apostila_experimental-D

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Universidade Federal de Lavras - UFLA
Departamento de F́ısica - DFI
Apostila de Laboratório de F́ısica D
Profa. Dra. Angela Dayana Barrera de Brito
Prof. Dr. Joaquim Paulo da Silva
Prof. Dr. Júlio César Ugucioni
Prof. Dr. Alexandre Alberto Chaves Cotta
Prof. Dr. Jefferson Esquina Tsuchida
SUMÁRIO
1 Prática 1: Pêndulo Simples e Sistema Massa Mola 5
2 Prática 2: Ondas Estacionárias em Cordas e Tubos 9
3 Prática 3: Circuito RLC 13
4 Prática 4: Refração, Reflexão e Polarização da Luz 18
5 Prática 5: Obtenção da distância focal de lentes. 23
6 Prática 6: Difração da luz. 26
NORMAS OPERACIONAIS EM
LABORATÓRIOS DE FÍSICA
1. Estar consciente do que estiver fazendo, ser disciplinado e responsável;
2. O acesso ao laboratório é restrito quando experimentos estão em andamento;
3. Respeitar as advertências do professor sobre perigos e riscos;
4. Para utilizar os instrumentos ou equipamentos, é necessário autorização dos professores,técnicos e monitores;
5. Manter hábitos de higiene;
6. Não é permitido beber, comer, fumar ou aplicar cosméticos dentro do laboratório;
7. Guardar casacos, pastas e bolsas nas áreas reservadas para isso, e não na bancada, onde podem danificar os
instrumentos de medidas, materiais ou equipamentos, além de atrapalhar o desenvolvimento do experimento;
8. Mantenha uma organização da bancada evitando que os equipamentos sejam danificados, evitando acidentes
decorrentes do mal uso ou desatenção no uso dos equipamentos durante o experimento;
9. Manusear os instrumentos e materiais com o máximo cuidado;
10. Verificar atentamente a tensão dos equipamentos e das tomadas antes de plugá-los;
11. Sempre usar o material didático adequado e seguir o roteiro na execução das práticas;
12. Não respirar vapores e gases, não provar reagentes de qualquer natureza;
13. Ao derramar qualquer substância, providenciar a limpeza imediatamente, utilizando material próprio para tal;
14. Não jogar nenhum material sólido ou ĺıquido dentro da pia ou rede de esgoto comum;
15. Nunca apanhar cacos de vidro com as mãos ou pano, caso haja, use escova ou vassoura;
16. Caso você tenha alguma ferida exposta, esta deve estar devidamente protegida;
17. Manter o rosto sempre afastado do recipiente onde esteja ocorrendo um aquecimento;
18. Não usar vidrarias trincadas ou quebradas;
19. O laboratório deve ser mantido limpo e livre de todo e qualquer material não relacionado às atividades nele
executadas;
20. Cada equipe é responsável pelo material utilizado na aula prática, portanto ao término do experimento limpar
e guardar os materiais em seus devidos lugares;
21. No caso de quebra ou dano de vidrarias, materiais ou equipamentos, comunicar imediatamente ao professor,
técnico ou monitor;
22. Ao término da aula, desligar todos os equipamentos e tirá-los da tomada;
23. Em caso de acidentes, avisar imediatamente o professor.
MODELO DE RELATÓRIOS EM
LABORATÓRIO DE FÍSICA D
Um relatório é um conjunto de informações que é utilizado para registrar resultados parciais ou totais de
uma determinada atividade, experimento, projeto, ação, pesquisa, ou outro evento, que esteja finalizado ou
em andamento. Nesse sentido, saber como registrar esses dados de forma adequada é de extrema importância.
Essa parte da apostila trata somente de algumas sugestões para uma melhor organização das informações a
serem registradas em um relatório acadêmico.
Normalmente, utiliza-se uma formatação padronizada para escrita de relatórios, o que não implica apre-
sentar modificações nessa forma decorrentes do autor do trabalho ou mesmo do professor responsável pela
disciplina.
O relatório é dividido em diferentes partes, cada uma com sua importância no texto. No entanto, fica a
critério do professor responsável a escolha das partes mais importantes. A seguir são apresentados algumas
partes que devem estar contidas em relatórios de laboratórios de F́ısica.
� T́ıtulo: Ao qual se refere o relatório ou trabalho, onde deve constar de forma suscinta o objetivo da
prática, qual procedimento utilizado e qual o objeto de estudo (vide o modelo).
� Autores: Deve conter o nome completo dos autores do trabalho. Usar ind́ıces superescritos para
indicar a turma ao qual o aluno pertence (vide anexo)
� Turma: Designar a Turma e o curso ao qual o aluno pertence.
� Data: Colocar a data de realização da referida pratica.
OBS: Atentar para o fato que as partes explicadas até o presente momento não devem aparecer os
nomes respectivos dessas partes, por exemplo na parte Tı́tulo não deve ser precedido pela palavra
“TÍTULO”. Sigam a formatação do modelo.
� Resumo: Deve ser apresentado o PORQUÊ da importância em se realizar a referida prática. Tem
que ser objetivo, coerente e curto, dando ao leitor do trabalho compreensão do que foi realizado e
conduźı-lo as conclusões do mesmo.
� Introdução: Nessa parte, pode-se descrever o conteúdo teórico necessário, para dar suporte às con-
clusões, situando o leitor no assunto que está sendo abordado, porem de forma suscinta. Deve estar
claro quais são os objetivos da prática. Um relatório de laboratório deve explicar a F́ısica envolvida
para análise dos resultados experimentais obtidos. Pode conter o histórico do que já foi produzido
sobre o objeto em estudo.
� Procedimento experimental: É a metodologia usada para realização da prática experimental. Pode
ser escrito em forma de ı́tens numerados em ordem cronológica, ou mesmo escrito em forma de um
texto descritivo. Pode conter esquemas da montagem experimental, se posśıvel. Por meio dele, deve-
se explicar os métodos que foram utilizados para obtenção dos dados experimentais e quais critérios
foram usados para avaliação de incertezas. Um fato importante que deve ser lembrado é que o leitor
Modelo de Relatórios em Laboratório de F́ısica D 3
do trabalho deve ser capaz de reproduzir o experimento a partir da leitura desta seção. Deduções
equações e relações matemáticas podem ser utilizadas para melhor entendimento da teoria abordada.
Importante, os verbos devem ser utilizados na forma impessoal (foi feito ou fez-se) e no tempo
passado, já que os procedimentos foram realizados.
� Resultados e discussões: Essa é parte mais importante de um relatório onde devem ser apresentados
os dados coletados, a discussão do comportamento ou tendência dos dados e o resultados das análises.
Não se deve apresentar apenas tabelas com números ou gráficos sem comentários sobre incertezas
obtidas. Os resultados da análise estat́ıstica, bem como tratamento de dados por meio de ajustes de
curvas são obrigatórios, sendo interessante a comparação com a literatura discutida na introdução.
Um fato importante é mostrar a qualidade e confiabilidade dos resultados por meio de estat́ıstica
apropriada. Por exemplo, o erro percentual entre o valor experimental e o valor teórico nos revela
confiança ou não dos resultados apresentados. Tente justificar eventuais discrepâncias que forem
observadas e aponte sugestões para melhorar a qualidade dos dados.
� Conclusões: A conclusão deve ser um texto independente do resto do relatório como no resumo. O
leitor deve ser capaz de entender o relatório todo por meio da leitura somente dessa parte. Essa parte
pode definir se um relatório será aprovado ou não e deve ser discutida em relação ao objetivo proposto,
focando se esse foi alcançado ou não. Pode ser enunciado os valores encontrados e as comparações
com resultados da literatura. Se forem utilizados diferentes métodos experimentais para analisar um
determinado conjunto de dados, a comparação entre os métodos é importante para encontrar o mais
apropriado e com menor incerteza. A justificativa dos resultados que não forem adequados é de extrema
importância e mostra domı́nio dos autores sobre os conteúdos abordados.
� Referências bibliográficas: Esta seção deve ser a últimaem um relatório, contudo deve-se lembrar
que toda referência utilizada deve ser citada no decorrer do relatório, ou seja, colocar uma referência
sem indicar em que local foi utilizada no texto, torna esta referencia sem sentido. Não é necessário que a
formatação das referências bibliográficas sejam de acordo com as normas ABNT. Porém, as referências
devem ser apresentadas de forma clara, na qual outros leitores consigam entender. Enumere os livros,
apostilas, revistas cient́ıficas, sites na internet etc. consultados para a elaboração do relatório e cite-os
no texto do relatório. Vale lembrar que para sites é necessário colocar data e horário do acesso. Seguem
alguns formas baseadas na ABNT:
– Livro: SOBRENOME, PRENOME abreviado. T́ıtulo: subt́ıtulo (se houver). Edição (se houver).
Local de publicação: Editora, data de publicação da obra. Nº de páginas ou volume. (Coleção
ou série) Ex.: TIPPLER, P.A.; MOSCA, G. F́ısica para Cientistas e Engenheiros - Eletricidade
e Magnetismo, Óptica. Sexta Edição. Rio de Janeiro: LTC, 2014. Volume 2.
– Artigos: SOBRENOME, PRENOME; SOBRENOME, PRENOME abreviado abreviado T́ıtulo:
subt́ıtulo (se houver). Nome do periódico, volume, número ou fasćıculo, paginação, ano de pu-
blicação do periódico. Ex.: CALDEIRA-FILHO, A. M. ; UGUCIONI, J.C. ; MULATO, M. .
Red mercuric iodide crystals obtained by isothermal solution evaporation: Characterization for
mammographic X-ray imaging detectors. Nuclear Instruments & Methods in Physics Research,
Section A, Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment, v. 737, p. 87-91,
2014.
– Textos eletrônicos, Sites, etc: Os elementos essenciais para referenciar os documentos em
meio eletrônico são os mesmos recomendados para documentos impressos, acrescentando-se, em
seguida, as informações relativas a descrição f́ısica do meio ou suporte (CD, disquete). Quando se
tratar de obras consultadas on line, são essenciais as informações sobre o endereço eletrônico,
apresentado entre os sinais <>, precedido da expressão Dispońıvel em: e a data de acesso
do documento, precedido da expressão “Acesso em:”. Ex.: Introdução a Teoria de Erros.
Dispońıvel em: < https : //drive.google.com/viewerng/viewer?a = v&pid = site&srcid =
ZGVmYXV sdGRvbWFpbnxwcm9manV saW9jZXNh >. Acesso em: 07/01/2015.
– Outras formas de referências podem ser consultadas em livros ou sites especializados.
Modelo de Relatórios em Laboratório de F́ısica D 4
Muito Importante!!
Esquemas, Figuras, Gráficos e Tabelas: Essa não é uma parte do relatório, mas sim uma
orientação de como apresentar essas informações tanto na introdução e procedimentos experimentais
como nos resultados e discussões. Esquemas, figuras e gráficos são reconhecidos como figuras no texto.
