Exercícios Teóricos sobre Engrenagens

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA 
 
Cinemática dos Mecânismos – Exercícios Teóricos sobre Engrenagens 
NOME: Bruno Garlet Alberti 
MATRÍCULA: 201820631 
 
CAPÍTULO 1 (Questões 1 – 3 – 21 – 22 – 23) 
 
1 Apresente uma definição de engrenagem. 
Engrenagem é um dispositivo mecânico composto de rodas dentadas que 
são ligadas a eixos e geram rotação e torque transmitindo potência. O Trabalho 
ocorre quando os dentes da roda dentada motora rolam sem escorregar sobre 
os dentes da roda dentada movida. Sua principal função é transmitir movimento 
com uma relação constante e elevada resistência a sobrecargas. São 
mecanismos muito utilizados em diversas máquinas e equipamentos industriais. 
 
3 Liste cinco exemplos de aplicações das engrenagens. 
As aplicações de engrenagens são inúmeras, como por exemplo: na caixa 
de transmissão de automóveis, relógios mecânicos, pinhão-cremalheira, 
diferenciais de veículos, como também em direções automotivas entre várias 
outras aplicações. 
 
21 Descreva o princípio fundamental do engrenamento. 
O princípio fundamental do engrenamento se refere ao fato em que o 
ponto primitivo deve ser fixo ao ponto de se haver constância na relação de 
velocidades angulares das rodas de engrenagens. Para isso, a normal comum 
às superfícies dos dentes no ponto de contato tem que intersectar a linha de 
centros sempre no ponto primitivo. Logo, duas quaisquer curvas podem ser 
consideradas para os flancos dos dentes, desde que, em cada instante, a normal 
comum às superfícies dos dentes passe continuamente no ponto primitivo, o qual 
divide o entre-eixo na relação inversa das velocidades angulares das rodas. 
Portanto, a relação de velocidades angulares das rodas motoras e movidas em 
cada instante é constante, levando em consideração o fato de que não possui 
escorregamento. 
 
22 Defina relação de transmissão de uma engrenagem. 
A relação de transmissão entre engrenagens é dada pelo quociente entre 
as velocidades de rotação de dois corpos, que transmitem movimento de um 
para o outro. Representada pela razão entre os raios primitivos das engrenagens 
motora e movida. 
 
23 Explique o conceito de ângulo de pressão. 
O ângulo de pressão define a direção da força que a engrenagem motora 
exerce sobre a engrenagem movida. É formado pela direção radial da 
engrenagem e a tangente ao perfil do dente onde passa a circunferência 
primitiva, ponto onde atua a força normal comum aos dois perfis. Normalmente 
as engrenagens são fabricadas com ângulos de pressão padronizados para 
diminuir o custo no processo de fabricação. São normalizados sendo os mais 
utilizados 20° e 25°. 
 
Capítulo 2 (Questões 15 – 25) 
 
15 Explique o conceito de interferências de funcionamento. 
A interferência de funcionamento acontece quando os perfis dos dentes 
entre as engrenagens em contato não são tangentes, ou seja, os flancos dos 
dentes em contato acabam por ter uma tendência a se interpenetrarem, o que 
causa uma certa interferência no funcionamento do sistema. 
 
25 Verifique se há interferências de funcionamento na engrenagem 
descrita no exercício 22. Comente o resultado obtido. 
O cálculo para descobrimos se há interferência de funcionamento é 
calculado pela expressão abaixo, considerando Z2=60 e 𝛼 = 20º: 
𝑍1 ≥ −𝑍2 + √𝑍2
2 +
4(𝑍2 + 1)
𝑠𝑒𝑛²𝛼
 
 
𝑍1 ≥ −60 + √60² +
4(60 + 1)
𝑠𝑒𝑛220º
 
 
𝑍1 ≥ 15,405 
 
 
Logo, sabemos que para o sistema não possuir interferência o número de 
dentes do pinhão deve ser maior ou igual a Z1. Como obtivemos Z1=15,405, 
consideramos 16 dentes. Conhecemos que o pinhão em questão possui 12 
dentes, fazendo a devida comparação. Verificamos que o sistema possui 
interferência de funcionamento. 
 
