1 Raízes de Funções - Método da Bisseção, Método da Falsa Posição e Método de Newton

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Raízes de Funções: Método da Bisseção, 
Método da Falsa Posição e Método de 
Newton 
 
 
 
Apresentação 
 
Há diversas técnicas indiretas ou iterativas para obtenção de raízes de funções. Definimos a raiz de 
uma função, em um intervalo real [a, b], como sendo o valor de ε para o qual f(ε) = 0. O 
conhecimento e estudo das raízes de funções é fundamental para as aplicações matemáticas. 
Porém, as técnicas de obtenção das mesmas nem sempre são exatas ou possuem teoremas 
fechados. 
 
Nesta Unidade de Aprendizagem, você verá algumas técnicas para obter raízes exatas ou por 
aproximação de funções em um dado intervalo real. 
 
Bons estudos. 
 
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados: 
 
• Reconhecer a importância do uso dos métodos numéricos para o cálculo de raízes de funções. 
• Definir e diferenciar os métodos de Bissecção, Falsa Posição e Newton. 
• Aplicar os métodos de Bissecção, Falsa Posição e Newton na solução de problemas. 
 
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Desafio 
 
Nesta Unidade de Aprendizagem, vimos três diferentes métodos para determinar raízes reais de 
funções contínuas. Em teoria, desde que as funções sejam contínuas e as devidas condições de 
convergência de cada método sejam satisfeitas, podemos dizer que o método de Newton supera o 
de Bissecção e o da Falsa Posição. 
 
Agora você fará o comparativo dos três métodos. A intenção deste desafio é analisar qual dos 
métodos chega mais rápido até a raiz. Nosso parâmetro de medida será a quantidade de iterações, 
porém isso não é uma garantia de velocidade de processamento, pois cada método e função pode 
oferecer uma dificuldade diferente ao seu processamento e, consequentemente, ao seu sucesso. 
 
Portanto, fica a seu cargo a análise do método numérico a ser aplicado para o melhor desempenho 
nesse processamento, em que só consideraremos a quantidade de iterações. 
 
Seja a função f(x)=x³-x-1 com raiz no intervalo [1, 2], construa uma tabela para o resultado dos três 
métodos após três iterações. Use arredondamento em três casas decimais. Estime a raiz com uma 
média entre as duas últimas iterações. 
 
Sabendo que o valor aproximado da raiz procurada é 1,324718, e que, para seis casas decimais de 
aproximação, o método da Falsa Posição é o que atinge o valor desejado mais rápido, após 17 
iterações, faça uma análise do seu processo por meio da observação da tabela construída: 
 
Padrão de resposta esperado 
Bissecção 
x1=(1+2)/2=3/2=1,5, como f(1)=-1 e f(1,5)=0,875, 
logo f(1).f(1,5)<0, temos o novo intervalo [1; 1,5]. 
 
x2=(1+1,5)/2=1,25, como f(1)=-1 e f(1,25)=-0,296, 
logo f(1).f(1,25)>0, temos que o novo intervalo é [1,25; 1,5]. 
 
x3=(1,25+1,5)/2=1,375, como f(1,25)=-0,296 e f(1,375)=0,225, 
logo f(1,25).f(1,375)<0, temos que o novo intervalo é [1,25; 1,375]. 
 
ε =1,312 
Falsa Posição 
xn=a-((b-a).f(a))/(f(b)-f(a)) 
 
f(x)=x
3
 -x-1 
 
f\' (x)=3x-1 
 
f\'\' (x)=3 
Valor inicial 
a=1 e b=2 
 
f\'\' (1)=3 f\'\'(2)=3 f\'\'(1).f\'\'(2)>0, 
portanto b é o ponto fixo e a = xn, 
logo, iremos iniciar por x0 = 1. 
Cálculos 
x1 = 1-(2-1)(f(1))/((f(2)-f(1)) )=1-(1)(-1)/((5+1) )=1,167 
 
f(a).f(x_1 )=-1.(-0,578)=0,578>0, 
portanto a raiz está no intervalo [x1,b], então a=x1 → [1,167; 2] 
 
