OLG - notas de aula de economia monetária

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Notas de Aula de Economia Monetária: A Moeda em
um Modelo de Gerações Superpostas
Prof. José Coelho
August 17, 2022
1 Introdução
Neste curso estudaremos economia monetária através da construção de modelos econômi-
cos que replicam características essenciais de economias atuais, com tais modelos funcio-
nando como simpli�cações da complexa realidade econômica em que vivemos. Apesar de
simpli�cações, tais modelos devem ilustrar os elementos do comportamento de indivíduos
que escolhem reter moeda baseados em previsões de variáveis econômicas importantes
como produto real, preços, receita do governo, bem estar, etc., e em mudanças de políti-
cas que envolvem moeda.
Para apresentar um modelo de economia monetária, temos de ter em mente quais são
as características essenciais de uma economia monetária: a moeda é um bem diferente
dos outros tipos de bens, já que os indivíduos demandam os outros bens pela utilidade
derivada do seu consumo, enquanto demandam moeda não para consumi-la, mas porque
a moeda os ajuda na tarefa de adquirir os bens que desejam consumir.
Isto é, a moeda é um meio de troca1.
Um modelo que diferencia deste modo a demanda por moeda da demanda por outros
bens, requer duas características especiais.
Primeiro, na ausência da moeda, deverá existir alguma fricção nas trocas que impede
as pessoas de trocar diretamente os bens possuem pelos bens que desejam. Isto é, se as
pessoas puderem, sem custo adicional, trocar os bens que possuem pelos bens que dese-
jam, não haverá papel para a moeda nessa economia. Segundo, como a moeda é um ativo
que pode ser retido entre períodos curtos de tempo, antes de ser gasto, deverá existir
alguém que deseja reter moeda de um período para outro. Assim, no nosso modelo de
economia monetária, sempre haverá alguém que viverá no período seguinte.
O segundo requerimento pode ser atendido em duas possíveis abordagens:
1. As pessoas vivem vidas in�nitas (pense numa geração in�nita: o indivíduo cria os
próprios �lhos e estes criam os próprios �lhos e assim por diante, de modo a perpetuar os
1No nosso modelo, além de meio de troca, a moeda é reserva de valor, algo que veremos a seguir,
notando que a moeda transfere riqueza entre gerações.
1
descendentes);
2. As pessoas vivem vidas �nitas, porém as gerações se sobrepõem (ou se superpõem) em
dois ou mais períodos.
1.1 A Noção de Gerações Superpostas
Nos concentraremos no segundo tipo de abordagem, supondo que os indivíduos nascidos
num período t qualquer, vivem durante dois períodos, de modo que no período t convivem
duas gerações de indivíduos: nascidos nos períodos t− 1 e t.
Começaremos com uma versão simpli�cada do modelo de gerações superpostas (OLG)
desenvolvido por Paul Samuelson, em 1958 e, de acordo com as necessidades que sur-
girem com o avanço da discussão, introduziremos as extensões necessárias à abordagem,
de modo a �exibilizar a análise.
No nosso modelo de economia monetária, a moeda tem a habilidade de transferir va-
lores entre períodos: se, no período t, alguém aceitar uma unidade monetária em troca
de bens, esta unidade monetária poderá ser trocadas por bens no período t+ 1.
Numa economia com gerações superpostas com duas gerações, a moeda é o meio pelo
qual são transferidos valores entre as gerações t e t+ 1. Como veremos mais à frente, tais
transferências intergeracionais não podem acontecer na ausência de moeda, de modo que
a moeda funciona como um mecanismo capaz de permitir trocas mutuamente bené�cas
entre as mesmas, o que aumenta o bem estar dos indivíduos.
