F Ó R M U L A S - GEOMETRIA ANALÍTICA

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Fórmulas para realização da prova de Geometria Analítica: 
 
1. Vetores 
 
1.1 Vetores 
 
Vetor: um vetor é um segmento de reta que possui módulo, direção e sentido. 
 
Módulo: o módulo é o comprimento do vetor e pode ser calculado pela fórmula 
 
22|| bav 

. 
 
 
 
 
 
 
1.2 Casos particulares de vetores 
 
Vetores paralelos: possuem a mesma direção. 
 
 
 
Vetores iguais: possuem mesmo módulo, direção e sentido. 
 
 
 
Vetor nulo: vetor de módulo igual a 0; qualquer ponto do espaço. 
 
 
 
Vetores opostos: vetores de mesmo módulo e direção, mas de sentidos contrários. 
 
 
 
Vetor unitário: vetor de módulo igual a 1. 
 
 
 
Vetores ortogonais: vetores que formam um ângulo reto. 
 
 
 
Vetores coplanares: vetores que estão no mesmo plano. 
 
 
 
 
1.3 Inclinação de um vetor 
 
A inclinação de um vetor é a medida  em relação à horizontal, no sentido anti-
horário. 
 
 
||
)(sen
v
b
 
||
)(cos
v
a
 
a
b
)(tg  
 
 
A tabela a seguir apresenta os valores do seno, cosseno e tangente para os arcos 
notáveis correspondentes a 30°, 45° e 60° e será útil em muitos casos. 
 
 30° 45° 60° 
sen 
2
1
 
2
2
 
2
3
 
cos 
2
3
 
2
2
 
2
1
 
tg 
3
3
 1 3 
 
 
 
 
2. Operações envolvendo vetores 
 
2.1 Produto de um vetor por um escalar 
O produto de  por v

 é o vetor v

 , onde 0

v , 0 , R . 
 
2.2 Adição de vetores 
 
ACvu 

 ou ACBCAB  
 
 
ou 
 
ACvu 

 ou ACADAB  
 
 
 
 
2.3 Subtração de vetores 
 
vuvu

 )( 
DBvu 

 ou DBCBDC  
 
 
 
 
Observação: As diagonais de um paralelogramo de lados iguais a u

 e v

 
correspondem a vu

 e vu

 . 
 
 
 
 
2.4 Combinação linear de vetores 
 
Um vetor v

 é uma combinação linear dos vetores nvvv

,...,, 21 quando v

 é a soma 
dos múltiplos dos vetores nvvv

,...,, 21 : 
 
nnvvvv

  2211 , onde Rn  ,...,, 21 
3. Vetores no plano cartesiano ortogonal R2 e no espaço tridimensional R3 
 
3.1 Vetores no plano ortogonal R2 
 
Vetor: jyixv

 ou ),( yxv 

 
 
 
Módulo e direção do vetor AB com ),( AA yxA  e ),( BB yxB  . 
Módulo: 
22 )()(|| ABAB yyxxAB  
Direção: 
AB
AB
xx
yy


)(tg  
 
 
Componentes de um vetor AB : OAOBAB  
 
 
 
Produto de um vetor por um escalar: 
21 ... vkvkvk 

 onde ),( 21 vvv 

 e Rk 
 
Produto escalar: 2121. yyxxvu 

 onde jyixu

11  e jyixv

22  . 
 
Produto escalar: cos.||.||. vuvu

 , com  1800  
3.2 Vetores no espaço tridimensional R3 
 
Vetor: kzjyixv

 ou ),,( zyxv 

 
Módulo: 
222|| zyxv 

 
 
 
 
Módulo do vetor AB : 222 )()()(|| ABABAB zzyyxxAB  , com 
),,( AAA zyxA  e ),,( BBB zyxB  . 
 
 
 
Produto de um vetor por um escalar: 
321 .... vkvkvkvk 

 onde ),,( 321 vvvv 

 e Rk 
 
 
 
Produto escalar: 212121. zzyyxxvu 

 onde kzjyixu

111  e 
kzjyixv

222  . 
 
Produto escalar: cos.||.||. vuvu

 , onde  é o ângulo entre os vetores u

 e v

 e 
 1800  . 
 
 
 
Produto vetorial: Dados ),,( 321 aaaa 

 e ),,( 321 bbbb 

, 
kbabajbabaibaba
bbb
aaa
kji
ba )()()( 122131132332
321
321 

 
 
 
3.3 Vetores no Rn 
 
Adição de vetores: 
),...,,( 2211 nn vuvuvuvu 

 onde ),...,,( 21 nuuuu 

 e ),...,,( 21 nvvvv 

 
 
Subtração de vetores: 
),...,,( 2211 nn vuvuvuvu 

 onde ),...,,( 21 nuuuu 

 e ),...,,( 21 nvvvv 

 
 
Produto de um vetor por um escalar: 
nvkvkvkvk .... 21  

 onde ),...,,( 21 nvvvv 

 e Rk 
 
Produto escalar: 
nn vuvuvuvu .... 2211  

 onde ),...,,( 21 nuuuu 

 e ),...,,( 21 nvvvv 

 
4. Retas 
 
4.1 Equações da reta 
 
Equação cartesiana na forma reduzida: baxy  
onde a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. 
 
