Zeferino-1

Prévia do material em texto

Zeferino Ussene 
 
 
 
 
Licenciatura em Ensino de Matemática com Habilitações a Estatística 
 
 
 
 
Tema: 
Números e Materiais Manipuláveis para a Aprendizagem da Matemática 
 
 
 
 
 
0 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Púnguè 
Chimoio 
2022
Zeferino Ussene 
 
 
 
 
 
Licenciatura em Ensino de Matemática com Habilitações a Estatística 
 
 
Tema: 
Números e Materiais Manipuláveis para a Aprendizagem da Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Púnguè 
Chimoio 
2022 
Trabalho de carácter avaliativo da cadeira de 
Didáctica da Matemática 3, a ser 
submetido no Departamento de Ciências 
Exactas e Tecnologia sob orientação do dr. 
José Mandando Chongora 
Índice 
Introdução.................................................................................................................................... 4 
Objectivos.................................................................................................................................... 4 
Objectivo geral ............................................................................................................................ 4 
Objectivos específicos ................................................................................................................. 4 
Metodologia ................................................................................................................................ 4 
Números ...................................................................................................................................... 5 
Conjuntos numéricos ................................................................................................................... 5 
Conjunto dos números complexos (C) ........................................................................................ 7 
Materiais didáticos manipuláveis na operação de números inteiros e seu funcionamento ......... 9 
Resumo dos conteúdos do livro da 8ª classe ............................................................................. 11 
Conclusão .................................................................................................................................. 16 
Referências ................................................................................................................................ 17 
 
4 
 
Introdução 
O conceito de número, então, acompanha o desenvolvimento da humanidade, e hoje os números 
são representados pelos símbolos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} em nossa sociedade, mas existiram 
vários outros sistemas de numeração. Os números são elementos que dão base para a 
matemática e podem ser expressos por som, em nossa fala, ou pela escrita. 
 
Objectivos 
Objectivo geral 
 Conhecer números e materiais manipuláveis na matemática. 
 
Objectivos específicos 
 Explicar dando exemplos concreto de seguintes conceitos:número, número negativo e 
valor absoluto de um número. 
 Apresentar os Materiais manipuláveis serve para ajudar a construção de conhecimento 
e seu uso nas operações dos números inteiros e explicar o seu funcionamento. 
 Aapresentar com base no livro da 8ªclasse de Matemática, veja como é abordado o tema 
o número é faça resumo. 
1.2. Metodologia 
O presente trabalho trata-se de uma revisão bibliográfica, realizada a partir de pesquisas de 
materiais já existentes a respeito dos acima apresentados. Os dados coletados foram reunidos 
através da utilização de apostila e artigos científicos, além de livros, que mencionaram 
diretamente a temática abordada ou assuntos relacionados à mesma metodologia. 
5 
 
Números 
Os números são símbolos utilizados na Matemática para fazer a representação de quantidades, 
medidas ou ordem. No nosso dia a dia, é bastante comum utilizarmos “primeiro”, “segundo”, 
“terceiro” e assim sucessivamente para representar ordem, nesse caso com os números que 
conhecemos como ordinais. 
Usamos números também para expressar quantidade, sendo este o caso dos números cardinais. 
São inúmeras as situações de números que expressam quantidade, como, por exemplo, 3 irmãos, 
2 carros ou 5 panelas. Os números também são utilizados para representar medidas: 5 quilos, 2 
anos ou 3 meses. Nesse caso, utilizamos inclusive números decimais quando necessário (1,85 
metro, por exemplo). 
Atualmente, utilizamos os símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 para representar as quantidades 
em um sistema decimal posicional. O sistema é denominado decimal porque possui dez 
símbolos e posicional porque a posição de cada algarismo é importante na construção de um 
número. 
Conjuntos numéricos 
Durante o desenvolvimento da Matemática, surgiram os conjuntos numéricos. Assim como a 
ideia de número foi concebida para atender às necessidades do ser humano, seu avanço se deu 
de acordo com a evolução de nossa sociedade, tornando cada vez mais profundo nosso 
entendimento sobre os números. 
Os principais conjuntos numéricos são: 
 Conjunto dos números naturais; 
 Conjunto dos números inteiros; 
 Conjunto dos números racionais; 
 Conjunto dos números irracionais; 
 Conjunto dos números reais. 
 Conjunto dos números naturais (N) 
 
