calculo 2 a toscano apostila

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Cálculo II-A 
 
Cálculo Integral e Introdução às Equações Diferenciais 
 
 
Roberto Toscano Couto 
rtoscano@id.uff.br 
https://rtoscanocouto.wixsite.com/aula 
Departamento de Matemática Aplicada 
Universidade Federal Fluminense 
Niterói, RJ 
 
12 de julho de 2020 
 
 
 
 Este texto contém exatamente o que se apresenta nas aulas, evitando que o 
aluno as copie, assim se obtendo mais a sua atenção e economizando tempo, bem 
como definindo com clareza o que se deve estudar. Para o seu aprendizado, são 
imprescindíveis as explicações dadas nas aulas, quando, então, se detalham muitas 
das passagens matemáticas. 
 
 
 
 
 
 
 
P A R T E
1. INTE
1.1 Int
1.1.1 D
1.1.2 IN
1.2 Pro
1.3 Teo
1.4 Int
1.4.1 D
1.4.2 R
1.5 Int
1.5.1 A
1.5.2 A
1.5.3 JU
1.5.4 A
1.6 Fór
1.7 Áre
1.7.1 C
1.7.2 Á
1.7.3 O
1.8 Ap
1.8.1 P
2. TÉC
2.1 Int
2.2 Int
2.2.1 O
2.2.2 IN
2.3 Int
2.3.1 IN
2.3.2 IN
2.3.3 IN
2.4 Int
2.4.1 IN
2.4.2 IN
2.4.3 IN
E 1 – C Á L
EGRAÇÃO
egral Defin
DEFINIÇÃO
NTERPRET
opriedades 
orema Fun
egrais Inde
DEFINIÇÃO
REGRAS BÁ
egração po
APLICAÇÃ
A REGRA D
USTIFICAT
A REGRA D
rmula de L
ea de Regiõ
CÁLCULO P
ÁREA ENTR
OPÇÃO DE
êndice .......
ROVA DO
CNICAS DE
egração da
egração Po
O MÉTODO
NTEGRAÇ
egração de
NTEGRAIS
NTEGRAIS
NTEGRAIS
egração po
NTEGRAIS
NTEGRAIS
NTEGRAIS
L C U L O I N
O ...............
nida ...........
O DE RIEM
TAÇÃO GE
da Integra
damental d
efinidas .....
O ................
ÁSICAS DA
or Mudança
O DA REG
DA SUBSTI
TIVA DA R
DA SUBSTI
Leibniz da d
ões Planas .
PELA APL
RE DOIS G
E CÁLCUL
..................
O TEOREMA
E INTEGR
as Funções 
or Partes ..
O .................
ÕES SUCE
e Produtos 
S DA FORM
S DA FORM
S DA FORM
or Substitui
S ENVOLV
S ENVOLV
S ENVOLV
 .N T E G R A L
..................
..................
MANN ........
EOMÉTRIC
al Definida
do Cálculo 
..................
..................
A INTEGR
a de Variáv
GRA DA SU
ITUIÇÃO A
REGRA DA
ITUIÇÃO E
derivada de
..................
LICAÇÃO D
GRÁFICOS
O DA ÁRE
..................
A DO VAL
RAÇÃO .....
Trigonomé
..................
..................
ESSIVAS P
de Funções
MA sen px∫
MA tan px∫
MA sen ax∫
ição Trigon
VENDO 
VENDO 
VENDO 
SUMÁRI
...................
...................
...................
...................
CA ..............
..................
(TFC) .......
...................
...................
RAÇÃO IND
vel Simples
UBSTITUIÇ
APLICADA
A SUBSTIT
EM INTEG
e integral d
...................
DIRETA DE
 ..................
EA POR INT
...................
LOR MÉDIO
...................
étricas e de
...................
...................
OR PARTE
s Trigonom
cosqx x dx ..
secqx x dx O
cosx bx dx ,
nométrica .
2 2a x− , c
2 2x a+ , c
2 2x a− , c
IO 
...................
...................
...................
...................
...................
...................
...................
...................
...................
DEFINIDA
s .................
ÇÃO ...........
A A INTEG
TUIÇÃO .....
GRAIS DA F
definida .....
...................
E INTEGRA
...................
TEGRAÇÕ
...................
O PARA IN
...................
e tann x .....
...................
...................
ES ..............
métricas .....
...................
OU cot px∫
, sen seax∫
...................
om [x a∈ −
om x ∈
om x a≤ −
...................
...................
...................
...................
...................
...................
...................
...................
...................
..................
...................
...................
GRAIS DEF
...................
FORMA f∫
...................
...................
AIS DEFIN
...................
ÕES EM x 
...................
NTEGRAIS
...................
...................
...................
...................
...................
...................
...................
cscq x dx ....
enbx dx E 
...................
, ]a a . .........
. ................
a ou x a≥ 
..................
..................
..................
..................
..................
..................
..................
..................
..................
..................
..................
..................
FINIDAS ...
..................
( )( )f g x k g
..................
..................
NIDAS .......
..................
OU y ........
..................
S .................
..................
..................
..................
..................
..................
..................
..................
..................
 cos coax∫
..................
..................
..................
(i.e., x ≥
2
página
................ 5
................ 6
................ 6
................ 6
................ 7
................ 8
................ 9
.............. 11
.............. 11
.............. 11
.............. 13
.............. 13
.............. 13
.............. 14
( )g x dx′ . 14
.............. 15
.............. 17
.............. 17
.............. 18
.............. 19
.............. 20
.............. 20
.............. 21
.............. 21
.............. 21
.............. 21
.............. 22
.............. 23
.............. 23
.............. 25
osbx dx .. 26
.............. 26
.............. 27
.............. 28
a ) . ....... 30
2 
a 
 
6 
6 
6 
7 
 
9 
 
 
 
 
 
 
4 
4 
 
7 
7 
8 
9 
0 
0 
 
 
 
 
2 
 
 
 
6 
6 
7 
8 
0 
2.5 Int
2.5.1 D
2.5.2 D
2.5.3 D
2.6 Int
2.7 Sub
2.7.1 R
2.7.2 T
3. ALG
INTEG
3.1 Alg
3.1.1 O
3.1.2 V
3.1.3 C
3.2 Ext
3.2.1 IN
3.2.2 IN
3.2.3 C
IMPRÓ
4. PRO
4.1 Enu
4.2 Res
P A R T E
5. CON
6. SOL
6.1 SEP
6.2 HO
6.3 EX
6.4 LIN
6.5 RED
6.6 RED
6.7 RED
6.8 RED
6.8.1 E
6.8.2 E
6.9 EQ
6.10 EQ
egração de
DENOMINA
DENOMINA
DENOMINA
egral de 
(a
bstituições 
RAÍZES N-É
TANGENTE
GUMAS AP
GRAL .........
gumas Apli
O RACIOCÍ
VOLUME D
COMPRIME
tensões do 
NTEGRAIS
NTEGRAIS
CRITÉRIOS
ÓPRIAS ......
OBLEMAS
unciados ...
spostas ......
E 2 – E Q U
NCEITOS F
LUÇÃO DE
PARÁVEL
OMOGÊNEA
XATA .........
NEAR ........
DUTÍVEL 
DUTÍVEL 
DUTÍVEL 
DUTÍVEL 
Equação de B
Equação de R
UAÇÃO D
QUAÇÃO D
e Funções R
ADOR COM
ADOR COM
ADOR COM
2
Ax + B
ax + bx + c
Diversas ...
ÉSIMAS ....
E DO ARCO
PLICAÇÕE
..................
icações da I
ÍNIO POR I
DE SÓLIDO
ENTO DE A
Conceito d
S IMPRÓPR
S IMPRÓPR
S DE VERIF
..................
S PROPOST
..................
..................
U A Ç Õ E S 
FUNDAME
E EDOs DE
 ..................
A ...............
..................
..................
À SEPARÁ
À HOMOG
À EXATA 
À LINEAR
Bernoulli ...
Riccati .......
DE CLAIRA
DE LAGRA
Racionais p
M FATORE
M FATORE
M FATORE
γ)c
 .............
..................
..................
O-METADE
ES DA INT
..................
Integral .....
INFINITÉS
O DE REVO
ARCO ........
de Integral .
RIAS COM
RIAS COM
FICAÇÃO D
..................
TOS ..........
..................
..................
D I F E R E N 
ENTAIS ...
E PRIMEIR
..................
..................
..................
..................
ÁVEL ........
GÊNEA ......
MEDIANT
R .................
..................
..................
AUT ............
ANGE ........
por Frações
ES LINEAR
ES LINEAR
ES QUADR
...................
...................
...................
E ................
TEGRAL 
...................
...................
SIMOS ........
OLUÇÃO ...
...................
...................
M INTERVA
M INTEGRA
DA CONV
...................
...................
...................
...................
 ......N C I A I S
...................
RA ORDEM
...................
...................
...................
...................
...................
...................
TE FATOR
...................
...................
...................
...................
...................
s Parciais ...
RESDISTIN
RES REPET
RÁTICOS IR
...................
...................
...................
...................
E EXTEN
...................
...................
...................
...................
...................
...................
ALOS DE IN
ANDOS ILI
VERGÊNCIA
...................
...................
...................
...................
...................
...................
M ESPECI
...................
...................
...................
...................
...................
...................
R INTEGRA
...................
...................
...................
...................
...................
...................
NTOS .........
TIDOS ........
RREDUTÍV
...................
...................
...................
...................
NSÕES DO 
...................
...................
...................
...................
...................
...................
NTEGRAÇ
MITADOS
A DE INTE
...................
...................
...................
...................
...................
...................
IAIS ...........
...................
...................
...................
...................
...................
...................
ANTE ..........
...................
...................
...................
...................
...................
..................
..................
..................
VEIS..........
..................
..................
..................
..................
CONCEIT
..................
..................
..................
..................
..................
..................
ÇÃO ILIMIT
S .................
EGRAIS 
..................
..................
..................
..................
..................
..................
..................
..................
..................
..................
..................
..................
..................
..................
..................
..................
..................
..................
..................
3
.............. 33
.............. 33
.............. 35
.............. 36
.............. 40
.............. 42
.............. 42
.............. 43
TO DE 
.............. 45
.............. 45
.............. 45
.............. 45
.............. 49
.............. 51
TADOS . 51
.............. 52
.............. 56
.............. 60
.............. 60
.............. 61
.............. 62
.............. 63
.............. 65
.............. 66
.............. 66
.............. 66
.............. 67
.............. 68
.............. 69
.............. 70
.............. 72
.............. 72
.............. 72
.............. 74
.............. 75
3 
 
 
 
6 
0 
2 
2 
 
 
 
 
 
9 
 
 
2 
6 
0 
0 
 
2 
 
 
6 
6 
6 
7 
 
9 
0 
2 
2 
2 
4 
 
4 
7. EDO LINEAR DE ORDEM N .............................................................................................. 77 
7.1 CONCEITOS PRELIMINARES ........................................................................................... 78 
7.1.1 Dependência linear .............................................................................................................. 78 
7.1.2 Wronskiano ......................................................................................................................... 78 
7.2 SOLUÇÃO GERAL DE UMA EDO LINEAR HOMOGÊNEA .......................................... 80 
7.3 EDO LINEAR DE ORDEM N HOMOGÊNEA DE COEFICIENTES CONSTANTES .... 81 
7.3.1 Raízes distintas .................................................................................................................... 81 
7.3.2 Raízes repetidas ................................................................................................................... 82 
7.3.3 Raízes imaginárias ............................................................................................................... 82 
7.3.4 Raízes imaginárias repetidas ............................................................................................... 82 
7.4 EQUAÇÃO DE EULER-CAUCHY ...................................................................................... 83 
7.5 SOLUÇÃO GERAL DE UMA EDO LINEAR NÃO-HOMOGÊNEA ................................ 84 
7.6 SOLUÇÃO PARTICULAR PELO MÉTODO DAS FAMÍLIAS ......................................... 85 
7.7 SOLUÇÃO PARTICULAR PELO MÉTODO DA VARIAÇÃO DAS CONSTANTES ..... 88 
7.8 REDUÇÃO DE ORDEM ....................................................................................................... 93 
8. APLICAÇÕES ........................................................................................................................ 98 
8.1 CRESCIMENTO POPULACIONAL E DECAIMENTO RADIOATIVO ........................... 98 
8.2 CURVAS ORTOGONAIS ..................................................................................................... 99 
8.3 PROBLEMAS DIVERSOS ................................................................................................. 100 
9. PROBLEMAS PROPOSTOS .............................................................................................. 103 
9.1 ENUNCIADOS .................................................................................................................... 103 
9.2 RESPOSTAS ........................................................................................................................ 107 
APÊNDICE ................................................................................................................................ 110 
A.1 PROVA DO TEOREMA 7.3 .............................................................................................. 110 
A.2 PROVA DO TEOREMA 7.4 .............................................................................................. 110 
A.3 PROVA DO TEOREMA 7.5 .............................................................................................. 111 
A.4 PROVA DA EQUAÇÃO [7.3(c)] ....................................................................................... 111 
A.5 PROVA DA EQUAÇÃO [7.3(d)] ....................................................................................... 112 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P A RR T E 11 – C Á L C UU L O II N T E E G R A L
5
L
5 
6 
1. INTEGRAÇÃO 
 
1.1 Integral Definida 
 
1.1.1 DEFINIÇÃO DE RIEMANN 
 Define-se a integral definida de uma função real de variável real ( )f x no intervalo [ , ]a b , 
denotada por ( )
b
a
f x dx∫ , como sendo o seguinte limite, caso exista (quando, então, diz-se que f 
é integrável em [ , ]a b segundo Riemann), 
 
máx 0 1
soma de Riemann
( ) lim ( )
i
b N
i ixa iN
f x dx f c x
Δ → =→∞
≡ Δ∑∫ , 
onde, como mostra a figura abaixo(∗), 1i i ix x x −Δ ≡ − ( 1, 2 )i n= são as larguras dos N subin-
tervalos em que se subdivide o intervalo de integração [ , ]a b , e ic é um ponto qualquer do 
subintervalo 1[ , ]i ix x− : 
 
 
 (∗) Na figura, o conjunto de pontos { }0 1, , , NP x x x= , onde 0 1 Na x x x b= < < < = , 
usado para dividir [ , ]a b em N subintervalos define uma partição de [ , ]a b . 
 
