AULA 03 - MECANICA DOS FLUIDOS - 15-07-2022

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ESTÁTICA DOS FLUIDOS -
HIDROSTÁTICA
mateus0@yahoo.com.br
Prof. Dr. Mateus Henrique Rocha
Universidade Federal Rural 
de Pernambuco (UFRPE)
Unidade Acadêmica de Cabo 
de Santo Agostinho (UACSA)
DATA: 15/07/2022
SALA: S305–CI4/MA7/ME7/EL8/EN8
SEXTA-FEIRA: 13:00h–16:00h 
Fenômenos de Transporte
ESTÁTICA DOS 
FLUIDOS
• 1 Pa = 1 N/m²: unidade muito pequena,
por isso são usados seus múltiplos
(Quilopascal 1 kPa = 1.000 Pa e
Megapascal 1 MPa = 1.000.000 Pa).
Outras unidades:
• Bar: 1 bar = 10.000 Pa = 0,1 MPa = 100
kPa.
• Atmosfera padrão: 1 atm = 101.325 Pa =
101,325 kPa = 1,01325 bar.
• Kilograma-força por centímetro
quadrado: 1 kgf/cm² = 9,807 N/cm² =
98.066,5 N/m² = 98.066,5 Pa = 0,9807
bar = 0,9679 atm.
• Libra-força por polegada quadrada
(lbf/pol² ou psi–sistema inglês): 1 psi =
0,0703 kgf/cm² = 0,06895 bar = 6,895
kPa = 0,06805 atm.
Conceito e Definição de Pressão
Pressão e Gradiente de Pressão
Hipóteses e aproximações:
• Pequena cunha de fluido em repouso de tamanho: Δx X Δz X Δs e com uma
profundidade b (normal ao papel).
• Não há cisalhamento e as pressões Px, Pz e Pn podem ser diferentes em cada
face.
• Considera-se que o peso do elemento seja muito pequeno, dessa forma, a
pressão será constante em cada face.
෍𝐹𝑥 = 0 ⇒෍𝐹𝑥 = 𝑃𝑥𝑏Δ𝑧 − 𝑃𝑛𝑏Δ𝑠 sin 𝜃
Pressão e Gradiente de Pressão
෍𝐹𝑧 = 0 ⇒෍𝐹𝑧 = 𝑃𝑧𝑏Δ𝑥 − 𝑃𝑛𝑏Δ𝑠 cos 𝜃 −
1
2
𝜌𝑔𝑏Δ𝑥Δ𝑧
• A resultante das Forças deve ser igual a zero (sem aceleração) nas 
direções x e z: 
Δ𝑧 = Δ𝑠 sin 𝜃
• Porém, a geometria da cunha é tal que:
Δ𝑥 = Δ𝑠 cos 𝜃
• Substituindo-se nas equações anteriores tem-se:
𝑃𝑥 = 𝑃𝑛 𝑃𝑧 = 𝑃𝑛 +
1
2
𝜌𝑔Δ𝑧
As relações anteriores mostram duas condições muito importantes
para a Estática dos Fluidos, na situação em que não se encontra a
presença de cisalhamento (fluidos livres):
1) Não há variação de pressão na direção horizontal.
2) Há uma variação de pressão na direção proporcional à massa
específica, a gravidade e a variação de profundidade.
Pressão e Gradiente de Pressão
• Como a cunha de fluido é reduzida apenas a um único ponto
específico, tem-se que Δz=0, portanto:
𝑃𝑥 = 𝑃𝑧 = 𝑃𝑛 = 𝑃
• Como o ângulo θ é arbitrário, conclui-se que a pressão P qualquer
em um FLUIDO ESTÁTICO é uma propriedade de ponto,
independentemente da orientação.
Equação Básica da Estática dos Fluidos
Hipóteses e aproximações:
• Equação para o cálculo do campo de pressão em um fluido estático.
• A pressão aumenta com a profundidade, portanto deve-se aplicar a Segunda Lei de
Newton a um elemento de fluido diferencial de massa dm (ρdV), com lados dx, dy e
dz.
• O elemento fluido está em repouso em relação ao sistema inercial de coordenadas
retangulares.
