MATEMÁTICA FINANCEIRA - LIVRO TEXTO, SLIDES - I, II

Prévia do material em texto

Autor: Prof. Jean Carlos Cavaleiro
Colaborador: Prof. Santiago Valverde
Matemática Financeira
Professor conteudista: Jean Carlos Cavaleiro
Jean Carlos Cavaleiro
Bacharel em Administração de Empresas, especialista em Gestão de Negócios e mestre em Engenharia de Produção, é 
professor universitário há 10 anos em instituições como: Universidade Cruzeiro do Sul, Faculdade Unida de Suzano 
e Universidade Paulista. Na segunda instituição, da qual é professor titular, coordena as atividades práticas de 
gestão e, na UNIP, ministra aulas nos cursos de gestão e coordena o curso de Logística na modalidade de ensino a distância.
Como consultor in company do Senac/SP, atua com controle financeiro, fluxo de caixa, contabilidade, contas a 
pagar e, ainda, na área logística: produção, compras, estoques, transporte etc. 
É diretor proprietário da Horseman Consultoria Ltda., empresa especializada em treinamento na área logística. 
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
C376m Cavaleiro, Jean Carlos 
Matemática Financeira / Jean Carlos Cavaleiro. São Paulo: 
Editora Sol, 2020.
112 p., il
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e 
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ISSN 1517-9230.
1. Matemática financeira. 2. Empréstimos. 3. Financiamento. 
I. Título.
CDU 51 (076)
U507.89 – 20
Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Prof. Dr. Yugo Okida
Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy 
Prof. Marcello Vannini
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 
 Revisão:
 Virgínia Bilatto
 Luanne Batista
Sumário
Matemática Financeira
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................7
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................8
Unidade I
1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS ...................................................................................................................... 11
1.1 Taxa de juros ......................................................................................................................................... 15
1.2 Equivalência de taxas ........................................................................................................................ 21
1.3 Equivalência de capitais ................................................................................................................... 23
2 DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA ............................................................................................................. 26
2.1 Regime de capitalização dos juros ................................................................................................ 27
2.1.1 Regime de capitalização simples ...................................................................................................... 27
2.2 Montante e capital em capitalização simples ......................................................................... 37
3 DESCONTO SIMPLES RACIONAL OU “POR DENTRO” ......................................................................... 44
3.1 Desconto bancário ou comercial ou “por fora” ....................................................................... 46
4 REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA ............................................................................................... 48
4.1 Juros compostos ................................................................................................................................... 49
4.2 Taxas proporcionais e equivalentes em capitalização composta ..................................... 63
Unidade II
5 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS .................................... 70
5.1 Sistema Financeiro da Habitação (SFH) ....................................................................................... 70
5.2 Definições básicas ............................................................................................................................... 71
5.3 Sistema de Amortização Constante (SAC) ................................................................................. 73
5.4 Expressões de cálculo do SAC ......................................................................................................... 75
5.5 SAC com carência ................................................................................................................................ 78
6 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS ................................................................................................... 81
6.1 Expressões de cálculo do SAF .......................................................................................................... 83
6.2 SAF com carência ................................................................................................................................. 85
7 TABELA PRICE ................................................................................................................................................... 88
7.1 Sistema de amortização misto ....................................................................................................... 90
7.2 Comparações entre SAC, SAF e SAM ............................................................................................ 92
7.3 Gráfico de comparação entre SAC, SAF e SAM ........................................................................ 92
8 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO ............................................................................................ 93
8.1 Sinking fund ou fundo de amortização ...................................................................................... 95
8.2 Sistema de Amortização Crescente (Sacre) ............................................................................... 96
8.3 Custo efetivo .......................................................................................................................................... 97
7
APRESENTAÇÃO
A matemática financeira é o ramo da matemática aplicado aos negócios. É importante que você, 
aluno, conheça as expectativas da universidade e dos coordenadores pedagógicos quanto ao conteúdo 
que lhe deve ser proporcionado pelo professor dessa disciplina comum, ou seja, aplicada aos alunos dos 
cursos tecnológicos de gestão da Universidade Paulista – UNIP.
De acordo com o Plano Pedagógico do Curso Superior Tecnológico de cada um desses cursos, em 
que a disciplina compõe núcleos básicos, o objetivo é fornecer subsídios fundamentais para a formação 
acadêmica do discente na área financeira e também contribuir para o desenvolvimento de sua capacidade 
de raciocínio lógico e reflexivo. Esse é um fator essencial na tomada de decisão, atividade típica da 
função de administrador financeiro.
Com base nesse objetivo básico, propomos como meta estudar os seguintes assuntos:
1. Conceitos fundamentais: juros simples e juros compostos.
2. Regime de juros simples (capitalização simples) e compostos (capitalização composta): introdução; 
taxasproporcionais e equivalentes; juro comercial; descontos: desconto racional e desconto 
comercial; equivalência de capitais.
3. Regime de juros compostos.
4. Rendas ou anuidades.
5. Sistemas de amortização e correção monetária: sistemas de amortização e correção monetária; 
sistema de prestação constante – SPC; Sistema de Amortização Constante – SAC; sistema de 
montante; sistema americano; sistema sinking fund.
6. Inflação e correção monetária.
Na elaboração deste material, o autor optou por expor as teorias de forma ampla, visto que é 
destinado a futuros profissionais que não irão lidar diretamente com a matemática, mas que a utilizarão 
para melhorar a qualidade de suas decisões. De acordo com os planos pedagógicos de cada curso, 
priorizou também a exposição de casos e situações práticas. Desse modo, facilita-se a absorção do 
conhecimento, possibilitando que a teoria em matemática financeira possa ser compreendida por meio 
de sua aplicação no ambiente profissional.
Primeiramente, portanto, você dará seus primeiros passos no ambiente da matemática financeira, 
estudando os conceitos fundamentais utilizados por todos os que se deparam com problemas 
matemáticos relacionados com os negócios. Serão estudados conceitos como: juros; capitais; fluxo 
de caixa; valor atual; capitalização simples e composta; juros simples e juros compostos; montante; 
capital; taxas proporcionais e equivalentes; desconto simples, racional ou “por dentro”. 
8
Todos esses conceitos são básicos, conhecidos por muita gente e amplamente utilizados. Dessa forma, 
não caia na tentação de usar calculadoras de financiamentos que estão disponíveis em diversos sites 
da internet. Faça realmente os exercícios que serão propostos. Sabemos que esse pode ser um trabalho 
um tanto enfadonho ou aparentemente desnecessário, mas é ótimo para que possa entender a matéria 
estudada e fortalecer os seus conhecimentos. Uma sugestão é alterar os valores dos exemplos que 
você encontrará e tentar observar casos reais à sua volta, tentando resolvê-los pelo uso das fórmulas e 
conceitos básicos aqui estudados.
Não há um tempo de estudo definido para sugestão. Você tanto poderá completar os estudos em 
algumas horas quanto em semanas. O importante é que se sinta satisfeito e confiante para seguir rumo 
às aplicações mais avançadas da matemática financeira.
Você tanto poderá realizar os cálculos de forma completamente manual ou usando uma calculadora 
simples (recomendado). Poderá também utilizar uma calculadora financeira, de qualquer marca ou 
uma HP12C, padrão comum entre os executivos de finanças. Poderá ainda utilizar uma planilha 
eletrônica (por exemplo, do Microsoft Excel). No entanto, recomenda-se veementemente que efetue 
os cálculos de forma autônoma, sem recorrer a facilidades que hoje são oferecidas aos executivos. 
Até poderá utilizá-las para fins profissionais, mas, nesse momento, é imprescindível que se realizem 
cálculos manuais.
A expectativa é que você esteja bem desenvolto nas fórmulas básicas da matemática financeira, 
pois estudará aspectos mais sofisticados dessa matéria, em especial os sistemas de amortização de 
empréstimos e financiamentos e as principais comparações entre eles. Com os exercícios de comparação 
que acompanhará, verá que não existe um sistema melhor do que o outro, mas um que pode ser mais 
conveniente de acordo com o problema. É, portanto, aprendendo as especificidades de cada método que 
terá condições de tomar ótimas decisões no seu campo profissional.
INTRODUÇÃO
Olá, aluno!
Sempre que iniciamos o estudo de qualquer disciplina, perguntamo-nos: para que eu tenho de 
estudar isso? Ou, ainda: em que a matemática financeira pode ajudar em meu sucesso profissional? Não 
menos importante, muitos costumam perguntar sobre como os conhecimentos dessa matéria podem 
melhorar na sua vida pessoal. Muitos alunos de tecnologia que não trabalharão nas áreas “matemáticas”, 
costumam também se perguntar o motivo de ter de estudar obrigatoriamente matemática financeira, 
pois acreditam que aplicarão muito pouco desse conhecimento em seu trabalho cotidiano.
A resposta a essas inquietações inicia-se na própria preocupação da universidade ao decidir que a 
matemática financeira é imprescindível, a ponto de não admitir que um aluno venha a ser diplomado 
como tecnólogo se não mostrar um mínimo de conhecimento sobre essa matéria. Mais do que uma 
preocupação formal, a história e as pesquisas científicas mais relevantes têm demonstrado que o 
profissional que toma decisões sem o uso da matemática financeira tende a não ter um bom desempenho 
em suas atividades, sejam lá quais forem elas.
9
Ao decidir pela contratação de um fornecedor, uma decisão relativamente simples, o profissional 
que conhecer a matéria poderá calcular se o valor que lhe é solicitado para um pagamento a prazo 
é realmente mais vantajoso em comparação com um que ocorre à vista. Essa é uma entre as diversas 
dificuldades que podem vir a fazer parte do cotidiano de um tecnólogo.
A matemática financeira é considerada também um exemplo fundamental da chamada Teoria dos 
Jogos, uma sofisticada teoria para aplicação na gestão estratégica das empresas. Contudo, uma das 
características mais interessantes dela talvez seja que, ao contrário de outras disciplinas, nas quais é 
necessário um ambiente empresarial sofisticado para que o conhecimento possa ser aplicado, é possível 
aplicá-la em seu dia a dia, nos mais diferentes negócios. Por exemplo, a pessoa que tiver a curiosidade 
de calcular as condições de um financiamento para a aquisição de uma casa ou apartamento poderá vir 
a perceber uma diferença de 1% em um tipo de financiamento em relação ao outro. Pouco? Talvez esse 
simples valor represente nada mais, nada menos, do que a compra de alimentos do mês de uma família, 
ou seja, o emprego da matemática financeira pode representar maior qualidade de vida!
Muitos pessoas de negócios dão muito valor ao conhecimento da matemática financeira para 
as suas próprias decisões, bem como valorizam funcionários que o têm e aplicam no cotidiano 
profissional. Não há muitos dados ou pesquisas relacionadas ao valor que os empresários costumam 
dar a esse conhecimento, mas Rosseti Jr. e Schimiguel (2011) estudaram a percepção de empresários 
na região da grande Vitória e chegaram à seguinte conclusão: as empresas valorizam muito as 
pessoas que possuem conhecimentos financeiros e que são conhecedoras de matemática financeira, 
remunerando-as bem. isso aponta para uma demanda do mercado por conhecimentos em matemática 
financeira e finanças.
Com tudo isso, nota-se uma grande necessidade do uso dos conhecimentos oferecidos por essa 
disciplina pela sociedade e também para a continuidade dos seus estudos. Sendo assim, certos do 
sucesso em esclarecer a inquietante dúvida: “eu tenho de aprender matemática financeira por quê?”, 
espera-se que, ao final deste estudo, você tenha formado habilidades para melhor usar a matemática a 
seu favor para tomar decisões de melhor qualidade.
Cada um tem suas individualidades e manias. Há pessoas que conseguem compreender bem um 
assunto com uma simples leitura e outras que preferem fazer exercícios. Há ainda aquelas que têm 
predileção por livros coloridos, preenchidos com gráficos, elementos visuais e resumos ricamente 
ilustrados. Sendo assim, quando este trabalho foi elaborado, pensamos em mesclar estratégias de ensino 
para que se tornasse mais interessante, o que, porém, depende de sua postura como aluno, de seu 
interesse. Se, antes de abrir o livro, estiver indisposto e sem vontade, certamente por maior que tenha 
sido o nosso esforço para tornar o material mais atrativo, as páginas serão muito penosas.
Especialmente para estudar matemática financeira, além de uma simples e rápida leitura, é importante 
que você exercite muito o que aprendeu. Quanto mais desenvoltura tiver para realizar os exercícios, 
melhor! Por isso, a orientação é de que aproveite cada página com olhos interessados, com vontade e 
entusiasmo,porque, como vimos, conhecer essa matéria é um passaporte para tomar boas decisões 
e ser melhor remunerado no mercado.
10
Unidade I
É importante salientar que este material não esgota todas as possibilidades de estudo; ele é apenas 
um dos instrumentos de aprendizado e não deve jamais ser visto como fonte única para seus estudos. 
Leia sempre os resumos, faça as atividades e exercícios propostos e dedique-se aos materiais sugeridos 
no Saiba Mais, para leitura ou consulta. Esse item tem como objetivo fundamental aumentar sua 
curiosidade pelo tema em estudo.
Uma última observação, antes de iniciarmos nossos estudos, é a seguinte: no mercado é padrão 
a utilização da calculadora financeira HP12C1 (da empresa americana Hewlett-Packard modelo 12C), 
que é a mais utilizada entre os profissionais da área de finanças. Há tantos cursos de utilização das 
funcionalidades dessa calculadora, que, muitas vezes, são confundidos com aqueles de matemática 
financeira em si. 
Para fins profissionais ou mesmo para estudo, a recomendação é que você tenha em posse uma 
calculadora desse modelo ou tenha como usá-la quando necessário. No entanto, devido ao seu alto 
custo e a vários outros fatores, esclarecemos que todo o material didático deste curso, incluindo as 
questões de prova, foram elaboradas para serem resolvidas com o uso de calculadoras simples ou por 
cálculo manual, conforme acabamos de observar.
1 Um detalhe é que, por conta de configurações internas, a HP12C, geralmente, oferece um resultado mais 
preciso, o que pode dificultar a escolha das alternativas corretas. Assim, não utilize essa calculadora em avaliações 
desta disciplina; utilize apenas uma calculadora normal.
11
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Unidade I
1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS
O aluno normalmente não enxerga a Matemática como uma matéria das suas preferências, e os 
motivos para isso são vários. Por isso, recomendamos que você enxergue essa disciplina que vamos 
iniciar não como matemática, mas, sim, como uma ferramenta que auxilia na tomada de decisão do 
gestor. Verá que ela está presente na sua vida, no seu dia a dia. Embasamo-nos nessa percepção para o 
nosso trabalho.
Iniciemos, portanto, perguntando-nos: o que é Matemática Financeira? A partir dos conceitos de 
vários autores, o autor deste material gosta de entendê-la como uma área da matemática que estuda 
o valor do dinheiro no tempo. Você como aluno pode perguntar: como assim? Então, vamos entender 
agora as situações em que isso se aplica. Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1: João empresta R$ 5,00 a Maria, que, por sua vez, paga-lhe depois de 2 meses. 
Imaginemos que um sorvete custasse R$ 2,50 quando houve o empréstimo do dinheiro. Assim, 
se teriam condições de comprar dois sorvetes. No entanto, quando do pagamento por Maria, o 
sorvete já custa R$ 3,00, de modo que se ela paga o empréstimo sem nenhum acréscimo, João 
compra agora somente um sorvete. Então perguntamos: isso é correto? Emprestar dinheiro de 
dois sorvetes e receber dinheiro que compre somente um? Mesmo sendo muito amigos, seria 
justo que João dissesse: estou emprestando dinheiro de 2 sorvetes e quero receber dinheiro de 2 
sorvetes. Assim, Maria teria de pagar R$ 6,00.
Veja a aplicação do conceito: na hora do empréstimo, R$ 5,00 valiam dois sorvetes, na hora do 
pagamento dois sorvetes valiam R$ 6,00. Assim fica a questão: o sorvete que aumentou ou o valor do 
dinheiro que diminuiu? A resposta a essa pergunta é como aquela máxima da propaganda: “Tostines é 
fresquinho por que vende mais ou vende mais por que é fresquinho?” 
Exemplo 2: imagine que você comprou uma televisão tela plana 3D, de 50 polegadas, por R$ 8.000,00. 
Na ocasião fez um financiamento em 36 parcelas de R$ 450,00. Pagou 26 parcelas e deseja pagar as 10 
ultimas de uma vez. Então, procura a financeira que fez o financiamento e faz a proposta para saber 
quanto deveria pagar. Entretanto, alguém na financeira diz que não lhe será dado desconto, ou seja, se 
decidir pagar as 10 parcelas, o valor será R$ 4.500,00. Então, perguntamos: você faria o pagamento? Já 
deve ter respondido que não, pois o está antecipando e merece um abatimento. Isso é um pensamento 
de Matemática Financeira. Pode não saber quantificar, mas sabe que merece abatimento. 
Na hora de solicitar um empréstimo ao banco também é importante ter conhecimentos de 
Matemática Financeira, pois conhecer conceitos de juros, aplicação, investimento fará você conversar 
com o gerente do banco na mesma linguagem. 
12
Unidade I
Segundo Rovina (2009, p. 5), a Matemática Financeira é “incompreendida por muitos e amada por 
poucos”. No entanto, conforme vimos, não podemos negar sua utilidade, tanto para pessoas comuns, 
clientes, quanto empresa ou grande corporação. Como profissionais da área da educação, podemos 
assegurar que, se entendemos para que serve uma ciência, temos maior aceitação com seus conceitos e 
por consequência melhor aprendizagem.
Rovina (ibidem, p. 5) conceitua a Matemática Financeira, conforme o próprio nome indica, como um dos 
inúmeros ramos da Matemática, que surgiu da necessidade de termos que lidar com o dinheiro ao longo 
do tempo. Para a Matemática usual, aquela que sempre aprendemos, dois sempre é igual a dois, mas para a 
Matemática Financeira essa informação é insuficiente, pois, além de quantificar, ou seja, dizer que dois é igual 
a dois, precisa situar o momento temporal, ou seja, dois só é igual a dois, se, e somente se, os dois valores 
estiverem situados no mesmo momento temporal, ou, melhor falando, na mesma data.
Então, a partir dos conceitos gerais de Matemática Financeira, vamos conceituar os recursos 
necessários para pensá-la:
• Capital 
É o valor principal de uma operação, ou seja, do dinheiro em um momento inicial. 
Exemplo 1: fez-se uma aplicação no valor de R$ 10.000,00 por 3 meses, a uma taxa de juros de R$ 
1% ao mês. O capital é de R$ 10.000,00. 
Exemplo 2: fazendo uma prestação de R$ 100,00 por mês durante 10 meses, decidindo-se por pagar 
à vista, qual será o valor? 
O que queremos saber é o valor do capital, que, em situações como essas, pode ser chamado de valor 
atual, que, na linguagem financeira, é abreviada por PV, Present Value. Inclusive, você poderá perceber 
que, na HP 12 C, calculadora financeira utilizada mundialmente, é essa a sigla gravada. 
Figura 1
13
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 Saiba mais
Para conhecer mais a calculadora HP12C, acesse: <http://www8.
hp.com/br/pt/home.html>.
• Montante
Resumidamente, podemos entendê-lo como o valor do dinheiro no futuro.
Exemplo 1: apliquei R$ 10.000,00 na caderneta de poupança e fui viajar, passei 5 anos fora. Qual é 
o montante da minha aplicação quando voltei ao Brasil?
Exemplo 2: um capital aplicado a uma taxa de 5% ao semestre resultará em qual montante? 
Na linguagem financeira, é chamado de valor futuro ou referido pela sigla FV, como demonstra a 
figura em seguida:
Figura 2
• Taxa de juros 
É um coeficiente que determina as correções monetárias, sempre expressas em porcentagem (%). 
Na calculadora HP12C, é representada pela letra i, conforme podemos observar na figura que acabamos 
de ver. 
14
Unidade I
• Juros
É a correção monetária em espécie ou o valor acrescido pela taxa de juros. Por exemplo, se tenho 
R$ 1.000,00 e pela aplicação feita por um ano saquei R$ 1.500,00, posso dizer que recebi juros de R$ 
500,00. Pode ser simples ou composto, o que será estudado mais adiante.
• Desconto 
É o abatimento sobre uma operação financeira; é proporcional à taxa de juros e ao período 
considerado. 
• Período 
São os prazos envolvidos na operação financeira. Podem ser expressos em dia, semana, mês, semestre, 
ano; mas o que importa é que temos de considerar uma regra: devem constar, de um problema de 
Matemática Financeira, todas as informações de taxa e período na mesma menção de tempo. Vejamos 
um exemplo. Fez-se uma aplicação de R$ 1.000,00 por 6 meses, a uma taxa de 2% ao bimestre. Devo 
transformar a taxa em mês ou o período em bimestre, ficandoo valor aplicado por 3 bimestres, que é o 
mesmo que 6 meses. 
 Observação
O que acabamos de mencionar, quanto a deverem constar, de um 
problema de Matemática Financeira, todas as informações de taxa e 
período na mesma menção de tempo, é uma regra; não podemos trabalhar 
com prazos diferentes.
• Investimento
Operação financeira em que se faz aplicação de um valor e espera recebê-lo acrescido dos juros 
incorridos no período. 
• Empréstimo 
Operação financeira na qual se buscam recursos no mercado para fazer frente às necessidades das 
mais variadas espécies. 
• Amortização 
Antecipação de pagamentos de operação de financiamentos, na qual se fazem necessários os 
conceitos de valor atual e futuro. 
15
MATEMÁTICA FINANCEIRA
1.1 Taxa de juros 
Taxa de juros é o coeficiente que determina o valor do juro, a razão entre os juros recebidos (ou 
pagos) e o capital inicial aplicado (ou emprestado). Elas se referem sempre a uma unidade de tempo (dia, 
mês, semestre, ano etc.) e podem ser representadas equivalentemente de duas maneiras: taxa unitária 
(fração decimal) e taxa percentual; uma é fruto da outra, não são duas coisas diferentes, e sim uma 
extensão da aplicação.
Taxa unitária
É a fração decimal da taxa que expressa quanto que um juro obtido representa do valor principal. É 
expressa pela fórmula:
i
J
C
=
i = taxa de juros
J = juros
C = Capital 
 Observação
Alguns autores entendem C como P, de principal. 
Taxa percentual
É a taxa unitária multiplicada por 100.
Vejamos um exemplo. Uma aplicação de R$ 10.000,00 obteve juros de R$ 100,00 em um mês. Qual 
foi a taxa unitária?
Solução:
i= =
100
10 000
0 01
.
,
Para encontrar a taxa percentual basta multiplicar por 100 o resultado encontrado: 
i� � � �
100
10 000
0 01 100 1
.
, %
 
em um mês.
Como foi definido, taxa unitária é uma fração decimal, nesse caso 0,01.
16
Unidade I
A desvantagem da definição da taxa de juro J não incluir um período de tempo é eliminada com a 
taxa unitária de juro i, definida como: valor unitário da taxa é o valor percentual dividido por 100.
Assim parece fácil, mas vamos ampliar a visão? Vejamos mais um exemplo. O gerente do banco 
realizou um empréstimo de R$ 2.000,00 pelo prazo de 60 dias. 
No momento de assinar o contrato, o devedor se comprometeu a devolver R$ 2.250,00. Calcule o 
juro, a taxa de juro unitária e a taxa de juro percentual dessa operação. Veja que, antes de calcular as 
taxas de juros, precisará saber qual foi o juro pago.
Solução:
Conceituamos juros como o valor acrescido em uma operação. Então, podemos encontrá-lo pela 
subtração do montante pelo valor do capital, ou seja: 
J = M = C
J = juros
M = montante 
C = capital 
 Lembrete
Não se esqueça de que montante é o valor futuro, ou FV, e que capital 
é o valor atual ou PV.
Assim sendo, J = 2.250 - 2.000 = 250
Substituindo para encontrara a taxa unitária:
 Lembrete
Taxa unitária é a fração decimal em relação ao capital: 
i
J
C
=
i= =
250
2000
0 125,
Em 60 dias ou dois meses
17
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Vamos agora encontrar a taxa percentual, que é resultado da multiplicação da taxa unitária por 100.
i� � � �
250
2000
0 125 100 12 5, , %
Em 60 dias ou dois meses.
Falou-se aqui em duas taxas, unitária e percentual, e que uma se origina da outra. Sendo assim, 
podemos transformar uma na outra sem nenhuma dificuldade. Para transformar, então, a taxa percentual 
em taxa unitária, basta dividirmos o valor percentual por 100. Dessa forma,
1) 5% em taxa unitária seria: 
5
100
0 05= ,
2) 10% em taxa unitária seria: 
10
100
0 10= ,
3) 25% em taxa unitária seria:
25
100
0 25= ,
4) 0,5% em taxa unitária seria: 
0 5
100
0 005
,
,=
Para fazermos os exercícios de Matemática Financeira, devemos trabalhar sempre com a taxa na 
modalidade unitária, ou seja, dividirmos a taxa percentual por 100. 
Treinemos, então, mais um pouco.
Exemplo 1. Converta para a taxa percentual:
1) 0,57 = 0,57 x 100 = 57%
2) 2,08 = 2,08 x 100 = 208%
3) 0,02 = 0,02 x 100 = 2%
Exemplo 2. Converta para a forma unitária:
1) 163% = 
163
100
163= ,
18
Unidade I
2) 2.107% = 
2 107
100
21 07
.
,=
3) 12% = 
12
100
0 12= ,
Veja que, para trabalharmos com cálculos financeiros, devemos pensar “percentualmente”. Pensemos, 
então, em mais situações nas quais a porcentagem é a base da solução. 
Exemplo 3. Num lote de 100 lâmpadas, 15 apresentam defeito. Qual é a porcentagem de lâmpadas 
defeituosas?
15
100
0 15 100 15� � �, %
Exemplo 4. Um DVD é vendido por R$ 28,00. Se o seu preço fosse acrescido em 18%, quanto passaria 
a custar?
Solução: 
O primeiro passo é calcular os juros que serão acrescidos. Lembre-se de que a fórmula é: J = C x i x n, 
na qual:
J = juros
C = capital 
i = taxa de juros
n = período 
Portanto, juros = 28 x 0,18 x 1 = 5,04
 Observação
Como o período não foi mencionado no problema, o valor substituído 
na fórmula foi 1, considerando-se que serão acrescidos juros uma única 
vez, diferente se fosse referido 20% ao mês. 
19
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Sabemos que acrescer 18% sobre o valor do DVD equivale a somar R$ 5,04 sobre o valor original. 
Então,
Preço = R$ 28,00
Novo preço = 28 + 5,04 = 33,04
E se, em vez de um acréscimo, como o citado, fosse concedido um desconto de 20%, qual seria no 
novo preço?
Desconto = 28 x 0,20 x 1 = 5,60
Preço = R$ 28,00
Novo preço = 28 - 5,60 = 22,4
 Lembrete
Se quiséssemos calcular 20% de acréscimo ao valor do DVD, lembremos 
que bastaria multiplicarmos o valor do bem pela porcentagem mencionada. 
28,00 x 0,20 = 5,60
Trabalhamos, então, com o conceito de taxa de juros, mas vamos agora aplicar a taxa de juros nos 
conceitos de Matemática Financeira diferenciando juro exato de juro comercial. 
