Material Suplementar - Introdução à Análise e ao Projeto em Elementos Finitos

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Introdução à Análise e ao Projeto em Elementos FinitosIntrodução à Análise e ao Projeto em Elementos Finitos
Nam-Ho Kim e Bhavani V. SankarNam-Ho Kim e Bhavani V. Sankar
Departamento de Engenharia Mecânica e Aeroespacial 
College of Engineering, University of Florida 
TTradução e radução e Revisão TécnicaRevisão Técnica
Gen. Bda. Amir Elias Abdalla Kurban, D.Sc.Gen. Bda. Amir Elias Abdalla Kurban, D.Sc.
Engenharia Civil – Estruturas
Comandante do Instituto Militar de Engenharia 
 
Este Material Suplementar contém o Manual de Soluções referentes aos capítulos do livro-texto e que pode ser usado como
apoio para o livro Introdução à Análise e ao Projeto em Elementos Finitos, de Nam-Ho Kim e Bhavani V. Sankar – ISBN
978-85-216-1788-4
Material Suplementar. Manual de Soluções traduzido do material srcinal:
Introduction to Finite Element Analysis and Design, First EditionIntroduction to Finite Element Analysis and Design, First Edition, ISBN: 978-0-470-12539-7
Portuguese translation copyright © 2011 by LTC — Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Translated by permission of
John Wiley & Sons, Inc. Copyright © 2009 by John Wiley & Sons, Inc. All Rights Reserved.
Obra publicada pela LTC:
 Introdução à Análise e ao Projeto em Elementos Finitos
Direitos exclusivos para a língua portuguesa
Copyright © 2011 by
LLTC — Livros Técnicos e TC — Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda.Científicos Editora Ltda. 
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Editoração Eletrônica do material suplementar:
 
SumárioSumário
Capítulo Capítulo 0. 0. Fundamentos Fundamentos Matemáticos 1Matemáticos 1
Capítulo Capítulo 1. 1. Análise Análise de de Tensões Tensões e e Deformações Deformações 1010
Capítulo 2. Capítulo 2. Elementos Elementos de de Barras Barras UniaxiaUniaxiais is e e de de TTreliças: Método reliças: Método Direto Direto 4949
Capítulo 3. Capítulo 3. Método Método dos dos Resíduos Resíduos Ponderados Ponderados e e Método Método de de Energia Energia para para Problemas Unidimensionais Problemas Unidimensionais 105105
Capítulo 4. Capítulo 4. Análise Análise de de Elementos Elementos Finitos Finitos de de Vigas Vigas e e Quadros Quadros 136136
Capítulo 5. Capítulo 5. Elementos Elementos Finitos Finitos para para Problemas Problemas de de Transferência Transferência de de Calor Calor 182182
Capítulo Capítulo 6. 6. Elementos Elementos Finitos Finitos para para Sólidos Sólidos Planos Planos 198198
Capítulo Capítulo 7. 7. Procedimentos Procedimentos e e Modelagem Modelagem em em Elementos Elementos Finitos Finitos 226226
Capítulo Capítulo 8. 8. Projeto Projeto Estrutural Estrutural Usando Usando Elementos Elementos Finitos Finitos 249249
 
CapítuloCapítulo 00
Fundamentos MatemáticosFundamentos Matemáticos
1. Seja a seguinte matriz [TT] 3 3 3:
(a) Escreva a transposta TTT .
(b) Mostre que a matriz [SS] 5 [TT] 1 [TT]T é uma matriz simétrica.
(c) Mostre que a matriz [AA]5 [TT]2 [TT]T é uma matriz antissimétrica. Quais são os componentes da diagonal da
matriz [AA]?
Solução:Solução:
(a) A transposta de uma matriz [AA] é definida como 5 A ji onde i e j indicam a linha e a coluna da matriz [AA];
portanto:
(b) Uma matriz simétrica [AA] é definida como Aij 5 A ji onde i e j indicam a linha e a coluna da matriz [AA]; usando adefinição anterior de transposta, tem-se:
(c) Uma matriz antissimétrica [AA] é definida como uma matriz que obedece à relação Aij 5 2 A ji; usando a definição
anterior de transposta, tem-se:
 Observe que os componentes da diagonal são iguais a zero.
2. Sejam as duas matrizes 33 3 [AA] e [BB] seguintes:
 
2 Capítulo 0 Fundamentos Matemáticos
(a) Calcule [CC] 5 [AA] 1 [BB].
(b) Calcule [DD] 5 [AA] 2 [BB].
(c) Calcule o múltiplo escalar [DD] 5 3[AA].
Solução:Solução:
3. Dados os dois vetores tridimensionais aa e bb a seguir:
(a) Calcule o produto escalar c 5 aa ? bb.
(b) Calcule o módulo do vetor aa.
(c) Calcule o produto vetorial de aa e bb.
Solução:Solução:
4. Para a matriz [TT] do Problema 1 e os dois vetoresaa e bb do Problema 3, resolva as questões seguintes.
(a) Calcule o resultado da multiplicação de matriz por vetor [TT] ? aa.
(b) Calcule bb ? [TT] ? aa.
Solução:Solução:
A multiplicação [TT] ? aa de matriz por vetor é
 
Capítulo 0 Fundamentos Matemáticos 3
bb ? [TT] ? aa pode ser obtida pelo produto escalar de dois vetores bb e [TT] ? aa
5. Para as duas matrizes [AA] e [BB] do Problema 2, resolva as questões seguintes.
(a) Calcule o resultado da multiplicação de matriz por matriz [CC] 5 [AA][BB].
(b) Calcule o resultado da multiplicação [DD] 5 [BB][AA].
Solução:Solução:
(a)
 
(b)
 
Observe que, em geral, [AA][BB]  [BB][AA].
6. Calcule o determinante das seguintes matrizes:
Solução:Solução:
O determinante de [AA] é
O determinante de [BB] é
 
4 Capítulo 0 Fundamentos Matemáticos
7. Calcule a inversa da matriz [AA] do Problema 6.
Solução:Solução:
8. As matrizes [AA] e [BB] são definidas a seguir. SeBB 5 AA21, determine os valores de p, q, r e s.
Solução:Solução:
Se BB 5 AA21, então ABAB 5 II.
9. Resolva o sistema de equações simultâneas a seguir utilizando o método matricial:
Solução:Solução:
O sistema fornecido pode ser representado pela forma matricial a seguir
10. Considere os vetores linha e as matrizes a seguir
 
Capítulo 0 Fundamentos Matemáticos 5
 Usando o MATLAB, calcule AAT , aaT , AA1 BB, AA2 BB, ababT , aaT bb, AAT BB, CC5 BABAT , ABAB, CC21, det(CC). Teste os seguintes
comandos: a * ba * b, A * BA * B e explique a diferença entre eles ea * ba * b e A * BA * B, respectivamente.
Solução:Solução:
Observe que o comando AA * BB resulta em um erro, uma vez que o tamanho da multiplicação não é adequado. O
MATLAB possui dois tipos diferentes de operações aritméticas. As operações aritméticas matriciais são definidas
pelas regras da álgebra linear. As operações com aritméticas com arrays são realizadas elemento por elemento e po-
dem ser usadas com arrays multidimensionais. O caractere ponto (.) faz a distinção entre as operações de arrays e as
operações com matrizes. Entretanto, como as operações de matrizes e arrays são as mesmas para a soma e a subtração,
não são usados os pares de caracteres .1 e .2. Para obter mais informações e exemplos, use a ajuda do MATLAB
(vá para o índice e faça uma pesquisa para “array”).
11. Encontre os autovalores e os autovetores das matrizes dadas a seguir:
(a)
 
(b)
 
Solução:Solução:
(a) O problema de autovalor é definido como:
 Da condição de determinante nulo, a equação característica se torna:
 As raízes da equação são encontradas como:
 Substituindo l1 na equação característica, obtém-se
 Resolvendo o sistema de equações e obtendo xx(1), tem-se:
 Substituindo l2 na equação característica, obtém-se
 
6 Capítulo 0 Fundamentos Matemáticos
 Resolvendo o sistema de equações e obtendo xx(2), tem-se:
 Substituindo l3 na equação característica, obtém-se:
 Resolvendo o sistema de equações e obtendo xx(3), tem-se:
(b) O problema de autovalor é definido como:
 Da condição de determinante nulo, a equação característica se torna:
 As raízes da equação são encontradas como:
 Substituindo l1 na equação característica, obtém-se:
 Resolvendo o sistema de equações e obtendo xx(1), tem-se:
 Substituindo l2 (ou l3) na equação característica, obtém-se:
 Observamos que a segunda equação é trivial (0 x 110 x 210 x 350!), e que a primeira e a terceira equações são iguais.
A única informação que obtemos dessas equações é x 15 22 x 3, e o valor de x 2 é arbitrário, o que significa que
ele pode assumir qualquer valor. Por isso, o autovetor pode ser escrito comoxx(2) 5 [22, a, 1]T . Se for desejado
normalizar o vetor, obtemos
 Assim, vemos que existem infinitos autovetores. Alguns exemplos são:
 Observe que todos os vetores xx(2) são ortogonais a xx(1), uma vez que xx(2) · xx(1) 5 0 para qualquer valor de a.
 
Capítulo 0 Fundamentos Matemáticos 7
12. Construa a forma quadrática paraa matriz [AA] do Problema 2,i.e., {xx}T [AA]{xx}, e compare com a forma quadrá-
tica calculada usando a parte simétrica [AAS ].
Solução:Solução:
A forma quadrática da matriz [AA] é:
A forma simétrica de [AA] pode ser encontrada usando a seguinte equação:
A forma quadrática da matriz [AAs] é:
As duas formas quadráticas são idênticas.
13. Dada a equação matricial [AA]{xx} 5 {bb}, definida por
 (a) Construa a forma quadrática F (xx) 5 {xx}T [AA]{xx} 2 2{xx}T [bb].
 (b) Encontre { xx} 5 {xx**} minimizando F (xx).
 (c) Verifique se o vetor { xx**} satisfaz [AA]{xx} 5 {bb}.
Solução:Solução:
(a) A forma quadrática F (xx) é:
(b) Encontre {xx} 5 {xx*} que minimize F (xx).
Resolvendo as três equações imediatamente anteriores em relação às três incógnitas, podemos obter: x 1 
5
 4, x 2 
5
 0e x 3 5 4.
(c) Verifique se a solução {xx*} satisfaz [AA]{xx**} 5 {bb}.
A solução está confirmada.
 
