ALGEBRA LINEAR

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ALGEBRA LINEAR
Questão 1 Texto da questão
Em matemática, diversas vezes, para designar com clareza certas situações, é necessário formar um grupo ordenado de números que se apresentam dispostos em linhas e colunas numa tabela. Por exemplo, ao recolhermos os dados referentes a altura, peso e idade de um grupo de quatro pessoas, podemos dispô-los na tabela:
	 
	Altura (m)
	Peso (kg)
	Idade (anos)
	Pessoa 1
	1,70
	70
	23
	Pessoa 2
	1,75
	60
	45
	Pessoa 3
	1,60
	52
	25
	Pessoa 4
	1,81
	72
	30
Ao abstrairmos os resultados das linhas e das colunas, formamos a tabela a seguir, denominada matriz.
Uma matriz mxn é um arranjo retangular de mn números reais arrumados em m linhas horizontais e n colunas verticais.
COSTA, Boldrini; WETZLER, Figueiredo. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harbra,1986 [adaptado].
 
As tabelas a seguir apresentam a produção de sapatos femininos na região A, B e C de certo estado.
	Produção de Sapatos Femininos em 2016
	 
	sapatilhas
	sandálias
	sapatos
	tênis
	Região A
	1250
	1320
	850
	970
	Região B
	1854
	1940
	987
	1035
	Região C
	871
	974
	741
	964
 
	Produção de Sapatos Femininos em 2017
	 
	sapatilhas
	sandálias
	sapatos
	tênis
	Região A
	1347
	1570
	1064
	1240
	Região B
	1974
	2010
	1250
	1840
	Região C
	931
	1056
	954
	1420
 
A partir dos dados apresentados, podemos afirmar que a produção por produto e região nos dois anos conjuntamente está representada pela matriz
Alternativas
a., que foi encontrada a partir da soma dos elementos correspondentes das duas tabelas apresentadas.
b., que foi encontrada a partir da subtração dos elementos correspondentes das duas tabelas apresentadas.
c., que foi encontrada a partir da multiplicação dos elementos correspondentes das duas tabelas apresentadas.
d., que foi encontrada a partir da subtração dos elementos correspondentes das duas tabelas apresentadas.
e., que foi encontrada a partir da soma dos elementos correspondentes das duas tabelas apresentadas.
Questão 2 Texto da questão
O produto de duas matrizes é definido se, e somente se, o número de colunas da matriz  for igual ao número de linhas da matriz , o produto  é definido da seguinte maneira: assumindo que  seja uma matriz  e  seja uma matriz , então,  é uma matriz  com o elemento na linha  e coluna  sendo o produto interno da linha  da matriz  pela coluna  da matriz . Em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, não existe garantia de que  seja igual a . No caso em que os dois resultados sejam iguais, as matrizes  e  são ditas que comutam.
 Ainda, uma matriz quadrada  com todos os elementos da diagonal principal iguais a  e todos os outros elementos iguais a  é chamada de matriz identidade e é denotada por  ou, se a ordem em um dado contexto está clara, . Para qualquer matriz quadrada , temos que . Considerando ainda  como sendo uma matriz quadrada, pode existir uma outra matriz quadrada de mesma ordem, , tal que . Se esse for o caso,  é chamada inversa (multiplicativa) de  e a notação  é usada para , portanto,  .
 Não são todas as matrizes quadradas que admitem inversa, uma matriz que tem inversa é chamada não singular e uma matriz que não possui inversa é chamada singular. Se uma inversa pode ser encontrada para uma matriz, essa inversa é única.
 SAFIER, F. Pré-cálculo. 2 ed. Porto Alegre: Brookman, 2011. 
Visando encontrar a matriz inversa de uma matriz quadrada , é preciso: (1) montar o esquema para calcular a matriz inversa, lembrando que , (2) efetuar a multiplicação entre as matrizes  e , (3) fazer a equivalência dos elementos encontrados na multiplicação com a matriz identidade e, por fim, (4) resolver o sistema linear formado.
 
 
A respeito do conceito de matriz inversa e considerando as informações fornecidas sobre o seu cálculo, julgue as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
 
I. A matriz quadrada  é uma matriz não singular, possuindo uma inversa  definida por .
II. 
 PORQUE
 II. A multiplicação entre a matriz  e  resulta na matriz identidade de ordem  e, ainda, o determinante da matriz  é diferente de zero, sendo .
 
