11 Aula - Conservação do Momento Linear

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Conservação do Momento Linear
APRESENTAÇÃO
É possível que você já tenha ouvido que determinada equipe esportiva ganhou momento em um 
campeonato. O que essa afirmativa quer dizer é que à medida em que essa equipe ganha 
momento no campeonato, existe maior dificuldade em pará-la. Agora, em física, o momento 
linear de um corpo é a sua capacidade para manter-se em movimento e em muito depende da sua 
velocidade.
Nesta Unidade de Aprendizagem estudaremos a conservação do momento linear. Além disso, 
analisaremos casos especiais de colisões entre corpos em que, para haver conservação do 
momento linear, a resultante das forças externas que atuam nos corpos é nula. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Reconhecer o que é momento linear e suas implicações.•
Aplicar o conceito de conservação da energia em situações que envolvam momento linear.•
Identificar a conservação do momento linear em interações especiais entre corpos como as 
colisões.
•
DESAFIO
Em uma partida de tênis, após um saque, a bola, de massa aproximadamente igual a 0,06 kg, 
pode atingir o solo com uma velocidade de 60 m/s.
Admitindo que a bola esteja em repouso no momento em que a raquete colide contra ela, 
determine, no SI, as variações de sua quantidade de movimento e de sua energia cinética.
INFOGRÁFICO
Para identificar a conservação do momento linear em uma colisão entre bolas de bilhar, por 
exemplo, constata-se que a soma dos dois momentos após a colisão é igual à soma dos dois 
momentos antes da colisão. Veja:
CONTEÚDO DO LIVRO
Para compreendermos as aplicações da conservação do momento linear devemos estudar suas 
interações e implicações. Acompanhe o trecho do livro Física para Universitários: Mecânica 
selecionado para esta Unidade de Aprendizagem.
Bons estudos!
Wolfgang Bauer
Gary D. Westfall
Helio Dias
Fí
si
ca
MECÂNICA
pa
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 U
n
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tá
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o
s
B344f Bauer, Wolfgang.
 Física para universitários [recurso eletrônico] : mecânica /
 Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall, Helio Dias ; tradução: Iuri
 Duquia Abreu, Manuel Almeida Andrade Neto ; revisão técnica:
 Helio Dias. – Dados eletrônicos. – Porto Alegre : AMGH, 2012.
 Editado também como livro impresso em 2012.
 ISBN 978-85-8055-095-5
 1. Física. 2. Mecânica. I. Westfall, Gary D. II. Dias, Helio.
 III. Título. 
CDU 531
Catalogação na publicação: Fernanda B. Handke dos Santos – CRB 10/2107
210 Física Moderna para Engenheiros e Cientistas: Mecânica
7.3 Conservação de momento linear
Suponha que dois objetos colidam entre si. Eles podem, a seguir, afastarem-se, como duas 
bolas de bilhar sobre uma mesa. Esse tipo de colisão é chamado de colisão elástica (pelo me-
nos ela é aproximadamente elástica, como veremos mais adiante). Outro exemplo de colisão 
é a de um carro subcompacto com um caminhão de 18 rodas, na qual os dois veículos ficam 
presos entre si. Esse tipo de colisão é chamado de colisão perfeitamente inelástica. Antes de 
ver exatamente o que significam os termos colisões elásticas e inelásticas, vamos analisar os 
momentos, e , de dois objetos durante uma colisão.
Constatamos que a soma de dois momentos após a colisão é igual à soma dos dois mo-
mentos antes da colisão (o índice i1 indica o valor inicial para o objeto 1, logo antes da colisão, 
e o índice f1 indica o valor final para o mesmo objeto):
(7.8)
Essa equação é a expressão básica da lei de conservação de momento total, o resultado mais 
importante deste capítulo e da segunda lei de conservação que encontramos (sendo que a 
primeira é a lei de conservação de energia, apresentada no Capítulo 6). Primeiro vamos passar 
por sua derivação e, a seguir, considerar suas consequências.
Capítulo 7 Momento e Colisões 211
A equação 7.8 expressa o princípio de conservação de momento linear. A soma dos veto-
res momento final é exatamente igual à soma dos vetores momento inicial. Observe que essa 
equação não depende de nenhuma condição especial para a colisão. Ela é válida para todas as 
colisões entre dois corpos, elásticas ou inelásticas.
