matematica financeira

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MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
Adriana Claudia Schmidt
Juros simples
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 Calcular juros simples e montante.
 Descobrir o valor futuro com base no cálculo de juros simples.
 Resolver problemas que envolvem operações com juros simples.
Introdução
A capitalização simples é utilizada no mercado financeiro especificamente 
em operações de curto prazo. O desenvolvimento desses cálculos é 
extremamente simples, pois os juros incidem somente sobre o capital 
inicial, ou seja, o juro produzido em cada período é constante.
Neste capítulo, você vai entender e praticar as fórmulas básicas utiliza-
das no cálculo de juros simples, assim como resolver exemplos utilizados 
nessa capitalização. Para entender melhor o conceito de juros simples, 
você vai trabalhar com aplicações práticas de fácil entendimento. Assim, 
vai perceber a importância do cálculo do valor futuro e de todas as ope-
rações relacionadas à capitalização simples.
Cálculo de juros e aplicações 
Entender os juros simples ou a capitalização simples vai auxiliá-lo em cálculos 
futuros, em especial nos juros compostos, uma vez que o juro simples lhe dará 
todo o embasamento necessário para cálculos mais aprofundados. Conforme 
Almeida (2016), os juros simples são utilizados no mercado financeiro nas 
operações de curtíssimo prazo (desde que não maiores de 30 dias) ou “que 
não há capitalizações intermediárias durante todo o período em que os juros 
são computados” (OLIVEIRA, 2009, p.426):
 hot money (empréstimo diário e renovável);
 cheque especial;
 desconto de títulos (notas promissórias e duplicatas);
 desconto antecipado de cheques.
Nos cálculos financeiros, é preciso considerar o tempo de duas formas: o 
tempo exato e o tempo aproximado.
Tempo exato 
É quando consideramos o número exato de dias de um intervalo. Para saber 
o número exato de dias, considerando que os meses variam entre 28 e 31
dias, você pode fazer isso verifi cando em um calendário ou por meio de uma
calculadora fi nanceira HP 12c. Veja a seguir um exemplo para calcular o
número exato de dias pela HP 12c.
Determine o número exato de dias entre 24/05/2019 e 31/12/2019:
 Regule a sua calculadora no sistema brasileiro, g D.MY.
 Insira na calculadora:
24.052019 ENTER
31.122019 g ∆ DYS (está na tecla EEX)
A resposta será 221 dias exatos.
O tempo exato corresponde ao ano civil, que tem 365 dias (ou 366 dias, 
se o ano for bissexto).
Tempo aproximado
É quando consideramos qualquer mês como tendo 30 dias. O tempo aproxi-
mado é calculado a partir do ano comercial ou ordinário, considerando-se 
360 dias. Veja a seguir como resolver o exemplo anterior considerando tempo 
aproximado.
Determine o número aproximado de dias entre 24.05.2019 e 31.12.2019:
 Insira na calculadora:
24.052019 ENTER
31.122019 g ∆ DYS (está na tecla EEX)
 A resposta novamente será 221 dias exatos.
 Tecle x y.
A resposta será 217 dias aproximados.
Se o tempo não for mencionado, considere sempre o ano comercial, ou seja, 
o tempo aproximado, em que todos os meses têm 30 dias e o ano tem 360 dias.
Juros simples2
A capitalização simples acontece de forma linear, isto é, o juro é gerado 
somente sobre o capital inicial. A seguir, você verá a introdução das principais 
fórmulas dos juros simples e as suas aplicações. 
onde:
J = juro;
PV = valor principal, capital ou valor inicial;
i = taxa de juros, que deve ser decimal; 
n = prazo, tempo, número de períodos.
É importante lembrar que o tempo (n) e a taxa de juros (i) devem estar na 
mesma unidade. Assim, se a taxa for em dias, o tempo também deverá ser em 
dias; já se a taxa for em anos, o tempo deverá ser em anos, e assim por diante. 
Se isso não ocorrer no problema com o qual você está lidando, você poderá 
modificar tanto a taxa como o tempo, transformando-os na mesma unidade.
Exemplo 1
Antônio empresta a seu irmão uma quantia de $ 6.700,00 para serem pagos 
daqui a seis meses, cobrando uma taxa de juros simples de 2% ao mês. Quanto 
de juros Antônio receberá?
