Zeros de Funções

Prévia do material em texto

Zeros de uma função é a busca pelas raízes de uma função. 
Por exemplo funções polinomiais de segundo grau, temos a 
fórmula de Baskhara para encontrar as raízes da função, 
ou seja, onde f(x) = 0. No entanto, na maioria dos casos não 
temos fórmulas para encontrar tais raízes, e então 
utilizaremos métodos numéricos para encontrar valores 
aproximados de tais raízes. 
 
Além das raízes, outro aspecto interessante para 
engenheiros e cientistas são os valores mínimos e máximos 
de funções; a determinação desses valores ótimos é 
chamada de otimização. Como você aprendeu no cálculo, tais 
soluções podem ser obtidas analiticamente determinando-se 
o valor no qual a função é “achatada”; isto é, onde sua 
derivada é zero. A diferença fundamental entre os dois tipos 
de problema é que a localização de raízes envolve a busca 
dos locais onde a função é igual a zero, enquanto a otimização 
envolve a busca dos pontos extremos da função (um mínimo 
ou um máximo). 
Passos para encontrar uma raiz: 
1. Isolar a raiz: determinar um intervalo que contenha uma 
única raiz de f(x). Quanto menor o intervalo menos contas 
serão necessárias para encontrar a raiz. A partir daqui 
temos alguns teoremas: 
 
• Teorema do valor intermediário: Seja f uma função 
contínua no intervalo a,b. Se 𝑓(𝑎) ∗ 𝑓(𝑏) < 0 (as 
funções no ponto possuem sinais opostos e, portanto, 
quando formos isolar a raiz temos que observar na 
função qual intervalo a faz mudar de sinal), então f 
tem pelo menos uma raiz em (a,b): 
Ou seja, em algum 
momento a curva tocara 
o eixo x e então terá ali 
uma raiz. 
 
 
• Unicidade: Se f(x) for sempre crescente, sua derivada 
será sempre maior que zero, mas se for sempre 
decrescente no intervalo a,b; sua derivada será 
sempre menor que zero. 
Exemplo: 
 
Métodos Iterativos 
Temo aqui um 
fluxograma explicando 
como funciona os 
métodos iterativos. Mas 
como sabemos se 
alcançamos a precisão? 
Podemos realizar os 
seguintes cálculos para 
conferir: 
 
 
 
Isolando 
Zeros de Funções 
 
Mas como faremos o primeiro método se não sabemos o 
valor da raiz exata? Podemos utilizar de um intervalo 
distância entre os dois pontos, que determinam do intervalo, 
são menores que a precisão e em seguida avaliar se: 
 
MÉTODO DA BISSEÇÃO: A cada etapa, dividimos o intervalo 
ao meio, 𝑚 =
𝑎+𝑏
2
 
F(x) contínua no intervalo a,b, tal que 𝑓(𝑎) ∗ 𝑓(𝑏) <
0, com uma única raiz em [𝑎, 𝑏]: 
 
Exemplo: 
 
MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO: Nesse método o ponto de 
referência para encontrar os intervalos não é o ponto 
médio,