Introdução às Curvas Algébricas Planas

Sabrina Vasconcelos
em 15/06/2024
Conteúdos escolhidos para você

128 pág.
Ebook_Cálculo Diferencial (Cálculo Diferencial e Integral Avançado)_DIGITAL PAGES (Versão Digital) (1)

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PriscilaCorderoLeal_revisadal (tudo)

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Grupos de Lie via exemplos - SBM

UNIRITTER
Perguntas dessa disciplina

59:49 Progresso:0/5 60 minutos QUESTIONÁRIO 01 – EXPRESSÃO GRÁFICA 1 A geometria gráfica tem evoluído com o tempo, especialmente no que diz respeito a

2) Em um laboratório de engenharia mecânica, foram medidos os valores de deformação de um material em diferentes pontos de carga. Os dados obtidos são

UNOPAR
3) Os conceitos matemáticos têm vasta aplicação, dado que são capazes de descrever numérico ou algebricamente muitas situações do cotidiano. As div...

UNIBTA
Uma curva no plano pode ser descrita de maneira mais flexível usando uma parametrização, isto é, uma função vetorial que associa a cada valor de um pa

UNIVESP
Questão 6 627:4 Ainda não respondida Vale 2,00 ponto(s). Marcar questão Em aceleração engenharia, (segunda a análise estrutural muitas vezes envolv...

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UNIRITTER
Perguntas dessa disciplina

59:49 Progresso:0/5 60 minutos QUESTIONÁRIO 01 – EXPRESSÃO GRÁFICA 1 A geometria gráfica tem evoluído com o tempo, especialmente no que diz respeito a

2) Em um laboratório de engenharia mecânica, foram medidos os valores de deformação de um material em diferentes pontos de carga. Os dados obtidos são

UNOPAR
3) Os conceitos matemáticos têm vasta aplicação, dado que são capazes de descrever numérico ou algebricamente muitas situações do cotidiano. As div...

UNIBTA
Uma curva no plano pode ser descrita de maneira mais flexível usando uma parametrização, isto é, uma função vetorial que associa a cada valor de um pa

UNIVESP
Questão 6 627:4 Ainda não respondida Vale 2,00 ponto(s). Marcar questão Em aceleração engenharia, (segunda a análise estrutural muitas vezes envolv...

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Introdução às 
Curvas Algébricas Planas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vainsencher, Israel 
 Introdução às Curvas Algébricas Planas / Israel 
Vainsencher. 1 ed. Rio de Janeiro : IMPA, 2014. 
 151 p. : il. ; 23 cm. (Coleção matemática universitária) 
 
 Inclui bibliografia. 
 e-ISBN 978-85-244-0385-9 
 
1. Curvas algébricas. 2.Geometria algébrica. 3. Curvas 
Planas. I. Título. II. Série. 
 CDD-512.33 
 
 
COLEÇÃO MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA 
 
 
 
 
 
 
 
Introdução às 
Curvas Algébricas Planas 
 
 
 
 
 
 
 
 
Israel Vainsencher 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 INSTITUTO NACIONAL DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA
Copyright  2014 by Israel Vainsencher 
 
Impresso no Brasil / Printed in Brazil 
 
Capa: Rodolfo Capeto, Noni Geiger e Sérgio R. Vaz. 
 
 
 
Coleção Matemática Universitária 
Comissão Editorial: 
 Elon Lages Lima 
 S. Collier Coutinho 
 Paulo Sad 
 
Títulos Publicados: 
• Análise Real, vol. 1: Funções de uma Variável – Elon Lages Lima 
• EDP. Um Curso de Graduação – Valéria Iório 
• Curso de Álgebra, Volume 1 – Abramo Hefez 
• Álgebra Linear – Elon Lages Lima 
• Introdução às Curvas Algébricas Planas – Israel Vainsencher 
• Equações Diferenciais Aplicadas – Djairo G. de Figueiredo e Aloisio Freiria Neves 
• Geometria Diferencial – Paulo Ventura Araújo 
• Introdução à Teoria dos Números – José Plínio de Oliveira Santos 
• Cálculo em uma Variável Complexa – Marcio G. Soares 
• Geometria Analítica e Álgebra Linear – Elon Lages Lima 
• Números Primos: Mistérios e Recordes – Paulo Ribenboim 
• Análise no Espaço Rn – Elon Lages Lima 
• Análise Real, vol. 2: Funções de n Variáveis – Elon Lages Lima 
• Álgebra Exterior – Elon Lages Lima 
• Equações Diferenciais Ordinárias – Claus Ivo Doering e Artur Oscar Lopes 
• Análise Real, vol. 3: Análise Vetorial – Elon Lages Lima 
• Álgebra Linear. Exercícios e Soluções – Ralph Costa Teixeira 
• Números Primos. Velhos Mistérios e Novos Recordes – Paulo Ribenboim 
 
 
Distribuição: 
 IMPA 
 Estrada Dona Castorina, 110 
 22460-320 Rio de Janeiro, RJ 
 e-mail: ddic@impa.br 
 http://www.impa.br 
 
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A Kátia M. E. L. Vainsencher
“tudofNew”
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Prefácio
...“la première est toujours si astreinte à la con-
sidération des figures, qu’elle ne peut exercer l’en-
tendement sans fatiguer beaucoup l’imagination; et
on s’est tellement assujetti, en la dernière, à certai-
nes règles et à certains chiffres, qu’on en a fait un
art confus et obscur qui embarrase l’esprit au lieu
d’une science qui le cultive.”
Após enunciar este veredito1, Descartes [10] propôs-se a tomar o melhor
da Geometria e da Álgebra, corrigindo os defeitos de uma pelas virtudes
da outra. Nascia a Geometria Anaĺıtica Clássica. Dela são sucedâneas
a Geometria Diferencial e a Geometria Algébrica.
Apesar da origem comum, é claro o desequiĺıbrio verificado nos curŕı-
culos atuais quanto ao tratamento dispensado aos aspectos introdutórios
dessas duas disciplinas. O estudante é devidamente apresentado ao tri-
edro de Frenet, torção, curvatura..., mas se passa a distância do plano
projetivo e curvas algébricas.
Estas notas foram escritas com o objetivo de servir de texto a um
curso de um semestre, como disciplina eletiva destinada a alunos do
terceiro ou quarto ano do Bacharelado, ou ainda como disciplina de
iniciação cient́ıfica. O teorema de Bézout é o resultado central do
curso. Para apresentá-lo com rigor, é necessário empreender uma jor-
nada razoável.
Nosso ponto de partida são as curvas planas usualmente estudadas
na geometria elementar, tais como retas, cônicas, concóides, etc. . . . Pas-
samos em seguida a uma revisão cŕıtica do conceito de curva algébrica,
formulando uma definição rigorosa, ainda que mais abstrata.
No caṕıtulo II, iniciamos o estudo da interseção de duas curvas. In-
1...“a primeira é sempre tão restrita à consideração de figuras, que não se chega
ao entendimento sem muito fatigar a imaginação; já na última, está-se de tal forma
subjugado a certas regras e a tantos śımbolos, que resulta uma arte confusa e obscura
a embaraçar a mente, ao invés de uma ciência a cultivá-la.”
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troduzimos a resultante de dois polinômios e conclúımos com um caso
particular do teorema dos zeros de Hilbert.
Nos caṕıtulos III e IV são exploradas as idéias básicas necessárias
à demonstração do teorema de Bézout. Para que curvas de graus m e
n se encontrem “sempre” em m · n pontos, é necessário explicar como
alguns desses pontos devem ser contados mais de uma vez, quer seja por
tangência quer pelo fato de uma das curvas “passar várias vezes” pelo
ponto em questão; por fim, deve-se explicar como alguns outros podem
estar no infinito...
No caṕıtulo V demonstramos o teorema de Bézout. No caṕıtulo
seguinte estudamos mais detalhadamente o ı́ndice de interseção de duas
curvas.
O caṕıtulo VII constitui-se quase que numa revisão da matéria: apli-
camos o teorema de Bézout ao cálculo do número de tangentes inflexio-
nais de uma curva e o de tangentes que passam por um ponto.
No caṕıtulo VIII ocorre uma certa mudança no objeto de estudo. Até
então estivéramos interessados em analisar propriedades de uma curva
como subconjunto do plano; agora examinamos o seu caráter funcional,
i.e., propriedades do corpo de funções racionais.
O último tópico – cúbicas não singulares – tenta mostrar o sabor
de coisa inacabada, mal disfarçando a esperança de que o leitor recorra
à bibliografia indicada para explorar com mais profundidade o roteiro
aqui iniciado.
Para conveniência do leitor, inclúımos nesta edição revisada um
apêndice com noções básicas de álgebra que são utilizadas no texto,
notadamente o lema de Gauss e a propriedade de fatoração única para
polinômios a coeficientes num corpo.
Por fim, confesso que esta edição jamais teria ocorrido sem o insis-
tente encorajamento de Abramo Hefez e Dan Avritzer.
Recife, 7 de março de 1996.
Nota à re-edição. Exceto pela seção sobre curvas de Bézier e a inclusão de alguns
poucos exerćıcios, limitei-me a ligeiras correções e revisão de pouca monta. Algu-
mas figuras foram re-diagramadas e uma ou outra demonstração mais detalhada; as
referências bibliográficas ganharam mais uns t́ıtulos, e o apêndice algumas linhas so-
bre o fecho algébrico e propriedades do grau de transcendência. Agradeço a Éden
S. C.Amorim a valiosa ajuda na revisão.
Belo Horizonte, 13 de Dezembro de 2012
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Conteúdo
1 Definições Preliminares e Exemplos 1
1 Um pouco de história . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Equação de uma curva algébrica . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Mudança de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Interseções de Curvas Planas 19
1 Finitude da interseção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 A resultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 O grau da resultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 O teorema dos zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Multiplicidades 32
1 Interseção de uma curva com uma reta . . . . . . . . . . . 32
2 Pontos múltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Diagrama de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Pontos no infinito 44
1 O plano projetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2 Espaços projetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Curvas projetivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4 Mudança de coordenadas projetivas . . . . . . . . . . . . 50
5 Interseção de Curvas 56
1 Interseção de reta e curva, agora projetivas. . . . . . . . . 562 O teorema de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6 Propriedades do Índice 69
1 As propriedades caracteŕısticas . . . . . . . . . . . . . . . 69
2 Séries de potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
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7 Fórmulas de Plücker 85
1 Curvas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2 A hessiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8 Curvas Racionais 94
1 Curvas racionais afins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2 Funções regulares e funções racionais . . . . . . . . . . . . 97
3 O teorema de Lüroth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4 Curvas racionais projetivas . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5 O gênero virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6 Aplicação ao cálculo integral . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7 Curvas de Bézier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
9 Cúbicas não Singulares 118
1 Conexões inesperadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2 Forma normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3 Funções racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4 Ciclos e equivalência racional . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5 A estrutura de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
10 Apêndice 133
1 Anéis, ideais e homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . 133
2 Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3 Domı́nios de fatoração única e lema de Gauss . . . . . . . 142
4 Extensões de corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Bibliografia 149
Índice 152
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1
Definições Preliminares
e Exemplos
1 Um pouco de história
A manipulação de expressões do tipo x2+y2 = 1 é um fato relativamente
recente na história da Matemática, podendo se situar em torno do século
XVI. Mas os matemáticos gregos já sabiam efetuar cálculos elaborados,
recorrendo a procedimentos geométricos. Por exemplo, para o cálculo
do produto de duas quantidades a, b, podeŕıamos proceder assim:
figura 1.1
O 1 b
• •
a
ab
. ................................................................................................................................................................................................................ .
........................................... .
.............................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................
Neste exemplo, o segmento de comprimento a é traçado perpendi-
cularmente à reta Ob. Esta construção requer somente o desenho de
retas e ćırculos. (Os ćırculos foram empregados para se obter o ângulo
reto). Com um pouco de imaginação, é posśıvel descrever métodos para
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2 Definições Preliminares e Exemplos Cap. 1
a construção com régua e compasso de expressões do tipo
√
a+
√
ab
/
a2b,
ou mais geralmente, para qualquer elemento do chamado corpo dos
números construt́ıveis. Veja a discussão em Gonçalves [15], p. 138 e
seguintes.
Além das retas e ćırculos, os matemáticos da Antiguidade estuda-
ram outras curvas, geralmente descritas como o lugar geométrico de
pontos satisfazendo certas condições. Essas curvas especiais eram o re-
curso empregado na solução de vários problemas, para os quais todas
as tentativas com régua e compasso malograram. Alguns desses têm
uma história curiosa, em que lenda e fato se misturam. É o caso dos
célebres problemas da duplicação do cubo, da trissecção do ângulo e da
quadratura do ćırculo. Consulte Boyer, [4], p. 48 ou Klein, [22]. Veja o
exemplo 2.6 mais adiante bem como o exerćıcio (4, p. 7). Com a ulterior
introdução do método das coordenadas, constatou-se que várias curvas
conhecidas desde os primórdios da Geometria podiam ser descritas por
equações polinomiais.
1. Definição. Uma curva algébrica plana é o lugar dos pontos cujas
coordenadas cartesianas satisfazem uma equação do tipo
f(X,Y ) = 0,
onde f é um polinômio não constante. (Compare com a def. (5, p. 11)).
2. Exemplos. Eis aqui uma lista preliminar de curvas algébricas planas.
A maioria deve ser conhecida do leitor.
2.1. A reta que passa pelos pontos (a, b) 6= (c, d). Sua equação pode ser
escrita como o determinante,
∣∣∣∣∣∣
a c X
b d Y
1 1 1
∣∣∣∣∣∣
= 0.
2.2. O ćırculo de raio r e centro (a, b), lugar dos pontos que satisfazem
a equação
(X − a)2 + (Y − b)2 = r2.
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Seção 1 Um pouco de história 3
2.3. A elipse, lugar dos pontos tais que a soma das distâncias a dois
pontos fixos (digamos (±c, 0)) é uma constante, que por conveniência
escolhemos = 2a.
A condição imposta escreve-se
√
(X + c)2 + Y 2 +
√
(X − c)2 + Y 2 = 2a.
Esta equação não é polinomial, mas é posśıvel eliminar os radicais e
mostrar que toda solução dela é também solução da seguinte (e vice-
versa),
X2
a2
+
Y 2
b2
= 1,
onde b =
√
a2 − c2.
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O a⋆ ⋆−c c
b
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figura 1.2
2.4. A hipérbole, lugar dos pontos cujas distâncias a dois pontos fixos,
chamados focos, têm diferença constante 2a. Marcando os focos em
(±c, 0), a diferença das distâncias se expressa
√
(X − c)2 + Y 2 −
√
(X + c)2 + Y 2 = 2a. (1)
Procedendo como no caso da elipse, pondo b2 = c2 − a2, eliminamos
os radicais e obtemos a equação
X2
a2
− Y
2
b2
= 1,
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4 Definições Preliminares e Exemplos Cap. 1
⋆ ⋆
a−c −a c
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figura 1.3
2.5. A parábola, lugar dos pontos equidistantes de um ponto fixo, cha-
mado foco e de uma reta fixa, diretriz.
Tomando (0, b), b > 0 e Y = −b como foco e diretriz, a equação (já
simplificada) fica na forma,
X2 = 4bY
O
b⋆
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figura 1.4
2.6. A cissóide de Diócles, lugar dos pés das normais traçadas do
vértice de uma parábola às suas tangentes. Dada a parábola de equação
X2 = −4bY , a tangente num ponto (x0, y0) se escreve
2x0(X − x0) = −4b(Y − y0).
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A reta normal tomada da origem (vértice da parábola) é
−2bX + x0Y = 0.
A interseção desta última com a tangente é dada por
X =
x30
8b2 + 2x20
, Y =
bx20
4b2 + x20
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Substituindo x0 = 2bX/Y e simplificando, resulta a equação da cissóide,
bX2 − Y (Y 2 +X2) = 0.
Note que, em coordenadas polares, esta última equação fornece
r = b cosθ cotgθ.
Dáı podemos obter uma descrição dinâmica que permite traçar a cissóide:
figura 1.6
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6 Definições Preliminares e Exemplos Cap. 1
Construa o ćırculo de diâmetro b e centro (0, b/2). Considere a reta
Y = b; para cada um de seus pontos P , trace a reta OP e tome o ponto
Q da interseção com o ćırculo. Finalmente, marque o ponto R tal que
OR = PQ. Variando P , o ponto R descreve a cissóide. Com efeito,
notando que o ângulo θ = ÔPb = Q̂bO, temos
OR = PQ = OP −OQ
= b/ sen θ − b sen θ
= b cos θ cotg θ = r.
A cissóide foi empregada para resolver o problema da duplicação do
cubo: dada a aresta de um cubo, construir a aresta do cubo de volume
duplo. Em śımbolos, procuramos resolver a equação,
X3 = 2b3,
onde b denota o comprimento da aresta conhecida. Sabe-se que esta
equação não é resolúvel por régua e compasso (por exemplo, para b = 1).
Recorrendo à cissóide como “curva auxiliar”, a solução gráfica é obtida
com o seguinte procedimento: acha-se a interseção da cissóide
(b− Y )X2 = Y 3
com a reta
b− Y = 2X;
obtém-se um ponto (x0, y0) com (y0/x0)
3 = 2. Ligando-o à origem,
constrói-se a reta Y = 3
√
2X. Fazendo X = b, resulta a quantidade
procurada.
Convidamos o leitor a se familiarizar com os exemplos adicionais
compilados na lista de exerćıcios.
3. Exerćıcios
Esboce as curvas seguintes. (Atribua valores aos parâmetros a, b, . . . )
1. Folium de Descartes: X3 + Y 3 − 3aXY = 0.
2. Trissectriz de Maclaurin: X(X2 + Y 2) = a(Y 2 − 3X2).
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Seção 1 Um pouco de história 7
3. Concóide de Nicomedes: (Y − a)2(X2 + Y 2) = b2Y 2.
É a concóide de reta Y = a, de intervalo b, relativa à origem. Em
geral, a concóide de uma curva C relativa a um ponto O e de intervalo
b é constrúıda assim: para cada ponto P ∈ C, marque sobre OP dois
segmentos PR = PR′ = b; os pontos R,R′ descrevem a concóide. Esta
curva resolve o problema do cálculo de médias proporcionais: dados os
números r, s, encontrar X, Y tais que X/r = Y/X = s/Y . A duplicação
do cubo e a trissecção do ângulo são problemas desse tipo.
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figura 1.7
4. A figura acima ilustra a construção do ângulo ÂOR = ÂOB/3. O
ponto R é a interseção da paralela ao segmento OA que passa por B com
a concóide da reta AB e intervalo 2OB. Por construção, PR = 2OB.
Marcando o ponto médio M de PR, resultam os triângulos isósceles
PMB,BMR. O leitor não deve ter dificuldade em completar a justifi-
cativa da construção. (Sugestão: diagonais de um retângulo...)
5. Caracol de Pascal: (X2+Y 2)2−2aX(X2+Y 2)+(a2−b2)X2−b2Y 2 =
0.
Mostre que em coordenadas polares a equação é dada por
r = a cos θ ± b.
Distinga os casos a > b, a < b e a = b.
Trata-se da concóide da circunferência r = a cos θ relativa à origem.
6. Astróide: X2/3 + Y 2/3 = 1.
Mostre que esta curva é de fato algébrica, dada por uma equação po-
linomial do sexto grau. Ela é o lugar descrito por um ponto de uma
circunferência de raio 1/4 que gira sem deslizar apoiada no lado interno
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8 Definições Preliminares e Exemplos Cap. 1
de uma circunferência unitária centrada na origem. Curvas definidas por
esse processo são chamadas de hipociclóides; quando a circunferência se
move pelo lado externo, obtém-se uma epiciclóide; elas são algébricas se
e só se a razão dos raios é um número racional.
7. Oval de Cassini: ((X − a)2 + Y 2)((X + a)2 + Y 2) = b4.
É o lugar dos pontos cujo produto das distâncias aos 2 pontos fixos
(± a, 0) é igual à constante b2. Se b2 < a2, a curva consiste em 2 com-
ponentes conexas. Se b2 = a2 tem-se a lemniscata de Bernoulli. Para
b2 > a2, tem-se a oval propriamente dita.
8. Esboce a curva dada parametricamente por
x(T ) = T 2 − T, y(T ) = T 3.
Mostre que ela é uma curva algébrica, encontrando um polinômio f(X,Y )
não constante tal que f(x(T ), y(T )) = 0.
9. Sejam x = x(T ), y = y(T ) funções racionais (= quocientes de polinô-
mios em uma variável T ). Mostre que existe um polinômio não constante
f(X,Y ) tal que f(x, y) = 0. (Sugestão: seja K(T ) o corpo das funções
racionais a coeficientes no corpo K. Se x ∈ K(T ) é não constante,
então K(T ) é uma extensão algébrica do subcorpo K(x) gerado por x
(vejas as definições 30, p. 145). De fato, temos x = p(T )/q(T ), com p, q
polinômios, e assim T satisfaz a equação polinomial p(X)− xq(X) = 0.
Logo, todo y ∈ K(T ) é algébrico sobre K(x)).
10. Uma curva é racional se for definida parametricamente por equações
X = x(T ), Y = y(T ),
onde as funções de T indicadas são racionais e ao menos uma é não
constante. Mostre que toda curva racional é algébrica.
11. Curvas de Lissajous. São dadas parametricamente por
x(θ) = a sen(mθ + p), y(θ) = b sen(nθ + q),
onde a, b,m, n, p, q são constantes (abmn 6= 0). Curvas desse tipo ocor-
rem na investigação de fenômenos vibratórios.
(a) Esboce a curva, supondo m = 2, n = 3, a = b = 1, p = 0, q = π/4.
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iSeção 2 Equação de uma curva algébrica 9
(b) Mostre que a curva não é algébrica se m/n é irracional.
(c) Se m é inteiro, mostre que x(θ) pertence ao anel A gerado pelas
funções sen θ, cos θ.
(d) Mostre que A é um domı́nio e que seu corpo de frações é igual a
R(T ), onde T = tg(θ/2).
(e) Conclua que uma curva de Lissajous com m/n racional é algébrica.
Ache a equação polinomial no caso considerado em (a).
12. Chama-se rosácea uma curva de equação polar r = a sen(bθ).
(a) Esboce para a = 1, b = 1, 2, 2/3.
(b) Prove que se b = m/n, com m,n inteiros > 0, primos relativos,
então a rosácea é algébrica, satisfazendo a uma equação polinomial (em
coordenadas cartesianas) de grau m + n ou 2(m + n) conforme sejam
m,n ambos ı́mpares ou um deles par. Se b é irracional, a rosácea não é
algébrica.
2 Equação de uma curva algébrica
Reexaminemos a definição 1. Uma questão que naturalmente se põe é se
a equação polinomial f = 0 está bem determinada pela curva (entendida
como o lugar das soluções). A resposta é não: f = 0 e f2 = 0 admitem
as mesmas soluções. Podeŕıamos arriscar o palpite de que esse seria
o único tipo de indeterminação: se tomássemos f com grau mı́nimo,
talvez todas as outras equações definindo a mesma curva fossem do tipo
fm = 0. Mas note que as soluções de XY = 0 e X2Y = 0 são as
mesma, prejudicando a proposta. Ah, mas nesse exemplo a curva tem
visivelmente dois “pedaços”, e a afirmativa poderia valer para cada um
deles. Talvez uma hipótese mais promissora seja esperar que exista uma
equação de grau mı́nimo, as demais sendo múltiplas desta. Mas as curvas
(?), ou melhor dizendo, as equações X2 + Y 2 = 0 e 2X2 + Y 2 = 0 têm
o mesmo conjunto de soluções reais, desfazendo a esperança.
A escassez de pontos reais nesse último exemplo parece estar na raiz
do problema. Com efeito, veremos mais adiante que, se p(X,Y ) é um
polinômio irredut́ıvel e a curva C definida por p(X,Y ) = 0 é infinita,
então a equação de grau mı́nimo está bem determinada (a menos de
fator constante).
Aqui, e em outras situações com que iremos nos defrontar, a bem da
simplicidade de uma proposição que desejamos tornar verdadeira, somos
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10 Definições Preliminares e Exemplos Cap. 1
induzidos a repensar os fundamentos, isolar a dificuldade, e resolvê-la
“por decreto”. Vale a pena ler a beĺıssima discussão desse processo de
“negação da negação”, em Caraça, [5]. É o que faremos, passando a ad-
mitir pontos cujas coordenadas são números complexos. E, já tomada
esta decisão, por que não trabalhar também com polinômios a coefi-
cientes complexos? Na realidade, praticamente em toda a teoria que
exporemos, a propriedade fundamental dos números complexos é que
estes formam um corpo algebricamente fechado de caracteŕıstica zero.
Assim, salvo menção expĺıcita em contrário, doravante, coordena-
das de pontos, bem como coeficientes de polinômios, serão tomados em
um corpo K algebricamente fechado e de caracteŕıstica zero. Freqüente-
mente, nos exemplos, suporemos K = C. A perda aparente do recurso à
intuição geométrica será amplamente compensada. Já podemos recolher
o primeiro benef́ıcio.
4. Proposição. Sejam f, g polinômios em duas variáveis a coeficiente
no corpo K. Então f(X,Y ) = 0 e g(X,Y ) = 0 têm as mesmas soluções
em K2 se e só se os fatores irredut́ıveis de f, g são os mesmos.
Demonstração. Seja p ∈ K[X,Y ] um fator irredut́ıvel de f . Por
hipótese, para cada (x, y) ∈ K2, vale a implicação,
p(x, y) = 0 ⇒ g(x, y) = 0.
Provaremos que p divide g emK[X,Y ]. TrocandoX por Y se necessário,
podemos supor que Y ocorre efetivamente em p. Ponhamos A = K[X],
L = K(X) (corpo de frações). Assim, pelo lema de Gauss (27, p. 143),
p ∈ A[Y ] é irredut́ıvel em L[Y ]. Suponhamos, por absurdo, que p 6 | g.
Então MDC(p, g) = 1. Dáı, existe uma relação (veja o Cor. (17, p. 140))
ap+ bg = 1,
onde a, b ∈ L[Y ]. Podemos escrever
a = a′/c, b = b′/c
com a′, b′ ∈ A[Y ] e c ∈ A, c 6= 0. Obtemos então,
a′p+ b′g = c.
Agora, como Y ocorre efetivamente em p, segue-se que, exceto para
um número finito de valores de x ∈ K, a equação p(x, Y ) = 0 ad-
mite solução. (Aqui usamos o fato de que o corpo K é algebricamente
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Seção 2 Equação de uma curva algébrica 11
fechado). Conclui-se que há uma infinidade de valores de x tais que
c(x) = 0, donde c = 0. Esta contradição mostra que p|g em L[Y ] se-
guindo, novamente pelo lema de Gauss, que p|g em K[X,Y ].
2
Deduzimos da proposição anterior que uma curva algébrica, dada
como lugar das soluções de uma equação polinomial não constante
f(X,Y ) = 0, determina (a menos de fator constante) uma equação
de grau mı́nimo: tomar o produto dos fatores irredut́ıveis de f distin-
tos. Este fato nos leva a substituir a definição 1 pela seguinte onde,
essencialmente, passamos a identificar “curva” com sua equação.
5. Definição. Uma curva algébrica plana afim (ou mais abreviada-
mente, curva) é uma classe de equivalência de polinômios não constantes
f ∈ K[X,Y ], módulo a relação que identifica dois tais polinômios se
um é múltiplo do outro por alguma constante.
Nesse contexto, a equação de uma curva é um qualquer dos po-
linômios nessa classe.
Dizemos que uma curva está definida sobre o corpo K0, subcorpo de
K, se ela admitir uma equação a coeficientes em K0.
O traço (resp. traço real. . . ) de uma curva (definida sobre R. . .) é o
conjunto das soluções (resp. soluções reais. . . ) da equação.
O grau de uma curva f é o grau de sua equação, e será denotado por
d◦f . Curvas de grau 1, 2, 3,. . . são chamadas retas, cônicas, cúbicas. . . .
Uma curva é irredut́ıvel se admite uma equação que é um polinômio
irredut́ıvel.
As componentes irredut́ıveis de uma curva f são as curvas definidas
pelos fatores irredut́ıveis de f .
A multiplicidade de uma componente p de f é o expoente com que
o fator p ocorre na decomposição de f ; quando ≥ 2, dizemos que p é
componente múltipla de f .
Usualmente, cometeremos o abuso de designar pelo mesmo śımbolo
tanto a curva como o seu traço ou uma sua equação.
Por comodidade, diremos indistintamente “a curva f” ou “a curva
dada pela equação f = 0” ou “a curva f = 0”. O contexto tornará claro
quando nos referimos seja ao traço, seja ao polinômio.
Observemos que, agora, as curvas X2 = 0 e X = 0, embora tenham
o mesmo traço, são consideradas distintas por definição. É sugestivo
pensar em X2 como uma “reta dupla”, limite de um par de retas que
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12 Definições Preliminares e Exemplos Cap. 1
vêm a coincidir (digamos, X(X − εY ), com ε → 0), ou de hipérboles
que se achatam sobre o eixo ( por exemplo, X2 − εY 2 = ε).
Intuitivamente, as componentes irredut́ıveis de uma curva f são os
“pedaços” que constituem f e que são também curvas. Com efeito, se f
contém (o traço de) uma curva irredut́ıvel p, então p é uma componente
de f . Isto foi demonstrado na proposição (4, p. 10). O leitor deve no
entanto ser alertado para o fato de que uma curva pode ser irredut́ıvel
mesmo sendo seu traço real formado por duas ou mais partes disjuntas:
reveja o exemplo da hipérbole (p. 3). Outro exemplo é dado pela cúbica
de equação
Y 2 = X(X − a)(X − b), (b < 0 < a) (2)
figura 1.8
b a
O
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Veja também o exerćıcio 31, p. 21. Na realidade, a determinação do
número, bem como da disposição dos chamados circuitos reais de uma
curva algébrica plana é uma questão ainda não resolvida por completo.
Consulte Arnold [2] p. 50 e Camacho [6].
Apesar do aparente contra-senso geométrico, a definição 5 coloca
em definitivo relevo o papel da equação que individualiza uma curva
algébrica. Além do mais, freqüentemente os argumentos algébricos em-
pregados nas demonstrações de propriedades geométricas se aplicam in-
distintamente a polinômios, sejam eles irredut́ıveis ou não.
6. Exerćıcios
13. Verifique se as curvas apresentadas no § 1 são irredut́ıveis.
14. Ache as componentes irredut́ıveis das curvas:
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Seção 2 Equação de uma curva algébrica 13
(a) Y 3 −X3 +X2Y −XY 2 +X2 + Y 2 +X − Y − 1;
(b) 2X2Y − 2X3 + Y 2 −XY +X − Y ;
(c) X2 − 5XY + 6Y 2.
15. Seja fm =
m∑
0
aiX
iY m−i um polinômio homogêneo 6= 0.
(a) Prove que fm é o produto de m fatores lineares homogêneos, i.e.,
fm =
∏
(biX + ciY ), onde bi, ci são constantes não ambas nulas e as
razões bi/ci são bem determinadas.
(b) Prove que se fm, fm+1 não têm fator comum, então fm + fm+1 é
irredut́ıvel.
16. Mostre que Y 2 − p(X) é redut́ıvel se e só se p(X) é um quadrado
em K[X]. Em particular, Y 2− (X −a)(X − b)(X − c) é irredut́ıvel para
todo a, b, c ∈ K.
17. Mostre que uma cônica a11X
2 + a22Y
2 + a33 + 2a12XY + 2a13X +
2a23Y é redut́ıvel se e só se for nulo o determinante da matriz simétrica
(aij).
18. Dado um ponto arbitrário P e duas retas distintas ℓ1, ℓ2 contendo
P , mostre que o conjunto das retas que contêm P é
{x1ℓ1 + x2ℓ2 |x1, x2 são constantes não ambas nulas}.
19. Dados quatro pontos não colineares, mostre que existem cônicas
f1, f2 tais que, a condição necessária e suficiente para que uma cônica
f passe pelos quatro pontos é que f seja da forma x1f1 + x2f2, com
xi ∈ K, não ambos nulos.
20. Dados cinco pontos arbitrários, existe ao menos uma cônica que
os contém; se existirem duas distintas, então quatro desses pontos são
colineares.
21. Mostre que, para todo inteiro d ≥ 1, existem d(d + 3)/2 pontos no
plano pelos quais passa exatamente uma curva de grau d.
22. Seja C a cúbica Y = X3. Para cada par de pontos P,Q ∈ C, a reta
PQ encontra C num terceiro ponto R. Mostre que a correspondência
que associa a cada par (P,Q) o simétrico −R de R em relação à origem
O define uma estrutura de grupo em C isomorfo ao grupo aditivo de K.
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14 Definições Preliminares e Exemplos Cap. 1
3 Mudança de coordenadas
As propriedades de curvas planas que estudaremos são aquelas que
independem do particular sistema de coordenadas cartesianas empre-
gado. Faremos aqui alguns comentários sobre mudança de coordenadas
e daremos a conceituação precisa do que entendemos por “propriedade
independente do referencial”.
7. Definição. Um referencial ou sistema de coordenadas afim no plano
K2 consiste na escolha de um ponto O ∈ K2, chamado origem do
referencial, e de uma base {v1, v2} do espaço vetorial K2. O referen-
cial canônico é dado por
O = (0, 0), v1 = (1, 0), v2 = (0, 1).
O vetor coordenadas de um ponto P ∈ K2 em relação a um referencial
R = {O, {v1, v2}}
é o par ordenado (P )R = (x1, x2) ∈ K2 tal que
P = O + x1v1 + x2v2. (3)
Se R′ = {O′, {v′1, v′2}} é outro referencial, obtemos da relação acima,
juntamente com P = O′ + x′1v
′
1 + x
′
2v
′
2, uma fórmula que expressa (P )R
em termos de (x′1, x
′
2) = (P )R′ . Para isso, escrevemos vj = a1jv
′
1+a2jv
′
2,
O − O′ = a1v′1 + a2v′2. Deduzimos então x′1v′1 + x′2v′2 = P − O′ =
a1v
′
1 + a2v
′
2 + x1(a11v
′
1 + a21v
′
2) + x2(a12v
′
1 + a22v
′
2) e por fim,
(x′1, x
′
2) = (a1 + a11x1 + a12x2, a2 + a21x1 + a22x2).
Uma transformação afim ou afinidade em K2 é uma aplicação
T : K2 −→ K2
composta de uma translação com um isomorfismo linear.
A ambigüidade aparente na ordem da composição é irrelevante, pois
se L é uma aplicação linear e P0 ∈ K2, temos L(P+P0) = L(P )+L(P0).
Ou seja, uma translação seguida de uma aplicação linear tem o mesmo
efeito que a (mesma) aplicação linear seguida de uma (outra) translação.
Toda transformação afim é da forma T (x1, x2) = (y1, y2), onde
{
y1 = a11x1 + a12x2 + a1
y2 = a21x1 + a22x2 + a2,
(4)
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Seção 3 Mudança de coordenadas 15
com det(aij) 6= 0.
O leitor verificará sem dificuldade que as afinidades formam um
grupo com a operação de composição. Assim, a composta de duas afi-
nidades é uma afinidade, e a inversa de uma afinidade também é.
Escrevendo
v1 = (a11, a21), v2 = (a12, a22), O = (a1, a2),
podemos interpretar as equações (4) como as que relacionam
P = (y1, y2) com (P )R = (x1, x2).
E reciprocamente, podemos considerar as relações (3) como definindo a
afinidade,
(x1, x2) 7−→ O + x1v1 + x2v2.
8. Definição. Dizemos que a afinidade T e o referencial R são asso-
ciados se
(T (P ))R = P (∀P ∈ K2).
Assim, podemos adotar duas atitudes diante do processo de mudança
de coordenadas: dada uma afinidade T , podemos olhar a relação
(y1, y2) = T (x1, x2)
como a expressão que fornece as novas coordenadas de um mesmo ponto
em termos das antigas; os pontos ficam e as coordenadas movem-se. A
outra possibilidade, é a de considerar T agindo sobre os pontos do plano:
(y1, y2) é a nova posição de (x1, x2), com as coordenadas todas tomadas
em relação ao referencial canônico.
9. Definição. O K-automorfismo do anel de polinômios em 2 variáveis
T• : K[X1, X2]→ K[X1, X2]
associado à afinidade T : K2 → K2 é dado por,
∀ (x1, x2) ∈ K2, (T•f)(x1, x2) = f(T−1(x1, x2)).
Mais precisamente, se
T−1(x1, x2) =(b11x1 + b12x2 + b1, b21x1 + b22x2 + b2),
então
(T•f)(X1, X2) = f(b11X1 + b12X2 + b1, b21X1 + b22X2 + b2).
O emprego de T−1 na definição acima se justifica em vista da seguinte
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16 Definições Preliminares e Exemplos Cap. 1
10. Proposição. Sejam f uma curva e T uma afinidade. Então o
traço de T•f é igual à imagem do traço de f por T .
Demonstração. Imediata. 2
11. Definição. Seja T uma afinidade e seja R o referencial associado.
A equação de uma curva f em relação a um referencial R é (T•)−1f .
A definição é natural porque, para cada P = (x, y) em K2, temos
P ∈ f ⇐⇒ f(x, y) = 0
⇐⇒ ((T•)−1f)(T−1(x, y)) = 0
⇐⇒ ((T•)−1f)((P )R) = 0.
12. Definição. Dizemos que uma propriedade P relativa a curvas (ou
a configurações planas, tais como conjuntos de pontos, retas, etc.) é
invariante ou independente do referencial se, para toda afinidade T ,
uma curva f (ou configuração C) satisfaz P se e só se T•f (resp. T (C))
satisfaz P.
Por exemplo, o grau de uma curva é uma propriedade invariante. A
propriedade de três retas serem concorrentes, bem como a de um ponto
pertencer a uma curva, são invariantes.
Já o requerimento de que dois pontos no plano real sejam equidis-
tantes de um terceiro não é invariante; no entanto, exigir que um ponto
seja colinear com, e equidistante de dois outros é invariante! (Leitor:
verifique!).
Nos próximos caṕıtulos estudaremos várias propriedades invariantes
de curvas algébricas. Ressaltaremos o fato delas serem independentes do
referencial apenas quando a verificação a ser feita revelar-se um desafio
instrutivo.
13. Exerćıcios
23. Ache as coordenadas do ponto (1, 2) no referencial
{(1, 1), {(1, 2), (3, 5)}}.
24. Prove que dois triângulos quaisquer são congruentes por uma afini-
dade, i, e., se {P1, P2, P3} e {Q1, Q2, Q3} são conjuntos de três pontos
não colineares existe uma afinidade T tal que TPi = Qi, ∀i = 1, 2, 3.
Verifique se 2 quadriláteros são sempre congruentes por uma afinidade.
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Seção 3 Mudança de coordenadas 17
25. Se Li (resp. Mi) são três retas distintas concorrentes, existe uma
afinidade T tal que T•Li = Mi (i = 1, 2, 3)?
26. Representação matricial . Seja T uma afinidade. Sejam
(a1, a2) = T (0, 0),
(a11, a21) = T (1, 0)− T (0, 0),
(a12, a22) = T (0, 1)− T (0, 0).
Definimos
MT =


