01 - Física Geral 2 - Gravitação

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Disciplina Física Geral II -
Teoria
Prof. Dr. Diorge de Souza Lima
diorgelima@unifesspa.edu.br 
Conteúdo: Gravitação
1. A Lei da Gravitação de Newton;
2. Princípio da Superposição;
3. Aceleração Gravitacional;
4. Energia Potencial gravitacional;
5. Velocidade de Escape;
6. Leis de Kepler.
AGENDA
▪ Um dos objetivos da física é
compreender a força gravitacional, a
força que nos mantém na superfície da
Terra, que mantém a Lua em órbita em
torno da Terra e que mantém a Terra
em órbita em torno do Sol.
▪ A Lei da Gravitação de Newton é
utilizada para calcular o módulo da
tração gravitacional existente entre dois
corpos dotado de massa.
▪ A força gravitacional é sempre atrativa
e age na direção de uma linha
imaginária que liga dois corpos.
▪ Gravitação: todos os corpos do
universo se atraem mutuamente.
A Lei da Gravitação de Newton
▪ A força que atua sobre nós na Terra.
▪ Intensidade de força adequada: não é tão grande (conseguimos andar
normalmente) e nem é tão pequena (não batemos a cabeça no teto
devido a baixa força da gravidade);
▪ A força não é suficientemente grande para que tenha atração
mutuamente entre pessoas ou mesmo atração a outros objetos.
▪ A tração gravitacional depende claramente da “quantidade de matéria” e
produz uma grande atração.
▪ A Terra possui uma grande “quantidade de matéria”, por isso produz uma
grande atração. Já uma pessoa possui uma “quantidade de matéria”
relativamente pequena e por isso que não atrai outras pessoas.
▪ A força exercida por essa “quantidade de matéria” é sempre atrativa (não
existe o que se poderia chamar de força gravitacional repulsiva).
A Lei da Gravitação de Newton
▪ A Lei da gravitação de Newton para duas partículas (corpos de tamanho
desprezível), sendo as massas das partículas m1 e m2, estando separadas
por uma distância r, o módulo da força de atração que uma exerce sobre a
outra é dada:
▪ Onde G é uma constante conhecida como constante gravitacional:
A Lei da Gravitação de Newton
1 2
2
m m
F G
r
=
11 2 2 3 26,67 10 [ / ] [ / ]G N m kg ou m kg s−=   
▪ A Lei da gravitação de Newton para duas partículas (corpos de tamanho
desprezível), sendo as massas das partículas m1 e m2, estando separadas
por uma distância r, o módulo da força de atração que uma exerce sobre a
outra é dada:
▪ A força gravitacional que a partícula 1 exerce sobre a 2 tem o mesmo
módulo que a partícula 2 exerce sobre a 1 (sentido oposto).
A Lei da Gravitação de Newton
1 2
2
m m
F G
r
=
1 2
2
ˆ
m m
F G r
r
=
▪ Embora a lei da Gravitação de Newton se aplica
estritamente a partículas (podemos aplicar a objetos
reais, desde que os tamanhos sejam pequenos em
comparação com a distância entre eles).
▪ A Lua e a Terra estão suficientemente distantes uma
da outra para que, com boa aproximação, possam
ser tratadas como partículas.
▪ Já no caso de uma maçã e a Terra. Do ponto de vista
da maça, a Terra extensa e plana, que vai até o
horizonte, certamente não se parece como uma
partícula.
▪ Para isso, podemos utilizar o teorema das cascas, uma
casca esférica homogênea de matéria atrai uma
partícula que se encontra fora da casca como se toda a
massa da casca estivesse concentrada no centro.
A Lei da Gravitação de Newton
▪ Para um conjunto de partículas, podemos determinar a força gravitacional,
a que uma das partículas está submetida devido à presença das outras,
usando o princípio da superposição.
▪ No caso de n partículas, a aplicação do princípio da superposição às forças
gravitacionais que agem sobre a partícula 1 permite escrever:
▪ De forma mais compacta, podemos reescrever:
▪ Outra forma, podemos dividir o objeto de dimensões finitas em partes
infinitesimais de massa (dm); cada uma delas exerce uma força
infinitesimal (dF) sobre a partícula. Assim, temos:
Gravitação e o Princípio da Superposição
1, 12 13 14 1...res nF F F F F= + + + +
1, 1,
2
n
res i
i
F F
=
=
1F dF= 
▪ Exemplo 1: A Figura mostra um arranjo de três partículas:
▪ Partícula 1, massa m1 = 6,0 kg;
▪ Partícula 2 e 3 de massas m2 = m3 = 4,0 kg; distância a = 2,0 cm. Qual
a força gravitacional resultante que as outras partículas exercem sobre
a partícula 1?
Gravitação e o Princípio da Superposição
▪ Supondo que a Terra é uma esfera homogênea de
massa M.
▪ O módulo da força gravitacional que a Terra exerce
sobre uma partícula de massa m, localizada fora da
Terra a uma distância r do centro da Terra é:
▪ Se a partícula é liberada, ela cai em direção ao centro
da Terra, em consequência da força gravitacional (F)
com uma aceleração (ag) que é chamada de
aceleração da gravidade.
▪ De acordo com a segunda lei de Newton, temos:
Gravitação Perto da Superfície da Terra
2
M m
F G
r
=
gF m a=
2g
G M
a
r
=
Gravitação Perto da Superfície da Terra
2
M m
F G
r
=
gF m a=
2g
G M
a
r
=
▪ Exemplo 2: Uma astronauta cuja altura h é 1,70m flutua “com os pés para
baixo” em um ônibus espacial em órbita a uma distância r = 6,77 × 106 m
do centro da Terra. MT = 5,98×10
24 kg.
a) Qual é a diferença entre a aceleração gravitacional dos pés e a
aceleração da cabeça da astronauta?
b) Se a mesma astronauta está “de pés para baixo” em uma nave espacial
em órbita com o mesmo raio r = 6,77×106m em torno de um buraco
negro de massa Mb = 1,99 ×10
31kg (10 vezes a massado Sol), qual é a
diferença entre a aceleração gravitacional dos pés e da cabeça?
Gravitação Perto da Superfície da Terra
▪ Teoria das cascas: uma casca homogênea de matéria não exerce força
gravitacional sobre uma partícula localizada no interior da casca.
▪ Se a massa da Terra fosse uniformemente distribuída, a força gravitacional
que age sobre a partícula seria máxima na superfície da Terra e diminuiria
à medida que a partícula se movesse para fora, afastando-se do planeta.
▪ Se a partícula movesse para o interior da Terra, a força gravitacional
mudaria, tenderia a aumentar porque a partícula estaria se aproximando ao
centro da Terra.
▪ Supondo que a massa da terra
está uniformemente distribuída.
A Gravitação no Interior da Terra
int
2
m M
F G
r
=
int
int
total
total
M M
V V
 = =
int
3 34 4
3 3
totalM M
r R