Você pode alegar que outras forças externas podem estar presentes. Em uma colisão de 
bolas de bilhar, por exemplo, existe uma força de atrito devido a cada bola rolando ou desli-
zando sobre a mesa. Em uma colisão de dois carros, o atrito atua entre os pneus e a estrada. 
Porém, o que caracteriza uma colisão é a ocorrência de um impulso enorme devido a uma for-
ça de contato muito grande durante um tempo relativamente curto. Se você integrar as forças 
externas ao tempo de colisão, obterá apenas impulsos muito pequenos ou moderados. Desta 
forma, essas forças externas podem geralmente ser desprezadas com segurança em cálculos 
de dinâmica de colisões, e podemos tratar as colisões entre dois corpos como se apenas forças 
internas estivessem atuando. Presumiremos que estamos lidando com um sistema isolado, que 
é um sistema sem forças externas.
Além disso, o mesmo argumento é válido se houver mais de dois objetos participando da 
colisão ou se não houver nenhuma colisão. Contanto que a força externa resultante seja zero, 
o momento total da interação de objetos será conservado:
 
 (7.9)
A equação 7.9 é a formulação geral da lei de conservação do momento. Voltaremos a essa 
formulação geral no Capítulo 8, quando falarmos sobre sistemas de partículas. Para o restan-
te deste capítulo, consideramos apenas casos idealizados em que a força externa resultante é 
pequena de forma desprezível e, portanto, o momento total é sempre conservado em todos os 
processos.
DEMONSTRAÇÃO 7.1 
Durante uma colisão, o objeto 1 exerce uma força sobre o objeto 2. Vamos chamar essa força de 
. Usando a definição de impulso e sua relação com a mudança de momento, obtemos para a 
mudança de momento do objeto 2 durante a colisão:
Aqui desprezamos forças externas; se elas existem, são geralmente desprezíveis em comparação 
a durante a colisão. Os tempos inicial e final são selecionados para delinear o tempo do 
processo de colisão. Além disso, a força , que o objeto 2 exerce sobre o objeto 1, também está 
presente. O mesmo argumento anterior leva a
a terceira lei de Newton (veja o Capítulo 4) nos diz que essas forças são iguais e têm sentido opos-
to, ou
A integração dessa equação resulta em
Agrupando os vetores momento inicial de um lado, e vetores momento final de outro nos dá a 
equação 7.8:
212 Física Moderna para Engenheiros e Cientistas: Mecânica
7.4 Colisão elástica unidimensional
A Figura 7.7 mostra a colisão entre dois carrinhos em uma pista quase sem atrito. A colisão foi 
gravada em vídeo, e a figura indica sete quadros desse vídeo, obtidos em intervalos de 0,06 s. 
O carrinho marcado com o círculo verde está inicialmente em repouso. O carrinho marcado 
com o quadrado laranja tem massa maior e está se aproximando da esquerda. A colisão acon-
tece no quadro marcado com o tempo t = 0,12 s. É possível ver que, após a colisão, os dois car-
rinhos se movem para a direita, mas o mais leve se move com velocidade um pouco maior. (A 
velocidade é proporcional à distância horizontal entre as marcações dos carrinhos nos quadro 
adjacentes de vídeo.) A seguir, derivaremos equações que podem ser usadas para determinar 
as velocidades dos carrinhos após a colisão.
O que é exatamente uma colisão elástica? Como ocorre com muitos conceitos em física, 
trata-se de uma idealização. Em praticamente todas as colisões, pelo menos alguma energia 
cinética é convertida em outras formas de energia que não são conservadas. As outras formas 
podem ser calor ou som ou a energia para deformar um objeto, por exemplo. Porém, uma 
colisão elástica é definida como uma em que a energia cinética total dos objetos em colisão 
é conservada. Essa definição não significa que cada objeto envolvido na colisão retenha sua 
energia cinética. A energia cinética pode ser transferida de um objeto para outro, mas em uma 
colisão elástica, a soma das energias cinéticas deve permanecer constante.Vamos considerar objetos em movimento unidimensional e usar a notação pil,x para o 
momento inicial, e pfl,x para o momento final do objeto 1. (Usamos o subscrito x para nos lem-
brar que esses poderiam igualmente ser as componentes x do vetor momento bi ou tridimen-
sional.) Da mesma forma, denotamos os momentos inicial e final do objeto 2 por pi2,x e pf2,x. 
