AULA 02- OPERAÇÕES COM VETORES

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GEOMETRIA ANALÍTICA 
AULA 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ricardo Alexandre Deckmann Zanardini 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Agora que sabemos o que são vetores e qual a importância destes 
elementos na resolução de diversos problemas reais, podemos tratar de 
operações relacionadas a eles. 
A primeira operação que estudaremos é a multiplicação de um vetor por 
um número, também conhecida como multiplicação de um vetor por um escalar. 
Em seguida, veremos como é possível efetuarmos a soma e a subtração de 
vetores. 
Estudaremos, ainda, as multiplicações entre vetores. Uma delas é 
conhecida como produto escalar, pois o resultado é um número, e outra é o 
produto vetorial, pois é uma multiplicação entre dois vetores do R3 cujo resultado 
é um vetor. 
Estudaremos também o produto misto, que consiste em uma combinação 
do produto escalar com o produto vetorial. A cada tema, teremos aplicações reais 
relacionadas ao que estamos estudando. 
TEMA 1 – MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM ESCALAR 
A primeira operação que iremos estudar é simples, mas muito importante. 
Consiste na multiplicação de um vetor por um número pertencente ao conjunto 
dos reais. A multiplicação é conhecida como multiplicação de um vetor por um 
escalar e, além dos aspectos conceituais, possui diversas aplicações. Uma 
delas, por exemplo, é bem simples. Se um automóvel está se deslocando para 
o leste a uma velocidade de 30 km/h o respectivo vetor é )0 ,30(=v

. Se o 
motorista aumentar em três vezes esta velocidade, ele estará trafegando a 90 
km/h e o vetor passa a ser )0 ,90(.3 =v

. 
E como obtemos a multiplicação de um vetor por um escalar? A resposta 
é bem simples. Esta multiplicação consiste em multiplicarmos cada componente 
do vetor por um número. O vetor resultante terá a mesma direção do vetor 
original. Se o escalar for positivo, o sentido do vetor resultante é o mesmo e se 
o escalar for negativo, o sentido é oposto ao sentido do vetor inicial. A respeito 
do módulo, também temos uma relação fácil de ser observada. Ao multiplicarmos 
um vetor por um número k, o módulo deste vetor também fica multiplicado por k. 
Se k=0, o resultado da multiplicação de um vetor por k resulta no vetor nulo. 
Para entendermos melhor, vamos acompanhar um exemplo. 
 
 
3 
Exemplo: sabendo que )6 ,5(=v

, obtenha o vetor v

2 . Faça a 
representação gráfica, calcule o módulo de v

 e o módulo de v

2 . 
Resolução: como )6 ,5(=v

, para obtermos v

2 , basta multiplicarmos cada 
componente de v

 por 2: 
)6 ,5(=v

 
)6 ,5.(22 =v

 
)21 ,10(2 =v

 
Graficamente, temos o seguinte: 
O vetor )6 ,5(=v

: 
Figura 1 – Gráfico 1 
 
 
 
 
 
4 
O vetor )21 ,10(2 =v

: 
Figura 2 – Gráfico 2 
 
Os vetores )6 ,5(=v

 e )21 ,10(2 =v

 no mesmo sistema de eixos 
coordenados: 
Figura 3 – Gráfico 3 
 
 
 
5 
Módulo de )6 ,5(=v

: 
22 65|| +=v

 
3625|| +=v

 
61|| =v

 
81,7|| =v

 
Módulo de )21 ,10(2 =v

: 
22 1210|2| +=v

 
144100|2| +=v

 
244|2| =v

 
62,15|2| =v

 
Assim, o módulo de v

 é igual a 7,81 e o módulo de v

2 é igual a 15,62, o 
que corresponde ao dobro do módulo de v

. 
Exemplo: considere o vetor )6 ,5(=v

. Obtenha o vetor v

2− e em seguida 
faça a representação gráfica, calcule o módulo de v

 e o módulo de v

2− . 
Resolução: como )6 ,5(=v

, para obtermos v

2− , basta multiplicarmos 
cada componente de v

 por 2: 
)6 ,5(=v

 
)6 ,5.(22 −=− v

 
)21- ,10(2 −=− v

 
Graficamente, temos o que se segue (Figura 4). 
 
