MATEMÁTICA ELEMENTAR PARA ENGENHEIROS - FINAL

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA ELEMENTAR 
PARA ENGENHEIROS 
 
Questões resolvidas e comentadas 
das últimas provas de engenheiro de 
petróleo da PETROBRAS 
 
• JUNHO 2008 
• DEZEMBRO 2008 
• MAIO 2010 
• FEVEREIRO 2011 
• AGOSTO 2011 
• MAIO 2012 
 
 
 
 
 
 Gilson Oliveira 
 APRESENTAÇÃO 
 Prezado leitor. 
 O título deste trabalho é Matemática ELEMENTAR para Engenheiros. 
 E tem como público alvo os engenheiros (recém ou já formados há algum tempo), que vão prestar concurso 
para alguma área de engenharia da PETROBRAS e, por razões diversas, não têm tempo para fazer cursinhos e/ou 
fazer um planejamento de estudos que inclua temas da Matemática que ficaram lá atrás, em um passado já 
distante, nos bons tempos de ensino médio (antigo 2º grau) e no ciclo básico da faculdade de engenharia. 
 Inicialmente eu pensei que poderia ser útil para vários engenheiros prestadores de serviços que trabalham na 
sede da PETROBRAS em Macaé – RJ e, por morarem em cidades vizinhas como Campos dos Goytacazes ou 
Quissamã, por exemplo, perdem muito tempo em seus deslocamentos diários casa-trabalho-casa. Como só lhes 
sobra o final de semana para família e outros afazeres, não há tempo disponível para fazer uma boa revisão dos 
assuntos que costumam aparecer nas provas. Mesmo que houvesse cursinhos, como no centro do RJ, como esses 
colegas encontrariam tempo para as aulas no Sábados? 
 Com o passar do tempo, incentivado sobretudo pelo meu amigo Rafael Hohl, comecei a acreditar que poderia 
ter alguma utilidade também para o pessoal que trabalha no ambiente off-shore como profissional de nível técnico, 
mas tem formação em engenharia e pretende fazer os mesmos concursos e por razões as mais variadas possíveis, 
também não têm tempo de frequentar as salas de aulas de cursinhos. 
 Hoje acredito que este trabalho pode ter alguma utilidade até mesmo para quem ainda estuda engenharia e 
pretende fazer concursos para a PETROBRAS no futuro. Enfim, acredito que terá alguma utilidade para alguém. Para 
mim, por exemplo foi espetacular, pois me obrigou a revisitar temas da Matemática com os quais não lidava há 
algum tempo. 
 Como falaremos de Matemática Elementar, não espere encontrar aqui deduções complexas da Matemática 
Superior ou problemas extremamente difíceis que desafiam aos cérebros mais brilhantes. Você não encontrará 
rotacionais, divergentes ou equações diferenciais parciais nas páginas que seguem. Se quiser uma sugestão para 
esta área, recomendo a coleção Matemática Superior para Engenharia, do Professor Erwin Kreyszig, que está na 9ª 
edição, de 2009, pelo grupo LTC/gen. Eu tenho os três volumes em casa e são minhas bíblias quando estou aflito em 
temas deste ramo da Matemática. 
 O foco aqui é a Matemática Elementar. 
 Sendo assim, para começar os trabalhos, proponho a você que tente sugerir mentalmente, por alguns 
segundos, um desenvolvimento matemático, um caminho para responder às seguintes perguntas: 
 1ª) Qual a medida do lado de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência de raio R ? Se esse 
triângulo fosse a base de uma pirâmide reta de altura H; qual seria o volume dessa pirâmide ? 
 2ª) Dados log 2 = 0,3 , log 3 = 0,48 e log 5 = 0,7, qual o valor de log 600 ? 
 3ª) Dada a função f(x) = -x² + 4 , qual a área da região limitada entre seu gráfico e o eixo das abcissas ? 
 Eu tenho certeza absoluta de que você tem o sentimento, o “feeling” de que essas questões são bastante 
fáceis, de que as ferramentas matemáticas que as resolvem são simples e de que elas são “fichinha” se comparadas, 
por exemplo, às equações diferenciais ordinárias e integrais indefinidas que você resolveu durante o ciclo básico do 
seu curso de engenharia. 
 Eu sei também que você domina esses assuntos e que nada aqui causa estranheza, afinal de contas a afinidade 
com essas “coisas” foi um dos motivos pelos quais você optou, um dia, por fazer o tal curso de engenharia. Do 
contrário, teria ido para uma faculdade de medicina ou direito, estou certo? 
 O problema é que, com o passar do tempo, “a gente” vai esquecendo o correto manuseio daquelas 
“ferramentas”. Como eu costumo dizer para meus colegas que são engenheiros: com o tempo, “a mão vai ficando 
pesada” e fica complicado resolver de imediato uma questãozinha simples como a 2ª lá em cima. Coisa que 
qualquer jovem no 2º ano do ensino médio sabe resolver. Ou deveria saber. 
 Para complicar, as questões de Matemática que “caem” nas provas para Engenheiro de Petróleo da 
PETROBRAS são, em sua grande maioria, de Matemática Elementar. Nas provas para as demais áreas da engenharia 
(de equipamentos, por exemplo), sempre aparece uma e outra questão também retirada do mesmo banco da 
Cesgranrio. E são questões que abordam justamente aqueles assuntos que nós estudamos um dia, lá no passado, 
antes mesmo dos bancos da universidade e de cuja mecânica de resolução não lembramos mais. 
 A figura que está na capa deste livro, por exemplo, é da questão nº 43 da prova de Engenheiro de Petróleo Jr., 
aplicada em Fevereiro de 2011 e exigia do candidato uma simples lembrança da linda, apaixonante, desafiadora e 
fascinante Geometria Plana, tão negligenciada nos currículos dos dias atuais. 
 Mas qual é o parâmetro que eu uso para definir a tal Matemática Elementar? Qual é a minha referência? 
 A brilhante coleção de 10 livros chamada Fundamentos de Matemática Elementar, dos Professores Gelson 
Iezzi, Osvaldo Dolce, Carlos Murakami e outros, da Editora Atual (9ª edição – 2013), que por tantos anos tem feito 
parte da construção do embasamento matemático de milhares de jovens Brasil afora. Eu me incluo neste conjunto, 
orgulhosamente, mesmo tendo sido um aluno mediano durante todos os meus anos como aluno do Colégio Naval, 
nos anos 1980 e longe (mas muito longe mesmo!!!) de ser um aluno excelente em Matemática, principalmente na 
UFF (Niteroi- RJ), onde estudei algumas coisas malucas do bacharelado na Rainha das Ciências, segundo Gauss. 
 Aliás, eu defendo a tese de que os cursos de bacharelado e licenciatura em Matemática em todo o Brasil 
deveriam habilitar os Professores a ter completo domínio (se não de todos, mas ao menos de uma grande maioria) 
dos volumes daquela coleção, mas isso é motivação para um outro livro que estou escrevendo, onde estruturo 
melhor esta opinião. 
 Assim, objetivando ajudar de alguma forma ao pessoal que está “com a mão pesada” e que vai fazer concurso 
para os cargos de engenharia da PETROBRAS é que me dediquei, com muito prazer, a este labor. 
 Seguem alguns esclarecimentos adicionais que considero importantes: 
• Não apresento a solução de cada questão, mas uma solução para a questão; você vai ver a forma como 
eu resolveria o problema, não significando em hipótese alguma que essa seja a melhor maneira. 
A experiência mostra que sempre tem alguém em qualquer lugar que apresenta uma solução muito mais 
genial para um problema qualquer de Matemática. Então, apresento apenas uma forma de resolver os 
problemas; a minha forma. Se lhe parecer ridícula, me desculpe, mas foi uma solução que eu encontrei, 
dentro das minhas limitações de conhecimento. 
• Nem sempre eu consegui resolvera questão (ou as questões) sem recorrer aos livros; isto aconteceu com 
mais frequência em estatística e álgebra linear. 
 Afinal de contas, quem é que usa todo santo dia o conceito de dimensão de uma base ou coeficiente de 
variação, por exemplo, a menos dos especialistas? 
No final das soluções e no final do livro eu cito algumas obras como referências para “livros de cabeceira” 
que podem ajudar a qualquer momento. Eu tenho todos em casa; são algumas de minhas bíblias. 
Obviamente, há sites variados de cursinhos e de outros Professores que apresentam melhores 
desenvolvimentos para as mesmas questões que apresento aqui. 
 Todavia, um detalhe que merece atenção é que as soluções de alguns sites são postadas muitas vezes em 
fóruns; em consequência, há uma diversidade de opiniões sobre as questões que fogem ao controle dos 
criadores das páginas e eu já encontrei alguns, digamos, equívocos em soluções “postadas” em sites. 
 
• No final de cada prova, eu sugiro uma sequência de questões em que eu tentaria resolvê-la; ela segue 
uma ordem crescente de dificuldade que é pessoal. Não quero dizer que uma questão que é fácil para 
mim seja fácil para você, mas o que eu quero lhe mostrar é que todas as provas têm questões que são 
fáceis, fáceis para a grande maioria dos candidatos e que não adianta ficar perdendo tempo, na hora “H” 
do concurso, tentando resolver uma questão que é difícil para a maioria das pessoas. 
• O fato de ter considerado as provas de engenheiro de petróleo é simples: as questões de Matemática que 
aparecem nas provas de engº de equipamentos (uma ou duas por prova) são retiradas do mesmo banco 
de questões e, com algumas variações para terminais e dutos, são as mesmas. Assim, considero que esse 
conjunto de questões poderá servir para uma boa revisão daqueles assuntos que você praticou no 
passado mas que hoje parecem um monstro porque você está “com a mão pesada”. 
• Quando necessárias, as construções geométricas que fiz para o desenvolvimento de algumas questões 
estão do jeito que eu as desenhei originalmente no manuscrito. Acredito que estão inteligíveis e as 
mantenho aqui porque não encontrei alguém que se dispusesse a melhorá-las com algum software. 
• Os erros que porventura existirem, seja nos cálculos ou em língua portuguesa, são de minha total 
responsabilidade e aceito com muita gratidão a contribuição de todos para corrigi-los; assim, estarei 
aprendendo mais ainda a lidar com a rainha das ciências; e de quebra melhorando o meu português, é 
claro. 
• Um agradecimento especial vai para a colega Tamara Carvalho que me ensinou nesta fase final a organizar 
os arquivos de modo que tudo ficasse mais fácil para você, caro leitor. 
 
 Por fim, gostaria de enfatizar a minha tese: “ a prova de engº de petróleo não é uma prova para quem acerta 
as questões difíceis; ela é uma prova para quem não erra as fáceis.” Acredito que se você fizer a adaptação desta 
tese para a sua prova, independente dos assuntos com os quais for lidar, acho que este trabalho de alguma forma 
terá sido útil. 
 
 Bons estudos, muito trabalho e superação. E fé em Deus, sempre. 
 
 
 Gilson Gonçalves de Oliveira ( e-mail : gilsonsindicobm24@gmail.com) 
 
 Setembro de 2015. 
 
 
 
���������
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIORENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIORENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIORENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIORENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR
JU
N
H
O
 / 
20
08
LEIA ATENTAMENTE AS INSTRUÇÕES ABAIXO.
01 - Você recebeu do fiscal o seguinte material:
a) este  caderno,  com  o  enunciado  das  70  questões  das  Provas  Objetivas,  sem  repetição  ou  falha,  assim
distribuídas:
b) 1 CARTÃO-RESPOSTA destinado às  respostas às questões objetivas formuladas nas provas.
02 - Verifique se este material está em ordem e se o seu nome e número de  inscrição conferem com os que aparecem no
CARTÃO-RESPOSTA. Caso contrário, notifique IMEDIATAMENTE o fiscal.
03 - Após a conferência, o candidato deverá assinar no espaço próprio do CARTÃO-RESPOSTA, preferivelmente a caneta
esferográfica de tinta na cor preta.
04 - No CARTÃO-RESPOSTA, a marcação das letras correspondentes às respostas certas deve ser feita cobrindo a letra e
preenchendo  todo o espaço compreendido pelos  círculos,  a caneta esferográfica de tinta na cor preta,  de  forma
contínua e densa. A LEITORA ÓTICA é sensível a marcas escuras; portanto, preencha os campos de marcação
completamente,  sem  deixar  claros.
Exemplo:
05 - Tenha muito cuidado com o CARTÃO-RESPOSTA, para não o  DOBRAR, AMASSAR ou MANCHAR.
O CARTÃO-RESPOSTA SOMENTE poderá ser substituído caso esteja danificado em suas margens superior ou inferior
­BARRA DE RECONHECIMENTO PARA LEITURA ÓTICA.
06 - Para cada uma das questões objetivas, são apresentadas 5 alternativas classificadas com as letras (A), (B), (C), (D) e (E);
só uma responde adequadamente ao quesito proposto. Você só deve assinalar UMA RESPOSTA: a marcação em
mais de uma alternativa anula a questão, MESMO QUE UMA DAS RESPOSTAS ESTEJA CORRETA.
07 - As questões objetivas são  identificadas pelo número que se situa acima de seu enunciado.
08 - SERÁ ELIMINADO do Processo Seletivo Público o candidato que:
a) se utilizar, durante a realização das provas, de máquinas e/ou relógios de calcular, bem como de rádios gravadores,
headphones,  telefones  celulares  ou  fontes  de  consulta  de qualquer  espécie;
b) se ausentar da sala em que se realizam as provas levando consigo o Caderno de Questões e/ou o CARTÃO-RESPOSTA.
09 - Reserve os 30 (trinta) minutos finais para marcar seu CARTÃO-RESPOSTA. Os rascunhos e as marcações assinaladas
no Caderno de Questões NÃO SERÃO LEVADOS EM CONTA.
10 - Quando terminar, entregue ao fiscal O CADERNO DE QUESTÕES E O CARTÃO-RESPOSTA e ASSINE A LISTA DE
PRESENÇA.
Obs. O candidato só poderá se ausentar do recinto das provas após 1 (uma) hora contada a partir do efetivo início das
mesmas. Por  razões de segurança, o candidato não poderá  levar o Caderno de Questões, a qualquer momento.
11 - O TEMPO DISPONÍVEL PARA ESTAS PROVAS DE QUESTÕES OBJETIVAS É DE 4 (QUATRO) HORAS.
12 - As questões e os gabaritos das Provas Objetivas serão divulgados no primeiro dia útil após a realização das
provas na página da FUNDAÇÃO CESGRANRIO (www.cesgranrio.org.br).
A C D E
42
LÍNGUA
PORTUGUESA II
Questões
1 a 10
Pontos
1,0
Questões
11 a 20
Pontos
1,0
CONHECIMENTOS
ESPECÍFICOS
INFORMÁTICA
Questões
21 a 25
Pontos
1,0
Questões
26 a 40
41 a 55
56 a 70
Pontos
1,3
1,7
2,0
LÍNGUA
INGLESA I
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR
2
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR
7
23
Considere o aplicativo Microsoft Excel 2003 em português
com suas configurações padrões. Um usuário que deseja
atribuir à célula C1 o valor da célula B1 subtraído do valor
da célula A1 deve, na célula C1, especificar a seguinte fór­
mula:
(A) B1−A1
(B) =B1−A1
(C) C1=B1−A1
(D) C1=B$1−A$1
(E) SUB(B1, A1)
24
Suponha que um usuário esteja editando uma planilha de
cálculo  utilizando  a  versão  em português  do  aplicativo
Microsoft Excel 2003 com suas configurações padrões.
Uma possível forma de o usuário mesclar duas células
adjacentes é selecionar
(A) as duas células, selecionar a opção de formatar célula e
marcar a opção que indica que as duas células devem
ser mescladas.
(B) uma das células e selecionar a opção editar dimensões
da célula para configurá­las de modo a abranger a ou­
tra célula.
(C) a opção inserir fórmula, escolher a fórmula mesclar e
adicionar como argumento as duas células.
(D) a opção de inserir mescla de células e adicionar as
duas células a serem mescladas.(E) a opção de configurar planilha e indicar que aquelas duas
células devem ser unificadas como um único objeto.
25
Suponha que um usuário esteja editando uma apresenta­
ção, chamada pres1, utilizando a versão em português do
aplicativo Microsoft PowerPoint 2003 com suas configura­
ções padrões. Uma possível opção para o usuário inserir um
novo slide em pres1 é selecionar a opção
(A) Arquivo => Novo….
(B) Inserir => Novo arquivo…
(C) Inserir => Novo slide
(D) Formatar => Apresentação
(E) Editar => Slides
CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
26
Em um concurso público serão chamados para contratação
imediata 20% dos candidatos com as maiores notas.
As notas obtidas seguem uma distribuição normal com
média 5,5 e desvio padrão 3. A nota mínima para que o
candidato seja chamado para contratação imediata é,
aproximadamente,
(A) 7,0 (B) 7,5
(C) 8,0 (D) 8,5
(E) 9,0
27
A tabela a seguir apresenta algumas estatísticas das ações
de três empresas dos setores de petróleo e química.
Os dados referem­se às últimas 80 semanas.
Considere as afirmações derivadas das estatísticas acima.
I ­ O coeficiente de variação das ações da empresa A é o
mesmo que o das ações da empresa C.
II ­ A rentabilidade média das ações da empresa B é maior
do que das demais e apresenta menor dispersão
relativa, ou seja, menor risco.
III ­ A rentabilidade média das ações da empresa C é menor
do que das demais e apresenta menor dispersão
relativa, ou seja, menor risco.
Estão corretas as afirmações
(A) I, apenas. (B) I e II, apenas.
(C) I e III, apenas. (D) II e III, apenas.
(E) I, II e III.
28
Uma pesquisa foi feita com alguns moradores de uma cida­
de brasileira sobre a confiança em três redes de postos de
gasolina (A, B e C) e gerou as seguintes informações:
• 400 pessoas confiam na rede A, das quais 150 confiam
somente na rede A;
• 400 pessoas confiam na rede B, mas 450, não;
• 430 pessoas não confiam na rede C;
• 500 pessoas confiam em apenas uma das três redes;
• 300 pessoas confiam em exatamente duas das  três
redes, das quais 110 não confiam na rede B;
• 40 pessoas confiam nas três redes.
Com base nestas informações, analise as afirmativas a
seguir.
I ­ Foram entrevistadas 850 pessoas e a quantidade de
pessoas que não confiam na rede A é maior do que a
quantidade de pessoas que confiam.
II ­ A quantidade de pessoas que confia na rede C é maior
do que a quantidade de pessoas que confia na rede B
que é maior do que a quantidade de pessoas que confia
na rede A.
III ­ Apenas 20 pessoas não confiam em nenhuma das três
redes ou 150 pessoas confiam simultaneamente nas
redes A e C.
IV ­ A quantidade de pessoas que confia exclusivamente
na rede A é igual à quantidade de pessoas que confia
exclusivamente na rede B.
É(São) correta(s) APENAS a(s) afirmativa(s)
(A) I (B) I e II
(C) I e III (D) II e III
(E) II e IV
Rentabilidade média semanal
Desvio padrão
Rentabilidade mínima
Rentabilidade máxima
0,5
3,5
−7,6
11,9
0,6
3,9
−9,2
10,3
0,4
2,8
−5,1
8,2
Medidas estatísticas
Empresas
A
(%)
B
(%)
C
(%)
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR
8
(A)
!
�
�
�
�
�
�	
�
� �
�
�
�
2k
6
xou2k
2
x|RIx
(B)
!
�
�
�
�
�
�
�	
�
� �
�
�
�
�
�
2k
6
7
xou2k
6
xou2k
2
x|RIx
(C)
!
�
�
�
�
�
�
�	
� �
�
�
�
2k
6
7
xou2k
6
x|RIx
(D)
!
�
�
�
�
�
�
�	
� �
�
�
�
k
6
7
xouk
6
x|RIx
(E)
!
�
�
�
�
�
�
� �
�
2k
2
x|RIx
(A)
192
2k5 3
(B)
96
2k5 3
(C)
24
2k3
(D)
96
2k3
(E)
192
2k3
29
Considere que f é uma função definida do conjunto D
em IR por f(x) = x2 − 4x + 8. Sendo Im a imagem de f, é
correto afirmar que, se
(A) D = [−2;0] então Im(f) = IR+
(B) D = [2;  [ então Im(f) = [0 ; 4]
(C) D = [2;  [ então Im(f) = IR+
(D) D = [0; 2] então Im(f) = [0 ; 8]
(E) D = [0; 2] então Im(f) = [4 ; 8]
30
Uma pirâmide reta de base quadrada tem todas as suas
arestas iguais a k. Um plano  , perpendicular à base BCDE,
corta as arestas laterais AB e AC em seus respectivos pon­
tos médios, P e Q. Determine o volume do sólido BMPQNC.
31
O conjunto de valores para x que resolvem 2cos2x = 1 – sen x é:
36
Qual  região  geométrica  é  definida  pela  expressão
216y24yy �		
  ?
(A) Ponto (B) Parábola
(C) Hipérbole (D) Elipse
(E) Circunferência
37
Um investimento de R$1.000,00 foi feito sob taxa de juros
compostos de 3% ao mês. Após um período t, em meses, o
montante foi de R$1.159,27. Qual o valor de t?
(Dados:
 ln(1.000) = 6,91
  ln(1.159,27) = 7,06
  ln(1,03) = 0,03)
(A) 5 (B) 7
(C) 10 (D) 12
(E) 15
32
Resolvendo o sistema AX=B, onde
�
�
�
�
�
�
�
�
	
		
112
111
111
A ,
�
�
�
�
�
�
�
�
c
b
a
X e
�
�
�
�
�
�
�
�
	
1
4
6
B ,   temos  que
b2 − 4ac é igual a
(A) −1 (B) 0
(C) 1 (D) 2
(E) 3
33
A soma dos n primeiros termos da progressão aritmética
(4,7,10,13...) é 1.425. É correto afirmar que n é
(A) primo. (B) múltiplo de 4.
(C) múltiplo de 6. (D) múltiplo de 7.
(E) múltiplo de 8.
34
Em um supermercado são vendidas 5 marcas diferentes de
refrigerante. Uma pessoa que deseje comprar 3 latas de
refrigerante, sem que haja preferência por uma determinada
marca, pode escolhê­las de N formas. O valor de N é
(A) 3 (B) 10
(C) 15 (D) 35
(E) 125
35
Uma reta perpendicular a uma das faces de um diedro forma
um ângulo de 40o com o semiplano bissetor. Assim, é cor­
reto afirmar que a medida do diedro é
(A) 20o (B) 40o
(C) 80o (D) 100o
(E) 120o
A
B
C
D
E
P
Q
M
N
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR
9
A
B
VA = 3 nós
VB = 4 nós
P
�
�
�
�
�
v4y3x
u2yx
38
João tomou um empréstimo de R$150,00 junto a uma finan­
ceira, e se comprometeu a quitá­lo em dois meses, pelo
valor de R$200,00, o que inclui uma taxa de abertura de cré­
dito no valor de R$18,50 mais os juros (compostos).
No momento do vencimento da dívida, João negociou um
novo empréstimo no valor de R$200,00 que pudesse ser pago
dois meses depois – uma prorrogação do prazo. A financeira
aceitou, mas acordou uma taxa de juros igual ao dobro da
inicial. Sabendo que a taxa de abertura de crédito só incidiu
sobre o empréstimo inicial, quanto João deverá pagar, no fim
do segundo empréstimo, em reais?
(A) 216,00
(B) 218,50
(C) 220,00
(D) 242,00
(E) 288,00
39
No IR4, os vetores x e y são determinados pelo sistema
Sabendo que u = (−1,0,2,3) e v = (2,1,0,5), o produto interno
de x e y é
(A) −27,5
(B) −26,1
(C) −24,5
(D) −23,5
(E) −21,3
40
A escala proposta por Charles Francis Richter (1900 – 1985)
para medir a magnitude de terremotos é definida por
M =  10 10log A 3.log (8. t) 2,92� � 	
em que:
­ M é a magnitude do terremoto na Escala Richter;
­ A é a amplitude máxima registrada no papel do sismógra­
fo, em milímetros;
­ t∆ é o tempo decorrido, em segundos, entre a chegada das
ondas primárias ou de compressão (ondas P) e a chegada
das ondas secundárias ou de cisalhamento (ondas S).
Certa vez, um sismógrafo registrou um abalo sísmico cuja am­
plitude máxima no sismograma era de 12 milímetros e cujo
intervalo  foi de 24 segundos. Considerando­se log
10
2 = 0,30
e log
10
3 = 0,48, a magnitude do abalo, na Escala Richter, foi
(A) 4,0
(B) 4,5
(C) 5,0
(D) 5,5
(E) 6,0
41
Considere os conjuntos a seguir.
I ­ {(1,−3,7) , (2,4,3)}
II ­ {(1,2,1) , (1,−1,0) , (2,3,4)}
III ­ 
!
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
	
		 431
111
,
321
112
,
110
201
É(São) linearmente dependente(s) APENAS o(s) conjunto(s)
(A) II (B) III
(C) I eII (D) I e III
(E) II e III
42
Sabe­se que AX = B, onde
1 2 1
A = e B=
1 1 2
	
� � � �
� � � �
	 	
� � � �
.
O quadrado da norma de X é:
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
43
Quanto  vale  a  área  da  região  delimitada  pelo  eixo  das
abscissas, as retas x = 0 e x =  , e o gráfico da função de
IR em IR cuja lei é f(x) = cos(2x)?
(A) 1
2
(B) 1
4
(C)
4
3 (D)
4
3 1
(E)
4
34
44
As unidades comumente utilizadas por veículos náuticos para
expressar distâncias e velocidades são, respectivamente, a
milha náutica e o nó. Um nó corresponde a 1 milha náutica
por hora.
A figura acima ilustra dois pequenos barcos que se movimen­
tam com velocidades constantes, em trajetórias perpendicula­
res. Quando os barcos A e B estão, respectivamente, a 0,8 e
0,6 milhas náuticas do ponto P, interseção das trajetórias, qual
a taxa, em nós, com a qual os barcos estão se aproximando
um do outro?
(A) 0,0 (B) 4,8
(C) 5,0 (D) 6,2
(E) 7,0
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR
10
45
Se um cabo flexível estiver suspenso por suas extremida­
des, e essas extremidades estiverem na mesma altura, en­
tão o cabo assume, devido ao seu peso, a forma de uma
curva chamada catenária.
Considere a catenária dada pela função hiperbólica de IR em
IR cuja lei é f(x) = 2 +
2
cosh(x)
3
� . O valor mínimo de f(x)
(A) é 0
(B) é 
3
2
(C) é 2
(D) é 
3
8
(E) não existe
46
Seja g a função de IR em IR dada pela lei g(x) = x3 + x2 + 1.
Seja r a reta tangente ao gráfico da função g no ponto (–1,1).
É correto afirmar que a reta r intersecta o gráfico de g no
ponto
(A) (2,13)
(B) (1,3)
(C) (0,1)
(D) (–1, –1)
(E) (–2, –3)
47
Uma partícula com peso, em newtons, igual a P = (0,0, – P) é
abandonada do ponto A, cujas coordenadas, em metros, no
espaço são (0,0,c). A partícula desce descrevendo a trajetó­
ria retilínea AB. Sabendo­se que não há perdas devido a atri­
tos ou à resistência do ar, e que as coordenadas de B, em
metros, são (a,b,0), o trabalho realizado, em joules, pelo
peso dessa partícula é
(A) P. a
(B) P. b
(C) P. c
(D) P. 2 2 2a b c� �
(E) P.(a2 + b2 + c2)
v(m/s)
t(s)
1 2
12
3
O enunciado a seguir refere-se às questões de nos 48 e
49.
Um ponto material realiza um movimento retilíneo. O arco
de parábola mostrado acima corresponde ao gráfico da
função horária de velocidade dessa partícula.
48
Sabendo que o ponto material  inicia  seu movimento na
posição S
0
 = 2 m, determine a sua posição, em metros, no
instante t = 1 segundo.
(A) 1,00
(B) 3,00
(C) 3,25
(D) 3,75
(E) 4,50
49
Qual a aceleração, em m/s2, do ponto material no instante
t = 1,5 segundo?
(A) 6,75
(B) 7,50
(C) 8,00
(D) 8,25
(E) 9,00
50
Um  raio  de  luz monocromática  propaga­se  num meio
transparente A, cujo  índice de refração é  3 . Esse raio
atinge a superfície horizontal que separa o meio A do meio
B, também transparente, e cujo índice de refração é  2 ,
com ângulo de incidência �, sofrendo refração. Esse raio
continua a se propagar pelo meio B até atingir a superfície
horizontal  que  separa  o meio  B  do meio  C,  também
transparente, cujo índice de refração é 1, com ângulo de
incidência �, sofrendo emergência rasante, ou seja, o ângulo
de refração é igual a 90o.
O valor de � é
(A) igual a 30o.
(B) maior do que 30o e menor do que 45o.
(C) igual a 45o.
(D) maior do que 45o e menor do que 60o.
(E) igual a 60o.
N ln N N ln N N ln N N ln N N ln N N ln N N ln N N ln N
0,01 -4,6052 0,26 -1,3471 0,51 -0,6733 0,76 -0,2744 1 0,0000 26 3,2581 51 3,9318 76 4,3307
0,02 -3,9120 0,27 -1,3093 0,52 -0,6539 0,77 -0,2614 2 0,6931 27 3,2958 52 3,9512 77 4,3438
0,03 -3,5066 0,28 -1,2730 0,53 -0,6349 0,78 -0,2485 3 1,0986 28 3,3322 53 3,9703 78 4,3567
0,04 -3,2189 0,29 -1,2379 0,54 -0,6162 0,79 -0,2357 4 1,3863 29 3,3673 54 3,9890 79 4,3694
0,05 -2,9957 0,30 -1,2040 0,55 -0,5978 0,80 -0,2231 5 1,6094 30 3,4012 55 4,0073 80 4,3820
0,06 -2,8134 0,31 -1,1712 0,56 -0,5798 0,81 -0,2107 6 1,7918 31 3,4340 56 4,0254 81 4,3944
0,07 -2,6593 0,32 -1,1394 0,57 -0,5621 0,82 -0,1985 7 1,9459 32 3,4657 57 4,0431 82 4,4067
0,08 -2,5257 0,33 -1,1087 0,58 -0,5447 0,83 -0,1863 8 2,0794 33 3,4965 58 4,0604 83 4,4188
0,09 -2,4079 0,34 -1,0788 0,59 -0,5276 0,84 -0,1744 9 2,1972 34 3,5264 59 4,0775 84 4,4308
0,10 -2,3026 0,35 -1,0498 0,60 -0,5108 0,85 -0,1625 10 2,3026 35 3,5553 60 4,0943 85 4,4427
0,11 -2,2073 0,36 -1,0217 0,61 -0,4943 0,86 -0,1508 11 2,3979 36 3,5835 61 4,1109 86 4,4543
0,12 -2,1203 0,37 -0,9943 0,62 -0,4780 0,87 -0,1393 12 2,4849 37 3,6109 62 4,1271 87 4,4659
0,13 -2,0402 0,38 -0,9676 0,63 -0,4620 0,88 -0,1278 13 2,5649 38 3,6376 63 4,1431 88 4,4773
0,14 -1,9661 0,39 -0,9416 0,64 -0,4463 0,89 -0,1165 14 2,6391 39 3,6636 64 4,1589 89 4,4886
0,15 -1,8971 0,40 -0,9163 0,65 -0,4308 0,90 -0,1054 15 2,7081 40 3,6889 65 4,1744 90 4,4998
0,16 -1,8326 0,41 -0,8916 0,66 -0,4155 0,91 -0,0943 16 2,7726 41 3,7136 66 4,1897 91 4,5109
0,17 -1,7720 0,42 -0,8675 0,67 -0,4005 0,92 -0,0834 17 2,8332 42 3,7377 67 4,2047 92 4,5218
0,18 -1,7148 0,43 -0,8440 0,68 -0,3857 0,93 -0,0726 18 2,8904 43 3,7612 68 4,2195 93 4,5326
0,19 -1,6607 0,44 -0,8210 0,69 -0,3711 0,94 -0,0619 19 2,9444 44 3,7842 69 4,2341 94 4,5433
0,20 -1,6094 0,45 -0,7985 0,70 -0,3567 0,95 -0,0513 20 2,9957 45 3,8067 70 4,2485 95 4,5539
0,21 -1,5606 0,46 -0,7765 0,71 -0,3425 0,96 -0,0408 21 3,0445 46 3,8286 71 4,2627 96 4,5643
0,22 -1,5141 0,47 -0,7550 0,72 -0,3285 0,97 -0,0305 22 3,0910 47 3,8501 72 4,2767 97 4,5747
0,23 -1,4697 0,48 -0,7340 0,73 -0,3147 0,98 -0,0202 23 3,1355 48 3,8712 73 4,2905 98 4,5850
0,24 -1,4271 0,49 -0,7133 0,74 -0,3011 0,99 -0,0101 24 3,1781 49 3,8918 74 4,3041 99 4,5951
0,25 -1,3863 0,50 -0,6931 0,75 -0,2877 1,00 0,0000 25 3,2189 50 3,9120 75 4,3175 100 4,6052
Tabela de logaritmos naturais (neperianos)
 Data de aplicação: 08/06/2008 
 (45 Específicas – 21 de Matemática) 
 Questão nº 36 > anulada 
 Tabelas fornecidas no caderno de questões: 
distribuição normal padrão e logaritmos neperianos. 
 
26) 
��%	���	��	�
��	
���� → �� − �� = �� ��, � → �ª	���	���� → �ª	���	��� 
(tabela de distribuição normal) 
 
Assim, temos ��	 = 0,85. 
Sabemos que � = !"# 		 (ESTATÍSTICA BÁSICA – MORETTIN – bibliografia 
final do livro), onde : 
�: %&'(á%*+	,&-'ã/ 
0: *%*12/	,&-'ã/ 
							3:4é-(&	-/6	*%*12/6 
7: -*6%(/	,&-'ã/ 
Neste caso, temos : 3 = 5,5		*	7 = 3 
Assim, 0,85 = !9,9: 	→ 0 = 8,05	 → 1/2&	4í1(4& = 8,0. LETRA (C). 
 
COMENTÁRIO: 
Para esta solução, consultei o livro ESTATÍSTICA BÁSICA, citado acima. 
Como não sou um praticante do tema, em uma prova deixaria essa aqui 
para os chutes finais e procuraria questões mais fáceis no caderno de 
questões. 
 
27) 
=> = 73 	→ ?
=>: @/*A(@(*12*	-*	%&'(&çã/7: -*6%(/	,&-'ã/3:4é-(& 
 
=>C = 3,50,5 = 7 
=>E = 3,90,6 = 6,5 
=>H = 2,80,4 = 7 
Daqui temos que =>C = =>H , logo item (I) correto. 
Rentabilidade média: ?K = 0,5%L = 0,6%= = 0,4% 
 
LETRA (B). 
COMENTÁRIO: 
Idem questão anterior. 
 
28 ) 
 
 
 
Preenchimento das regiões do diagrama conforme as informações 
disponíveis, em ordem distinta da apresentada : 
a) MN = 150 
f) M9 = 40 
e) MP = 110	*	MQ R MS = 190 
d) M: R MT R 150 = 500	 → M: R MT = 350 
c) 150 R MQ R M: = 430 → MQ R M: = 280 
b) 150 R 110 R MT = 450 → MT = 190	U+/V/, M: = 350 − 190 = 160W 
b’) 160 R 120 R 40 R MS = 400 → MS = 80 
Análise dos itens: 
I) U(universo)= MN R MQ R⋯R MT = 850 >Ok! →Não confiam na rede A=160+80+190=430 >Ok! 
→Confiam na rede A= 150+120+40+110=420 >Ok ! 
II) Confia em C: 110+40+80+190=420 
 Confia em B: 120+40+80+160=400 
 Confiaem A: 150+120+40+110=420 
 B < A item errado ! 
III) A sentença lógica , ∨ Z é verdadeira (construa uma tabela verdade!) se 
pelo menos uma entrada for verdadeira. 1UK ∩ =W = 150 
 Item Ok ! 
IV) Exclusiva para A=150 
 Exclusiva para B=160 
 Item errado ! 
COMENTÁRIO: 
A mecânica para este tipo de questão pode ser revista em FME-1, no 
capítulo sobre conjuntos. Apostilas de cursos pré-vestibulares também 
trazem inúmeras questões que podem ser resolvidas pelos diagramas de 
Venn. 
Aqui, chamamos as informações da pesquisa de a,b,c,d,e,f e a seguir 
preenchemos as regiões do diagrama na sequência a,f,e,d,c,b. 
Em minha opinião, a pegadinha do item III U, ∨ ZW derrubou muita gente. 
Se a questão fosse discursiva, poucos a resolveriam completamente. 
 
29) 
 
 ∆U-(6@'(4(1&12*W = −16		 → ∄	'&í^*6	'*&(6 
_ = 0 → AU0W = 8 
_` = −a2& 	→ _` = 2 
																																																			b` = !∆Pc → b` = 4 Logo, > = U2,4W 
 
Domínio: d = e0,2f 
Imagem: g4 =	 e4,8f > LETRA (E) 
 
COMENTÁRIO: 
Questão fácil; no nível de ENEM. De qualquer forma, se você precisar 
rever a teoria, veja FME-1 (função quadrática). 
Esse é o tipo de questão que nós não podemos errar em qualquer 
concurso. O caminho é procurar as questões fáceis que estão distribuídas 
ao longo de todo o caderno de questões. 
As duas primeiras questões desse caderno são para derrubar uma grande 
maioria que não lida diariamente com estatística. 
30) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
>N = ,('â4(-*		i − jMkNL 
>N = 13 ∙ mn4oQ ∙ n√24 	→ 	>N = n:√2192 >Q = ,'(64&	-*	a&6*	2'(&1Vq+&'UiMkNW 
>Q = 12rn√24 ∙ n4s ∙ n2 → >Q = n:√264 
Volume final = >t 
>t = 2>N R >Q → >t = 5n:√2192 									guvj	UKW. 
COMENTÁRIO: 
A visão em perspectiva poderia dificultar a identificação dos sólidos iwMxkNkQ e ijMkNL para a solução do problema. 
Questão capciosa. Certamente há outras soluções mais bonitas para ela. 
Para uma boa revisão de geometria espacial, FME-9. 
 
31) 
2U1 − 6*1Q_W = 1 − 6*1_ → 26*1Q_ − 6*1_ − 1 = 0 
Fazendo 6*1_ = & teremos: 2&² − & − 1 = 0 → z & = 1& = −1 2⁄ 
1ª possibilidade: 6*1_ = 1	 → _ = 	|Q R 2n} 
 
 
2ª possibilidade: 6*1_ = −1 2⁄ →	~_ = −} 6 R 2n}_ = 	7} 6 R 2n} 
 
 
 
 LETRA (B) 
COMENTÁRIO: 
Equações trigonométricas estão em FME-3. Mas você não 
precisa resolver todo o capítulo para relembrar das 
propriedades fundamentais trigonométricas. Bastam algumas 
e a memória será retomada. 
32) 
Fazendo o produto das matrizes A e X, construiremos o sistema abaixo: 
? & R a R @ = 6& − a − @ = −42& − a R @ = 1 	→ ?
2& − a R @ = 1& R a R @ = 62& = 2 	→ & = 1	 
Substituindo o valor de & nas duas primeiras equações, teremos 
�2 − a R @ = 11 R a R @ = 6 	→ -/1-*	@ = 2	*	a = 3 
Assim, temos aQ − 4&@ = 1 > LETRA (C). 
COMENTÁRIO: 
Conhecimento básico de produto de matrizes e resolução de sistema por 
escalonamento. Questão fácil; pouca gente erra. Dúvidas? FME-4. 
33) 
																					x€ = U&N R &€W12 						→ 6/4&	-/6	2*'4/6	-*	q4&	i. K;		 &€ = &N R U1 − 1W'		 → 2*'4/	V*'&+	-&	i. K 
Para a P.A (4,7,10,13....) , teremos: 
&€ = 4 R U1 − 1W ∙ 3 → &€ = 1 R 31 
Assim, substituindo na soma dos termos, teremos: 
U4 R 1 R 31W12 = 1425 → U5 R 31W1 = 2850 → 31Q R 51 − 2850 = 0→ 1 = 30 
 > LETRA (C). 
COMENTÁRIO: 
A questão, em si, é fácil para quem lembrou das fórmulas da P.A. No final, 
apenas o trabalho para achar a “raiz” de 34225(discriminante da 
equação). 
Mesmo para quem não tem “de cabeça” estas duas fórmulas, é possível 
deduzi-las na hora. Acho que pouca gente deve ter tido dificuldade aqui. 
Lembrando sempre a tese que norteia este livro: “ a prova de engenheiro 
de petróleo não é uma prova para quem acerta questões difíceis; ela é 
uma prova para quem não erra as fáceis”. 
34) 
I) =9,: 	→ *6@/+ℎ(-&6	3	+&2&6, q4&	-(A*'*12*	-&	/q2'&; 
II) 02 latas com a mesma marca e 01 diferente : 5 x 4 = 20. 
 z5: *6@/+ℎ&	-*	q4&	4&'@&	,&'&	&6	02	,'(4*('&6	+&2&6;4: *6@/+ℎ&	-*	/q2'&6	4&'@&6	,&'&	&	3ª	+&2&; 
III) Todas as 3 latas iguais: 5 possibilidades (1ª cor ou 2ª cor ou 3ª cor ou 
4ª cor ou 5ª cor). 
TOTAL : 5 R 20 R =9,: = 5 R 20 R 10 = 35 
 LETRA (D). 
 