 A soma de Riemann (o somatório na equação acima) é dita referir-se à partição P e aos nú-
meros ic empregados. 
 Pois bem, dizemos que o limite apresentado acima definindo ( )
b
a
f x dx∫ existe se for finito, 
único e independer da partição empregada e da escolha dos ic . 
 
N o t a s : 
 i) O extremo b do intervalo de integração pode ser menor do que o extremo a: 
 
 ii) No limite, não mais indicaremos a condição N → ∞ , o que obviamente acontece quando 
todas as larguras dos subintervalos tendem a zero, expressa pela condição máx Δ 0ix → . 
 iii) Demonstra-se que, se, em [a,b], a função ( )f x é contínua ou limitada com um número 
finito de descontinuidades, então ela é integrável neste intervalo. 
 • 
 
 
 ic1 1 0x x xΔ = − 1N N Nx x x −Δ = −1i i ix x x −Δ = −
1x 1ix − ix 1Nx −
| |
0
a
x
| |
N
b
x
x
1 1 0 0x x xΔ = − <1 0i i ix x x −Δ = − <
1xix 1ix −1Nx −
| |
0
a
x
| |
N
b
x
x
( 0ixΔ < neste caso) 
7 
1.1.2 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA 
 
 Na figura ao lado, | ( ) |i if c xΔ é a área 
do i-ésimo retângulo, que se encontra 
hachurado [de base | |ixΔ e altura | ( )|if c ], 
devendo-se observar que ( )i if c xΔ pode 
ser positivo ou negativo, conforme os 
sinais de ( )if c e ixΔ . 
 Se b a> , como nas figuras, então 
ixΔ é positivo e, portanto, ( )i if c xΔ tem o 
mesmo sinal de ( )if c . Logo, quando 
N → ∞ (número de subdivisões tende a 
infinito), 0ixΔ → , e a soma de Riemann 
tende à soma das áreas acima do eixo x 
menos a soma das áreas abaixo do eixo x, 
entendendo-se por “área” aquela compre-
endida entre o gráf ( )f e o eixo x. 
Assim, no caso do gráfico mostrado 
na figura à direita, temos que 
 1 2 3 4 5( )
b
a
f x dx A A A A A= − + − + −∫ . 
 
 É fácil ver que ( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx= −∫ ∫ , pois os ixΔ ’s da soma de Riemann para essas 
integrais têm sinais contrários, e também que ( ) 0
a
a
f x dx =∫ , pois, agora, ixΔ = 0. 
 
 Exemplo de cálculo da integral definida pela soma de Riemann: 
 Calculemos 
1 2
0
x dx∫ dividindo o intervalo de integração [0,1] em N partes iguais; nesse 
caso, os pontos limítrofes dos subintervalos são 1 1/x N= , , /ix i N= , , tendo todos a mes-
ma largura 1/ix NΔ = . Logo, se em cada subintervalo 1[ , ]i ix x− tomarmos /i ic x i N= = , obte-
mos 
 
( )
( )
3 2
1
2
0 ( ) 1 área do -ésimo
retângulo
2
2
1 1
2
3
1
3 2 6
2
lim ( )
1 1lim lim
1lim
1 1 1 1lim .
3 2 36
N
i iNf x i i
N N
iN Ni i
N
N i
N N N
N
x dx f c x
ic
N N N
i
N
N N
→∞ =
→∞ →∞= =
→∞ =
+ +
→∞
= Δ
= =
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
= + + =
∑
∑ ∑
∑
∫
 
a b1c
ic x
ixΔ
1( )f c
( )if c
y i-ésimo 
retângulo
gráfico de ( )f x 
1xΔ
Soma de Riemann com N = 10 subdivisões 
a
• x
y
2A
1A 3A
4A
5A
b
•
gráfico de ( )f x 
área hachurada = ( )
b
a
f x dx∫ 
1
1 Nx
•
= 22 Nx
•
= 1ix −
• i
i Nx
•
=0
•
1
•
1xΔ 2xΔ
i
i NxΔ =
x
y
2y x=
( ) 22
22( ) i ii i N Nf x x= = =
1
i-ésimo 
retângulo
2
2
i
N
8 
0
( ) 2 2 ( )
c c
c
f x dx A f x dx
−
= =∫ ∫
( )y f x=
c c− 
A A 
x 
y 
( ) 0
c
c
f x dx A A
−
= − + =∫
( )y f x=
c 
c−
A 
x 
y 
A 
 
1.2 Propriedades da Integral Definida 
 
i) Integral de uma função constante ( )f x k= : ( )
b
a
k dx k b a= −∫ 
ii) Homogeneidade: ( ) ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx=∫ ∫ 
iii) Aditividade do integrando: [ ( ) ( )] ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫ 
iv) Linearidade: [ ( ) ( )] ( ) ( )
b b b
a a a
A f x B g x dx A f x dx B g x dx+ = +∫ ∫ ∫ 
v) Positividade: ( ) 0 [ , ] ( ) 0
b
a
f x x a b f x dx≥ ∀ ∈ ⇒ ≥∫ 
vi) Comparabilidade: ( ) ( ) [ , ] ( ) ( )
b b
a a
f x g x x a b f x dx g x dx≤ ∀ ∈ ⇒ ≤∫ ∫ 
vii) Prop. do valor absoluto: ( ) ( ) ( )
b b
a a
f x dx f x dx a b≤ <∫ ∫ 
 
 
viii) Aditividade do intervalo de integração: 
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫ 
 
 
ix) Teorema do Valor Médio (TVM) p/ integrais: 
 Se a função f é contínua em [ , ]a b , então existe 
c nesse intervalo tal que ( ) ( ) ( )
b
a
f x dx f c b a= −∫ . 
 
 
x) Integral de função par ou ímpar no intervalo [ , ]c c− (simétrico em relação à origem): 
 
• Se a função f for par: 
0
( ) 2 ( )
c c
c
f x dx f x dx
−
=∫ ∫ 
 
• Se a função f for ímpar: 
( ) 0
c
c
f x dx
−
=∫ 
 
 
 Essas propriedades são geometricamente óbvias. O TVM é provado no Apêndice (seç. 1.8). 
 
a c b x
( )f x
a c b x 
( )f xy
( )f c
 área hachurada = 
 = ( )
b
a
f x dx∫ 
 = área do retângulo
 = ( ) ( )f c b a− 
retângulo
9 
1.3 Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) 
 
 Até o momento, os conceitos de derivada e integral definida de uma função não apresentam 
qualquer relação entre si. Parecem independentes, nada tendo a ver um com o outro, um sendo 
interpretado como o coeficiente angular da reta tangente e o outro, como a área entre o eixo x e o 
gráfico da função. O teorema seguinte – o tão chamado Teorema Fundamental do Cálculo – 
estabelece uma profunda relação entre diferenciação e integração, além de fornecer um meio de 
calcular a integral definida sem usar a soma de Riemann. Antes de prosseguir, convém fazer 
umas observações e definições preliminares, começando por relembrar alguns conceitos já estu-
dados em Cálculo 1: 
 
 Uma função ( )f x é dita contínua em [ , ]a b se for contínua em ( , )a b e se for lateralmente 
contínua nos extremos desse intervalo, isto é, 
 • 
0
0lim ( ) ( )x x
f x f x
→
= 0 ( , )x a b∀ ∈ , 
 • lim ( ) ( )
x a
f x f a
+→
= e lim ( ) ( )
x b
f x f b
−→
= . 
 
 Teorema do valor médio (TVM): 
 Se f for contínua em [a,b] e derivável em (a,b) então existirá pelo menos um real c em (a,b) 
tal que ( ) ( ) ( ) ( )f b f a f c b a′− = − . Reveja a prova deste teorema num livro de Cálculo 1. 
 
 Teorema da derivada nula: 
 Uma função f contínua em [ , ]a b que tem derivada nula em ( , )a b é constante naquele inter-
valo fechado. 
▪ Prova: Para qualquer ( , ]x a b∈ , temos, pelo TVM, que existe ( , )c a x∈ tal que 
0
( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( )f x f a f c x a f x f a′− = − = ⇒ = . CQD. 
 Definição de primitiva ou antiderivada: 
 Uma função F é chamada de primitiva ou antiderivada de uma função f num intervalo aber-
to se F f′ = nesse intervalo. Por exemplo, sen x é uma primitiva de cos x em qualquer interva-
lo aberto, pois (sen ) cosx x′ = x∀ ∈ . Dizemos "uma" primitiva, em vez de "a" primitiva, por-
que, se F é uma primitiva de f, isto é, se F f′ = , então F c+ , para qualquer constante c, tam-
bém é, pois ( )F c F f′ ′+ = = . 
 Observe também que uma primitiva, sendo derivável, é necessariamente uma função contí-
nua no intervalo aberto ( , )a b considerado, mas não em [ , ]a b , pois nada garante que sua conti-
nuidade se estenda lateralmente aos extremos desse intervalo (pela direita de a e pela esquerda 
de b, no caso de um intervalo finito). Entretanto, no que segue, toda primitiva F considerada tem 
sua continuidade estendida aos extremos do intervalo ( , )a b aberto onde F f′ = , isto é, ela é 
contínua em [ , ]a b . 
 
 Teorema sobre as primitivas: 
 Duas primitivas F e G de uma função f em ( , )a b que são contínuas em [ , ]a b podem diferir 
apenas por uma constante neste intervalo fechado. 
▪ Prova: Como F G− é contínua em [ , ]a b e ( ) 0F G F G f f′ ′ ′− = − = − = em ( , )a b então, 
pelo teorema da derivada nula, F G− é constante em [ , ]a b . CQD. 
10 
 
 TFC-I (primeira parte): 
 Se f é uma função contínua em [ , ]a b , então a função 
definida por ( ) ( )
x
a
g x f t dt≡ ∫ , além de ser contínua neste 
intervalo, é uma primitiva de f em ( , )a b , isto é, 
( ) ( ) ( )
x
a
dg x f t dt f x
dx
′ = =∫ ( , )x a b∀ ∈ . 
 Além disso, ( ) ( )g a f a+′ = e ( ) ( )g b f b−′ = . 
▪ Prova: Para ( , )x a b∈ , temos que 
0 0
(1) (2)
0 0 algum 
em [ , ]
( ) ( )( ) ( )( ) lim lim
( ) ( )lim lim ( ) ,
x h x
a a
h h
x h
x
h h x
x x h
f t dt f t dtg x h g xg x
h h
f t dt f x h f x
h h ∗
+
→ →
+
∗
→ →
+
−+ −′ = =
= = =
∫ ∫
∫
 
donde também se conclui que, sendo diferenciável em ( , )a b , g é contínua neste intervalo. 
 Similarmente provamos que ( ) ( )g a f a+′ = e ( ) ( )g b f b−′ = , bastando considerar limites 
laterais acima. Da existência dessas derivadas laterais decorre a continuidade lateral de g em 
x a= e x b= . CQD. 
 A passagem acima denotada por (1) é explicada pela propriedade de aditividade do intervalo 
de integração: ( ) ( ) ( )
x h x x h
a a x
f t dt f t dt f t dt
+ +
= +∫ ∫ ∫ . Já a denotada por (2), pelo TVM p/ inte-
grais de funções contínuas: ( ) ( ) para algum [ , ]
x h
x
f t dt f x h x x x h
+ ∗ ∗= ∈ +∫ . 
 
 TFC-II (segunda parte): 
 Se f e F são funções contínuas em [ , ]a b , sendo F uma primitiva de f em ( , )a b , então 
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a= −∫ . 
▪ Prova:Tal qual ( )F x , a função ( )
x
a
f t dt∫ , segundo o TFC-I, também é uma primitiva de f em 
( , )a b que é contínua em [ , ]a b , valendo, portanto, de acordo com o teorema sobre as primitivas, 
a seguinte equação, para alguma constante c: 
( ) ( )
x
a
F x f t dt c− =∫ , com [ , ]x a b∈ . 
A substituição x a= nessa equação fornece 
0
( ) ( ) ( )
a
a
F a f t dt c c F a− = ⇒ =∫ . 
Usando esse resultado naquela mesma equação, agora com x b= , concluímos a demonstração: 
( ) ( ) ( )
b
a
f t dt F b F a= −∫ . CQD. 
área ( ) ( )
x
a
g x f t dt= =∫ ( )y f x=
y
0 a x b
11 
 A principal vantagem do TFC-II é permitir o cálculo de uma integral definida de uma fun-
ção f que tenha uma primitiva conhecida por meio de uma simples diferença, que é corriqueira-
mente assim denotada: [ ]( ) ( ) ( ) ou ( ) bba aF b F a F x F x− ≡ ; por exemplo, 
13 3 3
1
1 3
2 2 [ (1) 2(1) 2] [ ( 1) 2( 1) 2] 2x x
−
⎡ ⎤− + = − + − − − − + = −⎣ ⎦ . 
 Como ilustração do cálculo de integral definida usando o TFC-II, note que 3 / 3x x+ é uma 
primitiva de 2 1x + [ i.e., 3 2( / 3 ) 1x x x′+ = + ], ambas as funções satisfazendo as condições 
desse teorema; logo, 
 
1 12 3
00
( 1) / 3 1 / 3 1 0 4 / 3x dx x x⎡ ⎤+ = + = + − =⎣ ⎦∫ . 
 
 
1.4 Integrais Indefinidas 
 Pelo exposto, é evidente que o cálculo de primitivas de funções é importante. As diversas 
técnicas disponíveis para obtê-las serão estudadas no capítulo 2. Abaixo apresentamos tão so-
mente as regras básicas desse cálculo e a técnica baseada na mudança de variáveis. Sobre elas, 
convém enfatizar que, se acharmos uma primitiva g de uma função f, teremos automaticamente 
uma infinidade delas, a saber, todas as funções da forma g c+ . Por exemplo, sendo 2( / 2)x x′ = , 
temos que todas as primitivas da função ( )f x x= são dadas por 2( ) / 2g x x c= + . Também, se 
( )g x é uma função tal que ( ) 0g x′ = então ( )g x c= ( primitiva da função nula). 
 