 
 
 
 
 
6 
Figura 4 – Gráfico 4 
 
Módulo de )6 ,5(=v

: 
22 65|| +=v

 
3625|| +=v

 
61|| =v

 
81,7|| =v

 
Módulo de )21- ,10(2 −=− v

: 
22 )12()10(|2| −+−=− v

 
144100|2| +=− v

 
 
 
7 
244|2| =− v

 
62,15|2| =− v

 
Observe que o vetor v

2− tem a mesma direção de v

, mas com sentido 
contrário. E, ainda, o módulo de v

 é igual a 7,81 e o módulo de v

2− é igual a 
15,62, o dobro do módulo de v

. 
Generalizando, temos em R2: 
 
21 ... vkvkvk +=

, em que ),( 21 vvv =

 e Rk  
e em R3: 
 
321 .... vkvkvkvk ++=

, em que ),,( 321 vvvv =

 e Rk  
A mesma ideia pode ser utilizada para vetores do Rn: 
nvkvkvkvk .... 21 +++= 

, em que ),...,,( 21 nvvvv =

 e Rk  
 Dentre diversas aplicações, na computação, por exemplo, vetores são 
utilizados para armazenar informações. Se estas informações forem números, 
ao multiplicarmos um vetor por um escalar, estamos multiplicando cada elemento 
do vetor por este número. Para compreendermos melhor, temos alguns 
exemplos: 
 Exemplo: no vetor )20 ,130 ,60(=v

 temos as medidas (altura, largura e 
profundidade), em polegadas, de um armário. Sabendo que uma polegada 
corresponde a 2,54 cm, obtenha o vetor w

 que contém as mesmas medidas, 
mas em centímetros. 
 Resolução: como uma polegada é igual a 2,54 centímetros, precisamos 
multiplicar o vetor v

 por 2,54 para obtermos w

: 
vw

54,2= 
)20 ,130 ,60(54,2=w

 
)0,85 ;30,23 ;4,152(=w

 
Observe que neste caso a vírgula separa as casas decimais. Sendo 
assim, para separarmos as componentes do vetor, estamos utilizando o ponto e 
vírgula. 
 
 
8 
 Se dividirmos um vetor v

 pelo módulo de v

, o resultado é um vetor 
unitário que tem mesmo sentido de v

 e denominado versor de v

. Há diferentes 
notações utilizadas para a representação de um versor. Utilizaremos um acento 
circunflexo (^) sobre a letra para indicarmos um versor. 
Por exemplo, v̂ indica o versor de v

. 
 Exemplo: dado o vetor )13 ,11(=v

, obtenha o versor de v

. 
 Resolução: inicialmente, precisamos calcular o módulo de v

: 
22 1311|| +=v

 
169121|| +=v

 
290|| =v

 
029,17|| =v

 
 Agora, precisamos dividir cada componente de v

 por 17,029, ou, de forma 
equivalente, multiplicarmos v

 por 1/17,029: 
)13 ,11(
029,17
1
ˆ =v 






=
029,17
13
 ,
029,17
11
v̂ 
( ),760 ;65,0ˆ =v 
 Podemos afirmar que o vetor ( ),760 ;65,0ˆ =v tem módulo igual a 1 e é o 
versor do vetor v

. 
 A seguir, veremos duas outras importantes operações relacionadas a 
vetores. A soma e a subtração. 
TEMA 2 – SOMA E SUBTRAÇÃO DE VETORES 
Quando temos duas ou mais forças aplicadas sobre um objeto, podemos 
determinar uma força resultante dada pela soma de vetores. Por exemplo, ao 
mantermos suspensa uma planta, temos um vetor que indica a força que 
estamos fazendo para cima e outro vetor decorrente da ação da gravidade (força 
peso) sobre a planta. 
 
 
9 
Figura 5 – Vetores 
 
Créditos: AtlasStudio/Shutterstock. 
 A resultado é a soma do vetor decorrente da gravidade (força peso) com 
a força necessária para segurar a planta. 
 Também é possível observarmos a soma de vetores em estruturas, tais 
como treliças. 
Figura 6 – Treliça 
 
 A soma de vetores também auxilia no cálculo do contrapeso de uma 
plataforma. 
 