COMENTÁRIO: 
Questão difícil de análise combinatória, onde o apressado pensaria em 
fazer =9,: = 10 para marcar a letra (B) e erraria a questão. Eu mesmo 
errei na primeira vez que vi a questão e fui alertado por um colega. 
Análise Combinatória e Probabilidades são, em minha opinião, dois dos 
assuntos mais difíceis da Matemática Elementar. Algumas pessoas têm 
mais facilidade para resolver os problemas com puro raciocínio e outras 
preferem o algebrismo. Eu me incluo no segundo grupo. 
Para uma boa revisão, veja FME-5. 
 
35) 
 
 Pela vista superior, temos : ƒ = 50°	.					…/V/	KÔL = 100°. 
LETRA (D). 
COMENTÁRIO: 
Precisamos aprender a fazer provas. Quem perde tempo tentando fazer as 
questões na sequência em que elas aparecem pode perder um tempo 
enorme em algumas questões maisdifíceis e chegar “de cabeça quente” 
aqui, nesta etapa da prova. Principalmente se não tiver conseguido 
resolver alguma ou algumas questões. Isso abala o emocional do 
candidato. 
No começo da prova, é importantíssimo dar uma olhada em todo o 
caderno de questões, identificando as questões que são fáceis; aquelas 
que poucos erram. Começar por estas e só depois atacar as que são mais 
complicadas. 
O segredo, insisto, é não errar questões fáceis. 
36) ANULADA 
 
37) 
1159,27 = 1000U1,03W‡		, ˆq'/	6/a'*	ˆq'/, 2&_&	@/162&12*. 
Aplicando o logaritmo neperiano nos dois lados da equação, temos: 
lnU1159,27W = lnU1000W R +1U1,03W‡ 
Usando propriedades dos logaritmos e consultando a tabela, termos: 
7,06 = 6,91 R 2 ∙ lnU1,03W 	→ 2 = 5 > LETRA (A) 
 
COMENTÁRIO: 
Como a questão 35, fácil. Dessas que não podemos errar em prova. 
Decaimento radioativo e crescimento populacional são outras aplicações 
de equações exponenciais cujas resoluções podem passar pelo uso da 
tabela dos logaritmos. Para uma boa revisão, FME-2. 
38) 
z 200 − 18,50 = 181,50	Uˆq'/6	@/4,/62/6W+/V/, 150	6*'ã/	,&V/6	@/4	181,50U2&_&"	i"		-*	ˆq'/6W 
181,50 = 150U1 R (WQ, /1-*	2	%*4	-*	2	4*6*6. 
Assim, teremos: 
181,50150 = U1 R (WQ → 1R ( = 1,1 → ( = 0,1 → ( = 10% 
Novo empréstimo: ( = 20% 
Assim, teremos: 
 = 200U1 R 0,2WQ →  = 288								…vuMK	UvW. 
COMENTÁRIO: 
Semelhante à anterior. Erro aqui é fatal. 
Uma questão dessa errada separa você de uns 200 candidatos na 
classificação final. Pouquíssimos erram. 
Vale a pena lembrar: “a prova de eng° de petróleo não é uma prova para 
quem acerta questões difíceis; ela é uma prova para quem não erra as 
fáceis”. 
39) 
z_ R 2b = q																				_U−3W3_ R 4b = % → z−3_ − 6b = −3q3_ R 4b = % 				 
Daqui segue que: 
−2b = −3q R % → −2b = −3U−1,0,2,3W R U2,1,0,5W → −2b= U5,1,−6,−4W → b = U−5 2 ,− 1 2 , 3	, 2W 
Como _ = q − 2b	, 2*'*4/6: 
_ = U−1,0,2,3W − 2Ž−5 2 ,− 12 , 3,2 	→ _ = U−1,0,2,3W R U5,1, −6,4W→ 
_ = U4,1,−4,−1W 
O produto escalar (ou produto interno) será dado por: 
_ ∙ b = 4 ∙ − 9Q‘ R 1 ∙ − NQ‘ R U−4W ∙ 3 R U−1W ∙ 2 = −24,5 > LETRA 
(C). 
COMENTÁRIO: 
O MP	1/	*1q1@(-&-/	6ó	6*'%*	,&'&	&66q62&'	/	@&1-(-&2/. Produto 
escalar, em sua expressão analítica, é o que definia a questão. Questão 
fácil. 
 
 
 
40) 
 Substituindo na expressão j = logN• K R 3 ∙ logN•U8 ∙ ∆2W − 2,92 os 
dados do problema, teremos: 
j = logN• 12 R 3 ∙ logN•U8 ∙ 24W − 2,92				 z +/V2 = 0,3+/V3 = 0,48 
Seguimos, lembrando que podemos escrever logN• 12 = log 12 e 
aplicando as propriedades de logaritmos: 
j = logU2Q ∙ 3W R 3 ∙ logU2: ∙ 3 ∙ 2:W − 2,92 
j = +/V2Q R +/V3 R 3Ulog 2³ R +/V3 R +/V2³W − 2,92 
j = 2+/V2 R +/V3 R 6+/V2³ R 3+/V3 − 2,92 
j = 2+/V2 R +/V3 R 18+/V2 R 3+/V3 − 2,92 
j = 20+/V2 R 4+/V3 − 2,92 
 j = 5 >>>> LETRA (C) 
COMENTÁRIO: 
Esta seria a primeira questão que eu resolveria nesta prova. É fácil, de 
aplicação imediata de propriedades dos logaritmos e não tem muitas 
contas trabalhosas. Ótima para acalmar a tensão inicial da prova e dar 
confiança para as demais que seguem. 
 
41) 
Álgebra Linear com aplicações (8ª ed.)- Anton e Rorres- Capítulo 5 – 
Espaços Vetoriais arbitrários. 
DEFINIÇÃO: Se —N = 0,—Q = 0,…—™ = 0	 é a única solução da equação 
vetorial —N%N R —Q%Q R⋯R—™%™ = 0 então o conjunto x = š%N, %Q, %:… . %™›	 é chamado L.I. Se existem outras soluções além da 
trivial, então x é chamado de L.D. 
 
Assim, vamos analisar cada item. 
I) Temos 02 vetores e nenhum é múltiplo escalar do outro; logo, é L.I. 
II) O determinante œ1 2 11 −1 02 3 4œ ≠ 0			 → é	…. g. 
 
III) 2 1 11 −2 3‘ = 1 ∙ 1 0 20 1 −1‘ R 1 ∙ 1 1 −11 −3 4 ‘ → ….d 
 
 >>>>> LETRA (B). 
COMENTÁRIO: 
Como você, talvez eu não lembraria desses conceitos na hora da prova; 
então deixaria esta questão para o final e continuaria na busca por 
questões mais fáceis, como a 40, antes desta. 
De todo modo, vale a pena ter o livro do Anton ou o livro do Lay 
(bibliografia no fim do livro) em casa para consultas eventuais. Sempre 
aparecem umas questões de “Algelin” na prova. 
 
42) 
Se A é de ordem 2x2 e B é de ordem 2x1, para que exista o produto 
A*X=B, então a matriz X tem que ser de ordem 2X1. 
Representando a matriz X por &a‘, teremos: 
 1 2−1 1‘ ∙ &a‘ = −1−2‘ → �& R 2a = −1−& R a = −2 → 0 = 			1−1‘ 
Considerando a matriz X como um vetor , sabemos que a norma ou 
módulo será calculada por: 
1/'4& = ž1² R U−1W² 	= 2 >>>>>>>>>>>>> LETRA (C). 
COMENTÁRIO: 
Um outro bom livro de Álgebra Linear é o do Prof. Antônio dos Santos 
Machado, citado na bibliografia. Ele é ótimo para uma revisão destes 
conceitos básicos de vetores. 
43) 
 
 
Ÿ ¡
 ¢ _ = 0 → b = cosU0W = 1_ = }2 → b = cosU}W = −1_ = }3 → b = cos m2}3 o = −1/2
 
 
K = ¦ cosU2_W R ¦ cosU2_W				 ; 			@/4/		 ¦ cosU2_W -_ = NQ 6*1U2_W,|/:|/P|/P• 
teremos: 
K = 12 6*1U2_W§} 4⁄0 	R	12 6*1U2_W§} 3⁄} 4⁄ 		 
																													K = NQR !√:P R NQ‘ = 1 − √:P = P!√:P >>>> 
LETRA (E). 
COMENTÁRIO: 
Questão lindíssima, mas capciosa por conta da “integral de 2x” necessária 
para a resolução, além da identificação no gráfico dos pontos que 
interessam, para limitar a curva. 
 
 
 
 
44) 
 
 
 
 
 
 
De ^² = _² R b² segue , por derivação implícita em relação ao tempo: 
2^ -^-2 = 2_ -_-2 R 2b -b-2 		→ 2-^-2 = 2 ∙ U0,8W ∙ 3 R 2 ∙ U0,6W ∙ 4 → 
→ -^-2 = 4,8 
>>> LETRA (B) 
 
COMENTÁRIO: 
Taxas relacionadas são um prato cheio para concursos na área de 
engenharia. Muita gente treina e, portanto, poucos erram. Um erro aqui 
separa o candidato colocado em 25º do colocado em 250º. 
Lembrando: “a prova d eng° de petróleo não é uma prova para quem 
acerta questões difíceis; ela é uma prova para quem não erra as fáceis”. 
Além de estar preparados, precisamos “saber fazer prova”. 
 
45) 
 CATENÁRIA DADA POR: 					AU_W = 2 R Q: cosh	U_W 
x&a*4/6	Zq* coshU_W = *© R *!©2 
Logo, teremos: 
AU_W = 2 R 23 ∙ 12 ∙ U*© R *!©W → AU_W = 2 R *©3 R *!©3 		 
Segue com a primeira derivada da função: 
AªU_W = 13 *© − 13*!© 
Igualando a zero, teremos: 
13 *© = 13*!© → 		_ = 0	 ∶ %&+/'	Zq*	4(1(4(^&	&	Aq1çã/. 
Substituindo _ = 0 na função, acharemos seu valor mínimo: 
AU0W = 2 R 13 R 13 → 					AU0W = 83 
>>> LETRA (D) 
COMENTÁRIO: 
Pouca gente lembra das funções hiperbólicas na hora da prova; então essa 
questão deve ter sido considerada difícil por boa parte dos candidatos. 
Tirante esse detalhe, o conceito exigido na questão é aplicação da 
primeira derivada para encontrar máximo de função. Fácil. 
 
46) 
VU_W = _: R _Q R 1 → VªU_W = 3_Q R 2_ 
VªU−1W = 1 → @/*A(@(*12*	&1Vq+&'	-&	'*2&	2&1V*12*Ub = 4_ R ℎW 
b = _ R ℎ	@/12é4	/	,/12/	U−1,1W, +/V/	ℎ = 2 
Assim, temos para reta tangente: b = _ R 2 
Intersecção da reta tangente com a função VU_W: 
_: R _Q R 1 = _ R 2 → _: R _Q − _ − 1 = 0 → 
→ _QU_ R 1W − U_ R 1W = 0 → U_Q − 1WU_ R 1W = 0 → _ = 1	* 
_ = −1	6ã/	'&í^*6. 
Assim, temos VU1W = 3	*	@/16*Zq*12*4*12*	/	,/12/	U1,3W >>> (B) 
COMENTÁRIO: Novamente, aplicação da primeira derivada. Fácil. 
 COMENTÁRIO FINAL 
 
 O neófito em concursos talvez tenha levado um choque se tentou 
resolver as questões na sequência 26,27 e 28. Acho que só o pessoal que 
gosta muito de estatística costuma fazer uma revisão envolvendo estes 
temas abordados. 
Estas questões, associadas às de número 39,41 e 45 devem ter tido um 
numero de erros considerável. No mais, aprova tinha (como sempre!) 
aquelas questões que nós jamais podemos errar. 
Eu começaria a resolver as questões pela de número 35; as questões 32, 
,46,44 e 40 também estão no pacote das questões que não podemos 
errar. 
Como tenho defendido desde o início, não adianta ser uma fera em 
Matemática; você precisa também “saber fazer prova”. E esse “saber 
fazer prova” consiste em buscar no caderno de questões, logo no 
comecinho da prova, aquelas que são fáceis para todo mundo; aquelas 
questões que poucos irão errar. Essas questões são de temas clássicos da 
Matemática Elementar e , no máximo, abordam uma aplicação de 
primeira derivada, como têm nos mostrado o histórico destas provas da 
PETROBRAS. 
Mesmo em provas que foram aplicadas pela CESPE/UNB a tônica foi 
sempre foi a mesma. Sempre houve questões fáceis distribuídas pelo 
caderno de questões. 
Então reafirmamos a nossa tese: “ a prova de eng. de petróleo não é uma 
prova para quem acerta as questões difíceis; ela é uma prova para quem 
não erra as fáceis”. 
Como tenho dito aos meus alunos: na hora da prova, assim que o fiscal 
autorizou a abertura do caderno de questões, a primeira coisa é “navegar” 
por todo o caderno, verificar todas as questões e marcar aquelas que são 
clássicas, de aplicação imediata. Aquelas que são fáceis para a grande 
maioria das pessoas. 
 Só a prática em resolver provas nos dá essa malícia. E esse tem sido nosso 
intento neste trabalho: acima de tudo, te ensinara fazer prova. 
 A Matemática eu tenho certeza que você, distinto leitor, tira de letra. 
Finalizando, minha sequência de resolução no dia da prova seria a 
seguinte: 
29, 35, 37, 33, 32, 40, 44, 46, 31, 38, 39, 42, 43, 45, 28, 30, 34, 41, 26 e 27. 
Estas duas últimas, sinceramente, ficariam para um chute final. 
Bons estudos.PROCESSO SELETIVO PÚBLICO 
PETROBRAS/PSP-RH-2/2008 – EDITAL N
o
 1
GABARITOS DO DIA 08/06/2008 
NÍVEL SUPERIOR 
LÍNGUA PORTUGUESA II 
1 - A 2 - E 3 - E 4 - B 5 - E 6 - A 7 - C 8 - A 9 - E 10 - C 
LÍNGUA INGLESA I
11 - D 12 - E 13 - A 14 - B 15 - B 16 - E 17 - C 18 - D 19 - E 20 - C 
INFORMÁTICA
21 - E 22 - A 23 - B 24 - A 25 - C 
CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS 
EN
GE
NH
EI
RO
(A
)
DE
 G
EO
DÉ
SI
A 
JÚ
NI
OR
EN
GE
NH
EI
RO
(A
)
DE
 P
ET
RÓ
LE
O 
 
JÚ
NI
OR
EN
GE
NH
EI
RO
(A
)
NA
VA
L J
UN
IO
R 
GE
OF
ÍS
IC
O(
A)
JÚ
NI
OR
 – 
EX
PL
OR
AÇ
ÃO
 E
 
RE
SE
RV
AT
ÓR
IO
S
GE
ÓL
OG
O(
A)
JÚ
NI
OR
PR
OF
IS
SI
ON
AL
 D
E 
CO
M
. S
OC
IA
L 
JR
 – 
JO
RN
AL
IS
M
O 
PR
OF
IS
SI
ON
AL
 D
E 
CO
M
. S
OC
IA
L 
JR
 – 
PU
BL
IC
. E
 
PR
OP
AG
AN
DA
PR
OF
IS
SI
ON
AL
 D
E 
CO
M
. S
OC
IA
L 
JR
 – 
RE
LA
ÇÕ
ES
 
PÚ
BL
IC
AS
 
QU
ÍM
IC
O(
A)
 D
E 
PE
TR
ÓL
EO
JÚ
NI
OR
48 – C 
49 – A 
50 – E 
51 – D 
52 – E 
53 – A 
54 – C 
55 – C 
56 – D 
57 – E 
58 – D 
59 – C 
60 – E 
61 – C 
62 – B 
63 – E 
64 – C 
65 – B 
66 – B 
67 – A 
68 – E 
69 – E 
48 – E 
49 – A 
50 – E 
51 – A 
52 – C 
53 – E 
54 – D 
55 – C 
56 – E 
57 – C 
58 – C 
59 – B 
60 – B 
61 – D 
62 – E 
63 – C 
64 – A 
65 – E 
66 – B 
67 – C 
68 – B 
69 – D 
48 – D 
49 – A 
50 – A 
51 – E 
52 – C 
53 – D 
54 – A 
55 – C 
56 – B 
57 – D 
58 – E 
59 – A 
60 – C 
61 – C 
62 – C 
63 – A 
64 – D 
65 – A 
66 – B 
67 – B 
68 – A 
69 – E 
48 – C 
49 – D 
50 – B 
51 – A 
52 – B 
53 – E 
54 – C 
55 – D 
56 – A 
57 – C 
58 – B 
59 – E 
60 – D 
61 – C 
62 – C 
63 – B 
64 – E 
65 – A 
66 – A 
67 – B 
68 – D 
69 – B 
48 – C 
49 – D 
50 – B 
51 – A 
52 – B 
53 – C 
54 – C 
55 – B 
56 – E 
57 – A 
58 – A 
59 – B 
60 – C 
61 – E 
62 – E 
63 – A 
64 – B 
65 – E 
66 – C 
67 – D 
68 – B 
69 – A 
48 – A 
49 – B 
50 – C 
51 – D 
52 – B 
53 – C 
54 – C 
55 – A 
56 – B 
57 – C 
58 – D 
59 – A 
60 – E 
61 – D 
62 – B 
63 – A 
64 – C 
65 – C 
66 – E 
67 – E 
68 – B 
69 – B 
48 – C 
49 – A 
50 – C 
51 – D 
52 – A 
53 – B 
54 – A 
55 – A 
56 – B 
57 – E 
58 – E 
59 – D 
60 – D 
61 – E 
62 – D 
63 – D 
64 – B 
65 – B 
66 – E 
67 – A 
68 – B 
69 – C 
48 – B 
49 – E 
50 – B 
51 – A 
52 – C 
53 – D 
54 – E 
55 – D 
56 – B 
57 – C 
58 – A 
59 – B 
60 – D 
61 – E 
62 – C 
63 – D 
64 – A 
65 – D 
66 – C 
67 – E 
68 – C 
69 – C 
48 – E 
49 – E 
50 – D 
51 – E 
52 – A 
53 – B 
54 – C 
55 – E 
56 – A 
57 – B 
58 – B 
59 – D 
60 – D 
61 – A 
62 – E 
63 – A 
64 – C 
65 – A 
66 – B 
67 – C 
68 – A 
69 – E 
26 – C 
27 – B 
28 – A 
29 – C 
30 – B 
31 – E 
32 – B 
33 – B 
34 – C 
35 – E 
36 – B 
37 – D 
38 – B 
39 – C 
40 – C 
41 – B 
42 – A 
43 – B 
44 – D 
45 – B 
46 – E 
26 – C 
27 – B 
28 – A 
29 – D 
30 – B 
31 – D 
32 – C 
33 – A 
34 – D 
35 – C 
36 – E 
37 – C 
38 – D 
39 – B 
40 – C 
41 – D 
42 – A 
43 – C 
44 – E 
45 – B 
46 – E 
26 – B 
27 – A 
28 – D 
29 – E 
30 – C 
31 – E 
32 – D 
33 – A 
34 – B 
35 – A 
36 – A 
37 – D 
38 – E 
39 – C 
40 – B 
41 – A 
42 – E 
43 – D 
44 – E 
45 – D 
46 – A 
26 – C 
27 – E 
28 – B 
29 – B 
30 – E 
31 – B 
32 – C 
33 – D 
34 – E 
35 – B 
36 – D 
37 – B 
38 – B 
39 – D 
40 – C 
41 – A 
42 – C 
43 – E 
44 – C 
45 – A 
46 – C 
26 – B 
27 – A 
28 – D 
29 – E 
30 – C 
31 – E 
32 – D 
33 – A 
34 – B 
35 – A 
36 – A 
37 – D 
38 – E 
39 – C 
40 – B 
41 – A 
42 – E 
43 – D 
44 – E 
45 – D 
46 – A 
26 – B 
27 – A 
28 – D 
29 – E 
30 – C 
31 – E 
32 – D 
33 – A 
34 – B 
35 – A 
36 – A 
37 – D 
38 – E 
39 – C 
40 – B 
41 – A 
42 – E 
43 – D 
44 – C 
45 – D 
46 – E 
26 – D 
27 – C 
28 – C 
29 – E 
30 – A 
31 – E 
32 – D 
33 – C 
34 – A 
35 – A 
36 – B 
37 – E 
38 – A 
39 – B 
40 – D 
41 – B 
42 – A 
43 – C 
44 – C 
45 – E 
46 – C 
26 – C 
27 – B 
28 – C 
29 – E 
30 – A 
31 – B 
32 – C 
33 – C 
34 – D 
35 – D 
36 – D 
37 – A 
38 – E 
39 – C 
40 – C 
41 – B 
42 – C 
43 – E 
44 – B 
45 – D 
46 – B 
26 – C 
27 – A 
28 – B 
29 – D 
30 – E 
31 – C 
32 – E 
33 – C 
34 – D 
35 – A 
36 – C 
37 – D 
38 – D 
39 – D 
40 – E 
41 – B 
42 – E 
43 – A 
44 – C 
45 – A 
46 – B 
70 – B 70 – B 70 – E 70 – D 70 – D 70 – D 70 – A 70 – D 47 – C 47 – B 47 – D 47 – B 47 – B 47 – D 47 – E 47 – C 47 – C 70 – E 
www.pciconcursos.com.br
���������
UnB/CESPE – PETROBRAS
Cargo 2: Engenheiro(a) de Petróleo Júnior – 1 –
Nas questões de 51 a 120, marque, em cada uma, a única opção correta, de acordo com o respectivo comando. Para as devidas
marcações, use a folha de resposta, único documento válido para a correção da sua prova.
CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
�������	
�
Com relação à função f (x) = x3 + 2x2 !4x + 5, assinale a opção
correta.
A Em três pontos do gráfico da f, a reta tangente é horizontal.
B A função f possui um máximo local no ponto .x =
2
3
C O gráfico da função f muda de concavidade nos pontos de
abcissas x = !2 e .
D .
E No intervalo (!2, !1), a função f é crescente.
�������	
�
Considere uma função , definida no domíniof: D→ R
. Em seu domínio, a função f éD = −∞ ∪ ∪ +∞( , ) ( , ) ( , )0 0 3 3
contínua e tem derivadas contínuas até a ordem 2. As retas x = 0
e x = 3 são assíntotas verticais de f e a reta y = 1 é assíntota
horizontal de f. O gráfico da f é apresentado na figura abaixo.
Com base no gráfico de f e nas informações acima, assinale a
opção correta.
A .lim ( )
x
f x
→−∞
= 1
B A função f não muda de concavidade.
C Se então .x ∈ ( , )0 3 f x f x( ) ( )× ′ > 0
D A função f é injetiva.
E Se então .x ∈ + ∞( , )3 ′ ≠f x( ) 0
�������	
Considere, em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais
xOy, a região de área finita e limitada pelos gráficos das funções
f(x) = x2 e g(x) = 9. Se a reta y = K divide essa região em duas
partes de áreas iguais, então K é tal que
A .K 3 27=
B .K
3
2
27
2
=
C .K 3
9
2
=
D K
3
2
9
4
= .
E .K 3
27
16
=
��������
y
x
1
2 3 4
–1
–1
UnB/CESPE – PETROBRAS
Cargo 2: Engenheiro(a) de Petróleo Júnior – 2 –
�������	
�
A função , possui um ponto críticop t e e
t t
( ) ( )= × −
− −
100 50 10
em t
0
. Considerando 1,6 como valor aproximado de ln 5, então t
0
é igual a 
A 2.
B 5.
C 10.
D 15.
E 20.
�������	
No sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, a equação
da reta tangente ao gráfico da função y = x2, que é paralela à reta
que contém os pontos (0, 0) e (2, 4) é dada por 
A .y x= −2 1
B .y x= −
1
2
1
C .y x= − +2 1
D .y x= − 2
E .y x= +
2
3
2
�������	
�
Considere uma função , satisfazendo às seguintesf :R R→
condições:! f (x), f N(x) e fO(x) são continuas em R.
! f N(!1) = f N(1) = f N(3) = 0;
! f N(x) > 0 no intervalo (1, 3);
! f N(x) < 0 em (!4, !1) c (!1, 1) c (3, + 4).
Nessa situação, é correto afirmar que a função f
A possui um mínimo local em x = !1.
B possui um máximo local em x = 1.
C é injetiva.
D possui um máximo local em x = 3.
E é necessariamente sobrejetiva.
�������	
�
Considere a função f definida por .f x
x
x
x
K x
( )
,
,
=
−
−
≠
=




2 1
1
1
1
se
se
Essa função será continua em todos os reais se K for igual a
A !1.
B 0.
C 1.
D 2.
E 3.
��������
UnB/CESPE – PETROBRAS
Cargo 2: Engenheiro(a) de Petróleo Júnior – 3 –
�������	
�
Considere vetores no espaço R4
e seja V o subespaço de R4 gerado por esses 3 vetores. Nesse caso,
a dimensão de V é igual a
A 0.
B 1.
C 2.
D 3.
E 4.
�������	
�
Considere, em R3, as retas r e s dadas parametricamente por,
 e , em que t 0 R.r
x t
y t
z t
:
= +
= +
= +





3 2
2
3
s
x t
y t
z t
:
=
= −
= −





2 1
3 1
Se (a, b, c) é o ponto de interseção dessas duas retas, então a + b + c é
igual a
A !2.
B !1.
C 2.
D 4.
E 5.
�������	��
Em R3, um vetor normal ao plano que contém os pontos (1, 2, 1),
(!1, 1, 1) e (2, 1, 1) é paralelo ao vetor
A (2, 1, 0).
B (0, 1, 0).
C (0, 0, 1).
D (-1, 1, 0).
E (1, 0, 0).
�������	��
Considere o subespaço 
V = (x, y, z, w) 0 R4: = .
Nesse caso, a dimensão de V é igual a
A 0.
B 1.
C 2.
D 3.
E 4.
�������	��
É correto afirmar que a matriz A =
A não é diagonalizável.
B possui apenas um auto-valor real.
C possui 3 auto-valores reais distintos.
D possui 2 auto-valores reais distintos.
E não possui auto-valores reais.
�������	�
Assinale a opção correta com relação ao sistema de
equações lineares .
A O sistema não possui solução.
B Cada equação do sistema representa uma reta em R3.
C As soluções do sistema pertencem à uma reta cujo vetor
direção é (!1, 1, 0).
D A solução do sistema pode ser escrito como
combinação linear dos vetores (1, 2, 1) e (!1, 2, !1).
E As soluções do sistema podem ser representadas
parametricamente por , em que t é um número
real.
�������	��
No sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, a
equação 4x2 + 16y2 + 8x – 64y + 4 = 0 representa 
A uma hipérbole de centro (!1, 2).
B uma elipse de centro (!1, 2).
C uma parábola de vértice (!1, 2).
D uma circunferência de centro (!1, 2).
E duas retas que se cruzam no ponto (!1, 2).
��������
UnB/CESPE – PETROBRAS
Cargo 2: Engenheiro(a) de Petróleo Júnior – 4 –
�������	�
Considere o espaço euclidiano R2, munido de um sistema de
coordenadas cartesianas ortogonais, em que a unidade de medida é o
centímetro. Nesse caso, a região do plano representada pelo conjunto
de desigualdades lineares tem área igual a
A 0,25 cm2.
B 0,5 cm2.
C 1 cm2.
D 1,5 cm2.
E 2,0 cm2.
�������	��
Uma base para o espaço-solução do sistema homogêneo de duas
equações lineares a 4 incógnitas é 
A .
B .
C {(!1, 1, 0, 0)}.
D {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}.
E {(0, 0, 0, 0)}.
�������	��
Um município é composto por uma região urbana e por uma região de
entorno, a região rural. Na região urbana vivem, hoje, 700 mil pessoas,
e 300 mil na região rural. A cada ano, 10% dos moradores da região
urbana se mudam para a região rural, e 15% das pessoas que vivem na
região rural se mudam para a região urbana. Represente por ReUrb o
número de habitantes na região urbana e por ReRur o número de
habitantes da região rural. Nessas condições o número de habitantes
A da região urbana aumentará em 10% a cada ano.
B da região rural aumentará em mais de 20% a cada ano.
C de cada uma dessas regiões poderá ser determinado pelo produto de
matrizes da forma
.
D do município diminuirá.
E de cada uma dessas regiões poderá ser determinado pelo produto de
matrizes da forma 
.
�������	��
Acerca dos determinantes das matrizes linha-equivalentes
A = e B = , assinale a opção
correta.
A det A = det B.
B det [A × B] > 0.
C det A = !det .
1 5 4
2 7 2
3 1 8−










D det A + det B = 0.
E det A + 2 × det B = 0.
��������
UnB/CESPE – PETROBRAS
Cargo 2: Engenheiro(a) de Petróleo Júnior – 5 –
�������	��
O lucro, ou prejuízo, semanal, em reais, de uma loja que vende x
unidades de determinado produto por semana é dado por
. Nessa situação, o lucro máximo da loja seráL x x x( ) = − +2 200
obtido quando x for igual a
A 10.
B 45.
C 90.
D 100.
E 150.
�������	��
Se log a = X e log b = Y, então
A log (a + b) = X + Y.
B log (ab) = X × Y.
C log ( )= .
a
b
X
Y
D log (a2b) = 2X + Y.
E log = .( )
1 1
a b
+
1 1
X Y
+
�������	��
No intervalo [0, 2B], a quantidade de soluções da equação
sen x + sen 2x = 0 é igual a 
A 1.
B 2.
C 3.
D 4.
E 5.
�������	��
Se x é um número real e exp(x2 – 5x + 6) = 1, então
A x = 2 ou x =3.
B x = 1 ou x = 2.
C x = 0 ou x = 3.
D x = !1 ou x = 0.
E x = !1 ou x = 4.
�������	�
Se A é uma matriz quadrada invertível, então 
A det [A × AT] = [det A]², em que AT é a matriz transposta da matriz
A.
B det [A + A] = 2 × det A. 
C det A + det AT = 0.
D det [A + A!1] = 0.
E det A = det A!1.
�������	��
Em determinado país, em que a moeda é simbolizada por
L$, o imposto de renda é cobrado em função da renda
mensal do trabalhador da seguinte forma:
I isento, se a renda mensal do trabalhador for igual ou
inferior a L$ 10.000,00;
II 10% sobre a renda, menos L$ 1.000,00, se a renda
mensal do trabalhador for superior a L$ 10.000,00 e
inferior ou igual a L$ 20.000,00;
III 20% sobre a renda, se a renda mensal do trabalhador
for superior a L$ 20.000,00.
Se, para uma renda mensal igual a L$ x, o trabalhador
recolhe L$ I(x) de imposto, então é correto afirmar que
A A função I(x) é uma função escada.
B I(x) é uma função constante em cada intervalo do tipo
[10.000n, 10.000(n + 1)], para n = 0, 1, 2, ...
C I(x) é uma função estritamente crescente.
D A função I(x) é continua em x = 10.000.
E I(x) é uma função contínua em todos os pontos de seu
domínio.
�������	�
Se A1 = {2 , 4 , 6 , 8}, A2 = {2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16}
e A3 = {8, 16} são subconjunto do conjunto dos números
inteiros, então
A A1c A2 c A3 é um conjunto diferente de A1, de A2 e de
A3.
B A1 1 A3 d A2.
C A1 1 A2 é um conjunto unitário.
D A2 – A1 = A3.
E A1 1 A2 = A3.
�������	��
Se f (x) = x2 – 5x + 5 e g(x) = !1, então a desigualdade
f (x) < g(x) é válida para todo x 0 R tal que
A x < 2.
B x >3.
C 2 < x < 3.
D x > 2.
E x < 3.
��������
UnB/CESPE – PETROBRAS
Cargo 2: Engenheiro(a) de Petróleo Júnior – 6 –
�������	��
Considere que a porosidade de uma rocha reservatório seja uma
variável aleatória contínua — X — que se distribui de acordo com a
função de distribuição acumulada A partir dessas
informações, assinale a opção incorreta.
A A média de X é igual a 20.
B O desvio-padrão de X é superior a 3.
C A probabilidade P(X > 20) é igual a 0,5.
D A função de densidade de probabilidade de X é 
E Se Y é uma variável aleatória contínua uniformemente distribuída
no intervalo (0, 1), então .
�������	��
Para desenvolvimento de um projeto de perfuração, foram retiradas
aleatoriamente 5 amostras de uma rocha. Concluiu-se que a massa
específica dessa rocha é, em média, igual a 2,5 kg/m3. O desvio-padrão
amostral das massas específicas dessas amostras foi igual a 0,21 kg/m3.
Considerando essa situação e sabendo que a compressibilidade
uniaxial (C) é dada por C = (D2, em que D representa a massa
específica da rocha, e ( > 0 é uma constante de proporcionalidade, o
valorda média amostral de C é igual a
A 6,156 (.
B 6,218 (.
C 6,250 (.
D 6,261 (
E 6,282 (.
Texto para as questões 79 e 80
A plataforma P-43 da PETROBRAS é uma das maiores
plataformas marítimas do mundo. Ela mede 337 m de comprimento e
65 m de altura e a sua produção é de 150 mil barris de óleo por dia.
Internet: <www.petrobras.com.br> (com adaptações).
�������	��
A figura ao lado representa o ângulo de visão de
um observador, que vê a plataforma e um barco de
31 m de comprimento sob um ângulo de 60º,
estando o barco paralelo à plataforma. Nessa
situação, considerando 1,7 como valor aproximado
de , é correto afirmar que a distância d, em3
metros, entre o barco e a plataforma é
A inferior a 50.
B superior a 50 e inferior a 100.
C superior a 100 e inferior a 150.
D superior a 150 e inferior a 200.
E superior a 200.
��������
6
5
 m
337 m
337 m 
31 m 
observador
60
o
d
UnB/CESPE – PETROBRAS
Cargo 2: Engenheiro(a) de Petróleo Júnior – 7 –
�������	��
Considere que foram construídos tanques no
formato de um cilindro circular reto e a parte
inferior é um cone circular reto. A altura total do
tanque é de 15 m, sendo de 1,2 m a altura da
parte cônica. O raio da parte cilíndrica e da base
do cone é igual a 20 m, como ilustrado na figura
ao lado. Se um barril de óleo equivale a 158 L, e considerando 3,14
como valor aproximado para B, é correto afirmar que a quantidade
mínima desses tanques necessária para armazenar a produção de
um dia da P– 43 é igual a
A 2.
B 3.
C 4.
D 5.
E 6.
�������	��
Em geral, os tanques dos caminhões que transportam combustível têm
a forma de um cilindro reto em que a base é uma elipse. Em um
projeto para a construção do tanque de um caminhão, a base elíptica
do tanque e o tanque, são mostrados nas figuras abaixo, onde a
unidade de medida no sistema de coordenadas é o metro e o valor de
b dependerá da capacidade do tanque.
Se o tanque tiver capacidade para , é correto afirmar que a
equação da elipse que servirá de base para o tanque é 
A .2 24 1x y+ =
B 4x2 + 9y2 = 1.
C .2 2 4x y+ =
D .2 24 4y x+ =
E 16x2 + 9y2 = 16.
�������	��
A figura a seguir é composta pelo retângulo PQRS, pelo
arco de circunferência MN e pelos lados do triângulo
isósceles TUV de base TV.
Considerando que esses três entes geométricos possuam o
mesmo eixo de simetria, designado por r, assinale a opção
incorreta.
A Os ângulos PNM e SMN são congruentes.
B O ponto U está, necessariamente, na reta determinada
pelos pontos médios dos segmentos PS e QR.
C A altura do triângulo TUV, relativa à base TV, é
perpendicular ao segmento MN.
D Os segmentos MN e TV são congruentes e
perpendiculares a r.
E O eixo r divide o pentágono TQRVU em dois trapézios
isósceles.
��������
1
5
 m
b
0 1 x
y
5 m
1
P M T Q
U
S N V R
UnB/CESPE – PETROBRAS
Cargo 2: Engenheiro(a) de Petróleo Júnior – 8 –
�������	�
Considerando que, para uma dívida de R$ 6.951,00, serão
cobrados juros compostos mensais de 10%, julgue os itens a
seguir, acerca de diferentes formas de se quitar essa dívida.
I Ao final de dois meses da contratação, o devedor quitará sua
dívida por R$ 8.410,71.
II Em duas prestações mensais, iguais e consecutivas, a primeira
vencendo um mês após a contratação da dívida, a prestação
será de R$ 4.050,10.
III Em três prestações mensais, iguais e consecutivas, a primeira
vencendo no ato da contratação da dívida, a prestação será
inferior a R$ 2.600,00.
Assinale a opção correta.
A Apenas um item está certo.
B Apenas os itens I e II estão certos.
C Apenas os itens I e III estão certos.
D Apenas os itens II e III estão certos.
E Todos os itens estão certos.
�������	��
Um investidor aplica R$ 5.500,00 em uma instituição financeira
que paga juros compostos mensais de 0,8%. Tomando 1,1 como
o valor aproximado de 1,00812, é correto afirmar que o
rendimento dessa aplicação, em um ano, será igual a
A R$ 525,00.
B R$ 550,00.
C R$ 575,00.
D R$ 600,00.
E R$ 625,00.
�������	�
Com relação ao movimento de um projétil, assinale a opção
correta.
A O vetor aceleração é perpendicular à trajetória do projétil
durante todo o seu percurso.
B A trajetória do projétil, do ponto onde ele é lançado ao ponto
onde ele toca a superfície da terra, descreve um arco de
circunferência.
C Quando a resistência do ar é levada em consideração, o vetor
aceleração está na direção vertical.
D O alcance máximo de um projétil depende da velocidade de
lançamento e do ângulo de lançamento, sendo independente
do valor da aceleração da gravidade.
E Mesmo se a resistência do ar for levada em consideração, há
um sistema de referência no qual o movimento do projétil
pode ser tratado como um movimento bidimensional.
�������	��
As grandes indústrias automobilísticas fazem testes de
colisão nos quais carros são arremessados contra paredes. Em
alguns desses testes, os efeitos da colisão sobre um boneco, que
simula a presença de um ser humano, são estudados na presença
e na ausência de air bags.
Considerando o texto acima, assinale a opção correta, acerca de
impulso e trabalho. 
A O air bag funciona como um dispositivo protetor porque a
variação do momento linear do boneco devido à colisão é
maior quando não há air bags no veículo que quando esse
dispositivo está presente e é acionado.
B A variação do momento linear do boneco devido à colisão é
a mesma na presença e na ausência de air bags. No entanto,
quando o air bag é acionado durante a colisão, o intervalo de
tempo no qual ocorre a variação de momento linear do
boneco é maior, o que torna o air bag um dispositivo protetor.
C O impulso da força exercida pela parede sobre o carro é igual
à variação do momento total do carro multiplicada pela massa
do próprio carro.
D Em um gráfico da força exercida pela parede sobre o carro em
função do tempo, o impulso da força é igual à derivada da
força em relação ao tempo.
E Se a fração da energia cinética do carro que se transforma
em som, durante a colisão, for considerada desprezível,
então a colisão entre o carro e a parede pode ser tratada como
uma colisão elástica.
��������
 Data de aplicação: 21/12/2008 
 (70 Específicas – 34 de Matemática-05 anuladas) 
 CESPE/UNB – múltipla escolha 
 
51) 
Análise dos itens para ���� � �� � 2�	 
 4� � 5 
a) reta tangente → ����� 
 ����� � 3�	 � 4� 
 4 . Fazendo ���� � 0, teremos duas raízes reais e distintas → 
02 pontos. >>> ERRADA. 
b) 3�	 � 4� 
 4 � 0	���	��í���	 2 3	⁄ 	� 
 2 
Pode ser um mínimo local e ,de fato, o é. Basta verificar que � �	�� � ��	 	 e ��
2� � 13. 
>>> ERRADA. 
c) Muda de comportamento (crescente para decrescente em -2 e decrescente para 
crescente em 2/3) e não de concavidade. 
d)		��x��6x�4	→f �
 	�� � 6 �
 	�� � 4 � 0 >>> OK. 
e) �”��� � 6� � 4	 → ��&� � 
2 3	⁄ → '�(���(�)��	)*	&)��+�,*	 �
∞,
 	� .		 
 