1.4.1 DEFINIÇÃO 
 (A partir de agora, a não ser que se indique o contrário, c denotará uma constante arbitrária.) 
O TFC diz que se ( )g x é uma primitiva de ( )f x [i.e., ( ) ( )g x f x′ = ] então 
 constante
 arbitrária
( ) ( ) ( ) ( )
x
a
c
f t dt g x g a g x c= − = +∫ é a primitiva mais genérica de ( )f x , 
mostrando que a integral definida de ( )f x num intervalo [a, x], de limite superior variável ou 
indefinido, fornece a antiderivada mais genérica de ( )f x . Isto sugere definirmos a integral inde-
finida de f, denotada por ( )f x dx∫ , como segue: 
( ) ( )f x dx g x c≡ +∫ , onde ( ) ( )g x f x′ = . 
 O processo para calcular ( )f x dx∫ , isto é, para achar a primitiva ( )g x c+ mais genérica de 
( )f x , é chamado de integração indefinida. Por exemplo, a integral indefinida de ( )f x x= é 
2( ) / 2f x dx x dx x c= = +∫ ∫ . 
 
1.4.2 REGRAS BÁSICAS DA INTEGRAÇÃO INDEFINIDA 
i) ( )( ) ( )f x dx f x′ =∫ (derivada da integral de f é f ) 
ii) ( ) ( )f x dx f x c′ = +∫ (integral da derivada de f é f c+ ) 
12 
iii) ( ) ( )f x dx f x dxα α=∫ ∫ 
iv) [ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫ (regra da adição) 
v) [ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dxα β α β+ = +∫ ∫ ∫ (regra da linearidade) 
 
 As várias fórmulas de diferenciação fornecem, se “lidas de trás para a frente”, várias fórmu-
las de integração indefinida; por exemplo: 
vi) dx x c= +∫ 
vii) 
1
( )
 se 1
1
ln se 1
x c
x dx
x c
α
α
α
α
α
+
∗
⎧
+ ≠ −⎪ += ⎨
⎪ + = −⎩
∫ 
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) Nota:
Se 0 : ln | | ln 1/
Se 0 : ln | | ln ( ) [1 /( )]( 1) 1/
1ln | | 1 / ln | |
x x x x
x x x x x
x x dx x c
x
∗
′ ′> = =
′ ′< = − = − − =
′ = ⇒ = +∴ ∫
 
 
 Exemplos: Calcule as seguintes integrais: 
( )
[ ]
1/2
1 1 (1/2) 1
1 2 3
2 3/2
1 2 3
1) (5 7) 5 7 5 7
5 7
1 1 (1/ 2) 1
5 2 7 (5 7 )
2 3
x x dx x dx x dx dx x dx x dx dx
x xc c x c
x x x c c c
c
+ +
+ − = + + − = + −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦+ +⎣ ⎦
= + − + + −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
 
( )
4 2 3
2 2 1
2
3 52) 3 5 3 5
3
x x xdx x x dx x x c
x
− −+ + = + + = + − +∫ ∫ 
2 4 / 3 2 8/ 3 4 / 3 11/ 3 7 / 33 3 63) ( 1) ( 1) ( 2 1)
11 7
y y dy y dy y y dy y y y c+ = + = + + = + + +∫ ∫ ∫ 
41/2 3/24 4
1/2 1/2
1 1 1
1 84) ( )
1 / 2 3 / 2 3
x x xdx x x dx
x
− ⎡ ⎤− = − = − = = −⎢ ⎥
⎣ ⎦∫ ∫ 
( )
2 1 2 1 2
0 0 1 0 1
1 22 2 2 2
0 1
5) 1 1 1 (1 ) ( 1)
1 2 11 0 2 1 1
2 2 2 2 2
x dx x dx x dx x dx x dx
x xx x
− = − + − = − + −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= − + − = − − + − − − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
 
3 1 2 3
2 2 2 2
0 0 1 2
1 2 33 2 3 2 3 2
0 1 2
6) 3 2 ( 3 2) ( 3 2) ( 3 2)
3 3 32 2 2
3 2 3 2 3 2
x x dx x x dx x x dx x x dx
x x x x x xx x x
− + = − + + − + − + − +
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= − + + − + − + − + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫ ∫ ∫ ∫
 
 
 
13 
1.5 Integração por Mudança de Variável Simples 
 
1.5.1 APLICAÇÃO DA REGRA DA SUBSTITUIÇÃO 
 Explicaremos a integração por mudança de variável (ou por substituição) através dos se-
guintes exemplos (a sua justificativa é fornecida na seção 1.5.3 abaixo): 
1) 
100
101 2 101
2 100 2 100 100
/ 2
1 1 ( 5)( 5) ( 5)
2 2 101 202
duu
u xx x dx x x dx u du c c++ = + = = + = +∫ ∫ ∫ , 
 onde 2 5 2 / 2u x du x dx x dx du≡ + ⇒ = ⇒ = 
 
2) 
1/ 2
3 / 2
3/ 21 1 27 2 (7 2)
7 7 3 / 2 21
u
ux dx u du c x c+ = = + = + +∫ ∫ , 
 onde 7 2 7 / 7u x du dx dx du≡ + ⇒ = ⇒ = 
 
3) 
2 4
5 3 4
3 5
1 1 1 ( 4)
3 3 4 12( 4)
x udx u du c x c
x
−
− −= = + = − + +
−+∫ ∫ , 
 onde 3 2 24 3 / 3u x du x dx x dx du≡ + ⇒ = ⇒ = 
 
( ) ( )
( )
2
2 2 1/ 2
3/ 2 5 / 2 7 / 2
1/ 2 3/ 2 5/ 2
3/ 2 5/ 2 7 / 2
3 14) 3 2 (9 6 )
2 2 8
9 61 1(9 6 )
8 8 3 / 2 5 / 2 7 / 2
3 3 1(3 2 ) (3 2 ) (3 2 )
4 10 28
u dux x dx u u u u du
u u uu u u du
x x x c
− − −
− = = − +
− −
= − + = − +
= − − + − − − +
∫ ∫ ∫
∫ 
 onde 3 2 (3 ) / 2 e 2 ( / 2)u x x u du dx dx du≡ − ⇒ = − = − ⇒ = − 
 
1/ 23/ 2
1/ 2 1/ 2 3/ 2 1/ 2( 5) 5 25) ( 5 ) ( 5) 10( 5)
3/ 2 1/ 2 35
t dt u du uuu u du c t t c
t u
−−= = − = − + = + − + +
+∫ ∫ ∫ 
 onde se fez 5 e 5u t dt du t u≡ + ⇒ = = − 
 Se fizermos 
2 2
/ 2 5 / 2 2
5
5 5
du dt t dt u dt u du
u t
u t t u
⎧ = + = ⇒ =⎪≡ + ⇒ ⎨
= + ⇒ = −⎪⎩
 
 obtemos o mesmo resultado: 
2 5
5
t dt u
ut
−
=
+∫ (2u ( )
3
32) 2 5 ( 5) 10 5
3 3
udu u c t t c= − + = + − + +∫ 
 
1.5.2 A REGRA DA SUBSTITUIÇÃO APLICADA A INTEGRAIS DEFINIDAS 
1) ( ) ( )
11
2 3/2 3/22 3/2
0 0
1 1 1919 5 4 9 8 27(9 5 )
15 15 1515
x x dx x⎡ ⎤− = = − − = − − =− −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ , 
 ou ( )
43/ 21 4
2 3/ 2 3/ 2
0 9 8279
1 1 1 199 5 9 4
10 10 3 / 2 15 15
ux x dx u du− −− = = = − =∫ ∫ 
 onde 29 5 10 /10u x du x dx x dx du≡ − ⇒ = − ⇒ = − . 
14 
 Os limites de integração mudaram segundo a tabela: 
0 1
9 4
x
u 
2) ( )
102 12 10 10
2
3 2 2
1 3 3 3
/ 3 1 1 1 1 7
3 3 3 10 3 90( 2)
t dt du uu du
t u
−
− −= = = = − =
−+∫ ∫ ∫ 
 onde se fez 3 2 22 3 /3u t du t dt t dt du≡ + ⇒ = ⇒ = e os limites mudaram assim: 
1 2
3 10
t
u 
 
1.5.3 JUSTIFICATIVA DA REGRA DA SUBSTITUIÇÃO 
 
 Se f é uma função contínua em [ , ]μ ν , então, em ( , )μ ν , f 
tem uma primitiva F que, se [ , ] [ , ]α β μ ν⊂ , possibilita escrever 
 
( ) ( ) ( )f u du F F
β
α
β α= −∫ . 
 
 Agora considere uma função : [ , ] [ , ]g a b μ ν→ tal que 
 
( )g a α= e ( )g b β= ; g ′ é contínua ( )∗ em [ , ]a b . 
 
Então, usando a regra da cadeia (tendo em conta que f F ′= ) e o TFC-II, podemos escrever 
 
( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )
bb b
a a a
f g x g x dx F g x dx F g x F g b F g a F Fβ α⎡ ⎤′′ = = = − = − (⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ . 
 
 Portanto, comparando os membros esquerdos das duas equações acima, obtemos 
 
( )
( )
( ) ( ) ( )
b u g x
a
f g x g x dx f u du
β
α
=
′ =∫ ∫ , 
 
que é a regra de mudança da variável de integração x para a nova variável de integração u defini-
da por ( )u g x= , por meio da qual a integral toma uma nova forma fácil de lembrar, pois resulta 
da substituição formal baseada na definição '( )g x dx du= da diferencial da função ( )u g x= . Éexatamente essa regra que é usada nos exemplos da seç. 1.5.2. 
 Desconsiderando os limites de integração na fórmula acima, temos a regra de mudança de 
variáveis para integrais indefinidas. 
__________ 
( )∗ A continuidade de g′ nos extremos de [ , ]a b é lateral: lim ( ) ( )
x a
g x g a
+ +→
′ ′= e lim ( ) ( )
x b
g x g b
− −→
′ ′= . 
 
 
1.5.4 A REGRA DA SUBSTITUIÇÃO EM INTEGRAIS DA FORMA ( )( ) ( )f g x k g x dx′∫ 
 Em integrais como essa (em que k = const.), se a função f tem uma primitiva F conhecida, 
então basta fazer a substituição ( )u g x= , donde ( )du g x dx′= , e a integral indefinida torna-se 
fácil de calcular: 
a b
μ 
ν 
α 
β 
( )u g x=
x
u 
15 
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
u du
f g x k g x dx k f u du kF u c kF g x c′ = = + = +∫ ∫ . 
 Exemplos: 
1) 
2 2 3/ 23/ 25 3
2
10
(5 3)15 3
10 3/ 2 10 3/ 2
u x
du x dx
xdu ux x dx u c c
= −
=
−
− = = + = +∫ ∫ 
2) 
6 6
6
3
1 1
3 3 3
x u x
u u x
dxdu
x
e dudx e e c e c
x
=
=
= = + = +∫ ∫ 
3) 
2
2
sen (3 1)
5 2 2
(6 1)cos(3 1)
(6 1)sen (3 1)cos(3 1)
u x x
du x x x dx
x x x x x dx
= − +
= − − +
− − + − + =∫ 
 
6
5 6 21 sen (3 1)
6 6
uu du c x x c= = + = − + +∫ 
4) 
88sec5
8 7 7
5sec5 tan 5
/ 5
sec 5sec 5 tan 5 sec 5 sec5 tan 5
5 40 40
u x
du x x dx
du
xdu ux x dx x x x dx u c c
=
=
= = = + = +∫ ∫ ∫ 
5) 
2
2
4 2 2 22
2 2 arctan arctan
1 1 ( ) 1
u x
du x dx
x x dudx dx u c x c
x x u
=
=
= = = + = +
+ + +∫ ∫ ∫ 
6) 
( )( ) 1 ln ( )
( )
u x dx duu x dx du u x c
u x u
′ =′
= = +∫ ∫ 
 Usando essa fórmula, é imediato o cálculo da integral de uma fração cujo numerador é a 
derivada do denominador, como nesse próximo exemplo: 
7) 22 2
cos 1 2(cos ) 1 1ln ln 2sen 3
2 2 22sen 3 2sen 3
u
u
x x x xdx dx u c x x c
x x x x
′
− −
= = + = − + +
− + − +∫ ∫ 
 
8) 
ln(3 1)
3
3 1
sen ln(3 1) 1 1 1sen cos cos ln(3 1)
3 1 3 3 3
u x
dxdu
x
x dx u du u c x c
x
= +
=
+
+
= = − + = − + +
+∫ ∫ 
 
9) 
sec
2 2sec tan
sec tan arctan arctan sec
1 sec 1
u x
du x x dx
x x dudx u c x c
x u
=
=
= = + = +
+ +∫ ∫ 
 
 
1.6 Fórmula de Leibniz da derivada de integral definida 
 Considere uma função f contínua e funções a e b diferenciáveis. Denotando por F uma pri-
mitiva de f, obtemos, usando o TFC-II e, em seguida, a regra da cadeia, a seguinte fórmula: 
 
 
( )
( )
( )
b x
a x
d f t dt
dx ∫ = { }[ ( )] [ ( )] [ ( )] ( ) [ ( )] ( )f f
d F b x F a x F b x b x F a x a x
dx
′ ′ ′ ′− = − 
 [ ( )] ( ) [ ( )] ( )f b x b x f a x a x′ ′= − , 
16 
que é um caso particular da chamada fórmula de Leibniz da derivada de integral definida, dada 
(sem demonstração) abaixo: 
 
[ ] [ ]
( ) ( )
( ) ( )
( , ) ( , ) , ( ) ( ) , ( ) ( )
b x b x
a x a x
d ff x t dt x t dt f x b x b x f x a x a x
dx x
∂ ′ ′= + −
∂∫ ∫ . 
 
Nesta, em contraste com a fórmula anterior, a função f no integrando depende de duas variáveis: 
t (a variável de integração) e x (a variável da função resultante, em relação à qual a derivada é 
calculada). 
 