1.1.1 As Hipóteses do Modelo
1. O indivíduo vive em dois períodos: quando jovem, no período t e quando velho, no
período t+ 1;
2. A economia começa no período t = 1;
3. Em cada período t ≥ 1, nascem Nt indivíduos, de modo que, no período t, con-
vivem Nt indivíduos nascidos no período t e Nt−1 indivíduos nascidos no período t − 1
(no período 1 há N0 +N1 indivíduos);
4. Na economia, existe um único bem perecível, ou um bem que não ser �armazenado�
de um período para o seguinte, de modo que o que é produzido no período t tem que ser
consumido no próprio período t;
5. No primeiro período de vida, quando jovem, cada indivíduo recebe uma dotação de
y unidades do bem perecível e 0 unidades do mesmo no segundo período, quando velho.
Podemos interpretar a dotação do bem perecível como a habilidade de trabalho que cada
pessoa recebe ao nascer: quando jovens, os indivíduos produzem, consomem e poupam e,
quando velho, apenas consomem a poupança gerada quando eram jovens;
6. Os individuos da geração inicial (N0) serão velhos no período 1. Tal geração é con-
hecida como Initial Old.
2
Figure 1:
Tal padrão de dotações está ilustrado na Figura 1.
1.2 As Preferências dos Indivíduos
Os indivíduos obtêm satisfação consumindo o único bem (perecível!) existente na econo-
mia.
1.2.1 As Gerações Futuras
Os membros das gerações futuras (t ≥ 1) desejam consumir quando são jovens e quando
forem velhos, de modo que suas funções de utilidade dependem da combinação de con-
sumo pessoal quando são jovens e quando são velhos.
Nesse sentido, acerca das preferências de um indivíduo qualquer, assume-se que suas
funções de utilidade de indivíduos nascidos no período t terão o seguinte formato
U = U(c1,t, c2,t+1)
de modo que
(a). Cada indivíduo prefere consumir quantidades positivas do bem nos dois períodos, a
consumi-lo todo em um único período (ver na Figura 2);
(b). Dada a quantidade consumida em um período, a utilidade do indivíduo aumenta
com o aumento do consumo no outro período (ver na Figura 3).
(c). Para receber uma unidade adicional do bem de consumo no período seguinte, o
indivíduo tem que estar disposto a abrir mão de maior quantidade do bem de consumo
hoje, se o bem de consumo for abundante hoje relativamente ao bem de consumo amanhã.
3
Figure 2:
(ver na Figura 2).
Com as hipóteses acima assume-se que os indivíduos são capazes de ranquear (ou classi-
�car) combinações (ou cestas) do bem de consumo ao longo do tempo, de modo a ordenar
suas preferências. Assim, denotando o consumo de um indivíduo nascido no período t, no
primeiro período de vida (quando jovem), por c1,t e no segundo período de vida (quando
velho), por c2,t+1, preferências dos indivíduos podem ser representadas na seguinte função
de utilidade
U = U(c1,t, c2,t+1) (1)
Pela equação acima e , sabendo que ao longo de uma curva de indiferença a satisfação é
constante, conclui-se que
dU = 0⇒ ∂U
∂c1,t
dc1,t +
∂U
∂c2,t+1
dc2,t+1 = 0
de modo que a taxa marginal de substituição no consumo entre o primeiro e o segundo
períodos de vida do indivíduo é
TMS1,2 ≡
dc2,t+1
dc1,t
= −
∂U
∂c1,t
∂U
∂c2,t+1
< 0
Gra�camente, a primeira hipótese assume que o consumo nulo em um dos períodos rep-
resentará uma provação terrível, de modo que as curvas de indiferença são essencialmente
verticais quando c1 se aproxima de zero e essencialmente horizontais quando c2 se aprox-
ima de zero; a segunda hipótese garante que a satisfação do indivíduo cresce da esquerda
para a direita; e a terceira hipótese garante que, à medida em que aumenta o consumo
em um dos períodos, haverá menos disposição em abrir mão de uma unidade do bem para
4
Figure 3:
consumí-lo no período seguinte. Isto é, a taxa marginal de substituição entre c1 e c2 é
decrescente (e vice versa).
