Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Roney Rachide Nunes Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem PUC-MG 2015.1 Sumário 1 Equações Diferenciais de 2a ordem 2 1.1 Equações Homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Coeficientes Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Equação de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3 Redução de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1 Capítulo 1 Equações Diferenciais de 2a ordem Uma equação linear de 2aª ordem é uma equação diferencial que pode ser escrita na forma y′′ + p(x)y′ + q(x)y = f(x), onde p(x), q(x) e f(x) são funções contínuas definidas em um mesmo intervalo. 1.1 Equações Homogêneas Uma equação linear de 2a ordem homogênea é uma equação diferencial que pode ser escrita na forma y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0, p(x) e q(x) funções continuas definidas em um mesmo intervalo. Teorema: Se y1 e y2 são soluções da equação y ′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0, então toda combinação linear de y1 e y2 também é solução desta edo. Combinação linear: y = c1y1 + c2y2, c1, c2 constantes. Prova: O teorema acima afirma que y = c1y1 + c2y2 é solução da edo - não necessariamente a solução geral. O próximo passo é determinar sob quais condições y = c1y1 + c2y2 será a solução geral da edo homogênea. 2 1.1. EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2A ORDEM Teorema: Se y1, y2 são soluções da edo y ′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 e y = c1y1 + c2y2 é a solução geral desta edo, então ∣∣∣∣∣ y1 y2y′1 y′2 ∣∣∣∣∣ 6= 0 Para tal, considere o PVI { y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0; y(x0) = y0, y ′(x0) = y′0 Assim, para determinar a solução geral de uma edo linear homogênea de 2a ordem: 1. Determine duas soluções y1, y2 da edo 2. Verifique que W [y1, y2] = ∣∣∣∣∣ y1 y2y′1 y′2 ∣∣∣∣∣ (chamado Wronskiano de y1 e y2) é não nulo. Verificadas as duas condições, temos que y = c1y1 + c2y2 é a solução geral da edo. Exemplo Dentre as fuções y1 = x, y2 = 3x 2 , y3 = 8x, y4 = 7x 2 , y5 = e x , y6 = cos(x), y7 = ln(x) e y8 = x + e x verifique quais são soluções da edo (x − 1)y′′ − xy′ + y = 0. Em seguida, determine a solução geral desta edo e a solução particular que satisfaz as consições y(0) = 3 e y′(0) = 7. 3 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes 1.1. EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2A ORDEM 1.1.1 Coeficientes Constantes Uma EDO homogênea de 2a ordem com coeficientes constantes é uma edo que pode ser escrita na forma ay′′ + by′ + cy = 0 a, b, c constantes, a 6= 0. Para a edo acima, procuramos soluções na forma y = erx, r uma constante real. y = erx, y′ = rerx, y′′ = r2erx Substituindo na edo, temos erx(ar2 + br + c) = 0 Da equação acima, concluímos que ar2 + br + c = 0 (equação característica) Analisando a equação de segundo grau acima, temos três possibilidades: Caso 1: Se a equação característica possui duas raízes reais e distintas r1 e r2, então y1 = e r1x e y2 = e r2x são soluções da edo ay′′ + by′ + cy = 0. W [y1, y2] = Logo, a solução geral da edo é y = c1e r1x + c2e r2x Exemplo: Determine a solução geral da edo y′′ + 2y′ − 3y = 0. 4 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes 1.1. EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2A ORDEM Exemplo: Determine a solução do pvi { y′′ + 2y′ − 8y = 0; y(0) = 1, y′(0) = −2 Para o caso 2 (a equação característica possui raízes complexas), necessitamos lidar com a exponencial de um número complexo. A manipulação necessária é consequência direta do próximo exercício. Exemplo: a) Verifique que y = c1 cos(x) + c2sen (x) é a solução geral da edo y ′′ + y = 0. b) Verifique que y = eix é solução do PVI { y′′ + y = 0; y(0) = 1, y′(0) = i 5 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes 1.1. EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2A ORDEM c) Determine os valores de c1 e c2 tais que e ix = c1 cos(x) + c2sen (x). eix = cos(x) + isen (x) (Fórmula de Euler) Caso 2: Se a equação característica possui duas raízes complexas r1 = α+ iβ e r2 = α− iβ, utilizando a fórmula de Euler temos duas soluções complexas da equação ay′′ + by′ + cy = 0: Y1 = e (α+iβ)x = eαx(cos(βx) + isen (βx)) Y2 = e (α−iβ)x = eαx(cos(−βx) + isen (−βx)) = eαx(cos(βx)− isen (βx)) Estamos, porém, interessados apenas em soluções reais. Determinemos, então, soluções reais decorrentes das soluções complexas. Como Y = c1Y1+c2Y2 também é solução da edo, uma vez que é combinação linear de duas soluções (a demonstração para constantes reais também se aplica para constantes complexas), basta escolhermos c1 e c2 de maneira conveniente. Se c1 = c2 = 1 2 , temos a solução real y1 = e αx cos(βx). Se c1 = − i 2 e c2 = i 2 , temos a solução real y2 = e αxsen (βx). W [y1, y2] = Como y1, y2 são soluções da edo e W [y1, y2] 6= 0, então a solução geral da edo é y = c1e αx cos(βx) + c2e αxsen (βx) . 6 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes 1.1. EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2A ORDEM Exemplo: Determine a solução geral da edo y′′ + 2y′ + 5y = 0. Exemplo: Determine a solução do pvi { y′′ + 6y′ + 10y = 0; y(0) = 1, y′(0) = −2 Caso 3: Se a equação característica possui duas raízes reais e iguais r. Neste caso, temos as soluções y1 = e rx e y2 = xe rx (justificativa de y2: em breve). W [y1, y2] = Assim, solução geral da edo é y = c1e rx + c2xe rx Exemplo: Determine a solução geral da edo y′′ + 10y′ + 25y = 0. 7 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes 1.1. EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2A ORDEM Exemplo: Determine a solução do pvi { y′′ + 4y′ + 4y = 0; y(0) = 1, y′(0) = −2 Exemplo. Determine uma edo homogênea que tenha como solução geral a função dada abaixo. a) y = c1e 2x + c2e 5x b) y = c1e 5x + c2xe 5x c) y = c1 cos(3x) + c2sen (3x) d) y = c1e −2xsen (3x) + c2e−2x cos(3x) 8 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes 1.1. EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2A ORDEM 1.1.2 Equação de Euler Uma equação de Euler é uma edo que pode ser escrita na forma ax2y′′ + bxy′ + cy = 0 a, b, c constantes, a 6= 0. Para a edo acima, procuramos soluções na forma y = xr, r uma constante real, e procedemos como em uma edo homogênea de 2a ordem com coeficientes constantes. No caso em que r é complexo, temos xα+βi = xαxβi = xαeln(x βi) = xαeβi ln(x) = xα[cos(βln(x)) + isen (β ln(x))] . No caso em que r admite um único valor real, determinamos uma segunda solução utilizando redução de ordem. Exemplo: Determine a solução geral da edo x2y′′ + 10xy′ − 10y = 0. Exemplo: Determine a solução geral da edo x2y′′ + 5xy′ + 4y = 0. Exemplo: Determine a solução geral da edo x2y′′ + 7xy′ + 10y = 0. 9 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes 1.1. EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2A ORDEM 1.1.3 Redução de Ordem Se conhecemos uma solução y1 da edo y ′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0, procuramos uma segunda solução para esta edo na forma y2 = v(x)y1, onde v é uma função não constante. W [y1, y2] = Assim, y = c1y1 + c2y2 é a solução geral da edo. Para determinar a função v(x), calculamos y′2 e y ′′ 2 , substituímos na edo e utilizamos a substituição v ′ = u, v′′ = u′. Exemplo: Verifique que y1 = t é uma solução da edo t 2y′′+2ty′− 2y = 0. Em seguida, determine a solução geral desta edo. Exemplo: Verifique que y1 = e 2x é uma solução da edo y′′ − 4y′ +4y = 0. Em seguida, determine a solução geral desta edo. 10 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes1.1. EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2A ORDEM Exemplo: Verifique que y1 = e x é uma solução da edo (1− x)y′′ + xy′ − y = 0. Em seguida, determine a solução geral desta edo. Exemplo: Verifique que y1 = x é uma solução da edo (1− x)y′′ + xy′ − y = 0. Em seguida, determine a solução geral desta edo. 11 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
Compartilhar