 
= =
3 3
int 3
4
3
totalMM r r
R
 = =
▪ Vamos considerar a energia potencial U de duas partículas de massas m e
M, separadas por uma distância r.
▪ A energia potencial diminui quando a distância aumenta.
▪ Logo, a energia potencial é negativa para qualquer distância finita e se
torna progressivamente mais negativa à medida que as partículas se
aproximam:
Energia Potencial Gravitacional
GM m
U
r
=−
1 3 2 31 2
12 13 23
G m m G m mG m m
U
r r r
 
=− + + 
 
( )
R
W F r d r

= 
Velocidade de Escape
▪ Quando lançamos um projétil para cima, normalmente
ele diminui de velocidade, para momentaneamente e cai
de volta na Terra.
▪ Para velocidades maiores que certo valor, porém, o
projétil continua a subir indefinidamente e sua
velocidade somente se anula (pelo menos na teoria) a
uma distância infinita da Terra.
▪ O menor valor da velocidade para que isso ocorra é
chamado de velocidade de escape (da Terra).
▪ Note que v não depende da direção em que o projétil é
lançado.
▪ No entanto, é mais fácil atingir essa velocidade se o
projétil for lançada na direção para a qual o local de
lançamento está se movendo por causa da rotação do
planeta.
Energia Potencial Gravitacional
21 0
2
K U
G M m
mv
R
+
 
