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Integral Indefinida apostila

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CÁLCULO INTEGRAL: Integral Indefinida 
 
 
 Ticiano A. Campigotto 
 
 
Introdução 
 
O Cálculo diferencial lida com problemas para se determinar a taxa de variação de uma quantidade em 
relação à outra. A necessidade de calcular taxas de variação instantâneas levou os descobridores do cálculo a 
uma investigação sobre os coeficientes angulares de retas tangentes e, por fim, ás derivadas – ao que 
chamamos de cálculo diferencial. Mas eles sabiam que as derivadas contavam somente a metade da história. 
Além de um método do cálculo para descrever como uma função estava variando em um dado movimento, 
também poderiam se acumular ao longo de um intervalo para produzir a função, ou seja, estudando como um 
comportamento variou, eles queriam conhecer o comportamento em si. Por exemplo, partindo da velocidade 
de um objeto em movimento, eles queriam ter condições de determinar sua posição em função do tempo. É 
por isso que também eles investigaram áreas sob curvas, uma pesquisa que acabou por levar ao segundo ramo 
principal do cálculo, chamado cálculo integral. 
Como os matemáticos tinham o cálculo para determinar coeficiente angular de retas tangentes e também para 
determinar áreas sob curvas, duas operações geométricas que pareciam não ter relação entre si, o desafio para 
Newton e Leibniz era demonstrar a ligação que eles sabiam intuitivamente existir. A descoberta dessa ligação 
(chamada Teorema Fundamental do Cálculo) reuniu o cálculo diferencial e integral, tornando-os a ferramenta 
mais poderosa que os matemáticos já obtiveram para entender o universo. 
Iniciamos o estudo de outra parte o cálculo, conhecida como cálculo integral. Aqui, nosso interesse é 
precisamente o problema oposto: Se conhecemos a taxa de variação de uma quantidade em relação a outra, 
podemos determinar a relação entre as duas quantidades? A fermenta principal utilizada no estudo do cálculo 
integral é a antiderivada de uma função, e desenvolvemos regras para a antiderivação ou integração, como é 
chamado o processo de encontrar a antiderivada. Mostraremos também que existe um elo entre o cálculo 
integral – por meio do teorema fundamental do cálculo. 
 
 
1.1 Antiderivação: A Integral Indefinida 
 
Em muitos problemas, a derivada de uma função é conhecida, e a meta é encontrar a função propriamente 
dita. Por exemplo, um sociólogo que conhece a taxa na qual uma população está crescendo pode querer usar 
esta informação para prever a população futura; um economista que conhece a taxa de inflação pode desejar 
estimar os preços futuros. 
O processo de obter uma função a partir se sua derivada é denominada antiderivação (antidiferenciação) ou 
integração. 
 
 
2
 
 
1.2 Antiderivada 
 
O processo para determinar uma função f(x) a partir de um de seus valores conhecidos e sua derivada f’(x) tem 
dois passos. O primeiro é encontrar uma fórmula que dê todas as funções que poderiam ter f como derivada. 
Essas funções são chamadas primitivas de f, e a fórmula que fornece todas elas é chamada integral indefinida 
de f. O segundo passo é usar o valor conhecido para selecionar a primitiva particular desejada a partir 
daquelas na integral indefinida. 
 
Definição: Uma função F(x) é uma primitiva de uma função f(x) se F’(x) = f(x) para qualquer x no domínio de 
f. O conjunto de todas as primitivas de f é a integral indefinida de f em relação a x. denotada por ∫ dxxf )( . 
∫ é o símbolo de uma integral. A função f é o integrado de uma integral e x é a variável de integração. 
 
Uma função F(x) para a qual F’(x) = f(x) para x no domínio de f é dita ser antiderivada (ou integral 
indefinida) de f. 
 
Exemplo 
Verificar que 25
3
1
)( 3 ++= xxxF é uma antiderivada de 5)( 2 += xxf . 
Solução 
F(x) é uma antiderivada de f(x) se, e somente se, F’(x) = f(x) 
Derive F e você encontrará que 
F’ (x) = x2 +5 = f (x). Conforme desejávamos. 
 
Outros exemplos: 
 
1. 1)( 2 += xxF é uma primitiva de xxf 2)( = , pois xxF 2)(' = 
2. 2)( 2 += xxF é uma primitiva de xxf 2)( = , pois xxF 2)(' = 
3. 3)( 2 += xxF é uma primitiva de xxf 2)( = , pois xxF 2)(' = 
4. 1)( 2 −= xxF é uma primitiva de xxf 2)( = , pois xxF 2)(' = 
5. 2)( 2 −= xxF é uma primitiva de xxf 2)( = , pois xxF 2)(' = 
 
 
 
 
 
3
 
1.3 A Antiderivada Geral de uma função 
 
Uma função tem mais de uma antiderivada. Por exemplo, uma antederivada da função f(x) = 3x2 é F(x) = x3, 
pois: F’ (x) = 3x2 = f (x). 
Mas G(x) = x3 + 1 também o é, pois a derivada da constante 12 é zero e G’ (x) = 3x2 = f (x). 
 