x2 = 1,167-(2-1,167)(f(1,167))/((f(2)-f(1,167)) )= 
1,167-(0,833)(-0,578)/(5+0,578)=1,253 
 
f(x1).f(x2)=(-0,578).(-0,286)=0,165>0, 
portanto a raiz está no intervalo [x2,b], então a=x2 → [1,253; 2] 
 
x3=1,253-(2-1,253)(f(1,253))/((f(2)-f(1,253)) )= 
1,253-(0,747)(0,714)/(5-0,714)=1,860 
 
f(x1).f(x3)=(-0,578).(0,286)=-0,165<0, 
portanto a raiz está no intervalo [x2,x3], então b=x3 → [1,253; 1,860] 
 
ε =1,556 
Método de Newton 
x_n=x_(n-1)-(f(xn-1)))/(f\'(xn-1))) 
 
f(x)=x
3
-x-1 
 
f\'(x)=3x-1 
 
f\'\'(x)=3 
Escola do Intervalo 
f(1)=-1 f(2)=5 f(1).f(2)<0 
Então existe uma raiz no intervalo [1,2]. 
Melhor Extremo 
 
f(1)=-1 f(2)=5 
 
f\'\'(1)=3 f\'\'(2)=3 
Como f(2) e f\'\'(2) tem o mesmo sinal, x0 = 2 é o melhor extremo. 
Cálculos 
x1 =2-f(2)/(f\' (2))=2-5/5=1 
 
x2 =1-f(1)/(f\'(1))=1-(-1)/2=1,5 
 
x3 =1,5-f(1,5)/(f\'(1,5))=1,5-0,875/3,5=1,25 
 
ε =1,37 
 
 
Como foi dito no enunciado, o método da Falsa Posição é o que atinge mais rapidamente o valor 1,324718, 
após 17 iterações. Mesmo assim, é possível ver que esse método é o mais distante da raiz em três iterações. 
Portanto, os métodos numéricos devem levar em conta a precisão procurada e o número de iterações 
necessárias em cada método no impacto da velocidade de processamento. 
O resultado referenciado só pode ser alcançado com ajuda de uma planilha eletrônica ou software de iteração; 
do contrário, exigiria tempo e esforço desproporcionais. Para essa mesma precisão de raiz, 1,324718, o método 
de Bissecção levaria 20 iterações, e o método de Newton, 21 iterações. 
 
Infográfico 
 
Em métodos numéricos, o método de Newton (ou método de Newton-Raphson), desenvolvido por 
Isaac Newton e Joseph Raphson, tem o objetivo de estimar as raízes de uma função. Para isso, 
escolhe-se uma aproximação inicial para esta. 
 
Após, calcula-se a equação da reta tangente (derivada) da função nesse ponto e a interseção dela 
com o eixo das abcissas, a fim de encontrar uma melhor aproximação para a raiz. Repetindo-se o 
processo, cria-se um método iterativo para encontrar a raiz da função. 
 
 
Conteúdo do livro 
 
Você verá como são obtidas as raízes de funções de forma indireta ou iterativa - técnicas recursivas 
que usam sequências que convergem para a raiz. Também reconhecerá que as técnicas podem 
fazer a diferença na velocidade que alcançam a precisão das raízes; e que, em alguns casos, 
estipular o erro e a precisão é fundamental, visto que raízes irracionais ou com parte decimal muito 
grande podem ser extremamente cansativas de obter-se de forma iterativa. 
 
Com o conteúdo do capítulo Raízes de funções: método da Bisseção, método da Falsa Posição e 
método de Newton, do livro Cálculo numérico, você será capaz de fazer uma análise subjetiva para 
reconhecer a importância dos métodos numéricos e das máquinas de processamento numérico. 
Mas não esqueça: sempre haverá alguém que tenha que modelar e preparar tais modelos. 
 
 
 
 
CÁLCULO 
NUMÉRICO 
 
 
 
 
 
 
 
Tiago Loyo Silveira 
 
Raízes de funções: métodos 
da bissecção, da falsa 
posição e de Newton 
 
Objetivos de aprendizagem 
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados: 
 
 Reconhecer a importância do uso dos métodos numéricos para o 
cálculo de raízes de funções. 
 Definir e diferenciar os métodos da bissecção, da falsa posição e de 
Newton. 
 Aplicar os métodos da bissecção, da falsa posição e de Newton na 
solução de problemas. 
 
