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CÁLCULO INTEGRAL: Integral Indefinida Ticiano A. Campigotto Introdução O Cálculo diferencial lida com problemas para se determinar a taxa de variação de uma quantidade em relação à outra. A necessidade de calcular taxas de variação instantâneas levou os descobridores do cálculo a uma investigação sobre os coeficientes angulares de retas tangentes e, por fim, ás derivadas – ao que chamamos de cálculo diferencial. Mas eles sabiam que as derivadas contavam somente a metade da história. Além de um método do cálculo para descrever como uma função estava variando em um dado movimento, também poderiam se acumular ao longo de um intervalo para produzir a função, ou seja, estudando como um comportamento variou, eles queriam conhecer o comportamento em si. Por exemplo, partindo da velocidade de um objeto em movimento, eles queriam ter condições de determinar sua posição em função do tempo. É por isso que também eles investigaram áreas sob curvas, uma pesquisa que acabou por levar ao segundo ramo principal do cálculo, chamado cálculo integral. Como os matemáticos tinham o cálculo para determinar coeficiente angular de retas tangentes e também para determinar áreas sob curvas, duas operações geométricas que pareciam não ter relação entre si, o desafio para Newton e Leibniz era demonstrar a ligação que eles sabiam intuitivamente existir. A descoberta dessa ligação (chamada Teorema Fundamental do Cálculo) reuniu o cálculo diferencial e integral, tornando-os a ferramenta mais poderosa que os matemáticos já obtiveram para entender o universo. Iniciamos o estudo de outra parte o cálculo, conhecida como cálculo integral. Aqui, nosso interesse é precisamente o problema oposto: Se conhecemos a taxa de variação de uma quantidade em relação a outra, podemos determinar a relação entre as duas quantidades? A fermenta principal utilizada no estudo do cálculo integral é a antiderivada de uma função, e desenvolvemos regras para a antiderivação ou integração, como é chamado o processo de encontrar a antiderivada. Mostraremos também que existe um elo entre o cálculo integral – por meio do teorema fundamental do cálculo. 1.1 Antiderivação: A Integral Indefinida Em muitos problemas, a derivada de uma função é conhecida, e a meta é encontrar a função propriamente dita. Por exemplo, um sociólogo que conhece a taxa na qual uma população está crescendo pode querer usar esta informação para prever a população futura; um economista que conhece a taxa de inflação pode desejar estimar os preços futuros. O processo de obter uma função a partir se sua derivada é denominada antiderivação (antidiferenciação) ou integração. 