Toda figura e tabela deve ser numerada de acordo a ser citada no texto e deverá ser citada no texto, o
que implica na sua explicação. Essa numeração pode ser números cardinais (1,2,3...), romanos (I, II,
III), letras do alfabeto (A, B, C...). Toda tabela e figura deve apresentar uma legenda explicativa, e
essa pode ser colocada embaixo das figuras e acima das tabelas.
Importante: Se algum texto foi extráıdo de algum livro, deve ser colocado nas referências bibliográficas.
Não mencionar as fontes caracteriza plágio.
Important́ıssimo: Um relatório é um relato das observações feitas em laboratório. Um relatório nunca
manda fazer. Assim o uso da forma impessoal (foi feito ou fez-se...), como foi anteriormente dito para
escrita do procedimento experimental, deve ser regra para o relatório todo.
Toda grandeza experimental determinada deve ser enunciada com as respectivas unidades. Cuidado para
não esquecer das unidades na confecção do relatório.
PLÁGIO, CTRL+C, CTRL+V, NÃO SERÃO ACEITOS!!!
CAPÍTULO 1
PRÁTICA 1: PÊNDULO SIMPLES E SISTEMA
MASSA MOLA
“Então Einstein estava errado quando disse:
“Deus não joga dados”.
Considerando os buracos negros,
sugere não só que Deus não joga dados,
mas que às vezes nos confunde jogando-os
onde eles não podem ser vistos.”
Stephen Hawking
Introdução
O pêndulo simples e o sistema massa mola são sistemas que podem obedecer o movimento harmônico
simples. A solução desses sistemas resulta em equações diferenciais de segunda ordem, cuja solução é uma
função periódica com o tempo. Vamos estudar cada um desses sistemas separadamente.
Pêndulo Simples
Existem inúmeros pêndulos estudados na f́ısica. Esses são descritos como objetos de fácil previsão de
movimentos e possibilitaram inúmeros avanços tecnológicos. Alguns desses pêndulos são os pêndulos simples,
f́ısico, de torção, cônicos, de Foucalt, duplos, espirais, de Karter e invertidos. Dentre eles o modelo mais
simples, e que tem maior utilização é o Pêndulo Simples. Este pêndulo consiste em uma massa presa na
extremidade de um fio flex́ıvel e inextenśıvel com massa despreźıvel. Esse sistema deve oscilar livremente
em relação a uma posição de equiĺıbrio. Um esquema desse sistema é visto na figura 1.1.
Quando afastamos a massa da posição de repouso e a soltamos, o pêndulo realiza oscilações. Ao descon-
siderarmos a resistência do ar, as únicas forças que atuam sobre o pêndulo são a tensão com o fio e a força
peso da massa m. As componentes da força peso na direção y (Py) se anula com a tração (T) e a única
força responsável pelo movimento do pêndulo está na direção x (Px). Assim:
F = mgsenθ −→ m.a = mgsenθ −→ a = gsenθ (1.1)
Considerando a aceleração (a) como sendo:
a =
d2x
dt2
−→ a = Ld
2θ
dt2
(1.2)
Onde L seria o comprimento do fio e θ, o ângulo de oscilação. Isso resulta na seguinte equação diferencial:
d2θ
dt2
=
g
L
senθ (1.3)
Se θ for menor que 10o, senθ −→ θ e a frequência angular (ω2) será igual a gL . Sendo o peŕıodo igual a
T = 2πω , obtemos o peŕıodo de oscilação desse sistema como sendo:
Pêndulo Simples e Sistema Massa Mola 6
 
 
m 
L 
 = m 
 
= P 
= P 
 
Figura 1.1: (a) Esquema do Pêndulo Simples e (b) esquema das forças atuantes nesse sistema
T = 2π
√
L
g
(1.4)
Sistema Massa Mola
Um sistema massa mola é formado por uma massa ligada a uma mola com constante elástica conhecida.
No Laboratório de F́ısica A esse sistema foi estudado de forma estática, onde foi posśıvel obter a constante
elástica da mola (k) por meio da variação de massas (m), obtendo diferentes elongações (y). Esse sistema é
explicado pelo modelo matemático explicado na equação 6.
Figura 1.2: Sistema massa mola mostrando o efeito de uma massa na elongação de uma mola.
P = Fe −→ mg = ky −→ y =
g
k
m (1.5)
Se esse sistema for movido do ponto de equiĺıbrio, irá oscilar obedecendo o seguinte expressão:
P − Fe = Ma −→ Mg + ky = Ma (1.6)
Onde M seria a massa do sistema, que é soma das massas (m) e da massa efetiva da mola (mef ), que a
massa da mola dividida por 3 (Você saberia por que disso? Explique isso em seu relatório). Considerando
a aceleração (a) como sendo igual a a = d
2y
dt2
, obtemos:
d2y
dt2
+
k
M
y = g −→ d
2y
dt2
+ ω2y = g (1.7)
Pêndulo Simples e Sistema Massa Mola 7
Onde ω é a frequência angular. Desse modo o peŕıodo T seria igual a:
T = 2π
√
M
k
(1.8)
Objetivos
Estudar o movimento do pêndulo simples, obter a aceleração da gravidade local. Estudar o sistema
massa mola e obter a constante elástica da mola.
Materiais utilizados
Tripé com suporte, 2 massas esféricas, barbante, trena, transferidor, cronômetro, 5 massas com ganchos
duplos e mola com constante elástica conhecida.
Procedimento experimental
Os procedimentos a seguir são importantes para a realização das práticas de forma adequada. Leia
atentamente esses antes de iniciar o experimento.
Tome cuidado ao manusear a mola.
Caso tenha dúvidas sobre a teoria de erros, consulte ao final dessa apostila o caṕıtulo “INTRODUÇÃO
A TEORIA DE ERROS”.
Parte 1 - Obtenção aceleração da gravidadepor meio de um pêndulo simples
1. Observe as massas (em g) dos corpos que serão usados e anote esse valores.
2. Resolva a equação diferencial d
2θ
dt2
− ω2θ = 0 e obtenha suas soluções, apresentando em seu relatório
em anexo essa resolução.
3. Como sugestão monte uma tabela em seu caderno para facilitar na aquisição dos dados. Para essas
tabela serão obtidos o 5 peŕıodos de 10 oscilações (T10) para cada comprimento de fio (L).
4. Amarre o fio no suporte e, com o maior comprimento, pendure o corpo na extremidade do fio formando
um pêndulo. Meça L.
5. Para um mesmo comprimento, obtenha 5 peŕıodos de 10 oscilações (T10). Para isso retire o pêndulo
de sua posição de equiĺıbrio com um afastamento de aproximadamente 10o. Use um transferidor para
isso. Lembre-se que esse afastamento deve ser mantido durante todas as medidas desse experimento.
6. Varie o comprimento L enrolando o fio no suporte. Meça L novamente. Repita o procedimento de 5
medidas de T10.
7. Diminua o fio pelo menos 5 vezes, obtendo 5 medidas de T10 para cada L.
8. Com essas medidas em mão, faça a análise estat́ıstica adequada.
9. Obtenha a aceleração da gravidade local por dois métodos: 1) Calculo de cada valor de g para cada
dado; e 2) Obtenção de g pelo método gráfico.
Parte 2 - Obtenção da massa efetiva de uma mola oscilante
1. Observe as massas (em g) dos corpos que serão usados e anote esse valores.
2. Resolva a equação diferencial d
2y
dt2
+ ω2y = g e obtenha suas soluções, apresentando em seu relatório
em anexo essa resolução.
3. Vamos coletar medidas concomitantes durante a prática.
Pêndulo Simples e Sistema Massa Mola 8
4. Primeiramente, posicione a mola, fixe a marcação da régua na base da mola (acima do arco onde
vamos pendurar as massas). Posicione a segunda marca a 3 cm da primeira.Essa marca será usada
como limite de elongação para colocarmos a mola em oscilação. Faça a mola oscilar e obtenha o
peŕıodo de 10 oscilações da mola. Fala isso mais 4 vezes.
5. Vamos começar com a menor massa. Pendure essa massa na mola e meça a elongação que essa massa
provoca. Esse estudo estático será feito para obtenção a constante da mola. Após isso, posicione a
marcação superior da régua na parte inferior da mola e posicione a marcação inferior a 3 cm dessa
posição. Faça a mola oscilar com a massa e anote por 5 vezes o peŕıodo de 10 oscilações.
6. Troque de massa e repita os procedimentos anteriores. Faça isso para todas as massas dispońıveis.
7. Por meio das medidas de oscilação da mola sem massa obtenha a massa efetiva (mef ) da mola.
8. Com a elongação da mola e as massas, obtenha a constante da mola de forma estática.
9. Com a massa efetiva e os peŕıodos de oscilação, obtenha a contante da mola de forma dinâmica.
CAPÍTULO 2
PRÁTICA 2: ONDAS ESTACIONÁRIAS EM
CORDAS E TUBOS
“Não existem métodos fáceis
para resolver problemas dif́ıceis.”
René Descartes
Introdução
Ondas estacionárias são ondas que apresentam um padrão de vibração dito estacionário. Essas ondas se
formam pela superposição de duas ondas idênticas e com sentidos opostos. Exemplos de ondas estacionárias
em cordas são vistos na Figura 2.1. Esse comportamento é muito interessante e explica o funcionamento
de alguns instrumentos musicais de corda e sopro. Nessa prática vamos tratar de ondas estacionárias em
cordas e tubos.
Ondas Estacionárias em Cordas
Vamos considerar uma corda fixa em suas extremidades em movimento harmônico simples. As frequências
onde são gerados padrões observado na figura 2.1 são ditas frequências de ressonância, sendo que a menor
frequência é chamada de frequência fundamental o que produz uma onda estacionária chama da de modo
fundamental ou primeiro harmônico (Figura 2.1). Com o aumento da frequência podemos observar os de-
mais harmônicos de ressonância que são múltiplos da metade do comprimento de onda (λ), ou seja: L = nλ2 ,
onde L é o comprimento da corda e n = 1,2,3...
As frequências de ressonância também obedecem essa regra. Se considerarmos que uma onda apresenta
uma velocidade (v) igual a v = 2LT , onde T seria o peŕıodo da onda se propagar até uma extremidade e
voltar. Como o peŕıodo é o inverso da frequência, podemos obter a seguinte expressão:
fn = n
v
2L
;n = 1, 2, 3... (2.1)
A velocidade em uma corda pode ser obtida do impulso e seria igual a v =
√
F
µ (Você saberia como
chegar nessa expressão?), onde F seria a tensão na corda e µ a densidade linear (dada em kg/m) da corda.
