1_2_0_fluxo_caixa_juros_simples_compostos

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FLUXOS DE CAIXA, O CONCEITO DE 
JUROS E O QUE SIGNIFICAM JUROS 
SIMPLES E COMPOSTOS 
 
Ambiente 
Para efeitos didáticos, consideraremos o nosso ambiente como um ambiente onde não existem outros 
custos além dos especificamente mencionados. Em outras palavras, alguns custos só serão 
considerados nos exemplos e exercícios se forem explicitamente mencionados, tais como custos como 
reciprocidade exigida pelos bancos, custos devidos à exigência de saldos médios a serem mantidos 
nos bancos, custos devidos à compra “compulsória” de seguros empurradas pelos agentes financeiros, 
taxas de abertura de crédito, taxas de cadastro, imposto de renda, IOF, imposto sobre diversos, 
emolumentos e custos de transação, tais como comissões, inadimplências, falências e congelamentos. 
 
Definições 
Um real na mão hoje vale mais que um real a ser recebido daqui a um ano, pois, se tivermos um real 
hoje, podemos investi-lo e receber os juros desse investimento, de forma que, daqui a um ano, 
teremos mais de um real. Para exemplificar, suponha que você possua R$ 1.000 e tenha a 
oportunidade de investi-los no banco a uma taxa de juros de 10% ao ano. Quanto você teria ao final 
do ano? 
 
No nosso exemplo, temos: 
 
VP = 1.000 
 
 i = 10% a.a. 
 
 n = 1 
 
0 1 
 
 
VP =1.000 J = ? 
VF = ? 
 
J = VP x i = 1.000 x 10% = 1.000 x 0,10 = 100 
 
VF = VP + J = 1000 + 100 = 1.100 
 
 
 
 
2 
 
Podemos deduzir a fórmula do valor futuro (VF): 
 
VF = VP + VP x i 
 
VF = VP (1 + i) 
 
Aplicando a fórmula ao exemplo, temos: VF = 1000 (1 + 0,10) = 1.100 
 
Juros 
O conceito de juros pode ser entendido como: 
a) o dinheiro pago pelo uso do dinheiro emprestado, ou seja, o custo do capital de terceiros 
colocado à nossa disposição; 
b) a remuneração do capital empregado em atividades produtivas ou 
c) a remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicado. 
 
Os juros são fixados por meio de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de 
tempo: ano, semestre, trimestre, mês, dia, etc. 
 
Ex. 1: 12% ao ano = 12% a.a. 
 10% ao mês = 10% a.m. 
 
Ex. 2: Se você aplicar um capital de $ 10.000 a uma taxa de juros de 8% a.a., quanto receberá de 
juros ao final de um ano? 
 
8% de 10.000 = (8/100) x 10.000 = 0,08 x 10.000 = 800 
 
0 1 
 
 
VP =10.000 J = 800 
 
E se você aplicar esses mesmos $ 1.000 a juros compostos, com uma taxa de 10% ao ano, quanto 
terá em dois anos? 
 
Juros simples 
Os juros que incidem sobre um empréstimo são chamados de juros com capitalização simples se, a 
cada período que dura o empréstimo, os juros são calculados sempre em cima do valor inicial do 
empréstimo. Em outras palavras, sobre os juros não pagos não incide cobrança de juros. Nessa 
categoria, os juros de cada período são sempre calculados em função do capital inicial. 
 
 
 
 
 3
 
Considere, por exemplo, que um poupador tenha investido $ 1.000 em uma aplicação de renda fixa que 
lhe renderá juros simples à taxa de 10% a.a. Qual será o saldo dessa aplicação ao final de quatro anos? 
 
ano 
saldo no início do 
ano 
taxa de juros 
base de 
cálculo 
juros do 
período 
saldo final do ano 
1 $ 1.000 10% $ 1.000 $ 100 $ 1.100 
2 $ 1.100 10% $ 1.000 $ 100 $ 1.200 
3 $ 1.200 10% $ 1.000 $ 100 $ 1.300 
4 $ 1.300 10% $ 1.000 $ 100 $ 1.400 
 
Nesse caso, é importante entendermos que o banco sempre aplicou a taxa de juros de 10% a.a. sobre o 
capital inicial de $ 1.000 e nunca permitiu que o aplicador retirasse os juros de cada período. Dessa 
forma, apesar de os juros estarem à disposição do banco, eles nunca foram remunerados. Caso o banco 
permitisse ao aplicador a retirada dos juros, ainda que continuasse a não remunerar os juros 
remanescentes, o poupador passaria a ter uma entrada nova de capital por conta da eventual aplicação 
que pudesse fazer com os juros recebidos. Nesse caso, o poupador estaria recebendo 10% mais a taxa 
de remuneração sobre a aplicação dos juros, e esta não mais seria uma situação de juros simples. 
 