1.2.2 A Geração Initial Old
Como os indivíduos da geração inicial já nascem velhos e vivem (e consomem) no período
inicial da economia, então eles maximizam a satisfação consumindo no segundo período
de vida (c2). Logo, sua função de utilidade tem a seguinte forma funcional
U = U(c2) (2)
1.3 O Problema Econômico
O indivíduo, ao nascer, recebe uma dotação y do bem de consumo perecível. No entanto,
deseja consumir tal bem de consumo no primeiro período de vida (quando jovem) e no
segundo período (quando velho). Como o bem é perecível e o indivíduo vive em dois
períodos, ele tem que resolver um problema de como adquirir os bens que necessita con-
sumir no segundo período de vida. Aqui, duas abordagens são apontadaspara resolver o
problema:
(a) A solução de um Planejador Central;
(b) A solução descentralizada do mercado, com moeda.
(a). A solução do Planejador Central
O Planejador Central não pode alocar mais bens do que existe. Isto é, sua ação é limi-
tada pela quantidade de bens na economia. Como apenas os jovens recebem a dotação
inicial do bem de consumo (y) e nascem Nt indivíduos no período t, então, no período t,
o consumo total da economia (Ct) não pode ser superior à dotação agregada dos jovens,
Nty. Isto é,
5
Ct ≤ Nty (3)
Supondo que todos os membros de uma mesma geração têm as mesmas preferências sobre
o bem de consumo ao longo da vida, isto é, que cada indivíduo da geração t tem preferência
sobre suas respectivas cestas de consumo (c1t; c2t), então, no período t,
C1,t = Ntc1,t (4)
C2,t = Nt−1c2,t (5)
onde C1,t e C2,t representam, respectivamente, os consumos agregados dos jovens e dos
idosos, no período t.
Assim, a restrição orçamentária enfrentada pelo Planejador Central será distribuir o con-
sumo a cada grupo (jovens e velhos) de acordo com
Ct = C1,t + C2,t
de modo que
Ntc1,t +Nt−1c2,t ≤ Nty (6)
Supondo que a população permaneça constante ao longo do tempo (Nt−1 = Nt = N),
então
c1,t + c2,t ≤ y (7)
Supondo, ainda, alocações estacionárias (c1,t = c1 e c2,t = c2), isto é, o Planejador Cetral
atribui aos membros de uma mesma geração a mesma cesta de consumo, então
c1 + c2 ≤ y (8)
maxU(c1, c2)
s.t.c1 + c2 ≤ y
A Alocação da Regra de Ouro
À alocação estacionária factível de consumo que maximiza o bem-estar das gerações fu-
turas (c∗1, c
∗
2), chamamos de Alocação da Regra de Ouro. Nessa alocação, as utilidades
das gerações futuras ocupam o mais alto nível durante toda a vida dos indívíduos e ocorre
no único ponto de tangência da mais alta curva de indiferença que puder alcançar (ver
Figura 4).
6
Figure 4:
A Solução da Geração Inicial
Como é importante considerar o bem-estar de todos os participantes da economia, faz
sentido considerar os efeitos de política sobre a geração inicial. Sabemos que a alocação
da regra de ouro é tal que maximiza a utilidade das gerações futuras (t ≥ 1). Porém, tal
equilíbrio não maximiza a utilidade da geração inicial. Além disso, como a geração inicial
consome apenas no segundo período de vida, então sua função de utilidade é algo como
U = U(c2) (9)
Nesse caso, o problema de maximização da geração inicial imporia
c2 = y
como o ponto E da Figura 4, um tipo de de solução em que apenas as gerações velhas,
incluindo a geração inicial, consomem todo o bem de consumo y, um resultado para lá de
irrelevante, já que há uma in�nidade de gerações futuras e apenas uma geração inicial.
(b). A Solução Descentralizada do Mercado
Na solução centralizada, com a maximização das utilidades das gerações futuras - alo-
cação de equilíbrio (c∗1, c
∗
2) - exige-se que o planejador central tome, sem custos, de cada
indivíduo jovem, a quantidade c∗2 do bem de consumo y e a atribua a cada pessoa velha.
Além disso, exige-se que o planejador central conheça as preferências (ou as funções de
utilidade) de cada indivíduo.
