Aula 21b - Gravitação

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Ciências da Natureza – Física
Prof.: Luiz Felipe
Gravitação
	Durante a Antiguidade, havia uma preferência dos povos da época em aceitar mais facilmente os sistemas geocêntricos (a Terra no centro do Universo e os planetas girando ao seu redor). Desses, o mais bem aceito foi o de Cláudio Ptolomeu, astrônomo do século II.
	A ideia básica é que a órbita do planeta em torno da Terra é a resultante de dois movimentos circulares uniformes acoplados. O planeta tem um movimento circular uniforme sobre um círculo (epiciclo) cujo centro, por sua vez, se move com movimento circular uniforme sobre outro círculo (deferente). 
	O modelo de Ptolomeu permitia descrever e prever as posições com dos planetas com notável precisão para a época, tendo durado permanecido até o Renascimento.
Histórico
Almagesto => o maior dos livros
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Somente no século XVI, com o astrônomo polonês Nicolau Copérnico, o sistema heliocêntrico voltou a ser apresentado. Para Copérnico, o Sol era o centro do Universo e todos os planetas, inclusive a Terra, giravam em torno dele, em órbitas circulares. 
a ideia heliocêntrica já havia sido proposta por Aristarco de Samos, antes de Cristo 
A obra de Copérnico impulsionou novas observações, destacando-se nesse período as que foram feitas pelo astrônomo real dinamarquês Tycho Brahe. Ele propôs um modelo intermediário entre os de Ptolomeu e Copérnico, em que todos os planetas, com exceção da Terra, se moveriam em torno do Sol, mas o Sol se moveria em torno da Terra.
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modelo geocêntrico proposto por Tycho Brahe
Obs.: tomando o raio médio da órbita da Terra como referência, definiu-se uma unidade de medida chamada de unidade astronômica (UA), tal que
Johannes Kepler foi assistente e sucessor de Tycho Brahe, que deixou como legado suas observações. Após 4 anos de trabalho, acabou concluindo que os planetas realmente giravam ao redor do Sol, porém suas órbitas eram elípticas. 
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As Leis de Kepler
Primeira Lei de Kepler (Lei das órbitas)
Tomando-se como referencial o Sol, cada planeta percorre uma órbita elíptica onde o Sol ocupa um dos focos da elipse.
periélio
afélio
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Segunda Lei de Kepler (Lei das áreas)
A área varrida pelo raio vetor de um planeta é proporcional ao intervalo de tempo gasto para varrê-la. 
A expressão matemática para a Segunda Lei de Kepler é:
velocidade areolar
Assim temos que:
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Obs.: consequências da Segunda Lei de Kepler
A velocidade linear de translação do planeta é variável ao longo da trajetória.
No periélio, a velocidade linear de translação do planeta é máxima e, no afélio, é mínima.
O planeta, em sua órbita elíptica, tem movimento variado, sendo acelerado do afélio ao periélio e retardado do periélio ao afélio.
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Obs.: se considerarmos circular a trajetória do planeta, com o Sol no centro da órbita, seu movimento será uniforme.
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RESOLUÇÃO
Sendo a área varrida de A até B igual à área varrida de B até C, então conclui-se que o tempo gasto para varrê-las será igual. Logo: 
O tempo para uma volta completa é o período, assim:
A
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Terceira Lei de Kepler (Lei dos períodos)
O cubo do raio médio da órbita do planeta é diretamente proporcional ao quadrado do período de translação do planeta ao redor do Sol.
constante
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Obs.: a Terceira Lei de Kepler também pode ser aplicada a um planeta e seus satélites. O planeta fará o papel de Sol nesse caso.
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(UFT-2019) A órbita de um asteroide em torno do Sol possui raio médio de 4,0 × 1011m. Considerando-se que o raio médio da órbita da Terra seja 1,0 × 1011m, o período de revolução do asteroide em anos terrestre será de: 
a) 1 ano. 		b) 2 anos. 		c) 4 anos. 		d) 8 anos. 