Os dois tipos genéricos de forças que podem ser aplicados a um
fluido são:
• Forças de campo (de ação a distância).
• Forças de superfície (de contato).
• A única força de campo que é considerada na análise é a força
decorrente da gravidade (forças elétricas e magnéticas não são
consideradas). Para um elemento de fluido diferencial, a força de
campo é dada por:
𝑑 Ԧ𝐹𝐵 = Ԧ𝑔𝑑𝑚 ⇒ 𝑑 Ԧ𝐹𝐵 = Ԧ𝑔𝜌𝑑𝑉
𝑑 Ԧ𝐹𝐵 = 𝜌 Ԧ𝑔𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
• Em um fluido estático, nenhuma tensão de cisalhamento pode
estar presente, portanto, a única força de superfície é a força de
pressão, e a pressão é um campo escalar:
𝑃 = 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧
Equação Básica da Estática dos Fluidos
• Espera-se que a pressão varie somente com a posição dentro do fluido.
• A força líquida de pressão que resulta dessa variação pode ser avaliada
pela soma de todas as forças que atuam nas seis faces do elemento
fluido.
• Seja P a pressão no centro O, portanto para determinar a pressão em
cada uma das 6 faces do elemento utiliza-se uma expansão em séries
de Taylor da pressão em torno do ponto O. A pressão na FACE
ESQUERDA do elemento é dada por:
𝑃𝐿 = 𝑃 +
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝑦𝐿 − 𝑦 ⇒ 𝑃𝐿 = 𝑃 +
𝜕𝑃
𝜕𝑦
−
𝑑𝑦
2
⇒ 𝑃𝐿 = 𝑃 −
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝑑𝑦
2
𝑃𝑅 = 𝑃 +
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝑦𝑅 − 𝑦 ⇒ 𝑃𝑅 = 𝑃 +
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝑑𝑦
2
• A pressão na FACE DIREITA do elemento é dada por:
Equação Básica da Estática dos Fluidos
• As forças de pressão atuando nas duas superfícies y do
elemento diferencial são:
• Cada força de pressão é um produto de três fatores:
1) O primeiro é o módulo da pressão.
2) O segundo é a área da face para dar o módulo da força de pressão.
3) O terceiro é o vetor unitário, que deve ser introduzido para indicar o
sentido.
• A força de pressão em cada face atua contra a face.
• Uma pressão positiva corresponde a uma tensão normal de compressão.
• As forças de pressão sobre as outras faces do elemento são obtidas do
mesmo modo.
Equação Básica da Estática dos Fluidos
𝑑 Ԧ𝐹𝑆 = 𝑃 −
𝜕𝑃
𝜕𝑥
𝑑𝑥
2
𝑑𝑦𝑑𝑧 Ƹ𝑖 + 𝑃 +
𝜕𝑃
𝜕𝑥
𝑑𝑥
2
𝑑𝑦𝑑𝑧 − Ƹ𝑖
+ 𝑃 −
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝑑𝑦
2
𝑑𝑥𝑑𝑧 Ƹ𝑗 + 𝑃 +
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝑑𝑦
2
𝑑𝑥𝑑𝑧 − Ƹ𝑗
+ 𝑃 −
𝜕𝑃
𝜕𝑧
𝑑𝑧
2
𝑑𝑥𝑑𝑦 ෠𝑘 + 𝑃 +
𝜕𝑃
𝜕𝑧
𝑑𝑧
2
𝑑𝑥𝑑𝑦 −෠𝑘
• Combinando todas essas forças, é possível se obter a força
superficial líquida ou resultante agindo sobre o elemento:
• Agrupando e cancelando os termos comuns da equação
acima, obtêm-se:
Equação Básica da Estática dos Fluidos
𝑑 Ԧ𝐹𝑆 = −
𝜕𝑃
𝜕𝑥
Ƹ𝑖 +
𝜕𝑃
𝜕𝑦
Ƹ𝑗 +
𝜕𝑃
𝜕𝑧
෠𝑘 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝛻𝑃 =
𝜕𝑃
𝜕𝑥
Ƹ𝑖 +
𝜕𝑃
𝜕𝑦
Ƹ𝑗 +
𝜕𝑃
𝜕𝑧
෠𝑘 ⇒ 𝛻𝑃 =
𝜕
𝜕𝑥
Ƹ𝑖 +
𝜕
𝜕𝑦
Ƹ𝑗 +
𝜕
𝜕𝑧
෠𝑘 𝑃
• O termo entre parênteses é denominado gradiente de
pressão e pode ser escrito como grad P ou ∇P:
𝑑 Ԧ𝐹𝑆 = −𝛻𝑃𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
• O gradiente pode ser visto como um operador vetorial.
