Colisões Elásticas e Inelásticas

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Colisões 
Colisões Elásticas e Inelásticas 
O conceito de colisão nos transmite uma idéia de um choque ou “batida” violenta 
entre dois corpos. Porém, na física, o termo se refere a qualquer interação significativa entre 
dois corpos que ocorre dentro de um determinado intervalo de tempo. 
Já vimos que após a colisão entre duas partículas, o momento linear e a energia total 
se conservam, o que nos auxilia na determinação de suas velocidades finais. 
Colisões que conservam a energia cinética são chamadas elásticas, pois, além de 
partículas pontuais, também podem ser ocorrer entre corpos que se deformam 
elasticamente sem dissipar energia (ou seja, interagem através de forças conservativas). 
Porém, quando tratamos de corpos materiais reais, que são essencialmente sistemas 
de partículas, apenas o momento linear será necessariamente conservado, uma vez que a 
energia cinética inicial pode ser dissipada, transformando-se em outras formas de energia, 
tal como calor, por exemplo. 
É importante entender que não podemos associar uma energia cinética a um sistema 
de partículas em termos da velocidade do centro de massa, como no caso do momento 
linear, como sendo a soma das energias cinéticas de cada partícula. Por exemplo, se duas 
partículas de massas iguais vão uma em direção a outra com velocidades de mesmo módulo, 
o centro de massa do sistema formado por elas permanece imóvel, o momento linear total é 
nulo, mas a energia cinética não. 
Assim, ao tratarmos um corpo material como partícula, considerando a dinâmica de 
seu centro de massa, podemos ter colisões que não conservam a energia cinética. Essas 
colisões são chamadas inelásticas ou plásticas, pois os corpos interagem através de forças 
não conservativas. 
Colisões Completamente Inelásticas 
Uma colisão entre dois corpos, A e B , é dita completamente inelástica quando a 
diferença entre a energia cinética inicial e final é máxima. Isto ocorre quando, após a colisão, 
os corpos se deslocam juntos, “grudados” um no outro. 
Exercício: Justifique a afirmação acima. 
Assim, basta considerar a conservação do momento linear, sabendo que a velocidade 
final de ambos os corpos será a mesma 
2 2 2A B
v v v= =
� � �
 
Logo, temos a relação 
( )1 1 2A A B B A Bm v m v m m v+ = +
� � �
 
Ou seja, uma equação para uma variável. Resolvendo para 
2
v
�
, temos 
1 1
2
A A B B
A B
m v m v
v
m m
+
=
+
� �
�
 
Que é a velocidade do centro de massa, expressando a conservação do momento total 
do sistema. 
Supondo então que um corpo de massa 
A
m e velocidade de módulo 
1
v ao longo da 
direção x , colide de forma perfeitamente inelástica com um corpo de massa 
B
m em 
repouso, teremos a velocidade final de módulo 
2 1
A
A B
m
v v
m m
=
+
 
Também ao longo da direção x . Vamos ver agora como fica a energia final de um 
sistema de dois corpos que colidem de forma completamente inelástica. 
( ) ( )
2
1 1
2
2 2
2 2 1
1
2
1 1
2 2
A
A
A B A B
A B
K m v
m
K m m v m m v
m m

=


  = + = +   + 
 
A razão entre a energia cinética final e inicial será 
2
1
A
A B
K m
K m m
=
+
 
Assim, vemos que 
2
K será sempre menor do que 
1
K , mostrando que energia foi 
dissipada. O mesmo irá ocorrer quando o corpo B estiver em movimento antes da colisão. 
Exercício: Mostre que 
2
K será sempre menor do que 
1
K mesmo quando ambos os 
corpos estão inicialmente em movimento com velocidades arbitrárias 
1A
v
�
 e 
1B
v
�
. 
Colisões Elásticas 
Consideremos agora dois corpos que interagem elasticamente. Em “Leis de 
Conservação”, vimos como calcular as velocidades finais de duas partículas quando a energia 
cinética é conservada, contudo, não entramos em detalhes algébricos. 
Vamos agora voltar àquele problema e ver uma maneira prática de resolvê-lo. Vamos 
considerar, como no caso anterior, dois corpos A e B inicialmente com velocidades 
arbitrárias 
1A
v
�
 e 
1B
v
�
. Após a colisão, tanto a energia cinética quanto o momento linear se 
conservam 
1 1 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
A A B B A A B B
A A B B A A B B
m v m v m v m v
m v m v m v m v
+ = +


