Campo Magnético

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Introdução aos campos 
magnetostáticos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Descrever a analogia entre grandezas elétricas e magnéticas.
 � Discutir a lei de Biot-Savart.
 � Analisar a lei circuital de Ampère.
Introdução
Neste capítulo, você vai conhecer os princípios básicos por trás do mag-
netismo. Com uma história que vem desde a antiguidade, as grandezas 
magnéticas já eram conhecidas pela humanidade. Entretanto, não se 
conhecia com precisão como elas se relacionavam. Foi apenas em 1820, 
com as descobertas de grandes cientistas, que finalmente foram propostas 
leis relacionando corrente elétrica e campo magnético.
A definição da lei de Biot-Savart foi fundamental para a descrição 
vetorial dos campos magnéticos gerados por uma corrente, mas que eram 
de difícil aplicação em certas geometrias. A lei de Ampére foi respon-
sável por simplificar esses cálculos, utilizando simetrias dos sistemas de 
coordenadas. A formulação de ambas as leis da magnetostática mostrou 
diversas similaridades entre as grandezas elétricas e magnéticas, como 
os campos vetoriais, as densidades de campo e até as propriedades dos 
materiais envolvidos.
Neste capítulo, você estudará sobre as grandezas elétricas e magné-
ticas e as leis de Biot-Savart e de Ampère.
1 As grandezas elétricas e magnéticas
Os efeitos elétricos são conhecidos pela humanidade desde, aproximadamente, 
600 a.C., começando pela eletricidade estática que ocorria quando os gregos 
esfregavam âmbar em suas roupas e observavam como objetos pequenos e 
leves, como penas, eram atraídos (HAYT JR.; BUCK, 2013). Com o desenvol-
vimento da humanidade, diversos avanços foram feitos nessa área, moldando 
o que é conhecido atualmente como eletromagnetismo, que pode ser dividido
em duas principais subáreas: eletricidade e magnetismo — que também têm
divisões próprias e diversas similaridades.
Um elemento comum a todas as áreas do eletromagnetismo são as cargas 
elétricas. Estáticas, elas geram um campo vetorial denominado campo elétrico 
(E⃗, em Volt por metro). Outras cargas imersas nesse campo elétrico sofrem 
efeitos de uma força externa, definida matematicamente pela lei de Coulomb, 
descrita pela Equação (1). Essa força depende da intensidade e do sinal de 
ambas as cargas (Q e q, em Coulomb), da distância d (em metro) entre elas e 
na direção radial da carga Q para a carga q representada pelo vetor unitário 
. Essa força também pode ser descrita em função da carga q imersa no 
campo elétrico gerado por Q, que tem direção, sentido e intensidade descritos 
pela Equação (2) no ponto do espaço onde se encontra inicialmente a carga q 
(HAYT JR.; BUCK, 2013).
(1)
(2)
Com as cargas em movimento, novos efeitos podem ser associados, como o 
potencial elétrico (V, em Volt) e a corrente elétrica (I, em Ampère). Esses efeitos 
dependem do material em que estão situados, representado pela permissividade 
elétrica (ε, em Farad por metro). No espaço livre, cuja permissividade elétrica 
ε0 é dada pela constante 8,85 ⋅ 10–12 F/m, há apenas a ação do campo elétrico. 
Entretanto, o campo elétrico dentro de um material gera uma densidade de 
Introdução aos campos magnetostáticos14
fluxo elétrico (D⃗, em Coulomb por metro quadrado) que tem mesma direção 
e mesmo sentido do campo elétrico, mas intensidade dada pela Equação (3) 
(HAYT JR.; BUCK, 2013).
