Exponenciais

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�ponenciai�:
Equaçõe�, funçõe� � inequaçõe�
Definição:
São equações, funções ou inequações que
possuem variável no expoente
Nomenclatura:
ba = c
b = base
a = expoente
c = potência
OBS: Um número positivo elevado a
qualquer número, só pode resultar em um
número positivo
4x-15.2x -16=0
(2x)2-15.2x-16=0
2x=a
a2-15a -16=0
a=16 ou a=-1
2x=16 → 2x=24
X=4
Equações exponenciais:
Primeiro tipo:
Igualando as bases ,igualamos também os
expoentes
ax=ak Logo, x=k
4x= 1 (22)x= 1 22x=2-9 2x=-9 x=9
512 29 2
√27x+2 . (1/9)2-x = 729x-1
√(33)x+2 . (1/32)2-x = (36)x-1
3(3x+6)/2 . (3-2)2-x = 36x-6
33x+6/2 . 3-4+2x = 36x-6
(3x+6/2) -4+2x = 6x+6
7x+12x=12+2 → x= -14
5
Segundo tipo:
É necessário o uso da variável auxiliar
a=k
2x+2=-2x+1 = 64 2x.22 - 2x.21 =
2x=P → P.22-P.2=64 → 4P-2P=64
2P=64 P=32 2x=32 2x=25 x=5
9x-4.3x+1+27=0
(3x)2-4.3x.31+27=0
3x=n → n2-12n+27=0
n=3 → nI=9
3x=3 → x=1 ou 3x=9 3x=32 → x=2
OBS: 9x=(32)x → 9x=32x → 9x=(3x)2
Terceiro tipo:
Igualdade a 1
ba=1
I: a≠0 b=1
II: b=1
III: b=-1 e a é par
(X-3)x-4X+3=1
I: X-3≠0 X=3 ou X2-4X+3=0 X=1
II: X-3=1 X=4
III: X-3=-1 X=2 → 22-4.2+3 → -1
OBS: Todo número elevado a 0 da 1, menos
o próprio 0, que da indeterminado
Quarto tipo:
Igualdade a 0
ba=0
b=0 e a>0
Ex: (X2-7X+10)4-X=0
X2-7X+10=0 X=2 ou X=5
4-X>0 -X>-4 X<4
�ponenciai�:
Equaçõe�, funçõe� � inequaçõe�
Ex2: 0Xˆ2-4/2-X =0
X2-4 >0
2-X
Raízes:
X2-4=0 X2=4 x=+-2
2-X=0 -X=-2 X=2
S]-∞,-2[
OBS:
00 = indeterminado
02 = 0
0-2 = E
Quinto tipo:
É necessário o uso de artifícios
matemáticos
7x=8x vai ter que sumir com uma base
7x = 8x → 7x = 1 → 7x = 1 X=0
8x 8x 8x 8
5x-1 + 5x = 6x
5x-1 + 5x = 6x → 5x-1-x + 1 = (6/5)x
5x 5x 5x
5-1 + 1 = (6/5)x → 1-1 + 1 = (6/5)x
5
1+5 = (6/5)x → (6/5) = (6/5)x
5
X=1
função exponencial:
Toda função exponencial será representada
graficamente por uma curva assintótica
(chega perto mas não toca) a um eixo
horizontal. Essa curva pode ser
representada por uma função crescente
(a>1) ou decrescente (0<a<1)
Y=ax
0<a≠1
a>1
(a>1) crescente
Ex: Y=6x
6-2=1 6-1=1 60=1 61=6 62=36
36 6
(0<a<1) decrescente
Ex: Y=0,2x
0,2-2=25 0,2-1=5 0,2o=1 0,21=0,2 0,22=0,04
OBS: Na função exponencial a variável tem
que ficar isolada no expoente
Y=2-x → y=(½)x
�ponenciai�:
Equaçõe�, funçõe� � inequaçõe�
Funções exponenciais com modificações:
Na funçao exponencial com modificações o
C (termo independente) é a reta
horizontal em que a função chega mas não
toca (assíntota da função)
Y=b.ax+c
Y=C → assíntota da função
Ex: Y=2x+1-4
Y=2x.2-4
Assíntota → Y=-4
Interseção vertical: X=0
Y=20.2-4 Y=-2
Interseção horizontal: Y=0
0=2x.2-4 4=2x.2 2x=2 X=1
Inequações exponenciais:
Qx > ak
Q>1 → X>K | 0<a<1 → X<K
Ex: 32<33 → 2<3
Ex: 0,61>0,62 → 1 < 2
Ex: (3/4)x-1 ≤ (3/4)5-x
X-1≥5-X → 2X>6 → X≥3