a11 a12 a1
a21 a22 a2
0 0 1

 .
(a) Prove a fórmula
[TP ] = MT [P ], ∀P ∈ K2
onde, se P = (x, y), escrevemos [P ] =
( x
y
1
)
.
(b) Prove que MTT ′ = MTMT ′ para todo par de afinidades T, T
′.
(c) Mostre que a correspondência T 7→ MT é um isomorfismo do grupo
das afinidades de K2 sobre o grupo dos isomorfismo lineares de K3 que
deixam invariante o plano X3 = 1.
27. Cônicas afins. Lembremos que são definidas por um polinômio do
2o grau,
f(X1, X2) = a11X
2
1 + a22X
2
2 + a33 + 2a12X1X2 + 2a13X1 + 2a23X2,
com ao menos um dos coeficientes dos termos de grau 2 não nulo. Seja
Sf = (aij), a matriz simétrica formada pelos coeficientes de f .
(a) Mostre que
f(X1, X2) = (X1, X2, 1) Sf
t(X1, X2, 1) (produto de matrizes)
onde t( ) significa “transposta”.
(b) Mostre que, para toda afinidade T , vale
ST•f =
tM−1T SfM
−1
T ,
onde MT é a matriz definida no exerćıcio anterior.
(c) Supondo K = R, mostre que, dada f , existe T tal que
T•f = X
2
1 + b22X
2
2 + b33 + 2b23X2.
(Sugestão: completar quadrados).
(d) Ainda supondo K = R, mostre que f é congruente a exatamente
uma das cônicas seguintes:
X21 +X
2
2 − 1, X21 −X22 − 1, X21 −X2, X21 +X22 + 1,
X21 +X
2
2 , X
2
1 −X22 , X21 + 1, X21 − 1,
X21 .
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18 Definições Preliminares e Exemplos Cap. 1
Nos quatro primeiros tipos, Sf tem posto 3; nos quatro seguintes, o
posto é dois e no último é um.
(e) Supondo agora K = C, mostre que esses nove tipos de cônicas
reduzem-se a apenas cinco:
X21 +X
2
2 − 1, X21 −X2, X21 −X22 , X21 − 1, X21 .
(O leitor perceberá mais adiante (exerćıcio 74, p. 55) que os dois primei-
ros tipos diferem apenas pela posição com respeito à reta no infinito;
idem para o terceiro e o quarto tipos.)
28. Determine todas as afinidades que deixam invariante a cúbica
f = Y 2 −X(X − 1)(X − λ),
onde λ é uma constante. Distinguir os casos (λ = 0, λ = 1, . . . ).
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Interseções de Curvas Planas
Vimos em alguns exemplos no caṕıtulo I a importância atribúıda desde a
Antiguidade ao estudo da interseção de duas curvas. Descartes e Newton
chegaram a proclamar que o interesse principal das curvas algébricas
seria fornecer soluções geométricas a equações algébricas por meio de
interseção de curvas do menor grau posśıvel. Veja Dieudonné, [11], p. 17.
Apresentaremos neste caṕıtulo alguns aspectos gerais do problema.
Inicialmente, veremos que a interseção de duas curvas sem componentes
em comum é finita. Descrevemos em seguida o processo da resultante
para a determinação dos pontos de interseção. Finalizamos dando uma
demonstração de um caso particular do Nullstellensatz (teorema dos
zeros) de Hilbert, o qual fornece uma condição para que um sistema de
equações polinomiais admita solução.
1 Finitude da interseção
Comecemos destacando o argumento usado na demonstração da propo-
sição (4, p. 10).
2. Lema. Sejam f, g ∈ K[X,Y ] polinômios sem fatores irredut́ıveis em
comum. Então existe uma relação
af + bg = c(X),
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20 Interseções de Curvas Planas Cap. 2
onde a, b ∈ K[X,Y ] enquanto c é um polinômio apenas na variável X,
não nulo. Resultado análogo vale trocando X por Y .
Demonstração. Ponhamos A = K[X], L = K(X). Consideremos
f, g como elementos de L[Y ]. Visto que f, g não admitem fator comum
em A[Y ], também não o admitem em L[Y ] (leitor: por quê?). Como
L[Y ] é um domı́nio de ideais principais (veja a proposição (16, p. 140)),
segue-se uma relação
rf + sg = 1 em L[Y ].
Eliminando denominadores de r, s, obtemos a relação prometida. 2
Se f ∈ K[X] é um polinômio não constante, sabemos que a equação
f(X) = 0 admite no máximo um número finito de soluções. O próximo
resultado é uma versão deste fato para polinômios em duas variáveis.
3. Proposição. O conjunto das soluções de um sistema de duas equações
polinomiais a duas incógnitas sem fator irredut́ıvel em comum é finito.
Reformulando em linguagem geométrica, temos, equivalentemente:
4. Proposição. A interseção de duas curvas algébricas planas sem
componentes em comum é finita.
Demonstração. Apliquemos o lema 2 aos polinômios f, g ∈ K[X,Y ]
que não admitem fator em comum. Obtemos relações
af + bg = c(X), uf + vg = w(Y ),
onde a, b, c, u, v, w são polinômios, c(X), w(Y ) são não nulos e envolvem
só a variável indicada. Dessas relações é evidente que toda solução de
f = g = 0 tem para abscissa uma raiz de c(X) e para ordenada uma
raiz de w(Y ), todas em número finito. 2
5. Exemplo. Consideremos as interseções da hipérbole
f : XY = 1
com retas
ℓ : aX + bY = c.
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Seção 1 Finitude da interseção 21
A figura seguinte ilustra as possibilidades; as retas X = 0 e Y = 0
não cortam a hipérbole (exceto no infinito...). Em geral, há duas in-
terseções distintas, reais ou complexas (e.g. Y = −X corta f nos pontos
(i,−i), (−i, i)). As retas tangentes têm apenas um ponto de interseção
que, intuitivamente, deve ser contado duas vezes.
figura 2.1
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6. Exerćıcios
29. Dados f = X2 − 2Y 2 + XY − 2X + 5Y, g = X2 + XY + Y −
X − 2, encontre polinômios a, b, c tais que af + bg = c(X) como no
lema (2, p. 19).
30. Seja f = a0Y
m+a1Y
m−1+· · · , a0 6= 0, um polinômio a coeficientes
em um domı́nio A. Mostre que, para todo g ∈ A[Y ] existem um inteiro
i ≥ 0 e polinômios q, r ∈ A[Y ] tais que
ai0g = qf + r, com r = 0 ou d
◦r < m.
Suponha que A seja fatorial (23, p. 142) e f, g não admitam fator comum
não constante. Deduza um algoritmo para construir uma relação af +
bg = c, onde a, b ∈ A[Y ], c ∈ A, c 6= 0. Além disso, a, b podem ser
tomados de maneira que d◦a ≤ d◦g − 1, d◦b ≤ d◦f − 1.
31. Prove que nenhum dos dois ramos do traço real da hipérboleXY = 1
é, em separado, o traço de uma curva algébrica. Mesma questão para a
cúbica Y 2 = X(X − 1)(X + 1). (Veja fig. 1.8, p. 12).
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22 Interseções de Curvas Planas Cap. 2
32. Sejam f, g ∈ K[X,Y ] polinômios sem fator comum não constante.
Prove que K[X,Y ]/〈f, g〉 é um espaço vetorial de dimensão finita.
(Sugestão: existem r(X), s(Y ) no ideal 〈f, g〉, não nulos. O quociente
K[X,Y ]/〈r(X), s(Y )〉 tem dimensão finita.)
2 A resultante
Como proceder para achar os pontos de interseção de duas curvas f, g? O
método geral mais simples é o de selecionar uma das variáveis, digamos
X, para figurar como parte dos coeficientes. Isto é, consideramos f e g
como polinômios na variável Y , a coeficientes no anel K[X]. Tentamos
então encontrar os valores de x para os quais f(x, Y ) e g(x, Y ) admitem
raiz comum. Geometricamente, queremos encontrar as projeções, sobre
o eixo dos x, dos pontos de f∩g. Este processo, t́ıpico da chamada teoria
da eliminação, repousa sobre o estudo da resultante de dois polinômios.
7. Definição. Seja A um anel (comutativo, e.g., A = K[X]), e sejam
f = adY
d + · · ·+ a0, (d ≥ 1)
g = beY
e + · · ·+ b0, (e ≥ 1)
polinômios a coeficientes em A. Definimos a resultante de f, g por
R = Rf,g =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
ad ad−1 · · · a0
ad · · · a1 a0
· · · · · · · · · · · ·
ad · · · · · · a0
be be−1 · · · b0
· · · · · · · · · · · ·
be · · · · · · b0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
,
determinante da matriz (d+ e)× (d+ e), com e linhas de a’s e d linhas
de b’s. Subentende-se que os espaços em branco são preenchidos com
zeros.
Nesta definição, os polinômios f, g são considerados formalmente de
graus d, e, embora ad, be possam ser nulos. O contexto deixará claro
o grau formal atribúıdo; quando não expĺıcito, convencionamos atribuir
o grau efetivo, i.e., o maior grau em que Y ocorre efetivamente. No
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caso em que estamos mais interessados, os coeficientes ai, bj são tam-
bém polinômios em outras variáveisX1, X2, . . . , Xn. Escreveremos então
R(X1, X2, . . . , Xn) para enfatizar que R é um polinômio nessas variáveis.
8. Exemplo. Sejam f = Y 2 +X2 − 4, g = XY − 1. Temos
R(X) =
∣∣∣∣∣∣
1 0 X2 − 4
X −1 0
0 X −1
∣∣∣∣∣∣
= X4 − 4X2 + 1 .
Note que um processo “natural” para resolver o sistema
{
X2 + Y 2 = 4
XY = 1
seria substituir Y = 1/X na primeira equação, resultando a equação
X4 − 4X2 + 1 = 0.
Ou seja, as interseções do ćırculo com a hipérbole têm para abscissas as
soluções dessa última equação resultante. A coincidência não é acidental.
9. Proposição. Sejam
{
f = ad(X)Y
d + · · ·+ a0(X),
g = be(X)Y
e + · · ·+ b0(X),
onde ai, bj são polinômios nas variáveis X1, X2, . . . , a coeficientes no
corpo K. Então, para cada x = (x1, x2, . . . ), temos
Rf,g(x) = 0⇔



ad(x) = be(x) = 0
ou
f(x, Y ), g(x, Y ) admitem fator comum não constante.
Demonstração. Para cada x ∈ K, a resultante de f(x, Y ) e g(x, Y ) é
obviamente Rf,g(x) (veja o exerćıcio 39, p. 26). Por outro lado, f(x, Y )
e g(x, Y ) admitem uma raiz y em comum se e só se admitem um fator
não constante Y − y. Portanto, o teorema resultará do seguinte.
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24 Interseções de Curvas Planas Cap. 2
10. Lema. Sejam f = adY
d+ · · ·+a0, g = beY e+ · · ·+ b0 polinômios
a coeficientes em um domı́nio de fatoração única (veja p. 142). Então
Rf,g = 0⇔



ad = be = 0
ou
f, g admitem fator comum não constante.
Demonstração. Digamos ad 6= 0. Então f, g admitem fator comum
h não constante se e só se existirem p, q ∈ A[Y ] não ambos nulos, com
d◦p ≤ d− 1 e d◦q ≤ e− 1 tais que
qf = pg. (1)
Com efeito, se f = ph, g = qh, segue-se a relação (1). Reciprocamente,
visto que A[Y ] também é fatorial, a relação (1) acarreta que algum fator
irredut́ıvel de f ocorre em g, pois d◦f > d◦p. Escrevendo
{
p = u0Y
d−1 + · · ·+ ud−1,
q = v0Y
e−1 + · · ·+ ve−1,
a equação (1) é equivalente ao sistema linear nas variáveis ui, vj obtido
comparando coeficientes, a saber,
e−1∑
j=0
ad−i−jvj =
d−1∑
h=0
be−i−huh, i = 0, . . . , d+ e− 1,
onde convencionamos por am = bn = 0 se m,n < 0, ou m > d, n >
e. Ora, este sistema admite solução não trivial se e só se é nulo o
determinante da matriz dos coeficientes, o qual coincide com Rf,g, a
menos de sinal. 2
Retornando ao problema da interseção de duas curvas f, g, observe-
mos que Rf,g é identicamente nulo se e só se f, g admitem componentes
em comum, caso em que f ∩ g não é finita.
Quando a interseção é finita, podemos estimar o número de pontos
contando o número de suas abscissas, que é limitado pelo grau da resul-
tante R(X). Este procedimento é muito grosseiro, pois podem ocorrer
vários pontos de interseção com a mesma abscissa.
11. Exemplo. Sejam f = X2 + Y 2 − 2X, g = Y 2 −X.
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Seção 1 Finitude da interseção 25
A resultante é
R(X) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 X2 − 2X
1 0 X2 − 2X
1 0 −X
1 0 −X
∣∣∣∣∣∣∣∣
= X2(X − 1)2.
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O
1•
−1•
1
•
figura 2.2
Nesse exemplo, o mero cálculo da resultante não permite prever o número
de interseções. A multiplicidade dois da raiz x = 0 pode ser interpretada,
na figura, como causada pela tangência. Já a raiz dupla x = 1 é devida
ao fato de que há dois pontos de interseção com a mesma abscissa. Se
trocarmos X por Y , eliminando X, obtemos
R(Y ) =
∣∣∣∣∣∣
1 −2 Y 2
−1 Y 2
−1 Y 2
∣∣∣∣∣∣
= Y 2(Y − 1)(Y + 1).
Agora, os pontos de interseção aparecem fielmente refletidos nas ráızes
da resultante. A multiplicidade (dois) da raiz y = 0 persiste, pois ela cor-
responde a um fenômeno geométrico, que diz respeito à posição relativa
das curvas f e g, e não depende do particular sistema de coordenadas
empregado. Voltaremos a esta discussão no caṕıtulo V.
12. Exerćıcios
33. Resolva os sistemas:
a) X(Y 2 −X)2 = Y 5, X4 + Y 3 = X2.
b) (X2 + Y 2)2 = X2 − Y 2, X2 + Y 2 = X − 4.
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26 Interseções de Curvas Planas Cap. 2
34. Calcule a resultante do par de polinômios
(a) f(X) = aX2 + bX + c, f ′(X) = 2aX + b.
(b) f(x) = (X −a)(X− b)(X − c), g(X) = (X−d)(X − e), (a, b, . . . , e
constantes).
35. Seja K um corpo e sejam f, g ∈ K[X]. Mostre que se L é uma
extensão de K tal que f, g admitem um fator comum em L[X], então
o mesmo ocorre já em K[X]. Idem para polinômios a mais de uma
variável.
36. Seja K um corpo e sejam f, g, h ∈ K[X] polinômios tais que f =
g2h. Prove que f e sua derivada f ′ são diviśıveis por g. Reciprocamente,
se f e f ′ admitem um fator não constante g, então g2 divide f .
37. Construa pares de cônicas fi, gi irredut́ıveis tais que fi ∩ gi consiste
em i pontos distintos para i = 1, 2, 3, 4. Calcule as resultantes com
relação a X e com relação a Y em cada caso.
38. Seja A um anel comutativo com unidade. Mostre que a resultante
dos polinômios f = Y − a e g = bnY n + · · ·+ b0 ∈ A[Y ] é igual a g(a).
39. Seja ϕ : A → B um homomorfismo de anéis e denotemos pelo
mesmo śımbolo o homomorfismo induzido A[Y ] → B[Y ] definido por
ϕ(ΣaiY
i) = Σϕ(ai)Y
i. Prove que ϕ(Rf,g) = Rϕ(f),ϕ(g) para todo f, g ∈
A[Y ], onde os graus formais atribuidos a ϕ(f) e ϕ(g) são os mesmos de
f, g.
3 O grau da resultante
É conveniente introduzir o conceito de direção assintótica de uma curva
f . Intuitivamente, trata-se de uma direção limite de retas OP , onde o
ponto P percorre f afastando-se indefinidamente da origem O.
13. Definição. Escreva
f = f0 + f1 + · · ·+ fd,
onde cada fi é homogêneo de grau i, e fd 6= 0. Cada componente aX+bY
de fd é dita uma direção assintótica de f . (Veja o exerćıcio 15(a), p. 13.)
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Seção 3 O grau da resultante 27
14. Exemplos. (1) f = 1−XY tem as direções assintóticas X e Y .
(2) f = Y 2 − X tem apenas a direção assintótica Y . Note que aqui
a direção assintótica não é uma asśıntota, no sentido da Geometria
Anaĺıtica elementar (quando se fala em tangência no infinito; veja os
exemplos 8, p. 51, em especial as figuras.).
Calculando a resultante de cada uma dessas curvas com uma reta ℓ =
Y − (aX + b), o leitor verificará que o grau de Rf,ℓ é em geral 2, sendo
menor somente se ℓ tem a mesma direção assintótica que f .
15. Proposição. O grau da resultante de duas curvas sem direção
assintótica em comum é igual ao produto dos graus. Em śımbolos,
d◦Rf,g = (d
◦f)(d◦g).
A resultante aqui é tomada atribuindo-se a f, g seus graus efetivos com
respeito à variável Y .
Demonstração. Para cada polinômio f =
d∑
0
fi, com fi homogêneo
de grau i, fd 6= 0, ponhamos
f∗(X,Y, Z) = Zdf0 + Z
d−1f1 + · · ·+ Zfd−1 + fd,
onde Z é uma nova variável (independente de X,Y ) (veja a definição 4,
p. 48). Observemos que f∗ é um polinômio homogêneo de grau d = d◦f ,
e evidentemente temos f∗(X,Y, 1) = f(X,Y ). Reescrevamos f∗, g∗ na
forma
f∗ = A0Y
d + · · ·+Ad
g∗ = B0Y
e + · · ·+Be
onde Ai, Bj ∈ K[X,Z] são homogêneos e d◦Ai = i, d◦Bj = j. Calcu-
lemos a resultante
R(X,Z) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
A0 · · · · · · Ad· · · · · · · · · · · ·
A0 · · · · · · Ad
B0 · · · · · · Be· · · · · · · · · · · ·
B0 · · · · · · Be
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
16. Lema. O polinômio R(X,Z) acima definido é homogêneo de grau
d · e, se não for identicamente nulo.
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28 Interseções de Curvas Planas Cap. 2
Demonstração. Em geral, um polinômio não nulo p(X1, . . . , Xn) a n
variáveis é homogêneo de grau m se e só se vale a identidade
p(TX1, . . . , TXn) = T
mp(X1, . . . , Xn) em K[X1, . . . , Xn, T ],
onde T é uma nova variável independente. Com efeito, sendo p ho-
mogêneo, é imediato que a relação vale. Reciprocamente, suponhamos
válida a relação e escrevamos
p = p0 + p1 + · · ·+ pr,
onde o lado direito é soma de polinômio homogêneos com d◦pi = i,
pr 6= 0. Abreviando X = (X1, . . . , Xn), temos
p(TX)= p0 + Tp1 + · · ·+ T rpr = Tmp
donde, (pela definição de igualdade de polinômios!), segue-se m = r
e p = pm.
Continuando a demonstração do lema, mostremos agora que
R(TX, TZ) = T deR(X,Z) em K[X,Z, T ].
Ora,
R(TX, TZ) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
A0 TA1 · · · T dAd
A0 · · · T d−1Ad−1 T dAd
...
...
...
...
B0 TB1 · · ·
...
... T eBe · · ·
...
...
...
...
...
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
Multiplicamos a segunda linha por T , a terceira por T 2, . . . , a e-ésima
por T e−1, a segunda linha de B’s por T, . . . , a última por T d−1. Resulta
que a 2a coluna fica diviśıvel por T , a 3a por T 2, etc. Obtemos
TNR(TX, TZ) = TMR(X,Z),
onde N = (1+· · ·+e−1)+(1+· · ·+d−1), M = 1+2+· · ·+d+e−1.
Logo,
M−N = (d+ e)(d+ e− 1)
2
− e(e− 1)
2
− d(d− 1)
2
= d·e. �
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Para completar a demonstração da proposição 15 vamos comparar
R(X,Z) com R(X). Veja o exerćıcio (39, p. 26). É evidente que R(X, 1)
é a resultante de f, g considerados formalmente como polinômios em
Y de graus d, e. Agora observemos que os coeficientes A0, B0 de Y
d
e Y e em f∗ e g∗ são constantes, sendo nulos se e só se Y d e Y e não
ocorrem em fd e ge respectivamente. Esta última condição é equivalente
à condição de X ser fator de fd. Como f, g não têm direções assintóticas
em comum, segue-se que, por exemplo, A0 6= 0. Seja j o menor ı́ndice
tal que Bj 6= 0. Desenvolvendo o determinante que define R(X,Z) pelas
j primeiras colunas, obtemos
R(X, 1) = Aj0R(X).
Visto que f, g não têm direção assintótica em comum, em particular não
têm componente em comum. Logo R(X) 6= 0 e portanto R(X,Z) 6= 0.
Assim, o grau de R(X,Z) é d · e. Segue-se que R(X, 1) tem grau d · e,
a menos que R(X,Z) seja múltiplo de Z. Mas neste último caso,
R(1, 0) = 0, acarretando
f∗(1, y, 0) = g∗(1, y, 0)
para algum y, donde fd(1, y) = ge(1, y) = 0. Segue-se que f, g admiti-
riam ambos a direção assintótica yX − Y , proibido por hipótese. 2
17. Exerćıcios
40. Seja f = f0 + f1 + · · ·+ fd, onde cada fi ∈ K[X,Y ] é homogêneo de
grau i e fd 6= 0. Prove que f(X, aX + b) tem grau exatamente igual a
d se e só se a reta Y = aX + b tem direção assintótica distinta das de f .
41. Sejam
f = a0X
d + a1X
d−1Y + · · ·+ adY d,
g = b0X
e + b1X
e−1Y + · · ·+ beY e,
polinômios homogêneos 6= 0 a coeficientes em K. Mostre que f, g admi-
tem uma direção assintótica comum se e só se a resultante de f(1, Y ) e
g(1, Y ) é nula.
42. Prove que o grau da resultante de duas curvas sem componente
comum é sempre menor do que ou igual ao produto dos graus, com
igualdade somente na situação da proposição (15, p. 27).
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30 Interseções de Curvas Planas Cap. 2
4 O teorema dos zeros
Finalizamos este caṕıtulo discutindo uma versão particular do célebre
Nullstellensatz de Hilbert. Trata-se de elucidar em que condições um
sistema de equações polinomiais admite solução.
Observemos inicialmente que, dado um sistema de equações,
f1 = · · · = fN = 0,
toda solução é também solução de qualquer equação do tipo
g1f1 + · · ·+ gNfN = 0,
onde os gi’s são polinômios arbitrários. Denotemos por I o ideal gerado
pelos f1, . . . , fN , ou seja, o conjunto de todos os polinômios da forma
Σgjfj .
Dizemos que um ponto P é um zero do ideal I se f(P ) = 0 para
todo f ∈ I. É evidente que o conjunto dos zeros de I coincide com o
conjunto das soluções do sistema proposto.
Por outro lado, se o polinômio constante, 1, pertence a I, é claro
que I não admite zero. O Nullstellensatz afirma que, reciprocamente,
se I é um ideal próprio do anel dos polinômios a coeficientes num corpo
algebricamente fechado, então I admite um zero. Vamos nos ater ao
caso de duas variáveis.
Lembremos que um ideal I ⊂ K[X,Y ] é próprio se e só se estiver
contido em algum ideal maximal. Por exemplo, um ideal de K[X,Y ] da
forma
m = 〈X − x, Y − y〉,
i.e., gerado por X − x, Y − y, onde x, y são constantes, é maximal,
pois é o núcleo do epimorfismo “substituir X = x, Y = y”,
K[X,Y ] −→ K
f(X,Y ) 7−→ f(x, y).
(Veja o Apêndice, exerćıcio (165, p. 138)) Agora observemos que, se I
estiver contido no ideal 〈X − x, Y − y〉 então P = (x, y) é um zero de
I, e reciprocamente. Este argumento mostra que o Nullstellensatz é
conseqüência imediata do seguinte resultado.
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Seção 4 O teorema dos zeros 31
18. Proposição. Se K é um corpo algebricamente fechado, então todo
ideal maximal m de K[X,Y ] é do tipo 〈X − x, Y − y〉 para algum ponto
(x, y) ∈ K2.
Observemos que é essencial aqui a hipótese de fechamento algébrico. O
ideal 〈X2 + 1, Y 〉 de R[X,Y ] é maximal e não admite zero real.
Demonstração. Seja f ∈ m um polinômio não constante. (Leitor:
justifique a existência de f). Podemos supor f irredut́ıvel porque “ma-
ximal ⇒ primo”. Sendo K algebricamente fechado, não há dificuldade
em se garantir a existência de um zero de f ; digamos f(x0, y0) = 0.
Se m = 〈X − x0, Y − y0〉, ponto final. Se não, existe g ∈ m tal que
g(x0, y0) 6= 0. Em particular, f não divide g. Aplicando o lema (2, p. 19)
obtemos uma relação af + bg = c, onde c é um polinômio não constante
de uma só variável, seja X ou Y , à nossa escolha. Visto que c ∈ m,
conclúımos que m contém elementos da forma X−x, Y −y. (Este é outro
ponto em que a hipótese sobre K é imprescind́ıvel). Tendo em conta que
〈X − x, Y − y〉 é maximal, conclúımos que 〈X − x, Y − y〉 = m. 2
19. Exerćıcios
43. Seja f uma curva e seja A = K[X,Y ]/〈f〉. Mostre que os ideais
maximais de A estão em correspondência bijetiva natural com os pontos
(x, y) tais que f(x, y) = 0, i.e., com os pontos do traço de f .
44. Seja S um subconjunto de K2. Mostre que S é o conjunto das
soluções de um sistema de equações polinomiais f1(X,Y ) = f2(X,Y ) =
0 se e somente se S = K2 ou S = φ ou S = união de um número finito
de curvas irredut́ıveis e de um conjunto finito de pontos.
45. Verifique se a demonstração da proposição 18 se aplica para concluir
um resultado análogo em mais de duas variáveis.
46. Mostre que os ideais maximais de R[X,Y ] são da forma 〈f, g〉 com
d◦f = 1 e d◦g ≤ 2.
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Multiplicidades
A noção de multiplicidade é central na teoria de curvas algébricas.
Historicamente, descende do simples fato de que todo polinômio de grau
n em uma variável admite exatamente n ráızes, contadas com as devi-
das multiplicidades. Isto significa, intuitivamente, atribuir um peso que
indica quantas ráızes coincidem com um mesmo valor. As sucessivas
extensões do conceito de multiplicidade marcaram avanços importantes
na álgebra e na geometria (veja o clássico de Serre, [30]). Nosso objetivo
é dar um sentido preciso à idéia de uma curva passar um certo número
de vezes por um mesmo ponto. A multiplicidade ou ı́ndice de interseção,
que avalia a ordem de contato ou tangência entre duas curvas, merece
tratamento rigoroso e será o principal tópico deste caṕıtulo.
1 Interseção de uma curva com uma reta
Seja f uma curva, e seja ℓ uma reta de equação Y = aX + b. Os pontos
de f ∩ ℓ podem ser obtidos eliminando Y e resolvendo a equação
fℓ(X) := f(X, aX + b) = 0.
Eis as possibilidades:
(1) fℓ(X) é identicamente nulo, caso em que ℓ é uma componente de f ;
(2) fℓ(X) é uma constante 6= 0, quando f ∩ ℓ = φ.
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Seção 1 Interseção de uma curva com uma reta 33
(3) fℓ(X) é um polinômio não constante, decompondo-se na forma
fℓ(X) = c
r∏
i=1
(X − xi)mi ,
onde c é uma constante e os xi são as abscissas (duas a duas distintas)
dos pontos de interseção. Procede-se de maneira evidente quando ℓ é da
forma X = cY + d.
1. Lema. Os inteiros mi independem do referencial afim.
Demonstração. O processo de substituir Y = aX + b em um po-
linômio g(X,Y ) define um epimorfismoK[X,Y ] −→ K[X]
g 7−→ g(X, aX + b),
cujo núcleo é o ideal 〈ℓ〉 gerado por ℓ = Y − (aX + b). Logo, obtemos
um isomorfismo
K[X,Y ]/〈ℓ〉 ∼−→ K[X]
tal que a classe f de f módulo 〈ℓ〉 corresponde a fℓ. Visto que K[X] é
fatorial, à decomposição
∏
(X − xi)mi de fℓ corresponde uma (única!)
decomposição de f em fatores irredut́ıveis, com o mesmo número r de
fatores irredut́ıveis distintos, o i-ésimo repetido mi vezes. Agora, se T é
uma afinidade, T induz um isomorfismo (9)
K[X,Y ]/〈ℓ〉 −̃→ K[X,Y ]/〈T•ℓ〉
tal que f + 〈ℓ〉 e T•f + 〈T•ℓ〉 se correspondem, juntamente com as
decomposições em fatores irredut́ıveis. 2
2. Definição. A multiplicidade ou ı́ndice de interseção de ℓ, f no ponto
P é dada por
(ℓ, f)P =