D⃗ = εE⃗ (3)
A corrente elétrica, descrita como a taxa de variação de carga no tempo, 
é responsável pela geração do campo fundamental do magnetismo, o campo 
magnético (B⃗, em Weber por metro quadrado, ou Tesla). Assim como um ma-
terial apresenta permissividade elétrica ε, ele também apresenta a propriedade 
da permeabilidade magnética (μ). Assim, pode-se definir que, dentro de um 
material, há uma intensidade de campo magnético (H⃗, em Ampère por metro) 
representado pela Equação (4). Deve-se notar, entretanto, que essa relação é 
válida apenas para o espaço livre (onde μ0 = 4π ⋅ 10–7 H/m), que determinados 
materiais apresentam permeabilidades magnéticas não constantes, e, com isso, 
aparecerá o fenômeno da magnetização (BAUER; WESTFALL; DIAS, 2012).
B⃗ = μ0 H⃗ (4)
Assim, uma carga q deslocando-se com velocidade v⃗, imersa em um campo 
magnético B⃗, sofre ação de uma força, dada pela Equação (5). Em um meio 
onde estão presentes campos eletromagnéticos, ou seja, campos elétricos 
E⃗ e campos magnéticos B⃗, uma carga imersa nele sofrerá força devido a 
ambos os campos, unindo os efeitos da lei de Coulomb da Equação (1) com a 
força magnética da Equação (4) e resultando na equação da força de Lorentz, 
representada pela Equação (6) (SADIKU, 2015).
F⃗ = qv⃗ × B⃗ (5)
F⃗ = q(E⃗ + v⃗ × B⃗) (6)
Assim, dentro do eletromagnetismo, por mais que exista essa principal 
separação entre a eletricidade e o magnetismo, há muitas analogias entre 
ambos em relação aos campos vetoriais, às densidades de campos vetoriais e 
propriedades dos materiais, resumidas no Quadro 1, a seguir.
15Introdução aos campos magnetostáticos
Fonte: Adaptado de Bauer, Westfall e Dias (2012), Hayt Jr. e Buck (2013) e Sadiku (2015).
Eletricidade Magnetismo
Campo vetorial Campo elétrico
E⃗ = [V/m]
Campo magnético
B⃗ = [Wb/m2] = [T ]
Densidade do 
campo vetorial
Densidade de 
campo elétrico
D⃗ = [C/m2]
Intensidade de 
campo magnético
H⃗ = [A/m]
Propriedade 
do material
Permissividade elétrica
ε
Permeabilidade magnética
μ–1
Força Lei de Coulomb Lei de Lorentz
Quadro 1. Resumo das analogias entre eletricidade e magnetismo
É importante ter consciência do efeito físico por trás de cada grandeza 
envolvida. Diferentes autores fazem analogias entre diferentes variáveis, 
podendo levar em conta o efeito físico, até mesmo, a simetria matemática. 
Assim, enquanto alguns autores classificam os campos E⃗ e B⃗ da mesma forma, 
outros classificam o campo elétrico E⃗ da mesma forma que a intensidade de 
campo magnético H⃗, pela similaridade entre as Equações (3) e (4), bem como 
por suas unidades (ELLIOT, 1979, 1981).
A amplitude de áreas do eletromagnetismo é claramente dividida em duas 
partes: uma representada pelas grandezas elétricas e outra pelas grandezas 
magnéticas. Essa divisão ocorreu por diversos motivos, tanto físicos como 
matemáticos ou, até mesmo, históricos, e persiste até hoje. Com isso, diversas 
analogias entre ambas podem ser feitas, dependendo do ponto de vista utili-
zado. Com a definição das principais grandezas do magnetismo, é possível 
apresentar suas leis fundamentais para construção dessa área do conhecimento.
Introdução aos campos magnetostáticos16
2 A lei de Biot-Savart
Enquanto Benjamin Franklin já conhecia a corrente elétrica em meados do 
século XVIII, foi Oersted que, em 1820, descobriu que a circulação de corrente 
em um condutor provocaria a reação de uma bússola, provando que havia uma 
ligação entre a corrente elétrica e o campo magnético. Essa descoberta foi 
o ponto de partida que culminou com a formulação matemática, no mesmo 
ano, entre a corrente circulando em um condutor e o campo magnético gerado 
por ela, desenvolvida por dois cientistas franceses, Jean-Baptiste Biot e Felix 
Savart (KNIGHT, 2009; WENTWORTH, 2009).