• Tomando o gradiente de um campo escalar obtém-se um
campo vetorial:
Equação Básica da Estática dos Fluidos
Equilíbrio de um Elemento de Fluido
• O gradiente de pressão é o negativo da força de superfície
por unidade de volume devido à pressão.
• O nível de pressão não é importante na avaliação da força
resultante da pressão, em vez disso, o que importa é a taxa
de variação da pressão com a distância (o gradiente de
pressão).
• Combina-se as formulações desenvolvidas para as forças de
superfície e as forças de campo de modo a obter a força total
atuando sobre um elemento fluido.
𝑑 Ԧ𝐹 = 𝑑 Ԧ𝐹𝑆 + 𝑑 Ԧ𝐹𝐵 ⇒ 𝑑 Ԧ𝐹 = −𝛻𝑃 + 𝜌 Ԧ𝑔 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑑 Ԧ𝐹 = −𝛻𝑃 + 𝜌 Ԧ𝑔 𝑑𝑉
𝑑 Ԧ𝐹
𝑑𝑉
= −𝛻𝑃 + 𝜌 Ԧ𝑔
• Para uma partícula fluida, a Segunda Lei de Newton diz
que a força é igual ao produto da massa pela aceleração:
Ԧ𝐹 = Ԧ𝑎𝑑𝑚 ⟹ Ԧ𝐹 = Ԧ𝑎𝜌𝑑𝑉
• Para um fluido estático (parado) sem movimento:
Ԧ𝑎 = 0
𝑑 Ԧ𝐹
𝑑𝑉
= 𝜌 Ԧ𝑎 ⇒
𝑑 Ԧ𝐹
𝑑𝑉
= 0
• Portanto, pode-se escrever que:
−𝛻𝑃 + 𝜌 Ԧ𝑔 = 0
Equilíbrio de um Elemento de Fluido
Equilíbrio de um Elemento de Fluido
−𝜵𝑷 + 𝝆𝒈 = 𝟎
• O significado físico de cada termo é o seguinte:
−𝜵𝑷
Força de pressão 
líquida por unidade 
de volume em um 
ponto
Força de campo por 
unidade de volume 
em um ponto
+ 𝝆𝒈 = 𝟎
+
• Essa equação vetorial , o que significa que ela é
equivalente a três equações de componentes que
devem ser satisfeitas individualmente.
−
𝜕𝑃
𝜕𝑥
+ 𝜌𝑔𝑥 = 0 na direção x
−
𝜕𝑃
𝜕𝑦
+ 𝜌𝑔𝑦 = 0 na direção y
−
𝜕𝑃
𝜕𝑧
+ 𝜌𝑔𝑧 = 0 na direção z
• Variação de pressão em
cada uma das três direções
dos eixos coordenados em
um fluido estático.
• É conveniente escolher um
sistema de coordenadas no
qual o vetor gravidade
esteja alinhado com um
dos eixos de coordenadas.
• Se o sistema de coordenadas for escolhido com o eixo z
apontando verticalmente para cima, dessa forma, gx= 0; gy= 0;
gz = –g, sob tais circunstâncias, os componentes tornam-se
iguais a :
𝜕𝑃
𝜕𝑥
= 0
𝜕𝑃
𝜕𝑦
= 0
𝜕𝑃
𝜕𝑧
= −𝜌𝑔
Distribuições de Pressão Hidrostática
• Nas considerações feitas, a pressão é independente das
coordenadas x e y.
• A pressão P depende APENAS DE Z.
• Portanto, como P é uma função de apenas uma variável, a
derivada total pode ser usada no lugar da derivada parcial,
portanto:
Restrições:
1) O fluido é estático.
2) A gravidade é a única força de campo presente.
3) O eixo Z é vertical e voltado para cima.