 
 
 
 
Em geral, se F é uma antederivada de f, qualquer função obtida pela adição de uma constante a f é também 
uma antederivada de f. De fato, todas as antederivadas de f podem ser obtidas adicionando-se constantes a 
qualquer antederivadas particular de f. 
 
 
1.4 As Antiderivadas de uma função 
 
 
Se F e G são antederivadas de f, então existe uma constante C tal que: G (x) = F (x) + C 
Quaisquer duas antiderivadas de uma mesma função devem definir por uma constante. 
Se F(x) é uma antiderivada de f(x), então F’(x) = f(x). Isto diz que, para qualquer valor de x, f(x) é a 
inclinação da tangente ao gráfico de F(x). 
Se G(x) é uma antiderivada de f(x), a inclinação de sua tangente é também. Assim, o gráfico de G é paralelo 
ao gráfico de F, e pode ser obtido pela translação do gráfico de F verticalmente. Isto é, existe alguma 
constante C para G(x) = F(x) + C . 
Funções que diferem apenas por uma constante têm a mesma derivada. A função F(x) = x3 + C tem a mesma 
derivada, f(x) = 3x2, para um número infinito de valores possíveis para C. Se o processo é intervertido, fica 
claro que cxdxx +=∫ 323 tem que ser a antederivada ou integral indefinida para um número infinito de 
funções. Logo, a constante de integração C serve para representar o valor de qualquer constante que fazia 
parte da função primitiva que foi excluída da derivada pelas regras de diferenciação. 
Varias antiderivadas da função f(x) = 3x2 
 
 
4
 
 
são, por exemplo, são: 
F(x) = x3 + 2 
F(x) = x3 + 1 
F(x) = x3 
F(x) = x3 – 1 
F(x = x3 - 2 
 
 
 
 
 
 
1.5 Notação de Integral 
 
A integração indefinida consiste no processo inverso da derivação. O processo de obter uma função a partir 
de sua derivada é denominado antiderivação (antidiferenciação ou integração) 
 
A integral da função f(x) é expressa matematicamente como: 
 
 
5
 
∫ += CxFdxxf )()( →→→→ “A integral de f de x em relação a x” 
 
• ∫ Sinal de integral → busca a forma mais geral da antiderivada da função que se segue ao 
símbolo. 
 
• f(x): → integrado 
 
• d(x): indica que x é a variável em relação à qual a integral deve ser executada. 
 
• F(x) + C : integral indefinida (ou antiderivada) de f(x) 
 
• C: constante de integração. 
 
 
para expressar o fato de que toda antiderivada de f(x) é da forma F(x) +C. Por exemplo, você pode expressar 
o fato de que toda antederivada de 3x2 é da forma x3 + C escrevendo: 
 
Cxdxx +=∫ 323 
 
O símbolo ∫ ë chamado um sinal de integração e indica que você busca a forma mais geral da antiderivada 
da função que se segue ao símbolo. 
 
f(x) é o integrado. 
 
Na expressão ∫ += CxFdxxf )()( , a função f(x) que está para ser integrada é chamada de integração . 
A constante C não-determinada que é adicionada à F(x) para fornecer a forma mais geral da antederivada é 
conhecida como constante de integração . 
O símbolo dx que aparece após o integrado pode parecer mistério. Seu papel é indicar que x é a variável emrelação à qual a deve ser executada. 
F(x) + C: integral indefinida (ou antiderivada) de f(x). 
 
A Integral indefinida de uma função f é a representada geometricamente por uma família de curvas que em 
pontos de mesma abscissa possuem retas tangentes paralelas. 
Por exemplo: 
cxxdx +=∫ 22 
 
 
 
 
6
 
 
 
 
 
 
1.6 A Integral Indefinida 
 
A integral indefinida consiste no processo inverso da derivação. O processo de obter uma função a partir de 
sua derivada é denominado antiderivação (antidiferenciação) ou integração. 
A integral da função f(x) é expressa matematicamente como: 
 
 
).()(')()( xfxFCxFdxxf =⇔+=∫ 
 
 
Para todo x no domínio de f. 
 
Onde: 
 
• ∫ = Sinal de integral. 
• )(xf = Integrado. 
• dx = Diferencial de x. 
• )(xF = Primitiva. 
• C = Constante de integração. 
• CxF +)( = Integral Indefinida ou Antiderivada. 
 
 
 
7
 
 
1.7 Regras de Integração: Integrais inediatas. 
 
A integração é o inverso da derivada. Assim, muitas regras de integração podem ser obtidas pelas regras de 
derivação correspondentes. 
 