Para uma corrente i percorrendo um condutor de comprimento infinite-
simal dl⃗ , é induzido, no espaço livre com permeabilidade magnética μ0, um 
campo magnético infinitesimal dB⃗ a uma distância r⃗ do condutor (também 
podendo ser representado por um vetor unitário na mesma direção, ), como 
mostra o esquema da Figura 1, a seguir. Esse campo magnético é descrito pela 
Equação (7), denominada lei de Biot-Savart (PAUL, 2006).
(7)
Figura 1. Campo magnético infinitesimal gerado por corrente 
elétrica percorrendo um infinitésimo de condutor.
Fonte: Adaptada de Bauer, Westfall e Dias (2012).
17Introdução aos campos magnetostáticos
A partir dessa equação, é possível perceber que, devido ao produto vetorial 
existente, o campo magnético infinitesimal dB⃗ é normal ao plano formado 
pelos vetores comprimentoinfinitesimal (dl⃗ ) e distância (r⃗ ). Analisando o 
campo magnético infinitesimal em outros pontos, todos igualmente distantes 
de r⃗ do condutor, devido ao produto vetorial, ele também é perpendicular a 
ao novo plano formado, como mostra a Figura 2a. Assim, pode-se determinar 
que o campo magnético é tangente ao círculo de raio r⃗ em torno do condutor, 
como mostra a Figura 2b, a seguir (BAUER; WESTFALL; DIAS, 2012).
Figura 2. (a) Campo magnético infinitesimal em diversos pontos equidistantes do 
condutor e (b) campo magnético em torno de um condutor.
Fonte: Adaptada de Bauer, Westfall e Dias (2012).
(a) (b)
É possível descobrir a direção e o sentido do campo magnético utilizando 
dois mnemônicos com a mão direita. A primeira regra da mão direita, ilustrada 
na Figura 3a, indica as direções e os sentidos das três grandezas vetoriais 
envolvidas, situação imposta pelo produto vetorial da lei de Biot-Savart. 
Assim, conhecendo duas dessas grandezas, é possível determinar a direção e 
o sentido da restante. A terceira regra da mão direita, ilustrada na Figura 3b,
representa o caso particular de um condutor que circula corrente (BAUER;
WESTFALL; DIAS, 2012).
Introdução aos campos magnetostáticos18
Figura 3. Mnemônicos utilizados para determinar direção e sentido do campo magnético: 
(a) primeira regra da mão direita e (b) terceira regra da mão direita.
Fonte: Adaptada de Bauer, Westfall e Dias (2012).
(a) (b)
A partir da forma diferencial da Equação (7), é possível encontrar o campo 
magnético em diversos casos em que a geometria é responsável por determinar 
o infinitésimo de direção dl⃗ . Assim, considerando um primeiro caso em que o 
condutor tem comprimento tendendo ao infinito, como ilustrado na Figura 4, 
a seguir, é possível encontrar o campo magnético no ponto P (SADIKU, 2015).
Figura 4. Condutor infinitamente longo representado em sistema de coordenadas cilíndricas.
Fonte: Adaptada de Bauer, Westfall e Dias (2012) e Hayt Jr. e Buck (2013).
19Introdução aos campos magnetostáticos
Utilizando o sistema de coordenadas cilíndricas, os vetores dl⃗ e r⃗ devem 
ser descritos em funções de infinitésimos de x, ρ e ϕ, bem como nas suas 
direções, utilizando os vetores unitários (SADIKU, 2015). Seguindo 
o esquema da Figura 3, o vetor dl⃗ encontra-se na direção x, sendo, então, 
descrito pela Equação (8). O vetor r⃗, por sua vez, apresenta componentes 
tanto na direção x, quanto na direção y, sendo descrito na Equação (9), bem 
como seu módulo.