Juro exato
Utiliza o calendário civil, ou seja, 365 dias no ano.
Juro comercial 
Usa calendário com base no ano comercial, ou contábil, 360 dias/ano.
Para referenciar os conceitos de juro exato e juro comercial, citamos Bruni e Famá (2002), Hazzan e Pompeo 
(2004) e Assaf Neto (2002). Esses autores afirmam que os juros exatos e juro comercial são usados nas operações 
em curto prazo, situação em que é comum fazer uso de juros simples, com prazos definidos em dias. 
Vejamos um exemplo para entendermos melhor tudo isso. Em se tratando de uma aplicação com 
taxas de juros de 12% ao ano, ao calcularmos a taxa equivalente diária, teremos resultados diferentes 
se considerarmos juro exato ou comercial. Em juro exato, dividimos a taxa de juros pelo número exato 
de dias do ano:
Je a d= =
12
365
0 032876, /
20
Unidade I
Onde
Je = Juro exato
a/d= ao dia 
Em juro comercial, dividimos a taxa de juros pelo número de dias comercial, ou ano contábil:
Jc a d= =
12
360
0 033333, /
Onde
Jc = Juro comercial 
a/d = ao dia
 Lembrete
O cálculo que acabamos de realizar tem como base juros simples.
Para que o aluno entenda melhor, diferenciamos, em seguida, juros simples de compostos.
Juros simples 
A capitalização ocorre somente sobre o valor principal, ou capital inicial. 
Juros compostos 
A capitalização ocorre sobre o valor principal e sobre os juros incorridos; é o chamado juros sobre 
juros. Mais adiante vamos detalhar cada um deles; nesse momento é importante só entender o conceito. 
Vejamos um exemplo. Um capital de R$ 1.000,00 aplicado a uma taxa de juros de 10% ao mês ficaria 
da seguinte forma:
Juros simples
Tabela 1
Período Capital Juros Total 
1 1.000 100 1.100
2 1.000 100 1.200
3 1.000 100 1.300
21
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Juros compostos 
Tabela 2
Período Capital Juros Total 
1 1.000 100 1.100
2 1.100 110 1.210
3 1.210 121 1.331
Veja que os resultados não são os mesmos, que em juros compostos capitalizou-se juros sobre juros. 
Essa separação é importante para direcionarmos as discussões de que nos ocuparemos. 
1.2 Equivalência de taxas 
Resumidamente, é a forma de igualarmos taxas em períodos diferentes, como: 12% ao ano 
em juros simples ou compostos equivalem a qual taxa mensal? Será que é a mesma coisaque 
1% ao mês? 
• 12% ao ano equivalem à qual taxa mensal em juros simples?
 O ano tem 12 meses; então: 
12
12
1
%
%= ao mês.
 12% ao ano = 1% ao mês.
• 1% ao mês equivale a qual taxa trimestral em juros simples?
 Um trimestre tem 3 meses, então: 1 x 3 = 3%
 1% ao mês = 3% ao trimestre.
• 2% ao dia equivalem a qual taxa mensal em juros simples?
 O mês tem 30 dias, então = 2 x 30 = 60% ao mês.
 2% ao dia = 60% ao mês.
22
Unidade I
Exemplo de aplicaçãoExemplo de aplicação
Transforme as taxas em taxas equivalentes de acordo com o solicitado:
Quadro 1
Taxas: Transformar em: Resultado: 
2% ao mês Taxa semestral 
12% ao ano Taxa bimestral
1% ao trimestre Taxa mensal 
0,12% ao dia Taxa anual (ano comercial)
10% ao semestre Taxa trimestral 
6% ao trimestre Taxa anual 
2 % ao bimestre Taxa trimestral 
Calcule sem olhar as respostas, é uma forma de reforçar sua visão sobre os pontos discutidos.
Solução:
Quadro 2
Taxas: Transformar em: Resultado:
2% ao mês Taxa semestral 2 x 6 = 12% ao semestre 
12% ao ano Taxa bimestral
12
6
2= % ao bimestre
1% ao trimestre Taxa mensal 1
3
0 33= , % ao mês 
0,12% ao dia Taxa anual (ano comercial) 0,12 x 360 = 43,20% ao ano 
10% ao semestre Taxa trimestral 10
2
5= % ao trimestre 
6% ao trimestre Taxa anual 6 x 4 = 24% ao ano 
2 % ao bimestre Taxa trimestral 
2
2
1= % ao mês 
1 x 3 = 3% ao trimestre 
Como devemos refletir a respeito dessas taxas equivalentes?
• 2% ao mês é o mesmo que 12% ao semestre;
• 12% ao ano é o mesmo que 2% ao bimestre;
• 1% ao trimestre é o mesmo que 0,33% ao mês;
• 0,12% ao dia é o mesmo que 43,20% ao ano;
23
MATEMÁTICA FINANCEIRA
• 10% ao semestre é o mesmo que 5% ao trimestre;
• 6% ao trimestre é o mesmo que 24% ao ano;
• 2% ao bimestre é o mesmo que 3% ao trimestre.
Por isso, as chamamos de taxas equivalentes, um investimento que renda ou que cobre 2% ao mês 
ou 12% no semestre é a mesma coisa, resultará no mesmo rendimento ou cobrança de juros.
1.3 Equivalência de capitais 
Com a mesma definição de equivalência de taxas, dois capitais são equivalentes quando colocados 
no mesmo prazo. Como assim? Vamos utilizar os conceitos já estudados para entendermos melhor. 
Lembre-se de que o dinheiro tem valor no tempo. 
Vamos imaginar que você tenha emprestado R$ 1.000,00 a um amigo e que tenha cobrado dele 
uma taxa de juros de 10% ao mês. Este deverá a você, passados 2 meses, R$ 1.200,00, e, se lhe pagar 
1 mês depois da data do empréstimo, pagará 1 mês antes da data combinada. Quanto ele deve pagar? 
Dispondo esses dados em um diagrama de fluxo de caixa, temos:
1.100,00
1.000,00
0
momento que 
pediu o dinheiro 
emprestado
1 2
1.200,00
Figura 3
O amigo vai pagar R$ 1.100,00, ou seja, esse valor é o mesmo que R$ 1.200,00 no mês 2. São valores 
equivalentes. 
Cálculos como esse podem ser úteis em que situações? Vejamos. Imaginemos que eu saiba hoje que, 
dentro de 1 ano, terei de efetuar um pagamento no valor de R$ 1.200,00, dinheiro de que já disponho 
para quitação desse débito e que há aplicações que rendam uma taxa de 20% ao ano. Será melhor eu 
efetuar o pagamento ou aplicar o dinheiro? Vamos ver.
Primeira opção:
O credor não oferece desconto pelo pagamento da dívida à vista. Assim, pagarei R$ 1.200,00 e ficarei 
sem esse recurso. 
24
Unidade I
Segunda opção:
Aplicar R$ 1.200,00 por 1 ano a uma taxa de 20% ao ano:
1.200 x 0,2 = 240 
1.200 + 240 = R$ 1.440,00
Esse será o montante no final de 1 ano, que poderá pagar a dívida, sobrando R$ 240,00.
Então, devo pagar a dívida ou não? A resposta é não. Se eu efetuar esse pagamento hoje, terei de 
desembolsar R$ 1.200,00, sendo que eu poderia aplicar R$ 1.200,00 no prazo de 1 ano a uma taxa de 
20% ao ano. 
Percebemos que o dinheiro não tem o mesmo valor ao passar do tempo (mesmo não existindo 
inflação), e essa argumentação foi feita com termos estritamente econômicos, e não pessoais. 
Pagamentos diferentes em sua magnitude total, mas que são feitos em datas diferentes, 
podem ser equivalentes. Capitais são ditos equivalentes quando os seus valores, transferidos 
para a mesma data, com a mesma taxa de desconto (custo de oportunidade), são iguais. Vamos 
pensar inicialmente em taxas equivalentes em juros simples, que permitem a simples divisão ou 
multiplicação das taxas pelos períodos considerados. O importante aqui é o pensamento de que o 
dinheiro terá valor no tempo.
Aplicação:
Para calcular o valor atual:
PV
FV
i n
�
� �( )1
FV = valor futuro 
PV = valor presente 
i = taxa de juros
n = período 
Alguns autores utilizam a fórmula assim:
C
M
i n
�
� �( )1
25
MATEMÁTICA FINANCEIRA
M = montante, que é o mesmo que valor futuro
C = capital, que é o mesmo que valor atual
i = taxa de juros
n = período 
Vamos alternar aqui o uso dos dois conceitos para que o aluno se acostume com ambos.
Para calcular o valor futuro:
VF VP i n� � � �( )1
ou 
M C i n� � � �( )1
Quem nunca teve contato com cálculos financeiros deve entender da seguinte maneira. Calcular 
valor futuro é imaginar o valor que terá de pagar ou receber em um momento futuro. Por exemplo, se 
você deposita R$ 1.000,00 em um banco qualquer, quanto terá daqui a 12 meses? Perguntar qual é o 
montante ou qual é o valor futuro é a mesma coisa. 
E valor presente, o que é? É o valor de uma aplicação no momento atual. Por exemplo: tenho uma 
dívida de R$ 1.000,00 que vence em 12 meses e, caso queira pagar com 10 meses de antecedência, qual 
será o valor da dívida? Para tal, é preciso antecipar o valor da dívida para a data atual.
Exploremos melhor outro exemplo. Uma empresa tem um título a pagar de valor nominal de R$ 
1.000,00 que vence em 6 meses, com taxa de juros de 1,2% ao mês. O gestor financeiro procurou o 
credor da dívida e solicitou que, na mesma condição, ampliasse o prazo de pagamento, substituindo o 
título por um de vencimento em 12 meses. A proposta feita pela empresa credora foi a de substituir por 
um título com valor de R$ 1.100,00. Você a aceita ou não? Como resolver isso? 
Trazendo os dois valores para hoje: 
• primeiro, o valor nominal de R$ 1.000,00 para o momento zero, antecipando 6 meses:
PV
FV
i n
PV
PV
PV
�
� �
�
� �
�
�
�
( )
. ,
( , )
. ,
( , )
1
1 000 00
1 0 012 6
1 000 00
1 0 072
1.. ,
( , )
,
000 00
1 072
932 83PV �
26
Unidade I
PV
FV
i n
PV
PV
PV
�
� �
�
� �
�
�
�
( )
. ,
( , )
. ,
( , )
1
1 000 00
1 0 012 6
1 000 00
1 0 072
1.. ,
( , )
,
000 00
1 072
932 83PV �
Antecipemos agora a nova dívida por 12 meses:
PV
FV
i n
PV
PV
PV
�
� �
�
� �
�
�
�
( )
. ,
( , )
. ,
( , )
1
1 100 00
1 0 012 12
1 100 00
1 0 144
11 100 00
1144
. ,
( , )
PV = 961,53
Veja que os valores não são equivalentes, sendo que a proposta feita não é satisfatória para quem vai 
pagar. Logo, devemos rejeitar essa proposta, pagando um valor superior ao que encontramos trazendo 
a primeira dívida para o momento zero. 
R$ 932,83
R$ 961,53
R$ 1.000,00 R$ 1.100,00
0 6 meses 1 ano
Figura 4
Qual seria o valor justo a ser cobrado? Recorreremos à fórmula em seguida, mas não temos o FV, que 
é o que queremos descobrir. Qual é o valor futuro que devemos aceitar?
PV
FV
i n
X
�
� �
�
� �
( )
,
( , )
1
932 83
1 0 012 12
x=932,83 . 1,144
x=1.067,15
2 DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA 
Com os gráficos estudados anteriormente, pudemos ampliar os conceitos. Uma forma clara de 
entendermos o fluxo do dinheiro no tempo, sabendo das entradas ou saídas de recursos, é o diagrama 
27
MATEMÁTICA FINANCEIRA
de fluxo de caixa. Serve para facilitar a visualização dos movimentos monetários estabelecidos em 
distintos momentos ao longo do tempo, sendo, então, de grande utilidade para as operações de 
Matemática Financeira:
0 1
500 200
700 200
200
800
2 3 4 5
i%
Figura 5
O que significa? Como interpretar? Essa é uma operação qualquer, na qual, no momento 0, houve 
pagamento de 800,00, e um pagamento de 200,00 no momento 3, e estes representam a saída de 
caixa. Contudo, houve ainda entradade 500,00 no momento 1 e de 200,00 no momento 2, 700,00 
no momento 4 e 200,00 no momento 5. As setas para cima da linha do tempo refletem as entradas de 
dinheiro, e as setas para baixo da linha horizontal indicam as saídas. É imprescindível que o prazo e a 
taxa de juros estejam expressos na mesma unidade.
Apliquemos esse recurso, com mais um exemplo. Uma dívida de R$ 48.000,00 vence daqui a 6 meses. 
O devedor pretende quitá-la da seguinte forma: uma prestação de R$ 4.800,00 é paga hoje; uma de 
R$14.000,00, daqui a 2 meses e uma última de R$ 27.500,00, daqui a 7 meses. Vejamos como fica o 
diagrama do fluxo de caixa dessa dívida.
0 1
48.000,00
4.800,00 14.000,00 27.500,00
2 3 4 5 6 7
Figura 6
2.1 Regime de capitalização dos juros
É a forma como os juros são incorporados ao capital no decorrer do tempo e podem ser identificados 
em dois regimes de capitalização: simples e composto.
2.1.1 Regime de capitalização simples
Compara-se a uma progressão aritmética, isto é, o juro cresce de forma linear ao longo do tempo. Os 
juros incidem somente sobre o capital inicial da operação, e não sobre o acumulativo.
Para um melhor entendimento do sistema de capitalização simples, vamos supor uma aplicação no 
valor de R$ 1.000,00 por cinco anos, com taxa de juros no valor de 10% ao ano.
28
Unidade I
Primeiro ano de aplicação: 
O capital, que é o valor aplicado de R$ 1.000,00, multiplicado por 10%, perfará juros de R$ 100,00. 
Assim, no final do ano 1, teremos um montante de R$ 1.100,00 (1.000 + 100).
Segundo ano de aplicação:
Como os juros são lineares e ocorrem sempre sobre o capital, teremos mais juros de R$ 100,00. 
Assim, o montante é de R$ 1.100,00 + 100 = 1.200,00.
Terceiro ano de aplicação: 
Seguindo o mesmo raciocínio, R$ 100,00 de juros + 1.200,00 = 1.300,00.
Quarto ano: 
R$ 100,00 + 1.300 = 1.400,00
Quinto ano:
100,00 + 1.400 = 1.500,00
Essa aplicação acarretará montante de R$ 1.500,00 no final do quinto ano.
Dispondo as informações em tabela:
Tabela 3
Ano Capital Juros 10% a.a Montante 
0 1.000,00
1 1.000,00 1.000 x 0,10 = 100,00 1.000 + 100 = 1.100,00
2 1.000,00 1.000 x 0,10 = 100,00 1.100 + 100 = 1.200,00
3 1.000,00 1.000 x 0,10 = 100,00 1.200 + 100 = 1.300,00
4 1.000,00 1.000 x 0,10 = 100,00 1.300 + 100 = 1.400,00
5 1.000,00 1.000 x 0,10 = 100,00 1.400 + 100 = 1.500,00
 Observação
Veja que os juros incidiram somente sobre o capital, e esse valor de 
juros calculados é somado ao montante do período anterior.
Para calcular os valores da tabela que acabamos de preencher, podemos utilizar uma fórmula:
M = C ( 1 + i x n )
29
MATEMÁTICA FINANCEIRA
M = montante (representa o valor acumulado ao final de um período)
C = capital (valor do dinheiro no memento inicial, conhecido como valor atual)
i = taxa de juros
n = período
Fazendo as substituições:
M = 1.000 (1 + 0,10 x 5)
M = 1.000 (1 + 0,50)
M = 1.000 x 1,50
M = 1.500,00
Algumas observações podem ser apresentadas: os juros, por incidirem exclusivamente sobre o 
capital inicial de R$1.000,00, apresentam valores idênticos ao final de cada ano (R$ 100,00); como 
consequência, o crescimento dos juros no tempo é linear, revelando um comportamento idêntico ao 
de uma progressão aritmética. Os juros totais da operação atingem, nos 5 anos, R$ 500,00; se os juros 
simples não forem pagos ao final de cada ano, a remuneração do capital emprestado somente se opera 
pelo seu valor inicial (R$ 1.000,00), não ocorrendo rendimento sobre os juros que se formam no período. 
Assim, no 5º ano, a remuneração calculada de R$ 100,00 é obtida com base no capital aplicado há 5 
anos.
Alguns autores utilizam as nomenclaturas presentes na calculadora financeira HP12 C, em que:
M = FV ou valor futuro
C = PV ou valor presente
Com o mesmo exemplo, podemos calcular ainda os juros ocorridos e acumulados no período.
J = M – C
J = juros 
M = montante 
C = capital
J = 1.500,00 – 1.000,00 = 500,00
30
Unidade I
 Lembrete
O regime de juros simples tem como particularidade a incidência 
dos juros sobre o valor principal do empréstimo, isto é, os cálculos dos 
montantes (capital + juros) serão realizados com referência ao valor 
principal, independente do período. Sobre os juros gerados em cada período, 
não incidirão novos juros.
Valor principal ou simplesmente principal ou capital é o valor inicial 
emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros. 
Vejamos algumas opções:
Em juros simples podemos utilizar as seguintes fórmulas:
Para cálculo dos Juros: 
J C i n� � �
Para cálculo do capital: 
C
J
i n
�
�
Para cálculo da taxa de juros:
 i
J
c n
�
�
Para cálculo do período: 
 n
J
c i
�
�
J = juros
C = capital (principal)
i = taxa de juros
n = número de períodos
Para melhor entendimento do aluno, quando da realização dos exercícios, é importante conhecer as 
siglas presentes nos enunciados no que se refere à taxa de juros. 
31
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Quadro 3
Abreviatura Significado
a.d. ou a/d Ao dia
a.m Ao mês
a.b Ao bimestre
a.t Ao trimestre
a.q Ao quadrimestre
a.s Ao semestre
a.a Ao ano
Detenhamo-nos agora em alguns exemplos para você fixar o entendimento do que acabamos de 
estudar.
Exemplo 1. Um capital de R$ 1.500,00 foi aplicado à taxa de 10% a.b., pelo período de 2 meses, no 
regime de capitalização simples. Qual o valor dos juros para o período?
Primeiro passo: fazer uma legenda que extraia do enunciado todos os dados importantes.
J = ?, é o que queremos encontrar 
C = 1.500
i = 10% a.b
n = 2 meses
Segundo passo: verificar se a taxa e o período foram mencionados da mesma forma. 
i = 10% a.b e n = 2 meses 
 
Veja que não foram referidos do mesmo modo: a taxa foi mencionada em bimestre, e o período, em 
meses. 
Vamos, então, fazer uso de taxas equivalentes: uma taxa de 10% ao bimestre equivale a qual taxa 
mensal?
Como um bimestre tem dois meses, vamos dividir a taxa bimestral por 2.
Taxa mensal = 
10
2
5= % ao mês
32
Unidade I
Terceiro passo: transformar a taxa percentual em taxa unitária.
Taxa unitária = 
5
100
0 05= ,
Quarto passo: fazer a substituição dos valores na fórmula.
J = C x i x n
J = 1.500 x 0,05 x 2
J = 150
Os juros correspondem a R$ 150,00 em 2 meses, com taxa de 10% ao bimestre.
Exemplo 2. Um capital de R$ 1.120,00 foi aplicado a uma taxa de 5% a.m. no regime de capitalização 
simples por 7 meses. Qual o valor dos juros capitalizados durante o período de vigência da aplicação e 
o montante acumulado no final do período?
Legenda:
C = 1.120
i = 5% a.m
n = 7 m
J = ?
M = ?
Veja que a taxa e período foram referidos da mesma forma: em meses. Vamos, então, aos cálculos.
Calculemos primeiro o valor dos juros capitalizados durante o período de vigência da aplicação: 
J = C x i x n
J = 1.120 x 0,05 x 7
J = 392,00
Podemos calcular agora o montante acumulado no final do período:
M = J + C 
33
MATEMÁTICA FINANCEIRA
M = 392 + 1.120 
M = 1.512,00
Exemplo 3. Uma pessoa compra a prazo um DVD que custa, à vista, R$ 500,00, e faz dois pagamentos 
de R$ 270,00, um no ato da compra e outro um mês depois. Qual é a taxa de juros mensal cobrada 
pela loja?
Aqui é necessário preparar os dados para iniciar a operação. Veja que a compra foi no total de R$ 
500,00, sendo que o valor R$ 270,00 foi pago na hora. Sobre essa quantia não incide qualquer juro, pois 
foi paga à vista. Se o preço inicial era de R$ 500,00, e 270,00 foram pagos à vista, quanto restou para 
pagar no mês seguinte?
500 – 270 = 230. Esse é o valor que será financiado e pago um mês depois. 
Considerando que a segunda parcela paga foi de R$ 270,00 e o valor original de R$ 230,00, quanto 
foi pago de juros?
270,00 – 230,00 = 40,00. Esse foi o valor que se pagou a mais dos R$ 230,00 iniciais. Em porcentagem 
significa quanto? Vejamos:
i� � �
40
230
100 17 39, %
Exemplo 4. Temos uma dívida de R$ 80.000,00 que deve ser paga em um trimestre, com juros de 8% 
a.m. pelo regime de juros simples. Quanto pagaremos de juros?
Legenda: 
C = 80.000
i = 8% a.m
n = 1trimestre (corresponde a três meses) 
J = ?
Nesse caso, é mais fácil transformarmos o período na mesma referência da taxa, ou seja: trimestre 
em mês.
J C i n
J
� � �
� � �
�
80 000 0 08 3
00 00
. ,
. ,J 19 2
34
Unidade I
Exemplo 5. Uma dívida de R$ 50.000,00 deve ser paga em quatro bimestres, com juros de 20% 
a.m., pelo regime de juros simples. Quanto será pago de juros?
Legenda: 
C = 50.000
i= 20% a.m = 0,20
n = 4 bimestres = 8 meses 
J = ?
Calculemos:
J C i n
J
� � �
� � �50 000 0 20 8. ,
J = 80.000,00
Exemplo 6. Um negociante pegou um empréstimo a uma taxa de 12% ao mês, no regime de juros 
simples, para pagar daqui a 10 meses. O juro apurado foi de R$ 20.000,00. Quanto ele pegou emprestado?
A fórmula padrão é J = C ⋅ i ⋅ n, mas como o exercício solicita C (capital), devemos isolá-lo da 
seguinte forma:
C
J
i n
�
�
Legenda:
J= 20.000
i = 12% a.m
n = 10 meses 
C=?
Calculemos:
C �
�
�
20 000
0 12 10
16 666 66
.
,
. ,
Exemplo 7. Você investiu numa aplicação o valor de R$ 45.000,00 por 12 meses, o que lhe proporcionou 
um rendimento de R$ 8.000,00. Qual foi a taxa de juros simples dessa aplicação?
35
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Seguindo o mesmo raciocínio do exemplo anterior, a fórmula ficará da seguinte forma:
i
J
C n
�
�
Legenda:
J = 8.000
C = 45.000
n = 12 meses 
i = ?
Calculemos:
i
i
�
�
�
8 000
45 000 12
8 000
540 000
.
.
.
.
i = 0,014815 (equivale à taxa unitária) 
i = 1,4815 % ao mês (equivale à taxa percentual) 
Exemplo 8. Quanto tempo um capital de R$ 6.200,00 deve ficar aplicado a uma taxa de 4,7% a.m. 
para obter um rendimento de R$ 1.625,00?
Seguindo a mesma base dos exercícios anteriores, teremos uma nova fórmula:
n
J
C i
�
�
Legenda:
C= 6.200
i = 4,7% ao mês (taxa percentual) ou i = 0,047 (taxa unitária)
J = 1.625,00
n = ?
36
Unidade I
Substituindo: 
n
J
C i
n
�
�
�
�
1 625 00
6 200 0 047
. ,
. ,
n = =
1 625 00
29140
5 576
. ,
,
, , ou, arredondando = 6 meses.
Exemplo 9. Um capital de R$ 75.000,00 é aplicado à taxa de 4% ao mês durante o período de um 
quadrimestre. Qual o valor dos juros acumulados?
Legenda:
C = 75.000
i = 4% = 0,04 (taxa unitária)
n = 1 quadrimestre (4 meses) 
Substituindo:
J C i n
J
J
� � �
� � �
�
75 000 0 04 4
12 000 00
. ,
. ,
Exemplo 10. Foram emprestados R$ 17.000,00 pelo prazo de 55 dias, com a taxa de juros de 19% 
ao ano. Foi imposta a condição de pagar os juros junto à devolução do empréstimo. Calcule os juros no 
regime de juros simples considerando o ano comercial.
Devemos nos atentar para o tipo de juro: exato ou comercial? O exemplo refere-se a juro comercial, do que 
podemos entender o ano de 360 dias. Assim, a taxa anual de 19% ao ano deve ser transformada em taxa diária.
i = 19 % ao ano 
taxa diária = 
19
360
0 0527= , % ao dia
Todo o restante deve ser desenvolvido de maneira similar aos exemplos anteriores.
Legenda:
C = 17.000
n = 55 dias 
37
MATEMÁTICA FINANCEIRA
i = 19% a.a, ou 0,052777% a.d, que, em taxa unitária = 0,00052777
Substituindo:
J=C x i x n
J=17.000 x 0,00052777 x 55
J=493,46
Os juros obtidos foram de R$ 493,46.
Exemplo 11. Um capital de R$ 1500,00 foi aplicado à taxa de 30% a.a., no regime de capitalização 
simples, por um período de 4 meses. Qual o valor dos juros no período?
Legenda:
C = 1.500
i = 30% a.a
taxa mensal = 30/12 = 2,5% a.m 
taxa unitária = 0,025 
n = 4 meses 
J = ?
Substituindo:
 J = C x i x n
J = 1.500 x 0,025 x 4
J = 150,00
Nos exemplos citados, foi realizado um exercício de montante e outro de capital. Para fixar o 
aprendizado do aluno, vamos abrir espaço em seguida para tratamento dos dois conceitos.
2.2 Montante e capital em capitalização simples 
É importante estudar os conceitos de montante e capital, imprescindíveis para o estudo dos sistemas 
de amortização. Para facilitar esse estudo, recorreremos às definições de Rovina (2009, pp. 7-8):
38
Unidade I
Montante é o valor obtido através da soma do capital e dos juros produzidos 
em um determinado período; alguns autores, nas resoluções de exercícios, 
representam o montante pela letra M, e outros utilizam a abreviação FV, 
que, na calculadora financeira HP12C, representa valor futuro. 
 Lembrete
Montante é o valor do dinheiro em tempo futuro.
Como já foi apontado anteriormente, o montante pode ser obtido por meio da soma do capital com os juros.
Montante = capital + juros
Pelas representações da HP12C, ficaria assim:
FV = PV + INT
Capital é um valor monetário disponível em determinada data. Sempre é considerada a data zero, o momento 
em que é feita uma aplicação ou empréstimo. Sua representação ocorre pela letra C ou pela abreviatura PV, que, 
do inglês, significa valor presente. Não importando por qual dessas representações optar, o significado é o mesmo. 
