Matrizes-Det

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VELEIROS DE PAUL KLEE 
 
RESUMOS TEÓRICOS – ENSINO MÉDIO 
 
 
 
 
 
 
 A Matemática é a rainha e a serva de todas as 
ciências. São características de sua majestade a 
precisão, a harmonia lógica e até a beleza. 
Porém, estes aspectos não tocam a todos 
igualmente - a muitos sequer dizem alguma coisa. 
Quando o inglês Arthur Cayley (1821/1895), numa 
memória de 1858, introduziu as matrizes na 
matemática não tinha a menor idéia de qualquer 
utilidade prática desses novos entes. Sua 
preocupação era com a forma e a estrutura em 
álgebra e, sob esse aspecto, tinha criado um 
modelo bastante rico. 
Hoje a teoria das matrizes é uma das partes mais 
férteis em aplicações, não só na Matemática na 
Física e em outras ciências. 
Em 1925, o físico Heisenberg representou o átomo 
por meio de uma matriz, ou seja, o átomo 
matricial. Efetuando-se operações de cálculo com 
essas matrizes, pôde-se criar uma mecânica 
quântica e estudar fenômenos da irradiação. 
 
 
Denominamos de matriz a uma tabela de 
elementos dispostos em linhas e colunas, 
colocados entre “colchetes”. 
 
 exemplos 
 
 
 
 
1 −5
2 0
 
2𝑥2
 
2 1 −3
4 0 7
 
2𝑥3
 
−2 3 1
1
2
4 2
−5 −
2
3
0
 
3𝑥3
 
 
 
 
1 0 0
0 2 0
0 0 5
 
3𝑥3
 matriz diagonal 
 
 
 
 
 
 
1 2 6
0 3 8
0 0 0
 
3𝑥3
 matriz triangular superior 
 
 
2 0 0
4 0 0
1 −3 9
 
3x3
 matriz triangular inferior 
 
 
 
 
 
exemplo 
 
A = aij 2x2
 , tal que 
aij=i + j, se i = j
aij = 2i + j, se i ≠ j
 
a11 = 1 + 1 = 2 a12 = 1 + 2 = 3 
a12 = 1 + 2 = 3 a22 = 2 + 2 = 4 
 
 
 A = 
1 3
3 4
 
2𝑥2
 matriz quadrada 
 
 
 
 
A = aij mxn
, então At = aji nxm
 
 
exemplos 
 𝐴 = 
1 3 5
0 2 7 
 
2𝑥3
, então 𝐴𝑡 = 
1 0
3 2
5 7
 
3𝑥2
 
 A = aij 3x4 
aij = 2i − i
j , então 
 At = aji 4x3
 aji = 2j − j
i 
 
 
 
MATRIZES – DETERMINANTES 
 CONCEITO DE MATRIZ 
 
Notação Geral 
 𝐀 = 𝐚𝐢𝐣 𝐦𝐱𝐧
 
 
MATRIZ TRANSPOSTA 
 
INTRODUÇÃO 
 1 
 
 
 Propriedades 
 
 At t = A 
 A + B t = At + Bt 
 A. B t = Bt . At 
 
 
 
 Uma matriz quadrada A é chamada simétrica 
quando: 
 
 para todo i e para todo j. 
 
 
 Exemplos 
 
 
1 5
5 4
 
1 3 7
3 2 −6
7 −6 9
 
 
 
 
 
 para todo i e para todo j. 
 
 
 Exemplos 
 
 
1 7
−7 2
 
2 1 −8
−1 3 6
8 −6 4
 
 
 
 
 Dada uma matriz A = aij , chamamos de 
traço da matriz A, a soma dos elementos da 
diagonal principal. 
 
