
70
124 Colas de milano
U n maestro carpintero había estado enseñando a sus
aprendices a hacer ensamblajes de piezas de madera por el
método llamado de «colas de milano». Una vez que
consiguieron hacer bien varios ejercicios, el maestro les
enseñó un cubo hecho de dos piezas de madera, en el que, al
parecer, había juntas de cola de milano en la cuatro caras
laterales.
El carpintero desafió a sus aprendices a copiar este cubo,
pero todos ellos fracasaron y pensaron que era imposible.
Sin embargo, se puede hacer, pero ¿cómo?
125 Más rompecabezas con cerillas
Transform.a la espiral de
la figura en tres cuadrados
(no necesariamente todos
iguales), moviendo sólo
cuatro cerillas.
e:==_====::J~:c::==:::::::::e.
~ ~ 1 ~
~ ~
]
Convierte esta iglesiá,
con su torre, en tres
cuadrados iguales, moviendo l J sólo cinco cerillas. 11
71
126 Pontoneros de maniobras
En unos ejercicios para desarrollar la iniciativa, se les pidió
a dos equipos de cadetes de una academia militar que
construyeran un «puente» sobre un río de 5 ID de ancho. Para
hacerlo disponían de tantas vigas como quisieran de 4 ID Y
sólo se les permitía ir apilando las vigas unas sobre otras, sin
unirlas entre sí.
¿Hasta qué distancia del borde del río se puede llegar
utilizando sólo tres vigas?
¿Cuál será el número mínimo de vigas que se necesiten
para realizar el ejercicio propuesto a los cadetes?
72
-- --
4
s LUCI NES COME TARI s
1 Triángulos hechos a ba.se de cerillas
El secreto está en pensar «tridimensionalmente» y
construir un tetraedro.
2 El embrollo del cruce del río
El titiritero cruza primero con la cabra. Regresa solo,
cruza de nuevo con el lobo y vuelve con la cabra. Deja la
cabra y vuelve a cruzar el río con la col. Regresa otra vez,
recoge la cabra y cruza por última vez el río.
3 El maquinista perplejo
Este rompecabezas puede parecer completamente
imposible si no se encuentra la solución. Se parece mucho al
18. Hay que situar el vagQón ~Ven la vía PrinCiPaal. Q
V G V V L V
~ . ~el LG G LG
Hazte tus propios dados
Si eres capaz de resolver el problema sin construir el
modelo, tienes una buena intuición espacial.
4
5 6 2
3
4
I 5 4
6 2
3 1 1
5
3 6
2
al b) e)
73
5 Plegando mapas
Numera el mapa por las dos caras y dóblalo dos veces por la mitad
como indican las dos primeras figuras.
GEJ
l!J!J
Abre un poco los pliegues y, manteniendo juntos 4 y 5, dóblalos como
indica la tercera figura, de manera que el 5 vaya sobre el 6; el 4 seguirá al 3,
y es fácil terminar, doblando juntos el 1 y el 2 de izquierda a derecha, de
manera que el 1 quede antes del 2 y éste antes del 3.
6 El lechero ingenioso
Llena primero la jarra de 3 litros, y la vacías en la de 5. Vuelve a
llenarla y vacía todo lo que quede en la de 5, ya parcialmente llena. Lo que
sobra en la jarra de 3 litros es exactamente 1 litro.
Podría medir así, de uno en uno, cualquier cantidad de litros Sin
embargo, hay maneras más rápidas de medir cantidades exactas de leche
sin marearla tanto. Por ejemplo, 3 y 5 litros se pueden medir directamente
y 6 = 3 + 3 litros o bien 8 = 5 + 3 litros también son muy fáciles de medir,
pero ¿y 4 Y7 litros?
7 Los peones sobre el tablero
de ajedrez
La solución de la figura es un caso
especial de la posibilidad de situar 2n
fichas sobre un tablero n X n, de
manera que no haya tres fichas
alineadas.
Obsérvese el eje de simetría
horizontal que suele ser una de las
características de la solución de
problemas de este tipo.
74
8
9
Evitando tres en raya
Este juego está relacionado con el anterior, y a la vez lo complementa.
En este caso, la estrategia de un jugador es ir colocando las fichas de
manera que limiten las posibilidades del contrincante, intentando forzarlo
a que coloque tres fichas en línea.
Dos mitades hacen un todo
Éste es un problema fácil entre los muchos del mismo tipo. Cada una
de las dos piezas es equivalente a un cuadrado ya la mitad de dicho
cuadrado.
Resulta sorprendente el número de figuras que se pueden formar con
ellas. Para conseguir algunas de las que hemos mostrado es necesario darle
la vuelta a una de las dos piezas. ¿Cuáles son las que se pueden construir
sin hacer este movimiento?
10 Cubismo
No es difícil ver que las que son iguales son A y D.
11 Cuadrados construidos con cerillas
l,eo======:~~eo======:-----~:-===='~
i i i
L
12 Curvas de persecución
El método que consiste en aproximar un camino curvilíneo por medio
de una sucesión de pequeños pasos rectilíneos tiene en matemáticas una
gran importancia y en él se basan las ideas esenciales del cálculo
infinitesimaly de los métodos numéricos. Se obtienen, además, bellos
dibujos, que también se pueden conseguir con hilos o lanas de colores, o
bien 1) cosidos convenientemente en una cartulina, o 2) tensados
haciéndolos pasar por chinchetas clavadas en un panel. En cualquier caso
no se puede trazar una nueva línea hasta que la anterior no esté completa.
No hay que confundir estos dibujos con otros más conocidos que se
obtienen tomando un número igual de puntos sobre dos rectas o curvas, y
uniéndolos de dos en dos como indica la figura.
75
15 Soldados en apuros
Este rompecabezas se parece mucho al 2 y 20, Yes
conocido al menos desde principios de siglo. La clave de la
solución depende del hecho de que la canoa pueda
transportar a los dos muchachos, pero sólo se necesita a uno
de ellos para llevar la canoa de una orilla a la otra del río. Así
pues, uno de los muchachos lleva la canoa hasta la orilla en
que se encuentran los soldados. A continuación este
muchacho se baja y el primer soldado con todo su equipo
cruza el río; allí desembarca y el segundo muchacho regresa
con la canoa y recoge de vuelta a su compañero. Ya están los
dos muchachos y la canoa como al principio; basta repetir la
maniobra tantas veces como soldados haya, hasta que el
último haya cruzado el río.
16 El granjero y el redil
Es posible que rediles de forma ,1\
triangular no sean muy corrientes,
pero lo cierto es que resuelven el
problema.
\:~/\7
t •
76
17. La d.anza de los caballos
Se necesitan 16 movimientos. La mejor manera de verlo es la de
descomponerlos en cuatro grupos de cuatro movimientos simultáneos de
los cuatro caballos, que los llevan de las esquinas a la mitad de los lados y
de nuevo a las esquinas, en una especie de danza circular alrededor del
cuadro central. La primera mención en Europa de este antiguo problema
se remonta a 1512.
18. Los apartaderos de la vía férrea
Éste es otro rompecabezas que también se hizo famoso a
comienzos de siglo. Le pasa lo que a la mayoría de los de este
tipo: es muy fácil de plantear, pero hasta que se da con la
solución, puede parecer imposible. Suele ayudar a resolverlo
utilizar fichas de colores o cajas de cerillas que representen
los vagones y la locomotora.
~
" -----J- L V, V2
v, --------.- V, ~-------JI-
LL ~
V2 LV2 L
H~ El cubo multicolor
Pinta cada cubo de 1 cm de manera que las tres caras que
tienen un vértice común sean todas rojas, mientras que las
que comparten el vértice opuesto sean todas azules. Entonces
se pueden reunir los ocho cubos para fomar otro mayor de
2 cm de arista y todo él rojo o todo él azul, según, se
coloquen.
El caso del cubo de 3 cm es mucho más difícil y puede
que necesites visualizarlo, por ejemplo coloreando cubos de
azúcar. El problema tiene solución. Los 27 cubos de 1 cm
tienen en total 27 X 6 caras, mientras que los tres cubos
grandes de 3 cm tendrán en total 3 X 6 caras, cada una
formada por nueve cuadrados pequeños. Hay, pues, la
cantidad justa de cuadrados para conseguirlo, si es que
logramos colorearlos adecuadamente.
77
En uno de los cubos de 3 cm, el rojo, los cubos pequeños aparecen en
cuatro posiciones distintas:
•
6 tubos de los centrosal
8 cubos de las esquinas, con el
de las caras, con unaGiltres caras adyacentes de color rojo CD sola cara de color rojo bl
12 cubos de mitad de las aristas,
con dos caras adyacentes de color rojo dl
El cubo central, con ninguna
cara de color rojoiD
Para que tenga solución, debe haber el mismo número de cubos azules
y amarillos, así que una clasificación de los casos posibles nos conduce a la
solución siguiente:
6 cubos coloreados de la forma RzAzMz Donde R indica rojo, A azul y
3 cubos coloreados de la forma R3A zM) M amarillo, y el subíndice el
3 cubos coloreados de la forma R3A¡Mz número de caras con ese color.
3 cubos coloreados de la forma RzA 3M) Cuando hay dos o tres caras
3 cubos coloreados de la forma RZA 3M¡ del mismo color, se entiende
3 cubos coloreados de la forma R¡A3MZ que han de ser siempre
3 cubos coloreados de la forma RzA¡M3 adyacentes (si son dos, con
3 cubos coloreados de la forma R¡AZM) una arista común, y si tres,
1 cubo de cada tipo R3A 3 A 3M 3 M 3R3 con un vértice común).
Hemos inventado esta notación para este problema, y permite explicar
de una manera clara y sencilla cómo deben ser los diferentes cubos. Se
trata de un recurso muy utilizado por los matemáticos.