1.7.1 A Regra Integral de uma constante ∫ += ckxkdx 
 
Exemplo: ∫ += cxdx 22 
 
1.7.2 A Regra. A Integral de 1, que tem a notação dx, e não dx é: ∫ += cxdx 
 
1.7.3 A Regra da Potência para integração: Cx
n
dxx nn +
+
= +∫ 11
1
 
 
Exemplo a) cxcxdxx +=+
+
= +∫ 3122 3
1
12
1
 
 
Exemplo b) Cxdxx +=∫ 5
8
5
3
8
5
 
 
 
Exemplo c) CxCxdxxdx
x
+=+== ∫∫
−
22
1
2
1
2
1
 
 
1.7.4 A Integral de 
x
1
 ou x-1 : Cxdx
x
+=∫ ln
1
 ou cxdxx +=∫ − ln1 , com x > 0 
 
1.7.5 A Integral de uma função exponencial: c
ak
a
dxa
kx
kx +=∫ ln 
 
Exemplo cdx
x
x
+=∫ 2ln3
2
2
3
3
 
 
 
 
8
 
1.7.6 A Integral de xe ( função exponencial natural: Cedxe xx +=∫ 
 
c
k
e
dxe
kx
kx +=∫ já que 1ln =e 
 
1.7.7 A Regra do Produto por Constante para Integração 
 
Para qualquer constante, 
 
∫ ∫= dxxfkdxxkf )()( 
 
Isto é, a integral de uma constante vezes uma função é igual à constantes vezes a integral da função. 
 
Exemplo cxcxxdxxdx +=+==∫ ∫ 222
1
.222 
 
 
1.7. 8 A Regra da Soma para integrais 
 
[ ] ∫ ∫∫ +=+ dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 
 
Isto é, a integral de uma soma é a soma das integrais. 
 
Exemplo 
Encontre .)
2
12
3( 2 dxx
x
ex −+∫ 
 
Solução 
Cxxedxxdx
x
dxedxx
x
e xxx +−+=−+=−+ ∫∫∫∫ 322 6
1
ln23
2
11
23
2
12
3( 
 
 
 
 
 
 
 
9
 
 
Exercícios 
 
 
Calcule as seguintes integrais indefinidas: 
 
 
1. ∫ xdx3 ; 2. ∫ xdx ; 3. dxx∫ 2 ; 
4. ∫ dx4 ; 5. ∫− dx6 ; 6. dxx∫10 ; 
7. ∫ xdx4 ; 8. ∫− xdx6 ; 9. dxx∫− 23 
10. dxx∫ 45 ; 11. dxxx )13( 3 +−∫ ; 12. dxx∫ −13 ; 
13. dxx∫ 32 ; 14. dxe x∫ −39 ; 15. dxx∫ 3
2
; 
16. dxx∫
−
5
1
; 17. dxx∫ −24 ; 18. ∫ x
dx
; 
19. dxx∫ −15 ; 20. ∫ x
dx
3
; 21. ∫ 4x
dx
; 
22. dxxxx )325( 23 ++∫ ; 23. dxx∫ 42 ; 24. dxx∫8 ; 
25. dxe x∫ 5 26. dxe x∫ −416 ; 27. dxxx )5( 2 +∫ ; 
28. dxxx )1053( 24 ++∫ ; 29. dxxx )4( 2 ++∫ ; 30. dxxx )736( 2 −+∫ ; 
31. dx
x∫
2
; 32. dx∫ 2
1
; 33. dx
x∫ 2
1
 
34. dxx )(∫ ; 35. ∫ − dxx)23( ; 36. dxxx )645( 2∫ −+ ; 
37. dx
x
)
2
5(∫ + ; 38. dxe x∫ 24 ; 39. dxx∫ 52 
40. dxx∫ 2 ; 41. dxx∫ 3
1
; 42. dxxx )( 23 +∫ 
43. dxxx )523( 24 +−∫ ; 44. dxxxx )1( 23 +++∫ ; 45. dxx )3
5
( +∫ 
 
 
 
 
 
10
 
Técnicas de Integração 
 
 Integração por Substituição 
De acordo com a Regra da Cadeia, a derivada da função 92 )53()( ++= xxxf é: 
)32()53(9)53[( 8292 +++=++ xxxxx
dx
d
 
A derivada é um produto, em que um de seus fatores 2x + 3, é a derivada da expressão x2 + 3x + 5. 
A derivada é um produto da forma: 
dx
du
uf =)( , neste caso, 89)( uuf = e u = .532 ++ xx Daí, 
podemos integrar produtos da forma 
dx
du
uf )( aplicando a regra da cadeia ao inverso. 
Se F é um antiderivado de f, então CF
dx
du
uf +=∫ )( , pois a Regra da Cadeia 
dx
du
uf
dx
du
uFuF
dx
d
)()(')]([ == 
dx
dx
du
udxxf )()(∫ ∫= 
∫ ∫ +== CuFududxxf )()( 
 
Forma Integral da Regra da Cadeia 
Isto é, para integrar um produto da forma 
dx
du
uf )( , na qual um dos termos 
dx
du
 é a derivada de uma 
expressão u que aparece no outro termo: 
1. Encontre a antiderivada ∫ duuf )( do termo f(u) em relação a u. 
2. Substitua u na resposta por sua expressão em termos de x. 
Exemplo: Encontre dxxxx )]32()53(9[ 22 +++∫ 
Solução: Fazendo 532 ++= xxu ; 32 += x
dx
du
 e 
32 +
=
x
du
dx , temos: 
cuduuduux
x
du
udxxxx +===+
+
=+++ ∫∫∫∫ 988882 99)32(329)]32()53(9[ 
substituindo u = x2 +3x + 5, temos: 
cxxdxxxx
cudxxxx
+++=+++
+=+++
∫
∫
9282
982
)53()]32()53(9[
)]32()53(9[
 