 
 
 
 
 exemplo 
 
 Sendo, 𝐴 = 
1 2 5
3 4 −1
0 6 7
 , então 
 
 Tr A = 1 + 4 + 7 = 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 I2 = 
1 0
0 1
 I3 = 
1 0 1
0 1 0
0 0 1
 
 
 Em geral: In = δij ⟺ δij = 
 1 se i = j 
0 se i ≠ j
 
 
 
 
 
 exemplo 
 
a 1
b 3
 = 
5 x
2 y
 ⟺ 
a = 5
x = 1
b = 2
y = 3
 
 
 
 
 
Sendo A = 
2 5
1 3
 , B = 
−1 4
7 8
 e C = 
0 −2
4 −1
 
 
obter: 
 
2A + B − 3C = 2 
2 5
1 3
 + 
−1 4
7 8
 − 3 
0 −2
4 −1
 = 
 
= 
4 10
2 6
 + 
−1 4
7 8
 + 
0 6
−12 3
 = 
3 20
−3 17
 
 
 
 
 
 
Se A = 
1 2 3
0 1 4
 e B = 
1 2
2 3
0 6
 , então 
 
 A. B = 
1.1 + 2.2 + 3.0 1.2 + 2.3 + 3.6
0.1 + 1.2 + 4.0 0.2 + 1.3 + 4.6
 = 
5 26
2 27
 
 
 
 
 
 
MATRIZ SIMÉTRICA 
 𝐀𝐭 = 𝐀 ⟺ 𝐚𝐢𝐣 = 𝐚𝐣𝐢 
 MATRIZ ANTI-SIMÉTRICA 
𝐀𝐭 = −𝐀 ⟺ 𝐚𝐢𝐣 = −𝐚𝐣𝐢 
TRAÇO DE UMA MATRIZ 
𝐭𝐫 𝐀 = 𝐚𝐢𝐢
𝐧
𝐢=𝟏
 
MATRIZ IDENTIDADE 
IGUALDADE DE MATRIZES 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES 
Se 𝐀 = 𝐚𝐢𝐣 𝐦𝐱𝐧
 e 𝐁 = 𝐛𝐢𝐣 𝐦𝐱𝐧
, 𝐞𝐧𝐭ã𝐨 𝐚𝐢𝐣 = 𝐛𝐢𝐣 
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES 
 𝐀. 𝐁 = 𝐜𝐢𝐣 𝐦𝐱𝐧
, 𝐨𝐧𝐝𝐞 𝐜𝐢𝐣 = 𝐚𝐢𝐤. 𝐛𝐤𝐣
𝐩
𝐤=𝟏
 
 Sendo 𝐀 = 𝐚𝐢𝐣 𝐦𝐱𝐩
 𝐞 𝐁 = 𝐛𝐢𝐣 𝐩𝐱𝐧
, 𝐞𝐧𝐭ã𝐨 
 
 2 
 
 
 Multiplicação pela matriz Identidade 
 
 
 
 
 
x y z
a b c
 . 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 = 
x y z
a b c
 
 
 
 
 
 
 
A toda matriz quadrada de ordem n, associamos 
um número chamado de determinante. O 
determinante de uma matriz quadrada A e 
denotado por detA. 
 
 
 
 
 
 exemplo A = 5 detA = 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 exemplo 
 
 A = 
1 2
3 9
 detA = 9.1 − 3.2 = 3 
 
 B = 
−1 −3
4 5
 detB = −1 . 5 − 4. −3 = −5 + 12 = 7 
 
 
 
 A = 
1 2 1
2 3 1
1 2 2
 
 
 
detB = 
𝟏 𝟐 1
𝟐 𝟑 1
𝟏 𝟐 2
 
𝟏 𝟐
𝟐 𝟑
𝟏 𝟐
 = 
 
= 1.3.2 + 2.1.1 + 1.2.2 − 1.3.1 − 2.1.1 − 2.2.2 = −1 
 
 
 
 
 
 
 
Dada uma matriz quadrada A = aij de ordem 
n ≥ 2, chamamos de cofator do elemento 𝐚𝐢𝐣 o 
número Aij = (−1)
i+j . Dij ,em que Dij é o 
determinante que se obtém de A, eliminando-se a 
linha i e a coluna j. 
 