+ − = 
 
2G M
v
R
=
Energia Potencial Gravitacional
Velocidade de Escape
Energia Potencial Gravitacional
Exemplo 3: Um asteroide, em rota de colisão com a Terra, tem uma
velocidade de 12 km/s em relação ao planeta quando está a uma distância
de 10 raios terrestres do centro da Terra. Desprezando os efeitos da
atmosfera sobre o asteroide, determine a velocidade do asteroide, vf, ao
atingir a superfície da Terra.
▪ Após a realização de estudos, Kepler compilou uma grande quantidade
de dados e foi capaz de deduzir as leis do movimentoplanetário (que
hoje levam o seu nome).
▪ Posteriormente, Newton mostrou que as leis de Kepler são uma
consequência da sua lei da Gravitação.
▪ 1ª Lei - LEI DAS ÓRBITAS: todos os planetas se movem em
órbitas elípticas, com o Sol em um dos focos.
▪ 2ª Lei - LEI DAS ÁREAS: a reta que liga um planeta ao Sol varre
áreas iguais no plano da órbita do planeta em intervalos de tempo
iguais (a taxa de variação dA/dt da área A com o tempo é constante).
▪ 3ª Lei - LEI DOS PERÍODOS: o quadrado dos períodos de
qualquer planeta é proporcional ao cubo do semieixo maior da
órbita.
As Leis de Kepler
▪ 1ª Lei - LEI DAS ÓRBITAS: todos os
planetas se movem em órbitas elípticas, com
o Sol em um dos focos.
▪ A trajetória de planetas ao redor do Sol ou a
trajetória de satélites ao redor de planetas
possui formato elíptico (oval) e o corpo que
está sendo orbitado ocupa um dos focos da
elipse.
▪ A distância do periélio Rp (ponto mais
próximo do Sol);
▪ A distância do afélio Ra (ponto mais afastado
do Sol);
▪ e – excentricidade;
▪ a – semieixo maior da elipse;
As Leis de Kepler
▪ 2ª Lei - LEI DAS ÁREAS: a reta que liga um
planeta ao Sol varre áreas iguais no plano da
órbita do planeta em intervalos de tempo iguais
(a taxa de variação dA/dt da área A com o tempo
é constante).
▪ Desta forma, o planeta se move mais lento
quando está mais distante do Sol e mais rápido
quando está próximo quando está próximo do
Sol.
▪ Logo, o segmento de reta traçado do Sol a
qualquer planeta descreve áreas iguais em tempos
iguais.
As Leis de Kepler
As Leis de Kepler
A1A2
1 2
1 2
A A
t t
=
 
p av v
▪ A velocidade escalar no periélio é maior que no afélio.
▪ 3ª Lei - LEI DOS PERÍODOS: o quadrado dos
períodos de qualquer planeta é proporcional ao
cubo do semieixo maior da órbita.
▪ Aplicando a 2ª Lei de Newton, temos:
As Leis de Kepler
▪ 3ª Lei - LEI DOS PERÍODOS: o quadrado dos
períodos de qualquer planeta é proporcional ao
cubo do semieixo maior da órbita.
▪ Aplicando a 2ª Lei de Newton, temos:
As Leis de Kepler
As Leis de Kepler
▪ Exemplo 4: O cometa de Halley gira em órbita em torno do Sol com um
período de 76 anos; em 1986, chegou à menor distância do Sol, a distância
do periélio Rp, que é 8,9×10
10m. A Tabela anterior mostra que essa
distância está entre as órbitas de Mercúrio e Vênus.
▪ (a) Qual é a maior distância do cometa ao Sol, que é chamada de distância
do afélio Ra?
As Leis de Kepler
Obrigado!
Prof. Dr. Diorge de Souza Lima
diorgelima@unifesspa.edu.br