 
 
11
 
 
 
Exercícios 
Aplicando a Técnica da substituição: Encontre as seguintes integrais: 
1. dxx ])12(10[ 4∫ + ; 2. dxx ])23(21[ 6∫ − ; 3. dxxx ])12(32[ 72 −∫ ; 
4. dxxx ])53(24[ 32∫ + ; 5. dxxx ])72(30[ 532 −∫ ; 6. dxxx ])54(36[ 332 −∫ ; 
7. dxx∫ + 5)12( ; 8. dxx∫ + 43
1
; 9. dxx∫ + 4)3( ; 
10. dx
x∫ +3
1
; 11. dxx∫ + 3)52( ; 12. dxx∫ −15
2
; 
13. dxxx ])1(2[( 42 +∫ ; 14. dxxx ])3(2[ 42 +∫ ; 15. dxxx )2(12 32 +∫ ; 
16. dxxx ])3(10[ 42 +∫ ; 17. dxxx )]52([ 54 −∫ ; 18. dxx∫ + ])1(4[ 3 ; 
19. dxx∫ + 43 ; 20. dxx∫ + 8)35( ; 21. ∫ − 59x
dx
; 
22. dxx∫ −− ])116[( 5 ; 23. dxx
x
∫ + 23
2
)74(
; 24. ∫ − dxx ])21[( 5 
25. dxxx ])1(2[ 42 +∫ ; 26. dxx∫ + 53 ; 27. dxx∫ + ])42(2[ 5 
28. dxxx ])3(2[ 42 +∫ ; 29. dxxx ])1([ 2
3
32 +∫ ; 30. dxxx ])1([ 332 −∫ . 
 
Integração por Partes 
 
Vamos discutir uma técnica que pode ser usada para integrar certos produtos da forma )()( xgxf . A 
técnica, conhecida como integração por partes, é uma conseqüência direta da regra do produto para derivada. 
A fórmula da integração por partes é apresentada a seguir: 
 
∫ ∫−= dxxGxfxGxfdxxgxf )()(')()()()( ou ∫ ∫−= vduvudvu .. 
 
Como usar a integração por partes para integrar um produto 
 
1
o
 passo. Escolha um dos fatores do produto como o fator a ser integrado e o outro como o fator a ser 
derivado. O fator escolhido para ser integrado deve ser fácil de integrar e o fator para ser derivado deve se 
tornar mais simples ao ser derivado. 
 
2o
 passo. Integre o fator escolhido e multiplique-o pelo outro fator. 
 
3
o
 passo. Derive o fator escolhido, multiplique-o pelo resultado do 2o passo e subtraia a integral deste produto 
do resultado do 2o passo. 
 
 
12
 
 
4
o
 passo. Complete o calculo determinado o valor da integral obtida no 3o passo. Acrescente a constante de 
integração c apenas no final do processo. 
 
Exemplo 
 
Determine dxxe x∫ 2 
 
Solução 
 
Nesse caso, os dois fatores, x e xe2 , são fáceis de integrar. Ambos também são fáceis de derivar, mas a 
derivação simplificada x e não simplificar xe2 . Assim, parece mais promissor fazer: 
 
xexg 2)( = e xxf =)( 
2
)(
2xe
xG = e 1)(' =xf 
Portanto: 
cexcexedxe
ex
dx
e
x
e
dxxe xxxx
xxx
x +−=+−=−=−= ∫∫∫ 2222
222
2 )
2
1
(
2
1
4
1
2
1
2
1
2
.
)1).(
2
()).(
2
(
 
 
Exercícios 
 
Use o método da integração por partes para calcular a integral dada: 
 
1. dxxx∫ + 5 ; 2. xdxln∫ 
3. dxex x∫ 2 ; 4. dxxe x∫ −2 
5. dxxe x∫ ; 6. dxex x∫ 3 
7. xdxlx n∫ 2 ; 8. dxxx∫ +1 
9. dxxe x∫ 2 ; 10. dxxx∫ − 3)1(4 
11. dxxe x∫ − ; 12. dxxx∫ + 8)1( 
13. dxxx∫ +1 ; 14. dxxx∫ + 3)4(15 
15. dxxx∫ − 7)1(5 ; 16. dxxe x∫ 2 
17. dxex x23∫ ; 18. xdxxln∫ 
19. dxxe x∫ 3 ; 20. xdxxln 2∫ 
21. dxxx∫ − 6 ; 22. dxxx∫ + 8)1( 
23. dx
x
xln∫ 2 24. xdxlx n32∫ 
 
 
 
 
 
13
 
 
 
Integração trigonométricas 
 
• ∫ +−= cxsenxdx cos 
• ∫ += csenxxdxcos 
• cxltgxdx n +=∫ sec 
• csenxlgxdx n +=∫ cot 
• ctgxxlxdx n ++=∫ )(secsec 
• cgxecxlecxdx n +−=∫ )cot(coscos 
• c
k
kx
senkxdx +−=∫
cos
 