exemplos 
 
 A = 
3 0 3
2 1 0
1 0 2
 
 
 A11 = (−1)
1+1. 
1 0
0 2
 = −1 2. 2 − 0 = 2 
 
 A23 = (−1)
2+3. 
3 0
1 0
 = −1 5 . 0 − 0 = 0 
 
 A33 = −1 
3+3. 
3 0
2 1
 = −1 6 . 3 − 0 = 3 
 
 
 B = 
 3 1 2 −1
 2 4 1 5
−2 2 3 0
 1 5 0 7 
 
 
 B22 = (−1)
2+2. 
3 2 −1
−2 3 0
1 0 7
 = 63 + 3 + 28 = 94 
 
 O determinante de uma matriz quadrada de 
ordem n ≥ 2, é o número que se obtém pela 
soma dos produtos dos elementos de uma fila 
 qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos 
cofatores. 
 
 exemplos 
 
 
D = 
 2
 3
 4
 
 1 −1 1
−2 1 1
 0 1 0
 
 2 −3 3 5
 
 
 
Escolhendo a 3ª linha, temos: 
 
D = 4. D31 + 0. D32 + 1. D33 + 0. D34 
𝐷
 
 
𝐀. 𝐈𝐧 = 𝐈𝐧. 𝐀 = 𝐀 
 
 𝐞𝐦 𝐠𝐞𝐫𝐚𝐥 𝐀. 𝐁 ≠ 𝐁. 𝐀 
 
 
DETERMINANTES 
Ordem 1 
Ordem 2 
Se 𝐀 = 𝐚 , então 𝐝𝐞𝐭𝐀 = 𝐚 
Se 𝐀 = 
𝐚 𝐛
𝐜 𝐝
 , 𝐞𝐧𝐭ã𝐨 𝐝𝐞𝐭𝐀 = 𝐚𝐝 − 𝐛𝐜 
Ordem 3 (Sarrus) 
COFATOR 
TEOREMA DE LAPLACE 
 3 
 
 
D31 = (−1)
3+1. 
1 −1 1
−2 1 1
−3 3 5
 = 5 + 3 − 6 + 3 − 10 − 3 = −8 
 
 D33 = (−1)
3+3 . 
2 1 1
3 −2 1
2 −3 5
 = −20 + 2 − 9 + 4 − 15 + 6 = −32 
 
Daí, D = 4. −8 − 32 = −64 
 
 
 
 
 
Se uma fila (linha ou coluna) de uma matriz é 
nula, o seu determinante é zero. 
 exemplo 
 
 
1 0 7
−1 0 3
5 0 2
 = 
 
 
 
 
Se duas filas de uma matriz são iguais, o seu 
determinante é zero. 
 exemplo 
 
 
1 5 2
0 2 4
1 5 2
 = 
1 0 1
5 2 5
1 4 2
 = 0 
 
 
 
 Se duas filas de uma matriz são proporcionais, o 
seu determinante é zero. 
 exemplos 
 
 
a b c
d e f
ka kb kc
 = 0 ( k ∈ R) 
 
 
 
1 2.1 3
5 2.5 1
7 2.7 9
 = 0 
 
 
 
 O determinante de uma matriz A e de sua 
transposta são iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
exemplo 
 
 
3 2
1 5
 = 
3 1
2 5
 
 
 
 
Se trocarmos a posição de duas filas paralelas da 
matriz A, obtendo a matriz B, então: 
 
 
 
 exemplo 
 
 
a b
c d
 = − 
c d
a b
 
 
 
Se os elementos de uma fila de uma matriz A, são 
multiplicados por um número real 𝐤 ≠ 𝟎, obtemos 
uma matriz B, tal que: 
 
 
 
 
 exemplo 
 
 
ka kb
c d
 = k. 
a b
c d
 
 
 
 
Sejam a matriz A, nxn e um número real k ≠ 0, 
então: 
 