8 Capítulo 0 Fundamentos Matemáticos
14. A função f ( x 1, x 2) de duas variáveis x 1 e x 2 é dada por
 (a) Multiplique as matrizes e exprima f como um polinômio em x 1 e x 2.
 (b) Determine o valor extremo (máximo ou mínimo) da função e os valores correspondentes de x 1 e x 2.
 (c) Esse valor é máximo ou mínimo?
Solução:Solução:
(a)
(b) Diferenciando f em relação a x 1 e x 2,
Resolvendo essa equação, temos x 1 5 2, x 2 5 2.
(c) Esse ponto é um máximo porque a matriz hessiana é positiva definida.
15. A função f ( x , y, z) de x , y e z é definida como
onde
 (a) Multiplique as matrizes e exprima f como um polinômio em x , y e z.
 (b) Escreva as três equações necessárias para encontrar o valor extremo da função na forma
 (c) Resolva as equações em (b) a fim de determinar os valores de x , y e z correspondentes ao valor extre-
mo de f .
 (d) Calcule o valor extremo de f .
 (e) Esse valor é um máximo ou um mínimo?
 (f) Calcule o determinante de [ KK].
Solução:Solução:
(a)
 
(b)
 
 
Capítulo 0 Fundamentos Matemáticos 9
(c)
 
(d) 
(e) Matriz hessiana:
 
Autovalores de[H][H] : l1 5 20,5157, 0; l2 5 0,1709; l3 5 11,3448. Esse ponto não é máximo nem mínimo, é
um ponto de inflexão.
(f)
 
 
CapítuloCapítulo 11
Análise de Tensões e DeformaçõesAnálise de Tensões e Deformações
1. Uma força vertical F é aplicada a uma treliça de duas barras conforme a figura. Suponha que as áreas das seções
transversais dos elementos 1 e 2 sejam A1 e A2, respectivamente. Determine a relação entre as áreas A1 / A2 a fim deque haja o mesmo valor de tensão em ambos os elementos.
Solução:Solução:
Do equilíbrio de forças em B,
 
Como a treliça é uma barra sujeita à aplicação de duas forças, f 1 5 A1s 1 e f 2 5 A2s 2. Desta forma,
2. A tensão em um ponto P é dada a seguir. Os cossenos diretores da normalnn ao plano que passa por P guardam
entre si a relação n x :n y:n z 5 3:4:12. Determine (a) o vetor da força TT(n)(n); (b) o móduloT de TT(n)(n); (c) a tensão normal
s n; (d) a tensão cisalhante t n; e (e) o ângulo entre TT(n)(n) e nn.
 Sugestão:
 
Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações 11
Solução:Solução:
(a) Em primeiro lugar, precisamos do vetor unitário normalnn:
A seguir, o vetor de força de superfície nesse plano se torna
(b) Como TT(n)(n) é um vetor, seu módulo pode ser obtido usando a norma como
(c)
 
(d)
 
(e)
 
3.3. Em um ponto P de um corpo, os componentes cartesianos da tensão são dados por s xx 5 80 MPa, s yy 5 240 MPa,
s zz 5 240 MPa e t xy 5 t yz 5 t zx 5 80 MPa. Determinar o vetor da força de superfície, seu componente normal e
seu componente de cisalhamento em um plano que esteja igualmente inclinado em relação aos três eixos coorde-
nados.
 Sugestão: Quando um plano está igualmente inclinado em relação aos três eixos coordenados, os cossenos dire-
tores da normal são iguais.
Solução:Solução:
O vetor normal unitário neste caso é
O vetor da força de superfície nesta direção se torna
 
12 Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações
O componente normal do vetor da força de superfície é
O componente cisalhante do vetor da força de superfície é
4. Se s xx 5 90 MPa, s yy 5 245 MPa, t xy 5 30 MPa e s zz 5 t xz 5 t yz 5 0, calcule a força de superfície TT(n)(n) no plano
mostrado na figura, que faz um ângulo q 5 40º com o eixo vertical. Qual o componente normal e qual o de cisa-
lhamento da tensão nesse plano?
Solução:Solução:
Vetor unitário normal:
Vetor da força de superfície:
 
Tensão normal:
 
Tensão cisalhante:
5. Encontre as tensões principais e as direções principais correspondentes para os seguintes casos de estado plano de
tensões:
(a) s xx 5 40 MPa, s yy 5 0 MPa, t xy 5 80 MPa
(b) s xx 5 140 MPa, s yy 5 20 MPa, t xy 5 260 MPa
(c) s xx 5 2120 MPa, s yy 5 50 MPa, t xy 5 100 MPa
Solução:Solução:
(a) A matriz das tensões se torna
Para encontrar as tensões principais, o problema padrão pode ser escrito como
 
Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações 13
O problema anterior terá solução não trivial quando o determinante da matriz dos coeficientes se tornar nulo:
A equação do determinante se torna:
A equação quadrática anterior leva a duas tensões principais, como
Para determinar a orientação da primeira tensão principal, substitua s 1 no problema srcinal de autovalor para obter
Como o determinante é nulo, as duas equações não são independentes.
Desta forma, só podemos obter a relação entre n x e n y. Assim, usando a condição |nn| 5 1, obtemos
Para determinar a orientação da segunda tensão principal, substitua s 2 no problema srcinal de autovalor para obter
Usando procedimentos similares aos anteriores, o autovetor de s 2 pode ser obtido como
Observe que, senn é uma direção principal,2nn também é uma direção principal.
(b) Repita o procedimento em (a) para obter
(c) Repita o procedimento em (a) para obter
 
14 Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações
Observe que, para o caso de estado plano de tensões, s 3 5 0 também é uma tensão principal, e a direção da tensão
principal correspondente é dada por n(3) 5 (0, 0, 1).
6. Se a tensão principal mínima é 27 MPa, encontre s xx e o ângulo que os eixos das tensões principais fazem com
os eixos xy para o caso de estado plano de tensões ilustrado.
Solução:Solução:
Com o componente x desconhecido, o problema de autovalor pode ser escrito como
As tensões principais podem ser determinadas fazendo com que o determinante seja igual a zero.
Como 27MPa é uma das raízes da equação anterior, podemos encontrars xx substituindo esse valor na equação an-
terior como
Resolvendo a equação anterior, podemos obters xx 5 105 MPa. Assim, a outra tensão principal pode ser encontrada
a partir do determinante srcinal como
Direção principal para a primeira tensão principal: Do problema srcinal de autovalor,
A solução da equação anterior não é única. Estabelecendo |nn1|5 1, temos nn1 5 {60,8944,70,4472}, que é a direção
principal correspondente a s 1.
Direção principal para a segunda tensão principal: Do problema srcinal de autovalor,
 
Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações 15
A solução das equações anteriores é nn2 5 {60,4472, 60,8944}, que é a direção principal correspondente a s 2. As
duas direções principais estão representadas no gráfico a seguir. Observe que as duas direções principais são perpen-
diculares entre si.
7. Determine as tensões principais e suas direções associadas quando a matriz de tensões em um ponto for dada por
Solução:Solução:
Use a Eq. (0.46) do Capítulo 0 com os coeficientes de I 1 5 3, I 2 5 23 e I 3 5 21,
Resolvendo a equação cúbica anterior usando o método descrito na Seção 0.4,
(a) Direção principal correspondente a s 1:
Resolvendo as equações anteriores com |nn1| 5 1, tem-se
(b) Direção principal correspondente a s 2:
Resolvendo as equações anteriores com |nn2| 5 1, tem-se
(c) Direção principal correspondente a s 3:
 
16 Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações
Resolvendo as equações anteriores com |nn2| 5 1, tem-se
8. Suponha que o sistema de coordenadas x 9 y9 z9seja definido usando as três direções principais obtidas do Problema
7. Determine a matriz transformada de tensões [s ] x 9 y9 z9 no novo sistema de coordenadas.
Solução:Solução:
As três direções principais do Problema 6 podem ser usadas para a matriz de transformação de coordenadas:
Para determinar os componentes de tensão nas novas coordenadas, usamos a Eq. (1.30):
Observe que a matriz de transformação de coordenadas é uma matriz diagonal que apresenta as tensões principais
srcinais na diagonal.
9. Para a matriz de tensões a seguir, as duas tensões principais são dadas por s 3 5 23 e s 1 5 2, respectivamente.
Além disso, as duas direções das tensões principais correspondentes às duas tensões principais também são dadas
a seguir.
(a) Qual a tensão normal e qual a cisalhante em um plano cujo vetor normal é paralelo a (2, 1, 2)?
(b) Calcule a tensão principal restante s 2 e a direção principal nn2.
(c) Escreva a matriz de tensões em um novo sistema de coordenadas que esteja alinhado comnn1, nn22 e nn3.
Solução:Solução:
(a) Vetor normal:
Vetor da força de superfície:
 
O componente normal do vetor das tensões no plano pode ser calculado como
 
Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações 17
(b) Usando a Eq. (0.46) do Capítulo 0, os autovalores são governados por
Podemos encontrar os coeficientes da equação cúbica anterior a partir da Eq. (0.47) por I 1 5 0, I 2 5 27 e I 3 5 26.
Desta forma temos:
Assim, a tensão principal restante é s 2 5 1.
Como as três tensões principais são mutuamente ortogonais, a terceira direção principal pode ser calculada usando
o produto vetorial. Para estabelecer uma clara convenção de sinais para os eixos principais, exigimos que eles formem
uma tríade que respeite a regra da mão direita. Se nn
1
 e nn
3
 forem vetores unitários que definem as direções do primei-ro e do terceiro eixos principais, então o vetor unitário nn2 para o segundo eixo principal é determinado pela regra da
mão direita da multiplicação de vetores. Desta forma temos
(c) A matriz de transformação de coordenadas pode ser obtida a partir das direções principais, da seguinte forma:
A matriz das tensões nas coordenadas transformadas se torna
10. Com relação ao sistema de coordenadas xyz, o estado de tensões em um ponto P de um sólido é
 (a) mm1, mm2 e mm3 são três vetores mutuamente ortogonais tais que mm1 faz 45º com os eixos x e y e mm3 está alinhado
com o eixo z. Calcule as tensões normais nos planos normais a mm1, mm2 e mm3.
 (b) Calcule os dois componentes da tensão cisalhante no plano normal a mm1 nas direções de mm2 e mm3.
 (c) O vetor nn 5 {0, 1, 1} T está na direção de uma tensão principal? Explique. Qual é a tensão normal na di-
reção nn?
 