(8)
(9)
A substituição das Equações (8) e (9) na lei de Biot-Savart da Equação (7) 
resultará na Equação (10), prosseguindo também nela com o produto vetorial. 
Integrando os dois lados da Equação (10), obtém-se a expressão do campo 
magnético em coordenadas cilíndricas, mostrada na Equação (11), na direção 
do ângulo azimutal ϕ (SADIKU, 2015).
(10)
(11)
Considere um fio condutor com 2 km de comprimento e diâmetro de 25 mm. Por ele, 
circula uma corrente de 1 kA. Determine o campo magnético a uma distância de 1 m 
do centro do condutor, quando este se localiza no ar livre, onde a permeabilidade 
magnética é μ0 = 4π ⋅ 10–7 H/m.
Utilizando a Equação (11) do campo elétrico de um condutor infinito:
Introdução aos campos magnetostáticos20
Outro caso particular de interesse é uma espira circular de fio, como a 
ilustrada na Figura 5a, localizada no plano z = 0. Analisando o campo mag-
nético no centro dela através do corte da Figura 5b em x = 0, é possível ver 
que, para um ponto em que há uma corrente circulando em uma direção, no 
ponto diametralmente oposto, a corrente percorrerá o sentido oposto. Assim, 
no centro, cada corrente dessa contribuirá para uma parcela do campo mag-
nético resultante dB⃗. Pode-se notar que ambas as contribuições têm mesmo 
sentido, podendo ser verificadas pelo mnemônico da terceira regra da mão 
direita, e, consequentemente, complementam-se devido ao princípio da su-
perposição (WENTWORTH, 2009).
Da mesma forma do caso anterior, é necessário descrever os vetores dl⃗ e r⃗, 
ambos em um sistema de coordenadas cilíndricas, desta vez ao longo do eixo 
z. Esses vetores são mostrados, respectivamente, pelas Equações (12) e (13). 
Aplicando na lei de Biot-Savart, é encontrado o infinitésimo de campo mag-
nético descrito na Equação (14). Integrando essa equação ao longo de toda a 
circunferência, é possível, então, determinar o campo magnético no centro 
da espira, representado pela Equação (15).
(12)
(13)
(14)
(15)
21Introdução aos campos magnetostáticos
Figura 5. (a) Espira de fio condutor e (b) seu corte no plano x = 0 para determinação do 
campo magnético.
Fonte: Adaptada de Bauer, Westfall e Dias (2012).
Considere uma espira condutora de raio 25 cm, por onde circula uma corrente de 5 A. 
Sabendo que ela está imersa no espaço livre (μ0 = 4π ⋅ 10–7 H/m), determine o campo 
magnético em seu centro.
Utilizando a Equação (14) do campo elétrico de um condutor infinito:
Após a definição das principais grandezas por trás do magnetismo, sua 
primeira lei fundamental foi apresentada, em que é possível determinar o 
campo magnético gerado pela circulação de corrente elétrica em um material. 
A partir dessa definição, foi possível demonstrar o campo elétrico em con-
dutores muito longos e em espiras. Em ambos os exemplos, pode-se observar 
que a simetria tem papel fundamental para auxiliar nos cálculos e, a partir 
desse conceito, novos fundamentos serão apresentados.
Introdução aos campos magnetostáticos22
3 A lei circuital de Ampère
Enquanto a lei de Biot-Savart propõe uma relação entre corrente e campo 
magnético, a geometria do condutor pode fazer com que a determinação 
desse campo seja de grande complexidade. Da mesma forma que a lei de 
Gauss utilizava simetria de superfícies para encontrar o campo elétrico, 
o físico André-Marie Ampère propôs uma forma similar para determinação 
do campo magnético em função da simetria existente em um condutor com 
circulação de corrente. Sua formulação segue o trabalho iniciado por Oersted, 
continuado por Biot e Savart, culminando, no fim de 1820, com a publicação 
da lei de Ampère (KNIGHT, 2009).