RESOLUÇÃO
De acordo com a 3 Lei de Kepler, temos:
D
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	Isaac Newton, em 1665, respondeu uma pergunta que estava pendente: qual a natureza da força que mantém a órbita dos planetas em torno do Sol? Ele percebeu a analogia entre a força com que a Terra atrai os corpos e a força com que esta atraía a Lua. A proeza da intuição de Newton (que a força entre a Terra e a maçã (será?) é a mesma força que puxa luas e planetas e tudo mais em nosso universo) era um rompimento revolucionário com a noção de que havia 2 conjuntos de leis: um para os fatos terrestres, outro para os movimentos celestes. 	
	Chamou essas forças de forças gravitacionais. Concluiu então que dois pontos materiais quaisquer, de massas m1 e m2, separados pela distância d, atraem-se gravitacionalmente com força que atua na direção da reta que passa por eles e é dada por:
Lei da Gravitação Universal
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RESOLUÇÃO
Determinando a força gravitacional que atua no satélite antes e depois, temos:
Antes 
Depois 
D
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Satélites em órbitas circulares
Considere um planeta de massa M em torno do qual há um satélite de massa m em órbita circular de raio d. A força gravitacional que mantém o satélite é centrípeta, logo:
não depende da massa do satélite
Obs.: demonstração da Terceira Lei de Kepler
constante
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Satélite estacionário
	Satélites estacionários são aqueles que permanecem em repouso em relação a um observador fixo na superfície terrestre. Para isso, sua órbita, em relação a um referencial no centro de massa da Terra, deve ser circular e estar contida no plano equatorial. Seu período é igual ao de rotação da Terra (24h). 
Obs.: determinação da velocidade areolar
massa do Sol
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(UNIFENAS-2020) A Estação Espacial Internacional (EES) é um satélite artificial habitável que é utilizado como um laboratório espacial de pesquisa no qual muitos estudos importantes já foram realizados nos campos da física, meteorologia, biologia e muitos outros. 
Como nota-se na imagem acima, a órbita da EES é bastante próxima da superfície da terra, numa altitude de apenas 400km. Sobre a sensação fisiológica dos astronautas a respeito da gravidade dentro da EES três estudantes fizeram as seguintes afirmações: 
- Felipe disse que os astronautas não sentem o seu peso porque a gravidade na órbita em que se encontra a EES é zero. 
- Guilherme disse que a força que mantém a estação em órbita é dirigida para o centro da terra e é inversamente proporcional à distância entre a EES e o centro da terra. 
- Carol disse que a gravidade na região de órbita da EES não é zero, mas que os astronautas de fato não sentem o seu peso e tem a sensação de “gravidade zero”. 
Do ponto de vista da teoria da gravitação na Física: 
a) apenas Felipe está correto. 
b) apenas Guilherme está correto. 
c) apenas Carol está correta. 
d) Felipe e Guilherme estão corretos. 
e) Guilherme e Carol estão corretos. 
C
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(FUVEST-2020) Em julho de 1969, os astronautas Neil Armstrong e Buzz Aldrin fizeram o primeiro pouso tripulado na superfície da Lua, enquanto seu colega Michael Collins permaneceu a bordo do módulo de comando Columbia em órbita lunar. Considerando que o Columbia estivesse em uma órbita perfeitamente circular a uma altitude de 260km acima da superfície da Lua, o tempo decorrido (em horas terrestres) entre duas passagens do Columbia exatamente acima do mesmo ponto dasuperfície lunar seria de
Note e adote: constante gravitacional: G ≈ 9 . 10−13 km3/(kg.h2); raio da Lua = 1740km; massa da Lua ≈ 8 . 1022kg; π ≈ 3.
a) 0,5h. 		b) 2h. 		c) 4h. 		d) 8h. 		e) 72h
RESOLUÇÃO
Seja a força gravitacional a resultante centrípeta. Logo:
em que Rórbita = RLua + h
Assim, temos:
B
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RESOLUÇÃO
	Como demonstrado na teoria, a velocidade de um satélite em órbita (velocidade cósmica primeira), será dada por: 
Assim, a relação pedida pelo exercício será dada por:
D
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Campo gravitacional
	Na região que envolve a Terra, bem como qualquer outro planeta, dizemos que há um campo gravitacional, pois esses planetas têm a capacidade de atrair outros corpos colocados em suas proximidades. No caso particular da Terra, existem outras influências de outras forças no corpo, dizendo então que na Terra há um caso particular de campo de força chamado campo de gravidade. A ação desse campo sobre um corpo é o peso. 