F seria igual a força peso nessa prática, o que conduz a expressão que iremos usar em nossas análises.
fn = n
1
2L
√
Mg
µ
;n = 1, 2, 3... (2.2)
Ondas Estacionárias em Tubos
Quando estudamos o comportamento de ondas sonoras em tubos, observamos também o efeito de res-
sonância, que depende diretamente se o tubo é totalmente fechado e aberto ou semiaberto. A Figura 2.2
(a) mostra o comportamento de ressonância posśıvel em tubos fechados e abertos. O mesmo padrão de
Ondas Estacionárias em Cordas e Tubos 10
Figura 2.1: Ondas estacionárias em cordas com extremidades fixas. (retirado do site: http :
//www.lef.ifsc.usp.br/salaConhece/index.php?option = comcontent&view = article&id = 12 : tubo −
de− chamas− dancantes&catid = 1 : experimentoscalor&Itemid = 28)
(a) (b)
Figura 2.2: Ondas estacionárias em tubos: (a) tubo fechado e (b) tubo semiaberto (retirado de: Daniel
Cosmo Pizetta, Adilson Barros Wanderley, Valmor Roberto Mastelaro, Fernando Fernandes Paiva. Uma
avaliação experimental do tubo de ondas sonoras estacionárias. Revista Brasileira de Ensino de F́ısica, vol.
39, nº 3, e3301 (2017).)
Ondas Estacionárias em Cordas e Tubos 11
ressonância observado para cordas vibrando é visto para esses casos. Nesse sentido, a mesma formula para
as frequência de ressonância para é usada, ou seja:
fn = n
v
2L
;n = 1, 2, 3... (2.3)
onde v seria agora a velocidade do som no ar e L é o comprimento do tubo.
Para o tubo semiaberto o comprimento do tubo (L) é um quarto do comprimento de onda (λ), ou seja,
L = nλ4 , onde n = 1,2,3... Assim a frequência de ressonância para o caso do tubo semiaberto é igual a:
fn = n
v
4L
;n = 1, 2, 3... (2.4)
Objetivos
Estudar o comportamento de ondas estacionárias em cordas e tubos. Obter a densidade linear e a
velocidade do som no ar por meio desses experimentos.
Materiais utilizados
Gerador de ondas, cordão com densidade linear conhecida, aparato de vibração de cordas, massa de 404
g (dois pesos de 200g e um saquinho de plástico), tripés e suporte com roldana.
Gerador de funções, caixa de madeira com alto falante acoplado, tubo transparente de acŕılico de 101
cm com suportes de madeira, circuito com microfone, osciloscópio, alimentação do microfone com fonte de
9V.
Procedimento experimental
Parte 1 - Ondas Estacionárias em Cordas
1. Observe o aparato montado sobre a bancada. Ligue o gerador de ondas e aumente a frequência
observando os padrões formados na corda. Importante fixar a distância ente o aparato de vibração e
o suporte com roldana em 50 cm (para medir essa distância use como referencia o meio da roldana e
onde está amarrada a corda) e manter a corda esticada durante o experimento.
2. Volte a uma frequência baixa, vai aumentando esse valor até obter um padrão de harmônico para n =
1. Anote a frequência.
3. Aumente a frequência e obtenha os demais harmônicos, até n = 8, anotando as frequências.
4. Diminua a frequência, e faça o mesmo (obtendo as frequências) até o harmônico para n = 1.
5. Faça as analises em seu relatório e obtenha a densidade linear da corda. Não se esqueça das incertezas.
Parte 2 - Ondas Estacionárias em Tubos
1. Observe o aparato montado sobre a bancada.
2. Coloque o tubo encostado no alto falante. Essa configuração será nosso tubo fechado.
3. Ligue o gerador de funções, aplicando um sinal senoidal, e aumente a frequência observando o som
emitidopelo auto-falante e a onda visualizada no osciloscópio.
4. Calcule a frequência para o segundo harmônico do tubo fechado usando a velocidade o som no ar igual
a 343 m/s.
5. Use esse valor de frequência como inicio. Aumente a frequência no gerador de funções até próximo do
valor calculado.
6. Observe que próximo desse valor o tubo irá vibrar gerando um som ressonante. Observando no
osciloscópio teremos uma onda com amplitude máxima. Anote esse valor de frequência.
7. Aumente a frequência e observe as mesmas condições ressonantes. Anote esse o outro valor de
frequência, que será o terceiro harmônico. Faça isso até obter o 10 harmônico.
Ondas Estacionárias em Cordas e Tubos 12
8. Diminua a frequência e anote as frequências de ressonância para obter uma média dos valores.
9. Desloque o tudo um pouco, abrindo a extremidade em contato com o auto-falante.
10. Agora vamos repetir os procedimentos anteriores agora anotando os harmônicos impares. Para começar
calcule a frequência para tubo semi-aberto para o n=3 com a velocidade de 343 m/s.
11. Repita os procedimentos anteriores como para o tubo fechado.
12. Faça as analises das duas medidas e obtenha a velocidade do som no ar experimental. Não se esqueça
das incertezas associadas.
CAPÍTULO 3
PRÁTICA 3: CIRCUITO RLC
As equações de Maxwell
na forma diferencial:
“ ∇ · E⃗ = ρε0
∇ · B⃗ = 0
∇× E⃗ = −∂B⃗∂t
∇× B⃗ = µ0ε0 ∂E⃗∂t + µ0J⃗ ”
James Clerk Maxwell.
Introdução
Quando falamos de oscilações eletromagnéticas logo lembramos dos cir-
cuitos LC ou RLC, onde observamos comportamentos oscilatórios simi-
lares aos observados em sistemas mecânicos com oscilações amortecidas.
Nessa prática vamos estudar o comportamento do circuito RLC, em duas
configurações quando aplicamos uma onda quadrada e um sinal senoidal.
O circuito RLC é um circuito formado por um resistor (R), indutor (L)
e um capacitor (C), que apresenta aplicações muito interessantes. A
Figura 3.1 mostra o circuito RLC em série (a) e em paralelo (b). Vamos
primeiramente estudar o comportamento do circuito em série.
Circuito RLC em série
Vamos supor um circuito RLC com os dispositivos em série sem bateria
com o capacitor carregado, parecido com o apresentado na Figura 3.0.
Pela lei das malhas de Kirchhoff, podemos descrever esse circuito:
Figura 3.1: Circuito RLC em série
(a) e em paralelo (b)
VR + VL + VC = 0
Sendo: 1)VR = −Ri; 2)VL = −Ldidt e 3)VC = −
Q
C = −
1
C
∫
i(t)dt; obtemos:
−Ldi
dt
−Ri− 1
C
∫
i(t)dt = 0 −→ Ldi
dt
+Ri+
1
C
∫
i(t)dt = 0
Derivando essa equação no tempo e dividindo ela toda por L obtém-se:
Circuito RLC 14
d2i
dt2
+
R
L
di
dt
+
1
LC
i = 0 (3.1)
Quando resolvemos essa equação obtemos uma solução geral:
i(t) = i0e
−βte
√
ωst + i0e
−βte−
√
ωst (3.2)
Onde: β = R2L , ωs =
√
β2 − ω20 e ω0 = 1/
√
LC. β é conhecida como frequência de Neper para o circuito
em série e ω0 é a frequência de ressonância do circuito. Ainda, ωs pode assumir 3 diferentes resultados, que
resultam em 3 condições apresentadas na tabela a seguir com os resultados das equações.
Tabela 3.1: Soluções da equação diferencial dada pela equação 3.1.
Condição Resultado Oscilação
ωs > 0 −→ β > ω0 i(t) = i0e−βt(e
√
ωst + e−
√
ωst) super-amortecida
ωs = 0 −→ β = ω0 i(t) = i0e−βt amortecida
ωs < 0 −→ β < ω0 i(t) = i0e−βt cosωst sub-amortecida
Circuito RLC em série em corrente alternada
No entanto, se aplicarmos uma corrente alternada no circuito RLC, teremos uma equação parecida
com a equação diferencial para oscilações amortecidas e forçadas no sistema mecânico. Isso se deve ao
fato da tensão aplicada se comportar como V = V0sen(ωt) e a corrente se comportar segundo a expressão
i = i0sen(ωt+ φ) . Dessa forma, obtém-se a seguinte equação diferencial:
d2i
dt2
+
R
L
di
dt
+
1
LC
i = i0sen(ωt+ φ) (3.3)
A resolução dessa equação é um pouco mais complicada, no entanto, não é dif́ıcil obtermos as soluções.
No entanto, vamos tratar de alguns conceitos importantes antes de apresentarmos essa solução.
Podemos escrever a tensão no capacitor como sendo: VC =
1
C
∫
i(t)dt −→ i(t) = C dVCdt . Ao aplicarmos
uma tensão V = V0sen(ωt), obtemos:
i(t) = C
dVC
dt
= C
d
dt
[V0sen(ωt)] = ωCV0cos(ωt) = ωCV0sen(ωt+ π/2) (3.4)
Apesar da defasagem da corrente, podemos escrever VC = V0sen(ωt+ π/2), o que resulta:
i = ωCVC −→ VC =
1
ωC
i −→ VC = XCi (3.5)
onde XC é dita reatância capacitiva e tem dimensão de ohms (Ω).
Já para o indutor VL = L
di
dt , o que resulta:
VL = L
di
dt
= L
d
dt
[i0sen(ωt)] = ωi0cos(ωt) = ωCi0sen(ωt+ π/2) = ωCi0sen(ωt+ φ) (3.6)
O que resulta em:
VL = ωLi −→ VL = XLi (3.7)
onde XL é dita reatância indutiva e também tem dimensão de ohms (Ω).
A frequência angular fundamental de ressonância (ω0) do circuito é dada por ω0 =
√
1
LC , que continua
válida para esse circuito. Assim a frequência linear de ressonância (fR) seria igual a fR =
2π√
LC
.
Circuito RLC 15
Como solução da equação diferencial 3.3 podemos adotar i = i0sen(ωt+φ). Como prova dessa solução,
derivamos essa função em relação ao tempo e substitúımos em 3.3 usando das devidas substituições trigo-
nométricas, obtemos:
[
−ω2cosφ− R
L
ωsenφ+
1
LC
cosφ
]
senωt+
[
−ω2senφ+ R
L
ωcosφ+
1
LC
senφ
]
cosωt
= cosφsenωt+ senφcosωt
O termo que acompanha senωt pode ser igualado:
[
−ω2cosφ− R
L
ωsenφ+
1
LC
cosφ
]
= cosφ
que após um pouco de álgebra, resulta em:
tanφ =
1
RωC
− Lω
R
=
1
R
[
1
ωC
+ Lω
]
=
XC −XL
R
(3.8)
Objetivos
Estudar o comportamento de circuitos RLC em serie e com alimentação com corrente alternada.
Materiais utilizados
Gerador de funções com 1 ponta de prova; Osciloscópio com duas pontas de prova; protoboard; Resistores:
100 Ω, 470 Ω, 1kΩ, 2,21kΩ, 4,7kΩ, 8,2kΩ e 10 kΩ; 2 capacitores de 10 nF; 1 indutor de 6 mH, Pen drive de
no máximo 2 Gigabytes (de propriedade do grupo).
Procedimento experimental
Figura 3.2: Circuito RLC para parte 1 (a) e parte 2 (b)
Parte 1 - Circuito RLC em série
1. Monte o circuito como na figura 3.2(a) obedecendo a sequência resistor-indutor-capacitor. No resistor
prenda a ponteira e no capacitor, o garra da ponteira. Ligue o canal 1 sobre o capacitor.