18 Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações
 (d) Desenhe um cubo infinitesimal com as faces normais a mm1, mm2 e mm3 e mostre as tensões nas faces positivas
do cubo.
 (e) Exprima o estado de tensões em um ponto P em relação ao sistema de coordenadas x 9 y9 z9 que esteja alinhado
com os vetores mm1, mm2 e mm3.
 (f) Qual a tensão principal e quais as direções principais de tensões no ponto P em relação ao sistema de coor-
denadas x 9 y9 z9? Explique.
 (g) Calcule a tensão cisalhante máxima no ponto P. Em que plano(s) essa tensão cisalhante máxima atua?
Solução:Solução:
(a)
 
(b)
 
(c) Sim,
Como TT(n)(n) // nn, nn é uma direção principal com tensão principal5 50 MPa.
(d)
 
Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações 19
(e)
(f) Tensões principais5 50, 50 e 220 MPa
nn1 e nn2 são dois vetores unitários quaisquer que se situam em um plano perpendicular a nn3.
(g) A tensão cisalhante máxima ocorre em um plano cuja normal faz 45º com a direção da tensão principal. Como
s 1 5 s 2, todas as direções que fazem 45º com o eixo x (eixo de s 3) conterão a tensão cisalhante máxima cujo valor é
Os planos das tensões cisalhantes máximas estão no formato de um cone cujo eixo é paralelo ao eixo x e tem um
ângulo de 45º.
11. Um eixo sólido com d 5 5 cm, conforme a figura, está sujeito a uma força de tração P 5 13.000 N e um torque
de 6.000 N◊cm. No ponto A da superfície, qual é o estado de tensões (escreva na forma matricial), quais as ten-
sões principais e qual a máxima tensão cisalhante? Mostre o sistema de coordenadas utilizado.
Solução:Solução:
Vamos estabelecer um sistema de coordenadas como o mostrado na figura. A força axial srcinará a tensão normal
s xx enquanto o torque srcinará a tensão cisalhante t xy. Seus valores são
Assim, a matriz das tensões se torna
 
 
20 Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações
Resolvendo o problema de autovalor e autovetor, a tensão principal pode ser obtida da seguinte maneira:
A tensão cisalhante máxima é
12. Se o campo de deslocamentos for dado por
 (a) Escreva a matriz 3 3 3 das deformações.
 (b) Qual é o componente da deformação específica normal (linear) na direção (1, 1, 1) no ponto (1, 23, 1)?
Solução:Solução:
(a) A matriz de deformações simétrica 33 3 pode ser calculada, a partir de sua definição, como
Além disso, o vetor normal unitário na direção de (1, 1, 1) é
(b) Desta forma, o componente normal da deformação é
Assim, o componente normal da deformação diminui, à medida que a coordenada y de um ponto aumenta. No ponto
(1, 23, 1), y 5 23
13. Considere o seguinte campo de deslocamentos em um sólido plano:
 (a) Calcule os componentes de deformação e xx , e yy e g xy. Esse é um caso de estado plano de deformações?
 (b) Determine as deformações principais e suas direções correspondentes. Exprima as direções das deformações
principais em termos dos ângulos que as direções fazem com o eixo x .
 (c) Qual o valor da deformação específica normal no ponto O em uma direção que faz 45º com o eixo x ?
 
Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações 21
Solução:Solução:
(a) Componentes de deformação:
Sim, esse é um estado de deformações uniformes porque as deformações não dependem da posição x , y, z.
(b) Deformações principais e direções principais.
Encontre os autovalores (deformações principais) e autovetores (direção principal) resolvendo o problema de auto-
valor:
A equação anterior leva a duas deformações principais,e 1 5 l 1 5 20,01231 e e 2 5 l 2 5 20,01431. A direção prin-
cipal que corresponde à primeira deformação principal é
O ângulo que a direção faz com o eixo x pode ser encontrado a partir da relação cos q 5 20,9556, sen q 5 10,2948.
Isso leva aq  163º.
A direção principal correspondente à segunda deformação principal é
e o ângulo é encontrado com o valor deq  73º.
(c)
Deformação no ponto O
 
vetor da direção
 
 
22 Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações
Desta forma, a deformação normal na direção de nn se torna
14. O campo de deslocamentos em um sólido é dado por
onde k é uma constante.
 (a) Escreva a matriz de deformações.
 (b) Qual a deformação específica normal na direção de nn 5 {1, 1, 1}T ?
Solução:Solução:
(a) Da definição de deformação
Desta forma, a matriz das deformações é
(b) O vetor unitário normal
Assim sendo, a deformação normal na direção de nn é
15. Desenhe um quadrado OABC, com 23 2 polegadas, em um papel quadriculado. As coordenadas de O são (0,
0) e de B são (2, 2). Usando o campo de deslocamentos do Problema 13, determine os deslocamentos u e v dos
vértices do quadrado. Admita que o quadrado deformado seja indicado por O9A9B9C9.
 (a) Determine as variações de comprimento de AO e OC . Relacione as variações aos componentes de deforma-
ção.
 
Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações 23
 (b) Determine a variação em – AOC . Relacione a variação com a deformação por cisalhamento.
 (c) Determine a variação de comprimento da diagonal OB. Como ela se relaciona com a(s) deformação(ões)?
 (d) Mostre que a variação relativa da área do quadrado (variação da área/área srcinal) é dada por D A / A 5 e xx 1 
e yy 5 e 1 1 e 2.
 Sugestão: Pode-se empregar o método antigo de usar esquadros e compasso ou usar planilhas para fazer os cálcu-
los. Coloque a srcem em algum localna metade inferior do papel de forma que haja bastante espaço à esquerda
da srcem.
Solução:Solução:
(a) Suponha que O Æ O9, A Æ A9, B Æ B9, C Æ C 9 depois da deformação; suponha ainda que as coordenadas de
cada ponto sejam O(0, 0), A(0, 2), B(2, 2) C (2, 0). A partir do campo de deslocamentos, podemos obter o deslo-
camento de cada ponto:
 
24 Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações
(b)
(c)
(d)
Observe que o valor da variação de área é próximo ao valor da soma das duas deformações normais:
16. Desenhe um quadrado OPQR com 2 3 2 polegadas (5,083 5,08 cm) de forma que OP faça173º com o eixo
 x . Repita as perguntas (a) a (d) do Problema 15 para OPQR. Forneça uma interpretação física para seus resulta-
dos.
 Nota: As deformações principais e as direções das deformações principais são dadas por
 
Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações 25
Solução:Solução:
(a) Suponha que O Æ O9, P Æ P9, Q Æ Q9, R Æ R9 depois da deformação. As coordenadas de cada ponto sãoO(0, 0),
P(0,585, 1,913), Q(2,497, 1,328), R(1,913,20,585). A partir do campo de deslocamentos, podemos obter o des-
locamento de cada ponto:
As variações dos comprimentos de OP e OR são iguais às deformações principais, uma vez que 73º é a direção prin-
cipal.
(b)
 
26 Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações
Na direção principal, não há distorção.
(c) O Ponto Q é deslocado para:
Desta forma, o significado da variação do comprimento da diagonal é o mesmo que em (c) do Problema 15.
(d)
17. Para o aço, são válidos os seguintes dados para o material: Módulo de elasticidade longitudinal (módulo de
Young) E 5 207 GPa e módulo de elasticidade transversal G 5 80 GPa. Para a matriz de deformações em um
ponto, mostrada a seguir, determine a matriz 33 3 simétrica das tensões.
Solução:Solução:
A partir da Eq. (1.58) a matriz de elasticidade se torna:
 
Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações 27
A partir da relação G 5 E / 2(11 n ), calculamos n 5 ( E / 2G) 2 1 5 0,294.
Na notação matricial
18. A deformação em um ponto é tal que e xx 5 e yy 5 0, e zz 5 20,001, e xy 5 0,006, e xz 5 e yz 5 0.
 Nota: Não é necessário resolver um problema de autovalor para essa questão.
 (a) Mostre que nn1 5 ii 1 j j e nn2 5 2ii 1 j j são as direções principais das deformações nesse ponto.
 (b) Qual a terceira direção principal?
 (c) Calcule as três tensões principais.
Solução:Solução:
(a) A matriz das deformações é
Para mostrar que a direção nn é uma direção principal, é suficiente mostrar que [e ] ? nn || nn. Depois de normalizar nn1 
e nn2,
Em consequência, nn1 e nn2 são direções principais.
(b) A partir da propriedade de ortogonalidade das direções principais, a terceira direção principal pode ser encontrada
usando o produto vetorial como
Observe quenn3 na equação anterior está normalizado.
 
28 Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações
(c) Como a terceira direção principal é paralela ao eixo z, e zz é a terceira deformação principal;i.e., e 3 5 e zz 5 20,001.
Com base na Parte (a), a deformação principal e 1 e e 2 pode ser obtida porque [e] ? nn 5 lnn. Assim, as três defor-
mações principais são
Observe que as três deformações principais estão reordenadas.
19. Encontre a relação entre tensões e deformações na Eq. (1.60) a partir da Eq. (1.55) e das condições para o estado
plano de tensões.
Solução:Solução:
A relação tridimensional tensão-deformação é dada pela Eq. (1.57). Da terceira equação da Eq. (1.57),
Então, da primeira equação da Eq. (1.57),
De modo idêntico,
Em consequência, se combinarmos essas equações, podemos obter a Eq. (1.60):
20. Uma placa fina, com largura b, espessura t e comprimento L, está colocada entre duas paredes rígidas e lisas
(sem atrito) separadas por uma distância b e está submetida a uma força axial P. As propriedades do material
são módulo de elasticidade longitudinal (módulo de Young) E e coeficiente de Poissonn .
 (a) Encontre os componentes de tensão e deformação no sistema de coordenadas xyz. (b) Encontre o campo de deslocamentos.
 
Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações 29
Solução:Solução:
(a) A partir das condições de força dadas, podemos calcular os componentes de tensão e encontramos
 
(1)
Ainda não conhecemos s 0, mas fica evidente que deve ser uma tensão de compressão na direção y devida ao efeito de
Poisson. Por todas as tensões cisalhantes serem nulas, todas as deformações de cisalhamento também são nulas:
Da geometria, podemos calcular os seguintes componentes de tensão:
 
(2)
Ainda não conhecemos d .
Vamos calcular os parâmetros desconhecidoss 
0
 e d usando a relação tensão-deformação.
Substituindo as relações da Eq. (1) na segunda equação anterior, obtemos
E, da primeira relação, pode-se calcular o parâmetro desconhecido d com o valor de
Desta forma, os componentes de tensão são
E a deformação normal na direção z é
 
30 Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações
(b) Os componentes de deslocamento podem ser calculados por meio de integração e valem
21. Um sólido com módulo de elasticidade transversal E 5 70 GPa e coeficiente de Poisson5 0,3 está em um estadoestado
plano de deformaçõesplano de deformações paralelo ao plano xy. Os componentes da deformação no plano têm os seguintes valores:
e xx 5 0,007, e yy 5 20,008 e g xy 5 0,02.
 (a) Calcule as deformações principais e as direções correspondentes.
 (b) Calcule as tensões, incluindo s zz, correspondentes às deformações do item anterior.
 (c) Determine as tensões principais e as direções correspondentes. As direções das tensões principais são iguais
às direções das deformações principais?
 (d) Mostre que as tensões principais poderiam ter sido obtidas a partir das deformações principais por intermédio
das relações entre tensões e deformações.
 (e) Calcule a energia específica de deformação usando os componentes de tensão e deformação no sistema de
coordenadas xy.
 (f) Calcule a energia específica de deformação usando as tensões principais e as deformações principais.
Solução:Solução:
(a) O problema de autovalor para a matriz das deformações é
Os autovalores podem ser calculados fazendo com que o determinante da matriz dos coeficientes seja igual a zero,
da seguinte forma
Em consequência, as deformações principais são: e 1 5 0,012, e 3 5 20,013 (observe: e 2 5 0 na direção z).
Para encontrar as direções principais, substitua as deformações principais na equação característica e encontre o
valor de {nn} com
(Observe: {0, 0, 1}T é a direção principal que corresponde a e 2 5 0.)
(b) A partir da relação constitutiva para um sólido em estado plano de deformações na Eq. (1.62),
 
Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações 31
onde {e }T 5 {e xx e yy g xy} e
O componente s zz pode ser calculado por meio da condição de deformação zero:
Observe quet xz 5 Gg xz 5 0 e t yz 5 Gg yz 5 0.
(c) Da Parte (b),
Resolvendo o problema de autovalor, obtemos as seguintes tensões principais:
E as seguintes direções principais:
Assim sendo, as direções das deformações principais são idênticas às das tensões principais.
(d) Se a relação tensão-deformação para o estado plano de deformações da Eq. (1.57) for aplicada às deformações
principais,
Observe que as tensões cisalhantes são nulas porque o sólido está orientado de acordo com as direções principais.
Observe também que é usada a relação constitutiva tridimensional em vez da relação bidimensional. Entretanto, são
esperados os mesmos resultados se for usada a relação de estado plano de deformações.
(e)
(f)
 
32 Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações
22. Admita que o sólido no Problema 21 esteja submetido a um estado plano de tensões. Repita os pedidos de (b) a
(f).
Solução:Solução:
(b)
onde
Observe que, para o estado plano de tensões, s zz 5 t xz 5 t yz 5 0.
(c)
Resolvendo o problema de autovalor, obtemos:
As direções das tensões principais são
(d) Substitua as tensões principais na Eq. (1.60) no livro-texto para obter as deformações. Observe que e zz 5 e 2 50,0004 0.
(e)
(f)
 
Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações 33
23. Uma roseta de deformações consistindo em três extensômetros foi usada para medir as deformações em um pon-
to de uma placa fina. As deformações medidas nos extensômetros sãoe A 5 0,001, e B 5 20,0006 e e C 5 0,0007.
Observe que o Extensômetro C faz 45º com o eixo x . Admita a existência de um estado plano de tensões.
 (a) Determine os estados de tensões e de deformações completos (todos os seis componentes) naquele ponto.
Admita E 5 70 GPa e n 5 0,3.
 (b) Quais são as deformações principais e suas direções?
 (c) Quais são as tensões principais e suas direções?
 (d) Mostre que as deformações principais e as tensões principais satisfazem as relações entre tensões e defor-
mações.
Solução:Solução:
(a) Com base na figura, fica óbvio que e xx 5 e A 5 0,001 e e yy 5 e B 5 20,0006. A deformação de cisalhamento pode
ser encontrada usando a relação de transformação mostrada na Eq. (1.50). A versão 2-D da Eq. (1.50) se torna
onde n x 5 cos (45º) e n y 5 sen (45º). Desta forma,
Resolvendo a equação anterior, obtemos g xy 5 0,003. Como a roseta de deformações mede apenas o estado plano de
tensões, e zz é desconhecido. Porém, não há deformação de cisalhamento na direção z, g xz 5 g yz 5 0. A fim de calcular
a tensão desconhecida e zz, usamos a relação constitutiva de estado plano de tensões. Como a placa está em um estado
plano de tensões, s zz 5 t xz 5 t yz 5 0. As outras tensões podem ser obtidas a partir das relações de tensão-deformação
para as condições de estado plano de tensões mostradas a seguir:
Para a condição de estado plano de tensões a deformação ao longo da espessura é obtida a partir da Eq. (1.59) e apre-
senta o valor de
(b) Para um estado plano de tensões, e zz 5 20,000171 é uma deformação principal e o eixo z (0, 0, 1) é a direção da
deformação principal correspondente. As outras duas deformações principais podem ser encontradas por meiodo problema de autovalor no estado de deformações 2D:
As duas deformações principais são calculadas a partir da condição de que o determinante da matriz de coe-
ficientes é nulo: ( e xx 2 l )(e yy 2 l ) 2 5 0. A solução da equação quadrática se torna l 1 5 0,0011 e
l 2 5 20,0007. Desta forma, as três deformações principais são e 1 5 0,0011, e 2 5 20,000171 e e 3 5 20,0007.
 
34 Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações
Duas direções principais podem ser obtidas a partir do problema de autovalor srcinal. Adicionando o eixo z,
as três direções principais são
(c) Tensões principais
Para uma condição de estado plano de tensões, s z 5 0 é uma tensão principal e o eixo z (0, 0, 1) é a direção princi-
pal correspondente. As outras tensões principais e suas direções podem ser encontradas resolvendo o problema de
autovalor a seguir:
As duas tensões principais são calculadas a partir da condição de que o determinante da matriz dos coeficientes é zero:
(s xx 2 l )(s yy 2 l ) 2 5 0. A solução da equação quadrática se torna l 1 5 70,8 e l 2 5 230,8. Desta forma,
as três tensões principais são s 1 5 70,8 MPa, s 2 5 0,0 MPa e s 3 5 230,8 MPa. Duas direções principais podem ser
obtidas a partir do problema de autovalor srcinal. Adicionando o eixo z, as três direções principais são
Para materiais isotrópicos, as direções das tensões principais e as direções das deformações principais são as mes-
mas.
(d) Relações principais de tensão-deformação
Da Eq. (1.55), a relação tensão-deformação pode ser escrita como
Além disso, todas as deformações e tensões de cisalhamento são nulas porque estão nas direções principais. Desta
forma, a relação tensão-deformação satisfaz as tensões e deformações principais.
24. Uma roseta de deformações consistindo em três extensômetros foi usada para medir as deformações em um
ponto em uma placa fina. As deformações medidas nos três extensômetros são e A 5 0,016, e B 5 0,004 e e C 5 
0,016. Determine os estados de tensões e de deformações completos (todos os seis componentes) naquele ponto.
Admita E 5 100 GPa e n 5 0,3.
 
Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações 35
Solução:Solução:
(a) O ângulo e os cossenos diretores de cada roseta estão listados na tabela a seguir.
Então, podemos usar a seguinte equação de transformação para relacionar os componentes cartesianos com as de-
formações nas rosetas:
As três equações das rosetas se tornam
As duas últimas equações podem ser resolvidas, para fornecerem o valor da deformação de cisalhamento, como
Então, da segunda equação, temos
Como é uma condição de estado plano de tensões, s z 5 t yz 5 t zx 5 0. Da relação tensão-deformação para o problema
de estado plano de tensões temos
 
36 Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações
25. Uma roseta de deformações consistindo em três extensômetros foi usada para medir as deformações em um
ponto em uma placa fina. As deformações medidas nos três extensômetros são e A 5 0,008, e B 5 0,002 e e C 5 
0,008. Determine os estados de tensões e de deformações completos (todos os seis componentes) naquele ponto.
Admita E 5 100 GPa e n 5 0,3.
Solução:Solução:
(a) O ângulo e os cossenos diretores de cada roseta estão listados na tabela a seguir.
Então, podemos usar a seguinte equação de transformação para relacionar as deformações medidas pelos extensôme-
tros com os componentes de deformações:
As três equações das rosetas se tornam
As duas últimas equações podem ser resolvidas para fornecerem o valor da deformação de cisalhamento, como
Então, da segunda equação, temos
 
Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações 37
Como é uma condição de estado plano de tensões, s z 5 t yz 5 t zx 5 0. Da relação tensão-deformação para o problema
de estado plano de tensões temos
26. A figura a seguir mostra uma placa fina com espessura t . Um campo de deslocamento aproximado que leva em
conta os deslocamentos devidos ao peso da placa é dado por
 (a) Determine o campo do estado plano de tensões correspondente.
 (b) Desenhe qualitativamente a configuração deformada da placa.
Solução:Solução:
(a) Da definição de deformação,
 
38 Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações
Além disso, da relação tensão deformação para o problema de estado plano de tensões,
Desta forma, s xx 5 r(b 2 x ) é o único componente de tensão diferente de zero.
(b) A geometria deformada está esquematizada a seguir:
27. A matriz de tensões de um determinado ponto em um corpo é
Determine a deformação correspondente, se E 5 20 3 1010 Pa e n 5 0,3.
Solução:Solução:
 
Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações 39
28. Para um problema de estado plano de tensões , os componentes de tensão no plano xy em um pontoP possuem
os seguintes valores:
 (a) Calcule o estado de tensões nesse ponto, se o módulo de elasticidade longitudinal (módulo de Young) E 5 
2 3 1011 Pa e o coeficiente e Poissonn 5 0,3.
 (b) Qual a deformação específica normal (linear) na direção z?
 (c) Calcule a deformação específica normal (linear) na direção de nn 5 {1, 1, 1}T .
Solução:Solução:
(a) Calcule o estado de tensões nesse ponto, se o módulo de elasticidade longitudinal (módulo de Young) E 5 2 3 
1011 Pa e o coeficiente de Poisson n 5 0,3.
(b) Qual a deformação específica normal (linear) na direção z?
(c) Calcule a deformação específica normal (linear) na direção de nn 5 {1, 1, 1}T .
29. O estado de tensões em um ponto é dado por
 (a) Determine as deformações usando um módulo de elasticidade longitudinal de 100 GPa e um coeficiente de
Poisson de 0,25.
 (b) Calcule a energia de deformação usando as tensões e deformações.
 (c) Calcule as tensões principais.
 (d) Calcule as deformações principais a partir das deformações calculadas em (a).
 (e) Mostre que as tensões principais e as deformações principais satisfazem as relações constitutivas.
 (f) Calcule a energia específica de deformação usando as tensões principais e as deformações principais.
 