7
A pergunta que emerge é: existe alguma forma de alocar otimamente o consumo en-
tre gerações de modo descentralizado, em que o mercado faça o trabalho tão e�ciente
quanto o Planejador Central?
O Equilíbrio Competitivo
A resposta à pergunta anterior é SIM, desde que
1. As trocas sejam bené�cas para os indivíduos, através das quais eles tentam atingir
o mais alto nível de satisfação possível;
2. As ações individuais não afetem os preços e não haja coalizão entre indivíduos (os
indivíduos não se juntem em cartéis);
3. Os mercados se equilibrem (as trocas ocorrem até esgotar os excedentes de cada
indivíduo).
O Equilíbrio Competitivo sem Moeda
Lembremos que cada indivíduo das gerações futuras (t ≥ 1) recebe, quando jovem, y
unidades do bem de consumo, mas nada recebe quando velho. Como o indivíduo prefere
consumir nos dois períodos, sua utilidade total aumentará se ele abrir mão de parte do
consumo presente, para consumir no futuro. Isto é, assume-se que
(U(c1, 0), U(0, c2)) < U(c1, c2)
Sem o Planejador Central será impossível uma alocação (c∗1; c
∗
2) na ausência de moeda,
já que não há dupla coincidência de desejos intra e entre gerações (t versus t e t versus
t− 1) porque:
(a) não é vantajoso para um indivíduo da geração t transacionar com outros indivíduos
da geração t, já que todos os indivíduos da geração t nada terão do bem y quando velhos,
no período t+ 1;
(b) não é vantajoso para um indivíduo da geração t transacionar com indivíduos da ger-
ação t−1, já que estes últimos deixarão de existir ainda no período t, impossibilitando-os
de repor o bem consumido.
Isto é, ao �nal, sem a participação de um Planejador Central, os equilíbrios sem moeda
serão �autárquicos�, no sentido de que os indivíduos não têm interação econômica uns
com os outros: incapazes de fazer transações mutualmente vantajosas, os indivíduos da
geração t consomem inteiramente suas dotações quando jovens e nada quando velho.
O Equilíbrio com Moeda Fiduciária
A moeda �duciária é, por de�nição:
(i). Uma mercadoria produzida com custo marginal virtualmente nulo, que não pode
8
ser consumida nem utilizada no processo produtivo, além de não representar promessa
para qualquer coisa que possa ser utilizada no consumo ou na produção.
(ii). O governo é o único emissor;
(iii). Pode ser retida entre dois períodos (sem custos) e trocada por bens (sem cus-
tos);
(iv). Só terá valor se habilitar o indivíduo a trocá-la pelo bem que necessita consumir.
Isto é, a moeda só terá valor se exercer poder de comando sobre o consumo futuro.
De�nição: O Equilíbrio Monetário é um equilíbrio competitivo (M s = Md) em que
existe um estoque (M) de moeda �duciária �valorável�.
Suponha que existe na economia um estoque �xo de moeda �duciária, com M unidades
perfeitamente divisíveis, de modo que
(a). Cada membro da geração inicial (geração t = 0 ou initial old) começa com M
N
unidades de moeda �duciária;
(b). Cada pessoa jovem (geração t = 1) pode trocar parte de sua dotação do bem
de consumo (y) por moeda �duciária com pessoas da geração anterior (pessoas velhas da
geração inicial).
1.3.1 À Guisa de Demanda por Moeda Fiduciária
A moeda �duciária será demandada se for valorável. Isto é, se as pessoas aceitarem desistir
de consumir alguma quantidade de bens em troca de moeda e vice-versa. Como a moeda
�duciária não tem valor intrínseco (valor de uso), sua demanda depende da prospecção
sobre seu valor no futuro (quando será trocada por bens), de modo que se for esperado
que a moeda �duciária não terá valor no próximo período, então a moeda �duciária não
terá valor no período atual. Seguindo essa linha lógica, se a moeda �duciária não for
valorável no período T , então não será valorável hoje:
T −→ T − 1
T − 1 −→ T − 2
T − 2 −→ T − 3
...