Resolução:
PV = 6.700,00 
n = 6 meses
i = 2% a.m. ÷ 100 = 0,02
J = ?
Lembre-se de que a taxa de juros, quando substituída em qualquer fórmula, 
deve ser sempre unitária, ou seja, dividida por 100, como demonstrado no 
exemplo acima. Na situação do exemplo, a taxa e o tempo estão na mesma 
unidade, não sendo necessário transformá-los.
3Juros simples
Para calcular os juros na calculadora HP 12c, é imprescindível que o tempo seja em 
dias e a taxa, em anos. Logo, no Exemplo 1 seria necessário transformar seis meses 
em 180 dias (6 x 30) e 2% a.m. em 24% a.a. (2 x 12).
Resolução:
6.700 CHS PV
180 n
24 i
f INT (para calcular o juro)
Por meio da fórmula do juro simples, é possível demonstrar as suas fórmulas 
decorrentes, como você verá a seguir.
Valor principal
É o valor atual ou aquilo que temos em mãos hoje. É também chamado de 
capital:
onde:
J = juros;
i = taxa de juros;
n = tempo.
Exemplo 2
Carla aplicou certo valor a uma taxa de juros simples de 14% ao semestre, 
durante 12 meses, tendo um rendimento de $ 1.350,00. Qual o valor aplicado 
por Carla?
i = 14 % a.s. ÷ 100 = 0,14
n = 12 meses = 2 semestres
J = 1.350
Juros simples4
PV = ?
1 ano = 2 semestres = 4 trimestres = 6 bimestres = 12 meses
Número de períodos
É o tempo que um valor pode fi car aplicado, isto é, o tempo que decorre do 
início ao fi nal de uma operação fi nanceira. O número de períodos é representado 
pela letra n, e a fórmula utilizada é a seguinte:
onde:
J = juros;
PV = valor principal;
i = taxa de juros.
Exemplo 3
Adão aplicou o seu décimo terceiro salário no valor de $ 3.703,70 no banco 
X, a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês, tendo um rendimento de $ 
500,00. Durante quantos meses Adão deixou o seu dinheiro aplicado?
PV = 3.703,70
i = 1,5 % a.m. ÷ 100 = 0,015
J = 500
5Juros simples
N = ?
Taxa de juros 
A taxa de juros é representada pela letra i. Trata-se do valor cobrado por algum 
empréstimo ou do valor atribuído a alguma aplicação. A fórmula usual no 
juro simples é a seguinte:
onde:
J = juros;
PV = valor principal;
n = tempo.
Exemplo 4
Ana aplicou as suas economias no valor de $ 11.000,00 e resgatou, cinco anos 
depois, o valor de $ 18.300,00. Qual a taxa mensal de juros dessa aplicação?
PV = 11.000,00
J = 18.300,00 – 11.000,00 = 7.300,00
n = 5 anos = 60 meses
 i = ? 
Juros simples6
Quando você encontra a taxa de juros, ela sempre será decimal. Então, para transformá-
-la em percentual, você deverá multiplicar o número encontrado por 100.
Valor futuro na capitalização simples
Montante
Também chamado de valor futuro, o montante é representado pelas letras M, 
S ou FV. Neste capítulo, vamos utilizar o FV, por ser uma das teclas da calcu-
ladora HP 12c. Por defi nição, montante é a soma do capital aos juros. Então:
Colocando em evidência o PV, que é o termo comum, temos:
Exemplo 5
Você aplicou $ 8.000,00 a uma taxa de juros simples de 1,3% ao mês, durante 
10 meses. Determine o valor acumulado ao fi nal desse período:
PV = 8.000
i = 1,3% ÷ 100 = 0,013 
n = 10 meses
PV = ?
No Exemplo 6, as taxas não são equivalentes.
7Juros simples
Exemplo 6
Um investidor aplicou o valor de $ 150.000,00 em títulos de capitalização 
que lhe renderão uma taxa de juros simples de 4,8% ao bimestre, durante um 
semestre. Qual será o valor do resgate ao fi nal desse prazo?
PV = 150.000 
i = 4,8% ÷ 100 = 0,048 
n = 1 semestre = 3 bimestres
FV = ?
Na utilização de fórmulas, é importante lembrar as regras básicas da matemática. 
