GEOMETRIA ESPACIAL EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

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M17Sólidos Geométricos
Matemática43
41 (UFPB) Depois de desistir de retirar a pipa do pos-
te, João foi jogar futebol no quintal da casa. Ao chutar a
bola com muita força, fez com que ela caísse num reser-
vatório de água com a forma de um cilindro circular reto,
cujo diâmetro é 96 cm. Maria percebeu que exatamente a
metade da bola ficou submersa, o que elevou o nível da
água do reservatório em 0,5 cm (ver desenho).
O raio dessa bola é:
a) 10 cm
b) 11 cm
c) 12 cm
d) 13 cm
e) 14 cm
X
Como V1 = V2 Θ 
 
2
3
3πr = 1 152π Θ r3 = 1 728 Θ r = 12 cm.
O volume de água deslocada (V1) equivale ao volume da semi-esfera (V2)
que ficou submersa.
V1 = πr
2h = π 9 482 9 0,5 = 1 152π cm3
 
V
r
r
2
3
3
4
3
2
2
3
=
π
= π
O espaço entre as esferas e o paralele-
pípedo está preenchido com um líqui-
do. Se a aresta da base do paralelepípe-
do mede 6 cm, o volume do líquido nele
contido, em litros, é aproximadamente
igual a:
a) 0,144 d) 2,06
b) 0,206 e) 20,6
c) 1,44
43 (Fatec-SP) Duas esferas maciças iguais e tangentes
entre si estão inscritas em um paralelepípedo reto-retân-
gulo oco, como mostra a figura abaixo. Observe que cada
esfera tangencia as quatro faces laterais e uma das bases
do paralelepípedo.
X
• Volume do líquido: Vlíq = Vpar − 2 9 Vesfera = (432 − 72π) cm
3
Fazendo π = 3,14: Vlíq = 432 − 226,08 = 205,92 cm
3 = 0,20592 dm3
Ou ainda: 0,20592 σ Λ 0,206 σ.
Sejam R e h, respectivamente, as medi-
das, em centímetros, do raio da esfera e
da altura do paralelepípedo. Assim:
• 2R = 6 Θ R = 3 cm
h = 4R = 4 9 3 = 12 cm
• Volume do paralelepípedo:
V
par
 = 6 9 6 9 12 = 432 cm3
• Volume de cada esfera:
 
V cm
esfera
= π = π
4
3
3 363 3
a) Vcil = π 9 (15)
2 9 50 = 3,14 9 11 250 = 35 325 cm3 = 35,325 dm3
Como 1 dm3 = 1 σ:
Volume de água contido no cilindro: 35,325 σ − 1 σ = 34,325 σ
b) Para fazer transbordar exatamente 2 litros de água, o volume da esfera
de raio R deve ser 3 σ ou 3 dm3.
a) Calcule o volume de água contido no cilindro
(use π = 3,14).
b) Qual deve ser o raio R de uma esfera de ferro que, intro-
duzida no cilindro e totalmente submersa, faça trans-
bordar exatamente 2 litros de água?
42 (Unifesp-SP) Um recipiente contendo água tem a
forma de um cilindro circular reto de altura h = 50 cm e
raio r = 15 cm. Esse recipiente contém 1 litro de água a
menos que sua capacidade total.
 
Logo
R R R
:
4
3
3
9
4
9
4
3 3 39 π 9 = =
π
=
π
→ →
96 cm
h = 4R
6 = 2R
R
6
r
h
água
r = 15 cm
h = 50 cm
 
Então o, raio é igual a dm.R
9
4
3
π
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