40 Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações
Solução:Solução:
(a) Da Eq. (1.53),(b) Energia específica de deformação:
(c) Tensões principais:s 1 5 110, s 2 5 50, s 3 5 0 Mpa.
(d)
Matriz de deformação
 
Deformações principais: e 1 5 0,9753 1023, e 2 5 0,225 3 1023, e 3 5 20,43 1023
(e) Da Eq. (1.55)
Desta forma, as tensões principais e as deformações principais satisfazem as relações constitutivas.
(f) Energia específica de deformação
30. Adote o estado de tensões do Problema 29, já mencionado. A resistência ao escoamento do material é de 100
MPa. Determine os coeficientes de segurança de acordo com os seguintes critérios: (a) critério da máxima tensão
principal, (b) critério de Tresca e (c) critério de von Mises.
Solução:Solução:
(a) Critério da máxima tensão principal
(b) Critério de Tresca
 
Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações 41
(c) Critério de Von Mises
31. Um tubo de paredes finas está sujeito a um torque T . O único componente diferente de zero é a tensão cisalhante
t xy, que é dada por t xy 5 10.000 T (Pa), ondeT é o torque em N◊m. Se o limite de escoamento fors Y 5 300 MPa
e o coeficiente de segurança for N 5 2, calcule o torque máximo que pode ser aplicado usando:
 (a) O critério da máxima tensão principal (Rankine)
 (b) O critério da máxima tensão cisalhante (Tresca)
 (c) O critério da energia de distorção (Von Mises)
Solução:Solução:
Como é um estado de cisalhamento puro, as três tensões principais são
(a) O critério da máxima tensão principal (Rankine)
(b) O critério da máxima tensão cisalhante (Tresca)
(c) O critério da energia de distorção (Von Mises)
32. Um vaso de pressão de paredes finas com extremidades fechadas está sujeito a uma pressão interna p 5 100 psi
(689,5 kPa) e ainda a um torque T em torno de seu eixo de simetria. Determine o valor de T que causará o esco-
amento, de acordo com o critério de Von Mises. O projeto exige um coeficiente de segurança de 2. O diâmetro
nominal do vaso de pressão é D 5 20 polegadas (50,8 cm), a espessura da parede é t 5 0,1 polegada (0,25 cm) e
o limite de escoamento do material é igual a 30 ksi (1 ksi 5 1000 psi 5 6,895 MPa). As tensões em um cilindro
de paredes finas são a tensão longitudinal, s l, a tensão radial, s h, e a tensão cisalhante devida à torção, t . Elas
são dadas por
 
42 Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações
Solução:Solução:
33. Um eixo de aço prensado a frio é usado para transmitir 60 kW a 500 rpm de um motor. Qual deve ser o diâme-
tro do eixo se ele tem 6 m de comprimento e é simplesmente apoiado em sua extremidade? O eixo também está
sujeito à flexão em consequência da atuação de uma carga distribuída transversal de 200 N/m. Ignore a flexão
devida ao peso do eixo. Use um coeficiente de segurança igual a 2. O limite de escoamento à tração é 280 MPa.
Encontre o diâmetro usando tanto a teoria da máxima tensão cisalhante como o critério de von Mises para o es-
coamento.
Solução:Solução:
Observe que, na solução a seguir, a falha será ocasionada pelas tensões cisalhantes devidas à torção e pelas tensões
de flexão da carga distribuída. Ignoraremos os efeitos das tensões cisalhantes transversais devidas à carga distribuí-
da, uma vez que elas serão muito pequenas em comparação com as tensões de flexão e com as tensões cisalhantes
devidas à torção.
O momento fletor máximo ocorrerá no centro do eixo, cujo valor é
Além disso, o torque aplicado pode ser calculado a partir da potência, com o valor de
 
Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações 43
Os dois componentes de tensão, s xx e t xy, podem ser calculados usando o momento fletor e o torque, como
(a) Teoria da máxima energia de distorção: Como há apenas dois componentes de tensão diferentes de zero, a tensão
de Von Mises pode ser calculada por
Substituindo os componentes de tensão na expressão anterior, podemos resolvê-la a fim de encontrar o diâmetro
 D 5 46,02 mm.
(b) Critério da máxima tensão cisalhante: Para calcular a tensão cisalhante máxima, em primeiro lugar são calculadas
as tensões principais
Então, a tensão cisalhante máxima se torna
Substituindo os componentes de tensão na expressão anterior, podemos resolvê-la e encontrar o diâmetro desconhe-
cido, D 5 47,33 mm.
34. Para a matriz de tensões apresentada a seguir, as duas tensões principais são dadas por s 1 5 2 e s 3 5 23, res-
pectivamente. Além disso, as duas direções principais correspondentes às tensões principais também são dadas
a seguir. O limite (tensão) de escoamento de uma estrutura é dado pors Y 5 4,5.
 (a) Calcule o coeficiente de segurança baseado na teoria da máxima tensão cisalhante e determine se a estrutura
está em segurança.
 (b) Calcule o coeficiente de segurança baseado na teoria da energia de distorção e determine se a estrutura en-
contra-se dentro dos limites de segurança.
Solução:Solução: Continuação do Problema 9.
Do Problema 9, s 1 5 2, s 2 5 1, s 3 5 23. Desta forma, a tensão de Von Mises se torna s VM 5 
Além disso, a tensão de cisalhamento máxima se torna
t máx 5 (s 1 2 s 3)/2 5 2,5.
(1) Portanto, a estrutura não está segura.
 
44 Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações
(2) . Portanto, a estrutura não está segura.
35. A figura a seguir mostra um eixo com diâmetro de 1,5 polegada (3,81 cm) sujeito a um carregamento de um mo-
mento fletor M z 5 5.000 lb?in (564,9 N?m), um torque T 5 8.000 lb?in (903,9 N?m) e uma força axial (normal)
de tração N 5 6.000 lb (26,69 kN). Se o material for dúctil com a tensão de escoamento s Y 5 40.000 psi (275,8
MPa), determine o coeficiente de segurança usando (a) a teoria da máxima tensão de cisalhamento e (b) a teoria
da máxima energia de distorção.
Solução:Solução:
Com base nas condições de carregamento dadas, o valor do cisalhamento será o mesmo em todas as superfícies ex-
ternas, ao passo que a superfície inferior terá a máxima tensão de tração devida ao momento fletor e à tração. Desta
forma, se o material entrar em colapso, começará pela superfície inferior. Vamos considerar um retângulo infinitesi-
mal na superfície inferior. Então, os componentes de tensão diferentes de zero serão s xx e t xz.
Cada componente de tensão pode ser calculado, utilizando a mecânica (ou resistência) dos materiais, por
Tensões principais
(a) Teoria da máxima tensão de cisalhamento
 
Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações 45
(b) Teoria da máxima energia de distorção
36. Uma barra de material dúctil com diâmetro de 20 mm e com tensão de escoamento de 350 MPa está sujeita a um
torque T 5 100 N?m e a um momento fletor M 5 150 N?m. A seguir, uma força normal de traçãoP é aplicada
gradualmente. Qual o valor da força axial quando ocorrer o escoamento da barra? Resolva o problema de duas
maneiras, usando (a) a teoria da máxima tensão de cisalhamento e (b) a teoria da máxima energia de distorção.
Solução:Solução:
(a) O escoamento ocorre na superfície inferior na qual tanto M como P produzem tensão de tração. Nessa superfície
inferior, os componentes de tensão são
E todos os outros componentes são iguais a zero. Agora, a tensão de cisalhamento máxima é expressa em termos de
componentes de tensão:
Na equação anterior, são usadas as seguintes relações:
Então,
A equação anterior pode ser resolvida de modo a fornecer o valor da força axial P 5 41,413 N.
(b) A tensão de Von Mises pode ser escrita, em termos dos componentes de tensão, como
Depois de resolver a equação e encontrar o valor da força axial, temos P 5 44,353 N. A teoria da energia de distor-
ção permite uma força axial maior.
37. Um eixo circular de raio r , como o representado na figura, tem um momento de inércia I e um momento de inér-
cia polar J . O eixo está submetido a uma torção T z no eixo positivo z e a um momento fletor M x no eixo positivo
 x . O material é aço doce com tensão de escoamento de 2,8 MPa. Para os cálculos, use apenas o sistema de coor-
denadas indicado.
 