2. Aplique um sinal quadrado, para começar.
Circuito RLC 16
3. Inicie com a resistência de 100Ω. Fala a leitura da corrente no osciloscópio sobre o capacitor. Lembre-se
em ajustar as configurações no osciloscópio para ler esse resultado.
4. Ajuste a tela do osciloscópio para coletar o resultado e colete a curva usando o a tecla “PRINT” e a
pen drive.
5. Troque o resistor para o de 10 kΩ. Faça o mesmo e colete os resultados na pen drive.
6. Por fim troque o resistor para de 470Ω. Colete seus resultados na pen drive.
7. Repita as coletas para todos os resistores.
8. Faça um gráfico da resistência em função da frequência. Faça o ajuste adequado para esses dados.
Parte 2- Circuito RLC em corrente alternada
1. Monte o circuito como na figura 3.2(b) obedecendo a sequência indutor-capacitor-resistor. No indutor
prenda a ponteira e no resistor, o garra da ponteira. Ligue o canal 1 sobre no indutor (entrada do
circuito) e o canal 2 no resistor.
2. Aplique um sinal senoidal.
3. Ajuste a frequência do gerador em 1 kHz e a tensão pico a pico de 5 V do sinal a ser aplicado do
circuito. Para isso, procure o botão “Medida”, clique nele e ajuste as configurações para leitura da
tensão pico a pico do Canal 1 e 2.
4. Varie a frequência do gerador de função para determinados valores e obtenha a tensão pico a pico
no canal 1 (entrada no circuito) e canal 2 (resistor). Obtenha a tensão para as frequências de 1kHz,
5kHz, 10kHz, 20 kHz, 30kHz, 50 kHz, 70kHz, 100kHz, 200kHz, 300kHz, 500kHz, 1MHz, 2MHz, 3MHz,
5MHz e 10MHz.
5. Obtenha também o angulo de fase entre os dois sinais. Para isso use o método das Figuras de Lissajous
explicado a seguir.
6. Discuta os resultados obtidos em seu relatório.
Métodode Lissajous
Na Figura 3 é mostrado a figura de Lissajous para um circuito RLC . A linha tracejada na figura de
Lissajous mostra a ressonância do circuito.
Figura 3.3: Figura de Lissajurs para obtenção do ângulo de fase entre dois sinais.
Circuito RLC 17
Para obter o ângulo de fase φ obtemos “a” e “b” como mostrado na figura e calculamos o arco-seno do
quociente desse valores (você saberia por que usamos essa expressão. Responda em seu relatório), ou seja:
φ = arcsen
(a
b
)
(3.9)
CAPÍTULO 4
PRÁTICA 4: REFRAÇÃO, REFLEXÃO E
POLARIZAÇÃO DA LUZ
(Fonte: Ilusão de Óptica: Elefante de Quantas Patas? 1).
Introdução
A luz é fascinante quando estudamos seu comportamento. Ela pode apresentar comportamento ondu-
latório, explicado pelos modelos de ondas eletromagnéticas clássicas, e comportamento corpuscular, expli-
cado pela f́ısica moderna. No entanto, os efeitos clássicos explicam o comportamento da luz no nosso dia a
dia, especialmente quando observamos o efeito de ilusão de uma colher quebrada quando colocada dentro de
um copo repleto de água. Nessa primeira prática iniciaremos nosso estudo das propriedades da luz, sendo o
foco dessa prática a refração e a polarização.
Refração e Reflexão da Luz
A refração da luz, basicamente, é um efeito da mudança de velocidade da luz quando atravessa de um
meio a outro meio transparente. Isso se deve ao fato que esse meio apresenta uma caracteŕıstica relacionada
a óptica denominada ı́ndice de refração (n). Esse é definido como:
n =
c
v
(4.1)
onde c é a velocidade da luz e v a velocidade do meio.
Além disso, por meio de relações geométricas é posśıvel obter uma relação entre os ı́ndices de refração
dos meios e os ângulos de incidência e refração. Essa relação é denominada como Lei de Snell-Decartes e
matematicamente é dada por:
nisenθi = nrsenθr (4.2)
1Dispońıvel em http : //www.putsgrilo.com.br/montagens/03− ilusao− de− otica− elefante− de− quantas− patas/ >.
Acesso em 27− 03− 2018
Refração, Reflexão e Polarização da Luz 19
Outro efeito importante é a reflexão interna total, que ocorre em condições especiais. A lei da reflexão
diz que o ângulo de incidência deve ser igual ao ângulo de reflexão (θi = θref ). Mas em algumas condições
especiais, esse efeito pode ser observado para meios transparentes (Você saberia em qual condição isso
ocorre? Escreva em seu relatório).
Além disso, o ı́ndice de refração do meio apresenta uma dependência com o comprimento de onda, como
pode ser visto na Figura 4.1.
Figura 4.1: Variação do ı́ndice de refração (n) em função do comprimento de onda para diferentes materiais.
Polarização da Luz
O modelo que explica a propagação da Luz é obtido das equações de Maxwell. O resultado são as
seguintes equações de onda.
∇2E⃗(r⃗, t) = 1
c2
∂2E⃗(r⃗, t)
∂t2
(4.3)
∇2B⃗(r⃗, t) = 1
c2
∂2B⃗(r⃗, t)
∂t2
(4.4)
Da equação do campo elétrico uma das posśıveis soluções pode assumir a seguinte forma:
E⃗(r⃗, t) = E⃗0cos(kr⃗ − ωt+ δ) (4.5)
onde k é o número de onda e ω é a frequência da radiação.
Quando falamos de polarização estamos analisando a direção de oscilação do vetor campo elétrico E⃗.
Normalmente em uma fonte de luz convencional (fonte de luz policromática ou monocromática), a luz pode
assumir todas as direções para o vetor E⃗. Quando polarizamos a radiação, estamos deixando passar somente
uma direção preferencial de oscilação de E⃗. Uma das aplicações desse efeito está na melhoria de imagens e
eliminação de artefatos ópticos que são gerados pelo espalhamento da luz. Por isso, ouve-se falar muito de
lentes polarizadas para câmeras ou óculos.
A polarização pode ocorrer por diferentes fenômenos: 1) espalhamento, 2) birrefringência, 3) reflexão e 4)
absorção. Esse ultimo que vamos estudar nesse experimento. A polarização por absorção ocorre em alguns
materiais, que absorvem radiação e transmitem-a polarizada. Normalmente hidrocarbonetos de cadeias
longas e poĺımeros são usados como polarizadores.
Quando estudamos polarização necessitamos de dois polarizadores, um atua como polarizador da radiação
incidente e outro simplesmente atua como analisador da polarização. Para isso sabe-se que a intensidade da
luz pode ser escrita em função da amplitude ao campo elétrico (E0), velocidade da luz (c) e permissidade
elétrica no vácuo (ε0), dado na equação 4.6. Assim:
Refração, Reflexão e Polarização da Luz 20
I =
1
2
cε0E
2
0 (4.6)
Como o E0 pode ser descrito nas componentes paralelas e perpendiculares, obtemos:
E20 = E
2
0⊥ + E
2
0// (4.7)
No entanto, somente as componentes paralelas (E0//) são transmitidas. Desse modo podemos escrever
a expressão 4.8 como:
E0// = E0cosθ (4.8)
I =
1
2
cε0E
2
0// =
(
1
2
cε0E
2
0
)
cos2θ = I0cos
2θ (4.9)
A ultima parte dessa expressão é conhecida como Lei de Malus e relaciona intensidade da radiação
com o ângulo de polarização.
Objetivos
Nesse experimento vamos testar a validade da lei de Snell-Descartes para refração. Determinar o ângulo
cŕıtico no qual ocorre reflexão interna total e confirmá-lo usando a Lei de Snell-Descartes. Analisar a
dependência do ı́ndice de refração de um prisma com o comprimento de onda.
Materiais utilizados
Banco óptico, cavaletes de metal, peça de acŕılico em forma de meia lua, prisma de acŕılico, disco
giratório, fenda única e lente convergente de 100 mm de distância focal.
Procedimento experimental
Os procedimentos a seguir são importantes para a realização das práticas de forma adequada. Leia
atentamente esses antes de iniciar o experimento.
A lente e os acŕılicos não devem ser manuseados de forma a deixar reśıduos de gorduras nas suas
faces. Nesse sentido cuidado ao manuseá-los.
Certifique-se que a chave da fonte de alimentação do LASER esteja na posição 12V. Essa é a tensão
correta para alimentação desse equipamentos.
Caso tenha dúvidas sobre a teoria de erros, consulte ao final dessa apostila o caṕıtulo “INTRODUÇÃO
A TEORIA DE ERROS”.
Parte 1 - Obtenção do ı́ndice de refração do acŕılico
Figura 4.2: Montagem do Experimento
Refração, Reflexão e Polarização da Luz 21
1. Monte o experimento conforme a figura 4.2.
2. Ligue a fonte de luz tomando cuidado que esteja na voltagem correta.
3. Sem o acŕılico em forma de meia lua sobre o disco giratório, calibre o feixe de luz de forma que seja
fino suficiente e percorra sobre o disco os mesmos ângulos (0 graus) em linha reta. Para tornar o feixe
mais fino, desloque a lente e a fenda única até uma posição adequada.
4. Posicione o acŕılico usando a linha reta presente no disco perpendicular ao feixe, lembrando que na
primeira parte deve-se posicionar o acŕılico de forma a incidir o feixe em sua face plana.
5. Varie o ângulo de incidência de 0o a 90o de 10 graus em 10 graus. Anote os ângulos de incidência e
refração e suas respectivas incertezas. Monte uma tabela para facilitar sua coleta de dados.
6. Faça 3 análises com os dados obtidos:
(a) Obtenha o ı́ndice de refração de cada ângulo e a incerteza usando propagação de erros da relação
de Snell-Descartes.
(b) Faça uma média dos valores dos indices de refração obtidos no item anterior e calcule o desvio.
(c) Faça um gráfico e obtenha o ı́ndice de refração pelo método gráfico. Para isso use programa
gráfico. Uma sugestão de uso seria o SciDavis, que é um programa gráfico gratuito. Caso
não saiba como usar esse programa, consulte no final dessa apostila o caṕıtulo “UMA BREVE
INTRODUÇÃO DO SCIDAVIS”
7. Com a mesma montagem experimental, posicione o acŕılico de modo que o raio de incidência atinja a
parte curva do acŕılico.
8. Varie o ângulo de incidência de 0 a 90 graus de 10 em 10 graus, da mesma forma como foi feito na
parte plana.
9. Faça as mesmas análises e obtenha o ı́ndice de refração do acŕılico. Foi observado algo de diferente na
segunda partedo experimento?
10. Obtenha o angulo cŕıtico e por meio desse o ı́ndice de refração do acŕılico.
Parte 2 - Dispersão da Luz
Figura 4.3: Prima e dispersão da luz branca.
1. Monte o aparato experimental como mostrado na figura 4.3.
2. Ligue a fonte de luz tomando cuidado que esteja na voltagem correta.
3. Sem o acŕılico em forma de meia lua sobre o disco giratório, calibre o feixe de luz de forma que seja
fino suficiente e percorra sobre o disco os mesmos ângulos (0 graus) em linha reta. Para tornar o feixe
mais fino, desloque a lente e a fenda única até uma posição adequada.