Como estamos restritos a colisões unidimensionais, a equação para conservação de energia 
cinética pode ser escrita como
(7.10)
(Para o movimento unidimensional, o quadrado da componente x do vetor também é o qua-
drado do valor absoluto do vetor.) A equação para conservação do momento no sentido x 
pode ser escrita como
(7.11)
(Lembre-se de que o momento é conservado em qualquer colisão em que forças externas sejam 
desprezíveis.)
Vamos olhar as equações 7.10 e 7.11 mais de perto. O que é conhecido? O que é desco-
nhecido? Geralmente, sabemos as duas massas e componentes dos vetores momento inicial, e 
queremos descobrir os vetores momento final após a colisão. Esse cálculo pode ser realizado 
porque as equações 7.10 e 7.11 nos dão duas equações para dois valores desconhecidos, pfl,x
 e 
pf2,x. Esse é, de longe, o uso mais comum dessas equações, mas também é possível, por exem-
plo, calcular as duas massas se os vetores momento inicial e final forem conhecidos.
Vamos encontrar as componentes dos vetores momento final:
(7.12)
A Demonstração 7.2 mostra como esse resultado é obtido. Ela ajudará a solucionar problemas 
semelhantes.
Com o resultado para os momentos finais, também podemos obter expressões para as 
velocidades finais usando :
(7.13)
t � 0 s
t � 0,06 s
t � 0,12 s
t � 0,18 s
t � 0,24 s
t � 0,36 s
t � 0,30 s
Figura 7.7 Sequência de vídeo de 
uma colisão entre dois carrinhos para 
massas diferentes sobre um trilho de 
ar. O carrinho com o ponto laran-
ja carrega uma barra preta de metal 
para aumentar sua massa.
Capítulo 7 Momento e Colisões 213
Essas equações para as velocidades finais parecem, à primeira vista, muito semelhantes àque-
las para os momentos finais (equação 7.12). Porém, há uma diferença importante: no segundo 
termo do lado direito da equação para vf1,x, o numerador é 2m2, em vez de 2m1; por outro lado, 
o numerador agora é 2m1, em vez de 2m2 no primeiro termo da equação para vf2,x.
Como última questão nessa discussão geral, vemos encontrar a velocidade relativa, 
 após a colisão:
(7.14)
Vemos que, em colisões elásticas, a velocidade relativa simplesmente troca de sinal, . 
Voltaremos a esse resultado mais adiante neste capítulo. Você não deve tentar memorizar as 
expressões gerais para momento e velocidade nas equações 7.13 e 7.14, mas, em vez disso, es-
tudar o método que usamos para derivá-las. A seguir, examinamos dois casos especiais desses 
resultados gerais.
Caso especial 1: massas iguais
Se m1 = m2, as expressões gerais na equação 7.12 são simplificadas de maneira considerável, 
porque os termos proporcionais a m1 –m2 são iguais a zero e as razões e 
 se tornam unitárias. Obtemos, então, o resultado extremamente simples
DEMONSTRAÇÃO 7.2 
Começamos com as equações para conservação de energia e momento e agrupamos todas as 
grandezas conectadas com o objeto 1 no lado esquerdo, e as conectadas ao objeto 2 no lado direi-
to. A equação 7.10 para a energia cinética (conservada) torna-se:
ou
(i)
Reordenando a equação 7.11 para conservação de momento, obtemos
(ii)
A seguir, dividimos os lados esquerdo e direito da equação (i) pelos lados correspondentes da 
equação (ii). Para fazer essa divisão, usamos a identidade algébrica . 