20 Los maridos celosos
También aquí es conveniente elegir un simbolismo cómodo para
describir la situación. Vamos a representar a los tres matrimonios por Aa,
Eb, Ce, donde la letra mayúscula representa al marido y la minúscula a su
esposa.
Para el caso de tres parejas se necesita hacer cinco viajes con la barca.
He aquí la solución:
abe a ABC A Aa
Aa A a Aa a A Aa Aa
Bb B b B b Bb Bb Bb
Ce C e C e Ce Ce Ce
1 2 3 4 5
78
Primero parten las tres mujeres abe; a continuación la esposa a regresa
al hotel con la barca, donde se queda, mientras los tres maridos ABC
reman hasta ponerse a salvo; el marido A regresa solo a recoger a su
valiente esposa. Te puede ayudar si usas pequeños trozos de papel que
representen a cada persona.
La solución siguiente, para el caso de cinco parejas, cumple las
condiciones exigidas, pero requiere 13 viajes. Puede que encuentres otra
solución mejor; si es así, al autor le gustaría conocerla.
abe Aa ABC ADE A D E
a A Aa Aa Dd Ee
Aa A a Aa
Bb B b B b
Ce C e C e
Dd Dd Dd Dd
Ee Ee Ee Ee
a A
Bb Bb
Ce Ce
d D d
e E e
Aa Aa Aa
Bb Bb Bb
Ce Ce Ce
D Dd Dd
E e E Ee
Cruzan primero tres mujeres, abe, y regresa la a. A continuación cruza A
Con su esposa a, la deja y regresa con la barca (jA no debe salir de la barca,
de lo contrario se encontraría con las mujeres b y e sin estar sus maridos!).
Cruzan ABC y regresan Aa, dejando en seguridad a Bb yaCe. Los tres
maridos ADE cruzan después dejando a sus esposas ade en el hotel;
A regresa a por su esposa a, y a continuación hacen lo mismo D y E.
21 La extensión de cable más barata posible
Esta es una versión nueva de otro rompecabezas muy
conocido. Imagínate la habitación como si fuera una ca
zapatos que puedes extender como indica la figura.
La distancia más corta entre A y B irá en línea
recta, atravesando el suelo, una de las paredes
largas (en diagonal) y, por último, el techo. La
longitud total del cable es de unos 13 m 60 cm.
10 m
4m
ja de
;
'rt' Vi
;1
Suelo
i" o~
~ CJ IUTecho I
I
I
/
I
I
I
I4m
______ J....
8m8
4m
79
23 El cuadrado, la cruz y el círculo
CírculoCuadrado
Cruz
24 La banda de Mobius
La banda de Mobius sorprende siempre a quien se
encuentra con esta superficie por primera vez. Si hiciéramos
un estudio un poco más sistemático, sería imposible descubrir I~
relaciones entre el número de vueltas que da la banda y el
resultado al cortarla por la mitad. La banda de Mobius
resulta, pues, divertida e interesante, pero tiene, a su vez, un
aspecto matemáticamente serio e importante en el estudio de
las propiedades de las superficies y su clasificación. Para más
detalles, pueden verse los libros Mathematics and the
Imagination de E. Kasner y J. Newman (Bell) y Experiments
in Top%gyde S. Barr (John Murray).
25 Una jardinera ahorrativa
80
26 ¿Cuántos triángulos puedes encontrar?
Seguramente te ayudará poner una letra mayúscula en cada punto de
intersección, y designar con estas letras los triángulos. Aunque a primera
vista este problema pueda parecer análogo al anterior, exige otro
planteamiento distinto. Podemos empezar, por ejemplo, contando todos
los triángulos que tienen el lado AB, después los que tienen el lado AC, etc.
ABE ABG ABH ABI A
ACD ACE ACG AC!
ADE AEI AGH AGI
BCE BCF BCG BC!
BEF BEG BGI BHI
CDI CEG CEI CFG
DEI DFH EFG EGI
GH!
Si respetas el orden alfabético, te será fácil evitar el error de contar dos
veces el mismo triángulo
27 Dos lanchas motoras poco amistosas
Se trata deun rompecabezas muy interesante, y que a
primera vista podría parecer imposible de resolver.
Las dos lanchas no llegarán a encontrarse a menos que el
controlador consiga dirigirlas al punto C de la figura. Este
punto cumple las dos condiciones: 1) la distancia ACes igual c
a la BC; y 2) la dirección BCforma un ángulo de 90" con la
A C. Así pues, cuando la lancha A llegue al punto C, sea cual
sea el camino que recorra, la lancha B también estará en C.
28 Los caballos guardianes
C"------'------'I.--------=.F
D
En la figura puedes ver la
solución a este problema.
Comprueba que todos los
cuadros están ocupados o
amenazados.
Se pueden plantear
problemas análogos con
otras piezas de ajedrez. Por
ejemplo, puede conseguirse
el mismo resultado con cinco
reinas, nueve reyes u ocho
.
•
• •
'.
. • •
•
•
• • • •
•
alfiles. ¡Compruébalo!
81
29 Invirtiendo el orden de los trenes
Para abordar este problema con éxito es necesario, una vez más,
inventarse algún método para llevar la cuenta de los movimientos que se
van haciendo con los trenes. También puede ser útil copiar el plano de la
red a mayor escala y utilizar fichas numeradas para representar los trenes.
Esta solución exige 15 movimientos, que van indicados en el diagrama por
las correspondientes flechas.
Posición después
partida
Posición de
de tres movimientos
6 7
Posición 5 2 3 Posición después 5
después de seis de nueve movimientos
movimientos
D~
4 6
1 • 6 7 7
~
Posición 5 4 2 Posición después 5 4 3
después de doce de quince movimientos
movimientos
6 6 2¿)
7 • 3 7 O
30. Cuatro piezas iguales
No sólo son iguales entre sí, sino que las cuatro tienen la
misma forma que la figura original.
82
31 Com.plétese el cuadrado
Muchos rompecabezas de este tipo están ya
comercializados en formas muy variadas, pero no te costará
mucho hacerte uno de cartulina.
32 Monedas que dan vueltas
La moneda A da dos vueltas. La efigie aparecerá
invertida, cuando la moneda A haya rodado hasta colocarse
en la parte superior de la B; en su posición de partida, cuando
pase exactamente a la derecha de la B; de nuevo invertida, al
pasar por debajo de B; y en la posición de partida al volver a
situarse a la izquierda de B.
33 Una red que va creciendo
Este juego terminará en un número finito de
movimientos, pues al comienzo hay nueve ramas disponibles
(tres puntos con tres ramas cada uno), y en cada movimiento
se inutilizan dos ramas y se introduce un punto nuevo con
otra rama utilizable. El resultado de un movimiento
cualquiera es, pues, reducir en una el número total de ramas
disponibles, y, por lo tanto, se podrán hacer ocho
movimientos como máximo. Podrían resultar menos, si una
rama queda aislada del resto de la red.
Estas redes tienen una interpretación científica
interesante, ya que corresponden a las diferentes maneras en
que pueden combinarse átomos de valencia 3 para formar
moléculas más complejas.
34 Circuitos unicursales y grafos eulerianos
A-C-E-B-D-A-B-C-D-E-A
Hay otras muchas soluciones, por ejemplo:
A-B-C-D-A-C-E-B-D-E-A
Una red o grafo se llama euleriano cuando se puede
dibujar sin levantar el lápiz del papel ni recorrer dos veces
una misma línea. La primera de las dos redes es euleriana,
pero la segunda sólo se puede dibujar en cuatro partes; es
necesario levantar tres veces el lápiz de la figura.
83
El primero en hacer un estudio sistemático de estas redes
fue el matemático suizo Leonhard Euler (y de ahí su nombre),
hacia mediados del siglo XVIII, al estudiar el famoso problema
de los «puentes de Konigsberg». Konigsberg era una ciudad
alemana edificada sobre las dos orillas y las dos islas del río
Pregel. Las islas estaban conectadas entre sí y con las orillas
del río por siete puentes, y sus habitarites habían estado
intentando encontrar una manera de cruzar todos los puentes
una y sólo una vez, partiendo de un punto y regresando a él al
final del recorrido. No la habían podido hallar y Euler
consiguió demostrar que no existía. Sustituyó el mapa por una
red, en la que cada parte de la ciudad estaba representada por
un punto, y los puentes por arcos que unían dichos puntos. El
problema quedaba reducido a demostrar que esta red no se
podía dibujar sin levantar el lápiz del papel ni recorrer dos
veces un mismo arco.
Euler se dio cuenta de que la clave del problema estaba
en el hecho de que el número de arcos que iban a parar a cada
punto era impar: 3 a B, Cy D, Y5 a A. Demostró que un
vértice de una red al que llega un número impar de arcos (o
«vértice impar») sólo podía ser uno de los posibles puntos de
partida o de llegada para dibujar la red, de manera que el
problema de Konigsberg, con cuatro vértices impares, es
imposible de resolver.
Para ver por qué un vértice impar no puede ser uno de los
vértices intermedios en el recorrido de una red euleriana,
considérese el vértice impar de la figura, con las ramas 1, 2 Y
3. Supongamos que se llega a P, por primera vez, por la rama
1 y que se sigue por la 2. Al regresar a P, por segunda vez, por
la rama 3, ya no nos queda ningún camino libre para salir de
P. Un razonamiento análogo sirve para cualquier vértice
impar, de donde se sigue que un vértice impar sólo puede ser
utilizado como punto de partida o de llegada. Así pues, una
red sólo puede ser euleriana si: 1) todos sus vértices son
A)a('-------........ B
e
D
3
84
pares, o si 2) todos sus nodos son pares excepto dos que son
impares, que deben ser el punto de partida y el de llegada.