Introdução 
Há diversas técnicas indiretas ou interativas para obtenção de raízes 
de funções. Definimos a raiz de uma função em um intervalo real [a, b] 
como o valor de ε para o qual f(ε) = 0. O conhecimento e o estudo das 
raízes de funções são fundamentais para as aplicações matemáticas, 
porém suas técnicas de obtenção nem sempre são exatas ou possuem 
teoremas fechados. 
Neste capítulo, você verá algumas técnicas para obter raízes exatas 
ou por aproximação de funções em um dado intervalo real. 
 
Métodos numéricos para obtenção de raízes 
Inicialmente, podemos dividir os métodos para se obter as raízes de funções 
em dois grupos: métodos diretos e métodos indiretos. 
Método direto: é utilizado quando for possível obter a raiz por meio de 
teorema, fórmula ou expressão fechada, de forma que com um único “passo” 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 
Figura 1. Exemplo de gráfico da função f(x) = x2 – 5x + 6. 
Fonte: Do autor. 
Dada a função f(x) = x2 – 5x + 6, uma forma de solução direta, seria o uso de x = -b±{Δ 
2a 
onde Δ = b2 - 4ac, que nos dará a solução x= {2,3}, ou seja, 2 e 3 são as raízes de f(x), 
de forma que f(2) = f(3) = 0. Observe o gráfico dessa função na Figura 1. 
2 Raízes de funções: métodos da bissecção, da falsa posição e de Newton 
 
 
seja possível concluir as raízes da equação, ou dividir o polinômio para que 
cada fator “menor” seja solucionado por uma das formas mencionadas. 
Assim, a resolução de uma função por meio do isolamento da variável x 
com y = 0 é uma forma direta. Ainda, é possível utilizar a fórmula de Bhaskara 
para determinar as raízes das funções quadráticas. 
 
 
 
 
Método indireto ou interativo: é um recurso de cálculo infinito, no qual 
o valor obtido em etapas depende do valor anterior. Esse método busca, em 
cada etapa, se aproximar mais da solução exata para as raízes, porém nem 
sempre isso é possível. No caso de não ser possível encontrar a solução exata, 
é preciso decidir quando e com qual aproximação parar. 
Uma importante forma analítica de verificar raízes é considerar um in- 
tervalo real [a,b]. Se existe uma contínua no intervalo [a,b], de modo que e 
tenham sinais contrários, então corta o eixo OX em ao menos um ponto no 
intervalo [a,b]. 
Raízes de funções: métodos da bissecção, da falsa posição e de Newton 3 
 
 
Número de raízes reais 
Teorema de Bolzano: considerando f(x) = 0, uma equação algébrica com 
coeficientes reais e x ∈ [a, b]: 
 
 Se f(a) × f(b) < 0, então existe um número ímpar de raízes reais (contando 
suas multiplicidades) no intervalo [a, b]. 
 Se f(a) × f(b) > 0, então existe um número par de raízes reais (contando 
suas multiplicidades) ou não existem raízes reais no intervalo [a, b]. 
 
Após definir se existem raízes reais no intervalo, você deve utilizar mé- 
todos numéricos para obter essas raízes. Como visto anteriormente, alguns 
métodos fornecem raízes exatas, ao passo que outros fornecem uma sequência 
de aproximações com limite na raiz da função. 
 