O primeiro conjunto numérico é o dos números naturais. Ele diz respeito aos números que 
utilizamos naturalmente para realizar contagens. Como foi possível, por meio dos números 
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/conjuntos-numericos.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/numeros-naturais.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/conjunto-dos-numeros-inteiros.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/conjunto-dos-racionais.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/numeros-irracionais.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/conjunto-dos-numeros-reais.htm
6 
 
naturais, desenvolver a noção de quantidade, estes foram os primeiros a serem inventados. O 
conjunto dos números naturais é composto por infinitos elementos. Vejamos a representação 
desse conjunto a seguir: 
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 … } 
 Conjunto dos números inteiros (Z) 
O segundo conjunto numérico é o dos números inteiros, que é uma ampliação do conjunto 
dos números naturais. Os números inteiros surgem a partir da necessidade de representação 
de grandezas negativas, como saldos, temperaturas, entre outras. Esse conjunto também é 
infinito, sendo que todo número natural é também um número inteiro. 
Z = {… – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3…} 
 Conjunto dos números racionais (Q) 
A partir da ampliação do conjunto dos números inteiros, se dá a formação do conjunto dos 
números racionais. Os números racionais são todos aqueles que podem ser 
representados como fração. Esse conjunto é composto por todos os números inteiros, os 
números decimais exatos e as dízimas periódicas. O conjunto surge para atender a necessidade 
de abarcar casos cujos resultados das divisões não são exatos. 
 
 
 Conjunto dos números irracionais (I) 
Diferentemente dos quadros citados, o conjunto dos números irracionais não é uma ampliação 
dos conjuntos anteriores. Durante a resolução de problemas envolvendo radiciação, foi 
possível perceber que a resposta de uma raiz não exata não é uma dízima periódica, e sim uma 
dízima não periódica. 
Ao encontrar as dízimas não periódicas, constatou-se que não é possível representá-las como 
frações, o que tornou necessária a criação de um novo conjunto. Esse conjunto é formado por 
todos os números que não podem ser representados como fração, sendo eles as dízimas não 
periódicas e as raízes não exatas. 
O conjunto dos números racionais e irracionais é disjunto, ou seja, não possui nenhum elemento 
em comum. Portanto, não existe um número que seja racional e irracional ao mesmo tempo. 
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/fracao.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/dizimas-periodicas.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/radiciacao.htm
7 
 
 Números reais (R)Para unir todos os números conhecidos em um único conjunto, surge, então, o conjunto dos 
números reais, que nada mais é que a união dos números racionais com os irracionais. 
 
Outros números 
 Conjunto dos números complexos (C) 
Com o avanço da Matemática, surgiu também o conjunto dos números complexos. O conjunto 
dos números complexos é uma nova ampliação do conjunto dos números reais. Nele, além 
dos números reais, estão representadas as raízes quadradas de números negativos. 
Sempre que estamos no inverno as temperaturas caem. Algumas cidades do Sul do Brasil 
chegam até mesmo a nevar. Quando isso acontece, a temperatura está menor do que zero. Em 
Urupema, cidade de Santa Catarina, a temperatura já chegou a atingir -6,8°C no ano de 2013. 
Dessa vez será uma perguntinha rápida: “Você tem R$ 5,00 reais em sua carteira, perde uma 
aposta para seu amigo e fica devendo R$ 8,00 para ele. Após pagar a aposta, qual será sua 
situação?” Nesse caso, se você pagar os R$ 5,00 reais ao seu amigo, ainda ficará devendo R$ 
3,00 a ele. Podemos dizer que seu saldo é de – 3 reais. 
Os números negativos que citamos, assim como todos os outros existentes, pertencem a 
um conjunto numérico muito especial chamado Conjunto dos Números Inteiros, que pode ser 
representado pela letra . Os números inteiros são formados pelos números naturais e também 
pelos números negativos, além do zero, que não possui sinal. Podemos representar esse 
conjunto numérico da seguinte forma: 
 = {…, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …}. 
Esse conjunto é dito infinito positivamente e infinito negativamente, pois possui infinitos 
números positivos e negativos. Outra forma de visualizar os números negativos é através da 
reta numérica, pois ela consegue organizá-los de forma eficiente, além do fato de que a reta dá-
nos a ideia de infinidade. Na reta numérica, à direita do zero, ficam os números naturais 
(positivos) e, à esquerda do zero, ficam os números negativos: 
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/conjunto-dos-numeros-complexos.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/raiz-quadrada-um-numero-negativo.htm
https://escolakids.uol.com.br/conjuntos-numericos.htm
8 
 