 
 
10 
Figura 7 – Contrapeso em plataforma 
 
Muitas aplicações relacionadas a vetores serão estudadas em disciplinas 
futuras. 
O processo para realizarmos a adição de vetores é bem simples. Basta 
somarmos as respectivas componentes de cada vetor. De uma forma geral, 
temos a soma dada por: 
),...,,( 2211 nn vuvuvuvu +++=+

, em que ),...,,( 21 nuuuu =

 e ),...,,( 21 nvvvv =

 
e, de maneira análoga, a subtração de vetores é dada pela subtração das 
respectivas componentes: 
),...,,( 2211 nn vuvuvuvu −−−=−

, em que ),...,,( 21 nuuuu =

 e ),...,,( 21 nvvvv =

 
 A subtração é um caso particular da soma, pois podemos escrever vu

− 
na forma )( vu

−+ . 
 Exemplo: dados os vetores )3 ,1(=u

 e )4 ,2(=v

, calcule vu

+ . Em 
seguida, faça a representação gráfica. 
 
 
 
11 
 Resolução: 
 
)4 ,2()3 ,1( +=+ vu

 
)43 ,21( ++=+ vu

 
)7 ,3(=+ vu

 
 A soma de )3 ,1(=u

 e )4 ,2(=v

 correspondeao vetor )7 ,3(=+ vu

. Vamos 
agora fazer a representação gráfica. 
Figura 8 – Representação gráfica 1 
 
 Exemplo: dados os vetores )3 ,1(=u

 e )4 ,2(=v

, calcule vu

− . Em 
seguida, faça a representação gráfica. 
 
 
 
 
 
12 
Resolução: 
)4 ,2()3 ,1( +=− vu

 
)43 ,21( −−=− vu

 
)1 ,1( −−=− vu

 
 A subtração de )3 ,1(=u

 e )4 ,2(=v

corresponde ao vetor )1 ,1( −−=− vu

. 
Vamos agora fazer a representação gráfica. 
Figura 9 – Representação gráfica 2 
 
 Mas por que essa subtração resultou no vetor )1 ,1( −−=− vu

? 
A resposta é bem simples. A subtração vu

− é equivalente à soma 
)( vu

−+ . Vamos fazer a representação gráfica considerando agora o vetor v

− . 
 
 
 
 
13 
Figura 10 – Representação gráfica 3 
 
 Note que, tanto na soma quanto na subtração, podemos colocar a origem 
do segundo vetor na extremidade do primeiro vetor para obtermos o vetor 
resultante. Chamamos este procedimento de regra do paralelogramo. 
Figura 11 – Vetores 
 
 
 
 
14 
Isso porque a imagem resultante corresponde a um paralelogramo: 
Figura 12 – Regra do paralelogramo 
 
 De forma análoga, podemos representar graficamente a subtração de 
vetores. 
)( vuvu

−+=− 
Figura 12 – Subtração de vetores 
 
As diagonais de um paralelogramo de lados iguais a u

 e v

 correspondem 
a vu

+ e vu

− . 
Figura 13 – Diagonais do paralelogramo 
 
 
 
15 
 Temos uma aplicação relacionada à soma de vetores, chamada de 
combinação linear. Podemos dizer que um vetor qualquer v

 é uma combinação 
linear dos vetores nvvv

,...,, 21 quando v

 é a soma dos múltiplos dos vetores 
nvvv

,...,, 21 : 
nnvvvv

 +++= 2211 , onde Rn  ,...,, 21 
 Por exemplo, o vetor )4 ,2(=v

 é uma combinação linear dos vetores 
)0 ,1(=i

 e )1 ,0(=j

. Observe que, se multiplicarmos i

 por 2 e j

 por 4, temos o 
vetor )4 ,2(=v

: 
)1 ,0(4)0 ,1(242 +=+ ji

 
)4 ,0()0 ,2(42 +=+ ji

 
)4 ,2(42 =+ ji

 
 Os vetores i

 e j

 são chamados de vetores canônicos. Além de serem 
vetores unitários, formam uma base para o espaço vetorial R2. 
 Observe que estes vetores estão sobre os eixos x e y, respectivamente. 
Figura 14 – Vetores nos eixos x e y 
 
 No caso do espaço tridimensional R3, temos que os vetores canônicos 
são )0 ,0 ,1(=i

, )1 ,0 ,0(=j

 e )1 ,0 ,0(=k

. 
 
