Atividade Objetiva 4 Fundamentos Matemáticos da Computação

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Pergunta 1
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Observe a ilustração a seguir:
 
A imagem abaixo são as quatro fases na construção de um Floco de neve de Koch. Como em muitos fractais, os estágios são obtidos através de uma definição recursiva.
Disponível em: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d9/KochFlake.svg (Links para um site externo.). Acesso 07 de outubro de 2019.
Sobre recursão matemática, verifique as afirmações abaixo:
I. Para definir uma função de forma recursiva, devemos seguir duas etapas principais.
II. Uma etapa é definir o valor da função no ponto zero.
III. Uma etapa é definir a lei de formação da função a para um passo posterior a partir de um passo anterior.
É correto o que se afirma em:
  
I, II e III.
 
A resposta está incorreta, pois, por definição, uma função recursiva é definida a partir de dois passos (afirmação I verdadeira), sendo o primeiro definir a função no instante zero (afirmação II verdadeira) e, a partir desse dado, construir uma função que defina os demais pontos (afirmação III verdadeira).
  
II e III, apenas.
 
  
I, apenas.
 
  
I e II, apenas.
 
  
III, apenas.
 
 
Pergunta 2
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Observe as orientações a seguir:
 
Dado um grupo G com elementos finitos, seus dados podem ser dados em formato de tabela conforme orientado. Para exemplificar, vamos observar a formação da tabela de multiplicação de um grupo G={a1,a2,a3,...an}G={a1,a2,a3,...an}munido da operação *, satisfazendo as seguintes propriedades:
 
- linha e coluna, chamaremos de r e deve conter todos os elementos a1,a2,a3,...,ana1,a2,a3,...,an.
- cada elemento de um grupo deve aparecer exatamente uma vez em cada linha e coluna da tabela.
 
Vejamos a tabela de multiplicação para os grupos de ordem 1, 2 e 3.
 
- Ordem 1: G={r}, pois rr=r
 
- Ordem 2: G={r,a}, a tabela de multiplicação segue conforme:
- Ordem 3: G={r,a,b}, a tabela de multiplicação segue conforme:
Conforme dados acima a tabela de multiplicação de ordem 4, onde G={r,a,b,c}, será:
  
  
  
  
  
 <- está aqui!!!
A resposta está correta, pois o quadro de multiplicação segue a regra cada elemento de um grupo deve aparecer exatamente uma vez em cada linha e coluna da tabela.
 
Pergunta 3
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Sejam dois grupos, munidos cada um deles com suas operações, ⟨G,*⟩ 〈G,*〉  e ⟨S,@⟩, 〈S,@〉,  , podemos dizer que esses grupos são um homomorfismo.
 
PORQUE
 
Dada uma aplicação f:G→S f:G→S  se ∀a,b∈G,f(a*b)=f(a)@f(b)se ∀a,b∈G,f(a*b)=f(a)@f(b)
 
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
 
  
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I.
 
Esta alternativa está correta, pois as asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I.
Pela definição, temos que um grupo é homomorfismo desde que ∀a,b∈G,f(a*b)=f(a)@f(b)∀a,b∈G,f(a*b)=f(a)@f(b).
  
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.
 
  
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
 
  
As asserções I e II são proposições falsas.
 
  
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
 
 
Pergunta 4
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Leia a instrução a seguir:
 
Operação Associativa, isto é: a(bc)=(ab)c,∀a,b,c∈Ga(bc)=(ab)c,∀a,b,c∈G
 
Operação comutativa, isto é: ab=ba,∀a,b∈Gab=ba,∀a,b∈G
 
Elemento Neutro, isto é: ∃e∈Gtalqueea=ae=a,∀a∈G∃e∈Gtalqueea=ae=a,∀a∈G
 
Existência do Elemento Oposto, isto é: ∀a∈G,∃b∈Gtalqueab=ba=e∀a∈G,∃b∈Gtalqueab=ba=e
Quando temos um conjunto definido como um conjunto não vazio e esse conjunto está definido para as leis comutativas, associativas, existência do Elemento Neutro e Existência do elemento Oposto. Podemos dizer que esse conjunto é o quê?
  
Um Isomorfismo.
 
  
Um endomorfismo.
 
  
Um grupo.
 
A resposta está correta, pois pela definição sabe-se que um grupo é um conjunto não vazio e que vale as propriedades comutativas, associativas, existência do Elemento Neutro e Existência do elemento Oposto.
  
Um automorfismo.
 
  
Um semigrupo.
 
 
Pergunta 5
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Observe a ilustração a seguir:
Disponível em: http://www.sinalmaismat.com/desafios-e-curiosidades.html (Links para um site externo.). Acesso em: 07/10/2019.
Sobre indução matemática, verifique as asserções abaixo:
I. Para demonstrar que uma indução é verdadeira precisa-se seguir apenas dois passos.
II. O primeiro passo é verificar se existe a possibilidade de se alcançar o infinito, sendo assim, observar se P(x+1) é viável.
III. Após a verificação do primeiro passo, verifica-se P(1) é verdadeira.
É correto o que se afirma em:
  
I, II e III.
 
  
III, apenas.
 
  
II e III, apenas.
 
  
I e II, apenas.
 
  
I, apenas.
 
Esta alternativa está correta, pois apenas a afirmação I está correta.
A resposta está correta, pois para verificar uma indução matemática precisa-se verificar dois passos, porém o primeiro passo é verificar se existe P(1), caso esse seja verdadeiro, verifica-se a existência do próximo elemento, ou seja, P(x+1), caso isso seja verdade, existe a indução.
Pontuação do teste: 1 de 1