 
Representando os números inteiros através da reta numérica 
Há algumas situações em que não é adequado utilizar todos os números inteiros. Para esses 
casos, temos alguns conjuntos numéricos especiais e suas representações: 
Conjunto dos Números Inteiros não nulos (sem o zero) 
* = {…, – 3, – 2, – 1, 1, 2, 3, …}. 
Conjunto dos Números Inteiros não negativos (zero e números positivos) 
+ = {0, 1, 2, 3, …}. 
Conjunto dos Números Inteiros positivos (apenas números maiores que zero) 
*+ = { 1, 2, 3, …}. 
Conjunto dos Números Inteiros não positivos (zero e números negativos) 
– = {…, – 3, – 2, – 1, 0}. 
Conjunto dos Números Inteiros negativos (apenas números menores que o zero) 
*– = {…, – 3, – 2, – 1}. 
Definição de módulo de um número real 
Podemos dizer que módulo é o mesmo que distância de um número real ao número zero, pois 
o módulo de número real surgiu da necessidade de medir a distância de um número negativo 
ao zero. 
Ao medirmos a distância de um número negativo qualquer ao zero percebe-se que a distância 
fica negativa e como não é usual dizer que uma distância ou comprimento é negativo foi 
criado o módulo de número real que torna o valor positivo ou nulo. 
 
Assim, podemos dizer que o módulo de um número real irá seguir duas opções: 
• O módulo ou valor absoluto de um número real é o próprio número, se ele for positivo. 
• O módulo ou valor absoluto de um número real será o seu simétrico, se ele for negativo. 
 
A representação de um módulo ou valor absoluto de um número real é feito por duas 
9 
 
barras paralelas. 
 
Veja o resumo da definição de módulo de um número real abaixo: 
|x| = x, se x ≥ 0 
-x, se x < 0 
Veja alguns exemplos de como calcular módulo ou valor absoluto de números reais. 
• |+4| = 4 
• |-3| = - (-3) = 3 
• |10 – 6 | = |+4| = 4 
• |-1 – 3| = |-4| = - (-4) = 4 
• |-1| + |5| - |6| = -(-1) + 5 – 6 = 1 + 5 - 6 = 6 – 6 = 0 
• - | -8| = -[-(-8)] = - 8 
 
Materiais didáticos manipuláveis na operação de números inteiros e seu funcionamento 
Geoplano Circular I 
Tabuleiro de madeira aglomerado, formato quadrado, que dá uma idéia de plano, contendo 49 
pinos de madeira ou pregos que dão uma idéia de ponto, distribuídos sobre duas circunferências 
concêntricas divididas em 24 arcos congruentes. Como material de apoio, utiliza-se elásticos 
coloridos para representar figuras inscritas e circunscritas 
 
Fig 1. Geoplano Circular I 
Geoplano Circular II 
Tabuleiro de madeira aglomerada, formato quadrado que dá a idéia de plano, com 49 pinos de 
madeira ou prego que dão uma idéia de ponto, distribuídos sobre 4 circunferências concêntricas 
divididas em 12 arcos congruentes. 
10 
 
Como material de apoio, utiliza-se elásticos coloridos. 
 
Fig 1. Geoplano Circular II 
Geoplano quadrado I 
Tabuleiro de madeira aglomerado, de formato quadrado, que dá a idéia de plano, com 49 pinos 
de madeira ou pregos que dão a idéia de pontos, distribuídos sobre um quadrado paralelo às 
bordas do tabuleiro. Como material de apoio, utiliza-se lãs e ou elásticos coloridos para 
representar linhas e retas. 
 
Fig 1. Geoplano quadrado I 
 
Geoplano Quadrado II 
Tabuleiro feito de “eucatex” perfurado, formato quadrado, que dá a idéia de plano; os furos dão 
a idéia de ponto. Como material de apoio, utiliza-se lãs coloridas para representar linhas e retas. 
 Fig 1. Geoplano quadrado II 
11 
 
Geoplano Espacial 
Dois geoplanos quadrados II, confeccionados em Eucatex perfurado, que dão uma idéia dos 
planos que contêm as bases e vértices de um polígono, fixos por quatro hastes paralelas. Os 
furos dão idéia de pontos e vértices. Como material de apoio, utiliza-se lãs coloridas para 
representar as retas suportes das arestas. 
 