2 1.2 Antiderivada O processo para determinar uma função f(x) a partir de um de seus valores conhecidos e sua derivada f’(x) tem dois passos. O primeiro é encontrar uma fórmula que dê todas as funções que poderiam ter f como derivada. Essas funções são chamadas primitivas de f, e a fórmula que fornece todas elas é chamada integral indefinida de f. O segundo passo é usar o valor conhecido para selecionar a primitiva particular desejada a partir daquelas na integral indefinida. Definição: Uma função F(x) é uma primitiva de uma função f(x) se F’(x) = f(x) para qualquer x no domínio de f. O conjunto de todas as primitivas de f é a integral indefinida de f em relação a x. denotada por ∫ dxxf )( . ∫ é o símbolo de uma integral. A função f é o integrado de uma integral e x é a variável de integração. Uma função F(x) para a qual F’(x) = f(x) para x no domínio de f é dita ser antiderivada (ou integral indefinida) de f. Exemplo Verificar que 25 3 1 )( 3 ++= xxxF é uma antiderivada de 5)( 2 += xxf . Solução F(x) é uma antiderivada de f(x) se, e somente se, F’(x) = f(x) Derive F e você encontrará que F’ (x) = x2 +5 = f (x). Conforme desejávamos. Outros exemplos: 1. 1)( 2 += xxF é uma primitiva de xxf 2)( = , pois xxF 2)(' = 2. 2)( 2 += xxF é uma primitiva de xxf 2)( = , pois xxF 2)(' = 3. 3)( 2 += xxF é uma primitiva de xxf 2)( = , pois xxF 2)(' = 4. 1)( 2 −= xxF é uma primitiva de xxf 2)( = , pois xxF 2)(' = 5. 2)( 2 −= xxF é uma primitiva de xxf 2)( = , pois xxF 2)(' = 3 1.3 A Antiderivada Geral de uma função Uma função tem mais de uma antiderivada. Por exemplo, uma antederivada da função f(x) = 3x2 é F(x) = x3, pois: F’ (x) = 3x2 = f (x). Mas G(x) = x3 + 1 também o é, pois a derivada da constante 12 é zero e G’ (x) = 3x2 = f (x). Em geral, se F é uma antederivada de f, qualquer função obtida pela adição de uma constante a f é também uma antederivada de f. De fato, todas as antederivadas de f podem ser obtidas adicionando-se constantes a qualquer antederivadas particular de f. 1.4 As Antiderivadas de uma função Se F e G são antederivadas de f, então existe uma constante C tal que: G (x) = F (x) + C Quaisquer duas antiderivadas de uma mesma função devem definir por uma constante. Se F(x) é uma antiderivada de f(x), então F’(x) = f(x). Isto diz que, para qualquer valor de x, f(x) é a inclinação da tangente ao gráfico de F(x). Se G(x) é uma antiderivada de f(x), a inclinação de sua tangente é também. Assim, o gráfico de G é paralelo ao gráfico de F, e pode ser obtido pela translação do gráfico de F verticalmente. Isto é, existe alguma constante C para G(x) = F(x) + C . Funções que diferem apenas por uma constante têm a mesma derivada. A função F(x) = x3 + C tem a mesma derivada, f(x) = 3x2, para um número infinito de valores possíveis para C. Se o processo é intervertido, fica claro que cxdxx +=∫ 323 tem que ser a antederivada ou integral indefinida para um número infinito de funções. Logo, a constante de integração C serve para representar o valor de qualquer constante que fazia parte da função primitiva que foi excluída da derivada pelas regras de diferenciação. Varias antiderivadas da função f(x) = 3x2 4 são, por exemplo, são: F(x) = x3 + 2 F(x) = x3 + 1 F(x) = x3 F(x) = x3 – 1 F(x = x3 - 2 1.5 Notação de Integral A integração indefinida consiste