Exemplos de aplicação (da primeira fórmula acima, menos genérica): 
 
1) 4 4 4
43 43
1
5 5 5
x xdt dy d dty
dx dxt t x− −
= ⇒ = =
+ + +∫ ∫ ■ 
 
2) 
0
v v
x dyy d x
dx
= ⇒ =∫ ■ 
 
3) 
2
25 2 25
3
(5 7) (5 7) 2
xd t dt x x
dx
+ = + ⋅∫ ■ 
 
4) 
2
2
3 32 23
1
1 0 1 1 2 2
x
d u du x x x x
dx +
− = − + − = −∫ ■ 
 
5) 
2
3
3 2 3 9 21 ( ) 1 (1 2 ) 1 (3 )
x x
x
d t dt x x x x x
dx
−
+ = − + − − +∫ ■ 
 
2
2 2
2 2'
3 3 20 0 0
1
2 2 2
2 20 0 0
sen sen
[sen ](1) [sen( ) ]( 1)6) lim lim lim
( ) / 3
sen sen 2sen 2 sen 2lim lim lim
3 33 3
x x
l Hx x
x x x
x
x x
dt dt t dt
dx x x
x d x dx x
x x x
x x
θ
θ
θ
θ
− −
→ → →
=
→ → →
− − −
= =
+
= = = =
∫ ∫
■
 
 
 
17 
x21 
−1
−1 
1
8
y
3( )y f x x= =
1.7 Área de Regiões Planas 
 
1.7.1 CÁLCULO PELA APLICAÇÃO DIRETA DE INTEGRAIS DEFINIDAS 
 
 Considere a área hachurada na figura ao lado; trata-se 
da área da região limitada pelo intervalo [ , ]a b do eixo x e o 
gráfico da função ( )f x . Essa área não é dada pela integral 
1 2 3( )
b
a
f x dx A A A= − + −∫ , mas por ( )
b
a
f x dx∫ , isto é, 
 
1 2 3
( ) ( ) ( )
p q b
a p q
A A A
f x dx f x dx f x dx⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ . 
 
 Exemplos: 
 
1) Calcule a área A desde o eixo x até o gráfico da 
função 3( )f x x= no intervalo de 1x = − a 2x = . 
 
0 2
3 3
1 0
0 24 4
1 0
1 16 17 u.a.
4 4 4 4 4
A x dx x dx
x x
−
−
= − +
= − + = + =
∫ ∫
 
 
 
2) Idem, de 2x = − a 5x = , para a função 
 
3
2
2 ( / 4) ( 0)
( ) 2 (0 3)
16 4 (3 )
x x
f x x x x
x x
⎧ + <
⎪⎪= − − ≤ <⎨
⎪ − ≤⎪⎩
 
 
( )30 2 2
2 0
3 4
2
2 3
5
4
2 ( 2)
4
( 2) (16 4 )
73(16 4 ) u.a.
6
xA dx x x dx
x x dx x dx
x dx
−
= + − − − +
− − + − −
− =
∫ ∫
∫ ∫
∫
 
 
 
3) Idem, de 0x = a 2x = , com ( ) sen (5 /4)f x xπ= . 
52
2 2 2
00 0 0
5 4 4 4 4|sen | sen 5 sen cos u.a.
4 5 5
xA dx t dt t dt t
π π π
π
π π π π
⎡ ⎤= = = ⋅ = − =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ 
54 3 0 2 −1 −2 
2
4
y
−4 
3
2
4
xy = +
2 2y x x= − −
16 4y x= −
x
x
a b
p q 
1A
2A
3A
y 
( )f x
5 /2
0
|sen |t dt
π
∫
2
π t 5
2
π
sen t
18 
1.7.2 ÁREA ENTRE DOIS GRÁFICOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Na figura acima, considerando uma partição de [ , ]a b como aquela na subseção 1.1.1, con-
cluímos que a área hachurada é dada por 
máx 0 1
lim ( )
i
N
i ix iN
A h c x
Δ → =→∞
= Δ∑ , com ( ) ( ) ( )h x f x g x= − , 
isto é, por 
1 2
1 2
( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]
x xb b
a a x x
A f x g x dx f x g x dx g x f x dx f x g x dx= − = − + − + −∫ ∫ ∫ ∫ . 
 Se fizermos ( ) 0g x ≡ , obtemos o caso já estudado na seç. 1.7.1 [agora 1x e 2x são as abs-
cissas onde o gráf( f ) intercepta o gráf( g ) = eixo x, pois ( ) 0g x ≡ ]: 
 
 
1 2
1 2
( ) ( ) ( ) ( )
x xb b
a a x x
A f x dx f x dx f x dx f x dx= = − +∫ ∫ ∫ ∫ 
 
 
 Exemplos: Calcule a área ( )A R da região R : 
1) R é a região entre o gráfico 
de 2y x= + e o de 2y x= : 
 
2
2
1
9( ) ( 2) u.a.
2
A x x dx
−
⎡ ⎤= + − =⎣ ⎦∫R 
( "u.a." significa "unidade de área" ) 
 
2) R é a região limitada por xy e= , lny x= , 1y = − , 0x = e 1x = . 
 
[ ]
1
1
1
1
1 1
1/ 1
0 1/
1
0
1
0
1 1 1 1
1 1
( ) ( 1) ln
( 1) ( ln )
( ln )
[ 1 ] [ 1 ( ln ) ]
2 1/ u.a.
e
x x
e
e
x x
e
ex x
e
e e
A e dx e x dx
e dx e x dx
e x e x x x
e e e e e e e
e e e e e
−
−
−
−
− −− − − −
− −
⎡ ⎤= − − + −⎣ ⎦
= + + −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= + − + + − + −
= + − = −
∫ ∫
∫ ∫
R
 
1x e 2x são as abscissas dos pontos onde 
 o gráf ( )f intercepta o gráf ( )g em [ , ]a b
x
( )f x
( )g x
( )g x
( )f x
( )f x
( )g x
( )f x
( )g x1x
2xa b 
x1x 2xa b 
( )f x
x 2 
1
4
y
−2 −1 0
2
2y x=
2y x= +
x
y 
1 
1 
−1 
0 
e 
xy e=
lny x=
1/x e=
R 
ixΔ
( )ih c
19 
 
1.7.3 OPÇÃO DE CÁLCULO DA ÁREA POR INTEGRAÇÕES EM x OU y 
 
 Uma equação envolvendo x e/ou y representa uma 
curva no plano xy. Resolvendo y em função de x (se possí-
vel), obtemos uma função ( )y f x= que representa uma 
parte da curva. Se f for inversível, esta mesma porção da 
curva pode ser representada pela função 1( )x f y−= . As 
integrais de f e 1f − , contudo, têm significados distintos. 
A figura mostra que 
 
1( )
b
a
f x dx A=∫ e 1 2( )f y dy A
β
α
− =∫ . 
 No cálculo de área entre gráficos de funções, há a opção de realizar as integrações na variá-
vel x ou y; estude os dois exemplos seguintes: 
 
1) Seja R a região compreendida pelas curvas 
y x= , 1xy = e 2y = . A área A(R ) é dada por 
 
 
( ) ( )
1 2
1/2 1
21 2
11/2
( ) 2 1/ 2
2 ln 2 / 2
3/2 ln 2 u.a.
A x dx x dx
x x x x
= − + −
⎡ ⎤⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦⎣ ⎦
= −
∫ ∫R
 
ou 
 
( )
2 22
11
( ) 1/ /2 ln
2 ln 2 1/2 0 3/2 ln 2 u.a.
A y y dy y y⎡ ⎤= − = −⎣ ⎦
= − − + = −
∫R 
 
2) R é a região limitada por lny x= , 1y = 
e 21x y= − . 
( ) ( )
1
0 1
13/2
0 1
( ) 1 1 1 ln
(2/3) (1 ) ( ln )
1 2/3 1 1 5/3 u.a
e
e
A x dx x dx
x x x x x xe e
= − − + −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − + − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= − + − − = −
∫ ∫R
 
ou, mais facilmente, 
1 12 3
0
0
( ) (1 ) /3
1 1/3 1 5/3 u.a
y yA e y dy e y y
e e
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − = − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= − + − = −
∫R 
 
 
xa b 
α
β
y
1A
2A
1
( ) ou
( )
y f x
x f y−
=
=
 
x1 2 1/2
1
2
R 
y x=
1/
ou
1/
y x
x y
=
=
y
2y =
x
y ln ou yy x x e= =
R 
e 1 
1
−1
0
21 ou 1x y y x= − = ± −
( 1y x= − é a parte que 
delimita R ) 
20 
1.8 Apêndice 
 
1.8.1 PROVA DO TEOREMA DO VALOR MÉDIO PARA INTEGRAIS 
 
 Faremos uso do teorema de Weierstrass (TW) e do teorema do valor intermediário (TVI), os 
quais, como verificado na aula, são bastante intuitivos (v. Cap. 5 do Vol. 1 in Guidorizzi). 
 Sendo a função f contínua em [a, b], ela admite, segundo o TW, um valor mínimo m e um 
valor máximo M nesse intervalo, valendo então a desigualdade: 
 
( ) [ , ]m f x M x a b≤ ≤ ∀ ∈ . 
 
Logo, pela propriedade da comparabilidade (seç. 1.2, vi), temos que 
 
 ( )
b b b
a a a
m dx f x dx M dx≤ ≤∫ ∫ ∫ , 
ou 
 ( ) ( ) ( )
b
a
m b a f x dx M b a− ≤ ≤ −∫ , 
ou ainda 
 
( )
b
a
k
f x dx
m M
b a
≤ ≤
−
∫
 . 
 
 Mas, pelo TVI, o número k indicado acima é, pela f , 
a imagem de algum c em [a, b] (v. figura ao lado), isto é, 
 
 1( ) ( ) ( )
b
a
k b a f x dx f c−= − =∫ , 
donde, finalmente, 
 ( ) ( ) ( )
b
a
f x dx f c b a= −∫ ■ . 
 
 
 
x
a b
( )y f x=
c 
m
M
( )f c k=
y 
21 
 Nota: 
2
2
tan
sec
1 1
tan sec
tan
1 1
n
u x n
du x
n n
x x dx
u du
u x c
n n
=
=
+ +
=
= = +
+ +
∫
∫ 
2. TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
2.1 Integração das Funções Trigonométricas e de tann x 
 As integrais das seis funções trigonométricas são: 
sen cosx dx x c= − +∫ e cos senx dx x c= +∫ 
sen (cos )tan ln cos ln sec
cos cos
x xx dx dx dx x c x c
x x
′
= = − = − + = +∫ ∫ ∫ 
cos (sen )cot ln sen ln csc
sen sen
x xx dx dx dx x c x c
x x
′
= = = + = − +∫ ∫ ∫ 
2sec (sec tan ) sec sec tan (sec tan )sec
sec tan sec tan sec tan
ln sec tan
x x x x x x x xx dx dx dx dx
x x x x x x
x x c
′+ + +
= = =
+ + +
= + +
∫ ∫ ∫ ∫ 
2csc (csc cot ) csc csc cot (csc cot )csc
csc cot csc cot csc cot
ln csc cot ln csc cot
x x x x x x x xx dx dx dx dx
x x x x x x
x x c x x c
′+ + +
= = = −
+ + +
= − + + = − +
∫ ∫ ∫ ∫ 
 As integrais de tann x ( 2,3, 4, )n = podem ser calculadas como segue: 
2 2tan (sec 1) tanx dx x dx x x c= − = − +∫ ∫ 
2
2
tan
3 2 2
v. acima(1/2) tan
tan tan (sec 1) tan sec tan
x
x
x dx x x dx x x dx x dx= − = −∫ ∫ ∫ ∫ 
3
4 2 2 2 2 2
v. acima(1/3) tan
tan tan (sec 1) tan sec tan
x
x dx x x dx x x dx x dx= − = −∫ ∫ ∫ ∫ 
4
5 3 2 3 2 3
v. acima(1/4) tan
tan tan (sec 1) tan sec tan
x
x dx x x dx x x dx x dx= − = −∫ ∫ ∫ ∫ , e assim por diante. 
 Analogamente integramos cotn x : 
2 2cot (csc 1) cotx dx x dx x x c= − = − − +∫ ∫ 
2
2
cot
3 2 2
v. acima(1/2)cot
cot cot (csc 1) cot csc cot
x
x
x dx x x dx x x dx x dx
−
= − = −∫ ∫ ∫ ∫ , e assim por diante. 
2.2 Integração Por Partes 
 
2.2.1 O MÉTODO 
 Integrando ( )v v vu u u′ ′ ′= + , obtemos ( )v v v v vu u u dx u dx u dx′ ′ ′ ′= + = +∫ ∫ ∫ , donde 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )v v vu x x dx u x x u x x dx′ ′= −∫ ∫ , 
22 
ou, equivalentemente, como ( )u x dx du′ = e ( )v vx dx d′ = , que 
v v vu d u du= −∫ ∫ , ou p dq pq q dp= −∫ ∫ (as letras não importam) . 
 O método da integração por partes de ( )f x dx∫ consiste em usar uma das duas fórmulas 
destacadas acima para – definindo adequadamente ( ) e ( )vu x x′ de modo que ( ) ( ) ( )vu x x f x′ = 
(no caso da primeira fórmula), ou u e vd de modo que vu d f dx= (no caso da segunda fórmu-
la) – expressar ( )f x dx∫ em termos de uma integral mais simples: a que aparece no membro 
direito daquelas fórmulas. Observe: 
 
Exemplo 1: Cálculo de senx x dx∫ . 
 A primeira fórmula com ( )u x x= e ( ) senv x x′ = [ ( ) 1 e ( ) cos ]u x x x′⇒ = = −v fornece 
( )( )
sen ( cos ) 1 ( cos ) cos sen
x uu x u
x x dx x x x dx x x x c
′ ′
= − − − = − + +∫ ∫v vv ■ 
 A segunda fórmula com e senu x d x dx= =v [ e cos ]du dx x⇒ = = −v resulta no mesmo: 
sen ( cos ) ( cos ) cos sen
dudu u
x x dx x x x dx x x x c= − − − = − + +∫ ∫v vv ■ 
 
Exemplo 2: 
2 2 2 2 21 1ln ln ln ln
2 2 2 2 2 4u u
u
x x x x xx x dx x dx x x dx x c
x
′
′ ∗
= − = − = − +∫ ∫ ∫
v v v
■ 
ou fazendo 
2
2
ln / 1donde ln
2 2/ 2
u x du dx x xu du x x dx
d x dx x
∗
= ⇒ =⎧⎪ − = −⎨
= ⇒ =⎪⎩ ∫ ∫v vv v 
 