𝒅𝑷𝒅𝒛
= −𝝆𝒈 ⇒
𝒅𝑷
𝒅𝒛
= −𝜸
𝜸: é o peso específico do fluido
Distribuições de Pressão Hidrostática
• A equação anterior é a relação básica pressão-altura da ESTÁTICA DOS FLUIDOS,
porém ela está sujeita as restrições mencionadas. Portanto, essa equação deve ser
aplicada somente quando tais restrições forem razoáveis para a situação física.
• Para determinar a distribuição de pressão em um fluido estático, a equação
anterior pode ser integrada, aplicando-se em seguida as condições de contorno
apropriadas do problema.
• Antes de se considerar as aplicações específicas dessa equação, é importante
relembrar que os valores de pressão devem ser estabelecidos em relação a um
nível de referência.
• Se o nível de referência for o vácuo, as pressões são denominadas absolutas, porém
a maioria dos medidores de pressão indica uma diferença de pressão (a diferença
entre a pressão medida e aquela do ambiente, usualmente a pressão atmosférica
local).
• Os níveis de pressão medidos em relação à pressão atmosférica são denominados
pressões manométricas.
Distribuições de Pressão Hidrostática
Pressão Manométrica e Pressão Vacuométrica
Mede-se as seguintes pressões:
1) Absoluta ou de intensidade total.
2) Relativa, em relação à atmosfera ambiente local.
O segundo caso ocorre porque muitos instrumentos de medida de pressão são do
tipo diferencial e medem não um valor absoluto, mas a diferença entre a pressão
do fluido e a atmosfera local.
𝑃𝑎𝑏𝑠 = 𝑃𝑒𝑓 + 𝑃𝑟𝑒𝑓
𝑃𝑚𝑎𝑛 = 𝑃𝑎𝑏𝑠 − 𝑃𝑎𝑡𝑚
𝑃𝑣á𝑐 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 − 𝑃𝑎𝑏𝑠
Pressão Manométrica e Pressão Vacuométrica
Pressão Manométrica e Pressão Vacuométrica
• Para distâncias pequenas a moderadas, a variação
da pressão com a altura é desprezível para os
gases, por causa de sua baixa densidade.
• A pressão em um tanque contendo um gás pode
ser considerada uniforme, uma vez que o peso do
gás é muito baixo para fazer uma diferença
apreciável. Da mesma forma, a pressão em uma
sala cheia de ar pode ser considerada constante.
• Ao se considerar o Ponto 1 na superfície livre
de um líquido aberto para a atmosfera, no qual
a pressão é a pressão atmosférica então a
pressão a uma profundidade h qualquer da
superfície livre é dada por:
𝑃 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔ℎ 𝑃𝑚𝑎𝑛 = 𝜌𝑔ℎ
Variação de Pressão em um Fluido Estático 
• A leitura de 32 psi (2,25 kgf/cm²) indica uma pressão de 32 psi acima da
pressão atmosférica.
• Em um local onde a pressão atmosférica é 14,3 psi, a pressão absoluta do
pneu do carro será de 32,0 psi + 14,3 psi = 46,3 psi.
• Nas Tabelas Termodinâmicas e Tabelas de Propriedades de Fluidos, quase
sempre é utilizada a pressão absoluta.
• Conceituação: “a” (pressão absoluta) e “g” (pressão manométrica) são
adicionadas às unidades de pressão (como psia e psig).
• Às vezes é preciso 
estabelecer um modelo 
numérico ou analítico da 
atmosfera da Terra para 
simular variações 
climáticas para estudar os 
efeitos de pressão.
• O perfil de temperatura da 
Atmosfera Padrão nos EUA 
é mostrado ao lado.
• Valores para outras 
propriedades podem ser 
tabelados em função da 
altitude.
Variação da temperatura com a altitude na Atmosfera Padrão (EUA)
Condições da Atmosfera Padrão nos EUA ao nível do 
mar
Líquidos 
Incompressíveis
• A Equação anterior é a solução do problema hidrostático.
• A integração requer uma hipótese sobre as distribuições da massa específica e
aceleração da gravidade.
• Gases e líquidos usualmente são tratados de forma diferente.