no processo inverso da derivação. O processo de obter uma função a partir de sua derivada é denominado antiderivação (antidiferenciação ou integração) A integral da função f(x) é expressa matematicamente como: 5 ∫ += CxFdxxf )()( →→→→ “A integral de f de x em relação a x” • ∫ Sinal de integral → busca a forma mais geral da antiderivada da função que se segue ao símbolo. • f(x): → integrado • d(x): indica que x é a variável em relação à qual a integral deve ser executada. • F(x) + C : integral indefinida (ou antiderivada) de f(x) • C: constante de integração. para expressar o fato de que toda antiderivada de f(x) é da forma F(x) +C. Por exemplo, você pode expressar o fato de que toda antederivada de 3x2 é da forma x3 + C escrevendo: Cxdxx +=∫ 323 O símbolo ∫ ë chamado um sinal de integração e indica que você busca a forma mais geral da antiderivada da função que se segue ao símbolo. f(x) é o integrado. Na expressão ∫ += CxFdxxf )()( , a função f(x) que está para ser integrada é chamada de integração . A constante C não-determinada que é adicionada à F(x) para fornecer a forma mais geral da antederivada é conhecida como constante de integração . O símbolo dx que aparece após o integrado pode parecer mistério. Seu papel é indicar que x é a variável emrelação à qual a deve ser executada. F(x) + C: integral indefinida (ou antiderivada) de f(x). A Integral indefinida de uma função f é a representada geometricamente por uma família de curvas que em pontos de mesma abscissa possuem retas tangentes paralelas. Por exemplo: cxxdx +=∫ 22 6 1.6 A Integral Indefinida A integral indefinida consiste no processo inverso da derivação. O processo de obter uma função a partir de sua derivada é denominado antiderivação (antidiferenciação) ou integração. A integral da função f(x) é expressa matematicamente como: ).()(')()( xfxFCxFdxxf =⇔+=∫ Para todo x no domínio de f. Onde: • ∫ = Sinal de integral. • )(xf = Integrado. • dx = Diferencial de x. • )(xF = Primitiva. • C = Constante de integração. • CxF +)( = Integral Indefinida ou Antiderivada. 7 1.7 Regras de Integração: Integrais inediatas. A integração é o inverso da derivada. Assim, muitas regras de integração podem ser obtidas pelas regras de derivação correspondentes. 1.7.1 A Regra Integral de uma constante ∫ += ckxkdx Exemplo: ∫ += cxdx 22 1.7.2 A Regra. A Integral de 1, que tem a notação dx, e não dx é: ∫ += cxdx 1.7.3 A Regra da Potência para integração: Cx n dxx nn + + = +∫ 11 1 Exemplo a) cxcxdxx +=+ + = +∫ 3122 3 1 12 1 Exemplo b) Cxdxx +=∫ 5 8 5 3 8 5 Exemplo c) CxCxdxxdx x +=+== ∫∫ − 22 1 2 1 2 1 1.7.4 A Integral de x 1 ou x-1 : Cxdx x +=∫ ln 1 ou cxdxx +=∫ − ln1 , com x > 0 1.7.5 A Integral de uma função exponencial: c ak a dxa kx kx +=∫ ln Exemplo cdx x x +=∫ 2ln3 2 2 3 3 8 1.7.6 A Integral de xe ( função exponencial natural: Cedxe xx +=∫ c k e dxe kx kx +=∫ já que 1ln =e 1.7.7 A Regra do Produto por Constante para Integração Para qualquer constante, ∫ ∫= dxxfkdxxkf )()( Isto é, a integral de uma constante vezes uma função é igual à constantes vezes a integral da função. Exemplo cxcxxdxxdx +=+==∫ ∫ 222 1 .222 1.7. 