Programa de Nivelamento de Matemática - Aula 3

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Programa de Nivelamento de Matemática 
Aula 3 – Equações do primeiro e segundo grau 
Aplicadora: Melissa Rúbio 
Professor Orientador Marcos Calil 
Dando continuidade ao programa de nivelamento, nesta terceira e última aula veremos 
equações do primeiro e segundo grau. 
EQUAÇÃO 
Na matemática, uma equação é uma igualdade envolvendo uma ou mais 
incógnitas, dividias em equações de primeiro e segundo e grau, o que define o grau 
dessa equação é o expoente dessa incógnita, ou seja, se o expoente for 1. Exemplo: 
4𝑥1, temos a equação do 1º grau. Se o expoente for 2, exemplo: números elevados 
ao quadrado 4𝑥2a equação será do 2º grau; se o expoente for 3, a equação será de 
3º grau. 
Exemplo: 
 4x + 2 = 16 (equação do 1º grau) 
 x² + 2x + 4 = 0 (equação do 2º grau) 
 x³ + 2x² + 5x – 2 = 0 (equação do 3º grau) 
 1º GRAU 
A equação do 1º grau é apresentada da seguinte forma: 
ax + b = 0 
É importante dizer que a e b representam qualquer número real e a é diferente 
de zero (a 0). A incógnita x pode ser representada por qualquer letra, contudo, 
usualmente, utilizamos x ou y como valor a ser encontrado para o resultado final da 
 
 
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equação. O primeiro membro da equação são os números do lado esquerdo da 
igualdade, e o segundo membro, o que estão do lado direito da igualdade. 
Podemos resolver a equação de forma mais direta utilizando o método prático: 
Exemplo: 
5𝑥 + 1 = −9 
5𝑥 = −9 − 1 
5𝑥 = −10 
𝑥 =
−10
5
 
𝑥 = −2 
A solução dessa equação é x = - 2. 
Exemplo 2: 
 
5𝑥 + 4 = 2𝑥 − 6 
5𝑥 − 2𝑥 = −6 − 4 
3𝑥 = −10 
𝑥 =
−10
3
 𝑜𝑢 3,33.. 
Equação do 1º grau com duas incógnitas 
Quando há uma equação do 1º grau que possui duas incógnitas, não existe uma única 
solução, mas sim infinitas soluções. Uma equação do 1º grau com duas incógnitas é 
uma equação do tipo: 
ax+by+c= 0 
 
 
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Para encontrar algumas das infinitas soluções da equação, atribuímos um valor para 
uma de suas variáveis e encontramos o valor da outra variável. 
Exemplo: 
Encontre 3 soluções possíveis para a equação: 
2𝑥 + 𝑦 + 3 = 0 
Resolução: 
Para encontrar 3 soluções, escolheremos alguns valores para a variável x, começando 
por x = 1: 
2𝑥 + 𝑦 + 3 = 0 
2.1 + 𝑦 + 3 = 0 
2 + 𝑦 + 3 = 0 
𝑦 = −3 − 2 
𝑦 = −5 
Isolando y no primeiro membro, temos que y = -5 
Então, uma solução possível para a equação é x = 1 e y = - 5. 
Para encontrar mais uma solução da equação, vamos atribuir um novo valor para 
qualquer uma das variáveis. Faremos y = 1. 
2𝑥 + 𝑦 + 3 = 0 
2𝑥 + 1 + 3 = 0 
2𝑥 + 4 = 0 
2𝑥 = −4 
𝑥 =
−4
2
 
𝑥 = −2 
 
 
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Isolando x: 
A segunda solução dessa equação é x = - 2 e y = 1. 
Por fim, para encontrar uma terceira solução, escolheremos um novo valor para uma 
de suas variáveis. Faremos x = 0. 
2𝑥 + 𝑦 + 3 = 0 
2.0 + 𝑦 + 3 = 0 
𝑦 = −3 
A terceira solução é x = 0 e y = -3. 
Podemos representar essas três soluções como pares ordenados, da forma (x, y). As 
soluções encontradas para equação foram: 
(1,−5); (−2, 1);(0,−3)(1,−5); (−2, 1);(0,−3) 
Importante: Como essa equação possui duas incógnitas, temos infinitas soluções. Os 
valores para as variáveis foram escolhidos de forma aleatória, logo, poderíamos 
atribuir outros valores completamente diferentes para as variáveis e encontrar outras 
três soluções para a equação. 
Praticando: 
As curvas de oferta e de demanda de um produto representam, respectivamente, as 
quantidades que vendedores e consumidores estão dispostos a comercializar em 
função do preço do produto. Em alguns casos, essas curvas podem ser representadas 
por retas. Suponha que as quantidades de oferta e de demanda de um produto sejam, 
respectivamente, representadas pelas equações: 
𝑄𝑜 = −20 + 4𝑝 
𝑄𝑑 = 46 − 2𝑝 
Em que QO é quantidade de oferta, QD é a quantidade de demanda e P é o preço do 
produto. A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os economistas 
 