Exemplo 3: ln (ln ) ( ) ( ) (1/ ) ln
u d u du
x dx x x x x dx x x x c= − = − +∫ ∫v v v ■ 
 
 
2.2.2 INTEGRAÇÕES SUCESSIVAS POR PARTES 
 
2.2.2.1 O método 
 A integração por partes transforma o problema de se calcular vu d∫ no de calcular v du∫ , 
devendo esta última integral ser mais simples, mas que, às vezes, ainda precisa de outra integra-
ção por partes. Vejamos: 
 
 
Exemplo 1: 
2
2 2 2 2
( )
2
x
x x
u u
ex e dx x x e dx
′
∗
= −∫ ∫v
v
 ; 
2
2 2 2 2( )
1 1 1
2 2 2 4
x
x x x x
qp p
q
ex e dx x e dx x e e∗
′
= − = −∫ ∫ . 
2
2 2 2 2 2 2 21 1 1 1
2 2 4 2 2
x
x x x xex e dx x x e e c e x x c⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + = − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∴ ∫ ■ 
23 
Exemplo 2: 
cos sen sen sen ( cos ) cos
(sen cos ) cos
x x x x x x
qu u p q p
x x
e x dx e x e x dx e x e x e x dx
e x x e x dx
′ ′
⎤⎡= − = − − + ⎥⎢⎣ ⎦
= + − ⇒
∫ ∫ ∫
∫
v v 
12 cos (sen cos ) cos (sen cos )
2
x x x xe x dx e x x e x dx e x x c⇒ = + ⇒ = + +∫ ∫ ■ 
 
 
2.2.2.2 As integrais das potências positivas e ímpares de sec x 
a) sec ln sec tanx dx x x c= + +∫ (v. seç. 2.1) 
2sec 1
3 2 2 3
3 3
ln sec tan
b) sec sec sec sec tan tan sec sec tan sec sec
1 12 sec sec tan sec sec sec tan ln sec tan
2 2
xu u
x x
x dx x x dx x x x x dx x x dx x dx
x dx x x x dx x dx x x x x c
−′
+
= = − = + −
⇒ = + ⇒ = + + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
v v
■
2sec 1
5 3 2 3 3 2
3 3 5
c) sec sec sec sec tan 3 sec tan
sec tan 3 sec 3 sec
xu
x dx x x dx x x x x dx
x x x dx x dx
−′
= = −
⎤⎡= + −⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ ∫
∫ ∫
v
 
5 31 3 1 1sec sec tan sec tan ln sec tan
4 4 2 2
x dx x x x x x x c⎡ ⎤= + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
∴ ∫ ■ 
 
 
2.3 Integração de Produtos de Funções Trigonométricas 
 No que segue, ao se dizer que um número n é par ou ímpar, está implícito que 0n ≥ . 
 
2.3.1 INTEGRAIS DA FORMA sen cosp qx x dx∫ 
 
2.3.1.1 Caso de p ou q ímpar 
 
 Usamos a identidade 2 2sen cos 1x x+ = para, modificando a potência ímpar, reescrever o 
integrando na forma (cos )senf x x ou (sen ) cosf x x e, em seguida, segundo a seç. 1.5.4, mudar 
para a variável cosu x= ou senu x= , respectivamente. 
 
Exemplo 1: 
 
sen
3 2 2 2
cos
(sen )
3 3
cos cos cos (1 sen )cos (1 )
sensen
3 3
u x
du x dx
f x
x dx x x dx x x dx u du
u xu c x c
≡
=
= = − = −
= − + = − +
∫ ∫ ∫ ∫
■
 
24 
Exemplo 2: 
( )
( )
2 5 2 2 2 2 2 2
(sen 4 )
3 5 7sen 4
2 2 2 2 4 6
4cos 4
3 5 7
sen 4 cos 4 sen 4 (cos 4 ) cos 4 sen 4 (1 sen 4 ) cos 4
1 1 2(1 ) ( 2 )
4 4 4 3 5 7
1 sen 4 2sen 4 sen 4
4 3 5 7
f x
u x
du x dx
x x dx x x x dx x x x dx
du u u uu u u u u du c
x x x c
≡
=
= = −
= − = − + = − + +
= − + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
■
 
 
Exemplo 3: 
( )
[ ]
cos(2 1)
23 2 cos(2 1)
2sen(2 1)
2 3/2 1/2 5/2
51/2
1 cos (2 1)sen (2 1) sen (2 1) sen(2 1) sen(2 1)
cos(2 1) cos(2 1) cos(2 1)
(1 ) 1 cos (2 1)
2 2 5 5
f x
u x
du x
dx
xx xdx x dx x dx
x x x
u du u u udu u c x
u
+
≡ +
=− +
−
⎡ ⎤− ++ + ⎣ ⎦= + = + =
+ + +
− − −
= = − + = +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ / 2 cos(2 1)x c− + + ■
 
 
2.3.1.2 Caso de p e q pares 
 
 Reduzimos o grau da potência pela metade, assim tornando a integral mais fácil, eliminando 
2sen x e 2cos x por meio das identidades trigonométricas 2sen (1 cos 2 ) / 2x x= − e 
2cos (1 cos 2 ) / 2x x= + (∗); observe: 
 
Exemplo 1: 
2 1 1 sen 2cos (1 cos 2 )
2 2 2
axax dx ax dx x c
a
⎛ ⎞= + = + +⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ ∫ 
Exemplo 2: 
2
4 2 2 21 1sen 2 (sen 2 ) (1 cos 4 ) (1 2cos 4 cos 4 )
2 4
1 sen 41 sen8
4 2 2 8
x dx x dx x dx x x dx
x xx x c
⎡ ⎤= = − = − +⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= − + + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫ ∫ ∫ 
Exemplo 3: 
2
4 2
2 2 3
[#]
3
[#]
1 1sen cos (1 cos 2 ) (1 cos 2 )
2 2
1 1(1 2cos 2 cos 2 ) (1 cos 2 ) (1 cos 2 cos 2 cos 2 )
8 8
1 sen 2 1 sen 4 1 sen 2sen 2
8 2 2 4 2 3
kx kx dx kx kx dx
kx kx kx dx kx kx kx dx
kx kx kxx x kx
k k k
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= − + + = − − +
⎛ ⎞⎛ ⎞= − − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ ∫
∫ ∫
c
⎡ ⎤
+⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
■
 
[#] ( ) ( )3 323 3
v. acima
1 1 sen 1 sen 2cos 2 cos sen sen 2
2 2 3 2 3
y kx y kxkx dx y dy y kx
k k k
≡
= = − = −∫ ∫ 
 
(∗) Que são deduzidas a partir da identidade trigonométrica 
2
2 2
2
1 2sencos 2 cos sen
2cos 1
xx x x
x
⎧ −= − = ⎨ −⎩
 
25 
2.3.2 INTEGRAIS DA FORMA tan secp qx x dx∫ OU cot cscp qx x dx∫ 
 Como ( )tan sec sen cosp q p p qx x x x− += e ( )cot csc sen cosp q p q px x x x− += , então, com p ou 
( )p q− + ímpar, temos o caso já estudado na seç. 2.3.1.1. Por exemplo: 
3 (ímpar) (cos )
3 4 3 7 2 7
6 4 6 4
2 7
tan sec sen cos (1 cos )cos sen
sec sec(1 ) ;
6 4 6 4
u
p f x du
x x dx x x dx x x x dx
u u x xu u du c c
=
−
− −
− −
−
= = −
= − − = − + + = − +
− −
∫ ∫ ∫
∫
 
( ) 3 (ímpar) (sen )
2 5 2 3 2 2
3 5 3 5
2 2
tan sec sen cos sen (1 sen ) cos
sen sen(1 ) .
3 5 3 5
u
p q f x du
x x dx x x dx x x x dx
u u x xu u du c c
− + =
− = = −
= − = − + = − +
∫ ∫ ∫
∫
 
E, com p e ( )p q− + pares, temos o caso já estudado na seç. 2.3.1.2. Por exemplo, 
4 4 4tan 2 sec 2 sen 2x x dx x dx− =∫ ∫ e 4 6 4 2tan sec sen cosx x dx x x dx− =∫ ∫ 
são os Exemplos 2 e 3 da seç. 2.3.1.2, respectivamente. 
 Pois bem, vejamos então alguns casos nos quais a integral em estudo não pode ser calculada 
como uma integral de sen cosp qx x já considerada na seç. 2.3.1. 
 O método delineado abaixo para a integral tan secp qx x dx∫ aplica-se igualmente para a 
integral cot cscp qx x dx∫ , bastando substituir tan por cot e sec por csc, e corrigir as diferenças 
nos sinais oriundas da diferença entre as regras de diferenciação: 
 
2(tan ) secx x′ = e (sec ) sec tanx x x′ = versus 2(cot ) cscx x′ = − e (csc ) csc cotx x x′ = − . 
 
 
2.3.2.1 Secante com expoente par não-nulo (i.e., 2 2 0q k= + > ) e p genérico 
 
2 2 2 2 2 2
(tan )
integral de potências
tan sec tan (sec ) sec tan (1 tan ) sec (1 )
u
p k p k p k p k
f x du
x x dx x x x dx x x x dx u u du+ = = + = +∫ ∫ ∫ ∫ 
 
Exemplo 1: 
2
2
1 tan
5 7 5 7tan
4 4 4 2 2 4 2
sec(tan )
tan tantan sec tan sec sec (1 )
5 7 5 7
x
u x
du xf x
u u x xx x dx x x x dx u u du c c
+
=
=
= = + = + + = + +∫ ∫ ∫ ■ 
 
Exemplo 2: 
2 2
2
(1 tan )
tan
6 1/ 2 4 2 1/ 2 2 2
sec(tan )
3/ 2 7/ 2 11/2 3/ 2 7/2 11/ 2
1/ 2 5/ 2 9/ 2
tan sec tan sec sec (1 )
2 tan 4 tan 2 tan( 2 )
3/2 7/2 11/2 3 7 11
x
u x
du xf x
x x dx x x x dx u u du
u u u x x xu u u du c c
+
=
=
= = +
= + + = + + + = + + +
∫ ∫ ∫
∫ ■
 
26 
Exemplo 3: 
( )
2
tan 7
6 4 2 2 2 2 2 2
7sec 7(tan 7 )
3 5 3 5
2 4
sec 7 sec 7 sec 7 (1 tan 7 ) sec 7 (1 )
7
1 1 2 tan 7 2 tan 7 tan 7(1 2 )
7 7 3 5 7 21 35
u x
du xf x
dux dx x x dx x x dx u
u u x x xu u du u c c
=
=
= = + = +
= + + = + + + = + + +
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ■
 
 
2.3.2.2 Tangente com expoente par e secante com expoente ímpar ( 2p k= e 2 1q l= + ) 
 Nesse caso, o resultado compõe-se de integrais de potências positivas e ímpares da secante 
(já calculadas na seç. 2.2.2.2); observe: 
2 2 1 2 2 1 2 2 1 2( ) 1
0
tan sec (tan ) sec (sec 1) sec (sec )
k
k l k l k l j l
j
j
x x dx x x dx x x dx a x dx+ + + + +
=
= = − = ∑∫ ∫ ∫ ∫ . 
Por exemplo, 
4 3 2 2 3 2 2 3 4 2 3
7 5 3
tan sec (tan ) sec (sec 1) sec (sec 2sec 1)sec
sec 2 sec sec .
x x dx x x dx x x dx x x x dx
x dx x dx x dx
= = − = − +
= − +
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
 
e o resultado final é obtido com a substituição das integrais calculadas na seç. 2.2.2.2. 
 
2.3.3 INTEGRAIS DA FORMA sen cosax bx dx∫ , sen senax bx dx∫ E cos cosax bx dx∫ 
 Calculamos essas integrais usando as fórmulas 
1 1sen cos sen( ) sen( )
2 2
1 1sen sen cos( ) cos( )
2 2
1 1cos cos cos( ) cos( )
2 2
A B A B A B
A B A B A B
A B A B A B
= + + −
= − − +
= + + −
 
Por exemplo: 
( ) ( )
sen
1 1 1 cos 7 1sen 3 cos 4 sen 7 sen( ) cos
2 2 2 7 2x
xx x dx x x dx x c
−
−⎡ ⎤= + − = + +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ■ 
 
( ) ( ) ( )
2 1 cos 6 1sen 3 cos 4 cos 4 (cos 4 cos 6 cos 4 )
2 2
1 1 1 1cos 4 cos10 cos 2
2 2 2 2
1 sen 4 1 sen10 1 sen 2
2 4 4 10 4 2
xx x dx x dx x x x dx
x dx x x dx
x x x c
−
= = −
⎡ ⎤= − +⎣ ⎦
= − − +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
■
 
 
 
2.4 Integração por Substituição Trigonométrica 
 
 O cálculo da integral de uma função envolvendo uma raiz quadrada da forma 
2 2a x− , 2 2x a+ ou 2 2x a− 
27 
pode tornar-se mais simples mudando-se a variável x para a variável θ de modo que essas raízes 
quadradas se transformem em expressões mais simples mediante o uso subsequente das identi-
dades trigonométricas 2 21 sen cosθ θ− = , 2 21 tan secθ θ+ = ou 2 21 cot cscθ θ+ = . Estudemos 
cada um desses casos separadamente, sempre considerando 0a > (sem perda de generalidade): 
 
2.4.1 INTEGRAIS ENVOLVENDO 2 2a x− , com [ , ]x a a∈ − . 
 
 Façamos a mudança de variável 
senx a θ= . 
 