Fig 1. Geoplano Espacial 
 
Os geoplanos quadrados e circulares trabalharam também em duplas na construção das 
seguintes formas geométricas: quadrado, retângulo, paralelogramo, triângulo, trapézio, 
hexágono e losango, utilizando fios de lã coloridas e deduzindo as fórmulas de suas respectivas 
áreas. 
 
Resumo dos conteúdos do livro da 8ª classe 
1. Números Inteiros Relativos 
Conjunto dos números inteiros relativos é o conjunto formado pelos números negativos, o zero 
e os números positivos. Este conjunto é representado pela letra ℤ 
* = {…, – 3, – 2, – 1, 1, 2, 3, …}. 
O símbolo tem origem na palavra alemã “zählbar", que significa contável. 
 
Números simétricos 
Dois números que estejam representados na recta numérica e que se encontrem à mesma 
distância da origem dizem-se simétricos: 
 O número zero é simétrico de si próprio; 
12 
 
 O simétrico de +2 é –2; 
 O simétrico de –1 é +1. 
 
Valor absoluto de um número 
O valor absoluto ou módulo de um número n é a distância desse número ao zero na recta 
numérica e representa-se por |n|. 
 O valor absoluto de 2 é 2, isto é, |2|=2 
 O valor absoluto de –4 é 4, isto é, |−4|=4. 
Nota: Dois números simétricos têm o mesmo valor absoluto 
 
Operações em Z 
Regras operatórias 
Para adicionar dois números inteiros relativos com o mesmo sinal, mantém-se o sinal e 
adicionam-se os valores absolutos das parcelas. 
Exemplos: 
 
Para adicionar números inteiros relativos com sinais contrários não simétricos, dá-se o sinal do 
número com maior valor absoluto e subtraem-se os valores absolutos das parcelas. 
Exemplos: 
 
A soma de dois números simétricos é zero. 
Exemplos: 
 
Para subtrair dois números inteiros relativos, adiciona-se ao aditivo o simétrico do subtractivo. 
13 
 
Exemplos: 
 
1.4. Propriedades da adição 
1.4.1 Propriedade comutativa da adição 
Considera os cálculos: 
 
Repara que, em cada uma das adições, a soma mantém-se independentemente da ordem das 
parcelas. 
 
1.4.2. Propriedade Associativa da adiçãoConsidera os cálculos: 
 
Repara que, em cada adição sucessiva, a soma mantém-se independentemente da ordem da 
adição das parcelas. 
Esta propriedade designa-se por propriedade associativa da adição: 
 
 
1.4.3. Existência do elemento neutro 
Considera os cálculos: 
 
14 
 
Repara que, em cada uma das adições, a soma é igual ao valor da parcela não nula. Diz-se que 
zero é o elemento neutro da adição. 
 
 
1.4.4. Existência do elemento simétrico 
Considera os cálculos: 
 
Repara que, em cada uma das adições, a soma é nula. 
 
 
1.5. Multiplicação em Z 
O produto entre dois números inteiros será: 
Positivo: Se ambos os números forem positivos ou se ambos os números forem negativos; 
Negativo: Se um dos números for negativo e o outro positivo. 
Exemplos: 
 2 × 5 = 10 
 (−2) × 5 = −10 
 (−4) × (−4) = 16 
 4 × (−4) = −16 
 
 
1.6. Divisão em Z 
A divisão é a operação inversa da multiplicação, por isso as regras dos sinais são as mesmas. 
Observa os exemplos seguintes: 
15 
 
 
 
16 
 
Conclusão 
A concepção de material manipulável engloba dois tipos de material: o material Estruturado e 
o material não estruturado. Ambos os materiais deverão fazer parte da Aprendizagem como 
meio de facilitar a compreensão dos conceitos e das ideias matemáticas. 
Não corporizou estruturas matemáticas, e que não foi idealizado para transparecer um conceito 
Matemático, não apresentando, por isso, uma determinada função, dependendo o seu uso da 
Criatividade do professor”. Este tipo de material pode ser utilizado pela criança, estando à sua 
 
 
 
 
17 
 
Referências 
 MARANHÃO, Maria Cristina Souza de Albuquerque. Matemática. São Paulo, Cortez, 
1994. 
 PONTE, J. P. Investigações matemáticas em Portugal. Investigar em Educação, 2, p. 
93-169, 2003. 
 RODRIGUES, J. M. S. O uso de materiais manipuláveis no entendimento de alunos de 
pedagogia: estudos de espaço e forma. Anais VI CONEDU... Campinas Grande: 
Realize Editora, 2019.