Matematicamente, a lei de Ampère é dada pela Equação (16), em que 
a integral de caminho fechado de um campo magnético é igual à corrente 
envolvida por esse caminho, como mostra a Figura 6, que recebe o nome de 
amperiana, sendo similar ao conceito da gaussiana para a lei de Gauss da 
eletrostática. Esse caminho, em geral, é escolhido de forma que sua simetria, 
usualmente cilíndrica ou esférica, torne a resolução da integral mais simples, 
sem a necessidade de determinação do ângulo entre os vetores direção e campo 
magnético (BAUER; WESTFALL; DIAS, 2012).
(16)
Figura 6. A representação da amperiana como um caminho 
fechado envolvendo correntes elétricas.
Fonte: Adaptada de Bauer, Westfall e Dias (2012).
23Introdução aos campos magnetostáticos
É possível, então, aplicar a lei de Ampère ao condutor infinito, cuja expres-
são do campo magnético foi previamente deduzida, resultando na Equação (11). 
Considerando a seção transversal desse condutor, como mostrada na Figura 7, 
com a utilização de uma amperiana circular de raio ρ em torno do condutor, 
é possível determinar a intensidade de campo elétrico não somente no exte-
rior do condutor, mas em seu interior (BAUER; WESTFALL; DIAS, 2012). 
Utilizando o mnemônico da terceira regra da mão direita, é possível perceber 
que o campo magnético é tangente à amperiana. No sistema cilíndrico de 
coordenadas, o campo vetorial tem componentes apenas na direção do ângulo 
azimutal ϕ, . O vetor da direção da amperiana, dl⃗ , também tem componentes 
apenas na direção de . Assim, o campo magnético interno ao condutor pode 
ser dado pela Equação (17), o que resulta em uma integral ao longo do ângulo 
azimutal. Considerando um caminho fechado, essa integral terá limites de 0 
a 2π (WENTWORTH, 2009).
(17)
Figura 7. Seção transversal circular de um condutor.
Fonte: Adaptada de Bauer, Westfall e Dias (2012).
Introduçãoaos campos magnetostáticos24
Considerando que a corrente é constante e, consequentemente, o campo 
magnético também, a Equação (17) mostra a expressão do campo magnético 
interno ao condutor. Essa equação, no entanto, depende, ainda, da quantificação 
da corrente englobada pela amperiana. Supondo que a corrente é distribuída 
uniformemente dentro do condutor, é possível estabelecer uma relação entre as 
razões corrente-área da amperiana e do condutor, mostrada na Equação (18). 
Substituindo essa equação no campo magnético da Equação (17), determina-se 
o campo magnético em função do raio da amperiana e das propriedades do 
condutor e do ambiente em que ele está (representado pela permeabilidade 
magnética μ0), como mostra a Equação (19). Essa equação, entretanto, é válida 
apenas para uma amperiana de raio, no máximo, igual ao raio do condutor 
(BAUER; WESTFALL; DIAS, 2012).
(18)
(19)
Para determinar o campo magnético na região exterior ao condutor, 
a amperiana sempre englobará a corrente total i. Assim, a Equação (17) pode 
ser reescrita como a Equação (20) (WENTWORTH, 2009).
(20)
25Introdução aos campos magnetostáticos
Um dispositivo de grande importância na engenharia são os solenoides, 
que são condutores enrolados em várias espiras sequenciais, compactamente 
— ou seja, sem deixar espaçamento entre uma espira e a seguinte —, sendo 
de forma cilíndrica, como demonstrado na Figura 8a. A Figura 8b mostra um 
corte transversal do solenoide, com a seção do condutor e o sentido de corrente 
em ambos lados. Utilizando uma amperiana retangular, de lado dl⃗ , que pode 
ser representada em termos do sistema retangular, como mostra a Equação 
(21), onde cada condutor representa um infinitesimal dy dividido pelo número 
de espiras, N. O campo magnético apresenta apenas componentes na direção 
y, e, aplicando a lei de Ampère ao longo do comprimento total do solenoide, 
é possível encontrar o campo magnético interno, mostrado na Equação (22) 
(BAUER; WESTFALL; DIAS, 2012).