• A PRESSÃO EM UM FLUIDO ESTÁTICO UNIFORME CONTINUAMENTE
DISTRIBUÍDO VARIA SOMENTE COM A DISTÂNCIA VERTICAL E É
INDEPENDENTE DA FORMA DO RECIPIENTE. ELA É A MESMA EM TODOS OS
PONTOS EM UM DADO PLANO HORIZONTAL NO FLUIDO. ELA AUMENTA COM
A PROFUNDIDADE NO FLUIDO.
𝒅𝑷
𝒅𝒛
= −𝝆𝒈 ⇒
𝒅𝑷
𝒅𝒛
= −𝜸
න
𝑷𝟎
𝑷
𝒅𝑷=−න
𝒛𝟎
𝒛
𝝆𝒈𝒅𝒛 ⇒ 𝑷 − 𝑷𝟎 = −𝝆𝒈 𝒛 − 𝒛𝟎
Variação de Pressão em um Fluido Estático 
Líquidos Incompressíveis
• Líquidos Incompressíveis: (manômetros para líquidos) é
conveniente colocar a origem do sistema de coordenadas na
superfície livre (nível de referência) e medir distâncias para
baixo a partir dessa superfície como positivas.
Variação de Pressão em um Fluido Estático 
𝒉 = (𝒛 − 𝒛𝟎)
Δ𝑃 = 𝑃 − 𝑃0 ⇒ Δ𝑃 = 𝜌𝑔ℎ
• A equação acima indica que a diferença de pressão entre dois
pontos em um fluido estático pode ser determinada pela
medida da diferença de elevação entre os dois pontos.
• Para um planeta esférico de densidade uniforme, a
aceleração da gravidade varia inversamente com o
quadrado do raio a partir do centro:
Efeito da gravidade variável
𝑔 = 𝑔0
𝑟0
𝑟
2
• r0 é o raio do planeta e g0 é o valor de g na superfície: para a
Terra, r0 é 6.400 km.
• Em problemas de engenharia, o desvio de r0 varia desde a
maior profundidade no oceano, aproximadamente 11 km,
até a altura atmosférica onde operam os aviões
supersônicos, aproximadamente 20 km.
• Isso dá uma variação máxima de g de (6.400/6.420)2, ou
seja, de 0,6%, dessa forma, não se considera a variação de g
na maioria dos problemas.
Pressão Hidrostática no Líquidos Incompressíveis
• Os líquidos são aproximadamente
incompressíveis, de modo que é
possível desprezar as variações de
densidade na hidrostática.
• A densidade da água aumenta
apenas 4,6% no local mais profundo
do oceano. Seu efeito na
hidrostática seria metade disso, ou
2,3%.
Barômetros
Pressão Hidrostática nos Gases
Aplicações da Manometria
Barômetro de Mercúrio
Barômetro de Mercúrio
Barômetro de Mercúrio
• Como a pressão atmosférica força a coluna de
mercúrio a subir uma distância h no tubo, a
superfície superior do mercúrio está à pressão
zero.
• Com P1 = 0 em z1 = h e P2 = Pa em Pa em z2 = 0.
𝑃𝑎 = 𝛾𝑀(ℎ − 0)
ℎ =
𝑃𝑎
𝛾𝑀
• Ao nível do mar, com Pa = 101.350
Pa e γM = 133.100 N/m³ .
• A altura barométrica é:
h = (101.350/133.100) = h = 0,761 m
ou 761 mm.
• Os gases são compressíveis, com a densidade aproximadamente proporcional à
pressão, assim a massa específica deve ser considerada uma variável na
equação.
• Se integração abranger grandes variações de pressão, é preciso introduzir a Lei
dos Gases Perfeitos na equação:
𝑑𝑃
𝑑𝑧
= −𝜌𝑔 ⇒
𝑑𝑃
𝑑𝑧
= −
𝑃
𝑅𝑇
𝑔
න
1
2𝑑𝑃
𝑃
= ln
𝑃2
𝑃1
⇒න
1
2𝑑𝑃
𝑃
= −
𝑔
𝑅
න
1
2𝑑𝑧
𝑇
Pressão Hidrostática nos Gases
𝑃2 = 𝑃1 exp −
𝑔(𝑧2 − 𝑧1
𝑅𝑇0
• A integral em z requer uma hipótese sobre a variação de temperatura T(z),
dessa forma, é preciso introduzir uma aproximação em que a atmosfera é
isotérmica (T=T0):
• Na realidade a temperatura atmosférica média da Terra decresce quase
linearmente com o aumento de z até uma altitude de aproximadamente
11.000 m.