Podemos considerar que, ao intervalo [ , ]x a a∈ − , corresponda o intervalo [ /2 , /2]θ π π∈ − (va-
riação nos 4o e 1o quadrantes), onde a correspondência é biunívoca e, em particular, cos 0.θ ≥ 
Logo, temos, por exemplo, que 
 
Exemplo 1: 
 
2
/ 2 / 2 / 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
/ 2
/2 /2cos cos ( 0)
sen 2sen cos cos
2 4 2
a
a a a
aa x dx a a a d a d a
π π π
π
π πθ θ
θ θ πθ θ θ θ θ
−
− − −= ≥
⎡ ⎤− = − = = + =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ■ 
 
 Também a mudança de variável 
cosx a θ= 
 
leva a uma simplificação equivalente. Nesse caso, considerando [0, ]θ π∈ (1o e 2o quadrantes), a 
correspondência entre x e θ é biunívoca (a x a= − corresponde θ π= , e a x a= , 0θ = ) e, em 
particular, sen 0θ ≥ . Vejamos: 
 
2
0 0 0 2
2 2 2 2 2 2 2 2
sen sen ( 0)
sen 2cos ( sen ) sen
2 4 2
a
a a a
aa x dx a a a d a d a
π
π πθ θ
θ θ πθ θ θ θ θ
− = ≥
⎡ ⎤− = − − = − = − − =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ■ 
 
 Consideremos essa mesma integral, mas indefinida, com [ , ]x a a∈ − : 
 
Exemplo 2: 
 
2sen
2 2 2 2
2 2
2
sen 2( cos ) ( cos ) cos
2 2
arcsen 1
2
dxx a aa x dx a a d a d c
a x x x c
a a a
θ θθ θ θ θ θ θ
= ⎛ ⎞− = = = + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
(#)
■
 
 
 Essa primitiva pode obviamente ser usada para calcular novamente a integral definida no 
Exemplo 1: 
 
2 2 2 2
2 2
2
/2 /2
arcsen 1 arcsen1 arcsen( 1)
2 2 2
aa
a a
a x x x a aa x dx
a a a π π
π
− −−
⎡ ⎤⎡ ⎤
− = + − = − − =⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫ . 
28 
 Expliquemos a passagem indicada acima por (#), em que se retorna à variável original x: 
 
 Se senx a θ= então arcsen ( / )x aθ = . Além disso, qualquer função 
trigonométrica de variável θ pode ser expressa em função de x, o que se 
realiza facilmente por meio da figura à direita. Nela vemos um triângulo 
retângulo no qual vale a equação senx a θ= . Como o outro cateto deve 
medir 2 2a x− , obtemos 2 2cos / ( 0)a x aθ = − ≥ . Assim, 
 
2 2 2
2
sen 2 sen cos 1
2
x a x x x
a a a a
θ θ θ −= ⋅ = ⋅ = ⋅ − . 
 
 Considere as expressões das seis funções trigonométricas em termos de x que se obtêm pela 
figura acima: 
 
sen 1/ csc /x aθ θ= = , 2 2cos 1/ sec /a x aθ θ= = − , 2 2tan 1/ cot /x a xθ θ= = − . 
 
Embora só possamos construir aquele triângulo retângulo quando o lado de tamanho x não seja 
negativo, isto é, quando, sen [0, ]x a aθ= ∈ , o que ocorre com θ no 1o quadrante, é fácil verifi-
car que, para [ ,0)x a∈ − , isto é, com θ no 4o quadrante, as relações acimas continuam válidas, 
fornecendo, também neste quadrante, os sinais das funções trigonométricas corretamente. 
 
Exemplo 3: 
2 2 sen 2 2
2 2 2cos
2 2
cos cos cot (csc 1)
sen
cot arcsen
x a
dx a d
a x adx a d d d
x a
a x xc c
x a
θ
θ θ
θ θ θ θ θ θ θ
θ
θ θ
=
=
−
= = = −
−
= − − + = − − +
∫ ∫ ∫ ∫
■Exemplo 4: 
2 sen
2 2 2 2 2cos
cos
cos
4 3 [ 4 3] [( 2) 1] 1 ( 2) 1 sen
arcsen arcsen ( 2)
x
dx d
dx dx dx dx d
x x x x x x
d c x c
θ
θ θ
θ
θ θ
θ
θ θ
+ =
=
= = = =
− − − − + + − + − − + −
= = + = + +
∫ ∫
∫ ■ 
 
 Um modo mais fácil de calcular essa integral é o seguinte: 
 
2
2 2 2
arcsen arcsen ( 2)
4 3 1 ( 2) 1
x u
dx du
dx dx du u c x c
x x x u
+ =
=
= = = + = + +
− − − − + −∫ ∫ ■ 
 
 
2.4.2 INTEGRAIS ENVOLVENDO 2 2x a+ , com x ∈ . 
 
 Façamos a transformação de variável 
 
tanx a θ= . 
x
a 
θ 
2 2a x−
29 
 Podemos admitir que ( /2 , /2)θ π π∈ − (variação nos 4o e 1o quadrantes), onde a transfor-
mação é biunívoca e, em particular, sec 0θ > . 
 
 Antes de prosseguir, diga-se que, usando um triângulo retângulo co- 
mo o da figura à direita (coerente com a mudança de variável acima) para 
calcular, em função de x, as demais funções trigonométricas, verificamos 
que as expressões obtidas (v. abaixo) são válidas tanto no 1o quadrante 
(correspondente a 0x > ) quanto no 4o (associado a 0x < ): 
 
tan 1/ cot /x aθ θ= = , 2 2cos 1/ sec /a x aθ θ= = + , 2 2sen 1/ csc /x x aθ θ= = + . 
 
 Em muitas integrais, essas relações aparecem com o x substituído por outra expressão de x 
[e.g., 2( 5)x − no Exemplo 7 abaixo]. 
 
Exemplo 5: 
 
{ } { }
2
/4 /4
2 2 2 2 2 2 2 3
/4 /4
sec sec
/42 2
/4
2 2
tan sec sec
sec tan ln sec tan 2 ln( 2 1) 2 ( 1) ln( 2 1)
2 2
2 12 2 ln 2 2 ln (3 2 2)
2 22 1
a
a
a a
x a dx a a a d a d
a a
a a
π π
π π
θ θ
π
π
θ θ θ θ θ
θ θ θ θ
− − −
=
−
+ = + =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + = + + − − + −⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤+ ⎡ ⎤= + = + +⎢ ⎥ ⎣ ⎦−⎣ ⎦
∫ ∫ ∫
■
 
 
Exemplo 6: 
 
2
2 3 2 3 32
2 2 23 3 1
/32tan 3
sec /44
4 5 ( 2) 1 1
sec ln sec tan ln (2 3) ln( 2 1)
sec
t x
t dxd
t
td
dx dx dt
x x x t
d
π πθ
πθ π
θ θ θ θ
θ
+ + = −
=
=
=
= = =
− + − + +
= = + = + − +
∫ ∫ ∫
∫ ■
 
 
 
Exemplo 7. Para x ∈ : 
2
22( 5) 3tan
2 2 2 3sec
sec
2(#) 2
3 sec 1 ln sec tan
2 3sec 24 40 109 [2( 5)] 9
4 40 1091 2( 5) 1ln ln 4 40 109 2( 5)
2 3 3 2
x
dx d
dx dx d c
x x x
x x x c x x x c
θ
θ θ
θ
θ θ θ θ
θ
− ≡
=
= = = + +
− + − +
− + − ⎡ ⎤ ′= + + = − + + − +⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ ∫
■
 
onde se definiu ( 1/ 2) ln 3 c c′− + ≡ . 
 A figura abaixo nos auxilia a realizar a passagem (#). O triângulo retângulo é tal que 
2( 5)sec
3
xθ −= . Concluímos que 
2hipotenusa 4 40 109sec
cateto adjacente 5
x xθ − += = x∀ ∈ . 
a
θ 
2 2x a+
x
30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Uma alternativa à transformação tanx a θ= é a mudança de variável 
 
cotx a θ= , 
 
admitindo que (0 , )θ π∈ (variação nos 1o e 2o quadrantes), onde a transformação é biunívoca e, 
em particular, csc 0θ > . Exemplo: 
 
 
Exemplo 8: 
2
23 cot 66
2 csc1
4 4
csc ln csc cot ln (2 3) ln( 2 1)
csc1
x
dx d
dx d
x
ππ
θ
π πθ θ π π
θ θ θ θ
θ
=
=−− − −
−
= = + = + − −
+∫ ∫ ■ 
 
 
2.4.3 INTEGRAIS ENVOLVENDO 2 2x a− , com x a≤ − ou x a≥ (i.e., x a≥ ) . 
 
 Convém fazer a mudança de variável 
 
secx a θ= . 
 
Podemos considerar que, aos possíveis valores de x, ( , ] [ , )x a a∈ −∞ − ∪ ∞ , correspondam os 
valores de θ no intervalo [0, /2) ( /2, ]π π π∪ (variação nos 1o e 2o quadrantes), onde a correspon-
dência é biunívoca, ressaltando, em particular, que a função tanθ é positiva (negativa) no 1o (2o) 
quadrante. 
 
 
Exemplo 9: 
 
10 5sec
2 5sec tan5 2
( 5) (5sec 5)5sec tan
25
x
dx d
x dx
x
θ
θ θ θ
θ θ θ=
=
− −
=
−∫ 5 tan
dθ
θ
/3 /3
2
/4 /4
/3
/4
5 (sec sec )
5 tan ln sec tan 5 3 ln(2 3) 1 ln( 2 1) .
d
π π
π π
π
π
θ θ θ
θ θ θ
= −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + = − + − + +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
∫ ∫
 
 
 Vejamos essa mesma função integrada num intervalo de valores negativos de x. Uma vez 
que os valores correspondentes de θ estão no 2o quadrante, onde a função tanθ é negativa (e, 
portanto, 2tan tanθ θ= − ), esse cálculo é como segue: 
 
3
2 ( 5)x −
θ
2 2[2( 5)] 9 4 40 109x x x− + = − +
31 
5 2 5sec
2 5sec tan10
( 5) (5sec 5)5sec tan
25
x
dx d
x dx
x
θ
θ θ θ
θ θ θ− =
=−
− −
=
−∫ 5tan
dθ
θ−
( )
4
3
44 2
3 3
5 (sec sec ) 5 tan ln sec tan
5 1 ln 2 1 3 ln 2 3 5 1 ln 2 1 3 ln 2 3 .
d
ππ
ππ
ππ ππ
π ππ π
θ θ θ θ θ θ
−
−
−−
− −
⎡ ⎤
= − − = − − +⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= − − − − − − − − − − = + + − − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫
∫ 
 
 Nesse caso, para quem não gosta de trabalhar com ângulos fora do 1o quadrante, a mudança 
para a variável positiva u x= − elimina esse incômodo: 
 
5 2 5 2 10
2 2 210 10 5 2
5sec
5sec tan
( 5) ( 5) ( ) ( 5)
25 25 25
(5sec 5)5sec tan
u x
u
du d
x dx u du u du
x u u
θ
θ θ θ
θ θ θ
− = −
−
=
=
− − − − +
= = −
− − −
+
= −
∫ ∫ ∫
5tan
dθ
θ
/3 /3
2
/4 /4
/3
/4
5 (sec sec )
5 tan ln sec tan 5 3 ln(2 3) 1 ln( 2 1) .
d
π π
π π
π
π
θ θ θ
θ θ θ
= − +
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + + = − + + − − +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
∫ ∫ 
 
 Passemos agora a considerar integrais indefinidas. No cálculo delas, não sabendo se os valo-
res da função secθ estão no intervalo [1, )∞ ou ( , 1]−∞ − , isto é, se θ varia no 1o ou no 2o qua-
drante, respectivamente, devemos ter o cuidado de escrever 2tan tanθ θ= ± , em que o sinal 
"+" deve ser usado se tan 0θ ≥ (isto é, se θ for do 1o quadrante, onde sec 1θ ≥ ), e o sinal " "− 
deve ser usado se tan 0θ ≤ (isto é, se θ for do 2o quadrante, onde sec 1θ ≥ − ). 
 
 Tendo em conta esse uso dos sinais "+" e " "− , e tendo em 
mente os sinais das diversas funções trigonométricas no 2o qua-
drante, por meio do triângulo retângulo à direito, que satisfaz a 
mudança de variável em estudo, secx a θ= , obtemos rapida-
mente as seguintes expressões para elas em termos de x : 
 
sec 1/ cos /x aθ θ= = , 2 2tan 1/ cot x aθ θ= = ± − , 2 2csc 1/ sen /x x aθ θ= = ± − . 
 
 Mais uma vez ressalte-se que, em muitas integrais, essas relações aparecem com o x substi-
tuído por outra expressão de x [por exemplo: 2( 3)x − no Exemplo 12 a seguir]. 
 
Exemplo 10: 
( )
[ ]
2 sec
2 2
2
2
1 tan sec tan tan (sec 1)
sec
(tan ) 1 arcsec
1 ( )arcsec " " se 1 e " " se 1
xx dx d d d
x
x x c
x x x x
θ θ θ θ θ θ θ θ θ
θ
θ θ
=− ±
= = ± = ± −
= ± − = ± ± − − +
= − − ± + ≥ − ≤ −
∫ ∫ ∫ ∫
■
 
a 
θ 
2 2x a−
x 
32 
Exemplo 11: 
{ } { }
1 sec
2 3/2 3 3 2 21/22
sen
2 2
sec tan sec cos
[2 ] tan sentan( 1) 1
1 1 1 ( 2 ou 0)
sen 2
x
u
dx dx d d d
x x
x
du xc c c x x
uu x x
θ
θ
θ θ θ θ θθ θ
θ θθ
θ
+ =
=
= = = ± = ±
+ ±⎡ ⎤+ −⎣ ⎦
− − +
= ± = ± + = ± + = − + < − >
+
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ■
 
Nesse caso," "+ se sec 1 1xθ = + > (θ no 1o quadrante) e " "− se sec 1 1xθ = + < − (θ no 2o quad.). 
Logo, pela figura à direita, tendo em conta que a função 
cscθ é positiva em ambos 1o e 2o quad. (nos quais o sinal 
de 1x + são opostos), deduzimos que 
22sen
1
x x
x
θ += ±
+
 . 
 