 
 
 exemplos 
 
 Se A = 
a b
c d
 , então k. A = 
ka kb
kc kd
 
 
 Daí, 
 
 det k. A = ka kb
kc kd
 = k. k. 
a b
c d
 = k2 . 
a b
c d
 = k2 . detA 
 
 Se A é uma matriz quadrada de ordem 3, 
e detA = 5 , então: 
det 2A = 23 . detA = 8.5 = 40 
 
 
 
 
 
 PROPRIEDADES 
 
Fila Nula 
Filas iguais 
Filas Proporcionais 
Determinanteda Matriz Transposta 
𝐝𝐞𝐭𝐀 = 𝐝𝐞𝐭𝐀𝐭 
 
Troca de filas Paralelas 
𝐝𝐞𝐭𝐀 = −𝐝𝐞𝐭𝐁 
 
 Multiplicação de uma fila por um número 
𝐝𝐞𝐭𝐁 = 𝐤. 𝐝𝐞𝐭𝐀 
Matriz multiplicada por um número 
 
𝐝𝐞𝐭 𝐤. 𝐀 = 𝐤𝐧. 𝐝𝐞𝐭𝐀 
 4 
 
 
 
 
 Se A e B são matrizes quadradas de mesma 
ordem, então: 
 
 
 
 
 exemplo 
 
 Sejam A = 
3 1
2 4
 e B = 
−1 5
−3 7
 , temos que: 
 
 detA = 10 ; detB = 8 e detA. detB = 80 
 
 A. B = 
3 1
2 4
 . 
−1 5
−3 7
 = 
−6 22
−14 38
 
 
Daí, det A. B = −228 + 308 = 80 = detA. detB 
 
 
 
 
 
x + a y + b z + c
m n p
r s t
 = 
x y z
m n p
r s t
 + 
a b c
r s t
m n p
 
 
 exemplo 
 
 
3 + 2 5
2 + 1 7
 
 
1º 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜
= 
3 5
2 7
 + 
2 5
1 7
 
 
2º 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜
 
 
 Temos 
 
 
3 + 2 5
2 + 1 7
 
 
1º 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜
= 
5 5
3 7
 = 20 
 
 
3 5
2 7
 + 
2 5
1 7
 
 
2º 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜
= 11 + 9 = 20 
 
 
 V x, y, z = 
1 1 1
x y z
x2 y2 z2
 = y − x . z − x . (z − y) 
 Os elementos da 2ª linha são chamados os 
elementos da base da matriz. 
 Os elementos de cada coluna estão em 
progressão geométrica cujo 1º elemento é 1. 
 
 
 exemplo 
 V 2,3,5 = 
1 1 1
2 3 5
22 32 52
 = 3 − 2 5 − 2 5 − 3 = 6 
 
 Em uma matriz quadrada A, se o produto de uma 
de suas filas por um número real (não nulo), é 
somado a uma outra fila paralela, então o 
determinante da matriz resultante B é igual ao 
determinante de A. 
 exemplo 
A = 
3 2
5 7
 , temos que detA = 1 
 Vamos calcular a matriz B, substituindo a 2ª 
linha de A pela soma dela com a 1ª linha 
multiplicada por −2 
 B = 
3 2
−1 3
 , temos que detB = 11 
Para o abaixamento da ordem do determinante de 
uma matriz nxn, devemos obter o elemento a11=1. 
 1º) “Suprimimos” a 1ª linha e a 1ª coluna. 
 2º) De cada elemento restante, subtraímos o 
produto daqueles elementos que se encontram 
nas “extremidades das perpendiculares” 
traçadas do elemento considerado, sobre a 1ª 
linha e sobre a 1ª coluna 
 exemplo 
 
1 2 3
2 5 8
1 6 12
 = 
5 − 4 8 − 6
6 − 2 12 − 3
 = 
1 2
4 9
 = 1 
 
 
3 11 5
1 4 2
2 7 2
 = − 
1 4 2
3 11 5
2 7 2
 = − 
11 − 12 5 − 6
7 − 8 2 − 4
 = 
 = − 
−1 −1
−1 −2
 = − 2 − 1 = −1 
 