 
Métodos da bissecção, da falsa posição e de 
Newton 
Método da bissecção 
Se f(x) é uma função contínua no intervalo [a, b] e 𝜀, uma raiz dessa função, 
𝜀 ∈ [a, b] será f(𝜀) = 0. Sabendo que os intervalos f(a) e f(b possuem sinais 
opostos, logo, pelo Teorema de Bolzano, há um número ímpar de raízes, ou seja, 
no intervalo [a, b], há ao menos uma raiz real. Observe o gráfico da Figura 2. 
y f(x) 
f(b) 
0 a x1 
0 x4 x3 x2 b x 
f(a) 
 
Figura 2. Representação gráfica do método de bissecção. 
Fonte: Do autor. 
4 Raízes de funções: métodos da bissecção, da falsa posição e de Newton 
 
 
 
 
 
Dividindo o intervalo [a, b] ao meio, obtemos x1, e, consequentemente, o 
intervalo fica seccionado em dois novos intervalos, [a, x1] e [x1, b]. Se f(x1) 
= 0, então a raiz procurada é x1, caso contrário, você deve testar f(a), f(x1) e 
f(b), de forma que a raiz estará no subintervalo em que os sinais extremos 
forem opostos. 
 
[ f(a), f(x
1
)] → f(a) = -, e → f(x
1
) = - 
 
Portanto, a função contínua corta o intervalo um número par de vezes, ou 
não há raiz no intervalo. 
Como temos por hipótese inicial que o intervalo [a, b] possui ao menos 
uma raiz, vamos testar o subintervalo [ f(x1), f(b)] → f(x1) = -, e f(b) = +. Assim, 
temos que a(s) raiz(es) procurada está(ão) no subintervalo [ f(x1), f(b)]. 
O processo deve ser repetido até que se obtenha uma aproximação dentro 
do desejado, ou se obtenha o valor exato de ε para a função f(x), tal que f(ε) = 0. 
= 
= 
x
n 
= 
|
 
Raízes de funções: métodos da bissecção, da falsa posição e de Newton 5 
 
 
É possível verificar este processo por indução finita: 
 
a + b , para n = 1, 2, 3, 4, ...; n ∈ ℕ 
n 2 
Se f(a) × f(x ) < 0, então, teremos b = x e xn+1 = 
a + x
n 
, ou a = x e 
x
n+1 
= 
 xn + b . 
2 
n 2 n 
Um problema para o emprego dessa técnica é que se conheça o intervalo 
que contenha ao menos uma raiz ou, de forma mais conveniente, que contenha 
somente uma raiz. 
 
 
Método da falsa posição 
Se f(x) é uma função contínua no intervalo [a, b] e 𝜀, uma raiz desta função, 
𝜀 ∈ [a, b] será f(𝜀) = 0. 
Pelo método da bissecção, você viu que x
n 
é dado como a média aritmética 
do intervalo [a, b]. 
 
 a + b 
n 2 
 
Na maioria das vezes, a raiz não se encontra exatamente no ponto médio 
do intervalo [a, b], porque se isso ocorre, temos f(x1) = 0, e o processo terá 
sido concluído. Então, você deve considerar o fato de que a raiz está mais 
próxima de a ou de b. Lembre-se que uma raiz tem coordenada cartesiana 
(x, 0), nesse caso, na maior parte das vezes, a raiz estará mais próxima do 
extremo do intervalo com menor valor de y, f(a) ou f(b). Portanto, use a média 
ponderada, em vez da média aritmética, com pesos | f(a)| e | f(b)| para b e a, 
respectivamente: 
a | f(b)| +b | f(a)| 
, como f(a) e f(b) tem sinais contrários, o desenvol- 
f(b)| + | f (a)| 
vimento da equação fica: 
 
x = 
af(b) - bf(a) 
= 
af(b) - bf(a) - af(a) + af(a) 
= a - 
(b-a) × f(a) , para n = 
n f(b) - f(a) f(b) - f(a) f(b) - f(a) 
1, 2, 3, ... ; n ∈ ℕ 
x 
n 
x 
y 
f(b) 
0 a 
0 ε b x 
f(x2) 
f(x1) 
f(a) 
 
Figura 3. Representação gráfica do método da falsa posição. 
Fonte: Do autor. 
6 Raízes de funções: métodos da bissecção, da falsa posição e de Newton 
 
 
Observe, na Figura 3, a representação do método da falsa posição. 
 