3 −→ 2
2 −→ 1
Se uma unidade de moeda �duciária ($1) for valorável no período t e se o seu valor nominal
for
vtpt = $1
9
então o seu valor real será
vt =
$1
pt
representando a quantidade de bens que o indivíduo terá de abrir mão para adquirir uma
unidade monetária: vt representa o valor da moeda e 1pt representa a quantidade de bens.
Então, vt = 1pt é uma relação de equilíbrio. Seguindo essa lógica,
pt =
$1
vt
O Orçamento Individual
Dado que a moeda �duciária é valorável, como um indivíduo jovem, nascido no período
t, decide quanta moeda adquirir, sabendo que
(i). não pode consumir mais do que sua dotação inicial (y)?
(ii). terá mais satisfação consumindo nos dois períodos do que em um único período?
Do ponto de vista do indivíduo jovem
c1,t + c2,t+1 ≤ y (10)
Deste modo,
y − c1,t
é a quantidade do bem de consumo que o indivíduo abrirá mão no presente, quando jovem,
trocando-a pela quantidade de moeda que será usada para adquirir o bem de consumo no
futuro, quando velho (c2,t+1).
Se a quantidade de moeda �duciária adquirida pelo indivíduo for mt e o valor de uma
unidade monetária for vt, então:
yt − c1,t = c2,t+1= vtmt (11)
Isto é,
c1,t + vtmt ≤ y (12)
No segundo período da vida (no período t+ 1), o indivíduo não recebe qualquer dotação
do bem de consumo, mas terá à sua disposição a moeda �duciária retida quando jovem
(no período t), de modo que vale a relação
c2,t+1 ≤ vt+1mt (13)
10
de modo que
mt ≥
c2,t+1
vt+1
(14)
Substituindo (14) em (12), a restrição orçamentária intertemporal do indivíduo será
c1,t +
[
vt
vt+1
]
c2,t+1 ≤ y (15)
representando as diferentes combinações de consumo que o indivíduo pode alcançar ao
longo da vida.
Se c1,t = 0, então
[
vt
vt+1
]
c2,t+1 ≤ y e c2,t+1 ≤
[
vt+1
vt
]
y. Por outro lado, se c2,t+1 = 0,
então c1,t ≤ y. Isso delimita a restrição intertemporal (possibilidades de consumo) do
indivíduo.
Como, por outro lado,
U = U(c1,t; c2,t+1) (16)
então, no equilíbrio intertemporal, o indivíduo consome o par (c∗1,t, c
∗
2,t+1) tal que
2
TMS1,2 =
vt+1
vt
(17)
representa a Taxa Marginal de Substituição entre consumos nos dois períodos da vida do
indivíduo, podendo ser classi�cada como a Taxa de Retorno da Moeda Fiduciária,
representado gra�camente na Figura 5.
2Note, pela restrição orçamentária, que
dc2,t+1
dc1,t
= −vt+1
vt
e que, pela função de utilidade
dc2,t+1
dc1,t
= − UMc1,t
UMc2,t+1
= −TMS(c1,t, c2,t+1)
Isto é, em equilíbrio,
TMS(c1,t, c2,t+1) =
vt+1
vt
11
Figure 5:
A Taxa de Retorno da Moeda Fiduciária
(i). O valor da moeda �duciária, no período t, depende da crença das pessoas sobre
o seu valor no futuro;
(ii). Suponha que as expectativas sobre a moeda sejam as mesmas entre os indivíduos de
uma mesma geração, em qualquer geração (isto é, as dotações, as preferências e a popu-
lação são as mesmas, geração após geração, de modo que c1,t = c1 e c2,t = c2, para todo t);
(iii). Os indivíduos têm expectativas racionais, tomando decisões baseados no conjunto
de informações disponível. Nesse caso, na ausência de choques aleatórios, as expectativas
sobre as variáveis no futuro são iguais aos valores de hoje dessas variáveis (perfeita pre-
visão).