Pontos externos à Terra
Considere que o planeta Terra seja esférico e homogêneo, que toda sua massa seja concentrada no seu centro geométrico (centro de massa) e que ele esteja isolado no Universo. Para um ponto externo a sua superfície e situado a uma distância d do seu centro de massa, coloca-se um ponto material de massa m naquele ponto. A força gravitacional nele exercida será seu próprio peso, logo 
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RESOLUÇÃO
Utilizando as equações da aceleração da gravidade na superfície e em um ponto externo, temos:
Na superfície
No ponto externo
Logo:
B
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(UNICAMP) O planeta Mercúrio tem massa M(Mercúrio) = 0,040M(Terra) e diâmetro d(Mercúrio) = 0,40d(Terra). Nessas expressões M(Terra) e d(Terra) são a massa e o diâmetro da Terra, respectivamente. Dado: gTerra = 10 m/s2.
a) Qual seria, em Mercúrio, o peso da água contida em uma caixa de 1000 litros?
b) Um satélite da Terra em órbita circular de 40 000km de raio tem período igual a 24 horas. Qual seria o período de um satélite de Mercúrio em órbita circular de mesmo raio? 
RESOLUÇÃO
a) Comparando as acelerações nas superfícies de Mercúrio e da Terra, temos:
Logo:
Assim, tem-se que:
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b) A força peso será a resultante centrípeta, logo: 
Comparando os nas superfícies de Mercúrio e da Terra, temos:
Logo:
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(IME) Um astronauta com seu traje espacial e completamente equipado pode dar pulos verticais e atingir, na Terra, alturas máximas de 0,50m. Determine as alturas máximas que esse mesmo astronauta poderá atingir pulando num outro planeta de diâmetro igual a um quarto do da Terra e massa específica equivalente a dois terços da terrestre. Admita que nos dois planetas o astronauta imprima aos saltos a mesma velocidade inicial.
RESOLUÇÃO
Quando a pessoa salta, na Terra, ele fica sujeita à ação da aceleração da gravidade, atingindo velocidade nula no ponto mais alto. Logo:
Com a informação sobre a massa específica, temos:
Assim:
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Logo, fazendo a comparação entre as acelerações da gravidade nas superfícies 
Assim, quando ele saltar, pela equação de Torricelli, temos:
Logo:
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Pontos na superfície da Terra
Considerando as mesmas suposições anteriores, podemos afirmar que para pontos situados na superfície da Terra, ou bem próximos dela, a intensidade do campo será:
Levando em consideração o movimento de rotação da Terra temos, adotando um referencial no planeta (referencial não inercial):
Para pontos na linha do Equador temos:
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percebe-se que à medida que a latitude aumenta menor fica a força centrífuga, de tal forma que no Equador a aceleração da gravidade é mínima, e nos polos ela é máxima (não há influência da rotação)
foguetes são lançados próximos à linha do Equador
a rotação é importante para explicar a forma geodésica 
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(UFT) Quantas horas deveria ter, aproximadamente, o período de rotação da Terra em torno de seu eixo para que uma balança localizada sobre a linha do equador indicasse zero para o peso de uma pessoa de 70kg? 