Pressão Hidrostática nos Gases
𝑇 ≈ 𝑇0 −𝐵𝑧
• T0 é a temperatura ao nível do mar (absoluta) e B é a taxa de declínio, ambas
variando um pouco de um dia para outro. B=0,00650 K/m. R=287 m²/(s².K).
𝑃 = 𝑃𝑎 1 −
𝐵𝑧
𝑇0
𝑔
𝑅𝐵
𝑔
𝑅𝐵
= 5,26 (𝑎𝑟)𝑃 = 𝑃𝑎
𝑇
𝑇0
𝑔
𝑅𝐵
A máxima capacidade de fornecimento de potência de um motor
de combustão interna decresce com a altitude, porque a massa
específica do ar e, portanto, a vazão mássica de ar decresce. Um
caminhão parte de Denver nos EUA (elevação de 1.610 m) em um
dia em que a temperatura e a pressão barométrica são,
respectivamente, 27 °C e 630 mm de mercúrio. Ele passa pelo
Colorado (elevação de 3.230 m), onde a temperatura é de 17 °C.
Determine a pressão barométrica no Colorado e a variação
percentual na massa específica do ar entre as duas cidades.
EXERCÍCIO PROPOSTO 1:
Dados:
Caminhão trafega de Denver para 
o Colorado.
Denver:
z = 1.610 m
P=630 mm Hg
T=27 °C
Dados:
Caminhão trafega de Denver para 
o Colorado.
Colorado
z=3.230 m
T=17 °C
• Lei de Pascal: uma consequência da pressão de um fluido permanecer
constante na direção horizontal é que a pressão aplicada a um fluido
confinado aumenta a pressão em todo o fluido na mesma medida.
• As pressões nos pontos A, B, C, D, E, F Q G são iguais, uma vez que estão a
mesma profundidade, e interconectadas pelo mesmo fluido estático, contudoas pressões nos pontos H e I não são iguais.
Aplicações da Manometria
• Dois cilindros hidráulicos com áreas diferentes
poderiam estar conectados, e que o maior
poderia exercer uma força proporcionalmente
maior do que aquela aplicada ao menor.
• A chamada “máquina de Pascal” tem sido a
fonte de muitas invenções parte do nosso dia-
a-dia, como os freios e os elevadores
hidráulicos, é isso que nos permite elevar um
automóvel facilmente com um braço.
• Observando que P1 = P2, já que ambos os
pistões estão no mesmo nível (o efeito das
pequenas diferenças de altura é desprezível,
particularmente a altas pressões), a relação
entre a força de saída e a força de entrada é
dada por:
𝑃1 = 𝑃2
𝐹1
𝐴1
=
𝐹2
𝐴2
𝐹2
𝐹1
=
𝐴2
𝐴1
Aplicações da Manometria 
Aplicações da Manometria
𝑃5 − 𝑃1 = −𝛾0 𝑧2 − 𝑧1 − 𝛾𝐴 𝑧3 − 𝑧2 − 𝛾𝐺 𝑧4 − 𝑧3 − 𝛾𝑀 𝑧5 − 𝑧4
• Pela fórmula hidrostática uma variação na elevação (z2 – z1) de um líquido é
equivalente a uma variação de pressão (P2 – P1)/γ.
• Dessa maneira, uma coluna estática de um ou mais líquidos ou gases pode
ser usada para medir diferenças de pressão entre dois pontos (manômetro).
𝑃5 = 𝑃1 + 𝛾0 𝑧1 − 𝑧2 + 𝛾𝐴 𝑧2 − 𝑧3 + 𝛾𝐺 𝑧3 − 𝑧4 + 𝛾𝑀 𝑧4 − 𝑧5
𝜟𝑷 = 𝒈෍
𝒊
𝝆𝒊 𝒉𝒊
Aplicações da Manometria
𝑃𝐴 + 𝛾1 𝑧𝐴 − 𝑧1 − 𝛾2 𝑧1 − 𝑧2 = 𝑃2 ≈ 𝑃𝑎𝑡𝑚
• Dois pontos quaisquer à mesma elevação, em uma
massa contínua do mesmo fluido estático, estarão à
mesma pressão.