 A respeito dessas asserções, assinale a opção correta.
a.A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
b.A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
C .As asserções I e II são proposições falsas
d. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.
 e.As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I.
Sua resposta está incorreta.
A resposta correta é:
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa..
Questão 3 Texto da questão
Uma matriz  é um agrupamento retangular de elementos dispostos em linhas (horizontais) e colunas (verticais), geralmente entre colchetes ou parênteses. Os elementos de uma matriz podem ser números reais ou complexos ou até mesmo expressões algébricas, e são chamados de entradas da matriz. Uma matriz é real se os seus elementos são números reais ou expressões que assumem valores reais. Duas matrizes podem ser somadas somente quando elas têm o mesmo número de linhas e de colunas. Nesse caso, a soma de duas matrizes  e  de ordem  é a matriz  , tal que qualquer elemento de  é a soma dos elementos correspondentes de  e , isto é, se
 
,
 
então
 
.
 
Como a soma de duas matrizes é formada simplesmente adicionando-se os elementos correspondentes, é claro que as regras válidas para a adição de matrizes reais são exatamente as válidas para a adição de números reais. A adição matricial é associativa e comutativa, o que implica que a ordem em que as matrizes são somadas não é importante. Salientamos este fato porque, quando considerarmos a multiplicação de matrizes, veremos que a lei comutativa não é mais verdadeira, embora a associativa ainda seja válida.
 
KUERTEN, C. Algumas aplicações de matrizes. 2002. 68 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Curso de Matemática) – Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2002 (adaptado).
 
 A subtração de matrizes também é realizada com matrizes de mesma ordem. Assim, quando subtrairmos a matriz  da matriz , obteremos outra matriz  de mesma ordem. E para realizarmos tanto a soma quanto a subtração, devemos adicionar ou subtrair os elementos de  com os correspondentes de .
 
Considere, pois, as matrizes  e  apresentadas a seguir.
 
 e 
 
A respeito das matrizes  e , tendo em vista a adição e a subtração de matrizes, julgue as afirmações a seguir.
 
I. A matriz soma , determinada por , pode ser definida por . Ainda, .
 
II. A matriz diferença , determinada por , pode ser definida por .
 
III. A matriz soma, quando somada com a matriz diferença, ou seja, , resulta em .
 
É correto o que se afirma em:
a.II e III, apenas.
b.I e III, apenas.
c.I, II e III.
d.II, apenas.
Questão 4 Texto da questão
Os vetores da figura têm o mesmo módulo.
Podemos concluir que:
Assinale a alternativa correta.
a.A = B
b.A - B = C
c.A + B = 0
d.A + B = C
e.C + A = D
.
Questão 5 Texto da questão
Um terreno na forma retangular possui 704 m2 de área. A medida de um lado é de 10 m menor que a do outro lado. nesse caso, a medida do maior lado, em metros, é:
a.62
b.46
c.22
d.58
e.32
Questão 6 Texto da questão
No gráfico abaixo estão representados os vetores a, b e c e os vetores de módulos unitários i e j. Assinale a alternativa errada.
a.b = a + cd.c = 2i + 2j
 e.a + b = c
b. c = 2a + b
c.a = 3i
Questão 7 Texto da questão
Um geólogo amigo meu, em uma de suas muitas explorações encontrou um cristal de rocha no formato de um poliedro, que satisfaz a relação de EULER, de 60 faces triangulares. O número de vértices desse cristal é igual a:
a.34
b.31
c.32
d.35
e.33
Questão 8 Texto da questão
(Olimpiada brasileira de Física) A figura a seguir mostra seis vetores A, B, C, D, E e F que formam um hexágono.
De acordo com a figura, podemos afirmar que:
a.A + B + C = - D - E - F
b.A + B + C + D + E + F = 3A
c.A + B +C + D + E + F = 6A
d.A + B + C = 0
e.A + B + C = - D + E – F
Questão 9 Texto daquestão
Dê acordo com a figura abaixo, qual é a área da figura em cm2:
a.30
b.24
c.48
d.33
Questão 10 Texto da questão
O produto de duas matrizes é definido se, e somente se, o número de colunas da matriz  for igual ao número de linhas da matriz , o produto  é definido da seguinte maneira: assumindo que  seja uma matriz  e  seja uma matriz , então,  é uma matriz  com o elemento na linha  e coluna  sendo o produto interno da linha  da matriz  pela coluna  da matriz . Em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, não existe garantia de que  seja igual a . No caso em que os dois resultados sejam iguais, as matrizes  e  são ditas que comutam. 
 
Ainda, uma matriz quadrada  com todos os elementos da diagonal principal iguais a  e todos os outros elementos iguais a  é chamada de matriz identidade e é denotada por  ou, se a ordem em um dado contexto está clara, . Para qualquer matriz quadrada , temos que . Considerando ainda  como sendo uma matriz quadrada, pode existir uma outra matriz quadrada de mesma ordem, , tal que . Se esse for o caso,  é chamada inversa (multiplicativa) de  e a notação  é usada para , portanto,  .
 