 
 
 
Uma vez que seja encontrado o ponto x1, devemos verificar, como no método 
de bissecção, se a raiz está no intervalo [a, x1] ou [x1,b]. Se f(a) × f(x1) < 0, 
então teremos b = x1, caso contrário, teremos a = x1. A repetição do processo 
deve continuar até que se obtenha uma aproximação dentro do desejado, ou 
se obtenha o valor exato de ε para a função f(x), ou seja, f(ε) = 0. 
f(x0) 
f(x1) 
0 a ε β α b = x0 
0 x2 x1 x’1 
f(a) 
Figura 4. Exemplo de gráfico mostrando a derivada de f no ponto a. 
Fonte: Do autor. 
Raízes de funções: métodos da bissecção, da falsa posição e de Newton 7 
 
 
Método de Newton 
Se f(x) é uma função contínua no intervalo [a, b] e 𝜀, uma raiz desta função, 
𝜀 ∈ [a, b] será f(𝜀) = 0 e f ′(x) ≠ 0. Se f ′(x) for derivada da função: 
A função f: A → ℝ é derivável no ponto a ∈ A, quando existe e é finito 
o limite: 
 
lim 
Δy 
= lim 
f(x) - f(a) 
= lim 
f(a + Δx) - f(a) 
Δx→0 Δx x→a x - a Δx→0 Δx 
 
Quando f é derivável em a, o limite é denominado derivada de f no ponto 
a, conforme apresentado na Figura 4. 
 
 
 
 
Considere x0 = b. Então, teremos: 
 
tgα = f’ (x ) → f’ (x ) = 
 
f(x
0
) 
→ x
 
 
= x - 
 f(x0) 
0 0 x
0 
- x
1
 1 0 f’(x0) 
f’(x ) 
8 Raízes de funções: métodos da bissecção, da falsa posição e de Newton 
 
 
Se | x1 – x0| estiver dentro da margem de precisão procurada, ou seja, com 
uma margem de erro “aceitável”, a raiz da função estará determinada. Senão, 
devemos repetir o processo para calcular x2 com: x2 = x1 - 
f(x
1
) 
e assim por 
1 
diante. 
Para decidir qual o melhor extremo do intervalo [a, b] para iniciar o mé- 
todo, basta verificar qual dos extremos possui função e segunda derivada 
com mesmo sinal: 
f(x1) × f’’ (xi) > 0. Para i = {extremos do intervalo} 
Condições: 
Para a série convergir para uma raiz usando o método de Newton, basta 
que o intervalo [a, b] em análise seja suficientemente pequeno e contenha 
uma raiz. Contudo, como se define um intervalo suficientemente pequeno e 
se verifica a unicidade da raiz? Para estabelecer essas condições, você deve 
seguir algumas etapas: 
 
1. Se f(a) × f(b) > 0, então existe um número par de raízes reais (contando 
suas multiplicidades) ou não existe raízes reais no intervalo [a, b] (te- 
orema de Bolzano). 
2. Se f(a) × f(b) < 0, então existe um número ímpar de raízes reais (contando 
suas multiplicidades) no intervalo [a, b] (teorema de Bolzano). 
3. Se f’(a) × f’(b) > 0, então o comportamento da função neste intervalo 
poderá ser apenas crescente ou decrescente, nunca os dois se alternando. 
4. Se f’(a) × f’(b) < 0, então a função terá o comportamento de ora crescer 
ora decrescer.5. Se f’’(a) × f’’(b) > 0, então a concavidade não muda no intervalo em 
análise. 
6. Se f’’(a) × f’’(b) < 0, então a concavidade muda no intervalo em análise. 
 
Assim, podemos concluir que o intervalo irá convergir para uma raiz 
somente se: 
f(a) · f(b) < 0, f’(a) · f’(b) > 0 e f”(a) · f”(b) > 0 
Considere a função f(x) = x² - 9x + 9. Para obter a raiz contida no intervalo [6,9] utilize 
truncamento com 6 casas decimais após a vírgula, caso precise utilize calculadora ou 
planilhas eletrônicas. 
 Algoritmo do método de Newton: 
x
n 
= x
n - 1 
- 
f(x
n 
- 1) 
f’(x -1) 
n 
Temos que f(x) = x² - 9x + 9 f’(x) = 2x – 9 f’’(x) = 2 