• c
k
senkx
kxdx +=∫ cos 
• ctgxxdx +=∫ 2sec 
• cgxxdxec +−=∫ cotcos 2 
• ∫ += cxxtgxdx secsec 
• ∫ +−= cecxgxdxecx coscotcos 
 
 
Exemplos: 
 
1. cxsenxdxsenxdx +−==∫ ∫ cos222 
 
2. ∫ ∫ +== csenxxdxxdx 3cos3cos3 
 
3. cgxxxdxectgxdxxdxxectgxx +−=+=+ ∫ ∫∫ cotsec3cos.sec3)cos.sec3( 22 
 
 
14
 
4. ∫∫∫∫ +==== cxxdxtgxdxx
senx
x
dx
senx
xdx
ecx
x
secsec.
cos
.
cos
1
1
cos
1
cos
sec 22
 
5. ∫∫ +== cxtgxdxxdxx
senx
sec.sec
cos2
 
 
6. =
+
∫ dxx
x
2
2
cos
cos1
 
Solução: Lembrando que 
x
x
2
2
cos
cos1+
 pode ser escrito 1sec
cos
cos
cos
1 2
2
2
2
+=+ x
x
x
x
, temos: 
∫∫ ∫∫ ++=+=+=
+
cxtgxdxdxdxxdx
x
x
1sec)1(sec
cos
cos1 22
2
2
. 
 
7. =∫ dxxsen
xsen
3
2
 
Solução: Lembrando que xsenxxsen cos22 = , podemos escrever: 
ecxx
senxsenx
x
xsen
x
xsen
xsenx
xsen
xsen
cos.cot2
1
.
cos2cos2cos22
233
==== 
Portanto: 
∫ ∫∫ +−=== cecxecxdxgxecxdxgxdxxsen
xsen
cos2cos.cot2cos.cot2
2
3
. 
 
8. c
xsen
xdx +=∫ 3
31
3cos 
 
9. cxsendxx +−=−∫ )2
3
2(
2
1
)
2
3
2cos(
ππ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15
 
 
 
 
 
Funções algébricas 
 
• carcsenx
x
dx
+=
−
∫ 21
 
• carctgx
x
dx
+=
+∫ 21 
• cxarc
xx
dx
+=
−
∫ sec
12
 
• ∫ += cuxsenuxdx cos 
• cxsenuuxdx +=∫ cos 
• ctguxxdxu +=∫ 2sec 
• cguxdxecu +−=∫ cotcos 2 
• ∫ +−= cutguxdxu sec..sec 
• ∫ +−= cecuguxdxecux coscot.cos 
• cxxlcsenu
x
dx
n +++=+=
+
∫ 1arg
1
2
2
 
• cxxlcu
x
dx
n +−+=+=
−
∫ 1cosarg
1
2
2
 
• ctgx
x
dx
+=
−∫ arg1 2 se 1≺x 
• cgx
x
dx
+=
−∫ cotarg1 2 se 1≻x 
• cxu
xx
dx
+−=
−
∫ secarg
1 2
 
• cxecu
xx
dx
+−=
+
∫ cosarg
1 2
 
 
 
 
16
 
 
 
 
 
Exercícios: Calcule as seguintes integrais indefinidas 
1. dxsenxe x )( +∫ ; 2. ∫ senxdx3 
3. ∫ +− dxsenxx )3cos2( ; 4. ∫ − dxx)cos21( 
5. ∫ + dxxsenx )cos43( ; 6. dxx
xsen
∫ 3cos3
2
 
7. dxxx )sec7( 24 +∫ ; 8. dxsenxxe
x )
4
1
3( −+∫ 
9. dx
xsen∫ 2
1
; 10. ∫ − dxtgxxx ).sec(cos 
11. ∫ + dxxx )5coscos5( ; 12. ∫ senxdx5 
13. ∫ xdxcos7 ; 14. dxsenxx∫ − )3cos4( 
15. ∫ xdxsen8 ; 16. ∫ xdx7cos 
17. dxxsen )
2
3
3( π∫ − ; 18. ∫ − dxx )25cos( π 
19. ∫ tgxdx ; 20. ∫ gxdxcot 
21. ∫ xdxx cos. ; 22. ∫ senxdxx. 
23. ∫ xdxsenx 5. ; 24. ∫ xdxx 3cos. 
25. senxdxx∫ 2 ; 26. xdxx cos2∫ 
27. dxx
x
x )sec
2
1
5( 23 ++∫ ; 28. dxx
senx
senx )
cos
(
2∫ + 
29. xsenxdx∫ 3cos ; 30. dxxx 43 5cos∫ 
31. dx
x
senx
]
cos2
[∫ + ; 32. dxx )32(sec
2 −∫ 
33. dxxectgxx )cos.sec3( 2∫ + ; 34. dxecx
x
∫ cos
sec2
 
35. dxxgxtg )4cot( 22 ++∫ ; 36. xdxxsen cos2∫ 
 
 
17
 
37. ∫ + dxxsen )5( ; 38. dxxx )3sec( 2∫ + 
39 dxsenxxe x )2
4
1
5( −−∫ ; 40. dxsenx
x
)
3
cos
(∫ − 
41. dx
x
senx
)
cos2
(∫ + ; 42. )cos2(∫ − x
senx
 