 
 
Equação cartesiana na forma ).( 00 xxmyy  , onde 
AB
AB
xx
yy
m


 e 
) ,() ,( 00 AA yxyx  ou ) ,() ,( 00 BB yxyx  . 
 
 
 
Equação cartesiana na forma geral: 0 cbyax 
 
Equação vetorial: )direçãovetor ()posiçãovetor ()( ttr  , Rt 
 
Para retas em R2: ),.(),()( BBAA yxtyxtr  
 
 
 
Para retas em R3: ),,.(),,()( BBBAAA zyxtzyxtr  
 
 
 
Equações paramétricas da reta: 
 
Retas no R2: 





BA
BA
ytyy
xtxx
.
.
 
 
Retas no R3: 








BA
BA
BA
ztzz
ytyy
xtxx
.
.
.
 
 
4.2 Ângulo entre retas, paralelismo e perpendicularismo 
 
Ângulo entre duas retas: 
 
||.||
|.|
cos
vu
vu


 , com 
2
0

  
 
 
 
Retas ortogonais: 0. 2121  vvrr

 onde 1v

 e 2v

 são as direções de 1r e 2r , 
respectivamente. 
 
 
 
Se 1r e 2r são concorrentes, então 1r e 2r são perpendiculares. 
 
 
 
Obs.: Duas retas são concorrentes quando há um ponto de intersecção entre elas. 
 
Retas paralelas: Duas retas são paralelas quando o ângulo entre elas é igual a 0. 
 
 
 
Intersecção de retas: Duas retas r1 e r2 possuem intersecção caso haja um ponto P 
comum às duas retas. 
 
 
5. Planos 
 
5.1 Equações do plano 
 
Equação geral do plano: 0 dczbyax onde a, b e c são as componentes do 
vetor normal n

, 000 czbyaxd  e 0. APn

, PA, . 
 
 
 
Equação vetorial do plano: vtutAP

21  onde u

 e v

 são paralelos a  , 
PA, e Rtt 21, . 
 
 
 
Equações paramétricas do plano: 








22110
22110
22110
ctctzz
btbtyy
atatxx
 
 
Produto misto: 
123312231213132321
333
222
111
).( zyxzyxzyxzyxzyxzyx
zyx
zyx
zyx
wvu 

 
onde ) , ,( 111 zyxu 

, ) , ,( 222 zyxv 

 e ) , ,( 333 zyxw 

. 
 
Ângulo entre dois planos: 
21
21
.
.
)cos(
nn
nn


 , com  900  . 
6. Distâncias 
 
6.1 Distância entre dois pontos 
 
No R2: 22 )()(||),( ABABBA yyxxABd  
 
 
 
No R3: 222),( )()()(|| ABABABBA zzyyxxABd  
 
 
 
6.2 Distância entre ponto e reta 
||
||
),(
u
vu
d rP 


 
 
 
 
22
00
ba
cbyax
d rP



||
),( , P=(x0, y0) e r: ax+by+c=0. 
 
6.3 Distância entre ponto e plano 
222
000
cba
dczbyax
d P



||
),(  , P=(x0, y0, z0) e : ax+by+cz+d=0. 
 
 
7. Cônicas 
 
Cônicas: parábola, elipse, circunferência ou hipérbole. 
 
Cônicas degeneradas: retas ou pontos. 
 
 
7.1 Circunferência 
 
Equação reduzida: 
22
0
2
0 Ryyxx  )()( 
 
 
 
7.2 Elipse 
Equação canônica: 1
)()(
2
2
0
2
2
0 



b
yy
a
xx
 
 
 
 
7.3 Hipérbole 
 
Equação canônica: 1
)()(
2
2
0
2
2
0 



b
yy
a
xx
 (ramos à esquerda e à direita) 
 
 
 
1
)()(
2
2
0
2
2
0 




b
yy
a
xx
 (ramos acima e abaixo) 
 
 
 
7.4 Parábola 
 
Parábola vertical: 
 
Equação geral: cbxaxy  2 
Intersecções com o eixo x: 
a
acbb
x
2
42 
 
Intersecção com o eixo y: (0, c) 
Vértice da parábola: 




 

a
acb
a
b
V
4
4
 ,
2
2
 
 
 
 
Parábola vertical: 
 
Equação geral: cbyayx  2 
Intersecções com o eixo x: 
a
acbb
y
2
42 
 
Intersecção com o eixo y: (0, c) 
Vértice da parábola: 








a
b
a
acb
V
2
 ,
4
42