Matrizes e Ordem de Elementos

Prévia do material em texto

Matriz 
Matrizes 
Vendas em 3 lojas de flores do 
Senhor Jair 
 Loja 1 Loja 2 Loja 3 
Arranjo 120 290 230 
Cesta 49 40 37 
Buquê 130 89 77 
(
120 290 230
49 40 37
130 89 77
)
𝑚 𝑥 𝑛 𝑚 𝑛
𝑚 ∙ 𝑛
𝑚 𝑛
3 𝑥 3
3 ∙ 3
Ordem dos elementos de uma matriz 
(
2 −1 7
−23 72 11
)
2𝑥3
𝑎23
𝑎11 = 2
Anota 
aí 
𝑎12 = −1
𝑎13 = 7
𝑎21 = −23
𝑎22 = 72
𝑎𝑖𝑗 𝑖
𝑗
3𝑥2
𝑎𝑖𝑗 = 𝑖 + 𝑗
𝑖
𝑗
3𝑥2
(
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
)
3𝑥2
𝑖 + 𝑗
𝑎11 → 𝑖 = 1 𝑗 = 1
𝑎11 = 1 + 1 = 2
𝑎12 → 𝑖 = 1 𝑗 = 2
𝑎12 = 1 + 2 = 3
𝑎21 → 𝑖 = 2 𝑗 = 1
𝑎21 = 2 + 1 = 3
𝑎22 → 𝑖 = 2 𝑗 = 2
𝑎22 = 2 + 2 = 4
𝑎31 → 𝑖 = 3 𝑗 = 1
𝑎31 = 3 + 1 = 4
𝑎32 → 𝑖 = 3 𝑗 = 2
𝑎32 = 3 + 2 = 5
(
2 3
3 4
4 5
)
3𝑥2
2𝑥3
𝑎𝑖𝑗 = 2 ∙ 𝑖 + 𝑗
Igualdade de Matrizes 
(
2 3
5 8
) (
2 3
5 8
)
(
2 3
5 8
) (
2 3
5 −8
)
𝑎22
Matrizes especiais 
Adição de matrizes 
𝐴 = (
2 5
0 −1
) 𝐵 = (
7 11
4 8
)
𝐴 + 𝐵 = (
2 5
0 −1
) + (
7 11
4 8
)
𝑎11
𝑏11
2 + 7 = 9
𝐴 + 𝐵 = (2 + 7 ) = ( 9 )
𝐴 + 𝐵 = (
2 + 7 5 + 11
0 + 4 −1 + 8
) = (
9 16
4 7
)
Matriz oposta 
𝐴 = (0 −6
5 7
)
−𝐴 = ( 0 6
−5 −7
)
𝐴 + (−𝐴) = (0 −6
5 7
) + ( 0 6
−5 −7
)
𝐴 + (−𝐴) = (
0 + 0 −6 + 6
5 + (−5) 7 + (−7))
𝐴 + (−𝐴) = (0 0
0 0
)
Subtração de matrizes 
𝐴 = (8 13
4 −5
) 𝐵 = (
5 10
−1 −3
)
𝐴 − 𝐵 = (
8 − 5 13 − 10
4 − (−1) −5 − (−3)
)
𝐴 − 𝐵 = ( 3 3
4 + 1 −5 + 3
) = (3 3
5 −2
)
Multiplicação de matriz por um real 
3 𝐴
3
𝐴 = (
2 3 −2
10 0 −5
)
3 ∙ 𝐴 = 3 ∙ (
2 3 −2
10 0 −5
)
3 ∙ 𝐴 = (
3 ∙ 2 3 ∙ 3 3 ∙ −2
3 ∙ 10 3 ∙ 0 3 ∙ −5
)
3 ∙ 𝐴 = (
6 9 −6
30 0 −15
)
2 ∙ 𝐴 + 𝐵 𝐵 − 𝐶
𝐴 = (
1 0
12 6
−2 3
)
𝐵 = (
8 −5
1 7
−4 10
)
𝐶 = (
15 −5
4 −3
0 −1
)
Multiplicação de matrizes 
𝐴 𝐵
𝐴 ∙ 𝐵
𝐴
𝐵
𝐴 = (
0 7
3 2
4 −1
)
3𝑥2
𝐵 = (
0 1 2
3 −2 −1
 