 Lembrete
Capital é o valor presente do dinheiro, o valor na data zero da operação.
Mediante o entendimento dos conceitos de capital e montante, é possível obtermos as seguintes fórmulas:
Juros 
J=C x i x n
Montante 
M = C + J
Quando os juros não forem expressos, a fórmula do montante será:
M = C(1 + i ⋅ n)
Capital 
C
M
i n
�
� �( )1
39
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Observe que a base da fórmula é a mesma para encontrar quaisquer dos valores dos elementos que 
a compõem. Há casos em que precisamos depreender dela outros caminhos para chegarmos ao valor 
procurado, ou seja, isolarmos um elemento, segundo regras matemáticas, para encontrar o seu valor.
Taxa de juros 
Utilizando o método de isolar a variável necessária, obtemos as fórmulas para o cálculo da taxa de 
juros:
i
M
C
n
�
�1
Período 
Da mesma forma, obtemos a fórmula para determinar o período.
n
M
C
i
�
�1
 Lembrete
Em exercícios de capitalização composta, nos quais sejam fornecidos os 
valores de juros, taxa e capital, podemos usar das fórmulas de juros simples 
já fornecidas.
Com essas fórmulas, é possível resolvermos grande parte dos problemas matemático-financeiros. 
Vamos aos exemplos. O exemplo a seguir foi baseado em Assaf Neto (2002), Bruni e Famá (2002) e 
Hazzan e Pompeo (2004). Trata-se de um exercício padrão, com redação muito próxima daquela que 
geralmente se observa em treinamentos e testes de Matemática Financeira no Brasil.
Exemplo 1. Um capital de R$ 70.000,00 é aplicado à taxa de 3,5% ao mês, no regime de capitalização 
simples, durante um semestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados nesse período.
Legenda:
C = 70.000
i = 3,5% a.m. (taxa percentual); a taxa unitária = 0,035
n = 1 semestre = 6 meses
J = ?
40
Unidade I
Substituindo 
J = C x i x n
J = 70.000 x 0,035 x 6
J = R$ 14.700,00
Exemplo 2. Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 8% a.m. 
durante 10 meses. Ao final desse período, calculou em R$ 255.000,00 o total dos juros incorridos na 
operação. Determine o valor do empréstimo.
Como não é mencionado o montante, mas os juros, é mais fácil o cálculo pela fórmula de juros, 
e não pela do montante. Para quem está tendo o primeiro contato com a Matemática Financeira, 
uma das dificuldades é justamente saber qual fórmula utilizar, então entenda isso como uma dica do 
professor.
Legenda:
C = ?
J = 255.000
i = 8% ao mês (taxa percentual); taxa unitária = 0,08
n = 10 meses 
J = C x i x n 
Substituindo 
 
255.000 = C x 0,08 x 10 
Observe que o valor destacado passará para o outro lado da equação, dividindo:
C �
�
255 000
0 08 10
.
,
C = 318.750,00
Exemplo 3. Um capital de R$ 35.000,00 foi aplicado num fundo de poupança por 9 meses, 
produzindo um montante de R$ 44.750,00. Pede-se apurar a taxa de juros simples oferecida por 
essa operação.
41
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Legenda: 
C = 35.000
M = 44.750
n = 9 meses
i = ?
Substituindo:
i
M
C
n
i
i
i
�
�
�
�
�
�
� �
1
44 750
35 000
1
9
1278571 1
9
0 278571
9
0 030952
.
.
,
,
,
Como é taxa de juros, devemos multiplicar por 100:
i = 0,030952 x 100 = 3,0952% ao mês.
Outra forma de fazer o mesmo exercício:
J = Cx i x n 
Não temos, de forma explícita, o valor dos juros, mas o montante e o capital, e sabemos que o 
montante equivale ao capital acrescido dos juros. Então, se retirarmos, do montante, o capital, sobrarão 
os juros:
J = M – C 
J = 44.750 – 35.000 = 9.750,00
Agora podemos utilizar a fórmula de juros:
9.750 = 35.000 x i x 9
42
Unidade I
9.750 = 315.000 x i
i= =
9 750
315 000
0 030952
.
.
,
Como é taxa de juros, devemos multiplicar por 100:
 i = 0,030952 x 100 = 3,0952% ao mês.
Exemplo 4. Uma aplicação de R$ 244.000,00 rendendo a uma taxa de juros simples de 1,9% ao 
mês produz, ao final de determinado período, juros no valor de R$ 31.000,00. Calcular o prazo da 
aplicação.
Legenda: 
C = 244.000
i = 1,9% ao mês (taxa percentual); a taxa unitária = 0,019
J= 31.000
n=?
M = C + J = 275.000
Substituindo: 
n
M
C
i
�
�1
Primeiro, fazemos a divisão, depois, subtraímos 1, dividindo o resultado por 0,019.
n
n
n
�
�
�
�
�
275 000
244 000
1
0 019
1127049 1
0 019
0 127049
0 019
.
.
,
,
,
,
,
n= 6,6867 meses ou arredondando 7 meses.
43
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Exemplo 5. Uma empresa tomou R$ 3.500,00 emprestados para pagar dentro de 7 meses, a uma taxa 
de juros simples igual a 5,5% a.m. Calcule o valor futuro dessa operação.
 Lembrete
Valor futuro é o valor do dinheiro após um determinado período, é o 
que chamamos de montante.
Legenda:
C = 3.500
n = 7 meses
i = 5,5% ao mês (taxa percentual); a taxa de juros unitária = 0,055 
M = ?
M = C (1 + i x n)
M = 3.500 (1 + 0,055 x 7)
M = R$ 4.847,50
Exemplo 6. Uma aplicação feita no regime de juros simples rendeu um montante igual a R$ 780,00 
após 6 meses, a uma taxa de 9,5% a.m. Qual o capital inicial da operação?
C = ?
M = 780,00
n = 6 meses 
i = 19% ao bimestre = 9,5% ao mês (taxa percentual); a taxa de juros unitária = 0,095
Substituindo:
C
M
i n
C
C
C
�
� �
�
� �
�
�
( )
( , )
,
,
1
780
1 0 095 6
780
157
496 81
44
Unidade I
C
M
i n
C
C
C
�
� �
�
� �
�
�
( )
( , )
,
,
1
780
1 0 095 6
780
157
496 81
3 DESCONTO SIMPLES RACIONAL OU “POR DENTRO”
O desconto simples racional, também chamado de desconto “por dentro”, assume os conceitos e 
relações básicas de juros simples. Dessa forma, Dr é o valor do desconto racional, C é o capital (ou valor 
atual), i é a taxa periódica de juros e n é o prazo do desconto (número de períodos em que o título é 
negociado antes de seu vencimento). Tem-se a seguir a expressão de juros simples:
Dr = C x i x n
Pela definição de desconto, e incorporando o conceito de valor descontado no lugar do capital no 
cálculo do desconto, obtém-se:
Dr = N – Vr
sendo que N é o valor nominal (ou valor de resgate ou montante) e Vr é o valor descontado racional 
(ou valor atual) na data da operação:
V N Dr r� �
Na maioria dos exercícios, vamos utilizar as seguintes fórmulas:
Desconto:
D
N i n
i nr
�
� �
� �1
Valor descontado:
V
N
i nr
�
� �1
 Lembrete
No desconto racional, o juro incide sobre o capital do título e a taxa de 
juros (aqui representada como desconto) é o custo incorrido no período do 
desconto.
Temos a seguir mais um exemplo baseado em Assaf Neto (2002), Bruni e Famá (2002) e Hazzan e 
Pompeo (2004), muito próximo de treinamentos e testes de Matemática Financeira no Brasil.
45
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Exemplo 1. Seja um título de valor de R$ 3.500,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 2 
meses antes de seu vencimento. Sendo 48% a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o 
desconto e o valor descontado.
Primeiro, vejamos a solução graficamente: 
Vr N = R$ 3.500,00 
0 i = 48% a.a
4% a.m
12 meses10
Figura 7
Análogo ao que já estudamos na capitalização simples, trazemos um valor futuro para o presente.
Legenda:
N = 3.500
n = 2 meses
i = 48% a.a, ou, em taxa mensal, = 4% ao mês 
Dr = ?
Vr = ?
D
N i n
i n
D
r
r
�
� �
� �
�
� �
� �
� �
1
3 500 0 04 2
1 0 04 2
280
1 08
259 26
. ,
, ,
, (valor do desconto)
Esse é o valor que será abatido, ou deduzido, do valor nominal do título. 
Valor descontado 
V N D
V
r r
r
� �
� � �3 500 259 26 3 240 74. , $ . ,
Ou
46
Unidade I
V
N
i n
V
r
r
�
� �
�
� �
�
1
3 500 00
1 0 04 2
3 240 74
. ,
,
$ . ,
Para o devedor, o valor de R$ 259,26 representa o que se está deixando de pagar por quitar a dívida 
antecipadamente. O valor líquido do pagamento (valor descontado) é de R$ 3.240,71.
3.1 Desconto bancário ou comercial ou “por fora”
De ampla utilização pelo mercado, em operações de crédito bancário e comercial de curto prazo, 
segundo autores brasileiros de trabalhos de Matemática Financeira, como Bruni e Famá (2002), Hazzan 
e Pompeo (2004) e Assaf Neto (2002), o desconto comercial (ou “por fora”) proporciona maior volume 
de encargos financeiros nas operações, porque incide sobre o valor nominal, ou “valor de resgate”.
Determina-se o desconto por fora (DF, no regime de juros) da seguinte forma: o produto do valor 
nominal do título (N) multiplicado pela taxa de desconto periódica “por fora” contratada na operação (d) 
e pelo prazo de antecipação definido para o desconto (n), o que pode ser matematicamente representado 
da seguinte forma: 
DF = N x d x n
Sendo assim, aplicando-se a definição para o valor descontado “por fora” (VF), obtém-se a seguinte 
fórmula:
VF = N – DF
VF = N – N x d x n
VF = N (1 – d x n)
Dediquemo-nos, em seguida, a três exemplos para fixarmos o que acabamos de aprender; os dois 
primeiros, como outros no decorrer desse material, foram baseados em Assaf Neto (2002), Bruni e Famá 
(2002) e Hazzan e Pompeo (2004).
Exemplo 1. Qual o valor do desconto bancário de uma duplicata de R$ 100,00 descontada 60 dias 
antes do vencimento, à taxa de desconto de 0,2% a.d.?
Legenda:
Db = ?
47
MATEMÁTICA FINANCEIRA
N = 100
d = 0,2% a.d. = 0,002 a.d.
n = 60 dias
Db = N x d x n
Db = 100,00 x 0,002 x 60
Db = R$ 12,00
O valor do desconto bancário é de R$ 12,00.
Exemplo 2. Uma empresa emitiu uma duplicata de R$ 7.500,00 a vencer em 3 de abril. No dia 19 de 
janeiro, descontou o título num banco que cobra 2,5% a.m. de desconto bancário. Calcular o valor de 
resgate do título.
Legenda:
N = 7.500
C = ?
i = 2,5% a.m. = 2,5/30 = 0,0833% ao dia (taxa percentual); taxa unitária = 0,000833 a.d.
n = 74 dias
C = 7.500 (1– 0,000833 x 74)
C= 7.500 ( 1 – 0,091667)
C= 7.500 (0,938333)
O valor do resgate é R$ 7.037,50.
Exemplo de aplicaçãoExemplo de aplicação
Ao longo da unidade, você teve contato com termos das áreas financeira e matemática que 
correspondem a determinados conceitos. Propomos, por isso, que você aprofunde sua compreensão com 
relação a eles. Tente explicar a seguir com suas próprias palavras o que significa juro. Caso necessite, 
volte ao texto, releia-o e pesquise, em livros e na internet, não só o que o termo significa, mas como os 
profissionais da área financeira e matemática o utilizam.
48
Unidade I
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________.
 Saiba mais
A Matemática, em geral, e a Financeira, ainda mais, podem ser disciplinas 
muito enfadonhas (chata) para grande parte dos estudantes. No entanto, 
também podem ser divertidas e curiosas. Recomendamos, após o estudo 
desta unidade, a leitura dos livros a seguir:
TAHAN, M. O homem que calculava. São Paulo: Record, 2003.
______. Matemática divertida e curiosa. São Paulo: Record, 2002.
Há também um bem recomendado site com muitas informações sobre 
Malba Tahan: <http://www.malbatahan.com.br/>.
4 REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Compara-se a uma progressão geométrica, ou seja, o juro crescede forma exponencial ao longo do 
tempo. Os juros incorporam-se ao capital inicial da operação e de forma acumulativa, isto é, juros sobre 
juros.
Vejamos exemplo:
Tabela 4
Ano Capital Juros 10% a.a Montante 
0 1.000,00
1 1.000,00 1.000 x 0,10 = 100,00 1.000 + 100 = 1.100,00
2 1.100,00 1.100 x 0,10 = 110,00 1.100 + 110 = 1.210,00
3 1.210,00 1.210 x 0,10 = 121,00 1.210 + 121 = 1.331,00
4 1.331,00 1.331 x 0,10 = 133,10 1.331 + 133,1 = 1.464,10
5 1.464,10 1.464,10 x 0,10 = 146,41 1.464,10 + 146,41 = 1.610,51
49
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Na comparação entre juros simples e compostos, o mesmo capital aplicado pelo mesmo período e 
taxa de juros fica da seguinte forma:
Tabela 5
Ano Simples Montante Composto Montante 
0 1.000,00 1.000,00
1 1.100,00 1.100,00
2 1.200,00 1.210,00
3 1.300,00 1.331,00
4 1.400,00 1.464,10
5 1.500,00 1.610,51
1800
1500
1200
900
600
1 2 3 4 5 6
Ano
Simples montante
Composto montante
Figura 8
Observe, na tabela de juros compostos, que os juros não incidem unicamente sobre o capital inicial 
de R$ 1.000,00, mas sobre o saldo total existente no início de cada ano. O crescimento dos juros ocorre 
em progressão geométrica, evoluindo de forma exponencial ao longo do tempo.
4.1 Juros compostos
O regime de juros compostos é comumente usado no sistema financeiro e, com isso, o mais usual 
para cálculos de problemas financeiros do cotidiano. Uma particularidade é serem juros gerados a cada 
período e incorporados ao valor principal para serem referência no cálculo dos juros do período seguinte, 
isto é, são juros sobre juros. 
O momento em que os juros são incorporados ao valor principal é quando ocorre a capitalização. A 
seguir, temos a expressão algébrica que demonstra os juros sobre juros em três períodos:
1º mês
M = C.(1 + i)
50
Unidade I
2º mês: o principal passa a ser o montante do mês anterior:
M = C x (1 + i) x (1 + i)
3º mês: o principal passa a ser o montante do mês anterior:
M = C x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)
Dessa forma, é possível obtermos a fórmula da qual deriva todas as outras fórmulas que veremos 
em seguida a ela:
M = C.(1 + i)n
Para calcular o capital:
C
M
i n
�
�( )1
Para calcular o juro:
j C i n� � � ���
�
�( )1 1
Para calcular a taxa de juros:
i
M
C
n� �( )
1
1
 Observação
A taxa de juros, representada pela letra i, tem de ser expressa na mesma 
medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses. 
Obviamente, podem ser usadas outras unidades de tempo como ano, 
semestre etc., mas devemos sempre utilizar a mesma unidade para período 
e taxa.
Para calcular o juro, basta diminuir o valor principal do montante ao final do período:
J = M – C
Analisemos um exemplo para que você possa compreender melhor o conceito de juros compostos. 
Se uma pessoa deseja obter R$ 26.750,00 dentro de 11 meses, quanto deverá depositar hoje numa 
poupança que rende 1,65% de juros compostos ao mês?
51
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Interpretemos a questão. Veja a pergunta: quanto deverá guardar hoje? Lembre-se de que definimos 
o valor do dinheiro hoje como o capital ou o valor presente, e o valor que desejamos obter no futuro, 
como montante ou valor futuro. 
Sendo assim, vamos à solução do problema:
Legenda:
M = 26.750
i = 1,65% a.m
n = 11 meses 
C = ?
Substituindo: 
C
M
i
C
C
C
n
�
�
�
�
�
�
( )
.
( , )
.
,
. ,
1
26 750
1 0 0165
26 750
1197139
22 343 07
11
Para que o gestor financeiro tenha a visão de mercado, vamos indicar, em alguns exercícios, a solução 
na HP12C, deixando claro, contudo, que essa ferramenta não poderá ser utilizada nas avaliações; a 
permissão aqui é simplesmente para embasar o aluno nas ações de mercado. Vale observar que nem 
sempre se podem utilizar calculadoras nos exames oficiais.
Figura 9 – HP12C
52
Unidade I
Para a calculadora HP12C realizar cálculos de capitalização composta, deve exibir a letra C no visor. 
Caso não mostre, aperte a tecla STO e depois EEX. 
Fazendo os cálculos:
Digite o valor principal, 26750, depois aperte a tecla chs, em seguida a tecla FV, digite 1,65 que é a 
taxa de juros, e para conformar como taxa aperte a tecla i, digite 11 e em seguida aperte a tecla n, estará 
assim registrando o período. Por último aperte a tecla PV e o resultado será exibido. Para facilitar, segue 
sequência a ser seguida.
Digite os dados da legenda nesta sequência: 
26750
Chs
FV
1,65
i
11
n
PV 
E terá o resultado: R$ 22.343,05.
A mínima diferença nos centavos é devido às dízimas periódicas. Para fixar o aprendizado, vejamos 
outros exemplos.
Exemplo 1. Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 12.000,00 em um título pelo prazo de 8 
meses à taxa de juros compostos de 3,5% a.m.?
Legenda:
C= 12.000,00
i = 3,5% a.m
n = 8 meses
M = ?
53
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Substituindo:
M = C (1 + i)n
M = 12000 (1 + 0,035)8
M = R$ 15.801,71
Cálculo pela HP12C:
Digite os dados da legenda nesta sequência: 
12000 
Chs
Pv
3,5
i
8
n
FV
Resultado: R$ 15.801,70.
Exemplo 2. Calcule o montante de um capital de R$ 6.750,00, aplicado no regime de juros compostos, 
durante 13 meses, à taxa de 3,8% ao mês.
Legenda:
C = R$ 6.750,00
n = 13 meses
i = 3,8% a.m. = 0,038
M = ?
Cálculo:
M = C.(1+i)n
54
Unidade I
M = 6750 (1+0,038)13
M=10.961,48
Cálculo pela HP12C:
Digite na sequência os dados da legenda:
6750
Chs
Pv
3,8
i
13 
n
FV
Resultado: R$ 10.961,48.
Exemplo 3. Determinar os juros pagos de um empréstimo de R$ 87.520,00 pelo prazo de 6 meses, à 
taxa composta de 3,35% ao mês.
Legenda:
C = R$ 87.520,00
i = 3,35% a.m (taxa percentual); taxa unitária = 0,0335
n = 6 meses
J = ?
Solução:
J = C [(1+i)n–1]
j = 87.520 [(1 + 0,0335)6 – 1]
j = 87.520 [(1,0335)6 – 1]
55
MATEMÁTICA FINANCEIRA
j = 87.520 [1,218604 – 1]
j = 87.520 [0,218604]
j = R$ 19.132,22
Para o cálculo na HP12C, digite sequencialmente os dados da legenda:
87520
Chs
Pv
3,35
i
6
f
n
Resultado: R$ 19.132,29.
Exemplo 4. Calcule quanto se deve depositar hoje para resgatar R$ 100.000,00 daqui a 15 meses, 
considerando a taxa de juro de 1,75% ao mês no regime de juros compostos.
Legenda: 
M = 100.000,00
C = ?
i = 1,75% a.m
n = 15 meses 
C = ?
Substituindo: 
C
M
i
C
C
C
n
�
�
�
�
�
� �
�
( )
.
( , )
.
,
. ,
1
100 000
1 0 0175
100 000
1297227
77 087
15
551
56
Unidade I
C
M
i
C
C
C
n
�
�
�
�
�
� �
�
( )
.
( , )
.
,
. ,
1
100 000
1 0 0175
100 000
1297227
77 087
15
551
Para o cálculo na HP12C, digite sequencialmente os dados da legenda:
100000
Chs
Fv
1,75
i
15
n
Pv
 
Resultado: R$ 77.087,46
 Observação
Houve uma pequena diferença nos centavos, pois na HP12C considera-
se todos os números após a vírgula e, feita com fórmulas, por questão de 
espaço, utiliza-se somente seis dígitos após a vírgula.
Exemplo 5. João emprestou a Maria R$ 100.000,00, e, após seis meses, a devolução do empréstimo 
foi de R$ 141.852,00. Considerando capitalização composta, qual foi a taxa de juros mensal dessa 
operação? 
Legenda:
C = 100.000,00
M = 141.852,00
n = 6 meses 
i = ?
Solução:
57
MATEMÁTICA FINANCEIRA
i = (M / C)1/n -1
i = (141.852 / 100.000)1/6 -1
i = 0,06
Desenvolvendo o cálculo pela HP12C:
(141.852 / 100.000)1/6 -1
Figura 10
1) abrir parêntese;
2) digitar 141852 / 100000;
3) fechar parêntese;
4) apertar a tecla ^, que indica que os valores digitados na sequência estarão em potência;
5) abrir parêntese;
6) digitar 1/6;
7) fechar parêntese;
8) digitar – 1 e =.
Para desenvolver o mesmo cálculo na calculadora do computador, você deve seguir os mesmos 
passos vistos anteriormente, com a única diferença de digitar no lugar de isto: x, em algumas tem-se 
a tecla: yx.
58
Unidade I
Figura 11
Exemplo 6. Hoje foram aplicados R$ 10.000,00 pelo prazo de 12 meses, com taxa de juro de 3,5% ao 
trimestre. Calcule o valor do resgate considerando o regime de juros compostos.
Legenda:
C= 10.000
n = 12 meses (4 trimestres) 
i = 3,5 a.t (taxa percentual); taxa unitária = 0,035
M = ?
Solução:
M= C x (1 + i)n
M = 10.000 x (1 + 0,035)4 = 11.475,23
Exemplo de aplicaçãoExemplo de aplicação
1. Calcule quanto deveria ser aplicado hoje para se resgatarem R$ 10.000,00 daqui a 12 meses, 
considerando a taxa de juro constante de 2,2% ao mês, no regime de juros compostos.
 
Legenda:
59
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Calculando:
Solução: 
C = M / (1 + i)n
C = 10000 / (1+0,022)12
C = 7.701,75
2. Um investidor tem R$ 11.000,00 para aplicar durante 4 meses. Consultou um determinado banco 
e recebeu as seguintes propostas de investimento:
I: 2,5% de juros simples ao mês.
II: 1,3% de juros compostos ao mês.
III: resgate de R$ 11.450,00 ao final de um período de quatro meses.
Qual é a mais interessante?
Análise da proposta I
60
Unidade I
Análise da proposta II
Análise da proposta III
Solução: 
Proposta I: juros simples
i = 2,5% ao mês 
N = 4 meses
C = 11.000
M = ?
Substituindo na fórmula:
M = C ( 1+ i x n)
M = 11.000 ( 1+ 0,025 x 4)
M = 11.000 (1,10)
M= 12.100,00
61
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Proposta II: juros compostos 
i = 1,3% ao mês 
N = 4 meses
C = 11.000
M = ?
Substituindo na fórmula:
M = C ( 1+ i)n
M = 11.000 ( 1 + 0,013)4
M = 11.583,25
Proposta III: retorno de 11.450,00.
Decisão: olhando somente para os valores absolutos, já temos a escolha da opção I, pois o valor é 
maior pelo mesmo período. Isso significa que as taxas não são equivalentes. Visualizemos melhor cada 
proposta no quadro em seguida.
Quadro 4
Proposta I Proposta II Proposta III
i = (M / C)1/n -1
i = ( 12.100 / 11.000)1/4 – 1
i = 2,4% ao mês 
Taxa da opção II
1,3% ao mês 
i = (M / C)1/n -1
i= (11.450 / 11000)1/4 – 1 
i = 1,007% ao mês 
3. Calcule os juros compostos e o montante referentes a um capital de R$ 7.500,00, aplicado durante 
6 meses, à taxa de 10% a.m.
62
Unidade I
Solução: 
Legenda 
C = 7.500
i = 10% a.m. = 0,10
n = 6 meses
J = ?
M = ?
Cálculo para encontrar o montante: 
M = C . (1 + i)n
M = 7.500,00 (1 + 0,10)6
M = 7.500,00 (1,10)6
M = 7.500,00 (1,771561)
M = 13.286,70
Calculemos agora os juros compostos, o que pode ser realizado de duas formas:
Primeira forma:
J = M – C
J = 13.286,70 – 7.500,00
J = 5.786,70
Segunda forma:
J = C . [(1 + i)n–1]
J = 7.500,00 [(1 + 0,10)6–1]
J = 5.786,70
63
MATEMÁTICA FINANCEIRA
4.2 Taxas proporcionais e equivalentes em capitalização composta
Da mesma maneira que estudamos em juros simples, as taxas em juros compostos também exigem 
análise de equivalência em algumas situações. Para compreender o significado dessas taxas, é necessário 
reconhecer que toda operação envolve dois prazos:
• prazo a que se refere a taxa de juros;
• prazo de capitalização do juros.
Para exemplificar, um investimento paga aos investidores uma taxa de juros de 6% ao ano, a qual 
é capitalizada ao valor principal, todo mês, por meio de um percentual proporcional de 0,5% a.m. 
Portanto, temos dois prazos: prazo da taxa em ano e prazo da capitalização em mês, e, para uso das 
fórmulas da Matemática Financeira, é necessário expressá-los na mesma unidade de tempo.
No regime de juros compostos, o conceito de taxa equivalente permanece válido, diferenciando a 
fórmula de cálculo da taxa de juros. Vejamos:
 Lembrete
Duas taxas são equivalentes quando um determinado capital aplicado 
produz mesmo montante no mesmo período.
iq iq� � �1 1
ou 
iq i q� � �( )1 1
1
iq= (1+i)1/q – 1
em que:
q = número de períodos de capitalização.
Veja alguns exemplos para compreender melhor o que acabamos de estudar.
Exemplo 1. Qual a taxa equivalente composta mensal de 10,3826% ao semestre?
Temos duas formas de solucionar o problema. Vejamos a primeira delas:
iq iq� � �1 1
64
Unidade I
i
i
i
6
6
6
6
6
1 0 103826 1
1103826 1
166
� � �
� �
�
,
,
,
A segunda solução é esta: 
iq = (1+i)
1/q – 1
iq = (1+0,103826)
1/6 – 1
iq = (1,103826)
1/6 – 1
iq = 1,0165999 – 1
iq= 0,0165999. 
Como é taxa, iq = 0,0165999 x 100 = 1,66% ao mês. 
Interpretação: 10,3826% ao semestre ou 1,66% ao mês é a mesma coisa; em linguagem técnica são 
equivalentes ou proporcionais. Assim sendo, a um mesmo capital e prazo de aplicação, é financeiramente 
indiferente o rendimento de 1,66% ao mês ou 10,3826% ao semestre. Para demonstrar isso, pensemos 
numa aplicação de $ 50.000,00 aplicado por 2 anos:
• Para i = 1,66% e n = 24 meses:
M = 50.000,00 (1,0166)24 = R$ 74.228,81
• Para i = 10,3826% e n = 4 semestres:
M = 50.000,00 (1,103826)4 = R$ 74.228,81
Exemplo 2. A taxa Selic anual atual é de 9,5%. Qual é taxa equivalente ao dia e ao mês, considerando 
o ano comercial?