 
COMENTÁRIO: 
Questão fácil para quem fez uma boa revisão de Cálculo-I. Aplicações diretas de 1ª e 2ª 
derivadas. 
52) 
Análise das opções de acordo com o gráfico apresentado na questão. 
a) a reta / � 1 é uma assíntota; correto o limite em 
∞ . >>>> CORRETA. 
b) � � 2 é ponto de inflexão → mudança de concavidade. >>> ERRADA. 
c) há valores de � ∈ �0,2� tais que ���� ∙ ����� 2 0 >>> ERRADA 
d) é injetiva ( ou injetora) se, para dois elementos �3 4 �		5����)(�)���	�*	'*�í)&*	'�	�6)çã*, �&+���*�	���3� 4 ���	�. 
Como ��
1� � ��2� � 0	 → )ã*	é	&):��&+�. >>>>> ERRADA 
e) ���4� � 0 >>> ERRADA. 
COMENTÁRIO: 
Fácil também. Quem fez a anterior com tranquilidadenão teve problemas para esta 
questão. A base é a mesma: Cálculo-I. 
53) 
 
 
 
A reta / � ; divide a área AOB de forma que S(ACDB)=S(COD). 
Cálculo de S(AOB): 
<�=>?� � @ �9 
 �	�'��B� � 9� 
 �
�3 C 3
3 � 36 
Dado que S(COD)=18, temos : 
@ �; 
 �	�'�√EB√E � 18	 → G;� 
 �
�3 H 	C √;
√; � 18		 → 
→ �6I��&�6&)'*	*�	,&�&���	'�	&)��J��çã*, �����*�: 
																													;� 	⁄ 
 EL M⁄� � ;� 	⁄ 
 EL M⁄� � 18	 → ;� 	⁄ � 	 	 >>>>> (B) 
COMENTÁRIO: 
Também aplicação imediata dos conceitos vistos em Cálculo-I. Agora, com integral 
definida. Um começo de prova tranquilo, para quem fez uma boa revisão de Cálculo-I. 
54) 
N5*)�*	(�í�&(*	��	�O → 5���O� � 0,)5 � 1,6 
5���� � 100 PQ
 150R ∙ �BS �O⁄ 
 Q
 110R ∙ �BS 3O⁄ T → 
→ 5���� � 100 P
 150 ∙ �BS �O⁄ � 110 ∙ �BS 3O⁄ T 
Fazendo 5���O� � 0 , teremos: 
100 ∙ 150 ∙ �BSU �O⁄ � 100 ∙ 110 ∙ �BSU 3O⁄ � 0 
→ �BSU 3O⁄10 � �BSU �O⁄50 → �BSU�OVSU3O � 5 → �WSU�O � 5 
Agora, aplicaremos o ,) e, ambos os lados da equação a fim de encontrar �O 
,)�WSU �O⁄ � ,)5		 → WSU�O � 1,6			 → �O � 20 >>> (E) 
COMENTÁRIO: 
Questão linda, bem elaborada e que exige maturidade do candidato. Se fosse 
discursiva apresentaria um enorme índice de erros. 
Sempre vale a pena fazer uma boa revisão de logaritmos e suas propriedades; para 
exercitar, consulte o FME-2. 
55) 
Retas paralelas: mesmo coeficiente angular 
∗ Y���	Z6�	(*)�é�	*�	5*)�*�	�0,0�	�	�2,4�: (*��. �)J6,�� � � 
� � ∆]∆^ → � � 2 . Logo, sua equação será / � 2� 
																			∗ Y���	��)J�)��: / 
 /O � 2�� 
 �O� >>>>>> LETRA (A). 
COMENTÁRIO: 
Erro aqui é fatal em qualquer concurso. 
Lembrando: “a prova de eng. de petróleo não é uma prova para quem acerta questões 
difíceis; ela é uma prova para quem não erra as fáceis”. 
56) 
 
 
Análise das opções com base no rascunho do gráfico: 
(A) O mínimo local é em x=1; 
(B) O máximo local é em x=3; 
(C) Não é injetiva, pois �3 4 �		�	���3� � ���	� � 0 , contrariando a exigência para 
que uma função seja injetora; 
(D) x=3 é ponto de máximo local >>>> CORRETA; 
(E) é sobrejetiva se _` � ab	�(*)���'*�í)&* � &��J���. 
COMENTÁRIO: 
Parecida com a questão 52, abordando qualitativamente a primeira derivada e o 
comportamento da função. 
57) 
���� � �� � 1��� 
 1��� 
 1� � � � 1, ∀	�	 4 1 
 
 
 
Fazendo um rascunho do gráfico, veremos que ; � 2 é a resposta correta.>>> (D) 
COMENTÁRIO: 
Eu teria começado a prova pela questão 55; em seguida, faria esta. Questões bem 
fáceis, para acalmar os ânimos e manter o moral elevado para o resto da prova. 
58) 
Em particular, nessa questão, temos que +	 � +3 � +�. 
Assim, +3	�	+� formam uma base de d e dim�d� � 2. >>>>> LETRA (C) 
�3,0,1,1� � �1,
1,1,0� � �2,1,0,1� 
COMENTÁRIO: 
Não acredite o caro leitor que eu lembraria desta propriedade na hora da prova. Sem 
chances. Para resolver aqui, tive que consultar o livro do Anton (bibliografia) , capítulo 
5, espaços vetoriais. 
 
59) ANULADA 
 
60) 
 
 
 
 6hi � �1, 
1,0�		�		+i � �
2,
1,0� 
jhhi: +��*�	)*���,	�*	5,�)* 
jhhi � 6hi	�	+i		�5�*'6�*	+��*�&�,� 
Assim, teremos: 
jhhi � k & : ;1 
1 0
2 
1 0k → jhhi � �0,0, 
3� ∥ �0,0,1�	 >>>>> LETRA (C) 
COMENTÁRIO: 
Questão fácil. Poucos erram em prova. 
Se existem dúvidas quanto ao produto vetorial de dois vetores, inicialmente sugiro o 
livro do Prof. Antônio Machado ou Anton/Rorres ou David Lay (na bibliografia). 
61) 
A dimensão é igual ao número de “vetores-base”. 
� � 2/ � � � 3j � 0 → � � 
2/ 
 � 
 3j 
Logo, teremos: 
��, /, �, j� � �
2/ 
 � 
 3j, /, �, j� � 
� /�
2,1,0,0� � ��
1,0,1,0� � j�
3,0,0,1� 
Assim, temos 3 “vetores-base”. Logo, '&� � 3 >>>> LETRA (D) 
COMENTÁRIO: 
Da mesma forma que na questão 58, tive de consultar as minhas bíblias para resolvê-
las (Anton e Rorres; David Lay – bibliografia). 
Acredito piamente que pouquíssimos candidatos lembram dessas propriedades na 
hora da prova. Se a prova fosse discursiva, essas questões 58 e 61 seriam as campeãs 
das deixadas em branco. 
Questões como a 57, 54 e 55 poucas pessoas erram; nós também não podemos errá-
las, pois aí residirá a distância entre as classificações. 
Conforme defendemos desde o começo do livro, “a prova de eng° de petróleo não é 
uma prova para quem acerta questões difíceis; ela é uma prova para quem não erra 
questões fáceis”. 
62) 
mú���*	'�	�6�*+�,*��� � *�'��	'�	����&�	Z6�'��'�. >>>> LETRA (C) 
 COMENTÁRIO: 
Outra propriedade de que eu não lembraria. Tive de consultar as bíblias Anton/Rorres 
e David C. Lay. 
63) 
N� � 2/ � � � 4								�&�
� � 2/ 
 � � 2		�&&� 
Resolvendo o sistema por adição, teremos 4/ � 6		�		/ � 3 2⁄ 
Substituindo na equação �&� vem: 
� � 2 ∙ Q32R � � � 4		 → � � � � 1 
Fazendo agora � � �, ���*�	� � 1 
 �. >>>>> LETRA (E). 
COMENTÁRIO: 
Erro aqui é fatal. Poucos erram questões deste tipo porque sempre fazem parte dos 
treinos em geometria analítica. Todo mundo estuda o tema” forma paramétrica de 
equação da reta”. 
Para uma boa revisão de geometria analítica, FME-7 ou o livro do Prof. Antônio 
Machado (bibliografia). 
64) 
4�	 � 16/	 � 8� 
 64/ � 4 � 0 
4�	 � 8� � 4 � 16/	 
 64/ � 0 → �2� � 2�	 � �4/ 
 8�	 
 64 � 0 → 
→ 4�� � 1�	 � 16�/ 
 2�	 � 64 → 		 �o 64� → 
→ �� � 1�	16 � �/ 
 2�	4 � 1 
>>> LETRA (B). 
COMENTÁRIO: 
Não podemos errar questão assim em prova. Circunferência, elipse e hipérbole são 
equações clássicas. Faça uma revisão com FME-7. 
65) 
 
 
 
 
 																																							p� � 2/ � 2											�����: / � 
 	^ � 1�� � / � 1													�����: / � 
� � 1�/ � 0																																			��&�*	>q�rrrrr 
s�&â)J6,*	=?_ u Á��� � 	<wxy 
<wxy � 12 k0 1 11 0 12 0 1k				p
=�0,1�?�1,0�_�2,0� 
																																																		< � 0,5			(�	 >>>>> LETRA (B) 
COMENTÁRIO: 
Se não lembrasse do determinante, o colega poderia fazer também 
< � 12I���	�	�,�6�� � 	12 	�	?_rrrr	�	>=rrrr � 1�12 � 0,5	 
Não podemos errar questões como essa ! 
Se restam dúvidas de geometria analítica, FME-7 urgente. 
66) 
N 2� � 2/ � � � j � 0				�&�� � / 
 � � j � 0									�&&� 
		N 2� � 2/ � � � j � 0																																														3� 
 j � 0																																	�
2� ∙ �&&� � �&� 
 
3� 
 j � 0					�				� � j3 
3� � 3/ � 2j � 0 → � � / � 2j3 � 0 → � � 
/ 
 2j3 
Assim, temos: 
��, /, �, j� � Q
/ 
 2j3 , /, j3 ,jR � /�
1,10,0� � j�
23 , 0, 13 , 1� 
>>>> LETRA (A) 
COMENTÁRIO: 
Mais uma que eu só consegui fazer consultando a “bíblia” Anton/Rorres. Acho que 
você deve ter em casa pelo menos um dos citados na bibliografia para Álgebra Linear. 
 
 
67) 
68) 
 
69) 
z��� � 
�	 � 200� → z���� � 
2� � 200. 
Igualando a zero, encontraremos o valor que maximiza o lucro: 
2� � 200 � 0 → � � 100 >>> LETRA (D) 
COMENTÁRIO: 
Questão fácil para ninguém errar na prova. Erro aqui é fatal. 
70) 
{�*5�&�'�'�	*5����ó�&�	'*�	,*J��&��*�: 
log��	I� � log��	� � log�I� � 2 log��� � log�I� � 2q � € 
COMENTÁRIO: 
Facílima também. Mas se você ainda tem alguma dúvida sobre as propriedades dos 
“logs”, sugiro FME-2. Após resolveralgumas equações logarítmicas você vai estar 
craque de novo em todas as propriedades. 
Volto a defender a tese deste livro: “a prova de eng. de petróleo não é uma prova para 
quem acerta questões difíceis; ela é uma prova para quem não erra as fáceis”. 
71) 
� ∈ 0,2‚. 
��)	� � ��)	2� � 0	 → ��)� � 2��)�(*�� � 0 → ��)��1 � 2(*��� � 0 
1ª possibilidade: 
��)� � 0 → � � 0	 ∧ 	� � ‚	 ∧ 	� � 2‚ (03 soluções) 
2ª possibilidade: 
1 � 2(*�� � 0 → (*�� � 
1 2⁄ 	→ � � 	„� 		∧ � � W„� 	 (02 soluções) 
Total: 05 soluções >>>>>> LETRA (E) 
COMENTÁRIO: 
Pra uma boa revisão em equações trigonométricas, veja FME-3. Como nas 02 questões 
anteriores, erro nessa parte da prova é fatal. 
Questões como a 62 e 63 a maioria esmagadora erra na prova; dos poucos que 
acertam, muitos chutaram. Mas essas questões de aplicação imediata de propriedades 
dos logaritmos pouquíssimos erram. Então elas são o diferencial na prova. Não 
podemos errá-las. 
72) 
exp��	 
 5� � 6� � 1 → �² 
 5� � 6 � 0 → � � 2	*6	� � 3 >>>>> LETRA (A) 
COMENTÁRIO: 
Podemos errar essa questão em concurso ? 
 
73) 
Como as opções envolvem a inversa de uma matriz genérica, vamos resolver 
escolhendo uma matriz =	^	 tal que det = 	4 0 
Seja = � ‰1 20 3Š. 
Desta matriz, temos que =S � ‰1 02 3Š e consequentemente, =�=S � ‰5 66 9Š 
Análise das opções: 
A) '��=�=S. � 9 � '��=.	 >>> verdadeira 
B) det�= � =� � '�� �2 40 6� � 12			 4 		2�'��= � 6 >>>> falsa 
C) '��= � '��=S � 3 � 3 � 6			 >>> falsa 
D)=B3 � Q1 
2 3⁄0 1 3⁄ R ∧ 		= � =B3 � Q2 4 3⁄0 10 3⁄ R 	∧ 			det	�= � =B3� 4 0 >>>>> falsa. 
E) falsa. 
COMENTÁRIO: 
As propriedades dos determinantes são conhecidas e muita gente memoriza 
facilmente; mas aqui eu procurei resolver como se, na hora da prova, não lembrasse 
de qualquer uma daquelas propriedades; na Matemática pura esta escolha de uma 
matriz particular seria considerada uma heresia, mas em nosso caso o recurso se aplica 
sem perda de generalidade. 
74) 
 
 A) a função não é do tipo “escada”. 
B) para n=1, por exemplo, não é constante; 
C) errada; 
D) ok !!! 
E) em x=20000, a função não é contínua. 
COMENTÁRIO: 
Fácil também; erro aqui é fatal. 
75) 
 
 
 
=3 ⊂ =		, =� ⊂ =			 
=3 � Œ2,4,6,8	, =	 � Œ2,4,6,8,10,12,14,16	, =� � Œ8,16 
Logo, temos opção B , por eliminação. 
COMENTÁRIO: 
Se persistem dúvidas, FME-1. O que não podemos é errar questão deste tipo na prova. 
 
76) 
 
�² 
 5� � 5 2 
1	 → �	 
 5� � 6 � 0		 → � ∈ .2,3 >>>>>>>>> LETRA (C) 
COMENTÁRIO: 
Em FME-1 há várias inequações do 2º grau para resolução. Faça sua revisão. 
 
 
77) ANULADA 
 
78) ANULADA 
79) 
 
 
 
√3 � 1,7 
�J60 � 337� → � � 3371,7 
Da semelhança de triângulos, vamos tirar: 
�3�� � ^B^ 		→ 		 �3�� � LL‘,BLL‘, 				→ 			' � 180 >>>>>> LETRA (D) 
 
80) 
PRODUÇÃODE 01 DIA : 150000 bbl 
VOLUME DE 01 TANQUE: V 
d � ‚�20�	 ∙ 13,8 � 13‚�20�	 ∙ 1,2 → 			d � 400‚�13,8 � 0,4� → d � 1256 ∙ 14200 
Regra de Três: 
 1	II, 
 
 
 
 
 158	,		 
 �	II, 
 
 
 
 
 3	�’	∙	3W	OO3�“ II, 
Nova regra de Três: 
 1	��)Z6� 
 
 
 
 
 
 3	�’	∙3W	OO3�“ 	II, 
 /	��)Z6�� 
 
 
 
 
 
 150000			II, 
 
Donde teremos / ≅ 1,33 >>>>>>>>>>>>>>> LETRA (A) 
 
COMENTÁRIO: 
As duas questões assustam inicialmente pelo enunciado e pelos desenhos, mas nada 
tem a mais do que uma boa e simples geometria plana. Se há dúvidas em geometria 
plana e em particular semelhança de triângulos, vide FME-9. 
81) 
 
 
Á���	'�	�,&5�� ∶ 	‚ ∙ � ∙ I 
Assim, teremos: 
‚ ∙ I ∙ 5 � 5‚2 	→ I � 12 
Equação: 
^²–²� ]²—² � 1 →	 ^²3 � ]²3 W˜ � 1	 → �² � 4/² � 1 >>>> (A) 
COMENTÁRIO: 
Conhecimento básico de cônicas. Para revisão, FME-7. Erro aqui é fatal. 
82) 
Analise da figura; conhecimentos básicos de geometria plana : LETRA (E) 
COMENTÁRIO: Sopa no mel. Esta foi, a meu ver, a questão mais fácil da prova. 
 
83) 
Análise dos itens: 
I) 6951 ∙ �1,1�	 � 6951 ∙ 1,21 � 8410,71 >>> OK 
II) 6951 � ™3VO,3� ™�3VO,3�² 			→ 		6951 � 	,3™3,	3 			→ { � 4005,1 >>> ERRADA ( 
PEGADINHA CRUEL !!!!!) 
III) 6951 � { � ™3,3� ™�3,3�² 		→ 		{ � 2574,… >>>> OK 
COMENTÁRIO: 
Questão capciosa; muita gente deve ter derrapado aqui. 
 
 
 
 
84) 
 › (�5&��,	�5,&(�'* ∶ 5500�*)��)�� ∶ œ��)'&��)�*:œ 
 5500	 � Y 
 
œ � 5500�1 � 0,008�3	 	→ œ � 5500 ∙ 1,1		 → œ � 6050 
Logo, Y � 6050 
 5500			 → Y � 550 >>>>>> LETRA (B) 
COMENTÁRIO: 
Questão clássica de juros compostos; não podemos cometer erro aqui. 
 
 COMENTÁRIO FINAL 
 Para quem gosta de cálculo, seus limites derivadas e integrais, a prova começou 
convidativa e tentadora para que o candidato se debruçasse na sequência 51-57; neste 
caso, talvez tenha perdido algum tempo na 53 ou na 55, caso não tenha lembrado do 
detalhe do coeficiente angular. 
 No entanto, as questões de álgebra linear logo em seguida deixariam qualquer 
mortal desanimado. Quem parou por aqui deve ter perdido muito tempo, sobretudo 
com temas como subespaços gerados, autovalores etc. 
 E logo em seguida, 12 questões facílimas( algumas talvez mais fáceis que questão 
do ENEM) que vieram após a 69 e que, resolvidas no começo da prova dariam um 
outro fôlego ao candidato, um outro ritmo à prova pela tranquilidade, ganho de tempo 
e confiança. 
 Está confirmada nossa tese de que é importante “saber fazer prova”. 
 Eu faria esta prova na seguinte sequência: 
 76, 72, 70, 69, 71, 75, 73, 81, 79, 80, 84, 82, 83, 74, 65, 64, 63, 62, 60, 54, 51, 52, 
55, 56, 57, 53, 58, 61, 66. 
 Lembrando que eu chutaria essas 03 últimas e não considerei as anuladas. 
 
 
 
 
PETRÓLEO BRASILEIRO S.A. (PETROBRAS)
PROCESSO SELETIVO PÚBLICO PARA PREENCHIMENTO DE VAGAS E
FORMAÇÃO DE CADASTRO EM CARGOS DE NÍVEL SUPERIOR E DE NÍVEL MÉDIO
Edital n.º 1 – PETROBRAS/PSP-RH-3/2008, DE 11 DE NOVEMBRO DE 2008
Data da aplicação: 21/12/2008
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
D A B E A D D C X C D C E B B A X X D D
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
E A A D B C X X D A A E C B E B A C A C
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
D C C D B A B X X D C X C A E X B D E X
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
C X C B A E X D A B 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
GABARITOS OFICIAIS DEFINITIVOS DA PROVA OBJETIVA DE CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
0
Obs.: ( X ) questão anulada.
CARGO 2: ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR
0
Questão
Gabarito
Questão
Gabarito
Questão
Gabarito
Questão
Gabarito
www.pciconcursos.com.br
�����
ENGENHEIRENGENHEIRENGENHEIRENGENHEIRENGENHEIRO(A) DEO(A) DEO(A) DEO(A) DEO(A) DE
PETRÓLEOPETRÓLEOPETRÓLEOPETRÓLEOPETRÓLEO JÚNIORJÚNIORJÚNIORJÚNIORJÚNIOR
CONHECIMENTCONHECIMENTCONHECIMENTCONHECIMENTCONHECIMENTOS ESPECÍFICOSOS ESPECÍFICOSOS ESPECÍFICOSOS ESPECÍFICOSOS ESPECÍFICOS
M
A
I
O
 
/
 
2
0
1
0
TARDE12
LEIA ATENTAMENTE AS INSTRUÇÕES ABAIXO.
01 - Você recebeu do fiscal o seguinte material:
a) este caderno, com os enunciados das 70 questões objetivas, sem repetição ou falha, com a seguinte distribuição:
b) 1 CARTÃO-RESPOSTA destinado às respostas às questões objetivas formuladas nas provas.
02 - Verifique se este material está em ordem e se o seu nome e número de inscrição conferem com os que aparecem no CARTÃO-
RESPOSTA. Caso contrário, notifique IMEDIATAMENTE o fiscal.
03 - Após a conferência, o candidato deverá assinar no espaço próprio do CARTÃO-RESPOSTA, a caneta esferográ-
fica transparente de tinta na cor preta.
04 - No CARTÃO-RESPOSTA, a marcação das letras correspondentes às respostas certas deve ser feita cobrindo a letra e
preenchendo todo o espaço compreendido pelos círculos, a caneta esferográfica transparente de tinta na cor preta,
de forma contínua e densa. A LEITORA ÓTICA é sensível a marcas escuras; portanto, preencha os campos de
marcação completamente, sem deixar claros.
Exemplo: A C D E
05 - Tenha muito cuidado com o CARTÃO-RESPOSTA, para não o DOBRAR, AMASSAR ou MANCHAR.
O CARTÃO-RESPOSTA SOMENTE poderá ser substituído caso esteja danificado em suas margens superior ou inferior -
BARRA DE RECONHECIMENTO PARA LEITURA ÓTICA.
06 - Para cada uma das questões objetivas, são apresentadas 5 alternativas classificadas com as letras (A), (B), (C), (D) e (E);
só uma responde adequadamente ao quesito proposto. Você só deve assinalar UMA RESPOSTA: a marcação em
mais de uma alternativa anula a questão, MESMO QUE UMA DAS RESPOSTAS ESTEJA CORRETA.
07 - As questões objetivas são identificadas pelo número que se situa acima de seu enunciado.
08 - SERÁ ELIMINADO do Processo Seletivo Público o candidato que:
a) se utilizar, durante a realização das provas, de máquinas e/ou relógios de calcular, bem como de rádios gravadores,
headphones, telefones celulares ou fontes de consulta de qualquer espécie;
b) se ausentar da sala em que se realizam as provas levando consigo o Caderno de Questões e/ou o CARTÃO-RESPOSTA;
c) se recusar a entregar o Caderno de Questões e/ou o CARTÃO-RESPOSTA quando terminar o tempo estabelecido.
09 - Reserve os 30 (trinta) minutos finais para marcar seu CARTÃO-RESPOSTA. Os rascunhos e as marcações assinaladas no
Caderno de Questões NÃO SERÃO LEVADOS EM CONTA.
10 - Quando terminar, entregue ao fiscal O CADERNO DE QUESTÕES E O CARTÃO-RESPOSTA e ASSINE A LISTA DE
PRESENÇA.
Obs. O candidato só poderá se ausentar do recinto das provas após 1 (uma) hora contada a partir do efetivo início das
mesmas. Por motivos de segurança, o candidato NÃO PODERÁ LEVAR O CADERNO DE QUESTÕES, a qualquer momento.
11 - O TEMPO DISPONÍVEL PARA ESTAS PROVAS DE QUESTÕES OBJETIVAS É DE 4 (QUATRO) HORAS, findo
o qual o candidato deverá, obrigatoriamente, entregar o CARTÃO-RESPOSTA.
12 - As questões e os gabaritos das Provas Objetivas serão divulgados no primeiro dia útil após a realização das
mesmas, no endereço eletrônico da FUNDAÇÃO CESGRANRIO (http://www.cesgranrio.org.br).
CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
Questões
1 a 10
11 a 20
Pontos
0,5
1,0
Questões
21 a 30
31 a 40
Pontos
1,5
2,0
Questões
41 a 50
51 a 60
Pontos
2,5
3,0
Questões
61 a 70
-
Pontos
3,5
-
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR
3
CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
1
Funções trigonométricas são comumente utilizadas em
modelos que envolvam fenômenos periódicos, como os
que incluem variações sazonais. Dentre as funções abai-
xo, aquela que representa a produção total de um certo
produto, em toneladas, de periodicidade anual, em função
do tempo t, expresso em meses, é
(A) f(t) = 900 sen(6t+2)
(B) f(t) = 900 sen(t + )
6
p
(C) tf(t) = 900 sen( + )
6 2
p p
(D) f(t) = 900 sen( + )
6
p
24
pt
(E) t 1f(t) = 900 sen ( + )
6 2
2
Considere os vetores 1
2
u = ( , )1
2
 e 
3
5
v = ( , )- 4
5
. So-
bre esses vetores tem-se que
(A) são ortogonais.
(B) são ambos unitários.
(C) têm mesma direção.
(D) formam ângulo obtuso.
(E) apenas o vetor u é unitário.
3
Seja S o subespaço vetorial de R3 formado por todos os
ternos (x, y, z) que são soluções do sistema linear
2x y 3z 0
x y 2z 0
+ + =
ì
í
- + =
î
Considere as seguintes afirmativas relativas a S:
I - S é o espaço gerado pelos vetores (2, 1, 3) e (1, –1, 2);
II - todos os vetores em S são ortogonais ao vetor (2, 1, 3);
III - S tem dimensão 0.
Está correto APENAS o que se afirma em
(A) I.
(B) II.
(C) III.
(D) I e II.
(E) II e III.
4
A imagem do quadrado Q, representado acima na figura à
esquerda, por uma transformação linear T: R2 R2 é o
losango L representado na figura à direita. Dentre as matri-
zes abaixo, aquela que pode representar T com respeito à
base canônica de R2 é
(A) 1 1
1/ 2 1/ 2
-
é ù
ê ú
ë û
(B) 1 1
1/ 2 1/ 2
é ù
ê ú
- -
ë û
(C) 1 1
1 1
é ù
ê ú
-
ë û
(D) 1 1
0 1
é ù
ê ú
ë û
(E) 1/ 2 1/ 2
1 1
é ù
ê ú
ë û
5
Um vazamento de óleo se espalha sobre a superfície de
um lago formando uma mancha circular. Em determinado
instante, a mancha tem um raio de 100 metros, que cresce
a uma taxa de variação instantânea de 10 metros por hora.
Usando p = 3, estima-se que, nesse instante, a área da
superfície do lago coberta pela mancha de óleo está
crescendo, em m2/h, a uma taxa instantânea igual a
(A) 10
(B) 100
(C) 600
(D) 3.000
(E) 6.000
1
1 -1 1
1
Q L
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR
4
Utilize as informações a seguir para responder às
questões nos 6 e 7.
Considere a amostra de uma variável aleatória, cujos va-
lores estão todos expressos em uma mesma unidade.
Amostra : 36 38 26 40 40 28 46 40 38 28
6
Sobre essa amostra, tem-se que
(A) a média é igual à mediana.
(B) a média é maior que a moda.
(C) se retirarmos um dos valores da amostra, a média,
necessariamente, será alterada.
(D) a mediana é maior que a moda.
(E) a mediana é maior que a média.
7
Dada a amostra, tem-se que
(A) o desvio padrão é menor que 6.
(B) o desvio padrão é igual a 6.
(C) a variância não será alterada, se retirarmos o valor igual
a 36 da amostra.
(D) a variância aumentará, se retirarmos o valor igual a
36 da amostra.
(E) apenas dois valores da amostra estão afastados da
média mais do que um desvio padrão.
8
Um quadrado ABCD, de diagonais AC e BD, tem o lado BC
sobre a reta de equação x + 2y = 4 e o vértice A com
coordenadas (5; 4). As coordenadas do vértice B são
(A) ( )2 , 1 (B)
16 2
,
5 5
æ ö
ç ÷
è ø
(C)
7 1
,
2 4
æ ö
ç ÷
è ø
(D)
8 2
,
3 3
æ ö
ç ÷
è ø
(E)
1
3 ,
2
æ ö
ç ÷
è ø
9
Uma corda com 80 cm de comprimento tem as duas extre-
midades fixas e vibra com frequência fundamental igual a
30 Hz. A velocidade de propagação das ondas nessa
corda, em m/s, vale
(A) 36
(B) 40
(C) 42
(D) 48
(E) 50
10
Foi mapeada uma acumulação de óleo em águas profun-
das na camada pré-sal, numa área de 100 km2 e de es-
pessura média da zona produtora (net pay) de 50 m. Aná-
lises preliminares de rocha e dos fluidos produzidos, feitasa partir de testemunhos e de teste de formação, revelaram
tratar-se de uma rocha carbonática com porosidade média
de 10%, saturação de água de 25%, portando óleo leve,
com elevada razão gás-óleo e fator volume de formação
do óleo igual a 1,5.
Com base nessas informações e estimando que o fator de
recuperação seja de 20%, o volume recuperável de óleo,
em milhões de m3, é de, aproximadamente,
(A) 50 (B) 67
(C) 75 (D) 150
(E) 250
11
Dos slogans abaixo, o que é equivalente a “Se beber,
então não dirija” é
(A) “Se não dirigir, então beba”.
(B) “Não beba nem dirija”.
(C) “Não beba ou não dirija”.
(D) “Se não beber, então dirija”.
(E) “Beba e não dirija”.
12
Há cinco poços de petróleo a serem perfurados (P
1
, P
2
, P
3
,
P
4
 , P
5
) e apenas três sondas disponíveis para perfuração
(S
1
, S
2
, S
3
). A sonda S
1
 só pode ser utilizada para a perfu-
ração dos poços P
4
 e P
5
. As sondas S
2
 e S
3
 podem ser
utilizadas para a perfuração de qualquer dos cinco poços.
Serão perfurados, inicialmente, apenas três dos cinco po-
ços e, para isso, cada sonda será alocada a um único poço.
Quantas maneiras distintas há para se alocarem as três
sondas?
(A) 8
(B) 10
(C) 15
(D) 24
(E) 40
13
Dada a função f:R R definida por f(x) = ln(3x + 1), o
valor de 
x 0
f(2x) f(0)
lim
x
®
- é
(A) 0 (B) 1
(C) 2 (D) 3
(E) 6
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR
5
14
Uma pessoa compra uma mercadoria cujo preço à vista é
de V reais e vai pagá-la em n prestações mensais iguais a
P reais cada uma, sendo o primeiro pagamento um mês
após a compra, e n > 2. Sabendo-se que são cobrados
juros compostos de taxa mensal igual a i, a expressão que
calcula o saldo devedor, em reais, imediatamente após o
pagamento da segunda prestação, é
(A) ( ) ( )V. 1+i P . 1+i Pé ù- -
ë û
(B) ( )V. 1+i 2P-
(C)
( )
2
V 1+i 2P-
(D) ( )( )V P 1+i P- -
(E) V 2P-
Considere as informações a seguir para responder às
questões de nos 15 e 16.
Uma partícula é lançada verticalmente para cima reali-
zando um movimento retilíneo até atingir o solo. A função
horária de posição da partícula é dada por
s(t) = 3,4 + 16t � 5t2
O tempo (t) está medido em segundos e a posição (s), em
metros.
15
Com base nas informações apresentadas acima, analise
as afirmativas a seguir.
I – A partícula é inicialmente lançada para cima com
velocidade igual a 16 m/s.
II – A partícula atinge sua altura máxima 1,5 segundo
após o lançamento para cima.
III – A partícula se move em MRU (Movimento Retilíneo
e Uniforme).
É correto APENAS o que se afirma em
(A) I.
(B) II.
(C) I e II.
(D) I e III.
(E) II e III.
16
A partícula atinge o solo a uma velocidade cujo módulo,
em m/s, é
(A) 16 (B) 17
(C) 18 (D) 19
(E) 20
17
A Figura 1 ilustra um recipiente fechado e completamente
preenchido com um líquido. Sejam P
1
 e F
1
, respectivamen-
te, a pressão e a força exercidas pelo líquido no fundo do
recipiente. A Figura 2 ilustra o mesmo recipiente virado de
cabeça para baixo. Sejam P
2
 e F
2
, respectivamente, a
pressão e a força exercidas pelo líquido no novo fundo do
recipiente. Com base nessas informações, tem-se que
(A) P
1
 = P
2
 e F
1
> F
2
(B) P
1
 = P
2
 e F
1
< F
2
(C) P
1
 = P
2
 e F
1
= F
2
(D) P
1
 > P
2
 e F
1
> F
2
(E) P
1
 > P
2
 e F
1
< F
2
18
A Lei de Coulomb enuncia que a intensidade da força de
ação mútua entre duas cargas puntiformes é diretamente
proporcional ao produto dos valores absolutos das cargas
envolvidas e inversamente proporcional ao quadrado da
distância que as separa. Assim,
1 2
2
Q Q
F k
d
×
= ×
em que k é a constante eletrostática. No Sistema Interna-
cional (SI), a unidade adequada para a constante
eletrostática é
(A)
N m
C
×
(B)
2N m
C
×
(C)
2
2
N m
C
×
(D) 2
N m
C
×
(E)
2 2N m
C
×
Figura 1 Figura 2
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR
6
19
Acerca da propriedade entropia, analise as afirmativas a
seguir.
I – A variação da entropia de um sistema fechado é a
mesma para todos os processos entre dois estados
especificados.
II – A entropia de uma quantidade fixa de um gás perfei-
to aumenta em toda compressão isotérmica.
III – Um corolário da segunda lei da termodinâmica esta-
belece que a variação de entropia de um sistema
fechado deve ser maior que zero ou igual a zero.
Está correto o que se afirma em
(A) I, apenas.
(B) II, apenas.
(C) I e II, apenas.
(D) I e III, apenas.
(E) I, II e III.
20
Uma chapa isolante de 3 cm de espessura e cuja
condutividade térmica é igual a 0,03 W/m °C é colocada
sobre a parede externa de um forno industrial. Admite-se
que a temperatura da parede interna do forno é 525 °C e
que a temperatura na superfície livre da chapa é 25 °C.
Supondo-se que a taxa de transferência de calor desse
processo seja igual a 250 W/m2 e que a espessura da pa-
rede seja de 10 cm, a condutividade térmica da parede,
em W/m °C, vale
(A) 0,05
(B) 0,1
(C) 0,2
(D) 1
(E) 2
21
Se o seno de um ângulo agudo é igual a s, então sua
tangente é igual a
(A)
s
1 s- 2
(B) 21 s-
(C) 1 s-
(D)
21 s
s
-
(E) 1 s+
22
Observe o gráfico da função y = f(x) a seguir.
Sendo f’(a) o valor da função derivada de f(x) para x=a,
considere os números: f’(-2), f’(-1), f’(1) e f’(2). O menor e
o maior desses números são, respectivamente,
(A) f’(-2) e f’(2)
(B) f’(2) e f’(-1)
(C) f’(1) e f’(-2)
(D) f’(2) e f’(-2)
(E) f’(-1) e f’(1)
23
A figura acima mostra uma circunferência, inscrita em
um quadrado de lado 8, de lados paralelos aos eixos, cujo
vértice inferior esquerdo é o ponto (3, 4). A equação dessa
circunferência é
(A) (x - 3)2 + (y - 4)2 = 16
(B) (x - 3)2 + (y - 4)2 = 64
(C) (x - 7)2 + (y - 8)2 = 16
(D) (x - 7)2 + (y - 8)2 = 64
(E) (x - 11)2 + (y - 12)2 = 9
-3-4 -2 -1 1 2 3 4 5
1
2
3
4
-2
-1
-3
(3,4)
8
x
y
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR
7
26
Uma chapa quadrada de 4 m de lado é utilizada para
formar a parede de um reservatório cilíndrico. O volume
do reservatório é igual a
(A) 3
8
m
p
(B)
316
m
p
(C)
3
24 m (D) 316 mp
(E ) 38 mp
27
Um determinado produto pode ser comprado à vista, por
R$ 950,00, ou em duas parcelas, uma de R$ 450,00 no ato
da compra e outra de R$ 550,00, um mês após a compra.
A taxa mensal de juros para a qual os dois planos de paga-
mento são equivalentes, é de
(A) 5%
(B) 10%
(C) 11%
(D) 12%
(E) 15%
28
Nos reservatórios de petróleo, os principais mecanismos
de produção são o influxo de água, o gás em solução, a
capa de gás, a segregação gravitacional ou uma combina-
ção destes. Nessa situação, afirma-se que
(A) o mecanismo de gás em solução se caracteriza, princi-
palmente, por ser possível, no processo exploratório
da jazida, a obtenção de valores elevados de recupe-
ração do óleo em relação ao volume de óleo original.
(B) no mecanismo de gás em solução, quando os poços
são colocados em produção, normalmente há um
declínio acentuado na pressão do reservatório, cau-
sando uma excessiva liberação de gás no reservatório
que resulta num crescimento rápido da razão gás-óleo.
(C) nos reservatórios de capa de gás, é recomendado que
sejam canhoneadas as zonas de óleo e de gás e aber-
tas ao fluxo em conjunto.
(D) uma das características marcantes do influxo de água,
como mecanismo de produção, é o baixo valor que se
consegue obter do fator de recuperação de
hidrocarbonetos.
(E) para aumentar o fator de recuperação de óleo nos po-
ços que drenam reservatórios com influxo de água atu-
ante, é recomendado que o intervalo canhoneado se
estenda até abaixo da interface do contato óleo-água.
Considerea situação a seguir para responder às
questões de nos 24 e 25.
A figura acima ilustra uma pista perfeitamente lisa, compos-
ta pelos trechos horizontais AB e DE e pelo arco de circunfe-
rência BCD, sendo C o ponto mais alto do arco. Nessa pis-
ta, os trechos AB e DE estão alinhados. Uma pessoa lança
um corpo de dimensões desprezíveis sobre essa pista. Esse
corpo percorre o trecho horizontal AB e, a partir do ponto B,
começa a subir o arco de circunferência.
24
Com base nas informações apresentadas acima e consi-
derando-se que o corpo ultrapassa o ponto C, analise as
afirmativas a seguir.
I – A força empregada pela pessoa sobre o corpo no
momento do lançamento continua agindo sobre o
corpo durante o trajeto AB.
II – No ponto C, a força normal exercida pela pista sobre
o corpo é menor, em módulo, do que o peso do
próprio corpo.
III – O corpo alcança o ponto E.
É correto APENAS o que se afirma em
(A) I.
(B) III.
(C) I e II.
(D) I e III.
(E) II e III.
25
Considerando-se a gravidade local igual a 10 m/s2, qual a
mínima velocidade, em m/s, que o corpo deve ter no ponto
B para que consiga, de fato, alcançar o ponto C?
(A) 0,90
(B) 1,00
(C) 1,10
(D) 1,20
(E) 1,44
A B
C
D E
72 mm
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR
8
29
Foi definida uma locação para a perfuração de um poço
produtor de óleo, em um bloco exploratório da camada pré-
sal, contido numa área de preservação ambiental que pro-
íbe o uso de fluidos sintéticos. Como é esperada a perfu-
ração de um longo trecho de halita, o fluido de perfuração
recomendado para essa situação é
(A) água do mar.
(B) óleo diesel.
(C) fluido aerado.
(D) fluido inibido com polímeros.
(E) solução salina saturada.
30
Durante o ensaio de compressão de um corpo de prova no
regime elástico linear, um ponto do material fica sujeito a
um estado tridimensional de deformações, no qual as de-
formações transversais ao corpo de prova são
(A) nulas.
(B) iguais à deformação axial.
(C) positivas e proporcionais à deformação axial.
(D) negativas e proporcionais à deformação axial.
(E) maiores, em módulo, do que a deformação axial.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
log y
log x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
log y
log x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
log y
log x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
log y
log x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
log y
log x
31
As grandezas x e y são tais que x2 = 1000y. O gráfico que melhor representa a relação entre os logaritmos decimais de x e de y é
(A) (B)
(C) (D)
(E)
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR
9
32
Considere a matriz quadrada A, de ordem n > 1, onde cada
elemento a
ij
 = i x j, para todos os valores de i e j pertencen-
tes ao conjunto {1,2,3,...,n}. A soma de todos os elementos
da matriz A é
(A) 12+22+32+...+n2
(B) (1+2+3+...+n)2
(C) n2.(1+2+3+...+n)
(D) n.(12+22+32+...+n2)
(E) n.(1+2+3+...+n)2
33
Uma matriz quadrada A, de ordem 2, é tal que a soma dos
elementos de cada linha e de cada coluna é igual a 3.
Considere as afirmativas abaixo.
I - (1, 1) é necessariamente um autovetor de A.
II - 3 é necessariamente um autovalor de A.
III - (1, 0) é necessariamente um autovetor de A.
Está correto o que se afirma em
(A) I, apenas. (B) II, apenas.
(C) III, apenas. (D) I e II, apenas.
(E) I, II e III.
34
Uma prova consta de 35 questões do tipo múltipla esco-
lha, com 5 opções cada uma, onde apenas uma opção é
verdadeira. Um candidato que não sabe resolver nenhu-
ma das questões vai respondê-las aleatoriamente. Ele sabe
que as respostas certas das 35 questões estão distribuí-
das igualmente entre as opções A,B,C,D e E, e resolve
marcar suas respostas seguindo esse critério: escolherá
aleatoriamente 7 questões para marcar a opção A, outras
7 para a B, e assim sucessivamente. A probabilidade de
ele acertar todas as questões é
(A)
1
35!
(B)
7.5!
35!
(C)
5.7!
35!
(D)
5(7!)
35!
(E)
7(5!)
35!
35
O valor de
40
4
2x 1 dx+
ò
é
(A) 117
(B) 234
(C) 343
(D) 351
(E) 468
36
A figura acima ilustra três superfícies equipotenciais de um
campo elétrico uniforme. Essas superfícies são paralelas.
A e B são pontos no interior desse campo. O potencial,
em volts, no ponto B vale
(A) 22,5
(B) 30,0
(C) 37,5
(D) 45,0
(E) 52,5
37
No processamento primário de petróleo, o fluxo de um de-
terminado glicol, feito em contracorrente com o gás natural
produzido, tem como objetivo
(A) possibilitar a eliminação de H
2
S.
(B) possibilitar a retirada do gás carbônico presente no gás
natural.
(C) reduzir o teor de água do gás natural produzido.
(D) eliminar os sólidos em suspensão no gás natural.
(E) aumentar o poder calorífico do gás natural.
15 V 90 V
A
B
4 cm 6 cm
3 cm
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR
10
38
Uma tubulação é instalada sobre apoios, conforme ilustra-
do na figura acima. Considerando os efeitos de flexão de-
vida ao peso próprio uniformemente distribuído da tubula-
ção e do fluido em seu interior, as curvas do diagrama de
momentos fletores entre os apoios são polinômios de or-
dem
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
39
Anidridos são óxidos capazes de reagir com a água, ge-
rando soluções ácidas. Qual das seguintes substâncias é
um anidrido?
(A) Na
2
O
(B) CaO
(C) C
2
H
5
OH
(D) (H
3
C
2
O)
2
O
(E) BaO
2
40
No que se refere à transmissão de calor por convecção e
radiação bem como ao processo de transferência de mas-
sa, analise as afirmativas a seguir.
I - O fator de forma referente a dois retângulos parale-
los alinhados e separados por uma distância L, é
cada vez maior, conforme a distância de separação
aumenta.
II - O número de Schmidt é um parâmetro adimensional
referente à equação para o transporte de massa e
relaciona as espessuras das camadas limite térmi-
ca e de concentração.
III - O número de Grashof representa a razão entre a
força de empuxo e a força viscosa em um escoa-
mento com convecção livre.
As opções corretas são:
(A) I, apenas.
(B) III, apenas.
(C) I e III, apenas.
(D) II e III, apenas.
(E) I, II e III.
Tubulação sob ação de seu peso próprio e do fluido em seu interior
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
Origem do óleo diesel no Brasil
Produzido Importado
84% 83% 84% 90% 93% 94% 92% 88% 87% 92%
16% 17% 16% 10% 7% 6% 8% 12% 13% 8%
41
Observe os gráficos a seguir.
Disponível em: www.wikipedia.org
Admitindo-se que “Origem do óleo diesel no Brasil” se re-
fere ao óleo diesel vendido no país de 2000 a 2009, então,
nesse período, o ano em que houve maior produção de
óleo diesel no país, em milhões de metros cúbicos, foi
(A) 2004
(B) 2005
(C) 2007
(D) 2008
(E) 2009
46
44
42
40
38
36
34
32
30
37
35
38
37
39 39 39
42
45 44
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
Venda de óleo diesel no Brasil/
milhões de m
3
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR
11
42
Deseja-se cercar uma região retangular de um terreno. Com o mesmo material da cerca, deseja-se, ainda, conduzir uma
cerca interna paralelamente a um dos lados, de modo a dividir a área cercada em duas, conforme indicado na figura
acima. Se há material disponível para construir 600 m de cerca, qual é, em m2, a maior área total possível da região
cercada?
(A) 12.000
(B) 14.400
(C) 15.000
(D) 22.500
(E) 36.000
43
Na figura a seguir, temos as representações gráficas das curvas y = x2 e x2 + y2 = 6.
A área da região contida no primeiro quadrante e limitada pelo eixo x e pelas duas curvas citadas é
(A)
2
2
0
( 6 y y ) dy- -
ò
(B)
6
2 2
0
( 6 x x ) dx- -
ò(C)
3 6
2 2
0 3
x dx 6 x dx+ -
ò ò
(D)
3
2
0
( 6 y y ) dy- +
ò
(E)
6 2
2 2
0 0
6 x dx - x dx-
ò ò
-3-4 -2 -1 1 2 3 4 5
1
2
3
4
-2
-1
-3
-4
y
x
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR
12
44
No trapézio retângulo ABCD da figura abaixo, tem-se
AB = a, DC = b e o ângulo CAB = a.
A área desse trapézio é
(A)
b
.(a b).tg
2
+ a
(B)
b
.(a b).cotg
2
+ a
(C)
2a .b .sen
2
a
(D)
1
.(a.sen b.cos )
2
a + a
(E)
1
.(a.tg b.cotg )
2
a + a
45
A figura ilustra a associação de três resistores idênticos,
todos com resistência 6 . Aplica-se uma d.d.p. de 18 V
entre A e B. A intensidade da corrente, em amperes, que
passa pelo resistor R
1
 é
(A) 0
(B) 3
(C) 6
(D) 9
(E) 10
CD
A
B
A
R1
B
R2 R3
46
A figura acima ilustra uma barra homogênea articulada em
A, que está mantida em equilíbrio, na horizontal, sustentada
por um cabo inextensível e de massa desprezível. Um
corpo está suspenso em B. A reação da articulação A sobre
a barra é melhor representada por
(A) (B)
(C) (D)
(E)
47
O Bombeio Centrífugo Submerso (BCS) é um método de
elevação artificial muito usado na produção de petróleo e
se caracteriza por utilizar uma bomba centrífuga de múlti-
plos estágios, acionada por um motor elétrico. Para permi-
tir uma partida suave do motor e aumentar a flexibilidade
operacional do sistema, é utilizado, na superfície, um equi-
pamento elétrico chamado variador de frequência (VSD).
Com relação a esse método, afirma-se que a
(A) capacidade de elevação da bomba centrífuga (Head)
depende da densidade dos fluidos produzidos.
(B) rotação do conjunto motor-bomba é diretamente pro-
porcional ao quadrado da variação da frequência elé-
trica utilizada no VSD.
(C) potência requerida ao eixo do motor varia na razão
cúbica da variação da frequência elétrica utilizada no
VSD.
(D) potência elétrica requerida ao eixo do motor é direta-
mente proporcional ao quadrado da densidade média
dos fluidos produzidos.
(E) eficiência de bombeamento independe da vazão de lí-
quido bombeado.
A
B
q
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR
13
48
Cobre e zinco são obtidos por eletrorredução em solução
aquosa sulfúrica. Considerando-se todas as atividades
como unitárias, as eficiências de corrente como 100% e
desprezando-se os sobrepotenciais, qual a estimativa cor-
reta para a razão entre o consumo de energia elétrica ne-
cessário para obtenção de uma tonelada do primeiro metal
(E
Cu
) em relação ao segundo (E
Zn
) ?
(A) 4:1
(B) 3:1
(C) 2:1
(D) 1:2
(E) 1:1
49
Um aquecedor ideal, que opera segundo um ciclo reversí-
vel, é usado para aquecer e manter o interior de um tanque
de armazenamento a 600K. Uma análise com base na pri-
meira lei da termodinâmica revela que o tanque perde ener-
gia sob a forma de calor à taxa de 3600 kJ/h, por grau de
diferença de temperatura entre o ambiente interno e o ex-
terno ao tanque. Se a temperatura do ambiente externo é
300K, então a potência mínima necessária para o funcio-
namento do aquecedor (kW) e o seu coeficiente de de-
sempenho são, respectivamente,
(A) 150 e 0,5
(B) 150 e 2
(C) 300 e 0,5
(D) 300 e 2
(E) 600 e 2
50
Considere as afirmativas abaixo, referentes ao processo
de condução de calor em regime permanente ao longo da
direção radial em um cilindro maciço de raio “a”, no qual a
condutividade térmica é constante e a temperatura de su-
perfície é conhecida. Suponha, ainda, que exista uma ge-
ração volumétrica uniforme de calor atuando no interior do
cilindro.
I - A distribuição de temperatura é função do quadrado
da posição radial.
II - A temperatura máxima encontra-se na posição r = a/2.
III - A distribuição de temperatura é diretamente propor-
cional à condutividade térmica.
Está correto o que se afirma em
(A) I, apenas.
(B) I e II, apenas.
(C) I e III, apenas.
(D) II e III, apenas.
(E) I, II e III.
51
Uma população tem hoje P indivíduos e cresce a uma taxa
constante de 25% ao ano. Sabendo-se que log
10
2 = 0,30,
estima-se que o número de indivíduos desta população
daqui a vinte anos será
(A) 5 P
(B) 10 P
(C) 25 P
(D) 100 P
(E) 500 P
52
A transformação linear T: R3 R3 associa a cada vetor u
de R3 o produto vetorial a × u, onde a = (1, 0, 1). A matriz
de T, com respeito à base canônica de R3, é
(A)
0 1 0
1 0 1
0 1 0
-
é ù
ê ú
-
ê ú
ê ú
ë û
(B)
1 0 1
0 1 1
1 1 0
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ë û
(C)
0 1 0
1 0 1
0 1 0
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ë û
(D)
0 1 0
1 0 1
0 1 0
é ù
ê ú
- -
ê ú
ê ú
ë û
(E)
0 1 0
1 0 1
0 1 0
é ù
ê ú
-
ê ú
ê ú
-
ë û
53
No regime de juros compostos, uma taxa trimestral de
juros igual a i corresponde a uma taxa bimestral de juros
igual a
(A) 2i/3
(B) i2/3
(C) (1 + i1/3)2 –1
(D) (1 + i)2/3 – 1
(E) 3i/2
54
Um objeto é colocado a 20 cm de um espelho, produzindo
uma imagem invertida 50% maior do que o objeto. Trata-se
de um espelho
(A) côncavo e sua distância focal vale 12 cm.
(B) côncavo e sua distância focal vale 15 cm.
(C) plano e sua distância focal vale 10 cm.
(D) convexo e sua distância focal vale 12 cm.
(E) convexo e sua distância focal vale 15 cm.
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR
14
55
Uma fonte de luz monocromática pontual está imersa em
um líquido a 12 m de profundidade. Os raios que atingem
a superfície do líquido em um ponto contido na região cir-
cular de raio 5 m sofrem refração. Os demais sofrem ape-
nas reflexão. Se o índice de refração do ar é 1, então o
índice de refração do líquido é
(A) 1,3
(B) 1,8
(C) 2,0
(D) 2,4
(E) 2,6
56
Uma pedra de massa 0,2 kg está em equilíbrio, totalmente
submersa na água e parcialmente sustentada por um
dinamômetro, que marca 1,5 N. Sabendo-se que a densi-
dade da água é 1000 kg/m3 e considerando-se a gravida-
de local igual a 10 m/s2, o volume da pedra, em cm3, vale
(A) 30
(B) 35
(C) 40
(D) 45
(E) 50
12
5
57
Uma partícula de massa 750 g desloca-se sobre uma reta
graduada em metros. Sua posição (em metros) sobre essa
reta é dada, em função do tempo, por
2s(t) 2t 0,4 t= + ×
estando t em segundos. A variação da quantidade de
movimento, em 
kg m
s
˜
, nos 5 primeiros segundos de
deslocamento, vale
(A) 6,00
(B) 4,50
(C) 3,00
(D) 1,50
(E) 0,75
58
Poços offshore perfurados em águas ultraprofundas pos-
suem uma janela de operação (diferença entre o gradiente
de poros e o gradiente de fraturas) mais estreita. A esse
respeito, afirma-se que a
(A) tensão de sobrecarga é maior em poços offshore
ultraprofundos, devido à elevada lâmina d’água, o que
aumenta consideravelmente o gradiente de poros, apro-
ximando-o do gradiente de fraturas.
(B) tensão de sobrecarga é menor em poços offshore
ultraprofundos, devido à substituição de uma elevada
espessura de sedimentos por uma elevada lâmina
d’água, o que reduz os esforços transmitidos para as
formações soterradas, diminuindo consideravelmente
a tensão de fratura.
(C) elevada lâmina d’água produz uma alta pressão
hidrostática no leito marinho, o que causa uma pres-
são anormalmente alta nas formações.
(D) estreita janela de operação resulta em um projeto de
poço mais simples, com menos fases a serem perfura-
das.
(E) estreita janela de operação sempre permitirá o uso da
tolerância ao kick como critério de assentamento de
sapatas, independente dos valores de gradiente de
poros e gradiente de fraturas.
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR
15
59
Com relação às operações de acidificação de matriz,
analise as afirmativas a seguir.
I - Durante uma acidificação com o mud acid, o HF ata-
ca preferencialmente a sílica, devidoà sua maior
participação na composição mineralógica das rochas
reservatório.
II - Durante uma acidificação, é recomendável fraturar
a formação quando a injetividade for baixa, para
evitar que a coluna fique exposta ao ácido por um
tempo excessivo.
III - Nos intervalos espessos, é importante adotar medi-
das no sentido de promover a divergência do ácido.
IV - Nos arenitos em que a presença de clorita é eleva-
da, não é recomendada a utilização do HCL devido
à alta solubilidade dessa argila no ácido.
São corretas APENAS as afirmativas
(A) I e II.
(B) I e IV.
(C) III e IV.
(D) I, II e III.
(E) II, III e IV.
60
A glicerina é um subproduto do processo de
transesterificação de óleos vegetais para produção do
biodiesel. Qual a função orgânica associada a essa subs-
tância?
(A) Álcool.
(B) Aldeído.
(C) Cetona.
(D) Ácido carboxílico.
(E) Amina.
61
A imagem de uma transformação linear T: R6 R3 é o
espaço gerado pelos vetores (1, 0, 1), (0, 1, 0) e (1, –1, 1).
A dimensão do núcleo de T é
(A) 4
(B) 3
(C) 2
(D) 1
(E) 0
62
O vetor (m, 2, 3) do R3 é uma combinação linear dos vetores
(1, 0, 1) e (2, 1, 1). O valor de m é
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
63
Considere as matrizes
A = [1 2 3 4] e B =
0 2 3 4
0 0 6 8
0 0 0 12
0 0 0 0
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ë û
.
Denotando por A t a matriz transposta de A, a matriz
(A t A) – (B + Bt) é
(A)
0 0 0 0
2 0 0 0
3 6 0 0
4 8 12 0
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ë û
(B)
0 2 3 4
2 0 6 8
3 6 0 12
4 8 12 0
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ë û
(C)
1 0 0 0
0 4 0 0
0 0 9 0
0 0 0 16
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ë û
(D)
1 2 3 4
2 4 6 8
3 6 9 12
4 8 12 16
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ë û
(E)
1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
0 0 0 4
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ë û
64
Uma onda mecânica periódica e transversal se propaga
de acordo com a função
x t
y 2 sen 2
6 4
é ù
æ ö
= × p × -
ç ÷ê ú
è ø
ë û
com x e y medidos em centímetros e t, em segundos. O
comprimento de onda, em centímetros, e o período, em
segundos, dessa onda valem, respectivamente,
(A) 3 e 2
(B) 3 e 4
(C) 4 e 6
(D) 6 e 2
(E) 6 e 4
 Data de aplicação: 16/05/2010 
 (70 Específicas – 33 de Matemática) 
 