Los ciudadanos de Konigsberg podrían resolver, pues, su
poblema dinamitando, por ejemplo, el puente AB, o bien
construyendo un segundo puente de A a B. Una buena
referencia sobre este problema y otros análogos es el libro
Mathematical Recreations and Essays, de W. W. Rouse BaH
(MacMillan).
35 Giros que parecen imposibles
Gira primero el libro
1800 alrededor del lado
vertical opuesto al lomo, y a
continuación otros 180 o
alrededor de una recta que
forme un ángulo de 45° con
el eje anterior, como indica la
figura, para conseguir que el
libro quede girado 90° en su
propio plano.
En general, un giro de
180° alrededor de un cierto
eje, seguido por otro giro de
'" ::! ~~ o <tI ~ ~ "-
MAGIA '",
,&180°
'"
180° alrededor de otro eje
que forme un ángulo x con el
primero, resulta ser
equivalente a una rotación de
ángulo 2x alrededor de un
eje perpendicular a los dos
pnmeros y que pasa por su
punto de interseccióh.
a) Polo N
36 El cazador obstinado
¡Un oso blanco!
Efectivamente, una posible solución comienza en el polo
norte (a).
Hay, sin embargo, infinitas posibilidadeS cerca del polo sur.
b)Por ejemplo, el cazador podría comenzar en cualquier
punto situado 3 km al norte del paralelo que tiene
exactamente 3 km de longitud (b )... o bien 3 km al norte
del paralelo de longitud 1,5 km... etc. ¿Qué pieza cobraría,
en cualquiera de las soluciones, el cazador antártico? Polo S
3
85
37 Cuatro puntos en un plano
No deja de resultar sorprendente que sólo haya seis
posibilidades, y muy bien puedes haberte dado por vencido
antes de encontrarlas todas.
38 Dados de letras
La letra opuesta a la H tiene que ser la S. En la figura se
muestra el desarrollo plano del cubo, en el que puede verse
que la letra S aparece dos veces.
39 La defensa de la reina
Las otras dos únicas soluciones para el tablero 4 x 4 son
las que aparecen en la figura.
o
E H
s
Soluciones 4 x 4
86
------------------
Para un tablero 5 X 5 hay muchas soluciones con tres
reinas. Aquí reproducimos otras dos soluciones distintas.
¿Cuántas has encontrado tú?
En el tablero 6 X 6 se puede resolver el problema con
sólo tres reinas, pero esencialmente de una única manera;
mientras que en el tablero 7 X 7 son necesarias cuatro reinas
para resolverlo.
Una solución 6 x 6
Una solución 7 x 7
87
•••••••
•••••
En el tablero 8 X 8 la solución requiere cinco reinas,y la
que damos aquí satisface, además, la condición de Jaenisch de
que ninguna reina esté amenazada por otra.
...........
•••••
•••••••••
•
• . .
8 x 8
Ninguna reina amenazada
•••
....
•
...
..
•
lit
t...
....
..
>..............
/
1> ...........
r
k·> ••
F···
••
.......
.............. ...
¡ .
¡•••.
•
..••.. ·i>
.... ... .
•
.... .......
..
8 x 8
Todas las reinas protegidas
Para más detalles sobre rompecabezas de este tipo véase
el libro Mathematical Recreations and Essays de W. W. Rouse
Sall (Macmillan).
40 Ver es creer
Área igual a 1 Se trata de una paradoja
muy antigua. El truco está en
que la aparente diagonal del
rectángulo 13 X 5 es, en
realidad, un paralelogramo
muy estrecho de área 1.
88
41 La inspección de carreteras
Los vértices A, e, E, G, He l son impares, y por tanto una de las
carreteras que llegan a ellos tiene que ser recorrida dos veces. Para que la
distancia total sea mínima, pueden elegirse, como carreteras a recorrer dos
veces, las AG, HC e lE. Una posible ruta es, pues, la siguiente:
A--+ B--+ C--+ D--+ E--+ F--+A--+ G--+ F--+ f--+ E--+ f--+ D--+ H- C- H- B - G- H- 1- G--+ A
con una distancia total de
(6 x 13) + (9 x 12) + (6 x 5) = 216 km
42 Las fichas del dominó y el tablero de ajedrez
¡El problema propuesto es imposible!
Imagínate cada ficha del dominó pintada, la mitad blanca y la otra
mitad negra, según los cuadros del tablero que ocupe. Al quitar dos
cuadros opuestos el tablero pierde dos del mismo color y quedan, por
ejemplo, 30 negros y 32 blancos. No hay manera de colocar las fichas del
dominó cubriendo el tablero, puesto que cada flecha cubre inevitablemente
un cuadro blanco y otro negro.
44 Un paseo a caballo
En un tablero 4 x 4 es
imposible un paseo a caballo,
pero sí es posible encontrar
un camino que recorra 15 de
los 16 cuadrados. Los paseos
a caballo sobre tableros
5 x 5,6 x 6 y 7 x 7 siempre
son posibles, y la figura
muestra una solución para
cada caso.
[
6 .·.·9 2 I 5
•
1I .
1 12 1 .. 5 8
24
13
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10 7 .•• 14 ••. 3
1 18
•
No hay solución
7
4x4
14 9
t< ''' ...
.. 20. 3
19
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·.·.··2 ...' 15
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10
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•
23
25
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12 17 22 5
Una solución 5 x 5
l.··.... ! .
11 f~, 33 '." 1324·· 3 ,......... .......... .
t"'''·''''·. V:::::::::· ... 9 • 20 41 38 35 t26 5
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30 • 49 .. 18 7 28 47 16
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~
3 34 13 5 28
.... · .. ~0
12 25 . 4 27 ,14 19
Una solución 7 x 7 Una solución 6 x 6
89
Después de practicar un poco, descubrirás, lo mismo que el autor y
mucha gente antes que él, que este juego es un entretenimiento fascinante
al que siempre se puede volver.
Tableros rectangulares en los que se pueden hacer paseos a caballo
SOI1, por ejemplo, los 5 X 4 Y4 X 3.
.............. :;:::::::::.;.
20 7 J6; 3
...............
:;12.:
5
:JO:
Una solución 5 x 4 Una solución 4 x 3
Para los tableros en forma de cruz la figura siguiente muestra dos
soluciones; la segunda es un camino «con vuelta a casa».
La solución para el tablero 6 X 6 también es un camino «con vuelta a
casa», pues desde el último cuadro, el 36, se puede volver all con un único
salto de caballo.
La razón de que no sea posible un camino «con vuelta a casa» sobre un
tablero con un número impar de cuadros, radica en el hecho de que en
cada movimiento el caballo pasa de un cuadro a otro de distinto color.
Supongamos que el recorrido comienza en un cuadro negro; el número
impar de cuadros del tablero se habrá recorrido en un número par de
saltos de caballo, al cabo de los cuales ocupará de nuevo un cuadro negro,
y por ser este cuadro del mismo color que el de partida es imposible pasar
de uno al otro mediante un único salto del caballo.
Una buena referencia sobre el tema es el libro Mathematical Recreation
and Essaysde W. W. Rouse Ball (Macmillan).
90
45 Aserrando un cubo
Independientemente de cómo trates de cortar el cubo
grande, no hay manera de evitar que el cubo central de 1 cm
tenga sus seis caras, y que todas hayan de ser cortadas por
cortes distintos. Así pues, es imposible cortar los 27 cubitos
pequeños con menos de seis cortes.
46 Un agujero imposible
Para demostrar que en un cubo es posible hacer un
agujero lo suficientemente grande como para que a través de
él pueda pasar otro cubo mayor, sólo hay que demostrar que
el primer cubo tiene una sección mayor que su arista.
Considérese el rectángulo ABCD, cuyos vértices A, B, Cy D
equidistan del vértice del cubo más próximo. AB es mayor
que la arista PQ; BC es casi igual a la diagonal QR, luego
también es mayor que la arista PQ. Es posible, pues,
imaginarse un agujero de sección cuadrada atravesando el
cubo, de manera que el lado de dicha sección sea mayor que
la arista del cubo.
47 Dos gemelos idénticos
¡Qué fácil es,
cuando ya se sabe hacer!
48 El teorema de los cuatro colores
La experiencia enseña que a la mayoría de la gente le
gusta intentar encontrar un mapa que no se pueda colorear
con menos de cinco colores, ya menudo cree que lo ha
conseguido, hasta que alguien le dice cómo volver a
colorearlo con sólo cuatro colores. La figura muestra cómo se
puede pintar el mapa dado con cuatro colores.
Es curioso que sobre la superficie de un toro (que tiene la
forma de salvavidas) es posible dibujar un mapa que no
puede ser coloreado con menos de siete colores. Véase, por
ejemplo, ¿ Qué es la Matemática? de R. Courant y H. Rob bins
(Aguilar), y Riddles in Mathematicsde E. P. Northrop
(Pelican). 91
50 La cuadratura del triángulo equilátero
U na manera clara de ver cómo se pueden reordenar las e
piezas para formar el cuadrado, es imaginarlas articuladas en
P, Qy R, e ir girándolas hasta cerrar completamente el
cuadrado, como indica la figura. Y(l: S
B
QN M
S p
A .~_---r
N R M
S
92
51 La cuadratura de la tetera
La clave para resolver este rompecabezas está en la
peculiar posición de las circunferencias que forman \a sección
de la tetera.
52 Un ama de casa perpleja
La aparente paradoja quedó completamente aclarada
cuando la señora Paca vio un horario en el que figuraban las
horas a las que pasaban los autobuses Py Q por su parada:
Línea P Línea Q
10,09 10,10
10,19 10,20
10,29 10,30
10,39 10,40
10,49 10,50
10,59 11,00
Desde que pasa un autobús Ptranscurre sólo un minuto
hasta que aparece un Q, y nueve hasta que pasa el siguiente P.