0 se P 6∈ ℓ ∩ f
∞ se P ∈ ℓ ⊂ f
mi se P = (xi, axi + b) como no caso (3) acima.
Se ℓ 6⊂ f , chamamos o inteiro
m∞ := d
◦f −
r∑
i=1
mi
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34 Multiplicidades Cap. 3
de multiplicidade de interseção de ℓ, f no ponto impróprio ou ponto de
ℓ no infinito.
Deixamos a cargo do leitor a verificação de que m∞ é positivo se e só se
a direção de ℓ é uma direção assintótica de f .
O significado intuitivo dessas multiplicidades é que, arbitrariamente
próximo à curva f , existem curvas do mesmo grau que cortam ℓ em d◦f
pontos distintos, mi dos quais estão próximos a (xi, axi + b), os m∞
restantes distanciando-se para ∞ sobre ℓ.
3. Exemplos.
(1) Sejam
f = Y −X2, ℓ = Y − (aX + b).
Se a2 +4b 6= 0, temos dois pontos de interseção distintos. Se a2 +4b = 0,
temos um só, com multiplicidade 2.
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O
figura 3.1
(2) Sejam
f = Y −X3, ℓ = aX + bY + c.
Se b 6= 0 = a = c, temos uma interseção na origem, com multiplicidade 3.
Se a 6= 0 = b, temos uma interseção a distância finita, com multiplicidade
1, e outra no infinito, com multiplicidade 2. Se b 6= 0, podemos ter 1,
dois ou três pontos de interseção, todos a distância finita.
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Seção 2 Pontos múltiplos 35
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figura 3.2
(3) Sejam
f = Y 2 −X2(X + 1), ℓa = Y − aX.
A origem O absorve pelo menos duas interseções. Se a = ±1, a multi-
plicidade de interseção (ℓ, f)O = 3.
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ℓ−1
ℓ+1
O
figura 3.3
2 Pontos múltiplos
Apresentamos nesta seção a noção de multiplicidade de um ponto sobre
uma curva.
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36 Multiplicidades Cap. 3
4. Proposição. Seja f uma curva e seja P um ponto de f . Existe um
inteiro m = mP (f) ≥ 1, tal que, para toda reta ℓ passando por P , temos
(ℓ, f)P ≥ m,
ocorrendo a desigualdade estrita para no máximo m retas e no mı́nimo
uma.
Demonstração. Suporemos, sem perda de generalidade, P = O. Es-
crevamos
f = fm + · · ·+ fd,
com fi homogêneo de grau i para m ≤ i ≤ d, e fm 6= 0. Lembrando
que P ∈ f , temos m ≥ 1. Mudando coordenadas se necessário, podemos
supor que X 6 | fm. O leitor verificará facilmente que
f(0, Y ) = Y m(fm(0, 1) + · · ·+ fd(0, 1)Y d−m)
e fm(0, 1) 6= 0. Dáı vem que (X, f)O = m. Para as demais retas
passando por O, ponhamos ℓt = Y − tX. Temos então,
f(X, tX) = Xm(fm(1, t) + fm+1(1, t)X + · · ·+ fd(1, t)Xd−m).
Deduzimos que
(ℓt, f)O ≥ m,
ocorrendo igualdade se e só se fm(1, t) 6= 0. Como X 6 | fm, segue-se que
fm(1, t) é um polinômio em t de grau m (≥ 1) e que portanto se anula
para ao menos um e no máximo m valores de t distintos. 2
5. Definição. O inteiro m = mP (f) descrito na proposição acima é a
multiplicidade do ponto P na curva f ou multiplicidade de f em P .
Se P 6∈ f , convencionamos mP (f) = 0.
Se P = (x, y) ∈ f , escrevemos
f(X + x, Y + y) = fm(X,Y ) + (termos de grau > m).
O polinômio homogêneo fm(X,Y ) pode ser decomposto de maneira
única,
fm =
∏
(aiX + biY )
ei ,
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Seção 2 Pontos múltiplos 37
onde os fatores lineares aiX + biY são retas distintas. As retas
ℓi = ai(X − x) + bi(Y − y)
são as retas tangentes de f em P . O expoente ei é a multiplicidade da
tangente ℓi.
A demonstração da proposição 4 mostraque (ℓ, f)P > m = mP (f)
justamente para ℓ igual a uma das retas tangentes a f em P .
Dizemos que um ponto P de uma curva f é liso, ou não singular
ou simples em f e que f é lisa, ou não singular ou simples em P se
mP (f) = 1; singular caso contrário. A curva f é lisa ou não singular
se mP (f) = 1 para cada P ∈ f . Se mP (f) = 2, 3, . . . ,m, P é dito um
ponto duplo, triplo, ..., m-uplo. Um ponto m-uplo P ∈ f é ordinário se
f admitir m tangentes distintas no ponto P . Uma cúspide é um ponto
duplo com tangentes coincidentes. Um nó é um ponto duplo ordinário.
6. Proposição.
(1) Um ponto P ∈ f é liso se e só se ao menos uma das derivadas
parciais fX , fY não se anula em P .
(2) Se P = (a, b) ∈ f é liso então a (única!) tangente a f em P é dada
por
fX(P )(X − a) + fY (P )(Y − b) = 0.
Demonstração. Ambas as afirmativas decorrem facilmente da fórmula
de Taylor,
f(X + a, Y + b) = f(a, b) + fX(a, b)X + fY (a, b)Y + g(X,Y ),
onde todos os termos de g têm grau ≥ 2. 2
7. Exemplos.
(1) A lemniscata (X2 + Y 2)2 = X2 − Y 2 apresenta um nó na origem,
com tangentes Y = ±X.
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38 Multiplicidades Cap. 3
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figura 3.4
(2) A cissóide, X2 − Y (Y 2 + X2) = 0, tem uma cúspide na origem,
com tangente vertical X = 0.
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figura 3.5
(3) Singularidade tacnodal: Y 2 − 3X2Y − Y 3 +X4 = 0.
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figura 3.6
4) Singularidade real isolada:
X2 + Y 2 = X3.
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figura 3.7
5) Rosácea de 3 pétalas :
(X2 + Y 2)2 = Y 3 − 3X2Y
A origem é um ponto triplo ordinário.
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figura 3.8
8. Proposição. Se f é uma curva sem componentes múltiplas, então o
conjunto dos pontos singulares de f é finito.
Demonstração. Lembremos que uma componenteirredut́ıvel p de f
é múltipla se p2|f (veja o exerćıcio (36, p. 26). Pela proposição anterior,
o conjunto dos pontos singulares é dado pelas equações
f = fX = fY = 0
Ora, ao menos uma das derivadas parciais, digamos fX , é não identica-
mente nula. (Leitor: por quê?). Afirmamos que f = fX = 0 admite só
um número finito de soluções. Do contrário, pela proposição (4, p. 20),
existiria componente irredut́ıvel p comum a f e fX . Mas isto acarreta
que p2|f , absurdo. 2
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40 Multiplicidades Cap. 3
9. Proposição. Seja f uma curva sem componentes múltiplas. Então,
para cada ponto P do plano, e para cada reta ℓ contendo P , com exceção
de um número finito, ℓ encontra f fora de P em d◦f −mP (f) pontos
distintos.
(Intuitivamente, um ponto de multiplicidade m absorve m interseções
de ℓ ∩ f , as demais sendo, em geral, distintas).
Demonstração. Suponhamos inicialmente f irredut́ıvel. Sem perda
de generalidade, podemos supor P = (0, 0). Ponhamos m = mP (f), d =
d◦f e lembremos a convenção m = 0⇐⇒ P 6∈ f . Podemos escrever
f = fm + · · ·+ fd,
com fi homogêneo de grau i para m ≤ i ≤ d e fmfd 6= 0. Seja T uma
nova indeterminada. Definamos
g(X,T ) := X−mf(X,TX) = fm(1, T ) + · · ·+Xd−mfd(1, T ).
O leitor verificará sem dificuldade que g(X,T ) é irredut́ıvel em K[X,T ].
Em particular, gX e g não têm componente em comum. Logo, existe
um número finito de valores t de T para os quais g(X, t) e gX(X, t)
admitem raiz comum. (Essas são as ráızes múltiplas de g(X, t)). Evi-
tando o número também finito de valores que anulam fm(1, T )fd(1, T ),
conclúımos que g(X, t) é um polinômio em X de grau d −m, com esse
mesmo número de ráızes distintas, e todas 6= 0. Tendo em conta que
f(X, tX) = Xmg(X, t),
conclúımos que a reta Y = tX encontra f conforme anunciado. Para o
caso geral (f possivelmente redut́ıvel), aplicamos a parte já demonstrada
para cada componente. 2
3 Diagrama de Newton
Finalizamos o caṕıtulo descrevendo o diagrama de Newton , um método
prático para esboçar o traço real de uma curva na vizinhança de um
de seus pontos. Para cada termo aijX
iY j efetivamente presente na
equação da curva, marcamos o ponto (i, j) em um novo plano. Traçamos
em seguida aqueles segmentos ligando dois ou mais desses pontos, com
a propriedade de que a reta determinada isola os demais pontos no
semi-plano oposto ao da origem. Antes de prosseguirmos, tomemos por
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Seção 3 Diagrama de Newton 41
exemplo, X5 − 5XY 2 + 2Y 5 = 0, para fixar as idéias. A primeira fi-
gura é o diagrama de Newton; a segunda, um esboço do traço real de f ,
próximo à origem.
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figura 3.9
Os termos correspondentes aos pontos (i, j) em um dado segmento,
fatorando-se X ou Y , dão uma boa aproximação da curva próximo à
origem.
No exemplo, o segmento que une (0, 5) a (1, 2) fornece 2Y 5− 5XY 2,
do qual retemos 2Y 3 − 5X. Esta é a parte do traço de f desenhada em
pontilhado. O segundo segmento dá X5−5XY 2, dáı o par de parábolas
X2 = ±
√
5Y marcadas em tracejado.
Outro exemplo:
X4 + 2X2Y 2 + Y 4 = Y 3 − 3X2Y
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42 Multiplicidades Cap. 3
O segmento (0, 3)(2, 1) seleciona Y 3 − 3X2Y ; cancelando o fator Y ,
obtemos o par de retas Y 2 = 3X2. O outro segmento corresponde à
parábola X2 = −3Y . Compare com a figura 3.8, p. 39.
Sem entrar em maiores detalhes, o método funciona porque cada
segmento do diagrama seleciona termos da equação que são infinitésimos
de mesma ordem, os demais pontos no semiplano oposto ao da origem
representando termos de ordem superior. Veja Dieudonné, [12] p. 106.
10. Exerćıcios
47. Analise as interseções de X + Y = 2 com XY = 1 + ε para ε→ 0.
48. Determine os pontos singulares com suas respectivas multiplicidades
e retas tangentes e esboce as curvas:
a) X3 − 3XY 2 +X4 + Y 4 + 2X2Y 2 = 0.
b) Y 5 − 5Y X2 + 2X5.
c) Y 2X −X2 − Y 2 +X = 0.
d) Reveja os exemplos e exerćıcios do caṕıtulo I.
49. Mostre que se uma cônica é singular, ela é redut́ıvel. Vale a rećıproca?
50. Mostre que mP (f) é o menor inteiro m tal que alguma derivada
parcial de f de ordem m é 6= 0 em P .
51. Dizemos que um ponto P sobre uma curva f é um ponto de inflexão
se P é não singular e existe uma reta ℓ tal que (ℓ, f)P ≥ 3.
a) Mostre que ℓ é a reta tangente a f em P . (Dizemos então que se trata
de uma reta tangente inflexional.)
b) Cônicas irredut́ıveis não admitem pontos de inflexão.
c) Escrevendo f = f1 + f2 + · · · com fi ∈ K[X,Y ] homogêneo de grau
i, mostre que P = (0, 0) é um ponto de inflexão se e só se f1 é uma
componente de f2.
52. Determine os pontos de inflexão das curvas seguintes:
a) Y = X3;
b) Y = Y X2 +X3;
c) X3 + Y 3 + 3XY = 0;
d) X3 + Y 3 + (X + Y + 1)3 + 3XY (X + Y + 1) = 0;
e) (X2 + Y 2)2 = X2 − Y 2.
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Seção 3 Diagrama de Newton 43
53. Mostre que, se f é uma curva irredut́ıvel e d◦f ≥ 2, então mP (f) ≤
d◦f − 1 para todo P . Para cada d ≥ 2, dê um exemplo de curva irre-
dut́ıvel de grau d tendo a origem como ponto (d − 1)-uplo ordinário, e
sendo lisa nos demais pontos.
54. Mostre que uma curva redut́ıvel é singular em cada ponto de in-
terseção de duas componentes. Dê um exemplo de curva redut́ıvel não
singular.
55. Sejam m um inteiro ≥ 2 e p(X) um polinômio de uma variável.
Prove que uma curva do tipo Y m = p(X) é não singular se e só se p(X)
não admite ráızes múltiplas.
56. Mostre que a condição para que um dado ponto P seja m-uplo
para uma curva geral f de grau d ≥ m se expressa por um sistema de
(m+ 1)m/2 equações lineares independentes, nos coeficientes de f .
57. Por três pontosarbitrários passa sempre uma cúbica que os contém
com multiplicidade 2. Se existirem duas tais cúbicas, então os três pontos
são colineares e de fato existe uma infinidade.
58. Complete os detalhes da demonstração da proposição (9, p. 40) no
caso em que f é redut́ıvel.
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Pontos no infinito
As retas aX + bY + c, aX + bY + c′ (c 6= c′) não se cruzam a distância
finita; a parábola Y = X2 e a reta X = 0, bem como a hipérbole
XY = 1, junto com os eixos coordenados, são mais evidência de que essas
interseções que estão “faltando”, e até o presente vêm sendo tratadas
como “direções assintóticas”, devem ser melhor estudadas.
O desejo de dar um tratamento rigoroso a esses “pontos que deviam
estar lá” nos levará a introduzir de maneira sistemática os pontos no
infinito.
Esses “pontos” serão apresentados inicialmente como entes de natu-
reza aparentemente diversa dos pontos usuais do plano afim. Mas logo
veremos ser posśıvel, e mesmo recomendável, eliminar as aspas; os novos
pontos não merecerão no final nenhuma distinção especial com relação
a seus parceiros atualmente dados a distância finita.
A idéia original de acrescentar ao plano usual uma reta no infinito,
constituindo um plano projetivo, é devida a Desargues. Seu livro, pu-
blicado em 1639, pretendia dar uma fundamentação matemática aos
métodos de perspectiva empregados pelos pintores e arquitetos. A con-
cepção de Desargues do plano projetivo é, em essência, a que vamos
descrever.
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Seção 1 O plano projetivo 45
1 O plano projetivo
Consideremos o plano afim mergulhado no espaço tridimensional como
o plano π de equação Z = 1.
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z
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x
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π
ℓ
ℓ′
figura 4.1
Cada ponto do plano π determina uma reta passando pela origem e pelo
dado ponto. Cada reta de π determina um plano pela origem. Se as
retas ℓ, ℓ′ ⊂ π se encontram, seu ponto de interseção dá lugar à reta de
interseção dos dois planos associados a ℓ, ℓ′. Quando as retas ℓ, ℓ′ ⊂ π
são paralelas, os planos que elas definem ainda se cruzam, desta feita ao
longo de uma reta passando pela origem e contida no plano Z = 0.
1. Definição. O plano projetivo P2 é o conjunto das retas do espaço
tridimensional passando pela origem.
Do exposto acima, vemos que o plano π se identifica naturalmente com
um subconjunto de P2 que ainda denotaremos por π. Os pontos de P2rπ
são chamados de pontos no infinito.
Denotamos por (x : y : z) o ponto de P2 que representa a reta
ligando a origem O a um ponto (x, y, z) 6= O. Dizemos que x, y, z são
coordenadas homogêneas do ponto (x : y : z) relativas à base canônica
{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.
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46 Pontos no infinito Cap. 4
Por definição, temos que
(x : y : z) = (x′ : y′ : z′) ⇐⇒
existe constante t 6= 0 tal que (x, y, z) = t(x′, y′, z′).
Em geral, fixada uma base qualquer no espaço tridimensional, as
coordenadas de um ponto 6= 0 relativas a essa base são chamadas de
coordenadas homogêneas do ponto correspondente de P2. Coordenadas
homogêneas de um ponto de P2 (relativas a uma base prefixada) só estão
bem definidas a menos de um fator escalar 6= 0.
Vamos nos servir da aplicação,
q : R3 − {0} −→ P2
(x, y, z) 7−→ (x : y : z)
para introduzir uma topologia em P2, a topologia quociente. Dizemos
que um subconjunto U ⊂ P2 é aberto se q−1(U) é aberto em R3 − {0}
com sua topologia usual.
Estabelecemos assim em P2 uma noção de vizinhança, segundo a
qual dois pontos de P2 estão “próximos” se as retas associadas em R3
formam um ângulo “pequeno”. O subconjunto de P2,
A2 = {(x : y : z)|z 6= 0},
é aberto e denso em P2, pois q−1(A2) é o complementar do plano z = 0
em R3 e é evidentemente aberto e denso em R3 − {0}.
Pode-se mostrar que a aplicação
R2 −→ A2 ⊂ P2
(x, y) 7−→ (x : y : 1)
é uma bijeção cont́ınua, com inversa também cont́ınua. Desta ma-
neira, passamos a considerar o plano afim R2 como contido em P2,
identificando-o com A2.
2 Espaços projetivos
Considerações análogas se aplicam, mais geralmente, para a definição do
espaço projetivo associado a um espaço vetorial V de dimensão arbitrária
sobre um corpo K.
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Seção 2 Espaços projetivos 47
2. Definição. O espaço projetivo P(V ) associado a um espaço vetorial
V é o conjunto dos subespaços de V de dimensão 1.
Se V = Kn+1, escrevemos PnK = P(V ), ou simplesmente P
n.
As coordenadas homogêneas de um ponto P ∈ P(V ) relativas a uma
base {v0, . . . , vn} de V são as coordenadas (x0, . . . , xn) de um vetor não
nulo do subespaço unidimensional representado por P .
Fixada a base, escrevemos P = (x0 : · · · : xn) para indicar um ponto
com essas coordenadas homogêneas.
Para cada i = 0, . . . , n, o subconjunto de Pn
Ui = {(x0 : · · · : xn) |xi 6= 0}
pode ser identificado com Kn através da bijeção
(x0 : · · · : xn)←→ (
x0
xi
, . . . ,
xn
xi
) (omitir
xi
xi
).
Convencionamos escrever An = Un; salvo menção em contrário, identi-
ficamos Kn com An ⊂ Pn.
O complementar de An em Pn consiste em pontos da forma (x0 : · · · :
xn−1 : 0). Desta maneira, PnrAn identifica-se a um Pn−1, que convenci-
onamos chamar hiperplano no infinito . (Veja o exerćıcio (68, p. 53), b)).
Em particular, P0 consisteem um só ponto.
Já P1, a reta projetiva, é a reta usual A1 com um ponto extra no
infinito.
Quando K = R, podemos visualizar a reta projetiva real P1(R) como
a circunferência, com o ponto no infinito indicado na figura:
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∞
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P1(R)
figura 4.2
Analogamente, a reta projetiva complexa pode ser identificada com a
esfera, via projeção estereográfica. Mas esta interpretação será ignorada
aqui. Preferimos encarar P1(C) como um objeto uni-dimensional.
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48 Pontos no infinito Cap. 4
3 Curvas projetivas
Passemos a investigar como se situam as curvas planas afins nesse ambi-
ente mais amplo. Comecemos com as retas. Para o resultado seguinte,
suporemos K = R (ou C).
3. Proposição. Seja ℓ : aX + bY + c = 0 (com a ou b 6= 0), e seja ℓ a
aderência de ℓ em P2. Então temos
ℓ = ℓ ∪ {(b : −a : 0)} = {(x : y : z) | ax+ by + cz = 0}.
Demonstração. Denotemos por ℓ∗ o segundo membro da última igual-
dade proposta. É imediato que ℓ∗ = ℓ ∪ {(b : −a : 0)}. Mostremos que
ℓ = ℓ∗. Por definição da topologia de P2, resulta ℓ∗ fechado em P2.
Visto que ℓ ⊂ ℓ∗, segue-se ℓ ⊂ ℓ∗. Resta mostrar que o ponto no infinito
P = (b : −a : 0) pertence a ℓ. Para isso, basta exibirmos uma seqüência
de pontos Pn ∈ ℓ com lim
n→0
Pn = P . Suponhamos, por exemplo, b 6= 0.
Seja
Pn = (bn : −an− c : b).
Temos
Pn = (n : (−an− c)/b : 1)
= (b : −a− c/n : b/n).
A primeira igualdade mostra que Pn ∈ ℓ; a segunda mostra que Pn → P ,
pois lim
n→0
(b,−a− c/n, b/n) = (b,−a, 0) em R3 r {0} e q : R3 r {0} → P2
é cont́ınua. 2
4. Definição. Seja f =
d∑
0
fi, onde cada fi ∈ K[X,Y ] é homogêneo
de grau i, fd 6= 0. A homogeneização de f é o polinômio homogêneo de
grau d = d◦f ,
f∗(X,Y, Z) = ΣZd−ifi(X,Y ).
Deixamos a cargo do leitor a verificação de que o resultado anterior se
generaliza para uma curva f arbitrária: o subconjunto de P2,
{(x : y : z) | f∗(x, y, z) = 0},
é igual à aderência de f em P2. Não faremos mais uso deste fato, nem de
outras propriedades topológicas de P2. Inclúımos essa discussão apenas
para motivar a definição seguinte.
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Seção 3 Curvas projetivas 49
5. Definição. Uma curva plana projetiva é uma classe de equivalência
de polinômios homogêneos não constantes, F ∈ K[X,Y, Z], módulo a
relação que identifica dois tais polinômios, F, G, se um for múltiplo
constante do outro.
Reveja a definição (5, p. 11). Adotaremos, mutatis mutandis, as de-
finições e convenções feitas no caṕıtulo I para o caso afim. Deixamos a
cargo do leitor a transcrição das definições de traço, equação, componente
irredut́ıvel e grau feitas anteriormente.
Observemos que, se F é um polinômio homogêneo de grau d, a
relação
F (tx, ty, tz) = tdF (x, y, z)
mostra que a condição para que um ponto (x : y : z) pertença ao traço
de uma curva projetiva é independente das coordenadas homogêneas.
Curvas de grau 1, 2, 3, . . . são, como antes, chamadas retas, cônicas,
cúbicas, etc.
A reta Z = 0 é usualmente chamada de reta no infinito, mas a esco-
lha é meramente psicológica. Mudando a base de K3, podemos decretar
que qualquer reta de P2 previamente estipulada seja a reta no infinito.
Seu complementar (Z 6= 0) é o plano A2, cujos pontos são ditos estarem
a distância finita.
O fecho projetivo de uma curva afim f é a curva projetiva definida
pela homogeneização f∗.
Os pontos a distância finita sobre uma curva F são dados pela
equação F (X,Y, 1) = 0. O polinômio no primeiro membro desta equação
é a desomogeneização de F com respeito a Z, denotado F∗.
Note que F∗ é não constante, a menos que F seja igual a uma potência
de Z. (Equivalentemente: o traço de F coincide com a reta no infinito).
Observaremos a seguinte
Convenção: Doravante, as curvas algébricas planas afins f(X,Y ) = 0
serão consideradas implicitamente como a parte que se acha a distância
finita sobre a curva projetiva f∗(X,Y, Z) = 0.
Assim, quando nos referirmos, por exemplo, à parábola Y = X2,
estaremos automaticamente pensando em ZY = X2.
O termo curva significará curva plana projetiva, salvo menção em contrário.
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50 Pontos no infinito Cap. 4
4 Mudança de coordenadas projetivas
Estudemos agora o comportamento da equação de uma curva por mu-
dança de coordenadas projetivas.
6. Definição. (Compare com a definição 9, p.15.) Seja T : K3 → K3
um isomorfismo linear. Visto que uma tal aplicação preserva retas de
K3 passando pela origem, temos definida uma bijeção natural, ainda
designada por T : P2 → P2, chamada uma projetividade ou mudança de
coordenadas projetivas em P2.
Mais geralmente, define-se de maneira análoga projetividade em um
espaço projetivo P(V ) arbitrário.
Temos também induzido um K-isomorfismo
T• : K[X,Y, Z]→ K[X,Y, Z]
tal que, para todo (x, y, z) ∈ K3 e todo polinômio f ,
(T•f)(x, y, z) = f(T
−1(x, y, z)). (1)
Mais explicitamente, escrevendo X = X1, Y = X2, Z = X3 e desig-
nando por (aij) a matriz de T
−1 relativa à base canônica de K3, temos
(T•f)(X1, X2, X3) = f(Σa1jXj , Σa2jXj , Σa3jXj).
A imagem de uma curva projetiva F por uma projetividade T é a curva
definida por T•F . As curvas F e T•F são ditas congruentes.
Dizemos que uma propriedade P relativa à curva F é invariante ou
independente das coordenadas se F satisfaz P somente se T•F a satisfaz
para toda projetividade T . Definição análoga se aplica a propriedade
relativa a outras configurações. (Comparar com a definição (12, p. 16)).
São exemplos de propriedades invariantes o grau de uma curva pro-
jetiva, a colinearidade de pontos, a redutibilidade de uma curva, e várias
outras que veremos no decorrer do curso.
7. Proposição. Sejam {L1, L2, L3} , {H1, H2, H3} conjuntos de três
retas de P2 não concorrentes (i.e. ∩ Li = ∩Hj = ∅). Então existe uma
projetividade T tal que T•Li = Hi para i = 1, 2, 3.
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Seção 4 Mudança de coordenadas projetivas 51
Demonstração. Cada reta em P2 corresponde a um plano de K3 pas-
sando pela origem, denotado a seguir pelo mesmo śımbolo. Seja ui (resp.
vi) um vetor não nulo na interseção dos planos Lj , Lk (resp. Hj , Hk)
para {i, j, k} = {1, 2, 3}. Então os ui (resp. vi), i = 1, 2, 3 formam
uma base de K3. Assim, existe um isomorfismo linear T definido pela
condição Tui = vi , i = 1, 2, 3. Visto que ui,uj geram Lk, temos efeti-
vamente T•Li = Hi. 2
8. Exemplos. (1) Duas retas em P2 sempre se encontram porque dois
planos passando pela origem emK3 sempre contêm uma reta em comum.
Em particular, as retas afins aX + bY + c = 0, aX + bY + c′ = 0 se
cruzam no infinito, no ponto (b : −a : 0).
(2) A parábola Y 2 = X cruza Y = 0 nos dois pontos (0 : 0 : 1) e
(1 : 0 : 0) (este último que “estava faltando”...).
(3) A hipérbole XY = 1 cruza X = 0 no ponto (0 : 1 : 0). Este se
encontra no complementar da reta Y = 0. Tomando-a como a nova reta
no infinito, desomogeneizando XY − Z2 com relação a Y , obtemos a
parábola afim X = Z2 (que é tangente a X = 0).
(4) A elipse X2/a2 +Y 2/b2 = 1 é a parte da cônica X2/a2 +Y 2/b2 = Z2
a distância finita. Escolhendo a reta X = 0 como a reta no infinito,
obtemos agora, a distância finita, a hipérbole Z2−Y 2/b2 = 1/a2. Tente
imaginar os dois ramos de uma hipérbole se encontrando no ∞. Talvez
você se convença de que a hipérbole e a elipse são de fato dois aspectos
da mesma curva:
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figura 4.3
Imagine as retas pontilhadas representando a reta no infinito.
É por vezes conveniente fazer uma representação gráfica
de P2 desenhando o chamado triângulo de referência formado pelas retas
X = 0, Y = 0, e Z = 0 (esta última tomada no ∞).
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52 Pontos no infinito Cap. 4
A primeira figura mostra o ramo positivo da hipérbole XY = 1
figura 4.4
X = 0
Z = 0
Y = 0
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efetivamente tangenciando no infinito os eixos X = 0 e Y = 0, e se
prolongando com o ramo negativo.
Na próxima figura, representamos a parábola cúbica Y = X3
exibindo seu ponto cuspidal (ou de reviravolta) no ∞.
figura 4.5
X = 0
Z = 0
Y = 0
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9. Exerćıcios
59. Construa uma seqüência de pontos Pn a distância finita sobre a
hipérbole XY = 1 tal que lim
n→∞
Pn = (0 : 1 : 0).
60. Mostre que todo ponto de P2 rA2 está na aderência de alguma reta
afim.
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Seção 4 Mudança de coordenadas projetivas 53
61. Mostre que as direções assintóticas de uma curva afim f estão em
correspondência com as interseções de f∗ com a reta no infinito Z = 0.
62. Prove que f∗ é a aderência da curva afim f ⊂ A2.
63. Demonstre as fórmulas:
a) (fg)∗ = f∗g∗;
b) (FG)∗ = F∗G∗;
c) (f∗)∗ = f ;
d) Zn(F∗)
∗ = F , onde n = d◦F − d◦F∗.
64. Prove que um produto de polinômios é homogêneo se e só se cada
fator é um polinômio homogêneo. (Este fato foi implicitamente suposto
na definição de componente de uma curva plana projetiva).
65. Mostre que uma curva afim f é irredut́ıvel se e só se f∗ é uma curva
projetiva irredut́ıvel.
66. Seja F uma curva projetiva irredut́ıvel e seja G uma curva projetiva.
Mostre que se F ⊆ G então F divide G.
67. Sejam Pi = (ai1 : ai2 : ai3) ∈ P2, i = 1, 2, 3. Prove que eles são
colineares se e só se det(aij) = 0.
68. Seja V um espaço vetorial.
a) Para cada subespaço vetorial W ⊂ V , mostre que P(W ) se identifica
a um subconjunto de P(V ), o que nos permite o abuso de notação,
P(W ) ⊂ P(V ); se W ′ é outro subespaço de V , mostre que P(W ′) =
P(W )⇐⇒W = W ′. O subconjunto P(W ) ⊆ P(V ) é dito um subespaço
projetivo de P(V ).
b) Suponha dimW = dimV − 1 e seja v0 um ponto de V fora de W .
Para cada v ∈ V , seja [v] o subespaço gerado. Mostre que a aplicação
w 7→ [w + v0] é uma bijeção de W em P(V ) r P(W ).
c) Definimos a dimensão (resp. codimensão) de P(W ) por dim P(W ) =
dimW−1 (resp. codim P(W ) = dimV−dimW ). Mostre que dim P(W ) ≥
0⇐⇒ P(W ) 6= ∅.
d) Mostre que toda interseção de subespaços projetivos é um subespaço
projetivo.
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54 Pontos no infinito Cap. 4
e) Mostre que se S1, S2 são subespaços projetivos então
codim(S1 ∩ S2) ≤ codimS1 + codimS2.
f) Uma reta (resp. hiperplano) em P(V ) é um subespaço de dimensão
(resp. codimensão) 1. Mostre que toda reta encontra qualquer hiper-
plano de P(V ).
69. Seja Vd o espaço dos polinômios homogêneos F (X,Y, Z) de grau d.
a) Mostre que o conjunto das curvas de grau d identifica-se naturalmente
com P(Vd).
b) Calcule dim P(Vd).
c) Mostre que as curvas de grau d que passam por um ponto fixo de P2
formam um hiperplano em P(Vd).
d) Mostre que o conjunto das retas de P2 que passam por um ponto P
é uma reta de P(V1) (dita a reta dual do ponto P ).
e) A reta de P2 determinada por dois pontos distintos é representada
em P(V1) pelo ponto de interseção das duas retas duais; três pontos de
P2 são colineares se e só se suas retas duais são concorrentes.
70. Sejam P1, . . . , P5 ∈ P2 cinco pontos distintos. Seja Si o conjunto
das cônicas que passam por P1, . . . , Pi.
a) Mostre que Si é um subespaço projetivo de P(V2) e que codim Si = i
para i = 1, 2 ou 3.
b) Mostre que dim S4 = 1 se e só se P1, . . . , P4 não são colineares. Neste
caso, conclua que existem cônicas F1, F2 tais que a condição necessária
e suficiente para que uma cônica F contenha P1, . . . , P4 é que F seja da
forma x1F1 + x2F2 para algum (x1 : x2) ∈ P1.
c) Investigue sob quais condições os cinco pontos determinam uma única
cônica.
71. Prove que o grupo das afinidades de A2 é isomorfo ao grupo das
projetividades de P2 que deixam a reta no infinito invariante.
72. Dados dois conjuntos {Pi}, {Qi} de quatro pontos de P2, três a
três não colineares, mostre que existe uma única projetividade T tal que
TPi = Qi , i = 1, . . . , 4. Generalize para Pn.
73. Prove que dois isomorfismos lineares que induzem a mesma projeti-
vidade são múltiplos escalares um do outro.
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Seção 4 Mudança de coordenadas projetivas 55
74. Associe a cada cônica,
F = a11X
2 + a22Y
2 + a33Z
2 + 2(a12XY + a13XZ + a23Y Z),
a matriz simétrica SF = (aij). Denote por
t(X,Y, Z) o vetor coluna.
a) Mostre que F (X,Y, Z) = (X,Y, Z)SF
t(X,Y, Z).
b) Seja M = (mij) uma matriz invert́ıvel 3×3 e denotemos pela mesma
letra a projetividade associada (M(x1 : x2 : x3) = (Σm1jxj : Σm2jxj :
Σm3jxj)). Prove que
SM•F =
tM−1SFM
−1.
c) Mostre que toda cônica é congruente por uma projetividade a exata-
mente uma das seguintes: XY = Z2, XY = 0, X2 = 0. Em particular,
do ponto de vista complexo–projetivo, a parábola, a hipérbole e a elipse
são congruentes; elas diferem pela posição relativa à reta no infinito.
75. Mostre que a cissóide X2 = Y (Y 2 + X2) é congruente à cúbica
cuspidal Y 2 = X3. (Homogeneizar primeiro!). A trissectriz de Maclaurin
e o folium de Descartes também são congruentes entre si.
76. Prove que se uma cônica tem três pontos colineares ela é redut́ıvel.
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Interseção de Curvas
Projetivas
A motivação originalmente presente na criação do plano projetivo foi
o desejo de abolir o paralelismo de retas: em P2, duas retas sempre
se cruzam. Mas na realidade P2 é muito mais prodigioso. Veremos
que duas curvas projetivas planas quaisquer sempre se cruzam.1 Melhor
ainda: é posśıvel atribuir, a priori, multiplicidades de interseção de ma-
neira que o número total de pontos comuns às duas curvas, contados
com as respectivas multiplicidades, seja ou igual ao produto dos graus
dessas curvas, ou infinito. Este último caso ocorre somente se houver
componente comum às duas curvas. Em essência, é esse o enunciado do
teorema de Bézout.
1 Interseção de reta e curva, agora projetivas.
Seja L uma reta e seja F uma curva de grau d. Suponhamos inicialmente
L = X. Temos então:
P = (0 : y : z) ∈ X ∩ F ⇐⇒ F (0, y, z) = 0.
Ora, o polinômio F (0, Y, Z) ou bem é identicamente nulo (caso em que
X ⊂ F ), ou é homogêneo de grau d, decompondo-se na forma
F (0, Y, Z) =
∏
(ziY − yiZ)mi ,
1Compare com a extensão dos números reais aos complexos: ao se permitir resolver
a equação X2 + 1 = 0, resulta que todas as equações polinomiais passam a ter ráızes!
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Seção 1 Interseção de reta e curva, agora projetivas 57
onde os pontos Pi = (0 : yi : zi) são dois a dois distintos e constituem
X ∩ F .
Chamamos naturalmente o expoente mi de multiplicidade de in-
terseção de X,F em Pi.
Deixamos a cargo do leitor a verificação de que essas multiplicidades
coincidem com as definidas anteriormente (quando comparáveis). Em
especial, se (0 : 1 : 0) ∈ X ∩ F , a multiplicidade aqui definida coincide
com aquela no então chamado ponto impróprio da reta.
1. Proposição. Seja L uma reta e seja F uma curva de grau d. Se
L 6⊆ F então
L ∩ F = {P1, . . . , Pr},
onde Pi 6= Pj para i 6= j e existem inteiros mi ≥ 1 bem determinados
pela seguinte condição : Se T é qualquer projetividade tal que T•L = X,
então
(T•F )(0, Y, Z) =
r∏
1
(ziY − yiZ)mi ,
onde TPi = (0 : yi : zi) para i = 1, . . . , r. Em particular, Σmi = d.
Demonstração. Consideremos o diagrama de homomorfismos de anéis
T•
K[X,Y, Z] ˜−−−−−−−−→ K[X,Y, Z]
y
y
K[X,Y, Z]/〈L〉 ˜−−−−−−−−→ K[Y, Z].
T •
A primeira das flechas verticais é a aplicação quociente g 7→ g = g+ 〈L〉
(apêndice, definição (11, p. 138)); a segunda é dada por
g(X,Y, Z) 7→ g(0, Y, Z),
enquanto T• é o isomorfismo induzido por T•. Assim, K[X,Y, Z]/〈L〉
é isomorfo ao domı́nio fatorial K[Y, Z]. Portanto, F admite fatoração
única,
F = pn11 . . . p
ns
s ,
onde os pi’s são irredut́ıveis distintos e cada expoente ni é ≥ 1. Levando
em conta que T•(F ) = (T•F )(0, Y, Z) e comparando as decomposições,
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58 Interseção de Curvas Projetivas Cap. 5
conclúımos que r = s e ni = mi, a menos de reordenação. Finalmente,
a afirmativa com relação aos TPi é evidente. 2
2. Definição. A multiplicidade ou ı́ndice de interseção da reta L com
uma curva F no ponto P é definida por
(L,F )p =