+ = +
� � � �
 
A resolução do sistema é simplificada ao olharmos o problema a partir do referencial 
em que uma das partículas está em repouso. Após obtermos a solução, voltamos para o 
referencial inicial. Fazendo a transformação de velocidades 
1 1
2 1
2 1
A B
A B A
B B B
v v v
v v v
v v v
− =

− =
 − =
� � �
� � �
� � �
 
E considerando que os corpos A e B estão restritos a se moverem ao longo da 
direção x , de forma que todas as velocidades possam ser tratadas como escalares, ficamos 
com 
2 2 21 1 1
2 2 2
A A A B B
A A A B B
m v m v m v
m v m v m v
= +


= +
 
Escrevemos então 
( )
( ) ( )( )2 2 2
B B A A
B B A A A A A
m v m v v
m v m v v m v v v v
= −

= − = − +
 
Dividindo a segunda equação pela primeira, obtemos a relação entre 
A
v e 
B
v 
B A
v v v= + 
Substituímos, então, este resultado na primeira equação, eliminando 
B
v 
( ) ( )B A A Am v v m v v+ = − 
A B
A
A B
m m
v v
m m
−
=
+
 
Usando a relação entre 
A
v e 
B
v , obtemos finalmente 
2 A
B
A B
m
v v
m m
=
+
 
Agora, como 2 2 2 2x y zv v v v= + + , tratando as velocidades como vetores, podemos 
separar o sistema em três, um para cada direção do espaço, obtendo 
2
A B
A
A B
A
B
A B
m m
v v
m m
m
v v
m m
−
= +

 =
 +
� �
� �
 
Exercício: Demonstre o resultado acima. 
Exercício: Realize a transformação de velocidades inversa e escreva as velocidades 
finais em termos das velocidades iniciais arbitrárias 
1A
v
�
 e 
1B
v
�
, e das massas 
A
m e 
B
m . 
Ainda assim, realizamos uma restrição importante em nossa análise. Assumimos que 
os corpos estão restritos a se moverem ao longo de uma única direção, tanto antes quanto 
depois da colisão. Contudo, isso não é o que geralmente ocorre. Um bom exemplo é quando 
uma bola de bilhar atinge outra, fazendo com que as direções com que elas se deslocam 
após a colisão não seja a mesma da bola incidente. 
Em geral, a direção de espalhamento do corpo pode variar, de forma que, no caso de 
dois corpos, teríamos que considerar o movimento em pelo menos duas dimensões para 
tratar o problema na forma mais geral possível. Essas direções iram depender da forma, das 
dimensões, da massa e das velocidades iniciais dos corpos, assim como do ponto de contato 
entre eles. 
Exercício: Considere um corpo em repouso enquanto o outro o atinge elasticamente 
com velocidade inicial v em uma dada direção, e que, após a colisão, cada um deles se 
desloque formando ângulos arbitrários conhecidos com essa direção. Faça ilustrações para 
antes e depois da colisão. Determine as velocidades finais. Generalize para corpos com 
velocidades iniciais 
1A
v
�
 e 
1B
v
�
 quaisquer. 
É interessante notar que a velocidade relativa entre os corpos permanece a mesma em 
módulo e direção, sendo seu sentido contrário 
( )2 2 1 1B A B Av v v v− = − −
� � � �
 
Este resultado reflete a conservação da velocidade (e do momento linear) do centro de 
massa, junto com a energia cinética total.