Refração, Reflexão e Polarização da Luz 22
4. Posicione o prisma de modo que uma das faces planas esteja perpendicular ao feixe incidente. Use um
dos vértices do prisma como referência, posicionando sobre a “linha de 0 graus”.
5. Gire o prisma até o ângulo onde é posśıvel observar a dispersão da luz.
6. Obtenha o ângulo de incidência e os ângulos de refração para cada cor com suas incertezas. Obtenha
valores para pelo menos 4 cores. As incertezas devem ser obtidas pela propagação de erros.
7. Por meio de dados de livros ou internet, obtenha o comprimento de onda (λ) das cores do espectro
viśıvel. Como as cores se apresentam em faixas de λ, escolha o λ médio para usar nessa análise, não
se esquecendo a incerteza associada.
8. Faça um gráfico de n em função de λ com suas incertezas. Discuta seus resultados.
Parte 3 - Teste da lei de Malus usando LASER.
1. Monte o experimento com o LASER incidindo sobre os dois polarizadores diante do anteparo em linha
reta. O primeiro será o polarizador e o segundo será nosso analisador. Depois do analisador coloque
o anteparo.
2. Ajuste o ângulo de rotação inicialmente para 0o nos dois polarizadores.
3. Observe a intensidade de luminosidade que deverá ser máxima. Mova dez graus no analisador (segundo
polarizador) e observe a diminuição da intensidade. Se isso não ocorrer encontre o ângulo onde a
intensidade seria máxima.
4. Anote o ângulo onde é observado intensidade máxima.
5. Mova o analisador de modo que dê para observar a intensidade mı́nima no anteparo. Anote esse
ângulo.
6. Repita 3 vezes os itens 3, 4 e 5 para obter 3 medidas de ângulos para uma média.
7. Varie o ângulo para 45 graus e encontre o ângulo de intensidade máxima e mı́nima com os mesmos
procedimentos para o graus.
8. Por fim faça os procedimentos para 90 graus no polarizador.
9. Usando a lei de Malus, estude o efeito da polarização da luz monocromática para esses três ângulos.
CAPÍTULO 5
PRÁTICA 5: OBTENÇÃO DA DISTÂNCIA
FOCAL DE LENTES.
(Fonte: Blog Informatica Naomi 1).
Introdução
Lentes são parte da maioria dos principais instrumentos ópticos: microscópicos, lunetas, telescópios, etc.
O seu entendimento baseia-se na óptica geométrica, que nos revela o comportamento dos feixes de luz diante
desse dispositivo.
As lentes são classificadas como convergentes, que convergem dos feixes de luz em um ponto, e divergentes,
que divergem os feixes. Apresentam diversas caracteŕısticas, tais como distância focal (f), raio de curvatura
(R), vértice (V), Nesse experimento vamos obter a distância focal de lentes por meio de duas expressões: a
1) equação de Gauss e 2) a equação de Bessel.
A equação de Gauss relaciona a distância focal (f) com as distâncias objeto-lente (p) e lente-imagem (p’)
pela relação:
1
f
=
1
p
+
1
p′
(5.1)
Outra forma de obter a distância f é pela equação de Bessel, no entanto, faz necessário mover a lente
para obter dois pontos onde a imagem pode ser focada. Nesse movimento, a distância objeto-imagem
(L) e a distância de deslocamento da lente (d) são necessárias para os cálculos. A figura 5.1 mostra um
esquema apesentando essas distâncias. Nessa figura também são apresentadas a distância objeto-lente para
1Dispońıvel em http : //naomiboillat.blogspot.com.br/2013/04/ilusao− de− otica.html >. Acesso em 27− 03− 2018
Obtenção da distância focal de lentes. 24
a primeira posição (do1) e segunda posição (do2), além da distância lente-imagem para a primeira posição
(di1) e segunda posição (di2).
Figura 5.1: Esquema apresentando os elementos básicos para obtenção da distância focal usando a equação
de Bessel.
A equação de Bessel é a seguinte:
f =
L2 − d2
4L
(5.2)
Nesse experimento também vamos testar a relação de tamanho de objeto (o) e imagem (i) em relação as
distâncias objeto-lente (p) e imagem-lente (p’), ou seja:
o
i
=
p
p′
(5.3)
Objetivos
Nesse experimento vamos obter distância focal de uma lente convergente por duas equações: a equação
de Gauss e a equação de Bessel.
Materiais utilizados
Banco óptico, cavaletes de metal, lentes convergentes de distância focal 5 cm e 10 cm, fenda em formato
de F, anteparo e papel.
Procedimento experimental
Os procedimentos a seguir são importantes para a realização das práticas de forma adequada. Desse
modo leia atentamente esses antes de iniciar o experimento.
As lentes não devem ser manuseados de forma a deixar reśıduos nas suas superf́ıcies. Nesse sentido
cuidado ao manuseá-los.
Caso tenha dúvidas sobre a teoria de erros, consulte ao final dessa apostila o caṕıtulo “INTRODUÇÃO
A TEORIA DE ERROS”.
Obtenção da distância focal de lentes. 25
Parte 1 - Determinação da distância focal de uma lente
Figura 5.2: Montagem experimental do experimento.
1. Monte o equipamento conforme a figura 5.2.
2. Posicione as lentes de distância focal 10 cm antes da fenda em F.
3. Coloque a lente de 5 cm de distância focal depois da fenda em F. Posicione o anteparo no final do
trilho.
4. Mova o anteparo e a lente de f=5cm de modo que seja posśıvel visualizar o F ńıtido no anteparo.
5. Dobre uma folha de papel A4 e coloque presa no anteparo. Risque nesse papel o F ńıtido.
6. Anote as distâncias objeto-lente (p), lente imagem (p’), tamanho do objeto (o) e tamanho da imagem
(i). Lembre-se que o tamanho do objeto não varia e é igual a 1,00±0,05 cm.
7. Repita os procedimentos anteriores para cinco distâncias diferentes, lembrando de sempre mover a
lente e o anteparo para obter uma imagem ńıtida nesse ultimo.
8. Obtenha a distância focal e sua incerteza para cada distância diferente usando a equação de Gauss.
Lembre-se que a incerteza é obtida pela propagação de erros.
9. Calcule também a média das distâncias focais obtidas no item anterior, juntamento com o desvio
adequado.
10. Classifique a imagem como real ou virtual, direta ou invertida.
Parte 2 - Determinação da distância focal usando a equação de Bessel.
1. Com a mesma montagem da Parte 1, posicione a lente de f=10cm, a fenda em F, a lente de f=5cm e
o anteparo, como na figura 5.2.
2. Posicione o mais próximo da fenda em F e encontre uma posição do1 que a imagem fique ńıtida no
anteparo. Obtenha do1 e di1.
3. Mova a lente para próximo do anteparo de modo que a imagem fique focada em um ponto ou que
apareça um F muito pequeno. Obtenha do2 e di2.
4. Repita esse procedimento mais 4 vezes para obter uma média das distâncias. Não se esqueça das
incertezas.
5. Usando a equação de Bessel, obtenha a distância focal e sua incerteza.
CAPÍTULO 6
PRÁTICA 6: DIFRAÇÃO DA LUZ.
(Fonte: 10 incŕıveis ilusões de óptica. 3).
Introdução
Nessa prática vamos estudar dois fenômenos muito importantes, que são caracteŕısticas da f́ısica clássica
para classificação de ondas: a Interferência e a Difração. A Interferência é a formação de um padrão de
intensidades pela interação de duas ou mais ondas que se superpõe no espaço. Esse efeito é resultado da
diferença de fase (δ) entre essas ondas, que é resultado da diferença de caminho óptico percorrido pelas
ondas. Essa diferença é dada por:
δ =
∆r
λ
.2.π =
∆r
λ
.360o (6.1)
A Difração, por sua vez, é o desvio de ondas em torno de bordas, que ocorre quando uma porção de
uma frente de onda é bloqueada por umabarreira ou obstáculo. Esses efeitos ocorrem sempre que ocorre
coerência entre essas ondas, sou seja, quando duas ondas luminosas apresentam comprimento de onda e
frequência iguais, diferindo ou não de fase.
Um experimento clássico onde são observados esses fenômenos é o Experimento de Young. A Figura 6.1
(a) apresenta um desenho desse experimento, onde S1 é uma fenda única (ponto a) e S2 é uma fenda dupla
(pontos b e c). Como S1 é da ordem do comprimento de onda da radiação, essa sofre um “encurvamento”,
o que corresponde ao fenômeno de difração. Assim, o ponto a seria como uma fonte de uma nova onda. O
mesmo acontece em S2 nos pontos b e c, que seriam fontes de duas novas ondas. Essas duas ondas podem
ser interferir, o que geraria um padrão de claros e escuros, que representam interferências construtivas e
destrutivas, como visto no anteparo F.
Podemos predizer por meio de modelo matemático a localização do padrões de claro e escuro. Na Figura
6.1 (b) duas ondas geradas pelas fendas em B apresentam uma diferença de caminho igual a b (r1 = r2+ b).
A distância b pode ser obtida por meio do triangulo retângulo formado pelos pontos F1, F2 e b. Assim
b = dsenθ.
3Dispońıvel em < http : //vamoslasabercomoe.blogspot.com.br/search/label/10%20incr
%C3%ADveis%20ilus%C3%B5es%20de%20%C3%B3ptica%20%20 − %20%20HY PE%20SCIENCE%20%20 −
%20%2017%20de%20Julho%20de%202014 > Acesso em08− 03− 2015
Difração da luz. 27
(a) (b)
Figura 6.1: Experimento de Young (a) e esquema do mesmo experimento (b)
Se em P tivermos uma interferência construtiva a diferença de caminho óptico deve ser dada por:
mλ = ∆x = dsenθ (6.2)
O seno de θ é igual a:
senθ =
y√
D2 + y2
(6.3)
Desse modo:
mλ = d
y√
D2 + y2
⇒ λ = d y√
D2 + y2
(6.4)
Onde m determina a ordem da interferência que para nosso caso será igual a 1.
Uma parte desse experimento vamos obter o comprimento de onda de radiações policromáticas (luz
branca) e monocromática (LASER). A tabela 6.1 são apresentados as faixas de comprimento de onda e
frequência das radiações viśıveis.
Tabela 6.1: Faixa de frequência e comprimento de onda das cores.
Cor Comprimento de onda (nm) Frequência (THz)
Violeta 390 - 450 769 - 665
Anil 450 - 455 565 - 659
Azul 455 - 492 659 - 610
Verde 492 - 577 610 - 520
Amarelo 577 - 597 520 - 503
Laranja 597 - 522 503 - 482
Vermelho 622 - 780 482 - 384
De forma semelhante e por meio de algumas aproximações, podemos obter uma expressão parecida para
medir a espessura de objetos muito finos, como fios de cabelo:
Difração da luz. 28
e =
λd
y
(6.5)
Objetivos
Nesse experimento vamos obter o comprimento de onda da luz policromática e de LASER’s e obter a
espessura de um fio de cabelo usando os fenômenos de interferência e difração.