8 A Regra da Soma para integrais [ ] ∫ ∫∫ +=+ dxxgdxxfdxxgxf )()()()( Isto é, a integral de uma soma é a soma das integrais. Exemplo Encontre .) 2 12 3( 2 dxx x ex −+∫ Solução Cxxedxxdx x dxedxx x e xxx +−+=−+=−+ ∫∫∫∫ 322 6 1 ln23 2 11 23 2 12 3( 9 Exercícios Calcule as seguintes integrais indefinidas: 1. ∫ xdx3 ; 2. ∫ xdx ; 3. dxx∫ 2 ; 4. ∫ dx4 ; 5. ∫− dx6 ; 6. dxx∫10 ; 7. ∫ xdx4 ; 8. ∫− xdx6 ; 9. dxx∫− 23 10. dxx∫ 45 ; 11. dxxx )13( 3 +−∫ ; 12. dxx∫ −13 ; 13. dxx∫ 32 ; 14. dxe x∫ −39 ; 15. dxx∫ 3 2 ; 16. dxx∫ − 5 1 ; 17. dxx∫ −24 ; 18. ∫ x dx ; 19. dxx∫ −15 ; 20. ∫ x dx 3 ; 21. ∫ 4x dx ; 22. dxxxx )325( 23 ++∫ ; 23. dxx∫ 42 ; 24. dxx∫8 ; 25. dxe x∫ 5 26. dxe x∫ −416 ; 27. dxxx )5( 2 +∫ ; 28. dxxx )1053( 24 ++∫ ; 29. dxxx )4( 2 ++∫ ; 30. dxxx )736( 2 −+∫ ; 31. dx x∫ 2 ; 32. dx∫ 2 1 ; 33. dx x∫ 2 1 34. dxx )(∫ ; 35. ∫ − dxx)23( ; 36. dxxx )645( 2∫ −+ ; 37. dx x ) 2 5(∫ + ; 38. dxe x∫ 24 ; 39. dxx∫ 52 40. dxx∫ 2 ; 41. dxx∫ 3 1 ; 42. dxxx )( 23 +∫ 43. dxxx )523( 24 +−∫ ; 44. dxxxx )1( 23 +++∫ ; 45. dxx )3 5 ( +∫ 10 Técnicas de Integração Integração por Substituição De acordo com a Regra da Cadeia, a derivada da função 92 )53()( ++= xxxf é: )32()53(9)53[( 8292 +++=++ xxxxx dx d A derivada é um produto, em que um de seus fatores 2x + 3, é a derivada da expressão x2 + 3x + 5. A derivada é um produto da forma: dx du uf =)( , neste caso, 89)( uuf = e u = .532 ++ xx Daí, podemos integrar produtos da forma dx du uf )( aplicando a regra da cadeia ao inverso. Se F é um antiderivado de f, então CF dx du uf +=∫ )( , pois a Regra da Cadeia dx du uf dx du uFuF dx d )()(')]([ == dx dx du udxxf )()(∫ ∫= ∫ ∫ +== CuFududxxf )()( Forma Integral da Regra da Cadeia Isto é, para integrar um produto da forma dx du uf )( , na qual um dos termos dx du é a derivada de uma expressão u que aparece no outro termo: 1. Encontre a antiderivada ∫ duuf )( do termo f(u) em relação a u. 2. Substitua u na resposta por sua expressão em termos de x. Exemplo: Encontre dxxxx )]32()53(9[ 22 +++∫ Solução: Fazendo 532 ++= xxu ; 32 += x dx du e 32 + = x du dx , temos: cuduuduux x du udxxxx +===+ + =+++ ∫∫∫∫ 988882 99)32(329)]32()53(9[ substituindo u = x2 +3x + 5, temos: cxxdxxxx cudxxxx +++=+++ +=+++ ∫ ∫ 9282 982 )53()]32()53(9[ )]32()53(9[ 11 Exercícios Aplicando a Técnica da substituição: Encontre as seguintes integrais: 1. dxx ])12(10[ 4∫ + ; 2. dxx ])23(21[ 6∫ − ; 3. dxxx ])12(32[ 72 −∫ ; 4. dxxx ])53(24[ 32∫ + ; 5. dxxx ])72(30[ 532 −∫ ; 6. dxxx ])54(36[ 332 −∫ ; 7. dxx∫ + 5)12( ; 8. dxx∫ + 43 1 ; 9. dxx∫ + 4)3( ; 10. dx x∫ +3 1 ; 11. dxx∫ + 3)52( ; 12. dxx∫ −15 2 ; 13. dxxx ])1(2[( 42 +∫ ; 14. dxxx ])3(2[ 42 +∫ ; 15. dxxx )2(12 32 +∫ ; 16. dxxx ])3(10[ 42 +∫ ; 17. dxxx )]52([ 54 −∫ ; 18. dxx∫ + ])1(4[ 3 ; 19. dxx∫ + 43 ; 20. dxx∫ + 8)35( ; 21. ∫ − 59x dx ; 22. dxx∫ −− ])116[( 5 ; 23. dxx x ∫ + 23 2 )74( ; 24. ∫ − dxx ])21[( 5 25. dxxx ])1(2[ 42 +∫ ; 26. dxx∫ + 53 ; 27. dxx∫ + ])42(2[ 5 28. dxxx ])3(2[ 42 +∫ ; 29. dxxx ])1([ 2 3 32 +∫ ; 30. dxxx ])1([ 332 −∫ . Integração por Partes Vamos discutir uma técnica que pode ser usada para integrar certos produtos da forma )()( xgxf . A técnica, conhecida como integração por partes, é uma conseqüência direta da regra do produto para derivada. A fórmula da integração por partes é apresentada a seguir: ∫ ∫−= dxxGxfxGxfdxxgxf )()(')()()()( ou ∫ ∫−= vduvudvu .. Como usar a integração por partes para integrar um produto 1 o passo. Escolha um dos fatores do produto como o fator a ser integrado e o outro como o fator a ser derivado. O fator escolhido para ser integrado deve ser fácil de integrar e o fator para ser derivado deve se tornar mais simples ao ser derivado. 2o passo. Integre o fator escolhido e multiplique-o pelo outro fator. 3 o passo. Derive o fator escolhido, multiplique-o pelo resultado do 2o passo e subtraia a integral deste produto do resultado do 2o passo. 12 4 o passo. Complete o calculo determinado o valor da integral obtida no 3o passo. Acrescente a constante de integração c apenas no final do processo. Exemplo Determine dxxe x∫ 2 Solução Nesse caso, os dois fatores, x e xe2 , são fáceis de integrar. Ambos também são fáceis de derivar, mas a derivação simplificada x e não simplificar xe2 . Assim, parece mais promissor fazer: xexg 2)( = e xxf =)( 2 )( 2xe xG = e 1)(' =xf Portanto: cexcexedxe ex dx e x e dxxe xxxx xxx x +−=+−=−=−= ∫∫∫ 2222 222 2 ) 2 1 ( 2 1 4 1 2 1 2 1 2 . )1).( 2 ()).( 2 ( Exercícios Use o método da integração por partes para calcular a integral dada: 1. dxxx∫ + 5 ; 2. xdxln∫ 3. dxex x∫ 2 ; 4. dxxe x∫ −2 5. dxxe x∫ ; 6. dxex x∫ 3 7. xdxlx n∫ 2 ; 8. dxxx∫ +1 9. dxxe x∫ 2 ; 10. dxxx∫ − 3)1(4 11. dxxe x∫ − ; 12. dxxx∫ + 8)1( 13. dxxx∫ +1 ; 14. dxxx∫ + 3)4(15 15. dxxx∫ − 7)1(5 ; 16. dxxe x∫ 2 17. dxex x23∫ ; 18. xdxxln∫ 19. dxxe x∫ 3 ; 20. xdxxln 2∫ 21. dxxx∫ − 6 ; 22. dxxx∫ + 8)1( 23. dx x xln∫ 2 24. xdxlx n32∫ 13 Integração trigonométricas • ∫ +−= cxsenxdx cos • ∫ += csenxxdxcos • cxltgxdx n +=∫ sec • csenxlgxdx n +=∫ cot • ctgxxlxdx n ++=∫ )(secsec • cgxecxlecxdx n +−=∫ )cot(coscos • c k kx senkxdx +−=∫ cos • c k senkx kxdx +=∫ cos • ctgxxdx +=∫ 2sec • cgxxdxec +−=∫ cotcos 2 • ∫ += cxxtgxdx secsec • ∫ +−= cecxgxdxecx coscotcos Exemplos: 1. cxsenxdxsenxdx +−==∫ ∫ cos222 2. ∫ ∫ +== csenxxdxxdx 3cos3cos3 3. cgxxxdxectgxdxxdxxectgxx +−=+=+ ∫ ∫∫ cotsec3cos.sec3)cos.sec3( 22 14 4. ∫∫∫∫ +==== cxxdxtgxdxx senx x dx senx xdx ecx x secsec. cos . cos 1 1 cos 1 cos sec 22 5. ∫∫ +== cxtgxdxxdxx senx sec.sec cos2 6. = + ∫ dxx x 2 2 cos cos1 Solução: Lembrando que x x 2 2 cos cos1+ pode ser escrito 1sec cos cos cos 1 2 2 2 2 +=+ x x x x , temos: ∫∫ ∫∫ ++=+=+= + cxtgxdxdxdxxdx x x 1sec)1(sec cos cos1 22 2 2 . 7. =∫ dxxsen xsen 3 2 Solução: Lembrando que xsenxxsen cos22 = , podemos escrever: ecxx senxsenx x xsen x xsen xsenx xsen xsen cos.cot2 1 . cos2cos2cos22 233 ==== Portanto: ∫ ∫∫ +−=== cecxecxdxgxecxdxgxdxxsen xsen cos2cos.cot2cos.cot2 2 3 . 