Solução:
Ao dia 
i i
i
i
i
q
q� � �
� � �
� �
�
1 1
1 0 095 1
1 000252 1
0 000252
360
360
360
360
,
,
,
65
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Como é taxa I360= 0,000252 x 100 = 0,0252% ao dia. 
Ao mês 
i i
i
i
q
q� � �
� � �
� �
1 1
1 0 095 1
1 007591 1
12
12
12
,
,
i12 = 0,007591
Como é taxa 
i12 = 0,007591 x 100 = 0,7591% ao mês.
Sendo assim: 9,5% ao ano, 0,0252% ao dia e 0,7591% ao mês são equivalentes.
 Observação
Perceba que os procedimentos são diferentes dos métodos utilizados 
em juros simples, pois simplesmente efetuávamos a divisão pelos períodos 
envolvidos, sendo que 12% ao ano era equivalente a 1% ao mês.
Exemplo 3. A taxa de juros de um financiamento está fixada em 4,2% a.m. em determinado instante. 
Qual a taxa acumulada para 1 ano?
 Observação
Nos modelos apontados anteriormente, foi necessário transformar ano 
em mês, ou seja, a pergunta era: quantos meses tem um ano? Assim, o 
expoente em um dos casos era 12. E, quando era para transformar taxa 
anual e taxa diária, a pergunta a ser feita era: quantos dias tem um ano? 
Assim, o expoente era 360. Agora, teremos de transformar mês em ano; a 
pergunta deve ser então: um mês em ano deve ser representado como? 
Nesse caso expoente da raiz ficará, então, da seguinte forma: 1/12.
i i
i
i
i
q
q� � �
� � �
� �
�
1 1
1 0 042 1
0
112
112
12
12
/
/ ,
,
,
16383 1
6383
66
Unidade I
como é taxa 
i x
i
12
12
0 6383 100=
=
,
63,83% ao ano
Exemplo 4. Capitalizar as seguintes taxas:
Quadro 4
2,3% ao mês Em taxa anual 
0,14% ao dia Para 23 dias
7,45% ao trimestre Para um ano
6,75% ao semestre Para um ano
34% ao ano Em taxa mensal 
Solução:
2,3% ao mês Em taxa anual ia = (1+0,023)12 – 1 = 31,37 % a.a.
0,14% ao dia Para 23 dias id = (1+0,0014)23 – 1 = 3,27% para 23 dias.
7,45% ao trimestre Para um ano ia = (1+0,0745)4 – 1 = 33,29% a.a
6,75% ao semestre Para um ano ia = (1+0,0675)2–1= 13,95% a.a.
34% ao ano Em taxa mensal im = (1+0,34)1/12 – 1 = 2,47%a.m.
 Resumo
Nesta unidade, você deu seus primeiros passos no ambiente da 
Matemática Financeira, ao estudar os conceitos fundamentais utilizados 
por todos os que se deparam com problemas matemáticos relacionados aos 
negócios. Estudou conceitos como: juros; capitais; fluxo de caixa; valor 
atual; capitalização simples e composta; juros simples e juros compostos; 
montante, capital; taxas proporcionais e equivalentes; desconto simples, 
racional ou “por dentro”.
Conforme advertimos, é importante que se dedique bastante a esta 
unidade, não partindo tão logo, então, à unidade II. Dessa forma, caso não 
tenha assimilado bem tudo o que vimos até agora, volte e estude mais um 
pouco. Quanto mais tempo puder se dedicar aos estudos dessa primeira 
parte do nosso material, melhor!
67
MATEMÁTICA FINANCEIRA
No mais, parabéns por todo o seu esforço. Estas primeiras páginas 
proporcionaram um conhecimento que pode ser considerado a base 
matemática para sua vida profissional, sendo-lhe muito útil para outros 
desafios ao longo do curso. O primeiro desses desafios já bate à sua porta. 
Vamos para a unidade II.
 Exercícios
Questão 1. (ATE/SEFAZ/MT 2001) A quantia de R$ 1.000,00 é aplicada mensalmente durante seis 
meses; a quantia de R$ 2.000,00 é aplicada mensalmente durante os seis meses seguintes e, finalmente, 
a quantia de R$ 3.000,00 é aplicada mensalmente durante mais seis meses. Qual o valor mais próximo 
domontante das aplicações ao fim dos dezoito meses de prazo, considerando que as aplicações foram 
sempre realizadas ao fim de cada mês e renderam uma taxa de juros compostos de 4% ao mês?
A) R$ 41.040,00
B) R$ 47.304,00
C) R$ 51.291,00
D) R$ 60.000,00
E) R$ 72.000,00
Resposta correta: alternativa B.
Análise das alternativas
Justificativa geral: no enunciado da questão é dado que uma aplicação de R$ 1.000,00 é realizada 
por 6 meses e após, outra de R$ 2.000,00, também por 6 meses e, por fim, mais uma de R$ 3.000,00, 
também por 6 meses. Pode-se entender que houve uma aplicação de R$ 1.000,00 por 18 meses, outra 
de R$ 1.000,00 por 12 meses e mais outra de R$ 1.000,00 por 6 meses. Nessa circunstância, o montante 
é obtido pela aplicação da fórmula seguinte:
M = [P (1+ i)n ], i n4% , sendo que i
n
4% é obtido na tabela a seguir:
68
Unidade I
Fator de VALOR PRESENTE de uma SÉRIE UNIFORME
Valor Presente de uma Série Uniforme: multiplique o valor da parcela fixa pelo fator da tabela e encontre o valor presente de todas 
as parcelas da série de pagamentos
n/i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16%
1 0,9901 0,9804 0,9709 0,9615 0,9524 0,9434 0,9346 0,9259 0,9174 0,9091 0,9009 0,8929 0,8850 0,8772 0,8696 0,8621
2 1,9704 1,9416 1,9135 1,8861 1,8594 1,8334 1,8080 1,7833 1,7591 1,7355 1,7125 1,6901 1,6681 1,6467 1,6257 1,6052
3 2,9410 2,8839 2,8286 2,7751 2,7232 2,6730 2,6243 2,5771 2,5313 2,4869 2,4437 2,4018 2,3612 2,3216 2,2832 2,2459
4 3,9020 3,8077 3,7171 3,6299 3,5460 3,4651 3,3872 3,3121 3,2397 3,1699 3,1024 3,0373 2,9745 2,9137 2,8550 2,7982
5 4,8534 4,7135 4,5797 4,4518 4,3295 4,2124 4,1002 3,9927 3,8897 3,7908 3,6959 3,6048 3,5172 3,4331 3,3522 3,2743
6 5,7955 5,6014 5,4172 5,2421 5,0757 4,9173 4,7665 4,6229 4,4859 4,3553 4,2305 4,1114 3,9975 3,8887 3,7845 3,6847
7 6,7282 6,4720 6,2303 6,0021 5,7864 5,5824 5,3893 5,2064 5,0330 4,8684 4,7122 4,5638 4,4226 4,2883 4,1604 4,0386
8 7,6517 7,3255 7,0197 6,7327 6,4632 6,2098 5,9713 5,7466 5,5348 5,3349 5,1461 4,9676 4,7988 4,6389 4,4873 4,3436
9 8,5660 8,1622 7,7861 7,4353 7,1078 6,8017 6,5152 6,2469 5,9952 5,7590 5,5370 5,3282 5,1317 4,9464 4,7716 4,6065
10 9,4713 8,9826 8,5302 8,1109 7,7217 7,3601 7,0236 6,7101 6,4177 6,1446 5,8892 5,6502 5,4262 5,2161 5,0188 4,8332
11 10,3676 9,7868 9,2526 8,7605 8,3064 7,8869 7,4987 7,1390 6,8052 6,4951 6,2065 5,9377 5,6869 5,4527 5,2337 5,0286
12 11,2551 10,5753 9,9540 9,3851 8,8633 8,3838 7,9427 7,5361 7,1607 6,8137 6,4924 6,1944 5,9176 5,6603 5,4206 5,1971
13 12,1337 11,3484 10,6350 9,9856 9,3936 8,8527 8,3577 7,9038 7,4869 7,1034 6,7499 6,4235 6,1218 5,8424 5,5831 5,3423
14 13,0037 12,1062 11,2961 10,5631 9,8986 9,2950 8,7455 8,2442 7,7862 7,3667 6,9819 6,6282 6,3025 6,0021 5,7245 5,4675
15 13,8651 12,8493 11,9379 11,1184 10,3797 9,7122 9,1079 8,5595 8,0607 7,6061 7,1909 6,8109 6,4624 6,1422 5,8474 5,5755
16 14,7179 13,5777 12,5611 11,6523 10,8378 10,1059 9,4466 8,8514 8,3126 7,8237 7,3792 6,9740 6,6039 6,2651 5,9542 5,6685
17 15,5623 14,2919 13,1661 12,1657 11,2741 10,4773 9,7632 9,1216 8,5436 8,0216 7,5488 7,1196 6,7291 6,3729 6,0472 5,7487
18 16,3983 14,9920 13,7535 12,6593 11,6896 10,8276 10,0591 9,3719 8,7556 8,2014 7,7016 7,2497 6,8399 6,4674 6,1280 5,8178
19 17,2260 15,6785 14,3238 13,1339 12,0853 11,1581 10,3356 9,6036 8,9501 8,3649 7,8393 7,3658 6,9380 6,5504 6,1982 5,8775
Fonte: <http://aulasdematematica.com.br/documentos/aulasdematematica.com.br-vp_serie_uniforme.pdf>. Acesso em: 22 nov. 2011.
Montante total = M1 + M2 + M3
M1 = [1.000 (1 + 0,04)18 ] ¸ i 4
18
% = 25.645,41
M2 = [1.000 (1 + 0,04)12 ] ¸ i 4
12
% = 15.025,80
M3 = [1.000 (1 + 0,04)6 ] ¸ i 4
6
% = 6.632,97
Montante total = 47.304,18
Questão 2. (ATE/SEFAZ/MT 2001) Três capitais são aplicados a juros simples pelo mesmo prazo. 
O capital de R$ 3.000,00 é aplicado à taxa de 3% ao mês, o capital de R$ 2.000,00 é aplicado a 4% 
ao mês e o capital de R$ 5.000,00 é aplicado a 2% ao mês. A taxa média mensal de aplicação destes 
capitais é de:
A) 3,0%
B) 2,7%
69
MATEMÁTICA FINANCEIRA
C) 2,5%
D) 2,4%
E) 2,0%
Resolução desta questão na plataforma.
70
Unidade II
Unidade II
Na unidade I, estudamos as aplicações básicas em Matemática Financeira; agora, vamos aplicar os 
conceitos já estudados nos modelos de amortização.
5 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS
Os sistemas de amortização são desenvolvidos basicamente para operações de empréstimos 
e financiamentos de longo prazo, envolvendo desembolsos periódicos do valor principal e encargos 
financeiros.
5.1 Sistema Financeiro da Habitação (SFH)
Criado em 1964, com o objetivo de viabilizar a concessão de financiamentos de longo prazo 
para aquisição da casa própria, o Sistema Financeiro da Habitação é composto por um complexo 
conjunto de leis e regras próprias que definem as condições da concessão do financiamento em 
cada época.
A concessão de um financiamento habitacional inicia-se com a procura, pelos interessados, de um 
agente financeiro. Os recursos para esse empréstimo podem ser oriundos das contas vinculadas do 
FGTS, Fundo de Garantia do Tempo de Serviço, do SBPE, Sistema Brasileiro de Poupança e Empréstimo e 
demais fundos ou mesmo recursos próprios do agente financeiro.
A hipoteca do imóvel é a garantia do financiamento. Na vigência desse sistema (SFH), foram criados 
planos e formas de reajuste de prestações, com benefícios aos tomadores, causando o descasamento 
entre saldo e prestação, o que gerou um grande déficit a ser coberto pelo FCVS, Fundo de Compensação 
de Variações Salariais. 
Há várias maneiras de amortizar uma dívida. É imprescindível, em cada operação, que as partes 
estabeleçam contrato para esclarecimento das formas, taxas e afins para o acerto da antecipação do 
montante e quitação da dívida. 
Uma característica fundamental dos sistemas de amortização é a utilização exclusiva do critério 
de juros compostos, incidindo os juros exclusivamente sobre o saldo devedor (montante) apurado em 
período imediatamente anterior.
Para cada sistema de amortização, é construída uma planilha financeira que relaciona, dentro de 
certa padronização, os diversos fluxos de pagamentos e recebimentos.
São consideradas também, no SFH, modalidades de pagamento com e sem carência. 
71
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 Observação
Na carência, não há pagamento do valor principal, sendo pagos somente 
os juros, que podem eventualmente ser capitalizados durante esse período.
Os sistemas de amortização mais usados no mercado são:
• Sistema de Amortização Constante – SAC;
• Sistema de Amortização Francês (Price) – SAF;
• Sistema de Amortização Misto – SAM;
• Sistema de Amortização Americano – SAA;
• Sistema de Amortização Crescente – Sacre;
• Sistema de Amortização Variável (parcelas intermediárias).
 Saiba mais
Você pode aprofundar o seu conhecimento sobre o SFH, Sistema 
Financeiro Habitacional, consultando o site do Banco Central: <http://
www.bcb.gov.br/?SFH>. 
5.2 Definições básicas
Os sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos tratam da forma pela qual o valor 
principal e os encargos financeiros são restituídos ao credor. Antes de estudá-los, é importante definirmos 
os principais termos empregados nas operações de empréstimos e financiamentos.
Encargos financeiros: representam os juros da operação, caracterizados como custo para o 
devedor e retorno para o credor. Eles podem ser prefixados ou pós-fixados. O que distingue essas 
duas modalidades é a correção (indexação) da dívida em função de uma expectativa (prefixação) 
ou verificação posterior (pós-fixação) do comportamento de determinado indexador.
Nas operações pós-fixadas, há um desmembramento dos encargos financeiros em juros e correção 
monetária (ou variação cambial, no caso de a dívida ser expressa em moeda estrangeira) que vier a se 
verificar no futuro; nas prefixadas, estipula-se uma taxa única, a qual incorpora evidentemente uma 
72
Unidade II
expectativa inflacionária para todo o horizonte de tempo. Dessaforma, para uma operação pós-fixada, 
a taxa de juros contratada é aquela definida como real, isto é, situada acima do índice de inflação 
verificado no período. 
Além do encargo real da taxa de juros, as operações pós-fixadas preveem também a correção 
monetária (ou variação cambial) do saldo devedor da dívida, o que representa normalmente a recuperação 
da perda de valor do capital emprestado e ainda não restituído, situação gerada pela desvalorização 
perante a inflação. 
Nas operações prefixadas, os encargos financeiros são medidos por uma única taxa, que engloba os 
juros exigidos pelo emprestador e a expectativa inflacionária (correção monetária) para o período em 
vigência. Segundo Rovina (2009, pp. 24-25), alguns termos são muito importantes dentro do estudo da 
capitalização. São eles:
Amortização: a fração (parte) do capital paga ou recebida em um determinado período (data). É 
representada pela variável A.
Prestação: é o pagamento efetuado ao longo da série de pagamentos, sendo composto de uma 
parcela de capital chamada amortização e uma parcela de juros. É representada por PMT (abreviatura 
de payment, que significa pagamento), nomenclatura aqui utilizada em função de ser a representação 
mais comum na maioria das calculadoras financeiras. 
Matematicamente, podemos agora descrever:
Prestação = Amortização + Juros.
PMT = A + INT
Carência: significa a postergação só do valor principal, excluídos os juros. Os encargos financeiros 
podem, dependendo das condições contratuais, ser pagos ou não durante essa etapa. No primeiro caso, 
eles são capitalizados e pagos junto à primeira parcela de amortização do valor principal ou distribuídos 
por várias datas pactuadas de pagamento. Contudo, é mais comum o segundo caso: serem pagos no 
período de carência. 
Exemplo: ao tomar um empréstimo por 4 anos, a ser restituído em prestações trimestrais, o 
primeiro pagamento ocorrerá normalmente 3 meses (um trimestre) após a liberação dos recursos, 
vencendo os demais ao final de cada um dos trimestres subsequentes. Pode ocorrer um deferimento 
(carência) quanto ao pagamento da primeira prestação, iniciando 9 meses após o recebimento 
do capital emprestado. Nesse caso, diz-se que a carência corresponde a 2 trimestres, ou seja, ao 
prazo verificado entre a data convencional de início de pagamento (final do primeiro trimestre) e 
a do final do 9º mês.
Vejamos, por fim, as características dos sistemas de financiamento habitacional:
73
MATEMÁTICA FINANCEIRA
• são basicamente desenvolvidos para operações de empréstimos e financiamentos de longo 
prazo, envolvendo amortizações periódicas do valor principal e encargos financeiros (juros da 
operação);
• utilizam exclusivamente o critério de juros compostos, incidindo os juros sobre o saldo devedor 
apurado em período imediatamente anterior;
• obedecem certa padronização, tanto nos desembolsos quanto nos reembolsos;
• podem ter ou não carência; quando têm, normalmente são pagos os juros.
Temos ainda os conceitos de saldo devedor. Este é o elemento principal da dívida em um momento 
em que se tem deduzido o valor pago ao credor a título de amortização e de carência (que é uma 
diferenciação da data convencional do início dos pagamentos). 
5.3 Sistema de Amortização Constante (SAC)
O Sistema de Amortização Constante tem como característica básica as amortizações sempre iguais 
do valor principal, em todo o prazo da operação. O valor da amortização é facilmente obtido mediante 
a divisão do capital (quantia emprestada) pelo número de prestações. 
Nessa modalidade, os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, cujo montante decresce após o 
pagamento de cada amortização, assumem valores decrescentes nos períodos.
Em consequência do comportamento da amortização e dos juros, as prestações periódicas e 
sucessivas do SAC são decrescentes em progressão aritmética.
 Lembrete
Para o cálculo da amortização no SAC, é importante lembrar que:
• o capital da operação é dividido pelo número de parcelas;
• os juros incidem sempre sobre o saldo devedor.
Para sua melhor compreensão, exploremos agora um exemplo. Trata-se de empréstimo de R$ 
100.000,00, concedido dentro de um prazo de 10 anos, com pagamento em 20 prestações 
semestrais. Desconsidere a existência de um prazo de carência. Foram considerados juros de 
7% a.s.
Devemos desenvolver uma planilha que mostre o desenrolar das prestações e dos juros. 
74
Unidade II
Tabela 6
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 100.000,00 
1 95.000,00 5.000,00 7000,00 12.000,00
2 90.000,00 5.000,00 6650,00 11.650,00
3 85.000,00 5.000,00 6300,00 11.300,00
4 80.000,00 5.000,00 5950,00 10.950,00
5 75.000,00 5.000,00 5600,00 10.600,00
6 70.000,00 5.000,00 5250,00 10.250,00
7 65.000,00 5.000,00 4900,00 9.900,00
8 60.000,00 5.000,00 4550,00 9.550,00
9 55.000,00 5.000,00 4200,00 9.200,00
10 50.000,00 5.000,00 3850,00 8.850,00
11 45.000,00 5.000,00 3500,00 8.500,00
12 40.000,00 5.000,00 3150,00 8.150,00
13 35.000,00 5.000,00 2800,00 7.800,00
14 30.000,00 5.000,00 2450,00 7.450,00
15 25.000,00 5.000,00 2100,00 7.100,00
16 20.000,00 5.000,00 1750,00 6.750,00
17 15.000,00 5.000,00 1400,00 6.400,00
18 10.000,00 5.000,00 1050,00 6.050,00
19 5.000,00 5.000,00 700,00 5.700,00
20 - 5.000,00 350,00 5.350,00
Total 100.000,00 73.500,00 173.500,00
O SAC determina que a restituição do valor principal (capital emprestado) seja efetuada em parcelas 
iguais. Assim, o valor de cada amortização devida semestralmente é calculado pela simples divisão do 
valor principal pelo número fixado de prestações, ou seja:
Amortização = valor do empréstimo / número de prestações
Amortização = 100 000 00
20
5 000 00
. ,
. ,=
Amortização = 5.000,00 ao semestre
 Observação
Note que, no período 0 (zero), não há amortização, pois é o momento 
em que ocorre o empréstimo.
75
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Os pagamentos desses valores determinam decréscimos iguais e constantes no saldo devedor em 
cada um dos períodos, ocasionando reduções nos valores semestrais dos juros e das prestações, como 
observamos na tabela.
Nesse exemplo, o cálculo de juros foi realizado como é mais comum nessas operações de crédito de 
médio e longo prazos: com a taxa equivalente composta. Assim, para uma taxa equivalente nominal de 
30% ao ano, conforme a taxa equivalente semestral, os juros atingem 7% a.s. Vejamos.
Taxa equivalente semestral de 14,49% a.a. = 1 0 1449+ , – 1 = 1,07 – 1 = 0,07. Como é taxa 
devemos multiplicar por 100, resultando em 7% a.s.
Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor imediatamente anterior, apresentam valores aritmeticamente 
decrescentes, conforme são apurados na penúltima coluna da tabela exemplificada anteriormente. Ao final 
do primeiro semestre, os encargos financeiros correspondem a: 7% x 100.000,00 = R$ 7.000,00; ao final do 
segundo semestre: 7% x 95.000 = R$ 6.650,00; ao final do terceiro semestre: 7% x 90.000 = R$ 6.300,00; e 
assim por diante.
 Lembrete
Para calcular os juros, considera-se sempre o saldo devedor do 
período anterior. Por exemplo, se desejamos calcular os juros do período 
1, consideramos saldo devedor do período zero, se juros do período 2, 
consideramos saldo devedor do período 1.
Soma-se, em cada período, o valor da prestação semestral do financiamento. Assim, para o primeiro 
semestre, a prestação atinge: R$ 5.000,00 + R$ 7.000,00 = R$ 12.000,00; para o segundo semestre: R$ 
5.000,00 + R$ 6.650,00 = R$ 11.650,00. O mesmo processo foi realizado até o último período.
Pode ser observado, uma vez mais, que a diminuição de R$ 350,00 no valor dos juros em cada 
período é explicada pelo fato de as amortizações (fixas) reduzirem semestralmente o saldo devedor da 
dívida (base de cálculo dos juros) em R$ 5.000,00. 
5.4 Expressões de cálculo do SAC
São desenvolvidas, a seguir, as expressões genéricas de cálculo de cada parcela da planilha do sistema 
de amortização constante.
Amortização (Amort): os valores são sempre iguais e obtidos por:
Amort
PV
n
=
PV =principal (valor do financiamento)
n = número de prestações.
76
Unidade II
Logo,
PV
n
 Amort 1 = Amort 2 = Amort 3 … Amort n
PV
n
 Amort 1 + Amort 2 + Amort 3 +… + Amort n
Saldo devedor (SD): é decrescente em PA (progressão aritmética) pelo valor constante da 
amortização. Logo, a redução periódica do SD equivale a subtrair, do seu valor anterior, a amortização 
(PV/n) do período atual:
SD
PV
n
=
Juros (J): pela redução constante do saldo devedor, os juros diminuem linearmente ao longo do 
tempo, comportando-se como uma PA decrescente. 
A expressão de cálculo dos juros é então esta:
J
PV
n
n t i1 1� � � � �( )
Prestação (PMT): é a soma da amortização com juros e encargos administrativos que deve ser 
analisada em cada situação de empréstimo com a instituição financeira.
PMT = Amort + J (não consideraremos encargos administrativos nesse modelo).
Algebricamente, a prestação é, portanto, assim expressa:
PMT
PV
n
n t i� � � � � �� �1 1( )
Vejamos um exemplo de cálculo de prestação no sistema SAC.
Um capital de R$ 100.000,00 financiado em 5 anos, com taxa de juros de 30% ao ano terá, pelo SAC, 
a prestação do 5º semestre de que valor? 
Legenda:
PV = 100.000
n = 5 anos = 10 semestres
i = 30% ao ano. Transformando-a em taxa semestral: 1 0 30+ . –1 = 1,140175 – 1 = 0,140175 x 
100 = 14,0175% a.s.
77
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Fórmula:
PMT
PV
n
n t i� � � � � �� �1 1( )
Substituindo:
PMT5
100 000
10
1 10 5 1 0 140175� � � � � �� �. ( ) ,
PMT
PMT
5
5
10 000 1 6 0 140175
18 410 50
� � � �� �
�
. ,
. ,
Vejamos a representação do cálculo na tabela em seguida:
Tabela 7
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação
0 100.000,00 
1 90.000,00 10.000,00 14017,5 24.017,50
2 80.000,00 10.000,00 12615,75 22.615,75
3 70.000,00 10.000,00 11214 21.214,00
4 60.000,00 10.000,00 9812,25 19.812,25
5 50.000,00 10.000,00 8410,5 18.410,50
6 40.000,00 10.000,00 7008,75 17.008,75
7 30.000,00 10.000,00 5607 15.607,00
8 20.000,00 10.000,00 4205,25 14.205,25
9 10.000,00 10.000,00 2803,5 12.803,50
10 - 10.000,00 1401,75 11.401,75
Total 100.000,00 77.096,25 177.096,25
 Lembrete
Veja que podemos obter os valores das prestações do SAC, de qualquer 
período, pela fórmula a seguir ou pela tabela apontada.
PMT
PV
n
n t i� � � � � �� �1 1( )
78
Unidade II
5.5 SAC com carência
A ilustração desenvolvida na tabela anterior não previu existência de prazo de carência para a 
amortização do empréstimo. Ao supor uma carência de dois anos (contada a partir do final do primeiro 
semestre), por exemplo, três situações podem ocorrer:
a) os juros são pagos durante a carência;
b) os juros são capitalizados e pagos totalmente quando do vencimento da primeira amortização;
c) os juros são capitalizados e acrescidos ao saldo devedor, gerando um fluxo de amortizações de 
maior valor.
 Lembrete
Carência é o prazo concedido nas operações de financiamento em que 
o credor não paga ou não amortiza o valor principal da dívida contraída.
Vejamos, em seguida, um caso em que a tabela demonstra uma situação em que os juros são pagos 
durante a carência estipulada.
Exemplo 1. Ao final dos 4 primeiros semestres, a prestação, constituída unicamente dos encargos 
financeiros, atinge R$ 14.017,50, ou seja, 14,0175% x R$ 100.000,00. A partir do 5º semestre, tendo sido 
encerrada a carência de 2 anos, inicia-se a amortização do valor principal emprestado, sendo o fluxo de 
prestações, desse momento em diante, idêntico ao desenvolvido anteriormente: 
Tabela 8 – SAC com carência (2 anos) e pagamento dos juros
Período/semestre Saldo devedor Amortização Juros Prestação
0 100.000,00 
1 100.000,00 14.017,50 14.017,50
2 100.000,00 14.017,50 14.017,50
3 100.000,00 14.017,50 14.017,50
4 100.000,00 14.017,50 14.017,50
5 90.000,00 10.000,00 14.017,50 24.017,50
6 80.000,00 10.000,00 12615,75 22.615,75
7 70.000,00 10.000,00 11214 21.214,00
8 60.000,00 10.000,00 9812,25 19.812,25
9 50.000,00 10.000,00 8410,5 18.410,50
10 40.000,00 10.000,00 7008,75 17.008,75
11 30.000,00 10.000,00 5607 15.607,00
12 20.000,00 10.000,00 4205,25 14.205,25
13 10.000,00 10.000,00 2803,5 12.803,50
14 - 10.000,00 1401,75 11.401,75
Total 100.000,00 133.166,25 233.166,25
79
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Vejamos agora como fica a tabela, com relação ao mesmo exemplo, para o caso de carência e 
capitalização de juros.