 
Exercícios: Prove que: 
 
a) cxldx
x
senx
n ++−=+∫ cos2]cos2[ 
b) cxldx
x
senx
n +−=−∫ cos2]cos2[ 
c) csenxldx
senx
x
n +−−=−∫ 3]3
cos
[ 
d) csenxldx
senx
x
n ++=+∫ 3]3
cos
[ 
e) cxltgxdx n +−=∫ cos22 
f) csenxlgx n +=∫ 5cot5 
 
 
Respostas: Exercícios página 09 
 
1 ∫ =xdx3 cx +22
3
; 
2. ∫ =xdx cx +22
1
; 
3. =∫ dxx 2 ;3
1 3 cx + 
4. ∫ =dx4 cx +4 ; 
5. ∫ =− dx6 cx +− 6 ; 
6. =∫ dxx10 cx +25 ; 
7. ∫ =xdx4 ;2 2 cx + 
8. ∫ =xdx6 cx +− 23 ; 
9. ∫ =− dxx 23 cx +− 3 ; 
 
 
18
 
10. =∫ dxx 45 cx +5 ; 
11. =+−∫ dxxx )13( 3 cxxx ++− 24 2
1
4
3
; 
12. =∫ − dxx 13 cxln +3 ; 
13. =∫ dxx32 cln
x
+
23
23
; 
14. =∫ − dxe x39 ce x +− −33 ; 
15. =∫ dxx 3
2
cx +3
5
5
3
; 
16. =∫
−
dxx 5
1
cx +5
4
4
5
; 
17. =∫ −24x cx +− −14 ; 
18. =∫ x
dx
cxln + ; 
19. =∫ − dxx 15 cxln +5 ; 
20. =∫ x
dx
3
cxln +3
1
; 
21. =∫ 4x
dx
c
x
+−
33
1
; 
22. =++∫ dxxxx )325( 23 cxxx +++ 234 2
3
3
24
5
; 
23. =∫ dxx42 cln
x
+
24
24
; 
24. =∫ dxx8 cln
x
+
8
8
; 
25. =∫ dxe x5 c
e x
+
5
5
; 
26. =∫ − dxe x416 ce x +− −44 ; 
 
27. =+∫ dxxx )5( 2 cxx ++ 23 2
5
3
1
; 
28. =++∫ dxxx )1053( 24 cxxx +++ 103
5
5
3 35
; 
29. =++∫ dxxx )4( 2 cxxx +++ 42
1
3
1 23
; 
30. =−+∫ dxxx )736( 2 cxxx +−+ 72
3
2 23 ; 
 
 
19
 
31. =∫ dxx
2
cxln +2 ; 
32. =∫ dx2
1
cx +
2
1
; 
33. =∫ dxx2
1
cxln +2
1
; 
34. =∫ dxx )( cxx +3
2
; 
35. ∫ =− dxx)23( cxx +− 23 ; 
36. =−+∫ dxxx )645( 2 cxxx +−+ 32 225 ; 
37. =+∫ dxx )
2
5( cxlx n ++ 25 ; 
38. =∫ dxe x24 ce x +22 ; 
39. =∫ dxx52 cx +63
1
; 
40. =∫ dxx2 cln
x
+
2
2
; 
41. =∫ dxx3
1
c
x
+−
22
1
; 
42. =+∫ dxxx )( 23 c
xx
++
34
34
; 
43. =+−∫ dxxx )523( 24 cxxx ++− 53
2
5
3 35
; 
44. =+++∫ dxxxx )1( 23 cx
xxx
++++
234
234
; 
45. =+∫ dxx )3
5
( cxxln ++ 35 
 
 
Respostas: Exercícios página 11 (Integração por substituição). 
 
1. cxdxx ++=+∫ 54 )12(])12(10[ 
2. cxdxx +−=−∫ 76 )23(])23(21[ 
3. cxdxxx +−=−∫ 8272 )12(])12(32[ 
4. cxdxxx ++=+∫ 4232 )53(])53(24[ 
5. cxdxxx +−=−∫ 63532 )72(6
5
])72(30[ 
6. cxdxxx +−=−∫ 43332 )54(4
3
])54(36[ 
 
 
20
 
7. cxdxx ++=+∫ 65 )12(12
1
)12( 
8. cxldx
x
n ++=+∫ )43(3
1
43
1
 
9. cxdxx ++=+∫ 54 )3(5
1
)3( 
10. cxldx
x
n ++=+∫ )3(3
1
 
11. cxdxx ++=+∫ 43 )52(8
1
)52( 
12. cxldx
x
n +−=−∫ )15(5
2
15
2
 
13. cxdxxx ++=+∫ 5242 )1(5
1
)1(2[ 
14. cxdxxx ++=+∫ 5242 )3(5
1
])3(2[ 
15. cxdxxx ++=+∫ 2332 )2(2)2(12[ 
16. cxdxxx ++=+∫ 5242 )3()3(10[ 
17. cxdxxx +−=−∫ 2554 )52(20
1
)]52([ 
18. cxdxx ++=+∫ 43 )1(])1(4[ 
19. cxdxx ++=+∫ 3)43(9
2
)43( 
20. cxdxx ++=+∫ 98 )35(27
1
)35( 
21. cxl
x
dx
n =−=−∫ )59(9
1
59
 