01) ANULADA 
 
 COMENTÁRIO: 
 
Para t = 4 meses, teríamos: ��4� = 900 ∗	sin 
��� +	��� 	= 900 ∗	sin 
��� +	��� = 900 ∗ 	sin 
��� �	. 
Como sin 
��� � 	< 0		, pois ��� 	é	��	3º	���� �!"#, teríamos uma 
produção negativa, em toneladas, do produto, conforme a justificativa da 
banca examinadora para a anulação da questão. 
 
02) SOLUÇÃO 
 
Seja 	∝ o ângulo entre os vetores �&'	#	(	&&&'. 
Pela definição geométrica de produto escalar entre dois vetores, temos: �&' 	 ∙ 	(' = 	 |�&'| 	 ∙ 	 |('| ∙ 	 cos - 
E, consequentemente, 
 cos - = 	 .&&'	∙	/&'|.&&'|∙|/&'| 
Por sua vez, a definição analítica do produto escalar entre dois vetores �&' = ��, 0� e (' = �1, �� nos fornece : �&' 	 ∙ 	(' = � ∙ 1 + 0 ∙ � 
 Agora só resta fazer os cálculos para encontrar o cosseno do ângulo ente 
os vetores e analisar a posição entre os mesmos. 
�&' 	 ∙ 	(' = 	12	 ∙ 35 + 12 ∙ 5−45 7 = 	−110	 
|�&'| = 	814 + 14 = 	√22 
|('| = 8 925 + 1625 	= 1 
 
Assim, cos - = 	;< <=⁄√?? 	∙		< 			→ 	 cos -	 < 0		#, A� "�!"�, -	é	�B	â!D�E�	�0"�F�.	 
LETRA (D) 
COMENTÁRIO: 
Questão fácil, daquelas que não podemos errar em concurso. Todo 
candidato que fez algum treino resolveu algumas questões de vetores e 
seus produtos (escalar, vetorial e misto). 
Para uma boa revisão, vide o livro do Prof. Antônio dos Santos Machado, 
citado na bibliografia. 
 
03) SOLUÇÃO 
 
Resolvendo o sistema, tomando G como variável livre, teremos: 
H	2I + J = 	−3GI − J = −2G 
Daqui segue que: 
3I = 	−5G		 ∧ 		I = −5G3 
Substituindo na 2ª equação, teremos: J = I + 2G	 ∧ J = ;LM� + 2G	 ∧ J =M� . 
Assim, os ternos �I, J, G� que são soluções do sistema têm a forma 
;LM� , M� , G� ou 
;L� , <� , 1� ∙ G 
Logo, S é gerado por 
;L� , <� , 1� e tem dimensão 1, ou �NBOPQ = 1. 
Daqui já percebemos que as opções I e III estão erradas. 
Verificando a opção II: 
5−53 , 13 , 17 ∙ �2,1,3� = −103 + 13 + 3 = 0 
Produto escalar igual a zero → A# A#!�N1�E� #F�� "�D�!�NF�. 
COMENTÁRIO: 
Espaços vetoriais são estudados normalmente no começo do curso de 
Álgebra Linear II, lá no terceiro período da faculdade. Há ementas que 
sequer contemplam essa parte da Álgebra Linear, dando maior atenção à 
Geometria Analítica, como estudo das cônicas por exemplo. 
Particularmente, prefiro esta segunda abordagem. Os espaços vetoriais 
são um tema muito específico; talvez poucos profissionais vão trabalhar 
rotineiramente com essa ferramenta. 
Como é um tema que não usamos no dia a dia, suas propriedades acabam 
caindo no esquecimento. 
Este é o tipo de questão em que não adianta ficar perdendo tempo na 
hora da prova. Eu mesmo não lido com esses temas na rotina; chutaria 
com certeza e ganharia tempo para algum assunto que eu domino melhor. 
Mas se você gosta do tema e quer fazer uma boa revisão, sugiro o capítulo 
5 do livro de Anton/Rorres, citado no final do livro. Ou o mesmo capítulo 
no livro do David Lay, também citado no fim deste livro, na bibliografia. 
E nunca é demais relembrar: “a prova de eng.° de petróleo não é uma 
prova para quem acerta questões difíceis; ela é uma prova para quem 
não erra as fáceis”. 
04) 
 
 
 
Vamos considerar duas rotações (transformações) : do vetor �	&&&'	para o 
vetor (' e do vetor F' para o vetor "'. 
Primeiro caso: 	�#	�&'	A� �	('	 
� 01 �� ∙ 
10� = 5 11 2⁄ 7 
H ��1� + 0�0� = 11�1� + ��0� = 1 2⁄ Daqui, temos � = 1	#	1 = 1 2⁄ já indicando que a 
letra (A) é a correta. 
Para confirmar, vamos analisar a rotação de F'	A� �	"' 
Segundo caso: de F'	A� �	"' 
� 01 �� ∙ 
11� = 
01� 
R� + 0 = 0	 → 0 = 	−�		 ∧ 		0 = 	−11 + � = 1 → 12 + � = 1	 ∧ � = 12 
Ratificando que S = 	5 1 −11 2⁄ 1 2⁄ 7 
 
COMENTÁRIO: 
Existem matrizes de transformação que são clássicas no estudo das 
transformações lineares (rotação, contração, expansão etc). No entanto, 
para essa questão não era necessário lembrar de alguma delas: bastaria 
trabalhar corretamente com o produto das matrizes como uma operação 
de transformação. As figuras do enunciado já facilitavam a escolha de 
vetores para sofrer as mudanças através do produto de matrizes. 
Para uma boa revisão, mas uma vez sugiro os livros do Anton/Rorres ou do 
David Lay , citados no final do livro. 
 
05) SOLUÇÃO 
 
Em " = 	 "=		"#B�F		 T U = 100	BVWVX = 10	B/ℎ 
Considerando [ = 3	, V\VX =	? 
Sabendo que P = [U� 	→ 	 V\VX = 2[U ∙ VWVX 	→ 	 V\VX = 2 ∙ 3 ∙ 100 ∙ 10 =6000 		B� ℎ⁄ LETRA (E). 
COMENTÁRIO: 
Como eu venho defendendo desde o começo deste trabalho: “sempre há 
questões fáceis espalhadas no conjunto da prova; temos de folhear o 
caderno de questões em busca de questões fáceis”. Veja também as 
questões 21 e 22 na sequência da prova. 
 
06 e 07) SOLUÇÃO 
 
Ordenando os valores da amostra, teremos: 
 26 , 28 , 28 , 36 , 38 , 38 , 40 , 40 , 40 , 46 
Daqui já tiramos a MEDIANA = 38 e a 
MÉDIA = 
��^�∗��_�^��^�∗��_�^�∗��=�^��<= = 36 
QUESTÃO 06 : Logo MEDIANA > MÉDIA → OPÇÃO (E) 
QUESTÃO 07 : 
a =				 ���;���?^�∗��_;���?^���;���?^�∗���?^�∗���?^�<=�?<= 
 
a =	 <==^<�_^=^_^�_^<==<= → a = �L�^<�_<= → a = 38,4 
Retirando o 36 da amostra, altera-se apenas o denominador. 
Assim, teremos para nova variância:ac =	 �_�d = 42,6		#	(#B�F	��#	ac > a LETRA (D). 
COMENTÁRIO: 
Sempre é bom fazer uma revisão em desvio padrão e variância. Esses 
temas sempre aparecem em provas da PETROBRAS e as questões não são 
absurdamente difíceis. 
Um livro que tenho na cabeceira é o ESTATÍSTICA BÁSICA, do Bussab. Está 
na bibliografia, como referência. 
 
QUESTÃO 08: 
 
 
 1ª SOLUÇÃO – GEOMETRIA ANALÍTICA 
Como o vértice B pertence à reta x + 2y = 4 , podemos escrever : 
Ie + 2Je = 4			 ∧ 		Je =	 �;	fg� 
TEOREMA DA GEOMETRIA ANALÍTICA: duas retas perpendiculares tem 
produto dos coeficientes angulares igual a -1. 
Como a reta x + 2y = 4 (que contém o lado BC) e a reta que contém o lado 
AB são perpendiculares, vamos chamar seus coeficientes angulares de “m” 
(lado BC) e “h” (lado AB) e aplicar a propriedade. 
RETA X+2Y = 4 (coeficiente angular “m”): 
2J = 	−I + 4				 ∧ 				J = 	;f� 	+ 2	 → B =	−1 2⁄ 
 
RETA QUE CONTÉM O LADO AB (coeficiente angular “h”): 
ℎ = 	∆J∆I 		→ ℎ = 	4 −	Je5 −	Ie 			→ 		ℎ = 	4 −			
4 −	Ie25 −	Ie 			→ 		ℎ = 	 4 +	Ie2�5 − Ie�			 
Fazendo agora o produto B	 ∙ ℎ = 	−1		#	 #F�E(#!��	�	#���çã�, (�B�F	#!1�!" � 		Ie =	16 5	⁄ . 
Substituindo este valor na equação 2J = 	−I + 4	, "# #B�F	Je =	2 5⁄ 
LETRA (B). 
 2ª SOLUÇÃO – ALGEBRA LINEAR 
kl&&&&&' 	⊥ �−2,1� 		→ 	kl&&&&&' 	 ∙ �−2,1�= 0			�(#"� #F	A# A#!�N1�E� #F	"êB	A ���"�	#F1�E� 	ND��E	�	G# �!� 
Assim, sabendo que kl&&&&&' = l − k podemos equacionar: �Ie − 5	;	Je − 4� ∙ �−2,1� = 0		 
Logo, −2�Ie − 5	� + �Je − 4� = 0		 → 	−2Ie + 6 +	Je = 		0												 . 
 
Como sabemos que Je =	 �;	fg� (o vértice B pertence à reta x + 2y = 
4) acharemos facilmente Ie =	16 5⁄ 
 LETRA (B), já eliminando as demais opções. 
 
COMENTÁRIO: 
Questão fácil, mas que derruba muita gente. Pode apresentar ainda outras 
soluções, usando inclusive a geometria plana. 
Para uma boa revisão de geometria analítica, FME-7 e para conceitos da 
álgebra linear elementar, o livro do Prof. Antônio Machado. Ambos 
citados na bibliografia, fim do livro. 
 
QUESTÃO 11 CONSTRUÇÃO DA TABELA VERDADE 
 
Veremos que a proposição A	 → ~�	 é equivalente à proposição ~A	 ∨	∼ �	 ; estou fazendo a análise de cada opção para que lembremos 
da ferramenta: 
 
 
 (A) (B) (C) (D) (E) A � ∼ A ∼ � A → ~� ~� → A ~A ∧∼ � ∼ A ∨∼ � ∼ A → � A ∧∼ � 
V F F V V V F V V V 
V V F F F V F F V F 
F V V F V V F V V F 
F F V V V F V V F F 
 
 
COMENTÁRIO: 
O pessoal que faz cursinho é normalmente orientado a decorar algumas 
equivalências para ganhar tempo na hora da prova. Quem , nessa questão, 
lembrou de que A → ~�	 é equivalente a ~A ∨ ~� resolveu de imediato 
e ganhou tempo sem precisar analisar as opções, uma a uma, através da 
tabela verdade. 
Particularmente, prefiro ter a habilidade de construção das tabelas; a 
análise é muito mais segura e não fica alguma dúvida quanto à decoreba. 
Basta ter o domínio para os conectivos “ ∧ �#�,∨ ����,→ 		 �#!"ã��,↔�0N1�!�N1N�!�E�. O resto é fazer a tabela com calma e organização. 
De toda forma para uma boa revisão, consulte FME-1. 
 
QUESTÃO 12 
POÇOS �	u<	, u�	, u�	, u�	, uL	� SONDAS 	�	P<	, P�	, P�	� 
Assim, de acordo com enunciado teremos: 
Para a sonda P< há 02 possibilidades. Escolhida uma delas, restarão 04 
possibilidades para a segunda sonda e, por fim, 03 possibilidades para a 
terceira sonda. 
Logo, pelo princípio multiplicativo teremos: 
 2 ∙ 4 ∙ 3 = 24	A�FFN0NEN���#F. 
COMENTÁRIO: 
Questão fácil para quem está habituado a resolver as questões de 
combinatória, mas o enunciado pode levar a algum mal entendido. 
Todo cuidado é pouco em questões de combinatória e probabilidade. 
Para rever outros exemplos de aplicação do princípio multiplicativo e 
outros temas da análise combinatória, a melhor opção é FME-5. 
 
QUESTÃO 13: 
 
��I� = 	 ln�3I + 1� → 	 H��2I� = 	 ln�6I + 1���0� = 0 
 
Assim, teremos: 
 
limf→= xy��f^<�f 	= 		 == 		�N!�#"# BN!�çã�	‼!� 
Vamos aplicar a REGRA DE L’HOPITAL , derivando numerador e 
denominador e analisando novamente o limite no ponto. 
limf→= {ln�6I + 1�|′{I|′ 	= 		
16I + 1 ∙ �6I + 1�′1 	= 	 66I + 1 = 6	!�	ENBN"#. 
 
COMENTÁRIO: 
Questão fácil, daquelas que não podemos errar em qualquer prova. Erro 
aqui é fatal. Mas quem perdeu tempo, na hora da prova, com as questões 
3 ou 12 por exemplo, pode ter chegado aqui desequilibrado 
emocionalmente e não lembrou da regra simples que ajuda muito nesses 
casos de indeterminação. 
É preciso saber fazer prova. Como temos defendido nesse trabalho, “a 
prova de eng. de petróleo não é uma prova para quem acerta questões 
difíceis; ela é uma prova para quem não erra as fáceis.” 
E “saber fazer prova” significa, entre outras coisas, procurar e encontrar as 
questões fáceis; aquelas que ninguém erra. 
Uma questão fácil que você erra e uma esmagadora maioria acerta pode 
ser a diferença entre a posição 20 e a 254 na classificação geral. 
 
QUESTÃO 14: 
 
 PAGAMENTO À VISTA (SALDO DEVEDOR INICIAL): a 
APLICADOS OS JUROS: a�1 + N� 
1ª PRESTAÇÃO: 	u 
SALDO DEVEDOR: 	a�1 + N� − u 
APLICADOS OS JUROS: {a�1 + N� − u| ∙ �1 + N� (*) 
2ª PRESTAÇÃO: u (**) 
SALDO DEVEDOR APÓS A 2ª PRESTAÇÃO: (*) – (**) LETRA (A). 
COMENTÁRIO: Questão fácil também. Erro aqui é fatal. Para praticar, 
além de FME-11, existem várias apostilas de concursos disponíveis com 
inúmeros exercícios sobre Matemática Financeira. 
 
QUESTÃO 21: 
ÂNGULO AGUDO: SENO > 0, COSSENO > 0 e TANGENTE > 0. 
SE O ÂNGULO FOR -	 teremos: 
F#!	- = F	 → 	 F#!�	- +	1�F�- = 1	 → 1�F- = 	~1 − F� 
Assim, temos "D- = 	 √	<;? LETRA (A). 
COMENTÁRIO: 
Eu começaria a prova por esta questão ou pela 22 ou pela 41 (veja que 
tranquilidade!). Relações trigonométricas estão no sangue, certo? Se não 
estão, é bom dar uma olhada urgente em FME-3. 
QUESTÃO 22: 
Traçando retas tangentes à curva nos pontos correspondentes às abcissas 
citadas, temos as inclinações abaixo: 
 
 
H B�N� 	"�!D#!"#:	-< = �′�−2�B#!� 	"�!D#!"#:	-� = �c�−1� < 0 LETRA (C) 
COMENTÁRIO: 
Todo mundo viu isso em Cálculo-1 e erro aqui é fatal. Lembrando mais 
uma vez: “a prova de eng. de petróleo não é uma prova para quem acerta 
questões difíceis; ela é uma prova para quem não erra as fáceis”. 
 
QUESTÃO 23: 
A figura do enunciado nos fornece as seguintes informações: 
 RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA = 4 
 ABCISSA DO CENTRO: 3+4=7 
 ORDENADA DO CENTRO: 4+4=8 
Assim, temos: �I − 7�� +	�J − 8�� = 16 LETRA (C). 
COMENTÁRIO: 
Essa questão foi dada de presente para o candidato. Não podemos errar 
questões fáceis assim. De toda sorte, para uma revisão em geometria 
analítica, veja FME-7. 
 
QUESTÃO 26: 
 
2[U = 4	 → U = 42[ a = 	[U�ℎ	 → a = [ ∙ <���? ∙ 4	 → 		a = 	 <�� LETRA (B). 
COMENTÁRIO: 
Em Cálculo-1, essa questão aparece tipicamente para que se analise com 
uso da primeira derivada as condições para minimizar material e 
maximizar volume do recipiente cilíndrico gerado. Em FME-8 ,aplicações 
da 1ª derivada, você encontrará vários outros exemplos, além é claro, de 
qualquer outro livro clássico de Cálculo. 
 
 
 
QUESTÃO 27: 
950 – 450 (NO ATO DA COMPRA)=500 (SALDO DEVEDOR) 
UM MÊS APÓS: 500 aumentou para 550. Logo: 
JUROS = 10%. LETRA (B). 
COMENTÁRIO:Mais uma questão fácil para a esmagadora maioria dos candidatos; essa 
sequência de questões que começou na 13 teria sido ótima para começar 
a prova, ganhando tempo para as demais no final. 
 
QUESTÃO 31: I� = 1000J	 → E�DI� = log�1000J� → 2E�DI = E�D1000 + E�DJ→ 2E�DI = 3 + E�DJ		 > #���çã�	�#	�B�	 #"�.		 
 E�DI = 0 → E�DJ = −3 > ponto (0 ; -3) E�DJ = 0 → E�DI = 3 2⁄ = 1,5 > ponto (1,5 ; 0) 
Com os dois pontos da reta, basta identificar a opção (D). 
COMENTÁRIO: 
Questão fácil, mas capciosa. As opções (B) e (E) são “pegadinhas” para o 
candidato inexperiente. 
 
QUESTÃO 32: 
 
A = ƒ�<< �<� �<� ⋯ �<…��< ��� ��� ��…⋮ ⋱ ⋮�…< �…� �…� ⋯ �……ˆ 
A = ƒ1 2 3 ⋯ !2 4 6 ⋱ 2!… … … … …! 2! 3! ⋯ ! ∙ !ˆ 
A soma de todos os elementos da matriz pode ser feita, por exemplo, 
somando-se todas as colunas ou todas as linhas. P = �1 + 2 + 3 +⋯+ !� + 2�1 + 2 + 3 +⋯+ !� +⋯+ !�1 + 2 +⋯+!�. Š�E�1�!��	#B	#(N�ê!1N�	�	F�B�"ó N�, "#B�F			�1 + 2 + 3 +⋯+!� ∙ �1 + 2 + 3 +⋯+ !� = 	 �1 + 2 + 3 +⋯+ !�� LETRA (B). 
 
QUESTÃO 33: 
 k = 
� + 3 −�−� � + 3� 
 AUTOVALOR: número Œ tal que �#"{Œ ∙  − k| = 0, �!�#		é	�	B�" NG	 
1 00 1�.	 
Assim, temos: �#" 5Œ − �� + 3� �� Œ − �� + 3�7 = 0	.	 Ou seja: {Œ − �� + 3�|� −	�� = 0			→ E#B0 �!��	��F	A ���"�F	!�"á(#NF, A��#B�F	 ##F1 #(# ∶ 		 {Œ − �� + 3� + �| ∙ {Œ − �� + 3� − �| = 0			, ��	F#� ∶ {Œ − 3| ∙ {Œ − 2� − 3| = 0 
Daqui, concluímos que Œ = 3 é um autovalor. 
 AUTOVETOR: vetor �&' = 	 
IJ� tal que k ∙ �&' 	= 3 ∙ �&' 
Assim, podemos escrever: 
� + 3 −�−� � + 3� ∙ 
IJ� = 3 ∙ 
IJ� = 	 53I3J7 			‘���N	"# #B�F	�	FNF"#B� ∶ 
H �� + 3� ∙ I − � ∙ J = 3I−� ∙ I + �� + 3� ∙ J = 3J →	 H �I + 3I − �J = 3I−�I + �J + 3J = 3J → I = J 
Resolvendo o sistema, temos que I = J , mostrando que o item I está 
correto. Logo a opção certa é LETRA (D). 
COMENTÁRIO: 
 Se eu tivesse feito esta prova no dia da aplicação, teria “passado 
longe” desta questão, porque é um assunto com o qual não lido 
diariamente. Certamente deixaria para o final, para aquele chute antes de 
entregar o cartão-resposta. E nem perderia tempo precioso tentando 
inventar algo. 
 Esse é o tipo de questão que a maioria esmagadora erra. Duvido que 
alguém lembre dos conceitos de autovalor e autovetor após uns meses 
decorridos do fim do semestre em que se estudou Álgebra Linear 2. 
 Para resolver tive de consultar o livro do ANTON (8ª edição – 
capítulo 7), que está na bibliografia. Se você quiser mais informações, veja 
também o livro do David C. Lay, também na bibliografia. São 2 bíblias que 
eu tenho em casa para eventuais consultas, como foi nesse caso. 
 
QUESTÃO 34 
→ #F1�Eℎ�	��F	�Açõ#F	�k�:	 735 ∙ 634 ∙ 533 ∙ 432 ∙ 331 ∙ 230 ∙ 129 
→ #F1�Eℎ�	��F	�Açõ#F	�l�:	 728 ∙ 627 ∙ 526 ∙ 425 ∙ 324 ∙ 223 ∙ 122 
→ #F1�Eℎ�	��F	�Açõ#F	�Š�:	 721 ∙ 620 ∙ 519 ∙ 418 ∙ 317 ∙ 216 ∙ 115 
Fazendo o mesmo raciocínio para as opções �‘� e �“� e multiplicando 
tudo, teremos para resposta : 
																																																												A = ��!�”�L! LETRA (D). 
COMENTÁRIO: 
Questão difícil. Só para o pessoal cascudo nas questões de 
combi natória. Eu demorei para achar o caminho e certamente há 
outras soluções muito mais elegantes que esta que apresento. 
QUESTÃO 35: 
Inicialmente, vamos resolver a integral indefinida e depois vamos aplicar 
os limites de integração. 
Essa integral é fácil; daquelas que resolvemos logo que aprendemos o 
método de substituição. 
 			• √2I + 1 		�I		 T						 � = 2I + 1V.Vf = 2		 ∧ �I = V.� 
Agora é só substituir e fazer o algebrismo elementar. 
																																					–√�	��2 	= 	12	–√� 	�� = 	12 ∙ �� �⁄3 2⁄= 12 ∙ 23 ∙ �� �⁄ = �� �⁄3 = 	 �2I + 1�� �⁄3 	 
 
Aplicando os limites de integração, teremos: 
�2I + 1�� �⁄3 	⃒ 404 = 		81� �⁄3 − 9� �⁄3 = 	13 �~3<� −~3� = 13 �3� − 3��= 234		 → �l� 
COMENTÁRIO: 
Mais uma questão no elenco das questões fáceis, que não podemos errar 
jamais em prova. 
Com certeza nós já vimos integrais muito mais difíceis que esta nos 
exercícios de Cálculo 1. Erro aqui seria fatal. 
 
QUESTÃO 41: (a mais fácil da prova; uma questão do tipo ENEM) 
 ANO 2008: 
_�<== ∙ 45 = 39,15 
 ANO 2009: 
d�<== ∙ 44 = 40,48 
COMENTÁRIO: Algumas questões do PISA do ENEM são parecidas. 
 
QUESTÃO 42: 
 
 
2� + 20 + � = 600	 → 0 = 600 − 3�2 
P = � ∙ 0	 → P = � ∙ 5600 − 3�2 7 → P = 300� − 32 ∙ �� 
 Qual é o valor que maximiza a área? Pc = 0 → 300 − 3� = 0	 → � = 100 
 E qual é o valor da área máxima ? 
P = 300 ∙ 100 − �� ∙ �100�� 	→ P = 15000 LETRA (C). 
 
COMENTÁRIO: 
Essas questões são clássicas de aplicações da primeira derivada; para uma 
revisão, qualquer livro de cálculo-1 ou FME-8. 
 