Tabela 9 – SAC com carência (2 anos) e capitalização dos juros
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 100.000,00 
1 114.017,50 -
2 129.999,90 -
3 148.222,64 -
4 168.999,75 -
5 152.099,77 16.899,97 23.689,54 40.589,51
6 135.199,80 16.899,97 21320,5857 38.220,56
7 118.299,82 16.899,97 18951,63174 35.851,61
8 101.399,85 16.899,97 16582,67777 33.482,65
9 84.499,87 16.899,97 14213,7238 31.113,70
10 67.599,90 16.899,97 11844,76984 28.744,74
11 50.699,92 16.899,97 9475,815868 26.375,79
12 33.799,95 16.899,97 7106,861901 24.006,84
13 16.899,97 16.899,97 4737,907934 21.637,88
14 - 16.899,97 2368,953967 19.268,93
Total 168.999,75 130.292,47 299.292,22
A tabela ilustra o plano de amortização da dívida na hipótese de os juros não serem pagos durante 
a carência. Nesse caso, os encargos são capitalizados segundo o critério de juros compostos e devidos 
integralmente quando do vencimento da primeira parcela de amortização.
Quando uma loja de móveis ou outra qualquer faz financiamento de um produto, e o pagamento 
inicia-se após 3 ou 4 meses, aplica-se o mesmo conceito aqui estudado. Vejamos isso com o exemplo a 
seguir.
Exemplo 2. Um banco concede um financiamento de R$ 660.000,00 para ser liquidado em 8 
pagamentos mensais pelo SAC. A operação é realizada com uma carência de 3 meses, sendo pagos 
somente os juros nesse período.
Considerando uma taxa efetiva de juros de 2,5% ao mês, elabore a planilha de desembolsos desse 
financiamento.
80
Unidade II
Tabela 10
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 660.000,00 
1 660.000,00 16.500,00 16.500,00
2 660.000,00 16.500,00 16.500,00
3 660.000,00 16.500,00 16.500,00
4 577.500,00 82.500,00 16.500,00 99.000,00
5 495.000,00 82.500,00 14.437,50 96.937,50
6 412.500,00 82.500,00 12.375,00 94.875,00
7 330.000,00 82.500,00 10.312,50 92.812,50
8 247.500,00 82.500,00 8.250,00 90.750,00
9 165.000,00 82.500,00 6.187,50 88.687,50
10 82.500,00 82.500,00 4.125,00 86.625,00
11 - 82.500,00 2.062,50 84.562,50
Total 660.000,00 123.750,00 783.750,00
Observe, no período 1, que o valor pago como prestação é apenas aquele equivalente aos 
juros: R$ 16.500,00. Note ainda que a amortização só começa a acontecer depois do prazo de 
carência, ou seja, no 4º mês. Lembre que: Amort
PV
n
= ; no caso: 660.000/8 = 82.500, ou seja: 
valor do empr stimo
n mero de parcelas
é
ú
´
´
. Portanto, a prestação de cada período equivale à soma: juros + amortização. 
Exemplo 3. Um banco concede um financiamento de R$ 100.000,00 para ser liquidado em 10 anos, 
mediante SAC. 
Considerando uma taxa efetiva de juros de 25% a.a., elabore a planilha de desembolsos desse 
financiamento.
 Observação
Ignora-se a carência quando não mencionada no problema. Nesse caso, 
a amortização já começa então no 1º mês. 
Lembremos da fórmula: amortização = valor do empr stimo
n mero de parcelas
é
ú
´
´
Temos então = 
100 000
10 000
10 000 00
.
.
. ,=
81
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Tabela 11
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação
0 100.000,00 
1 90.000,00 10.000,00 25.000,00 35.000,00
2 80.000,00 10.000,00 22.500,00 32.500,00
3 70.000,00 10.000,00 20.000,00 30.000,00
4 60.000,00 10.000,00 17.500,00 27.500,00
5 50.000,00 10.000,00 15.000,00 25.000,00
6 40.000,00 10.000,00 12.500,00 22.500,00
7 30.000,00 10.000,00 10.000,00 20.000,00
8 20.000,00 10.000,00 7.500,00 17.500,00
9 10.000,00 10.000,00 5.000,00 15.000,00
10 - 10.000,00 2.500,00 12.500,00
Total 100.000,00 137.500,00 237500
6 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS
O Sistema de Amortização Francês (SAF), desenvolvido originalmente pelo inglês RichardPrice, 
assumiu essa denominação pelo seu uso amplamente generalizado na França no século passado. 
Amplamente adotado no mercado financeiro do Brasil, estipula que as prestações sejam iguais, 
periódicas e sucessivas. Equivalem, em outras palavras, ao modelo de fluxos de caixa. Os juros, por 
incidirem sobre o saldo devedor, são decrescentes, e as parcelas de amortização assumem valores 
crescentes.
No SAF, os juros decrescem, e as amortizações crescem ao longo do tempo. A soma dessas duas 
parcelas permanece sempre igual ao valor da prestação. É importante, então, que o aluno veja as 
principais diferenças entre o SAC e o SAF, pois os valores pagos ao final do período de cada um deles 
são diferentes.
Para exemplificar, a planilha financeira do SAC é mais bem elaborada partindo-se da última coluna 
para a primeira, isto é, calculam-se inicialmente as prestações e, posteriormente, para cada período, os 
juros, as parcelas de amortização e o respectivo saldo devedor.
Da mesma forma em que ocorre com o SAC, o SAF pode ser realizado com ou sem carência, 
capitalizando ou não os juros durante a carência.
Exemplo 1 - SAF sem carência. Consideremos a mesma situação de exemplos já citados: 
financiamento de R$ 100.000,00, com prazo de pagamento de 10 semestres, com taxas de 
14,01755% ao semestre.
82
Unidade II
Tabela 12
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 100.000,00 
1 94.833,06 R$5.166,94 14.017,50 R$19.184,44
2 88.941,84 R$5.891,22 13.293,22 R$19.184,44
3 82.224,83 R$6.717,02 12.467,42 R$19.184,44
4 74.566,25 R$7.658,57 11.525,87 R$19.184,44
5 65.834,14 R$8.732,12 10.452,32 R$19.184,44
6 55.878,00 R$9.956,14 9.228,30 R$19.184,44
7 44.526,26 R$11.351,74 7.832,70 R$19.184,44
8 31.583,28 R$12.942,97 6.241,47 R$19.184,44
9 16.826,03 R$14.757,25 4.427,19 R$19.184,44
10 0,18 R$16.825,85 2.358,59 R$19.184,44
 R$99.999,82 91.844,58 R$191.844,40
As prestações semestrais são determinadas pela aplicação da fórmula de valor presente:
PV = PMT x FPV (i,n)
PV = valor presente
PMT = valor da prestação periódica, igual e sucessiva
FPV = fator de valor presente, sendo:
FPV
i
i
n
�
� � �1 1( )
Substituindo os valores do exemplo ilustrativo na equação, tem-se:
100 000 00
1 1140175
0 140175
100 000
1 0 269
10
. ,
( , )
,
.
( ,
� �
�
� �
�
�
PMT
PMT
3330
0 140175
100 000
0 73067
0 140175
100 000 5 2125
)
,
.
,
,
. ,
� �
� �
PMT
PMT 555
100 000
5 212555
19 184 44PMT semestre� �
.
,
. , /
83
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Os demais valores da planilha são mensurados de forma sequencial em cada um dos períodos. Assim, 
para o primeiro semestre, têm-se:
• Juros (calculados sobre o saldo devedor imediatamente anterior): 14,0175% x 100.000,00 = R$ 
14.017,50.
• Amortização (obtida pela diferença entre o valor da prestação e dos juros acumulados para o 
período): R$19.184,40 – R$ 14.017,50 = R$5.166,90.
• Saldo devedor (saldo anterior no momento zero – parcela de amortização do semestre): 
R$100.000,00 – R$ 5.166,90 = R$94.833,10.
Para o segundo semestre, os cálculos são os seguintes:
• Juros: 14,0175% x R$94.833,70 = R$13.293,20.
• Amortização: R$ 19.184,40 – R$ 13.293,20 = R$ 5.891,20.
• Saldo devedor: R$ 94.833,10 – R$ 5.891,20 = R$ 88.941,90, e assim por diante.
6.1 Expressões de cálculo do SAF
No SAF, as prestações são constantes, os juros, decrescentes e as amortizações, exponencialmente 
crescentes ao longo do tempo. As expressões básicas de cálculo desses valores são desenvolvidas a 
seguir.
Amortização (Amort): é obtida pela diferença entre o valor da prestação e os juros:
Amort = PMT – J
A amortização do primeiro período é assim expressa:
Amort1 = PMT – J1, o que equivale a:
Amort1 = PMT – (PV x i).
Como o seu crescimento é exponencial no tempo, o valor da amortização num momento t qualquer 
é calculado desta forma:
Amort1 = Amort1 x (1 + i)t-1
Por exemplo, o valor da amortização no 4º semestre atinge:
Amort4 = 5.166,90 x (1 + 0,140175)4–1
Amort4 = 7.658,60 (valores arredondados)
84
Unidade II
Prestação (PMT): conforme demonstrado, o valor da prestação é calculado mediante a aplicação da 
fórmula do valor presente desenvolvida para o modelo padronizado para fluxos de caixa:
PMT PV
FPV i n
� �
1
( , )
Onde:
FPV i n
i
i
n
( , )
( )
�
� � �1 1
Vale salientar que os cálculos das prestações foram realizados em exemplos anteriores.
Saldo devedor (SD): para cada período, é calculado pela diferença entre o valor devido no início do 
intervalo de tempo e a amortização do período. Logo, para uma dada taxa de juros, o saldo devedor de 
qualquer período é assim apurado:
SDt = PMT x FPV (i, n–t)
SD PMT
i
i
n t
� �
� � � �1 1( ) ( )
Por exemplo, o saldo devedor no 6º semestre do financiamento atinge:
SD
SD
� �
� �
� �
� �
19 184 44
1 1 0 140175
0 140175
19 184 44
0 4
10 6
. ,
( , )
,
. ,
,
( )
008283
0 140175
19 184 44 2 912667
55 877 88
,
. , ,
. ,
SD
SD
� �
�
Cumpre observar que, nas planilhas, o resultado pode ocorrer com pequenas diferenças nos 
centavos. No nosso caso não consideramos arredondamentos, pois as tabelas foram desenvolvidas 
no Excel.
Juros (J): incidem sobre o saldo devedor apurado no início de cada período (ou ao final de 
cada período imediatamente anterior). A expressão de cálculo de juros pode ser ilustrada desta 
forma:
85
MATEMÁTICA FINANCEIRA
J1 = SD0 x i = PV x i
J2 = SD1 x i = (PV – Amort) x i
J3 = SD2 x I = (PV – Amort1 – Amort2 ) x i
E assim, sucessivamente.
6.2 SAF com carência
De modo idêntico aos demais sistemas, no SAF, podem-se verificar períodos de carência, nos quais, 
ainda, os encargos financeiros podem ser pagos ou capitalizados.
A seguir, ilustramos a situação em que os juros são pagos durante a carência e capitalizados para 
resgate posterior (juntamente às prestações).
Exemplo 1 – SAF com carência (2 anos) e pagamentos dos juros.
Tabela 13
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 100.000,00 
1 100.000,00 14.017,50 14.017,50
2 100.000,00 14.017,50 14.017,50
3 100.000,00 14.017,50 14.017,50
4 100.000,00 14.017,50 14.017,50
5 94.833,10 5.166,90 14.017,50 19.184,40
6 88.941,93 5.891,17 13.293,23 19.184,40
7 82.224,96 6.716,96 12.467,44 19.184,40
8 74.566,45 7.658,52 11.525,88 19.184,40
9 65.834,40 8.732,05 10.452,35 19.184,40
10 55.878,34 9.956,06 9.228,34 19.184,40
11 44.526,68 11.351,65 7.832,75 19.184,40
12 31.583,81 12.942,87 6.241,53 19.184,40
13 16.826,67 14.757,14 4.427,26 19.184,40
14 0,95 16.825,72 2.358,68 19.184,40
Total 99.999,05 147.914,95 247.914,00
 Observação
O cálculo da prestação no 5º período foi realizado com a fórmula vista 
anteriormente: 
86
Unidade II
PMT PV
FPV i n
Onde FPV i n
i
i
n
� �
�
� �
1
1 1
( , )
: ( , )
( )
O sistema francês com carência e pagamento dos juros no período segue basicamente o mesmo 
esquema anterior (SAF sem carência), diferenciando-se unicamente quanto às prestações dos 4 primeiros 
semestres (carência). Nesses períodos, são previstos somente pagamentos de R$ 14.017,50 referentes 
aos juros do valor principal não amortizado (14,0175% x R$ 100.000,00).
 Observação
Para os demais semestres, o raciocínio é idêntico ao formulado 
anteriormente, apurando-se prestações com valores constantes, juros 
decrescentes e amortizações crescentes.
No quadro SAF com carência, está prevista a capitalização dos juros durante o período de carência de 
4 semestres. Somando esse montante ao saldo devedor, tem-se um novo valor ao final do 4º semestre: 
de R$169.000,00, o qual serve de base para o cálculo das prestações com vencimento a partir do 5º 
semestre, ou seja:
saldo devedor (4º semestre) serve de base para o cálculo das prestações após o período de carência 
(5º semestre): 
R$ 100.000,00 x (1,140175)4 = R$ 169.000,00
Prestação (PMT) semestral a ser paga a partir do 5º semestre será:
PV PMT
i
i
n
� �
� � �1 1( )
169 000
1 1 0 140175
0 140175
169 000
1 11401
10
.
( , )
,
.
( ,
� �
� �
� �
�
�
PMT
PMT
775
0 140175
169 000
1 0 2693300 140175
169 000
10)
,
.
( , )
,
.
�
� �
�
�
PMT
PMT ��
� �
� �
0 730669
0 140175
169 000 5 212548
169 000
5 212548
,
,
. ,
.
,
PMT
PMT 332 42176. ,
87
MATEMÁTICA FINANCEIRA
169 000
1 1 0 140175
0 140175
169 000
1 11401
10
.
( , )
,
.
( ,
� �
� �
� �
�
�
PMT
PMT
775
0 140175
169 000
1 0 269330
0 140175
169 000
10)
,
.
( , )
,
.
�
� �
�
�
PMT
PMT ��
� �
� �
0 730669
0 140175
169 000 5 212548
169 000
5 212548
,
,
. ,
.
,
PMT
PMT 332 42176. ,
AO SEMESTRE 
O preenchimento da planilha financeira a partir do final do período de carência é análogo ao 
proposto anteriormente. Os valores 169.000 e 198,999,75 são os mesmos, foram arredondados 
para facilitar.
 Vejamos:
Tabela 14
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 100.000,00 
1 114.017,50 14.017,50 
2 129.999,90 15.982,40 
3 148.222,64 18.222,74 
4 168.999,75 20.777,11 
5 160.267,62 8.732,13 23.689,54 32421,67
6 150.311,46 9.956,16 22.465,51 32421,67
7 138.959,70 11.351,76 21.069,91 32421,67
8 126.016,71 12.942,99 19.478,68 32421,67
9 111.259,43 14.757,28 17.664,39 32.421,67
10 94.433,55 16.825,88 15.595,79 32.421,67
11 75.249,10 19.184,45 13.237,22 32.421,67
12 53.375,47 21.873,63 10.548,04 32.421,67
13 28.435,71 24.939,76 7.481,91 32.421,67
14 0,02 28.435,69 3.985,98 32.421,67
Total 168.999,73 155.216,97 324.216,70
Exemplo 2. Um equipamento no valor de R$ 1.200.000,00 será financiado por um banco pelo prazo 
de 6 anos. A taxa de juros contratada é de 15% ao ano, e as amortizações anuais são efetuadas pelo 
SAF, Sistema de Amortização Francês.
O banco concede uma carência de 2 anos para o início dos pagamentos, sendo os juros cobrados 
nesse intervalo. Vamos preencher a tabela:
88
Unidade II
Tabela 15
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação
0 1.200.000,00 
1 1.200.000,00 180.000,00 180.000,00
2 1.200.000,00 180.000,00 180.000,00
3 1.062.915,72 137.084,28 180.000,00 317.084,28
4 905.268,80 157.646,92 159.437,36 317.084,28
5 723.974,84 181.293,96 135.790,32 317.084,28
6 515.486,78 208.488,05 108.596,23 317.084,28
7 275.725,52 239.761,26 77.323,02 317.084,28
8 0,07 275.725,45 41.358,83 317.084,28
Total 1.062.505,75 2.262.505,68
Recomendamos ao aluno refazer essas planilhas para treinar o aprendizado, pois o raciocínio 
matemático se desenvolve com a prática; devemos utilizar os três meios de absorção: audição, visão e 
sentimento ao aproximarmos os assuntos do nosso dia a dia.
7 TABELA PRICE
O Sistema Price de Amortização (ou Tabela Price) representa uma variante do SAF, Sistema de 
Amortização Francês.
Compreendamos como funciona o Sistema Price com exemplo em seguida, em que consideramos a 
taxa equivalente semestral de 14,0175 % para o cálculo dos juros (assim como aconteceu nos exemplos 
usados para o SAC).
Exemplo 1 - Sistema Price sem carência:
Tabela 16
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação
0 100.000,00 
1 97.752,91 2.247,09 5.000,00 7247,09
2 95.393,47 2.359,44 4.887,65 7247,09
3 92.916,05 2.477,42 4.769,67 7247,09
4 90.314,76 2.601,29 4.645,80 7247,09
5 87.583,41 2.731,35 4.515,74 7247,09
6 84.715,49 2.867,92 4.379,17 7247,09
7 81.704,17 3.011,32 4.235,77 7247,09
8 78.542,29 3.161,88 4.085,21 7247,09
9 75.222,32 3.319,98 3.927,11 7247,09
10 71.736,34 3.485,97 3.761,12 7247,09
89
MATEMÁTICA FINANCEIRA
11 68.076,07 3.660,27 3.586,82 7247,09
12 64.232,78 3.843,29 3.403,80 7247,09
13 60.197,33 4.035,45 3.211,64 7247,09
14 55.960,11 4.237,22 3.009,87 7247,09
15 51.511,03 4.449,08 2.798,01 7247,09
16 46.839,49 4.671,54 2.575,55 7247,09
17 41.934,37 4.905,12 2.341,97 7247,09
18 36.784,00 5.150,37 2.096,72 7247,09
19 31.376,11 5.407,89 1.839,20 7247,09
20 25.697,83 5.678,28 1.568,81 7247,09
21 19.735,63 5.962,20 1.284,89 7247,09
22 13.475,32 6.260,31 986,78 7247,09
23 6.901,99 6.573,32 673,77 7247,09
24 0,00 6.901,99 345,10 7247,09
 100.000,00 73.930,16 173930,16
Exemplo 2
Empréstimo: R$ 100.000,00
Prazo: 10 anos
Taxa: 25% a.a.
Usando a fórmula usada para séries de pagamentos iguais com termos postecipados:
 Observação
O termo postecipado significa que o primeiro pagamento será realizado 
no período seguinte.
PMT = PV / FRC (i, n) ∴ PMT = 100.000,00 x 0,28007 = R$ 28.007,00
Em que:
FRC i n
i
i
n
( , )
( )
( , )
,
,
,
,
�
� �
� �
�
�
�
1 1
1 1 0 25
0 25
1 0 107374
0 25
0 892625
10
00 25
3 5705
100 000
5 5705
28 007 28
,
,
.
,
. ,
�
� �PMT
90
Unidade II
FRC i n
i
i
n
( , )
( )
( , )
,
,
,
,
�
� �
� �
�
�
�
1 1
1 1 0 25
0 25
1 0 107374
0 25
0 892625
10
00 25
3 5705
100 000
5 5705
28 007 28
,
,
.
,
. ,
�
� �PMT
Tabela 17
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação
0 100.000,00 
1 96.992,74 3.007,26 25.000,00 28.007,26
2 93.233,67 3.759,07 24.248,19 28.007,26
3 88.534,83 4.698,84 23.308,42 28.007,26
4 82.661,28 5.873,55 22.133,71 28.007,26
5 75.319,34 7.341,94 20.665,32 28.007,26
6 66.141,91 9.177,42 18.829,83 28.007,26
7 54.670,13 11.471,78 16.535,48 28.007,26
8 40.330,41 14.339,73 13.667,53 28.007,26
9 22.405,75 17.924,66 10.082,60 28.007,26
10 -0,07 22.405,82 5.601,44 28.007,26
Total 100.000,07 180.072,51 280072,58
Como o crescimento da amortização é exponencial, o valor dela, em um determinado momento t, 
é calculado da seguinte forma: 
Amortt = Amort1 x (1 + i)
t – 1
Logo, Amort6 = 3.007, 00 x (1,25)
5 = 3.007,00 x 3,05176 = 9.176,64
Esse cálculo realizado pode ser desenvolvido para encontrar qualquer período.
7.1 Sistema de amortização misto
O Sistema de Amortização Misto (SAM) foi desenvolvido originalmente para as operações de 
financiamento do Sistema Financeiro de Habitação. Trata-se simplesmente de uma mescla do Sistema 
de Amortização Francês (SAF) e do Sistema de Amortização Constante (SAC), por meio de uma média 
aritmética. Por ser uma mescla entre dois sistemas, recebeu a denominação de sistema misto. Para cada 
um dos valores do seu plano de pagamentos, devem-se somar aqueles obtidos pelo SAF com os do SAC 
e dividir o resultado por dois. Ao se adotar o SAM para o empréstimo contraído, têm-se, para o primeiro 
período (semestre), os seguintes valores:
91
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Tabela 18 – SAC
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 100.000,00 
1 90.000,00 10.000,00 14017,5 24.017,50
2 80.000,00 10.000,00 12615,75 22.615,75
Tabela 19 – SAF
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 100.000,00 
1 94.833,06 R$5.166,94 14.017,50 R$19.184,44
2 88.941,84 R$5.891,22 13.293,22 R$19.184,44
PMT
Juros
SAM
SAM
�
�
�
�
�
24 017 50 19 184 44
2
21 600 97
14 017 50 14
. , . ,
. ,
. , .. ,
. ,
. . ,
. ,
017 50
2
14 017 50
10 000 5 166 90
2
7 583 45
�
�
�
�Amort
SD
SAM
SAM ��
�
�
90 000 94 833 10
2
92 416 55
. . ,
. ,
Para os demais semestres, segue-se o mesmo raciocínio, conforme a tabela:
Tabela 20
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 100.000,00 
1 92.416,53 R$7.583,47 R$14.017,50 R$21.600,97
2 84.470,92 R$7.945,61 R$12.954,49 R$20.900,10
3 76.112,41 R$8.358,51 R$11.840,71 R$20.199,22
4 67.283,13 R$8.829,29 R$10.669,06 R$19.498,35
5 57.917,07 R$9.366,06 R$9.431,41 R$18.797,47
6 47.939,00 R$9.978,07 R$8.118,53 R$18.096,60
7 37.263,13 R$10.675,87 R$6.719,85 R$17.395,72
8 25.791,64 R$11.471,49 R$5.223,36 R$16.694,85
9 13.413,01 R$12.378,63 R$3.615,34 R$15.993,97
10 0,09 R$13.412,93 R$1.880,17 R$15.293,10
 R$99.999,91 84.470,41 R$184.470,33
92
Unidade II
7.2 Comparações entre SAC, SAF e SAM
Uma avaliação comparativa dos três sistemas de amortização é desenvolvida na tabela a seguir.
Tabela 21 – Comparação entre SAC, SAF E SAM
SAC SAF
Sado 
devedor Amortização Juros Prestação
Sado 
devedor Amortização Juros Prestação
0 100.000,00 100.000,00 
1 90.000,00 10.000,00 14.017,50 24.017,50 94.833,06 5.166,94 14.017,50 19.184,44
2 80.000,00 10.000,00 12.615,75 22.615,75 88.941,84 5.891,22 13.293,22 19.184,44
3 70.000,00 10.000,00 11.214,00 21.214,00 82.224,83 6.717,02 12.467,4219.184,44
4 60.000,00 10.000,00 9.812,25 19.812,25 74.566,25 7.658,57 11.525,87 19.184,44
5 50.000,00 10.000,00 8.410,50 18.410,50 65.834,14 8.732,12 10.452,32 19.184,44
6 40.000,00 10.000,00 7.008,75 17.008,75 55.878,00 9.956,14 9.228,30 19.184,44
7 30.000,00 10.000,00 5.607,00 15.607,00 44.526,26 11.351,74 7.832,70 19.184,44
8 20.000,00 10.000,00 4.205,25 14.205,25 31.583,28 12.942,97 6.241,47 19.184,44
9 10.000,00 10.000,00 2.803,50 12.803,50 16.826,03 14.757,25 4.427,19 19.184,44
10 - 10.000,00 1.401,75 11.401,75 0,18 16.825,85 2.358,59 19.184,44
Total 100.000,00 77.096,25 177.096,25 99.999,82 91.844,58 191.844,40
Compare os valores com a tabela do sistema amortização mistos, que fizemos na tabela anterior.
7.3 Gráfico de comparação entre SAC, SAF e SAM
0 1 2 3 4
4,45
PMT ($)
24.017,50
21.601,00
19.184,40
SAC
Período (n)
SAM
SAF
5 6 7 8 9 10
Figura 12
O ponto em que as retas se cruzam indica valores iguais para as prestações. Calculando-se 
analiticamente esse ponto de interseção, verifica-se que as prestações se igualam por volta da 4ª 
93
MATEMÁTICA FINANCEIRA
prestação. No SAF, as prestações tornam-se maiores que as determinadas pelos demais sistemas de 
amortização.
Ponto de igualdade das prestações
PMT cons te
PMT
PV
n
n t i
PMT
SAF
SAC
SAC
�
� � � � � �� �
�
19 184 44
1 1
. , ( tan )
( )
1100 000
10
1 10 1 0 140175
.
( ) ,� � � � �� �t
Igualando PMTSAC e PMTSAF
100 000
10
1 10 1 0 140175 19 184 44
10 000 1 140175
.
( ) , . ,
. ,
� � � � �� � �
� � �
t
00 140175 0 140175 19 184 44
10 000 14 017 50 0 140175
, , . ,
. . , ,
� �� � �
� � �
t
tt
t
t
� �
�
� �
1 40175 19 184 44
1 40175 6 234 81
6 234 81
1 40175
. , . ,
. , . ,
. ,
. ,
44 45,
8 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO
O Sistema de Amortização Americano (SAA) estipula que a devolução do capital emprestado seja 
efetuada ao final do período contratado, ou seja, deve ser efetuada de uma só vez. De acordo com essa 
característica básica do SAA, não estão previstas amortizações intermediárias durante o período de 
empréstimo. Os juros costumam ser pagos periodicamente.