22. cxdxx +−−=− −−∫ 45 )116(24
1
)116( 
23. c
x
dx
x
x
+
+
−=
+∫ )74(12
1
)74( 323
2
 
24. cxdxx +−−=−∫ 65 )21(12
1
)21( 
25. cxdxxx ++=+∫ 5242 )1(5
1
])1(2[ 
26. cxdxx ++=+∫ 3)53(9
2
53 
27. cxdxx ++=+∫ 65 )42(6
1
)42(2[ 
 
 
21
 
28. cxdxxx ++=+∫ 5242 )3(5
1
])3(2[ 
29. cxdxxx ++=+∫ 2
5
32
3
32 )1(
15
2
])1([ 
30. cxdxxx +−=−∫ 53332 )1(15
2
])1({ 
 
 
 
Respostas dos exercícios da página 12 (Integração por partes). 
 
1. cxxxdxxx ++−+=+∫ 53 )5(15
4
)5(
3
2
5 
2. cxlxdxl nn +−=∫ )1( 
3. cexxdxex xx ++−=∫ )22( 22 
cexedxxe xxx +−−= −−−∫ 222 4
1
2
1
.4 
5. cexedxxe xxx +−=∫ 
6. cxxxedxex xx +−+−=∫ )663( 233 
7. cxlxxdxlx nn +−=∫ )3
1
(
3
1 32
 
8. cxxxdxxx ++−+=+∫ 53 )1(15
4
)1(
3
2
1 
9. cxedxxe xx +−=∫ )2
1
(
2
1 22
. 
10. cxxxdxxx +−−−=−∫ 543 )1(5
1
)1()1(4 . 
11. cxedxxe xx ++−= −−∫ )1( . 
12. cxxxdxxx ++−+=+∫ ])1(10
1
)1([
9
1
)1( 1098 . 
13. cxxxdxxx ++−+=+∫ ])1(15
4
)1([
3
2
1 53 
14. cxxxdxxx ++−+=+∫ 753 )4(7
2
)4((6)4(15 
15. cxxxdxxx +−−−=−∫ ])1(9
1
)1([
8
5
)1(5 987 
16. cxedxxe xx +−=∫ )1(22 
17. cxxxedxex xx +−+−=∫ )4
3
2
3
2
3
(
2
1 23223
 
 
 
22
 
18. cxlxdxxxl nn +−=∫ )2
1
(
2
1 2
 
19. cxedxxe xx +−=∫ )3
1
(
3
1 33
 
20 cxlxxdxlx nx +−=∫ )2
1
2(
2
1
2 2 
21. cxxxdxxx +−−−=−∫ 53 )6(15
4
)6(
3
2
6 
22. cxxxdxxx ++−+=+∫ )]1(10
1
[)1(
9
1
)1( 98 
23 cxl
x
dx
x
xl
n
n ++−=∫ )1(
1
2
 
24. cxlxxdxlx nn +−=∫ )3
1
3(
3
1
3 32 
 
Respostas dos exercícios da página 16. 
 
1. cxedxsenxe xx +−=+∫ cos)( 
2. ∫ +−= cxsenxdx cos33 
3. ∫ +++=+− cxxsenxdxsenxx 3cos2)3cos2( 
4. ∫ +−=− csenxxdxx 2)cos21( 
5. ∫ ++−=+ csenxxdxxsenx 4cos3)cos43( 
6. cxdx
x
xsen
+=∫ sec3
2
cos3
2
3
 
7. ctgxxdxxx ++=+∫ 524 5
7
)sec7( 
8. cxedxsenx
x
e xx +++=−+∫ cosln4
1
3)
4
1
3 
9. cgxdx
xsen
+−=∫ cot
1
2
 
10. ∫ +−=− cxsenxdxtgxx sec).sec(cos 
11. cxsensenxdxxx ++=+∫ 55
1
5)5coscos5( 
12. ∫ +−= cxsenxdx cos55 
13. ∫ += csenxxdx 7cos7 
14. cxsenxdxsenxx ++=−∫ cos34)3cos4( 
15. cxxdxsen +−=∫ 8cos8
1
8 
 
 
23
 
16. cxsenxdx +=∫ 77
1
7cos 
17. cxdxxsen +−−=−∫ )2
3
3cos(
3
1
)
2
3
3( ππ 
18. cxsendxxcox +−=−∫ )25(5
1
)25( ππ 
19. cxltgxdx n +−=∫ cos 
20. csenxlgxdx n +=∫ cot 
21. ∫ ++= cxxsenxxdxx coscos 
22. ∫ ++−= csenxxxxsenxdx cos 
23. cxsenxxxdxxsen +−−=∫ )55
1
5cos(
5
1
5 
24. cxxxsenxdxx ++=∫ )3cos3
1
3(
3
1
3cos 
25. cxxsenxxxsenxdxx +++−=∫ cos22cos22 
26. csenxxxsenxxxdxx +−+=∫ 2cos2cos 22 
27. ctgxxlxdxx
x
x n +++=++∫ 2
1
4
5
)sec
2
1
5( 423 
28. cxxdx
x
senx
senx ++−=+∫ seccos)cos( 2 
29. cxxsenxdx +−=∫ 43 cos4
1
cos 
30. cxsendxxx +=∫ 443 520
1
5cos 
31. cxldx
x
senx
n ++−=+∫ cos2cos2 
32. cxtgdxx +−=−∫ 322
1
)32(sec2 
33. cgxxdxxctgxx +−=+∫ cotsec3)cos.sec3( 2 
34. cxdx
ecx
x
+=∫ seccos
sec2
 