Así pues, por cada 1°minutos pueden pasar nueve
esperando un Py sólo uno esperando un Q. Tendríamos,
pues, que una persona que utilice frecuentemente esta parada
vería llegar primero el autobus Pnueve veces de cada diez.
53 Jugando a invertir el triángulo
I
Hay que mover las tres monedas de los vértices del I
triángulo tal como indica la figura. \(-
./ - -- '"
I \
I
I
I
/
93
54 El billar americano
Los buenos jugadores le dan a la bola un movimiento de
rotación adicional que puede alterar sensiblemente el rebote
al chocar con la banda. Sin embargo, la manera simplificada
que hemos explicado da una idea de la dirección correcta en
la que hay que golpear la bola para sortear el escondite.
~O
O
f)d)
55 Buscando cuadrados (para dos jugadores)
Hay que tener muy en
cuenta no sólo los cuadrados
de lados paralelos a los
bordes del tablero, sino
también los inclinados.
Véanse dos ejemplos de
estos últimos en la figura.
x O
X
O
X o
, X
O
:94
-- --
56 La polilla hambrienta
¡La respuesta correcta no es
15 cm! La figura representa los
cinco volúmenes vistos desde
arriba,y las líneas punteadas el
camino seguido por la polilla, y
sólo tiene 9 cm de longitud.
I
f-
'-
II
-
III
1-
IV V
57 El desvío más
barato ,
L " ,
Imagínate que la carretera I ' ',,_ O Q
fuese un espejo y dibuja la -¡..Li-------"..,~"_----- .. i
·----------,-
imagen reflejada F de F; une ~ , I
I
esta imagen F con V mediante I
I
una recta, y el punto donde I
I
esta recta corte a la carretera (!) I
será la posición de D. F
, I
"- ,Para convencerse basta observar que , I
"- , I
FD +DV =FD +DV =F V '®
Si Q fuera cualquier otro punto de la carretera, entonces V
FQ + QV = F Q + QV > F V
porque F Q V es un triángulo, y la suma de dos de sus lados es
siempre mayor que el tercero.
58 Piezas que llenan todo un espacio
El tetraedro grande no se puede formar de los tetraedros
pequeños. Si se quita un tetraedro pequeño de cada vértice
del tetraedro grande, lo que queda de él es un octaedro de
sección cuadrada, que no puede construirse con los
tetraedros pequeños.
59 Curvas formadas al cortarse circunferencias
Con ayuda del compás, este ejercicio te resultará muy entretenido.
Comienza dibujando una recta en mitad de la hoja de papel y señala
intervalos de 0,5 cm para que los radios de las circunferencias sean los
correctos. Algunos consejos útiles para el manejo del compás: 1) asegúrate
de que las patas del compás queden bien bloqueadas y no puedan abrirse o
cerrarse solas; 2) asegúrate también de que las dos patas son igual de
largas, cerrándolo y graduando la longitud de la mina utilizada; 3) al
dibujar, no dejes de ejercer presión sobre la punta del compás clavada en el
papel en el centro de la circunferencia, y 4) no trates de mover el compás,
empujando la punta trazadora.
95
Probablemente la familia de curvas más sencilla, además
de las elipses, sea la de las hipérbolas.
~
Un buen libro en el que se pueden ver muchos otros
dibujos de curvas es A Book 01 Curves de E. H. Lockwood
(Cambridge University Press).
60 ¡El ultimátum de una amante!
61 Sólo cuatro rectas
Intenta después
desconectar los 16 puntos de
un cuadrado 4 por 4,
utilizando seis rectas y sin
levantar el lápiz del papel.
96
62 ¿A qué velocidad eres capaz de pedalear?
Independientemente de la velocidad que pueda
desarrollar el ciclista bajando de la ciudad B a la e, no puede
conseguir una velocidad media de 40 km/h, puesto que
debería recorrer los diez km de A a een un cuarto de hora, y
ya ha consumido ese cuarto de hora subiendo de A a B.
63 La pista de bobsleighs
Contrariamente a lo que, a primera s
vista, podría parecer el camino buscado
no es la línea recta de S a V. El camino
de descenso más rápido es un arco de ~v
una curva llamada cicloide y, cosa ~
extraña, puede incluso subir, en vez de
bajar, en parte del recorrido. Una
cicloide es la trayectoria que describe
un punto del borde de una rueda al
desplazarse rodando, sin deslizar, sobre
una recta.
Para dibujar una cicloide coloca una
regla sobre una hoja de papel blanco, y
haz rodar sobre el borde de la regla (sin
deslizar) la tapa circular de una lata o un
plato pequeño, marcando sobre una
hoja de papel el camino que va
recorriendo un punto concreto del
borde. Puedes hacer una buena
demostración de que éste es el camino
más rápido, construyendo dos pequeñas
rampas de madera o plástico, una de
ellas rectilínea y la otra en forma de
arco de cicloide invertida, las dos con
los mismos extremos, y dejando caer
por ellas dos bolas simultáneamente.
Sobre este tema pueden verse los libros Machines,
Mechanisms and Mathematics de A. B. Bolt y J. E. Hiscocks
(Chatto and Windus), y Riddles in Mathematics, de E. P.
Northrop (Pelican).
97
64 Cuestión de vocales
Para construirte tu propio rompecabezas, lo más fácil es
partir del cuadrado vacío, dividirlo en trozos de cinco
cuadros cada uno, y por último colocar las letras u otros
motivos análogos en cada trozo.
E A 1 o 1
U E U E o
o 1 A o A
1 U E A 1
A o U E U
65 Juegos con fichas para un solo jugador
Estos juegos son muy antiguos, pero no han sido
demasiado apreciados, porque parecen engañosamente
sencillos.
El mínimo número de movimientos en el «salto de la
rana)) es quince. Numera los agujeros de 1 a 7, de izquierda a
derecha; entonces, una solución en 15 movimientos es la
siguiente, donde el número corresponde al hueco vacío en
cada etapa:
356421357642354
La estrategia consiste en maximizar el número de saltos, y
en esta solución hay nueve.
Con x fichas negras e y rojas para intercambiarlas de
extremo, puede lograrse la solución en xy + x + y
movimientos, siendo xyel número de saltos.
Los solitarios anteriores y muchos otros vienen
analizados en el libro de W. W. Rouse Ball, Mathematical
Recreations and Essays (Macmillan); puede consultarse
también Winning Ways, vol. 2, de E. R. Berlekamp, J. H.
Conway y R. K. Guy (Academic Press), y Further
Mathematical diversions de Martin Gardner (Pelican).
66 Dos piezas iguales
Q
98
67 Cómo pintar un cubo
El mínimo número de colores es tres, ya que las tres caras
que concurren en un vértice son, dos a dos, adyacentes y
deben ir pintadas de distintos colores, pero las tres parejas de
caras opuestas pueden ir del mismo color cada una.
Si disponemos de cuatro colores A, B, Cy D, tenemos
cuatro maneras distintas de elegir tres, ABC, ABD, ACD y
BCD, y una sola manera de colorear el cubo con esos tres
colores a la vez. No es fácil distinguir las diferentes
posibilidades sin utilizar un modelo (varios terrones de
azúcar pueden servir). Advierte que no puedes pintar del
mismo color tres caras cualesquiera porque habría dos
contiguas iguales; como hay seis caras y cuatro colores, se han
de usar dos colores en dos caras cada uno, y los otros dos en
una cada uno. Esto nos lleva a las seis soluciones
representadas:
8
e A e D
8
8
DAD e
8
e
DAD 8
e
A
e 8 e D
A
A
D 8 D e
A
A
8 e 8 D
A
En cada caso, los dos colores que se repiten han de ir en
caras opuestas.
Estas seis soluciones, junto con las cuatro anteriores, que
utilizaban sólo tres colores cada una, nos dan un total de diez
maneras distintas de colorear el cubo.
99
68 Los problemas de la vía única
a4a3aZa¡A / Bb¡bzb3b4
a4a3 a2a l A ~''b'Q" b3b4
Bb¡b2
Bb¡ b2a4a3a2a¡
/
;y~"
a4a3a2a¡Ab3b4
Bb¡b2 ~'Q" a4a3a2a¡A
Eb, b2b3b4 / a4a3aZa¡A
69 Dos a la vez
Coloca el 7 sobre ellO, el 5 sobre el 2, el 3 sobre el 8, el 1
sobre el 4 y el 9 sobre el 6.
70 Cara y cruz
Posición inicial HTHTHTHT
Primer movimiento THHTHTH T
Segundo movimiento THHT HHTT
Tercer movimiento T THHHHTT
Cuarto movimiento TTTTHHHH
71 La cuadratura de la cruz griega
2
72 El reparto de gasolina
He aquí una solución: Depósito PIHONMDEFGSRQCBLKJA Depósito
100
73 Un reparto justo
Llénese el recipiente 5 del 8; llénese el 3 del 5, dejando dos en 5;
vacíese 3 en 8; traspásense los dos de 5 a 3 y lIénese de nuevo 5 de 8;
viértase parte de 5 en 3, con lo que quedan cuatro en 5; y, por último,
vacíese 3 en 8, con Jo que quedarán también cuatro cántaros en 8.
74 Magia con monedas
Recorriendo el cuadrado en el sentido de las agujas del reloj, toma la
moneda del centro de un lado y colócala encima de la que ocupa la esquina
siguiente. El resultado obtenido es, pues, un cuadrado con dos monedas
apiladas en cada vértice, con cuatro monedas en cada lado.
¡Qué fácil resulta cuando se sabe!
75 La rana obstinada
La respuesta correcta es 28 días.