Materiais utilizados
Banco óptico, cavaletes de metal, fenda única, lente com distância focal de 10 cm, régua milimetrada,
rede de difração de 500 fendas/mm, LASER vermelho e verde, e fio de cabelo.
Procedimento experimental
Os procedimentos a seguir são importantes para a realização das práticas de forma adequada. Leia
atentamente procedimentos antes de iniciar o experimento.
A lente e a rede de difração não devem ser manuseados de forma a deixar reśıduos em suas superf́ıcies.
Nesse sentido cuidado ao manuseá-los.
Certifique-se que a chave da fonte de alimentação do LASER esteja na posição 12V. Essa é a tensão
correta para alimentação desse equipamentos.
Parte 1 - Difração da luz branca e obtenção do comprimento das cores.
1. Monte o equipamento conforme de costume colocando a lente convergente de f = 10cm e a fenda única
na frente da banco óptico.
2. Ajuste a posição da lente e fenda para que o feixe de luz fique o mais fino posśıvel no anteparo.
3. Observe se a luz corresponde ao zero da régua no anteparo. Se não ajuste a régua de modo que o
centro da luz fique sobre o zero da régua.
4. Coloque a rede de difração e observe no anteparo uma intensidade máxima central e duas faixas com
luz dispersa. Essa dispersão ocorre pois estamos incidindo uma luz policromática sobre a rede de
difração.
5. Vamos usar a expressão 6.4 para calcular o comprimento de onda. Para isso use d = 1/500 mm.
6. Meça D (distância entre rede e anteparo) e y (distância de cada cor no anteparo). Use a régua do
anteparo para medir y.
7. Varie D e obtenha y para mais 4 distâncias diferentes.
8. Compare os resultados calculados de comprimento de onda com os valores teóricos dados na Tabela
6.1
Parte 2 - Difração da luz do LASER e obtenção do comprimento de onda.
1. Remova a fonte de luz, lente e fenda da montagem da Parte 1.
2. Incida o LASER vermelho diretamente sobre a rede de difração. Mas antes de colocar a rede de
difração na frente do LASER, certifique-se que o feixe de luz está no zero da régua do anteparo.
3. Posicione a rede de difração entre o LASER e o anteparo e observe o que acontece no anteparo.
4. Obtenha D e y para 5 distâncias diferentes, como na Parte 1.
5. Faça os mesmos procedimentos para o LASER verde.
Difração da luz. 29
Parte 3 - Medida do diâmetro de um fio de cabelo por meio de um LASER.
1. Prenda usando uma fita crepe um fio de cabelo no cavalete de metal.
2. Posicione o LASER próximo do fio de cabelo de forma que se observe um padrão interferência no
anteparo.
3. Coloque uma folha de papel no anteparo e fixe com fita adesiva.
4. Anote a distância D entre o anteparo e o suporte do fio de cabelo.
5. Observe um padrão de interferência no papel. Risque o ponto central e os pontos do padrão de
interferência. As distâncias entre esses pontos serão nosso y.
6. Com o comprimento de onda(λ) obtido na parte 2, calcule a espessura do fio de cabelo (e), pela
expressão 6.5. Faça isso para pelo menos 4 D diferentes e compare com a valores padrão para espessuras
de fio de cabelo saudáveis.
INTRODUÇÃO A TEORIA DE ERROS
A teoria de erros é uma ferramenta matemática nos auxilia no entendimento de flutuações associadas as
medidas experimentais, ou seja, nos auxilia na obtenção das posśıveis variações de valores devido a forma de
coleta, falha do experimentador, condições ambientais, entre outros. Assim vamos lembrar alguns conceitos
importantes que nos conduzem a essa teoria.
Algumas Definições Importantes
1. Grandeza experimental - é a grandeza cujo valor é determinado por um conjunto de dados expe-
rimentais.
2. Medida direta - é o resultado da leitura de um instrumento de medida. Ex.: o comprimento com
uma régua graduada, a massa de uma bolinha com uma balança ou o intervalo de tempo com um
cronômetro.
3. Medida indireta - é a que resulta da aplicação de uma relação matemática nas medidas diretas, que
conduzem a uma determinada grandeza f́ısica.
4. Valor verdadeiro - valor real de uma determinada grandeza, que devemos considerar desconhecida
para a maioria dos problemas.
5. Incerteza ou erro (I) - é a diferença entre o valor experimental (x) e o valor verdadeiro (xv) em
módulo (I = |x − xv|). Essa quantidade indica o quanto é o melhor valor obtido para esta grandeza,
que só pode ser interpretado em termos de probabilidades.
6. Precisão - é a indicação do quanto uma medida experimental é reprodut́ıvel.
7. Acurácia - é a indicação de quanto um resultado está próximo do valor verdadeiro.
8. Discrepância - é a diferença entre dois valores medidos de uma mesma grandeza f́ısica.
Dentre as incertezas classificamos essas em sistemáticas e aleatórias. Vamos relembrar.
1. Incertezas ou erros sistemáticos - são responsáveis por desvios regulares nas medidas devido a imper-
feições instrumentais, observacionais ou teóricas. Esses tipos de incertezas podem levar a um efeito
aditivo ou multiplicativo nos resultados encontrados. Dentre essas incertezas temos:
� Instrumentais: Incertezas ou erros que resultam da calibração do instrumento de medida. Esse
erro pode ser eliminado por meio da recalibração doequipamento.
� Teóricas: Incertezas ou erros que resultam do uso de fórmulas teóricas aproximadas ou do uso de
valores aproximados de constantes f́ısicas.
� Ambientais: Incertezas ou erros devido a efeitos do ambiente a qual é submetida a experiência.
Esse erro pode ser eliminado por meio do controle das condições ambientais.
Introdução a teoria de erros 31
� Observacionais: Incertezas ou erros devido a falhas de procedimento do observador. Essas incerte-
zas podem ser reduzidas seguindo cuidadosamente os procedimentos de uso de cada instrumento.
� Residuais: Incertezas ou erros que não podem ser reduzidos a um valor baixo ou para as quais
não se podem realizar correções.
� Grosseiras: São devidos à falta de atenção, pouco treino ou falta de peŕıcia do operador. Nor-
malmente esse tipo de incerteza ou erro gera valores com diferenças muito grandes em relação ao
valor real.
2. Incertezas ou erros aleatórios - são resultado de flutuações que são inevitáveis no processo de medida
e que provocam uma dispersão ao redor de um valor médio. Essa pode ser reduzida pela repetição de
n medidas. Vamos rever alguns conceitos importantes nos próximos caṕıtulos dessa apostila.
Valor médio ou média para medidas idênticas
Esse é definido pela equação 6.6. Se realizarmos n medidas idênticas, ou seja, realizadas da mesma
maneira com os mesmos instrumentos, os resultados podem ser ligeiramente diferentes. Assim, para um
mesmo valor, o valor médio de n medidas é definido como:
x̄ =< x >=
n∑
i=1
xi
n
(6.6)
Vale lembrar que o valor médio x̄ se torna mais próximo do valor real ou verdadeiro quanto maior for o
número de medidas (n).
Incertezas em Instrumentos de Medidas
Essas incertezas são relacionada a limitação de leitura dos equipamentos, denominadas também como
incertezas de calibração. No geral, quando compramos certo equipamento, o fabricante informa esse valor
de incerteza em manuais. Com a falta dessa informação é sempre importante considerar que:
A incerteza de calibração de qualquer instrumento métrico pode ser estimada admitindo a
menor divisão ou menor leitura do mesmo dividido por 2, ou seja:
σc ∼=
L
2
(6.7)
onde σc é a incerteza padrão de calibração e L é a menor leitura ou divisão do equipamento.
IMPORTANTE: Para a incerteza de qualquer outro equipamento onde obtemos a leitura
direta, como é o caso de cronômetros ou balanças, usa-se o próprio limite de calibração para
estimar esse valor.
Média dos desvios (δ̄):
É o tipo de incerteza aleatória muito usual em f́ısica experimental, sendo usado para até 5 medidas
experimentais. A média dos desvios pode ser definida como:
δ̄ =
n∑
i=1
|xi − x̄|
n
(6.8)
Desvio ou incerteza padrão populacional (σp) e amostral (σa)
O desvio padrão é forma de obtenção de incertezas aleatórias mais precisa que outras formas de obtenção
de incertezas (média dos desvios - δ̄). No entanto, é mais adequado usar esses desvios para mais de 5 medidas
experimentais.
A variância amostral, por sua vez, é definida como sendo:
Introdução a teoria de erros 32
s2 =
n∑
i=1
(yi − ȳ)2
n− 1
(6.9)
onde o desvio padrão amostral é:
σa =
√
s2 =
√√√√√√
n∑
i=1
(yi − ȳ)2
n− 1
(6.10)
A variância populacional é dada pela equação 6.11:
σ2 =
n∑
i=1
(yi − ȳ)2
n
(6.11)
onde yi é o valor medido, ȳ é o valor médio e n é o número de dados experimentais. Defini-se desvio padrão
populacional como:
σp =
√
σ2 =
√√√√√√
n∑
i=1
(yi − ȳ)2
n
(6.12)
A diferença no uso do desvio padrão populacional (σp) e amostral (σa) está na quantidade de amostras
ou medidas de uma determinada grandeza f́ısica. Quanto maior for o numero de medidas, a utilização de
σp é mais adequada. Vamos limitar o uso de σp em mais de 90 medidas idênticas.
Desvio médio Total (δ) e Desvio padrão total (σ)
O desvio médio total (δ) de sua medida pode ser estimada como sendo a soma da incerteza aleatória e
da incerteza sistemática, que no nosso caso será considerada a incerteza padrão de calibração. Assim:
δ ∼= δ̄ + σc (6.13)
Esse desvio é definido como a raiz quadrada da soma do desvio aleatório (nesse caso o desvio padrão σp
ou σa) ao quadrado e a incerteza de calibração (σc) ao quadrado, ou seja:
σ =
√
σ2p + σ
2
c (6.14)
para o desvio padrão populacional e,
σ =
√
σ2a + σ
2
c (6.15)
para o desvio padrão amostral.
Esse desvio total é diferente do desvio total calculado anteriormente com a média dos desvios, sendo
também mais preciso.
Propagação de erros e desvio padrão.
A propagação de erros deve ser considerada com cuidado. Para o desvio médio (δ) de uma função
w(p1,p2...pn) a formula geral é:
δx =
n∑
i=1
(
∂w
∂pi
)
δi (6.16)
Quando tratamos do desvio padrão devemos considerar a seguinte situação relação:
δx =
n∑
i=1
(
∂w
∂pi
)2
σ2 (6.17)
Introdução a teoria de erros 33
Linearização de curvas.
