Aritmética e Teoria dos Números - AVA I

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1 Em um artigo escrito para um seminário da área de matemática, Pommer (2010) nos diz que "enquanto, no conjunto dos Números Naturais, os conhecimentos espontâneos e o uso de situações pragmáticas fazem parecer que as operações matemáticas decorrem 'naturalmente' da ação humana sobre objetos, o conjunto dos Números Inteiros, cuja representação usual, é Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....} apresentou uma evolução lenta e de difícil aceitação". Podemos, então, afirmar que uma aplicação dos naturais seria a contagem. Já nos inteiros, o que podemos citar como aplicação? 
FONTE: POMMER, Wagner. Diversas abordagens das regras se sinais nas operações elementares em Z. Disponível em: http://scholar.google.com.br/. Acesso em: 2 abr. 2012.
A
O uso em sequências numéricas.
B
Os cálculos com números decimais.
C
Representação das partes de um todo.
D
As atividades comerciais.
2 Propriedades são para a matemática ferramentas importantes para o desenvolvimento dos cálculos, demonstrações e argumentos, que influenciam na criação de "regras" fundamentadas. No início dos estudos de aritmética, aprendemos importantes propriedades aplicadas às operações básicas dos números inteiros. Algumas dessas propriedades são o elemento neutro, a distributiva, a associatividade e a comutatividade. Considerando as operações realizadas e as propriedades apresentadas, com relação às propriedades aplicadas nas operações, associe os itens, utilizando o código a seguir: 
I- Elemento neutro. 
II- Associatividade. 
III- Comutatividade. 
( ) 0 + (x + y) ---> (0 + x) + y 
( ) (0 + x) + y ---> (x + 0) + y 
( ) (x + 0) + y ---> x + y 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
II - I - III.
B
I - II - III.
C
II - III - I.
D
III - II - I.
3 A estruturação do conjunto dos números naturais, como conhecemos hoje, levou um longo período para ser construído. Do qual, Giuseppe Peano, matemático italiano, teve papel fundamental na formulação axiomática desse conjunto, que surgiu pela necessidade de contagem. Mais tarde, tivemos a formalização dos números inteiros, que podemos considerar como uma ampliação do conjunto dos números naturais. No conjunto dos inteiros, temos duas operações definidas: adição e multiplicação. Sobre os axiomas válidos para a adição nos inteiros, assinale a alternativa CORRETA:
A
Propriedade Associativa; Propriedade Comutativa; Propriedade da Existência do Elemento Neutro; Propriedade da Existência do Elemento Oposto.
B
Propriedade Associativa; Propriedade Comutativa; Propriedade da Existência do Elemento Neutro; Propriedade Distributiva.
C
Propriedade Associativa; Propriedade Comutativa; Propriedade da Existência do Elemento Neutro; Propriedade Distributiva.
D
Propriedade Comutativa; Propriedade da Existência do Elemento Neutro; Propriedade do Elemento Inverso.
4 Brincadeiras de adivinhação são comuns entre as pessoas e principalmente entre alunos e professores de matemática. Obviamente que para o professor, os problemas matemáticos não são restritos a adivinhações, mais sim em estabelecer um procedimento ou método para sua resolução. Acompanhe este pequeno desafio: 
"Ache um múltiplo de 6 que deixa o mesmo resto quando dividido por 5 e 4". 
É evidente que há infinitas soluções! Com base nesta pergunta, como uma possibilidade para a solução do problema, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas: 
( ) 342 é uma possível solução. 
( ) 306 é uma possível solução. 
( ) 242 é uma possível solução. 
( ) 282 é uma possível solução. 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
V - F - F - V.
B
F - V - V - F.
C
V - F - V - F.
D
V - V - F - V.
5 A conversão entre sistemas de numeração nada mais é do que transformar um certo número num sistema de numeração, para a sua representação equivalente num outro sistema de numeração. Consequentemente, convertendo o número 1101 da base 2 para a base decimal, o que encontramos?