 
Não são todas as matrizes quadradas que admitem inversa, uma matriz que tem inversa é chamada não singular e uma matriz que não possui inversa é chamada singular. Se uma inversa pode ser encontrada para uma matriz, essa inversa é única.
 SAFIER, F. Pré-cálculo. 2 ed. Porto Alegre: Brookman, 2011.
 Visando encontrar a matriz inversa de uma matriz quadrada , é preciso: (1) montar o esquema para calcular a matriz inversa, lembrando que , (2) efetuar a multiplicação entre as matrizes  e , (3) fazer a equivalência dos elementos encontrados na multiplicação com a matriz identidade e, por fim, (4) resolver o sistema linear formado.
 A respeito do conceito de matriz inversa e considerando as informações fornecidas sobre o seu cálculo, julgue as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
 I. A matriz quadrada  é uma matriz não singular, possuindo uma inversa  definida por .
 PORQUE
 II. A multiplicação entre a matriz  e  resulta na matriz identidade de ordem  e, ainda, o determinante da matriz  é diferente de zero, sendo .
 
 A respeito dessas asserções, assinale a opção correta.
a.As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I.
b.As asserções I e II são proposições falsas.
c.A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
d.As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.
e.A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
Questão 11 Texto da questão
Para o diagrama vetorial abaixo, a única igualdade correta é:
a.b + c = a
b.b + c = -a
c.a + b = 
d.a +c = cb
e. a + b = -c
Questão 12 Texto da questão
Uma pessoa se desloca sucessivamente: 5 m de norte para sul, 12 m de leste para oeste e 10 m de sul para norte. O vetor resultante tem módulo, em metros de:
a.5
b.15
c.13
d.17
e.12
Questão 13 Texto da questão
Aline anda 40 m para o leste e certa distância X para o norte, de tal forma que fica afastada 50 m do ponto de partida. A distância percorrida para o norte foi:
a.X = 35 m
b.X = 30 m
c.X = 40 m
d.X = 20 m
Questão 14 Texto da questão
Dê acordo com a figura conhecida como quadrado. Dois lados opostos de uma quadrado tem um aumento de 30% e os outros dois lados opostos tem um decréscimo de 30%. Analisando esses condições, a área dessa figura é:
a.Aumenta 9%
b.diminui 9%
c.Aumenta 15%
d.diminui 15%
e.permanece inalterada
Questão 15 Texto da questão
dê acordo com as propriedades de um cubo, temos um com arestas aumentadas em 50%, o seu volume aumentará em: 
a.50%
b.237,5%
c.337,5%
d.235,5%
e.100%
Questão 16
A soma de dois vetores de módulos 12 N e 18 N tem certamente o módulo compreendido entre:
a.12 N e 18 N
b.29 N e 31 N
c.6 N e 30 N
d.6 N e 18 N
e.12 N e 30 N
Questão 17 Texto da questão
Foi há pouco mais de 150 anos que as matrizes tiveram sua importância detectada e saíram da sombra dos determinantes. O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Augustin-Louis Cauchy, 1826: tableau (= tabela). O nome matriz só veio com James Joseph Sylvester, em 1850. Seu amigo Arthur Cayley, com sua famosa Memoir on the Theory of Matrices, 1858, divulgou esse nome e iniciou a demonstração de sua utilidade. De maneira simples, podemos dizer que matrizes são tabelas retangulares de valores, organizadas em linhas e colunas.
 Esses valores podem representar quantidades específicas, variáveis, equações e até dados nominais. A magnitude de aplicações do conceito e operações de matrizes em diversas áreas do conhecimento (principalmente, tecnológico) faz com que o seu estudo seja imprescindível. 
Matrizes são tabelas retangulares (com linhas e colunas) utilizadas para organizar dados numéricos. Veja a seguir a representação genérica de uma matriz.
 
 
Cada elemento  da matriz é indicado por dois índices: , sendo que . Podemos escrever a matriz  de forma abreviada: , sendo  uma matriz de  linhas com colunas.
 TOMIO, Júlio César. Matrizes e Determinantes. Joinville: IFSC, [s.d.]. 
 Existem três operações que envolvem as matrizes: adição, subtração e multiplicação por escalar. É importante salientar que as operações de adição e subtração só ocorrem em matrizes que possuem a mesma quantidade de linhas e colunas, pois as operações são realizadas com os elementos de mesma posição nas matrizes.
 Assim, considere as matrizes explicitadas a seguir.
 e 
 Observe que  e  são matrizes que possuem 3 linhas e 2 colunas. Com base nessas informações, sobre matrizes e operações, julgue os itens a seguir.
 
I. A matriz soma , determinada por , é definida por .
 II. A matriz diferença , determinada por , é definida por .
 
III. A operação  é verdadeira, resultando em .
 
É correto o que se afirma em:
a.I e III, apenas.
b.I, apenas.
c.II, apenas.
d.I, II e III.
e.II e III, apenas.