Dados: raio da Terra = 6,37 x 106m; massa da Terra = 5,97 x 1024kg; constante gravitacional Universal = 6,67 x 10-11 Nm2/kg2 
a) 1h e 24 min 		b) 37h e 12 min 		c) 48 h 
d) 24 h 			e) 6 h e 37 min 
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Adotando a Terra como referencial, trata-se de um referencial não-inercial. Para que a balança não acuse nada, então a pessoa deve estar flutuando, sem a ação do peso. Logo:
Assim, temos:
RESOLUÇÃO
Transformando o valor encontrado em horas e minutos, temos:
A
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para um ponto I interno à esfera, o campo de gravidade deve-se exclusivamente à ação da massa ΔM, da esfera imaginária de raio r
Seja μ a densidade da Terra (esférica e homogênea), suposta constante:
aumenta linearmente com a distância
Pontos internos à Terra
Logo:
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Graficamente temos:
ponto interno: aumenta linearmente com a distância
ponto externo: diminui com o quadrado da distância
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(FAMERP-2017) A figura representa um satélite artificial girando ao redor da Terra em movimento circular e uniforme com período de rotação de 140 minutos. O gráfico representa como varia o módulo da aceleração da gravidade terrestre para pontos situados até uma distância 2R do centro da Terra, onde R = 6400km é o raio da Terra.
Considere a Terra perfeitamente esférica e as informações contidas na figura e no gráfico.
a) Calcule o menor intervalo de tempo, em minutos, para que o satélite se movimente da posição A para a posição B.
b) Determine o módulo da aceleração da gravidade terrestre, em m/s2, na posição em que se encontra o satélite.
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RESOLUÇÃO
a) Fazendo uma regra de três simples, temos:
b) Para a aceleração da gravidade na posição d = R + h = 6400 + 2560 = 8960km, temos:
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Obs.: gravidade artificial consiste em uma parte da (ou toda a) nave girar com velocidade angular suficientemente grande para que, em uma região afastada do eixo de rotação, tudo se passe como se existisse um campo gravitacional para fora do eixo de rotação (um campo de forças inerciais centrífugas equivalentes às do campo gravitacional na superfície da Terra)
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Obs.: no filme Perdido em Marte a gravidade artificial também é simulada
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Energia no campo gravitacional
	Consideremos um planeta movendo-se numa órbita circular de raio d em torno do Sol, com velocidade de translação igual a v. Sejam m a massa do planeta e M a massa do Sol. A energia cinética do planeta será dada por:
Já a energia potencial gravitacional para referenciais no infinito é dada por
Velocidade cósmica primeira
	É a velocidade com que devemos lançar, horizontalmente, um corpo próximo à superfície da Terra, para que ele se torne um satélite artificial da Terra. 
Obs.: se a órbita for elíptica, temos
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Velocidade de escape
	A velocidade de escape é a menor velocidade com que devemos lançar um corpo na superfície terrestre para que ele se livre do campo gravitacional e vá para o infinito, não mais retornando. Para isso deve ser nula sua energia cinética no infinito:
determina a composição da atmosferaCiências da Natureza – Física
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(UEL-2020) Uma espaçonave, de massa igual a 1 · 104kg, está passando pelas imediações de um planeta remoto, cuja massa é de 8 · 1024kg. Esse planeta possui um satélite natural, que tem 1% da sua massa e cujo raio da órbita em torno do planeta é de 3,3 · 108m. Com base nessas informações, responda aos itens a seguir.
a) Considere a figura (note que a figura não está em escala). A rota da espaçonave prevê que ela passe exatamente pelo ponto, entre o planeta e o satélite, onde a força gravitacional resultante sobre a nave é nula. Calcule a distância em que a espaçonave estará do centro do satélite nesse exato instante.
b) Ao longo de sua viagem, a espaçonave passa por um ponto, onde ela, o planeta e o satélite ocupam os vértices de um triângulo equilátero, conforme a figura B. A partir dessa posição, calcule o trabalho mínimo que deveria ser realizado pelos motores da espaçonave para que ela escapasse da atração gravitacional exercida sobre ela pelo planeta e pelo satélite. Para essa estimativa, despreze o movimento do planeta e do satélite. Considere a constante de gravitação universal G = 6,6 · 10–11 Nm2/kg2. Observação: Ao escapar da atração gravitacional, U = 0.