A
11.
B
12.
C
15.
D
13.
6 Saber realizar uma demonstração é, para um professor de matemática, algo extremamente fundamental. Além de conhecer de onde surgem as coisas, desenvolve o raciocínio e a possibilidade em suas aulas, explanando isso com seus alunos. Você estudou alguns axiomas fundamentais da aritmética, em que alguns deles são: 
• A1 - Soma e multiplicação bem definidas 
• A2 - Comutatividades 
• A3 - Associatividade 
• A4 - Elemento Neutro 
• A5 - Simétrico 
• A6 - Distributiva 
• D1 - Diferença de dois números. 
Usando estas nomenclaturas, realizaremos uma demonstração a seguir, em que provaremos que se - a + b = 0, então b = a. 
Partindo de - a + b = 0, 
I) então por A1 podemos somar + a em ambos os membros, obtemos (- a + b) + a = 0 + a 
II) então por A3 na esquerda e A2 na direita, - a + (b + a) = a + 0 
III) então por A2 na esquerda e na direita A4, - a + (a + b) = a 
IV) então por A2 na esquerda, (- a + a) + b = a 
V) então por A5 na esquerda, 0 + b = a 
VI) então por A2 na esquerda, b + 0 = a 
VII) então por A4 na esquerda, b = a, como queríamos demonstrar. 
Analisando cada item do desenvolvimento da demonstração sobre o axioma utilizado, pois o processo de demonstração está correto, podemos afirmar que:
A
Os itens I, II, V, VI e VII estão corretos.
B
Os itens I, II, IV, V, VI e VII estão corretos.
C
Os itens I, II, III, IV, V e VII estão corretos.
D
Os itens I, II, III, V, VI e VII estão corretos.
7 É comum na matemática a utilização de símbolos para expressar operações, nomear algum objeto ou até mesmo para denotar uma fórmula. Um destes símbolos é o somatório, que de forma reduzida, generaliza por meio de um argumento o comportamento de uma sequência. Observe o somatório em anexo:
A
F - F - V - V.
B
F - V - F - F.
C
V - F - V - F.
D
V - F - V - V.
8 À medida que as civilizações evoluíram, os sistemas de numeração foram se tornando mais complexos, encontrando no sistema decimal sua forma universal. Com o sistema decimal, conseguimos expressar qualquer número com a utilização de apenas 10 algarismos. Observe a imagem a seguir e siga as orientações:
A
2 + 4 .10 + 8 .10² + 6 .10³
B
2 + 4 + 10.8 + 10².6 + 10³
C
6 .10^4 + 8 .10³ + 4 .10² + 2 .10¹
D
6 .10³ + 8 .10² + 4+ 10 .2
9 A indução (ou dedução) é o processo de descoberta de leis gerais pela observação e combinação de exemplos particulares. É usada em todas as ciências, na matemática é usada especificadamente para provar certos tipos de teoremas. Seguindo as etapas da indução matemática e considerando a P(n):
A
Somente a sentença II está correta.
B
As sentenças I e II estão corretas.
C
As sentenças I e III estão corretas.
D
Somente a sentença III está correta.
10 O sistema de numeração que teve maior importância, contribuindo para as operações aritméticas serem mais simples, é o sistema decimal ou sistema de numeração indo-arábico. Ele foi desenvolvido pelo hindus e popularizado pelos árabes na Europa Ocidental e tomou conta de todo o mundo. Basicamente dez símbolos representam de forma posicional valores diferentes. Hoje temos a possibilidade de trabalhar com estes mesmos símbolos e criar outros tipos de sistemas. Sobre o exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
( ) O número 42 na base 5, representa na base 10 o número 24. 
( ) O número 61 na base 10, representa na base 4 o número 331. 
( ) O número 212 na base 3, representa na base 10 o número 23. 
( ) O número 27 na base 10, representa na base 7 o número 38. 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
V - F - V - F.
B
V - F - F - V.
C
F - V - V - F.
D
F - F - V - V.