Mackenzie EM 2 Série - Matemática (Caderno de Atividades) - Livro do Professor - Livro 2 - Capítulo 5

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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 5 | 231
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A
S 
ID
E
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S 228. é uma matriz 2 por 2 definida pela lei .
a. Construa a matriz .
b. Calcule o determinante de .
229. Determine a matriz , sabendo que . Em seguida, calcule seu determinante aplicando a regra de Sarrus.
230. Calcule o determinante da matriz , sabendo que
A.
B. 0
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232 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 5
231. Sendo e ,
232. Dada as matrizes e , calcule:
a. 
c. 
b. 
d. 
determine o valor de para que se tenha .
57
-100 -100
−9
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 5 | 233
233. Dada a matriz quadrada , calcule .
234. Construa as matrizes a seguir, calcu-lando, em seguida, seu determinante.
a. tal que 
b. tal que 
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234 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 5
235. Calcule o determinante da transposta da matriz 
 
 .
236. Calcule o determinante da 
matriz .
237. Dada a matriz , 
238. Calcule o determinante de e de sua transposta.
determine, se existir, o valor de para que tenhamos .
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 5 | 235
239. Calcule os determinantes a seguir:
a. 
c. 
b. 
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236 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 5
240. Resolva a equação a seguir: 
241. Calcule os determinantes a seguir por Laplace ou por Chiò:
a. 
-165
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 5 | 237
b. 
 
242. Resolva a equação: .
-7
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238 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 5
243. O que acontece com o determinante de uma matriz quando permutamos duas linhas ou duas colunas dessa matriz? 
Explique apresentando um exemplo.
244. Calcule o valor do determinante a seguir: .
245. Calcule o valor do determinante .
O sinal do determinante fica invertido. Exemplo: .e
444
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 5 | 239
246. Resolva o determinante a seguir:
247. Resolva os sistemas a seguir, utilizando a regra de Cramer:
a. 
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240 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 5
b. 
c. 
248. Mostre que .
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 5 | 241
249. Mostre que .
250. Calcule os determinantes a seguir:
a. b. 
248. Mostre que .
251. Explique por que ocorrem as igualdades a seguir:
a. 
Ao se trocar duas filas, o determinante fica com o si-
nal trocado.
A. 0
B. 0
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242 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 5
b. 252. é uma matriz quadrada de ordem 3 e Calcule o valor de para 
que se tenha 
253. Determine o valor de para que a matriz a seguir seja inversível.
254. (Fuvest 2012) Considere a matriz 
 , 
 
em que é um número real. Sabendo que 
admite inversa cuja primeira coluna é 
 
, 
a. 5
b. 6
c. 7
d. 8
e. 9
a soma dos elementos da diago-
nal principal de é igual a
A primeira linha é combinação linear 
das outras linhas.
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 5 | 243
a. 
b. 
c. 
d. 
255. (Comvest/Vestibular Unicamp 2015) Considere a matriz 
 
, 
 
onde e são números reais. Se e 
é invertível, então:
256. (UPF 2015) Considere a matriz e avalie as seguintes afirmações.
I. A matriz é diagonal se, e somente se, .
II. O determinante da matriz é um número maior do que . 
III. A matriz é simétrica se, e somente se, para algum . 
IV. A matriz é inversível, qualquer que seja .
e
e
e
e
É verdadeiro o que se afirma em: 
a. I e II apenas. 
b. II e III apenas. 
c. II, III e IV apenas. 
d. I, III e IV apenas. 
e. I, II, III e IV.
257. (Udesc 2014) Considerando que , , 
 e , o valor do determinante de é:
a. ( ) b. ( ) c. ( ) d. ( ) e. ( )
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244 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 5
258. (Udesc 2014) Se e representam, respec-tivamente, a transposta e a inversa da matriz 
 
 , 
 
então o determinante da matriz 
 é igual a:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
259. (Udesc 2013) Seja o conjunto formado por todas as ma-trizes diagonais de ordem . Analise as proposições:
I. A multiplicação de matrizes pertencentes a satisfaz 
a propriedade comutativa.
II. Todas as matrizes pertencentes ao conjunto possuem inversa.
III. A matriz identidade de ordem pertence ao conjunto .
IV. Se e são dois elementos pertencentes a , então 
também pertence a .
a. Somente a afirmativa II é verdadeira. 
b. Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras. 
c. Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras. 
d. Somente a afirmativa III é verdadeira. 
e. Todas as afirmativas são verdadeiras. 
Assinale a alternativa correta.
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 5 | 245
260. (Mackenzie 2013) Sendo 
 e 
 
números reais, o valor da expressão é 
a. 6 e 3
b. 3 e 1
c. 0 e 6
d. 2 e 4
e. 4 e 2
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
261. (Mackenzie 2015) Se é a unidade imaginária e 
 
 
tem determinante igual a , os 
valores de e são, respectivamente, 
262. (UECE 2015) Se é um ângulo tal que , então o valor do determinante 
 