 
 
 
QUESTÃO 43: 
 
Considerando a semicircunferência superior, J = √6 − I�,	vamos achar a 
interseção com a parábola no 1º quadrante: 
I� = ~6 − I� 	→ I� = 6 − I� 	→ I� + I� − 6 = 0 
Resolvendo esta equação biquadrada, fazendo I� = ˜ , encontraremos I = ™√2	. Neste caso (1º quadrante), nos interessa o valor I = √2. 
Dessa forma, o ponto de interseção da parábola com a circunferência no 
1º quadrante é o ponto �√2,2). 
Considerando o eixo �Jššš como referência, faremos a diferença entre duas 
áreas, com limites de integração 0 e 2. 
Assim, temos: 
P = • ›~6 − J� −~Jœ�J�= LETRA (A). 
Lembrando que se tomássemos o eixo �Iššš	como referência, usando o 
diferencial �I , teríamos para resposta P = • ›√6 − I� + √I�œ�I√�= , 
muito parecida com a opção (B), errada. 
COMENTÁRIO: 
Parece que foi uma pegadinha que deve ter derrubado muita gente. 
QUESTÃO 44: 
 1º�	∡kŠ‘ = 	-	 = 	∡Škl��E"# !�F	N!"# !�F� 
 2º�	"D- = žŸ  → k‘ = 0 ∙ "D-	��E"� �	��	" �AéGN�� 
 3º�	P = �¡^ �� ∙ 0 ∙ "D-		��		P = 	  � �� + 0�"D- (A) 
COMENTÁRIO: 
Para uma boa revisão da lindíssima geometria plana, FME-9. 
QUESTÃO 51: u�=: A�A�E�çã�	����N	20	�!�F u: A�A�E�çã�	�"��E u�= = u�1 + N��= 	→ 	u�= = u�1 + 0,25��= 	→ u�= = u�1,25��= 
Como o problema forneceu log 2 = 0,3, vamos aplicar um recurso útil 
para resolver equações exponenciais desta natureza: 
E�Du�= = E�D	�u. 1,25�=� 	→ E�Du�= = E�Du + E�D�1,25��= 	→ E�Du�= − E�Du = 20 ∙ log�1,25� 	→ E�D 5u�=u 7= 20 ∙ E�D 5547	 
E�D 5u�=u 7 = 20 ∙ {E�D5 − E�D4| = 20{E�D�10 2⁄ � − E�D2�|= 20{E�D10 − E�D2 − 2E�D2| = 20{1 − 3E�D2| = 2 
Assim, teremos: 
E�D 5u�=u 7 = 2	 → u�=u = 10� → u�= = 100 ∙ u	 → 		 �‘�. 
COMENTÁRIO: 
Muitas questões de crescimento populacional podem ser encontradas no 
estudo das equações logarítmicas. Algumas questões de juros compostos 
seguem a mesma mecânica de resolução. Se você tem alguma dúvida, veja 
o capítulo em FME-2 ou apostilas de cursinhos pré-vestibulares. No ENEM 
já apareceram questões semelhantes a esta. 
 
 
QUESTÃO 52: 
Base canônica do U� 	¢ £'	�1,0,0�¤'	�0,1,0�˜&'	�0,0,1� 
Sabendo que �' = �1,0,1� , teremos: 
a< = �'	I	£' = �1,0,1�I�1,0,0� = ¥N  ˜1 0 11 0 0¥ =  = �0,1,0� 
a� =	�'	I	¤' = �1,0,1�I�0,1,0� = ¥N  ˜1 0 10 1 0¥ = ˜ − N = �−1,0,1� 
a� = �'	I		˜&' = �1,0,1�I�0,0,1� = ¥N  ˜1 0 10 0 1¥ = − = �0,−1,0� 
Assim, temos: 
S = {a<		a�		a�|		��		S = ¦0 −1 01 0 −10 1 0 § LETRA (A) 
COMENTÁRIO: 
Transformações lineares são abordadas em livros de álgebra linear 
aplicada, como o do Anton/Rorres ou do David Lay. Para resolver esta 
questão, consultei o Anton, 8ª edição, capítulo 8, item 8.4. 
 
QUESTÃO 53: 
Seja Š o capital a ser aplicado.Taxa trimestral igual a N em um ano (04 trimestres) → Š�1 + N�� 
Um ano= 6 bimestres > Taxa bimestral: N  	→ Š�1 + N ��	 
Igualando os dois montantes, teremos: 
Š�1 + N �� = Š�1 + N�� 	→ 1 + N  = ~�1 + N��¨ 	→ N  = �1 + N�� �⁄ − 1 
LETRA (D) 
COMENTÁRIO: 
Questão fácil para que viu o método de resolução antes. Sempre vale a 
pena dar uma olhada em questões de matemática financeira durante a 
fase de revisão. FME-11 tem boas questões. Apostilas de cursinhos 
também trazem inúmeros exercícios. 
QUESTÃO 61: 
Consulta no livro do Anton/Rorres (bibliografia no fim do livro), item 8.2, 
núcleo e imagem – pag.264 (8ª edição). 
* Se S:	U� → U� então a matriz A terá ordem 3x6; 
* H‘NB#!Fã�	��	!ú1E#�	�#	S = !�EN���#	�#	S = !�E�S�‘NB#!Fã�	��	NB�D#B	�#	S = A�F"�	�#	S = A�F�S� 
* S	 é a multiplicação pela matriz A 
TEOREMA 8.2.3 : A�F�S� + !�E�S� = !	, !	é	�	�NB#!Fã�	��	��Bí!N�. ! = 6 A�F�S� = 2 = 	!º	�#	EN!ℎ�F	!ã�	!�E�F. 
Assim, !�E�S� = 4 > LETRA (A). 
COMENTÁRIO: 
Do total de 14008 inscritos para esta prova, duvido que 8 soubessem fazer 
essa questão integralmente, sem qualquer chute. 
 
QUESTÃO 62: �B, 2,3� = ��1,0,1� + 0�2,1,1�		 �B, 2,3� = �� + 20, 0, � + 0� B = � + 0 0 = 2		#	3 = � + 0	, E�D�	� = 1 
Assim, temos: B = 1 + 4 = 5 > LETRA (E) 
COMENTÁRIO: 
Para compensar a pedreira da anterior, essa molezinha. Combinação 
linear é básico e não podemos errar. 
QUESTÃO 63: 
k = {1 2 3 4|					#						l = «0 2 3 40 0 6 80 0 0 120 0 0 0 ¬ 
kX = «1234¬ 								#								l
X = «0 0 0 02 0 0 03 6 0 04 8 12 0¬			 
kX ∙ k = «1 2 3 42 4 6 83 6 9 124 8 12 16¬ = �N�				#						l + l
X = «0 2 3 42 0 6 83 6 0 124 8 12 0 ¬ = �NN� 
Assim, teremos: �N� − �NN� = �Açã�	�Š�. 
COMENTÁRIO: 
A questão 61 qualquer mortal pode errar; essa 63 quem quer ser 
classificado não pode errar. 
Finalizando com a tese que defendemos: “a prova de engenheiro de 
petróleo não é uma prova para quem acerta questões difíceis; ela é uma 
prova para quem não erra questões fáceis”. 
 
 COMENTÁRIO FINAL SOBRE A PROVA: 
 Foram 32 questões de Matemática que procuraram avaliar se o 
candidato teve uma boa base no ensino médio (antigo 2º grau), 
principalmente e se, no ciclo básico do curso de engenharia, passou sem 
apertos por Cálculo 1 e Álgebra Linear 1. 
 Tirante assuntos como espaços vetoriais e transformações lineares, 
autovalores e autovetores e variância(temas estudados normalmente em 
álgebra linear 2 e estatística 2), abordaram-se nessa prova temas clássicos 
do ensino médio e ciclo básico da faculdade. As questões 
6,8,12,21,23,26,27,32,34,41,44 e 62 mostram isso claramente. 
E esta tem sido a característica que reforça a motivação para este 
trabalho; qual seja, proporcionar ao colega engenheiro a lembrança dos 
mecanismos de resolução das questões que são fáceis, que aparecem com 
frequência em provas e que , por serem fáceis e conhecidas, poucos 
candidatos erram. 
Uma questão como a 61 todo mundo erra. Um ou outro iluminado chuta e 
acerta e pouquíssimos saberiam fazer a questão se ela fosse discursiva. 
Então, não faz diferença para o cômputo geral da prova. Agora, se você 
erra uma questão como a 44, por exemplo, sua colocação pode saltar de 
45º para 567º, por exemplo. 
Esta é a tese principal deste trabalho: “a prova não é para quem acerta 
questões difíceis; ela é para quem não erra as fáceis”. 
Por fim, se eu me deparasse com esse caderno de questões pela frente, 
estabeleceria a seguinte sequência de resolução: 
1ª sequência: 
21,44,41,62,2,26,51,23,8,22,5,42,13,35,43,63,32,31,27,53,14,6,7 que 
considero fáceis. Marcaria logo no cartão resposta para ganhar tempo. 
2ª sequência(médias , difíceis e impossíveis): 
3,11,12,34,52,61,01,04,33 
 Das 32 questões a prova, 23 são fáceis. E por isso a prova se torna 
difícil. Se você erra uma dessas 23, pode ser até aprovado, mas a sua 
classificação vai ser bem longe do número de vagas disponíveis. 
 Este é o segredo: saber identificar as questões fáceis e badaladas em 
concurso, resolvê-las e deixar as coisas impossíveis para o finalzinho, só 
para o chute final no cartão-resposta. 
 
 
 GABARITO – NÍVEL SUPERIOR – PROVA DIA 16/05/2010 
 
 
TURNO: TARDE – CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS 
 
9 10 11 12 
ECONOMISTA JÚNIOR 
ENFERMEIRO(A) DO TRABALHO 
JÚNIOR 
ENGENHEIRO DE EQUIPAMENTOS 
JÚNIOR - MECÂNICA 
ENGENHEIRO DE PETRÓLEO JÚNIOR 
1- E 1- C 1- D 1- C 
2- E 2- A 2- D 2- D 
3- B 3- B 3- C 3- B 
4- A 4- C 4- D 4- A 
5- B 5- E 5- E 5- E 
6- B 6- A 6- E 6- E 
7- A 7- E 7- C 7- D 
8- A 8- D 8- E 8- B 
9- B 9- A 9- D 9- D 
10- E 10- E 10- D 10- A 
11- E 11- A 11- A 11- C 
12- D 12- E 12- A 12- D 
13- A 13- D 13- A 13- E 
14- B 14- A 14- A 14- A 
15- E 15- B 15- B 15- A 
16- A 16- A 16- A 16- C 
17- E 17- B 17- C 17- B 
18- A 18- B 18- E 18- C 
19- B 19- B 19- A 19- A 
20- C 20- C 20- A 20- B 
21- A 21- C 21- B 21- A 
22- D 22- B 22- B 22- C 
23- B 23- A 23- E 23- C 
24- D 24- E 24- C 24- E 
25- C 25- A 25- B 25- D 
26- C 26- D 26- D 26- B 
27- C 27- A 27- E 27- B 
28- C 28- A 28- A 28- B 
29- D 29- A 29- E 29- E 
30- A 30- B 30- E 30- C 
31- B 31- E 31- B 31- D 
32- B 32- B 32- D 32- B 
33- D 33- C 33- E 33- D 
34- E 34- A 34- C 34- D 
35- C 35- C 35- E 35- B 
36- B 36- E 36- B 36- D 
37- D 37- E 37- C 37- C 
38- C 38- C 38- B 38- B 
39- A 39- D 39- D 39- D 
40- D 40- E 40- D 40- B 
41- D 41- C 41- B 41- E 
42- D 42- C 42- D 42- C 
43- E 43- E 43- C 43- A 
44- C 44- B 44- D 44- A 
45- C 45- D 45- C 45- B 
46- D 46- D 46- E 46- A 
47- C 47- D 47- C 47- C 
48- E 48- B 48- C 48- D 
49- C 49- C 49- E 49- B 
50- C 50- C 50- D 50- A 
51- B 51- D 51- B 51- D 
52- A 52- C 52- B 52- A 
53- D 53- A 53- E 53- D 
54- C 54- E 54- E 54- A 
55- E 55- E 55- A 55- E 
56- E 56- E 56- D 56- E 
57- C 57- E 57- B 57- C 
58- A 58- C 58- A 58- B 
59- B 59- B 59- A 59- E 
60- A 60- A 60- A 60- A 
61- B 61- D 61- B 61- A 
62- E 62- D 62- B 62- E 
63- E 63- D 63- A 63- C 
64- D 64- E 64- C 64- E 
65- E 65- B 65- B 65- B 
66- A 66- B 66- D 66- D 
67- B 67- B 67- E 67- B 
68- D 68- A 68- E 68- E 
69- C 69- E 69- D 69- E 
70- D 70- B 70- B 70- B 
 
���������
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR
1
12
LEIA ATENTAMENTE AS INSTRUÇÕES ABAIXO.
01 - Você recebeu do fiscal o seguinte material:
a) este caderno, com o enunciado das 70 (setenta) questões objetivas, sem repetição ou falha, com a seguinte distribuição:
b) CARTÃO-RESPOSTA destinado às respostas das questões objetivas formuladas nas provas. 
02 - Verifique se este material está em ordem e se o seu nome e número de inscrição conferem com os que aparecem no
CARTÃO-RESPOSTA. Caso contrário, notifique o fato IMEDIATAMENTE ao fiscal.
03 - Após a conferência, o candidato deverá assinar, no espaço próprio do CARTÃO-RESPOSTA, a caneta esferográfica 
transparente de tinta na cor preta.
04 - No CARTÃO-RESPOSTA, a marcação das letras correspondentes às respostas certas deve ser feita cobrindo a letra e 
preenchendo todo o espaço compreendido pelos círculos, a caneta esferográfica transparente de tinta na cor preta,
de forma contínua e densa. A LEITORA ÓTICA é sensível a marcas escuras, portanto, preencha os campos de marcação 
completamente, sem deixar claros.
Exemplo:
05 - Tenha muito cuidado com o CARTÃO-RESPOSTA, para não o DOBRAR, AMASSAR ou MANCHAR. O CARTÃO-
-RESPOSTA SOMENTE poderá ser substituído se, no ato da entrega ao candidato, já estiver danificado em suas margens 
superior e/ou inferior - BARRA DE RECONHECIMENTO PARA LEITURA ÓTICA.
06 - Paracada uma das questões objetivas, são apresentadas 5 alternativas classificadas com as letras (A), (B), (C), (D) e (E); 
só uma responde adequadamente ao quesito proposto. Você só deve assinalar UMA RESPOSTA: a marcação em mais de 
uma alternativa anula a questão, MESMO QUE UMA DAS RESPOSTAS ESTEJA CORRETA.
07 - As questões objetivas são identificadas pelo número que se situa acima de seu enunciado. 
08 - SERÁ ELIMINADO do Processo Seletivo Público o candidato que:
a) se utilizar, durante a realização das provas, de máquinas e/ou relógios de calcular, bem como de rádios gravadores,
headphones, telefones celulares ou fontes de consulta de qualquer espécie;
b) se ausentar da sala em que se realizam as provas levando consigo o CADERNO DE QUESTÕES e/ou o CARTÃO-
-RESPOSTA.
Obs. O candidato só poderá se ausentar do recinto das provas após 1 (uma) hora contada a partir do efetivo início das 
mesmas. Por motivos de segurança, o candidato NÃO PODERÁ LEVAR O CADERNO DE QUESTÕES, a qualquer 
momento.
09 - Reserve os 30 (trinta) minutos finais para marcar seu CARTÃO-RESPOSTA. Os rascunhos e as marcações assinaladas no 
CADERNO DE QUESTÕES NÃO SERÃO LEVADOS EM CONTA.
10 - Quando terminar, entregue ao fiscal O CADERNO DE QUESTÕES, o CARTÃO-RESPOSTA e ASSINE A LISTA DE 
PRESENÇA.
11 - O TEMPO DISPONÍVEL PARA ESTAS PROVAS DE QUESTÕES OBJETIVAS É DE 4 (QUATRO) HORAS E 30 (TRINTA) 
MINUTOS, incluído o tempo para a marcação do seu CARTÃO-RESPOSTA.
12 - As questões e os gabaritos das Provas Objetivas serão divulgados no primeiro dia útil após a realização das mesmas, no 
endereço eletrônico da FUNDAÇÃO CESGRANRIO (http://www.cesgranrio.org.br).
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR
LÍNGUA
PORTUGUESA
LÍNGUA INGLESA
CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3
Questões Pontuação Questões Pontuação Questões Pontuação Questões Pontuação Questões Pontuação
1 a 10 1,0 cada 11 a 20 1,0 cada 21 a 40 1,0 cada 41 a 55 1,0 cada 56 a 70 1,0 cada
P
S
P
 R
H
 -
 2
/2
01
0
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR 6
CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
BLOCO 1
21
Considere a equação matricial AX = B. Se A = e B = , então a matriz X é
(A) (B)
(C) (D)
(E)
22
Com relação ao sistema de variáveis reais x e y, , no qual m e n são números reais, tem-se que
(A) se m = –1 e n = –3, qualquer par ordenado (x,y), x e y reais, é solução.
(B) não tem solução se m = –1 e n –3.
(C) tem sempre solução quaisquer que sejam m e n reais.
(D) tem duas soluções se m –1.
(E) (1,1) é solução se m = n.
23
Seja T uma transformação linear de em tal que T(u) = (–1, 2) e T(v) = (0,3), onde u e v são vetores de . Sendo 
a e b reais não nulos, tem-se que T(au + bv) é igual a
(A) (–a , 2a+3b)
(B) (–a+2b , 3b)
(C) (–b , 2b+3a)
(D) (–b+2a , 3a)
(E) (–a , 5b)
24
Uma indústria deseja fabricar um tambor fechado na forma de um cilindro circular reto. Se a área total da superfície do 
tambor é fixada em 36S�dm2, o volume máximo que esse tambor pode ter é, em dm3, igual a
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR
7
25
O valor de é 
(A) 0
(B) –1
(C) – 3
(D) – 4
(E) – 5
26
Considere a transformação linear T: tal que T(1, 0) = (–1, 1) e T(0, 1) = (3, 2). Sendo e os autovalores 
de T, e reais e , tem-se que
(A) (B)
(C) (D)
(E)
27
Sejam f(x), g(x) e h(x) funções reais de variáveis reais, deriváveis em todo o conjunto dos números reais e tais que
h(x) = f(g(x)), para todo x real. Considere, ainda, a tabela de valores a seguir, onde e são as derivadas das 
funções f(x) e g(x), respectivamente.
 x 0 1 2 3
0 2 –1 –2
1 – 4 3 –1
3 2 1 0
–1 –3 4 1
28
A função real F de variável real é tal que F(x) = e F(0) = e. Outra forma de apresentar a função F é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
O valor de é
(A) –23 
(B) –17
(C) –1 
(D) 3
(E) 22
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR 12
40
A figura acima representa um sistema de escoamento, 
onde água é o fluido que escoa na vazão de 180 m3/h.
Considere:
• velocidade linear na tubulação horizontal: 5 m/s
• velocidade linear na tubulação vertical: 25 m/s
• perda de carga entre os pontos 1 e 2: desprezível
• aceleração da gravidade: 10 m/s2
• pressão absoluta no ponto 1: 800 kPa
Qual a pressão no ponto 2?
(A) 160 kPa (B) 460 kPa
(C) 540 kPa (D) 1060 kPa
(E) 1140 kPa
BLOCO 2
41
Considere uma sequência infinita de retângulos, cada um 
deles com base medindo 1cm e tais que o primeiro tem al-
tura 1 m e, a partir do segundo, a altura de cada retângulo 
mede um décimo da altura do anterior.
Seja S
n
 a soma das áreas dos n primeiros retângulos des-
sa sequência, expressa em cm2. Pode-se afirmar que
(A) S
3
 = 110
(B) S
7
 < 111
(C) existe n natural tal que S
n
 é um número irracional
(D) existe n natural tal que S
n
 = 111,1111111
(E) S
n
 < 111,01 para todo natural não nulo n
42
A superfície lateral planificada de um cilindro de volume v
é um retângulo de lados a e b. Um outro cilindro, de volu-
me V, tem como superfície lateral planificada um retângu-
lo de base 2a e altura 2b. Se as alturas dos dois cilindros 
são, respectivamente, b e 2b, tem-se que
(A) V = 2v (B) V = v
(C) V = 4v (D) V = 6v
(E) V = 8v
43
Na figura acima, a estrela tem seis vértices sobre a circun-
ferência. Esses vértices dividem a circunferência em seis 
partes iguais.
Se a área do triângulo sombreado mede , a área do 
círculo, na mesma unidade, mede
(A) (B) 
(C) (D) 
(E)
44
O gerente de um projeto quer dividir sua equipe, que é 
composta de 12 pessoas, em três grupos de quatro pes-
soas cada um. Entretanto, duas dessas pessoas, João e 
Maria, por questões de perfil profissional, serão colocadas 
em grupos diferentes. O número de maneiras distintas 
que esse gerente tem para dividir sua equipe segundo a 
forma descrita é
(A) 930
(B) 3.720
(C) 4.200
(D) 8.640
(E) 12.661
45
A reta de equação 3x – 4y – 12 = 0 determina sobre a 
circunferência x2 + y2 = 16 uma corda que tem A e B como 
extremidades. A equação da reta que passa pelo centro 
da circunferência dada e divide a corda AB ao meio é
(A) y = –3x (B) 3x – 4y = 0
(C) 3x + 4y = 0 (D) 4x – 3y = 0
(E) 4x + 3y = 0
46
Sejam u e v vetores de cujos módulos são, respecti-
vamente, 3 e 1 e que formam entre si um ângulo T tal que 
cosT = . O módulo do vetor 2u – 3v é
(A) 3 (B) 
(C) (D)
(E)
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR
13
Velocidade
do ponto 1
Velocidade
do ponto 2
Velocidade
do ponto 3
Velocidade
do ponto 4
Velocidade
do ponto 5
Zero
Zero
47
Um pulso senoidal, de amplitude a, propaga-se para a direita com velocidade em uma corda homogênea tracionada, 
conforme ilustra a figura abaixo, onde também estão representados os pontos 1, 2, 3, 4 e 5 da corda.
Nesse contexto, os vetores velocidade desses pontos, no instante considerado, são
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
48
A Intensidade sonora é a qualidade, apresentada por ondas sonoras, que permite avaliar se um som é forte ou fraco. A 
intensidade física média de uma onda sonora que se propaga através do espaço corresponde à razão entre a potência da 
onda emitida e a área da superfície por ela atingida (perpendicularmente à direção de propagação).
A intensidade física de uma onda sonora que corresponde ao limiar da audição é de 10�12 W/m2, ou seja, esse é o valor 
mínimo de intensidade física de uma onda sonora para que ela seja audível.
Observa-se que um aumento da intensidade física sonora como definida não é percebida pelo ouvido humano na razão 
direta. Assim, para que se possam comparar aumentos na intensidade física do som com aumentos perceptíveis pelo ou-
vido humano, define-se outra grandeza, denominada de intensidade auditiva ou nível de intensidade sonora (E), atravésda expressão
,
na qual I e I
0
 são, respectivamente, as intensidades físicas da onda sonora e do limiar de audição, em W/m2.
A unidade de E no SI é denominada bel (B), porém o nível de intensidade sonora é mais comumente expresso em decibel 
(dB).
Com base nesses conceitos, a razão entre as intensidades físicas de duas ondas sonoras de intensidades auditivas de 
100 dB e 50 dB é
(A) 2
(B) 4
(C) 50
(D) 102
(E) 105
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR 16
55
Uma parede de revestimento refratário é composta por três materiais superpostos, A, B e C, de mesma espessura. Se a 
condutividade térmica desses materiais tem valores K
A
, K
B
 e K
C
, a condutividade térmica (K) composta da parede será 
(A) (B) 
(C) (D) 
(E)
BLOCO 3
56
Em uma empresa, todos os funcionários receberam um aumento de 10% nos salários e, posteriormente, ganharam um 
abono de 100 reais. Sobre a nova média e a nova variância de salários, em relação à média e à variância iniciais, isto é, 
antes dos aumentos, tem-se que a
(A) média e a variância não se alteram.
(B) média não se altera, e a variância fica aumentada em 10%.
(C) média e a variância ficam aumentadas em 10% mais 100 reais.
(D) média fica aumentada em 10% mais 100 reais, e a variância em 10%.
(E) média fica aumentada em 10% mais 100 reais, e a variância em 21%.
57
Um jogo consiste em lançar uma moeda honesta até obter duas caras consecutivas ou duas coroas consecutivas. Na 
primeira situação, ao obter duas caras consecutivas, ganha-se o jogo. Na segunda, ao obter duas coroas consecutivas, 
perde-se o jogo. A probabilidade de que o jogo termine, com vitória, até o sexto lance, é
(A) 7/16 
(B) 31/64
(C) 1/2
(D) 1/32
(E) 1/64
58
As cinco declarações seguintes são verdadeiras.
• Se X acontece, então Y não acontece.
• Se K acontece, então X acontece.
• K acontece ou W acontece.
• Se W não acontece, então Z não acontece.
• Y aconteceu.
Conclui-se que
(A) X também aconteceu. (B) K também aconteceu.
(C) W também aconteceu. (D) Z não aconteceu.
(E) Z também aconteceu.
59
Em uma fábrica, 70% dos funcionários ou trabalham no setor de Produção ou trabalham no setor de Desenvovimento, 
ou seja, nenhum deles trabalha nos dois setores. Um terço dos funcionários que trabalham no setor de Desenvolvimento 
também trabalha no setor de Produção, e 50% dos funcionários da fábrica não trabalham no setor de Produção. 
A porcentagem de funcionários da fábrica que trabalha tanto no setor de Desenvolvimento como no setor de Produção é
(A) 5%
(B) 10%
(C) 20%
(D) 25%
(E) 30%
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR
17
60
Dado log
3
(2) = 0,63, tem-se que log
6
(24) é igual a
(A) 1,89
(B) 1,77
(C) 1,63
(D) 1,51
(E) 1,43
61
Uma mercadoria pode ser comprada à vista por R$ 500,00 
ou em três prestações mensais de R$ 200,00 cada uma, 
sendo a primeira no ato da compra. A taxa de juros com-
postos mensal cobrada no pagamento em três prestações 
é, aproximadamente
(Se precisar, use: = 1,73 , = 2,24 , = 2,65)
(A) 33%
(B) 25%
(C) 22%
(D) 20%
(E) 15%
62
Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado a uma taxa de ju-
ros de 2% ao mês, capitalizados trimestralmente. Ao final 
de um ano, o valor, em reais, do capital atualizado é
(A) 12.400,00
(B) 12.624,77
(C) 12.764,55
(D) 12.786,66
(E) 12.836,33
63
Sendo x um arco do 2o quadrante tal que tg (x) = ,
conclui-se que
(A) sen(2x) =
(B) cos(2x) =
(C) sen(2x) =
(D) tg(2x) =
(E) cos(2x) =
64
A atividade de completação pode ser definida como o 
conjunto de operações realizadas com o objetivo de 
condicionar o poço de petróleo para sua colocação em 
produção. Com relação a essa atividade, afirma-se que
(A) a completação é definida como “molhada” quando é re-
alizada em um poço marítimo, mesmo que a cabeça de 
produção esteja localizada no convés da plataforma.
(B) a completação de um poço é definida como seca quan-
do a cabeça de produção estiver localizada na superfí-
cie, seja em terra, seja no convés da plataforma.
(C) a instalação de revestimento na zona de produção é 
obrigatória de forma a promover a contenção das pa-
redes e o isolamento hidráulico.
(D) o fraturamento hidráulico vem substituindo com su-
cesso a operação de canhoneio, objetivando colocar 
a zona de produção em contato com o interior do poço 
revestido.
(E) é comum, em poços terrestres, manter instalado o 
preventor de erupção (BOP), mesmo após a instala-
ção da árvore de natal.
65
O “gás lift” é um método de elevação artificial que utili-
za a energia de um gás pressurizado para elevar fluidos 
(óleo e água) até a superfície onde ficam as instalações 
de produção. Existem dois tipos principais: o contínuo e o 
intermitente. A respeito desse método de elevação artifi-
cial, afirma-se que
(A) é aplicável em poços com alta razão gás-líquido 
(RGL), situação na qual os métodos que usam bom-
bas têm baixa eficiência volumétrica.
(B) o gás, no tipo contínuo, é injetado continuamente a 
alta pressão na coluna de produção visando a aumen-
tar a pressão no fundo do poço e, consequentemente, 
a vazão de produção.
(C) a instalação fechada (com válvula de pé), no tipo con-
tínuo, pode ser utilizada para evitar que a o gás injeta-
do empurre parte dos fluidos de volta para o reserva-
tório de formação.
(D) o tipo intermitente visa a diminuir o gradiente médio 
de pressão, na coluna de produção, para garantir uma 
baixa pressão a montante da válvula “choke”.
(E) o tipo intermitente tem aplicações restritas a poços 
que possuem alta pressão de fundo e com baixo índi-
ce de produtividade (IP).
66
Uma solução aquosa de hidróxido de sódio contém 20% 
em massa dessa base, e a sua massa específica é de 
1200 kg/m3. Sendo as massas molares (kg/kmol) Na = 23; 
O = 16 e H = 1, a concentração molar de hidróxido de só-
dio na solução, em mol/L, é
(A) 6 
(B) 5 
(C) 4 
(D) 3 
(E) 2
 Data de aplicação: 27/02/2011 
 (50 Específicas – 22 de Matemática) 
 
21) 
 Se ���� * ����	= ���� → �	 é necessariamente do tipo 2x2 . 
 
 1 2
1 
1� * 
� �
� �� = 
3 
2
1 4 � Daqui saem dois sistemas: 
 �� � 2� � 3
� 
 � � 1	 (I) e �
� � 2� � 	
2
� 
 � � 4 (II) Logo, X = 
5 
6
4 2 � → LETRA (B). 
COMENTÁRIO: 
Produto de matrizes 2x2 está no nosso sangue desde o 2º ano do ensino médio. Mal 
comparando, é como o conceito de célula para o pessoal da área biomédica. 
Um detalhe apenas: bastaria resolver o sistema (I) e dar uma olhada nas opções, já que é de 
múltipla escolha, para cravar a letra B. 
E muita calma, amigo. Não é porque a prova começou com esse “romeu e julieta” que vamos 
deixar a nossa procura de lado. A procura pelas fáceis. Veja outros presentes em 25, 43, 60 e 
63. 
Tenhamos sempre em mente: “a prova de eng° de petróleo não é uma prova para quem 
acerta as difíceis; ela é uma prova para quem não erra as fáceis”. 
22) 
 Análise do sistema com se fossem duas retas no plano; 
 
 
 Para que sejam paralelas ( e, portanto, o sistema não tenha solução), devemos ter: 
 
�
� = 
�
�� � 
�
� Logo, m = -1 e n	� -3 LETRA (B) 
COMENTÁRIO: 
 Sempre é importante olhar sistemas 2x2 e 3x3 como 2 retas no plano e 3 planos no 
espaço, respectivamente. Os livros do Prof. Antônio dos Santos Machado e do Prof. David C. 
Lay (Álgebra Linear e suas Aplicações – 4ª edição 2013 – LTC / GEN) mostram como seriam as 
configurações geométricas das possíveis posições dessas retas e planos. 
 Aliás, essa questão está igualzinha no livro do Prof. Lay, no capítulo 2, sistemas lineares. 
Seria uma simples coincidência? 
 
23)Vamos usar um teorema retirado do livro Álgebra Linear com Aplicações – 8ª ed. – 
Howard Anton e Chris Rorres- pág. 150, mas também presente no livro do Prof. Lay (citado na 
questão anterior) e outros: 
 “Uma transformação T: � → � é linear se, e somente se, as seguintes relações valem 
para todos os vetores !"# e $# em � e qualquer escalar “c”. 
(a) T ( !"# + $# ) = T (!"#) + T ($#) e (b) T (c * $# ) = c * T ($#% 
 
Assim, teremos : T(au + bv) = a(-1,2) + b(0,3) = (a , -2a) + (0, 3b) = (a, -2a + 3b) → (A) 
 
COMENTÁRIO: 
 
Essa é uma propriedade básica que aprendemos logo no início do estudo de 
transformações. O duro é lembrar dela na hora da prova. Em todo caso, vale a pena 
ter os livros citados em casa, mais duas bíblias para a coleção. 
 
24) 
 
 Tambor fechado: Área Total(ST) = área lateral + área da base + área da tampa(= base) 
 Consideremos o tambor com raio da base R e altura H. 
 ST = 36 & �'� → (�á� = ? 
 2&RH + 2&R² = 36& → R(R+H) = 18 → H = (18/R) – R 
 V = &R²H → V = &R²( 18/R - R) → V = 18&R – &R³ 
 
*+
*, = 18& - 3&R² = 0 → R= √6 
 Assim, (�á� = 18&√6 - &(√6)³ = 12&√6 �'� LETRA (A) 
 
COMENTÁRIO: 
 Quem não se lembra desse tipo de questão que era resolvida nas listas de Cálculo I, logo 
depois de aprender derivada e taxas relacionadas? 
 A única “dificuldade” está em algebrizar as informações do enunciado. Depois, é só 
aplicar a primeira derivada e ponto final. Fácil, não podemos errar questão como esta. 
 Talvez muita gente não tenha lembrado da tal propriedade que resolve a questão 
anterior, mas pouca gente erra essa aqui. E nossa tese só se confirma: é preciso vasculhar todo 
o caderno de questões em busca das fáceis. Não adianta ficar perdendo tempo em coisas 
difíceis ou tentando resolver questões em que não estamos seguros da resolução. 
 A prova não é para quem acerta questões difíceis; ela é uma prova para quem não erra as 
fáceis. 
25) 1ª SOLUÇÃO 
 Fatorando numerador e denominador, teremos: lim�→�� (��2%(�3�%(�3�%(�3�% = lim�→��
(��2%
(�3�% = 
= -5 
 2ª SOLUÇÃO 
 Aplicando L’hopital, teremos: 
lim�→�� (����%(��3�% = -5 
COMENTÁRIO: 
 Eu começaria a prova por essa questão. Para uma revisão de limites, teorema de 
L’hopital e outras ferramentas, sugiro FME, volume 8, um livro de cálculo qualquer no volume 
1 ou uma lista de exercícios dessas que podemos baixar na web. Depois de resolver uns 150 
limites você pega a manha da coisa de novo. 
 
26) 
 41º	6�778 ∶ :;�8;<=�=	�	'�<=>?	�:	<=�;7@8='�çã8	C2º	6�778: �:<:='>;�=	87	7:!7	�!<8$�E8=:7														 
 1º passo: 
 T é necessariamente 2x2 (02 autovalores). Assim, T = F� �� �G e 
 F� �� �G F
1
0G = F
1
1 G → 4
�(1% � �(0% � 	
1		 → 			� � 	
1
		�(1% � �(0% � 1			 → 					� � 1									 
 F� �� �G F
0
1G = F
3
2G → 4
�(0% � �(1% � 3					 → � � 3
�(0% � �(1% � 2	 → � � 2			 
 Logo, T = F
1 31 2G 
 2º passo: 
 Os autovalores são encontrados pela expressão : det	(IJ 
 C% = 0 , onde I = F1 00 1G 
 Assim, teremos: det	FI � 1 
3
1 I 
 2G = 0 → I� = 
�3√��
� e I� = 
��√��
� 
 E, finalmente, como I� > I� teremos I� - I� = √21 . 
COMENTÁRIO: 
Essa foi pedreira! Te confesso que não saberia fazer na hora da prova. Nem perderia tempo; 
deixaria para o chute no final da prova, já com todo o cartão-resposta quase todo pronto. 
 Eu não praticava esse assunto há séculos e tive que procurar no livro do Anton, no capítulo 7, 
Autovalores e Autovetores, página 239, na edição 8 que eu tenho em casa. 
Acho que essa questão, junto com a 23, foram o massacre da prova. Se fosse discursiva, seria 
um espetáculo de questões em branco. Devem ter tido um percentual de acerto baixíssimo. 
E te garanto que pouca gente treina aultovalores e autovetores, até porque cai pouco em 
prova, da mesma forma que sistema SAC em matemática financeira. 
E elas vêm para reforçar, mais uma vez, minha tese: se você não está “afiado” em um 
determinado assunto e não tem confiança para resolver a questão com certeza do que está 
fazendo, então não adianta ficar perdendo tempo inventando coisas. Sabe aquela cena da 
pessoa que fica olhando para o céu, com a caneta na boca, e tentando encontrar um milagre 
que resolva a questão? Pois é. Só perde tempo e não resolve nada. 
Em concurso, ou você sabe ou não sabe. E ponto final. Não adianta ficar com elocubrações 
malucas. 
Vamos em frente. 
27) 
 h(x) = f LM(N%O 	→ função composta e regra da cadeia. 
 h’(x) = f ‘ LM(N%O * g ‘ (x) 
 Consultando a tabela, teremos: 
 h’(0) = f ’LM(0%O * g’(0) = (-1) * (-1) = 1 e analogamente para h’(1) , h’(2) e h’(3) 
encontraremos -9 , -16 e 1 respectivamente. Somando tudo temos -25 + 2 = -23 LETRA (A). 
COMENTÁRIO: 
 Questão bem elaborada, bonita, uma elegante forma de exigir do candidato o 
conhecimento da regra da cadeia e se ele é um cara organizado e paciente. 
 E em regra da cadeia não podemos ter dúvidas. Se você está enferrujado nisso, faça 
rapidamente uma revisão em FME, volume 8, ou um outro livro de cálculo I de sua escolha e , 
como sugeri há pouco na questão 25, resolva umas 100 derivadas que a máquina volta a ficar 
“azeitada”. Só isso. No mais, duvido que alguém tenha errado essa na prova, mas tenho 
certeza que milhares erraram a anterior. 
 Portanto, a prova não é para quem acerta as difíceis; ela é para quem não erra as fáceis. 
 
 
28) 
 F(x) = P :��3�dx ∧ F(0) = e . 
 Fazendo u = 3x +1 , 
*R
*� = 3 ∧ dx = 
*R
� . Substituindo, teremos: 
 P :R 		*R� = 
�
� :R + c → F(x) = 
STUVW
� + C 
 Como F( 0 ) = e , basta substituir para achar C = 
�S
� . 
 Logo, F(x) = 
STUVW
� + 
�S
� = 
STU∗S
� + 2 * 
S
� → F(x) = 
S
� * (:�� � 2% LETRA (C). 
COMENTÁRIO: 
 Lembra daquelas listas com umas 200 integrais indefinidas que você resolvia na época da 
faculdade ? Pois é. Agora você entende por que era importante conhecer uma boa parte 
daqueles métodos de integração. Essa aqui, por substituição, foi uma das mais fáceis que você 
já viu em sua vida. Tenho certeza disso. 
 Questões como a 27, 25, 24, 21 e esta 28 ninguém erra. Nós também não vamos errar. 
 Alguma dúvida ainda de que minha tese está correta ? 
 
41) 
 
 
 Áreas em cm². 
 Y� = 1 cm * 10² cm + 1 cm * 10 cm + 1 cm * 1 cm + ........ (P.G infinita de razão q = 1/10) 
 lim�→Z Y� = [W��� = 
�\²
��	 WW^
 = 
�\\\
_ = 111,1 LETRA (D) 
COMENTÁRIO: 
 Erro aqui é fatal. No FME, volume 5, capítulo de sequências, dá para fazer uma boa 
revisão de P.A e P.G e esgotar quaisquer dúvidas que ainda persistam. 
 
42) 
 
 
 
 Cilindro I, de volume v : raio r (planificação : base a e altura b); 
 Cilindro II, de volume V: raio R (planificação : base 2a e altura 2b); 
 
 
 Cilindro I &r².b = ve ab = 2&rb . Segue que r = [�` e v = 
[a	b
2` 
 Cilindro II &R².2b = V e 2&R = 2a . Assim, R = [` e V = 
�[²b
` 
 Logo, 
+
c = 
�[²b
` * 
2`
[²b → V = 8v LETRA (E). 
COMENTÁRIO: 
 A área lateral de um cilindro ( sua planificação) já tinha sido usada lá atrás, na questão 
24. Quem vasculhou o caderno de questões à procura das fáceis deve ter vindo para essa 
depois de ter feito a 24. Qualquer jovem que está se preparando para o ENEM faz essa 
questão. Ou deveria, como disse na apresentação deste livro. 
 Pirâmides , prismas e cilindros retos são assuntos que devem estar no sangue. Para uma 
revisão, FME, volume 10. Umas 10 questões de cada capítulo são suficientes para relembrar 
das fórmulas. 
 