35. cxgxtgxdxxgxtg ++−=++∫ 2cot)4cot( 22 
36. csenxdxsen +=∫ 32 3
1
cos 
37. ∫ ++−=+ cxdxxsen )5cos()5( 
38. cxtgxdxxx ++=+∫ 33
1
2
1
)3sec( 22 
 
 
24
 
39. csenxxedxxxe xx +++=+−−∫ 28
1
5)cos2
4
1
5( 
40. csenxldx
senx
x
n +−=−∫ 3)3
cos
( 
41. [ ] cxldx
x
senx
n ++−=+∫ cos2)cos2( 
42. cxldx
x
senx
n +−=−∫ cos2)cos2( 
Integrais Imediatas 
 
1.A Integral de uma constante: 
• ∫ += ckxkdx 
2. A Integral de 1: 
• ∫ += cxdx 
3. A integral da Potência; 
• cx
n
dxx nn +
+
= +∫ 11
1
 
4. A integral de 
x
1
 ou 
1−x : 
• cxdxx +=∫ − ln1 
5. A Integral de uma função exponencial: 
• c
ak
a
dxa
kx
kx +=∫ ln 
6. A integral de e
x
: 
• c
k
e
dxe
kx
kx +=∫ 
7. A Integral do produto por uma constante: 
• ∫ ∫= dxxfkdxxkf )()( 
8. A integral para soma: 
• ∫ ∫ ∫±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ 
9. integrais trigonométricas 
• ∫ +−= cxsenxdx cos 
• ∫ += csenxxdxcos 
 
 
25
 
• cxltgxdx n +=∫ sec 
• csenxlgxdx n +=∫ cot 
• ctgxxlxdx n =+=∫ )(secsec 
• cgxecxlecxdx n +−=∫ )cot(coscos 
• c
k
kx
senkxdx +−=∫
cos
 
• c
k
senkx
kxdx +=∫ cos 
• ctgxxdx +=∫ 2sec 
• cgxxdxec +−=∫ cotcos 2 
• ∫ += cxxtgxdx secsec 
• ∫ +−= cecxgxdxecx coscotcos 
10. Funções algébricas 
• carcsenx
x
dx
+=
−
∫ 21
 
• carctgx
x
dx
+=
+∫ 21 
• cxarc
xx
dx
+=
−
∫ sec
12
 
• ∫ += cuxsenuxdx cos 
• cxsenuuxdx +=∫ cos 
• ctguxxdxu +=∫ 2sec 
• cguxdxecu +−=∫ cotcos 2 
• ∫ +−= cutguxdxu sec..sec 
• ∫ +−= cecuguxdxecux coscot.cos 
• cxxlcsenu
x
dx
n +++=+=
+
∫ 1arg
1
2
2
 
 
 
26
 
• cxxlcu
x
dx
n +−+=+=
−
∫ 1cosarg
1
2
2
 
• ctgx
x
dx
+=
−∫ arg1 2 se 1≺x 
• cgx
x
dx
+=
−∫ cotarg1 2 se 1≻x 
• cxu
xx
dx
+−=
−
∫ secarg
1 2
 
• cxecu
xx
dx
+−=
+
∫ cosarg
1 2
 
 
 
 
12. Integração por substituição: 
• ∫ ∫∫ ∫ +==⇒= cuFududxxfdxdx
du
udxxf )()()()( 
13. Integração por partes: 
• dxxfxgxgxfdxxgxf ])´()([)()(])´()([ ∫∫ −= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27
 
 
 
 
 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
 
FLEMMING, Diva Marília e GONÇALVES, Miriam Buss. Cálculo A: Funções, limites, derivação e 
integração. 6a ed. São Paulão: Pearson Pretice Hall, 2006. 
 
THOMAS, George B. Cálculo 11a ed. Volume 1. São Paulo: Addisn Wesley, 2009. 
 
HOFFMANN, Laurence D. Cálculo: Um curso moderno e suas aplicações. 7a ed. Tradução de Denise 
Paravato. Rio de janeiro : Livros Técnicos e Científicos, 2002. Tradução de Calculus for Business, 
Economics, and the Social and Life Science. 
LEITHOLD, Louis. Matemática Aplicada à Economia e Administração. São Paulo: Harbra,1988. 
MARQUES, Jair Mendes. Matemática Aplicada Para cursos de: Administração, Economia e Ciências 
Contábeis. Curitiba: Juruá, 2002. 
MORETTIN, Pedro A. Cálculo: Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Ed. Saraiva, 2003.

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