76 Cómo ordenar una estantería
El número de intercambios que habrá que hacer dependerá de lo
desordenados que estén los libros, y una de las maneras de analizarlo es
ésta: Primero escnbase el orden correcto en que deberían estar los libros, y
debajo el orden en que están:
Orden correcto 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Orden dado 657 1 893 2 4
Entonces se ve claramente que algunos libros están intercambiados
entre sí, como el 3 yel 7, de manera que un simple cambio entrelos dos,
representado por (37) los pondrá en su lugar.
En los demás casos no es tan sencillo. Pero vemos que:
el 6 está en la posición 1
el 1 está en la posición 4
el 4 está en la posición 9
yel 9 está en la posición 6
de manera que sólo es necesario intercambiarlos entre sí. Podemos
representar sus posiciones relativas por (6149), y colocarlos en sus lugares
correctos con un mínimo de tres intercambios, el (49), seguido del (14) y
del (61).
101
Las posiciones relativas de los otros tres libros se
representan por (528), dado que
el 5 está en la posición 2
el 2 está en la posición 8
y el 8 está en la posición 5
Así pues, los podemos colocar en orden por medio del
intercambio (28) seguido del (52).
En resumen, la enciclopedia de nuestro caso puede
ordenarse con los seis intercambios siguientes:
(37) (49) (14) (61) (28) (52)
La solución no es única, pero lo que sí es cierto es que seis
es el mínimo número de movimientos necesarios a partir de la
posición dada.
Aplicando el mismo método al segundo caso, tenemos
Orden correcto 1 234 5 6 789
Orden dado 4 5 768 1 923
y ahora podemos describir el desorden que nos dan de la
forma
(416) (528) (739)
Ypuede ordenarse por medio de una sucesión de los
intercambios
(16) (41) (28) (52) (39) (73).
Investiga cuál será el mínimo número de intercambios
necesarios para poner en orden la sucesión
235941867.
77 Partiendo un círculo
Parece que la solución va a ser 32, pero no es cierto; el
resultado correcto es 31. Éste es un buen ejemplo de que no
es fácil predecir el término siguiente en una sucesión dada de
números, si no se dispone de pruebas suficientes.
Para quienes saben algo de combinatoria, el número de
partes correspondiente a n puntos cualesquiera viene dado
por
Cl+ C2'+ 1
102
78 Números casi cuadrados
Éste es un buen ejercicio para hacerlo con ayuda de una
calculadora de bolsillo. Forma una tabla con los datos
y tendrás una solución cuando halles un número en la
columna n2 - 1 que aparezca también en la columna
~(n2 - 1).
La solución a nuestra pregunta es 840, ya que
840 + 1 = 841 = 292
Y(840 X 2) + 1 = 1681 = 4 I2.
79 Un jardinero aficionado a la matemática
Lo mismo que en el problema anterior, necesitarás una
tabla de cuadrados. Se trata de hallar soluciones enteras de la
ecuación
La primera solución es
Otras posibles soluciones son
82 + 11 2 =42 + 132 = 185
Y15 2 + 202 = 72 + 242 = 625
80 Triángulos mágicos
Resuélvelo por el clásico método de ensayo y error.
Con 1,2,3,4,5 y 6las cuatro posibilidades son
y
103
y
Observa que las soluciones vienen por parejas, en las que
los números de los vértices de los triángulos se permutan con
los del medio de los lados opuestos.
Con 1,2,3,5,6 Y7 las soluciones son
y
que están muy relacionadas con las dos últimas del caso
anterior. ¿De qué manera?
Con 1,2,3,4,6 Y7 las soluciones son
y
81 Números curiosos
1)
Si el dígito elegido es d, la respuesta es ddd ddd ddd, debido a que
12345 679 = 111 111 111 : 9
2)
Si el dígito es d, entonces la respuesta es ddd ddd. En este caso 15 873
=111111:7
3)
Como 143 X 7 = 1 001, se tiene que
143 x d x 7 = 1 001 x d = d 00 d.
104
4) Probablemente se puedan dar varias explicaciones lógicas para cada
uno de estos casos:
1234 = 1111 + 111 + 11 + 1 + O
a)
(1111 X9)+1=10000
( 111 x 9) + 1 = 1 000
( 11 X 9) + 1 = 100
( 1 X 9) + 1 = 10
( OX 9) + 1 = 1
Este ejemplo puede explicar por qué salen las formas que salen.
b) 66x67
=2x3xllx67
= 22 X 201
=4422
666 X 67
= 2 X 3 X 111 X 67
= 222 X 2001
=444222
y así sucesivamente.
82 Unas restas chocantes
Lo sorprendente es que, no importa de qué cuatro dígitos hayas
partido, el resultado final será 6 174. He aquí una cadena más larga
1)_7432 2)_ 8550 3) _ 9972 4)_7731
2347 558 2799 1377
5085 7992 7173 6354
5)_ 6543 6) _ 8730 7) _ 8532 8) _ 7641
3456 378 2358 1467
3087 8352 6174 6174
El autor ha llegado a encontrar cadenas de ocho restas necesarias para
que a.parezca el número 6 174, pero estaría interesado en saber si alguien
consigue una cadena más larga.
Una calculadora facilita mucho este tipo de investigación; en cualquier
caso conviene ir anotando los resultados parciales de las restas, para evitar
que, si una cadena es larga, cuando aparezca el6 174 te hayas olvidado ya
del número de partida.
Estudia qué ocurre con números de cinco o más dígitos.
105
83 ¿Cuál es el mayor número que puedes obtener?
Pon los dígitos elegidos en orden decreciente
9 7 5 432
Para obtener la suma máxima sólo necesitas tomar los dos
primeros dígitos como cifras de las centenas, los dos
siguientes como decenas y los dos últimos como unidades;
resultan cuatro pares posibles:
+953 + 943 + 952 + 942
742 752 743 753
1695 1695 1695 1695
Sin embargo, el producto máximo se obtiene tomando, de
los cuatro pares anteriores, el que consta de los dos números
más próximos, es decir
942 X 753 = 709326
Una manera sencilla de entender el porqué, es imaginar
que las distintas parejas de números son los lados de un
rectángulo. Como la suma de todas las parejas es la misma,
todos estos rectángulos tendrán el mismo perímetro, mientras
que el producto de cada pareja corresponde al área del
rectángulo, y se da el caso de que, para rectángulos de igual
perímetro, el área máxima corresponde al más parecido a un
cuadrado.
84 Los cuatro cuatros
Éste es un tipo de problema al que vale la pena dedicarle
tiempo. Si se toma como actividad escolar, se pueden escribir
los resultados en una pizarra y animar a los participantes a
que a lo largo de la semana pongan expresiones alternativas.
Los números que parecen difíciles de expresar varían de una
persona a otra, pero hay dos o tres verdaderamente difíciles.
¡Date por contento si consigues expresar 95, o más!
41 + 4,4 0,4/4 + O4'
71 73 ---=--v_::---"_ donde 0,414 = 4512 = i = 32O~ y'+0,4 ,
4! 4'+/4
85 = t;¡) J (,/\ + 4 89 =' + 4! O,"t X O,"t 0,4
106
85 ¿Cuáles eran los datos?
13: 29 = 0,4482758
¡Este tipo de problemas son muy fáciles de plantear!
86 Un filón muy productivo
Éste es un problema interesante para proponer a un
grupo de personas y ver quién consigue encontrar el camino
más productivo. La idea la tomé de un artículo del número
418 de Mathematical Gazette, y de la campaña de propaganda
de un fabricante de detergentes australiano. Se trata de un
problema que despierta un interés especial en el caso de una
competición entre varios jugadores, pero, hasta el momento,
nadie parece haber encontrado la. solución óptima sin ayuda
de un ordenador; quizás porque el camino óptimo
28 74 45 83 57 72 52 73 41 70 44 81 56
que da unos beneficios de 776 millones, no incluye a ninguno
de los once cuadrados con beneficios mayores de 83
millones.
Utilizando esta misma tabla de números es fácil proponer
otros rompecabezas análogos. Por ejemplo, ¿cuál será el
camino más corto que recorra todos los cuadrados que
pueden dar un beneficio de, al menos, 80 millones?
107
87 Centenas, decenas y unidades
El resultado final es siempre 1 089, salvo que en el primer
número elegido la cifra de las centenas sea la misma que la de
las unidades, es decir, un capicúa como 525, pues entonces la
primera resta dará cero.
88 Círculos mágicos
Las posibles soluciones
dependen todas ellas de que
1 +6=2+5=3+4=7.
En cada caso, el par de
cuadrados correspondientes
a las intersecciones de dos
circunferencias deben
contener un par de números
que sumen 7. Así pues, el
número mágico para cada
círculo es 14.
Para encontrar otro
conjunto de seis números
que se puedan usar para
formar un conjunto de
círculos mágicos, elíjase un
número Ny tres parejas de
números (a, b), (e, d), (e, f)
cuya suma sea N
Por ejemplo, si N = 15,
entonces las tres parejas de
números podrían ser
(5,10) (7,8) (2,13)
y una solución sería entonces:
donde 2N= 30 es el número mágico.
108
La solucióndel rompecabezas de los cuatro círculos
depende de
1 + 12 = 2 + 11 = 3 + 10 = 4 + 9 = 5 + 8 = 6 + 7 = 13.
7 8
Cualquier par de circunferencias se cortan sólo en dos
puntos, de manera que basta poner en esos dos puntos un par
de números que sumen 13. Es fácil, pues, encontrar una
solución. He aquí una de ellas
1 + 2 + 5 + 12 + 11 + 8 = 39
2 + 3 + 9 + 11 + 10 + 4 = 39
1 + 3 + 6 + 12 + 10 + 7 = 39
7 + 4 + 5 + 6 + 9 + 8 = 39
109
89 El número de teléfono de la doctora Numerati
37 x 41 x 43 = 65231
por tanto, la doctora Numerati vivía en el número 41 y su
número de teléfono era el 65 231.