 
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encontram o preço de equilíbrio de mercado, ou seja, quando QO e QD se igualam. 
Para a situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio? R: 11 
 2 GRAU 
A equação do 2º grau é caracterizada por um polinômio de grau 2, ou seja, um 
polinômio do tipo ax2+bx+c, em que a, b e c são números reais. Ao resolvermos uma 
equação de grau 2, estamos interessados em encontrar valores para a incógnita x que 
torne o valor da expressão igual a 0, que são chamadas de raízes, isto é, ax2 + bx +c 
= 0. 
A equação de 2º grau pode ser representada por ax²+bx+c=0, em que os coeficientes 
a, b e c são números reais, com a ≠ 0. 
Exemplos 
a) 2x2 +4x – 6 = 0 → a = 2; b =4 e c = – 6 
b) x2 – 5x + 2 = 0 → a =1; b= – 5 e c = 2 
c) 0,5x2 + x –1 = 0 → a = 0,5; b = 1 e c = –1 
A equação do 2º grau é classificada como completa quando todos os coeficientes são 
diferentes de 0, ou seja, a ≠ 0, b ≠ 0 e c ≠ 0. 
A equação do 2º grau é classificada como incompleta quando o valor dos coeficientes 
b ou c são iguais a 0, isto é, b = 0 ou c = 0. 
Exemplos 
a) 2x2 – 4 = 0 → a = 2; b = 0 e c= – 4 
b) -x2 + 3x = 0 → a = – 1; b = 3 e c = 0 
c) x2 = 0 → a = 1; b =0 e c =0 
Existem três modos de solucionar a equação de segundo grau: 
 
 
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 Tipo 𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0: quando a equação não apresenta o b, resolvemos 
𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0 
𝑎𝑥2 = −𝑐 
𝑥2 =
−𝑐
𝑎
 
𝑥 = ±√
−𝑐
𝑎
 
Exemplo: 3𝑥2 − 27 = 0 R: 3 e -3 
 Tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0: fatoração por evidência 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0 
𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) = 0 
Ao observar a última igualdade, é notável que há uma multiplicação e que para o 
resultado ser 0, é necessário que, pelo menos, um dos fatores seja igual a 0. 
𝑎(𝑎𝑥 + 𝑏) = 0 
𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 
Assim, a solução da equação é dada por: 
𝑥′ = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 
−𝑏
𝑎
 
Exemplo: 5𝑥2 − 45𝑥 = 0 R: 0 e 9 
 Tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0: mais conhecido o método de Bhaskara aponta que as 
raízes de uma equação do 2º grau do tipo ax2 + bx + c = 0 é dada pela 
seguinte relação: 
𝑥′ =
−𝑏 ± √∆
2. 𝑎
; ∆= 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 
Ou seja 
 
 
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𝑥′ =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐
2. 𝑎
 
Exemplo: 𝑥2 − 𝑥 − 12 = 0 R: -3 e 4 
 
Exercícios: 
1. (FAETEC - 2015) Um pacote do biscoito Saboroso custa R$ 1,25. Se João 
comprou N pacotes desse biscoito gastando R$ 13,75, o valor de N é igual a? 
R: 11 
2. (IFSC - 2018) Considere a equação , calcule. R: -4 
3. (FAETEC - 2015) Um pacote do biscoito Saboroso custa R$ 1,25. Se João 
comprou N pacotes desse biscoito gastando R$ 13,75, o valor de N é igual a: 
4. Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45m² de 
parede. Qual é a medida do lado de cada azulejo? R: 15 cm 
5. A área de um retângulo é de 64cm². Nessas condições, determine as 
dimensões do retângulo sabendo que o comprimento mede (x+6) me a largura 
mede (x- 6) m. R: 16 cm e 4 cm