Como f(9) e f’’ (9) tem o mesmo sinal, x0 = 9 é o melhor extremo. 
 Cálculos: 
x = 9 - 
 f(9) 
= 9 - 
 9 
= 8 
1 f’(9) 9 
x = 8 - 
 f(8) 
= 8 - 
 1 
= 7,857142 
2 f’(8) 7 
x = 7,857142 - 
 f(7,857142) 
= 7,857142 - 
 0,020402 
= 7,854103 
3 f’(7,857142) 6,714284 
x = 7,854103 - 
 f(7,854103) 
= 7,854103 - 
 0,000006 
= 7,854102 
4 f’(7,854103) 6,708206 
 Resultado: 
Você pode concluir que 𝜀 = 7,85 é um valor próximo da raiz procurada. 
Raízes de funções: métodos da bissecção, da falsa posição e de Newton 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Intervalo [6,9]: 
f(6) = 36 – 54 + 9 f(6) = -9 f(9) = 81 – 81 + 9 f(9) = 9 
f(6) × f(9) < 0 𝜀 ∈ [6,9] 
Melhor extremo (valor inicial): 
f(6) = 9 f(9) = 9 f(6) × f(9) < 0 
f’ (6) = 3 f’ (9) = 9 f’ (6) × f’ (9) > 0 
f’’ (6) = 2 f’’ (9) = 2 f’’ (6) × f’’ (9) > 0 
10 Raízes de funções: métodos da bissecção, da falsa posição e de Newton 
 
 
Determinando raízes com os métodos de 
bissecção, da falsa posição e de Newton 
Resolvendo problemas pelo método da bissecção 
 
 
 
 
 
Para encontrar a raiz de f(x) = x² - 3, contida no intervalo [1,2], após 5 iterações, com 
duas casas decimais após a vírgula, é necessário considerar: 
 x = 
1+2 
= 3 = 1,5 , como f(1) = -2 e f(1,5) = -0,75, logo f(1) × f(1,5) > 0, temos o 
1 2 2 
novo intervalo [1,5]. 
Vamos repetir o processo: 
 x = 
1,5+2 
= 1,75, como f(1,5) = -0,75 e f(1,75) = 0,0625, logo f(1,5) × f(1,75) < 0, temos 
2 2 
que o novo intervalo é [1,5; 1,75]. 
 x = 
1,5 + 1,75 
= 1,625. Como f(1,5) = -0,75 e f(1,625) = -0,3593, logo f(1,5) × f(1,625) 
3 2 
> 0, temos o novo intervalo [1,625; 1,75]. 
 x = 
1,625 + 1,75 
= 1,687, como f(1,625) = -0,3593 e f(1,687) = -0,154031, logo f(1,625) 
4 2 
× f(1,687) > 0, temos o novo intervalo [1,687; 1,75]. 
 x = 
1,687 + 1,75 
= 1,718, como f(1,687) = -0,154031 e f(1,718) = -0,0484, logo f(1,687) 
5 2 
× f(1,718) > 0, temos o novo intervalo [1,718; 1,75]. 
Se a raiz está no intervalo [1,71; 1,75], é razoável concluir que a raiz desejada seja, 
aproximadamente, 1,73. 
Raízes de funções: métodos da bissecção, da falsa posição e de Newton 11 
 
 
Resolvendo problemas pelo método da falsa posição 
 
 
 
 
 
Para determinar a menor raiz positiva da função de quarto grau f(x) = x4 – 26x² + 24x 
+ 21 pelo método da falsa posição, estime o resultado final e todas as iterações com 
2 casas decimais e com arredondamento. 
 Algoritmo da falsa posição: 
x = a - 
(b - a) × f(a) 
n f (b) - f (a) 
 
f(x) = x4 – 26x² + 24x + 21 
f’(x) = 4x³ - 52x + 24 
f’’(x) = 12x² - 52 
Como nenhum intervalo inicial foi dado, você deve utilizar o teorema de Bolzano 
para encontrar o intervalo que contenha a menor raiz positiva. Para tanto, não deve 
se afastar dos menores valores positivos de x: 
f(0) = 21, f(1) = 20, f(2) = -19, logo, utilizaremos o intervalo [1,2] 
 Valor inicial: 
a = 1 e b = 2 
f’’(1) = -40 f’’(2) = -4 f’’(1) × f’’(2) > 0, portanto b é o ponto fixo e a = x
n
, logo, iremos 
iniciar por x0 = 1. 
Cálculos: 
x = 1 - 
(2 - 1)(f (1)) 
= 1 - 
 (1)(20) 
= 1,51
 