4
1
)
2𝑥4
𝐴 ∙ 𝐵 = (
0 7
3 2
4 −1
) ∙ (
0 1 2
3 −2 −1
 
4
1
)
𝐴
𝐵
𝐴 ∙ 𝐵 = (
0 7
3 2
4 −1
) ∙ (
0 1 2
3 −2 −1
 
4
1
)
 
𝐴 ∙ 𝐵 = (
0 ∙ 0 + 7 ∙ 3
 )
𝐴
𝐵
𝐴 ∙ 𝐵 = (
0 7
3 2
4 −1
) ∙ (
0 1 2
3 −2 −1
 
4
1
)
𝐴 ∙ 𝐵 = (
0 ∙ 0 + 7 ∙ 3 0 ∙ 1 + 7 ∙ −2
 )
 
𝐴 ∙ 𝐵 = (
0 7
3 2
4 −1
) ∙ (
0 1 2
3 −2 −1
 
4
1
)
= (
0 ∙ 0 + 7 ∙ 3 0 ∙ 1 + 7 ∙ −2 0 ∙ 2 + 7 ∙ −1
 )
𝐴 ∙ 𝐵 = (
0 7
3 2
4 −1
) ∙ (
0 1 2
3 −2 −1
 
4
1
)
= (
0 ∙ 0 + 7 ∙ 3 0 ∙ 1 + 7 ∙ −2 0 ∙ 2 + 7 ∙ −1
3 ∙ 0 + 2 ∙ 3 3 ∙ 1 + 2 ∙ −2 3 ∙ 2 + 2 ∙ −1
4 ∙ 0 + −1 ∙ 3 4 ∙ 1 + −1 ∙ −2 4 ∙ 2 + −1 ∙ −1
 
0 ∙ 4 + 7 ∙ 1
3 ∙ 4 + 2 ∙ 1
4 ∙ 4 + −1 ∙ 1
)
𝐴 ∙ 𝐵 = (
0 + 21 0 − 14 0 − 7
0 + 6 3 − 4 6 − 2
0 − 3 4 + 2 8 + 1
 
0 + 7
14 + 2
16 − 1
)
𝐴 ∙ 𝐵 = (
21 −14 −7
6 −1 4
−3 6 9
 
7
16
15
)
3𝑥4
𝐴3𝑋2 𝐵2𝑋4
𝐶
𝐶3𝑥4
𝐴 ∙ 𝐵 = (
1 3
5 8
) ∙ (
0 11 4
5 −2 1
)
𝐵 ∙ 𝐴 = (
0 11 4
5 −2 1
) ∙ (
1 3
5 8
)
𝐴 ∙ 𝐵 𝐵 ∙ 𝐴
 
 
𝐴 ∙ 𝐵 = (
3 5 0
2 6 −2
1 0 4
) ∙ (
3
5
7
)
Matriz inversa 
5
1
5
5 ∙
1
5
= 1
2
7
7
2
2
7
∙
7
2
= 1
𝐴 = (
1 2
1 3
)
𝐴
(
3 −2
−1 1
)
𝐴
(
1 2
1 3
) ∙ (
3 −2
−1 1
) = (
1 0
0 1
)
𝐴
(
3 −2
−1 1
) ∙ (
1 2
1 3
) = (
1 0
0 1
)
𝐴 𝐴−1
𝐴 𝐴−1
𝐴 ∙ 𝐴−1 = 𝐼 𝐴−1 ∙ 𝐴 = 1
𝐴 ∙ 𝐴−1 𝐼
𝐴−1 ∙ 𝐴
𝐼