Primeiramente você deve resolver a multiplicação e a divisão; por último, resolve a 
adição e a subtração. Ainda, primeiramente você deve resolver os parênteses, depois 
os colchetes, e por último as chaves.
Para realizar o cálculo anterior na HP 12c, você precisa transformar a taxa mensal em 
anual, fazendo 1,3% × 12 = 15,6% a.a., e o tempo mensal em dias, fazendo 10 meses 
× 30 = 300 dias.
Na HP 12c:
8.000 CHS PV
15,6 i
300 n
f int
+
Jurossimples8
Taxas proporcional e equivalente
Em muitos problemas de juros simples, as taxas e o tempo não estão na 
mesma unidade e, como você viu anteriormente, é necessário que haja essa 
homogeneidade. Assim, nos juros simples, tanto a taxa como o tempo podem 
ser modifi cados. Para Veras (2005), duas taxas se dizem proporcionais quando 
há uma proporção entre as grandezas em que se expressam e as durações dos 
períodos de tempo a que se referem. Na capitalização simples, as taxas propor-
cionais são equivalentes, isto é, elas são consideradas a mesma coisa. Logo, a 
colocação proporcional ou equivalente é indiferente, pois elas são idênticas.
Exemplo 7
Dada a taxa de 20% ao trimestre, determine as taxas equivalentes mensal, 
bimestral e anual.
Resolução:
Trimestral para mensal – basta dividir por 3, pois um trimestre tem três meses:
Trimestral para bimestral – você pode usar a taxa mensal e multiplicar 
por 2, pois um bimestre tem dois meses. Ainda, pode usar a taxa trimestral e 
dividir por 1,5, pois um trimestre corresponde a um bimestre e meio:
Trimestral para anual – você deverá multiplicar por 4, pois um ano tem 
quatro trimestres:
Na capitalização simples, ao realizar transformações das taxas em que você tem o 
maior período e quer encontrar o menor, basta dividir pelo correspondente. Se você 
tiver o menor período e quer encontrar o maior, multiplique pelo correspondente. 
9Juros simples
Juro exato e juro comercial
Ambos os tipos de juros são calculados da mesma maneira; o que difere é o 
tempo em relação a cada um. Para Assaf Neto (2012), é comum, nas operações 
de curto prazo (em que predominam as aplicações com taxas referenciadas em 
juros simples), o prazo ser defi nido em número de dias. Nesse caso, o número 
de dias pode ser calculado de duas maneiras:
  Pelo tempo exato, utilizando-se efetivamente o calendário do ano civil 
(365 dias). O juro apurado dessa maneira denomina-se juro exato.
  Pelo ano comercial, o qual admite o mês com 30 dias e o ano com 
360 dias. Nesse critério, denomina-se juro comercial ou ordinário.
Exemplo 8
Encontre a taxa diária, pelos critérios do juro exato e comercial, equivalente 
a 16% ao ano.
Juro exato:
Juro comercial:
Todas essas relações são muito importantes em cálculos da capitalização 
simples, em especial os juros e o montante. Veja o Exemplo 9.
Exemplo 9
Uma quantia de $ 50.000,00 foi aplicada em 18 de agosto para ser resgatada 
em 20 de novembro, a uma taxa de 21% ao ano. Calcule o montante a ser 
resgatado, considerando os juros comerciais e exatos.
Primeiramente, vamos explorar os dados do problema. No juro comer-
cial, o ano tem 360 dias, e cada mês tem 30 dias. Logo: 18 de agosto a 18 de 
setembro = 30 dias; 18 de setembro a 18 de outubro = 30 dias; 18 de outu-
bro a 18 de novembro = 30 dias; 18 de novembro a 20 de novembro = 2 dias. 
Portanto, o total é 92 dias. No juro exato, o processo é o mesmo, mas você 
precisará ter conhecimento dos dias exatos de cada mês. Então: 18 de agosto 
Juros simples10
a 18 de setembro = 31 dias (agosto tem 31 dias); 18 de setembro a 18 de outubro 
= 30 dias; 18 de outubro a 18 de novembro = 31 dias (outubro tem 31 dias); 18 de 
novembro a 20 de novembro = 2 dias. Portanto, o total no juro exato será de 94 dias.
Resolução pelo juro comercial:
PV = 50.000
n = 92 dias 
i = 
FV = 50.000 ∙ 1,053636
FV = ?