46 Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações
 (a) Se T z e M x forem aumentados gradualmente, que ponto (ou pontos) atingirá a ruptura antes dos outros, entre
os quatro pontos( A, B, C e D)? Identifique todos.
 (b) Construa a matriz de tensões [ s ] A no ponto A em coordenadas xyz e em termos dos parâmetros fornecidos
(i.e., T z, M x , I , J e r ).
 (c) Calcule as tensões principais no ponto B em termos dos parâmetros fornecidos.
 (d) Quando as tensões principais em um ponto C forem s 1 5 1, s 2 5 0 e s 3 5 22 MPa, calcule os coeficientes
de segurança (1) com base na teoria da máxima tensão cisalhante e (2) com base na teoria da energia de dis-
torção.
Solução:Solução:
(a) O momento fletor produzirá a tensão máxima nos pontos A e C . Desta forma, A e C entrarão em colapso em pri-
meiro lugar.
(b) No ponto A, os componentes de tensão diferentes de zero são
Desta forma, a matriz das tensões se torna
(c) No ponto B, o único componente diferente de zero é
Desta forma, as três tensões principais são
(d) De acordo com o critério de máxima tensão de cisalhamento,
Pelo critério de Von Mises,
 
Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações 47
38. Um corpo de prova plástico e retangular de tamanho 100 3 100 3 10 mm3 é colocado em um molde metálico
retangular. As dimensões do molde são 1013 101 3 9 mm3. O plástico é comprimido por uma prensa rígida
até ficar completamente dentro do molde. Devido ao coeficiente de Poisson, o plástico também se expande nas
direções x e y e preenche todos os espaços. Calcule todos os componentes de tensões e deformações e a força
exercida pela prensa. Admita que não haja atrito entre todas as superfícies de contato. O molde de metal é rígido.
As constantes elásticas do plástico são E 5 10 GPa, n 5 0,3.
Solução:Solução:
As deformações no corpo de prova são calculadas como a taxa de variação de comprimento em relação ao compri-
mento srcinal.
Admitimos que o plástico se dilata lateralmente e preenche completamente os espaços. Se não preencher, teremos
valores positivos paras xx e/ou s yy, que indicarão que nossa hipótese estava errada. Então podemos admitir s xx e/ou
s yy 5 0 e refazer o problema e obter as deformações correspondentes e xx e/ou e yy que serão menores do que as calcu-
ladas anteriormente.
Como não há atrito entre as superfícies em contato, todas as tensões de cisalhamento e em consequência todas as
deformações de cisalhamento serão identicamente iguais a zero.
As tensões normais podem ser obtidas a partir das relações tridimensionais tensão-deformação:
Substituindo as deformações e as constantes elásticas E e n obtemos as seguintes tensões
Como s xx e s yy são negativos (compressão), nossa hipótese inicial sobre as deformações está correta. A força na prensa
é obtida utilizando o valor des z e da área da seção transversal:
 
48 Capítulo 1 Análise de Tensões e Deformações
39. Repita o Problema 38 com constantes elásticas do plástico iguais a E 5 10 GPa, n 5 0,485.
Solução:Solução:
As deformações no corpo de prova plástico são calculadas como a taxa de variação de comprimento em relação ao
comprimento srcinal.
Admitimos que o plástico se dilata lateralmente e preenche completamente os espaços. Se não preencher, teremos
valores positivos paras xx e/ou s yy, que indicarão que nossa hipótese estava errada. Então podemos admitir s xx e/ou
s yy 5 0 e refazer o problema e obter as deformações correspondentes e xx e/ou e yy que serão menores do que as calcu-
ladas anteriormente.
Como não há atrito entre as superfícies em contato, todas as tensões de cisalhamento e em consequência todas as
deformações de cisalhamento serão identicamente iguais a zero.
As tensões normais podem ser obtidas a partir das relações tridimensionais tensão-deformação:
Substituindo as deformações e as constantes elásticas E e n , obtemos as seguintes tensões:
Como s xx e s yy são negativos (compressão), nossa hipótese inicial sobre as deformações está correta. A força na prensa
é obtida utilizando o valor de s zz e da área da seção transversal:
Nota: A força da prensa para este problema é quase 8 vezes a do Problema 38. O aumento se deve ao coeficiente de
Poisson. À medida que a compressibilidade do material diminui, o coeficiente de Poisson aumenta. Por exemplo,
quando n Æ 0,5 o material se torna incompressível, i.e., seu volume não pode ser alterado e as tensões se tornam in-
finitas. Observe a existência do termo (1 2 2n ) no denominador da relação constitutiva anterior.
40. Repita o Problema 38 com um corpo de prova de dimensões 100 3 100 3 10 mm3 e com um molde de dimen-
sões 104 3 1043 9 mm3. As constantes elásticas do plástico são E 5 10 GPa, n 5 0,3.
Solução:Solução:
A deformação na direção z permanece a mesma, uma vez quee z 5 (92 10)/10 5 20,1. Da mesma forma que antes,
se admitirmos que o corpo de prova preenche completamente a cavidade, as deformações serão
As tensões são calculadas usando
Obtemos {s xx s yy s zz}5 {119211922885} MPa.
Essas tensões não são possíveis fisicamente, uma vez que as paredes da cavidade não podem exercer tensões de tra-
ção no corpo de prova. Repetiremos o cálculo coms x 5 s y 5 0. Na realidade isso é o estado uniaxial de tensões, e as
deformações são obtidas com os valores de e x 5 e y 5 2ne z 5 0,03. A extensão da placa nas direções x e y é dada por
D x 5 D x 5 1043 0,03 5 3,12 mm. Observe que a expansão do corpo de prova é menor do que a folga de 4 mm.
 
CapítuloCapítulo 22
Elementos de Barras Uniaxiais eElementos de Barras Uniaxiais e
de Treliças: Método Diretode Treliças: Método Direto
1. Três corpos rígidos, 2, 3 e 4, estão unidos por quatro molas, conforme mostra a figura. Uma força horizontal de
1.000 N é aplicada ao Corpo 4 conforme a figura. Encontre os deslocamentos dos três corpos e as forças (tração/ 
compressão) nas molas. Qual é a reação na parede? Admita que os corpos só possam sofrer translação na direção
horizontal. As constantes de mola (N/mm) são r 1 5 400, r 2 5 500, r 3 5 500, r 4 5 300.
Solução:Solução:
Equações de equilíbrio do elemento:
Equações de equilíbrio nodais:
Substituindo as equações do elemento nas equações de equilíbrio nodais anteriores, pode-se obter a seguinte equação
matricial da estrutura:
 
50 Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto
Aplicando a condição de contorno u1 5 0 (parede rígida), obtemos
A força de reação R1, pode ser obtida a partir da primeira linha das equações estruturais, e vale
2. Três corpos rígidos, 2, 3 e 4, estão unidos por seis molas, conforme mostra a figura. As paredes rígidas são re-
presentadas por 1 e 5. Uma força horizontal F 3 5 1.000 N é aplicada ao Corpo 3 no sentido mostrado na figura.
Encontre os deslocamentos dos três corpos e as forças (tração/compressão) nas molas. Quais são as reações nas
paredes? Admita que os corpos só possam sofrer translação na direção horizontal. As constantes de mola (N/mm)
são r 1 5 500, r 2 5 400, r 3 5 600, r 4 5 200, r 5 5 400 e r 6 5 300.
Solução:Solução:
Equações de equilíbrio do elemento:
Equações de equilíbrio nodais:
 
Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto 51
Substituindo as equações do elemento nas equações de equilíbrio nodais anteriores, pode-se obter a seguinte equação
matricial da estrutura:
Aplicando a condição de contorno u1 5 u5 5 0 (parede rígida) e apagando a primeira e a quinta linhas e colunas,
pode-se obter a seguinte equação matricial global:
As forças nas molas são calculadas usando P 5 k (u j 2 ui):
As forças de reação R1 e R5 podem ser obtidas a partir da primeira linha e da última linha das equações estruturais,
e valem
3. Veja o sistema massa-mola descrito no Problema 2. Que forçaF 2 deve ser aplicada à Massa 2 para evitar que ela
se mova? Como isso influirá nas reações de apoio?
 Sugestão: Imponha a condição de contorno u2 5 0 no modelo de elementos finitos (MEF) e encontre os desloca-
mentos u3 e u4. A seguir, a forçaF 2 será a reação no Nó 2.
Solução:Solução:
Colocando a força desconhecida F 2 no Nó 2, a equação estrutural se torna
Neste caso, u1, u2 e u5 são nulos e, portanto, suas linhase colunas podem ser apagadas. Depois de aplicar as condições
de contorno, a equação global se torna
Resolvendo a equação de modo a encontrar o valor deu3 e de u4, chega-se a
 
52 Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto
Resolvendo de modo a encontrar as reações, chega-se a
A força F 2 exigida é de 706,9 N e as forças nas reações de apoio são reduzidas para F 1 5 737 N; F 5 5 263 N para
F 1 5 189,7 N; F 5 5 103,4 N.
4. Quatro corpos rígidos, 1, 2, 3 e 4, estão unidos a quatro molas conforme mostra a figura. Uma força horizontal
de 1.000 N é aplicada ao Corpo 1, conforme a figura. Usando a análise de EF, (a) encontre os deslocamentos dos
dois corpos (1 e 3), (b) encontre a força nos elementos (tração/compressão) da mola 1, e (c) as forças de reação
na parede da direita (Corpo 2). Admita que os corpos só possam apresentar translação na direção horizontal. As
constantes de mola (N/mm) são k 1 5 400, k 2 5 500, k 3 5 500 e k 4 5 300. Não altere os números dos nós e dos
elementos.
Solução:Solução:
Equações de equilíbrio do elemento:
Equações de equilíbrio nodais:
Substituindo as equações do elemento nas equações de equilíbrio nodais anteriores, pode-se obter a seguinte equação
matricial estrutural:
 
Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto 53
Aplicando a condição de contorno u2 5 u4 5 0 (parede rígida) e apagando a segunda e a quarta linhas e colunas, pode-
se obter a seguinte equação matricial global:
Calculam-se as forças nas molas usando P 5 k (u j 2 ui):
As forças de reação R2 e R4 podem ser obtidas a partir da segunda e da última linhas da equação estrutural, e valem
5. Determine os deslocamentos nodais e as forças de reação usando o método direto de rigidez. Calcule os desloca-
mentos nodais e das forças nos elementos usando o programa de EF.
Solução:Solução:
Os elementos e os nós são indicados por E e N , respectivamente, da seguinte maneira:
Do esquema de numeração anterior, a tabela de conectividade é
A equação matricial para cada elemento pode ser escrita como
Elemento (1):
 
Elemento (2):
 
Combinando as duas matrizes de rigidez elementares usando o equilíbrio em cada nó, a matriz de rigidez global pode
ser obtida como
 
(1)
 
54 Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto
Impondo a condição de contorno (u3 5 0, porque o Nó 3 está fixo na parede), a equação anterior é simplificada
para
Resolvendo as equações lineares anteriores, obtemos os seguintes deslocamentos nodais:
E a força de reação no Nó 3 pode ser calculada por meio da Eq. (1), da seguinte maneira:
6. Na estrutura mostrada, os blocos rígidos estão unidos a molas lineares. Imagine que só são permitidos desloca-
mentos horizontais. Escreva as equações de equilíbrio global [KK]{QQ} 5 {FF} depois de aplicar as condições de
contorno em deslocamentos em termos das rigidezes das molas, k i, dos graus de liberdade (GLs) ui e das cargas
aplicadas F i.
Solução:Solução:
Suponha que os dois pontos fixos sejam os Nós 4 e 5. A equação matricial de cada elemento pode ser escrita como
Montagem:
 
Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto 55
Eliminando a quarta e a quinta linhas e colunas pela aplicação das condições de contorno,
7. Uma estrutura é composta de dois elementos unidimensionais de barra. Quando uma força de 10 N for aplicada
ao nó 2, calcule o vetor dos deslocamentos {QQ}T 5 {u1, u2, u3} usando o método dos elementos finitos.
Solução:Solução:
Equações do elemento:
Montagem:
Aplicando as condições de contorno de uma parede rígida: u1 5 u3 5 0
Desta forma, {QQ}T 5 {ui, u2, u3} 5 {0, 0,02, 0} m.
8. Use o MEF para determinar a força axial P em cada parte, AB e BC , da barra uniaxial. Quais são as reações de
apoio? Admita E 5 100 GPa; as áreas da seção transversal das duas partes AB e BC são, respectivamente, 1024 
m² e 2 3 1024 m² e F 5 10.000 N. A força F é aplicada na seção transversal em B.
Solução:Solução:
Equações do elemento:
 
56 Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto
Montagem:
Aplicação das condições de contorno (u1 5 u3 5 0) eliminando linhas e colunas:
Resolvendo a equação anterior, chega-se a:u2 5 0,111 mm.
Reações de apoio:
A força axial P(1) na parte AB:
A força axial P(2) na parte BC :
9. Considere uma barra biengastada de seção transversal circular. O comprimento da barra é de 1 m, e o raio varia segun-
do a fórmular ( x )5 0,0502 0,040 x , onder e x estão em metros. Admita o módulo de elasticidade longitudinal5 100
MPa. Ambas as extremidades da barra estão fixas eF 5 10.000 N está aplicada no centro. Determine os deslocamentos,
a distribuição das forças axiais e as reações nas paredes usando quatro elementos de comprimentos iguais.
 Sugestão: Para aproximar a área da seção transversal de um elemento de barra, use a média geométrica das áreas
das extremidades do elemento, i.e., A
(e)
 
5
 
5
 
p
r ir j.
Solução:Solução:
 
Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto 57
Raio em cada posição nodal: r 1 5 0,05, r 2 5 0,04, r 3 5 0,03, r 4 5 0,02, r 5 5 0,01 m. Então, a área e a rigidez de cada
elemento podem ser aproximadas de acordo com a tabela a seguir.
Equação matricial do sistema:
Como os Nós 1 e 5 estão fixos, as linhas e colunas são eliminadas para que seja obtida a equação matricial global,
da seguinte forma:
Resolvendo a equação anterior, são obtidos os seguintes deslocamentos nodais:
Por meio da primeira e da última linhas da equação matricial srcinal, podem ser obtidas as seguintes forças de reação:
O sinal negativo significa que as forças agem na estrutura, da direita para a esquerda.
As forças nos elementos podem ser encontradas usando a Eq. (2.22):
10. A barra com trechos diferentes de seções transversais constantes mostrada na figura está sujeita a uma força no
centro. Use o MEF para determinar o deslocamento no centro e as reações RESQ e RDIR.
 Admita: E5 100 GPa; as áreas das seções transversais das três partes mostradas são, respectivamente, 1024 m²,
2 3 10-4 m² e 1024 m² e F 5 10.000 N.
 
58 Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto
Solução:Solução:
Resolvemos o problema usando quatro elementos. Como a força só pode ser aplicada nos nós, a seção média é divi-
dida em dois elementos. As propriedades de cada elemento são dadas na tabela a seguir:
Equação matricial do sistema:
Como os Nós 1 e 5 estão fixos, as linhas e colunas correspondentes são eliminadas para que seja obtida a seguinte
equação matricial global:
Resolvendo as equações anteriores, os deslocamentos nodais desconhecidos podem ser obtidos como
Desta forma, o deslocamento no centro é 0,2 mm. Por meio da primeira e da última linhas da equação matricial ori-
ginal, podem-se obter as forças de reação como
O sinal negativo significa que as forças agem na estrutura, da direita para a esquerda.
11. Usando o método direto da rigidez, encontre os deslocamentos nodais, as forças em cada elemento e as reações.
 
Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto 59
Solução:Solução:
Equações do elemento:
Montagem:
Aplicação das condições de contorno (u1 5 u3 5 u4 5 0) eliminando linhas e colunas:
Resolvendo a equação anterior, chega-se a:u2 5 20,133 in.
Reações de apoio:
As forças do elemento podem ser calculadas da seguinte forma:
12. Uma barra com duas partes de seções transversais constantes e de áreas diferentes está fixa em uma extremidade e está
sujeita a forças concentradas conforme ilustrado. Observação: Os números dos nós não estão na Observação: Os números dos nós não estão na ordem usual!ordem usual!
 Admita: E 5 100 GPa, menor área de seção transversal5 1 cm²; e maior área de seção transversal5 2 cm².
 (a) Escreva as matrizes de rigidez dos Elementos 1 e 2, mostrando os endereços das linhas.
 (b) Combine as matrizes de rigidez do item anterior de modo a obter as equações correspondentes no nível es-
truturalna forma [KKSS]{QQSS} 5 {FFSS}.
 (c) Elimine as linhas e colunas que correspondam a graus de liberdade nulos para obter as equações globais na
forma [KK]{QQ} 5 {FF}.
 (d) Determine os deslocamentos e as forças nos elementos.
 
60 Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto
Solução:Solução:
(a) Matrizes de rigidez dos elementos
Elemento 1:
 
Elemento 2:
 
(b) Montagem
(c) Aplicação das condições de contorno eliminando a terceira linha e coluna:
(d) Resolvendo a equação anterior, u1 5 0,15 mm, u2 5 20,05 mm. As forças nos elementos podem ser obtidas
por
13. A equação de elementos finitos de barra uniaxial pode ser usada para outros tipos de problemas de engenharia,
se a analogia adequada for aplicada. Por exemplo, considere a rede de tubos mostrada na figura. Cada seção da
rede pode ser modelada usando um elemento finito. Se o fluxo for laminar e permanente, podemos escrever as
equações para um único elemento de tubo, da seguinte forma:
 onde qi e q j são os fluxos de fluido nos nós i e j, respectivamente;Pi e P j são as pressões nos fluidos nos nós i e
 j, respectivamente; eK é
 onde D é o diâmetro do tubo, m é a viscosidade, e L é o comprimento do tubo. O fluxo de fluido é considerado
positivo quando se afasta do nó. A viscosidade do fluido é 93 1024 Pa?s.
 
Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto 61
 (a) Escreva a equação matricial do elemento para o fluxo no elemento de tubo.
 (b) Os valores dos fluxos que entram nos nós 1 e 2 são de 10 e 15 m³/s, respectivamente. As pressões nos nós
6, 7 e 8 são iguais a zero. O valor do fluxo de entrada nos nós 3, 4 e 5 é zero. Qual é o fluxo de saída dos
elementos 4, 6 e 7?
Solução:Solução:
(a) A equação matricial do elemento se torna:
Comparando com elementos uniaxiais de barra, a pressão nodal corresponde ao deslocamento nodal, ao passo que o
fluxo corresponde à força nodal.
(b) Usando a tabela anterior, K pode ser calculado para cada elemento, como
Então, os sete elementos são combinados para formar a seguinte matriz global:
 
62 Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto
Como as pressões nos Nós 6, 7 e 8 são iguais a zero, podemos eliminar as linhas e as colunas correspondentes a esses
nós. Então a equação matricial global se torna
A equação anterior pode ser resolvida e fornecer as seguintes pressões nodais desconhecidas:
Desta forma, o fluxo de saída pode ser calculado como
14. Para a estrutura de treliça bidimensional mostrada na figura, determine os deslocamentos dos nós e as tensões
normais desenvolvidas nas barras usando o método direto de rigidez. Use E 5 30 3 106 N/cm² e o diâmetro da
seção transversal circular de 0,25 cm.
Solução:Solução:
Os números dos elementos, os números dos nós e o sistema de coordenadas usados aqui estão de acordo com a fi-
gura abaixo.
 
Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto 63
Tabela de conectividade
Matriz de rigidez do elemento após a aplicação da transformação nas coordenadas globais:
Elemento 1:
 
Elemento 2:
 
Elemento 3:
 
As três matrizes de rigidez dos elementos são reunidas na matriz de rigidez global:
 
64 Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto
O Nó 1 está fixo (u1 5 v1 5 0) e o Nó 2 está fixo na direção vertical (v2 5 0). As condições de contorno conhecidas
estão indicadas na seguinte equação matricial:
Eliminando as linhas e colunas que correspondem aos deslocamentos nulos, temos
A equação anterior pode ser resolvida, para fornecer os deslocamentos desconhecidos, da seguinte forma:
Usando os deslocamentos e encontrando as forças em cada barra usando a Eq. (2.45):
15. Para uma estrutura de treliça bidimensional, conforme a figura, determine os deslocamentos dos nós e as tensões
normais desenvolvidas usando um programa de EF dos Apêndices. Use E 5 30 ¥ 106 N/cm² e o diâmetro da se-
ção transversal circular de 0,25 cm.
 
Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto 65
Solução:Solução:
Tabela de conectividade
Matriz de Rigidez dos Elementos Isolados após a aplicação da transformação
Elemento 1:
 
Elemento 2:
 
Elemento 3:
 
Elemento 4:
 
Matriz de rigidez global após a montagem
 
66 Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto
Os Nós 1 e 4 são fixos (u1 5 v1 5 u4 5 v4 5 0). As condições de contorno conhecidas estão indicadas na seguinte
equação matricial:
Eliminando as linhas e as colunas que correspondem aos deslocamentos nulos, temos:
Encontrando os deslocamentos, temos:
Usando os deslocamentos e encontrando as forças em cada barra usando a Eq. (2.45):
16. A estrutura de treliça mostrada na figura suporta uma força F no Nó 2. O MEF é usado para analisar essa estru-
tura por meio de dois elementos de treliça, conforme a ilustração.
 (a) Calcule a matriz de transformação para os Elementos 1 e 2.
 (b) Calcule as matrizes de rigidez dos elementos para ambos os elementos no sistema de coordenadas globais.
 (c) Combine as matrizes de rigidez e os vetores de forças para a equação matricial da estrutura [KKSS]{QQSS}5 {FFSS}
antes de aplicar as condições de contorno.
 (d) Resolva a equação de EF após aplicar as condições de contorno. Escreva os deslocamentos nodais em coor-
denadas globais.
 (e) Calcule a tensão no Elemento 1. Ela é de tração ou de compressão?
 
Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto 67
Solução:Solução:
(a)
Para o Elemento 1, q 5 0º. A matriz de transformação é
Para o Elemento 2, q 5 245º. A matriz de transformação é
(b)
Para o Elemento 1
Para o Elemento 2
(c) Após a montagem, a equação matricial estrutural se torna
 
68 Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto
(d) Como os Nós 1 e 3 estão fixos, as variáveis conhecidas estão indicadas na seguinte equação:
As seguintes linhas e colunas são eliminadas: 1, 2, 5 e 6. Depois de eliminar essas linhas e colunas, a equação ma-
tricial global se torna
A equação anterior pode ser resolvida, de modo a serem encontrados os deslocamentos desconhecidos, da seguinte
maneira:
As reações de apoio podem ser calculadas utilizando as linhas eliminadas, da seguinte forma
(e) Para o Elemento 1, calculamos os seguintes deslocamentos locais:
A seguir, podem ser calculadas as forças nodais para o elemento usando a equação matricial do elemento, da seguin-
te maneira:
A tensão no elemento pode ser encontrada dividindo a força no elemento pela área, Observe que ela é
uma tensão de tração.
 
Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto 69
17. A estrutura de treliça mostrada na figura suporta a força F . Usa-se o MEF para analisar essa estrutura por meio
de dois elementos de treliça, conforme a ilustração. Área da seção transversal (para todas as barras)5 A 5 2 in²
(12,9 cm2). Módulo de elasticidade longitudinal5 E 5 30 3 106 psi (2,07 3 106 MPa). Ambos os elementos
possuem o mesmo comprimento L 5 10 ft (3,05 m).
 (a) Calcule a matriz de transformação para os Elementos 1 e 2 para transformações entre o sistema de coorde-
nadas globais e locais de cada elemento.
 (b) Calcule as matrizes de rigidez dos Elementos 1 e 2.
 (c) Faça a montagem da equação matricial da estrutura [ KKSS]{QQSS} 5 {FFSS} (sem aplicar as condições de contor-
no).
 (d) Após resolver as equações finais, determina-se que os componentes de deslocamentos do nó 1 são u1 x 5 1,5
3 1022 in (3,81 3 1022 cm), u1 y 5 20,53 1022 in (21,273 1022 cm). Calcule a carga aplicadaF .
 (e) Calcule a tensão e a deformação no Elemento 1.
Solução:Solução:
Tabela de conectividade
(a)
Para o Elemento 1, q 5 0º. A matriz de transformação é
Para o Elemento 2, q 5 90º. A matriz de transformação é
(b)
Para o Elemento 1
 
70 Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto
Para o Elemento 2
(c) Após a montagem, a equação matricial estrutural se torna
(d) Como os Nós 2 e 3 estão fixos, as linhas ecolunas que correspondem aos graus de liberdade restritos são elimi-
nadas, para que seja obtida a equação matricial global, da seguinte forma:
Para os deslocamentos nodais dados u1 5 1,5 3 1022 in e v1 5 20,5 3 1022 in, a equação matricial anterior leva a
(e) Para o Elemento 1, utilizando a Eq. (2.45), a força no elemento é
A tensão no elemento é de tração.
18. Use o MEF para resolver a treliça plana mostrada a seguir. Admita AE 5 106 N, L 5 1 m. Determine os deslo-
camentos nodais, as forças em cada elemento e as reações de apoio.
 
Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto 71
Solução:Solução:
Tabela de conectividade
Matriz de rigidez dos elementos isolados após a transformação
Elemento 1:
 
Elemento 2:
Elemento 3:
 
Matriz de rigidez global depois da montagem
 
72 Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto
Aplicação das condições de contorno
A eliminação das linhas e colunas leva à seguinte equação matricial:
Encontrando os deslocamentos, temos:
Usando os deslocamentos e encontrando as forças em cada barra por meio de
As reações de apoio são
19. A treliça plana mostrada na figura tem dois elementos e três nós. Calcule as matrizes de rigidez 43 4 dos ele-
mentos. Mostre claramente os endereços das linhasendereços das linhas. Desenvolva as equações finais (depois de aplicar as condi-
ções de contorno) para a treliça na forma de [KK]{QQ}5 {FF}. Quais são os deslocamentos nodais e as forças nos
elementos? Admita: E 5 1011 Pa, A 5 1024 m², L 5 1 m, F 5 14.142 N.
 
Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto 73
Solução:Solução:
Tabela de conectividade
Matriz de rigidez do elemento isolado após a aplicação da transformação
Elemento 1:
 
Elemento 2:
 
Matriz de rigidez global após a montagem
Aplicação das condições de contorno
 
74 Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto
Eliminando as linhas e colunas obtém-se a seguinte equação matricial:
Encontrando os deslocamentos, obtém-se
Usando os deslocamentos e encontrando as forças em cada barra usando
20. Use o MEF para resolver os dois problemas de treliças planas mostrados na figura a seguir. Admita AE 5 106 N,
 L 5 1 m. Antes de resolver as equações globais [KK]{QQ} 5 {FF}, encontre o determinante de [KK]. A matriz [KK]
possui uma inversa? Explique sua resposta.
Solução:Solução:
Depois de eliminar as linhas e colunas que correspondem aos graus de liberdade restritos, as duas treliças anteriores
apresentam as seguintes equações matriciais globais:
Treliça 1:
 
Treliça 2:
 
Depois de encontrar o determinante das duas matrizes de rigidez, o primeiro conjunto de condições de contorno não
é válido para um problema estático porque o determinante de [KK] é nulo e, portanto, a matriz não pode ser invertida.
A condição de apoio de primeiro gênero (em rolete) da Treliça 1 permite a rotação da treliça inteira como um corpo
rígido. Desta forma, não pode ser encontrada uma solução única para os deslocamentos.
 
Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto 75
21. Determine as forças e as tensões axiais em cada barra da treliça mostrada na figura usando um dos programas
de elementos finitos do Apêndice. Admita que o módulo de elasticidade transversal é 104 psi (689,5 MPa) e que
todas as seções transversais são circulares, com um diâmetro de 2 in (5,1 cm). Compare os resultados com as
soluções exatas obtidas do diagrama de corpo livre.
Solução:Solução:
(a) Solução exata: O Diagrama de Corpo Livre da estrutura se torna:
A barra BC é um elemento que não está submetido a força alguma (barra de força nula). Desta forma, a força e a
tensão em BC serão iguais a zero.
Equilíbrio de momentos:
A seguir, usando o método dos nós, encontre as forças internas nas barras DF e EF .
 
76 Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto
Portanto,
(b) Solução de elementos finitos: Usaremos a caixa de ferramentas MATLAB no Apêndice D para a análise de elementos
finitos. A listagem de programa a seguir mostra os comandos exigidos para realizar a análise de elementos finitos.
A tabela a seguir mostra a força e a tensão normal (axial) em cada barra.
A figura a seguir mostra a geometria deformada.
 
Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto 77
22. Determine a tensão normal em cada barra da estrutura de treliça. Todos os nós são juntas esféricas e o material
é aço, cujo módulo de elasticidade longitudinal é E 5 210 GPa.
Solução:Solução:
Tabela de conectividade
A fim de economizar espaço, escrevemos as matrizes de rigidez apenas para os graus de liberdade ativos. Isso é equi-
valente a aplicar as condições de contorno no nível do elemento. Por exemplo, no Elemento 1, o Nó 1 está fixo, e,em consequência, escrevemos a matriz de rigidez 33 3 para u2, v2 e w2.
Elemento 1:
 
Elemento 2:
 
Elemento 3:
 
Neste caso, reunimos apenas os três graus de liberdade (u2, v2 e w2), para obter a equação matricial global, da seguin-
te forma:
 
78 Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto
Como já aplicamos as condições de contorno, a matriz de rigidez global na equação anterior é positiva definida. De-
pois de resolvê-la, a fim de fornecer os deslocamentos desconhecidos, temos
Usando os deslocamentos e encontrando as forças em cada barra usando a Eq. (2.53), vem
23. A treliça espacial mostrada tem quatro barras. Determine os componentes de deslocamentos do Nó 5 e a força
em cada barra. Os números dos nós são os números no interior dos círculos na figura. As dimensões da caixa
imaginária que encerra a treliça são: 1 m3 1 m3 2 m. Admita AE 5 106 N. As coordenadas dos nós são dadas
na tabela a seguir.
Solução:Solução:
Tabela de conectividade
A fim de economizar espaço, eliminaremos os graus de liberdade fixos no nível do elemento, isto é, aplicamos as
condições de contorno no nível do elemento.
Elemento 1:
 
 
Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto 79
Elemento 2:
 
Elemento 3:
 
Elemento 4:
 
Combinando todas as quatro matrizes dos elementos, obtemos a seguinte equação matricial:
Encontrando os deslocamentos desconhecidos ao resolver as equações anteriores, temos
Calculando as forças nas barras usando a Eq. (2.53), vem
24. A barra uniaxial mostrada a seguir pode ser modelada como uma treliça unidimensional. A barra tem as se-
guintes propriedades: L 5 1 m, A 5 1024 m², E 5 100 GPa e a 5 1024 /ºC. A partir do estado inicial, l ivre de
tensões, é aplicada uma força de 5.000 N no Nó 2, e a temperatura é levada para 100ºC abaixo da temperatura
de referência.
 (a) Calcule a equação matricial global após a aplicação das condições de contorno.
 (b) Resolva a equação e encontre o deslocamento u2.
 (c) Qual é a força P que atua na barra?
 
80 Capítulo 2 Elementos de Barras Uniaxiais e de Treliças: Método Direto
Solução:Solução:
(a)
Como o Nó 1 está fixo, a primeira linha e coluna são eliminadas. A seguir, temos
(b) Resolvendo a equação anterior: u2 5 0,4 3 1023 m
(c) A força no elemento pode ser calculada como
25. Na estrutura mostrada a seguir, a temperatura do Elemento 2Elemento 2 está 100ºC acima100ºC acima da temperatura de referência.
É aplicada uma força externa de 20.000 N na direção x (direção horizontal) no Nó 2. Admita E 5 1011 Pa, A 5 
10-4 m².
 (a) Escreva as matrizes de rigidez e os vetores das forças térmicas de todos os elementos.
 (b) Escreva a equação matricial global.
 (c) Resolva as equações globais para determinar o deslocamento do Nó 2.
 (d) Determine a força em cada elemento. Diga se ela é de tração ou de compressão.
 (e) Mostre que o equilíbrio de forças é satisfeito no Nó 2.
Solução:Solução:
(a) Por ser permitido que as conexões (nós) da treliça se movam apenas na direção horizontal, podemos considerar
as duas barras como elementos de barra uniaxial, que possuem dois graus de liberdade. As matrizes de rigidez
dos elementos