Esse processo resulta em
(iii)
Agora podemos solucionar a equação (iii) para pf1,x e substituir a expressão na 
equação (iii):
Esse resultado é um das duas componentes desejadas da equação 7.12. Podemos obter o outro 
componente solucionando a equação (ii) para pf2,x e substituindo a expressão 
na equação (iii). Também podemos obter o resultado para pf1,x do resultado para pf2,x que acaba-
mos de derivar trocando os índices 1 e 2. Afinal, a classificação dos objetos em 1 ou 2 é arbitrária 
e, por isso, as equações resultantes devem ser simétricas com a troca dos números. O uso desse 
tipo de princípio de simetria é muito eficiente e conveniente. (Mas leva algum tempo para se 
acostumar a ele no início!)
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
DICA DO PROFESSOR
Neste vídeo faremos uma breve introdução ao conceito de conservação do momento linear e 
mostraremos algumas de suas aplicações.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
EXERCÍCIOS
1) Uma bola de futebol de massa m = 0,20 kg é chutada contra a parede a uma 
velocidade de 5,0 m/s. Após o choque, ela volta a 4,0 m/s. A variação da quantidade 
de movimento da bola durante o choque, em kg.m/s é igual a: 
A) 0,2
B) 1,0
C) 1,8
D) 2,1
E) 2,6
2) Uma pessoa de massa 80,0 kg está parada em uma das extremidades de uma canoa, 
também parada, cuja massa é de 60,0 kg. Para saltar na água, ela corre até a outra 
extremidade e pula com a velocidade inicial do salto, na direção horizontal, de 2,30 
m/s. Determine a energia cinética adquirida pela canoa. 
A) 282 J
B) 564 J
C) 212 J
D) 423 J
E) 159 J
3) Ao arremessar uma bola de 120 g, um homem de 80 kg, que está em uma superfície 
sem atrito, desloca-se para trás devido à conservação do momento linear. Qual a 
velocidade adquira por ele se a bola saiu com velocidade 3,2 m/s? 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
Uma granada, que estava inicialmente com velocidade nula, explode, partindo-se em 
três pedaços. O primeiro pedaço, de massa M1 = 0,20 kg, é projetado com uma 
velocidade de módulo igual a 10m/s. O segundo pedaço, de massa M2 = 0,10 kg, é 
projetado em uma direção perpendicular à direção do primeiro pedaço, com uma 
velocidade de módulo igual a 15m/s. 
4) 
Sabendo-se que o módulo da velocidade do terceiro pedaço é igual a 5,0m/s, a massa 
da granada, em kg, vale: 
A) 0,30
B) 0,60
C) 0,80
D) 1,2
E) 1,6
Numa partida de futebol, um jogador irá fazer uma cobrança de falta chutando a bola 
diretamente ao gol. O gráfico a seguir mostra a variação da velocidade da bola em função 
do tempo.
5) 
Sabendo que a bola tem massa 0,5 kg e que gasta 5 segundos para cruzar a linha do gol, 
determine a variação da quantidade de movimento da bola no momento em que ela atinge 
metade do seu tempo de percurso.
A) 15 kg.m/s
B) 2,7 kg.m/s
C) 54 kg.m/s
D) 8,1 kg.m/s
E) 7,5 kg.m/s
NA PRÁTICA
O Princípio da Conservação do Momento Linear.
O Princípio da Conservação do Momento Linear. A física está presente em todos os fenômenos 
encontrados no dia a dia. Quem nunca se interessou em saber o que de fato acontece em 
explosões, disparos e o movimento de foguetes e balões. Todos esses eventos podem ser 
analisados a partir do princípio de Conservação do Momento Linear. A partir desse princípio, 
podemos analisar o mecanismo de movimentos de diferentes tipos de sistemas. Não podemos 
deixar de observar máquinas, como os foguetes, que possuem um sistema de propulsão que faz 
com que sua massa seja diminuída ao longo do tempo, bem como as lulas que bombeiam a água 
do interior do seu corpo por meio da ação de suas fibras musculares que expulsam a água 
conferindo alta velocidade, nadando no sentido oposto a água ejetada. Tudo o que observamos, 
em algum instante, está em movimento e temos neste princípio a possibilidade de descrevê-lo.
 
SAIBA +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Tipos de colisões e a conservação do momento linear
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Conservação de Momento Linear 1
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Exercícios resolvidos sobre Conservação do Momento Linear
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Saiba mais com o capítulo 9 dolivro "Física: Uma Abordagem Estratégica - Vol.1":