(21)
(22)
Considere um fio condutor com 2 km de comprimento e raio de 25 mm. Por ele, 
circula uma corrente de 1 kA. Determine o campo magnético a distância de (a) 15mm e 
(b) 1 m, ambas em relação ao centro do condutor. Suponha que esse condutor se
localiza no ar livre, onde a permeabilidade magnética é μ0 = 4π ⋅ 10–7 H/m.
 � No primeiro caso, é necessário determinar o campo magnético a uma distância
inferior àquela do raio do condutor. Dessa forma, deve-se determinar o campo
magnético interno ao condutor, utilizando a Equação (18):
 � No segundo caso, a distância é superior ao raio do condutor. Dessa forma, deve-se 
determinar o campo magnético externo ao condutor, utilizando a Equação (19):
Introdução aos campos magnetostáticos26
Figura 8. (a) Solenoide e (b) corte transversal detalhando o campo magnético e a amperiana 
escolhida.
Fonte: Adaptada de Bauer, Westfall e Dias (2012) e Hayt Jr. e Buck (2013).
(a) (b)
Considere um solenoide de 5 cm de comprimento, com raio de 5 mm, composto 
por 100 voltas de condutor. Se, nesse condutor, circular uma corrente de 50 mA, qual 
será o campo magnético em seu interior? Considere que o solenoide está no espaço 
livre (μ0 = 4π ⋅ 10–7 H/m).
O campo magnético no interior do solenoide é determinado pela Equação (21):
27Introdução aos campos magnetostáticos
O ano de 1820 foi fundamental para firmar os conceitos do magnetismo, 
a partir das descobertas de grandes cientistas, como Oersted, Biot, Savart e 
Ampère. Eles foram responsáveis por criar leis que permitiram a compreensão 
de conceitos que a humanidade vem presenciando desde a antiguidade. A lei 
de Biot-Savart foi o primeiro passo para descobrir a relação entre o campo 
magnético gerado por uma corrente elétrica. Em seguida, a lei de Ampère 
conseguiu simplificar esse conceito, utilizando caminhos simétricos bem 
definidos, denominados amperiana. Com essas leis, foi possível a realização 
de grandes projetos, desde os medidores de grandezas elétricos, baseados no 
Galvanômetro D’Arsonval, até os motores elétricos, trazendo grandes avanços 
tecnológicos para o mundo.
BAUER, W.; WESTFALL, G. D.; DIAS, H. Física para universitários: eletricidade e magnetismo. 
Porto Alegre: AMGH, 2012.
ELLIOT, R. S. Electromagnetic theory: a simplified representation. IEEE Transactions on 
Education, [s. l.], v. 24, n. 4, p. 294–296, 1981.
ELLIOT, R. S. Some useful analogies in the teaching of electromagnetic theory. IEEE 
Transactions on Education, [s. l.], v. 22, n. 1, p. 7–10, 1979.
HAYT JR., W. H.; BUCK, J. A. Eletromagnetismo. 8. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013.
KNIGHT, R. D. Física: uma abordagem estratégica. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2009. 
(Eletricidade e Magnetismo, v. 3).
PAUL, C. R. Eletromagnetismo para engenheiros com aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2006.
SADIKU, M. N. O. Elements of electromagnetics. 6th ed. New York: Oxford University, 2015.
WENTWORTH, S. M. Eletromagnetismo aplicado: abordagem antecipada das linhas de 
transmissão. Porto Alegre: Bookman, 2009.
Leituras recomendadas
FOWLER, R. Fundamentos de eletricidade. 7. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013. (Corrente 
Contínua e Magnetismo, v. 1).
HEWITT, P. G. Física conceitual. 12. ed. Porto Alegre: Bookman, 2015.
Introdução aos campos magnetostáticos28
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29Introdução aos campos magnetostáticos