CAPÍTULO 3 (Questões 3 – 12 – 13) 
 
3 Distinga roda dentada de hélice direita de roda de hélice esquerda. 
As rodas dentadas helicoidais podem ser direitas ou esquerdas, de acordo 
com a inclinação dos dentes da engrenagem. A direção das hélices das rodas é 
definida pela regra da mão direita. Em uma engrenagem cilíndrica de dentes 
inclinados, o ângulo de inclinação dos dentes das duas rodas tem de ser o 
mesmo, porém, uma roda apresenta hélice direita e a outra hélice esquerda. 
A imagem abaixo ajuda na compressão do conteúdo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 - (a) Roda cilíndrica exterior de dentes retos; (b) Roda 
cilíndrica exterior helicoidal com hélice esquerda; (c) Roda 
cilíndrica exterior helicoidal com hélice direita 
 
 
Fonte 1 - Cinemática e Dinâmica de engrenagens, Universidade do 
Minho Escola de Engenharia 
12 Apresente e compare as expressões para os diâmetros de coroa e de 
raiz para engrenagens de dentado reto e de dentado inclinado. 
A expressão abaixo refere-se ao diâmetro da coroa e da raiz da 
engrenagem dentado reto e dentado inclinado. 
𝑑𝑎 = 𝑑 + 2ℎ𝑎 
𝑑𝑓 = 𝑑 + 2ℎ𝑓 
Reto 
𝑑𝑎 = 𝑚𝑡(𝑧 + 2𝑐𝑜𝑠𝛽) 
 
𝑑𝑓 = 𝑚𝑡(𝑧 − 2,5𝑐𝑜𝑠𝛽) 
Inclinado 
As funções acabam por ser equivalentes, de modo que para as 
engrenagens de dentes inclinados são feitas algumas substituições relevantes. 
𝑑 = 𝑚𝑡𝑧 
ℎ = 𝑚𝑛 
𝑚𝑛 = 𝑚𝑡𝑐𝑜𝑠𝛽 
ℎ𝑓 = 1,25𝑚𝑛 
13 Diga como se pode calcular a distância entre eixos numa 
engrenagem cilíndrica de dentes helicoidais. 
É possível se calcular a distância entre eixos através da equação abaixo: 
𝑎 =
𝑚𝑛(𝑍1 + 𝑍2)
2𝑐𝑜𝑠𝛽
 
Considerando mn o módulo real, Z1 e Z2 o número de dentes das 
engrenagens e 𝛽 o ângulo de hélice. 
Podemos ver que para o caso de engrenagens cilíndricas de dentes retos 
a distância entre os eixos resultante é normalizada, já para o caso de 
engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais não acontece da mesma forma. O 
ângulo de hélice primitiva pode ser ajustado de modo a permitir uma vasta gama 
de valores para a distância entre eixos. 
 
CAPÍTULO 4 (Questões 2 – 3) 
 
2 Discuta as principais caraterísticas das engrenagens cónicas. 
As engrenagens cónicas são utilizadas em situações em que os eixos das 
rodas motora e movida são concorrentes podendo possuir dentes retos, 
helicoidais e espirais ou curvos, além de haver a possibilidade de apresentar 
eixos descentrados. Nas engrenagens cónicas as relações de transmissão são, 
em geral, mais baixas do que nas engrenagens cilíndricas, podendo atingir, no 
máximo valores da ordem de 6:1. Na maioria dos casos, as engrenagens cónicas 
funcionam em transmissões cujos eixos de rotação fazem entre si um ângulo de 
90º. 
As engrenagens cônicas podem apresentar dentado reto, que são mais 
simples e mais frequentemente utilizados de entre os diversos tipos de dentes, 
porém mais ruidosa. Também podem ser de dentes helicoidais que são utilizadas 
principalmente para transmissão de movimento entre eixos que fazem entre si 
um ângulo de 90º. E também de dente espiral que são mais suaves, menos 
ruidosas e apresentam maior capacidade de carga em virtude da maior área de 
contato que proporcionam. 
A imagem abaixo representa exemplos de engrenagens cônicas: 
 
3 Descreva as principais aplicações das engrenagens cónicas. 
O diferencial dos automóveis é o exemplo mais apropriado e conhecido 
como fonte de aplicação de engrenagens cónicas. O diferencial é uma 
associação de rodas dentadas que possibilita que as rodas motoras dos 
automóveis rodem com velocidades angulares distintas, independentemente da 
direção do movimento do automóvel. Outras aplicações também são em plantas 
geradoras de energia, aeronaves e espaçonaves e caixas de câmbio. 
 