Exemplo 1
Tabela 22
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação
0 100.000,00 
1 100.000,00 14.017,50 14.017,50
2 100.000,00 14.017,50 14.017,50
3 100.000,00 14.017,50 14.017,50
4 100.000,00 14.017,50 14.017,50
5 100.000,00 14.017,50 14.017,50
6 100.000,00 100.000,00 14.017,50 114.017,50
Total 100.000,00 84.105,00 184.105,00
94
Unidade II
O exercício a seguir foi baseado em Boggiss (2003), Lapponi (1995) e Puccini (1983). Trata-se de um 
exercício-padrão, com redação muito próxima ao que geralmente se observa em treinamentos e testes 
de Matemática Financeira no Brasil.
Exemplo 2. Um financiamento para capital de giro no valor de R$ 2.000.000,00 é concedido a uma 
empresa pelo prazo de 4 semestres. A taxa de juros contratada é de 10% a.s., sendo adotado o Sistema 
Americano de Amortização para essa dívida, e os juros pagos semestralmente durante a carência. 
Calcular o valor de cada prestação mensal.
Admita que a taxa de aplicação seja de 4% ao semestre. Calcular os depósitos semestrais que a 
empresa deve efetuar nesse fundo, de maneira que possa acumular, ao final do prazo de financiamento, 
um montante igual ao desembolso da amortização exigido.
Tabela 23
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação
0 2.000.000,00 
1 2.000.000,00 200.000,00 200.000,00
2 2.000.000,00 200.000,00 200.000,00
3 2.000.000,00 200.000,00 200.000,00
4 - 2.000.000,00 200.000,00 2.200.000,00
Total 2.000.000,00 800.000,00 2.800.000,00
Para ampliar o exemplo, vamos imaginar que, para facilitar o cumprimento da dívida de 
R$ 2.800.000,00 no final do período 4, a empresa decida fazer aplicações mensais para que tenha 
a quantia no final do período. Assim sendo, quanto deveria aplicar mensalmente?
O valor de cada parcela a ser depositada semestralmente no fundo de amortização é de R$ 470.980,00, 
isto é:
FV = 2.000.000,00
10
PMT PMT PMT PMT
2 3 4
Figura 13
PV PMT FPV i n
PV PMT
i
i
PMT PV
i
i
PMT
n
n
� �
� �
� �
� �
� �
�
( , )
( )
( )
. .
1 1
1 1
2 000 0000
0 04
1 04 1
470 980 00
4
�
�
�
,
( , )
. ,PMT
95
MATEMÁTICA FINANCEIRAPV PMT FPV i n
PV PMT
i
i
PMT PV
i
i
PMT
n
n
� �
� �
� �
� �
� �
�
( , )
( )
( )
. .
1 1
1 1
2 000 0000
0 04
1 04 1
470 980 00
4
�
�
�
,
( , )
. ,PMT
8.1 Sinking fund ou fundo de amortização
Dentro do Sistema de Amortização Americano, costuma-se utilizar um dispositivo denominado sinking 
fund, ou fundo de amortização, cujo propósito é estocar poupanças periodicamente durante a vigência do 
empréstimo para, ao final do empréstimo, o montante do fundo igualar-se ao valor da dívida.
 Lembrete
Lembre-se de que a preocupação em formar um fundo desse tipo é a 
de evitar que o mutuário tenha de desembolsar uma quantia muito grande 
de dinheiro de uma vez só.
Representando matematicamente, se considerarmos:
• a taxa de juros: i
• o período: n
• o montante igual ao principal: S
• o depósito do período: R
• o fato de valor presente em séries uniformes postecipadas (valor da tabela): K,
surge a seguinte fórmula:
R = S / k
Por exemplo, se considerarmos um empréstimo de R$100.000,00 com uma taxa de juros de 12% ao 
ano e um prazo de 4 anos, é possível criarmos um fundo de amortização com uma taxa de aplicação de 
10% ao ano.
Se:
S = R$100.000,00
96
Unidade II
k: a constante para uma taxa de 10% e um período de 4 anos (4,641) 
R: o valor do depósito anual,
temos:
R = S/k
R = 100.000/4, 641
R = 21.547,08
É possível, dessa forma, obtermos a seguinte planilha:
Tabela 24
Anos Saldo devedor Depósito Juros
0 - - -
1 21.547,08 21.547,08 -
2 45.248,87 21.547,08 2.154,71
3 71.320,84 21.547,08 4.524,89
4 100.000,00 21.547,08 7.132,08
Total - 86.188,32 13.811,68
8.2 Sistema de Amortização Crescente (Sacre)
O Sacre é um sistema misto de cálculos do SFH, muito utilizado pela Caixa Econômica Federal. Nele 
utiliza-se a metodologia de amortização constante (SAC anual), mas sem adicionar o valor da TR (Taxa 
Referencial).
Dessa forma, o Sacre proporciona uma amortização variável. Apesar do nome, amortização 
“crescente”, ele pode resultar amortizações decrescentes, caso a TR esteja com valor baixo.
A intenção desse sistema misto é proporcionar maior amortização do valor emprestado, reduzindo 
ao mesmo tempo a parcela de juros sobre o saldo devedor. Comparando-o com a Tabela Price, descobre-
se que a sua prestação inicial pode comprometer até 30% da renda, enquanto na Tabela Price, 25%. 
O grande atrativo do Sacre é que, enquanto na Tabela Price as prestações tendem a aumentar sempre, 
nele, a partir de um momento, as prestações começam a diminuir.
Para os cálculos do sistema Sacre, de acordo com a ABC (d.o.)1, que utilizou dados do SFH, temos os 
seguintes conceitos:
1 ABC (ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE CONSUMIDORES). Cartilha SFH. Disponível em: <http://www.ongabc.org.br/
cartilha_shf.doc>. Acesso em: 01 dez. 2011.
97
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Valor da razão da progressão aritmética (corresponde ao decréscimo das prestações)
Valor da primeira prestação:
r b
i PV
n
PMT
PV b i i
i
b
n
i PV
n
n
� �
�
�
� � � � �
� �
� � � �1
1 1
1 1
1( ) ( )
( )
( )
Valor das prestações no período t (t > 1)
PMT PMT rt t� � �1
Juros na data t
J i SDt t� � �1
PV = valor do principal
PMT1 = valor da primeira prestação
b = coeficiente variável por tipo de plano
r = razão da progressão (corresponde ao decréscimo do valor das prestações sucessivas).
Dependendo do valor de b, o sistema de reembolso pode resultar no Sistema Price (para b = 0) ou no 
SAC (no caso de b = 1). O denominado Sacre é um caso particular em que b = 0,5. Nesse sistema, devido 
à ponderação 0,5, o valor das prestações, amortizações, juros e saldos devedores correspondem à média 
aritmética dos sistemas Price e SAC.
8.3 Custo efetivo
Quando é cobrado unicamente juro nas operações de empréstimos e financiamentos, o custoefetivo, qualquer que seja o sistema de amortização adotado, é a própria taxa de juro considerada. 
Por outro lado, é comum as instituições financeiras cobrarem, além do juro declarado, outros tipos de 
encargos, tais como: IOC (Imposto sobre Operações de Crédito), comissões, taxas administrativas etc. 
Essas despesas adicionais devem ser consideradas na planilha de desembolsos financeiros.
Exemplo de aplicaçãoExemplo de aplicação
Ao longo da unidade, você teve contato com termos das áreas financeira e matemática que 
correspondem a determinados conceitos. Propomos, por isso, que aprofunde sua compreensão com 
relação a eles. Tente explicar a seguir com suas próprias palavras o que significa amortização. Caso 
98
Unidade II
necessite, volte ao texto, releia-o e pesquise, em livros e na internet, não só o que o termo significa, mas 
como os profissionais da área financeira e matemática o utilizam.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
 Saiba mais
Para quem gosta de estratégia, a Matemática Financeira é um 
dos principais exemplos da chamada Teoria dos Jogos. Nesse sentido, 
recomenda-se assistir ao filme Uma mente brilhante (A beautiful mind), de 
2001, com direção de Ron Howard, que aborda a vida de um dos principais 
autores dessa teoria, o matemático John Nash. Uma interessante crítica a 
esse filme pode ser encontrada em: <http://www.cineclick.c om.br/critic as/
ficha/film e/uma-mente-brilha nte /id/471>.
 Resumo
Chegamos ao fim da unidade II e da nossa disciplina de Matemática 
Financeira. Você estudou, nesta segunda parte, os sistemas de amortização 
e mais especificamente os seguintes tópicos: Sistemas de amortização de 
empréstimos e financiamentos; Sistema de Amortização Constante (SAC); 
Sistema de Amortização Francês; Sistema de Amortização Americano; 
Tabela Price; sistema misto; Comparações entre os sistemas de amortização; 
Sinking fund ou fundo de amortização; Sistema de Amortização Constante 
(Sacre); Custo efetivo.
Parabéns pelo esforço. No entanto, é sempre bom lembrar que você 
não esgotou todo o conhecimento sobre a Matemática Financeira; esta 
disciplina é uma introdução. Sempre é necessário estudar mais e se manter 
atualizado.
É muito comum, ao longo do tempo, principalmente se você não 
aplica constantemente esses conhecimentos, esquecer-se por completo 
das fórmulas. Contudo, certamente você ainda se lembrará dos conceitos 
99
MATEMÁTICA FINANCEIRA
e suas aplicações, de modo que as fórmulas possam ser relembradas a 
qualquer momento. O uso de artefatos e dispositivos eletrônicos também 
ajuda muito nesse sentido.
De qualquer forma, aplique sempre esses conceitos de Matemática 
Financeira. Bom trabalho e bons negócios!
 Exercícios
Questão 1. (AFC/STN/ESAF-2008) Se a CM – Correção Monetária for zero, e considerando um 
empréstimo imobiliário a ser pago em 25 anos com capitalizações mensais, sendo que os juros sobre o 
saldo devedor de cada mês também serão pagos com (junto) às respectivas parcelas mensais, podemos 
afirmar que:
I. As parcelas de juros são constantes.
II. As parcelas de amortização são constantes.
III. O saldo devedor é decrescente e linear, financeiramente.
Com base no proposto e frente às três sentenças, indicando por V – Verdadeira e por F – Falsa, a 
opção correta é:
A) V, V, V.
B) V, V, F.
C) V, F, F.
D) F, V, V.
E) F, F, V.
Resposta correta: alternativa D.
Análise das afirmativas
Considerando-se os dados do enunciado, teremos:
CM – Correção Monetária = zero
Financiamento imobiliário = 25 anos
100
Unidade II
Capitalização mensal
Pagamento do mês => Juros sobre o saldo devedor e parcelas mensais.
Considerando-se os juros compostos, teremos:
Regime de Capitalização Mensal
10
P
1.000,00
2 3 n...
Figura 13
Sendo:
n = número total de meses de pagamento da parcela mensal
Parcela paga mensalmente = P = Juros + Parcela Mensal (PM) = Juros + Amortização constante
Saldo devedor inicial = D
Saldo devedor (Período 1) = D.(1 + i) – P
P = Juros + PM = D.i + PM
Saldo devedor 
(Período 1) = D.(1 + i) – D.i – PM = D + D.i – D.i – PM = D – PM
Saldo devedor 
(Período 2) = [D – PM].(1 + i) – P
P = Juros + PM = [D – PM].i + PM
Saldo devedor 
(Período 2) = [D – PM].(1 + i) – [D – PM].i – PM =
Saldo devedor 
(Período 2) = [D – PM] + [D – PM].i – [D – PM].i – PM = D – PM – PM
101
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Saldo devedor (Período 2) = D – 2.PM
Saldo devedor (Período n) = D – n.PM
Sendo assim, podemos analisar as afirmativas:
I. Afirmativa incorreta.
Justificativa:
Juros (Período 1) = D x i
Juros (Período 2) = [D – PM].i
Juros (Período 3) = [D – 2 x PM].i
…
Juros (Período n) = [D – (n-1).PM].i
Logo, as parcelas de juros não são constantes. A afirmativa é incorreta (falsa).
II. Afirmativa correta.
Justificativa:
Amortização (Período 1) = PM
Amortização (Período 2) = PM
….
Amortização 
(Período n) = PM
Logo, as parcelas de amortizações são constantes. A afirmativa é correta (verdadeira).
III. Afirmativa correta.
Justificativa:
Saldo devedor (Período n) = D – n.PM => Linear e decrescente. A afirmativa é correta (verdadeira).
Assim, a alternativa correta é D (F, V, V).
102
Unidade II
Questão 2. (AFRF/ESAF-2002.2) Na compra de um carro em uma concessionária no valor de R$ 
25.000,00, uma pessoa dá uma entrada de 50% e financia o saldo devedor em doze prestações mensais 
a uma taxa de 2% ao mês. Considerando que a pessoa consegue financiar ainda o valor total do seguro 
do carro e da taxa de abertura de crédito, que custam R$ 2.300,00 e R$ 200,00, respectivamente, nas 
mesmas condições, isto é, em doze meses e a 2% ao mês, o valor que mais se aproxima da prestação 
mensal do financiamento global é:
A) R$ 1.405,51.
B) R$ 1.418,39.
C) R$ 1.500,00.
D) R$ 1.512,44.
E) R$ 1.550,00.
Resolução desta questão na plataforma.
103
REFERÊNCIAS
Audiovisuais
UMA MENTE brilhante. Direção de: Ron Howard. Roteiro: Akiva Goldsman. EUA: 2001. 1 DVD ( ). 
Textuais
ABC (ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE CONSUMIDORES). Cartilha SFH. Disponível em: <http://www.
ongabc.org.br/cartilha_shf.doc>. Acesso em: 1º dez. 2011.
ASSAF NETO, A. Finanças corporativas e valor. São Paulo: Atlas, 2003.
______. Matemática Financeira e suas aplicações. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2002.
ASSAF NETO, A.; SILVA, C. A. T. Administração do capital de giro. São Paulo: Atlas, 2002.
BANCO CENTRAL. SFH – Sistema Financeiro Habitacional. Disponível em: <http://www.bcb.gov.
br/?SFH>. Acesso em: 26 set. 2012.
BENNINGA, S. Z.; SARIG, O. H. Corporate finance: a valuation approach. Nova Iorque: McGraw-Hill, 1997.
BERNI, M. T. Operação e concessão de crédito: os parâmetros para a decisão de crédito. São Paulo: 
Atlas, 1999.
BOGGISS, G. J. Matemática Financeira. 2. ed. Rio de Janeiro: Fundação Getúlio Vargas, 2003.
BRAGA, R. Administração financeira: uma abordagem introdutória. São Paulo: Atlas, 2005.
BREALEY, R. A.; MYERS, S. C. Principles of corporate finance. 6. ed. Nova Iorque: McGraw-Hill, 2001.
BRIGHAM, E. F.; GAPENSKI, L. C.; EHRHARDT, M. C. Administração financeira. São Paulo: Atlas, 2001.
BRITO, L. Curso da HP12C para uso na Matemática Financeira. Disponível em: <http://pt.scribd.com/
doc/61398364/CURSO-DA-HP12C-PARA-USO-NA-MATEMATICA-FINANCEIRA-2>. Acesso em: 01 dez. 2011.
BRUNI, A. L.; FAMÁ, R. Matemática Financeira com HP 12C. São Paulo: Atlas, 2002.
CASTANHEIRA, N. P.; MACEDO, L. R. D. Matemática Financeira aplicada. 2. ed. rev. São Paulo: Pearson/ 
Virtual, 2010.
FORTUNA, E. Mercado financeiro: produtos e serviços. 15. ed. Rio de Janeiro: Qualitymark, 2002.
GIMENES, C. M. Matemática Financeira com HP 12C e Excel. São Paulo:Virtual/Pearson, 2006.
http://www.bcb.gov.br/?SFHhttp://www.bcb.gov.br/?SFH
104
GITMAN, L. J. Princípios de administração financeira. 7. ed. São Paulo: Harbra, 1997.
GROPPELLI, N. Administração financeira. São Paulo: Saraiva, 2001.
HAZZAN, S.; POMPEO, J. N. Matemática Financeira. 5. ed. São Paulo: Saraiva, 2004.
HOJI, M. Administração financeira. São Paulo: Atlas, 2000.
LAPPONI, J. C. Matemática Financeira: uma abordagem moderna. 3. ed. São Paulo: Lapponi Treinamento e 
Editora Ltda., 1995.
LEITE, L. L. Factoring no Brasil. São Paulo: Atlas, 2003.
LEMES JÚNIOR, A. B. et al. Administração financeira: princípios, fundamentos e práticas brasileiras. Rio 
de Janeiro: Campus, 2002.
MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática Financeira. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2008.
OLIVEIRA, D. C. Manual: como elaborar controles financeiros. Belo Horizonte: Sebrae/MG, 2005.
PEREIRA, W. A. Matemática Financeira. Disponível em: <http://www.ebah.com.br/content/
ABAAAAMloAC/apost-matematica-financeira>. Acesso em: 01 dez. 2011.
PUCCINI, A. L. Matemática Financeira. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1983.
ROSS, S. A.; WESTERFIELD, R. W.; JAFFE, J. F. Administração financeira. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2002.
ROSETTI JÚNIOR, H.; SCHIMIGUEL, J. Análise das percepções de empresários acerca dos conhecimentos 
de Matemática Financeira e finanças em alunos de cursos superiores de tecnologia. Observatorio de La 
Economía Latinoamericana, v. 153, pp. 1-14, 2011. Disponível em: <http://www.eumed.net/cursecon/
ecolat/br/11>. Acesso em: 16 dez. 2011.
ROVINA, E. Uma nova visão da Matemática Financeira: para laudos periciais e contratos de 
amortização. Campinas: Millenium, 2009.
SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira: aplicações à análise de investimentos. São Paulo: Pretince Hall, 
2002.
SANTOS, E. O. Administração financeira da pequena e média empresa. São Paulo: Atlas, 2001.
SANTOS, J. O. Análise de crédito. São Paulo: Atlas, 2000.
SANVICENTE, A. Z. Princípios de administração financeira. São Paulo: Person Education do Brasil, 2003.
http://www.eumed.net/cursecon/ecolat/br/11
http://www.eumed.net/cursecon/ecolat/br/11
105
_______. A moderna teoria de carteiras e a análise de investimentos. São Paulo: Atlas, 2004.
_______. Administração financeira. São Paulo: Atlas, 2001.
TAHAN, M. O homem que calculava. São Paulo: Record, 2003.
______. Matemática divertida e curiosa. São Paulo: Record, 2002.
VAN HORNE, J. C. Financial management and policy. 12. ed. Nova Iorque: Prentice Hall, 2002.
WESTON, J. F.; BRIGHAM, E. F. Fundamentos da administração financeira. 10. ed. São Paulo:Makron 
Books, 2000.
Sites
<http://www.malbatahan.com.br/>
Exercícios
Unidade I – Questão 1: ESCOLA DE ADMINISTRAÇÃO FAZENDÁRIA (ESAF). Concurso Público Secretaria 
da Receita Federal 2001: Agente Tributário. Questão 47. Disponível em: <http://nquestoes.com.br/
view/335146?offset=400>. Acesso em: 28 out. 2014.
Unidade I – Questão 2: ESCOLA DE ADMINISTRAÇÃO FAZENDÁRIA (ESAF). Concurso Público Secretaria 
da Receita Federal 2001: Agente Tributário. Questão 46. Disponível em: <http://nquestoes.com.br/
view/335146?offset=400>. Acesso em: 28 out. 2014.
Unidade II – Questão 1: ESCOLA DE ADMINISTRAÇÃO FAZENDÁRIA (ESAF). Concurso Público Secretaria 
da Receita Federal 2008: Analista de Finanças e Controle AFC. Questão 45. Disponível em: <http://
rotadosconcursos.com.br/prova/stn-2008-esaf-analista-de-financas-e-controle-afc-prova-1-geral-
comum-a-todos-os-cargos-de-afc/327216>. Acesso em: 28 out. 2014.
Unidade II – Questão 2: ESCOLA DE ADMINISTRAÇÃO FAZENDÁRIA (ESAF). Concurso Público Secretaria 
da Receita Federal 2002.2: Auditor-Fiscal da Receita Federal. Questão 33. Disponível em: <http://www.
concursosolucao.com.br/provas/1108_afrf-2002.2-(especifica-e-comum)/>. Acesso em: 28 out. 2014.
106
107
108
109
110
111
112
Informações:
www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000
Unidade I
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Prof. Luiz Felix
 A Matemática Financeira estuda o comportamento do dinheiro 
ao longo do tempo.
 Capital é o valor principal de uma operação, ou seja, 
do dinheiro em um momento inicial. 
Matemática financeira
 Juros são a correção monetária em espécie ou o valor 
acrescido pela taxa de juros.
 A soma do capital com os juros é chamada de montante.
Juros 
Abreviaturas 
Fonte: Livro Texto
 A taxa de juros, simbolizada pela letra i, pode se apresentar na 
forma percentual (exemplo: 11%) ou na forma unitária 
(exemplo: 0,11).
Taxa de juros 
Taxa 
Percentual
Transformação Taxa unitária
40% a.m.
40
100
0,40 a.m.
4% a.a.
4
100
0,04 a.a.
24,5% a.d.
24,5
100
0,245 a.d.
Passe para a forma unitária os seguintes valores:
 0,5% a.a.  0,005 a.a.
 2% a.s.  0,02 a.s.
 17,5% a.d.  0,175 a.d.
Passe para a forma percentual os seguintes valores:
 0,003 a.b.  0,3% a.b.
 0,04 a.m.  4% a.m.
 0,18 a.d.  18% a.d.
Taxas de juros: exercícios
Um gerente de um banco emprestou R$ 5.000,00 pelo prazo de 
50 dias. Ao assinar o contrato, o devedor se comprometeu a devolver 
R$ 5.250,00.
a) Qual o juro?
Montante = Capital + Juro ou M = C + J 
5250 = 5000 + J  5250 – 5000 = J
J = 250 
b) Qual a taxa unitária de juro?
i = J i = 250 i = 0,05 em 50 dias
C 5000
c) Qual a taxa percentual de juro?
i = 0,05 x 100 = 5% em 50 dias
Taxas de juros: exercícios
Um bolo é vendido por R$ 35,00. Se seu preço fosse acrescido de 
15%, quanto o bolo passaria a custar? 
Calculando 15% de R$ 35,00; temos:
15 . 35 = 0,15 . 35 = 5,25
100 
Somando R$ 5,25 ao preço original do bolo, temos:
Novo preço: R$ 35,00 + R$ 5,25 = R$ 40,25
Taxas de juros: exercícios
 Os juros de cada período incidem sobre o capital inicial 
aplicado: juros não rendem juros.
 Crescimento linear ou em progressão aritmética.
 Poucas são as operações financeiras e comerciais. 
Juros simples
 Para um entendimento do sistema de capitalização simples, 
vamos supor uma aplicação no valor de R$ 1.000,00 por
cinco anos, com taxa de juros no valor de 10% ao ano.
Juros simples
Fonte: Livro Texto
 Resumidamente, é a forma de igualarmos taxas em períodos 
diferentes.
 Exemplos:
 Transformar 2% a.m. em taxa semestral  2 x 6 = 12% a.s.
 Transformar 10% a.s. em taxa trimestral  10 / 2 = 5% a.t.
 Importante: o prazo da capitalização e a taxa de juros 
devem estar expressos, necessariamente, na mesma 
unidade de tempo.
Juros simples: taxas equivalentes
 Qual a taxa mensal equivalente a 8% ao bimestre? 
Resposta: 8/2 = 4% ao mês
 Qual a taxa anual equivalente a 3% ao semestre? 
Resposta: 3 * 2 = 6% ao ano
 Qual a taxa bimestral equivalente a 12% ao ano? 
Resposta: 12/6 = 2% ao bimestre
Juros simples: exercícios de taxas equivalentes
Em juros simples, qual a taxa anual equivalente a 2% ao mês? 
a) 0,16% ao ano.
b) 0,5% ao ano.
c) 6% ao ano.
d) 12% ao ano.
e) 24% ao ano.
Interatividade 
A alternativa correta é:
e) 24% ao ano
 Em juros simples, qual a taxa anual equivalente a 2% ao mês?
 2% ao mês = 2 x 12 = 24% ao ano
Resposta
 J = C . i . n 
 Em que:
 J = juros
 C = capital
 i = taxa de juros
 n = período
 M = C + J ou M = C.(1 + i.n)
 Em que:
 M = montante
Juros simples: fórmulas 
 Uma pessoa aplicou R$ 3.000,00 à taxa de 2% ao mês durante 5 
meses. Quanto receberá de juros e qual será o montante ao fim 
dessa aplicação? 
Resolução incorreta 
C = 3000 i = 2% a.m. n = 5 meses J = ? M = ?
J = C.i.n M = C + J
J = 3000 . 2 . 5 M = 3000 + 30000
J = 30000 M = 33000
J = R$ 30.000,00 M = R$ 33.000,00 
Juros simples: exemplo
 Uma pessoa aplicou R$ 3.000,00 à taxa de 2% ao mês durante 5 
meses. Quanto receberá de juros e qual será o montante ao fim 
dessa aplicação? 
Resolução correta 
C = 3000 i = 2% a.m. n = 5 meses J = ? M = ?
J = C.i.n M = C + J
J = 3000 . 0,02 . 5 M = 3000 + 300
J = 300 M = 3300
J = R$ 300,00 M = R$ 3.300,00
Juros simples: exemplo
 Um capital de R$ 1.500,00 foi aplicado à taxa de 10% a.b.,pelo 
período de 2 meses, no regime de capitalização simples. Qual o 
valor dos juros para o período?
Resolução incorreta
C = 1500 n = 2 meses i = 10% a.b. J = ?
J = C.i.n
J = 1500 . 0,1 . 2
J = 300
J = R$ 300,00
Juros simples: exemplo
 Um capital de R$ 1.500,00 foi aplicado à taxa de 10% a.b., pelo 
período de 2 meses, no regime de capitalização simples. Qual o 
valor dos juros para o período?
Resolução correta
C = 1500 n = 2 meses 
i = 10% a.b.  10 / 2 = 5% a.m.
J = ?
J = C.i.n
J = 1500 . 0,05 . 2
J = 150
J = R$ 150,00
Juros simples: exemplo
 Calcule o capital que deve se empregar à taxa de 6% a.m., a 
juros simples, para obter R$ 6.000,00 de juros em 4 meses.
C = ? i = 6% a.m. J = 6000 n = 4 meses
J = C.i.n
6000 = C . 0,06 . 4
6000 = C . 0,24
6000 = C
0,24
C = 25000
C = R$ 25.000,00
Juros simples: exemplo
 Uma empresa tomou R$ 3.500,00 emprestado para pagar dentro 
de 7 meses, a uma taxa de juros simples igual a 
5,5% a.m. Calcule o valor futuro dessa operação. 
C = 3500 n = 7 meses i = 5,5% a.m. M = ?