∞ se P ∈ L ⊂ F
0 se P 6∈ L ∩ F
mi se P = Pi nas condições da proposição anterior.
A proposição acima pode ser reenunciada, dizendo que L ∩ F consiste
em d◦F pontos contados com multiplicidades; é um caso particular do
teorema de Bézout. O caso geral será visto mais adiante.
A mesma proposição revela que, com o emprego de uma projetividade
conveniente, podemos sempre supor, para o cálculo de (L,F )P , que P
se encontra a distância finita e que L e F são distintos da reta no ∞.
Nessas circunstâncias, é imediato que
(L,F )P = (L∗, F∗)P ,
onde o segundo membro é a multiplicidade de interseção definida no caso
afim. Assim, os resultados do caṕıtulo III podem ser transcritos para as
curvas projetivas. Em especial, temos a seguinte
3. Proposição. Seja F uma curva projetiva e seja P um ponto de
F . Então existe um inteiro m = mP (F ) ≥ 1 tal que, para toda reta L
passando por P , vale
(L,F )P ≥ m,
ocorrendo desigualdade estrita para no máximo m retas e no mı́nimo
uma.
Demonstração. Movendo F e P com uma projetividade, podemos
supor que a reta no infinito não contém P . Assim, reduzimos ao caso
afim, quando então o enunciado é conseqüência da proposição (4, p. 36).
2
4. Definição. (Comparar com a definição 5, p. 36.) O inteiro mP (F )
descrito acima é a multiplicidade de F (resp. P ) em P (resp. F ).
Se P 6∈ F , convencionamos mP (F ) = 0.
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Seção 1 Interseção de reta e curva, agora projetivas 59
Dizemos que P é um ponto simples ou não singular ou liso de F ,
e que F é simples ou não singular ou lisa em P se mP (F ) = 1; P é
múltiplo ou singular se mP (F ) ≥ 2.
A curva F é lisa ou não singular se o for em cada um de seus pontos.
Se mP (F ) = 2, 3, . . . ,m, dizemos que P é um ponto duplo, triplo,. . . ,
m-uplo.
As retas tangentes a F em P são as retas distinguidas na proposição
anterior.
Se f é uma curva afim e F = f∗, é imediato que mP (F ) = mP (f)
para cada ponto P ∈ A2. Portanto, as definições acima são consistentes
com as dadas no caṕıtulo III.
Para a determinação de mP (F ) e das retas tangentes, reduzimos ao
caso afim, desomogeneizando F com relação a uma variável que não se
anula no ponto P .
5. Exemplo. A parábola cúbica Y = X3 é singular no infinito, no ponto
P = (0 : 1 : 0). Desomogeneizando F : Z2Y = X3 com relação a Y (que
tomamos como nova reta no infinito) obtemos Z2 = X3. Segue-se que
mP (F ) = 2, (Z,F )P = 3 e (L,F )P = 2 para qualquer reta L 6= Z
passando por P . (Veja as figuras 3.2, p. 35 e 4.5, p. 52.)
6. Proposição. Seja F uma curva de grau m e seja P ∈ P2. Então
temos:
(1) (fórmula de Euler) mF = XFX + Y FY + ZFZ .
(2) P é um ponto singular de F se e só se FX(P ) = FY (P ) = FZ(P ) = 0.
(3) Se F é lisa em P então a reta tangente a F neste ponto é
FX(P )X + FY (P )Y + FZ(P )Z = 0.
Demonstração. (1) Sendo ambos os membros lineares como funções
de F , é suficiente verificar a fórmula quando F é um monômio XiY jZk,
i+ j + k = m, o que é imediato.
(2) Suponhamos P = (a : b : 1). Pela proposição (6, p. 37)(1), P
é um ponto singular de F se e só se (F∗)X = (F∗)Y = F∗ = 0 em
(a, b). Aplicando (1), conclúımos dessas igualdades que FZ(P ) = 0.
Reciprocamente, se FX(P ) = FY (P ) = FZ(P ) = 0, então F∗ = (F∗)X =
(F∗)Y = 0 em P . O mesmo argumento se aplica se P é da forma (a : 1 : b)
ou (1 : a : b).
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60 Interseção de Curvas Projetivas Cap. 5
(3) Suponhamos, por exemplo, P = (a : b : 1). De acordo com a
proposição 6(2), p.37, a reta tangente é dada pelo polinômio (já homo-
geneizado)
(F∗)X(a, b)(X − aZ) + (F∗)Y (a, b)(Y − bZ),
que é igual a
FX(P )X + FY (P )Y − Z[aFX(P ) + bFY (P )].
Por (1), a expressão entre colchetes coincide com −FZ(P ). 2
7. Exerćıcios
77. Para cada inteiro m ≥ 1, construa uma curva F , de grau m, tal
que a origem O = (0 : 0 : 1) seja um ponto liso e a multiplicidade de
interseção (X,F )O seja igual a um. É posśıvel conseguir F lisa (inclusive
no infinito)?
78. Mostre que toda cúbica com dois pontos singulares é redut́ıvel.
79. Ache as multiplicidades dos pontos no ∞ e os ı́ndices de interseção
com a reta no ∞ para cada uma das curvas consideradas nos caṕıtulos
I e III.
80. Mostre que uma curva projetiva F ⊂ P2 é não singular se e só se
F (X,Y, 1), F (X, 1, Z) e F (1, Y, Z) são todas não singulares (ou ∅). Mos-
tre com um exemplo que duas dessas podem ser não singulares embora
F seja singular.
81. Seja F uma curva irredut́ıvel de grau d. Mostre que existem d(d+3)2
pontos tais que F é a única curva deste grau que os contém.
(Sugestão: existem retas L1, . . . , Ld, cada qual cortando F em d pontos
distintos, e tais que Li ∩Lj ∩Lk = Li ∩Lj ∩F = ∅ para i, j, k distintos.
Tome P ∈ F , fora dos Li’s; depois escolha i + 1 pontos distintos em
Li ∩F (i = 1, . . . , d− 1) e mais d pontos em Ld ∩F . Se existisse G 6= F
contendo estes pontos, com d◦G = d, existiria uma curva H da forma
xF + yG (com (x : y) ∈ P1) contendo um (d + 1)-ésimo ponto de Ld.
Logo Ld ⊂ H, etc...)
82. Prove que toda curva projetiva lisa é irredut́ıvel. (Compare com o
exerćıcio 49, p. 42).
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Seção 2 O teorema de Bézout 61
2 O teorema de Bézout
Consideremos agora o problema do cálculo do número de pontos de
interseção de duas curvas projetivas F, G de graus arbitrários.
8. Lema. Sejam F, G curvas planas projetivas. Então F ∩ G é finita
se e só se F, G não admitem componente em comum.
Demonstração. Se F, G não admitem fator comum em K[X,Y, Z]
então F∗, G∗ também não o admitem em K[X,Y ]. Com efeito, se F∗ =
fh, G∗ = gh, com f, g, h ∈ K[X,Y ] e h não constante, então (F∗)∗ =
f∗h∗, (G∗)
∗ = g∗h∗. Dáı se seguiria que h∗ é fator de F, G, contradição.
Como F∗, G∗ não têm componente comum, segue-se que F e G têm
interseção finita, a distância finita. Como F ∩Z ou G∩Z é finita, (senão
Z seria componente comum) temos que F ∩ G é finita. A rećıproca é
trivial. 2
Esclarecida a finitude deF ∩ G, propomo-nos calcular seu número
de pontos. Note que ainda não apresentamos nenhuma garantia de que
F ∩G seja não vazia, em geral. Isto será uma conseqüência do teorema
de Bézout.
9. Definição. Sejam Pi = (xi : yi : zi), i = 1, . . . , r os distintos pontos
de F ∩G. Diremos que F, G estão em boa posição ou bem posicionadas
se P0 = (0 : 1 : 0) 6∈ F ∩ G. Diremos que F, G estão em muito boa
posição ou muito bem posicionadas se P0 6∈ F ∩ G e se, para cada par
Pi, Pj ∈ F ∩ G, P0, Pi, Pj são não colineares. Esta última condição é
equivalente à exigência de que i 6= j implique (xi : zi) 6= (xj : zj).
Suporemos no que segue-se que F, G não têm componente em comum.
Escrevamos
{
F = A0Y
d + A1Y
d−1 + . . . +Ad ,
G = B0Y
e + . . . . . . +Be ,
onde Ai, Bj ∈ K[X,Z] são homogêneos de graus i, j.
É claro que (0 : 1 : 0) ∈ F ⇐⇒ A0 = 0. Logo, estando F, G
bem posicionadas, temos A0 ou B0 6= 0. Lembrando o lema 16, p.27, a
resultante R = R(X,Z) de F, G com respeito a Y é homogênea de grau
d · e. Por outro lado, levando em conta que A0 ou B0 6= 0, para cada
(x : z) ∈ P1 temos
R(x, z) = 0⇐⇒ ∃ (x : y : z) ∈ F ∩G.
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62 Interseção de Curvas Projetivas Cap. 5
Supondo F, G muito bem posicionadas, conclúımos que R escreve-se na
forma
R(X,Z) = c
r∏
i=1
(ziX − xiZ)mi
onde
• c é uma constante 6= 0,
• Pi = (xi : yi : zi), i = 1, . . . , r, são os distintos pontos de F ∩G,
• os expoentes mi são inteiros ≥ 1 e Σmi = d · e.
É natural, portanto, adotarmos a seguinte
10. Definição. A multiplicidade ou ı́ndice de interseção de F, G no
ponto P é dada por
(F,G)P =
{
0 se P 6∈ F ∩G
mi se P = Pi nas condições acima.
Observando que Σmi = d
◦R = (d◦F ) · (d◦G), demonstramos, para o
caso em que F, G estão bem posicionadas, o importante
11. Teorema de Bézout. Se F, G são curvas planas projetivas sem
componente em comum então o número de pontos na interseção F ∩G,
contados com multiplicidade, é igual a (d◦F ) · (d◦G)
Para o caso geral, é necessário definirmos o ı́ndice (F,G)P livre da
hipótese de bom posicionamento.
Ora, se F ∩G é finito, é claro que existe uma projetividade T tal que
T•F, T•G estão em muito boa posição. A sugestão foi lançada:
12. Definição. O ı́ndice ou multiplicidade de interseção de curvas
projetivas F, G sem componentes em comum no ponto P ∈ P2 é
(F,G)P = (T•F, T•G)TP
onde T denota uma projetividade tal que T•F, T•G estejam muito bem
posicionadas, de maneira que o segundo membro pode ser calculado
como na definição 10.
13. Exemplo. O ćırculo
F : X2 + Y 2 = 2XZ
e a parábola
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Seção 2 O teorema de Bézout 63
G : Y 2 = XZ
não estão muito bem posicionados. Reveja o exemplo (11, p. 24): os pon-
tos de interseção (1:1:1) e (1:–1:1) são colineares com (0:1:0). Aplicando
a projetividade T que fixa Z e troca X por Y , obtemos
T•F = X
2 + Y 2 − 2Y Z, T•G = X2 − ZY ,
que agora estão em muito boa posição. A resultante éX2(X−Z)(X+Z),
indicando as multiplicidades 2 e 1 dos pontos (0 : 0 : 1) e (1 : ±1 : 1)
respectivamente .
O leitor atento objetará de imediato, pois a “definição” 12 acima
proposta só é honesta se provarmos que o segundo membro independe
da projetividade T . Mãos à obra, pois!
14. Proposição. Sejam F, G curvas muito bem posicionadas. Seja T
uma projetividade tal que T•F, T•G também estão muito bem posicio-
nadas. Então
(F,G)P = (T•F, T•G)TP ∀P ∈ P2 .
Demonstração. Usaremos um artif́ıcio notável, devido a Seidenberg
[29]. A idéia é provar a igualdade quando T é a projetividade genérica.
Precisamente, sejam Wij (i, j = 1, 2, 3) nove indeterminadas, e seja
L = K(Wij),
o fecho algébrico do corpo de funções racionais nessas novas variáveis.
O plano projetivo P2K se identifica a um subconjunto de P
2
L, o plano
projetivo a coordenadas no corpo L. Note que F, G definem curvas
em P2L, que denotamos por F ,G. O fato importante a observar é que,
mesmo considerando pontos com coordenadas em L ⊃ K, temos ainda
F ∩G = F ∩G = {P1, . . . , Pr} .
Com efeito, as coordenadas de um ponto de F ∩G provêm das ráızes da
resultante de F, G com relação a uma variável conveniente, e portanto
satisfazem uma equação algébrica a coeficientes em K. Sendo este corpo
algebricamente fechado, vemos que os pontos comuns a F ,G em P2L são
os que já conhećıamos, em F ∩G.
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64 Interseção de Curvas Projetivas Cap. 5
A projetividade genérica W é a projetividade de P2L definida por
W (x1 : x2 : x3) = (ΣW1jxj : ΣW2jxj : ΣW3jxj) .
Consideremos agora os “transladados genéricos”, W•F , W•G. Temos,
por definição (veja (1), p.50)
(W•F )(X,Y, Z) = F (W
−1(X,Y, Z)).
Eliminamos os denominadores desta última expressão, definindo
FW (X,Y, Z) = (det(Wij))
dF (W−1(X,Y, Z)), (d = d◦F ).
Assim, FW é um polinômio a coeficientes em K[{Wij}], anel dos polinô-
mios nas variáveis Wij . É claro que F
W e W•F definem a mesma curva
em P2L, pois diferem por um múltiplo constante. Para cada projetividade
T definida por uma matriz (tij) a coeficientes em K, é evidente que o
resultado da substituição Wij → tij em FW é T•F . (Dizemos então
que especializamos Wij para tij .) Note ainda que para cada ponto Q ∈
FW ∩GW , existe P = (x1 : x2 : x3) ∈ F ∩G tal que W (P ) = Q, a saber,
Q = (
∑
W1ixi :
∑
W2ixi :
∑
W3ixi).
Agora observemos que FW , GW estão muito bem posicionadas. Com
efeito, se P0 = (0 : 1 : 0) pertencesse a F
W ∩GW , teŕıamos
P0 = W (P ) (⋆)
para algum P ∈ F ∩ G. Ora, a relação (⋆) fornece uma equação de
dependência algébrica (de fato linear) não trivial para os Wij ’s, a coefi-
cientes em K: se P = (x1 : x2 : x3) com xi ∈ K, teŕıamos
∑
xjW1j = 0
contrariando a escolha dos Wij como indeterminadas sobre o corpo K.
Alternativamente, especializando (Wij) para a matriz identidade, viria
P0 ∈ F ∩ G, proibido por hipótese. Da mesma forma, se existissem
pontos distintos Q, Q′ ∈ FW ∩ GW colineares com P0, concluiŕıamos
a existência de P, P ′ ∈ F ∩ G colineares com P0. Basta notar que,
se Q = W (P ), Q′ = W (P ′) são colineares com P0, o determinante da
matriz com linhas Q,Q′ e P0 é um polinômio que se anula para toda
especialização Wij → tij .
Calculando a resultante de FW , GW , encontramos
R((W ), X, Z) = c(W )
r∏
i=1
(zi(W )X − xi(W )Z)ni ,
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Seção 2 O teorema de Bézout 65
onde c(W ) é um polinômio 6= 0, cada ni é um inteiro ≥ 1 e
xi(W ) = W11xi +W12yi +W13zi ,
zi(W ) = W31xi +W32yi +W33zi ,
são coordenadas homogêneas do i-ésimo ponto, W (xi : yi : zi), de F
W ∩
GW .
A expressão para a resultante está correta porque, por um lado,
sabemos que R((W ), X, Z) ∈ K[{Wij}][X,Z] pode se escrever na forma
R = c(W ) ·R((W ), X, Z),
onde R não é diviśıvel por c(W ) e que, em L[X,Z], R é completamente
decompońıvel nos fatores lineares zi(W )X − xi(W )Z correspondentes
aos pontos de FW ∩GW .
Agora o leitor deve se convencer de que, especializando a matriz
(Wij) para qualquer (tij) (a coeficientes em K) associada a uma projeti-
vidade T tal que T•F, T•G estejam muito bem posicionadas,
R((W ), X, Z) se especializa na resultante de T•F, T•G. A condição de
bom posicionamento garante que para i 6= j os fatores zi(T )X −xi(T )Z
e zj(T )X − xj(T )Z permanecem distintos. Em resumo, cada fator
zi(W )X−xi(W )Z se transforma no fator correspondente ao ponto TPi.
Segue-se que os expoentes ni não dependem de tij , e em particular,
(T•F, T•G)TP = (F,G)P . 2
Para aplicações do teorema de Bézout, é importante saber como
estimar (F,G)P em termos de dados locais de F, G, separadamente, em
torno do ponto P .
15. Proposição. Temos
(F,G)P ≥ mP (F )mP (G),
valendo a desigualdade estrita se e só se F e G possuem uma tangente
comum no ponto P .
Demonstração. Podemos supor P = (0 : 0 : 1) e que F, G estão
muito bem posicionadas. Ponhamosm = mP (F ), n = mP (G). De-
vemos mostrar que Xmn divide R(X,Z) em K[X,Z], ou, equivalente-
mente, que Xmn divide R(X, 1) em K[X]. Estando F, G bem posiciona-
das, sabemos que R(X, 1) é igual a R(X), resultante de
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66 Interseção de Curvas Projetivas Cap. 5
f = F (X,Y, 1), g = G(X,Y, 1), a menos de fator constante 6= 0. Para
o cálculo de R(X), escrevemos f, g em potências crescentes de Y (cau-
sando apenas uma permutação nas colunas da matriz cujo determinante
queremos calcular):
f = a0X
m +a1X
m−1Y + . . . + amY
m +am+1Y
m+1 + . . . ,
g = b0X
n + . . . . . . + bnY
n +bn+1Y
n+1 + . . . ,
com ai, bj ∈ K[X], independentes de Y . Temos
R(X) = ±
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a0X
m a1X
m−1 . . . am am+1. . .
a0X
m . . . am−1X am. . .
· · · · · · · · ·
b0X
n b1X
n−1 . . . bn bn+1. . .
b0X
n . . . bn−1X bn . . .
...
...
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
Multiplicamos a primeira linha de a’s por Xn, a segunda por Xn−1,
etc. e em seguida, a primeira de b’s por Xm, etc. Vemos que é posśıvel
fatorar Xm+n−j+1 da j-ésima coluna, 1 ≤ j ≤ m + n. Desta maneira,
conclúımos que R(X) é diviśıvel por X elevado pelo menos ao expoente
(m+ n)(m+ n− 1)
2
− m(m− 1)
2
− n(n− 1)
2
= mn,
provando a desigualdade enunciada.
Para estudarmos em que caso ocorre igualdade, definamos
R̃(X) = R(X)X−mn.
Trata-se de um polinômio em X. Ponhamos ai = ai(0), bi = bi(0) e
sejam {
fm = a0X
m+ a1X
m−1Y + . . . +amY
m,
gn = b0X
n+ . . . . . . +bnY
n.
Precisamos mostrar que
R̃(0) = 0⇐⇒ fm, gn admitem fator comum em K[X,Y ].
Sem perda de generalidade, podemos supor que X não é fator comum,
i.e., am ou bn 6= 0. Neste caso, fm, gn têm fator comum em K[X,Y ] se
e só se fm(1, Y ), gn(1, Y ) têm raiz comum. Examinando com atenção o
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processo utilizado acima para extrair o fator Xmn de R(X), percebemos
que R̃(0) é o determinante de uma matriz que apresenta uma submatriz
(m+n)×(m+n) (formada pelas n primeiras linhas de a’s e m primeiras
de b’s ) igual à matriz que fornece a resultante de fm(1, Y ), gn(1, Y ); os
demais elementos das colunas de ordem maior que m+ n e nas mesmas
linhas desta submatriz são nulos. Além disso, o bloco complementar
da submatriz em questão é justamente a matriz que dá a resultante
dos polinômios f = Y −mf(0, Y ), g = Y −ng(0, Y ). Desenvolvendo o
determinante pelos menores extráıdos das m+ n primeiras colunas, en-
contramos
R̃(0) = Rfm,gn ·Rf,g.
Ora, Rf,g 6= 0, do contrário f(Y ), g(Y ) admitiriam raiz comum y, neces-
sariamente 6= 0 (porque am ou bn 6= 0). Mas então teŕıamos (0, y) ∈ f∩g,
impedido pela hipótese de que F, G estão muito bem posicionadas e já
têm o ponto (0, 0) em comum. Em conclusão, R̃(0) é zero se e só se
Rfm,gn é zero. 2
16. Corolário. Sejam F, G curvas sem componentes em comum. Então
∑
P∈F∩G
mP (F ) ·mP (G) ≤ (d◦F ) · (d◦G) .
Demonstração. Pelo teorema de Bézout, sabemos que
∑
(F,G)P = (d
◦F ) · (d◦G) .
Pela proposição anterior, temos cada (F,G)P ≥ mP (F )mP (G). 2
17. Exerćıcios
83. Mostre que as definições 2 e 10 são consistentes.
84. Calcule as multiplicidades de interseção para os pares de curvas:
a) Y = X3, Y = X2;
b) X2 + Y 2 = 1, X2 + Y 2 = 4;
c) (X2 + Y 2)2 = X2 + Y 2, X2 + Y 2 = 1;
d) (X2 + Y 2)2 = X2 − Y 2, X2 + Y 2 = X − Y .
85. Escreva a matriz para o cálculo de R(X) que ocorre na prova da
prop. 15 supondo F e G de graus 3 e 4, com multiplicidades em 0 iguais
a 2 e 3 e verifique os detalhes.
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86. Sejam F, G curvas bem posicionadas (mas possivelmente não muito
bem posicionadas). Prove que se RF,G =
∏
(zjX − xjZ)nj , com os (xj :
zj) ∈ P1 dois a dois distintos, então nj é a soma das multiplicidades de
interseções correspondentes aos pontos (x : y : z) com (x : z) = (xj : zj).
87. Sejam f, g curvas planas afins, com f∗, g∗ não necessariamente bem
posicionadas. Seja R(X) =
∏
(X − xi)ni a resultante. Discuta a relação
dos ni ’s com multiplicidades de interseção e estude a diferença de Σni
para (d◦f) · (d◦g).
88. Mostre que uma quártica com três pontos singulares colineares ou
com quatro pontos singulares é redut́ıvel. (Sugestão: trace uma cônica
pelos quatro pontos e mais um quinto).
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Propriedades do Índice
de Interseção
Mostraremos neste caṕıtulo que o ı́ndice de interseção é caracterizado
por uma lista de propriedades naturais. Como primeira conseqüência,
veremos que a fórmula expĺıcita que define (F,G)P pode ser esquecida,
pois as referidas propriedades fornecem um método para o cálculo efe-
tivo. Apresentamos depois uma fórmula alternativa para o ı́ndice de
interseção, usando séries de potências. Esta nova abordagem dispensa o
deslocamento prévio exigido pelo método da resultante e põe em relevo
o fato de (F,G)P só depender do comportamento de F,G em torno do
ponto P .
1 As propriedades caracteŕısticas
Inicialmente reescrevemos a definição (12, p. 62) estendendo-a para o caso
em que as curvas podem admitir componente comum.
1. Definição. Sejam F,G curvas planas projetivas e seja P um ponto
de P2. Escrevamos F = F0H, G = G0H, com H = MDC(F,G) (ou
seja, H é a reunião das componentes comuns de F,G, tomadas com
multiplicidade; logo F0, G0 não têm componente em comum). Os pontos
de F0 ∩ G0 fora de H são as interseções isoladas de F,G. Definimos a
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70 Propriedades do Índice de Interseção Cap. 6
multiplicidade ou ı́ndice de interseção de F,G em P por
(F,G)P =



∞ se P ∈ H
0 se P 6∈ F ∩G
(F0, G0)P se P é uma interseção isolada de F,G.
Lembramos que, neste último caso, escolhemos uma projetividade S tal
que S•F0, S•G0 estejam muito bem posicionadas.
Agora, se (x : y : z) = S(P ), então (F0, G0)P é igual ao expoente
com que zX − xZ ocorre na resultante de S•F0, S•G0. Mostramos
na proposição (14, p. 63) que esta definição independe da particular pro-
jetividade com que deslocamos F0, G0. Se não tivermos o cuidado de
eliminar as componentes comuns, a resultante de F,G será nula.
O processo de colocar duas curvas em muito boa posição é em geral
laborioso. O cálculo de (F,G)P será tremendamente facilitado pela lista
de propriedades que descrevemos logo a seguir. De fato, mostraremos
que elas fornecem um algoritmo para o cálculo do ı́ndice, dispensando
completamente a fórmula da resultante. Em particular, qualquer outra
fórmula que satisfaça essas propriedades terá que atribuir o mesmo valor.
2. Proposição. O ı́ndice de interseção (F,G)P goza das seguintes pro-
priedades:
(1) (F,G)P = (G,F )P é ∞ ou um número inteiro ≥ 0.
(2) (F,G)P = 0⇐⇒ P 6∈ F ∩G.
(3) (F,G)P =∞⇐⇒ P ∈ H = componente comum de F,G.
(4) (F,G)P = (T•F, T•G)TP ∀ projetividade T : P2 → P2.
(5) (X,Y )P = 1 onde P = (0 : 0 : 1).
(6) (F,G+AF )P = (F,G)P ∀ A homogêneo com d◦A = d◦G− d◦F .
(7) (F,G1G2)P = (F,G1)P + (F,G2)P .
Antes de escrever a demonstração, vamos ilustrar como essas propri-
edades podem ser empregadas para o cálculo de (F,G)P .
3. Exemplo. Seja F : (X2 + Y 2)2 = Y 3 − 3X2Y (rosácea de três
pétalas) e seja G : Y 3 = Y 2 − 3X2 (cúbica nodal).
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Seção 1 As propriedades caracteŕısticas 71
Homogeneizando, temos
F = (X2 + Y 2)2 − Z(Y 3 − 3X2Y ),
G = Y 3 − Z(Y 2 − 3X2).
Empregando as propriedades indicadas na última coluna abaixo, vem
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figura 6.1
(F,G)P = (F − Y G,G)P ((1), (6))
= (X4 + 2X2Y 2, G)P
= (X2, G)P + (X
2 + 2Y 2, G)P (7)
= 2(X,Y 2(Y − Z))P + (X2 + 2Y 2, Y 3 − 7ZY 2)P (6)
= 4(X,Y )P + 2(X,Y − Z)P + 4(X,Y )P + (X ± i
√
2Y, Y − 7Z)P .
Portanto,
F ∩G = {(0 : 0 : 1), (0 : 1 : 1), (±7i
√
2 : 7 : 1)}
No primeiro desses pontos de F ∩ G a multiplicidade de interseção é
igual a 8; no segundo é 2; nos dois últimos é 1.
Demonstração da proposição 2. As três primeiras propriedades dispen-
sam comentários. A quarta – invariância por mudança projetiva de
coordenadas – decorre essencialmente do fato de que, na definição 1, go-
zamos de liberdade irrestrita na escolha da projetividade T . Com efeito,
se (F,G)P = 0 ou ∞, é óbvio que (T•F, T•G)TP tem o mesmo valor.
Se P é uma interseção isolada, escolhemos (com a notação da definição
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72 Propriedades do Índice de Interseção Cap. 6
10, p. 62) uma projetividade S tal que S•F0, S•G0 estejam muito bem
posicionadas e tomamos U = ST−1. Temos então
(T•F, T•G)TP = (U•(T•F ), U•(T•G))UTP
= (S•F, S•G)SP
= (F,G)P .
Verifiquemos (5). Escrevendo F = 0Y +X, G = Y , calculamos
RF,G =
∣∣∣∣
0 X
1 0
∣∣∣∣ = −X.
Isto mostra que (0:0:1) ocorre com multiplicidade 1.
Para a sexta propriedade, é suficiente considerarmos o caso em que A
é um polinômio da forma A = AmY
c−m, com c = d◦G−d◦F e Am(X,Z)
homogêneo de grau m. Neste caso, é imediato que a matriz cujo deter-
minante define RF,G+AF é obtida da matriz associada a RF,G somando
às linhas dos coeficientes de G, múltiplos das linhas dos coeficientes de
F .
A sétima propriedade é de verificação mais trabalhosa. Ela se baseia
nos seguintes resultados da teoria da eliminação.
4. Lema. Seja A = Z[X0, X1, · · · , Xm, Y0, · · · , Yn] o anel dos poli-
nômios nas indeterminadas Xi, Yj, a coeficientes inteiros. Sejam
f = X0(Y −X1)· · ·(Y −Xm) = X0(Y m − (ΣXi)Y m−1 + · · ·),
g = Y0 (Y − Y1)· · ·(Y − Yn) = Y0(Y n − (ΣYi)Y n−1 + · · ·)
}
∈A[Y ].
Temos então as seguintes fórmulas para a resultante R de f, g:
R = Xn0 Y
m
0
∏
i,j(Xi − Yj)
= Xn0
∏
i g(Xi)
= (−1)mnY m0
∏
j f(Yj).
Demonstração. Denotemos por S o segundo membro da primeira
fórmula proposta. É imediato que S satisfaz as duas outras igualda-
des. Por outro lado, a definição da resultante mostra que R = Xn0 Y
m
0 R̃,
onde R̃ denota um polinômio nas variáveis X1, X2, . . . , Y1, Y2, . . . , a co-
eficientes em Z. Substituindo Xi por Yj , com i, j ≥ 1, anula-se a re-
sultante; logo Xi − Yj divide R e portanto S divide R em A. Mas é
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Seção 1 As propriedades caracteŕısticas 73
facil verificar que S e R têm o mesmo grau em Xi (resp. Yj), donde R
é um múltiplo inteiro de S. Fazendo X0 = Y0 = Y1 = · · · = Yn = 1
e X1 = · · · = Xm = 0, vê-se de imediato que esse inteiro é 1, ou seja,
R = S. 2
5. Proposição. Seja D um domı́nio. Dados f, g, h ∈ D[Y ], vale a
fórmula
Rf,gh = Rf,gRf,h.
Demonstração. Escrevamos



f = x0Y
m + · · · ,
g = y0Y
r + · · · ,
h = z0Y
s + · · · ,
as reticências indicando termos de grau inferior. Existe uma extensão
E ⊃ D tal que, em E[Y ], podemos fatorar



f = x0(Y − x1) · · · (Y − xm) ,
g = y0(Y − y1) · · · (Y − yr) ,
h = z0(Y − z1) · · · (Y − zs) .
(Tomar, por exemplo, um corpo de ráızes do produto fgh; veja o apên-
dice, (34, p. 146).) Consideremos o anel
A=Z[X0, . . ., Xm, Y0, . . ., Yr, Z0, . . ., Zs].
Façamos 