43) figura na capa deste trabalho. 
 Lado do triângulo equilátero sombreado : x 
�²√�
2 = √3 → x = 2 
1. Logo, o lado do triângulo equilátero inscrito na circunferência será 3x = 6. 
 Assim, se R é raio da circunferência, temos : R√3 = 6 e R = 2√3 . 
 Logo, área do círculo = &R² = 12& LETRA (E) 
COMENTÁRIO: 
 Veja o que eu escrevi no começo da apresentação deste livro. Não estou certo? 
44) 
 1º grupo > joão mais 3 pessoas (EXCETO MARIA) : d�\,� = �\	!g	!		�	! = 120 
 2º grupo > maria neste grupo : dg,� = g	!2	!	�	! = 35 
 3º grupo > as 4 pessoas que sobraram : 1 única possibilidade. 
 Princípio Multiplicativo: 120 * 35 * 1 = 4200 LETRA (C) 
COMENTÁRIO: 
 Fácil, não? 
 Só gostaria de lembrar que as questões de combinatória sempre têm uma variedade 
enorme de soluções. Esta é só uma delas. 
 Para uma boa revisão, FME, volume 5 – combinatória e probabilidade. 
 
45) 
 
 Reta “r” : 3x – 4y - 12 = 0 → 4y = 3x – 12 → y = �2 x – 12 (coeficiente angular = 3/ 4). 
 Circunferência: x² + y² = 16 → centro em ( 0 , 0 ) e raio = 4 . 
 Reta “ s “ : y = mx + p 
 Como as retas “r” e “s” são perpendiculares, o produto de seus coeficientes angulares é 
igual a -1. Assim, teremos: 
 m * (3/4) = -1 → m = - 4/3 e temos para a reta “s” : y = �2� x + p 
 Como o ponto (0,0) ∈ s , segue que p = 0 
 Assim, temos para a reta “s” : y = 
�2
� 	x ou 4x + 3y = 0 LETRA (E). 
COMENTÁRIO: 
 Uma das questões mais bonitas da prova, por envolver dois conceitos cruciais da 
geometria plana e da geometria analítica. A reta que passa pelo centro da circunferência e 
divide uma corda ao meio é necessariamente perpendicular à reta que contém esta corda e os 
seus coeficientes angulares são tais que seu produto é igual a -1. 
 Para uma boa revisão de analítica, FME, volume 7. Nunca é demais estudar equação da 
circunferência e posições entre retas e circunferências. 
 
46) 1ª SOLUÇÃO : ALGÉBRICA 
 
 Sejam !"# = (a, b, c) e $# = (m, n, p ) 
 |!"#| = 3 → j�² � �² � �² = 3 → a² + b² + c² = 9 (i) 
 |$#| = 1 → j'² � ;² � 6² = 1 → m² + n² + p² = 1 (ii) 
 k""# = 2!"# - 3$# → k""# = (2a – 3m , 2b – 3n , 2c – 3p) e 
 |k""#| = j(2� 
 3'%� � (2� 
 3;%² � (2� 
 36%² ∴	 
 |k""#| = j4�² 
 12�' � 9'� � 4�� 
 12�; � 9;� � 4�� 
 12�6 � 96² ∴ 
 |k""#| = j4(�� � �� � ��% � 9('� � ;� � 6�% 
 12(�' � �; � �6% ∴ 
 No radical acima, falta apenas saber qual o valor de am+bn+cp, que vamos buscar na 
expressão analítica do produto escalar entre dois vetores: 
am+bn+cp = |!"#| * |k""#| * cosn (onde n é o ângulo entre os vetores !"# e k""# ). 
Assim, teremos: am+bn+cp = 3 * 1 * F��� G = -2 
Logo, |k""#| = j4 ∗ 9 � 9 ∗ 1 
 12 ∗ (
2% ∴ |k""#| = √69 LETRA (E) 
 
 2ª SOLUÇÃO: GEOMÉTRICA 
 
 
 
 Dado que cosn o 0 , segue que n é um ângulo obtuso e iremos aplicar a lei dos 
cossenos. 
w² = (2u)² + (3v)² - 2 *(2u)*(3v)*cosn ∴ w² = 4u² + 9v² - 12 * u * v * cosn ∴ 
w² = 4*9 + 9*1 – 12 * 3 * 1 * F��� G ∴ w = √69 LETRA (E) 
COMENTÁRIO: 
 Claro que a segunda solução é muito mais elegante, mas nem sempre ela aparece na 
hora que a gente precisa, que é a hora da prova. Assim que peguei a questão, resolvi do 1º 
modo, partindo para o algebrismo “no braço” e sem medo de ser feliz. Até que nem demorei 
muito tempo porque as fatorações dentro do radical facilitaram a vida e o produto escalar 
liquidou a fatura. 
 Mas eu confesso a você que fiquei com uma pulga atrás da orelha. Tinha que ter uma 
solução mais rápida! Sabe quando você fica encucado com um troço? Pois é. 
 Só depois, tomando um chope, quando peguei a questão de novo para resolver é que 
”enxerguei” a solução geométrica. E confesso que tomei mais alguns, de alegria. 
 Na hora da prova, porém, não dá para tomar chope; então, fica a dica: se o algebrismo 
cresceu muito e a resposta não apareceu, dê uma parada e veja se tem algum erro no 
desenvolvimento desde o começo. Verifique, passo a passo, se não há algum erro de sinal, ou 
uma continha errada. Se estiver tudo ok, é porque o caminho escolhido está errado ou a 
solução depende um pouco mais de inspiração. 
 Neste caso, amigo(a), é melhor parar, deixar a questão de “stand-by” e tentar resolver 
outras, para não perder muito tempo. Como eu já disse em um comentário anterior, não 
adianta ficar olhando para o céu, mordendo a caneta, com cara de maluco(a) e tentando 
encontrar a solução genial porque pode ser que ela não apareça naquela hora. 
 Vamos em frente...”a fé não costuma faiá....Gilberto Gil”. 
56) 
 Resolução considerando 3 salários. A generalização não traz qualquer perda neste caso. 
 S1=20, S2=40, S3=30 ( S = média e V = variância ; S’ e V’ novas média e variância). 
 MÉDIAS: 
 S = (20 + 40 + 30)/3 = 30 e S’ = L1,1(20	 � 	40	 � 	30% � 300O / 3 = 133 
 Média aumentada em 10%, mais 100 reais. 
 VARIÂNCIAS: 
 V = L(20 
 30%� � (40 
 30%� � (30 
 30%²O/3 = 200/3 
 V’ = L(122 
 133%� � (144 
 133%� � (133 
 133%²O/3 = 242/3 
 V’ / V = 1,21 ( variância aumentada em 21%) LETRA (E) 
COMENTÁRIO: 
 Se você me encontrar em algum lugar e me perguntar o que é variância, vou te dizer 
apenas que é uma ferramenta importante de estatística, mas de cuja aplicação e fórmulas não 
me lembro. Mas posso pesquisar em casa se for necessário e te dar a resposta depois. Simples 
assim. Não dá para saber tudo, concorda ? 
 Confesso a você, caro leitor que acho estatística uma ciência linda e fascinante e acho 
espetacular quando alguém decide se aprofundar nela. Logo, para mim, tudo que vai além de 
média simples e ponderada e desvio padrão começa a ficar difícil. 
 Nesta questão, o candidato poderia até calcular a nova média, mas ficaria com as opções 
(C), (D) e (E). Então, se não soubesse variância de nada adiantaria. Meu caso. 
 Se você gosta e quer estudar estatística, sugiro dois livros para ter em casa: Estatística 
Fácil (Antônio Crespo – Ed.Saraiva) e um outro clássico que é Estatística Básica(Pedro Morettin 
e Wilton Bussab – Ed.Saraiva). Eu os tenhopara consultas eventuais, como agora neste 
projeto. 
 
57) 
 A probabilidade de o jogo terminar com vitória até o 6º lance é igual à soma das 
probabilidades de terminar no 2º (P2), no 3º (P3), no 4º (P4), no 5º (P5) e no 6º (P6). 
 Assim, considerando K (cara ) e C (coroa), teremos: 
 P2 = 1/4 (resultado KK em um total de 4 possibilidades); 
 P3 = 1/8 (resultado CKK em um total de 8 possíveis); 
 P4 = 1/16 (resultado KCKK em um total de 16 possíveis); 
 Analogamente, teremos P5 = 1/32 e P6 = 1/64. 
 Logo, P = ¼ + 1/8+ 1/16 + 1/32 + 1/64 → P= 31/64 LETRA (B) 
COMENTÁRIO: 
 Lembra do que eu disse na apresentação do trabalho sobre as mais variadas soluções 
diferentes para um mesmo problema ? Eis um exemplo típico. 
 Essa é a minha forma de resolver a questão, eu apresento uma solução. Não quer dizer, 
jamais, que é a melhor solução. Pesquise, porque certamente você vai encontrar outras formas 
de resolução que são muito mais bonitas e geniais, usando ou não fórmulas de combinatória. 
 E para uma boa revisão de combinatória e probabilidade, FME, volume 5. 
 
58) 
 Origem da solução : www.engenheirodepetroleo.com.br 
 A→B é logicamente equivalente a 	~B→ ~A ( esta equivalência resolve o problema!) 
 Isto pode ser demonstrado na seguinte tabela-verdade: 
 
 
 
A B ~B ~A A→B ~B→ ~A 
V V F F V V 
V F V F F F 
F V F V V V 
F F V V V V 
 
 De fato, são logicamente idênticas. Vale lembrar que ,na construção de tabelas-verdade, 
A→B só é falso quando A é verdadeiro e B é falso. Nos outros 3 casos, A →B é verdadeiro. 
 Análise das informações , dado que Y aconteceu: 
• X → ~ Y é equivalente a Y → ~ X , ou seja, se Y acontece então X não acontece. Logo, 
X não aconteceu; 
• K → X é equivalente a ~X → ~K ,logo, da anterior temos que K não aconteceu; 
• K ∨ W ; como K não aconteceu (item anterior), então W aconteceu; 
• ~ W → ~ Z é equivalente a Z → W. 
 Sabemos que W aconteceu (pela anterior) mas nada podemos afirmar sobre Z, 
que poderá ser verdadeiro ou falso. 
 Basta comparar com o caso A→B , onde na possibilidade A→B verdadeiro e B 
verdadeiro podemos ter A verdadeiro ou falso. 
 
Resposta correta: W aconteceu LETRA (C) 
COMENTÁRIO: 
 Se fosse uma prova discursiva, essa questão seria a campeã das questões deixadas em 
branco. 
 Nesta questão e na 56, temos a confirmação da minha tese: questões que são difíceis 
para a grande maioria das pessoas vão apresentar um grande índice de erros . Mesmo quem é 
fera em tautologias pode não lembrar daquela equivalência que resolve o problema, da 
mesma forma que não dá para lembrar sempre da fórmula de variância ou desvio-padrão. 
 Por isso, defendo que não podemos errar questões fáceis. Essas duas, por exemplo, “todo 
mundo” erra. Mas uma questão como a 60, logo a seguir, quase ninguém erra. 
 E o pior: de repente, a pessoa perde um tempo enorme, valiosíssimo, tentando alguma 
“inspiração” para essas encrencas e deixa de enxergar uma moleza como a 60. Ou chega nela 
com o tempo estourando e acaba errando besteira, por conta da pressa. 
 Não dá para ser fera em uma série de assuntos; então, nós temos de saber fazer prova. 
Aliás, como sabemos desde cedo, não dá para saber tudo em Matemática. Mas é possível 
saber fazer uma boa prova e essa técnica passa por identificar as questões que são fáceis, que 
ninguém erra. 
 Eu insisto: a prova de engenheiro de petróleo não é uma prova para quem acerta 
questões difíceis; ela é uma prova para quem não erra as fáceis. 
 
59) 
 
 
 
 Considerando 1000 (hum mil) funcionários na fábrica, vamos construir a seguinte tabela: 
 
 PROD DES 
 N 700 
 N 
700 
 N
3 
 
 
 N � g\\��� � 500 → N � 400		.		t8M8,
g\\�2\\
� � 100 � 10%							 LETRA (B) 
 
COMENTÁRIO: 
 Se tentarmos resolver com Diagramas de Venn, também encontramos 10% como 
resposta, atribuindo o valor zero para a interseção entre os dois conjuntos. 
 Assim, como o gabarito ficou com 20% e ninguém recorreu (eu suponho), a questão caiu 
no esquecimento. 
 Pode ser que eu esteja completamente errado e desconheça a solução correta deste 
problema (como se chega aos 20% do gabarito). Se assim for, peço antecipadamente desculpas 
e prometo corrigir meu erro em uma futura edição deste livro ou citar esta questão 
novamente, com o meu erro e a solução correta, em outro livro que produzir no futuro. 
 No mais, essa questão deve ter derrubado muita gente. 
60) 
 logx � = yz{| }yz{| x (propriedades dos logaritmos - mudança de base) 
 Assim, podemos escrever log~ 24 = yz{T �2yz{T ~ = 
yz{T(�³∗�%
yz{T(�∗�% = 
yz{T �T3	yz{T �
yz{T �3	yz{T � = 
�∗yz{T �		3	�
yz{T �3� 
= 
�,€_
�,~� ≅ 1,7 LETRA (B) 
 
COMENTÁRIO: 
 Questão ótima para começo de prova. Essa certamente seria uma das minhas primeiras 
questões a fazer, senão a primeira. 
 O tempo que a gente ganha resolvendo uma questão fácil como essa é valiosíssimo para 
o restante da prova. 
 
61) 
 À vista : 500 
 Parcelado : 200 (no ato) + 200 (1º mês) +200(2º mês) 
 Após os 200 de entrada, o saldo devedor real é de 300. Assim, teremos: 
 
�\\
(�3‚%a = 200 → 200 * (1 � >	%� = 300 → (1 � >%� = 
�
�	 → (1 � >% � 	
√�
√� = 1,226 → i ≅ 
≅0,226 ≅ 22 % LETRA (C) 
 
COMENTÁRIO: 
 Questão fácil para quem deu uma olhada em questões de juros compostos e suas 
variantes quando estudou. Mesmo assim, devemos tomar cuidado com essas questões, pois 
sempre aparecem umas continhas “enjoadas” de fazer. 
 Eu não faria logo de início, para não correr o risco de errar conta boba por conta do 
nervosismo. Mas colocaria entre as 10 primeiras. 
 
62) 
 1 ano = 4 trimestres 
 Regime de capitalização: 2% a.m = 6% a.t 
 C = 10000 * (1,06%2 = 10000 * 1,262477 → C = 12624,77 LETRA (B). 
COMENTÁRIO: 
 Como eu disse antes, o cuidado aqui é com as continhas que exigem atenção especial. 
Neste caso, ainda bem que pensaram no candidato com os 4 zeros do capital inicial. Questão 
fácil, para não errar. 
 
63) 
 
`
� o x o & (arco do segundo quadrante, sen > 0 e cos < 0 ) e tan N = 
�
� 
 (sec N%� = 1 + (tan N%� → sec N = - √�\� 
 Como sec N = �‰zŠ� segue que cos N = 
��	√�\
�\ 
 Assim, basta aplicar a relação fundamental: (sin N%� + (cosN%� = 1 
 (sin N%� = ��\ → sin N = 
√�\
�\ e, para finalizar, a clássica: cos(2N%= (cos N%� - (sin N%� 
 Logo, cos(2N% = _�\ - 
�
�\ = 
2
‹ LETRA (B) 
COMENTÁRIO: 
 Essas relações trigonométricas estão no sangue desde quando nós estávamos no 1º 
ano do segundo grau (hoje ensino médio), certo? 
 Não estão? Então a mão ficou mesmo pesada. Muito pesada. 
 Sugestão: passe umas horas brincando com identidades trigonométricas e equações 
trigonométricas em FME, volume 3, ou qualquer outro de trigonometria. 
 
COMENTÁRIO FINAL: 
 Ratificando a tese que eu tenho defendido nesse trabalho, a prova de eng° jr. Não é uma 
prova para quem acerta as questões difíceis;ela é uma prova para quem não erra as fáceis. 
 Questões como a 60, a 25 e essa 63 a gente não pode errar em prova. É fatal. Idem para 
a 28, a 43 e as outras que nós vimos aqui. 
 Agora, questões como a 44, 46, 26, 23 e 57 derrubam muita gente. 
 Eu faria essa prova na seguinte sequência: 25, 43, 27, 28, 63, 60, 45, 42, 41, 24, 22, 21, 
23, 46, 44, 57, 56, 59, 61, 62, 58, 26. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito – Nível Superior - Prova realizada no dia 27/02/2011 
 
LÍNGUA PORTUGUESA 
1- C 2- B 3- A 4- C 5- A 6- E 7- E 8- B 9- A 10- D 
LÍNGUA INGLESA 
11- C 12- A 13- B 14- D 15- E 16- C 17- D 18- E 19- C 20- B 
CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
A
dm
in
is
tr
ad
or
(a
) 
Jú
ni
or
 
A
ud
ito
r(
a)
 J
ún
io
r 
C
on
ta
do
r(
a)
 
Jú
ni
or
 
En
fe
rm
ei
ro
(a
) d
o 
Tr
ab
al
ho
 J
ún
io
r 
En
ge
nh
ei
ro
(a
) 
C
iv
il 
Jú
ni
or
 
En
ge
nh
ei
ro
(a
) d
e 
Eq
ui
pa
m
en
to
s 
Jú
ni
or
 –
 E
lé
tr
ic
a 
En
ge
nh
ei
ro
(a
) d
e 
Eq
ui
pa
m
en
to
s 
Jú
ni
or
 –
 
El
et
rô
ni
ca
 
En
ge
nh
ei
ro
(a
) d
e 
Eq
ui
pa
m
en
to
s 
Jú
ni
or
 –
 In
sp
eç
ão
 
En
ge
nh
ei
ro
(a
) d
e 
Eq
ui
pa
m
en
to
s 
Jú
ni
or
 –
 M
ec
ân
ic
a 
En
ge
nh
ei
ro
(a
) d
e 
Eq
ui
pa
m
en
to
s 
Jú
ni
or
 –
 
Te
rm
in
ai
s 
e 
D
ut
os
 
En
ge
nh
ei
ro
(a
) d
e 
M
ei
o 
A
m
bi
en
te
 
Jú
ni
or
 
En
ge
nh
ei
ro
(a
) d
e 
Pe
tr
ól
eo
 J
ún
io
r 
Bloco 1 Bloco 1 Bloco 1 Bloco 1 Bloco 1 Bloco 1 Bloco 1 Bloco 1 Bloco 1 Bloco 1 Bloco 1 Bloco 1 
21- C 21- A 21- E 21- E 21- E 21- B 21- C 21- E 21- E 21- D 21- C 21- B 
22- D 22- B 22- C 22- A 22- A 22- B 22- B 22- E 22- B 22- D 22- B 22- B 
23- E 23- C 23- C 23- B 23- E 23- C 23- D 23- D 23- C 23- D 23- B 23- A 
24- B 24- D 24- A 24- A 24- E 24- E 24- B 24- D 24- B 24- C 24- B 24- A 
25- C 25- E 25- A 25- C 25- E 25- D 25- C 25- C 25- D 25- E 25- B 25- E 
26- E 26- A 26- D 26- D 26- A 26- C 26- A 26- A 26- A 26- C 26- A 26- C 
27- D 27- C 27- C 27- D 27- B 27- C 27- D 27- E 27- D 27- C 27- E 27- A 
28- E 28- D 28- B 28- D 28- A 28- A 28- D 28- B 28- B 28- C 28- B 28- C 
29- A 29- A 29- D 29- C 29- C 29- E 29- E 29- B 29- C 29- D 29- D 29- E 
30- A 30- B 30- D 30- E 30- D 30- D 30- A 30- C 30- C 30- E 30- E 30- A 
31- E 31- C 31- E 31- E 31- E 31- A 31- E 31- C 31- A 31- C 31- A 31- D 
32- E 32- E 32- B 32- D 32- C 32- C 32- B 32- A 32- B 32- D 32- A 32- C 
33- A 33- B 33- D 33- B 33- D 33- C 33- D 33- B 33- D 33- B 33- A 33- D 
34- D 34- B 34- E 34- B 34- C 34- D 34- E 34- B 34- E 34- B 34- E 34- D 
35- D 35- E 35- C 35- D 35- D 35- E 35- B 35- C 35- E 35- D 35- E 35- A 
36- B 36- D 36- A 36- D 36- C 36- E 36- B 36- D 36- D 36- E 36- D 36- B 
37- E 37- A 37- B 37- A 37- C 37- B 37- B 37- A 37- B 37- E 37- E 37- C 
38- A 38- D 38- B 38- E 38- D 38- A 38- C 38- A 38- E 38- A 38- B 38- E 
39- C 39- E 39- C 39- C 39- A 39- C 39- B 39- E 39- B 39- D 39- B 39- B 
40- A 40- C 40- E 40- C 40- E 40- C 40- E 40- D 40- C 40- B 40- D 40- B 
Bloco 2 Bloco 2 Bloco 2 Bloco 2 Bloco 2 Bloco 2 Bloco 2 Bloco 2 Bloco 2 Bloco 2 Bloco 2 Bloco 2 
41- A 41- E 41- B 41- E 41- D 41- D 41- B 41- C 41- E 41- A 41- B 41- D 
42- B 42- B 42- C 42- C 42- A 42- E 42- D 42- B 42- C 42- B 42- A 42- E 
43- B 43- A 43- D 43- D 43- A 43- B 43- C 43- D 43- A 43- E 43- C 43- E 
44- C 44- C 44- B 44- E 44- B 44- E 44- D 44- C 44- A 44- A 44- C 44- C 
45- E 45- E 45- E 45- B 45- D 45- E 45- A 45- E 45- E 45- A 45- A 45- E 
46- D 46- A 46- D 46- D 46- B 46- C 46- C 46- C 46- E 46- B 46- C 46- E 
47- E 47- D 47- D 47- B 47- E 47- D 47- B 47- D 47- D 47- B 47- D 47- B 
48- C 48- D 48- E 48- B 48- A 48- B 48- E 48- C 48- E 48- C 48- D 48- E 
49- B 49- A 49- C 49- B 49- B 49- C 49- B 49- A 49- A 49- A 49- B 49- B 
50- C 50- E 50- B 50- A 50- E 50- B 50- C 50- A 50- A 50- B 50- A 50- E 
51- D 51- B 51- B 51- E 51- C 51- C 51- A 51- A 51- B 51- D 51- E 51- A 
52- D 52- C 52- B 52- D 52- E 52- D 52- C 52- D 52- A 52- C 52- D 52- D 
53- C 53- C 53- A 53- C 53- C 53- D 53- A 53- D 53- D 53- E 53- E 53- C 
54- A 54- D 54- A 54- D 54- E 54- B 54- D 54- E 54- D 54- E 54- D 54- C 
55- C 55- B 55- D 55- E 55- D 55- A 55- A 55- C 55- D 55- C 55- B 55- E 
Bloco 3 Bloco 3 Bloco 3 Bloco 3 Bloco 3 Bloco 3 Bloco 3 Bloco 3 Bloco 3 Bloco 3 Bloco 3 Bloco 3 
56- B 56- C 56- A 56- C 56- B 56- A 56- D 56- D 56- B 56- E 56- E 56- E 
57- C 57- C 57- B 57- A 57- A 57- D 57- C 57- C 57- D 57- B 57- C 57- B 
58- B 58- D 58- D 58- E 58- B 58- E 58- E 58- A 58- E 58- C 58- D 58- C 
59- B 59- A 59- D 59- D 59- B 59- A 59- D 59- B 59- D 59- A 59- B 59- C 
60- D 60- E 60- E 60- A 60- D 60- B 60- D 60- E 60- B 60- B 60- D 60- B 
61- A 61- D 61- B 61- C 61- B 61- B 61- A 61- C 61- B 61- E 61- B 61- C 
62- B 62- C 62- A 62- C 62- C 62- A 62- A 62- A 62- E 62- B 62- E 62- B 
63- D 63- E 63- D 63- C 63- A 63- C 63- B 63- E 63- E 63- E 63- C 63- B 
64- A 64- D 64- C 64- B 64- E 64- B 64- C 64- D 64- D 64- A 64- B 64- B 
65- C 65- D 65- E 65- A 65- C 65- A 65- B 65- B 65- C 65- B 65- D 65- A 
66- C 66- B 66- A 66- A 66- E 66- D 66- D 66- B 66- B 66- D 66- E 66- A 
67- D 67- D 67- B 67- A 67- D 67- E 67- A 67- E 67- A 67- B 67- C 67- D 
68- D 68- C 68- C 68- A 68- B 68- B 68- E 68- B 68- C 68- B 68- D 68- E 
69- D 69- B 69- E 69- C 69- A 69- B 69- E 69- E 69- A 69- E 69- C 69- C 
70- B 70- C 70- D 70- E 70- C 70- B 70- B 70- A 70- A 70- B 70- E 70- E 
 
���������
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR1
LEIA ATENTAMENTE AS INSTRUÇÕES ABAIXO.
01 - Você recebeu do fiscal o seguinte material:
a) este caderno, com o enunciado das 70 (setenta) questões objetivas, sem repetição ou falha, com a seguinte distribuição:
b) CARTÃO-RESPOSTA destinado às respostas das questões objetivas formuladas nas provas. 
02 - Verifique se este material está em ordem e se o seu nome e número de inscrição conferem com os que aparecem no
CARTÃO-RESPOSTA. Caso contrário, notifique o fato IMEDIATAMENTE ao fiscal.
03 - Após a conferência, o candidato deverá assinar, no espaço próprio do CARTÃO-RESPOSTA, a caneta esferográfica 
transparente de tinta na cor preta.
04 - No CARTÃO-RESPOSTA, a marcação das letras correspondentes às respostas certas deve ser feita cobrindo a letra e 
preenchendo todo o espaço compreendido pelos círculos, a caneta esferográfica transparente de tinta na cor preta,
de forma contínua e densa. A LEITORA ÓTICA é sensível a marcas escuras, portanto, preencha os campos de marcação 
completamente, sem deixar claros.
Exemplo:
05 - Tenha muito cuidado com o CARTÃO-RESPOSTA, para não o DOBRAR, AMASSAR ou MANCHAR. O CARTÃO-
-RESPOSTA SOMENTE poderá ser substituído se, no ato da entrega ao candidato, já estiver danificado em suas margens 
superior e/ou inferior - BARRA DE RECONHECIMENTO PARA LEITURA ÓTICA.
06 - Para cada uma das questões objetivas, são apresentadas 5 alternativas classificadas com as letras (A), (B), (C), (D) e (E); 
só uma responde adequadamente ao quesito proposto. Você só deve assinalar UMA RESPOSTA: a marcação em mais de 
uma alternativa anula a questão, MESMO QUE UMA DAS RESPOSTAS ESTEJA CORRETA.
07 - As questões objetivas são identificadas pelo número que se situa acima de seu enunciado. 
08 - SERÁ ELIMINADO do Processo Seletivo Público o candidato que:
a) se utilizar, durante a realização das provas, de máquinas e/ou relógios de calcular, bem como derádios gravadores,
headphones, telefones celulares ou fontes de consulta de qualquer espécie;
b) se ausentar da sala em que se realizam as provas levando consigo o CADERNO DE QUESTÕES e/ou o CARTÃO-
-RESPOSTA.
c) se recusar a entregar o CADERNO DE QUESTÕES e/ou o CARTÃO-RESPOSTA, quando terminar o tempo estabelecido.
d) não assinar a LISTA DE PRESENÇA e/ou o CARTÃO-RESPOSTA.
Obs. O candidato só poderá se ausentar do recinto das provas após 1 (uma) hora contada a partir do efetivo início das 
mesmas. Por motivos de segurança, o candidato NÃO PODERÁ LEVAR O CADERNO DE QUESTÕES, a qualquer 
momento.
09 - Reserve os 30 (trinta) minutos finais para marcar seu CARTÃO-RESPOSTA. Os rascunhos e as marcações assinaladas no 
CADERNO DE QUESTÕES NÃO SERÃO LEVADOS EM CONTA.
10 - Quando terminar, entregue ao fiscal O CADERNO DE QUESTÕES, o CARTÃO-RESPOSTA e ASSINE A LISTA DE 
PRESENÇA.
11 - O TEMPO DISPONÍVEL PARA ESTAS PROVAS DE QUESTÕES OBJETIVAS É DE 4 (QUATRO) HORAS E 30 (TRINTA) 
MINUTOS, incluído o tempo para a marcação do seu CARTÃO-RESPOSTA.
12 - As questões e os gabaritos das Provas Objetivas serão divulgados no primeiro dia útil após a realização das mesmas, no 
endereço eletrônico da FUNDAÇÃO CESGRANRIO (http://www.cesgranrio.org.br).
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR
14
CONHECIMENTOS BÁSICOS CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
LÍNGUA
PORTUGUESA
LÍNGUA INGLESA Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3
Questões Pontuação Questões Pontuação Questões Pontuação Questões Pontuação Questões Pontuação
1 a 10 1,0 cada 11 a 20 1,0 cada 21 a 40 1,0 cada 41 a 55 1,0 cada 56 a 70 1,0 cada
E
D
IT
A
L
 N
o
 1
 -
 
P
E
T
R
O
B
R
A
S
P
S
P
 R
H
 -
 1
/2
01
1
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR7
CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
BLOCO 1
21
No Plano Cartesiano, seja D a curva formada pelos 
pontos (x,y) cujas coordenadas satisfazem a equação 
x2 + xy + y2 = 3. Então, são paralelas ao eixo das ordenadas 
as retas tangentes à curva D nos pontos
(A) (2, �1) e (�2, 1)
(B) (�1, 2) e (1, �2)
(C) (�1, �1) e (1, 1)
(D)
(E)
22
Dada uma função diferenciável, a função
, definida por , pode não ser 
diferenciável em alguns pontos de seu domínio. Por 
exemplo, se considerarmos ,
cujo gráfico é parcialmente representado na figura acima, 
então a função NÃO será diferenciável em, 
exatamente,
(A) 1 ponto
(B) 2 pontos
(C) 3 pontos
(D) 4 pontos
(E) 5 pontos
23
Qual é o valor da integral ?
(A) �18S
(B) �6S
(C) �
(D) �18
(E) 0
24
O gráfico da função , definida por
, possui como assíntota a reta do plano car-
tesiano cuja equação é
(A)
(B)
4
y = x
5
(C) y = 2x
(D) y = 0
(E)
4
y =
5
25
A viscosidade absoluta, também conhecida como viscosi-
dade dinâmica, é uma propriedade física característica de 
um dado fluido. 
Analisando-se a influência da temperatura sobre a visco-
sidade absoluta de líquidos e gases, observa-se que a(s)
(A) variação da viscosidade com a temperatura é função 
da substância em si e não de seu estado físico.
(B) viscosidade de líquidos aumenta e a de gases decres-
ce com o aumento da temperatura.
(C) viscosidade de líquidos decresce e a de gases au-
menta com o aumento da temperatura.
(D) viscosidades de líquidos e gases aumentam com o 
aumento da temperatura.
(E) viscosidades de líquidos e gases decrescem com o 
aumento da temperatura.
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR 10
36
A figura acima representa uma barra em formato de tronco 
de cone conectado a uma barra cilíndrica, que está sub-
metida a uma compressão de 150 kN na base do cilindro, 
e também a dois esforços de tração de módulos 30 kN. 
Qual a tensão em um ponto de uma seção paralela às ba-
ses do tronco, indicada pela linha pontilhada no desenho, 
sabendo que o raio dessa seção é 30 mm?
(A) Compressão de 9S.10�7 Pa
(B) Tração de 10S.10�7 atm
(C) Compressão de .107 Pa
(D) Tração de .10�8 Pa
(E) Compressão de S.107 Pa
37
Se u = (1, 2), v = (– 2, 5) e w = (x, y) são vetores de IR2,
então, para que w = 3u ��v, x + y deve ser igual a
(A) 2
(B) 6
(C) 0
(D) 12
(E) 18
38
Se um conjunto de vetores é base de um espaço vetorial, 
então qualquer vetor desse espaço pode ser obtido atra-
vés de combinações lineares dos vetores do conjunto.
Qual dos conjuntos a seguir é uma base para o espaço 
vetorial IR2?
(A) {(�1,2)}
(B) {(1,1),(3,3)}
(C) {(0,0), (3,4)}
(D) {(3,1), (8,3)}
(E) {(1,2), (3,5), (1,0)}
39
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Todos os vetores da ilustração acima têm o mesmo módu-
lo. Se E
1
, E
2
 e E
3
 são os produtos escalares dos vetores 
das Figuras 1, 2 e 3, respectivamente, então
(A) E
1
 = E
2
 = E
3
(B) E
1
 < E
3
 e E
2
 = 0
(C) E
1
 < E
2
 e E
3
 = 0
(D) E
1
 < E
2
< E
3
(E) E
3
 < E
2
 < E
1
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR11
40
A área do quadrilátero da figura acima (região sombrea-
da) pode ser obtida através do módulo da expressão
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
RA
SC
U
N
H
O
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR 12
BLOCO 2
41
A pressão de vapor de uma substância pura aumenta com 
a temperatura, segundo uma relação
(A) linear
(B) parabólica
(C) cúbica
(D) logarítmica
(E) exponencial
42
Se quatro substâncias formam uma solução ideal, qual o 
valor, em kJ/mol, da energia livre de Gibbs de mistura para 
uma solução equimolar desses constituintes, a 300 K? 
 Dado: R= 8 J.mol�1.K�1
 ln 0,5 = �0,7
(A) �3,4
(B) �1,7
(C) �0,8
(D) 0,0
(E) 1,7
43
Uma das operações unitárias mais utilizadas em enge-
nharia química é a absorção gasosa. Imagine uma coluna 
de absorção, em que água escoa de forma descendente 
ao longo da parede da coluna, enquanto ar rico em amô-
nia escoa de forma ascendente. 
A respeito desse sistema, considere as afirmativas abaixo.
I - Haverá transferência de água através da interface 
líquido-gás, visto que existe uma diferença de con-
centração de água entre as fases líquida e vapor.
II - Existe um equilíbrio entre as fases líquida e vapor na 
interface líquido-gás, dado por uma relação entre a 
pressão parcial do vapor de amônia e a concentra-
ção de amônia na fase líquida, ambos na interface.
III - Haverá um fl uxo de massa através da interface, 
dado pelo produto entre o coefi ciente individual de 
transferência de massa e a diferença de pressão de 
amônia, sendo essa diferença expressa em termos 
da pressão da amônia no seio da massa de gás e da 
pressão da amônia na interface líquido-gás.
IV - O coefi ciente global de transferência de massa, base-
ado na fase líquida, deve ser utilizado quando a força-
-motriz for dada pela diferença entre as concentra-
ções de água na fase líquida e de água na interface.
São corretas as afirmativas
(A) I e II, apenas.
(B) III e IV, apenas.
(C) I, II e III, apenas.
(D) II, III e IV, apenas.
(E) I, II, III e IV.
44
Uma caldeira é constituída por 2 paredes planas, com as 
seguintes características:
Condutividade
térmica (W m�1K�1) Espessura (m)
Parede 1 5 0,2
Parede 2 1 0,07
A parede 1 está exposta a um ar cuja temperatura 
é 220 oC, e o coeficiente de transferência de calor é 
25 W m�2K�1; enquanto a parede 2 está exposta a 
um ar ambiente a 20 oC e coeficiente de filme igual a 
20 W m�2K�1.
Assim, podemos afirmar que a temperatura da parede 1, 
em oC, e o fluxo de calor que atravessa as paredes da 
caldeira, em W m�2, são aproximada e respectivamente 
iguais a
(A) 129 e 1.818
(B) 147 e 1.818 
(C) 167 e 1.330
(D) 170 e 1.000 
(E) 180 e 1.000
45
O quadrado da ilustração acima tem lado 6 cm e está 
dividido em três regiões de áreas iguais: um pentágono e 
dois trapézios retângulos. Tais figuras são obtidas ligando-se 
o ponto P, centro do quadrado, aos pontos Q, R e S, queestão sobre os lados do quadrado.
Quanto mede, em centímetros, o menor lado do pentá-
gono?
(A)
(B) 1
(C)
(D) 2
(E) 6
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR13
46
Dadas a circunferência O: (x�5)2 + (y�4)2 = 16 e a reta 
, o ponto de r que está mais próximo de O tem 
abscissa igual a:
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 8
(E) 16
47
Juntando-se quatro blocos retangulares idênticos, monta-
-se uma peça vazada, conforme está ilustrado na figura 
abaixo.
Cada bloco tem altura 15 cm, e os lados dos quadrados 
maior e menor da peça (contorno e furo) são, respectiva-
mente, 20 cm e 16 cm. 
Qual o volume, em cm3, de um dos blocos retangulares 
usados na construção da peça?
(A) 270
(B) 540
(C) 720
(D) 1080
(E) 2160
48
Um vendedor de livros estipula como meta que, até o dia 
x de cada semana, que se inicia na segunda-feira (dia 1) 
e termina no sábado (dia 6), ele deve vender um total de 
x2 + 3x livros. No final de cada dia, ele anota a quantidade 
de livros que vende no dia, formando uma lista de números.
Se o vendedor conseguir cumprir a meta, a lista de 
números anotados em uma semana completa será uma 
progressão
(A) aritmética de razão 2 
(B) aritmética de razão 3 
(C) com números iguais a 9 
(D) geométrica de razão 2 
(E) geométrica de razão 3 
49
Sabendo que , e que
, qual é o valor de x?
(A) �2
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 5
50
Um professor possui um banco de dados com 8 questões 
de análise combinatória, sendo 3 delas de nível difícil, 10 
questões de logaritmos, sendo 4 delas de nível difícil, e 
12 questões de conjuntos, sendo 8 delas de nível difícil. 
De quantos modos esse professor pode montar uma pro-
va com 3 questões de análise combinatória, 3 questões 
de logaritmos e 4 questões de conjuntos de modo que 
haja exatamente uma questão de nível difícil de cada as-
sunto?
OBS: C
n,p
 é o número de maneiras de se escolher p objetos 
dentre n objetos distintos disponíveis
(A) 3 x C
7,2
 x 4 x C
9,2
 x 8 x C
11,3
(B) 3 x C
7,2
 + 4 x C
9,2
 + 8 x C
11,3
(C) 3 x C
5,2
 x 4 x C
6,2
 x 8 x C
4,3
(D) 3 x C
5,2
 + 4 x C
6,2
 + 8 x C
4,3
(E) C
8,3
 x C
10,3
 x C
12,4
51
Um campo magnético uniforme de intensidade B = 10 T, é 
perpendicular a uma espira quadrada, cuja área, dada em 
m2, varia com o tempo de acordo com a função
A(t) = 2t + 4.
A força eletromotriz induzida na espira, devido à variação 
do fluxo magnético através da área delimitada pela espira, 
é
(A) 10 V 
(B) 2 V 
(C) zero 
(D) � 4 V
(E) � 20 V
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR 16
BLOCO 3
56
O processo Bayer para produção de alumina envolve a 
lixiviação da bauxita com solução alcalina em autoclaves:
Como se classifica o óxido de alumínio?
(A) Óxido anfótero
(B) Óxido básico
(C) Óxido duplo
(D) Anidrido
(E) Peróxido
57
Sobrepotencial é um fenômeno inerente aos processos 
eletroquímicos, que são frequentemente conduzidos em 
soluções aquosas. 
A esse respeito, considere as afirmações abaixo.
I - A redução da área dos eletrodos acarreta um au-
mento dos valores do sobrepotencial.
II - O aumento da distância entre os eletrodos acarreta 
uma redução dos valores do sobrepotencial.
III - O aumento da densidade de corrente acarreta uma 
redução dos valores do sobrepotencial.
IV - A redução da condutividade do eletrólito acarreta um 
aumento dos valores do sobrepotencial.
Estão corretas as afirmações
(A) I, apenas.
(B) I e IV, apenas.
(C) II e III, apenas.
(D) III e IV, apenas.
(E) I, II, III e IV.
58
João comprou uma caneta por R$ 10,00 em um site de 
leilões da internet. Após efetuar o pagamento, o vendedor 
entrou em contato com João e ofereceu o cancelamento 
da venda, prometendo devolver R$ 20,00, em vez de 
R$ 10,00, pelo inconveniente. João aceitou, e o vendedor 
fez a devolução do dinheiro. João, entretanto, se 
arrependeu e ligou para o vendedor oferecendo R$ 30,00 
pela caneta. O vendedor aceitou, e João efetuou o novo 
pagamento no valor de R$ 30,00. Em seguida, o vendedor 
se comunicou com João novamente e ofereceu um novo 
cancelamento, prometendo devolver R$ 40,00, em vez de 
R$ 30,00, pelo inconveniente.
Considerando apenas o total em dinheiro investido por 
João na transação, se ele aceitar a última proposta, de 
quantos por cento será seu lucro?
(A) 50%
(B) 100%
(C) 133%
(D) 300%
(E) 400%
59
Uma compra de R$ 200,00 será paga em duas presta-
ções mensais e iguais sem entrada. A taxa de juros (com-
postos) cobrada pela loja é de 1% ao mês.
Qual o valor, em reais, de cada prestação?
(A) 100,00
(B) 100,10
(C) 101,00
(D) 101,50
(E) 105,00
60
Qual o período da função real de variável real 
f(x) = 1 ��3cos(Sx + 5)?
(A) S
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 5
61
A função é dada por . Se
, então p é igual a
(A) – 1 
(B) – 0,5 
(C) 0,5
(D) 1,25
(E) 3
62
Se log x representa o logaritmo na base 10 de x, então o 
valor de n tal que log n = 3 ��log 2 é
(A) 2000
(B) 1000
(C) 500
(D) 100
(E) 10
63
Uma função F é definida de modo que 
F(2007) = F(2008) = F(2009) = 1 e é tal que vale a relação
, para n > 3.
O valor de F(2012) é
(A) 17
(B) 14
(C) 10
(D) 9
(E) 5
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR17
64
Considerando a pressão de fundo do poço constante, di-
zemos que houve uma depleção do reservatório quando 
ocorre
(A) queda da pressão estática do reservatório, diminuindo 
a vazão do poço.
(B) deteriorização da porosidade da rocha reservatório 
nas imediações do poço.
(C) aumento do índice de produtividade em decorrência 
do aumento do fator volume de formação do óleo.
(D) pressão suficiente, no reservatório, para conduzir os 
fluidos até a superfície na vazão desejada.
(E) intervenção nas imediações do poço, que altera po-
sitivamente as características da rocha reservatório.
65
Em um reservatório de petróleo, a razão entre o volume 
que a fase líquida ocupa (em quaisquer condições de 
temperatura e pressão) e o volume que essa fase ocupa 
em condições de superfície (P = 1 atm e T = 20 ºC) é 
chamada de
(A) índice de produtividade
(B) fator de recuperação de reservas
(C) fator volume de formação do óleo
(D) razão água-óleo
(E) razão de solubilidade 
66
Numa perfuração de poços de petróleo, a estabilidade 
mecânica do poço é proporcionada pela(o)
(A) mesa rotativa
(B) haste quadrada
(C) chave flutuante
(D) fluido de perfuração
(E) bloco de coroamento
67
Considere as afirmações abaixo sobre a origem do pe-
tróleo.
I - O início da cadeia de processos que leva à formação 
de petróleo depende da interação entre matéria or-
gânica, sedimentos e condições termoquímicas.
II - O tipo de hidrocarboneto gerado, óleo ou gás, é de-
terminado somente pela constituição da matéria or-
gânica original.
III - As rochas-reservatório são rochas sedimentares es-
sencialmente dotadas de porosidade intergranular e 
que são permeáveis.
É correto o que se afirma em
(A) I, apenas.
(B) II, apenas.
(C) I e III, apenas.
(D) II e III, apenas.
(E) I, II e III.
68
Em unidades de produção de petróleo, após a separação 
gás-óleo-água, a corrente de óleo é aquecida em permu-
tadores de calor para
(A) aumentar a densidade do óleo.
(B) aumentar a viscosidade do óleo.
(C) reduzir a quantidade de água produzida.
(D) diminuir o grau API do óleo. 
(E) promover a quebra da emulsão água-óleo.
69
Uma pessoa lança repetidamente um dado equilibrado, 
parando quando obtém a face com o número 6.
A probabilidade de que o dado seja lançado exatamente 
3 vezes é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
70
Uma transportadora promete entregar mercadorias em, 
no máximo, 24 horas, para qualquer endereço no país. Se 
o prazo das entregas segue distribuição de probabilidade 
normal, com média de 22 horas e desviopadrão de 40 mi-
nutos, o percentual de mercadorias que demoram mais do 
que as 24 horas prometidas para chegar ao seu destino é 
(A) 0,135%
(B) 0,27%
(C) 0,375% 
(D) 0,73%
(E) 0,95%
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR19
 Data de aplicação: 28/08/2011 
 (50 Específicas – 22 de Matemática) 
 