M = C (1+ i.n)
M = 3500 (1 + 0,055 . 7)
M = 3500 (1 + 0,385)
M = 3500 (1,385)
M = 4847,50
M = R$ 4.847,50
Juros simples: exemplo
 Juro exato: utiliza o calendário do ano civil com 365 dias. 
 Juro comercial: admite o mês com 30 dias e o ano com 
360 dias. 
Exemplo: 30% ao ano (a.a.) equivalem, pelo critério de juros simples, 
a taxa diária de:
a) Juro exato: 30% = 0,082191% ao dia
365 dias
b) Juro comercial: 30% = 0,083333% ao dia
360 dias
Juro exato e juro comercial 
 Linha horizontal é a escala do tempo.
 Demais pontos representam outros períodos de tempo (datas).
Fluxo de caixa 
0 1 2 3 4 5 6 7
Entradas de Caixa ( + )
Saídas de Caixa ( - )
tempo
R$ 500,00 R$ 600,00
R$ 700,00 R$ 300,00
Calcular os juros simples de uma aplicação de R$ 1.200,00 a uma 
taxa de 13% a.t. por quatro meses e quinze dias.
a) R$ 150,00
b) R$ 23.400,00 
c) R$ 702,00 
d) R$ 70.200,00
e) R$ 234,00 
Interatividade 
A alternativa correta é:
e) R$ 234,00 
Dica para a resolução:
i = 13% a.t. 
Como 1 trimestre tem 90 dias, vamos dividir 13 por 90 para
obtermos a taxa ao dia: 13 / 90 = 0,1444444
i = 0,1444444% a.d. 
n = 4 meses e 15 dias = 135 dias
J = 1200 . 0,0014444 . 135 = 234
J = R$ 234,00
Resposta
 Assume os conceitos e as relações básicas de juros simples.
 Dr é o valor do desconto racional.
 Vr é o valor descontado racional (ou valor atual).
 N é o valor nominal (ou valor de resgate ou montante).
Dr = N – Vr
N = Vr.(1 + i.n) 
Desconto simples racional ou “por dentro”
 Seja um título de valor de R$ 3.500,00 vencível em um ano, que 
está sendo liquidado 2 meses antes de seu vencimento. Sendo 
48% a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o 
desconto e o valor descontado.
Dr (valor do desconto) Vr (valor descontado)
i = 48% a.a = 4% a.m N valor nominal = 3500 
N = Vr.(1 + i.n) Dr = N – Vr
3500 = Vr.(1 + 0,04.2) Dr = 3500 – 3240,74 
3500 = Vr.(1 + 0,08) Dr = 259,26
3500 = Vr.(1,08)
Vr= 3500 / 1,08 = 3240,74 
Desconto simples racional ou “por dentro”
 A modalidade de “desconto por fora” é amplamente adotada 
pelo mercado em operações de crédito bancário e comercial em 
curto prazo.
 DF é o valor do desconto
 VF é o valor descontado “por fora” 
 N é o valor nominal
 d é a taxa de desconto “por fora”
 n é o prazo definido
DF = N . d . n
VF = N.(1 – d.n) 
Desconto bancário ou comercial ou “por fora”
 Qual o valor do desconto bancário de uma duplicata de 
R$ 100,00 descontada 60 dias antes do vencimento, à taxa de 
desconto de 0,2% a.d.? 
d = 0,2% a.d. n = 60 dias N = 100 DF = ? 
DF = N . d . n
DF = 100 . 0,002 . 60
DF = 12
DF = R$ 12,00
Desconto bancário ou comercial ou “por fora”
 Juros de cada período incidem sobre o capital do início do 
período (saldo): juros rendem juros.
 Crescimento exponencial ou em progressão geométrica.
 É o mais comum no sistema financeiro. 
Juros compostos
 Para um entendimento do sistema de capitalização composto, 
vamos supor uma aplicação no valor de R$ 1.000,00 por cinco 
anos, com taxa de juros no valor de 10% ao ano.
Juros compostos
Fonte: Livro Texto
M = C.(1 + i)n 
Em que:
 M = montante
 C = capital
 i = taxa de juros
 n = número de períodos
Juros compostos: fórmula
 Um capital de R$ 6.000,00 foi aplicado a juros compostos 
durante 3 meses, à taxa de 2% a.m. Qual o montante e qual o 
total de juros efetuados?
C = 6000 i = 2% a.m. n = 3 meses 
M = C.(1 + i)n 
M = 6000.(1+0,02)3
M = 6000.(1,02)3 = 6000.1,0612 = 6367,20
M = C + J 
6367,20 = 6000 + J 
J = 6367,20 – 6000 = 367,20
 O montante foi de R$ 6.367,20 e o juros de R$ 367,20
Juros compostos: exemplo
 Qual o capital que, aplicado a juros compostos à taxa de 2,5% 
a.m., produz um montante de R$ 3.500,00 após um ano?
M = 3.500 i = 2,5% a.m. n = 12 meses
M = C.(1 + i)n 
3500 = C.(1+0,025)12
3500 = C.(1,025)12 
3500 = C.1,3449
C = 3500 = 2.602,42
1,3449
 O capital foi de R$ 2.602,42
Juros compostos: exemplo
Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 4.000,00 pelo 
prazo de 4 meses à taxa de juros compostos de 1,5% ao mês? 
a) R$ 4.140,00
b) R$ 5.065,90
c) R$ 16.240,00
d) R$ 4.245,45
e) R$ 5.040,65
Interatividade 
A alternativa correta é:
d) R$ 4.245,45
Resolução:
C = 4000 i = 1,5% a.m. n = 4 meses 
M = C.(1 + i)n 
M = 4000 . (1+0,015)4
M = 4000 . (1,015)4
M = 4000 . 1,0613634
M = 4.245,45
M = R$ 4.245,45
Resposta
 Importante: o prazo da capitalização e a taxa de juros devem 
estar expressos, necessariamente, na mesma unidade de 
tempo.
  iq = (1 + i)
q – 1
  iq = (1 + i)
1/q – 1
q = número de períodos de capitalização
Lembrete: q 1+ i – 1 = (1 + i)1/q – 1
Juros compostos: taxas equivalentes
Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2,3% a.m.? 
 Mês  Anual iq = (1 + i)
q – 1 
 1 mês  12 meses
iq = (1 + 0,023)
12 – 1 
iq = (1,023)
12 – 1
iq = 1,3137 – 1 
iq = 0,3137 
Se multiplicarmos por 100, obtemos a taxa percentual
iq = 0,3137 . 100
iq = 31,37% a.a.
Juros compostos: exercícios
Taxas equivalentes
Em juros compostos, qual a taxa para 23 dias equivalente a 0,14% 
a.d. ? 
 Dia  Dias iq = (1 + i)
q – 1 
 1 dia  23 dias 
iq = (1 + 0,0014)
23 – 1 
iq = (1,0014)
23 – 1
iq = 1,0327 – 1 
iq = 0,0327
Se multiplicarmos por 100, obtemos a taxa percentual
iq = 0,0327 . 100
iq = 3,27% para 23 dias
Juros compostos: exercícios
Taxas equivalentes
Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 7,45% a.t.? 
 Trimestre  Anual iq = (1 + i)
q – 1 
 1 trimestre  4 trimestres
iq = (1 + 0,0745)
4 – 1 
iq = (1,0745)
4 – 1
iq = 1,3329 – 1 
iq = 0,3329
Se multiplicarmos por 100, obtemos a taxa percentual
iq = 0,3329 . 100
iq = 33,29% a.a.
Juros compostos: exercícios
Taxas equivalentes
Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente a 34% a.a.? 
 Mês  Anual iq = (1 + i)
1/q – 1
 12 meses  1 ano 
iq = (1 + 0,34)
1/12 – 1 
iq = (1,34)
1/12 – 1
iq = 1,0247 – 1 
iq = 0,0247
Se multiplicarmos por 100, obtemos a taxa percentual
iq = 0,0247 . 100 
iq = 2,47% a.m.
Juros compostos: exercícios
Taxas equivalentes
Cálculo de (1,34) 1/12 = 1,0247
Na HP:
Vamos trabalhar com 4 casas decimais: f 4
1,34 ENTER 12 1/x yx 1,0247
Na calculadora do computador:
Chamar a calculadora
Clicar em exibir e selecionar científica
Dividir 1 por 12, resultado: 0,08333
1,34 xy 0,08333 =  1,0247
Em calculadoras científicas com símbolo ^ 
Utilizar o símbolo ^ 
1,34 ^ 0,08333 =  1,0247
Juros compostos: exercícios
Taxas equivalentes
Em juros compostos, qual a taxa diária equivalente a 9,5% a.a.? 
 Dia  Ano iq = (1 + i)
1/q – 1
 360 dias  1 ano
iq = (1 + 0,095)
1/360 – 1 
iq = (1,095)
1/360 – 1
iq = 1,000252 – 1 
iq = 0,000252
Se multiplicarmos por 100, obtemos a taxa percentual
iq = 0,000252 . 100
iq = 0,0252% a.d.
Juros compostos: exercíciosTaxas equivalentes
Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente a 50% a.s.? 
a) 10,39% a.m.
b) 5,50% a.m.
c) 7% a.m.
d) 4,43% a.m
e) 15% a.m.
Interatividade 
A alternativa correta é:
c) 7% a.m.
Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente a 50% a.s.? 
Mensal  Semestral iq = (1 + i)
1/q – 1
6 meses  1 semestre
 iq = (1 + 0,50)
1/6 – 1 
 iq = (1,50)
1/6 – 1
 iq = 1,070 – 1 
 iq = 0,070
 iq = 7,0% a.m.
Resposta
ATÉ A PRÓXIMA!
Unidade II
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Prof. Luiz Felix
 São desenvolvidos, basicamente, para operações de empréstimos 
e financiamentos de longo prazo, envolvendo pagamentos 
periódicos do principal e encargos financeiros. Abaixo segue 
relação de alguns sistemas:
 Sistema de amortização constante.
 Sistema de amortização francês.
 Sistema de amortização misto.
 Sistema de amortização americano.
 Sistema de amortização crescente.
Sistemas de amortização de 
empréstimos e financiamentos
 Encargos financeiros: representam os juros da operação, 
caracterizados como custo para o devedor e retorno 
para o credor.
 Amortização: a fração (parte) do capital paga ou recebida 
em um determinado período (data).
 Saldo devedor: valor principal da dívida.
 Prestação: é o pagamento efetuado ao longo da série 
de pagamentos.
 Carência: prazo concedido nas operações de financiamento em 
que o credor não paga ou não amortiza o valor principal 
da dívida contraída.
Definições básicas
 As amortizações do principal são sempre iguais em todo 
o prazo da operação. 
 O valor da amortização é obtido pela divisão do capital 
emprestado pelo número de prestações. 
 Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, cujo montante 
decresce após o pagamento de cada amortização, assumem 
valores decrescentes nos períodos.
 As prestações são decrescentes em progressão aritmética.
Sistema de Amortização Constante (SAC) 
Construa a tabela do SAC: 
 Valor do empréstimo R$ 100.000,00, concedido dentro de 
um prazo de 10 anos, com pagamento em 20 prestações 
semestrais com taxa de juros de 7% ao semestre.
Amortização = Valor empréstimo
nº de prestações 
Amortização = 100.000 = 5000
20 
Amortização = R$ 5.000,00 ao semestre
Sistema de Amortização Constante (SAC): exemplo
Sistema de Amortização Constante (SAC): exemplo
 Amortização (Amort): valores sempre iguais.
 Em que: PV = principal (valor do financiamento).
 n = número de prestações.
 Saldo Devedor (SD): é decrescente pelo valor constante 
da amortização.
Sistema de Amortização Constante (SAC): 
expressões de cálculo
Amort = PV 
n
Juros (J): diminuem linearmente ao longo do tempo. 
Sendo i a taxa de juros, temos:
J = PV . (n – t + 1) . i
n
Prestação (PMT): soma da amortização com juros e encargos 
administrativos, que deve ser analisado em cada situação de 
empréstimo com a instituição financeira.
PMT = Amort + J (não consideramos encargos administrativos 
nesse modelo).
PMT = PV . [ 1+ (n – t + 1) . i ]
n
Sistema de Amortização Constante (SAC): 
expressões de cálculo
Exemplo 1: 
 Um capital de R$ 100.000,00 foi financiado em 5 anos, com 
pagamento em 10 prestações semestrais com taxa de juros
de 30% a.a.. Calcular o valor do juros no 3º semestre.
 Em primeiro lugar, vamos converter a taxa de 30% ao ano 
em uma taxa semestral.
Expressões de cálculo (SAC): exemplos
Taxa equivalente semestral de 30% a.a. é de 14,0175% ao semestre
 Semestral  Anual iq = (1 + i)
1/q – 1
 2 semestres  1 ano 
iq = (1 + 0,30)
1/2 – 1 
iq = (1,30)
1/2 – 1
iq = 1,140175 – 1 
iq = 0,140175
iq = 14,0175% a.s.
Sistema de Amortização Constante (SAC): exemplo
Juros no 3º semestre = ? PV = 100.000
n = 10 semestres i = 14,0175% a.s. 
J = PV . (n – t + 1) . i
n
J = 100000 . (10 – 3 + 1) . 0,140175
10
J = 10000 . 8 . 0,140175 
J = R$ 11.214,00
Expressões de cálculo (SAC): exemplos
Exemplo 2:
Um capital de R$ 100.000,00 foi financiado em 5 anos com 10 
prestações semestrais e taxa de juros de 30% a.a. Calcular o valor 
da prestação no 5º semestre.
PMT = PV . [ 1+ (n – t + 1) . i ]
n
PMT = 100000 . [ 1 + (10 – 5 + 1) . 0,140175]
10
PMT = 10000 . [ 1 + (6) . 0,140175]
PMT = 10000 . [ 1 + 0,84105] 
PMT = 10000 . 1,84105
PMT = R$ 18.410,50
Expressões de cálculo (SAC): exemplos
Calcular o valor da prestação no 7º semestre, sabendo que o valor 
do empréstimo é de R$ 100.000,00 dentro de um prazo 
de 5 anos em 10 prestações semestrais com a taxa de juros de 
30% ao ano.
a) R$ 15.607,00
b) R$ 28.035,00
c) R$ 13.233,50
d) R$ 20.460,00
e) R$ 24.831,50
Interatividade 
A alternativa correta é:
a) R$ 15.607,00
Resolução
PMT = PV . [ 1+ (n – t + 1) . i ]
n
PMT = 100000 . [ 1 + (10 – 7 + 1) . 0,140175]
10
PMT = 10000 . [ 1 + (4) . 0,140175]
PMT = 10000 . [ 1 + 0,5607] 
PMT = 10000 . 1,5607
PMT = R$ 15.607,00
Resposta
 Os exemplos anteriores não apresentaram prazo de carência 
para amortização do empréstimo.
 A próxima tabela demonstra uma situação em que os 
juros são pagos durante a carência estipulada. 
 Ao final dos quatro primeiros semestres, a prestação, 
constituída unicamente dos encargos financeiros, é de 
R$ 14.017,50; ou seja: 14,0175% x R$ 100.000,00. 
 A partir do quinto semestre, inicia-se a amortização do principal 
emprestado, sendo o fluxo de prestações, deste momento em 
diante, idêntico ao desenvolvido anteriormente.
Sistema de Amortização Constante 
(SAC): com carência
Sistema de Amortização Constante 
(SAC): com carência – exemplo
Períodos Saldo Devedor (R$) Amortização (R$) Juros (R$) Prestação (R$)
0 100.000,00 - - -
1 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
2 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
3 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
4 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
5 90.000,00 10.000,00 14.017,50 24.017,50
6 80.000,00 10.000,00 12.615,75 22.615,75
7 70.000,00 10.000,00 11.214,00 21.214,00
8 60.000,00 10.000,00 9.812,25 19.812,25
9 50.000,00 10.000,00 8.410,50 18.410,50
10 40.000,00 10.000,00 7.008,75 17.008,75
11 30.000,00 10.000,00 5.607,00 15.607,00
12 20.000,00 10.000,00 4.205,25 14.205,25
13 10.000,00 10.000,00 2.803,50 12.803,50
14 - 10.000,00 1.401,75 11.401,75
TOTAL - 100.000,00 133.166,25 233.166,25
Sistema de Amortização Constante 
(SAC): com carência – exemplo
Períodos
Saldo Devedor 
(R$)
Amortização (R$) Juros (R$) Prestação (R$)
0 100.000,00 - - -
1 114.017,50 - - -
2 129.999,90 - - -
3 148.222,64 - - -
4 168.999.75 - - -
5 152.099,77 16.899,97 23.689,54 40.589,51
6 135.199,80 16.899,97 21.320,59 38.220,56
7 118.299,82 16.899,97 18.951,64 35.851,61
8 101.399,85 16.899,97 16.582,68 33.482,65
9 84.499,87 16.899,97 14.213,73 31.113,70
10 67.599,90 16.899,97 11.844,77 28.744,74
11 50.699,92 16.899,97 9.475,82 26.375,79
12 33.799,95 16.899,97 7.106,87 24.006,84
13 16.899,97 16.899,97 4.737,91 21.637,88
14 - 16.899,97 2.368,96 19.268,93
TOTAL - 168.999,75 130.292,47 299.292,22
SAC com carência (2 anos) com juros (14,0175% a.s.) 
capitalizados e acrescidos ao saldo devedor
 Sistema amplamente adotado no mercado financeiro 
brasileiro, estipula que as prestações devem ser
iguais, periódicas e sucessivas.
 Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, são decrescentes e 
as parcelas de amortização assumem 
valores crescentes.
 O valor da prestação é a soma dos juros com o valor 
da amortização. 
 Para compor a planilha financeira desse sistema, vamos 
partir da última coluna para a primeira, isto é, vamos calcular 
inicialmente as prestações e a seguir os juros, as parcelas 
de amortização e o respectivo saldo devedor.
Sistema de Amortização Francês (SAF) 
Construa a tabela do SAF: 
 Valor do empréstimo R$ 100.000,00; pagamentos semestrais 
durante 5 anos com taxa de juros de 30% ao ano. 
 As prestações semestrais são determinadas pela fórmula: 
PV = PMT . FPV (i,n)
Em que:
PV = valor presente 
PMT = valor prestação
FPV = fator de valor presente,sendo:
FPV = 1 – (1+ i) –n
i
Sistema de Amortização Francês (SAF): exemplo
Vamos calcular o valor das prestações (PMT): PV = PMT . FPV (i,n)
Em que: FPV = 1 – (1+ i) –n
i
Empréstimo (PV) = 100000 
Número de prestações (n) = 10
Taxa de juros (i) = 14,0175% a.s.
100000 = PMT . 1 – (1+ 0,140175) -10
0,140175
100000 = PMT . 1 – (1,140175) -10
0,140175
100000 = PMT . 1 – 0,26933
0,140175
100000 = PMT . 5,212556
PMT = 100000 / 5,212556 = 19.184,44
Sistema de Amortização Francês (SAF): exemplo
Taxa de juros: 14,0175% ao semestre
Sistema de Amortização Francês (SAF): exemplo
Com base nos exemplos apresentados do Sistema de Amortização 
Constante (SAC), qual deles apresenta o maior valor como total 
das prestações pagas? 
a) SAC sem carência.
b) SAC com carência e pagamento dos juros na carência.
c) SAC com carência, com juros capitalizados e acrescidos
ao saldo devedor.
d) SAC sem carência e com carência, sendo os juros
pagos na carência.
e) Não há variação entre os totais das prestações.
Interatividade 
Com base nos exemplos apresentados do Sistema de Amortização 
Constante (SAC), qual deles apresenta o maior valor como total 
das prestações pagas? 
a) SAC sem carência.
b) SAC com carência e pagamento dos juros na carência.
c) SAC com carência, com juros capitalizados e acrescidos
ao saldo devedor.
d) SAC sem carência e com carência, sendo os juros
pagos na carência.
e) Não há variação entre os totais das prestações.
Resposta
Amortização (Amort): é a diferença entre o valor da prestação 
e os juros.
Amort = PMT – J
Amort1 = 19184,40 – 14017,50 = 5166,90
A amortização em um momento t qualquer é calculada:
 Amort = Amort1 . (1 + i) 
t – 1
Exemplo: qual o valor da amortização no quarto semestre?
Amort = 5166,90 . (1 + 0,140175) 4 – 1
Amort = 5166,90 . (1,140175) 3
Amort = 7658,60
Sistema de Amortização Francês 
(SAF): expressões de cálculo
Prestação (PMT): conforme visto, as prestações semestrais
são determinadas pela fórmula: PV = PMT . FPV (i,n)
Em que: PV = valor presente PMT = valor prestação FPV = 
fator de valor presente, sendo:
FPV= 1 – (1+ i) –n
i
Juros (J): incidem sobre o saldo devedor apurado no 
início de cada período (ou ao final de cada período 
imediatamente anterior).
J1 = SD0 . i
J2 = SD1 . i
J3 = SD2 . i e assim por diante.
Sistema de Amortização Francês 
(SAF): expressões de cálculo
Saldo Devedor (SD): para cada período é calculado pela diferença 
entre o valor devido no início do intervalo de 
tempo e a amortização do período. 
SDt = PMT . FPV (i, n – t)
Por exemplo, o saldo devedor no 6º semestre é:
SD6 = 19184,40 . FPV (14,175%, 10 – 6)
FPV= 1 – (1+ i) –n = 1 – (1+0,140175) -4 
i 0,140175
FPV= 1 – 0,591717 = 0,408283 = 2,91267 
0,140175 0,140175
SD6=19184,40 . 2,91267 = 55877,90
Sistema de Amortização Francês 
(SAF): expressões de cálculo
 O Sistema Price de Amortização (ou Tabela Price) representa 
uma variante do SAF (Sistema de Amortização Francês).
Sistema Price de Amortização (Tabela Price) 
Construa a Tabela Price: 
 Valor do empréstimo R$ 100.000,00; pagamentos anuais 
durante 10 anos com taxa de juros de 25% ao ano. 
 As prestações anuais são determinadas pela fórmula: 
PV = PMT . FPV (i,n)
Em que:
PV = valor presente 
PMT = valor prestação
FPV = fator de valor presente, sendo:
FPV = 1 – (1+ i) –n
i
Sistema Price de Amortização (Tabela Price): exemplo
Vamos calcular o valor das prestações (PMT): 
PV = PMT . FPV (i,n)
Em que: FPV = 1 – (1+ i) –n
i
Empréstimo (PV) = 100000 
Número de prestações (n) = 10
Taxa de juros (i) = 25% a.a.
100000 = PMT . 1 – (1+ 0,25) -10
0,25
100000 = PMT . 1 – (1,25) -10
0,25
100000 = PMT . 1 – 0,107374
0,25
100000 = PMT . 3,570503
PMT = 100000 / 3,570503 = 28007,26
Sistema Price de Amortização (Tabela Price): exemplo
Sistema Price de Amortização (Tabela Price): exemplo
Taxa de juros: 25% ao ano
Um empréstimo de R$ 800.000,00 deve ser devolvido pelo sistema 
francês em 5 prestações semestrais, considerando 
uma taxa de juros de 4% ao semestre. Sabendo que a prestação a ser 
paga é de R$ 179.701,70 e que a amortização no primeiro semestre é 
de R$ 147.701,70; calcule a amortização no 
terceiro semestre.
a) R$ 180.328,43
b) R$ 159.754,15
c) R$ 233.431,50
d) R$ 201.552,00
e) R$ 141.733,18
Interatividade 
A alternativa correta é:
b) R$ 159.754,15
Resolução
Amort = Amort1 . (1 + i) 
t – 1
Amort = 147701,70 . (1 + 0,04) 3 – 1
Amort = 147701,70 . (1,04) 2
Amort = 147701,70 . 1,0816
Amort = 159754,15
Resposta
 Desenvolvido originalmente para operações de financiamento 
do Sistema Financeiro de Habitação.
 Representa a média aritmética entre o sistema francês 
e o sistema de amortização constante.
Sistema de Amortização Misto (SAM) 
PMTSAM = 24.017,50 + 19.184,44 = 21.600,97
2
SDSAM = 90.000,00 + 94.833,06 = 92.416,53
2
Sistema de Amortização Misto (SAM) 
SAC
SAF
 A devolução do capital emprestado é efetuada no final do 
período contratado, ou seja, deve ser efetuada de uma só vez.
 Amortizações intermediárias durante o período de empréstimo 
não estão previstas.
 Os juros costumam ser pagos periodicamente.
Sistema de Amortização Americano (SAA) 
Construa a tabela do SAA: 
 Valor do empréstimo R$ 100.000,00; pagamentos semestrais 
durante 3 anos com taxa de juros de 30% ao ano. 
Sistema de Amortização Americano (SAA): exemplo
Taxa de juros: 14,0175% ao semestre
Sistema de Amortização Americano (SAA): exemplo
Períodos
Saldo 
Devedor 
(R$)
Amortização
(R$)
Juros
(R$)
Prestação
(R$)
0 100.000,00 - - -
1 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
2 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
3 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
4 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
5 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
6 100.000,00 100.000,00 14.017,50 114.017,50
TOTAL - 100.000,00 84.105,00 184.105,00
 No Sistema de Amortização Americano ocorre o sinking fund
ou fundo de amortização.
 Consiste em acumular poupanças periódicas durante o 
prazo do empréstimo para que, no final do período, o montante 
do fundo seja igual ao valor da dívida.
 Esse fundo é usado para evitar que o mutuário desembolse 
uma grande quantia de uma só vez.
 R = S / k em que:
S = montante igual ao principal 
R = depósito do período
k = fator de valor presente
Sinking fund ou fundo de amortização 
Um empréstimo de R$ 100.000,00 a uma taxa de juros 
de 12% ao ano e um prazo de quatro anos, pode-se criar
um fundo de amortização com uma taxa de aplicação de 
10% ao ano com k = 4,641
i = taxa de juros do fundo = 10% a.a.
S = montante igual ao principal = 100.000,00
R = depósito anual
k = fator de valor presente = 4,641
Temos: R = S / k
R = 100000 / 4,641 
R = R$ 21.547,08 
Sinking fund ou fundo de amortização: exemplo 
Sinking fund ou fundo de amortização: exemplo 
Anos
Saldo Credor 
(R$)
Depósito
(R$)
Juros
(R$)
0 - - -
1 21.547,08 21.547,08 -
2 45.248,87 21.547,08 2.154,71
3 71.320,84 21.547,08 4.524,89
4 100.000,00 21.547,08 7.132,08
TOTAL - 86.188,32 13.811,68
 O Sacre é um sistema misto de cálculos do SFH, muito utilizado 
pela Caixa Econômica Federal.
 Foi desenvolvido com o objetivo de permitir maior amortização 
do valor emprestado, reduzindo-se simultaneamente a parcela 
de juros sobre o saldo devedor.
 O grande atrativo do Sacre é que, enquanto na Tabela Price 
as prestações tendem a aumentar sempre, nele, a partir de 
um momento, as prestações começam a diminuir.
Sistema de amortização crescente (SACRE) 
Com base nas tabelas SAC e SAF abaixo, calcule o valor da 
prestação do período 2, utilizando o sistema de amortização 
misto. 
SAC
SAF
a) R$ 21.600,97
b) R$ 92.416,53
c) R$ 20.900,10
d) R$ 19.184,44
e) R$ 22.615,75
Interatividade 
A alternativa correta é:
c) R$ 20.900,10
Resolução
PMTSAM = 22.615,75 + 19.184,44 = 20.900,10
2Resposta
ATÉ A PRÓXIMA!