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RESOLUÇÃO
a) Representando as forças que atuam na espaçonave e estando ele em equilíbrio, temos:
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Logo:
b) Inicialmente, deve-se calcular a energia potencial gravitacional da nave naquele momento: 
Logo:
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(UNIEVANGÉLICA-2018) A velocidade de escape do planeta Terra é de aproximadamente 11 km/s. A Lua tem uma massa 81 vezes menor que a da Terra e seu raio médio é também aproximadamente 4 vezes menor. Nessas condições, a velocidade de escape da Lua, em km/s, será, aproximadamente:
a) 0,54		b) 1,60		c) 5,97		d) 2,44
RESOLUÇÃO
Comparando as velocidades de escape, temos:
Logo:
D
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Marés
	Newton foi o primeiro a explicar a causa das marés, como sendo devida à atração gravitacional da Lua e, em menor escala, do Sol sobre os oceanos. À primeira vista, poderia parecer que isso causaria apenas uma protuberância da massa líquida do lado da Terra num dado momento voltado para a Lua. Entretanto, deve haver 2 protuberâncias, localizadas em extremos opostos da Terra. 
	Com efeito, a distância da Lua ao centro da Terra sendo de aproximadamente 60RT, o lado mais próximo está a cerca de 59RT e o mais distante a 61RT. Assim, a atração da Lua sobre o ponto 1 da superfície do oceano é mais forte que sobre um ponto 2, e a água é puxada pra fora. Do lado mais distante, a superfície do oceano (ponto 4) é menos puxada que o ponto 3, o que causa a protuberância do lado oposto. Em aproximadamente 12 horas, devido à rotação da Terra, o ponto 2 vai parar no ponto 3, de modo que teremos 2 marés altas por dia. 
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A teoria de Einstein da Gravitação
	Einstein formulou um modelo para a gravidade completamente diferente do newtoniano, em sua teoria geral da relatividade. Einstein concebeu um campo gravitacional como uma curvatura geométrica no espaço-tempo tetradimensional; ele percebeu que os corpos produzem deformações no espaço-tempo, analogamente a uma bola massiva localizada no meio de um grande colchão d’água, que deforma a superfície bidimensional do mesmo. 
Quanto mais massiva for a bola, maior será a depressão ou dobra produzida. Se fizermos uma bola de gude rolar sobre um colchão, mas bem afastada da bola massiva, ela seguirá rolando em linha reta. Mas se a fizermos rolar próximo à bola massiva, a trajetória da bola de gude se curvará quando estiver passando pela depressão na superfície do colchão d’água. Se a trajetória fechar-se sobre si mesma, a bola de gude orbitará em torno da bola numa trajetória circular ou oval.
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Buracos negros
	Quando algumas estrelas com maior massa (1,5 a massa solar ou acima) esgotam suas fontes nucleares, elas sofrem um colapso; e a menos que sua rotação seja suficientemente alta, o colapso continuará até que a estrela passe a ter densidade infinita. A gravidade próxima dessas estrelas colapsadas é tão intensa que nem a luz pode escapar de sua vizinhança. Os resultados são buracos negros.
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	Um buraco negro não é mais massivo do que a estrela da qual ele foi formado, de modo que o campo gravitacional em regiões a uma distância igual ou maior do que o raio da estrela original não é diferente antes e depois do colapso. Mas a distâncias menores, na vizinhança imediata do buraco negro, o campo gravitacional pode ser enorme – uma deformação ao seu redor para onde é desviada qualquer coisa que passe muito perto.
ele se faz sentir por sua influência gravitacional sobre as estrelas vizinhas
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	Uma entidade teórica que guarda alguma semelhança com um buraco negro é o “buraco de minhoca”. Como um buraco negro, um buraco de minhoca é uma enorme distorção no espaço-tempo. Mas ao invés de colapsar num ponto de densidade infinita, o buraco de minhoca abre-se novamente em alguma outra parte do universo – ou até mesmo, concebivelmente, em algum outro universo. 
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