Teorema de Binet 
 𝐝𝐞𝐭 𝐀. 𝐁 = 𝐝𝐞𝐭𝐀. 𝐝𝐞𝐭𝐁 
Adição de Determinantes 
Determinante de Vandermonde 
Soma de filas paralelas – Teorema de Jacobi 
 REGRA DE CHIÓ 
Abaixamento da Ordem de um Determinante 
 
 5 
 
 
 Uma matriz quadrada A de ordem n, é invertível se, 
e somente se 𝐝𝐞𝐭𝐀 ≠ 𝟎 
 Cálculo da matriz Inversa 
 
 Chamamos de matriz cofatora de A, a matriz que 
obtemos substituindo os elementos aij de A por seus 
cofatores. Indicamos a matriz cofatora de A por 
cofA.. 
 
 Chamamos de matriz adjunta de A, a transposta 
da cofatora. Indicamos a matriz adjunta de A por 
adjA = A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 exemplo 
 A = 
1 0 2
2 1 0
1 0 1
 detA = −1 
 cofA = 
1 −2 −1
0 −1 0
−2 4 1
 
 
 adjA = (cofA)t = 
1 0 −2
−2 −1 4
−1 0 1
 
A−1 =
 
1 0 −2
−2 −1 4
−1 0 1
 
−1
= 
−1 0 2
2 1 −4
1 0 −1
 
 Um elemento da inversa de A 
 b23 =
A32
detA
=
4
−1
= −4 
 
 
1) Dadas as matrizes A = 
1
4
1
1
2
2
 , B = 
3 −1
2 1
 e 
 C = 
0 −
1
2
1
2
0
 , determine a matriz X que verifica a 
 equação2A + B = X + 2C. 
 2) (Fgv) A, B e C são matrizes de mesma ordem. 
Sabendo-se que a equação abaixo (cuja incógnita 
é a matriz X) tem solução única, obtenha o valor 
da matriz X : 
a) AX + B = C 
b) XA − X + B = C 
3) (EU-CE) Sejam as matrizes P1 = 
1 1
0 1
 , 
P2= 
2 3
0 2
 e I = 
1 0
0 1
 . 
Se 2 − n . I + n. P1 = P2 n ∈ N , quanto vale 
 
Matriz Inversa 
𝐀−𝟏 =
𝐚𝐝𝐣𝐀
𝐝𝐞𝐭𝐀
 
Matriz Cofatora 
 Matriz Adjunta 
Matriz Inversa 
Propriedades 
𝐀. 𝐀−𝟏 = 𝐀−𝟏. 𝐀
= 𝐈 
 𝐝𝐞𝐭𝐀−𝟏 =
𝟏
𝐝𝐞𝐭𝐀
 
 𝐀 = 
𝐚 𝐛
𝐜 𝐝
 ⟹ 𝐀−𝟏 =
 
𝐝 −𝐛
−𝐜 𝐝
 
𝐝𝐞𝐭𝐀
 
 
Um elemento 𝐛𝐢𝐣 da inversa de A é dado por 
 𝐛𝐢𝐣 =
𝐀𝐣𝐢
𝐝𝐞𝐭𝐀
 
 𝐀−𝟏 
−𝟏
= 𝐀 
(𝐀. 𝐁)−𝟏 = 𝐁−𝟏. 𝐀−𝟏 
 Exercícios 
 6 
 
 n2 − 2n + 7? 
 4) (Fgv) Se A = 
2 −3
1 𝑦
𝑥 2
 , B = 
1
2
1
 e At . B é uma 
matriz nula, calcule x. y2 . 
 5) (Puc) O elemento c22 da matriz C = A. B onde 
 A = 
1 2
5 6
−1 0
 
3 4
7 7
0 1
 e 𝐵 = 
7 1 2
8 1 1
5 0 0
4 0 1
 , é 
 a) 0 b) 2 c) 6 d) 11 e) 22 
 6) (Fatec) Seja a matriz A = 
1 b
a 1
 , tal que 
 A2 = 
−19 −8
10 −19
 . É verdade que a + b é igual 
 a) 0 b) 1 c) 9 d) 1 e) 2 
 7) (Vunesp) Considere as matrizes A = 
1 x
y z
 