Exemplo 
Suponha que você tenha feito um empréstimo de $ 1.000 com 10% de juros ao ano. Os cálculos do 
valor dos juros e do principal a pagar serão os seguintes: 
 
valor dos juros por ano = valor da dívida x taxa de juros 
 
valor dos juros no final do ano 1 = 1.000 x 0,10 = 100 
 
valor do principal = 1.000 
 
O valor total a pagar para liquidar o empréstimo é o valor dos juros mais o valor do principal, ou seja: 
100 + 1.000 = 1.100. 
 
0 1 
 
 
VP =1.000 J = 100 
VF = 1.100 
 
E se você tivesse feito esse mesmo empréstimo por dois anos? Nesse caso, os cálculos do valor dos 
juros e do principal a pagar seriam os seguintes: 
 
valor dos juros por ano = valor da dívida x taxa de juros x número de anos 
 
valor dos juros no final do ano 1 = 1.000 x 0,1 x 2 = 200 
 
valor do principal = 1.000 
 
 
 
4 
 
O valor total a pagar para liquidar o empréstimo é o valor dos juros mais o valor do principal, ou seja: 
200 + 1.000 = 1.200. 
 
0 1 2 
 
 
VP =1.000 J = 100 
VF = 1.100 
J = 100 
VF = 1.200 
 
E se você tivesse feito esse mesmo empréstimo por três anos? Nesse caso, os cálculos do valor dos 
juros e do principal a pagar seriam os seguintes: 
 
valor dos juros por ano = valor da dívida x taxa de juros x número de anos 
 
valor dos juros no final do ano 1 = 1.000 x 0,1 x 3 = 300 
 
valor do principal = 1.000 
 
O valor total a o pagar para liquidar o empréstimo é o valor dos juros mais o valor do principal, ou 
seja: 300 + 1.000 = 1.300. 
 
0 1 2 3 
 
 
VP =1.000 J1 = 100 
VF1 = 1.100 
J2 = 100 
VF2 = 1.200 
J3 = 100 
VF3 = 1.300 
 
Fórmula geral: 
 
0 1 2 3 ...... n 
 
 
VP =1.000 J1 = 100 
VF1 = 1.100 
J2 = 100 
VF2 = 1.200 
J3 = 100 
VF3 = 1.300 
...... Jn = 100 
VFn = 1.300 
 
VF = VP + Juros . n 
 
VF = VP + VP x i x n 
 
VF = VP (1 + in) 
 
 
 
 
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A fórmula é somente essa, mas podemos, por meio de manipulações algébricas, utilizar a fórmula do valor 
futuro (VF) para calcular o valor presente (VP), a taxa de juros (i) ou o valor dos juros a pagar (J). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que só existem quatro variáveis: taxa de juros, valor presente, valor futuro e número de 
períodos. Assim sendo, só existem quatro tipos básicos de pergunta que podemos formular. 
 
Exemplo: 
 
Qual é o montante acumulado em 24 meses (VF), a uma taxa de 2% a.m., no regime de juros 
simples, a partir de um principal (VP) igual a $ 2.000? 
 
Solução: 
� P = $ 2.000 
� i = 2% a.m. 2/100 = 0,02 ao mês 
� n = 24 meses 
� VF = ? 
� VF = 2.000 (1 + 0,02 x 24) = 2.960 
Juros compostos 
Os juros que incidem sobre um empréstimo são chamados de juros com capitalização composta se 
são calculados, a cada período que dura o empréstimo, sobre o saldo devedor do empréstimo, que 
inclui o principal e os juros ainda não pagos. Nessa categoria, os juros de cada período são calculados 
sempre em função do saldo existente no início de cada respectivo período. Daqui para frente, 
consideraremos que todos os juros em questão são compostos. 
 
Considere a mesma situação do exemplo anterior, com a seguinte diferença: para o cálculo da 
remuneração ao investidor, foram utilizados juros compostos. Dessa forma, teremos: 
 
ano 
saldo no início do 
ano 
taxa de juros 
base de 
cálculo 
juros do 
período 
saldo final do ano 
1 $ 1.000 10% $ 1.000 $ 100 $ 1.100 
2 $ 1.100 10% $ 1.100 $ 110 $ 1.210 
3 $ 1.210 10% $ 1.210 $ 121 $ 1.331 
4 $ 1.331 10% $ 1.331 $ 133 $ 1.464 
 
 
 
6 
 
Nesse caso, o banco remunera os juros pagos, que são reinvestidos na aplicação. No gráfico a seguir, 
podemos observar a diferenças entre os juros simples e compostos mostrados nessas tabelas. 
 
 
 
Exemplo: 
1) Suponha que você tenha feito um empréstimo de $ 1.000 hoje para pagar com juros de 10% 
ao ano, capitalizados de forma composta. Dessa forma, sevocê pegou esse empréstimo por 
apenas um ano, os cálculos do valor dos juros e do principal a pagar serão os seguintes: 
 
valor dos juros por ano = valor da dívida x taxa de juros 
 
valor dos juros no final do ano 1 = 1.000 x 0,1 = 100 
 
valor do principal = 1.000 
 
O valor total a pagar para liquidar o empréstimo é o valor dos juros mais o valor do principal, ou seja: 
100 + 1.000 = 1.100. 
 