f̃ = X0(Y −X1) · · · (Y −Xm),
g̃ = Y0(Y − Y1) · · · (Y − Yr),
h̃ = Z0(Y − Z1) · · · (Y − Zs).
Podemos definir um homomorfismo de anéis ϕ : A −→ E mandando Xi
em xi etc. . . , de sorte que o homomorfismo induzido,
A[Y ] −→ E[Y ]
ainda denotado ϕ, aplica f̃ em f , etc. . . . Nestas condições, é claro que
ϕ(Rf̃ ,g̃h̃) = Rf,gh.
Apliquemos o lema a f̃ , g̃h̃. Obtemos:
Rf̃ ,g̃h̃ = X
r+s
0
∏
(g̃h̃)(Xi))
= (Xr0
∏
g̃(Xi))(X
s
0
∏
h̃(Xi)
= Rf̃ ,g̃Rf̃ ,h̃.
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74 Propriedades do Índice de Interseção Cap. 6
Calculando ϕ em ambos os membros, resulta a fórmula enunciada. 2
Verifiquemos agora a propriedade (7) da proposição 2:
(F,G1G2)P = (F,G1)P + (F,G2)P .
Podemos supor que P é uma interseção isolada de F,G1G2, e sem perda
de generalidade, supor logo que F, G1G2 não têm componente comum
e estão muito bem posicionadas. Mas agora a fórmula desejada decorre
imediatamente da proposição 5. 2
6. Proposição. O ı́ndicede interseção (F,G)P é univocamente deter-
minado pelas propriedades (1),. . . ,(7) listadas na proposição 2.
Demonstração. É suficiente provar que (F,G)P é calculável a partir
daquelas propriedades. E para tanto, basta considerarmos o caso em
que F,G não têm componente comum passando por P . Consideremos
F,G como polinômios em Z a coeficientes em K[X,Y ], escrevendo
F = A0Z
m + · · ·+Am,
G = B0Z
n + · · ·+Bn,
com Ai, Bj ∈ K[X,Y ] homogêneos e
d◦Ai = d
◦F + i−m, d◦Bj = d◦G+ j − n, A0B0 6= 0.
Procederemos por indução sobre min{m,n}. Se m = 0, então F = A0 é
um produto de fatores lineares homogêneos do tipo aX+bY , caso em que
sabemos calcular (F,G)P usando as propriedades. Com efeito, por (1) e
(7) reduzimos à situação em que F é uma reta; por (4) podemos supor
P = (0 : 0 : 1) e F = X; por (6) podemos substituir G por F (0, Y, Z);
este último é um produto de fatores lineares e então ganhamos, usando
(7) e (5) (e possivelmente (4) para transformar em Y um fator linear).
Suponhamos, para a etapa indutiva, 0 < m ≤ n. Sem perda de
generalidade, podemos supor F irredut́ıvel. Em particular, A0 e F são
primos relativos. Aplicamos o algoritmo da divisão, encontrando, para
algum inteiro r ≥ 0, polinômios B, Ĝ tais que
Ar0G = BF + Ĝ, com d
◦
ZĜ ≤ m− 1.
Note que Ĝ é primo relativo com F . Usando (6), obtemos
(F,Ar0G)P = (F, Ĝ)P .
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Seção 2 Séries de potências 75
Logo,
(F,G)P = (F, Ĝ)P − (F,Ar0)P ;
O primeiro termo no segundo membro é calculável por indução; o se-
gundo é calculável pois d◦ZA
r
0 = 0. Isto completa a demonstração. 2
7. Exerćıcios
89. Sejam F : (X2 +Y 2)2 = X2−Y 2 e Ca : X2 +Y 2 = a(X −Y ), onde
a é constante arbitrária. (Se a = ∞, tome C∞ : Z(X − Y ) = 0). Para
cada a, calcule (F,Ca)P em cada ponto. Verifique o teorema de Bézout.
90. Mostre que F : Y 2 = X −X3 e G : 3XY 2 = 3X2 − 1 se cruzam em
nove pontos distintos. Se P é qualquer um deles, mostre que o ı́ndice de
interseção de F com sua reta tangente em P é igual a 3.
91. Prove que (F,G)P só depende das componentes de F,G que pas-
sam por P , usando apenas as propriedades (1),. . . ,(7), da proposição
(2, p. 70).
92. Prove que (F,G)P ≥ mp(F )mp(G) usando apenas (1),. . . ,(7).
93. Refaça o exerćıcio (84, p. 67) sem calcular resultantes.
94. Use o lema (4, p. 72) para mostrar que, se f = a0Y
m+ · · ·+am, g =
b0Y
n + · · ·+ bn são polinômios a coeficientes em um domı́nio arbitrário
A, com a0b0 6= 0, então Rf,g = 0 se e só se f, g admitem raiz comum em
alguma extensão do corpo de frações de A.
2 Séries de potências
Nesta seção descrevemos uma definição alternativa para a multiplicidade
de interseção, empregando séries de potências. Há outras variantes,
mas qualquer definição aceitável deverá satisfazer a lista de propriedades
naturais dadas na proposição 2 e conseqüentemente, terá que coincidir
com a que adotamos, via resultantes.
Lembramos que uma série de potências na variável X a coeficientes
no anel A é uma expressão da forma
∞∑
i=0
aiX
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76 Propriedades do Índice de Interseção Cap. 6
com os coeficientes ai ∈ A; duas tais expressões são iguais se e só se os
coeficientes correspondentes são iguais. O conjunto A[|X|] das séries de
potências a coeficientes em A contém um subconjunto que se identifica
naturalmente com o anel dos polinômios A[X]. Definem-se as operações
de soma e produto de séries de potências de maneira evidente, de sorte
que A[X] se torna um subanel de A[|X|].
Tomando uma nova variável independente Y , o anel das séries de
potências em duas variáveis é definido por
A[|X,Y |] = (A[|X|])[|Y |].
Seus elementos se escrevem na forma
∑
i,j
aijX
iY j .
Resumimos na proposição seguinte algumas propriedades básicas das
séries de potências. A demonstração é deixada a cargo do leitor.
8. Proposição.
(a) Se A é um domı́nio (i.e., anel comutativo, com unidade e sem
divisores de zero) então A[|X|] também é.
(b)
∑
aiX
i é invert́ıvel em A[|X|] se e só se o termo constante a0 é
invert́ıvel em A.
(c) Se α é uma série de potências com termo constante nulo e β é
uma série de potências arbitrária, é posśıvel “substituir X por α
em β”, resultando uma série β(α) bem determinada pela seguinte
condição: se βm =
∑m
0 biX
i é o polinômio “m-ésima soma par-
cial” de β =
∑∞
0 biX
i, então (β(α))m = βm(αm) módulo X
m+1.
(d) Se α é como acima, a aplicação β 7→ β(α) é um homomorfismo de
anéis.
9. Exemplo: (1 − X)−1 = 1 + X + X2 + · · · . Mais geralmente, se
α ∈ A[|X|] é uma série de potências com termo constante nulo, então
(1− α)−1 = 1 + α+ α2 + · · · . Esta expressão tem sentido, pois apenas
um número finito de parcelas contribui para o coeficiente de cada termo
Xi.
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Consideremos agora um polinômio p(X) ∈ K[X]. A multiplicidade
de uma raiz x de p(X) pode ser detectada substituindo X por X + x
e extraindo a maior potência posśıvel de X como fator de p(X + x).
Escrevemos então p(X + x) = Xmu(X), onde u(0) 6= 0. Logo, u(X) é
invert́ıvel em K[|X|], e portanto os ideais 〈p(X + x)〉 e 〈Xm〉 são iguais
em K[|X|]. Segue-se a igualdade1 dos anéis quocientes:
K[|X|]/〈p(X + x)〉 = K[|X|]/〈Xm〉.
Ora, este último, considerado como espaço vetorial sobre K, claramente
admite para base as classes de 1, X, . . . ,Xm−1 (mod. 〈Xm〉). Vemos
então que a multiplicidade da raiz x de p(X) é igual à dimensão do
espaço vetorial K[|X|]/〈p(X + x)〉.
Dáı até inferirmos uma fórmula para a multiplicidade de interseção
de duas curvas (digamos, inicialmente, afins) f, g é um pequeno (?)
passo:
10. Definição. Dado P = (x, y) ∈ A2, ponhamos (provisoriamente! cf.
proposição (16, p. 80)),
[f, g]P = dimK{K[|X,Y |]/〈f(X + x, Y + y), g(X + x, Y + y)〉}.
11. Exemplo. Suponhamos f = Y, g arbitrário, P = (x, y). Se y 6= 0,
então P 6∈ f , e deveŕıamos esperar [f, g]P = 0. E de fato, f(X + x, Y +
y) = y + Y é invert́ıvel em K[|X,Y |], acarretando a nulidade do anel
quociente em questão. Se y = 0, temos o isomorfismo
K[|X,Y |]/〈Y, g(X + x, Y )〉 ∼−→K[|X|]/〈g(X + x, 0)〉.
Do que foi exposto acima, a dimensão deste último quociente é justa-
mente a multiplicidade de x como raiz de g(X, 0), em completa con-
cordância com a definição já apresentada para (f, g)P .
Estendemos a definição acima para curvas projetivas F,G, de modo na-
tural.
12. Definição. Se P = (x : y : 1) (resp. (x : 1 : z), resp. (1 : y : z :)),
desomogeneizamos F,G com relação a Z (resp. Y , resp. X) e definimos
[F,G]P aplicando a fórmula dada na definição 10 com as modificações
óbvias.
1k-isomorfismo, por preciosismo...
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78 Propriedades do Índice de Interseção Cap. 6
Há que se fazer a seguinte verificação.
13. Lema. Se P = (x : y : 1) = (1 : u : v) então
dimK K[|X,Y |]/〈F (X + x, Y + y, 1), G(X + x, Y + y, 1)〉
= dimK K[|Y, Z|]/〈F (1, Y + u, Z + v), G(1, Y + u, Z + v)〉.
(Valendo relação análoga se (x : y : 1) = (u : 1 : v) . . . ).
Demonstração. Temos xv = 1, yv = u. Em particular, x 6= 0 6= v e
portanto X + x é invert́ıvel em K[|X,Y |]. Sendo F homogêneo, temos
F (X + x, Y + y, 1) = (X + x)dF (1, (Y + y)(X + x)−1, (X + x)−1)
em K[|X,Y |], com d = d◦F .
Podemos construir um isomorfismo
ϕ : K[|X,Y |] −→ K[|Y, Z|]
tal que {
ϕ(X) = (Z + v)−1 − x,
ϕ(Y ) = (Y + u)(Z + v)−1 − y ,
e assim, (X + x)−1 7→ Z + v, (Y + y)(X + x)−1 7→ Y + u. Logo,
ϕ(F (X + x, Y + y, 1)) = (Z + v)−dF (1, Y + u, Z + v),
e analogamente para G. Portanto, ϕ induz por passagem ao quociente
um isomorfismo entre os espaços cujas dimensões queŕıamos calcular. 2
Indicaremos mais adiante como proceder para a verificação de que
[F,G]P satisfaz as propriedades caracteŕısticas (1),. . . ,(7). Assim, tere-
mos mostrado que [F,G]P = (F,G)P. Antes porém deduziremos uma
conseqüência da nova fórmula.
Se P = (x0, y0) ∈ f é um ponto não singular, digamos com
fY (P ) 6= 0, e K = R ou C, sabemos do Cálculo que, próximo a P ,
a equação f(X,Y ) = 0 fornece uma função impĺıcita Y = ϕ(X) tal que
f(X,ϕ(X)) = 0 e y0 = ϕ(x0). Esta função é de fato anaĺıtica, i.e., sua
série de Taylor converge a ϕ(X) numa vizinhança de x0. Se g é uma
curva arbitrária, podemos calcular g(X,ϕ(X)), obtendo uma série de
potências em X. O ı́ndice de interseção (f, g)P deveria refletir a ordem
do anulamento desta série para X = x0, no sentido explicitado a seguir.
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14. Definição. A ordem (ou ordem de anulamento) da série ΣaiX
i é o
ı́nfimo dos inteiros i tais que ai 6= 0. A ordem da série nula é ∞.
15. Proposição. Seja P = (x, y) um ponto não singular sobre a curva
f . Então:
(a) K[|X,Y |]/〈f(X + x, Y + y)〉 é K-isomorfo a K[|T |], anel das séries
de potências numa variável T .
(b) Se g é uma curva arbitrária, então (f, g)P é a ordem da imagem
de g(X+x, Y +y) em K[|T |] através do isomorfismo dado em (a).
Demonstração. Sem perda de generalidade, podemos supor P =
(0, 0) e f da forma Y + f2 + · · · . Pondo Y em evidência nos termos em
que ocorre, temos f = uY −X2h, com u invert́ıvel em K[|X,Y |]. Visto
que f e u−1f geram o mesmo ideal, podemos supor u = 1. (Agora h não
é mais necessariamente um polinômio; pouco importa.) Mostraremos
que a aplicação
K[|X|] −→ K[|X,Y |]/〈f〉
s(X) 7−→ s = s(X) + 〈f〉
é um isomorfismo. Esta afirmação é equivalente à seguinte:
∀ g ∈ K[|X,Y |], ∃ séries q(X,Y ), r(X) tais que g = qf + r.
As séries q, r são constrúıdas por aproximações sucessivas. Escrevemos
g = g(X, 0) + Y q0 = g(X, 0) + (Y −X2h)q0 +X2hq0.
Ponhamos r0 = g(X, 0), e recomecemos com g1 = hq0 em lugar de g:
g1 = g1(X, 0)︸ ︷︷ ︸
r1
+q1f +X
2hq1, etc · · ·
Desta maneira, constrúımos seqüências
r0, r1, · · · ∈ K[|X|], q0, q1, · · · ∈ K[|X,Y |],
de sorte que, para cada m ≥ 1,
g =
[
m∑
0
X2iri + (
m∑
0
X2iqi)f
]
+X2m+2hqm.
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Definimos r(X) =
∑
i≥0X
2iri, o que faz sentido, pois cada termo de
r(X) é obtido a partir de apenas um número finito de X2iri. Similar-
mente, definimos q(X,Y ) =
∑
i≥0X
2iqi. Por construção, temos g−r−qf
múltiplo de XN para todo N , donde se conclui facilmente
g = r + qf.
Uma vez demonstrado o isomorfismo
K[|X|] ∼−→K[|X,Y |]/〈f〉 ,
se g ∈ K[|X,Y |] é arbitrário, temos
K[|X,Y |]/〈f, g〉 ≃ (K[|X,Y |]/〈f〉)/〈ḡ〉
≃ K[|X|]/〈γ〉
onde γ denota a imagem de ḡ = g + 〈f〉 em K[|X|]. Isto completa a
demonstração, pois é imediato que a ordem de γ é a dimensão do último
quociente. 2
Observemos que o isomorfismo K[|X|] ∼−→K[|X,Y |]/〈f〉 acima cons-
trúıdo fornece uma série ϕ(X), imagem de Ȳ pelo isomorfismo inverso,
tal que
f(X,ϕ(X)) = 0.
Isto é uma versão algébrica formal do teorema da função impĺıcita.
16. Proposição. [F,G]P (cf. definição 10) satisfaz as propriedades
do ı́ndice de interseção listadas na proposição 2, p.70. Em particular,
[F,G]P = (F,G)P para todo par de curvas planas F,G e todo ponto
P ∈ P2.
Demonstração. As propriedades (1), (5) e (6) são imediatas. A pro-
priedade (2) segue-se de que f(X + x, Y + y) é invert́ıvel em K[|X,Y |]
se e só se f(x, y) 6= 0.
Para a quarta propriedade, observemos que se T1, T2 são projetivi-
dades tais que
[(Ti)•F, (Ti)•G]TiP = [F,G]P (∀F,G, P ),
então o mesmo é válido para a composta T1T2. Tendo em conta que toda
matriz invert́ıvel é um produto de matrizes elementares (aquelas obtidas
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da matriz identidade por uma operação elementar sobre as linhas), é
suficiente verificar (4) quando T é uma “projetividade elementar”. Supo-
nhamos por exemplo T•F (X,Y, Z) = F (aX, Y, Z) para alguma constan-
te a 6= 0; digamos P = (1 : b : c). Logo, TP = (a−1 : b : c) = (1 : ab : ac).
Calculamos, pondo m = d◦F ,
(T•F )(1, Y + ab, Z + ac) = F (a, Y + ab, Z + ac)
= amF (1, a−1Y + b, a−1Z + c).
Constrúımos um K-isomorfismo
ϕ : K[|Y, Z|]→ K[|Y, Z|]
tal que
ϕ(Y ) = Y/a, ϕ(Z) = Z/a.
Temos então
ϕ(F (1, Y + b, Z + c)) = F (1, a−1Y + b, a−1Z + c)
= a−m(T•F )(1, Y + ab, Z + ac),
e analogamente para G, mostrando que ϕ induz um K-isomorfismo entre
os anéis quocientes
K[|Y, Z|]
/
〈F (1, Y + b, Z + c), G(1, Y + b, Z + c)〉 ≃
K[|Y, Z|]
/
〈(T•F )(1, Y + ab, Z + ac), (T•G)(1, Y + ab, Z + ac)〉.
Isto prova que [F,G]P = [T•F, T•G]TP no caso considerado. Os demais
casos são tratados de maneira similar.
Resta verificar (3) e (7). Em vista de (4), podemos supor P = (0 :
0 : 1) e trabalhar com f = F∗, etc. . . Observe que (3) é conseqüência
imediata do resultado seguinte.
17. Lema. Sejam f, g ∈ K[X,Y ]. São equivalentes:
(i) f, g não admitem componente comum passando pela origem;
(ii) K[|X,Y |]/〈f, g〉 tem dimensão finita;
(iii) f, g são primos relativos (i.e., não admitem fator comum não in-
vert́ıvel) em K[|X,Y |].
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Demonstração. (i)⇒ (ii). Da hipótese, seguem-se relações
af + bg = r(X)h 6= 0,
cf + dg = s(Y )h 6= 0,
emK[X,Y ], onde h denota o MDC(f, g); em especial, h(0, 0) 6= 0. Agora
em K[|X,Y |], podemos escrever
r(X)h = Xmu, s(Y )h = Y nv,
com u, v invert́ıveis. Deduzimos a inclusão de ideais
〈Xm, Y n〉 ⊆ 〈f, g〉 em K[|X,Y |].
Obtemos o epimorfismo
K[|X,Y |]/〈Xm, Y n〉 −→→ K[|X,Y |]
/
〈f, g〉.
O primeiro desses quocientes é manifestamente de dimensão finita, gera-
do pelas classes residuais de XiY j mod. 〈Xm, Y n〉, i = 0, . . . ,m− 1, j =
0, . . . , n− 1, provando (ii).
(ii) ⇒ (iii) Suponhamos, por absurdo, que exista h ∈ K[|X,Y |] não
invert́ıvel tal que 〈f, g〉 ⊆ 〈h〉 (inclusão de ideais de K[|X,Y |] ). Levando
em conta o epimorfismo
K[|X,Y |]/〈f, g〉 −→→ K[|X,Y |]/〈h〉,
deduzimos que K[|X,Y |]/〈h〉 tem dimensão finita. Logo, existe n ≥ 1
tal que 1, X, . . . ,Xn−1 são linearmente independentes e 1, . . . , Xn são
dependentes módulo h. Portanto, existe uma relação
Xn + a1X
n−1 + · · ·+ an = sh,
com ai’s constantes e s ∈ K[|X,Y |]. Mas h(0, 0) = 0 implica an =
0, donde s(0, Y ) = 0 ou h(0, Y ) = 0. Com a primeira alternativa,
ganhamos pois conclúımos uma relação de dependência para 1, . . . , Xn−1
(porque X divide s). Com a segunda, também ganhamos, pois se X
divide h, podemos substituir h por X e é óbvio que K[|X,Y |]/〈X〉 =
K[|Y |] tem dimensão infinita.
(iii)⇒ (i) Trivial. 2
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18. Lema. Sejam f, g ∈ K[X,Y ] polinômios primos relativos. Se existir
uma relação
af = bg em K[|X,Y |]
então existe c ∈ K[|X,Y |] tal que a = cg. Em outras palavras, se g|af
em K[|X,Y |] então g|a.
Demonstração. Apelando para o fato de que um anel de séries de
potências a coeficientes num corpo é fatorial, o resultado é conseqüência
do lema anterior. Mas preferimos dar uma argumentação independente.
Da hipótese, segue-se uma relação
rf + sg = d(X) 6= 0 em K[X,Y ].
Escrevendo d(X) = uXm com u invert́ıvel em K[|X|], obtemos
αf + βg = Xm, agora em K[|X,Y |].
Multiplicando por a, deduzimos
(αb+ aβ)g = aXm.
Seja n o menor expoente ≥ 0 tal que existe uma relação Xna = cg, para
algum c ∈ K[|X,Y |]. Mostremos que n = 0. Podemos supor que X
não é fator comum de a, g em K[|X,Y |], bastando para isso substituir
a, g por a/Xi, g/Xi para algum i. Nessas condições, X não divide g, do
contrário dividiria af , e portanto dividiria f , imposśıvel. Isso mostra
que n = 0. 2
Finalmente, para provar a propriedade (7),
[F,G1G2]P = [F,G1]P + [F,G2]P ,
podemos supor [F,G1]P <∞ e como antes, P = (0 : 0 : 1). Da inclusão
de ideais I = 〈f, g1g2〉 ⊆ J = 〈f, g1〉, obtemos as aplicações
K[|X,Y|]/〈f, g2〉 ϕ−→ K[|X,Y |]/I ψ−→ K[|X,Y |]/J
p̄ 7−→ g1p+ I; h+ I 7−→ h+ J.
Notemos que ϕ e ψ são K-lineares, ψ é sobrejetiva e ψϕ = 0. É imediato
que a imagem de ϕ coincide com o núcleo de ψ. Mostremos que ϕ é
injetiva. Se existir uma relação
g1p = af + bg1g2 em K[|X,Y |],
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segue-se que g1 divide af em K[|X,Y |]. Visto que f, g1 são primos rela-
tivos, deduzimos do lema anterior que g1c = a para algum c. Cancelando
g1, obtemos p = cf + bg2, completando a prova de que ϕ é injetiva. Pelo
teorema do núcleo e da imagem, vemos que a dimensão do núcleo de
ψ (= [F,G2]P ), somada à dimensão da imagem de ψ (= [F,G1]P ), é
igual à dimensão do domı́nio de ψ (= [F,G1G2]P ). 2
19. Exerćıcios
95. Prove que K[|X|] é um domı́nio de ideais principais.
96. Prove a poposição 8.
97. Complete a demonstração do lema 13, verificando a última afirmação
lá enunciada.
98. Denotemos por o(f) a ordem de uma série f ∈ K[|X|] (cf. p. 79).
Prove que
a) o(fg) = o(f) + o(g);
b) o(f) = 0⇔ f é invert́ıvel em K[|X|];
c) o(f + g) ≥ min(o(f),o(g)), valendo a igualdade se o(f) 6= o(g).
99. Sejam F,G curvas distintas com o mesmo grau. Seja P um ponto
não singular de uma curva H. Mostre que
(F +G,H)P ≥ min{(F,H)P , (G,H)P }.
Se P é singular em H, esta desigualdade pode não valer: considere uma
cúbica nodal e as duas tangentes no ponto singular.
100. Justifique a observação feita logo após o final da demonstração da
proposição (15, p. 79).
101. Complete os detalhes da demonstração da proposição (16, p. 80),
verificando a invariância de [F,G]P pelos tipos de “projetividades ele-
mentares” não considerados.
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Fórmulas de Plücker
Vamos aplicar o teorema de Bézout e propriedades do ı́ndice de in-
terseção para calcular o número de retas tangentes a uma curva pas-
sando por um ponto, e o número de tangentes inflexionais. O resultado
é fornecido pelas fórmulas de Plücker, enunciadas a seguir.
1. Teorema. Seja F uma curva irredut́ıvel de grau d ≥ 2 cujas únicas
singularidades são δ nós e χ cúspides. Então temos
d(d− 1) = ď+ 2δ + 3χ,
3d(d− 2) = i+ 6δ + 8χ,
onde ď e i denotam o número de retas tangentes passando por um ponto
P 6∈ F e o número de retas inflexionais, respectivamente. Supomos
ainda que os pontos de inflexão, os nós e as cúspides são todos or-
dinários, isto é, a(s) reta(s) tangente(s) apresenta(m) contato triplo e
não mais, e que o ponto P está fora das tangentes aos pontos singulares,
das tangentes inflexionais e das bitangentes.
1.1. Exemplos.
(i) Para uma cônica irredut́ıvel, temos d = ď = 2, δ = χ = i = 0,
confirmando o fato de que podem ser traçadas 2 tangentes a uma cônica
irredut́ıvel por um ponto exterior. Quando a cônica se degenera num
par de retas, as duas tangentes coincidem com a reta que liga o ponto à
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singularidade, “explicando” a redução de ď causada por um ponto duplo
ordinário ...
(ii) Se F é uma cúbica irredut́ıvel , há três alternativas:
1) δ = χ = 0, quando então F é não singular e ď = 6, i = 9;
2) δ = 1, χ = 0 e, por fim,
3) δ = 0, χ = 1.
Note que uma cúbica irredut́ıvel não admite bitangentes (por quê?) e
toda reta tangente inflexional é simples, pois a multiplicidade de in-
terseção não pode exceder 3.
1 Curvas polares
Cada uma das fórmulas no teorema acima é obtida achando a interseção
de F com uma curva auxiliar adequada. Para a primeira delas, introdu-
zimos a seguinte
2. Definição. A polar de um polinômio F (de grau ≥ 2) relativa ao
ponto P = (x0 : y0 : z0) é definida por
FP := x0FX + y0FY + z0FZ .
Se FP 6= 0, temos definida a curva polar associada à curva F .
3. Exemplo. A curva polar do ćırculo X2 + Y 2 = 1 com respeito ao
ponto (0, 2) é a reta 0 · (2X) + 2 · (2Y ) + 1 · (−2Z), ou ainda, Y = 1/2.
Note que ela cruza o ćırculo nos dois pontos de contacto das tangentes
que passam por (0, 2).
4. Proposição. A interseção de uma curva F e sua polar FP consiste
nos pontos singulares de F e nos pontos de contato das retas tangentes
a F passando por P .
Demonstração. Apliquemos a proposição (6, p. 59). É óbvio então
que todo ponto singular de F está em FP . Seja agora Q um ponto
não singular de F e pertencente a FP . A reta tangente a F em Q é
XFX(Q) + Y FY (Q) + ZFZ(Q) a qual, por hipótese, contém P . 2
5. Corolário. Se F é irredut́ıvel e d◦F = d ≥ 2, então por cada ponto
do plano passam, no máximo, d(d− 1) retas tangentes a F .
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Demonstração. Visto que d◦FP = d − 1, segue-se que F e FP não
têm componente comum. O corolário resulta do teorema de Bézout. 2
Vamos agora fazer uma análise mais detalhada e calcular a contri-
buição efetiva, isto é, a multiplicidade de interseção, em F ∩FP , de cada
ponto simples e de cada tipo de ponto singular de F .
6. Lema. A curva polar é invariante por mudança de coordenadas, i.e.,
se T é uma projetividade, então
(T•F )
(TP ) = T•(F
P ).
Demonstração. Fixados T e P , ambos os membros da igualdade são
funções lineares de F . Logo, podemos supor F = XiY jZk, e calcular
tomando para T uma projetividade elementar. Alternativamente, pode-
se usar a regra da cadeia. 2
7. Lema. Seja Q ∈ F ∩ FP . Então, nas condições do teorema da p. 85,
temos
(F, FP )Q =



1 se Q é um ponto simples de F ;
2 se Q é um ponto duplo ordinário de F ;
3 se Q é uma cúspide ordinária de F.
Demonstração. Pelo lema anterior, podemos supor Q = (0 : 0 : 1).
Suponhamos F lisa em Q. Podemos tomar Y = 0 para tangente, i.e.,
o polinômio f = F∗ é da forma Y + aX
2 + bXY + · · · . Segue-se que
P = (x0 : 0 : z0) com x0 6= 0, pois P 6∈ F . A curva polar é então
2ax0X+cY +· · · (grau superior). Visto que Y não é tangente inflexional,
temos a 6= 0. Logo F e FP têm tangentes distintas na origem, donde o
ı́ndice de interseção é igual a 1 (proposição 15, p. 65). No segundo caso,
podemos supor f da forma
XY + grau superior.
Visto que P está fora das tangentes aos pontos singulares, temos P =
(x0 : y0 : z0) com x0y0 6= 0. A polar tem então o aspecto
x0Y + y0X + · · · ,
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88 Curvas Racionais Cap. 7
sendo assim transversal às duas tangentes de F em Q e portanto
(F, FP )Q = mQ(F ) = 2
(novamente por 15, p. 65). Para o 3o caso, escrevemos
f = Y 2 + aX3 + · · · ,
com a 6= 0 (senão (Y, f)O > 3). Temos P = (x0 : y0 : z0), com y0 6= 0.
Aplicando uma projetividade que fixe (0 : 0 : 1) e (1 : 0 : 0) e mande
P em (0 : 1 : 0), temos que a reta Y = 0 é deixada invariante. Logo f
permanece na forma apresentada, e a curva polar é dada por
fP = 2Y + grau superior.
Empregando com argúcia a propriedade (6) do ı́ndice de interseção
(2, p. 70) obtemos, finalmente,
(f, fP )O = (aX
3 + · · · , 2Y + · · · )O = 3.
2
A primeira fórmula do teorema (p. 85) decorre da proposição 4 e do
lema 7.
2 A hessiana
Para provarmos a segunda fórmula, introduzimos a seguinte
8. Definição. A curva hessiana de uma curva F de grau ≥ 3 é dada
por
h(F ) =
∣∣∣∣∣∣
FXX FXY FXZ
FXY FY Y FY Z
FXZ FY Z FZZ
∣∣∣∣∣∣
.
9. Exemplos. 1) Se F = ZY 2 −X3 (cúbica cuspidal), temos
h(F ) =
∣∣∣∣∣∣
−6X 0 0
0 2Z 2Y
0 2Y 0
∣∣∣∣∣∣
= 24XY 2.
Temos F ∩ h(F ) = {(0 : 1 : 0), (0 : 0 : 1)}. No primeiro ponto, a
multiplicidade da interseção é 1 e no segundo é 8. A tangente a F no
ponto (0 : 1 : 0) é Z = 0, que é inflexional.
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2) Se F = ZY 2 − ZX2 +X3 (cúbica nodal), h(F ) = −8(Z(X2 − Y 2) +
3XY 2). O ponto singular de F absorve seis interseções com h(F ). Nos
três pontos restantes, (0 : 1 : 0) e (12 : ±i4
√
3 : 9), o ı́ndice de interseção
vale 1. As tangentesa F nesses três últimos pontos são inflexionais
(Leitor: verifique!).
10. Proposição. F ∩ h(F ) é constitúıdo pelos pontos singulares e os
pontos de inflexão de F . Nas condições do teorema, se Q ∈ F ∩ h(F )
então
(F, h(F ))Q =



1 se Q é ponto de inflexão ordinário;
6 se Q é nó ordinário;
8 se Q é cúspide ordinária.
Demonstração. O procedimento é análogo ao tratamento dado à curva
polar. Primeiro mostramos que h(F ) é invariante por mudança de co-
ordenadas. Com esta liberdade, posicionamos o ponto Q na origem, e
escolhemos a(s) tangente(s) como no caso anterior. Para provar a relação
T•(h(F )) = h(T•F ) ,
observamos que a matriz hessiana de T•F é obtida da matriz hessiana
de F multiplicando à esquerda e à direita pela matriz de T−1 e sua
transposta. Como o determinante de um produto de matrizes é igual
ao produto dos determinantes, conclúımos que os polinômios T•(h(F ))
e h(T•F ) diferem apenas por um múltiplo constante 6= 0, definindo a
mesma curva. Suponhamos agora Q = (0 : 0 : 1) ∈ F ∩ h(F ). Podemos
escrever F na forma
αZd−1Y + Zd−2(βX2 + γXY + δY 2) + · · · .
A condição Q ∈ h(F ) é equivalente ao anulamento do determinante
∣∣∣∣∣∣
2β γ 0
γ 2δ (d− 1)α
0 (d− 1)α 0
∣∣∣∣∣∣
= −2(d− 1)2α2β .
Logo, ou α = 0, caso em que (0 : 0 : 1) é singular em F , ou α 6= 0 e
β = 0, quando (0 : 0 : 1) é um ponto de inflexão. Calculemos o ı́ndice
de interseção em cada caso.
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(i) Cúspide ordinária. Escrevemos F na forma
Zd−2Y 2 + Zd−3(αX3 + βX2Y + γXY 2 + δY 3) + · · · ,
com α 6= 0. Procuramos os termos de menor grau de h = h(F )∗ =
∣∣∣∣∣∣
6αX + 2βY + · · ·
2βX + 2γY + · · · 2 + 2γX + 6δY + · · ·
(d− 3)(3αX2 + · · · ) 2(d− 2)Y + · · · D
∣∣∣∣∣∣
onde D = (d− 3)((d− 2)Y 2 + (d− 4)αX3 + · · · ). Encontramos
h = Y 2(aX + bY ) + cX4 + · · ·
as reticências indicando termos irrelevantes e a, b, c constantes, com
a = 12α(d− 2)(d− 3) ,
c = 12α2(d− 3)(d− 4)− 18α2(d− 3)2.
Calculando o ı́ndice de interseção, pondo f = F∗, g = h− (aX + bY )f ,
vem
(f, h)Q = (f, g)Q
= (Y 2 + αX3 + · · · , (c− aα)X4 + Y (· · · ) + · · · )Q
= 2 · 4 = 8,
porque c 6= aα implica que Y não é tangente a g. Note que c 6= aα para
d ≥ 4. O caso d = 3 foi essencialmente tratado no exemplo anterior.
(ii) Nó ordinário. Temos
F = Zd−2XY + Zd−3(αX3 + βY 3 + · · · ) + · · · ,
com αβ 6= 0 (senão o contato de uma reta tangente ao nó seria ao menos
quádruplo). Calculando h = h(F )∗ encontramos
h = cXY + aX3 + bY 3 + · · · ,
com
c = 2− (d− 2)(d− 3),
a = α(6− (d− 3)(d− 4),
b = β(6− (d− 3)(d− 4)).
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Pondo f = F∗, podemos calcular o ı́ndice de interseção,
(f, h)O = (f, h− cf)O
= (XY + · · · , (a− cα)X3 + (b− cβ)Y 3 + · · · )O
= 2 · 3 = 6,
pois (a− cα)(b− cβ) 6= 0 implica que X,Y não são tangentes a h− cf .
(iii) Ponto de inflexão ordinário. Fica como exerćıcio para o leitor. 2
Completamos portanto a demonstração das duas fórmulas de Plücker
enunciadas no teorema deste caṕıtulo. A verificação que fizemos para a
contribuição de cada tipo de ponto em F ∩ h(F ) e F ∩ FP sugere que
as fórmulas podem ser generalizadas para abranger singularidades mais
complicadas. Encorajamos o leitor a calcular alguns outros casos nos
exerćıcios.
Há duas outras fórmulas de Plücker que gostaŕıamos de mencionar:
ď(ď− 1) = d+ 2β + 3i,
3ď(ď− 2) = χ+ 6β + 8i,
onde β denota o número de bitangentes. Elas são, de certa maneira,
duais das fórmulas do teorema 1.
Precisamente, associemos a cada reta aX + bY + cZ = 0 o ponto
(a : b : c) no plano projetivo dual P̌2. Denotando por A,B,C coorde-
nadas homogêneas em P̌2, vemos que, dualmente, cada ponto (x : y :
z) ∈ P2 corresponde a uma reta xA+ yB+ zC em P̌2, justamente a que
consiste nos pontos que representam as retas de P2 contendo (x : y : z).
É razoável se esperar, e de fato pode-se demonstrar, que as retas
tangentes a uma curva irredut́ıvel F ⊂ P2 são parametrizadas por uma
curva (igualmente irredut́ıvel) F̌ ⊂ P̌2, chamada curva dual de F .
Por exemplo, AX + BY + C é tangente à parábola Y = X2 se e só
se A2 − 4BC = 0.
Ora, sabemos que o grau de F̌ é o número de pontos da interseção
de F̌ com uma reta genérica de P̌2; dualmente, isto corresponde ao
número ď de retas tangentes a F passando por um ponto genérico de P2.
Demonstra-se também que F = ˇ̌F , e que, na correspondência
(tangente de F )←→ (ponto de F̌ ),
as tangentes inflexionais correspondem às cúspides de F̌ , e as bitangentes
aos pontos duplos.
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92 Curvas Racionais Cap. 7
Assim, as duas fórmulas acima podem ser provadas permutando os
papéis de F, F̌ .
Os números d, ď, δ, β, χ, i são chamados de caracteŕısticas de Plücker
da curva F . As equações de Plücker fornecem uma condição necessária
para que seis números sejam as caracteŕısticas de uma curva. Sabe-
se que essa condição não é suficiente: não existe curva irredut́ıvel com
d = ď = 14, δ = β = 0, χ = i = 56. É uma questão ainda não
resolvida determinar condições necessárias e suficientes para que seis
inteiros d, . . . , χ, i ocorram efetivamente como caracteŕısticas de uma
curva.
11. Exerćıcios
102. Verifique as fórmulas de Plücker para a trissectriz de Maclaurin,
para o folium de Descartes e para a cissóide de Diocles.
103. Mostre que os três nós da lemniscata não são ordinários. Calcule o
número de interseções absorvidas por cada um desses nós com a hessiana.
104. Mostre que a curva
Y 2 − 3X(X2 + Y 2)− (X2 + Y 2)2 = 0
tem duas bitangentes e quatro pontos de inflexão.
105. Mostre que a reta que liga dois pontos de inflexão de uma cúbica
irredut́ıvel não cuspidal encontra a cúbica em um terceiro ponto de in-
flexão.
106. Prove que uma cúbica real não singular possui exatamente três
pontos de inflexão reais e três pares de pontos de inflexão complexo-
conjugados.
107. Prove que os pontos de contato de tangentes a uma cúbica não
singular por um ponto exterior pertencem a uma cônica. Em que caso
é esta cônica degenerada?
108. Investigue os ı́ndices de interseção de uma curva com sua polar
relativa a um ponto sobre a curva.
109. Prove que um pontom-uplo ordinário absorvem(m−1) interseções
de uma curva com sua polar com respeito a um ponto convenientemente
situado.
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110. Prove que toda componente comum a uma curva e sua hessiana é
uma reta.
111. Investigue a relação entre h(h(F )) e F para uma cúbica não sin-
gular F .
112. Para cada d ≥ 4 construa uma curva F não singular cujas tangen-
tes inflexionais são todas ordinárias.
113. Mostre que a dual de uma cônica não degenerada
F = a11X
2 + a22Y
2 + a33Z
2 + 2(a12XY + a13XZ + a23Y Z)
é a cônica
F̌ = a′11A
2 + a′22B
2 + a′33C
2 + 2(a′12AB + a
′
13AC + a
′
23BC)
onde a matriz simétrica (a′ij) é a inversa de (aij).
114. Verifique F = ˇ̌F para F = ZY 2−X3 e F = Z(Y 2−X2)3. Estude
a correspondência entre os pontos singulares e as tangentes excepcionais.
115. “Se de um ponto P traçam-se tangentes às cônicas de um feixe
Ft := F0 + tF∞, então o lugar dos pontos de contato é uma cúbica”.
Determine condições precisas sobre o ponto P e o par de cônicas F0, F∞
que tornem verdadeira essa afirmação.
116. Quantas tangentes a uma cúbica F podem ser traçadas por um
ponto de F?
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Curvas Racionais
Introduzimos neste caṕıtulo os conceitos de função regular e função raci-
onal sobre uma curva. Servimo-nos das curvas racionais como itinerário
e motivação. Demonstramos o teorema de Lüroth e estabelecemos um
critério numérico de racionalidade. Nas duas seções finais ilustramos
aplicações de curvas racionais ao cálculo de integrais de certas funções
algébricas e apresentamos umabreve introdução às curvas de Bézier.
1 Curvas racionais afins
1. Definição. Uma curva afim irredut́ıvel f é racional se existir um par
de funções racionais x(T ), y(T ), não ambas constantes, tal que
f(x(T ), y(T )) = 0 em K(T ). O par x(T ), y(T ) é chamado uma
parametrização racional (ou simplesmente parametrização.)
2. Exemplos. 1) Toda reta é racional, admitindo parametrização da
forma 