 
 
 
 
 
16 
Figura 15 – Vetores no espaço tridimensional 
 
Os vetores canônicos )0 ,0 ,1(=i

, )1 ,0 ,0(=j

 e )1 ,0 ,0(=k

 são 
importantes, pois podemos escrever qualquer vetor de R3 como uma 
combinação linear destes vetores. Por exemplo, o vetor )5 ,2 ,3(=v

 pode ser 
escrito como kjiv

523 ++= . 
Graficamente, podemos representar vetores com duas ou com três 
componentes. No entanto, como na geometria analítica temos propriedades que 
garantem que as operações de soma e de subtração podem ser realizadas para 
vetores de n componentes, podemos efetuar a soma e a subtração de vetores 
do Rn mesmo sem a respectiva representação gráfica. 
Exemplo: dados os vetores )1 ,3 ,4 ,6( −=u

 e )11 ,7 ,3 ,2(−=v

, calcule a 
soma vu

+ . 
Resolução: 
)11 ,7 ,3 ,2()1 ,3 ,4 ,6( −+−=+ vu

 
)111 ,73 ,34 ),2(6( ++−+−+=+ vu

 
)12 ,4 ,7 ,4(=+ vu

 
TEMA 3 – PRODUTO ESCALAR 
Uma operação vetorial bastante importante é o produto escalar. O produto 
escalar é utilizado, por exemplo, para calcularmos o ângulo entre vetores, o 
ângulo entre retas e o ângulo entre planos. Também podemos utilizar o produto 
 
 
17 
escalar para calcularmos a média ponderada onde os valores são representados 
por um vetor e os respectivos pesos por outro. 
O nome produto escalar foi escolhido, pois o resultado desta multiplicação 
é um número, também denominado de escalar. 
Para determinarmos o produto escalar entre dois vetores, basta 
multiplicarmos as respectivas componentes e somarmos os resultados. 
No R2, por exemplo, o produto escalar é dado por 2121. yyxxvu +=

 e no 
R3 o produto escalar é dado por 212121. zzyyxxvu ++=

. 
De uma forma geral, temos: 
nn vuvuvuvu .... 2211 +++= 

, em que ),...,,( 21 nuuuu =

 e ),...,,( 21 nvvvv =

. 
 Para compreendermos melhor, vamos acompanhar alguns exemplos. 
Exemplo: dados os vetores )4 ,7 ,2(=u

 e )3 ,6 ,5(=v

, determine vu

. . 
Resolução: o produto escalar vu

. é obtido a partir da soma dos produtos 
das componentes dos vetores u

 e v

, ou seja, 3x46x75x2. ++=vu

. 
Fazendo as multiplicações, temos: 
124210. ++=vu

 
que resulta em 
64. =vu

. 
Exemplo: determine o produto escalar vu

. em que: 
)7 ,3 ,5 ,1 ,2(=u

 e )1 ,3 ,8 ,2 ,5(=v

. 
Resolução: o produto escalar vu

. pode ser calculado como segue. 
nn vuvuvuvu .... 2211 +++= 

. 
Em particular, o produto vu

. com )7 ,3 ,5 ,1 ,2(=u

 e )1 ,3 ,8 ,2 ,5(=v

 é igual 
a: 
1x73x38x52x15x2. ++++=vu

 
7940210. ++++=vu

 
68. =vu

 
 
 
18 
Logo, o produto escalar vu

. é igual a 68. 
Podemos definir também o produto escalar por meio da expressão 
cos.||.||. vuvu