21) 
Dada a curva ∝= ���, �� ∈ ℝ� �� + �� + �� = 3⁄ � , desejam-se as tangentes à curva que 
sejam paralelas ao eixo das ordenadas. 
Derivando em relação a � , teremos: 
 2x
���� + y���� + x + 2y = 0 
Como desejamos que as tangentes sejam // OY, deveremos ter: ��=0 ou ���� = 0 . Logo, y= - �� 
Substituindo na equação da curva, teremos: 
�� −	��� + ��� = 3 → � =	±2 
Para x=2 temos y= -1, ponto (2, -1) e para x= -2 temos y= 1, ponto (-2,1) > LETRA (A) 
COMENTÁRIO: 
 Nós ficamos viciados em encontrar as retas tangentes paralelas a OX e fazemos, via de 
regra, as derivadas primeira e segunda em relação a x, (dy/dx). Quem fizesse assim ficaria 
diante de uma indefinição da derivada , começaria a esquentar a cabeça logo no comecinho da 
prova e perderia tempo na análise do que poderia estar errado na derivação. O que resolve 
aqui é derivação implícita. 
 Pode ser mera coincidência mas essa questão parece muito com a que está no livro 
Cálculo - Volume 1 (George B. Thomas – 11ª edição- Weir /Hass/Giordano – Pearson/Addison 
Wesley- 2009), no capítulo 3, Derivação, pág. 209, exercício 58. A diferença é que lá temos �� + �� + �� = 7 
 Questão capciosa para início de prova, junto com a 23 logo em seguida. 
 Elas reforçam a minha tese de que é importantíssimo folhear todo o caderno de questões 
à procura daquelas que iremos identificar como fáceis, médias e assim por diante; aquelas que 
ninguém erra, de resolução imediata, onde encontramos logo a resposta, ganhando tempo e 
confiança para as questões mais capciosas do restante da prova. Em começo de prova, não 
custa nada “perder” um tempinho olhando todo o caderno de questões. 
 A forma de identificar as questões é muito pessoal; eu costumava marcar com F, M para 
fáceis e médias, respectivamente; tem gente que marca as questões com figuras distintas e 
assim por diante. O importante, insisto, é marcar as questões que são fáceis “prá todo mundo” 
e que não podemos errar de forma alguma. 
 Vou insistir na minha tese: “ a prova de engenheiro da Petrobras não é uma prova para 
quem acerta questões difíceis; ela é uma prova para quem não erra as fáceis”. 
 
22) TEORIA: LETRA (B) 
 Como ���� = 	 | ���|,	o gráfico da função ���� é obtido fazendo o rebatimento ‘para 
cima’ da parte do gráfico da ��� que está sob o eixo OX, como se OX fosse um espelho. 
 Fazendo isso, identificaremos os pontos (0,0) e (3,0) como pontos de inexistência de 
derivada, os famosos “bicos” , que apresentam derivadas laterais distintas. 
 COMENTÁRIO: 
Questão fácil. É o tipo de questão que ninguém erra na prova. Erro aqui é fatal. 
Para uma boa revisão desses casos em que uma função não apresenta derivada em um ponto, 
FME- volume 8 ou qualquer livro de Cálculo-I, no capítulo de derivação. Acho que vale a pena 
dar uma estudada e ver que há outros casos como, por exemplo, o de uma tangente vertical 
no ponto analisado. 
 
23) 1ª SOLUÇÃO 
 
 No livro do Dennis Zill (Equações Diferenciais com aplicações em modelagem -2003-
Pioneira Thomson Learning) encontrei na tabela de integrais a integral já “resolvida” e vou 
aplicá-la aqui apenas para que pratiquemos o algebrismo, a título de revisão e estudo, mas 
tenho certeza absoluta que a pessoa que escolheu essa questão para a prova não tinha o 
objetivo de que alguém poderia lembrar da “fórmula” para a integral; vamos a ela : 
!"#² − %²&%	 = 	%2	"#² − %² +	#²2 sin*+�%#� + , 
Que belezinha, heim? E então, você lembraria dessa encrenca na hora da prova ? Eu jamais. 
Então vamos lá: 
- "3² − �²&�.*. =	 ��"9 − �² +	0� sin*+ 1�.2 com os limites de integração inferior e superior 
respectivamente -3 e 3, para cada parcela desta soma. Substituindo esses limites, teremos: 
92 sin*+�1� − 492 sin*+�−1�5 = 92 ∗ 72 − 92 ∗ 372 = 	−972 
Como o integrando tem o “sinal de menos” antes do radical, esse (-1) multiplica o valor 
encontrado e o resultado final é 
08� . Fácil, não? 
Agora vamos à beleza da rainha das ciências. 
 2ª SOLUÇÃO 
 
 
 
 Se � = 	"9 − �² , então �² = 9 − ��		9			�� + �� = 9 ; isto é a equação de uma 
circunferência de centro em (0,0) e raio igual a 3. Portanto a integral definida do problema 
nada mais é que a área do semicírculo de centro na origem e raio 3, ou seja, 
8:²� = 08� . Só isso. 
Lindo, não? 
COMENTÁRIO: 
Diante do” objeto” - "9 − �²&�.*. , nosso primeiro impulso é tentar resolver a integral 
indefinida por substituição e depois aplicar os limites de integração. 
Assim, fazendo % = �²	9	%;#<&=	 �>�� = 2�	 para ver se o integrando facilita uma nova 
substituição algébrica, encontramos um novo problema: a variável � não desaparece do 
integrando e a integral continua complicada na forma -√9 − % �>�� !!! 
Se a integral tivesse se transformado em -√9 − % �>� 	,	certamente seria o melhor dos mundos, 
mas aquele "�" complica tudo no denominador da fração. 
Com um tempo já perdido, o candidato poderia pensar em alguma substituição trigonométrica 
do tipo � = # sinA 	=%	� = # cosA	e as consequentes derivadas mas o algebrismo só iria 
complicar as coisas e tomar mais tempo. 
Então, só restaria deixar para o final (para não perder mais tempo na prova!) e continuar 
resolvendo as questões fáceis que certamente ninguém erraria. 
A não ser que você conseguisse enxergar a segunda solução. Neste caso, meus parabéns. 
24) 
 Encontrar a(s) reta(s) assíntota(s) significa estudar o comportamento da função quando � → ±∞. 
 Assim, temos de encontrar um meio para fugir da indeterminação 
EE que vai surgir 
quando passarmos ao limite. 
 limE	� �HIH*	.H		� 
 Um recurso que sugiro aqui é dividir numerador e denominador por 4�. Fazendo isso, 
teremos: 
																																				limE KHKHLHKH*MHKH 		= limE +1LK2H*	1MK2H = 0 
Logo teremos uma assíntota horizontal que é a reta � = 0 . LETRA (D) 
COMENTÁRIO: 
 Quem gosta de cálculo e se empolgou com essas primeiras questões deve ter perdido 
muito tempo. 
 Nem sempre estamos inspirados para encontrar recursos como estes usados na 23 e na 24. 
Com o nervosismo que é comum em todo começo de prova, acho sempre prudente continuar 
na busca por questões de resolução imediata, aquelas que ninguém vai errar(veja a 37,logo a 
seguir). 
Como venho defendendo desde o começo deste trabalho, “a prova de engenheiro de petróleo 
não é uma prova para quem acerta questões difíceis: ela é uma prova para quem não erra as 
fáceis”. 
37) 
 ��, �� = 3 ∗ �1,2� − �−2,5� 		→ ��, �� = �3,6� − �−2,5� 	→ ��, �� = �5,1�		∧ 		� + � = 6 (B) 
COMENTÁRIO: 
O que deve ter sentido o candidato que perdeu um tempo enorme nas questões 21,23 e 24, 
ficou de cabeça quente e depois, já emocionalmente abalado, encontrou essa molezinha aqui? 
É o que eu já disse e volto a insistir: precisamos folhear todo o caderno de questões. Não 
devemos (à custa de perder um tempo preciosíssimo) pegar uma prova e tentar resolver logo 
“de supetão”, na ordem em que as questões aparecem. Todo mundo fica um pouco nervosona hora da prova e vale muito a pena aproveitar esses minutos iniciais para identificar onde 
estão questões fáceis como essa 37. 
Essa ninguém erra. A 23 pouquíssimos acertam, mesmo assim no chute. 
Gostaria de ver o índice de acertos da 23 se a prova fosse discursiva. Este é o fundamento da 
minha tese: não devemos errar, nessas provas da Petrobras organizadas pela Fundação 
Cesgranrio, as questões fáceis. Errar uma questão como a 37 significa a diferença entre as 
colocações 25º e 255º na lista de aprovados. 
38) 
 1º) Para ser uma base de ℝ� , o conjunto deverá ter 02 vetores. Assim, já eliminamos as 
opções (A) e (E); para ℝ. deveríamos ter 03 vetores e assim sucessivamente. 
 2º) Para as opções (B), (C) e (D), resta verificar qual par de vetores é L.I (linearmente 
independente – apenas a solução trivial para a combinação linear). Assim, teremos: 
 PARA A OPÇÃO (B) : �1,1�	9	�3,3� 
 os 02 vetores são L.D – um é múltiplo do outro 
 PARA A OPÇÃO (C): �0,0�	9	�3,4� 
 os 02 vetores são L.D – um deles é o vetor nulo 
 PARA A OPÇÃO (D): �3,1�	9	�8,3� 
 os 02 vetores são L.I opção correta: (D) 
COMENTÁRIO: 
Eis um exemplo de questão onde não adianta perder tempo e ficar inventando coisas: ou sabe 
ou não sabe. Quem nunca viu o assunto ou viu e nunca mais tinha praticado certamente ficaria 
na dúvida aqui ( no meu caso, tive de estudar novamente espaços vetoriais em uma das 
minhas bíblias).Na prova, eu deixaria essa questão para o chute final e continuaria a busca por 
mais questões fáceis, aquelas que ninguém erra. 
Para uma boa revisão e alguma consulta eventual sobre álgebra linear e suas aplicações, vale a 
pena ter em casa um dos livros abaixo: 
Álgebra Linear e Geometria Analítica (Antônio dos Santos Machado – ed. Atual) : voltado para 
o público de nível médio, não aborda tópicos como espaços vetoriais, bases, autovalores etc, 
mas é excelente para lembrar de temas como produto escalar, produto misto, equações de 
elipse, hipérbole e outros objetos. 
Álgebra Linear com aplicações(Anton / Rorres – ed. Bookman – 10ª ed. 2014 
Álgebra Linear e suas aplicações(David Lay – ed. LTC/gen – 4ª ed. 2013 
39) 
Lembrando que, dados dois vetores %ST	9	UT, seu produto escalar pode ser representado por 
%ST 	 ∙ 	UT = 	 |%ST| ∙ |UT| ∙ cosA	, =<&9	A	é	=	â<�%Y=	9<Z[9	9Y9;. 
Assim, teremos: 
Figura 1 → ]+ > 0 (pois 0° < A < 90°� 
Figura 2 →	]� = 0	�a=b;	A = 90°� 
Figura 3 → ]. < 0	�a=b;	A = 180°� e ]. < ]� < ]+ letra (E) 
COMENTÁRIO: 
 Entende agora por que eu disse no comentário anterior que vale a pena a busca pelas 
questões fáceis? Pois é. 
 “A prova de engenheiro de petróleo júnior não é uma prova para quem acerta questões 
difíceis; ela é uma prova para quem não erra as fáceis”. 
40) 
A área do quadrilátero será o dobro da área do triângulo formado pelos pontos �0,0�, �#, c�	9	�,, &� que , por sua vez, é a metade do determinante formado pelos pontos. 
 
 
Assim, a área que queremos é o próprio determinante abaixo: 
d# c 1, & 10 0 1d = #& − c, LETRA (A) 
COMENTÁRIO: 
O mesmo da questão anterior; se ainda existem dúvidas nessa parte de vetores, produtos e 
áreas, passe algumas horas com o livro do Prof. Antônio Machado, citado anteriormente. 
 
 
 
45) 
 O enunciado informa que o ponto P é o centro do quadrado e isso facilitou tudo. 
 
 Área do quadrado = 36 (dividida em 3 áreas iguais). Logo, 
efghi = 12	�Z[#aéjb=	[9Zâ<�%Y=	&9	c#;9;	klmmmm	9	nemmmm	�. 
Assim, teremos: 1o*�p.� 2 ∙ 3 = 12	 → 	 0*�� = 4	 → � = 1 LETRA (B) 
COMENTÁRIO: 
Essa solução não é obviamente a única nem a melhor para esse problema. Questões de 
Geometria Plana, em particular, sempre apresentam várias soluções distintas e corretas, cada 
uma mais bonita do que a outra. 
Parece que esta sequência (39,40 e 45) foi escolhida para que ninguém errasse na prova, 
depois das trolhas do começo. Por que não colocam logo no começo da prova? 
Mais uma vez defendo a tese: o candidato que, nesta prova de Matemática, perdeu tempo 
precioso tentando resolver alguma das questões iniciais como aquela integral da 23, pode ter 
chegado nestas mais fáceis completamente abalado emocionalmente; portanto, vale a pena 
perder alguns minutos iniciais da prova analisando todo o caderno de questões, identificando 
as questões que são fáceis e estabelecendo uma sequência própria de resolução que não é 
necessariamente a apresentada no caderno. 
Eu começaria esta prova por esta questão 45. 
46) 
 q: �� − 5�� + �� − 4�� = 16	 s,9<Z[=�5,4�k#b= = 4 
 [:	 �t − �o = 1	 uv�0,−6�w�8,0� 
 
 
 
xnySSSSST = y − n = �5 − �, 4 − ��vwSSSSST = w − v = �8,6� 
Como nySSSSST 	z vwSSSSST 		→a[=&%Z=	9;,#Y#[	b�%#Y	#	j9[=�#{%b	%;#[9|=;	#	9�a[9;;ã=	#<#YíZb,#	&=	a[=&%Z=	9;,#Y#[� 
Assim, 8�5 − �� + 6�4 − �� = 0	 ∴ 4� + 3� = 32												�b� 
Por outro lado, se n ∈ 	vwmmmm 	→ 	 �t − �o = 1	 ∴ 3� − 4� = 24							�bb� 
Resta apenas resolver o sistema formado por �b�	9	�bb� para encontrar � = 8 LETRA (B) 
COMENTÁRIO: 
Questão linda (e fácil ?!) de geometria analítica (posições relativas entre retas e planos) que 
pode ser resolvida usando o conceito de produto escalar (vetores perpendiculares). Um prato 
cheio para quem gosta desses assuntos. 
Para uma boa revisão nas tardes de Domingo, mesmo que você não goste do assunto, sugiro o 
livro do Prof. Antônio Machado e FME, volume 7. 
47) 
 
 
 16 + 2# = 20	 → # = 2				 ∧ 		€ = 18 ∙ 15 ∙ 2 = 540	,|. LETRA (B) 
COMENTÁRIO: 
Tipo de questão que eu chamo de “presente para o candidato”. Erro aqui é fatal. 
48) 
 
 META 
SEGUNDA (01) 1² + 3 ∙ 1 = 4 
TERÇA (02) 2² + 3 ∙ 2 = 10 
QUARTA (03) 3² + 3 ∙ 3 = 18 
QUINTA (04) 4² + 3 ∙ 4 = 28 
.............. .............. 
 
Como a meta foi cumprida, foram vendidos 4 livros no 1º dia, 6 livros no 2º dia, 8 no 3º, 10 no 
4º e assim por diante, formando uma P. A de razão 2. LETRA (A) 
COMENTÁRIO: 
Leitura e interpretação derrubam o candidato quando ele está cansado e/ou estressado e/ou 
emocionalmente abalado por não ter conseguido resolver algumas questões da prova e ter 
perdido tempo nelas. Quem perdeu muito tempo lá atrás pode ter errado coisa simples nesta 
parte da prova. 
 
49) 
 1 | < a0 � ℎ b� & 9 0 # c , = 7 
 
 Vamos aplicar os cofatores tomando por base os elementos da 1ª coluna, já que ela tem 
02(dois) zeros e isso vai facilitar nossa vida. 
1 ∙ �−1�+p+ ∙ d� ℎ b& 9 # c ,d + 0 ∙ �−1�+p� ∙ d
| < a& 9 # c ,d + � ∙ �−1�+p. ∙ d
| < a� ℎ b# c ,d + 0 ∙
�−1�+p� ∙ d| < a� ℎ b& 9 d = 7										ƒ=�=,				 d
� ℎ b& 9 # c ,d − � ∙ d
| < a� ℎ b# c ,d =7						9	#;;b|	Z9[9|=; − 3 + 2� = 7			9		� = 5	 
COMENTÁRIO: 
Questão capciosa. Acho que pouca gente lembraria da ferramenta dos cofatores e da 
propriedade de mudança de sinal do determinante quando são permutadas linhas ou colunas. 
Para uma revisão, FME, volume 4 (Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares). 
50) 
 Análise combinatória: 8 questões u 3	&b í,9b;5	<ã=	&b í,9b; 
 Logaritmos: 10 questões u 4	&b í,9b;6	<ã=	&b í,9b; 
 Conjuntos: 12 questões u 8	&b í,9b;4	<ã=	&b í,9b; 
 Raciocínio aplicado: se há 01 questãodifícil de combinatória, de um total de 03 questões 
deste assunto, então as outras 02(duas) serão escolhidas das 05 não difíceis, ou seja, „I,� 
(combinação de 5, dois a dois). Logo 3∙ „I,� são as possibilidades para combinatória. 
Analogamente, teremos: 
4∙ „o,� possibilidades para logaritmos e 
8∙ „�,. possibilidades para conjuntos. 
Logo, resposta correta letra (C). 
COMENTÁRIO: 
 Há certamente questões muito mais complicadas que esta em análise combinatória e 
quem criou a questão ainda foi camarada, poupando-nos das contas nas combinações. Pode-
se dizer que é uma questão relativamente fácil, mesmo para quem não praticava há muito 
tempo este assunto, ao contrário da questão anterior, com os cofatores. 
Para uma boa revisão, FME, volume 5, combinatória e probabilidade. 
58) 
 1ª compra : 10 
 Devolução para João: 20 ( 10 da compra + 10 de lucro) 
 2ª compra : 30 ( João acrescenta 10 ao que já tinha) 
 Devolução para João: 40 (30 da compra + 10 de lucro) 
 Assim temos: 
 u�#;Z=	[9#Y�b<U9;Zb&=	a=[	…=ã=�: 10 + 10 = 20�1ª	,=|a[# + 2ª	,=|a[#�[99|c=Y;=	 b<#Y: 40 
 Logo, 100% de lucro letra (B). 
 COMENTÁRIO: 
 Parece trivial, mas a pressa pode levar a erro nesta questão. Todo cuidado na 
leitura e organização das informações é fundamental. Cuidado com essas questões que 
parecem fáceis demais, sobretudo envolvendo porcentagens. 
De todo modo, esta se inclui no pacote das fáceis, as que não podemos errar. E vamos lembrar 
mais uma vez: “a prova de engº de petróleo não é uma prova para quem acerta as questões 
difíceis; ela é uma prova para quem não erra as fáceis”. 
59) 
 Como as parcelas (P) são iguais, basta fazer: 
 
f�+,‡+�� + f�+,‡+� = 200		 → n + n ∙ �1,01� = 200 ∙ 1,0201	 → 2,01n = 204,02 →											n = 101,50 letra (D) 
COMENTÁRIO: 
 O impulso inicial nessa questão é pensar em aplicar os juros compostos 02 vezes e 
calcular o novo valor da compra. Assim, teríamos: 
200 → 200 ∙ �1,01� → 200 ∙ �1,01�� = 204,02 . Mas esse é o valor para pagamento em uma 
única vez, daqui a dois meses. 
 
60) 
 ��� = 1 − 3	cos	�7� + 5� 
 Se um número "ℎ" , real, é período da função, então : �� + ℎ� = ���. Nesse caso, 
teremos: 
1 − 3 cos�7� + 5� = 1 − 3,=;ˆ7�� + ℎ� + 5‰				, &=<&9, cos�7� + 5� = ,=;ˆ7�� + ℎ� + 5‰ 
Para que a identidade ocorra, devemos ter: 
7� + 5 = 7� + 7ℎ + 5 + 2Š7		, Š ∈ ℤ. 
Logo, 	0 = 7ℎ + 2Š7		9		ℎ = −2Š 
Š = 0	 → ℎ = 0 
Š = 1 → ℎ = −2 
Š = −1 → ℎ = 2 
Verificando: 
 �� + 2� = 1 − 3,=;ˆ7�� + 2� + 5‰ = 1 − 3 cos�7� + 27 + 5� = 
= 1 − 3�cos�7�� ∙ cos�27 + 5� − ;9<�7�� ∙ ;9<�27 + 5�� 
Dado, que cos�27 + 5� = cos�5� 	9	;9<�27 + 5� = ;9<�5�	, Z9[9|=; ∶ 
 �� + 2� = 1 − 3 cos�7� + 5� = ��� 
Na passagem anterior, note que: 
cos�27 + 5� = cos�27� ∙ cos�5� − ;9<�27� ∙ ;9<�5� = cos	�5� e 
;9<�27 + 5� = ;9<�27� ∙ cos�5� + ;9<�5� ∙ cos�27� = ;9<�5� 
COMENTÁRIO: 
 Definição de período de uma função real e relações trigonométricas são a base desta 
questão. Acho que muita gente deve ter considerado difícil justamente por não lembrar destes 
detalhes. Para uma boa revisão de funções trigonométricas, vale a pena ter umas horas com o 
FME-3. 
 
61) 
 �a� = �*+p+ 		9		 Ž �a� = 1�*+p+ 2 = 	 �∙��‘’“’ �*+��‘’“’ �p+ = .*.. 	 
 Fazendo 
.*.. = �. 				 , U9|		a = 3.	 LETRA (E). 
 COMENTÁRIO: Mais um exemplo de questão que não podemos errar. Errou uma dessas 
caiu 100 posições na classificação. E a razão é simples: poucos erram questões de função 
composta. Errou, dançou. Simples assim. 
 
62) 
 Y=�< = 3 − Y=�2	 → log< + Y=�2 = 3	 → log�2<� = 3 → 2< = 1000 → < = 500 
 OPÇÃO (C). 
COMENTÁRIO: Errou dançou! Dúvida aqui é dívida. Faça uma boa revisão, se necessário, em 
FME-2, propriedades operatórias dos logaritmos. 
 
 
63) 
 •�2007� = •�2008� = •�2009� = 1						9							•�< + 1� = –�—�p–�—*+�p.–�—*�� 
Das definições, podemos escrever: 
•�2012� = •�2011� + •�2010� + 3•�2009� 
																																																				•�2011� = –��‡+‡�p–��‡‡0�p.–��‡‡t� 
 •�2010� = 	 –��‡‡0�p–��‡‡t�p.–��‡‡˜� 
 
Assim, teremos : •�2010� = 5	, •�2011� = 9				9	 b<#Y|9<Z9	•�2012� = 17	. 
 
COMENTÁRIO: 
 Três questões em sequência e quase no final da prova bem fáceis, para ninguém 
errar. O candidato que folheou o caderno de questões antes de começar a prova encontrou 
logo esses presentes, ganhou tempo e elevou o moral para o restante da prova. 
“A prova de engº de petróleo não é uma prova para quem acerta as questões difíceis; ela é 
uma prova para quem não erra as fáceis.” 
 
69) 
 Deseja-se o número 6 exatamente no 3º lance. A consequência é que não deve sair no 1º 
lance, nem no 2º. 
 Assim, temos as seguintes possibilidades: 
 1º	Y#<,9:		 5 6⁄ 
 2º	Y#<,9: 		5 6⁄ 
 3º	Y#<,9:		 1 6⁄ 
Logo, a = Io 	 ∙ Io ∙ +o 					→ 		a = 	 �I�+o							 LETRA (C). 
 COMENTÁRIO: Do universo de questões na combinatória e probabilidades, colocaria 
esta no conjunto das iniciantes. Bem fácil e sem pegadinhas. Para uma revisão no 
engarrafamento, vale uma consulta em FME-5. 
 
70) 
 š = ›*œh 				→ 			 
š ∶ U#[báU9Y	a#&[ã=Ÿ: 9U9<Z=	a#&[ã= :|é&b#	&=;	9U9<Z=;e: &9;Ub=	a#&[ã= 
Fonte: Estatística Básica (Morettin & Bussab) – 5ª edição 2004 – Editora Saraiva. Capítulo 7, 
item 7.4.2 – O Modelo Normal. 
š = ��*���M 						¡
24	,=[[9;a=<&9	#	24	ℎ22	,=[[9;a=<&9	#	22ℎ�.&9	1	ℎ=[# = 40	|b< → š = 3 
Tabela final da prova (distribuição normal padrão): n�š� = 0,49865 
Assim, o percentual de mercadorias que demoram mais do 
que as 24 horas prometidas para chegar ao seu destino é : 
0,5 − 0,49865 = 0,00135 = 0,135% >>>>> LETRA (A) 
 
COMENTÁRIO: Se fosse uma prova discursiva, acho que poucos resolveriam. É o que já 
dissemos várias vezes neste trabalho: em qualquer prova de Matemática, precisamos ganhar 
tempo inicialmente resolvendo as questões que nos são fáceis; aquelas onde temos domínio 
absoluto do tema abordado. Depois vamos para as médias e, por fim, para as difíceis. Por isso, 
insisto que devemos folhear o caderno de questões em todo início de prova e identificar as 
questões conforme nosso critério de dificuldade; assim, ganharemos tempo no começo da 
prova e teremos nosso moral elevado para as demais questões. Simples assim. 
 COMENTÁRIO FINAL SOBRE A PROVA 
 
 Quem não olha inicialmente todas as questões do caderno leva um susto com as de 
número 21, 22 e 23. Se tivesse calma e folheasse o caderno de questões, encontraria 
verdadeiros presentes, como as 37, 40 e 45 por exemplo, reforçando o que dissemos ali em 
cima, no comentário da 70. Idem para a 39. 
 Continuando o “passeio” pelo caderno de questões, temos 45, 47 e 48 também 
convidativas. Não parecem monstros para um estudante mediano. Idem para as questões 61, 
62 e 63. 
 Eu tentaria fazer a prova na seguinte sequência: 37, 62, 63, 45, 47, 22, 40, 39, 48, 49, 46, 
50, 58, 69, 61, 38, 60, 59, 24, 21, 23, 70 (nesta o meu chute seria certo). 
 É o tipo de prova em que erros em questões fáceis são decisivos. Acredito que poucos 
soubessem resolver a 38, mas com certeza, pouquíssimos erraram a 37, por exemplo.Esta é a tese defendida neste trabalho: uma questão como a 38 a maioria esmagadora 
erra. Agora, se você erra uma como a 37, que poucos erram, sua colocação na lista de 
aprovados vai “para o espaço”. Insisto: “ a prova de eng° de petróleo não é uma prova para 
quem acerta questões difíceis; ela é uma prova para quem não erra as fáceis”. 
 
 
 
Gabarito – Nível Superior - Prova realizada no dia 28/08/2011 
 
LÍNGUA PORTUGUESA 
1- C 2- D 3- B 4- A 5- A 6- A 7- E 8- B 9- C 10- A 
LÍNGUA INGLESA 
11- C 12- A 13- A 14- C 15- E 16- B 17- D 18- D 19- E 20- D 
CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
A
dv
og
ad
o(
a)
 
Jú
ni
or
 
A
na
lis
ta
 
A
m
bi
en
ta
l J
ún
io
r 
B
io
lo
gi
a 
A
na
lis
ta
 
A
m
bi
en
ta
l J
ún
io
r 
O
ce
an
óg
ra
fia
 
A
na
lis
ta
 d
e 
Si
st
em
as
 J
ún
io
r 
En
ge
nh
ar
ia
 d
e 
So
ftw
ar
e 
A
na
lis
ta
 d
e 
Si
st
em
as
 J
ún
io
r 
In
fr
ae
st
ru
tu
ra
 
A
na
lis
ta
 d
e 
Si
st
em
as
 J
ún
io
r 
Pr
oc
es
so
s 
de
 
N
eg
óc
io
 
A
rq
ui
te
to
(a
) 
Jú
ni
or
 
A
ss
is
te
nt
e 
So
ci
al
 
Jú
ni
or
 
C
on
ta
do
r J
ún
io
r 
D
en
tis
ta
 J
ún
io
r 
En
ge
nh
ei
ro
(a
) d
e 
Eq
ui
pa
m
en
to
s 
Jú
ni
or
 –
 E
lé
tr
ic
a 
Bloco 1 Bloco 1 Bloco 1 Bloco 1 Bloco 1 Bloco 1 Bloco 1 Bloco 1 Bloco 1 Bloco 1 Bloco 1 
21- D 21- B 21- C 21- E 21- C 21- A 21- D 21- A 21- E 21- D 21- D 
22- E 22- C 22- D 22- C 22- B 22- C 22- A 22- B 22- D 22- B 22- D 
23- C 23- D 23- B 23- D 23- D 23- C 23- A 23- B 23- C 23- B 23- E 
24- D 24- B 24- B 24- A 24- A 24- A 24- E 24- B 24- D 24- C 24- B 
25- E 25- B 25- A 25- D 25- A 25- B 25- C 25- E 25- A 25- C 25- A 
26- D 26- D 26- A 26- B 26- E 26- E 26- C 26- C 26- B 26- E 26- B 
27- A 27- A 27- E 27- A 27- B 27- C 27- B 27- C 27- E 27- E 27- B 
28- C 28- B 28- B 28- D 28- C 28- E 28- A 28- A 28- C 28- A 28- E 
29- A 29- A 29- E 29- C 29- A 29- D 29- A 29- D 29- C 29- B 29- C 
30- A 30- A 30- B 30- C 30- A 30- B 30- D 30- C 30- B 30- A 30- D 
31- C 31- D 31- A 31- A 31- D 31- A 31- E 31- D 31- C 31- D 31- C 
32- E 32- E 32- C 32- B 32- E 32- D 32- B 32- B 32- E 32- C 32- E 
33- D 33- C 33- D 33- D 33- B 33- B 33- D 33- D 33- D 33- A 33- D 
34- E 34- B 34- E 34- D 34- D 34- C 34- E 34- E 34- B 34- A 34- D 
35- D 35- E 35- E 35- E 35- E 35- C 35- D 35- A 35- B 35- D 35- B 
36- E 36- D 36- D 36- C 36- C 36- D 36- D 36- E 36- A 36- D 36- B 
37- B 37- A 37- E 37- B 37- D 37- C 37- B 37- E 37- E 37- B 37- D 
38- B 38- B 38- D 38- C 38- C 38- A 38- B 38- A 38- D 38- E 38- E 
39- C 39- E 39- D 39- C 39- A 39- B 39- E 39- B 39- A 39- B 39- D 
40- A 40- D 40- B 40- E 40- B 40- B 40- C 40- D 40- A 40- C 40- C 
Bloco 2 Bloco 2 Bloco 2 Bloco 2 Bloco 2 Bloco 2 Bloco 2 Bloco 2 Bloco 2 Bloco 2 Bloco 2 
41- A 41- A 41- E 41- D 41- B 41- C 41- E 41- A 41- E 41- D 41- C 
42- B 42- C 42- A 42- A 42- D 42- C 42- D 42- B 42- D 42- B 42- C 
43- E 43- C 43- D 43- E 43- A 43- C 43- B 43- E 43- C 43- C 43- E 
44- D 44- A 44- D 44- C 44- E 44- B 44- E 44- C 44- C 44- A 44- A 
45- B 45- D 45- E 45- C 45- E 45- E 45- D 45- B 45- B 45- E 45- D 
46- C 46- C 46- C 46- A 46- D 46- B 46- B 46- A 46- A 46- A 46- D 
47- A 47- E 47- C 47- B 47- A 47- E 47- B 47- D 47- A 47- B 47- A 
48- A 48- B 48- E 48- C 48- D 48- C 48- E 48- E 48- E 48- D 48- B 
49- A 49- C 49- D 49- B 49- C 49- B 49- D 49- D 49- B 49- B 49- C 
50- E 50- E 50- A 50- E 50- B 50- E 50- E 50- A 50- E 50- C 50- A 
51- A 51- D 51- B 51- B 51- B 51- D 51- B 51- E 51- D 51- D 51- D 
52- B 52- D 52- E 52- C 52- D 52- E 52- B 52- C 52- C 52- B 52- B 
53- C 53- B 53- C 53- E 53- B 53- A 53- C 53- E 53- D 53- E 53- B 
54- B 54- C 54- B 54- A 54- A 54- E 54- B 54- B 54- B 54- A 54- A 
55- A 55- C 55- A 55- C 55- D 55- C 55- E 55- A 55- A 55- E 55- D 
Bloco 3 Bloco 3 Bloco 3 Bloco 3 Bloco 3 Bloco 3 Bloco 3 Bloco 3 Bloco 3 Bloco 3 Bloco 3 
56- D 56- A 56- E 56- C 56- C 56- A 56- D 56- A 56- A 56- A 56- C 
57- C 57- D 57- E 57- E 57- D 57- C 57- A 57- B 57- B 57- E 57- C 
58- B 58- B 58- B 58- C 58- C 58- E 58- C 58- E 58- A 58- B 58- A 
59- E 59- D 59- C 59- D 59- A 59- C 59- D 59- C 59- E 59- E 59- E 
60- E 60- D 60- D 60- A 60- C 60- D 60- C 60- B 60- A 60- E 60- D 
61- E 61- C 61- E 61- D 61- B 61- B 61- D 61- E 61- B 61- A 61- D 
62- E 62- E 62- A 62- E 62- C 62- C 62- E 62- C 62- D 62- B 62- C 
63- D 63- B 63- D 63- A 63- D 63- C 63- E 63- D 63- B 63- A 63- E 
64- B 64- A 64- B 64- A 64- B 64- C 64- C 64- A 64- D 64- C 64- D 
65- C 65- B 65- C 65- B 65- D 65- C 65- B 65- B 65- C 65- C 65- E 
66- B 66- C 66- C 66- C 66- C 66- B 66- B 66- E 66- D 66- D 66- D 
67- D 67- E 67- A 67- A 67- A 67- E 67- D 67- D 67- E 67- C 67- B 
68- C 68- A 68- C 68- E 68- D 68- C 68- A 68- D 68- C 68- C 68- E 
69- B 69- E 69- A 69- A 69- C 69- B 69- A 69- C 69- C 69- A 69- E 
70- D 70- C 70- C 70- B 70- A 70- E 70- C 70- C 70- C 70- A 70- A 
������
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR1
LEIA ATENTAMENTE AS INSTRUÇÕES ABAIXO.
01 - Você recebeu do fiscal o seguinte material:
a) este caderno, com o enunciado das 70 (setenta) questões objetivas, sem repetição ou falha, com a seguinte distribuição:
b) CARTÃO-RESPOSTA destinado às marcações das respostas das questões objetivas formuladas nas provas.
02 - Verifique se este material está em ordem e se o seu nome e número de inscrição conferem com os que aparecem no
CARTÃO-RESPOSTA. Caso contrário, notifique o fato IMEDIATAMENTE ao fiscal.
03 - Após a conferência, o candidato deverá assinar, no espaço próprio do CARTÃO-RESPOSTA, a caneta esferográfica 
transparente de tinta na cor preta.
04 - No CARTÃO-RESPOSTA, a marcação das letras correspondentes às respostas certas deve ser feita cobrindo a letra e 
preenchendo todo o espaço compreendido pelos círculos, a caneta esferográfica transparente de tinta na cor preta, 
de forma contínua e densa. A LEITORA ÓTICA é sensível a marcas escuras, portanto, preencha os campos de marcação 
completamente, sem deixar claros.
Exemplo: 
05 - Tenha muito cuidado com o CARTÃO-RESPOSTA, para não o DOBRAR, AMASSAR ou MANCHAR. O CARTÃO-
-RESPOSTA SOMENTE poderá ser substituído se, no ato da entrega ao candidato, já estiver danificado.
06 - Para cada uma das questões objetivas, são apresentadas 5 alternativas classificadas com as letras (A), (B), (C), (D) e (E); 
só uma responde adequadamente ao quesito proposto. Você só deve assinalar UMA RESPOSTA: a marcação em mais de 
uma alternativa anula a questão, MESMO QUE UMA DAS RESPOSTAS ESTEJA CORRETA.
07 - As questões objetivas são identificadas pelo número que se situa acima de seu enunciado. 
08 - SERÁ ELIMINADO do Processo Seletivo Público o candidato que:
a) se utilizar, durante a realização das provas, de máquinas e/ou relógios de calcular, bem como de rádios gravadores,
headphones, telefones celulares ou fontes de consulta de qualquer espécie;
b) se ausentar da sala em que se realizam as provas levando consigo o CADERNO DE QUESTÕES e/ou o CARTÃO-
-RESPOSTA.
c) se recusar a entregar o CADERNO DE QUESTÕES e/ou o CARTÃO-RESPOSTA, quando terminar o tempo estabelecido.
d) não assinar a LISTA DE PRESENÇA e/ou o CARTÃO-RESPOSTA.
Obs. O candidato só poderá se ausentar do recinto das provas após 1 (uma) hora contada a partir do efetivo início das 
mesmas. Por motivos de segurança, o candidato NÃO PODERÁ LEVAR O CADERNO DE QUESTÕES, a qualquer 
momento. 
09 - Reserve os 30 (trinta) minutos finais para marcar seu CARTÃO-RESPOSTA. Os rascunhos e as marcações assinaladas noCADERNO DE QUESTÕES NÃO SERÃO LEVADOS EM CONTA.
10 - Quando terminar, entregue ao fiscal O CADERNO DE QUESTÕES, o CARTÃO-RESPOSTA e ASSINE A LISTA DE 
PRESENÇA.
11 - O TEMPO DISPONÍVEL PARA ESTAS PROVAS DE QUESTÕES OBJETIVAS É DE 4 (QUATRO) HORAS E 30 (TRINTA) 
MINUTOS, incluído o tempo para a marcação do seu CARTÃO-RESPOSTA. 
12 - As questões e os gabaritos das Provas Objetivas serão divulgados no primeiro dia útil após a realização das mesmas, no 
endereço eletrônico da FUNDAÇÃO CESGRANRIO (http://www.cesgranrio.org.br).
CONHECIMENTOS BÁSICOS CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
LÍNGUA
PORTUGUESA
LÍNGUA INGLESA Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3
Questões Pontuação Questões Pontuação Questões Pontuação Questões Pontuação Questões Pontuação
1 a 10 1,0 cada 11 a 20 1,0 cada 21 a 40 1,0 cada 41 a 55 1,0 cada 56 a 70 1,0 cada
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR
20
E
D
IT
A
L
 N
o
 1
P
E
T
R
O
B
R
A
S
 /
 P
S
P
 