A linearização de curvas nos resulta na obtenção dos coeficientes linear e angular que são associados
a grandezas f́ısicas importantes. Vamos relembrar como fazer linearização de dados experimentais. Para
facilitar essa análise, vamos considerar alguns pontos relevantes quando já possúımos o gráfico de nosso
dados experimentais:
1. Se os dados experimentais obedecerem a uma teoria espećıfica, ou seja, se estivermos estudando a
posição de queda de um corpo, por exemplo, sabemos que esse corpo abandonado deve obedecer a
uma função horária que depende do quadrado do tempo. Nesse caso, nossos dados experimentais não
vão obedecer a uma reta, e sim a uma parábola. Dessa forma, devemos fazer a linearização dos dados
experimentais.
2. Caso não conheçamos a teoria envolvida, devemos observar o gráfico dos dados experimentais, e se não
obedecer a uma reta, devemos tentar encontrar a melhor forma de ajuste. Lembre-se que esse trabalho
pode ser dif́ıcil se não soubermos trabalhar com funções. Vale lembrar que um gráfico é uma dispersão
de pontos e a tendência desse pontos que nos conduz a um resultado linear ou não-linear. Como
exemplo, se um gráfico apresentar pontos dispersos obedecendo a um crescimento linear, classificamos
esses dados como uma reta.
3. A quantidade de pontos experimentais é um fato importante para verificarmos qual é a tendência e a
melhor curva de ajuste. Quanto mais pontos experimentais tiver, melhor será para encontrar qual é
a curva de ajuste. Como exemplo, se nossos dados obedecerem a uma função senoidal e o numero de
pontos for pequeno, talvez nos equivocaremos com relação a tendência dos dados experimentais, no
levando assim a um valor constante ou mesmo a uma reta, o que não seria real para nossa análise.
Com essas informações já podemos entender como linearizar curvas. Para isso existem diferentes formas,
sendo que a mais simples é aplicar aos dados experimentais a tendência dos pontos escolhida para linearizar.
Como exemplo, se nossos dados obedecerem a uma tendência logaŕıtmica (como y = A lnx), para linearizar
devemos aplicar ao x logaŕıtmico neperiano, e assim graficar y em função de lnx. Se nosso dados obedecerem
a uma função exponencial (como y = A10x), devemos graficar y em função de 10x. Dessa forma estamos
linearizando nossos dados experimentais.
Método dos Mı́nimos Quadrados (MMQ)
O método dos mı́nimos quadrados (MMQ) é uma ferramenta útil para o ajuste de curvas em f́ısica
experimental. Trata-se de encontrar coeficientes de ajuste de uma curva tais que soma dos quadrados dos
desvios seja mı́nima, ou seja, encontrar o melhor ajuste de pontos experimentais onde as distâncias entre a
curva planejada e os pontos experimentais seja a menor posśıvel. Em nosso caso nossa curva experimental
será uma reta, assim por meio desse método podemos obter os coeficientes angular e linear. Vamos entender
a importância desse método e como usá-lo em ajustes lineares.
Dedução do método.
Vamos considerar quatro pontos experimentais (x1,y1), (x2,y2),(x3,y3) e (x4,y4) com incertezas somente
em y dadas pelas barras de erro apresentadas na figura 1.1. Se o melhor ajuste para esses pontos é uma
reta f(x), a distância (desvio - d) entre os pontos experimentais e a reta em módulo é dada pelas equações
abaixo para cada ponto.
d1 = |f(x1)− y1|
d2 = |f(x2)− y2|
d3 = |f(x3)− y3|
d4 = |f(x4)− y4|
Definido f(xi) = b+ axi, obtemos os seguintes conjunto de equações:
Introdução a teoria de erros 34
Figura 6.2: Pontos experimentais e ajuste f(x).
d1 = |b+ ax1 − y1|
d2 = |b+ ax2 − y2|
d3 = |b+ ax3 − y3|
d4 = |b+ ax4 − y4|
A soma (S) dos desvio ao quadrado também é dada abaixo. Utilizamos esse valor ao quadrado pois
queremos sim somar os desvios para que esse valor seja mı́nimo, condição que dá o nome ao Método dos
Mı́nimos Quadrados. Além disso, o módulo deixa de fazer sentido quando tratamos de números ao quadrado,
e assim nossa soma será sempre positiva. Dessa forma S será:
S(a, b) =
4∑
i=1
d2i =
4∑
i−1
(nb+ axi − yi)2
Onde n é o numero total de pontos. Assim como n = 4 podemos generalizar o somatório n pontos, cujo o
resultado é dado:
S(a, b) =
n∑
i=1
(nb+ axi − yi)2
Usando do calculo diferencial, sabe-se que para a função S(a,b) ser mı́nima, devemos derivar essa ex-
pressão em relação ao coeficientes a e b e igualá-las a zero. As derivadas de S(a,b) são:
dS(a, b)
da
=
n∑
i=1
2(nb+ axi − yi)(xi) =
n∑
i=1
2(xib+ ax
2
i − yixi) (6.18)
dS(a, b)
db
=
n∑
i=1
2(nb+ axi − yi)(n) =
n∑
i=1
2n(nb+ ax2i − yixi) (6.19)
Observa-se que na equação 1.1 o n é descartado pois o somatório desse termos seria:
n∑
i=1
bxi = b
n∑
i=1
xi =
bx1 + bx2 + bx3 + ...bxn, onde o b será multiplicado a xi n vezes e somado. Igualando as duas equações a
zero, obtemos:
dS(a, b)
da
=
n∑
i=1
(xib+ ax
2
i − yixi) = 0 ⇒ a
n∑
i=1
x2i + b
n∑
i=1
xi =
n∑
i=1
yixi (6.20)
dS(a, b)
db
=
n∑
i=1
2n(nb+ ax2i − yi) = 0 ⇒ a
n∑
i=1
xi + nb =
n∑
i=1
yi (6.21)
Introdução a teoria de erros 35
Como os valores
n∑
i=1
xi,
n∑
i=1
yi,
n∑
i=1
x2i e
n∑
i=1
yixi são obtidos dos dados experimentais e são números conhe-
cidos que podemos substituir por χ, ω, δ e ε, respectivamente, pode-se obter o seguinte sistema de equações
com incógnitas a e b:
aδ + bχ = ε (6.22)
aχ+ nb = ω (6.23)
Resolvendo esse sistema. obtemos as seguintes soluções:
a =
nε− ωχ
nδ − χ2
(6.24)
b =
ωδ − εχ
nδ − χ2
(6.25)
Em termos de somatórios essas equações seriam:
a =
n
n∑
i=1
yixi −
n∑
i=1
yi
n∑
i=1
xi
n
n∑
i=1
x2i −
(
n∑
i=1
xi
)2 (6.26)
b =
n∑
i=1
yi
n∑
i=1
x2i −
n∑
i=1
yixi
n∑
i=1
xi
n
n∑
i=1
x2i −
(
n∑
i=1
xi
)2 (6.27)
Incertezas em y.
Vamos considerar para essa parte que temos total certeza dos valores de x, e somente temos incertezas
em y, como observado na figura 1.1. Por definição o desvio padrão desses valores pode ser escrito como:
σ2y =
n∑
i=1
(f(xi)− yi)2
n
(6.28)
Sabendo quer f(xi) = axi + b, obtemos:
σy =
√√√√ n∑
i=1
(axi + b− yi)2
n
(6.29)
No entanto, vamos adotar:
σy =
√√√√ n∑
i=1
(axi + b− yi)2
n− 2
(6.30)
A adoção de n-2 ao invés de n tem suas considerações:
1. Para n muito grande, a diferença de n e n-2 é muito pouco relevante;
2. Para apenas 2 pontos, a incerteza torna-se igual a zero quando dividimos por n, o que não é razoável
já que temos incertezas associadas as medidas. Quando dividimos por n-2 a incerteza torna-se 0/0,
que é uma indeterminação, mais adequado para esse caso. Isso significa que dois pontos em um
gráfico experimental não são adequados para o traçado de uma reta (apesar de ser uma condição para
existência dela)
Dessa forma, é mais razoável adotar n-2 ao invés de n. Agora podemos estimar as incertezas nos
coeficientes a e b.
Introdução a teoria de erros 36
Incertezas em a e b.
Para obter as incertezas em “a” e “b”, usamos as seguintes expressões:
σa = σy
√√√√√ n
n
n∑
i=1
x2i −
(
n∑
i=1
xi
)2 (6.31)
σb = σy
√√√√√
∑
x2
n
n∑
i=1
x2i −
(
n∑
i=1
xi
)2 (6.32)
onde o valor de σy foi deduzido anteriormente. Como vamos somente aplicar e usar esses resultados, fica
como exerćıcio ao leitor a dedução dessa expressões.
Coeficiente de determinação (r2) e correlação (r).
Esses coeficientes são importantes ferramentas para sabermos se nosso ajuste linear é adequando ou não.
O coeficiente de determinação (r2) indica o quanto a reta de regressão está adequada ao ajuste da reta
e o coeficiente de correlação (r) deve ser usado como uma medida de quão correlacionados são os valores
experimentais com o ajuste escolhido. Se os dados experimentais forem muito dispersos ou se a curva de
ajuste não for adequadas ao dados experimentais, esse valor será próximo de 0. Quanto mais próximo o
valor de r2 e r for de 1, melhor será o ajuste e a correlação dos dados experimentais. Para obter r usamos a
seguinte expressão:
r =
n∑
i=1
xiyi −
n∑
i=1
xi
n∑
i=1
yi
n√√√√√
 n∑
i=1
x2i −
n∑
i=1
(xi)2
n
 n∑
i=1
y2i −
n∑
i=1
(yi)2
n

(6.33)
O coeficiente de determinação (r2) é obtido elevando ao quadrado o valor de r.
Exemplo:
Vamos considerar um móvel em movimento uniforme cujo é apresentado tabela 6.2 a posição em função
do tempo (sendo o tempo nossa variável independente). Vamos considerar que temos muita certeza nos
valores de tempo, ou seja, que essa medida não presenta incerteza significativa. Vamos obter os valores dos
coeficientes angular, linear, de correlação e determinação e as incertezas nos valores dos coeficientes angular
e linear.
Os resultados das somas dessa tabela podem ser substitúıdos nas equações 6.26 e 6.27 e obter a = 9,86
cm/s e b = 21,13 cm e a equação da reta é y = 9, 86x + 21, 12. Os desvios ou incertezas são calculados
obtendo σy usando a equação 6.30 e posteriormente pelas expressões 6.31 e 6.32. Para esses resultados foram
obtidos: σy = 1, 2660, σa = 0, 20 cm/s e σb = 0, 96 cm. Assim: a = (9,86 ± 0,20) cm/s e b = (21,13 ± 0,96)
cm. O coeficiente de correlação é obtido pela equação 6.33 e o valor foi de r = 0, 99939 e o quadrado desse
valor foi r2 = 0, 99879, que é o coeficiente de determinação. Com esses resultados notamos que esses dados
são bem correlacionados, sendo o ajuste adequado para os pontos.