Assumindo perfeita previsão e mercados competitivos (o preço é tal que qs = qd), a
oferta real de moeda é igual à demanda por saldos reais. Isto é,
vtMt = Nt(y − c1,t) (18)
de modo que o valor de uma unidade monetária é dado pela proporção da demanda por
moeda (Nt(y − c1,t)) em relação ao estoque de moeda �duciária (Mt) e é dado por
vt =
Nt(y − c1,t)
Mt
(19)
Em t+ 1, o valor de uma unidade monetária será
vt+1 =
Nt+1(y − c1,t+1)
Mt+1
(20)
12
de modo que a taxa de retorno da moeda entre os períodos t e t+ 1 será
vt+1
vt
=
Nt+1(y−c1,t+1)
Mt+1
Nt(y−c1,t)
Mt
(21)
Como, no estado estacionário, onde c1,t = c1,t+1 = c1, então
vt+1
vt
=
Nt+1
Mt+1
Nt
Mt
(22)
Assumindo população e estoque de moeda constantes (Nt = Nt+1 = N e Mt = Mt+1 =
M), a taxa de retorno da moeda �duciária será constante e uma unidade monetária terá
valor constante. Isto é,
vt+1
vt
= 1⇔ vt+1 = vt (23)
Como pt = 1vt , então
pt = pt+1
Isto é, o preço do bem de consumo é constante. Nesse caso, a restrição orçamentária
individual coincide com o conjunto factível, dado por c1 + c2 ≤ y (ver Figura 6).
Da restrição intertemporal do indivíduo no período t,
c1,t +
[
vt
vt+1
]
c2,t+1 ≤ y (24)
segue-se que, no estado estacionário,
c1 +
[
vt
vt+1
]
c2 ≤ y (25)
Usando o resultado da equação (23),
c1 + c2 ≤ y (26)
1.3.2 A Teoria Quantitativa da Moeda
Pela Teoria Quantitativa da Moeda, MV = PQ. Assumindo que, no curto prazo, a
economia está em equilíbrio de pleno emprego e que a velocidade da moeda é constante,
então
∆M = ∆P (27)
de modo que conclui-se pela principal proposição da economia monetária clássica: o nível
13
Figure 6:
de preços é proporcional ao estoque de moeda. Nesse contexto, a pergunta que emerge é:
será a TQM assegurada com o arcabouço OLG?
Vimos que, em equilíbrio, o valor real da oferta de moeda é igual à demanda por sal-
dos reais. Isto é,
vtMt = Nt(y − c1,t) (28)
ou
vt =
Nt(y − c1,t)
Mt
(29)
No equilíbrio estacionário com população constante,
vt =
N(y − c1)
Mt
(30)
Sabendo que vt é o valor de uma unidade monetária em termos de bens (ptvt = 1), então
pt =
1
vt
, de modo que
pt =
Mt
N(y − c1)
⇒ ∆p = ∆M (31)
Isto é, o nível de preços é proporcional ao estoque de moeda.
14
1.3.3 A Neutralidade da Moeda
Note que as escolhas de consumo do indivíduo independem do estoque de moeda, mas
dependem de sua taxa de retorno (vt+1
vt
)
.
Quando o estoque de moeda é constante, a taxa de retorno da moeda �duciária independe
do estoque de moeda, o que indica que a moeda é neutra.
1.3.4 O Conjunto Orçamentário com População Crescente
Nos tópicos anteriores, concluímos que o valor constante da moeda (preços constantes)
assegura um equilíbrio que maximiza o bem estar das gerações futuras. Porém, será isso
sempre verdade ou haverá situações em que uma alteração no valor da moeda maximizará
a utilidade das gerações futuras?
Para responder a esse questionamento, ampliaremos a discussão para permitir que a
economia cresça, de modo que a quantidade do bem de consumo disponível na econo-
mia cresça ao longo do tempo.