8. c xsen xdx +=∫ 3 31 3cos 9. cxsendxx +−=−∫ )2 3 2( 2 1 ) 2 3 2cos( ππ 15 Funções algébricas • carcsenx x dx += − ∫ 21 • carctgx x dx += +∫ 21 • cxarc xx dx += − ∫ sec 12 • ∫ += cuxsenuxdx cos • cxsenuuxdx +=∫ cos • ctguxxdxu +=∫ 2sec • cguxdxecu +−=∫ cotcos 2 • ∫ +−= cutguxdxu sec..sec • ∫ +−= cecuguxdxecux coscot.cos • cxxlcsenu x dx n +++=+= + ∫ 1arg 1 2 2 • cxxlcu x dx n +−+=+= − ∫ 1cosarg 1 2 2 • ctgx x dx += −∫ arg1 2 se 1≺x • cgx x dx += −∫ cotarg1 2 se 1≻x • cxu xx dx +−= − ∫ secarg 1 2 • cxecu xx dx +−= + ∫ cosarg 1 2 16 Exercícios: Calcule as seguintes integrais indefinidas 1. dxsenxe x )( +∫ ; 2. ∫ senxdx3 3. ∫ +− dxsenxx )3cos2( ; 4. ∫ − dxx)cos21( 5. ∫ + dxxsenx )cos43( ; 6. dxx xsen ∫ 3cos3 2 7. dxxx )sec7( 24 +∫ ; 8. dxsenxxe x ) 4 1 3( −+∫ 9. dx xsen∫ 2 1 ; 10. ∫ − dxtgxxx ).sec(cos 11. ∫ + dxxx )5coscos5( ; 12. ∫ senxdx5 13. ∫ xdxcos7 ; 14. dxsenxx∫ − )3cos4( 15. ∫ xdxsen8 ; 16. ∫ xdx7cos 17. dxxsen ) 2 3 3( π∫ − ; 18. ∫ − dxx )25cos( π 19. ∫ tgxdx ; 20. ∫ gxdxcot 21. ∫ xdxx cos. ; 22. ∫ senxdxx. 23. ∫ xdxsenx 5. ; 24. ∫ xdxx 3cos. 25. senxdxx∫ 2 ; 26. xdxx cos2∫ 27. dxx x x )sec 2 1 5( 23 ++∫ ; 28. dxx senx senx ) cos ( 2∫ + 29. xsenxdx∫ 3cos ; 30. dxxx 43 5cos∫ 31. dx x senx ] cos2 [∫ + ; 32. dxx )32(sec 2 −∫ 33. dxxectgxx )cos.sec3( 2∫ + ; 34. dxecx x ∫ cos sec2 35. dxxgxtg )4cot( 22 ++∫ ; 36. xdxxsen cos2∫ 17 37. ∫ + dxxsen )5( ; 38. dxxx )3sec( 2∫ + 39 dxsenxxe x )2 4 1 5( −−∫ ; 40. dxsenx x ) 3 cos (∫ − 41. dx x senx ) cos2 (∫ + ; 42. )cos2(∫ − x senx Exercícios: Prove que: a) cxldx x senx n ++−=+∫ cos2]cos2[ b) cxldx x senx n +−=−∫ cos2]cos2[ c) csenxldx senx x n +−−=−∫ 3]3 cos [ d) csenxldx senx x n ++=+∫ 3]3 cos [ e) cxltgxdx n +−=∫ cos22 f) csenxlgx n +=∫ 5cot5 Respostas: Exercícios página 09 1 ∫ =xdx3 cx +22 3 ; 2. ∫ =xdx cx +22 1 ; 3. =∫ dxx 2 ;3 1 3 cx + 4. ∫ =dx4 cx +4 ; 5. ∫ =− dx6 cx +− 6 ; 6. =∫ dxx10 cx +25 ; 7. ∫ =xdx4 ;2 2 cx + 8. ∫ =xdx6 cx +− 23 ; 9. ∫ =− dxx 23 cx +− 3 ; 18 10. =∫ dxx 45 cx +5 ; 11. =+−∫ dxxx )13( 3 cxxx ++− 24 2 1 4 3 ; 12. =∫ − dxx 13 cxln +3 ; 13. =∫ dxx32 cln x + 23 23 ; 14. =∫ − dxe x39 ce x +− −33 ; 15. =∫ dxx 3 2 cx +3 5 5 3 ; 16. =∫ − dxx 5 1 cx +5 4 4 5 ; 17. =∫ −24x cx +− −14 ; 18. =∫ x dx cxln + ; 19. =∫ − dxx 15 cxln +5 ; 20. =∫ x dx 3 cxln +3 1 ; 21. =∫ 4x dx c x +− 33 1 ; 22. =++∫ dxxxx )325( 23 cxxx +++ 234 2 3 3 24 5 ; 23. =∫ dxx42 cln x + 24 24 ; 24. =∫ dxx8 cln x + 8 8 ; 25. =∫ dxe x5 c e x + 5 5 ; 26. =∫ − dxe x416 ce x +− −44 ; 27. =+∫ dxxx )5( 2 cxx ++ 23 2 5 3 1 ; 28. =++∫ dxxx )1053( 24 cxxx +++ 103 5 5 3 35 ; 29. =++∫ dxxx )4( 2 cxxx +++ 42 1 3 1 23 ; 30. =−+∫ dxxx )736( 2 cxxx +−+ 72 3 2 23 ; 19 31. =∫ dxx 2 cxln +2 ; 32. =∫ dx2 1 cx + 2 1 ; 33. =∫ dxx2 1 cxln +2 1 ; 34. =∫ dxx )( cxx +3 2 ; 35. ∫ =− dxx)23( cxx +− 23 ; 36. =−+∫ dxxx )645( 2 cxxx +−+ 32 225 ; 37. =+∫ dxx ) 2 5( cxlx n ++ 25 ; 38. =∫ dxe x24 ce x +22 ; 39. =∫ dxx52 cx +63 1 ; 40. =∫ dxx2 cln x + 2 2 ; 41. =∫ dxx3 1 c x +− 22 1 ; 42. =+∫ dxxx )( 23 c xx ++ 34 34 ; 43. =+−∫ dxxx )523( 24 cxxx ++− 53 2 5 3 35 ; 44. =+++∫ dxxxx )1( 23 cx xxx ++++ 234 234 ; 45. =+∫ dxx )3 5 ( cxxln ++ 35 Respostas: Exercícios página 11 (Integração por substituição). 