Figura 2 - Engrenagem cônica de dentes retos; (b) Engrenagem Cônica de dentes helicoidais; (c) Engrenagem cônica 
de dentes espirais; (d) Hipoide 
Fonte 2 - Cinemática e Dinâmica de engrenagens, Universidade do Minho Escola de Engenharia 
 
CAPÍTULO 5 (Questões 3 – 18 – 25) 
 
3 Numa engrenagem de parafuso sem-fim rodahelicoidal de entrada 
quadrupla. O parafuso sem-fim roda a 200 rpm e a roda tem 80 dentes. 
Assim, determine a velocidade de rotação da roda helicoidal. 
Para este caso em específico, para cada volta do parafuso sem fim, ele 
irá mover 4 dentes da roda helicoidal, sendo assim, o parafuso sem fim precisa 
rotacionar 20 vezes para que a roda helicoidal rotacione uma única vez. Portanto, 
como a velocidade de rotação do parafuso sem-fim é 200 rpm, a velocidade de 
rotação da roda helicoidal acaba por ser 20 vezes menor, ou seja, 10 rpm. 
 
18 Uma engrenagem de parafuso sem-fim roda helicoidal redutora é 
acionada por um motor de 1,5 kW a 720 rpm. A velocidade de saída é de 40 
rpm. O parafuso sem-fim tem uma única entrada e um ângulo de inclinação 
primitiva igual a 75º. O módulo real da engrenagem é igual a 4 mm. Assim, 
determine o número de dentes da roda e o diâmetro primitivo do parafuso 
sem-fim. 
Como o parafuso sem fim tem entrada única e a relação de transmissão é 
18, o número de dentes da roda é 18. Logo para definirmos o diâmetro primitivo 
do parafuso sem fim utiliza-se a seguinte função: 
𝑖 =
𝑤1
𝑤2
=
𝑑2
𝑑1
𝑡𝑔𝛽1 
Considerando 𝑖 = 18, 𝑑2 = 𝑚 ∗ 𝑧 = 72 𝑚𝑚, 𝛽1 = 75º 
Logo, obtemos 𝑑1 = 14,928 
 
25 Comente sobre reversibilidade da engrenagem descrita no exercício 
22. 
Para definirmos a reversibilidade, devemos utilizar as seguintes condições 
abaixo: 
0 ≤ 𝛽1 ≤ ∅ (Engrenagens irreversíveis) 
∅ < 𝛽1 <
𝜋
2
− ∅ (Engrenagens reversíveis) 
𝜋
2
− ∅ ≤ 𝛽1 <
𝜋
2
 (Engrenagens irreversíveis) 
Lembrando que 𝛽1 pode ser obtido através da função abaixo: 
𝑖 =
𝑤1
𝑤2
=
𝑑2
𝑑1
𝑡𝑔𝛽1 
Considerando 𝑖 = 16, 𝑑1 = 50, 𝑑2 = 128. 
Obtivemos 𝛽1 = 80,91º. Porém, para que seja reversível, ∅ deve ser menor 
que 9,09º. 
Portanto, é importante definir o coeficiente de atrito de ∅ utilizando a 
seguinte tabela apresentada na imagem abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Utilizamos também a função abaixo para determinarmos a velocidade de 
deslizamento: 
𝑣𝑠 = 
𝜋𝑑1𝑛1
60 𝑠𝑒𝑛𝛽1
 
Contudo, sabemos que 𝜇 = 𝑡𝑔∅, logo 𝜇 = 0,16. Ao analisarmos o gráfico, 
a curva passa quando a velocidade de deslizamento 𝑣𝑠 está em torno de 0,5 m/s. 
Como o valor de 𝜇 deve ser maior que 0,02, então o ângulo ∅ é menor que 9,09º. 
Por fim, a engrenagem então é reversível. 
Figura 3 - Variação do coeficeinte de atrito para engrenagens de 
parafuso sem-fim roda helicoidal lubrificadas e para diferentes 
materiais 
Fonte 3 - Cinemática e Dinâmica de engrenagens, Universidade do 
Minho Escola de Engenharia