 
 Uma alternativa à mudança secx a θ= é a realização da transformação de variável 
cscx a θ= , 
considerando que, aos valores de x no intervalo ( , ] [ , )a a−∞ − ∪ ∞ , correspondam os valores de θ 
no intervalo [ /2,0) (0, /2]π π− ∪ (variação nos 4o e 1o quadrantes), onde a correspondência é 
biunívoca, ressaltando, em particular, que a função cotθ é positiva (negativa) no 1o (4o) qua-
drante. Vamos ilustrar o uso dessa transformação refazendo a primeira integral definida no 
Exemplo 9: 
 
Exemplo 12. Cálculo da primitiva ( )F x de 21 / 4 24 11x x− + : 
2( 3) 5sec
2 2 22 5sec tan
2(#
n
2
ta
)
1 sec tan( )
24 24 11 [2( 3)] 25 5 tan
1 1 2( 3) 4 24 11sec ln sec tan ln
2 2 5 5
1 11ln 2( 3) 4 24 11 " " se e " " s
2 2
x
dx d
dx dx dF x
x x x
x x xd c c
x x x c x
θ
θ θ θ
θ
θ θ θ
θ
θ θ θ θ
=
=
±
−
= = =
− + − −
− − +
= ± = ± + + = ± ± +
= ± − ± − + + + > −
∫ ∫ ∫
∫
1e 
2
x⎛ ⎞<⎜ ⎟
⎝ ⎠
■
 , 
onde se fez 1(1/ 2) ( ln 5) c c− + ≡ . A passagem 
(#) é efetuada com a ajuda da figura abaixo, um 
triângulo retângulo no qual 2 ( 3)sec
5
xθ −= e 
24 24 11tan
5
x xθ − += . 
 
 
 
 
 
 
 
 Para entender o uso dos sinais, note que o sinal "+" deve ser empregado se 
sec 2( 3) / 5 1xθ = − > , isto é, para 11/ 2x > , e o sinal ("−"), se sec 2( 3) / 51xθ = − < − , isto é, 
1
1x +
θ
2
2
( 1) 1
2
x
x x
+ −
= +
5 
2 ( 3)x −
θ 
2 2[2( 3)] 25 4 24 11x x x− − = − +
33 
para 1/ 2x < . [É fácil constatar que ( ,1/ 2) (11/ 2, )−∞ ∪ ∞ é o domínio da função no integrando, 
obtido exigindo-se que 24 24 11 0x x− + > .] 
 
 Exemplo13: 
 
10 /6 /65csc
2
2 25 2 /4 /4
cot
/6
/4
( 5) (5csc 5)( 5csc cot ) 5 ( csc csc cot )
25 25cot
5 cot ln csc cot 5 3 ln(2 3) 1 ln( 2 1) .
xx dx d d
x
π πθ
π π
θ
π
π
θ θ θ θ θ θ θ θ
θ
θ θ θ
=− − −
= = − +
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + = − + − + +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
∫ ∫ ∫
 
 
 
2.5 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais 
 Queremos aqui integrar funções racionais, isto é, quocientes de polinômios, ( ) / ( )P x Q x 
[ ]( ) 0Q x ≡ . 
 O método a ser exposto aplica-se a funções racionais em que o grau do polinômio no nume-
rador é menor do que o grau do polinômio no denominador. Se este não for o caso, isto é, se 
gr ( ) gr ( )P x Q x≥ , então, antes, dividimos ( )P x por ( )Q x , obtendo ( ) ( ) ( ) ( )P x f x Q x R x= + 
[onde ( )f x e ( )R x são polinômios e gr ( ) gr ( )R x P x< ], e escrevemos 
 
integral de
um polinômio
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P x f x Q x R x R x P x R xf x dx f x dx dx
Q x Q x Q x Q x Q x
+
= = + ⇒ = +∫ ∫ ∫ . 
 
Essa equação mostra que a integral da função racional original pode ser expressa como sendo a 
soma da integral de um polinômio com a integral de uma função racional à qual o método se 
aplica, pois o numerador, ( )R x , é um polinômio de grau menor que o grau do polinômio no de-
nominador, ( )Q x . 
 É necessário também tomar a forma irredutível da função racional, bastando, se for o caso, 
cancelar os fatores comuns no numerador e denominador. 
 Pois bem, a ideia é expandir ( ) / ( )P x Q x numa soma de frações mais simples, chamadas 
frações parciais da função racional P(x)/Q(x). A decomposição de ( )Q x em fatores irredutíveis 
pode apresentar fatores lineares ( )ax b+ , quadráticos 2( )ax bx c+ + ou de maior grau. Conside-
raremos apenas polinômios ( )Q x cuja decomposição não apresente fatores irredutíveis de grau 
maior que dois. 
 
 
2.5.1 DENOMINADOR COM FATORES LINEARES DISTINTOS 
 
 Note que 
5 4 2 3
( 2) ( 1) 2 1
x
x x x x
−
= +
− + − +
 ; 
logo, 
5 4 2 3 2 ln 2 3ln 1
( 2) ( 1) 2 1
x dx dx dx x x c
x x x x
−
= + = − + + +
− + − +∫ ∫ ∫ . 
34 
 Portanto, integrar 5 4
( 2) ( 1)
x
x x
−
− +
 é fácil desde que conheçamos sua decomposição na soma 
das frações parciais (de denominadores lineares, no caso) 
2
2x −
 e 
3
1x +
. Abaixo mostramos dois 
modos de obter tal decomposição: 
 
 
2.5.1.1 O método de igualar coeficientes 
 
5 4 ( 1) ( 2) ( ) ( 2 )
( 2) ( 1) 2 1 ( 2) ( 1) ( 2) ( 1)
x A B A x B x A B x A B
x x x x x x x x
− + + − + + −
≡ + = =
− + − + − + − +
 
5 2
2 4 3
A B A
A B B
+ = =⎧ ⎧
∴ ⇒⎨ ⎨− = − =⎩ ⎩
 ∴ 5 4 2 3
( 2) ( 1) 2 1
x
x x x x
−
= +
− + − +
 
 
 
2.5.1.2 O método de substituição 
 
 5 4
( 2) ( 1) 2 1
x A B
x x x x
−
≡ +
− + − +
 ( 2)
2
10 4 0
2 1
5 4 ( 2) 2
1 1
x
x
x B xA A
x x
× −
=
−
+
⎡ ⎤− −
⎯⎯⎯⎯→ = + → =⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
 
 ( 1)
1
9 0
3
5 4 ( 1) 3
2 2
x
x
x A x B B
x x
× +
= −
−
−
⎡ ⎤− +
⎯⎯⎯⎯→ = + → =⎢ ⎥− −⎣ ⎦
 
 Note que podemos escrever diretamente: 
2
5 4 2
1 x
xA
x =
−⎡ ⎤= =⎢ ⎥+⎣ ⎦
 e 
1
5 4 3
2 x
xB
x =−
−⎡ ⎤= =⎢ ⎥−⎣ ⎦
 . 
 
 
Exemplo 1: 
 2
3 5 1 8 1 8ln 2 ln 1
3 2 3 1 3 32
x dx dxdx x x c
x xx x
−
= + = − + + +
− +− −∫ ∫ ∫ 
pois 
2p/ subst.
2
( 2)( 1)
1
3 5 1
1 33 5
2 1 3 5 82
2 3
x
x x
x
xA
xx A B
x x xx x B
x
=
− +
=−
⎧ −
= =⎪ +− ⎪= + ⎯⎯⎯⎯→ ⎨− + −− − ⎪ = =⎪ −⎩
 
 
 
Exemplo 2: 
 
5 4 3 2 2
2
3 2 3 2
5 13 30 19 58 16 3 26 16(5 3 4)
2 8 2 8
x x x x x x xI dx x x dx dx
x x x x x x
− − + − − − −
≡ = − + +
− − − −∫ ∫ ∫ , 
 
onde dividimos os polinômios como segue: 
35 
5 4 3 2 3 2
25 4 3
4 3 2
4 3 2
3 2
3 2
2
5 13 30 19 58 16 2 8
5 3 45 10 40
3 10 19 58 16
3 6 24
4 5 58 16
4 8 32
3 26 16
x x x x x x x x
x xx x x
x x x x
x x x
x x x
x x x
x x
− − + − − − −
− +− + +
− + + − −
− −
− − −
− + +
− −
 
Mas 
2
0
2 2
p/ subst.
3 2
4
( 4)( 2)
2
2
3 26 16 16 2
( 4)( 2) 8
3 26 16 3 26 16 72 3
4 2 ( 2) 242 8
3 26 16 48 4
( 4) 12
x
x
x x x
x
x xA
x x
x x A B C x xB
x x x x xx x x
x xC
x x
=
=
− +
=−
⎧ − − −
= = =⎪
− + −⎪
⎪
− − − − −⎪= + + ⎯⎯⎯⎯→ = = = −⎨− + +− − ⎪
⎪
− −⎪ = = =⎪ −⎩
 
Logo, 
3 2
3 2
5 3 2 3 44
3 2 4 2
5 3 4 2ln 3ln 4 4ln 2
3 2
x xI x dx
x x x
x x x x x x c
⎛ ⎞= − + + − +⎜ ⎟
⎝ ⎠− +
= − + + − − + + +
∫
■
 
 
 
2.5.2 DENOMINADOR COM FATORES LINEARES REPETIDOS 
 
 Tratamos agora de denominador como, por exemplo, 3 2( 1) (3 2) ( 1)x x x− − + . 
 
Método: A cada fator da forma ( ) ( 2)kax b k+ ≥ deve corresponder uma 
soma de k frações parciais: 
31 2
2 3( ) ( ) ( )
k
k
A AA A
ax b ax b ax b ax b
+ + + +
+ + + +
 , 
onde 1A , 2A , 3A , , kA são constantes a serem determinadas. Isto deve 
ser feito para cada fator do denominador. Fatores que não se repetem são 
tratados como antes. 
 
 
Exemplo 1: 
2
1 2
2 2
3 4 2
1( 1) ( 1)
B Bx x A
x xx x x
+ +
= + +
++ +
 
 
 O método de substituição funciona na determinação de A e 2B : 
36 
2
2
0
3 4 2 2
( 1) x
x xA
x =
+ +
= =
+
 [multiplicou-se a equação acima por x e substituiu-se x por 0] 
 
2
2
1
3 4 2 1
x
x xB
x
=−
+ +
= = − [multiplicou-se por 2( 1)x + e substituiu-se x por 1− ] 
 
Mas para determinar 1B , o método de igualar coeficientes deve ser usado: 
 
2 1
2 22
1 2 1 1
2 2 2
( 1) ( 1) (2 ) (3 ) 23 4 2
( 1) ( 1) ( 1)
A x B x x B x B x B xx x
x x x x x x
−
+ + + + + + + ++ +
= =
+ + +
 
 
1
1
1
2 3
1
3 4
B
B
B
+ =⎧
∴ ⇒ =⎨ + =⎩
 ∴ 
2
2 2
3 4 2 2 1 1
1( 1) ( 1)
x x
x xx x x
+ +
= + −
++ +
 
 
Logo, 
2
2
3 4 2 12ln ln 1
1( 1)
x x x x c
xx x
+ +
= + + + +
++∫ ■ 
 
 
Exemplo 2: 
3
1 2
3 2 3 2 2 2
2
3 2 3 2 3 2;
1( 1)
A Ax x x BI dx
x xx x x x x x x
− − −
= = = + +
−− − −∫ 
 
 Pelo método de substituição, obtemos 
 
2 2
0 1
3 2 3 22 e 1
1 x x
x xA B
x x= =
− −
= = = =
−
 
 
Já, pelo método de igualar coeficientes, 
 
2 2
1 2 1 1 1
1 02 3
3 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 2) 2 1x A x x A x B x A x A x A− = − + − + = + + − + − ⇒ = − 
Logo, 
( )
33
2
22
1 2 1 2ln ln 1
1
2 4 1ln 3 ln 2 ln 2 1 ln1 ln
3 3 3
I dx x x
x x xx
−⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + + = − − + −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠−
= − − + − − − + = +
∫
■
 
 
 
 
2.5.3 DENOMINADOR COM FATORES QUADRÁTICOS IRREDUTÍVEIS 
 
 Abaixo o fator quadrático 2ax bx c+ + considerado é irredutível, isto é, tal que 
2 4 0.b ac− < 
37 
 
Método: A cada fator quadrático irredutível 2ax bx c+ + que não se re-
pete deve corresponder uma fração parcial da forma 
2
Ax b
ax bx c
+
+ +
 , 
e a cada fator quadrático irredutível repetido k vezes 2( )kax bx c+ + deve 
corresponder uma soma de k frações parciais: 
1 1 2 2
2 2 2 2( ) ( )
k k
k
A x BA x B A x B
ax bx c ax bx c ax bx c
++ +
+ + +
+ + + + + +
 . 
 