𝜟𝑷 = 𝒈෍
𝒊
𝝆𝒊 𝒉𝒊
Manômetro de Tubo em U
𝑃𝐴 − 𝑃𝐵 = 𝑃𝐴 − 𝑃1 + 𝑃1 − 𝑃2 + 𝑃2 − 𝑃3 + (𝑃3 − 𝑃𝐵)
𝑃𝐴 − 𝑃𝐵 = −𝛾1 𝑧𝐴 − 𝑧1 −𝛾2 𝑧1 − 𝑧2 − 𝛾3 𝑧2 − 𝑧3 − 𝛾4 𝑧3 − 𝑧𝐵
𝜟𝑷 = 𝒈෍
𝒊
𝝆𝒊 𝒉𝒊
Manômetro de Tubo em U
Manômetro de Tubo Inclinado
𝜟𝑷 = 𝒈෍
𝒊
𝝆𝒊 𝒉𝒊
Δ𝑃 = 𝑃1 − 𝑃2 ⇒ Δ𝑃 = 𝜌𝑙𝑔(ℎ1 + ℎ2)
𝜋𝐷2
4
ℎ1 =
𝜋𝑑2𝐿
4
⇒ ℎ1 = 𝐿
𝑑
𝐷
2
Δ𝑃 = 𝜌𝑙𝑔 𝐿 sin 𝜃 + 𝐿
𝑑
𝐷
2
⇒ Δ𝑃 = 𝜌𝑙𝑔𝐿 sin 𝜃 +
𝑑
𝐷
2
𝐿 =
Δ𝑃
𝜌𝑙𝑔 sin 𝜃 +
𝑑
𝐷
2
ℎ =
Δ𝑃
𝜌𝑔
𝑠 =
𝐿
ℎ
⇒ 𝑠 =
1
𝑑𝑙 sin 𝜃 +
𝑑
𝐷
2
• Sensibilidade do manômetro: para aumentar a sensibilidade do manômetro os
parâmetros: dl, sen θ e (d/D) devem ser tão pequenos quanto possível. Portanto, o
projetista do aparelho deve escolher um líquido manométrico e de dois parâmetros
geométricos.
Manômetro de Tubo Inclinado
Manômetro de Tubo Inclinado
Água escoa no interior dos tubos A e B. Óleo lubrificante está na
parte superior do tubo em U invertido. Mercúrio está na parte
inferior dos dois tubos em U. Determine a diferença de pressão
(PA–PB ) em KPa.
EXERCÍCIO PROPOSTO 2:
1 polegada (1”) = 2,54 cm.
Densidade da água = 1,00
Densidade do mercúrio = 13,6
Densidade do óleo = 0,88
Sistemas Hidráulicos
Forças Hidrostáticas sobre 
Superfícies Submersas 
• Os sistemas hidráulicos são caracterizados por pressões muito elevadas, de
modo que as variações de pressão hidrostática podem ser frequentemente
desprezadas.
• Os freios hidráulicos automotivos desenvolvem pressões de até 10 MPa (100
bar).
• Sistemas de atuação hidráulica de aviões e máquinas são frequentemente
projetados para pressões de até 40 MPa (400 bar) e os macacos hidráulicos
usam pressões de até 70 MPa (700 bar).
• Equipamentos de testes de laboratório para tarefas especiais podem atingir
1.000 MPa (10.000 bar).
• Embora os líquidos são geralmente considerados incompressíveis sob
pressões ordinárias, variações em suas massas específicas podem ser
apreciáveis sob pressões elevadas.
• Os módulos de compressibilidade de fluidos hidráulicos sob pressões
elevadas também podem apresentar variações acentuadas.
Sistemas Hidráulicos
• Uma placa exposta a um líquido, como um distribuidor em uma represa, a 
parede de um tanque de armazenamento de líquido e o casco de um navio em 
repouso, estão sujeitos à pressão dos fluidos distribuída sobre sua superfície.