0 1 
 
 
VP =1.000 J = 100 
VF = 1.100 
 
 
 
 
 7
 
Agora, caso você tivesse feito esse mesmo empréstimo por dois anos, os cálculos do valor dos juros e 
do principal a pagar seriam os seguintes: 
 
valor dos juros no primeiro ano = valor da dívida x taxa de juros 
 
valor dos juros no final do ano 1 = 1.000 x 0,1 = 100 
 
Se os juros não fossem pagos, o saldo devedor para o início do segundo ano seria o seguinte: 
 
principal + juros = 1.000 + 100 = 1.100 
 
valor dos juros para o segundo ano = saldo devedor x taxa de juros 
 
valor do juros do segundo ano = 1.100 x 0,1 = 110 
 
O valor total a pagar para liquidar o empréstimo é o valor dos juros do ano 1 + os juros do ano 2 + o 
principal, ou seja: 100 + 110 + 1.000 = 1.210 
 
0 1 2 
 
 
VP =1.000 J = 100 
VF = 1.100 
J = 110 
VF = 1.210 
 
Por fim, consideremos que você tenha feito esse mesmo empréstimo por três anos. Nesse caso, os 
cálculos do valor dos juros e do principal a pagar seriam os seguintes: 
 
valor dos juros no primeiro ano = valor da dívida x taxa de juros 
 
valor dos juros no final do ano 1 = 1.000 x 0,1 = 100 
 
Se os juros não fossem pagos, o saldo devedor para o início do segundo ano seria: 
 
principal + juros = 1.000 + 100 = 1.100 
 
valor dos juros para o segundo ano = saldo devedor x taxa de juros 
 
valor dos juros do segundo ano = 1.100 x 0,1 = 110 
 
Se os juros não fossem pagos, o saldo devedor para o início do terceiro ano seria: 
 
principal + juros (ano1) + juros (ano2) = 1.000 + 100 + 110 = 1.210 
 
valor dos juros para o terceiro ano = saldo devedor x taxa de juros 
 
valor dos juros do terceiro ano = 1.210 x 0,1 = 121 
 
 
 
8 
 
O valor total a pagar para liquidar o empréstimo é o valor dos juros do ano 1 + os juros do ano 2 + 
os juros do ano 3 + o principal, ou seja: 
 
100 + 110 + 121 + 1.000 = 1.331 
 
0 1 2 3 
 
 
VP =1.000 J = 100 
VF = 1.100 
J = 110 
VF = 1.210 
J = 121 
VF = 1.331 
 
Fórmula geral para juros compostos: 
 
 
Obs.: valor presente, valor atual, valor de hoje são sinônimos, assim como, agora ou tempo zero (t = 0). 
 
Exemplo: 
Qual seria o montante acumulado em seis anos, a uma taxa de 10% a.a., no regime de juros 
compostos, a partir de um principal inicial de $ 100,00? 
 
Solução: 
Utilizando a fórmula: VF = VP (1 + i)n = 100,00 (1 + 0,1)6 = 177,16. 
 
Fazendo passo a passo: 
 
Seja VP1 o principal no início do ano 1, VP2 no início do ano 2 e assim sucessivamente. 
 
Seja VF1 o montante ao final do ano 1, VF2 ao final do ano 2 e assim sucessivamente. 
 
Seja J1 o total de juros pagos ao final do ano 1, J2... onde J = i VP. 
 
 
 
 
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Fazendo o reinvestimento, período a período, até o sexto período de todo o disponível ao final do 
período anterior, teremos: 
 
0 1 2 3 4 5 6 
 
 
VP0 =100 J1 = 10 
VF1 = 110 
J2 = 11 
VF2 = 121 
J3 = 12,1 
VF3 = 133,1 
J4 = 13,31 
VF4 = 146,41 
J5 = 14,461 
VF5 = 161,051 
J6 = 16,105 
VF6 = 177,15 
 
 
no início do ano 1 VP1 = 100,00 
no final do ano 1 VP1 + J1 = VF1 =100 + 10 = 110 
 
no início do ano 2 VP2 = 110 
no final do ano 2 VP2 + J2 =VF2 = 110 + 11 = 121 
 
no início do ano 3 VP3 = 121 
no final do ano 3 VP3 + J3 = VF3 = 121 + 12,1 = 133,1 
 
no início do ano 4 VP4 = 133,1 
no final do ano 4 VP4 + J4 = VF4 =133,1 + 13,31 = 146,41 
 
no início do ano 5 VP5 = 146,41 
no final do ano 5 VP5 + J5 = VF5 = 146,41 + 14,641 = 161,051 
 
no início do ano 6 VP6 = 161,051 
no final do ano 6 VP6 + J6 = VF6 = 161,051 + 16,1051 = 177,15