 é 
a. 1. 
b. 0. 
c. . 
d. .
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246 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 5
a. a matriz não é invertível.
b. o determinante de é positivo.
c. o determinante de é igual a .
d. a matriz é igual à sua transposta.
263. (Comvest/Vestibular Unicamp 2014) Considere a matriz 
 , 
 
onde e são números reais distintos. Podemos afirmar que
a. Determine para quais valores de o determinante de é positivo. 
b. Tomando , e supondo que, na matriz , , 
 
calcule .
265. (Udesc 2015) Considerando as matrizes 
 
 
 , 
 
 
e a função f definida por então a 
soma de todas as raízes reais de que pertencem ao in-
tervalo é:
a. ( ) 
b. ( ) 
c. ( ) 
d. ( ) 
e. ( ) 
264. (Comvest/Vestibular Unicamp 2012) 
 
Seja dada a matriz em que é um número real.
a)
b)
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 5 | 247
266. (Udesc 2012) Sejam e matrizes quadradas de ordem 3 de tal forma que:
• 
• e os elementos de cada coluna, de cima para baixo, 
formam uma progressão geométrica de razão 2.
Analise as proposições abaixo:
Os elementos de cada uma das linhas da matriz estão em 
progressão aritmética.
Os elementos de cada uma das linhas e de cadauma das colu-
nas da matriz estão em progressão aritmética.
Existe a matriz inversa da matriz 
( )
( )
( )
( )
O número de proposição(ões) verdadeira(s) é:
a. 0
b. 3
c. 1
d. 2
e. 4
267. (UECE 2014) Uma matriz quadrada é simétrica quando . 
Por exemplo, a matriz é simétrica.
 
Se a matriz é simétrica, pode-se afirmar 
 
 corretamente que o determinante de é igual a
a. – 1. 
b. – 2. 
c. 1. 
d. 2.
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248 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 5
268. (UERN 2015) Considere a seguinte matriz : 
Pela regra de Sarrus, o determinante dessa matriz é
a. 8.
b. 9.
c. 15.
d. 24.
269. (AFA 2011) Sendo , 
 
 
 
o valor de é
a. 280 
b. 0
c. −70 
d. −210
270. (IME 2012) Calcule as raízes de em função de , e , 
 
sendo , , e (real) e 
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 5 | 249
271. (ITA 2015) Considere a matriz tal que , 
 
Sabendo-se que , 
 
então o valor de é igual a
a. ( ) 4. 
b. ( ) 5. 
c. ( ) 6. 
d. ( ) 7. 
e. ( ) 8.
272. (ITA 2014) Seja uma matriz quadrada de ordem 3, inversível, que satisfaz a igualdade 
 
 . 
 
Então, um valor possível para o 
determinante da inversa de é
273. (ITA 2014) Considere a equação , em 
que , e . 
 
Sabendo que e os valores de , e são, 
respectivamente,
a. ( ) , , . 
b. ( ) , , . 
c. ( ) , , . 
d. ( ) , , . 
 
e. ( ) , , .
a. ( ) 
b. ( ) 
c. ( ) 
d. ( ) 
e. ( ) 
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250 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 5
274. (ITA 2013) Considere com e . Se 
 , o valor de é
276. (EsPCEx-SP 2015) Seja um número re-al, a matriz identidade de ordem 2 e 
a matriz quadrada de ordem 2, cujos 
elementos são definidos por 
 
Sobre a equação em definida por 
 é correto 
afirmar que
a. as raízes são 0 e . 
b. todo real satisfaz a equação.
c. apresenta apenas raízes inteiras.
d. uma raiz é nula e a outra negativa.
e. apresenta apenas raízes negativas.
275. (ITA 2012) Seja um número natural. Sabendo que o determinante da matriz 
 
 
 
 
 
 
é igual a 9, determine e também a so-
ma dos elementos da primeira coluna 
da matriz inversa .
 e a soma é -1
a. 
 
b. 
 
c. 
d. 
e. 
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 5 | 251
277. (AFA 2013) Considere as matrizes e , inversíveis e de ordem , bem como a matriz identidade .
Sabendo que e , 
então o é igual a
a. 
b. 
 
c. 
 
d. 
278. (Udesc 2015) Considerando que A é uma ma-triz quadrada de ordem 3 e inversível, se 
 então é igual a: 
a. 9
b. 0
c. 3 
d. 6
e. 27
279. (Udesc 2012) Considere as matrizes 
 e . 
 
Se representa a matriz identidade de ordem 
dois, então o produto entre todos os valores de 
 que satisfazem a equação 
 é igual a: 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
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252 | MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 5
280. (Mackenzie 2010) Dadas as matrizes tal que 
 e tal que , 
 
o valor de é
a. 27 x 10³
b. 9 x 10³ 
c. 27 x 10²
d. 3² x 10²
e. 27 x 104 
281. (UECE 2014) Se os números reais , , , , , , , , formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão , então o 
 
valor do determinante da matriz é 
a. 1.
b. 0.
c. . 
d. . 
282. (IME 2015) Sejam e . Calcule o deter-minante abaixo unicamente em função de e .
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MATEMÁTICA | 2a SÉRIE | UNIDADE 2 | CAPÍTULO 5 | 253
283. (IME 2013) Seja o determinante da matriz 
. 
 
 
O número de possíveis valores de reais que 
anulam é
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
e. 4
a. 
 
 
b. 
 
 
c. 
 
 
d. 
 
 
e. 
284. (ITA 2016) Se e , 
então é igual a 
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