1 (f (2) - f (1)) (-19 -20) 
 
f(a) × f(x1) = 20 × (3,16) = 63,2 > 0, portanto a raiz está no intervalo [x1, b], então a 
= x1 [1,51; 2]. 
x = 1,51 - (2 - 1,51)(f (1,51))= 1,51 - (0,49)(3,16) = 1,58 
2 (f (2) - f (1,51)) -19 -(3,16) 
 
f(x1) × f(x2) = (3,16) × (0,24) = 0,75 > 0, portanto a raiz está no intervalo [x2, b], então 
a = x2 [1,58;2]. 
x = 1,58 - (2 - 1,58)(f (1,58)) = 1,58 - (0,42)(0,24) = 1,59 
3 (f (2) - f (1,58)) -19 - (0,24) 
 
f(x
2
) × f(x
3
) = (0,24) × (-0,17) = -0,04 < 0, portanto a raiz está no intervalo [x
2
, x
3
], então 
b = x3 [1,58; 1,59]. 
 Resultado: 
A raiz procurada está entre 1,58 e 1,59. Uma nova iteração precisará de uma precisão 
maior que 2 casas decimais, assim, considere 1,59 como a raiz procurada. 
12 Raízes de funções: métodos da bissecção, da falsa posição e de Newton 
 
 
Resolvendo problemas pelo método de Newton 
 
 
 
 
 
Para calcular a raiz positiva da função f(x) = 2x – sen(x) – 4, use as interações com 4 
casas decimais e finalize com a raiz utilizando duas casas decimais e arredondamento. 
 Algoritmo do método de Newton: 
x = x - 
f(x
n-1
) 
n n-1 f’(x
n-1
) 
 
f(x) = cos(x) + x 
f’(x) = 2 – cos(x) 
f’’(x) = sen(x) 
 Escolha do intervalo: 
f(2) = -0,9093 f(3) = 1,8589 f(2) × f(3) < 0 
Então existe uma raiz no intervalo [2,3] 
 Melhor extremo: 
f(2) = -0,9093 f(3) = 1,8589 
f’’(2) = -0,9093 f’’(3) = 0,1411 
Como f (3) e f’’(3) têm o mesmo sinal, x0 = 3 é o melhor extremo. 
 Cálculos: 
x = 3 - 
 f(3) 
= 3 - 
 1,8589 
= 2,3783 
1 f’(3) 2,9900 
x = 2,3783 - 
 f(2,3783) 
= 2,3783 - 
 0,0653 
= 2,3543 
2 f’(2,3783) 2,7226 
x = 2,3543 - 
 f(2,3543) 
= 2,3543 - 
 0,0002 
= 2,3542 
3 f’(2,3543) 2,7058 
 
 Resultado: 
A raiz procurada pode ser arredondada para 𝜀 = 2,35. 
 
 
 
 
Para aprofundar seus conhecimentos sobre as formas de 
representar os coeficientes de erros numéricos, acesse o 
material disponível em: 
 
https://goo.gl/YCo5me 
 
 
 
 
No texto “Métodos numéricos” (SANCHES; FURLAN, 2007, p. 2-13) você encontrará 
informações sobre os “pré-erros”, os erros de modelagem, representação de erros 
numéricos, entre outros. 
Referência 
SANCHES, I. J.; FURLAN, D. C. Métodos numéricos. Curitiba: Universidade Federal 
do Paraná, 2007. Disponível em: <http://www.inf.ufpr.br/kunzle/disciplinas/ci202/ 
M%C3%A9todos%20Num%C3%A9ricos%20-%20UFPR%20-%202007.pdf>. Acesso 
em: 13 dez. 2017. 
 