90 Completa un siglo
He aquí cuatro soluciones
123 - 4 - 5 - 6 -7 + 8 - 9 = 100
123 - 45 - 67 + 89 = 100
[1 X (2 + 3) X 4 X 5] + 6 - 7 - 8 + 9 = 100
(1 X 2 X 3) - (4 X 5) + (6 X 7) + (8 X 9)= 100
91 Ruedas de números
El lado inferior tiene escritos sus tres números, que
suman 23. El número central será, pues, 23 - 15 - 2 = 6, Y
los demás van cayendo todos ellos, uno tras otro, fácilmente.
Número mágico 23 Número mágico 22
110
92 Un reto a las calculadoras
Gracias a que las calculadoras se encargan del, digamos, «trabajo
sucio)) aritmético, estos retos son en realidad bastante fáciles.
1) 237 x 238 Calcula primero /56406.
2) Una utilización inteligente del principio de ensayo y error te conducirá
al resultado
69 X 71 X 73 = 357 406
3) 262 + 272 = 1 405
4) El método a seguir es tantear diferentes números para irse acercando
gradualmente a la longitud buscada.
5x5x5=125 y 6X6X6=216
Por tanto, la longitud buscada estará entre 5 y 6, pero más cerca de seis
que de cinco. Por comprobaciones sucesivas tenemos
5,9 5,9 X 5,9 X 5,9 = 205,379
5,8 5,8 X 5,8 X 5,8 = 195,112
5,85 5,85 X 5,85 X 5,85 = 200,20162
5,845 5,8453 = 199,68872
5,848 5,848 3 = 199,99636
5,848 1 5,848 13 = 200,00661
5,84804 5,848043 = 200,00045
5,848035 : 5,8480353 = 199,99994
En muchas calculadoras puede obtenerse el resultado
5,8480355 3 = 200
aunque no es la respuesta exacta, sino sólo la que los límites de la
calculadora permiten.
93 Divisiones que se repiten
Antes de la llegada de las calculadoras no solían sacarse
más de cuatro o cinco decimales al hacer una división que no
fuera exacta. Sólo se solía ver el comportamiento recurrente
al dividir por números pequeños, como el 3 o el 11. Éste es el
motivo de que para mucha gente resulte una sorpresa que
prácticamente cualquier división dé como resultado un
número decimal periódico.
1) Al dividir por 7 se obtiene siempre una sucesión
recurrente de seis cifras:
8/7 = 1 1/7 = 1,142857
9/7 = 1 2/7 = 1,285714
16/7 = 2 2/7 = 2,285714
1/7 = 0,142857 142857...
2
111
Para ver por qué al dividir por un número como 64 o 320
siempre se termina la división, probablemente lo mejor sea
analizar un ejemplo. Consideremos
73 73 73 X 56 1 140625
64 =26= 26 X 56 = 1000000 = 1,140625
Si el denominador no es un producto de una potencia de
2 por una potencia de 5, entonces es imposible convertirlo en
una potencia de 10.
Al dividir por un número como 31, si la división no es
exacta hay 30 restos posibles, es decir, 1, 2, 3, .... que, en el
peor de los casos, pueden aparecer todos ellos, antes de
empezar a repetirse. Da lo mismo, pues, estudiar la sucesión
de repeticiones de cifras decimales en el cociente, que la de
los restos. Todo esto está estrechamente relacionado con la
teoría de congruencias y de grupos cocientes, temas que
podrían interesar al lector.
2) En el caso de las divisiones por 17 la sucesión es
C29411764;05882351
5
17 = 0,29411 7647 0588235294 1
6
17 = 0,35294 11 7647 °5 8 8 23529
7
17 = 0,4 1 1 7 6 4 7 O5 8 8 2 3 5 2 9 4 1 1 7
3) Al dividir por 19 la sucesión de cifras es la siguiente
4) Las divisiones por 11 siempre conducen a una sucesión
de dos dígitos, que puede ser cualquiera de las
siguientes:
09 18 27 36 4S
90 81 72 63 54
Las divisiones por 13 conducen a una de estas dos
sucesiones de seis cifras
112
94 Algunos números distinguidos
Números capicúas
El mínimo número primo capicúa es el 11, y el mínimo cuadrado
perfecto capicúa e1121. Sólo hay otros dos cuadrados perfectos capicúas
menores que 1 000:
484 = 22 2 Y 676 = 26 2
Los primos capicúas entre 100 y 200 son
101131 151 181 191
Todos los capicúas entre 400 y 500 terminarán en 4, luego serán par;
entre 500 y 600 terminarán en 5, luego tendrán el factor 5;
entre 500 y 700 terminarán en 6, luego también serán par. De hecho,
entre el 383 y el 727 no hay ningún primo capicúa.
El factor común pedido es el 11.
95 Estrellas mágicas
El número mágico es 40 en los dos casos.
8
Se llega a las soluciones por el clásico método de la «cuenta de la vieja»
o bien utilizando un sistema de ecuaciones lineales.
Una buena referencia sobre estrellas mágicas es el libro Magic Sqllares
and Cubes de W. S. Andrews (Dover).
113
- - -
- -
96 La seguridad lo primero
Ambos problemas son muy conocidos, pero si no te los
habías encontrado antes, ofrecen un interesante reto a tu
capacidad de razonamiento aritmético. La clave está en
comenzar por la izquierda del resultado, dado que los
posibles valores de D y de M son, más bien, pocos.
a) 9 6 2 3 3
+62513
b) 9 567
+ 1 O 8 S
1 S 8 746 10652
Otros problemas parecidos:
THREE T H 1 S
+THREE + 1 S SANTA
FOUR VERY -CLAUS
ELEVEN EASY XMAS
97 La estrategia secreta del tahúr
Si el contrincante elige el dado rojo, el tahúr elige el azul.
Si el contrincante elige el dado azul, el tahúr elige el
amarillo.
Si el contrincante elige el dado amarillo, el tahúr elige el
rojo.
En todos los casos, el tahúr tiene unas probabilidades de
ganar, por término medio, en cinco tiradas de cada nueve.
Es una situación sorprendente. Los números de las caras
de cada dado suman lo mismo y ningún dado es mejor que los
otros dos.
Para ver por qué el dado azul es mejor que el rojo basta
considerar los posibles resultados de una tirada:
Puntuación Posibles puntuaciones
del dado rojo del dado azul
2 357
4 357
9 357
donde se han subrayado las posibles puntuaciones del dado
azul que ganarían a las del rojo: en total 5 de 9 casos, siendo
todos ellos equiprobables. De manera análoga se puede ver
por qué el dado amarillo es mejor que el azul, y el rojo mejor
que el amarillo.
114
SPEND
MORE
MONEY
98 El problema del transporte
p Q R s
p Q R s
A A
o bien BB
e e
4 5
1 5
3 7
4 5
5 1
3 7
Ambas distribuciones corresponden a una distancia de
67 km. Éste es un problema sencillo de un tipo muy general
para el que hay un método específico de resolución, aunque
se trataba de resolverlo utilizando inteligentemente el
tradicional procedimiento de la «cuenta de la vieja».
Si el lector quiere introducirse más a fondo, puede
consultar, por ejemplo, An Introduction to Linear
Programming and the Theory ofGames de S. W. Vajda
(Methuen-Wiley) o Mathematics in Managementde A.
Battersby (Pelican).
99 Nuevos y curiosos esquemas numéricos
1)
x 2 - y2 = (x + y) (x - y).
En este caso x - y = 1, luego x 2 - y2 = X + y.
2)
Si el número elevado al cuadrado es n entonces los otros
dos números multiplicados son n - 1 Y n + 1.
Ahora bien (n - 1) (n + 1) = n2 - 1, luego el producto es
siempre una unidad menor que n2•
3)
Para el caso de las potencias de 3, el último dígito repite el
ciclo 3, 9, 7,1.
Para las potencias de 2, la sucesión es 2, 4,8,6.
Para las potencias de 4, la sucesión es 4, 6.
Para las potencias de 5 y de 6 dan 5 y 6.
Para las potencias de 7, la sucesión es 7, 9, 3, 1.
Para las potencias de 8, la sucesión es 8, 4, 2, 6.
Para las potencias de 9, la sucesión es 9, 1.
4)
La línea n-ésima consiste en la suma de n números
impares consecutivos, terminando en el número impar de
lugadn(n+ 1), suma igual a n3•
5) La suma de los cubos de los n primeros números naturales
es igual al cuadrado de la suma de dichos números. Por
ejemplo
13 + 23 + 33 + 4 3 = (1 + 2 + 3+ 4)2
115
100 Las ternas pitagóricas
Las principales ternas formadas por números menores que 50 son:
3 4 5
5 12 13
7 24 25
8 15 17
9 40 41
12 35 37 } triángulos de área 210
20 21 29
Otras ternas posibles son las proporcionales a alguna de las anteriores,
6 8 10 o 15 36 39 o 16 30 34
Utilizando la identidad
(m2- n2)2 + (2mn)2 = (m2+ n2)2
pueden construirse fácilmente tantas ternas pitagóricas como se desee, sin
más que darle valores enteros a m ya n, y calculando los números
m2- n2 2 mn m2+ n2
Unos cuantos ejemplos, en tres dimensiones, son:
2 3 6 7
1 4 8 9
3 16 24 29
101 Multiplicaciones misteriosas
138 x 42 = 5 796 198 x 27 = 5 346
483 x 12 = 5 796 297 x 18 = 5 346
186 x 39 = 7 254 1 738 x 4 = 6952
157 x 28 = 4 396 1 963 x 4 = 7 852
51 249876 x 3 = 153 749 628
32547891 x 6= 195 287 346
Una buena referencia sobre este problema y sobre muchas otras
relaciones interesantes entre números, es el libro Recreations in the Theory
01 Numbers de A. H. Beiler (Dover).
102 Un diamante mágico
Los números han de ser de la forma
a=x b=S+x 15 9
c=3+x d= 11 +x
con x arbitrario, y la suma sobre cada línea será
entonces igual a 20 + 2x. 12 6
Por ejemplo, si x= 1, entonces a = 1, b = 6, c= 4, d=
12, Yla suma de cada línea será igual a 22.