x(T ) = aT + b,
y(T ) = cT + d,
com a 6= 0 ou c 6= 0.
2) O ćırculo X2 + Y 2 = 1 é racional, com parametrização obtida como
indicado na figura abaixo. Determinamos a interseção da reta
Y = t(X + 1)
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Seção 1 Curvas racionais afins 95
com o ćırculo, encontrando o ponto variável (x(t), y(t)) onde
{
x(t) = (1− t2)/(1 + t2),
y(t) = 2t/(1 + t2).
O
t
−1
(x(t), y(t))
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· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· ·
··
··
··
··
·•
⋆
figura 8.1
Intuitivamente, uma curva é racional se for posśıvel desenhá-la sem
se levantar o lápis do papel. Por isso, o termo unicursal é também em-
pregado. No entanto, esta descrição é por vezes enganosa. Por exemplo,
embora o traço real de
X4 + Y 4 = 1
admita essa caracterização, podemos mostrar que esta curva não é raci-
onal.
-
6
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figura 8.2
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96 Curvas Racionais Cap. 8
Com efeito, suponhamos, por absurdo, a existência de uma parame-
trização {
x = p(T )/r(T ),
y = q(T )/r(T ),
onde p, q, r são polinômios sem fator comum (aos três), r 6= 0, e digamos
q não constante. Derivando a relação
x4 + y4 = 1,
vem
ẋx3 + ẏy3 = 0.
Consideremos o sistema linear
{
xu+ yv = 1,
ẋu+ ẏv = 0.
Visto que ω := xẏ−ẋy 6= 0 (senão x/y seria constante), o sistema admite
a solução única
u = ẏ/ω, v = −ẋ/ω.
Mas u = x3 e v = y3 são soluções. Dáı vem
ẏ = ωx3, ẋ = −ωy3.
Substituindo em termos de p, q, r, e simplificando, vem
r3(rq̇ − qṙ) = (pq̇ − qṗ)p3,
r3(rṗ− pṙ) = −(pq̇ − qṗ)q3.
Dáı se deduz que r3 divide pq̇−qṗ. Dividindo e estimando graus, obtemos
3d◦p ≤ d◦r + d◦q − 1,
3d◦q ≤ d◦r + d◦p− 1,
3d◦r ≤ d◦p+ d◦q − 1,
o que implica
0 ≤ d◦p+ d◦q + d◦r ≤ −3,
absurdo!
3. Exerćıcios
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Seção 2 Funções regulares e funções racionais 97
117. Seja f = fm + fm+1 uma curva afim irredut́ıvel, onde fi é ho-
mogêneo de grau i. Mostre que f é racional. Obtenha uma parametri-
zação para X2Y (X − Y ) + (X + Y )2(X − 2Y )2(X + 2Y ) empregando
um feixe conveniente de retas.
118. Seja C uma cônica definida sobre o corpo dos números racionais.
Prove que se C admite um ponto com coordenadas racionais então existe
uma infinidade de tais pontos. Determine todas as soluções inteiras da
equação X2 + Y 2 = Z2. Idem para X2 + Y 2 = 3Z2.
119. Mostre que Xm + Y m = 1 é racional se e só se m = 1 ou 2.
2 Funções regulares e funções racionais
Quando uma curva é racional, a cada valor do parâmetro (salvo um
número finito que anula o denominador) corresponde um ponto bem
definido da curva.
Mas pode ocorrer que cada ponto da curva seja atingido por valores
distintos do parâmetro, e.g., x = T 2, y = 1/T 2 repete duas vezes cada
ponto da hipérbole. Neste exemplo, vemos que é posśıvel substituir T
por outra variável. Fazendo U = T 2, obtemos a nova parametrização
x = U, y = 1/U .
Mostraremos mais adiante que é sempre posśıvel escolher uma boa
parametrização, para a qual a correspondência
(valor do parâmetro)←→ (ponto da curva)
é bijetiva, salvo um número finito de exceções. Para isto, será conveni-
ente introduzir algumas definições.
4. Definição. Seja C ⊂ A2 uma curva afim irredut́ıvel, de equação
f = 0. Uma aplicação ϕ : C → A1 é chamada regular ou polinomial se
for igual à restrição de uma função polinomial A2 → A1, i.e., se existir
um polinômio p(X,Y ) tal que ϕ(x, y) = p(x, y) para cada (x, y) ∈ C.
O conjunto das funções regulares de C forma um anel, que denotamos
por A(C). Por definição, temos um epimorfismo
K[X,Y ] ։ A(C)
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98 Curvas Racionais Cap. 8
que associa a cada polinômio, considerado como função A2 → A1, a sua
restrição a C. Usualmente denotaremos pelo mesmo śımbolo três coisas
distintas:
1o ) o polinômio p ∈ K[X,Y ];
2o ) a função polinomial p : A2 → A1 e
3o ) a sua restrição a C.
Não há confusão posśıvel para as duas primeiras, pois sendo K um
corpo infinito, um polinômio é determinado pela função associada. Se
necessário, escreveremos p̄ para distinguir a restrição a C.
5. Lema. A(C) é um domı́nio isomorfo a K[X,Y ]/〈f〉.
Demonstração. Um polinômio g se anula sobre a curva C somente
se for múltiplo de f . Com efeito, se g não for múltiplo de f , segue-se
da proposição (4, p. 20) que a interseção é finita. Assim, o núcleo do
epimorfismo definido por restrição é justamente o ideal 〈f〉, o qual é um
ideal primo pois f é irredut́ıvel e K[X,Y ] é fatorial. 2
6. Exemplos. (1) Se ℓ é uma reta, então A(ℓ) é isomorfo a um anel de
polinômios em uma variável. Precisamente, se ℓ é dada por Y = aX+ b,
a aplicação
K[X,Y ] −→ K[X]
h 7−→ h(X, aX + b)
é um epimorfismo com núcleo 〈f〉, onde f = Y − (aX + b). Logo,
A(ℓ) ≃ K[X,Y ]/〈f〉 ≃ K[X].
(2) Se C é a hipérbole XY = 1, temos
A(C) ≃ {Xmp(X) |m ∈ Z, p(X) ∈ K[X]}.
Isto é, A(C) se identifica com o anel B das funções racionais cujos de-
nominadores são potências de X. Comefeito, temos um homomorfismo
K[X,Y ] −→ K(X)
h(X,Y ) 7−→ h(X, 1/X)
cuja imagem é justamente o anel B acima descrito, e cujo núcleo é o
ideal 〈XY − 1〉. (Leitor: verifique!).
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Seção 2 Funções regulares e funções racionais 99
7. Definição. O corpo das funções racionais de uma curva afim irre-
dut́ıvel C é o corpo de frações K(C) do domı́nio A(C).
Cada elemento de K(C) pode ser escrito na forma p̄/q̄, onde p̄, q̄
denotam funções polinomiais restritas a C, com q̄ 6= 0. Duas tais ex-
pressões p̄/q̄, r̄/s̄ representam a mesma função racional em K(C) se e
só se a função regular p̄s̄ − q̄r̄ é nula em C, ou equivalentemente, o
polinômio ps− qr é múltiplo de f .
Dizemos que a função racional ϕ ∈ K(C) é regular ou que está
definida no ponto P ∈ C se ϕ admitir uma representação p/q, com
p, q ∈ A(C) e q(P ) 6= 0.
Denotemos por Cϕ o conjunto dos pontos de C onde ϕ é regular.
Temos então definida uma aplicação, ainda denotada ϕ : Cϕ → A1,
justificando a nomenclatura “função racional” com que designamos os
elementos de K(C).
7.1. Observação. Em geral, o domı́nio de regularidade Cϕ é o comple-
mentar de um subconjunto finito de C. (Leitor: justifique.)
Uma função regular obviamente é uma função racional que está definida
em todos os pontos de C. A rećıproca é o conteúdo da seguinte
8. Proposição. Se ϕ ∈ K(C) é uma função racional regular em cada
ponto de C então ϕ ∈ A(C), i.e., ϕ é regular.
Demonstração. Seja
I = {q ∈ A(C) | qϕ ∈ A(C)}.
Pretendemos mostrar que a função constante 1 está em I. É fácil ver que
I é um ideal de A(C). Portanto, supondo, por absurdo, que 1 6∈ I, então
I tem que estar contido em algum ideal maximal de A(C). Ora, cada
ideal maximal de A(C) = K[X,Y ]/〈f〉 corresponde a um ideal maximal
de K[X,Y ] que contém f . Pelo Nullstellensatz (p. 31), concluiŕıamos
que existe P ∈ C tal que q(P ) = 0 para todo q ∈ I, contradizendo a
regularidade de ϕ em P . 2
9. Exemplos. (1) Seja C o ćırculo X2 + Y 2 = 1, e seja ϕ = Y−1
X
. Esta
função é certamente regular em cada (x, y) ∈ C com x 6= 0. No ponto
(0, 1), ϕ também é regular, pois temos a nova representação −X̄
Ȳ+1
= Ȳ−1
X̄
.
Mas no ponto (0,−1) ϕ não é regular. (Leitor: por quê?)
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100 Curvas Racionais Cap. 8
(2) Considere a cúbica cuspidal C : Y 2 = X3. Sejam x = X̄, y =
Ȳ , ϕ = y/x = x2/y. O leitor deve verificar que Cϕ = C r {O}.
Este exemplo mostra que uma função racional pode não admitir re-
presentação na forma p/q que funcione em todos os pontos em que ela é
regular. A propriedade da fatoração única em A(C) é o critério respon-
sável pela existência de uma tal representação. No exemplo (2), A(C)
não é um domı́nio fatorial. (Veja o exerćıcio (124, p. 101).)
10. Proposição. C é uma curva racional se e somente se seu corpo de
funções racionais K(C) é K-isomorfo a um subcorpo de K(T ) (= corpo
das funções racionais numa variável T ).
Demonstração. Suponhamos que K(C) é K-isomorfo a um subcorpo
de K(T ). Sejam x(T ), y(T ) as imagens de X̄, Ȳ ∈ K(C) em K(T ). Se
x(T ) for constante, então X̄ também é, acarretando X − a ∈ 〈f〉 para
alguma constante a ∈ K. Dáı, visto que f , a equação de C, é irredut́ıvel,
conclúımos que f = X − a (a menos de fator constante). Logo, Ȳ não
é constante, mostrando que x(T ) ou y(T ) é não constante. Por fim,
lembrando que f é zero em A(C), conclúımos que f(x(T ), y(T )) = 0 em
K(T ), ou seja, obtemos uma parametrização de C.
Reciprocamente, dada uma parametrização x(T ), y(T ) ∈ K(T ), te-
mos definido um K-homomorfismo
ϕ : K[X,Y ] −→ K(T )
h(X,Y ) 7−→ h(x(T ), y(T ))
que se anula em f . De fato, ϕ(f) = f(x(T ), y(T )) = 0.
Afirmamos que o núcleo I de ϕ coincide com 〈f〉.
Com efeito, se existir g ∈ I não diviśıvel por f , por (2, p. 19) podemos
encontrar polinômios c(X), d(Y ) em I, não nulos. Dáı K[X,Y ]/〈c, d〉
tem dimensão finita, e portanto sua imagemK[X,Y ]/I ≃ K[x(T ), y(T )],
que é a K-subálgebra de K(T ) gerada por x(T ), y(T ), também é um K-
espaço vetorial de dimensão finita. Em particular, as funções 1, x(=
x(T )), x2, . . . , xn são linearmente dependentes sobre K para algum in-
teiro n ≥ 1. Logo, x é algébrico sobre K, e portanto x ∈ K. Analoga-
mente, y(T ) ∈ K, contradizendo a hipótese de que ao menos uma dessas
funções era não constante. 2
11. Exerćıcios
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120. Mostre que toda função regular não constante ϕ ∈ A(C) admite no
máximo um número finito de zeros, i.e., pontos P ∈ C onde ϕ(P ) = 0.
121. Seja C o gráfico de uma função polinomial Y = p(X). Mostre que
A(C) é isomorfo a K[X]. Reciprocamente, se A(C) é K-isomorfo a um
anel de polinômios K[T ], será C igual ao gráfico de uma função, a menos
de uma mudança de coordenadas?
122. Mostre que K[X,Y ]/〈XY − 1〉 (o anel das funções regulares da
hipérbole) não é isomorfo a K[X]. (Sugestão: quais são os elementos
invert́ıveis?)
123. Mostre que, se C é uma cônica irredut́ıvel afim, então A(C) é
K-isomorfo seja a K[X,Y ]/〈XY − 1〉 ou a K[X]. A qual desses corres-
ponde o ćırculo C : X2+Y 2 = 1? Defina as funções u = x+iy, v = x−iy
no anel de coordenadas do ćırculo. Mostre que ϕ = i(i − u)/(i + u) =
(y − 1)/x. Compare com os exemplos (9, p. 99).
124. Seja A = K[X,Y ]/〈Y 2 −X3〉 o anel de coordenadas da cúbica
cuspidal e sejam x = X̄, y = Ȳ . Mostre que x, y são elementos irre-
dut́ıveis (i.e., se x (resp. y) = f · g em A então f ou g é invert́ıvel em A)
e não associados em A (i.e., nenhum elemento invert́ıvel f ∈ A satisfaz
a relação y = x · f).
125. Seja C uma curva irredut́ıvel e seja ϕ ∈ K(C) uma função racional
não constante. Mostre que o homomorfismo K[T ]→ K(C) definido por
p(T ) 7−→ p(ϕ) é injetivo e se estende a um isomorfismo do corpo das
funções racionais K(T ) sobre o subcorpo K(ϕ) ⊂ K(C).
3 O teorema de Lüroth
Suponhamos que a curva C seja racional. A inclusão de corpos,
K(C) →֒ K(T )
fornecida pela proposição anterior é dada pela substituição X 7→ x(T ),
Y 7→ y(T ) em ϕ(X,Y ) = p(X,Y )/q(X,Y ), elemento de K(C). Esta
substituição produz a função racional p(x(T ), y(T ))/q(x(T ), y(T )) em
K(T ), a qual está bem definida porque o denominador é 6= 0, uma vez
que f não divide q.
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102 Curvas Racionais Cap. 8
12. Definição. Dizemos que a parametrização x(T ), y(T ) da curva C é
boa se a inclusão
K(C) →֒ K(T )
ϕ(X,Y ) 7−→ ϕ(x(T ), y(T ))
é sobrejetora.
Isto equivale a requerer que exista ψ(X,Y ) ∈ K(C) tal que
ψ(x(T ), y(T )) = T.
13. Exemplo. A parametrização do ćırculo obtida anteriormente,
{
x(T ) = (1− T 2)/(1 + T 2)
y(T ) = 2T/(1 + T 2)
é boa, pois tomando ψ = Y/(X + 1) temos que ψ(x(T ), y(T )) = T .
14. Proposição. Toda curva racional admite uma boa parametrização.
Esse resultado é conseqüência do
15. Teorema de Lüroth. Seja L um subcorpo de K(T ) que contém
K. Se L contém uma função não constante (i.e. L 6= K) então existe
τ ∈ K(T ) tal que L = K(τ).
Em outras palavras, existe uma função τ = τ(T ) tal que cada elemento
de L é da forma ϕ(τ) para alguma ϕ ∈ K(T ).
Antes de procedermos com a demonstração do teorema de Lüroth,
é instrutivo examinar, por exemplo, o subcorpo L = K(T 4, T 6) gerado
pelas funções T 4, T 6. Tomemos τ = T 2 = T 6/T 4 ∈ L. Agora note que
T 4 = (τ)2, T 6 = (τ)3, donde L = K(τ).
Demonstração do teorema de Lüroth.
Notemos que K(T ) é uma extensão algébrica de L. Com efeito, se
ϕ = a(T )/b(T ) ∈ L é não constante, com a, b ∈ K[T ], vemos que T é
raiz do polinômio a(X) − ϕb(X) ∈ L[X]. Logo, T é algébrico sobre L.
Seja
p(X,T ) = a0(T )X
m + · · ·+ am(T ),
o polinômio mı́nimo de T sobre L, onde aj ∈ K[T ], a0 6= 0, aj/a0 ∈ L.
Podemos supor MDC(a0, . . . , am) = 1. Sejai0 tal que
n = d◦ai0(T ) ≥ d◦aj(T ) para j = 0, . . . ,m.
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Seção 3 O teorema de Lüroth 103
Escolha j0 tal que ai0/aj0 6∈ K. (Leitor, justifique a lisura dessa escolha!)
Definamos τ = ai0/aj0 . Note que o polinômio
τaj0(X)− ai0(X) ∈ L[X]
se anula em T e é de grau n em X. Logo, podemos estimar o grau da
extensão,
[K(T ) : K(τ)] ≤ n.
Seja agora
q(X,T ) = aj0(X)ai0(T )− aj0(T )ai0(X).
Temos q(T, T ) = 0. Segue-se que p(X,T ) divide q(X,T ) em K[X,T ],
digamos
p(X,T )r(X,T ) = q(X,T ).
Comparando graus com respeito à variável T ,
d◦T p = n ≤ d◦T p+ d◦T r = d◦T q ≤ n.
Logo, r independe de T . Agora, r = r(X) divide q(X,T ); por simetria
(vide definição de q!) r(T ) também é fator de q(X,T ). Portanto, r(T )
divide p(X,T ). Mas por construção, MDC(a0, . . . , am) = 1, donde r(T )
é constante. Logo m = n; conclúımos a demonstração observando as
desigualdades,
n ≥ [K(T ) : K(τ)] ≥ [K(T ) : L] = m,
que implica K(τ) = L. 2
Para obtermos uma boa parametrização a partir de uma
dada, x(T ), y(T ), basta aplicar o teorema de Lüroth ao subcorpo
K(x(T ), y(T )) ⊂ K(T ). Deduzimos K(x(T ), y(T )) = K(τ) e tomamos
τ como novo parâmetro.
16. Exerćıcios
126. Determine a equação da curva parametrizada por x(T ) = T 6 −
T 2 + 1, y(T ) = T 2/(1 + T 2). Ache τ ∈ L = K(x(T ), y(T )) tal que
L = K(τ).
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104 Curvas Racionais Cap. 8
127. Sejam x, y ∈ K(T ) funções racionais não ambas constantes. Seja
S ⊆ A1 a interseçãodos domı́nios de regularidade (veja p. 99) de x e de
y. Mostre que existem u, v ∈ K(T ) tais que a aplicação de S em A2
definida por t 7−→ (u(t), v(t)) é injetiva e sua imagem coincide com a
imagem de t 7−→ (x(t), y(t)), exceto para um número finito de pontos.
Se x, y são polinômios, é posśıvel encontrar u, v polinômios?
4 Curvas racionais projetivas
Observemos que a parte inicial da demonstração do teorema de Lüroth
mostra, mais geralmente, que se x(T ), y(T ) ∈ K(T ) não são ambas
constantes, então existe um polinômio f(X,Y ) não constante tal que
f(x(T ), y(T )) = 0. É claro que podemos supor f irredut́ıvel. Seja ψ
a aplicação dada por ψ(t) = (x(t), y(t)). Note que ψ está definida no
complementar de um número finito de pontos de A1. A imagem de
ψ está contida na curva definida por f , podendo porém omitir alguns
pontos.
17. Exemplo. Consideremos a parametrização do ćırculo,
ψ(t) = (
1− t2
1 + t2
,
2t
1 + t2
).
O ponto (−1, 0) está fora da imagem (verifique!). Se K = R ou C,
podemos imaginar t→∞, e é claro que
lim
t→∞
ψ(t) = (−1, 0).
Mas em qualquer caso, temos um procedimento algébrico para fazer
t → ∞: consideramos A1 ⊂ P1, como de hábito, identificando t com
(t : 1), e procedemos analogamente para A2 ⊂ P2. Eis agora o passe de
mágica: a aplicação
ψ̃ : P1 −→ P2
(t : u) 7−→ (u2 − t2 : 2tu : u2 + t2)
coincide com ψ no domı́nio comum e fornece o valor
ψ̃(∞) def.= ψ̃(1 : 0) = (−1 : 0 : 1).
Observe que ψ̃ estende ψ também aos pontos t = ±
√
−1, em que ambas
as coordenadas de ψ(t) não estavam definidas.
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18. Definição. Uma aplicação ψ : Pm → Pn é dita regular ou polino-
mial se existirem polinômios homogêneos do mesmo grau, ψ0, . . . , ψn ∈
K[X0, . . . , Xm] tais que, ∀P = (x0 : · · · : xm) ∈ Pm,
ψ(P ) = (ψ0(P ) : · · · : ψn(P )).
Note que, em particular, os polinômios ψ0, . . . , ψn são proibidos de
admitir zero em comum P ∈ Pm.
O requerimento de que sejam homogêneos e do mesmo grau se justi-
fica para garantir que (ψ0(P ) : · · · : ψn(P )) independe das coordenadas
homogêneas de P .
Deixamos a cargo do leitor a demonstração da proposição seguinte,
generalizando a discussão feita acima.
19. Proposição. Sejam x1(T ), . . . , xn(T ) funções racionais. Seja U ⊂
A1 o maior subconjunto em que estão todas definidas. Então existe uma
única aplicação polinomial ψ : P1 → Pn tal que
ψ(t : 1) = (x1(t) : · · · : xn(t) : 1) ∀t ∈ U.
Este resultado mostra que o conceito de parametrização racional de
uma curva plana pode ser substitúıdo, com vantagem, pelo conceito
de aplicação polinomial P1 → P2. Com efeito, com este último ponto
de vista, por um lado desaparecem as restrições impostas à variação do
parâmetro e, por outro, a imagem agora é completa no seguinte sentido.
20. Proposição. A imagem de uma aplicação polinomial ψ : P1 −→ P2
não constante é uma curva projetiva irredut́ıvel.
Demonstração. Sejam ψ0, ψ1, ψ2 ∈ K[X0, X1] coordenadas de ψ. Se
ψ2 = 0, mostremos que ψ(P1) é igual à reta no infinito Z = 0. Com
efeito, dado Q = (y0 : y1 : 0) ∈ P2, o polinômio y1ψ0(X0, X1) −
y0ψ1(X0, X1) admite raiz P = (x0 : x1) ∈ P1, i.e.,
y1ψ0(x0 : x1) = y0ψ1(x0 : x1),
donde ψ(P ) = Q. Suponhamos agora ψ2 6= 0. Ponhamos
{
x(T ) := ψ0(T, 1)/ψ2(T, 1),
y(T ) := ψ1(T, 1)/ψ2(T, 1).
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106 Curvas Racionais Cap. 8
Ao menos uma delas é não constante. Seja f a curva racional assim
parametrizada (cf. observação no ińıcio do §4). Seja F = f∗. Provaremos
que F = ψ(P1). Seja
F̃ (T,U) = F (ψ0(T,U), ψ1(T,U), ψ2(T,U)).
É fácil ver que F̃ (T,U) é um polinômio homogêneo nas indeterminadas
T,U . Como F̃ (T, 1) = 0, segue-se que F̃ (T,U) = 0, ou seja, F contém
ψ(P1). Para completar a demonstração, analisemos a condição para que
um ponto (y0 : y1 : y2) ∈ P2 esteja em ψ(P1). Supondo y2 6= 0, a
condição
(y0 : y1 : y2) = (ψ0(t, u) : ψ(t, u) : ψ2(t, u))
se exprime na existência de uma solução (t : u) ∈ P1 para o sistema de
equações {
y2ψ0(T,U) − y0ψ2(T,U) = 0,
y2ψ1(T,U) − y1ψ2(T,U) = 0.
Ponhamos Gi = Y2ψi − Yiψ2, i = 0, 1. Temos dois polinômios ho-
mogêneos nas variáveis T,U , da forma
G0 = a0T
m + a1T
m−1U + · · ·+ amUm,
G1 = b0T
m + · · ·+ bmUm,
onde os ai, bj são polinômios homogêneos de grau 1 nas novas variáveis
Y0, Y1, Y2. Esta é uma situação t́ıpica da teoria da eliminação: procura-
mos condições sobre os coeficientes de dois polinômios para que admitam
um zero em comum. (No caso em pauta, G0, G1 são homogêneos, mas
o zero trivial, t = u = 0, não interessa). Consideremos a resultante
R = R(Y0, Y1, Y2) de G0(T, 1), G1(T, 1). Sabemos então que, para cada
y = (y0, y1, y2),
R(y) = 0⇐⇒
{
a0(y) = b0(y) = 0 ou
G0(T, 1), G1(T, 1) admitem raiz comum t
Ora, se a0(y) = b0(y) = 0, temos G0(1, 0) = G1(1, 0) = 0. Conclúımos
que
R(y) = 0⇐⇒ (G0(t, u) = G1(t, u) = 0 para algum (t : u) ∈ P1).
Em resumo, a argumentação acima mostra que
(y0 : y1 : 1) ∈ ψ(P1)⇐⇒ R(y0, y1, 1) = 0.
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Seção 4 Curvas racionais projetivas 107
Em particular, ψ(P1) contém a curva afim R(Y0, Y1, 1) = 0. Lembrando
que F é irredut́ıvel e ψ(P1) ⊂ F , conclúımos que
(y0 : y1 : 1) ∈ ψ(P1)⇐⇒ (y0 : y1 : 1) ∈ F.
Repetindo o argumento com y0 ou y1 no lugar de y2, segue-se que
ψ(P1) = F . 2
21. Definição. Uma curva projetiva é racional se for igual à imagem
de uma aplicação polinomial não constante P1 −→ P2.
O leitor deve verificar que esta definição é consistente com a definição 1.
Precisamente, deixamos como exerćıcio a prova da seguinte
22. Proposição.
(i) Seja f uma curva afim. Então f é racional se e só se seu fecho
projetivo f∗ é racional.
(ii) Seja F uma curva projetiva. Então F é racional se e só se F∗ é
racional (ou vazia!).
23. Exerćıcios
128. Demonstre as proposições 19 e 22.
129. Sejam ψ0, ψ1, ψ2 ∈ K[X,Y ] polinômios homogêneos de grau 2,
linearmente independentes. Mostre que não admitem fator comum, e
que a imagem da aplicação polinomial de P1 em P2 que definem é uma
cônica não singular. Toda cônica não singular é imagem de uma tal
aplicação.
130. Mostre que toda cúbica singular irredut́ıvel é racional.
131. Mostre que toda aplicação polinomial bijetiva P1 → P1 é do tipo
(x : y) 7−→ (ax+by : cx+dy) coma, b, c, d constantes tais que ad−bc 6= 0.
132. Sejam p, q, r ∈ K[T ] tais que MDC(p, q, r) = 1 e p/r, q/r é uma boa
parametrização da curva racional f . Mostre que d◦f = max{d◦p,d◦q,
d◦r}. (Sugestão: Se A,B,C são indeterminadas, então Ap+Bq +Cr é
irredut́ıvel em K[A,B,C, T ]; conclua que as ráızes de ap(T ) + bq(T ) +
cr(T ) são todas distintas para “quase todo” (a : b : c) ∈ P2).
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108 Curvas Racionais Cap. 8
133. Mostre que a multiplicidade de um ponto de uma curva racional
é igual ao número de valores do parâmetro que lhe correspondem numa
parametrização do tipo descrito no exerćıcio anterior, contando esses
valores com multiplicidades convenientemente definidas.
5 O gênero virtual
Veremos nesta seção um critério numérico para que uma curva seja ra-
cional.
24. Definição. O gênero virtual de uma curva projetiva F sem compo-
nentes múltiplas é o número inteiro
gv = gv(F ) =
(d− 1)(d− 2)
2
−
∑
P
mP (mP − 1)/2,
onde d = d◦F e mP = mP (F ) é a multiplicidade de P em F .
O somatório é finito pois sabemos que mP = 1 exceto para o número
finito de pontos singulares de F .
25. Exemplos. 1) O gênero virtual de uma reta ou de uma cônica
irredut́ıvel é zero.
2) Se F é a cúbica Y 2 = X3, temos gv = 0.
3) Considere a curva Y 2 = X5. Os pontos singulares são (0 : 0 : 1) e
(0 : 1 : 0) com respectivas multiplicidades iguais a 2 e 3. Logo,
gv =
(5− 1)(5− 2)
2
− 1− 3 = 2.
26. Proposição. Seja F uma curva irredut́ıvel. Então temos,
(i) gv(F ) ≥ 0;
(ii) gv(F ) = 0⇒ F é racional.
Observemos que a rećıproca de (ii) não é válida, pois no terceiro exemplo
acima a curva é evidentemente racional (fazer x = T 2, y = T 5), embora
gv = 2 > 0.
Na realidade, o gênero virtual é apenas uma aproximação grosseira
do mais importante número associado a uma curva, o gênero geométrico.
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Este último coincide com gv(F ) quando as singularidades de F são ape-
nas pontos múltiplos ordinários. Deixamos como exerćıcio 135 uma
rećıproca parcial, mostrando que gv = 0 se F é racional e seus pon-
tos singulares são todos ordinários.
Demonstração da proposição 26. Examinemos inicialmente um caso
simples. Uma cúbica irredut́ıvel não admite ponto triplo, pois teria que
conter a reta que une qualquer outro de seus pontos ao ponto triplo;
similarmente, também não admite dois pontos duplos distintos. Por
outro lado, se a cúbica admitir um ponto duplo P0, consideremos o feixe
das retas que passam por P0. Se L0, L∞ são duas dessas, as demais
retas do feixe são da forma Lt = L0 + tL∞ para um valor conveniente
de t. O ponto P0 absorvendo duas interseções, cada Lt destaca sobre a
cúbica um único ponto adicional, cujas coordenadas se expressam como
função racional de t.
Para o caso geral, devemos considerar curvas de grau suficientemente
grande passando por todos os pontos singulares de F .
Precisamente, seja d = d◦F . Os casos d = 1, 2 dispensando maiores
comentários, suponhamos d ≥ 3. Sejam P1, . . . , Ps os distintos pontos
singulares de F , com mi = mPi(F ) ≥ 2.
Vamos estudar a coleção das curvas de um certo grau n que passam
por cada Pi com multiplicidade ≥ mi−1. Denotemos por Sn o conjunto
de todas as curvas projetivas planas de grau n. Podemos identificar Sn
com um espaço projetivo PN , com N = n(n + 3)/2, associando a cada
curva G = ΣaijX
iY jZn−i−j o ponto (a00 : a01 : · · · : an0), os ı́ndices i, j
satisfazendo i, j ≥ 0, i+ j ≤ n, ordenados de alguma maneira. Seja
Son = {G ∈ Sn | mPi(G) ≥ mi − 1, i = 1, . . . , s}.
Ora, a imposição de que um dado ponto seja m-uplo sobre uma curva
traduz-se num sistema de
(
m+1
2
)
equações lineares homogêneas nos coe-
ficientes do polinômio que define a curva (veja o exerc. 56, p. 43). Assim,
Son identifica-se a um subespaço projetivo de PN , com a dimensão
dimSon ≥ N −
∑
(mi2 ) =: Nn.
Tomando n = d− 1, calculamos
2Nd−1 = (d− 1)(d+ 2)−
∑
mi(mi − 1)
= 2gv + 4(d− 1)
≥ d(d− 1)−∑mi(mi − 1).
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110 Curvas Racionais Cap. 8
Esta última quantidade é ≥ 0. Com efeito, aplicando o teorema de
Bézout a F, FX , encontramos
d(d− 1) =
∑
(F, FX)P .
Mas é facil ver que mPi(FX) ≥ mi − 1, donde (F, FX)Pi ≥ mi(mi − 1).
Tendo verificado que Nd−1 é ≥ 0, podemos concluir que existe uma
curva G ∈ Sod−1, de grau d−1, satisfazendo ainda as condições adicionais
de passar por Nd−1 pontos de F , distintos dos Pi. Aplicando Bézout,
resulta
d(d− 1) ≥
∑
mi(mi − 1) +Nd−1.
Dáı vem
gv = Nd−1 − 2(d− 1)
≤ (d− 1)(d− 2)−∑mi(mi − 1) = 2gv
donde gv ≥ 0, completando a demonstração de (i).
Suponhamos agora gv = 0. Fazendo n = d− 2, calculamos
Nd−2 = d− 2.
Escolhamos d− 3 novos pontos Qj ∈ F , e consideremos
S ′ = {G ∈ Sod−2 |Qj ∈ G, j = 1, . . . , d− 3},
que é obtido a partir de Sod−2 pela imposição de d − 3 novas equações
lineares. Temos então
dimS ′ ≥ 1.
Afirmamos que dimS ′ = 1. Com efeito, se dimS ′ ≥ 2, então podeŕıamos
forçar algum G ∈ S ′ a passar por mais dois pontos de F , distintos dos
pontos fixos já considerados. Contando os pontos de G∩F , obteŕıamos
d(d− 2) ≥
∑
mi(mi − 1) + d− 3 + 2
donde
0 = (d− 1)(d− 2)−
∑
mi(mi − 1) ≥ 1 !!!
Em resumo, existem G0, G1 ∈ S ′ tais que todo elemento de S ′ é da forma
x0G0 + x1G1, para algum (x0 : x1) ∈ P1,
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i.e., S ′ é um feixe (famı́lia linear a um parâmetro de curvas).
Vamos mostrar que é posśıvel parametrizar F empregando esse feixe.
Seja C ′ o complementar de G0 ∩ F∗ na curva afim C = F∗. (Em par-
ticular, C ′ exclui os pontos Pi, Qj). Seja ϕ a função racional definida
por
ϕ : C ′ −→ A1 ⊂ P1
P 7−→ ϕ(P ) = −G1(P )/G0(P ).
Por construção, ϕ(P )G0+G1 é a única curva de grau d−2 que passa por
P , pelos Qj , e por cada Pi com multiplicidade ≥ mi−1. Notemos que ϕ
é injetiva, do contrário existiria G ∈ S ′ contendo dois pontos além dos já
fixados. Em particular, ϕ é não constante, acarretando que o subcorpo
K(ϕ) de K(C) gerado por ϕ é isomorfo ao corpo das funções racionais
de uma variável (veja o exerćıcio (125, p. 101)). Para concluirmos que C,
e portanto F , é racional, é suficiente provarmos que K(C) = K(ϕ). É o
que resulta do próximo lema.
27. Lema. Seja C uma curva irredut́ıvel e seja ϕ ∈ K(C) uma função
racional não constante. Seja m = [K(C) : K(ϕ)]. Então, exceto para
um número finito de valores t ∈ K, a equação ϕ(P ) = t admite exata-
mente m soluções distintas. Em particular, se C admitir uma função
racional injetiva então C é racional.
Demonstração. Lembremos que K(C) é gerado sobre K pelas res-
trições X̄, Ȳ , ou seja, K(C) = K(X̄, Ȳ ). Sem perda de generalidade,
podemos supor X̄ 6∈ K. Mostremos que as funções X̄, Ȳ são algébricas
sobre K(ϕ) (veja o apêndice, p. 145).
Com efeito, ϕ não é algébrico sobre K, pois K é algebricamente fe-
chado e ϕ 6∈ K. Se, por absurdo, X̄ não fosse algébrico sobre K(ϕ),
então para todo p ∈ K(ϕ)[T ], p 6= 0, teŕıamos p(X̄) 6= 0. Equivalente-
mente, para todo p ∈ K[T,U ], se p 6= 0 então p(ϕ, X̄) 6= 0. Assim, ϕ
não seria algébrico sobre K(X̄). Visto que Ȳ é algébrico sobre K(X̄) (já
que f(X̄, Ȳ ) = 0, onde f denota a equação de C), deduziŕıamos que ϕ
não é algébrico sobre K(X̄, Ȳ ), contradição. Conclúımos que K(X̄, Ȳ )
é uma extensão algébrica finita de K(ϕ).
Apliquemos o teorema do elemento primitivo: existe ψ ∈ K(X̄, Ȳ )
tal que
K(X̄, Ȳ ) = (K(ϕ))(ψ) = K(ϕ,ψ).
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112 Curvas Racionais Cap. 8
Em particular, existem funções racionais α, β de duas variáveis tais que
X̄ = α(ϕ,ψ), Ȳ = β(ϕ,ψ).
Escrevamos o polinômio mı́nimo de ψ sobre K(ϕ) na forma
g(T,U) = a0(T )U
m + · · ·+ am(T ), ai ∈ K[T ], a0 6= 0.
Assim, g(ϕ,ψ) = 0, e o grau m coincide com o grau da extensãoK(X̄, Ȳ ) = K(ϕ,ψ) sobre K(ϕ).
Seja D a curva definida no plano (t, u) pela equação g(T,U) = 0. Por
construção de D, o K-homomorfismo de K[T,U ] em K(X̄, Ȳ ) definido
por h(T,U) 7→ h(ϕ,ψ) induz uma inclusão do anel de funções regulares
A(D) em K(X̄, Ȳ ) e por fim, o K-isomorfismo K(T̄ , Ū)≃K(X̄, Ȳ ). Este
último isomorfismo associa a X̄, Ȳ as funções α(T̄ , Ū), β(T̄ , Ū) respecti-
vamente.
Sejam C0 e D0 os maiores subconjuntos de C e D em que as funções
racionais ϕ,ψ e α, β estão definidas. Consideremos as aplicações
π : C0 −→ D e χ : D0 −→ C
definidas por
(x, y) 7−→ (ϕ(x, y), ψ(x, y)) e (t, u) 7−→ (α(t, u), β(t, u)).
Desprezando mais um número finito de pontos, podemos supor que
π(C0) ⊆ D0 e χ(D0) ⊆ C0. Lembrando a definição do isomorfismo
K(D)≃K(C), verifica-se facilmente que π e χ são inversas uma da ou-
tra. Em particular, observemos que ϕ(χ(t, u)) = t para todo (t, u) ∈ C0.
Desta maneira, resolver a equação ϕ(x, y) = t com (x, y) ∈ C0 é agora
equivalente a resolver a equação
g(t, U) = 0.
Descontando os valores de t que anulam a0(T ) ou que ocorrem em pontos
de interseção de g(T,U) com gU (T,U) (derivada parcial com respeito a
U), obtemos m soluções distintas. 2
Um comentário: o teorema do elemento primitivo nos permite subs-
tituir a curva C por outra curva D, com o mesmo corpo de funções
racionais, de tal sorte que a função ϕ é substitúıda pela projeção D ∋
(t, u) 7−→ t.
28. Exemplo. Consideremos a lemniscata C : (X2 + Y 2)2 = X2 − Y 2.
Seus pontos singulares são (0 : 0 : 1) e (1 : ±i : 0), todos duplos. Logo,
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gv = 0. Apliquemos o procedimento da demonstração para construir
uma parametrização. Devemos considerar o feixe das cônicas passando
por esses três pontos e por um quarto ponto adicional, e.g., (1 : 0 : 1).
Sejam G0 = Y Z, G1 = X
2+Y 2−XZ. Então o feixe {x0G0+x1G1|(x0 :
x1) ∈ P1} é a totalidade das cônicas que contêm os quatro pontos. A
parametrização procurada será obtida achando a função inversa de
ϕ(x, y) = (x− x2 − y2)/y, (x, y) ∈ Cϕ.
Substitúımos x− x2 − y2 = ty na equação da lemniscata. Desprezando
soluções provenientes dos pontos fixos, encontramos
{
y = 2tx/(t2 + 1)
x = (t4 − 1)/((t2 + 1)2 + 4t2),
que dá a parametrização procurada.
29. Exerćıcios
134. Ache uma parametrização para (X2 + Y 2)2 = XY .
135. O objetivo deste exerćıcio é provar que, se F é uma curva projetiva
racional cujas singularidades são apenas pontos múltiplos ordinários,
então gv(F ) = 0.
(a) Mostre que existem x, y, z ∈ K[T ] com MDC(x, y, z) = 1 e F (x, y, z)
= 0 em K[T ] e tal que t 7−→ Pt = (x(t) : y(t) : z(t)) é uma bijeção do
complementar U ⊂ A1 de um número finito de pontos sobre o comple-
mentar C ⊂ F de um número finito de pontos.
(b) Desprezando mais um número finito de pontos, prove que a equação
da reta tangente a F em Pt é, para t ∈ U, dada por
∣∣∣∣∣∣
X Y Z
x(t) y(t) z(t)
ẋ(t) ẏ(t) ż(t)
∣∣∣∣∣∣
= 0.
(Sugestão: use a fórmula de Euler e derive F (x, y, z) com relação a T
para mostrar que FX , FY , FZ (calculadas em Pt) são proporcionais aos
menores das duas últimas linhas).
(c) Seja P = (x0 : y0 : z0) um ponto fora das tangentes aos pontos
singulares de F e das tangentes aos pontos correspondentes a valores
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excepcionais de t (i .e., t 6∈ U). Mostre que F ∩ FP contém, além dos
pontos singulares, os pontos Pt em que t é raiz do polinômio
∣∣∣∣∣∣
x0 y0 z0
dx− tẋ dy − tẏ dz − tż
ẋ ẏ ż
∣∣∣∣∣∣
, onde d = d◦F.
(d) Mostre que o grau deste último polinômio é no máximo 2d− 2.
(e) Use o exerćıcio (109, p. 92) para concluir a relação
d(d− 1) ≤ ΣmQ(F )(mQ(F )− 1) + 2d− 2,
e dáı, gv = 0.
136. Mostre que toda curva racional projetiva de grau ≥ 3 é singu-
lar. No entanto, existem curvas racionais afins não singulares de grau
arbitrário.
6 Aplicação ao cálculo integral
Vamos aplicar a propriedade caracteŕıstica das curvas racionais ao cálculo
de integrais de certas funções algébricas.
Dizemos que uma função y = ϕ(x) definida e cont́ınua numa vizi-
nhança de um ponto x0 ∈ K (K = R ou C) é algébrica se existir um
polinômio não constante f tal que f(x, ϕ(x)) = 0 no domı́nio de ϕ. (Por
exemplo, ϕ(x) =
√
x é algébrica.)
Tomando f irredut́ıvel, o polinômio fica determinado a menos de
fator constante e dizemos então que f é a equação de ϕ, ou que ϕ é
definida por f(X,Y ) = 0.
Eis a questão que queremos abordar: sob que condições a integral∫
ϕ(x)dx é exprimı́vel por funções elementares?
Não é nosso objetivo aqui explorar em profundidade esse problema.
Vamos nos contentar com a discussão de um caso simples.
De ińıcio, esclareçamos o significado de “função elementar”.
Chamaremos de função elementar da função algébrica ϕ(x) a uma
combinação linear de funções do tipo ψ(x, ϕ(x)) ou log(ψ(x, ϕ(x))), onde
ψ denota uma função racional de duas variáveis.
30. Proposição. Seja y = ϕ(x) uma função algébrica definida por uma
equação polinomial f(X,Y ) = 0. Se a curva definida por f é racional,
então a integral
∫
χ(x, ϕ(x))dx é uma função elementar de ϕ(x) para
toda função racional χ.
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Demonstração. Seja x(T ), y(T ) uma boa parametrização de f . As-
sim, salvo um número finito de exceções, cada ponto (a, b) ∈ f é da
forma a = x(t), b = y(t) para um único valor t. Segue-se que ϕ(x(t)) =
y(t) para quase todo t em que o primeiro membro está definido. Por-
tanto, a integral
∫
χ(x, ϕ(x))dx calcula-se por substituição, fazendo x =
x(T ), dx = ẋdT . A integral se transforma numa do tipo
∫ p(T )
q(T )dT , onde
p, q são polinômios. Se q(T ) = (T − c1)m1 · · · (T − cs)ms , onde os ci ∈ C
são dois a dois distintos, podemos escrever a expansão em frações par-
ciais,
p(T )
q(T )
= r(T ) +
s∑
i=1
mi∑
j=1
aij(T − ci)−j ,
onde r(T ) é um polinômio e os aij são constantes. A integral de uma
função desse tipo é claramente da forma ψ(T ) + Σai1 log(T − ci), onde
ψ(T ) é racional. Lembrando que T = ξ(x(T ), y(T )) para alguma função
racional ξ, vemos que é posśıvel expressar o resultado final em termos
de uma função elementar de ϕ(x). 2
31. Exemplo. Calcular
∫ ϕ(x)
x+1 dx, onde ϕ(x) é definida por Y
2 −X2 +
X3 = 0. Temos a parametrização
{
x(T ) = T 2 − 1
y(T ) = T (T 2 − 1).
Logo,
∫
ϕ(x)
x+ 1
dx =
∫
(T 2 − 1)T
T 2 − 1 + 1 · 2TdT
= 2
∫
(T 2 − 1)dT = 2(T
3
3
− T )
=
2
3
((
ϕ(x)
x
)3 − 3ϕ(x)
x
),
levando em conta a relação T = y/x = ϕ(x)/x).
7 Curvas de Bézier
O leitor já deve ter visto em curso elementar de Cálculo ou Álgebra
Linear a técnica de interpolação de Lagrange: dados os pontos
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116 Curvas Racionais Cap. 8
(x1, y1), . . . , (xd, yd), procura-se um polinômio, p(x), de grau mı́nimo
tal que p(xi) = yi ∀ i = 1 . . . d. Estamos supondo evidentemente xi 6= xj
para i 6= j. A solução se exprime na forma
p(x) =
∑
i
yi
∏
j 6=i(x− xj)∏
j 6=i(xi − xj)
,
combinação linear de polinômios de grau d− 1.
As curvas de Bézier servem a um propósito semelhante, com certas
vantagens computacionais e estéticas. São dados novamente d pon-
tos distintos, P1 = (x1, y1), . . . , Pd = (xd, yd), mas agora contentamo-
nos com uma curva racional que se “ajuste visualmente” à distribuição
gráfica dos pontos. Precisamente, a curva racional procurada passa pelas
extremidades P1 e Pd, com tangentes nestes pontos contendo os segmen-
tos P1P2 e Pd−1Pd. Os demais pontos servem de controle; a curva cons-
trúıda não é obrigada a passar por eles, mas segue o esboço delineado
pela distribuição ordenada dos pontos.
A parametrização é obtida de forma recursiva. Inicializamos com a
poligonal formada pelos d− 1 segmentos,



σ11(t) = (1− t)P1 +tP2,
...
σ1d−1(t) = (1− t)Pd−1 + tPd.
Nas etapas seguintes, cada par de poligonais consecutivas é substitúıda
por uma interpolação, em geral formando uma parábola:



σ21(t) = (1− t)σ11 + tσ12,
...
σ2d−2(t) = (1− t)σ1d−2 + tσ1d−1.
Na última etapa, restam duas parametrizações σd−21 , σ
d−2
2 , de graus ≤
d − 2. Repetindo a interpolação, resulta σd−11 = (1 − t)σd−21 + tσd−22 ,
cujo grau é ≤ d− 1.
32. Exemplo. Considere os pontos
P1 = (−1, 1), P2 = (0, 0), P3 = (−1.2,−1.2), P4 = (2,−1.5).
Na primeira rodada, traçamos as três poligonais dadas parametrica-
mente por,
σ11(t) = (t−1,−t+1), σ12 = (−1.2t,−1.2t), σ13 = (3.2t−1.2,−0.3t−1.2).
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Na próxima etapa, obtemos
σ21(t) = (−2.2t2 +2t−1,−0.2t2−2t+1), σ22 = (4.4t2−2.4t, 0.9t2−2.4t).
Por fim,
σ3(t) = (6.6t3 − 6.6t2 + 3t− 1, 1.1t3 − 0.6t2 − 3t+ 1).
·····························
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figura 8.3
Essas curvas são amplamente utilizadas em computação gráfica. Fo-
ram introduzidas e empregadas pelo engenheiro francês Pierre Bézier,
da fábrica Renault, no projeto de carrocerias por volta de 1970.
33. Exerćıcios
137. Verifique no exemplo acima que as parábolas σ21(t), σ
2
2(t) são de
fato tangentes à poligonal nos pontos indicados. Idem para σ3.
138. Se três pontos consecutivas quaisquer não forem colineares, mostre
que cada σ2i na recursão acima é de grau dois. Generalize!
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Cúbicas não Singulares
1 Conexões inesperadas
Este último tópico é um notável ponto de confluência de ramos da Ma-
temática tão diversos na aparência como a Álgebra, a Geometria, a
Análise e a Teoria dos Números.
O fato central na geometria de uma cúbica não singular F reside na
estrutura de grupo definida a partir da correspondência que associa a
cada par de pontos P,Q ∈ F , o terceiro ponto de interseção da reta PQ
com F .
Essa estrutura de grupo sintetiza uma grande riqueza de informações.
Dela podemos deduzir, por exemplo, que a reta que liga dois pontos de
inflexão encontra a cúbica num terceiro ponto de inflexão. Utilizamos
este fato para mostrar que a classe de congruência de F (i.e., a coleção
das cúbicas obtidas de F por uma projetividade) é determinada por uma
certa constante, chamada o módulo de F .
Quando K = C, a estrutura de grupo está intimamente ligada à
teoria das funções eĺıpticas. Embora o estudo desse aspecto anaĺıtico fuja
aos nossos propósitos, não resistimos ao impulso de mencionar, ao menos
de passagem, algumas das conexões mais surpreendentes. (O aluno com
bom esṕırito de iniciativa encontrará os detalhes nas referências biblio-
gráficas).
(1) Associada a cada cúbica não singular F : Y 2 = X3 + aX + b,
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Seção 1 Conexões inesperadas 119
existe uma função meromorfa não constante ℘(z), satisfazendo a equação
diferencial
℘′(z)2 = ℘(z)3 + a℘(z) + b.
(2) ℘(z) é uma função eĺıptica, i.e., existe um subgrupo aditivo
〈ω1, ω2〉 ⊂ C gerado por dois números complexos ω1, ω2 linearmente
independentes sobre R tal que ℘(z + ω) = ℘(z) se e só se ω ∈ 〈ω1, ω2〉.
Diz-se então que ℘(z) é duplamente periódica, com peŕıodos m1ω1 +
m2ω2, mi ∈ Z.
(3) A aplicação z 7→ (℘(z) : ℘′(z) : 1) induz um isomorfismo do
grupo aditivo C/〈ω1, ω2〉 sobre F .
(4) Topologicamente, C/〈ω1, ω2〉 é isomorfo a R2/Z2 = (R/Z) ×
(R/Z) = S1 × S1, produto de dois ćırculos. Assim, uma cúbica não
singular se identifica com um toro!
(5) O módulo de F , mencionado acima, expressa-se como função dos
peŕıodos de ℘(z).
Quando a cúbica F é definida por uma equação a coeficientes in-
teiros (e.g., a cúbica do “último teorema de Fermat”, X3 + Y 3 = Z3),
é natural perguntar se existem pontos racionais, i.e., com coordenadas
homogêneas números racionais (ou equivalentemente, números inteiros).
Infelizmente, não se conhece critério algum para decidir, em geral, se
uma cúbica possui ou não pontos racionais. Há exemplos em que não
existe nenhum tal ponto.
Pelo lado mais positivo, pode-se mostrar que, se F possui um ponto
racional, então F é congruente a uma cúbica (ainda definida sobre Z)
com um ponto de inflexão racional.
Tomando-se um tal ponto de inflexão como elemento neutro para
a estrutura de grupo (cf. proposição (16, p. 129)), o conjunto dos pon-
tos racionais forma um subgrupo finitamente gerado de F (teorema de
Mordell). Veja as fascinantes notas escritas por J. Tate e expandidas no
livro [32] contendo uma demonstração deste teorema.
Não podeŕıamos deixar de citar o papel central que tais curvas desem-
penham na demonstração do último teorema de Fermat. O leitor deve
consultar o artigo expositório de Gouvêa [16]. Mencionemos por fim as
aplicações em criptografia, cf. Blake et al.[3], Koblitz[23].
Bem, aqui vamos nos restringir apenas à classificação projetiva e às
propriedades mais simples ligadas à estrutura de grupo de uma cúbica
não singular. Procuramos dosar a necessidade de introduzir novos con-
ceitos gerais com aplicações diretas ao estudo dessas curvas.
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120 Cúbicas não Singulares Cap. 9
2 Forma normal
Duas retas quaisquer são congruentes por uma projetividade. Similar-
mente, é um fácil exerćıcio mostrar que, a menos de projetividade, só
há um tipo de cônica não degenerada. Também só há um tipo de cúbica
nodal e outro cuspidal.
Para cúbicas não singulares, porém, a classificação é bem diferente:
existe um tipo para cada elemento do corpo K!
Precisamente, mostraremos neste parágrafo que a cada cúbica F não
singular está associado um invariantej ∈ K, o qual determina a classe
de congruência de F .
1. Proposição. Toda cúbica não singular é congruente por uma proje-
tividade a uma cúbica do tipo
ZY 2 = X(X − Z)(X − λZ)
para alguma constante λ ∈ K, λ 6= 0, 1.
Demonstração. Sabemos, em vista das fórmulas de Plücker, que uma
cúbica não singular F admite pontos de inflexão (nove ao todo). Toma-
mos (0 : 1 : 0) como um deles, com tangente Z = 0. Podemos ainda
supor que (0 : 0 : 1) ∈ F , com tangente X = 0. Temos então F já na
forma
F = X3 + Z(aX2 + bXY + cY 2) + dZ2X,
com d 6= 0 6= c (senão F seria diviśıvel por X). Substituindo Y por
Y/
√
c, podemos supor c = 1. Substituindo Y por Y − bX/2, podemos
supor b = 0. Assim, já reduzimos F à forma
F = X3 + Z(Y 2 + aX2) + bXZ2
com novos a, b, este último 6= 0 (senão (0 : 0 : 1) seria um ponto singular).
Seja α uma raiz de X2 + aX + b. Substituindo X por αX vem
F = ZY 2 + α3X(X − Z)(X − λZ).
Finalmente, substituindo Y por (−α)3/2Y e cancelando, obtemos a forma
normal do enunciado. 2
Quão bem determinado é o parâmetro λ?
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Ponhamos, para cada λ 6= 0, 1,
Fλ = ZY
2 −X(X − Z)(X − λZ),
Λ(λ) = {λ, 1λ , 1− λ, 11−λ , λ−1λ , λλ−1}.
2. Proposição. Duas cúbicas Fλ, Fµ são congruentes se e somente se
Λ(λ) = Λ(µ).
Demonstração. Mostremos inicialmente que existem projetividades
S, T tais que
S•Fλ = F1−λ e T•Fλ = F1/λ.
Com efeito, basta definir S•, T• pelas condições:
S• :



X 7−→ X − Z ,
Y 7−→
√
−1Y ,
Z 7−→ −Z,
e T• :



