determine o valor do limite lim 4x2-9/2x+3, x=-3/2

Para determinar o limite \(\lim_{{x \to -\frac{3}{2}}} \frac{4x^2 - 9}{2x + 3}\), vamos seguir os passos: 1. Substituir o valor de \(x\): \[ \frac{4\left(-\frac{3}{2}\right)^2 - 9}{2\left(-\frac{3}{2}\right) + 3} \] 2. Calcular o numerador: \[ 4\left(-\frac{3}{2}\right)^2 = 4 \cdot \frac{9}{4} = 9 \] Portanto, o numerador fica: \[ 9 - 9 = 0 \] 3. Calcular o denominador: \[ 2\left(-\frac{3}{2}\right) + 3 = -3 + 3 = 0 \] 4. Forma indeterminada: Como tanto o numerador quanto o denominador resultam em 0, temos uma forma indeterminada \( \frac{0}{0} \). Precisamos fatorar o numerador. 5. Fatorar o numerador: O numerador \(4x^2 - 9\) é uma diferença de quadrados: \[ 4x^2 - 9 = (2x - 3)(2x + 3) \] 6. Reescrever o limite: Agora, substituímos na expressão original: \[ \lim_{{x \to -\frac{3}{2}}} \frac{(2x - 3)(2x + 3)}{2x + 3} \] 7. Simplificar: Podemos cancelar \(2x + 3\) (desde que \(x \neq -\frac{3}{2}\)): \[ \lim_{{x \to -\frac{3}{2}}} (2x - 3) \] 8. Substituir novamente: Agora, substituímos \(x = -\frac{3}{2}\): \[ 2\left(-\frac{3}{2}\right) - 3 = -3 - 3 = -6 \] Portanto, o valor do limite é: \[ \boxed{-6} \]