116
103 Fechas capicúas
: En un año como el 1982 todos los meses, salvo octubre y
diciembre, presentan una fecha capicúa precisamente el día
28 de dicho mes; por ejemplo, 28-6-82. Además 1982
incluye la fecha capicúa del 2-8-82, de manera que contiene
en total once fechas capicúas.
Pero, a partir de ese año, las fechas capicúas empiezan a
escasear, ya que la única en 1983 es 3-8-83, y fechas análogas
en años sucesivos, todas en agosto, hasta llegar a la 9-8-89.
Las fechas capicúas más próximas se obtendrán ajustando
correctamente un día de dos dígitos y otro día de un solo
dígito de un mismo mes o de dos meses seguidos. Dos
soluciones bastante buenas son
1-2-21 seguida de la 12-2-21
y la 22-1-22 seguida de la 2-2-22
separadas por intervalos de once días, pero las mejores
posibles parecen ser
29-8-92 seguida de la 2-9-82
separadas por sólo cuatro días.
104 Tarjetas numéricas adivinatorias
Las otras cuatro tarjetas
son:
Este juego y las tarjetas
utilizadas se basan en la
representación de los
números naturales en base 2.
Lo cierto es que estas tarjetas
suelen despertar un gran
interés, aunque los dos
participantes en el juego
estén en el secreto de cómo
funcionan.
1 3 6 7
10 11 14 15
18 le¡ II 23
2& 27 3D 31
8 '1 1D 11
12 13 14 15
24 25 lb 17
1~ 2q 30 31
4
12
lO
28
lb
10
24
28
5
13
21
lCl
17
21
25
2q
6 7
1.f 15
22 23
30 31
18 1q
22 1'3
26 17
30 31
117
105 Cuadrados mágicos 3 X 3
6 1 8
7 5 3
2 9 4
9 2 10
8 7 6
4 12 5
14
5
8
3
9
15
10 I
13
4
11 1 12
9 8 7
4 15 5
b) e) d) el
Al utilizar el método que hemos explicado para construir
nuevos cuadrados mágicos, hay que tener la precaución de
elegir las diferencias de tal manera que todos los números que
vayan saliendo sean distintos. El método funciona
cualesquiera que sean los números.
Sea a el primer número y p y q las diferencias; entonces
los números que se van generando y el cuadrado mágico
resultante son los siguientes:
a a+P
a+q a+p+q
a+2q a+p+2q
a+2p
a+2p+q
a+2p+2q
a+p+2p a a+2p+q
a+2p a+p+q a+2q
a+q a+2p+2q a+p
El número mágico es 3(a + p + q), lo que demuestra que
para cualquier cuadrado mágico 3 X 3 de números enteros, el
número mágico es un múltiplo de 3.
¿Podrías encontrar valores de a, p y q tales que todos los
números del correspondiente cuadrado mágico sean primos?
106 Cuadrados mágicos 4 X 4, Y mayores
Otros conjuntos de cuatro números que suman 34 en el
cuadrado mágico de Durero son los siguientes:
3 2 15 14 5 9 8 12
10 11 6 7 2 12 15 5
16 3 10 5 2 13 11 8
9 6 4 15 7 12 14 1
9 4 13 8 16 5 12 1
16 3 14 1 2 13 4 15
3 10 7 14 6 15 2 11
5 10 7 12 9 6 11 8
118
En el cuadrado mágico nasik también se dan la mayoría de las simetrías
del cuadrado de Durero, pero hay, además, diagonales interesantes, como
14 14 2 3 10 11 7 6
10 4 7 13 11 16 6 1
14 9 3 8 15 5 2 12
La referencia más completa sobre cuadernos mágicos es
probablemente el libro de W. S. Andrews, Magic Squares and Cubes
(Dover); véase también Mathematical Recreations and Essays de W. W.
Rouse BaH (MacmiHan), y Amusements in Mathematics, de H. E. Dudeney
(Dover).
107 Un cubo mágico
Capa intermedia
23 3 16
7 14 21
12 25 5
Capa inferior
18 22 2
20 9 13
4 11 27
Para una información mucho más completa acerca de cubos mágicos,
véase Magic Squares and Cubes, de W. S. Andrews.
loa Un problema con balanzas sin pesas
Compara 9 bolas cualesquiera con otras 9 y deja las 9 restantes en la
caja. Si la balanza se equilibra, ya sabemos que la bola más pesada está en
la caja y si no es así, estará entre las 9 del platillo que incline hacia su lado
la balanza. Hemos conseguido, pues, aislar la bola defectuosa entre 9 con
sólo una pesada. Dividamos ahora este conjunto de 9 bolas en tres de 3
cada uno y repitamos la operación anterior con ellos. Después de la
segunda pesada habremos conseguido aislar la bola defectuosa en un
conjunto de tres concretas, y repitiendo una vez más el proceso con ellas
tendremos localizada la bola en cuestión a la tercera pesada y sin error
posible.
Un problema análogo, pero mucho más difícil, es localizar una bola
defectuosa entre 13, con sólo tres pesadas, y sabiendo únicamente que
dicha bola tiene un peso distinto del de las otras 12.
109 Nuevos retos a la calculadora
1)
Haz la división, réstale al cociente su parte entera y multiplica el
número decimal resultante por 729.
La calculadora nos da
89328: 729 = 122,53497
0,53497 X 729 = 389, 99313
119
Debido a las limitaciones de la calculadora hay cierto error en las
últimas cifras, pero aun así puede asegurarse que el resto correcto es el
número entero más próximo al resultado, es decir, 390.
Compruébalo viendo que (729 X 122) + 390 = 89328
De otra manera puedes obtener el resto a partir de la primera división
89328 - (729 X 122) = 390
evitando la necesidad de redondear.
2) Como x 3 = 200, lo podemos escribir en la forma
2 200
x =-
x
se sigue que si x es una aproximación de la raíz cúbica de 200, entonces
¡200/xes- una aproximación mejor. Por ejemplo, si tomamos Xl = 6
como primera aproximación de ~200, entonces vamos obteniendo la
siguiente sucesión de aproximaciones:
200
x ~ j 200 == 5,82931== 5,7735 5,885662 6
H OO200 == 5,88566 Xs =
== 5,85742 etc. 5,829315,7735
El método converge hacia el número buscado. Puede no resultar tan
rápido como un calculista avezado que utilice el socorrido método de
«ensayo y error», pero en cualquier caso es muy fácil de programar.
3)
¿Qué es «infinito» para tu calculadora?
Comienza con una sucesión de nueves, y vete reduciéndolo hasta que
no obtengas más que cero como respuesta.
110 Un problema de peso
La~ pesas eran de 1 k~, 3 kg, 9 kg Y27 kg. Colocando estas pesas en
c~alqU1era de los dos plat1l1os de la balanza se consigue pesar cualquier
numero exacto de kg de 1 a 40. Por ejemplo:
11 = 9 + 3 + 1 20 = 27 + 3 - 9 - 1
120
x
111
Rectángulos semejantes
Las longitudes han de estar en la razón de)2 a 1,
puesto que
x 1
1 x/2
es decir
de donde x = 'yf2
112
Inventando un nuevo tipo de diana
x/2 x/2
La solución de la figura
hace máxima la suma de las
diferencias entre números
adyacentes. Tenemos
10 saltos de 10
9 saltos de 9
y 1 salto de 19
lo que da una suma de 200
unidades.
En general, si JI es un
número par, podemos
colocar los números 1,2,
3, ... , JI en torno a un círculo
de manera que la suma de Jos
sucesivos saltos sea igual a
2±11 .
¿Qué distribución de los
mismos números haría
mínima la suma de las
diferencias?
113
El únicohexágono
mágico
Este hexágono mágico
fue hallado por un inglés, T.
Vickers, que lo publicó en el
número de diciembre de
1958 de Mathematica!
Gazetre.
121
114 El juego de Nim
Puede verse un análisis del juego de Nim en el libro Mathematical
Recreatiol1s alld Essaysde W. W. Rouse Ball (Macmillan), así como en We
Bllilt Ol/r OWI1 Compllters. de A. B. BoH (Cambridge University Press), en
el que hay un interesante capítulo donde se describe una máquina que
puede jugar a este juego.
El interés especial del juego deriva de que sus posiciones pueden ser
clasificadas como «seguras» o «inseguras».
A partir de una posición segura, un jugador sólo puede crear una
posición insegura. independientemente de las fichas que retire. Sin
embargo, desde una posición insegura se puede pasar a otra segura o
insegura. Así pues. un jugador que haya analizado el juego siempre puede
pasar de una posición insegura a otra segura y derrotar a su oponente.
Hay muchas más posiciones inseguras que seguras, pero para poder
aprovechar este hecho es necesario saber distinguir entre unas y otras.
En nuestro ejemplo, pon en base dos el número de fichas de cada
montón y suma los dígitos de cada columna (sin «llevar»):
En base dos
7 111
9 1001
6 110
suma de los dígitos 1222
En una posición segura. la suma de los dígitos de cada columna tiene
que ser par. Por lo tanto, esta posición es insegura.
Para pasar a una posición segura se podría reducir el segundo montón
a 1. Entonces
7 11 1
1 1
6 110
222
es una posición segura. ¿Por qué es éste el único movimiento seguro a
partir de esta posición? Otras posiciones seguras son. por ejemplo, (2, 4,
6), (2, 5.7). (1, 2. 3), (7, lO. 13).