 B = 
1 2
1 1
 e C = 
4 5
36 45
 com x,y e z números reais. 
Se A. B = C, a soma dos elementos da matriz A é: 
 a) 9 b) 40 c) 41 d) 50 e) 81 
8) (Fuvest) O produto da matriz A = 
3
5
4
5
x y
 pela sua 
transposta é a identidade. Determine x e y sabendo 
que detA > 0 
 9) (Fuvest) É dada a matriz 𝑃 = 
1 1
0 1
 . Calcule P2 , , 
P3 e Pn. 
 10) (Fuvest) A é uma matiz quadrada de ordem 2 tal 
que detA ≠ 0 . Se det 2A = detA
2, então detA será 
igual a: 
 a) 0 b) 1 c) ½ d) 4 e) 16 
 11)(Mack) Dada a matriz A = aij tal que 
aij= 
sen 
πi
2
 , se i = j
cos πj , se i ≠ j
 
 Então A2 é a matriz: 
 a) 
−1 −1
1 0
 b) 
−1 1
0 1
 c) 
0 −1
1 1
 
 
 
 d) 
0 1
−1 0
 e) 
0 1
−1 −1
 
 12) (Fuvest) Considere as matrizes 
 1º) A4x7 = aij onde aij = 3i − 2j 
 2º) B7x9 = bij onde bij = i + j − 1 
 3º) C = cij = A. B 
 O elemento c6x3 é: 
 a) 2 b) 25 c) 13 d) 20 e) não existe 
 13) (Fuvest) O determinante da matriz 
a b
b a
 
 onde 2a = ex + e−x e 2b = ex − e−x é igual a: 
 a) 1 b) 1 c) xe d) xe e) zero 
 14) (Faap) Seja a matriz A = aij 2x2
 tal que 
 aij = 
i + j, se i ≥ j
i2 − j, se i < 𝑗
 . Calcule detA. 
 15) (Mack) Seja a matriz A = 
a − b d − e g − h
b − c e − f h − i
c − a f − d i − g
 
 cujos elementos são quaisquer números reais. 
Nesta condições, detA vale: 
 a) a + b + c b) a + d + g c) b + e + h 
 d) c + f + i e) zero 
 16) (Fuvest) 
 1 1 1 1
 1 2 2
 1 2 3
 
 2
3
 1 2 3 4
 
 é igual a 
 a) 2 b) 1 c) 0 d) −1 e) −2 
 17) (Mack) Quaisquer que sejam os números x e y 
tais que 𝑥 > 𝑦 > 0 o determinante 
 
𝑥 𝑥 𝑥
𝑥 𝑦 𝑥
𝑥 𝑥 𝑦
 
𝑥
𝑥
𝑥
 𝑥 𝑥 𝑥 𝑦 
 
 é 
 a) nulo b) um número positivo 
 7 
 
 c) um número negativo d) múltiplo de 3 
 e) múltiplo de x + y 
 
18) (Ita) Seja a ∈ R e considere as matrizes reais 
2x2: 
 A = 
3a −1
−1 3a
 e B = 7
a−1 8a−3
7 2−3
 e 
 O produto A.B será inversível se, e somente se 
 a) a2 − 5a + 6 ≠ 0 b) a2 − 5a ≠ 0 
 c) a2 − 3a ≠ 0 d) a2 − 2a + 1 ≠ 0 
 e) a2 − 2a ≠ 0 
 19) (Ita) Sejam A,B e C matrizes quadradas nxn tais 
que A e B são inversíveis e ABCA = At, onde At é a 
transposta da matriz A. Então podemos afirmar 
que: 
 a) C é inversível e detC = det AB −1 . 
 b) C é não inversível pois detC ≠ 0 . 
 c) C é inversível e detC = detB . 
 d) C é inversível e detC = (detA)2 . detB. 
 e) C é inversível e detC =
detA
detB
. 
 20) (Ita) Sejam m e n números reais com 𝑚 ≠ 𝑛 e as 
matrizesA = 
2 1
3 5
 ; 𝐵 = 
−1 1
0 1
 