X 7−→ λX ,
Y 7−→ λ3/2Y,
Z 7−→ Z.
Substituindo λ por 1 − λ ou 1/λ, segue-se que, para cada µ ∈ Λ(λ),
podemos obter uma projetividade que leve Fλ em Fµ.
Para a rećıproca, seja U uma projetividade tal que U•Fµ = Fλ. O
ponto de inflexão (0 : 1 : 0) ∈ Fµ é transformado em um ponto de
inflexão U(0 : 1 : 0) ∈ Fλ. Admitamos, por um momento, conhecido o
seguinte
Fato: Se P,Q são pontos de inflexão de uma cúbica não singular F
então existe uma projetividade M tal, que M•F = F e MP = Q.
Continuando com a argumentação, já podemos supor que U(0 : 1 :
0) = (0 : 1 : 0). Agora os três pontos de contato das retas tangentes
a Fµ passando por (0 : 1 : 0) são transladados sobre os respectivos
de Fλ. Isto é: U aplica {(0 : 0 : 1), (1 : 0 : 1), (µ : 0 : 1)} sobre
{(0 : 0 : 1), (1 : 0 : 1), (λ : 0 : 1)}.
Além disso, U deixa invariante a tangente inflexional Z = 0, bem
como a reta Y = 0. Identificando esta última com P1, obtivemos uma
projetividade de P1 (i.e., uma aplicação da forma (x : y) 7→ (ax +
by : cx + dy) que fixa o ponto no infinito (1 : 0) (identificado com a
interseção de Y = 0 e Z = 0), e que aplica {(0 : 1), (1, 1), (µ : 1)} sobre
{(0 : 1), (1 : 1), (λ : 1)}.
Nessas circunstâncias, o leitor não terá dificuldade em concluir que
µ ∈ Λ(λ). Isto completa a demonstração, a menos da justificativa do
fato acima, a qual será feita oportunamente (corolário 18, p. 131). 2
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3. Definição. O módulo da cúbica Fλ = ZY
2 −X(X − Z)(X − λZ) é
dado por
J(λ) =
27
4
(1− λ+ λ2)3
λ2(1− λ)2 .
O leitor deve verificar que J é constante sobre cada Λ(λ) e que, de fato,
J(λ) = J(µ)⇔ Λ(λ) = Λ(µ).
Em conclusão, segue-se que duas cúbicas não singulares são projetiva-
mente equivalentes, (i.e., congruentes por uma projetividade) se e só
se elas têm o mesmo módulo! Na realidade, o módulo de uma cúbica
é um invariante mais fino. Pode-se demonstrar que duas cúbicas não
singulares têm o mesmo módulo se e somente se seus corpos de funções
racionais são K-isomorfos.
4. Exerćıcios
139. Reduza X3+Y 3+Z3 = 0 à forma normal da proposição (1, p. 120).
140. Ache a equação de uma cúbica F tal que (0 : 1 : 0) é um ponto de
inflexão com tangente Z = 0 e tal que os pontos (−1 : 0 : 1), (0 : 0 : 1)
são os pontos de contato das retas tangentes a F passando por (0 : 1 : 0).
141. Mostre que Λ(λ) consiste em seis elementos distintos, exceto se
λ ∈ {−1, 1/2, 2} ou se λ2 − λ + 1 = 0. Mostre que J(λ) = J(µ) ⇔
Λ(λ) = Λ(µ).
142. Seja C ⊂ P2 um conjunto de nove pontos distintos com a proprie-
dade de que a reta que une dois quaisquer contém um e só um terceiro.
Mostre que existe uma projetividade que leva C no conjunto dos pontos,
(0 : 1 : −1), (−1 : 0 : 1), (1 : −1 : 0)
(0 : 1 : a), ( a : 0 : 1), (1 : a : 0)
(0 : 1 : b), ( b : 0 : 1), (1 : b : 0),
onde a, b são as ráızes de X2 − X + 1. (O grupo das simetrias dessa
configuração é discutido em [20], [26]).
143. Mostre que toda cúbica não singular é congruente a uma do tipo
Gc = X
3 + Y 3 + Z3 + 3cXY Z. Mostre que Gc contém os nove pontos
acima definidos e que Gc é singular se e só se c =∞, −1, a ou b, quando
então ela se degenera na união de três retas.
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Seção 3 Funções racionais 123
3 Funções racionais
As propriedades mais interessantes de uma cúbica não singular estão
diretamente relacionadas com sua estrutura de grupo mencionada na
introdução. Para estudá-las, será conveniente fazer uma digressão, in-
troduzindo mais alguns conceitos importantes.
5. Definição. O anel homogêneo de uma curva projetiva F é definido
por
A(F )h = K[X,Y, Z]/〈F 〉.
Denotamos por Ḡ a classe de G ∈ K[X,Y, Z] módulo 〈F 〉.
Suporemos no que segue que F é irredut́ıvel. Assim, A(F )h é um
domı́nio (prop. 24, p.142); denotamos por K(F )h seu corpo de frações.
Seja K(F ) o subconjunto de K(F )h formado pelas frações do tipo
Ḡ/H̄ com G,H homogêneos do mesmo grau. É fácil ver que K(F ) é um
subcorpo de K(F )h, chamado corpo das funções racionais de F . Esta
designação se justifica pelo seguinte
6. Lema. Se F é o fecho projetivo da curva afim irredut́ıvel f então
K(F ) é K-isomorfo a K(f) (def (7, p. 99)).
Demonstração. Considere o homomorfismo
ϕ : K[X,Y ] −→ K(F )h
g(X,Y ) 7−→ g(X̄/Z̄, Ȳ /Z̄).
Observando a fórmula
g∗(X,Y, Z) = Zd
◦gg(X/Z, Y/Z) em K[X,Y, Z],
deduz-se facilmente que o núcleo de ϕ é igual a 〈f〉. Obtêm-se então os
homomorfismos induzidos,
K[X,Y ]/〈f〉 →֒ K(F )h
∨↓ ր
K(f)
Visto que K(F ) é gerado por X̄/Z̄, Ȳ /Z̄, os quais estão na imagem de
K(f), conclúımos K(F ) ≃ K(f). 2
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7. Exerćıcios
144. Seja F = f∗ o fecho projetivo de uma curva afim irredut́ıvel f .
Mostre que K(F )h é a extensão de K(f) = K(F ) gerada por Z̄.
4 Ciclos e equivalência racional
8. Definição. Um ciclo na curva F é uma expressão do tipo
n1P1 + · · ·+ nrPr,
onde os ni são inteiros e os Pi são pontos de F .
Mais precisamente, um ciclo é um elemento do grupo abeliano livre
gerado pelos pontos de F ; este grupo é chamado o grupo dos ciclos de
F .
Trata-se simplesmente de uma maneira cômoda de lidar com conjun-
tos de pontos de F afetados de multiplicidades.
Definimos o grau de um ciclo pela fórmula
d◦(ΣniPi) = Σni.
Evidentemente, se D,D′ são ciclos, temos
d◦(D +D′) = d◦D + d◦D′.
Seja agora G uma curva distinta de F . Definimos o ciclo de interseção
de G com F pela fórmula
(G) = (G)F =
∑
(F,G)PP.
Observemos que, pelo teorema de Bézout, temos
d◦(G)F = (d
◦G)(d◦F ).
Seja ϕ ∈ K(F ) uma função racional 6= 0. Suponhamos
ϕ = Ḡ0/H̄0 = Ḡ1/H̄1,
com Gi, Hi homogêneos, d
◦Gi = d
◦Hi e H̄0H̄1 6= 0. Temos então
G0H1 = H0G1 + AF , para algum A ∈ K[X,Y, Z]. Dáı é imediato
que
(G0H1)F = (H0G1)F
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e portanto,
(G0)F − (H0)F = (G1)F − (H1)F
por propriedade do ı́ndice de interseção.
Assim, é ĺıcito definir o ciclo associado à função racional ϕ 6= 0 pela
fórmula
(ϕ) = (ϕ)F = (G)F − (H)F ,
onde ϕ = Ḡ/H̄, é uma representação de ϕ como quociente de classes de
polinômios homogêneos do mesmo grau.
9. Exemplo. Seja F = ZY 2 −X(X − Z)(X − λZ). Temos
(Z)F = 3(0 : 1 : 0);
(Y/X)F =(0 : 0 : 1) + (1 : 0 : 1) + (λ : 0 : 1)− 2(0 : 0 : 1)− (0 : 1 : 0)
= (1 : 0 : 1) + (λ : 0 : 1)− (0 : 0 : 1)− (0 : 1 : 0).
10. Definição. SejamD,D′ ciclos de uma curva F (suposta irredut́ıvel).
Dizemos que D é racionalmente equivalente a D′ se existir uma função
racional ϕ ∈ K(F ) tal que
D −D′ = (ϕ).
Escrevemos
D ≡ D′
para denotar equivalência racional.
11. Lema. Equivalência racional é uma relação de equivalência com-
pat́ıvel com a adição de ciclos. Em śımbolos, ∀ ciclos D,D′, D′′, temos:
(1) D ≡ D;
(2) D ≡ D′ ⇔ D′ ≡ D;
(3) D ≡ D′, D′ ≡ D′′ ⇒ D ≡ D′′;
(4) D ≡ D′ ⇒ D +D′′ ≡ D′ +D′′.
Demonstração. Sejam ϕ, ψ funções racionais 6= 0.
(1) Temos D −D = 0 = ciclo da função constante 1.
(2) Se D −D′ = (ϕ), então D′ −D = (ϕ−1).
(3) Se
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D −D′ = (ϕ) e D′ −D′′ = (ψ),
temos evidentemente
(ϕψ) = (ϕ) + (ψ) = D −D′ +D′ −D′′ = D −D′′.
(4) Fica como exerćıcio para o leitor. 2
12. Proposição. Seja F uma curva irredut́ıvel não singular. Se existi-
rem P 6= Q em F racionalmente equivalentes, então F é racional.
Demonstração. Sejam G0, G1 curvas projetivas do mesmo grau tais
que
(G1)− (G0) = P −Q.
Temos então
(G1) = P + ΣmiPi,
(G0) = Q+ ΣmiPi,
com mi ≥ 1 e Pi ∈ F , dois a dois distintos. Visto que cada Pi é
um ponto não singular de F , sabemos por (15, p. 79) que o ı́ndice de
interseção (F,G)Pi é igual à ordem de anulamento de G sobre F em Pi.
Dáı conclúımos que, para cada (x0 : x1) ∈ P1, vale
(x0G0 + x1G1, F )Pi ≥ mi.
Trocando em miúdos, constrúımos um feixe de curvas {x0G0+x1G1|(x0 :
x1) ∈ P1}, do qual cada membro corta F no ponto Pi pelo menos mi
vezes.
Lembrando que 1+Σmi = (d
◦F )(d◦G0), vemos que, por cada ponto
distinto dos já fixados passa justamente um membro do feixe. Segue-
se que a função racional G1/G0 é injetiva (veja o lema (27, p. 111) e o
parágrafo que lhe antecede), e portanto F é racional. 2
13. Exerćıcios
145. Seja F a reta X = 0. Mostre que os ciclos
(0 : 0 : 1) + (0 : 1 : 1) e (0 : 1 : 0) + (0 : −1 : 1)
são racionalmente equivalentes sobre F .
146. Seja F = Y Z − X2. Mostre que os (ciclos que se reduzem aos)
pontos (0 : 0 : 1) e (1 : 1 : 1) são racionalmente equivalentes.
147. Prove que dois ciclos racionalmente equivalentes têm o mesmo
grau.
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148. Se F é uma reta, mostre que dois ciclos com o mesmo grau são
racionalmente equivalentes. O mesmo é válido se F é uma cônica ou
uma cúbica singular, ou mesmo a lemniscata...
149. Seja F = Z(X2 − Y 2) + X3 e seja ϕ = X+YX−Y ∈ K(F ). Calcule o
ciclo (ϕ).
150. Seja F uma curva não singular e seja ϕ ∈ K(F ) uma função raci-
onal não constante. Prove que (ϕ)F 6= 0.
151. Prove que o conjunto dos ciclos racionalmente equivalentes a zero
sobre uma curva F é um subgrupo do grupo dos ciclos de F .
5 A estrutura de grupo
Necessitaremos do seguinte resultado preliminar. Observemos que ele
é conseqüência de um resultado mais geral, proposto como exerćıcio
(135, p. 113). Mas vamos apresentar uma prova direta, por desencargo
de consciência.
14. Proposição. Se F é uma cúbica não singular então F não é raci-
onal.
Demonstração. Podemos supor F na forma normal (leitor: por quê?):
Y 2 = X(X − 1)(X − λ), com λ 6= 0, 1.
Procederemos por redução ao absurdo, supondo F racional. Assim,
existem
a, b, c, d ∈ K[T ]
tais que
x = a/c, y = b/d
constituem uma boa parametrização. Naturalmente, podemos supor que
MDC(a, c) = MDC(b, d) = 1.
Substituindo na equação acima, resulta
c3b2 = d2a(a− c)(a− λc) em K[T ].
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128 Cúbicas não Singulares Cap. 9
Note que c e a− λc também são primos relativos. Por unicidade da fa-
toração, segue-se que c3 e d2 são associados. Simplificando e absorvendo
a constante c3/d2 em b, vem
b2 = a(a− c)(a− λc). (1)
Admitamos por um momento que d◦b = 3,d◦a = 2 ≥ d◦c. Escrevamos
b = b1b2b3 com d
◦bi = 1. Notando que a, a − c, a − λc são dois a dois
primos relativos, deduzimos que o mesmo ocorre com os bi e que
b21 = a, b
2
2 = a− c, b23 = a− λc
(a menos de reordenação ou fator constante). Dáı conclúımos
c = (b1 − b2)(b1 + b2), (1− λ)c = (b3 − b2)(b3 + b2)
Segue-se que b1 ± b2 é associado a b3 ± b2. Sem perda de generalidade,
podemos escrever relações
b1 − b2 = α(b3 − b2)
b1 + b2 = β(b3 + b2),
com β − α 6= 0, permitindo concluir, finalmente, que b2 e b3 são associ-
ados, absurdo.
Resta justificar porque d◦b = 3 e d◦a = 2 ≥ d◦c. Ora, quase toda
reta horizontal Y = y0 corta F em três pontos distintos. Como a pa-
rametrização é por hipótese boa, esses pontos são da forma (x(t), y0)
para justamente três valores do parâmetro. Estes valores são dados pela
condição
y(t) =
b(t)
d(t)
= y0.
Assim, o polinômio b(T )−y0d(T ) admite exatamente três ráızes distintas
(para quase todo y0). Logo, d
◦b ≤ 3. Se d◦b < 3, então d◦d = 3 e dáı
d◦c = 2 (pois c3/d2 é constante). Observando a igualdade (1), deduz-se
d◦b = 2 e d◦a = 0 ou 2. Escreve-se b = b1b2 e procede-se como antes,
chegando a uma contradição. Se d◦b = 3, então d◦d ≤ 3, acarretando
d◦c ≤ 2. Lembrando (1) outra vez, vê-se que necessariamente d◦a = 2.
2
Tendo em vista a proposição 14, conclúımos imediatamente o se-
guinte
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Seção 5 A estrutura de grupo 129
15. Corolário. Se F é uma cúbica não singular e P,Q ∈ F então P é
racionalmente equivalente a Q somente se P = Q. 2
Vejamos agora como é definida a estrutura de grupo.
Fixemos um ponto O ∈ F . Para cada par de pontos P,Q em F ,
consideremos a interseção de F com reta L que os contém. Se P = Q,
tomamos L igual à reta tangente. Podemos escrever
(L) = P +Q+R
para algum R em F , bem determinado pelo par P,Q. Seja H a reta defi-
nida pelo par R,O, e seja finalmente P +̇Q o terceiro ponto de interseção
de H com F , de sorte que
(H) = R+O + (P +̇Q).
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•
P
•
R
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•
Q
•
P +̇Q
•
O
L
H
figura 9.1
Notemos que, pondo ϕ = L/H ∈ K(F ), temos
(ϕ) = (P +Q+R)− (R+O + (P +̇Q)),
e portanto,
P +̇Q ≡ P +Q−O. (2)
Pelo corolário 15, esta última fórmula determina completamente P +̇Q:
é o único ponto de F racionalmente equivalente ao ciclo P +Q−O.
16. Proposição. Seja F uma cúbica não singular e seja O ∈ F um
ponto de inflexão. A lei de composição (P,Q) 7−→ P +̇Q acima descrita
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130 Cúbicas não Singulares Cap. 9
estabelece uma estrutura de grupo abeliano em F . O elemento neutro é
o ponto O. O inverso aditivo de um ponto P ∈ F é o terceiro ponto de
interseção da reta OP com F , denotado −̇P .
Demonstração. É claro que temos P +̇Q = Q+̇P . Levando em conta
a fórmula (2) é fácil ver que O funciona como elemento neutro e −̇P
como inverso de P .
Verifiquemos o axioma da associatividade. Dados P,Q,R ∈ F , temos
(P +̇Q)+̇R ≡ (P +̇Q) +R−O
≡ (P +Q−O) +R−O
= P + (Q+R−O)−O
≡ P + (Q+̇R)−O
≡ P +̇(Q+̇R)
2
17. Proposição.
(i) P +̇Q+̇R = O ⇔ existe uma reta H tal que (H)F = P +Q+R.
(ii) Os nove pontos de inflexão formam um subgrupo isomorfo a
Z/〈3〉 × Z/〈3〉.
(iii) A reta que une dois pontos de inflexão cruza F num terceiro ponto
de inflexão.
Demonstração. (i) Seja L a tangente (por escolha, inflexional!) de F
em O. Assim, temos (L)F = 3O. Por outro lado,
P +̇Q+̇R ≡ P +Q+R− 2O.
Portanto, o primeiro membro é igual a O se e só se valer P+Q+R ≡ 3O.
Suponha válida esta última relação; seja H a reta determinada pelo
par P,Q. Escrevamos (H) = P + Q + R′. O quociente L/H fornece
uma função racional cujo ciclo é 3O − (H). Conclúımos que R ≡ R′
e portanto pelo corolário (15, p. 129), R = R′ como desejávamos. A
rećıproca deixamos para a distração do leitor.
(ii) Tendo em vista (i), é claro que P é um ponto de inflexão se e só
se 3 · P = O. Logo, o conjunto dos nove pontos de inflexão coincide
com o subgrupo formado pelos elementos de ordem 3. Que este grupo é
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Seção 5 A estrutura de grupo 131
isomorfo a Z/〈3〉×Z/〈3〉 segue-se facilmente: é o único grupo não ćıclico
de ordem 9.
(iii) Se P +Q+R é o ciclo de interseção de F com uma reta, e se P,Q
são pontos de inflexão, deduzimos primeiro que P +̇Q+̇R = O, e então,
3P +̇3Q+̇3R = O, donde 3R = O e R é um ponto de inflexão. 2
18. Corolário. Se P,Q são pontos de inflexão de uma cúbica não
singular F então existe uma projetividade M tal que M•F = F e MP =
Q.
Demonstração. Seja R o terceiro ponto de inflexão colinear com P,Q.
Procedendo como na demonstração da proposição (1, p. 120), podemos
supor R = (0 : 1 : 0) e F na forma ZY 2 −X(X − Z)(X − λZ). Se T é
a projetividade definida por
(x : y : z) 7−→ (x : −y : z),
é imediato que T•F = F . Por outro lado, P e TP são colineares com R.
Visto que F não possui nenhum ponto de inflexão sobre Y = 0, segue-se
P 6= TP , e portanto TP = Q. (Veja a fig. 1.8, p. 12.) 2
19. Exerćıcios
152. Sejam F = ZY 2 −X(X − 1)(X + 1), O = (0 : 1 : 0), P = (0 : 0 :
1), Q = (1 : 0 : 1), R = (−1 : 0 : 1). Mostre que {O,P,Q,R} é um
subgrupo de F isomorfo a Z/〈2〉 × Z/〈2〉.
153. Seja F = ZY 2 − (X3 − 43XZ2 + 166Z3), P = (3 : 8 : 1). Calcule
nP para cada inteiro n(O = (0 : 1 : 0)).
154. Mostre que a proposição(16, p. 129) subsiste mesmo se O não é
um ponto de inflexão, modificando convenientemente a construção do
inverso aditivo.
155. Mostre que a estrutura de grupo de uma cúbica não singular é
independente do ponto escolhido para elemento neutro.
Nos exerćıcios seguintes, F denota uma cúbica não singular e O ∈ F
é um ponto de inflexão escolhido para elemento neutro.
156. Se G é uma curva distinta de F , então (G)F ≡ 3(d◦G)O.
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132 Cúbicas não Singulares Cap. 9
157. Todo ciclo de F de grau 1 é racionalmente equivalente a um único
ponto de F .
158. Sejam G,Hcurvas de grau d, distintas de F . Se
(G)F = P + Σ
3d
2 Pi, (H)F = Q+ Σ
3d
2 Pi,
então P = Q. Em particular, qualquer cúbica que passar por oito dos
nove pontos de interseção de F com outra cúbica, conterá o nono ponto.
159. Mostre que os elementos de ordem 2 de F são justamente os pontos
de contato das tangentes a F passando por O. O grupo gerado por esses
elementos é isomorfo a Z/〈2〉 × Z/〈2〉.
160. Seja D = Σ61Pi um ciclo de grau 6 sobre F . Mostre que D ≡ 6O
se e só se existir uma cônica C tal que (C)F = D. Generalize!
161. As soluções da equação 6 · P = O consistem nos nove pontos
de inflexão juntamente com os 27 pontos de contato das retas tangen-
tes passando pelos pontos de inflexão. Resulta um grupo isomorfo a
Z/〈6〉 × Z〈6〉.
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Apêndice
Reunimos aqui alguns conceitos e resultados de álgebra elementar para
conveniência do leitor. Para mais detalhes, veja [15], [25].
1 Anéis, ideais e homomorfismos
1. Definição. Um anel A é um conjunto não vazio no qual estão de-
finidas duas operações, chamadas de soma e multiplicação, denotadas
respectivamente + e ·, e que satisfazem as seguintes regras operatórias:
+1 associatividade : ∀ x, y, z ∈ A, (x+ y) + z = x+ (y + z)
+2 comutatividade : ∀ x, y ∈ A, x+ y = y + x
+3 zero : ∃ 0 ∈ A tal que ∀ x ∈ A, x+ 0 = x
+4 negativo : ∀ x ∈ A ∃ y ∈ A tal que x+ y = 0
· 1 associatividade : ∀ x, y, z ∈ A, (x · y) · z = x · (y · z)
· + distributividade : ∀ x, y, z ∈ A, x · (y + z) = x · y + x · z
e (x+ y) · z = x · z + y · z.
Os exemplos aqui relevantes são o anel dos inteiros, o dos polinômios,
o das funções racionais e o das séries de potências em uma ou mais
variáveis.
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134 Apêndice Cap. 10
Em cada um desses anéis valem ainda os axiomas seguintes:
· 2 unidade : ∃ 1 ∈ A tal que ∀ x ∈ A, 1 · x = x · 1 = x
· 3 comutatividade do produto : ∀ x, y ∈ A, x · y = y · x
Convencionamos doravante que anel significa anel comutativo e com
elemento unidade 1 6= 0. Verifica-se facilmente que os elementos 0 (zero)
e 1 (unidade) são únicos; o negativo de cada x ∈ A também é único;
denota-se naturalmente por −x.
Diremos que um subconjunto A′ ⊆ A é um subanel de um anel A se
0, 1 ∈ A′ e ∀x, y, z ∈ A′ ⇒ x − y · z ∈ A′. Segue-se que todo subanel é
naturalmente um anel com as operações induzidas.
2. Exemplos. (1) O conjunto dos números inteiros é um subanel dos
racionais, que por sua vez formam um subanel dos reais, ...
Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
(2) Seja A = {0̄, 1̄}, conjunto formado por dois elementos. Definamos as
operações de soma e produto de tal maneira que 0̄ funcione como zero e
1̄ como 1:
0̄ + 0̄ = 0̄, 0̄ + 1̄ = 1̄, 1̄ + 1̄ = 0̄, 0̄ · 0̄ = 0̄, 0̄ · 1̄ = 0̄, 1̄ · 1̄ = 1̄.
O leitor verificará sem dificuldades que se trata efetivamente de um anel.
Note em particular que, neste exemplo, vale a relação −1̄ = 1̄.
3. Definições. Seja A um anel. Um elemento a ∈ A é dito um divisor
de zero (resp. invert́ıvel) se existir b ∈ A, b 6= 0 tal que a · b = 0 (resp.
a · b = 1).
O anel A é um domı́nio se 0 é o único divisor de zero.
Dizemos que A é um corpo se todo elemento não nulo for invert́ıvel,
i.e.,
∀ x ∈ A, x 6= 0⇒ ∃ y ∈ A tal que x · y = 1.
Sejam A e B anéis. Um homomorfismo de A em B é uma aplicação
ϕ : A −→ B
tal que
ϕ(1) = 1
e
∀ x, y, z ∈ A ⇒ ϕ(x+ y · z) = ϕ(x) + ϕ(y) · ϕ(z).
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Seção 1 Anéis, ideais e homomorfismos 135
Um homomorfismo bijetivo ϕ é dito um isomorfismo; neste caso, a
aplicação inversa ϕ−1 é necessariamente um homomorfismo.
Os anéis A,B são isomorfos se existir um isomorfismo ϕ : A → B.
Um isomorfismo ϕ : A → A é dito um automorfismo.
Um homomorfismo sobrejetor é também chamado de epimorfismo.
4. Exemplos. (1) Se A′ é um subanel de um anel A, então a aplicação
de inclusão A′ ⊆ A é um homomorfismo.
(2) A aplicação de conjugação C→ C, a+ bi 7→ a− bi é um homomor-
fismo (de fato um automorfismo).
(3) Seja A = {0̄, 1̄} como no exemplo 2 (2) e seja π : Z −→ A a aplicação
definida por paridade, i.e., π(n) = 0̄ se n é par, 1̄ se ı́mpar. É imediato
que π é um homomorfismo.
5. Exerćıcios
162. A composição ϕ · ψ : A −→ C de homomorfismos ψ : A −→ B,
ϕ : B −→ C é um homomorfismo.
163. Seja ϕ : A −→ B um homomorfismo e seja a ∈ A um elemento
invert́ıvel de A. Então ϕ(a) é invert́ıvel em B.
6. Proposição. (Corpo de frações) Seja A um domı́nio. Então existe
um homomorfismo injetivo ι : A →֒ K onde K denota um corpo, bem
determinado a menos de isomorfismo pela condição seguinte:
∀ x ∈ K ∃ a, b ∈ A tais que x = ι(a) · ι(b)−1.
Demonstração. Verifiquemos de ińıcio a unicidade de K, i.e., de-
vemos mostrar que se ι′ : A →֒ K ′ é um homomorfismo com a mesma
propriedade acima, então existe um (de fato único) isomorfismo ϕ :
K −→ K ′ tal que ∀ a ∈ A, ϕ(ι(a)) = ι′(a).
Dado x ∈ K, sejam a, b ∈ A tais que x = ι(a) · ι(b)−1. Se ϕ já
estivesse definido, teŕıamos
ϕ(x) = ϕ(ι(a)) · ϕ(ι(b)−1) = ϕ(ι(a)) · ϕ(ι(b))−1
= ι′(a) · ι′(b)−1.
Isto sugere definirmos ϕ pela regra ϕ(x) = ι′(a)·ι′(b)−1; a questão é veri-
ficar que o lado direito depende só de x e não da particular representação
x = ι(a) · ι(b)−1.
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136 Apêndice Cap. 10
Sejam a′, b′ ∈ A tais que ι(a) · ι(b)−1 = ι(a′) · ι(b′)−1. Dáı resulta
ι(a)·ι(b′) = ι(a′)·ι(b) = ι(a·b′), e portanto, a·b′ = a′ ·b em A. Repetindo
o cálculo, obtemos ι′(a) · ι′(b)−1 = ι′(a′) · ι′(b′)−1, mostrando que é ĺıcito
definir ϕ como proposto. Agora é um simples exerćıcio verificar que
ϕ : K −→ K ′ é um isomorfismo.
Passemos à construção de ι : A →֒ K. Já que sabemos, a posteriori,
que K será formado por “frações”, iniciamos por definir, para cada a, b ∈
A, b 6= 0, a fração
a/b = {(α, β) ∈ A×A|β 6= 0, a · β = α · b}.
O leitor não terá dificuldades em verificar os seguintes fatos.
(1) a/b = c/d⇐⇒ ad = bc
(2) a/b = c/d e a′/b′ = c′/d′ =⇒ (a·b′+a′·b)/(b·b′) = (c·d′+c′·d)/(d·d′)
(3) a/b = c/d e a′/b′ = c′/d′ =⇒ (a · a′)/(b · b′) = (c · c′)/(d · d′)
Segue-se então que no conjunto K = {a/b|a, b ∈ A, b 6= 0} estão
definidas de forma evidente operações de soma e produto, resultando
um corpo. Finalmente, a aplicação ι : A −→ K definida por ι(a) = a/1
é um homomorfismo com as propriedades requeridas. 2
Observação. Costuma-se identificar A com ι(A), e escrever A ⊆ K.
7. Definição. Seja A um anel. Um ideal de A é um subconjunto I ⊆ A
tal que
0 ∈ I,
∀ x, y ∈ I, z ∈ A ⇒ x+ y · z ∈ I.
Dizemos que um ideal I ⊂ A é primo se
I 6= A e ∀ x, y ∈ A, x · y ∈ I =⇒ x ∈ I ou y ∈ I.
Dizemos que um ideal I ⊂ A é maximal se I 6= A e não existir ideal
intermediário entre I e A, i.e., ∀ ideal J ⊆ A, J ⊃ I =⇒ J = A.
8. Exemplos. (1) {0} e A são ideais de A.
(2) Toda interseção de ideais é um ideal.
(3) Seja S ⊆ A um subconjunto. Seja
〈S〉 =
{ ∑
1≤i≤n
ai · si | ai ∈ A, si ∈ S, n = 0, 1 . . .
}
.1
1Convenciona-se que uma soma com zero parcelas vale 0...
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Seção 1 Anéis, ideais e homomorfismos 137
Temos então
〈S〉 =
⋂
{I⊇S | I ideal}
I,
que chamamos de ideal gerado por S. Se S = {a} reduz-se a um só
elemento, escrevemos 〈S〉 = 〈a〉, dito ideal principal gerado por a. O
conjunto dos números pares {0,±2,±4, . . . } é o ideal de Z gerado por
2.
9. Definição. O núcleo de um homomorfismo ϕ : A −→ B é definido
por
Nϕ = {a ∈ A |ϕ(a) = 0}.
O leitor deve verificar que Nϕ é um ideal de A. De fato, a próxima
proposição afirma que todo ideal aparece como núcleo de algum homo-
morfismo.
10. Proposição. Seja I ⊆ A um ideal de um anel A. Então existe um
homomorfismo sobrejetivo ϕ : A −→ B tal que Nϕ = I.
Demonstração. Suponhamos por um instante já constrúıdo ϕ : A −→
B com as propriedades enunciadas. Observemos que para cada b, b′ ∈ B,
o subconjunto ϕ−1{b} é não vazio e que b 6= b′ ⇒ ϕ−1{b}∩ϕ−1{b′} = ∅.
Assim,b 7→ ϕ−1{b} estabelece uma bijeção de B em um subconjunto de
partes de A.
A idéia agora é reconstruir B a partir dos subconjuntos do tipo
ϕ−1{b}.
Vejamos como I entra em cena. Fixados b e algum a0 ∈ ϕ−1{b},
vê-se facilmente que
ϕ−1{b} = {a ∈ A| ∃ i ∈ I tal que a = a0 + i}
= {a0 + i| i ∈ I}.
Ora, o lado direito faz sentido independentemente de ϕ! Definamos logo,
pois, para cada a ∈ A, a classe lateral de I em A,
a+ I = {a+ i| i ∈ I},
e seja
B = {a+ I | a ∈ A},
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138 Apêndice Cap. 10
o conjunto de todas essas classes laterais. Resta a fazer a verificação
rotineira de que B herda uma estrutura de anel mediante as receitas,
(a+ I) + (a′ + I) = (a+ a′) + I
(a+ I) · (a′ + I) = (a · a′) + I
de sorte que a aplicação definida naturalmente por
ϕ : A −→ B
a 7−→ a+ I
é de fato um homomorfismo e responde ao requerido. 2
11. Definição. Sejam A um anel e I um ideal de A. Chamamos de anel
quociente, de A por I, denotado por A/I, o anel das classes laterais de
I em A descrito na demonstração acima. A aplicação a 7→ a+ I é dito
o homomorfismo de quociente.
12. Exemplos. Z/〈2〉 é isomorfo ao anel {0̄, 1̄} apresentado no exemplo
2, p. 134. Mais geralmente, para cada inteiro positivom, o anel quociente
Z/〈m〉 consiste nas m classes de restos na divisão por m. Verifica-se que
Z/〈m〉 é um corpo se e só se m é um número primo.
13. Exerćıcios
164. Ache os divisores de zero em Z/〈m〉 para m = 2, . . . , 10. Genera-
lize!
165. Seja ϕ : A −→ B um homomorfismo sobrejetivo e seja I = Nϕ.
Mostre que existe um e só um isomorfismo ψ : A/I −→ B tal que
ψ(a+ I) = ϕ(a) ∀ a ∈ A.
166. Sejam I ⊆ J ⊆ A ideais. Seja A = A/I o anel quociente e seja
J ⊆ A a imagem de J pelo homomorfismo quociente. Mostre que A/J
é isomorfo a A/J .
167. Mostre que um ideal I ⊂ A é primo (resp. maximal) se e só se A/I
é um domı́nio (resp. corpo). Conclua que todo ideal maximal é primo.
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2 Polinômios
No que se segue, denotaremos por
R = K[X]
o anel de polinômios em uma variável a coeficientes no corpo K. Cada
elemento f ∈ R se escreve de forma única,
f = anX
n + an−1X
n−1 + · · ·+ a1X + a0,
onde os coeficentes ai são elementos de K. Se an 6= 0 então f é de grau
n e escrevemos
d◦ f = n.
Se an = 1, dizemos que f é mônico. Inicialmente, vamos rever algumas
propriedades fundamentais de R.
14. Proposição. (Algoritmo da Divisão.) Sejam f, g ∈ R, f 6= 0.
Então existem únicos q, r ∈ R tais que
g = qf + r e r = 0 ou d◦r < d◦f.
Chamamos q de quociente e r de resto na divisão de g por f .
Demonstração. Se d◦g < d◦f então faça q = 0 e r = g. Prosseguimos
por indução sobre n = d◦g ≥ m = d◦f . Escrevamos f = amXm +
· · · , g = bnXn+· · · . Seja h = g−bnXn−ma−1m f . Note o ajuste feito para
cancelar o termo de maior grau de g. Por indução, h se escreve na forma
h = q1f + r, com r = 0 ou d
◦r < d◦f . Fazendo q = q1 + bna
−1
m X
n−m,
conclúımos g = qf + r.
Para verificarmos a unicidade, suponhamos qf + r = q′f + r′. Dáı
vem (q − q′)f = r′ − r. Ora, se q 6= q′ então o primeiro membro é um
polinômio de grau ≥ m enquanto que o segundo, supondo r (resp. r′) =
0 ou d◦r (resp. r′) < d◦f , certamente é nulo ou de grau < m. 2
15. Exerćıcios
168. Seja f = anX
n+an−1X
n−1 + · · ·+a1X +a0 e seja a ∈ K. Mostre
que o resto na divisão de f por X − a é igual a f(a). Conclua que f é
múltiplo de X − a se e só se f(a) = 0.
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140 Apêndice Cap. 10
16. Proposição. Todo ideal de R é principal.
Demonstração. Seja I um ideal de R. Se I = {0}, não há nada
a demonstrar. Assim, podemos supor que existe um elemento f0 ∈
I mônico e de grau mı́nimo com essa propriedade. Mostraremos que
I = 〈f0〉, i.e., que todo elemento g ∈ I é múltiplo de f0. Com efeito,
aplicando o algoritmo da divisão, podemos em todo o caso escrever,
g = qf0 + r,
onde r = 0 ou d◦r < d◦f0. Como r = g− qf0 é claramente um elemento
do ideal I, se ocorresse r 6= 0, produziŕıamos um elemento em I com
grau inferior ao mı́nimo, o que é absurdo. 2
Lembremos que o MDC de uma coleção de polinômios {ft}t∈T é o
polinômio mônico p caracterizado pelas propriedades seguintes:
• p divide cada ft na coleção;
• se q ∈ R divide cada ft na coleção então q divide p.
17. Corolário. Seja {fs}s∈S uma coleção de polinômios. Então existem
s1, . . . , sn ∈ S e q1, . . . , qn ∈ R tais que
f = q1fs1 + · · ·+ qnfsn
é o MDC dessa coleção.
Demonstração. Seja I o ideal gerado por {fs}s∈S ,
I = {
∑
1≤i≤m
gifsi |s1, . . . , sm ∈ S, g1, . . . , gm ∈ R, m = 0, 1, . . . }.
Seja f o gerador mônico de I. Sendo f um elemento de I, necessaria-
mente se escreve na forma
f = q1fs1 + · · ·+ qnfsn .
Assim, se q divide cada fs na coleção então q divide f . Por fim, sendo
I = 〈f〉, é claro que cada fs (sendo elemento de I. . . ) é diviśıvel por f .
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18. Exerćıcios
169. Sejam f, g ∈ R, f 6= 0 e seja r o resto na divisão de g por f . Prove
a igualdade de ideais,
〈f, g〉 = 〈g, r〉.
Deduza então o algoritmo para cálculo do MDC por divisões sucessivas.
19. Definição. Um polinômio não constante f ∈ R é redut́ıvel se existi-
rem polinômios não constantes g, h ∈ R tais que f = g · h. Dizemos que
f é irredut́ıvel se não for redut́ıvel. Um polinômio não constante f ∈ R
é primo se toda vez que dividir um produto, dividir um dos fatores; em
śımbolos: ∀ g, h ∈ R, f | (divide) gh⇒ f |g ou f |h
20. Proposição. Seja f ∈ R polinômio não constante. Então f é primo
se e só se for irredut́ıvel.
Demonstração. Suponhamos f mônico, irredut́ıvel e sejam p, q, r ∈ R
tais que p · q = f · r. Devemos mostrar que se f 6 | p então f |q. Seja
h =MDC(f, p). Visto que f é mônico e irredut́ıvel, temos h = 1 =
f1 ·f +p1 ·p. Multiplicando por q, obtemos q = q ·1 = q ·f1 ·f +p1 ·p · q,
claramente diviśıvel por f .
Reciprocamente, se f é primo e o exib́ıssemos como produto, f =
g · h, deduziŕıamos que f divide algum dos fatores, digamos g = f · g1.
Substituindo e cancelando, viria 1 = g1 · h, logo h é constante e con-
clúımos que f é irredut́ıvel. 2
21. Proposição. (Fatoração Única.) Todo polinômio não constante
em uma variável e a coeficientes em um corpo se escreve de maneira
única (a menos de ordem dos fatores) na forma
f = c · p1 · · · · · pm
onde c denota uma constante e cada pi é um polinômio irredut́ıvel mônico.
Demonstração. Mostremos inicialmente, a unicidade. Como um
produto de polinômios mônicos é mônico, evidentemente a constante c
é bem determinada pois coincide com o coeficiente ĺıder de f . Por outro
lado, se
p1 · · · · · pm = q1 · · · · · qn
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142 Apêndice Cap. 10
fosse outra fatoração com cada qi mônico e irredut́ıvel, teŕıamos que p1
divide algum dos qi. Reordenando se preciso, podemos supor que p1|q1 e
portanto p1 = q1. Cancelando, conclúımos por indução sobre o número
de fatores (ou, se preferir, sobre o grau de f).
Existência da fatoração. Se f já é um polinômio irredut́ıvel, não há
nada a provar. Se f = g ·h, com d◦g,d◦h ≥ 1, então d◦g,d◦h são ambos
menores que d◦f e conclúımos por indução sobre o grau de f . 2
22. Exerćıcios
170. Mostre que todo ideal primo não nulo de R é maximal, gerado por
um polinômio irredut́ıvel.
3 Doḿınios de fatoração única e lema de Gauss
Observemos que as noções de elemento irredut́ıvel e primo se estendem
a um anel arbitrário de forma evidente.
23. Definição. Um domı́nio A é dito de fatoração única (DFU) ou
fatorial se todo elemento se escreve como produto de irredut́ıveis de
forma única a menos de ordem ou de multiplicação por invert́ıvel.
O leitor é convidado a escrever a definição de MDC de uma lista de
elementos a1, . . . , an ∈ A.
24. Lema. Seja A um DFU.Então todo elemento irredut́ıvel é primo.
Demonstração. Seja a ∈ A irredut́ıvel e sejam b, c ∈ A tais que a|bc,
i.e., vale bc = ad para algum d ∈ A. Por fatoração única, o elemento
irredut́ıvel a deve figurar também no primeiro membro e assim, divide b
ou c. 2
25. Definição. Seja A um DFU e seja f = anX
n + · · · + a0 um poli-
nômio com coeficientes ai ∈ A. O conteúdo de f é o MDC(a1, . . . , an),
denotado c(f). Dizemos que F é primitivo se c(f) = 1.
26. Proposição. Sejam A um DFU e f, g ∈ A[X] polinômios. Então:
(1) f, g primitivos =⇒ f · g primitivo;
(2) c(f · g) = c(f)c(g)
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Seção 3 Doḿınios de fatoração única e lema de Gauss 143
Demonstração. (1) Sejam
f = amX
m + · · ·+ a0, g = bnXn + · · ·+ b0,
cr =
∑
aibr−i (=coeficiente de X
r em f · g).
Seja d ∈ A irredut́ıvel. Visto que c(f) = c(g) = 1, existem ı́ndices
0 ≤ m0 ≤ m, 0 ≤ n0 ≤ n tais que d|ai para i < m0, d|bi para i < n0
e d 6 | am0bn0 . Assim, na expressão cm0+n0 = am0+n0b0 + am0+n0−1b1 +
· · ·+am0bn0 +am0−1bn0 + · · · , todas as parcelas à exceção de uma (leitor:
qual?) é diviśıvel por d. Logo, d 6 | cm0+n0 e conclúımos que c(fg) = 1.
(2) Podemos escrever f = c(f)f ′, g = c(g)g′, com f ′, g′ primitivos.
Temos então f · g = c(f)c(g)f ′ · g′. Como f ′ · g′ é primitivo segue-se
facilmente que todo divisor comum aos coeficientes de f · g é divisor de
c(f)c(g), donde se conclui (2). 2
27. Lema de Gauss. Seja A um DFU e seja K ⊇ A seu corpo de
frações. Seja f ∈ A[X] um polinômio primitivo não constante.
(1) Se f é redut́ıvel em K[X], então também o é em A[X].
(2) Se g ∈ A[X] e f |g em K[X], então f |g em A[X].
Demonstração. Sejam g, h ∈ K[X] não constantes tais que f = g · h.
Reduzindo os coeficientes a denominador comum, podemos escrever
g = f1/d1, h = f2/d2, com f1, f2 ∈ A[X], d1, d2 ∈ A.
Podemos supor que
MDC(d1, c(f1)) = MDC(d2, c(f2)) = 1.
Segue-se d1d2f = f1 · f2 em A[X]. Tomando conteúdos, obtemos
d1d2 = c(f1)c(f2).
Logo d1|c(f2), d2|c(f1) em A[X]e conclúımos uma relação f = (f1/d2) ·
(f2/d1) válida em A[X]. A segunda afirmação se demonstra de forma
similar e deixamos a cargo do leitor. 2
28. Proposição. Se A é um DFU, então o anel de polinômios
A[X1, . . . , Xn] também é um DFU.
Demonstração. Basta mostrar o caso de uma variável. A existência
de decomposição em fatores irredut́ıveis não oferece dificuldade e deixa-
mos a cargo do leitor.
Para a unicidade, o ponto fundamental é mostrar que se f ∈ A[X]
é um polinômio irredut́ıvel não constante então f é primo . Sejam
gi ∈ A[X], i = 1, 2, 3 tais que f · g3 = g1 · g2. Como f é primitivo,
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144 Apêndice Cap. 10
temos c(g3) = c(g1)c(g2). Logo, dividindo os coeficientes de g1 ou g2
pelos fatores irredut́ıveis de c(g3), podemos supor que os gi são primi-
tivos. Seja K ⊇ A o corpo de frações. Como f permanece irredut́ıvel
(e portanto primo) em K[X], segue-se que f divide, digamos, g1. Logo,
existe h ∈ K[X] tal que g1 = h · f . Procedendo como na demonstração
do lema de Gauss, obtemos uma relação dg1 = h
′ · f , onde h′ ∈ A[X]
e d ∈ A não tem fator comum com c(h′). Como g1, f são primitivos,
podemos supor d = 1 e portanto f |g1 em A[X]. 2
29. Exerćıcios
171. Seja A umDFU e seja a ∈ A não nulo. Mostre que A[X]/〈aX − 1〉
é um DFU .
172. Mostre que C[X,Y ]/(X2 + Y 2 − 1) é um DFU . (Sugestão: com-
parar com C[X,Y ]/〈XY − 1〉.)
173. Mostre que R[X,Y ]/〈X2 + Y 2 − 1〉 não é um DFU !
4 Extensões de corpos
30. Definições. Seja L um corpo e seja K ⊆ L um subanel. Se K é um
corpo, dizemos que L é uma extensão de K e que este é um subcorpo de
L.
Seja L ⊇ K uma extensão de corpos e seja S ⊆ L um subconjunto. O
subcorpo de L gerado por S sobre K é o menor subcorpo de L contendo
K, S, denotado K〈(S)〉.
A extensão L ⊇ K é finitamente gerada se existir um subconjunto
finito S ⊆ L tal que L = K〈(S)〉. Se S = {s1, . . . , sn}, escrevemos
K〈(S)〉 = K(s1, . . . , sn).
Se f, g ∈ K[X1, . . . , Xn] são polinômios e g(s1, . . . , sn) 6= 0, então
f(s1, . . . , sn)/g(s1, . . . , sn)
é um elemento de K(s1, . . . , sn), e todo elemento de K(s1, . . . , sn) é
dessa forma.
Se L ⊇ K é uma extensão de corpos, L é naturalmente um espaço
vetorial sobre o corpo K; a dimensão desse espaço é chamada o grau
de L ⊇ K, denotado [L : K]; quando finita, dizemos que L ⊇ K é
uma extensão finita. Evidentemente toda extensão finita é finitamente
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Seção 4 Extensões de corpos 145
gerada. Vale a rećıproca para extensões algébricas que discutiremos a
seguir.
Seja L ⊇ K uma extensão de corpos. Dizemos que um elemento x ∈
L é algébrico sobre K se existir f(X) ∈ K[X] polinômio não constante
tal que f(x) = 0. Equivalentemente, a seqüência 1, x, x2, . . . gera um
subespaço de L de dimensão finita. Se x não é algébrico, diremos que
é transcendente. Dizemos que L ⊇ K é uma extensão algébrica se todo
x ∈ L é algébrico sobre K.
31. Proposição. Seja L ⊇ K uma extensão de corpos e seja x ∈ L.
Então x é algébrico sobre K se e só se o subanel K[x] ⊆ L é um subcorpo
de L.
Demonstração. Suponhamos x algébrico sobreK. Seja y ∈ K[x], y 6=
0. Devemos mostrar que y−1 ∈ K[x]. Como K[x] é um espaço vetorial
de dimensão finita sobre K, existe n ≥ 1 tal que 1, y, . . . , yn são linear-
mente dependentes. Tomando n mı́nimo, obtemos uma relação
yn + an−1y
n−1 + · · ·+ a1y + a0 = 0,
com ai ∈ K e necessariamente a0 6= 0. Dáı obtemos
y(yn−1 + · · ·+ a1) = −a0
e portanto,
y−1 = (−a0)−1(yn−1 + · · ·+ a1)
que pertence a K[y] ⊆ K[x].
Reciprocamente, se K[x] é um corpo e x 6= 0, temos x−1 ∈ K[x], i.e.,
vale uma relação
x−1 = anx
n + · · ·+ a0
com ai ∈ K seguindo-se evidentemente que x é algébrico sobre K. 2
32. Proposição. Sejam M ⊇ L ⊇ K extensões de corpos. Então vale
a regra da multiplicatividade dos graus,
[M : K] = [M : L][L : K].
Em particular se M ⊇ L e L ⊇ K são extensões finitas, então M ⊇ K
é finita.
Demonstração. Sejam {xi}i∈I , {yj}j∈J bases de L sobreK eM sobre
L. Verifica-se facilmente que {xi · yj}(i,j)∈I×J é uma base de M sobre
K. 2
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146 Apêndice Cap. 10
33. Proposição. Seja L ⊇ K uma extensão de corpos. Então a coleção
formado pelos elementos de L algébricos sobre K é um subcorpo de L.
Demonstração. Sejam x, y ∈ L algébricos sobre K. Seja K ′ = K[x].
Então K ′ ⊇ K é uma extensão finita. Como y é claramente algébrico
sobre K ′, segue-se que M = K ′[y] ⊇ K ′ é finita e portanto M ⊇ K
também o é. Logo todo elemento de M é algébrico sobre K; em particu-
lar, x± y, x · y são algébricos sobre K, completando assim a verificação.
2
34. Proposição. (Corpo de ráızes.) Seja K um corpo e seja f um
polinômio não constante a coeficientes em K. Então existe uma extensão
finita L ⊇ K tal que f se fatora em L[X] como produto de fatores lineares.
Demonstração. Procedemos por indução sobre o grau de f . Se d◦f =
1, tome L = K. Para a etapa indutiva, podemos supor f irredut́ıvel.
Nesse caso, o ideal 〈f〉 ⊂ K[X] é maximal. Portanto, o quociente E =
K[X]/〈f〉 é um corpo, extensão finita de K. A classe x de X módulo 〈f〉
é uma raiz de f em E. Logo, pelo exerćıcio (168, p. 139) f é diviśıvel por
X − x. Substituindo f por f/(X − x), o resultado segue por indução,
usando a proposição 32. 2
35. Definição. Um corpo K é dito algebricamente fechado se todo
polinômio não constante em uma variável a coeficientes em K admite
uma raiz em K. Dizemos que uma extensão algébrica L ⊃ K é um fecho
algébrico de K se L é algebricamente fechado.
É claro que se K é algebricamente fechado, na verdade todo f ∈ K[X]
não constante é um produto de fatores lineares.
Iterando a construção precedente, mostra-se a seguinte
36. Proposição. (Fecho algébrico.) Seja K um corpo. Então existe
um fechoalgébrico K ⊇ K, único a menos de K-isomorfismo.
Para a demonstração, consulte Lang [25].
37. Definição. Seja L ⊇ K uma extensão de corpos. Dizemos que
x1, . . . , xn ∈ L são algebricamente dependentes se existir polinômio não
constante f(X1, . . . Xn) ∈ K[X1, . . . , Xn] tal que f(x1, . . . xn) = 0.
Se x1, . . . , xn são algebricamente independentes, o subanel
K[x1, . . . , xn] (resp. subcorpo K(x1, . . . , xn)) que eles geram sobre K
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Seção 4 Extensões de corpos 147
é isomorfo ao anel de polinômios (resp. corpo de funções racionais) em
n variáveis.
Dizemos que x1, . . . , xn formam uma base de transcendência de L ⊇
K se são algebricamente independentes e L ⊇ K(x1, . . . , xn) é uma
extensão algébrica.
38. Proposição. (Grau de transcendência.)
Seja L = K(x1, . . . , xN ) ⊇ K uma extensão finitamente gerada. Então:
(1) existem m ≥ 0, 1 ≤ i1 < · · · < im ≤ N tais que xi1 , . . . xim é uma
base de transcendência de L ⊇ K;
(2) o número de elementos de duas quaisquer bases de transcendência
de L ⊇ K é o mesmo, chamado de grau de transcendência da extensão
L ⊇ K .
Demonstração. (1) Se cada xi é algébrico sobre K, então a extensão
é algébrica e tomamos m = 0. Se, digamos, x1 é transcendente, façamos
K ′ = K(x1), de sorte que L = K
′(x2, . . . , xN ) e podemos argumentar
por indução sobre N , o número de geradores da extensão. Assim, reor-
denando se necessário podemos supor que x2, . . . , xm são algebricamente
independentes sobre K ′ e L ⊇ K ′(x2, . . . , xm) é algébrica. Segue-se que
x1, . . . , xm é uma base de transcendência para L ⊇ K.
(2) Seja x1, . . . , xm uma base de transcendência e sejam y1, . . . , yr
algebricamente independentes. Mostraremos que m ≥ r. Precisamente,
para cada i = 1, . . . , r, veremos que, reordenando os xi se necessário,
podemos substituir xi por yi, de sorte que y1, . . . , yi, xi+1, . . . , xm per-
manece uma base de transcendência.
Observemos de ińıcio que y1 é algébrico sobre K(x1, . . . , xm). Logo,
podemos escrever uma relação de dependência, obtendo um polinômio
f(X0, X1, . . . , Xm) ∈ K[X0, X1, . . . , Xm]
não constante tal que f(y1, x1, . . . , xm) = 0. Nessa relação, seguramente
ocorre algum termo não nulo em y1 (pois x1, . . . , xm são algebricamente
independentes) bem como algum dos xi, digamos x1, porque y1 é trans-
cendente sobre K.
Afirmamos que y1, x2 . . . , xm é uma base de transcendência.
Com efeito, temos x1 algébrico sobre K(y1, x2 . . . , xm) em virtude
da relação dada por f . Assim, temos as extensões algébricas,
L = K(x1 . . . , xN ) ⊇ K(y1, x1, x2 . . . , xm) ⊇ K(y1, x2 . . . , xm).
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148 Apêndice Cap. 10
Se y1, x2, . . . , xm fossem algebricamente dependentes, numa relação não
trivial g(y1, x2, . . . , xm) = 0 necessariamente y1 compareceria em al-
gum termo não nulo, senão seria uma relação entre os xi, proibida por
hipótese; mas y1 algébrico sobre K(x2, . . . , xm) implica em x1 algébrico
sobre este mesmo corpo, também imposśıvel, completando a verificação.
2
39. Proposição. Sejam M ⊇ L ⊇ K extensões de corpos finitamente
geradas. Então vale a regra da aditividade dos graus de transcendência
transKM = transLM + transKL.
Demonstração. Seja x = x1, . . . , xm uma base de transcendência de
L sobre K. Temos que L é algébrico sobre a extensão transcendente
K(x) de K. Seja y = y1, . . . , yn uma base de transcendência de M sobre
L. Mostremos que a união x, y é uma base de transcendência de M
sobre K. Seja
f(T1, . . . , Tm, U1, . . . , Un) =
∑
i ai(T )U
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um polinômio a coeficientes em K tal que f(x, y) = 0. Então
f(x, U1, . . . , Un) =
∑
i ai(x)U
i
é um polinômio a coeficientes em L ⊃ K(x) que fornece uma relação de
dependência para y sobre L. Logo, cada coeficiente ai(x) é nulo. Pela
independência de x sobre K, temos cada ai(T ) = 0 e portanto f = 0.
Logo x, y é algebricamente independente sobre K. Resta mostrar que M
é algébrico sobre K(x, y). Dado z em M , existe um polinômio g 6= 0, a
coeficientes em L′ = L(y), tal que g(z) = 0. Logo, a extensão L′(z) ⊇ L′
é finita. Como a extensão L ⊇ K(x) é finita, segue-se facilmente que
a extensão L′(z) ⊇ K(x, y) é finita e portanto z é algébrico sobre este
último corpo.
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Bibliografia
Um roteiro padrão para continuar o percurso aqui delineado poderia
começar com [13], seguido de – ou, com mais fôlego, em paralelo a – [17],
[31], [18]. As referências [21] e [28] são de caráter introdutório. Suporte
necessário de álgebra comutativa mesclado com exemplos geométricos
encontra-se em [24]. Um belo apanhado da contribuição dos patriarcas
(1800-19??) encontra-se no compêndio [8]. O sabor de técnicas com-
putacionais é bem apresentado em [9]; alguns dos tópicos áı tratados
são expostos em [33]. Já [1] propicia uma visão geral personaĺıssima,
informal e fascinante, endereçada a uma “audiência de engenheiros”
(nas palavras do autor). Aplicações de curvas algébricas à teoria dos
códigos corretores de erros são apresentadas a ńıvel elementar em [34];
veja também [27]. Para mais geometria de curvas sobre corpos finitos,
consultar [14]. Uma introdução a fenômenos t́ıpicos da geometria de
curvas em caracteŕıstica > 0 pode ser vista em [19]. Uma abordagem
complexo-anaĺıtica acha-se em [7]. Por fim, para notas históricas, veja
[11].
1. S. S. Abhyankar, Algebraic Geometry for Scientists and Engineers,
AMS Math. Surveys and Monographs, vol. 35, 1990.
2. V. I. Arnold, Real Algebraic Geometry (the 16th Hilbert Problem),
in Proceedings of Symposia in Pure Math., Vol. 28, F.E. Browder,
editor, AMS, 1974.
3. I. Blake, G. Seroussi, N. Smart, Elliptic Curves in Cryptography,
London Math. Soc. L.N.S.#265, Cambridge Univ. Press, 1999.
4. C. B. Boyer, História da Matemática, trad. E. Gomide, Edgar
Blucher, 1968.
5. B. J. Caraça, Conceitos Fundamentais da Matemática, Livraria Sá
da Costa, Lisboa, 1984.
6. C. Camacho O 16◦ Problema de Hilbert, Matemática Universitária
n◦ 10, 1989.
7. C. H. Clemens, A scrapbook of complex curve theory, Plenum
Press, New York, 1980.
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150 Bibliografia
8. J. L. Coolidge, A Treatise on Algebraic Plane Curves, Dover Publ.,
New York, 1959.
9. D. Cox, J. Little, D. O’Shea, Ideals, Varieties and Algorithms,
Undergraduate Texts in Math., Springer–Verlag, New York, 1992.
10. R. Descartes, Discours de la méthode (1637),
http://perso.wanadoo.fr/minerva/DM/Page accueil DM.htm ou
http://www.literature.org/authors/descartes-rene/reason-discourse.
11. J. Dieudonné, Cours de Géométrie Algébrique, vol. 1, P. U. France,
1974.
12. , Calcul Infinitésimal, Hermann, Paris, 1968.
13. W. Fulton, Algebraic Curves: an Introduction to Algebraic Geo-
metry, Benjamin, New York, 1969.
14. A. Garcia, Pontos Racionais sobre Corpos Finitos, 20o Colóquio
Brasileiro de Matemática, IMPA, 1995.
15. A. Gonçalves, Introduçao à Álgebra, Projeto Euclides, IMPA, 1987.
16. F. Q. Gouvêa, Uma demonstração maravilhosa, Matemática Uni-
versitária no. 19, p. 16-43, 1995.
17. J. Harris, Algebraic Geometry (A First Course), GTM133, Springer–
Verlag, 1977.
18. R. Hartshorne, Algebraic Geometry, GTM52, Springer–Verlag, 1992.
19. A. Hefez, Introdução à Geometria Projetiva, IMPA, 1990.
20. C. Jordan, Traité des Substitutions et des équations algébriques,
Gauthier-Villars, Paris, 1870. (Reimpresso Éd. Jacques Gabay,
Sceaux, 1989.)
21. F. Kirwan, Complex Algebraic Curves, Univ. Oxford, 1987.
22. F. Klein, Famous Problems of Elementary Geometry, Dover Publ.,
New York, 1956.
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Bibliografia 151
23. N. Koblitz, A course in number theory and cryptography, Second
edition. Graduate Texts in Mathematics, 114. Springer-Verlag,
New York, 1994.24. E. Kunz, Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geo-
metry,
Birkhäuser Boston, 1985.
25. S. Lang, Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211. Springer-
Verlag, 2002.
26. G. A. Miller, H. F.Blichfeldt, L. E. Dickson Theory and Applica-
tions of Finite Groups, Dover, 1961.
27. O. Pretzel, Codes and algebraic curves, Oxford Lecture Series in
Math., 8, The Clarendon Press, Oxford University Press, New
York, 1998.
28. M. Reid, Undergraduate Algebraic Geometry, Univ. Warwick, Lon-
don Math. Soc. Student Texts, 12, 1988.
29. A. Seidenberg, Elements of the Theory of Algebraic Curves, Addi-
son Wesley, 1968.
30. J. P. Serre, Algèbre locale. Multiplicités., Springer-Verlag, 1965.
31. I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry 1, 2nd ed. rev. e
expandida, Springer–Verlag, 1994.
32. J. Tate, J. H. Silverman, Rational Points on Elliptic Curves, Un-
dergrad. Texts in Math., Springer–Verlag, New York, 1992.
33. I. Vainsencher, Bases de Gröbner: Resolvendo Equações Polino-
miais, Atas da XIII Escola de Álgebra, ed. A. J. Engler, IMECC-
UNICAMP, 1995.
34. J. F. Voloch, Códigos Corretores de Erros, IMPA, 1987.
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Índice
afinidade, 14
ângulo, trissecção, 2, 7
asśıntota, 27
astróide, 7
automorfismo, 135
Bézout, teorema de, 62
bitangentes, 91, 92
caracol de Pascal, 7
ciclo, 124
ćırculo, 2
cissóide, 4, 38, 55, 92
componente irredut́ıvel, 11, 49
concóide, 7
de Nicomedes, 7
congruentes, curvas, 50
cônica, 11, 13
cônica afim, 17
conteúdo, 142
convenção, 49
coordenadas
homogêneas, 45–47
sistema de, afim, 14
corpo, 134
algebricamente fechado, 10,
146
de funções, 98
de ráızes, 73, 146
cúbica, 11, 13, 18, 43
cuspidal, 55, 88
estrutura de grupo, 13
estrutura de grupo, 130
nodal, 70, 89
parábola, 52, 59
singular, 107
cubo, duplicação, 2, 6
curva, 2
irredut́ıvel, 11
lisa, 37, 59
plana afim, 11
plana projetiva, 49
polar, 86
projetiva racional, 107
projetiva racional, 114
racional, 8, 94, 100
cúspide, 37
dependência algébrica, 146
desomogeneização, 49
diagrama de Newton, 40
direção assintótica, 53
direção assintótica, 26, 27
distância finita, 49
divisor de zero, 134
domı́nio, 134
dual
curva, 91
plano, 91
reta, 54
eliminação, 106
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Índice 153
elipse, 3, 51
epiciclóide, 8
epimorfismo, 135
equivalência racional, 125
espaço projetivo, 47
Euler, fórmula de, 59, 113
extensão
algébrica, 145
finita, 144
extensão algébrica, 8
fecho algébrico, 63, 146
fecho projetivo, 49
folium de Descartes, 6, 55, 92
função
elementar, 114
impĺıcita, 80
racional, 94
regular, 97
gênero
geométrico, 108
virtual, 108
grau
da resultante, 26, 27, 29
de transcendência, 147
de uma curva, 11, 49
hessiana, 88
hipérbole, 3, 51
hiperplano, 54
no infinito, 47
hipociclóides, 8
homogeneização, 48
homomorfismo, 134
ideal
gerado, 137
principal, 137
ı́ndice de interseção, 58, 62, 70
infinito, ponto no, 45
inflexional
tangente, 42
integrais de funções algébricas,
114
interseção, 20, 24
invert́ıvel, 134
irredut́ıvel
curva, 11
polinômio, 141
isomorfismo, 135
lemniscata, 92, 112
lemniscata de Bernoulli, 8, 37
Lissajous, curva de, 8
Lüroth, teorema de, 102
módulo da cúbica, 122
mudança de coordenadas
afins, 14
projetivas, 50
multiplicidade, 11, 58, 62
da tangente, 37
de interseção, 34, 57, 58, 62
do ponto, 36
nó, 37
oval de Cassini, 8
parábola, 4, 51
parametrização, 94
boa, 102
plano projetivo, 45
Plücker, fórmulas de, 91
polar, curva, 86
polinômio
(ir)redut́ıvel, 141
primitivo, 142
polinomial, aplicação, 105
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154 Índice
ponto
de inflexão, 42, 85, 92
duplo, 37
liso, 37
m-uplo, 37, 59
múltiplo, 59
no infinito, 45
ordinário, 37
simples, 59
singular, 37, 39, 59
triplo, 37
posição
boa, 61
muito boa, 61
primitivo, polinômio, 142
projetividade, 50
racional
curva, 8, 94
função, 94, 98
parametrização, 94
referencial, 14
regular, função, 97
resultante, 22, 26
reta, 2
no infinito, 49
projetiva, 47
tangente, 59
rosácea, 39, 70
série de potências, 75
subespaço projetivo, 53
tacnodal, 38
tangente, 37
traço, 11, 49
transcendência
base de, 147
grau de, 147
transformação afim, 14
representação matricial, 17
triângulo de referência, 51
trissectriz de Maclaurin, 6, 55,
92
zeros de Hilbert, 30
	Capa
	Definições Preliminares e Exemplos
	Um pouco de história
	Equação de uma curva algébrica
	Mudança de coordenadas
	Interseções de Curvas Planas
	Finitude da interseção
	A resultante
	O grau da resultante
	O teorema dos zeros
	Multiplicidades
	Interseção de uma curva com uma reta
	Pontos múltiplos
	Diagrama de Newton
	Pontos no infinito
	O plano projetivo
	Espaços projetivos
	Curvas projetivas
	Mudança de coordenadas projetivas
	Interseção de Curvas
	Interseção de reta e curva, agora projetivas.
	O teorema de Bézout
	Propriedades do Índice
	As propriedades características
	Séries de potências
	Fórmulas de Plücker
	Curvas polares
	A hessiana
	Curvas Racionais
	Curvas racionais afins
	Funções regulares e funções racionais
	O teorema de Lüroth
	Curvas racionais projetivas
	O gênero virtual
	Aplicação ao cálculo integral
	Curvas de Bézier
	Cúbicas não Singulares
	Conexões inesperadas
	Forma normal
	Funções racionais
	Ciclos e equivalência racional
	A estrutura de grupo
	Apêndice
	Anéis, ideais e homomorfismos
	Polinômios
	Domínios de fatoração única e lema de Gauss
	Extensões de corpos
	Bibliografia
	Índice
	Contra-
capa
Introdução às Curvas Algébricas Planas

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