= 
Em que  é o ângulo entre os vetores u

 e v

 e  1800  . 
Figura 16 – Ângulo entre vetores 
 
 Exemplo: calcule o produto escalar entre os vetores )0 ,5(=u

 e )6 ,0(=v

 
utilizando a expressão 
cos.||.||. vuvu

= . 
 Resolução: a figura a seguir ilustra os vetores u

 e v

. 
Figura 17 – Vetores u

 e v

 
 
 
 
19 
Como o ângulo entre esses vetores é igual a 90°, pois cada um desses 
vetores está sobre cada um dos eixos coordenados, temos 
 
++= 90cos.60.05. 2222vu

 
Vamos calcular as potências e o valor de cos 90°: 
 
0.360.025. ++=vu

 
Efetuando as somas, temos: 
 
0.36.25. =vu

 
Calculando as raízes, temos: 
0.6.5. =vu

 
Finalmente, vamos efetuar as multiplicações: 
0. =vu

 
Ou seja, o produto escalar vu

. é igual a 0. 
O produto escalar entre dois vetores ortogonais é sempre igual a 0, ou 
seja, u

 é ortogonal a v

 se e somente se 0. =vu

. 
Dentre diversas aplicações do produto escalar, uma delas é o cálculo de 
médias ponderadas. 
Exemplo: um estudante obteve nota 67 na prova objetiva, nota 84 na 
prova discursiva e nota 99 em uma atividade prática. Sabendo que os pesos 
dessas avaliações correspondem, respectivamente, a 50%, 30% e 20%, utilize 
o vetor u

 para armazenar as notas, o vetor v

 para armazenar os pesos de cada 
avaliação produto escalar vu

. para calcular a respectiva média ponderada. 
Resolução: sejam os vetores )99 ,48 ,67(=u

 e ),20 ;,30 ;5,0(=v

, o produto 
escalar vu

. é dado por 
 
),20 ;,30 ;5,0).(99 ,48 ,67(. =vu

 
 
 
20 
,20x99,30x845x0,67. ++=vu

 
8,192,255,33. ++=vu

 
,578. =vu

 
 Como o produto escalar também pode ser escrito na forma: 
cos.||.||. vuvu

= 
Em que  é o ângulo entre os vetores u

 e v

, podemos obter de forma análoga 
a expressão: 
||.||
.
cos
vu
vu


= . 
 Com essa fórmula, é fácil calcular o ângulo  formado pelos vetores não 
nulos u

 e v

. 
 Exemplo: qual é o ângulo formado pelos vetores )7 ,3( −=u

 e )2 ,4(=v

? 
Resolução: o ângulo entre u

 e v

 é dado por: 
||.||
.
cos
vu
vu


= 
Inicialmente, vamos calcular vu

. : 
)2 ,4).(7 ,3(. −=vu

 
1412. −=vu

 
2. −=vu

 
Em seguida, os termos do denominador da fórmula: 
22 )7(3|| −+=u

 
499|| +=u

 
58|| =u

 
22 24|| +=v

 
416|| +=v

 
20|| =v

 
 
 
21 
 
20.58||.|| =vu

 
1160||.|| =vu

 
058773,34||.|| =vu

 
Substituindo esses termos na fórmula: 
||.||
.
cos
vu
vu


= 
Temos: 
058773,34
2
cos
−
= 
-0,058722cos = 
( )0,058722-cos 1−= 
= 37,93 
TEMA 4 – PRODUTO VETORIAL 
Quando precisamos obter a equação de uma reta ortogonal a outras duas 
ou para escrevermos a equação geral de um plano,precisamos de um vetor que 
forme 90° com outros dois vetores. Para isso, temos uma operação definida em 
R3 e denominada de produto vetorial. O produto vetorial, também conhecido 
como produto externo, é realizado a partir de dois vetores não colineares e o 
resultado é um terceiro vetor ortogonal aos outros dois, ou seja, o produto vetorial 
gera um vetor que forma 90° com os vetores utilizados no respectivo produto. 
 