Leituras recomendadas 
MONTEIRO, M. T. T.; MORAIS, S. T. M. N. Métodos numéricos: exercícios resolvidos 
aplicados à Engenharia e outras Ciências. Braga: Universidade do Minho, 2012. Dis- 
ponível em: <http://www.inf.ufpr.br/kunzle/disciplinas/ci202/M%C3%A9todos%20 
Num%C3%A9ricos:%20exerc%C3%ADcios%20resolvidos%20aplicados%20 
%C3%A0%20Engenharia%20e%20outras%20Ci%C3%AAncias.pdf>. Acesso em: 13 
dez. 2017. 
PILLING, S. Cálculo numérico. São José dos Campos: UniVap, [2010?]. Disponível em: 
<https://ufsj.edu.br/portal2-repositorio/File/prof_ngoulart/notas_aula/CN_Capt2. 
pdf>. Acesso em: 13 dez. 2017. 
Raízes de funções: métodos da bissecção, da falsa posição e de Newton 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.inf.ufpr.br/kunzle/disciplinas/ci202/
http://www.inf.ufpr.br/kunzle/disciplinas/ci202/M%C3%A9todos
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conteúdo: 
 
Exercícios 
 
 
 
1) Determine os intervalos que contêm as raízes da função 
f(x)=x3-9x+3: 
 
 
 
C) [-4,-3], [0,1] e [2,3] 
 
Podemos mostrar em uma tabela, que a função tem extremos no infinito [-∞,+∞]. Portanto, para reduzir os 
cálculos, vamos montar uma tabela com os possíveis valores dos gabaritos: 
x -∞ -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 +∞ 
f(x) - -77 -25 3 13 11 3 -5 -7 3 31 83 + 
 
Observe que as quebras de sinais, pelo Teorema de Bolzano, ocorrem nos intervalos [-4,-3], [0,1] e [2,3]. 
Como sabemos que uma função de 3º grau tem, no máximo, 3 raízes, então elas estão nos intervalos 
determinados. 
 
 
 
2) Uma utilidade interessante para o método de Newton, por exemplo, é determinar a 
aproximação de um irracional. Determine a raiz cúbica de 5, usando o método de Newton. 
Utilize a função f(x)=x3-5. 
 
 
E) 1,71 
 
f(x)=x3−5f'(x)=3x2f''(x)=6x 
 
Sabemos que 1
3
= 1 e que2
3
= 8, então a raiz cúbica de 5 está entre 1 e 2. Vamos utilizar este intervalo inicial [1,2] e determinar o 
melhor extremo: 
 
f(1)=−4f(2)=3f''(1)=6f''(2)=12 
 
Como f(2) e f''(2) tem o mesmo sinal, x0 = 2 é o melhor extremo. 
 
xn=xn−1−f(xn)f'(xn)x1=2−f(2)f'(2)=2−312=1,75x2=1,75−f(1,75)f'(1,75)=1,75−0,35939,1875=1,71 
 
Resposta: A raiz desejada é x = 1,71 
 
 
 
3) 
Encontre a raiz da função f(x)=x3-9x+3, utilizando o método da Bissecção e tendo como 
intervalo inicial [0,1]. Utilize duas casas decimais para a aproximação. 
 
 
A) a) 0,33 
 
 
 
 
4) 
Utilizando o método de Newton, determine, após três iterações, a raiz da função f(x)=x3- 
x+1, contida no intervalo [-2, -1], com uma casa decimal por arredondamento. 
 
 
D) -1,3 
 
 
 
 
5) 
Considere a função f(x)=x2+x-6, e determine a raiz dela pelo método de Newton, tomando 
como x0 = 1,5. 
 
 
C) 2 
 
 
 
Na prática 
 
Nesta Unidade de Aprendizagem, você pode conhecer três métodos para determinar raízes de 
forma indireta ou iterativa. Mas talvez ainda não tenha ficado claro onde usar. Há quem diga que a 
matemática está nos olhos de quem enxerga o mundo por números. Ou seja, para quem 
compreende que ela está em todo lugar. 
 
Vamos ver uma aplicação do método de Newton