Resolução pelo juro exato:
PV = 50.000
n = 94 dias 
i = 
FV = ?
Dependendo do número de casas que você utilizar após a vírgula, o resultado pode 
divergir. O ideal é usar o maior número de casas possíveis após a vírgula.
11Juros simples
Resolução de problemas
Conforme Puccini e Puccini (2006, p. 22), “[...] na prática, os juros simples 
são bastante utilizados pelo mercado, pela facilidade de cálculo, e porque 
aumentam fi cticiamente a rentabilidade efetiva das aplicações fi nanceiras [...]”. 
A partir de agora, você vai acompanhar a utilização das principais fórmulas 
do regime de juros simples e as suas aplicações em problemas do mercado.
Exemplo 10
Seu João aplicou, em uma instituição fi nanceira, o valor de $ 180.000,00, 
resgatando $ 210.000,00 quatro meses depois. Calcule a taxa mensal de juros 
simples auferida nessa aplicação:
PV = 180.000
n = 4 meses
FV = 210.000
J = FV – PV
J = 210.000 – 180.000 = 30.000
i = ?
Tanto na convenção linear (juros simples) como na convenção exponencial (juro 
composto), pode-se dizer que:
FV = PV + J
PV = FV – J
J = FV – PV
Juros simples12
Exemplo 11
Juliana vai precisar de $ 120.000,00 daqui a 11 meses para comprar um terreno. 
Quanto Juliana deverá depositar hoje num fundo de poupança que remunera 
a uma taxa linear de 10% ao ano?
FV = 120.000
n = 11 meses 
i = 10% a.a. ÷ 100 = 0,1 ÷ 12 = 0,008333 a.m.
PV = ?
Exemplo 12
Determine a taxa trimestral de juros simples que faz com que um capital 
dobre de valor após um ano.
PV = 100
FV = 200
J = 200 – 100 = 100
n = 1 ano = 4 trimestres
i = ?
Na resolução de problemas em que você não conhece os valores, você pode atribuir 
qualquer valor. Por convenção, é recomendável utilizar 100 como base de cálculo.
Exemplo 13
Antônio depositou o valor de $ 600,00, aplicados a uma taxa de 22% ao ano, 
durante 25 dias. Quais os juros recebidos por Antônio?
PV = 600
n = 25 dias 
13Juros simples
i = 22% ÷ 100 = 0,22 ÷ 360 dias = 0,000611 a.d. 
Por padrão, você sempre deverá usar os juros comerciais (ano igual a 360 dias), a menos 
que seja explicitado o contrário.
Exemplo 14
Uma pessoa aplica $ 12.000,00 a 28% ao ano, de 12 de maio a 31 de dezembro do 
mesmo ano. Determine os juros exatos e o tempo exato pela convenção linear.
PV = 12.000
n = 233 dias
i = 28% ÷ 100 = 0,28 ÷ 365 dias = 0,000767 a.d.
Para calcular o número de dias exatos, você pode utilizar o calendário, tabelas ou ainda 
uma calculadora HP 12c. Acompanhe o exemplo anterior pela HP 12c:
12.052019 ENTER (você pode considerar qualquer ano)
31.122019 g ∆DYS
233 dias
Juros simples14
Exemplo 15
Ana aplicou na poupança o valor de $ 5.000,00, a uma taxa de 1,8% ao bimestre, 
resgatando um montante de $ 6.250,00. Durante quantos meses Ana deixou 
esse valor aplicado?
PV = 5.000
FV = 6.250
J = 6.250 – 5.000 = 1.250
i = 1,8% ÷ 100 = 0,018 ÷ 2 = 0.009 a.m.
O juro simples é uma parte da matemática financeira baseada no cálculo 
do capital principal, independentemente dos aumentos no decorrer do tempo. 
Com base no que você viu até aqui, poderá verificar as diversas fórmulas para 
resolver problemas financeiros, taxas de juros, capital e montante.
ALMEIDA, J. T. S. Matemática financeira. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 12. ed. São Paulo: Atlas, 2012.
PUCCINI, A. L.; PUCCINI, A. Matemática financeira: objetiva e aplicada. São Paulo: Sa-
raiva, 2006.
VERAS, L. L. Matemática financeira. São Paulo: Atlas, 2005.
15Juros simples