R
H
 -
 1
/2
01
2
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR7
CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
BLOCO 1
21
Os vetores , e são tais que � � , onde é 
o vetor nulo.
Se denota o produto escalar entre os veto-
res x e y, e 1 e , o valor de
+ + é igual a
(A) � 4 
(B) � 2 
(C) 0
(D) 2
(E) 4
22
Se os vetores v1 e v2 formam uma base para um espaço 
vetorial, qualquer vetor v, desse espaço, pode ser escri-
to como uma combinação linear dos vetores da base, ou 
seja, pode-se escrever , onde os números 
reais D e E são chamados de coordenadas de na base 
formada por v1 e v2. 
Na figura a seguir, o vetor v
1
2
está representado na base 
formada pelos vetores v1 e v2.
Qual a soma das coordenadas, na base considerada, do 
vetor ?
(A) � 10
(B) � 5
(C)
(D)
(E) 1
23
Na figura a seguir, e são vetores de um plano D, e
é um vetor normal ao plano D.
Qual operação, entre os vetores e , o vetor pode 
representar?
(A) O produto interno entre e ( . )
(B) O produto interno entre e ( . )
(C) O produto misto entre e 
(D) O produto vetorial entre e ( x ) 
(E) O produto vetorial entre e ( x ) 
24
Seja f uma função real de variável real não nula dada por 
f(x) =(1+2x)
1
x .
Quanto vale ?
(A)
(B) e2
(C) 2e
(D)
(E)
25
Considere uma função f definida no conjunto dos reais, e 
b um elemento de seu domínio.
A função f será contínua em b se, e somente se,
(A) f está definida para x b.
(B) existe 
(C) 
(D) 
(E) f(b) 0
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR 8
26
A figura a seguir mostra uma parte dos gráficos das fun-
ções reais de variáveis reais dadas por f(x) x3 e g(x) x2.
2
1.5
1
0.5
0
f (x) x!
3
g (x) x!
2
"1 0 0.5 1 1.5 2"0.5
A parte pintada representa a região do plano R2 em que 
x3 d y d x2, com x t 0.
Se o quadrado formado pelos pontos (0,0); (0,1); (1,1) e 
(1,0) tem área igual a 1 unidade de área, quantas unida-
des de área tem a região pintada?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
27
O vetor �(1,2,��3) é perpendicular a um plano D que 
contém o ponto P(3,2,�1). 
Os pontos do plano são da forma (x, y, z) �R3, onde os 
números x, y e z satisfazem a relação
(A)
(B)
(C) x � 2y � 3z 0 
(D) 3(x � 1) � 2(y � 2) � (z � 3) 0
(E) (x ��3) � 2(y � 2) � 3(z � 1) 0
28
Os valores extremos locais (máximos ou mínimos) da fun-
ção f : R ĺ R dada por f(x) = sen2 (x) ocorrem quando
(A) cos2 (x) 0
(B) cos (x) 0
(C) cos(2x) 0
(D) sen(2x) 0
(E) sen2 (x) 0
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR 10
45
A soma dos 11 primeiros termos de ordem par de uma 
progressão aritmética vale 209.
A soma dos 23 primeiros termos dessa progressão vale
(A) 253
(B) 418
(C) 437
(D) 460
(E) 529
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR11
48
A figura a seguir mostra um trapézio ABCD onde foi traça-
do o segmento EF paralelo às bases AB e CD. O compri-
mento EF mede 7 cm, e o comprimento CD mede 9 cm.
Sendo o comprimento ED o dobro do comprimento AE, 
quanto mede, em cm, o comprimento AB?
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR 12
52
A cônica representada pela equação O: x2 � y2 0 é um(a)
(A) hipérbole
(B) circunferência
(C) par de retas
(D) parábola
(E) ponto
53
De um cubo de 6 cm de aresta, retiram-se dois tetraedros, 
cada um formado por um vértice do cubo e pelos pontos 
médios das arestas que incidem sobre eles, conforme a 
figura a seguir. 
O volume, em cm3, do poliedro assim gerado é
(A) 200
(B) 205
(C) 206
(D) 207
(E) 216
54
Considerando os vetores u e v unitários, tais que o produ-
to interno u.v = �1, a soma u � v será um vetor
(A) unitário
(B) de módulo 2
(C) nulo
(D) paralelo a u
(E) igual à diferença u � v
55
Uma matriz de permutação de n elementos é uma matriz 
quadrada, na qual, em cada fila (linha ou coluna), figura 
exatamente uma vez o número 1, e todos os demais ele-
mentos da fila são iguais a zero.
A mat r iz P é uma mat r iz de 
permutação de 4 elementos, pois o produto 
[ a b c d ] x [ b d a c ].
As possíveis matrizes de permutação de 4 elementos são 
em número de
(A) 4
(B) 12
(C) 16
(D) 24
(E) 32
BLOCO 3
56
Os dados a seguir representam os valores de glóbu-
los brancos (em mil) coletados de 10 pacientes de um 
hospital pela manhã: 7, 7, 35, 8, 9, 1, 10, 9, 12, 7. 
Sobre esses dados, tem-se que a mediana é
(A) 5, e os valores 1 e 35 são os únicos outliers dos dados.
(B) 5, e o valor de 35 é o único outlier dos dados.
(C) 5, e não há outliers nos dados. 
(D) 8,5, e o valor de 35 é o único outliers dos dados.
(E) 8,5, e o valores 1 e 35 são os únicos outliers dos dados.
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR13
57
Para a produção de uma peça, utilizam-se três máquinas: 
M
1
, M
2
 e M
3
. As proporções de peças defeituosas geradas 
por essas máquinas, M
1
, M
2
 e M
3
 são, respectivamente, 
1%, 2% e 0,1%, e as três máquinas produzem, respecti-
vamente, 30%, 50% e 20% da produção total. 
Se uma peça defeituosa é retirada aleatoriamente, qual 
é a probabilidade de ela ter sido oriunda da máquina 3?
(A) 1/1000
(B) 1/66 
(C) 1/5 
(D) 1/3
(E) 1/77
60
Um empréstimo de R$ 12.000,00 será pago, sem entra-
da, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), em 
3 prestações mensais. A taxa de juros, no regime de juros 
compostos, é de 2% ao mês. 
O valor da última prestação é, em reais, de
(A) 4.000,00
(B) 4.080,00
(C) 4.160,00
(D) 4.240,00
(E) 4.380,00
61
O desconto simples bancário, D, é obtido por: F � A, sen-
do A = F.(1 � d.t), F, o valor de face, A, o valor atual, ou 
seja, o valor presente, d, a taxa de desconto fixada pela 
instituição financeira, e t, o prazo da operação medido na 
mesma unidade de tempo à que se refere a taxa.
Uma determinada instituição financeira cobra taxa de des-
conto simples bancário de d, ao mês, nas operações de 
2 meses.
A relação entre a taxa de juros compostos, i, e a taxa de 
desconto, d, é
(A) i = d
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR 14
67
Seja f: A ĺ R uma função dada por f(x) = , 
onde A é o domínio tal que qualquer outro domínio possí-
vel para f seja um subconjunto de A.
Se pudermos escrever A pela notação [a, b], então o valor 
de b � a será
(A) � 8 
(B) � 4
(C) � 2
(D) 6
(E) 8
68
Qual o menor valor de x que torna a expressão 
9x � 7 . 3x � 10 0 verdadeira?
 Dados: log 2 0,3
log 3 0,48 
(A) 1,625
(B) 1,458333...
(C) 1
(D) 0,625
(E) 0,458333...
69
Em um círculo unitário de centro O, traça-se um diâmetro 
AB e uma corda AC que forma com AB um ângulo de 15o. 
Se AD é a projeção ortogonal de AC sobre AB, quanto 
mede, em unidades de comprimento, o segmento CD?
(A) 0,1
(B) 0,5
(C) 0,6
(D)0,8
(E) 1
ENGENHEIRO(A) DE PETRÓLEO JÚNIOR15
70
Toma-se um conjunto P com 2 elementos e um conjunto 
Q com 3 elementos.
Quantas são as possíveis relações não vazias de P em Q? 
(A) 6
(B) 8
(C) 16
(D) 48
(E) 63
RA
SC
U
N
H
O
RA
SC
U
N
H
O
 Data de aplicação: 06/05/2012 
 (50 Específicas – 22 de Matemática) 
21) 1ª Solução 
 PASSO 1 – Definição de Produto Escalar entre dois vetores. 
< ���, �� > = |���| ∗ |��| ∗ ��	
	= 1 * 1 * cos 
 � cos 
, onde 
	é	�	ângulo entre ��� e ��; 
< ���,�	�����> = |���| ∗ |����| ∗ ��	� �	1*√2 ∗ cos� �	√2 ∗ cos�, onde � é o ângulo entre ���	e ���� ; 
<	�,���� ����	> = |��| ∗ 	 |����| ∗ cos� �	1* √2 * cos � , onde � é o ângulo entre �� e ���� . 
Só falta encontrar agora os ângulos 
, �	�	�. 
 PASSO 2 – Geometria Plana e Vetores. 
A informação de que ��� � �� � ���� � 	0�� induz a uma construção geométrica, pois temos: 
��� �	�� � 	�	����	, ��� �	���� � 	�	��	 e �� + ���� � 	�	��� . 
 
Como |���| � 1, |��| � 1	e |����| � 	√2	, deduz-se que ∢	AÔB = 90° e AOBC é um quadrado. 
 
Como ��� + �� = - ���� , vamos completar a figura com a regra do paralelogramo. 
 
 
 Por consequência, ODEF também é um quadrado. 
Assim, �= 135° e �= 135°. 
Logo, cos
 + √2 * cos� + √2 * cos� = cos 90 + √2 * cos 135 + √2 * cos 135 = 0 + √2*(- √2 2⁄ � 
+ 	√2 * (- √2 2�� = -1 -1 = -2 OPÇÃO (B). 
Lembrando que cos 135 = - cos 45 , pelo círculo trigonométrico. 
 
 2ª Solução 
 
Da Matemática Básica, sabemos que (a+b+c)² = a²+b²+c²+2(ab+ac+bc). 
Aplicando para os vetores, teremos: 
(��� � �� � �����² � 	���	² �	�� ² + ���� ² + 2(��� ∗ �� + �	����* ���� + �	����*	������) !���	² � 	��� ∗ ���		"#$�%�&�	�	�'('$� � 	 |���| ∗ |���| ∗ ��	0 � 	 |���|²)%�*	#'$'	�	����²	�	����² 
Logo, 0 = 1+1+2+2(<�,����	��> + <�,����	����> + <�,���� ����>) e <�,���� ��> + <���,����> + <��,����> = -2 OPÇÃO (B). 
COMENTÁRIO: 
Acho que pouca gente lembrou do detalhe de Matemática Básica da 2ª solução na hora da 
prova . Quem teve essa “iluminação” ganhou tempo. Por outro lado, a questão nem é das mais 
difíceis para quem fez uma breve revisão de vetores e produto escalar, o foco dessa questão. 
Com a definição de produto escalar e o auxílio da construção geométrica, o problema se 
resolveria rapidamente. Não é uma das mais fáceis da prova, mas eu não deixaria para o final. 
Boa para fazer com as “máquinas” já aquecidas, no meio das questões a resolver. 
22) 
 
 	 +�� � 	'� + ,�� 
 
 -%� � 	'� - ,�� 
 
Assim, teremos: 
./ 	�� = -2�.����� � 3�/����� *(2) ∴ �� = -4�.����� � 6�/����� ∴	 3 �	�4 e � �	�6 
e 3 � 	� � 	�10 LETRA (A). 
COMENTÁRIO: 
Também uma questão relativamente fácil, mesmo para quem não estudou o assunto “bases” 
em Álgebra Linear com profundidade; bastaria usar a definição dada no próprio enunciado e 
fazer a combinação linear entre os vetores, lembrando da representação geométrica da soma 
de dois vetores, como na questão 21. Parece que a pessoa que escolheu essas questões do 
“banco” não queria complicar a vida do candidato com “Algelin”. 
 
23) 
Direto à opção correta: (E), pois é questão teórica. 
COMENTÁRIO: 
Regra da mão direita (ou do parafuso) é coisa que está no sangue como representação 
geométrica de produto vetorial de dois vetores. Isso “prá gente” é que nem teorema de 
Pitágoras para a criançada da 8ª série do fundamental. Eis um exemplo típico de questão que 
não se pode errar em prova; ninguém erra isso. “A prova de engenheiro de petróleo não é 
uma prova para quem acerta as questões difíceis; ela é uma prova para quem não erra as 
fáceis.” 
Seguem duas figurinhas para lembrete: 
 
 
24) 
 Fazendo 2x = 1 &⁄ , temos 2t = 1 5⁄ e quando t → ∞ , x→ 0 . Substituindo, teremos: 
 
																																						lim;→<"1 � .;=/; �							 !lim;→< >1 � .;=;?/ = �/ LETRA (B) 
 
COMENTÁRIO: 
Questão maldosa. Capciosa, como dizíamos no nosso tempo de preparatório para o CN, nos 
anos 1980. Eu tenho um amigo que diria: “esse é o tipo de questão que separa o homem do 
menino”. 
 Normalmente, esse tipo de limite fundamental lim;→< >1 � .;=	; � � cai no esquecimento 
depois que deixamos as listas de exercícios de limites, a partir do segundo período da 
universidade. Só quem dá aula de Cálculo-I, normalmente, é que lembra desse e outras 
propriedades e macetes para “sair” de indeterminações, quando é o caso. 
A nossa tendência inicial nesse tipo de questão é substituir o “zero” no limite e tentar 
identificar o comportamento da função. Eu fiz isso inicialmente e encontrei: 
lim@→A"1 � 25�. @⁄ →	 "1 � 2 ∗ 0�. A⁄ → 1< → 				1	 (?!!) não aparece nas opções. 
E aí tive que pesquisar com calma, em casa, nos livros. 
 Infelizmente, quem não lembrou do limite fundamental teve duas opções : ou chutou ou 
perdeu um tempo enorme tentando sair dessa encrenca. Eu chutaria na hora da prova. Não 
perdeira tempo e continuaria buscando questões mais fáceis. Me perdoe, caro leitor, a 
franqueza. 
 
25) 
Questão teórica, resposta sem cálculos. Conhecimento da definição de continuidade de uma 
função (definida em B� para um elemento do domínio. LETRA (D) 
 
COMENTÁRIO: 
Para uma boa revisão desse conceito, sugiro o volume 8 da coleção FME. Ou então qualquer 
livro ou apostila de cálculo, volume 1. O conceito de continuidade é abordado logo em seguida 
ao estudo de limites. Em 30 minutos de uma leitura bem concentrada tudo vem à memória. 
 
26) 
 A = área 
 A = C "5/ �	5D�%5.A ∴ A = C 5/%5.A - C 5D.A %5 ∴														A = 1 3⁄ - 1 4⁄ 																																				∴ A = 1 12⁄ LETRA (A). 
 
 
COMENTÁRIO 
Essa foi dada de presente para ninguém errar; é o tipo de questão que só ratifica a minha tese: 
“A prova de engenheiro de petróleo não é uma prova para quem acerta questões difíceis; ela é 
uma prova para quem não erra as fáceis”. 
 Um erro aqui separa 200 candidatos na lista de aprovados e classificados. Questão fácil não se 
pode errar. Uma boa questão para o início da prova, sem pegadinhas, contas complicadas e de 
resolução imediata. 
 
 
 
 
27) 
 
Se E�� F pl"3� → E�� * ��� = 0 (produto escalar igual a zero se dois vetores são perpendiculares 
ou ortogonais). 
Como ��� = "5 � 3, G � 2, H � 1� , teremos : 1(x-3) + 2(y-2) -3(z+1) = 0 LETRA (E) 
COMENTÁRIO: 
O tema aqui é clássico de um curso inicial de Álgebra Linear. Parece que a questão foi tirada do 
livro do Prof. Antônio dos Santos Machado (Álgebra Linear e Geometria Analítica – Editora 
Atual),mais uma bíblia que sempre tenho à mão em casa para alguma consulta eventual . 
 É provável que muita gente não tenha resolvido essa questão. No RJ esse assunto é abordado 
em cursinhos pré-vestibulares nas aulas de MAT-II ou, no máximo, no segundo ou terceiro 
período da faculdade. Depois,nunca mais “a gente” resolve questões parecidas. É natural que 
caia no esquecimento. 
Para resolver a questão, um caminho é a escolha de um ponto genérico R(x,y,z) e a aplicação 
de produto escalar igual a zero para dois vetores ortogonais ou perpendiculares. No mais, 
algebrismo básico. Não considero questão para início de prova, quando ainda estamos 
nervosos. 
 
28) 
 IJ"5� = 2 * sin 5 * cos 5 = sin"25� 
 Extremos locais: sin"25� � 0 LETRA (D) 
COMENTÁRIO: 
Quer questão mais fácil que essa? 
Erro aqui é fatal. É a diferença entre o candidato de colocação 25º e o de colocação 350º. 
 Tenha sempre em mente: “a prova de engenheiro de petróleo não é uma prova para quem 
acerta questões difíceis; ela é uma prova para quem não erra as fáceis”. 
 
45) 
 Dada uma P.A, se '/ + 'L + 'M + .... + '// = 209 (onze 1ºs termos de ordem par) ∴	 N/D = ? 
 Seja a P.A : '. '/ 'D 'L 'O . 
 É fácil provar que 'O + '. = 'L + '/ = 2*'D (tente!!!) e essa propriedade pode ser 
generalizada para qualquer P.A com um número ímpar de termos. 
 Logo, '. + '/D = '/ + '// e N.. = "PQQ		R			PQ�/ * 11 = 209 ∴ 		 '// + '/ = 38. 
 Assim, N/D = PSR	PQT/ * 23 = DU∗/D/ = 19 * 23 = 437 LETRA (C) 
COMENTÁRIO: 
Progressão Aritmética (P.A) e Progressão Geométrica (P.G) são assuntos que nós aprendemos 
lá atrás, quando estávamos no 2º ano do ensino médio (antigo 2º grau),lembra? 
Depois disso, só voltamos a falar em P.G quando estudamos os limites infinitos, nas aulas de 
cálculo 1 ou quando estudamos critérios de convergência das séries. 
O “x” dessa questão estava em lembrar da propriedade citada lá em cima. 
Se você quiser fazer uma revisão de progressões, sugiro algumas horas com FME, volume 4, ou 
qualquer apostila de cursinho preparatório para o ENEM. Há boas questões por lá. 
 
48) 
 
Cinco passos que resolvem a questão rapidamente: 
 
1º) Traça-se FG ∥ AD; 
2º) Traça-se BH ∥ AD; 
3º) ⊿ BHF ≈ 	⊿ FGC ; 
4º) Como FG = 2 * BH → CG = 2 * FH ∧ FH = 1 
5º) Se FH = 1 , então HE = BA = 6 LETRA (E) 
COMENTÁRIO: 
Mais uma questão dada de presente para o candidato. Semelhança de Triângulos é um dos 
assuntos mais ricos e bonitos no estudo de geometria plana. Aqui, tudo ficou bem fácil porque 
as linhas auxiliares, traçadas paralelas ao lado AD do trapézio, formam triângulos retângulos e 
a vida ficou bem fácil com a proporcionalidade. Em se tratando de geometria plana, essa 
questão é só um aquecimento. Quem fez prova para escolas militares sabe o que eu estou 
dizendo. 
O problema é que nem todo mundo gosta ou teve uma boa base de plana lá no final do ensino 
fundamental. O mesmo vale para a geometria espacial, normalmente ensinada no 2º ano do 
ensino médio. Assim, a questão pode até ser considerada difícil para quem se inclui nestes 
casos. 
De toda sorte, sugiro algumas horas se deleitando com o volume 9 da coleção FME. Ou alguma 
apostila de cursinho preparatório para escolas militares. Assunto: semelhança de triângulos. 
 
52) 
 Z: 5/	 - G/ = 0 → G/ = 5/ ∧ y = ±	5 
 Logo, y = x e y = -x são duas retas (bissetrizes dos quadrantes I, III e II , IV 
respectivamente) que representam uma hipérbole degenerada. LETRA (A) 
COMENTÁRIO: 
Questões de cônicas em concursos não exigem, normalmente, a análise da equação geral do 
segundo grau e seus casos particulares para cônicas degeneradas. E em sua maioria, abordam 
equações reduzidas de circunferência e elipse. Em todo caso, é bom fazer uma revisão de 
geometria analítica com o livro do Prof. Antônio dos Santos Machado, citado anteriormente, 
ou com FME, volume 7. 
Para quem não fez uma revisão, essa questão pareceu um monstro. 
 
53) 
 
 
 
 
 
 
Volume do poliedro gerado pela retirada dos dois tetraedros do cubo: ]^ _` 
]^ _` = 6D - 2 * ]abcd . O problema agora é achar o volume do tetraedro DABC. 
]abcd = .D * 	bcd * DG, mas Nbcd = eD√/f²∗	√DL →		bcd = g√D/ 
9 = hi/ + "D√// �/ → DH = D√// 
Dado que G é baricentro do triângulo ABC, segue que GH = 
.D * eD√/f∗√D	/ →	 GH = √M/ 
Teorema de Pitágoras em ⊿hji para acharmos DG: 
hj/ + ji/ = hi/ → hj/ + >√M/ =/ = >D√// =/ →		DG = √3 
Assim, temos: 
]abcd = .D * g√D/ * √3 → ]abcd = g/ e ]^ _` = 207 cm³. LETRA (D) 
 
COMENTÁRIO: 
Embora as aulas de geometria espacial tenham ficado em um passado já distante, o que se 
exige nessa questão é “visão” e conhecimento de uma propriedade básica da geometria plana, 
que é o fato de o baricentro de um triângulo dividir a mediana na razão 2:1. Quando o 
triângulo é equilátero, como no caso do ABC desta questão, tudo fica mais fácil. E o “resto” é 
teorema de Pitágoras. 
A questão, em si, é um pouco trabalhosa mas nada que assuste a quem resolveu algumas 
equações diferenciais de segunda ordem. 
Para uma boa revisão de geometria plana, sugiro FME, volume 9. 
 
54) 
 ! ���	, ��	�E)&á$)�			 → 	 |���| � 1	�	|��| � 1��� ∗ 	�	���� � 	�1		"#$�%�&�	)E&�$E�	��	�	�'('$� 
 ��� * �� = |���| * |��| * cos 
 → cos
 = -1 ∧ ��� + �� = 0�� LETRA (C). 
COMENTÁRIO: 
Questão incluida na lista das que não podemos errar em prova. Como cos
 = -1 , os vetores só 
podem ter sentidos opostos e como tem o mesmo módulo, a soma é vetor nulo. Eu faria essa 
questão, depois da 28, com que começaria a prova. 
 
55) LETRA (D) 
 P = l0 0 1 01 0 0 00 0 0 10 1 0 0m 
Pela definição, uma vez fixada uma posição para o número 1 na primeira linha, por exemplo, 
restarão apenas 3 possibilidades para o 1 na segunda linha, 2 na terceira e 1 na quarta. Assim, 
teremos 4 x 3 x 2 x 1 possibilidades , num total de 24. 
COMENTÁRIO: 
Aplicação direta do Princípio Multiplicativo. Para uma boa revisão, FME volume 5. 
 
56) 
 Organizando os dados, teremos: 1, 7, 7, 7, 8, 9, 9, 10, 12, 35 
 Mediana = "8 � 9� 2⁄ = 8,5 ; Outliers : 1 e 35 LETRA (E) 
 Em estatística, “outlier”(ou valor atípico) é uma observação que apresenta um grande 
afastamento dos demais da série (wikipedia), ou “ observações destoantes das 
demais”(Morettin e Bussab , referência abaixo). 
 Ao contrário da média, a mediana não está sujeita aos efeitos dos “outliers”. Esta, por 
sua vez, é definida como “a realização que ocupa a posição central da série de observações, 
quando estão ordenadas em ordem crescente. Quando o número de observações for par, 
usa-se como mediana a média aritmética das duas observações centrais”. (Estatística Básica 
– Pedro Morettin e Wilton Bussab – 5ª edição – 2004 – Editora Saraiva – capítulo 3 – Medidas 
Resumo). 
COMENTÁRIO: 
Questão fácil, mesmo para quem nunca ouviu falar no termo “outlier”; como foi fácil 
identificar a mediana, o bom senso mandaria marcar a letra E. No mais, o livro citado acima é 
mais uma das bíblias que vale a pena ter em casa para uma consulta eventual. 
57) 
 Vamos supor que 10000 (dez mil) peças tenham sido produzidas no total. 
 Pelas informações de cada máquina (M1, M2 e M3), teremos: 
• M1: 3000 peças (1% defeito → 30 peças) 
• M2: 5000 peças (2% defeito → 100 peças) 
• M3: 2000 peças (0,1% defeito → 2 peças) 
 Total de peças defeituosas: 132. Chance de ter vindo da M3: p=2 132⁄ = 1/66 LETRA (B).Essa é a forma com eu faria na hora da prova, que me perdoem os puristas da 
Matemática . A generalização neste tipo de caso pode ser feita sem qualquer problema. Há 
uma fórmula para probabilidade condicional, mas eu certamente não lembraria na hora da 
prova. Mas há quem prefira memorizá-la. Então, em todo caso, para consultar o tema 
probabilidade condicional, sugiro FME, volume 5. 
60) 
 Sistema SAC ! 	'(%�	%���%�$: 12000'*�$&)H'çã�	��E	&'E&�: 12000 ÷ 3 � 4000 
 Número de parcelas: 3 ; Juros : 2% a.m (compostos) 
 1ª prestação (P1): 4000 + 2% * saldo devedor → P1= 4000 + 2% * 12000 = 4240 
 2ª prestação (P2): 4000 + 2% * 8000 → P2 = 4160 
 3ª prestação (p3): 4000 + 2% * 4000 → P3 = 4080 LETRA (B) 
COMENTÁRIO: 
Poucas vezes aparece sistema SAC em concursos da engenharia, até porque esse assunto é 
mais “praia” do pessoal da economia, administração e contábeis. Particularmente, deixaria 
essa questão para o final da prova. Eu acho um assunto enjoado. Sou mais uma boa integral 
indefinida. 
 Em todo caso, segue o “bizu”: 
1º) Divida o valor do empréstimo pelo número de parcelas. O resultado será o valor da 
amortização(que é constante); 
2º) Dívida inicial – amortização = saldo devedor (SD); nesse caso não houve entrada, portanto 
a dívida inicial é o valor integral tomado emprestado. 
3º)Prestação = amortização + 2% (nesse caso!) * SD. 
Esse sistema é muito utilizado para financiamento de imóveis, quando interessa ao comprador 
que as mensalidades vão diminuindo mês a mês, até zerar na última prestação. 
 
61) 
 Desconto = d (para t = 2 meses) ! s: �'(�$	%�	I'��		t: �'(�$	'&�'(	"#$�	�E&�� 
 Como A = F (1 – dt) → A = F(1 – 2d) (i) 
 Juros compostos: F = A (1 + i)² (ii) 
 Substituindo (i) em (ii), vem : F = F ( 1- 2d) (1+i)² → (1+i)² = ..u/v → 
 → 1 + i = w ..u/v → i = w ..u/v - 1 LETRA (E) 
COMENTÁRIO: 
A forma como a questão foi apresentada assustou um pouco, com as opções dando um 
aspecto visual de questão complicada, mas um pouco de calma e frieza ajudariam e muito 
nesse caso. Bastaria depois lembrar da P.G clássica dos juros compostos e fazer uma álgebra 
básica. Nada mais. 
É o que tenho dito: “a prova de eng° de petróleo não é uma prova para quem acerta as 
questões difíceis; ela é uma prova para quem não erra as fáceis”. Não basta conhecer tudo de 
Matemática, tem que saber fazer prova, identificar as questões fáceis que estão distribuídas 
ao longo de todo o caderno de questões e acertá-las. As médias e difíceis ficam para o meio e 
final da prova. 
 
67) 
 I"5� = x16 � "5 � 2�² → 16 – (x – 2)² y 0 → x² - 4x – 12 z 0 → {', ,|= {�2,6| → (E) 
 
COMENTÁRIO: 
Erro aqui é pecado mortal; é a distância entre quem passa na colocação 25 e quem passa na 
colocação 350. Parece até questão do ENEM. A esta altura do campeonato, se ainda existe 
alguma dúvida nesse tema, sugiro FME, volume 1, capítulo de função quadrática e inequações 
do 2º grau. 
Em tempo: cuidado com a resolução de coisas do tipo: "5 � 2�/ z 16 ; eu tenho visto muita 
gente boa fazendo besteira por aí. 
 
68) 
 Equação biquadrada. 
 Fazendo 3@ = G , teremos : y² - 7y + 10 = 0 → y’ = 5 ∧ y” = 2 
• 3@S 	= 5 → log 3@S 	= log 5 → 5. = €O€D 
• Analogamente, 5/	= € /€ D 
 Como log 5 ‚ log 2 , segue que 5/ é o menor valor. Assim, 5/= 	A,D	A,LU → 
→ 5/ = 0,625. LETRA (D) 
COMENTÁRIO: 
Questão muito boa para começo de prova, junto com as outras fáceis 26, 28 e 54. Não 
podemos nos dar ao luxo de errar questões como essas em qualquer concurso. É o tipo de 
questão que todo mundo acerta, basta observar aqueles grupos de amigos que se formam na 
saída da prova, para conferir as respostas. Nesse tipo de questão não há polêmica. Todo 
mundo sabe e todo mundo acerta. 
69) 
 
 
• Ângulo inscrito = metade do ângulo central correspondente; 
• ∡	„Ô† � 30°		�		∡	ˆÔ† � 60° ; 
• Segmento EC = (M (lado do hexágono regular inscrito); 
• EC = 1 (raio unitário) e CD = 0,5 LETRA (B). 
 
COMENTÁRIO: 
Quem sempre gostou de geometria plana brincou nessa questão e na 48. Com certeza fez cada 
uma em menos de 30 segundos. Mas nem todo mundo tem uma boa base de geometria plana 
e esse tipo de questão pode complicar a vida de muita gente, sobretudo porque o ensino de 
geometria plana vem sendo relegado aos cursinhos preparatórios às escolas técnicas e 
militares, uma pena. Para uma boa revisão, FME, volume 9 , capítulo de polígonos regulares. 
 
70) 
 n(A) : número de elementos de A 
 n(P) = 2 e n(Q) = 3 → n( PxQ ) = 6 
 relações não vazias : 2M – 1 = 63 (subconjuntos não vazios) LETRA (E). 
COMENTÁRIO: 
Para uma boa revisão nesse assunto, FME, volume 1, relações e funções. 
 COMENTÁRIO FINAL 
 Eu começaria a prova pelas questões 48 e 69, facílimas de geometria plana (fáceis para 
mim e uma boa parte dos candidatos, acredito). Em seguida, faria a 68, logo acima, e seguiria 
confiante com a sequência 23, 26 e 28 para um aquecimento no algebrismo. 
 Para liquidar vetores, faria a sequência 54, 22, 27 e daria uma olhada com calma na 21. 
Parece fácil, apesar de a solução “não vir” logo de imediato. 
 Retornaria, em seguida, para 67 e 25 esgotando o tema funções. Depois, P.A, cônicas(52) 
juros e porcentagem . 
 Como tenho defendido neste trabalho, não podemos errar uma questão como a 48. Idem 
para a 28. A 53 dá um pouco de trabalho, mas também não é esse bicho papão todo. 
 Os assuntos foram bem distribuídos nas 22 questões. De Matemática Elementar, umas 
18. 
 Vamos em frente com os estudos e sempre tendo em mente: “a prova de eng° de 
petróleo não é uma prova para quem acerta questões difíceis; ela é uma prova para quem não 
erra as fáceis”. 
 ALERTA IMPORTANTE: A sequência em que eu faria as questões está em ordem 
crescente de dificuldade para mim; isso é pessoal. O que eu pretendo mostrar nesse trabalho é 
que toda prova tem questões que podem ser identificadas como fáceis, médias e 
difíceis(aquelas “pembas” que ninguém sabe fazer). Vasculhando o caderno de questões, 
vamos encontrar as questões fáceis para nós e uma grande maioria. 
 
 
 
 
 
Gabarito – Nível Superior - Prova realizada no dia 06/05/2012 
 
CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS 
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
Ec
on
om
is
ta
 J
ún
io
r 
En
ge
nh
ei
ro
(a
) A
gr
ôn
om
o 
Jú
ni
or
 
En
ge
nh
ei
ro
(a
) C
iv
il 
Jú
ni
or
 
En
ge
nh
ei
ro
(a
) d
e 
Eq
ui
pa
m
en
to
s 
Jú
ni
or
 –
 
El
ét
ric
a 
En
ge
nh
ei
ro
(a
) d
e 
Eq
ui
pa
m
en
to
s 
Jú
ni
or
 –
 
El
et
rô
ni
ca
 
En
ge
nh
ei
ro
(a
) d
e 
Eq
ui
pa
m
en
to
s 
Jú
ni
or
 –
 
In
sp
eç
ão
 
En
ge
nh
ei
ro
(a
) d
e 
Eq
ui
pa
m
en
to
s 
Jú
ni
or
 –
 
M
ec
ân
ic
a 
En
ge
nh
ei
ro
(a
) d
e 
Eq
ui
pa
m
en
to
s 
Jú
ni
or
 –
 
Te
rm
in
ai
s 
e 
D
ut
os
 
En
ge
nh
ei
ro
(a
) d
eM
ei
o 
A
m
bi
en
te
 J
ún
io
r 
En
ge
nh
ei
ro
(a
) d
e 
Pe
tr
ól
eo
 J
ún
io
r 
Bloco 1 Bloco 1 Bloco 1 Bloco 1 Bloco 1 Bloco 1 Bloco 1 Bloco 1 Bloco 1 Bloco 1 
21- C 21- D 21- A 21- E 21- B 21- C 21- B 21- D 21- D 21- B 
22- E 22- A 22- D 22- B 22- D 22- E 22- D 22- B 22- A 22- A 
23- D 23- C 23- D 23- D 23- C 23- B 23- D 23- D 23- D 23- E 
24- C 24- E 24- C 24- C 24- E 24- B 24- A 24- C 24- E 24- B 
25- A 25- C 25- D 25- C 25- E 25- E 25- E 25- D 25- E 25- D 
26- A 26- C 26- B 26- B 26- A 26- C 26- B 26- D 26- B 26- A 
27- C 27- C 27- D 27- D 27- E 27- A 27- A 27- B 27- E 27- E 
28- E 28- B 28- C 28- D 28- A 28- C 28- D 28- A 28- D 28- D 
29- A 29- E 29- C 29- A 29- D 29- B 29- E 29- A 29- E 29- A 
30- B 30- E 30- E 30- D 30- B 30- E 30- B 30- E 30- B 30- D 
31- C 31- B 31- C 31- C 31- A 31- B 31- E 31- C 31- A 31- C 
32- E 32- C 32- B 32- D 32- C 32- C 32- D 32- D 32- E 32- B 
33- B 33- C 33- B 33- A 33- A 33- D 33- B 33- E 33- C 33- E 
34- C 34- A 34- E 34- D 34- E 34- E 34- C 34- B 34- B 34- B 
35- D 35- C 35- A 35- D 35- D 35- D 35- C 35- B 35- E 35- E 
36- B 36- B 36- D 36- A 36- C 36- C 36- A 36- D 36- B 36- C 
37- E 37- D 37- E 37- E 37- D 37- A 37- E 37- E 37- C 37- C 
38- E 38- D 38- E 38- B 38- A 38- C 38- D 38- E 38- A 38- B 
39- C 39- B 39- B 39- B 39- A 39- A 39- A 39- A 39- A 39- D 
40- B 40- E 40- B 40- A 40- C 40- A 40- E 40- C 40- C 40- C 
Bloco 2 Bloco 2 Bloco 2 Bloco 2 Bloco 2 Bloco 2 Bloco 2 Bloco 2 Bloco 2 Bloco 2 
41- A 41- C 41- C 41- E 41- C 41- D 41- D 41- D 41- E 41- B 
42- E 42- D 42- E 42- C 42- B 42- D 42- D 42- C 42- A 42- E 
43- A 43- C 43- D 43- B 43- B 43- E 43- E 43- C 43- B 43- B 
44- D 44- E 44- C 44- B 44- A 44- A 44- A 44- A 44- E 44- C 
45- C 45- A 45- B 45- C 45- E 45- D 45- C 45- E 45- C 45- C 
46- A 46- D 46- D 46- A 46- C 46- B 46- A 46- C 46- A 46- C 
47- A 47- B 47- C 47- B 47- D 47- A 47- E 47- D 47- B 47- A 
48- A 48- B 48- B 48- A 48- D 48- E 48- A 48- E 48- C 48- E 
49- C 49- C 49- D 49- E 49- E 49- A 49- C 49- C 49- D 49- D 
50- D 50- B 50- C 50- C 50- E 50- C 50- B 50- E 50- D 50- C 
51- D 51- B 51- B 51- D 51- C 51- D 51- B 51- B 51- D 51- E 
52- C 52- C 52- A 52- E 52- B 52- C 52- E 52- B 52- E 52- C 
53- B 53- B 53- E 53- A 53- C 53- B 53- E 53- B 53- C 53- D 
54- E 54- C 54- A 54- C 54- A 54- E 54- E 54- E 54- E 54- C 
55- C 55- E 55- D 55- A 55- B 55- A 55- D 55- D 55- D 55- D 
Bloco 3 Bloco 3 Bloco 3 Bloco 3 Bloco 3 Bloco 3 Bloco 3 Bloco 3 Bloco 3 Bloco 3 
56- A 56- B 56- B 56- B 56- E 56- D 56- A 56- D 56- A 56- E 
57- C 57- D 57- E 57- C 57- A 57- E 57- D 57- B 57- B 57- B 
58- E 58- B 58- A 58- B 58- E 58- E 58- D 58- D 58- C 58- E 
59- B 59- A 59- B 59- A 59- B 59- E 59- B 59- B 59- C 59- D 
60- E 60- D 60- E 60- E 60- C 60- B 60- C 60- A 60- D 60- B 
61- A 61- E 61- C 61- B 61- B 61- A 61- B 61- B 61- B 61- E 
62- D 62- E 62- A 62- E 62- A 62- D 62- C 62- B 62- E 62- D 
63- A 63- B 63- D 63- A 63- D 63- C 63- C 63- B 63- E 63- B 
64- B 64- A 64- B 64- E 64- B 64- D 64- C 64- A 64- D 64- B 
65- D 65- A 65- B 65- D 65- C 65- C 65- B 65- B 65- A 65- D 
66- C 66- D 66- D 66- B 66- C 66- A 66- D 66- A 66- D 66- B 
67- C 67- C 67- B 67- D 67- E 67- C 67- E 67- B 67- E 67- E 
68- B 68- E 68- C 68- C 68- D 68- E 68- D 68- E 68- B 68- D 
69- E 69- B 69- C 69- C 69- B 69- B 69- B 69- B 69- A 69- B 
70- D 70- B 70- D 70- D 70- B 70- E 70- A 70- C 70- C 70- E