• Em uma superfície plana, as forças hidrostáticas formam um sistema de forças 
paralelas, e com frequência é preciso determinar a intensidade da força e seu 
ponto de aplicação (CENTRO DE PRESSÃO).
Sistemas Hidráulicos
Sistemas Hidráulicos
• Considerando uma barragem de água, um lado está preenchido com água,
e o outro lado do barramento está aberto para a atmosfera, e por isso, a
pressão atmosférica age em ambos os lados do barramento, produzindo
uma resultante nula (caso contrário a barragem iria desmoronar!).
• É conveniente subtrair a pressão atmosférica e trabalhar apenas com a
pressão manométrica, por exemplo, Pman = ρgh na parte inferior do
reservatório.
• Problema da Placa Plana: o plano dessa superfície cruza a superfície livre
horizontal com um ângulo θ, e considera-se a reta de intersecção com o
eixo x.
• A pressão absoluta acima do líquido é P0, que é a pressão atmosférica
local (Patm), se o líquido está aberto para a atmosfera (mas P0 pode ser
diferente de Patm, se o espaço acima do líquido for evacuado ou
pressurizado.
Sistemas Hidráulicos
Sistemas Hidráulicos
𝑃 = 𝑃0 + 𝜌𝑔ℎ ⇒ 𝑃 = 𝑃0 + 𝜌𝑔𝑦 sin 𝜃
𝐹𝑅 = න
𝐴
𝑃𝑑𝐴 ⇒ 𝐹𝑅 = න
𝐴
𝑃0 + 𝜌𝑔𝑦 sin 𝜃 𝑑𝐴
𝐹𝑅 = 𝑃0𝐴 + 𝜌𝑔 sin𝜃න
𝐴
𝑦𝑑𝐴
(a) Pressão atmosférica 
considerada
(b) Pressão atmosférica 
subtraída
• h é a distância vertical entre o ponto e a
superfície livre e y é a distância entre o
ponto e o eixo x .
• A força hidrostática FR resultante que age
sobre a superfície é determinada pela
integração da força PdA que age em uma
área diferencial dA em toda a área da
superfície.
𝑦𝐶 =
1
𝐴
න
𝐴
𝑦𝑑𝐴
𝑑𝐹 = 𝑃𝑑𝐴
• A força resultante que atua sobre uma superfície é encontrada
somando-se as contribuições das forças infinitesimais sobre toda a área
analisada.
• Quando forças são somadas deve-se empregar a soma vetorial (soma
de vetores), entretanto todas as forças infinitesimais são
perpendiculares ao plano, portanto a força resultante também será
perpendicular ao plano.
𝑑𝐴 = 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑑𝐹 = 𝑃𝑑𝐴
𝐹𝑅 = න
𝐴
𝑃𝑑𝐴
Força Hidrostática sobre uma superfície plana Submersa
• Para avaliar a integral, tanto a pressão P quanto o elemento de
área dA devem ser expressos em termos das mesmas variáveis,
portanto, pode-se expressar a pressão P em uma profundidade
h do líquido como:
𝑃 = 𝑃0 + 𝜌𝑔ℎ
• Nesta expressão, P0 é a pressão na superfície livre (h = 0). Dessa 
maneira, da geometria do sistema, é possível ver que h = y senθ. 
𝐹𝑅 = න
𝐴
𝑃𝑑𝐴 ⟹ 𝐹𝑅 = න
𝐴
𝑃0 + 𝜌𝑔ℎ 𝑑𝐴
𝐹𝑅 = න
𝐴
𝑃0 + 𝜌𝑔𝑦 sin 𝜃 𝑑𝐴 ⟹ 𝐹𝑅 = 𝑃0න
𝐴
𝑑𝐴 + 𝜌𝑔 sin 𝜃න
𝐴
𝑦𝑑𝐴
𝑦𝐶 =
1
𝐴
න
𝐴
𝑦𝑑𝐴 𝒚C é o centróide da área.
Força Hidrostática sobre uma Superfície Plana 
Submersa
Força Hidrostática sobre uma Superfície Plana 
Submersa
A determinação do Ponto de Aplicação da Força Resultante é
uma Tarefa para a Próxima Aula!!!!!!!!
FIM