 Para que a matriz mA + nB seja não inversível é 
necessário que: 
a) m e n sejam positivos 
b) m e n sejam negativos 
c) m e n tenham sinais contrários 
d) n2 = 7m2 
e) n.d.a 
 
 
 21) (Fgv) A matriz A é do tipo 5x7 e a matriz B, é 
do tipo 7x5. Assinale a alternativa correta: 
a) A matriz AB tem 49 elementos. 
b) A matriz BA tem 25 elementos. 
c) A matriz (AB)2 tem 625 elementos. 
 
d) A matriz (BA)2 tem 49 elementos. 
 e) A matriz (AB) admite inversa. 
22) (U.F.S.Maria-RS) Na planilha de cálculos do 
setor de engenharia, responsável pelas obras 
do shopping, foram encontradas as matrizes : 
 A = 
log1 log0,01
log100 log10
 e 
 B = 
cos
π
2
tg
π
4
sen
3π
2
cos
π
3
 
 É correto, então, afirmar que A é igual a: 
 a) 
1
2
𝐵 b) B c) −𝐵 d) 2Bt e) 2B 
 23) (Vunesp) Determine o valor de k ∈ R em 
 
y − x = k
z − y = 2k
 a fim de que 
x2 −2x 1
y2 −2y 1
z2 −2z 1
 = 96 
 24) (Mauá) Na equação a seguir, determinar 
a e b reais. Sabe-se que i2 = −1 
 
1 a + 3i i8
0 a + 2i −3
0 1 − i i3
 = b + 2i 
 25) (Fei) Se 𝐴 = 
1 2
2 1
 e 𝐵 = 
3 1
0 2
 , 
determinar X = (A. B−1)t . 
26) (Fuvest) a) Dada a matriz A = 
−2 3
−1 2
 , 
calcule sua inversa A−1 . 
 b) A relação especial, que você deve ter 
observado entre A e A−1 anteriormente, seria 
também encontrada se calculássemos as matrizes 
inversas de: 
8 
 
 
−3 4
−2 3
 ; 
−5 6
−4 5
 ; 
−1 2
0 1
 . 
 Generalize e demonstre o resultado observado. 
 27) (Fuvest) O determinante da inversa da matriz 
 é: 
1 0 1
−1 −2 0
1
5
4 3
 é: 
 a) −
52
5
 b) −
48
5
 c) −
5
48
 d) 
5
52
 e) 
5
48
 
 28) (Mack) Se x é um número real positivo tal que 
 
1 1 1
−1 𝑥 1
1 𝑥2 1
 < 0, então x pode ser: 
 a) 
1
4
 b) 
1
3
 c) 
1
2
 d) 
3
4
 e) 
3
2
 
 29) (Vunesp) 
 Se a e b são as raízes da equação 
 
2𝑥 8𝑥 0
log
2
𝑥 log
2
𝑥2 0
1 2 3
 = 0 
 onde 𝑥 > 0, então a + b é igual a: 
 a) 
2
3
 b) 
3
4
 c) 
3
2
 d) 
4
3
 e) 
4
5
 
 30) Calcular 
 V = 
 1 1 1 1 
log 2 log 20 log 200
log22 log220 log2200
log32 log320 log3200
 
log 2000
log22000
log32000
 
 31) (Mack) Seja a matriz 
 
x 1 0 0 0 0
0 x 1 0 0 0
0 0 x 1 0 0
A
0 0 0 x 1 0
0 0 0 0 x 2 k
0 0 0 0 1 x
 
 
 
 
  
 
 
 
 