1. cxdxx ++=+∫ 54 )12(])12(10[ 2. cxdxx +−=−∫ 76 )23(])23(21[ 3. cxdxxx +−=−∫ 8272 )12(])12(32[ 4. cxdxxx ++=+∫ 4232 )53(])53(24[ 5. cxdxxx +−=−∫ 63532 )72(6 5 ])72(30[ 6. cxdxxx +−=−∫ 43332 )54(4 3 ])54(36[ 20 7. cxdxx ++=+∫ 65 )12(12 1 )12( 8. cxldx x n ++=+∫ )43(3 1 43 1 9. cxdxx ++=+∫ 54 )3(5 1 )3( 10. cxldx x n ++=+∫ )3(3 1 11. cxdxx ++=+∫ 43 )52(8 1 )52( 12. cxldx x n +−=−∫ )15(5 2 15 2 13. cxdxxx ++=+∫ 5242 )1(5 1 )1(2[ 14. cxdxxx ++=+∫ 5242 )3(5 1 ])3(2[ 15. cxdxxx ++=+∫ 2332 )2(2)2(12[ 16. cxdxxx ++=+∫ 5242 )3()3(10[ 17. cxdxxx +−=−∫ 2554 )52(20 1 )]52([ 18. cxdxx ++=+∫ 43 )1(])1(4[ 19. cxdxx ++=+∫ 3)43(9 2 )43( 20. cxdxx ++=+∫ 98 )35(27 1 )35( 21. cxl x dx n =−=−∫ )59(9 1 59 22. cxdxx +−−=− −−∫ 45 )116(24 1 )116( 23. c x dx x x + + −= +∫ )74(12 1 )74( 323 2 24. cxdxx +−−=−∫ 65 )21(12 1 )21( 25. cxdxxx ++=+∫ 5242 )1(5 1 ])1(2[ 26. cxdxx ++=+∫ 3)53(9 2 53 27. cxdxx ++=+∫ 65 )42(6 1 )42(2[ 21 28. cxdxxx ++=+∫ 5242 )3(5 1 ])3(2[ 29. cxdxxx ++=+∫ 2 5 32 3 32 )1( 15 2 ])1([ 30. cxdxxx +−=−∫ 53332 )1(15 2 ])1({ Respostas dos exercícios da página 12 (Integração por partes). 1. cxxxdxxx ++−+=+∫ 53 )5(15 4 )5( 3 2 5 2. cxlxdxl nn +−=∫ )1( 3. cexxdxex xx ++−=∫ )22( 22 cexedxxe xxx +−−= −−−∫ 222 4 1 2 1 .4 5. cexedxxe xxx +−=∫ 6. cxxxedxex xx +−+−=∫ )663( 233 7. cxlxxdxlx nn +−=∫ )3 1 ( 3 1 32 8. cxxxdxxx ++−+=+∫ 53 )1(15 4 )1( 3 2 1 9. cxedxxe xx +−=∫ )2 1 ( 2 1 22 . 10. cxxxdxxx +−−−=−∫ 543 )1(5 1 )1()1(4 . 11. cxedxxe xx ++−= −−∫ )1( . 12. cxxxdxxx ++−+=+∫ ])1(10 1 )1([ 9 1 )1( 1098 . 13. cxxxdxxx ++−+=+∫ ])1(15 4 )1([ 3 2 1 53 14. cxxxdxxx ++−+=+∫ 753 )4(7 2 )4((6)4(15 15. cxxxdxxx +−−−=−∫ ])1(9 1 )1([ 8 5 )1(5 987 16. cxedxxe xx +−=∫ )1(22 17. cxxxedxex xx +−+−=∫ )4 3 2 3 2 3 ( 2 1 23223 22 18. cxlxdxxxl nn +−=∫ )2 1 ( 2 1 2 19. cxedxxe xx +−=∫ )3 1 ( 3 1 33 20 cxlxxdxlx nx +−=∫ )2 1 2( 2 1 2 2 21. cxxxdxxx +−−−=−∫ 53 )6(15 4 )6( 3 2 6 22. cxxxdxxx ++−+=+∫ )]1(10 1 [)1( 9 1 )1( 98 23 cxl x dx x xl n n ++−=∫ )1( 1 2 24. cxlxxdxlx nn +−=∫ )3 1 3( 3 1 3 32 Respostas dos exercícios da página 16. 1. cxedxsenxe xx +−=+∫ cos)( 2. ∫ +−= cxsenxdx cos33 3. ∫ +++=+− cxxsenxdxsenxx 3cos2)3cos2( 4. ∫ +−=− csenxxdxx 2)cos21( 5. ∫ ++−=+ csenxxdxxsenx 4cos3)cos43( 6. cxdx x xsen +=∫ sec3 2 cos3 2 3 7. ctgxxdxxx ++=+∫ 524 5 7 )sec7( 8. cxedxsenx x e xx +++=−+∫ cosln4 1 3) 4 1 3 9. cgxdx xsen +−=∫ cot 1 2 10. ∫ +−=− cxsenxdxtgxx sec).sec(cos 11. cxsensenxdxxx ++=+∫ 55 1 5)5coscos5( 12. ∫ +−= cxsenxdx cos55 13. ∫ += csenxxdx 7cos7 14. cxsenxdxsenxx ++=−∫ cos34)3cos4( 15. cxxdxsen +−=∫ 8cos8 1 8 23 16. cxsenxdx +=∫ 77 1 7cos 17. cxdxxsen +−−=−∫ )2 3 3cos( 3 1 ) 2 3 3( ππ 18. cxsendxxcox +−=−∫ )25(5 1 )25( ππ 19. cxltgxdx n +−=∫ cos 20. csenxlgxdx n +=∫ cot 21. ∫ ++= cxxsenxxdxx coscos 22. ∫ ++−= csenxxxxsenxdx cos 23. cxsenxxxdxxsen +−−=∫ )55 1 5cos( 5 1 5 24. cxxxsenxdxx ++=∫ )3cos3 1 3( 3 1 3cos 25. cxxsenxxxsenxdxx +++−=∫ cos22cos22 26. csenxxxsenxxxdxx +−+=∫ 2cos2cos 22 27. ctgxxlxdxx x x n +++=++∫ 2 1 4 5 )sec 2 1 5( 423 28. cxxdx x senx senx ++−=+∫ seccos)cos( 2 29. cxxsenxdx +−=∫ 43 cos4 1 cos 30. cxsendxxx +=∫ 443 520 1 5cos 31. cxldx x senx n ++−=+∫ cos2cos2 32. cxtgdxx +−=−∫ 322 1 )32(sec2 33. cgxxdxxctgxx +−=+∫ cotsec3)cos.sec3( 2 34. cxdx ecx x +=∫ seccos sec2 35. cxgxtgxdxxgxtg ++−=++∫ 2cot)4cot( 22 36. csenxdxsen +=∫ 32 3 1 cos 37. ∫ ++−=+ cxdxxsen )5cos()5( 38. cxtgxdxxx ++=+∫ 33 1 2 1 )3sec( 22 24 39. csenxxedxxxe xx +++=+−−∫ 28 1 5)cos2 4 1 5( 40. csenxldx senx x n +−=−∫ 3)3 cos ( 41. [ ] cxldx x senx n ++−=+∫ cos2)cos2( 42. cxldx x senx n +−=−∫ cos2)cos2( Integrais Imediatas 1.A Integral de uma constante: • ∫ += ckxkdx 2. A Integral de 1: • ∫ += cxdx 3. A integral da Potência; • cx n dxx nn + + = +∫ 11 1 4. A integral de x 1 ou 1−x : • cxdxx +=∫ − ln1 5. A Integral de uma função exponencial: • c ak a dxa kx kx +=∫ ln 6. A integral de e x : • c k e dxe kx kx +=∫ 7. A Integral do produto por uma constante: • ∫ ∫= dxxfkdxxkf )()( 8. A integral para soma: • ∫ ∫ ∫±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ 9. integrais trigonométricas • ∫ +−= cxsenxdx cos • ∫ += csenxxdxcos 25 • cxltgxdx n +=∫ sec • csenxlgxdx n +=∫ cot • ctgxxlxdx n =+=∫ )(secsec • cgxecxlecxdx n +−=∫ )cot(coscos • c k kx senkxdx +−=∫ cos • c k senkx kxdx +=∫ cos • ctgxxdx +=∫ 2sec • cgxxdxec +−=∫ cotcos 2 • ∫ += cxxtgxdx secsec • ∫ +−= cecxgxdxecx coscotcos 10. Funções algébricas • carcsenx x dx += − ∫ 21 • carctgx x dx += +∫ 21 • cxarc xx dx += − ∫ sec 12 • ∫ += cuxsenuxdx cos • cxsenuuxdx +=∫ cos • ctguxxdxu +=∫ 2sec • cguxdxecu +−=∫ cotcos 2 • ∫ +−= cutguxdxu sec..sec • ∫ +−= cecuguxdxecux coscot.cos • cxxlcsenu x dx n +++=+= + ∫ 1arg 1 2 2 26 • cxxlcu x dx n +−+=+= − ∫ 1cosarg 1 2 2 • ctgx x dx += −∫ arg1 2 se 1≺x • cgx x dx += −∫ cotarg1 2 se 1≻x • cxu xx dx +−= − ∫ secarg 1 2 • cxecu xx dx +−= + ∫ cosarg 1 2 12. Integração por substituição: • ∫ ∫∫ ∫ +==⇒= cuFududxxfdxdx du udxxf )()()()( 13. Integração por partes: • dxxfxgxgxfdxxgxf ])´()([)()(])´()([ ∫∫ −= 27 Referências Bibliográficas FLEMMING, Diva Marília e GONÇALVES, Miriam Buss. Cálculo A: Funções, limites, derivação e integração. 6a ed. São Paulão: Pearson Pretice Hall, 2006. THOMAS, George B. Cálculo 11a ed. Volume 1. São Paulo: Addisn Wesley, 2009. HOFFMANN, Laurence D. Cálculo: Um curso moderno e suas aplicações. 7a ed. Tradução de Denise Paravato. Rio de janeiro : Livros Técnicos e Científicos, 2002. Tradução de Calculus for Business, Economics, and the Social and Life Science. LEITHOLD, Louis. Matemática Aplicada à Economia e Administração. São Paulo: Harbra,1988. MARQUES, Jair Mendes. Matemática Aplicada Para cursos de: Administração, Economia e Ciências Contábeis. Curitiba: Juruá, 2002. MORETTIN, Pedro A. Cálculo: Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Ed. Saraiva, 2003.
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