 
 
Exemplo 1: 
2 2
2 2
3 2 2 2
( 1) 4( 1) ( 4)( 1)
8 3 20 8 3 20
14 4 ( 4)( 1) 4
x x x x x
x x x x Ax B C
xx x x x x x
+ + + = + +
+ + + + +
= = +
++ + + + + +
 
 
Determinamos C pelo mét. de subst.: 
2
2
1
8 3 20 5
4 x
x xC
x =−
+ +
= =
+
 
 
Determinamos A e B pelo mét. de igualar coef.: 
 
2 2 2
38 20
8 3 20 ( )( 1) ( 4) ( 5) ( ) ( 20) 3 e 0 .x x Ax B x C x A x A B x B A B+ + = + + + + = + + + + + ⇒ = =
Logo, 
 
2
2
3 2 2
8 3 20 3 5 3 ln 4 5ln 1
1 24 4 4
x x xdx dx dx x x c
xx x x x
+ +
= + = + + + +
++ + + +∫ ∫ ∫ ■ 
 
 
 
Exemplo 2: 
3
2 2 2 2
3 11 16
( 1)( 4 13) 1 4 13
irredutíveis
x x Ax B Cx D
x x x x x x
↑ ↑
+ − + +
= +
+ + + + + +
 
 
3 2 2
3 2
03 11 16
13 11 16 ( )( 4 13) ( )( 1) 1
2( ) (4 ) (13 4 ) (13 )
3
Ax x Ax B x x Cx D x B
CA C x A B D x A B C x B D
D−
=⎧⎫+ − = + + + + + + ⎪ ⎪ = −⇒⎬ ⎨ == + + + + + + + + + ⎪ ⎪ = −⎭ ⎩
 
 
Logo, 
38 
2 4 7
3
2 2 2 2
( )
2 2 2 2
2 2
3 11 16 1 2 3
( 1)( 4 13) 1 4 13
1 2 4 7
1 1 4 13 4 13
1 7 2ln( 1) arctan ln( 4 13) arctan
2 3 3
x
x x x xdx dx dxx x x x x x
x x dxdx dx dx
x x x x x x
xx x x x c
+ −
∗
+ − − −
= +
+ + + + + +
+
= − + −
+ + + + + +
+
= + − + + + − +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
■
 
 
(∗) 2 2 2 2
1 1 1 1 2arctan arctan
9 3 3 3 34 13 9 ( 2) 121
3
u
dx dx dx du xu
x x x ux
+⎛ ⎞= = = = = ⎜ ⎟
⎝ ⎠+ + + + ++⎛ ⎞+
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫ ∫ ∫ 
 
 
Exemplo 3: 
3
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 1 2
( 1) 1 ( 1) 1 ( 1)
x x A Bx C Dx E x x
x xx x x x x x
+ + + + −
= + + = − −
+ + + + +
 
pois, pelo método de substituição, temos que 
3
2 2
0
2 2
( 1) x
x xA
x =
+ +
= =
+
 
e, pelo método de igualar coeficientes, que 
3 2 2 2
4 3 2
2 ( 1) ( 1)( ) ( )
(2 ) (4 ) ( ) 2
x x A x x x Bx C x Dx E
B x Cx B D x C E x
⎫+ + = + + + + + + ⎪
⎬
= + + + + + + + + ⎪⎭
 
2
1
2
0
B
C
D
E
= −⎧
⎪ =⇒ ⎨ = −
⎪ =⎩
 
Logo, 
(#)
3
2 2 2 2 2 2
2
2
2 2 2 2
( 1) 1 1 ( 1)
12ln ln( 1) arctan
1
x x x dx xdx dx dx dx
xx x x x x
x x x c
x
+ +
= − + −
+ + + +
= − + + + +
+
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
■
 
(#) 
2 1
2 2 2 22
2 1 1
( 1) 1
t x
dt x dx
x dtdx
tx t x
≡ +
=
= = =
+ +∫ ∫ 
 
 
Exemplo 4: 
5 4 3
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
( 1) 1 ( 1)
x x x x A B Cx D Ex G
xx x x x x
− + + − + +
= + + +
+ + +
 
Determinamos, pelo mét. de subst., 
5 4 3
2 2
0
2 2 2 2
( 1) x
x x x xB
x =
− + + −
= = −
+
 
e, pelo mét. de igualar coef., as demais constantes: 
39 
5 4 3
2 2 2 2 2 2 2
2
5 4 3 2
2 11 2 `0
2 2 2
( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( )
( ) ( 2) (2 ) ( 4) 2
x x x x
Ax x B x Cx D x x Ex G x
A C x D x A C E x D G x A x
−
−
⎫
⎪− + + − = ⎪
⎪+ + + + + + + + ⎬
⎪
⎪= + + − + + + + + − + − ⎪⎭
0
0
0
4
1
C
D
E
G
A
=⎧
⎪ =⎪⎪⇒ =⎨
⎪ =⎪
=⎪⎩
 
 
Logo, 
 
5 4 3
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 1 2 4 2ln 2 arctan
( 1) ( 1) 1
x x x x xdx dx x x c
x xx x x x x
− + + − ⎛ ⎞⎡ ⎤= − + = + + + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠+ + +∫ ∫ 
 
 O último termo no integrando foi assim integrado: 
 
( ) ( )
2
2tan
2
2 2 4sec
2sen cos
2
sec cos
( 1) sec
sen 2 1 1sen cos arctan
2 4 2 2 1
x
dx d
dx d d
x
xx
x
θ
θ θ
θ θ
θ θ θ θ
θ
θ θ θ θ θ
=
=
= =
+
= + = + = +
+
∫ ∫ ∫
 
 
onde, para expressar senθ e cosθ em função de x, fizemos uso da figura abaixo: 
 
 
 Observação: 
 Considere os seguintes cálculos da integral indefinida de 2 21 / ( ) ( 0)x a a− > : 
 
sec
2 2 2 2 2 2
sec tan 1 1 1csc ln csc cot ln
tan
x adx a d x ad
a a ax a a x a
θ θ θ θ θ θ θ θ
θ
= +
= = = − + = −
− −∫ ∫ ∫ . 
 
sen
2 2 2 2 2 2
cos 1 1 1sec ln sec tan ln
cos
x adx a d a xd
a a ax a a a x
θ θ θ θ θ θ θ
θ
= +
= = − = − + = −
− − −∫ ∫ ∫ . 
 
( )2 2
1 1 1 1 ln ln
( ) ( ) 2 2
dx dx dx x a x a
x a x a a x a x a ax a
⎛ ⎞= = − = − − +⎜ ⎟
⎝ ⎠− + − +−∫ ∫ ∫ . 
 
 Note que o primeiro resultado vale para sec ( , ] [ , )x a a aθ= ∈ −∞ − ∪ ∞ , isto é, se x a≤ − 
ou x a≥ ; o segundo, para sen [ , ]x a a aθ= ∈ − , e o terceiro é mais genérico, podendo ser em-
pregado em qualquer intervalo de integração que não tenha os pontos x a= ou x a= − . Essa 
x
1 
2 1x + 2
2
sen
1
1cos
1
x
x
x
θ
θ
⎫ ⎧ =⎪ ⎪ +⎪ ⎪⇒⎬ ⎨
⎪ ⎪ =
⎪ ⎪ +⎭ ⎩θ
40 
observação ressalta o fato de que, ao se mudar a variável no cálculo de uma integral, o intervalo 
de integração no qual a primitiva obtida é válida pode ter sido restringido. 
 Na seç. 2.6 que segue, estudamos a integral mais complicada que pode surgir na aplicação 
do método de integração por frações parciais que foi considerada (sem a repetição de fatores 
irredutíveis de grau maior que dois). 
 
 
2.6 Integral de γ( )2
Ax + B
ax + bx + c
 
 
 a) Se Ax B+ for igual à derivada de 2ax bx c+ + a menos de um fator constante, faz-se a 
mudança de variável 2u ax bx c= + + (v. Exemplo 1 abaixo); se não for, verifique os casos se-
guintes. 
 
 b) Se 0, 1, 2, 3,γ = − − − , o integrando é um polinômio, fácil de integrar. 
 
 c) Se 1, 2,3,γ = e 2 1 2( )( )ax bx c a x r x r+ + = − − , com 1r e 2r reais, integre por frações 
parciais. 
 
 d) Se 2ax bx c+ + for irredutível em ou γ ∉ (e qualquer 2ax bx c+ + ), proceda 
como nos Exemplos 2 e 3, respectivamente. 
 
Exemplo 1: 
3
2 2 2 2
(2 4) 3 33
( 3 12 8) 3 12 8
u
u
x dx du c c
ux x u x x
′−
−
= − = + = +
− + + − + +∫ ∫ . 
 
 
Exemplo 2: 
 
1
4
2 2 2 2 2 2 2
(8 8) 9(2 7) 1 9
4(4 8 13) (4 8 13) [4 8 13]
u
u J K
xx du dxI dx dx c
x x x x u x x
′
− ++
= = = + +
− + − + − +∫ ∫ ∫ ∫ , 
onde 
 
 2 2 2
1 1 1
4 4 4(4 8 13)
duJ
uu x x
= = − = −
− +∫ . 
 
e 
 
2
2
232( 1) 3tan
2
2 2 2 2 42 3sec
9 tan
2
2
3
2 2
sec
9 9 9
[4 8 13] [4( 1) 9] 81sec
1 1 1 sen 2 1cos sen cos
6 6 2 2 12 12
arctan ( 1) 1 2( 1) 3 .
12 12 4 8 13 4 8 13
x
dx
ddx dxK
x x x
d
x x
x x x x
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ θθ θ θ θ θ
− =
=
= = =
− + − +
⎛ ⎞= = ⋅ + = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎡ ⎤− −⎣ ⎦= + ⋅ ⋅
− + − +
∫ ∫ ∫
∫ 
 
41 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 No próximo exemplo temos um fator quadrático que é redutível em [ 2 6 5x x− − − = 
( 5)( 1)x x− + + ], um detalhe importante na integração por frações parciais, mas não no caso. 
 
 
Exemplo 3: 
 
1
2
2 3/2 2 3/2 3/2 2 3/2
( 2 6) 3 1 ( 3)
2( 6 5) ( 6 5) ( 6 5)
u
Ju K
xx du dxI dx dx c
x x x x u x x
′
− − − −
= = = − + − +
− − − − − − − − −∫ ∫ ∫ ∫ , 
onde 
 
 3/2 2
1 1 1
2 6 5
duJ
uu x x
= − = =
− − −∫ . 
 
e 
 2
3 2sen
2 3/2 2 3/ 2 32cos
4sen
2
2
2cos3 3 3
( 6 5) [4 ( 3) ] 8cos
3 3 3 3sen tan .
4 4 4 6 5
x
dx
dx dx dK
x x x
xd
x x
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ θ θ
+ =
=
= − = − = −
− − − − +
+
= − = − = −
− − −
∫ ∫ ∫
∫
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
2 24( 1) 9 4 8 13x x x− + = − +
2
2
2( 1)sen
4 8 13
3cos
4 8 13
x
x x
x x
θ
θ
−
=
− +
=
− +
2( 1)x −
θ θ 
2 24 5 6t x x− = − − −
2 
3t x= +
θ 
2
3tan
5 6
x
x x
θ +⇒ =
− − −
42 
2.7 Substituições Diversas 
 
2.7.1 RAÍZES N-ÉSIMAS 
 
Exemplo 1: 
( )
2
2 22
12 2 1 2 arctan
1 1 1
2 2arctan
u x
x u
dx u du
x udx u du du u u c
x u u
x x c
≡
∴ =
=
⎛ ⎞= = − = − +⎜ ⎟
⎝ ⎠+ + +
= − +
∫ ∫ ∫
■
 
 
Exemplo 2: 
2
4
24
2 2 22
4 42 2 2 1
4 4 4
u x
x u
dx u du
x u udx u du du du
x u u u
≡ +
∴ = −
=
+ ⎛ ⎞= = = +⎜ ⎟
⎝ ⎠− − −∫ ∫ ∫ ∫ 
 
( )4 1 12 1 2 1 2 ln 2 ln 2
( 2)( 2) 2 2
du du u u u c
u u u u
⎡ ⎤ ⎛ ⎞= + = + − = + − − + +⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠− + − +⎣ ⎦∫ ∫ 
 
2 4 2ln 4 2 2ln 4 2x x x c+ + + − − + + += ■ 
 Note que devemos ter 0x ≠ em 4 /x x+ , o que garante que 2u ≠ . 
 
Exemplo 3: 
( )
2
3
2
2/3 1/3 1/3
3 13 ( 1)
1 11
3 3ln 1
2
3 3 3ln 1
2
dx u du u du
u ux
u u u c
x x x c
⎡ ⎤= = − +⎢ ⎥⎣ ⎦+ ++
= − + + +
= − + + +
∫ ∫ ∫
■
 
3
3
2
2
2 2
3
1
1 1( 1)
1 11
1
x uu x
dx u du
uu
u u u u uu u uu
⎧ == ⇒ ⎨ =⎩
+
− − −
= − +− + ++
∴
 
 
Exemplo 4: 
( )
3 3 2
4
3 2
5 2
2 5/3 2 2/3
3 ( 1) 3 ( )
2 21
3 3 3( 1) ( 1)
2 5 2 10 4
x dx u u du u u du
ux
u u c x x c
−
= = − =
+
− + = + − + +
∫ ∫ ∫
■
 
2 3
3 2
2
3 2 3 2
1
1
2 3
3( ) ( 1)
2
x u
u x
x dx u du
x dx x x dx u u du
⎧ = −⎪= + ⇒ ⎨
=⎪⎩
= = −
 
 
Exemplo 5: 
( )
( )
5 3( )
2
3 23
3 2
1/2 1/3 1/6 1/6
6 16 6 1
1 1
6 ln 1 2 3 6 6ln 1
3 2
dx u du u du u u du
u ux x u u
u u u u c x x x x c
∗
= = = + + +
− −− −
= + + + − + = + + + − +
∫ ∫ ∫ ∫
■
 
 Passagem (∗) : [ ]
5
66
1/2 3 1/3 2
6
6 mmc(2,3)
 e 
dx u dx
u x x u
x u x u
⎧ =⎪= = ⇒ = ⇒ ⎨
= =⎪⎩
 
43 
Exemplo 6: 
( )
( )
11 8( )
7 6 5 4 3 2
4 33 4
8 7 6 5 4 3 2
12 112 12 1
1 1
12 ln 1
8 7 6 5 4 3 2
dx u du u du u u u u u u u du
u ux x u u
u u u u u u u u u c
∗
= = = − + − + − + − +
+ ++ +
= − + − + − + − + + +
∫ ∫ ∫ ∫
=
 
 Passagem (∗) : 
11
1/12 1212
1/3 4 1/4 3
12
 e 
dx u du
u x x x u
x u x u
⎧ =⎪= = ⇒ = ⇒ ⎨
= =⎪⎩
 
 
Exemplo 7: 
( )
( )
6 3( )
5 3 2 27 75 3
2
2 2/7 2/7
7 7 7
1 1
1 7 77 ln 1 ln 1
2 2 2 2
dx u du u du uu du
u u u ux x
u u c x x c
∗
= = = +
− − −−
= + − + + − +
∫ ∫ ∫ ∫
= ■
 
7
7
6
( )
7
u x
x u
dx u du
⎧ =
⎪∗ =⎨
⎪ =⎩
 
 
Exemplo 8: 
( )
11 3( )
2
9 834 3 2
3 2 1/4 1/6 1/12 1/12
12 12 112 1
1 1
4 6 12 12ln 1 4 6 12 12ln 1
dx u du u du u u du
u uu ux x
u u u u x x x x
∗
= = = + + +
− −−−
= + + + − = + + + −
∫ ∫ ∫ ∫
■
 
12
12
11
mmc(4,3) 12
( )
12
u x
x u
dx u du
=⎧
⎪ =⎪∗ ⎨ =⎪
⎪ =⎩
 
 
 
2.7.2 TANGENTE DO