, k ∈ R, e a função real 
dada por f x = detA . Então: 
 a) f 0 = 1, ∀k 
 b) f 1 + f −1 = 0, ∀𝑘 
 c) f 1 = 0, ∀𝑘 
 
 d) f −x = −f x , ∀k 
 e) f −x = f x , ∀k 
 32) a) Sendo A = 
1 2
3 4
 e B = 
5 6
7 8
 
 verifique que: 
 t t T(A B) A B   
 t T t(AB) B .A 
 t t(A ) A 
 em geral se A = aij mxp
 e B = bij pxn
 , 
vale a propriedade A. B t = Bt . At 
 b) (Ita) Sejam A e B matrizes nxn, e B uma 
matriz simétrica 
 Dadas as afirmações 
(I) AB + BAt é simétrica 
 (II) A + At + B é simétrica 
 (III) ABAt é simétrica 
 Temos que: 
 a) apenas (I) é verdadeira . 
 b) apenas (II) é verdadeira . 
 c) apenas (III) é verdadeira . 
 d) apenas (I) e (II) é verdadeira. 
 e) todas afirmações são verdadeiras. 
 33) (Unicamp) Considere as matrizes 
 M = 
cosθ senθ 0
−senθ cosθ 0
0 0 1
 , X = 
x
y
z
 e 𝑌 = 
1
0
3
 
a) Calcule o determinante de M e a matriz inversa 
de M. 
b) Resolva o sistema MX = Y 
 
 
 9 
 
34)(Ibmec) Considere a matriz 
A = 
log
2
125 log
16
36
log
36
81 log
125
(x2 + 5x)
 . 
O conjunto solução da equação detA = 3 é 
 a) 3 b) −3 c) −8 d) −3,8 e) 3, −8 
 35) (Ibmec) Sejam 𝛼, 𝛽 𝑒 𝛾 as três raízes da equação 
 
𝑥 1 1
1 𝑥 1
𝑥 4 𝑥
 = 0 
 Então, 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 é igual a 
 a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 
 36) (Mack) Se A3 = 
2 −1
−4 6
 o triplo do 
determinante da matriz A é igual a: 
 a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15 
37) (Ita) Sejam A e P matrizes reais quadradas de 
ordem n, tais que A é simétrica (isto é, A = At) e P é 
ortogonal (Isto é, PPt = I = PtP ) , P diferente da 
matriz identidade. Se B = PtAP , então 
 a) AB é simétrica 
 b) BA é simétrica 
 c) detA = detB 
 d) BA = AB 
 e) B é ortogonal 
 38) (Ita) Sejam A e B matrizes 2x2 tais que AB = BA e 
satisfazem à equação matricial A2 + 2AB − B = 0. 
Se B é inversível. Mostre que 
 a) AB−1 = B−1A b) A é inversível 
 
 
 1) X = 
7
2
2
2 5
 
 2) a) X = A−1(C − B) 
 
 
 b) X = C − B . (A − I)−1 
 3) 10 4)−1 5) d 6) b 7) b 
 8) x = −
4
5 
 e y =
3
5
 
 9) P2 = 
1 2
0 1
 ; P3 = 
1 3
0 1
 ; Pn = 
1 n
0 1
 
 
 
 10) d 11) e 12) e 13) a 14) 11 
 15) e 16) b 17) c 18) e 19) a 
 20) c 21) d 22) d 23) 2 
 24) a = −5 e b = 5 
 25) A = 
1
3
2
3
5
6
1
6
 
 26) a) A−1 = 
−2 −3
−1 2
 b) As matrizes podem 
ser representadas por A = 
−x x + 1
−(x − 1 x
 xϵR 
 27) c 28) e 29) c 30) 12 31) e 
 32) a) verificação b) e 
 33)a) detM = −1 M−1 = 
cosθ −senθ 0
senθ cosθ 0
0 0 1
 
 b) X = 
cosθ
senθ
3
 x = cosθ ; y = senθ e z = −3 
 34) e 35) a 36) b 37) c 38) demonstrar 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 10 
 AUTOR 
 
 prof. José Márcio Pellegrini 
 
 (011) 8732-3121 
 
 profpellegrini@gmail.com