GEOMETRIA ESPACIAL: ESFERA

Prévia do material em texto

ESFERA 
 
 
Utilizar o conhecimento geométrico para 
realizar a leitura e a representação da rea-
lidade e agir sobre ela. 
 
 
Identificar características de figuras planas ou 
espaciais. 
 
Resolver situação-problema que envolva co-
nhecimentos geométricos de espaço e forma. 
 
Utilizar conhecimentos geométricos de es-
paço e forma na seleção de argumentos pro-
postos como solução de problemas do cotidi-
ano. 
 
 
 
1. ESFERA 
 
1.1 DEFINIÇÃO 
 
 
2
s
A 4. .R=  
 
 
34
V . .R
3
=  
 
 
 
1.2. Fuso esférico 
 
 
 
 
 
 
 
1.3. Cunha esférica 
 
 
 
1.4. Relação importante: secção da esfera 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: Considere uma melânica perfeitamente es-
férica, de 45cm de raio, e uma fatia da mesma(cunha), 
determine: 
 
 
 
 
 
 
 A área da superfície da melância. 
 O volume em litros da melância. 
 A área da casca de uma fatia cujo ângulo diedro é de 
30º. 
 O volume de uma fatia cujo ângulo diedro é de 60º. 
 Quantos cm2 de plástico são necessários para emba-
lar uma fatia cujo o ângulo diedro equivale a 60° (sem 
nenhuma perda e sem sobrepor camadas de plástico), 
ou seja, qual é a área de superfície total de cada fatia. 
 A área da secção transversal, originada pelo corte de 
um plano a 10cm do centro da esfera. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
01. Um reservatório de gás combustível de forma 
esférica está apoiado numa estrutura metálica 
conforme indicado na figura 
ao lado. 
 
Sabendo que a distância de A a B é de 4m e de 2m 
do ponto B ao ponto C, indique o valor aproximado 
do volume do reservatório, entre as alternativas 
abaixo. 
 580 m3 
 545 m3 
 523 m3 
 512 m3 
 505 m3 
 
02. No final de um curso de Geometria, o professor fez 
um experimento para saber a razão entre os 
diâmetros de duas bolinhas de gude de tamanhos 
diferentes. Primeiro, colocou a bola menor num 
recipiente cilíndrico graduado e observou que o nível 
da água se elevou 1,5 mm e, logo em seguida, 
colocando a bola maior, observou que o nível da 
água subiu 12,0 mm. O professor concluiu que a 
razão entre o diâmetro da bola maior e o 
diâmetro da bola menor é igual a 
 2 6 3 8 11 
 
03. (UNAERP SP) Determine o volume de uma cunha 
esférica, fabricada a partir de uma esfera de 6m de 
diâmetro e um ângulo diedro de 36º, representada 
abaixo: 
 
 
 
 
3
m0,4  
 
3
m4,0  
 
3
m6,3  
 
3
m2,1  
 
3
m2,3  
 
04. (UFU MG) Dispõe-se de um cilindro maciço circular 
reto, feito de alumínio, cujo raio da base mede 4 cm 
e a altura 10 cm. Esse cilindro será derretido e com 
o material fundido serão fabricadas esferas de aço 
de raio 2 cm. 
 Supondo que nesse processo não ocorra perda de 
material, então o número de esferas a ser fabricadas, 
a partir do cilindro dado, é igual a 
 13 
 15 
 14 
 16 
 17 
 
05. (UESPI) Uma indústria química pretende construir 
um reservatório esférico, para armazenar certo tipo 
de gás. Se o reservatório deve ter volume de 
113,04m3, qual deve ser a área de sua superfície? 
Ignore a espessura do reservatório. Dados: use a 
aproximação 14,3 . 
113,04m2 
114,05m2 
 115,06m2 
 116,07m2 
 117,08m2 
 
06. (UNIMONTES MG) Numa oficina de geometria, os 
alunos estavam trabalhando com massa de 
modelar. Com certa quantidade de massa, eles 
fizeram uma bola de raio r. Com a mesma 
quantidade de massa e reduzindo o raio à metade, 
o número de bolas que eles fizeram foi 
 2 
 4. 
 6. 
 8. 
 10 
 
 
 
 
07. (FFFCMPA RS) Uma esfera metálica de raio 3cm é 
colocada dentro de um recipiente cilíndrico que 
contém água, cujo raio da base é de 6cm. Supondo 
que não haja transbordamento de água, pode-se 
afirmar que o nível da água sobe 
 3 cm 
 2,5 cm 
 2 cm 
 1,5 cm 
 1 cm. 
 
08. (UNIMONTES MG) Um recipiente cilíndrico de 20cm 
de diâmetro está completamente cheio de massinha 
de modelar, sem exceder a sua altura de 16cm. O 
número de bolinhas de 2cm de raio, obtidas por uma 
professora, com toda a massinha, é 
 150 
 200 
 250 
 300 
 320 
 
09. Calcular o volume da cunha esférica e a área do fuso 
esférico da figura abaixo, sabendo-se que  = 15º e 
AO = 10cm. 
A
N
O
M

 
 
 
3
9
500 cm
 
 
3
9
50 cm 
 
3
9
5000 cm 
 
3
9
100 cm 
 
3
3
500 cm 
 
10. (UFCG PB) Temos sete esferas com o mesmo raio 
em um recipiente cilíndrico reto. Uma delas é 
tangente a seis outras, seis esferas são tangentes à 
superfície lateral e todas são tangentes à base e à 
tampa desse recipiente. Um corte transversal do 
cilindro passando pelo centro de todas as esferas é 
dado no desenho abaixo. Se os raios das esferas 
medem 1m, qual o volume do cilindro menos o 
volume ocupado pelas esferas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
m 
9

. 
 3,14 m3. 
3
m  . 
 m 19
3
 . 
 
