Teoria_Estruturas_II_Aula2

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Teoria de Estruturas II
Prof. Marcelo Lopes Martins Borges
08/fevereiro/2015
Centro Universitário do Leste de Minas Gerais
UNILESTE
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Para aplicar o Método das Forças seleciona-se um conjunto de redundantes 
estáticas Xi cujas restrições são retiradas da estrutura hiperestática 
transformando-a em isostática.
O modelo isostático é denominado sistema principal e denotado por SP.
EXEMPLO de aplicação (SORIANO, página 76): viga de indeterminação estática 
igual a 2 (X1 e X2).
3 – Método das Forças
2º passo: escolha de um sistema isostático
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Alguns dos sistemas principais da viga hiperestática:
3 – Método das Forças
2º passo: escolha de um sistema isostático
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3 – Método das Forças
3º passo: coeficientes de flexibilidade
Selecionado um SP e os sentidos das redundantes estáticas, o próximo passo 
é determinar os coeficientes de flexibilidade (ou deslocamentos), ij , 
utilizando-se o método da força unitária.
onde: i varia de 1 até o número total de redundantes.
 j varia de 0 até o número total de redundantes.
 Ni , Mi , Vi e Ti = esforço normal, momento fletor, força corte, 
 momentor torçor, respectivamente.
Na equação acima foi desconsiderado os efeitos de temperatura, apoio 
elástico e deslocamento prescrito.
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3 – Método das Forças
4º passo: equações de compatibilidade
Adotando-se a notação ij para representar os deslocamentos, no exemplo da 
viga as reações dos apoios centrais são escolhidas como redundantes.
Escreve-se as equações de compatibilidade de deslocamentos da viga de 
indeterminação estática igual a 2:
onde: ij = deslocamentos.
 X1 e X2 : redundantes para as reações dos apoios centrais.
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3 – Método das Forças
4º passo: equações de compatibilidade
Exemplo da viga: as reações dos apoios centrais são escolhidas como 
redundantes.
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3 – Método das Forças
4º passo: equações de compatibilidade
Combinação linear de estados no MF:
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3 – Método das Forças
4º passo: equações de compatibilidade
Estado E: representa o estado da estrutura original.
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3 – Método das Forças
4º passo: equações de compatibilidade
Estado E0: quando se aplica ao SP o carregamento original 
“estado” Eo , referenciando-se os esforços e deslocamentos que 
ocorrem nesse sistema com esse carregamento.
i0 é o deslocamento do ponto da redundante estática notação Xi e em sua própria direção.
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3 – Método das Forças
4º passo: equações de compatibilidade
Estado Ej: quando se aplica ao SP uma força unitária no ponto e 
na direção da redundante Xj :
ij com j diferente de zero é igual ao deslocamento do ponto da redundante Xi e em sua direção.
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3 – Método das Forças
4º passo: equações de compatibilidade
As equações de compatibilidade de deslocamentos 
podem ser escritas na forma matricial: 
 = matriz de flexibilidade (coeficientes de flexibilidade);
X = vetor das redundantes estáticas;
 = vetor dos coeficientes de carga.
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3 – Método das Forças
5º passo: esforços finais
Uma vez que tenham sido determinadas as redundantes ( Xi ), os esforços e 
deslocamentos na estrutura original podem ser obtidos pela combinação 
linear:
E = esforço no sistema principal devido à aplicação do agente externo solicitante;
Ei = esforço no sistema principal devido à aplicação da redundante Xi ;
i = índice, varia de 1 até o número total de redundantes;
n = grau de hiperestaticidade da estrutura (gtotal).
Exemplo: n = 2, X1 = 55 , X2 = 55 , tem-se: 
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3 – Método das Forças
Resumo
1 – Grau de hiperestaticidade (redundantes estáticas).
2 – Escolha de um sistema estrutural isostático, denominado sistema principal, por retirada das restrições de um conjunto de redundantes estáticas da estrutura hiperestática. Essas redundantes são as incógnitas primárias a determinar.
3 – Cálculo dos coeficientes de flexibilidade e de carga.
4 – Montagem e resolução do sistema de equações de compatibilidade de deslocamentos para obtenção das referidas redundantes.
5 – Obtenção dos esforços finais.
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3 – Método das Forças
  método da força unitária
Os coeficientes de flexibilidade (ou deslocamentos), ij , podem 
ser determinados utilizando-se o método da força unitária.
O método da força unitária é essencial para o desenvolvimento 
do Método das Forças.
Objetiva determinar o deslocamento (no sentido generalizado), 
em determinada direção, de um ponto qualquer de uma 
estrutura em barras sob ações quaisquer.
								 Soriano.
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Por exemplo, para determinar o deslocamento  do pórtico plano 
representado a seguir, considera-se como novo caso de carregamento, na 
mesma estrutura, uma força unitária no ponto e direção do deslocamento 
desejado.
3 – Método das Forças
  método da força unitária