Jugando contra un jugador inexperto, un jugador que conozca esta
estrategia ganaría nueve veces de cada diez. pero no puede ganar si la
posición de partida es insegura y su oponente hace lIn movimiento seguro
en todas las etapas siguientes.
Ante una posición segura la mejor estrategia es la de retirar
exactamente la ficha (es decir, hacer 10 menos posible). en la esperanza de
que el siguiente movimiento del adversario sea una posición insegura.
122
115 Triangulando el cuadrado
El autor de este libro
estaba convencido de que era
imposible triangular un
cuadrado por medio de
triángulos que tuvieran todos
sus ángulos agudos, hasta
que recibió, del Dr. Hugh L.
Porteous, de la Sheffield City
Polytechnic, la solución de la
figura. Obsérvese la simetría
respecto a sus dos
diagonales.
116 ¿Quién la liga?
Comienza por a y vete contando 13 y tachando la letra en la que caiga.
El resultado final será que la liga g. Para que la ligue e, que está opuesto a g,
la cuenta ha tenido que comenzar por e.
117 A verigua qué cartas hay sobre la mesa
La solución es la que muestra la figura, y se puede obtener de la manera
siguiente.
Supongamos que los números correspondientes a cuatro cartas
seguidas son a, b, e y d. Entonces
b+e+d=a+b+e
ob+e+d=a+b+e+l
ob+e+d=a+b+c-l
La primera de estas tres alternativas implica que a = d, por tanto,
imposible; mientras que las otras dan d= a + 1 o
d = a - 1. Si tomamos d = a + 1 (la otra alternativa conduce a la misma
solución final) tendremos cuatro cartas seguidas de números
a, b, c, a+ 1
9
Utilizando el mismo razonamiento para determinar el
número de la carta siguiente, resulta que ha de ser b - 1, la
siguiente e+ 1, y la carta siguiente ha de ser de nuevo a; así
pues, estamos otra vez donde habíamos comenzado, con las
seis cartas
a, b, C, a+ 1, b+l c+ 1
colocadas en ese mismo orden alrededor de la mesa. Como
(a, a + 1), (b, b + 1), (e, e + 1) son parejas de números
consecutivos, y como las cartas números 2,5,6 Y lOnas 10
vienen ya dadas, resulta que las cartas que faltan son la
3 y la 9.
123
118 El problema de dividir una herencia
No hay ningún punto en el interior del rancho que, al unirlo con las
cuatro esquinas, se formen otros tantos triángulos de áreas iguales. La
única posibilidad de dividir un cuadrilátero de esta manera se da cuando
una de sus diagonales AClo divide en dos triángulos ABCy ADCde áreas
iguales, puesto que entonces el punto medio M de la diagonal es el punto
buscado.
119 ¡El fin del mundo!
Por sorprendente que pueda parecer, el primer día de un siglo nunca
puede caer en domingo ni en martes ni en jueves. En 1582 el Papa
Gregorio XI!!, con la intención de mejorar la exactitud del calendario,
decretó que habría un año bisiesto cada cuatro años, pero quedarían
excluidos de esta cuenta los años múltiplos de 100 pero no de 400. Así
pues, el año 2000 será bisiesto, p~ro no lo serán los años 2100, 2200 ni el
2300 a pesar de ser múltiplos de 4.
Para ver qué efecto tiene sobre el primer día de un siglo, consideremos
el número de días que van desde elIde enero del primer año de un siglo
hasta elIde enero del primer año del siglo siguiente. Son 100 años, entre
los que normalmente hay 25 bisiestos, y por lo tanto 36 525 días, lo que
equivale a 5 217 semanas y 6 días. Así pues, antes de la reforma
gregoriana, desde el primer día de un siglo al siguiente, el día de la semana
se desplazaría 6 días. Sin embargo, esto sólo sucede cuando el primer año
de ese siglo es divisible por 400. Si no es asÍ, sólo habrá 24 años bisiestos
en el siglo, de manera que el día de la semana sólo se correrá 5. Un cálculo
sencillo nos dice que el primer día del año 2000 será sábado. Así pues,
Año: 2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600
Primer día: Sab. Vier. Miér. Lun. Sáb. Vier. Miér.
+6 +5 +5 +5 +5 +6 +5
y este ciclo se repite indefinidamente, de manera que el primer día de
un siglo nunca caerá en domingo, martes o jueves.
¡Afortunadamente el fin del mundo no está al caer!
124
120 Un maratón patrocinado
Los patrocinadores se han mostrado (¡inconscientemente!) de acuerdo
en pagar.
(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... + 239) pesetas
Esta inocente suma da un total
240
- 1 = 1 099511 627775 pesetas
es decir, 27 487 790 694 pesetas por km.
¡Es de suponer que el patrocinador de nuestro astuto atleta sería
archimillonario!
121 Los efectos de la inflación
La fórmula que relaciona la tasa de inflación r % con el precio inicial P y
el precio final Pn después de n años de inflación constante, es
Así que, para el precio de la casa
6 800 000 = (1 + l~O?O X 700 000
y utilizando la calculadora se obtiene
1 + 1ÓO = 1,1203934
de donde resulta una tasa de inflación de aproximadamente un 12%.
Análogamente para el precio de la gasolina
92 = (1 + 1~0)18 X 16,50
lo que nos da
r
1 + 100 = 1,1001739
es decir, una tasa de inflación dell0% aproximadamente.
Si estas tasas de inflación continuasen invariables hasta el año 2000,
ese año la casa valdría 58 959 800, mientras que el litro de gasolina
costaría 466,50 pesetas
122 Entretenimientos de octogenario
83 -7 3 = 512 - 343 = 169 = 13 2
El anciano profesor tenía 87 años y su biznieta 13.
125
123 Las monedas boca arriba
No es posible el primero.
1) Cualquier movimiento a partir de la posición inicial de tres caras (H3)
nos lleva a una cara y dos cruces (HT2), mientras que cualquier
movimiento a partir de (HT2) nos conduce a (H3) o a (HT2) de nuevo,
así que únicamente son posibles dos posiciones básicas, y los únicos
movimientos a partir de ellas pueden resumirse en la forma
2)
Es posible hacerlo en cuatro movimientos. Una solución es la siguiente
H H H H
H* T T T
T T* H H
H H H* T
T T T T*
donde la estrella indica la moneda que no ha sido vuelta en ese
movimiento.
Ahora puedes investigar el caso de cinco monedas, en el que un
movimiento consiste en dar la vuelta a cuatro cualesquiera, etc.
3)
Es posible hacerlo en cinco movimientos. Representemos las monedas
por letras
a
b e
d
e f
g
h
Una solución posible consiste en:
a) volver a e i
b) volver be h
c) volver e e g
d) volver a b e
e) volver g h i
¿Qué distribuciones de caras y cruces son posibles?
¿Sería posible aún resolver esterompecabezas, si excluyéramos los
movimientos de las diagonales?
124 Colas de milano
Las colas de milano están
cortadas en diagonal, y no
paralelamente a las caras,
como pensaban todos los
aprendices.
12fi
125 Más rompecabezas con cerillas
~===-====o====-=-
,J i ~
~ rl : ~
o
~ r=~~ ~
~ L~ __~ i
e=-=-=-=~
Espiral convertida en cuadrados
126 Pontoneros de maniobras
Experimenta con fichas de dominó que representen las
vigas. Evidentemente, con tres vigas lo más que se puede
alcanzar es 3 2/3 m.
El mínimo número de vigas que permitirá hacer una
estructura que alcance al otro borde del río, de 5 m de
anchura, es de 7.
rJ
-= ==P
~~~1
1l
[--=~ :
I I
f i
I I
L ~
Iglesia en cuadrados
Para entender cómo se puede llegar a la solución, observa
la figura. Una sola viga puede alcanzar una distancia de 2 m
sobre el río, es decir, hasta el punto en que su centro de
gravedad queda justo al borde del río. Con dos vigas, la de
encima puede sobrepasar a la inferior en 2 m antes de caerse,
por la misma razón, y la viga inferior sigue permaneciendo
estable en tanto que el centro de gravedad del sistema de las
dos (representado por una cruz en la figura) caiga sobre tierra
firme. Se ve fácilmente que esto nos permite avanzar otro
metro, con un total de 3 m suspendidos sobre el río.
Al añadir una tercera viga, las dos de encima pueden1---'~"-'--:. ~":.: ~.:' >
'~- ~ -
sobrepasar a la inferior en 3 m, y la inferior debe quedar¡d~ _., ..
manera que el centro de gravedad del sistema de las tres ~,~,_,_,
permanezca sobre el borde del río. En este caso la viga
inferior puede avanzar sobre el río 2/3 m.
127
Así pues, cada nueva viga añadida permite extender el
puente, pero cada vez en menor longitud, lo que nos conduce
a la siguiente fórmula para la distancia máxima alcanzable al
utilizar n vigas:
d = 2(1 + 112 + 1/3 + 114 + 115 + ... + lIn) metros
Para n = 6
d = 2(1 + 112 + 113 + 114 + 115 + 116) = 4,9 metros
lo cual es ya casi la anchura del río, y con n = 7 se tiene por
fin
d = 4,9 + 2/7 == 5,19 metros
Para el matemático, la fórmula anterior resulta realmente
fascinante, porque indica que, dado un número de vigas
suficientemente grande, es posible teóricamente construir una
estructura que alcance la-otra orilla de un río,
independi"lllcmente de lo ancho que éste sea.
El lector puede ver discutidos problemas parecidos a éste
en Pllzzlellliu/¡ de G. Gamow y M. Stern (Macmillan), así
como en lngelzious Mathematical Problems de L. A. Graham
(Dover).
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A) 30 m
B) 40 m
C) 25 m
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a) x = 3 e x = -1
b) x = 5 e x = -2
c) x = -1 e x = 2.5
d) x = 2 e x = -3