Introdução a teoria de erros 37
Tabela 6.2: Tabela com dados para cálculo de coeficientes por meio do método de mı́nimos quadrados.
medida tempo-x (10−2 s) Posição-y (cm) σy x
2 x.y
1 0,0000 20,0 0,1 0,0000 0,00
2 1,7307 40,0 0,1 2,9952 69,23
3 3,9937 60,0 0,1 15,9494 239,62
4 5,9812 80,0 0,1 35,7744 478,49
5 8,0040 100,0 0,1 64,0640 800,40∑
19,7095 300,0 - 118,7830 1587,74
Introdução a teoria de erros 38
Resumo:
Simbolo Fórmula Equação
Valor Médio x̄ ou < x > x̄ =< x >=
n∑
i=1
xi
n
6.6
Desvio Médio (Usado em até
5 medidas)
δ δ̄ =
n∑
i=1
|xi − x̄|
n 6.8
Desvio Padrão amostral
(usado de 5 a 90 medidas)
σa σa =
√
s2 =
√√√√√ n∑
i=1
(yi − ȳ)2
n−1 6.10
Desvio Padrão populacional
(usado para mais de 90 medi-
das)
σp σp =
√
σ2 =
√√√√√ n∑
i=1
(yi − ȳ)2
n 6.12
Coeficiente Angular a a =
n
n∑
i=1
yixi−
n∑
i=1
yi
n∑
i=1
xi
n
n∑
i=1
x2i−
(
n∑
i=1
xi
)2 6.26
Coeficiente Linear b b =
n∑
i=1
yi
n∑
i=1
x2i−
n∑
i=1
yixi
n∑
i=1
xi
n
n∑
i=1
x2i−
(
n∑
i=1
xi
)2 6.27
Incerteza em y σy σy =
√
n∑
i=1
(axi+b−yi)2
n−2 6.30
Incerteza no Coeficiente An-
gular
σa σa = σy
√
n
n
n∑
i=1
x2i−
(
n∑
i=1
xi
)2 6.31
Incerteza no Coeficiente Li-
near
σb σb = σy
√ ∑
x2
n
n∑
i=1
x2i−
(
n∑
i=1
xi
)2 6.32
Coeficiente de Correlação r r =
n∑
i=1
xiyi−
n∑
i=1
xi
n∑
i=1
yi
n√√√√√√
 n∑
i=1
x2i−
n∑
i=1
(xi)
2
n

 n∑
i=1
y2i −
n∑
i=1
(yi)
2
n

6.33
O coeficiente de determinação (r2) deve ser obtido com o quadrado de r.
Referências Bibliográficas
1. VUOLO, J. H. Fundamentos da Teoria de Erros. Segunda Edição. São Paulo: Edgard Blücher Ltda, 1996.
2. TAYLOR, J.R. Introdução à análise de erros. O estudo de incertezas em mediçõesf́ısicas. Segunda edição.
Porto Alegre: Editora Bookman, 2012.
3. SANTORO, A.; MAHON, J.R.; OLIVEIRA, J.U.C.L.; MUNDIM FILHO, L.M.; OGURI,V.; SILVA, W.L.P.
Estimativa e Erros em Experimentos de F́ısica. Terceira edição. Rio de Janeiro: EdUERJ, 2013.
UMA BREVE INTRODUÇÃO AO SCIDAVIS
O nome SciDAVis vem do inglês Scientific Data Analysis and Visualization (Visualização e Análise de
Dados Cient́ıficos). É um software livre, que pode ser utilizado em várias plataformas (Linux, Mac OS / X,
Windows), para analisar dados e fazer gráficos em duas e três dimensões. Este projeto iniciou-se como um
fork do QtiPlot. Mais informações (em inglês) podem ser obtidas na página do projeto (site do Scidavis).
De um modo geral, este tutorial utiliza como referência a versão 0.2.3 deste software, mas a maioria
dos itens abordados deverão funcionar perfeitamente em versões anteriores, especialmente na série 0.2, e
posteriores.
Para que o SciDAVis possa ser utilizado em seu computador alguns programas devem estar previamente
instalados nele. Se você usa o Windows deverá instalar primeiramente o Python1 2.6 (normalmente, durante
a instalação é perguntado se você deseja instalar esta dependência). Se você usa Linux ou Mac, consulte a
página do projeto para saber exatamente quais são as dependências de software. A partir deste momento,
tudo o que for dito funcionará de forma igual em qualquer que seja o sistema operacional utilizado.
Começando a usar o SciDAVIs
Depois de conclúıda a instalação, inicie o programa. Uma tela como a mostrada na Figura 6.3 será
aberta (não necessariamente igual). Nesta figura podemos identificar uma tabela e os diversos controles do
programa (menus e botões de funções). O uso do SciDAVis é simples e, em geral, intuitivo. A maior parte
de suas funcionalidades podem ser conhecidas simplesmente navegando pelos menus e/ou clicando com o
botão direito do mouse em algumas áreas, por isso, vamos nos concentrar em coisas mais objetivas e que
servirão como base.
Alterando o idioma
O idioma padrão do SciDAVis é o Inglês, por isso será necessário alterá-lo, caso queira utilizar a interface
em Português. Para isto, acesse o menu Edit −→Preferences....
A seção General-Geral(Figura 6.4) mostrará a aba Application-Aplicação, onde se pode ver a opção
Language, que deve ser alterada de English para o idioma desejado. Feito isto, clique em Apply-Aplicar
para que as mudanças no idioma entrem em vigor imediatamente. Algumas versões mais atuais trazem o
idioma “português brasileiro”.
Se desejar, aproveite que está no editor de preferências e acesse a aba Formato numérico para trocar o
separador decimal e usar v́ırgula, ao invés de ponto (particularmente, neste ponto eu costumo não selecionar
o checkbox “Usar separador de grupos”).
Construindo um gráfico
Como exemplo, considere um conjunto de dados como o da Tabela 6.3, que consiste de três colunas de
valores: X, Y e σY .
1Na verdade, o Python só é realmente necessário se você preferir utilizá-lo como linguagem de scripting ao invés da linguagem
padrão, que é o muParser.
Uma breve introdução ao SciDAVIs 40
Figura 6.3: Tela Inicial do programa
Figura 6.4: Janela de controle de preferências
Uma breve introdução ao SciDAVIs 41
Tabela 6.3: Valores para teste.
X Y σY
1,0 00,33 0,02
1,9 03,19 0,10
2,8 07,20 0,50
3,8 14,80 0,90
4,9 21,10 1,30
Figura 6.5: Alterando o tipo de dado da coluna.
As novas tabelas criadas pelo SciDAVis tem, por padrão, apenas duas colunas. Então a primeira coisa
que devemos fazer é alterar o número de colunas da tabela. Para isto, acesse o menu Tabela, e poderá
simplesmente adicionar uma nova coluna (Adicionar coluna) ou então alterar suas dimensões (Dimensões)
para definir uma tabela com quantas linhas e colunas desejar.
Agora entre com os valores na tabela. As novas colunas adicionadas são, por padrão, definidas como
sendo de valores em Y. Para mudar isto, clique com o botão direito no cabeçalho da coluna desejada e, no
menu que surgirá (Figura 6.5), acesse a opção Definir coluna(s) como. No nosso exemplo, vamos escolher
a opção Erro em Y (desvio padrão em Y) para a coluna 3. Com isto, teremos nossa tabela com a seguinte
configuração: coluna 1⇒ X, coluna 2 ⇒ Y e coluna 3 ⇒ yEr.
Um ponto importante a ser citado aqui é a maneira como se faz a seleção de colunas no SciDAVis (a
partir da versão 0.2.0). Se você tentar selecionar mais de uma coluna clicando no cabeçalho da primeira e
arrastando o mouse, notará que a primeira coluna selecionada se move, ou seja, a coluna 2 troca de lugar
com a coluna 3, por exemplo2. Deste modo, para selecionar duas colunas, pressione a tecla Ctlr e clique
nas colunas que deseja selecionar. Se precisar selecionar várias colunas, clique na primeira, segure a tecla
Shift e depois clique na última coluna a ser selecionada.
2Esta é uma caracteŕıstica do programa que tem como intenção futura implementação da funcionalidade de apenas arrastar
uma coluna para um gráfico para adicionar uma nova curva, dentre outras coisas.
Uma breve introdução ao SciDAVIs 42
Figura 6.6: Gráfico dos dados a tabela 6.3.
Tudo preparado. Agora vamos plotar um gráfico. Estamos querendo plotar uma curva que tem barras
de erro em Y. A maneira mais fácil de fazer isto é: selecione, pelo menos, as colunas 2 e 3 (Y e yEr), acesse
o menu Gráfico e escolha uma das opções que aparecem (linha, dispersão, linha+śımbolo, etc.). Escolhendo,
por exemplo, Dispersão obtemos um gráfico como o apresentado na figura 6.6.
Os campos T́ıtulo, T́ıtulo do eixo X e T́ıtulo do eixo Y podem ser editados simplesmente dando
um duplo clique sobre os nomes, assim como qualquer outro texto que esteja sendo mostrado no gráfico.
Se desejar alterar outras opções do gráfico (ampliar/reduzir a escala de um eixo ou colocar grades, por
exemplo), dê um duplo clique sobre os números de um dos eixos e um diálogo com as opções dispońıveis
será aberto.
Análise dos dados
Estat́ısticas em linhas e colunas: Para obter informações de colunas como: média dos valores, desvio
padrão, variância, soma e etc., simplesmente selecione a(s) coluna(s) desejada(s) e acesse o menu Análise
→ Estat́ısticas em coluna. Com isto, será gerada uma nova tabela com várias informações sobre a(s)
coluna(s) selecionada(s). O procedimento para obter dados estat́ısticos das linhas é semelhante, bastando
selecionar as desejadas e acessar o menu Análise → Estat́ısticas em linhas.
Ajustes utilizando fórmulas incorporadas: Como em outros programas de análise de dados, o menu
Análise apresenta algumas opções diferentes para tabelas e gráficos, dependendo da janela que esteja em
foco. Por isso, para que as opções de ajuste de curvas possam ser usadas, deixe a janela com o gráfico “por
cima” da tabela.
Acessando o menu Análise → Ajuste rápido são mostradas as principais curvas de ajuste incorporadas
ao SciDAVis. Outras curvas podem ser definidas no Assistente de ajuste, que discutiremos adiante.
Como exemplo, ainda para o gráfico da figura 6.6, vamos tentar dois ajustes: uma regressão linear e
uma regressão polinomial de ordem 2. No menu Análise → Ajuste rápido, escolha Regressão linear.
Imediatamente será efetuado o ajuste da curva do gráfico, tratando-a como se fosse uma reta, ou seja, com
se obedecesse à equação y = ax+ b. O resultado é mostrado na figura 6.7 (esquerda). Nesta mesma figura,
podemos ver que o Registro de resultados foi alterado: agora ele contém informações referentes aos
Uma breve introdução ao SciDAVIs 43
Figura 6.7: Exemplos de curvas de ajustes.
coeficientes obtidos (valores e respectivos erros) e à qualidade do ajuste (Chi-quadrado (χ2) e coeficiente de
determinação (r2, onde no programa aparece como R maiúsculo). Já na figura 6.7 (direita), podemos ver a
curva de ajuste obtida ao ser usada uma regressão polinomial de ordem 2, ao invés da linear. Neste caso,