Para ver isso, suponhamos que a população dessa economia cresça à taxa bruta constante
n > 1, em cada período t. Isto é,
Nt = nNt−1
No modelo com Planejador Central, concluimos que
Ntc1 +Nt−1c2 ≤ Nty (32)
Como a população era constante (Nt = Nt−1 = N),
c1 + c2 ≤ y (33)
Consideremos, no entanto, a população crescendo à taxa bruta n > 1 em cada período.
Então, [
Nt
Nt
]
c1 +
[
Nt−1
Nt
]
c2 ≤
[
Nt
Nt
]
y (34)
Substituindo-se Nt = nNt−1, vem
c1 +
[
1
n
]
c2 ≤ y (35)
Note que, quando n > 1, há mais indivíduos jovens para cada indivíduo velho, de modo
que há mais bens disponíveis por indivíduo no segundo período de vida (ny > y) e o
grá�co da restrição orçamentária torna-se mais íngreme (Figura 7), apresentando uma
nova alocação da Regra de Ouro com aumento do consumo no segundo período de vida
dos indivíduos da geração t.
15
Figure 7:
1.3.5 O Equilíbrio Monetário de uma Economia em Crescimento
Como �ca o equilíbrio monetário nessa economia em que a população cresce à taxa n > 1
por período?
Recordemos que o equilíbrio monetário com moeda �duciária, no estado estacionário de
consumo, implica que
vt =
Nt(y − c1)
Mt
(36)
onde o numerador da fração corresponde à demanda real total por moeda �duciária e o
denominador é o estoque de moeda.
A equação (36) nos informa que o valor da moeda �duciária, em qualquer período, é
determinado pela demanda por moeda �duciária, medida em relação à oferta de moeda.
Um aumento da demanda real relativa por moeda �duciária aumenta seu valor e vice-versa.
No período t+ 1, a expressão da equação (36) transforma-se em
vt+1 =
Nt+1(y − c1)
Mt+1
(37)
Logo, a taxa de retorno da moeda �duciária será
vt+1
vt
=
Nt+1(y−c1)
Mt+1
Nt(y−c1)
Mt
=
Nt+1
Mt+1
Nt
Mt
(38)
16
Assumindo que o estoque de moeda é constante (Mt+1 = Mt = M) e que a população é
crescente (Nt = nNt−1), vem
vt+1
vt
=
Nt+1
Nt
=
nNt
Nt
= n (39)
Isto é, numa economia em crescimentro, se o estoque de moeda for constante, a taxa de
retorno da moeda �duciária será igual à taxa de crescimento da economia, que é igual à
taxa de crescimento da população. Como n > 1, então o valor da moeda é crescente e o
preço do bem de consumo é decrescente.
Recordando, pela equação (25), a restrição orçamentária intertemporal do indivíduo re-
sulta em
c1 +
[
vt+1
vt
]
c2 ≤ y ⇒ c1 +
[
1
n
]
c2 ≤ y (40)
que apresenta o mesmo resultado encontrado com o modelo com Planejador Central, com
população crescente [equação (35)].
1.4 Exercício
Usando as hipóteses do modelo OLG com moeda e a função de utilidade
U(c1,t, c2,t+1) = log c1,t + β log c2,t+1
onde 0 < β ≤ 1 é o fator de desconto do futuro, encontre a demanda por moeda
q∗ =
βy
1 + β
Use, inicialmente, a forma lagrangeana
L(c1.t, c2,t+1) = log c1,t + β log c2,t+1 − λ
[
c1,t +
(
vt
vt+1
)
c2,t+1 − y
]
Dica: Após encontrar as condições de primeira ordem da forma lagrangeana, assuma que
c1,t = y − q e que c2,t+1=
(
vt+1
vt
)
q.
Resposta:
Pelas condições de primeira ordem, temos
1
c1
= λ
β
c2
= λ
(
vt
vt+1
)
Combinando as condições de primeira ordem, vem
17
c2
βc1
=
vt+1
vt
Substituindo c1 = y − q e c2 =
(
vt+1
vt
)
q no resultado acima, temos(
vt+1
vt
)
q
y − q
= β
(
vt+1
vt
)
o que conduz a,
q∗ =
βy
1 + β
18