3
m 
3
26
 . 
 
11. Uma esfera de 15 cm de raio é seccionada por um 
plano distante de 12cm de seu centro. A área da 
secção será de: 
 64  cm2 
 49  cm2 
 81  cm2 
 36  cm2 
 27  cm2 
 
 
12. Qual é o raio de uma esfera 1 milhão de vezes maior 
(em volume) que uma esfera de raio 1? 
 100.000 
 10 
 10.000 
 1.000 
 100 
 
 
 
13. (ENEM) Se pudéssemos reunir em esferas toda a 
água do planeta, os diâmetros delas seriam: 
 
 
 
A razão entre o volume da esfera que corresponde à 
água doce superficial e o volume da esfera que corres-
ponde à água doce do planeta é 
 
 
1
343
 
1
7
 
136
203
 
 
 
1
49
 
29
136
 
 
 
 
14. (ENEM) Uma empresa que fabrica esferas de aço, 
de 6 cm de raio, utiliza caixas de madeira, na forma 
de um cubo, para transportá-las. Sabendo que a 
capacidade da caixa é de 13.824 cm3, então o 
número máximo de esferas que podem ser 
transportadas em uma caixa é igual a 
 4 
 8 
 16 
 24 
 32 
 
15. (Enem) Um artista plástico construiu, com certa 
quantidade de massa modeladora, um cilindro 
circular reto cujo de diâmetro da base mede 24 cm 
e cuja altura mede 15 cm. Antes que a massa 
secasse, ele resolveu transformar aquele cilindro em 
uma esfera. 
Volume da esfera: Vesfera = 4 r3/3 
Analisando as características das figuras geométri-
cas envolvidas, conclui-se que o raio R da esfera as-
sim construída é igual a 
 15 
 12 
 24 
 3
3 60 
6
3 30 
 
16. (Enem) O globo da morte é uma atração muito 
usada em circos. Ele consiste em uma espécie de 
jaula em forma de uma superfície esférica feita de 
aço, onde motoqueiros andam com suas motos por 
dentro. A seguir, tem-se, na Figura 1, uma foto de 
um globo da morte e, na Figura 2, uma esfera que 
ilustra um globo da morte. 
 
Na Figura 2, o ponto A está no plano do chão onde está 
colocado o globo da morte e o segmento AB passa pelo 
centro da esfera e é perpendicular ao plano do chão. Su-
ponha que há um foco de luz direcionado para o chão 
colocado no ponto B e que um motoqueiro faça um tra-
jeto dentro da esfera, percorrendo uma circunferência 
que passa pelos pontos A e B. 
Disponível em: www.baixaki.com.br. Acesso em: 29 
fev. 2012 
A imagem do trajeto feito pelo motoqueiro no plano do 
chão é melhor representada por 
 
 
 
 
 
 
 
17. (ENEM) Em um casamento, os donos da festa 
serviam champanhe aos seus convidados em tacas 
com formato de um hemisfério (Figura 1), porem um 
acidente na cozinha culminou na quebra de grande 
parte desses recipientes. Para substituir as tacas 
quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de 
cone (Figura2). No entanto, os noivos solicitaram 
que o volume de champanhe nos dois tipos de tacas 
fosse igual. 
 
Considere: 
4
³
3
esfera
V R= 
1
².
3
cone
V R h= 
Sabendo que a taca com o formato de hemisfério e 
servida completamente cheia, a altura do volume de 
champanhe que deve ser colocado na outra taca, em 
centímetros, e de 
 1,33. 6,00. 12,00. 56,52. 
 113,04. 
 
18. (Enem 2014) Uma empresa farmacêutica produz 
medicamentos em pílulas, cada uma na forma de 
um cilindro com uma semiesfera com o mesmo raio 
do cilindro em cada uma de suas extremidades. 
Essas pílulas são moldadas por uma máquina 
programada para que os cilindros tenham sempre 
10mm de comprimento, adequando o raio de 
acordo com o volume desejado. Um medicamento é 
produzido em pílulas com 5mm de raio. Para 
facilitar a deglutição, deseja-se produzir esse 
medicamento diminuindo o raio para 4mm, e, por 
consequência, seu volume. Isso exige a 
reprogramação da máquina que produz essas 
pílulas. 
Use 3 como valor aproximado para .π A redução do 
volume da pílula, em milímetros cúbicos, após a repro-
gramação da máquina, será igual a 
 168 
 304 
 306 
 378 
 514 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESFERA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SIGA MEU PERFIL NO PASSEI DIRETO 
 
INSCREVA-SE NO CANAL MATEMÁTICA RAPIDOLA 
 
 
 
 
 
 
 
 
01 
C 
02 
A 
03 
B 
04 
A 
05 
B 
06 
C 
07 
B 
08 
E 
09 
A 
10 
B 
11 
B 
12 
E 
13 
B 
14 
B 
15 
A 
16 
C 
17 
D 
18 
E 
https://www.youtube.com/rapidola
https://www.passeidireto.com/perfil/matematica-rapidola