 
 
 
 
 
 
22 
Figura 18 – Produto vetorial 
 
 Podemos obter o produto vetorial de uma forma bem simples utilizando a 
Regra de Sarrus para o cálculo de determinantes. 
 Veremos os detalhes no exemplo a seguir: 
 Exemplo: dados os vetores )2 ,1 ,3( −=u

 e )6 ,3 ,5(=v

, obtenha um vetor 
w ortogonal aos vetores u

 e v

. 
Resolução: o produto vetorial é dado por 
635
213 −=
kji
vu


 
Vamos repetir as duas primeiras colunas: 
35635
13213 −−=
jikji
vu


 
 
 
23 
Agora basta fazermos as multiplicações no sentido da diagonal principal 
e, em seguida, as multiplicações no sentido da diagonal secundária. 
 
Note que para as multiplicações no sentido da diagonal secundária 
fazemos a troca dos respectivos sinais. 
A sequência de multiplicações, de forma detalhada, é: 
)5).(1).(()3).(2).(()6).(3).(()3).(3).(()5).(2).(()6).(1).(( −−−−++−= kijkjivu

 
que resulta em: 
kijkjivu

56189106 +−−++−= 
Somando os termos semelhantes, temos: 
kjivu

14812 +−−= 
ou, de forma equivalente: 
)41 ,8- ,12(−=vu

 
 O módulo do produto vetorial está associado à área de um paralelogramo 
em que a base corresponde ao vetor u

 e a altura ao vetor v

. Assim, || vuA

= . 
Figura 19 - Paralelogramo 
 
 
 
24 
 Quando tratamos de produto vetorial, a associatividade não é válida, ou 
seja ( ) wvu

 é diferente de ( )wvu

 . 
 No entanto, são válidas as seguintes propriedades: 
 i) ( ) wuvuwvu

+=+ e ( ) wvwuwvu

+=+ 
 II) ( ) ( ) ( )vkuvukvuk

... == 
 III) ( ) ( )wvuwvu

.. = 
Em que u

, v

 e w

 são vetores quaisquer e k é um escalar. 
TEMA 5 – PRODUTO MISTO 
 Quando temos uma combinação do produto escalar e do produto vetorial 
dos vetores u

, v

 e w

, temos um produto denominado de produto misto e é dado 
por 
321
321
321
).(
www
vvv
uuu
wvu = . 
 Geometricamente, podemos interpretar o módulo do produto misto como 
sendo o volume de um paralelepípedo cujas arestas são definidas pelos vetores 
não coplanares u

, v

 e w

. 
Figura 20 – Produto misto 
 
 
 
25 
Exemplo: considere os vetores )0 ,3 ,2(=u

, )1 ,2 ,0(=v

 e )3 ,1 ,1( −=w

. 
Calcule ).( wvu  . 
Resolução: o produto misto é dado por: 
411
120
032
).(
−
=wvu

 
Repetindo as duas primeiras colunas, temos: 
11411
20120
32032
).(
−
=wvu

 
0200316).( −−−++−=wvu

 
15).( −=wvu

 
FINALIZANDO 
No decorrer da aula, estudamos operações relacionadas a vetores. A 
multiplicação de um vetor por um escalar é dada pela multiplicação de cada 
componente do vetor pelo escalar. A soma de dois vetores consiste na soma das 
respectivas componentes dos vetores. A subtração de vetores é dada pela 
subtração das respectivas componentes destes vetores. Vimos que o produto 
escalar cujo resultado é um número é dado pela soma das multiplicações das 
respectivas componentes dos vetores. O produto vetorial cujo resultado é um 
vetor está definido apenas no espaço tridimensional R3 e gera um vetor ortogonal 
a cada um dos vetores utilizados na operação. 
 
 
 
26 
REFERÊNCIAS 
BORIN JUNIOR, A. M. S. (org). Geometria analítica. São Paulo: Pearson 
Education do Brasil, 2014. 
FERNANDES, L. F. D. Geometria Analítica. Curitiba: InterSaberes, 2016. 
SANTOS, F. J. dos; FERREIRA, S. F. Geometria analítica. Porto Alegre: 
Artmed, 2009. 
THOMAS, G. B.; HASS, J.; WEIR, M. D. Cálculo. 12.ed. São Paulo: Pearson, 
2008. 2 v. 
WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. 2.ed. São Paulo: Pearson, 
2014.