Prof. Claudio Ditticio
Material Complementar: 
Matemática Financeira
Equivalências de taxas (juros compostos)
(1 ) 1
equivalente
conhecido
n
n
equivalente conhecidai i
i taxadejuros
n prazo
  


taxa de juros
13. Qual é a taxa equivalente, no regime de juros compostos, a:
Equivalências de taxas (juros compostos)
Taxa nominal Taxa equivalente
0,5% ao mês Trimestre
4% ao bimestre Dia
4,5% ao trimestre Ano
5% ao quadrimestre Bimestre
 0,5% ao mês = (1+0,05)3 – 1 = 0,1576trimestre
 4% ao bimestre = (1 + 0,04) – 1 = 0,0653dia
 4,5% ao trimestre = (1+0,045)4 – 1 = 19,25%ano
 5% ao quadrimestre = (1 + 0,05) – 1 = 24,70%bimestre
Equivalências de taxas (juros compostos)
1 
60
1 
2
Taxas acumuladas e médias (juros compostos)
1 2(1 )(1 )...(1 ) 1acumulada nI i i i    
1 2(1 )(1 )...(1 ) 1
n
média nI i i i    
14. Um determinado país apresentou a seguinte variação (inflação ou deflação anual), 
em determinado período:
 Calcule e informe a taxa acumulada e a média da variação 
dos preços nesse período, informando também se houve 
inflação ou deflação.
Taxas acumuladas e médias (juros compostos)
Período
Taxa de inflação (positiva) ou deflação 
(negativa) em %
Agosto 1
Setembro 0
Outubro -0,3
 Taxas acumuladas e médias (juros compostos)
Cálculo da taxa acumulada no período:
 Iacumulada = (1 + 0,01)(1 + 0,0)(1 – 0,003) – 1
 Iacumulada = (1,01)(1)(0,997) – 1
 Iacumulada = (1,007) – 1 = 0,007 = 0,7%
Cálculo da taxa média no período:
 Imédia = 
3 (1,007) – 1 = 1,002327 – 1 = 0,0023 = 0,2379%
 Como a taxa calculada foi positiva, conclui-se pela 
ocorrência de inflação, no período.
Taxas reais (juros compostos)
15. Com base na taxa de inflação obtida na questão imediatamente anterior (0,7% no 
período), informe a taxa real de uma operação financeira contratada a 10%, por todo 
esse mesmo período, por meio do regime de juros compostos:
a) 3%.
b) 0,28%.
c) 2,5%.
d) 3,5%.
e) 9,2%.
Taxas reais (juros compostos)
Taxas reais (juros compostos)
 Mais de um pagamento (periódico ou não) durante o fluxo de uma operação financeira.
Podem variar em função de:
 Tempo: temporária (número finito de pagamentos) ou infinita (número indeterminado 
de pagamentos).
 Periodicidade: periódicas (quando ocorrem em intervalos de tempo iguais) 
ou não periódicas.
Séries de pagamentos ou recebimentos
 Valor dos pagamentos: fixos/uniformes (quando os pagamentos são iguais) ou variáveis.
 Vencimento do primeiro pagamento: imediata (quando ocorre exatamente no primeiro 
período da série) e diferida.
 Momento dos pagamentos: antecipada (quando o pagamento é feito no momento 0-zero) 
ou postecipada/vencida (quando os pagamentos ocorrem no final de cada período).
Séries de pagamentos ou recebimentos
 São aquelas em que os pagamentos são constantes e ocorrem em intervalos iguais.
Antecipadas:
 Primeiro pagamento ocorre no início de cada período.
Postecipadas (vencidas):
 Primeiro pagamento ocorre no final de cada período.
Diferidas:
 Primeiro pagamento ocorre após um certo período 
denominado carência.
 Podemos, assim, representar graficamente as séries uniformes 
de pagamentos.
Séries uniformes de pagamentos ou recebimentos
Uso das teclas financeiras da Calculadora HP12c
 (PV): capital no instante inicial (zero) de uma série de pagamentos.
 (FV): montante no instante da última prestação – valor futuro de uma série de 
pagamentos.
 (i): taxa de juros, na forma %.
 (n): números de períodos da série de pagamentos.
 (PMT): valor de cada prestação ou pagamento.
 (BEG): indicação, no visor, de séries antecipadas.
 (END): indicação, no visor, de séries postecipadas.
Tempo Taxa
Capital ou 
Valor do 
presente
Montante 
ou Valor 
futuro
Inverte 
o sinal
Fonte: o autor
Cálculos algébricos (envolvendo VP e PMT)
 Tanto a taxa quanto o prazo devem estar expressos na mesma base de tempo.
 Antecipada
 Postecipada
 Diferida
VP VF
Antecipados
Vencidos
Alternativas de cálculos algébricos (envolvendo VP, VF e PMT)
 Permitem calcular valores futuros e presentes de um único pagamento ou de uma série de 
pagamentos uniformes, além dos valores das parcelas fixas de um financiamento.
 Por exemplo, a partir da taxa (i) e número de parcelas (n), o fator de valor presente de uma 
série uniforme de pagamentos/recebimentos, multiplicado pelo valor da parcela fixa 
resulta no valor presente (à vista) de todos os valores periódicos.
Uso de tábuas financeiras
( )VP PMT Fator
Uso de tábuas financeiras
Fator de VALOR PRESENTE de uma SÉRIE UNIFORME
Valor Presente de uma Série Uniforme: multiplique o valor da parcela fixa pelo fator da tabela e encontre o valor presente de todas 
as parcelas da série de pagamento
n/i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15%
1 0,9901 0,9804 0,9709 0,9615 0,9524 0,9434 0,9346 0,9259 0,9174 0,9091 0,9009 0,8929 0,8850 0,8772 0,8696
2 1,9704 1,9416 1,9135 1,8851 1,8594 1,8334 1,8080 1,7833 1,7591 1,7355 1,7125 1,6901 1,6681 1,6167 1,6257
3 2,9410 2,8839 2,8286 2,7751 2,7232 2,6730 2,6243 2,5771 2,5313 2,4869 2,4437 2,4018 2,3612 2,3216 2,2832
4 3,9020 3,8077 3,7171 3,6299 3,5460 3,4651 3,3872 3,3121 3,2397 3,1699 3,1024 3,0373 2,9745 2,9137 2,8550
5 4,8534 4,7135 4,5797 4,4518 4,3295 4,1002 4,1002 3,9927 3,8897 3,7908 3,6959 3,6048 3,5172 3,4331 3,3522
6 5,7955 5,6014 5,4172 5,2421 5,0757 4,7665 4,7665 4,6229 4,4859 4,3553 4,2305 4,1114 3,9975 3,8887 3,7845
Uso de tábuas financeiras (Cont.)
Fator de VALOR PRESENTE de uma SÉRIE UNIFORME
Valor Presente de uma Série Uniforme: multiplique o valor da parcela fixa pelo fator da tabela e encontre o valor presente de todas 
as parcelas da série de pagamento
n/i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15%
7 6,7282 6,4720 6,2303 6,0021 5,7864 5,3893 5,3893 5,2064 5,0330 4,8684 4,7122 4,5638 4,4226 4,2883 4,1604
8 7,6517 7,3255 7,0197 6,7327 6,4632 5,9713 5,9713 5,7466 5,5348 5,3349 5,1461 4,9676 4,7988 4,6389 4,4873
9 8,5660 8,1622 7,7861 7,4353 7,1078 6,5152 6,5152 6,2469 5,9952 5,7590 5,5370 5,3282 5,1317 4,9464 4,7716
10 9,4713 8,9826 8,5302 8,1109 7,7217 7,0236 7,0236 6,7101 6,4177 6,1446 5,8892 5,6502 5,4262 5,2161 5,0188
11 10,3676 9,7868 9,2526 8,7605 8,3064 7,1390 7,4987 7,1390 6,8052 6,4951 6,2065 5,9377 5,6869 5,4527 5,2337
12 11,2551 10,5753 9,9540 9,3851 8,8633 7,5361 7,9427 7,5361 7,1607 6,8137 6,4924 6,1944 5,9176 5,6603 5,4206
16. Calcular o valor de um financiamento (pagamento à vista) a ser quitado em seis 
pagamentos mensais de $ 1.500,00; vencendo a primeira parcela a 30 dias da 
liberação dos recursos, sendo de 3,5% a.m. a taxa de juros negociada na operação.
 VP = ?
 PMT = 1.500,00
 Postecipada ou vencida
 i = 0,035 a,m.
 n = 6 meses
Séries uniformes de pagamentos ou recebimentos postecipados 
Séries uniformes de pagamentos ou recebimentos postecipados 
INTERVALO
17. Uma mercadoria encontra-se em promoção e é comercializada em 5 prestações 
mensais de $ 150,00. A loja está oferecendo uma carência de 5 meses para o primeiro 
pagamento. Determine o valor à vista dessa mercadoria, sabendo-se que a taxa de 
juros praticada é de 3% a.m. 
 PMT = 150,00
 Carência = 5 meses
 i = 0,03 a.m.
 VP = (valor à vista)?
Séries uniformes de pagamentos ou recebimentos – diferidas
 Série foi tratada como postecipada.
Séries uniformes de pagamentos ou recebimentos – diferidas
Na calculadora HP12c, teríamos:
 (f) (REG)
 150
 (CHS)
 (PMT)
 (g)
 (END)
Postergando o início da série de pagamentos postecipados 
Na calculadora HP12c, teríamos:
 5
 (n)
 3
 (i)
 PV
 Resultado: 686,96
Postergando o início da série de pagamentos postecipados 
 CHS)
 (FV)
 0
 (PMT)
 4
 (n)
 PV
 Resultado: 610,35
Exemplo 2 (antecipando o início da série de pagamentos antecipados)
 Tanto a taxa quanto o prazo devem estar expressos na mesma base.
 Sistema Americano (SAA); Sistema de Amortização Constante (SAC);
 Sistema de Amortização Francês (Price).
 Os sistemas diferem quanto aos componentes das respectivas séries e composição dos 
períodos de pagamentos ou recebimentos.
Amortizações
 Nessa hipótese, a amortização só ocorre no último período da operação.
 Os juros são calculados com base no saldo devedor do início de cada período.
SAA (Sistema de Amortização Americano)
18. Um investidor obteve um empréstimo de R$ 100.000,00 para o pagamento em 4 
parcelas mensais, que correspondem às amortizações do principal e dos 
pagamentos dos juros. A operação foi feita a uma taxa de 2% ao mês.
SAA (Sistema de Amortização Americano)
 Valor da amortização: 100.000,00 (apenas no último período).
Valores do período 1:
 Amortização: 0,00
 Saldo devedor no final do período anterior = 100.000,00
 Valor dos juros: 100.000,00 x 0,02 = 2.000,00
 Valor da primeira prestação: 2.000,00
 Saldo devedor no final do período: 100.000,00
 O slide a seguir mostra o mapa geral com os totais em cada período.
SAA (Sistema de Amortização Americano)
Sistema de Amortização Americano (SAA)
MAPA FINANCEIRO – SISTEMA (SAA)
Períodos Juros Amortização Prestação Novo saldo devedor
Inicial 100.000,00
1 2.000,00 0,00 2.000,00 100.000,00
2 2.000,00 0,00 2.000,00 100.000,00
3 2.000,00 0,00 2.000,00 100.000,00
4 2.000,00 100.000,00 102.000,00 0,00
Totais 8.000,00 100.000,00 108.000,00
19. Um investidor obteve um empréstimo de R$ 100.000,00 para o pagamento em 4 
parcelas mensais, que correspondem às amortizações do principal, iguais em todas 
as parcelas, e aos pagamentos dos juros. A operação foi feita a uma taxa de 2% ao 
mês.
SAC (Sistema de Amortização Constante)
 Repete-se em cada período o valor da amortização, dividido pelo número de períodos.
 Os juros são calculados a partir do saldo devedor do início de cada período.
Valores do período 1:
 Amortização: 25,000,00
 Saldo devedor no final do período anterior = 100.000,00
 Valor dos juros: 100.000,00 x 0,02 = 2.000,00
 Valor da primeira prestação: 2.000,00 + 25.000,00 = 27.000,00
 Saldo devedor no final do período: 75.000,00
 O slide a seguir mostra o mapa geral com os totais em 
cada período.
SAC (Sistema de Amortização Constante)
SAC (Sistema de Amortização Constante)
Períodos Juros Amortização Prestação Novo saldo devedor
Inicial 100.000,00
1 2.000,00 25.000,00 27.000,00 75.000,00
2 1.500,00 25.000,00 26.500,00 50.000,00
3 1.000,00 25.000,00 26.000,00 25.000,00
4 500,00 25.000,00 25.500,00 0,00
Totais 5.000,00 100.000,00 105.000,00
20. Um investidor obteve um empréstimo de R$ 100.000,00 para o pagamento em 4 
parcelas mensais iguais, que correspondem às amortizações do principal e 
pagamentos dos juros. A operação foi feita a uma taxa de 10% ao mês.
(Price) Sistema de Amortização Francês
 Repete-se em cada período o valor da prestação.
 Os juros são calculados a partir do saldo devedor do início de cada período.
Valores do período 1:
 Amortização: conforme se trata de série antecipada ou postecipada.
 Saldo devedor no final do período anterior = 100.000,00
 Valor dos juros: 100.000,00 x 0,10 = 10.000,00
 Valor da primeira prestação: 31.545,74
 Saldo devedor no final do período: 78.454,46
 O slide a seguir mostra o mapa geral com os totais em cada 
período.
(Price) Sistema de Amortização Francês
Sistema de Amortização Francês
Períodos Juros Amortização Prestação Novo saldo devedor
Inicial 100.000,00
1 10.000,00 21.545,74 31.545,74 78.454,26
2 7.845,42 23.700,32 31.545,74 54.753,94
3 5.475,39 26.070,35 31.545,74 28.683,59
4 2.868,35 28.683,59 31.551,94 0,00
Totais 26.189,16 100.000,00 126.189,16
MOITA, Flávio. Análise de Investimentos: As cinco técnicas mais utilizadas para avaliar 
investimentos. São Paulo: Amazon Kindle. 2010 (e-book).
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. São Paulo: 
Saraiva. 2009.
ZENTGRAF, Walter. Matemática Financeira com emprego de funções e planilhas-modelo 
do Excel. Rio de Janeiro: Campus. 2007.
Referências
ATÉ A PRÓXIMA!
Prof. Claudio Ditticio
Material Complementar: 
Matemática Financeira
 O valor do dinheiro no tempo e a existência de juros são elementos interligados e 
indispensáveis no estudo da Matemática Financeira.
 100,00 hoje valem mais do que 100,00 no futuro!
Exercícios – Matemática Financeira
 Saber resolver problemas de matemática, como, por exemplo, com juros compostos, é 
determinante para nossa vida acadêmica, pessoal e profissional.
Como argumenta MOITA (2010):
 Os juros compostos são estudados em disciplinas de matemática financeira, em cursos de 
graduação e pós-graduação, como também no ensino fundamental. Esse conteúdo também 
é cobrado em concursos, seleções, testes profissionais e vestibulares.
Por que é importante o conhecimento de Matemática Financeira?
 Conceitos fundamentais de Matemática Financeira;
 Operações com mercadorias;
 Juros e descontos simples;
 Equivalências de taxas em juros simples;
 Juros compostos;
 Equivalências de taxas em juros compostos;
 Séries de pagamentos ou recebimentos;
 Amortizações de empréstimos.
 Soluções com o emprego de método algébrico e com uso de 
calculadoras e softwares financeiros.
Exercícios – Matemática Financeira – Tópicos a serem revistos
 Quando um problema é apresentado, ele deve ser interpretado para que seus dados 
sejam extraídos e trabalhados de forma correta.
 É sabido que aqui repousa a grande dificuldade para a solução de problemas de 
Matemática Financeira.
Método de resolução de exercícios
 Coleta de dados: separação dos elementos centrais do problema.
 Terminologia relacionada com as nomenclaturas específicas da Matemática Financeira.
Cálculo, cuja importância é complementar, de vez que se o problema estiver devidamente 
interpretado, o resultado encontrado concluirá o processo:
 fórmulas algébricas;
 tábuas financeiras;
 calculadora, como a HP12c;
 Softwares, como o Excel.
Método de resolução de exercícios
Uso da Calculadora HP12c
Fonte: https://www.educalc.net/324080.page
 Estudo e operações de Matemática Financeira.
 Característica básica: lógica RPN ao invés da algébrica.
 RPN: operadores matemáticos digitados após os números.
 não é usado = 2 + 3 = 5 visor: 5
 E sim = 2 (enter) 3 + visor: 5
 Podem ser digitados dois números seguidos – até três – com (ENTER), após cada um e, a 
seguir, retrocedendo, os sinais das operações algébricas pretendidas com os números.
Uso da Calculadora HP12c
 Muitas teclas da HP12c executam mais de uma função.
 Teclas de prefixos/funções:
 (f) laranja
 (g) azul
 (Cfo): valor de caixa no instante 0.
 5 (g) (Cfo).
 (Cfj): valor de caixa que ocorre a cada período
 0 (g) (Cfj) -0: quando não há qualquer valor de entrada ou 
saída.
 Usadas para fluxos de caixa de financiamentos e empréstimos.
Uso da Calculadora HP12c
 (PV): capital no instante inicial (zero) de uma série de pagamentos.
 (FV): montante no instante da última prestação – valor futuro de uma série de pagamentos.
 (i): taxa de juros, na forma %.
 (n): números de períodos da série de pagamentos.
 (PMT): valor de cada prestação ou pagamento.
 (BEG): indicação, no visor, de séries antecipadas.
 (END): indicação, no visor, de séries postecipadas
Funções das teclas financeiras da HP12c
Tempo Taxa
Montante
ou
valor 
futuro
Capital 
ou
valor do 
presente
Inverte 
o sinal
Fonte: o autor.
1. Desenhe o diagrama de caixa de uma aplicação inicial de R$ 10.000,00, que rende R$ 
2.000,00 em cada um dos três próximos meses e permite um resgate, no final do período, 
de R$ 4.000,00. 
 Fluxos negativos (saídas de caixa): 10.000,00 (momento 0).
 Fluxos positivos (entradas de caixa): 2.000,00 (em cada um dos meses 1, 2 e 3) e 4.000,00 
no final do período.
Diagrama de fluxo de caixa
Diagrama de fluxo de caixa
2.000,00 2.000,00
10.000,00
4.000,00
2.000,000 1 2 3
MESES
2. Calcule os valores decimais, relativos aos percentuais: 
a) 0,5% ao dia;
b) 15% ao quadrimestre;
c) 0,01% ao dia;
d) 160% ao ano.
 Percentagem é um número dividido por 100.
Porcentagens
3. Por quanto deverá ser vendido um equipamento adquirido por R$ 500,00, admitindo que o 
comerciante deseja obter um lucro de 20% sobre o preço/custo de aquisição? 
 PV = PC + L
 PC = 500,00
 L = 0,20(PC)
 PV = 500,00 + 0,20(500,00)
 PV = 600,00
 PV = Preço de venda;
 PC = preço de compra;
 L/P = Lucro/Prejuízo
Porcentagens
4. Por quanto deverá ser vendido um equipamento adquirido por R$ 500,00; admitindo que o 
vendedor deseja obter um lucro de 20% sobre o preço de venda?
 PV = PC + L PV = 500,00 + 0,20(PV)
 PC = 500,00 PV – 0,20(PV) = 500,00
 L = 0,20(PV) PV = 500,00/0,8
PV = 625,00
 PV = Preço de venda;
 PC = preço de compra;
 L/P = Lucro/Prejuízo
Operações com mercadorias
 Tanto a taxa quanto o prazo DEVEM ESTAR EXPRESSOS NA MESMA BASE de tempo.
 M = C(1 + i.n)
 J = C.i.n
 M = C + J
 M = montante/valor futuro
 C = capital/valor presente/principal
 i = taxa de juros
 J = valor dos juros
Juros Simples
5. João Falastrão efetuou uma aplicação no banco no qual mantém sua conta corrente, 
remunerada a juros simples, desejando dobrar o capital que possui atualmente.
 O banco informou-lhe que a taxa da operação é de 10% ao bimestre. 
Em quanto tempo João conseguirá dobrar o atual capital? 
 M = C (1+i.n) 
 C = C (pode ser 
qualquer valor)
 i = 10% ao bimestre 
 n = ? 
Juros Simples
6. Qual é taxa devida por um empréstimo que libera ao tomador R$ 10.000,00, para ser 
resgatado por R$ 13.000,00 em um período de 5 meses, no regime de juros simples?
Juros Simples
INTERVALO
7. Um empresário tem uma conta de cheque especial em um banco que permite saques a 
descoberto e que cobra 1,5% ao mês sobre o saldo devedor, a juros simples, pelos dias 
que a conta ficar descoberta. Calcule o montante dos juros cobrados no mês de abril, 
assumindo que a conta tem saldo zero no final de março e que, em abril, são emitidos os 
seguintes cheques (PUCCINI, 2009, p. 29)
Juros Simples
Data Valor do cheque (R$)
1º de abril 2.000,00
11 de abril 1.000,00
22 de abril 2.000,00
 Convertendo a taxa em diária:
 Juros de 1º a 10 de abril: 
 Juros de 11 a 20 de abril: 
 Juros de 21 a 30 de abril:
 Total dos juros: 10,00 + 
15,00 + 20,00 = 45,00
Juros Simples
Alternativamente: 
 Cálculo do saldo médio devedor:
 Juros de Abril: 
Juros Simples
 Tanto a taxa quanto o prazo devem estar expressos na mesma base.
 DRS = desconto racional simples
 DBS = desconto bancário (ou comercial) simples
 VN = valor de face/nominal
 VL = valor líquido, após a operação de descontos
Descontos simples
8. Uma duplicata, no valor de 25.000,00, é descontada em um banco 2 meses antes do seu 
vencimento, à taxa de 2,5% ao mês. Sabendo-se que o banco cobra também 1% sobre o 
valor nominal do título, como despesas administrativas, e que a alíquota do IOF (Imposto 
sobre Operações Financeiras) devida pela operação é 0,0041% ao dia sobre o líquido 
descontado, após os valores do desconto e das despesas administrativas, calcule o 
montante final recebido pelo portador do título.
 O cliente tem como outra opção a tomada de um empréstimo com a taxa líquida final de 
2,8% ao mês.
 Qual é a melhor opção para o tomador do empréstimo?
Descontos simples
 VN: 25.000,00
 Prazo: 2 meses.
 Taxa: 2,5% a.m.
 Taxa de administração: 1% s/ VN.
 Alíquota do IOF: 0,0041% ao dia – calculado sobre a respectiva base de cálculo do imposto 
(valor líquido descontado, já deduzido também da taxa de administração).
 i = ?
 VL (final):?
 D(iof) = ?
Desconto bancário, comercial ou “por fora”
Considerando-se o valor líquido final, recebido pelo tomador do empréstimo:
PV = 23.442,19 e que FV (ou N) = 25.000,00, a taxa global – mensal – líquida – da operação 
de descontos será:
 Portanto, a operação alternativa melhor para o tomador é a operação de empréstimo com a 
taxa de 2,8% ao mês.
Desconto bancário, comercial ou “por fora”
9. Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas a seguir, para serem descontadas em 
banco à taxa de desconto bancário de 3% ao mês.
Qual é o valor líquido recebido pela empresa, considerando que o banco trabalhará com 
conjunto/total do borderô e não título a título?
Operações com um conjunto de títulos descontados
Duplicata R$
Prazo/vencimento 
(dias)
A 2.500,00 25
B 3.500,00 57
C 6.500,00 72
 Precisamos, inicialmente, obter o prazo médio desse conjunto de títulos, que será utilizado 
no cálculo do desconto do valor total do borderô.
 Esse prazo será obtido com base na média aritmética dos títulos, ponderados pelo seus 
respectivos valores.
Operações com um conjunto de títulos descontados
 VL = 12.500,00 – 730,00 = 11.770,00
Operações com um conjunto de títulos descontados
10. Qual é a taxa equivalente, no regime de juros simples, a:
Taxas equivalentes – Juros e descontos simples
Taxa nominal Taxa equivalente
0,5% ao mês Trimestre
4% ao bimestre Dia
4,5% ao trimestre Ano
5% ao quadrimestre bimestre
 0,5% ao mês: itrim = 0,5(3) = 1,5%trim
 4% ao bimestre: idia = 4/60 = 0,67%dia
 4,5% ao trimestre: iano = 4,5(4) = 18%ano
 5% ao quadrimestre: ibim = = 2,5%bim
Taxas equivalentes – Juros e descontos simples
5
2
 Cálculo de juros.
 Equivalência de taxas.
 Taxas acumuladas.
 Taxas médias.
 Taxas reais.
Juros compostos
 Tanto a taxa quanto o prazo devem estar expressos na mesma base de tempo.
 M = montante/valor futuro
 C = capital/valor presente/principal
 i = taxa de juros
 J = valor dos juros
Juros compostos
 O fluxo pode ser mostrado tanto sob a ótica do tomador como de quem concedeu o 
empréstimo.
 Ou, então, tanto sob a ótica de quem fez a aplicação quanto de quem vendeu o título 
financeiro.
 Fluxo de Caixa (visão do tomador).
$1.000
a
Fluxo de caixa (visão do tomador de empréstimo)
$1.100
b
1 2 3 4 5
c
11. Qual é o montante de uma aplicação de 13.500,00, à taxa de 25% a.a., para 92 dias, pelo 
regime de juros compostos?
 M = ?
 C = 13.500
 i = 25% a.a.
 n = 92 dias
 Usualmente, trabalhamos com mês (30 dias) e ano 
comercial (360 dias).
Juros compostos
Na calculadora HP12c, executaríamos os procedimentos:
 (f) (FIN)
 13.500 (ENTER)
 1,25 (ENTER)
 92 (ENTER)
 360 (/)
 (x)
 Resultado: 14.292,22
Juros compostos
Fonte: https://www.educalc.net/324080.page
12. Uma aplicação de R$ 22.000,00 efetuada em determinado momento produz, à taxa 
composta de juros de 2,4% ao mês, um montante de R$ 26.596,40 em uma certa data 
futura. Calcular o prazo da operação.
 (Nos cálculos, trabalhe com 2 casas decimais, arredondando a segunda posição após a 
vírgula. Considere que o log de 1,21 é 0,08 e o de 1,02 é 0,009. Arredonde o número inteiro, 
correspondente ao resultado final).
 C = 22.000,00
 i = 2,4% a.m.
 M = 26.596,40
Juros compostos
 M = C(1+i){n
 26.596,40 = 22.000,00(1+0,024)^n
 26.596,40 = 22.000,00 (1,024)^n
 26.596,40/22.000,00 = 1,024^n Uso Logarítimos neperianos – basen
 1,2089 = 1,024^n
 1,21= 1,02^n
 Log (1,21) = Log (1,02)^n
 0,08 = 0,09^n
 n = 0,08/0,009
 n = 8,88 meses = 8 meses e 26 dias
 Usualmente, trabalhamos com mês e ano comercial.
Juros compostos
ATÉ A PRÓXIMA!
	_GoBack